Đề thi tuyển sinh 10 THPT năm 2023-2024 toán chuyên Sở GD và ĐT Vĩnh Long (có đáp án và lời giải chi tiết)

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN VĨNH LONG
NĂM HỌC: 2023 – 2024
Môn: TOÁN (Chuyên)
Khoá thi ngày: 110/6/2023
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1. (2,0 điểm) 2
a) Tính giá trị biểu thức A  4  2 3  6  2 5  . 5  3  1 2 x   2 x 
b) Cho biểu thức P     :1    
 với x  0; x  1 Rút gọn biểu x 1
x x  x  x 1 x 1     thức P . Câu 2. (1,0 điểm)
Tìm tất cả các giá trị m của để phương trình 2
x  5x  3m 1  0 ( x là ẩn số; m là tham
số) có hai nghiệm phân biệt x ; x
x  x  15 . 1 2 thỏa mãn 2 2 1 2 Câu 3. (1,5 điểm)  x y 5   
a) Giải hệ phương trình y x 6   2 2 x  y  5
b) Giải phương trình  x  4 2 1
 x  2x  3 . Câu 4. (1,5 điểm)
a) Tìm tất cả các số nguyên x sao cho giá trị của biểu thức 2
x  x  6 là một số chính phương.
b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình 2 y    6 3
2 x  x y  32. Câu 5. (3,0 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC  AB  AC nội tiếp đường tròn O . Kẻ đường cao AH của
tam giác ABC ( H thuộc BC ). Gọi P;Q lần lượt là chân của đường vuông góc kẻ từ H
đến các cạnh AB, AC .
a) Chứng minh PQH  BAH .
b) Hai đường thẳng PQ và BC cắt nhau tại M . Chứng minh M  QH ∽ M  HP và 2 MH  M . B MC .
c) Đường thẳng MA và cắt đường tròn O tại K ( K khác A ). KH cắt đường tròn O
tại D ( D khác K ) . Gọi J là trung điểm của HD . Chứng minh JQ  JC . Câu 6. (1,0 điểm) 2 x 10
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức . 2 x  9
---------------------------------@Hết@--------------------------------- Trang 1 HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1. (2,0 điểm) 2
a) Tính giá trị biểu thức A  4  2 3  6  2 5  . 5  3  1 2 x   2 x 
b) Cho biểu thức P     :1    
 với x  0; x  1 Rút gọn biểu x 1
x x  x  x 1 x 1     thức P . Lời giải 2 a) A 
4  2 3  6  2 5  5  3    3  2 1   5  2 2 5 3 1  2
 3 1 5 1 5  3  2 5  1 2 x   2 x  b) P     :1      x 1
x x  x  x 1 x 1      1 2 x
  x  2 x 1 =    :       x 1
(x 1)( x 1) x 1        x  2 1  x  x x 2 1 1 2 x 1 1  :  . 
(x 1)( x 1) x 1
(x 1)( x 1)   x  2 x 1 1 Câu 2. (1,0 điểm)
Tìm tất cả các giá trị m của để phương trình 2
x  5x  3m 1  0 ( x là ẩn số; m là tham
số) có hai nghiệm phân biệt x ; x
x  x  15 . 1 2 thỏa mãn 2 2 1 2 Lời giải Có   2112m Phương trình có hai nghệ 7
m phân biệt   0  2112m  0  m  4 x  x  5 Theo hệ thức Vi-ét: 1 2
x .x  3m1  1 2 Ta có 2 2
x  x  15  x  x x  x
15  x  x  3 1 2  1 2 1 2 1 2
x  x 2  9 1 2
 x  x 2  4x x  9 1 2 1 2 2
 5  4(3m 1)  9  2112m  9
 m 1(thỏa mãn) Vậy m 1 Câu 3. (1,5 điểm) Trang 2  x y 5   
a) Giải hệ phương trình y x 6   2 2 x  y  5
b) Giải phương trình  x  4 2 1
 x  2x  3 . Lời giải
a) ĐK x  0; y  0 2 2  x y 5  x  y 5      xy  6 y x 6    xy 6   2 2   x  y  5 2 2 2 2 x  y  5 x  y  5  6 y  xy  6  x    2 2 x  y  5 36 2 x   5 2  x 36 2 4 2 x 
 5  x  5x  36  0  x  3 2 x
x  3  y  2 x  3   y  2
Vậy ngiệm của phương trình S    3;2, 3  ; 2  
b)  x  4  x  x    x  4   x  2    x  4   x  2 2 1 2 3 1 1 2 1 1  2  0 .
Đặt t  x  2 1 (t  0) Phương trình trở thành 2
t  t  2  0 t  1
 (loại); t  2(nhận) x   2 1
Với t  2   x  2 1 1  2   x  2 1  2
Vậy ngiệm của phương trình S   2 1; 2   1 Câu 4. (1,5 điểm)
a) Tìm tất cả các số nguyên x sao cho giá trị của biểu thức 2
x  x  6 là một số chính phương.
b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình 2 y    6 3
2 x  x y  32. Lời giải a) Giải sử 2
x  x  6 là số chính phương , suy ra tồn tại số k sao cho 2 2
x  x   k   2 x  x   2 6 4 6  4k   k2 2 2
 (2x 1)  23  2k  2x  
1 2k  2x   1  23
2k  2x 1  23 TH1:   x  5
2k  2x 1 1
2k  2x 1  1 TH2:   x  6      2k 2x 1 23
2k  2x 1  23  TH3:   x  6      2k 2x 1 1 Trang 3
2k  2x 1  1  TH4:   x  5      2k 2x 1 23 Với x  6  ;  5 thì 2
x  x  6 là số chính phương
b)Tìm nghiệm nguyên của phương trình 2 y    6 3
2 x  x y  32. trình 2 y    6 3
2 x  x y  32. 2 y    6 3 x  x y   2 3 6 2
32  y  2x y  2x  64  0 6
'  x  64  0  x  2  x  1  ;0; 2 
Với x  0  y  8  Với 2
x  1  y  2 y  62  0. (loại) Với 2 x  1
  y  2y  62  0. (loại) Với 2
x  2  y 16 y  64  0  y  8 Với 2 x  2
  y 16y  64  0  y  8  .
Vậy ngiệm nguyên của phương trình là 0;8 ; 0; 8  ; 2;8;  2  ; 8  . Câu 5. (3,0 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC  AB  AC nội tiếp đường tròn O . Kẻ đường cao AH của
tam giác ABC ( H thuộc BC ). Gọi P;Q lần lượt là chân của đường vuông góc kẻ từ H
đến các cạnh AB, AC .
a) Chứng minh PQH  BAH .
b) Hai đường thẳng PQ và BC cắt nhau tại M . Chứng minh M  QH ∽ M  HP và 2 MH  M . B MC .
c) Đường thẳng MA và cắt đường tròn O tại K ( K khác A ). KH cắt đường tròn O
tại D ( D khác K ) . Gọi J là trung điểm của HD . Chứng minh JQ  JC . Lời giải A K Q P O N M B H C J D
a) Tứ giác APHQ có 0
APH  AQH  180
Suy ra tứ giác APHQ nội tiếp Trang 4
 PQH  PAH
Hay PQH  BAH .
b) có PQH  BAH (cmt)
mà BAH  MHP ( cùng phụ PBH )
nên MQH  MHP và PMH góc chung MQ MH 2  M  QH ∽ M
 HP(g.g)    MH  M . P MQ (1) MH MP
Chứng minh được tứ giác BPQC   nội tiếp MBP MQC và BMP góc chung MB MP  M  BP ∽ M
 QC(g.g)    M . P MQ  M . B MC (2) MQ MC Từ   1 2   và 2 MH M . B MC
c) vì AKBC là tứ giác nội tiếp
nên MKB  MCA (cùng bù với AKB ), mà AMC là góc chung MK MB  M  KB ∽ M  C ( A g.g)  
 MK.MA  M . B MC MC MA Mà 2 2 MH  M .
B MC  MH  MK.MA Do A
 HM vuông tại H  HK là đường cao của A  HM (vì M  HA∽ M  KH )
 AK  KH  AK  KD  AD là đường kính của O Suy 0
ACD  90 nên DC  AC
Mà HQ  AC  DC // HQ nên HQCD là hình thang
Gọi N là trung điểm QC (3)  JN của là đường trung bình của hình thang HQCD
 JN // HQ  JN  QC (4)
Từ 3 và 4  JN là đường trung trực của QC  JQ  JC Câu 6. (1,0 điểm) 2 x 10
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức . 2 x  9 Lời giải 2  Đặ x 10 1 t 2 P   x  9  2 2 x  9 x  9  1 1  8 2 2   x  9    x  9 2 9   9 x 9  1 8 10  p  2.  .3  3 9 3 10
Vậy giá trị nhỏ nhất của p  khi x  0 3
---------------------------------@Hết@--------------------------------- Trang 5