SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN NINH THUẬN
NĂM HỌC 2023 – 2024
Môn thi chuyên: Toán ĐỀ CHÍNH THỨC
Thời gian làm bài: 120 phút
(không kể thời gian phát đề) Đề:
(Đề thi này gồm 01 trang) ìï x + 2 1 ïï + = 1 ïï x + 1 y - 1
Bài 1. (1,5 điểm) Giải hệ phương trình í ï 3 2y + 3 ïï - = 4 ï x + 1 1 - y ïî
Bài 2. (2,5 điểm) Cho phương trình bậc hai: 2
x - x + m - 2 = 0
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x , x thỏa mãn 2 2
x + x = 3m 1 2 1 2
b) Khi m = 1 , gọi x , x là hai nghiệm của phương trình. Tính giá trị biểu thức 1 2 2023 2023 S = + . 7 7 x + 7 x + 7 1 2
Bài 3. (1,5 điểm) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x;y ) thỏa mãn: 2xy + 2x + x + y = 0 . 1
Bài 4. (3,5 điểm) Cho hình thang A BCD , vuông tại A và D , A D = CD = A B . Gọi 2
O ,O lần lượt là trung điểm của AB và CD và E , F là trung điểm các đoạn A O và 1 2 1 · ·
DO . Trên đoạn thẳng EF lấy các điểm M , N sao cho A MB = CND = 90o . 2
a) Chứng minh tứ giác ABCM nội tiếp.
b) Gọi S là giao điểm của A D và B C . Chứng minh các đường thẳng BC , EF và
O O đồng quy tại S . 1 2
c) Chứng minh bốn điểm , A ,
D M, N cùng thuộc một đường tròn.
Bài 6. (1,0 điểm) Cho hai số thực dương a,b thỏa mãn a.b = 1. Chứng minh rằng: ( + a)2 ( + b)4 2024 1 1 > . 27
---------------- HẾT --------------- Trang 1 CÂU HƯỚNG DẪN GIẢI ĐIỂM ìï x + 2 1 ïï + = 1 ïï x + 1 y - 1 Giải hệ phương trình í ï 1,5 3 2y + 3 ïï - = 4 ï x + 1 1 - y ïî ìï x + 2 1 ìï 1 1 ïï 1 ï + = ï 1 + + = 1 ïï x 1 y 1 ï + - ï x + 1 y - 1 Ta có: í Û í ï 0,50 3 2y + 3 ï 3 5 ïï 4 ï - = ï + 2 + = 4 ï x + 1 1 - y ï x + 1 y - 1 ïî ïî ìï 1 1 ì ï ï 1 ï + = 0 ï ï ï a = ï x + 1 y - 1 ïï x + 1 1. Û í . Đặt . Ta được: ï í 0,25 3 5 ï 1 ïï + = 2 ï b = ï ï x + 1 y - 1 ïî ï y - 1 ïî ìï a + b = 0 ìï - 2a = 2 ìïa = - 1 ï ï ï Û í Û í Û í . Khi đó ï 0,50 3a + 5b = 2 ïb = - a ïb = 1 ïî ïî ïî ìï 1 ïï = - 1 ìï ï x + 1 = - 1 ìï x = - 2 ï x + 1 ï ï í Û í Û í ï 1 ï y - 1 = 1 ï y = 2 ï = 1 ïî ïî ïï y - 1 ïî 0,25 ìï x = - 2 ï
Vậy hệ phương trình có nghiệm í ï y = 2 ïî
Cho phương trình bậc hai: 2
x - x + m - 2 = 0
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x , x thỏa mãn 1 2 0,5 2 2
x + x = 3m 1 2
+ Điều kiện để phương trình có hai nghiệm là: D ³ Û - ( 0,25 m - ) 9 0 1 4 2 ³ 0 Û m £ 2. 4 ìï x + x = 1 ï
+ Áp dụng định lý Vi-et ta có 1 2 í
ï x .x = m - 2 ï 1 2 î 0,25
+ Khi đó x + x = 3m Û (x + x )2 2 2 - 2x x = 3m 1 2 1 2 1 2
Û 1 - 2(m - 2) = 3m Û 5m = 5 Û m = 1 (thỏa mãn) Trang 2
b) Khi m = 1 , gọi x , x là hai nghiệm của phương trình. Tính giá trị 1 2 2023 2023 1,0 biểu thức S = + 7 7 x + 7 x + 7 1 2
+ Với m = 1 phương trình trở thành 2 x - x - 1 = 0 ìï x + x = 1 0,25 + Theo đị ï nh lý Vi-et ta có 1 2 í ï x x = - 1 ï 1 2 î 2 + 2 2
x + x = (x + x ) 2
- 2x x = 1 - 2. - 1 = 3 . 1 2 1 2 1 2 ( ) 3 + 3 3
x + x = (x + x ) - 3x x (x + x ) 3 = 1 - 3. - 1 .1 = 4 . 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) 0,25 + 5 5 x + x = ( 3 3 x + x )( 2 2 x + x ) 2 2 - x x x + x = 11 1 2 1 2 1 2 1 2 ( 1 2 ) + 7 7 x + x = ( 5 5 x + x )( 2 2 x + x ) 2 2 - x x ( 3 3 x + x = 29 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ) 2023( 7 7 x + x + 14.2023 2023 2023 1 2 ) Khi đó S = + = 0,25 7 7 7 7 x + 7 x + 7 x x + 7 ( 7 7 x + x + 49 1 2 1 2 1 2 ) 2023.29 + 14.2023 86989 = = 0,25 - 1 + 7.29 + 49 251
Tìm tất cả các cặp số nguyên (x;y ) thỏa mãn: 2xy + 2x + x + y = 0 . 1,5
Ta có: 2xy + 6x + y = 0 Û 4xy + 6x + 2y = 0 0,50
Û 2x (2y + 3)+ (2y + 3) = 3 0,25 Û (2x + ) 1 (2y + 3) = 3 0,25
Vì x, y Î Z nên 2x + 1 Î ,
Z 2y + 3 Î Z
Do đó ta có các trường hợp sau: ìï 2x + 1 = 1 ìï x = 0 ï ï TH1: í Û í ï 2y + 3 = 3 ï y = 0 3. ïî ïî ìï 2x + 1 = 3 ìï x = 2 ï ï TH2: í Û í ï 2y + 3 = 1 ï y = - 1 ïî ïî 0,50 ìï 2x + 1 = - 1 ìï x = - 1 ï ï TH3: í Û í ï 2y + 3 = - 3 ï y = - 3 ïî ïî ìï 2x + 1 = - 3 ìï x = - 2 ï ï TH4: í Û í ï 2y + 3 = - 1 ï y = - 2 ïî ïî
Vậy có 4 cặp số nguyên thỏa mãn là: (0; 0), (2;- ) 1 , (- 1;- 3), (- 2;- 2) Trang 3 B H C O1 0,50 E O2 M K F N S D A
a) Chứng minh tứ giác ABCM nội tiếp. 1,0 ·
Ta có A MB = 90o nên M thuộc đường tròn đường kính AB ( ) 1 0,25 1
Dễ thấy tứ giác A BCD là hình thang vuông và CD = DA = A B 2 0,25 4.a)
nên A DCO là hình vuông và B CDO là hình bình hành. 1 1
Þ A C ^ DO và DO || BC nên AC ^ BC 1 1 0,25
Vậy C thuộc đường tròn đường kính AB (2) Từ ( )
1 và (2) suy ra hai điểm M ,C cùng thuộc đường tròn đường kính 0,25
AB . Do đó tứ giác ABCM nội tiếp.
b) Gọi S là giao điểm của A D và B C . Chứng minh các đường thẳng 1,0
BC , EF và O O đồng quy tại S . 1 2
Theo giả thiết ta có B C đi qua S ( ) 1 1 Ta có D Î S ,
A C Î SB và DC || A B ;DC =
A B nên DC là đường 0,25 2
trung bình của DSAB . Suy ra D,C lần lượt là trung điểm S , A SB
Xét DSBE ta có C là trung điểm SB và CF || BE
Þ CO là đường trung bình của D SBO 4.b) 2 1 Þ 0,25
O là trung điểm của SO . 2 1
Vậy O O đi qua S (2) 1 2
Xét D SB O ta có C là trung điểm SB và CO || B O 1 2 1
Þ CF là đường trung bình của DSBE Þ 0,25
F là trung điểm của SE .
Vậy EF đi qua S (3) Từ ( )
1 và (2) suy ra BC , EF và O O đồng quy tại S 0,25 1 2 Trang 4
c) Chứng minh bốn điểm , A ,
D M, N cùng thuộc một đường tròn. 1,0
Gọi K là giao điểm của EF với đường tròn đường kính CD
H là giao điểm của K O với AB 2 1 0,25
Ta có K Î SM , O là trung điểm SO và K O =
O M nên K O là 2 1 2 1 2 2
đường trung bình của DSO M 1 4.c) Þ KO || MO 2 1 · · · 0,25
KO D = KHA = MO A (đồng vị) 2 1 · · · ·
Mà KO D = 2KND và MO A = 2MA D 2 1 0,25 · · Þ · ·
K ND = MA D hay MND = MA D
Vậy tứ giác ADMN nội tiếp hay bốn điểm , A ,
D M, N cùng thuộc một 0,25 đường tròn.
Cho hai số thực dương a,b thỏa mãn a.b = 1. Chứng minh rằng: 1,0 ( + a)2 ( + b)4 1024 1 1 > . 27 2 2 æ ö æ ö 4 ç ÷ ç ÷ ( a a a a a 1 + a )2 = ç + + ÷ ³ ç 3 ÷ 3 1 3 1 ç ÷ ç ÷ = 9. 0,25 çè 2 2÷ ø ç 2 2 ÷ ÷ 16 è ø 5. 4 4 æ ö æ ö 4 ç ÷ ç ÷ ( b 1 + b)4 1 1 1 1 = ç + + ÷ ³ ç 3 ÷ 3 b 3 b ç ÷ ç ÷ = 81. 0,25 2 çè 2 ÷ø ç 2 2 ÷ ÷ 256 è ø 4 4 ( a b
1 + a )2 (1 + b)4 729 3 4 4 729 1024 3 3 ³ 9. .81. = a b = > 0,50 2 4 4 4 16 16 27 Trang 5