Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm 2018-2019 môn toán chuyên tin Sở GD Quảng Nam (có đáp án và lời giải chi tiết)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN QUẢNG NAM NĂM HỌC 2018-2019 ĐỀ
Môn thi : TOÁN (Chuyên Tin) CHÍNH THỨC
Thời gian : 150 phút (không kể thời gian giao đề)
(Đề có 1 trang) Ngày thi : 09/6/2018
Câu 1 (1,5 điểm). x Cho biểu thức 4 A  
, với x  0 và x  4. Rút gọn biểu thức A và tìm x để x  2 x x  4 2 A  . 5
Câu 2 (1,0 điểm).
Tìm hai số nguyên tố p và q, biết rằng p  q và p  4q đều là các số chính phương.
Câu 3 (2,0 điểm). a) Giải phương trình 2
x  3x  2  (x 1) 4  x. 2 2
x  x  y  y  0
b) Giải hệ phương trình  . 2 2
2x  y  x  y 3  0
Câu 4 (1,0 điểm).
Cho đường thẳng (d) : y  2x  m ( m là tham số) và parabol 2
(P) : y  x . Tìm m để (d) cắt ( )
P tại hai điểm phân biệt có hoành độ   1 x , 2 x sao cho 2 2 1 x 2 x 10.
Câu 5 (3,5 điểm).
Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O) , D là điểm chính giữa trên
cung nhỏ BC của đường tròn (O) , H là chân đường cao vẽ từ A của tam giác ABC. Hai điểm
K, L lần lượt là hình chiếu vuông góc của H lên AB và AC.
a) Chứng minh AL.CB = AB.KL .
b) Lấy điểm E trên đoạn thẳng AD sao cho DB = DE. Chứng minh E là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
c) Đường thẳng KL cắt đường tròn (O) tại hai điểm M, N (K nằm giữa M, L). Chứng minh AM = AN = AH.
Câu 6 (1,0 điểm).
Cho hai số thực dương a và b thỏa mãn a  b 
ab . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu ab
thức A  a  b  a  . b
--------------- HẾT ---------------
Họ và tên thí sinh: .................................................................. Số báo danh: ........................... Trang 1
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN QUẢNG NAM NĂM HỌC 2018-2019 HDC CHÍNH THỨC
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN (Chuyên Tin)
(Bản hướng dẫn này gồm 05 trang) Câu Nội dung Điểm Cho biểu thức x 4 A  
, với x  0 và x  4 . Rút gọn biểu thức A và tìm x để x  2 x x  4 1,5 2 A  . 5 x 4 x 4 A    
(mỗi ý được 0,25đ) 0,5 Câu 1 x  2 x x  4 x ( x  2)
( x  2)( x  2) (1,5) 1 4 x  2  4 1    
(mỗi ý được 0,25đ) 0,5 x  2
( x  2)( x  2)
( x  2)( x  2) x  2 2 1 2 1 A     x  0,25 5 x  2 5 2 1  x  . 0,25 4 Câu Nội dung Điểm
Tìm 2 số nguyên tố p và q, biết rằng p  q và p  4q đều là các số chính phương. 1,0 2
 p  q  a  Theo đề ta có 2
 p  4q  b , suy ra 2 2
b  a  3q  b  ab  a  3q 0,25  * ; a b  N 
Từ q là số nguyên tố và a  b  2 nên ta có các trường hợp sau: b  a  1 + TH 1: 
suy ra b  a 1 và 2a 1  3q , suy ra q lẻ.
b  a  3q 0,25
Ta viết q  2k 1 ( * k  N )
Câu 2 Khi đó       2 2
p  a – q  9k  4k  k 9k  4 (1,0) 2a 3q 1 6k 2 hay a 3k 1 và  
Do p nguyên tố nên k 1 và p  13, q  3 . b   a  3 + TH 2: 
, suy ra b  a  3 và q  2a  3 b   a  q 0,25 Lại có 2 2
p  a  q  a  2a – 3  a  
1 a – 3. Do p nguyên tố nên a  4 và p  5,q 11 . b   a  q + TH 3: 
và b  a 1. b   a  3 0,25
Suy ra b  2 và a 1 khi đó q  1 không phải số nguyên tố.
Kết luận: (p;q) = (5;11), (13;3).
Trình bày cách khác: Trang 2 2
 p  q  a  Theo đề ta có 2
 p  4q  b .  (0,25) * ; a b  N  Suy ra 2 2
b  a  3q  b  ab  a  3q .
Vì p, q là các số nguyên tố nên a  2, b  4 . Do đó ta có các trường hợp sau: b  a  1 + TH 1: 
. Khi đó b  a 1 và 2a 1  3q . Suy ra q lẻ.
b  a  3q (0,25)
Ta viết q  2k 1 ( * k  N )
Khi đó 2a  3q 1  6k  2 hay a  3k 1 và 2 2
p  a – q  9k  4k  k 9k  4
Do p nguyên tố nên k 1. Suy ra p  13, q  3 . b   a  3 + TH 2: 
. Khi đó b  a  3 và q  2a  3 b   a  q (0,25) Lại có 2 2
p  a  q  a  2a – 3  a   1 a – 3.
Do p nguyên tố nên a  4 . Suy ra p  5, q  11 .
Vậy p  13, q  3 hoặc p  5, q  11. (0,25) Câu Nội dung Điểm a) Giải phương trình 2
x  3x  2  (x 1) 4  x. 1,0
Điều kiện: x  4 . 2 0,25
x  3x  2  (x 1) 4  x  (x 1)  x  2  4  x   0 x 1   0,25
x  2  4  x  0 x  2 
x  2  4  x  0  
 x  3 (thỏa điều kiện 2 ≤ x ≤ 4). 0,25 2
4  x  (x  2)
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: 0,25
x  1, x  3. Câu 3 2 2
x  x  y  y  0
(2,0) b) Giải hệ phương trình  . 1,0 2 2
2x  y  x  y  3  0 2 2
x  x  y  y  0  (x  y)(x  y 1)  0  x  y hoặc x  y 1  0 0,25
+ Với x  y thay vào pt thứ hai ta được: 2
x  2x  3  0  x  1 hoặc x  3  .
Suy ra được: (x; y)  (1;1) hoặc (x; y)  ( 3  ; 3  ) 0,5
+ Với x  y 1  0  y  1 x thay vào pt thứ hai ta được: 2
x  2x  3  0  x  1 hoặc x  3  . 0,25
Suy ra được: (x; y)  (1;0) hoặc (x; y)  ( 3  ;4)
Vậy hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm: (1;1),( 3  ; 3  ),(1;0),( 3  ;4). * Lưu ý:
Học sinh giải đúng một trong 2 trường hợp: với x  y , với x  y 1  0 cho 0,5đ Trang 3 Câu Nội dung Điểm
Cho đường thẳng (d) : y  2x  m ( m là tham số) và parabol 2
(P) : y  x . Tìm m để (d) 1,0 cắt ( )
P tại hai điểm phân biệt có hoành độ   1 x , 2 x sao cho 2 2 1 x 2 x 10.
Phương trình hoành độ giao điểm của (d ) và (P) : 2
x  2x  m  0 (1) 0,25 +  ' 1 m 0,25
Câu 4 + (d ) cắt (P) tại hai điểm phân biệt khi  '  0 hay m  1. 0,25 (1,0) + 1 x , 2
x là hai hoành độ của hai giao điểm (d ) và (P) nên 1 x , 2
x là 2 nghiệm của pt (1). x  x  2 Theo định lý Viet: 1 2 
  (thí sinh không viết định lý này mà thể hiện ở dòng dưới  1 x . 2 x m 0,25
đúng cũng được). 2 2 2             1 x 2 x 10 ( 1 x 2 x ) 2 1 x 2 x 10 4 2m 10 m 3 (thỏa m  1).
Vậy m  3 là giá trị cần tìm.
Lưu ý : Nếu thí sinh không lập ∆’ riêng mà ghi chung ở phần lập luận 2 nghiệm phân
biệt thì vẫn được 0,5đ. Câu Nội dung Điểm
Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O) , D là điểm chính giữa trên
cung nhỏ BC của đường tròn (O) , H là chân đường cao vẽ từ A của tam giác ABC. Hai
điểm K, L lần lượt là hình chiếu vuông góc của H lên AB và AC. A O L N E 0,5 K M __ B H C / Câu 5 (3,5) D
Hình vẽ phục câu a: 0,25 đ
Hình vẽ phục cả hai câu b, c: 0,25 đ a) Chứng minh AL.CB = AB.KL 1,0
- Xét hai tam giác AKL và ACB, có: 0,25 + A chung ; + 2 AK AL AK.AB = AH = AL.AC  = . 0,25 AC AB
Suy ra hai tam giác AKL và ACB đồng dạng. 0,25 AL KL Suy ra =  AL.CB = AB.KL . 0,25 AB CB
Lưu ý: HS chứng minh được ∆AKL ~ ∆ACB theo cách khác vẫn được 0,75đ.
b) Lấy điểm E trên đoạn thẳng AD sao cho DB = DE. Chứng minh E là tâm đường tròn 1,0 nội tiếp tam giác ABC. Trang 4
+ AE là đường phân giác trong của góc A của tam giác ABC (*). 0,25
+ Tam giác DBE cân tại D nên: BED = EBD (1).
BED = BAD + ABE = BCD + ABE = DBC + ABE (2); EBD = DBC + EBC (3) 0,5
Từ (1), (2) và (3) suy ra ABE = EBC hay BE là phân giác trong của góc B của tam giác ABC (**). 0,25
Từ (*) và (**) suy ra E là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC.
c) Đường thẳng KL cắt đường tròn (O) tại hai điểm M, N (K nằm giữa M, L). Chứng minh 1,0 AM = AN = AH.
+ Hai tam giác AKL và ACB đồng dạng. 1 1 0,25 Suy ALK = ABC  sdAM+ sdNC = sdAC 2 2 1    1 sdAM + sd NC =
sdAN+ sdNCsdAM = sdANAM = AN (4). 0,25 2 2
+ Chứng minh được hai tam giác ALN và ANC đồng dạng. 0,25 AL AN Suy ra 2 =  AN = AL.AC . Mà 2 AL.AC = AH  AN = AH (5). AN AC 0,25
Từ (5) và (6) suy ra AM = AN = AH. Câu Nội dung Điểm
Cho hai số thực dương a và b thỏa mãn a  b 
ab . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu ab 1,0
thức A  a  b  . a  b a,b  0 a,b  0   Ta có:    1 1
 a  b  ab   1  a b 0,25 x, y  0 Đặ 1 1 1 1 1 t  x,
 y ; khi đó ta có  và A    . a b x  y  1 2 2 2 2 x y x  y Câu 6 2 2 2 2 2 2 x  y 1 3(x  y ) x  y 1 2 2  (1,0) 3.2xy x y 1 A        2 . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y x  y 4x y 4x y x  y 2 2 2 2 2 2 4x y 4x y x  y 0,25 3 1 5  A    . 2xy xy 2xy 2 2 2  x  y   x  y   1  1
x  y  2 xy 
 xy  2xy  2  2         2   2   2  2 x  y 1 0,5
Suy ra A 10. Dấu bằng xảy ra khi 
 x  y  hay a  b  4 . x  y  1 2
Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng 10 khi a  b  4 . Cách khác: Câu Nội dung Điểm
Cho hai số thực dương a và b thỏa mãn a  b 
ab . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu Câu 6 ab 1,0
thức A  a  b  . (1,0) a  b Ta có: 2
a b  a  b  ab  ab  4. (0,25) Trang 5  a  b
Dấu đẳng thức xảy ra  
 a  b  4 .  ab  4 ab 3a  b a  b ab 3 ab 5 ab
A  a  b       ab   10 . a  b 4 4 a  b 2 2 (0,5) Suy ra: A 10. a  b  4 
Đẳng thức xảy ra khi a  b
ab  a  b  4 .   (0,25)  4 a  b
Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng 10 khi a  b  4 .
--------------- HẾT --------------- * Lưu ý:
Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án nhưng đúng thì vẫn cho đủ số điểm
từng phần như hướng dẫn quy định. Trang 6