Đề vào 10 môn Toán (chuyên Tin) 2022 – 2023 trường chuyên Hùng Vương – Phú Thọ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 PHÚ THỌ
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN HÙNG VƯƠNG
NĂM HỌC 2022 – 2023 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: Toán
(Dành cho thí sinh thi chuyên Tin)
Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian phát đề
Đề thi có 01 trang
Câu 1 (2,0 điểm). a) Cho phương trình 2
x − 2(m − 2) x + 2m − 5 = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân
biệt x , x thỏa mãn 1 1 + = 3. 1 2 x x 1 2 b) Chứng minh rằng 10 3 10 3 3 3 P = 2 + + 2 − là số nguyên. 9 9
Câu 2 (2,0 điểm).
a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình 2
x − 2xy + 8x + 4( y − 4)2 = 0. b) Chứng minh rằng nếu ,
m n là hai số tự nhiên thỏa mãn 2 2
2022m + m = 2023n + n thì
2022(m + n) +1 là số chính phương.
Câu 3 (2,0 điểm). a) Giải phương trình 2
4x − 3x +15 − 3x +1 = 0.
b) Cho hai số thực a, b phân biệt. Quanh đường tròn viết n số thực đôi một khác nhau
(n ≥ 3) sao cho mỗi số bằng tổng của hai số đứng liền kề nó. Tìm n và các số được viết nếu
hai số đầu tiên được viết lần lượt là a và . b
Câu 4 (3,0 điểm). Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có đường cao AA , đường trung 1
tuyến BB và đường phân giác trong CC . Gọi D, E, F lần lượt là giao điểm của AA , BB , CC 1 1 1 1 1
với (O). Biết A B C là tam giác đều. 1 1 1
a) Chứng minh rằng tam giác ABC đều.
b) Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng CE, N là trung điểm của đoạn thẳng CD, I là giao
điểm của AN và FM. Tính  AIF.
c) Tia CI cắt AF và (O) lần lượt tại J và K. Chứng minh rằng I là trung điểm của CK. Tính tỉ số JA . JF
Câu 5 (1,0 điểm). Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn 2 2
a b + ab − 2(a + b + ab) = 0. Tìm giá ( 3 3
2 a b + ab ) + (1+ 2ab)2 − 3
trị nhỏ nhất của biểu thức P = . 2ab
--------------------------HẾT--------------------------
Họ và tên thí sinh:………………………………………………………….………..Số báo danh:………………
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 PHÚ THỌ
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN HÙNG VƯƠNG NĂM HỌC 2022 - 2023 Môn: Toán
(Dành cho thí sinh thi chuyên Tin)
HƯỚNG DẪN CHẤM CHÍNH THỨC
(Hướng dẫn chấm có 06 trang)
I. Một số chú ý khi chấm bài tự luận
- Hướng dẫn chấm thi dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách. Khi chấm thi giám khảo cần
bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp logic và có thể chia nhỏ đến 0,25 điểm.
- Thí sinh làm bài theo cách khác với hướng dẫn chấm mà đúng thì tổ chấm cần thống nhất cho
điểm tương ứng với thang điểm của hướng dẫn chấm.
- Điểm bài thi là tổng điểm các câu không làm tròn số.
II. Đáp án – thang điểm
Câu 1 (2,0 điểm). a) Cho phương trình 2
x − 2(m − 2) x + 2m − 5 = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân
biệt x , x thỏa mãn 1 1 + = 3. 1 2 x x 1 2 b) Chứng minh rằng 10 3 10 3 3 3 P = 2 + + 2 − là số nguyên. 9 9 Nội dung Điểm
a) Cho phương trình 2
x − 2(m − 2) x + 2m − 5 = 0. Tìm m để phương trình có hai
nghiệm phân biệt x , x thỏa mãn 1 1 + = 3. 1,0 1 2 x x 1 2
Tính được ∆′ = (m − )2 3 . m ≠ 3 ∆′ > 0 0,25
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt x , x ≠ 0 thì   ⇔  5 . 1 2 2m − 5 ≠ 0 m ≠  2
x + x = 2 m − 2 1 2 ( ) Theo Vi-et có  0,25
x x = 2m − 5 1 2 1 1 x + x 11 1 2 + = 3 ⇔
= 3 ⇔ x + x = 3x x ⇔ 2 m − 2 = 3 2m − 5 ⇔ m = . 1 2 1 2 ( ) ( ) x x x x 4 0,25 1 2 1 2
Kết hợp điều kiện kết luận 11 m = là giá trị cần tìm. 0,25 4 b) Chứng minh rằng 10 3 10 3 3 3 P = 2 + + 2 −
là số nguyên. 1,0 9 9      Ta có 3 10 3 10 3 10 3 10 3 10 3 10 3 3 3 P = 2 + + 2 − + 33 2 +  2 −   2 + + 2 −  9 9 0,25  9  9   9 9    3  10 3  10 3  3 ⇔ P = 4 + 33 2 +  2 −
.P ⇔ P = 4 + 2P 0,25  9  9  P = 2 3
⇔ P − 2P − 4 = 0 ⇔ (P − 2)( 2
P + 2P + 2) = 0 ⇔  0,25 2 P + 2P + 2 =  0 Vì 2
P + 2P + 2 = (P + )2
1 +1 > 0, ∀P nên phương trình 2
P + 2P + 2 = 0 vô nghiệm. 0,25
Vậy P = 2, hay P là số nguyên (đpcm). Trang 1/6
Câu 2 (2,0 điểm).
a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình 2
x − 2xy + 8x + 4( y − 4)2 = 0. b) Chứng minh rằng nếu ,
m n là hai số tự nhiên thỏa mãn 2 2
2022m + m = 2023n + n thì
2022(m + n) +1 là số chính phương. Nội dung Điểm
a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình 2
x − 2xy + 8x + 4( y − 4)2 = 0 ( ) 1 1,0 Phương trình (1) 2
⇔ x − 2( y − 4) x + 4( y − 4)2 = 0 (2)
Coi phương trình (2) là phương trình bậc hai ẩn x, ta cần tìm điều kiện của y để 0,25
phương trình (2) có nghiệm ⇔ ∆′ ≥ 0
⇔ ( y − )2 − ( y − )2 = − ( y − )2 4 4 4 3 4 ≥ 0 ⇔ y = 4. 0,25
Với y = 4 thì phương trình (2) có nghiệm duy nhất x = 0. 0,25
Vậy phương trình đã cho có nghiệm nguyên là ( x; y) = (0;4). 0,25
b) Chứng minh rằng nếu ,
m n là hai số tự nhiên thỏa mãn 2 2
2022m + m = 2023n + n
thì 2022(m + n) +1 là số chính phương. 1,0 2 2 2 2 2
2022m + m = 2023n + n ⇔ 2022m − 2022n + m − n = n 0,25
⇔ (m − n)(2022m + 2022n + ) 2 1 = n ( ) 1 .
+ TH1: Với m = n từ (1) suy ra m = n = 0 ⇒ 2022(m + n) +1 = 1 là số chính phương.
+ TH2: Với m ≠ n ⇒ m − n > 0. Gọi (m − ;
n 2022m + 2022n + ) 1 = d 0,25
m − n  d 2 2 ⇒ 
⇒ n  d ⇒ nd ⇒ md.
2022m + 2022n +1  d
⇒ 2022m + 2022n  d ⇒1 d ⇒ d = 1. 0,25
⇒ (m − n; 2022m + 2022n + )
1 = 1 hay m − n và 2022m + 2022n +1là hai số nguyên tố cùng nhau.
Mặt khác (m − n)( m + n + ) 2 2022 2022
1 = n là số chính phương nên suy ra 0,25
2022(m + n) +1 là số chính phương (đpcm).
Câu 3 (2,0 điểm). a) Giải phương trình 2
4x − 3x +15 − 3x +1 = 0.
b) Cho hai số thực a, b phân biệt. Quanh đường tròn viết n số thực đôi một khác nhau
(n ≥ 3) sao cho mỗi số bằng tổng của hai số đứng liền kề nó. Tìm n và các số được viết nếu
hai số đầu tiên được viết lần lượt là a và . b Nội dung Điểm
a) Giải phương trình 2
4x − 3x +15 − 3x +1 = 0 ( ) 1 . 1,0 3x −1 ≥ 0 Phương trình 2
4x 3x 15 3x 1  − + = − ⇔  0,25 2
4x − 3x +15 = (3x − )2 1  1 x ≥ ⇔  3 0,25  2 2
4x − 3x +15 = 9x − 6x +1 Trang 2/6  1 x ≥ 1   3 x ≥  ⇔  3
⇔ x = 2 ⇔ x = 2. 0,25  2
5x − 3x −14 = 0  7 x = −  5
Vậy nghiệm của phương trình là x = 2. 0,25
b) Cho hai số thực a, b phân biệt. Quanh đường tròn viết n số thực đôi một khác
nhau (n ≥ 3) sao cho mỗi số bằng tổng của hai số đứng liền kề nó. Tìm n và các số 1,0
được viết nếu hai số đầu tiên được viết lần lượt là a và . b
Đánh số các số được viết lần lượt là a ;a ;...a với a = a;a = . b 1 2 n 1 2 Ta có a = a; ; a = b
a = b − a; a = −a; a = − ; b a = a − ; b
a = a ≡ a . 1 2 3 4 5 6 7 1 0,25
Suy ra n ≤ 6. Mà n ≥ 3 nên n ∈{3;4;5; } 6 . TH1: n = 3. Ta có a = a; ; a = b
a = b − a. 1 2 3 Vì 0
a = a + a ⇒ b − a = b + a ⇒ a = ⇒ a = a 3 1 2 2 3 (Loại). TH2: n = 4. 0,25 Ta có a = a; ; a = b
a = b − a;a = −a. 1 2 3 4
Vì a = a + a ⇒ −a = b ⇒ a = a 4 1 3 2 4 (Loại). TH3: n = 5. Ta có a = a; ; a = b
a = b − a;a = −a;a = − . b 1 2 3 4 5 Vì
a = a + a = 0 ⇒ b = 0 ⇒ a = a 5 1 4 2 5 (Loại). TH4: n = 6. 0,25 Ta có a = a; ; a = b
a = b − a;a = −a;a = − ; b a = a − . b 1 2 3 4 5 6
Dễ thấy a = a + a luôn thỏa mãn. 6 1 5 Để các số a i =
phân biệt thì ab ≠ 0; a ≠ ; b a ≠ 2 ;
b b ≠ 2a (*). i ( 1,6)
Vậy n = 6 và các số được viết là a = a; ; a = b
a = b − a;a = −a;a = − ; b a = a − . b 0,25 1 2 3 4 5 6
Trong đó a, b thỏa mãn điều kiện (*).
Câu 4 (3,0 điểm). Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có đường cao AA , đường trung 1
tuyến BB và đường phân giác trong CC . Gọi D, E, F lần lượt là giao điểm của AA , BB , CC 1 1 1 1 1
với (O). Biết A B C là tam giác đều. 1 1 1
a) Chứng minh rằng tam giác ABC đều.
b) Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng CE, N là trung điểm của đoạn thẳng CD, I là giao
điểm của AN và FM. Tính  AIF.
c) Tia CI cắt AF và (O) lần lượt tại J và K. Chứng minh rằng I là trung điểm của CK. Tính tỉ số JA . JF Trang 3/6 Nội dung Điểm
a) Chứng minh rằng tam giác ABC đều. 1,0 Xét tam giác 1 1 AA C vuông tại 1 A có 1
B là trung điểm cạnh AC nên 1 A 1 B = AC 0,25 2 Suy ra 1 1 B 1 C = AC ⇒ ∆ 1
AC C vuông tại C mà 2 1, 1
CC là đường phân giác của góc C 0,25 nên 1
C là trung điểm cạnh . AB Lại có 1 1 A 1 C = 1 B 1
C = AC nên A C là đường trung bình của tam giác ABC, suy ra 2 1 1 1 A 0,25
là trung điểm cạnh BC.
Vậy A , B , C lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, C , A .
AB Suy ra ∆ABC đều 1 1 1 0,25 (đpcm).
b) Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng CE, N là trung điểm của đoạn thẳng CD, 1,0
I là giao điểm của AN và FM. Tính  AIF.
Vì ∆ABC đều nên AFBDCE là lục giác đều. 0,25 Do đó sđ AF = sđ FB = sđ BD = sđ DC = sđ CE = sđ EA = 60 .°
Xét ∆FCM và ∆ADN có FC = AD, CM = DN,  FCM = ADN = 60 .° 0,5
Suy ra ∆FCM = ∆ADN (c-g-c) ⇒ DAN = CFM. ⇒  OAI = 
OFI ⇒ OIAF là tứ giác nội tiếp⇒ AIF = AOF = 60 .° 0,25 Trang 4/6
c) Tia CI cắt AF và (O) lần lượt tại J và K. Chứng minh rằng I là trung điểm
của CK. Tính tỉ số JA . 1,0 JF
Ta có ∆OCE và ∆OCD là hai tam giác đều bằng nhau suy ra 1
OM = ON = DE. 2
Lại có MN là đường trung bình của tam giác 1
CED ⇒ MN = DE. Suy ra ∆OMN đều. 0,25 2 ⇒ MON =
MIN = 60° ⇒ M , I,O, N cùng thuộc một đường tròn. Lại có  OMC =
ONC = 90° ⇒ O, N,C, M cùng thuộc đường tròn đường kính OC.
Vậy 5 điểm O, I, M ,C, N cùng thuộc một đường tròn đường kính OC. 0,25 Suy ra  OIC =
OMC = 90° ⇒ OI ⊥ CK ⇒ I là trung điểm của CK.
Từ O kẻ OG ⊥ FM ,
OH ⊥ AN. Gọi L là giao của AN và CF.
Ta có ∆AOH = ∆FOG (trường hợp đặc biệt của tam giác vuông)
⇒ OG = OH ⇒ ∆OGI = ∆OHI ⇒ GIO =  HI . O
⇒ OI là phân giác của góc  OL IL FIL ⇒ = . OF IF
Mà L là trọng tâm OL IL 1 ∆ADC ⇒ =
= ⇒ IF = 3IL (1). OF IF 3
Gọi bán kính của (O) là R ⇒ CE = . R 0,25
Xét ∆ECF vuông tại E có EF = CE.tan ECF = . R tan60° = 3 . R 2 2 2 2 R R 13
⇒ FM = EF + EM = 3R + = . 4 2
Mà tứ giác OIMC nội tiếp nên 2 FI.FM = . FO FC = 2R . 2 2R 4 13R IF 4 13R ⇒ IF = = ⇒ IL = = . FM 13 3 39
Vì tứ giác OIAF nội tiếp nên 4 2 13R 13R 3 13 . = . R
LO LF IL AL = R ⇒ AL = ⇒ AI + IL = ⇒ AI = . 9 3 3 13 0,25 Dễ có  NIC = 1 NOC = 30° = 
NIM ⇒ IJ là đường phân giác trong góc I của ∆AIF. 2 Trang 5/6 Suy ra JA IA 3 = = . JF IF 4
Câu 5 (1,0 điểm). Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn 2 2
a b + ab − 2(a + b + ab) = 0. Tìm giá ( 3 3
2 a b + ab ) + (1+ 2ab)2 − 3
trị nhỏ nhất của biểu thức P = . 2ab Nội dung Điểm Ta có 2 2
a b + ab − 2(a + b + ab) = 0 ⇔ ab(a + b) = 2(a + b) + 2ab 2 2 8 0,25
⇔ a + b = + + 2 ≥
+ 2 ⇔ (a + b)2 − 2(a + b) − 8 ≥ 0 ⇒ a + b ≥ 4. a b a + b Lại có 2 2
a b + ab − (a + b + ab) 2 2 1 1 1 2 = 0 ⇔ 1 = + ⇔ = − . 0,25 ab a + b
ab 2 a + b 2( 3 3
a b + ab ) + (1+ 2ab)2 − 3 2ab( 2 2
a + b ) + (1+ 2ab)2 − 3 P = = 2ab 2ab + − 2 2 (1 2ab)2 3 = a + b + = (a + b)2 1 + 2 − 0,25 2ab ab =(a b)2  1 1 2  + + − − =  (a + b)2 1 3 + +   2 a + b  a + b 2 = (a + b)2 64 64 127 3 + + −
+ ≥ 3 (a + b)2 64 64 127 3 71 3 . . − + = .
a + b a + b a + b 2
a + b a + b 4 2 4 0,25
Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 71. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = 2. 4
-------------------------------Hết------------------------------- Trang 6/6
Document Outline

• 43. PHÚ THỌ. CHUYÊN TIN. ĐỀ
• 43. PHÚ THỌ. CHUYÊN TIN. ĐÁP ÁN