Đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán (chuyên) năm 2023 – 2024 sở GD&ĐT Hải Dương

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG HẢI DƯƠNG
NĂM HỌC 2023 – 2024
Môn thi: TOÁN (chuyên) Ngày thi: 03/06/2023 ĐỀ CHÍNH THỨC
Thời gian làm bài: 150 phút, không tính thời gian phát đề Đề thi có 01 trang Câu 1 (2,0 điểm)
1. Cho hai số a,b thoả mãn các điều kiện .
a b 1, a b  0 . Rút gọn biểu thức: 1  1 1  3  1 1  6 Q              a b3 3 3 a
b  a b  2 2 2 2 2 2 a
b  a b4
2. Cho hai số dương x, y thoả mãn 2 2
x y +1 + y x +1 = 15 . Tính giá trị của biểu thức:
P = ( 2x + − x)( 2 1 y +1 − y) Câu 2 (2,0 điểm) 2 1. Giải phương trình: 2  2 3 3  2 1  2 x x x x x x  x
xy  2x  y  2
2. Giải hệ phương trình:  2 2
x  y  2x  4y   3  Câu 3 (2,0 điểm)
1. Tìm tất cả các số nguyên tố p lẻ sao cho 4 2
2 p  p 16 là số chính phương.
2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình 2 2
6x 7xy  2y  x  y2  0 . Câu 4 (3,0 điểm)
1. Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O) , điểm E thuộc cung nhỏ  AB của đường
tròn (O) (E ≠ ,
A E ≠ B). Đường thẳng AE cắt các tiếp tuyến tại B,C của đường tròn (O) lần lượt tại M , N . a) Chứng minh rằng 2 . MB NC = AB .
b) Gọi F là giao điểm của MC và BN , H là trung điểm BC . Chứng minh rằng ba điểm
E, F, H thẳng hàng.
2. Cho đường tròn O và hai điểm ,
A B cố định nằm trên đường tròn O sao cho  0
AOB 120 . Điểm M thay đổi trên cung lớn 
AB của đường tròn O. Đường tròn nội tiếp tam
giác MAB tiếp xúc với ,
MA MB lần lượt tại E, F . Chứng minh rằng đường thẳng EF luôn tiếp
xúc với một đường tròn cố định. Câu 5 (1,0 điểm)
Cho a,b,c là các số không âm và không có hai số nào đồng thời bằng 0 . Chứng minh rằng: 1 1 1 10    2 2 2 2 2 2 a b b c c  a
a bc2 ---------HẾT---------
Họ và tên thí sinh: ………………………………………… Số báo danh: ………………………………
Cán bộ coi thi số 1 …………………………………………Cán bộ coi thi số 2 ……………………….
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM HẢI DƯƠNG
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
NĂM HỌC 2023 – 2024
Môn thi: TOÁN (chuyên)
(Hướng dẫn chấm có 05 trang) Câu Ý Nội dung Điểm
Cho hai số a,b thoả mãn các điều kiện .
a b 1, a b  0 . Rút gọn biểu thức: 1  1 1  3  1 1  6 Q              a b3 3 3 a
b  a b  2 2 2 2 2 2 a
b  a b4 Ta có: 2 2
a b  2 a b2
Nên 1  1 1 3  1 1  6 Q              a b3 3 3 a
b  a b4 2 2 a
b  a b4 a 0,25 b 3 2 2 3 3 a b  6    a b3 a b4 a b4  3 3
a b a b3 2 2 a b 6  a b4 1 4 4
a b  ab 2 2
a b 3 2 2 a b 6 
a b  2 2 2 2 0,25 4 4
a b  4 2 2 a b 6  2 2 2 1
a b   2 (2 điểm)  4 4 2 2
a b  2a b 4 2 2 a b 4 
a b  2 2 2 2 0,25 a b 2 2 2  4 2 2 a b 4 
a b  2 2 2 2
a b  2 2 2 2
 a b  2 2 2 2 0,25 1
Cho hai số dương x, y thoả mãn 2 2
x y +1 + y x +1 = 15 . Tính giá trị của biểu thức:
P = ( 2x + − x)( 2 1
y +1 − y) 2 2 2 P = x + y + + xy − ( 2 2 x y + + y x + ) 2 2 1 1 1
1 = x +1 y +1 + xy − 15 0,25 Đặt 2 2 2
M = x +1 y +1 + xy ⇒ M = ( 2 x + ) 1 ( 2 y + ) 2 2 2 2
1 + x y + 2xy x +1. y +1 0,25 2 2 2 2 2 2
= 2x y + x + y +1+ 2xy x +1. y +1 2 = x ( 2 y + ) 2 1 + y ( 2 x + ) 2 2
1 + 2x y +1.y x +1 +1 0,25
= (x y +1+ y x +1)2 2 2 +1
= 16 ⇒ M = 4 . Vậy P = 4 − 15 . 0,25 2 Giải phương trình: 2  2 3 3  2 1  2 x x x x x x  x  2 x 3x  0 
Điều kiện: x1 0  x 1  0,25  2  x  2x3   0  x Phương trình trở thành x  1 x   3 xx  
3  2 x12x  0 x  x  1 x  3        1
 xx   3   
 2 x12x  0  x    x 3 
x x 12x x 10 0,25 x    
x x  x3 1  2    0  x 
x x1  0
x  x1   1      2  x 3  x 3  2  0   22 (2 điểm)  x  x   2 2
1  x  x1 x  x 1 0 (vô nghiệm) 0,25   x 3 2 
 4  x 3  4x  x 1 (Thoả mãn điều kiện) 0,25 x
xy  2x  y  2
Giải hệ phương trình:  2 2
x  y  2x  4y   3    x   1 y  2 4
Hệ phương trình đã cho trở thành    x 2
1 y  22  8  0,25   . a b  4
Đặt a  x 1  ta được hệ  b    y   2  2 2 a b   8     2 ab 4 ab  4       
 a b2 2ab  8 
 a b2    16  ab  4 ab  4     1 0,25    a b  4
  a b  4           ab  4
a b  4     2 
a b  4  
a  2 x 1   1      b 0,25  2   y    0 
a  2 x  3 2      b 0,25  2   y     4 
Tìm tất cả các số nguyên tố p lẻ sao cho 4 2
2 p  p 16 là số chính phương. Đặt 4 2
A  2 p  p 16 Với p  3 thì 2
A 169 13 là số chính phương. Vậy p  3 thoả mãn. 0,25
1 Với p  3 thì 2 p   1 mod 
3 . Suy ra p p 2 4 2   1 mod  3 0,25 Suy ra 4 2
A  2 p  p 16  2.1116  2mod  3 0,25
Do các số chính phương chia cho 3 chỉ dư 0 hoặc 1 nên A không là số chính phương. 0,25
Tìm nghiệm nguyên của phương trình 2 2
6x 7xy  2y  x  y2  0 . Ta có phương trình 2 2 3
6x 7xy  2y  x  y11 (2 điểm) 2
 6x 7y   2
1 x  2y  y11 0,25
 2x  y  
1 3x  2y  1 1
2x + y +1 =1  ( )1 2 3
 x + 2y −1 = 1  0,25 2x + y +1 = 1 −  (2)  3
 x + 2y −1 = 1 − ( ) x = 2 − 1 ⇔  0,25 y = 4 ( ) x = 4 − 2 ⇔  0,25 y = 6
1. Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O) , điểm E thuộc cung nhỏ 
AB của đường tròn (O) (E ≠ ,
A E ≠ B). Đường thẳng AE cắt các tiếp tuyến
tại B,C của đường tròn (O) lần lượt tại M , N . a) Chứng minh rằng 2 . MB NC = AB . N A E M 1 4 O F (3 điểm) B I H C Ta có  =  =  0 = ⇒ ⇒  =  ABM ACB BAC 60 BM / / AC BMA CAN ( ) 1 0,25 Tương tự ta có ⇒  =  CN / / AB BAM CNA (2) 0,25
Từ (1) và (2) ta có A
∆ MB đồng dạng N ∆ AC (g-g) 0,25 MB AB 2 ⇒ = ⇒ M . B NC = A . B AC ⇒ M . B NC = AB 0,25 AC NC
2 b) Gọi F là giao điểm của MC và BN , H là trung điểm BC . Chứng minh rằng
ba điểm E, F, H thẳng hàng. N A E M O F B I H C
Gọi I là giao điểm của EF và BC . Từ a) suy ra 0,25 2 . MB BC MB NC = BC ⇒ = (3) BC NC Mặt khác  =  +  0 0 0
MBC MBA ABC = 60 + 60 =120 . Tương tự  0 BCN =120 Suy ra  =  MBC BCN (4)
Từ (3) và (4) ta có MB ∆
C đồng dạng B ∆ CN (c-g-c). Suy ra  =  BMC NBC
Ta có  =  +  =  +  0 = −  0 BFM BCF FBC BCF BMC 180 MBC = 60 (5)
Do BEAC nội tiếp nên  =  0 BEM BCA = 60 (6) 0,25
Từ (5) và (6) ta có  = 
BFM BEM . Suy ra BMEF nội tiếp  =  =  = 
BEF BMF NBC FBI . Do đó IB
∆ F đồng dạng IE ∆ B (g-g). Suy ra IB IF 2 =
⇒ IB = IE.IF (7) 0,25 IE IB
Chứng minh tương tự ta có 2
IC = IE.IF (8) . 0,25
Từ (7) và (8) suy ra IB = IC ⇒ I ≡ H . Vậy E, F, H thẳng hàng.
2. Cho đường tròn O và hai điểm ,
A B cố định nằm trên đường tròn O sao cho  0
AOB 120 . Điểm M thay đổi trên cung lớn 
AB của đường tròn O.
Đường tròn nội tiếp tam giác MAB tiếp xúc với ,
MA MB lần lượt tại E, F . Chứng
minh rằng đường thẳng EF luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định. M K F J 3 E H O A D I B
Gọi I là trung điểm của AB . Vẽ AH, IJ, BK cùng vuông góc EF . Ta có  0 = ⇒  0 AOB 120
AMB = 60 , hơn nữa ME = MF nên tam giác MEF 0,25 đều.
Tam giác vuông AHE có 0 3 3 AH = AE.sin 60 = .AE = .AD ( ) 1 0,25 2 2
Tam giác vuông BKF có 0 3 3 BK = BF.sin 60 = BF = BD (2) 2 2
Cộng vế (1) và (2) ta có 3 3 3 AH + BK = AB ⇒ 2IJ = AB ⇒ IJ = AB không đổi. 0,25 2 2 4
Vì điểm I cố định nên EF tiếp xúc với đường tròn cố định tâm I , bán kính 3 AB . 0,25 4
Cho a,b,c là các số không âm và không có hai số nào đồng thời bằng 0 . Chứng minh rằng: 1 1 1 10    * 2 2 2 2 2 2 2   a b b c c  a
a bc
Giả sử c = min{a,b, } c . Khi đó : 2 2 2 2 2  c c a c ac a c a ac a  ≤ ⇒ ≤ ⇒ + ≤ + ≤ +  2    2 0,25 2 2 2 2  c c b c bc b c b bc b  ≤ ⇒ ≤ ⇒ + ≤ + ≤ +  2    2 2 2 2  c   c a b a  b  + ≤ + + +  2 2      1 1 1 5 VT   *    2 2 2 2  c  c  c  c (1 điểm) a     b        b             a   2 2 2  2 Đặt c 0,25   ; c x a
y  b  . Khi đó x  0, y  0 và x  y  a b c . 2 2 Ta có VT   1 1 1 *    2 2 2 2 x  y y x 1 2 1 1 3 4 3        2 2 2 2 2 2 x  y xy x  y
2xy 2xy x  y  2xy 2xy 4 3 4 2 10 10 0,25    3.   VP * 2 2 2 2 2   x  y
2xy x y x  y x  y
a bc   
Dấu bằng xảy ra khi c 0 c   0    
. Do vai trò của a,b,c bình đẳng x  y   a    b  0,25
nên dấu “=” của  
* xảy ra khi và chỉ khi trong ba số a,b,c có một số
bằng 0 và hai số còn lại bằng nhau.
Lưu ý: Học sinh giải theo cách khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa.