Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên năm học 2023-2024 môn toán chuyên Sở GD Ninh Thuận (có đáp án và lời giải chi tiết

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN NINH THUẬN
NĂM HỌC 2023 – 2024
Môn thi chuyên: Toán ĐỀ CHÍNH THỨC
Thời gian làm bài: 120 phút
(không kể thời gian phát đề) Đề:
(Đề thi này gồm 01 trang) ìï x + 2 1 ïï + = 1 ïï x + 1 y - 1
Bài 1. (1,5 điểm) Giải hệ phương trình í ï 3 2y + 3 ïï - = 4 ï x + 1 1 - y ïî
Bài 2. (2,5 điểm) Cho phương trình bậc hai: 2
x - x + m - 2 = 0
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x , x thỏa mãn 2 2
x + x = 3m 1 2 1 2
b) Khi m = 1 , gọi x , x là hai nghiệm của phương trình. Tính giá trị biểu thức 1 2 2023 2023 S = + . 7 7 x + 7 x + 7 1 2
Bài 3. (1,5 điểm) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x;y ) thỏa mãn: 2xy + 2x + x + y = 0 . 1
Bài 4. (3,5 điểm) Cho hình thang A BCD , vuông tại A và D , A D = CD = A B . Gọi 2
O ,O lần lượt là trung điểm của AB và CD và E , F là trung điểm các đoạn A O và 1 2 1 · ·
DO . Trên đoạn thẳng EF lấy các điểm M , N sao cho A MB = CND = 90o . 2
a) Chứng minh tứ giác ABCM nội tiếp.
b) Gọi S là giao điểm của A D và B C . Chứng minh các đường thẳng BC , EF và
O O đồng quy tại S . 1 2
c) Chứng minh bốn điểm , A ,
D M, N cùng thuộc một đường tròn.
Bài 6. (1,0 điểm) Cho hai số thực dương a,b thỏa mãn a.b = 1. Chứng minh rằng: ( + a)2 ( + b)4 2024 1 1 > . 27
---------------- HẾT --------------- Trang 1 CÂU HƯỚNG DẪN GIẢI ĐIỂM ìï x + 2 1 ïï + = 1 ïï x + 1 y - 1 Giải hệ phương trình í ï 1,5 3 2y + 3 ïï - = 4 ï x + 1 1 - y ïî ìï x + 2 1 ìï 1 1 ïï 1 ï + = ï 1 + + = 1 ïï x 1 y 1 ï + - ï x + 1 y - 1 Ta có: í Û í ï 0,50 3 2y + 3 ï 3 5 ïï 4 ï - = ï + 2 + = 4 ï x + 1 1 - y ï x + 1 y - 1 ïî ïî ìï 1 1 ì ï ï 1 ï + = 0 ï ï ï a = ï x + 1 y - 1 ïï x + 1 1. Û í . Đặt . Ta được: ï í 0,25 3 5 ï 1 ïï + = 2 ï b = ï ï x + 1 y - 1 ïî ï y - 1 ïî ìï a + b = 0 ìï - 2a = 2 ìïa = - 1 ï ï ï Û í Û í Û í . Khi đó ï 0,50 3a + 5b = 2 ïb = - a ïb = 1 ïî ïî ïî ìï 1 ïï = - 1 ìï ï x + 1 = - 1 ìï x = - 2 ï x + 1 ï ï í Û í Û í ï 1 ï y - 1 = 1 ï y = 2 ï = 1 ïî ïî ïï y - 1 ïî 0,25 ìï x = - 2 ï
Vậy hệ phương trình có nghiệm í ï y = 2 ïî
Cho phương trình bậc hai: 2
x - x + m - 2 = 0
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x , x thỏa mãn 1 2 0,5 2 2
x + x = 3m 1 2
+ Điều kiện để phương trình có hai nghiệm là: D ³ Û - ( 0,25 m - ) 9 0 1 4 2 ³ 0 Û m £ 2. 4 ìï x + x = 1 ï
+ Áp dụng định lý Vi-et ta có 1 2 í
ï x .x = m - 2 ï 1 2 î 0,25
+ Khi đó x + x = 3m Û (x + x )2 2 2 - 2x x = 3m 1 2 1 2 1 2
Û 1 - 2(m - 2) = 3m Û 5m = 5 Û m = 1 (thỏa mãn) Trang 2
b) Khi m = 1 , gọi x , x là hai nghiệm của phương trình. Tính giá trị 1 2 2023 2023 1,0 biểu thức S = + 7 7 x + 7 x + 7 1 2
+ Với m = 1 phương trình trở thành 2 x - x - 1 = 0 ìï x + x = 1 0,25 + Theo đị ï nh lý Vi-et ta có 1 2 í ï x x = - 1 ï 1 2 î 2 + 2 2
x + x = (x + x ) 2
- 2x x = 1 - 2. - 1 = 3 . 1 2 1 2 1 2 ( ) 3 + 3 3
x + x = (x + x ) - 3x x (x + x ) 3 = 1 - 3. - 1 .1 = 4 . 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) 0,25 + 5 5 x + x = ( 3 3 x + x )( 2 2 x + x ) 2 2 - x x x + x = 11 1 2 1 2 1 2 1 2 ( 1 2 ) + 7 7 x + x = ( 5 5 x + x )( 2 2 x + x ) 2 2 - x x ( 3 3 x + x = 29 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ) 2023( 7 7 x + x + 14.2023 2023 2023 1 2 ) Khi đó S = + = 0,25 7 7 7 7 x + 7 x + 7 x x + 7 ( 7 7 x + x + 49 1 2 1 2 1 2 ) 2023.29 + 14.2023 86989 = = 0,25 - 1 + 7.29 + 49 251
Tìm tất cả các cặp số nguyên (x;y ) thỏa mãn: 2xy + 2x + x + y = 0 . 1,5
Ta có: 2xy + 6x + y = 0 Û 4xy + 6x + 2y = 0 0,50
Û 2x (2y + 3)+ (2y + 3) = 3 0,25 Û (2x + ) 1 (2y + 3) = 3 0,25
Vì x, y Î Z nên 2x + 1 Î ,
Z 2y + 3 Î Z
Do đó ta có các trường hợp sau: ìï 2x + 1 = 1 ìï x = 0 ï ï TH1: í Û í ï 2y + 3 = 3 ï y = 0 3. ïî ïî ìï 2x + 1 = 3 ìï x = 2 ï ï TH2: í Û í ï 2y + 3 = 1 ï y = - 1 ïî ïî 0,50 ìï 2x + 1 = - 1 ìï x = - 1 ï ï TH3: í Û í ï 2y + 3 = - 3 ï y = - 3 ïî ïî ìï 2x + 1 = - 3 ìï x = - 2 ï ï TH4: í Û í ï 2y + 3 = - 1 ï y = - 2 ïî ïî
Vậy có 4 cặp số nguyên thỏa mãn là: (0; 0), (2;- ) 1 , (- 1;- 3), (- 2;- 2) Trang 3 B H C O1 0,50 E O2 M K F N S D A
a) Chứng minh tứ giác ABCM nội tiếp. 1,0 ·
Ta có A MB = 90o nên M thuộc đường tròn đường kính AB ( ) 1 0,25 1
Dễ thấy tứ giác A BCD là hình thang vuông và CD = DA = A B 2 0,25 4.a)
nên A DCO là hình vuông và B CDO là hình bình hành. 1 1
Þ A C ^ DO và DO || BC nên AC ^ BC 1 1 0,25
Vậy C thuộc đường tròn đường kính AB (2) Từ ( )
1 và (2) suy ra hai điểm M ,C cùng thuộc đường tròn đường kính 0,25
AB . Do đó tứ giác ABCM nội tiếp.
b) Gọi S là giao điểm của A D và B C . Chứng minh các đường thẳng 1,0
BC , EF và O O đồng quy tại S . 1 2
Theo giả thiết ta có B C đi qua S ( ) 1 1 Ta có D Î S ,
A C Î SB và DC || A B ;DC =
A B nên DC là đường 0,25 2
trung bình của DSAB . Suy ra D,C lần lượt là trung điểm S , A SB
Xét DSBE ta có C là trung điểm SB và CF || BE
Þ CO là đường trung bình của D SBO 4.b) 2 1 Þ 0,25
O là trung điểm của SO . 2 1
Vậy O O đi qua S (2) 1 2
Xét D SB O ta có C là trung điểm SB và CO || B O 1 2 1
Þ CF là đường trung bình của DSBE Þ 0,25
F là trung điểm của SE .
Vậy EF đi qua S (3) Từ ( )
1 và (2) suy ra BC , EF và O O đồng quy tại S 0,25 1 2 Trang 4
c) Chứng minh bốn điểm , A ,
D M, N cùng thuộc một đường tròn. 1,0
Gọi K là giao điểm của EF với đường tròn đường kính CD
H là giao điểm của K O với AB 2 1 0,25
Ta có K Î SM , O là trung điểm SO và K O =
O M nên K O là 2 1 2 1 2 2
đường trung bình của DSO M 1 4.c) Þ KO || MO 2 1 · · · 0,25
KO D = KHA = MO A (đồng vị) 2 1 · · · ·
Mà KO D = 2KND và MO A = 2MA D 2 1 0,25 · · Þ · ·
K ND = MA D hay MND = MA D
Vậy tứ giác ADMN nội tiếp hay bốn điểm , A ,
D M, N cùng thuộc một 0,25 đường tròn.
Cho hai số thực dương a,b thỏa mãn a.b = 1. Chứng minh rằng: 1,0 ( + a)2 ( + b)4 1024 1 1 > . 27 2 2 æ ö æ ö 4 ç ÷ ç ÷ ( a a a a a 1 + a )2 = ç + + ÷ ³ ç 3 ÷ 3 1 3 1 ç ÷ ç ÷ = 9. 0,25 çè 2 2÷ ø ç 2 2 ÷ ÷ 16 è ø 5. 4 4 æ ö æ ö 4 ç ÷ ç ÷ ( b 1 + b)4 1 1 1 1 = ç + + ÷ ³ ç 3 ÷ 3 b 3 b ç ÷ ç ÷ = 81. 0,25 2 çè 2 ÷ø ç 2 2 ÷ ÷ 256 è ø 4 4 ( a b
1 + a )2 (1 + b)4 729 3 4 4 729 1024 3 3 ³ 9. .81. = a b = > 0,50 2 4 4 4 16 16 27 Trang 5