SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2023-2024 Môn thi: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC
Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1. (2,0 điểm)
1. Thực hiện phép tính 3 49 - 121 . 1
2. Vẽ đồ thị (P )của hàm số 2 y = x . 2
3. Cho hai đường thẳng (d): y = 2x + 1 và (d '): y = ax + b (a ¹ )
0 . Tìm a, b biết (d ')
song song với (d) và đi qua điểm A (2; ) 3 . Bài 2. (2,0 điểm)
1. Giải phương trình và hệ phương trình sau: ìï 2x - y = 3 4 2 ï
a) x - 3x - 4 = 0 ) b í ï 3x + 2y = 1 ïî
2. Cho phương trình 2 x - (m - ) 2 2
1 x + m - 4 = 0 , với m là tham số.
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
b) Khi phương trình có hai nghiệm x , x , tìm tất cả các giá trị của m để biểu thức 1 2 2 2 2
P = x + x + x x + m đạt giá trị nhỏ nhất. 1 2 1 2 Bài 3. (1,5 điểm)
Hai đội công nhân cùng thi công một đoạn đường nông thôn và dự định hoàn thành
công việc đó trong 16 ngày. Khi làm được 12 ngày thì đội I được điều động đi làm việc ở nơi
khác. Những ngày sau đó, đội II làm việc với năng suất gấp 1,5 lần năng suất ban đầu nên đã
hoàn thành công việc đúng thời gian dự định. Hỏi theo năng suất ban đầu, nếu mỗi đội làm
một mình thì phải bao nhiêu ngày mới hoàn thành công việc trên? Bài 4. (3,5 điểm)
1. Cho tam giác A BC vuông tại A , đường cao A H . Biết BH = 4 cm , HC = 5 cm (như
hình vẽ). Tính độ dài A B và A H Trang 1
2. Cho tam giác A BC có ba góc nhọn (A B < A C ) nội tiếp đường tròn (O;R ) . Hai đường
cao A E và BF cắt nhau tại H .
a) Chứng minh tứ giác CEHF nội tiếp đường tròn . Xác định tâm của đường tròn đó.
b) Kẻ đường kính A D của đường tròn (O ) . Chứng minh tứ giác BHCD là hình bình hành.
Biết BC = R 3 , tính A H theo R .
c) Gọi N là giao điểm của đường thẳng CH và A B , K là giao điểm của hai đường thẳng
B C và FN . Chứng minh BK .CE = BE .CK . Bài 5. (1,0 điểm) 1 1 1 Giải phương trình + = . 2 2 2 3x x - 12x + 2024 x - 3x + 506 Đáp án Bài 1. 1. Ta có 3 49 - 121 = 3.7 - 11 = 21 - 11 = 10 1 2. Vẽ đồ thị 2 y = x . 2 Bảng giá trị x - 2 - 1 0 1 2 1 1 1 2 y = x 2 0 2 2 2 2 æ 1ö æ ç ÷ 1ö Đồ ç ÷
thị hàm số là parabol đi qua 5 điểm (- 2;2) - ç 1; ÷ ç ÷ (0;0) 1 ç ; ÷ ç ÷ ç ÷ (2;2) è 2ø çè 2÷ø Đồ thị Trang 2
3. Cho (d): y = 2x + 1 , (d '): y = ax + b (a ¹ ) 0
Vì (d)/ / (d ') nên (d ') có dạng y = 2x + b ,b ¹ 1
Vì (d ') đi qua A (2; )
3 nên thế x = 2, y = 3 vào hàm số (d ') ta suy ra b = - 1
Vậy a = 2,b = - 1 Bài 2.
1. Giải phương trình 4 2
a) x - 3x - 4 = 0 Đặt 2
t = x ,t ³ 0
Khi đó phương trình trở thành 2 t - 3t - 4 = 0 ìï t = 4 x é = 2 ï ê Û í Þ ê ï t = - 1 ï (l) x = - 2 ê ïî ë Vậy S = {- 2; } 2 ìï 2x - y = 3 ìï 4x - 2y = 6 ìï 7x = 7 ìï x = 1 ï ï ï ï ) b í Û í Û í Û í ï 3x + 2y = 1 ï 3x + 2y = 1 ï 3x + 2y = 1 ï y = - 1 ïî ïî ïî ïî
Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y) = (1;- ) 1
2. Cho phương trình 2 x - (m - ) 2 2
1 x + m - 4 = 0 , với m là tham số.
a) Xét D ' = - 2m + 5 5
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì D ' > 0 hay- 2m + 5 > 0 Û m < 2 5
b) D ' = - 2m + 5 ³ 0 Þ m £ 2
ìï x + x = 2 m - 1 ï 1 2 ( )
Theo hệ thức Viet ta có í 2 ï x x = m - 4 ï 1 2 ïî Theo đề ta có Trang 3 2 2 2 2 2
P = x + x + x x + m = (x + x ) 2 - x x + m = 2 é ê (m - )ù 2 2 1 - m + 4 + m 1 2 1 2 1 2 1 2 ë úû 2 é (m ) 5 2 1 ù = - + 4 ³ 4, " m £ êë úû 2
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi m = 1 nhận
Vậy GTNN của P là 4 khi m = 1 Bài 3.
Gọi x ( ngày) là thời gian đội I làm một mình hoàn thành công việc (x>16)
Gọi y ( ngày) là thời gian đội II làm một mình hoàn thành công việc (y>16) 1 1
Trong 1 ngày, đội I hoàn thành công việc, Đội II hoàn thành công việc x y
Cả hai đội làm chung trong 16 ngày thì hoàn thành công việc 1 1 1
Theo đề ta có phương trình + = ( ) 1 x y 16 12 12
Trong 12 ngày đầu, đội I làm được
công việc, đội II làm được ( công việc) x y 3 1 6
Trong thời gian 16-12=4 ngày còn lại, mỗi ngày đội II hoàn thành 4. . = (công việc). 2 y y 12 12 6
Theo đề ta có phương trình + + = 1 (2) x y y
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình ìï 1 1 1 ïï + = ì ï ï x = 48 ï x y 16 ï í Û í (TMDK) ï 12 12 6 ï y = 24 ïï + + = 1 ïî ï x y y ïî
Vậy năng suất ban đầu, đội I hoàn thành công việc trong 48 ngày, đội II hoàn thành công việc trong 24 ngày. Bài 4.
1. BC = BH + HC = 9 cm 2
A B = BH .BC = 4.9 = 36 Þ A B = 6 cm 2
A H = BH .CH = 20 A H = 20 = 2 5 cm Trang 4 2. · ·
a) Chứng minh được 0 0 0
HEC + HFC = 90 + 90 = 180
Suy ra tứ giác CEHF nội tiếp đường tròn đường kính HC
Tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác CEHF là trung điểm I của đoạn HC
b) Ta có BH // DC (cùng vuông góc với AC )
CH // DB (cùng vuông góc với AB )
Suy ra tứ giác BHCD là hình bình hành.
Mà M là trung điểm của BC nên M là trung điểm của DH.
Xét tam giác AHD có OM là đường trung bình nên AH=2OM 2 3R R
Tam giác OMC vuông, tính được 2 OM = R - =
. Vậy AH = R 4 2 ·
c) Chứng minh được NB là phân giác góc K NE ·
Suy ra NC là phân giác ngoài của góc K NE BK NK CK
Áp dụng tính chất phân giác ta có = = BE NE CE
Suy ra BK .CE = BE .CK Bài 5. 1 1 1 + = ĐKXĐ: x ¹ 0 2 2 2 3x x - 12x + 2024 x - 3x + 506 2 2
x - 12x + 2024 + 3x 1 Û = 2 3x ( 2 x - 12x + 202 ) 2 4 x - 3x + 506 Trang 5 Đặt 2 2
a = 3x ,b = x - 12x + 2024( ,
a b ¹ 0,a ¹ - b) a + b Suy ra a + b = ( 2 x - x + ) 2 4 3
506 Þ x - 3x + 506 = 4 a + b 4 Do đó pt trở thành = ab a + b
Û (a + b)2 = 4ab Û (a - b)2 = 0 Û a = b 2 2 2
Û 3x = x - 12x + 2024 Û x + 6x - 1012 = 0 éx = - 3 + 1021 ê Û ê (tmdk ) x ê = - 3 - 1021 ë
Vậy S = {- 3 ± 1021} Trang 6