Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, quan hệ song song – Nguyễn Chín Em

Tài liệu gồm 224 trang được biên soạn bởi thầy Nguyễn Chín Em, tóm tắt lý thuyết cần nắm, hướng dẫn giải các dạng toán và tuyển chọn các bài tập trắc nghiệm – tự luận 

63 32 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 4: Quan hệ song song trong không gian (KNTT)

Môn: Toán 11

Thông tin:

224 trang 9 tháng trước

Tác giả:

Profile Kim Oanh
MỤC LỤC
CHƯƠNG 2 ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ SONG SONG 1
1 ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG 1
A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1
1 Mở đầu về hình học không gian 1
2 Các tính chất thừa nhận 1
3 Điều kiện xác định mặt phẳng 1
4 Hình chóp và tứ diện 2
B CÁC DẠNG TOÁN 3
Dạng 1. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng 3
Dạng 2. Chứng minh ba điểm thẳng hàng, ba đường thẳ đồng quy 3
Dạng 3. Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng 3
Dạng 4. Xác định thiết diện của một mặt phẳng với hình chóp 3
Dạng 5. Dựng đường thẳng đi qua một điểm và cắt hai đường thẳng chéo nhau 4
Dạng 6. Tìm tập hợp giao điểm của hai đường thẳng và bài toán chứng minh giao tuyến
đi qua điểm cố định 4
C CÁC VÍ DỤ MINH HỌA 4
D BÀI TẬP RÈN LUYỆN 9
E CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 11
1 Câu hỏi lý thuyết 11
2 Tìm giao tuyến hai mặt phẳng 14
3 Thiết diện 19
4 Ba điểm thẳng hàng, ba đường thẳng đồng quy 21
ĐÁP ÁN 52
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
2 HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU VÀ HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG 53
A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 53
1 Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian 53
2 Các định lí và tính chất 53
B CÁC DẠNG TOÁN 53
Dạng 1. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng bằng quan hệ song song 53
Dạng 2. Chứng minh hai đường thẳng song song 55
Dạng 3. Chứng minh bốn điểm đồng phẳng và ba đường thẳng đồng qui 58
C BÀI TẬP RÈN LUYỆN 59
D CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 65
ĐÁP ÁN 94
3 ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG 95
A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 95
1 Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng 95
2 Điều kiện để một đường thẳng song song với một mặt phẳng 95
B CÁC DẠNG TOÁN 96
Dạng 1. Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng 96
1 Ví dụ minh họa 96
2 BÀI TẬP RÈN LUYỆN 98
Dạng 2. Tìm giao tuyến hai mặt phẳng khi biết một mặt phẳng song song
với đường thẳng cho trước 101
1 Các ví dụ minh họa 101
Dạng 3. Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng 103
1 Các ví dụ minh họa 104
C CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 105
ĐÁP ÁN 146
Th.s Nguyễn Chín Em 2 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
4 HAI MẶT PHẲNG SONG SONG 147
A Tóm tắt lí thuyết 147
1 Định nghĩa 147
2 Tính chất 147
3 Định lý Ta-lét (Thalès) 148
4 Hình lăng trụ và hình hộp 148
5 Hình chóp cụt 149
B CÁC DẠNG TOÁN 150
Dạng 1. Chứng minh hai mặt phẳng song song 150
1 Các ví dụ minh họa 150
Dạng 2. Tìm giao tuyến của mặt phẳng (α) với mặt phẳng (β) biết (α) qua điểm A;
song song với mặt phẳng (γ) 151
1 Các ví dụ minh họa 152
Dạng 3. Xác định thiết diện cắt bởi mặt phẳng song song với một mặt phẳng cho trước154
1 Các ví dụ minh họa 154
C BÀI TẬP RÈN LUYỆN 156
D CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 163
ĐÁP ÁN 204
5 PHÉP CHIẾU SONG SONG - HÌNH BIỂU DIỄN CỦA MỘT HÌNH KHÔNG GIAN 205
A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 205
B CÁC VÍ DỤ MINH HỌA 205
C BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN 206
D BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 207
ĐÁP ÁN 213
ÔN TẬP CHƯƠNG II 213
ĐÁP ÁN 221
CHƯƠNG 2
ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG
KHÔNG GIAN. QUAN HỆ SONG SONG
BÀI 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT
PHẲNG
A TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1 MỞ ĐẦU VỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
Hình học không gian có các đối tượng cơ bản là điểm, đường thẳng và mặt phẳng. Quan hệ thuộc:
Trong không gian:
1 Với một điểm A và một đường thẳng d có thể xảy ra hai trường hợp:
Điểm A thuộc đường thẳng d, kí hiệu A ∈ d.
Điểm A không thuộc đường thẳng, kí hiệu A /∈ d.
2 Với một điểm A và một mặt phẳng (P ) có thể xảy ra hai trường hợp:
Điểm A thuộc mặt thẳng (P ), kí hiệu A ∈ (P ).
Điểm A không thuộc đường thẳng, kí hiệu A /∈ (P).
2 CÁC TÍNH CHẤT THỪA NHẬN
Tính chất thừa nhận 1: Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt cho trước.
Tính chất thừa nhận 2: Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng cho
trước.
Tính chất thừa nhận 3: Tồn tại bốn điểm không cùng nằm trên một mặt phẳng.
Tính chất thừa nhận 4: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một
đường thẳng chung duy nhất chứa tất cả các điểm chung của hai mặt phẳng đó.
Tính chất thừa nhận 5: Trong mỗi mặt phẳng, các kết đã biết của hình học phẳng đều đúng.
Định lí 1. Nếu một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt của một mặt phẳng thì mọi điểm của
đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó.
3 ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH MẶT PHẲNG
Có bốn cách xác định trong một mặt phẳng:
Cách 1: Một mặt phẳng được xác định nếu biết nó đi qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng
của mặt phẳng, kí hiệu (ABC).
P
A B
C
Cách 2: Một mặt phẳng được xác định nếu biết nó đi qua một đường thẳng d và một điểm A
không thuộc d, kí hiệu (A, d).
1
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
P
d
A
Cách 3: Một mặt phẳng được xác định nếu biết nó đi qua hai đường thẳng a, b cắt nhau, kí hiệu
(a, b).
P
a
b
Cách 4: Một mặt phẳng được xác định nếu biết nó đi qua hai đường thẳng a, b song song, kí
hiệu (a, b).
4 HÌNH CHÓP VÀ TỨ DIỆN
Định nghĩa 1. Cho đa giác A
1
A
2
. . . A
n
và cho điểm S nằm ngoài mặt phẳng chứa đa giác đó. Nối
S với các đỉnh A
1
, A
2
, . . . , A
n
ta được n miền đa giác SA
1
A
2
, SA
2
A
3
, . . . , SA
n−1
A
n
. Hình gồm n tam
giác đó và đa giác A
1
A
2
A
3
. . . A
n
được gọi là hình chóp S.A
1
A
2
A
3
. . . A
n
.
S
P
A
1
A
2
A
3
A
4
A
5
A
6
Trong đó:
Điểm S gọi là đỉnh của hình chóp.
Đa giác A
1
A
2
. . . A
n
gọi là mặt đáy của hình chóp.
Các đoạn thẳng A
1
A
2
, A
2
A
3
, . . . , A
n−1
A
n
gọi là các cạnh đáy của hình chóp.
Các đoạn thẳng SA
1
, SA
2
, . . . , SA
n
gọi là các cạnh bên của hình chóp.
Các miền tam giác SA
1
A
2
, SA
2
A
3
, . . . , SA
n−1
A
n
gọi là các mặt bên của hình chóp.
Nếu đáy của hình chóp là một miền tam giác, tứ giác, ngũ giác, . . . thì hình chóp tương ứng gọi
là hình chóp tam giác, hình chóp tứ giác, hình chóp ngũ giác,. . .
4
!
Hình chóp tam giác còn được gọi là hình tứ diện.
Hình tứ diện có bốn mặt là những tam giác đều hay có tất cả các cạnh bằng nhau được gọi là
hình tứ diện đều.
Th.s Nguyễn Chín Em 2 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
B CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng
Phương pháp giải:
Để xác định giao tuyến của hai mặt phẳng, ta tìm hai điểm chung của chúng. Đường thẳng đi qua hai
điểm chung đó là giao tuyến.
4
!
Điểm chung của hai mặt phẳng (α) và (β) thường được tìm như sau
Tìm hai đường thẳng a, b lần lượt thuộc (α) và (β), đồng thời chúng cùng
nằm trong mặt phẳng (γ) nào đó.
Giao điểm A = a ∩ b chính là điểm chung của (α) và (β).
A
β
α
γ
b
a
Dạng 2. Chứng minh ba điểm thẳng hàng, ba đường thẳ đồng quy
Phương pháp giải:
Để chứng minh ba điểm (hay nhiều điểm) thẳng hàng ta chứng minh chúng là điểm chung của
hai mặt phẳng phân biệt, khi đó chúng nằm trên đường thẳng giao tuyên của hai mặt phẳng nên
thẳng hàng.
Để chứng minh ba đường thẳng đồng qui ta chứng minh giao điểm của hai đường thẳng thuộc
đường đường thẳng còn lại.
Dạng 3. Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng
Phương pháp giải:
Tìm giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P ) ta cần lưu ý một số trường hợp sau
1 Nếu trong (P ) có sẵn một đường thẳng ∆ cắt d tại M thì M = d ∩(P).
2 Nếu trong (P ) chưa có sẵn đường thẳng ∆ cắt d thì ta thực hiện theo các bước sau
Bước 1. Chọn một mặt phẳng (Q) chứa d.
Bước 2. Tìm giao tuyến ∆ = (Q) ∩(P).
Bước 3. Trong (Q) gọi M = d ∩∆. Khi đó, M là giao điểm giữa d và (P ).
d
P
Q
∆
d
P
Q
M∆
d
P
Q
Dạng 4. Xác định thiết diện của một mặt phẳng với hình chóp
Phương pháp giải:
Để xác định thiết diện của hình chóp S.A
1
A
2
...A
n
cắt bởi mặt phẳng (α), ta tìm giao điểm của mặt
phẳng (α) với các đường thẳng chứa các cạnh của hình chóp. Thiết diện là đa giác có đỉnh là các giao
điểm của (α) với hình chóp (và mỗi cạnh của thiết diện phải là một đoạn giao tuyến với một mặt của
Th.s Nguyễn Chín Em 3 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
hình chóp).
Trong phần này chúng ta chỉ xét thiết diện của mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng.
Dạng 5. Dựng đường thẳng đi qua một điểm và cắt hai đường thẳng chéo nhau
Phương pháp giải: Để dựng đường thẳng d đi qua O và cắt d
1
; d
2
, ta dựng giao tuyến của hai mặt
phẳng (O, d
1
) và (O, d
2
), khi đó d = (O, d
1
) ∩(O, d
2
).
d
1
d
2
d
O
Dạng 6. Tìm tập hợp giao điểm của hai đường thẳng và bài toán chứng minh giao tuyến
đi qua điểm cố định
Phương pháp giải:
Để tìm tập hợp giao điểm I của hai đường thẳng thay đổi a, b ta chọn
hai mặt phẳng cố định (α) và (β) cắt nhau lần lượt chứa a, b. Khi đó
I = a ∩ b ⇒
®
I ∈ a ⊂ (α)
I ∈ b ⊂ (β)
⇒ I ∈ d = (α) ∩ (β)
Vậy điểm I thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng (α) và (β).
a
b
d
I
α
β
Để chứng minh đường thẳng d đi qua một điểm cố định ta thực hiện theo các bước sau:
- Chọn một điểm cố định J thuộc hai mặt phẳng (δ) và (γ).
- Chứng minh d là giao tuyến của hai mặt phẳng (δ) và (γ), khi đó d đi qua điểm cố định J.
C CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là tứ giác có các cặp cạnh đối không song song, điểm
M thuộc cạnh SA. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng
(SAC) và (SBD).1 (SAC) và (MBD).2
(MBC) và (SAD).3
(SAB) và (SCD).4
-Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 4 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
1 Trong (ABCD), gọi O = AC ∩BD. Khi đó,
®
O ∈ AC ⊂ (SAC)
O ∈ BD ⊂ (SBD)
⇒ O ∈ (SAC) ∩ (SBD).
Lại có S ∈ (SAC) ∩ (SBD).
Vậy SO = (SAC) ∩ (SBD).
2 Vì O = AC ∩ BD nên
®
O ∈ AC ⊂ (SAC)
O ∈ BD ⊂ (MBD)
⇒ O ∈ (SAC) ∩ (MBD).
Dễ thấy, M ∈ (SAC) ∩ (MBD).
Vậy OM = (SAC) ∩(MBD).
A
B
D
S
M
E
F
O
C
c) Trong (ABCD), gọi F = BC ∩ AD. Khi đó,
®
F ∈ BC ⊂ (MBC)
F ∈ AD ⊂ (SAD)
⇒ F ∈ (MBC) ∩(SAD).
Mặt khác, M ∈ (MBC) ∩(SAD).
Vậy F M = (MBC) ∩ (SAD).
d) Trong (ABCD) gọi E = AB ∩ CD, ta có
®
E ∈ AB ⊂ (SAB)
E ∈ CD ⊂ (SCD)
⇒ E ∈ (SAB) ∩ (SCD).
Dễ thấy, S ∈ (SAB) ∩ (SCD).
Vậy SE = (SAB) ∩ (SCD).
Ví dụ 2. Cho tứ diện SABC. Trên SA, SB và SC lấy các điểm D, E và F sao cho DE cắt AB tại
I,EF cắt BC tại J, F D cắt CA tại K. Chứng minh I, J, K thẳng hàng.
-Lời giải.
Ta có
I = DE ∩ AB
DE ⊂ (DEF )
AB ⊂ (ABC)
⇒ I ∈ (DEF ) ∩ (ABC) (1)
Tương tự J = EF ∩ BC
⇒
®
J ∈ EF ∈ (DEF )
J ∈ BC ⊂ (ABC)
⇒ J ∈ (DEF ) ∩(ABC) (2)
K = DF ∩ AC ⇒
®
K ∈ DF ⊂ (DEF )
K ∈ AC ⊂ (ABC)
⇒ K ∈ (DEF ) ∩(ABC) (3)
S
F
B
D
A
J
C
E
K
I
Từ (1), (2) và (3) ta có I, J, K là điểm chung của hai mặt phẳng (ABC) và (DEF ) nên chúng thẳng
hàng.
Th.s Nguyễn Chín Em 5 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Ví dụ 3. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD với đáy ABCD có các cạnh đối diện không song song với
nhau và M là một điểm trên cạnh SA.
1 Tìm giao điểm của đường thẳng SB với mặt phẳng (MCD).
2 Tìm giao điểm của đường thẳng M C và mặt phẳng (SBD).
-Lời giải.
1 Tìm giao điểm của đường thẳng SB với mặt phẳng (MCD).
Ta có SB ⊂ (SAB).
Trong (ABCD) gọi E = AB ∩ CD.
Khi đó, (SAB) ∩ (MCD) = ME.
Trong (SAB), gọi N = SB ∩ ME.
Vậy N = SB ∩ (MCD).
2 Tìm giao điểm của đường thẳng M C và mặt phẳng (SBD).
Ta có MC ⊂ (MDE).
Dễ thấy (MDE) ∩ (SBD) = DN.
Trong (M DE), gọi K = MC ∩ DN.
Vậy MC ∩(SBD) = K.
S
C
D
A
B
M
N
E
K
Ví dụ 4. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, có đáy là hình thang với AD là đáy lớn và P là một điểm
trên cạnh SD.
a) Thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (P AB) là hình gì?
b) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. Thiết diện của hình chóp cắt bởi (MN P )
là hình gì?
-Lời giải.
a) Trong mặt phẳng (ABCD), gọi E = AB ∩ CD. Trong mặt phẳng (SCD) gọi Q = SC ∩ EP . Ta có
E ∈ AB nên EP ⊂ (ABP ) ⇒ Q ∈ (ABP ), do đó Q = SC ∩ (ABP ). Thiết diện là tứ giác ABQP .
C
D
E
S
Q
P
B
A
Th.s Nguyễn Chín Em 6 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
b) Trong mặt phẳng (ABCD) gọi F, G lần lượt là các giao điểm của MN với AD và CD.
Trong mặt phẳng (SAD) gọi H = SA ∩ FP .
Trong mặt phẳng (SCD) gọi K = SC ∩ P G.
Ta có F ∈ MN, do đó F ∈ (MN P ) nên F P ⊂ (M NP ) ⇒ H ∈ (M NP ).
Vậy
®
H ∈ SA
H ∈ (M NP )
⇒ H = SA ∩ (MNP ).
Tương tự K = SC ∩ (MN P ). Nên thiết diện là ngũ giác QM NKP H.
F
M
N
G
S
Q
P
B
A
Ví dụ 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn là AB. Một mặt phẳng
(P ) quay quanh AB cắt các cạnh SC, SD tại các điểm tương ứng E, F .
Tìm tập hợp giao điểm I của AF và BE.1 Tìm tập hợp giao điểm J của AE và BF .2
-Lời giải.
1
Phần thuận.
Ta có I = AF ∩ BE ⇒
®
I ∈ AF
I ∈ BE
Lại có
®
AF ⊂ (SAD)
BE ⊂ (SBC)
⇒ F ∈ (SAD) ∩ (SBC).
Trong (ABCD) gọi H = AD ∩BC
⇒
®
H ∈ AD
H ∈ BC
⇒
®
H ∈ (SAD)
H ∈ (SBC)
⇒ SH = (SAD) ∩ (SBC) ⇒ I ∈ SH.
Giới hạn.
Khi E chạy đến C thì F chạy đến D và I chạy đến H.
Khi E chạy đến S thì F chạy đến S và I chạy đến S.
H
A
D
F
B
C
E
I
S
O
J
Phần đảo.
Lấy điểm I bất kì thuộc đoạn SH, trong (SAH) gọi F = SD ∩ AI
Th.s Nguyễn Chín Em 7 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Trong (SBH) gọi E = SH ∩BI khi đó (ABEF ) là mặt phẳng quay quanh AB cắt các cạnh SC, SD
tại E, F và I là giao điểm của AF và BE.
Vậy tập hợp điểm I là đoạn SH.
2 Ta có J = AE ∩BF ⇒
®
J ∈ AE
J ∈ BF
⇒
®
J ∈ (SAC)
J ∈ (SBD)
⇒ J ∈ (SAC) ∩(SBD).
Nhưng SO = (SAC) ∩ (SBD) nên J ∈ SO.
Khi E chạy đến chạy đến C thì F chạy đến D và J chạy đến O.
Khi E chạy đến S thì F chạy đến S và J chạy đến S.
Lập luận tương tự trên ta có tập hợp điểm J là đoạn SO.
Ví dụ 6. Cho tứ diện ABCD, O là điểm thuộc miền trong tam giác BCD, M là một điểm trên cạnh
AB.
1 Dựng đường thẳng đi qua M cắt cả AO và CD.
2 Gọi N là một điểm trên cạnh BC sao cho ON không song song với BD. Dựng đường thẳng đi
qua N cắt AO và DM.
-Lời giải.
1 Trong (BCD), gọi P = BO ∩ CD.
Trong (ABN), gọi I = P M ∩ AO.
Đường thẳng MP chính là đường thẳng đi qua M cắt cả AO và CD.
A
C
O
B
M
D
P
I
2 Trong (BCD), gọi E = NO ∩ BD.
Trong (ABD), gọi G = DM ∩ AE.
Trong (N AE), gọi F = AO ∩ NG.
Đường thẳng NG chính là đường thẳng đi qua N cắt cả AO và DM.
A
C
E
F
B
M
N
O
D
G
Th.s Nguyễn Chín Em 8 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
D BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1. Cho tứ diện ABCD, O là một điểm thuộc miền trong tam giác BCD, M là điểm trên đoạn AO.
1 Tìm giao tuyến của mặt phẳng (MCD) với các mặt phẳng (ABC).
2 Tìm giao tuyến của mặt phẳng (MCD) với các mặt phẳng (ABD).
3 Gọi I, J là các điểm tương ứng trên các cạnh BC và BD sao cho IJ không song song với CD. Tìm
giao tuyến của hai mặt phẳng (IJM ) và (ACD).
-Lời giải.
1 Trong (BCD) gọi N = DO ∩ BC,
trong (ADN) gọi P = DM ∩ AN
⇒
®
P ∈ DM ⊂ (CDM)
P ∈ AN ⊂ (ABC)
⇒ P ∈ (CDM) ∩ (ABC).
Lại có C ∈ (CDM) ∩ (ABC)
⇒ P C = (CDM) ∩ (ABC).
2 Tương tự, trong (BCD) gọi Q = CO ∩ BD,
trong (ACQ) gọi R = CM ∩ AQ
⇒
®
R ∈ CM ⊂ (CDM)
R ∈ AQ ⊂ (ABD)
⇒ R ∈ (CDM) ∩ (ABD).
Mặt khác D là điểm chung thứ hai của (MCD) và (ABD)
nên DR = (CDM) ∩ (ABD).
B
C
A
E
D
F
N
J
P
M
Q
O
K
G
I
R
c) Trong (BCD) gọi E = BO ∩ CD, F = IJ ∩ CD, K = BE ∩ IJ. Trong (ABE) gọi G = KM ∩ AE.
Có
®
F ∈ IJ ⊂ (IJM)
F ∈ CD ⊂ (ACD)
⇒ F ∈ (IJM ) ∩ (ACD).
Ta lại có
®
G ∈ KM ⊂ (IJM)
G ∈ AE ⊂ (ACD)
⇒ G ∈ (IJM ) ∩ (ACD). Vậy F G = (IJM) ∩ (ACD).
Bài 2. Cho tứ diện SABC có D, E lần lượt là trung điểm của AC, BC và G là trọng tâm của tam giác
ABC. Mặt phẳng (α) đi qua AC cắt SE, SB lần lượt tại M, N. Một mặt phẳng (β) đi qua BC cắt SD, SA
tương ứng tại P và Q.
a) Gọi I = AM ∩ DN, J = BP ∩ EQ. Chứng minh rằng S, I, J, G thẳng hàng.
b) Gọi K = AN ∩ DM, L = BQ ∩ EP . Chứng minh rằng S, K, L thẳng hàng.
-Lời giải.
1 Ta có S ∈ (SAE) ∩ (SBD) (1)
G = AE ∩ BD ⇒
®
G ∈ AE ⊂ (SAE)
G ∈ BD ⊂ (SBD)
⇒
®
G ∈ (SAE)
G ∈ (SBD)
(2)
I = AM ∩ DN ⇒
®
I ∈ DN ⊂ (SBD)
I ∈ AM ⊂ (SAE)
⇒
®
I ∈ (SBD)
I ∈ (SAE)
(3)
J = BP ∩ EQ ⇒
®
J ∈ BP ⊂ (SBD)
J ∈ EQ ⊂ (SAE)
⇒
®
J ∈ (SBD)
J ∈ (SAE)
(4)
S
B
G
E
I
A CD
M
N
P
Q
J
Th.s Nguyễn Chín Em 9 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Từ (1), (2), (3) và (4) ta có S, I, J, G là điểm chung của hai mặt phẳng (SBD) và (SAE) nên chúng
thẳng hàng.
b) Ta có S ∈ (SAB) ∩ (SED.) (1)
K = AN ∩ DM ⇒
®
K ∈ AM ⊂ (SAB)
K ∈ DM ⊂ (SED)
⇒
®
K ∈ (SAB)
K ∈ (SED).
(2)
L = BQ ∩ EP ⇒
®
L ∈ BQ ⊂ (SAB)
L ∈ EP ⊂ (SED)
⇒
®
L ∈ (SAB)
L ∈ (SED).
(3)
Từ (1), (2), (3) ta có S, K, L là điểm chung của hai mặt phẳng (SAB) và (SED) nên chúng thẳng
hàng.
Bài 3. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, M là một điểm trên cạnh SC, N là trên cạnh BC. Tìm giao điểm
của đường thẳng SD với mặt phẳng(AMN ).
-Lời giải.
Ta có SD ⊂ (SCD).
Trong (ABCD), gọi E = AN ∩ CD.
Khi đó, (SCD) ∩ (AMN) = ME.
Trong (SCD), gọi F = SD ∩M E.
Vậy F = SD ∩ (AMN ).
S
C
D
M
F
A
B
N
E
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P là ba điểm trên
các cạnh AD, CD, SO. Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNP ).
-Lời giải.
S
N
E A B
O
K
M
T
D
P
C
F
H
R
Trong mặt phẳng (ABCD) gọi E, K, F lần lượt là giao điểm của MN với DA, DB, DC. Trong mặt
phẳng (SDB) gọi H = KP ∩ SB.
Trong mặt phẳng (SAB) gọi T = EH ∩ SA.
Trong mặt phẳng (SBC) gọi R = F H ∩SC .
Ta có
®
E ∈ M N
H ∈ KP
Suy ra EH ⊂ (MNP ).
Ta có
®
T ∈ SA
T ∈ EH
Suy ra T = SA ∩ (MNP ).
Lí luận tương tự ta có R = SC ∩ (MNP ). Thiết diện là ngũ giác MNRHT .
Th.s Nguyễn Chín Em 10 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Bài 5. Cho tứ diện ABDC. Hai điểm M, N lần lượt nằm trên hai cạnh AB và AC sao cho
AM
AB
6=
AN
AC
.
Một mặt phẳng (P ) thay đổi luôn chứa MN, cắt các cạnh CD và BD lần lượt tại E và F .
a) Chứng minh EF luôn đi qua một điểm cố định.
b) Tìm tập hợp giao điểm I của ME và NF .
c) Tìm tập hợp giao điểm J của MF và NE.
-Lời giải.
K
E
J
F
A
M
B
C
D
N
O
I
a) Trong (ABC) gọi K = MN ∩ BC thì K cố định và
®
K ∈ MN
K ∈ BC
⇒
®
K ∈ (MNP )
K ∈ (BCD)
Lại có EF = (P ) ∩(BCD) ⇒ K ∈ EF .
Vậy EF luôn đi qua điểm K cố định.
b) Phần thuận.
Trong (P ) gọi I = M E ∩ NF ⇒
®
I ∈ M E ⊂ (MCD)
I ∈ N F ⊂ (NBD)
⇒ I ∈ (M CD) ∩(N BD).
Gọi O = CM ∩ BN ⇒ OD = (MCD) ∩ (NBD) ⇒ I ∈ OD.
Giới hạn.
Khi E chạy đến C thì F chạy đến B và I chạy đến O.
Khi Khi E chạy đến D thì F chạy đến D và I chạy đến D.
Phần đảo.
Gọi I là điểm bất kì trên đoạn OD, trong (MCD) gọi E = M I ∩CD, trong (NBD) gọi F = NI ∩BD suy
ra (MN EF ) là mặt phẳng quay quanh MN cắt các cạnh DB, DC tại các điểm E, F và I = ME ∩NF .
Vậy tập hợp điểm I là đoạn OD.
c) Gọi J = M F ∩ NE ⇒
®
J ∈ MF ⊂ (ADB)
J ∈ NE ⊂ (ACD)
⇒ J ∈ (ADB) ∩ (ACD).
Mà AD = (ADC) ∩ (ADB).
Khi E chạy đến C thì F chạy đến B và J chạy đến A.
Khi Khi E chạy đến D thì F chạy đến D và I chạy đến D.
Từ đó ta có tập hợp điểm J là đường thẳng AD trừ các điểm trong của đoạn AD.
E CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
1 CÂU HỎI LÝ THUYẾT
Câu 1. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. Qua 2 điểm phân biệt có duy nhất một mặt phẳng.
Th.s Nguyễn Chín Em 11 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
B. Qua 3 điểm phân biệt bất kì có duy nhất một mặt phẳng.
C. Qua 3 điểm không thẳng hàng có duy nhất một mặt phẳng.
D. Qua 4 điểm phân biệt bất kì có duy nhất một mặt phẳng.
-Lời giải.
Mệnh đề “Qua 2 điểm phân biệt có duy nhất một mặt phẳng” sai. Vì qua 2 điểm phân biệt, tạo được
1 đường thẳng, khi đó chưa đủ điều kiện để lập một mặt phẳng xác định. Có vô số mặt phẳng đi qua
2 điểm đã cho.
Mệnh đề “Qua 3 điểm phân biệt bất kì có duy nhất một mặt phẳng” sai. Vì trong trường hợp 3 điểm
phân biệt thẳng hàng thì chỉ tạo được đường thẳng, khi đó có vô số mặt phẳng đi qua 3 điểm phân
biệt thẳng hàng.
Mệnh đề “Qua 4 điểm phân biệt bất kì có duy nhất một mặt phẳng” sai. Vì trong trường hợp 4 điểm
phân biệt thẳng hàng thì có vô số mặt phẳng đi qua 4 điểm đó hoặc trong trường hợp 4 điểm mặt
phẳng không đồng phẳng thì sẽ tạo không tạo được mặt phẳng nào đi qua cả 4 điểm.
Chọn đáp án C
Câu 2. Trong không gian, cho 4 điểm không đồng phẳng. Có thể xác định được bao nhiêu mặt phẳng phân
biệt từ các điểm đã cho?
A. 6. B. 4. C. 3. D. 2.
-Lời giải.
Với 3 điểm phân biệt không thẳng hàng, ta luôn tạo được 1 mặt phẳng xác định. Khi đó, với 4 điểm không
đồng phẳng ta tạo được tối đa C
3
4
= 4 mặt phẳng.
Chọn đáp án B
Câu 3. Trong mặt phẳng (α), cho 4 điểm A, B, C, D trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Điểm S
không thuộc mặt phẳng (α). Có bao nhiêu mặt phẳng tạo bởi S và 2 trong 4 điểm nói trên?
A. 4. B. 5. C. 6. D. 8.
-Lời giải.
Với điểm S không thuộc mặt phẳng (α) và 4 điểm A, B, C, D thuộc mặt phẳng (α), ta có C
2
4
cách chọn 2
trong 4 điểm A, B, C, D cùng với điểm S lập thành 1 mặt phẳng xác định. Vậy số mặt phẳng tạo được là 6.
Chọn đáp án C
Câu 4. Cho 5 điểm A, B, C, D, E trong đó không có 4 điểm nào đồng phẳng. Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng
tạo bởi 3 trong 5 điểm đã cho?
A. 10. B. 12. C. 8. D. 14.
-Lời giải.
Với 3 điểm phân biệt không thẳng hàng, ta luôn tạo được 1 mặt phẳng xác định. Ta có C
3
5
cách chọn 3 điểm
trong 5 điểm đã cho để tạo được 1 mặt phẳng xác định. Vậy số mặt phẳng tạo được là 10.
Chọn đáp án A
Câu 5. Các yếu tố nào sau đây xác định một mặt phẳng duy nhất?
A. Ba điểm phân biệt. B. Một điểm và một đường thẳng.
C. Hai đường thẳng cắt nhau. D. Bốn điểm phân biệt.
-Lời giải.
Mệnh đề “Ba điểm phân biệt” sai. Trong trường hợp 3 điểm phân biệt thẳng hàng thì sẽ có vô số mặt
phẳng chứa 3 điểm thẳng hàng đã cho.
Mệnh đề “Một điểm và một đường thẳng” sai. Trong trường hợp điểm thuộc đường thẳng đã cho, khi
đó ta chỉ có 1 đường thẳng, có vô số mặt phẳng đi qua đường thẳng đó.
Mệnh đề “Bốn điểm phân biệt” sai. Trong trường hợp 4 điểm phân biệt thẳng hàng thì có vô số mặt
phẳng đi qua 4 điểm đó hoặc trong trường hợp 4 điểm mặt phẳng không đồng phẳng thì sẽ không tạo
được mặt phẳng nào đi qua cả 4 điểm.
Chọn đáp án C
Th.s Nguyễn Chín Em 12 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Câu 6. Cho tứ giác ABCD. Có thể xác định được bao nhiêu mặt phẳng chứa tất cả các đỉnh của tứ giác
ABCD?
A. 1. B. 2. C. 3. D. 0.
-Lời giải.
4 điểm A, B, C, D tạo thành 1 tứ giác, khi đó 4 điểm A, B, C, D đã đồng phẳng và tạo thành 1 mặt phẳng
duy nhất là mặt phẳng (ABCD).
Chọn đáp án A
Câu 7. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. Nếu 3 điểm A, B, C là 3 điểm chung của 2 mặt phẳng (P ) và (Q) thì A, B, C thẳng hàng.
B. Nếu A, B, C thẳng hàng và (P ), (Q) có điểm chung là A thì B, C cũng là 2 điểm chung của (P ) và
(Q).
C. Nếu 3 điểm A, B, C là 3 điểm chung của 2 mặt phẳng (P ) và (Q) phân biệt thì A, B, C không thẳng
hàng.
D. Nếu A, B, C thẳng hàng và A, B là 2 điểm chung của (P ) và (Q) thì C cũng là điểm chung của (P )
và (Q).
-Lời giải.
Hai mặt phẳng phân biệt không song song với nhau thì chúng có duy nhất một giao tuyến.
Mệnh đề “Nếu 3 điểm A, B, C là 3 điểm chung của 2 mặt phẳng (P ) và (Q) thì A, B, C thẳng hàng”
sai. Vì:
Nếu (P ) và (Q) trùng nhau thì 2 mặt phẳng có vô số điểm chung. Khi đó, chưa đủ điều kiện để kết
luận A, B, C thẳng hàng.
Mệnh đề “Nếu A, B, C thẳng hàng và (P ), (Q) có điểm chung là A thì B, C cũng là 2 điểm chung của
(P ) và (Q)” sai. Vì:
Có vô số đường thẳng đi qua A, khi đó B, C chưa chắc đã thuộc giao tuyến của (P ) và (Q).
Mệnh đề “Nếu 3 điểm A, B, C là 3 điểm chung của 2 mặt phẳng (P ) và (Q) phân biệt thì A, B, C
không thẳng hàng” sai. Vì:
Hai mặt phẳng (P ) và (Q) phân biệt giao nhau tại 1 giao tuyến duy nhất, nếu 3 điểm A, B, C là 3
điểm chung của 2 mặt phẳng thì A, B, C cùng thuộc giao tuyến.
Chọn đáp án D
Câu 8. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai?
A. Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có vô số điểm chung khác nữa.
B. Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất.
C. Hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất.
D. Hai mặt phẳng cùng đi qua 3 điểm A, B, C không thẳng hàng thì hai mặt phẳng đó trùng nhau.
-Lời giải.
Nếu 2 mặt phẳng trùng nhau, khi đó 2 mặt phẳng có vô số điểm chung và chung nhau vô số đường thẳng.
Chọn đáp án B
Câu 9. Cho 3 đường thẳng d
1
, d
2
, d
3
không cùng thuộc một mặt phẳng và cắt nhau từng đôi. Khẳng định
nào sau đây đúng?
A. 3 đường thẳng trên đồng quy.
B. 3 đường thẳng trên trùng nhau.
C. 3 đường thẳng trên chứa 3 cạnh của một tam giác.
D. Các khẳng định ở A, B, C đều sai.
-Lời giải.
Nếu 3 đường thẳng trùng nhau thì chúng sẽ cùng thuộc 1 mặt phẳng.
Nếu 3 đường thẳng trên chứa 3 cạnh của một tam giác khi đó sẽ tạo được 3
điểm phân biệt không thẳng hàng (là 3 đỉnh của tam giác), chúng lập thành 1
mặt phẳng xác định, 3 đường thẳng sẽ cùng thuộc 1 mặt phẳng.
Th.s Nguyễn Chín Em 13 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Chọn đáp án A
2 TÌM GIAO TUYẾN HAI MẶT PHẲNG
Câu 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD (AB k CD). Khẳng định nào sau đây
sai?
A. Hình chóp S.ABCD có 4 mặt bên.
B. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) là SO (O là giao điểm của AC và BD).
C. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) là SI (I là giao điểm của AD và BC).
D. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) là đường trung bình của ABCD .
-Lời giải.
Hình chóp S.ABCD có 4 mặt bên: (SAB) , (SBC) , (SCD) , (SAD).
là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).
®
O ∈ AC ⊂ (SAC) ⇒ O ∈ (SAC)
O ∈ BD ⊂ (SBD) ⇒ O ∈ (SBD)
⇒ O là điểm chung thứ hai
của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) .
⇒ (SAC) ∩ (SBD) = SO.
Tương tự, ta có (SAD) ∩ (SBC) = SI.
(SAB) ∩(SAD) = SA mà SA không phải là đường trung bình của
hình thang ABCD.
Vậy “Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) là đường trung
bình của ABCD” là mệnh đề sai.
S
O
I
A
D C
B
Chọn đáp án D
Câu 11. Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm của tam giác BCD. Giao tuyến của mặt phẳng (ACD)
và (GAB) là
A. AM (M là trung điểm của AB). B. AN (N là trung điểm của CD).
C. AH (H là hình chiếu của B trên CD). D. AK (K là hình chiếu của C trên BD).
-Lời giải.
A là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng (ACD) và (GAB).
Ta có BG ∩CD = N
⇒
®
N ∈ BG ⊂ (ABG) ⇒ N ∈ (ABG)
N ∈ CD ⊂ (ACD) ⇒ N ∈ (ACD) .
⇒ N là điểm chung thứ hai giữa hai mặt phẳng (ACD) và (GAB).
Vậy (ABG) ∩ (ACD) = AN.
A
C
G
B D
Chọn đáp án B
Câu 12. Cho điểm A không nằm trên mặt phẳng (α) chứa tam giác BCD. Lấy E, F là các điểm lần lượt
nằm trên các cạnh AB, AC. Khi EF và BC cắt nhau tại I thì I không phải là điểm chung của hai mặt
phẳng nào sau đây?
A. (BCD) và (DEF ). B. (BCD) và (ABC). C. (BCD) và (AEF ). D. (BCD) và (ABD).
-Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 14 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Điểm I là giao điểm của EF và BC,
mà
EF ⊂ (DEF )
EF ⊂ (ABC)
EF ⊂ (AEF )
⇒
I = (BCD) ∩ (DEF )
I = (BCD) ∩ (ABC)
I = (BCD) ∩ (AEF )
.
A
I
C
B
E
F
D
Chọn đáp án D
Câu 13. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC, CD. Giao tuyến của hai mặt phẳng
(MBD) và (ABN) là
A. đường thẳng M N.
B. đường thẳng AM .
C. đường thẳng BG (G là trọng tâm tam giác ACD).
D. đường thẳng AH (H là trực tâm tam giác ACD).
-Lời giải.
B là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng (MBD) và (ABN).
Vì M, N lần lượt là trung điểm của AC, CD nên suy ra AN, DM
là hai trung tuyến của tam giác ACD.
Gọi G = AN ∩ DM ⇒
®
G ∈ AN ⊂ (ABN) ⇒ G ∈ (ABN)
G ∈ DM ⊂ (M BD) ⇒ G ∈ (MBD)
⇒ G là điểm chung thứ hai giữa hai mặt phẳng (MBD) và (ABN) .
Vậy (ABN) ∩ (MBD) = BG.
A
C
N
B D
M
G
Chọn đáp án C
Câu 14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AD
và BC. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SMN ) và (SAC) là
A. SD. B. SO (O là tâm hình bình hành ABCD).
C. SG (G là trung điểm AB). D. SF (F là trung điểm CD).
-Lời giải.
S là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng (SMN) và
(SAC).
Gọi O = AC ∩ BD là tâm của hình hình hành.
Trong mặt phẳng (ABCD), gọi T = AC ∩ MN
⇒
®
O ∈ AC ⊂ (SAC) ⇒ O ∈ (SAC)
O ∈ MN ⊂ (SMN) ⇒ O ∈ (SMN)
⇒ O là điểm chung thứ hai giữa hai mặt phẳng (SMN) và (SAC) .
Vậy (SMN) ∩ (SAC) = SO.
S
M
B CN
O
A D
Chọn đáp án B
Câu 15. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I, J lần lượt là trung điểm SA, SB.
Khẳng định nào sau đây sai?
A. IJCD là hình thang. B. (SAB) ∩ (IBC) = IB .
Th.s Nguyễn Chín Em 15 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
C. (SBD) ∩(JCD) = J. D. (IAC) ∩ (JBD) = AO (O là tâm ABCD).
-Lời giải.
Ta có IJ là đường trung bình của tam giác SAB
⇒ IJ k AB k CD ⇒ IJ k CD ⇒ IJCD là hình thang.
Ta có
®
IB ⊂ (SAB)
IB ⊂ (IBC)
⇒ (SAB) ∩(IBC) = IB.
Ta có
®
JD ⊂ (SBD)
JD ⊂ (JBD)
⇒ (SBD) ∩ (JBD) = JD.
Trong mặt phẳng (IJCD), gọi M = IC ∩ JD ⇒ (IAC) ∩
(JBD) = MO.
S
M
I
B C
O
A
J
D
Chọn đáp án D
Câu 16. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD (AD k BC). Gọi M là trung điểm CD.
Giao tuyến của hai mặt phẳng (MSB) và (SAC) là
A. SI (I là giao điểm của AC và BM ). B. SJ (J là giao điểm của AM và BD).
C. SO (O là giao điểm của AC và BD). D. SP (P là giao điểm của AB và CD).
-Lời giải.
S là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng (MSB) và (SAC).
Ta có
®
I ∈ BM ⊂ (SBM ) ⇒ I ∈ (SBM)
I ∈ (AC) ∈ (SAC) ⇒ I ∈ (SAC)
⇒ I là điểm chung thứ hai giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SAC) .
Vậy (MSB) ∩ (SAC) = SI.
S
I
B C
A D
M
Chọn đáp án A
Câu 17. Cho 4 điểm không đồng phẳng A, B, C, D. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AD và B. Giao
tuyến của (IBC) và (KAD) là
A. IK. B. BC. C. AK. D. DK.
-Lời giải.
Điểm K là trung điểm của BC suy ra K ∈ (IBC) ⇒ IK ⊂ (IBC).
Điểm I là trung điểm của AD suy ra I ∈ (KAD) ⇒ IK ⊂ (KAD).
Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng (IBC) và (KAD) là IK.
A
I
C
K
B D
Chọn đáp án A
Câu 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với . Gọi là giao điểm của AC và BD. Trên
cạnh SB lấy điểm M . Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (ADM) và (SAC).
A. SI. B. AE, E là giao điểm của DM và SI).
C. DM. D. DE, E là giao điểm của DM và SI).
-Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 16 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Ta có A là điểm chung thứ nhất của (ADM) và (SAC).
Trong mặt phẳng (SBD), gọi E = SI ∩DM. Ta có:
E ∈ SI mà SI ⊂ (SAC) suy ra E ∈ (SAC).
E ∈ DM mà DM ⊂ (ADM) suy ra E ∈ (ADM).
Do đó E là điểm chung thứ hai của (ADM) và (SAC).
Vậy AE là giao tuyến của (ADM) và (SAC).
S
M
CD
I
A B
E
Chọn đáp án B
Câu 19. Cho tứ diện ABCD và điểm M thuộc miền trong của tam giác ACD. Gọi I và J lần lượt là hai
điểm trên cạnh BC và BD sao cho IJ không song song với CD. Gọi H, K lần lượt là giao điểm của IJ với
CD của MH và AC. Giao tuyến của hai mặt phẳng (ACD) và (IJM ) là
A. KI. B. KJ. C. MI. D. MH.
-Lời giải.
Trong mặt phẳng (BCD) , IJ cắt CD tại H ⇒ H ∈ (ACD).
Điểm H ∈ IJ suy ra bốn điểm M, I, J, H đồng phẳng.
Nên trong mặt phẳng (IJM ) ,
MH cắt IJ tại H và M H ⊂ (IJM).
Mặt khác
®
M ∈ (ACD)
H ∈ (ACD)
⇒ MH ⊂ (ACD).
Vậy (ACD) ∩ (IJM) = MH.
A
I
D
H
J
C
M
K
B
Chọn đáp án A
Câu 20. Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BC.
Trên đoạn BD lấy điểm P sao cho BP = 2PD. Giao điểm của đường thẳng CD và mặt phẳng (MNP ) là
giao điểm của
A. CD và N P . B. CD và M N. C. CD và MP . D. CD và AP .
-Lời giải.
Cách 1. Xét mặt phẳng BCD chứa CD. Do NP không song
song CD nên NP cắt CD tại E. Điểm E ∈ NP ⇒ E ∈
(MNP ). Vậy CD ∩(M NP ) tại E.
Cách 2. Ta có
®
N ∈ BC
P ∈ BD
⇒ N P ⊂ (BCD) suy ra NP, CD
đồng phẳng. Gọi E là giao điểm của NP và CD mà NP ⊂
(MNP ) suy ra CD ∩ (MN P ) = E.
Vậy giao điểm của CD và (MNP ) là giao điểm E của N P và CD.
A
E
C
N
P
B
M
D
Chọn đáp án A
Câu 21. Cho tứ diện ABCD. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AB và CD; G là trọng tâm tam giác
BCD. Giao điểm của đường thẳng EG và mặt phẳng (ACD) là
A. Điểm F . B. Giao điểm của đường thẳng EG và AF .
C. Giao điểm của đường thẳng EG và AC. D. Giao điểm của đường thẳng EG và CD.
Th.s Nguyễn Chín Em 17 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
-Lời giải.
Vì G là trọng tâm tam giác BCD, F là trung điểm của CD
⇒ G ∈ (ABF ).
Ta có E là trung điểm của AB
⇒ E ∈ (ABF ).
Gọi M là giao điểm của EG và AF mà AF ⊂ (ACD) suy ra M ∈
(ACD).
Vậy giao điểm của EG và (ACD) là M = EG ∩AF .
A
C
M
G
B
E
D
F
Chọn đáp án B
Câu 22. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của SC. Gọi I
là giao điểm của AM với mặt phẳng (SBD). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
# »
IA = −2
# »
IM. B.
# »
IA = −3
# »
IM. C.
# »
IA = 2
# »
IM. D. IA = 2, 5IM .
-Lời giải.
Gọi O là tâm hình bình hành ABCD suy ra O là trung điểm của AC.
Nối AM cắt SO tại I mà SO ⊂ (SBD) suy ra I = AM ∩ (SBD). Tam
giác SAC có M, O lần lượt là trung điểm của SC, AC. Mà I = AM ∩SO
suy ra I là trọng tâm tam giác SAC ⇒ AI =
2
3
AM ⇔ IA = 2IM. Điểm
I nằm giữa A và M suy ra
# »
IA = 2
# »
MI = −2
# »
IM.
S
M
B
C
O
A
I
D
Chọn đáp án A
Câu 23. Cho tứ giác ABCD có AC và BD giao nhau tại O và một điểm S không thuộc mặt phẳng
(ABCD). Trên đoạn SC lấy một điểm M không trùng với S và C. Giao điểm của đường thẳng SD với mặt
phẳng (ABM) là
A. Giao điểm của SD và AB.
B. Giao điểm của SD và AM .
C. Giao điểm của SD và BK (với K = SO ∩ AM).
D. Giao điểm của SD và M K (với K = SO ∩ AM).
-Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 18 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Chọn mặt phẳng phụ (SBD) chứa SD.
Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SBD) và (ABM). Ta có B là
điểm chung thứ nhất của (SBD) và (ABM).
Trong mặt phẳng (ABCD), gọi O = AC ∩ BD. Trong mặt phẳng
(SAC), gọi K = AM ∩ SO. Ta có:
– K ∈ SO mà SO ⊂ (SBD) suy ra K ∈ (SBD).
– K ∈ AM mà AM ⊂ (ABM ) suy ra K ∈ (AMB).
Suy ra K là điểm chung thứ hai của BCD và (MNP ). Do đó
(SBD) ∩ (ABM ) = BK.
Trong mặt phẳng (SBD), gọi N = SD ∩BK. Ta có: N ∈ BK, mà
BK ∩(ABM) suy ra N ∩ (ABM ). Mặt khác N ∈ SD.
Vậy N = SD ∩ (ABM ).
S
M
N
B
C
O
A
K
D
Chọn đáp án C
Câu 24. Cho bốn điểm A, B, C, S không cùng ở trong một mặt phẳng. Gọi I, H lần lượt là trung điểm của
SA, AB. Trên SC lấy điểm K sao cho IK không song song với AC (K không trùng với các đầu mút). Gọi
E là giao điểm của đường thẳng BC với mặt phẳng IHK. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. E nằm ngoài đoạn BC về phía B. B. E nằm ngoài đoạn BC về phía C.
C. E nằm trong đoạn BC. D. E nằm trong đoạn BC và E 6= B, E 6= C .
-Lời giải.
Chọn mặt phẳng phụ (ABC) chứa BC.
Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (ABC) và
(IHK). Ta có H là điểm chung thứ nhất của
(ABC) và (IHK). Trong mặt phẳng (SAC),
do IK không song song với AC nên gọi F =
IK ∩AC. Ta có:
S
B
H
E
F C
K
I
A
F ∈ AC mà AC ⊂ (ABC) suy ra F ∈ (ABC).
F ∈ IK mà IK ⊂ (IHK) suy ra F ∈ (IHK).
Suy ra F là điểm chung thứ hai của (ABC) và (IHK). Do đó (ABC) ∩ (IHK) = HF .
Trong mặt phẳng (ABC), gọi E = HF ∩ BC. Ta có:
E ∈ HF mà HF ⊂ (IHK) suy ra E ∈ (IHK).
E ∈ BC.
Vậy E = BC ∩ (IHK).
Chọn đáp án D
3 THIẾT DIỆN
Câu 25. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và AC, E là điểm trên cạnh
CD với ED = 3EC. Thiết diện tạo bởi mặt phẳng (MNE) và tứ diện ABCD là
A. Tam giác MN E.
B. Tứ giác M NEF với F là điểm bất kì trên cạnh BD.
Th.s Nguyễn Chín Em 19 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
C. Hình bình hành M NEF với F là điểm trên cạnh BD mà EF k BC.
D. Hình thang MN EF với F là điểm trên cạnh BD mà EF k BC.
-Lời giải.
Tam giác ABC có M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC.
Suy ra MN là đường trung bình của tam giác ABC ⇒ M N k BC.
Từ E kẻ đường thẳng d song song với BC và cắt BD tại F ⇒ EF k BC.
Do đó MN k EF suy ra bốn điểm M, N, E, F đồng phẳng và MNEF là hình
thang.
Vậy hình thang MNEF là thiết diện cần tìm.
A
C
E
F
B D
N
M
Chọn đáp án D
Câu 26. Cho tứ diện ABCD. Gọi H, K lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC. Trên đường thẳng CD
lấy điểm M nằm ngoài đoạn CD. Thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (HKM) là
A. Tứ giác HKMN với N ∈ AD.
B. Hình thang HKMN với N ∈ AD và HK k M N.
C. Tam giác HKL với L = KM ∩ BD.
D. Tam giác HKL với L = HM ∩ AD.
-Lời giải.
Ta có HK, KM là đoạn giao tuyến của (HKM) với (ABC) và (BCD).
Trong mặt phẳng (BCD), do KM không song song với BD nên gọi L =
KM ∩ BD.
Vậy thiết diện là tam giác HKL.
A
M
C
DL
B
H
K
Chọn đáp án C
Câu 27. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a (a > 0). Các điểm M, N, P lần lượt là
trung điểm của SA, SB, SC. Mặt phẳng (MNP ) cắt hình chóp theo một thiết diện có diện tích bằng
A. a
2
. B.
a
2
2
. C.
a
2
4
. D.
a
2
16
.
-Lời giải.
Gọi Q là trung điểm của SD.
Tam giác SAD có M, Q lần lượt là trung điểm của SA, SD suy
ra MQ k AD.
Tam giác SBC có N, P lần lượt là trung điểm của SB, SC suy ra
NP k BC.
Mặt khác AD k BC suy ra MQ k NP và MQ = NP ⇒ MN P Q
là hình vuông.
Khi đó M, N, P, Q đồng phẳng ⇒ (MNP ) cắt SD tại Q và
MNP Q là thiết diện của hình chóp S.ABCD với (MNP ).
Vậy diện tích hình vuông MNP Q là
S
MN P Q
=
S
ABCD
4
=
a
2
4
.
S
Q
M
B C
O
A
N
P
D
Chọn đáp án C
Th.s Nguyễn Chín Em 20 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Câu 28. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Mặt phẳng (GCD)
cắt tứ diện theo một thiết diện có diện tích là
A.
a
2
√
3
2
. B.
a
2
√
2
4
. C.
a
2
√
2
6
. D.
a
2
√
3
4
.
-Lời giải.
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC suy ra AN ∩ MC = G.
Dễ thấy mặt phẳng (GCD) cắt đường thắng AB tại điểm M.
Suy ra tam giác MCD là thiết diện của mặt phẳng (GCD) và tứ diện
ABCD.
Tam giác ABD đều, có M là trung điểm AB suy ra MD =
a
√
3
2
.
Tam giác ABC đều, có M là trung điểm AB suy ra MC =
a
√
3
2
.
A
C
N H
B
G
D
M
Gọi H là trung điểm của CD
⇒ MH ⊥ CD ⇒ S
∆MCD
=
1
2
· MH ·CD
Với M H =
√
MC
2
− HC
2
=
…
MC
2
−
CD
2
4
=
a
√
2
2
.
Vậy S
∆MCD
=
1
2
·
a
√
2
2
· a =
a
2
√
2
4
.
Chọn đáp án B
Câu 29. Cho tứ diện đều ABCD có độ dài các cạnh bằng 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh
AC, BC, P là trọng tâm tam giác BCD. Mặt phẳng (MN P ) cắt tứ diện theo một thiết diện có diện tích
là
A.
a
2
√
11
2
. B.
a
2
√
2
4
. C.
a
2
√
11
4
. D.
a
2
√
3
4
.
-Lời giải.
Trong tam giác BCD có: P là trọng tâm, N là trung điểm BC. Suy ra
N, P, D thẳng hàng. Vậy thiết diện là tam giác MND.
Xét tam giác MN D, ta có MN =
AB
2
= a; DM = DN =
AD
√
3
2
=
a
√
3.
Do đó tam giác MND cân tại D.
Gọi H là trung điểm MN suy ra DH ⊥ MN .
Diện tích tam giác
S
4MN D
=
1
2
MN · DH =
1
2
MN ·
p
DM
2
− MH
2
=
a
2
√
11
4
.
A
C
N
P
B
M
D
Chọn đáp án C
4 BA ĐIỂM THẲNG HÀNG, BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY
Câu 30. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Mặt phẳng (α) qua M N
cắt AD, BC lần lượt tại P và Q. Biết M P cắt NQ tại I. Ba điểm nào sau đây thẳng hàng?
A. I, A, C . B. I, B, D . C. I, A, B . D. I, C, D .
-Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 21 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Ta có (ABD) ∩ (BCD) = BD. Lại có
®
I ∈ M P ⊂ (ABD)
I ∈ N Q ⊂ (BCD)
⇒ I thuộc giao tuyến của (ABC) và (BCD)
⇒ I ∈ BD ⇒ I, B, D thẳng hàng.
A
P
D
C
Q
N
B
M
I
Chọn đáp án B
Câu 31. Cho tứ diện SABC. Gọi L, M, N lần lượt là các điểm trên các cạnh SA, SB và AC sao cho LM
không song song với AB, LN không song song với SC. Mặt phẳng (LMN ) cắt các cạnh AB, BC, SC lần
lượt tại K, I, J. Ba điểm nào sau đây thẳng hàng?
A. K, I, J. B. M, I, J. C. N, I, J. D. M, K, J .
-Lời giải.
Ta có
M ∈ SB suy M là điểm chung của (LMN ) và (SBC).
I là điểm chung của (LM N) và (SBC).
J là điểm chung của (LMN ) và (SBC).
Vậy M, I, J thẳng hàng vì cùng thuộc giao tuyến của (LMN) và
(SBC).
S
N C
K
B
J
I
A
M
L
Chọn đáp án B
Câu 32. Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm tam giác BCD, M là trung điểm CD, I là điểm ở trên
đoạn thẳng AG, BI cắt mặt phẳng (ACD) tại J. Khẳng định nào sau đây sai?
A. AM = (ACD) ∩(ABG). B. A, J, M thẳng hàng.
C. J là trung điểm của AM. D. DJ = (ACD) ∩(BDJ).
-Lời giải.
Ta có A là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng (ACD) và (GAB).
Do BG ∩CD = M ⇒
®
M ∈ BG ⊂ (ABG) ⇒ M ∈ (ABG)
M ∈ CD ⊂ (ACD) ⇒ M ∈ (ACD)
⇒ M là điểm chung thứ hai giữa hai mặt phẳng (ABG) và (ACD)
⇒ (ABG) ∩ (ACD) = AM .
Ta có
BI ⊂ (ABG)
AM ⊂ (ABM)
(ABG) ≡ (ABM)
⇒ AM, BI đồng phẳng.
⇒ J = BI ∩ AM ⇒ A, J, M thẳng hàng.
A
J
C
G
M
I
B
Ta có
®
DJ ⊂ (ACD)
DJ ⊂ (BDJ)
⇒ DJ = (ACD) ∩ (BDJ). Điểm I di động trên AG nên J có thể không phải là
trung điểm của AM .
Chọn đáp án C
Th.s Nguyễn Chín Em 22 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Câu 33. Cho tứ diện ABCD. Gọi E, F, G là các điểm lần lượt thuộc các cạnh AB, AC, BD sao cho EF
cắt BC tại I, EG cắt AD tại H. Ba đường thẳng nào sau đây đồng quy?
A. CD, EF, EG. B. CD, IG, HF . C. AB, IG, HF . D. AC, IG, BD.
-Lời giải.
Phương pháp: Để chứng minh ba đường thẳng d
1
, d
2
, d
3
đồng
quy ta chứng minh giao điểm của hai đường thẳng d
1
và d
2
là điểm chung của hai mặt phẳng (α) và (β); đồng thời d
3
là giao tuyến (α) và (β).
Gọi O = HF ∩ IG. Ta có:
O ∈ HF mà HF ⊂ (ACD) suy ra O ∈ (ACD).
O ∈ IG mà IG ⊂ (BCD) suy ra O ∈ (BCD).
Do đó O ∈ (ACD) ∩ (BCD) (1).
Mà (ACD) ∩ (BCD) = CD (2). Từ (1) và (2), suy ra O ∈
CD.
Vậy ba đường thẳng CD, IG, HF đồng quy.
A
F
C I
H
O
D
B
E
G
Chọn đáp án B
Câu 34. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD không phải là hình thang. Trên cạnh SC lấy điểm . Gọi
là giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Ba đường thẳng AB, CD, MN đôi một song song.
B. Ba đường thẳng AB, CD, MN đôi một cắt nhau.
C. Ba đường thẳng AB, CD, MN đồng quy.
D. Ba đường thẳng AB, CD, MN cùng thuộc một mặt phẳng.
-Lời giải.
Gọi I = AD ∩ BC. Trong mặt phẳng (SBC), gọi
K = BM ∩ SI. Trong mặt phẳng (SAD), gọi N =
AK ∩ SD.
Khi đó N là giao điểm của đường thẳng SD với mặt
phẳng (AMB). Gọi O = AB ∩ CD. Ta có:
O ∈ AB mà AB ⊂ (AMB) suy ra O ∈ (AMB).
O ∈ CD mà CD ⊂ (SCD) suy ra O ∈ (SCD).
Do đó O ∈ (AMB) ∩ (SCD) (1).
Mà (AMB) ∩ (SCD) = MN (2).
Từ (1) và (2), suy ra O ∈ MN.
Vậy ba đường thẳng AB, CD, MN đồng quy.
S
K
M
I
OB
C
A
N
D
Chọn đáp án C
Câu 35. Khi cắt hình chóp tứ giác S.ABCD bởi một mặt phẳng, thiết diện không thể là hình nào?
A. Ngũ giác. B. Lục giác. C. Tam giác. D. Tứ giác.
-Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 23 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Ta có hình chóp tứ giác S.ABCD gồm 5 mặt lần lượt là (SAB), (SBC),
(SCD), (SAD) và (ABCD) nên thiết diện là tứ giác có tối đa 5 cạnh. Do đó
thiết diện không thể là hình lục giác.
C
D
S
A B
Chọn đáp án B
Câu 36. Cho hai đường thẳng a và b. Điều kiện nào sau đây đủ để kết luận a và b chéo nhau?
A. a và b không cùng nằm trên bất kì mặt phẳng nào.
B. a và b không có điểm chung.
C. a và b là hai cạnh của một tứ diện.
D. a và b nằm trên hai mặt phẳng phân biệt.
-Lời giải.
a và b không cùng nằm trên bất kì mặt phẳng nào thì a và b là hai đường thẳng chéo nhau.
Chọn đáp án A
Câu 37. Tứ diện ABCD có bao nhiêu cạnh?
A. 4. B. 6. C. 8. D. 3.
-Lời giải.
Ta thấy tứ diện ABCD có 6 cạnh.
C
D
A
B
Chọn đáp án B
Câu 38. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau.
B. Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung.
C. Hai đường thẳng không song song thì chéo nhau.
D. Hai đường thẳng không cắt nhau và không song song thì chéo nhau.
-Lời giải.
Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau hoặc song song.
Hai đường thẳng không song song thì chéo nhau hoặc cắt nhau hoặc trùng nhau.
Hai đường thẳng không cắt nhau và không song song thì chéo nhau hoặc trùng nhau.
Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung là câu đúng.
Chọn đáp án B
Câu 39. Cho hình lập phương ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
cạnh a. Các điểm E và F lần lượt là trung điểm của C
0
B
0
và C
0
D
0
. Tính diện tích thiết diện của khối lập phương cắt bởi mặt phẳng (AEF ).
A.
7a
2
√
17
24
. B.
a
2
√
17
4
. C.
a
2
√
17
8
. D.
7a
2
√
17
12
.
-Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 24 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Thiết diện của hình lập phương cắt bởi mặt phẳng
(AEF ) là ngũ giác AKEF H.
Ta chia ngũ giác AKEF H thành hai phần: hình thang
cân EF HK đáy EF và tam giác AHK cân tại A.
Khi đó S
AKEF H
= S
EF HK
+ S
4AHK
.
Vì 4JD
0
H v 4ADH (g −g)
⇒
D
0
H
DH
=
D
0
J
DA
=
1
2
.
Suy ra D
0
H =
1
3
DD
0
=
1
3
a.
A B
D
0
C
0
D C
B
0
I
K
J
M
H
E
F
A
0
Tính diện tích 4AHK.
Xét 4ADH vuông tại D, ta có AH
2
= AD
2
+ DH
2
= a
2
+
4a
2
9
=
13a
2
9
⇒ AH =
a
√
13
3
.
Ta có HK = B
0
D
0
= a
√
2.
Do đó nửa chu vi 4AHK là p =
AH + AK + HK
2
=
2
√
13 + 3
√
2
6
.
Khi đó S
4AHK
=
p
p(p −AH)(p − AK)(p −HK) =
a
2
√
17
6
.
Tính diện tích hình thang EF HK.
Kẻ F M ⊥ HK. Ta có EF =
1
2
B
0
D
0
=
a
√
2
2
.
Do EF HK là hình thang cân nên HM =
1
2
(HK −EF ) =
1
2
Ç
a
√
2 −
a
√
2
2
å
=
a
√
2
4
.
Xét 4HD
0
F vuông tại D
0
, ta có HF
2
= HD
02
+ D
0
F
2
=
a
2
9
+
a
2
4
=
13a
2
36
.
Xét 4F MH vuông tại M, ta có F M
2
= F H
2
− MH
2
=
13a
2
36
−
a
2
8
=
17a
2
72
⇒ F M =
a
√
34
12
.
Vậy S
EF HK
=
F M · (EF + HK)
2
=
Ç
a
√
2 +
a
√
2
2
å
a
√
34
12
2
=
a
2
√
17
8
.
Vậy diện tích của ngũ giác AKEF H là S
AKEF H
= S
4AHK
+ S
EF HK
=
a
2
√
17
8
+
a
2
√
17
6
=
7a
2
√
17
24
.
Chọn đáp án A
Câu 40.
Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 2. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC.
Cắt tứ diện bởi mặt phẳng (GCD). Tính diện tích của thiết diện.
A.
√
3. B. 2
√
3. C.
√
2. D.
2
√
2
3
.
D
B
G
A C
-Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 25 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Thiết diện của hình chóp tạo bởi mặt phẳng (GCD) là ∆NCD.
Có AM = CN =
AB
√
3
2
=
√
3.
⇒ AG =
2
3
AM =
2
√
3
3
.
Xét ∆DGA vuông tại G có: DG =
√
DA
2
− AG
2
=
2
√
6
3
.
Nên S
∆NCD
=
1
2
DG · CN =
√
2.
D
B
G
A C
N M
Chọn đáp án C
Câu 41. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm
của BC, CD, SA. Mặt phẳng (MNP ) cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện là
A. Tam giác. B. Lục giác. C. Ngũ giác. D. Tứ giác.
-Lời giải.
Gọi I, J là giao của đường thẳng MN và AB, AD.
Gọi F là giao điểm của đường thẳng SB và P I.
Gọi E là giao điểm của đường thẳng SD và P J.
Khi đó thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt
phẳng (MNP ) là ngũ giác MN EP F .
S
B
D
J
E
C
I
P
F
A
N
M
Chọn đáp án C
Câu 42. Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.
A. Nếu một mặt phẳng cắt một trong hai đường thẳng song song thì mặt phẳng đó sẽ cắt đường thẳng
còn lại.
B. Hai mặt phẳng lần lượt đi qua hai đường thẳng song song thì cắt nhau theo một giao tuyến song song
với một trong hai đường thẳng đó.
C. Nếu một đường thẳng cắt một trong hai đường thẳng song song thì đường thẳng đó sẽ cắt đường
thẳng còn lại.
D. Hai mặt phẳng có một điểm chung thì cắt nhau theo một giao tuyến đi qua điểm chung đó.
-Lời giải.
Ta có tính chất sau: Nếu một mặt phẳng cắt một trong hai đường thẳng song song thì mặt phẳng đó sẽ cắt
đường thẳng còn lại.
Chọn đáp án A
Câu 43. Cho hai đường thẳng phân biệt a; b và mặt phẳng (α). Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh
đề sau
A. Nếu a k (α) và b k (α) thì a k b. B. Nếu a k (α) và b ⊥ (α) thì a ⊥ b.
C. Nếu a k (α) và b ⊥ a thì b ⊥ (α). D. Nếu a k (α) và b ⊥ a thì b k (α).
-Lời giải.
- Với
®
a k (α)
b k (α)
thì a chưa chắc song song với b, vì khi a, b cùng nằm trong một mặt phẳng thì chúng có thể
cắt nhau ⇒ đáp án sai.
- Với
®
a k (α)
b ⊥ a
thì b chưa chắc vuông góc với (α), vì khi b cùng nằm trong một mặt phẳng với a thì b k (α)
⇒ đáp án sai.
- Với
®
a k (α)
b ⊥ a
thì b chưa chắc song song với (α), vì b có thể nằm trong mặt phẳng (α)
⇒ đáp án sai.
Th.s Nguyễn Chín Em 26 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
- Với
®
a k (α)
b ⊥ (α)
⇒ a ⊥ b ⇒ đáp án đúng.
Chọn đáp án B
Câu 44. Cho hình chóp tam giác S.ABC có tất cả các cạnh bằng a. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của
CA, CB. K là điểm trên cạnh SA sao cho KA = 2KS. Thiết diện của mặt phẳng (IJK) với hình chóp có
diện tích là
A.
a
2
√
51
144
. B.
5a
2
√
51
288
. C.
5a
2
√
51
144
. D.
a
2
√
51
288
.
-Lời giải.
K
B
J
C
S
A I
H
Thiết diện là hình thang cân IJHK có
Đáy lớn IJ =
a
2
.
Đáy nhỏ HK =
a
3
.
Cạnh bên HJ
2
= BH
2
+ BJ
2
− 2BH ·BJ · cos 60
◦
=
13a
2
36
.
Chiều cao h
2
= HJ
2
−
Å
IJ − HK
2
ã
2
=
13a
2
36
−
a
2
144
=
51a
2
144
⇒ h =
a
√
51
12
.
Vậy diện tích thiết diện là S =
(HK + IJ)h
2
=
5a
2
√
51
144
.
Chọn đáp án C
Câu 45. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N , P lần lượt là trung điểm
của BC, CD, SA. Mặt phẳng (M NP ) cắt hình chóp theo thiết diện là hình
A. Tam giác. B. Lục giác. C. Ngũ giác. D. Tứ giác.
-Lời giải.
Gọi I, J lần lượt là giao của đường thẳng MN và AB,
AD.
Gọi F = SB ∩ PI; E = SD ∩ P J.
Khi đó thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng
(MNP ) là ngũ giác MNEP F .
A
B C
D
M
N
S
F
I
P
E
J
Chọn đáp án C
Th.s Nguyễn Chín Em 27 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Câu 46. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD)
và (SBC) là đường thẳng song song với đường thẳng nào sau đây?
A. AC. B. BD. C. AD. D. SC.
-Lời giải.
Do BC k AD nên giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và
(SBC) là một đường thẳng đi qua điểm S và song song với
AD.
S
A
D
C
B
Chọn đáp án C
Câu 47. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và
BC. Giao tuyến của (SMN ) và (SAC) là:
A. SK (K là trung điểm của AB). B. SO (O là tâm của hình bình hành ABCD).
C. SF (F là trung điểm của CD). D. SD.
-Lời giải.
Ta có S ∈ (SMN) ∩(SAC). (1)
Trong mặt phẳng (ABCD), gọi O = AC ∩BD. Suy ra O là điểm chung
thứ hai của hai mặt phẳng (SMN ) và (SAC). (2)
Từ (1) và (2) suy ra SO là giao tuyến của hai mặt phẳng (SMN) và
(SAC).
S
M
B
C
O
N
DA
Chọn đáp án B
Câu 48. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AD, BC; G là trọng tâm của
4BCD. Khi đó, giao điểm của đường thẳng M G và mp (ABC) là
A. Điểm A.
B. Giao điểm của đường thẳng M G và đường thẳng AN.
C. Điểm N.
D. Giao điểm của đường thẳng MG và đường thẳng BC.
-Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 28 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Trong mặt phẳng (AND): AN ∩ MG = E.
E ∈ AN, AN ⊂ (ABC) ⇒ E ∈ (ABC).
E ∈ M G.
⇒ E = M G ∩ (ABC).
Vậy giao điểm của đường thẳng M G và mặt phẳng (ABC) là
E, (E = AN ∩ MG).
A
B D
M
E
G
C
N
Chọn đáp án B
Câu 49. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC thỏa mãn AB = AC = 4,
’
BAC = 30
◦
. Mặt
phẳng (P ) song song với (ABC) cắt đoạn thẳng SA tại M sao cho SM = 2M A. Diện tích thiết diện của
(P ) và hình chópS.ABC bằng
A.
25
9
. B.
14
9
. C.
16
9
. D. 1.
-Lời giải.
Qua M dựng mặt phẳng song song với (ABC) cắt SB, SC tại N, P .
Khi đó
MN
AB
=
SM
SA
=
2
3
. Tương tự ta có
NP
BC
=
2
3
,
MP
AC
=
2
3
.
4ABC và 4MNP đồng dạng với tỉ số
k =
2
3
⇒ S
∆UN P
=
4
6
S
∆ABC
=
4
9
·
1
2
· AB ·AC · sin BAC =
16
9
.
S
N
B
A
M
C
P
Chọn đáp án C
Câu 50. Hình chóp tam giác có số cạnh là
A. 3. B. 6. C. 4. D. 5.
-Lời giải.
Xét hình chóp tam giác S.ABC có các cạnh là SA, SB, SC, AB, BC và CA. Vậy
hình chóp có số cạnh là 6.
A
B
C
S
Chọn đáp án B
Câu 51. Hình chóp tứ giác có tất cả bao nhiêu cạnh?
Th.s Nguyễn Chín Em 29 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
A. 8. B. 12. C. 20. D. 6.
-Lời giải.
Hình chóp tứ giác có 4 cạnh bên và 4 cạnh đáy nên có 8 cạnh.
Chọn đáp án A
Câu 52. Hình chóp tam giác có số cạnh là
A. 3. B. 6. C. 4. D. 5.
-Lời giải.
Xét hình chóp tam giác S.ABC có các cạnh là SA, SB, SC, AB, BC và CA. Vậy
hình chóp có số cạnh là 6.
A
B
C
S
Chọn đáp án B
Câu 53. Hình chóp tứ giác có tất cả bao nhiêu cạnh?
A. 8. B. 12. C. 20. D. 6.
-Lời giải.
Hình chóp tứ giác có 4 cạnh bên và 4 cạnh đáy nên có 8 cạnh.
Chọn đáp án A
Câu 54. Cho tứ diện S.ABC. Trên các cạnh SA, SB, AC lần lượt lấy các điểm D, E, F sao cho DE và AB
không song song. Tìm giao điểm M của BC và (DEF ).
A. M với M = DF ∩ BC. B. M với M = DE ∩ BC.
C. M với M = NF ∩ BC, N = DE ∩ AB. D. M với M = EF ∩ BC.
-Lời giải.
Do DE không song song AB nên DE ∩ AB = N ⇒
N ∈ (DEF ).
Gọi M = NF ∩ BC ⇒
®
M ∈ NF
M ∈ BC
(1).
Mặt khác NF ⊂ (DEF ) (2)
Từ (1) và (2) suy ra M = BC ∩ (DEF ) với M =
NF ∩ BC, N = DE ∩ AB.
C
A
F
S
E
BN
D
M
Chọn đáp án C
Câu 55. Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = 1, SB = 2, SC = 3. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC.
Mặt phẳng (P ) đi qua trung điểm của SG cắt các cạnh SA, SB, SC lần lượt tại A
0
, B
0
, C
0
. Tính giá trị nhỏ
nhất của biểu thức T =
1
SA
02
+
1
SB
02
+
1
SC
02
.
A.
7
18
. B. 1. C.
18
7
. D.
49
36
.
-Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 30 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Gọi M là trung điểm của BC và M
0
= SM ∩ (P ),
Ta đi chứng minh
SB
SB
0
+
SC
SC
0
= 2
SM
SM
0
.
Dựng BE k CF k B
0
C
0
⇒ M là trung điểm của EF .
Khi đó
SB
SB
0
=
SE
SM
0
và
SC
SC
0
=
SF
SM
0
.
⇒
SB
SB
0
+
SC
SC
0
=
SE + SF
SM
0
= 2
SM
SM
0
.
Một cách tương tự áp dụng vào tam giác SAM ta có
SA
SA
0
+
2SM
SM
0
=
3SG
SI
.
Khi đó
1
SA
0
+
2
SB
0
+
3
SC
0
=
3SG
SI
= 6 (với I là trung điểm SG).
B
S
C
M
B
0
C
0
E
F
M
0
Ta có 36 ≤
1 + 2
2
+ 3
2
Å
1
SA
02
+
1
SB
02
+
1
SC
02
ã
⇒
1
SA
02
+
1
SB
02
+
1
SC
02
≥
36
14
=
18
7
.
Chọn đáp án C
Câu 56. Khối lăng trụ bát giác có tất cả bao nhiêu đỉnh?
A. 8. B. 16. C. 24. D. 12.
-Lời giải.
Khối lăng trụ bát giác có 16 đỉnh.
Chọn đáp án B
Câu 57. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB,
AD và G là trọng tâm tam giác SBD. Mặt phẳng (MNG) cắt SC tại điểm H. Tính
SH
SC
.
A.
2
5
. B.
1
4
. C.
1
3
. D.
2
3
.
-Lời giải.
Gọi O là tâm hình bình hành ABCD, I là giao điểm của MN
và AC.
Ta có IG cắt SC tại H khi đó
®
H ∈ IG ⊂ (MN G)
H ∈ SC
⇒ H =
SC ∩ (MN G).
Xét tam giác SOC có I, G, H thẳng hàng suy ra theo định lý
Menelaus ta được
IO
IC
·
GS
GO
·
HC
HS
= 1.
Mà
IO
IC
=
1
3
,
GS
GC
= 2 suy ra
HC
HS
=
3
2
. Vậy
SH
SC
=
2
5
.
A
M
G
B C
D
S
H
I
O
N
Chọn đáp án A
Câu 58. Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = a, SC = 3a,
’
ASB =
’
CSB = 60
◦
,
’
CSA = 90
◦
. Gọi G là
trọng tâm tam giác ABC. Tính độ dài đoạn thẳng SG.
A.
a
√
5
3
. B.
a
√
15
3
. C.
a
√
7
3
. D. a
√
3.
-Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 31 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Tam giác SAB đều nên AB = a, tam giác SAC vuông tại S nên
AC = a
√
10.
Áp dụng định lý hàm số cos vào tam giác SBC tính được BC = a
√
7.
Gọi M là trung điểm AC, ta có SM =
AC
2
=
a
√
10
2
.
Xét 4ABC : BM =
a
√
6
2
⇒ BG =
2
3
BM =
a
√
6
3
.
Xét 4SBM : SB
2
+ BM
2
= SM
2
nên tam giác SBM vuông tại B.
Xét 4SBG :
SG
2
= SB
2
+ BG
2
= a
2
+
2a
2
3
=
5a
2
3
⇒ SG =
a
√
15
3
.
A
S
C
B
M
G
Chọn đáp án B
Câu 59. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. M, N lần lượt là trung điểm của AB, SC. I
là giao điểm của AN với (SBD), J giao điểm của MN với (SBD). Tính tỉ số
IB
IJ
.
A. 4. B. 3. C.
7
2
. D.
11
3
.
-Lời giải.
Gọi O = AC ∩ BD, SO ∩ AN = I. Suy ra I =
AN ∩(SBD). Trong mặt phẳng (ABN), gọi BI ∩
MN = J hay MN ∩ (SBD) = J.
Xét tam giác SAC có AN, SO là các trung tuyến
nên I là trọng tâm của tam giác SAC hay
AI
AN
=
2
3
. Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác IAB
với M, J, N thẳng hàng:
NI
NA
·
MA
MB
·
JB
JI
= 1 ⇔
1
3
·
1
1
·
JB
JI
= 1 hay
JB
JI
= 3 suy ra
IB
IJ
= 4.
A
M
I
B
O
J
C
D
N
S
Chọn đáp án A
Câu 60. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M là trung điểm SD, N là trọng tâm
giác SAB. Đường thẳng MN cắt mặt phẳng (SBC) tại điểm I. Tính tỉ số
IN
IM
.
A.
3
4
. B.
1
3
. C.
1
2
. D.
2
3
.
-Lời giải.
Gọi E là trung điểm của AB và F là giao điểm của DE với
BC. Khi đó (SDE) ∩ (SBC) = SF .
Trong tam giác F CD có EB là đường trung bình nên E là
trung điểm DF . Khi đó trong tam giác SDF có F M, SE là
trung tuyến và
SN
SE
=
2
3
(trong tam giác SAB) nên
F N
F M
=
2
3
.
C
D
S
BF
E
N
A
C
D
M
I
Th.s Nguyễn Chín Em 32 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Mặt khác, theo trên thì I là giao điểm của MN với (SBC) nên I sẽ trùng với F , hay
IN
IM
=
2
3
.
Chọn đáp án D
Câu 61. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O, điểm M nằm trên cạnh SB sao
cho SM =
1
3
SB. Giao điểm của đường thẳng SD và mặt phẳng (MAC) nằm trên đường thẳng nào sau
đây?
A. Đường thẳng MC. B. Đường thẳng MO. C. Đường thẳng M A. D. Đường thẳng AC.
-Lời giải.
Trong (SBD) gọi I = SD ∩ OM.
Khi đó, I = SD ∩(AM C).
A B
CD
O
S
I
M
Chọn đáp án B
Câu 62. Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm tam giác BCD, M là trung điểm CD, I là điểm ở trên
đoạn thẳng AG. Đường thẳng BI cắt mặt phẳng (ACD) tại J. Khẳng định nào sau đây sai?
A. AM = (ACD) ∩(ABG). B. A, J, M thẳng hàng.
C. DJ = (ACD) ∩(BDJ). D. J là trung điểm của AM.
-Lời giải.
Trong mặt phẳng (AMB) nối BI cắt AM tại J ⇒ J = BI ∩(ACD).
J là trung điểm của AM là khẳng định sai.
Thật vậy giả sử J là trung điểm AM. Gọi N là trung điểm BM , K là
trung điểm JM, KN cắt AG tại H
Khi đó AJ =
2
3
AK ⇒ IH =
1
2
AI.
GN
GB
=
1
4
⇒ GH =
1
4
GI.
Cộng vế ta được
3
4
GI =
1
2
AI ⇒
AI
AG
=
3
5
.
Do I bất kì trên AG nên khẳng định trên sai.
A
D
C
M
G
N
B
I
J
K
H
Chọn đáp án D
Câu 63. Cho tứ diện ABCD và M, N, P lần lượt nằm trên các cạnh AB, AC, AD mà không trùng với các
đỉnh của tứ diện. Thiết diện của tứ diện ABCD khi cắt bởi mặt phẳng MN P là:
A. Một tam giác. B. Một ngũ giác. C. Một đoạn thẳng. D. Một tứ giác.
-Lời giải.
Thiết diện của tứ diện ABCD khi cắt bởi mặt phẳng (MNP ) là tam giác 4M NP
Chọn đáp án A
Câu 64. Cho hình lăng trụ ABC.A
0
B
0
C
0
. Cắt hình lăng trụ bởi một mặt phẳng ta được một thiết diện. Số
cạnh lớn nhất của thiết diện thu được là bao nhiêu?
A. 5. B. 4. C. 3. D. 6.
-Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 33 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Lăng trụ đã cho có tất cả 5 mặt nên số cạnh của thiết diện
không quá 5.
Gọi M, N, R lần lượt là các điểm trên cạnh BC, AB, B
0
C
0
sao cho 3MB = MC, NA = NB, 3P C
0
= P B
0
. Khi đó thiết
diện của lăng trụ ABC.A
0
B
0
C
0
cắt bởi mặt phẳng (MN P )
là hình ngũ giác MNP QR.
A
C
M
B
0
Y
R
Q
A
0
X
B
C
0
P
N
Chọn đáp án A
Câu 65. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm
của SB, SD, OC. Gọi giao điểm của (M NP ) với SA là K. Tỉ số
KS
KA
là
A.
2
5
. B.
1
3
. C.
1
4
. D.
1
2
.
-Lời giải.
Trong (SBD) có MN ∩ SO = H.
Trong (SAC) có P H ∩ SA = K.
⇒ (MN P ) ∩ SA tại K.
Ta có MN là đường trung bình của tam giác SBD nên H là
trung điểm SO ⇒ P H là đường trung bình của tam giác SOC
⇒ P K k SC ⇒
KS
KA
=
P C
P A
=
1
3
.
S
A
K
B
D
C
N
H
M
O
P
Chọn đáp án B
Câu 66. Cho hình hộp ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
, gọi M là trung điểm CD, (P ) là mặt phẳng đi qua M và song
song với B
0
D và CD
0
. Thiết diện của hình hộp cắt bởi mặt phẳng (P ) là hình gì?
A. Ngũ giác. B. Tứ giác. C. Tam giác. D. Lục giác.
-Lời giải.
Trong (CDD
0
C
0
), kẻ đường thẳng qua M song
song CD
0
cắt DD
0
, C
0
D
0
tại E, F .
Trong (CDA
0
B
0
), kẻ đường thẳng qua M song
song B
0
D cắt B
0
C, A
0
B
0
tại H, K.
Trong (A
0
B
0
C
0
D
0
), KF cắt B
0
C
0
, A
0
D
0
tại I, J.
Trong (BCC
0
B
0
), IH cắt BC tại G.
Thiết diện là ngũ giác MEJIG
B
B
0
A
0
I
J
H
G
C
0
D
0
E
M
D
F
K
Chọn đáp án A
Th.s Nguyễn Chín Em 34 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Câu 67. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, I là trung điểm của SA. Thiết diện
của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng (IBC) là
A. Tam giác IBC. B. Hình thang IJBC (J là trung điểm của SD).
C. Hình thang IGBC (G là trung điểm của SB). D. Tứ giác IBCD.
-Lời giải.
B C
S
D
J
A
I
Ta có IJ k AD k BC suy ra bốn điểm B, C, J, I cùng nằm trên mặt phẳng IBC. Thiết diện là hình thang
IJBC.
Chọn đáp án B
Câu 68. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N và P lần lượt là trung điểm
của các cạnh SA, BC, CD. Hỏi thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (MN P ) là hình gì?
A. Hình ngũ giác. B. Hình tam giác. C. Hình tứ giác. D. Hình bình hành.
-Lời giải.
Trong (ABCD), gọi K, I lần lượt là giao điểm của
NP với AB và AD.
Trong (ABS), gọi R là giao điểm của MK với SB.
Trong (SAD), gọi Q là giao điểm của MI với SD.
Thiết diện tạo bởi (MNP ) cắt hình chóp là ngũ
giác MQP NR.
I
B
S
A
R
K
Q
CN
P
M
D
Chọn đáp án A
Câu 69. Hình chóp tứ giác có số cạnh là
A. 6. B. 8. C. 4. D. 12.
-Lời giải.
Số cạnh của hình chóp có đáy là đa giác n đỉnh là 2n cạnh.
Nên hình chóp tứ giác có 8 cạnh.
Chọn đáp án B
Câu 70. Khi cắt hình chóp tứ giác S.ABCD bởi một mặt phẳng, thiết diện không thể là hình nào?
A. Ngũ giác. B. Lục giác. C. Tam giác. D. Tứ giác.
-Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 35 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Ta có hình chóp tứ giác S.ABCD gồm 5 mặt lần lượt là (SAB), (SBC),
(SCD), (SAD) và (ABCD) nên thiết diện là tứ giác có tối đa 5 cạnh. Do đó
thiết diện không thể là hình lục giác.
C
D
S
A B
Chọn đáp án B
Câu 71. Cho hai đường thẳng a và b. Điều kiện nào sau đây đủ để kết luận a và b chéo nhau?
A. a và b không cùng nằm trên bất kì mặt phẳng nào.
B. a và b không có điểm chung.
C. a và b là hai cạnh của một tứ diện.
D. a và b nằm trên hai mặt phẳng phân biệt.
-Lời giải.
a và b không cùng nằm trên bất kì mặt phẳng nào thì a và b là hai đường thẳng chéo nhau.
Chọn đáp án A
Câu 72. Thiết diện của tứ diện ABCD cắt bởi mặt phẳng (P ) là một hình chữ nhật. Mệnh đề nào sau
đây là mệnh đề đúng ?
A. Tứ diện là một tứ diện đều.
B. Tứ diện có bốn đường cao đồng quy.
C. Ba cạnh của tứ diện cùng chung một đỉnh nào đó vuông góc từng đôi một.
D. Một cặp cạnh đối diện nào đó của tứ diện phải vuông góc.
-Lời giải.
Không làm mất tính tổng quát, giả sử (P ) ∩ (BCD) = MN; (P ) ∩
(ABD) = N P ; (P ) ∩ (ACD) = P Q và (P ) ∩ (ABC) = M Q. Thiết diện
của tứ diện ABCD cắt bởi mặt phẳng (P ) là hình chữ nhật MNP Q, suy
ra MN k P Q.
Vì (P ) ∩ (BCD) = MN; (P) ∩ (ACD) = P Q; (ACD) ∩ (BCD) = CD
mà MN k P Q nên suy ra CD k MN k P Q. (1)
Chứng minh tương tự, ta suy ra AB k M Q k P N. (2)
Mặt khác, do M NP Q là hình chữ nhật nên MQ ⊥ MN nên từ (1) và
(2) ⇒ MQ ⊥ CD ⇒ CD ⊥ AB.
Vậy hai cạnh đối diện của tứ diện là CD và AB phải vuông góc với nhau.
A
B
C
M
D
N
P
Q
Chọn đáp án D
Câu 73. Trong không gian cho bốn điểm không đồng phẳng. Có thể xác định được bao nhiêu mặt phẳng
phân biệt từ các điểm đã cho?
A. 6. B. 4. C. 3. D. 2.
-Lời giải.
Vì 4 điểm không đồng phẳng tạo thành một tứ diện mà tứ diện có 4 mặt
Chọn đáp án B
Câu 74. Cho hai đường thẳng a và b. Điều kiện nào sau đây đủ để kết luận a và b chéo nhau?
A. a và b không nằm trên bất kì mặt phẳng nào. B. a và b không có điểm chung..
C. a và b là hai cạnh của một tứ diện.. D. a và b nằm trên hai mặt phẳng phân biệt.
-Lời giải.
B sai vì a và b có thể song song.
C sai vì a và b có thể cắt nhau.
D sai vì a và b có thể song song.
Chọn đáp án A
Th.s Nguyễn Chín Em 36 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Câu 75. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang cân đáy lớn AD. Gọi M, lần lượt là hai trung
điểm của AB, CD. Gọi (P ) là mặt phẳng đi qua MN và cắt mặt bên (SBC) theo một giao tuyến. Thiết
diện của (P ) và hình chóp là
A. Hình bình hành. B. Hình chữ nhật. C. Hình thang. D. Hình vuông.
-Lời giải.
Giả sử mặt phẳng (P ) cắt (SBC) theo giao tuyến P Q.
Khi đó do MN k BC nên theo định lý ba giao tuyến song song hoặc đồng
quy áp dụng cho ba mặt phẳng (P ); (SBC); (ABCD) thì ta được ba giao
tuyến MN ; BC; P Q đôi một song song.
Do đó thiết diện là một hình thang.
S
A
B
M
Q
D
C
N
P
Chọn đáp án C
Câu 76. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Giao tuyến của (SAB) và (SCD)
là:
A. Đường SO với O là tâm hình bình hành. B. Đường thẳng qua S và cắt AB.
C. Đường thẳng qua S và song song với AD. D. Đường thẳng qua S và song song với CD.
-Lời giải.
Xét hai mặt phẳng (SAB) và (SCD), ta có:
S ∈ (SAB) ∩ (SCD)
AB ⊂ (SAB)
CD ⊂ (SCD)
AB k CD
⇒ (SAB) ∩(SCD) = Sx k AB k CD.
xS
A B
CD
Chọn đáp án D
Câu 77. Trong không gian cho ba hình dưới, hình nào là hình biểu diễn của một hình tứ diện?
(H
1
) (H
2
) (H
3
)
A. Không có hình nào. B. Chỉ có hình (H
1
).
C. Chỉ có hình (H
1
), (H
2
). D. Cả ba hình (H
1
), (H
2
), (H
3
).
-Lời giải.
Chọn đáp án D
Câu 78. Trong không gian, tập hợp các điểm cách đều ba đỉnh của một tam giác là
A. Tập rỗng.
B. Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.
C. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa tam giác tại tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.
D. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa tam giác tại trực tâm của tam giác đó.
-Lời giải.
Chọn đáp án C
Th.s Nguyễn Chín Em 37 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Câu 79.
Cho hình chóp S.ABCD, với ABCD là hình
bình hành. Cắt hình chóp bằng mặt phẳng (MNP ), trong
đó M, N , P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AD, SC.
Thiết diện nhận được sẽ là:
A. Lục giác. B. Tam giác.
C. Tứ giác. D. Ngũ giác.
-Lời giải.
Trong mặt phẳng đáy (ABCD) gọi M N ∩CD = D
1
, MN ∩
BC = B
1
.
Khi đó trong mặt phẳng (SBC) thì B
1
P ∩ SB = E và
trong mặt phẳng (SCD) thì D
1
P ∩ SD = K.
Vậy thiết diện là ngũ giác M EP KN .
Chọn đáp án D
S
E
A
C
N
B
B
1
D
D
1
M
P
K
Câu 80. Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau:
A. Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất.
B. Nếu ba điểm phân biệt M , N , P cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt thì chúng thẳng hàng.
C. Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng còn có vô số điểm chung khác nữa.
D. Hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất.
-Lời giải.
Chọn đáp án A
Câu 81. Trong mặt phẳng (α), cho bốn điểm A, B, C, D trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Điểm
S không thuộc mặt phẳng (α). Có mấy mặt phẳng tạo bởi S và hai trong bốn điểm nói trên?
A. 6. B. 8. C. 4. D. 5.
-Lời giải.
S
B C
D
A
Có 6 mặt phẳng là: (SAB), (SBC), (SCD), (SAD), (SAC), (SBD).
Chọn đáp án A
Câu 82. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. Qua 2 điểm phân biệt có duy nhất một mặt phẳng.
B. Qua 3 điểm phân biệt bất kì có duy nhất một mặt phẳng.
C. Qua 3 điểm không thẳng hàng có duy nhất một mặt phẳng.
D. Qua 4 điểm phân biệt bất kì có duy nhất một mặt phẳng.
-Lời giải.
Mệnh đề “Qua 2 điểm phân biệt có duy nhất một mặt phẳng” sai. Vì qua 2 điểm phân biệt, tạo được
1 đường thẳng, khi đó chưa đủ điều kiện để lập một mặt phẳng xác định. Có vô số mặt phẳng đi qua
2 điểm đã cho.
Mệnh đề “Qua 3 điểm phân biệt bất kì có duy nhất một mặt phẳng” sai. Vì trong trường hợp 3 điểm
phân biệt thẳng hàng thì chỉ tạo được đường thẳng, khi đó có vô số mặt phẳng đi qua 3 điểm phân
biệt thẳng hàng.
Mệnh đề “Qua 4 điểm phân biệt bất kì có duy nhất một mặt phẳng” sai. Vì trong trường hợp 4 điểm
phân biệt thẳng hàng thì có vô số mặt phẳng đi qua 4 điểm đó hoặc trong trường hợp 4 điểm mặt
phẳng không đồng phẳng thì sẽ tạo không tạo được mặt phẳng nào đi qua cả 4 điểm.
Th.s Nguyễn Chín Em 38 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Chọn đáp án C
Câu 83. Trong không gian, cho 4 điểm không đồng phẳng. Có thể xác định được bao nhiêu mặt phẳng
phân biệt từ các điểm đã cho?
A. 6. B. 4. C. 3. D. 2.
-Lời giải.
Với 3 điểm phân biệt không thẳng hàng, ta luôn tạo được 1 mặt phẳng xác định. Khi đó, với 4 điểm không
đồng phẳng ta tạo được tối đa C
3
4
= 4 mặt phẳng.
Chọn đáp án B
Câu 84. Trong mặt phẳng (α), cho 4 điểm A, B, C, D trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Điểm S
không thuộc mặt phẳng (α). Có bao nhiêu mặt phẳng tạo bởi S và 2 trong 4 điểm nói trên?
A. 4. B. 5. C. 6. D. 8.
-Lời giải.
Với điểm S không thuộc mặt phẳng (α) và 4 điểm A, B, C, D thuộc mặt phẳng (α), ta có C
2
4
cách chọn 2
trong 4 điểm A, B, C, D cùng với điểm S lập thành 1 mặt phẳng xác định. Vậy số mặt phẳng tạo được là 6.
Chọn đáp án C
Câu 85. Cho 5 điểm A, B, C, D, E trong đó không có 4 điểm nào đồng phẳng. Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng
tạo bởi 3 trong 5 điểm đã cho?
A. 10. B. 12. C. 8. D. 14.
-Lời giải.
Với 3 điểm phân biệt không thẳng hàng, ta luôn tạo được 1 mặt phẳng xác định. Ta có C
3
5
cách chọn 3 điểm
trong 5 điểm đã cho để tạo được 1 mặt phẳng xác định. Vậy số mặt phẳng tạo được là 10.
Chọn đáp án A
Câu 86. Các yếu tố nào sau đây xác định một mặt phẳng duy nhất?
A. Ba điểm phân biệt. B. Một điểm và một đường thẳng.
C. Hai đường thẳng cắt nhau. D. Bốn điểm phân biệt.
-Lời giải.
Mệnh đề “Ba điểm phân biệt” sai. Trong trường hợp 3 điểm phân biệt thẳng hàng thì sẽ có vô số mặt
phẳng chứa 3 điểm thẳng hàng đã cho.
Mệnh đề “Một điểm và một đường thẳng” sai. Trong trường hợp điểm thuộc đường thẳng đã cho, khi
đó ta chỉ có 1 đường thẳng, có vô số mặt phẳng đi qua đường thẳng đó.
Mệnh đề “Bốn điểm phân biệt” sai. Trong trường hợp 4 điểm phân biệt thẳng hàng thì có vô số mặt
phẳng đi qua 4 điểm đó hoặc trong trường hợp 4 điểm mặt phẳng không đồng phẳng thì sẽ không tạo
được mặt phẳng nào đi qua cả 4 điểm.
Chọn đáp án C
Câu 87. Cho tứ giác ABCD. Có thể xác định được bao nhiêu mặt phẳng chứa tất cả các đỉnh của tứ giác
ABCD?
A. 1. B. 2. C. 3. D. 0.
-Lời giải.
4 điểm A, B, C, D tạo thành 1 tứ giác, khi đó 4 điểm A, B, C, D đã đồng phẳng và tạo thành 1 mặt phẳng
duy nhất là mặt phẳng (ABCD).
Chọn đáp án A
Câu 88. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. Nếu 3 điểm A, B, C là 3 điểm chung của 2 mặt phẳng (P ) và (Q) thì A, B, C thẳng hàng.
B. Nếu A, B, C thẳng hàng và (P ), (Q) có điểm chung là A thì B, C cũng là 2 điểm chung của (P ) và
(Q).
C. Nếu 3 điểm A, B, C là 3 điểm chung của 2 mặt phẳng (P ) và (Q) phân biệt thì A, B, C không thẳng
hàng.
D. Nếu A, B, C thẳng hàng và A, B là 2 điểm chung của (P ) và (Q) thì C cũng là điểm chung của (P )
và (Q).
-Lời giải.
Hai mặt phẳng phân biệt không song song với nhau thì chúng có duy nhất một giao tuyến.
Th.s Nguyễn Chín Em 39 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Mệnh đề “Nếu 3 điểm A, B, C là 3 điểm chung của 2 mặt phẳng (P ) và (Q) thì A, B, C thẳng hàng”
sai. Vì:
Nếu (P ) và (Q) trùng nhau thì 2 mặt phẳng có vô số điểm chung. Khi đó, chưa đủ điều kiện để kết
luận A, B, C thẳng hàng.
Mệnh đề “Nếu A, B, C thẳng hàng và (P ), (Q) có điểm chung là A thì B, C cũng là 2 điểm chung của
(P ) và (Q)” sai. Vì:
Có vô số đường thẳng đi qua A, khi đó B, C chưa chắc đã thuộc giao tuyến của (P ) và (Q).
Mệnh đề “Nếu 3 điểm A, B, C là 3 điểm chung của 2 mặt phẳng (P ) và (Q) phân biệt thì A, B, C
không thẳng hàng” sai. Vì:
Hai mặt phẳng (P ) và (Q) phân biệt giao nhau tại 1 giao tuyến duy nhất, nếu 3 điểm A, B, C là 3
điểm chung của 2 mặt phẳng thì A, B, C cùng thuộc giao tuyến.
Chọn đáp án D
Câu 89. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai?
A. Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có vô số điểm chung khác nữa.
B. Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất.
C. Hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất.
D. Hai mặt phẳng cùng đi qua 3 điểm A, B, C không thẳng hàng thì hai mặt phẳng đó trùng nhau.
-Lời giải.
Nếu 2 mặt phẳng trùng nhau, khi đó 2 mặt phẳng có vô số điểm chung và chung nhau vô số đường thẳng.
Chọn đáp án B
Câu 90. Cho 3 đường thẳng d
1
, d
2
, d
3
không cùng thuộc một mặt phẳng và cắt nhau từng đôi. Khẳng định
nào sau đây đúng?
A. 3 đường thẳng trên đồng quy.
B. 3 đường thẳng trên trùng nhau.
C. 3 đường thẳng trên chứa 3 cạnh của một tam giác.
D. Các khẳng định ở A, B, C đều sai.
-Lời giải.
Nếu 3 đường thẳng trùng nhau thì chúng sẽ cùng thuộc 1 mặt phẳng.
Nếu 3 đường thẳng trên chứa 3 cạnh của một tam giác khi đó sẽ tạo được 3
điểm phân biệt không thẳng hàng (là 3 đỉnh của tam giác), chúng lập thành 1
mặt phẳng xác định, 3 đường thẳng sẽ cùng thuộc 1 mặt phẳng.
Chọn đáp án A
Câu 91. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD (AB k CD). Khẳng định nào sau đây
sai?
A. Hình chóp S.ABCD có 4 mặt bên.
B. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) là SO (O là giao điểm của AC và BD).
C. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) là SI (I là giao điểm của AD và BC).
D. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) là đường trung bình của ABCD .
-Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 40 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Hình chóp S.ABCD có 4 mặt bên: (SAB) , (SBC) , (SCD) , (SAD).
là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).
®
O ∈ AC ⊂ (SAC) ⇒ O ∈ (SAC)
O ∈ BD ⊂ (SBD) ⇒ O ∈ (SBD)
⇒ O là điểm chung thứ hai
của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) .
⇒ (SAC) ∩ (SBD) = SO.
Tương tự, ta có (SAD) ∩ (SBC) = SI.
(SAB) ∩(SAD) = SA mà SA không phải là đường trung bình của
hình thang ABCD.
Vậy “Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) là đường trung
bình của ABCD” là mệnh đề sai.
S
O
I
A
D C
B
Chọn đáp án D
Câu 92. Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm của tam giác BCD. Giao tuyến của mặt phẳng (ACD)
và (GAB) là
A. AM (M là trung điểm của AB). B. AN (N là trung điểm của CD).
C. AH (H là hình chiếu của B trên CD). D. AK (K là hình chiếu của C trên BD).
-Lời giải.
A là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng (ACD) và (GAB).
Ta có BG ∩CD = N
⇒
®
N ∈ BG ⊂ (ABG) ⇒ N ∈ (ABG)
N ∈ CD ⊂ (ACD) ⇒ N ∈ (ACD) .
⇒ N là điểm chung thứ hai giữa hai mặt phẳng (ACD) và (GAB).
Vậy (ABG) ∩ (ACD) = AN.
A
C
G
B D
Chọn đáp án B
Câu 93. Cho điểm A không nằm trên mặt phẳng (α) chứa tam giác BCD. Lấy E, F là các điểm lần lượt
nằm trên các cạnh AB, AC. Khi EF và BC cắt nhau tại I thì I không phải là điểm chung của hai mặt
phẳng nào sau đây?
A. (BCD) và (DEF ). B. (BCD) và (ABC). C. (BCD) và (AEF ). D. (BCD) và (ABD).
-Lời giải.
Điểm I là giao điểm của EF và BC,
mà
EF ⊂ (DEF )
EF ⊂ (ABC)
EF ⊂ (AEF )
⇒
I = (BCD) ∩ (DEF )
I = (BCD) ∩ (ABC)
I = (BCD) ∩ (AEF )
.
A
I
C
B
E
F
D
Chọn đáp án D
Câu 94. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC, CD. Giao tuyến của hai mặt phẳng
(MBD) và (ABN) là
A. đường thẳng M N.
B. đường thẳng AM .
Th.s Nguyễn Chín Em 41 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
C. đường thẳng BG (G là trọng tâm tam giác ACD).
D. đường thẳng AH (H là trực tâm tam giác ACD).
-Lời giải.
B là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng (MBD) và (ABN).
Vì M, N lần lượt là trung điểm của AC, CD nên suy ra AN, DM
là hai trung tuyến của tam giác ACD.
Gọi G = AN ∩ DM ⇒
®
G ∈ AN ⊂ (ABN) ⇒ G ∈ (ABN)
G ∈ DM ⊂ (M BD) ⇒ G ∈ (MBD)
⇒ G là điểm chung thứ hai giữa hai mặt phẳng (MBD) và (ABN) .
Vậy (ABN) ∩ (MBD) = BG.
A
C
N
B D
M
G
Chọn đáp án C
Câu 95. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AD
và BC. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SMN ) và (SAC) là
A. SD. B. SO (O là tâm hình bình hành ABCD).
C. SG (G là trung điểm AB). D. SF (F là trung điểm CD).
-Lời giải.
S là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng (SMN) và
(SAC).
Gọi O = AC ∩ BD là tâm của hình hình hành.
Trong mặt phẳng (ABCD), gọi T = AC ∩ MN
⇒
®
O ∈ AC ⊂ (SAC) ⇒ O ∈ (SAC)
O ∈ MN ⊂ (SMN) ⇒ O ∈ (SMN)
⇒ O là điểm chung thứ hai giữa hai mặt phẳng (SMN) và (SAC) .
Vậy (SMN) ∩ (SAC) = SO.
S
M
B CN
O
A D
Chọn đáp án B
Câu 96. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I, J lần lượt là trung điểm SA, SB.
Khẳng định nào sau đây sai?
A. IJCD là hình thang. B. (SAB) ∩ (IBC) = IB .
C. (SBD) ∩(JCD) = J. D. (IAC) ∩ (JBD) = AO (O là tâm ABCD).
-Lời giải.
Ta có IJ là đường trung bình của tam giác SAB
⇒ IJ k AB k CD ⇒ IJ k CD ⇒ IJCD là hình thang.
Ta có
®
IB ⊂ (SAB)
IB ⊂ (IBC)
⇒ (SAB) ∩(IBC) = IB.
Ta có
®
JD ⊂ (SBD)
JD ⊂ (JBD)
⇒ (SBD) ∩ (JBD) = JD.
Trong mặt phẳng (IJCD), gọi M = IC ∩ JD ⇒ (IAC) ∩
(JBD) = MO.
S
M
I
B C
O
A
J
D
Chọn đáp án D
Câu 97. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD (AD k BC). Gọi M là trung điểm CD.
Th.s Nguyễn Chín Em 42 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Giao tuyến của hai mặt phẳng (MSB) và (SAC) là
A. SI (I là giao điểm của AC và BM ). B. SJ (J là giao điểm của AM và BD).
C. SO (O là giao điểm của AC và BD). D. SP (P là giao điểm của AB và CD).
-Lời giải.
S là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng (MSB) và (SAC).
Ta có
®
I ∈ BM ⊂ (SBM ) ⇒ I ∈ (SBM)
I ∈ (AC) ∈ (SAC) ⇒ I ∈ (SAC)
⇒ I là điểm chung thứ hai giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SAC) .
Vậy (MSB) ∩ (SAC) = SI.
S
I
B C
A D
M
Chọn đáp án A
Câu 98. Cho 4 điểm không đồng phẳng A, B, C, D. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AD và B. Giao
tuyến của (IBC) và (KAD) là
A. IK. B. BC. C. AK. D. DK.
-Lời giải.
Điểm K là trung điểm của BC suy ra K ∈ (IBC) ⇒ IK ⊂ (IBC).
Điểm I là trung điểm của AD suy ra I ∈ (KAD) ⇒ IK ⊂ (KAD).
Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng (IBC) và (KAD) là IK.
A
I
C
K
B D
Chọn đáp án A
Câu 99. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với . Gọi là giao điểm của AC và BD. Trên
cạnh SB lấy điểm M . Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (ADM) và (SAC).
A. SI. B. AE, E là giao điểm của DM và SI).
C. DM. D. DE, E là giao điểm của DM và SI).
-Lời giải.
Ta có A là điểm chung thứ nhất của (ADM) và (SAC).
Trong mặt phẳng (SBD), gọi E = SI ∩DM. Ta có:
E ∈ SI mà SI ⊂ (SAC) suy ra E ∈ (SAC).
E ∈ DM mà DM ⊂ (ADM) suy ra E ∈ (ADM).
Do đó E là điểm chung thứ hai của (ADM) và (SAC).
Vậy AE là giao tuyến của (ADM) và (SAC).
S
M
CD
I
A B
E
Chọn đáp án B
Câu 100. Cho tứ diện ABCD và điểm M thuộc miền trong của tam giác ACD. Gọi I và J lần lượt là hai
điểm trên cạnh BC và BD sao cho IJ không song song với CD. Gọi H, K lần lượt là giao điểm của IJ với
CD của MH và AC. Giao tuyến của hai mặt phẳng (ACD) và (IJM ) là
A. KI. B. KJ. C. MI. D. MH.
-Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 43 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Trong mặt phẳng (BCD) , IJ cắt CD tại H ⇒ H ∈ (ACD).
Điểm H ∈ IJ suy ra bốn điểm M, I, J, H đồng phẳng.
Nên trong mặt phẳng (IJM ) ,
MH cắt IJ tại H và M H ⊂ (IJM).
Mặt khác
®
M ∈ (ACD)
H ∈ (ACD)
⇒ MH ⊂ (ACD).
Vậy (ACD) ∩ (IJM) = MH.
A
I
D
H
J
C
M
K
B
Chọn đáp án A
Câu 101. Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BC.
Trên đoạn BD lấy điểm P sao cho BP = 2PD. Giao điểm của đường thẳng CD và mặt phẳng (MNP ) là
giao điểm của
A. CD và N P . B. CD và M N. C. CD và MP . D. CD và AP .
-Lời giải.
Cách 1. Xét mặt phẳng BCD chứa CD. Do N P không song
song CD nên NP cắt CD tại E. Điểm E ∈ NP ⇒ E ∈
(MNP ). Vậy CD ∩(M NP ) tại E.
Cách 2. Ta có
®
N ∈ BC
P ∈ BD
⇒ N P ⊂ (BCD) suy ra NP, CD
đồng phẳng. Gọi E là giao điểm của NP và CD mà NP ⊂
(MNP ) suy ra CD ∩ (MN P ) = E.
Vậy giao điểm của CD và (MNP ) là giao điểm E của N P và CD.
A
E
C
N
P
B
M
D
Chọn đáp án A
Câu 102. Cho tứ diện ABCD. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AB và CD; G là trọng tâm tam
giác BCD. Giao điểm của đường thẳng EG và mặt phẳng (ACD) là
A. Điểm F . B. Giao điểm của đường thẳng EG và AF .
C. Giao điểm của đường thẳng EG và AC. D. Giao điểm của đường thẳng EG và CD.
-Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 44 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Vì G là trọng tâm tam giác BCD, F là trung điểm của CD
⇒ G ∈ (ABF ).
Ta có E là trung điểm của AB
⇒ E ∈ (ABF ).
Gọi M là giao điểm của EG và AF mà AF ⊂ (ACD) suy ra M ∈
(ACD).
Vậy giao điểm của EG và (ACD) là M = EG ∩AF .
A
C
M
G
B
E
D
F
Chọn đáp án B
Câu 103. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của SC. Gọi
I là giao điểm của AM với mặt phẳng (SBD). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
# »
IA = −2
# »
IM. B.
# »
IA = −3
# »
IM. C.
# »
IA = 2
# »
IM. D. IA = 2, 5IM .
-Lời giải.
Gọi O là tâm hình bình hành ABCD suy ra O là trung điểm của AC.
Nối AM cắt SO tại I mà SO ⊂ (SBD) suy ra I = AM ∩ (SBD). Tam
giác SAC có M, O lần lượt là trung điểm của SC, AC. Mà I = AM ∩SO
suy ra I là trọng tâm tam giác SAC ⇒ AI =
2
3
AM ⇔ IA = 2IM. Điểm
I nằm giữa A và M suy ra
# »
IA = 2
# »
MI = −2
# »
IM.
S
M
B
C
O
A
I
D
Chọn đáp án A
Câu 104. Cho tứ giác ABCD có AC và BD giao nhau tại O và một điểm S không thuộc mặt phẳng
(ABCD). Trên đoạn SC lấy một điểm M không trùng với S và C. Giao điểm của đường thẳng SD với mặt
phẳng (ABM) là
A. Giao điểm của SD và AB.
B. Giao điểm của SD và AM .
C. Giao điểm của SD và BK (với K = SO ∩ AM).
D. Giao điểm của SD và M K (với K = SO ∩ AM).
-Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 45 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Chọn mặt phẳng phụ (SBD) chứa SD.
Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SBD) và (ABM). Ta có B là
điểm chung thứ nhất của (SBD) và (ABM).
Trong mặt phẳng (ABCD), gọi O = AC ∩ BD. Trong mặt phẳng
(SAC), gọi K = AM ∩ SO. Ta có:
– K ∈ SO mà SO ⊂ (SBD) suy ra K ∈ (SBD).
– K ∈ AM mà AM ⊂ (ABM ) suy ra K ∈ (AMB).
Suy ra K là điểm chung thứ hai của BCD và (MNP ). Do đó
(SBD) ∩ (ABM ) = BK.
Trong mặt phẳng (SBD), gọi N = SD ∩BK. Ta có: N ∈ BK, mà
BK ∩(ABM) suy ra N ∩ (ABM ). Mặt khác N ∈ SD.
Vậy N = SD ∩ (ABM ).
S
M
N
B
C
O
A
K
D
Chọn đáp án C
Câu 105. Cho bốn điểm A, B, C, S không cùng ở trong một mặt phẳng. Gọi I, H lần lượt là trung điểm
của SA, AB. Trên SC lấy điểm K sao cho IK không song song với AC (K không trùng với các đầu mút).
Gọi E là giao điểm của đường thẳng BC với mặt phẳng IHK. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. E nằm ngoài đoạn BC về phía B. B. E nằm ngoài đoạn BC về phía C.
C. E nằm trong đoạn BC. D. E nằm trong đoạn BC và E 6= B, E 6= C .
-Lời giải.
Chọn mặt phẳng phụ (ABC) chứa BC.
Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (ABC) và
(IHK). Ta có H là điểm chung thứ nhất của
(ABC) và (IHK). Trong mặt phẳng (SAC),
do IK không song song với AC nên gọi F =
IK ∩AC. Ta có:
S
B
H
E
F C
K
I
A
F ∈ AC mà AC ⊂ (ABC) suy ra F ∈ (ABC).
F ∈ IK mà IK ⊂ (IHK) suy ra F ∈ (IHK).
Suy ra F là điểm chung thứ hai của (ABC) và (IHK). Do đó (ABC) ∩ (IHK) = HF .
Trong mặt phẳng (ABC), gọi E = HF ∩ BC. Ta có:
E ∈ HF mà HF ⊂ (IHK) suy ra E ∈ (IHK).
E ∈ BC.
Vậy E = BC ∩ (IHK).
Chọn đáp án D
Câu 106. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và AC, E là điểm trên cạnh
CD với ED = 3EC. Thiết diện tạo bởi mặt phẳng (MNE) và tứ diện ABCD là
A. Tam giác MN E.
B. Tứ giác M NEF với F là điểm bất kì trên cạnh BD.
C. Hình bình hành M NEF với F là điểm trên cạnh BD mà EF k BC.
Th.s Nguyễn Chín Em 46 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
D. Hình thang MN EF với F là điểm trên cạnh BD mà EF k BC.
-Lời giải.
Tam giác ABC có M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC.
Suy ra MN là đường trung bình của tam giác ABC ⇒ M N k BC.
Từ E kẻ đường thẳng d song song với BC và cắt BD tại F ⇒ EF k BC.
Do đó MN k EF suy ra bốn điểm M, N, E, F đồng phẳng và MNEF là hình
thang.
Vậy hình thang MNEF là thiết diện cần tìm.
A
C
E
F
B D
N
M
Chọn đáp án D
Câu 107. Cho tứ diện ABCD. Gọi H, K lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC. Trên đường thẳng CD
lấy điểm M nằm ngoài đoạn CD. Thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (HKM) là
A. Tứ giác HKMN với N ∈ AD.
B. Hình thang HKMN với N ∈ AD và HK k M N.
C. Tam giác HKL với L = KM ∩ BD.
D. Tam giác HKL với L = HM ∩ AD.
-Lời giải.
Ta có HK, KM là đoạn giao tuyến của (HKM) với (ABC) và (BCD).
Trong mặt phẳng (BCD), do KM không song song với BD nên gọi L =
KM ∩ BD.
Vậy thiết diện là tam giác HKL.
A
M
C
DL
B
H
K
Chọn đáp án C
Câu 108. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a (a > 0). Các điểm M, N, P lần lượt là
trung điểm của SA, SB, SC. Mặt phẳng (MNP ) cắt hình chóp theo một thiết diện có diện tích bằng
A. a
2
. B.
a
2
2
. C.
a
2
4
. D.
a
2
16
.
-Lời giải.
Gọi Q là trung điểm của SD.
Tam giác SAD có M, Q lần lượt là trung điểm của SA, SD suy
ra MQ k AD.
Tam giác SBC có N, P lần lượt là trung điểm của SB, SC suy ra
NP k BC.
Mặt khác AD k BC suy ra MQ k NP và MQ = NP ⇒ MN P Q
là hình vuông.
Khi đó M, N, P, Q đồng phẳng ⇒ (MNP ) cắt SD tại Q và
MNP Q là thiết diện của hình chóp S.ABCD với (MNP ).
Vậy diện tích hình vuông MNP Q là
S
MN P Q
=
S
ABCD
4
=
a
2
4
.
S
Q
M
B C
O
A
N
P
D
Chọn đáp án C
Câu 109. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Mặt phẳng (GCD)
cắt tứ diện theo một thiết diện có diện tích là
Th.s Nguyễn Chín Em 47 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
A.
a
2
√
3
2
. B.
a
2
√
2
4
. C.
a
2
√
2
6
. D.
a
2
√
3
4
.
-Lời giải.
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC suy ra AN ∩ MC = G.
Dễ thấy mặt phẳng (GCD) cắt đường thắng AB tại điểm M.
Suy ra tam giác MCD là thiết diện của mặt phẳng (GCD) và tứ diện
ABCD.
Tam giác ABD đều, có M là trung điểm AB suy ra MD =
a
√
3
2
.
Tam giác ABC đều, có M là trung điểm AB suy ra MC =
a
√
3
2
.
A
C
N H
B
G
D
M
Gọi H là trung điểm của CD
⇒ MH ⊥ CD ⇒ S
∆MCD
=
1
2
· MH ·CD
Với M H =
√
MC
2
− HC
2
=
…
MC
2
−
CD
2
4
=
a
√
2
2
.
Vậy S
∆MCD
=
1
2
·
a
√
2
2
· a =
a
2
√
2
4
.
Chọn đáp án B
Câu 110. Cho tứ diện đều ABCD có độ dài các cạnh bằng 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh
AC, BC, P là trọng tâm tam giác BCD. Mặt phẳng (MN P ) cắt tứ diện theo một thiết diện có diện tích
là
A.
a
2
√
11
2
. B.
a
2
√
2
4
. C.
a
2
√
11
4
. D.
a
2
√
3
4
.
-Lời giải.
Trong tam giác BCD có: P là trọng tâm, N là trung điểm BC. Suy ra
N, P, D thẳng hàng. Vậy thiết diện là tam giác MND.
Xét tam giác MN D, ta có MN =
AB
2
= a; DM = DN =
AD
√
3
2
=
a
√
3.
Do đó tam giác MND cân tại D.
Gọi H là trung điểm MN suy ra DH ⊥ MN .
Diện tích tam giác
S
4MN D
=
1
2
MN · DH =
1
2
MN ·
p
DM
2
− MH
2
=
a
2
√
11
4
.
A
C
N
P
B
M
D
Chọn đáp án C
Câu 111. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Mặt phẳng (α) qua MN
cắt AD, BC lần lượt tại P và Q. Biết M P cắt NQ tại I. Ba điểm nào sau đây thẳng hàng?
A. I, A, C . B. I, B, D . C. I, A, B . D. I, C, D .
-Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 48 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Ta có (ABD) ∩ (BCD) = BD. Lại có
®
I ∈ M P ⊂ (ABD)
I ∈ N Q ⊂ (BCD)
⇒ I thuộc giao tuyến của (ABC) và (BCD)
⇒ I ∈ BD ⇒ I, B, D thẳng hàng.
A
P
D
C
Q
N
B
M
I
Chọn đáp án B
Câu 112. Cho tứ diện SABC. Gọi L, M, N lần lượt là các điểm trên các cạnh SA, SB và AC sao cho LM
không song song với AB, LN không song song với SC. Mặt phẳng (LMN ) cắt các cạnh AB, BC, SC lần
lượt tại K, I, J. Ba điểm nào sau đây thẳng hàng?
A. K, I, J. B. M, I, J. C. N, I, J. D. M, K, J .
-Lời giải.
Ta có
M ∈ SB suy M là điểm chung của (LMN ) và (SBC).
I là điểm chung của (LM N) và (SBC).
J là điểm chung của (LMN ) và (SBC).
Vậy M, I, J thẳng hàng vì cùng thuộc giao tuyến của (LMN) và
(SBC).
S
N C
K
B
J
I
A
M
L
Chọn đáp án B
Câu 113. Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm tam giác BCD, M là trung điểm CD, I là điểm ở trên
đoạn thẳng AG, BI cắt mặt phẳng (ACD) tại J. Khẳng định nào sau đây sai?
A. AM = (ACD) ∩(ABG). B. A, J, M thẳng hàng.
C. J là trung điểm của AM. D. DJ = (ACD) ∩(BDJ).
-Lời giải.
Ta có A là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng (ACD) và (GAB).
Do BG ∩CD = M ⇒
®
M ∈ BG ⊂ (ABG) ⇒ M ∈ (ABG)
M ∈ CD ⊂ (ACD) ⇒ M ∈ (ACD)
⇒ M là điểm chung thứ hai giữa hai mặt phẳng (ABG) và (ACD)
⇒ (ABG) ∩ (ACD) = AM .
Ta có
BI ⊂ (ABG)
AM ⊂ (ABM)
(ABG) ≡ (ABM)
⇒ AM, BI đồng phẳng.
⇒ J = BI ∩ AM ⇒ A, J, M thẳng hàng.
A
J
C
G
M
I
B
Ta có
®
DJ ⊂ (ACD)
DJ ⊂ (BDJ)
⇒ DJ = (ACD) ∩ (BDJ). Điểm I di động trên AG nên J có thể không phải là
trung điểm của AM .
Chọn đáp án C
Th.s Nguyễn Chín Em 49 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Câu 114. Cho tứ diện ABCD. Gọi E, F, G là các điểm lần lượt thuộc các cạnh AB, AC, BD sao cho EF
cắt BC tại I, EG cắt AD tại H. Ba đường thẳng nào sau đây đồng quy?
A. CD, EF, EG. B. CD, IG, HF . C. AB, IG, HF . D. AC, IG, BD.
-Lời giải.
Phương pháp: Để chứng minh ba đường thẳng d
1
, d
2
, d
3
đồng
quy ta chứng minh giao điểm của hai đường thẳng d
1
và d
2
là điểm chung của hai mặt phẳng (α) và (β); đồng thời d
3
là giao tuyến (α) và (β).
Gọi O = HF ∩ IG. Ta có:
O ∈ HF mà HF ⊂ (ACD) suy ra O ∈ (ACD).
O ∈ IG mà IG ⊂ (BCD) suy ra O ∈ (BCD).
Do đó O ∈ (ACD) ∩ (BCD) (1).
Mà (ACD) ∩ (BCD) = CD (2). Từ (1) và (2), suy ra O ∈
CD.
Vậy ba đường thẳng CD, IG, HF đồng quy.
A
F
C I
H
O
D
B
E
G
Chọn đáp án B
Câu 115. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD không phải là hình thang. Trên cạnh SC lấy điểm . Gọi
là giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Ba đường thẳng AB, CD, MN đôi một song song.
B. Ba đường thẳng AB, CD, MN đôi một cắt nhau.
C. Ba đường thẳng AB, CD, MN đồng quy.
D. Ba đường thẳng AB, CD, MN cùng thuộc một mặt phẳng.
-Lời giải.
Gọi I = AD ∩ BC. Trong mặt phẳng (SBC), gọi
K = BM ∩ SI. Trong mặt phẳng (SAD), gọi N =
AK ∩ SD.
Khi đó N là giao điểm của đường thẳng SD với mặt
phẳng (AMB). Gọi O = AB ∩ CD. Ta có:
O ∈ AB mà AB ⊂ (AMB) suy ra O ∈ (AMB).
O ∈ CD mà CD ⊂ (SCD) suy ra O ∈ (SCD).
Do đó O ∈ (AMB) ∩ (SCD) (1).
Mà (AMB) ∩ (SCD) = MN (2).
Từ (1) và (2), suy ra O ∈ MN.
Vậy ba đường thẳng AB, CD, MN đồng quy.
S
K
M
I
OB
C
A
N
D
Chọn đáp án C
Câu 116. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J và K lần lượt là trung điểm của AC, BC và BD. Giao tuyến của
hai mặt phẳng (ABD) và (IKJ) là đường thẳng
A. KD. B. KI.
C. qua K và song song với AB. D. Không có.
-Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 50 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Ta có
(IJK) ∩ (ABD) = K
IJ ⊂ (IJK) , AB ⊂ (ABD)
IJ k AB
⇔ (IJK) ∩(ABD) = KM k IJ k AB.
A
D
M
K
C
I
B
J
Chọn đáp án C
Câu 117. Các yếu tố nào sau đây xác định một mặt phẳng duy nhất?
A. Ba điểm. B. Một điểm và một đường thẳng.
C. Hai đường thẳng cắt nhau. D. Bốn điểm.
-Lời giải.
Sửa lại cho đúng: Ba điểm không thẳng hàng.
Sửa lại cho đúng: Một điểm và một đường thẳng không chứa điểm đó.
Chọn đáp án C
Câu 118. Cho tam giác ABC, lấy điểm I trên cạnh AC kéo dài. Mệnh đề nào sau đây là sai?
A. A ∈ (ABC). B. I ∈ (ABC). C. (ABC) ≡ (BIC). D. BI 6⊂ (ABC).
-Lời giải.
Ta có I ∈ (ABC) , B ∈ (ABC) ⇔ BI 6⊂ (ABC) .
B C
A
I
Chọn đáp án D
Câu 119. Cho tam giác ABC. Có thể xác định được bao nhiêu mặt phẳng chứa tất cả các đỉnh tam giác
ABC?
A. 4. B. 3. C. 2. D. 1.
-Lời giải.
Ta có ABC là tam giác ⇔ ba điểm A, B, C không thẳng hàng. Vậy
có duy nhất một mặt phẳng chứa A, B, C.
B
AC
Chọn đáp án D
Câu 120. Trong không gian cho bốn điểm không đồng phẳng, có thể xác định nhiều nhất bao nhiêu mặt
phẳng phân biệt từ các điểm đó?
A. 6. B. 4. C. 3. D. 2.
-Lời giải.
Giả sử bốn điểm đó là tứ diện ABCD. Có các mặt phẳng đó là:
(ABC) , (ABD) , (ACD) , (BCD) .
A
B
D C
Th.s Nguyễn Chín Em 51 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Chọn đáp án B
Câu 121. Cho hình chóp S.ABCD với đáy là tứ giác ABCD có các cạnh đối không song song. Giả sử
AC ∩ BD = O và AD ∩ BC = I. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) là
A. SC. B. SB. C. SO. D. SI.
-Lời giải.
Ta có
(SAC) ∩ (SBD) = S
O ∈ AC ⊂ (SAC)
O ∈ BD ⊂ (SBD)
⇔ (SAC) ∩ (SBD) = SO.
S
O
B
C
ID
A
Chọn đáp án C
Câu 122. Cho hình chóp S.ABCD với đáy là tứ giác ABCD. Thiết diện của mặt phẳng (α) tùy ý với hình
chóp không thể là
A. Lục giác. B. Ngũ giác. C. Tứ giác. D. Tam giác.
-Lời giải.
Hình chóp tứ giác có tất cả 5 mặt nên thiết diện không thể là lục giác.
Chọn đáp án A
ĐÁP ÁN
1. C 2. B 3. C 4. A 5. C 6. A 7. D 8. B 9. A 10. D
11. B 12. D 13. C 14. B 15. D 16. A 17. A 18. B 19. A 20. A
21. B 22. A 23. C 24. D 25. D 26. C 27. C 28. B 29. C 30. B
31. B 32. C 33. B 34. C 35. B 36. A 37. B 38. B 39. A 40. C
41. C 42. A 43. B 44. C 45. C 46. C 47. B 48. B 49. C 50. B
51. A 52. B 53. A 54. C 55. C 56. B 57. A 58. B 59. A 60. D
61. B 62. D 63. A 64. A 65. B 66. A 67. B 68. A 69. B 70. B
71. A 72. D 73. B 74. A 75. C 76. D 77. D 78. C 79. D 80. A
81. A 82. C 83. B 84. C 85. A 86. C 87. A 88. D 89. B 90. A
91. D 92. B 93. D 94. C 95. B 96. D 97. A 98. A 99. B 100. A
101. A 102. B 103. A 104. C 105. D 106. D 107. C 108. C 109. B 110. C
111. B 112. B 113. C 114. B 115. C 116. C 117. C 118. D 119. D 120. B
121. C 122. A
Th.s Nguyễn Chín Em 52 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
BÀI 2. HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU VÀ HAI
ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG
A TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1 VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
Cho hai đường thẳng a và b trong không gian. Có các trường hợp sau đây xảy ra đối với a và b.
Trường hợp 1: Có một mặt phẳng chứa cả a và b, khi đó theo kết quả tronh hình học
phẳng ta có ba khả năng sau.
a và b cắt nhau tại điểm M, ta kí hiệu a ∩ b = M.
a và b song song với nhau, ta kí hiệu a k b.
a và b trùng nhau, ta kí hiệu a ≡ b.
Trường hợp 2: Không có mặt phẳng nào chứa cả a và b, khi đó ta nói a và b là hai đường
thẳng chéo nhau.
2 CÁC ĐỊNH LÍ VÀ TÍNH CHẤT
1 Trong không gian, qua một điểm cho trước không nằm trên đường thẳng a có một và chỉ một
đường thẳng song song với a.
2 Nếu ba mặt phẳng phân biệt đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến thì ba giao tuyến đó hoặc
đồng qui hoặc đôi một song song.
3 Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng
(nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.
4 Nếu hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì chúng song song
c
a
b
γ
α
β
c
a
b
γ
α
β
d
1
d
2
d
α
β
B CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng bằng quan hệ song song
Phương pháp:
Sử dụng tính chất: Nếu hai mặt phẳng (α) và (β) có điểm chung M và lần lượt chứa hai đường thẳng
song song d và d
0
thì giao tuyến của (α) và (β) là đường thẳng đi qua M song song với d và d
0
.
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Tìm giao tuyến của hai mặt
phẳng (SAB) và (SCD)
Th.s Nguyễn Chín Em 53 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
-Lời giải.
S
A
B C
D
Ta có
AB ⊂ (SAB)
CD ⊂ (SCD)
AB k CD
S ∈ (SAB) ∩ (SCD)
⇒ (SAB) ∩(SCD) = d k AB k CD, S ∈ d.
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với các cạnh đáy là AB và CD. Gọi
I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh AD và BC và G là trọng tâm của tam giác SAB. Tìm giao
tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (IJG).
-Lời giải.
S
A
D
I
M
C
B
N
J
E
G
Ta có ABCD là hình thang và I, J là trung điểm của AD, BC nên IJ//AB.
Vậy
G ∈ (SAB) ∩ (IJG)
AB ⊂ (SAB)
IJ ⊂ (IJG)
AB k IJ
⇒ (SAB) ∩(IJG) = M N với MN đi qua G và song song AB với M ∈ SA, N ∈
SB.
Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với các cạnh đáy là AB và CD. Gọi
I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh AD và BC và G là trọng tâm của tam giác SAB. Tìm điều
kiện của AB và CD để thiết diện của (IJG) và hình chóp là một hình bình hành.
-Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 54 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
S
A
D
I
M
C
B
N
J
E
G
Dễ thấy thiết diện là tứ giác MN JI.
Do G là trọng tâm tam giác SAB và MN k AB nên
MN
AB
=
SG
SE
=
2
3
(E là trung điểm của AB)
⇒ MN =
2
3
AB.
Lại có IJ =
1
2
(AB + CD). Vì M N k IJ nên M NIJ là hình thang, do đó MNIJ là hình bình hành khi
MN = IJ ⇔
2
3
AB =
1
2
(AB + CD) ⇔ AB = 3CD.
Vậy để thết diện là hình bình hành khi AB = 3CD.
Dạng 2. Chứng minh hai đường thẳng song song
Phương pháp
Để chứng minh hai đường thẳng song song ta có thể làm theo một trong các cách sau
1 Chứng minh chúng cùng thuộc một mặt phẳng rồi dùng các phương pháp chứng minh hai đường
thẳng song song trong mặt phẳng.
2 Chứng minh hai đường thẳng đó cùng song song vơi đường thẳng thứ ba.
3 Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng
(nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.
4 Sử dụng định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng.
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình thang với đáy lớn AB. Gọi M, N lần
lượt là trung điểm của SA và SB. Khẳng định nào sau đây là đúng
-Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 55 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
S
NM
I
A
D
B
P
C
E
Ta có MN là đường trung bình của tam giác SAB nên MN k AB.
Lại có ABCD là hình thang ⇒ AB k CD.
Vậy
®
MN k AB
CD k AB
⇒ MN k CD.
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình thang với đáy lớn AB. Gọi M, N lần
lượt là trung điểm của SA và SB. Gọi P là giao điểm của SC và (ADN), I là giao điểm của AN và
DP . Khẳng định nào sau đây là đúng?
-Lời giải.
S
NM
I
A
D
B
P
C
E
Trong (ABCD) gọi E = AD ∩BC, trong (SCD) gọi P = SC ∩EN.
Ta có E ∈ AD ⊂ (ADN) ⇒ EN ⊂ (AND) ⇒ P ∈ (ADN).
Vậy P = SC ∩ (ADN).
Do I = AN ∩ DP ⇒
®
I ∈ AN
I ∈ DP
⇒
®
I ∈ (SAB)
I ∈ (SCD)
⇒ SI = (SAB) ∩ (SCD).
Ta có
AB ⊂ (SAB)
CD ⊂ (SCD)
AB k CD
(SAB) ∩(SCD) = SI
⇒ SI k CD.
Th.s Nguyễn Chín Em 56 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình thang với đáy AD và BC. Biết AD = a,
BC = b. Gọi I và J lần lượt là trọng tâm các tam giác SAD và SBC. Mặt phẳng (ADJ) cắt SB, SC
lần lượt tại M ,N. Mặt phẳng (BCI) cắt SA, SD tại P, Q. Khẳng định nào sau đây là đúng?
-Lời giải.
S
A
P
E
B C
J
D
Q
I
N
F
M
K
Ta có I ∈ (SAD) ⇒ I ∈ (SAD) ∩(IBC).
Vậy
AD ⊂ (SAD)
BC ⊂ (IBC)
AD k BC
(SAD) ∩ (IBC) = P Q
⇒ P Q k AD k BC (1)
Tương tự J ∈ (SBC) ⇒ J ∈ (SBC) ∩(ADJ)
Vậy
AD ⊂ (ADJ)
BC ⊂ (SBC)
AD k BC
(SBC) ∩(ADJ) = MN
⇒ MN k AD k BC (2)
Từ (1) và (2) suy ra MN k P Q.
Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình thang với đáy AD và BC. Biết
AD = a, BC = b. Gọi I và J lần lượt là trọng tâm các tam giác SAD và SBC. Mặt phẳng (ADJ)
cắt SB, SC lần lượt tại M , N. Mặt phẳng (BCI) cắt SA, SD tại P , Q. Giải sử AM cắt BP tại E;
CQ cắt DN tại F . Tính EF theo a, b.
-Lời giải.
S
A
P
E
B C
J
D
Q
I
N
F
M
K
Th.s Nguyễn Chín Em 57 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Ta có E = AM ∩ BP ⇒
®
E ∈ (AM ND)
E ∈ (P BCQ)
;F = DN ∩ CQ ⇒
®
F ∈ (AM ND)
F ∈ (P BCQ)
.
Do đó EF = (AMND) ∩ (PBCQ). Mà
®
AD k BC
MN k P Q
⇒ EF k AD k BC k MN k P Q.
Tính EF :
Gọi K = CP ∩ EF ⇒ EF = EK + KF
Ta có EK k BC ⇒
EK
BC
=
P E
P B
(1), P M k AB ⇒
P E
EB
=
P M
AB
.
Mà
P M
AB
=
SP
SA
=
2
3
⇒
P E
EB
=
2
3
.
Từ (1)suy ra
EK
BC
=
P E
P B
=
P E
P E + EB
=
1
1 +
EB
P E
=
2
5
⇒ EK =
2
5
BC =
2
5
b.
Tương tự KF =
2
5
a.
Vậy EF = EK + KF =
2
5
(a + b).
Dạng 3. Chứng minh bốn điểm đồng phẳng và ba đường thẳng đồng qui
Phương pháp:
Để chứng minh bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng ta tìm hai đường thẳng a, b lần lượt đi qua hai
trong bốn điểm trên và chứng minh a, b song song hoặc cắt nhau, khi đó A, B, C, D thuôc mp(a, b).
Để chứng minh ba đường thẳng a, b, c đồng qui ngoài cách chứng minh ở §1, ta có thể chứng minh
a, b, c lần lượt là giao tuyến của hai trong ba mặt phẳng (α), (β), (δ) trong đó có hai giao tuyến cắt
nhau. Khi đó theo tính chất về giao tuyến của ba mặt phẳng ta được a, b, c đồng qui.
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một tứ giác lồi. Gọi M, N, E, F lần lượt là
trung điểm của các cạnh bên SA, SB, SC và SD. Chứng minh ME ,NF ,SO đồng qui .
-Lời giải.
S
A
M
N
B
C
O
D
E
F
I
Trong (SAC) gọi I = ME ∩SO, dễ thấy I là trung điểm của SO, suy ra F I là đường trung bình của tam
giác SOD.
Vậy F I k OD.
Tương tự ta có NI k OB nên N, I, F thẳng hàng hay I ∈ NF .
Vậy minh ME ,N F ,SO đồng qui .
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một tứ giác lồi. Gọi M, N, E, F lần lượt là
trung điểm của các cạnh bên SA, SB, SC và SD. Chứng minh rằng M, N, E, F đồng phẳng.
Th.s Nguyễn Chín Em 58 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
-Lời giải.
S
A
M
N
B
C
O
D
E
F
I
Do ME ∩ NF = I nên ME và NF xác định một mặt phẳng. Suy ra M, N, E, F đồng phẳng.
C BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AC. Tìm giao tuyến của
hai mặt phẳng (DMN ) và (BCD).
-Lời giải.
Do M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC nên MN k BC. Khi
đó
D ∈ (DM N) ∩ (DBC)
MN ⊂ (DMN)
BC ⊂ (DBC)
MN k BC
Vậy (DM N) ∩(DBC) = d k MN k BC với D ∈ d.
B
C
D
A
M
N
Bài 2. Cho hình chóp S.ABC. Gọi G
1
, G
2
lần lượt là trọng tâm các tam giác SBC và SAB.
1 Chứng minh G
1
G
2
k AC.
2 Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (BG
1
G
2
) và (ABC).
-Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 59 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
a) Chứng minh G
1
G
2
k AC.
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC. Do G
1
, G
2
là trọng
tâm các tam giác SBC và SAB nên
SG
1
SN
=
2
3
;
SG
2
SM
=
2
3
⇒
SG
1
SN
=
SG
2
SM
⇒ G
1
G
2
k MN.
Mặt khác, lại có G
1
G
2
k AC.
b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (BG
1
G
2
) và (ABC).
Vì
B ∈ (BG
1
G
2
)
G
1
G
2
⊂ (BG
1
G
2
)
AC ⊂ (ABCD)
G
1
G
2
k AC
⇒ (BG
1
G
2
) ∩(ABCD) = d k AC k G
1
G
2
.
A
B
C
D
S
N
M
G
2
G
1
d
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành.
1 Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).
2 Gọi M là một điểm trên cạnh SC. Xác định giao điểm N của SD với (ABM ). Tứ giác ABMN là
hình gì?
3 Giả sử I = AN ∩ BM. Chứng minh I thuộc một đường thẳng cố định khi M chạy trên cạnh SC.
-Lời giải.
B
A
C
D
S
M
N
I
d
a) Ta có
S ∈ (SAB) ∩ (SCD)
AB k CD
AB ⊂ (SAB)
CD ⊂ (SCD)
⇒ (SAB) ∩(SCD) = d k AB k CD với S ∈ d.
b) Ta có
M ∈ (SCD) ∩ (ABM )
AB k CD
AB ⊂ (ABM )
CD ⊂ (SCD)
⇒ (ABM) ∩ (SCD) = d
0
k AB, M ∈ d
0
.
Th.s Nguyễn Chín Em 60 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Trong mặt phẳng (SCD), gọi N = d
0
∩SD. Suy ra N = SD ∩ (ABM). Do M N k AB nên tứ giác ABMN
là hình thang.
c) Gọi ∆ = (SAD) ∩ (SBC) thì ∆ là đường thẳng cố định. Mặt khác, vì
I = AN ∩ BM ⇒
®
I ∈ AN ⊂ (SAD)
I ∈ BM ⊂ (SBC)
⇒ I ∈ (SAD) ∩(SBC) ⇒ I ∈ ∆.
Từ đó, I là điểm cố định.
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm
của các cạnh SA, SB, SC, SD.
1 Chứng minh MN P Q là một hình bình hành.
2 Gọi I là một điểm trên cạnh BC. Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (IMN).
-Lời giải.
a) Ta có MN k AB; MN =
1
2
AB và P Q k CD; P Q =
1
2
CD. Từ
đó, suy ra M N = P Q và M N k P Q.
Vậy MNP Q là hình bình hành.
b) Ta có
I ∈ (IMN) ∩ (ABCD)
AB ⊂ (ABCD)
MN ⊂ (IMN)
AB k MN
.
⇒ (IMN ) ∩ (ABCD) = IJ k AB k M N với J ∈ AD.
Thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (IM N) là hình thang
MNIJ.
B
A
C
D
S
M
N
P
Q
I
J
Bài 5. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BC và BD, E là một điểm thuộc cạnh AD
(E khác A và D).
1 Xác định thiết diện của tứ diện với (IJE).
2 Tìm vị trí của điểm E trên AD sao cho thiết diện là hình bình hành.
3 Tìm điều kiện của tứ diện ABCD và vị trí của điểm E trên AD sao cho thiết diện là hình thoi.
-Lời giải.
a) Ta có
F ∈ (IJF ) ∩ (ACD)
IJ ⊂ (IJF ) , CD ⊂ (ACD)
IJ k CD
⇒ (IJF ) ∩ (ACD) = F E k CD k
IJ.
Thiết diện là tứ giác IJEF .
b) Để thiết diện IJEF là hình bình hành thì IJ k= EF mà IJ k=
1
2
CD
nên EF k=
1
2
CD, hay EF là đường trung bình trong tam giác ACD ứng
với cạnh CD, do đó E là trung điểm của AD.
c) Để thiết diện IJEF là hình thoi thì trước tiên nó phải là hình bình
hành, khi đó E là trung điểm của AD.
Mặt khác IJEF là hình thoi thì IJ = IF , mà IJ =
1
2
CD, IF =
1
2
AB ⇒
AB = CD.
Vậy điều kiện để thiết diện là hình thoi là tứ diện ABCD có AB = CD
và E là trung điểm của AD.
B
C
D
A
I
J
E
F
Bài 6. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của CD và AB.
Th.s Nguyễn Chín Em 61 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
1 Hãy xác định các điểm I ∈ AC và J ∈ DN sao cho IJ k BM.
2 Tính IJ theo a.
-Lời giải.
a) Trong (BCD), từ D kẻ đường thẳng song song với
BM cắt BC tại K. Nối K và N cắt AC tại I. Trong
(IKD), từ I kẻ đường thẳng song song với DK cắt
DN tại J.
Khi đó IJ k BM.
B
C
D
A
M
N
K
H
I
J
b) Do BM là đường trung bình của tam giác CKD nên KD = 2BM = 2 ·
a
√
3
2
= a
√
3.
Gọi H là trung điểm của BC. Khi đó
HN k AC ⇒
NK
NI
=
KH
HC
=
3HC
HC
= 3
⇒ NK = 3NI ⇒ KD = 3IJ ⇒ IJ =
1
3
KD =
a
√
3
3
.
Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang. Một mặt phẳng (α) cắt các cạnh SA, SB, SC
và SD lần lượt tại các điểm M, N, P, Q.
1 Giả sử MN ∩ P Q = I, AB ∩ CD = E. Chứng minh I, E, S thẳng hàng.
2 Giả sử ∆ = (IBC) ∩(IAD) và ∆ ⊂ (α). Chứng minh MQ k NP k AB k CD.
-Lời giải.
a) Ta có SE = (SAB) ∩ (SCD) I = MN ∩ P Q ⇒
®
I ∈ M N ⊂ (SAB)
I ∈ P Q ⊂ (SCD)
⇒ I ∈ (SAB) ∩ (SCD), hay I ∈ SE. b) Vì
I ∈ (IAD) ∩ (IBC)
AD//BC
AD ⊂ (IAD)
BC ⊂ (IBC)
⇒ (IAD) ∩(IBC) = ∆ k AB k DC, I ∈ ∆.
Mặt khác theo giả thiết ∆ ⊂ (α) nên
∆ ⊂ (α)
BC ⊂ (SBC)
∆ k BC
(α) ∩ (SBC) = NP
⇒ NP k
BC k ∆.
A
E
D
S
B C
M
N
I
P
Q
Tương tự ta cũng có MQ k AD k ∆. Vậy MQ k N P k BC k AD k ∆.
Bài 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang với AD k BC. Gọi M là một điểm di động trong tứ
giác ABCD. Qua M vẽ các đường thẳng song song với SA, SB cắt các mặt (SBC) và (SAD) lần lượt tại
N, P .
1 Nêu cách dựng các điểm N, P .
Th.s Nguyễn Chín Em 62 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
2 Tìm tập hợp điểm M sao cho MN · MP lớn nhất.
-Lời giải.
a) Gọi E = AM ∩ BC, F = BM ∩ AD. Từ M kẻ các đường thẳng
song song với SA, SB lần lượt cắt SE, SF tại N, P . Thì N, P là các
điểm cần dựng.
b) Ta có
MN
SA
=
EM
EA
,
MP
SB
=
F M
F B
=
AM
AE
nên
MN
SA
+
MP
SB
=
EM
EA
+
AM
EA
= 1. Theo BĐT Cauchy ta có
MN · MP = SA · SB ·
MN
SA
·
MP
SB
.
≤
SA · SB
4
Å
MN
SA
+
MP
SB
ã
2
=
SA · SB
4
.
Vậy MN · MP =
SA · SB
4
khi
MN
SA
=
MP
SB
=
1
2
hay M là trung
điểm của AE và BF , do đó tập hợp điểm M là đường trung bình
của hình thang ABCD.
A
B C
D
S
F
E
M
P
N
Bài 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình thang với đáy AD = a và BC = b. Gọi M, N, P
lần lượt là trung điểm các cạnh AB, CD và SB.
1 Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (ADP ) và (SBC).
2 Tìm độ dài đoạn giao tuyến của (ADP ) và (SMN) nằm bên trong hình chóp.
-Lời giải.
a) Ta có
P ∈ (ADP ) ∩ (SBC)
AD k BC
AD ⊂ (ADP )
BC ⊂ (SBC)
⇒ (ADP ) ∩ (SBC) = P Q k AD k BC, Q ∈ SC.
b) Gọi I = AP ∩ SM, J = DQ ∩ SN. Khi đó
IJ = (ADP ) ∩ (SM N) .
Dễ thấy I, J lần lượt là trọng tâm các tam giác SAB và SCD. Gọi
K = IJ ∩ P D, ta có IJ = IK + KJ suy ra
IK
AD
=
P I
P A
=
1
3
⇒ IK =
1
3
AD =
1
3
a.
Tương tự
JK
P Q
=
DI
DQ
=
2
3
⇒ JK =
2
3
P Q =
2
3
·
1
2
BC =
1
3
b.
Vậy IJ = IK + KJ =
1
3
(a + b).
A
B C
D
S
P
Q
M N
I J
Bài 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm các tam
giác SAB và SAD. M là điểm trên cạnh SA sao cho M A = 2MS. Xác định thiết diện của hình chóp với
mặt phẳng (MIJ)
-Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 63 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Kéo dài MI cắt AB tại K, kéo dài M J cắt AD tại L
Ta có (MIJ) ∩ (SAB) = MK; (MIJ) ∩ (SAD) = M L; (MIJ) ∩
(ABCD) = KL.
Vậy mặt phẳng (MIJ) cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện là
tam giác MKL.
S
M
I
J
A
B C
D
L
K
Bài 11. Cho hình chóp S.ABC, M là một điểm nằm trong tam giác ABC. Các đường thẳng qua M và
song song với SA, SB và SC cắt các mặt (SBC), (SCA), (SAB) lần lượt tại các điểm A
0
, B
0
, C
0
.
1 Nêu cách dựng các điểm A
0
, B
0
, C
0
.
2 Chứng minh
MA
0
SA
+
MB
0
SB
+
MC
0
SC
có giá trị không đổi khi M di động trong tam giác ABC.
3 Xác định vị trí của M để tích MA
0
· MB
0
· MC
0
lớn nhất.
-Lời giải.
S
C
0
B
0
A
0
A
B
C
E
F
I
M
1 Gọi E = AM ∩BC, trong (SAE) vẽ đường thẳng đi qua M và song song với SA cắt SE tại A
0
thì A
0
là điểm cần dựng.
Các điểm B
0
, C
0
được dựng tương tự.
2 Ta có MA
0
k SA nên
MA
0
SA
=
ME
AE
=
S
MBC
S
ABC
(1)
Tương tự
MB
0
SB
=
IM
IM
=
S
MAC
S
ABC
(2);
MC
0
SC
=
F M
F C
=
S
MAB
S
ABC
(3)
Cộng các đẳng thức (1), (2) và (3) ta được
MA
0
SA
+
MB
0
SB
+
MC
0
SC
= 1.
3 Ta có
MA
0
·MB
0
·MC
0
= SA ·SB ·SC ·
MA
0
SA
·
MB
0
SB
·
MC
0
SC
≤ SA ·SB ·SC
Ö
MA
0
SA
+
MB
0
SB
+
MC
0
SC
3
è
3
=
SA · SB · SC
27
Đẳng thức xảy ra khi
MA
0
SA
+
MB
0
SB
+
MC
0
SC
=
1
3
⇒
EM
EA
=
IM
IB
=
F M
F C
⇒ M là trọng tâm tam giác
Th.s Nguyễn Chín Em 64 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
ABC.
Vậy max (MA
0
· MB
0
· MC
0
) =
SA · SB · SC
27
Bài 12. Cho tứ diện ABCD. Một mặt phẳng (α) cắt bốn cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt tại M, N, P.Q.
Chứng minh rằng MA · NB · P C · QD ≤
AB · BC · CD ·AD
16
. Khi đẳng thức xảy ra thì M NP Q là hình
gì?
-Lời giải.
Do M, N, E, F đồng phẳng nên theo đinh lí Menelauyt trong
không gian ta có
MA
MB
·
NB
NC
·
P C
P D
·
QD
QA
= 1
Do đó
(MA.NB.P C.QD)
2
=
= (MA.NB.P C.QD) (MB.N C.P D.QA) (1)
Theo BĐT Cauchy ta có
MA.MB ≤
Å
MA + MB
2
ã
2
=
AB
2
4
NB.NC ≤
Å
NB + NC
2
ã
2
=
BC
2
4
P C.P D ≤
Å
P C + PD
2
ã
2
=
CD
2
4
QD.QA ≤
Å
QD + QA
2
ã
2
=
AD
2
4
D
Q
M
A
B
N
P
C
Nhân theo vế các BĐT trên và kết hợp với (1) thu được:
MA · NB · P C ·QD ≤
AB · BC · CD ·AD
16
D
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau.
B. Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung.
C. Hai đường thẳng phân biệt không cắt nhau và không song song thì chéo nhau.
D. Hai đường thẳng phân biệt không chéo nhau thì hoặc cắt nhau hoặc song song.
-Lời giải.
Hai đường thẳng không có điểm chung thì chúng song song (khi chúng đồng phẳng) hoặc chéo nhau (khi
chúng không đồng phẳng).
Chọn đáp án A
Câu 2. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Hai đường thằng có một điểm chung thì chúng có vô số điểm chung khác.
B. Hai đường thẳng song song khi và chỉ khi chúng không điểm chung.
C. Hai đường thẳng song song khi và chỉ khi chúng không đồng phẳng.
D. Hai đường thẳng chéo nhau khi và chỉ khi chúng không đồng phẳng.
-Lời giải.
Mệnh đề “Hai đường thằng có một điểm chung thì chúng có vô số điểm chung khác” sai vì trong trường
hợp 2 đường thẳng cắt nhau thì chúng chỉ có 1 điểm chung.
Mệnh đề “Hai đường thằng có một điểm chung thì chúng có vô số điểm chung khác” sai vì hai đường
thẳng song song khi và chỉ khi chúng đồng phằng và không có điểm chung.
Mệnh đề “Hai đường thẳng song song khi và chỉ khi chúng không đồng phẳng” sai vì hai đường thẳng
song song khi và chỉ khi chúng đồng phằng và không có điểm chung.
Chọn đáp án D
Câu 3. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
Th.s Nguyễn Chín Em 65 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
B. Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì trùng nhau.
C. Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau hoặc trùng nhau.
D. Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì chúng lần lượt nằm trên hai mặt
phẳng song song..
-Lời giải.
Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau hoặc trùng nhau.
Chọn đáp án C
Câu 4. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. Hai đường thẳng chéo nhau thì chúng có điểm chung.
B. Hai đường thẳng không có điểm chung là hai đường thẳng song song hoặc chéo nhau.
C. Hai đường thẳng song song với nhau khi chúng ở trên cùng một mặt phẳng.
D. Khi hai đường thẳng ở trên hai mặt phẳng phân biệt thì hai đường thẳng đó chéo nhau.
-Lời giải.
Mệnh đề “Hai đường thẳng chéo nhau thì chúng có điểm chung” sai vì hai đường thẳng chéo nhau thì
chúng không có điểm chung.
Mệnh đề “Hai đường thẳng song song với nhau khi chúng ở trên cùng một mặt phẳng” sai vì có thể
xảy ra trường hợp hai đường thẳng đó hoặc cắt nhau hoặc trùng nhau.
Mệnh đề “Khi hai đường thẳng ở trên hai mặt phẳng phân biệt thì hai đường thẳng đó chéo nhau” sai
vì có thể xảy ra trường hợp hai đường thẳng đó song song.
Chọn đáp án B
Câu 5. Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Lấy A, B thuộc a và C, D thuộc b. Khẳng định nào sau đây
đúng khi nói về hai đường thẳng AD và BC?
A. Có thể song song hoặc cắt nhau. B. Cắt nhau.
C. Song song với nhau. D. Chéo nhau.
-Lời giải.
Theo giả thiết, a và b chéo nhau ⇒ a và b không đồng phẳng.
Giả sử AD và BC đồng phẳng.
Nếu AD ∩BC = I ⇒ I ∈ (ABCD) ⇒ I ∈ (a; b).
Mà a và b không đồng phẳng, do đó, không tồn tại điểm I.
Nếu AD k BC ⇒ a và b đồng phẳng (Mâu thuẫn với giả thiết).
Vậy điều giả sử là sai. Do đó AD và BC chéo nhau.
A
B
C
D
a
b
Chọn đáp án D
Câu 6. Cho ba mặt phẳng phân biệt (α) , (β) , (γ) có (α) ∩ (β) = d
1
; (β) ∩ (γ) = d
2
; (α) ∩ (γ) = d
3
. Khi
đó ba đường thẳng d
1
, d
2
, d
3
A. đôi một cắt nhau. B. đôi một song song.
C. đồng quy. D. đôi một song song hoặc đồng quy.
-Lời giải.
Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyền ấy hoặc đồng quy hoặc
đôi một song song.
Chọn đáp án D
Câu 7. Trong không gian, cho 3 đường thẳng a, b, c, biết a k b, a và c chéo nhau. Khi đó hai đường thẳng
b và c
A. trùng nhau hoặc chéo nhau. B. cắt nhau hoặc chéo nhau.
C. chéo nhau hoặc song song. D. song song hoặc trùng nhau.
-Lời giải.
Giả sử b k c ⇒ c k a (mâu thuẫn với giả thiết).
Chọn đáp án B
Th.s Nguyễn Chín Em 66 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Câu 8. Trong không gian, cho ba đường thẳng phân biệt a, b, c trong đó a k b. Khẳng định nào sau đây
sai?
A. Nếu a k c thì b k c.
B. Nếu c cắt a thì c cắt b.
C. Nếu A ∈ a và B ∈ b thì ba đường thẳng a, b, AB cùng ở trên một mặt phẳng.
D. Tồn tại duy nhất một mặt phẳng qua a và b.
-Lời giải.
Nếu c cắt a thì c cắt b hoặc c chéo b.
Chọn đáp án
B
Câu 9. Cho hai đường thẳng chéo nhau a, b và điểm M ở ngoài a và ngoài b. Có nhiều nhất bao nhiêu
đường thẳng qua M cắt cả a và b?
A. 1. B. 2. C. 0. D. Vô số.
-Lời giải.
Gọi P là mặt phẳng tạo bởi đường thẳng a và M ; Q là mặt phẳng tạo bởi
đường thẳng b và M.
Giả sử c là đường thẳng qua M cắt cả a và b.
⇒
®
c ∈ P
c ∈ Q
⇒ c = P ∩ Q.
Vậy chỉ có 1 đường thẳng qua M cắt cả a và b.
c
a
b
M
P
Q
Chọn đáp án A
Câu 10. Trong không gian, cho 3 đường thẳng a, b, c chéo nhau từng đôi. Có nhiều nhất bao nhiêu đường
thẳng cắt cả 3 đường thẳng ấy?
A. 1. B. 2. C. 0. D. Vô số.
-Lời giải.
Gọi M là điểm bất kì nằm trên a.
Giả sử d là đường thẳng qua M cắt cả b và c. Khi đó, d là giao tuyến của mặt phẳng tạo bởi M và b với
mặt phẳng tạo bởi M và c.
Với mỗi điểm M ta được một đường thẳng d.
Vậy có vô số đường thẳng cắt cả 3 đường thẳng a, b, c.
Chọn đáp án D
Câu 11. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và ABD. Chọn khẳng định
đúng trong các khẳng định sau?
A. IJ song song với CD. B. IJ song song với AB.
C. IJ chéo CD. D. IJ cắt AB.
-Lời giải.
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, BD.
⇒ MN là đường trung bình của tam giác BCD ⇒ MN k CD (1).
I, J lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và ABD ⇒
AI
AM
=
AJ
AN
=
2
3
⇒
IJ k M N (2).
Từ (1) và (2) suy ra IJ k CD.
A
D
B
I
C
J
N
M
Chọn đáp án A
Câu 12. Cho hình chóp S.ABCD có AD không song song với BC. Gọi M, N, P, Q, R, T lần lượt là trung
điểm AC, BD, BC, CD, SA, SD. Cặp đường thẳng nào sau đây song song với nhau?
A. MP và RT . B. MQ và RT . C. MN và RT . D. P Q và RT .
-Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 67 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Ta có: M, Q lần lượt là trung điểm của AC, CD ⇒ MQ là đường trung
bình của tam giác CAD ⇒ MQ k AD (1).
Ta có: R, T lần lượt là trung điểm của SA, SD ⇒ RT là đường trung
bình của tam giác SAD ⇒ RT k AD (2).
Từ (1), (2) suy ra: M Q k RT.
S
M
N
B
P
A
R
D
Q
T
C
Chọn đáp án B
Câu 13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I, J, E, F lần lượt là trung điểm
SA, SB, SC, SD. Trong các đường thẳng sau, đường thẳng nào không song song với IJ?
A. EF . B. DC. C. AD. D. AB.
-Lời giải.
Ta có IJ k AB (tính chất đường trung bình trong tam giác SAB) và
EF k CD (tính chất đường trung bình trong tam giác SCD).
Mà CD k AB (đáy là hình bình hành)
⇒ CD k AB k EF k IJ.
S
F
B
C
A
J
D
I
Chọn đáp án C
Câu 14. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N là hai điểm phân biệt cùng thuộc đường thẳng AB. P, Q là hai
điểm phân biệt cùng thuộc đường thẳng CD. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng MP, NQ.
A. MP k NQ. B. MP ≡ NQ. C. MP cắt N Q. D. MP, NQ chéo nhau.
-Lời giải.
Xét mặt phẳng (ABP ) .
Ta có: M, N thuộc AB ⇒ M, N thuộc mặt phẳng (ABP ) .
Mặt khác: CD ∩(ABP ) = P.
Mà: Q ∈ CD ⇒ Q /∈ (ABP )
⇒ M, N, P, Q không đồng phẳng.
A
C
B D
M
N
P
Q
Chọn đáp án D
Câu 15. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng
(SAD) và (SBC). Khẳng định nào sau đây đúng?
A. d qua S và song song với BC. B. d qua S và song song với DC.
C. d qua S và song song với AB. D. d qua S và song song với BD.
-Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 68 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Ta có
(SAD) ∩ (SBC) = S
AD ⊂ (SAD) , BC ⊂ (SBC)
AD k BC
⇒ (SAD) ∩ (SBC) = Sx k AD k BC (với d ≡ Sx).
S
B
C
A D
Chọn đáp án A
Câu 16. Cho tứ diện ABCD. Gọi I và J theo thứ tự là trung điểm của AD và AC, G là trọng tâm tam
giác BCD. Giao tuyến của hai mặt phẳng (GIJ) và (BCD) là đường thẳng
A. qua I và song song với AB. B. qua J và song song với BD.
C. qua G và song song với CD. D. qua G và song song với BC.
-Lời giải.
Ta có
(GIJ) ∩ (BCD) = G
IJ ⊂ (GIJ) , CD ⊂ (BCD)
IJ k CD
⇒ (GIJ) ∩ (BCD) = Gx k IJ k CD.
A
B
G
C
J
D
I
Chọn đáp án C
Câu 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang với các cạnh đáy là AB và CD. Gọi (ACI) lần
lượt là trung điểm của AD và BC và G là trọng tâm của tam giác SAB. Giao tuyến của (SAB) và (IJG)
là
A. SC. B. đường thẳng qua S và song song với AB.
C. đường thẳng qua G và song song với DC. D. đường thẳng qua G và cắt BC.
-Lời giải.
Ta có: I, J lần lượt là trung điểm của AD và BC ⇒ IJ là
đường trung bình của hình thang ABCD ⇒ IJ k AB k
CD.
Gọi d = (SAB) ∩(IJG) Ta có: G là điểm chung giữa hai
mặt phẳng (SAB) và (IJG)
Mặt khác:
®
(SAB) ⊃ AB; (IJG) ⊃ IJ
AB k IJ
⇒Giao tuyến d của (SAB) và (IJG) là đường thẳng qua
G và song song với AB và IJ.
S
G
CD
A
I
P
B
J
Q
Chọn đáp án C
Câu 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I là trung điểm SA. Thiết diện
của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng (IBC) là
A. Tam giác IBC. B. Hình thang IBCJ (J là trung điểm SD).
C. Hình thang IGBC (G là trung điểm SB). D. Tứ giác IBCD.
-Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 69 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Ta có
(IBC) ∩ (SAD) = I
BC ⊂ (IBC) , AD ⊂ (SAD)
BC k AD
,
suy ra (IBC) ∩(SAD) = Ix k BC k AD.
Trong mặt phẳng (SAD):
Ix k AD, gọi Ix ∩ SD = J ⇒ IJ k BC.
Vậy thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng (IBC) là
hình thang IBCJ.
S
A
I
B C
D
J
Chọn đáp án B
Câu 19. Cho tứ diện ABCD, M và N lần lượt là trung điểm AB và AC. Mặt phẳng (α) qua MN cắt tứ
diện ABCD theo thiết diện là đa giác T. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. T là hình chữ nhật.
B. T là tam giác.
C. T là hình thoi.
D. T là tam giác hoặc hình thang hoặc hình bình hành.
-Lời giải.
A
B
M
C
D
K
N
A
B
M
C
I
D
N
J
Trường hợp (α) ∩ AD = K. Suy ra T là tam giác MNK. Do đó A và C sai.
Trường hợp (α) ∩ (BCD) = IJ, với I ∈ BD, J ∈ CD; I, J không trùng D. Suy ra T là tứ giác.
Chọn đáp án D
Câu 20. Cho hai hình vuông ABCD và CDIS không thuộc một mặt phẳng và cạnh bằng 4. Biết tam giác
SAC cân tại S, SB = 8. Thiết diện của mặt phẳng (ACI) và hình chóp S.ABCD có diện tích bằng
A. 6
√
2. B. 8
√
2. C. 10
√
2. D. 9
√
2.
-Lời giải.
Gọi O = SD ∩ CI; N = AC ∩BD.
⇒ O, N lần lượt là trung điểm của DS, DB ⇒ ON =
1
2
SB = 4.
Thiết diện của mp (ACI) và hình chóp S.ABCD là tam giác
OCA.
Tam giác SAC cân tại S ⇒ SC = SA ⇒ 4SDC = 4SDA
⇒ CO = AO (cùng là đường trung tuyến của 2 đỉnh tương ứng)
⇒ 4OCA cân tại O ⇒ S
4OCA
=
1
2
ON·AC =
1
2
·4·4
√
2 = 8
√
2.
S I
AB
D
N
C
O
Chọn đáp án B
Câu 21. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn AB đáy nhỏ CD. Gọi M, N
lần lượt là trung điểm của SA và SB. Gọi P là giao điểm của SC và (AND) . Gọi I là giao điểm của AN
và DP. Hỏi tứ giác SABI là hình gì?
A. Hình bình hành. B. Hình chữ nhật. C. Hình vuông. D. Hình thoi.
Th.s Nguyễn Chín Em 70 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
-Lời giải.
Gọi E = AD ∩BC, P = NE ∩ SC. Suy ra P = SC ∩ (AND).
Ta có S là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng (SAB) và
(SCD); I = DP ∩ AN ⇒ I là điểm chung thứ hai của hai mặt
phẳng (SAB) và (SCD) .
Suy ra SI = (SAB) ∩ (SCD).
Mà AB k CD ⇒ SI k AB k CD. Vì MN là đường trung bình của
tam giác SAB và chứng minh được cũng là đường trung bình của
tam giác SAI nên suy ra SI = AB.
Vậy SABI là hình bình hành.
S I
M
B
C
P
A
N
D
E
Chọn đáp án A
Câu 22. Cho tứ diện ABCD. Các điểm P, Q lần lượt là trung điểm của AB và CD; điểm R nằm trên cạnh
BC sao cho BR = 2RC. Gọi S là giao điểm của mặt phẳng (P QR) và cạnh AD. Tính tỉ số
SA
SD
.
A. 2. B. 1. C.
1
2
. D.
1
3
.
-Lời giải.
A
S
P
C
Q
D
B
R
I
Gọi I là giao điểm của BD và RQ. Nối P với I, cắt AD tại S.
Xét tam giác BCD bị cắt bởi IR, ta có
DI
IB
·
BR
RC
·
CQ
QD
= 1 ⇔
DI
IB
· 2 ·1 = 1 ⇔
DI
IB
=
1
2
.
Xét tam giác ABD bị cắt bởi P I, ta có
AS
SD
·
DI
IB
·
BP
P A
= 1 ⇔
SA
SD
·
1
2
· 1 = 1 ⇔
SA
SD
= 2.
Chọn đáp án A
Câu 23. Cho tứ diện ABCD và ba điểm P, Q, R lần lượt lấy trên ba cạnh AB, CD, BC. Cho P R k AC và
CQ = 2QD. Gọi giao điểm của AD và (P QR) là S. Chọn khẳng định đúng?
A. AD = 3DS. B. AD = 2DS. C. AS = 3DS. D. AS = DS.
-Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 71 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
A
S
P
C
Q
D
B
R
I
Gọi I là giao điểm của BD và RQ. Nối P với I, cắt AD tại S.
Ta có
DI
IB
·
BR
RC
·
CQ
QD
= 1 mà
CQ
QD
= 2 suy ra
DI
IB
·
BR
RC
=
1
2
⇔
DI
IB
=
1
2
·
RC
BR
.
Vì P R song song với AC suy ra
RC
BR
=
AP
P B
⇒
DI
IB
=
1
2
·
AP
P B
.
Lại có
SA
SD
·
DI
IB
·
BP
P A
= 1 ⇒
SA
SD
·
1
2
·
AP
P B
·
BP
P A
= 1 ⇔
SA
SD
= 2 ⇒ AD = 3DS.
Chọn đáp án A
Câu 24. Gọi G là trọng tâm tứ diện ABCD. Gọi A
0
là trọng tâm của tam giác BCD. Tính tỉ số
GA
GA
0
.
A. 2. B. 3. C.
1
3
. D.
1
2
.
-Lời giải.
A
M
G
C
D
A
0
B
E
Gọi E là trọng tâm của tam giác ACD, M là trung điểm của CD.
Nối BE cắt AA
0
tại G suy ra G là trọng tâm tứ diện.
Xét tam giác M AB, có
ME
MA
=
MA
0
MB
=
1
3
suy ra A
0
E k AB ⇒
A
0
E
AB
=
1
3
.
Khi đó, theo định lí Talet suy ra
A
0
E
AB
=
A
0
G
AG
=
1
3
⇒
GA
GA
0
= 3.
Chọn đáp án B
Câu 25. Cho tứ diện ABCD trong đó có tam giác BCD không cân. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của
AB, CD và G là trung điểm của đoạn MN. Gọi A
1
là giao điểm của AG và (BCD) . Khẳng định nào sau
đây đúng?
A. A
1
là tâm đường tròn tam giác BCD. B. A
1
là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BCD.
C. A
1
là trực tâm tam giác BCD. D. A
1
là trọng tâm tam giác BCD.
-Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 72 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
A
M
G
C
P
N
D
B
A
1
Mặt phẳng (ABN ) cắt mặt phẳng (BCD) theo giao tuyến BN.
Mà AG ⊂ (ABN) suy ra AG cắt BN tại điểm A
1
.
Qua M dựng MP k AA
1
với P ∈ BN. Có M là trung điểm của AB suy ra P là trung điểm BA
1
⇒ BP =
P A
1
. (1)
Tam giác MNP có M P k GA
1
và G là trung điểm của MN.
⇒ A
1
là trung điểm của NP ⇒ PA
1
= NA
1
. (2)
Từ (1), (2) suy ra BP = P A
1
= A
1
N ⇒
BA
1
BN
=
2
3
. Mà N là trung điểm của CD, do đó, A
1
là trọng tâm
của tam giác BCD.
Chọn đáp án D
Câu 26. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Thiết diện của hình chóp khi cắt bởi
mặt phẳng qua trung điểm M của BC, song song với BD và SC là hình gì?
A. Tam giác. B. Ngũ giác. C. Lục giác. D. Tứ giác.
-Lời giải.
Gọi N, P, R lần lượt là trung điểm CD, SD và SB.
Gọi I là giao điểm của AC và MN.
Từ I kẻ IQ song song với SC.
Ta có MR k IQ k NP k SC ⇒ (MNP QR) k SC. (1)
Ta có MN k BD ⇒ (MNP QR) k BD. (2)
Từ (1) và (2) ta được thiết diện cần tìm là ngũ giác MN P QR.
A
B C
D
M
N
S
P
R
Q
I
Chọn đáp án B
Câu 27. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. Hai đường thẳng phân biệt không cắt nhau thì song song.
B. Hai đường thẳng không cùng nằm trên một mặt phẳng thì chéo nhau.
C. Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau.
D. Hai đường thẳng không có điểm chung thì song song với nhau.
-Lời giải.
“Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau” là sai vì hai đường thẳng đó có thể song song.
“Hai đường thẳng phân biệt không cắt nhau thì song song” là sai vì hai đường thẳng đó có thể chéo
nhau.
“Hai đường thẳng không cùng nằm trên một mặt phẳng thì chéo nhau” là đúng.
“Hai đường thẳng không có điểm chung thì song song với nhau” là sai vì hai đường thẳng đó có thể
chéo nhau.
Chọn đáp án B
Th.s Nguyễn Chín Em 73 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Câu 28. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với AD k BC. Giao tuyến của (SAD) và
(SBC) là
A. Đường thẳng đi qua S và song song với AB. B. Đường thẳng đi qua S và song song với AC.
C. Đường thẳng đi qua S và song song với AD. D. Đường thẳng đi qua S và song song với CD.
-Lời giải.
Ta có
S ∈ (SAD) ∩(SBC)
BC k AD
BC ⊂ (SBC); AD ⊂ (SAD)
Suy ra giao tuyến của (SAD) và (SBC) là đường thẳng đi qua
S và song song với AD.
C
D
S
A
B
Chọn đáp án C
Câu 29. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là một điểm thuộc đoạn SB
(M khác S và B). Mặt phẳng (ADM) cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện là
A. Hình bình hành. B. Tam giác. C. Hình chữ nhật. D. Hình thang.
-Lời giải.
Ta có
®
M ∈ (ADM) ∩ (SBC)
AD k BC
⇒ (ADM) ∩ (SBC) = Mx k AD k BC.
Trong mặt phẳng (SBC), gọi N = Mx ∩ SC.
Do đó, ADNM là thiết diện của S.ABCD cắt bởi mặt phẳng (ADM).
Vì AD k MN và MN < AD nên ADNM là hình thang.
C
B
N
M
A
D
S
Chọn đáp án D
Câu 30. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, K lần lượt là trung
điểm của CD, CB, SA. Gọi H là giao điểm của AC và MN . Giao điểm của SO với (MN K) là điểm E.
Hãy chọn cách xác định điểm E đúng nhất trong bốn phương án sau
A. E là giao của MN và SO.
B. E là giao của KN và SO.
C. E là giao của KH và SO.
D. E là giao của KM và SO.
A
B C
D
M
K
S
H
O
N
-Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 74 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Trong (SAC) : KH ∩ SO ≡ E suy ra SO ∩(M NK) ≡ E.
A
B
E
C
D
M
K
S
H
O
N
Chọn đáp án C
Câu 31. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Giao tuyến của (SAB) và (SCD) là
A. Đường thẳng đi qua S và song song với AB. B. Đường thẳng đi qua S và song song với BD.
C. Đường thẳng đi qua S và song song với AD. D. Đường thằng đi qua S và song song với AC.
-Lời giải.
Ta có AB k CD và AB ⊂ (SAB), CD ⊂ (SCD) nên giao tuyến của
(SAB) và (SCD) là đường thẳng đi qua S và song song với AB.
S
A
B
C
D
Chọn đáp án A
Câu 32. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD)
và (SBC) là đường thẳng song song với đường thẳng nào sau đây?
A. AC. B. DC. C. AD. D. BD.
-Lời giải.
Ta có
S ∈ (SAD) ∩(SBC)
AD k BC
AD ⊂ (SAD) , BC ⊂ (SBC)
⇒ (SAD) ∩ (SBC) = d, d đi qua S và d k AD k BC.
S
D
C
A B
d
Chọn đáp án C
Câu 33. Cho tứ diện ABCD có M , N là hai điểm phân biệt trên cạnh AB. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. CM và DN chéo nhau. B. CM và DN cắt nhau.
C. CM và DN đồng phẳng. D. CM và DN song song.
-Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 75 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Giả sử CM và DN đồng phẳng. Khi đó, ta có A, B cùng thuộc
mặt phẳng (MN DC), suy ra A,B,C,D đồng phẳng, trái giả thiết
ABCD là tứ diện.
Vậy CM và DN chéo nhau.
M
N
C
B D
A
Chọn đáp án A
Câu 34. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Lấy hai điểm M và N trên hai cạnh
SB, SD sao cho SM = 2MB; SN = 2N D, đường thẳng SC cắt mặt phẳng (AMN) tại C
0
. Tính tỉ số
k =
SC
0
SC
.
A. k =
3
4
. B. k =
2
3
. C. k =
1
3
. D. k =
1
2
.
-Lời giải.
A
O
B C
S
M
C
0
N
D
G
Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD, G là giao điểm của MN và SO. Dễ thấy G là trọng tâm tam
giác SAC, suy ra
SC
0
SC
=
1
2
.
Chọn đáp án D
Câu 35. Cho ba mặt phẳng phân biệt cắt nhau từng đôi theo ba giao tuyến d
1
, d
2
, d
3
, trong đó d
1
song
song với d
2
. Khi đó vị trí tương đối của d
2
và d
3
là
A. chéo nhau. B. cắt nhau. C. song song. D. trùng nhau.
-Lời giải.
Đây là nội dung hệ quả của định lý về ba giao tuyến trong Sách Giáo Khoa.
Chọn đáp án C
Câu 36. Nếu ba đường thẳng không cùng nằm trong một mặt phẳng và đôi một cắt nhau thì
A. ba đường thẳng đó tạo thành một tam giác. B. ba đường thẳng đó đồng quy.
C. ba đường thẳng đó trùng nhau. D. không có ba đường thẳng như vậy.
-Lời giải.
Nếu ba đường thẳng không cùng nằm trong một mặt phẳng và đôi một cắt nhau thì ba đường thẳng đó
đồng quy.
Chọn đáp án B
Câu 37. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau
A. Tồn tại duy nhất một đường thẳng qua một điểm và song song với một đường thẳng.
Th.s Nguyễn Chín Em 76 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
B. Tồn tại duy nhât một đường thẳng đi qua một điểm và vuông góc với một mặt phẳng.
C. Hai đường thẳng song song thì đồng phẳng.
D. Hai đường thẳng không đồng phẳng thì không có điểm chung.
-Lời giải.
Mệnh đề "Tồn tại duy nhất một đường thẳng qua một điểm và song song với một đường thẳng" sai vì nếu
điểm đó thuộc đường thẳng đã cho thì không tồn tại đường thẳng nào đi qua điểm đó và song song với
đường thẳng cho trước.
Chọn đáp án A
Câu 38. Ba mặt phẳng phân biệt cắt nhau từng đôi một thì ba giao tuyến của chúng sẽ có bao nhiêu vị
trí tương đối?
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
-Lời giải.
Ba mặt phẳng phân biệt cắt nhau từng đôi một thì ba giao tuyến song song hoặc đồng quy.
Chọn đáp án B
Câu 39. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC
và BD. Biết AB k CD và AB =
3
2
CD. Gọi N là trung điểm cạnh SB và P là giao điểm của đường thẳng
DN với mặt phẳng (SAC). Tính tỉ số
P O
P S
.
A.
2
5
. B.
3
7
. C.
2
7
. D.
3
5
.
-Lời giải.
Dựng OK k SB, K ∈ DN.
Suy ra
P O
P S
=
OK
SN
=
OK
NB
=
DO
DB
.
Mà
AB
CD
=
3
2
⇒
OB
OD
=
3
2
.
Suy ra
P O
P S
=
2
5
.
D
P
C
O
K
S
A
B
N
Chọn đáp án A
Câu 40. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC, E là điểm trên cạnh CD sao
cho ED = 3EC. Thiết diện tạo bởi mặt phẳng (M NE) và tứ diện ABCD là
A. Tam giác MN E.
B. Hình thang M NEF với F là điểm trên cạnh BD sao cho EF k BC.
C. Tứ giác MN EF với F là điểm bất kỳ trên cạnh BD.
D. Hình bình hành MNEF với F là điểm trên cạnh BD sao cho EF k BC.
-Lời giải.
• Thiết diện là tứ giác M NEF
• MN k EF và MN 6= EF nên MNEF là hình thang.
B
D
F
A
C
M
E
N
Chọn đáp án B
Câu 41. Cho tứ diện ABCD. Điểm M thuộc cạnh BC sao cho MC = 2MB, các điểm N, P lần lượt là
trung điểm của BD, AD. Gọi Q là giao điểm của AC với mặt phẳng (MN P ), tính tỉ số
QC
QA
.
Th.s Nguyễn Chín Em 77 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
A.
QC
QA
=
3
2
. B.
QC
QA
=
5
2
. C.
QC
QA
= 2. D.
QC
QA
=
1
2
.
-Lời giải.
QM chính là giao tuyến của mặt phẳng (M NP ) với mặt phẳng (ABC).
Và do NP k AB nên QM k AB. Suy ra
QC
QA
=
MC
MB
= 2.
A
N
C
M
B
P
D
Q
Chọn đáp án C
Câu 42. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, AD k BC, AD = 2BC. Gọi M là trung
điểm SA. Mặt phẳng (M BC) cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện là
A. một hình bình hành. B. một tam giác.
C. một hình tứ giác (không là hình thang). D. một hình thang (không là hình bình hành).
-Lời giải.
Gọi N là giao của SD và mặt phẳng (MBC). Do các mặt phẳng
(MBC) và (SAD) lần lượt chứa hai đường song song là BC và AD,
nên giao tuyến của chúng cũng song song với hai đường đó, tức MN k
AD. Suy ra N là trung điểm của SD.
Khi đó, M N là đường trung bình của tam giác SAD, suy ra MN =
1
2
AD = BC. Vậy, thiết diện BCNM là một hình bình hành.
S
B C
M
A D
N
Chọn đáp án A
Câu 43. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N là trọng tâm của hai tam giác ABC và ACD. Khi đó ta có
A. MN cắt BC. B. MN k BD. C. MN cắt AD. D. MN k CD.
-Lời giải.
Gọi I là trung điểm của đoạn AC ⇒
DN
DI
=
BM
BI
=
2
3
⇒ MN k BD.
I
A
B C
D
N
M
Chọn đáp án B
Câu 44. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?
A. Trong không gian, hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì song song
với nhau.
B. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với nhau thì chúng cắt nhau.
C. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì vuông góc với nhau.
D. Cho hai đường thẳng song song, đường thẳng thứ ba vuông góc với đường thẳng thứ nhất thì cũng
vuông góc với đường thẳng thứ hai.
Th.s Nguyễn Chín Em 78 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
-Lời giải.
Mệnh đề “ Cho hai đường thẳng song song, đường thẳng thứ ba vuông góc với đường thẳng thứ nhất thì
cũng vuông góc với đường thẳng thứ hai ” là mệnh đề đúng.
Chọn đáp án D
Câu 45. Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm AB và AC, E là điểm trên cạnh CD với
ED = 3EC. Thiết diện tạo bởi mặt phẳng (M NE) và tứ diện ABCD là
A. Tam giác MN E.
B. Tứ giác M NEF với F là điểm bất kì trên cạnh BD.
C. Hình bình hành M NEF với F là điểm trên cạnh BD mà EF k BC.
D. Hình thang MN EF với F là điểm trên cạnh BD mà EF k BC.
-Lời giải.
M và N lần lượt là trung điểm AB và AC nên MN k BC và M N =
1
2
BC.
Qua E kẻ đường thẳng song song với BC, cắt BD tại F thì EF k M N.
Ta có
EF
BC
=
DE
DC
=
3
4
⇒ EF =
3
4
BC > M N.
Vậy thiết diện tạo bởi mặt phẳng (MNE) và tứ diện ABCD là là hình
thang MNEF .
A
C
B
M
D
N
F
E
Chọn đáp án D
Câu 46. Trong không gian cho đường thẳng ∆ và điểm O không nằm trong ∆. Qua O có mấy đường thẳng
song song với ∆?
A. 2. B. 3. C. 1. D. Vô số.
-Lời giải.
Qua O có duy nhất một đường thẳng song song với ∆.
Chọn đáp án C
Câu 47. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng?
A. Hai đường thẳng phân biệt không chéo nhau thì cắt nhau.
B. Hai đường thẳng phân biệt không song song thì chéo nhau.
C. Hai đường thẳng phân biệt cùng nằm trong một mặt phẳng thì không chéo nhau.
D. Hai đường thẳng phân biệt lần lượt thuộc hai mặt phẳng khác nhau thì chéo nhau.
-Lời giải.
Hai đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng thì có ba vị trí tương đối là: song với nhau, trùng nhau
và cắt nhau. Do đó hai đường thẳng phân biệt cùng nằm trong một mặt phẳng thì không chéo nhau.
Chọn đáp án C
Câu 48. Cho hai đường thẳng phân biệt a và b trong không gian. Có bao nhiêu vị trí tương đối giữa a và
b?
A. 3. B. 1. C. 2. D. 4.
-Lời giải.
Hai đường thẳng phân biệt a và b trong không gian có 3 vị trí tương đối: Cắt nhau, chéo nhau và song song
với nhau.
Chọn đáp án A
Câu 49. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J và K lần lượt là trung điểm của AC, BC và BD. Giao tuyến của
hai mặt phẳng (ABD) và (IJK) là đường thẳng
A. KD. B. qua K và song song với AB.
C. KI. D. qua I và song song với JK.
-Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 79 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Ta có điểm K là điểm chung của hai mặt phẳng (ABD) và (IJK).
Mặt khác ta có IJ k AB, IJ ⊂ (IJK), AB ⊂ (ABD).
Suy ra giao tuyến của hai mặt phẳng (ABD) và (IJK) là đường thẳng
đi qua điểm K và song song với AB.
B
C
D
A
I
J
K
x
Chọn đáp án B
Câu 50. Cho ba đường thẳng đôi một chéo nhau. Mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề sau.
A. Không có đường thẳng nào cắt cả ba đường thẳng đã cho.
B. Có đúng hai đường thẳng cắt cả ba đường thẳng đã cho.
C. Có vô số đường thẳng cắt cả ba đường thẳng đã cho.
D. Có duy nhất một đường thẳng cắt cả ba đường thẳng đã cho.
-Lời giải.
Chọn đáp án C
Câu 51. Trong không gian cho hai đường thẳng song song a và b. Kết luận nào sau đây đúng?
A. Nếu c cắt a thì c và b chéo nhau. B. Nếu c k a thì c k b hoặc c ≡ b.
C. Nếu c và a chéo nhau thì c và b chéo nhau. D. Nếu c và a cắt nhau thì c và b cắt nhau.
-Lời giải.
Cho hai đường thẳng a và b song song, nếu đường thẳng c song song với a thì c song song hoặc trùng với b.
Chọn đáp án B
Câu 52. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, đáy lớn là CD. Gọi M là trung điểm của
cạnh SA, N là giao điểm của cạnh SB và mặt phẳng (MCD). Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?
A. M N và SD cắt nhau. B. MN k CD.
C. MN và SC cắt nhau. D. MN và CD chéo nhau.
-Lời giải.
Hai mặt phẳng (SAB) và (MCD) lần lượt chứa hai đường thẳng song
song AB, CD và MN là giao tuyến của chúng nên M N k CD.
A
D
M
C
B
N
S
Chọn đáp án B
Câu 53. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC và
M là trung điểm SC. Gọi K là giao điểm của SD với mặt phẳng (AGM). Tính tỉ số
KS
KD
.
A.
1
2
. B.
1
3
. C. 2. D. 3.
-Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 80 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Gọi N, P lần lượt là giao điểm của AG với CB, CD ta có
K = P M ∩SD. Gọi L là trung điểm của KD thì CL k MK. Suy
ra K là trung điểm của SL. Do vậy KD = 2KS, hay
KS
KD
=
1
2
.
A
B
G
C
D
P
L
K
M
S
N
Chọn đáp án A
Câu 54. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Hai đường thẳng không song song thì chéo nhau.
B. Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung.
C. Hai đường thẳng không cắt nhau và không song song thì chéo nhau.
D. Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau.
-Lời giải.
Hai đường thẳng chéo nhau là hai đường thẳng không cùng nằm trong một mặt phẳng và không có điểm
chung.
Chọn đáp án B
Câu 55. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi G
1
, G
2
lần lượt là trọng tâm của tam giác BCD và
ACD và G là giao điểm của AG
1
và BG
2
. Tính diện tích của tam giác GAB.
A.
a
2
√
3
8
. B.
3a
2
√
2
8
. C.
3a
2
√
3
8
. D.
a
2
√
2
8
.
-Lời giải.
Gọi M, H lần lượt là trung điểm CD, AB.
Ta có AM = BM =
a
√
3
2
nên 4ABM cân tại M, suy ra M H ⊥ AB, dẫn
tới MH =
√
AM
2
− AH
2
=
…
3a
2
4
−
a
2
4
=
a
√
2
2
.
Diện tích 4ABM là S
ABM
=
AB · HM
2
=
a
2
√
2
4
.
Lại có
MG
1
MB
=
MG
2
MA
=
1
3
⇒ G
1
G
2
k AB ⇒
BG
GG
2
=
AB
G
1
G
2
= 3.
Dẫn tới S
ABG
=
3
4
S
ABG
2
=
1
2
S
ABM
=
a
2
√
2
8
.
A
D
B
H
M
C
G
G
1
G
2
Chọn đáp án D
Câu 56. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, M, N lần lượt là trung điểm của
các cạnh AB và SC. Gọi I, J theo thứ tự là giao điểm của AN, M N với mặt phẳng (SBD). Tính k =
IA
IN
+
JM
JN
.
A. k = 4. B. k = 5. C. k = 2. D. k = 3.
-Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 81 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Gọi O là giao điểm của AC và BD, khi đó SO là giao tuyến của
(SBD) và (SAC) nên I là giao điểm của AN và SO.
Vì O, N là trung điểm AC, SC nên I là trọng tâm tam giác SAC,
suy ra
IA
IN
= 2.
Gọi K là giao điểm của MC và BD, khi đó SK là giao tuyến của
(SBD) và (SM C) nên J là giao điểm của MN và SK.
Vì O, M là trung điểm AC, AB nên K là trọng tâm tam giác ABC,
suy ra CK = 2MK.
Gọi G là trung điểm của KC thì NG là đường trung bình 4SKC
nên SK k NG. Lại có K là trung điểm M G nên J là trung điểm
MN hay
JM
JN
= 1.
Vậy k = 3.
S
A B
O
K
M
G
D
I
N
C
J
Chọn đáp án D
Câu 57. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Thiết diện của hình chóp khi cắt bởi
mặt phẳng qua trung điểm M của BC, song song với BD và SC là hình gì?
A. Tam giác. B. Ngũ giác. C. Lục giác. D. Tứ giác.
-Lời giải.
Gọi N, P, R lần lượt là trung điểm CD, SD và SB.
Gọi I là giao điểm của AC và MN.
Từ I kẻ IQ song song với SC.
Ta có MR k IQ k NP k SC ⇒ (MNP QR) k SC. (1)
Ta có MN k BD ⇒ (MNP QR) k BD. (2)
Từ (1) và (2) ta được thiết diện cần tìm là ngũ giác MN P QR.
A
B C
D
M
N
S
P
R
Q
I
Chọn đáp án B
Câu 58. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. Hai đường thẳng phân biệt không cắt nhau thì song song.
B. Hai đường thẳng không cùng nằm trên một mặt phẳng thì chéo nhau.
C. Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau.
D. Hai đường thẳng không có điểm chung thì song song với nhau.
-Lời giải.
“Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau” là sai vì hai đường thẳng đó có thể song song.
“Hai đường thẳng phân biệt không cắt nhau thì song song” là sai vì hai đường thẳng đó có thể chéo
nhau.
“Hai đường thẳng không cùng nằm trên một mặt phẳng thì chéo nhau” là đúng.
“Hai đường thẳng không có điểm chung thì song song với nhau” là sai vì hai đường thẳng đó có thể
chéo nhau.
Chọn đáp án B
Câu 59. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với AD k BC. Giao tuyến của (SAD) và
(SBC) là
A. Đường thẳng đi qua S và song song với AB. B. Đường thẳng đi qua S và song song với AC.
C. Đường thẳng đi qua S và song song với AD. D. Đường thẳng đi qua S và song song với CD.
-Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 82 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Ta có
S ∈ (SAD) ∩(SBC)
BC k AD
BC ⊂ (SBC); AD ⊂ (SAD)
Suy ra giao tuyến của (SAD) và (SBC) là đường thẳng đi qua
S và song song với AD.
C
D
S
A
B
Chọn đáp án C
Câu 60. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là một điểm thuộc đoạn SB
(M khác S và B). Mặt phẳng (ADM) cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện là
A. Hình bình hành. B. Tam giác. C. Hình chữ nhật. D. Hình thang.
-Lời giải.
Ta có
®
M ∈ (ADM) ∩ (SBC)
AD k BC
⇒ (ADM) ∩ (SBC) = Mx k AD k BC.
Trong mặt phẳng (SBC), gọi N = Mx ∩ SC.
Do đó, ADNM là thiết diện của S.ABCD cắt bởi mặt phẳng (ADM).
Vì AD k MN và MN < AD nên ADNM là hình thang.
C
B
N
M
A
D
S
Chọn đáp án D
Câu 61. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, K lần lượt là trung
điểm của CD, CB, SA. Gọi H là giao điểm của AC và MN . Giao điểm của SO với (MN K) là điểm E.
Hãy chọn cách xác định điểm E đúng nhất trong bốn phương án sau
A. E là giao của MN và SO.
B. E là giao của KN và SO.
C. E là giao của KH và SO.
D. E là giao của KM và SO.
A
B C
D
M
K
S
H
O
N
-Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 83 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Trong (SAC) : KH ∩ SO ≡ E suy ra SO ∩(M NK) ≡ E.
A
B
E
C
D
M
K
S
H
O
N
Chọn đáp án C
Câu 62. Cho hai mặt phẳng (P ), (Q) cắt nhau theo giao tuyến là đường thẳng d . Đường thẳng a song
song với cả hai mặt phẳng(P ), (Q). Khẳng định nào sau đây đúng?
A. a, d trùng nhau. B. a, d chéo nhau. C. a song song d. D. a, d cắt nhau.
-Lời giải.
Sử dụng hệ quả: Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của
chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó.
Chọn đáp án C
Câu 63.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm
O. Gọi M, N, K lần lượt là trung điểm của CD, CB, SA. H là
giao điểm của AC và MN . Giao điểm của SO với (M NK) là
điểm E. Hãy chọn cách xác định điểm E đúng nhất trong bốn
phương án sau.
A. E là giao của MN với SO.
B. E là giao của KN với SO.
C. E là giao của KH với SO.
D. E là giao của KM với SO.
O
D C
M
S
H
B
N
K
A
E
-Lời giải.
Gọi E = KH ∩ SO ⇒
®
E ∈ KH ⊂ (KMN)
E ∈ SO
⇒ E = SO ∩(KM N).
Chọn đáp án C
Câu 64. Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng
(nếu có) sẽ:
A. Song song với hai đường thẳng đó.
B. Song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.
C. Trùng với một trong hai đường thẳng đó.
D. Cắt một trong hai đường thẳng đó.
-Lời giải.
Theo lý thuyết
Chọn đáp án B
Câu 65. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau.
B. Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung.
C. Hai đường thẳng phân biệt không cắt nhau và không song song thì chéo nhau.
D. Hai đường thẳng phân biệt không chéo nhau thì hoặc cắt nhau hoặc song song.
-Lời giải.
Hai đường thẳng không có điểm chung thì chúng song song (khi chúng đồng phẳng) hoặc chéo nhau (khi
chúng không đồng phẳng).
Th.s Nguyễn Chín Em 84 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Chọn đáp án A
Câu 66. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Hai đường thằng có một điểm chung thì chúng có vô số điểm chung khác.
B. Hai đường thẳng song song khi và chỉ khi chúng không điểm chung.
C. Hai đường thẳng song song khi và chỉ khi chúng không đồng phẳng.
D. Hai đường thẳng chéo nhau khi và chỉ khi chúng không đồng phẳng.
-Lời giải.
Mệnh đề “Hai đường thằng có một điểm chung thì chúng có vô số điểm chung khác” sai vì trong trường
hợp 2 đường thẳng cắt nhau thì chúng chỉ có 1 điểm chung.
Mệnh đề “Hai đường thằng có một điểm chung thì chúng có vô số điểm chung khác” sai vì hai đường
thẳng song song khi và chỉ khi chúng đồng phằng và không có điểm chung.
Mệnh đề “Hai đường thẳng song song khi và chỉ khi chúng không đồng phẳng” sai vì hai đường thẳng
song song khi và chỉ khi chúng đồng phằng và không có điểm chung.
Chọn đáp án D
Câu 67. Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Lấy A, B thuộc a và C, D thuộc b. Khẳng định nào sau
đây đúng khi nói về hai đường thẳng AD và BC?
A. Có thể song song hoặc cắt nhau. B. Cắt nhau.
C. Song song với nhau. D. Chéo nhau.
-Lời giải.
Theo giả thiết, a và b chéo nhau ⇒ a và b không đồng phẳng.
Giả sử AD và BC đồng phẳng.
Nếu AD ∩BC = I ⇒ I ∈ (ABCD) ⇒ I ∈ (a; b).
Mà a và b không đồng phẳng, do đó, không tồn tại điểm I.
Nếu AD k BC ⇒ a và b đồng phẳng (Mâu thuẫn với giả thiết).
Vậy điều giả sử là sai. Do đó AD và BC chéo nhau.
A
B
C
D
a
b
Chọn đáp án D
Câu 68. Trong không gian, cho 3 đường thẳng a, b, c, biết a k b, a và c chéo nhau. Khi đó hai đường thẳng
b và c
A. trùng nhau hoặc chéo nhau. B. cắt nhau hoặc chéo nhau.
C. chéo nhau hoặc song song. D. song song hoặc trùng nhau.
-Lời giải.
Giả sử b k c ⇒ c k a (mâu thuẫn với giả thiết).
Chọn đáp án B
Câu 69. Trong không gian, cho ba đường thẳng phân biệt a, b, c trong đó a k b. Khẳng định nào sau đây
sai?
A. Nếu a k c thì b k c.
B. Nếu c cắt a thì c cắt b.
C. Nếu A ∈ a và B ∈ b thì ba đường thẳng a, b, AB cùng ở trên một mặt phẳng.
D. Tồn tại duy nhất một mặt phẳng qua a và b.
-Lời giải.
Nếu c cắt a thì c cắt b hoặc c chéo b.
Chọn đáp án B
Câu 70. Cho hai đường thẳng chéo nhau a, b và điểm M ở ngoài a và ngoài b. Có nhiều nhất bao nhiêu
đường thẳng qua M cắt cả a và b?
A. 1. B. 2. C. 0. D. Vô số.
-Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 85 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Gọi P là mặt phẳng tạo bởi đường thẳng a và M ; Q là mặt phẳng tạo bởi
đường thẳng b và M.
Giả sử c là đường thẳng qua M cắt cả a và b.
⇒
®
c ∈ P
c ∈ Q
⇒ c = P ∩ Q.
Vậy chỉ có 1 đường thẳng qua M cắt cả a và b.
c
a
b
M
P
Q
Chọn đáp án A
Câu 71. Trong không gian, cho 3 đường thẳng a, b, c chéo nhau từng đôi. Có nhiều nhất bao nhiêu đường
thẳng cắt cả 3 đường thẳng ấy?
A. 1. B. 2. C. 0. D. Vô số.
-Lời giải.
Gọi M là điểm bất kì nằm trên a.
Giả sử d là đường thẳng qua M cắt cả b và c. Khi đó, d là giao tuyến của mặt phẳng tạo bởi M và b với
mặt phẳng tạo bởi M và c.
Với mỗi điểm M ta được một đường thẳng d.
Vậy có vô số đường thẳng cắt cả 3 đường thẳng a, b, c.
Chọn đáp án D
Câu 72. Cho hình chóp S.ABCD có AD không song song với BC. Gọi M, N, P, Q, R, T lần lượt là trung
điểm AC, BD, BC, CD, SA, SD. Cặp đường thẳng nào sau đây song song với nhau?
A. MP và RT . B. MQ và RT . C. MN và RT . D. P Q và RT .
-Lời giải.
Ta có: M, Q lần lượt là trung điểm của AC, CD ⇒ MQ là đường trung
bình của tam giác CAD ⇒ MQ k AD (1).
Ta có: R, T lần lượt là trung điểm của SA, SD ⇒ RT là đường trung
bình của tam giác SAD ⇒ RT k AD (2).
Từ (1), (2) suy ra: M Q k RT.
S
M
N
B
P
A
R
D
Q
T
C
Chọn đáp án B
Câu 73. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I, J, E, F lần lượt là trung điểm
SA, SB, SC, SD. Trong các đường thẳng sau, đường thẳng nào không song song với IJ?
A. EF . B. DC. C. AD. D. AB.
-Lời giải.
Ta có IJ k AB (tính chất đường trung bình trong tam giác SAB) và
EF k CD (tính chất đường trung bình trong tam giác SCD).
Mà CD k AB (đáy là hình bình hành)
⇒ CD k AB k EF k IJ.
S
F
B C
A
J
D
I
Chọn đáp án C
Câu 74. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N là hai điểm phân biệt cùng thuộc đường thẳng AB. P, Q là hai
điểm phân biệt cùng thuộc đường thẳng CD. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng MP, NQ.
Th.s Nguyễn Chín Em 86 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
A. MP k NQ. B. MP ≡ NQ. C. MP cắt N Q. D. MP, NQ chéo nhau.
-Lời giải.
Xét mặt phẳng (ABP ) .
Ta có: M, N thuộc AB ⇒ M, N thuộc mặt phẳng (ABP ) .
Mặt khác: CD ∩(ABP ) = P.
Mà: Q ∈ CD ⇒ Q /∈ (ABP )
⇒ M, N, P, Q không đồng phẳng.
A
C
B D
M
N
P
Q
Chọn đáp án D
Câu 75. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng
(SAD) và (SBC). Khẳng định nào sau đây đúng?
A. d qua S và song song với BC. B. d qua S và song song với DC.
C. d qua S và song song với AB. D. d qua S và song song với BD.
-Lời giải.
Ta có
(SAD) ∩ (SBC) = S
AD ⊂ (SAD) , BC ⊂ (SBC)
AD k BC
⇒ (SAD) ∩ (SBC) = Sx k AD k BC (với d ≡ Sx).
S
B
C
A D
Chọn đáp án A
Câu 76. Cho tứ diện ABCD. Gọi I và J theo thứ tự là trung điểm của AD và AC, G là trọng tâm tam
giác BCD. Giao tuyến của hai mặt phẳng (GIJ) và (BCD) là đường thẳng
A. qua I và song song với AB. B. qua J và song song với BD.
C. qua G và song song với CD. D. qua G và song song với BC.
-Lời giải.
Ta có
(GIJ) ∩ (BCD) = G
IJ ⊂ (GIJ) , CD ⊂ (BCD)
IJ k CD
⇒ (GIJ) ∩ (BCD) = Gx k IJ k CD.
A
B
G
C
J
D
I
Chọn đáp án C
Câu 77. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang với các cạnh đáy là AB và CD. Gọi (ACI) lần
lượt là trung điểm của AD và BC và G là trọng tâm của tam giác SAB. Giao tuyến của (SAB) và (IJG)
là
A. SC. B. đường thẳng qua S và song song với AB.
C. đường thẳng qua G và song song với DC. D. đường thẳng qua G và cắt BC.
-Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 87 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Ta có: I, J lần lượt là trung điểm của AD và BC ⇒ IJ là
đường trung bình của hình thang ABCD ⇒ IJ k AB k
CD.
Gọi d = (SAB) ∩(IJG) Ta có: G là điểm chung giữa hai
mặt phẳng (SAB) và (IJG)
Mặt khác:
®
(SAB) ⊃ AB; (IJG) ⊃ IJ
AB k IJ
⇒Giao tuyến d của (SAB) và (IJG) là đường thẳng qua
G và song song với AB và IJ.
S
G
CD
A
I
P
B
J
Q
Chọn đáp án C
Câu 78. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I là trung điểm SA. Thiết diện
của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng (IBC) là
A. Tam giác IBC. B. Hình thang IBCJ (J là trung điểm SD).
C. Hình thang IGBC (G là trung điểm SB). D. Tứ giác IBCD.
-Lời giải.
Ta có
(IBC) ∩ (SAD) = I
BC ⊂ (IBC) , AD ⊂ (SAD)
BC k AD
,
suy ra (IBC) ∩(SAD) = Ix k BC k AD.
Trong mặt phẳng (SAD):
Ix k AD, gọi Ix ∩ SD = J ⇒ IJ k BC.
Vậy thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng (IBC) là
hình thang IBCJ.
S
A
I
B C
D
J
Chọn đáp án B
Câu 79. Cho tứ diện ABCD, M và N lần lượt là trung điểm AB và AC. Mặt phẳng (α) qua MN cắt tứ
diện ABCD theo thiết diện là đa giác T. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. T là hình chữ nhật.
B. T là tam giác.
C. T là hình thoi.
D. T là tam giác hoặc hình thang hoặc hình bình hành.
-Lời giải.
A
B
M
C
D
K
N
A
B
M
C
I
D
N
J
Trường hợp (α) ∩ AD = K. Suy ra T là tam giác MNK. Do đó A và C sai.
Trường hợp (α) ∩ (BCD) = IJ, với I ∈ BD, J ∈ CD; I, J không trùng D. Suy ra T là tứ giác.
Chọn đáp án D
Th.s Nguyễn Chín Em 88 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Câu 80. Cho hai hình vuông ABCD và CDIS không thuộc một mặt phẳng và cạnh bằng 4. Biết tam giác
SAC cân tại S, SB = 8. Thiết diện của mặt phẳng (ACI) và hình chóp S.ABCD có diện tích bằng
A. 6
√
2. B. 8
√
2. C. 10
√
2. D. 9
√
2.
-Lời giải.
Gọi O = SD ∩ CI; N = AC ∩BD.
⇒ O, N lần lượt là trung điểm của DS, DB ⇒ ON =
1
2
SB = 4.
Thiết diện của mp (ACI) và hình chóp S.ABCD là tam giác
OCA.
Tam giác SAC cân tại S ⇒ SC = SA ⇒ 4SDC = 4SDA
⇒ CO = AO (cùng là đường trung tuyến của 2 đỉnh tương ứng)
⇒ 4OCA cân tại O ⇒ S
4OCA
=
1
2
ON·AC =
1
2
·4·4
√
2 = 8
√
2.
S I
AB
D
N
C
O
Chọn đáp án B
Câu 81. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn AB đáy nhỏ CD. Gọi M, N
lần lượt là trung điểm của SA và SB. Gọi P là giao điểm của SC và (AND) . Gọi I là giao điểm của AN
và DP. Hỏi tứ giác SABI là hình gì?
A. Hình bình hành. B. Hình chữ nhật. C. Hình vuông. D. Hình thoi.
-Lời giải.
Gọi E = AD ∩BC, P = NE ∩ SC. Suy ra P = SC ∩ (AND).
Ta có S là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng (SAB) và
(SCD); I = DP ∩ AN ⇒ I là điểm chung thứ hai của hai mặt
phẳng (SAB) và (SCD) .
Suy ra SI = (SAB) ∩ (SCD).
Mà AB k CD ⇒ SI k AB k CD. Vì MN là đường trung bình của
tam giác SAB và chứng minh được cũng là đường trung bình của
tam giác SAI nên suy ra SI = AB.
Vậy SABI là hình bình hành.
S I
M
B
C
P
A
N
D
E
Chọn đáp án A
Câu 82. Cho tứ diện ABCD. Các điểm P, Q lần lượt là trung điểm của AB và CD; điểm R nằm trên cạnh
BC sao cho BR = 2RC. Gọi S là giao điểm của mặt phẳng (P QR) và cạnh AD. Tính tỉ số
SA
SD
.
A. 2. B. 1. C.
1
2
. D.
1
3
.
-Lời giải.
A
S
P
C
Q
D
B
R
I
Th.s Nguyễn Chín Em 89 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Gọi I là giao điểm của BD và RQ. Nối P với I, cắt AD tại S.
Xét tam giác BCD bị cắt bởi IR, ta có
DI
IB
·
BR
RC
·
CQ
QD
= 1 ⇔
DI
IB
· 2 ·1 = 1 ⇔
DI
IB
=
1
2
.
Xét tam giác ABD bị cắt bởi P I, ta có
AS
SD
·
DI
IB
·
BP
P A
= 1 ⇔
SA
SD
·
1
2
· 1 = 1 ⇔
SA
SD
= 2.
Chọn đáp án A
Câu 83. Cho tứ diện ABCD và ba điểm P, Q, R lần lượt lấy trên ba cạnh AB, CD, BC. Cho P R k AC và
CQ = 2QD. Gọi giao điểm của AD và (P QR) là S. Chọn khẳng định đúng?
A. AD = 3DS. B. AD = 2DS. C. AS = 3DS. D. AS = DS.
-Lời giải.
A
S
P
C
Q
D
B
R
I
Gọi I là giao điểm của BD và RQ. Nối P với I, cắt AD tại S.
Ta có
DI
IB
·
BR
RC
·
CQ
QD
= 1 mà
CQ
QD
= 2 suy ra
DI
IB
·
BR
RC
=
1
2
⇔
DI
IB
=
1
2
·
RC
BR
.
Vì P R song song với AC suy ra
RC
BR
=
AP
P B
⇒
DI
IB
=
1
2
·
AP
P B
.
Lại có
SA
SD
·
DI
IB
·
BP
P A
= 1 ⇒
SA
SD
·
1
2
·
AP
P B
·
BP
P A
= 1 ⇔
SA
SD
= 2 ⇒ AD = 3DS.
Chọn đáp án A
Câu 84. Gọi G là trọng tâm tứ diện ABCD. Gọi A
0
là trọng tâm của tam giác BCD. Tính tỉ số
GA
GA
0
.
A. 2. B. 3. C.
1
3
. D.
1
2
.
-Lời giải.
A
M
G
C
D
A
0
B
E
Gọi E là trọng tâm của tam giác ACD, M là trung điểm của CD.
Nối BE cắt AA
0
tại G suy ra G là trọng tâm tứ diện.
Xét tam giác M AB, có
ME
MA
=
MA
0
MB
=
1
3
suy ra A
0
E k AB ⇒
A
0
E
AB
=
1
3
.
Khi đó, theo định lí Talet suy ra
A
0
E
AB
=
A
0
G
AG
=
1
3
⇒
GA
GA
0
= 3.
Chọn đáp án B
Th.s Nguyễn Chín Em 90 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Câu 85. Cho tứ diện ABCD trong đó có tam giác BCD không cân. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của
AB, CD và G là trung điểm của đoạn MN. Gọi A
1
là giao điểm của AG và (BCD) . Khẳng định nào sau
đây đúng?
A. A
1
là tâm đường tròn tam giác BCD. B. A
1
là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BCD.
C. A
1
là trực tâm tam giác BCD. D. A
1
là trọng tâm tam giác BCD.
-Lời giải.
A
M
G
C
P
N
D
B
A
1
Mặt phẳng (ABN ) cắt mặt phẳng (BCD) theo giao tuyến BN.
Mà AG ⊂ (ABN) suy ra AG cắt BN tại điểm A
1
.
Qua M dựng MP k AA
1
với P ∈ BN. Có M là trung điểm của AB suy ra P là trung điểm BA
1
⇒ BP =
P A
1
. (1)
Tam giác MNP có M P k GA
1
và G là trung điểm của MN.
⇒ A
1
là trung điểm của NP ⇒ PA
1
= NA
1
. (2)
Từ (1), (2) suy ra BP = P A
1
= A
1
N ⇒
BA
1
BN
=
2
3
. Mà N là trung điểm của CD, do đó, A
1
là trọng tâm
của tam giác BCD.
Chọn đáp án D
Câu 86. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC; E là điểm trên cạnh CD với
ED = 3EC. Thiết diện tạo bởi mặt phẳng (M NE) và tứ diện ABCD là
A. Tam giác MN E.
B. Tứ giác M NEF với F là điểm bất kì trên cạnh BD.
C. Hình bình hành M NEF với F là điểm trên cạnh BD mà EF k BC.
D. Hình thang MN EF với F là điểm trên cạnh BD mà EF k BC.
-Lời giải.
Ta có E là điểm chung của hai mặt phẳng (MNE) và (BCD) . Lại có
MN ⊂ (MN E)
BC ⊂ (BCD)
MN k BC
⇔ Giao tuyến của hai mặt phẳng (MNE) và (BCD)
là đường thẳng d đi qua điểm E và song song với BC và MN.
A
D
N
C
E
M
B F
Trong mặt phẳng (BCD), gọi F = d ∩BC. Khi đó thiết diện tạo bởi mặt phẳng (MN E) và tứ diện ABCD
là hình thang M NEF với F là điểm trên cạnh BD mà EF k BC.
Chọn đáp án D
Câu 87. Cho hai đường thẳng a và b. Điều kiện nào sau đây đủ kết luận a và b chéo nhau?
A. a và b không có điểm chung.
B. a và b là hai cạnh của một hình tứ diện.
C. a và b nằm trên hai mặt phẳng phân biệt.
Th.s Nguyễn Chín Em 91 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
D. a và b không cùng nằm trên bất kì mặt phẳng nào.
-Lời giải.
Sửa lại cho đúng: a và b không có điểm chung và không đồng phẳng.
Sửa lại cho đúng: a và b là hai cạnh đối của một hình tứ diện.
Sai vì a và b có thể song song.
Chọn đáp án D
Câu 88. Cho hình lập phương ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
. Có bao nhiêu cạnh của hình lập phương chéo nhau với
đường chéo AC
0
của hình lập phương?
A. 2. B. 3. C. 4. D. 6.
-Lời giải.
Các cạnh chéo nhau với đường chéo AC
0
của hình lập phương là:
A
0
B
0
, A
0
D
0
, DD
0
, CD, BC, BB
0
.
A
0
D
0
B C
A
B
0
D
C
0
Chọn đáp án D
Câu 89. Cho hai đường thẳng phân biệt a và b trong không gian. Có bao nhiêu vị trí tương đối giữa a và
b?
A. 4. B. 3. C. 2. D. 1.
-Lời giải.
Hai đường thẳng phân biệt a và b trong không gian có ba vị trí tương đối là: cắt nhau, song song, chéo
nhau.
Chọn đáp án B
Câu 90. Cho hai đường thẳng phân biệt cùng nằm trong một mặt phẳng. Có bao nhiêu vị trí tương đối
giữa hai đường thẳng đó?
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
-Lời giải.
Hai đường thẳng phân biệt cùng nằm trong một mặt phẳng có hai vị trí tương đối là: cắt nhau, song song.
Chọn đáp án B
Câu 91. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng?
A. Hai đường thẳng lần lượt nằm trên hai mặt phẳng phân biệt thì chéo nhau.
B. Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau.
C. Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung.
D. Hai đường thẳng phân biệt không song song thì chéo nhau.
-Lời giải.
Theo định nghĩa của hai đường thẳng chéo nhau thì B là mệnh đề đúng.
Chọn đáp án C
Câu 92. Cho hai đường thẳng a và b chéo nhau. Có bao nhiêu mặt phẳng chứa a và song song với b?
A. 0. B. 1. C. 2. D. Vô số.
-Lời giải.
Hai đường thẳng a và b chéo nhau có duy nhất một mặt phẳng chứa a và song song với b.
Chọn đáp án B
Câu 93. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A
0
B
0
C
0
. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC
và A
0
B
0
C
0
. Thiết diện tạo bởi mặt phẳng (AIJ) với hình lăng trụ đã cho là
A. Tam giác cân. B. Tam giác vuông. C. Hình thang. D. Hình bình hành.
-Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 92 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Kéo dài AI cắt BC tại M , suy ra M là trung điểm BC.
Ta có
(AIJ) ∩
A
0
B
0
C
0
= J
AI ⊂ (AIJ)
A
0
J ⊂
A
0
B
0
C
0
AI k A
0
J
⇔ (AIJ) ∩ (A
0
B
0
C
0
) = A
0
J.
Trong mặt phẳng (A
0
B
0
C
0
), gọi M
0
= A
0
J ∩ B
0
C
0
.
Khi đó thiết diện là tứ giác AA
0
JI, tứ giác này có
®
A
0
M
0
k AM
AA
0
k MM
0
⇔
AA
0
JI là hình bình hành.
A
0
C
0
J
M
0
B
0
B
I
A
M
C
Chọn đáp án D
Câu 94. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.
A. Hai đường thẳng phân biệt cùng nằm trong một mặt phẳng thì không chéo nhau.
B. Hai đường thẳng phân biệt không cắt nhau thì chéo nhau.
C. Hai đường thẳng phân biệt không song song thì chéo nhau.
D. Hai đường thẳng phân biệt lần lượt thuộc hai mặt phẳng khác nhau thì chéo nhau.
-Lời giải.
Chọn A.
Đáp án B sai: hai đường thẳng đó có thể song song nhau.
Đáp án C sai: hai đường thẳng đó có thể cắt nhau.
Đáp án D sai: hai đường thẳng đó có thể song song hoặc cắt nhau.
Chọn đáp án A
Câu 95. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD)và
(SBC) là đường thẳng song song với đường thẳng nào dưới đây?
A. AC. B. BD. C. AD. D. SC.
-Lời giải.
Ta có
(SAD) ∩ (SBC) = S
AD ⊂ (SAD) , BC ⊂ (SBC)
AD k BC
⇔ (SAD) ∩ (SBC) = Sx k AD k BC.
S x
B C
A
D
Chọn đáp án C
Câu 96. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Giả sử M thuộc đoạn thẳng SB. Mặt
phẳng (ADM) cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện là hình gì?
A. Hình tam giác. B. Hình thang. C. Hình bình hành. D. Hình chữ nhật.
-Lời giải.
Ta có
(ADM) ∩(SBC) = M
AD ⊂ (ADM ) , BC ⊂ (SBC)
AD//BC
⇔ (ADM ) ∩ (SBC) =
MN k AD k BC với N ∈ SC.
S
B C
A
M
N
D
Th.s Nguyễn Chín Em 93 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Tứ giác AMN D có M N k AD ⇔ AMND là hình thang.
Chọn đáp án B
ĐÁP ÁN
1. A 2. D 3. C 4. B 5. D 6. D 7. B 8. B 9. A 10. D
11. A 12. B 13. C 14. D 15. A 16. C 17. C 18. B 19. D 20. B
21. A 22. A 23. A 24. B 25. D 26. B 27. B 28. C 29. D 30. C
31. A 32. C 33. A 34. D 35. C 36. B 37. A 38. B 39. A 40. B
41. C 42. A 43. B 44. D 45. D 46. C 47. C 48. A 49. B 50. C
51. B 52. B 53. A 54. B 55. D 56. D 57. B 58. B 59. C 60. D
61. C 62. C 63. C 64. B 65. A 66. D 67. D 68. B 69. B 70. A
71. D 72. B 73. C 74. D 75. A 76. C 77. C 78. B 79. D 80. B
81. A 82. A 83. A 84. B 85. D 86. D 87. D 88. D 89. B 90. B
91. C 92. B 93. D 94. A 95. C 96. B
Th.s Nguyễn Chín Em 94 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
BÀI 3. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG
A TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1 VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
Cho đường thẳng a và mặt phẳng (P ). Căn cứ vào số điểm chung của đường thẳng và mặt phẳng ta
có ba trường hợp sau
a) Đường thẳng a và mặt phẳng (P ) không có điểm chung, tức là
a ∩(P) = ∅ ⇔ a k (P ).
α
d
b) Đường thẳng a và mặt phẳng (P ) chỉ có một điểm chung, tức là
a ∩(P) = A ⇔ a cắt (P ) tại A.
α
M
d
c) Đường thẳng a và mặt phẳng (P ) có hai điểm chung, tức là
a ∩(P) = {A, B} ⇔ a ⊂ (P).
α
d
2 ĐIỀU KIỆN ĐỂ MỘT ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MỘT MẶT PHẲNG
Định lí 1. Nếu đường thẳng a không nằm trong mặt phẳng (P ) và song song với một đường thẳng
nào đó trong (P ) thì a song song với (P ).
Tức là a 6⊂ (P ) thì nếu a k d ⊂ (P) ⇒ a k (P ).
Định lí 2. Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng (P ) thì mọi mặt phẳng (Q) chứa a mà cắt
(P ) thì sẽ cắt theo một giao tuyến song song với a.
Tức là
a k (P )
a ⊂ (Q)
(Q) ∩(P) = d
⇒ a k d.
α
β
b
a
Hệ quả 1. Nếu một đường thẳng song song với một mặt phẳng thì nó song song với một đường
thẳng nào đó trong mặt phẳng.
Hệ quả 2. Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến (nếu
có) của chúng song song với đường thẳng đó.
Tức là
(P ) ∩ (Q) = d
(P ) k a
(Q) k a
⇒ d k a.
Th.s Nguyễn Chín Em 95 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
B CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng
Phương pháp.
Để chứng minh đường thẳng d song song với mặt phẳng (α) ta chứng minh d không nằm trong (α) và
song song với một đường thẳng a nào đó nằm trong (α).
1 VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm tam giác ABD. Trên đoạn BC lấy điểm M sao cho
MB = 2MC. Chứng minh rằng đường thẳng MG song song với mặt phẳng (ACD).
-Lời giải.
M
A
G
B
N
D
C
Gọi N là trung điểm của AD. Ta có:
BG
BN
=
2
3
(Vì G là trọng tâm tam giác ABD).
Theo giả thiết, ta có: MB = 2MC ⇒
BM
BC
=
2
3
.
Tam giác BCN có
BG
BN
=
BM
BC
=
2
3
⇒ MG k CN .
Mà MG 6⊂ (ACD), CN ⊂ (ACD) ⇒ MG k (ACD).
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P lần lượt
là trung điểm của các cạnh SD, CD, BC.
1 Chứng minh đường thẳng OM song song với các mặt phẳng (SAB), (SBC).
2 Chứng minh đường thẳng SP song song với mặt phẳng (OMN ).
-Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 96 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
D
S
O
A
M
B
P
N C
I
1 Tam giác SBD có OB = OD và MS = MD nên OM là đường trung bình của tam giác SBD
⇒ OM k SB.
Mà OM không chứa trong các mặt phẳng (SAB) và (SBC) nên OM k (SAB) và OM k (SBC).
2 Trong mặt phẳng (ABCD), gọi I là giao điểm của ON và DP .
Tam giác BCD có OB = OD và NC = N D nên ON là đường trung bình của tam giác BCD ⇒ I là
trung điểm của DP .
Tam giác SDP có MS = M D và IP = ID nên IM là đường trung bình của tam giác SDP ⇒ IM k
SP .
Mà SP 6⊂ (OMN ), IM ⊂ (OMN) ⇒ SP k (OMN).
Ví dụ 3. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng. Trên
hai đường chéo AC, BF lần lượt lấy hai điểm M , N sao cho
AM
AC
=
BN
BF
= k (k 6= 0, k 6= 1). Mặt
phẳng (α) chứa đường thẳng MN, song song với đường thẳng AB, cắt AD và AF lần lượt tại M
0
và
N
0
. Chứng minh rằng đường thẳng M
0
N
0
song song với mặt phẳng (DEF ).
-Lời giải.
D
N
F
N
0
M
0
B
M
C
E
A
Ta có: AB k (α), AB ⊂ (ABCD) và (α) ∩ (ABCD) = MM
0
⇒ MM
0
k AB hay MM
0
k CD.
Tương tự, ta có: AB k (α), AB ⊂ (ABEF ) và (α) ∩ (ABEF ) = NN
0
⇒ NN
0
k AB.
Th.s Nguyễn Chín Em 97 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Tam giác ACD có MM
0
k CD ⇒
AM
0
AD
=
AM
AC
= k (1).
Tam giác ABF có NN
0
k AB ⇒
AN
0
AF
=
BN
BF
= k (2).
Từ (1) và (2), ta có:
AM
0
AD
=
AN
0
AF
= k ⇒ M
0
N
0
k DF .
Mà M
0
N
0
6⊂ (DEF ), DF ⊂ (DEF ) ⇒ M
0
N
0
k (DEF ).
2 BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SA và SC. Chứng minh
MN k (ABCD).
-Lời giải.
Xét tam giác SAC có M, N lần lượt là trung điểm của SA, SC.
Suy ra MN k AC nên MN k mp(ABCD).
S
A
M
B
C
D
N
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, M và N là hai điểm trên SA, SB sao
cho
SM
SA
=
SN
SB
=
1
3
. Chứng minh M N song song (ABCD).
-Lời giải.
Theo định lí Talet, ta có
SM
SA
=
SN
SB
suy ra MN song song với AB Mà AB
nằm trong mặt phẳng (ABCD) suy ra MN k (ABCD)
S
A
M
B C
N
D
Bài 3. Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABD, Q thuộc cạnh AB sao cho AQ = 2QB,
P là trung điểm của AB. Chứng minh GQ k (BCD).
-Lời giải.
Gọi M là trung điểm của BD.
Vì G là trọng tâm tam giác ABD⇒
AG
AM
=
2
3
.
Điểm Q ∈ AB sao cho AQ = 2QB ⇔
AQ
AB
=
2
3
.
Suy ra
AG
AM
=
AQ
AB
⇒ GQ k BD.
Mặt khác BD nằm trong mặt phẳng (BCD) suy ra GQ k (BCD)
A
D
G
C
M
B
P
Q
Bài 4. Cho tứ diện ABCD. Gọi M , N , P , Q, R, S theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AC, BD, AB,
CD, AD, BC. Chứng minh: M, R, S, N đồng phẳng
-Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 98 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Theo tính chất của đường trung bình của tam giác ta có
P S k AC k QR suy ra P, Q, R, S đồng phẳng
Tương tự, ta có được P M k BC k NQ suy ra P, M, N, Q đồng phẳng.
Và N R k CD k SN suy ra M, R, S, N đồng phẳng.
A
S
B
P
N
D
Q
C
R
M
Bài 5. Cho tứ diện ABCD. Gọi H là một điểm nằm trong tam giác ABC, (α) là mặt phẳng đi qua H
song song với AB và CD. Thiết diện của (α) của tứ diện là hình gì?
-Lời giải.
Qua H kẻ đường thẳng (d) song song AB và cắt BC, AC lần lượt tại M, N
Từ N kẻ NP song song vớ CD (P ∈ CD) Từ P kẻ P Q song song với
AB (Q ∈ BD)
Ta có MN k P Q k AB suy ra M, N, P, Q đồng phẳng và AB k (MN P Q)
Suy ra MN P Q là thiết diện của (α) và tứ diện.
Vậy tứ diện là hình bình hành.
A
B
P
D
Q
M
C
N
H
Bài 6. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 10. M là điểm trên SA sao cho
SM
SA
=
2
3
.
Một mặt phẳng (α) đi qua M song song với AB và CD, cắt hình chóp theo một tứ giác, tính diện tích tứ
giác đó.
-Lời giải.
Ta có (α) k AB và CD mà A, B, C, D đồng phẳng suy ra (α) k (ABCD).
Giả sử (α) cắt các mặt bên (SAB), (SBC), (SCD), (SDA) lần lượt tại
các điểm N, P, Q với N ∈ SB, P ∈ SC, Q ∈ SD.
Suy ra (α) ≡ (MNP Q)
Khi đó MN k AB⇒M N là đường trung bình tam giác SAB
⇒
SM
SA
=
MN
AB
=
2
3
Tương tự, ta có được
NP
BC
=
P Q
CD
=
QM
DA
=
2
3
và MN P Q là hình vuông.
Suy ra S
MN P Q
=
Å
2
3
ã
2
S
ABCD
=
4
9
S
ABCD
=
4
9
.10.10 =
400
9
.
S
A
M
B
C
N
P
Q
D
Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang cân đáy lớn AD. Gọi M, N lần lượt là hai trung
điểm của AB và CD, (P ) là mặt phẳng qua M N và cắt mặt bên (SBC) theo một giao tuyến. Thiết diện
của (P ) và hình chóp là hình gì?
-Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 99 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Xét hình thang ABCD, có M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD
Suy ra M N là đường trung bình của hình thang ABCD ⇒ MN k BC.
Lấy điểm P ∈ SB, qua P kẻ đường thẳng song song với BC và cắt BC
tại Q
Suy ra (P ) ∩ (SBC) = P Q nên thiết diện (P ) và hình chóp là tứ giác
MNQP có MN k P Q k BC. Vậy thiết diện là hình thang M NQP .
S
A
M
P
B C
D
N
Q
Bài 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M là điểm thuộc cạnh SA
(không trùng với S hoặc A) (P ) là mặt phẳng qua OM và song song với AD. Thiết diện của (P ) và hình
chóp là hình gì?
-Lời giải.
Qua M kẻ đường thẳng MN k AD và cắt SD tại N
⇒ MN k AD
Qua O kẻ đường thẳng P Q k AD và cắt AB, CD lần lượt tại Q, P ⇒
P Q k AD
Suy ra MN k P Q k AD đồng phẳng ⇒ (P ) cắt hình chóp S.ABCD
theo thiết diện là hình thang M NP Q.
S
A
B
C
O
D
P
Q
N
M
Bài 9. Cho tứ diện ABCD Gọi I, J lần lượt thuộc cạnh AD, BC sao cho IA = 2ID và JB = 2JC Gọi
(P ) là mặt phẳng qua IJ và song song với AB Thiết diện của (P ) và tứ diện ABCD hình gì?
-Lời giải.
Giả sử (P ) cắt các mặt của tứ diện (ABC) và (ABD) theo hai giao tuyến JH
và IK
Ta có (P ) ∩(ABC) = JH, (P) ∩ (ABD) = IK.
(ABC) ∩ (ABD) = AB, (P ) IK k AB
Theo định lí Thalet, ta có
JB
JC
=
HA
HC
= 2 suy ra
HA
HC
=
IA
ID
⇒ IH k CD
Mà IH ∈ (P ).
Suy ra IH song song với mặt phẳng (P )
Vậy (P ) cắt các mặt phẳng (ABC), (ABD) theo các giao tuyến IH, JK với
IH k JK
Do đó, thiết diện của (P ) và tứ diện ABCD là hình bình hành.
A
B
J
H
DK
C
I
Th.s Nguyễn Chín Em 100 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Dạng 2. Tìm giao tuyến hai mặt phẳng khi biết một mặt phẳng song song với đường
thẳng cho trước
Phương pháp: Cho đường thẳng a và mặt phẳng (P ) song song
với nhau. Nếu mặt phẳng (Q) chứa a và cắt (P ) theo giao tuyến
b thì b song song với a.
1 CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, đáy lớn AD. Gọi I là trung điểm của SB.
Gọi (P ) là mặt phẳng qua I, song song với SD và AC.
1 Tìm giao tuyến của mặt phẳng của (P ) và (SBD).
2 Tìm giao tuyến của mặt phẳng của (P ) và (ABCD).
-Lời giải.
1 Ta có:
I ∈ (P ) ∩(SBD)
(P ) k SD
SD ⊂ (SBD)
⇒ (P ) ∩ (SBD) = Ix trong đó Ix k SD.
Gọi Ix ∩ BD = K ⇒ (P ) ∩ (SBD) = IK.
2 Ta có:
K ∈ (P ) ∩ (ABCD)
(P ) k AC
AC ⊂ (ABCD)
⇒ (P ) ∩ (SBD) = Ky trong đó Ky k AC.
Gọi Ky ∩ AD = E, Ky ∩ CD = F
⇒ (P ) ∩ (SBD) = EF.
I
K
E
F
A
B C
D
S
Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD, M là điểm thuộc cạnh AC. Gọi (P ) là mặt phẳng qua M song song
với AB và CD. Tìm giao tuyến của (P ) với mặt phẳng (BCD).
-Lời giải.
Tìm giao tuyến của (P ) với (ABC).
Ta có:
M ∈ (P) ∩(ABC)
(P ) k AB
AB ⊂ (ABC)
⇒ (P ) ∩ (ABC) = Mx trong đó M x k AB.
Gọi Mx ∩ BC = N ⇒ (P) ∩(ABC) = M N.
Tìm giao tuyến của (P ) với (BCD).
Ta có:
N ∈ (P) ∩(ABC)
(P ) k CD
CD ⊂ (BCD)
⇒ (P ) ∩ (BCD) = Ny trong đó N y k CD.
Gọi Ny ∩BD = P ⇒ (P ) ∩ (BCD) = NP.
P
M
N
A
B
C
D
Th.s Nguyễn Chín Em 101 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của cạnh SC, (P )
là mặt phẳng chứa A, M và song song với BD.
1 Xác định điểm E, F lần lượt là giao điểm của (P ) với các cạnh SB, SD. Tìm tỉ số diện tích của
4SM E với 4SBC và tỉ số diện tích của 4SMF với 4SCD.
2 Gọi K là giao điểm của ME với CB, J là giao điểm của MF với CD. Chứng minh rằng ba
điểm K, A, J nằm trên một đường thẳng song song với EF. Tính tỉ số
EF
KJ
.
-Lời giải.
F
M
E
A B
C
D
S
O
I
J
K
1 Gọi AC ∩BD = O và SO ∩AM = I.
Ta có:
I ∈ (P ) ∩(SBD)
(P ) k BD
BD ⊂ (SBD)
⇒ (P ) ∩ (SBD) = Ix trong đó Ix k BD.
Gọi Ix ∩ SB = E, Ix ∩ SD = F
⇒ E, F lần lượt là giao điểm của SB và SD với (P ).
2 Vì I = AM ∩ SO mà AM, SO là đường trung tuyến của 4SAC nên I là trọng tâm 4SAC.
Ta có:
SE
SB
=
SF
SD
=
SI
SO
=
2
3
.
Do đó:
S
4SME
S
4SBC
=
SM
SC
.
SE
SB
=
1
2
.
2
3
=
1
3
.
S
4SMF
S
4SCD
=
SM
SC
.
SF
SD
=
1
2
.
2
3
=
1
3
.
3 Ta có K, A, J là ba điểm chung của hai mặt phẳng (P ) và (ABCD) nên chúng nằm trên giao tuyến
d = (P ) ∩ (ABCD). Vì BD k (P ) và BD ⊂ (ABCD) nên d k BD ⇒ d k EF .
Khi đó:
EF
BD
=
SI
SO
=
2
3
; KJ = 2BD ( Vì E, F lần lượt là trọng tâm của 4SCK, 4SCJ).
Suy ra
EF
KJ
=
1
3
.
Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABC có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi (P ) là mặt phẳng di động qua
S và song song với BC, (P ) cắt cạnh AB, AC lần lượt tại M, N.
Th.s Nguyễn Chín Em 102 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
1 Chứng minh (P ) luôn chứa một đường thẳng cố định.
2 Tính tổng bình phương các cạnh của 4SMN khi AM = x. Tìm x để tổng này đạt giá trị bé
nhất.
-Lời giải.
x
M
N
A
B
C
S
t
1 Ta có:
S ∈ (P ) ∩(SBC)
(P ) k BC
BC ⊂ (SBC)
⇒ (P ) ∩ (SAB) = St trong đó St k BC.
Mặt khác: S, BC cố định nên St cố định. Vậy (P ) luôn chứa đường thẳng St cố định.
2 Vì
(P ) k BC
BC ⊂ (ABC)
(P ) ∩ (ABC) = MN
⇒ MN k BC.
Vì tam giác ABC đều nên 4AMN đều cạnh bằng x.
Ta có: 4SAM = 4SAN ⇒ SM = SN.
Xét 4SAM ⇒ SM
2
= SA
2
+ AM
2
− 2SA.AM. cos 60
◦
⇒ SM
2
= a
2
+ x
2
− 2ax.
1
2
= a
2
+ x
2
− ax.
Tổng bình phương các cạnh là S = SM
2
+ SN
2
+ MN
2
= 2a
2
+ 3x
2
− 2ax
⇒ S = 3
x −
a
3
2
+
5a
2
3
.
Suy ra S ≥
5a
2
3
⇒ min S =
5a
2
3
⇔ x =
a
3
.
Dạng 3. Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng
Phương pháp giải:
Cho hình chóp S.A
1
A
2
. . . A
n
và mp(α).
Nếu (α) cắt một mặt nào đó của hình chóp thì (α) sẽ cắt mặt này theo một đoạn thẳng gọi là đoạn
giao tuyến của (α) với mặt đó.
Các đoạn giao tuyến nối tiếp nhau tạo thành một đa giác phẳng gọi là thiết diện.
Như vậy, muốn tìm thiết diện của hình chóp với (α), ta tìm các đoạn giao tuyến (nếu có).
Đa giác tạo bởi các đoạn giao tuyến là thiết diện cần tìm.
Sử dụng thêm định lý:
Cho đường thẳng d song song với mặt phẳng (α). Nếu mặt phẳng (β) chứa d và cắt mặt phẳng (α)
theo giao tuyến d
0
thì d
0
k d.
Th.s Nguyễn Chín Em 103 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
1 CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O, M là trung điểm của OC,
mặt phẳng (α) đi qua M và song song với SA và BD. Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (α).
-Lời giải.
Trong mặt phẳng (ABCD) qua M kẻ đường thẳng song song
với BD, cắt BC tại N và cắt CD tại Q.
Trong mặt phẳng (SAC) qua M kẻ đường thẳng song song
với SA, cắt SC tại P . Khi đó ta có:
(α) ∩ (ABCD) = N Q, (α) ∩ (SBC) = N P , (α) ∩ (SCD) =
P Q.
Do đó: (α) ∩ S.ABCD = NP Q.
Vậy thiết diện là tam giác N P Q.
A
D
S
B
C
P
M
O
N
Q
Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD. Gọi (α) là mặt phẳng qua trung điểm của cạnh AC, song song với
AB và CD. Tìm thiết diện của tứ diện ABCD cắt bởi (α).
-Lời giải.
Gọi I, J, L, K lần lượt là trung điểm của AC, BC, BD, AD. Ta có:
(α) ∩ (ABC) = IJ
(α) ∩ (BCD) = JL
(α) ∩ (ABD) = LK
(α) ∩ (ACD) = IK
Do đó, (α) ∩ (ABCD) = IJLK. Dễ thấy IJLK là hình bình hành.
A
B
L
C
I
K
D
J
Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của SA, SB.
Điểm M bất kì thuộc cạnh BC. Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi (M EF ).
-Lời giải.
Dễ thấy EF k AB, trong mặt phẳng (ABCD) qua M kẻ đường thẳng
song song với AB cắt AD tại N. Ta có:
(MEF ) ∩ (SBC) = MF .
(MEF ) ∩ (SAB) = EF .
(MEF ) ∩ (SAD) = EN .
(MEF ) ∩ (ABCD) = MN.
Do đó, (MEF ) ∩ S.ABCD = MN EF .
Vậy thiết diện là hình thang M NEF , hai đáy là MN và EF .
A
D
S
E
B
C
F
MN
Ví dụ 4. Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O. Gọi S là một điểm nằm ngoài mặt phẳng (ABCD)
sao cho SB = SD. Gọi M là điểm tùy ý trên AO với AM = x. Mặt phẳng (α) đi qua M song song
với SA, BD và cắt SO, SB, AB lần lượt tại N, P, Q. Cho SA = a, tính diện tích MNP Q theo a và
x, biết NM ⊥ MQ.
-Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 104 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Do
(α) k BD
BD ⊂ (ABO)
(α) ∩ (ABO) = M Q
⇒ MQ k BD. Tương tự, ta có N P k BD,
MN k SA và P Q k SA. Vậy tứ giác M NP Q có hai cặp cạnh đối song song
với nhau, suy ra MN P Q là hình bình hành.
Do NM ⊥ MQ nên M NP Q là hình chữ nhật.
Do MNP Q là hình chữ nhật nên S
MN P Q
= MN.MQ (1).
Xét tam giác AQM có
b
A =
“
Q = 45
◦
,
c
M = 90
◦
⇒ ∆AQM vuông cân. Vậy
MQ = AM = x.
Xét tam giác SAO, ta có MN k SA ⇒
MN
SA
=
OM
OA
. Từ đó suy ra
MN = SA.
OM
OA
= a.
a
√
2
2
− x
a
√
2
2
= a −x
√
2.
Thay MQ và M N vào (1), ta có S
MN P Q
=
1
√
2
.x.
√
2
Ä
a −x
√
2
ä
.
A
B
S
P
Q
D
C
I
N
M
O
C CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Hai mặt phẳng không cắt nhau thì song song.
B. Hai mặt phẳng cùng song song với một đường thẳng thì cắt nhau.
C. Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có duy nhất một mặt phẳng song song với mặt
phẳng đó.
D. Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có vô số mặt phẳng song song với mặt phẳng đó.
-Lời giải.
Trong không gian, hai mặt phẳng có 3 vị trí tương đối: trùng nhau, cắt nhau,
song song với nhau. Vì vậy, 2 mặt phẳng không cắt nhau thì có thể song song
hoặc trùng nhau ⇒A là mệnh đề sai.
Hai mặt phẳng cùng song song với một đường thẳng thì chúng có thể song
song với nhau (hình vẽ) ⇒ B là mệnh đề sai.
Ta có: a k (P ), a k (Q) nhưng (P ) và (Q) vẫn có thể song song với nhau.
Mệnh đề C là tính chất nên C đúng.
a
P
Q
Chọn đáp án C
Câu 2. Trong các điều kiện sau, điều kiện nào kết luận mp (α) k mp (β)?
A. (α) k (γ) và (β) k (γ) ((γ) là mặt phẳng nào đó).
B. (α) k a và (α) k b với a, b là hai đường thẳng phân biệt thuộc (β).
C. (α) k a và (α) k b với a, b là hai đường thẳng phân biệt cùng song song với (β).
D. (α) k a và (α) k b với a, b là hai đường thẳng cắt nhau thuộc(β).
-Lời giải.
a
b
α
β
Hình 1.
a
b
α
β
Hình 2.
Trong trường hợp: (α) k (γ) và (β) k (γ) ((γ) là mặt phẳng nào đó) thì (α) và (β) có thể trùng nhau ⇒
Loại A.
Th.s Nguyễn Chín Em 105 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
(α) k a và (α) k b với a, b là hai đường thẳng phân biệt thuộc (β) thì (α) và (β) vẫn có thể cắt nhau (hình
1) ⇒ Loại B.
(α) k a và (α) k b với a, b là hai đường thẳng phân biệt cùng song song với (β) thì (α) và (β) vẫn có thể cắt
nhau (hình 2) ⇒ Loại C.
Chọn đáp án D
Câu 3. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Nếu hai mặt phẳng (α) và (β) song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong (α) đều song song
với (β).
B. Nếu hai mặt phẳng (α) và (β) song song với nhau thì bất kì đường thẳng nào nằm trong (α) cũng
song song với bất kì đường thẳng nào nằm trong (β).
C. Nếu hai đường thẳng phân biệt a và b song song lần lượt nằm trong hai mặt phẳng (α) và (β) phân
biệt thì a k (β).
D. Nếu đường thẳng d song song với mp (α) thì nó song song với mọi đường thẳng nằm trong mp (α).
-Lời giải.
a
b
α
β
Hình 1.
b
a
α
β
Hình 2.
d
α
Hình 3.
Nếu hai mặt phẳng (α) và (β) song song với nhau thì hai đường thẳng bất kì lần lượt thuộc (α) và (β) có
thể chéo nhau (Hình 1) ⇒ Loại B. Nếu hai đường thẳng phân biệt a và b song song lần lượt nằm trong hai
mặt phẳng (α) và (β) phân biệt thì hai mặt phẳng (α) và (β) có thể cắt nhau (Hình 2) ⇒ Loại C. Nếu
đường thẳng d song song với mp (α) thì nó có thể chéo nhau với một đường thẳng nào đó nằm trong (α) .
(Hình 3).
Chọn đáp án A
Câu 4. Cho hai mặt phẳng song song (α) và (β), đường thẳng a k (α). Có mấy vị trí tương đối của a và
(β)?
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
-Lời giải.
Trong không gian, giữa đường thẳng và mặt phẳng có 3 vị trí tương đối: đường thẳng cắt mặt phẳng, đường
thẳng song song với mặt phẳng, đường thẳng nằm trên mặt phẳng. a k (α) mà (α) k (β) ⇒ a và (α) không
thể cắt nhau. Vậy còn 2 vị trí tương đối.
Chọn đáp án B
Câu 5. Cho hai mặt phẳng song song (P) và (Q). Hai điểm M, N lần lượt thay đổi trên (P ) và (Q). Gọi I
là trung điểm của MN. Chọn khẳng định đúng.
A. Tập hợp các điểm I là đường thẳng song song và cách đều (P ) và (Q).
B. Tập hợp các điểm I là mặt phẳng song song và cách đều (P ) và (Q).
C. Tập hợp các điểm I là một mặt phẳng cắt (P ).
D. Tập hợp các điểm I là một đường thẳng cắt (P ).
-Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 106 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Ta có: I là trung điểm của MN ⇒ Khoảng cách từ I đến (P ) bằng khoảng
cách từ I đến (Q) ⇒ Tập hợp các điểm I là mặt phẳng song song và cách
đều (P ) và (Q).
Q
P
M
I
N
Chọn đáp án B
Câu 6. Trong các điều kiện sau, điều kiện nào kết luận đường thẳng a song song với mặt phẳng (P )?
A. a k b và b ⊂ (P ). B. a k b và b k (P ).
C. a k (Q) và (Q) k (P ). D. a ⊂ (Q) và b ⊂ (P ).
-Lời giải.
Ta có: a k b và b ⊂ (P ) suy ra a k (P ) hoặc a ⊂ (P ) ⇒ Loại A. a k b và b k (P ) suy ra a k (P ) hoặc
a ⊂ (P ) ⇒ Loại B. a k (Q) và (Q) k (P ) suy ra a k (P ) hoặc a ⊂ (P) ⇒ Loại C.
Chọn đáp án D
Câu 7. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Nếu (α) k (β) và a ⊂ (α) , b ⊂ (β) thì a k b.
B. Nếu (α) k (β) và a ⊂ (α) , b ⊂ (β) thì a và b chéo nhau.
C. Nếu a k b và a ⊂ (α) , b ⊂ (β) thì (α) k (β).
D. Nếu (γ) ∩ (α) = a, (γ) ∩ (β) = b và (α) k (β) thì a k b.
-Lời giải.
Nếu (α) k (β) và a ⊂ (α) , b ⊂ (β) thì a k b hoặc a chéo b ⇒ A, B sai. Nếu a k b và a ⊂ (α) , b ⊂ (β) thì
(α) k (β) hoặc (α) và (β) cắt nhau theo giao tuyến song song với a và b.
Chọn đáp án D
Câu 8. Cho đường thẳng a ⊂ (P ) và đường thẳng b ⊂ (Q). Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. (P ) k (Q) ⇒ a k b. B. a k b ⇒ (P) k (Q).
C. (P ) k (Q) ⇒ a k (Q) và b k (P ). D. a và b chéo nhau.
-Lời giải.
Với đường thẳng a ⊂ (P ) và đường thẳng b ⊂ (Q).
Khi (P ) k (Q) ⇒ a k b hoặc a, b chéo nhau ⇒ A sai.
Khi a k b ⇒ (P) k (Q) hoặc (P ), (Q) cắt nhau theo giao tuyến song song với a và b ⇒ B sai.
a và b có thể chéo nhau, song song hoặc cắt nhau ⇒ D sai.
Chọn đáp án C
Câu 9. Hai đường thẳng a và b nằm trong mp (α) . Hai đường thẳng a
0
và b
0
nằm trong mp (β) . Mệnh đề
nào sau đây đúng?
A. Nếu a k a
0
và b k b
0
thì (α) k (β). B. Nếu (α) k (β) thì a k a
0
và b k b
0
.
C. Nếu a k b và a
0
k b
0
thì (α) k (β). D. Nếu a cắt b và a k a
0
, b k b
0
thì (α) k (β).
-Lời giải.
a
0
b
a
b
0
∆
α
β
Hình 1.
a
a
0
α
β
Hình 2.
Th.s Nguyễn Chín Em 107 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Nếu a k a
0
và b k b
0
thì (α) k (β) hoặc (α) cắt (β) (Hình 1) ⇒ A sai. Nếu (α) k (β) thì a k a
0
hoặc a, a
0
chéo
nhau (Hình 2) ⇒ B sai.
Nếu a k b và a
0
k b
0
thì (α) k (β) hoặc (α) cắt CC
0
. (Hình 1) ⇒ C sai.
Chọn đáp án D
Câu 10. Cho hai mặt phẳng (P ) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến ∆. Hai đường thẳng p và q lần lượt nằm
trong (P ) và (Q). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. p và q cắt nhau. B. p và q chéo nhau.
C. p và q song song. D. Cả ba mệnh đề trên đều sai.
-Lời giải.
Ta có p và q có thể cắt nhau, song song, chéo nhau (hình vẽ).
q
p
∆
q
p
∆
q
p
∆
Chọn đáp án D
Câu 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, I theo thứ tự là
trung điểm của SA, SD và AB. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. (N OM) cắt (OP M ). B. (M ON) k (SBC).
C. (P ON) ∩(MN P ) = NP . D. (NM P ) k (SBD).
-Lời giải.
Ta có MN là đường trung bình của tam giác SAD suy ra MN k AD
(1).
Và OP là đường trung bình của tam giác BAD suy ra OP k AD (2).
Từ (1), (2) suy ra M N k OP k AD ⇒ M, N, O, P đồng phẳng.
Lại có MP k SB, OP k BC suy ra (MNOP ) k (SBC) hay (M ON) k
(SBC) .
S
D C
O
B
M
P
N
A
Chọn đáp án B
Câu 12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Tam giác SBD đều. Một mặt
phẳng (P ) song song với (SBD) và qua điểm I thuộc cạnh AC (không trùng với A hoặc C). Thiết diện của
(P ) và hình chóp là hình gì?
A. Hình hình hành. B. Tam giác cân. C. Tam giác vuông. D. Tam giác đều.
-Lời giải.
Gọi MN là đoạn thẳng giao tuyến của mặt phẳng (P ) và mặt đáy
(ABCD) . Vì (P ) k (SBD) , (P ) ∩ (ABCD) = M N và (SBD) ∩
(ABCD) = MN suy ra MN k BD.
Lập luận tương tự, ta có
(P ) cắt mặt (SAD) theo đoạn giao tuyến NP với NP k SD.
(P ) cắt mặt (SAB) theo đoạn giao tuyến MP với MP k SB.
Vậy tam giác MNP đồng dạng với tam giác SBD nên thiết diện của
(P ) và hình chóp S.ABCD là tam giác đều MNP.
S
O
I
D A
N
B
M
P
C
Chọn đáp án D
Th.s Nguyễn Chín Em 108 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Câu 13. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC thỏa mãn AB = AC = 4,
’
BAC = 30
◦
. Mặt phẳng
(P ) song song với (ABC) cắt đoạn SA tại M sao cho SM = 2MA. Diện tích thiết diện của (P ) và hình
chóp S.ABC bằng bao nhiêu?
A.
16
9
. B.
14
9
. C.
25
9
. D. 1.
-Lời giải.
Ta có S
∆ABC
=
1
2
· AB · AC · sin
’
BAC =
1
2
· 4 · 4 · sin 30
0
= 4. Gọi
N, P lần lượt là giao điểm của mặt phẳng (P ) và các cạnh SB, SC. Vì
(P ) k (ABC) nên theoo định lí Talet, ta có
SM
SA
=
SN
SB
=
SP
SC
=
2
3
.
Khi đó (P ) cắt hình chóp S.ABC theo thiết diện là tam giác MN P đồng
dạng với tam giác ABC theo tỉ số k =
2
3
.
Vậy S
∆MN P
= k
2
· S
∆ABC
=
Å
2
3
ã
2
· 4 =
16
9
.
S
A
M
C
N
B
P
Chọn đáp án A
Câu 14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân với cạnh bên BC = 2, hai đáy AB =
6, CD = 4. Mặt phẳng (P ) song song với (ABCD) và cắt cạnh SA tại M sao cho SA = 3SM. Diện tích
thiết diện của (P ) và hình chóp S.ABCD bằng bao nhiêu?
A.
5
√
3
9
. B.
2
√
3
3
. C. 2. D.
7
√
3
9
.
-Lời giải.
S
C
P
D
B
A
M
Q
N
CD
A BH K
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của D, C trên AB.
ABCD là hình thang cân ⇒
®
AH = BK; CD = HK
AH + HK + BK = AB
⇒ BK = 1.
Tam giác BCK vuông tại K, có CK =
√
BC
2
− BK
2
=
√
2
2
− 1
2
=
√
3. Suy ra diện tích hình thang
ABCD là S
ABCD
= CK ·
AB + CD
2
=
√
3 ·
4 + 6
2
= 5
√
3.
Gọi N, P, Q lần lượt là giao điểm của P và các cạnh SB, SC, SD. Vì (P ) k (ABCD) nên theo định lí Talet,
ta có
MN
AB
=
NP
BC
=
P Q
CD
=
QM
AD
=
1
3
.
Khi đó (P ) cắt hình chóp theo thiết diện MNP Q có diện tích S
MN P Q
= k
2
· S
ABCD
=
5
√
3
9
.
Chọn đáp án A
Câu 15. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành có tâm O, AB = 8, SA = SB = 6.
Gọi (P ) là mặt phẳng qua O và song song với (SAB) . Thiết diện của (P ) và hình chóp S.ABCD có diện
tích bằng
A. 5
√
5. B. 6
√
5. C. 12. D. 13.
-Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 109 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Qua O kẻ đường thẳng d song song AB và cắt BC, AD lần lượt tại
P, Q. Kẻ P N song song với SB (N ∈ SB), kẻ QM song song với
SA (M ∈ SA) . Khi đó (MNP Q) k (SAB) ⇒ thiết diện của (P )
và hình chóp S.ABCD là tứ giác MNP Q.
Vì P, Q là trung điểm của BC, AD suy ra N, M lần lượt là
trung điểm của SC, SD. Do đó M N là đường trung bình tam
giác SCD ⇒ MN =
CD
2
=
AB
2
= 4. Và N P =
SB
2
= 3;
QM =
SA
2
= 3 ⇒ NP = QM ⇒ MN P Q là hình thang cân.
S
N
C
P
D
Q
B
A
M
Hạ NH, MK vuông góc với P Q. Ta có P H = KQ ⇒ P H =
1
2
(P Q − MN) = 2.
Tam giác P HN vuông, có NH =
√
5.
Vậy diện tích hình thang MNP Q là S
MN P Q
= NH ·
P Q + NM
2
= 6
√
5.
Chọn đáp án B
Câu 16. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. Hình lăng trụ có các cạnh bên song song và bằng nhau.
B. Hai mặt đáy của hình lăng trụ nằm trên hai mặt phẳng song song.
C. Hai đáy của lăng trụ là hai đa giác đều.
D. Các mặt bên của lăng trụ là các hình bình hành.
-Lời giải.
Xét hình lăng trụ có đáy là một đa giác (tam giác, tứ giác, . . . ), ta thấy rằng hình lăng trụ luôn có các cạnh
bên song song và bằng nhau. Hai mặt đáy của hình lăng trụ nằm trên hai mặt phẳng song song. Hai đáy
của lăng trụ là hai đa giác bằng nhau (tam giác, tứ giác, . . . ). Các mặt bên của lăng trụ là các hình bình
hành vì có hai cạnh là hai cạnh bên của hình lăng trụ, hai cạnh còn lại thuộc hai đáy song song.
Chọn đáp án C
Câu 17. Trong các mệnh đều sau, mệnh đề nào sai?
A. Các cạnh bên của hình lăng trụ bằng nhau và song song với nhau.
B. Các mặt bên của hình lăng trụ là các hình bình hành.
C. Các mặt bên của hình lăng trụ là các hình bình hành bằng nhau.
D. Hai đáy của hình lăng trụ là hai đa giác bằng nhau.
-Lời giải.
Các mặt bên của hình lăng trụ là các hình hình hành, chúng bằng nhau nếu hình lăng trụ có đáy là tam
giác đều.
Chọn đáp án C
Câu 18. Trong các mệnh đều sau, mệnh đề nào đúng?
A. Các cạnh bên của hình chóp cụt đôi một song song.
B. Các cạnh bên của hình chóp cụt là các hình thang.
C. Hai đáy của hình chóp cụt là hai đa giác đồng dạng.
D. Cả 3 mệnh đề trên đều sai.
-Lời giải.
Xét hình chóp cụt có đáy là đa giác (tam giác, tứ giác, . . . ) ta thấy rằng: Các cạnh bên của hình chóp cụt
đôi một cắt nhau. Các mặt bên của hình chóp cụt là các hình thang cân. Hai đáy của hình chóp cụt là hai
đa giác đồng dạng.
Chọn đáp án C
Câu 19. Trong các mệnh đều sau, mệnh đề nào sai?
A. Trong hình chóp cụt thì hai đáy là hai đa giác có các cạnh tương ứng song song và các tỉ số các cặp
cạnh tương ứng bằng nhau.
B. Các mặt bên của hình chóp cụt là các hình thang.
C. Các mặt bên của hình chóp cụt là các hình thang cân.
D. Đường thẳng chứa các cạnh bên của hình chóp cụt đồng quy tại một điểm.
-Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 110 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Với hình chóp cụt, các mặt bên của hình chóp cụt là các hình thang.
Chọn đáp án C
Câu 20. Cho hình lăng trụ ABC.A
0
B
0
C
0
. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BB
0
và CC
0
. Gọi ∆ là giao
tuyến của hai mặt phẳng (AM N) và (A
0
B
0
C
0
) . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. ∆ k AB. B. ∆ k AC. C. ∆ k BC. D. ∆ k AA
0
.
-Lời giải.
Ta có
MN ⊂ (AMN )
B
0
C
0
⊂
A
0
B
0
C
0
MN k B
0
C
0
−→ ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng
(AMN) và (A
0
B
0
C
0
) sẽ song song với MN và B
0
C
0
. Suy ra ∆ k BC.
A
0
C
0
A
B
B
0
C
M
N
∆
Chọn đáp án C
Câu 21. Cho hình lăng trụ ABC.A
0
B
0
C
0
. Gọi H là trung điểm của A
0
B
0
. Đường thẳng B
0
C song song với
mặt phẳng nào sau đây?
A. (AHC
0
). B. (AA
0
H). C. (HAB). D. (HA
0
C).
-Lời giải.
Gọi M là trung điểm của AB suy ra MB
0
k AH
⇒ MB
0
k (AHC
0
) . (1)
Vì MH là đường trung bình của hình bình hành ABB
0
A
0
suy ra M H
song song và bằng BB
0
nên MH song song và bằng CC
0
⇒ MHC
0
C là hình hình hành ⇒ MC k HC
0
⇒ MC k (AHC
0
) . (2)
Từ (1) và (2), suy ra (B
0
MC) k (AHC
0
) ⇒ B
0
C k (AHC
0
) .
A C
M
A
0
H
B
0
B
C
0
Chọn đáp án A
Câu 22. Cho hình lăng trụ ABC.A
0
B
0
C
0
. Gọi H là trung điểm của A
0
B
0
. Mặt phẳng (AHC
0
) song song
với đường thẳng nào sau đây?
A. CB
0
. B. BB
0
. C. BC. D. BA
0
.
-Lời giải.
Gọi M là trung điểm của AB suy ra M B
0
k AH ⇒ MB
0
k (AHC
0
) .
(1)
Vì MH là đường trung bình của hình bình hành ABB
0
A
0
suy ra M H
song song và bằng BB
0
nên MH song song và bằng CC
0
⇒ MHC
0
C là hình hình hành ⇒ MC k HC
0
⇒ MC k (AHC
0
) . (2)
Từ (1) và (2), suy ra (B
0
MC) k (AHC
0
) ⇒ B
0
C k (AHC
0
) .
A C
M
A
0
H
B
0
B
C
0
Chọn đáp án A
Câu 23. Cho hình lăng trụ ABC.A
1
B
1
C
1
. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. (ABC) k (A
1
B
1
C
1
). B. AA
1
k (BCC
1
).
Th.s Nguyễn Chín Em 111 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
C. AB k (A
1
B
1
C
1
). D. AA
1
B
1
B là hình chữ nhật.
-Lời giải.
Vì mặt bên AA
1
B
1
B là hình bình hành, còn nó là hình chữ nhật nếu ABC.A
1
B
1
C
1
là hình lăng trụ đứng.
Chọn đáp án D
Câu 24. Cho hình hộp ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
. Khẳng định nào dưới đây là sai?
A. ABCD là hình bình hành.
B. Các đường thẳng A
0
C, AC
0
, DB
0
, D
0
B đồng quy.
C. (ADD
0
A
0
) k (BCC
0
B
0
).
D. AD
0
CB là hình chữ nhật.
-Lời giải.
Dựa vào hình vẽ và tính chất của hình hộp chữ nhật, ta thấy
rằng:
Hình hộp có đáy ABCD là hình bình hành.
Các đường thẳng A
0
C, AC
0
, DB
0
, D
0
B cắt nhau tại tâm
của AA
0
C
0
C, BDD
0
B
0
.
Hai mặt bên (ADD
0
A
0
) , (BCC
0
B
0
) đối diện và song song
với nhau.
AD
0
và CB là hai đường thẳng chéo nhau suy ra AD
0
CB
không phải là hình chữ nhật.
B C
A
0
D
0
B
0
A D
C
0
Chọn đáp án D
Câu 25. Cho hình hộp ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
có các cạnh bên AA
0
, BB
0
, CC
0
, DD
0
. Khẳng định nào dưới đây
sai?
A. (AA
0
B
0
B) k (DD
0
C
0
C). B. (BA
0
D
0
) k (ADC
0
).
C. A
0
B
0
CD là hình bình hành. D. BB
0
D
0
D là một tứ giác.
-Lời giải.
Dựa vào hình vẽ dưới và tính chất của hình hộp, ta thấy rằng:
Hai mặt bên (AA
0
B
0
B) và (DD
0
C
0
C) đối diện, song song
với nhau.
Hình hộp có hai đáy (ABCD) , (A
0
B
0
C
0
D
0
) là hình bình
hành ⇒ A
0
B
0
= CD và A
0
B
0
k CD suy ra A
0
B
0
CD là
hình hình hành.
BD k B
0
D
0
suy ra B, B
0
, D
0
, D đồng phẳng ⇒ BB
0
D
0
D
là tứ giác.
Mặt phẳng (BA
0
D
0
) chứa đường thẳng CD
0
mà CD
0
cắt
C
0
D suy ra (BA
0
D
0
) không song song với mặt phẳng
(ADC
0
) .
B C
A
0
D
0
B
0
A D
C
0
Chọn đáp án B
Câu 26. Nếu thiết diện của một lăng trụ tam giác và một mặt phẳng là một đa giác thì đa giác đó có
nhiều nhất mấy cạnh?
A. 3 cạnh. B. 4 cạnh. C. 5 cạnh. D. 6 cạnh.
-Lời giải.
Đa giác thiết diện của một lăng trụ tam giác và một mặt phẳng có nhiều nhất 5 cạnh với các cạnh thuộc
các mặt của hình lăng trụ tam giác.
Chọn đáp án C
Câu 27. Nếu thiết diện của một hình hộp và một mặt phẳng là một đa giác thì đa giác đó có nhiều nhất
mấy cạnh?
A. 4 cạnh. B. 5 cạnh. C. 6 cạnh. D. 7 cạnh.
-Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 112 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Vì hình hộp là hình lăng trụ có đáy là tứ giác và có 6 mặt nên thiết diện của hình hộp và mặt phẳng bất
kì là một đa giác có nhiều nhất 6 cạnh.
Chọn đáp án C
Câu 28. Cho hình hộp ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
. Gọi I là trung điểm của AB. Mặt phẳng (IB
0
D
0
) cắt hình hộp
theo thiết diện là hình gì?
A. Tam giác. B. Hình thang. C. Hình bình hành. D. Hình chữ nhật.
-Lời giải.
Ta có
B
0
D
0
⊂
IB
0
D
0
BD ⊂ (ABCD)
B
0
D
0
k BD
−→ Giao tuyến của (IB
0
D
0
) với (ABCD)
là đường thẳng d đi qua I và song song với BD. Trong mặt phẳng
(ABCD), gọi M = d ∩AD −→ IM k BD k B
0
D
0
. Khi đó thiết diện
là tứ giác IMB
0
D
0
và tứ giác này là hình thang.
A
0
D
0
M
B C
D
C
0
I
B
0
A
Chọn đáp án B
Câu 29. Cho hình hộp ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
. Gọi (α) là mặt phẳng đi qua một cạnh của hình hộp và cắt hình
hộp theo thiết diện là một tứ giác T . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. T là hình chữ nhật. B. T là hình bình hành.
C. T là hình thoi. D. T là hình vuông.
-Lời giải.
Giả sử mặt phẳng (α) đi qua cạnh AB và cắt hình hộp theo tứ
giác T. Gọi d là đường thẳng giao tuyến của (α) và mặt phẳng
(A
0
B
0
C
0
D
0
) . Ta chứng minh được AB k d suy ra tứ giác T là một
hình bình hành.
B C
A
0
D
0
B
0
A D
C
0
d
Chọn đáp án B
Câu 30. Cho hình chóp cụt tam giác ABC.A
0
B
0
C
0
có 2 đáy là 2 tam giác vuông tại A và A
0
và có
AB
A
0
B
0
=
1
2
.
Khi đó tỉ số diện tích
S
∆ABC
S
∆A
0
B
0
C
0
bằng
A.
1
2
. B.
1
4
. C. 2. D. 4.
-Lời giải.
Hình chóp cụt ABC.A
0
B
0
C
0
có hai mặt đáy là hai mặt phẳng song song
nên tam giác ABC đồng dạng tam giác A
0
B
0
C
0
suy ra
S
∆ABC
S
∆A
0
B
0
C
0
=
1
2
· AB ·AC
1
2
· A
0
B
0
· A
0
C
0
=
AB
A
0
B
0
·
AC
A
0
C
0
=
1
4
.
A C
A
0
B
B
0
C
0
Chọn đáp án B
Câu 31. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hình lăng trụ đứng có đáy là một đa giác đều là hình lăng trụ đều.
B. Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ đều.
Th.s Nguyễn Chín Em 113 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
C. Hình lăng trụ có đáy là một đa giác đều là hình lăng trụ đều.
D. Hình lăng trụ tứ giác đều là hình lập phương.
-Lời giải.
Hình lăng trụ đứng có đáy là một đa giác đều là hình lăng trụ đều.
Chọn đáp án A
Câu 32. Xét các mệnh đề sau
(1) Hình hộp là một hình lăng trụ;
(2) Hình lập phương là hình hộp đứng có đáy là hình vuông;
(3) Hình hộp có các mặt đối diện bằng nhau;
(4) Hình lăng trụ có các mặt bên là hình bình hành;
(5) Hình lăng trụ có tất cả các mặt bên bằng nhau.
Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là
A. 2 . B. 4. C. 5. D. 3.
-Lời giải.
Các mệnh đề (1), (3) và (4) đúng.
Chọn đáp án D
Câu 33. Cho tứ diện ABCD. Trên các cạnh AD, BC theo thứ tự lấy các điểm M, N sao cho
MA
AD
=
NC
CB
=
1
3
. Gọi (P ) là mặt phẳng chứa đường thẳng MN và song song với CD. Khi đó thiết diện của tứ
diện ABCD cắt bởi mặt phẳng (P ) là
A. một hình bình hành. B. một hình thang với đáy lớn gấp 2 lần đáy nhỏ.
C. một hình thang với đáy lớn gấp 3 lần đáy nhỏ. D. một tam giác.
-Lời giải.
Qua M, kẻ đường thẳng song song với CD cắt AC tại E.
Qua N, kẻ đường thẳng song song với CD cắt BD tại F .
Khi đó ME k N F k CD và (P ) ≡ (MENF ).
Ta có
NF
CD
=
BN
BC
=
2
3
ME
CD
=
AM
AD
=
1
3
⇒ NF = 2ME.
Vậy thiết diện của ABCD cắt bởi (P ) là hình thang M ENF , trong đó đáy
lớn NF gấp 2 lần đáy nhỏ ME.
A
M
C
N
F
B
E
D
Chọn đáp án B
Câu 34. Cho hình hộp ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
. Gọi I là trung điểm của AB. Mặt phẳng (IB
0
D
0
) cắt hình hộp
theo thiết diện là
A. hình bình hành. B. hình thang. C. hình chữ nhật. D. tam giác.
-Lời giải.
Ta có
B
0
D
0
⊂ (IB
0
D
0
)
BD ⊂ (ABCD)
BD k B
0
D
0
nên giao tuyến của (IB
0
D
0
) với (ABCD) là đường
thẳng IE qua I và song song với BD (E ∈ AD).
Vì IE k B
0
D
0
nên thiết diện là hình thang IED
0
B
0
.
A
A
0
D
0
B
B
0
C
0
CD
I
E
Chọn đáp án B
Câu 35.
Th.s Nguyễn Chín Em 114 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Cho hình lập phương ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
cạnh a. Xét tứ diện
AB
0
CD
0
. Cắt tứ diện đó bằng mặt phẳng đi qua tâm của
hình lập phương và song song với mặt phẳng (ABC). Tính
diện tích của thiết diện thu được.
A
0
D
0
A
B C
B
0
C
0
D
A.
a
2
3
. B.
2a
2
3
. C.
a
2
2
. D.
3a
2
4
.
-Lời giải.
Gọi I là tâm của hình lập phương ⇒ I là trung điểm của
AC
0
.
Gọi (P ) là mặt phẳng qua I và song song với (ABC). Khi đó
(P ) cắt các đường thẳng AB
0
, B
0
C, CD
0
, AD
0
lần lượt tại
các trung điểm M , N, P , Q.
Khi đó MN = P Q =
1
2
AC =
a
√
2
2
và
NP = MQ =
1
2
B
0
D
0
=
a
√
2
2
.
Do đó, thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng đi qua tâm
của hình lập phương và song song với mặt phẳng (ABC) là
hình thoi MN P Q cạnh bằng
a
√
2
2
.
Mặt khác NQ = M P = BC = a.
Diện tích hình thoi MN P Q là S =
1
2
NQ · MP =
a
2
2
.
A
0
D
0
A
B C
B
0
IM
C
0
D
P
N
Q
Chọn đáp án C
Câu 36. Cho bốn mệnh đề sau
(1) Nếu hai mặt phẳng (α) và (β) song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (α) đều
song song với (β).
(2) Hai đường thẳng nằm trên hai mặt phẳng song song thì song song với nhau.
(3) Trong không gian hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau.
(4) Tồn tại hai đường thẳng song song mà mỗi đường thẳng cắt đồng thời hai đường thẳng chéo nhau cho
trước.
Trong các mệnh đề trên có bao nhiêu mệnh đề sai?
A. 4. B. 3. C. 2. D. 1.
-Lời giải.
Mệnh đề (1) là mệnh đề đúng.
Mệnh đề (2) là mệnh đề sai vì hai đường thẳng đó có thể chéo nhau.
Mệnh đề (3) là mệnh đề sai vì hai đường thẳng song song cũng không có điểm chung.
Mệnh đề (4) là mệnh đề sai vì nếu tồn tại hai đường thẳng như trên thì cả 4 đường thẳng này đồng
phẳng (mâu thuẫn với giả thiết).
Vậy có 3 mệnh đề sai.
Chọn đáp án B
Th.s Nguyễn Chín Em 115 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Câu 37. Một hình lăng trụ có đúng 11 cạnh bên thì hình lăng trụ đó có tất cả bao nhiêu cạnh?
A. 31. B. 30. C. 22. D. 33.
-Lời giải.
Hình lăng trụ có đúng 11 cạnh bên suy ra đáy là đa giác có 11 đỉnh ⇒ đa giác đáy có 11 cạnh.
Vậy hình lăng trụ có đúng 11 cạnh bên thì có 11 + 11 ·2 = 33 cạnh.
Chọn đáp án D
Câu 38. Cho hình hộp ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau
A. (ABB
0
A
0
) k (CC
0
D
0
D). B. Diện tích hai mặt bên bất kì bằng nhau.
C. AA
0
k CC
0
. D. Hai mặt phẳng đáy song song với nhau.
-Lời giải.
Mệnh đề sai là “Diện tích hai mặt bên bất kì bằng nhau”.
Chọn đáp án B
Câu 39. Cho hình lăng trụ ABC.A
0
B
0
C
0
, gọi I, J, K lần lượt là trọng tâm 4ABC, 4ACC
0
và 4AB
0
C
0
.
Mặt phẳng nào sau đây song song với (IJK)?
A. (BC
0
A). B. (AA
0
B). C. (BB
0
C). D. (CC
0
A).
-Lời giải.
Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm BC, CC
0
và B
0
C
0
.
Ta có
AK
AP
=
AJ
AN
=
AI
AM
=
2
3
.
Suy ra (IJK) k (M NP ) hay (IJK) k (BB
0
C).
P
B
I
B
0
M
J
A
0
A
C
0
C
N
K
Chọn đáp án C
Câu 40. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều. Gọi M là điểm trên
cạnh AD sao cho AM = x, x ∈ (0; a). Mặt phẳng (α) đi qua M và song song với (SAB) lần lượt cắt các
cạnh CB, CS, SD tại N, P, Q. Tìm x để diện tích MN P Q bằng
2a
2
√
3
9
.
A.
2a
3
. B.
a
4
. C.
a
2
. D.
a
3
.
-Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 116 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Ta có
(α) k (SAB)
(SAB) ∩(SAD) = SA
M ∈ (α) ∩ (SAD)
⇒ (α) ∩(SAD) = MQ k SA
với Q ∈ SD.
(α) k (SAB)
(SAB) ∩(ABCD) = AB
M ∈ (α) ∩ (ABCD)
⇒ (α) ∩ (ABCD) = M N k AB
với N ∈ BC.
(α) k (SAB)
(SAB) ∩(SCB) = SB
N ∈ (α) ∩ (SBC)
⇒ (α) ∩ (SBC) = NP k SB với
P ∈ SC.
D
Q
A
P
S
E
B C
N
M
Suy ra thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng (α) là tứ giác MN P Q.
Ta có
(α) ∩ (SCD) = P Q
(SCD) ∩ (ABCD) = CD
(ABCD) ∩(α) = MN
CD k MN
⇒ P Q, MN, CD đôi một song song. Khi đó M NP Q là hình thang với
đáy lớn CD.
Hơn nữa ta có
MN k AB
P N k SB
MQ k SA
⇒
÷
MNP =
’
ABS = 60
◦
và
÷
NMQ =
’
BAS = 60
◦
.
Do dó tứ giác MNP Q là hình thang cân.
Ta có
P Q
CD
=
SQ
SD
=
AM
AD
⇒ P Q = AM = x.
Suy ra ∆EMN đều cạnh a và ∆EP Q là tam giác đều cạnh x. Khi đó
S
MN P Q
= S
∆EMN
− S
∆EP Q
=
a
2
√
3
4
−
x
2
√
3
4
.
Theo giả thiết S
MN P Q
=
2a
2
√
3
9
⇔
a
2
√
3
4
−
x
2
√
3
4
=
2a
2
√
3
9
⇔ x =
a
3
.
Vậy giá trị x cần tìm là
a
3
.
Chọn đáp án D
Câu 41. Cho hai mặt phẳng (P ) và (Q) song song với nhau. Mệnh đề nào sau đây sai?
A. Đường thẳng d ⊂ (P) và d
0
⊂ (Q) thì d k d
0
.
B. Mọi đường thẳng đi qua điểm A ∈ (P ) và song song với (Q) đều nằm trong (P ).
C. Nếu đường thẳng ∆ cắt (P ) thì ∆ cũng cắt (Q).
D. Nếu đường thẳng a ⊂ (Q) thì a k (P ).
-Lời giải.
Đường thẳng d ⊂ (P ) và d
0
⊂ (Q) thì d và d
0
song song hoặc chéo nhau.
Mọi đường thẳng đi qua điểm A ∈ (P) và song song với (Q) đều nằm trong (P ) là mệnh đề đúng.
Nếu đường thẳng ∆ cắt (P ) thì ∆ cũng cắt (Q) đúng (tính chất 2 mặt phẳng song song).
Nếu đường thẳng a ⊂ (Q) thì a k (P ) là mệnh đề đúng.
Chọn đáp án A
Câu 42. Cho đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (α) và đường thẳng b nằm trong mặt phẳng (β). Mệnh
đề nào sau đây sai?
A. (α) k (β) ⇒ a k b. B. (α) k (β) ⇒ a k (β).
C. (α) k (β) ⇒ b k (α). D. a và b hoặc song song hoặc chéo nhau.
-Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 117 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Nếu (α) k (β) thì ngoài trường hợp a k b thì a và b có thể chéo nhau.
Chọn đáp án A
Câu 43. Lăng trụ tam giác có bao nhiêu mặt?
A. 6. B. 3. C. 9. D. 5.
-Lời giải.
Theo lý thuyết.
Chọn đáp án D
Câu 44. Cho lăng trụ ABC.A
0
B
0
C
0
. Gọi G, G
0
lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC, A
0
B
0
C
0
. M là
điểm trên cạnh AC sao cho AM = 2MC. Mệnh đề nào sau đây sai?
A. GG
0
k (ACC
0
A
0
). B. GG
0
k (ABB
0
A
0
).
C. Đường thẳng MG
0
cắt mặt phẳng (BCC
0
B
0
). D. (MGG
0
) k (BCC
0
B
0
).
-Lời giải.
Vì G, G
0
lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC, A
0
B
0
C
0
nên ta có GG
0
k
(ACC
0
A
0
), GG
0
k (ABB
0
A
0
), GG
0
k (BCC
0
B
0
).
Gọi N là trung điểm BC, ta có
AG
GN
=
AM
MC
= 2 nên suy ra MG k CN ⇒
MG k (BCC
0
B
0
).
Từ GG
0
k (BCC
0
B
0
) và M G k (BCC
0
B
0
) ta có (MGG
0
) k (BCC
0
B
0
). Do
vậy M G
0
k (BCC
0
B
0
).
Vậy, mệnh đề sai là: “Đường thẳng M G
0
cắt mặt phẳng (BCC
0
B
0
)”.
A
0
B
0
C
0
G
0
A
B
C
G
M
N
Chọn đáp án C
Câu 45. Cho lăng trụ ABC.A
0
B
0
C
0
. Gọi G, G
0
lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và A
0
B
0
C
0
, M là
điểm trên cạnh AC sao cho AM = 2MC. Mệnh đề nào sau đây sai?
A. GG
0
k (ACC
0
A
0
). B. GG
0
k (ABB
0
A
0
).
C. Đường thẳng MG
0
cắt mặt phẳng (BCC
0
B
0
). D. (MGG
0
) k (BCC
0
B
0
).
-Lời giải.
Ta có GG
0
k AA
0
và MG k BC nên
GG
0
k (ACC
0
A
0
) là mệnh đề đúng,
GG
0
k (ABB
0
A
0
) là mệnh đề đúng,
(MGG
0
) k (BCC
0
B
0
)là mệnh đề đúng,
Đường thẳng MG
0
cắt mặt phẳng (BCC
0
B
0
) là mệnh đề sai.
B
0
N
0
M
G
0
N
B
G
A
A
0
C
C
0
Chọn đáp án C
Câu 46. Cho hình hộp ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
. Gọi M là trung điểm của AB, mặt phẳng (MA
0
C
0
) cắt cạnh BC
tại N. Tính tỉ số k =
MN
A
0
C
0
.
A. k =
1
2
. B. k =
1
3
. C. k =
2
3
. D. k = 1.
-Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 118 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Ba mặt phẳng phân biệt (ABCD), (ACC
0
A
0
), (MA
0
C
0
) đôi một cắt
nhau theo ba giao tuyến AC, A
0
C
0
và MN. Theo tính chất hình hộp
ta có AC k A
0
C
0
nên MN k AC k A
0
C
0
.
Lại có M là trung điểm của AB nên MN là đường trung bình trong
tam giác ABC.
Vì vậy MN =
1
2
AC =
1
2
A
0
C
0
⇒ k =
MN
A
0
C
0
=
1
2
.
A
0
D
0
B CN
A
B
0
M
C
0
D
Chọn đáp án A
Câu 47. Cho ba mặt phẳng (α), (β), (γ) đôi một song song. Hai đường thẳng d, d
0
lần lượt cắt ba mặt
phẳng này tại A, B, C và A
0
, B
0
, C
0
(B nằm giữa A và C, B
0
nằm giữa A
0
và C
0
). Giả sử AB = 5, BC = 4,
A
0
C
0
= 8. Tính độ dài hai đoạn thẳng A
0
B
0
, B
0
C
0
.
A. A
0
B
0
= 10, B
0
C
0
= 8. B. A
0
B
0
= 8, B
0
C
0
= 10.
C. A
0
B
0
= 12, B
0
C
0
= 6. D. A
0
B
0
= 6, B
0
C
0
= 12.
-Lời giải.
Ta có
AB
A
0
B
0
=
BC
B
0
C
0
=
AB + BC
A
0
B
0
+ B
0
C
0
=
AC
A
0
C
0
⇒ A
0
B
0
= 10, B
0
C
0
= 8.
Chọn đáp án A
Câu 48. Trong không gian, cho các mệnh đề sau
I. Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau.
II. Hai mặt phẳng phân biệt chứa hai đường thẳng song song cắt nhau theo giao tuyến song song với hai
đường thẳng đó.
III. Nếu đường thẳng a song song với đường thẳng b, đường thẳng b nằm trên mặt phẳng (P ) thì a song
song với (P ).
IV. Qua điểm A không thuộc mặt phẳng (α), kẻ được đúng một đường thẳng song song với (α).
Số mệnh đề đúng là
A. 2. B. 0. C. 1. D. 3.
-Lời giải.
Xét từng mệnh đề ta có
I. “Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau” là mệnh đề
sai, vì hai đường thẳng có thể chéo nhau.
II. “Hai mặt phẳng phân biệt chứa hai đường thẳng song song cắt nhau theo giao tuyến song song với hai
đường thẳng đó” là mệnh đề sai, vì hai mặt phẳng đó có thể song song nhau.
III. “Nếu đường thẳng a song song với đường thẳng b, đường thẳng b nằm trên mặt phẳng (P ) thì a song
song với (P )” là mệnh đề sai, vì đường thẳng a vẫn có thể nằm trong mặt phẳng (P ).
IV. “Qua điểm A không thuộc mặt phẳng (α), kẻ được đúng một đường thẳng song song với (α)” là mệnh
đề sai, vì có vô số đường thẳng đi qua điểm A và song song với (α).
Vậy không có mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề nêu trên.
Chọn đáp án B
Câu 49. Cho hình chóp S.ABCD với đáy là hình thang ABCD, AD k BC, AD = 2BC. Gọi E là trung
điểm AD và O là giao điểm của AC và BE, I là một điểm thuộc đoạn OC (I khác O và C). Mặt phẳng
(α) qua I song song với (SBE) cắt hình chóp S.ABCD theo một thiết diện là
A. Một hình tam giác.
B. Một hình thang.
C. Một tứ giác không phải là một hình thang và không phải là hình bình hành.
Th.s Nguyễn Chín Em 119 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
D. Một hình bình hành.
-Lời giải.
Ta có
(α) k (SBE)
(SBE) ∩ (ABCD) = BE
(α) ∩ (ABCD) = Ix
⇒ Ix k BE
⇒ Ix cắt BC tại M , AD tại Q.
Ta có
(α) k (SBE)
(α) ∩ (SBC) = Mx
(SBE) ∩ (SBC) = SB
⇒ Mx k SB ⇒ M x cắt SC tại N.
Ta có
(α) k (SBE)
(α) ∩ (SAD) = Qx
(SBE) ∩ (SAD) = SE
⇒ Qx k SE ⇒ Qx cắt SD tại P .
S
A
N
E
Q
P
MB C
D
O
I
Tứ giác BCDE là hình bình hành ⇒ CD k BE k MQ ⇒ CD k (α).
Ta có
CD k (α)
CD ⊂ (SCD)
(SCD) ∩ (α) = P N
⇒ CD k P N ⇒ MQ k PN
Vậy thiết diện tạo bởi mặt phẳng (α) với hình chóp S.ABCD là hình thang MNP Q.
Chọn đáp án B
Câu 50. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một hình bình hành. Gọi A
0
, B
0
, C
0
, D
0
lần lượt là trung điểm
của các cạnh SA, SB, SC, SD. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.
A. A
0
B
0
k (SBD). B. A
0
B
0
k (SAD). C. (A
0
C
0
D
0
) k (ABC). D. A
0
C
0
k BD.
-Lời giải.
Ta có A
0
C
0
k AC ⇒ (A
0
C
0
D
0
) k (ABC).
A
B
A
0
B
0
C
D
C
0
D
0
S
Chọn đáp án C
Câu 51. Cho hình lập phương ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
cạnh a. Gọi M là trung điểm của AB, N là tâm hình vuông
AA
0
D
0
D. Tính diện tích thiết diện của hình lập phương ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
tạo bởi mặt phẳng (CMN).
A.
a
2
√
14
4
. B.
3a
2
√
14
2
. C.
3a
2
4
. D.
a
2
√
14
2
.
-Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 120 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
D
0
C
0
E
A
0
A BM
D
B
0
C
Q
F
P
N
Thiết diện như hình vẽ. Tứ giác CQP M là hình thang có
CM =
a
√
5
2
, P M =
a
√
13
6
, P Q =
a
√
10
3
, CQ =
a
√
13
3
.
Suy ra MF = P Q =
a
√
10
3
, CF = P M =
a
√
13
6
Ta có S
CM P Q
= 3S
CM F
.
S
CM F
=
p
p(p −CM)(p −CF )(p −MF ) với p =
CM + MF + F C
2
. Thay giá trị các cạnh ta có S
CM F
=
…
7
72
a
2
⇒ S
CM P Q
=
a
2
√
14
4
.
Chọn đáp án A
Câu 52. Cho hình hộp ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai?
A. (BA
0
C
0
) k (ACD
0
). B. (ADD
0
A
0
) k (BCC
0
B
0
).
C. (BA
0
D) k (CB
0
D
0
). D. (ABA
0
) k (CB
0
D
0
).
-Lời giải.
Ta có
®
BA
0
k CD
0
A
0
C
0
k AC
⇒ (BA
0
C
0
) k (ACD
0
).
®
AD k BC
AA
0
k BB
0
⇒ (ADD
0
A
0
) k (BCC
0
B
0
).
®
BD k B
0
D
0
A
0
D k B
0
C
⇒ (BA
0
D) k (CB
0
D
0
).
A
D
B
A
0
C
B
0
C
0
D
0
Mặt khác B
0
∈ (ABA
0
) ∩(CB
0
D
0
) ⇒ (ABA
0
) k (CB
0
D
0
) là mệnh đề sai.
Chọn đáp án
D
Câu 53. Cho hình hộp ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
. Mệnh đề nào sau đây là sai?
A. (ABCD) k (A
0
B
0
C
0
D
0
). B. (AA
0
D
0
D) k (BCC
0
B
0
).
C. (BDD
0
B
0
) k (ACC
0
A
0
). D. (ABB
0
A
0
) k (CDD
0
C
0
).
-Lời giải.
Ta thấy
(ABCD) k (A
0
B
0
C
0
D
0
)
(AA
0
D
0
D) k (BCC
0
B
0
)
(ABB
0
A
0
) k (CDD
0
C
0
)
luôn đúng.
và hai mặt phẳng (BDD
0
B
0
), (ACC
0
A
0
) là cắt nhau.
A
0
D
0
C
0
B
0
A D
CB
Th.s Nguyễn Chín Em 121 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Chọn đáp án C
Câu 54. Cho đường thẳng a thuộc mặt phẳng (P ) và đường thẳng b thuộc mặt phẳng (Q). Mệnh đề nào
sau đây đúng?
A. a k b ⇒ (P) k (Q). B. (P ) k (Q) ⇒ a k b.
C. (P ) k (Q) ⇒ a k (Q) và b k (P ). D. a và b chéo nhau.
-Lời giải.
(P ) k (Q) suy ra (P ) và (Q) không có điểm chung. Mặt khác a ∈ (P ) nên a và (Q) cũng không có điểm
chung. Suy ra a k (Q). Tương tự ta cũng có b k (P ).
Chọn đáp án C
Câu 55. Cho hình hộp ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
. Mặt phẳng (AB
0
D
0
) song song với mặt phẳng nào sau đây?
A. (BDA
0
). B. (A
0
C
0
C). C. (BDC
0
). D. (BCA
0
).
-Lời giải.
Mặt phẳng (AB
0
D
0
) song song với mặt phẳng (BDC
0
).
Thật vậy, ta có AB
0
k DC
0
và AD
0
k BC
0
, có điều cần chứng
minh.
D
C
D
0
C
0
B
B
0
A
A
0
Chọn đáp án C
Câu 56. Cho hình hộp ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
. Mặt phẳng (AB
0
D
0
) song song với mặt phẳng nào sau đây?
A. (BA
0
C
0
). B. (C
0
BD). C. (BDA
0
). D. (ACD
0
).
-Lời giải.
Ta có BDB
0
D
0
là hình bình hành nên BD k B
0
D
0
. Tương tự
ta có AD
0
k BC
0
.
Từ đó suy ra BD k (AB
0
D
0
) và BC
0
k (AB
0
D
0
).
Vậy (AB
0
D
0
) k (C
0
BD)
D
C
B
0
A
0
C
0
D
0
A
B
Chọn đáp án B
Câu 57. Cho tứ diện ABCD có AB = 6, CD = 8. Cắt tứ diện bởi một mặt phẳng song song với AB, CD
để thiết diện thu được là một hình thoi. Cạnh của hình thoi đó bằng
A.
31
7
. B.
18
7
. C.
24
7
. D.
15
7
.
-Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 122 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Gọi M, N, P, Q lần lượt là giao điểm của mặt phẳng chứa thiết diện với
các cạnh AC, BC, BD, AD, khi đó theo giả thiết tứ giác MN P Q là hình
thoi.
Cũng từ giả thiết ta suy ra P Q k MN k AB, MQ k NP k CD nên ta có
CM
AC
=
MN
AB
,
AM
AC
=
MQ
CD
⇒
AC − CM
AC
=
MQ
CD
⇔ 1 −
CM
AC
= 1 −
MN
AB
=
MQ
CD
=
MN
CD
⇒ MN =
1
1
AB
+
1
CD
=
1
1
6
+
1
8
=
24
7
.
Vậy cạnh của hình thoi cần tìm là
24
7
.
A
Q
C
NM
B
P
D
Chọn đáp án C
Câu 58. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng
(SAD) và (SBC). Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. d qua S và song song với AB. B. d qua S và song song với BC.
C. d qua S và song song với DC. D. d qua S và song song với BD.
-Lời giải.
Có
S ∈ (SAD) ∩(SBC)
AD ⊂ (SAD)
BC ⊂ (SBC)
AD k BC
⇒ (SAD) ∩ (SBC) = d k AD k BC và d đi qua S.
d
B C
D
S
A
Chọn đáp án B
Câu 59. Cho tứ diện đều SABC. Gọi I là trung điểm của đoạn AB, M là điểm di động trên đoạn AI.
Qua M vẽ mặt phẳng (α) song song với (SIC). Thiết diện tạo bởi (α) với tứ diện SABC là
A. hình thoi. B. tam giác cân tại M. C. tam giác đều. D. hình bình hành.
-Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 123 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
S
A
B
C
M
I
N
P
Trong mặt phẳng (SAB), qua M kẻ đường thẳng song song với SI cắt SA tại P .
Trong mặt phẳng (ABC), qua M kẻ đường thẳng song song với IC cắt AC tại N.
Thiết diện là tam giác MN P . Ta có
MP
SI
=
MN
CI
⇒ MP = MN (vì SI = CI).
Vậy thiết diện là tam giác M NP cân tại M .
Chọn đáp án B
Câu 60. Cho hình hộp ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
và điểm M nằm giữa hai điểm A và B. Gọi (P ) là mặt phẳng đi
qua M và song song với mặt phẳng (AB
0
D
0
). Mặt phẳng (P ) cắt hình hộp theo thiết diện là hình gì?
A. Hình ngũ giác. B. Hình lục giác. C. Hình tam giác. D. Hình tứ giác.
-Lời giải.
Nhận thấy (BC
0
D) k (AB
0
D
0
) ⇒ (BC
0
D) k (AB
0
D
0
) k (P ). (1)
Do (1), ta giả sử (P ) cắt BB
0
tại N, suy ra (P )∩(ABB
0
A
0
) ≡ MN ,
kết hợp với (AB
0
D
0
) ∩ (ABB
0
A
0
) ≡ AB
0
suy ra MN k AB
0
, suy
ra N thuộc cạnh BB
0
.
Tương tự, giả sử (P ) ∩(B
0
C
0
) ≡ P suy ra (P) ∩(BCC
0
B
0
) ≡ NP .
Kết hợp với (1) suy ra NP k BC
0
.
Tương tự, (P ) ∩ (C
0
D
0
) ≡ Q sao cho P Q k B
0
D
0
; (P ) ∩ DD
0
≡ G
sao cho QG k C
0
D; (P ) ∩ AD ≡ H sao cho GH k AD
0
.
Từ đó suy ra thiết diện là lục giác M NP QGH.
B C
N
P
H
G
DA
M
B
0
C
0
Q
D
0
A
0
Chọn đáp án B
Câu 61. Cho hình lập phương ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
, AC ∩ BD = O, A
0
C
0
∩ B
0
D
0
= O
0
. M, N, P lần lượt là
trung điểm của các cạnh AB, BC, CC
0
. Khi đó thiết diện do mặt phẳng (MN P ) cắt hình lập phương là
hình
A. Tam giác. B. Từ giác. C. Ngũ giác. D. Lục giác.
-Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 124 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Ta có MN k AC nên (MNP ) ∩ (ACC
0
A
0
) = P x k AC k
MN, gọi Q = P x ∩AA
0
, P x ∩OO
0
= I. Mà P là trung điểm
của CC
0
nên Q, I lần lượt là trung điểm của AA
0
, OO
0
.
Xét mặt phẳng (BDD
0
B
0
) gọi IJ ∩ B
0
D
0
= H. Theo tính
chất đối xứng của hình lập phương và J là trung điểm của
BO nên H là trung điểm của D
0
O
0
.
(MNP ) k AC k A
0
C
0
nên (MN P ) ∩ (A
0
B
0
C
0
D
0
) = Hy k
A
0
C
0
. Gọi E = Hy ∩A
0
D
0
, F = Hy ∩C
0
D
0
. Khi đó thiết diện
là lục giác M NP F EQ.
B
0
A
M
Q
O
B CN
O
0
J
D
F
I
P
A
0
D
0
E
H
C
0
Chọn đáp án D
Câu 62. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A. Trong không gian hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung.
B. Trong không gian hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song với
nhau.
C. Nếu mặt phẳng (P ) chứa hai đường thẳng cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P ) và (Q) song
song với nhau.
D. Trong không gian hình biểu diễn của một góc thì phải là một góc bằng nó.
-Lời giải.
Hai đường thẳng chéo nhau là hai đường thẳng không cùng nằm trong một mặt phẳng. Do đó mệnh đề
"Trong không gian hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung" đúng.
Chọn đáp án A
Câu 63. Cho tứ diện ABCD. Điểm M thuộc đoạn AC (M khác A, M khác C). Mặt phẳng (α) đi qua M
và song song với AB và AD. Thiết diện của (α) với tứ diện ABCD là hình gì?
A. Hình tam giác. B. Hình bình hành. C. Hình vuông. D. Hình chữ nhật.
-Lời giải.
Trong mặt phẳng (ACD) kẻ MN k AD, N ∈ CD.
Trong mặt phẳng (ABC) kẻ MP k AB, P ∈ BC.
Từ đó suy ra (α) ≡ (M NP ). Mà thiết diện của (MNP ) và tứ diện
ABCD là tam giác MN P .
C
NP
B D
M
A
Chọn đáp án A
Câu 64. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N , P theo thứ tự là
trung điểm của SA, SD và AB. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. (N OM) cắt (OP M ). B. (M ON) k (SBC).
C. (P ON) ∩(MN P ) = NP . D. (NM P ) k (SBD).
-Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 125 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
®
MN k AD (đường trung bình 4SAD)
OP k AD (đường trung bình 4BAD)
⇒ M N k
OP ⇒ O, N, M, P cùng nằm trong một mặt phẳng.
®
MN k AD k BC ⊂ (SBC)
OM k SC ⊂ (SBC)
⇒ (OMN) k (SBC).
A
B
M
P
D
N
S
O
C
Chọn đáp án B
Câu 65. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a và G là trọng tâm tam giác ABC. Cắt tứ diện bởi mặt phẳng
(P ) qua G và song song với mặt phẳng (BCD) thì diện tích thiết diện bằng bao nhiêu?
A.
a
2
√
3
4
. B.
a
2
√
3
18
. C.
a
2
√
3
16
. D.
a
2
√
3
9
.
-Lời giải.
Trong mặt phẳng (ABC) kẻ đường thẳng qua G và song song
với BC cắt AC, AB lần lượt tại H, K.
Trong mặt phẳng (ACD) kẻ đường thẳng qua H và song song
với CD cắt AD tại I.
Thiết diện cần tìm là KHI.
∆KHI v ∆BCD theo tỉ số đồng dạng bằng
2
3
.
Do đó S
KHI
=
4
9
S
BCD
=
4
9
a
2
√
3
4
=
√
3a
2
9
.
A
B
C
D
G
H
K
I
Chọn đáp án D
Câu 66. Cho tứ diện đều SABC. Gọi I là trung điểm của cạnh AB, M là điểm di động trên đoạn thẳng
AI. Gọi (α) là mặt phẳng đi qua điểm M đồng thời song song với mặt phẳng (SIC). Thiết diện của tứ diện
SABC cắt bởi mặt phẳng (α) là
A. một hình thoi. B. một tam giác cân tại M .
C. một tam giác đều. D. một hình bình hành.
-Lời giải.
Qua M kẻ đường thẳng song song với SI cắt SA tại P .
Qua M kẻ đường thẳng song song với IC cắt AC tại N.
Thiết diện của S.ABC cắt bởi (α) là tam giác MNP .
Ta có
MP
SI
=
AM
AI
=
MN
CI
=
AN
AC
=
NP
SC
,
Suy ra 4MN P v 4ICS.
Mà 4ICS cân tại S (không đều) nên tam giác MNP cân tại M
và cũng không đều.
A
B
C
I
S
M
N
P
Chọn đáp án B
Th.s Nguyễn Chín Em 126 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Câu 67. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD, AB//CD, AB = 2CD. M là điểm thuộc
cạnh AD, (α) là mặt phẳng qua M và song song với mặt phẳng (SAB). Biết diện tích thiết diện của hình
chóp cắt bởi mặt phẳng (α) bằng
2
3
diện tích tam giác SAB. Tính tỉ số x =
MA
MD
.
A. x =
1
2
. B. x = 1. C. x =
3
2
. D. x =
2
3
.
-Lời giải.
A
Q
M
B
P
CD
NH
K
S
Ta có
(α) k (SAB)
(ABCD) ∩(SAB) = AB
M ∈ (α) ∩ (ABCD)
suy ra giao tuyến của (α) và (ABCD) là đường thẳng qua M và
song song AB, đường thẳng này cắt BC tại N. Tương tự giao tuyến của (α) và (SBC) là đường thẳng qua
N song song SB cắt SC tại P , giao tuyến của (α) và (SCD) là đường thẳng qua P song song CD cắt SD
tại Q. Thiết diện của S.ABCD khi cắt bởi (α) là hình thang M NP Q.
Đặt CD = a, ta có
P Q
CD
=
SQ
SD
=
AM
AD
=
x
x + 1
⇔ P Q =
ax
x + 1
.
Trong hình thang ABCD ta có M N =
x
x + 1
CD +
1
x + 1
AB =
a(x + 2)
x + 1
.
Gọi K là hình chiếu của S lên AB, H là giao của MN và CK, khi đó P H k SK và do đó P H⊥MN ,
thêm nữa
P H
SK
=
CH
CK
=
DM
DA
=
1
x + 1
Ta có
S
MN P Q
S
ABC
=
(P Q + MN)P H
SK · AB
=
1
x + 1
. Theo giả thiết
1
x + 1
=
2
3
⇔ x =
1
2
.
Chọn đáp án A
Câu 68. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD)
và (SBC). Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. d đi qua S và song song với BD. B. d đi qua S và song song với BC.
C. d đi qua S và song song với AB. D. d đi qua S và song song với DC.
-Lời giải.
Vì
S ∈ (SAD) ∩(SBC)
AD ⊂ (SAD), BC ⊂ (SBC)
AD k BC
nên d = (SAD) ∩(SBC) là đường thẳng qua S và song song với BC.
A
B C
D
S
d
Chọn đáp án B
Câu 69. Cho tứ diện ABCD. Gọi G
1
, G
2
, G
3
lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC, ACD, ABD. Phát
biểu nào sau đây đúng?
A. (G
1
G
2
G
3
) cắt (BCD). B. (G
1
G
2
G
3
) k (BCD).
Th.s Nguyễn Chín Em 127 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
C. (G
1
G
2
G
3
) k (BCA). D. (G
1
G
2
G
3
) không có điểm chung (ACD).
-Lời giải.
Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CD, BD.
Khi đó:
SG
1
SM
=
SG
2
SN
=
SG
3
SP
=
2
3
⇒ G
1
G
2
k MN, ⇒ G
1
G
3
k MP.
Suy ra (G
1
G
2
G
3
) k (BCD).
A
B
C
D
M
N
P
G
1
G
2
G
3
Chọn đáp án B
Câu 70. Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây.
A. Hai mặt phẳng phân biệt không song song thì cắt nhau.
B. Nếu hai mặt phẳng song song thì mọi đường thẳng nằm trên mặt phẳng này đều song song với mọi
đường thẳng nằm trên mặt phẳng kia.
C. Nếu hai mặt phẳng (P ) và (Q) lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì song song với nhau.
D. Hai mặt phẳng cùng song song với một đường thẳng thì song song với nhau.
-Lời giải.
Hai mặt phẳng có ba vị trí tương đối là : song song, cắt nhau, trùng nhau.
Do đó, hai mặt phẳng phân biệt không song song thì cắt nhau.
Chọn đáp án A
Câu 71. Cho hình hộp ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm AB
0
, BC. Mặt phẳng
(DMN) cắt hình hộp theo một thiết diện hình
A. Lục giác. B. Ngũ giác. C. Tam giác. D. Tứ giác.
-Lời giải.
A
0
C
0
A
N
C
B
0
E
F
B
M
G
D
0
D
Trong mặt phẳng (ABCD), gọi E là giao điểm của N D và AB.
Trong mặt phẳng ABB
0
A
0
, gọi F , G lần lượt là giao điểm của EM với BB
0
, AA
0
.
Khi đó mặt phẳng (DMN) cắt hình hộp theo một thiết diện là tứ giác NF GD.
Chọn đáp án D
Câu 72. Khẳng định nào sau đây đúng?
Th.s Nguyễn Chín Em 128 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
A. Hình lăng trụ đứng có đáy là một đa giác đều là hình lăng trụ đều.
B. Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ đều.
C. Hình lăng trụ có đáy là một đa giác đều là hình lăng trụ đều.
D. Hình lăng trụ tứ giác đều là hình lập phương.
-Lời giải.
Hình lăng trụ đứng có đáy là một đa giác đều là hình lăng trụ đều.
Chọn đáp án A
Câu 73. Xét các mệnh đề sau
(1) Hình hộp là một hình lăng trụ;
(2) Hình lập phương là hình hộp đứng có đáy là hình vuông;
(3) Hình hộp có các mặt đối diện bằng nhau;
(4) Hình lăng trụ có các mặt bên là hình bình hành;
(5) Hình lăng trụ có tất cả các mặt bên bằng nhau.
Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là
A. 2 . B. 4. C. 5. D. 3.
-Lời giải.
Các mệnh đề (1), (3) và (4) đúng.
Chọn đáp án D
Câu 74. Cho tứ diện ABCD. Trên các cạnh AD, BC theo thứ tự lấy các điểm M, N sao cho
MA
AD
=
NC
CB
=
1
3
. Gọi (P ) là mặt phẳng chứa đường thẳng MN và song song với CD. Khi đó thiết diện của tứ
diện ABCD cắt bởi mặt phẳng (P ) là
A. một hình bình hành. B. một hình thang với đáy lớn gấp 2 lần đáy nhỏ.
C. một hình thang với đáy lớn gấp 3 lần đáy nhỏ. D. một tam giác.
-Lời giải.
Qua M, kẻ đường thẳng song song với CD cắt AC tại E.
Qua N, kẻ đường thẳng song song với CD cắt BD tại F .
Khi đó ME k N F k CD và (P ) ≡ (MENF ).
Ta có
NF
CD
=
BN
BC
=
2
3
ME
CD
=
AM
AD
=
1
3
⇒ NF = 2ME.
Vậy thiết diện của ABCD cắt bởi (P ) là hình thang M ENF , trong đó đáy
lớn NF gấp 2 lần đáy nhỏ ME.
A
M
C
N
F
B
E
D
Chọn đáp án B
Câu 75. Cho hình hộp ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
. Gọi I là trung điểm của AB. Mặt phẳng (IB
0
D
0
) cắt hình hộp
theo thiết diện là
A. hình bình hành. B. hình thang. C. hình chữ nhật. D. tam giác.
-Lời giải.
Ta có
B
0
D
0
⊂ (IB
0
D
0
)
BD ⊂ (ABCD)
BD k B
0
D
0
nên giao tuyến của (IB
0
D
0
) với (ABCD) là đường
thẳng IE qua I và song song với BD (E ∈ AD).
Vì IE k B
0
D
0
nên thiết diện là hình thang IED
0
B
0
.
A
A
0
D
0
B
B
0
C
0
CD
I
E
Chọn đáp án B
Th.s Nguyễn Chín Em 129 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Câu 76.
Cho hình lập phương ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
cạnh a. Xét tứ diện
AB
0
CD
0
. Cắt tứ diện đó bằng mặt phẳng đi qua tâm của
hình lập phương và song song với mặt phẳng (ABC). Tính
diện tích của thiết diện thu được.
A
0
D
0
A
B C
B
0
C
0
D
A.
a
2
3
. B.
2a
2
3
. C.
a
2
2
. D.
3a
2
4
.
-Lời giải.
Gọi I là tâm của hình lập phương ⇒ I là trung điểm của
AC
0
.
Gọi (P ) là mặt phẳng qua I và song song với (ABC). Khi đó
(P ) cắt các đường thẳng AB
0
, B
0
C, CD
0
, AD
0
lần lượt tại
các trung điểm M , N, P , Q.
Khi đó MN = P Q =
1
2
AC =
a
√
2
2
và
NP = MQ =
1
2
B
0
D
0
=
a
√
2
2
.
Do đó, thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng đi qua tâm
của hình lập phương và song song với mặt phẳng (ABC) là
hình thoi MN P Q cạnh bằng
a
√
2
2
.
Mặt khác NQ = M P = BC = a.
Diện tích hình thoi MN P Q là S =
1
2
NQ · MP =
a
2
2
.
A
0
D
0
A
B C
B
0
IM
C
0
D
P
N
Q
Chọn đáp án C
Câu 77. Cho bốn mệnh đề sau
(1) Nếu hai mặt phẳng (α) và (β) song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (α) đều
song song với (β).
(2) Hai đường thẳng nằm trên hai mặt phẳng song song thì song song với nhau.
(3) Trong không gian hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau.
(4) Tồn tại hai đường thẳng song song mà mỗi đường thẳng cắt đồng thời hai đường thẳng chéo nhau cho
trước.
Trong các mệnh đề trên có bao nhiêu mệnh đề sai?
A. 4. B. 3. C. 2. D. 1.
-Lời giải.
Mệnh đề (1) là mệnh đề đúng.
Mệnh đề (2) là mệnh đề sai vì hai đường thẳng đó có thể chéo nhau.
Mệnh đề (3) là mệnh đề sai vì hai đường thẳng song song cũng không có điểm chung.
Mệnh đề (4) là mệnh đề sai vì nếu tồn tại hai đường thẳng như trên thì cả 4 đường thẳng này đồng
phẳng (mâu thuẫn với giả thiết).
Vậy có 3 mệnh đề sai.
Chọn đáp án B
Th.s Nguyễn Chín Em 130 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Câu 78. Một hình lăng trụ có đúng 11 cạnh bên thì hình lăng trụ đó có tất cả bao nhiêu cạnh?
A. 31. B. 30. C. 22. D. 33.
-Lời giải.
Hình lăng trụ có đúng 11 cạnh bên suy ra đáy là đa giác có 11 đỉnh ⇒ đa giác đáy có 11 cạnh.
Vậy hình lăng trụ có đúng 11 cạnh bên thì có 11 + 11 ·2 = 33 cạnh.
Chọn đáp án D
Câu 79. Cho hình hộp ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau
A. (ABB
0
A
0
) k (CC
0
D
0
D). B. Diện tích hai mặt bên bất kì bằng nhau.
C. AA
0
k CC
0
. D. Hai mặt phẳng đáy song song với nhau.
-Lời giải.
Mệnh đề sai là “Diện tích hai mặt bên bất kì bằng nhau”.
Chọn đáp án B
Câu 80. Cho hình lăng trụ ABC.A
0
B
0
C
0
, gọi I, J, K lần lượt là trọng tâm 4ABC, 4ACC
0
và 4AB
0
C
0
.
Mặt phẳng nào sau đây song song với (IJK)?
A. (BC
0
A). B. (AA
0
B). C. (BB
0
C). D. (CC
0
A).
-Lời giải.
Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm BC, CC
0
và B
0
C
0
.
Ta có
AK
AP
=
AJ
AN
=
AI
AM
=
2
3
.
Suy ra (IJK) k (M NP ) hay (IJK) k (BB
0
C).
P
B
I
B
0
M
J
A
0
A
C
0
C
N
K
Chọn đáp án C
Câu 81 (Tác giả: Lê Thị Thu Hằng, Email: lethuhang2712@gmail.com).
Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thang, đáy lớn BC = 2a, AD = a, AB = b. Mặt bên (SAD) là tam
giác đều. Mặt phẳng (α) qua điểm M trên cạnh AB và song song với các cạnh SA, BC. Mặt phẳng (α) cắt
CD, SC, SB lần lượt tại N, P, Q. Đặt x = AM (0 < x < b). Giá trị lớn nhất của diện tích thiết diện tạo bởi
(α) và hình chóp S.ABCD là
A.
a
2
√
3
6
. B.
a
2
√
3
12
. C.
a
2
√
3
3
. D.
a
2
√
3
2
.
-Lời giải.
(α) k SA và BC nên (α) k (SAD)⇒ MQ k SA, NP k SD.
Ta có MN k P Q k AD k BC.
Theo định lý Talét trong hình thang ABCD ta có
BM
BA
=
CN
CD
.(1)
Theo định lý Talét trong 4SAB ta có
BM
BA
=
BQ
BS
=
MQ
SA
.(2)
Theo định lý Talét trong 4SCD ta có
CN
CD
=
CP
CS
=
P N
SD
.(3)
B
Q
M
S
P
N
C
A D
Th.s Nguyễn Chín Em 131 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Từ (1), (2), (3) suy ra M Q = NP =
b −x
b
a; P Q =
x
b
2a; MN = a +
x
b
a.
Suy ra thiết diện là hình thang cân và
S
td
=
1
2
(MN + P Q)
MQ
2
−
Å
MN − P Q
2
ã
2
=
1
2
Å
ab + ax
b
+
2ax
b
ã
a
2
(b −x)
2
b
2
−
a
2
(b −x)
2
4b
2
=
1
2
·
a(b + 3x)
b
·
a
√
3(b −x)
2b
=
a
2
√
3
12b
2
(3x + b)(3b − 3x) ≤
a
2
√
3
12b
2
Å
3x + b + 3b − 3x
2
ã
2
=
a
√
3
3
.
Vậy diện tích lớn nhất của thiết diện là
a
2
√
3
3
khi x =
b
3
.
Chọn đáp án C
Câu 82 (Tác giả: Đặng Duy Hùng). cho hình hộp ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
. Trên cạnh AB lấy điểm M khác
A và B. Gọi (P ) là mặt phẳng đi qua M và song song với mặt phẳng (ACD
0
). Đặt
AM
AB
= k, 0 < k < 1.
Tìm k để thiết diện của hình hộp và mặt phẳng (P ) có diện tích lớn nhất.
A. k =
1
2
. B. k =
3
4
. C. k =
1
4
. D. k =
2
5
.
-Lời giải.
A BM
J
D
0
C
0
R
Q
D
B
0
N
K
P
A
0
C
S
Trong mặt phẳng (ABCD), qua M kẻ đường thẳng song song với AC cắt DB, BC lần lượt tại E, N .
Trong mặt phẳng (BDD
0
), qua E kẻ đường thẳng song song với OD
0
cắt B
0
D
0
tại F .
Trong mặt phẳng (A
0
B
0
C
0
D
0
), qua F kẻ đường thẳng song song với AC cắt A
0
D
0
, D
0
C
0
lần lượt tại R, Q.
Trong mặt phẳng (AA
0
DD
0
) qua R kẻ đường thẳng song song với AD
0
cắt AA
0
tại S.
Trong mặt phẳng (CC
0
D
0
D), qua Q kẻ đường thẳng song song với CD
0
cắt CC
0
tại P .
Vậy thiết diện là lục giác M NP QRS.
Do các mặt đối diện của hình hộp song song nên các cạnh đối của lục giác thiết diện MNP QRS song song
và 3 cặp cạnh đó lần lượt song song với các cạnh tam giác ACD
0
. Các tam giác JKI, ACD
0
, RQI, JM S,
NKP đồng dạng
⇒
MJ
MN
=
MA
MB
=
NC
NB
=
NK
NM
=
P C
P C
0
=
P K
P Q
=
QD
0
QC
0
=
QI
QP
⇒ MJ = NK và P K = QI.
Th.s Nguyễn Chín Em 132 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Suy ra các tam giác RQI, JMS, NKP bằng nhau (gọi diện tích của chúng là S
1
và diện tích các tam giác
JKI, ACD
0
lần lượt là S
2
, S).
Ta có
S
1
S
=
Å
JM
AC
ã
2
=
Å
AM
DC
ã
2
=
Å
AM
AB
ã
2
= k
2
⇒ S
1
= k
2
S.
S
2
S
=
Å
JK
AC
ã
2
=
Å
JM + MK
AC
ã
2
= (k + 1)
2
⇒ S
2
= (k + 1)
2
S.
Diện tích thiết diện
S
td
= S
2
− 3S
1
= 2S(−k
2
+ k +
1
2
) ≤
3S
2
.
Dấu đẳng thức xảy ra khi k =
1
2
.
Chọn đáp án
A
Câu 83. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P theo thứ tự là
trung điểm của SA, SD và AB. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. (N OM) cắt (OP M ). B. (M ON)//(SBC).
C. (P ON) ∩(MN P ) = NP . D. (NM P )//(SBD).
-Lời giải.
Xét hai mặt phẳng (MON) và (SBC).
Ta có: OM//SC và ON//SB.
Mà BS ∩ SC = C và OM ∩ ON = O.
Do đó (MON)//(SBC).
B
A
C
D
O
S
M
N
P
Chọn đáp án B
Câu 84. Cho hình lăng trụ ABCDA
0
B
0
C
0
D
0
. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
A. (AA
0
B
0
B) song song với (CC
0
D
0
D). B. Diện tích hai mặt bên bất ki bằng nhau.
C. AA
0
song song với CC
0
. D. Hai mặt phẳng đáy song song với nhau.
-Lời giải.
A
0
D
0
A
B C
B
0
C
0
D
Đáp án là B.
Chọn đáp án B
Câu 85. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây
A. Nếu hai đường thẳng song song với nhau lần lượt nằm trong hai mặt phẳng phân biệt (P ) và (Q) thì
(P ) và (Q) song song với nhau.
B. Qua một điểm nằm ngoài mặt phẳng cho trước ta vẽ được một và chỉ một đường thẳng song song với
mặt phẳng cho trước đó.
C. Nếu hai mặt phẳng (P ) và (Q) song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P )
đều song song với mặt phẳng (Q).
D. Nếu hai mặt phẳng (P ) và (Q) song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P )
đều song song với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (Q).
-Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 133 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Chọn đáp án C
Câu 86. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
B. Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì trùng nhau.
C. Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau hoặc trùng nhau.
D. Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì chúng lần lượt nằm trên hai mặt
phẳng song song..
-Lời giải.
Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau hoặc trùng nhau.
Chọn đáp án C
Câu 87. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. Hai đường thẳng chéo nhau thì chúng có điểm chung.
B. Hai đường thẳng không có điểm chung là hai đường thẳng song song hoặc chéo nhau.
C. Hai đường thẳng song song với nhau khi chúng ở trên cùng một mặt phẳng.
D. Khi hai đường thẳng ở trên hai mặt phẳng phân biệt thì hai đường thẳng đó chéo nhau.
-Lời giải.
Mệnh đề “Hai đường thẳng chéo nhau thì chúng có điểm chung” sai vì hai đường thẳng chéo nhau thì
chúng không có điểm chung.
Mệnh đề “Hai đường thẳng song song với nhau khi chúng ở trên cùng một mặt phẳng” sai vì có thể
xảy ra trường hợp hai đường thẳng đó hoặc cắt nhau hoặc trùng nhau.
Mệnh đề “Khi hai đường thẳng ở trên hai mặt phẳng phân biệt thì hai đường thẳng đó chéo nhau” sai
vì có thể xảy ra trường hợp hai đường thẳng đó song song.
Chọn đáp án B
Câu 88. Cho ba mặt phẳng phân biệt (α) , (β) , (γ) có (α) ∩ (β) = d
1
; (β) ∩(γ) = d
2
; (α) ∩ (γ) = d
3
. Khi
đó ba đường thẳng d
1
, d
2
, d
3
A. đôi một cắt nhau. B. đôi một song song.
C. đồng quy. D. đôi một song song hoặc đồng quy.
-Lời giải.
Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyền ấy hoặc đồng quy hoặc
đôi một song song.
Chọn đáp án D
Câu 89. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Hai mặt phẳng không cắt nhau thì song song.
B. Hai mặt phẳng cùng song song với một đường thẳng thì cắt nhau.
C. Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có duy nhất một mặt phẳng song song với mặt
phẳng đó.
D. Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có vô số mặt phẳng song song với mặt phẳng đó.
-Lời giải.
Trong không gian, hai mặt phẳng có 3 vị trí tương đối: trùng nhau, cắt nhau,
song song với nhau. Vì vậy, 2 mặt phẳng không cắt nhau thì có thể song song
hoặc trùng nhau ⇒A là mệnh đề sai.
Hai mặt phẳng cùng song song với một đường thẳng thì chúng có thể song
song với nhau (hình vẽ) ⇒ B là mệnh đề sai.
Ta có: a k (P ), a k (Q) nhưng (P ) và (Q) vẫn có thể song song với nhau.
Mệnh đề C là tính chất nên C đúng.
a
P
Q
Chọn đáp án C
Câu 90. Trong các điều kiện sau, điều kiện nào kết luận mp (α) k mp (β)?
A. (α) k (γ) và (β) k (γ) ((γ) là mặt phẳng nào đó).
Th.s Nguyễn Chín Em 134 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
B. (α) k a và (α) k b với a, b là hai đường thẳng phân biệt thuộc (β).
C. (α) k a và (α) k b với a, b là hai đường thẳng phân biệt cùng song song với (β).
D. (α) k a và (α) k b với a, b là hai đường thẳng cắt nhau thuộc(β).
-Lời giải.
a
b
α
β
Hình 1.
a
b
α
β
Hình 2.
Trong trường hợp: (α) k (γ) và (β) k (γ) ((γ) là mặt phẳng nào đó) thì (α) và (β) có thể trùng nhau ⇒
Loại A.
(α) k a và (α) k b với a, b là hai đường thẳng phân biệt thuộc (β) thì (α) và (β) vẫn có thể cắt nhau (hình
1) ⇒ Loại B.
(α) k a và (α) k b với a, b là hai đường thẳng phân biệt cùng song song với (β) thì (α) và (β) vẫn có thể cắt
nhau (hình 2) ⇒ Loại C.
Chọn đáp án D
Câu 91. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Nếu hai mặt phẳng (α) và (β) song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong (α) đều song song
với (β).
B. Nếu hai mặt phẳng (α) và (β) song song với nhau thì bất kì đường thẳng nào nằm trong (α) cũng
song song với bất kì đường thẳng nào nằm trong (β).
C. Nếu hai đường thẳng phân biệt a và b song song lần lượt nằm trong hai mặt phẳng (α) và (β) phân
biệt thì a k (β).
D. Nếu đường thẳng d song song với mp (α) thì nó song song với mọi đường thẳng nằm trong mp (α).
-Lời giải.
a
b
α
β
Hình 1.
b
a
α
β
Hình 2.
d
α
Hình 3.
Nếu hai mặt phẳng (α) và (β) song song với nhau thì hai đường thẳng bất kì lần lượt thuộc (α) và (β) có
thể chéo nhau (Hình 1) ⇒ Loại B. Nếu hai đường thẳng phân biệt a và b song song lần lượt nằm trong hai
mặt phẳng (α) và (β) phân biệt thì hai mặt phẳng (α) và (β) có thể cắt nhau (Hình 2) ⇒ Loại C. Nếu
đường thẳng d song song với mp (α) thì nó có thể chéo nhau với một đường thẳng nào đó nằm trong (α) .
(Hình 3).
Chọn đáp án A
Câu 92. Cho hai mặt phẳng song song (α) và (β), đường thẳng a k (α). Có mấy vị trí tương đối của a và
(β)?
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
-Lời giải.
Trong không gian, giữa đường thẳng và mặt phẳng có 3 vị trí tương đối: đường thẳng cắt mặt phẳng, đường
thẳng song song với mặt phẳng, đường thẳng nằm trên mặt phẳng. a k (α) mà (α) k (β) ⇒ a và (α) không
thể cắt nhau. Vậy còn 2 vị trí tương đối.
Th.s Nguyễn Chín Em 135 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Chọn đáp án B
Câu 93. Cho hai mặt phẳng song song (P ) và (Q). Hai điểm M, N lần lượt thay đổi trên (P ) và (Q). Gọi
I là trung điểm của MN. Chọn khẳng định đúng.
A. Tập hợp các điểm I là đường thẳng song song và cách đều (P ) và (Q).
B. Tập hợp các điểm I là mặt phẳng song song và cách đều (P ) và (Q).
C. Tập hợp các điểm I là một mặt phẳng cắt (P ).
D. Tập hợp các điểm I là một đường thẳng cắt (P ).
-Lời giải.
Ta có: I là trung điểm của MN ⇒ Khoảng cách từ I đến (P ) bằng khoảng
cách từ I đến (Q) ⇒ Tập hợp các điểm I là mặt phẳng song song và cách
đều (P ) và (Q).
Q
P
M
I
N
Chọn đáp án B
Câu 94. Trong các điều kiện sau, điều kiện nào kết luận đường thẳng a song song với mặt phẳng (P )?
A. a k b và b ⊂ (P ). B. a k b và b k (P ).
C. a k (Q) và (Q) k (P ). D. a ⊂ (Q) và b ⊂ (P ).
-Lời giải.
Ta có: a k b và b ⊂ (P ) suy ra a k (P ) hoặc a ⊂ (P ) ⇒ Loại A. a k b và b k (P ) suy ra a k (P ) hoặc
a ⊂ (P ) ⇒ Loại B. a k (Q) và (Q) k (P ) suy ra a k (P ) hoặc a ⊂ (P) ⇒ Loại C.
Chọn đáp án D
Câu 95. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Nếu (α) k (β) và a ⊂ (α) , b ⊂ (β) thì a k b.
B. Nếu (α) k (β) và a ⊂ (α) , b ⊂ (β) thì a và b chéo nhau.
C. Nếu a k b và a ⊂ (α) , b ⊂ (β) thì (α) k (β).
D. Nếu (γ) ∩ (α) = a, (γ) ∩ (β) = b và (α) k (β) thì a k b.
-Lời giải.
Nếu (α) k (β) và a ⊂ (α) , b ⊂ (β) thì a k b hoặc a chéo b ⇒ A, B sai. Nếu a k b và a ⊂ (α) , b ⊂ (β) thì
(α) k (β) hoặc (α) và (β) cắt nhau theo giao tuyến song song với a và b.
Chọn đáp án D
Câu 96. Cho đường thẳng a ⊂ (P ) và đường thẳng b ⊂ (Q). Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. (P ) k (Q) ⇒ a k b. B. a k b ⇒ (P) k (Q).
C. (P ) k (Q) ⇒ a k (Q) và b k (P ). D. a và b chéo nhau.
-Lời giải.
Với đường thẳng a ⊂ (P ) và đường thẳng b ⊂ (Q).
Khi (P ) k (Q) ⇒ a k b hoặc a, b chéo nhau ⇒ A sai.
Khi a k b ⇒ (P) k (Q) hoặc (P ), (Q) cắt nhau theo giao tuyến song song với a và b ⇒ B sai.
a và b có thể chéo nhau, song song hoặc cắt nhau ⇒ D sai.
Chọn đáp án C
Câu 97. Hai đường thẳng a và b nằm trong mp (α) . Hai đường thẳng a
0
và b
0
nằm trong mp (β) . Mệnh đề
nào sau đây đúng?
A. Nếu a k a
0
và b k b
0
thì (α) k (β). B. Nếu (α) k (β) thì a k a
0
và b k b
0
.
C. Nếu a k b và a
0
k b
0
thì (α) k (β). D. Nếu a cắt b và a k a
0
, b k b
0
thì (α) k (β).
-Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 136 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
a
0
b
a
b
0
∆
α
β
Hình 1.
a
a
0
α
β
Hình 2.
Nếu a k a
0
và b k b
0
thì (α) k (β) hoặc (α) cắt (β) (Hình 1) ⇒ A sai. Nếu (α) k (β) thì a k a
0
hoặc a, a
0
chéo
nhau (Hình 2) ⇒ B sai.
Nếu a k b và a
0
k b
0
thì (α) k (β) hoặc (α) cắt CC
0
. (Hình 1) ⇒ C sai.
Chọn đáp án D
Câu 98. Cho hai mặt phẳng (P ) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến ∆. Hai đường thẳng p và q lần lượt nằm
trong (P ) và (Q). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. p và q cắt nhau. B. p và q chéo nhau.
C. p và q song song. D. Cả ba mệnh đề trên đều sai.
-Lời giải.
Ta có p và q có thể cắt nhau, song song, chéo nhau (hình vẽ).
q
p
∆
q
p
∆
q
p
∆
Chọn đáp án D
Câu 99. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, I theo thứ tự là
trung điểm của SA, SD và AB. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. (N OM) cắt (OP M ). B. (M ON) k (SBC).
C. (P ON) ∩(MN P ) = NP . D. (NM P ) k (SBD).
-Lời giải.
Ta có MN là đường trung bình của tam giác SAD suy ra MN k AD
(1).
Và OP là đường trung bình của tam giác BAD suy ra OP k AD (2).
Từ (1), (2) suy ra M N k OP k AD ⇒ M, N, O, P đồng phẳng.
Lại có MP k SB, OP k BC suy ra (MNOP ) k (SBC) hay (M ON) k
(SBC) .
S
D C
O
B
M
P
N
A
Chọn đáp án B
Câu 100. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Tam giác SBD đều. Một mặt
phẳng (P ) song song với (SBD) và qua điểm I thuộc cạnh AC (không trùng với A hoặc C). Thiết diện của
(P ) và hình chóp là hình gì?
A. Hình hình hành. B. Tam giác cân. C. Tam giác vuông. D. Tam giác đều.
-Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 137 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Gọi MN là đoạn thẳng giao tuyến của mặt phẳng (P ) và mặt đáy
(ABCD) . Vì (P ) k (SBD) , (P ) ∩ (ABCD) = M N và (SBD) ∩
(ABCD) = MN suy ra MN k BD.
Lập luận tương tự, ta có
(P ) cắt mặt (SAD) theo đoạn giao tuyến NP với NP k SD.
(P ) cắt mặt (SAB) theo đoạn giao tuyến MP với MP k SB.
Vậy tam giác MNP đồng dạng với tam giác SBD nên thiết diện của
(P ) và hình chóp S.ABCD là tam giác đều MNP.
S
O
I
D A
N
B
M
P
C
Chọn đáp án D
Câu 101. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. Hình lăng trụ có các cạnh bên song song và bằng nhau.
B. Hai mặt đáy của hình lăng trụ nằm trên hai mặt phẳng song song.
C. Hai đáy của lăng trụ là hai đa giác đều.
D. Các mặt bên của lăng trụ là các hình bình hành.
-Lời giải.
Xét hình lăng trụ có đáy là một đa giác (tam giác, tứ giác, . . . ), ta thấy rằng hình lăng trụ luôn có các cạnh
bên song song và bằng nhau. Hai mặt đáy của hình lăng trụ nằm trên hai mặt phẳng song song. Hai đáy
của lăng trụ là hai đa giác bằng nhau (tam giác, tứ giác, . . . ). Các mặt bên của lăng trụ là các hình bình
hành vì có hai cạnh là hai cạnh bên của hình lăng trụ, hai cạnh còn lại thuộc hai đáy song song.
Chọn đáp án C
Câu 102. Trong các mệnh đều sau, mệnh đề nào sai?
A. Các cạnh bên của hình lăng trụ bằng nhau và song song với nhau.
B. Các mặt bên của hình lăng trụ là các hình bình hành.
C. Các mặt bên của hình lăng trụ là các hình bình hành bằng nhau.
D. Hai đáy của hình lăng trụ là hai đa giác bằng nhau.
-Lời giải.
Các mặt bên của hình lăng trụ là các hình hình hành, chúng bằng nhau nếu hình lăng trụ có đáy là tam
giác đều.
Chọn đáp án C
Câu 103. Trong các mệnh đều sau, mệnh đề nào đúng?
A. Các cạnh bên của hình chóp cụt đôi một song song.
B. Các cạnh bên của hình chóp cụt là các hình thang.
C. Hai đáy của hình chóp cụt là hai đa giác đồng dạng.
D. Cả 3 mệnh đề trên đều sai.
-Lời giải.
Xét hình chóp cụt có đáy là đa giác (tam giác, tứ giác, . . . ) ta thấy rằng: Các cạnh bên của hình chóp cụt
đôi một cắt nhau. Các mặt bên của hình chóp cụt là các hình thang cân. Hai đáy của hình chóp cụt là hai
đa giác đồng dạng.
Chọn đáp án C
Câu 104. Trong các mệnh đều sau, mệnh đề nào sai?
A. Trong hình chóp cụt thì hai đáy là hai đa giác có các cạnh tương ứng song song và các tỉ số các cặp
cạnh tương ứng bằng nhau.
B. Các mặt bên của hình chóp cụt là các hình thang.
C. Các mặt bên của hình chóp cụt là các hình thang cân.
D. Đường thẳng chứa các cạnh bên của hình chóp cụt đồng quy tại một điểm.
-Lời giải.
Với hình chóp cụt, các mặt bên của hình chóp cụt là các hình thang.
Chọn đáp án C
Câu 105. Cho hình lăng trụ ABC.A
0
B
0
C
0
. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BB
0
và CC
0
. Gọi ∆ là
giao tuyến của hai mặt phẳng (AMN) và (A
0
B
0
C
0
) . Khẳng định nào sau đây đúng?
Th.s Nguyễn Chín Em 138 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
A. ∆ k AB. B. ∆ k AC. C. ∆ k BC. D. ∆ k AA
0
.
-Lời giải.
Ta có
MN ⊂ (AMN )
B
0
C
0
⊂
A
0
B
0
C
0
MN k B
0
C
0
−→ ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng
(AMN) và (A
0
B
0
C
0
) sẽ song song với MN và B
0
C
0
. Suy ra ∆ k BC.
A
0
C
0
A
B
B
0
C
M
N
∆
Chọn đáp án C
Câu 106. Cho hình lăng trụ ABC.A
0
B
0
C
0
. Gọi H là trung điểm của A
0
B
0
. Mặt phẳng (AHC
0
) song song
với đường thẳng nào sau đây?
A. CB
0
. B. BB
0
. C. BC. D. BA
0
.
-Lời giải.
Gọi M là trung điểm của AB suy ra M B
0
k AH ⇒ MB
0
k (AHC
0
) .
(1)
Vì MH là đường trung bình của hình bình hành ABB
0
A
0
suy ra M H
song song và bằng BB
0
nên MH song song và bằng CC
0
⇒ MHC
0
C là hình hình hành ⇒ MC k HC
0
⇒ MC k (AHC
0
) . (2)
Từ (1) và (2), suy ra (B
0
MC) k (AHC
0
) ⇒ B
0
C k (AHC
0
) .
A C
M
A
0
H
B
0
B
C
0
Chọn đáp án A
Câu 107. Cho hình lăng trụ ABC.A
1
B
1
C
1
. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. (ABC) k (A
1
B
1
C
1
). B. AA
1
k (BCC
1
).
C. AB k (A
1
B
1
C
1
). D. AA
1
B
1
B là hình chữ nhật.
-Lời giải.
Vì mặt bên AA
1
B
1
B là hình bình hành, còn nó là hình chữ nhật nếu ABC.A
1
B
1
C
1
là hình lăng trụ đứng.
Chọn đáp án D
Câu 108. Cho hình hộp ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
. Khẳng định nào dưới đây là sai?
A. ABCD là hình bình hành.
B. Các đường thẳng A
0
C, AC
0
, DB
0
, D
0
B đồng quy.
C. (ADD
0
A
0
) k (BCC
0
B
0
).
D. AD
0
CB là hình chữ nhật.
-Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 139 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Dựa vào hình vẽ và tính chất của hình hộp chữ nhật, ta thấy
rằng:
Hình hộp có đáy ABCD là hình bình hành.
Các đường thẳng A
0
C, AC
0
, DB
0
, D
0
B cắt nhau tại tâm
của AA
0
C
0
C, BDD
0
B
0
.
Hai mặt bên (ADD
0
A
0
) , (BCC
0
B
0
) đối diện và song song
với nhau.
AD
0
và CB là hai đường thẳng chéo nhau suy ra AD
0
CB
không phải là hình chữ nhật.
B C
A
0
D
0
B
0
A D
C
0
Chọn đáp án D
Câu 109. Cho hình hộp ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
có các cạnh bên AA
0
, BB
0
, CC
0
, DD
0
. Khẳng định nào dưới đây
sai?
A. (AA
0
B
0
B) k (DD
0
C
0
C). B. (BA
0
D
0
) k (ADC
0
).
C. A
0
B
0
CD là hình bình hành. D. BB
0
D
0
D là một tứ giác.
-Lời giải.
Dựa vào hình vẽ dưới và tính chất của hình hộp, ta thấy rằng:
Hai mặt bên (AA
0
B
0
B) và (DD
0
C
0
C) đối diện, song song
với nhau.
Hình hộp có hai đáy (ABCD) , (A
0
B
0
C
0
D
0
) là hình bình
hành ⇒ A
0
B
0
= CD và A
0
B
0
k CD suy ra A
0
B
0
CD là
hình hình hành.
BD k B
0
D
0
suy ra B, B
0
, D
0
, D đồng phẳng ⇒ BB
0
D
0
D
là tứ giác.
Mặt phẳng (BA
0
D
0
) chứa đường thẳng CD
0
mà CD
0
cắt
C
0
D suy ra (BA
0
D
0
) không song song với mặt phẳng
(ADC
0
) .
B C
A
0
D
0
B
0
A D
C
0
Chọn đáp án B
Câu 110. Nếu thiết diện của một lăng trụ tam giác và một mặt phẳng là một đa giác thì đa giác đó có
nhiều nhất mấy cạnh?
A. 3 cạnh. B. 4 cạnh. C. 5 cạnh. D. 6 cạnh.
-Lời giải.
Đa giác thiết diện của một lăng trụ tam giác và một mặt phẳng có nhiều nhất 5 cạnh với các cạnh thuộc
các mặt của hình lăng trụ tam giác.
Chọn đáp án C
Câu 111. Nếu thiết diện của một hình hộp và một mặt phẳng là một đa giác thì đa giác đó có nhiều nhất
mấy cạnh?
A. 4 cạnh. B. 5 cạnh. C. 6 cạnh. D. 7 cạnh.
-Lời giải.
Vì hình hộp là hình lăng trụ có đáy là tứ giác và có 6 mặt nên thiết diện của hình hộp và mặt phẳng bất
kì là một đa giác có nhiều nhất 6 cạnh.
Chọn đáp án C
Câu 112. Cho hình hộp ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
. Gọi I là trung điểm của AB. Mặt phẳng (IB
0
D
0
) cắt hình hộp
theo thiết diện là hình gì?
A. Tam giác. B. Hình thang. C. Hình bình hành. D. Hình chữ nhật.
-Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 140 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Ta có
B
0
D
0
⊂
IB
0
D
0
BD ⊂ (ABCD)
B
0
D
0
k BD
−→ Giao tuyến của (IB
0
D
0
) với (ABCD)
là đường thẳng d đi qua I và song song với BD. Trong mặt phẳng
(ABCD), gọi M = d ∩AD −→ IM k BD k B
0
D
0
. Khi đó thiết diện
là tứ giác IMB
0
D
0
và tứ giác này là hình thang.
A
0
D
0
M
B C
D
C
0
I
B
0
A
Chọn đáp án B
Câu 113. Cho hình hộp ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
. Gọi (α) là mặt phẳng đi qua một cạnh của hình hộp và cắt
hình hộp theo thiết diện là một tứ giác T . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. T là hình chữ nhật. B. T là hình bình hành.
C. T là hình thoi. D. T là hình vuông.
-Lời giải.
Giả sử mặt phẳng (α) đi qua cạnh AB và cắt hình hộp theo tứ
giác T. Gọi d là đường thẳng giao tuyến của (α) và mặt phẳng
(A
0
B
0
C
0
D
0
) . Ta chứng minh được AB k d suy ra tứ giác T là một
hình bình hành.
B C
A
0
D
0
B
0
A D
C
0
d
Chọn đáp án B
Câu 114. Cho hình chóp cụt tam giác ABC.A
0
B
0
C
0
có 2 đáy là 2 tam giác vuông tại A và A
0
và có
AB
A
0
B
0
=
1
2
. Khi đó tỉ số diện tích
S
∆ABC
S
∆A
0
B
0
C
0
bằng
A.
1
2
. B.
1
4
. C. 2. D. 4.
-Lời giải.
Hình chóp cụt ABC.A
0
B
0
C
0
có hai mặt đáy là hai mặt phẳng song song
nên tam giác ABC đồng dạng tam giác A
0
B
0
C
0
suy ra
S
∆ABC
S
∆A
0
B
0
C
0
=
1
2
· AB ·AC
1
2
· A
0
B
0
· A
0
C
0
=
AB
A
0
B
0
·
AC
A
0
C
0
=
1
4
.
A C
A
0
B
B
0
C
0
Chọn đáp án B
Câu 115. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC thỏa mãn AB = AC = 4,
’
BAC = 30
◦
. Mặt
phẳng (P ) song song với (ABC) cắt đoạn SA tại M sao cho SM = 2MA. Diện tích thiết diện của (P ) và
hình chóp S.ABC bằng bao nhiêu?
A.
16
9
. B.
14
9
. C.
25
9
. D. 1.
-Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 141 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Ta có S
∆ABC
=
1
2
· AB · AC · sin
’
BAC =
1
2
· 4 · 4 · sin 30
0
= 4. Gọi
N, P lần lượt là giao điểm của mặt phẳng (P ) và các cạnh SB, SC. Vì
(P ) k (ABC) nên theoo định lí Talet, ta có
SM
SA
=
SN
SB
=
SP
SC
=
2
3
.
Khi đó (P ) cắt hình chóp S.ABC theo thiết diện là tam giác MN P đồng
dạng với tam giác ABC theo tỉ số k =
2
3
.
Vậy S
∆MN P
= k
2
· S
∆ABC
=
Å
2
3
ã
2
· 4 =
16
9
.
S
A
M
C
N
B
P
Chọn đáp án A
Câu 116. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân với cạnh bên BC = 2, hai đáy
AB = 6, CD = 4. Mặt phẳng (P ) song song với (ABCD) và cắt cạnh SA tại M sao cho SA = 3SM. Diện
tích thiết diện của (P ) và hình chóp S.ABCD bằng bao nhiêu?
A.
5
√
3
9
. B.
2
√
3
3
. C. 2. D.
7
√
3
9
.
-Lời giải.
S
C
P
D
B
A
M
Q
N
CD
A BH K
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của D, C trên AB.
ABCD là hình thang cân ⇒
®
AH = BK; CD = HK
AH + HK + BK = AB
⇒ BK = 1.
Tam giác BCK vuông tại K, có CK =
√
BC
2
− BK
2
=
√
2
2
− 1
2
=
√
3. Suy ra diện tích hình thang
ABCD là S
ABCD
= CK ·
AB + CD
2
=
√
3 ·
4 + 6
2
= 5
√
3.
Gọi N, P, Q lần lượt là giao điểm của P và các cạnh SB, SC, SD. Vì (P ) k (ABCD) nên theo định lí Talet,
ta có
MN
AB
=
NP
BC
=
P Q
CD
=
QM
AD
=
1
3
.
Khi đó (P ) cắt hình chóp theo thiết diện MNP Q có diện tích S
MN P Q
= k
2
· S
ABCD
=
5
√
3
9
.
Chọn đáp án A
Câu 117. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành có tâm O, AB = 8, SA = SB = 6.
Gọi (P ) là mặt phẳng qua O và song song với (SAB) . Thiết diện của (P ) và hình chóp S.ABCD có diện
tích bằng
A. 5
√
5. B. 6
√
5. C. 12. D. 13.
-Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 142 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Qua O kẻ đường thẳng d song song AB và cắt BC, AD lần lượt tại
P, Q. Kẻ P N song song với SB (N ∈ SB), kẻ QM song song với
SA (M ∈ SA) . Khi đó (MNP Q) k (SAB) ⇒ thiết diện của (P )
và hình chóp S.ABCD là tứ giác MNP Q.
Vì P, Q là trung điểm của BC, AD suy ra N, M lần lượt là
trung điểm của SC, SD. Do đó M N là đường trung bình tam
giác SCD ⇒ MN =
CD
2
=
AB
2
= 4. Và N P =
SB
2
= 3;
QM =
SA
2
= 3 ⇒ NP = QM ⇒ MN P Q là hình thang cân.
S
N
C
P
D
Q
B
A
M
Hạ NH, MK vuông góc với P Q. Ta có P H = KQ ⇒ P H =
1
2
(P Q − MN) = 2.
Tam giác P HN vuông, có NH =
√
5.
Vậy diện tích hình thang MNP Q là S
MN P Q
= NH ·
P Q + NM
2
= 6
√
5.
Chọn đáp án B
Câu 118. Cho hình lăng trụ ABC.A
0
B
0
C
0
. Gọi H là trung điểm của A
0
B
0
. Đường thẳng B
0
C song song
với mặt phẳng nào sau đây?
A. (AHC
0
). B. (AA
0
H). C. (HAB). D. (HA
0
C).
-Lời giải.
Gọi M là trung điểm của AB suy ra MB
0
k AH
⇒ MB
0
k (AHC
0
) . (1)
Vì MH là đường trung bình của hình bình hành ABB
0
A
0
suy ra M H
song song và bằng BB
0
nên MH song song và bằng CC
0
⇒ MHC
0
C là hình hình hành ⇒ MC k HC
0
⇒ MC k (AHC
0
) . (2)
Từ (1) và (2), suy ra (B
0
MC) k (AHC
0
) ⇒ B
0
C k (AHC
0
) .
A C
M
A
0
H
B
0
B
C
0
Chọn đáp án A
Câu 119. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.
A. Nếu hai mặt phẳng (α) và(β) song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong (α) đều song song
với (β).
B. Nếu hai mặt phẳng (α) và (β) song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong (α) đều song song
với mọi đường thẳng nằm trong (β).
C. Nếu hai đường thẳng song song với nhau lần lượt nằm trong hai mặt phẳng phân biệt (α) và(β) thì
(α) và (β) song song với nhau.
D. Qua một điểm nằm ngoài mặt phẳng cho trước ta vẽ được một và chỉ một đường thẳng song song với
mặt phẳng cho trước đó.
-Lời giải.
Đáp án B, C sai. Hai đường thẳng lần lượt nằm trên hai mặt phẳng song song với nhau thì có thể chéo
nhau.
Đáp án D sai vì qua một điểm nằm ngoài mặt phẳng cho trước ta vẽ được vô số đường thẳng song song với
mặt phẳng cho trước đó.
Chọn đáp án A
Câu 120. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm các cạnh AC, BD, AB, CD,
AD, BC. Bốn điểm nào sau đây không đồng phẳng?
A. P, Q, R, S. B. M, P, R, S. C. M, R, S, N. D. M, N, P, Q.
-Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 143 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Dễ thấy (MP R) k (BCD) , mà S ∈ (BCD) ⇔ S /∈ (MP R) .
Vậy M, P, R, S không đồng phẳng.
A
R
D
C
N
S
B
P
M
Q
Chọn đáp án B
Câu 121. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng?
A. Nếu (α) k (β) và a ⊂ (α) , b ⊂ (β) thì a k b. B. Nếu a k (α) và b k (β) thì a k b.
C. Nếu (α) k (β) và a ⊂ (α) thì a k (β). D. Nếu a k b và a ⊂ (α) , b ⊂ (β) thì (α) k (β).
Câu 122. Trong không gian, cho hai mặt phẳng phân biệt (α) và (β) . Có bao nhiêu vị trí tương đối giữa
(α) và (β)?
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
-Lời giải.
Trong không gian hai mặt phẳng phân biệt (α) và (β) có hai vị trí tương đối là: cắt nhau hay song song.
Chọn đáp án B
Câu 123. Cho tứ diện đều SABC. Gọi I là trung điểm của đoạn AB, M là điểm di động trên đoạn AI.
Qua M vẽ mặt phẳng (α) song song với (SIC) . Thiết diện tạo bởi (α) với tứ diện SABC là
A. Tam giác cân tại M. B. Tam giác đều. C. Hình bình hành. D. Hình thoi.
-Lời giải.
Gọi N, P lần lượt nằm trên các cạnh SA, AC sao cho
®
MN k SI
MP k IC
.
⇔ (MP N) k (SIC) ⇔ (MN P ) ≡ (α).
Vậy thiết diện là tam giác M NP .
Tứ diện SABC đều nên tam giác SIC cân tại I.
Ngoài ra ta có
AM
AI
=
MP
IP
=
MN
MP
⇔ MN = MP .
Suy ra tam giác MNP cân tại M.
S
P C
B
A
M
I
N
Chọn đáp án A
Câu 124. Cho tứ diện đều SABC cạnh bằng a. Gọi I là trung điểm của đoạn AB, M là điểm di động trên
đoạn AI. Qua M vẽ mặt phẳng (α) song song với (SIC) . Tính chu vi của thiết diện tạo bởi (α) với tứ diện
SABC, biết AM = x.
A. x
Ä
1 +
√
3
ä
. B. 2x
Ä
1 +
√
3
ä
. C. 3x
Ä
1 +
√
3
ä
. D. Không tính được.
-Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 144 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Để ý hai tam giác MN P và SIC đồng dạng với tỉ số
AM
AI
=
2x
a
⇒
C
MN P
C
SIC
=
2x
a
⇔ C
MN P
=
2x
a
(SI + IC + SC) =
2x
a
Ç
a
√
3
2
+
a
√
3
2
+ a
å
= 2x
Ä
√
3 + 1
ä
.
S
P C
B
A
M
I
N
Chọn đáp án B
Câu 125. Cho hình bình hành ABCD. Gọi Bx, Cy, Dz là các đường thẳng song song với nhau lần lượt đi
qua B, C, D và nằm về một phía của mặt phẳng (ABCD) đồng thời không nằm trong mặt phẳng (ABCD) .
Một mặt phẳng đi qua A cắt Bx, Cy, Dz lần lượt tại B
0
, C
0
, D
0
với BB
0
= 2, DD
0
= 4. Khi đó độ dài CC
0
bằng bao nhiêu?
A. 3. B. 4. C. 5. D. 6.
-Lời giải.
Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD. Dựng đường thẳng qua
O song song BB
0
và cắt B
0
D
0
tại O
0
.
Theo cách dưng trên, ta có OO
0
là đường trung bình của hình
thang BB
0
D
0
D ⇔ OO
0
=
BB
0
+ DD
0
2
= 3.
Ngoài ra ta có OO
0
là đường trung bình của tam giác ACC
0
⇔ CC
0
= 2OO
0
= 6.
C
0
O
0
B
0
C
A B
O
D
D
0
Chọn đáp án D
Câu 126. Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAB nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi M là
điểm di động trên đoạn AB. Qua M vẽ mặt phẳng (α) song song với (SBC). Thiết diện tạo bởi (α) và hình
chóp S.ABCD là hình gì?
A. Hình tam giác. B. Hình bình hành. C. Hình thang. D. Hình vuông.
-Lời giải.
Lần lượt lấy các điểm N, P, Q thuộc các cạnh CD, SD, SA thỏa MN k
BC, NP k SC, P Q k AD.
Suy ra (α) ≡ (M NP Q) và (α) k (SBC). Theo cách dựng trên thì thiết
diện là hình thang.
CD
N
S
O
B
P
Q
A
M
Chọn đáp án C
Câu 127. Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAB nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi M là
điểm di động trên đoạn AB. Qua M vẽ mặt phẳng (α) song song với (SBC). Gọi N, P, Q lần lượt là giao
của mặt phẳng (α) với các đường thẳng CD, SD, SA. Tập hợp các giao điểm I của hai đường thẳng MQ
và NP là
Th.s Nguyễn Chín Em 145 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
A. Đường thẳng song song với AB. B. Nửa đường thẳng.
C. Đoạn thẳng song song với AB. D. Tập hợp rỗng.
-Lời giải.
Lần lượt lấy các điểm N, P, Q thuộc các cạnh CD, SD, SA thỏa
MN k BC, NP k SC, P Q k AD. Suy ra (α) ≡ (MN P Q) và
(α) k (SBC).
Vì I = MQ ∩ NP ⇔
®
I, S ∈ (SCD)
I, S ∈ (SAB)
⇔ I nằm trên đường
thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).
Khi
®
M ≡ B ⇒ I ≡ S
M ≡ A ⇒ I ≡ T
với T là điểm thỏa mãn tứ giác ABST
là hình bình hành.
CD
N
S
O
Q
I
T
B
P
A
M
Vậy quỹ tích cần tìm là đoạn thẳng song song với AB.
Chọn đáp án C
ĐÁP ÁN
1. C 2. D 3. A 4. B 5. B 6. D 7. D 8. C 9. D 10. D
11. B 12. D 13. A 14. A 15. B 16. C 17. C 18. C 19. C 20. C
21. A 22. A 23. D 24. D 25. B 26. C 27. C 28. B 29. B 30. B
31. A 32. D 33. B 34. B 35. C 36. B 37. D 38. B 39. C 40. D
41. A 42. A 43. D 44. C 45. C 46. A 47. A 48. B 49. B 50. C
51. A 52. D 53. C 54. C 55. C 56. B 57. C 58. B 59. B 60. B
61. D 62. A 63. A 64. B 65. D 66. B 67. A 68. B 69. B 70. A
71. D 72. A 73. D 74. B 75. B 76. C 77. B 78. D 79. B 80. C
81. C 82. A 83. B 84. B 85. C 86. C 87. B 88. D 89. C 90. D
91. A 92. B 93. B 94. D 95. D 96. C 97. D 98. D 99. B 100. D
101. C 102. C 103. C 104. C 105. C 106. A 107. D 108. D 109. B 110. C
111. C 112. B 113. B 114. B 115. A 116. A 117. B 118. A 119. A 120. B
121. C 122. B 123. A 124. B 125. D 126. C 127. C
Th.s Nguyễn Chín Em 146 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
BÀI 4. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG
A TÓM TẮT LÍ THUYẾT
1 ĐỊNH NGHĨA
Định nghĩa 1. Hai mặt phẳng (α) và (β) gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung,
kí hiệu (α) k (β).
Hệ quả 1.
Cho hai mặt phẳng song song (α) và (β). Nếu đường thẳng d
nằm trong (α) thì d k (β).
α
β
d
2 TÍNH CHẤT
Định lí 1.
Nếu mặt phẳng (α) chứa hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng
song song với mặt phẳng (β) thì (α) k (β).
α
β
a
b
M
Định lí 2.
Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước, có một và
chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đã cho.
α
β
A
Hệ quả 2. Nếu đường thẳng d song song với mặt phẳng (α) thì qua d có duy nhất một mặt phẳng
song song với (α).
Hệ quả 3. Hai mặt phẳng phân biệt cùng song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.
Hệ quả 4. Cho điểm A không nằm trên mặt phẳng (α). Mọi đường thẳng đi qua A và song song với
(α) đều nằm trong mặt phẳng qua A và song song với (α).
Định lí 3.
Th.s Nguyễn Chín Em 147 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Cho hai mặt phẳng song song. Nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì
cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến song song với nhau.
a
b
β
α
γ
Hệ quả 5.
Hai mặt phẳng song song chắn trên hai cát tuyến song song những đoạn
thẳng bằng nhau.
A
A
0
B
B
0
a
b
β
α
3 ĐỊNH LÝ TA-LÉT (THALÈS)
Định lí 4.
Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến bất kì
những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.
C
C
0
B
B
0
d
A
A
0
d
0
R
Q
P
4
!
Nếu hai cát tuyến d và d
0
cắt 3 mặt phẳng song song (P ) k (Q) k (R) lần lượt tại các giao điểm
A, B, C và A
0
, B
0
, C
0
thì
AB
A
0
B
0
=
BC
B
0
C
0
=
CA
C
0
A
0
.
4 HÌNH LĂNG TRỤ VÀ HÌNH HỘP
Định nghĩa 2.
Th.s Nguyễn Chín Em 148 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Cho hai mặt phẳng (α) k (α
0
). Trong (α) cho đa giác
lồi A
1
A
2
. . . A
n
. Qua các điểm A
1
, A
2
, . . . , A
n
ta dựng các
đường song song với nhau và cắt (α
0
) tại A
0
1
, A
0
2
, . . . , A
0
n
.
Hình tạo thành bởi hai đa giác A
1
A
2
. . . A
n
, A
0
1
A
0
2
. . . A
0
n
cùng với các hình bình hành A
1
A
2
A
0
2
A
0
1
, A
2
A
3
A
0
3
A
0
2
, . . . ,
A
n
A
1
A
0
1
A
0
n
được gọi là hình lăng trụ và được ký hiệu bởi
A
1
A
2
. . . A
n
.A
0
1
A
0
2
. . . A
0
n
.
Hai đa giác A
1
A
2
. . . A
n
, A
0
1
A
0
2
. . . A
0
n
được gọi là hai
mặt đáy (bằng nhau) của hình lăng trụ.
Các đoạn thẳng A
1
A
0
1
, A
2
A
0
2
,. . . , A
n
A
0
n
gọi là các
cạnh bên của hình lăng trụ.
Các hình bình hành A
1
A
2
A
0
2
A
0
1
, A
2
A
3
A
0
3
A
0
3
,. . . ,
A
n
A
1
A
0
1
A
0
n
gọi là các mặt bên của hình lăng trụ.
Các đỉnh của hai đa giác đáy gọi là các đỉnh của hình
lăng trụ.
A
1
A
0
1
A
2
A
3
A
4
A
5
A
0
2
A
0
3
A
0
4
A
0
5
α
α
0
Tính chất 1.
Các cạnh bên của hình lăng trụ thì song song và bằng nhau.
Các mặt bên của hình lăng trụ đều là hình bình hành.
Hai đáy của hình lăng trụ là hai đa giác bằng nhau.
Người ta gọi tên hình lăng trụ theo đáy của nó như sau:
Lăng trụ tam giác
Lăng trụ tứ giác
Hình hộp
Lăng trụ ngũ giác
Hình lăng trụ có đáy là tam giác gọi là hình lăng trụ tam giác.
Hình lăng trụ có đáy là hình bình hành gọi là hình hộp.
5 HÌNH CHÓP CỤT
Định nghĩa 3. Cho hình chóp S.A
1
A
2
. . . A
n
. Một mặt phẳng (P ) song song với mặt đáy của hình
chóp và không đi qua đỉnh lần lượt cắt các cạnh SA
1
, SA
2
, . . . , SA
n
tại A
0
1
, A
0
2
, . . . , A
0
n
. Hình tạo
thành bởi hai đa giác A
0
1
A
0
2
. . . A
0
n
, A
1
A
2
. . . A
n
và các tứ giác A
1
A
2
A
0
2
A
0
1
, A
2
A
3
A
0
3
A
0
3
,. . . , A
n
A
1
A
0
1
A
0
n
gọi là hình chóp cụt.
Đáy A
1
A
2
. . . A
n
của hình chóp gọi là đáy lớn của hình chóp cụt.
Thiết diện A
0
1
A
0
2
. . . A
0
n
của hình chóp và (P ) gọi là đáy nhỏ của hình chóp cụt.
Ta gọi tên hình chóp cụt theo đa giác đáy của nó (chóp cụt tam giác, tứ giác,. . . ).
Th.s Nguyễn Chín Em 149 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
S
A
0
1
A
0
2
A
0
3
A
0
4
A
0
5
A
1
A
2
A
3
A
4
A
5
P
Tính chất 2.
Hai đáy của hình chóp cụt là hai đa giác có các cạnh tương ứng song song và tỉ lệ giữa các cặp
cạnh tương tứng bằng nhau.
Các mặt bên là hình thang.
Các đường thẳng chứa các cạnh bên đồng quy tại 1 điểm.
B CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. Chứng minh hai mặt phẳng song song
Phương pháp giải:
Để chứng minh hai mặt phẳng song song, ta chứng minh:
Phương pháp 1.
Trên mặt phẳng này có hai đường thẳng cắt nhau cùng
song song với mặt phẳng còn lại.
a ⊂ (α), b ⊂ (α)
a ∩b = M
a k (β), b k (β)
⇒ (α) k (β).
a
b
β
α
Phương pháp 2.
Hai mặt phẳng cùng song song với mặt phẳng thứ
3.
®
(α) 6= (β)
(α) k (γ), (β) k (γ)
⇒ (α) k (β).
β
α
γ
1 CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O, gọi M, N lần lượt là
trung điểm của SA, SD. Chứng minh (OMN ) k (SBC).
-Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 150 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Ta có M, O lần lượt là trung điểm của SA, AC nên OM
là đường trung bình của tam giác SAC ứng với cạnh SC,
do đó OM k SC.
Vậy
®
OM k SC
SC ⊂ (SBC)
⇒ OM k (SBC) (1)
Tương tự, ta có N, O lần lượt là trung điểm của SD, BD
nên N O là đường trung bình của tam giác SBD ứng với
cạnh SB do đó ON k SB.
Vậy
®
ON k SB
SB ⊂ (SBC
⇒ ON k (SBC) (2)
Từ (1) và (2) ta có
OM k (SBC)
ON k (SBC)
OM ∩ ON = O
⇒ (OMN) k (SBC).
S
B C
O
D
A
M N
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một hình bình hành. Gọi A
0
, B
0
, C
0
, D
0
lần lượt là trung
điểm của các cạnh SA, SB, SC, SD. Chứng minh rằng (A
0
C
0
D
0
) k (ABCD).
-Lời giải.
Để chứng minh hai mặt phẳng song song, ta sẽ tìm trên mặt phẳng này 2
đường thẳng cắt nhau và cùng song song với mặt phẳng còn lại.
Dễ thấy
®
A
0
C
0
k AC
A
0
D
0
k AD
⇒
®
A
0
C
0
k (ABCD)
A
0
D
0
k (ABCD)
⇒ (A
0
C
0
D
0
) k (ABCD).
A
B
A
0
C
D
C
0
D
0
S
Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là
trung điểm của SA và CD.
Chứng minh hai mặt phẳng (MN O) và (SBC) song song.
-Lời giải.
Ta có M là trung điểm SA, O là trung điểm AC
⇒ MO là đường trung bình 4SAC
⇒ MO k SC.
Tương tự ON k BC.
Do đó (OMN) k (SBC).
S
B C
O
D
N
A
M
Dạng 2. Tìm giao tuyến của mặt phẳng (α) với mặt phẳng (β) biết (α) qua điểm A; song
song với mặt phẳng (γ)
Phương pháp giải:
Th.s Nguyễn Chín Em 151 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Sử dụng tính chất
(α) k (β)
(γ) ∩ (α) = a
(γ) ∩ (β) = b
⇒ a k b
1 CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành tâm H. Mặt phẳng (P ) đi qua H
và song song với (SAB). Tìm giao tuyến của
1 Mặt phẳng (P ) và mặt phẳng (ABCD).
2 Mặt phẳng (P ) và mặt phẳng (SBC).
-Lời giải.
A
S
F
B
E
K
C
D
H
1 Giao tuyến của mặt phẳng (P ) và mặt phẳng (ABCD).
(P ) k (SAB)
(ABCD) ∩(SAB) = AB
(P ) ∩ (ABCD) = H
⇔ (P ) ∩ (ABCD) = EF với
EF qua H
EF k AB
E ∈ BC, F ∈ AD
.
2
Giao tuyến của mặt phẳng (P ) và mặt phẳng (SBC).
(P ) k (SAB)
(SBC) ∩(SAB) = SB
(P ) ∩ (SBC) = E
⇔ (P ) ∩ (ABCD) = EK với
®
EK ∩ SC = K
EK k SB
.
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là điểm bất kỳ trên AB.
Gọi (α) là măt phẳng qua M và song song với (SBC). Tìm giao tuyến của (α) với cắt mặt của hình
chóp.
-Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 152 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
M
Q
A
S
P
B
C
D
N
Ta có:
(α) k (SBC)
(SBC) ∩(ABCD) = BC
(α) ∩ (ABCD) = M
⇔ (α) ∩ (ABCD) = MN với
®
MN ∩ CD = N
MN k BC
.
(α) k (SBC)
(SBC) ∩(SCD) = SC
(α) ∩ (SCD) = N
⇔ (α) ∩ (SCD) = NP với
®
NP ∩ SD = P
NP k SC
.
(α) k (SBC)
(SBC) ∩(SAB) = SB
(α) ∩ (SAB) = M
⇔ (α) ∩ (SAB) = MQ với
®
MQ ∩ SA = Q
MQ k BC
.
Suy ra, (P ) ∩ (SAD) = P Q.
Ví dụ 3. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh
AB, AD, A
0
D
0
. Xác định giao tuyến của (MNP ) và các mặt (A
0
B
0
C
0
D
0
), (AA
0
B
0
B).
-Lời giải.
A
B
B
0
A
0
M
Q
D
D
0
N
C
C
0
P
Ta có:
M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AD, A
0
D
0
.
Suy ra
®
MN k BD k B
0
D
0
NP k AA
0
k DD
0
⇒ (MN P ) k (BDD
0
B
0
).
Th.s Nguyễn Chín Em 153 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Khi đó
(MNP ) k (BDD
0
B
0
)
(BDD
0
B
0
) ∩(A
0
B
0
C
0
D
0
) = B
0
D
0
(MNP ) ∩ (A
0
B
0
C
0
D) = P
⇔ (MN P ) ∩ (A
0
B
0
C
0
D
0
) = P Q với
®
P Q ∩ A
0
B
0
= Q
P Q k B
0
D
0
.
Suy ra (MN P ) ∩ (ABB
0
A
0
) = MQ.
Ví dụ 4. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A
0
B
0
C
0
. Xác định giao tuyến của mặt phẳng (H, d) và
mặt phẳng (ABC) trong đó H là trung điểm A
0
B
0
, d là giao tuyến của hai mặt phẳng (AB
0
C
0
) và
mặt phẳng (A
0
BC).
-Lời giải.
M
A
C
F
B
B
0
N
A
0
H
E
C
0
Ta có AB
0
∩ A
0
B = M, AC
0
∩ A
0
C = N. Khi đó (AB
0
C
0
) ∩(A
0
BC) = MN = d.
Vậy (H, d) = (HMN ).
Ta có
®
HM k BB
0
MN k B
0
C
0
⇒ (HNM) k (BB
0
C
0
C).
Kẻ HM cắt AB tại E. Khi đó:
(HMN) k (BB
0
C
0
C)
(BB
0
C
0
C) ∩(ABC) = BC
(HMN) ∩ (ABC) = E
⇔ (HMN) ∩ (ABC) = EF với
®
EF ∩ AC = F
EF k B
0
C
0
k BC
.
Dạng 3. Xác định thiết diện cắt bởi mặt phẳng song song với một mặt phẳng cho trước
Phương pháp giải:
Trong không gian cho hình chóp hoặc lăng trụ S. Xác định thiết diện của chóp cắt bởi mặt phẳng (α)
đi qua điểm I cho trước và song song với một mặt phẳng (β) cho trước.
Ta đi xác định đường thẳng d ⊂ (β).
Vì (α) k (β) nên (α) k d. Do đó (α) giao với mặt phẳng chứa d theo giao tuyến a k d.
Suy ra (α) = (I, a)
Ta tìm các đoạn giao tuyến của mặt phẳng (I, a) với các mặt của chóp hoặc lăng trụ S.
1 CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O có AC = a, BD = b. Tam giác
SBD là tam giác đều. Một mặt phẳng (α) di động song song với mặt phẳng (SBD) và đi qua điểm
I trên đoạn AC.
1 Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (α).
2 Tính diện tích thiết diện theo a, b và x = AI.
-Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 154 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
M
K
H
P
L
N
S
B C
D
A
I
1 Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (α).
TH1: I ∈ OA. Ta có
(α) k (SBD)
(ABD) ∩(SBD) = BD
I ∈ (α) ∩ (ABD)
⇒ (α) ∩ (ABD) = MN .
với MN qua I và MN k BD.
Tương tự (α) cắt (SAB) theo đoạn giao tuyến MP song song với SB, cắt (SAD) theo đoạn giao
tuyến NP k SD.
Thiết diện là tam giác đều M NP (vì đồng dạng với tam giác đều SBD)
TH2: I ∈ OC. Ta có thiết diện là tam giác đều HKL có các cạnh tương ứng song song với cạnh tam
giác SBD.
TH3: I = O, thiết diện là tam giác SBD
2 Tính diện tích thiết diện theo a, b và x = AI.
Ta có S
4BCD
=
b
2
√
3
4
.
TH1: I ∈ OA ⇔ 0 < x <
a
2
S
4MN P
S
4BCD
=
Å
MN
BD
ã
2
. Do MN k BD, ta có
MN
BD
=
AI
AO
=
2x
a
.
Suy ra S
4MN P
=
b
2
x
2
√
3
a
2
TH2: I ∈ OC ⇔
a
2
< x < a
S
4HKL
S
4BCD
=
Å
HL
BD
ã
2
. Do HL k BD, ta có
HL
BD
=
CI
CO
=
2(a −x)
a
.
Suy ra S
4MN P
=
b
2
(a −x)
2
√
3
a
2
TH3: I = O, thiết diện là tam giác SBD có S =
b
2
√
3
4
Ví dụ 2. Cho hình hộp ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
. Hai điểm M, N lần lượt nằm trên hai cạnh AD, CC
0
sao
cho
AM
MD
=
CN
NC
0
. Xác định thiết diện của hình hộp cắt bởi mặt phẳng qua MN và song song với
(ACB
0
)
-Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 155 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Gọi I là điểm trên AA
0
sao cho
AI
IA
0
=
AM
MD
suy ra IM k A
0
D suy ra
IM k CB
0
Ta lại có
AI
IA
0
=
CN
NC
0
suy ra IN k AC suy ra (MNI) k (ACB
0
), do đó
MN k (ACB
0
)
Qua M kẻ M E k AC; qua N kẻ NF k B
0
C
0
, qua F kẻ F K k A
0
C
0
. Đa
giác MEN F KI là thiết diện cần tìm.
A
0
I
A
D
0
M
D C
E
K
B
0
C
0
F
N
B
C BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi G
1
, G
2
, G
3
lần lượt là trọng tâm các
tam giác SAB, ABC, SBD. Gọi M là một điểm thuộc đường thẳng G
2
G
3
. Chứng minh G
1
M k (SBC).
-Lời giải.
A
B C
D
S
O
G
1
G
2
G
3
N
M
Gọi O là tâm hình bình hành ABCD và N là trung điểm AB, suy ra G
1
∈ SN , G
2
∈ CM, G
3
∈ SO.
Do G
1
, G
2
lần lượt là trọng tâm tam giác SAB, ABC nên ta có:
NG
1
MS
=
1
3
NG
2
MC
=
1
3
⇒ G
1
G
2
k SC (Định lý Ta-lét trong ∆N SC)
⇒ G
1
G
2
k (SBC).
Do G
2
, G
3
lần lượt là trọng tâm tam giác ABC, SBD nên ta có:
OG
2
OB
=
1
3
OG
3
OS
=
1
3
⇒ G
2
G
3
k SB (Định lý Ta-lét trong ∆SOB).
⇒ G
2
G
3
k (SBC).
Ta đã có:
®
G
1
G
2
k (SBC)
G
2
G
3
k (SBC)
⇒ (G
1
G
2
G
3
) k (SBC)
Mà G
1
M ⊂ (G
1
G
2
G
3
) ⇒ G
1
M k (SBC).
Th.s Nguyễn Chín Em 156 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA
và CD.
1 Chứng minh hai mặt phẳng (OMN) và (SBC) song song với nhau.
2 Gọi I là trung điểm của SD, J là một điểm trên (ABCD) và cách đều AB, CD. Chứng minh IJ song
song với (SAB).
3 Giả sử hai tam giác SAD, ABC cân tại A. Gọi AE và AF lần lượt là các đường phân giác trong của
tam giác ACD và SAB. Chứng minh EF song song với (SAD).
-Lời giải.
1 Chứng minh (OMN) k (SBC).
Do ON, OM theo thứ tự là đường trung bình của các
tam giác BCD và SAC nên OM k BC, ON k SC.
Hơn nữa, ON, OM không chứa trong (SBC). Do đó
ON k (SBC), OM k (SBC).
Mặt khác, OM ∩ ON = O nên (OMN) k (SBC).
2 Chứng minh IJ k (SAB).
Trong mặt phẳng (ABCD), O và J cách đều hai đường
thẳng song song AB và CD nên OJ k AB k CD.
Hơn nữa, OJ không chứa trong (SAB). Do đó, OJ k
(SAB).
M
B
D
N
J
O
C
A
S
I
Mặt khác, OI là đường trung bình trong tam giác SBD nên OI k SB. Do đó, OJ k (SAB).
Mặt phẳng (OIJ) chứa hai đường thẳng cắt nhau và cùng song song với (SAB) nên (OIJ) k (SAB).
Hơn nữa, IJ ⊂ (OIJ). Vì vậy, IJ k (SAB).
3 Chứng minh EF k (SAD). Theo tính chất đường phân giác ta
có
ES
EB
= −
AS
AB
và
F D
F C
= −
AD
AC
. (?)
Mặt khác, các tam giác SAD và ABC cân tại A nên
AS = AD và AB = AC. (??)
Từ (?) và (??) suy ra
ES
EB
=
F D
F C
.
Suy ra EF , SD, BC cùng song song với một mặt phẳng.
Do SD ⊂ (SAD), BC k AD nên BC k (SAD).
Vậy EF k (SAD).
E
B
D
F
O
C
A
S
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình thang có AB k CD và AB = 2CD, I là giao điểm
của AC và BD. Gọi M là trung điểm của SD, E là trung điểm đoạn CM và G là điểm đối xứng của E qua
M, SE cắt CD tại K. Chứng minh (IKE) k (ADG).
-Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 157 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Do CE = ME = MG nên
CE =
1
3
CG. (1)
Mặt khác
(
‘
BAI =
’
DCI, (so le trong),
‘
AIB =
’
CID, (đối đỉnh).
Do đó 4ABI v 4CDI, (g-g). Khi đó
CI
IA
=
CD
AB
=
1
2
hay
CI
CA
=
1
3
. (2)
Từ (1) và (2) suy ra
EI k GA. (?)
C DK
B
M
E
A
S
G
I
Hơn nữa, tứ giác SGDE có SM = MD và EM = MG, nên tứ giác SGDE là hình bình hành. Do đó
SE k GD hay EK k GD. (??)
Từ (?) và (??) suy ra (IEK) k (ADG).
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của
SA, SD và SB.
1 Chứng minh rằng (M NP ) k (ABCD).
2 Chứng minh rằng (OMN ) k (SBC).
-Lời giải.
A
M
B C
P
D
N
D
O
S
1 Chứng minh (MN P ) k (ABCD).
Ta có
®
MN k AD, (do MN là đường trung bình của 4SAD)
AD ⊂ (ABCD).
Suy ra MN k (ABCD).
Ta lại có
®
NP k AB, (do NP là đường trung bình của 4SAB)
AB ⊂ (ABCD).
Suy ra NP k (ABCD).
Mặt khác, MN, NP ⊂ (ABCD).
Vậy (MNP ) k (ABCD).
Th.s Nguyễn Chín Em 158 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
2 Chứng minh (OMN) k (SBC).
Ta có MN k AD, (MN là đường trung bình của ∆SAD) và AD k BC, (do ABCD là hình bình hành)
nên MN k BC.
Mà BC ⊂ (SBC) nên MN k (SBC).
Ta lại có OM k SC, (do OM là đường trung bình của ∆SAC).
Mà SC ⊂ (SBC) nên OM k (SBC).
Mặt khác (MN, OM ⊂ (OMN ).
Vậy (OM N) k (SBC).
Bài 5. Cho tứ diện ABCD gọi M, N lần lượt là trung điểm cạnh AB và CD, E là điểm chia BC theo tỉ
số
BE
BC
=
2
1
. Trên đoạn thẳng AM lấy điểm H. Tìm giao tuyến của mặt phẳng (P ) đi qua H và song song
với mặt phẳng (MNE). Tìm giao tuyến của
1 Mặt phẳng (P ) và mặt phẳng (BCD).
2 Mặt phẳng (P ) và mặt phẳng (ABD).
-Lời giải.
A
B
M
H
D
F
G
C
E
K
N
L
1 Giao tuyến của mặt phẳng (P ) và mặt phẳng (BCD).
Ta có:
(P ) k (M NE)
(MNE) ∩ (ABC) = ME
(P ) ∩ (ABC) = H
⇔ (P ) ∩ (ABC) = HK với
®
HK ∩BC = K
HK k M E
.
Khi đó:
(P ) k (M NE)
(MNE) ∩ (BCD) = EN
(P ) ∩ (BCD) = K
⇔ (P ) ∩ (BCD) = KL với
®
KL ∩CD = L
KL k EN
.
2 Giao tuyến của mặt phẳng (P ) và mặt phẳng (ABD).
Ta có :
®
EN k BD
M ∈ (MN E) ∩(SBD)
⇒ (MN E) ∩(SBD) = MF với
®
MF ∩ AD = F
MF k BD
Khi đó:
(P ) k (M NE)
(MNE) ∩ (ABD) = MF
(P ) ∩ (ABD) = H
⇔ (P ) ∩ (ABD) = HG với
®
HG ∩ AD = G
HG k MF
.
Bài 6. Cho hình chóp S.ABC, lấy điểm O thuộc miền trong tam giác ABC, điểm I thuộc đoạn SO. Gọi
(α) là mặt phẳng qua I và song song với (SBC). Tìm giao tuyến của
Th.s Nguyễn Chín Em 159 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
1 Mặt phẳng (α) và mặt phẳng (ABC).
2 Mặt phẳng (α) và mặt phẳng (SAC).
-Lời giải.
S
O
I
A
G
E
M
C
F
B
J
1 Tìm giao tuyến của mặt phẳng (IEF ) và mặt phẳng (ABC).
Gọi MF = AO ∩ BC.
Ta có:
(α) k (SBC)
(SAM ) ∩ (SBC) = SM
(α) ∩ (SAM) = I
⇔ (α) ∩ (SAM) = Ix với
®
Ix ∩ SA = G
Ix ∩ AM = J Ix k SM
.
Do đó,
(α) k (SBC)
(ABC) ∩ (SBC) = SM
(α) ∩ (ABC) = J
⇔ (α) ∩ (ABC) = EF với
EF qua J
E ∈ AB, F ∈ AC
EF k SM
.
2 Tìm giao tuyến của mặt phẳng (IEF ) và mặt phẳng (SAC).
Ta có:
(α) k (SBC)
(SAB) ∩(SBC) = SB
(α) ∩ (SAB) = E
⇔ (α) ∩ (SAB) = EG với
®
G ∈ SA
EG k SB
.
Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Gọi M , N, E lần lượt là trung điểm của
các cạnh AB, AD, SC. Trên đoạn AM lấy điểm K. Mặt phẳng qua K song song với MNE cắt SB, AD
lần lượt tại P , Q. Tìm giao tuyến của mặt phẳng (KP Q) và mặt phẳng (SAD).
-Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 160 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
S
O
MK
x
D
J
A
E
C
B
P
F
N
Q
I
R
Gọi O là tâm hình bình hành ABCD.
Suy ra (SBD) ∩(SAC) = SO.
Gọi I = MN ∩ AC; J = AI ∩ SO.
(MNE) ∩ (SBD) = I
MN k BD
MN ⊂ (MN E)
BD ⊂ (SBD)
⇒
®
(MNE) ∩ (SBD) = Jx
Jx k BD
.
Gọi F = Jx ∩ SB, (α) là mặt phẳng qua K và song song với (MNE).
(α) ∩ (SAB) = K
(α) k (MN E)
(MNE) ∩ (SAB) = MF
⇒ (α) ∩ (SAB) = KP k MF với P ∈ SB.
Tương tự ta có (α) ∩ (ABCD) = KQ k MN với Q ∈ AD.
Ta có: KQ ∩ SA = R ⇒ (KP Q) ∩(SAD) = QR.
Bài 8. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O có AC = a, BD = b. Tam giác SBD là tam
giác đều. Một mặt phẳng (α) song song với mặt phẳng (SBD) và qua điểm I trên đoạn AO.
1 Tìm giao tuyến của mặt phẳng (α) với các mặt phẳng (SAB), (SAD), (ABCD).
2 Tính diện tích hình phẳng được tạo bởi các giao tuyến đó.
-Lời giải.
S
A
P
D
B
O
C
I
M
N
1 Tìm giao tuyến của mặt phẳng (α) với các mặt phẳng (SAB), (SAD), (ABCD).
Ta có I ∈ OA thì:
Th.s Nguyễn Chín Em 161 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
(α) k (SBD)
(ABCD) ∩(SBD) = BD
I ∈ (α) ∩ (ABCD)
⇔ (α) ∩ (ABCD) = MN với
®
MN qua I
MN k BD
với M ∈ AB, N ∈ AD.
Tương tự α cắt SAB theo giao tuyến M P k SB và cắt (SAD) theo giao tuyến NP k SD với P ∈ SA.
2 Tính diện tích hình phẳng được tạo bởi các giao tuyến đó.
Ta có tam giác M NP là tam giác đều vì đồng dạng với tam giác đều SBD.
Ta có S
SBD
=
BD
2
√
3
4
=
b
2
√
3
4
I ∈ OA ⇔ 0 < x <
a
2
.
Khi đó
S
MN P
S
BCD
=
Å
MN
BD
ã
2
.
Do MN k BD, ta có:
MN
BD
=
AI
AO
=
2x
a
⇒ S
MN P
=
b
2
√
3
4
Å
2x
a
ã
2
=
b
2
x
2
√
3
a
2
.
Bài 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD có AD k BC, AD = 2BC. Gọi E là trung
điểm AD và O giao điểm của AC và BE; I là một điểm di động trên cạnh AC khác A cà C. Qua I vẽ mặt
phẳng (α) song song với (SBE). Tìm thiết diện tạo bởi (α) và hình chóp S.ABCD.
-Lời giải.
HD: TH1: I ∈ OA, (α) k (SBE) nên (α) k BE và (α) k SO, suy ra (α) cắt (ABE) theo giao tuyến
MN k BE, MN qua I, và (α) cắt (SAC) theo giao tuyến EI k SO, EI qua I. Thiết diện là tam giác
EM N.
TH2: I ∈ OC, thiết diện là hình thang HKLP (HK k LP k BE k CD)
TH3: I = O thiết diện là tam giác SBE.
Bài 10. Cho hình hộp ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
. Gọi O là tâm hình bình hành ABCD; K là trung điểm C
0
D
0
; E
là trung điểm của B
0
O. Xác định thiết diện của hình hộp khi cắt bởi mặt phẳng (P ) qua điểm K và song
song mặt phẳng (EA
0
C
0
).
-Lời giải.
HD: Ta có BOO
0
B
0
là hình bình hành, do đó E = BO
0
∩ B
0
O, suy ra (EA
0
C
0
) = (BA
0
C
0
). Mặt phẳng (P )
qua K song song với BA
0
C
0
. Từ K kẻ đường thẳng song song với A
0
C
0
cắt A
0
D
0
, C
0
B
0
, A
0
B
0
lần lượt tại
M, N, P . Từ P kẻ đường thẳng song song A
0
B cắt AA
0
, AB, BB
0
lần lượt tại I, J, Q. Nối Q và N cắt BC
tại S, cắt CC
0
tại R. Thiết diện là lục giác KM IJSR có các cạnh đối song song với nhau.
Bài 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, đáy lớn AB = 3a, AD = CD = a. Mặt bên (SAB)
là tam giác cân đỉnh S với SA = 2a, gọi M là điểm thuộc cạnh AD. Mặt phẳng (α) đi qua M và song song
với (SAB). Xác định thiết diện của chóp với mặt phẳng (α). Thiết diện là hình gì?
-Lời giải.
HD: Qua M kẻ MN k AB, từ N kẻ NP k SB, từ M kẻ MQ k SA. Thiết diện là hình thang cân MNP Q.
Bài 12. Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm của tam giác BCD. Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng
AG. Thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng đi qua O và song song với mặt phẳng (ABC) là tam giác
MNP . Gọi S
1
, S
2
lần lượt là diện tích của hai tam giác MNP và ABC. Tính tỉ số
S
1
S
2
.
-Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 162 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
HD: Ta có MN =
5
6
BC nên
S
1
S
2
=
25
36
.
A
B
C
D
G
O
I
J
P
N
M
Bài 13. Cho hình chóp S.ABC có M là điểm di động trên cạnh SA sao cho
SM
SA
= k, với 0 < k < 1, k ∈ R.
Gọi (α) là mặt phẳng đi qua M và song song với mặt phẳng (ABC). Tìm k để mặt phẳng (α) cắt cắt hình
chóp theo một thiết diện có diện tích bằng nửa diện tích của tam giác ABC.
-Lời giải.
Thiết diện là tam giác MN P .
Ta có:
S
MN P
S
ABC
=
MN
AB
MP
AC
= k
2
=
1
2
.
Vậy k =
√
2
2
.
S
A
B
C
M
N
P
D CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Hai mặt phẳng không cắt nhau thì song song.
B. Hai mặt phẳng cùng song song với một đường thẳng thì cắt nhau.
C. Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có duy nhất một mặt phẳng song song với mặt
phẳng đó.
D. Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có vô số mặt phẳng song song với mặt phẳng đó.
-Lời giải.
Trong không gian, hai mặt phẳng có 3 vị trí tương đối: trùng nhau, cắt nhau,
song song với nhau. Vì vậy, 2 mặt phẳng không cắt nhau thì có thể song song
hoặc trùng nhau ⇒A là mệnh đề sai.
Hai mặt phẳng cùng song song với một đường thẳng thì chúng có thể song
song với nhau (hình vẽ) ⇒ B là mệnh đề sai.
Ta có: a k (P ), a k (Q) nhưng (P ) và (Q) vẫn có thể song song với nhau.
Mệnh đề C là tính chất nên C đúng.
a
P
Q
Chọn đáp án C
Câu 2. Trong các điều kiện sau, điều kiện nào kết luận mp (α) k mp (β)?
A. (α) k (γ) và (β) k (γ) ((γ) là mặt phẳng nào đó).
B. (α) k a và (α) k b với a, b là hai đường thẳng phân biệt thuộc (β).
C. (α) k a và (α) k b với a, b là hai đường thẳng phân biệt cùng song song với (β).
D. (α) k a và (α) k b với a, b là hai đường thẳng cắt nhau thuộc(β).
-Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 163 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
a
b
α
β
Hình 1.
a
b
α
β
Hình 2.
Trong trường hợp: (α) k (γ) và (β) k (γ) ((γ) là mặt phẳng nào đó) thì (α) và (β) có thể trùng nhau ⇒
Loại A.
(α) k a và (α) k b với a, b là hai đường thẳng phân biệt thuộc (β) thì (α) và (β) vẫn có thể cắt nhau (hình
1) ⇒ Loại B.
(α) k a và (α) k b với a, b là hai đường thẳng phân biệt cùng song song với (β) thì (α) và (β) vẫn có thể cắt
nhau (hình 2) ⇒ Loại C.
Chọn đáp án D
Câu 3. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Nếu hai mặt phẳng (α) và (β) song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong (α) đều song song
với (β).
B. Nếu hai mặt phẳng (α) và (β) song song với nhau thì bất kì đường thẳng nào nằm trong (α) cũng
song song với bất kì đường thẳng nào nằm trong (β).
C. Nếu hai đường thẳng phân biệt a và b song song lần lượt nằm trong hai mặt phẳng (α) và (β) phân
biệt thì a k (β).
D. Nếu đường thẳng d song song với mp (α) thì nó song song với mọi đường thẳng nằm trong mp (α).
-Lời giải.
a
b
α
β
Hình 1.
b
a
α
β
Hình 2.
d
α
Hình 3.
Nếu hai mặt phẳng (α) và (β) song song với nhau thì hai đường thẳng bất kì lần lượt thuộc (α) và (β) có
thể chéo nhau (Hình 1) ⇒ Loại B. Nếu hai đường thẳng phân biệt a và b song song lần lượt nằm trong hai
mặt phẳng (α) và (β) phân biệt thì hai mặt phẳng (α) và (β) có thể cắt nhau (Hình 2) ⇒ Loại C. Nếu
đường thẳng d song song với mp (α) thì nó có thể chéo nhau với một đường thẳng nào đó nằm trong (α) .
(Hình 3).
Chọn đáp án A
Câu 4. Cho hai mặt phẳng song song (α) và (β), đường thẳng a k (α). Có mấy vị trí tương đối của a và
(β)?
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
-Lời giải.
Trong không gian, giữa đường thẳng và mặt phẳng có 3 vị trí tương đối: đường thẳng cắt mặt phẳng, đường
thẳng song song với mặt phẳng, đường thẳng nằm trên mặt phẳng. a k (α) mà (α) k (β) ⇒ a và (α) không
thể cắt nhau. Vậy còn 2 vị trí tương đối.
Chọn đáp án B
Câu 5. Cho hai mặt phẳng song song (P) và (Q). Hai điểm M, N lần lượt thay đổi trên (P ) và (Q). Gọi I
là trung điểm của MN. Chọn khẳng định đúng.
A. Tập hợp các điểm I là đường thẳng song song và cách đều (P ) và (Q).
Th.s Nguyễn Chín Em 164 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
B. Tập hợp các điểm I là mặt phẳng song song và cách đều (P ) và (Q).
C. Tập hợp các điểm I là một mặt phẳng cắt (P ).
D. Tập hợp các điểm I là một đường thẳng cắt (P ).
-Lời giải.
Ta có: I là trung điểm của MN ⇒ Khoảng cách từ I đến (P ) bằng khoảng
cách từ I đến (Q) ⇒ Tập hợp các điểm I là mặt phẳng song song và cách
đều (P ) và (Q).
Q
P
M
I
N
Chọn đáp án B
Câu 6. Trong các điều kiện sau, điều kiện nào kết luận đường thẳng a song song với mặt phẳng (P )?
A. a k b và b ⊂ (P ). B. a k b và b k (P ).
C. a k (Q) và (Q) k (P ). D. a ⊂ (Q) và b ⊂ (P ).
-Lời giải.
Ta có: a k b và b ⊂ (P ) suy ra a k (P ) hoặc a ⊂ (P ) ⇒ Loại A. a k b và b k (P ) suy ra a k (P ) hoặc
a ⊂ (P ) ⇒ Loại B. a k (Q) và (Q) k (P ) suy ra a k (P ) hoặc a ⊂ (P) ⇒ Loại C.
Chọn đáp án D
Câu 7. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Nếu (α) k (β) và a ⊂ (α) , b ⊂ (β) thì a k b.
B. Nếu (α) k (β) và a ⊂ (α) , b ⊂ (β) thì a và b chéo nhau.
C. Nếu a k b và a ⊂ (α) , b ⊂ (β) thì (α) k (β).
D. Nếu (γ) ∩ (α) = a, (γ) ∩ (β) = b và (α) k (β) thì a k b.
-Lời giải.
Nếu (α) k (β) và a ⊂ (α) , b ⊂ (β) thì a k b hoặc a chéo b ⇒ A, B sai. Nếu a k b và a ⊂ (α) , b ⊂ (β) thì
(α) k (β) hoặc (α) và (β) cắt nhau theo giao tuyến song song với a và b.
Chọn đáp án D
Câu 8. Cho đường thẳng a ⊂ (P ) và đường thẳng b ⊂ (Q). Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. (P ) k (Q) ⇒ a k b. B. a k b ⇒ (P) k (Q).
C. (P ) k (Q) ⇒ a k (Q) và b k (P ). D. a và b chéo nhau.
-Lời giải.
Với đường thẳng a ⊂ (P ) và đường thẳng b ⊂ (Q).
Khi (P ) k (Q) ⇒ a k b hoặc a, b chéo nhau ⇒ A sai.
Khi a k b ⇒ (P) k (Q) hoặc (P ), (Q) cắt nhau theo giao tuyến song song với a và b ⇒ B sai.
a và b có thể chéo nhau, song song hoặc cắt nhau ⇒ D sai.
Chọn đáp án C
Câu 9. Hai đường thẳng a và b nằm trong mp (α) . Hai đường thẳng a
0
và b
0
nằm trong mp (β) . Mệnh đề
nào sau đây đúng?
A. Nếu a k a
0
và b k b
0
thì (α) k (β). B. Nếu (α) k (β) thì a k a
0
và b k b
0
.
C. Nếu a k b và a
0
k b
0
thì (α) k (β). D. Nếu a cắt b và a k a
0
, b k b
0
thì (α) k (β).
-Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 165 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
a
0
b
a
b
0
∆
α
β
Hình 1.
a
a
0
α
β
Hình 2.
Nếu a k a
0
và b k b
0
thì (α) k (β) hoặc (α) cắt (β) (Hình 1) ⇒ A sai. Nếu (α) k (β) thì a k a
0
hoặc a, a
0
chéo
nhau (Hình 2) ⇒ B sai.
Nếu a k b và a
0
k b
0
thì (α) k (β) hoặc (α) cắt CC
0
. (Hình 1) ⇒ C sai.
Chọn đáp án D
Câu 10. Cho hai mặt phẳng (P ) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến ∆. Hai đường thẳng p và q lần lượt nằm
trong (P ) và (Q). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. p và q cắt nhau. B. p và q chéo nhau.
C. p và q song song. D. Cả ba mệnh đề trên đều sai.
-Lời giải.
Ta có p và q có thể cắt nhau, song song, chéo nhau (hình vẽ).
q
p
∆
q
p
∆
q
p
∆
Chọn đáp án D
Câu 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, I theo thứ tự là
trung điểm của SA, SD và AB. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. (N OM) cắt (OP M ). B. (M ON) k (SBC).
C. (P ON) ∩(MN P ) = NP . D. (NM P ) k (SBD).
-Lời giải.
Ta có MN là đường trung bình của tam giác SAD suy ra MN k AD
(1).
Và OP là đường trung bình của tam giác BAD suy ra OP k AD (2).
Từ (1), (2) suy ra M N k OP k AD ⇒ M, N, O, P đồng phẳng.
Lại có MP k SB, OP k BC suy ra (MNOP ) k (SBC) hay (M ON) k
(SBC) .
S
D C
O
B
M
P
N
A
Chọn đáp án B
Câu 12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Tam giác SBD đều. Một mặt
phẳng (P ) song song với (SBD) và qua điểm I thuộc cạnh AC (không trùng với A hoặc C). Thiết diện của
(P ) và hình chóp là hình gì?
A. Hình hình hành. B. Tam giác cân. C. Tam giác vuông. D. Tam giác đều.
-Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 166 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Gọi MN là đoạn thẳng giao tuyến của mặt phẳng (P ) và mặt đáy
(ABCD) . Vì (P ) k (SBD) , (P ) ∩ (ABCD) = M N và (SBD) ∩
(ABCD) = MN suy ra MN k BD.
Lập luận tương tự, ta có
(P ) cắt mặt (SAD) theo đoạn giao tuyến NP với NP k SD.
(P ) cắt mặt (SAB) theo đoạn giao tuyến MP với MP k SB.
Vậy tam giác MNP đồng dạng với tam giác SBD nên thiết diện của
(P ) và hình chóp S.ABCD là tam giác đều MNP.
S
O
I
D A
N
B
M
P
C
Chọn đáp án D
Câu 13. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC thỏa mãn AB = AC = 4,
’
BAC = 30
◦
. Mặt phẳng
(P ) song song với (ABC) cắt đoạn SA tại M sao cho SM = 2MA. Diện tích thiết diện của (P ) và hình
chóp S.ABC bằng bao nhiêu?
A.
16
9
. B.
14
9
. C.
25
9
. D. 1.
-Lời giải.
Ta có S
∆ABC
=
1
2
· AB · AC · sin
’
BAC =
1
2
· 4 · 4 · sin 30
0
= 4. Gọi
N, P lần lượt là giao điểm của mặt phẳng (P ) và các cạnh SB, SC. Vì
(P ) k (ABC) nên theoo định lí Talet, ta có
SM
SA
=
SN
SB
=
SP
SC
=
2
3
.
Khi đó (P ) cắt hình chóp S.ABC theo thiết diện là tam giác MN P đồng
dạng với tam giác ABC theo tỉ số k =
2
3
.
Vậy S
∆MN P
= k
2
· S
∆ABC
=
Å
2
3
ã
2
· 4 =
16
9
.
S
A
M
C
N
B
P
Chọn đáp án A
Câu 14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân với cạnh bên BC = 2, hai đáy AB =
6, CD = 4. Mặt phẳng (P ) song song với (ABCD) và cắt cạnh SA tại M sao cho SA = 3SM. Diện tích
thiết diện của (P ) và hình chóp S.ABCD bằng bao nhiêu?
A.
5
√
3
9
. B.
2
√
3
3
. C. 2. D.
7
√
3
9
.
-Lời giải.
S
C
P
D
B
A
M
Q
N
CD
A BH K
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của D, C trên AB.
ABCD là hình thang cân ⇒
®
AH = BK; CD = HK
AH + HK + BK = AB
⇒ BK = 1.
Tam giác BCK vuông tại K, có CK =
√
BC
2
− BK
2
=
√
2
2
− 1
2
=
√
3. Suy ra diện tích hình thang
ABCD là S
ABCD
= CK ·
AB + CD
2
=
√
3 ·
4 + 6
2
= 5
√
3.
Gọi N, P, Q lần lượt là giao điểm của P và các cạnh SB, SC, SD. Vì (P ) k (ABCD) nên theo định lí Talet,
Th.s Nguyễn Chín Em 167 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
ta có
MN
AB
=
NP
BC
=
P Q
CD
=
QM
AD
=
1
3
.
Khi đó (P ) cắt hình chóp theo thiết diện MNP Q có diện tích S
MN P Q
= k
2
· S
ABCD
=
5
√
3
9
.
Chọn đáp án A
Câu 15. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành có tâm O, AB = 8, SA = SB = 6.
Gọi (P ) là mặt phẳng qua O và song song với (SAB) . Thiết diện của (P ) và hình chóp S.ABCD có diện
tích bằng
A. 5
√
5. B. 6
√
5. C. 12. D. 13.
-Lời giải.
Qua O kẻ đường thẳng d song song AB và cắt BC, AD lần lượt tại
P, Q. Kẻ P N song song với SB (N ∈ SB), kẻ QM song song với
SA (M ∈ SA) . Khi đó (MNP Q) k (SAB) ⇒ thiết diện của (P )
và hình chóp S.ABCD là tứ giác MNP Q.
Vì P, Q là trung điểm của BC, AD suy ra N, M lần lượt là
trung điểm của SC, SD. Do đó M N là đường trung bình tam
giác SCD ⇒ MN =
CD
2
=
AB
2
= 4. Và N P =
SB
2
= 3;
QM =
SA
2
= 3 ⇒ NP = QM ⇒ MN P Q là hình thang cân.
S
N
C
P
D
Q
B
A
M
Hạ NH, MK vuông góc với P Q. Ta có P H = KQ ⇒ P H =
1
2
(P Q − MN) = 2.
Tam giác P HN vuông, có NH =
√
5.
Vậy diện tích hình thang MNP Q là S
MN P Q
= NH ·
P Q + NM
2
= 6
√
5.
Chọn đáp án B
Câu 16. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. Hình lăng trụ có các cạnh bên song song và bằng nhau.
B. Hai mặt đáy của hình lăng trụ nằm trên hai mặt phẳng song song.
C. Hai đáy của lăng trụ là hai đa giác đều.
D. Các mặt bên của lăng trụ là các hình bình hành.
-Lời giải.
Xét hình lăng trụ có đáy là một đa giác (tam giác, tứ giác, . . . ), ta thấy rằng hình lăng trụ luôn có các cạnh
bên song song và bằng nhau. Hai mặt đáy của hình lăng trụ nằm trên hai mặt phẳng song song. Hai đáy
của lăng trụ là hai đa giác bằng nhau (tam giác, tứ giác, . . . ). Các mặt bên của lăng trụ là các hình bình
hành vì có hai cạnh là hai cạnh bên của hình lăng trụ, hai cạnh còn lại thuộc hai đáy song song.
Chọn đáp án C
Câu 17. Trong các mệnh đều sau, mệnh đề nào sai?
A. Các cạnh bên của hình lăng trụ bằng nhau và song song với nhau.
B. Các mặt bên của hình lăng trụ là các hình bình hành.
C. Các mặt bên của hình lăng trụ là các hình bình hành bằng nhau.
D. Hai đáy của hình lăng trụ là hai đa giác bằng nhau.
-Lời giải.
Các mặt bên của hình lăng trụ là các hình hình hành, chúng bằng nhau nếu hình lăng trụ có đáy là tam
giác đều.
Chọn đáp án C
Câu 18. Trong các mệnh đều sau, mệnh đề nào đúng?
A. Các cạnh bên của hình chóp cụt đôi một song song.
B. Các cạnh bên của hình chóp cụt là các hình thang.
C. Hai đáy của hình chóp cụt là hai đa giác đồng dạng.
D. Cả 3 mệnh đề trên đều sai.
-Lời giải.
Xét hình chóp cụt có đáy là đa giác (tam giác, tứ giác, . . . ) ta thấy rằng: Các cạnh bên của hình chóp cụt
Th.s Nguyễn Chín Em 168 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
đôi một cắt nhau. Các mặt bên của hình chóp cụt là các hình thang cân. Hai đáy của hình chóp cụt là hai
đa giác đồng dạng.
Chọn đáp án C
Câu 19. Trong các mệnh đều sau, mệnh đề nào sai?
A. Trong hình chóp cụt thì hai đáy là hai đa giác có các cạnh tương ứng song song và các tỉ số các cặp
cạnh tương ứng bằng nhau.
B. Các mặt bên của hình chóp cụt là các hình thang.
C. Các mặt bên của hình chóp cụt là các hình thang cân.
D. Đường thẳng chứa các cạnh bên của hình chóp cụt đồng quy tại một điểm.
-Lời giải.
Với hình chóp cụt, các mặt bên của hình chóp cụt là các hình thang.
Chọn đáp án C
Câu 20. Cho hình lăng trụ ABC.A
0
B
0
C
0
. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BB
0
và CC
0
. Gọi ∆ là giao
tuyến của hai mặt phẳng (AM N) và (A
0
B
0
C
0
) . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. ∆ k AB. B. ∆ k AC. C. ∆ k BC. D. ∆ k AA
0
.
-Lời giải.
Ta có
MN ⊂ (AMN )
B
0
C
0
⊂
A
0
B
0
C
0
MN k B
0
C
0
−→ ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng
(AMN) và (A
0
B
0
C
0
) sẽ song song với MN và B
0
C
0
. Suy ra ∆ k BC.
A
0
C
0
A
B
B
0
C
M
N
∆
Chọn đáp án C
Câu 21. Cho hình lăng trụ ABC.A
0
B
0
C
0
. Gọi H là trung điểm của A
0
B
0
. Đường thẳng B
0
C song song với
mặt phẳng nào sau đây?
A. (AHC
0
). B. (AA
0
H). C. (HAB). D. (HA
0
C).
-Lời giải.
Gọi M là trung điểm của AB suy ra MB
0
k AH
⇒ MB
0
k (AHC
0
) . (1)
Vì MH là đường trung bình của hình bình hành ABB
0
A
0
suy ra M H
song song và bằng BB
0
nên MH song song và bằng CC
0
⇒ MHC
0
C là hình hình hành ⇒ MC k HC
0
⇒ MC k (AHC
0
) . (2)
Từ (1) và (2), suy ra (B
0
MC) k (AHC
0
) ⇒ B
0
C k (AHC
0
) .
A C
M
A
0
H
B
0
B
C
0
Chọn đáp án A
Câu 22. Cho hình lăng trụ ABC.A
0
B
0
C
0
. Gọi H là trung điểm của A
0
B
0
. Mặt phẳng (AHC
0
) song song
với đường thẳng nào sau đây?
A. CB
0
. B. BB
0
. C. BC. D. BA
0
.
-Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 169 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Gọi M là trung điểm của AB suy ra M B
0
k AH ⇒ MB
0
k (AHC
0
) .
(1)
Vì MH là đường trung bình của hình bình hành ABB
0
A
0
suy ra M H
song song và bằng BB
0
nên MH song song và bằng CC
0
⇒ MHC
0
C là hình hình hành ⇒ MC k HC
0
⇒ MC k (AHC
0
) . (2)
Từ (1) và (2), suy ra (B
0
MC) k (AHC
0
) ⇒ B
0
C k (AHC
0
) .
A C
M
A
0
H
B
0
B
C
0
Chọn đáp án A
Câu 23. Cho hình lăng trụ ABC.A
1
B
1
C
1
. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. (ABC) k (A
1
B
1
C
1
). B. AA
1
k (BCC
1
).
C. AB k (A
1
B
1
C
1
). D. AA
1
B
1
B là hình chữ nhật.
-Lời giải.
Vì mặt bên AA
1
B
1
B là hình bình hành, còn nó là hình chữ nhật nếu ABC.A
1
B
1
C
1
là hình lăng trụ đứng.
Chọn đáp án D
Câu 24. Cho hình hộp ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
. Khẳng định nào dưới đây là sai?
A. ABCD là hình bình hành.
B. Các đường thẳng A
0
C, AC
0
, DB
0
, D
0
B đồng quy.
C. (ADD
0
A
0
) k (BCC
0
B
0
).
D. AD
0
CB là hình chữ nhật.
-Lời giải.
Dựa vào hình vẽ và tính chất của hình hộp chữ nhật, ta thấy
rằng:
Hình hộp có đáy ABCD là hình bình hành.
Các đường thẳng A
0
C, AC
0
, DB
0
, D
0
B cắt nhau tại tâm
của AA
0
C
0
C, BDD
0
B
0
.
Hai mặt bên (ADD
0
A
0
) , (BCC
0
B
0
) đối diện và song song
với nhau.
AD
0
và CB là hai đường thẳng chéo nhau suy ra AD
0
CB
không phải là hình chữ nhật.
B C
A
0
D
0
B
0
A D
C
0
Chọn đáp án D
Câu 25. Cho hình hộp ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
có các cạnh bên AA
0
, BB
0
, CC
0
, DD
0
. Khẳng định nào dưới đây
sai?
A. (AA
0
B
0
B) k (DD
0
C
0
C). B. (BA
0
D
0
) k (ADC
0
).
C. A
0
B
0
CD là hình bình hành. D. BB
0
D
0
D là một tứ giác.
-Lời giải.
Dựa vào hình vẽ dưới và tính chất của hình hộp, ta thấy rằng:
Hai mặt bên (AA
0
B
0
B) và (DD
0
C
0
C) đối diện, song song
với nhau.
Hình hộp có hai đáy (ABCD) , (A
0
B
0
C
0
D
0
) là hình bình
hành ⇒ A
0
B
0
= CD và A
0
B
0
k CD suy ra A
0
B
0
CD là
hình hình hành.
BD k B
0
D
0
suy ra B, B
0
, D
0
, D đồng phẳng ⇒ BB
0
D
0
D
là tứ giác.
Mặt phẳng (BA
0
D
0
) chứa đường thẳng CD
0
mà CD
0
cắt
C
0
D suy ra (BA
0
D
0
) không song song với mặt phẳng
(ADC
0
) .
B C
A
0
D
0
B
0
A D
C
0
Th.s Nguyễn Chín Em 170 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Chọn đáp án B
Câu 26. Nếu thiết diện của một lăng trụ tam giác và một mặt phẳng là một đa giác thì đa giác đó có
nhiều nhất mấy cạnh?
A. 3 cạnh. B. 4 cạnh. C. 5 cạnh. D. 6 cạnh.
-Lời giải.
Đa giác thiết diện của một lăng trụ tam giác và một mặt phẳng có nhiều nhất 5 cạnh với các cạnh thuộc
các mặt của hình lăng trụ tam giác.
Chọn đáp án C
Câu 27. Nếu thiết diện của một hình hộp và một mặt phẳng là một đa giác thì đa giác đó có nhiều nhất
mấy cạnh?
A. 4 cạnh. B. 5 cạnh. C. 6 cạnh. D. 7 cạnh.
-Lời giải.
Vì hình hộp là hình lăng trụ có đáy là tứ giác và có 6 mặt nên thiết diện của hình hộp và mặt phẳng bất
kì là một đa giác có nhiều nhất 6 cạnh.
Chọn đáp án C
Câu 28. Cho hình hộp ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
. Gọi I là trung điểm của AB. Mặt phẳng (IB
0
D
0
) cắt hình hộp
theo thiết diện là hình gì?
A. Tam giác. B. Hình thang. C. Hình bình hành. D. Hình chữ nhật.
-Lời giải.
Ta có
B
0
D
0
⊂
IB
0
D
0
BD ⊂ (ABCD)
B
0
D
0
k BD
−→ Giao tuyến của (IB
0
D
0
) với (ABCD)
là đường thẳng d đi qua I và song song với BD. Trong mặt phẳng
(ABCD), gọi M = d ∩AD −→ IM k BD k B
0
D
0
. Khi đó thiết diện
là tứ giác IMB
0
D
0
và tứ giác này là hình thang.
A
0
D
0
M
B C
D
C
0
I
B
0
A
Chọn đáp án B
Câu 29. Cho hình hộp ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
. Gọi (α) là mặt phẳng đi qua một cạnh của hình hộp và cắt hình
hộp theo thiết diện là một tứ giác T . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. T là hình chữ nhật. B. T là hình bình hành.
C. T là hình thoi. D. T là hình vuông.
-Lời giải.
Giả sử mặt phẳng (α) đi qua cạnh AB và cắt hình hộp theo tứ
giác T. Gọi d là đường thẳng giao tuyến của (α) và mặt phẳng
(A
0
B
0
C
0
D
0
) . Ta chứng minh được AB k d suy ra tứ giác T là một
hình bình hành.
B C
A
0
D
0
B
0
A D
C
0
d
Chọn đáp án B
Câu 30. Cho hình chóp cụt tam giác ABC.A
0
B
0
C
0
có 2 đáy là 2 tam giác vuông tại A và A
0
và có
AB
A
0
B
0
=
1
2
.
Khi đó tỉ số diện tích
S
∆ABC
S
∆A
0
B
0
C
0
bằng
A.
1
2
. B.
1
4
. C. 2. D. 4.
-Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 171 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Hình chóp cụt ABC.A
0
B
0
C
0
có hai mặt đáy là hai mặt phẳng song song
nên tam giác ABC đồng dạng tam giác A
0
B
0
C
0
suy ra
S
∆ABC
S
∆A
0
B
0
C
0
=
1
2
· AB ·AC
1
2
· A
0
B
0
· A
0
C
0
=
AB
A
0
B
0
·
AC
A
0
C
0
=
1
4
.
A C
A
0
B
B
0
C
0
Chọn đáp án B
Câu 31. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hình lăng trụ đứng có đáy là một đa giác đều là hình lăng trụ đều.
B. Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ đều.
C. Hình lăng trụ có đáy là một đa giác đều là hình lăng trụ đều.
D. Hình lăng trụ tứ giác đều là hình lập phương.
-Lời giải.
Hình lăng trụ đứng có đáy là một đa giác đều là hình lăng trụ đều.
Chọn đáp án A
Câu 32. Xét các mệnh đề sau
(1) Hình hộp là một hình lăng trụ;
(2) Hình lập phương là hình hộp đứng có đáy là hình vuông;
(3) Hình hộp có các mặt đối diện bằng nhau;
(4) Hình lăng trụ có các mặt bên là hình bình hành;
(5) Hình lăng trụ có tất cả các mặt bên bằng nhau.
Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là
A. 2 . B. 4. C. 5. D. 3.
-Lời giải.
Các mệnh đề (1), (3) và (4) đúng.
Chọn đáp án D
Câu 33. Cho tứ diện ABCD. Trên các cạnh AD, BC theo thứ tự lấy các điểm M, N sao cho
MA
AD
=
NC
CB
=
1
3
. Gọi (P ) là mặt phẳng chứa đường thẳng MN và song song với CD. Khi đó thiết diện của tứ
diện ABCD cắt bởi mặt phẳng (P ) là
A. một hình bình hành. B. một hình thang với đáy lớn gấp 2 lần đáy nhỏ.
C. một hình thang với đáy lớn gấp 3 lần đáy nhỏ. D. một tam giác.
-Lời giải.
Qua M, kẻ đường thẳng song song với CD cắt AC tại E.
Qua N, kẻ đường thẳng song song với CD cắt BD tại F .
Khi đó ME k N F k CD và (P ) ≡ (MENF ).
Ta có
NF
CD
=
BN
BC
=
2
3
ME
CD
=
AM
AD
=
1
3
⇒ NF = 2ME.
Vậy thiết diện của ABCD cắt bởi (P ) là hình thang M ENF , trong đó đáy
lớn NF gấp 2 lần đáy nhỏ ME.
A
M
C
N
F
B
E
D
Chọn đáp án B
Câu 34. Cho hình hộp ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
. Gọi I là trung điểm của AB. Mặt phẳng (IB
0
D
0
) cắt hình hộp
theo thiết diện là
A. hình bình hành. B. hình thang. C. hình chữ nhật. D. tam giác.
-Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 172 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Ta có
B
0
D
0
⊂ (IB
0
D
0
)
BD ⊂ (ABCD)
BD k B
0
D
0
nên giao tuyến của (IB
0
D
0
) với (ABCD) là đường
thẳng IE qua I và song song với BD (E ∈ AD).
Vì IE k B
0
D
0
nên thiết diện là hình thang IED
0
B
0
.
A
A
0
D
0
B
B
0
C
0
CD
I
E
Chọn đáp án B
Câu 35.
Cho hình lập phương ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
cạnh a. Xét tứ diện
AB
0
CD
0
. Cắt tứ diện đó bằng mặt phẳng đi qua tâm của
hình lập phương và song song với mặt phẳng (ABC). Tính
diện tích của thiết diện thu được.
A
0
D
0
A
B C
B
0
C
0
D
A.
a
2
3
. B.
2a
2
3
. C.
a
2
2
. D.
3a
2
4
.
-Lời giải.
Gọi I là tâm của hình lập phương ⇒ I là trung điểm của
AC
0
.
Gọi (P ) là mặt phẳng qua I và song song với (ABC). Khi đó
(P ) cắt các đường thẳng AB
0
, B
0
C, CD
0
, AD
0
lần lượt tại
các trung điểm M , N, P , Q.
Khi đó MN = P Q =
1
2
AC =
a
√
2
2
và
NP = MQ =
1
2
B
0
D
0
=
a
√
2
2
.
Do đó, thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng đi qua tâm
của hình lập phương và song song với mặt phẳng (ABC) là
hình thoi MN P Q cạnh bằng
a
√
2
2
.
Mặt khác NQ = M P = BC = a.
Diện tích hình thoi MN P Q là S =
1
2
NQ · MP =
a
2
2
.
A
0
D
0
A
B C
B
0
IM
C
0
D
P
N
Q
Chọn đáp án C
Câu 36. Cho bốn mệnh đề sau
(1) Nếu hai mặt phẳng (α) và (β) song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (α) đều
song song với (β).
(2) Hai đường thẳng nằm trên hai mặt phẳng song song thì song song với nhau.
(3) Trong không gian hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau.
(4) Tồn tại hai đường thẳng song song mà mỗi đường thẳng cắt đồng thời hai đường thẳng chéo nhau cho
trước.
Th.s Nguyễn Chín Em 173 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Trong các mệnh đề trên có bao nhiêu mệnh đề sai?
A. 4. B. 3. C. 2. D. 1.
-Lời giải.
Mệnh đề (1) là mệnh đề đúng.
Mệnh đề (2) là mệnh đề sai vì hai đường thẳng đó có thể chéo nhau.
Mệnh đề (3) là mệnh đề sai vì hai đường thẳng song song cũng không có điểm chung.
Mệnh đề (4) là mệnh đề sai vì nếu tồn tại hai đường thẳng như trên thì cả 4 đường thẳng này đồng
phẳng (mâu thuẫn với giả thiết).
Vậy có 3 mệnh đề sai.
Chọn đáp án B
Câu 37. Một hình lăng trụ có đúng 11 cạnh bên thì hình lăng trụ đó có tất cả bao nhiêu cạnh?
A. 31. B. 30. C. 22. D. 33.
-Lời giải.
Hình lăng trụ có đúng 11 cạnh bên suy ra đáy là đa giác có 11 đỉnh ⇒ đa giác đáy có 11 cạnh.
Vậy hình lăng trụ có đúng 11 cạnh bên thì có 11 + 11 ·2 = 33 cạnh.
Chọn đáp án D
Câu 38. Cho hình hộp ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau
A. (ABB
0
A
0
) k (CC
0
D
0
D). B. Diện tích hai mặt bên bất kì bằng nhau.
C. AA
0
k CC
0
. D. Hai mặt phẳng đáy song song với nhau.
-Lời giải.
Mệnh đề sai là “Diện tích hai mặt bên bất kì bằng nhau”.
Chọn đáp án B
Câu 39. Cho hình lăng trụ ABC.A
0
B
0
C
0
, gọi I, J, K lần lượt là trọng tâm 4ABC, 4ACC
0
và 4AB
0
C
0
.
Mặt phẳng nào sau đây song song với (IJK)?
A. (BC
0
A). B. (AA
0
B). C. (BB
0
C). D. (CC
0
A).
-Lời giải.
Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm BC, CC
0
và B
0
C
0
.
Ta có
AK
AP
=
AJ
AN
=
AI
AM
=
2
3
.
Suy ra (IJK) k (M NP ) hay (IJK) k (BB
0
C).
P
B
I
B
0
M
J
A
0
A
C
0
C
N
K
Chọn đáp án C
Câu 40. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều. Gọi M là điểm trên
cạnh AD sao cho AM = x, x ∈ (0; a). Mặt phẳng (α) đi qua M và song song với (SAB) lần lượt cắt các
cạnh CB, CS, SD tại N, P, Q. Tìm x để diện tích MN P Q bằng
2a
2
√
3
9
.
A.
2a
3
. B.
a
4
. C.
a
2
. D.
a
3
.
-Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 174 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Ta có
(α) k (SAB)
(SAB) ∩(SAD) = SA
M ∈ (α) ∩ (SAD)
⇒ (α) ∩(SAD) = MQ k SA
với Q ∈ SD.
(α) k (SAB)
(SAB) ∩(ABCD) = AB
M ∈ (α) ∩ (ABCD)
⇒ (α) ∩ (ABCD) = M N k AB
với N ∈ BC.
(α) k (SAB)
(SAB) ∩(SCB) = SB
N ∈ (α) ∩ (SBC)
⇒ (α) ∩ (SBC) = NP k SB với
P ∈ SC.
D
Q
A
P
S
E
B C
N
M
Suy ra thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng (α) là tứ giác MN P Q.
Ta có
(α) ∩ (SCD) = P Q
(SCD) ∩ (ABCD) = CD
(ABCD) ∩(α) = MN
CD k MN
⇒ P Q, MN, CD đôi một song song. Khi đó M NP Q là hình thang với
đáy lớn CD.
Hơn nữa ta có
MN k AB
P N k SB
MQ k SA
⇒
÷
MNP =
’
ABS = 60
◦
và
÷
NMQ =
’
BAS = 60
◦
.
Do dó tứ giác MNP Q là hình thang cân.
Ta có
P Q
CD
=
SQ
SD
=
AM
AD
⇒ P Q = AM = x.
Suy ra ∆EMN đều cạnh a và ∆EP Q là tam giác đều cạnh x. Khi đó
S
MN P Q
= S
∆EMN
− S
∆EP Q
=
a
2
√
3
4
−
x
2
√
3
4
.
Theo giả thiết S
MN P Q
=
2a
2
√
3
9
⇔
a
2
√
3
4
−
x
2
√
3
4
=
2a
2
√
3
9
⇔ x =
a
3
.
Vậy giá trị x cần tìm là
a
3
.
Chọn đáp án D
Câu 41. Cho hai mặt phẳng (P ) và (Q) song song với nhau. Mệnh đề nào sau đây sai?
A. Đường thẳng d ⊂ (P) và d
0
⊂ (Q) thì d k d
0
.
B. Mọi đường thẳng đi qua điểm A ∈ (P ) và song song với (Q) đều nằm trong (P ).
C. Nếu đường thẳng ∆ cắt (P ) thì ∆ cũng cắt (Q).
D. Nếu đường thẳng a ⊂ (Q) thì a k (P ).
-Lời giải.
Đường thẳng d ⊂ (P ) và d
0
⊂ (Q) thì d và d
0
song song hoặc chéo nhau.
Mọi đường thẳng đi qua điểm A ∈ (P) và song song với (Q) đều nằm trong (P ) là mệnh đề đúng.
Nếu đường thẳng ∆ cắt (P ) thì ∆ cũng cắt (Q) đúng (tính chất 2 mặt phẳng song song).
Nếu đường thẳng a ⊂ (Q) thì a k (P ) là mệnh đề đúng.
Chọn đáp án A
Câu 42. Cho đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (α) và đường thẳng b nằm trong mặt phẳng (β). Mệnh
đề nào sau đây sai?
A. (α) k (β) ⇒ a k b. B. (α) k (β) ⇒ a k (β).
C. (α) k (β) ⇒ b k (α). D. a và b hoặc song song hoặc chéo nhau.
-Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 175 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Nếu (α) k (β) thì ngoài trường hợp a k b thì a và b có thể chéo nhau.
Chọn đáp án A
Câu 43. Lăng trụ tam giác có bao nhiêu mặt?
A. 6. B. 3. C. 9. D. 5.
-Lời giải.
Theo lý thuyết.
Chọn đáp án D
Câu 44. Cho lăng trụ ABC.A
0
B
0
C
0
. Gọi G, G
0
lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC, A
0
B
0
C
0
. M là
điểm trên cạnh AC sao cho AM = 2MC. Mệnh đề nào sau đây sai?
A. GG
0
k (ACC
0
A
0
). B. GG
0
k (ABB
0
A
0
).
C. Đường thẳng MG
0
cắt mặt phẳng (BCC
0
B
0
). D. (MGG
0
) k (BCC
0
B
0
).
-Lời giải.
Vì G, G
0
lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC, A
0
B
0
C
0
nên ta có GG
0
k
(ACC
0
A
0
), GG
0
k (ABB
0
A
0
), GG
0
k (BCC
0
B
0
).
Gọi N là trung điểm BC, ta có
AG
GN
=
AM
MC
= 2 nên suy ra MG k CN ⇒
MG k (BCC
0
B
0
).
Từ GG
0
k (BCC
0
B
0
) và M G k (BCC
0
B
0
) ta có (MGG
0
) k (BCC
0
B
0
). Do
vậy M G
0
k (BCC
0
B
0
).
Vậy, mệnh đề sai là: “Đường thẳng M G
0
cắt mặt phẳng (BCC
0
B
0
)”.
A
0
B
0
C
0
G
0
A
B
C
G
M
N
Chọn đáp án C
Câu 45. Cho lăng trụ ABC.A
0
B
0
C
0
. Gọi G, G
0
lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và A
0
B
0
C
0
, M là
điểm trên cạnh AC sao cho AM = 2MC. Mệnh đề nào sau đây sai?
A. GG
0
k (ACC
0
A
0
). B. GG
0
k (ABB
0
A
0
).
C. Đường thẳng MG
0
cắt mặt phẳng (BCC
0
B
0
). D. (MGG
0
) k (BCC
0
B
0
).
-Lời giải.
Ta có GG
0
k AA
0
và MG k BC nên
GG
0
k (ACC
0
A
0
) là mệnh đề đúng,
GG
0
k (ABB
0
A
0
) là mệnh đề đúng,
(MGG
0
) k (BCC
0
B
0
)là mệnh đề đúng,
Đường thẳng MG
0
cắt mặt phẳng (BCC
0
B
0
) là mệnh đề sai.
B
0
N
0
M
G
0
N
B
G
A
A
0
C
C
0
Chọn đáp án C
Câu 46. Cho hình hộp ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
. Gọi M là trung điểm của AB, mặt phẳng (MA
0
C
0
) cắt cạnh BC
tại N. Tính tỉ số k =
MN
A
0
C
0
.
A. k =
1
2
. B. k =
1
3
. C. k =
2
3
. D. k = 1.
-Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 176 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Ba mặt phẳng phân biệt (ABCD), (ACC
0
A
0
), (MA
0
C
0
) đôi một cắt
nhau theo ba giao tuyến AC, A
0
C
0
và MN. Theo tính chất hình hộp
ta có AC k A
0
C
0
nên MN k AC k A
0
C
0
.
Lại có M là trung điểm của AB nên MN là đường trung bình trong
tam giác ABC.
Vì vậy MN =
1
2
AC =
1
2
A
0
C
0
⇒ k =
MN
A
0
C
0
=
1
2
.
A
0
D
0
B CN
A
B
0
M
C
0
D
Chọn đáp án A
Câu 47. Cho ba mặt phẳng (α), (β), (γ) đôi một song song. Hai đường thẳng d, d
0
lần lượt cắt ba mặt
phẳng này tại A, B, C và A
0
, B
0
, C
0
(B nằm giữa A và C, B
0
nằm giữa A
0
và C
0
). Giả sử AB = 5, BC = 4,
A
0
C
0
= 8. Tính độ dài hai đoạn thẳng A
0
B
0
, B
0
C
0
.
A. A
0
B
0
= 10, B
0
C
0
= 8. B. A
0
B
0
= 8, B
0
C
0
= 10.
C. A
0
B
0
= 12, B
0
C
0
= 6. D. A
0
B
0
= 6, B
0
C
0
= 12.
-Lời giải.
Ta có
AB
A
0
B
0
=
BC
B
0
C
0
=
AB + BC
A
0
B
0
+ B
0
C
0
=
AC
A
0
C
0
⇒ A
0
B
0
= 10, B
0
C
0
= 8.
Chọn đáp án A
Câu 48. Trong không gian, cho các mệnh đề sau
I. Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau.
II. Hai mặt phẳng phân biệt chứa hai đường thẳng song song cắt nhau theo giao tuyến song song với hai
đường thẳng đó.
III. Nếu đường thẳng a song song với đường thẳng b, đường thẳng b nằm trên mặt phẳng (P ) thì a song
song với (P ).
IV. Qua điểm A không thuộc mặt phẳng (α), kẻ được đúng một đường thẳng song song với (α).
Số mệnh đề đúng là
A. 2. B. 0. C. 1. D. 3.
-Lời giải.
Xét từng mệnh đề ta có
I. “Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau” là mệnh đề
sai, vì hai đường thẳng có thể chéo nhau.
II. “Hai mặt phẳng phân biệt chứa hai đường thẳng song song cắt nhau theo giao tuyến song song với hai
đường thẳng đó” là mệnh đề sai, vì hai mặt phẳng đó có thể song song nhau.
III. “Nếu đường thẳng a song song với đường thẳng b, đường thẳng b nằm trên mặt phẳng (P ) thì a song
song với (P )” là mệnh đề sai, vì đường thẳng a vẫn có thể nằm trong mặt phẳng (P ).
IV. “Qua điểm A không thuộc mặt phẳng (α), kẻ được đúng một đường thẳng song song với (α)” là mệnh
đề sai, vì có vô số đường thẳng đi qua điểm A và song song với (α).
Vậy không có mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề nêu trên.
Chọn đáp án B
Câu 49. Cho hình chóp S.ABCD với đáy là hình thang ABCD, AD k BC, AD = 2BC. Gọi E là trung
điểm AD và O là giao điểm của AC và BE, I là một điểm thuộc đoạn OC (I khác O và C). Mặt phẳng
(α) qua I song song với (SBE) cắt hình chóp S.ABCD theo một thiết diện là
A. Một hình tam giác.
B. Một hình thang.
C. Một tứ giác không phải là một hình thang và không phải là hình bình hành.
Th.s Nguyễn Chín Em 177 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
D. Một hình bình hành.
-Lời giải.
Ta có
(α) k (SBE)
(SBE) ∩ (ABCD) = BE
(α) ∩ (ABCD) = Ix
⇒ Ix k BE
⇒ Ix cắt BC tại M , AD tại Q.
Ta có
(α) k (SBE)
(α) ∩ (SBC) = Mx
(SBE) ∩ (SBC) = SB
⇒ Mx k SB ⇒ M x cắt SC tại N.
Ta có
(α) k (SBE)
(α) ∩ (SAD) = Qx
(SBE) ∩ (SAD) = SE
⇒ Qx k SE ⇒ Qx cắt SD tại P .
S
A
N
E
Q
P
MB C
D
O
I
Tứ giác BCDE là hình bình hành ⇒ CD k BE k MQ ⇒ CD k (α).
Ta có
CD k (α)
CD ⊂ (SCD)
(SCD) ∩ (α) = P N
⇒ CD k P N ⇒ MQ k PN
Vậy thiết diện tạo bởi mặt phẳng (α) với hình chóp S.ABCD là hình thang MNP Q.
Chọn đáp án B
Câu 50. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một hình bình hành. Gọi A
0
, B
0
, C
0
, D
0
lần lượt là trung điểm
của các cạnh SA, SB, SC, SD. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.
A. A
0
B
0
k (SBD). B. A
0
B
0
k (SAD). C. (A
0
C
0
D
0
) k (ABC). D. A
0
C
0
k BD.
-Lời giải.
Ta có A
0
C
0
k AC ⇒ (A
0
C
0
D
0
) k (ABC).
A
B
A
0
B
0
C
D
C
0
D
0
S
Chọn đáp án C
Câu 51. Cho hình lập phương ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
cạnh a. Gọi M là trung điểm của AB, N là tâm hình vuông
AA
0
D
0
D. Tính diện tích thiết diện của hình lập phương ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
tạo bởi mặt phẳng (CMN).
A.
a
2
√
14
4
. B.
3a
2
√
14
2
. C.
3a
2
4
. D.
a
2
√
14
2
.
-Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 178 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
D
0
C
0
E
A
0
A BM
D
B
0
C
Q
F
P
N
Thiết diện như hình vẽ. Tứ giác CQP M là hình thang có
CM =
a
√
5
2
, P M =
a
√
13
6
, P Q =
a
√
10
3
, CQ =
a
√
13
3
.
Suy ra MF = P Q =
a
√
10
3
, CF = P M =
a
√
13
6
Ta có S
CM P Q
= 3S
CM F
.
S
CM F
=
p
p(p −CM)(p −CF )(p −MF ) với p =
CM + MF + F C
2
. Thay giá trị các cạnh ta có S
CM F
=
…
7
72
a
2
⇒ S
CM P Q
=
a
2
√
14
4
.
Chọn đáp án A
Câu 52. Cho hình hộp ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai?
A. (BA
0
C
0
) k (ACD
0
). B. (ADD
0
A
0
) k (BCC
0
B
0
).
C. (BA
0
D) k (CB
0
D
0
). D. (ABA
0
) k (CB
0
D
0
).
-Lời giải.
Ta có
®
BA
0
k CD
0
A
0
C
0
k AC
⇒ (BA
0
C
0
) k (ACD
0
).
®
AD k BC
AA
0
k BB
0
⇒ (ADD
0
A
0
) k (BCC
0
B
0
).
®
BD k B
0
D
0
A
0
D k B
0
C
⇒ (BA
0
D) k (CB
0
D
0
).
A
D
B
A
0
C
B
0
C
0
D
0
Mặt khác B
0
∈ (ABA
0
) ∩(CB
0
D
0
) ⇒ (ABA
0
) k (CB
0
D
0
) là mệnh đề sai.
Chọn đáp án
D
Câu 53. Cho hình hộp ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
. Mệnh đề nào sau đây là sai?
A. (ABCD) k (A
0
B
0
C
0
D
0
). B. (AA
0
D
0
D) k (BCC
0
B
0
).
C. (BDD
0
B
0
) k (ACC
0
A
0
). D. (ABB
0
A
0
) k (CDD
0
C
0
).
-Lời giải.
Ta thấy
(ABCD) k (A
0
B
0
C
0
D
0
)
(AA
0
D
0
D) k (BCC
0
B
0
)
(ABB
0
A
0
) k (CDD
0
C
0
)
luôn đúng.
và hai mặt phẳng (BDD
0
B
0
), (ACC
0
A
0
) là cắt nhau.
A
0
D
0
C
0
B
0
A D
CB
Th.s Nguyễn Chín Em 179 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Chọn đáp án C
Câu 54. Cho đường thẳng a thuộc mặt phẳng (P ) và đường thẳng b thuộc mặt phẳng (Q). Mệnh đề nào
sau đây đúng?
A. a k b ⇒ (P) k (Q). B. (P ) k (Q) ⇒ a k b.
C. (P ) k (Q) ⇒ a k (Q) và b k (P ). D. a và b chéo nhau.
-Lời giải.
(P ) k (Q) suy ra (P ) và (Q) không có điểm chung. Mặt khác a ∈ (P ) nên a và (Q) cũng không có điểm
chung. Suy ra a k (Q). Tương tự ta cũng có b k (P ).
Chọn đáp án C
Câu 55. Cho hình hộp ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
. Mặt phẳng (AB
0
D
0
) song song với mặt phẳng nào sau đây?
A. (BDA
0
). B. (A
0
C
0
C). C. (BDC
0
). D. (BCA
0
).
-Lời giải.
Mặt phẳng (AB
0
D
0
) song song với mặt phẳng (BDC
0
).
Thật vậy, ta có AB
0
k DC
0
và AD
0
k BC
0
, có điều cần chứng
minh.
D
C
D
0
C
0
B
B
0
A
A
0
Chọn đáp án C
Câu 56. Cho hình hộp ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
. Mặt phẳng (AB
0
D
0
) song song với mặt phẳng nào sau đây?
A. (BA
0
C
0
). B. (C
0
BD). C. (BDA
0
). D. (ACD
0
).
-Lời giải.
Ta có BDB
0
D
0
là hình bình hành nên BD k B
0
D
0
. Tương tự
ta có AD
0
k BC
0
.
Từ đó suy ra BD k (AB
0
D
0
) và BC
0
k (AB
0
D
0
).
Vậy (AB
0
D
0
) k (C
0
BD)
D
C
B
0
A
0
C
0
D
0
A
B
Chọn đáp án B
Câu 57. Cho tứ diện ABCD có AB = 6, CD = 8. Cắt tứ diện bởi một mặt phẳng song song với AB, CD
để thiết diện thu được là một hình thoi. Cạnh của hình thoi đó bằng
A.
31
7
. B.
18
7
. C.
24
7
. D.
15
7
.
-Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 180 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Gọi M, N, P, Q lần lượt là giao điểm của mặt phẳng chứa thiết diện với
các cạnh AC, BC, BD, AD, khi đó theo giả thiết tứ giác MN P Q là hình
thoi.
Cũng từ giả thiết ta suy ra P Q k MN k AB, MQ k NP k CD nên ta có
CM
AC
=
MN
AB
,
AM
AC
=
MQ
CD
⇒
AC − CM
AC
=
MQ
CD
⇔ 1 −
CM
AC
= 1 −
MN
AB
=
MQ
CD
=
MN
CD
⇒ MN =
1
1
AB
+
1
CD
=
1
1
6
+
1
8
=
24
7
.
Vậy cạnh của hình thoi cần tìm là
24
7
.
A
Q
C
NM
B
P
D
Chọn đáp án C
Câu 58. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng
(SAD) và (SBC). Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. d qua S và song song với AB. B. d qua S và song song với BC.
C. d qua S và song song với DC. D. d qua S và song song với BD.
-Lời giải.
Có
S ∈ (SAD) ∩(SBC)
AD ⊂ (SAD)
BC ⊂ (SBC)
AD k BC
⇒ (SAD) ∩ (SBC) = d k AD k BC và d đi qua S.
d
B C
D
S
A
Chọn đáp án B
Câu 59. Cho tứ diện đều SABC. Gọi I là trung điểm của đoạn AB, M là điểm di động trên đoạn AI.
Qua M vẽ mặt phẳng (α) song song với (SIC). Thiết diện tạo bởi (α) với tứ diện SABC là
A. hình thoi. B. tam giác cân tại M. C. tam giác đều. D. hình bình hành.
-Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 181 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
S
A
B
C
M
I
N
P
Trong mặt phẳng (SAB), qua M kẻ đường thẳng song song với SI cắt SA tại P .
Trong mặt phẳng (ABC), qua M kẻ đường thẳng song song với IC cắt AC tại N.
Thiết diện là tam giác MN P . Ta có
MP
SI
=
MN
CI
⇒ MP = MN (vì SI = CI).
Vậy thiết diện là tam giác M NP cân tại M .
Chọn đáp án B
Câu 60. Cho hình hộp ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
và điểm M nằm giữa hai điểm A và B. Gọi (P ) là mặt phẳng đi
qua M và song song với mặt phẳng (AB
0
D
0
). Mặt phẳng (P ) cắt hình hộp theo thiết diện là hình gì?
A. Hình ngũ giác. B. Hình lục giác. C. Hình tam giác. D. Hình tứ giác.
-Lời giải.
Nhận thấy (BC
0
D) k (AB
0
D
0
) ⇒ (BC
0
D) k (AB
0
D
0
) k (P ). (1)
Do (1), ta giả sử (P ) cắt BB
0
tại N, suy ra (P )∩(ABB
0
A
0
) ≡ MN ,
kết hợp với (AB
0
D
0
) ∩ (ABB
0
A
0
) ≡ AB
0
suy ra MN k AB
0
, suy
ra N thuộc cạnh BB
0
.
Tương tự, giả sử (P ) ∩(B
0
C
0
) ≡ P suy ra (P) ∩(BCC
0
B
0
) ≡ NP .
Kết hợp với (1) suy ra NP k BC
0
.
Tương tự, (P ) ∩ (C
0
D
0
) ≡ Q sao cho P Q k B
0
D
0
; (P ) ∩ DD
0
≡ G
sao cho QG k C
0
D; (P ) ∩ AD ≡ H sao cho GH k AD
0
.
Từ đó suy ra thiết diện là lục giác M NP QGH.
B C
N
P
H
G
DA
M
B
0
C
0
Q
D
0
A
0
Chọn đáp án B
Câu 61. Cho hình lập phương ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
, AC ∩ BD = O, A
0
C
0
∩ B
0
D
0
= O
0
. M, N, P lần lượt là
trung điểm của các cạnh AB, BC, CC
0
. Khi đó thiết diện do mặt phẳng (MN P ) cắt hình lập phương là
hình
A. Tam giác. B. Từ giác. C. Ngũ giác. D. Lục giác.
-Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 182 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Ta có MN k AC nên (MNP ) ∩ (ACC
0
A
0
) = P x k AC k
MN, gọi Q = P x ∩AA
0
, P x ∩OO
0
= I. Mà P là trung điểm
của CC
0
nên Q, I lần lượt là trung điểm của AA
0
, OO
0
.
Xét mặt phẳng (BDD
0
B
0
) gọi IJ ∩ B
0
D
0
= H. Theo tính
chất đối xứng của hình lập phương và J là trung điểm của
BO nên H là trung điểm của D
0
O
0
.
(MNP ) k AC k A
0
C
0
nên (MN P ) ∩ (A
0
B
0
C
0
D
0
) = Hy k
A
0
C
0
. Gọi E = Hy ∩A
0
D
0
, F = Hy ∩C
0
D
0
. Khi đó thiết diện
là lục giác M NP F EQ.
B
0
A
M
Q
O
B CN
O
0
J
D
F
I
P
A
0
D
0
E
H
C
0
Chọn đáp án D
Câu 62. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A. Trong không gian hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung.
B. Trong không gian hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song với
nhau.
C. Nếu mặt phẳng (P ) chứa hai đường thẳng cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P ) và (Q) song
song với nhau.
D. Trong không gian hình biểu diễn của một góc thì phải là một góc bằng nó.
-Lời giải.
Hai đường thẳng chéo nhau là hai đường thẳng không cùng nằm trong một mặt phẳng. Do đó mệnh đề
"Trong không gian hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung" đúng.
Chọn đáp án A
Câu 63. Cho tứ diện ABCD. Điểm M thuộc đoạn AC (M khác A, M khác C). Mặt phẳng (α) đi qua M
và song song với AB và AD. Thiết diện của (α) với tứ diện ABCD là hình gì?
A. Hình tam giác. B. Hình bình hành. C. Hình vuông. D. Hình chữ nhật.
-Lời giải.
Trong mặt phẳng (ACD) kẻ MN k AD, N ∈ CD.
Trong mặt phẳng (ABC) kẻ MP k AB, P ∈ BC.
Từ đó suy ra (α) ≡ (M NP ). Mà thiết diện của (MNP ) và tứ diện
ABCD là tam giác MN P .
C
NP
B D
M
A
Chọn đáp án A
Câu 64. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N , P theo thứ tự là
trung điểm của SA, SD và AB. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. (N OM) cắt (OP M ). B. (M ON) k (SBC).
C. (P ON) ∩(MN P ) = NP . D. (NM P ) k (SBD).
-Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 183 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
®
MN k AD (đường trung bình 4SAD)
OP k AD (đường trung bình 4BAD)
⇒ M N k
OP ⇒ O, N, M, P cùng nằm trong một mặt phẳng.
®
MN k AD k BC ⊂ (SBC)
OM k SC ⊂ (SBC)
⇒ (OMN) k (SBC).
A
B
M
P
D
N
S
O
C
Chọn đáp án B
Câu 65. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a và G là trọng tâm tam giác ABC. Cắt tứ diện bởi mặt phẳng
(P ) qua G và song song với mặt phẳng (BCD) thì diện tích thiết diện bằng bao nhiêu?
A.
a
2
√
3
4
. B.
a
2
√
3
18
. C.
a
2
√
3
16
. D.
a
2
√
3
9
.
-Lời giải.
Trong mặt phẳng (ABC) kẻ đường thẳng qua G và song song
với BC cắt AC, AB lần lượt tại H, K.
Trong mặt phẳng (ACD) kẻ đường thẳng qua H và song song
với CD cắt AD tại I.
Thiết diện cần tìm là KHI.
∆KHI v ∆BCD theo tỉ số đồng dạng bằng
2
3
.
Do đó S
KHI
=
4
9
S
BCD
=
4
9
a
2
√
3
4
=
√
3a
2
9
.
A
B
C
D
G
H
K
I
Chọn đáp án D
Câu 66. Cho tứ diện đều SABC. Gọi I là trung điểm của cạnh AB, M là điểm di động trên đoạn thẳng
AI. Gọi (α) là mặt phẳng đi qua điểm M đồng thời song song với mặt phẳng (SIC). Thiết diện của tứ diện
SABC cắt bởi mặt phẳng (α) là
A. một hình thoi. B. một tam giác cân tại M .
C. một tam giác đều. D. một hình bình hành.
-Lời giải.
Qua M kẻ đường thẳng song song với SI cắt SA tại P .
Qua M kẻ đường thẳng song song với IC cắt AC tại N.
Thiết diện của S.ABC cắt bởi (α) là tam giác MNP .
Ta có
MP
SI
=
AM
AI
=
MN
CI
=
AN
AC
=
NP
SC
,
Suy ra 4MN P v 4ICS.
Mà 4ICS cân tại S (không đều) nên tam giác MNP cân tại M
và cũng không đều.
A
B
C
I
S
M
N
P
Chọn đáp án B
Th.s Nguyễn Chín Em 184 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Câu 67. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD, AB//CD, AB = 2CD. M là điểm thuộc
cạnh AD, (α) là mặt phẳng qua M và song song với mặt phẳng (SAB). Biết diện tích thiết diện của hình
chóp cắt bởi mặt phẳng (α) bằng
2
3
diện tích tam giác SAB. Tính tỉ số x =
MA
MD
.
A. x =
1
2
. B. x = 1. C. x =
3
2
. D. x =
2
3
.
-Lời giải.
A
Q
M
B
P
CD
NH
K
S
Ta có
(α) k (SAB)
(ABCD) ∩(SAB) = AB
M ∈ (α) ∩ (ABCD)
suy ra giao tuyến của (α) và (ABCD) là đường thẳng qua M và
song song AB, đường thẳng này cắt BC tại N. Tương tự giao tuyến của (α) và (SBC) là đường thẳng qua
N song song SB cắt SC tại P , giao tuyến của (α) và (SCD) là đường thẳng qua P song song CD cắt SD
tại Q. Thiết diện của S.ABCD khi cắt bởi (α) là hình thang M NP Q.
Đặt CD = a, ta có
P Q
CD
=
SQ
SD
=
AM
AD
=
x
x + 1
⇔ P Q =
ax
x + 1
.
Trong hình thang ABCD ta có M N =
x
x + 1
CD +
1
x + 1
AB =
a(x + 2)
x + 1
.
Gọi K là hình chiếu của S lên AB, H là giao của MN và CK, khi đó P H k SK và do đó P H⊥MN ,
thêm nữa
P H
SK
=
CH
CK
=
DM
DA
=
1
x + 1
Ta có
S
MN P Q
S
ABC
=
(P Q + MN)P H
SK · AB
=
1
x + 1
. Theo giả thiết
1
x + 1
=
2
3
⇔ x =
1
2
.
Chọn đáp án A
Câu 68. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD)
và (SBC). Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. d đi qua S và song song với BD. B. d đi qua S và song song với BC.
C. d đi qua S và song song với AB. D. d đi qua S và song song với DC.
-Lời giải.
Vì
S ∈ (SAD) ∩(SBC)
AD ⊂ (SAD), BC ⊂ (SBC)
AD k BC
nên d = (SAD) ∩(SBC) là đường thẳng qua S và song song với BC.
A
B C
D
S
d
Chọn đáp án B
Câu 69. Cho tứ diện ABCD. Gọi G
1
, G
2
, G
3
lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC, ACD, ABD. Phát
biểu nào sau đây đúng?
A. (G
1
G
2
G
3
) cắt (BCD). B. (G
1
G
2
G
3
) k (BCD).
Th.s Nguyễn Chín Em 185 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
C. (G
1
G
2
G
3
) k (BCA). D. (G
1
G
2
G
3
) không có điểm chung (ACD).
-Lời giải.
Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CD, BD.
Khi đó:
SG
1
SM
=
SG
2
SN
=
SG
3
SP
=
2
3
⇒ G
1
G
2
k MN, ⇒ G
1
G
3
k MP.
Suy ra (G
1
G
2
G
3
) k (BCD).
A
B
C
D
M
N
P
G
1
G
2
G
3
Chọn đáp án B
Câu 70. Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây.
A. Hai mặt phẳng phân biệt không song song thì cắt nhau.
B. Nếu hai mặt phẳng song song thì mọi đường thẳng nằm trên mặt phẳng này đều song song với mọi
đường thẳng nằm trên mặt phẳng kia.
C. Nếu hai mặt phẳng (P ) và (Q) lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì song song với nhau.
D. Hai mặt phẳng cùng song song với một đường thẳng thì song song với nhau.
-Lời giải.
Hai mặt phẳng có ba vị trí tương đối là : song song, cắt nhau, trùng nhau.
Do đó, hai mặt phẳng phân biệt không song song thì cắt nhau.
Chọn đáp án A
Câu 71. Cho hình hộp ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm AB
0
, BC. Mặt phẳng
(DMN) cắt hình hộp theo một thiết diện hình
A. Lục giác. B. Ngũ giác. C. Tam giác. D. Tứ giác.
-Lời giải.
A
0
C
0
A
N
C
B
0
E
F
B
M
G
D
0
D
Trong mặt phẳng (ABCD), gọi E là giao điểm của N D và AB.
Trong mặt phẳng ABB
0
A
0
, gọi F , G lần lượt là giao điểm của EM với BB
0
, AA
0
.
Khi đó mặt phẳng (DMN) cắt hình hộp theo một thiết diện là tứ giác NF GD.
Chọn đáp án D
Câu 72. Khẳng định nào sau đây đúng?
Th.s Nguyễn Chín Em 186 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
A. Hình lăng trụ đứng có đáy là một đa giác đều là hình lăng trụ đều.
B. Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ đều.
C. Hình lăng trụ có đáy là một đa giác đều là hình lăng trụ đều.
D. Hình lăng trụ tứ giác đều là hình lập phương.
-Lời giải.
Hình lăng trụ đứng có đáy là một đa giác đều là hình lăng trụ đều.
Chọn đáp án A
Câu 73. Xét các mệnh đề sau
(1) Hình hộp là một hình lăng trụ;
(2) Hình lập phương là hình hộp đứng có đáy là hình vuông;
(3) Hình hộp có các mặt đối diện bằng nhau;
(4) Hình lăng trụ có các mặt bên là hình bình hành;
(5) Hình lăng trụ có tất cả các mặt bên bằng nhau.
Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là
A. 2 . B. 4. C. 5. D. 3.
-Lời giải.
Các mệnh đề (1), (3) và (4) đúng.
Chọn đáp án D
Câu 74. Cho tứ diện ABCD. Trên các cạnh AD, BC theo thứ tự lấy các điểm M, N sao cho
MA
AD
=
NC
CB
=
1
3
. Gọi (P ) là mặt phẳng chứa đường thẳng MN và song song với CD. Khi đó thiết diện của tứ
diện ABCD cắt bởi mặt phẳng (P ) là
A. một hình bình hành. B. một hình thang với đáy lớn gấp 2 lần đáy nhỏ.
C. một hình thang với đáy lớn gấp 3 lần đáy nhỏ. D. một tam giác.
-Lời giải.
Qua M, kẻ đường thẳng song song với CD cắt AC tại E.
Qua N, kẻ đường thẳng song song với CD cắt BD tại F .
Khi đó ME k N F k CD và (P ) ≡ (MENF ).
Ta có
NF
CD
=
BN
BC
=
2
3
ME
CD
=
AM
AD
=
1
3
⇒ NF = 2ME.
Vậy thiết diện của ABCD cắt bởi (P ) là hình thang M ENF , trong đó đáy
lớn NF gấp 2 lần đáy nhỏ ME.
A
M
C
N
F
B
E
D
Chọn đáp án B
Câu 75. Cho hình hộp ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
. Gọi I là trung điểm của AB. Mặt phẳng (IB
0
D
0
) cắt hình hộp
theo thiết diện là
A. hình bình hành. B. hình thang. C. hình chữ nhật. D. tam giác.
-Lời giải.
Ta có
B
0
D
0
⊂ (IB
0
D
0
)
BD ⊂ (ABCD)
BD k B
0
D
0
nên giao tuyến của (IB
0
D
0
) với (ABCD) là đường
thẳng IE qua I và song song với BD (E ∈ AD).
Vì IE k B
0
D
0
nên thiết diện là hình thang IED
0
B
0
.
A
A
0
D
0
B
B
0
C
0
CD
I
E
Chọn đáp án B
Th.s Nguyễn Chín Em 187 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Câu 76.
Cho hình lập phương ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
cạnh a. Xét tứ diện
AB
0
CD
0
. Cắt tứ diện đó bằng mặt phẳng đi qua tâm của
hình lập phương và song song với mặt phẳng (ABC). Tính
diện tích của thiết diện thu được.
A
0
D
0
A
B C
B
0
C
0
D
A.
a
2
3
. B.
2a
2
3
. C.
a
2
2
. D.
3a
2
4
.
-Lời giải.
Gọi I là tâm của hình lập phương ⇒ I là trung điểm của
AC
0
.
Gọi (P ) là mặt phẳng qua I và song song với (ABC). Khi đó
(P ) cắt các đường thẳng AB
0
, B
0
C, CD
0
, AD
0
lần lượt tại
các trung điểm M , N, P , Q.
Khi đó MN = P Q =
1
2
AC =
a
√
2
2
và
NP = MQ =
1
2
B
0
D
0
=
a
√
2
2
.
Do đó, thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng đi qua tâm
của hình lập phương và song song với mặt phẳng (ABC) là
hình thoi MN P Q cạnh bằng
a
√
2
2
.
Mặt khác NQ = M P = BC = a.
Diện tích hình thoi MN P Q là S =
1
2
NQ · MP =
a
2
2
.
A
0
D
0
A
B C
B
0
IM
C
0
D
P
N
Q
Chọn đáp án C
Câu 77. Cho bốn mệnh đề sau
(1) Nếu hai mặt phẳng (α) và (β) song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (α) đều
song song với (β).
(2) Hai đường thẳng nằm trên hai mặt phẳng song song thì song song với nhau.
(3) Trong không gian hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau.
(4) Tồn tại hai đường thẳng song song mà mỗi đường thẳng cắt đồng thời hai đường thẳng chéo nhau cho
trước.
Trong các mệnh đề trên có bao nhiêu mệnh đề sai?
A. 4. B. 3. C. 2. D. 1.
-Lời giải.
Mệnh đề (1) là mệnh đề đúng.
Mệnh đề (2) là mệnh đề sai vì hai đường thẳng đó có thể chéo nhau.
Mệnh đề (3) là mệnh đề sai vì hai đường thẳng song song cũng không có điểm chung.
Mệnh đề (4) là mệnh đề sai vì nếu tồn tại hai đường thẳng như trên thì cả 4 đường thẳng này đồng
phẳng (mâu thuẫn với giả thiết).
Vậy có 3 mệnh đề sai.
Chọn đáp án B
Th.s Nguyễn Chín Em 188 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Câu 78. Một hình lăng trụ có đúng 11 cạnh bên thì hình lăng trụ đó có tất cả bao nhiêu cạnh?
A. 31. B. 30. C. 22. D. 33.
-Lời giải.
Hình lăng trụ có đúng 11 cạnh bên suy ra đáy là đa giác có 11 đỉnh ⇒ đa giác đáy có 11 cạnh.
Vậy hình lăng trụ có đúng 11 cạnh bên thì có 11 + 11 ·2 = 33 cạnh.
Chọn đáp án D
Câu 79. Cho hình hộp ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau
A. (ABB
0
A
0
) k (CC
0
D
0
D). B. Diện tích hai mặt bên bất kì bằng nhau.
C. AA
0
k CC
0
. D. Hai mặt phẳng đáy song song với nhau.
-Lời giải.
Mệnh đề sai là “Diện tích hai mặt bên bất kì bằng nhau”.
Chọn đáp án B
Câu 80. Cho hình lăng trụ ABC.A
0
B
0
C
0
, gọi I, J, K lần lượt là trọng tâm 4ABC, 4ACC
0
và 4AB
0
C
0
.
Mặt phẳng nào sau đây song song với (IJK)?
A. (BC
0
A). B. (AA
0
B). C. (BB
0
C). D. (CC
0
A).
-Lời giải.
Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm BC, CC
0
và B
0
C
0
.
Ta có
AK
AP
=
AJ
AN
=
AI
AM
=
2
3
.
Suy ra (IJK) k (M NP ) hay (IJK) k (BB
0
C).
P
B
I
B
0
M
J
A
0
A
C
0
C
N
K
Chọn đáp án C
Câu 81 (Tác giả: Lê Thị Thu Hằng, Email: lethuhang2712@gmail.com).
Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thang, đáy lớn BC = 2a, AD = a, AB = b. Mặt bên (SAD) là tam
giác đều. Mặt phẳng (α) qua điểm M trên cạnh AB và song song với các cạnh SA, BC. Mặt phẳng (α) cắt
CD, SC, SB lần lượt tại N, P, Q. Đặt x = AM (0 < x < b). Giá trị lớn nhất của diện tích thiết diện tạo bởi
(α) và hình chóp S.ABCD là
A.
a
2
√
3
6
. B.
a
2
√
3
12
. C.
a
2
√
3
3
. D.
a
2
√
3
2
.
-Lời giải.
(α) k SA và BC nên (α) k (SAD)⇒ MQ k SA, NP k SD.
Ta có MN k P Q k AD k BC.
Theo định lý Talét trong hình thang ABCD ta có
BM
BA
=
CN
CD
.(1)
Theo định lý Talét trong 4SAB ta có
BM
BA
=
BQ
BS
=
MQ
SA
.(2)
Theo định lý Talét trong 4SCD ta có
CN
CD
=
CP
CS
=
P N
SD
.(3)
B
Q
M
S
P
N
C
A D
Th.s Nguyễn Chín Em 189 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Từ (1), (2), (3) suy ra M Q = NP =
b −x
b
a; P Q =
x
b
2a; MN = a +
x
b
a.
Suy ra thiết diện là hình thang cân và
S
td
=
1
2
(MN + P Q)
MQ
2
−
Å
MN − P Q
2
ã
2
=
1
2
Å
ab + ax
b
+
2ax
b
ã
a
2
(b −x)
2
b
2
−
a
2
(b −x)
2
4b
2
=
1
2
·
a(b + 3x)
b
·
a
√
3(b −x)
2b
=
a
2
√
3
12b
2
(3x + b)(3b − 3x) ≤
a
2
√
3
12b
2
Å
3x + b + 3b − 3x
2
ã
2
=
a
√
3
3
.
Vậy diện tích lớn nhất của thiết diện là
a
2
√
3
3
khi x =
b
3
.
Chọn đáp án C
Câu 82 (Tác giả: Đặng Duy Hùng). cho hình hộp ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
. Trên cạnh AB lấy điểm M khác
A và B. Gọi (P ) là mặt phẳng đi qua M và song song với mặt phẳng (ACD
0
). Đặt
AM
AB
= k, 0 < k < 1.
Tìm k để thiết diện của hình hộp và mặt phẳng (P ) có diện tích lớn nhất.
A. k =
1
2
. B. k =
3
4
. C. k =
1
4
. D. k =
2
5
.
-Lời giải.
A BM
J
D
0
C
0
R
Q
D
B
0
N
K
P
A
0
C
S
Trong mặt phẳng (ABCD), qua M kẻ đường thẳng song song với AC cắt DB, BC lần lượt tại E, N .
Trong mặt phẳng (BDD
0
), qua E kẻ đường thẳng song song với OD
0
cắt B
0
D
0
tại F .
Trong mặt phẳng (A
0
B
0
C
0
D
0
), qua F kẻ đường thẳng song song với AC cắt A
0
D
0
, D
0
C
0
lần lượt tại R, Q.
Trong mặt phẳng (AA
0
DD
0
) qua R kẻ đường thẳng song song với AD
0
cắt AA
0
tại S.
Trong mặt phẳng (CC
0
D
0
D), qua Q kẻ đường thẳng song song với CD
0
cắt CC
0
tại P .
Vậy thiết diện là lục giác M NP QRS.
Do các mặt đối diện của hình hộp song song nên các cạnh đối của lục giác thiết diện MNP QRS song song
và 3 cặp cạnh đó lần lượt song song với các cạnh tam giác ACD
0
. Các tam giác JKI, ACD
0
, RQI, JM S,
NKP đồng dạng
⇒
MJ
MN
=
MA
MB
=
NC
NB
=
NK
NM
=
P C
P C
0
=
P K
P Q
=
QD
0
QC
0
=
QI
QP
⇒ MJ = NK và P K = QI.
Th.s Nguyễn Chín Em 190 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Suy ra các tam giác RQI, JMS, NKP bằng nhau (gọi diện tích của chúng là S
1
và diện tích các tam giác
JKI, ACD
0
lần lượt là S
2
, S).
Ta có
S
1
S
=
Å
JM
AC
ã
2
=
Å
AM
DC
ã
2
=
Å
AM
AB
ã
2
= k
2
⇒ S
1
= k
2
S.
S
2
S
=
Å
JK
AC
ã
2
=
Å
JM + MK
AC
ã
2
= (k + 1)
2
⇒ S
2
= (k + 1)
2
S.
Diện tích thiết diện
S
td
= S
2
− 3S
1
= 2S(−k
2
+ k +
1
2
) ≤
3S
2
.
Dấu đẳng thức xảy ra khi k =
1
2
.
Chọn đáp án
A
Câu 83. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P theo thứ tự là
trung điểm của SA, SD và AB. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. (N OM) cắt (OP M ). B. (M ON)//(SBC).
C. (P ON) ∩(MN P ) = NP . D. (NM P )//(SBD).
-Lời giải.
Xét hai mặt phẳng (MON) và (SBC).
Ta có: OM//SC và ON//SB.
Mà BS ∩ SC = C và OM ∩ ON = O.
Do đó (MON)//(SBC).
B
A
C
D
O
S
M
N
P
Chọn đáp án B
Câu 84. Cho hình lăng trụ ABCDA
0
B
0
C
0
D
0
. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
A. (AA
0
B
0
B) song song với (CC
0
D
0
D). B. Diện tích hai mặt bên bất ki bằng nhau.
C. AA
0
song song với CC
0
. D. Hai mặt phẳng đáy song song với nhau.
-Lời giải.
A
0
D
0
A
B C
B
0
C
0
D
Đáp án là B.
Chọn đáp án B
Câu 85. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây
A. Nếu hai đường thẳng song song với nhau lần lượt nằm trong hai mặt phẳng phân biệt (P ) và (Q) thì
(P ) và (Q) song song với nhau.
B. Qua một điểm nằm ngoài mặt phẳng cho trước ta vẽ được một và chỉ một đường thẳng song song với
mặt phẳng cho trước đó.
C. Nếu hai mặt phẳng (P ) và (Q) song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P )
đều song song với mặt phẳng (Q).
D. Nếu hai mặt phẳng (P ) và (Q) song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P )
đều song song với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (Q).
-Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 191 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Chọn đáp án C
Câu 86. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
B. Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì trùng nhau.
C. Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau hoặc trùng nhau.
D. Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì chúng lần lượt nằm trên hai mặt
phẳng song song..
-Lời giải.
Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau hoặc trùng nhau.
Chọn đáp án C
Câu 87. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. Hai đường thẳng chéo nhau thì chúng có điểm chung.
B. Hai đường thẳng không có điểm chung là hai đường thẳng song song hoặc chéo nhau.
C. Hai đường thẳng song song với nhau khi chúng ở trên cùng một mặt phẳng.
D. Khi hai đường thẳng ở trên hai mặt phẳng phân biệt thì hai đường thẳng đó chéo nhau.
-Lời giải.
Mệnh đề “Hai đường thẳng chéo nhau thì chúng có điểm chung” sai vì hai đường thẳng chéo nhau thì
chúng không có điểm chung.
Mệnh đề “Hai đường thẳng song song với nhau khi chúng ở trên cùng một mặt phẳng” sai vì có thể
xảy ra trường hợp hai đường thẳng đó hoặc cắt nhau hoặc trùng nhau.
Mệnh đề “Khi hai đường thẳng ở trên hai mặt phẳng phân biệt thì hai đường thẳng đó chéo nhau” sai
vì có thể xảy ra trường hợp hai đường thẳng đó song song.
Chọn đáp án B
Câu 88. Cho ba mặt phẳng phân biệt (α) , (β) , (γ) có (α) ∩ (β) = d
1
; (β) ∩(γ) = d
2
; (α) ∩ (γ) = d
3
. Khi
đó ba đường thẳng d
1
, d
2
, d
3
A. đôi một cắt nhau. B. đôi một song song.
C. đồng quy. D. đôi một song song hoặc đồng quy.
-Lời giải.
Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyền ấy hoặc đồng quy hoặc
đôi một song song.
Chọn đáp án D
Câu 89. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Hai mặt phẳng không cắt nhau thì song song.
B. Hai mặt phẳng cùng song song với một đường thẳng thì cắt nhau.
C. Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có duy nhất một mặt phẳng song song với mặt
phẳng đó.
D. Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có vô số mặt phẳng song song với mặt phẳng đó.
-Lời giải.
Trong không gian, hai mặt phẳng có 3 vị trí tương đối: trùng nhau, cắt nhau,
song song với nhau. Vì vậy, 2 mặt phẳng không cắt nhau thì có thể song song
hoặc trùng nhau ⇒A là mệnh đề sai.
Hai mặt phẳng cùng song song với một đường thẳng thì chúng có thể song
song với nhau (hình vẽ) ⇒ B là mệnh đề sai.
Ta có: a k (P ), a k (Q) nhưng (P ) và (Q) vẫn có thể song song với nhau.
Mệnh đề C là tính chất nên C đúng.
a
P
Q
Chọn đáp án C
Câu 90. Trong các điều kiện sau, điều kiện nào kết luận mp (α) k mp (β)?
A. (α) k (γ) và (β) k (γ) ((γ) là mặt phẳng nào đó).
Th.s Nguyễn Chín Em 192 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
B. (α) k a và (α) k b với a, b là hai đường thẳng phân biệt thuộc (β).
C. (α) k a và (α) k b với a, b là hai đường thẳng phân biệt cùng song song với (β).
D. (α) k a và (α) k b với a, b là hai đường thẳng cắt nhau thuộc(β).
-Lời giải.
a
b
α
β
Hình 1.
a
b
α
β
Hình 2.
Trong trường hợp: (α) k (γ) và (β) k (γ) ((γ) là mặt phẳng nào đó) thì (α) và (β) có thể trùng nhau ⇒
Loại A.
(α) k a và (α) k b với a, b là hai đường thẳng phân biệt thuộc (β) thì (α) và (β) vẫn có thể cắt nhau (hình
1) ⇒ Loại B.
(α) k a và (α) k b với a, b là hai đường thẳng phân biệt cùng song song với (β) thì (α) và (β) vẫn có thể cắt
nhau (hình 2) ⇒ Loại C.
Chọn đáp án D
Câu 91. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Nếu hai mặt phẳng (α) và (β) song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong (α) đều song song
với (β).
B. Nếu hai mặt phẳng (α) và (β) song song với nhau thì bất kì đường thẳng nào nằm trong (α) cũng
song song với bất kì đường thẳng nào nằm trong (β).
C. Nếu hai đường thẳng phân biệt a và b song song lần lượt nằm trong hai mặt phẳng (α) và (β) phân
biệt thì a k (β).
D. Nếu đường thẳng d song song với mp (α) thì nó song song với mọi đường thẳng nằm trong mp (α).
-Lời giải.
a
b
α
β
Hình 1.
b
a
α
β
Hình 2.
d
α
Hình 3.
Nếu hai mặt phẳng (α) và (β) song song với nhau thì hai đường thẳng bất kì lần lượt thuộc (α) và (β) có
thể chéo nhau (Hình 1) ⇒ Loại B. Nếu hai đường thẳng phân biệt a và b song song lần lượt nằm trong hai
mặt phẳng (α) và (β) phân biệt thì hai mặt phẳng (α) và (β) có thể cắt nhau (Hình 2) ⇒ Loại C. Nếu
đường thẳng d song song với mp (α) thì nó có thể chéo nhau với một đường thẳng nào đó nằm trong (α) .
(Hình 3).
Chọn đáp án A
Câu 92. Cho hai mặt phẳng song song (α) và (β), đường thẳng a k (α). Có mấy vị trí tương đối của a và
(β)?
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
-Lời giải.
Trong không gian, giữa đường thẳng và mặt phẳng có 3 vị trí tương đối: đường thẳng cắt mặt phẳng, đường
thẳng song song với mặt phẳng, đường thẳng nằm trên mặt phẳng. a k (α) mà (α) k (β) ⇒ a và (α) không
thể cắt nhau. Vậy còn 2 vị trí tương đối.
Th.s Nguyễn Chín Em 193 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Chọn đáp án B
Câu 93. Cho hai mặt phẳng song song (P ) và (Q). Hai điểm M, N lần lượt thay đổi trên (P ) và (Q). Gọi
I là trung điểm của MN. Chọn khẳng định đúng.
A. Tập hợp các điểm I là đường thẳng song song và cách đều (P ) và (Q).
B. Tập hợp các điểm I là mặt phẳng song song và cách đều (P ) và (Q).
C. Tập hợp các điểm I là một mặt phẳng cắt (P ).
D. Tập hợp các điểm I là một đường thẳng cắt (P ).
-Lời giải.
Ta có: I là trung điểm của MN ⇒ Khoảng cách từ I đến (P ) bằng khoảng
cách từ I đến (Q) ⇒ Tập hợp các điểm I là mặt phẳng song song và cách
đều (P ) và (Q).
Q
P
M
I
N
Chọn đáp án B
Câu 94. Trong các điều kiện sau, điều kiện nào kết luận đường thẳng a song song với mặt phẳng (P )?
A. a k b và b ⊂ (P ). B. a k b và b k (P ).
C. a k (Q) và (Q) k (P ). D. a ⊂ (Q) và b ⊂ (P ).
-Lời giải.
Ta có: a k b và b ⊂ (P ) suy ra a k (P ) hoặc a ⊂ (P ) ⇒ Loại A. a k b và b k (P ) suy ra a k (P ) hoặc
a ⊂ (P ) ⇒ Loại B. a k (Q) và (Q) k (P ) suy ra a k (P ) hoặc a ⊂ (P) ⇒ Loại C.
Chọn đáp án D
Câu 95. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Nếu (α) k (β) và a ⊂ (α) , b ⊂ (β) thì a k b.
B. Nếu (α) k (β) và a ⊂ (α) , b ⊂ (β) thì a và b chéo nhau.
C. Nếu a k b và a ⊂ (α) , b ⊂ (β) thì (α) k (β).
D. Nếu (γ) ∩ (α) = a, (γ) ∩ (β) = b và (α) k (β) thì a k b.
-Lời giải.
Nếu (α) k (β) và a ⊂ (α) , b ⊂ (β) thì a k b hoặc a chéo b ⇒ A, B sai. Nếu a k b và a ⊂ (α) , b ⊂ (β) thì
(α) k (β) hoặc (α) và (β) cắt nhau theo giao tuyến song song với a và b.
Chọn đáp án D
Câu 96. Cho đường thẳng a ⊂ (P ) và đường thẳng b ⊂ (Q). Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. (P ) k (Q) ⇒ a k b. B. a k b ⇒ (P) k (Q).
C. (P ) k (Q) ⇒ a k (Q) và b k (P ). D. a và b chéo nhau.
-Lời giải.
Với đường thẳng a ⊂ (P ) và đường thẳng b ⊂ (Q).
Khi (P ) k (Q) ⇒ a k b hoặc a, b chéo nhau ⇒ A sai.
Khi a k b ⇒ (P) k (Q) hoặc (P ), (Q) cắt nhau theo giao tuyến song song với a và b ⇒ B sai.
a và b có thể chéo nhau, song song hoặc cắt nhau ⇒ D sai.
Chọn đáp án C
Câu 97. Hai đường thẳng a và b nằm trong mp (α) . Hai đường thẳng a
0
và b
0
nằm trong mp (β) . Mệnh đề
nào sau đây đúng?
A. Nếu a k a
0
và b k b
0
thì (α) k (β). B. Nếu (α) k (β) thì a k a
0
và b k b
0
.
C. Nếu a k b và a
0
k b
0
thì (α) k (β). D. Nếu a cắt b và a k a
0
, b k b
0
thì (α) k (β).
-Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 194 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
a
0
b
a
b
0
∆
α
β
Hình 1.
a
a
0
α
β
Hình 2.
Nếu a k a
0
và b k b
0
thì (α) k (β) hoặc (α) cắt (β) (Hình 1) ⇒ A sai. Nếu (α) k (β) thì a k a
0
hoặc a, a
0
chéo
nhau (Hình 2) ⇒ B sai.
Nếu a k b và a
0
k b
0
thì (α) k (β) hoặc (α) cắt CC
0
. (Hình 1) ⇒ C sai.
Chọn đáp án D
Câu 98. Cho hai mặt phẳng (P ) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến ∆. Hai đường thẳng p và q lần lượt nằm
trong (P ) và (Q). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. p và q cắt nhau. B. p và q chéo nhau.
C. p và q song song. D. Cả ba mệnh đề trên đều sai.
-Lời giải.
Ta có p và q có thể cắt nhau, song song, chéo nhau (hình vẽ).
q
p
∆
q
p
∆
q
p
∆
Chọn đáp án D
Câu 99. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, I theo thứ tự là
trung điểm của SA, SD và AB. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. (N OM) cắt (OP M ). B. (M ON) k (SBC).
C. (P ON) ∩(MN P ) = NP . D. (NM P ) k (SBD).
-Lời giải.
Ta có MN là đường trung bình của tam giác SAD suy ra MN k AD
(1).
Và OP là đường trung bình của tam giác BAD suy ra OP k AD (2).
Từ (1), (2) suy ra M N k OP k AD ⇒ M, N, O, P đồng phẳng.
Lại có MP k SB, OP k BC suy ra (MNOP ) k (SBC) hay (M ON) k
(SBC) .
S
D C
O
B
M
P
N
A
Chọn đáp án B
Câu 100. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Tam giác SBD đều. Một mặt
phẳng (P ) song song với (SBD) và qua điểm I thuộc cạnh AC (không trùng với A hoặc C). Thiết diện của
(P ) và hình chóp là hình gì?
A. Hình hình hành. B. Tam giác cân. C. Tam giác vuông. D. Tam giác đều.
-Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 195 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Gọi MN là đoạn thẳng giao tuyến của mặt phẳng (P ) và mặt đáy
(ABCD) . Vì (P ) k (SBD) , (P ) ∩ (ABCD) = M N và (SBD) ∩
(ABCD) = MN suy ra MN k BD.
Lập luận tương tự, ta có
(P ) cắt mặt (SAD) theo đoạn giao tuyến NP với NP k SD.
(P ) cắt mặt (SAB) theo đoạn giao tuyến MP với MP k SB.
Vậy tam giác MNP đồng dạng với tam giác SBD nên thiết diện của
(P ) và hình chóp S.ABCD là tam giác đều MNP.
S
O
I
D A
N
B
M
P
C
Chọn đáp án D
Câu 101. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. Hình lăng trụ có các cạnh bên song song và bằng nhau.
B. Hai mặt đáy của hình lăng trụ nằm trên hai mặt phẳng song song.
C. Hai đáy của lăng trụ là hai đa giác đều.
D. Các mặt bên của lăng trụ là các hình bình hành.
-Lời giải.
Xét hình lăng trụ có đáy là một đa giác (tam giác, tứ giác, . . . ), ta thấy rằng hình lăng trụ luôn có các cạnh
bên song song và bằng nhau. Hai mặt đáy của hình lăng trụ nằm trên hai mặt phẳng song song. Hai đáy
của lăng trụ là hai đa giác bằng nhau (tam giác, tứ giác, . . . ). Các mặt bên của lăng trụ là các hình bình
hành vì có hai cạnh là hai cạnh bên của hình lăng trụ, hai cạnh còn lại thuộc hai đáy song song.
Chọn đáp án C
Câu 102. Trong các mệnh đều sau, mệnh đề nào sai?
A. Các cạnh bên của hình lăng trụ bằng nhau và song song với nhau.
B. Các mặt bên của hình lăng trụ là các hình bình hành.
C. Các mặt bên của hình lăng trụ là các hình bình hành bằng nhau.
D. Hai đáy của hình lăng trụ là hai đa giác bằng nhau.
-Lời giải.
Các mặt bên của hình lăng trụ là các hình hình hành, chúng bằng nhau nếu hình lăng trụ có đáy là tam
giác đều.
Chọn đáp án C
Câu 103. Trong các mệnh đều sau, mệnh đề nào đúng?
A. Các cạnh bên của hình chóp cụt đôi một song song.
B. Các cạnh bên của hình chóp cụt là các hình thang.
C. Hai đáy của hình chóp cụt là hai đa giác đồng dạng.
D. Cả 3 mệnh đề trên đều sai.
-Lời giải.
Xét hình chóp cụt có đáy là đa giác (tam giác, tứ giác, . . . ) ta thấy rằng: Các cạnh bên của hình chóp cụt
đôi một cắt nhau. Các mặt bên của hình chóp cụt là các hình thang cân. Hai đáy của hình chóp cụt là hai
đa giác đồng dạng.
Chọn đáp án C
Câu 104. Trong các mệnh đều sau, mệnh đề nào sai?
A. Trong hình chóp cụt thì hai đáy là hai đa giác có các cạnh tương ứng song song và các tỉ số các cặp
cạnh tương ứng bằng nhau.
B. Các mặt bên của hình chóp cụt là các hình thang.
C. Các mặt bên của hình chóp cụt là các hình thang cân.
D. Đường thẳng chứa các cạnh bên của hình chóp cụt đồng quy tại một điểm.
-Lời giải.
Với hình chóp cụt, các mặt bên của hình chóp cụt là các hình thang.
Chọn đáp án C
Câu 105. Cho hình lăng trụ ABC.A
0
B
0
C
0
. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BB
0
và CC
0
. Gọi ∆ là
giao tuyến của hai mặt phẳng (AMN) và (A
0
B
0
C
0
) . Khẳng định nào sau đây đúng?
Th.s Nguyễn Chín Em 196 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
A. ∆ k AB. B. ∆ k AC. C. ∆ k BC. D. ∆ k AA
0
.
-Lời giải.
Ta có
MN ⊂ (AMN )
B
0
C
0
⊂
A
0
B
0
C
0
MN k B
0
C
0
−→ ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng
(AMN) và (A
0
B
0
C
0
) sẽ song song với MN và B
0
C
0
. Suy ra ∆ k BC.
A
0
C
0
A
B
B
0
C
M
N
∆
Chọn đáp án C
Câu 106. Cho hình lăng trụ ABC.A
0
B
0
C
0
. Gọi H là trung điểm của A
0
B
0
. Mặt phẳng (AHC
0
) song song
với đường thẳng nào sau đây?
A. CB
0
. B. BB
0
. C. BC. D. BA
0
.
-Lời giải.
Gọi M là trung điểm của AB suy ra M B
0
k AH ⇒ MB
0
k (AHC
0
) .
(1)
Vì MH là đường trung bình của hình bình hành ABB
0
A
0
suy ra M H
song song và bằng BB
0
nên MH song song và bằng CC
0
⇒ MHC
0
C là hình hình hành ⇒ MC k HC
0
⇒ MC k (AHC
0
) . (2)
Từ (1) và (2), suy ra (B
0
MC) k (AHC
0
) ⇒ B
0
C k (AHC
0
) .
A C
M
A
0
H
B
0
B
C
0
Chọn đáp án A
Câu 107. Cho hình lăng trụ ABC.A
1
B
1
C
1
. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. (ABC) k (A
1
B
1
C
1
). B. AA
1
k (BCC
1
).
C. AB k (A
1
B
1
C
1
). D. AA
1
B
1
B là hình chữ nhật.
-Lời giải.
Vì mặt bên AA
1
B
1
B là hình bình hành, còn nó là hình chữ nhật nếu ABC.A
1
B
1
C
1
là hình lăng trụ đứng.
Chọn đáp án D
Câu 108. Cho hình hộp ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
. Khẳng định nào dưới đây là sai?
A. ABCD là hình bình hành.
B. Các đường thẳng A
0
C, AC
0
, DB
0
, D
0
B đồng quy.
C. (ADD
0
A
0
) k (BCC
0
B
0
).
D. AD
0
CB là hình chữ nhật.
-Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 197 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Dựa vào hình vẽ và tính chất của hình hộp chữ nhật, ta thấy
rằng:
Hình hộp có đáy ABCD là hình bình hành.
Các đường thẳng A
0
C, AC
0
, DB
0
, D
0
B cắt nhau tại tâm
của AA
0
C
0
C, BDD
0
B
0
.
Hai mặt bên (ADD
0
A
0
) , (BCC
0
B
0
) đối diện và song song
với nhau.
AD
0
và CB là hai đường thẳng chéo nhau suy ra AD
0
CB
không phải là hình chữ nhật.
B C
A
0
D
0
B
0
A D
C
0
Chọn đáp án D
Câu 109. Cho hình hộp ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
có các cạnh bên AA
0
, BB
0
, CC
0
, DD
0
. Khẳng định nào dưới đây
sai?
A. (AA
0
B
0
B) k (DD
0
C
0
C). B. (BA
0
D
0
) k (ADC
0
).
C. A
0
B
0
CD là hình bình hành. D. BB
0
D
0
D là một tứ giác.
-Lời giải.
Dựa vào hình vẽ dưới và tính chất của hình hộp, ta thấy rằng:
Hai mặt bên (AA
0
B
0
B) và (DD
0
C
0
C) đối diện, song song
với nhau.
Hình hộp có hai đáy (ABCD) , (A
0
B
0
C
0
D
0
) là hình bình
hành ⇒ A
0
B
0
= CD và A
0
B
0
k CD suy ra A
0
B
0
CD là
hình hình hành.
BD k B
0
D
0
suy ra B, B
0
, D
0
, D đồng phẳng ⇒ BB
0
D
0
D
là tứ giác.
Mặt phẳng (BA
0
D
0
) chứa đường thẳng CD
0
mà CD
0
cắt
C
0
D suy ra (BA
0
D
0
) không song song với mặt phẳng
(ADC
0
) .
B C
A
0
D
0
B
0
A D
C
0
Chọn đáp án B
Câu 110. Nếu thiết diện của một lăng trụ tam giác và một mặt phẳng là một đa giác thì đa giác đó có
nhiều nhất mấy cạnh?
A. 3 cạnh. B. 4 cạnh. C. 5 cạnh. D. 6 cạnh.
-Lời giải.
Đa giác thiết diện của một lăng trụ tam giác và một mặt phẳng có nhiều nhất 5 cạnh với các cạnh thuộc
các mặt của hình lăng trụ tam giác.
Chọn đáp án C
Câu 111. Nếu thiết diện của một hình hộp và một mặt phẳng là một đa giác thì đa giác đó có nhiều nhất
mấy cạnh?
A. 4 cạnh. B. 5 cạnh. C. 6 cạnh. D. 7 cạnh.
-Lời giải.
Vì hình hộp là hình lăng trụ có đáy là tứ giác và có 6 mặt nên thiết diện của hình hộp và mặt phẳng bất
kì là một đa giác có nhiều nhất 6 cạnh.
Chọn đáp án C
Câu 112. Cho hình hộp ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
. Gọi I là trung điểm của AB. Mặt phẳng (IB
0
D
0
) cắt hình hộp
theo thiết diện là hình gì?
A. Tam giác. B. Hình thang. C. Hình bình hành. D. Hình chữ nhật.
-Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 198 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Ta có
B
0
D
0
⊂
IB
0
D
0
BD ⊂ (ABCD)
B
0
D
0
k BD
−→ Giao tuyến của (IB
0
D
0
) với (ABCD)
là đường thẳng d đi qua I và song song với BD. Trong mặt phẳng
(ABCD), gọi M = d ∩AD −→ IM k BD k B
0
D
0
. Khi đó thiết diện
là tứ giác IMB
0
D
0
và tứ giác này là hình thang.
A
0
D
0
M
B C
D
C
0
I
B
0
A
Chọn đáp án B
Câu 113. Cho hình hộp ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
. Gọi (α) là mặt phẳng đi qua một cạnh của hình hộp và cắt
hình hộp theo thiết diện là một tứ giác T . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. T là hình chữ nhật. B. T là hình bình hành.
C. T là hình thoi. D. T là hình vuông.
-Lời giải.
Giả sử mặt phẳng (α) đi qua cạnh AB và cắt hình hộp theo tứ
giác T. Gọi d là đường thẳng giao tuyến của (α) và mặt phẳng
(A
0
B
0
C
0
D
0
) . Ta chứng minh được AB k d suy ra tứ giác T là một
hình bình hành.
B C
A
0
D
0
B
0
A D
C
0
d
Chọn đáp án B
Câu 114. Cho hình chóp cụt tam giác ABC.A
0
B
0
C
0
có 2 đáy là 2 tam giác vuông tại A và A
0
và có
AB
A
0
B
0
=
1
2
. Khi đó tỉ số diện tích
S
∆ABC
S
∆A
0
B
0
C
0
bằng
A.
1
2
. B.
1
4
. C. 2. D. 4.
-Lời giải.
Hình chóp cụt ABC.A
0
B
0
C
0
có hai mặt đáy là hai mặt phẳng song song
nên tam giác ABC đồng dạng tam giác A
0
B
0
C
0
suy ra
S
∆ABC
S
∆A
0
B
0
C
0
=
1
2
· AB ·AC
1
2
· A
0
B
0
· A
0
C
0
=
AB
A
0
B
0
·
AC
A
0
C
0
=
1
4
.
A C
A
0
B
B
0
C
0
Chọn đáp án B
Câu 115. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC thỏa mãn AB = AC = 4,
’
BAC = 30
◦
. Mặt
phẳng (P ) song song với (ABC) cắt đoạn SA tại M sao cho SM = 2MA. Diện tích thiết diện của (P ) và
hình chóp S.ABC bằng bao nhiêu?
A.
16
9
. B.
14
9
. C.
25
9
. D. 1.
-Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 199 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Ta có S
∆ABC
=
1
2
· AB · AC · sin
’
BAC =
1
2
· 4 · 4 · sin 30
0
= 4. Gọi
N, P lần lượt là giao điểm của mặt phẳng (P ) và các cạnh SB, SC. Vì
(P ) k (ABC) nên theoo định lí Talet, ta có
SM
SA
=
SN
SB
=
SP
SC
=
2
3
.
Khi đó (P ) cắt hình chóp S.ABC theo thiết diện là tam giác MN P đồng
dạng với tam giác ABC theo tỉ số k =
2
3
.
Vậy S
∆MN P
= k
2
· S
∆ABC
=
Å
2
3
ã
2
· 4 =
16
9
.
S
A
M
C
N
B
P
Chọn đáp án A
Câu 116. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân với cạnh bên BC = 2, hai đáy
AB = 6, CD = 4. Mặt phẳng (P ) song song với (ABCD) và cắt cạnh SA tại M sao cho SA = 3SM. Diện
tích thiết diện của (P ) và hình chóp S.ABCD bằng bao nhiêu?
A.
5
√
3
9
. B.
2
√
3
3
. C. 2. D.
7
√
3
9
.
-Lời giải.
S
C
P
D
B
A
M
Q
N
CD
A BH K
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của D, C trên AB.
ABCD là hình thang cân ⇒
®
AH = BK; CD = HK
AH + HK + BK = AB
⇒ BK = 1.
Tam giác BCK vuông tại K, có CK =
√
BC
2
− BK
2
=
√
2
2
− 1
2
=
√
3. Suy ra diện tích hình thang
ABCD là S
ABCD
= CK ·
AB + CD
2
=
√
3 ·
4 + 6
2
= 5
√
3.
Gọi N, P, Q lần lượt là giao điểm của P và các cạnh SB, SC, SD. Vì (P ) k (ABCD) nên theo định lí Talet,
ta có
MN
AB
=
NP
BC
=
P Q
CD
=
QM
AD
=
1
3
.
Khi đó (P ) cắt hình chóp theo thiết diện MNP Q có diện tích S
MN P Q
= k
2
· S
ABCD
=
5
√
3
9
.
Chọn đáp án A
Câu 117. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành có tâm O, AB = 8, SA = SB = 6.
Gọi (P ) là mặt phẳng qua O và song song với (SAB) . Thiết diện của (P ) và hình chóp S.ABCD có diện
tích bằng
A. 5
√
5. B. 6
√
5. C. 12. D. 13.
-Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 200 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Qua O kẻ đường thẳng d song song AB và cắt BC, AD lần lượt tại
P, Q. Kẻ P N song song với SB (N ∈ SB), kẻ QM song song với
SA (M ∈ SA) . Khi đó (MNP Q) k (SAB) ⇒ thiết diện của (P )
và hình chóp S.ABCD là tứ giác MNP Q.
Vì P, Q là trung điểm của BC, AD suy ra N, M lần lượt là
trung điểm của SC, SD. Do đó M N là đường trung bình tam
giác SCD ⇒ MN =
CD
2
=
AB
2
= 4. Và N P =
SB
2
= 3;
QM =
SA
2
= 3 ⇒ NP = QM ⇒ MN P Q là hình thang cân.
S
N
C
P
D
Q
B
A
M
Hạ NH, MK vuông góc với P Q. Ta có P H = KQ ⇒ P H =
1
2
(P Q − MN) = 2.
Tam giác P HN vuông, có NH =
√
5.
Vậy diện tích hình thang MNP Q là S
MN P Q
= NH ·
P Q + NM
2
= 6
√
5.
Chọn đáp án B
Câu 118. Cho hình lăng trụ ABC.A
0
B
0
C
0
. Gọi H là trung điểm của A
0
B
0
. Đường thẳng B
0
C song song
với mặt phẳng nào sau đây?
A. (AHC
0
). B. (AA
0
H). C. (HAB). D. (HA
0
C).
-Lời giải.
Gọi M là trung điểm của AB suy ra MB
0
k AH
⇒ MB
0
k (AHC
0
) . (1)
Vì MH là đường trung bình của hình bình hành ABB
0
A
0
suy ra M H
song song và bằng BB
0
nên MH song song và bằng CC
0
⇒ MHC
0
C là hình hình hành ⇒ MC k HC
0
⇒ MC k (AHC
0
) . (2)
Từ (1) và (2), suy ra (B
0
MC) k (AHC
0
) ⇒ B
0
C k (AHC
0
) .
A C
M
A
0
H
B
0
B
C
0
Chọn đáp án A
Câu 119. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.
A. Nếu hai mặt phẳng (α) và(β) song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong (α) đều song song
với (β).
B. Nếu hai mặt phẳng (α) và (β) song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong (α) đều song song
với mọi đường thẳng nằm trong (β).
C. Nếu hai đường thẳng song song với nhau lần lượt nằm trong hai mặt phẳng phân biệt (α) và(β) thì
(α) và (β) song song với nhau.
D. Qua một điểm nằm ngoài mặt phẳng cho trước ta vẽ được một và chỉ một đường thẳng song song với
mặt phẳng cho trước đó.
-Lời giải.
Đáp án B, C sai. Hai đường thẳng lần lượt nằm trên hai mặt phẳng song song với nhau thì có thể chéo
nhau.
Đáp án D sai vì qua một điểm nằm ngoài mặt phẳng cho trước ta vẽ được vô số đường thẳng song song với
mặt phẳng cho trước đó.
Chọn đáp án A
Câu 120. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm các cạnh AC, BD, AB, CD,
AD, BC. Bốn điểm nào sau đây không đồng phẳng?
A. P, Q, R, S. B. M, P, R, S. C. M, R, S, N. D. M, N, P, Q.
-Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 201 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Dễ thấy (MP R) k (BCD) , mà S ∈ (BCD) ⇔ S /∈ (MP R) .
Vậy M, P, R, S không đồng phẳng.
A
R
D
C
N
S
B
P
M
Q
Chọn đáp án B
Câu 121. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng?
A. Nếu (α) k (β) và a ⊂ (α) , b ⊂ (β) thì a k b. B. Nếu a k (α) và b k (β) thì a k b.
C. Nếu (α) k (β) và a ⊂ (α) thì a k (β). D. Nếu a k b và a ⊂ (α) , b ⊂ (β) thì (α) k (β).
Câu 122. Trong không gian, cho hai mặt phẳng phân biệt (α) và (β) . Có bao nhiêu vị trí tương đối giữa
(α) và (β)?
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
-Lời giải.
Trong không gian hai mặt phẳng phân biệt (α) và (β) có hai vị trí tương đối là: cắt nhau hay song song.
Chọn đáp án B
Câu 123. Cho tứ diện đều SABC. Gọi I là trung điểm của đoạn AB, M là điểm di động trên đoạn AI.
Qua M vẽ mặt phẳng (α) song song với (SIC) . Thiết diện tạo bởi (α) với tứ diện SABC là
A. Tam giác cân tại M. B. Tam giác đều. C. Hình bình hành. D. Hình thoi.
-Lời giải.
Gọi N, P lần lượt nằm trên các cạnh SA, AC sao cho
®
MN k SI
MP k IC
.
⇔ (MP N) k (SIC) ⇔ (MN P ) ≡ (α).
Vậy thiết diện là tam giác M NP .
Tứ diện SABC đều nên tam giác SIC cân tại I.
Ngoài ra ta có
AM
AI
=
MP
IP
=
MN
MP
⇔ MN = MP .
Suy ra tam giác MNP cân tại M.
S
P C
B
A
M
I
N
Chọn đáp án A
Câu 124. Cho tứ diện đều SABC cạnh bằng a. Gọi I là trung điểm của đoạn AB, M là điểm di động trên
đoạn AI. Qua M vẽ mặt phẳng (α) song song với (SIC) . Tính chu vi của thiết diện tạo bởi (α) với tứ diện
SABC, biết AM = x.
A. x
Ä
1 +
√
3
ä
. B. 2x
Ä
1 +
√
3
ä
. C. 3x
Ä
1 +
√
3
ä
. D. Không tính được.
-Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 202 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Để ý hai tam giác MN P và SIC đồng dạng với tỉ số
AM
AI
=
2x
a
⇒
C
MN P
C
SIC
=
2x
a
⇔ C
MN P
=
2x
a
(SI + IC + SC) =
2x
a
Ç
a
√
3
2
+
a
√
3
2
+ a
å
= 2x
Ä
√
3 + 1
ä
.
S
P C
B
A
M
I
N
Chọn đáp án B
Câu 125. Cho hình bình hành ABCD. Gọi Bx, Cy, Dz là các đường thẳng song song với nhau lần lượt đi
qua B, C, D và nằm về một phía của mặt phẳng (ABCD) đồng thời không nằm trong mặt phẳng (ABCD) .
Một mặt phẳng đi qua A cắt Bx, Cy, Dz lần lượt tại B
0
, C
0
, D
0
với BB
0
= 2, DD
0
= 4. Khi đó độ dài CC
0
bằng bao nhiêu?
A. 3. B. 4. C. 5. D. 6.
-Lời giải.
Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD. Dựng đường thẳng qua
O song song BB
0
và cắt B
0
D
0
tại O
0
.
Theo cách dưng trên, ta có OO
0
là đường trung bình của hình
thang BB
0
D
0
D ⇔ OO
0
=
BB
0
+ DD
0
2
= 3.
Ngoài ra ta có OO
0
là đường trung bình của tam giác ACC
0
⇔ CC
0
= 2OO
0
= 6.
C
0
O
0
B
0
C
A B
O
D
D
0
Chọn đáp án D
Câu 126. Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAB nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi M là
điểm di động trên đoạn AB. Qua M vẽ mặt phẳng (α) song song với (SBC). Thiết diện tạo bởi (α) và hình
chóp S.ABCD là hình gì?
A. Hình tam giác. B. Hình bình hành. C. Hình thang. D. Hình vuông.
-Lời giải.
Lần lượt lấy các điểm N, P, Q thuộc các cạnh CD, SD, SA thỏa MN k
BC, NP k SC, P Q k AD.
Suy ra (α) ≡ (M NP Q) và (α) k (SBC). Theo cách dựng trên thì thiết
diện là hình thang.
CD
N
S
O
B
P
Q
A
M
Chọn đáp án C
Câu 127. Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAB nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi M là
điểm di động trên đoạn AB. Qua M vẽ mặt phẳng (α) song song với (SBC). Gọi N, P, Q lần lượt là giao
của mặt phẳng (α) với các đường thẳng CD, SD, SA. Tập hợp các giao điểm I của hai đường thẳng MQ
và NP là
Th.s Nguyễn Chín Em 203 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
A. Đường thẳng song song với AB. B. Nửa đường thẳng.
C. Đoạn thẳng song song với AB. D. Tập hợp rỗng.
-Lời giải.
Lần lượt lấy các điểm N, P, Q thuộc các cạnh CD, SD, SA thỏa
MN k BC, NP k SC, P Q k AD. Suy ra (α) ≡ (MN P Q) và
(α) k (SBC).
Vì I = MQ ∩ NP ⇔
®
I, S ∈ (SCD)
I, S ∈ (SAB)
⇔ I nằm trên đường
thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).
Khi
®
M ≡ B ⇒ I ≡ S
M ≡ A ⇒ I ≡ T
với T là điểm thỏa mãn tứ giác ABST
là hình bình hành.
CD
N
S
O
Q
I
T
B
P
A
M
Vậy quỹ tích cần tìm là đoạn thẳng song song với AB.
Chọn đáp án C
ĐÁP ÁN
1. C 2. D 3. A 4. B 5. B 6. D 7. D 8. C 9. D 10. D
11. B 12. D 13. A 14. A 15. B 16. C 17. C 18. C 19. C 20. C
21. A 22. A 23. D 24. D 25. B 26. C 27. C 28. B 29. B 30. B
31. A 32. D 33. B 34. B 35. C 36. B 37. D 38. B 39. C 40. D
41. A 42. A 43. D 44. C 45. C 46. A 47. A 48. B 49. B 50. C
51. A 52. D 53. C 54. C 55. C 56. B 57. C 58. B 59. B 60. B
61. D 62. A 63. A 64. B 65. D 66. B 67. A 68. B 69. B 70. A
71. D 72. A 73. D 74. B 75. B 76. C 77. B 78. D 79. B 80. C
81. C 82. A 83. B 84. B 85. C 86. C 87. B 88. D 89. C 90. D
91. A 92. B 93. B 94. D 95. D 96. C 97. D 98. D 99. B 100. D
101. C 102. C 103. C 104. C 105. C 106. A 107. D 108. D 109. B 110. C
111. C 112. B 113. B 114. B 115. A 116. A 117. B 118. A 119. A 120. B
121. C 122. B 123. A 124. B 125. D 126. C 127. C
Th.s Nguyễn Chín Em 204 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
BÀI 5. PHÉP CHIẾU SONG SONG - HÌNH BIỂU DIỄN
CỦA MỘT HÌNH KHÔNG GIAN
A TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Khái niệm.
Cho mặt phẳng (α) và đường thẳng ∆ cắt (α).
Với mỗi điểm M trong không gian, đường thẳng đi qua M
và song song hoặc trùng với ∆ cắt (α) tại điểm M
0
xác định.
Điểm M
0
được gọi là hình chiếu song song của điểm M trên
mặt phẳng (α) theo phương ∆.
Mặt phẳng (α) gọi là mặt phẳng chiếu, phương ∆ được gọi
là phương chiếu.
M
M
0
∆
α
Phép đặt tương ứng mỗi điểm M trong không gian với hình chiếu song song M
0
của nó trên (α) theo
phương ∆ được gọi là phép chiếu song song lên (α) theo phương ∆.
4
!
Chú ý: Nếu một đường thẳng có phương trùng với phương chiếu thì hình chiếu song song của nó
lên mặt phẳng chiếu là một điểm (trùng với giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng chiếu).
Tính chất 1. Phép chiếu song song:
1
Bảo toàn sự thẳng hàng và thứ tự các điểm.
2 Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng.
3 Biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.
4 Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng nằm trên hai đường
thẳng song song hoặc cùng nằm trên một đường thẳng.
Tính chất 2. Hình biểu diễn của một hình không gian trên mặt phẳng:
1 Hình biểu diễn của một hình trong không gian là hình chiếu song song của hình đó lên mặt
phẳng hoặc đồng dạng với hình chiếu đó.
2 Hình biểu diễn của tam giác cân, tam giác vuông, tam giác đều thường là một tam giác bất kỳ.
3 Hình biểu diễn của hình bình hành, hình thoi, hình chữ nhật, hình vuông thường là hình bình
hành.
4 Hình biểu diễn của hình thang là một hình thang.
5 Hình biểu diễn của hình tròn là hình elip hay hình tròn.
4
!
Chú ý: Khi vẽ hình biểu diễn của hình không gian trên mặt phẳng cần bảo toàn tính song song,
thẳng hàng và tỉ số hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song song hoặc trên cùng một đường
thẳng.
B CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1. Cho hình lăng trụ ABC.A
0
B
0
C
0
. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Qua phép chiếu
song song phương AA
0
mặt phẳng chiếu là (A
0
B
0
C
0
) biến G thành G
0
. Chứng minh G
0
là trọng tâm
của tam giác A
0
B
0
C
0
.
-Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 205 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Gọi M là trung điểm của AB.
Do ABC.A
0
B
0
C
0
là hình lăng trụ.
Suy ra qua phép chiếu song song phương AA
0
biến B thành B
0
, biến
M thành M
0
.
Theo đầu bài G là trọng tâm tam giác ABC. Suy ra B, M, G thẳng
hàng và
BG
BM
=
2
3
.
Ta có B
0
, M
0
, G
0
thẳng hàng và
B
0
G
0
B
0
M
0
=
2
3
.
Mặt khác M là trung điểm của AC, suy ra M
0
là trung điểm của C
0
.
Suy ra G
0
là trọng tâm của tam giác A
0
B
0
C
0
.
G
0
B
G
A
0
A
M
B
0
M
0
C
0
C
C BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN
Bài 1. Hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau có thể song song với nhau không? Hình chiếu
song song của hai đường thẳng cắt nhau có thể song song với nhau hay không?
-Lời giải.
Hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau có thể song song với nhau.
Hình chiếu của hai đường thẳng cắt nhau thì không thể song song với nhau.
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành, O là tâm của đáy. Trên cạnh SB, SD lần lượt lấy
điểm M, N sao cho SM = 2M B, SN =
1
3
SD. Hình chiếu của M, N qua phép chiếu song song phương SO
mặt phẳng chiếu (ABCD) lần lượt là P , Q. Tính tỉ số
OP
OQ
.
-Lời giải.
Do P là hình chiếu song song của M qua phép chiếu song song phương
SO ⇒
BM
BS
=
BP
BO
.
Mà SM = 2M B ⇒
BP
BO
=
1
3
⇒
OP
OB
=
2
3
.
Chứng minh tương tự, ta có
OQ
OD
=
1
3
.
Ta có BO = DO ⇒
OP
OQ
=
1
2
.
S
B C
O
D
N
P
A
M
Q
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình bình hành. Gọi O là tâm của đáy, lấy M, N lần lượt là ảnh
của điểm A, D qua phép chiếu song song phương SO trên mặt phẳng (SBC). Khi đó tứ giác BCNM là
hình gì? Hình chóp S.ABCD thêm điều kiện gì để tứ giác BCNM là hình vuông?
-Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 206 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Theo bài ra M, N lần lượt là ảnh của điểm A, D qua phép chiếu song
song phương SO trên mặt phẳng (SBC). Ta có SO k AM, SO k DN
và O là trung điểm của AC.
Suy ra SO là đường trung bình của các tam giác CAM, BDN.
Nên AM k DN và AM = DN ⇒ ADNM là hình bình hành ⇒ MN k
BC và MN = BC ⇒ BCN M là hình bình hành.
Để BCN M là hình vuông thì BN = CM và BN ⊥ CM suy ra hình
chóp S.ABCD có mặt bên SBC là tam giác vuông cân tại S
M N
A
B C
O
S
D
Bài 4. Cho hình hộp ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
, tìm ảnh của điểm A, B
0
.
1 Qua phép chiếu song song phương CD mặt phẳng chiếu (BCC
0
B
0
).
2 Qua phép chiếu song song phương CD
0
mặt phẳng chiếu (ABB
0
A
0
).
-Lời giải.
1 Ta có AB k CD nên ảnh của điểm A qua phép chiếu song song
phương CD lên mặt phẳng (BCC
0
B
0
) là điểm B. Mặt khác điểm
B
0
∈ (BCC
0
B
0
) nên ảnh của B
0
qua qua phép chiếu song song
phương CD lên mặt phẳng (BCC
0
B
0
) là điểm B
0
.
2 Do CD
0
k BA
0
⇒ CD
0
k (ABB
0
A
0
). Nên phương chiếu CD
0
không cắt mặt phẳng chiếu (ABB
0
A
0
). Vì vậy ta không xác định
được ảnh của A, B
0
qua phép chiếu song song phương CD
0
mặt
phẳng chiếu (ABB
0
A
0
).
A
0
D
0
A
B C
B
0
C
0
D
D BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Qua phép chiếu song song, tính chất nào không được bảo toàn?
A. Chéo nhau. B. Đồng qui. C. Song song. D. Thẳng hàng.
-Lời giải.
Do hai đường thẳng qua phép chiếu song song ảnh của chúng sẽ cùng thuộc một mặt phẳng. Suy ra tính
chất chéo nhau không được bảo toàn.
Chọn đáp án A
Câu 2. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai?
A. Phép chiếu song song biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành
đoạn thẳng.
B. Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song.
C. Phép chiếu song song biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không thay đổi thứ tự
của ba điểm đó.
D. Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng
song song hoặc cùng nằm trên một đường thẳng.
-Lời giải.
Tính chất của phép chiếu song song: Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường
thẳng song song hoặc trùng nhau.
Th.s Nguyễn Chín Em 207 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Suy ra mệnh đề “Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song ”
sai vì chúng có thể trùng nhau.
Chọn đáp án B
Câu 3. Cho hình lăng trụ ABC.A
0
B
0
C
0
, qua phép chiếu song song phương CC
0
, mặt phẳng chiếu (A
0
B
0
C
0
)
biến M thành M
0
. Trong đó M là trung điểm của BC. Chọn mệnh đề đúng?
A. M
0
là trung điểm của A
0
B
0
. B. M
0
là trung điểm của B
0
C
0
.
C. M
0
là trung điểm của A
0
C
0
. D. Cả ba đáp án trên đều sai.
-Lời giải.
Ta có phép chiếu song song phương CC
0
, biến C thành C
0
, biến B thành
B
0
. Do M là trung điểm của BC suy ra M
0
là trung điểm của B
0
C
0
vì
phép chiếu song song bảo toàn thứ tự của ba điểm thẳng hàng và bảo toàn
tỉ số của hai đoạn thẳng nằm trên cùng một đường thẳng hoặc trên hai
đường thẳng song song.
B
A
0
A
C
0
C
B
0
M
M
0
Chọn đáp án B
Câu 4. Cho hình lăng trụ ABC.A
0
B
0
C
0
. Gọi I, I
0
lần lượt là trung điểm của AB, A
0
B
0
. Qua phép chiếu
song song phương AI
0
, mặt phẳng chiếu (A
0
B
0
C
0
) biến I thành?
A. A
0
. B. B
0
. C. C
0
. D. I
0
.
-Lời giải.
Ta có
AI k B
0
I
0
AI = B
0
I
0
´
⇒ AIB
0
I
0
là hình bình hành.
Suy ra qua phép chiếu song song phương AI
0
, mặt phẳng chiếu (A
0
B
0
C
0
)
biến điểm I thành điểm B
0
.
B
I
I
0
A
0
A
C
0
C
B
0
Chọn đáp án B
Câu 5. Cho tam giác ABC ở trong mặt phẳng (α) và phương l. Biết hình chiếu (theo phương l) của tam
giác ABC lên mặt phẳng (P ) là một đoạn thẳng. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. (α) k (P). B. (α) ≡ (P).
C. (α) k l hoặc (α) ⊃ l. D. Cả ba đáp án A, B, C đều sai.
-Lời giải.
Phương án A: Hình chiếu của tam giác ABC vẫn là một tam giác
trên mặt phẳng (α).
Phương án B: Hình chiếu của tam giác ABC vẫn là tam giác ABC.
Phương án C: Khi phương chiếu l song song với (α) hoặc chứa
trong mặt phẳng (α). Thì hình chiếu của tam giác ABC là một
đoạn thẳng trên mặt phẳng (α).
P
Q
R
A
C
B
l
α
Chọn đáp án C
Câu 6. Phép chiếu song song theo phương l không song song với a hoặc b, mặt phẳng chiếu là (P ), hai
đường thẳng a và b biến thành a
0
và b
0
. Quan hệ nào giữa a và b không được bảo toàn trong phép chiếu
Th.s Nguyễn Chín Em 208 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
song song?
A. Cắt nhau. B. Trùng nhau. C. Song song. D. Chéo nhau.
-Lời giải.
Do hai đường thẳng a
0
và b
0
cùng thuộc mặt phẳng chiếu (P ). Suy ra tính chất chéo nhau không được bảo
toàn.
Chọn đáp án D
Câu 7. Hình chiếu của hình chữ nhật không thể là hình nào trong các hình sau?
A. Hình thang có hai đáy không bằng nhau. B. Hình bình hành.
C. Hình chữ nhật. D. Hình thoi.
-Lời giải.
Tính chất của phép chiếu song song.
Chọn đáp án A
Câu 8. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hình chiếu song song của một hình chóp cụt có thể là một hình tam giác.
B. Hình chiếu song song của một hình chóp cụt có thể là một đoạn thẳng.
C. Hình chiếu song song của một hình chóp cụt có thể là một hình chóp cụt.
D. Hình chiếu song song của một hình chóp cụt có thể là một điểm.
-Lời giải.
Qua phép chiếu song song chỉ có thể biến hình chóp cụt thành một đa giác. Loại phương án - có thể là một
đoạn thẳng, có thể là một điểm.
Ảnh của một hình qua phép chiếu song song không thể là một hình đa diện – loại phương án có thể là một
hình chóp cụt.
Chọn phương án - có thể là một hình tam giác.
Chọn đáp án A
Câu 9. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai?
A. Hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau có thể song song với nhau.
B. Một đường thẳng có thể trùng với hình chiếu của nó.
C. Hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau có thể trùng nhau.
D. Một tam giác bất kỳ đều có thể xem là hình biểu diễn của một tam giác cân.
-Lời giải.
Nếu hình chiếu song song của hai đường thẳng là một đường thẳng thì hai đường thẳng đó phải cùng nằm
trong một mặt phẳng song song hoặc chứa phương chiếu. Mặt khác hai đường thẳng chéo nhau không cùng
nằm trong bất kỳ mặt phẳng nào. Do đó mệnh đề “Hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau có
thể trùng nhau.” là sai.
Chọn đáp án C
Câu 10. Phép chiếu song song biến ba đường thẳng song song thành
A. Ba đường thẳng đôi một song song với nhau. B. Một đường thẳng.
C. Thành hai đường thẳng song song. D. Cả ba trường hợp trên đều có thể xảy ra.
-Lời giải.
Tính chất phép chiếu song song.
Chọn đáp án D
Câu 11. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hình chiếu song song của hình lập phương ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
theo phương AA
0
lên mặt phẳng (ABCD)
là hình bình hành.
B. Hình chiếu song song của hình lập phương ABCD.B
0
C
0
D
0
theo phương AA
0
lên mặt phẳng (ABCD)
là hình vuông.
C. Hình chiếu song song của hình lập phương ABCD.B
0
C
0
D
0
theo phương AA
0
lên mặt phẳng (ABCD)
là hình thoi.
D. Hình chiếu song song của hình lập phương ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
theo phương AA
0
lên mặt phẳng (ABCD)
là một tam giác.
-Lời giải.
phép chiếu song song phương AA
0
lên mặt phẳng (ABCD) sẽ biến A
0
thành A, biến B
0
thành B, biến C
0
thành C, biến D
0
thành D. Nên hình chiếu song song của hình lập phương ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
là hình vuông.
Chọn đáp án B
Th.s Nguyễn Chín Em 209 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Câu 12. Hình chiếu của hình vuông không thể là hình nào trong các hình sau?
A. Hình vuông. B. Hình bình hành.
C. Hình thang có hai cạnh đáy không bằng nhau. D. Hình thoi.
-Lời giải.
Tính chất của phép chiếu song song.
Chọn đáp án C
Câu 13. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai?
A. Một đường thẳng luôn cắt hình chiếu của nó.
B. Một tam giác bất kỳ đề có thể xem là hình biểu diễn của một tam giác cân.
C. Một đường thẳng có thể song song với hình chiếu của nó.
D. Hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau có thể song song với nhau.
-Lời giải.
Khi mặt phẳng chiếu song song với đường thẳng đã cho thì đường thẳng đó song song với hình chiếu của
nó.
Chọn đáp án A
Câu 14. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai?
A. Hình chiếu song song của hai đường thẳng cắt nhau có thể song song với nhau.
B. Một tam giác bất kỳ đề có thể xem là hình biểu diễn của một tam giác vuông.
C. Một đường thẳng có thể cắt với hình chiếu của nó.
D. Hình chiếu song song của hai đường thẳng cắt nhau có thể trùng nhau.
-Lời giải.
Hai đường thẳng cắt nhau thì cùng nằm trong một mặt phẳng.
Khi mặt phẳng đó song song với phương chiếu thì hình chiếu của chúng trùng nhau hoặc là một điểm nằm
trên một đường thẳng.
Khi mặt phẳng đó không song song với phương chiếu thì hình chiếu của chúng là hai đường thẳng cắt nhau.
Chọn đáp án A
Câu 15. Nếu đường thẳng a cắt mặt phẳng chiếu (P ) tại điểm A thì hình chiếu song song của a trên mặt
phẳng (P ) sẽ là:
A. Điểm A. B. Trùng với phương chiếu.
C. Đường thẳng đi qua A. D. Đường thẳng đi qua A hoặc chính A.
-Lời giải.
Nếu phương chiếu song song hoặc trùng với đường thẳng a thì hình chiếu là điểm A.
Nếu phương chiếu không song song hoặc không trùng với đường thẳng a thì hình chiếu là đường thẳng đi
qua điểm A.
Chọn đáp án D
Câu 16. Giả sử tam giác ABC là hình biểu diễn của một tam giác đều. Hình biểu diễn của tâm đường
tròn ngoại tiếp tam giác đều là:
A. Giao điểm của hai đường trung tuyến của tam giác ABC.
B. Giao điểm của hai đường trung trực của tam giác ABC.
C. Giao điểm của hai đường đường cao của tam giác ABC.
D. Giao điểm của hai đường phân giác của tam giác ABC.
-Lời giải.
Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều đồng thời là trọng tâm tam giác đó. Do tam giác ABC là hình
biểu diễn của tam giác đều, kết hợp với tính chất bảo toàn thứ tự của ba điểm thẳng hàng và bảo toàn tỉ
số hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song song hoặc nằm trên cùng một đường thẳng ta được hình
biểu diễn của tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều là trọng tâm của tam giác ABC.
Chọn đáp án A
Câu 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, M là trung điểm của SC. Hình chiếu song
song của điểm M theo phương AB lên mặt phẳng (SAD) là điểm nào sau đây?
A. S. B. Trung điểm của SD. C. A. D. D.
-Lời giải.
Giả sử N là ảnh của M theo phép chiếu song song phương AB lên mặt phẳng (SAD).
Suy ra MN k AB ⇒ MN k CD. Do M là trung điểm của SC ⇒ N là trung điểm của SD.
Chọn đáp án B
Th.s Nguyễn Chín Em 210 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Câu 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Hình chiếu song song của điểm A theo phương
AB lên mặt phẳng (SBC) là điểm nào sau đây?
A. S. B. Trung điểm của BC. C. B. D. C.
-Lời giải.
Do AB ∩(SBC) = {B} suy ra hình chiếu song song của điểm A theo phương AB lên mặt phẳng (SBC) là
điểm B.
Chọn đáp án C
Câu 19. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau?
A. Phép chiếu song song có thể biến đường thẳng thành đường thẳng.
B. Phép chiếu song song có thể biến đường thẳng thành đoạn thẳng.
C. Phép chiếu song song có thể biến đường thẳng thành một điểm.
D. Phép chiếu song song có thể biến một đường thẳng thành chính nó.
-Lời giải.
Phép chiếu song song chỉ có thể biến đường thẳng thành đường thẳng hoặc thành một điểm.
Chọn đáp án B
Câu 20. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau?
A. Phép chiếu song song có thể biến một tam giác đều thành một tam giác bất kỳ.
B. Phép chiếu song song có thể biến một tam giác vuông thành một tam giác bất kỳ.
C. Phép chiếu song song biến một tam giác thành một tam giác.
D. Phép chiếu song song biến một tam giác thành một tam giác, thành một điểm hoặc một đoạn thẳng.
-Lời giải.
Phép chiếu song song không thể biến một tam giác thành một điểm vì khi đó các đoạn thẳng đó phải thẳng
hàng và song song với phương chiếu.
Chọn đáp án D
Câu 21. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau?
A. Phép chiếu song song có thể biến một tứ diện thành một hình bình hành.
B. Phép chiếu song song có thể biến một tứ diện thành một hình tam giác.
C. Phép chiếu song song có thể biến một tứ diện thành một hình vuông.
D. Phép chiếu song song có thể biến một tứ diện thành một đường thẳng.
-Lời giải.
Phép chiếu song song không thể biến một tứ diện thành một đường thẳng vì các cạnh tứ diện đều là đoạn
thẳng. Nó cũng không thể biến tứ diện thành một đoạn thẳng vì khi đó các cạnh của tứ diện phải cùng
nằm trong một mặt phẳng.
Chọn đáp án D
Câu 22. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Phép chiếu song song có thể biến hình bình hành thành một hình thang bất kỳ.
B. Phép chiếu song song có thể biến hình thang bất kỳ thành hình bình hành.
C. Phép chiếu song song có thể biến hình bình hành thành tứ giác bất kỳ.
D. Phép chiếu song song có thể biến hình thoi thành hình bình hành.
-Lời giải.
Tính chất phép chiếu song song.
Chọn đáp án D
Câu 23. Giả sử tứ giác ABCD là hình biểu diễn của một hình vuông. Nếu ABCD là một hình bình hành,
thì đường tròn ngoại tiếp hình vuông cho trước được biểu diễn là hình gì, có tính chất như thế nào với hình
bình hành ABCD:
A. Là đường tròn đi qua các đỉnh của hình bình hành ABCD.
B. Là đường elip đi qua các đỉnh của hình bình hành ABCD.
C. Là đường tròn nhưng không đi qua các đỉnh của hình bình hành ABCD.
D. Là đường elip nhưng không đi qua các đỉnh của hình bình hành ABCD.
-Lời giải.
Hình biểu diễn của hình vuông thành hình bình hành nên sẽ hình biểu diễn của đường tròn ngoại tiếp hình
vuông đó là đường elip đồng thời giữ nguyên mối quan hệ liên thuộc của đỉnh hình vuông với đường tròn
Th.s Nguyễn Chín Em 211 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
ngoại tiếp nên hình biểu diễn của đường tròn ngoại tiếp hình vuông là đường elip đi qua các đỉnh của hình
bình hành ABCD.
Chọn đáp án B
Câu 24. Giả sử tứ giác ABCD là hình biểu diễn của một tứ diện ABCD
0
. Nếu ABCD là một hình vuông,
tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.
A. 4ABC là tam giác vuông cân tại A. B. 4ABC là tam giác vuông cân tại C.
C. 4ABC là tam giác vuông cân tại B. D. 4ABC là tam giác đều.
-Lời giải.
Do ABCD là hình vuông nên tam giác ABC vuông cân tại B. Hình biểu diễn của tứ diện ABCD
0
là tứ
giác ABCD nên hình biểu diễn của tam giác ABC là tam giác ABC.
Chọn đáp án C
Câu 25. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, trên cạnh SA lấy điểm M sao cho MA = 2M S.
Gọi O là tâm của đáy, qua phép chiếu song song phương MO mặt phẳng chiếu (ABCD) biến điểm S thành
điểm N. Tính tỷ số
CN
CA
.
A.
1
2
. B.
2
3
. C.
1
4
. D.
1
3
.
-Lời giải.
Phép chiếu song song phương MO lên mặt phẳng (ABCD) biến điểm
S thành điểm N. Do đó SN k M O ⇒ N ∈ AC.
Xét tam giác SAN có
ON
OA
=
SM
MA
=
1
2
⇒ N là trung điểm của OC.
Từ đó suy ra
CN
CA
=
1
4
.
S
A D
C
O
N
B
M
Chọn đáp án C
Câu 26. Cho hình hộp ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
. Qua phép chiếu song song phương AB lên mặt phẳng chiếu
(BDD
0
B
0
). Hỏi hình chiếu của hình hộp là hình gì?
A. Hình bình hành. B. Hình thoi. C. Hình chữ nhật. D. Hình vuông.
-Lời giải.
Qua phép chiếu song song phương AB lên mặt phẳng chiếu (BDD
0
B
0
)
ta có A, B biến thành B, A
0
, B
0
biến thành B
0
, C, D biến thành D,
C
0
, D
0
biến thành D
0
. Do đó hình hộp ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
biến thành
hình bình hành BDD
0
B
0
.
A
0
D
0
A
B C
B
0
C
0
D
Chọn đáp án A
Câu 27. Cho hình chóp S.ABC các mặt bên là tam giác đều. Gọi M là trung điểm của BC, N là điểm
trên cạnh SA sao cho
SN
NA
=
1
2
. Qua phép chiếu song song phương SM mặt phẳng chiếu (ABC) biến N
thành:
A. Tâm đường tròn ngoại tiếp 4ABC. B. Tâm đường tròn nội tiếp 4ABC.
C. Trọng tâm của 4ABC. D. Cả ba đáp án trên đều đúng.
-Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 212 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Do các mặt bên của hình chóp S.ABC là các tam giác đều nên 4ABC
đều. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Ta có
SN
NA
=
MG
GA
=
1
2
⇒ NG k SM. Nên G là hình chiếu song song theo phương SM của N
trên (ABC). Lại do 4ABC đều nên G vừa là trọng tâm, vừa là tâm
đường tròn ngoại tiếp, vừa là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác
ABC.
S
B
G
M
A
N
C
Chọn đáp án D
Câu 28. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A
0
B
0
C
0
, gọi M, N, P lần lượt là tâm của các mặt bên (ABB
0
A
0
),
(BCC
0
B
0
) và (ACC
0
A
0
). Qua phép chiếu song song phương BC
0
và mặt phẳng chiếu (AB
0
C) khi đó hình
chiếu của điểm P là
A. Trung điểm của AN. B. Trung điểm của AM.
C. Trung điểm của B
0
N. D. Trung điểm của B
0
M.
-Lời giải.
Gọi Q là ảnh của P qua phép chiếu song song phương BC
0
lên mặt
phẳng (AB
0
C). Ta có P Q k BC
0
và P Q ⊂ (ABC
0
). Mà AN là giao
tuyến của hai mặt phẳng (ABC
0
) và (AB
0
C) nên Q ∈ AN.
Lại có P là trung điểm của AC
0
nên P Q là đường trung bình của tam
giác ANC
0
⇒ Q là trung điểm của AN.
P
B
Q
A
0
A
B
0
M
C
0
C
N
Chọn đáp án A
ĐÁP ÁN
1. A
2. B 3. B 4. B 5. C 6. D 7. A 8. A 9. C 10. D
11. B 12. C 13. A 14. A 15. D 16. A 17. B 18. C 19. B 20. D
21. D 22. D 23. B 24. C 25. C 26. A 27. D 28. A
ÔN TẬP CHƯƠNG II
Câu 29. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J và K lần lượt là trung điểm của AC, BC và BD. Giao tuyến của
hai mặt phẳng (ABD) và (IKJ) là đường thẳng
A. KD. B. KI.
C. qua K và song song với AB. D. Không có.
-Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 213 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Ta có
(IJK) ∩ (ABD) = K
IJ ⊂ (IJK) , AB ⊂ (ABD)
IJ k AB
⇔ (IJK) ∩(ABD) = KM k IJ k AB.
A
D
M
K
C
I
B
J
Chọn đáp án C
Câu 30. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.
A. Nếu hai mặt phẳng (α) và(β) song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong (α) đều song song
với (β).
B. Nếu hai mặt phẳng (α) và (β) song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong (α) đều song song
với mọi đường thẳng nằm trong (β).
C. Nếu hai đường thẳng song song với nhau lần lượt nằm trong hai mặt phẳng phân biệt (α) và(β) thì
(α) và (β) song song với nhau.
D. Qua một điểm nằm ngoài mặt phẳng cho trước ta vẽ được một và chỉ một đường thẳng song song với
mặt phẳng cho trước đó.
-Lời giải.
Đáp án B, C sai. Hai đường thẳng lần lượt nằm trên hai mặt phẳng song song với nhau thì có thể chéo
nhau.
Đáp án D sai vì qua một điểm nằm ngoài mặt phẳng cho trước ta vẽ được vô số đường thẳng song song với
mặt phẳng cho trước đó.
Chọn đáp án A
Câu 31. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC; E là điểm trên cạnh CD với
ED = 3EC. Thiết diện tạo bởi mặt phẳng (M NE) và tứ diện ABCD là
A. Tam giác MN E.
B. Tứ giác M NEF với F là điểm bất kì trên cạnh BD.
C. Hình bình hành M NEF với F là điểm trên cạnh BD mà EF k BC.
D. Hình thang MN EF với F là điểm trên cạnh BD mà EF k BC.
-Lời giải.
Ta có E là điểm chung của hai mặt phẳng (MNE) và (BCD) . Lại có
MN ⊂ (MN E)
BC ⊂ (BCD)
MN k BC
⇔ Giao tuyến của hai mặt phẳng (MNE) và (BCD)
là đường thẳng d đi qua điểm E và song song với BC và MN.
A
D
N
C
E
M
B F
Trong mặt phẳng (BCD), gọi F = d ∩BC. Khi đó thiết diện tạo bởi mặt phẳng (MN E) và tứ diện ABCD
là hình thang M NEF với F là điểm trên cạnh BD mà EF k BC.
Chọn đáp án D
Câu 32. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A
0
B
0
C
0
. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC
và A
0
B
0
C
0
. Thiết diện tạo bởi mặt phẳng (AIJ) với hình lăng trụ đã cho là
A. Tam giác cân. B. Tam giác vuông. C. Hình thang. D. Hình bình hành.
-Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 214 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Kéo dài AI cắt BC tại M , suy ra M là trung điểm BC.
Ta có
(AIJ) ∩
A
0
B
0
C
0
= J
AI ⊂ (AIJ)
A
0
J ⊂
A
0
B
0
C
0
AI k A
0
J
⇔ (AIJ) ∩ (A
0
B
0
C
0
) = A
0
J.
Trong mặt phẳng (A
0
B
0
C
0
), gọi M
0
= A
0
J ∩ B
0
C
0
.
Khi đó thiết diện là tứ giác AA
0
JI, tứ giác này có
®
A
0
M
0
k AM
AA
0
k MM
0
⇔
AA
0
JI là hình bình hành.
A
0
C
0
J
M
0
B
0
B
I
A
M
C
Chọn đáp án D
Câu 33. Cho tứ diện đều SABC. Gọi I là trung điểm của đoạn AB, M là điểm di động trên đoạn AI.
Qua M vẽ mặt phẳng (α) song song với (SIC) . Thiết diện tạo bởi (α) với tứ diện SABC là
A. Tam giác cân tại M. B. Tam giác đều. C. Hình bình hành. D. Hình thoi.
-Lời giải.
Gọi N, P lần lượt nằm trên các cạnh SA, AC sao cho
®
MN k SI
MP k IC
.
⇔ (MP N) k (SIC) ⇔ (MN P ) ≡ (α).
Vậy thiết diện là tam giác M NP .
Tứ diện SABC đều nên tam giác SIC cân tại I.
Ngoài ra ta có
AM
AI
=
MP
IP
=
MN
MP
⇔ MN = MP .
Suy ra tam giác MNP cân tại M.
S
P C
B
A
M
I
N
Chọn đáp án A
Câu 34. Cho tứ diện đều SABC cạnh bằng a. Gọi I là trung điểm của đoạn AB, M là điểm di động trên
đoạn AI. Qua M vẽ mặt phẳng (α) song song với (SIC) . Tính chu vi của thiết diện tạo bởi (α) với tứ diện
SABC, biết AM = x.
A. x
Ä
1 +
√
3
ä
. B. 2x
Ä
1 +
√
3
ä
. C. 3x
Ä
1 +
√
3
ä
. D. Không tính được.
-Lời giải.
Để ý hai tam giác MN P và SIC đồng dạng với tỉ số
AM
AI
=
2x
a
⇒
C
MN P
C
SIC
=
2x
a
⇔ C
MN P
=
2x
a
(SI + IC + SC) =
2x
a
Ç
a
√
3
2
+
a
√
3
2
+ a
å
= 2x
Ä
√
3 + 1
ä
.
S
P C
B
A
M
I
N
Chọn đáp án B
Câu 35. Cho hình bình hành ABCD. Gọi Bx, Cy, Dz là các đường thẳng song song với nhau lần lượt đi
qua B, C, D và nằm về một phía của mặt phẳng (ABCD) đồng thời không nằm trong mặt phẳng (ABCD) .
Một mặt phẳng đi qua A cắt Bx, Cy, Dz lần lượt tại B
0
, C
0
, D
0
với BB
0
= 2, DD
0
= 4. Khi đó độ dài CC
0
bằng bao nhiêu?
A. 3. B. 4. C. 5. D. 6.
-Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 215 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD. Dựng đường thẳng qua
O song song BB
0
và cắt B
0
D
0
tại O
0
.
Theo cách dưng trên, ta có OO
0
là đường trung bình của hình
thang BB
0
D
0
D ⇔ OO
0
=
BB
0
+ DD
0
2
= 3.
Ngoài ra ta có OO
0
là đường trung bình của tam giác ACC
0
⇔ CC
0
= 2OO
0
= 6.
C
0
O
0
B
0
C
A B
O
D
D
0
Chọn đáp án D
Câu 36. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.
A. Hai đường thẳng phân biệt cùng nằm trong một mặt phẳng thì không chéo nhau.
B. Hai đường thẳng phân biệt không cắt nhau thì chéo nhau.
C. Hai đường thẳng phân biệt không song song thì chéo nhau.
D. Hai đường thẳng phân biệt lần lượt thuộc hai mặt phẳng khác nhau thì chéo nhau.
-Lời giải.
Chọn A.
Đáp án B sai: hai đường thẳng đó có thể song song nhau.
Đáp án C sai: hai đường thẳng đó có thể cắt nhau.
Đáp án D sai: hai đường thẳng đó có thể song song hoặc cắt nhau.
Chọn đáp án A
Câu 37. Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAB nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi M là
điểm di động trên đoạn AB. Qua M vẽ mặt phẳng (α) song song với (SBC). Thiết diện tạo bởi (α) và hình
chóp S.ABCD là hình gì?
A. Hình tam giác. B. Hình bình hành. C. Hình thang. D. Hình vuông.
-Lời giải.
Lần lượt lấy các điểm N, P, Q thuộc các cạnh CD, SD, SA thỏa MN k
BC, NP k SC, P Q k AD.
Suy ra (α) ≡ (M NP Q) và (α) k (SBC). Theo cách dựng trên thì thiết
diện là hình thang.
CD
N
S
O
B
P
Q
A
M
Chọn đáp án C
Câu 38. Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAB nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi M là
điểm di động trên đoạn AB. Qua M vẽ mặt phẳng (α) song song với (SBC). Gọi N, P, Q lần lượt là giao
của mặt phẳng (α) với các đường thẳng CD, SD, SA. Tập hợp các giao điểm I của hai đường thẳng MQ
và NP là
A. Đường thẳng song song với AB. B. Nửa đường thẳng.
C. Đoạn thẳng song song với AB. D. Tập hợp rỗng.
-Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 216 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Lần lượt lấy các điểm N, P, Q thuộc các cạnh CD, SD, SA thỏa
MN k BC, NP k SC, P Q k AD. Suy ra (α) ≡ (MN P Q) và
(α) k (SBC).
Vì I = MQ ∩ NP ⇔
®
I, S ∈ (SCD)
I, S ∈ (SAB)
⇔ I nằm trên đường
thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).
Khi
®
M ≡ B ⇒ I ≡ S
M ≡ A ⇒ I ≡ T
với T là điểm thỏa mãn tứ giác ABST
là hình bình hành.
CD
N
S
O
Q
I
T
B
P
A
M
Vậy quỹ tích cần tìm là đoạn thẳng song song với AB.
Chọn đáp án C
Câu 39. Các yếu tố nào sau đây xác định một mặt phẳng duy nhất?
A. Ba điểm. B. Một điểm và một đường thẳng.
C. Hai đường thẳng cắt nhau. D. Bốn điểm.
-Lời giải.
Sửa lại cho đúng: Ba điểm không thẳng hàng.
Sửa lại cho đúng: Một điểm và một đường thẳng không chứa điểm đó.
Chọn đáp án C
Câu 40. Cho hai đường thẳng a và b. Điều kiện nào sau đây đủ kết luận a và b chéo nhau?
A. a và b không có điểm chung.
B. a và b là hai cạnh của một hình tứ diện.
C. a và b nằm trên hai mặt phẳng phân biệt.
D. a và b không cùng nằm trên bất kì mặt phẳng nào.
-Lời giải.
Sửa lại cho đúng: a và b không có điểm chung và không đồng phẳng.
Sửa lại cho đúng: a và b là hai cạnh đối của một hình tứ diện.
Sai vì a và b có thể song song.
Chọn đáp án D
Câu 41. Cho tam giác ABC, lấy điểm I trên cạnh AC kéo dài. Mệnh đề nào sau đây là sai?
A. A ∈ (ABC). B. I ∈ (ABC). C. (ABC) ≡ (BIC). D. BI 6⊂ (ABC).
-Lời giải.
Ta có I ∈ (ABC) , B ∈ (ABC) ⇔ BI 6⊂ (ABC) .
B C
A
I
Chọn đáp án D
Câu 42. Cho tam giác ABC. Có thể xác định được bao nhiêu mặt phẳng chứa tất cả các đỉnh tam giác
ABC?
A. 4. B. 3. C. 2. D. 1.
-Lời giải.
Ta có ABC là tam giác ⇔ ba điểm A, B, C không thẳng hàng. Vậy
có duy nhất một mặt phẳng chứa A, B, C.
B
AC
Chọn đáp án D
Câu 43. Trong không gian cho bốn điểm không đồng phẳng, có thể xác định nhiều nhất bao nhiêu mặt
phẳng phân biệt từ các điểm đó?
Th.s Nguyễn Chín Em 217 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
A. 6. B. 4. C. 3. D. 2.
-Lời giải.
Giả sử bốn điểm đó là tứ diện ABCD. Có các mặt phẳng đó là:
(ABC) , (ABD) , (ACD) , (BCD) .
A
B
D C
Chọn đáp án B
Câu 44. Cho hình chóp S.ABCD với đáy là tứ giác ABCD có các cạnh đối không song song. Giả sử
AC ∩ BD = O và AD ∩ BC = I. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) là
A. SC. B. SB. C. SO. D. SI.
-Lời giải.
Ta có
(SAC) ∩ (SBD) = S
O ∈ AC ⊂ (SAC)
O ∈ BD ⊂ (SBD)
⇔ (SAC) ∩ (SBD) = SO.
S
O
B
C
ID
A
Chọn đáp án C
Câu 45. Cho hình chóp S.ABCD với đáy là tứ giác ABCD. Thiết diện của mặt phẳng (α) tùy ý với hình
chóp không thể là
A. Lục giác. B. Ngũ giác. C. Tứ giác. D. Tam giác.
-Lời giải.
Hình chóp tứ giác có tất cả 5 mặt nên thiết diện không thể là lục giác.
Chọn đáp án A
Câu 46. Cho hình lập phương ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
. Có bao nhiêu cạnh của hình lập phương chéo nhau với
đường chéo AC
0
của hình lập phương?
A. 2. B. 3. C. 4. D. 6.
-Lời giải.
Các cạnh chéo nhau với đường chéo AC
0
của hình lập phương là:
A
0
B
0
, A
0
D
0
, DD
0
, CD, BC, BB
0
.
A
0
D
0
B C
A
B
0
D
C
0
Chọn đáp án D
Câu 47. Cho hai đường thẳng phân biệt a và b trong không gian. Có bao nhiêu vị trí tương đối giữa a và
b?
A. 4. B. 3. C. 2. D. 1.
-Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 218 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Hai đường thẳng phân biệt a và b trong không gian có ba vị trí tương đối là: cắt nhau, song song, chéo
nhau.
Chọn đáp án B
Câu 48. Cho hai đường thẳng phân biệt cùng nằm trong một mặt phẳng. Có bao nhiêu vị trí tương đối
giữa hai đường thẳng đó?
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
-Lời giải.
Hai đường thẳng phân biệt cùng nằm trong một mặt phẳng có hai vị trí tương đối là: cắt nhau, song song.
Chọn đáp án B
Câu 49. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm các cạnh AC, BD, AB, CD,
AD, BC. Bốn điểm nào sau đây không đồng phẳng?
A. P, Q, R, S. B. M, P, R, S. C. M, R, S, N. D. M, N, P, Q.
-Lời giải.
Dễ thấy (MP R) k (BCD) , mà S ∈ (BCD) ⇔ S /∈ (MP R) .
Vậy M, P, R, S không đồng phẳng.
A
R
D
C
N
S
B
P
M
Q
Chọn đáp án B
Câu 50. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng?
A. Hai đường thẳng lần lượt nằm trên hai mặt phẳng phân biệt thì chéo nhau.
B. Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau.
C. Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung.
D. Hai đường thẳng phân biệt không song song thì chéo nhau.
-Lời giải.
Theo định nghĩa của hai đường thẳng chéo nhau thì B là mệnh đề đúng.
Chọn đáp án C
Câu 51. Cho hai đường thẳng a và b chéo nhau. Có bao nhiêu mặt phẳng chứa a và song song với b?
A. 0. B. 1. C. 2. D. Vô số.
-Lời giải.
Hai đường thẳng a và b chéo nhau có duy nhất một mặt phẳng chứa a và song song với b.
Chọn đáp án B
Câu 52. Cho tứ diện ABCD. Điểm M thuộc đoạn AC. Mặt phẳng (α) qua M song song với AB và AD.
Thiết diện của (α) với tứ diện ABCD là
A. Hình tam giác. B. Hình bình hành. C. Hình chữ nhật. D. Hình vuông.
-Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 219 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Ta có
®
(α) k AB
AB ⊂ (ABC)
⇔ (α) ∩ (ABC) = MN k AB với N ∈ BC.
Tương tự ta có
®
(α) k AD
AD ⊂ (ACD)
⇔ (α) ∩ (ACD) = MK k AD với
K ∈ CD.
Vậy thiết diện của (α) với tứ diện ABCD là tam giác MN K.
A
M
C
B
N
K D
Chọn đáp án A
Câu 53. Cho các giả thiết sau đây. Giả thiết nào kết luận đường thẳng a song song với mặt phẳng (α)?
A. a k b và b k (α). B. a ∩(α) = ∅. C. a k b và b ⊂ (α). D. a k (β) và (β) k (α).
-Lời giải.
Đường thẳng a song song với mặt phẳng (α) khi chúng không có điểm chung.
Chọn đáp án B
Câu 54. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng?
A. Nếu (α) k (β) và a ⊂ (α) , b ⊂ (β) thì a k b. B. Nếu a k (α) và b k (β) thì a k b.
C. Nếu (α) k (β) và a ⊂ (α) thì a k (β). D. Nếu a k b và a ⊂ (α) , b ⊂ (β) thì (α) k (β).
Câu 55. Trong không gian, cho hai mặt phẳng phân biệt (α) và (β) . Có bao nhiêu vị trí tương đối giữa
(α) và (β)?
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
-Lời giải.
Trong không gian hai mặt phẳng phân biệt (α) và (β) có hai vị trí tương đối là: cắt nhau hay song song.
Chọn đáp án B
Câu 56. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD)và
(SBC) là đường thẳng song song với đường thẳng nào dưới đây?
A. AC. B. BD. C. AD. D. SC.
-Lời giải.
Ta có
(SAD) ∩ (SBC) = S
AD ⊂ (SAD) , BC ⊂ (SBC)
AD k BC
⇔ (SAD) ∩ (SBC) = Sx k AD k BC.
S x
B C
A
D
Chọn đáp án C
Câu 57. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Giả sử M thuộc đoạn thẳng SB. Mặt
phẳng (ADM) cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện là hình gì?
A. Hình tam giác. B. Hình thang. C. Hình bình hành. D. Hình chữ nhật.
-Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 220 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Ta có
(ADM) ∩(SBC) = M
AD ⊂ (ADM ) , BC ⊂ (SBC)
AD//BC
⇔ (ADM ) ∩ (SBC) =
MN k AD k BC với N ∈ SC.
S
B C
A
M
N
D
Tứ giác AMN D có M N k AD ⇔ AMND là hình thang.
Chọn đáp án B
Câu 58. Cho tứ diện ABCD. Điểm M thuộc đoạn BC. Mặt phẳng (α) qua M song song với AB và CD.
Thiết diện của (α) với tứ diện ABCD là
A. Hình thang. B. Hình bình hành. C. Hình tam giác. D. Hình ngũ giác.
-Lời giải.
Ta có
®
(α) k AB
AB ⊂ (ABC)
⇔ (α) ∩ (ABC) = MN k AB với N ∈ AC.
Tương tự ta có
®
(α) k CD
CD ⊂ (ACD)
⇔ (α) ∩ (ACD) = NK k CD với K ∈ AD.
A
K
C
M
B
N
P D
®
(α) k AB
AB ⊂ (ABD)
⇔ (α) ∩ (ABD) = KP k AB với P ∈ BD.
®
(α) k CD
CD ⊂ (BCD)
⇔ (α) ∩ (BCD) = MP k CD.
Do đó NK k MP và MN k KP ⇔ M NKP là hình bình hành.
Chọn đáp án B
ĐÁP ÁN
29. C 30. A 31. D 32. D 33. A 34. B 35. D 36. A 37. C 38. C
39. C 40. D 41. D 42. D 43. B 44. C 45. A 46. D 47. B 48. B
49. B 50. C 51. B 52. A 53. B 54. C 55. B 56. C 57. B 58. B
Th.s Nguyễn Chín Em 221 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
| 1/224
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

MỤC LỤC CHƯƠNG 2
ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ SONG SONG 1 1
ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG 1 A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 1
Mở đầu về hình học không gian 1 2
Các tính chất thừa nhận 1 3
Điều kiện xác định mặt phẳng 1 4 Hình chóp và tứ diện 2 B CÁC DẠNG TOÁN 3
Dạng 1. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng 3
Dạng 2. Chứng minh ba điểm thẳng hàng, ba đường thẳ đồng quy 3
Dạng 3. Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng 3
Dạng 4. Xác định thiết diện của một mặt phẳng với hình chóp 3
Dạng 5. Dựng đường thẳng đi qua một điểm và cắt hai đường thẳng chéo nhau 4
Dạng 6. Tìm tập hợp giao điểm của hai đường thẳng và bài toán chứng minh giao tuyến đi qua điểm cố định 4 C CÁC VÍ DỤ MINH HỌA 4 D BÀI TẬP RÈN LUYỆN 9 E CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 11 1 Câu hỏi lý thuyết 11 2
Tìm giao tuyến hai mặt phẳng 14 3 Thiết diện 19 4
Ba điểm thẳng hàng, ba đường thẳng đồng quy 21 ĐÁP ÁN 52
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11 2
HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU VÀ HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG 53 A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 53 1
Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian 53 2
Các định lí và tính chất 53 B CÁC DẠNG TOÁN 53
Dạng 1. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng bằng quan hệ song song 53
Dạng 2. Chứng minh hai đường thẳng song song 55
Dạng 3. Chứng minh bốn điểm đồng phẳng và ba đường thẳng đồng qui 58 C BÀI TẬP RÈN LUYỆN 59 D CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 65 ĐÁP ÁN 94 3
ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG 95 A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 95 1
Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng 95 2
Điều kiện để một đường thẳng song song với một mặt phẳng 95 B CÁC DẠNG TOÁN 96
Dạng 1. Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng 96 1 Ví dụ minh họa 96 2 BÀI TẬP RÈN LUYỆN 98
Dạng 2. Tìm giao tuyến hai mặt phẳng khi biết một mặt phẳng song song
với đường thẳng cho trước 101 1 Các ví dụ minh họa 101
Dạng 3. Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng 103 1 Các ví dụ minh họa 104 C CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 105 ĐÁP ÁN 146 Th.s Nguyễn Chín Em 2
https://emncischool.wixsite.com/geogebra 4 HAI MẶT PHẲNG SONG SONG 147 A Tóm tắt lí thuyết 147 1 Định nghĩa 147 2 Tính chất 147 3 Định lý Ta-lét (Thalès) 148 4
Hình lăng trụ và hình hộp 148 5 Hình chóp cụt 149 B CÁC DẠNG TOÁN 150
Dạng 1. Chứng minh hai mặt phẳng song song 150 1 Các ví dụ minh họa 150
Dạng 2. Tìm giao tuyến của mặt phẳng (α) với mặt phẳng (β) biết (α) qua điểm A;
song song với mặt phẳng (γ) 151 1 Các ví dụ minh họa 152
Dạng 3. Xác định thiết diện cắt bởi mặt phẳng song song với một mặt phẳng cho trước 154 1 Các ví dụ minh họa 154 C BÀI TẬP RÈN LUYỆN 156 D CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 163 ĐÁP ÁN 204 5
PHÉP CHIẾU SONG SONG - HÌNH BIỂU DIỄN CỦA MỘT HÌNH KHÔNG GIAN 205 A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 205 B CÁC VÍ DỤ MINH HỌA 205 C BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN 206 D BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 207 ĐÁP ÁN 213 ÔN TẬP CHƯƠNG II 213 ĐÁP ÁN 221 CHƯƠNG 2
ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG
KHÔNG GIAN. QUAN HỆ SONG SONG BÀI 1.
ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1
MỞ ĐẦU VỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
Hình học không gian có các đối tượng cơ bản là điểm, đường thẳng và mặt phẳng. Quan hệ thuộc: Trong không gian:
1 Với một điểm A và một đường thẳng d có thể xảy ra hai trường hợp:
Điểm A thuộc đường thẳng d, kí hiệu A ∈ d.
Điểm A không thuộc đường thẳng, kí hiệu A / ∈ d.
2 Với một điểm A và một mặt phẳng (P ) có thể xảy ra hai trường hợp:
Điểm A thuộc mặt thẳng (P ), kí hiệu A ∈ (P ).
Điểm A không thuộc đường thẳng, kí hiệu A / ∈ (P ). 2
CÁC TÍNH CHẤT THỪA NHẬN
Tính chất thừa nhận 1: Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt cho trước.
Tính chất thừa nhận 2: Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng cho trước.
Tính chất thừa nhận 3: Tồn tại bốn điểm không cùng nằm trên một mặt phẳng.
Tính chất thừa nhận 4: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một
đường thẳng chung duy nhất chứa tất cả các điểm chung của hai mặt phẳng đó.
Tính chất thừa nhận 5: Trong mỗi mặt phẳng, các kết đã biết của hình học phẳng đều đúng.
Định lí 1. Nếu một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt của một mặt phẳng thì mọi điểm của
đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó. 3
ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH MẶT PHẲNG
Có bốn cách xác định trong một mặt phẳng:
Cách 1: Một mặt phẳng được xác định nếu biết nó đi qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng
của mặt phẳng, kí hiệu (ABC). A B C P
Cách 2: Một mặt phẳng được xác định nếu biết nó đi qua một đường thẳng d và một điểm A
không thuộc d, kí hiệu (A, d). 1
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11 A d P
Cách 3: Một mặt phẳng được xác định nếu biết nó đi qua hai đường thẳng a, b cắt nhau, kí hiệu (a, b). b a P
Cách 4: Một mặt phẳng được xác định nếu biết nó đi qua hai đường thẳng a, b song song, kí hiệu (a, b). 4
HÌNH CHÓP VÀ TỨ DIỆN
Định nghĩa 1. Cho đa giác A1A2 . . . An và cho điểm S nằm ngoài mặt phẳng chứa đa giác đó. Nối
S với các đỉnh A1, A2, . . . , An ta được n miền đa giác SA1A2, SA2A3, . . . , SAn−1An. Hình gồm n tam
giác đó và đa giác A1A2A3 . . . An được gọi là hình chóp S.A1A2A3 . . . An. S A6 A1 A2 A5 P A A4 3 Trong đó:
Điểm S gọi là đỉnh của hình chóp.
Đa giác A1A2 . . . An gọi là mặt đáy của hình chóp.
Các đoạn thẳng A1A2, A2A3, . . . , An−1An gọi là các cạnh đáy của hình chóp.
Các đoạn thẳng SA1, SA2, . . . , SAn gọi là các cạnh bên của hình chóp.
Các miền tam giác SA1A2, SA2A3, . . . , SAn−1An gọi là các mặt bên của hình chóp.
Nếu đáy của hình chóp là một miền tam giác, tứ giác, ngũ giác, . . . thì hình chóp tương ứng gọi
là hình chóp tam giác, hình chóp tứ giác, hình chóp ngũ giác,. . . 4 !
Hình chóp tam giác còn được gọi là hình tứ diện.
Hình tứ diện có bốn mặt là những tam giác đều hay có tất cả các cạnh bằng nhau được gọi là hình tứ diện đều. Th.s Nguyễn Chín Em 2
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11 B CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng Phương pháp giải:
Để xác định giao tuyến của hai mặt phẳng, ta tìm hai điểm chung của chúng. Đường thẳng đi qua hai
điểm chung đó là giao tuyến. 4 !
Điểm chung của hai mặt phẳng (α) và (β) thường được tìm như sau γ
Tìm hai đường thẳng a, b lần lượt thuộc (α) và (β), đồng thời chúng cùng β
nằm trong mặt phẳng (γ) nào đó. b
Giao điểm A = a ∩ b chính là điểm chung của (α) và (β). a A α
Dạng 2. Chứng minh ba điểm thẳng hàng, ba đường thẳ đồng quy Phương pháp giải:
Để chứng minh ba điểm (hay nhiều điểm) thẳng hàng ta chứng minh chúng là điểm chung của
hai mặt phẳng phân biệt, khi đó chúng nằm trên đường thẳng giao tuyên của hai mặt phẳng nên thẳng hàng.
Để chứng minh ba đường thẳng đồng qui ta chứng minh giao điểm của hai đường thẳng thuộc
đường đường thẳng còn lại.
Dạng 3. Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng Phương pháp giải:
Tìm giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P ) ta cần lưu ý một số trường hợp sau
1 Nếu trong (P ) có sẵn một đường thẳng ∆ cắt d tại M thì M = d ∩ (P ).
2 Nếu trong (P ) chưa có sẵn đường thẳng ∆ cắt d thì ta thực hiện theo các bước sau
Bước 1. Chọn một mặt phẳng (Q) chứa d.
Bước 2. Tìm giao tuyến ∆ = (Q) ∩ (P ).
Bước 3. Trong (Q) gọi M = d ∩ ∆. Khi đó, M là giao điểm giữa d và (P ). Q Q Q d d d ∆ ∆ M P P P
Dạng 4. Xác định thiết diện của một mặt phẳng với hình chóp Phương pháp giải:
Để xác định thiết diện của hình chóp S.A1A2...An cắt bởi mặt phẳng (α), ta tìm giao điểm của mặt
phẳng (α) với các đường thẳng chứa các cạnh của hình chóp. Thiết diện là đa giác có đỉnh là các giao
điểm của (α) với hình chóp (và mỗi cạnh của thiết diện phải là một đoạn giao tuyến với một mặt của Th.s Nguyễn Chín Em 3
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11 hình chóp).
Trong phần này chúng ta chỉ xét thiết diện của mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng.
Dạng 5. Dựng đường thẳng đi qua một điểm và cắt hai đường thẳng chéo nhau
Phương pháp giải: Để dựng đường thẳng d đi qua O và cắt d1; d2, ta dựng giao tuyến của hai mặt
phẳng (O, d1) và (O, d2), khi đó d = (O, d1) ∩ (O, d2). d O d2 d1
Dạng 6. Tìm tập hợp giao điểm của hai đường thẳng và bài toán chứng minh giao tuyến đi qua điểm cố định Phương pháp giải:
Để tìm tập hợp giao điểm I của hai đường thẳng thay đổi a, b ta chọn β
hai mặt phẳng cố định (α) và (β) cắt nhau lần lượt chứa a, b. Khi đó a ®I ∈ a ⊂ (α) d I = a ∩ b ⇒ ⇒ I ∈ d = (α) ∩ (β) I ∈ b ⊂ (β) I b
Vậy điểm I thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng (α) và (β). α
Để chứng minh đường thẳng d đi qua một điểm cố định ta thực hiện theo các bước sau:
- Chọn một điểm cố định J thuộc hai mặt phẳng (δ) và (γ).
- Chứng minh d là giao tuyến của hai mặt phẳng (δ) và (γ), khi đó d đi qua điểm cố định J . C
CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là tứ giác có các cặp cạnh đối không song song, điểm
M thuộc cạnh SA. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng 1 (SAC) và (SBD). 2 (SAC) và (M BD). 3 (M BC) và (SAD). 4 (SAB) và (SCD). -Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 4
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
1 Trong (ABCD), gọi O = AC ∩ BD. Khi đó,
®O ∈ AC ⊂ (SAC) ⇒ O ∈ (SAC) ∩ (SBD). O ∈ BD ⊂ (SBD) S
Lại có S ∈ (SAC) ∩ (SBD). Vậy SO = (SAC) ∩ (SBD). M
2 Vì O = AC ∩ BD nên ®O ∈ AC ⊂ (SAC) ⇒ O ∈ (SAC) ∩ (M BD). O ∈ BD ⊂ (M BD) A D F O
Dễ thấy, M ∈ (SAC) ∩ (M BD). Vậy OM = (SAC) ∩ (M BD). C B E
c) Trong (ABCD), gọi F = BC ∩ AD. Khi đó,
®F ∈ BC ⊂ (M BC) ⇒ F ∈ (MBC) ∩ (SAD). F ∈ AD ⊂ (SAD)
Mặt khác, M ∈ (M BC) ∩ (SAD). Vậy F M = (M BC) ∩ (SAD).
d) Trong (ABCD) gọi E = AB ∩ CD, ta có
®E ∈ AB ⊂ (SAB) ⇒ E ∈ (SAB) ∩ (SCD). E ∈ CD ⊂ (SCD)
Dễ thấy, S ∈ (SAB) ∩ (SCD). Vậy SE = (SAB) ∩ (SCD).
Ví dụ 2. Cho tứ diện SABC. Trên SA, SB và SC lấy các điểm D, E và F sao cho DE cắt AB tại
I,EF cắt BC tại J , F D cắt CA tại K. Chứng minh I, J, K thẳng hàng. -Lời giải. Ta có  S I = DE ∩ AB  
DE ⊂ (DEF ) ⇒ I ∈ (DEF ) ∩ (ABC) (1)  D  AB ⊂ (ABC) Tương tự J = EF ∩ BC F ®J ∈ EF ∈ (DEF ) ⇒ J ∈ BC ⊂ (ABC) ⇒ J ∈ (DEF ) ∩ (ABC) (2) A C K ®K ∈ DF ⊂ (DEF ) K = DF ∩ AC ⇒ E K ∈ AC ⊂ (ABC) ⇒ K ∈ (DEF ) ∩ (ABC) (3) B I J
Từ (1), (2) và (3) ta có I, J, K là điểm chung của hai mặt phẳng (ABC) và (DEF ) nên chúng thẳng hàng. Th.s Nguyễn Chín Em 5
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Ví dụ 3. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD với đáy ABCD có các cạnh đối diện không song song với
nhau và M là một điểm trên cạnh SA.
1 Tìm giao điểm của đường thẳng SB với mặt phẳng (M CD).
2 Tìm giao điểm của đường thẳng M C và mặt phẳng (SBD). -Lời giải. S
1 Tìm giao điểm của đường thẳng SB với mặt phẳng (M CD). Ta có SB ⊂ (SAB).
Trong (ABCD) gọi E = AB ∩ CD.
Khi đó, (SAB) ∩ (M CD) = M E.
Trong (SAB), gọi N = SB ∩ M E. M Vậy N = SB ∩ (M CD). D
2 Tìm giao điểm của đường thẳng M C và mặt phẳng (SBD). A N Ta có M C ⊂ (M DE). K
Dễ thấy (M DE) ∩ (SBD) = DN .
Trong (M DE), gọi K = M C ∩ DN . B C Vậy M C ∩ (SBD) = K. E
Ví dụ 4. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, có đáy là hình thang với AD là đáy lớn và P là một điểm trên cạnh SD.
a) Thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (P AB) là hình gì?
b) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. Thiết diện của hình chóp cắt bởi (M N P ) là hình gì? -Lời giải.
a) Trong mặt phẳng (ABCD), gọi E = AB ∩ CD. Trong mặt phẳng (SCD) gọi Q = SC ∩ EP . Ta có
E ∈ AB nên EP ⊂ (ABP ) ⇒ Q ∈ (ABP ), do đó Q = SC ∩ (ABP ). Thiết diện là tứ giác ABQP . S P A D Q B C E Th.s Nguyễn Chín Em 6
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
b) Trong mặt phẳng (ABCD) gọi F, G lần lượt là các giao điểm của M N với AD và CD.
Trong mặt phẳng (SAD) gọi H = SA ∩ F P .
Trong mặt phẳng (SCD) gọi K = SC ∩ P G.
Ta có F ∈ M N , do đó F ∈ (M N P ) nên F P ⊂ (M N P ) ⇒ H ∈ (M N P ). ®H ∈ SA Vậy ⇒ H = SA ∩ (M N P ). H ∈ (M N P )
Tương tự K = SC ∩ (M N P ). Nên thiết diện là ngũ giác QM N KP H. S P A F Q M B N G
Ví dụ 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn là AB. Một mặt phẳng
(P ) quay quanh AB cắt các cạnh SC, SD tại các điểm tương ứng E, F .
1 Tìm tập hợp giao điểm I của AF và BE.
2 Tìm tập hợp giao điểm J của AE và BF . -Lời giải. 1 Phần thuận. S ®I ∈ AF Ta có I = AF ∩ BE ⇒ I ∈ BE ®AF ⊂ (SAD) I Lại có ⇒ F ∈ (SAD) ∩ (SBC). F E BE ⊂ (SBC) J
Trong (ABCD) gọi H = AD ∩ BC ®H ∈ AD ®H ∈ (SAD) ⇒ ⇒ A B H ∈ BC H ∈ (SBC)
⇒ SH = (SAD) ∩ (SBC) ⇒ I ∈ SH. Giới hạn. O
Khi E chạy đến C thì F chạy đến D và I chạy đến H. D C
Khi E chạy đến S thì F chạy đến S và I chạy đến S. H Phần đảo.
Lấy điểm I bất kì thuộc đoạn SH, trong (SAH) gọi F = SD ∩ AI Th.s Nguyễn Chín Em 7
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Trong (SBH) gọi E = SH ∩ BI khi đó (ABEF ) là mặt phẳng quay quanh AB cắt các cạnh SC, SD
tại E, F và I là giao điểm của AF và BE.
Vậy tập hợp điểm I là đoạn SH. ®J ∈ AE ®J ∈ (SAC)
2 Ta có J = AE ∩ BF ⇒ ⇒ ⇒ J ∈ (SAC) ∩ (SBD). J ∈ BF J ∈ (SBD)
Nhưng SO = (SAC) ∩ (SBD) nên J ∈ SO.
Khi E chạy đến chạy đến C thì F chạy đến D và J chạy đến O.
Khi E chạy đến S thì F chạy đến S và J chạy đến S.
Lập luận tương tự trên ta có tập hợp điểm J là đoạn SO.
Ví dụ 6. Cho tứ diện ABCD, O là điểm thuộc miền trong tam giác BCD, M là một điểm trên cạnh AB.
1 Dựng đường thẳng đi qua M cắt cả AO và CD.
2 Gọi N là một điểm trên cạnh BC sao cho ON không song song với BD. Dựng đường thẳng đi qua N cắt AO và DM . -Lời giải.
1 Trong (BCD), gọi P = BO ∩ CD.
Trong (ABN ), gọi I = P M ∩ AO.
Đường thẳng M P chính là đường thẳng đi qua M cắt cả AO và CD. A M I B D O P C
2 Trong (BCD), gọi E = N O ∩ BD.
Trong (ABD), gọi G = DM ∩ AE.
Trong (N AE), gọi F = AO ∩ N G.
Đường thẳng N G chính là đường thẳng đi qua N cắt cả AO và DM . A M G F B D E O N C Th.s Nguyễn Chín Em 8
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11 D BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1. Cho tứ diện ABCD, O là một điểm thuộc miền trong tam giác BCD, M là điểm trên đoạn AO.
1 Tìm giao tuyến của mặt phẳng (M CD) với các mặt phẳng (ABC).
2 Tìm giao tuyến của mặt phẳng (M CD) với các mặt phẳng (ABD).
3 Gọi I, J là các điểm tương ứng trên các cạnh BC và BD sao cho IJ không song song với CD. Tìm
giao tuyến của hai mặt phẳng (IJ M ) và (ACD). -Lời giải.
1 Trong (BCD) gọi N = DO ∩ BC, A
trong (ADN ) gọi P = DM ∩ AN ®P ∈ DM ⊂ (CDM ) ⇒ P ∈ AN ⊂ (ABC) ⇒ P ∈ (CDM ) ∩ (ABC). R G
Lại có C ∈ (CDM ) ∩ (ABC) P M ⇒ P C = (CDM ) ∩ (ABC). Q D
2 Tương tự, trong (BCD) gọi Q = CO ∩ BD,
trong (ACQ) gọi R = CM ∩ AQ J ®R ∈ CM ⊂ (CDM ) B ⇒ K O E R ∈ AQ ⊂ (ABD) I ⇒ R ∈ (CDM ) ∩ (ABD). N
Mặt khác D là điểm chung thứ hai của (M CD) và (ABD) C nên DR = (CDM ) ∩ (ABD). F
c) Trong (BCD) gọi E = BO ∩ CD, F = IJ ∩ CD, K = BE ∩ IJ . Trong (ABE) gọi G = KM ∩ AE. ®F ∈ IJ ⊂ (IJM ) Có ⇒ F ∈ (IJ M ) ∩ (ACD). F ∈ CD ⊂ (ACD) ®G ∈ KM ⊂ (IJM ) Ta lại có
⇒ G ∈ (IJ M ) ∩ (ACD). Vậy F G = (IJ M ) ∩ (ACD). G ∈ AE ⊂ (ACD)
Bài 2. Cho tứ diện SABC có D, E lần lượt là trung điểm của AC, BC và G là trọng tâm của tam giác
ABC. Mặt phẳng (α) đi qua AC cắt SE, SB lần lượt tại M, N . Một mặt phẳng (β) đi qua BC cắt SD, SA tương ứng tại P và Q.
a) Gọi I = AM ∩ DN, J = BP ∩ EQ. Chứng minh rằng S, I, J, G thẳng hàng.
b) Gọi K = AN ∩ DM, L = BQ ∩ EP . Chứng minh rằng S, K, L thẳng hàng. -Lời giải. S
1 Ta có S ∈ (SAE) ∩ (SBD) (1) ®G ∈ AE ⊂ (SAE) G = AE ∩ BD ⇒ G ∈ BD ⊂ (SBD) ®G ∈ (SAE) Q ⇒ (2) G ∈ (SBD) P N ®I ∈ DN ⊂ (SBD) M I = AM ∩ DN ⇒ J I ∈ AM ⊂ (SAE) I A D C ®I ∈ (SBD) ⇒ (3) I ∈ (SAE) G ®J ∈ BP ⊂ (SBD) ®J ∈ (SBD) E J = BP ∩ EQ ⇒ ⇒ (4) J ∈ EQ ⊂ (SAE) J ∈ (SAE) B Th.s Nguyễn Chín Em 9
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Từ (1), (2), (3) và (4) ta có S, I, J, G là điểm chung của hai mặt phẳng (SBD) và (SAE) nên chúng thẳng hàng.
b) Ta có S ∈ (SAB) ∩ (SED.) (1) ®K ∈ AM ⊂ (SAB) ®K ∈ (SAB) K = AN ∩ DM ⇒ ⇒ (2) K ∈ DM ⊂ (SED) K ∈ (SED). ®L ∈ BQ ⊂ (SAB) ®L ∈ (SAB) L = BQ ∩ EP ⇒ ⇒ (3) L ∈ EP ⊂ (SED) L ∈ (SED).
Từ (1), (2), (3) ta có S, K, L là điểm chung của hai mặt phẳng (SAB) và (SED) nên chúng thẳng hàng.
Bài 3. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, M là một điểm trên cạnh SC, N là trên cạnh BC. Tìm giao điểm
của đường thẳng SD với mặt phẳng(AM N ). -Lời giải. Ta có SD ⊂ (SCD). S
Trong (ABCD), gọi E = AN ∩ CD.
Khi đó, (SCD) ∩ (AM N ) = M E. F
Trong (SCD), gọi F = SD ∩ M E. Vậy F = SD ∩ (AM N ). D A M B C N E
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P là ba điểm trên
các cạnh AD, CD, SO. Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (M N P ). -Lời giải. S H R P T F N D C K M O E A B
Trong mặt phẳng (ABCD) gọi E, K, F lần lượt là giao điểm của M N với DA, DB, DC. Trong mặt
phẳng (SDB) gọi H = KP ∩ SB.
Trong mặt phẳng (SAB) gọi T = EH ∩ SA.
Trong mặt phẳng (SBC) gọi R = F H ∩ SC . ®E ∈ M N Ta có Suy ra EH ⊂ (M N P ). H ∈ KP ®T ∈ SA Ta có Suy ra T = SA ∩ (M N P ). T ∈ EH
Lí luận tương tự ta có R = SC ∩ (M N P ). Thiết diện là ngũ giác M N RHT . Th.s Nguyễn Chín Em 10
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11 AM AN
Bài 5. Cho tứ diện ABDC. Hai điểm M , N lần lượt nằm trên hai cạnh AB và AC sao cho 6= . AB AC
Một mặt phẳng (P ) thay đổi luôn chứa M N , cắt các cạnh CD và BD lần lượt tại E và F .
a) Chứng minh EF luôn đi qua một điểm cố định.
b) Tìm tập hợp giao điểm I của M E và N F .
c) Tìm tập hợp giao điểm J của M F và N E. -Lời giải. A M F B D I O N E J C K ®K ∈ MN ®K ∈ (MNP )
a) Trong (ABC) gọi K = M N ∩ BC thì K cố định và ⇒ K ∈ BC K ∈ (BCD)
Lại có EF = (P ) ∩ (BCD) ⇒ K ∈ EF .
Vậy EF luôn đi qua điểm K cố định. b) Phần thuận. ®I ∈ ME ⊂ (MCD)
Trong (P ) gọi I = M E ∩ N F ⇒ ⇒ I ∈ (M CD) ∩ (N BD). I ∈ N F ⊂ (N BD)
Gọi O = CM ∩ BN ⇒ OD = (M CD) ∩ (N BD) ⇒ I ∈ OD. Giới hạn.
Khi E chạy đến C thì F chạy đến B và I chạy đến O.
Khi Khi E chạy đến D thì F chạy đến D và I chạy đến D. Phần đảo.
Gọi I là điểm bất kì trên đoạn OD, trong (M CD) gọi E = M I ∩CD, trong (N BD) gọi F = N I ∩BD suy
ra (M N EF ) là mặt phẳng quay quanh M N cắt các cạnh DB, DC tại các điểm E, F và I = M E ∩ N F .
Vậy tập hợp điểm I là đoạn OD. ®J ∈ MF ⊂ (ADB) c) Gọi J = M F ∩ N E ⇒ ⇒ J ∈ (ADB) ∩ (ACD). J ∈ N E ⊂ (ACD) Mà AD = (ADC) ∩ (ADB).
Khi E chạy đến C thì F chạy đến B và J chạy đến A.
Khi Khi E chạy đến D thì F chạy đến D và I chạy đến D.
Từ đó ta có tập hợp điểm J là đường thẳng AD trừ các điểm trong của đoạn AD. E
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 1 CÂU HỎI LÝ THUYẾT
Câu 1. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. Qua 2 điểm phân biệt có duy nhất một mặt phẳng. Th.s Nguyễn Chín Em 11
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
B. Qua 3 điểm phân biệt bất kì có duy nhất một mặt phẳng.
C. Qua 3 điểm không thẳng hàng có duy nhất một mặt phẳng.
D. Qua 4 điểm phân biệt bất kì có duy nhất một mặt phẳng. -Lời giải.
Mệnh đề “Qua 2 điểm phân biệt có duy nhất một mặt phẳng” sai. Vì qua 2 điểm phân biệt, tạo được
1 đường thẳng, khi đó chưa đủ điều kiện để lập một mặt phẳng xác định. Có vô số mặt phẳng đi qua 2 điểm đã cho.
Mệnh đề “Qua 3 điểm phân biệt bất kì có duy nhất một mặt phẳng” sai. Vì trong trường hợp 3 điểm
phân biệt thẳng hàng thì chỉ tạo được đường thẳng, khi đó có vô số mặt phẳng đi qua 3 điểm phân biệt thẳng hàng.
Mệnh đề “Qua 4 điểm phân biệt bất kì có duy nhất một mặt phẳng” sai. Vì trong trường hợp 4 điểm
phân biệt thẳng hàng thì có vô số mặt phẳng đi qua 4 điểm đó hoặc trong trường hợp 4 điểm mặt
phẳng không đồng phẳng thì sẽ tạo không tạo được mặt phẳng nào đi qua cả 4 điểm. Chọn đáp án C
Câu 2. Trong không gian, cho 4 điểm không đồng phẳng. Có thể xác định được bao nhiêu mặt phẳng phân
biệt từ các điểm đã cho? A. 6. B. 4. C. 3. D. 2. -Lời giải.
Với 3 điểm phân biệt không thẳng hàng, ta luôn tạo được 1 mặt phẳng xác định. Khi đó, với 4 điểm không
đồng phẳng ta tạo được tối đa C3 = 4 mặt phẳng. 4 Chọn đáp án B
Câu 3. Trong mặt phẳng (α), cho 4 điểm A, B, C, D trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Điểm S
không thuộc mặt phẳng (α). Có bao nhiêu mặt phẳng tạo bởi S và 2 trong 4 điểm nói trên? A. 4. B. 5. C. 6. D. 8. -Lời giải.
Với điểm S không thuộc mặt phẳng (α) và 4 điểm A, B, C, D thuộc mặt phẳng (α), ta có C2 cách chọn 2 4
trong 4 điểm A, B, C, D cùng với điểm S lập thành 1 mặt phẳng xác định. Vậy số mặt phẳng tạo được là 6. Chọn đáp án C
Câu 4. Cho 5 điểm A, B, C, D, E trong đó không có 4 điểm nào đồng phẳng. Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng
tạo bởi 3 trong 5 điểm đã cho? A. 10. B. 12. C. 8. D. 14. -Lời giải.
Với 3 điểm phân biệt không thẳng hàng, ta luôn tạo được 1 mặt phẳng xác định. Ta có C3 cách chọn 3 điểm 5
trong 5 điểm đã cho để tạo được 1 mặt phẳng xác định. Vậy số mặt phẳng tạo được là 10. Chọn đáp án A
Câu 5. Các yếu tố nào sau đây xác định một mặt phẳng duy nhất? A. Ba điểm phân biệt.
B. Một điểm và một đường thẳng.
C. Hai đường thẳng cắt nhau. D. Bốn điểm phân biệt. -Lời giải.
Mệnh đề “Ba điểm phân biệt” sai. Trong trường hợp 3 điểm phân biệt thẳng hàng thì sẽ có vô số mặt
phẳng chứa 3 điểm thẳng hàng đã cho.
Mệnh đề “Một điểm và một đường thẳng” sai. Trong trường hợp điểm thuộc đường thẳng đã cho, khi
đó ta chỉ có 1 đường thẳng, có vô số mặt phẳng đi qua đường thẳng đó.
Mệnh đề “Bốn điểm phân biệt” sai. Trong trường hợp 4 điểm phân biệt thẳng hàng thì có vô số mặt
phẳng đi qua 4 điểm đó hoặc trong trường hợp 4 điểm mặt phẳng không đồng phẳng thì sẽ không tạo
được mặt phẳng nào đi qua cả 4 điểm. Chọn đáp án C Th.s Nguyễn Chín Em 12
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Câu 6. Cho tứ giác ABCD. Có thể xác định được bao nhiêu mặt phẳng chứa tất cả các đỉnh của tứ giác ABCD? A. 1. B. 2. C. 3. D. 0. -Lời giải.
4 điểm A, B, C, D tạo thành 1 tứ giác, khi đó 4 điểm A, B, C, D đã đồng phẳng và tạo thành 1 mặt phẳng
duy nhất là mặt phẳng (ABCD). Chọn đáp án A
Câu 7. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. Nếu 3 điểm A, B, C là 3 điểm chung của 2 mặt phẳng (P ) và (Q) thì A, B, C thẳng hàng.
B. Nếu A, B, C thẳng hàng và (P ), (Q) có điểm chung là A thì B, C cũng là 2 điểm chung của (P ) và (Q).
C. Nếu 3 điểm A, B, C là 3 điểm chung của 2 mặt phẳng (P ) và (Q) phân biệt thì A, B, C không thẳng hàng.
D. Nếu A, B, C thẳng hàng và A, B là 2 điểm chung của (P ) và (Q) thì C cũng là điểm chung của (P ) và (Q). -Lời giải.
Hai mặt phẳng phân biệt không song song với nhau thì chúng có duy nhất một giao tuyến.
Mệnh đề “Nếu 3 điểm A, B, C là 3 điểm chung của 2 mặt phẳng (P ) và (Q) thì A, B, C thẳng hàng” sai. Vì:
Nếu (P ) và (Q) trùng nhau thì 2 mặt phẳng có vô số điểm chung. Khi đó, chưa đủ điều kiện để kết luận A, B, C thẳng hàng.
Mệnh đề “Nếu A, B, C thẳng hàng và (P ), (Q) có điểm chung là A thì B, C cũng là 2 điểm chung của (P ) và (Q)” sai. Vì:
Có vô số đường thẳng đi qua A, khi đó B, C chưa chắc đã thuộc giao tuyến của (P ) và (Q).
Mệnh đề “Nếu 3 điểm A, B, C là 3 điểm chung của 2 mặt phẳng (P ) và (Q) phân biệt thì A, B, C
không thẳng hàng” sai. Vì:
Hai mặt phẳng (P ) và (Q) phân biệt giao nhau tại 1 giao tuyến duy nhất, nếu 3 điểm A, B, C là 3
điểm chung của 2 mặt phẳng thì A, B, C cùng thuộc giao tuyến. Chọn đáp án D
Câu 8. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai?
A. Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có vô số điểm chung khác nữa.
B. Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất.
C. Hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất.
D. Hai mặt phẳng cùng đi qua 3 điểm A, B, C không thẳng hàng thì hai mặt phẳng đó trùng nhau. -Lời giải.
Nếu 2 mặt phẳng trùng nhau, khi đó 2 mặt phẳng có vô số điểm chung và chung nhau vô số đường thẳng. Chọn đáp án B
Câu 9. Cho 3 đường thẳng d1, d2, d3 không cùng thuộc một mặt phẳng và cắt nhau từng đôi. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. 3 đường thẳng trên đồng quy.
B. 3 đường thẳng trên trùng nhau.
C. 3 đường thẳng trên chứa 3 cạnh của một tam giác.
D. Các khẳng định ở A, B, C đều sai. -Lời giải.
Nếu 3 đường thẳng trùng nhau thì chúng sẽ cùng thuộc 1 mặt phẳng.
Nếu 3 đường thẳng trên chứa 3 cạnh của một tam giác khi đó sẽ tạo được 3
điểm phân biệt không thẳng hàng (là 3 đỉnh của tam giác), chúng lập thành 1
mặt phẳng xác định, 3 đường thẳng sẽ cùng thuộc 1 mặt phẳng. Th.s Nguyễn Chín Em 13
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11 Chọn đáp án A 2
TÌM GIAO TUYẾN HAI MẶT PHẲNG
Câu 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD (AB k CD). Khẳng định nào sau đây sai?
A. Hình chóp S.ABCD có 4 mặt bên.
B. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) là SO (O là giao điểm của AC và BD).
C. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) là SI (I là giao điểm của AD và BC).
D. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) là đường trung bình của ABCD . -Lời giải. S
Hình chóp S.ABCD có 4 mặt bên: (SAB) , (SBC) , (SCD) , (SAD).
là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).
®O ∈ AC ⊂ (SAC) ⇒ O ∈ (SAC) ⇒ O là điểm chung thứ hai
O ∈ BD ⊂ (SBD) ⇒ O ∈ (SBD)
của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) . A B ⇒ (SAC) ∩ (SBD) = SO.
Tương tự, ta có (SAD) ∩ (SBC) = SI. O D C
(SAB) ∩ (SAD) = SA mà SA không phải là đường trung bình của hình thang ABCD.
Vậy “Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) là đường trung I
bình của ABCD” là mệnh đề sai. Chọn đáp án D
Câu 11. Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm của tam giác BCD. Giao tuyến của mặt phẳng (ACD) và (GAB) là
A. AM (M là trung điểm của AB).
B. AN (N là trung điểm của CD).
C. AH (H là hình chiếu của B trên CD).
D. AK (K là hình chiếu của C trên BD). -Lời giải. A
A là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng (ACD) và (GAB). Ta có BG ∩ CD = N
®N ∈ BG ⊂ (ABG) ⇒ N ∈ (ABG) ⇒
N ∈ CD ⊂ (ACD) ⇒ N ∈ (ACD) . B D
⇒ N là điểm chung thứ hai giữa hai mặt phẳng (ACD) và (GAB). G Vậy (ABG) ∩ (ACD) = AN. C Chọn đáp án B
Câu 12. Cho điểm A không nằm trên mặt phẳng (α) chứa tam giác BCD. Lấy E, F là các điểm lần lượt
nằm trên các cạnh AB, AC. Khi EF và BC cắt nhau tại I thì I không phải là điểm chung của hai mặt phẳng nào sau đây? A. (BCD) và (DEF ). B. (BCD) và (ABC). C. (BCD) và (AEF ). D. (BCD) và (ABD). -Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 14
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Điểm I là giao điểm của EF và BC, A EF ⊂ (DEF ) I = (BCD) ∩ (DEF )     mà EF ⊂ (ABC) ⇒ I = (BCD) ∩ (ABC) .   E EF ⊂ (AEF ) I = (BCD) ∩ (AEF ) B D F C I Chọn đáp án D
Câu 13. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC, CD. Giao tuyến của hai mặt phẳng (M BD) và (ABN ) là A. đường thẳng M N . B. đường thẳng AM .
C. đường thẳng BG (G là trọng tâm tam giác ACD).
D. đường thẳng AH (H là trực tâm tam giác ACD). -Lời giải. A
B là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng (M BD) và (ABN ).
Vì M, N lần lượt là trung điểm của AC, CD nên suy ra AN, DM
là hai trung tuyến của tam giác ACD.
®G ∈ AN ⊂ (ABN ) ⇒ G ∈ (ABN ) M Gọi G = AN ∩ DM ⇒ G
G ∈ DM ⊂ (M BD) ⇒ G ∈ (M BD) B D
⇒ G là điểm chung thứ hai giữa hai mặt phẳng (M BD) và (ABN ) . Vậy (ABN ) ∩ (M BD) = BG. N C Chọn đáp án C
Câu 14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AD
và BC. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SM N ) và (SAC) là A. SD.
B. SO (O là tâm hình bình hành ABCD).
C. SG (G là trung điểm AB).
D. SF (F là trung điểm CD). -Lời giải. S
S là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng (SM N ) và (SAC).
Gọi O = AC ∩ BD là tâm của hình hình hành.
Trong mặt phẳng (ABCD), gọi T = AC ∩ M N ® M
O ∈ AC ⊂ (SAC) ⇒ O ∈ (SAC) A D ⇒
O ∈ M N ⊂ (SM N ) ⇒ O ∈ (SM N )
⇒ O là điểm chung thứ hai giữa hai mặt phẳng (SM N ) và (SAC) . O Vậy (SM N ) ∩ (SAC) = SO. B N C Chọn đáp án B
Câu 15. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I, J lần lượt là trung điểm SA, SB.
Khẳng định nào sau đây sai? A. IJ CD là hình thang. B. (SAB) ∩ (IBC) = IB . Th.s Nguyễn Chín Em 15
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11 C. (SBD) ∩ (J CD) = J .
D. (IAC) ∩ (J BD) = AO (O là tâm ABCD). -Lời giải. S
Ta có IJ là đường trung bình của tam giác SAB
⇒ IJ k AB k CD ⇒ IJ k CD ⇒ IJ CD là hình thang. I ®IB ⊂ (SAB) Ta có ⇒ (SAB) ∩ (IBC) = IB. IB ⊂ (IBC) J M ®JD ⊂ (SBD) A D Ta có ⇒ (SBD) ∩ (J BD) = J D. J D ⊂ (J BD) O
Trong mặt phẳng (IJ CD), gọi M = IC ∩ J D ⇒ (IAC) ∩ B C (J BD) = M O. Chọn đáp án D
Câu 16. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD (AD k BC). Gọi M là trung điểm CD.
Giao tuyến của hai mặt phẳng (M SB) và (SAC) là
A. SI (I là giao điểm của AC và BM ).
B. SJ (J là giao điểm của AM và BD).
C. SO (O là giao điểm của AC và BD).
D. SP (P là giao điểm của AB và CD). -Lời giải. S
S là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng (M SB) và (SAC).
®I ∈ BM ⊂ (SBM ) ⇒ I ∈ (SBM ) Ta có
I ∈ (AC) ∈ (SAC) ⇒ I ∈ (SAC)
⇒ I là điểm chung thứ hai giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SAC) . A D Vậy (M SB) ∩ (SAC) = SI. I M B C Chọn đáp án A
Câu 17. Cho 4 điểm không đồng phẳng A, B, C, D. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AD và B. Giao
tuyến của (IBC) và (KAD) là A. IK. B. BC. C. AK. D. DK. -Lời giải.
Điểm K là trung điểm của BC suy ra K ∈ (IBC) ⇒ IK ⊂ (IBC). A
Điểm I là trung điểm của AD suy ra I ∈ (KAD) ⇒ IK ⊂ (KAD).
Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng (IBC) và (KAD) là IK. I B D K C Chọn đáp án A
Câu 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với . Gọi là giao điểm của AC và BD. Trên
cạnh SB lấy điểm M . Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (ADM ) và (SAC). A. SI.
B. AE, E là giao điểm của DM và SI). C. DM .
D. DE, E là giao điểm của DM và SI). -Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 16
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Ta có A là điểm chung thứ nhất của (ADM ) và (SAC). S
Trong mặt phẳng (SBD), gọi E = SI ∩ DM . Ta có: M
E ∈ SI mà SI ⊂ (SAC) suy ra E ∈ (SAC).
E ∈ DM mà DM ⊂ (ADM ) suy ra E ∈ (ADM ). E
Do đó E là điểm chung thứ hai của (ADM ) và (SAC).
Vậy AE là giao tuyến của (ADM ) và (SAC). A B I D C Chọn đáp án B
Câu 19. Cho tứ diện ABCD và điểm M thuộc miền trong của tam giác ACD. Gọi I và J lần lượt là hai
điểm trên cạnh BC và BD sao cho IJ không song song với CD. Gọi H, K lần lượt là giao điểm của IJ với
CD của M H và AC. Giao tuyến của hai mặt phẳng (ACD) và (IJ M ) là A. KI. B. KJ . C. M I. D. M H. -Lời giải.
Trong mặt phẳng (BCD) , IJ cắt CD tại H ⇒ H ∈ (ACD). A
Điểm H ∈ IJ suy ra bốn điểm M, I, J, H đồng phẳng.
Nên trong mặt phẳng (IJ M ) ,
M H cắt IJ tại H và M H ⊂ (IJ M ). ®M ∈ (ACD) Mặt khác ⇒ M H ⊂ (ACD). K H ∈ (ACD) Vậy (ACD) ∩ (IJ M ) = M H. M I C B J D H Chọn đáp án A
Câu 20. Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BC.
Trên đoạn BD lấy điểm P sao cho BP = 2P D. Giao điểm của đường thẳng CD và mặt phẳng (M N P ) là giao điểm của A. CD và N P . B. CD và M N . C. CD và M P . D. CD và AP . -Lời giải. A
Cách 1. Xét mặt phẳng BCD chứa CD. Do N P không song
song CD nên N P cắt CD tại E. Điểm E ∈ N P ⇒ E ∈ E
(M N P ). Vậy CD ∩ (M N P ) tại E. ®N ∈ BC Cách 2. Ta có
⇒ N P ⊂ (BCD) suy ra N P, CD M P ∈ BD B D
đồng phẳng. Gọi E là giao điểm của N P và CD mà N P ⊂ P
(M N P ) suy ra CD ∩ (M N P ) = E. N
Vậy giao điểm của CD và (M N P ) là giao điểm E của N P và CD. C Chọn đáp án A
Câu 21. Cho tứ diện ABCD. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AB và CD; G là trọng tâm tam giác
BCD. Giao điểm của đường thẳng EG và mặt phẳng (ACD) là A. Điểm F .
B. Giao điểm của đường thẳng EG và AF .
C. Giao điểm của đường thẳng EG và AC.
D. Giao điểm của đường thẳng EG và CD. Th.s Nguyễn Chín Em 17
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11 -Lời giải.
Vì G là trọng tâm tam giác BCD, F là trung điểm của CD A ⇒ G ∈ (ABF ).
Ta có E là trung điểm của AB ⇒ E ∈ (ABF ).
Gọi M là giao điểm của EG và AF mà AF ⊂ (ACD) suy ra M ∈ E (ACD).
Vậy giao điểm của EG và (ACD) là M = EG ∩ AF . B D G F C M Chọn đáp án B
Câu 22. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của SC. Gọi I
là giao điểm của AM với mặt phẳng (SBD). Mệnh đề nào dưới đây đúng? # » # » # » # » # » # » A. IA = −2IM . B. IA = −3IM . C. IA = 2IM . D. IA = 2, 5IM . -Lời giải.
Gọi O là tâm hình bình hành ABCD suy ra O là trung điểm của AC. S
Nối AM cắt SO tại I mà SO ⊂ (SBD) suy ra I = AM ∩ (SBD). Tam
giác SAC có M, O lần lượt là trung điểm của SC, AC. Mà I = AM ∩ SO 2
suy ra I là trọng tâm tam giác SAC ⇒ AI = AM ⇔ IA = 2IM . Điểm 3 # » # » # » M
I nằm giữa A và M suy ra IA = 2M I = −2IM . I A D O B C Chọn đáp án A
Câu 23. Cho tứ giác ABCD có AC và BD giao nhau tại O và một điểm S không thuộc mặt phẳng
(ABCD). Trên đoạn SC lấy một điểm M không trùng với S và C. Giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng (ABM ) là
A. Giao điểm của SD và AB.
B. Giao điểm của SD và AM .
C. Giao điểm của SD và BK (với K = SO ∩ AM ).
D. Giao điểm của SD và M K (với K = SO ∩ AM ). -Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 18
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11 S
Chọn mặt phẳng phụ (SBD) chứa SD. N
Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SBD) và (ABM ). Ta có B là
điểm chung thứ nhất của (SBD) và (ABM ). M K
Trong mặt phẳng (ABCD), gọi O = AC ∩ BD. Trong mặt phẳng
(SAC), gọi K = AM ∩ SO. Ta có: A D
– K ∈ SO mà SO ⊂ (SBD) suy ra K ∈ (SBD).
– K ∈ AM mà AM ⊂ (ABM ) suy ra K ∈ (AM B). O
Suy ra K là điểm chung thứ hai của BCD và (M N P ). Do đó B C (SBD) ∩ (ABM ) = BK.
Trong mặt phẳng (SBD), gọi N = SD ∩ BK. Ta có: N ∈ BK, mà
BK ∩ (ABM ) suy ra N ∩ (ABM ). Mặt khác N ∈ SD. Vậy N = SD ∩ (ABM ). Chọn đáp án C
Câu 24. Cho bốn điểm A, B, C, S không cùng ở trong một mặt phẳng. Gọi I, H lần lượt là trung điểm của
SA, AB. Trên SC lấy điểm K sao cho IK không song song với AC (K không trùng với các đầu mút). Gọi
E là giao điểm của đường thẳng BC với mặt phẳng IHK. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. E nằm ngoài đoạn BC về phía B.
B. E nằm ngoài đoạn BC về phía C. C. E nằm trong đoạn BC.
D. E nằm trong đoạn BC và E 6= B, E 6= C . -Lời giải. S
Chọn mặt phẳng phụ (ABC) chứa BC. K
Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (ABC) và I
(IHK). Ta có H là điểm chung thứ nhất của
(ABC) và (IHK). Trong mặt phẳng (SAC),
do IK không song song với AC nên gọi F = A IK ∩ AC. Ta có: F C H E B
F ∈ AC mà AC ⊂ (ABC) suy ra F ∈ (ABC).
F ∈ IK mà IK ⊂ (IHK) suy ra F ∈ (IHK).
Suy ra F là điểm chung thứ hai của (ABC) và (IHK). Do đó (ABC) ∩ (IHK) = HF .
Trong mặt phẳng (ABC), gọi E = HF ∩ BC. Ta có:
E ∈ HF mà HF ⊂ (IHK) suy ra E ∈ (IHK). E ∈ BC. Vậy E = BC ∩ (IHK). Chọn đáp án D 3 THIẾT DIỆN
Câu 25. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và AC, E là điểm trên cạnh
CD với ED = 3EC. Thiết diện tạo bởi mặt phẳng (M N E) và tứ diện ABCD là A. Tam giác M N E.
B. Tứ giác M N EF với F là điểm bất kì trên cạnh BD. Th.s Nguyễn Chín Em 19
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
C. Hình bình hành M N EF với F là điểm trên cạnh BD mà EF k BC.
D. Hình thang M N EF với F là điểm trên cạnh BD mà EF k BC. -Lời giải.
Tam giác ABC có M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC. A
Suy ra M N là đường trung bình của tam giác ABC ⇒ M N k BC.
Từ E kẻ đường thẳng d song song với BC và cắt BD tại F ⇒ EF k BC.
Do đó M N k EF suy ra bốn điểm M, N, E, F đồng phẳng và M N EF là hình M thang.
Vậy hình thang M N EF là thiết diện cần tìm. N B D F E C Chọn đáp án D
Câu 26. Cho tứ diện ABCD. Gọi H, K lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC. Trên đường thẳng CD
lấy điểm M nằm ngoài đoạn CD. Thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (HKM ) là
A. Tứ giác HKM N với N ∈ AD.
B. Hình thang HKM N với N ∈ AD và HK k M N .
C. Tam giác HKL với L = KM ∩ BD.
D. Tam giác HKL với L = HM ∩ AD. -Lời giải.
Ta có HK, KM là đoạn giao tuyến của (HKM ) với (ABC) và (BCD). A
Trong mặt phẳng (BCD), do KM không song song với BD nên gọi L = KM ∩ BD.
Vậy thiết diện là tam giác HKL. H M B L D K C Chọn đáp án C
Câu 27. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a (a > 0). Các điểm M, N, P lần lượt là
trung điểm của SA, SB, SC. Mặt phẳng (M N P ) cắt hình chóp theo một thiết diện có diện tích bằng a2 a2 a2 A. a2. B. . C. . D. . 2 4 16 -Lời giải.
Gọi Q là trung điểm của SD. S
Tam giác SAD có M, Q lần lượt là trung điểm của SA, SD suy ra M Q k AD.
Tam giác SBC có N, P lần lượt là trung điểm của SB, SC suy ra Q N P k BC. M
Mặt khác AD k BC suy ra M Q k N P và M Q = N P ⇒ M N P Q N là hình vuông. P
Khi đó M, N, P, Q đồng phẳng ⇒ (M N P ) cắt SD tại Q và
M N P Q là thiết diện của hình chóp S.ABCD với (M N P ). A D
Vậy diện tích hình vuông M N P Q là O SABCD a2 SMNP Q = = . B C 4 4 Chọn đáp án C Th.s Nguyễn Chín Em 20
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Câu 28. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Mặt phẳng (GCD)
cắt tứ diện theo một thiết diện có diện tích là √ √ √ √ a2 3 a2 2 a2 2 a2 3 A. . B. . C. . D. . 2 4 6 4 -Lời giải.
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC suy ra AN ∩ M C = G. A
Dễ thấy mặt phẳng (GCD) cắt đường thắng AB tại điểm M .
Suy ra tam giác M CD là thiết diện của mặt phẳng (GCD) và tứ diện ABCD. √ a 3 M
Tam giác ABD đều, có M là trung điểm AB suy ra M D = . 2 √ a 3
Tam giác ABC đều, có M là trung điểm AB suy ra M C = . G 2 B D N H C
Gọi H là trung điểm của CD 1 ⇒ M H ⊥ CD ⇒ S∆MCD = · M H · CD 2 √ √ … CD2 a 2 Với M H = M C2 − HC2 = M C2 − = . √ √ 4 2 1 a 2 a2 2 Vậy S∆MCD = · · a = . 2 2 4 Chọn đáp án B
Câu 29. Cho tứ diện đều ABCD có độ dài các cạnh bằng 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh
AC, BC, P là trọng tâm tam giác BCD. Mặt phẳng (M N P ) cắt tứ diện theo một thiết diện có diện tích là √ √ √ √ a2 11 a2 2 a2 11 a2 3 A. . B. . C. . D. . 2 4 4 4 -Lời giải.
Trong tam giác BCD có: P là trọng tâm, N là trung điểm BC. Suy ra A
N, P, D thẳng hàng. Vậy thiết diện là tam giác M N D. √ AB AD 3
Xét tam giác M N D, ta có M N = = a; DM = DN = = √ 2 2 a 3.
Do đó tam giác M N D cân tại D.
Gọi H là trung điểm M N suy ra DH ⊥ M N . M Diện tích tam giác B D √ 1 1 p a2 11 S P 4M N D = M N · DH = M N · DM 2 − M H2 = . 2 2 4 N C Chọn đáp án C 4
BA ĐIỂM THẲNG HÀNG, BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY
Câu 30. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Mặt phẳng (α) qua M N
cắt AD, BC lần lượt tại P và Q. Biết M P cắt N Q tại I. Ba điểm nào sau đây thẳng hàng? A. I, A, C . B. I, B, D . C. I, A, B . D. I, C, D . -Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 21
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11 Ta có (ABD) ∩ (BCD) = BD. Lại có A ®I ∈ M P ⊂ (ABD) I ∈ N Q ⊂ (BCD)
⇒ I thuộc giao tuyến của (ABC) và (BCD)
⇒ I ∈ BD ⇒ I, B, D thẳng hàng. M P D B I N Q C Chọn đáp án B
Câu 31. Cho tứ diện SABC. Gọi L, M, N lần lượt là các điểm trên các cạnh SA, SB và AC sao cho LM
không song song với AB, LN không song song với SC. Mặt phẳng (LM N ) cắt các cạnh AB, BC, SC lần
lượt tại K, I, J . Ba điểm nào sau đây thẳng hàng? A. K, I, J . B. M, I, J . C. N, I, J . D. M, K, J . -Lời giải. Ta có S
M ∈ SB suy M là điểm chung của (LM N ) và (SBC).
I là điểm chung của (LM N ) và (SBC). L
J là điểm chung của (LM N ) và (SBC).
Vậy M, I, J thẳng hàng vì cùng thuộc giao tuyến của (LM N ) và N C A (SBC). M I B K J Chọn đáp án B
Câu 32. Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm tam giác BCD, M là trung điểm CD, I là điểm ở trên
đoạn thẳng AG, BI cắt mặt phẳng (ACD) tại J . Khẳng định nào sau đây sai? A. AM = (ACD) ∩ (ABG). B. A, J, M thẳng hàng.
C. J là trung điểm của AM . D. DJ = (ACD) ∩ (BDJ ). -Lời giải.
Ta có A là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng (ACD) và (GAB). A
®M ∈ BG ⊂ (ABG) ⇒ M ∈ (ABG) Do BG ∩ CD = M ⇒
M ∈ CD ⊂ (ACD) ⇒ M ∈ (ACD)
⇒ M là điểm chung thứ hai giữa hai mặt phẳng (ABG) và (ACD) ⇒ (ABG) ∩ (ACD) = AM . J BI ⊂ (ABG)   I Ta có AM ⊂ (ABM ) ⇒ AM, BI đồng phẳng. B   (ABG) ≡ (ABM )
⇒ J = BI ∩ AM ⇒ A, J, M thẳng hàng. G M C ®DJ ⊂ (ACD) Ta có
⇒ DJ = (ACD) ∩ (BDJ ). Điểm I di động trên AG nên J có thể không phải là DJ ⊂ (BDJ ) trung điểm của AM . Chọn đáp án C Th.s Nguyễn Chín Em 22
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Câu 33. Cho tứ diện ABCD. Gọi E, F, G là các điểm lần lượt thuộc các cạnh AB, AC, BD sao cho EF
cắt BC tại I, EG cắt AD tại H. Ba đường thẳng nào sau đây đồng quy? A. CD, EF, EG. B. CD, IG, HF . C. AB, IG, HF . D. AC, IG, BD. -Lời giải.
Phương pháp: Để chứng minh ba đường thẳng d1, d2, d3 đồng A
quy ta chứng minh giao điểm của hai đường thẳng d1 và d2
là điểm chung của hai mặt phẳng (α) và (β); đồng thời d3
là giao tuyến (α) và (β). E Gọi O = HF ∩ IG. Ta có: F
O ∈ HF mà HF ⊂ (ACD) suy ra O ∈ (ACD). C I
O ∈ IG mà IG ⊂ (BCD) suy ra O ∈ (BCD). B
Do đó O ∈ (ACD) ∩ (BCD) (1). O
Mà (ACD) ∩ (BCD) = CD (2). Từ (1) và (2), suy ra O ∈ G CD. D
Vậy ba đường thẳng CD, IG, HF đồng quy. H Chọn đáp án B
Câu 34. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD không phải là hình thang. Trên cạnh SC lấy điểm . Gọi
là giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Ba đường thẳng AB, CD, M N đôi một song song.
B. Ba đường thẳng AB, CD, M N đôi một cắt nhau.
C. Ba đường thẳng AB, CD, M N đồng quy.
D. Ba đường thẳng AB, CD, M N cùng thuộc một mặt phẳng. -Lời giải.
Gọi I = AD ∩ BC. Trong mặt phẳng (SBC), gọi S
K = BM ∩ SI. Trong mặt phẳng (SAD), gọi N = AK ∩ SD.
Khi đó N là giao điểm của đường thẳng SD với mặt
phẳng (AM B). Gọi O = AB ∩ CD. Ta có: K
O ∈ AB mà AB ⊂ (AM B) suy ra O ∈ (AM B). N M
O ∈ CD mà CD ⊂ (SCD) suy ra O ∈ (SCD).
Do đó O ∈ (AM B) ∩ (SCD) (1). A
Mà (AM B) ∩ (SCD) = M N (2). B O
Từ (1) và (2), suy ra O ∈ M N .
Vậy ba đường thẳng AB, CD, M N đồng quy. C D I Chọn đáp án C
Câu 35. Khi cắt hình chóp tứ giác S.ABCD bởi một mặt phẳng, thiết diện không thể là hình nào? A. Ngũ giác. B. Lục giác. C. Tam giác. D. Tứ giác. -Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 23
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Ta có hình chóp tứ giác S.ABCD gồm 5 mặt lần lượt là (SAB), (SBC), S
(SCD), (SAD) và (ABCD) nên thiết diện là tứ giác có tối đa 5 cạnh. Do đó
thiết diện không thể là hình lục giác. A B D C Chọn đáp án B
Câu 36. Cho hai đường thẳng a và b. Điều kiện nào sau đây đủ để kết luận a và b chéo nhau?
A. a và b không cùng nằm trên bất kì mặt phẳng nào.
B. a và b không có điểm chung.
C. a và b là hai cạnh của một tứ diện.
D. a và b nằm trên hai mặt phẳng phân biệt. -Lời giải.
a và b không cùng nằm trên bất kì mặt phẳng nào thì a và b là hai đường thẳng chéo nhau. Chọn đáp án A
Câu 37. Tứ diện ABCD có bao nhiêu cạnh? A. 4. B. 6. C. 8. D. 3. -Lời giải.
Ta thấy tứ diện ABCD có 6 cạnh. A B D C Chọn đáp án B
Câu 38. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau.
B. Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung.
C. Hai đường thẳng không song song thì chéo nhau.
D. Hai đường thẳng không cắt nhau và không song song thì chéo nhau. -Lời giải.
Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau hoặc song song.
Hai đường thẳng không song song thì chéo nhau hoặc cắt nhau hoặc trùng nhau.
Hai đường thẳng không cắt nhau và không song song thì chéo nhau hoặc trùng nhau.
Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung là câu đúng. Chọn đáp án B
Câu 39. Cho hình lập phương ABCD.A0B0C0D0 cạnh a. Các điểm E và F lần lượt là trung điểm của C0B0
và C0D0. Tính diện tích thiết diện của khối lập phương cắt bởi mặt phẳng (AEF ). √ √ √ √ 7a2 17 a2 17 a2 17 7a2 17 A. . B. . C. . D. . 24 4 8 12 -Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 24
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Thiết diện của hình lập phương cắt bởi mặt phẳng A B (AEF ) là ngũ giác AKEF H.
Ta chia ngũ giác AKEF H thành hai phần: hình thang
cân EF HK đáy EF và tam giác AHK cân tại A. Khi đó S D C AKEF H = SEF HK + S4AHK . Vì 4J D0H v 4ADH (g − g) K D0H D0J 1 ⇒ = = . DH DA 2 1 1 M B0 I Suy ra D0H = DD0 = a. H 3 3 A0 E D0 F C0 J Tính diện tích 4AHK. √ 4a2 13a2 a 13
Xét 4ADH vuông tại D, ta có AH2 = AD2 + DH2 = a2 + = ⇒ AH = . √ 9 9 3 Ta có HK = B0D0 = a 2. √ √ AH + AK + HK 2 13 + 3 2
Do đó nửa chu vi 4AHK là p = = . 2 √ 6 a2 17
Khi đó S4AHK = pp(p − AH)(p − AK)(p − HK) = . 6
Tính diện tích hình thang EF HK. √ 1 a 2 Kẻ F M ⊥ HK. Ta có EF = B0D0 = . 2 2 √ √ Ç å 1 1 √ a 2 a 2
Do EF HK là hình thang cân nên HM = (HK − EF ) = a 2 − = . 2 2 2 4 a2 a2 13a2
Xét 4HD0F vuông tại D0, ta có HF 2 = HD02 + D0F 2 = + = . 9 4 36 √ 13a2 a2 17a2 a 34
Xét 4F M H vuông tại M , ta có F M 2 = F H2 − M H2 = − = ⇒ F M = . √ √ 36 8 72 12 Ç √ å a 2 a 34 a 2 + √ F M · (EF + HK) 2 12 a2 17 Vậy SEF HK = = = . 2 2 8 √ √ √ a2 17 a2 17 7a2 17
Vậy diện tích của ngũ giác AKEF H là SAKEF H = S4AHK + SEF HK = + = . 8 6 24 Chọn đáp án A Câu 40.
Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 2. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. D
Cắt tứ diện bởi mặt phẳng (GCD). Tính diện tích của thiết diện. √ √ √ √ 2 2 A. 3. B. 2 3. C. 2. D. . 3 A C G B -Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 25
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Thiết diện của hình chóp tạo bởi mặt phẳng (GCD) là ∆N CD. √ D AB 3 √ Có AM = CN = = 3. 2 √ 2 2 3 ⇒ AG = AM = . 3 3 √ √ 2 6
Xét ∆DGA vuông tại G có: DG = DA2 − AG2 = . 3 A C 1 √ Nên S∆NCD = DG · CN = 2. 2 G N M B Chọn đáp án C
Câu 41. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm
của BC, CD, SA. Mặt phẳng (M N P ) cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện là A. Tam giác. B. Lục giác. C. Ngũ giác. D. Tứ giác. -Lời giải.
Gọi I, J là giao của đường thẳng M N và AB, AD. S
Gọi F là giao điểm của đường thẳng SB và P I.
Gọi E là giao điểm của đường thẳng SD và P J.
Khi đó thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt
phẳng (M N P ) là ngũ giác M N EP F . P F A B E I M D C N J Chọn đáp án C
Câu 42. Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.
A. Nếu một mặt phẳng cắt một trong hai đường thẳng song song thì mặt phẳng đó sẽ cắt đường thẳng còn lại.
B. Hai mặt phẳng lần lượt đi qua hai đường thẳng song song thì cắt nhau theo một giao tuyến song song
với một trong hai đường thẳng đó.
C. Nếu một đường thẳng cắt một trong hai đường thẳng song song thì đường thẳng đó sẽ cắt đường thẳng còn lại.
D. Hai mặt phẳng có một điểm chung thì cắt nhau theo một giao tuyến đi qua điểm chung đó. -Lời giải.
Ta có tính chất sau: Nếu một mặt phẳng cắt một trong hai đường thẳng song song thì mặt phẳng đó sẽ cắt đường thẳng còn lại. Chọn đáp án A
Câu 43. Cho hai đường thẳng phân biệt a; b và mặt phẳng (α). Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau
A. Nếu a k (α) và b k (α) thì a k b.
B. Nếu a k (α) và b ⊥ (α) thì a ⊥ b.
C. Nếu a k (α) và b ⊥ a thì b ⊥ (α).
D. Nếu a k (α) và b ⊥ a thì b k (α). -Lời giải. ®a k (α) - Với
thì a chưa chắc song song với b, vì khi a, b cùng nằm trong một mặt phẳng thì chúng có thể b k (α) cắt nhau ⇒ đáp án sai. ®a k (α) - Với
thì b chưa chắc vuông góc với (α), vì khi b cùng nằm trong một mặt phẳng với a thì b k (α) b ⊥ a ⇒ đáp án sai. ®a k (α) - Với
thì b chưa chắc song song với (α), vì b có thể nằm trong mặt phẳng (α) b ⊥ a ⇒ đáp án sai. Th.s Nguyễn Chín Em 26
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11 ®a k (α) - Với
⇒ a ⊥ b ⇒ đáp án đúng. b ⊥ (α) Chọn đáp án B
Câu 44. Cho hình chóp tam giác S.ABC có tất cả các cạnh bằng a. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của
CA, CB. K là điểm trên cạnh SA sao cho KA = 2KS. Thiết diện của mặt phẳng (IJ K) với hình chóp có diện tích là √ √ √ √ a2 51 5a2 51 5a2 51 a2 51 A. . B. . C. . D. . 144 288 144 288 -Lời giải. S K H A I C J B
Thiết diện là hình thang cân IJ HK có a Đáy lớn IJ = . 2 a Đáy nhỏ HK = . 3 13a2
Cạnh bên HJ 2 = BH2 + BJ 2 − 2BH · BJ · cos 60◦ = . 36 √ Å IJ − HK ã2 13a2 a2 51a2 a 51 Chiều cao h2 = HJ 2 − = − = ⇒ h = . 2 36 144 144 12 √ (HK + IJ )h 5a2 51
Vậy diện tích thiết diện là S = = . 2 144 Chọn đáp án C
Câu 45. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm
của BC, CD, SA. Mặt phẳng (M N P ) cắt hình chóp theo thiết diện là hình A. Tam giác. B. Lục giác. C. Ngũ giác. D. Tứ giác. -Lời giải.
Gọi I, J lần lượt là giao của đường thẳng M N và AB, S AD.
Gọi F = SB ∩ P I; E = SD ∩ P J . P
Khi đó thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng E
(M N P ) là ngũ giác M N EP F . J F A D N B M C I Chọn đáp án C Th.s Nguyễn Chín Em 27
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Câu 46. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD)
và (SBC) là đường thẳng song song với đường thẳng nào sau đây? A. AC. B. BD. C. AD. D. SC. -Lời giải.
Do BC k AD nên giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và
(SBC) là một đường thẳng đi qua điểm S và song song với S AD. A B D C Chọn đáp án C
Câu 47. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và
BC. Giao tuyến của (SM N ) và (SAC) là:
A. SK (K là trung điểm của AB).
B. SO (O là tâm của hình bình hành ABCD).
C. SF (F là trung điểm của CD). D. SD. -Lời giải.
Ta có S ∈ (SM N ) ∩ (SAC). (1) S
Trong mặt phẳng (ABCD), gọi O = AC ∩ BD. Suy ra O là điểm chung
thứ hai của hai mặt phẳng (SM N ) và (SAC). (2)
Từ (1) và (2) suy ra SO là giao tuyến của hai mặt phẳng (SM N ) và (SAC). M A D O B N C Chọn đáp án B
Câu 48. Cho tứ diện ABCD. Gọi M , N lần lượt là trung điểm các cạnh AD, BC; G là trọng tâm của
4BCD. Khi đó, giao điểm của đường thẳng M G và mp (ABC) là A. Điểm A.
B. Giao điểm của đường thẳng M G và đường thẳng AN . C. Điểm N .
D. Giao điểm của đường thẳng M G và đường thẳng BC. -Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 28
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Trong mặt phẳng (AN D) : AN ∩ M G = E.
E ∈ AN, AN ⊂ (ABC) ⇒ E ∈ (ABC). A E ∈ M G. ⇒ E = M G ∩ (ABC).
Vậy giao điểm của đường thẳng M G và mặt phẳng (ABC) là E, (E = AN ∩ M G). M B D N G C E Chọn đáp án B
Câu 49. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC thỏa mãn AB = AC = 4, ’ BAC = 30◦. Mặt
phẳng (P ) song song với (ABC) cắt đoạn thẳng SA tại M sao cho SM = 2M A. Diện tích thiết diện của
(P ) và hình chópS.ABC bằng 25 14 16 A. . B. . C. . D. 1. 9 9 9 -Lời giải.
Qua M dựng mặt phẳng song song với (ABC) cắt SB, SC tại N, P . S M N SM 2 N P 2 M P 2 Khi đó = = . Tương tự ta có = , = . AB SA 3 BC 3 AC 3
4ABC và 4M N P đồng dạng với tỉ số 2 4 4 1 16 M P k = ⇒ S∆UNP = S∆ABC = · · AB · AC · sin BAC = . 3 6 9 2 9 A C N B Chọn đáp án C
Câu 50. Hình chóp tam giác có số cạnh là A. 3. B. 6. C. 4. D. 5. -Lời giải.
Xét hình chóp tam giác S.ABC có các cạnh là SA, SB, SC, AB, BC và CA. Vậy S
hình chóp có số cạnh là 6. A C B Chọn đáp án B
Câu 51. Hình chóp tứ giác có tất cả bao nhiêu cạnh? Th.s Nguyễn Chín Em 29
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11 A. 8. B. 12. C. 20. D. 6. -Lời giải.
Hình chóp tứ giác có 4 cạnh bên và 4 cạnh đáy nên có 8 cạnh. Chọn đáp án A
Câu 52. Hình chóp tam giác có số cạnh là A. 3. B. 6. C. 4. D. 5. -Lời giải.
Xét hình chóp tam giác S.ABC có các cạnh là SA, SB, SC, AB, BC và CA. Vậy S
hình chóp có số cạnh là 6. A C B Chọn đáp án B
Câu 53. Hình chóp tứ giác có tất cả bao nhiêu cạnh? A. 8. B. 12. C. 20. D. 6. -Lời giải.
Hình chóp tứ giác có 4 cạnh bên và 4 cạnh đáy nên có 8 cạnh. Chọn đáp án A
Câu 54. Cho tứ diện S.ABC. Trên các cạnh SA, SB, AC lần lượt lấy các điểm D, E, F sao cho DE và AB
không song song. Tìm giao điểm M của BC và (DEF ). A. M với M = DF ∩ BC. B. M với M = DE ∩ BC.
C. M với M = N F ∩ BC, N = DE ∩ AB. D. M với M = EF ∩ BC. -Lời giải.
Do DE không song song AB nên DE ∩ AB = N ⇒ S N ∈ (DEF ). ®M ∈ N F D Gọi M = N F ∩ BC ⇒ (1). M ∈ BC E Mặt khác N F ⊂ (DEF ) (2)
Từ (1) và (2) suy ra M = BC ∩ (DEF ) với M = N F ∩ BC, N = DE ∩ AB. N B A M F C Chọn đáp án C
Câu 55. Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = 1, SB = 2, SC = 3. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC.
Mặt phẳng (P ) đi qua trung điểm của SG cắt các cạnh SA, SB, SC lần lượt tại A0, B0, C0. Tính giá trị nhỏ 1 1 1 nhất của biểu thức T = + + . SA02 SB02 SC02 7 18 49 A. . B. 1. C. . D. . 18 7 36 -Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 30
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Gọi M là trung điểm của BC và M 0 = SM ∩ (P ), S SB SC SM Ta đi chứng minh + = 2 . SB0 SC0 SM 0
Dựng BE k CF k B0C0 ⇒ M là trung điểm của EF . SB SE SC SF Khi đó = và = . SB0 SM 0 SC0 SM 0 M 0 C0 SB SC SE + SF SM ⇒ + = = 2 . B0 SB0 SC0 SM 0 SM 0 SA 2SM 3SG
Một cách tương tự áp dụng vào tam giác SAM ta có + = . E M SA0 SM 0 SI B C 1 2 3 3SG Khi đó + + =
= 6 (với I là trung điểm SG). F SA0 SB0 SC0 SI Å 1 1 1 ã 1 1 1 36 18 Ta có 36 ≤ 1 + 22 + 32 + + ⇒ + + ≥ = . SA02 SB02 SC02 SA02 SB02 SC02 14 7 Chọn đáp án C
Câu 56. Khối lăng trụ bát giác có tất cả bao nhiêu đỉnh? A. 8. B. 16. C. 24. D. 12. -Lời giải.
Khối lăng trụ bát giác có 16 đỉnh. Chọn đáp án B
Câu 57. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB, SH
AD và G là trọng tâm tam giác SBD. Mặt phẳng (M N G) cắt SC tại điểm H. Tính . SC 2 1 1 2 A. . B. . C. . D. . 5 4 3 3 -Lời giải.
Gọi O là tâm hình bình hành ABCD, I là giao điểm của M N S và AC. ®H ∈ IG ⊂ (M N G)
Ta có IG cắt SC tại H khi đó ⇒ H = H ∈ SC SC ∩ (M N G).
Xét tam giác SOC có I, G, H thẳng hàng suy ra theo định lý H IO GS HC Menelaus ta được · · = 1. IC GO HS IO 1 GS HC 3 SH 2 G Mà = , = 2 suy ra = . Vậy = . IC 3 GC HS 2 SC 5 N A D M I O B C Chọn đáp án A
Câu 58. Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = a, SC = 3a, ’ ASB = ’ CSB = 60◦, ’ CSA = 90◦. Gọi G là
trọng tâm tam giác ABC. Tính độ dài đoạn thẳng SG. √ √ √ a 5 a 15 a 7 √ A. . B. . C. . D. a 3. 3 3 3 -Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 31
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Tam giác SAB đều nên AB = a, tam giác SAC vuông tại S nên √ AC = a 10. S √
Áp dụng định lý hàm số cos vào tam giác SBC tính được BC = a 7. √ AC a 10
Gọi M là trung điểm AC, ta có SM = = . √ 2 √ 2 a 6 2 a 6 Xét 4ABC : BM = ⇒ BG = BM = . 2 3 3
Xét 4SBM : SB2 + BM 2 = SM 2 nên tam giác SBM vuông tại B. Xét 4SBG : √ A C 2a2 5a2 a 15 M SG2 = SB2 + BG2 = a2 + = ⇒ SG = . 3 3 3 G B Chọn đáp án B
Câu 59. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. M, N lần lượt là trung điểm của AB, SC. I IB
là giao điểm của AN với (SBD), J giao điểm của M N với (SBD). Tính tỉ số . IJ 7 11 A. 4. B. 3. C. . D. . 2 3 -Lời giải.
Gọi O = AC ∩ BD, SO ∩ AN = I. Suy ra I = S
AN ∩ (SBD). Trong mặt phẳng (ABN ), gọi BI ∩
M N = J hay M N ∩ (SBD) = J .
Xét tam giác SAC có AN, SO là các trung tuyến AI 2
nên I là trọng tâm của tam giác SAC hay = AN 3
. Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác IAB N I M A J B với M, J, N thẳng hàng: · · = 1 ⇔ N A M B J I 1 1 J B J B IB N · · = 1 hay = 3 suy ra = 4. 3 1 J I J I IJ I A J D M O C B Chọn đáp án A
Câu 60. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M là trung điểm SD, N là trọng tâm IN
giác SAB. Đường thẳng M N cắt mặt phẳng (SBC) tại điểm I. Tính tỉ số . IM 3 1 1 2 A. . B. . C. . D. . 4 3 2 3 -Lời giải.
Gọi E là trung điểm của AB và F là giao điểm của DE với S
BC. Khi đó (SDE) ∩ (SBC) = SF .
Trong tam giác F CD có EB là đường trung bình nên E là
trung điểm DF . Khi đó trong tam giác SDF có F M, SE là M SN 2 F N trung tuyến và = (trong tam giác SAB) nên = SE 3 F M N D 2 A . 3 E I C F B Th.s Nguyễn Chín Em 32
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11 IN 2
Mặt khác, theo trên thì I là giao điểm của M N với (SBC) nên I sẽ trùng với F , hay = . IM 3 Chọn đáp án D
Câu 61. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O, điểm M nằm trên cạnh SB sao 1 cho SM =
SB. Giao điểm của đường thẳng SD và mặt phẳng (M AC) nằm trên đường thẳng nào sau 3 đây? A. Đường thẳng M C. B. Đường thẳng M O. C. Đường thẳng M A. D. Đường thẳng AC. -Lời giải.
Trong (SBD) gọi I = SD ∩ OM . I Khi đó, I = SD ∩ (AM C). S M A B O D C Chọn đáp án B
Câu 62. Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm tam giác BCD, M là trung điểm CD, I là điểm ở trên
đoạn thẳng AG. Đường thẳng BI cắt mặt phẳng (ACD) tại J . Khẳng định nào sau đây sai? A. AM = (ACD) ∩ (ABG). B. A, J, M thẳng hàng. C. DJ = (ACD) ∩ (BDJ ).
D. J là trung điểm của AM . -Lời giải.
Trong mặt phẳng (AM B) nối BI cắt AM tại J ⇒ J = BI ∩ (ACD). A
J là trung điểm của AM là khẳng định sai.
Thật vậy giả sử J là trung điểm AM . Gọi N là trung điểm BM , K là
trung điểm J M , KN cắt AG tại H 2 1 Khi đó AJ = AK ⇒ IH = AI. 3 2 GN 1 1 J = ⇒ GH = GI. I GB 4 4 3 1 AI 3 Cộng vế ta được GI = AI ⇒ = . K 4 2 AG 5 B
Do I bất kì trên AG nên khẳng định trên sai. D H G N M C Chọn đáp án D
Câu 63. Cho tứ diện ABCD và M, N, P lần lượt nằm trên các cạnh AB, AC, AD mà không trùng với các
đỉnh của tứ diện. Thiết diện của tứ diện ABCD khi cắt bởi mặt phẳng M N P là: A. Một tam giác. B. Một ngũ giác. C. Một đoạn thẳng. D. Một tứ giác. -Lời giải.
Thiết diện của tứ diện ABCD khi cắt bởi mặt phẳng (M N P ) là tam giác 4M N P Chọn đáp án A
Câu 64. Cho hình lăng trụ ABC.A0B0C0. Cắt hình lăng trụ bởi một mặt phẳng ta được một thiết diện. Số
cạnh lớn nhất của thiết diện thu được là bao nhiêu? A. 5. B. 4. C. 3. D. 6. -Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 33
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Lăng trụ đã cho có tất cả 5 mặt nên số cạnh của thiết diện C không quá 5. A
Gọi M , N , R lần lượt là các điểm trên cạnh BC, AB, B0C0 X
sao cho 3M B = M C, N A = N B, 3P C0 = P B0. Khi đó thiết N M
diện của lăng trụ ABC.A0B0C0 cắt bởi mặt phẳng (M N P ) là hình ngũ giác M N P QR. B P C0 A0 Q R Y B0 Chọn đáp án A
Câu 65. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm KS
của SB, SD, OC. Gọi giao điểm của (M N P ) với SA là K. Tỉ số là KA 2 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 5 3 4 2 -Lời giải.
Trong (SBD) có M N ∩ SO = H. S
Trong (SAC) có P H ∩ SA = K. ⇒ (M N P ) ∩ SA tại K.
Ta có M N là đường trung bình của tam giác SBD nên H là K
trung điểm SO ⇒ P H là đường trung bình của tam giác SOC M KS P C 1 H ⇒ P K k SC ⇒ = = . KA P A 3 N B C P O A D Chọn đáp án B
Câu 66. Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0, gọi M là trung điểm CD, (P ) là mặt phẳng đi qua M và song
song với B0D và CD0. Thiết diện của hình hộp cắt bởi mặt phẳng (P ) là hình gì? A. Ngũ giác. B. Tứ giác. C. Tam giác. D. Lục giác. -Lời giải.
Trong (CDD0C0), kẻ đường thẳng qua M song F
song CD0 cắt DD0, C0D0 tại E, F .
Trong (CDA0B0), kẻ đường thẳng qua M song J A0 D0
song B0D cắt B0C, A0B0 tại H, K.
Trong (A0B0C0D0), KF cắt B0C0, A0D0 tại I, J .
Trong (BCC0B0), IH cắt BC tại G. I
Thiết diện là ngũ giác M EJ IG B0 C0 E K H D M B G Chọn đáp án A Th.s Nguyễn Chín Em 34
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Câu 67. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, I là trung điểm của SA. Thiết diện
của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng (IBC) là A. Tam giác IBC.
B. Hình thang IJ BC (J là trung điểm của SD).
C. Hình thang IGBC (G là trung điểm của SB). D. Tứ giác IBCD. -Lời giải. S I J A D B C
Ta có IJ k AD k BC suy ra bốn điểm B, C, J, I cùng nằm trên mặt phẳng IBC. Thiết diện là hình thang IJ BC. Chọn đáp án B
Câu 68. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N và P lần lượt là trung điểm
của các cạnh SA, BC, CD. Hỏi thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (M N P ) là hình gì? A. Hình ngũ giác. B. Hình tam giác. C. Hình tứ giác. D. Hình bình hành. -Lời giải.
Trong (ABCD), gọi K, I lần lượt là giao điểm của S N P với AB và AD.
Trong (ABS), gọi R là giao điểm của M K với SB.
Trong (SAD), gọi Q là giao điểm của M I với SD.
Thiết diện tạo bởi (M N P ) cắt hình chóp là ngũ Q M giác M QP N R. A R D I P B N C K Chọn đáp án A
Câu 69. Hình chóp tứ giác có số cạnh là A. 6. B. 8. C. 4. D. 12. -Lời giải.
Số cạnh của hình chóp có đáy là đa giác n đỉnh là 2n cạnh.
Nên hình chóp tứ giác có 8 cạnh. Chọn đáp án B
Câu 70. Khi cắt hình chóp tứ giác S.ABCD bởi một mặt phẳng, thiết diện không thể là hình nào? A. Ngũ giác. B. Lục giác. C. Tam giác. D. Tứ giác. -Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 35
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Ta có hình chóp tứ giác S.ABCD gồm 5 mặt lần lượt là (SAB), (SBC), S
(SCD), (SAD) và (ABCD) nên thiết diện là tứ giác có tối đa 5 cạnh. Do đó
thiết diện không thể là hình lục giác. A B D C Chọn đáp án B
Câu 71. Cho hai đường thẳng a và b. Điều kiện nào sau đây đủ để kết luận a và b chéo nhau?
A. a và b không cùng nằm trên bất kì mặt phẳng nào.
B. a và b không có điểm chung.
C. a và b là hai cạnh của một tứ diện.
D. a và b nằm trên hai mặt phẳng phân biệt. -Lời giải.
a và b không cùng nằm trên bất kì mặt phẳng nào thì a và b là hai đường thẳng chéo nhau. Chọn đáp án A
Câu 72. Thiết diện của tứ diện ABCD cắt bởi mặt phẳng (P ) là một hình chữ nhật. Mệnh đề nào sau
đây là mệnh đề đúng ?
A. Tứ diện là một tứ diện đều.
B. Tứ diện có bốn đường cao đồng quy.
C. Ba cạnh của tứ diện cùng chung một đỉnh nào đó vuông góc từng đôi một.
D. Một cặp cạnh đối diện nào đó của tứ diện phải vuông góc. -Lời giải.
Không làm mất tính tổng quát, giả sử (P ) ∩ (BCD) = M N ; (P ) ∩ D
(ABD) = N P ; (P ) ∩ (ACD) = P Q và (P ) ∩ (ABC) = M Q. Thiết diện
của tứ diện ABCD cắt bởi mặt phẳng (P ) là hình chữ nhật M N P Q, suy ra M N k P Q.
Vì (P ) ∩ (BCD) = M N ; (P ) ∩ (ACD) = P Q; (ACD) ∩ (BCD) = CD P
mà M N k P Q nên suy ra CD k M N k P Q. (1)
Chứng minh tương tự, ta suy ra AB k M Q k P N . (2) N
Mặt khác, do M N P Q là hình chữ nhật nên M Q ⊥ M N nên từ (1) và
(2) ⇒ M Q ⊥ CD ⇒ CD ⊥ AB. A C
Vậy hai cạnh đối diện của tứ diện là CD và AB phải vuông góc với nhau. Q M B Chọn đáp án D
Câu 73. Trong không gian cho bốn điểm không đồng phẳng. Có thể xác định được bao nhiêu mặt phẳng
phân biệt từ các điểm đã cho? A. 6. B. 4. C. 3. D. 2. -Lời giải.
Vì 4 điểm không đồng phẳng tạo thành một tứ diện mà tứ diện có 4 mặt Chọn đáp án B
Câu 74. Cho hai đường thẳng a và b. Điều kiện nào sau đây đủ để kết luận a và b chéo nhau?
A. a và b không nằm trên bất kì mặt phẳng nào.
B. a và b không có điểm chung..
C. a và b là hai cạnh của một tứ diện..
D. a và b nằm trên hai mặt phẳng phân biệt. -Lời giải.
B sai vì a và b có thể song song.
C sai vì a và b có thể cắt nhau.
D sai vì a và b có thể song song. Chọn đáp án A Th.s Nguyễn Chín Em 36
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Câu 75. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang cân đáy lớn AD. Gọi M , lần lượt là hai trung
điểm của AB, CD. Gọi (P ) là mặt phẳng đi qua M N và cắt mặt bên (SBC) theo một giao tuyến. Thiết
diện của (P ) và hình chóp là A. Hình bình hành. B. Hình chữ nhật. C. Hình thang. D. Hình vuông. -Lời giải.
Giả sử mặt phẳng (P ) cắt (SBC) theo giao tuyến P Q. S
Khi đó do M N k BC nên theo định lý ba giao tuyến song song hoặc đồng
quy áp dụng cho ba mặt phẳng (P ); (SBC); (ABCD) thì ta được ba giao
tuyến M N ; BC; P Q đôi một song song.
Do đó thiết diện là một hình thang. Q P A D M N B C Chọn đáp án C
Câu 76. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Giao tuyến của (SAB) và (SCD) là:
A. Đường SO với O là tâm hình bình hành.
B. Đường thẳng qua S và cắt AB.
C. Đường thẳng qua S và song song với AD.
D. Đường thẳng qua S và song song với CD. -Lời giải.
Xét hai mặt phẳng (SAB) và (SCD), ta có: S x S ∈ (SAB) ∩ (SCD)    AB ⊂ (SAB)
⇒ (SAB) ∩ (SCD) = Sx k AB k CD. CD ⊂ (SCD)    AB k CD A B D C Chọn đáp án D
Câu 77. Trong không gian cho ba hình dưới, hình nào là hình biểu diễn của một hình tứ diện? (H1) (H2) (H3) A. Không có hình nào. B. Chỉ có hình (H1). C. Chỉ có hình (H1), (H2).
D. Cả ba hình (H1), (H2), (H3). -Lời giải. Chọn đáp án D
Câu 78. Trong không gian, tập hợp các điểm cách đều ba đỉnh của một tam giác là A. Tập rỗng.
B. Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.
C. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa tam giác tại tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.
D. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa tam giác tại trực tâm của tam giác đó. -Lời giải. Chọn đáp án C Th.s Nguyễn Chín Em 37
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11 Câu 79.
Cho hình chóp S.ABCD, với ABCD là hình
bình hành. Cắt hình chóp bằng mặt phẳng (M N P ), trong S
đó M , N , P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AD, SC.
Thiết diện nhận được sẽ là: A. Lục giác. B. Tam giác. C. Tứ giác. D. Ngũ giác. P K D -Lời giải. 1
Trong mặt phẳng đáy (ABCD) gọi M N ∩CD = D1, M N ∩ D E BC = B A N 1.
Khi đó trong mặt phẳng (SBC) thì B1P ∩ SB = E và M
trong mặt phẳng (SCD) thì D1P ∩ SD = K.
Vậy thiết diện là ngũ giác M EP KN . B1 B C Chọn đáp án D
Câu 80. Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau:
A. Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất.
B. Nếu ba điểm phân biệt M , N , P cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt thì chúng thẳng hàng.
C. Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng còn có vô số điểm chung khác nữa.
D. Hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất. -Lời giải. Chọn đáp án A
Câu 81. Trong mặt phẳng (α), cho bốn điểm A, B, C, D trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Điểm
S không thuộc mặt phẳng (α). Có mấy mặt phẳng tạo bởi S và hai trong bốn điểm nói trên? A. 6. B. 8. C. 4. D. 5. -Lời giải. S D A B C
Có 6 mặt phẳng là: (SAB), (SBC), (SCD), (SAD), (SAC), (SBD). Chọn đáp án A
Câu 82. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. Qua 2 điểm phân biệt có duy nhất một mặt phẳng.
B. Qua 3 điểm phân biệt bất kì có duy nhất một mặt phẳng.
C. Qua 3 điểm không thẳng hàng có duy nhất một mặt phẳng.
D. Qua 4 điểm phân biệt bất kì có duy nhất một mặt phẳng. -Lời giải.
Mệnh đề “Qua 2 điểm phân biệt có duy nhất một mặt phẳng” sai. Vì qua 2 điểm phân biệt, tạo được
1 đường thẳng, khi đó chưa đủ điều kiện để lập một mặt phẳng xác định. Có vô số mặt phẳng đi qua 2 điểm đã cho.
Mệnh đề “Qua 3 điểm phân biệt bất kì có duy nhất một mặt phẳng” sai. Vì trong trường hợp 3 điểm
phân biệt thẳng hàng thì chỉ tạo được đường thẳng, khi đó có vô số mặt phẳng đi qua 3 điểm phân biệt thẳng hàng.
Mệnh đề “Qua 4 điểm phân biệt bất kì có duy nhất một mặt phẳng” sai. Vì trong trường hợp 4 điểm
phân biệt thẳng hàng thì có vô số mặt phẳng đi qua 4 điểm đó hoặc trong trường hợp 4 điểm mặt
phẳng không đồng phẳng thì sẽ tạo không tạo được mặt phẳng nào đi qua cả 4 điểm. Th.s Nguyễn Chín Em 38
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11 Chọn đáp án C
Câu 83. Trong không gian, cho 4 điểm không đồng phẳng. Có thể xác định được bao nhiêu mặt phẳng
phân biệt từ các điểm đã cho? A. 6. B. 4. C. 3. D. 2. -Lời giải.
Với 3 điểm phân biệt không thẳng hàng, ta luôn tạo được 1 mặt phẳng xác định. Khi đó, với 4 điểm không
đồng phẳng ta tạo được tối đa C3 = 4 mặt phẳng. 4 Chọn đáp án B
Câu 84. Trong mặt phẳng (α), cho 4 điểm A, B, C, D trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Điểm S
không thuộc mặt phẳng (α). Có bao nhiêu mặt phẳng tạo bởi S và 2 trong 4 điểm nói trên? A. 4. B. 5. C. 6. D. 8. -Lời giải.
Với điểm S không thuộc mặt phẳng (α) và 4 điểm A, B, C, D thuộc mặt phẳng (α), ta có C2 cách chọn 2 4
trong 4 điểm A, B, C, D cùng với điểm S lập thành 1 mặt phẳng xác định. Vậy số mặt phẳng tạo được là 6. Chọn đáp án C
Câu 85. Cho 5 điểm A, B, C, D, E trong đó không có 4 điểm nào đồng phẳng. Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng
tạo bởi 3 trong 5 điểm đã cho? A. 10. B. 12. C. 8. D. 14. -Lời giải.
Với 3 điểm phân biệt không thẳng hàng, ta luôn tạo được 1 mặt phẳng xác định. Ta có C3 cách chọn 3 điểm 5
trong 5 điểm đã cho để tạo được 1 mặt phẳng xác định. Vậy số mặt phẳng tạo được là 10. Chọn đáp án A
Câu 86. Các yếu tố nào sau đây xác định một mặt phẳng duy nhất? A. Ba điểm phân biệt.
B. Một điểm và một đường thẳng.
C. Hai đường thẳng cắt nhau. D. Bốn điểm phân biệt. -Lời giải.
Mệnh đề “Ba điểm phân biệt” sai. Trong trường hợp 3 điểm phân biệt thẳng hàng thì sẽ có vô số mặt
phẳng chứa 3 điểm thẳng hàng đã cho.
Mệnh đề “Một điểm và một đường thẳng” sai. Trong trường hợp điểm thuộc đường thẳng đã cho, khi
đó ta chỉ có 1 đường thẳng, có vô số mặt phẳng đi qua đường thẳng đó.
Mệnh đề “Bốn điểm phân biệt” sai. Trong trường hợp 4 điểm phân biệt thẳng hàng thì có vô số mặt
phẳng đi qua 4 điểm đó hoặc trong trường hợp 4 điểm mặt phẳng không đồng phẳng thì sẽ không tạo
được mặt phẳng nào đi qua cả 4 điểm. Chọn đáp án C
Câu 87. Cho tứ giác ABCD. Có thể xác định được bao nhiêu mặt phẳng chứa tất cả các đỉnh của tứ giác ABCD? A. 1. B. 2. C. 3. D. 0. -Lời giải.
4 điểm A, B, C, D tạo thành 1 tứ giác, khi đó 4 điểm A, B, C, D đã đồng phẳng và tạo thành 1 mặt phẳng
duy nhất là mặt phẳng (ABCD). Chọn đáp án A
Câu 88. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. Nếu 3 điểm A, B, C là 3 điểm chung của 2 mặt phẳng (P ) và (Q) thì A, B, C thẳng hàng.
B. Nếu A, B, C thẳng hàng và (P ), (Q) có điểm chung là A thì B, C cũng là 2 điểm chung của (P ) và (Q).
C. Nếu 3 điểm A, B, C là 3 điểm chung của 2 mặt phẳng (P ) và (Q) phân biệt thì A, B, C không thẳng hàng.
D. Nếu A, B, C thẳng hàng và A, B là 2 điểm chung của (P ) và (Q) thì C cũng là điểm chung của (P ) và (Q). -Lời giải.
Hai mặt phẳng phân biệt không song song với nhau thì chúng có duy nhất một giao tuyến. Th.s Nguyễn Chín Em 39
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Mệnh đề “Nếu 3 điểm A, B, C là 3 điểm chung của 2 mặt phẳng (P ) và (Q) thì A, B, C thẳng hàng” sai. Vì:
Nếu (P ) và (Q) trùng nhau thì 2 mặt phẳng có vô số điểm chung. Khi đó, chưa đủ điều kiện để kết luận A, B, C thẳng hàng.
Mệnh đề “Nếu A, B, C thẳng hàng và (P ), (Q) có điểm chung là A thì B, C cũng là 2 điểm chung của (P ) và (Q)” sai. Vì:
Có vô số đường thẳng đi qua A, khi đó B, C chưa chắc đã thuộc giao tuyến của (P ) và (Q).
Mệnh đề “Nếu 3 điểm A, B, C là 3 điểm chung của 2 mặt phẳng (P ) và (Q) phân biệt thì A, B, C
không thẳng hàng” sai. Vì:
Hai mặt phẳng (P ) và (Q) phân biệt giao nhau tại 1 giao tuyến duy nhất, nếu 3 điểm A, B, C là 3
điểm chung của 2 mặt phẳng thì A, B, C cùng thuộc giao tuyến. Chọn đáp án D
Câu 89. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai?
A. Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có vô số điểm chung khác nữa.
B. Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất.
C. Hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất.
D. Hai mặt phẳng cùng đi qua 3 điểm A, B, C không thẳng hàng thì hai mặt phẳng đó trùng nhau. -Lời giải.
Nếu 2 mặt phẳng trùng nhau, khi đó 2 mặt phẳng có vô số điểm chung và chung nhau vô số đường thẳng. Chọn đáp án B
Câu 90. Cho 3 đường thẳng d1, d2, d3 không cùng thuộc một mặt phẳng và cắt nhau từng đôi. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. 3 đường thẳng trên đồng quy.
B. 3 đường thẳng trên trùng nhau.
C. 3 đường thẳng trên chứa 3 cạnh của một tam giác.
D. Các khẳng định ở A, B, C đều sai. -Lời giải.
Nếu 3 đường thẳng trùng nhau thì chúng sẽ cùng thuộc 1 mặt phẳng.
Nếu 3 đường thẳng trên chứa 3 cạnh của một tam giác khi đó sẽ tạo được 3
điểm phân biệt không thẳng hàng (là 3 đỉnh của tam giác), chúng lập thành 1
mặt phẳng xác định, 3 đường thẳng sẽ cùng thuộc 1 mặt phẳng. Chọn đáp án A
Câu 91. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD (AB k CD). Khẳng định nào sau đây sai?
A. Hình chóp S.ABCD có 4 mặt bên.
B. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) là SO (O là giao điểm của AC và BD).
C. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) là SI (I là giao điểm của AD và BC).
D. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) là đường trung bình của ABCD . -Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 40
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11 S
Hình chóp S.ABCD có 4 mặt bên: (SAB) , (SBC) , (SCD) , (SAD).
là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).
®O ∈ AC ⊂ (SAC) ⇒ O ∈ (SAC) ⇒ O là điểm chung thứ hai
O ∈ BD ⊂ (SBD) ⇒ O ∈ (SBD)
của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) . A B ⇒ (SAC) ∩ (SBD) = SO.
Tương tự, ta có (SAD) ∩ (SBC) = SI. O D C
(SAB) ∩ (SAD) = SA mà SA không phải là đường trung bình của hình thang ABCD.
Vậy “Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) là đường trung I
bình của ABCD” là mệnh đề sai. Chọn đáp án D
Câu 92. Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm của tam giác BCD. Giao tuyến của mặt phẳng (ACD) và (GAB) là
A. AM (M là trung điểm của AB).
B. AN (N là trung điểm của CD).
C. AH (H là hình chiếu của B trên CD).
D. AK (K là hình chiếu của C trên BD). -Lời giải. A
A là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng (ACD) và (GAB). Ta có BG ∩ CD = N
®N ∈ BG ⊂ (ABG) ⇒ N ∈ (ABG) ⇒
N ∈ CD ⊂ (ACD) ⇒ N ∈ (ACD) . B D
⇒ N là điểm chung thứ hai giữa hai mặt phẳng (ACD) và (GAB). G Vậy (ABG) ∩ (ACD) = AN. C Chọn đáp án B
Câu 93. Cho điểm A không nằm trên mặt phẳng (α) chứa tam giác BCD. Lấy E, F là các điểm lần lượt
nằm trên các cạnh AB, AC. Khi EF và BC cắt nhau tại I thì I không phải là điểm chung của hai mặt phẳng nào sau đây? A. (BCD) và (DEF ). B. (BCD) và (ABC). C. (BCD) và (AEF ). D. (BCD) và (ABD). -Lời giải.
Điểm I là giao điểm của EF và BC, A EF ⊂ (DEF ) I = (BCD) ∩ (DEF )     mà EF ⊂ (ABC) ⇒ I = (BCD) ∩ (ABC) .   E EF ⊂ (AEF ) I = (BCD) ∩ (AEF ) B D F C I Chọn đáp án D
Câu 94. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC, CD. Giao tuyến của hai mặt phẳng (M BD) và (ABN ) là A. đường thẳng M N . B. đường thẳng AM . Th.s Nguyễn Chín Em 41
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
C. đường thẳng BG (G là trọng tâm tam giác ACD).
D. đường thẳng AH (H là trực tâm tam giác ACD). -Lời giải. A
B là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng (M BD) và (ABN ).
Vì M, N lần lượt là trung điểm của AC, CD nên suy ra AN, DM
là hai trung tuyến của tam giác ACD.
®G ∈ AN ⊂ (ABN ) ⇒ G ∈ (ABN ) M Gọi G = AN ∩ DM ⇒ G
G ∈ DM ⊂ (M BD) ⇒ G ∈ (M BD) B D
⇒ G là điểm chung thứ hai giữa hai mặt phẳng (M BD) và (ABN ) . Vậy (ABN ) ∩ (M BD) = BG. N C Chọn đáp án C
Câu 95. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AD
và BC. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SM N ) và (SAC) là A. SD.
B. SO (O là tâm hình bình hành ABCD).
C. SG (G là trung điểm AB).
D. SF (F là trung điểm CD). -Lời giải. S
S là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng (SM N ) và (SAC).
Gọi O = AC ∩ BD là tâm của hình hình hành.
Trong mặt phẳng (ABCD), gọi T = AC ∩ M N ® M
O ∈ AC ⊂ (SAC) ⇒ O ∈ (SAC) A D ⇒
O ∈ M N ⊂ (SM N ) ⇒ O ∈ (SM N )
⇒ O là điểm chung thứ hai giữa hai mặt phẳng (SM N ) và (SAC) . O Vậy (SM N ) ∩ (SAC) = SO. B N C Chọn đáp án B
Câu 96. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I, J lần lượt là trung điểm SA, SB.
Khẳng định nào sau đây sai? A. IJ CD là hình thang. B. (SAB) ∩ (IBC) = IB . C. (SBD) ∩ (J CD) = J .
D. (IAC) ∩ (J BD) = AO (O là tâm ABCD). -Lời giải. S
Ta có IJ là đường trung bình của tam giác SAB
⇒ IJ k AB k CD ⇒ IJ k CD ⇒ IJ CD là hình thang. I ®IB ⊂ (SAB) Ta có ⇒ (SAB) ∩ (IBC) = IB. IB ⊂ (IBC) J M ®JD ⊂ (SBD) A D Ta có ⇒ (SBD) ∩ (J BD) = J D. J D ⊂ (J BD) O
Trong mặt phẳng (IJ CD), gọi M = IC ∩ J D ⇒ (IAC) ∩ B C (J BD) = M O. Chọn đáp án D
Câu 97. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD (AD k BC). Gọi M là trung điểm CD. Th.s Nguyễn Chín Em 42
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Giao tuyến của hai mặt phẳng (M SB) và (SAC) là
A. SI (I là giao điểm của AC và BM ).
B. SJ (J là giao điểm của AM và BD).
C. SO (O là giao điểm của AC và BD).
D. SP (P là giao điểm của AB và CD). -Lời giải. S
S là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng (M SB) và (SAC).
®I ∈ BM ⊂ (SBM ) ⇒ I ∈ (SBM ) Ta có
I ∈ (AC) ∈ (SAC) ⇒ I ∈ (SAC)
⇒ I là điểm chung thứ hai giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SAC) . A D Vậy (M SB) ∩ (SAC) = SI. I M B C Chọn đáp án A
Câu 98. Cho 4 điểm không đồng phẳng A, B, C, D. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AD và B. Giao
tuyến của (IBC) và (KAD) là A. IK. B. BC. C. AK. D. DK. -Lời giải.
Điểm K là trung điểm của BC suy ra K ∈ (IBC) ⇒ IK ⊂ (IBC). A
Điểm I là trung điểm của AD suy ra I ∈ (KAD) ⇒ IK ⊂ (KAD).
Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng (IBC) và (KAD) là IK. I B D K C Chọn đáp án A
Câu 99. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với . Gọi là giao điểm của AC và BD. Trên
cạnh SB lấy điểm M . Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (ADM ) và (SAC). A. SI.
B. AE, E là giao điểm của DM và SI). C. DM .
D. DE, E là giao điểm của DM và SI). -Lời giải.
Ta có A là điểm chung thứ nhất của (ADM ) và (SAC). S
Trong mặt phẳng (SBD), gọi E = SI ∩ DM . Ta có: M
E ∈ SI mà SI ⊂ (SAC) suy ra E ∈ (SAC).
E ∈ DM mà DM ⊂ (ADM ) suy ra E ∈ (ADM ). E
Do đó E là điểm chung thứ hai của (ADM ) và (SAC).
Vậy AE là giao tuyến của (ADM ) và (SAC). A B I D C Chọn đáp án B
Câu 100. Cho tứ diện ABCD và điểm M thuộc miền trong của tam giác ACD. Gọi I và J lần lượt là hai
điểm trên cạnh BC và BD sao cho IJ không song song với CD. Gọi H, K lần lượt là giao điểm của IJ với
CD của M H và AC. Giao tuyến của hai mặt phẳng (ACD) và (IJ M ) là A. KI. B. KJ . C. M I. D. M H. -Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 43
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Trong mặt phẳng (BCD) , IJ cắt CD tại H ⇒ H ∈ (ACD). A
Điểm H ∈ IJ suy ra bốn điểm M, I, J, H đồng phẳng.
Nên trong mặt phẳng (IJ M ) ,
M H cắt IJ tại H và M H ⊂ (IJ M ). ®M ∈ (ACD) Mặt khác ⇒ M H ⊂ (ACD). K H ∈ (ACD) Vậy (ACD) ∩ (IJ M ) = M H. M I C B J D H Chọn đáp án A
Câu 101. Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BC.
Trên đoạn BD lấy điểm P sao cho BP = 2P D. Giao điểm của đường thẳng CD và mặt phẳng (M N P ) là giao điểm của A. CD và N P . B. CD và M N . C. CD và M P . D. CD và AP . -Lời giải. A
Cách 1. Xét mặt phẳng BCD chứa CD. Do N P không song
song CD nên N P cắt CD tại E. Điểm E ∈ N P ⇒ E ∈ E
(M N P ). Vậy CD ∩ (M N P ) tại E. ®N ∈ BC Cách 2. Ta có
⇒ N P ⊂ (BCD) suy ra N P, CD M P ∈ BD B D
đồng phẳng. Gọi E là giao điểm của N P và CD mà N P ⊂ P
(M N P ) suy ra CD ∩ (M N P ) = E. N
Vậy giao điểm của CD và (M N P ) là giao điểm E của N P và CD. C Chọn đáp án A
Câu 102. Cho tứ diện ABCD. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AB và CD; G là trọng tâm tam
giác BCD. Giao điểm của đường thẳng EG và mặt phẳng (ACD) là A. Điểm F .
B. Giao điểm của đường thẳng EG và AF .
C. Giao điểm của đường thẳng EG và AC.
D. Giao điểm của đường thẳng EG và CD. -Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 44
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Vì G là trọng tâm tam giác BCD, F là trung điểm của CD A ⇒ G ∈ (ABF ).
Ta có E là trung điểm của AB ⇒ E ∈ (ABF ).
Gọi M là giao điểm của EG và AF mà AF ⊂ (ACD) suy ra M ∈ E (ACD).
Vậy giao điểm của EG và (ACD) là M = EG ∩ AF . B D G F C M Chọn đáp án B
Câu 103. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của SC. Gọi
I là giao điểm của AM với mặt phẳng (SBD). Mệnh đề nào dưới đây đúng? # » # » # » # » # » # » A. IA = −2IM . B. IA = −3IM . C. IA = 2IM . D. IA = 2, 5IM . -Lời giải.
Gọi O là tâm hình bình hành ABCD suy ra O là trung điểm của AC. S
Nối AM cắt SO tại I mà SO ⊂ (SBD) suy ra I = AM ∩ (SBD). Tam
giác SAC có M, O lần lượt là trung điểm của SC, AC. Mà I = AM ∩ SO 2
suy ra I là trọng tâm tam giác SAC ⇒ AI = AM ⇔ IA = 2IM . Điểm 3 # » # » # » M
I nằm giữa A và M suy ra IA = 2M I = −2IM . I A D O B C Chọn đáp án A
Câu 104. Cho tứ giác ABCD có AC và BD giao nhau tại O và một điểm S không thuộc mặt phẳng
(ABCD). Trên đoạn SC lấy một điểm M không trùng với S và C. Giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng (ABM ) là
A. Giao điểm của SD và AB.
B. Giao điểm của SD và AM .
C. Giao điểm của SD và BK (với K = SO ∩ AM ).
D. Giao điểm của SD và M K (với K = SO ∩ AM ). -Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 45
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11 S
Chọn mặt phẳng phụ (SBD) chứa SD. N
Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SBD) và (ABM ). Ta có B là
điểm chung thứ nhất của (SBD) và (ABM ). M K
Trong mặt phẳng (ABCD), gọi O = AC ∩ BD. Trong mặt phẳng
(SAC), gọi K = AM ∩ SO. Ta có: A D
– K ∈ SO mà SO ⊂ (SBD) suy ra K ∈ (SBD).
– K ∈ AM mà AM ⊂ (ABM ) suy ra K ∈ (AM B). O
Suy ra K là điểm chung thứ hai của BCD và (M N P ). Do đó B C (SBD) ∩ (ABM ) = BK.
Trong mặt phẳng (SBD), gọi N = SD ∩ BK. Ta có: N ∈ BK, mà
BK ∩ (ABM ) suy ra N ∩ (ABM ). Mặt khác N ∈ SD. Vậy N = SD ∩ (ABM ). Chọn đáp án C
Câu 105. Cho bốn điểm A, B, C, S không cùng ở trong một mặt phẳng. Gọi I, H lần lượt là trung điểm
của SA, AB. Trên SC lấy điểm K sao cho IK không song song với AC (K không trùng với các đầu mút).
Gọi E là giao điểm của đường thẳng BC với mặt phẳng IHK. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. E nằm ngoài đoạn BC về phía B.
B. E nằm ngoài đoạn BC về phía C. C. E nằm trong đoạn BC.
D. E nằm trong đoạn BC và E 6= B, E 6= C . -Lời giải. S
Chọn mặt phẳng phụ (ABC) chứa BC. K
Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (ABC) và I
(IHK). Ta có H là điểm chung thứ nhất của
(ABC) và (IHK). Trong mặt phẳng (SAC),
do IK không song song với AC nên gọi F = A IK ∩ AC. Ta có: F C H E B
F ∈ AC mà AC ⊂ (ABC) suy ra F ∈ (ABC).
F ∈ IK mà IK ⊂ (IHK) suy ra F ∈ (IHK).
Suy ra F là điểm chung thứ hai của (ABC) và (IHK). Do đó (ABC) ∩ (IHK) = HF .
Trong mặt phẳng (ABC), gọi E = HF ∩ BC. Ta có:
E ∈ HF mà HF ⊂ (IHK) suy ra E ∈ (IHK). E ∈ BC. Vậy E = BC ∩ (IHK). Chọn đáp án D
Câu 106. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và AC, E là điểm trên cạnh
CD với ED = 3EC. Thiết diện tạo bởi mặt phẳng (M N E) và tứ diện ABCD là A. Tam giác M N E.
B. Tứ giác M N EF với F là điểm bất kì trên cạnh BD.
C. Hình bình hành M N EF với F là điểm trên cạnh BD mà EF k BC. Th.s Nguyễn Chín Em 46
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
D. Hình thang M N EF với F là điểm trên cạnh BD mà EF k BC. -Lời giải.
Tam giác ABC có M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC. A
Suy ra M N là đường trung bình của tam giác ABC ⇒ M N k BC.
Từ E kẻ đường thẳng d song song với BC và cắt BD tại F ⇒ EF k BC.
Do đó M N k EF suy ra bốn điểm M, N, E, F đồng phẳng và M N EF là hình M thang.
Vậy hình thang M N EF là thiết diện cần tìm. N B D F E C Chọn đáp án D
Câu 107. Cho tứ diện ABCD. Gọi H, K lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC. Trên đường thẳng CD
lấy điểm M nằm ngoài đoạn CD. Thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (HKM ) là
A. Tứ giác HKM N với N ∈ AD.
B. Hình thang HKM N với N ∈ AD và HK k M N .
C. Tam giác HKL với L = KM ∩ BD.
D. Tam giác HKL với L = HM ∩ AD. -Lời giải.
Ta có HK, KM là đoạn giao tuyến của (HKM ) với (ABC) và (BCD). A
Trong mặt phẳng (BCD), do KM không song song với BD nên gọi L = KM ∩ BD.
Vậy thiết diện là tam giác HKL. H M B L D K C Chọn đáp án C
Câu 108. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a (a > 0). Các điểm M, N, P lần lượt là
trung điểm của SA, SB, SC. Mặt phẳng (M N P ) cắt hình chóp theo một thiết diện có diện tích bằng a2 a2 a2 A. a2. B. . C. . D. . 2 4 16 -Lời giải.
Gọi Q là trung điểm của SD. S
Tam giác SAD có M, Q lần lượt là trung điểm của SA, SD suy ra M Q k AD.
Tam giác SBC có N, P lần lượt là trung điểm của SB, SC suy ra Q N P k BC. M
Mặt khác AD k BC suy ra M Q k N P và M Q = N P ⇒ M N P Q N là hình vuông. P
Khi đó M, N, P, Q đồng phẳng ⇒ (M N P ) cắt SD tại Q và
M N P Q là thiết diện của hình chóp S.ABCD với (M N P ). A D
Vậy diện tích hình vuông M N P Q là O SABCD a2 SMNP Q = = . B C 4 4 Chọn đáp án C
Câu 109. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Mặt phẳng (GCD)
cắt tứ diện theo một thiết diện có diện tích là Th.s Nguyễn Chín Em 47
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11 √ √ √ √ a2 3 a2 2 a2 2 a2 3 A. . B. . C. . D. . 2 4 6 4 -Lời giải.
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC suy ra AN ∩ M C = G. A
Dễ thấy mặt phẳng (GCD) cắt đường thắng AB tại điểm M .
Suy ra tam giác M CD là thiết diện của mặt phẳng (GCD) và tứ diện ABCD. √ a 3 M
Tam giác ABD đều, có M là trung điểm AB suy ra M D = . 2 √ a 3
Tam giác ABC đều, có M là trung điểm AB suy ra M C = . G 2 B D N H C
Gọi H là trung điểm của CD 1 ⇒ M H ⊥ CD ⇒ S∆MCD = · M H · CD 2 √ √ … CD2 a 2 Với M H = M C2 − HC2 = M C2 − = . √ √ 4 2 1 a 2 a2 2 Vậy S∆MCD = · · a = . 2 2 4 Chọn đáp án B
Câu 110. Cho tứ diện đều ABCD có độ dài các cạnh bằng 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh
AC, BC, P là trọng tâm tam giác BCD. Mặt phẳng (M N P ) cắt tứ diện theo một thiết diện có diện tích là √ √ √ √ a2 11 a2 2 a2 11 a2 3 A. . B. . C. . D. . 2 4 4 4 -Lời giải.
Trong tam giác BCD có: P là trọng tâm, N là trung điểm BC. Suy ra A
N, P, D thẳng hàng. Vậy thiết diện là tam giác M N D. √ AB AD 3
Xét tam giác M N D, ta có M N = = a; DM = DN = = √ 2 2 a 3.
Do đó tam giác M N D cân tại D.
Gọi H là trung điểm M N suy ra DH ⊥ M N . M Diện tích tam giác B D √ 1 1 p a2 11 S P 4M N D = M N · DH = M N · DM 2 − M H2 = . 2 2 4 N C Chọn đáp án C
Câu 111. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Mặt phẳng (α) qua M N
cắt AD, BC lần lượt tại P và Q. Biết M P cắt N Q tại I. Ba điểm nào sau đây thẳng hàng? A. I, A, C . B. I, B, D . C. I, A, B . D. I, C, D . -Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 48
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11 Ta có (ABD) ∩ (BCD) = BD. Lại có A ®I ∈ M P ⊂ (ABD) I ∈ N Q ⊂ (BCD)
⇒ I thuộc giao tuyến của (ABC) và (BCD)
⇒ I ∈ BD ⇒ I, B, D thẳng hàng. M P D B I N Q C Chọn đáp án B
Câu 112. Cho tứ diện SABC. Gọi L, M, N lần lượt là các điểm trên các cạnh SA, SB và AC sao cho LM
không song song với AB, LN không song song với SC. Mặt phẳng (LM N ) cắt các cạnh AB, BC, SC lần
lượt tại K, I, J . Ba điểm nào sau đây thẳng hàng? A. K, I, J . B. M, I, J . C. N, I, J . D. M, K, J . -Lời giải. Ta có S
M ∈ SB suy M là điểm chung của (LM N ) và (SBC).
I là điểm chung của (LM N ) và (SBC). L
J là điểm chung của (LM N ) và (SBC).
Vậy M, I, J thẳng hàng vì cùng thuộc giao tuyến của (LM N ) và N C A (SBC). M I B K J Chọn đáp án B
Câu 113. Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm tam giác BCD, M là trung điểm CD, I là điểm ở trên
đoạn thẳng AG, BI cắt mặt phẳng (ACD) tại J . Khẳng định nào sau đây sai? A. AM = (ACD) ∩ (ABG). B. A, J, M thẳng hàng.
C. J là trung điểm của AM . D. DJ = (ACD) ∩ (BDJ ). -Lời giải.
Ta có A là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng (ACD) và (GAB). A
®M ∈ BG ⊂ (ABG) ⇒ M ∈ (ABG) Do BG ∩ CD = M ⇒
M ∈ CD ⊂ (ACD) ⇒ M ∈ (ACD)
⇒ M là điểm chung thứ hai giữa hai mặt phẳng (ABG) và (ACD) ⇒ (ABG) ∩ (ACD) = AM . J BI ⊂ (ABG)   I Ta có AM ⊂ (ABM ) ⇒ AM, BI đồng phẳng. B   (ABG) ≡ (ABM )
⇒ J = BI ∩ AM ⇒ A, J, M thẳng hàng. G M C ®DJ ⊂ (ACD) Ta có
⇒ DJ = (ACD) ∩ (BDJ ). Điểm I di động trên AG nên J có thể không phải là DJ ⊂ (BDJ ) trung điểm của AM . Chọn đáp án C Th.s Nguyễn Chín Em 49
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Câu 114. Cho tứ diện ABCD. Gọi E, F, G là các điểm lần lượt thuộc các cạnh AB, AC, BD sao cho EF
cắt BC tại I, EG cắt AD tại H. Ba đường thẳng nào sau đây đồng quy? A. CD, EF, EG. B. CD, IG, HF . C. AB, IG, HF . D. AC, IG, BD. -Lời giải.
Phương pháp: Để chứng minh ba đường thẳng d1, d2, d3 đồng A
quy ta chứng minh giao điểm của hai đường thẳng d1 và d2
là điểm chung của hai mặt phẳng (α) và (β); đồng thời d3
là giao tuyến (α) và (β). E Gọi O = HF ∩ IG. Ta có: F
O ∈ HF mà HF ⊂ (ACD) suy ra O ∈ (ACD). C I
O ∈ IG mà IG ⊂ (BCD) suy ra O ∈ (BCD). B
Do đó O ∈ (ACD) ∩ (BCD) (1). O
Mà (ACD) ∩ (BCD) = CD (2). Từ (1) và (2), suy ra O ∈ G CD. D
Vậy ba đường thẳng CD, IG, HF đồng quy. H Chọn đáp án B
Câu 115. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD không phải là hình thang. Trên cạnh SC lấy điểm . Gọi
là giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Ba đường thẳng AB, CD, M N đôi một song song.
B. Ba đường thẳng AB, CD, M N đôi một cắt nhau.
C. Ba đường thẳng AB, CD, M N đồng quy.
D. Ba đường thẳng AB, CD, M N cùng thuộc một mặt phẳng. -Lời giải.
Gọi I = AD ∩ BC. Trong mặt phẳng (SBC), gọi S
K = BM ∩ SI. Trong mặt phẳng (SAD), gọi N = AK ∩ SD.
Khi đó N là giao điểm của đường thẳng SD với mặt
phẳng (AM B). Gọi O = AB ∩ CD. Ta có: K
O ∈ AB mà AB ⊂ (AM B) suy ra O ∈ (AM B). N M
O ∈ CD mà CD ⊂ (SCD) suy ra O ∈ (SCD).
Do đó O ∈ (AM B) ∩ (SCD) (1). A
Mà (AM B) ∩ (SCD) = M N (2). B O
Từ (1) và (2), suy ra O ∈ M N .
Vậy ba đường thẳng AB, CD, M N đồng quy. C D I Chọn đáp án C
Câu 116. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J và K lần lượt là trung điểm của AC, BC và BD. Giao tuyến của
hai mặt phẳng (ABD) và (IKJ ) là đường thẳng A. KD. B. KI.
C. qua K và song song với AB. D. Không có. -Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 50
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11 Ta có A  (IJK) ∩ (ABD) = K   IJ ⊂ (IJ K) , AB ⊂ (ABD) M  IJ k AB
⇔ (IJ K) ∩ (ABD) = KM k IJ k AB. I D B K J C Chọn đáp án C
Câu 117. Các yếu tố nào sau đây xác định một mặt phẳng duy nhất? A. Ba điểm.
B. Một điểm và một đường thẳng.
C. Hai đường thẳng cắt nhau. D. Bốn điểm. -Lời giải.
Sửa lại cho đúng: Ba điểm không thẳng hàng.
Sửa lại cho đúng: Một điểm và một đường thẳng không chứa điểm đó. Chọn đáp án C
Câu 118. Cho tam giác ABC, lấy điểm I trên cạnh AC kéo dài. Mệnh đề nào sau đây là sai? A. A ∈ (ABC). B. I ∈ (ABC). C. (ABC) ≡ (BIC). D. BI 6⊂ (ABC). -Lời giải.
Ta có I ∈ (ABC) , B ∈ (ABC) ⇔ BI 6⊂ (ABC) . B C A I Chọn đáp án D
Câu 119. Cho tam giác ABC. Có thể xác định được bao nhiêu mặt phẳng chứa tất cả các đỉnh tam giác ABC? A. 4. B. 3. C. 2. D. 1. -Lời giải.
Ta có ABC là tam giác ⇔ ba điểm A, B, C không thẳng hàng. Vậy
có duy nhất một mặt phẳng chứa A, B, C. B C A Chọn đáp án D
Câu 120. Trong không gian cho bốn điểm không đồng phẳng, có thể xác định nhiều nhất bao nhiêu mặt
phẳng phân biệt từ các điểm đó? A. 6. B. 4. C. 3. D. 2. -Lời giải.
Giả sử bốn điểm đó là tứ diện ABCD. Có các mặt phẳng đó là: A
(ABC) , (ABD) , (ACD) , (BCD) . D C B Th.s Nguyễn Chín Em 51
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11 Chọn đáp án B
Câu 121. Cho hình chóp S.ABCD với đáy là tứ giác ABCD có các cạnh đối không song song. Giả sử
AC ∩ BD = O và AD ∩ BC = I. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) là A. SC. B. SB. C. SO. D. SI. -Lời giải. Ta có S  (SAC) ∩ (SBD) = S   O ∈ AC ⊂ (SAC) ⇔ (SAC) ∩ (SBD) = SO.  O ∈ BD ⊂ (SBD) D I A O C B Chọn đáp án C
Câu 122. Cho hình chóp S.ABCD với đáy là tứ giác ABCD. Thiết diện của mặt phẳng (α) tùy ý với hình chóp không thể là A. Lục giác. B. Ngũ giác. C. Tứ giác. D. Tam giác. -Lời giải.
Hình chóp tứ giác có tất cả 5 mặt nên thiết diện không thể là lục giác. Chọn đáp án A ĐÁP ÁN 1. C 2. B 3. C 4. A 5. C 6. A 7. D 8. B 9. A 10. D 11. B 12. D 13. C 14. B 15. D 16. A 17. A 18. B 19. A 20. A 21. B 22. A 23. C 24. D 25. D 26. C 27. C 28. B 29. C 30. B 31. B 32. C 33. B 34. C 35. B 36. A 37. B 38. B 39. A 40. C 41. C 42. A 43. B 44. C 45. C 46. C 47. B 48. B 49. C 50. B 51. A 52. B 53. A 54. C 55. C 56. B 57. A 58. B 59. A 60. D 61. B 62. D 63. A 64. A 65. B 66. A 67. B 68. A 69. B 70. B 71. A 72. D 73. B 74. A 75. C 76. D 77. D 78. C 79. D 80. A 81. A 82. C 83. B 84. C 85. A 86. C 87. A 88. D 89. B 90. A 91. D 92. B 93. D 94. C 95. B 96. D 97. A 98. A 99. B 100. A 101. A 102. B 103. A 104. C 105. D 106. D 107. C 108. C 109. B 110. C 111. B 112. B 113. C 114. B 115. C 116. C 117. C 118. D 119. D 120. B 121. C 122. A Th.s Nguyễn Chín Em 52
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11 BÀI 2.
HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU VÀ HAI
ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1
VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
Cho hai đường thẳng a và b trong không gian. Có các trường hợp sau đây xảy ra đối với a và b.
Trường hợp 1: Có một mặt phẳng chứa cả a và b, khi đó theo kết quả tronh hình học
phẳng ta có ba khả năng sau.
a và b cắt nhau tại điểm M , ta kí hiệu a ∩ b = M .
a và b song song với nhau, ta kí hiệu a k b.
a và b trùng nhau, ta kí hiệu a ≡ b.
Trường hợp 2: Không có mặt phẳng nào chứa cả a và b, khi đó ta nói a và b là hai đường thẳng chéo nhau. 2
CÁC ĐỊNH LÍ VÀ TÍNH CHẤT
1 Trong không gian, qua một điểm cho trước không nằm trên đường thẳng a có một và chỉ một
đường thẳng song song với a.
2 Nếu ba mặt phẳng phân biệt đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến thì ba giao tuyến đó hoặc
đồng qui hoặc đôi một song song.
3 Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng
(nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.
4 Nếu hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì chúng song song c β γ β β d α α α a b d2 b d c 1 a γ B CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng bằng quan hệ song song Phương pháp:
Sử dụng tính chất: Nếu hai mặt phẳng (α) và (β) có điểm chung M và lần lượt chứa hai đường thẳng
song song d và d0 thì giao tuyến của (α) và (β) là đường thẳng đi qua M song song với d và d0.
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) Th.s Nguyễn Chín Em 53
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11 -Lời giải. S D A B C AB ⊂ (SAB)    C D ⊂ (SC D) Ta có
⇒ (SAB) ∩ (SCD) = d k AB k CD, S ∈ d. AB k CD    S ∈ (SAB) ∩ (SCD)
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với các cạnh đáy là AB và CD. Gọi
I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh AD và BC và G là trọng tâm của tam giác SAB. Tìm giao
tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (IJ G). -Lời giải. S G M N A B E I J D C
Ta có ABCD là hình thang và I, J là trung điểm của AD, BC nên IJ//AB. G ∈ (SAB) ∩ (IJ G)    AB ⊂ (SAB) Vậy
⇒ (SAB) ∩ (IJ G) = M N với M N đi qua G và song song AB với M ∈ SA, N ∈ IJ ⊂ (IJ G)    AB k IJ SB.
Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với các cạnh đáy là AB và CD. Gọi
I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh AD và BC và G là trọng tâm của tam giác SAB. Tìm điều
kiện của AB và CD để thiết diện của (IJ G) và hình chóp là một hình bình hành. -Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 54
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11 S G M N A B E I J D C
Dễ thấy thiết diện là tứ giác M N J I. M N SG 2
Do G là trọng tâm tam giác SAB và M N k AB nên = = (E là trung điểm của AB) AB SE 3 2 ⇒ M N = AB. 3 1 Lại có IJ =
(AB + CD). Vì M N k IJ nên M N IJ là hình thang, do đó M N IJ là hình bình hành khi 22 1 M N = IJ ⇔ AB = (AB + CD) ⇔ AB = 3CD. 3 2
Vậy để thết diện là hình bình hành khi AB = 3CD.
Dạng 2. Chứng minh hai đường thẳng song song Phương pháp
Để chứng minh hai đường thẳng song song ta có thể làm theo một trong các cách sau
1 Chứng minh chúng cùng thuộc một mặt phẳng rồi dùng các phương pháp chứng minh hai đường
thẳng song song trong mặt phẳng.
2 Chứng minh hai đường thẳng đó cùng song song vơi đường thẳng thứ ba.
3 Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng
(nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.
4 Sử dụng định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng.
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình thang với đáy lớn AB. Gọi M, N lần
lượt là trung điểm của SA và SB. Khẳng định nào sau đây là đúng -Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 55
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11 S I M N P A B D C E
Ta có M N là đường trung bình của tam giác SAB nên M N k AB.
Lại có ABCD là hình thang ⇒ AB k CD. ®M N k AB Vậy ⇒ M N k CD. CD k AB
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình thang với đáy lớn AB. Gọi M, N lần
lượt là trung điểm của SA và SB. Gọi P là giao điểm của SC và (ADN ), I là giao điểm của AN và
DP . Khẳng định nào sau đây là đúng? -Lời giải. S I M N P A B D C E
Trong (ABCD) gọi E = AD ∩ BC, trong (SCD) gọi P = SC ∩ EN .
Ta có E ∈ AD ⊂ (ADN ) ⇒ EN ⊂ (AN D) ⇒ P ∈ (ADN ). Vậy P = SC ∩ (ADN ). ®I ∈ AN ®I ∈ (SAB) Do I = AN ∩ DP ⇒ ⇒ ⇒ SI = (SAB) ∩ (SCD). I ∈ DP I ∈ (SCD) AB ⊂ (SAB)    C D ⊂ (SC D) Ta có ⇒ SI k CD. AB k CD    (SAB) ∩ (SCD) = SI Th.s Nguyễn Chín Em 56
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình thang với đáy AD và BC. Biết AD = a,
BC = b. Gọi I và J lần lượt là trọng tâm các tam giác SAD và SBC. Mặt phẳng (ADJ ) cắt SB, SC
lần lượt tại M ,N . Mặt phẳng (BCI) cắt SA, SD tại P, Q. Khẳng định nào sau đây là đúng? -Lời giải. S I P Q A D K E F M J N B C
Ta có I ∈ (SAD) ⇒ I ∈ (SAD) ∩ (IBC). AD ⊂ (SAD)    BC ⊂ (I BC ) Vậy ⇒ P Q k AD k BC (1) AD k BC    (SAD) ∩ (IBC) = P Q
Tương tự J ∈ (SBC) ⇒ J ∈ (SBC) ∩ (ADJ ) AD ⊂ (ADJ )    BC ⊂ (SBC ) Vậy ⇒ M N k AD k BC (2) AD k BC    (SBC) ∩ (ADJ) = M N
Từ (1) và (2) suy ra M N k P Q.
Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình thang với đáy AD và BC. Biết
AD = a, BC = b. Gọi I và J lần lượt là trọng tâm các tam giác SAD và SBC. Mặt phẳng (ADJ )
cắt SB, SC lần lượt tại M , N . Mặt phẳng (BCI) cắt SA, SD tại P , Q. Giải sử AM cắt BP tại E;
CQ cắt DN tại F . Tính EF theo a, b. -Lời giải. S I P Q A D K E F M J N B C Th.s Nguyễn Chín Em 57
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11 ®E ∈ (AM N D) ®F ∈ (AM N D) Ta có E = AM ∩ BP ⇒ ;F = DN ∩ CQ ⇒ . E ∈ (P BCQ) F ∈ (P BCQ) ®AD k BC
Do đó EF = (AM N D) ∩ (P BCQ). Mà ⇒ EF k AD k BC k M N k P Q. M N k P Q Tính EF :
Gọi K = CP ∩ EF ⇒ EF = EK + KF EK P E P E P M Ta có EK k BC ⇒ = (1), P M k AB ⇒ = . BC P B EB AB P M SP 2 P E 2 Mà = = ⇒ = . AB SA 3 EB 3 EK P E P E 1 2 2 2 Từ (1)suy ra = = = = ⇒ EK = BC = b. BC P B P E + EB EB 5 5 5 1 + PE 2 Tương tự KF = a. 5 2 Vậy EF = EK + KF = (a + b). 5
Dạng 3. Chứng minh bốn điểm đồng phẳng và ba đường thẳng đồng qui Phương pháp:
Để chứng minh bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng ta tìm hai đường thẳng a, b lần lượt đi qua hai
trong bốn điểm trên và chứng minh a, b song song hoặc cắt nhau, khi đó A, B, C, D thuôc mp(a, b).
Để chứng minh ba đường thẳng a, b, c đồng qui ngoài cách chứng minh ở §1, ta có thể chứng minh
a, b, c lần lượt là giao tuyến của hai trong ba mặt phẳng (α), (β), (δ) trong đó có hai giao tuyến cắt
nhau. Khi đó theo tính chất về giao tuyến của ba mặt phẳng ta được a, b, c đồng qui.
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một tứ giác lồi. Gọi M , N , E, F lần lượt là
trung điểm của các cạnh bên SA, SB, SC và SD. Chứng minh M E ,N F ,SO đồng qui . -Lời giải. S M F I N E A D O B C
Trong (SAC) gọi I = M E ∩ SO, dễ thấy I là trung điểm của SO, suy ra F I là đường trung bình của tam giác SOD. Vậy F I k OD.
Tương tự ta có N I k OB nên N, I, F thẳng hàng hay I ∈ N F .
Vậy minh M E ,N F ,SO đồng qui .
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một tứ giác lồi. Gọi M , N , E, F lần lượt là
trung điểm của các cạnh bên SA, SB, SC và SD. Chứng minh rằng M, N, E, F đồng phẳng. Th.s Nguyễn Chín Em 58
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11 -Lời giải. S M F I N E A D O B C
Do M E ∩ N F = I nên M E và N F xác định một mặt phẳng. Suy ra M, N, E, F đồng phẳng. C BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AC. Tìm giao tuyến của
hai mặt phẳng (DM N ) và (BCD). -Lời giải.
Do M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC nên M N k BC. Khi A đó D ∈ (DM N ) ∩ (DBC)    M N ⊂ (DM N ) BC ⊂ (DBC)    M M N k BC
Vậy (DM N ) ∩ (DBC) = d k M N k BC với D ∈ d. N B D C
Bài 2. Cho hình chóp S.ABC. Gọi G1, G2 lần lượt là trọng tâm các tam giác SBC và SAB.
1 Chứng minh G1G2 k AC.
2 Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (BG1G2) và (ABC). -Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 59
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11 a) Chứng minh G1G2 k AC. S
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC. Do G1, G2 là trọng
tâm các tam giác SBC và SAB nên SG1 2 SG2 2 SG1 SG2 = ; = ⇒ = ⇒ G1G2 k M N. SN 3 SM 3 SN SM
Mặt khác, lại có G1G2 k AC.
b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (BG1G2) và (ABC). G2 Vì A D G1 B ∈ (BG1G2)    G1G2 ⊂ (BG1G2) M
⇒ (BG1G2) ∩ (ABCD) = d k AC k G1G2. AC ⊂ (ABCD)    G C 1G2 k AC N B d
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành.
1 Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).
2 Gọi M là một điểm trên cạnh SC. Xác định giao điểm N của SD với (ABM ). Tứ giác ABM N là hình gì?
3 Giả sử I = AN ∩ BM . Chứng minh I thuộc một đường thẳng cố định khi M chạy trên cạnh SC. -Lời giải. S I d N M A D B C a) Ta có S ∈ (SAB) ∩ (SCD)    AB k C D
⇒ (SAB) ∩ (SCD) = d k AB k CD với S ∈ d. AB ⊂ (SAB)    CD ⊂ (SCD) b) Ta có M ∈ (SCD) ∩ (ABM )    AB k C D
⇒ (ABM ) ∩ (SCD) = d0 k AB, M ∈ d0. AB ⊂ (ABM )    CD ⊂ (SCD) Th.s Nguyễn Chín Em 60
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Trong mặt phẳng (SCD), gọi N = d0 ∩ SD. Suy ra N = SD ∩ (ABM ). Do M N k AB nên tứ giác ABM N là hình thang.
c) Gọi ∆ = (SAD) ∩ (SBC) thì ∆ là đường thẳng cố định. Mặt khác, vì ® I ∈ AN ⊂ (SAD) I = AN ∩ BM ⇒
⇒ I ∈ (SAD) ∩ (SBC) ⇒ I ∈ ∆. I ∈ BM ⊂ (SBC)
Từ đó, I là điểm cố định.
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm
của các cạnh SA, SB, SC, SD.
1 Chứng minh M N P Q là một hình bình hành.
2 Gọi I là một điểm trên cạnh BC. Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (IM N ). -Lời giải. 1 1 a) Ta có M N k AB; M N = AB và P Q k CD; P Q = CD. Từ 2 2 S
đó, suy ra M N = P Q và M N k P Q.
Vậy M N P Q là hình bình hành. b) Ta có M Q I ∈ (IM N ) ∩ (ABCD)    AB ⊂ (ABC D) N . M N ⊂ (IM N ) P  D   A AB k M N J
⇒ (IM N ) ∩ (ABCD) = IJ k AB k M N với J ∈ AD.
Thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (IM N ) là hình thang M N IJ . B I C
Bài 5. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BC và BD, E là một điểm thuộc cạnh AD (E khác A và D).
1 Xác định thiết diện của tứ diện với (IJ E).
2 Tìm vị trí của điểm E trên AD sao cho thiết diện là hình bình hành.
3 Tìm điều kiện của tứ diện ABCD và vị trí của điểm E trên AD sao cho thiết diện là hình thoi. -Lời giải. F ∈ (IJF ) ∩ (ACD)   a) Ta có
IJ ⊂ (IJ F ) , CD ⊂ (ACD) ⇒ (IJ F ) ∩ (ACD) = F E k CD k A  IJ k CD IJ .
Thiết diện là tứ giác IJ EF . F E 1
b) Để thiết diện IJ EF là hình bình hành thì IJ k= EF mà IJ k= CD 2 1 nên EF k=
CD, hay EF là đường trung bình trong tam giác ACD ứng 2
với cạnh CD, do đó E là trung điểm của AD.
c) Để thiết diện IJ EF là hình thoi thì trước tiên nó phải là hình bình
hành, khi đó E là trung điểm của AD. B D J 1 1
Mặt khác IJ EF là hình thoi thì IJ = IF , mà IJ = CD, IF = AB ⇒ I 2 2 AB = CD. C
Vậy điều kiện để thiết diện là hình thoi là tứ diện ABCD có AB = CD
và E là trung điểm của AD.
Bài 6. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của CD và AB. Th.s Nguyễn Chín Em 61
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
1 Hãy xác định các điểm I ∈ AC và J ∈ DN sao cho IJ k BM . 2 Tính IJ theo a. -Lời giải.
a) Trong (BCD), từ D kẻ đường thẳng song song với A
BM cắt BC tại K. Nối K và N cắt AC tại I. Trong
(IKD), từ I kẻ đường thẳng song song với DK cắt DN tại J . J Khi đó IJ k BM . N I K B D H M C √ a 3 √
b) Do BM là đường trung bình của tam giác CKD nên KD = 2BM = 2 · = a 3. 2
Gọi H là trung điểm của BC. Khi đó N K KH 3HC HN k AC ⇒ = = = 3 N I HC HC √ 1 a 3
⇒ N K = 3N I ⇒ KD = 3IJ ⇒ IJ = KD = . 3 3
Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang. Một mặt phẳng (α) cắt các cạnh SA, SB, SC
và SD lần lượt tại các điểm M, N, P, Q.
1 Giả sử M N ∩ P Q = I, AB ∩ CD = E. Chứng minh I, E, S thẳng hàng.
2 Giả sử ∆ = (IBC) ∩ (IAD) và ∆ ⊂ (α). Chứng minh M Q k N P k AB k CD. -Lời giải. a) Ta có SE = (SAB) ∩ (SCD) I = M N ∩ P Q ⇒ S
®I ∈ M N ⊂ (SAB) ⇒ I ∈ (SAB) ∩ (SCD), hay I ∈ SE. b) Vì I ∈ P Q ⊂ (SCD) I ∈ (IAD) ∩ (IBC)    AD//BC M Q AD ⊂ (IAD)    BC ⊂ (IBC) N P
⇒ (IAD) ∩ (IBC) = ∆ k AB k DC, I ∈ ∆. I A D ∆ ⊂ (α)    BC ⊂ (SBC )
Mặt khác theo giả thiết ∆ ⊂ (α) nên ⇒ N P k ∆ k BC B C     (α) ∩ (SBC) = N P BC k ∆. E
Tương tự ta cũng có M Q k AD k ∆. Vậy M Q k N P k BC k AD k ∆.
Bài 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang với AD k BC. Gọi M là một điểm di động trong tứ
giác ABCD. Qua M vẽ các đường thẳng song song với SA, SB cắt các mặt (SBC) và (SAD) lần lượt tại N, P .
1 Nêu cách dựng các điểm N, P . Th.s Nguyễn Chín Em 62
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
2 Tìm tập hợp điểm M sao cho M N · M P lớn nhất. -Lời giải.
a) Gọi E = AM ∩ BC, F = BM ∩ AD. Từ M kẻ các đường thẳng
song song với SA, SB lần lượt cắt SE, SF tại N, P . Thì N, P là các S điểm cần dựng. M N EM M P F M AM M N M P b) Ta có = , = = nên + = SA EA SB F B AE SA SB EM AM + = 1. Theo BĐT Cauchy ta có EA EA P N M N M P M N · M P = SA · SB · · . SA SB F A D SA · SB Å M N M P ã2 SA · SB ≤ + = . 4 SA SB 4 M SA · SB M N M P 1 Vậy M N · M P = khi = = hay M là trung 4 SA SB 2 B C E
điểm của AE và BF , do đó tập hợp điểm M là đường trung bình của hình thang ABCD.
Bài 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình thang với đáy AD = a và BC = b. Gọi M, N, P
lần lượt là trung điểm các cạnh AB, CD và SB.
1 Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (ADP ) và (SBC).
2 Tìm độ dài đoạn giao tuyến của (ADP ) và (SM N ) nằm bên trong hình chóp. -Lời giải. P ∈ (ADP ) ∩ (SBC)    AD k BC a) Ta có AD ⊂ (ADP ) S    BC ⊂ (SBC)
⇒ (ADP ) ∩ (SBC) = P Q k AD k BC, Q ∈ SC.
b) Gọi I = AP ∩ SM, J = DQ ∩ SN . Khi đó IJ = (ADP ) ∩ (SM N ) . P Q I J
Dễ thấy I, J lần lượt là trọng tâm các tam giác SAB và SCD. Gọi
K = IJ ∩ P D, ta có IJ = IK + KJ suy ra A D IK P I 1 1 1 = = ⇒ IK = AD = a. AD P A 3 3 3 M N Tương tự J K DI 2 2 2 1 1 = = ⇒ J K = P Q = · BC = b. B C P Q DQ 3 3 3 2 3 1 Vậy IJ = IK + KJ = (a + b). 3
Bài 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm các tam
giác SAB và SAD. M là điểm trên cạnh SA sao cho M A = 2M S. Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (M IJ ) -Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 63
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Kéo dài M I cắt AB tại K, kéo dài M J cắt AD tại L S
Ta có (M IJ ) ∩ (SAB) = M K; (M IJ ) ∩ (SAD) = M L; (M IJ ) ∩ (ABCD) = KL.
Vậy mặt phẳng (M IJ ) cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện là M tam giác M KL. J I A L D K B C
Bài 11. Cho hình chóp S.ABC, M là một điểm nằm trong tam giác ABC. Các đường thẳng qua M và
song song với SA, SB và SC cắt các mặt (SBC), (SCA), (SAB) lần lượt tại các điểm A0, B0, C0.
1 Nêu cách dựng các điểm A0, B0, C0. M A0 M B0 M C0 2 Chứng minh + +
có giá trị không đổi khi M di động trong tam giác ABC. SA SB SC
3 Xác định vị trí của M để tích M A0 · M B0 · M C0 lớn nhất. -Lời giải. S B0 C0 A0 A I C M E F B
1 Gọi E = AM ∩ BC, trong (SAE) vẽ đường thẳng đi qua M và song song với SA cắt SE tại A0 thì A0 là điểm cần dựng.
Các điểm B0, C0 được dựng tương tự. M A0 M E SMBC 2 Ta có M A0 k SA nên = = (1) SA AE SABC M B0 IM SMAC M C0 F M SMAB Tương tự = = (2); = = (3) SB IM SABC SC F C SABC M A0 M B0 M C0
Cộng các đẳng thức (1), (2) và (3) ta được + + = 1. SA SB SC 3 Ta có 3 Ö M A0 M B0 M C0 è M A0 M B0 M C0 + +
M A0 · M B0 · M C0 = SA · SB · SC · · · ≤ SA · SB · SC SA SB SC = SA SB SC 3 SA · SB · SC 27 M A0 M B0 M C0 1 EM IM F M Đẳng thức xảy ra khi + + = ⇒ = =
⇒ M là trọng tâm tam giác SA SB SC 3 EA IB F C Th.s Nguyễn Chín Em 64
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11 ABC. SA · SB · SC
Vậy max (M A0 · M B0 · M C0) = 27
Bài 12. Cho tứ diện ABCD. Một mặt phẳng (α) cắt bốn cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt tại M, N, P.Q. AB · BC · CD · AD
Chứng minh rằng M A · N B · P C · QD ≤
. Khi đẳng thức xảy ra thì M N P Q là hình 16 gì? -Lời giải.
Do M, N, E, F đồng phẳng nên theo đinh lí Menelauyt trong A M A N B P C QD không gian ta có · · · = 1 M B N C P D QA Do đó (M A.N B.P C.QD)2 = M Q
= (M A.N B.P C.QD) (M B.N C.P D.QA) (1) Theo BĐT Cauchy ta có Å M A + M B ã2 AB2 M A.M B ≤ = 2 4 Å N B + N C ã2 BC2 B D N B.N C ≤ = 2 4 N Å P C + P D ã2 CD2 P C.P D ≤ = 2 4 P Å QD + QA ã2 AD2 QD.QA ≤ = C 2 4
Nhân theo vế các BĐT trên và kết hợp với (1) thu được: AB · BC · CD · AD M A · N B · P C · QD ≤ 16 D
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau.
B. Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung.
C. Hai đường thẳng phân biệt không cắt nhau và không song song thì chéo nhau.
D. Hai đường thẳng phân biệt không chéo nhau thì hoặc cắt nhau hoặc song song. -Lời giải.
Hai đường thẳng không có điểm chung thì chúng song song (khi chúng đồng phẳng) hoặc chéo nhau (khi
chúng không đồng phẳng). Chọn đáp án A
Câu 2. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Hai đường thằng có một điểm chung thì chúng có vô số điểm chung khác.
B. Hai đường thẳng song song khi và chỉ khi chúng không điểm chung.
C. Hai đường thẳng song song khi và chỉ khi chúng không đồng phẳng.
D. Hai đường thẳng chéo nhau khi và chỉ khi chúng không đồng phẳng. -Lời giải.
Mệnh đề “Hai đường thằng có một điểm chung thì chúng có vô số điểm chung khác” sai vì trong trường
hợp 2 đường thẳng cắt nhau thì chúng chỉ có 1 điểm chung.
Mệnh đề “Hai đường thằng có một điểm chung thì chúng có vô số điểm chung khác” sai vì hai đường
thẳng song song khi và chỉ khi chúng đồng phằng và không có điểm chung.
Mệnh đề “Hai đường thẳng song song khi và chỉ khi chúng không đồng phẳng” sai vì hai đường thẳng
song song khi và chỉ khi chúng đồng phằng và không có điểm chung. Chọn đáp án D
Câu 3. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau. Th.s Nguyễn Chín Em 65
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
B. Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì trùng nhau.
C. Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau hoặc trùng nhau.
D. Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì chúng lần lượt nằm trên hai mặt phẳng song song.. -Lời giải.
Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau hoặc trùng nhau. Chọn đáp án C
Câu 4. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. Hai đường thẳng chéo nhau thì chúng có điểm chung.
B. Hai đường thẳng không có điểm chung là hai đường thẳng song song hoặc chéo nhau.
C. Hai đường thẳng song song với nhau khi chúng ở trên cùng một mặt phẳng.
D. Khi hai đường thẳng ở trên hai mặt phẳng phân biệt thì hai đường thẳng đó chéo nhau. -Lời giải.
Mệnh đề “Hai đường thẳng chéo nhau thì chúng có điểm chung” sai vì hai đường thẳng chéo nhau thì
chúng không có điểm chung.
Mệnh đề “Hai đường thẳng song song với nhau khi chúng ở trên cùng một mặt phẳng” sai vì có thể
xảy ra trường hợp hai đường thẳng đó hoặc cắt nhau hoặc trùng nhau.
Mệnh đề “Khi hai đường thẳng ở trên hai mặt phẳng phân biệt thì hai đường thẳng đó chéo nhau” sai
vì có thể xảy ra trường hợp hai đường thẳng đó song song. Chọn đáp án B
Câu 5. Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Lấy A, B thuộc a và C, D thuộc b. Khẳng định nào sau đây
đúng khi nói về hai đường thẳng AD và BC?
A. Có thể song song hoặc cắt nhau. B. Cắt nhau. C. Song song với nhau. D. Chéo nhau. -Lời giải.
Theo giả thiết, a và b chéo nhau ⇒ a và b không đồng phẳng. B
Giả sử AD và BC đồng phẳng. a
Nếu AD ∩ BC = I ⇒ I ∈ (ABCD) ⇒ I ∈ (a; b). A
Mà a và b không đồng phẳng, do đó, không tồn tại điểm I.
Nếu AD k BC ⇒ a và b đồng phẳng (Mâu thuẫn với giả thiết).
Vậy điều giả sử là sai. Do đó AD và BC chéo nhau. C b D Chọn đáp án D
Câu 6. Cho ba mặt phẳng phân biệt (α) , (β) , (γ) có (α) ∩ (β) = d1; (β) ∩ (γ) = d2; (α) ∩ (γ) = d3. Khi
đó ba đường thẳng d1, d2, d3 A. đôi một cắt nhau. B. đôi một song song. C. đồng quy.
D. đôi một song song hoặc đồng quy. -Lời giải.
Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyền ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song. Chọn đáp án D
Câu 7. Trong không gian, cho 3 đường thẳng a, b, c, biết a k b, a và c chéo nhau. Khi đó hai đường thẳng b và c
A. trùng nhau hoặc chéo nhau.
B. cắt nhau hoặc chéo nhau.
C. chéo nhau hoặc song song.
D. song song hoặc trùng nhau. -Lời giải.
Giả sử b k c ⇒ c k a (mâu thuẫn với giả thiết). Chọn đáp án B Th.s Nguyễn Chín Em 66
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Câu 8. Trong không gian, cho ba đường thẳng phân biệt a, b, c trong đó a k b. Khẳng định nào sau đây sai? A. Nếu a k c thì b k c.
B. Nếu c cắt a thì c cắt b.
C. Nếu A ∈ a và B ∈ b thì ba đường thẳng a, b, AB cùng ở trên một mặt phẳng.
D. Tồn tại duy nhất một mặt phẳng qua a và b. -Lời giải.
Nếu c cắt a thì c cắt b hoặc c chéo b. Chọn đáp án B
Câu 9. Cho hai đường thẳng chéo nhau a, b và điểm M ở ngoài a và ngoài b. Có nhiều nhất bao nhiêu
đường thẳng qua M cắt cả a và b? A. 1. B. 2. C. 0. D. Vô số. -Lời giải.
Gọi P là mặt phẳng tạo bởi đường thẳng a và M ; Q là mặt phẳng tạo bởi đường thẳng b và M . c
Giả sử c là đường thẳng qua M cắt cả a và b. ®c ∈ P b ⇒ ⇒ c = P ∩ Q. c ∈ Q a M
Vậy chỉ có 1 đường thẳng qua M cắt cả a và b. Q P Chọn đáp án A
Câu 10. Trong không gian, cho 3 đường thẳng a, b, c chéo nhau từng đôi. Có nhiều nhất bao nhiêu đường
thẳng cắt cả 3 đường thẳng ấy? A. 1. B. 2. C. 0. D. Vô số. -Lời giải.
Gọi M là điểm bất kì nằm trên a.
Giả sử d là đường thẳng qua M cắt cả b và c. Khi đó, d là giao tuyến của mặt phẳng tạo bởi M và b với
mặt phẳng tạo bởi M và c.
Với mỗi điểm M ta được một đường thẳng d.
Vậy có vô số đường thẳng cắt cả 3 đường thẳng a, b, c. Chọn đáp án D
Câu 11. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và ABD. Chọn khẳng định
đúng trong các khẳng định sau? A. IJ song song với CD. B. IJ song song với AB. C. IJ chéo CD. D. IJ cắt AB. -Lời giải.
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, BD. A
⇒ M N là đường trung bình của tam giác BCD ⇒ M N k CD (1). AI AJ 2
I, J lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và ABD ⇒ = = ⇒ AM AN 3 IJ k M N (2). J
Từ (1) và (2) suy ra IJ k CD. I N B C M D Chọn đáp án A
Câu 12. Cho hình chóp S.ABCD có AD không song song với BC. Gọi M, N, P, Q, R, T lần lượt là trung
điểm AC, BD, BC, CD, SA, SD. Cặp đường thẳng nào sau đây song song với nhau? A. M P và RT . B. M Q và RT . C. M N và RT . D. P Q và RT . -Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 67
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Ta có: M, Q lần lượt là trung điểm của AC, CD ⇒ M Q là đường trung S
bình của tam giác CAD ⇒ M Q k AD (1).
Ta có: R, T lần lượt là trung điểm của SA, SD ⇒ RT là đường trung
bình của tam giác SAD ⇒ RT k AD (2). T
Từ (1), (2) suy ra: M Q k RT. R A D N M Q B P C Chọn đáp án B
Câu 13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I, J, E, F lần lượt là trung điểm
SA, SB, SC, SD. Trong các đường thẳng sau, đường thẳng nào không song song với IJ ? A. EF . B. DC. C. AD. D. AB. -Lời giải.
Ta có IJ k AB (tính chất đường trung bình trong tam giác SAB) và S
EF k CD (tính chất đường trung bình trong tam giác SCD).
Mà CD k AB (đáy là hình bình hành) F ⇒ CD k AB k EF k IJ. I J A D B C Chọn đáp án C
Câu 14. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N là hai điểm phân biệt cùng thuộc đường thẳng AB. P, Q là hai
điểm phân biệt cùng thuộc đường thẳng CD. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng M P, N Q. A. M P k N Q. B. M P ≡ N Q. C. M P cắt N Q. D. M P, N Q chéo nhau. -Lời giải. Xét mặt phẳng (ABP ) . A
Ta có: M, N thuộc AB ⇒ M, N thuộc mặt phẳng (ABP ) . M
Mặt khác: CD ∩ (ABP ) = P. Mà: Q ∈ CD ⇒ Q / ∈ (ABP ) N
⇒ M, N, P, Q không đồng phẳng. B D Q P C Chọn đáp án D
Câu 15. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng
(SAD) và (SBC). Khẳng định nào sau đây đúng?
A. d qua S và song song với BC.
B. d qua S và song song với DC.
C. d qua S và song song với AB.
D. d qua S và song song với BD. -Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 68
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11  (SAD) ∩ (SBC) = S   Ta có AD ⊂ (SAD) , BC ⊂ (SBC) S  AD k BC
⇒ (SAD) ∩ (SBC) = Sx k AD k BC (với d ≡ Sx). A D B C Chọn đáp án A
Câu 16. Cho tứ diện ABCD. Gọi I và J theo thứ tự là trung điểm của AD và AC, G là trọng tâm tam
giác BCD. Giao tuyến của hai mặt phẳng (GIJ ) và (BCD) là đường thẳng
A. qua I và song song với AB.
B. qua J và song song với BD.
C. qua G và song song với CD.
D. qua G và song song với BC. -Lời giải.  (GIJ) ∩ (BCD) = G   Ta có IJ ⊂ (GIJ ) , CD ⊂ (BCD) A  IJ k CD
⇒ (GIJ ) ∩ (BCD) = Gx k IJ k CD. J I C D G B Chọn đáp án C
Câu 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang với các cạnh đáy là AB và CD. Gọi (ACI) lần
lượt là trung điểm của AD và BC và G là trọng tâm của tam giác SAB. Giao tuyến của (SAB) và (IJ G) là A. SC.
B. đường thẳng qua S và song song với AB.
C. đường thẳng qua G và song song với DC.
D. đường thẳng qua G và cắt BC. -Lời giải.
Ta có: I, J lần lượt là trung điểm của AD và BC ⇒ IJ là S
đường trung bình của hình thang ABCD ⇒ IJ k AB k CD.
Gọi d = (SAB) ∩ (IJ G) Ta có: G là điểm chung giữa hai mặt phẳng (SAB) và (IJ G) ® G (SAB) ⊃ AB; (IJ G) ⊃ IJ P Q Mặt khác: AB k IJ
⇒Giao tuyến d của (SAB) và (IJ G) là đường thẳng qua A B
G và song song với AB và IJ. I J D C Chọn đáp án C
Câu 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I là trung điểm SA. Thiết diện
của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng (IBC) là A. Tam giác IBC.
B. Hình thang IBCJ (J là trung điểm SD).
C. Hình thang IGBC (G là trung điểm SB). D. Tứ giác IBCD. -Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 69
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11  (IBC) ∩ (SAD) = I   Ta có BC ⊂ (IBC) , AD ⊂ (SAD) , S  BC k AD
suy ra (IBC) ∩ (SAD) = Ix k BC k AD. J Trong mặt phẳng (SAD): I
Ix k AD, gọi Ix ∩ SD = J ⇒ IJ k BC.
Vậy thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng (IBC) là D hình thang IBCJ. A B C Chọn đáp án B
Câu 19. Cho tứ diện ABCD, M và N lần lượt là trung điểm AB và AC. Mặt phẳng (α) qua M N cắt tứ
diện ABCD theo thiết diện là đa giác T. Khẳng định nào sau đây đúng? A. T là hình chữ nhật. B. T là tam giác. C. T là hình thoi.
D. T là tam giác hoặc hình thang hoặc hình bình hành. -Lời giải. A A K M M N N B D B D I J C C
Trường hợp (α) ∩ AD = K. Suy ra T là tam giác M N K. Do đó A và C sai.
Trường hợp (α) ∩ (BCD) = IJ, với I ∈ BD, J ∈ CD; I, J không trùng D. Suy ra T là tứ giác. Chọn đáp án D
Câu 20. Cho hai hình vuông ABCD và CDIS không thuộc một mặt phẳng và cạnh bằng 4. Biết tam giác
SAC cân tại S, SB = 8. Thiết diện của mặt phẳng (ACI) và hình chóp S.ABCD có diện tích bằng √ √ √ √ A. 6 2. B. 8 2. C. 10 2. D. 9 2. -Lời giải.
Gọi O = SD ∩ CI; N = AC ∩ BD. S I 1
⇒ O, N lần lượt là trung điểm của DS, DB ⇒ ON = SB = 4. 2
Thiết diện của mp (ACI) và hình chóp S.ABCD là tam giác O OCA.
Tam giác SAC cân tại S ⇒ SC = SA ⇒ 4SDC = 4SDA
⇒ CO = AO (cùng là đường trung tuyến của 2 đỉnh tương ứng) C 1 1 √ √ ⇒ 4OCA cân tại O ⇒ S D 4OCA = ON ·AC = ·4·4 2 = 8 2. 2 2 N B A Chọn đáp án B
Câu 21. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn AB đáy nhỏ CD. Gọi M, N
lần lượt là trung điểm của SA và SB. Gọi P là giao điểm của SC và (AN D) . Gọi I là giao điểm của AN
và DP. Hỏi tứ giác SABI là hình gì? A. Hình bình hành. B. Hình chữ nhật. C. Hình vuông. D. Hình thoi. Th.s Nguyễn Chín Em 70
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11 -Lời giải.
Gọi E = AD ∩ BC, P = N E ∩ SC. Suy ra P = SC ∩ (AN D). S I
Ta có S là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng (SAB) và
(SCD); I = DP ∩ AN ⇒ I là điểm chung thứ hai của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) . M Suy ra SI = (SAB) ∩ (SCD). N
Mà AB k CD ⇒ SI k AB k CD. Vì M N là đường trung bình của
tam giác SAB và chứng minh được cũng là đường trung bình của
tam giác SAI nên suy ra SI = AB. A B
Vậy SABI là hình bình hành. P C D E Chọn đáp án A
Câu 22. Cho tứ diện ABCD. Các điểm P, Q lần lượt là trung điểm của AB và CD; điểm R nằm trên cạnh SA
BC sao cho BR = 2RC. Gọi S là giao điểm của mặt phẳng (P QR) và cạnh AD. Tính tỉ số . SD 1 1 A. 2. B. 1. C. . D. . 2 3 -Lời giải. A P S B I D Q R C
Gọi I là giao điểm của BD và RQ. Nối P với I, cắt AD tại S. DI BR CQ DI DI 1
Xét tam giác BCD bị cắt bởi IR, ta có · · = 1 ⇔ · 2 · 1 = 1 ⇔ = . IB RC QD IB IB 2 AS DI BP SA 1 SA
Xét tam giác ABD bị cắt bởi P I, ta có · · = 1 ⇔ · · 1 = 1 ⇔ = 2. SD IB P A SD 2 SD Chọn đáp án A
Câu 23. Cho tứ diện ABCD và ba điểm P, Q, R lần lượt lấy trên ba cạnh AB, CD, BC. Cho P R k AC và
CQ = 2QD. Gọi giao điểm của AD và (P QR) là S. Chọn khẳng định đúng? A. AD = 3DS. B. AD = 2DS. C. AS = 3DS. D. AS = DS. -Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 71
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11 A P S B I D Q R C
Gọi I là giao điểm của BD và RQ. Nối P với I, cắt AD tại S. DI BR CQ CQ DI BR 1 DI 1 RC Ta có · · = 1 mà = 2 suy ra · = ⇔ = · . IB RC QD QD IB RC 2 IB 2 BR RC AP DI 1 AP
Vì P R song song với AC suy ra = ⇒ = · . BR P B IB 2 P B SA DI BP SA 1 AP BP SA Lại có · · = 1 ⇒ · · · = 1 ⇔ = 2 ⇒ AD = 3DS. SD IB P A SD 2 P B P A SD Chọn đáp án A GA
Câu 24. Gọi G là trọng tâm tứ diện ABCD. Gọi A0 là trọng tâm của tam giác BCD. Tính tỉ số . GA0 1 1 A. 2. B. 3. C. . D. . 3 2 -Lời giải. A G E B D A0 M C
Gọi E là trọng tâm của tam giác ACD, M là trung điểm của CD.
Nối BE cắt AA0 tại G suy ra G là trọng tâm tứ diện. M E M A0 1 A0E 1 Xét tam giác M AB, có = = suy ra A0E k AB ⇒ = . M A M B 3 AB 3 A0E A0G 1 GA
Khi đó, theo định lí Talet suy ra = = ⇒ = 3. AB AG 3 GA0 Chọn đáp án B
Câu 25. Cho tứ diện ABCD trong đó có tam giác BCD không cân. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của
AB, CD và G là trung điểm của đoạn M N. Gọi A1 là giao điểm của AG và (BCD) . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. A1 là tâm đường tròn tam giác BCD.
B. A1 là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BCD.
C. A1 là trực tâm tam giác BCD.
D. A1 là trọng tâm tam giác BCD. -Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 72
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11 A M G B D P A1 N C
Mặt phẳng (ABN ) cắt mặt phẳng (BCD) theo giao tuyến BN.
Mà AG ⊂ (ABN ) suy ra AG cắt BN tại điểm A1.
Qua M dựng M P k AA1 với P ∈ BN. Có M là trung điểm của AB suy ra P là trung điểm BA1 ⇒ BP = P A1. (1)
Tam giác M N P có M P k GA1 và G là trung điểm của M N.
⇒ A1 là trung điểm của N P ⇒ P A1 = N A1. (2) BA1 2
Từ (1), (2) suy ra BP = P A1 = A1N ⇒ =
. Mà N là trung điểm của CD, do đó, A1 là trọng tâm BN 3 của tam giác BCD. Chọn đáp án D
Câu 26. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Thiết diện của hình chóp khi cắt bởi
mặt phẳng qua trung điểm M của BC, song song với BD và SC là hình gì? A. Tam giác. B. Ngũ giác. C. Lục giác. D. Tứ giác. -Lời giải.
Gọi N, P, R lần lượt là trung điểm CD, SD và SB. S
Gọi I là giao điểm của AC và M N .
Từ I kẻ IQ song song với SC. Q
Ta có M R k IQ k N P k SC ⇒ (M N P QR) k SC. (1) P
Ta có M N k BD ⇒ (M N P QR) k BD. (2)
Từ (1) và (2) ta được thiết diện cần tìm là ngũ giác M N P QR. R A D I N B M C Chọn đáp án B
Câu 27. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. Hai đường thẳng phân biệt không cắt nhau thì song song.
B. Hai đường thẳng không cùng nằm trên một mặt phẳng thì chéo nhau.
C. Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau.
D. Hai đường thẳng không có điểm chung thì song song với nhau. -Lời giải.
“Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau” là sai vì hai đường thẳng đó có thể song song.
“Hai đường thẳng phân biệt không cắt nhau thì song song” là sai vì hai đường thẳng đó có thể chéo nhau.
“Hai đường thẳng không cùng nằm trên một mặt phẳng thì chéo nhau” là đúng.
“Hai đường thẳng không có điểm chung thì song song với nhau” là sai vì hai đường thẳng đó có thể chéo nhau. Chọn đáp án B Th.s Nguyễn Chín Em 73
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Câu 28. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với AD k BC. Giao tuyến của (SAD) và (SBC) là
A. Đường thẳng đi qua S và song song với AB.
B. Đường thẳng đi qua S và song song với AC.
C. Đường thẳng đi qua S và song song với AD.
D. Đường thẳng đi qua S và song song với CD. -Lời giải. S ∈ (SAD) ∩ (SBC)   Ta có BC k AD S  BC ⊂ (SBC); AD ⊂ (SAD)
Suy ra giao tuyến của (SAD) và (SBC) là đường thẳng đi qua S và song song với AD. A D B C Chọn đáp án C
Câu 29. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là một điểm thuộc đoạn SB
(M khác S và B). Mặt phẳng (ADM ) cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện là A. Hình bình hành. B. Tam giác. C. Hình chữ nhật. D. Hình thang. -Lời giải. ®M ∈ (ADM ) ∩ (SBC) Ta có AD k BC S
⇒ (ADM ) ∩ (SBC) = M x k AD k BC.
Trong mặt phẳng (SBC), gọi N = M x ∩ SC. M
Do đó, ADN M là thiết diện của S.ABCD cắt bởi mặt phẳng (ADM ).
Vì AD k M N và M N < AD nên ADN M là hình thang. N A B D C Chọn đáp án D
Câu 30. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, K lần lượt là trung
điểm của CD, CB, SA. Gọi H là giao điểm của AC và M N . Giao điểm của SO với (M N K) là điểm E.
Hãy chọn cách xác định điểm E đúng nhất trong bốn phương án sau
A. E là giao của M N và SO. S B. E là giao của KN và SO. C. E là giao của KH và SO. D. E là giao của KM và SO. K A D M H O B C N -Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 74
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Trong (SAC) : KH ∩ SO ≡ E suy ra SO ∩ (M N K) ≡ E. S K E A D M H O B C N Chọn đáp án C
Câu 31. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Giao tuyến của (SAB) và (SCD) là
A. Đường thẳng đi qua S và song song với AB.
B. Đường thẳng đi qua S và song song với BD.
C. Đường thẳng đi qua S và song song với AD.
D. Đường thằng đi qua S và song song với AC. -Lời giải.
Ta có AB k CD và AB ⊂ (SAB), CD ⊂ (SCD) nên giao tuyến của S
(SAB) và (SCD) là đường thẳng đi qua S và song song với AB. A D B C Chọn đáp án A
Câu 32. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD)
và (SBC) là đường thẳng song song với đường thẳng nào sau đây? A. AC. B. DC. C. AD. D. BD. -Lời giải. Ta có S S ∈ (SAD) ∩ (SBC)   AD k BC d  AD ⊂ (SAD) , BC ⊂ (SBC)
⇒ (SAD) ∩ (SBC) = d, d đi qua S và d k AD k BC. A B D C Chọn đáp án C
Câu 33. Cho tứ diện ABCD có M , N là hai điểm phân biệt trên cạnh AB. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. CM và DN chéo nhau. B. CM và DN cắt nhau. C. CM và DN đồng phẳng. D. CM và DN song song. -Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 75
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Giả sử CM và DN đồng phẳng. Khi đó, ta có A, B cùng thuộc A
mặt phẳng (M N DC), suy ra A,B,C,D đồng phẳng, trái giả thiết ABCD là tứ diện. Vậy CM và DN chéo nhau. N M B D C Chọn đáp án A
Câu 34. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Lấy hai điểm M và N trên hai cạnh
SB, SD sao cho SM = 2M B; SN = 2N D, đường thẳng SC cắt mặt phẳng (AM N ) tại C0. Tính tỉ số SC0 k = . SC 3 2 1 1 A. k = . B. k = . C. k = . D. k = . 4 3 3 2 -Lời giải. S N C0 G M D A O B C
Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD, G là giao điểm của M N và SO. Dễ thấy G là trọng tâm tam SC0 1 giác SAC, suy ra = . SC 2 Chọn đáp án D
Câu 35. Cho ba mặt phẳng phân biệt cắt nhau từng đôi theo ba giao tuyến d1, d2, d3, trong đó d1 song
song với d2. Khi đó vị trí tương đối của d2 và d3 là A. chéo nhau. B. cắt nhau. C. song song. D. trùng nhau. -Lời giải.
Đây là nội dung hệ quả của định lý về ba giao tuyến trong Sách Giáo Khoa. Chọn đáp án C
Câu 36. Nếu ba đường thẳng không cùng nằm trong một mặt phẳng và đôi một cắt nhau thì
A. ba đường thẳng đó tạo thành một tam giác.
B. ba đường thẳng đó đồng quy.
C. ba đường thẳng đó trùng nhau.
D. không có ba đường thẳng như vậy. -Lời giải.
Nếu ba đường thẳng không cùng nằm trong một mặt phẳng và đôi một cắt nhau thì ba đường thẳng đó đồng quy. Chọn đáp án B
Câu 37. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau
A. Tồn tại duy nhất một đường thẳng qua một điểm và song song với một đường thẳng. Th.s Nguyễn Chín Em 76
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
B. Tồn tại duy nhât một đường thẳng đi qua một điểm và vuông góc với một mặt phẳng.
C. Hai đường thẳng song song thì đồng phẳng.
D. Hai đường thẳng không đồng phẳng thì không có điểm chung. -Lời giải.
Mệnh đề "Tồn tại duy nhất một đường thẳng qua một điểm và song song với một đường thẳng" sai vì nếu
điểm đó thuộc đường thẳng đã cho thì không tồn tại đường thẳng nào đi qua điểm đó và song song với
đường thẳng cho trước. Chọn đáp án A
Câu 38. Ba mặt phẳng phân biệt cắt nhau từng đôi một thì ba giao tuyến của chúng sẽ có bao nhiêu vị trí tương đối? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. -Lời giải.
Ba mặt phẳng phân biệt cắt nhau từng đôi một thì ba giao tuyến song song hoặc đồng quy. Chọn đáp án B
Câu 39. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC 3
và BD. Biết AB k CD và AB =
CD. Gọi N là trung điểm cạnh SB và P là giao điểm của đường thẳng 2 P O
DN với mặt phẳng (SAC). Tính tỉ số . P S 2 3 2 3 A. . B. . C. . D. . 5 7 7 5 -Lời giải. Dựng OK k SB, K ∈ DN . S P O OK OK DO Suy ra = = = . P S SN N B DB AB 3 OB 3 Mà = ⇒ = . N CD 2 OD 2 P O 2 Suy ra = . A P P S 5 B K D O C Chọn đáp án A
Câu 40. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC, E là điểm trên cạnh CD sao
cho ED = 3EC. Thiết diện tạo bởi mặt phẳng (M N E) và tứ diện ABCD là A. Tam giác M N E.
B. Hình thang M N EF với F là điểm trên cạnh BD sao cho EF k BC.
C. Tứ giác M N EF với F là điểm bất kỳ trên cạnh BD.
D. Hình bình hành M N EF với F là điểm trên cạnh BD sao cho EF k BC. -Lời giải.
• Thiết diện là tứ giác M N EF A
• M N k EF và M N 6= EF nên M N EF là hình thang. N M E C D F B Chọn đáp án B
Câu 41. Cho tứ diện ABCD. Điểm M thuộc cạnh BC sao cho M C = 2M B, các điểm N, P lần lượt là QC
trung điểm của BD, AD. Gọi Q là giao điểm của AC với mặt phẳng (M N P ), tính tỉ số . QA Th.s Nguyễn Chín Em 77
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11 QC 3 QC 5 QC QC 1 A. = . B. = . C. = 2. D. = . QA 2 QA 2 QA QA 2 -Lời giải.
QM chính là giao tuyến của mặt phẳng (M N P ) với mặt phẳng (ABC). A
Và do N P k AB nên QM k AB. Suy ra QC M C = = 2. QA M B Q P D B N M C Chọn đáp án C
Câu 42. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, AD k BC, AD = 2BC. Gọi M là trung
điểm SA. Mặt phẳng (M BC) cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện là A. một hình bình hành. B. một tam giác.
C. một hình tứ giác (không là hình thang).
D. một hình thang (không là hình bình hành). -Lời giải.
Gọi N là giao của SD và mặt phẳng (M BC). Do các mặt phẳng S
(M BC) và (SAD) lần lượt chứa hai đường song song là BC và AD,
nên giao tuyến của chúng cũng song song với hai đường đó, tức M N k
AD. Suy ra N là trung điểm của SD. M N
Khi đó, M N là đường trung bình của tam giác SAD, suy ra M N =
1 AD = BC. Vậy, thiết diện BCNM là một hình bình hành. 2 A D B C Chọn đáp án A
Câu 43. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N là trọng tâm của hai tam giác ABC và ACD. Khi đó ta có A. M N cắt BC. B. M N k BD. C. M N cắt AD. D. M N k CD. -Lời giải. DN BM 2
Gọi I là trung điểm của đoạn AC ⇒ = = DI BI 3 D ⇒ M N k BD. N B C M I A Chọn đáp án B
Câu 44. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?
A. Trong không gian, hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
B. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với nhau thì chúng cắt nhau.
C. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì vuông góc với nhau.
D. Cho hai đường thẳng song song, đường thẳng thứ ba vuông góc với đường thẳng thứ nhất thì cũng
vuông góc với đường thẳng thứ hai. Th.s Nguyễn Chín Em 78
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11 -Lời giải.
Mệnh đề “ Cho hai đường thẳng song song, đường thẳng thứ ba vuông góc với đường thẳng thứ nhất thì
cũng vuông góc với đường thẳng thứ hai ” là mệnh đề đúng. Chọn đáp án D
Câu 45. Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm AB và AC, E là điểm trên cạnh CD với
ED = 3EC. Thiết diện tạo bởi mặt phẳng (M N E) và tứ diện ABCD là A. Tam giác M N E.
B. Tứ giác M N EF với F là điểm bất kì trên cạnh BD.
C. Hình bình hành M N EF với F là điểm trên cạnh BD mà EF k BC.
D. Hình thang M N EF với F là điểm trên cạnh BD mà EF k BC. -Lời giải.
M và N lần lượt là trung điểm AB và AC nên M N k BC và M N = A 1 BC. 2
Qua E kẻ đường thẳng song song với BC, cắt BD tại F thì EF k M N . EF DE 3 3 Ta có = = ⇒ EF = BC > M N . M BC DC 4 4
Vậy thiết diện tạo bởi mặt phẳng (M N E) và tứ diện ABCD là là hình N thang M N EF . B D F E C Chọn đáp án D
Câu 46. Trong không gian cho đường thẳng ∆ và điểm O không nằm trong ∆. Qua O có mấy đường thẳng song song với ∆? A. 2. B. 3. C. 1. D. Vô số. -Lời giải.
Qua O có duy nhất một đường thẳng song song với ∆. Chọn đáp án C
Câu 47. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng?
A. Hai đường thẳng phân biệt không chéo nhau thì cắt nhau.
B. Hai đường thẳng phân biệt không song song thì chéo nhau.
C. Hai đường thẳng phân biệt cùng nằm trong một mặt phẳng thì không chéo nhau.
D. Hai đường thẳng phân biệt lần lượt thuộc hai mặt phẳng khác nhau thì chéo nhau. -Lời giải.
Hai đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng thì có ba vị trí tương đối là: song với nhau, trùng nhau
và cắt nhau. Do đó hai đường thẳng phân biệt cùng nằm trong một mặt phẳng thì không chéo nhau. Chọn đáp án C
Câu 48. Cho hai đường thẳng phân biệt a và b trong không gian. Có bao nhiêu vị trí tương đối giữa a và b? A. 3. B. 1. C. 2. D. 4. -Lời giải.
Hai đường thẳng phân biệt a và b trong không gian có 3 vị trí tương đối: Cắt nhau, chéo nhau và song song với nhau. Chọn đáp án A
Câu 49. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J và K lần lượt là trung điểm của AC, BC và BD. Giao tuyến của
hai mặt phẳng (ABD) và (IJ K) là đường thẳng A. KD.
B. qua K và song song với AB. C. KI.
D. qua I và song song với J K. -Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 79
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Ta có điểm K là điểm chung của hai mặt phẳng (ABD) và (IJ K). A
Mặt khác ta có IJ k AB, IJ ⊂ (IJ K), AB ⊂ (ABD).
Suy ra giao tuyến của hai mặt phẳng (ABD) và (IJ K) là đường thẳng
đi qua điểm K và song song với AB. x I B D K J C Chọn đáp án B
Câu 50. Cho ba đường thẳng đôi một chéo nhau. Mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề sau.
A. Không có đường thẳng nào cắt cả ba đường thẳng đã cho.
B. Có đúng hai đường thẳng cắt cả ba đường thẳng đã cho.
C. Có vô số đường thẳng cắt cả ba đường thẳng đã cho.
D. Có duy nhất một đường thẳng cắt cả ba đường thẳng đã cho. -Lời giải. Chọn đáp án C
Câu 51. Trong không gian cho hai đường thẳng song song a và b. Kết luận nào sau đây đúng?
A. Nếu c cắt a thì c và b chéo nhau.
B. Nếu c k a thì c k b hoặc c ≡ b.
C. Nếu c và a chéo nhau thì c và b chéo nhau.
D. Nếu c và a cắt nhau thì c và b cắt nhau. -Lời giải.
Cho hai đường thẳng a và b song song, nếu đường thẳng c song song với a thì c song song hoặc trùng với b. Chọn đáp án B
Câu 52. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, đáy lớn là CD. Gọi M là trung điểm của
cạnh SA, N là giao điểm của cạnh SB và mặt phẳng (M CD). Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng? A. M N và SD cắt nhau. B. M N k CD. C. M N và SC cắt nhau. D. M N và CD chéo nhau. -Lời giải.
Hai mặt phẳng (SAB) và (M CD) lần lượt chứa hai đường thẳng song S
song AB, CD và M N là giao tuyến của chúng nên M N k CD. M N D C A B Chọn đáp án B
Câu 53. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC và KS
M là trung điểm SC. Gọi K là giao điểm của SD với mặt phẳng (AGM ). Tính tỉ số . KD 1 1 A. . B. . C. 2. D. 3. 2 3 -Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 80
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Gọi N , P lần lượt là giao điểm của AG với CB, CD ta có S
K = P M ∩SD. Gọi L là trung điểm của KD thì CL k M K. Suy KS 1
ra K là trung điểm của SL. Do vậy KD = 2KS, hay = . KD 2 K L M A D G B C N P Chọn đáp án A
Câu 54. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Hai đường thẳng không song song thì chéo nhau.
B. Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung.
C. Hai đường thẳng không cắt nhau và không song song thì chéo nhau.
D. Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau. -Lời giải.
Hai đường thẳng chéo nhau là hai đường thẳng không cùng nằm trong một mặt phẳng và không có điểm chung. Chọn đáp án B
Câu 55. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi G1, G2 lần lượt là trọng tâm của tam giác BCD và
ACD và G là giao điểm của AG1 và BG2. Tính diện tích của tam giác GAB. √ √ √ √ a2 3 3a2 2 3a2 3 a2 2 A. . B. . C. . D. . 8 8 8 8 -Lời giải.
Gọi M, H lần lượt là trung điểm CD, AB. √ A a 3 Ta có AM = BM =
nên 4ABM cân tại M , suy ra M H ⊥ AB, dẫn 2 √ √ … 3a2 a2 a 2 tới M H = AM 2 − AH2 = − = . 4 4 2√ AB · HM a2 2 H Diện tích 4ABM là SABM = = . 2 4 M G1 M G2 1 BG AB G Lại có = = ⇒ G 2 1G2 k AB ⇒ = = 3. M B M A 3 GG2 G1G2 √ G B 3 1 a2 2 C Dẫn tới SABG = SABG = SABM = . 4 2 2 8 G1 M D Chọn đáp án D
Câu 56. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, M, N lần lượt là trung điểm của
các cạnh AB và SC. Gọi I, J theo thứ tự là giao điểm của AN, M N với mặt phẳng (SBD). Tính k = IA J M + . IN J N A. k = 4. B. k = 5. C. k = 2. D. k = 3. -Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 81
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Gọi O là giao điểm của AC và BD, khi đó SO là giao tuyến của S
(SBD) và (SAC) nên I là giao điểm của AN và SO.
Vì O, N là trung điểm AC, SC nên I là trọng tâm tam giác SAC, IA suy ra = 2. IN
Gọi K là giao điểm của M C và BD, khi đó SK là giao tuyến của N
(SBD) và (SM C) nên J là giao điểm của M N và SK.
Vì O, M là trung điểm AC, AB nên K là trọng tâm tam giác ABC, suy ra CK = 2M K. I
Gọi G là trung điểm của KC thì N G là đường trung bình 4SKC J D C
nên SK k N G. Lại có K là trung điểm M G nên J là trung điểm J M M N hay = 1. G J N O K Vậy k = 3. A M B Chọn đáp án D
Câu 57. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Thiết diện của hình chóp khi cắt bởi
mặt phẳng qua trung điểm M của BC, song song với BD và SC là hình gì? A. Tam giác. B. Ngũ giác. C. Lục giác. D. Tứ giác. -Lời giải.
Gọi N, P, R lần lượt là trung điểm CD, SD và SB. S
Gọi I là giao điểm của AC và M N .
Từ I kẻ IQ song song với SC. Q
Ta có M R k IQ k N P k SC ⇒ (M N P QR) k SC. (1) P
Ta có M N k BD ⇒ (M N P QR) k BD. (2)
Từ (1) và (2) ta được thiết diện cần tìm là ngũ giác M N P QR. R A D I N B M C Chọn đáp án B
Câu 58. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. Hai đường thẳng phân biệt không cắt nhau thì song song.
B. Hai đường thẳng không cùng nằm trên một mặt phẳng thì chéo nhau.
C. Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau.
D. Hai đường thẳng không có điểm chung thì song song với nhau. -Lời giải.
“Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau” là sai vì hai đường thẳng đó có thể song song.
“Hai đường thẳng phân biệt không cắt nhau thì song song” là sai vì hai đường thẳng đó có thể chéo nhau.
“Hai đường thẳng không cùng nằm trên một mặt phẳng thì chéo nhau” là đúng.
“Hai đường thẳng không có điểm chung thì song song với nhau” là sai vì hai đường thẳng đó có thể chéo nhau. Chọn đáp án B
Câu 59. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với AD k BC. Giao tuyến của (SAD) và (SBC) là
A. Đường thẳng đi qua S và song song với AB.
B. Đường thẳng đi qua S và song song với AC.
C. Đường thẳng đi qua S và song song với AD.
D. Đường thẳng đi qua S và song song với CD. -Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 82
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11 S ∈ (SAD) ∩ (SBC)   Ta có BC k AD S  BC ⊂ (SBC); AD ⊂ (SAD)
Suy ra giao tuyến của (SAD) và (SBC) là đường thẳng đi qua S và song song với AD. A D B C Chọn đáp án C
Câu 60. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là một điểm thuộc đoạn SB
(M khác S và B). Mặt phẳng (ADM ) cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện là A. Hình bình hành. B. Tam giác. C. Hình chữ nhật. D. Hình thang. -Lời giải. ®M ∈ (ADM ) ∩ (SBC) Ta có AD k BC S
⇒ (ADM ) ∩ (SBC) = M x k AD k BC.
Trong mặt phẳng (SBC), gọi N = M x ∩ SC. M
Do đó, ADN M là thiết diện của S.ABCD cắt bởi mặt phẳng (ADM ).
Vì AD k M N và M N < AD nên ADN M là hình thang. N A B D C Chọn đáp án D
Câu 61. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, K lần lượt là trung
điểm của CD, CB, SA. Gọi H là giao điểm của AC và M N . Giao điểm của SO với (M N K) là điểm E.
Hãy chọn cách xác định điểm E đúng nhất trong bốn phương án sau
A. E là giao của M N và SO. S B. E là giao của KN và SO. C. E là giao của KH và SO. D. E là giao của KM và SO. K A D M H O B C N -Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 83
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Trong (SAC) : KH ∩ SO ≡ E suy ra SO ∩ (M N K) ≡ E. S K E A D M H O B C N Chọn đáp án C
Câu 62. Cho hai mặt phẳng (P ), (Q) cắt nhau theo giao tuyến là đường thẳng d . Đường thẳng a song
song với cả hai mặt phẳng(P ), (Q). Khẳng định nào sau đây đúng? A. a, d trùng nhau. B. a, d chéo nhau. C. a song song d. D. a, d cắt nhau. -Lời giải.
Sử dụng hệ quả: Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của
chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó. Chọn đáp án C Câu 63.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm S
O. Gọi M, N, K lần lượt là trung điểm của CD, CB, SA. H là
giao điểm của AC và M N . Giao điểm của SO với (M N K) là
điểm E. Hãy chọn cách xác định điểm E đúng nhất trong bốn phương án sau. K
A. E là giao của M N với SO.
B. E là giao của KN với SO. E
C. E là giao của KH với SO. A B
D. E là giao của KM với SO. H N O D M C -Lời giải. ®E ∈ KH ⊂ (KM N ) Gọi E = KH ∩ SO ⇒ ⇒ E = SO ∩ (KM N ). E ∈ SO Chọn đáp án C
Câu 64. Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) sẽ:
A. Song song với hai đường thẳng đó.
B. Song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.
C. Trùng với một trong hai đường thẳng đó.
D. Cắt một trong hai đường thẳng đó. -Lời giải. Theo lý thuyết Chọn đáp án B
Câu 65. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau.
B. Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung.
C. Hai đường thẳng phân biệt không cắt nhau và không song song thì chéo nhau.
D. Hai đường thẳng phân biệt không chéo nhau thì hoặc cắt nhau hoặc song song. -Lời giải.
Hai đường thẳng không có điểm chung thì chúng song song (khi chúng đồng phẳng) hoặc chéo nhau (khi
chúng không đồng phẳng). Th.s Nguyễn Chín Em 84
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11 Chọn đáp án A
Câu 66. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Hai đường thằng có một điểm chung thì chúng có vô số điểm chung khác.
B. Hai đường thẳng song song khi và chỉ khi chúng không điểm chung.
C. Hai đường thẳng song song khi và chỉ khi chúng không đồng phẳng.
D. Hai đường thẳng chéo nhau khi và chỉ khi chúng không đồng phẳng. -Lời giải.
Mệnh đề “Hai đường thằng có một điểm chung thì chúng có vô số điểm chung khác” sai vì trong trường
hợp 2 đường thẳng cắt nhau thì chúng chỉ có 1 điểm chung.
Mệnh đề “Hai đường thằng có một điểm chung thì chúng có vô số điểm chung khác” sai vì hai đường
thẳng song song khi và chỉ khi chúng đồng phằng và không có điểm chung.
Mệnh đề “Hai đường thẳng song song khi và chỉ khi chúng không đồng phẳng” sai vì hai đường thẳng
song song khi và chỉ khi chúng đồng phằng và không có điểm chung. Chọn đáp án D
Câu 67. Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Lấy A, B thuộc a và C, D thuộc b. Khẳng định nào sau
đây đúng khi nói về hai đường thẳng AD và BC?
A. Có thể song song hoặc cắt nhau. B. Cắt nhau. C. Song song với nhau. D. Chéo nhau. -Lời giải.
Theo giả thiết, a và b chéo nhau ⇒ a và b không đồng phẳng. B
Giả sử AD và BC đồng phẳng. a
Nếu AD ∩ BC = I ⇒ I ∈ (ABCD) ⇒ I ∈ (a; b). A
Mà a và b không đồng phẳng, do đó, không tồn tại điểm I.
Nếu AD k BC ⇒ a và b đồng phẳng (Mâu thuẫn với giả thiết).
Vậy điều giả sử là sai. Do đó AD và BC chéo nhau. C b D Chọn đáp án D
Câu 68. Trong không gian, cho 3 đường thẳng a, b, c, biết a k b, a và c chéo nhau. Khi đó hai đường thẳng b và c
A. trùng nhau hoặc chéo nhau.
B. cắt nhau hoặc chéo nhau.
C. chéo nhau hoặc song song.
D. song song hoặc trùng nhau. -Lời giải.
Giả sử b k c ⇒ c k a (mâu thuẫn với giả thiết). Chọn đáp án B
Câu 69. Trong không gian, cho ba đường thẳng phân biệt a, b, c trong đó a k b. Khẳng định nào sau đây sai? A. Nếu a k c thì b k c.
B. Nếu c cắt a thì c cắt b.
C. Nếu A ∈ a và B ∈ b thì ba đường thẳng a, b, AB cùng ở trên một mặt phẳng.
D. Tồn tại duy nhất một mặt phẳng qua a và b. -Lời giải.
Nếu c cắt a thì c cắt b hoặc c chéo b. Chọn đáp án B
Câu 70. Cho hai đường thẳng chéo nhau a, b và điểm M ở ngoài a và ngoài b. Có nhiều nhất bao nhiêu
đường thẳng qua M cắt cả a và b? A. 1. B. 2. C. 0. D. Vô số. -Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 85
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Gọi P là mặt phẳng tạo bởi đường thẳng a và M ; Q là mặt phẳng tạo bởi đường thẳng b và M . c
Giả sử c là đường thẳng qua M cắt cả a và b. ®c ∈ P b ⇒ ⇒ c = P ∩ Q. c ∈ Q a M
Vậy chỉ có 1 đường thẳng qua M cắt cả a và b. Q P Chọn đáp án A
Câu 71. Trong không gian, cho 3 đường thẳng a, b, c chéo nhau từng đôi. Có nhiều nhất bao nhiêu đường
thẳng cắt cả 3 đường thẳng ấy? A. 1. B. 2. C. 0. D. Vô số. -Lời giải.
Gọi M là điểm bất kì nằm trên a.
Giả sử d là đường thẳng qua M cắt cả b và c. Khi đó, d là giao tuyến của mặt phẳng tạo bởi M và b với
mặt phẳng tạo bởi M và c.
Với mỗi điểm M ta được một đường thẳng d.
Vậy có vô số đường thẳng cắt cả 3 đường thẳng a, b, c. Chọn đáp án D
Câu 72. Cho hình chóp S.ABCD có AD không song song với BC. Gọi M, N, P, Q, R, T lần lượt là trung
điểm AC, BD, BC, CD, SA, SD. Cặp đường thẳng nào sau đây song song với nhau? A. M P và RT . B. M Q và RT . C. M N và RT . D. P Q và RT . -Lời giải.
Ta có: M, Q lần lượt là trung điểm của AC, CD ⇒ M Q là đường trung S
bình của tam giác CAD ⇒ M Q k AD (1).
Ta có: R, T lần lượt là trung điểm của SA, SD ⇒ RT là đường trung
bình của tam giác SAD ⇒ RT k AD (2). T
Từ (1), (2) suy ra: M Q k RT. R A D N M Q B P C Chọn đáp án B
Câu 73. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I, J, E, F lần lượt là trung điểm
SA, SB, SC, SD. Trong các đường thẳng sau, đường thẳng nào không song song với IJ ? A. EF . B. DC. C. AD. D. AB. -Lời giải.
Ta có IJ k AB (tính chất đường trung bình trong tam giác SAB) và S
EF k CD (tính chất đường trung bình trong tam giác SCD).
Mà CD k AB (đáy là hình bình hành) F ⇒ CD k AB k EF k IJ. I J A D B C Chọn đáp án C
Câu 74. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N là hai điểm phân biệt cùng thuộc đường thẳng AB. P, Q là hai
điểm phân biệt cùng thuộc đường thẳng CD. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng M P, N Q. Th.s Nguyễn Chín Em 86
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11 A. M P k N Q. B. M P ≡ N Q. C. M P cắt N Q. D. M P, N Q chéo nhau. -Lời giải. Xét mặt phẳng (ABP ) . A
Ta có: M, N thuộc AB ⇒ M, N thuộc mặt phẳng (ABP ) . M
Mặt khác: CD ∩ (ABP ) = P. Mà: Q ∈ CD ⇒ Q / ∈ (ABP ) N
⇒ M, N, P, Q không đồng phẳng. B D Q P C Chọn đáp án D
Câu 75. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng
(SAD) và (SBC). Khẳng định nào sau đây đúng?
A. d qua S và song song với BC.
B. d qua S và song song với DC.
C. d qua S và song song với AB.
D. d qua S và song song với BD. -Lời giải.  (SAD) ∩ (SBC) = S   Ta có AD ⊂ (SAD) , BC ⊂ (SBC) S  AD k BC
⇒ (SAD) ∩ (SBC) = Sx k AD k BC (với d ≡ Sx). A D B C Chọn đáp án A
Câu 76. Cho tứ diện ABCD. Gọi I và J theo thứ tự là trung điểm của AD và AC, G là trọng tâm tam
giác BCD. Giao tuyến của hai mặt phẳng (GIJ ) và (BCD) là đường thẳng
A. qua I và song song với AB.
B. qua J và song song với BD.
C. qua G và song song với CD.
D. qua G và song song với BC. -Lời giải.  (GIJ) ∩ (BCD) = G   Ta có IJ ⊂ (GIJ ) , CD ⊂ (BCD) A  IJ k CD
⇒ (GIJ ) ∩ (BCD) = Gx k IJ k CD. J I C D G B Chọn đáp án C
Câu 77. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang với các cạnh đáy là AB và CD. Gọi (ACI) lần
lượt là trung điểm của AD và BC và G là trọng tâm của tam giác SAB. Giao tuyến của (SAB) và (IJ G) là A. SC.
B. đường thẳng qua S và song song với AB.
C. đường thẳng qua G và song song với DC.
D. đường thẳng qua G và cắt BC. -Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 87
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Ta có: I, J lần lượt là trung điểm của AD và BC ⇒ IJ là S
đường trung bình của hình thang ABCD ⇒ IJ k AB k CD.
Gọi d = (SAB) ∩ (IJ G) Ta có: G là điểm chung giữa hai mặt phẳng (SAB) và (IJ G) ® G (SAB) ⊃ AB; (IJ G) ⊃ IJ P Q Mặt khác: AB k IJ
⇒Giao tuyến d của (SAB) và (IJ G) là đường thẳng qua A B
G và song song với AB và IJ. I J D C Chọn đáp án C
Câu 78. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I là trung điểm SA. Thiết diện
của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng (IBC) là A. Tam giác IBC.
B. Hình thang IBCJ (J là trung điểm SD).
C. Hình thang IGBC (G là trung điểm SB). D. Tứ giác IBCD. -Lời giải.  (IBC) ∩ (SAD) = I   Ta có BC ⊂ (IBC) , AD ⊂ (SAD) , S  BC k AD
suy ra (IBC) ∩ (SAD) = Ix k BC k AD. J Trong mặt phẳng (SAD): I
Ix k AD, gọi Ix ∩ SD = J ⇒ IJ k BC.
Vậy thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng (IBC) là D hình thang IBCJ. A B C Chọn đáp án B
Câu 79. Cho tứ diện ABCD, M và N lần lượt là trung điểm AB và AC. Mặt phẳng (α) qua M N cắt tứ
diện ABCD theo thiết diện là đa giác T. Khẳng định nào sau đây đúng? A. T là hình chữ nhật. B. T là tam giác. C. T là hình thoi.
D. T là tam giác hoặc hình thang hoặc hình bình hành. -Lời giải. A A K M M N N B D B D I J C C
Trường hợp (α) ∩ AD = K. Suy ra T là tam giác M N K. Do đó A và C sai.
Trường hợp (α) ∩ (BCD) = IJ, với I ∈ BD, J ∈ CD; I, J không trùng D. Suy ra T là tứ giác. Chọn đáp án D Th.s Nguyễn Chín Em 88
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Câu 80. Cho hai hình vuông ABCD và CDIS không thuộc một mặt phẳng và cạnh bằng 4. Biết tam giác
SAC cân tại S, SB = 8. Thiết diện của mặt phẳng (ACI) và hình chóp S.ABCD có diện tích bằng √ √ √ √ A. 6 2. B. 8 2. C. 10 2. D. 9 2. -Lời giải.
Gọi O = SD ∩ CI; N = AC ∩ BD. S I 1
⇒ O, N lần lượt là trung điểm của DS, DB ⇒ ON = SB = 4. 2
Thiết diện của mp (ACI) và hình chóp S.ABCD là tam giác O OCA.
Tam giác SAC cân tại S ⇒ SC = SA ⇒ 4SDC = 4SDA
⇒ CO = AO (cùng là đường trung tuyến của 2 đỉnh tương ứng) C 1 1 √ √ ⇒ 4OCA cân tại O ⇒ S D 4OCA = ON ·AC = ·4·4 2 = 8 2. 2 2 N B A Chọn đáp án B
Câu 81. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn AB đáy nhỏ CD. Gọi M, N
lần lượt là trung điểm của SA và SB. Gọi P là giao điểm của SC và (AN D) . Gọi I là giao điểm của AN
và DP. Hỏi tứ giác SABI là hình gì? A. Hình bình hành. B. Hình chữ nhật. C. Hình vuông. D. Hình thoi. -Lời giải.
Gọi E = AD ∩ BC, P = N E ∩ SC. Suy ra P = SC ∩ (AN D). S I
Ta có S là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng (SAB) và
(SCD); I = DP ∩ AN ⇒ I là điểm chung thứ hai của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) . M Suy ra SI = (SAB) ∩ (SCD). N
Mà AB k CD ⇒ SI k AB k CD. Vì M N là đường trung bình của
tam giác SAB và chứng minh được cũng là đường trung bình của
tam giác SAI nên suy ra SI = AB. A B
Vậy SABI là hình bình hành. P C D E Chọn đáp án A
Câu 82. Cho tứ diện ABCD. Các điểm P, Q lần lượt là trung điểm của AB và CD; điểm R nằm trên cạnh SA
BC sao cho BR = 2RC. Gọi S là giao điểm của mặt phẳng (P QR) và cạnh AD. Tính tỉ số . SD 1 1 A. 2. B. 1. C. . D. . 2 3 -Lời giải. A P S B I D Q R C Th.s Nguyễn Chín Em 89
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Gọi I là giao điểm của BD và RQ. Nối P với I, cắt AD tại S. DI BR CQ DI DI 1
Xét tam giác BCD bị cắt bởi IR, ta có · · = 1 ⇔ · 2 · 1 = 1 ⇔ = . IB RC QD IB IB 2 AS DI BP SA 1 SA
Xét tam giác ABD bị cắt bởi P I, ta có · · = 1 ⇔ · · 1 = 1 ⇔ = 2. SD IB P A SD 2 SD Chọn đáp án A
Câu 83. Cho tứ diện ABCD và ba điểm P, Q, R lần lượt lấy trên ba cạnh AB, CD, BC. Cho P R k AC và
CQ = 2QD. Gọi giao điểm của AD và (P QR) là S. Chọn khẳng định đúng? A. AD = 3DS. B. AD = 2DS. C. AS = 3DS. D. AS = DS. -Lời giải. A P S B I D Q R C
Gọi I là giao điểm của BD và RQ. Nối P với I, cắt AD tại S. DI BR CQ CQ DI BR 1 DI 1 RC Ta có · · = 1 mà = 2 suy ra · = ⇔ = · . IB RC QD QD IB RC 2 IB 2 BR RC AP DI 1 AP
Vì P R song song với AC suy ra = ⇒ = · . BR P B IB 2 P B SA DI BP SA 1 AP BP SA Lại có · · = 1 ⇒ · · · = 1 ⇔ = 2 ⇒ AD = 3DS. SD IB P A SD 2 P B P A SD Chọn đáp án A GA
Câu 84. Gọi G là trọng tâm tứ diện ABCD. Gọi A0 là trọng tâm của tam giác BCD. Tính tỉ số . GA0 1 1 A. 2. B. 3. C. . D. . 3 2 -Lời giải. A G E B D A0 M C
Gọi E là trọng tâm của tam giác ACD, M là trung điểm của CD.
Nối BE cắt AA0 tại G suy ra G là trọng tâm tứ diện. M E M A0 1 A0E 1 Xét tam giác M AB, có = = suy ra A0E k AB ⇒ = . M A M B 3 AB 3 A0E A0G 1 GA
Khi đó, theo định lí Talet suy ra = = ⇒ = 3. AB AG 3 GA0 Chọn đáp án B Th.s Nguyễn Chín Em 90
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Câu 85. Cho tứ diện ABCD trong đó có tam giác BCD không cân. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của
AB, CD và G là trung điểm của đoạn M N. Gọi A1 là giao điểm của AG và (BCD) . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. A1 là tâm đường tròn tam giác BCD.
B. A1 là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BCD.
C. A1 là trực tâm tam giác BCD.
D. A1 là trọng tâm tam giác BCD. -Lời giải. A M G B D P A1 N C
Mặt phẳng (ABN ) cắt mặt phẳng (BCD) theo giao tuyến BN.
Mà AG ⊂ (ABN ) suy ra AG cắt BN tại điểm A1.
Qua M dựng M P k AA1 với P ∈ BN. Có M là trung điểm của AB suy ra P là trung điểm BA1 ⇒ BP = P A1. (1)
Tam giác M N P có M P k GA1 và G là trung điểm của M N.
⇒ A1 là trung điểm của N P ⇒ P A1 = N A1. (2) BA1 2
Từ (1), (2) suy ra BP = P A1 = A1N ⇒ =
. Mà N là trung điểm của CD, do đó, A1 là trọng tâm BN 3 của tam giác BCD. Chọn đáp án D
Câu 86. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC; E là điểm trên cạnh CD với
ED = 3EC. Thiết diện tạo bởi mặt phẳng (M N E) và tứ diện ABCD là A. Tam giác M N E.
B. Tứ giác M N EF với F là điểm bất kì trên cạnh BD.
C. Hình bình hành M N EF với F là điểm trên cạnh BD mà EF k BC.
D. Hình thang M N EF với F là điểm trên cạnh BD mà EF k BC. -Lời giải.
Ta có E là điểm chung của hai mặt phẳng (M N E) và (BCD) . Lại có A M N ⊂ (M N E)   BC ⊂ (BCD)
⇔ Giao tuyến của hai mặt phẳng (M N E) và (BCD)  M N k BC M
là đường thẳng d đi qua điểm E và song song với BC và M N. N D B F E C
Trong mặt phẳng (BCD), gọi F = d ∩ BC. Khi đó thiết diện tạo bởi mặt phẳng (M N E) và tứ diện ABCD
là hình thang M N EF với F là điểm trên cạnh BD mà EF k BC. Chọn đáp án D
Câu 87. Cho hai đường thẳng a và b. Điều kiện nào sau đây đủ kết luận a và b chéo nhau?
A. a và b không có điểm chung.
B. a và b là hai cạnh của một hình tứ diện.
C. a và b nằm trên hai mặt phẳng phân biệt. Th.s Nguyễn Chín Em 91
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
D. a và b không cùng nằm trên bất kì mặt phẳng nào. -Lời giải.
Sửa lại cho đúng: a và b không có điểm chung và không đồng phẳng.
Sửa lại cho đúng: a và b là hai cạnh đối của một hình tứ diện.
Sai vì a và b có thể song song. Chọn đáp án D
Câu 88. Cho hình lập phương ABCD.A0B0C0D0. Có bao nhiêu cạnh của hình lập phương chéo nhau với
đường chéo AC0 của hình lập phương? A. 2. B. 3. C. 4. D. 6. -Lời giải.
Các cạnh chéo nhau với đường chéo AC0 của hình lập phương là: A0 D0 A0B0, A0D0, DD0, CD, BC, BB0. B0 C0 A D B C Chọn đáp án D
Câu 89. Cho hai đường thẳng phân biệt a và b trong không gian. Có bao nhiêu vị trí tương đối giữa a và b? A. 4. B. 3. C. 2. D. 1. -Lời giải.
Hai đường thẳng phân biệt a và b trong không gian có ba vị trí tương đối là: cắt nhau, song song, chéo nhau. Chọn đáp án B
Câu 90. Cho hai đường thẳng phân biệt cùng nằm trong một mặt phẳng. Có bao nhiêu vị trí tương đối
giữa hai đường thẳng đó? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. -Lời giải.
Hai đường thẳng phân biệt cùng nằm trong một mặt phẳng có hai vị trí tương đối là: cắt nhau, song song. Chọn đáp án B
Câu 91. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng?
A. Hai đường thẳng lần lượt nằm trên hai mặt phẳng phân biệt thì chéo nhau.
B. Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau.
C. Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung.
D. Hai đường thẳng phân biệt không song song thì chéo nhau. -Lời giải.
Theo định nghĩa của hai đường thẳng chéo nhau thì B là mệnh đề đúng. Chọn đáp án C
Câu 92. Cho hai đường thẳng a và b chéo nhau. Có bao nhiêu mặt phẳng chứa a và song song với b? A. 0. B. 1. C. 2. D. Vô số. -Lời giải.
Hai đường thẳng a và b chéo nhau có duy nhất một mặt phẳng chứa a và song song với b. Chọn đáp án B
Câu 93. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A0B0C0. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC
và A0B0C0. Thiết diện tạo bởi mặt phẳng (AIJ ) với hình lăng trụ đã cho là A. Tam giác cân. B. Tam giác vuông. C. Hình thang. D. Hình bình hành. -Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 92
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Kéo dài AI cắt BC tại M , suy ra M là trung điểm BC. A0 C0  (AIJ ) ∩ A0B0C0 = J  J   AI ⊂ (AI J ) Ta có ⇔ (AIJ ) ∩ (A0B0C0) = A0J. M 0 A0J ⊂ A0B0C0    AI k A0J B0
Trong mặt phẳng (A0B0C0), gọi M 0 = A0J ∩ B0C0. ®A0M 0 k AM
Khi đó thiết diện là tứ giác AA0J I, tứ giác này có ⇔ C AA0 k M M 0 A AA0J I là hình bình hành. I M B Chọn đáp án D
Câu 94. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.
A. Hai đường thẳng phân biệt cùng nằm trong một mặt phẳng thì không chéo nhau.
B. Hai đường thẳng phân biệt không cắt nhau thì chéo nhau.
C. Hai đường thẳng phân biệt không song song thì chéo nhau.
D. Hai đường thẳng phân biệt lần lượt thuộc hai mặt phẳng khác nhau thì chéo nhau. -Lời giải. Chọn A.
Đáp án B sai: hai đường thẳng đó có thể song song nhau.
Đáp án C sai: hai đường thẳng đó có thể cắt nhau.
Đáp án D sai: hai đường thẳng đó có thể song song hoặc cắt nhau. Chọn đáp án A
Câu 95. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD)và
(SBC) là đường thẳng song song với đường thẳng nào dưới đây? A. AC. B. BD. C. AD. D. SC. -Lời giải. Ta có  S x (SAD) ∩ (SBC) = S   AD ⊂ (SAD) , BC ⊂ (SBC)  AD k BC
⇔ (SAD) ∩ (SBC) = Sx k AD k BC. A D B C Chọn đáp án C
Câu 96. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Giả sử M thuộc đoạn thẳng SB. Mặt
phẳng (ADM ) cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện là hình gì? A. Hình tam giác. B. Hình thang. C. Hình bình hành. D. Hình chữ nhật. -Lời giải.  (ADM ) ∩ (SBC) = M   Ta có
AD ⊂ (ADM ) , BC ⊂ (SBC) ⇔ (ADM ) ∩ (SBC) = S  AD//BC M N k AD k BC với N ∈ SC. M N D A B C Th.s Nguyễn Chín Em 93
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Tứ giác AM N D có M N k AD ⇔ AM N D là hình thang. Chọn đáp án B ĐÁP ÁN 1. A 2. D 3. C 4. B 5. D 6. D 7. B 8. B 9. A 10. D 11. A 12. B 13. C 14. D 15. A 16. C 17. C 18. B 19. D 20. B 21. A 22. A 23. A 24. B 25. D 26. B 27. B 28. C 29. D 30. C 31. A 32. C 33. A 34. D 35. C 36. B 37. A 38. B 39. A 40. B 41. C 42. A 43. B 44. D 45. D 46. C 47. C 48. A 49. B 50. C 51. B 52. B 53. A 54. B 55. D 56. D 57. B 58. B 59. C 60. D 61. C 62. C 63. C 64. B 65. A 66. D 67. D 68. B 69. B 70. A 71. D 72. B 73. C 74. D 75. A 76. C 77. C 78. B 79. D 80. B 81. A 82. A 83. A 84. B 85. D 86. D 87. D 88. D 89. B 90. B 91. C 92. B 93. D 94. A 95. C 96. B Th.s Nguyễn Chín Em 94
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11 BÀI 3.
ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1
VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
Cho đường thẳng a và mặt phẳng (P ). Căn cứ vào số điểm chung của đường thẳng và mặt phẳng ta có ba trường hợp sau
a) Đường thẳng a và mặt phẳng (P ) không có điểm chung, tức là d a ∩ (P ) = ∅ ⇔ a k (P ). α
b) Đường thẳng a và mặt phẳng (P ) chỉ có một điểm chung, tức là d
a ∩ (P ) = A ⇔ a cắt (P ) tại A. M α
c) Đường thẳng a và mặt phẳng (P ) có hai điểm chung, tức là d
a ∩ (P ) = {A, B} ⇔ a ⊂ (P ). α 2
ĐIỀU KIỆN ĐỂ MỘT ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MỘT MẶT PHẲNG
Định lí 1. Nếu đường thẳng a không nằm trong mặt phẳng (P ) và song song với một đường thẳng
nào đó trong (P ) thì a song song với (P ).
Tức là a 6⊂ (P ) thì nếu a k d ⊂ (P ) ⇒ a k (P ).
Định lí 2. Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng (P ) thì mọi mặt phẳng (Q) chứa a mà cắt
(P ) thì sẽ cắt theo một giao tuyến song song với a. a k (P )   Tức là a ⊂ (Q) ⇒ a k d.  (Q) ∩ (P ) = d β a b α
Hệ quả 1. Nếu một đường thẳng song song với một mặt phẳng thì nó song song với một đường
thẳng nào đó trong mặt phẳng.
Hệ quả 2. Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến (nếu
có) của chúng song song với đường thẳng đó. (P ) ∩ (Q) = d   Tức là (P ) k a ⇒ d k a.  (Q) k a Th.s Nguyễn Chín Em 95
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11 B CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng Phương pháp.
Để chứng minh đường thẳng d song song với mặt phẳng (α) ta chứng minh d không nằm trong (α) và
song song với một đường thẳng a nào đó nằm trong (α). 1 VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm tam giác ABD. Trên đoạn BC lấy điểm M sao cho
M B = 2M C. Chứng minh rằng đường thẳng M G song song với mặt phẳng (ACD). -Lời giải. A N G B D M C BG 2
Gọi N là trung điểm của AD. Ta có: =
(Vì G là trọng tâm tam giác ABD). BN 3 BM 2
Theo giả thiết, ta có: M B = 2M C ⇒ = . BC 3 BG BM 2 Tam giác BCN có = = ⇒ M G k CN . BN BC 3
Mà M G 6⊂ (ACD), CN ⊂ (ACD) ⇒ M G k (ACD).
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M , N , P lần lượt
là trung điểm của các cạnh SD, CD, BC.
1 Chứng minh đường thẳng OM song song với các mặt phẳng (SAB), (SBC).
2 Chứng minh đường thẳng SP song song với mặt phẳng (OM N ). -Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 96
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11 S M A B O P I D N C
1 Tam giác SBD có OB = OD và M S = M D nên OM là đường trung bình của tam giác SBD ⇒ OM k SB.
Mà OM không chứa trong các mặt phẳng (SAB) và (SBC) nên OM k (SAB) và OM k (SBC).
2 Trong mặt phẳng (ABCD), gọi I là giao điểm của ON và DP .
Tam giác BCD có OB = OD và N C = N D nên ON là đường trung bình của tam giác BCD ⇒ I là trung điểm của DP .
Tam giác SDP có M S = M D và IP = ID nên IM là đường trung bình của tam giác SDP ⇒ IM k SP .
Mà SP 6⊂ (OM N ), IM ⊂ (OM N ) ⇒ SP k (OM N ).
Ví dụ 3. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng. Trên AM BN
hai đường chéo AC, BF lần lượt lấy hai điểm M , N sao cho = = k (k 6= 0, k 6= 1). Mặt AC BF
phẳng (α) chứa đường thẳng M N , song song với đường thẳng AB, cắt AD và AF lần lượt tại M 0 và
N 0. Chứng minh rằng đường thẳng M 0N 0 song song với mặt phẳng (DEF ). -Lời giải. F E N 0 N A B M M 0 D C
Ta có: AB k (α), AB ⊂ (ABCD) và (α) ∩ (ABCD) = M M 0 ⇒ M M 0 k AB hay M M 0 k CD.
Tương tự, ta có: AB k (α), AB ⊂ (ABEF ) và (α) ∩ (ABEF ) = N N 0 ⇒ N N 0 k AB. Th.s Nguyễn Chín Em 97
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11 AM 0 AM
Tam giác ACD có M M 0 k CD ⇒ = = k (1). AD AC AN 0 BN
Tam giác ABF có N N 0 k AB ⇒ = = k (2). AF BF AM 0 AN 0 Từ (1) và (2), ta có: = = k ⇒ M 0N 0 k DF . AD AF
Mà M 0N 0 6⊂ (DEF ), DF ⊂ (DEF ) ⇒ M 0N 0 k (DEF ). 2 BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SA và SC. Chứng minh M N k (ABCD). -Lời giải.
Xét tam giác SAC có M, N lần lượt là trung điểm của SA, SC. S
Suy ra M N k AC nên M N k mp(ABCD). M N A D B C
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, M và N là hai điểm trên SA, SB sao SM SN 1 cho = =
. Chứng minh M N song song (ABCD). SA SB 3 -Lời giải. SM SN Theo định lí Talet, ta có =
suy ra M N song song với AB Mà AB SA SB S
nằm trong mặt phẳng (ABCD) suy ra M N k (ABCD) M N D A B C
Bài 3. Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABD, Q thuộc cạnh AB sao cho AQ = 2QB,
P là trung điểm của AB. Chứng minh GQ k (BCD). -Lời giải.
Gọi M là trung điểm của BD. A AG 2
Vì G là trọng tâm tam giác ABD⇒ = . AM 3 AQ 2
Điểm Q ∈ AB sao cho AQ = 2QB ⇔ = . AB 3 P AG AQ G Q Suy ra = ⇒ GQ k BD. AM AB
Mặt khác BD nằm trong mặt phẳng (BCD) suy ra GQ k (BCD) D B M C
Bài 4. Cho tứ diện ABCD. Gọi M , N , P , Q, R, S theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AC, BD, AB,
CD, AD, BC. Chứng minh: M, R, S, N đồng phẳng -Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 98
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Theo tính chất của đường trung bình của tam giác ta có A
P S k AC k QR suy ra P, Q, R, S đồng phẳng
Tương tự, ta có được P M k BC k N Q suy ra P, M, N, Q đồng phẳng.
Và N R k CD k SN suy ra M, R, S, N đồng phẳng. P M R S B C N Q D
Bài 5. Cho tứ diện ABCD. Gọi H là một điểm nằm trong tam giác ABC, (α) là mặt phẳng đi qua H
song song với AB và CD. Thiết diện của (α) của tứ diện là hình gì? -Lời giải.
Qua H kẻ đường thẳng (d) song song AB và cắt BC, AC lần lượt tại M, N A
Từ N kẻ N P song song vớ CD
(P ∈ CD) Từ P kẻ P Q song song với AB (Q ∈ BD)
Ta có M N k P Q k AB suy ra M, N, P, Q đồng phẳng và AB k (M N P Q)
Suy ra M N P Q là thiết diện của (α) và tứ diện. N
Vậy tứ diện là hình bình hành. H P B C M Q D SM 2
Bài 6. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 10. M là điểm trên SA sao cho = . SA 3
Một mặt phẳng (α) đi qua M song song với AB và CD, cắt hình chóp theo một tứ giác, tính diện tích tứ giác đó. -Lời giải.
Ta có (α) k AB và CD mà A, B, C, D đồng phẳng suy ra (α) k (ABCD). S
Giả sử (α) cắt các mặt bên (SAB), (SBC), (SCD), (SDA) lần lượt tại
các điểm N, P, Q với N ∈ SB, P ∈ SC, Q ∈ SD. Suy ra (α) ≡ (M N P Q)
Khi đó M N k AB⇒M N là đường trung bình tam giác SAB M Q SM M N 2 ⇒ = = D P SA AB 3 A N N P P Q QM 2 Tương tự, ta có được = = = BC CD DA 3 và M N P Q là hình vuông. B C Å 2 ã2 4 4 400 Suy ra SMNP Q = SABCD = SABCD = .10.10 = . 3 9 9 9
Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang cân đáy lớn AD. Gọi M, N lần lượt là hai trung
điểm của AB và CD, (P ) là mặt phẳng qua M N và cắt mặt bên (SBC) theo một giao tuyến. Thiết diện
của (P ) và hình chóp là hình gì? -Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 99
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Xét hình thang ABCD, có M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD S
Suy ra M N là đường trung bình của hình thang ABCD ⇒ M N k BC.
Lấy điểm P ∈ SB, qua P kẻ đường thẳng song song với BC và cắt BC tại Q
Suy ra (P ) ∩ (SBC) = P Q nên thiết diện (P ) và hình chóp là tứ giác Q
M N QP có M N k P Q k BC. Vậy thiết diện là hình thang M N QP . P A D M N B C
Bài 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M là điểm thuộc cạnh SA
(không trùng với S hoặc A) (P ) là mặt phẳng qua OM và song song với AD. Thiết diện của (P ) và hình chóp là hình gì? -Lời giải.
Qua M kẻ đường thẳng M N k AD và cắt SD tại N S ⇒ M N k AD
Qua O kẻ đường thẳng P Q k AD và cắt AB, CD lần lượt tại Q, P ⇒ P Q k AD N
Suy ra M N k P Q k AD đồng phẳng ⇒ (P ) cắt hình chóp S.ABCD M
theo thiết diện là hình thang M N P Q. A D Q P O B C
Bài 9. Cho tứ diện ABCD Gọi I, J lần lượt thuộc cạnh AD, BC sao cho IA = 2ID và J B = 2J C Gọi
(P ) là mặt phẳng qua IJ và song song với AB Thiết diện của (P ) và tứ diện ABCD hình gì? -Lời giải.
Giả sử (P ) cắt các mặt của tứ diện (ABC) và (ABD) theo hai giao tuyến J H A và IK
Ta có (P ) ∩ (ABC) = J H, (P ) ∩ (ABD) = IK.
(ABC) ∩ (ABD) = AB, (P ) IK k AB J B HA HA IA I
Theo định lí Thalet, ta có = = 2 suy ra = ⇒ IH k CD J C HC HC ID Mà IH ∈ (P ). H
Suy ra IH song song với mặt phẳng (P ) B K D
Vậy (P ) cắt các mặt phẳng (ABC), (ABD) theo các giao tuyến IH, J K với IH k J K J
Do đó, thiết diện của (P ) và tứ diện ABCD là hình bình hành. C Th.s Nguyễn Chín Em 100
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Dạng 2. Tìm giao tuyến hai mặt phẳng khi biết một mặt phẳng song song với đường thẳng cho trước
Phương pháp: Cho đường thẳng a và mặt phẳng (P ) song song
với nhau. Nếu mặt phẳng (Q) chứa a và cắt (P ) theo giao tuyến b thì b song song với a. Q a b P 1
CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, đáy lớn AD. Gọi I là trung điểm của SB.
Gọi (P ) là mặt phẳng qua I, song song với SD và AC.
1 Tìm giao tuyến của mặt phẳng của (P ) và (SBD).
2 Tìm giao tuyến của mặt phẳng của (P ) và (ABCD). -Lời giải. I ∈ (P ) ∩ (SBD) S   1 Ta có: (P ) k SD  SD ⊂ (SBD)
⇒ (P ) ∩ (SBD) = Ix trong đó Ix k SD.
Gọi Ix ∩ BD = K ⇒ (P ) ∩ (SBD) = IK. I K ∈ (P ) ∩ (ABCD)   2 Ta có: (P ) k AC A D E  K AC ⊂ (ABCD)
⇒ (P ) ∩ (SBD) = Ky trong đó Ky k AC. F
Gọi Ky ∩ AD = E, Ky ∩ CD = F B C ⇒ (P ) ∩ (SBD) = EF.
Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD, M là điểm thuộc cạnh AC. Gọi (P ) là mặt phẳng qua M song song
với AB và CD. Tìm giao tuyến của (P ) với mặt phẳng (BCD). -Lời giải.
Tìm giao tuyến của (P ) với (ABC). M ∈ (P ) ∩ (ABC) A   Ta có: (P ) k AB  AB ⊂ (ABC)
⇒ (P ) ∩ (ABC) = M x trong đó M x k AB. M
Gọi M x ∩ BC = N ⇒ (P ) ∩ (ABC) = M N.
Tìm giao tuyến của (P ) với (BCD). N ∈ (P ) ∩ (ABC) B D   P Ta có: (P ) k CD N  CD ⊂ (BCD)
⇒ (P ) ∩ (BCD) = N y trong đó N y k CD. C
Gọi N y ∩ BD = P ⇒ (P ) ∩ (BCD) = N P. Th.s Nguyễn Chín Em 101
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của cạnh SC, (P )
là mặt phẳng chứa A, M và song song với BD.
1 Xác định điểm E, F lần lượt là giao điểm của (P ) với các cạnh SB, SD. Tìm tỉ số diện tích của
4SM E với 4SBC và tỉ số diện tích của 4SM F với 4SCD.
2 Gọi K là giao điểm của M E với CB, J là giao điểm của M F với CD. Chứng minh rằng ba EF
điểm K, A, J nằm trên một đường thẳng song song với EF. Tính tỉ số . KJ -Lời giải. S M F I E D J O C A B K
1 Gọi AC ∩ BD = O và SO ∩ AM = I. I ∈ (P ) ∩ (SBD)   Ta có: (P ) k BD  BD ⊂ (SBD)
⇒ (P ) ∩ (SBD) = Ix trong đó Ix k BD.
Gọi Ix ∩ SB = E, Ix ∩ SD = F
⇒ E, F lần lượt là giao điểm của SB và SD với (P ).
2 Vì I = AM ∩ SO mà AM, SO là đường trung tuyến của 4SAC nên I là trọng tâm 4SAC. SE SF SI 2 Ta có: = = = . SB SD SO 3 Do đó: S4SME SM SE 1 2 1 = . = . = . S4SBC SC SB 2 3 3 S4SMF SM SF 1 2 1 = . = . = . S4SCD SC SD 2 3 3
3 Ta có K, A, J là ba điểm chung của hai mặt phẳng (P ) và (ABCD) nên chúng nằm trên giao tuyến
d = (P ) ∩ (ABCD). Vì BD k (P ) và BD ⊂ (ABCD) nên d k BD ⇒ d k EF . EF SI 2 Khi đó: = =
; KJ = 2BD ( Vì E, F lần lượt là trọng tâm của 4SCK, 4SCJ ). BD SO 3 EF 1 Suy ra = . KJ 3
Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABC có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi (P ) là mặt phẳng di động qua
S và song song với BC, (P ) cắt cạnh AB, AC lần lượt tại M, N . Th.s Nguyễn Chín Em 102
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
1 Chứng minh (P ) luôn chứa một đường thẳng cố định.
2 Tính tổng bình phương các cạnh của 4SM N khi AM = x. Tìm x để tổng này đạt giá trị bé nhất. -Lời giải. S t A x N C M B S ∈ (P ) ∩ (SBC)   1 Ta có: (P ) k BC  BC ⊂ (SBC)
⇒ (P ) ∩ (SAB) = St trong đó St k BC.
Mặt khác: S, BC cố định nên St cố định. Vậy (P ) luôn chứa đường thẳng St cố định. (P ) k BC   2 Vì BC ⊂ (ABC) ⇒ M N k BC.  (P ) ∩ (ABC) = M N
Vì tam giác ABC đều nên 4AM N đều cạnh bằng x.
Ta có: 4SAM = 4SAN ⇒ SM = SN .
Xét 4SAM ⇒ SM 2 = SA2 + AM 2 − 2SA.AM. cos 60◦ 1 ⇒ SM 2 = a2 + x2 − 2ax. = a2 + x2 − ax. 2
Tổng bình phương các cạnh là S = SM 2 + SN 2 + M N 2 = 2a2 + 3x2 − 2ax a 2 5a2 ⇒ S = 3 x − + . 3 3 5a2 5a2 a Suy ra S ≥ ⇒ min S = ⇔ x = . 3 3 3
Dạng 3. Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng Phương pháp giải:
Cho hình chóp S.A1A2 . . . An và mp(α).
Nếu (α) cắt một mặt nào đó của hình chóp thì (α) sẽ cắt mặt này theo một đoạn thẳng gọi là đoạn
giao tuyến của (α) với mặt đó.
Các đoạn giao tuyến nối tiếp nhau tạo thành một đa giác phẳng gọi là thiết diện.
Như vậy, muốn tìm thiết diện của hình chóp với (α), ta tìm các đoạn giao tuyến (nếu có).
Đa giác tạo bởi các đoạn giao tuyến là thiết diện cần tìm. Sử dụng thêm định lý:
Cho đường thẳng d song song với mặt phẳng (α). Nếu mặt phẳng (β) chứa d và cắt mặt phẳng (α)
theo giao tuyến d0 thì d0 k d. Th.s Nguyễn Chín Em 103
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11 1
CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O, M là trung điểm của OC,
mặt phẳng (α) đi qua M và song song với SA và BD. Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (α). -Lời giải.
Trong mặt phẳng (ABCD) qua M kẻ đường thẳng song song S
với BD, cắt BC tại N và cắt CD tại Q.
Trong mặt phẳng (SAC) qua M kẻ đường thẳng song song
với SA, cắt SC tại P . Khi đó ta có: P Q
(α) ∩ (ABCD) = N Q, (α) ∩ (SBC) = N P , (α) ∩ (SCD) = D C P Q. M
Do đó: (α) ∩ S.ABCD = N P Q. O N
Vậy thiết diện là tam giác N P Q. A B
Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD. Gọi (α) là mặt phẳng qua trung điểm của cạnh AC, song song với
AB và CD. Tìm thiết diện của tứ diện ABCD cắt bởi (α). -Lời giải.
Gọi I, J, L, K lần lượt là trung điểm của AC, BC, BD, AD. Ta có: A (α) ∩ (ABC) = IJ (α) ∩ (BCD) = J L I (α) ∩ (ABD) = LK (α) ∩ (ACD) = IK K
Do đó, (α) ∩ (ABCD) = IJ LK. Dễ thấy IJ LK là hình bình hành. B C J L D
Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của SA, SB.
Điểm M bất kì thuộc cạnh BC. Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi (M EF ). -Lời giải.
Dễ thấy EF k AB, trong mặt phẳng (ABCD) qua M kẻ đường thẳng S
song song với AB cắt AD tại N . Ta có: (M EF ) ∩ (SBC) = M F . E F (M EF ) ∩ (SAB) = EF . D C (M EF ) ∩ (SAD) = EN . N M (M EF ) ∩ (ABCD) = M N . A B
Do đó, (M EF ) ∩ S.ABCD = M N EF .
Vậy thiết diện là hình thang M N EF , hai đáy là M N và EF .
Ví dụ 4. Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O. Gọi S là một điểm nằm ngoài mặt phẳng (ABCD)
sao cho SB = SD. Gọi M là điểm tùy ý trên AO với AM = x. Mặt phẳng (α) đi qua M song song
với SA, BD và cắt SO, SB, AB lần lượt tại N, P, Q. Cho SA = a, tính diện tích M N P Q theo a và x, biết N M ⊥ M Q. -Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 104
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11 (α) k BD   Do BD ⊂ (ABO)
⇒ M Q k BD. Tương tự, ta có N P k BD, S  (α) ∩ (ABO) = M Q
M N k SA và P Q k SA. Vậy tứ giác M N P Q có hai cặp cạnh đối song song N P
với nhau, suy ra M N P Q là hình bình hành. I
Do N M ⊥ M Q nên M N P Q là hình chữ nhật. A D Q
Do M N P Q là hình chữ nhật nên S M M N P Q = M N.M Q (1). O Xét tam giác AQM có B C b A = “ Q = 45◦, c
M = 90◦ ⇒ ∆AQM vuông cân. Vậy M Q = AM = x. M N OM
Xét tam giác SAO, ta có M N k SA ⇒ = . Từ đó suy ra √ SA OA a 2 OM − x √ M N = SA. = a. 2 √ = a − x 2. OA a 2 2 1 √ √ Ä ä
Thay M Q và M N vào (1), ta có SMNP Q = √ .x. 2 a − x 2 . 2 C
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Hai mặt phẳng không cắt nhau thì song song.
B. Hai mặt phẳng cùng song song với một đường thẳng thì cắt nhau.
C. Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có duy nhất một mặt phẳng song song với mặt phẳng đó.
D. Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có vô số mặt phẳng song song với mặt phẳng đó. -Lời giải.
Trong không gian, hai mặt phẳng có 3 vị trí tương đối: trùng nhau, cắt nhau, a
song song với nhau. Vì vậy, 2 mặt phẳng không cắt nhau thì có thể song song
hoặc trùng nhau ⇒A là mệnh đề sai.
Hai mặt phẳng cùng song song với một đường thẳng thì chúng có thể song P
song với nhau (hình vẽ) ⇒ B là mệnh đề sai.
Ta có: a k (P ), a k (Q) nhưng (P ) và (Q) vẫn có thể song song với nhau.
Mệnh đề C là tính chất nên C đúng. Q Chọn đáp án C
Câu 2. Trong các điều kiện sau, điều kiện nào kết luận mp (α) k mp (β)?
A. (α) k (γ) và (β) k (γ) ((γ) là mặt phẳng nào đó).
B. (α) k a và (α) k b với a, b là hai đường thẳng phân biệt thuộc (β).
C. (α) k a và (α) k b với a, b là hai đường thẳng phân biệt cùng song song với (β).
D. (α) k a và (α) k b với a, b là hai đường thẳng cắt nhau thuộc(β). -Lời giải. α a b a b β α β Hình 1. Hình 2.
Trong trường hợp: (α) k (γ) và (β) k (γ) ((γ) là mặt phẳng nào đó) thì (α) và (β) có thể trùng nhau ⇒ Loại A. Th.s Nguyễn Chín Em 105
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
(α) k a và (α) k b với a, b là hai đường thẳng phân biệt thuộc (β) thì (α) và (β) vẫn có thể cắt nhau (hình 1) ⇒ Loại B.
(α) k a và (α) k b với a, b là hai đường thẳng phân biệt cùng song song với (β) thì (α) và (β) vẫn có thể cắt nhau (hình 2) ⇒ Loại C. Chọn đáp án D
Câu 3. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Nếu hai mặt phẳng (α) và (β) song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong (α) đều song song với (β).
B. Nếu hai mặt phẳng (α) và (β) song song với nhau thì bất kì đường thẳng nào nằm trong (α) cũng
song song với bất kì đường thẳng nào nằm trong (β).
C. Nếu hai đường thẳng phân biệt a và b song song lần lượt nằm trong hai mặt phẳng (α) và (β) phân biệt thì a k (β).
D. Nếu đường thẳng d song song với mp (α) thì nó song song với mọi đường thẳng nằm trong mp (α). -Lời giải. a α d a α b β b β α Hình 1. Hình 2. Hình 3.
Nếu hai mặt phẳng (α) và (β) song song với nhau thì hai đường thẳng bất kì lần lượt thuộc (α) và (β) có
thể chéo nhau (Hình 1) ⇒ Loại B. Nếu hai đường thẳng phân biệt a và b song song lần lượt nằm trong hai
mặt phẳng (α) và (β) phân biệt thì hai mặt phẳng (α) và (β) có thể cắt nhau (Hình 2) ⇒ Loại C. Nếu
đường thẳng d song song với mp (α) thì nó có thể chéo nhau với một đường thẳng nào đó nằm trong (α) . (Hình 3). Chọn đáp án A
Câu 4. Cho hai mặt phẳng song song (α) và (β), đường thẳng a k (α). Có mấy vị trí tương đối của a và (β)? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. -Lời giải.
Trong không gian, giữa đường thẳng và mặt phẳng có 3 vị trí tương đối: đường thẳng cắt mặt phẳng, đường
thẳng song song với mặt phẳng, đường thẳng nằm trên mặt phẳng. a k (α) mà (α) k (β) ⇒ a và (α) không
thể cắt nhau. Vậy còn 2 vị trí tương đối. Chọn đáp án B
Câu 5. Cho hai mặt phẳng song song (P ) và (Q). Hai điểm M, N lần lượt thay đổi trên (P ) và (Q). Gọi I
là trung điểm của M N. Chọn khẳng định đúng.
A. Tập hợp các điểm I là đường thẳng song song và cách đều (P ) và (Q).
B. Tập hợp các điểm I là mặt phẳng song song và cách đều (P ) và (Q).
C. Tập hợp các điểm I là một mặt phẳng cắt (P ).
D. Tập hợp các điểm I là một đường thẳng cắt (P ). -Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 106
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Ta có: I là trung điểm của M N ⇒ Khoảng cách từ I đến (P ) bằng khoảng
cách từ I đến (Q) ⇒ Tập hợp các điểm I là mặt phẳng song song và cách M đều (P ) và (Q). P I Q N Chọn đáp án B
Câu 6. Trong các điều kiện sau, điều kiện nào kết luận đường thẳng a song song với mặt phẳng (P )? A. a k b và b ⊂ (P ). B. a k b và b k (P ). C. a k (Q) và (Q) k (P ). D. a ⊂ (Q) và b ⊂ (P ). -Lời giải.
Ta có: a k b và b ⊂ (P ) suy ra a k (P ) hoặc a ⊂ (P ) ⇒ Loại A. a k b và b k (P ) suy ra a k (P ) hoặc
a ⊂ (P ) ⇒ Loại B. a k (Q) và (Q) k (P ) suy ra a k (P ) hoặc a ⊂ (P ) ⇒ Loại C. Chọn đáp án D
Câu 7. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Nếu (α) k (β) và a ⊂ (α) , b ⊂ (β) thì a k b.
B. Nếu (α) k (β) và a ⊂ (α) , b ⊂ (β) thì a và b chéo nhau.
C. Nếu a k b và a ⊂ (α) , b ⊂ (β) thì (α) k (β).
D. Nếu (γ) ∩ (α) = a, (γ) ∩ (β) = b và (α) k (β) thì a k b. -Lời giải.
Nếu (α) k (β) và a ⊂ (α) , b ⊂ (β) thì a k b hoặc a chéo b ⇒ A, B sai. Nếu a k b và a ⊂ (α) , b ⊂ (β) thì
(α) k (β) hoặc (α) và (β) cắt nhau theo giao tuyến song song với a và b. Chọn đáp án D
Câu 8. Cho đường thẳng a ⊂ (P ) và đường thẳng b ⊂ (Q). Mệnh đề nào sau đây đúng? A. (P ) k (Q) ⇒ a k b. B. a k b ⇒ (P ) k (Q).
C. (P ) k (Q) ⇒ a k (Q) và b k (P ). D. a và b chéo nhau. -Lời giải.
Với đường thẳng a ⊂ (P ) và đường thẳng b ⊂ (Q).
Khi (P ) k (Q) ⇒ a k b hoặc a, b chéo nhau ⇒ A sai.
Khi a k b ⇒ (P ) k (Q) hoặc (P ), (Q) cắt nhau theo giao tuyến song song với a và b ⇒ B sai.
a và b có thể chéo nhau, song song hoặc cắt nhau ⇒ D sai. Chọn đáp án C
Câu 9. Hai đường thẳng a và b nằm trong mp (α) . Hai đường thẳng a0 và b0 nằm trong mp (β) . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Nếu a k a0 và b k b0 thì (α) k (β).
B. Nếu (α) k (β) thì a k a0 và b k b0.
C. Nếu a k b và a0 k b0 thì (α) k (β).
D. Nếu a cắt b và a k a0, b k b0 thì (α) k (β). -Lời giải. α a a b α β a0 b0 ∆ a0 β Hình 1. Hình 2. Th.s Nguyễn Chín Em 107
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Nếu a k a0 và b k b0 thì (α) k (β) hoặc (α) cắt (β) (Hình 1) ⇒ A sai. Nếu (α) k (β) thì a k a0 hoặc a, a0 chéo nhau (Hình 2) ⇒ B sai.
Nếu a k b và a0 k b0 thì (α) k (β) hoặc (α) cắt CC0. (Hình 1) ⇒ C sai. Chọn đáp án D
Câu 10. Cho hai mặt phẳng (P ) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến ∆. Hai đường thẳng p và q lần lượt nằm
trong (P ) và (Q). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. p và q cắt nhau. B. p và q chéo nhau. C. p và q song song.
D. Cả ba mệnh đề trên đều sai. -Lời giải.
Ta có p và q có thể cắt nhau, song song, chéo nhau (hình vẽ). p ∆ p p q q ∆ ∆ q Chọn đáp án D
Câu 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, I theo thứ tự là
trung điểm của SA, SD và AB. Khẳng định nào sau đây đúng? A. (N OM ) cắt (OP M ). B. (M ON ) k (SBC).
C. (P ON ) ∩ (M N P ) = N P . D. (N M P ) k (SBD). -Lời giải.
Ta có M N là đường trung bình của tam giác SAD suy ra M N k AD S (1).
Và OP là đường trung bình của tam giác BAD suy ra OP k AD (2).
Từ (1), (2) suy ra M N k OP k AD ⇒ M, N, O, P đồng phẳng. M
Lại có M P k SB, OP k BC suy ra (M N OP ) k (SBC) hay (M ON ) k N (SBC) . P B A O D C Chọn đáp án B
Câu 12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Tam giác SBD đều. Một mặt
phẳng (P ) song song với (SBD) và qua điểm I thuộc cạnh AC (không trùng với A hoặc C). Thiết diện của
(P ) và hình chóp là hình gì? A. Hình hình hành. B. Tam giác cân. C. Tam giác vuông. D. Tam giác đều. -Lời giải.
Gọi M N là đoạn thẳng giao tuyến của mặt phẳng (P ) và mặt đáy S
(ABCD) . Vì (P ) k (SBD) , (P ) ∩ (ABCD) = M N và (SBD) ∩ (ABCD) = M N suy ra M N k BD.
Lập luận tương tự, ta có
(P ) cắt mặt (SAD) theo đoạn giao tuyến N P với N P k SD. P
(P ) cắt mặt (SAB) theo đoạn giao tuyến M P với M P k SB.
Vậy tam giác M N P đồng dạng với tam giác SBD nên thiết diện của
(P ) và hình chóp S.ABCD là tam giác đều M N P. C B O I M D N A Chọn đáp án D Th.s Nguyễn Chín Em 108
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Câu 13. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC thỏa mãn AB = AC = 4, ’ BAC = 30◦. Mặt phẳng
(P ) song song với (ABC) cắt đoạn SA tại M sao cho SM = 2M A. Diện tích thiết diện của (P ) và hình chóp S.ABC bằng bao nhiêu? 16 14 25 A. . B. . C. . D. 1. 9 9 9 -Lời giải. 1 1 Ta có S∆ABC = · AB · AC · sin ’ BAC =
· 4 · 4 · sin 300 = 4. Gọi 2 2 S
N, P lần lượt là giao điểm của mặt phẳng (P ) và các cạnh SB, SC. Vì SM SN SP 2
(P ) k (ABC) nên theoo định lí Talet, ta có = = = . SA SB SC 3
Khi đó (P ) cắt hình chóp S.ABC theo thiết diện là tam giác M N P đồng N M 2
dạng với tam giác ABC theo tỉ số k = . 3 P Å 2 ã2 16 A C
Vậy S∆MNP = k2 · S∆ABC = · 4 = . 3 9 B Chọn đáp án A
Câu 14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân với cạnh bên BC = 2, hai đáy AB =
6, CD = 4. Mặt phẳng (P ) song song với (ABCD) và cắt cạnh SA tại M sao cho SA = 3SM. Diện tích
thiết diện của (P ) và hình chóp S.ABCD bằng bao nhiêu? √ √ √ 5 3 2 3 7 3 A. . B. . C. 2. D. . 9 3 9 -Lời giải. S D C Q M P N A D C B A H K B
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của D, C trên AB. ®AH = BK; CD = HK ABCD là hình thang cân ⇒ ⇒ BK = 1. AH + HK + BK = AB √ √ √
Tam giác BCK vuông tại K, có CK = BC2 − BK2 = 22 − 12 =
3. Suy ra diện tích hình thang AB + CD √ 4 + 6 √ ABCD là SABCD = CK · = 3 · = 5 3. 2 2
Gọi N, P, Q lần lượt là giao điểm của P và các cạnh SB, SC, SD. Vì (P ) k (ABCD) nên theo định lí Talet, M N N P P Q QM 1 ta có = = = = . AB BC CD AD 3 √ 5 3
Khi đó (P ) cắt hình chóp theo thiết diện M N P Q có diện tích SMNP Q = k2 · SABCD = . 9 Chọn đáp án A
Câu 15. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành có tâm O, AB = 8, SA = SB = 6.
Gọi (P ) là mặt phẳng qua O và song song với (SAB) . Thiết diện của (P ) và hình chóp S.ABCD có diện tích bằng √ √ A. 5 5. B. 6 5. C. 12. D. 13. -Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 109
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Qua O kẻ đường thẳng d song song AB và cắt BC, AD lần lượt tại S
P, Q. Kẻ P N song song với SB (N ∈ SB), kẻ QM song song với
SA (M ∈ SA) . Khi đó (M N P Q) k (SAB) ⇒ thiết diện của (P )
và hình chóp S.ABCD là tứ giác M N P Q.
Vì P, Q là trung điểm của BC, AD suy ra N, M lần lượt là
trung điểm của SC, SD. Do đó M N là đường trung bình tam M CD AB SB N giác SCD ⇒ M N = = = 4. Và N P = = 3; 2 2 2 A SA QM =
= 3 ⇒ N P = QM ⇒ M N P Q là hình thang cân. B 2 P Q C D 1
Hạ N H, M K vuông góc với P Q. Ta có P H = KQ ⇒ P H = (P Q − M N ) = 2. √ 2
Tam giác P HN vuông, có N H = 5. P Q + N M √
Vậy diện tích hình thang M N P Q là SMNP Q = N H · = 6 5. 2 Chọn đáp án B
Câu 16. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. Hình lăng trụ có các cạnh bên song song và bằng nhau.
B. Hai mặt đáy của hình lăng trụ nằm trên hai mặt phẳng song song.
C. Hai đáy của lăng trụ là hai đa giác đều.
D. Các mặt bên của lăng trụ là các hình bình hành. -Lời giải.
Xét hình lăng trụ có đáy là một đa giác (tam giác, tứ giác, . . . ), ta thấy rằng hình lăng trụ luôn có các cạnh
bên song song và bằng nhau. Hai mặt đáy của hình lăng trụ nằm trên hai mặt phẳng song song. Hai đáy
của lăng trụ là hai đa giác bằng nhau (tam giác, tứ giác, . . . ). Các mặt bên của lăng trụ là các hình bình
hành vì có hai cạnh là hai cạnh bên của hình lăng trụ, hai cạnh còn lại thuộc hai đáy song song. Chọn đáp án C
Câu 17. Trong các mệnh đều sau, mệnh đề nào sai?
A. Các cạnh bên của hình lăng trụ bằng nhau và song song với nhau.
B. Các mặt bên của hình lăng trụ là các hình bình hành.
C. Các mặt bên của hình lăng trụ là các hình bình hành bằng nhau.
D. Hai đáy của hình lăng trụ là hai đa giác bằng nhau. -Lời giải.
Các mặt bên của hình lăng trụ là các hình hình hành, chúng bằng nhau nếu hình lăng trụ có đáy là tam giác đều. Chọn đáp án C
Câu 18. Trong các mệnh đều sau, mệnh đề nào đúng?
A. Các cạnh bên của hình chóp cụt đôi một song song.
B. Các cạnh bên của hình chóp cụt là các hình thang.
C. Hai đáy của hình chóp cụt là hai đa giác đồng dạng.
D. Cả 3 mệnh đề trên đều sai. -Lời giải.
Xét hình chóp cụt có đáy là đa giác (tam giác, tứ giác, . . . ) ta thấy rằng: Các cạnh bên của hình chóp cụt
đôi một cắt nhau. Các mặt bên của hình chóp cụt là các hình thang cân. Hai đáy của hình chóp cụt là hai đa giác đồng dạng. Chọn đáp án C
Câu 19. Trong các mệnh đều sau, mệnh đề nào sai?
A. Trong hình chóp cụt thì hai đáy là hai đa giác có các cạnh tương ứng song song và các tỉ số các cặp
cạnh tương ứng bằng nhau.
B. Các mặt bên của hình chóp cụt là các hình thang.
C. Các mặt bên của hình chóp cụt là các hình thang cân.
D. Đường thẳng chứa các cạnh bên của hình chóp cụt đồng quy tại một điểm. -Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 110
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Với hình chóp cụt, các mặt bên của hình chóp cụt là các hình thang. Chọn đáp án C
Câu 20. Cho hình lăng trụ ABC.A0B0C0. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BB0 và CC0. Gọi ∆ là giao
tuyến của hai mặt phẳng (AM N ) và (A0B0C0) . Khẳng định nào sau đây đúng? A. ∆ k AB. B. ∆ k AC. C. ∆ k BC. D. ∆ k AA0. -Lời giải. M N ⊂ (AM N )   Ta có B0C0 ⊂ A0B0C0 −
→ ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng A0 C0  M N k B0C0
(AM N ) và (A0B0C0) sẽ song song với M N và B0C0. Suy ra ∆ k BC. ∆ B0 N M A C B Chọn đáp án C
Câu 21. Cho hình lăng trụ ABC.A0B0C0. Gọi H là trung điểm của A0B0. Đường thẳng B0C song song với mặt phẳng nào sau đây? A. (AHC0). B. (AA0H). C. (HAB). D. (HA0C). -Lời giải.
Gọi M là trung điểm của AB suy ra M B0 k AH A C ⇒ M B0 k (AHC0) . (1) M
Vì M H là đường trung bình của hình bình hành ABB0A0 suy ra M H
song song và bằng BB0 nên M H song song và bằng CC0
⇒ M HC0C là hình hình hành ⇒ M C k HC0 ⇒ M C k (AHC0) . (2) B
Từ (1) và (2), suy ra (B0M C) k (AHC0) ⇒ B0C k (AHC0) . A0 C0 H B0 Chọn đáp án A
Câu 22. Cho hình lăng trụ ABC.A0B0C0. Gọi H là trung điểm của A0B0. Mặt phẳng (AHC0) song song
với đường thẳng nào sau đây? A. CB0. B. BB0. C. BC. D. BA0. -Lời giải.
Gọi M là trung điểm của AB suy ra M B0 k AH ⇒ M B0 k (AHC0) . A C (1) M
Vì M H là đường trung bình của hình bình hành ABB0A0 suy ra M H
song song và bằng BB0 nên M H song song và bằng CC0
⇒ M HC0C là hình hình hành ⇒ M C k HC0 ⇒ M C k (AHC0) . (2) B
Từ (1) và (2), suy ra (B0M C) k (AHC0) ⇒ B0C k (AHC0) . A0 C0 H B0 Chọn đáp án A
Câu 23. Cho hình lăng trụ ABC.A1B1C1. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? A. (ABC) k (A1B1C1). B. AA1 k (BCC1). Th.s Nguyễn Chín Em 111
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11 C. AB k (A1B1C1).
D. AA1B1B là hình chữ nhật. -Lời giải.
Vì mặt bên AA1B1B là hình bình hành, còn nó là hình chữ nhật nếu ABC.A1B1C1 là hình lăng trụ đứng. Chọn đáp án D
Câu 24. Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0. Khẳng định nào dưới đây là sai? A. ABCD là hình bình hành.
B. Các đường thẳng A0C, AC0, DB0, D0B đồng quy. C. (ADD0A0) k (BCC0B0).
D. AD0CB là hình chữ nhật. -Lời giải.
Dựa vào hình vẽ và tính chất của hình hộp chữ nhật, ta thấy B C rằng:
Hình hộp có đáy ABCD là hình bình hành. A D
Các đường thẳng A0C, AC0, DB0, D0B cắt nhau tại tâm của AA0C0C, BDD0B0. B0 C0
Hai mặt bên (ADD0A0) , (BCC0B0) đối diện và song song với nhau.
AD0 và CB là hai đường thẳng chéo nhau suy ra AD0CB A0 D0
không phải là hình chữ nhật. Chọn đáp án D
Câu 25. Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0 có các cạnh bên AA0, BB0, CC0, DD0. Khẳng định nào dưới đây sai? A. (AA0B0B) k (DD0C0C). B. (BA0D0) k (ADC0).
C. A0B0CD là hình bình hành.
D. BB0D0D là một tứ giác. -Lời giải.
Dựa vào hình vẽ dưới và tính chất của hình hộp, ta thấy rằng: B C
Hai mặt bên (AA0B0B) và (DD0C0C) đối diện, song song với nhau. A D
Hình hộp có hai đáy (ABCD) , (A0B0C0D0) là hình bình
hành ⇒ A0B0 = CD và A0B0 k CD suy ra A0B0CD là hình hình hành. B0 C0
BD k B0D0 suy ra B, B0, D0, D đồng phẳng ⇒ BB0D0D là tứ giác. A0 D0
Mặt phẳng (BA0D0) chứa đường thẳng CD0 mà CD0 cắt
C0D suy ra (BA0D0) không song song với mặt phẳng (ADC0) . Chọn đáp án B
Câu 26. Nếu thiết diện của một lăng trụ tam giác và một mặt phẳng là một đa giác thì đa giác đó có nhiều nhất mấy cạnh? A. 3 cạnh. B. 4 cạnh. C. 5 cạnh. D. 6 cạnh. -Lời giải.
Đa giác thiết diện của một lăng trụ tam giác và một mặt phẳng có nhiều nhất 5 cạnh với các cạnh thuộc
các mặt của hình lăng trụ tam giác. Chọn đáp án C
Câu 27. Nếu thiết diện của một hình hộp và một mặt phẳng là một đa giác thì đa giác đó có nhiều nhất mấy cạnh? A. 4 cạnh. B. 5 cạnh. C. 6 cạnh. D. 7 cạnh. -Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 112
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Vì hình hộp là hình lăng trụ có đáy là tứ giác và có 6 mặt nên thiết diện của hình hộp và mặt phẳng bất
kì là một đa giác có nhiều nhất 6 cạnh. Chọn đáp án C
Câu 28. Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0. Gọi I là trung điểm của AB. Mặt phẳng (IB0D0) cắt hình hộp
theo thiết diện là hình gì? A. Tam giác. B. Hình thang. C. Hình bình hành. D. Hình chữ nhật. -Lời giải. B0D0 ⊂ IB0D0   Ta có BD ⊂ (ABCD) −
→ Giao tuyến của (IB0D0) với (ABCD) A0 D0 M  B0D0 k BD I
là đường thẳng d đi qua I và song song với BD. Trong mặt phẳng B0 C0 (ABCD), gọi M = d ∩ AD −
→ IM k BD k B0D0. Khi đó thiết diện
là tứ giác IM B0D0 và tứ giác này là hình thang. A D B C Chọn đáp án B
Câu 29. Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0. Gọi (α) là mặt phẳng đi qua một cạnh của hình hộp và cắt hình
hộp theo thiết diện là một tứ giác T . Khẳng định nào sau đây đúng? A. T là hình chữ nhật. B. T là hình bình hành. C. T là hình thoi. D. T là hình vuông. -Lời giải.
Giả sử mặt phẳng (α) đi qua cạnh AB và cắt hình hộp theo tứ B C
giác T. Gọi d là đường thẳng giao tuyến của (α) và mặt phẳng
(A0B0C0D0) . Ta chứng minh được AB k d suy ra tứ giác T là một hình bình hành. A D B0 C0 A0 D0 d Chọn đáp án B AB 1
Câu 30. Cho hình chóp cụt tam giác ABC.A0B0C0 có 2 đáy là 2 tam giác vuông tại A và A0 và có = . A0B0 2 S∆ABC
Khi đó tỉ số diện tích bằng S∆A0B0C0 1 1 A. . B. . C. 2. D. 4. 2 4 -Lời giải.
Hình chóp cụt ABC.A0B0C0 có hai mặt đáy là hai mặt phẳng song song A C S∆ABC
nên tam giác ABC đồng dạng tam giác A0B0C0 suy ra = S∆A0B0C0 1 · AB · AC B 2 AB AC 1 = · = . 1 A0B0 A0C0 4 · A0B0 · A0C0 2 A0 C0 B0 Chọn đáp án B
Câu 31. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hình lăng trụ đứng có đáy là một đa giác đều là hình lăng trụ đều.
B. Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ đều. Th.s Nguyễn Chín Em 113
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
C. Hình lăng trụ có đáy là một đa giác đều là hình lăng trụ đều.
D. Hình lăng trụ tứ giác đều là hình lập phương. -Lời giải.
Hình lăng trụ đứng có đáy là một đa giác đều là hình lăng trụ đều. Chọn đáp án A
Câu 32. Xét các mệnh đề sau
(1) Hình hộp là một hình lăng trụ;
(2) Hình lập phương là hình hộp đứng có đáy là hình vuông;
(3) Hình hộp có các mặt đối diện bằng nhau;
(4) Hình lăng trụ có các mặt bên là hình bình hành;
(5) Hình lăng trụ có tất cả các mặt bên bằng nhau.
Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là A. 2 . B. 4. C. 5. D. 3. -Lời giải.
Các mệnh đề (1), (3) và (4) đúng. Chọn đáp án D M A
Câu 33. Cho tứ diện ABCD. Trên các cạnh AD, BC theo thứ tự lấy các điểm M , N sao cho = AD N C 1 =
. Gọi (P ) là mặt phẳng chứa đường thẳng M N và song song với CD. Khi đó thiết diện của tứ CB 3
diện ABCD cắt bởi mặt phẳng (P ) là A. một hình bình hành.
B. một hình thang với đáy lớn gấp 2 lần đáy nhỏ.
C. một hình thang với đáy lớn gấp 3 lần đáy nhỏ. D. một tam giác. -Lời Qua giải.
M , kẻ đường thẳng song song với CD cắt AC tại E. A
Qua N , kẻ đường thẳng song song với CD cắt BD tại F .
Khi đó M E k N F k CD và (P ) ≡ (M EN F ). M  N F BN 2  = =  E Ta có CD BC 3 ⇒ NF = 2ME. M E AM 1   = = CD AD 3
Vậy thiết diện của ABCD cắt bởi (P ) là hình thang M EN F , trong đó đáy B D
lớn N F gấp 2 lần đáy nhỏ M E. F N C Chọn đáp án B
Câu 34. Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0. Gọi I là trung điểm của AB. Mặt phẳng (IB0D0) cắt hình hộp theo thiết diện là A. hình bình hành. B. hình thang. C. hình chữ nhật. D. tam giác. -Lời giải. B0D0 ⊂ (IB0D0)   Ta có
BD ⊂ (ABCD) nên giao tuyến của (IB0D0) với (ABCD) là đường  BD k B0D0 A0 B0
thẳng IE qua I và song song với BD (E ∈ AD).
Vì IE k B0D0 nên thiết diện là hình thang IED0B0. D0 C0 A B I E D C Chọn đáp án B Câu 35. Th.s Nguyễn Chín Em 114
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Cho hình lập phương ABCD.A0B0C0D0 cạnh a. Xét tứ diện A0 D0
AB0CD0. Cắt tứ diện đó bằng mặt phẳng đi qua tâm của
hình lập phương và song song với mặt phẳng (ABC). Tính
diện tích của thiết diện thu được. B0 C0 D A B C a2 2a2 a2 3a2 A. . B. . C. . D. . 3 3 2 4 -Lời giải.
Gọi I là tâm của hình lập phương ⇒ I là trung điểm của A0 D0 AC0.
Gọi (P ) là mặt phẳng qua I và song song với (ABC). Khi đó
(P ) cắt các đường thẳng AB0, B0C, CD0, AD0 lần lượt tại B0 C0
các trung điểm M , N , P , Q. √ Q 1 a 2 Khi đó M N = P Q = AC = và M I P 2 √ 2 1 a 2 N N P = M Q = B0D0 = . 2 2 D
Do đó, thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng đi qua tâm A
của hình lập phương và song song với mặt phẳng (ABC) là √ a 2 B C
hình thoi M N P Q cạnh bằng . 2
Mặt khác N Q = M P = BC = a. 1 a2
Diện tích hình thoi M N P Q là S = N Q · M P = . 2 2 Chọn đáp án C
Câu 36. Cho bốn mệnh đề sau
(1) Nếu hai mặt phẳng (α) và (β) song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (α) đều song song với (β).
(2) Hai đường thẳng nằm trên hai mặt phẳng song song thì song song với nhau.
(3) Trong không gian hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau.
(4) Tồn tại hai đường thẳng song song mà mỗi đường thẳng cắt đồng thời hai đường thẳng chéo nhau cho trước.
Trong các mệnh đề trên có bao nhiêu mệnh đề sai? A. 4. B. 3. C. 2. D. 1. -Lời giải.
Mệnh đề (1) là mệnh đề đúng.
Mệnh đề (2) là mệnh đề sai vì hai đường thẳng đó có thể chéo nhau.
Mệnh đề (3) là mệnh đề sai vì hai đường thẳng song song cũng không có điểm chung.
Mệnh đề (4) là mệnh đề sai vì nếu tồn tại hai đường thẳng như trên thì cả 4 đường thẳng này đồng
phẳng (mâu thuẫn với giả thiết). Vậy có 3 mệnh đề sai. Chọn đáp án B Th.s Nguyễn Chín Em 115
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Câu 37. Một hình lăng trụ có đúng 11 cạnh bên thì hình lăng trụ đó có tất cả bao nhiêu cạnh? A. 31. B. 30. C. 22. D. 33. -Lời giải.
Hình lăng trụ có đúng 11 cạnh bên suy ra đáy là đa giác có 11 đỉnh ⇒ đa giác đáy có 11 cạnh.
Vậy hình lăng trụ có đúng 11 cạnh bên thì có 11 + 11 · 2 = 33 cạnh. Chọn đáp án D
Câu 38. Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau A. (ABB0A0) k (CC0D0D).
B. Diện tích hai mặt bên bất kì bằng nhau. C. AA0 k CC0.
D. Hai mặt phẳng đáy song song với nhau. -Lời giải.
Mệnh đề sai là “Diện tích hai mặt bên bất kì bằng nhau”. Chọn đáp án B
Câu 39. Cho hình lăng trụ ABC.A0B0C0, gọi I, J, K lần lượt là trọng tâm 4ABC, 4ACC0 và 4AB0C0.
Mặt phẳng nào sau đây song song với (IJ K)? A. (BC0A). B. (AA0B). C. (BB0C). D. (CC0A). -Lời giải.
Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm BC, CC0 và B0C0. A0 C0 AK AJ AI 2 Ta có = = = . AP AN AM 3 P
Suy ra (IJ K) k (M N P ) hay (IJ K) k (BB0C). K N B0 J A C I M B Chọn đáp án C
Câu 40. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều. Gọi M là điểm trên
cạnh AD sao cho AM = x, x ∈ (0; a). Mặt phẳng (α) đi qua M và song song với (SAB) lần lượt cắt các √ 2a2 3
cạnh CB, CS, SD tại N, P, Q. Tìm x để diện tích M N P Q bằng . 9 2a a a a A. . B. . C. . D. . 3 4 2 3 -Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 116
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11 (α) k (SAB)   Ta có
(SAB) ∩ (SAD) = SA ⇒ (α) ∩ (SAD) = M Q k SA S E  M ∈ (α) ∩ (SAD) với Q ∈ SD. (α) k (SAB)   Q
(SAB) ∩ (ABCD) = AB ⇒ (α) ∩ (ABCD) = M N k AB  P M ∈ (α) ∩ (ABCD) với N ∈ BC. (α) k (SAB)  
(SAB) ∩ (SCB) = SB ⇒ (α) ∩ (SBC) = N P k SB với  N ∈ (α) ∩ (SBC) P ∈ SC. A D M B N C
Suy ra thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng (α) là tứ giác M N P Q. (α) ∩ (SCD) = P Q    (SC D) ∩ (ABC D) = C D Ta có
⇒ P Q, M N, CD đôi một song song. Khi đó M N P Q là hình thang với (ABCD) ∩ (α) = M N    CD k M N đáy lớn CD. M N k AB   Hơn nữa ta có P N k SB ⇒ ÷ M N P = ’ ABS = 60◦ và ÷ N M Q = ’ BAS = 60◦.  M Q k SA
Do dó tứ giác M N P Q là hình thang cân. P Q SQ AM Ta có = = ⇒ P Q = AM = x. CD SD AD
Suy ra ∆EM N đều cạnh a và ∆EP Q là tam giác đều cạnh x. Khi đó √ √ a2 3 x2 3
SMNP Q = S∆EMN − S∆EP Q = − . 4 4 √ √ √ √ 2a2 3 a2 3 x2 3 2a2 3 a Theo giả thiết SMNP Q = ⇔ − = ⇔ x = . 9 4 4 9 3 a
Vậy giá trị x cần tìm là . 3 Chọn đáp án D
Câu 41. Cho hai mặt phẳng (P ) và (Q) song song với nhau. Mệnh đề nào sau đây sai?
A. Đường thẳng d ⊂ (P ) và d0 ⊂ (Q) thì d k d0.
B. Mọi đường thẳng đi qua điểm A ∈ (P ) và song song với (Q) đều nằm trong (P ).
C. Nếu đường thẳng ∆ cắt (P ) thì ∆ cũng cắt (Q).
D. Nếu đường thẳng a ⊂ (Q) thì a k (P ). -Lời giải.
Đường thẳng d ⊂ (P ) và d0 ⊂ (Q) thì d và d0 song song hoặc chéo nhau.
Mọi đường thẳng đi qua điểm A ∈ (P ) và song song với (Q) đều nằm trong (P ) là mệnh đề đúng.
Nếu đường thẳng ∆ cắt (P ) thì ∆ cũng cắt (Q) đúng (tính chất 2 mặt phẳng song song).
Nếu đường thẳng a ⊂ (Q) thì a k (P ) là mệnh đề đúng. Chọn đáp án A
Câu 42. Cho đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (α) và đường thẳng b nằm trong mặt phẳng (β). Mệnh đề nào sau đây sai? A. (α) k (β) ⇒ a k b. B. (α) k (β) ⇒ a k (β). C. (α) k (β) ⇒ b k (α).
D. a và b hoặc song song hoặc chéo nhau. -Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 117
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Nếu (α) k (β) thì ngoài trường hợp a k b thì a và b có thể chéo nhau. Chọn đáp án A
Câu 43. Lăng trụ tam giác có bao nhiêu mặt? A. 6. B. 3. C. 9. D. 5. -Lời giải. Theo lý thuyết. Chọn đáp án D
Câu 44. Cho lăng trụ ABC.A0B0C0. Gọi G, G0 lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC, A0B0C0. M là
điểm trên cạnh AC sao cho AM = 2M C. Mệnh đề nào sau đây sai? A. GG0 k (ACC0A0). B. GG0 k (ABB0A0).
C. Đường thẳng M G0 cắt mặt phẳng (BCC0B0). D. (M GG0) k (BCC0B0). -Lời giải.
Vì G, G0 lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC, A0B0C0 nên ta có GG0 k A0 C0
(ACC0A0), GG0 k (ABB0A0), GG0 k (BCC0B0). G0 AG AM
Gọi N là trung điểm BC, ta có = = 2 nên suy ra M G k CN ⇒ GN M C M G k (BCC0B0). B0
Từ GG0 k (BCC0B0) và M G k (BCC0B0) ta có (M GG0) k (BCC0B0). Do vậy M G0 k (BCC0B0).
Vậy, mệnh đề sai là: “Đường thẳng M G0 cắt mặt phẳng (BCC0B0)”. A M C G N B Chọn đáp án C
Câu 45. Cho lăng trụ ABC.A0B0C0. Gọi G, G0 lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và A0B0C0, M là
điểm trên cạnh AC sao cho AM = 2M C. Mệnh đề nào sau đây sai? A. GG0 k (ACC0A0). B. GG0 k (ABB0A0).
C. Đường thẳng M G0 cắt mặt phẳng (BCC0B0). D. (M GG0) k (BCC0B0). -Lời giải.
Ta có GG0 k AA0 và M G k BC nên A0 C0 G0 N 0
GG0 k (ACC0A0) là mệnh đề đúng, B0
GG0 k (ABB0A0) là mệnh đề đúng,
(M GG0) k (BCC0B0)là mệnh đề đúng,
Đường thẳng M G0 cắt mặt phẳng (BCC0B0) là mệnh đề sai. M A C G N B Chọn đáp án C
Câu 46. Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0. Gọi M là trung điểm của AB, mặt phẳng (M A0C0) cắt cạnh BC M N tại N . Tính tỉ số k = . A0C0 1 1 2 A. k = . B. k = . C. k = . D. k = 1. 2 3 3 -Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 118
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Ba mặt phẳng phân biệt (ABCD), (ACC0A0), (M A0C0) đôi một cắt A0 D0
nhau theo ba giao tuyến AC, A0C0 và M N . Theo tính chất hình hộp
ta có AC k A0C0 nên M N k AC k A0C0.
Lại có M là trung điểm của AB nên M N là đường trung bình trong B0 C0 tam giác ABC. 1 1 M N 1 Vì vậy M N = AC = A0C0 ⇒ k = = . 2 2 A0C0 2 A D M B N C Chọn đáp án A
Câu 47. Cho ba mặt phẳng (α), (β), (γ) đôi một song song. Hai đường thẳng d, d0 lần lượt cắt ba mặt
phẳng này tại A, B, C và A0, B0, C0 (B nằm giữa A và C, B0 nằm giữa A0 và C0). Giả sử AB = 5, BC = 4,
A0C0 = 8. Tính độ dài hai đoạn thẳng A0B0, B0C0. A. A0B0 = 10, B0C0 = 8. B. A0B0 = 8, B0C0 = 10. C. A0B0 = 12, B0C0 = 6. D. A0B0 = 6, B0C0 = 12. -Lời giải. AB BC AB + BC AC Ta có = = = ⇒ A0B0 = 10, B0C0 = 8. A0B0 B0C0 A0B0 + B0C0 A0C0 Chọn đáp án A
Câu 48. Trong không gian, cho các mệnh đề sau
I. Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau.
II. Hai mặt phẳng phân biệt chứa hai đường thẳng song song cắt nhau theo giao tuyến song song với hai đường thẳng đó.
III. Nếu đường thẳng a song song với đường thẳng b, đường thẳng b nằm trên mặt phẳng (P ) thì a song song với (P ).
IV. Qua điểm A không thuộc mặt phẳng (α), kẻ được đúng một đường thẳng song song với (α). Số mệnh đề đúng là A. 2. B. 0. C. 1. D. 3. -Lời giải.
Xét từng mệnh đề ta có
I. “Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau” là mệnh đề
sai, vì hai đường thẳng có thể chéo nhau.
II. “Hai mặt phẳng phân biệt chứa hai đường thẳng song song cắt nhau theo giao tuyến song song với hai
đường thẳng đó” là mệnh đề sai, vì hai mặt phẳng đó có thể song song nhau.
III. “Nếu đường thẳng a song song với đường thẳng b, đường thẳng b nằm trên mặt phẳng (P ) thì a song
song với (P )” là mệnh đề sai, vì đường thẳng a vẫn có thể nằm trong mặt phẳng (P ).
IV. “Qua điểm A không thuộc mặt phẳng (α), kẻ được đúng một đường thẳng song song với (α)” là mệnh
đề sai, vì có vô số đường thẳng đi qua điểm A và song song với (α).
Vậy không có mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề nêu trên. Chọn đáp án B
Câu 49. Cho hình chóp S.ABCD với đáy là hình thang ABCD, AD k BC, AD = 2BC. Gọi E là trung
điểm AD và O là giao điểm của AC và BE, I là một điểm thuộc đoạn OC (I khác O và C). Mặt phẳng
(α) qua I song song với (SBE) cắt hình chóp S.ABCD theo một thiết diện là A. Một hình tam giác. B. Một hình thang.
C. Một tứ giác không phải là một hình thang và không phải là hình bình hành. Th.s Nguyễn Chín Em 119
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11 D. Một hình bình hành. -Lời giải. (α) k (SBE)   Ta có (SBE) ∩ (ABCD) = BE S  (α) ∩ (ABCD) = Ix ⇒ Ix k BE
⇒ Ix cắt BC tại M , AD tại Q. (α) k (SBE)   Ta có (α) ∩ (SBC) = M x P  (SBE) ∩ (SBC) = SB
⇒ M x k SB ⇒ M x cắt SC tại N . N (α) k (SBE)   A E Q Ta có (α) ∩ (SAD) = Qx D  (SBE) ∩ (SAD) = SE O
⇒ Qx k SE ⇒ Qx cắt SD tại P . I B M C
Tứ giác BCDE là hình bình hành ⇒ CD k BE k M Q ⇒ CD k (α). CD k (α)   Ta có CD ⊂ (SCD)  (SCD) ∩ (α) = P N ⇒ CD k P N ⇒ M Q k P N
Vậy thiết diện tạo bởi mặt phẳng (α) với hình chóp S.ABCD là hình thang M N P Q. Chọn đáp án B
Câu 50. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một hình bình hành. Gọi A0, B0, C0, D0 lần lượt là trung điểm
của các cạnh SA, SB, SC, SD. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau. A. A0B0 k (SBD). B. A0B0 k (SAD). C. (A0C0D0) k (ABC). D. A0C0 k BD. -Lời giải.
Ta có A0C0 k AC ⇒ (A0C0D0) k (ABC). S A0 D0 B0 C0 A D B C Chọn đáp án C
Câu 51. Cho hình lập phương ABCD.A0B0C0D0 cạnh a. Gọi M là trung điểm của AB, N là tâm hình vuông
AA0D0D. Tính diện tích thiết diện của hình lập phương ABCD.A0B0C0D0 tạo bởi mặt phẳng (CM N ). √ √ √ a2 14 3a2 14 3a2 a2 14 A. . B. . C. . D. . 4 2 4 2 -Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 120
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11 D0 C0 Q E A0 B0 F N C D P A M B
Thiết diện như hình vẽ. Tứ giác CQP M là hình thang có √ √ √ √ a 5 a 13 a 10 a 13 CM = , P M = , P Q = , CQ = . 2 6 √ 3 √ 3 a 10 a 13 Suy ra M F = P Q = , CF = P M = 3 6 Ta có SCMP Q = 3SCMF . CM + M F + F C
SCMF = pp(p − CM )(p − CF )(p − M F ) với p =
. Thay giá trị các cạnh ta có SCMF = √ 2 … 7 a2 14 a2 ⇒ SCMP Q = . 72 4 Chọn đáp án A
Câu 52. Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai? A. (BA0C0) k (ACD0). B. (ADD0A0) k (BCC0B0). C. (BA0D) k (CB0D0). D. (ABA0) k (CB0D0). -Lời giải. Ta có
®BA0 k CD0 ⇒ (BA0C0) k (ACD0). A0C0 k AC D0 C0
®AD k BC ⇒ (ADD0A0) k (BCC0B0). AA0 k BB0 A0 B0
®BD k B0D0 ⇒ (BA0D) k (CB0D0). A0D k B0C D C A B
Mặt khác B0 ∈ (ABA0) ∩ (CB0D0) ⇒ (ABA0) k (CB0D0) là mệnh đề sai. Chọn đáp án D
Câu 53. Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0. Mệnh đề nào sau đây là sai? A. (ABCD) k (A0B0C0D0). B. (AA0D0D) k (BCC0B0). C. (BDD0B0) k (ACC0A0). D. (ABB0A0) k (CDD0C0). -Lời giải. (ABCD) k (A0B0C0D0)   Ta thấy
(AA0D0D) k (BCC0B0) luôn đúng. A0 D0  (ABB0A0) k (CDD0C0)
và hai mặt phẳng (BDD0B0), (ACC0A0) là cắt nhau. C0 B0 A D B C Th.s Nguyễn Chín Em 121
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11 Chọn đáp án C
Câu 54. Cho đường thẳng a thuộc mặt phẳng (P ) và đường thẳng b thuộc mặt phẳng (Q). Mệnh đề nào sau đây đúng? A. a k b ⇒ (P ) k (Q). B. (P ) k (Q) ⇒ a k b.
C. (P ) k (Q) ⇒ a k (Q) và b k (P ). D. a và b chéo nhau. -Lời giải.
(P ) k (Q) suy ra (P ) và (Q) không có điểm chung. Mặt khác a ∈ (P ) nên a và (Q) cũng không có điểm
chung. Suy ra a k (Q). Tương tự ta cũng có b k (P ). Chọn đáp án C
Câu 55. Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0. Mặt phẳng (AB0D0) song song với mặt phẳng nào sau đây? A. (BDA0). B. (A0C0C). C. (BDC0). D. (BCA0). -Lời giải.
Mặt phẳng (AB0D0) song song với mặt phẳng (BDC0).
Thật vậy, ta có AB0 k DC0 và AD0 k BC0, có điều cần chứng minh. B0 C0 A0 D0 B C A D Chọn đáp án C
Câu 56. Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0. Mặt phẳng (AB0D0) song song với mặt phẳng nào sau đây? A. (BA0C0). B. (C0BD). C. (BDA0). D. (ACD0). -Lời giải.
Ta có BDB0D0 là hình bình hành nên BD k B0D0. Tương tự A0 D0 ta có AD0 k BC0.
Từ đó suy ra BD k (AB0D0) và BC0 k (AB0D0). Vậy (AB0D0) k (C0BD) B0 C0 A D B C Chọn đáp án B
Câu 57. Cho tứ diện ABCD có AB = 6, CD = 8. Cắt tứ diện bởi một mặt phẳng song song với AB, CD
để thiết diện thu được là một hình thoi. Cạnh của hình thoi đó bằng 31 18 24 15 A. . B. . C. . D. . 7 7 7 7 -Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 122
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Gọi M, N, P, Q lần lượt là giao điểm của mặt phẳng chứa thiết diện với D
các cạnh AC, BC, BD, AD, khi đó theo giả thiết tứ giác M N P Q là hình thoi.
Cũng từ giả thiết ta suy ra P Q k M N k AB, M Q k N P k CD nên ta có CM M N AM M Q AC − CM M Q Q P = , = ⇒ = AC AB AC CD AC CD CM M N M Q M N ⇔ 1 − = 1 − = = A B AC AB CD CD 1 1 24 ⇒ M N = = = . M N 1 1 1 1 7 + + C AB CD 6 8 24
Vậy cạnh của hình thoi cần tìm là . 7 Chọn đáp án C
Câu 58. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng
(SAD) và (SBC). Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. d qua S và song song với AB.
B. d qua S và song song với BC.
C. d qua S và song song với DC.
D. d qua S và song song với BD. -Lời giải. S ∈ (SAD) ∩ (SBC)    AD ⊂ (SAD) Có BC ⊂ (SBC) S d    AD k BC
⇒ (SAD) ∩ (SBC) = d k AD k BC và d đi qua S. A D B C Chọn đáp án B
Câu 59. Cho tứ diện đều SABC. Gọi I là trung điểm của đoạn AB, M là điểm di động trên đoạn AI.
Qua M vẽ mặt phẳng (α) song song với (SIC). Thiết diện tạo bởi (α) với tứ diện SABC là A. hình thoi. B. tam giác cân tại M . C. tam giác đều. D. hình bình hành. -Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 123
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11 S P N A C M I B
Trong mặt phẳng (SAB), qua M kẻ đường thẳng song song với SI cắt SA tại P .
Trong mặt phẳng (ABC), qua M kẻ đường thẳng song song với IC cắt AC tại N .
Thiết diện là tam giác M N P . Ta có M P M N = ⇒ M P = M N (vì SI = CI). SI CI
Vậy thiết diện là tam giác M N P cân tại M . Chọn đáp án B
Câu 60. Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0 và điểm M nằm giữa hai điểm A và B. Gọi (P ) là mặt phẳng đi
qua M và song song với mặt phẳng (AB0D0). Mặt phẳng (P ) cắt hình hộp theo thiết diện là hình gì? A. Hình ngũ giác. B. Hình lục giác. C. Hình tam giác. D. Hình tứ giác. -Lời giải.
Nhận thấy (BC0D) k (AB0D0) ⇒ (BC0D) k (AB0D0) k (P ). (1) B C
Do (1), ta giả sử (P ) cắt BB0 tại N , suy ra (P )∩(ABB0A0) ≡ M N ,
kết hợp với (AB0D0) ∩ (ABB0A0) ≡ AB0 suy ra M N k AB0, suy ra N thuộc cạnh BB0. M
Tương tự, giả sử (P ) ∩ (B0C0) ≡ P suy ra (P ) ∩ (BCC0B0) ≡ N P . H A D
Kết hợp với (1) suy ra N P k BC0. N
Tương tự, (P ) ∩ (C0D0) ≡ Q sao cho P Q k B0D0; (P ) ∩ DD0 ≡ G
sao cho QG k C0D; (P ) ∩ AD ≡ H sao cho GH k AD0.
Từ đó suy ra thiết diện là lục giác M N P QGH. P G B0 C0 Q D0 A0 Chọn đáp án B
Câu 61. Cho hình lập phương ABCD.A0B0C0D0, AC ∩ BD = O, A0C0 ∩ B0D0 = O0. M, N, P lần lượt là
trung điểm của các cạnh AB, BC, CC0. Khi đó thiết diện do mặt phẳng (M N P ) cắt hình lập phương là hình A. Tam giác. B. Từ giác. C. Ngũ giác. D. Lục giác. -Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 124
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Ta có M N k AC nên (M N P ) ∩ (ACC0A0) = P x k AC k A0 D0 E
M N , gọi Q = P x ∩ AA0, P x ∩ OO0 = I. Mà P là trung điểm H
của CC0 nên Q, I lần lượt là trung điểm của AA0, OO0. F
Xét mặt phẳng (BDD0B0) gọi IJ ∩ B0D0 = H. Theo tính O0 C0
chất đối xứng của hình lập phương và J là trung điểm của B0
BO nên H là trung điểm của D0O0.
(M N P ) k AC k A0C0 nên (M N P ) ∩ (A0B0C0D0) = Hy k Q
A0C0. Gọi E = Hy ∩ A0D0, F = Hy ∩ C0D0. Khi đó thiết diện là lục giác M N P F EQ. I P A D M O J B N C Chọn đáp án D
Câu 62. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A. Trong không gian hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung.
B. Trong không gian hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau.
C. Nếu mặt phẳng (P ) chứa hai đường thẳng cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P ) và (Q) song song với nhau.
D. Trong không gian hình biểu diễn của một góc thì phải là một góc bằng nó. -Lời giải.
Hai đường thẳng chéo nhau là hai đường thẳng không cùng nằm trong một mặt phẳng. Do đó mệnh đề
"Trong không gian hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung" đúng. Chọn đáp án A
Câu 63. Cho tứ diện ABCD. Điểm M thuộc đoạn AC (M khác A, M khác C). Mặt phẳng (α) đi qua M
và song song với AB và AD. Thiết diện của (α) với tứ diện ABCD là hình gì? A. Hình tam giác. B. Hình bình hành. C. Hình vuông. D. Hình chữ nhật. -Lời giải.
Trong mặt phẳng (ACD) kẻ M N k AD, N ∈ CD. A
Trong mặt phẳng (ABC) kẻ M P k AB, P ∈ BC.
Từ đó suy ra (α) ≡ (M N P ). Mà thiết diện của (M N P ) và tứ diện ABCD là tam giác M N P . M B D P N C Chọn đáp án A
Câu 64. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M , N , P theo thứ tự là
trung điểm của SA, SD và AB. Khẳng định nào sau đây đúng? A. (N OM ) cắt (OP M ). B. (M ON ) k (SBC).
C. (P ON ) ∩ (M N P ) = N P . D. (N M P ) k (SBD). -Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 125
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11 S ®M N k AD
(đường trung bình 4SAD) ⇒ MN k OP k AD (đường trung bình 4BAD)
OP ⇒ O, N, M, P cùng nằm trong một mặt phẳng. M N ®M N k AD k BC ⊂ (SBC) OM k SC ⊂ (SBC) ⇒ (OM N ) k (SBC). A D P O B C Chọn đáp án B
Câu 65. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a và G là trọng tâm tam giác ABC. Cắt tứ diện bởi mặt phẳng
(P ) qua G và song song với mặt phẳng (BCD) thì diện tích thiết diện bằng bao nhiêu? √ √ √ √ a2 3 a2 3 a2 3 a2 3 A. . B. . C. . D. . 4 18 16 9 -Lời giải.
Trong mặt phẳng (ABC) kẻ đường thẳng qua G và song song
với BC cắt AC, AB lần lượt tại H, K. A
Trong mặt phẳng (ACD) kẻ đường thẳng qua H và song song với CD cắt AD tại I.
Thiết diện cần tìm là KHI. 2
∆KHI v ∆BCD theo tỉ số đồng dạng bằng . √ √ 3 K I 4 4 a2 3 3a2 Do đó SKHI = SBCD = = . 9 9 4 9 G B D H C Chọn đáp án D
Câu 66. Cho tứ diện đều SABC. Gọi I là trung điểm của cạnh AB, M là điểm di động trên đoạn thẳng
AI. Gọi (α) là mặt phẳng đi qua điểm M đồng thời song song với mặt phẳng (SIC). Thiết diện của tứ diện
SABC cắt bởi mặt phẳng (α) là A. một hình thoi.
B. một tam giác cân tại M . C. một tam giác đều. D. một hình bình hành. -Lời giải.
Qua M kẻ đường thẳng song song với SI cắt SA tại P . S
Qua M kẻ đường thẳng song song với IC cắt AC tại N .
Thiết diện của S.ABC cắt bởi (α) là tam giác M N P . M P AM M N AN N P Ta có = = = = , P SI AI CI AC SC Suy ra 4M N P v 4ICS.
Mà 4ICS cân tại S (không đều) nên tam giác M N P cân tại M và cũng không đều. N A C M I B Chọn đáp án B Th.s Nguyễn Chín Em 126
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Câu 67. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD, AB//CD, AB = 2CD. M là điểm thuộc
cạnh AD, (α) là mặt phẳng qua M và song song với mặt phẳng (SAB). Biết diện tích thiết diện của hình 2 M A
chóp cắt bởi mặt phẳng (α) bằng
diện tích tam giác SAB. Tính tỉ số x = . 3 M D 1 3 2 A. x = . B. x = 1. C. x = . D. x = . 2 2 3 -Lời giải. S Q P A B K M H N D C (α) k (SAB)   Ta có (ABCD) ∩ (SAB) = AB
suy ra giao tuyến của (α) và (ABCD) là đường thẳng qua M và  M ∈ (α) ∩ (ABCD)
song song AB, đường thẳng này cắt BC tại N . Tương tự giao tuyến của (α) và (SBC) là đường thẳng qua
N song song SB cắt SC tại P , giao tuyến của (α) và (SCD) là đường thẳng qua P song song CD cắt SD
tại Q. Thiết diện của S.ABCD khi cắt bởi (α) là hình thang M N P Q. P Q SQ AM x ax Đặt CD = a, ta có = = = ⇔ P Q = . CD SD AD x + 1 x + 1 x 1 a(x + 2)
Trong hình thang ABCD ta có M N = CD + AB = . x + 1 x + 1 x + 1
Gọi K là hình chiếu của S lên AB, H là giao của M N và CK, khi đó P H k SK và do đó P H⊥M N , P H CH DM 1 thêm nữa = = = SK CK DA x + 1 SMNP Q (P Q + M N )P H 1 1 2 1 Ta có = = . Theo giả thiết = ⇔ x = . SABC SK · AB x + 1 x + 1 3 2 Chọn đáp án A
Câu 68. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD)
và (SBC). Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. d đi qua S và song song với BD.
B. d đi qua S và song song với BC.
C. d đi qua S và song song với AB.
D. d đi qua S và song song với DC. -Lời giải. S ∈ (SAD) ∩ (SBC)   Vì AD ⊂ (SAD), BC ⊂ (SBC) S d  AD k BC
nên d = (SAD) ∩ (SBC) là đường thẳng qua S và song song với BC. B C A D Chọn đáp án B
Câu 69. Cho tứ diện ABCD. Gọi G1, G2, G3 lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC, ACD, ABD. Phát biểu nào sau đây đúng? A. (G1G2G3) cắt (BCD). B. (G1G2G3) k (BCD). Th.s Nguyễn Chín Em 127
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11 C. (G1G2G3) k (BCA).
D. (G1G2G3) không có điểm chung (ACD). -Lời giải.
Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CD, BD. SG1 SG2 SG3 2 A Khi đó: = = = SM SN SP 3
⇒ G1G2 k M N, ⇒ G1G3 k M P. Suy ra (G1G2G3) k (BCD). G3 G1 G2 B D P N M C Chọn đáp án B
Câu 70. Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây.
A. Hai mặt phẳng phân biệt không song song thì cắt nhau.
B. Nếu hai mặt phẳng song song thì mọi đường thẳng nằm trên mặt phẳng này đều song song với mọi
đường thẳng nằm trên mặt phẳng kia.
C. Nếu hai mặt phẳng (P ) và (Q) lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì song song với nhau.
D. Hai mặt phẳng cùng song song với một đường thẳng thì song song với nhau. -Lời giải.
Hai mặt phẳng có ba vị trí tương đối là : song song, cắt nhau, trùng nhau.
Do đó, hai mặt phẳng phân biệt không song song thì cắt nhau. Chọn đáp án A
Câu 71. Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0. Gọi M , N theo thứ tự là trung điểm AB0, BC. Mặt phẳng
(DM N ) cắt hình hộp theo một thiết diện hình A. Lục giác. B. Ngũ giác. C. Tam giác. D. Tứ giác. -Lời giải. A0 D0 G C0 B0 M D F A B N C E
Trong mặt phẳng (ABCD), gọi E là giao điểm của N D và AB.
Trong mặt phẳng ABB0A0, gọi F , G lần lượt là giao điểm của EM với BB0, AA0.
Khi đó mặt phẳng (DM N ) cắt hình hộp theo một thiết diện là tứ giác N F GD. Chọn đáp án D
Câu 72. Khẳng định nào sau đây đúng? Th.s Nguyễn Chín Em 128
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
A. Hình lăng trụ đứng có đáy là một đa giác đều là hình lăng trụ đều.
B. Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ đều.
C. Hình lăng trụ có đáy là một đa giác đều là hình lăng trụ đều.
D. Hình lăng trụ tứ giác đều là hình lập phương. -Lời giải.
Hình lăng trụ đứng có đáy là một đa giác đều là hình lăng trụ đều. Chọn đáp án A
Câu 73. Xét các mệnh đề sau
(1) Hình hộp là một hình lăng trụ;
(2) Hình lập phương là hình hộp đứng có đáy là hình vuông;
(3) Hình hộp có các mặt đối diện bằng nhau;
(4) Hình lăng trụ có các mặt bên là hình bình hành;
(5) Hình lăng trụ có tất cả các mặt bên bằng nhau.
Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là A. 2 . B. 4. C. 5. D. 3. -Lời giải.
Các mệnh đề (1), (3) và (4) đúng. Chọn đáp án D M A
Câu 74. Cho tứ diện ABCD. Trên các cạnh AD, BC theo thứ tự lấy các điểm M , N sao cho = AD N C 1 =
. Gọi (P ) là mặt phẳng chứa đường thẳng M N và song song với CD. Khi đó thiết diện của tứ CB 3
diện ABCD cắt bởi mặt phẳng (P ) là A. một hình bình hành.
B. một hình thang với đáy lớn gấp 2 lần đáy nhỏ.
C. một hình thang với đáy lớn gấp 3 lần đáy nhỏ. D. một tam giác. -Lời Qua giải.
M , kẻ đường thẳng song song với CD cắt AC tại E. A
Qua N , kẻ đường thẳng song song với CD cắt BD tại F .
Khi đó M E k N F k CD và (P ) ≡ (M EN F ). M  N F BN 2  = =  E Ta có CD BC 3 ⇒ NF = 2ME. M E AM 1   = = CD AD 3
Vậy thiết diện của ABCD cắt bởi (P ) là hình thang M EN F , trong đó đáy B D
lớn N F gấp 2 lần đáy nhỏ M E. F N C Chọn đáp án B
Câu 75. Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0. Gọi I là trung điểm của AB. Mặt phẳng (IB0D0) cắt hình hộp theo thiết diện là A. hình bình hành. B. hình thang. C. hình chữ nhật. D. tam giác. -Lời giải. B0D0 ⊂ (IB0D0)   Ta có
BD ⊂ (ABCD) nên giao tuyến của (IB0D0) với (ABCD) là đường  BD k B0D0 A0 B0
thẳng IE qua I và song song với BD (E ∈ AD).
Vì IE k B0D0 nên thiết diện là hình thang IED0B0. D0 C0 A B I E D C Chọn đáp án B Th.s Nguyễn Chín Em 129
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11 Câu 76.
Cho hình lập phương ABCD.A0B0C0D0 cạnh a. Xét tứ diện A0 D0
AB0CD0. Cắt tứ diện đó bằng mặt phẳng đi qua tâm của
hình lập phương và song song với mặt phẳng (ABC). Tính
diện tích của thiết diện thu được. B0 C0 D A B C a2 2a2 a2 3a2 A. . B. . C. . D. . 3 3 2 4 -Lời giải.
Gọi I là tâm của hình lập phương ⇒ I là trung điểm của A0 D0 AC0.
Gọi (P ) là mặt phẳng qua I và song song với (ABC). Khi đó
(P ) cắt các đường thẳng AB0, B0C, CD0, AD0 lần lượt tại B0 C0
các trung điểm M , N , P , Q. √ Q 1 a 2 Khi đó M N = P Q = AC = và M I P 2 √ 2 1 a 2 N N P = M Q = B0D0 = . 2 2 D
Do đó, thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng đi qua tâm A
của hình lập phương và song song với mặt phẳng (ABC) là √ a 2 B C
hình thoi M N P Q cạnh bằng . 2
Mặt khác N Q = M P = BC = a. 1 a2
Diện tích hình thoi M N P Q là S = N Q · M P = . 2 2 Chọn đáp án C
Câu 77. Cho bốn mệnh đề sau
(1) Nếu hai mặt phẳng (α) và (β) song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (α) đều song song với (β).
(2) Hai đường thẳng nằm trên hai mặt phẳng song song thì song song với nhau.
(3) Trong không gian hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau.
(4) Tồn tại hai đường thẳng song song mà mỗi đường thẳng cắt đồng thời hai đường thẳng chéo nhau cho trước.
Trong các mệnh đề trên có bao nhiêu mệnh đề sai? A. 4. B. 3. C. 2. D. 1. -Lời giải.
Mệnh đề (1) là mệnh đề đúng.
Mệnh đề (2) là mệnh đề sai vì hai đường thẳng đó có thể chéo nhau.
Mệnh đề (3) là mệnh đề sai vì hai đường thẳng song song cũng không có điểm chung.
Mệnh đề (4) là mệnh đề sai vì nếu tồn tại hai đường thẳng như trên thì cả 4 đường thẳng này đồng
phẳng (mâu thuẫn với giả thiết). Vậy có 3 mệnh đề sai. Chọn đáp án B Th.s Nguyễn Chín Em 130
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Câu 78. Một hình lăng trụ có đúng 11 cạnh bên thì hình lăng trụ đó có tất cả bao nhiêu cạnh? A. 31. B. 30. C. 22. D. 33. -Lời giải.
Hình lăng trụ có đúng 11 cạnh bên suy ra đáy là đa giác có 11 đỉnh ⇒ đa giác đáy có 11 cạnh.
Vậy hình lăng trụ có đúng 11 cạnh bên thì có 11 + 11 · 2 = 33 cạnh. Chọn đáp án D
Câu 79. Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau A. (ABB0A0) k (CC0D0D).
B. Diện tích hai mặt bên bất kì bằng nhau. C. AA0 k CC0.
D. Hai mặt phẳng đáy song song với nhau. -Lời giải.
Mệnh đề sai là “Diện tích hai mặt bên bất kì bằng nhau”. Chọn đáp án B
Câu 80. Cho hình lăng trụ ABC.A0B0C0, gọi I, J, K lần lượt là trọng tâm 4ABC, 4ACC0 và 4AB0C0.
Mặt phẳng nào sau đây song song với (IJ K)? A. (BC0A). B. (AA0B). C. (BB0C). D. (CC0A). -Lời giải.
Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm BC, CC0 và B0C0. A0 C0 AK AJ AI 2 Ta có = = = . AP AN AM 3 P
Suy ra (IJ K) k (M N P ) hay (IJ K) k (BB0C). K N B0 J A C I M B Chọn đáp án C
Câu 81 (Tác giả: Lê Thị Thu Hằng, Email: lethuhang2712@gmail.com).
Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thang, đáy lớn BC = 2a, AD = a, AB = b. Mặt bên (SAD) là tam
giác đều. Mặt phẳng (α) qua điểm M trên cạnh AB và song song với các cạnh SA, BC. Mặt phẳng (α) cắt
CD, SC, SB lần lượt tại N, P, Q. Đặt x = AM (0 < x < b). Giá trị lớn nhất của diện tích thiết diện tạo bởi
(α) và hình chóp S.ABCD là √ √ √ √ a2 3 a2 3 a2 3 a2 3 A. . B. . C. . D. . 6 12 3 2 -Lời giải.
(α) k SA và BC nên (α) k (SAD)⇒ M Q k SA, N P k SD. S Ta có M N k P Q k AD k BC.
Theo định lý Talét trong hình thang ABCD ta có BM CN = .(1) Q P BA CD
Theo định lý Talét trong 4SAB ta có B C BM BQ M Q = = .(2) BA BS SA M N
Theo định lý Talét trong 4SCD ta có CN CP P N A D = = .(3) CD CS SD Th.s Nguyễn Chín Em 131
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11 b − x x x
Từ (1), (2), (3) suy ra M Q = N P = a; P Q = 2a; M N = a + a. b b b
Suy ra thiết diện là hình thang cân và 1 Å M N − P Q ã2 Std = (M N + P Q) M Q2 − 2 2 √ 1 Å ab + ax 2ax ã a2(b − x)2 a2(b − x)2 1 a(b + 3x) a 3(b − x) = + − = · · 2 b b b2 4b2 2 b 2b √ √ √ a2 3 a2 3 Å 3x + b + 3b − 3x ã2 a 3 = (3x + b)(3b − 3x) ≤ = . 12b2 12b2 2 3 √ a2 3 b
Vậy diện tích lớn nhất của thiết diện là khi x = . 3 3 Chọn đáp án C
Câu 82 (Tác giả: Đặng Duy Hùng). cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0. Trên cạnh AB lấy điểm M khác AM
A và B. Gọi (P ) là mặt phẳng đi qua M và song song với mặt phẳng (ACD0). Đặt = k, 0 < k < 1. AB
Tìm k để thiết diện của hình hộp và mặt phẳng (P ) có diện tích lớn nhất. 1 3 1 2 A. k = . B. k = . C. k = . D. k = . 2 4 4 5 -Lời giải. J A M B N S D K C P A0 B0 R D0 Q C0
Trong mặt phẳng (ABCD), qua M kẻ đường thẳng song song với AC cắt DB, BC lần lượt tại E, N .
Trong mặt phẳng (BDD0), qua E kẻ đường thẳng song song với OD0 cắt B0D0 tại F .
Trong mặt phẳng (A0B0C0D0), qua F kẻ đường thẳng song song với AC cắt A0D0, D0C0 lần lượt tại R, Q.
Trong mặt phẳng (AA0DD0) qua R kẻ đường thẳng song song với AD0 cắt AA0 tại S.
Trong mặt phẳng (CC0D0D), qua Q kẻ đường thẳng song song với CD0 cắt CC0 tại P .
Vậy thiết diện là lục giác M N P QRS.
Do các mặt đối diện của hình hộp song song nên các cạnh đối của lục giác thiết diện M N P QRS song song
và 3 cặp cạnh đó lần lượt song song với các cạnh tam giác ACD0. Các tam giác J KI, ACD0, RQI, J M S, N KP đồng dạng M J M A N C N K P C P K QD0 QI ⇒ = = = = = = = ⇒ M J = N K và P K = QI. M N M B N B N M P C0 P Q QC0 QP Th.s Nguyễn Chín Em 132
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Suy ra các tam giác RQI, J M S, N KP bằng nhau (gọi diện tích của chúng là S1 và diện tích các tam giác
J KI, ACD0 lần lượt là S2, S). S Å ã2 Å ã2 Å ã2 1 J M AM AM Ta có = = = = k2 ⇒ S1 = k2S. S AC DC AB S Å ã2 Å ã2 2 J K J M + M K = = = (k + 1)2 ⇒ S2 = (k + 1)2S. S AC AC Diện tích thiết diện 1 3S
Std = S2 − 3S1 = 2S(−k2 + k + ) ≤ . 2 2 1
Dấu đẳng thức xảy ra khi k = . 2 Chọn đáp án A
Câu 83. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P theo thứ tự là
trung điểm của SA, SD và AB. Khẳng định nào sau đây đúng? A. (N OM ) cắt (OP M ). B. (M ON )//(SBC).
C. (P ON ) ∩ (M N P ) = N P . D. (N M P )//(SBD). -Lời giải.
Xét hai mặt phẳng (M ON ) và (SBC). S Ta có: OM//SC và ON//SB.
Mà BS ∩ SC = C và OM ∩ ON = O. Do đó (M ON )//(SBC). N M A D P O B C Chọn đáp án B
Câu 84. Cho hình lăng trụ ABCDA0B0C0D0. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
A. (AA0B0B) song song với (CC0D0D).
B. Diện tích hai mặt bên bất ki bằng nhau. C. AA0 song song với CC0.
D. Hai mặt phẳng đáy song song với nhau. -Lời giải. A0 D0 B0 C0 D A B C Đáp án là B. Chọn đáp án B
Câu 85. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây
A. Nếu hai đường thẳng song song với nhau lần lượt nằm trong hai mặt phẳng phân biệt (P ) và (Q) thì
(P ) và (Q) song song với nhau.
B. Qua một điểm nằm ngoài mặt phẳng cho trước ta vẽ được một và chỉ một đường thẳng song song với
mặt phẳng cho trước đó.
C. Nếu hai mặt phẳng (P ) và (Q) song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P )
đều song song với mặt phẳng (Q).
D. Nếu hai mặt phẳng (P ) và (Q) song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P )
đều song song với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (Q). -Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 133
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11 Chọn đáp án C
Câu 86. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
B. Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì trùng nhau.
C. Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau hoặc trùng nhau.
D. Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì chúng lần lượt nằm trên hai mặt phẳng song song.. -Lời giải.
Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau hoặc trùng nhau. Chọn đáp án C
Câu 87. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. Hai đường thẳng chéo nhau thì chúng có điểm chung.
B. Hai đường thẳng không có điểm chung là hai đường thẳng song song hoặc chéo nhau.
C. Hai đường thẳng song song với nhau khi chúng ở trên cùng một mặt phẳng.
D. Khi hai đường thẳng ở trên hai mặt phẳng phân biệt thì hai đường thẳng đó chéo nhau. -Lời giải.
Mệnh đề “Hai đường thẳng chéo nhau thì chúng có điểm chung” sai vì hai đường thẳng chéo nhau thì
chúng không có điểm chung.
Mệnh đề “Hai đường thẳng song song với nhau khi chúng ở trên cùng một mặt phẳng” sai vì có thể
xảy ra trường hợp hai đường thẳng đó hoặc cắt nhau hoặc trùng nhau.
Mệnh đề “Khi hai đường thẳng ở trên hai mặt phẳng phân biệt thì hai đường thẳng đó chéo nhau” sai
vì có thể xảy ra trường hợp hai đường thẳng đó song song. Chọn đáp án B
Câu 88. Cho ba mặt phẳng phân biệt (α) , (β) , (γ) có (α) ∩ (β) = d1; (β) ∩ (γ) = d2; (α) ∩ (γ) = d3. Khi
đó ba đường thẳng d1, d2, d3 A. đôi một cắt nhau. B. đôi một song song. C. đồng quy.
D. đôi một song song hoặc đồng quy. -Lời giải.
Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyền ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song. Chọn đáp án D
Câu 89. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Hai mặt phẳng không cắt nhau thì song song.
B. Hai mặt phẳng cùng song song với một đường thẳng thì cắt nhau.
C. Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có duy nhất một mặt phẳng song song với mặt phẳng đó.
D. Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có vô số mặt phẳng song song với mặt phẳng đó. -Lời giải.
Trong không gian, hai mặt phẳng có 3 vị trí tương đối: trùng nhau, cắt nhau, a
song song với nhau. Vì vậy, 2 mặt phẳng không cắt nhau thì có thể song song
hoặc trùng nhau ⇒A là mệnh đề sai.
Hai mặt phẳng cùng song song với một đường thẳng thì chúng có thể song P
song với nhau (hình vẽ) ⇒ B là mệnh đề sai.
Ta có: a k (P ), a k (Q) nhưng (P ) và (Q) vẫn có thể song song với nhau.
Mệnh đề C là tính chất nên C đúng. Q Chọn đáp án C
Câu 90. Trong các điều kiện sau, điều kiện nào kết luận mp (α) k mp (β)?
A. (α) k (γ) và (β) k (γ) ((γ) là mặt phẳng nào đó). Th.s Nguyễn Chín Em 134
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
B. (α) k a và (α) k b với a, b là hai đường thẳng phân biệt thuộc (β).
C. (α) k a và (α) k b với a, b là hai đường thẳng phân biệt cùng song song với (β).
D. (α) k a và (α) k b với a, b là hai đường thẳng cắt nhau thuộc(β). -Lời giải. α a b a b β α β Hình 1. Hình 2.
Trong trường hợp: (α) k (γ) và (β) k (γ) ((γ) là mặt phẳng nào đó) thì (α) và (β) có thể trùng nhau ⇒ Loại A.
(α) k a và (α) k b với a, b là hai đường thẳng phân biệt thuộc (β) thì (α) và (β) vẫn có thể cắt nhau (hình 1) ⇒ Loại B.
(α) k a và (α) k b với a, b là hai đường thẳng phân biệt cùng song song với (β) thì (α) và (β) vẫn có thể cắt nhau (hình 2) ⇒ Loại C. Chọn đáp án D
Câu 91. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Nếu hai mặt phẳng (α) và (β) song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong (α) đều song song với (β).
B. Nếu hai mặt phẳng (α) và (β) song song với nhau thì bất kì đường thẳng nào nằm trong (α) cũng
song song với bất kì đường thẳng nào nằm trong (β).
C. Nếu hai đường thẳng phân biệt a và b song song lần lượt nằm trong hai mặt phẳng (α) và (β) phân biệt thì a k (β).
D. Nếu đường thẳng d song song với mp (α) thì nó song song với mọi đường thẳng nằm trong mp (α). -Lời giải. a α d a α b β b β α Hình 1. Hình 2. Hình 3.
Nếu hai mặt phẳng (α) và (β) song song với nhau thì hai đường thẳng bất kì lần lượt thuộc (α) và (β) có
thể chéo nhau (Hình 1) ⇒ Loại B. Nếu hai đường thẳng phân biệt a và b song song lần lượt nằm trong hai
mặt phẳng (α) và (β) phân biệt thì hai mặt phẳng (α) và (β) có thể cắt nhau (Hình 2) ⇒ Loại C. Nếu
đường thẳng d song song với mp (α) thì nó có thể chéo nhau với một đường thẳng nào đó nằm trong (α) . (Hình 3). Chọn đáp án A
Câu 92. Cho hai mặt phẳng song song (α) và (β), đường thẳng a k (α). Có mấy vị trí tương đối của a và (β)? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. -Lời giải.
Trong không gian, giữa đường thẳng và mặt phẳng có 3 vị trí tương đối: đường thẳng cắt mặt phẳng, đường
thẳng song song với mặt phẳng, đường thẳng nằm trên mặt phẳng. a k (α) mà (α) k (β) ⇒ a và (α) không
thể cắt nhau. Vậy còn 2 vị trí tương đối. Th.s Nguyễn Chín Em 135
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11 Chọn đáp án B
Câu 93. Cho hai mặt phẳng song song (P ) và (Q). Hai điểm M, N lần lượt thay đổi trên (P ) và (Q). Gọi
I là trung điểm của M N. Chọn khẳng định đúng.
A. Tập hợp các điểm I là đường thẳng song song và cách đều (P ) và (Q).
B. Tập hợp các điểm I là mặt phẳng song song và cách đều (P ) và (Q).
C. Tập hợp các điểm I là một mặt phẳng cắt (P ).
D. Tập hợp các điểm I là một đường thẳng cắt (P ). -Lời giải.
Ta có: I là trung điểm của M N ⇒ Khoảng cách từ I đến (P ) bằng khoảng
cách từ I đến (Q) ⇒ Tập hợp các điểm I là mặt phẳng song song và cách M đều (P ) và (Q). P I Q N Chọn đáp án B
Câu 94. Trong các điều kiện sau, điều kiện nào kết luận đường thẳng a song song với mặt phẳng (P )? A. a k b và b ⊂ (P ). B. a k b và b k (P ). C. a k (Q) và (Q) k (P ). D. a ⊂ (Q) và b ⊂ (P ). -Lời giải.
Ta có: a k b và b ⊂ (P ) suy ra a k (P ) hoặc a ⊂ (P ) ⇒ Loại A. a k b và b k (P ) suy ra a k (P ) hoặc
a ⊂ (P ) ⇒ Loại B. a k (Q) và (Q) k (P ) suy ra a k (P ) hoặc a ⊂ (P ) ⇒ Loại C. Chọn đáp án D
Câu 95. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Nếu (α) k (β) và a ⊂ (α) , b ⊂ (β) thì a k b.
B. Nếu (α) k (β) và a ⊂ (α) , b ⊂ (β) thì a và b chéo nhau.
C. Nếu a k b và a ⊂ (α) , b ⊂ (β) thì (α) k (β).
D. Nếu (γ) ∩ (α) = a, (γ) ∩ (β) = b và (α) k (β) thì a k b. -Lời giải.
Nếu (α) k (β) và a ⊂ (α) , b ⊂ (β) thì a k b hoặc a chéo b ⇒ A, B sai. Nếu a k b và a ⊂ (α) , b ⊂ (β) thì
(α) k (β) hoặc (α) và (β) cắt nhau theo giao tuyến song song với a và b. Chọn đáp án D
Câu 96. Cho đường thẳng a ⊂ (P ) và đường thẳng b ⊂ (Q). Mệnh đề nào sau đây đúng? A. (P ) k (Q) ⇒ a k b. B. a k b ⇒ (P ) k (Q).
C. (P ) k (Q) ⇒ a k (Q) và b k (P ). D. a và b chéo nhau. -Lời giải.
Với đường thẳng a ⊂ (P ) và đường thẳng b ⊂ (Q).
Khi (P ) k (Q) ⇒ a k b hoặc a, b chéo nhau ⇒ A sai.
Khi a k b ⇒ (P ) k (Q) hoặc (P ), (Q) cắt nhau theo giao tuyến song song với a và b ⇒ B sai.
a và b có thể chéo nhau, song song hoặc cắt nhau ⇒ D sai. Chọn đáp án C
Câu 97. Hai đường thẳng a và b nằm trong mp (α) . Hai đường thẳng a0 và b0 nằm trong mp (β) . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Nếu a k a0 và b k b0 thì (α) k (β).
B. Nếu (α) k (β) thì a k a0 và b k b0.
C. Nếu a k b và a0 k b0 thì (α) k (β).
D. Nếu a cắt b và a k a0, b k b0 thì (α) k (β). -Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 136
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11 α a a b α β a0 b0 ∆ a0 β Hình 1. Hình 2.
Nếu a k a0 và b k b0 thì (α) k (β) hoặc (α) cắt (β) (Hình 1) ⇒ A sai. Nếu (α) k (β) thì a k a0 hoặc a, a0 chéo nhau (Hình 2) ⇒ B sai.
Nếu a k b và a0 k b0 thì (α) k (β) hoặc (α) cắt CC0. (Hình 1) ⇒ C sai. Chọn đáp án D
Câu 98. Cho hai mặt phẳng (P ) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến ∆. Hai đường thẳng p và q lần lượt nằm
trong (P ) và (Q). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. p và q cắt nhau. B. p và q chéo nhau. C. p và q song song.
D. Cả ba mệnh đề trên đều sai. -Lời giải.
Ta có p và q có thể cắt nhau, song song, chéo nhau (hình vẽ). p ∆ p p q q ∆ ∆ q Chọn đáp án D
Câu 99. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, I theo thứ tự là
trung điểm của SA, SD và AB. Khẳng định nào sau đây đúng? A. (N OM ) cắt (OP M ). B. (M ON ) k (SBC).
C. (P ON ) ∩ (M N P ) = N P . D. (N M P ) k (SBD). -Lời giải.
Ta có M N là đường trung bình của tam giác SAD suy ra M N k AD S (1).
Và OP là đường trung bình của tam giác BAD suy ra OP k AD (2).
Từ (1), (2) suy ra M N k OP k AD ⇒ M, N, O, P đồng phẳng. M
Lại có M P k SB, OP k BC suy ra (M N OP ) k (SBC) hay (M ON ) k N (SBC) . P B A O D C Chọn đáp án B
Câu 100. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Tam giác SBD đều. Một mặt
phẳng (P ) song song với (SBD) và qua điểm I thuộc cạnh AC (không trùng với A hoặc C). Thiết diện của
(P ) và hình chóp là hình gì? A. Hình hình hành. B. Tam giác cân. C. Tam giác vuông. D. Tam giác đều. -Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 137
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Gọi M N là đoạn thẳng giao tuyến của mặt phẳng (P ) và mặt đáy S
(ABCD) . Vì (P ) k (SBD) , (P ) ∩ (ABCD) = M N và (SBD) ∩ (ABCD) = M N suy ra M N k BD.
Lập luận tương tự, ta có
(P ) cắt mặt (SAD) theo đoạn giao tuyến N P với N P k SD. P
(P ) cắt mặt (SAB) theo đoạn giao tuyến M P với M P k SB.
Vậy tam giác M N P đồng dạng với tam giác SBD nên thiết diện của
(P ) và hình chóp S.ABCD là tam giác đều M N P. C B O I M D N A Chọn đáp án D
Câu 101. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. Hình lăng trụ có các cạnh bên song song và bằng nhau.
B. Hai mặt đáy của hình lăng trụ nằm trên hai mặt phẳng song song.
C. Hai đáy của lăng trụ là hai đa giác đều.
D. Các mặt bên của lăng trụ là các hình bình hành. -Lời giải.
Xét hình lăng trụ có đáy là một đa giác (tam giác, tứ giác, . . . ), ta thấy rằng hình lăng trụ luôn có các cạnh
bên song song và bằng nhau. Hai mặt đáy của hình lăng trụ nằm trên hai mặt phẳng song song. Hai đáy
của lăng trụ là hai đa giác bằng nhau (tam giác, tứ giác, . . . ). Các mặt bên của lăng trụ là các hình bình
hành vì có hai cạnh là hai cạnh bên của hình lăng trụ, hai cạnh còn lại thuộc hai đáy song song. Chọn đáp án C
Câu 102. Trong các mệnh đều sau, mệnh đề nào sai?
A. Các cạnh bên của hình lăng trụ bằng nhau và song song với nhau.
B. Các mặt bên của hình lăng trụ là các hình bình hành.
C. Các mặt bên của hình lăng trụ là các hình bình hành bằng nhau.
D. Hai đáy của hình lăng trụ là hai đa giác bằng nhau. -Lời giải.
Các mặt bên của hình lăng trụ là các hình hình hành, chúng bằng nhau nếu hình lăng trụ có đáy là tam giác đều. Chọn đáp án C
Câu 103. Trong các mệnh đều sau, mệnh đề nào đúng?
A. Các cạnh bên của hình chóp cụt đôi một song song.
B. Các cạnh bên của hình chóp cụt là các hình thang.
C. Hai đáy của hình chóp cụt là hai đa giác đồng dạng.
D. Cả 3 mệnh đề trên đều sai. -Lời giải.
Xét hình chóp cụt có đáy là đa giác (tam giác, tứ giác, . . . ) ta thấy rằng: Các cạnh bên của hình chóp cụt
đôi một cắt nhau. Các mặt bên của hình chóp cụt là các hình thang cân. Hai đáy của hình chóp cụt là hai đa giác đồng dạng. Chọn đáp án C
Câu 104. Trong các mệnh đều sau, mệnh đề nào sai?
A. Trong hình chóp cụt thì hai đáy là hai đa giác có các cạnh tương ứng song song và các tỉ số các cặp
cạnh tương ứng bằng nhau.
B. Các mặt bên của hình chóp cụt là các hình thang.
C. Các mặt bên của hình chóp cụt là các hình thang cân.
D. Đường thẳng chứa các cạnh bên của hình chóp cụt đồng quy tại một điểm. -Lời giải.
Với hình chóp cụt, các mặt bên của hình chóp cụt là các hình thang. Chọn đáp án C
Câu 105. Cho hình lăng trụ ABC.A0B0C0. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BB0 và CC0. Gọi ∆ là
giao tuyến của hai mặt phẳng (AM N ) và (A0B0C0) . Khẳng định nào sau đây đúng? Th.s Nguyễn Chín Em 138
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11 A. ∆ k AB. B. ∆ k AC. C. ∆ k BC. D. ∆ k AA0. -Lời giải. M N ⊂ (AM N )   Ta có B0C0 ⊂ A0B0C0 −
→ ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng A0 C0  M N k B0C0
(AM N ) và (A0B0C0) sẽ song song với M N và B0C0. Suy ra ∆ k BC. ∆ B0 N M A C B Chọn đáp án C
Câu 106. Cho hình lăng trụ ABC.A0B0C0. Gọi H là trung điểm của A0B0. Mặt phẳng (AHC0) song song
với đường thẳng nào sau đây? A. CB0. B. BB0. C. BC. D. BA0. -Lời giải.
Gọi M là trung điểm của AB suy ra M B0 k AH ⇒ M B0 k (AHC0) . A C (1) M
Vì M H là đường trung bình của hình bình hành ABB0A0 suy ra M H
song song và bằng BB0 nên M H song song và bằng CC0
⇒ M HC0C là hình hình hành ⇒ M C k HC0 ⇒ M C k (AHC0) . (2) B
Từ (1) và (2), suy ra (B0M C) k (AHC0) ⇒ B0C k (AHC0) . A0 C0 H B0 Chọn đáp án A
Câu 107. Cho hình lăng trụ ABC.A1B1C1. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? A. (ABC) k (A1B1C1). B. AA1 k (BCC1). C. AB k (A1B1C1).
D. AA1B1B là hình chữ nhật. -Lời giải.
Vì mặt bên AA1B1B là hình bình hành, còn nó là hình chữ nhật nếu ABC.A1B1C1 là hình lăng trụ đứng. Chọn đáp án D
Câu 108. Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0. Khẳng định nào dưới đây là sai? A. ABCD là hình bình hành.
B. Các đường thẳng A0C, AC0, DB0, D0B đồng quy. C. (ADD0A0) k (BCC0B0).
D. AD0CB là hình chữ nhật. -Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 139
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Dựa vào hình vẽ và tính chất của hình hộp chữ nhật, ta thấy B C rằng:
Hình hộp có đáy ABCD là hình bình hành. A D
Các đường thẳng A0C, AC0, DB0, D0B cắt nhau tại tâm của AA0C0C, BDD0B0. B0 C0
Hai mặt bên (ADD0A0) , (BCC0B0) đối diện và song song với nhau.
AD0 và CB là hai đường thẳng chéo nhau suy ra AD0CB A0 D0
không phải là hình chữ nhật. Chọn đáp án D
Câu 109. Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0 có các cạnh bên AA0, BB0, CC0, DD0. Khẳng định nào dưới đây sai? A. (AA0B0B) k (DD0C0C). B. (BA0D0) k (ADC0).
C. A0B0CD là hình bình hành.
D. BB0D0D là một tứ giác. -Lời giải.
Dựa vào hình vẽ dưới và tính chất của hình hộp, ta thấy rằng: B C
Hai mặt bên (AA0B0B) và (DD0C0C) đối diện, song song với nhau. A D
Hình hộp có hai đáy (ABCD) , (A0B0C0D0) là hình bình
hành ⇒ A0B0 = CD và A0B0 k CD suy ra A0B0CD là hình hình hành. B0 C0
BD k B0D0 suy ra B, B0, D0, D đồng phẳng ⇒ BB0D0D là tứ giác. A0 D0
Mặt phẳng (BA0D0) chứa đường thẳng CD0 mà CD0 cắt
C0D suy ra (BA0D0) không song song với mặt phẳng (ADC0) . Chọn đáp án B
Câu 110. Nếu thiết diện của một lăng trụ tam giác và một mặt phẳng là một đa giác thì đa giác đó có nhiều nhất mấy cạnh? A. 3 cạnh. B. 4 cạnh. C. 5 cạnh. D. 6 cạnh. -Lời giải.
Đa giác thiết diện của một lăng trụ tam giác và một mặt phẳng có nhiều nhất 5 cạnh với các cạnh thuộc
các mặt của hình lăng trụ tam giác. Chọn đáp án C
Câu 111. Nếu thiết diện của một hình hộp và một mặt phẳng là một đa giác thì đa giác đó có nhiều nhất mấy cạnh? A. 4 cạnh. B. 5 cạnh. C. 6 cạnh. D. 7 cạnh. -Lời giải.
Vì hình hộp là hình lăng trụ có đáy là tứ giác và có 6 mặt nên thiết diện của hình hộp và mặt phẳng bất
kì là một đa giác có nhiều nhất 6 cạnh. Chọn đáp án C
Câu 112. Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0. Gọi I là trung điểm của AB. Mặt phẳng (IB0D0) cắt hình hộp
theo thiết diện là hình gì? A. Tam giác. B. Hình thang. C. Hình bình hành. D. Hình chữ nhật. -Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 140
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11 B0D0 ⊂ IB0D0   Ta có BD ⊂ (ABCD) −
→ Giao tuyến của (IB0D0) với (ABCD) A0 D0 M  B0D0 k BD I
là đường thẳng d đi qua I và song song với BD. Trong mặt phẳng B0 C0 (ABCD), gọi M = d ∩ AD −
→ IM k BD k B0D0. Khi đó thiết diện
là tứ giác IM B0D0 và tứ giác này là hình thang. A D B C Chọn đáp án B
Câu 113. Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0. Gọi (α) là mặt phẳng đi qua một cạnh của hình hộp và cắt
hình hộp theo thiết diện là một tứ giác T . Khẳng định nào sau đây đúng? A. T là hình chữ nhật. B. T là hình bình hành. C. T là hình thoi. D. T là hình vuông. -Lời giải.
Giả sử mặt phẳng (α) đi qua cạnh AB và cắt hình hộp theo tứ B C
giác T. Gọi d là đường thẳng giao tuyến của (α) và mặt phẳng
(A0B0C0D0) . Ta chứng minh được AB k d suy ra tứ giác T là một hình bình hành. A D B0 C0 A0 D0 d Chọn đáp án B
Câu 114. Cho hình chóp cụt tam giác ABC.A0B0C0 có 2 đáy là 2 tam giác vuông tại A và A0 và có AB 1 S∆ABC =
. Khi đó tỉ số diện tích bằng A0B0 2 S∆A0B0C0 1 1 A. . B. . C. 2. D. 4. 2 4 -Lời giải.
Hình chóp cụt ABC.A0B0C0 có hai mặt đáy là hai mặt phẳng song song A C S∆ABC
nên tam giác ABC đồng dạng tam giác A0B0C0 suy ra = S∆A0B0C0 1 · AB · AC B 2 AB AC 1 = · = . 1 A0B0 A0C0 4 · A0B0 · A0C0 2 A0 C0 B0 Chọn đáp án B
Câu 115. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC thỏa mãn AB = AC = 4, ’ BAC = 30◦. Mặt
phẳng (P ) song song với (ABC) cắt đoạn SA tại M sao cho SM = 2M A. Diện tích thiết diện của (P ) và
hình chóp S.ABC bằng bao nhiêu? 16 14 25 A. . B. . C. . D. 1. 9 9 9 -Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 141
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11 1 1 Ta có S∆ABC = · AB · AC · sin ’ BAC =
· 4 · 4 · sin 300 = 4. Gọi 2 2 S
N, P lần lượt là giao điểm của mặt phẳng (P ) và các cạnh SB, SC. Vì SM SN SP 2
(P ) k (ABC) nên theoo định lí Talet, ta có = = = . SA SB SC 3
Khi đó (P ) cắt hình chóp S.ABC theo thiết diện là tam giác M N P đồng N M 2
dạng với tam giác ABC theo tỉ số k = . 3 P Å 2 ã2 16 A C
Vậy S∆MNP = k2 · S∆ABC = · 4 = . 3 9 B Chọn đáp án A
Câu 116. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân với cạnh bên BC = 2, hai đáy
AB = 6, CD = 4. Mặt phẳng (P ) song song với (ABCD) và cắt cạnh SA tại M sao cho SA = 3SM. Diện
tích thiết diện của (P ) và hình chóp S.ABCD bằng bao nhiêu? √ √ √ 5 3 2 3 7 3 A. . B. . C. 2. D. . 9 3 9 -Lời giải. S D C Q M P N A D C B A H K B
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của D, C trên AB. ®AH = BK; CD = HK ABCD là hình thang cân ⇒ ⇒ BK = 1. AH + HK + BK = AB √ √ √
Tam giác BCK vuông tại K, có CK = BC2 − BK2 = 22 − 12 =
3. Suy ra diện tích hình thang AB + CD √ 4 + 6 √ ABCD là SABCD = CK · = 3 · = 5 3. 2 2
Gọi N, P, Q lần lượt là giao điểm của P và các cạnh SB, SC, SD. Vì (P ) k (ABCD) nên theo định lí Talet, M N N P P Q QM 1 ta có = = = = . AB BC CD AD 3 √ 5 3
Khi đó (P ) cắt hình chóp theo thiết diện M N P Q có diện tích SMNP Q = k2 · SABCD = . 9 Chọn đáp án A
Câu 117. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành có tâm O, AB = 8, SA = SB = 6.
Gọi (P ) là mặt phẳng qua O và song song với (SAB) . Thiết diện của (P ) và hình chóp S.ABCD có diện tích bằng √ √ A. 5 5. B. 6 5. C. 12. D. 13. -Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 142
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Qua O kẻ đường thẳng d song song AB và cắt BC, AD lần lượt tại S
P, Q. Kẻ P N song song với SB (N ∈ SB), kẻ QM song song với
SA (M ∈ SA) . Khi đó (M N P Q) k (SAB) ⇒ thiết diện của (P )
và hình chóp S.ABCD là tứ giác M N P Q.
Vì P, Q là trung điểm của BC, AD suy ra N, M lần lượt là
trung điểm của SC, SD. Do đó M N là đường trung bình tam M CD AB SB N giác SCD ⇒ M N = = = 4. Và N P = = 3; 2 2 2 A SA QM =
= 3 ⇒ N P = QM ⇒ M N P Q là hình thang cân. B 2 P Q C D 1
Hạ N H, M K vuông góc với P Q. Ta có P H = KQ ⇒ P H = (P Q − M N ) = 2. √ 2
Tam giác P HN vuông, có N H = 5. P Q + N M √
Vậy diện tích hình thang M N P Q là SMNP Q = N H · = 6 5. 2 Chọn đáp án B
Câu 118. Cho hình lăng trụ ABC.A0B0C0. Gọi H là trung điểm của A0B0. Đường thẳng B0C song song
với mặt phẳng nào sau đây? A. (AHC0). B. (AA0H). C. (HAB). D. (HA0C). -Lời giải.
Gọi M là trung điểm của AB suy ra M B0 k AH A C ⇒ M B0 k (AHC0) . (1) M
Vì M H là đường trung bình của hình bình hành ABB0A0 suy ra M H
song song và bằng BB0 nên M H song song và bằng CC0
⇒ M HC0C là hình hình hành ⇒ M C k HC0 ⇒ M C k (AHC0) . (2) B
Từ (1) và (2), suy ra (B0M C) k (AHC0) ⇒ B0C k (AHC0) . A0 C0 H B0 Chọn đáp án A
Câu 119. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.
A. Nếu hai mặt phẳng (α) và(β) song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong (α) đều song song với (β).
B. Nếu hai mặt phẳng (α) và (β) song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong (α) đều song song
với mọi đường thẳng nằm trong (β).
C. Nếu hai đường thẳng song song với nhau lần lượt nằm trong hai mặt phẳng phân biệt (α) và(β) thì
(α) và (β) song song với nhau.
D. Qua một điểm nằm ngoài mặt phẳng cho trước ta vẽ được một và chỉ một đường thẳng song song với
mặt phẳng cho trước đó. -Lời giải.
Đáp án B, C sai. Hai đường thẳng lần lượt nằm trên hai mặt phẳng song song với nhau thì có thể chéo nhau.
Đáp án D sai vì qua một điểm nằm ngoài mặt phẳng cho trước ta vẽ được vô số đường thẳng song song với
mặt phẳng cho trước đó. Chọn đáp án A
Câu 120. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm các cạnh AC, BD, AB, CD,
AD, BC. Bốn điểm nào sau đây không đồng phẳng? A. P, Q, R, S. B. M, P, R, S. C. M, R, S, N . D. M, N, P, Q. -Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 143
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Dễ thấy (M P R) k (BCD) , mà S ∈ (BCD) ⇔ S / ∈ (M P R) . A
Vậy M, P, R, S không đồng phẳng. P R M B D N S Q C Chọn đáp án B
Câu 121. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng?
A. Nếu (α) k (β) và a ⊂ (α) , b ⊂ (β) thì a k b.
B. Nếu a k (α) và b k (β) thì a k b.
C. Nếu (α) k (β) và a ⊂ (α) thì a k (β).
D. Nếu a k b và a ⊂ (α) , b ⊂ (β) thì (α) k (β).
Câu 122. Trong không gian, cho hai mặt phẳng phân biệt (α) và (β) . Có bao nhiêu vị trí tương đối giữa (α) và (β)? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. -Lời giải.
Trong không gian hai mặt phẳng phân biệt (α) và (β) có hai vị trí tương đối là: cắt nhau hay song song. Chọn đáp án B
Câu 123. Cho tứ diện đều SABC. Gọi I là trung điểm của đoạn AB, M là điểm di động trên đoạn AI.
Qua M vẽ mặt phẳng (α) song song với (SIC) . Thiết diện tạo bởi (α) với tứ diện SABC là A. Tam giác cân tại M . B. Tam giác đều. C. Hình bình hành. D. Hình thoi. -Lời giải. ®M N k SI
Gọi N, P lần lượt nằm trên các cạnh SA, AC sao cho . M P k IC S
⇔ (M P N ) k (SIC) ⇔ (M N P ) ≡ (α).
Vậy thiết diện là tam giác M N P .
Tứ diện SABC đều nên tam giác SIC cân tại I. AM M P M N N Ngoài ra ta có = = ⇔ M N = M P . AI IP M P
Suy ra tam giác M N P cân tại M . P C A M I B Chọn đáp án A
Câu 124. Cho tứ diện đều SABC cạnh bằng a. Gọi I là trung điểm của đoạn AB, M là điểm di động trên
đoạn AI. Qua M vẽ mặt phẳng (α) song song với (SIC) . Tính chu vi của thiết diện tạo bởi (α) với tứ diện SABC, biết AM = x. √ √ √ Ä ä Ä ä Ä ä A. x 1 + 3 . B. 2x 1 + 3 . C. 3x 1 + 3 . D. Không tính được. -Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 144
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11 AM
Để ý hai tam giác M N P và SIC đồng dạng với tỉ số = AI S 2x C 2x 2x ⇒ M N P = ⇔ CMNP = (SI + IC + SC) = a CSIC a a √ √ Ç å 2x a 3 a 3 √ Ä ä + + a = 2x 3 + 1 . a 2 2 N P C A M I B Chọn đáp án B
Câu 125. Cho hình bình hành ABCD. Gọi Bx, Cy, Dz là các đường thẳng song song với nhau lần lượt đi
qua B, C, D và nằm về một phía của mặt phẳng (ABCD) đồng thời không nằm trong mặt phẳng (ABCD) .
Một mặt phẳng đi qua A cắt Bx, Cy, Dz lần lượt tại B0, C0, D0 với BB0 = 2, DD0 = 4. Khi đó độ dài CC0 bằng bao nhiêu? A. 3. B. 4. C. 5. D. 6. -Lời giải.
Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD. Dựng đường thẳng qua C0
O song song BB0 và cắt B0D0 tại O0.
Theo cách dưng trên, ta có OO0 là đường trung bình của hình BB0 + DD0 D0 thang BB0D0D ⇔ OO0 = = 3. 2
Ngoài ra ta có OO0 là đường trung bình của tam giác ACC0 ⇔ O0 CC0 = 2OO0 = 6. B0 C D O A B Chọn đáp án D
Câu 126. Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAB nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi M là
điểm di động trên đoạn AB. Qua M vẽ mặt phẳng (α) song song với (SBC). Thiết diện tạo bởi (α) và hình chóp S.ABCD là hình gì? A. Hình tam giác. B. Hình bình hành. C. Hình thang. D. Hình vuông. -Lời giải.
Lần lượt lấy các điểm N, P, Q thuộc các cạnh CD, SD, SA thỏa M N k S BC, N P k SC, P Q k AD.
Suy ra (α) ≡ (M N P Q) và (α) k (SBC). Theo cách dựng trên thì thiết diện là hình thang. Q P A B M O D N C Chọn đáp án C
Câu 127. Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAB nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi M là
điểm di động trên đoạn AB. Qua M vẽ mặt phẳng (α) song song với (SBC). Gọi N, P, Q lần lượt là giao
của mặt phẳng (α) với các đường thẳng CD, SD, SA. Tập hợp các giao điểm I của hai đường thẳng M Q và N P là Th.s Nguyễn Chín Em 145
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
A. Đường thẳng song song với AB. B. Nửa đường thẳng.
C. Đoạn thẳng song song với AB. D. Tập hợp rỗng. -Lời giải.
Lần lượt lấy các điểm N, P, Q thuộc các cạnh CD, SD, SA thỏa T I S
M N k BC, N P k SC, P Q k AD. Suy ra (α) ≡ (M N P Q) và (α) k (SBC). ® Q I, S ∈ (SCD) Vì I = M Q ∩ N P ⇔ ⇔ I nằm trên đường I, S ∈ (SAB) P
thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD). ®M ≡ B ⇒ I ≡ S A Khi
với T là điểm thỏa mãn tứ giác ABST B M ≡ A ⇒ I ≡ T M là hình bình hành. O D N C
Vậy quỹ tích cần tìm là đoạn thẳng song song với AB. Chọn đáp án C ĐÁP ÁN 1. C 2. D 3. A 4. B 5. B 6. D 7. D 8. C 9. D 10. D 11. B 12. D 13. A 14. A 15. B 16. C 17. C 18. C 19. C 20. C 21. A 22. A 23. D 24. D 25. B 26. C 27. C 28. B 29. B 30. B 31. A 32. D 33. B 34. B 35. C 36. B 37. D 38. B 39. C 40. D 41. A 42. A 43. D 44. C 45. C 46. A 47. A 48. B 49. B 50. C 51. A 52. D 53. C 54. C 55. C 56. B 57. C 58. B 59. B 60. B 61. D 62. A 63. A 64. B 65. D 66. B 67. A 68. B 69. B 70. A 71. D 72. A 73. D 74. B 75. B 76. C 77. B 78. D 79. B 80. C 81. C 82. A 83. B 84. B 85. C 86. C 87. B 88. D 89. C 90. D 91. A 92. B 93. B 94. D 95. D 96. C 97. D 98. D 99. B 100. D 101. C 102. C 103. C 104. C 105. C 106. A 107. D 108. D 109. B 110. C 111. C 112. B 113. B 114. B 115. A 116. A 117. B 118. A 119. A 120. B 121. C 122. B 123. A 124. B 125. D 126. C 127. C Th.s Nguyễn Chín Em 146
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11 BÀI 4.
HAI MẶT PHẲNG SONG SONG A TÓM TẮT LÍ THUYẾT 1 ĐỊNH NGHĨA
Định nghĩa 1. Hai mặt phẳng (α) và (β) gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung, kí hiệu (α) k (β). Hệ quả 1.
Cho hai mặt phẳng song song (α) và (β). Nếu đường thẳng d
nằm trong (α) thì d k (β). d α β 2 TÍNH CHẤT Định lí 1.
Nếu mặt phẳng (α) chứa hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng b
song song với mặt phẳng (β) thì (α) k (β). M a α β Định lí 2.
Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước, có một và
chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đã cho. A α β
Hệ quả 2. Nếu đường thẳng d song song với mặt phẳng (α) thì qua d có duy nhất một mặt phẳng song song với (α).
Hệ quả 3. Hai mặt phẳng phân biệt cùng song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.
Hệ quả 4. Cho điểm A không nằm trên mặt phẳng (α). Mọi đường thẳng đi qua A và song song với
(α) đều nằm trong mặt phẳng qua A và song song với (α). Định lí 3. Th.s Nguyễn Chín Em 147
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Cho hai mặt phẳng song song. Nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì γ
cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến song song với nhau. b α a β Hệ quả 5.
Hai mặt phẳng song song chắn trên hai cát tuyến song song những đoạn b thẳng bằng nhau. a A0 A α B0 B β 3
ĐỊNH LÝ TA-LÉT (THALÈS) Định lí 4.
Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến bất kì d d0
những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ. A0 A P B0 B Q C C0 R 4 !
Nếu hai cát tuyến d và d0 cắt 3 mặt phẳng song song (P ) k (Q) k (R) lần lượt tại các giao điểm AB BC CA A, B, C và A0, B0, C0 thì = = . A0B0 B0C0 C0A0 4
HÌNH LĂNG TRỤ VÀ HÌNH HỘP Định nghĩa 2. Th.s Nguyễn Chín Em 148
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Cho hai mặt phẳng (α) k (α0). Trong (α) cho đa giác
lồi A1A2 . . . An. Qua các điểm A1, A2, . . . , An ta dựng các
đường song song với nhau và cắt (α0) tại A0 , A0 , . . . , A0 1 2 n.
Hình tạo thành bởi hai đa giác A A0 1A2 . . . An, A0 A0 . . . A0 5 1 2 n
cùng với các hình bình hành A A0 1A2A0 A0 , A A0 , . . . , 2 1 2A3A03 2 4 A A0 nA1A0 A0 1
n được gọi là hình lăng trụ và được ký hiệu bởi 1 A1A2 . . . An.A0 A0 . . . A0 A0 1 2 n. α0 A0 3 2
Hai đa giác A1A2 . . . An, A0 A0 . . . A0 1 2 n được gọi là hai
mặt đáy (bằng nhau) của hình lăng trụ. Các đoạn thẳng A1A0 , A ,. . . , A 1 2A02 nA0n gọi là các
cạnh bên của hình lăng trụ. A5
Các hình bình hành A1A2A0 A0 , A A0 ,. . . , A 2 1 2A3A03 3 4 AnA1A0 A0 1
n gọi là các mặt bên của hình lăng trụ. A1 α A A3
Các đỉnh của hai đa giác đáy gọi là các đỉnh của hình 2 lăng trụ. Tính chất 1.
Các cạnh bên của hình lăng trụ thì song song và bằng nhau.
Các mặt bên của hình lăng trụ đều là hình bình hành.
Hai đáy của hình lăng trụ là hai đa giác bằng nhau.
Người ta gọi tên hình lăng trụ theo đáy của nó như sau: Lăng trụ tam giác Lăng trụ tứ giác Hình hộp Lăng trụ ngũ giác
Hình lăng trụ có đáy là tam giác gọi là hình lăng trụ tam giác.
Hình lăng trụ có đáy là hình bình hành gọi là hình hộp. 5 HÌNH CHÓP CỤT
Định nghĩa 3. Cho hình chóp S.A1A2 . . . An. Một mặt phẳng (P ) song song với mặt đáy của hình
chóp và không đi qua đỉnh lần lượt cắt các cạnh SA1, SA2, . . . , SAn tại A0 , A0 , . . . , A0 1 2 n. Hình tạo
thành bởi hai đa giác A0 A0 . . . A0 A0 , A A0 ,. . . , A A0 1 2
n, A1A2 . . . An và các tứ giác A1A2A02 1 2A3A03 3 nA1A01 n gọi là hình chóp cụt.
Đáy A1A2 . . . An của hình chóp gọi là đáy lớn của hình chóp cụt. Thiết diện A0 A0 . . . A0 1 2
n của hình chóp và (P ) gọi là đáy nhỏ của hình chóp cụt.
Ta gọi tên hình chóp cụt theo đa giác đáy của nó (chóp cụt tam giác, tứ giác,. . . ). Th.s Nguyễn Chín Em 149
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11 S A05 A04 A01 P A0 A03 2 A5 A4 A1 A A 3 2 Tính chất 2.
Hai đáy của hình chóp cụt là hai đa giác có các cạnh tương ứng song song và tỉ lệ giữa các cặp
cạnh tương tứng bằng nhau.
Các mặt bên là hình thang.
Các đường thẳng chứa các cạnh bên đồng quy tại 1 điểm. B CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. Chứng minh hai mặt phẳng song song Phương pháp giải:
Để chứng minh hai mặt phẳng song song, ta chứng minh: Phương pháp 1.
Trên mặt phẳng này có hai đường thẳng cắt nhau cùng b
song song với mặt phẳng còn lại. a α  a ⊂ (α), b ⊂ (α)   a ∩ b = M ⇒ (α) k (β). β   a k (β), b k (β) Phương pháp 2.
Hai mặt phẳng cùng song song với mặt phẳng thứ α 3. ®(α) 6= (β) ⇒ (α) k (β). (α) k (γ), (β) k (γ) β γ 1
CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O, gọi M , N lần lượt là
trung điểm của SA, SD. Chứng minh (OM N ) k (SBC). -Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 150
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Ta có M, O lần lượt là trung điểm của SA, AC nên OM S
là đường trung bình của tam giác SAC ứng với cạnh SC, do đó OM k SC. ®OM k SC Vậy ⇒ OM k (SBC) (1) SC ⊂ (SBC) M N
Tương tự, ta có N , O lần lượt là trung điểm của SD, BD
nên N O là đường trung bình của tam giác SBD ứng với cạnh SB do đó ON k SB. ®ON k SB Vậy ⇒ ON k (SBC) (2) A SB ⊂ (SBC D Từ (1) và (2) ta có OM k (SBC) O   ON k (SBC) ⇒ (OM N ) k (SBC).  OM ∩ ON = O B C
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một hình bình hành. Gọi A0, B0, C0, D0 lần lượt là trung
điểm của các cạnh SA, SB, SC, SD. Chứng minh rằng (A0C0D0) k (ABCD). -Lời giải.
Để chứng minh hai mặt phẳng song song, ta sẽ tìm trên mặt phẳng này 2 S
đường thẳng cắt nhau và cùng song song với mặt phẳng còn lại. Dễ thấy A0 D0 ®A0C0 k AC ®A0C0 k (ABCD) ⇒ ⇒ (A0C0D0) k (ABCD). C0 A0D0 k AD A0D0 k (ABCD) A D B C
Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SA và CD.
Chứng minh hai mặt phẳng (M N O) và (SBC) song song. -Lời giải.
Ta có M là trung điểm SA, O là trung điểm AC S
⇒ M O là đường trung bình 4SAC ⇒ M O k SC. Tương tự ON k BC. Do đó (OM N ) k (SBC). M A D N O B C
Dạng 2. Tìm giao tuyến của mặt phẳng (α) với mặt phẳng (β) biết (α) qua điểm A; song song với mặt phẳng (γ) Phương pháp giải: Th.s Nguyễn Chín Em 151
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11 (α) k (β)   Sử dụng tính chất (γ) ∩ (α) = a ⇒ a k b  (γ) ∩ (β) = b 1
CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành tâm H. Mặt phẳng (P ) đi qua H
và song song với (SAB). Tìm giao tuyến của
1 Mặt phẳng (P ) và mặt phẳng (ABCD).
2 Mặt phẳng (P ) và mặt phẳng (SBC). -Lời giải. S A K F D H B E C
1 Giao tuyến của mặt phẳng (P ) và mặt phẳng (ABCD). (P ) k (SAB) EF qua H    
(ABCD) ∩ (SAB) = AB ⇔ (P ) ∩ (ABCD) = EF với EF k AB .   (P ) ∩ (ABCD) = H E ∈ BC, F ∈ AD
2 Giao tuyến của mặt phẳng (P ) và mặt phẳng (SBC). (P ) k (SAB)  ®  EK ∩ SC = K
(SBC) ∩ (SAB) = SB ⇔ (P ) ∩ (ABCD) = EK với . EK k SB  (P ) ∩ (SBC) = E
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là điểm bất kỳ trên AB.
Gọi (α) là măt phẳng qua M và song song với (SBC). Tìm giao tuyến của (α) với cắt mặt của hình chóp. -Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 152
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11 S Q P A D M N B C Ta có: (α) k (SBC)  ®  M N ∩ CD = N
(SBC) ∩ (ABCD) = BC ⇔ (α) ∩ (ABCD) = M N với . M N k BC  (α) ∩ (ABCD) = M (α) k (SBC)  ®  N P ∩ SD = P
(SBC) ∩ (SCD) = SC ⇔ (α) ∩ (SCD) = N P với . N P k SC  (α) ∩ (SCD) = N (α) k (SBC)  ®  M Q ∩ SA = Q
(SBC) ∩ (SAB) = SB ⇔ (α) ∩ (SAB) = M Q với . M Q k BC  (α) ∩ (SAB) = M Suy ra, (P ) ∩ (SAD) = P Q.
Ví dụ 3. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A0B0C0D0. Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm các cạnh
AB, AD, A0D0. Xác định giao tuyến của (M N P ) và các mặt (A0B0C0D0), (AA0B0B). -Lời giải. A N D M B C A0 D0 P Q B0 C0 Ta có:
M , N , P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AD, A0D0. ®M N k BD k B0D0 Suy ra ⇒ (M N P ) k (BDD0B0). N P k AA0 k DD0 Th.s Nguyễn Chín Em 153
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11 (M N P ) k (BDD0B0)  ®  P Q ∩ A0B0 = Q Khi đó
(BDD0B0) ∩ (A0B0C0D0) = B0D0 ⇔ (M N P ) ∩ (A0B0C0D0) = P Q với . P Q k B0D0  (M N P ) ∩ (A0B0C0D) = P
Suy ra (M N P ) ∩ (ABB0A0) = M Q.
Ví dụ 4. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A0B0C0. Xác định giao tuyến của mặt phẳng (H, d) và
mặt phẳng (ABC) trong đó H là trung điểm A0B0, d là giao tuyến của hai mặt phẳng (AB0C0) và mặt phẳng (A0BC). -Lời giải. A F C E B M N A0 C0 H B0
Ta có AB0 ∩ A0B = M , AC0 ∩ A0C = N . Khi đó (AB0C0) ∩ (A0BC) = M N = d. Vậy (H, d) = (HM N ). Ta có
®HM k BB0 ⇒ (HNM) k (BB0C0C). M N k B0C0
Kẻ HM cắt AB tại E. Khi đó: (HM N ) k (BB0C0C)  ®  EF ∩ AC = F
(BB0C0C) ∩ (ABC) = BC ⇔ (HM N ) ∩ (ABC) = EF với . EF k B0C0 k BC  (H M N ) ∩ (ABC) = E
Dạng 3. Xác định thiết diện cắt bởi mặt phẳng song song với một mặt phẳng cho trước Phương pháp giải:
Trong không gian cho hình chóp hoặc lăng trụ S. Xác định thiết diện của chóp cắt bởi mặt phẳng (α)
đi qua điểm I cho trước và song song với một mặt phẳng (β) cho trước.
Ta đi xác định đường thẳng d ⊂ (β).
Vì (α) k (β) nên (α) k d. Do đó (α) giao với mặt phẳng chứa d theo giao tuyến a k d. Suy ra (α) = (I, a)
Ta tìm các đoạn giao tuyến của mặt phẳng (I, a) với các mặt của chóp hoặc lăng trụ S. 1
CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O có AC = a, BD = b. Tam giác
SBD là tam giác đều. Một mặt phẳng (α) di động song song với mặt phẳng (SBD) và đi qua điểm I trên đoạn AC.
1 Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (α).
2 Tính diện tích thiết diện theo a, b và x = AI. -Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 154
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11 S P K A M D I H N B L C
1 Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (α). TH1: I ∈ OA. Ta có  (α) k (SBD) 
(ABD) ∩ (SBD) = BD ⇒ (α) ∩ (ABD) = M N .  I ∈ (α) ∩ (ABD) với M N qua I và M N k BD.
Tương tự (α) cắt (SAB) theo đoạn giao tuyến M P song song với SB, cắt (SAD) theo đoạn giao tuyến N P k SD.
Thiết diện là tam giác đều M N P (vì đồng dạng với tam giác đều SBD)
TH2: I ∈ OC. Ta có thiết diện là tam giác đều HKL có các cạnh tương ứng song song với cạnh tam giác SBD.
TH3: I = O, thiết diện là tam giác SBD
2 Tính diện tích thiết diện theo a, b và x = AI. √ b2 3 Ta có S4BCD = . 4 a
TH1: I ∈ OA ⇔ 0 < x < 2 S Å ã2 4M N P M N M N AI 2x = . Do M N k BD, ta có = = . S4BCD BD BD AO a √ b2x2 3 Suy ra S4MNP = a2 a TH2: I ∈ OC ⇔ < x < a 2 S Å ã2 4HKL HL HL CI 2(a − x) = . Do HL k BD, ta có = = . S4BCD BD BD CO a √ b2(a − x)2 3 Suy ra S4MNP = a2 √ b2 3
TH3: I = O, thiết diện là tam giác SBD có S = 4
Ví dụ 2. Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0. Hai điểm M, N lần lượt nằm trên hai cạnh AD, CC0 sao AM CN cho =
. Xác định thiết diện của hình hộp cắt bởi mặt phẳng qua M N và song song với M D N C0 (ACB0) -Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 155
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11 AI AM
Gọi I là điểm trên AA0 sao cho = suy ra IM k A0D suy ra IA0 M D D E C IM k CB0 AI CN Ta lại có =
suy ra IN k AC suy ra (M N I) k (ACB0), do đó IA0 N C0 M M N k (ACB0)
Qua M kẻ M E k AC; qua N kẻ N F k B0C0, qua F kẻ F K k A0C0. Đa A B
giác M EN F KI là thiết diện cần tìm. N I D0 C0 F A0 K B0 C BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi G1, G2, G3 lần lượt là trọng tâm các
tam giác SAB, ABC, SBD. Gọi M là một điểm thuộc đường thẳng G2G3. Chứng minh G1M k (SBC). -Lời giải. S G1 G3 A D O N M G2 B C
Gọi O là tâm hình bình hành ABCD và N là trung điểm AB, suy ra G1 ∈ SN , G2 ∈ CM , G3 ∈ SO.
Do G1, G2 lần lượt là trọng tâm tam giác SAB, ABC nên ta có:  N G1 1  =   M S 3  N G 1  2  = M C 3
⇒ G1G2 k SC (Định lý Ta-lét trong ∆N SC) ⇒ G1G2 k (SBC).
Do G2, G3 lần lượt là trọng tâm tam giác ABC, SBD nên ta có:  OG2 1  =   OB 3  OG 1  3  = OS 3
⇒ G2G3 k SB (Định lý Ta-lét trong ∆SOB). ⇒ G2G3 k (SBC). ®G1G2 k (SBC) Ta đã có: ⇒ (G1G2G3) k (SBC) G2G3 k (SBC)
Mà G1M ⊂ (G1G2G3) ⇒ G1M k (SBC). Th.s Nguyễn Chín Em 156
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SA và CD.
1 Chứng minh hai mặt phẳng (OM N ) và (SBC) song song với nhau.
2 Gọi I là trung điểm của SD, J là một điểm trên (ABCD) và cách đều AB, CD. Chứng minh IJ song song với (SAB).
3 Giả sử hai tam giác SAD, ABC cân tại A. Gọi AE và AF lần lượt là các đường phân giác trong của
tam giác ACD và SAB. Chứng minh EF song song với (SAD). -Lời giải. S
1 Chứng minh (OM N ) k (SBC).
Do ON , OM theo thứ tự là đường trung bình của các
tam giác BCD và SAC nên OM k BC, ON k SC. M I
Hơn nữa, ON , OM không chứa trong (SBC). Do đó ON k (SBC), OM k (SBC).
Mặt khác, OM ∩ ON = O nên (OM N ) k (SBC). D
2 Chứng minh IJ k (SAB). A
Trong mặt phẳng (ABCD), O và J cách đều hai đường J
thẳng song song AB và CD nên OJ k AB k CD. N
Hơn nữa, OJ không chứa trong (SAB). Do đó, OJ k O (SAB). B C
Mặt khác, OI là đường trung bình trong tam giác SBD nên OI k SB. Do đó, OJ k (SAB).
Mặt phẳng (OIJ ) chứa hai đường thẳng cắt nhau và cùng song song với (SAB) nên (OIJ ) k (SAB).
Hơn nữa, IJ ⊂ (OIJ ). Vì vậy, IJ k (SAB).
3 Chứng minh EF k (SAD). Theo tính chất đường phân giác ta có S ES AS F D AD = − và = − . (?) EB AB F C AC E
Mặt khác, các tam giác SAD và ABC cân tại A nên AS = AD và AB = AC. (??) D A Từ (?) và (??) suy ra F ES F D = . O EB F C
Suy ra EF , SD, BC cùng song song với một mặt phẳng. B C
Do SD ⊂ (SAD), BC k AD nên BC k (SAD). Vậy EF k (SAD).
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình thang có AB k CD và AB = 2CD, I là giao điểm
của AC và BD. Gọi M là trung điểm của SD, E là trung điểm đoạn CM và G là điểm đối xứng của E qua
M , SE cắt CD tại K. Chứng minh (IKE) k (ADG). -Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 157
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11 Do CE = M E = M G nên S 1 CE = CG. (1) 3 Mặt khác G ( ‘ BAI = ’ DCI, (so le trong), ‘ AIB = ’ CID, (đối đỉnh).
Do đó 4ABI v 4CDI, (g-g). Khi đó M CI CD 1 CI 1 = = hay = . (2) B A IA AB 2 CA 3 E Từ (1) và (2) suy ra I EI k GA. (?) C K D
Hơn nữa, tứ giác SGDE có SM = M D và EM = M G, nên tứ giác SGDE là hình bình hành. Do đó SE k GD hay EK k GD. (??)
Từ (?) và (??) suy ra (IEK) k (ADG).
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của SA, SD và SB.
1 Chứng minh rằng (M N P ) k (ABCD).
2 Chứng minh rằng (OM N ) k (SBC). -Lời giải. S M N A P D O B C
1 Chứng minh (M N P ) k (ABCD). Ta có
®M N k AD, (do M N là đường trung bình của 4SAD) AD ⊂ (ABCD). Suy ra M N k (ABCD). Ta lại có
®N P k AB, (do N P là đường trung bình của 4SAB) AB ⊂ (ABCD). Suy ra N P k (ABCD).
Mặt khác, M N, N P ⊂ (ABCD). Vậy (M N P ) k (ABCD). Th.s Nguyễn Chín Em 158
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
2 Chứng minh (OM N ) k (SBC).
Ta có M N k AD, (M N là đường trung bình của ∆SAD) và AD k BC, (do ABCD là hình bình hành) nên M N k BC.
Mà BC ⊂ (SBC) nên M N k (SBC).
Ta lại có OM k SC, (do OM là đường trung bình của ∆SAC).
Mà SC ⊂ (SBC) nên OM k (SBC).
Mặt khác (M N, OM ⊂ (OM N ). Vậy (OM N ) k (SBC).
Bài 5. Cho tứ diện ABCD gọi M , N lần lượt là trung điểm cạnh AB và CD, E là điểm chia BC theo tỉ BE 2 số =
. Trên đoạn thẳng AM lấy điểm H. Tìm giao tuyến của mặt phẳng (P ) đi qua H và song song BC 1
với mặt phẳng (M N E). Tìm giao tuyến của
1 Mặt phẳng (P ) và mặt phẳng (BCD).
2 Mặt phẳng (P ) và mặt phẳng (ABD). -Lời giải. A G H F M D B E N K L C
1 Giao tuyến của mặt phẳng (P ) và mặt phẳng (BCD). Ta có: (P ) k (M N E)  ®  HK ∩ BC = K
(M N E) ∩ (ABC) = M E ⇔ (P ) ∩ (ABC) = HK với . HK k M E  (P ) ∩ (ABC) = H (P ) k (M N E)  ®  KL ∩ CD = L Khi đó:
(M N E) ∩ (BCD) = EN ⇔ (P ) ∩ (BCD) = KL với . KL k EN  (P ) ∩ (BCD) = K
2 Giao tuyến của mặt phẳng (P ) và mặt phẳng (ABD). Ta có : ®EN k BD ®M F ∩ AD = F
⇒ (M N E) ∩ (SBD) = M F với M ∈ (M N E) ∩ (SBD) M F k BD Khi đó: (P ) k (M N E)  ®  HG ∩ AD = G
(M N E) ∩ (ABD) = M F ⇔ (P ) ∩ (ABD) = HG với . HG k M F  (P ) ∩ (ABD) = H
Bài 6. Cho hình chóp S.ABC, lấy điểm O thuộc miền trong tam giác ABC, điểm I thuộc đoạn SO. Gọi
(α) là mặt phẳng qua I và song song với (SBC). Tìm giao tuyến của Th.s Nguyễn Chín Em 159
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
1 Mặt phẳng (α) và mặt phẳng (ABC).
2 Mặt phẳng (α) và mặt phẳng (SAC). -Lời giải. S G F I A C O J M E B
1 Tìm giao tuyến của mặt phẳng (IEF ) và mặt phẳng (ABC). Gọi M F = AO ∩ BC. Ta có: (α) k (SBC)  ®  Ix ∩ SA = G
(SAM ) ∩ (SBC) = SM ⇔ (α) ∩ (SAM ) = Ix với . Ix ∩ AM = J Ix k SM  (α) ∩ (SAM ) = I Do đó, (α) k (SBC) EF qua J    
(ABC) ∩ (SBC) = SM ⇔ (α) ∩ (ABC) = EF với E ∈ AB, F ∈ AC .   (α) ∩ (ABC) = J EF k SM
2 Tìm giao tuyến của mặt phẳng (IEF ) và mặt phẳng (SAC). Ta có: (α) k (SBC)  ®  G ∈ SA
(SAB) ∩ (SBC) = SB ⇔ (α) ∩ (SAB) = EG với . EG k SB  (α) ∩ (SAB) = E
Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Gọi M , N , E lần lượt là trung điểm của
các cạnh AB, AD, SC. Trên đoạn AM lấy điểm K. Mặt phẳng qua K song song với M N E cắt SB, AD
lần lượt tại P , Q. Tìm giao tuyến của mặt phẳng (KP Q) và mặt phẳng (SAD). -Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 160
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11 S E D C J P F N O Q I A B K M x R
Gọi O là tâm hình bình hành ABCD. Suy ra (SBD) ∩ (SAC) = SO.
Gọi I = M N ∩ AC; J = AI ∩ SO. (M N E) ∩ (SBD) = I    ® M N k BD (M N E) ∩ (SBD) = J x ⇒ . M N ⊂ (M N E) J x k BD    BD ⊂ (SBD)
Gọi F = J x ∩ SB, (α) là mặt phẳng qua K và song song với (M N E). (α) ∩ (SAB) = K   (α) k (M N E)
⇒ (α) ∩ (SAB) = KP k M F với P ∈ SB.  (M N E) ∩ (SAB) = M F
Tương tự ta có (α) ∩ (ABCD) = KQ k M N với Q ∈ AD.
Ta có: KQ ∩ SA = R ⇒ (KP Q) ∩ (SAD) = QR.
Bài 8. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O có AC = a, BD = b. Tam giác SBD là tam
giác đều. Một mặt phẳng (α) song song với mặt phẳng (SBD) và qua điểm I trên đoạn AO.
1 Tìm giao tuyến của mặt phẳng (α) với các mặt phẳng (SAB), (SAD), (ABCD).
2 Tính diện tích hình phẳng được tạo bởi các giao tuyến đó. -Lời giải. S P A D N I M O B C
1 Tìm giao tuyến của mặt phẳng (α) với các mặt phẳng (SAB), (SAD), (ABCD). Ta có I ∈ OA thì: Th.s Nguyễn Chín Em 161
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11 (α) k (SBD)  ®  M N qua I
(ABCD) ∩ (SBD) = BD ⇔ (α) ∩ (ABCD) = M N với với M ∈ AB, N ∈ AD. M N k BD  I ∈ (α) ∩ (ABCD)
Tương tự α cắt SAB theo giao tuyến M P k SB và cắt (SAD) theo giao tuyến N P k SD với P ∈ SA.
2 Tính diện tích hình phẳng được tạo bởi các giao tuyến đó.
Ta có tam giác M N P là tam giác đều vì đồng dạng với tam giác đều SBD. √ √ BD2 3 b2 3 a Ta có SSBD = = I ∈ OA ⇔ 0 < x < . 4 4 2 S Å ã2 M N P M N Khi đó = . SBCD BD Do M N k BD, ta có: √ √ M N AI 2x b2 3 Å 2x ã2 b2x2 3 = = ⇒ SMNP = = . BD AO a 4 a a2
Bài 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD có AD k BC, AD = 2BC. Gọi E là trung
điểm AD và O giao điểm của AC và BE; I là một điểm di động trên cạnh AC khác A cà C. Qua I vẽ mặt
phẳng (α) song song với (SBE). Tìm thiết diện tạo bởi (α) và hình chóp S.ABCD. -Lời giải.
HD: TH1: I ∈ OA, (α) k (SBE) nên (α) k BE và (α) k SO, suy ra (α) cắt (ABE) theo giao tuyến
M N k BE, M N qua I, và (α) cắt (SAC) theo giao tuyến EI k SO, EI qua I. Thiết diện là tam giác EM N .
TH2: I ∈ OC, thiết diện là hình thang HKLP (HK k LP k BE k CD)
TH3: I = O thiết diện là tam giác SBE.
Bài 10. Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0. Gọi O là tâm hình bình hành ABCD; K là trung điểm C0D0; E
là trung điểm của B0O. Xác định thiết diện của hình hộp khi cắt bởi mặt phẳng (P ) qua điểm K và song song mặt phẳng (EA0C0). -Lời giải.
HD: Ta có BOO0B0 là hình bình hành, do đó E = BO0 ∩ B0O, suy ra (EA0C0) = (BA0C0). Mặt phẳng (P )
qua K song song với BA0C0. Từ K kẻ đường thẳng song song với A0C0 cắt A0D0, C0B0, A0B0 lần lượt tại
M, N, P . Từ P kẻ đường thẳng song song A0B cắt AA0, AB, BB0 lần lượt tại I, J, Q. Nối Q và N cắt BC
tại S, cắt CC0 tại R. Thiết diện là lục giác KM IJ SR có các cạnh đối song song với nhau.
Bài 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, đáy lớn AB = 3a, AD = CD = a. Mặt bên (SAB)
là tam giác cân đỉnh S với SA = 2a, gọi M là điểm thuộc cạnh AD. Mặt phẳng (α) đi qua M và song song
với (SAB). Xác định thiết diện của chóp với mặt phẳng (α). Thiết diện là hình gì? -Lời giải.
HD: Qua M kẻ M N k AB, từ N kẻ N P k SB, từ M kẻ M Q k SA. Thiết diện là hình thang cân M N P Q.
Bài 12. Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm của tam giác BCD. Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng
AG. Thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng đi qua O và song song với mặt phẳng (ABC) là tam giác S1
M N P . Gọi S1, S2 lần lượt là diện tích của hai tam giác M N P và ABC. Tính tỉ số . S2 -Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 162
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11 5 S1 25 HD: Ta có M N = BC nên = . A 6 S2 36 P O M D B G I J N C SM
Bài 13. Cho hình chóp S.ABC có M là điểm di động trên cạnh SA sao cho
= k, với 0 < k < 1, k ∈ R. SA
Gọi (α) là mặt phẳng đi qua M và song song với mặt phẳng (ABC). Tìm k để mặt phẳng (α) cắt cắt hình
chóp theo một thiết diện có diện tích bằng nửa diện tích của tam giác ABC. -Lời giải.
Thiết diện là tam giác M N P . S SMNP M N M P 1 Ta có: = = k2 = . SABC AB AC 2 √2 Vậy k = . M 2 P N C A B D
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Hai mặt phẳng không cắt nhau thì song song.
B. Hai mặt phẳng cùng song song với một đường thẳng thì cắt nhau.
C. Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có duy nhất một mặt phẳng song song với mặt phẳng đó.
D. Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có vô số mặt phẳng song song với mặt phẳng đó. -Lời giải.
Trong không gian, hai mặt phẳng có 3 vị trí tương đối: trùng nhau, cắt nhau, a
song song với nhau. Vì vậy, 2 mặt phẳng không cắt nhau thì có thể song song
hoặc trùng nhau ⇒A là mệnh đề sai.
Hai mặt phẳng cùng song song với một đường thẳng thì chúng có thể song P
song với nhau (hình vẽ) ⇒ B là mệnh đề sai.
Ta có: a k (P ), a k (Q) nhưng (P ) và (Q) vẫn có thể song song với nhau.
Mệnh đề C là tính chất nên C đúng. Q Chọn đáp án C
Câu 2. Trong các điều kiện sau, điều kiện nào kết luận mp (α) k mp (β)?
A. (α) k (γ) và (β) k (γ) ((γ) là mặt phẳng nào đó).
B. (α) k a và (α) k b với a, b là hai đường thẳng phân biệt thuộc (β).
C. (α) k a và (α) k b với a, b là hai đường thẳng phân biệt cùng song song với (β).
D. (α) k a và (α) k b với a, b là hai đường thẳng cắt nhau thuộc(β). -Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 163
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11 α a b a b β α β Hình 1. Hình 2.
Trong trường hợp: (α) k (γ) và (β) k (γ) ((γ) là mặt phẳng nào đó) thì (α) và (β) có thể trùng nhau ⇒ Loại A.
(α) k a và (α) k b với a, b là hai đường thẳng phân biệt thuộc (β) thì (α) và (β) vẫn có thể cắt nhau (hình 1) ⇒ Loại B.
(α) k a và (α) k b với a, b là hai đường thẳng phân biệt cùng song song với (β) thì (α) và (β) vẫn có thể cắt nhau (hình 2) ⇒ Loại C. Chọn đáp án D
Câu 3. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Nếu hai mặt phẳng (α) và (β) song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong (α) đều song song với (β).
B. Nếu hai mặt phẳng (α) và (β) song song với nhau thì bất kì đường thẳng nào nằm trong (α) cũng
song song với bất kì đường thẳng nào nằm trong (β).
C. Nếu hai đường thẳng phân biệt a và b song song lần lượt nằm trong hai mặt phẳng (α) và (β) phân biệt thì a k (β).
D. Nếu đường thẳng d song song với mp (α) thì nó song song với mọi đường thẳng nằm trong mp (α). -Lời giải. a α d a α b β b β α Hình 1. Hình 2. Hình 3.
Nếu hai mặt phẳng (α) và (β) song song với nhau thì hai đường thẳng bất kì lần lượt thuộc (α) và (β) có
thể chéo nhau (Hình 1) ⇒ Loại B. Nếu hai đường thẳng phân biệt a và b song song lần lượt nằm trong hai
mặt phẳng (α) và (β) phân biệt thì hai mặt phẳng (α) và (β) có thể cắt nhau (Hình 2) ⇒ Loại C. Nếu
đường thẳng d song song với mp (α) thì nó có thể chéo nhau với một đường thẳng nào đó nằm trong (α) . (Hình 3). Chọn đáp án A
Câu 4. Cho hai mặt phẳng song song (α) và (β), đường thẳng a k (α). Có mấy vị trí tương đối của a và (β)? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. -Lời giải.
Trong không gian, giữa đường thẳng và mặt phẳng có 3 vị trí tương đối: đường thẳng cắt mặt phẳng, đường
thẳng song song với mặt phẳng, đường thẳng nằm trên mặt phẳng. a k (α) mà (α) k (β) ⇒ a và (α) không
thể cắt nhau. Vậy còn 2 vị trí tương đối. Chọn đáp án B
Câu 5. Cho hai mặt phẳng song song (P ) và (Q). Hai điểm M, N lần lượt thay đổi trên (P ) và (Q). Gọi I
là trung điểm của M N. Chọn khẳng định đúng.
A. Tập hợp các điểm I là đường thẳng song song và cách đều (P ) và (Q). Th.s Nguyễn Chín Em 164
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
B. Tập hợp các điểm I là mặt phẳng song song và cách đều (P ) và (Q).
C. Tập hợp các điểm I là một mặt phẳng cắt (P ).
D. Tập hợp các điểm I là một đường thẳng cắt (P ). -Lời giải.
Ta có: I là trung điểm của M N ⇒ Khoảng cách từ I đến (P ) bằng khoảng
cách từ I đến (Q) ⇒ Tập hợp các điểm I là mặt phẳng song song và cách M đều (P ) và (Q). P I Q N Chọn đáp án B
Câu 6. Trong các điều kiện sau, điều kiện nào kết luận đường thẳng a song song với mặt phẳng (P )? A. a k b và b ⊂ (P ). B. a k b và b k (P ). C. a k (Q) và (Q) k (P ). D. a ⊂ (Q) và b ⊂ (P ). -Lời giải.
Ta có: a k b và b ⊂ (P ) suy ra a k (P ) hoặc a ⊂ (P ) ⇒ Loại A. a k b và b k (P ) suy ra a k (P ) hoặc
a ⊂ (P ) ⇒ Loại B. a k (Q) và (Q) k (P ) suy ra a k (P ) hoặc a ⊂ (P ) ⇒ Loại C. Chọn đáp án D
Câu 7. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Nếu (α) k (β) và a ⊂ (α) , b ⊂ (β) thì a k b.
B. Nếu (α) k (β) và a ⊂ (α) , b ⊂ (β) thì a và b chéo nhau.
C. Nếu a k b và a ⊂ (α) , b ⊂ (β) thì (α) k (β).
D. Nếu (γ) ∩ (α) = a, (γ) ∩ (β) = b và (α) k (β) thì a k b. -Lời giải.
Nếu (α) k (β) và a ⊂ (α) , b ⊂ (β) thì a k b hoặc a chéo b ⇒ A, B sai. Nếu a k b và a ⊂ (α) , b ⊂ (β) thì
(α) k (β) hoặc (α) và (β) cắt nhau theo giao tuyến song song với a và b. Chọn đáp án D
Câu 8. Cho đường thẳng a ⊂ (P ) và đường thẳng b ⊂ (Q). Mệnh đề nào sau đây đúng? A. (P ) k (Q) ⇒ a k b. B. a k b ⇒ (P ) k (Q).
C. (P ) k (Q) ⇒ a k (Q) và b k (P ). D. a và b chéo nhau. -Lời giải.
Với đường thẳng a ⊂ (P ) và đường thẳng b ⊂ (Q).
Khi (P ) k (Q) ⇒ a k b hoặc a, b chéo nhau ⇒ A sai.
Khi a k b ⇒ (P ) k (Q) hoặc (P ), (Q) cắt nhau theo giao tuyến song song với a và b ⇒ B sai.
a và b có thể chéo nhau, song song hoặc cắt nhau ⇒ D sai. Chọn đáp án C
Câu 9. Hai đường thẳng a và b nằm trong mp (α) . Hai đường thẳng a0 và b0 nằm trong mp (β) . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Nếu a k a0 và b k b0 thì (α) k (β).
B. Nếu (α) k (β) thì a k a0 và b k b0.
C. Nếu a k b và a0 k b0 thì (α) k (β).
D. Nếu a cắt b và a k a0, b k b0 thì (α) k (β). -Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 165
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11 α a a b α β a0 b0 ∆ a0 β Hình 1. Hình 2.
Nếu a k a0 và b k b0 thì (α) k (β) hoặc (α) cắt (β) (Hình 1) ⇒ A sai. Nếu (α) k (β) thì a k a0 hoặc a, a0 chéo nhau (Hình 2) ⇒ B sai.
Nếu a k b và a0 k b0 thì (α) k (β) hoặc (α) cắt CC0. (Hình 1) ⇒ C sai. Chọn đáp án D
Câu 10. Cho hai mặt phẳng (P ) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến ∆. Hai đường thẳng p và q lần lượt nằm
trong (P ) và (Q). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. p và q cắt nhau. B. p và q chéo nhau. C. p và q song song.
D. Cả ba mệnh đề trên đều sai. -Lời giải.
Ta có p và q có thể cắt nhau, song song, chéo nhau (hình vẽ). p ∆ p p q q ∆ ∆ q Chọn đáp án D
Câu 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, I theo thứ tự là
trung điểm của SA, SD và AB. Khẳng định nào sau đây đúng? A. (N OM ) cắt (OP M ). B. (M ON ) k (SBC).
C. (P ON ) ∩ (M N P ) = N P . D. (N M P ) k (SBD). -Lời giải.
Ta có M N là đường trung bình của tam giác SAD suy ra M N k AD S (1).
Và OP là đường trung bình của tam giác BAD suy ra OP k AD (2).
Từ (1), (2) suy ra M N k OP k AD ⇒ M, N, O, P đồng phẳng. M
Lại có M P k SB, OP k BC suy ra (M N OP ) k (SBC) hay (M ON ) k N (SBC) . P B A O D C Chọn đáp án B
Câu 12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Tam giác SBD đều. Một mặt
phẳng (P ) song song với (SBD) và qua điểm I thuộc cạnh AC (không trùng với A hoặc C). Thiết diện của
(P ) và hình chóp là hình gì? A. Hình hình hành. B. Tam giác cân. C. Tam giác vuông. D. Tam giác đều. -Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 166
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Gọi M N là đoạn thẳng giao tuyến của mặt phẳng (P ) và mặt đáy S
(ABCD) . Vì (P ) k (SBD) , (P ) ∩ (ABCD) = M N và (SBD) ∩ (ABCD) = M N suy ra M N k BD.
Lập luận tương tự, ta có
(P ) cắt mặt (SAD) theo đoạn giao tuyến N P với N P k SD. P
(P ) cắt mặt (SAB) theo đoạn giao tuyến M P với M P k SB.
Vậy tam giác M N P đồng dạng với tam giác SBD nên thiết diện của
(P ) và hình chóp S.ABCD là tam giác đều M N P. C B O I M D N A Chọn đáp án D
Câu 13. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC thỏa mãn AB = AC = 4, ’ BAC = 30◦. Mặt phẳng
(P ) song song với (ABC) cắt đoạn SA tại M sao cho SM = 2M A. Diện tích thiết diện của (P ) và hình chóp S.ABC bằng bao nhiêu? 16 14 25 A. . B. . C. . D. 1. 9 9 9 -Lời giải. 1 1 Ta có S∆ABC = · AB · AC · sin ’ BAC =
· 4 · 4 · sin 300 = 4. Gọi 2 2 S
N, P lần lượt là giao điểm của mặt phẳng (P ) và các cạnh SB, SC. Vì SM SN SP 2
(P ) k (ABC) nên theoo định lí Talet, ta có = = = . SA SB SC 3
Khi đó (P ) cắt hình chóp S.ABC theo thiết diện là tam giác M N P đồng N M 2
dạng với tam giác ABC theo tỉ số k = . 3 P Å 2 ã2 16 A C
Vậy S∆MNP = k2 · S∆ABC = · 4 = . 3 9 B Chọn đáp án A
Câu 14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân với cạnh bên BC = 2, hai đáy AB =
6, CD = 4. Mặt phẳng (P ) song song với (ABCD) và cắt cạnh SA tại M sao cho SA = 3SM. Diện tích
thiết diện của (P ) và hình chóp S.ABCD bằng bao nhiêu? √ √ √ 5 3 2 3 7 3 A. . B. . C. 2. D. . 9 3 9 -Lời giải. S D C Q M P N A D C B A H K B
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của D, C trên AB. ®AH = BK; CD = HK ABCD là hình thang cân ⇒ ⇒ BK = 1. AH + HK + BK = AB √ √ √
Tam giác BCK vuông tại K, có CK = BC2 − BK2 = 22 − 12 =
3. Suy ra diện tích hình thang AB + CD √ 4 + 6 √ ABCD là SABCD = CK · = 3 · = 5 3. 2 2
Gọi N, P, Q lần lượt là giao điểm của P và các cạnh SB, SC, SD. Vì (P ) k (ABCD) nên theo định lí Talet, Th.s Nguyễn Chín Em 167
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11 M N N P P Q QM 1 ta có = = = = . AB BC CD AD 3 √ 5 3
Khi đó (P ) cắt hình chóp theo thiết diện M N P Q có diện tích SMNP Q = k2 · SABCD = . 9 Chọn đáp án A
Câu 15. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành có tâm O, AB = 8, SA = SB = 6.
Gọi (P ) là mặt phẳng qua O và song song với (SAB) . Thiết diện của (P ) và hình chóp S.ABCD có diện tích bằng √ √ A. 5 5. B. 6 5. C. 12. D. 13. -Lời giải.
Qua O kẻ đường thẳng d song song AB và cắt BC, AD lần lượt tại S
P, Q. Kẻ P N song song với SB (N ∈ SB), kẻ QM song song với
SA (M ∈ SA) . Khi đó (M N P Q) k (SAB) ⇒ thiết diện của (P )
và hình chóp S.ABCD là tứ giác M N P Q.
Vì P, Q là trung điểm của BC, AD suy ra N, M lần lượt là
trung điểm của SC, SD. Do đó M N là đường trung bình tam M CD AB SB N giác SCD ⇒ M N = = = 4. Và N P = = 3; 2 2 2 A SA QM =
= 3 ⇒ N P = QM ⇒ M N P Q là hình thang cân. B 2 P Q C D 1
Hạ N H, M K vuông góc với P Q. Ta có P H = KQ ⇒ P H = (P Q − M N ) = 2. √ 2
Tam giác P HN vuông, có N H = 5. P Q + N M √
Vậy diện tích hình thang M N P Q là SMNP Q = N H · = 6 5. 2 Chọn đáp án B
Câu 16. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. Hình lăng trụ có các cạnh bên song song và bằng nhau.
B. Hai mặt đáy của hình lăng trụ nằm trên hai mặt phẳng song song.
C. Hai đáy của lăng trụ là hai đa giác đều.
D. Các mặt bên của lăng trụ là các hình bình hành. -Lời giải.
Xét hình lăng trụ có đáy là một đa giác (tam giác, tứ giác, . . . ), ta thấy rằng hình lăng trụ luôn có các cạnh
bên song song và bằng nhau. Hai mặt đáy của hình lăng trụ nằm trên hai mặt phẳng song song. Hai đáy
của lăng trụ là hai đa giác bằng nhau (tam giác, tứ giác, . . . ). Các mặt bên của lăng trụ là các hình bình
hành vì có hai cạnh là hai cạnh bên của hình lăng trụ, hai cạnh còn lại thuộc hai đáy song song. Chọn đáp án C
Câu 17. Trong các mệnh đều sau, mệnh đề nào sai?
A. Các cạnh bên của hình lăng trụ bằng nhau và song song với nhau.
B. Các mặt bên của hình lăng trụ là các hình bình hành.
C. Các mặt bên của hình lăng trụ là các hình bình hành bằng nhau.
D. Hai đáy của hình lăng trụ là hai đa giác bằng nhau. -Lời giải.
Các mặt bên của hình lăng trụ là các hình hình hành, chúng bằng nhau nếu hình lăng trụ có đáy là tam giác đều. Chọn đáp án C
Câu 18. Trong các mệnh đều sau, mệnh đề nào đúng?
A. Các cạnh bên của hình chóp cụt đôi một song song.
B. Các cạnh bên của hình chóp cụt là các hình thang.
C. Hai đáy của hình chóp cụt là hai đa giác đồng dạng.
D. Cả 3 mệnh đề trên đều sai. -Lời giải.
Xét hình chóp cụt có đáy là đa giác (tam giác, tứ giác, . . . ) ta thấy rằng: Các cạnh bên của hình chóp cụt Th.s Nguyễn Chín Em 168
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
đôi một cắt nhau. Các mặt bên của hình chóp cụt là các hình thang cân. Hai đáy của hình chóp cụt là hai đa giác đồng dạng. Chọn đáp án C
Câu 19. Trong các mệnh đều sau, mệnh đề nào sai?
A. Trong hình chóp cụt thì hai đáy là hai đa giác có các cạnh tương ứng song song và các tỉ số các cặp
cạnh tương ứng bằng nhau.
B. Các mặt bên của hình chóp cụt là các hình thang.
C. Các mặt bên của hình chóp cụt là các hình thang cân.
D. Đường thẳng chứa các cạnh bên của hình chóp cụt đồng quy tại một điểm. -Lời giải.
Với hình chóp cụt, các mặt bên của hình chóp cụt là các hình thang. Chọn đáp án C
Câu 20. Cho hình lăng trụ ABC.A0B0C0. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BB0 và CC0. Gọi ∆ là giao
tuyến của hai mặt phẳng (AM N ) và (A0B0C0) . Khẳng định nào sau đây đúng? A. ∆ k AB. B. ∆ k AC. C. ∆ k BC. D. ∆ k AA0. -Lời giải. M N ⊂ (AM N )   Ta có B0C0 ⊂ A0B0C0 −
→ ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng A0 C0  M N k B0C0
(AM N ) và (A0B0C0) sẽ song song với M N và B0C0. Suy ra ∆ k BC. ∆ B0 N M A C B Chọn đáp án C
Câu 21. Cho hình lăng trụ ABC.A0B0C0. Gọi H là trung điểm của A0B0. Đường thẳng B0C song song với mặt phẳng nào sau đây? A. (AHC0). B. (AA0H). C. (HAB). D. (HA0C). -Lời giải.
Gọi M là trung điểm của AB suy ra M B0 k AH A C ⇒ M B0 k (AHC0) . (1) M
Vì M H là đường trung bình của hình bình hành ABB0A0 suy ra M H
song song và bằng BB0 nên M H song song và bằng CC0
⇒ M HC0C là hình hình hành ⇒ M C k HC0 ⇒ M C k (AHC0) . (2) B
Từ (1) và (2), suy ra (B0M C) k (AHC0) ⇒ B0C k (AHC0) . A0 C0 H B0 Chọn đáp án A
Câu 22. Cho hình lăng trụ ABC.A0B0C0. Gọi H là trung điểm của A0B0. Mặt phẳng (AHC0) song song
với đường thẳng nào sau đây? A. CB0. B. BB0. C. BC. D. BA0. -Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 169
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Gọi M là trung điểm của AB suy ra M B0 k AH ⇒ M B0 k (AHC0) . A C (1) M
Vì M H là đường trung bình của hình bình hành ABB0A0 suy ra M H
song song và bằng BB0 nên M H song song và bằng CC0
⇒ M HC0C là hình hình hành ⇒ M C k HC0 ⇒ M C k (AHC0) . (2) B
Từ (1) và (2), suy ra (B0M C) k (AHC0) ⇒ B0C k (AHC0) . A0 C0 H B0 Chọn đáp án A
Câu 23. Cho hình lăng trụ ABC.A1B1C1. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? A. (ABC) k (A1B1C1). B. AA1 k (BCC1). C. AB k (A1B1C1).
D. AA1B1B là hình chữ nhật. -Lời giải.
Vì mặt bên AA1B1B là hình bình hành, còn nó là hình chữ nhật nếu ABC.A1B1C1 là hình lăng trụ đứng. Chọn đáp án D
Câu 24. Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0. Khẳng định nào dưới đây là sai? A. ABCD là hình bình hành.
B. Các đường thẳng A0C, AC0, DB0, D0B đồng quy. C. (ADD0A0) k (BCC0B0).
D. AD0CB là hình chữ nhật. -Lời giải.
Dựa vào hình vẽ và tính chất của hình hộp chữ nhật, ta thấy B C rằng:
Hình hộp có đáy ABCD là hình bình hành. A D
Các đường thẳng A0C, AC0, DB0, D0B cắt nhau tại tâm của AA0C0C, BDD0B0. B0 C0
Hai mặt bên (ADD0A0) , (BCC0B0) đối diện và song song với nhau.
AD0 và CB là hai đường thẳng chéo nhau suy ra AD0CB A0 D0
không phải là hình chữ nhật. Chọn đáp án D
Câu 25. Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0 có các cạnh bên AA0, BB0, CC0, DD0. Khẳng định nào dưới đây sai? A. (AA0B0B) k (DD0C0C). B. (BA0D0) k (ADC0).
C. A0B0CD là hình bình hành.
D. BB0D0D là một tứ giác. -Lời giải.
Dựa vào hình vẽ dưới và tính chất của hình hộp, ta thấy rằng: B C
Hai mặt bên (AA0B0B) và (DD0C0C) đối diện, song song với nhau. A D
Hình hộp có hai đáy (ABCD) , (A0B0C0D0) là hình bình
hành ⇒ A0B0 = CD và A0B0 k CD suy ra A0B0CD là hình hình hành. B0 C0
BD k B0D0 suy ra B, B0, D0, D đồng phẳng ⇒ BB0D0D là tứ giác. A0 D0
Mặt phẳng (BA0D0) chứa đường thẳng CD0 mà CD0 cắt
C0D suy ra (BA0D0) không song song với mặt phẳng (ADC0) . Th.s Nguyễn Chín Em 170
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11 Chọn đáp án B
Câu 26. Nếu thiết diện của một lăng trụ tam giác và một mặt phẳng là một đa giác thì đa giác đó có nhiều nhất mấy cạnh? A. 3 cạnh. B. 4 cạnh. C. 5 cạnh. D. 6 cạnh. -Lời giải.
Đa giác thiết diện của một lăng trụ tam giác và một mặt phẳng có nhiều nhất 5 cạnh với các cạnh thuộc
các mặt của hình lăng trụ tam giác. Chọn đáp án C
Câu 27. Nếu thiết diện của một hình hộp và một mặt phẳng là một đa giác thì đa giác đó có nhiều nhất mấy cạnh? A. 4 cạnh. B. 5 cạnh. C. 6 cạnh. D. 7 cạnh. -Lời giải.
Vì hình hộp là hình lăng trụ có đáy là tứ giác và có 6 mặt nên thiết diện của hình hộp và mặt phẳng bất
kì là một đa giác có nhiều nhất 6 cạnh. Chọn đáp án C
Câu 28. Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0. Gọi I là trung điểm của AB. Mặt phẳng (IB0D0) cắt hình hộp
theo thiết diện là hình gì? A. Tam giác. B. Hình thang. C. Hình bình hành. D. Hình chữ nhật. -Lời giải. B0D0 ⊂ IB0D0   Ta có BD ⊂ (ABCD) −
→ Giao tuyến của (IB0D0) với (ABCD) A0 D0 M  B0D0 k BD I
là đường thẳng d đi qua I và song song với BD. Trong mặt phẳng B0 C0 (ABCD), gọi M = d ∩ AD −
→ IM k BD k B0D0. Khi đó thiết diện
là tứ giác IM B0D0 và tứ giác này là hình thang. A D B C Chọn đáp án B
Câu 29. Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0. Gọi (α) là mặt phẳng đi qua một cạnh của hình hộp và cắt hình
hộp theo thiết diện là một tứ giác T . Khẳng định nào sau đây đúng? A. T là hình chữ nhật. B. T là hình bình hành. C. T là hình thoi. D. T là hình vuông. -Lời giải.
Giả sử mặt phẳng (α) đi qua cạnh AB và cắt hình hộp theo tứ B C
giác T. Gọi d là đường thẳng giao tuyến của (α) và mặt phẳng
(A0B0C0D0) . Ta chứng minh được AB k d suy ra tứ giác T là một hình bình hành. A D B0 C0 A0 D0 d Chọn đáp án B AB 1
Câu 30. Cho hình chóp cụt tam giác ABC.A0B0C0 có 2 đáy là 2 tam giác vuông tại A và A0 và có = . A0B0 2 S∆ABC
Khi đó tỉ số diện tích bằng S∆A0B0C0 1 1 A. . B. . C. 2. D. 4. 2 4 -Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 171
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Hình chóp cụt ABC.A0B0C0 có hai mặt đáy là hai mặt phẳng song song A C S∆ABC
nên tam giác ABC đồng dạng tam giác A0B0C0 suy ra = S∆A0B0C0 1 · AB · AC B 2 AB AC 1 = · = . 1 A0B0 A0C0 4 · A0B0 · A0C0 2 A0 C0 B0 Chọn đáp án B
Câu 31. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hình lăng trụ đứng có đáy là một đa giác đều là hình lăng trụ đều.
B. Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ đều.
C. Hình lăng trụ có đáy là một đa giác đều là hình lăng trụ đều.
D. Hình lăng trụ tứ giác đều là hình lập phương. -Lời giải.
Hình lăng trụ đứng có đáy là một đa giác đều là hình lăng trụ đều. Chọn đáp án A
Câu 32. Xét các mệnh đề sau
(1) Hình hộp là một hình lăng trụ;
(2) Hình lập phương là hình hộp đứng có đáy là hình vuông;
(3) Hình hộp có các mặt đối diện bằng nhau;
(4) Hình lăng trụ có các mặt bên là hình bình hành;
(5) Hình lăng trụ có tất cả các mặt bên bằng nhau.
Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là A. 2 . B. 4. C. 5. D. 3. -Lời giải.
Các mệnh đề (1), (3) và (4) đúng. Chọn đáp án D M A
Câu 33. Cho tứ diện ABCD. Trên các cạnh AD, BC theo thứ tự lấy các điểm M , N sao cho = AD N C 1 =
. Gọi (P ) là mặt phẳng chứa đường thẳng M N và song song với CD. Khi đó thiết diện của tứ CB 3
diện ABCD cắt bởi mặt phẳng (P ) là A. một hình bình hành.
B. một hình thang với đáy lớn gấp 2 lần đáy nhỏ.
C. một hình thang với đáy lớn gấp 3 lần đáy nhỏ. D. một tam giác. -Lời Qua giải.
M , kẻ đường thẳng song song với CD cắt AC tại E. A
Qua N , kẻ đường thẳng song song với CD cắt BD tại F .
Khi đó M E k N F k CD và (P ) ≡ (M EN F ). M  N F BN 2  = =  E Ta có CD BC 3 ⇒ NF = 2ME. M E AM 1   = = CD AD 3
Vậy thiết diện của ABCD cắt bởi (P ) là hình thang M EN F , trong đó đáy B D
lớn N F gấp 2 lần đáy nhỏ M E. F N C Chọn đáp án B
Câu 34. Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0. Gọi I là trung điểm của AB. Mặt phẳng (IB0D0) cắt hình hộp theo thiết diện là A. hình bình hành. B. hình thang. C. hình chữ nhật. D. tam giác. -Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 172
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11 B0D0 ⊂ (IB0D0)   Ta có
BD ⊂ (ABCD) nên giao tuyến của (IB0D0) với (ABCD) là đường  BD k B0D0 A0 B0
thẳng IE qua I và song song với BD (E ∈ AD).
Vì IE k B0D0 nên thiết diện là hình thang IED0B0. D0 C0 A B I E D C Chọn đáp án B Câu 35.
Cho hình lập phương ABCD.A0B0C0D0 cạnh a. Xét tứ diện A0 D0
AB0CD0. Cắt tứ diện đó bằng mặt phẳng đi qua tâm của
hình lập phương và song song với mặt phẳng (ABC). Tính
diện tích của thiết diện thu được. B0 C0 D A B C a2 2a2 a2 3a2 A. . B. . C. . D. . 3 3 2 4 -Lời giải.
Gọi I là tâm của hình lập phương ⇒ I là trung điểm của A0 D0 AC0.
Gọi (P ) là mặt phẳng qua I và song song với (ABC). Khi đó
(P ) cắt các đường thẳng AB0, B0C, CD0, AD0 lần lượt tại B0 C0
các trung điểm M , N , P , Q. √ Q 1 a 2 Khi đó M N = P Q = AC = và M I P 2 √ 2 1 a 2 N N P = M Q = B0D0 = . 2 2 D
Do đó, thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng đi qua tâm A
của hình lập phương và song song với mặt phẳng (ABC) là √ a 2 B C
hình thoi M N P Q cạnh bằng . 2
Mặt khác N Q = M P = BC = a. 1 a2
Diện tích hình thoi M N P Q là S = N Q · M P = . 2 2 Chọn đáp án C
Câu 36. Cho bốn mệnh đề sau
(1) Nếu hai mặt phẳng (α) và (β) song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (α) đều song song với (β).
(2) Hai đường thẳng nằm trên hai mặt phẳng song song thì song song với nhau.
(3) Trong không gian hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau.
(4) Tồn tại hai đường thẳng song song mà mỗi đường thẳng cắt đồng thời hai đường thẳng chéo nhau cho trước. Th.s Nguyễn Chín Em 173
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Trong các mệnh đề trên có bao nhiêu mệnh đề sai? A. 4. B. 3. C. 2. D. 1. -Lời giải.
Mệnh đề (1) là mệnh đề đúng.
Mệnh đề (2) là mệnh đề sai vì hai đường thẳng đó có thể chéo nhau.
Mệnh đề (3) là mệnh đề sai vì hai đường thẳng song song cũng không có điểm chung.
Mệnh đề (4) là mệnh đề sai vì nếu tồn tại hai đường thẳng như trên thì cả 4 đường thẳng này đồng
phẳng (mâu thuẫn với giả thiết). Vậy có 3 mệnh đề sai. Chọn đáp án B
Câu 37. Một hình lăng trụ có đúng 11 cạnh bên thì hình lăng trụ đó có tất cả bao nhiêu cạnh? A. 31. B. 30. C. 22. D. 33. -Lời giải.
Hình lăng trụ có đúng 11 cạnh bên suy ra đáy là đa giác có 11 đỉnh ⇒ đa giác đáy có 11 cạnh.
Vậy hình lăng trụ có đúng 11 cạnh bên thì có 11 + 11 · 2 = 33 cạnh. Chọn đáp án D
Câu 38. Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau A. (ABB0A0) k (CC0D0D).
B. Diện tích hai mặt bên bất kì bằng nhau. C. AA0 k CC0.
D. Hai mặt phẳng đáy song song với nhau. -Lời giải.
Mệnh đề sai là “Diện tích hai mặt bên bất kì bằng nhau”. Chọn đáp án B
Câu 39. Cho hình lăng trụ ABC.A0B0C0, gọi I, J, K lần lượt là trọng tâm 4ABC, 4ACC0 và 4AB0C0.
Mặt phẳng nào sau đây song song với (IJ K)? A. (BC0A). B. (AA0B). C. (BB0C). D. (CC0A). -Lời giải.
Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm BC, CC0 và B0C0. A0 C0 AK AJ AI 2 Ta có = = = . AP AN AM 3 P
Suy ra (IJ K) k (M N P ) hay (IJ K) k (BB0C). K N B0 J A C I M B Chọn đáp án C
Câu 40. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều. Gọi M là điểm trên
cạnh AD sao cho AM = x, x ∈ (0; a). Mặt phẳng (α) đi qua M và song song với (SAB) lần lượt cắt các √ 2a2 3
cạnh CB, CS, SD tại N, P, Q. Tìm x để diện tích M N P Q bằng . 9 2a a a a A. . B. . C. . D. . 3 4 2 3 -Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 174
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11 (α) k (SAB)   Ta có
(SAB) ∩ (SAD) = SA ⇒ (α) ∩ (SAD) = M Q k SA S E  M ∈ (α) ∩ (SAD) với Q ∈ SD. (α) k (SAB)   Q
(SAB) ∩ (ABCD) = AB ⇒ (α) ∩ (ABCD) = M N k AB  P M ∈ (α) ∩ (ABCD) với N ∈ BC. (α) k (SAB)  
(SAB) ∩ (SCB) = SB ⇒ (α) ∩ (SBC) = N P k SB với  N ∈ (α) ∩ (SBC) P ∈ SC. A D M B N C
Suy ra thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng (α) là tứ giác M N P Q. (α) ∩ (SCD) = P Q    (SC D) ∩ (ABC D) = C D Ta có
⇒ P Q, M N, CD đôi một song song. Khi đó M N P Q là hình thang với (ABCD) ∩ (α) = M N    CD k M N đáy lớn CD. M N k AB   Hơn nữa ta có P N k SB ⇒ ÷ M N P = ’ ABS = 60◦ và ÷ N M Q = ’ BAS = 60◦.  M Q k SA
Do dó tứ giác M N P Q là hình thang cân. P Q SQ AM Ta có = = ⇒ P Q = AM = x. CD SD AD
Suy ra ∆EM N đều cạnh a và ∆EP Q là tam giác đều cạnh x. Khi đó √ √ a2 3 x2 3
SMNP Q = S∆EMN − S∆EP Q = − . 4 4 √ √ √ √ 2a2 3 a2 3 x2 3 2a2 3 a Theo giả thiết SMNP Q = ⇔ − = ⇔ x = . 9 4 4 9 3 a
Vậy giá trị x cần tìm là . 3 Chọn đáp án D
Câu 41. Cho hai mặt phẳng (P ) và (Q) song song với nhau. Mệnh đề nào sau đây sai?
A. Đường thẳng d ⊂ (P ) và d0 ⊂ (Q) thì d k d0.
B. Mọi đường thẳng đi qua điểm A ∈ (P ) và song song với (Q) đều nằm trong (P ).
C. Nếu đường thẳng ∆ cắt (P ) thì ∆ cũng cắt (Q).
D. Nếu đường thẳng a ⊂ (Q) thì a k (P ). -Lời giải.
Đường thẳng d ⊂ (P ) và d0 ⊂ (Q) thì d và d0 song song hoặc chéo nhau.
Mọi đường thẳng đi qua điểm A ∈ (P ) và song song với (Q) đều nằm trong (P ) là mệnh đề đúng.
Nếu đường thẳng ∆ cắt (P ) thì ∆ cũng cắt (Q) đúng (tính chất 2 mặt phẳng song song).
Nếu đường thẳng a ⊂ (Q) thì a k (P ) là mệnh đề đúng. Chọn đáp án A
Câu 42. Cho đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (α) và đường thẳng b nằm trong mặt phẳng (β). Mệnh đề nào sau đây sai? A. (α) k (β) ⇒ a k b. B. (α) k (β) ⇒ a k (β). C. (α) k (β) ⇒ b k (α).
D. a và b hoặc song song hoặc chéo nhau. -Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 175
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Nếu (α) k (β) thì ngoài trường hợp a k b thì a và b có thể chéo nhau. Chọn đáp án A
Câu 43. Lăng trụ tam giác có bao nhiêu mặt? A. 6. B. 3. C. 9. D. 5. -Lời giải. Theo lý thuyết. Chọn đáp án D
Câu 44. Cho lăng trụ ABC.A0B0C0. Gọi G, G0 lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC, A0B0C0. M là
điểm trên cạnh AC sao cho AM = 2M C. Mệnh đề nào sau đây sai? A. GG0 k (ACC0A0). B. GG0 k (ABB0A0).
C. Đường thẳng M G0 cắt mặt phẳng (BCC0B0). D. (M GG0) k (BCC0B0). -Lời giải.
Vì G, G0 lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC, A0B0C0 nên ta có GG0 k A0 C0
(ACC0A0), GG0 k (ABB0A0), GG0 k (BCC0B0). G0 AG AM
Gọi N là trung điểm BC, ta có = = 2 nên suy ra M G k CN ⇒ GN M C M G k (BCC0B0). B0
Từ GG0 k (BCC0B0) và M G k (BCC0B0) ta có (M GG0) k (BCC0B0). Do vậy M G0 k (BCC0B0).
Vậy, mệnh đề sai là: “Đường thẳng M G0 cắt mặt phẳng (BCC0B0)”. A M C G N B Chọn đáp án C
Câu 45. Cho lăng trụ ABC.A0B0C0. Gọi G, G0 lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và A0B0C0, M là
điểm trên cạnh AC sao cho AM = 2M C. Mệnh đề nào sau đây sai? A. GG0 k (ACC0A0). B. GG0 k (ABB0A0).
C. Đường thẳng M G0 cắt mặt phẳng (BCC0B0). D. (M GG0) k (BCC0B0). -Lời giải.
Ta có GG0 k AA0 và M G k BC nên A0 C0 G0 N 0
GG0 k (ACC0A0) là mệnh đề đúng, B0
GG0 k (ABB0A0) là mệnh đề đúng,
(M GG0) k (BCC0B0)là mệnh đề đúng,
Đường thẳng M G0 cắt mặt phẳng (BCC0B0) là mệnh đề sai. M A C G N B Chọn đáp án C
Câu 46. Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0. Gọi M là trung điểm của AB, mặt phẳng (M A0C0) cắt cạnh BC M N tại N . Tính tỉ số k = . A0C0 1 1 2 A. k = . B. k = . C. k = . D. k = 1. 2 3 3 -Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 176
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Ba mặt phẳng phân biệt (ABCD), (ACC0A0), (M A0C0) đôi một cắt A0 D0
nhau theo ba giao tuyến AC, A0C0 và M N . Theo tính chất hình hộp
ta có AC k A0C0 nên M N k AC k A0C0.
Lại có M là trung điểm của AB nên M N là đường trung bình trong B0 C0 tam giác ABC. 1 1 M N 1 Vì vậy M N = AC = A0C0 ⇒ k = = . 2 2 A0C0 2 A D M B N C Chọn đáp án A
Câu 47. Cho ba mặt phẳng (α), (β), (γ) đôi một song song. Hai đường thẳng d, d0 lần lượt cắt ba mặt
phẳng này tại A, B, C và A0, B0, C0 (B nằm giữa A và C, B0 nằm giữa A0 và C0). Giả sử AB = 5, BC = 4,
A0C0 = 8. Tính độ dài hai đoạn thẳng A0B0, B0C0. A. A0B0 = 10, B0C0 = 8. B. A0B0 = 8, B0C0 = 10. C. A0B0 = 12, B0C0 = 6. D. A0B0 = 6, B0C0 = 12. -Lời giải. AB BC AB + BC AC Ta có = = = ⇒ A0B0 = 10, B0C0 = 8. A0B0 B0C0 A0B0 + B0C0 A0C0 Chọn đáp án A
Câu 48. Trong không gian, cho các mệnh đề sau
I. Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau.
II. Hai mặt phẳng phân biệt chứa hai đường thẳng song song cắt nhau theo giao tuyến song song với hai đường thẳng đó.
III. Nếu đường thẳng a song song với đường thẳng b, đường thẳng b nằm trên mặt phẳng (P ) thì a song song với (P ).
IV. Qua điểm A không thuộc mặt phẳng (α), kẻ được đúng một đường thẳng song song với (α). Số mệnh đề đúng là A. 2. B. 0. C. 1. D. 3. -Lời giải.
Xét từng mệnh đề ta có
I. “Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau” là mệnh đề
sai, vì hai đường thẳng có thể chéo nhau.
II. “Hai mặt phẳng phân biệt chứa hai đường thẳng song song cắt nhau theo giao tuyến song song với hai
đường thẳng đó” là mệnh đề sai, vì hai mặt phẳng đó có thể song song nhau.
III. “Nếu đường thẳng a song song với đường thẳng b, đường thẳng b nằm trên mặt phẳng (P ) thì a song
song với (P )” là mệnh đề sai, vì đường thẳng a vẫn có thể nằm trong mặt phẳng (P ).
IV. “Qua điểm A không thuộc mặt phẳng (α), kẻ được đúng một đường thẳng song song với (α)” là mệnh
đề sai, vì có vô số đường thẳng đi qua điểm A và song song với (α).
Vậy không có mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề nêu trên. Chọn đáp án B
Câu 49. Cho hình chóp S.ABCD với đáy là hình thang ABCD, AD k BC, AD = 2BC. Gọi E là trung
điểm AD và O là giao điểm của AC và BE, I là một điểm thuộc đoạn OC (I khác O và C). Mặt phẳng
(α) qua I song song với (SBE) cắt hình chóp S.ABCD theo một thiết diện là A. Một hình tam giác. B. Một hình thang.
C. Một tứ giác không phải là một hình thang và không phải là hình bình hành. Th.s Nguyễn Chín Em 177
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11 D. Một hình bình hành. -Lời giải. (α) k (SBE)   Ta có (SBE) ∩ (ABCD) = BE S  (α) ∩ (ABCD) = Ix ⇒ Ix k BE
⇒ Ix cắt BC tại M , AD tại Q. (α) k (SBE)   Ta có (α) ∩ (SBC) = M x P  (SBE) ∩ (SBC) = SB
⇒ M x k SB ⇒ M x cắt SC tại N . N (α) k (SBE)   A E Q Ta có (α) ∩ (SAD) = Qx D  (SBE) ∩ (SAD) = SE O
⇒ Qx k SE ⇒ Qx cắt SD tại P . I B M C
Tứ giác BCDE là hình bình hành ⇒ CD k BE k M Q ⇒ CD k (α). CD k (α)   Ta có CD ⊂ (SCD)  (SCD) ∩ (α) = P N ⇒ CD k P N ⇒ M Q k P N
Vậy thiết diện tạo bởi mặt phẳng (α) với hình chóp S.ABCD là hình thang M N P Q. Chọn đáp án B
Câu 50. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một hình bình hành. Gọi A0, B0, C0, D0 lần lượt là trung điểm
của các cạnh SA, SB, SC, SD. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau. A. A0B0 k (SBD). B. A0B0 k (SAD). C. (A0C0D0) k (ABC). D. A0C0 k BD. -Lời giải.
Ta có A0C0 k AC ⇒ (A0C0D0) k (ABC). S A0 D0 B0 C0 A D B C Chọn đáp án C
Câu 51. Cho hình lập phương ABCD.A0B0C0D0 cạnh a. Gọi M là trung điểm của AB, N là tâm hình vuông
AA0D0D. Tính diện tích thiết diện của hình lập phương ABCD.A0B0C0D0 tạo bởi mặt phẳng (CM N ). √ √ √ a2 14 3a2 14 3a2 a2 14 A. . B. . C. . D. . 4 2 4 2 -Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 178
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11 D0 C0 Q E A0 B0 F N C D P A M B
Thiết diện như hình vẽ. Tứ giác CQP M là hình thang có √ √ √ √ a 5 a 13 a 10 a 13 CM = , P M = , P Q = , CQ = . 2 6 √ 3 √ 3 a 10 a 13 Suy ra M F = P Q = , CF = P M = 3 6 Ta có SCMP Q = 3SCMF . CM + M F + F C
SCMF = pp(p − CM )(p − CF )(p − M F ) với p =
. Thay giá trị các cạnh ta có SCMF = √ 2 … 7 a2 14 a2 ⇒ SCMP Q = . 72 4 Chọn đáp án A
Câu 52. Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai? A. (BA0C0) k (ACD0). B. (ADD0A0) k (BCC0B0). C. (BA0D) k (CB0D0). D. (ABA0) k (CB0D0). -Lời giải. Ta có
®BA0 k CD0 ⇒ (BA0C0) k (ACD0). A0C0 k AC D0 C0
®AD k BC ⇒ (ADD0A0) k (BCC0B0). AA0 k BB0 A0 B0
®BD k B0D0 ⇒ (BA0D) k (CB0D0). A0D k B0C D C A B
Mặt khác B0 ∈ (ABA0) ∩ (CB0D0) ⇒ (ABA0) k (CB0D0) là mệnh đề sai. Chọn đáp án D
Câu 53. Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0. Mệnh đề nào sau đây là sai? A. (ABCD) k (A0B0C0D0). B. (AA0D0D) k (BCC0B0). C. (BDD0B0) k (ACC0A0). D. (ABB0A0) k (CDD0C0). -Lời giải. (ABCD) k (A0B0C0D0)   Ta thấy
(AA0D0D) k (BCC0B0) luôn đúng. A0 D0  (ABB0A0) k (CDD0C0)
và hai mặt phẳng (BDD0B0), (ACC0A0) là cắt nhau. C0 B0 A D B C Th.s Nguyễn Chín Em 179
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11 Chọn đáp án C
Câu 54. Cho đường thẳng a thuộc mặt phẳng (P ) và đường thẳng b thuộc mặt phẳng (Q). Mệnh đề nào sau đây đúng? A. a k b ⇒ (P ) k (Q). B. (P ) k (Q) ⇒ a k b.
C. (P ) k (Q) ⇒ a k (Q) và b k (P ). D. a và b chéo nhau. -Lời giải.
(P ) k (Q) suy ra (P ) và (Q) không có điểm chung. Mặt khác a ∈ (P ) nên a và (Q) cũng không có điểm
chung. Suy ra a k (Q). Tương tự ta cũng có b k (P ). Chọn đáp án C
Câu 55. Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0. Mặt phẳng (AB0D0) song song với mặt phẳng nào sau đây? A. (BDA0). B. (A0C0C). C. (BDC0). D. (BCA0). -Lời giải.
Mặt phẳng (AB0D0) song song với mặt phẳng (BDC0).
Thật vậy, ta có AB0 k DC0 và AD0 k BC0, có điều cần chứng minh. B0 C0 A0 D0 B C A D Chọn đáp án C
Câu 56. Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0. Mặt phẳng (AB0D0) song song với mặt phẳng nào sau đây? A. (BA0C0). B. (C0BD). C. (BDA0). D. (ACD0). -Lời giải.
Ta có BDB0D0 là hình bình hành nên BD k B0D0. Tương tự A0 D0 ta có AD0 k BC0.
Từ đó suy ra BD k (AB0D0) và BC0 k (AB0D0). Vậy (AB0D0) k (C0BD) B0 C0 A D B C Chọn đáp án B
Câu 57. Cho tứ diện ABCD có AB = 6, CD = 8. Cắt tứ diện bởi một mặt phẳng song song với AB, CD
để thiết diện thu được là một hình thoi. Cạnh của hình thoi đó bằng 31 18 24 15 A. . B. . C. . D. . 7 7 7 7 -Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 180
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Gọi M, N, P, Q lần lượt là giao điểm của mặt phẳng chứa thiết diện với D
các cạnh AC, BC, BD, AD, khi đó theo giả thiết tứ giác M N P Q là hình thoi.
Cũng từ giả thiết ta suy ra P Q k M N k AB, M Q k N P k CD nên ta có CM M N AM M Q AC − CM M Q Q P = , = ⇒ = AC AB AC CD AC CD CM M N M Q M N ⇔ 1 − = 1 − = = A B AC AB CD CD 1 1 24 ⇒ M N = = = . M N 1 1 1 1 7 + + C AB CD 6 8 24
Vậy cạnh của hình thoi cần tìm là . 7 Chọn đáp án C
Câu 58. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng
(SAD) và (SBC). Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. d qua S và song song với AB.
B. d qua S và song song với BC.
C. d qua S và song song với DC.
D. d qua S và song song với BD. -Lời giải. S ∈ (SAD) ∩ (SBC)    AD ⊂ (SAD) Có BC ⊂ (SBC) S d    AD k BC
⇒ (SAD) ∩ (SBC) = d k AD k BC và d đi qua S. A D B C Chọn đáp án B
Câu 59. Cho tứ diện đều SABC. Gọi I là trung điểm của đoạn AB, M là điểm di động trên đoạn AI.
Qua M vẽ mặt phẳng (α) song song với (SIC). Thiết diện tạo bởi (α) với tứ diện SABC là A. hình thoi. B. tam giác cân tại M . C. tam giác đều. D. hình bình hành. -Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 181
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11 S P N A C M I B
Trong mặt phẳng (SAB), qua M kẻ đường thẳng song song với SI cắt SA tại P .
Trong mặt phẳng (ABC), qua M kẻ đường thẳng song song với IC cắt AC tại N .
Thiết diện là tam giác M N P . Ta có M P M N = ⇒ M P = M N (vì SI = CI). SI CI
Vậy thiết diện là tam giác M N P cân tại M . Chọn đáp án B
Câu 60. Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0 và điểm M nằm giữa hai điểm A và B. Gọi (P ) là mặt phẳng đi
qua M và song song với mặt phẳng (AB0D0). Mặt phẳng (P ) cắt hình hộp theo thiết diện là hình gì? A. Hình ngũ giác. B. Hình lục giác. C. Hình tam giác. D. Hình tứ giác. -Lời giải.
Nhận thấy (BC0D) k (AB0D0) ⇒ (BC0D) k (AB0D0) k (P ). (1) B C
Do (1), ta giả sử (P ) cắt BB0 tại N , suy ra (P )∩(ABB0A0) ≡ M N ,
kết hợp với (AB0D0) ∩ (ABB0A0) ≡ AB0 suy ra M N k AB0, suy ra N thuộc cạnh BB0. M
Tương tự, giả sử (P ) ∩ (B0C0) ≡ P suy ra (P ) ∩ (BCC0B0) ≡ N P . H A D
Kết hợp với (1) suy ra N P k BC0. N
Tương tự, (P ) ∩ (C0D0) ≡ Q sao cho P Q k B0D0; (P ) ∩ DD0 ≡ G
sao cho QG k C0D; (P ) ∩ AD ≡ H sao cho GH k AD0.
Từ đó suy ra thiết diện là lục giác M N P QGH. P G B0 C0 Q D0 A0 Chọn đáp án B
Câu 61. Cho hình lập phương ABCD.A0B0C0D0, AC ∩ BD = O, A0C0 ∩ B0D0 = O0. M, N, P lần lượt là
trung điểm của các cạnh AB, BC, CC0. Khi đó thiết diện do mặt phẳng (M N P ) cắt hình lập phương là hình A. Tam giác. B. Từ giác. C. Ngũ giác. D. Lục giác. -Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 182
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Ta có M N k AC nên (M N P ) ∩ (ACC0A0) = P x k AC k A0 D0 E
M N , gọi Q = P x ∩ AA0, P x ∩ OO0 = I. Mà P là trung điểm H
của CC0 nên Q, I lần lượt là trung điểm của AA0, OO0. F
Xét mặt phẳng (BDD0B0) gọi IJ ∩ B0D0 = H. Theo tính O0 C0
chất đối xứng của hình lập phương và J là trung điểm của B0
BO nên H là trung điểm của D0O0.
(M N P ) k AC k A0C0 nên (M N P ) ∩ (A0B0C0D0) = Hy k Q
A0C0. Gọi E = Hy ∩ A0D0, F = Hy ∩ C0D0. Khi đó thiết diện là lục giác M N P F EQ. I P A D M O J B N C Chọn đáp án D
Câu 62. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A. Trong không gian hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung.
B. Trong không gian hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau.
C. Nếu mặt phẳng (P ) chứa hai đường thẳng cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P ) và (Q) song song với nhau.
D. Trong không gian hình biểu diễn của một góc thì phải là một góc bằng nó. -Lời giải.
Hai đường thẳng chéo nhau là hai đường thẳng không cùng nằm trong một mặt phẳng. Do đó mệnh đề
"Trong không gian hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung" đúng. Chọn đáp án A
Câu 63. Cho tứ diện ABCD. Điểm M thuộc đoạn AC (M khác A, M khác C). Mặt phẳng (α) đi qua M
và song song với AB và AD. Thiết diện của (α) với tứ diện ABCD là hình gì? A. Hình tam giác. B. Hình bình hành. C. Hình vuông. D. Hình chữ nhật. -Lời giải.
Trong mặt phẳng (ACD) kẻ M N k AD, N ∈ CD. A
Trong mặt phẳng (ABC) kẻ M P k AB, P ∈ BC.
Từ đó suy ra (α) ≡ (M N P ). Mà thiết diện của (M N P ) và tứ diện ABCD là tam giác M N P . M B D P N C Chọn đáp án A
Câu 64. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M , N , P theo thứ tự là
trung điểm của SA, SD và AB. Khẳng định nào sau đây đúng? A. (N OM ) cắt (OP M ). B. (M ON ) k (SBC).
C. (P ON ) ∩ (M N P ) = N P . D. (N M P ) k (SBD). -Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 183
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11 S ®M N k AD
(đường trung bình 4SAD) ⇒ MN k OP k AD (đường trung bình 4BAD)
OP ⇒ O, N, M, P cùng nằm trong một mặt phẳng. M N ®M N k AD k BC ⊂ (SBC) OM k SC ⊂ (SBC) ⇒ (OM N ) k (SBC). A D P O B C Chọn đáp án B
Câu 65. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a và G là trọng tâm tam giác ABC. Cắt tứ diện bởi mặt phẳng
(P ) qua G và song song với mặt phẳng (BCD) thì diện tích thiết diện bằng bao nhiêu? √ √ √ √ a2 3 a2 3 a2 3 a2 3 A. . B. . C. . D. . 4 18 16 9 -Lời giải.
Trong mặt phẳng (ABC) kẻ đường thẳng qua G và song song
với BC cắt AC, AB lần lượt tại H, K. A
Trong mặt phẳng (ACD) kẻ đường thẳng qua H và song song với CD cắt AD tại I.
Thiết diện cần tìm là KHI. 2
∆KHI v ∆BCD theo tỉ số đồng dạng bằng . √ √ 3 K I 4 4 a2 3 3a2 Do đó SKHI = SBCD = = . 9 9 4 9 G B D H C Chọn đáp án D
Câu 66. Cho tứ diện đều SABC. Gọi I là trung điểm của cạnh AB, M là điểm di động trên đoạn thẳng
AI. Gọi (α) là mặt phẳng đi qua điểm M đồng thời song song với mặt phẳng (SIC). Thiết diện của tứ diện
SABC cắt bởi mặt phẳng (α) là A. một hình thoi.
B. một tam giác cân tại M . C. một tam giác đều. D. một hình bình hành. -Lời giải.
Qua M kẻ đường thẳng song song với SI cắt SA tại P . S
Qua M kẻ đường thẳng song song với IC cắt AC tại N .
Thiết diện của S.ABC cắt bởi (α) là tam giác M N P . M P AM M N AN N P Ta có = = = = , P SI AI CI AC SC Suy ra 4M N P v 4ICS.
Mà 4ICS cân tại S (không đều) nên tam giác M N P cân tại M và cũng không đều. N A C M I B Chọn đáp án B Th.s Nguyễn Chín Em 184
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Câu 67. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD, AB//CD, AB = 2CD. M là điểm thuộc
cạnh AD, (α) là mặt phẳng qua M và song song với mặt phẳng (SAB). Biết diện tích thiết diện của hình 2 M A
chóp cắt bởi mặt phẳng (α) bằng
diện tích tam giác SAB. Tính tỉ số x = . 3 M D 1 3 2 A. x = . B. x = 1. C. x = . D. x = . 2 2 3 -Lời giải. S Q P A B K M H N D C (α) k (SAB)   Ta có (ABCD) ∩ (SAB) = AB
suy ra giao tuyến của (α) và (ABCD) là đường thẳng qua M và  M ∈ (α) ∩ (ABCD)
song song AB, đường thẳng này cắt BC tại N . Tương tự giao tuyến của (α) và (SBC) là đường thẳng qua
N song song SB cắt SC tại P , giao tuyến của (α) và (SCD) là đường thẳng qua P song song CD cắt SD
tại Q. Thiết diện của S.ABCD khi cắt bởi (α) là hình thang M N P Q. P Q SQ AM x ax Đặt CD = a, ta có = = = ⇔ P Q = . CD SD AD x + 1 x + 1 x 1 a(x + 2)
Trong hình thang ABCD ta có M N = CD + AB = . x + 1 x + 1 x + 1
Gọi K là hình chiếu của S lên AB, H là giao của M N và CK, khi đó P H k SK và do đó P H⊥M N , P H CH DM 1 thêm nữa = = = SK CK DA x + 1 SMNP Q (P Q + M N )P H 1 1 2 1 Ta có = = . Theo giả thiết = ⇔ x = . SABC SK · AB x + 1 x + 1 3 2 Chọn đáp án A
Câu 68. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD)
và (SBC). Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. d đi qua S và song song với BD.
B. d đi qua S và song song với BC.
C. d đi qua S và song song với AB.
D. d đi qua S và song song với DC. -Lời giải. S ∈ (SAD) ∩ (SBC)   Vì AD ⊂ (SAD), BC ⊂ (SBC) S d  AD k BC
nên d = (SAD) ∩ (SBC) là đường thẳng qua S và song song với BC. B C A D Chọn đáp án B
Câu 69. Cho tứ diện ABCD. Gọi G1, G2, G3 lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC, ACD, ABD. Phát biểu nào sau đây đúng? A. (G1G2G3) cắt (BCD). B. (G1G2G3) k (BCD). Th.s Nguyễn Chín Em 185
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11 C. (G1G2G3) k (BCA).
D. (G1G2G3) không có điểm chung (ACD). -Lời giải.
Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CD, BD. SG1 SG2 SG3 2 A Khi đó: = = = SM SN SP 3
⇒ G1G2 k M N, ⇒ G1G3 k M P. Suy ra (G1G2G3) k (BCD). G3 G1 G2 B D P N M C Chọn đáp án B
Câu 70. Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây.
A. Hai mặt phẳng phân biệt không song song thì cắt nhau.
B. Nếu hai mặt phẳng song song thì mọi đường thẳng nằm trên mặt phẳng này đều song song với mọi
đường thẳng nằm trên mặt phẳng kia.
C. Nếu hai mặt phẳng (P ) và (Q) lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì song song với nhau.
D. Hai mặt phẳng cùng song song với một đường thẳng thì song song với nhau. -Lời giải.
Hai mặt phẳng có ba vị trí tương đối là : song song, cắt nhau, trùng nhau.
Do đó, hai mặt phẳng phân biệt không song song thì cắt nhau. Chọn đáp án A
Câu 71. Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0. Gọi M , N theo thứ tự là trung điểm AB0, BC. Mặt phẳng
(DM N ) cắt hình hộp theo một thiết diện hình A. Lục giác. B. Ngũ giác. C. Tam giác. D. Tứ giác. -Lời giải. A0 D0 G C0 B0 M D F A B N C E
Trong mặt phẳng (ABCD), gọi E là giao điểm của N D và AB.
Trong mặt phẳng ABB0A0, gọi F , G lần lượt là giao điểm của EM với BB0, AA0.
Khi đó mặt phẳng (DM N ) cắt hình hộp theo một thiết diện là tứ giác N F GD. Chọn đáp án D
Câu 72. Khẳng định nào sau đây đúng? Th.s Nguyễn Chín Em 186
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
A. Hình lăng trụ đứng có đáy là một đa giác đều là hình lăng trụ đều.
B. Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ đều.
C. Hình lăng trụ có đáy là một đa giác đều là hình lăng trụ đều.
D. Hình lăng trụ tứ giác đều là hình lập phương. -Lời giải.
Hình lăng trụ đứng có đáy là một đa giác đều là hình lăng trụ đều. Chọn đáp án A
Câu 73. Xét các mệnh đề sau
(1) Hình hộp là một hình lăng trụ;
(2) Hình lập phương là hình hộp đứng có đáy là hình vuông;
(3) Hình hộp có các mặt đối diện bằng nhau;
(4) Hình lăng trụ có các mặt bên là hình bình hành;
(5) Hình lăng trụ có tất cả các mặt bên bằng nhau.
Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là A. 2 . B. 4. C. 5. D. 3. -Lời giải.
Các mệnh đề (1), (3) và (4) đúng. Chọn đáp án D M A
Câu 74. Cho tứ diện ABCD. Trên các cạnh AD, BC theo thứ tự lấy các điểm M , N sao cho = AD N C 1 =
. Gọi (P ) là mặt phẳng chứa đường thẳng M N và song song với CD. Khi đó thiết diện của tứ CB 3
diện ABCD cắt bởi mặt phẳng (P ) là A. một hình bình hành.
B. một hình thang với đáy lớn gấp 2 lần đáy nhỏ.
C. một hình thang với đáy lớn gấp 3 lần đáy nhỏ. D. một tam giác. -Lời Qua giải.
M , kẻ đường thẳng song song với CD cắt AC tại E. A
Qua N , kẻ đường thẳng song song với CD cắt BD tại F .
Khi đó M E k N F k CD và (P ) ≡ (M EN F ). M  N F BN 2  = =  E Ta có CD BC 3 ⇒ NF = 2ME. M E AM 1   = = CD AD 3
Vậy thiết diện của ABCD cắt bởi (P ) là hình thang M EN F , trong đó đáy B D
lớn N F gấp 2 lần đáy nhỏ M E. F N C Chọn đáp án B
Câu 75. Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0. Gọi I là trung điểm của AB. Mặt phẳng (IB0D0) cắt hình hộp theo thiết diện là A. hình bình hành. B. hình thang. C. hình chữ nhật. D. tam giác. -Lời giải. B0D0 ⊂ (IB0D0)   Ta có
BD ⊂ (ABCD) nên giao tuyến của (IB0D0) với (ABCD) là đường  BD k B0D0 A0 B0
thẳng IE qua I và song song với BD (E ∈ AD).
Vì IE k B0D0 nên thiết diện là hình thang IED0B0. D0 C0 A B I E D C Chọn đáp án B Th.s Nguyễn Chín Em 187
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11 Câu 76.
Cho hình lập phương ABCD.A0B0C0D0 cạnh a. Xét tứ diện A0 D0
AB0CD0. Cắt tứ diện đó bằng mặt phẳng đi qua tâm của
hình lập phương và song song với mặt phẳng (ABC). Tính
diện tích của thiết diện thu được. B0 C0 D A B C a2 2a2 a2 3a2 A. . B. . C. . D. . 3 3 2 4 -Lời giải.
Gọi I là tâm của hình lập phương ⇒ I là trung điểm của A0 D0 AC0.
Gọi (P ) là mặt phẳng qua I và song song với (ABC). Khi đó
(P ) cắt các đường thẳng AB0, B0C, CD0, AD0 lần lượt tại B0 C0
các trung điểm M , N , P , Q. √ Q 1 a 2 Khi đó M N = P Q = AC = và M I P 2 √ 2 1 a 2 N N P = M Q = B0D0 = . 2 2 D
Do đó, thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng đi qua tâm A
của hình lập phương và song song với mặt phẳng (ABC) là √ a 2 B C
hình thoi M N P Q cạnh bằng . 2
Mặt khác N Q = M P = BC = a. 1 a2
Diện tích hình thoi M N P Q là S = N Q · M P = . 2 2 Chọn đáp án C
Câu 77. Cho bốn mệnh đề sau
(1) Nếu hai mặt phẳng (α) và (β) song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (α) đều song song với (β).
(2) Hai đường thẳng nằm trên hai mặt phẳng song song thì song song với nhau.
(3) Trong không gian hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau.
(4) Tồn tại hai đường thẳng song song mà mỗi đường thẳng cắt đồng thời hai đường thẳng chéo nhau cho trước.
Trong các mệnh đề trên có bao nhiêu mệnh đề sai? A. 4. B. 3. C. 2. D. 1. -Lời giải.
Mệnh đề (1) là mệnh đề đúng.
Mệnh đề (2) là mệnh đề sai vì hai đường thẳng đó có thể chéo nhau.
Mệnh đề (3) là mệnh đề sai vì hai đường thẳng song song cũng không có điểm chung.
Mệnh đề (4) là mệnh đề sai vì nếu tồn tại hai đường thẳng như trên thì cả 4 đường thẳng này đồng
phẳng (mâu thuẫn với giả thiết). Vậy có 3 mệnh đề sai. Chọn đáp án B Th.s Nguyễn Chín Em 188
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Câu 78. Một hình lăng trụ có đúng 11 cạnh bên thì hình lăng trụ đó có tất cả bao nhiêu cạnh? A. 31. B. 30. C. 22. D. 33. -Lời giải.
Hình lăng trụ có đúng 11 cạnh bên suy ra đáy là đa giác có 11 đỉnh ⇒ đa giác đáy có 11 cạnh.
Vậy hình lăng trụ có đúng 11 cạnh bên thì có 11 + 11 · 2 = 33 cạnh. Chọn đáp án D
Câu 79. Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau A. (ABB0A0) k (CC0D0D).
B. Diện tích hai mặt bên bất kì bằng nhau. C. AA0 k CC0.
D. Hai mặt phẳng đáy song song với nhau. -Lời giải.
Mệnh đề sai là “Diện tích hai mặt bên bất kì bằng nhau”. Chọn đáp án B
Câu 80. Cho hình lăng trụ ABC.A0B0C0, gọi I, J, K lần lượt là trọng tâm 4ABC, 4ACC0 và 4AB0C0.
Mặt phẳng nào sau đây song song với (IJ K)? A. (BC0A). B. (AA0B). C. (BB0C). D. (CC0A). -Lời giải.
Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm BC, CC0 và B0C0. A0 C0 AK AJ AI 2 Ta có = = = . AP AN AM 3 P
Suy ra (IJ K) k (M N P ) hay (IJ K) k (BB0C). K N B0 J A C I M B Chọn đáp án C
Câu 81 (Tác giả: Lê Thị Thu Hằng, Email: lethuhang2712@gmail.com).
Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thang, đáy lớn BC = 2a, AD = a, AB = b. Mặt bên (SAD) là tam
giác đều. Mặt phẳng (α) qua điểm M trên cạnh AB và song song với các cạnh SA, BC. Mặt phẳng (α) cắt
CD, SC, SB lần lượt tại N, P, Q. Đặt x = AM (0 < x < b). Giá trị lớn nhất của diện tích thiết diện tạo bởi
(α) và hình chóp S.ABCD là √ √ √ √ a2 3 a2 3 a2 3 a2 3 A. . B. . C. . D. . 6 12 3 2 -Lời giải.
(α) k SA và BC nên (α) k (SAD)⇒ M Q k SA, N P k SD. S Ta có M N k P Q k AD k BC.
Theo định lý Talét trong hình thang ABCD ta có BM CN = .(1) Q P BA CD
Theo định lý Talét trong 4SAB ta có B C BM BQ M Q = = .(2) BA BS SA M N
Theo định lý Talét trong 4SCD ta có CN CP P N A D = = .(3) CD CS SD Th.s Nguyễn Chín Em 189
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11 b − x x x
Từ (1), (2), (3) suy ra M Q = N P = a; P Q = 2a; M N = a + a. b b b
Suy ra thiết diện là hình thang cân và 1 Å M N − P Q ã2 Std = (M N + P Q) M Q2 − 2 2 √ 1 Å ab + ax 2ax ã a2(b − x)2 a2(b − x)2 1 a(b + 3x) a 3(b − x) = + − = · · 2 b b b2 4b2 2 b 2b √ √ √ a2 3 a2 3 Å 3x + b + 3b − 3x ã2 a 3 = (3x + b)(3b − 3x) ≤ = . 12b2 12b2 2 3 √ a2 3 b
Vậy diện tích lớn nhất của thiết diện là khi x = . 3 3 Chọn đáp án C
Câu 82 (Tác giả: Đặng Duy Hùng). cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0. Trên cạnh AB lấy điểm M khác AM
A và B. Gọi (P ) là mặt phẳng đi qua M và song song với mặt phẳng (ACD0). Đặt = k, 0 < k < 1. AB
Tìm k để thiết diện của hình hộp và mặt phẳng (P ) có diện tích lớn nhất. 1 3 1 2 A. k = . B. k = . C. k = . D. k = . 2 4 4 5 -Lời giải. J A M B N S D K C P A0 B0 R D0 Q C0
Trong mặt phẳng (ABCD), qua M kẻ đường thẳng song song với AC cắt DB, BC lần lượt tại E, N .
Trong mặt phẳng (BDD0), qua E kẻ đường thẳng song song với OD0 cắt B0D0 tại F .
Trong mặt phẳng (A0B0C0D0), qua F kẻ đường thẳng song song với AC cắt A0D0, D0C0 lần lượt tại R, Q.
Trong mặt phẳng (AA0DD0) qua R kẻ đường thẳng song song với AD0 cắt AA0 tại S.
Trong mặt phẳng (CC0D0D), qua Q kẻ đường thẳng song song với CD0 cắt CC0 tại P .
Vậy thiết diện là lục giác M N P QRS.
Do các mặt đối diện của hình hộp song song nên các cạnh đối của lục giác thiết diện M N P QRS song song
và 3 cặp cạnh đó lần lượt song song với các cạnh tam giác ACD0. Các tam giác J KI, ACD0, RQI, J M S, N KP đồng dạng M J M A N C N K P C P K QD0 QI ⇒ = = = = = = = ⇒ M J = N K và P K = QI. M N M B N B N M P C0 P Q QC0 QP Th.s Nguyễn Chín Em 190
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Suy ra các tam giác RQI, J M S, N KP bằng nhau (gọi diện tích của chúng là S1 và diện tích các tam giác
J KI, ACD0 lần lượt là S2, S). S Å ã2 Å ã2 Å ã2 1 J M AM AM Ta có = = = = k2 ⇒ S1 = k2S. S AC DC AB S Å ã2 Å ã2 2 J K J M + M K = = = (k + 1)2 ⇒ S2 = (k + 1)2S. S AC AC Diện tích thiết diện 1 3S
Std = S2 − 3S1 = 2S(−k2 + k + ) ≤ . 2 2 1
Dấu đẳng thức xảy ra khi k = . 2 Chọn đáp án A
Câu 83. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P theo thứ tự là
trung điểm của SA, SD và AB. Khẳng định nào sau đây đúng? A. (N OM ) cắt (OP M ). B. (M ON )//(SBC).
C. (P ON ) ∩ (M N P ) = N P . D. (N M P )//(SBD). -Lời giải.
Xét hai mặt phẳng (M ON ) và (SBC). S Ta có: OM//SC và ON//SB.
Mà BS ∩ SC = C và OM ∩ ON = O. Do đó (M ON )//(SBC). N M A D P O B C Chọn đáp án B
Câu 84. Cho hình lăng trụ ABCDA0B0C0D0. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
A. (AA0B0B) song song với (CC0D0D).
B. Diện tích hai mặt bên bất ki bằng nhau. C. AA0 song song với CC0.
D. Hai mặt phẳng đáy song song với nhau. -Lời giải. A0 D0 B0 C0 D A B C Đáp án là B. Chọn đáp án B
Câu 85. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây
A. Nếu hai đường thẳng song song với nhau lần lượt nằm trong hai mặt phẳng phân biệt (P ) và (Q) thì
(P ) và (Q) song song với nhau.
B. Qua một điểm nằm ngoài mặt phẳng cho trước ta vẽ được một và chỉ một đường thẳng song song với
mặt phẳng cho trước đó.
C. Nếu hai mặt phẳng (P ) và (Q) song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P )
đều song song với mặt phẳng (Q).
D. Nếu hai mặt phẳng (P ) và (Q) song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P )
đều song song với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (Q). -Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 191
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11 Chọn đáp án C
Câu 86. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
B. Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì trùng nhau.
C. Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau hoặc trùng nhau.
D. Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì chúng lần lượt nằm trên hai mặt phẳng song song.. -Lời giải.
Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau hoặc trùng nhau. Chọn đáp án C
Câu 87. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. Hai đường thẳng chéo nhau thì chúng có điểm chung.
B. Hai đường thẳng không có điểm chung là hai đường thẳng song song hoặc chéo nhau.
C. Hai đường thẳng song song với nhau khi chúng ở trên cùng một mặt phẳng.
D. Khi hai đường thẳng ở trên hai mặt phẳng phân biệt thì hai đường thẳng đó chéo nhau. -Lời giải.
Mệnh đề “Hai đường thẳng chéo nhau thì chúng có điểm chung” sai vì hai đường thẳng chéo nhau thì
chúng không có điểm chung.
Mệnh đề “Hai đường thẳng song song với nhau khi chúng ở trên cùng một mặt phẳng” sai vì có thể
xảy ra trường hợp hai đường thẳng đó hoặc cắt nhau hoặc trùng nhau.
Mệnh đề “Khi hai đường thẳng ở trên hai mặt phẳng phân biệt thì hai đường thẳng đó chéo nhau” sai
vì có thể xảy ra trường hợp hai đường thẳng đó song song. Chọn đáp án B
Câu 88. Cho ba mặt phẳng phân biệt (α) , (β) , (γ) có (α) ∩ (β) = d1; (β) ∩ (γ) = d2; (α) ∩ (γ) = d3. Khi
đó ba đường thẳng d1, d2, d3 A. đôi một cắt nhau. B. đôi một song song. C. đồng quy.
D. đôi một song song hoặc đồng quy. -Lời giải.
Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyền ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song. Chọn đáp án D
Câu 89. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Hai mặt phẳng không cắt nhau thì song song.
B. Hai mặt phẳng cùng song song với một đường thẳng thì cắt nhau.
C. Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có duy nhất một mặt phẳng song song với mặt phẳng đó.
D. Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có vô số mặt phẳng song song với mặt phẳng đó. -Lời giải.
Trong không gian, hai mặt phẳng có 3 vị trí tương đối: trùng nhau, cắt nhau, a
song song với nhau. Vì vậy, 2 mặt phẳng không cắt nhau thì có thể song song
hoặc trùng nhau ⇒A là mệnh đề sai.
Hai mặt phẳng cùng song song với một đường thẳng thì chúng có thể song P
song với nhau (hình vẽ) ⇒ B là mệnh đề sai.
Ta có: a k (P ), a k (Q) nhưng (P ) và (Q) vẫn có thể song song với nhau.
Mệnh đề C là tính chất nên C đúng. Q Chọn đáp án C
Câu 90. Trong các điều kiện sau, điều kiện nào kết luận mp (α) k mp (β)?
A. (α) k (γ) và (β) k (γ) ((γ) là mặt phẳng nào đó). Th.s Nguyễn Chín Em 192
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
B. (α) k a và (α) k b với a, b là hai đường thẳng phân biệt thuộc (β).
C. (α) k a và (α) k b với a, b là hai đường thẳng phân biệt cùng song song với (β).
D. (α) k a và (α) k b với a, b là hai đường thẳng cắt nhau thuộc(β). -Lời giải. α a b a b β α β Hình 1. Hình 2.
Trong trường hợp: (α) k (γ) và (β) k (γ) ((γ) là mặt phẳng nào đó) thì (α) và (β) có thể trùng nhau ⇒ Loại A.
(α) k a và (α) k b với a, b là hai đường thẳng phân biệt thuộc (β) thì (α) và (β) vẫn có thể cắt nhau (hình 1) ⇒ Loại B.
(α) k a và (α) k b với a, b là hai đường thẳng phân biệt cùng song song với (β) thì (α) và (β) vẫn có thể cắt nhau (hình 2) ⇒ Loại C. Chọn đáp án D
Câu 91. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Nếu hai mặt phẳng (α) và (β) song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong (α) đều song song với (β).
B. Nếu hai mặt phẳng (α) và (β) song song với nhau thì bất kì đường thẳng nào nằm trong (α) cũng
song song với bất kì đường thẳng nào nằm trong (β).
C. Nếu hai đường thẳng phân biệt a và b song song lần lượt nằm trong hai mặt phẳng (α) và (β) phân biệt thì a k (β).
D. Nếu đường thẳng d song song với mp (α) thì nó song song với mọi đường thẳng nằm trong mp (α). -Lời giải. a α d a α b β b β α Hình 1. Hình 2. Hình 3.
Nếu hai mặt phẳng (α) và (β) song song với nhau thì hai đường thẳng bất kì lần lượt thuộc (α) và (β) có
thể chéo nhau (Hình 1) ⇒ Loại B. Nếu hai đường thẳng phân biệt a và b song song lần lượt nằm trong hai
mặt phẳng (α) và (β) phân biệt thì hai mặt phẳng (α) và (β) có thể cắt nhau (Hình 2) ⇒ Loại C. Nếu
đường thẳng d song song với mp (α) thì nó có thể chéo nhau với một đường thẳng nào đó nằm trong (α) . (Hình 3). Chọn đáp án A
Câu 92. Cho hai mặt phẳng song song (α) và (β), đường thẳng a k (α). Có mấy vị trí tương đối của a và (β)? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. -Lời giải.
Trong không gian, giữa đường thẳng và mặt phẳng có 3 vị trí tương đối: đường thẳng cắt mặt phẳng, đường
thẳng song song với mặt phẳng, đường thẳng nằm trên mặt phẳng. a k (α) mà (α) k (β) ⇒ a và (α) không
thể cắt nhau. Vậy còn 2 vị trí tương đối. Th.s Nguyễn Chín Em 193
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11 Chọn đáp án B
Câu 93. Cho hai mặt phẳng song song (P ) và (Q). Hai điểm M, N lần lượt thay đổi trên (P ) và (Q). Gọi
I là trung điểm của M N. Chọn khẳng định đúng.
A. Tập hợp các điểm I là đường thẳng song song và cách đều (P ) và (Q).
B. Tập hợp các điểm I là mặt phẳng song song và cách đều (P ) và (Q).
C. Tập hợp các điểm I là một mặt phẳng cắt (P ).
D. Tập hợp các điểm I là một đường thẳng cắt (P ). -Lời giải.
Ta có: I là trung điểm của M N ⇒ Khoảng cách từ I đến (P ) bằng khoảng
cách từ I đến (Q) ⇒ Tập hợp các điểm I là mặt phẳng song song và cách M đều (P ) và (Q). P I Q N Chọn đáp án B
Câu 94. Trong các điều kiện sau, điều kiện nào kết luận đường thẳng a song song với mặt phẳng (P )? A. a k b và b ⊂ (P ). B. a k b và b k (P ). C. a k (Q) và (Q) k (P ). D. a ⊂ (Q) và b ⊂ (P ). -Lời giải.
Ta có: a k b và b ⊂ (P ) suy ra a k (P ) hoặc a ⊂ (P ) ⇒ Loại A. a k b và b k (P ) suy ra a k (P ) hoặc
a ⊂ (P ) ⇒ Loại B. a k (Q) và (Q) k (P ) suy ra a k (P ) hoặc a ⊂ (P ) ⇒ Loại C. Chọn đáp án D
Câu 95. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Nếu (α) k (β) và a ⊂ (α) , b ⊂ (β) thì a k b.
B. Nếu (α) k (β) và a ⊂ (α) , b ⊂ (β) thì a và b chéo nhau.
C. Nếu a k b và a ⊂ (α) , b ⊂ (β) thì (α) k (β).
D. Nếu (γ) ∩ (α) = a, (γ) ∩ (β) = b và (α) k (β) thì a k b. -Lời giải.
Nếu (α) k (β) và a ⊂ (α) , b ⊂ (β) thì a k b hoặc a chéo b ⇒ A, B sai. Nếu a k b và a ⊂ (α) , b ⊂ (β) thì
(α) k (β) hoặc (α) và (β) cắt nhau theo giao tuyến song song với a và b. Chọn đáp án D
Câu 96. Cho đường thẳng a ⊂ (P ) và đường thẳng b ⊂ (Q). Mệnh đề nào sau đây đúng? A. (P ) k (Q) ⇒ a k b. B. a k b ⇒ (P ) k (Q).
C. (P ) k (Q) ⇒ a k (Q) và b k (P ). D. a và b chéo nhau. -Lời giải.
Với đường thẳng a ⊂ (P ) và đường thẳng b ⊂ (Q).
Khi (P ) k (Q) ⇒ a k b hoặc a, b chéo nhau ⇒ A sai.
Khi a k b ⇒ (P ) k (Q) hoặc (P ), (Q) cắt nhau theo giao tuyến song song với a và b ⇒ B sai.
a và b có thể chéo nhau, song song hoặc cắt nhau ⇒ D sai. Chọn đáp án C
Câu 97. Hai đường thẳng a và b nằm trong mp (α) . Hai đường thẳng a0 và b0 nằm trong mp (β) . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Nếu a k a0 và b k b0 thì (α) k (β).
B. Nếu (α) k (β) thì a k a0 và b k b0.
C. Nếu a k b và a0 k b0 thì (α) k (β).
D. Nếu a cắt b và a k a0, b k b0 thì (α) k (β). -Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 194
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11 α a a b α β a0 b0 ∆ a0 β Hình 1. Hình 2.
Nếu a k a0 và b k b0 thì (α) k (β) hoặc (α) cắt (β) (Hình 1) ⇒ A sai. Nếu (α) k (β) thì a k a0 hoặc a, a0 chéo nhau (Hình 2) ⇒ B sai.
Nếu a k b và a0 k b0 thì (α) k (β) hoặc (α) cắt CC0. (Hình 1) ⇒ C sai. Chọn đáp án D
Câu 98. Cho hai mặt phẳng (P ) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến ∆. Hai đường thẳng p và q lần lượt nằm
trong (P ) và (Q). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. p và q cắt nhau. B. p và q chéo nhau. C. p và q song song.
D. Cả ba mệnh đề trên đều sai. -Lời giải.
Ta có p và q có thể cắt nhau, song song, chéo nhau (hình vẽ). p ∆ p p q q ∆ ∆ q Chọn đáp án D
Câu 99. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, I theo thứ tự là
trung điểm của SA, SD và AB. Khẳng định nào sau đây đúng? A. (N OM ) cắt (OP M ). B. (M ON ) k (SBC).
C. (P ON ) ∩ (M N P ) = N P . D. (N M P ) k (SBD). -Lời giải.
Ta có M N là đường trung bình của tam giác SAD suy ra M N k AD S (1).
Và OP là đường trung bình của tam giác BAD suy ra OP k AD (2).
Từ (1), (2) suy ra M N k OP k AD ⇒ M, N, O, P đồng phẳng. M
Lại có M P k SB, OP k BC suy ra (M N OP ) k (SBC) hay (M ON ) k N (SBC) . P B A O D C Chọn đáp án B
Câu 100. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Tam giác SBD đều. Một mặt
phẳng (P ) song song với (SBD) và qua điểm I thuộc cạnh AC (không trùng với A hoặc C). Thiết diện của
(P ) và hình chóp là hình gì? A. Hình hình hành. B. Tam giác cân. C. Tam giác vuông. D. Tam giác đều. -Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 195
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Gọi M N là đoạn thẳng giao tuyến của mặt phẳng (P ) và mặt đáy S
(ABCD) . Vì (P ) k (SBD) , (P ) ∩ (ABCD) = M N và (SBD) ∩ (ABCD) = M N suy ra M N k BD.
Lập luận tương tự, ta có
(P ) cắt mặt (SAD) theo đoạn giao tuyến N P với N P k SD. P
(P ) cắt mặt (SAB) theo đoạn giao tuyến M P với M P k SB.
Vậy tam giác M N P đồng dạng với tam giác SBD nên thiết diện của
(P ) và hình chóp S.ABCD là tam giác đều M N P. C B O I M D N A Chọn đáp án D
Câu 101. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. Hình lăng trụ có các cạnh bên song song và bằng nhau.
B. Hai mặt đáy của hình lăng trụ nằm trên hai mặt phẳng song song.
C. Hai đáy của lăng trụ là hai đa giác đều.
D. Các mặt bên của lăng trụ là các hình bình hành. -Lời giải.
Xét hình lăng trụ có đáy là một đa giác (tam giác, tứ giác, . . . ), ta thấy rằng hình lăng trụ luôn có các cạnh
bên song song và bằng nhau. Hai mặt đáy của hình lăng trụ nằm trên hai mặt phẳng song song. Hai đáy
của lăng trụ là hai đa giác bằng nhau (tam giác, tứ giác, . . . ). Các mặt bên của lăng trụ là các hình bình
hành vì có hai cạnh là hai cạnh bên của hình lăng trụ, hai cạnh còn lại thuộc hai đáy song song. Chọn đáp án C
Câu 102. Trong các mệnh đều sau, mệnh đề nào sai?
A. Các cạnh bên của hình lăng trụ bằng nhau và song song với nhau.
B. Các mặt bên của hình lăng trụ là các hình bình hành.
C. Các mặt bên của hình lăng trụ là các hình bình hành bằng nhau.
D. Hai đáy của hình lăng trụ là hai đa giác bằng nhau. -Lời giải.
Các mặt bên của hình lăng trụ là các hình hình hành, chúng bằng nhau nếu hình lăng trụ có đáy là tam giác đều. Chọn đáp án C
Câu 103. Trong các mệnh đều sau, mệnh đề nào đúng?
A. Các cạnh bên của hình chóp cụt đôi một song song.
B. Các cạnh bên của hình chóp cụt là các hình thang.
C. Hai đáy của hình chóp cụt là hai đa giác đồng dạng.
D. Cả 3 mệnh đề trên đều sai. -Lời giải.
Xét hình chóp cụt có đáy là đa giác (tam giác, tứ giác, . . . ) ta thấy rằng: Các cạnh bên của hình chóp cụt
đôi một cắt nhau. Các mặt bên của hình chóp cụt là các hình thang cân. Hai đáy của hình chóp cụt là hai đa giác đồng dạng. Chọn đáp án C
Câu 104. Trong các mệnh đều sau, mệnh đề nào sai?
A. Trong hình chóp cụt thì hai đáy là hai đa giác có các cạnh tương ứng song song và các tỉ số các cặp
cạnh tương ứng bằng nhau.
B. Các mặt bên của hình chóp cụt là các hình thang.
C. Các mặt bên của hình chóp cụt là các hình thang cân.
D. Đường thẳng chứa các cạnh bên của hình chóp cụt đồng quy tại một điểm. -Lời giải.
Với hình chóp cụt, các mặt bên của hình chóp cụt là các hình thang. Chọn đáp án C
Câu 105. Cho hình lăng trụ ABC.A0B0C0. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BB0 và CC0. Gọi ∆ là
giao tuyến của hai mặt phẳng (AM N ) và (A0B0C0) . Khẳng định nào sau đây đúng? Th.s Nguyễn Chín Em 196
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11 A. ∆ k AB. B. ∆ k AC. C. ∆ k BC. D. ∆ k AA0. -Lời giải. M N ⊂ (AM N )   Ta có B0C0 ⊂ A0B0C0 −
→ ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng A0 C0  M N k B0C0
(AM N ) và (A0B0C0) sẽ song song với M N và B0C0. Suy ra ∆ k BC. ∆ B0 N M A C B Chọn đáp án C
Câu 106. Cho hình lăng trụ ABC.A0B0C0. Gọi H là trung điểm của A0B0. Mặt phẳng (AHC0) song song
với đường thẳng nào sau đây? A. CB0. B. BB0. C. BC. D. BA0. -Lời giải.
Gọi M là trung điểm của AB suy ra M B0 k AH ⇒ M B0 k (AHC0) . A C (1) M
Vì M H là đường trung bình của hình bình hành ABB0A0 suy ra M H
song song và bằng BB0 nên M H song song và bằng CC0
⇒ M HC0C là hình hình hành ⇒ M C k HC0 ⇒ M C k (AHC0) . (2) B
Từ (1) và (2), suy ra (B0M C) k (AHC0) ⇒ B0C k (AHC0) . A0 C0 H B0 Chọn đáp án A
Câu 107. Cho hình lăng trụ ABC.A1B1C1. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? A. (ABC) k (A1B1C1). B. AA1 k (BCC1). C. AB k (A1B1C1).
D. AA1B1B là hình chữ nhật. -Lời giải.
Vì mặt bên AA1B1B là hình bình hành, còn nó là hình chữ nhật nếu ABC.A1B1C1 là hình lăng trụ đứng. Chọn đáp án D
Câu 108. Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0. Khẳng định nào dưới đây là sai? A. ABCD là hình bình hành.
B. Các đường thẳng A0C, AC0, DB0, D0B đồng quy. C. (ADD0A0) k (BCC0B0).
D. AD0CB là hình chữ nhật. -Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 197
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Dựa vào hình vẽ và tính chất của hình hộp chữ nhật, ta thấy B C rằng:
Hình hộp có đáy ABCD là hình bình hành. A D
Các đường thẳng A0C, AC0, DB0, D0B cắt nhau tại tâm của AA0C0C, BDD0B0. B0 C0
Hai mặt bên (ADD0A0) , (BCC0B0) đối diện và song song với nhau.
AD0 và CB là hai đường thẳng chéo nhau suy ra AD0CB A0 D0
không phải là hình chữ nhật. Chọn đáp án D
Câu 109. Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0 có các cạnh bên AA0, BB0, CC0, DD0. Khẳng định nào dưới đây sai? A. (AA0B0B) k (DD0C0C). B. (BA0D0) k (ADC0).
C. A0B0CD là hình bình hành.
D. BB0D0D là một tứ giác. -Lời giải.
Dựa vào hình vẽ dưới và tính chất của hình hộp, ta thấy rằng: B C
Hai mặt bên (AA0B0B) và (DD0C0C) đối diện, song song với nhau. A D
Hình hộp có hai đáy (ABCD) , (A0B0C0D0) là hình bình
hành ⇒ A0B0 = CD và A0B0 k CD suy ra A0B0CD là hình hình hành. B0 C0
BD k B0D0 suy ra B, B0, D0, D đồng phẳng ⇒ BB0D0D là tứ giác. A0 D0
Mặt phẳng (BA0D0) chứa đường thẳng CD0 mà CD0 cắt
C0D suy ra (BA0D0) không song song với mặt phẳng (ADC0) . Chọn đáp án B
Câu 110. Nếu thiết diện của một lăng trụ tam giác và một mặt phẳng là một đa giác thì đa giác đó có nhiều nhất mấy cạnh? A. 3 cạnh. B. 4 cạnh. C. 5 cạnh. D. 6 cạnh. -Lời giải.
Đa giác thiết diện của một lăng trụ tam giác và một mặt phẳng có nhiều nhất 5 cạnh với các cạnh thuộc
các mặt của hình lăng trụ tam giác. Chọn đáp án C
Câu 111. Nếu thiết diện của một hình hộp và một mặt phẳng là một đa giác thì đa giác đó có nhiều nhất mấy cạnh? A. 4 cạnh. B. 5 cạnh. C. 6 cạnh. D. 7 cạnh. -Lời giải.
Vì hình hộp là hình lăng trụ có đáy là tứ giác và có 6 mặt nên thiết diện của hình hộp và mặt phẳng bất
kì là một đa giác có nhiều nhất 6 cạnh. Chọn đáp án C
Câu 112. Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0. Gọi I là trung điểm của AB. Mặt phẳng (IB0D0) cắt hình hộp
theo thiết diện là hình gì? A. Tam giác. B. Hình thang. C. Hình bình hành. D. Hình chữ nhật. -Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 198
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11 B0D0 ⊂ IB0D0   Ta có BD ⊂ (ABCD) −
→ Giao tuyến của (IB0D0) với (ABCD) A0 D0 M  B0D0 k BD I
là đường thẳng d đi qua I và song song với BD. Trong mặt phẳng B0 C0 (ABCD), gọi M = d ∩ AD −
→ IM k BD k B0D0. Khi đó thiết diện
là tứ giác IM B0D0 và tứ giác này là hình thang. A D B C Chọn đáp án B
Câu 113. Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0. Gọi (α) là mặt phẳng đi qua một cạnh của hình hộp và cắt
hình hộp theo thiết diện là một tứ giác T . Khẳng định nào sau đây đúng? A. T là hình chữ nhật. B. T là hình bình hành. C. T là hình thoi. D. T là hình vuông. -Lời giải.
Giả sử mặt phẳng (α) đi qua cạnh AB và cắt hình hộp theo tứ B C
giác T. Gọi d là đường thẳng giao tuyến của (α) và mặt phẳng
(A0B0C0D0) . Ta chứng minh được AB k d suy ra tứ giác T là một hình bình hành. A D B0 C0 A0 D0 d Chọn đáp án B
Câu 114. Cho hình chóp cụt tam giác ABC.A0B0C0 có 2 đáy là 2 tam giác vuông tại A và A0 và có AB 1 S∆ABC =
. Khi đó tỉ số diện tích bằng A0B0 2 S∆A0B0C0 1 1 A. . B. . C. 2. D. 4. 2 4 -Lời giải.
Hình chóp cụt ABC.A0B0C0 có hai mặt đáy là hai mặt phẳng song song A C S∆ABC
nên tam giác ABC đồng dạng tam giác A0B0C0 suy ra = S∆A0B0C0 1 · AB · AC B 2 AB AC 1 = · = . 1 A0B0 A0C0 4 · A0B0 · A0C0 2 A0 C0 B0 Chọn đáp án B
Câu 115. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC thỏa mãn AB = AC = 4, ’ BAC = 30◦. Mặt
phẳng (P ) song song với (ABC) cắt đoạn SA tại M sao cho SM = 2M A. Diện tích thiết diện của (P ) và
hình chóp S.ABC bằng bao nhiêu? 16 14 25 A. . B. . C. . D. 1. 9 9 9 -Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 199
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11 1 1 Ta có S∆ABC = · AB · AC · sin ’ BAC =
· 4 · 4 · sin 300 = 4. Gọi 2 2 S
N, P lần lượt là giao điểm của mặt phẳng (P ) và các cạnh SB, SC. Vì SM SN SP 2
(P ) k (ABC) nên theoo định lí Talet, ta có = = = . SA SB SC 3
Khi đó (P ) cắt hình chóp S.ABC theo thiết diện là tam giác M N P đồng N M 2
dạng với tam giác ABC theo tỉ số k = . 3 P Å 2 ã2 16 A C
Vậy S∆MNP = k2 · S∆ABC = · 4 = . 3 9 B Chọn đáp án A
Câu 116. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân với cạnh bên BC = 2, hai đáy
AB = 6, CD = 4. Mặt phẳng (P ) song song với (ABCD) và cắt cạnh SA tại M sao cho SA = 3SM. Diện
tích thiết diện của (P ) và hình chóp S.ABCD bằng bao nhiêu? √ √ √ 5 3 2 3 7 3 A. . B. . C. 2. D. . 9 3 9 -Lời giải. S D C Q M P N A D C B A H K B
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của D, C trên AB. ®AH = BK; CD = HK ABCD là hình thang cân ⇒ ⇒ BK = 1. AH + HK + BK = AB √ √ √
Tam giác BCK vuông tại K, có CK = BC2 − BK2 = 22 − 12 =
3. Suy ra diện tích hình thang AB + CD √ 4 + 6 √ ABCD là SABCD = CK · = 3 · = 5 3. 2 2
Gọi N, P, Q lần lượt là giao điểm của P và các cạnh SB, SC, SD. Vì (P ) k (ABCD) nên theo định lí Talet, M N N P P Q QM 1 ta có = = = = . AB BC CD AD 3 √ 5 3
Khi đó (P ) cắt hình chóp theo thiết diện M N P Q có diện tích SMNP Q = k2 · SABCD = . 9 Chọn đáp án A
Câu 117. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành có tâm O, AB = 8, SA = SB = 6.
Gọi (P ) là mặt phẳng qua O và song song với (SAB) . Thiết diện của (P ) và hình chóp S.ABCD có diện tích bằng √ √ A. 5 5. B. 6 5. C. 12. D. 13. -Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 200
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Qua O kẻ đường thẳng d song song AB và cắt BC, AD lần lượt tại S
P, Q. Kẻ P N song song với SB (N ∈ SB), kẻ QM song song với
SA (M ∈ SA) . Khi đó (M N P Q) k (SAB) ⇒ thiết diện của (P )
và hình chóp S.ABCD là tứ giác M N P Q.
Vì P, Q là trung điểm của BC, AD suy ra N, M lần lượt là
trung điểm của SC, SD. Do đó M N là đường trung bình tam M CD AB SB N giác SCD ⇒ M N = = = 4. Và N P = = 3; 2 2 2 A SA QM =
= 3 ⇒ N P = QM ⇒ M N P Q là hình thang cân. B 2 P Q C D 1
Hạ N H, M K vuông góc với P Q. Ta có P H = KQ ⇒ P H = (P Q − M N ) = 2. √ 2
Tam giác P HN vuông, có N H = 5. P Q + N M √
Vậy diện tích hình thang M N P Q là SMNP Q = N H · = 6 5. 2 Chọn đáp án B
Câu 118. Cho hình lăng trụ ABC.A0B0C0. Gọi H là trung điểm của A0B0. Đường thẳng B0C song song
với mặt phẳng nào sau đây? A. (AHC0). B. (AA0H). C. (HAB). D. (HA0C). -Lời giải.
Gọi M là trung điểm của AB suy ra M B0 k AH A C ⇒ M B0 k (AHC0) . (1) M
Vì M H là đường trung bình của hình bình hành ABB0A0 suy ra M H
song song và bằng BB0 nên M H song song và bằng CC0
⇒ M HC0C là hình hình hành ⇒ M C k HC0 ⇒ M C k (AHC0) . (2) B
Từ (1) và (2), suy ra (B0M C) k (AHC0) ⇒ B0C k (AHC0) . A0 C0 H B0 Chọn đáp án A
Câu 119. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.
A. Nếu hai mặt phẳng (α) và(β) song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong (α) đều song song với (β).
B. Nếu hai mặt phẳng (α) và (β) song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong (α) đều song song
với mọi đường thẳng nằm trong (β).
C. Nếu hai đường thẳng song song với nhau lần lượt nằm trong hai mặt phẳng phân biệt (α) và(β) thì
(α) và (β) song song với nhau.
D. Qua một điểm nằm ngoài mặt phẳng cho trước ta vẽ được một và chỉ một đường thẳng song song với
mặt phẳng cho trước đó. -Lời giải.
Đáp án B, C sai. Hai đường thẳng lần lượt nằm trên hai mặt phẳng song song với nhau thì có thể chéo nhau.
Đáp án D sai vì qua một điểm nằm ngoài mặt phẳng cho trước ta vẽ được vô số đường thẳng song song với
mặt phẳng cho trước đó. Chọn đáp án A
Câu 120. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm các cạnh AC, BD, AB, CD,
AD, BC. Bốn điểm nào sau đây không đồng phẳng? A. P, Q, R, S. B. M, P, R, S. C. M, R, S, N . D. M, N, P, Q. -Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 201
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Dễ thấy (M P R) k (BCD) , mà S ∈ (BCD) ⇔ S / ∈ (M P R) . A
Vậy M, P, R, S không đồng phẳng. P R M B D N S Q C Chọn đáp án B
Câu 121. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng?
A. Nếu (α) k (β) và a ⊂ (α) , b ⊂ (β) thì a k b.
B. Nếu a k (α) và b k (β) thì a k b.
C. Nếu (α) k (β) và a ⊂ (α) thì a k (β).
D. Nếu a k b và a ⊂ (α) , b ⊂ (β) thì (α) k (β).
Câu 122. Trong không gian, cho hai mặt phẳng phân biệt (α) và (β) . Có bao nhiêu vị trí tương đối giữa (α) và (β)? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. -Lời giải.
Trong không gian hai mặt phẳng phân biệt (α) và (β) có hai vị trí tương đối là: cắt nhau hay song song. Chọn đáp án B
Câu 123. Cho tứ diện đều SABC. Gọi I là trung điểm của đoạn AB, M là điểm di động trên đoạn AI.
Qua M vẽ mặt phẳng (α) song song với (SIC) . Thiết diện tạo bởi (α) với tứ diện SABC là A. Tam giác cân tại M . B. Tam giác đều. C. Hình bình hành. D. Hình thoi. -Lời giải. ®M N k SI
Gọi N, P lần lượt nằm trên các cạnh SA, AC sao cho . M P k IC S
⇔ (M P N ) k (SIC) ⇔ (M N P ) ≡ (α).
Vậy thiết diện là tam giác M N P .
Tứ diện SABC đều nên tam giác SIC cân tại I. AM M P M N N Ngoài ra ta có = = ⇔ M N = M P . AI IP M P
Suy ra tam giác M N P cân tại M . P C A M I B Chọn đáp án A
Câu 124. Cho tứ diện đều SABC cạnh bằng a. Gọi I là trung điểm của đoạn AB, M là điểm di động trên
đoạn AI. Qua M vẽ mặt phẳng (α) song song với (SIC) . Tính chu vi của thiết diện tạo bởi (α) với tứ diện SABC, biết AM = x. √ √ √ Ä ä Ä ä Ä ä A. x 1 + 3 . B. 2x 1 + 3 . C. 3x 1 + 3 . D. Không tính được. -Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 202
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11 AM
Để ý hai tam giác M N P và SIC đồng dạng với tỉ số = AI S 2x C 2x 2x ⇒ M N P = ⇔ CMNP = (SI + IC + SC) = a CSIC a a √ √ Ç å 2x a 3 a 3 √ Ä ä + + a = 2x 3 + 1 . a 2 2 N P C A M I B Chọn đáp án B
Câu 125. Cho hình bình hành ABCD. Gọi Bx, Cy, Dz là các đường thẳng song song với nhau lần lượt đi
qua B, C, D và nằm về một phía của mặt phẳng (ABCD) đồng thời không nằm trong mặt phẳng (ABCD) .
Một mặt phẳng đi qua A cắt Bx, Cy, Dz lần lượt tại B0, C0, D0 với BB0 = 2, DD0 = 4. Khi đó độ dài CC0 bằng bao nhiêu? A. 3. B. 4. C. 5. D. 6. -Lời giải.
Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD. Dựng đường thẳng qua C0
O song song BB0 và cắt B0D0 tại O0.
Theo cách dưng trên, ta có OO0 là đường trung bình của hình BB0 + DD0 D0 thang BB0D0D ⇔ OO0 = = 3. 2
Ngoài ra ta có OO0 là đường trung bình của tam giác ACC0 ⇔ O0 CC0 = 2OO0 = 6. B0 C D O A B Chọn đáp án D
Câu 126. Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAB nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi M là
điểm di động trên đoạn AB. Qua M vẽ mặt phẳng (α) song song với (SBC). Thiết diện tạo bởi (α) và hình chóp S.ABCD là hình gì? A. Hình tam giác. B. Hình bình hành. C. Hình thang. D. Hình vuông. -Lời giải.
Lần lượt lấy các điểm N, P, Q thuộc các cạnh CD, SD, SA thỏa M N k S BC, N P k SC, P Q k AD.
Suy ra (α) ≡ (M N P Q) và (α) k (SBC). Theo cách dựng trên thì thiết diện là hình thang. Q P A B M O D N C Chọn đáp án C
Câu 127. Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAB nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi M là
điểm di động trên đoạn AB. Qua M vẽ mặt phẳng (α) song song với (SBC). Gọi N, P, Q lần lượt là giao
của mặt phẳng (α) với các đường thẳng CD, SD, SA. Tập hợp các giao điểm I của hai đường thẳng M Q và N P là Th.s Nguyễn Chín Em 203
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
A. Đường thẳng song song với AB. B. Nửa đường thẳng.
C. Đoạn thẳng song song với AB. D. Tập hợp rỗng. -Lời giải.
Lần lượt lấy các điểm N, P, Q thuộc các cạnh CD, SD, SA thỏa T I S
M N k BC, N P k SC, P Q k AD. Suy ra (α) ≡ (M N P Q) và (α) k (SBC). ® Q I, S ∈ (SCD) Vì I = M Q ∩ N P ⇔ ⇔ I nằm trên đường I, S ∈ (SAB) P
thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD). ®M ≡ B ⇒ I ≡ S A Khi
với T là điểm thỏa mãn tứ giác ABST B M ≡ A ⇒ I ≡ T M là hình bình hành. O D N C
Vậy quỹ tích cần tìm là đoạn thẳng song song với AB. Chọn đáp án C ĐÁP ÁN 1. C 2. D 3. A 4. B 5. B 6. D 7. D 8. C 9. D 10. D 11. B 12. D 13. A 14. A 15. B 16. C 17. C 18. C 19. C 20. C 21. A 22. A 23. D 24. D 25. B 26. C 27. C 28. B 29. B 30. B 31. A 32. D 33. B 34. B 35. C 36. B 37. D 38. B 39. C 40. D 41. A 42. A 43. D 44. C 45. C 46. A 47. A 48. B 49. B 50. C 51. A 52. D 53. C 54. C 55. C 56. B 57. C 58. B 59. B 60. B 61. D 62. A 63. A 64. B 65. D 66. B 67. A 68. B 69. B 70. A 71. D 72. A 73. D 74. B 75. B 76. C 77. B 78. D 79. B 80. C 81. C 82. A 83. B 84. B 85. C 86. C 87. B 88. D 89. C 90. D 91. A 92. B 93. B 94. D 95. D 96. C 97. D 98. D 99. B 100. D 101. C 102. C 103. C 104. C 105. C 106. A 107. D 108. D 109. B 110. C 111. C 112. B 113. B 114. B 115. A 116. A 117. B 118. A 119. A 120. B 121. C 122. B 123. A 124. B 125. D 126. C 127. C Th.s Nguyễn Chín Em 204
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11 BÀI 5.
PHÉP CHIẾU SONG SONG - HÌNH BIỂU DIỄN
CỦA MỘT HÌNH KHÔNG GIAN A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Khái niệm.
Cho mặt phẳng (α) và đường thẳng ∆ cắt (α). M
Với mỗi điểm M trong không gian, đường thẳng đi qua M
và song song hoặc trùng với ∆ cắt (α) tại điểm M 0 xác định. ∆
Điểm M 0 được gọi là hình chiếu song song của điểm M trên M 0
mặt phẳng (α) theo phương ∆.
Mặt phẳng (α) gọi là mặt phẳng chiếu, phương ∆ được gọi α là phương chiếu.
Phép đặt tương ứng mỗi điểm M trong không gian với hình chiếu song song M 0 của nó trên (α) theo
phương ∆ được gọi là phép chiếu song song lên (α) theo phương ∆. 4 !
Chú ý: Nếu một đường thẳng có phương trùng với phương chiếu thì hình chiếu song song của nó
lên mặt phẳng chiếu là một điểm (trùng với giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng chiếu).
Tính chất 1. Phép chiếu song song:
1 Bảo toàn sự thẳng hàng và thứ tự các điểm.
2 Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng.
3 Biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.
4 Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng nằm trên hai đường
thẳng song song hoặc cùng nằm trên một đường thẳng.
Tính chất 2. Hình biểu diễn của một hình không gian trên mặt phẳng:
1 Hình biểu diễn của một hình trong không gian là hình chiếu song song của hình đó lên mặt
phẳng hoặc đồng dạng với hình chiếu đó.
2 Hình biểu diễn của tam giác cân, tam giác vuông, tam giác đều thường là một tam giác bất kỳ.
3 Hình biểu diễn của hình bình hành, hình thoi, hình chữ nhật, hình vuông thường là hình bình hành.
4 Hình biểu diễn của hình thang là một hình thang.
5 Hình biểu diễn của hình tròn là hình elip hay hình tròn. 4 !
Chú ý: Khi vẽ hình biểu diễn của hình không gian trên mặt phẳng cần bảo toàn tính song song,
thẳng hàng và tỉ số hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song song hoặc trên cùng một đường thẳng. B
CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1. Cho hình lăng trụ ABC.A0B0C0. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Qua phép chiếu
song song phương AA0 mặt phẳng chiếu là (A0B0C0) biến G thành G0. Chứng minh G0 là trọng tâm của tam giác A0B0C0. -Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 205
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Gọi M là trung điểm của AB. A0 C0
Do ABC.A0B0C0 là hình lăng trụ. G0
Suy ra qua phép chiếu song song phương AA0 biến B thành B0, biến M 0 M thành M 0. B0
Theo đầu bài G là trọng tâm tam giác ABC. Suy ra B, M , G thẳng BG 2 hàng và = . BM 3 B0G0 2
Ta có B0, M 0, G0 thẳng hàng và = . A C B0M 0 3
Mặt khác M là trung điểm của AC, suy ra M 0 là trung điểm của C0. M G
Suy ra G0 là trọng tâm của tam giác A0B0C0. B C
BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN
Bài 1. Hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau có thể song song với nhau không? Hình chiếu
song song của hai đường thẳng cắt nhau có thể song song với nhau hay không? -Lời giải.
Hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau có thể song song với nhau.
Hình chiếu của hai đường thẳng cắt nhau thì không thể song song với nhau.
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành, O là tâm của đáy. Trên cạnh SB, SD lần lượt lấy 1
điểm M , N sao cho SM = 2M B, SN =
SD. Hình chiếu của M , N qua phép chiếu song song phương SO 3 OP
mặt phẳng chiếu (ABCD) lần lượt là P , Q. Tính tỉ số . OQ -Lời giải.
Do P là hình chiếu song song của M qua phép chiếu song song phương S BM BP SO ⇒ = . BS BO N BP 1 OP 2 Mà SM = 2M B ⇒ = ⇒ = . BO 3 OB 3 OQ 1
Chứng minh tương tự, ta có = . OD 3 M A D OP 1 Ta có BO = DO ⇒ = . OQ 2 P Q O B C
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình bình hành. Gọi O là tâm của đáy, lấy M , N lần lượt là ảnh
của điểm A, D qua phép chiếu song song phương SO trên mặt phẳng (SBC). Khi đó tứ giác BCN M là
hình gì? Hình chóp S.ABCD thêm điều kiện gì để tứ giác BCN M là hình vuông? -Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 206
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Theo bài ra M , N lần lượt là ảnh của điểm A, D qua phép chiếu song M N
song phương SO trên mặt phẳng (SBC). Ta có SO k AM, SO k DN
và O là trung điểm của AC.
Suy ra SO là đường trung bình của các tam giác CAM, BDN .
Nên AM k DN và AM = DN ⇒ ADN M là hình bình hành ⇒ M N k
BC và M N = BC ⇒ BCN M là hình bình hành.
Để BCN M là hình vuông thì BN = CM và BN ⊥ CM suy ra hình
chóp S.ABCD có mặt bên SBC là tam giác vuông cân tại S S D A O B C
Bài 4. Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0, tìm ảnh của điểm A, B0.
1 Qua phép chiếu song song phương CD mặt phẳng chiếu (BCC0B0).
2 Qua phép chiếu song song phương CD0 mặt phẳng chiếu (ABB0A0). -Lời giải. A0 D0
1 Ta có AB k CD nên ảnh của điểm A qua phép chiếu song song
phương CD lên mặt phẳng (BCC0B0) là điểm B. Mặt khác điểm
B0 ∈ (BCC0B0) nên ảnh của B0 qua qua phép chiếu song song B0 C0
phương CD lên mặt phẳng (BCC0B0) là điểm B0.
2 Do CD0 k BA0 ⇒ CD0 k (ABB0A0). Nên phương chiếu CD0
không cắt mặt phẳng chiếu (ABB0A0). Vì vậy ta không xác định D
được ảnh của A, B0 qua phép chiếu song song phương CD0 mặt A phẳng chiếu (ABB0A0). B C D
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Qua phép chiếu song song, tính chất nào không được bảo toàn? A. Chéo nhau. B. Đồng qui. C. Song song. D. Thẳng hàng. -Lời giải.
Do hai đường thẳng qua phép chiếu song song ảnh của chúng sẽ cùng thuộc một mặt phẳng. Suy ra tính
chất chéo nhau không được bảo toàn. Chọn đáp án A
Câu 2. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai?
A. Phép chiếu song song biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng.
B. Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song.
C. Phép chiếu song song biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không thay đổi thứ tự của ba điểm đó.
D. Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng
song song hoặc cùng nằm trên một đường thẳng. -Lời giải.
Tính chất của phép chiếu song song: Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường
thẳng song song hoặc trùng nhau. Th.s Nguyễn Chín Em 207
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Suy ra mệnh đề “Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song ”
sai vì chúng có thể trùng nhau. Chọn đáp án B
Câu 3. Cho hình lăng trụ ABC.A0B0C0, qua phép chiếu song song phương CC0, mặt phẳng chiếu (A0B0C0)
biến M thành M 0. Trong đó M là trung điểm của BC. Chọn mệnh đề đúng?
A. M 0 là trung điểm của A0B0.
B. M 0 là trung điểm của B0C0.
C. M 0 là trung điểm của A0C0.
D. Cả ba đáp án trên đều sai. -Lời giải.
Ta có phép chiếu song song phương CC0, biến C thành C0, biến B thành A0 C0
B0. Do M là trung điểm của BC suy ra M 0 là trung điểm của B0C0 vì
phép chiếu song song bảo toàn thứ tự của ba điểm thẳng hàng và bảo toàn M 0
tỉ số của hai đoạn thẳng nằm trên cùng một đường thẳng hoặc trên hai B0 đường thẳng song song. A C M B Chọn đáp án B
Câu 4. Cho hình lăng trụ ABC.A0B0C0. Gọi I, I0 lần lượt là trung điểm của AB, A0B0. Qua phép chiếu
song song phương AI0, mặt phẳng chiếu (A0B0C0) biến I thành? A. A0. B. B0. C. C0. D. I0. -Lời giải. AI k B0I0 ´ Ta có
⇒ AIB0I0 là hình bình hành. AI = B0I0 A0 C0 I0
Suy ra qua phép chiếu song song phương AI0, mặt phẳng chiếu (A0B0C0)
biến điểm I thành điểm B0. B0 A C I B Chọn đáp án B
Câu 5. Cho tam giác ABC ở trong mặt phẳng (α) và phương l. Biết hình chiếu (theo phương l) của tam
giác ABC lên mặt phẳng (P ) là một đoạn thẳng. Khẳng định nào sau đây đúng? A. (α) k (P ). B. (α) ≡ (P ). C. (α) k l hoặc (α) ⊃ l.
D. Cả ba đáp án A, B, C đều sai. -Lời giải.
Phương án A: Hình chiếu của tam giác ABC vẫn là một tam giác A trên mặt phẳng (α). C
Phương án B: Hình chiếu của tam giác ABC vẫn là tam giác ABC.
Phương án C: Khi phương chiếu l song song với (α) hoặc chứa l
trong mặt phẳng (α). Thì hình chiếu của tam giác ABC là một
đoạn thẳng trên mặt phẳng (α). B Q R α P Chọn đáp án C
Câu 6. Phép chiếu song song theo phương l không song song với a hoặc b, mặt phẳng chiếu là (P ), hai
đường thẳng a và b biến thành a0 và b0. Quan hệ nào giữa a và b không được bảo toàn trong phép chiếu Th.s Nguyễn Chín Em 208
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11 song song? A. Cắt nhau. B. Trùng nhau. C. Song song. D. Chéo nhau. -Lời giải.
Do hai đường thẳng a0 và b0 cùng thuộc mặt phẳng chiếu (P ). Suy ra tính chất chéo nhau không được bảo toàn. Chọn đáp án D
Câu 7. Hình chiếu của hình chữ nhật không thể là hình nào trong các hình sau?
A. Hình thang có hai đáy không bằng nhau. B. Hình bình hành. C. Hình chữ nhật. D. Hình thoi. -Lời giải.
Tính chất của phép chiếu song song. Chọn đáp án A
Câu 8. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hình chiếu song song của một hình chóp cụt có thể là một hình tam giác.
B. Hình chiếu song song của một hình chóp cụt có thể là một đoạn thẳng.
C. Hình chiếu song song của một hình chóp cụt có thể là một hình chóp cụt.
D. Hình chiếu song song của một hình chóp cụt có thể là một điểm. -Lời giải.
Qua phép chiếu song song chỉ có thể biến hình chóp cụt thành một đa giác. Loại phương án - có thể là một
đoạn thẳng, có thể là một điểm.
Ảnh của một hình qua phép chiếu song song không thể là một hình đa diện – loại phương án có thể là một hình chóp cụt.
Chọn phương án - có thể là một hình tam giác. Chọn đáp án A
Câu 9. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai?
A. Hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau có thể song song với nhau.
B. Một đường thẳng có thể trùng với hình chiếu của nó.
C. Hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau có thể trùng nhau.
D. Một tam giác bất kỳ đều có thể xem là hình biểu diễn của một tam giác cân. -Lời giải.
Nếu hình chiếu song song của hai đường thẳng là một đường thẳng thì hai đường thẳng đó phải cùng nằm
trong một mặt phẳng song song hoặc chứa phương chiếu. Mặt khác hai đường thẳng chéo nhau không cùng
nằm trong bất kỳ mặt phẳng nào. Do đó mệnh đề “Hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau có thể trùng nhau.” là sai. Chọn đáp án C
Câu 10. Phép chiếu song song biến ba đường thẳng song song thành
A. Ba đường thẳng đôi một song song với nhau. B. Một đường thẳng.
C. Thành hai đường thẳng song song.
D. Cả ba trường hợp trên đều có thể xảy ra. -Lời giải.
Tính chất phép chiếu song song. Chọn đáp án D
Câu 11. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hình chiếu song song của hình lập phương ABCD.A0B0C0D0 theo phương AA0 lên mặt phẳng (ABCD) là hình bình hành.
B. Hình chiếu song song của hình lập phương ABCD.B0C0D0 theo phương AA0 lên mặt phẳng (ABCD) là hình vuông.
C. Hình chiếu song song của hình lập phương ABCD.B0C0D0 theo phương AA0 lên mặt phẳng (ABCD) là hình thoi.
D. Hình chiếu song song của hình lập phương ABCD.A0B0C0D0 theo phương AA0 lên mặt phẳng (ABCD) là một tam giác. -Lời giải.
phép chiếu song song phương AA0 lên mặt phẳng (ABCD) sẽ biến A0 thành A, biến B0 thành B, biến C0
thành C, biến D0 thành D. Nên hình chiếu song song của hình lập phương ABCD.A0B0C0D0 là hình vuông. Chọn đáp án B Th.s Nguyễn Chín Em 209
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Câu 12. Hình chiếu của hình vuông không thể là hình nào trong các hình sau? A. Hình vuông. B. Hình bình hành.
C. Hình thang có hai cạnh đáy không bằng nhau. D. Hình thoi. -Lời giải.
Tính chất của phép chiếu song song. Chọn đáp án C
Câu 13. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai?
A. Một đường thẳng luôn cắt hình chiếu của nó.
B. Một tam giác bất kỳ đề có thể xem là hình biểu diễn của một tam giác cân.
C. Một đường thẳng có thể song song với hình chiếu của nó.
D. Hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau có thể song song với nhau. -Lời giải.
Khi mặt phẳng chiếu song song với đường thẳng đã cho thì đường thẳng đó song song với hình chiếu của nó. Chọn đáp án A
Câu 14. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai?
A. Hình chiếu song song của hai đường thẳng cắt nhau có thể song song với nhau.
B. Một tam giác bất kỳ đề có thể xem là hình biểu diễn của một tam giác vuông.
C. Một đường thẳng có thể cắt với hình chiếu của nó.
D. Hình chiếu song song của hai đường thẳng cắt nhau có thể trùng nhau. -Lời giải.
Hai đường thẳng cắt nhau thì cùng nằm trong một mặt phẳng.
Khi mặt phẳng đó song song với phương chiếu thì hình chiếu của chúng trùng nhau hoặc là một điểm nằm trên một đường thẳng.
Khi mặt phẳng đó không song song với phương chiếu thì hình chiếu của chúng là hai đường thẳng cắt nhau. Chọn đáp án A
Câu 15. Nếu đường thẳng a cắt mặt phẳng chiếu (P ) tại điểm A thì hình chiếu song song của a trên mặt phẳng (P ) sẽ là: A. Điểm A.
B. Trùng với phương chiếu.
C. Đường thẳng đi qua A.
D. Đường thẳng đi qua A hoặc chính A. -Lời giải.
Nếu phương chiếu song song hoặc trùng với đường thẳng a thì hình chiếu là điểm A.
Nếu phương chiếu không song song hoặc không trùng với đường thẳng a thì hình chiếu là đường thẳng đi qua điểm A. Chọn đáp án D
Câu 16. Giả sử tam giác ABC là hình biểu diễn của một tam giác đều. Hình biểu diễn của tâm đường
tròn ngoại tiếp tam giác đều là:
A. Giao điểm của hai đường trung tuyến của tam giác ABC.
B. Giao điểm của hai đường trung trực của tam giác ABC.
C. Giao điểm của hai đường đường cao của tam giác ABC.
D. Giao điểm của hai đường phân giác của tam giác ABC. -Lời giải.
Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều đồng thời là trọng tâm tam giác đó. Do tam giác ABC là hình
biểu diễn của tam giác đều, kết hợp với tính chất bảo toàn thứ tự của ba điểm thẳng hàng và bảo toàn tỉ
số hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song song hoặc nằm trên cùng một đường thẳng ta được hình
biểu diễn của tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều là trọng tâm của tam giác ABC. Chọn đáp án A
Câu 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, M là trung điểm của SC. Hình chiếu song
song của điểm M theo phương AB lên mặt phẳng (SAD) là điểm nào sau đây? A. S. B. Trung điểm của SD. C. A. D. D. -Lời giải.
Giả sử N là ảnh của M theo phép chiếu song song phương AB lên mặt phẳng (SAD).
Suy ra M N k AB ⇒ M N k CD. Do M là trung điểm của SC ⇒ N là trung điểm của SD. Chọn đáp án B Th.s Nguyễn Chín Em 210
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Câu 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Hình chiếu song song của điểm A theo phương
AB lên mặt phẳng (SBC) là điểm nào sau đây? A. S.
B. Trung điểm của BC. C. B. D. C. -Lời giải.
Do AB ∩ (SBC) = {B} suy ra hình chiếu song song của điểm A theo phương AB lên mặt phẳng (SBC) là điểm B. Chọn đáp án C
Câu 19. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau?
A. Phép chiếu song song có thể biến đường thẳng thành đường thẳng.
B. Phép chiếu song song có thể biến đường thẳng thành đoạn thẳng.
C. Phép chiếu song song có thể biến đường thẳng thành một điểm.
D. Phép chiếu song song có thể biến một đường thẳng thành chính nó. -Lời giải.
Phép chiếu song song chỉ có thể biến đường thẳng thành đường thẳng hoặc thành một điểm. Chọn đáp án B
Câu 20. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau?
A. Phép chiếu song song có thể biến một tam giác đều thành một tam giác bất kỳ.
B. Phép chiếu song song có thể biến một tam giác vuông thành một tam giác bất kỳ.
C. Phép chiếu song song biến một tam giác thành một tam giác.
D. Phép chiếu song song biến một tam giác thành một tam giác, thành một điểm hoặc một đoạn thẳng. -Lời giải.
Phép chiếu song song không thể biến một tam giác thành một điểm vì khi đó các đoạn thẳng đó phải thẳng
hàng và song song với phương chiếu. Chọn đáp án D
Câu 21. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau?
A. Phép chiếu song song có thể biến một tứ diện thành một hình bình hành.
B. Phép chiếu song song có thể biến một tứ diện thành một hình tam giác.
C. Phép chiếu song song có thể biến một tứ diện thành một hình vuông.
D. Phép chiếu song song có thể biến một tứ diện thành một đường thẳng. -Lời giải.
Phép chiếu song song không thể biến một tứ diện thành một đường thẳng vì các cạnh tứ diện đều là đoạn
thẳng. Nó cũng không thể biến tứ diện thành một đoạn thẳng vì khi đó các cạnh của tứ diện phải cùng
nằm trong một mặt phẳng. Chọn đáp án D
Câu 22. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Phép chiếu song song có thể biến hình bình hành thành một hình thang bất kỳ.
B. Phép chiếu song song có thể biến hình thang bất kỳ thành hình bình hành.
C. Phép chiếu song song có thể biến hình bình hành thành tứ giác bất kỳ.
D. Phép chiếu song song có thể biến hình thoi thành hình bình hành. -Lời giải.
Tính chất phép chiếu song song. Chọn đáp án D
Câu 23. Giả sử tứ giác ABCD là hình biểu diễn của một hình vuông. Nếu ABCD là một hình bình hành,
thì đường tròn ngoại tiếp hình vuông cho trước được biểu diễn là hình gì, có tính chất như thế nào với hình bình hành ABCD:
A. Là đường tròn đi qua các đỉnh của hình bình hành ABCD.
B. Là đường elip đi qua các đỉnh của hình bình hành ABCD.
C. Là đường tròn nhưng không đi qua các đỉnh của hình bình hành ABCD.
D. Là đường elip nhưng không đi qua các đỉnh của hình bình hành ABCD. -Lời giải.
Hình biểu diễn của hình vuông thành hình bình hành nên sẽ hình biểu diễn của đường tròn ngoại tiếp hình
vuông đó là đường elip đồng thời giữ nguyên mối quan hệ liên thuộc của đỉnh hình vuông với đường tròn Th.s Nguyễn Chín Em 211
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
ngoại tiếp nên hình biểu diễn của đường tròn ngoại tiếp hình vuông là đường elip đi qua các đỉnh của hình bình hành ABCD. Chọn đáp án B
Câu 24. Giả sử tứ giác ABCD là hình biểu diễn của một tứ diện ABCD0. Nếu ABCD là một hình vuông,
tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.
A. 4ABC là tam giác vuông cân tại A.
B. 4ABC là tam giác vuông cân tại C.
C. 4ABC là tam giác vuông cân tại B. D. 4ABC là tam giác đều. -Lời giải.
Do ABCD là hình vuông nên tam giác ABC vuông cân tại B. Hình biểu diễn của tứ diện ABCD0 là tứ
giác ABCD nên hình biểu diễn của tam giác ABC là tam giác ABC. Chọn đáp án C
Câu 25. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, trên cạnh SA lấy điểm M sao cho M A = 2M S.
Gọi O là tâm của đáy, qua phép chiếu song song phương M O mặt phẳng chiếu (ABCD) biến điểm S thành CN điểm N . Tính tỷ số . CA 1 2 1 1 A. . B. . C. . D. . 2 3 4 3 -Lời giải.
Phép chiếu song song phương M O lên mặt phẳng (ABCD) biến điểm S
S thành điểm N . Do đó SN k M O ⇒ N ∈ AC. ON SM 1 Xét tam giác SAN có = =
⇒ N là trung điểm của OC. OA M A 2 CN 1 Từ đó suy ra = . M CA 4 B C N O A D Chọn đáp án C
Câu 26. Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0. Qua phép chiếu song song phương AB lên mặt phẳng chiếu
(BDD0B0). Hỏi hình chiếu của hình hộp là hình gì? A. Hình bình hành. B. Hình thoi. C. Hình chữ nhật. D. Hình vuông. -Lời giải.
Qua phép chiếu song song phương AB lên mặt phẳng chiếu (BDD0B0) A0 D0
ta có A, B biến thành B, A0, B0 biến thành B0, C, D biến thành D,
C0, D0 biến thành D0. Do đó hình hộp ABCD.A0B0C0D0 biến thành hình bình hành BDD0B0. B0 C0 D A B C Chọn đáp án A
Câu 27. Cho hình chóp S.ABC các mặt bên là tam giác đều. Gọi M là trung điểm của BC, N là điểm SN 1 trên cạnh SA sao cho =
. Qua phép chiếu song song phương SM mặt phẳng chiếu (ABC) biến N N A 2 thành:
A. Tâm đường tròn ngoại tiếp 4ABC.
B. Tâm đường tròn nội tiếp 4ABC. C. Trọng tâm của 4ABC.
D. Cả ba đáp án trên đều đúng. -Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 212
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Do các mặt bên của hình chóp S.ABC là các tam giác đều nên 4ABC S SN M G 1
đều. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Ta có = = N A GA 2
⇒ N G k SM . Nên G là hình chiếu song song theo phương SM của N N
trên (ABC). Lại do 4ABC đều nên G vừa là trọng tâm, vừa là tâm
đường tròn ngoại tiếp, vừa là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC. A C G M B Chọn đáp án D
Câu 28. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A0B0C0, gọi M, N, P lần lượt là tâm của các mặt bên (ABB0A0),
(BCC0B0) và (ACC0A0). Qua phép chiếu song song phương BC0 và mặt phẳng chiếu (AB0C) khi đó hình chiếu của điểm P là A. Trung điểm của AN . B. Trung điểm của AM . C. Trung điểm của B0N . D. Trung điểm của B0M . -Lời giải.
Gọi Q là ảnh của P qua phép chiếu song song phương BC0 lên mặt A0 C0
phẳng (AB0C). Ta có P Q k BC0 và P Q ⊂ (ABC0). Mà AN là giao
tuyến của hai mặt phẳng (ABC0) và (AB0C) nên Q ∈ AN .
Lại có P là trung điểm của AC0 nên P Q là đường trung bình của tam B0
giác AN C0 ⇒ Q là trung điểm của AN . P M N Q A C B Chọn đáp án A ĐÁP ÁN 1. A 2. B 3. B 4. B 5. C 6. D 7. A 8. A 9. C 10. D 11. B 12. C 13. A 14. A 15. D 16. A 17. B 18. C 19. B 20. D 21. D 22. D 23. B 24. C 25. C 26. A 27. D 28. A ÔN TẬP CHƯƠNG II
Câu 29. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J và K lần lượt là trung điểm của AC, BC và BD. Giao tuyến của
hai mặt phẳng (ABD) và (IKJ ) là đường thẳng A. KD. B. KI.
C. qua K và song song với AB. D. Không có. -Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 213
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11 Ta có A  (IJK) ∩ (ABD) = K   IJ ⊂ (IJ K) , AB ⊂ (ABD) M  IJ k AB
⇔ (IJ K) ∩ (ABD) = KM k IJ k AB. I D B K J C Chọn đáp án C
Câu 30. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.
A. Nếu hai mặt phẳng (α) và(β) song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong (α) đều song song với (β).
B. Nếu hai mặt phẳng (α) và (β) song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong (α) đều song song
với mọi đường thẳng nằm trong (β).
C. Nếu hai đường thẳng song song với nhau lần lượt nằm trong hai mặt phẳng phân biệt (α) và(β) thì
(α) và (β) song song với nhau.
D. Qua một điểm nằm ngoài mặt phẳng cho trước ta vẽ được một và chỉ một đường thẳng song song với
mặt phẳng cho trước đó. -Lời giải.
Đáp án B, C sai. Hai đường thẳng lần lượt nằm trên hai mặt phẳng song song với nhau thì có thể chéo nhau.
Đáp án D sai vì qua một điểm nằm ngoài mặt phẳng cho trước ta vẽ được vô số đường thẳng song song với
mặt phẳng cho trước đó. Chọn đáp án A
Câu 31. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC; E là điểm trên cạnh CD với
ED = 3EC. Thiết diện tạo bởi mặt phẳng (M N E) và tứ diện ABCD là A. Tam giác M N E.
B. Tứ giác M N EF với F là điểm bất kì trên cạnh BD.
C. Hình bình hành M N EF với F là điểm trên cạnh BD mà EF k BC.
D. Hình thang M N EF với F là điểm trên cạnh BD mà EF k BC. -Lời giải.
Ta có E là điểm chung của hai mặt phẳng (M N E) và (BCD) . Lại có A M N ⊂ (M N E)   BC ⊂ (BCD)
⇔ Giao tuyến của hai mặt phẳng (M N E) và (BCD)  M N k BC M
là đường thẳng d đi qua điểm E và song song với BC và M N. N D B F E C
Trong mặt phẳng (BCD), gọi F = d ∩ BC. Khi đó thiết diện tạo bởi mặt phẳng (M N E) và tứ diện ABCD
là hình thang M N EF với F là điểm trên cạnh BD mà EF k BC. Chọn đáp án D
Câu 32. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A0B0C0. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC
và A0B0C0. Thiết diện tạo bởi mặt phẳng (AIJ ) với hình lăng trụ đã cho là A. Tam giác cân. B. Tam giác vuông. C. Hình thang. D. Hình bình hành. -Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 214
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Kéo dài AI cắt BC tại M , suy ra M là trung điểm BC. A0 C0  (AIJ ) ∩ A0B0C0 = J  J   AI ⊂ (AI J ) Ta có ⇔ (AIJ ) ∩ (A0B0C0) = A0J. M 0 A0J ⊂ A0B0C0    AI k A0J B0
Trong mặt phẳng (A0B0C0), gọi M 0 = A0J ∩ B0C0. ®A0M 0 k AM
Khi đó thiết diện là tứ giác AA0J I, tứ giác này có ⇔ C AA0 k M M 0 A AA0J I là hình bình hành. I M B Chọn đáp án D
Câu 33. Cho tứ diện đều SABC. Gọi I là trung điểm của đoạn AB, M là điểm di động trên đoạn AI.
Qua M vẽ mặt phẳng (α) song song với (SIC) . Thiết diện tạo bởi (α) với tứ diện SABC là A. Tam giác cân tại M . B. Tam giác đều. C. Hình bình hành. D. Hình thoi. -Lời giải. ®M N k SI
Gọi N, P lần lượt nằm trên các cạnh SA, AC sao cho . M P k IC S
⇔ (M P N ) k (SIC) ⇔ (M N P ) ≡ (α).
Vậy thiết diện là tam giác M N P .
Tứ diện SABC đều nên tam giác SIC cân tại I. AM M P M N N Ngoài ra ta có = = ⇔ M N = M P . AI IP M P
Suy ra tam giác M N P cân tại M . P C A M I B Chọn đáp án A
Câu 34. Cho tứ diện đều SABC cạnh bằng a. Gọi I là trung điểm của đoạn AB, M là điểm di động trên
đoạn AI. Qua M vẽ mặt phẳng (α) song song với (SIC) . Tính chu vi của thiết diện tạo bởi (α) với tứ diện SABC, biết AM = x. √ √ √ Ä ä Ä ä Ä ä A. x 1 + 3 . B. 2x 1 + 3 . C. 3x 1 + 3 . D. Không tính được. -Lời giải. AM
Để ý hai tam giác M N P và SIC đồng dạng với tỉ số = AI S 2x C 2x 2x ⇒ M N P = ⇔ CMNP = (SI + IC + SC) = a CSIC a a √ √ Ç å 2x a 3 a 3 √ Ä ä + + a = 2x 3 + 1 . a 2 2 N P C A M I B Chọn đáp án B
Câu 35. Cho hình bình hành ABCD. Gọi Bx, Cy, Dz là các đường thẳng song song với nhau lần lượt đi
qua B, C, D và nằm về một phía của mặt phẳng (ABCD) đồng thời không nằm trong mặt phẳng (ABCD) .
Một mặt phẳng đi qua A cắt Bx, Cy, Dz lần lượt tại B0, C0, D0 với BB0 = 2, DD0 = 4. Khi đó độ dài CC0 bằng bao nhiêu? A. 3. B. 4. C. 5. D. 6. -Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 215
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD. Dựng đường thẳng qua C0
O song song BB0 và cắt B0D0 tại O0.
Theo cách dưng trên, ta có OO0 là đường trung bình của hình BB0 + DD0 D0 thang BB0D0D ⇔ OO0 = = 3. 2
Ngoài ra ta có OO0 là đường trung bình của tam giác ACC0 ⇔ O0 CC0 = 2OO0 = 6. B0 C D O A B Chọn đáp án D
Câu 36. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.
A. Hai đường thẳng phân biệt cùng nằm trong một mặt phẳng thì không chéo nhau.
B. Hai đường thẳng phân biệt không cắt nhau thì chéo nhau.
C. Hai đường thẳng phân biệt không song song thì chéo nhau.
D. Hai đường thẳng phân biệt lần lượt thuộc hai mặt phẳng khác nhau thì chéo nhau. -Lời giải. Chọn A.
Đáp án B sai: hai đường thẳng đó có thể song song nhau.
Đáp án C sai: hai đường thẳng đó có thể cắt nhau.
Đáp án D sai: hai đường thẳng đó có thể song song hoặc cắt nhau. Chọn đáp án A
Câu 37. Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAB nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi M là
điểm di động trên đoạn AB. Qua M vẽ mặt phẳng (α) song song với (SBC). Thiết diện tạo bởi (α) và hình chóp S.ABCD là hình gì? A. Hình tam giác. B. Hình bình hành. C. Hình thang. D. Hình vuông. -Lời giải.
Lần lượt lấy các điểm N, P, Q thuộc các cạnh CD, SD, SA thỏa M N k S BC, N P k SC, P Q k AD.
Suy ra (α) ≡ (M N P Q) và (α) k (SBC). Theo cách dựng trên thì thiết diện là hình thang. Q P A B M O D N C Chọn đáp án C
Câu 38. Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAB nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi M là
điểm di động trên đoạn AB. Qua M vẽ mặt phẳng (α) song song với (SBC). Gọi N, P, Q lần lượt là giao
của mặt phẳng (α) với các đường thẳng CD, SD, SA. Tập hợp các giao điểm I của hai đường thẳng M Q và N P là
A. Đường thẳng song song với AB. B. Nửa đường thẳng.
C. Đoạn thẳng song song với AB. D. Tập hợp rỗng. -Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 216
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Lần lượt lấy các điểm N, P, Q thuộc các cạnh CD, SD, SA thỏa T I S
M N k BC, N P k SC, P Q k AD. Suy ra (α) ≡ (M N P Q) và (α) k (SBC). ® Q I, S ∈ (SCD) Vì I = M Q ∩ N P ⇔ ⇔ I nằm trên đường I, S ∈ (SAB) P
thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD). ®M ≡ B ⇒ I ≡ S A Khi
với T là điểm thỏa mãn tứ giác ABST B M ≡ A ⇒ I ≡ T M là hình bình hành. O D N C
Vậy quỹ tích cần tìm là đoạn thẳng song song với AB. Chọn đáp án C
Câu 39. Các yếu tố nào sau đây xác định một mặt phẳng duy nhất? A. Ba điểm.
B. Một điểm và một đường thẳng.
C. Hai đường thẳng cắt nhau. D. Bốn điểm. -Lời giải.
Sửa lại cho đúng: Ba điểm không thẳng hàng.
Sửa lại cho đúng: Một điểm và một đường thẳng không chứa điểm đó. Chọn đáp án C
Câu 40. Cho hai đường thẳng a và b. Điều kiện nào sau đây đủ kết luận a và b chéo nhau?
A. a và b không có điểm chung.
B. a và b là hai cạnh của một hình tứ diện.
C. a và b nằm trên hai mặt phẳng phân biệt.
D. a và b không cùng nằm trên bất kì mặt phẳng nào. -Lời giải.
Sửa lại cho đúng: a và b không có điểm chung và không đồng phẳng.
Sửa lại cho đúng: a và b là hai cạnh đối của một hình tứ diện.
Sai vì a và b có thể song song. Chọn đáp án D
Câu 41. Cho tam giác ABC, lấy điểm I trên cạnh AC kéo dài. Mệnh đề nào sau đây là sai? A. A ∈ (ABC). B. I ∈ (ABC). C. (ABC) ≡ (BIC). D. BI 6⊂ (ABC). -Lời giải.
Ta có I ∈ (ABC) , B ∈ (ABC) ⇔ BI 6⊂ (ABC) . B C A I Chọn đáp án D
Câu 42. Cho tam giác ABC. Có thể xác định được bao nhiêu mặt phẳng chứa tất cả các đỉnh tam giác ABC? A. 4. B. 3. C. 2. D. 1. -Lời giải.
Ta có ABC là tam giác ⇔ ba điểm A, B, C không thẳng hàng. Vậy
có duy nhất một mặt phẳng chứa A, B, C. B C A Chọn đáp án D
Câu 43. Trong không gian cho bốn điểm không đồng phẳng, có thể xác định nhiều nhất bao nhiêu mặt
phẳng phân biệt từ các điểm đó? Th.s Nguyễn Chín Em 217
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11 A. 6. B. 4. C. 3. D. 2. -Lời giải.
Giả sử bốn điểm đó là tứ diện ABCD. Có các mặt phẳng đó là: A
(ABC) , (ABD) , (ACD) , (BCD) . D C B Chọn đáp án B
Câu 44. Cho hình chóp S.ABCD với đáy là tứ giác ABCD có các cạnh đối không song song. Giả sử
AC ∩ BD = O và AD ∩ BC = I. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) là A. SC. B. SB. C. SO. D. SI. -Lời giải. Ta có S  (SAC) ∩ (SBD) = S   O ∈ AC ⊂ (SAC) ⇔ (SAC) ∩ (SBD) = SO.  O ∈ BD ⊂ (SBD) D I A O C B Chọn đáp án C
Câu 45. Cho hình chóp S.ABCD với đáy là tứ giác ABCD. Thiết diện của mặt phẳng (α) tùy ý với hình chóp không thể là A. Lục giác. B. Ngũ giác. C. Tứ giác. D. Tam giác. -Lời giải.
Hình chóp tứ giác có tất cả 5 mặt nên thiết diện không thể là lục giác. Chọn đáp án A
Câu 46. Cho hình lập phương ABCD.A0B0C0D0. Có bao nhiêu cạnh của hình lập phương chéo nhau với
đường chéo AC0 của hình lập phương? A. 2. B. 3. C. 4. D. 6. -Lời giải.
Các cạnh chéo nhau với đường chéo AC0 của hình lập phương là: A0 D0 A0B0, A0D0, DD0, CD, BC, BB0. B0 C0 A D B C Chọn đáp án D
Câu 47. Cho hai đường thẳng phân biệt a và b trong không gian. Có bao nhiêu vị trí tương đối giữa a và b? A. 4. B. 3. C. 2. D. 1. -Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 218
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11
Hai đường thẳng phân biệt a và b trong không gian có ba vị trí tương đối là: cắt nhau, song song, chéo nhau. Chọn đáp án B
Câu 48. Cho hai đường thẳng phân biệt cùng nằm trong một mặt phẳng. Có bao nhiêu vị trí tương đối
giữa hai đường thẳng đó? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. -Lời giải.
Hai đường thẳng phân biệt cùng nằm trong một mặt phẳng có hai vị trí tương đối là: cắt nhau, song song. Chọn đáp án B
Câu 49. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm các cạnh AC, BD, AB, CD,
AD, BC. Bốn điểm nào sau đây không đồng phẳng? A. P, Q, R, S. B. M, P, R, S. C. M, R, S, N . D. M, N, P, Q. -Lời giải.
Dễ thấy (M P R) k (BCD) , mà S ∈ (BCD) ⇔ S / ∈ (M P R) . A
Vậy M, P, R, S không đồng phẳng. P R M B D N S Q C Chọn đáp án B
Câu 50. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng?
A. Hai đường thẳng lần lượt nằm trên hai mặt phẳng phân biệt thì chéo nhau.
B. Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau.
C. Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung.
D. Hai đường thẳng phân biệt không song song thì chéo nhau. -Lời giải.
Theo định nghĩa của hai đường thẳng chéo nhau thì B là mệnh đề đúng. Chọn đáp án C
Câu 51. Cho hai đường thẳng a và b chéo nhau. Có bao nhiêu mặt phẳng chứa a và song song với b? A. 0. B. 1. C. 2. D. Vô số. -Lời giải.
Hai đường thẳng a và b chéo nhau có duy nhất một mặt phẳng chứa a và song song với b. Chọn đáp án B
Câu 52. Cho tứ diện ABCD. Điểm M thuộc đoạn AC. Mặt phẳng (α) qua M song song với AB và AD.
Thiết diện của (α) với tứ diện ABCD là A. Hình tam giác. B. Hình bình hành. C. Hình chữ nhật. D. Hình vuông. -Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 219
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11 ® (α) k AB Ta có
⇔ (α) ∩ (ABC) = M N k AB với N ∈ BC. AB ⊂ (ABC) A ® (α) k AD Tương tự ta có
⇔ (α) ∩ (ACD) = M K k AD với M AD ⊂ (ACD) K ∈ CD.
Vậy thiết diện của (α) với tứ diện ABCD là tam giác M N K. C K D N B Chọn đáp án A
Câu 53. Cho các giả thiết sau đây. Giả thiết nào kết luận đường thẳng a song song với mặt phẳng (α)? A. a k b và b k (α). B. a ∩ (α) = ∅. C. a k b và b ⊂ (α). D. a k (β) và (β) k (α). -Lời giải.
Đường thẳng a song song với mặt phẳng (α) khi chúng không có điểm chung. Chọn đáp án B
Câu 54. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng?
A. Nếu (α) k (β) và a ⊂ (α) , b ⊂ (β) thì a k b.
B. Nếu a k (α) và b k (β) thì a k b.
C. Nếu (α) k (β) và a ⊂ (α) thì a k (β).
D. Nếu a k b và a ⊂ (α) , b ⊂ (β) thì (α) k (β).
Câu 55. Trong không gian, cho hai mặt phẳng phân biệt (α) và (β) . Có bao nhiêu vị trí tương đối giữa (α) và (β)? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. -Lời giải.
Trong không gian hai mặt phẳng phân biệt (α) và (β) có hai vị trí tương đối là: cắt nhau hay song song. Chọn đáp án B
Câu 56. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD)và
(SBC) là đường thẳng song song với đường thẳng nào dưới đây? A. AC. B. BD. C. AD. D. SC. -Lời giải. Ta có  S x (SAD) ∩ (SBC) = S   AD ⊂ (SAD) , BC ⊂ (SBC)  AD k BC
⇔ (SAD) ∩ (SBC) = Sx k AD k BC. A D B C Chọn đáp án C
Câu 57. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Giả sử M thuộc đoạn thẳng SB. Mặt
phẳng (ADM ) cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện là hình gì? A. Hình tam giác. B. Hình thang. C. Hình bình hành. D. Hình chữ nhật. -Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 220
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 2 - Hình học 11  (ADM ) ∩ (SBC) = M   Ta có
AD ⊂ (ADM ) , BC ⊂ (SBC) ⇔ (ADM ) ∩ (SBC) = S  AD//BC M N k AD k BC với N ∈ SC. M N D A B C
Tứ giác AM N D có M N k AD ⇔ AM N D là hình thang. Chọn đáp án B
Câu 58. Cho tứ diện ABCD. Điểm M thuộc đoạn BC. Mặt phẳng (α) qua M song song với AB và CD.
Thiết diện của (α) với tứ diện ABCD là A. Hình thang. B. Hình bình hành. C. Hình tam giác. D. Hình ngũ giác. -Lời giải. Ta có ® A (α) k AB
⇔ (α) ∩ (ABC) = M N k AB với N ∈ AC. AB ⊂ (ABC) Tương tự ta có K ® (α) k CD
⇔ (α) ∩ (ACD) = N K k CD với K ∈ AD. N CD ⊂ (ACD) B P D M C ® (α) k AB
⇔ (α) ∩ (ABD) = KP k AB với P ∈ BD. AB ⊂ (ABD) ® (α) k CD ⇔ (α) ∩ (BCD) = M P k CD. CD ⊂ (BCD)
Do đó N K k M P và M N k KP ⇔ M N KP là hình bình hành. Chọn đáp án B ĐÁP ÁN 29. C 30. A 31. D 32. D 33. A 34. B 35. D 36. A 37. C 38. C 39. C 40. D 41. D 42. D 43. B 44. C 45. A 46. D 47. B 48. B 49. B 50. C 51. B 52. A 53. B 54. C 55. B 56. C 57. B 58. B Th.s Nguyễn Chín Em 221
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
Document Outline

  • ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ SONG SONG
    • ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
      • TÓM TẮT LÝ THUYẾT
        • Mở đầu về hình học không gian
        • Các tính chất thừa nhận
        • Điều kiện xác định mặt phẳng
        • Hình chóp và tứ diện
      • CÁC DẠNG TOÁN
      • blueDạng 1. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng
        • blueDạng 2. Chứng minh ba điểm thẳng hàng, ba đường thẳ đồng quy
          • blueDạng 3. Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng
            • blueDạng 4. Xác định thiết diện của một mặt phẳng với hình chóp
            • blueDạng 5. Dựng đường thẳng đi qua một điểm và cắt hai đường thẳng chéo nhau
          • blueDạng 6. Tìm tập hợp giao điểm của hai đường thẳng và bài toán chứng minh giao tuyến đi qua điểm cố định
        • CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
        • BÀI TẬP RÈN LUYỆN
      • CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
        • Câu hỏi lý thuyết
        • Tìm giao tuyến hai mặt phẳng
        • Thiết diện
        • Ba điểm thẳng hàng, ba đường thẳng đồng quy
        • ĐÁP ÁN
      • HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU VÀ HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG
        • TÓM TẮT LÝ THUYẾT
          • Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian
          • Các định lí và tính chất
        • CÁC DẠNG TOÁN
        • blueDạng 1. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng bằng quan hệ song song
          • blueDạng 2. Chứng minh hai đường thẳng song song
            • blueDạng 3. Chứng minh bốn điểm đồng phẳng và ba đường thẳng đồng qui
              • BÀI TẬP RÈN LUYỆN
              • CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
                • ĐÁP ÁN
            • ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG
              • TÓM TẮT LÝ THUYẾT
                • Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng
                • Điều kiện để một đường thẳng song song với một mặt phẳng
              • CÁC DẠNG TOÁN
              • blueDạng 1. Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng
                • Ví dụ minh họa
                • BÀI TẬP RÈN LUYỆN
                • blueDạng 2. Tìm giao tuyến hai mặt phẳng khi biết một mặt phẳng song song với đường thẳng cho trước
                  • Các ví dụ minh họa
                  • blueDạng 3. Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng
                    • Các ví dụ minh họa
                    • CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
                      • ĐÁP ÁN
              • HAI MẶT PHẲNG SONG SONG
                • Tóm tắt lí thuyết
                  • Định nghĩa
                  • Tính chất
                  • Định lý Ta-lét (Thalès)
                  • Hình lăng trụ và hình hộp
                  • Hình chóp cụt
                • CÁC DẠNG TOÁN
                • blueDạng 1. Chứng minh hai mặt phẳng song song
                  • Các ví dụ minh họa
                  • blueDạng 2. Tìm giao tuyến của mặt phẳng () với mặt phẳng () biết () qua điểm A; song song với mặt phẳng ()
                    • Các ví dụ minh họa
                    • blueDạng 3. Xác định thiết diện cắt bởi mặt phẳng song song với một mặt phẳng cho trước
                      • Các ví dụ minh họa
                      • BÀI TẬP RÈN LUYỆN
                  • CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
                    • ĐÁP ÁN
                • PHÉP CHIẾU SONG SONG - HÌNH BIỂU DIỄN CỦA MỘT HÌNH KHÔNG GIAN
                  • TÓM TẮT LÝ THUYẾT
                  • CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
                  • BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN
                  • BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
                    • ĐÁP ÁN
                    • ÔN TẬP CHƯƠNG II
                    • ĐÁP ÁN