Đề tuyển sinh lớp 10 chuyên môn Toán năm 2021 – 2022 sở GD&ĐT Ninh Thuận

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NINH THUẬN NĂM HỌC 2021 - 2022 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Khóa ngày: 05/06/2021 Môn thi chuyên: TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian phát đề) ĐỀ BÀI Đề thi gồm có 01 trang 2 2 x
Bài 1 (2,0 điểm): Cho biểu thức A   
. Tìm điều kiện của x để biểu thức A có x  4 x  4 x 16 nghĩa và rút gọn A.
Bài 2 (2,0 điểm): Trên một khúc sông xuôi dòng từ bến A đến bến B dài 80 km, một chiếc thuyền
đi xuôi dòng từ bến A đến bến B rồi sau đó đi ngược dòng đến bến A mất tất cả 9 giờ. Biết rằng,
thời gian chiếc thuyền ngược dòng trên khúc sông này nhiều hơn xuôi dòng 1 giờ. Tính vận tốc của dòng nước.
Bài 3 (2,0 điểm): Cho đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác nhọn ABC. Gọi H là chận đường cao hạ
từ đỉnh A của tam giác ABC. Chứng minh  BAH   OAC .
Bài 4 (2,0 điểm): Tìm tất cả cá số nguyên x, y thỏa mãn y2 + 3y = x4 + x2 + 18. 1
Bài 5 (1,0 điểm): Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn xyz  . Chứng minh rằng: 8 1 1 2   . xy  yz  zx x  y  z 3
Bài 6 (1,0 điểm): Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H và các đường cao AD, BE, CF. Gọi I và K
lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên EF và ED. Hai đường thẳng IK và AD cắt nhau tại M.
Hai đường thẳng FM và DE cắt nhau tại N. Gọi S là điểm đối xứng của B qua D. Chứng minh ba
điểm A, N, S thẳng hàng.
____________________ HẾT ____________________ ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM
(Đáp án này gồm 05 trang) BÀI LỜI GIẢI TÓM TẮT BIỂU ĐIỂM Bài 1 Bài 1: Cho biểu thức 2 2 x 2,0 điểm A    . Tìm điều kiện của x  4 x  4 x 16
x để biểu thức A có nghĩa và rút gọn A
Biểu thức A có nghĩa khi x  0, x  16 0,5 2 2 x A    x  4 x  4 x 16 0,5
2( x  4)  2( x  4)  x   x  4 x  4 2 x  8  2 x  8  x   x  4 x  4 4 x  x 0,5   x  4 x  4 x 4  x   x    0,5 x  4 x  4 x  4 Bài 2
Bài 2 Trên một khúc sông xuôi dòng từ bến A đến bến B dài 80 km, 2,0 điểm
một chiếc thuyền đi xuôi dòng từ bến A đến bến B rồi sau đó đi
ngược dòng đến bến A mất tất cả 9 giờ. Biết rằng, thời gian chiếc
thuyền ngược dòng trên khúc sông này nhiều hơn xuôi dòng 1 giờ.
Tính vận tốc của dòng nước.
Gọi vận tốc của thuyền khi nước yên lặng là x (km/h) 0,5
Gọi vận tốc của dòng nước là y (km/h) (x, y >0) Thời gian xuôi dòng là 80 (h) x  y
Thời gian ngược dòng là 80 (h) x  y
Chiếc thuyền xuôi dòng và ngược dòng trên khúc sông dài 80 km hết 9h nên ta có pt: 80 80   9 x  y x  y
Thời gian chiếc thuyền ngược dòng trên khúc sông này nhiều hơn
xuôi dòng 1 giờ nên ta có pt: 80 80  1 x  y x  y  80 80  1 x  y x  y Từ đó ta có hpt:  80 80  0,5   9 x  y x  y  1 1  x  y 20   1 1    0.5  x  y 16 x  y  20   x  y  16 x  18 0.5    y  2
Vậy vận tốc của dòng nước là 2 km/h Bài 3
Bài 3 Cho đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác nhọn ABC. Gọi H là 2,0 điểm
chận đường cao hạ từ đỉnh A của tam giác ABC. Chứng minh  BAH   OAC 0,5
Kẻ đường kính AE của đường tròn (O). Ta thấy  90o ACE  (Góc nội
tiếp chắn nửa đường tròn) Từ đó     90o OAC AEC (1) 0,5 Theo gt     90o BAH ABC (2) 0,5 Hơn nữa  AEC  
ABC (Cùng chắn cung AC) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra  BAH   OAC 0,5 Bài 4
Bài 4: Tìm tất cả các số nguyên x, y thỏa mãn y2 + 3y = x4 + x2 + 18 2,0 điểm
Biến đổi pt ở đầu bài ta được(y+1)(y+2) = x4 + x2 + 20
Ta thấy x4 + x2 < x4 + x2 + 20  x4 + x2 + 20 + 8 x2 0,5 2  x  2 x  
1   y   y  2   2 x  4 2 1 x  5
Vì x, y là các số nguyên nên ta xét các TH sau: TH1:  y   1  y  2   2 x   1  2 x  2 4 2 4 2
 x  x  20  x  3x  2 0,5 2 2
 2x 18  x  9  x  3   y  9
Thế vào pt đã cho ta có 2 y  3y 108  0  (t / m)   y  1  2 TH2:  y   1  y  2   2 x  2 2 x  3 4 2 4 2
 x  x  20  x  5x  6 0,5 7 2 2  4x  14  x  (loai) 2 TH3:  y   1  y  2   2 x  3 2 x  4 4 2 4 2
 x  x  20  x  7x 12 4 2 2  6x  8  x  (loai) 3 TH4:
 y  1 y  2   2x  4 2x 5 4 2 4 2
 x  x  20  x  9x  20 0,5 2
 8x  0  x  0(t / m)  y  6  Khi đó 2 y  3y 18  0  (t / ) m   y  3
Vậy pt đã cho có 6 nghiệm nguyên
(x;y) = (3;9), (3, -12), (-3, 9), (-3;-12); (0, -6), (0;3) Bài 5 1
Bài 5: Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn 1,0 điểm xyz  . Chứng 8 minh rằng 1 1 2   xy  yz  zx x  y  z 3
Đặt p = x+y+z; q = xy + yz + zx
Điều cần cm trở thành 1 1 2 3 p    0,25 q  q p 3 2 p  3 3 3
Mà  xy  yz  zx2  3xyz  x  y  z  x  y  z 2  q  p 8 8 2 0,25   Nên ta chỉ cần cm 3 3 p p    8  2 p  3  2   0,25 Thật vậy 3 3 p 2 p   4 p 12 p  9  0   8  2 p  3    p  2 2
3  0 (Luôn đúng). Suy ra đpcm 0,25 Bài 6
Bài 6: Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H và các đường cao 1,0 điểm
AD, BE, CF. Gọi I và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên
EF và ED. Hai đường thẳng IK và AD cắt nhau tại M. Hai đường
thẳng FM và DE cắt nhau tại N. Gọi S là điểm đối xứng của B qua
D. Chứng minh ba điểm A, N, S thẳng hàng 0,25
Do BE là phân giác trong góc FED nên HK = HI   HKM   HIM ( ) 1 0,25
Ta có   90o    90o    90o MHF FAH FEH   IEH Và   90o KIE   IEH   MHF   KIE
Do đó tứ giác FIMH nội tiếp   HIM   HFM (2)
Do tứ giác FIMH nội tiếp      90o    90o FMH HIF HMN và  90o HKN 
nên tứ giác HMNK nội tiếp 0,25   HNM   HKM (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra  HNM  
HFM nên  FHN cân tại H có đường cao MH
 MF = MN  FAN cân tại A 0,25
Từ đó ta chứng minh được A, N, S thẳng hàng