SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 PHÚ THỌ
NĂM HỌC: 2023 – 2024 Môn: TOÁN
Khoá thi ngày: 05/06/2023
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
I. Trắc nghiệm (3 điểm) Câu 1:
Cho x  6 , giá trị của x bằng A. 3. B. 12. C. 36. D. 6. Câu 2:
Hàm số nào dưới đây là hàm số bậc nhất đồng biến trên ? 1 A. y  2  x 1.
B. y  5x  2 . C. y   x  2 . D. 2 y  x . 3 x  y  7 Câu 3: Hệ phương trình 
có nghiệm (x; y) là
2x  y  11 A. (6;1) . B. (6; 1) . C. (1; 6) . D. (6; 1) . Câu 4:
Điểm M thuộc đồ thị hàm số 2
y  3x và có hoành độ bằng 2. Tung độ của điềm M bằng 4 2 A. 12. B. 6. C. . D. . 3 3 Câu 5: Cho phương trình 2
x  2x  5  0 có hai nghiệm phân biệt x , x . Giá trị của x  x bằng 1 2 1 2 A. 5. B. 2. C. -2. D. -5. 3 Câu 6:
Cho tam giác ABC vuông tại A có BC 10 và sin ABC 
. Độ dài cạnh AC bằng 5 50 25 A. 8. B. . C. . D. 6. 3 2 Câu 7:
Giá trị của tham số m để đồ thị của các hàm số y  2x  6 và y  3x  m 1 cắt nhau tại một
điềm trên trục tung bằng A. -10. B. -5. C. 5. D. 1. Câu 8:
Có bao nhiêu giá trị của tham số m để phương trình 2
x  2mx  4  0 có nghiệm kép? A. 1. B. 2. C. 3. D. 0. Câu 9:
Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH , biết BH 16 và HC  9. Độ dài cạnh AB bằng A. 16. B. 25. C. 20. D. 12.
Câu 10: Từ một điểm M nằm ngoài đường tròn ( ;
O R) và thỏa mãn MO  2R , kẻ hai tiếp tuyến M ,
A MB với đường tròn ( ,
A B là hai tiếp điềm). Số đo góc AMB bằng A. 30 . B. 45. C. 75 . D. 60 .
Câu 11: Một tổ công nhân theo kế hoạch phải sản xuất 140 sản phẩm trong thời gian nhất định, mỗi
ngày sàn xuất số sản phẩm như nhau. Thực tế mỗi ngày tổ công nhân làm thêm được 8 sản
phẩm so với kế hoạch nên hoàn thành kế hoạch sớm hơn 2 ngày. Số sản phầm phải sản xuất
mỗi ngày theo kế hoạch của tổ công nhân là A. 20. B. 14. C. 28. D. 10. Trang 1
Câu 12: Cho hai đường tròn ( ; O 4) và O ;3
  cắt nhau tại hai điểm ,
A B . Gọi AC, AD lần lượt là các
đường kính của (O) và O sao cho AC, AD vuông góc với nhau như hình vẽ. Độ dài BC bằng 36 16 32 A. . B. . C. 6. D. . 5 5 5
II. Tự luận (7 điểm) Câu 1. (1,5 điểm) 5 a  4  1 1  a  a
Cho hai biểu thức A  và B     
, với a  0, a  1, a  4 . a 1  a 1 a  a  2
a) Tính giá trị của biểu thức A khi a 16 .
b) Rút gọn biểu thức B .
c) Tìm các giá trị nguyên của a để A B  0 . Câu 2. (2 điểm) a) Cho parabol 2
(P) : y  ax . Tìm giá trị của a để (P) đi qua điểm M (1; 2) . Với a tìm được,
tìm tọa độ các giao điểm của (P) và đường thẳng (d ) : y  3x 1 . 3
 x  y  5m 15
b) Cho hệ phương trình 
có nghiệm (x; y) . Tìm giá trị của tham số m để
x  y  3m  9
biểu thức Q  xy  2x 1 đạt giá trị nhỏ nhất. Câu 3. (3 điểm) Cho đường tròn ( ;
O R) có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Lấy điểm M trên
cung nhỏ AC ( M khác A và C ). Gọi P, Q lần lượt là giao điểm của AB với MC và MD .
a) Chứng minh rằng tứ giác OMPD nội tiếp.
b) Gọi I , J lần lượt là giao điềm của MB với CA và CD , Chúng minh rằng 2
BJ  BM  2R .
c) Chứng minh rằng tam giác AQI vuông cân.
d) Xác định vị trí điểm M để tam giác MQJ có diện tích lớn nhất. Câu 4. (0,5 điểm) 2  3  Giải phương trình: 2 3 2
8x 13x 11   1 3x  2   . x  x 
-------------------------------@Hết@----------------------------------- HƯỚNG DẪN GIẢI Trang 2
I. Trắc nghiệm (3 điểm) Câu 1:
Cho x  6 , giá trị của x bằng A. 3. B. 12. C. 36. D. 6. Lời giải
Ta có: x  6  x  36 . Câu 2:
Hàm số nào dưới đây là hàm số bậc nhất đồng biến trên ? 1 A. y  2  x 1.
B. y  5x  2 . C. y   x  2 . D. 2 y  x . 3 Lời giải
Dễ thấy hàm số y  5x  2 là hàm số bậc nhất đồng biến trên . x  y  7 Câu 3: Hệ phương trình 
có nghiệm (x; y) là
2x  y  11 A. (6;1) . B. (6; 1) . C. (1; 6) . D. (6; 1) . Lời giải x  y  7 3  x  18 x  6 Ta có:      .
2x  y  11 x  y  7 y  1 Câu 4:
Điểm M thuộc đồ thị hàm số 2
y  3x và có hoành độ bằng 2. Tung độ của điềm M bằng 4 2 A. 12. B. 6. C. . D. . 3 3 Lời giải
Thay x  2 vào hàm số 2
y  3x ta được 2 y  3.2  2 1 . Câu 5: Cho phương trình 2
x  2x  5  0 có hai nghiệm phân biệt x , x . Giá trị của x  x bằng 1 2 1 2 A. 5. B. 2. C. -2. D. -5. Lời giải b
Ta có: x  x    2 . 1 2 a 3 Câu 6:
Cho tam giác ABC vuông tại A có BC 10 và sin ABC 
. Độ dài cạnh AC bằng 5 50 25 A. 8. B. . C. . D. 6. 3 2 Lời giải AC 3 3 3 Ta có: sin ABC 
  AC  BC  .10  6 . BC 5 5 5 Câu 7:
Giá trị của tham số m để đồ thị của các hàm số y  2x  6 và y  3x  m 1 cắt nhau tại một
điềm trên trục tung bằng A. -10. B. -5. C. 5. D. 1. Lời giải
Đồ thị của các hàm số y  2x  6 và y  3x  m 1 cắt nhau tại một điềm trên trục tung khi
phương trình: 2x  6  3x  m1 có nghiệm x  0 hay 2.0 6  3.0  m1 m  5. Câu 8:
Có bao nhiêu giá trị của tham số m để phương trình 2
x  2mx  4  0 có nghiệm kép? Trang 3 A. 1. B. 2. C. 3. D. 0. Lời giải Phương trình 2
x  2mx  4  0 có nghiệm kép khi 2
 '  0  m  4  0  m  2 
Vậy có 2 giá trị của tham số m thỏa mãn điều kiện đề bài. Câu 9:
Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH , biết BH 16 và HC  9. Độ dài cạnh AB bằng A. 16. B. 25. C. 20. D. 12. Lời giải Ta có: 2
AB  BH.BC  BH. BH  CH   16.16  9  400  AB  20 .
Câu 10: Từ một điểm M nằm ngoài đường tròn ( ;
O R) và thỏa mãn MO  2R , kẻ hai tiếp tuyến M ,
A MB với đường tròn ( ,
A B là hai tiếp điềm). Số đo góc AMB bằng A. 30 . B. 45. C. 75 . D. 60 . Lời giải OA 1 Ta có: 0 0 Sin AMO 
  AMO  30  AMB  2AMO  60 . OM 2
Câu 11: Một tổ công nhân theo kế hoạch phải sản xuất 140 sản phẩm trong thời gian nhất định, mỗi
ngày sàn xuất số sản phẩm như nhau. Thực tế mỗi ngày tổ công nhân làm thêm được 8 sản
phẩm so với kế hoạch nên hoàn thành kế hoạch sớm hơn 2 ngày. Số sản phầm phải sản xuất
mỗi ngày theo kế hoạch của tổ công nhân là A. 20. B. 14. C. 28. D. 10. Lời giải
Gọi số sản phầm phải sản xuất mỗi ngày theo kế hoạch của tổ công nhân là x sp . 140
Số ngày theo dự kiến là: ( ngày). x 140
Số ngày trên thực tế là: ( ngày). x  8 x  20 140 140 TM  Theo đề bài ta có:   2   . x x  8 x  28   L
Câu 12: Cho hai đường tròn ( ; O 4) và O ;3
  cắt nhau tại hai điểm ,
A B . Gọi AC, AD lần lượt là các
đường kính của (O) và O sao cho AC, AD vuông góc với nhau như hình vẽ. Trang 4 Độ dài BC bằng 36 16 32 A. . B. . C. 6. D. . 5 5 5 Lời giải
Gọi H là trung điểm của AB ta có: AH  OO' và 2 2
OO '  OA  O ' A  5 . 2 OA 16 32 Ta lại có: 2
OA  OH.OO '  OH  
 CB  2OH  . OO ' 5 5
II. Tự luận (7 điểm) Câu 1. (1,5 điểm) 5 a  4  1 1  a  a
Cho hai biểu thức A  và B     
, với a  0, a  1, a  4 . a 1  a 1 a  a  2
a) Tính giá trị của biểu thức A khi a 16 .
b) Rút gọn biểu thức B .
c) Tìm các giá trị nguyên của a để A B  0 . Lời giải
a) Khi a  16 (thỏa mãn điều kiện xác định) thì giá trị biểu thức 5 16  4 5.4  4 24 A     8 16 1 4 1 3
Vậy với a  16 thì A  8.
b) Với a  0; a  1; a  4  a   1 1 a a a  1 1  a  a 1 B   .    . 
 a 1 a  a  2 a 1 a  a  2 a  2
c) Với a  0; a  1; a  4 ta có: 5 a  4 1 . A B  0  .  0   a  
1  a  2  0 (vì 5 a  4  0) a 1 a  2
1 a  2 1 a  4. Vì a nên a 2; 
3 . Vậy a 2;  3 Trang 5 Câu 2. (2 điểm) a) Cho parabol 2
(P) : y  ax . Tìm giá trị của a để (P) đi qua điểm M (1; 2) . Với a tìm được,
tìm tọa độ các giao điểm của (P) và đường thẳng (d ) : y  3x 1 . 3
 x  y  5m 15
b) Cho hệ phương trình 
có nghiệm (x; y) . Tìm giá trị của tham số m để
x  y  3m  9
biểu thức Q  xy  2x 1 đạt giá trị nhỏ nhất. Lời giải a) Vì M  P 2 1; 2
: y  a x nên: 2 .1 a
 2  a  2 Với a   P 2 2
: y  2x . PT hoành độ giao điểm của d , P là x 1 2 2 2x 3x 1 2x 3x 1 0 x  1 2x  1 0             1  x   2 1 1
Với x  1  y  2 ; x   y  2 2  
Vậy tọa độ giao điểm của d  và  P là A  1 1 1; 2 ; B ;   .  2 2 
b) Xét hệ phương trình: 3
 x  y  5m 15
2x  2m  6 x  m  3     
x  y  3m  9
x  y  3m  9
y  2m  6
Xét: Q  xy  x   m   m    m   2 2 1 3 2 6 2
3 1  2m 10m 11 2  5  3 3  5 Q  2 m       . Từ đó suy ra 3 min Q   khi m    2  2 2 2 2 Câu 3. (3 điểm) Cho đường tròn ( ;
O R) có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Lấy điểm M trên
cung nhỏ AC ( M khác A và C ). Gọi P, Q lần lượt là giao điểm của AB với MC và MD .
a) Chứng minh rằng tứ giác OMPD nội tiếp.
b) Gọi I , J lần lượt là giao điềm của MB với CA và CD , Chúng minh rằng 2
BJ  BM  2R .
c) Chứng minh rằng tam giác AQI vuông cân.
d) Xác định vị trí điểm M để tam giác MQJ có diện tích lớn nhất. Lời giải Trang 6
a) Do AB  CD tại O nên POD BOC AOC 90      1 Xét (O) có 0
MCD  90  DM  PC tại M 0  PMD  90
Xét tứ giác OMPD có 0
POD  PMD  90  tứ giác OMPD nội tiếp b) Từ   0 1  BOJ  90 Xét (O) có 0
AMB  90 ( Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Xét OJ B  và B  MA có: BOJ BMA 90  
OBJ  MBA ( góc chung). Do đó BJ BA 2 B
 OJ” B
 MA (g.g)  
 BJ.BM  B . O BA  .2 R R  2R . BO BM
c) Xét (O) có BMD  BAC ( tính chất góc nội tiếp)  IMQ  IAQ
tứ giác AMIQ nội tiếp IQA AMI 180 IQA 90 180 IQA 90          Xét A
 OC có AOC  90 ;OA  OC  R  A
 OC vuông cân tại O 0 OAC 45 IAQ 45      
Xét AQI có IQA  90 ; IAQ  45  AQI vuông cân tại Q
d) Tứ giác AOJM nội tiếp nên MJC  MAQ mà AMQ  CMB ( tính chất góc nội tiếp) Do đó   ”  MJ MA MJC MAQ g.g   
 MJ.MQ  M . A MC MC MQ 1 1
2  MA  MC 2 0 S  .MJ.M . Q sin MQJ  .M . A MC.sin 45  . MQJ 2 2 4 4
Gọi X là điểm chính giữa của cung nhỏ AC  MA MC  XA XC (không đổi )  XA XC2 2 2 R ( 2 1) S  .  ( không đổi) MQJ 4 4 2
Dấu bằng xảy ra M  X M là điểm chính giữa cung nhỏ AC 2 R ( 2 1) Vậy max S 
. Khi M là điểm chính giữa cung nhỏ AC MQJ 2 Câu 4. (0,5 điểm) 2  3  Giải phương trình: 2 3 2
8x 13x 11   1 3x  2   . x  x  Lời giải 2  3  2 3 2
8x 13x 11   1 3x  2  
(ĐKXĐ: x  0 ). PT đã cho x  x   x 2 x  x 
  x  3 2 3 2 x 
 x  x  x   x   3 2 8 13 11 2 3 3 2 8 13 11 2 3 3x  2 Trang 7   3 2 x 
x  x     x   3 2 8 15 6 1
3 2x 1 3x  2   0
x 32x  3 1   2 3x  2  2      x   1 8x   1   0 2x   1  2x   1
3x  2  3x  22 2 3 2 2 3        2 x 
 x 1 8x    3 1 1  0     2x   1  2x   1
3x  2  3x  22 2 3 2 2 3     
x  3  2x 1  2x 1 3x  2  3x  2 2         2 2 3 2 2 3    x   1 8x   1  0     2x   1  2x   1
3x  2  3x  22 2 3 2 2 3    2 2 1 1  1 41     3 2 3x  2  2x   1  12  x                 x   2 4 3 3 2 1 8x   1 .  0 2x   1  2x   1
3x  2  3x  22 2 3 2 2 3 2 2 1 1  1 41     3 2 3x  2  2x   1  1  2 x         2  4   3  3   Dễ thấy  0, x   0 2x   1  2x   1
3x  2  3x  22 2 3 2 2 3 2  1   1 
Từ đó suy ra  x   1 8x   1  0  x  1
 ;  . Vậy tập nghiệm S  1  ;    8   8 
---------------------------@Hết@-------------------------------- Trang 8