Đề thi tuyển sinh lớp 10 năm học 2017 – 2018 môn Toán trường THPT Chuyên ĐH Sư phạm Hà Nội (Vòng 2)

Giới thiệu đến quý thầy, cô và các bạn học sinh đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT năm học 2017 – 2018 môn Toán trường THPT Chuyên ĐH Sư phạm Hà Nội (Vòng 2 – Dùng riêng cho học sinh chuyên Toán và chuyên Tin) gồm 5 bài toán tự luận, có lời giải chi tiết. Mời các bạn đón xem!

36 18 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Đề thi vào 10 môn Toán năm 2023-2024

Môn: Môn Toán

Thông tin:

5 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Vũ Hường
Bé gi¸o dôc ®μo t¹o
Tr−êng ®¹i häc s− ph¹m hμ néi
céng hoμ x· héi chñ nghÜa viÖt nam
§éc LËp -Tù Do -H¹nh Phóc
§Ò chÝnh thøc
ĐỀ THI TUYỂN SINH
VÀO TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN NĂM 2017
Môn thi: Toán
( Dùng riêng cho học sinh chuyên Toán và chuyên Tin)
Thời gian : 150 phút
Câu 1. (1.5 điểm)
Cho các số dương a,b,c,d . Chứng minh rằng trong 4 số
2222
11 11 11 11
;b ;c ;da
bc cd da ab
 Có ít nhất một số không nhỏ hơn 3.
Câu 2. (1.5 điểm)Giải phương trình :

 

22
22
222
2 4 1 1 2017xx x xx xx
Câu 3. (3.0 điểm)
1.Tìm tất cả các số nguyên dương a,b,c,d thỏa mãn
233 4
;c ; 98ab dad
2.Tìm tất cả các số thực x sao cho trong 4 số
2
11
2; 2 2; ;xx xx
x
x

có đúng
một số không phải là số nguyên.
Câu 4. (3điểm) Cho đường tròn (O) bán kính R và một điểm M nằm ngoài (O) .Kẻ hai tiếp
tuyến MA, MB tới đường tròn (O) ( A, B là hai tiếp điểm). Trên đoạn thẳng AB lấy điểm C (C
khác A, C khác B). Gọi I; K là trung điểm MA, MC .Đường thẳng KA cắt đường tròn (O) tại
điểm thứ hai D.
1.
Chứng minh
222
KO KM R
2.Chứng minh tứ giác BCDM là tứ giác nội tiếp.
3.Gọi E là giao điểm thứ hai của đường thẳng MD với đường tròn (O) và N là trung
điểm KE đường thẳng KE cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai F. Chứng minh rằng bốn
điểm I, A, N, F cùng nằm trên một đường tròn.
Câu 5. (1.0 điểm)
--------------Hết-------------
Họ và tên thí sinh:…………………………….….Số báo danh:……………….
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Xét hình bên : Ta viết các số 1, 2,3,4,..9 vào
vị trí của 9 điểm trong hình vẽ bên sao cho
mỗi số chỉ xuất hiện đúng một lần và tổng
ba số trên một cạnh của tam giác bằng 18.
Hai cách viết được gọi là như nhau nếu bộ số
viết ở các điểm (A;B;C;D;E;F;G;H;K) của
mỗi cách là trùng nhau. Hỏi có bao nhiêu
cách viết phân biệt ? Tại sao?
G
K
H
C
D
E
F
B
A
Vòng 2
Câu 1. (1.5 điểm)
Giả sử cả bốn số đều nhỏ hơn 3 thì
2222
11 11 11 11
b
cd3Pa
bc cd d a ab

Mặt khác


 
22222222
2
222 2
2 2
3
11 11 11 11 1111
bcd 2
1111 4
4;
16 16 16 16
3..12
44
Pa a b c d
bc cd d a ab abcd
Do a b c d a b c d
abcd abcd
abcd abcd
P
abcd abcd abcdabcd






 

   
Trái điều giả sử suy ra có ít nhất một số không nhỏ hơn 3.
Câu 2. (1.5 điểm)Giải phương trình

 

22
22
222
2 4 1 1 2017xx x xx xx
ĐKXĐ
x
R

 


22
22
222
4322 22 432
22
22 22
2 4 1 1 2017
2 4 4 8 8 2 1 2 2017
2 2 1 2017 2 2 1 2017 2016
xx x xx xx
xxxxx xxx xxx
xx xx xx xx x



Câu 3. (3.0 điểm)
1.Tìm tất cả các số nguyên dương a,b,c,d thỏa mãn
233 4
;c ; 98ab dad
2.Tìm tất cả các số thực x sao cho trong 4 số
2
11
2; 2 2; ;xx xx
x
x

có đúng
một số không phải là số nguyên.
Hướng dẫn
1.Giả sử
3
12
123
. . ....
n
x
x
xx
n
appp p trong đó
1; 2
;...,
n
p
pp là các số nguyên tố
12
; ;...;
n
x
xxN
Tượng tự
3
12
123
.q .q ....q
n
y
y
yy
n
dq trong đó
1; 2
;...,q
n
qq là các số nguyên tố
12
;y ;...;y
n
yN
Ta có a,d >1
Vì

3
12
22
22
23 3
123 123 3 123 3
. . .... 2 ,2 ,2 ,...,2 3 , , ,..., 3 ,
n
xx
xx
n
appp p b xxx x xxx x axxZ
 
Chứng minh tương tự
3
,( )dyyZ

từ giả thiết




33 2 2
2
2222 22
2
22 2
2
98 98 98 0
2
1
11
98 3 3 97 0
11 98
ad x y xyx xyy viad xy
xy x xyyxxyy xyxxyy
xy
xy xy
yZ xZ
xxyy y y
yyyy
 


 






Hoặc

2
22 2
2
3
2
5
22
49 2 15 0
5022 49
30
5; 3
y
xy
x
xy xy
xxyy y y
yyyyy
x
xy

 





 



Vậy
33
5 125; 3 27; 25; 81adbc 
2.Nếu
11
;xx
x
x

nguyên ta có
11
2
xxZxQ
xx
 
suy ra
2
2; 2 2xx
đều không là số hữu tỷ do vậy một trong hai số
11
;xx
x
x

không là số nguyên khi đó
22
2; 2 2 2 2 2
x
xZxxZ
Đặt



2
22
2,( ) 22 2 22 222 1
22 1 1 0 1
x
aa Z x a a a Z
aZa a


Thử lại đúng vậy
21x 
Câu 4. (3điểm)
H
P
L
N
F
D
I
K
C
Q
E
O
M
B
A
a) Ta có IM = IA và KM = KC
IK là đường trung bình
A
MC //IK AC .
AC = AB ( 2 tiếp tuyến cắt nhau tại M) và OA = OB = R
OM là trung trực của AB
OM AB
IK OM
. Gọi IK cắt OM tại H .Áp dụng định lý py ta go ta có cho
các tam giác vuông
;; ,
M
HI KHO MHK OHI ta có
2 222 222 222 22
;KO ; ;O
M
IMHHI KHHOMKMHHK IKHHO  suy ra
22 22 2 2222222
M
IKOMKIO KOKM IOMIIOIAOAR  ( vì IM = IA)
Vậy :
222
KO KM R
b) Nối KO cắt đường tròn tại Q, P.Ta có KM = KC
Suyra
222
KO KM R
222
KO KC R
222
()().KC KO OP KO OP KO OP KQ KP
Ta lại có KQ.KP =
KD.KA
2
.(.,)
K
C KD KA CKD AKD c g c DCK KAC DBM ∽
Vậy tứ giác MDCB nội tiếp.
c) Gọi L là trung điểm của KD ta có

A
EM MAK EMK
vì (..)
M
KD AKM c g c∽
AE//KM
Mặt khác ta có
.. ..
K
FKE KDKA KFKN KLKA ANFL nội tiếp
Suy ra

LAF LNF MEK FMK (vì
22
..
K
FKE KDKA KC KM ) hay
K
AF KMF tugiacMKFA
nội tiếp
,, .
A
FN AMK AIN I A N F
cùng thuộc một
đường tròn
Câu 5. (1.0 điểm)
G
K
H
C
D
E
F
B
A
Ta thấy có 2 số la 9 và 8 trong dãy 1,2,3,4,..,9 tổng 2 số với 1 bằng 18 ta thấy tại điểm
A ( tương tự B,C) không thể điền số 1 vì nếu trái lại thì B,F phải điền cặp 8,9 ;tại C,E
điền cặp 8,9
Điều này vô lí .Tương tự tại D,E,F cũng không thể điền số 1 vậy số 1 được điền tại H,
G,K
Xét trường hợp số 1 được điền tại G ( tương tự tại H,K) khi đó E điền số 8 ,F điền số 9
( hoặc ngược lại).Giả sử tại A điền a;C điền c, D điền d, K điền k ,tại H điền k+1,
tại B điền c +1. khi đó a,d;c; c+1,k,k+1 phân biệt thuộc
2,3,4,5,6,7
Khi đó

9
93;5;77()
217
ac
d k d thu d thoa man
dc

 

Vậy a=4;c=5;k=2 có 3.2=6 (cách)
| 1/5
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

Bé gi¸o dôc ®μo t¹o
céng hoμ x· héi chñ nghÜa viÖt nam
Tr−êng ®¹i häc s− ph¹m hμ néi
§éc LËp -Tù Do -H¹nh Phóc §Ò chÝnh thøc ĐỀ THI TUYỂN SINH
VÀO TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN NĂM 2017 Môn thi: Toán
( Dùng riêng cho học sinh chuyên Toán và chuyên Tin)
Thời gian : 150 phút Câu 1. (1.5 điểm)
Cho các số dương a,b,c,d . Chứng minh rằng trong 4 số 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2
a   ;b   ;c 
 ;d   Có ít nhất một số không nhỏ hơn 3. b c c d d a a b
Câu 2. (1.5 điểm)Giải phương trình : 2 2
x x  x  2  x  x  2 2 2   2 2 4 1 1
x x  2017 Câu 3. (3.0 điểm)
1.Tìm tất cả các số nguyên dương a,b,c,d thỏa mãn 2 3 3 4
a b ;c  d ;a d  98
2.Tìm tất cả các số thực x sao cho trong 4 số 2 1 1
x  2; x  2 2; x  ; x  có đúng x x
một số không phải là số nguyên.
Câu 4. (3điểm) Cho đường tròn (O) bán kính R và một điểm M nằm ngoài (O) .Kẻ hai tiếp
tuyến MA, MB tới đường tròn (O) ( A, B là hai tiếp điểm). Trên đoạn thẳng AB lấy điểm C (C
khác A, C khác B). Gọi I; K là trung điểm MA, MC .Đường thẳng KA cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai D. 1. Chứng minh 2 2 2
KO KM R
2.Chứng minh tứ giác BCDM là tứ giác nội tiếp.
3.Gọi E là giao điểm thứ hai của đường thẳng MD với đường tròn (O) và N là trung
điểm KE đường thẳng KE cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai F. Chứng minh rằng bốn
điểm I, A, N, F cùng nằm trên một đường tròn. Câu 5. (1.0 điểm) A
Xét hình bên : Ta viết các số 1, 2,3,4,..9 vào
vị trí của 9 điểm trong hình vẽ bên sao cho
mỗi số chỉ xuất hiện đúng một lần và tổng
ba số trên một cạnh của tam giác bằng 18.
Hai cách viết được gọi là như nhau nếu bộ số F G E
viết ở các điểm (A;B;C;D;E;F;G;H;K) của
mỗi cách là trùng nhau. Hỏi có bao nhiêu
cách viết phân biệt ? Tại sao? H K B D C
--------------Hết-------------
Họ và tên thí sinh:…………………………….….Số báo danh:……………….
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Vòng 2 Câu 1. (1.5 điểm)
Giả sử cả bốn số đều nhỏ hơn 3 thì 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1
P a    b  
 c    d    3 b c c d d a a b Mặt khác 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 2 2 2  1 1 1 1 
P a    b  
 c    d    a b c d  2      b c c d d a a ba b c d Do
a b c d   a bc d2 2 2 2 2 1 1 1 1 4 4 ;      a b c d
a b c d
a b c d 2 16 16
a b c d 2 16 16 3 P     3 . .  12 4
a b c d
a b c d 4
a b c d a b c d
Trái điều giả sử suy ra có ít nhất một số không nhỏ hơn 3.
Câu 2. (1.5 điểm)Giải phương trình
x x2  x   x x  x x2 2 2 2 2 2 2 4 1 1  2017 ĐKXĐ x   R
x  2x2  4x 1  x x 1 x x2 2 2 2 2 2  2017 4 3 2 2 2 2 4 3 2
x  2x  4x  4x  8x  8  x x  2x 1 x  2x x  2017
 x  2x  22  x x  2 2 2 2 2
1  2017  x  2x  2  x x 1  2017  x  2016 Câu 3. (3.0 điểm)
1.Tìm tất cả các số nguyên dương a,b,c,d thỏa mãn 2 3 3 4
a b ;c  d ;a d  98 1 1
2.Tìm tất cả các số thực x sao cho trong 4 số 2
x  2; x  2 2; x  ; x  có đúng x x
một số không phải là số nguyên. Hướng dẫn 1.Giả sử 1 x 2 x 3
a p .p . x p .... nx
p trong đó p p ;..., p là các số nguyên tố x ; x ;...; x N 1 2 3 n 1; 2 n 1 2 n Tượng tự 1 y y2 3
d q .q .qy ....qyn trong đó q q ;...,q là các số nguyên tố y ; y ;...; y  N 1 2 3 n 1; 2 n 1 2 n Ta có a,d >1 Vì 2 2 1 x 2 2 x 2 3 x 2 x 3 3 a
p .p .p .... n p b
2x ,2x ,2x ,...,2x 3
x , x , x ,..., x 3 a x , x Z         1 2 3 n 1 2 3 3 1 2 3 3   Chứng minh tương tự 3 d y ,( y Z    ) từ giả thiết 3 3
a d  98  x y  98   x y 2 2
x xy y   98 vi a d x y  0 x y2 2 2 2 2 2 2
x  2xy y x xy y x y x xy yx y  1 x y 1  x y 1      
y Z x Z 2 2
x xy y  98   y   2 1   y   2 2 1 y y  98 3
y  3y  97  0 Hoặc y  3  x y  2 x y  2  x y  2 x  5       2 2 x xy y 49   y  2  2   y  2 2 2 y y  49 y 2y 15 0        y  5   0 
x  3  0
x  5; y  3 Vậy 3 3
a  5  125;d  3  27;b  25;c  81 1 1 1 1
2.Nếu x  ; x  nguyên ta có x   x   2x Z x Q suy ra 2
x  2; x  2 2 x x x x 1 1
đều không là số hữu tỷ do vậy một trong hai số x  ; x  không là số nguyên khi đó x x 2 2
x  2; x  2 2  Z x  2  x  2 2  Z Đặt x
a a Z x   a  2 2 2 2 ,( ) 2 2
2  2 2  a  2  2 2 a   1  Z  2 2 a  
1  Z a 1  0  a  1 
Thử lại đúng vậy x  2 1
Câu 4. (3điểm) A E I D Q H L N M F O P K C B
a) Ta có IM = IA và KM = KC  IK là đường trung bình AMC IK / / AC .
AC = AB ( 2 tiếp tuyến cắt nhau tại M) và OA = OB = R  OM là trung trực của AB
OM AB IK OM . Gọi IK cắt OM tại H .Áp dụng định lý py ta go ta có cho
các tam giác vuông MHI; KH ;
O MHK,OHI ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
MI MH HI ;KO  KH HO ; MK MH HK ;O I KH HO suy ra 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
MI KO MK IO KO KM IO MI IO IA OA R ( vì IM = IA) Vậy : 2 2 2
KO KM R
b) Nối KO cắt đường tròn tại Q, P.Ta có KM = KC Suyra 2 2 2
KO KM R  2 2 2
KO KC R  2 2 2
KC KO OP  (KO OP)(KO OP)  KQ.KP Ta lại có KQ.KP = KD.KA  2    KC K .
D KA  CKD ∽ AKD( .
c g,c)  DCK KAC DBM
Vậy tứ giác MDCB nội tiếp.
c) Gọi L là trung điểm của KD ta có   
AEM MAK EMK vì MKD ∽ AKM ( . c g.c)  AE//KM
Mặt khác ta có KF.KE K .
D KA KF.KN K .
L KA ANFL nội tiếp Suy ra    
LAF LNF MEK FMK (vì 2 2
KF.KE K .
D KA KC KM ) hay  
KAF KMF tugiacMKFA nội tiếp   
AFN AMK AIN I, ,
A N.F cùng thuộc một đường tròn Câu 5. (1.0 điểm) A F G E H K B D C
Ta thấy có 2 số la 9 và 8 trong dãy 1,2,3,4,..,9 tổng 2 số với 1 bằng 18 ta thấy tại điểm
A ( tương tự B,C) không thể điền số 1 vì nếu trái lại thì B,F phải điền cặp 8,9 ;tại C,E điền cặp 8,9
Điều này vô lí .Tương tự tại D,E,F cũng không thể điền số 1 vậy số 1 được điền tại H, G,K
Xét trường hợp số 1 được điền tại G ( tương tự tại H,K) khi đó E điền số 8 ,F điền số 9
( hoặc ngược lại).Giả sử tại A điền a;C điền c, D điền d, K điền k ,tại H điền k+1,
tại B điền c +1. khi đó a,d;c; c+1,k,k+1 phân biệt thuộc 2,3,4,5,6,  7 Khi đó a c  9 
d k  9  d 3;5; 
7 thu d  7(thoa man)
d  2c 17 
Vậy a=4;c=5;k=2 có 3.2=6 (cách)