Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, quan hệ song song Toán 11 Cánh Diều

Tài liệu gồm 136 trang, được biên soạn bởi thầy giáo Trần Đình Cư, bao gồm tóm tắt kiến thức cơ bản cần nắm, phân loại và phương pháp giải bài tập chuyên đề đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, quan hệ song song trong chương trình môn Toán 11 Cánh Diều (CD).

LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ
CS 1: Trung tâm MASTER EDUCATION- 25 THẠCH HÃN
CS 2: Trung Tâm 133 Xuân 68
CS 3: Trung tâm 168 Mai Thúc Loan
CS4: Trung Tâm THPT Nguyễn Trường Tộ
TÀI LIỆU DÀNH CHO HỌC SINH LỚP TOÁN THẦY CƯ-TP HUẾ
(Chiêu sinh thường xuyên, bổ trợ kiến thức kịp thời)
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
1
GV: TR
N ĐÌNH CƯ
0834332133
MỤC LỤC
CƠNG IV. ĐƯNG THẲNG MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN. QUAN H
SONG SONG .................................................................................................................. 4
I 1: ĐƯNG THẲNG MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN ........................... 4
A. TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN CN NẮM ....................................................... 4
B. PN LOI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI I TP................................................ 7
Dạng 1. Tìm giao tuyến ca hai mt phẳng ................................................................. 7
1. Pơng pp ......................................................................................................................... 7
2. Các ví drèn luyện kĩ ng ................................................................................................ 7
3. Bài tập trc nghim ........................................................................................................... 11
Dạng 2. Tìm giao điểm ca đường thẳng và mt phẳng ............................................. 11
1. Pơng pp ....................................................................................................................... 11
2. Các ví drèn luyện kĩ ng .............................................................................................. 11
Dạng 3. Thiết diện..................................................................................................... 14
1. Pơng pp .................................................................................................................... 14
2. Các ví drèn luyện kĩ ng ........................................................................................... 15
Dạng 4. Ba đim thẳng hàng ba đường thng đồng quy ........................................... 16
1. Pơng pp .................................................................................................................... 16
2. Các ví drèn luyện kĩ ng ........................................................................................... 17
Dạng 5. Tìm tập hợp giao đim của hai đưng thng. ............................................... 20
C. GIẢI I TP SÁCH GIÁO KHOA .................................................................... 22
D. BÀI TẬP TRẮC NGHIM ................................................................................... 27
i 2: HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG TRONG KNG GIAN ......................... 49
A. TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN CN NẮM ..................................................... 49
B. PN LOI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI I TP.............................................. 50
Dạng 1. Chứng minh đường thng song song hoc đng quy ..................................... 50
1. Pơng pp ....................................................................................................................... 50
2. Các ví drèn luyện kĩ ng .............................................................................................. 50
Dạng 2. Tìm giao điểm và thiết din ca hình chóp .................................................. 53
1. Pơng pp ....................................................................................................................... 53
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
2
GV: TR
N ĐÌNH CƯ
0834332133
2. Các ví drèn luyện kĩ ng .............................................................................................. 53
C. GIẢI I TP SÁCH GIÁO KHOA .................................................................... 56
D. BÀI TẬP TRẮC NGHIM ................................................................................... 59
I 3: ĐƯNG THẲNG MẶT PHẰNG SONG SONG .......................................... 75
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CN NẮM ....................................................................... 75
B. PN LOI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI I TP.............................................. 76
Dạng 1. Chứng minh đường thng song song hoc đng quy ..................................... 76
1. Pơng pp ....................................................................................................................... 76
2. Các ví drèn luyện kĩ ng .............................................................................................. 76
Dạng 2. Tìm giao tuyến ca hai mt phẳng. Thiết din qua mt điểm song song vi một
đưng thẳng............................................................................................................... 79
1. Pơng pp ....................................................................................................................... 79
2. Các ví drèn luyện kĩ ng .............................................................................................. 80
C. GIẢI I TP SÁCH GIÁO KHOA .................................................................... 83
D. BÀI TẬP TRẮC NGHIM ................................................................................... 85
I 4: HAI MẶT PHẲNG SONG SONG ..................................................................... 96
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CN NẮM ....................................................................... 96
B. GIẢI BÀI TP CH GO KHOA .................................................................... 96
I 5: NH LĂNG TRVÀ HÌNH HỘP ................................................................... 99
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CN NẮM ....................................................................... 99
B. GIẢI BÀI TP CH GO KHOA ................................................................... 100
C. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP ............................................ 103
Dạng 1. Chứng minh hai mt phẳng song song ......................................................... 103
1. Pơng pp ................................................................................................................... 103
2. Các ví drèn luyện kĩ ng .......................................................................................... 103
Dạng 2. Tìm giao tuyến ca hai mt phẳng và tìm thiết din qua một đim và song song
với một mặt phng ................................................................................................... 106
1. Pơng pp ......................................................................................................................106
2. Các ví drèn luyện kĩ ng .............................................................................................106
D. BÀI TẬP TRẮC NGHIM .................................................................................. 109
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
3
GV: TR
N ĐÌNH CƯ
0834332133
I 6: PHÉP CHIU SONG SONG.HÌNH BIỂU DIỄN CỦA MT NH KNG GIAN
.................................................................................................................................... 125
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CN NẮM ...................................................................... 125
B. PƠNG PP GII TOÁN ............................................................................. 127
Dạng 1. Vẽ hình biểu din ca một nh trong không gian ....................................... 127
1. Pơng pháp ................................................................................................................127
2. Các ví d ......................................................................................................................127
Dạng 2. Các i toán ln quan đến pp chiếu song song ........................................ 129
1. Pơng pháp ................................................................................................................129
2. Các ví d ......................................................................................................................129
C. GIẢI I TP SÁCH GIÁO KHOA ................................................................... 130
D. BÀI TẬP TRẮC NGHIM .................................................................................. 132
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
4
GV: TR
N ĐÌNH CƯ
0834332133
CƠNG IV. ĐƯNG THẲNG MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN. QUAN H
SONG SONG
I 1: ĐƯNG THẲNG MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN
A. TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN CN NẮM
I. KI NIM M ĐẦU
1. Mt phẳng
Người ta thường biểu diễn một mặt phẳng bằng một hình bình hành
và dùng các chữ cái đặt trong dấu ngoặc đơn () để đặt tên cho mặt
phẳng ấy. Ví dụ: mặt phẳng
P
(Hình 3) mặt phẳng
Q
, mặt
phẳng
, mặt phẳng
,…
Trong thực tiễn có nhiều ví dụ minh hoạ cho mặt phẳng. Chẳng hạn: tấm gương phẳng, mặt bàn,
bảng treo tường , ... Cho ta hình ảnh một phần mặt phẳng trong không gian.
2. Điểm thuc mt phẳng
Nhận xét:
Với mỗi điểm
A
và mặt phẳng
P
, chỉ xảy ra một trong hai khả năng sau:
- Điểm
A
thuộc mặt phẳng
P
, ta kí hiệu
A P
(Hình
5a).
- Điểm
A
không thuộc mặt phẳng
P
hay
A
nằm ngoài
P
, ta kí hiệu
A P
(Hình
5 )b
.
3. Hình biểu diễn của một hình trong không gian
a) Khái nim
Một cách tổng quát, ta quy ước:
Hình được vẽ trong mặt phẳng để giúp ta hình dung được về một hình trong không gian gọi là
hình biểu diễn
của hình không gian đó.
b) Quy tc vẽ hình biu diễn ca mt nh trong không gian
Để việc vẽ hình biểu diễn của một hình trong không gian được thuận lợi và thống nhất, ta quy
ước như sau:
1) Đường thẳng được biểu diễn bởi đường thẳng. Đoạn thẳng được biểu diễn bởi đoạn thẳng;
2) Hai đường thẳng song song (hoặc cắt nhau) được biểu diễn bởi hai đường thẳng song song (hoặc
cắt nhau);
3) Hình biểu diễn giữ nguyên tính liên thuộc giữa điểm với đường thẳng hoặc vởi đoạn thẳng;
4) Những đường nhìn thấy được vẽ bằng nét liền, những đường không nhìn thấy được vẽ bằng nét
đứt.
Chú ý: Các quy tắc khác sẽ được đề cập sau.
II. C NH CHẤT THỪA NHẬN CỦA HÌNH HC KNG GIAN
Tính chất 1
Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt
cho trước.
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
5
GV: TR
N ĐÌNH CƯ
0834332133
Tính chất 2
Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng cho trước.
Như vậy, mặt phẳng hoàn toàn xác định khi biết ba điểm
, ,A B C
không thẳng hàng. Mặt phẳng
đó được kí hiệu
mp ABC
hay đơn giản là
ABC
(Hình 11).
Tính chất 3
Nếu một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt của một mặt
phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều nằm trong mặt phẳng
đó.
Như vậy, nếu một đường thẳng
d
đi qua hai điểm phân biệt
,A B
của mặt phẳng
P
thì mọi điểm của đường thẳng
d
đều
nằm trong mặt phẳng
P
. Khi đó, ta nói
d
nằm trong
P
, hoặc
P
chứa
d
, hoặc
P
đi qua
d
, kí hiệu:
d P
hay
P d
(Hình 12
)
.
Tính chất 4
Tồn tại bốn điểm không cùng nằm trên một mặt phẳng.
Tính chất 5
Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường
thẳng chung duy nhất chứa tất cả các điểm chung của hai mặt phẳng đó.
Nếu hai mặt phẳng phân biệt
P
Q
có điểm chung thì chúng có một
đường thẳng chung duy nhất
d
chứa tất cả các điểm chung của hai mặt
phẳng đó. Đường thẳng
d
đó gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng
P
Q
, kí hiệu
d P Q
(Hình 16).
Nhận xét:
- Có thể xác định giao tuyến của hai mặt phẳng bằng cách đi tìm hai điểm chung của chúng.
Đường thẳng đi qua hai điểm chung đó là giao tuyến cần tìm.
- Để tìm giao điểm của đường thẳng
a
và mặt phẳng
P
(với giả thiết
a
cắt
P
), ta có thể
làm như sau:
- Chọn một đường thẳng
b
thích hợp trong mặt phẳng
P
và tìm giao điểm
M
của hai đường
thẳng
a
b
Khi đó,
M
là giao điểm cần tìm.
Tính chất 6
Trên mỗi mặt phẳng của không gian, các kết quả đã biết của hình học phẳng đều đúng.
III. MT S CÁCH XÁC ĐỊNH MT PHNG
Định lí 1
Cho điểm
A
không thuộc đường thẳng
d
. Khi đó, qua điểm
A
và đường thẳng
d
có một và
chỉ một mặt phẳng, kí hiệu
mp ,A d
.hoặc
,A d
.
Định lí 2
Cho hai đường thẳng
a
b
cắt nhau. Khi đó, qua
a
b
có một và chỉ một mặt phẳng, kí
hiệu
mp ,a b
.
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
6
GV: TR
N ĐÌNH CƯ
0834332133
Nhận xét:
Từ Tính chất 2 và hai định lí trên, ta thấy mặt phẳng hoàn toàn được xác định theo
một trong ba cách sau:
- Đi qua ba điểm không thẳng hàng.
- Đi qua một đường thẳng và một điểm nằm ngoài đường thẳng đó.
- Đi qua hai đường thẳng cắt nhau.
IV. HÌNH CP HÌNH TDIỆN
1. Hình chóp
Trong mặt phẳng
P
, cho đa giác
1 2
3
n
A A A n
. Lấy điểm
S
nằm ngoài
P
. Nối
S
với các
đỉnh
1 2
, , ,
n
A A A
ta được
n
tam giác:
1 2 2 3 1
, , ,
n
SA A SA A SA A
. Hình gồm đa giác
1 2 n
A A A
n
tam giác
1 2 2 3 1
, , ,
n
SA A SA A SA A
gọi là
hình chóp
, kí hiệu
1 2
.
n
S A A A
.
Chú ý
Trong hình chóp
1 2 n
S.A A A
- Điểm
S
gọi là đỉnh;
- Đa giác
1 2 n
A A A
gọi là
mặt đáy;
- Các cạnh của mặt đáy gọi là
cạnh đáy
, các đoạn thẳng
1 2
, , ,
n
SA SA SA
gọi là các
cạnh
bên;
- Các tam giác
1 2 2 3 1
, , ,
n
SA A SA A SA A
gọi là các
mặt bên
.
Nếu đáy của hình chóp là một tam giác, tứ giác, ngũ giác, ... thì
hình chóp tương ứng gọi là
hình chóp tam giác,
hình chóp tứ giác, hình
chóp ngũ giác, ...
Hình 23
minh hoạ cho hình chóp ngũ giác
1 2 3 4 5
.S A A A A A
.
2. Hình t din
Cho bốn điểm
, , ,A B C D
không cùng nằm trong một mặt phẳng.
Hình gồm bốn tam giác
, ,ABC ACD ABD
BCD
gọi là
hình tứ
diện (hay ngắn gọn là tứ diện),
kí hiệu là
ABCD
.
Chú ý
Trong hình tứ diện
ABCD
(Hình 26)
- Các điểm
, , ,A B C D
gọi là
các đỉnh.
- Các đoạn thẳng
, , , , ,AB BC CD DA CA BD
gọi là
các cạnh
. Hai cạnh không có điểm chung gọi là
hai
cạnh đối diện.
- Các tam giác
, , ,ABC ACD ABD BCD
gọi là các mặt.
- Đỉnh không nằm trên một mặt gọi là đỉnh đối diện với mặt đó.
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
7
GV: TR
N ĐÌNH CƯ
0834332133
Hình tứ diện có các mặt là tam giác đều là
hình tứ diện đều.
Mỗi hình chóp tam giác là một hình tứ diện. Ngược lại, nếu ta quy định rõ đỉnh và mặt
đáy trong một hình tứ diện thì hình tứ diện đó trở thành hình chóp tam giác.
Nhận xét: Để chứng minh ba điểm thẳng hàng, ta có thể chỉ ra ba điểm đó cùng thuộc hai mặt
phẳng phân biệt.
B. PN LOI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI I TP
Dạng 1. Tìm giao tuyến ca hai mt phẳng
1. Pơng pp
Để xác định giao tuyến của hai mặt phẳng, ta đi tìm hai điểm chung của chúng.
Đường thẳng đi qua hai điểm chung đó chính là giao tuyến
C ý:
Điểm chung của hai mặt phẳng
P
Q
thường được tìm như sau:
- Tìm hai đường thẳng
a
b
lần lượt thuộc mặt phẳng
P
Q
cùng nằm trong một mặt
phẳng
R
.
- Giao điểm
M a b
chính là điểm chung của mặt phẳng
P
Q
.
2. Các ví drèn luyện kĩ ng
dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD, đáy là tứ giác lồi ABCD các cạnh đối không song song với
nhau. Gọi M là điểm trên cạnh SA. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng:
a. (SAC) và (SBD) b. (SAB) và (SCD)
c. (SBC) và (SAD) d. (BCM) và (SAD)
e. (CDM) và (SAB) f. (BDM) và (SAC)
Giải
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
8
GV: TR
N ĐÌNH CƯ
0834332133
a. Trong mp (ABCD):
AC BD O
AC SAC O SAC SBD
BD SBD
S SAC SBD
nên
SO SAC SBD
.
b. Trong (ABCD) ta có:
AB CD F
AB SAB F SAB SCD
CD SCD
S SAB SCD
nên
SF SAB SCD
.
c. Trong (ABCD) ta có:
BC AD E
BC SBC E SAD SBC
AD SAD
S SAD SBC
nên
SE SAD SBC
.
d. Ta có:
M MBC SAD
E BC AD E MBC SAD
Nên
ME MBC SAD
.
e. Ta có:
M MCD SAB
F AB CD F MCD SAB
Vậy
MF MCD SAB
.
f. Ta có:
M BDM SAC
O BDM SAC
Do đó
MO BDM SAC
.
dụ 2. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P là ba điểm lần lượt nằm trên ba cạnh AB, CD, AD. Tìm
giao tuyến của các cặp mặt phẳng:
a. (ABN) và (CDM); b. (ABN) và (BCP).
E
F
O
A
D
C
B
S
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
9
GV: TR
N ĐÌNH CƯ
0834332133
Giải
a. Ta có M và N là hai điểm chung của hai mặt phẳng
(ABN) (CDM), nên giao tuyến của hai mặt phẳng
này chính là đường thẳng MN.
b. Trong mặt phẳng (ACD): AN cắt CP tại K. Do đó
K là điểm chung của hai mặt phẳng (BCP) và (ABN).
B cũng điểm chung của hai mặt phẳng này nên
giao tuyến của chúng là đường thẳng BK.
dụ 3. Cho tứ diện
ABCD
. Gọi
I, J
lần lượt là trung điểm của
AD
BC.
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
IBC
.JAD
b) Điểm
M
nằm trên cạnh
AB
, điểm
N
nằm trên cạnh
AC
. Tìm giao tuyến của hai mặt
phẳng
IBC
.DMN
Lời giải
a) Ta có:
. I AD I JAD IBC
. J BC J JAD IBC
Do đó
. IJ IBC JAD
b) Trong mặt phẳng
ABC
gọi
E DM IB
suy ra
. E DMN IBC
Trong mặt phẳng
ACD
gọi
F DN IC
suy ra
. F DMN IBC
Do đó
. EF DMN IBC
dụ 4. Cho tứ diện
ABCD
. Điểm
M
nằm bên trong tam giác
ABD
, điểm
N
nằm bên trong
tam giác
ACD
. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau:
a)
AMN
.BCD
b)
DMN
.ABC
K
A
B
C
D
M
P
N
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
10
GV: TR
N ĐÌNH CƯ
0834332133
Lời gii
a) Trong mặt phẳng
ABD
gọi
. Q AM BD
Khi đó
. Q AMN BCD
Tương tự gọi
. P AN CD P AMN BCD
Do vậy
. PQ AMN BCD
b) Trong mặt phẳng
ABD
gọi
E DM AB
suy ra
. E DMN ABC
trong mặt phẳng
ACD
gọi
F DN AC
suy ra
. F DMN ABC
Do đó
. EF DMN ABC
dụ 5. Cho hình chóp
S.ABCD
, có đáy
ABCD
là hình bình hành tâm
O
, gọi
M, N, P
lần lượt
là trung điểm của
BC, CD
SO
. Tìm giao tuyến của
a) Mặt phẳng
MNP
.SAB
b) Mặt phẳng
MNP
.SBC
Lời gii
a) Gọi
H NO AB
, trong mặt phẳng
SHN
dựng
NP
cắt
SH
tại
. Q Q MNP SAB
Gọi
. F NM AB F MNP SAB
Do đó
. QF SAB MNP
b) Trong mặt phẳng
SAB
, gọi
E QF SB E SBC MNP
Do đó
. ME MNP SBC
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
11
GV: TR
N ĐÌNH CƯ
0834332133
3. Bài tập trc nghim
Dạng 2. Tìm giao điểm ca đường thẳng mt phẳng
1. Pơng pp
Muốn tìm giao điểm của một đường thẳng a mặt
phẳng
, ta tìm giao điểm của a một đường thẳng
b nằm trong
.
a b M
M a
b
Pơng pp:
- Bước 1: Xác định mp
chứa a.
- Bước 2: Tìm giao tuyến
b
.
- Bước 3: Trong
: a b M
, mà
b
, suy ra
M a
.
2. Các ví drèn luyện kĩ ng
d1. Cho tứ giác ABCD (không có cặp cạnh đối nào song song) nằm trong mặt phẳng
.
S là điểm không nằm trên
.
a. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng: (SAC) và (SBD), (SAB) và (SCD).
b. Gọi M và N lần lượt trung điểm của các cạnh SC và SD. Tìm giao điểm P của đường thẳng
BN với mặt phẳng (SAC).
c. Gọi Q R lần lượt trung điểm của SA SB. Chứng minh rằng bốn điểm M, N, Q, R
đồng phẳng.
Giải
a. * Giao tuyến của mặt mp(SAC) và mp(SBD): Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và
BD. Ta có:
b
a
β
α
M
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
12
GV: TR
N ĐÌNH CƯ
0834332133
S SAC
S SAC SBD
S SBD
(1)
Từ (1) suy ra S là điểm chung thứ nhất của mp(SAC)
và mp(SBD).
O AC
O SAC
AC SAC
O SAC SBD
O BD
O SBD
BD SBD
(2)
Từ (2) suy ra O điểm chung thứ hai của mp(SAC)
và mp(SBD).
Vậy
SO SAC SBD
.
* Giao tuyến của mp(SAB) và mp(SCD): Gọi E là giao điểm của AB và CD. Ta có:
S SAB
S SAB SCD
S SCD
(3)
Từ (3) suy ra S là điểm chung thứ nhất của mp(SAB) và mp(SCD).
E AB
E SAB
AB SAB
E SAB SCD
E CD
E SCD
CD SCD
(4)
Từ (4) suy ra E là điểm chung thứ hai của mp(SAB) và mp(SCD).
Vậy:
SE SAB SCD
.
b. Trong mp(SBD), hai đường thẳng SO, BN cắt nhau tại P, ta có:
P BN
P SO SAC P SAC
P là giao điểm của BN và (SAC).
Vậy P là giao điểm cần tìm.
c. Chứng minh bốn điểm M, N, Q, R đồng phẳng:
Trong mp(SCD), gọi T giao điểm của MN SE. Ta MN đường trung bình của tam
giác SCD nên
MN CD
. Xét tam giác SDE, ta có:
MN CD
N laø trung ñieåm cuûa SD
T là trung điểm của SE.
P
T
R
Q
N
M
O
A
D
J
S
B
C
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
13
GV: TR
N ĐÌNH CƯ
0834332133
Tương tự, QR là đường trung bình của tam giác SAB nên
QR AB
. Xét tam giác SAE, ta có:
QR
A B
Q laø trung ñieåm cuûa SA
QR đi qua trung điểm T của SE.
Như vậy, bốn điểm M, N, Q, R nằm trong mặt phẳng tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau TN và TQ
nên chúng đồng phẳng.
d2. Trong mặt phẳng
, cho tứ giác ABCD. Gọi S điểm không thuộc
, M điểm
nằm trong tam giác SCD.
a. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAM) và (SBD).
b. Xác định giao điểm của AM và mặt phẳng (SBD).
Giải
a. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAM)
(SBD): Gọi N giao điểm của SM CD, gọi E giao
điểm của aN BD. ràng
mp SAM mp SAN
. Ta
có:
E AN E SAM
E SAM SBD 1
E BD E SBD
Mặt khác:
S SAM SBD 2
Từ (1) và (2) suy ra:
SE SAM SBD
.
b. Xác định giao điểm của AM mặt phẳng (SBD). Ta
có:
SAM AM
SAM SBD SE F AM SBD
F AM SE SAM
d3. Cho tứ diện SABC. Trên cạnh SA lấy điểm M, trên cạnh SC lấy điểm N, sao cho MN
không song song vói AC. Cho điểm O nằm trong tam giác ABC. Tìm giao điểm của mặt phẳng
(OMN) với các đường thẳng AC, BC và AB.
Giải
F
E
A
D
C
B
S
N
M
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
14
GV: TR
N ĐÌNH CƯ
0834332133
Trong mp(SAC):
MN AC K
, mà
MN OMN
nên
K AC OMN
.
Trong mp(ABC):
OK BC H
,
OK OMN
nên
H BC OMN
.
Ta có:
OK AB G
,
OK OMN
nên
G AB OMN
.
dụ 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD. Gọi E và F là hai điểm lần lượt nằm
trên hai cạnh SB và CD.
a. Tìm giao điểm của EF với mặt phẳng (SAC).
b. Tìm giao điểm của mặt phẳng (AEF) với các đường thẳng BC và SC.
Giải
a. Ta có
EF SBF
.
Trong mp(ABCD):
BF AC O
, suy ra
SAC SBF SO
.
Trong mp(SBF):
EF SO K
,
SO SAC
, suy ra
K EF SAC
.
b. Trong mp(ABCD):
AF BC G
,
AF AEF
, suy ra
G BC AEF
.
Khi đó:
AEF AEG
.
Trong mp(SBC):
EG SC H
, mà
EG AEF
, suy ra
H SC AEF
.
Dạng 3. Thiết diện
1. Pơng pp
Tìm các đoạn giao tuyến nối tiếp nhau của mặt cắt với hình chóp cho đến khi khép kín thành
một đa giác phẳng. Đa giác đó chính là thiết diện cần tìm. Mỗi đoạn giao tuyến là cạnh của thiết
diện.
H
G
K
A
C
B
S
O
M
N
K
H
G
O
A
D
C
B
S
E
F
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
15
GV: TR
N ĐÌNH CƯ
0834332133
2. Các ví drèn luyện kĩ ng
dụ 1. Cho hình chóp
S.ABCD
,
M
là một điểm trên cạnh
SC
,
N
P
lần lượt là trung điểm
của
AB
AD
. Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng
MNP
.
Lời giải
Trong mặt phẳng
ABCD
gọi
Q NP CD
K NP BC
Trong
mp SBC
gọi
E SB KM
, trong
mp SAD
gọi
.F SD QM
Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng
MNP
là ngũ giác
NEMFP
.
dụ 2. Cho tứ diện đều
ABCD
, cạnh bằng
a
. Kéo dài
BC
một đoạn
CE a
. Kéo dài
BD
một
đoạn
.DF a
Gọi
M
là trung điểm của
AB
.
a) Tìm thiết diện của tứ diện với mặt phẳng
MEF
.
b) Tính diện tích của thiết diện.
Lời gii
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
16
GV: TR
N ĐÌNH CƯ
0834332133
a) Trong
mp ABC
: Dựng
ME
cắt
AC
tại
I.
Trong
mp ABD
: Dựng
MF
cắt
AD
tại
J
.
Từ đó thiết diện của tứ diện với
mp MEF
MIJ
.
b) Theo cách dựng thì
I
J
lần lượt là trọng tâm
tam giác
ABE
ABF
2 2
3 3
2 2
3 3
a
AI AC
a
AJ AD
tam giác
AIJ
đều
2
.
3
a
IJ
Mặt khác
AI AJ
nên
.AMI AMJ MI MJ
Trong
2 2
13
, 2 . .cos .
6
a
AMI MI MA IA MA IA A
2
2
2
1 1 2 13
. . .2 .
2 2 3 6 3 6
MJI
a a a a
S IJ MK
dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD đáy hình thang với đáy lớn AD. Gọi M một điểm trên
cạnh SB. Tìm thiết diện của hình chóp được cắt bởi mặt phẳng (AMD).
Giải
Trong mp(ABCD):
AB CD E
.
Trong mp(SAB):
AM SE K
.
Do đó
mp AMD mp AKD
.
Trong mp(SCD):
KD SC N
Do đó
MN AMD SBC
,
ND AMD SCD
.
Vậy thiết diện cần tìm là tứ giác AMND.
Dạng 4. Ba đim thẳng hàng ba đường thng đồng quy
1. Pơng pp
- Muốn chứng minh ba đường thẳng đồng quy ta chứng minh có hai đường thẳng cắt nhau và giao
điểm đó nằm trên đường thẳng thứ 3 (Hình a).
- Muốn chứng minh ba điểm thẳng hàng ta chứng minh chúng cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt
(Hình b).
K
N
C
A
D
E
S
B
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
17
GV: TR
N ĐÌNH CƯ
0834332133
Hình a.
Hình b.
2. Các ví drèn luyện kĩ ng
dụ 1. Cho tứ diện
S.ABC
. Trên các cạnh
SA, SB, SC
lần lượt lấy các điểm
D, E
F
sao
cho
DE
cắt
AB
tại
I
,
EF
cắt
BC
tại
J
,
FD
cắt
CA
tại
K
. Chứng minh
I, J, K
thẳng hàng.
Lời gii
Ta có:
I DEF
I DE AB I
I ABC
giao tuyến của hai mặt phẳng
DEF
ABC
.
Tương tự
J EF BC J
thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng
DEF
.ABC
K FD AC K
thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng
DEF
ABC
.
Do đó
I, J, K
thẳng hàng do cùng thuộc đường thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng
DEF
.ABC
dụ 2. Cho hình bình hành
ABCD
,
S
là điểm không thuộc
(ABCD)
,
M
N
lần lượt là
trung điểm của đoạn
AB
SC.
a) Xác định giao điểm
.I AN SBD
b) Xác định giao điểm
.J MN SBD
c) Chứng minh
I, J, B
thẳng hàng.
b
a
c
K
β
α
A
B
C
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
18
GV: TR
N ĐÌNH CƯ
0834332133
Lời gii
a) Gọi
O AC BD
I AN SO
Khi đó
I SO I SBD I AN SBD
b) Gọi
E CM BD
Trong mặt phẳng
SCM
gọi
J MN SE
Khi đó
J MN SBD
.
c) Các điểm
I, J, B
lần lượt thuộc các đường thẳng
AI,
MN, AM
nên
, ,I J B mp AMN
Mặt khác các điểm
, ,I J B mp SBD
Do đó
I, J, B
thuộc giao tuyến của 2 mặt phẳng
AMN
, ,SBD I J B
thẳng hàng.
dụ 3. Cho hình chóp
S.ABCD
, .AB CD E AD BC F
Gọi
M, N, P
theo thứ tự là
trung điểm của
SA, SB, SC.
a) Tìm giao điểm
Q SD MNP
.
b) Giả sử
.MN PQ H
Chứng minh
S, H, E
thẳng hàng.
c) Chứng minh
SF
,
MQ, NP
đồng qui.
Lời gii
a) Qua
P
kẻ đường thẳng
//d CD
, cắt
SD
tại
Q Q SD MNP
b) Ta có
SAB SCD A
Lại có
MN PQ H
MN SAB
PQ SCD
SAB SCD H
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
19
GV: TR
N ĐÌNH CƯ
0834332133
Mặt khác
AB CD E
AB SAD
PQ SBC
SAB SCD E
, ,S H E
thẳng hàng
c) Ta có
SAD SBC SF
Lại có
,SBC MNPQ NP SAD MNPQ MQ
Suy ra ba đường thẳng
SF, NP, MQ
đồng quy.
d4. Cho tứ diện SABC. Gọi I, J và K lần lượt là các điểm nằm trên các cạnh SB, SC và AB,
sao cho IJ không song song với BC, IK không song song với SA.
a. Tìm giao điểm D của (IJK) và BC.
b. Gọi E là giao điểm của DK và AC. Chứng minh ba đường thẳng SA, KI, EJ đồng quy.
Lời gii
a. Trong mp(SBC):
IJ BC D
(do IJ không
song song với BC).
IJ IJK
nên
D IJK BC
.
b. Ta IK không song song với SA nên trong
mp(ABC):
IK SA F
.
Ta có:
IK SA F
IK IJK ,SA SAC F EJ
EJ IJK SAC
.
Vậy ba đường thẳng SA, IK, EJ đồng quy.
d 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD không là hình thang. Gọi O là giao điểm của AC
và BD, K là một điểm trên cạnh SD.
a. Tìm giao điểm E của mặt phẳng (ABK) với CD.
b. Tìm giao điểm F của mặt phẳng (ABK) với SC.
c. Chứng minh các đường thẳng AF, BK và SO đồng quy.
Lời gii
E
D
F
A
C
S
B
I
J
K
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
20
GV: TR
N ĐÌNH CƯ
0834332133
a. Trong mp(ABCD):
AB CD E
.
AB ABK
nên
E ABK CD
.
b. Ta có:
ABK AEK
Trong mp(SCD):
EK SC F
.
EK ABK
nên
F ABK SC
.
c. Trong mp(ABK):
AF BK G
.
AF SAC , BK SBD
nên
G SAC SBD SO
.
Vậy ba đường thẳng AF, BK và SO đồng quy.
Dạng 5. Tìm tập hợp giao đim của hai đưng thẳng.
1. Phương pháp
Áp dụng kết quả:
I a b
a P ,b Q I c
P Q c
2. Các ví dụ
dụ 1. Cho tứ diện ABCD. Gọi K là trung điểm của cạnh BC, H là một điểm cố định trên cạnh
AC. Mặt phẳng (P) di động chứa HK, cắt các cạnh BD và AD lần lượt tại M và N.
a. Giả sử cho trước điểm M không là trung điểm của BD, hãy xác định điểm N.
b. Tìm tập hợp giao điểm I của hai đường HM và KN khi M di động trên canh BD.
Giải
F
G
E
O
A
D
B
S
C
K
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
21
GV: TR
N ĐÌNH CƯ
0834332133
a. Trong mp(BCD):
KM CD E
.
Trong mp(ACD):
HE AD N
.
HE P
nên
N AD P
là điểm cần tìm.
b. Ta có:
I HM KN
HM HBD I HBD AKD 1
KN AKD
Trong mp(ABC):
BH AK F
F HBD AKD
D HBD AKD
, nên
DF HBD AKD
(2)
Từ (1) và (2) suy ra I chạy trên đường thẳng cố định DF.
Giới hạn:
Cho
M D
thì
N D
. Khi đó
I D
.
Cho
M B
thì
N A
. Khi đó
I F
.
Vậy tập hợp điểm I là đoạn DF.
d2. Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là hai điểm trên hai cạnh AB và AC, sao cho
MN không song song với BC. Mặt phẳng (P) thay đổi luôn chứa MN, cắt các cạnh CD và BD lần
lượt tại E và F.
a. Chứng minh EF luôn đi qua điểm cố định.
b. Tìm tập hợp giao điểm của ME và NF.
c. Tìm tập hợp giao điểm của MF và NE.
Giải
I
F
N
E
K
A
B
D
C
M
H
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
22
GV: TR
N ĐÌNH CƯ
0834332133
a. Trong mp(ABC):
MN BC K
.
Khi đó K là điểm chung của (BCD) và (P), mà EF
giao tuyến của (BCD) và (P) nên EF đi qua điểm K
cố định.
b. Gọi I giao điểm của ME NF thì I điểm
chung của (NBD) (MCD), suy ra I thuộc giao
tuyến DJ của mp(MCD) và (NBD).
Giới hạn: Tậm hợp cần tìm là đoạn DJ.
c. Gọi H giao điểm của MF NE thì H điểm
chung của (ABD) và (ACD), suy ra H thuộc giao
tuyến AD của mp(ABD) và mp(ACD).
Giới hạn: Tập hợp điểm cần tìm đường thẳng AD
trừ đi đoạn AD.
C. GIẢI I TP SÁCH GIÁO KHOA
i 1. Khi trát tường, dụng cụ không thể thiếu của người thợ là thước dẹt dài (Hình 28). Công
dụng của thước dẹt này là gì? Giải thích.
Lời gii
Thước dẹt làm cho mặt lớp vữa phẳng và dải mốc cùng nằm trên mặt phẳng.
i 2. Hình 29 là hình ảnh của chặn giấy bằng gỗ có bốn mặt phân biệt là các tam giác. Vẽ
hình biểu diễn của chặn giấy bằng gỗ đó.
Lời gii
J
H
E
K
A
B
D
C
M
N
F
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
23
GV: TR
N ĐÌNH CƯ
0834332133
i 3. Cho ba đường thẳng
, ,a b c
không cùng nằm trong một mặt phẳng và đôi một cắt nhau.
Chứng minh rằng ba đường thẳng
, ,a b c
cùng đi qua một điểm, hay còn gọi là ba đường thẳng
đồng quy.
Lời gii
Giả sử: Đường thẳng a và b cắt nhau tại
C
.
Đường thẳng a và
c
cắt nhau tại
B
.
Đường thẳng
b
c
cắt nhau tại
A
.
trong đó, A, B, C không đồng quy (1)
Khi đó:
B
C
thuộc đường thẳng
A
Mặt khác:
B
thuộc đường thẳng
c,C
thuộc đường thẳng b
Suy ra:
BC
thuộc
mp
chứa đường thẳng
b
c
.
Do đó: Đường thẳng a thuộc
mp b,c
nên ba đường thẳng này đồng quy (trái với (1)).
Kết luận: Ba đường thẳng
a,b,c
cùng đi qua một điểm.
i 4. Cho hình chóp
.S ABCD
AC
cắt
BD
tại
O
AB
cắt
CD
tại
P
. Điểm
M
thuộc
cạnh
(SA M
khác
,S M
khác
A
). Gọi
N
là giao điểm của
MP
,SB I
là giao điểm của
MC
DN
. Chứng minh rằng
, ,S O I
thẳng hàng.
Lời gii
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
24
GV: TR
N ĐÌNH CƯ
0834332133
Ta có:
DN
thuộc
SBD
MC
thuộc
SAC
MC
cắt
DN
tại I nên I là giao điểm của
.SBD SAC
Ta có:
S
O
cùng thuộc hai mặt phẳng
SBD . SAC
Theo tính chất 4: Các điểm
S,O,I
đều thuộc giao điểm của hai mặt phẳng
.SBD SAC
Vậy ba điểm
S,O,I
thẳng hàng.
i 5. Cho hình chóp
.S ABC
. Các điểm ,M N lần lượt thuộc các cạnh ,SA SC sao cho
2 , 2MA MS NS NC
.
a) Xác định giao điểm của
MN
với mặt phẳng
ABC
.
b) Xác định giao tuyến của mặt phẳng
BMN
với mặt phẳng
ABC
.
Lời gii
a)
SAC
có:
MN
cắt
AC
tại
E
AC
thuộc
(ABC)
Do đó:
E
là giao điểm của
MN
và (
)ABC
.
b) Ta có:
B
thuộc hai mặt phẳng
BMN
ABC
E
thuộc hai mặt phẳng
BMN
ABC
Suy ra: BE là giao tuyến của hai mặt phẳng trên.
i 6. Cho hình chóp tứ giác
.S ABCD
có đáy không là hình thang. Gọi
M
là trung điểm của
SA
.
a) Xác định giao điểm của
CD
với mặt phẳng
SAB
.
b) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng
SAB
SCD
.
c) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng
MCD
SBC
.
Lời gii
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
25
GV: TR
N ĐÌNH CƯ
0834332133
a) Gọi
E
là giao điểm của
AB
CD
AB
thuộc mặt phẳng (SAB) nên
E
là giao điểm của
CD
.SAB
b) Ta có: S thuộc hai mặt phẳng
.SAB SCD
E
thuộc hai mặt phẳng
SAB
SCD
.
Suy ra:
SE
là giao tuyến của hai mặt phẳng trên.
c) Trong
,SAB
gọi G là giao điểm của
SBME và
.
Mà SB thuộc (SBC), ME thuộc (MCD).
Do đó,
G
thuộc hai mặt phẳng
MCD
SBC
.
Ta có:
C
thuộc hai mặt phẳng
MCD
SBC
.
Vậy CG là giao tuyến của hai mặt phẳng trên.
i 7. Cho hình tứ diện
ABCD
. Gọi
I
là trung điểm cạnh
CD
. Gọi
,M N
lần lượt là trọng
tâm các tam giác
,BCD CDA
.
a) Chứng minh rằng các điểm
,M N
thuộc mặt phẳng
ABI
.
b) Gọi
G
là giao điểm của
AM
BN
. Chứng minh rằng:
1
3
GM GN
GA GB
.
c) Gọi
,P Q
lần lượt là trọng tâm các tam giác
,DAB ABC
. Chứng minh rằng các đường thẳng
,CP DQ
cùng đi qua điểm
G
1
3
GP GQ
GC GD
.
Lời gii
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
26
GV: TR
N ĐÌNH CƯ
0834332133
a) Ta có:
M
là trọng tâm của
BCD
, mà
I
là trung điểm của
CD
Nên:
M
nằm trên trung tuyến
BI
(1)
Ta có:
N
là trọng tâm của
ACD
, mà I là trung điểm của
CD
Nên:
N
nằm trên trung tuyến
AI
(2)
Từ (1)(2) suy ra:
M
N
thuộc
(ABI)
.
b) Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AG, BG.
Ta có:
/ /HK AB
/ /MNAB
Suy ra:
/ / .MN HK
Theo định lý Ta-lét, ta có:
GM GN MN
GH GK HK
(1)
Ta có:
1 1
,
2 3
HK MN
AB AB
Do đó:
2 2
:
3 3
MN HK MN
AB AB HK
(2)
(1)(2) suy ra:
2 1 2 1
1
3 2 3 3
2
GM GM GM
GH GA
GH GA
GA
Chứng minh tương tự ta được:
1
3
GN
GB
.
c) Gọi
H,K
lần lượt là trung điểm của
BC,BD
AHD
có:
1
3
HM HQ
HD HA
Suy ra: QM // AD
Do đó:
QGM
đồng dạng với
DGA
Nên
, ,D G Q
thẳng hàng
Ta có:
QM / /AD
nên
1
3
QM HM HQ
AD HD HA
QM QG
AD GD
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
27
GV: TR
N ĐÌNH CƯ
0834332133
Do đó:
1
3
QG
GD
Chứng minh tương tự ta được:
1
3
GP
GC
Suy ra điều cần chứng minh.
D. BÀI TẬP TRẮC NGHIM
Câu 1: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. Qua 2 điểm phân biệt có duy nhất một mặt phẳng
.
B. Qua 3 điểm phân biệt bất kì có duy nhất một mặt phẳng
.
C. Qua 3 điểm không thẳng hàng có duy nhất một mặt phẳng
.
D. Qua 4 điểm phân biệt bất kì có duy nhất một mặt phẳng
.
Lời gii
Chọn C
A sai. Qua 2 điểm phân biệt, tạo được 1 đường thẳng, khi đó chưa đủ điều kiện để lập
một mặt phẳng xác định. Có vô số mặt phẳng đi qua 2 điểm đã cho.
B sai. Trong trường hợp 3 điểm phân biệt thẳng hàng thì chỉ tạo được đường thẳng, khi
đó có vô số mặt phẳng đi qua 3 điểm phân biệt thẳng hàng.
D sai. Trong trường hợp 4 điểm phân biệt thẳng hàng thì có vô số mặt phẳng đi qua
4 điểm đó hoặc trong trường hợp 4 điểm mặt phẳng không đồng phẳng thì sẽ tạo không
tạo được mặt phẳng nào đi qua cả 4 điểm.
Câu 2: Trong không gian, cho 4 điểm không đồng phẳng. Có thể xác định được bao nhiêu mặt
phẳng phân biệt từ các điểm đã cho?
A.
6.
B.
4.
C.
3.
D.
2.
Lời gii
Chọn B
Với 3 điểm phân biệt không thẳng hàng, ta luôn tạo được 1 mặt phẳng xác định.
Khi đó, với 4 điểm không đồng phẳng ta tạo được tối đa
3
4
4C
mặt phẳng.
Câu 3: Các yếu tố nào sau đây xác định một mặt phẳng duy nhất?
A. Ba điểm phân biệt
.
B. Một điểm và một đường thẳng
.
C. Hai đường thẳng cắt nhau
.
D. Bốn điểm phân biệt
.
Lời gii
Chọn C
A sai. Trong trường hợp 3 điểm phân biệt thẳng hàng thì sẽ có vô số mặt phẳng chứa 3
điểm thẳng hàng đã cho.
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
28
GV: TR
N ĐÌNH CƯ
0834332133
B sai. Trong trường hợp điểm thuộc đường thẳng đã cho, khi đó ta chỉ 1 đường thẳng,
có vô số mặt phẳng đi qua đường thẳng đó.
D sai. Trong trường hợp 4 điểm phân biệt thẳng hàng thì có vô số mặt phẳng đi qua 4
điểm đó hoặc trong trường hợp 4 điểm mặt phẳng không đồng phẳng thì sẽ tạo không tạo
được mặt phẳng nào đi qua cả 4 điểm.
Câu 4: Cho tứ giác
ABCD
. Có thể xác định được bao nhiêu mặt phẳng chứa tất cả các định của
tứ giác ABCD?
A.
1.
B.
2.
C.
3.
D.
0.
Lời gii
Chọn A
4 điểm
, , ,A B C D
tạo thành 1 tứ giác, khi đó 4 điểm
, , ,A B C D
đã đồng phẳng tạo
thành 1 mặt phẳng duy nhất là mặt phẳng
ABCD
.
Câu 5: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. Nếu 3 điểm
, ,A B C
3 điểm chung của 2 mặt phẳng
P
Q
thì
, ,A B C
thẳng
hàng.
B. Nếu
, ,A B C
thẳng hàng
P
,
Q
điểm chung
A
thì
,B C
cũng 2 điểm
chung của
P
Q
.
C. Nếu 3 điểm
, ,A B C
3 điểm chung của 2 mặt phẳng
P
Q
phân biệt thì
, ,A B C
không thẳng hàng.
D. Nếu
, ,A B C
thẳng hàng và
,A B
là 2 điểm chung của
P
Q
thì
C
cũng là điểm
chung của
P
Q
.
Lời gii
Chọn D
Hai mặt phẳng phân biệt không song song với nhau thì chúng có duy nhất một giao
tuyến.
A sai. Nếu
P
Q
trùng nhau thì 2 mặt phẳng sđiểm chung. Khi đó,
chưa đủ điều kiện để kết luận
, ,A B C
thẳng hàng.
B sai. số đường thẳng đi qua
A
, khi đó
,B C
chưa chắc đã thuộc giao tuyến
của
P
Q
.
C sai. Hai mặt phẳng
P
Q
phân biệt giao nhau tại 1 giao tuyến duy nhất, nếu 3
điểm
, ,A B C
là 3 điểm chung của 2 mặt phẳng thì
, ,A B C
cùng thuộc giao tuyến.
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
29
GV: TR
N ĐÌNH CƯ
0834332133
Câu 6: Trong mặt phẳng
, cho 4 điểm
, , ,A B C D
trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng.
Điểm
S
không thuộc mặt phẳng
. mấy mặt phẳng tạo bởi
S
2 trong 4 điểm
nói trên?
A. 4. B. 5. C. 6. D. 8.
Lời gii
Chọn C
Với điểm
S
không thuộc mặt phẳng
và 4 điểm
, , ,A B C D
thuộc mặt phẳng
, ta
2
4
C
cách chọn 2 trong 4 điểm
, , ,A B C D
cùng với điểm
S
lập thành 1 mặt phẳng xác
định. Vậy số mặt phẳng tạo được là 6.
Câu 7: Cho 5 điểm
, , , ,A B C D E
trong đó không có 4 điểm nào đồng phẳng. Hỏi có bao nhiêu mặt
phẳng tạo bởi 3 trong 5 điểm đã cho?
A.
10.
B.
12.
C.
8.
D.
14.
Lời gii
Chọn A
Với 3 điểm phân biệt không thẳng hàng, ta luôn tạo được 1 mặt phẳng xác định.
Ta có
3
5
C
cách chọn 3 điểm trong 5 điểm đã cho để tạo được 1 mặt phẳng xác định. Số
mặt phẳng tạo được là 10.
Câu 8: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai?
A. Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có vô số điểm chung khác nữa
.
B. Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất
.
C. Hai mặt phẳng phân biệt một điểm chung thì chúng một đường thẳng chung
duy nhất
.
D. Hai mặt phẳng cùng đi qua 3 điểm
, ,A B C
không thẳng hàng thì hai mặt phẳng đó
trùng nhau
.
Lời gii
Chọn B
Nếu 2 mặt phẳng trùng nhau, khi đó 2 mặt phẳng có vô số điểm chung và chung nhau
vô số đường thẳng.
Câu 9: Cho 3 đường thẳng
1 2 3
, ,d d d
không cùng thuộc một mặt phẳng cắt nhau từng đôi.
Khẳng định nào sau đây đúng?
A. 3 đường thẳng trên đồng quy
.
B. 3 đường thẳng trên trùng nhau
.
C. 3 đường thẳng trên chứa 3 cạnh của một tam giác
.
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
30
GV: TR
N ĐÌNH CƯ
0834332133
D. Các khẳng định ở A, B, C đều sai
.
Lời gii
Chọn A
B sai. Nếu 3 đường thẳng trùng nhau thì chúng sẽ cùng thuộc 1 mặt phẳng.
C sai. Nếu 3 đường thẳng trên chứa 3 cạnh của một tam giác khi đó sẽ tạo được 3 điểm
phân biệt không thẳng hàng (là 3 đỉnh của tam giác), chúng lập thành 1 mặt phẳng xác
định, 3 đường thẳng sẽ cùng thuộc 1 mặt phẳng.
Câu 10: Thiết diện của 1 tứ diện có thể là:
A. Tam giác
.
B. Tứ giác
.
C. Ngũ giác
.
D. Tam giác hoặc tứ giác
.
Lời gii
Chọn D
Khi thiết diện cắt 3 mặt của tứ diện thì sẽ tạo thành 3 giao tuyến. Ba giao tuyến lập
thành 1 hình tam giác.
Khi thiết diện cắt c4 mặt của tứ diện thì sẽ tạo thành 4 giao tuyến. Bốn giao tuyến
lập thành 1 hình tứ giác.
Thiết diện không thể là ngũ giác vì thiết diện có 4 mặt, số giao tuyến tối đa là 4.
Câu 11: Cho hình chóp S.ABCD đáy hình thang
.ABCD AB CD
Khẳng định nào sau
đây sai?
A. Hình chóp S.ABCD có 4 mặt bên.
B. Giao tuyến của hai mặt phẳng
SAC
SBD
SO
(O
giao điểm của AC
).BD
C. Giao tuyến của hai mặt phẳng
SAD
SBC
SI
(I
giao điểm của AD
).BC
D. Giao tuyến của hai mặt phẳng
SAB
SAD
là đường trung bình của ABCD
Lời gii
Chọn D
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
31
GV: TR
N ĐÌNH CƯ
0834332133
Hình chóp S.ABCD có 4 mặt bên:
, , , .SAB SBC SCD SAD
Do đó A đúng.
S
là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng
SAC
.SBD
O AC SAC O SAC
O
O BD SBD O SBD
điểm chung thứ hai của hai mặt phẳng
SAC
.SBD
.SAC SBD SO
Do đó B đúng.
Tương tự, ta có
.SAD SBC SI
Do đó C đúng.
SAB SAD SA
mà SA không phải là đường trung bình của hình thang ABCD
Do đó D sai.
Câu 12: Cho tứ diện
.ABCD
Gọi
G
trọng tâm của tam giác
.BCD
Giao tuyến của mặt phẳng
ACD
GAB
là:
A.
(AM M
là trung điểm của
).AB
B.
(AN N
là trung điểm của
).CD
C.
(AH H
là hình chiếu của
B
trên
).CD
D.
(AK K
là hình chiếu của
C
trên
).BD
Lời gii
Chọn B
I
O
A
B
D
C
S
G
A
C
D
B
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
32
GV: TR
N ĐÌNH CƯ
0834332133
A
là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng
ACD
.GAB
Ta
N BG ABG N ABG
BG CD N N
N CD ACD N ACD
điểm chung thứ hai giữa hai
mặt phẳng
ACD
.GAB
Vậy
.ABG ACD AN
Câu 13: Cho điểm
A
không nằm trên mặt phẳng
chứa tam giác
.BCD
Lấy
,E F
các điểm
lần lượt nằm trên các cạnh
, .AB AC
Khi
EF
BC
cắt nhau tại
,I
thì
I
không phải
điểm chung của hai mặt phẳng nào sau đây?
A.
BCD
.DEF
B.
BCD
.ABC
C.
BCD
.AEF
D.
BCD
.ABD
Lời gii
Chọn D
Điểm
I
là giao điểm của
EF
BC
.
EF DEF I BCD DEF
EF ABC I BCD ABC
EF AEF I BCD AEF
Câu 14: Cho tứ diện
.ABCD
Gọi
, M N
lần lượt trung điểm của
, .AC CD
Giao tuyến của hai
mặt phẳng
MBD
ABN
là:
A. đường thẳng
.MN
B. đường thẳng
(AH H
là trực tâm tam giác
).ACD
C. đường thẳng
(BG G
là trọng tâm tam giác
).ACD
D. đường thẳng
.AM
Lời gii
Chọn C
I
B
C
D
A
E
F
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
33
GV: TR
N ĐÌNH CƯ
0834332133
B
là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng
MBD
.ABN
,M N
lần lượt là trung điểm của
, AC CD
nên suy ra
, AN DM
hai trung tuyến của
tam giác
.ACD
Gọi
G AN DM
G AN ABN G ABN
G
G DM MBD G MBD
điểm chung thứ hai giữa hai mặt phẳng
MBD
.ABN
Vậy
.ABN MBD BG
Câu 15: Cho hình chóp
.S ABCD
đáy
ABCD
hình bình hành. Gọi
, M N
lần lượt trung
điểm
AD
.BC
Giao tuyến của hai mặt phẳng
SMN
SAC
là:
A.
.SD
B.
(SO O
là tâm hình bình hành
).ABCD
C.
(SG G
là trung điểm
).AB
D.
(SF F
là trung điểm
).CD
Lời gii
Chọn B
S
là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng
SMN
.SAC
G
N
M
B
D
C
A
T
O
N
D
B
C
A
S
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
34
GV: TR
N ĐÌNH CƯ
0834332133
Gọi
O AC BD
là tâm của hình hình hành.
Trong mặt phẳng
ABCD
gọi
T AC MN
O AC SAC O SAC
O
O MN SMN O SMN
điểm chung thứ hai giữa hai mặt phẳng
SMN
.SAC
Vậy
.SMN SAC SO
Câu 16: Cho hình chóp
.S ABCD
đáy
ABCD
hình bình hành. Gọi
, I J
lần lượt trung điểm
, .SA SB
Khẳng định nào sau đây sai?
A.
IJCD
là hình thang. B.
.SAB IBC IB
C.
.SBD JCD JD
D.
(IAC JBD AO O
là tâm
).ABCD
Lời gii
Chọn D
Ta có
IJ
là đường trung bình của tam giác
SAB
IJ AB CD IJ CD
IJCD
là hình thang. Do đó A đúng.
Ta có
.
IB SAB
SAB IBC IB
IB IBC
Do đó B đúng.
Ta có
.
JD SBD
SBD JBD JD
JD JBD
Do đó C đúng.
Trong mặt phẳng
IJCD
, gọi
M IC JD
.IAC JBD MO
Do đó D sai.
Câu 17: Cho hình chóp
.S ABCD
đáy hình thang
.ABCD AD BC
Gọi
M
trung điểm
.CD
Giao tuyến của hai mặt phẳng
MSB
SAC
là:
A.
(SI I
là giao điểm của
AC
).BM
B.
(SJ J
là giao điểm của
AM
).BD
C.
(SO O
là giao điểm của
AC
).BD
D.
(SP P
là giao điểm của
AB
).CD
M
O
I
J
D
C
A
S
B
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
35
GV: TR
N ĐÌNH CƯ
0834332133
Lời gii
Chọn A
S
là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng
MSB
.SAC
Ta
I BM SBM I SBM
I
I AC SAC I SAC
là điểm chung thứ hai giữa hai mặt phẳng
MSB
.SAC
Vậy
.MSB SAC SI
Câu 18: Cho 4 điểm không đồng phẳng
, , , .A B C D
Gọi
,I K
lần lượt trung điểm của
AD
.BC
Giao tuyến của
IBC
KAD
là:
A.
.IK
B.
.BC
C.
.AK
D.
.DK
Lời gii
Chọn A
Điểm
K
là trung điểm của
BC
suy ra
.K IBC IK IBC
Điểm
I
là trung điểm của
AD
suy ra
.I KAD IK KAD
Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng
IBC
KAD
.IK
I
M
A
D
B
C
S
K
I
B
D
C
A
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
36
GV: TR
N ĐÌNH CƯ
0834332133
Câu 19: Cho hình chóp
.S ABCD
đáy
ABCD
hình thang với
AB CD
. Gọi
I
giao điểm của
AC
BD
. Trên cạnh
SB
lấy điểm
M
. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
ADM
SAC
.
A.
.SI
B.
AE
(
E
là giao điểm của
DM
SI
).
C.
.DM
D.
DE
(
E
là giao điểm của
DM
SI
).
Lời gii
Chọn B
Ta
A
điểm chung thứ nhất của
ADM
SAC
. Trong mặt phẳng
SBD
, gọi
E SI DM
.
Ta có:
E SI
SI SAC
suy ra
E SAC
.
E DM
DM ADM
suy ra
E ADM
.
Do đó
E
là điểm chung thứ hai của
ADM
SAC
.
Vậy
AE
là giao tuyến của
ADM
SAC
.
Câu 20: Cho tứ diện
ABCD
điểm
M
thuộc miền trong của tam giác
.ACD
Gọi
I
J
lần
lượt hai điểm trên cạnh
BC
BD
sao cho
IJ
không song song với
.CD
Gọi
,H K
lần lượt giao điểm của
IJ
với
CD
của
MH
.AC
Giao tuyến của hai mặt phẳng
ACD
IJM
là:
A.
.KI
B.
.KJ
C.
.MI
D.
.MH
Lời gii
Chọn A
S
A
B
C
D
M
I
E
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
37
GV: TR
N ĐÌNH CƯ
0834332133
Trong mặt phẳng
,BCD
IJ
cắt
CD
tại
.H H ACD
Điểm
H IJ
suy ra bốn điểm
, , ,M I J H
đồng phẳng.
Nên trong mặt phẳng
IJM
,
MH
cắt
IJ
tại
H
.MH IJM
Mặt khác
.
M ACD
MH ACD
H ACD
Vậy
.ACD IJM MH
Câu 21: Cho bốn điểm
, , ,A B C D
không đồng phẳng. Gọi
,M N
lần lượt là trung điểm của
AC
.BC
Trên đoạn
BD
lấy điểm
P
sao cho
2 .BP PD
Giao điểm của đường thẳng
CD
mặt phẳng
MNP
là giao điểm của
A.
CD
.NP
B.
CD
.MN
C.
CD
.MP
D.
CD
.AP
Lời gii
Chọn A
Cách 1. Xét mặt phẳng
BCD
chứa
.CD
Do
NP
không song song
CD
nên
NP
cắt
CD
tại
.E
Điểm
.E NP E MNP
Vậy
CD MNP
tại
.E
Cách 2. Ta có
N BC
NP BCD
P BD
suy ra
,NP CD
đồng phẳng.
K
H
M
A
C
D
B
I
J
E
N
M
B
A
C
D
P
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
38
GV: TR
N ĐÌNH CƯ
0834332133
Gọi
E
là giao điểm của
NP
CD
NP MNP
suy ra
.CD MNP E
Vậy giao điểm của
CD
mp MNP
là giao điểm
E
của
NP
.CD
Câu 22: Cho tứ diện
.ABCD
Gọi
E
F
lần lượt trung điểm của
AB
CD
;
G
trọng tâm
tam giác
.BCD
Giao điểm của đường thẳng
EG
và mặt phẳng
ACD
là:
A. điểm
.F
B. giao điểm của đường thẳng
EG
.AF
C. giao điểm của đường thẳng
EG
.AC
D. giao điểm của đường thẳng
EG
.CD
Lời gii
Chọn B
G
là trọng tâm tam giác
,BCD F
là trung điểm của
CD
.G ABF
Ta có
E
là trung điểm của
AB
.E ABF
Gọi
M
là giao điểm của
EG
AF
AF ACD
suy ra
.M ACD
Vậy giao điểm của
EG
mp ACD
là giao điểm
.M EG AF
Câu 23: Cho hình chóp
.S ABCD
đáy
ABCD
hình bình hành. Gọi
M
trung điểm của
.SC
Gọi
I
là giao điểm của
AM
với mặt phẳng
.SBD
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
2 .IA IM

B.
3 .IA IM
 
C.
2 .IA IM
 
D.
2,5 .IA IM
Lời gii
Chọn A
M
G
E
F
D
C
A
B
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
39
GV: TR
N ĐÌNH CƯ
0834332133
Gọi
O
là tâm hình bình hành
ABCD
suy ra
O
là trung điểm của
.AC
Nối
AM
cắt
SO
tại
I
SO SBD
suy ra
.I AM SBD
Tam giác
SAC
,M O
lần lượt là trung điểm của
, .SC AC
I AM SO
suy ra
I
là trọng tâm tam giác
2
2 .
3
SAC AI AM IA IM
Điểm
I
nằm giữa
A
M
suy ra
2 2 .IA MI IM
  
Câu 24: Cho tứ giác
ABCD
AC
BD
giao nhau tại
O
một điểm
S
không thuộc mặt phẳng
ABCD
. Trên đoạn
SC
lấy một điểm
M
không trùng với
S
C
. Giao điểm của đường
thẳng
SD
với mặt phẳng
ABM
là:
A. giao điểm của
SD
.AB
B. giao điểm của
SD
AM
.
C. giao điểm của
SD
BK
(với
K SO AM
).
D. giao điểm của
SD
MK
(với
K SO AM
).
Lời gii
Chọn C
Chọn mặt phẳng phụ
SBD
chứa
SD
.
Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
SBD
ABM
.
I
O
M
A
B
D
C
S
S
A
B
C
D
M
N
K
O
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
40
GV: TR
N ĐÌNH CƯ
0834332133
Ta có
B
là điểm chung thứ nhất của
SBD
ABM
.
Trong mặt phẳng
ABCD
, gọi
O AC BD
. Trong mặt phẳng
SAC
, gọi
K AM SO
. Ta
có:
K SO
SO SBD
suy ra
K SBD
.
K AM
AM ABM
suy ra
K ABM
.
Suy ra
K
là điểm chung thứ hai của
SBD
ABM
.
Do đó
SBD ABM BK
.
Trong mặt phẳng
SBD
, gọi
N SD BK
. Ta có:
N BK
BK ABM
suy ra
N ABM
.
N SD
.
Vậy
N SD ABM
.
Câu 25: Cho bốn điểm
, , , A B C S
không cùng trong một mặt phẳng. Gọi
, I H
lần lượt trung
điểm của
, SA AB
. Trên
SC
lấy điểm
K
sao cho
IK
không song song với
AC
(
K
không
trùng với các đầu mút). Gọi
E
là giao điểm của đường thẳng
BC
với mặt phẳng
IHK
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
E
nằm ngoài đoạn
BC
về phía
.B
B.
E
nằm ngoài đoạn
BC
về phía
.C
C.
E
nằm trong đoạn
.BC
D.
E
nằm trong đoạn
BC
, .E B E C
Lời gii
Chọn D
Chọn mặt phẳng phụ
ABC
chứa
BC
.
Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
ABC
IHK
.
S
A
B
C
I
H
K
E
F
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
41
GV: TR
N ĐÌNH CƯ
0834332133
Ta có
H
là điểm chung thứ nhất của
ABC
IHK
.
Trong mặt phẳng
SAC
, do
IK
không song song với
AC
nên gọi
F IK AC
. Ta có
F AC
AC ABC
suy ra
F ABC
.
F IK
IK IHK
suy ra
F IHK
.
Suy ra
F
là điểm chung thứ hai của
ABC
IHK
.
Do đó
ABC IHK HF
.
Trong mặt phẳng
ABC
, gọi
E HF BC
. Ta có
E HF
HF IHK
suy ra
E IHK
.
E BC
.
Vậy
E BC IHK
.
Câu 26: Cho tứ diện
.ABCD
Gọi
,M N
lần lượt là trung điểm các cạnh
AB
,AC
E
điểm trên
cạnh
CD
với
3 .ED EC
Thiết diện tạo bởi mặt phẳng
MNE
và tứ diện
ABCD
là:
A. Tam giác
.MNE
B. Tứ giác
MNEF
với
F
là điểm bất kì trên cạnh
.BD
C. Hình bình hành
MNEF
với
F
là điểm trên cạnh
BD
EF
//
.BC
D. Hình thang
MNEF
với
F
là điểm trên cạnh
BD
EF
//
.BC
Lời gii
Chọn D
Tam giác
ABC
,M N
lần lượt là trung điểm của
, .AB AC
Suy ra
MN
là đường trung bình của tam giác
ABC
MN
//
.BC
Từ
E
kẻ đường thẳng
d
song song với
BC
và cắt
BD
tại
F EF
//
.BC
Do đó
MN
//
EF
suy ra bốn điểm
, , ,M N E F
đồng phẳng và
MNEF
là hình thang.
F
N
M
A
C
D
B
E
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
42
GV: TR
N ĐÌNH CƯ
0834332133
Vậy hình thang
MNEF
là thiết diện cần tìm.
Câu 27: Cho tứ diện
ABCD
. Gọi
H
,
K
lần lượt trung điểm các cạnh
AB
,
BC
. Trên đường
thẳng
CD
lấy điểm
M
nằm ngoài đoạn
CD
. Thiết diện của tứ diện với mặt phẳng
HKM
là:
A. Tứ giác
HKMN
với
.N AD
B. Hình thang
HKMN
với
N AD
.HK MN
C. Tam giác
HKL
với
.L KM BD
D. Tam giác
HKL
với
.L HM AD
Lời gii
Chọn C
Ta có
HK
,
KM
là đoạn giao tuyến của
HKM
với
ABC
BCD
.
Trong mặt phẳng
BCD
, do
KM
không song song với
BD
nên gọi
L KM BD
.
Vậy thiết diện là tam giác
HKL
.
Câu 28: Cho hình chóp tứ giác đều
.S ABCD
cạnh đáy bằng
0 .a a
Các điểm
, ,M N P
lần
lượt là trung điểm của
, , .SA SB SC
Mặt phẳng
MNP
cắt hình chóp theo một thiết diện
có diện tích bằng:
A.
2
.a
B.
2
.
2
a
C.
2
.
4
a
D.
2
.
16
a
Lời gii
Chọn C
L
M
K
H
D
C
B
A
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
43
GV: TR
N ĐÌNH CƯ
0834332133
Gọi
Q
là trung điểm của
.SD
Tam giác
SAD
,M Q
lần lượt là trung điểm của
,SA SD
suy ra
MQ
//
.AD
Tam giác
SBC
,N P
lần lượt là trung điểm của
,SB SC
suy ra
NP
//
.BC
Mặt khác
AD
//
BC
suy ra
MQ
//
NP
MQ NP MNPQ
là hình vuông.
Khi đó
, , ,M N P Q
đồng phẳng
MNP
cắt
SD
tại
Q
MNPQ
thiết diện của hình
chóp
.S ABCD
với
.mp MNP
Vậy diện tích hình vuông
MNPQ
2
.
4 4
ABCD
MNPQ
S
a
S
Câu 29: Cho tứ diện đều
ABCD
có cạnh bằng
.a
Gọi
G
là trọng tâm tam giác
.ABC
Mặt phẳng
GCD
cắt tứ diện theo một thiết diện có diện tích là:
A.
2
3
.
2
a
B.
2
2
.
4
a
C.
2
2
.
6
a
D.
2
3
.
4
a
Lời gii
Chọn B
Gọi
,M N
lần lượt là trung điểm của
,AB BC
suy ra
.AN MC G
Dễ thấy mặt phẳng
GCD
cắt đường thắng
AB
tại điểm
.M
Q
P
N
M
A
B
D
C
S
H
G
M
N
A
B
C
D
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
44
GV: TR
N ĐÌNH CƯ
0834332133
Suy ra tam giác
MCD
là thiết diện của mặt phẳng
GCD
và tứ diện
.ABCD
Tam giác
ABD
đều, có
M
là trung điểm
AB
suy ra
3
.
2
a
MD
Tam giác
ABC
đều, có
M
là trung điểm
AB
suy ra
3
.
2
a
MC
Gọi
H
là trung điểm của
1
. .
2
MCD
CD MH CD S MH CD
Với
2
2 2 2
2
.
4 2
CD a
MH MC HC MC
Vậy
2
1 2 2
. . .
2 2 4
MCD
a a
S a
Câu 30: Cho tứ diện đều
ABCD
có độ dài các cạnh bằng
2a
. Gọi
M
,
N
lần lượt là trung điểm các
cạnh
AC
,
BC
;
P
trọng tâm tam giác
BCD
. Mặt phẳng
MNP
cắt tứ diện theo một
thiết diện có diện tích là:
A.
2
11
.
2
a
B.
2
2
.
4
a
C.
2
11
.
4
a
D.
2
3
.
4
a
Lời gii
Chọn C
Trong tam giác
BCD
có:
P
là trọng tâm,
N
là trung điểm
BC
. Suy ra
N
,
P
,
D
thẳng
hàng.
Vậy thiết diện là tam giác
MND
.
Xét tam giác
MND
, ta có
2
AB
MN a
;
3
3
2
AD
DM DN a
.
Do đó tam giác
MND
cân tại
D
.
Gọi
H
là trung điểm
MN
suy ra
DH MN
.
A
B
C
D
P
N
M
D
M
N
H
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
45
GV: TR
N ĐÌNH CƯ
0834332133
Diện tích tam giác
2
2 2
1 1 11
. .
2 2 4
MND
a
S MN DH MN DM MH
.
Câu 31: Cho tứ diện
.ABCD
Gọi
, M N
lần lượt là trung điểm của
AB
.CD
Mặt phẳng
qua
MN
cắt
, AD BC
lần lượt tại
P
.Q
Biết
MP
cắt
NQ
tại
.I
Ba điểm nào sau đây thẳng
hàng?
A.
, , .I A C
B.
, , .I B D
C.
, , .I A B
D.
, , .I C D
Lời gii
Chọn B
Ta có
ABD BCD BD
.
Lại có
I MP ABD
I
I NQ BCD
thuộc giao tuyến của
ABD
BCD
, , I BD I B D
thẳng hàng.
Câu 32: Cho tứ diện
SABC
. Gọi
, , L M N
lần lượt các điểm trên các cạnh
, SA SB
AC
sao
cho
LM
không song song với
AB
,
LN
không song song với
SC
. Mặt phẳng
LMN
cắt
các cạnh
, , AB BC SC
lần lượt tại
, , K I J
. Ba điểm nào sau đây thẳng hàng?
A.
, , .K I J
B.
, , .M I J
C.
, , .N I J
D.
, , .M K J
Lời gii
Chọn B
Q
I
N
M
B
D
C
A
P
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
46
GV: TR
N ĐÌNH CƯ
0834332133
Ta có
M SB
suy
M
là điểm chung của
LMN
SBC
.
I
là điểm chung của
LMN
SBC
.
J
là điểm chung của
LMN
SBC
.
Vậy
, , M I J
thẳng hàng vì cùng thuộc giao tuyến của
LMN
SBC
.
Câu 33: Cho tứ diện
.ABCD
Gọi
G
là trọng tâm tam giác
,BCD
M
là trung điểm
,CD
I
là điểm
trên đoạn thẳng
,AG
BI
cắt mặt phẳng
ACD
tại
.J
Khẳng định nào sau đây sai?
A.
.AM ACD ABG
B.
, , A J M
thẳng hàng.
C.
J
là trung điểm của
.AM
D.
.DJ ACD BDJ
Lời gii
Chọn C
Ta có
A
là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng
ACD
.GAB
Do
M BG ABG M ABG
BG CD M M
M CD ACD M ACD
điểm chung thứ hai giữa hai mặt
phẳng
ACD
.GAB
S
A
B
C
L
M
N
I
J
K
J
G
M
A
C
D
B
I
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
47
GV: TR
N ĐÌNH CƯ
0834332133
ABG ACD AM 
A đúng.
Ta có
,
BI ABG
AM ABM AM BI
ABG ABM
đồng phẳng.
, ,J BI AM A J M
thẳng hàng
B đúng.
Ta có
DJ ACD
DJ ACD BDJ
DJ BDJ

D đúng.
Điểm
I
di động trên
AG
nên
J
có thể không phải là trung điểm của
AM
C sai.
Câu 34: Cho tứ diện
ABCD
. Gọi
, , E F G
các điểm lần lượt thuộc các cạnh
, , AB AC BD
sao cho
EF
cắt
BC
tại
I
,
EG
cắt
AD
tại
H
. Ba đường thẳng nào sau đây đồng quy?
A.
, , .CD EF EG
B.
, , .CD IG HF
C.
, , AB IG HF
. D.
, , .AC IG BD
Lời gii
Chọn B
Phương pháp: Để chứng minh ba đường thẳng
1 2 3
, , d d d
đồng quy ta chứng minh giao
điểm của hai đường thẳng
1
d
2
d
là điểm chung của hai mặt phẳng
; đồng
thời
3
d
là giao tuyến
.
Gọi
O HF IG
. Ta có
O HF
HF ACD
suy ra
O ACD
.
O IG
IG BCD
suy ra
O BCD
.
Do đó
O ACD BCD
.
1
ACD BCD CD
.
2
Từ
1
2
, suy ra
O CD
.
A
B
C
D
E
F
G
I
H
O
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
48
GV: TR
N ĐÌNH CƯ
0834332133
Vậy ba đường thẳng
, , CD IG HF
đồng quy.
Câu 35: Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
không phải hình thang. Trên cạnh
SC
lấy điểm
M
. Gọi
N
giao điểm của đường thẳng
SD
với mặt phẳng
AMB
. Mệnh đề nào sau đây
đúng?
A. Ba đường thẳng
, , AB CD MN
đôi một song song.
B. Ba đường thẳng
, , AB CD MN
đôi một cắt nhau.
C. Ba đường thẳng
, , AB CD MN
đồng quy.
D. Ba đường thẳng
, , AB CD MN
cùng thuộc một mặt phẳng.
Lời gii
Chọn C
Gọi
.I AD BC
Trong mặt phẳng
SBC
, gọi
K BM SI
. Trong mặt phẳng
SAD
, gọi
N AK SD
.
Khi đó
N
là giao điểm của đường thẳng
SD
với mặt phẳng
AMB
.
Gọi
O AB CD
. Ta có:
O AB
AB AMB
suy ra
O AMB
.
O CD
CD SCD
suy ra
IJ, ,MN SE
.
Do đó
O AMB SCD
.
1
AMB SCD MN
.
2
Từ
1
2
, suy ra
O MN
. Vậy ba đường thẳng
, , AB CD MN
đồng quy.
D
C
B
A
S
M
N
I
K
O
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
49
GV: TR
N ĐÌNH CƯ
0834332133
i 2: HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG TRONG KNG GIAN
A. TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN CN NẮM
I. VỊ T TƯƠNG ĐI CA HAI ĐƯỜNG THẲNG PN BIỆT
Trong mục này, nếu không nói gì thêm, ta luôn giả sử hai đường thẳng là phân biệt.
Nhận xét:
Cho hai đường thẳng
a
b
phân biệt trong không gian. Khi đó chỉ xảy ra một trong
các trường hợp sau:
Trường hợp 1: Có một mặt phẳng chứa
a
b
. Khi đó ta nói
a
b
đồng phẳng
(Hình 32a).
Trường hợp 2: Không có mặt phẳng nào chứa
a
b
. Khi đó ta nói
a
b
chéo nhau, hay a chéo
với
b
(Hình 32b).
Khi hai đường thẳng
a
b
(phân biệt) đồng phẳng, ta đã biết có hai khả năng xảy ra:
a
b
có một điểm chung duy nhất
I
. Ta nói
a
b
cắt nhau tại
I
và kí hiệu là
a b I
. Ta còn có thể viết
a b I
(Hình
33a
).
a
b
không có điểm chung. Ta nói
a
b
song song với nhau và kí hiệu là
a//b
(Hình 33b).
Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng và không có
điểm chung.
Nhận xét:
Cho hai đường thẳng song song
a
b
. Có duy nhất một mặt phẳng chứa hai đường
thẳng đó, kí hiệu là
mp ,a b
.
II. NH CHẤT
Định lí 1
Trong không gian, qua một điểm không nằm trên đường thẳng cho trước, có một và chỉ một
đường thẳng song song với đường thẳng đã cho.
Định lí 2 (về giao tuyến của ba mặt phẳng).
Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc
đồng quy, hoặc đôi một song song với nhau.
Từ Định lí 2, ta suy ra hệ quả sau:
Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của
chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng
đó (Hình 39).
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
50
GV: TR
N ĐÌNH CƯ
0834332133
Định lí 3
Trong không gian, hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song
song với nhau.
Khi hai đường thẳng
a
b
cùng song song với đường thẳng
c
, ta kí hiệu
a//b//c
và gọi là ba
đường thẳng song song.
B. PN LOI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI I TP
Dạng 1. Chứng minh đường thng song song hoc đng quy
1. Pơng pp
- Nếu ba mp phân biệt đôi một cắt nhau theo
ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy
hoặc dồng qui hoặc đôi một song song với
nhau.
Hệ qu: Nếu hai mp phân biệt lần lượt
chứa hai đt song song thì giao tuyến của
chúng (nếu có) cũng song song với hai đt đó
hoặc trùng với một trong hai đt đó.
- Hai đường thẳng phân biệt cùng song
song với đường thẳng thứ ba tsong
song với nhau.
/ / / /
/ /
a b
a c a b
b c
2. Các ví drèn luyện kĩ ng
d1: Cho tứ diện ABCD. Gọi P, Q, R, S bốn điểm lần lượt trên các cạnh AB, BC, CD,
DA. CMR nếu bốn điểm P, Q, R, S đồng phẳng thì:
a) PQ, SR, AC hoặc song song hoặc đồng qui.
b) PS, RQ, BD hoặc song song hoặc đồng qui.
c
β
α
b
a
γ
β
α
b
a
c
d'
d
d"
β
α
d
d"
d'
β
α
d'
d
d"
β
α
γ
c
b
a
β
α
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
51
GV: TR
N ĐÌNH CƯ
0834332133
Lời giải
Theo định lí về giao tuyến của 3 mặt phẳng.
a) Nếu PQ // SR thì PQ // SR // AC.
b) Nếu PQ cắt SR tại I thì AC đi qua I.
dụ 2: Cho tứ diện
ABCD
. Gọi
,M N
lần lượt là trung điểm của các cạnh
BC
AC
. Trên
cạnh
PD
lấy điểm
P
sao cho
2DP PB
.
a) Xác định giao tuyến của mặt phẳng
( )MNP
với các mặt phẳng
( ),( )ABD BCD
.
b) Trên cạnh
AD
lấy điểm
Q
sao cho
2DQ QA
. Chứng minh:
PQ
song song với mặt phẳng
( )ABC
, ba đường thẳng
, ,DC QN PM
đồng quy.
Lời gii
1) Do đó:
/ / / /
/ /
MN MNP
AB ABD MNP ABD Px AB MN
MN AB
Xác định giao tuyến của
( )MNP
( )BCD
:
Ta có:
( )
( )
M MNP
M MNP BCD
M BC BCD
Mặt khác:
( )
( )
P MNP
P MNP BCD
P BD BCD
Vậy
( )MNP BCD MP
là giao tuyến cần tìm
Chứng minh
PQ
song song với mặt phẳng
( )ABC
:
DQ DP
QA PB
nên
/ /PQ AB
. Do đó:
/ /
/ /( )
( )
PQ AB
PQ ABC
AB ABC
2) Ta có:
Q MNP
. Do đó:
( ) ( )MNP ACD QN
( ) ( )MNP BCD PM
( ) ( )ACD BCD CD
CM DP
MB PB
nên
DC
cắt
PM
tại
I
.
Vậy
, ,DC QN PM
đồng quy
A
B
C
D
P
S
R
Q
x
Q
N
I
M
B
D
C
A
P
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
52
GV: TR
N ĐÌNH CƯ
0834332133
dụ 3: Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình bình hành tâm O. Gọi
M,N
lần lượt là
trung điểm
AD
SB
.
a/ Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
SAB
SCD
b/ Chứng minh:
ON
song song với mặt phẳng
SAD
c/ Tìm giao điểm của đường thẳng
MN
và mặt phẳng
SAC
Lời gii
a) Xét 2 mặt phẳng
SAB
SCD
Ta có:
S
là điểm chung của 2 mặt phẳng
Mặt khác:
/ /AB CD
AB SAB
CD SCD
Suy ra giao tuyến của 2 mặt phẳng
SAB
SCD
đường thẳng qua
x
S
qua S và song song với AB và CD.
b)Xét tam giác SBD, ta có:
/ /ON SD
(Vì O,N lần lượt là trung điểm BD và SB)
SD SAD
Suy ra ON song song mặt phẳng
SAD
c) Xét mặt phẳng
ABCD
Gọi I là giao điểm của AC và BM
Xét 2 mặt phẳng
SAC
SBM
Ta có:
( ) ( )SAC SBM SI
Gọi J là giao điểm của SI và MN
Khi đó:
J SI SAC J SAC
J MN
Vậy J là giao điểm của MN và mặt phẳng
SAC
N
J
O
I
A
B
C
D
S
x
M
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
53
GV: TR
N ĐÌNH CƯ
0834332133
Dạng 2. Tìm giao điểm và thiết din ca hình chóp
1. Pơng pp
2. Các ví drèn luyện kĩ ng
Câu 1: Cho hình chóp S.ABC, gọi M, P và I lần lượt trung điểm của AB, SC và SB. Một mặt
phẳng
qua MP và song song với AC và cắt các cạnh SA, BC tại N, Q.
a) Chứng minh đường thẳng BC song song với mặt phẳng
IMP
.
b) Xác định thiết diện của
và hình chóp. Thiết diện này là hình gì?
c) Tìm giao điểm của đường thẳng CN và mặt phẳng
SMQ
.
Lời gii
a) Có IP là đường trung bình của
SBC IP BC
IP (IMP) BC (IMP)
.
b) Có
M ( ) (ABC)
(ABC) AC ( )
( ) (ABC) MQ AC,Q BC
.
P ( ) (S AC)
(S AC) AC ( )
( ) (S AC) PN AC,N SA
.
Kết luận thiết diện cần tìm là hình bình hành MNPQ. Thật vậy dễ dàng chứng minh Q, N lần
lượt là trung điểm của BC và SA. Do đó
1
MQ NP AC
2
c) Chọn mặt phẳng (SAC) chứa NC. Tìm giao tuyến của (SAC) và (SMQ):
S (SAC) (SMQ)
(SAC) (SMQ) Sx AC MQ
AC MQ; AC (SAC),MQ (SMQ)
Trong mp(SAC) gọi
J CN Sx
, có
J CN
J CN (SMQ)
J Sx (SMQ)
.
Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một hình tứ giác lồi. Gọi M, N lần lượt là trung điểm
của SC và CD. Gọi
là mặt phẳng qua M, N và song song với đường thẳng AC.
a) Tìm giao tuyến của
với
mp ABCD
.
x
J
N
Q
I
P
M
S
A
B
C
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
54
GV: TR
N ĐÌNH CƯ
0834332133
b) Tìm giao điểm của đường thẳng SB với
mp
.
c) Tìm thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng
.
Lời gii
a) Có
N ( ) (ABCD)
( ) AC (ABCD)
( ) (ABCD) NE AC; E AD
.
b) Có MN là đường trung bình của
SCD MN SD
.
Trong mp(ABCD) gọi
F BD NE
.
F ( ) (SBD)
MN S D;MN ( ),SD (SBD)
( ) (SBD) Fx MN S D
Trong mp(SBD) gọi
H Fx SB
, vì
H SB
H SB ( )
H Fx ( )
.
c) Có
E ( ) (SAD)
( ) (S AD) EK SD;K SA
MN SD;MN ( ),SD (SAD)
.
Từ đó suy ra thiết diện cần tìm là ngũ giác MNEKH.
Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với
AB CD
. Gọi M, N, I lần lượt
là trung điểm của AD, BC, SA.
a)Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (IMN) và (SAC); (IMN) và (SAB).
b) Tìm giao điểm của SB và (IMN).
c)Tìm thiết diện của mặt phẳng (IDN) với hình chóp S.ABCD.
Lời gii
a) Có
I (IMN) (SAC)
(1).
Trong mp(ABCD) gọi
E MN (IMN)
E MN AC
E AC (SAC)
E (IMN) (SAC)
(2).
Từ (1) và (2) suy ra
(IMN) (SAC) EI
.
b) Có MN là đường trung bình của hình thang ABCD
MN AB CD
.
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
55
GV: TR
N ĐÌNH CƯ
0834332133
I (IMN) (SAB)
MN AB (IMN) (SAB) Ix MN AB
MN (IMN); AB (SAB)
.
c) Trong mp(SAB) gọi
J SB
J Ix SB J SB (IMN)
J Ix (IMN)
.
I (IDN) (SAB)
(3)
Trong mp(ABCD) gọi
K DN (IDN)
K DN AB
K AB (SAB)
K (IDN) (SAB)
(4).
Từ (3) và (4) suy ra
(IDN) (SAB) IK
Trong mp(SAB) gọi
P IK SB
thiết diện cần tìm là tứ giác MNPI.
Câu 4: Cho chóp tứ giác
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình bình hành và
N
là trung điểm
SA
.
a)Tìm giao điểm của
AC
và mặt phẳng
SBD
b)Tìm thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng
NBC
. Thiết diện là hình gì?
Lời gii
1) Gọi
O
là giao điểm giữa
AC
BD
. Khi đó:
O AC
O BD SBD
Vậy
O
là giao điểm của
AC
và mặt phẳng
SBD
2) Ta có:
+
NBC ABCD BC
+
NBC SBC BC
+
NBC SAB NB
+
1
N NBC
N SAD
|| 2NBC BC AD SAD
Từ
1
&
2
|| ||NBC SAD NM AD BC
+
NBC SCD MC
Vậy thiết diện là hình thang
MNCD
O
N
A
B
D
C
S
M
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
56
GV: TR
N ĐÌNH CƯ
0834332133
C. GIẢI I TP SÁCH GIÁO KHOA
i 1. Quan sát phòng học của lớp và nêu lên hình ảnh của hai đường thẳng song song, cắt nhau,
chéo nhau.
Lời gii
- Hình ảnh hai đường thẳng song song: mép bảng trên và mép bảng dưới
- Hình ảnh hai đường thẳng cắt nhau: hai đường chân tường liền kề nhau
- Hình ảnh hai đường thẳng chéo nhau: cột dọc và chân tường đối diện
i 2. Quan sát Hình 43 và cho biết vị trí tương đối của hai trong ba cột tuabin gió có trong
hình.
Lời gii
Ba cột tuabin gió đôi một song song với nhau.
i 3. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình bình hành. Gọi
, ,M N P
lần lượt là trung
điểm của các cạnh
, ,SA AB SD
. Xác định giao tuyến của mỗi cặp mặt phẳng sau:
SAD
;SBC MNP
ABCD
Lời gii
Ta có: S là điểm chung của hai mặt phẳng
SAD SBC
Từ
S
kẻ
Sx
sao cho
/ / / /Sx AD BC
. Vậy
Sx
là giao tuyến của hai mặt phẳng
SAD
SBC
.
Ta có:
,M P
là trung điểm của
,SA SD
. Suy ra
/ / / /MP AD BC
Có:
N
là điểm chung của hai mặt phẳng
MNP
ABCD
Từ
N
kẻ
NQ
sao cho
NQ / /AD
.
Vậy NQ là giao tuyến của hai mặt phẳng
.MNP và ABCD
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
57
GV: TR
N ĐÌNH CƯ
0834332133
i 4. Cho tứ diện
ABCD
. Gọi
1 2
,G G
lần lượt là trọng tâm của các tam giác
ABC
ABD
.
Chứng minh rằng đường thẳng
1 2
G G
song song với đường thẳng
CD
.
Lời gii
Gọi
E
là trung điểm
AB
Ta có:
1
G
là trọng tâm của
ABC
Suy ra:
1
1
1
3
EG
EC
Ta có:
2
G
là trọng tâm của
ABD
Suy ra:
2
1
2
3
EG
ED
Từ (1)(2) suy ra:
ECD
1 2
EG EG
EC ED
Theo định lí Ta-lét, suy ra:
1 2
/ /CDG G
i 5. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình thang với
AB
là đáy lớn và
2AB CD
.
Gọi
,M N
lần lượt là trung điểm của các cạnh
SA
SB
. Chứng minh rằng đường thẳng
NC
song song với đường thẳng
MD
.
Lời gii
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
58
GV: TR
N ĐÌNH CƯ
0834332133
Ta có:
1
MN / /AB
2
SM SN
SA SB
Mà:
/ /AB CD
Suy ra:
MN / /CD 1
Ta có:
1
2
MN
AB
AB 2CD
Suy ra:
1
2
2 2
MN
MN CD
CD
Từ (1)(2) suy ra: MNCD là hình bình hành
Do đó: NC // MD.
i 6. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình bình hành. Gọi
, , ,M N P Q
lần lượt là trung
điểm của các cạnh
, , , ; , , ,AB BC CD DA I J K L
lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng
, , ,SM SN SP SQ
.
a) Chứng minh rằng bốn điểm
, , ,I J K L
đồng phẳng và tứ giác
IJKL
là hình bình hành.
b) Chứng minh rằng
IK//BC
.
c) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng
IJKL
SBC
.
Lời gii
a)
ABC
M
N
là trung điểm của
,AB BC
. nên
/ /MN AC
. (1)
ACD
P
Q
là trung điểm của
,CD DA
. nên
/ /PQ AC
. (2)
SMN
có I và J là trung điểm SN nên IJ // MN (3)
SPQ
L
K
là trung đi4)
Từ (1)(2)(3)(4) suy ra IJ // LK. Do đó: I, J, K, L đồng phẳng.
Ta có:
1
2
MN QP
AC AC
1
2
IJ LK
MN PQ
Từ (6)(7) suy ra: IJ = LK mà IJ // LK
Do đó: IJKL là hình bình hành.
b) Ta có:
,M P
lần lượt là trung điểm của
,AB CD
Suy ra: MP // BC (1)
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
59
GV: TR
N ĐÌNH CƯ
0834332133
i 7. Cho tứ diện
ABCD
. Gọi
,I J
lần lượt là trung điểm của các cạnh
,BC CD
. Trên cạnh
AC
lấy điểm
K
. Gọi
M
là giao điểm của
BK
,AI N
là giao điểm của
DK
AJ
. Chứng minh
rằng đường thẳng
MN
song song với đường thẳng
BD
.
Lời gii
Giả sử K là trung điểm của
AC
Suy ra:
,M N
lần lượt là trọng tâm của
ABC
ACD
.
Do đó:
KBD
1
3
KM KN
KB KD
Suy ra:
MN / /BD
Trường hợp
K
bất kỳ cũng chứng minh được
MN / /BD
.
D. BÀI TẬP TRẮC NGHIM
Câu 1: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau.
B. Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung.
C. Hai đường thẳng phân biệt không cắt nhau và không song song thì chéo nhau.
D. Hai đường thẳng phân biệt không chéo nhau thì hoặc cắt nhau hoặc song song.
Lời gii
Chọn A
Hai đường thẳng không điểm chung thì chúng song song (khi chúng đồng phẳng)
hoặc chéo nhau (khi chúng không đồng phẳng).
Câu 2: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Hai đường thằng có một điểm chung thì chúng có vô số điểm chung khác.
B. Hai đường thẳng song song khi và chỉ khi chúng không điểm chung.
C. Hai đường thẳng song song khi và chỉ khi chúng không đồng phẳng.
D. Hai đường thẳng chéo nhau khi và chỉ khi chúng không đồng phẳng.
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
60
GV: TR
N ĐÌNH CƯ
0834332133
Lời gii
Chọn D
A sai. Trong trường hợp 2 đường thẳng cắt nhau thì chúng chỉ có 1 điểm chung.
B C sai. Hai đường thẳng song song khi chỉ khi chúng đồng phằng không có
điểm chung.
Câu 3: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
B. Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì trùng nhau.
C. Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau
hoặc trùng nhau.
D. Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì chúng lần lượt nằm
trên hai mặt phẳng song song.
Lời gii
Chọn C
Câu 4: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. Hai đường thẳng chéo nhau thì chúng có điểm chung.
B. Hai đường thẳng không có điểm chung là hai đường thẳng song song hoặc chéo nhau.
C. Hai đường thẳng song song với nhau khi chúng ở trên cùng một mặt phẳng.
D. Khi hai đường thẳng trên hai mặt phẳng phân biệt thì hai đường thẳng đó chéo
nhau.
Lời gii
Chọn B
A sai. Hai đường thẳng chéo nhau thì chúng không có điểm chung.
C sai. Có thể xảy ra trường hợp hai đường thẳng đó hoặc cắt nhau hoặc trùng nhau.
D sai. Có thể xảy ra trường hợp hai đường thẳng đó song song.
Câu 5: Cho hai đường thẳng chéo nhau
a
b
. Lấy
,A B
thuộc
a
,C D
thuộc
b
. Khẳng
định nào sau đây đúng khi nói về hai đường thẳng
AD
BC
?
A. Có thể song song hoặc cắt nhau. B. Cắt nhau.
C. Song song với nhau. D. Chéo nhau.
Lời gii
Chọn D
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
61
GV: TR
N ĐÌNH CƯ
0834332133
Theo giả thiết,
a
b
chéo nhau
a
b
không đồng phẳng.
Giả sử
AD
BC
đồng phẳng.
Nếu
;AD BC I I ABCD I a b
.
a
b
không đồng phẳng, do đó, không tồn
tại điểm
I
.
Nếu
AD BC
a
b
đồng phẳng (Mâu thuẫn với giả thiết).
Vậy điều giả sử là sai. Do đó
AD
BC
chéo nhau.
Câu 6: Cho ba mặt phẳng phân biệt
, ,
1
d
;
2
d
;
3
d
. Khi đó ba đường thẳng
1 2 3
, ,d d d :
A. Đôi một cắt nhau. B. Đôi một song song.
C. Đồng quy. D. Đôi một song song hoặc đồng quy.
Lời gii
Chọn D
Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyền ấy
hoặc đồng quy hoặc đôi một song song.
Câu 7: Trong không gian, cho 3 đường thẳng
, ,a b c
, biết
a b
,
a
c
chéo nhau. Khi đó hai
đường thẳng
b
c
:
A. Trùng nhau hoặc chéo nhau. B. Cắt nhau hoặc chéo nhau.
C. Chéo nhau hoặc song song. D. Song song hoặc trùng nhau.
Lời gii
Chọn B
Giả sử
b c c a
(mâu thuẫn với giả thiết).
Câu 8: Trong không gian, cho ba đường thẳng phân biệt
, ,a b c
trong đó
a b
. Khẳng định nào
sau đây sai?
A. Nếu
ca
thì
cb
.
a
b
A
B
C
D
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
62
GV: TR
N ĐÌNH CƯ
0834332133
B. Nếu
c
cắt
a
thì
c
cắt
b
.
C. Nếu
A a
B b
thì ba đường thẳng
, ,a b AB
cùng ở trên một mặt phẳng.
D. Tồn tại duy nhất một mặt phẳng qua
a
b
.
Lời gii
Chọn B
Nếu
c
cắt
a
thì
c
cắt
b
hoặc
c
chéo
b
.
Câu 9: Cho hai đường thẳng chéo nhau
,a b
điểm
M
ngoài
a
ngoài
b
. nhiều nhất bao
nhiêu đường thẳng qua
M
cắt cả
a
b
?
A. 1. B. 2. C. 0. D. Vô số.
Lời gii
Chọn A
Gọi
P
mặt phẳng tạo bởi đường thẳng
a
M
;
Q
mặt phẳng tạo bỏi đường
thẳng
b
M
.
Giả sử
c
là đường thẳng qua
M
cắt cả
a
b
.
c P
c P Q
c Q
.
Vậy chỉ có 1 đường thẳng qua
M
cắt cả
a
b
.
Câu 10: Trong không gian, cho 3 đường thẳng
, ,a b c
chéo nhau từng đôi. nhiều nhất bao
nhiêu đường thẳng cắt cả 3 đường thẳng ấy?
A. 1. B. 2. C. 0. D. Vô số.
Lời gii
Chọn D
Gọi
M
là điểm bất kì nằm trên
a
.
Giả sử
d
đường thẳng qua
M
cắt cả
b
c
. Khi đó,
d
giao tuyến của mặt phẳng
tạo bởi
M
b
với mặt phẳng tạo bởi
M
c
.
c
a
b
P
Q
M
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
63
GV: TR
N ĐÌNH CƯ
0834332133
Với mỗi điểm
M
ta được một đường thẳng
d
.
Vậy có vô số đường thẳng cắt cả 3 đường thẳng
, ,a b c
.
Câu 11: Cho tứ diện
.ABCD
Gọi
,I J
lần ợt trọng tâm các tam giác
ABC
.ABD
Chọn khẳng
định đúng trong các khẳng định sau?
A.
IJ
song song với
.CD
B.
IJ
song song với
.AB
C.
IJ
chéo
.CD
D.
IJ
cắt
.AB
Lời gii
Chọn A
Gọi
,M N
lần lượt là trung điểm của
, .BC BD
MN
là đường trung bình của tam giác
BCD
// 1MN CD
,I J
lần lượt là trọng tâm các tam giác
ABC
ABD
2
2
3
AI AJ
IJ MN
AM AN
Từ
1
2
suy ra:
.IJ CD
Câu 12: Cho hình chóp
.S ABCD
AD
không song song với
.BC
Gọi
, ,M N
, , ,P Q R T
lần lượt
trung điểm
, , , , , .AC BD BC CD SA SD
Cặp đường thẳng nào sau đây song song với nhau?
A.
MP
.RT
B.
MQ
.RT
C.
MN
.RT
D.
PQ
.RT
Lời gii
Chọn B
J
I
N
M
A
D
C
B
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
64
GV: TR
N ĐÌNH CƯ
0834332133
Ta có:
,M Q
lần lượt là trung điểm của
,AC CD
MQ
là đường trung bình của tam giác
1CAD MQ AD
Ta có:
,R T
lần lượt là trung điểm của
,SA SD
RT
là đường trung bình của tam giác
2SAD RT AD
Từ
1 , 2
suy ra:
.MQ RT
Câu 13: Cho hình chóp
.S ABCD
đáy
ABCD
hình bình hành. Gọi
, , ,I J E F
lần lượt trung
điểm
, , , .SA SB SC SD
Trong các đường thẳng sau, đường thẳng nào không song song với
?IJ
A.
.EF
B.
.DC
C.
.AD
D.
.AB
Lời gii
Chọn C
Ta có
IJ AB
(tính chất đường trung bình trong tam giác
SAB
) và
EF CD
(tính chất
đường trung bình trong tam giác
SCD
).
CD AB
(đáy là hình bình hành)
.CD AB EF IJ
Câu 14: Cho tứ diện
.ABCD
Gọi
,M N
hai điểm phân biệt cùng thuộc đường thẳng
; ,AB P Q
hai điểm phân biệt cùng thuộc đường thẳng
.CD
Xét vtrí tương đối của hai đường thẳng
, .MP NQ
T
R
Q
P
N
M
S
C
B
D
A
E
J
F
I
C
A
D
B
S
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
65
GV: TR
N ĐÌNH CƯ
0834332133
A.
.MP NQ
B.
.MP NQ
C.
MP
cắt
.NQ
D.
,MP NQ
chéo nhau.
Lời gii
Chọn D
Xét mặt phẳng
.ABP
Ta có:
,M N
thuộc
,AB M N
thuộc mặt phẳng
.ABP
Mặt khác:
.CD ABP P
Mà:
, , ,Q CD Q ABP M N P Q
không đồng phẳng.
Câu 15: Cho hình chóp
.S ABCD
đáy
ABCD
hình bình hành. Gọi
d
giao tuyến của hai
mặt phẳng
SAD
.SBC
Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
d
qua
S
và song song với
.BC
B.
d
qua
S
và song song với
.DC
C.
d
qua
S
và song song với
.AB
D.
d
qua
S
và song song với
.BD
Lời gii
Chọn A
Ta có
,
SAD SBC S
AD SAD BC SBC
AD BC

SAD SBC Sx AD BC
(với
d Sx
).
B
D
C
A
M
N
P
Q
d
C
A
D
B
S
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
66
GV: TR
N ĐÌNH CƯ
0834332133
Câu 16: Cho tứ diện
.ABCD
Gọi
I
J
theo thứ tự là trung điểm của
AD
,AC G
là trọng tâm
tam giác
.BCD
Giao tuyến của hai mặt phẳng
GIJ
BCD
là đường thẳng:
A. qua
I
và song song với
.AB
B. qua
J
và song song với
.BD
C. qua
G
và song song với
.CD
D. qua
G
và song song với
.BC
Lời gii
Chọn C
Ta có
,
GIJ BCD G
IJ GIJ CD BCD
IJ CD

.GIJ BCD Gx IJ CD
Câu 17: Cho hình chóp
.S ABCD
đáy là hình thang với các cạnh đáy
AB
.CD
Gọi
,I J
lần
lượt là trung điểm của
AD
BC
G
trọng tâm của tam giác
.SAB
Giao tuyến của
SAB
IJG
A.
.SC
B. đường thẳng qua
S
và song song với
.AB
C. đường thẳng qua
G
và song song với
.DC
D. đường thẳng qua
G
và cắt
.BC
Lời gii
Chọn C
x
M
I
J
A
D
B
C
G
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
67
GV: TR
N ĐÌNH CƯ
0834332133
Ta có:
,I J
lần lượt là trung điểm của
AD
BC
IJ
là đường trunh bình của hình thang
.ABCD IJ AB CD
Gọi
d SAB IJG
Ta có:
G
là điểm chung giữa hai mặt phẳng
SAB
IJG
Mặt khác:
;SAB AB IJG IJ
AB IJ
Giao tuyến
d
của
SAB
IJG
là đường thẳng qua
G
và song song với
AB
.IJ
Câu 18: Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình bình hành. Gọi
I
là trung điểm
.SA
Thiết
diện của hình chóp
.S ABCD
cắt bởi mặt phẳng
IBC
là:
A. Tam giác
.IBC
B. Hình thang
IBCJ
(
J
là trung điểm
SD
).
C. Hình thang
IGBC
(
G
là trung điểm
SB
).
D. Tứ giác
.IBCD
Lời gii
Chọn B
Q
P
G
J
I
S
D
B
A
C
J
I
C
A
D
B
S
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
68
GV: TR
N ĐÌNH CƯ
0834332133
Ta có
,
IBC SAD I
BC IBC AD SAD IBC SAD Ix BC AD
BC AD
Trong mặt phẳng
:SAD
,Ix AD
gọi
Ix SD J
IJ BC
Vậy thiết diện của hình chóp
.S ABCD
cắt bởi mặt phẳng
IBC
là hình thang
.IBCJ
Câu 19: Cho tứ diện
,ABCD
M
N
lần lượt là trung điểm
AB
.AC
Mặt phẳng
qua
MN
cắt tứ diện
ABCD
theo thiết diện là đa giác
.T
Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
T
là hình chữ nhật.
B.
T
là tam giác.
C.
T
là hình thoi.
D.
T
là tam giác; hình thang hoặc hình bình hành.
Lời gii
Chọn D
Trường hợp
AD K
T
là tam giác
.MNK
Do đó A và C sai.
Trường hợp
,BCD IJ
với
, ;I BD J CD
,I J
không trùng
.D
T
là tứ giác. Do đó B đúng.
Câu 20: Cho hai hình vuông
ABCD
CDIS
không thuộc một mặt phẳng và cạnh bằng
4.
Biết
tam giác
SAC
cân tại
, 8.S SB
Thiết diện của mặt phẳng
ACI
hình chóp
.S ABCD
có diện tích bằng:
A.
6 2.
B.
8 2.
C.
10 2.
D.
9 2.
Lời gii
Chọn B
N
M
N
M
B
C
D
A
A
D
C
B
I
J
K
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
69
GV: TR
N ĐÌNH CƯ
0834332133
Gọi
; .O SD CI N AC BD
,O N
lần lượt là trung điểm của
1
, 4.
2
DS DB ON SB
Thiết diện của
mp ACI
và hình chóp
.S ABCD
là tam giác
.OCA
Tam giác
SAC
cân tại
S SC SA SDC SDA
CO AO
(cùng là đường trung tuyến của 2 định tương ứng)
OCA
cân tại
O
1 1
. .4.4 2 8 2.
2 2
OCA
S ON AC
Câu 21: Cho hình chóp
.S ABCD
đáy
ABCD
hình thang với đáy lớn
AB
đáy nhỏ
.CD
Gọi
,M N
lần lượt là trung điểm của
SA
.SB
Gọi
P
giao điểm của
SC
.AND
Gọi
I
là giao điểm của
AN
.DP
Hỏi tứ giác
SABI
là hình gì?
A. Hình bình hành. B. Hình chữ nhật.
C. Hình vuông. D. Hình thoi.
Lời gii
Chọn A
Gọi
, E AD BC P NE SC
. Suy ra
P SC AND
.
Ta có
N
O
A
I
B
S
D
C
I
E
P
N
M
D
C
B
A
S
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
70
GV: TR
N ĐÌNH CƯ
0834332133
S
là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng
SAB
SCD
;
I DP AN I
là điểm chugn thứ hai của hai mặt phẳng
SAB
.SCD
Suy ra
SI SAB SCD
. Mà
.AB CD SI AB CD
MN
đường trung bình của tam giác
SAB
chứng minh được cũng là đường trung
bình của tam giác
SAI
nên suy ra
SI AB
.
Vậy
SABI
là hình bình hành.
Câu 22: Cho tứ diện
.ABCD
Các điểm
,P Q
lần lượt trung điểm của
AB
;CD
điểm
R
nằm
trên cạnh
BC
sao cho
2 .BR RC
Gọi
S
là giao điểm của mặt phẳng
PQR
cạnh
.AD
Tính tỉ số
.
SA
SD
A.
2.
B.
1.
C.
1
.
2
D.
1
.
3
Lời gii
Chọn A
Gọi
I
là giao điểm của
BD
.RQ
Nối
P
với
,I
cắt
AD
tại
.S
Xét tam giác
BCD
bị cắt bởi
,IR
ta có
1
. . 1 .2.1 1 .
2
DI BR CQ DI DI
IB RC QD IB IB
Xét tam giác
ABD
bị cắt bởi
,PI
ta có
1
. . 1 . .1 1 2.
2
AS DI BP SA SA
SD IB PA SD SD
Câu 23: Cho tứ diện
ABCD
và ba điểm
, ,P Q R
lần lượt lấy trên ba cạnh
, , .AB CD BC
Cho
PR
//
AC
2 .CQ QD
Gọi giao điểm của
AD
PQR
.S
Chọn khẳng định đúng?
A.
3 .AD DS
B.
2 .AD DS
C.
3 .AS DS
D.
.AS DS
Lời gii
Chọn A
S
Q
P
A
D
C
B
R
I
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
71
GV: TR
N ĐÌNH CƯ
0834332133
Gọi
I
là giao điểm của
BD
.RQ
Nối
P
với
,I
cắt
AD
tại
.S
Ta có
. . 1
DI BR CQ
IB RC QD
2
CQ
QD
suy ra
1 1
. . .
2 2
DI BR DI RC
IB RC IB BR
PR
song song với
AC
suy ra
1
. .
2
RC AP DI AP
BR PB IB PB
Lại có
1
. . 1 . . . 1 2 3 .
2
SA DI BP SA AP BP SA
AD DS
SD IB PA SD PB PA SD

Câu 24: Gọi
G
trọng tâm tứ diện
.ABCD
Gọi
A
trọng tâm của tam giác
.BCD
Tính tỉ số
.
GA
GA
A.
2.
B.
3.
C.
1
.
3
D.
1
.
2
Lời gii
Chọn B
Gọi
E
là trọng tâm của tam giác
,ACD M
là trung điểm của
.CD
Nối
BE
cắt
AA
tại
G
suy ra
G
là trọng tâm tứ diện.
Xét tam giác
,MAB
1
3
ME MA
MA MB
suy ra
A E
//
1
.
3
A E
AB
AB
Khi đó, theo định lí Talet suy ra
1
3.
3
A E A G GA
AB AG GA
S
I
Q
P
B
C
D
A
R
G
A'
E
M
B
D
C
A
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
72
GV: TR
N ĐÌNH CƯ
0834332133
Câu 25: Cho tứ diện
ABCD
trong đó có tam giác
BCD
không cân. Gọi
,M N
lần lượt là trung điểm
của
,AB CD
G
trung điểm của đoạn
.MN
Gọi
1
A
giao điểm của
AG
.BCD
Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
1
A
là tâm đường tròn tam giác
.BCD
B.
1
A
là tâm đường tròn nội tiếp tam giác
.BCD
C.
1
A
là trực tâm tam giác
.BCD
D.
1
A
là trọng tâm tam giác
.BCD
Lời gii
Chọn D
Mặt phẳng
ABN
cắt mặt phẳng
BCD
theo giao tuyến
.BN
AG ABN
suy ra
AG
cắt
BN
tại điểm
1
.A
Qua
M
dựng
MP
//
1
AA
với
.M BN
M
là trung điểm của
AB
suy ra
P
là trung điểm
1 1
1 .BA BP PA
Tam giác
MNP
MP
//
1
GA
G
là trung điểm của
.MN
1
A
là trung điểm của
1 1
2 .NP PA NA
Từ
1 , 2
suy ra
1
1 1
2
3
BA
BP PA A N
BN
N
là trung điểm của
.CD
Do đó,
1
A
là trọng tâm của tam giác
.BCD
A
1
P
G
N
M
A
C
D
B
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
73
GV: TR
N ĐÌNH CƯ
0834332133
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản
word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
74
GV: TR
N
ĐÌNH CƯ
0834
332133
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
75
GV: TR
N ĐÌNH CƯ
0834332133
I 3: ĐƯNG THẲNG MẶT PHẰNG SONG SONG
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CN NẮM
I. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG
Nhận xét:
Có ba khả năng có thể xảy ra đối với số điểm chung của
d
Hình 45P
là:
d
P
có từ hai điểm trở lên. Khi đó đường thẳng
d
nằm trong mặt phẳng
P
hay
P
chứa
d
và kí hiệu là
d P
hay
P d
(Hình
45 )a
.
d
P
có một điểm chung duy nhất
A
. Khi đó ta nói
d
P
cắt nhau tại điểm
A
và kí
hiệu là
d P A
hay
d P A
(Hình
45 )b
.
d
P
không có điểm chung .Khi đó ta nói
d
song song với
P
hay
P
song song với
d
kí hiệu là
d// P
hay
P //d nh 45c
.
Đường thẳng được gọi là song song với mặt phẳng nếu chúng không có điểm chung
II. ĐIU KIỆN TÍNH CHẤT
Định lí 1 (dấu hiệu nhận biết một đường thẳng song song với một mặt
phẳng) (Hình 49)
Nếu đường thẳng
a
không nằm trong mặt phẳng
P
a
song song
với đường thẳng
a
nằm trong
P
thì
a
song song với
P
.
Định lí 2 (Tính chất của đường thẳng song song với mặt phẳng) (Hình
52):
Cho đường thẳng
a
song song với mặt phẳng
P
. Nếu mặt phẳng
Q
chứa
a
và cắt
P
theo giao tuyến
b
thì
b
song song với
a
.
- Trong trường hợp tổng quát, ta có hệ quả của Định lí 2:
Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng
(nếu có) cũng song song với đường thẳng đó.
Chú ý:
Cho hai đường thẳng chéo nhau. Khi đó có duy nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng
này và song song với đường thẳng kia.
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
76
GV: TR
N ĐÌNH CƯ
0834332133
B. PN LOI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI I TP
Dạng 1. Chứng minh đường thng song song hoc đng quy
1. Pơng pp
a b
b P a P
a P
Nếu không có sẵn đường thẳng b trong mặt phẳng (P) thì ta tìm đường thẳng b bằng cách chọn
một mặt phẳng (Q) chứa a và cắt (P), giao tuyến của (P) và (Q) chính là đường thẳng b cần tìm.
2. Các ví drèn luyện kĩ ng
dụ 1. Cho hai hình bình hành ABCD ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi O
và O’ lần lượt là tâm của hai hình bình hành ABCD và ABEF.
a. Chứng minh OO’ song song với các mặt phẳng (ADF) và (BCE).
b. Gọi G và G’ lần lượt là trọng tâm các tam giác ABD và ABF. Chứng minh
GG' DCEF/ /
.
Giải
a. Ta có OO’ là đường trung bình của tam giác ACE
và tam giác BDF nên:
OO' CE
OO' DF
.
CE BCE , DF ADF
nên
OO' BCE
OO' ADF
.
b. Theo tính chất của trọng tâm tam giác, ta có:
AG AG' 2
AO AO' 3
Vậy
GG' OO'
Cd
OO' CE
nên
GG' CE
.
CE CDEF
nên
GG' DCEF
.
dụ 2. Cho tứ diện ABCD, G trọng tâm tam giác ABD. M điểm trên cạnh BC sao cho
MB 2MC
.
G
G'
M
O
O'
E
C
A
B
D
F
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
77
GV: TR
N ĐÌNH CƯ
0834332133
Chứng minh
MG ACD
.
Giải
Gọi E trung điểm của AD. Ta có:
BG 2
BE 3
(do G trọng
tâm của tam giác ABD).
BM 2
BC 3
(do
MB 2MC
) nên
BG BM
BE BC
.
Suy ra
MG CE
.
CE ACD
do đó
MG ACD
.
dụ 3. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt trọng tâm của các tam giác ABC BCD. Chứng
minh rằng
MN ABD
MN ACD
.
Giải
Gọi H trung điểm của BC, ta có:
M AH, N DH
. Do đó:
HM HN 1
HA HD 3
(tính chất trọng tâm tam giác)
MN AD
.
Như vậy:
MN AD
MN ABD
AD ABD
MN AD
MN ACD
AD ACD
d4. Cho tứ diện ABCD. Gọi M là một điểm bất kì trên cạnh BC;
mặt phẳng qua M
song song với AB CD, cắt các cạnh BD, AD, AC lần lượt tại N, P, Q. Chứng minh rằng
MNPQ là hình bình hành.
Giải
Ta có:
AB
ABC AB MQ AB
ABC MQ
(1)
M
G
E
A
B
D
C
M
N
H
A
B
D
C
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
78
GV: TR
N ĐÌNH CƯ
0834332133
Tương tự, ta có:
NP AB
(2)
CD
ACD CD PQ CD
ACD PQ
(3)
Tương tự, ta có:
MN CD
(4)
Từ (1) và (2) suy ra:
MQ NP
(5)
Từ (3) và (4) suy ra:
PQ MN
(6)
Từ (5) và (6) suy ra MNPQ là hình bình hành.
dụ 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là ABCD hình bình hành; F, G lần lượt là trung điểm
của AB và CD.
a. Chứng minh rằng FG song song với các mặt phẳng (SAD) và (SBC).
b. Gọi E là trung điểm của SA. Chứng minh rằng SB, SC song song với mặt phẳng (FGE).
Giải
a. Ta có:
FG AD
FG SAD
AD SAD
Chứng minh tương tự, ta cũng có:
FG SBC
b. Gọi
EFG SD H
. Ta có:
ABCD EFG FG
ABCD SAD AD
EH AD FG
SAD EFG EH
FG AD
Suy ra H là trung điểm của SD.
Như vậy:
GH SC (tính chaát ñöôøng trung bình)
SC EFG
HG EFG
.
Tương tự, ta có:
SB EFG
.
α
P
N
M
Q
A
B
D
C
H
F
G
A
D
C
B
S
E
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
79
GV: TR
N ĐÌNH CƯ
0834332133
d 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành.
là mặt phẳng đi qua trung
điểm M của cạnh SB, song song với cạnh AB, cắt các cạnh SA, SD, SC lần lượt tại Q, P và N. Hãy
xác định hình tính của tứ giác MNPQ?
Lời gii
Ta có:
AB
SAB MQ AB
M SAB
/ /
(1)
Mặt khác:
1
DC AB DC QM *
DC / /
QM
Như vậy:
DC
PN DC
PN SCD
/ /
/ /
(2)
Từ (*) và (2) suy ra MNPQ là hình bình thang.
Dạng 2. Tìm giao tuyến ca hai mt phẳng. Thiết din qua mt điểm song song vi một
đưng thẳng
1. Pơng pp
Ngoài hai cách đã đề cập Bài 1 Bài 2 ta hai cách sau để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng.
Cách 1. Dùng định lí 2.
a P
a Q d a
P Q d
Cách 2. Dùng hệ quả 2.
α
N
M
Q
A
D
C
B
S
P
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
80
GV: TR
N ĐÌNH CƯ
0834332133
P a
Q a d a
P Q d
Tìm thiết diện tìm các đoạn giao tuyến theo phương pháp tìm giao tuyến được nêu trên, cho
đến khi các giao tuyến khép kín ta được thiết diện.
2. Các ví drèn luyện kĩ ng
dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD, tâm O. Gọi M và N lần lượt là
trung điểm của SA và SD.
a. Chứng minh
MN SBC , SB OMN , SC OMN
.
b. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (OMN). Thiết diện là hình gì?
Giải
a. Ta
MN AD
(MN là đường trung bình của
tam giác SAD)
AD BC
(tứ giác ABCD hình
bình hành), suy ra
MN BC
.
BC SBC
nên
MN SBC
.
Ta có:
ON SB
(ON là đường trung bình của tam
giác SBD) nên
ON OMN
.
Do đó:
SB OMN
.
Ta
OM SC
(OM đường trung bình của
SAC)
OM OMN
.
Vậy
SC OMN
.
b. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của AB và CD. Từ đó có:
PQ AD
, suy ra
PQ MN
.
Vậy MN và PQ đồng phẳng, nghĩa là
OMN MNPQ
.
Ta có thiết diện do mp(OMN) cắt hình chóp là hình thang MNPQ
MN PQ
.
dụ 2. Cho tứ diện ABCD. Gọi I J lần lượt trung điểm của AB CD, M một điểm
trên đoạn IJ. Gọi (P) là mặt phẳng qua M, song song với AB và CD.
a. Tìm giao tuyến của mặt phẳng (P) và mặt phẳng (ICD).
b. Xác định thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (P). Thiết diện là hình gì?
Giải
M
N
Q
P
O
B
A
D
C
S
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
81
GV: TR
N ĐÌNH CƯ
0834332133
a. Ta có:
P CD
CD ICD P ICD Mx CD
M P ICD
.
Trong mp(ICD) ta có Mx cắt IC tại E và cắt ID tại F.
Suy ra
EF P ICD
.
b. Ta có:
P AB
AB ABC P ABC Ey AB
E P ABC
.
Trong mp(ABC) ta có Ey cắt BC tại P và cắt AC tại S.
Suy ra
PS P ABC
.
Ta có:
P AB
AB ABD P ABD Ft AB
F P ABD
.
Trong mp(ABD) ta có Ft cắt BD tại Q và cắt AD tại R.
Suy ra
QR P ABD
.
Khi đó:
PQ P CBD
RS P ACD
.
Vậy thiết diện cần tìm là tứ giác PQRS.
Theo chứng minh trên ta có thể suy ra được:
PS AB, QR AB
nên
PS QR
.
(1)
Mặt khác, ta có:
P CD
RS CD
RS P ACD
RS PQ
P CD
PQ CD
PQ P BCD
(2)
Từ (1) và (2) suy ra thiết diện PQRS là hình bình hành.
Q
R
S
P
E
F
I
J
A
B
D
C
M
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
82
GV: TR
N ĐÌNH CƯ
0834332133
dụ 3. Cho hình chóp
S.ABCD
. Gọi
M, N
là hai điểm bất kì trên
SB, CD
. Mặt phẳng
P
qua
MN
và song song với
SC
.
a) Tìm các giao tuyến của
P
với các mặt phẳng
SBC
,
SCD
,
SAC
.
b) Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng
P
.
Lời gii
a) Trong mặt phẳng
SBC
, từ
M
kẻ đường thẳng song song với
SC
cắt
BC
tại
Q.
Trong mặt phẳng
SCD
, từ
N
kẻ đường thẳng song song với
SC
cắt
SD
tại
P.
Khi đó giao tuyến của
P
với
SBC
SCD
lần lượt là
MQ
NP.
Gọi
I AC NQ
. Từ
I
kẻ đường thẳng song song với
SC
cắt
SA
tại
H.
Khi đó
P SAC IH
.
b) Thiết diện của mặt phẳng
P
với khối chóp là ngũ giác
MQNPH.
dụ 4. Cho hình chóp
S.ABC
. Gọi
M, N
lần lượt là trung điểm của
AC, BC, H, K
lần lượt là
trọng tâm của các tam giác
SAC, SBC.
a) Chứng minh
/ /AB SMN
,
/ /HK SAB
.
b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
CHK
ABC
.
c) Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng
P
đi qua
MN
/ /P SC
. Thiết diện là hình
gì?
Lời gii
a) Dễ thấy
MN
là đường trung bình trong tam giác
SAB
do đó
/ / / /AB MN AB SMN
H, K
là trọng tâm của tam giác
SAC, SBC
suy ra
2
/ / / / / /
3
SH SK
HK MN AB HK SAB
SM SN
.
b) Do
/ /HK AB
nên giao tuyến của
CAB
CHK
là đường
thẳng qua
C
và song song với
HK
AB.
c) Qua
M
dựng
/ /MF SC
F SA
thì
MF
là đường trung bình
trong tam giác
SCA
F
là trung điểm của
SA.
Tương tự dựng
/ /NE SC
E SB
thì
E
là trung điểm của
SB.
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
83
GV: TR
N ĐÌNH CƯ
0834332133
Khi đó thiết diện là hình bình hành
MNEF
vì có
/ /MN EF
,
2
AB
MN EF
.
C. GIẢI I TP SÁCH GIÁO KHOA
i 1. Trong phòng học của lớp, hãy nêu những hình ảnh về đường thẳng song song với mặt
phẳng.
Lời gii
Những hình ảnh về đường thẳng song song với mặt phẳng: mép cột dọc với bảng; xà ngang trần
nhà với mặt sàn; ...
i 2. Trong Hình 57, khi cắt bánh sinh nhật, mặt cắt và mặt khay
đựng bánh lần lượt gợi nên hình ảnh mặt phẳng
Q
và mặt phẳng
P
; mép trên và mép dưới của lát cắt lần lượt gợi nên hình ảnh hai
đường thẳng
a
b
trong đó
a
song song với mặt phẳng
P
. Cho
biết hai đường thẳng
,a b
có song song với nhau hay không.
Lời gii
Hai đường thẳng
,a b
có song song với nhau vì a song song với
P
Q
cắt
P
tại giao
tuyến
b
.
i 3. Cho tứ diện
ABCD
. Gọi
G
là trọng tâm của tam giác
ABD
, điểm
I
nằm trên cạnh
BC
sao cho
2BI IC
Chứng minh rằng
IG
song song với mặt phẳng
ACD
.
Lời gii
BCE
có:
E
là trung điểm
AD
Suy ra:
2
3
BG BI
BE BC
Do đó: IG // CE mà CE thuộc (ACD)
Suy ra: IG // (ACD).
i 4. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình bình hành. Gọi
,M N
lần lượt là trung
điểm của
AB
CD
. Chứng minh rằng đường thẳng
MN
song song với giao tuyến
d
của hai
mặt phẳng
SBC
SAD
.
Lời gii
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
84
GV: TR
N ĐÌNH CƯ
0834332133
Ta có:
Sx
là giao tuyến
SAD SBC
sao cho
/ / / /Sx AD BC
(1)
Có :
,M N
là trung điểm của
,AB CD
Suy ra:
/ / / / 2MN AD BC
Từ
1 2
suy ra: MN // Sx.
i 5. Cho hai hình bình hành
ABCD
ABEF
không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi
,M N
lần lượt là trọng tâm của hai tam giác
ABF
ABC
. Chứng minh rằng đường thẳng
MN
song song với mặt phẳng
ACF
.
Lời gii
Gọi I là trung điểm của
AB
ABF
có:
M
là trọng tâm nên
1
3
IM
IF
(1)
ABC
có: N là trọng tâm nên
1
3
IN
IC
(2)
(1)(2) suy ra
ICF
có:
IM IN
IF IC
Suy ra: MN // CF mà CF thuộc (ACF) nên MN // (ACF).
i 6. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình bình hành. Lấy điểm
M
trên cạnh
AD
sao cho
3AD AM
. Gọi
,G N
lần lượt là trọng tâm của tam giác
,SAB ABC
.
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
SAB
SCD
.
b) Chứng minh rằng
MN
song song với mặt phẳng
SCD
NG
song song với mặt phẳng
SAC
.
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
85
GV: TR
N ĐÌNH CƯ
0834332133
Lời gii
a)
S
là điểm chung của hai mặt phẳng
SAB
SCD
/ /AB CD
Từ
S
kẻ
Sx
sao cho
/ / / /Sx AB CD
nên
Sx
là giao tuyến của hai mặt phẳng
SAB
SCD
.
b) Gọi I, K là trung điểm của
BC,AC
mà hai đường chéo của hình bình tại trung điểm mỗi
đường
Suy ra
K
là trung điểm của
BD
DAB
có:
1 1
2
2 6
3
DB DB
DN DK KN DM
DB DB DB DA
.
Suy ra:
/ /MN AB
. mà
/ /AB CD
.
Do đó:
/ /CDMN
. nên
MN / / .SCD
Gọi
E
là trung điểm của
AB
G là trọng tâm
SAB
. nên
1
3
EG
SE
N
là trọng tâm
ABC
nên
1
3
EN
EC
ESC
có:
EG EN
SE EC
. suy ra
GN / /SC
mà SC thuộc (SAC). Do đó:
GN / / .SAC
D. BÀI TẬP TRẮC NGHIM
Câu 1: Cho đường thẳng
a
và mặt phẳng
P
trong không gian. Có bao nhiêu vị trí tương đối
của
a
P
?
A.
2.
B.
3.
C.
1.
D.
4.
Lời gii
Chọn B
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
86
GV: TR
N ĐÌNH CƯ
0834332133
Có 3 vị trí tương đối của
a
P
, đó là:
a
nằm trong
P
,
a
song song với
P
a
cắt
P
.
Câu 2: Cho hai đường thẳng phân biệt
,a b
và mặt phẳng
. Giả sử
a b
,
b
. Khi đó:
A.
.a
B.
.a
C.
a
cắt
.
D.
a
hoặc
.a
Lời gii
Chọn D
Câu 3: Cho hai đường thẳng phân biệt
,a b
và mặt phẳng
. Giả sử
a
,
b
. Khi đó:
A.
.a b
B.
,a b
chéo nhau.
C.
a b
hoặc
,a b
chéo nhau. D.
,a b
cắt nhau.
Lời gii
Chọn C
a
nên tồn tại đường thẳng
c
thỏa mãn
.a c
Suy ra
,b c
đồng phẳng và xảy
ra các trường hợp sau:
Nếu
b
song song hoặc trùng với
c
thì
a b
.
Nếu
b
cắt
c
thì
b
cắt
,a c
nên
,a b
không đồng phẳng. Do đó
,a b
chéo nhau.
Câu 4: Cho đường thẳng
a
nằm trong mặt phẳng
. Giả s
b
. Mệnh đề nào sau đây
đúng?
A. Nếu
b
thì
.b a
B. Nếu
b
cắt
thì
b
cắt
.a
C. Nếu
b a
thì
.b
(P)
a
A
a
(P)
a
(P)
c
a
b
b
a
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
87
GV: TR
N ĐÌNH CƯ
0834332133
D. Nếu
b
cắt
chứa
b
thì giao tuyến của
đường thẳng cắt cả
a
.b
Lời gii
Chọn C
A sai. Nếu
b
thì
b a
hoặc
,a b
chéo nhau.
B sai. Nếu
b
cắt
thì
b
cắt
a
hoặc
,a b
chéo nhau.
D sai. Nếu
b
cắt
chứa
b
thì giao tuyến của
là đường thẳng cắt
a
hoặc song song với
a
.
Câu 5: Cho hai đường thẳng phân biệt
,a b
mặt phẳng
. Giả sử
a
b
. Mệnh đề
nào sau đây đúng?
A.
a
b
không có điểm chung.
B.
a
b
hoặc song song hoặc chéo nhau.
C.
a
b
hoặc song song hoặc chéo nhau hoặc cắt nhau.
D.
a
b
chéo nhau.
Lời gii
Chọn C
Câu 6: Cho mặt phẳng
P
hai đường thẳng song song
a
b
. Khẳng định nào sau đây
đúng?
A. Nếu
P
song song với
a
thì
P
cũng song song với
.b
B. Nếu
P
cắt
a
thì
P
cũng cắt
.b
C. Nếu
P
chứa
a
thì
P
cũng chứa
.b
D. Các khẳng định A, B, C đều sai.
Lời gii
Chọn B
Gọi
,Q a b
.
A sai. Khi
b P Q b P
.
C sai. Khi
P Q b P
.
Xét khẳng định B, giả sử
P
không cắt
b
khi đó
b P
hoặc
b P
. Khi đó,
b a
nên
a P
hoặc
a
cắt
P
(mâu thuẫn với giả thiết
P
cắt
a
).
Vậy khẳng định B đúng.
Câu 7: Cho
d
, mặt phẳng
qua
d
cắt
theo giao tuyến
d
. Khi đó:
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
88
GV: TR
N ĐÌNH CƯ
0834332133
A.
.d d
B.
d
cắt
d
. C.
d
d
chéo nhau. D.
.d d
Lời gii
Chọn A
Ta có:
d
. Do
d
d
cùng thuộc
nên
d
cắt
d
hoặc
d d
.
Nếu
d
cắt
d
. Khi đó,
d
cắt
(mâu thuẫn với giả thiết).
Vậy
d d
.
Câu 8: Có bao nhiêu mặt phẳng song song với cả hai đường thẳng chéo nhau?
A.
1.
B.
2.
C.
3.
D. Vô số.
Lời gii
Chọn D
Gọi
a
b
là 2 đường thẳng chéo nhau,
c
là đường thẳng song song với
a
và cắt
b
.
Gọi
,b c
. Do
a c a
.
Giả sử
. Mà
b b
.
Mặt khác,
a a
.
smặt phẳng
. Vậy số mặt phẳng song song với 2 đường thẳng chéo
nhau.
Câu 9: Cho hai đường thẳng chéo nhau
a
b
. Khẳng định nào sau đây sai?
A. Có duy nhất một mặt phẳng song song với
a
.b
B. Có duy nhất một mặt phẳng qua
a
và song song với
.b
C. duy nhất một mặt phẳng qua điểm
M
, song song với
a
b
(với
M
điểm
cho trước).
D. Có vô số đường thẳng song song với
a
và cắt
.b
Lời gii
Chọn A
Có có vô số mặt phẳng song song với 2 đường thẳng chéo nhau.
c
a
b
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
89
GV: TR
N ĐÌNH CƯ
0834332133
Do đó A sai.
Câu 10: Cho ba đường thẳng đôi một chéo nhau
, ,a b c
. Gọi
P
mặt phẳng qua
a
,
Q
mặt
phẳng qua
b
sao cho giao tuyến của
P
Q
song song với
c
. nhiều nhất bao nhiêu
mặt phẳng
P
Q
thỏa mãn yêu cầu trên?
A. Một mặt phẳng
P
, một mặt phẳng
.Q
B. Một mặt phẳng
P
, vô số mặt phẳng
.Q
C. Một mặt phẳng
Q
, vô số mặt phẳng
.P
D. Vô số mặt phẳng
P
.Q
Lời gii
Chọn A
c
song song với giao tuyến của
P
Q
nên
c P
c Q
.
Khi đó,
P
là mặt phẳng chứa
a
và song song với
,c
a
c
chéo nhau nên chỉ có
một mặt phẳng như vậy.
Tương tự cũng chỉ có một mặt phẳng
Q
chứa
b
và song song với
c
.
Vậy có nhiều nhất một mặt phẳng
P
và một mặt phẳng
Q
thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 11: Cho hình chóp tứ giác
.S ABCD
. Gọi
M
N
lần lượt trung điểm của
SA
.SC
Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
MN
//
.mp ABCD
B.
MN
//
.mp SAB
C.
MN
//
.mp SCD
D.
MN
//
.mp SBC
Lời gii
Chọn A
Xét tam giác
SAC
,M N
lần lượt là trung điểm của
, .SA SC
Suy ra
MN
//
AC
AC ABCD MN 
//
.mp ABCD
c
(Q)
(P)
b
a
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
90
GV: TR
N ĐÌNH CƯ
0834332133
Câu 12: Cho hình chóp
.S ABCD
đáy
ABCD
hình bình hành,
M
N
hai điểm trên
,SA SB
sao cho
1
.
3
SM SN
SA SB
Vị trí tương đối giữa
MN
ABCD
là:
A.
MN
nằm trên
.mp ABCD
B.
MN
cắt
.mp ABCD
C.
MN
song song
.mp ABCD
D.
MN
mp ABCD
chéo nhau.
Lời gii
Chọn C
Theo định lí Talet, ta có
SM SN
SA SB
suy ra
MN
song song với
.AB
AB
nằm trong mặt phẳng
ABCD
suy ra
MN
//
.ABCD
Câu 13: Cho tứ diện
ABCD
. Gọi
G
trọng tâm của tam giác
,ABD Q
thuộc cạnh
AB
sao cho
2 ,AQ QB P
là trung điểm của
.AB
Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
MN
//
.BCD
B.
GQ
//
.BCD
C.
MN
cắt
.BCD
D.
Q
thuộc mặt phẳng
.CDP
Lời gii
Chọn B
Gọi
M
là trung điểm của
.BD
G
là trọng tâm tam giác
ABD
2
.
3
AG
AM
Điểm
Q AB
sao cho
2
2 .
3
AQ
AQ QB
AB
Suy ra
AG AQ
GQ
AM AB

//
.BD
Mặt khác
BD
nằm trong mặt phẳng
BCD
suy ra
GQ
//
.BCD
Câu 14: Cho hai hình bình hành
ABCD
ABEF
không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi
1
,O O
lần lượt là tâm của
, .ABCD ABEF
M
là trung điểm của
.CD
Khẳng định nào sau đây sai?
A.
1
OO
//
.BEC
B.
1
OO
//
.AFD
C.
1
OO
//
.EFM
D.
1
MO
cắt
.BEC
Q
G
P
M
A
C
D
B
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
91
GV: TR
N ĐÌNH CƯ
0834332133
Lời gii
Chọn D
Xét tam giác
ACE
1
,O O
lần lượt là trung điểm của
, .AC AE
Suy ra
1
OO
là đường trung bình trong tam giác
ACE
1
OO
//
.EC
Tương tự,
1
OO
là đường trung bình của tam giác
BFD
nên
1
OO
//
.FD
Vậy
1
OO
//
BEC
,
1
OO
//
AFD
1
OO
//
EFC
. Chú ý rằng:
.EFC EFM
Câu 15: Cho tứ diện
.ABCD
Gọi
, , , , ,M N P Q R S
theo thứ tự trung điểm của các cạnh
, , , , , .AC BD AB CD AD BC
Bốn điểm nào sau đây không đồng phẳng?
A.
, , , .P Q R S
B.
, , , .M P R S
C.
, , , .M R S N
D.
, , , .M N P Q
Lời gii
Chọn C
Theo tính chất của đường trung bình của tam giác ta có
PS
//
AC
//
QR
suy ra
, , ,P Q R S
đồng phẳng
Tương tự, ta có được
PM
//
BC
//
NQ
suy ra
, , ,P M N Q
đồng phẳng.
NR
//
CD
//
SN
suy ra
, , ,M R S N
đồng phẳng.
Câu 16: Cho tứ diện
.ABCD
Gọi
H
một điểm nằm trong tam giác
,ABC
mặt phẳng đi qua
H
song song với
AB
.CD
Mệnh đề nào sau đây đúng về thiết diện của
của tdiện?
A. Thiết diện là hình vuông. B. Thiết diện là hình thang cân.
O
1
O
E
F
C
D
B
A
Q
P
N
S
R
M
B
C
D
A
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
92
GV: TR
N ĐÌNH CƯ
0834332133
C. Thiết diện là hình bình hành. D. Thiết diện là hình chữ nhật.
Lời gii
Chọn C
Qua
H
kẻ đường thẳng
d
song song
AB
và cắt
,BC AC
lần lượt tại
, .M N
Từ
N
kẻ
NP
song song vớ
.CD P CD
Từ
P
kẻ
PQ
song song với
.AB Q BD
Ta có
MN
//
PQ
//
AB
suy ra
, , ,M N P Q
đồng phẳng và
AB
//
.MNPQ
Suy ra
MNPQ
là thiết diện của
và tứ diện.
Vậy thiết diện là hình bình hành.
Câu 17: Cho hình chóp tứ giác đều
.S ABCD
có cạnh đáy bằng
10.
M
điểm trên
SA
sao cho
2
.
3
SM
SA
Một mặt phẳng
đi qua
M
song song với
AB
,CD
cắt hình chóp theo
một tứ giác có diện tích là:
A.
400
.
9
B.
20
.
3
C.
4
.
9
D.
16
.
9
Lời gii
Chọn A
Ta có
AB
CD
, , ,A B C D
đồng phẳng suy ra
.ABCD
P
Q
M
A
D
C
B
Q
P
N
C
D
B
A
S
M
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
93
GV: TR
N ĐÌNH CƯ
0834332133
Giả sử
cắt các mặt bên
, , ,SAB SBC SCD SDA
lần lượt tại các điểm
, ,N P Q
với
, ,N SB P SC Q SD
suy ra
.MNPQ
Khi đó
MN
//
AB
MN
là đường trung bình tam giác
SAB
2
.
3
SM MN
SA AB
Tương tự, ta có được
2
3
NP PQ QM
BC CD DA
MNPQ
là hình vuông.
Suy ra
2
2 4 4 400
.10.10 .
3 9 9 9
MNPQ ABCD ABCD
S S S
Câu 18: Cho hình chóp
.S ABCD
ABCD
hình thang cân đáy lớn
.AD
,M N
lần lượt hai
trung điểm của
AB
.CD
P
mặt phẳng qua
MN
cắt mặt bên
SBC
theo một
giao tuyến. Thiết diện của
P
và hình chóp là
A. Hình bình hành. B. Hình thang. C. Hình chữ nhật. D. Hình vuông
Lời gii
Chọn B
Xét hình thang
ABCD
, có
,M N
lần lượt là trung điểm của
, .AB CD
Suy ra
MN
là đường trung bình của hình thang
ABCD MN
//
.BC
Lấy điểm
P SB
, qua
P
kẻ đường thẳng song song với
BC
và cắt
BC
tại
.Q
Suy ra
P SBC PQ
nên thiết diện
P
hình chóp tứ giác
MNQP
có
MN
//
PQ
//
BC
. Vậy thiết diện là hình thang
.MNQP
Câu 19: Cho hình chóp
.S ABCD
đáy
ABCD
hình bình hành tâm
.O
Gọi
M
điểm thuộc
cạnh
SA
(không trùng với
S
hoặc
A
).
P
mặt phẳng qua
OM
song song với
.AD
Thiết diện của
P
và hình chóp là
A. Hình bình hành. B. Hình thang. C. Hình chữ nhật. D. Hình tam giác.
Lời gii
Chọn B
N
M
S
C
B
D
A
P
Q
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
94
GV: TR
N ĐÌNH CƯ
0834332133
Qua
M
kẻ đường thẳng
MN
//
AD
và cắt
SD
tại
N MN
//
.AD
Qua
O
kẻ đường thẳng
PQ
//
AD
và cắt
,AB CD
lần lượt tại
,Q P PQ
//
.AD
Suy ra
MN
//
PQ
//
AD
, , ,M N P Q
đồng phẳng
P
cắt hình chóp
.S ABCD
theo
thiết diện là hình thang
.MNPQ
Câu 20: Cho tứ diện
.ABCD
Gọi
,I J
lần lượt thuộc cạnh
,AD BC
sao cho
2IA ID
2 .JB JC
Gọi
P
mặt phẳng qua
IJ
song song với
.AB
Thiết diện của
P
tứ diện
ABCD
A. Hình thang. B. Hình bình hành. C. Hình tam giác. D. Tam giác đều.
Lời gii
Chọn B
Giả sử
P
cắt các mặt của tứ diện
ABC
ABD
theo hai giao tuyến
JH
.IK
Ta có
,P ABC JH P ABD IK
,ABC ABD AB P
//
AB JH
//
IK
//
.AB
Theo định lí Thalet, ta có
2
JB HA
JC HC
suy ra
HA IA
IH
HC ID
//
.CD
P
Q
O
S
C
D
B
A
M
N
H
J
K
A
C
D
B
I
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản
word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
95
GV: TR
N
ĐÌNH CƯ
0834
332133
IH
P
suy ra
IH
song song với mặt phẳng
.P
Vậy
P
cắt các mặt phẳng
A
BC
,
AB
D
theo các giao tuyến
,IH
JK
với
IH
//
.J
K
Do đó, thiết diện của
P
và tứ diện
ABCD
là hình bình hành.
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
96
GV: TR
N ĐÌNH CƯ
0834332133
I 4: HAI MẶT PHẲNG SONG SONG
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CN NẮM
I. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG
Hai mặt phẳng được gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung.
II. ĐIU KIỆN TÍNH CHẤT
Định lí 1 (dấu hiu nhận biết hai mt phẳng song song):
Nếu mặt phẳng
P
chứa hai đường thẳng cắt nhau
,a b
,a b
cùng song song với mặt phẳng
Q
thì
P
song song với
Q
.
Định lí 2 (Tính chất v hai mt phẳng song song):
Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có một và chỉ một mặt phẳng song song với
mặt phẳng đã cho.
Từ định lí trên, ta có thể chứng minh được các hệ quả sau:
Hệ qu1. Nếu đường thẳng
a
song song với mặt phẳng
Q
thì có duy nhất một mặt phẳng
P
chứa
a
và song song với mặt phẳng
Q
.
Hệ qu2. Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.
Định lí 3
Cho hai mặt phẳng song song
P
Q
. Nếu mặt phẳng
R
cắt mặt phẳng
P
thì cũng cắt
mặt phẳng
Q
và hai giao tuyến của chúng song song với nhau.
III. ĐNH LÍ THALÈS
Định lí 4 (Định lí Thas)
Nếu
,a b
là hai cát tuyến bất kì cắt ba mặt phẳng song song
, ,P Q R
lần lượt tại các điểm
, ,A B C
, ,A B C
thì
.
AB BC CA
A B B C C A
B. GIẢI BÀI TP CH GO KHOA
i 1. Bạn Chung cho rằng: Nếu mặt phẳng
P
chứa hai đường thẳng
,a b
,a b
cùng song
song với mặt phẳng
Q
thì
P
luôn song song với
Q
. Phát biểu của bạn Chung có đúng
không? Vì sao?
Lời gii
Trường hợp a cắt
b
thì theo dấu hiệu nhận biết hai mặt phẳng song song thì ý kiến đúng.
Trường hợp a không cắt
b
thì a // b
Ta có: a thuộc (P), a // (Q)
b thuộc
, / /P b Q
mà a // b
Do đó:
/ /P Q
. Vậy ý kiến đúng.
i 2. Trong mặt phẳng
P
cho hình bình hành
ABCD
. Qua
, , ,A B C D
lần lượt vẽ bốn đường
thẳng
, , ,a b c d
đôi một song song với nhau và không nằm trong mặt phẳng
P
. Một mặt phẳng
cắt
, , ,a b c d
lần lượt tại bốn điểm
, , ,A B C D
. Chứng minh rằng
A B C D
' là hình bình hành.
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
97
GV: TR
N ĐÌNH CƯ
0834332133
Lời gii
Theo định lí 2 ta có: Chỉ có một và một mặt phẳng qua
A // P
. Tương tự với các điểm
B , ,DC
.
Mà đề bài cho
A ,B ,C ,D
đồng phẳng
Suy ra mặt phẳng chứa
A ,B , ,DC
song song với
P
Do đó:
A D //AD,B C //BC,AD//BC
Suy ra:
A D //B C 1
Tương tự ta có:
A'B'//C'D'
(2)
(1)(2) suy ra A'B'C'D' là hình bình hành.
i 3. Cho tứ diện
ABCD
. Lấy
1 2 3
, ,G G G
lần lượt là trọng tâm của các tam giác
ABC
,
,ACD ADB
.
a) Chứng minh rằng
1 2 3
/ /G G G BCD
.
b) Xác định giao tuyến của mặt phẳng
1 2 3
G G G
với mặt phẳng
ABD
.
Lời gii
a) Gọi
, ,E F H
là trung điểm của
, ,BC CD BD
Ta có:
1
G
là trọng tâm
ABC
, suy ra
1
2
3
AG
AE
3
G
là trọng tâm
ABD
, suy ra
2
3
Suy ra
AEH
3
1
AG
AG
AE AH
nên
1 3
G G //EH
.
Mà EH thuộc (BCD) nên
1 3
G G // BCD .
Tương tự ta có
2 3
G G // BCD
Do đó:
1 2 3
G G G // BCD .
b) Ta có:
1 2 3
G G G // BCD
nên
1 2
G G //BD
3
G
là điểm chung của hai mặt phẳng
Từ
3
G
kẻ
3
G x
sao cho
3
G x//BD
.
Vậy
3
G x
là giao tuyến cần tìm.
i 4. Cho hai hình bình hành
ABCD
ABEF
không cùng nằm trong một mặt phẳng.
a) Chứng minh rằng
/ /AFD BEC
.
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
98
GV: TR
N ĐÌNH CƯ
0834332133
b) Gọi
M
là trọng tâm của tam giác
ABE
. Gọi
P
là mặt phẳng đi qua
M
và song song với
mặt phẳng
AFD
. Lấy
N
là giao điểm của
P
AC
. Tính
AN
NC
Lời gii
a) Ta có:
AD//BC
(
ABCD
là hình bình hành)
AD
thuộc
( ,)AFD
BC
thuộc
BEC
Nên
AFD // BEC
b) Trong
ABEF
. kẻ đường thẳng
d
qua
M//AF
Ta có:
d
cắt
AB
tại
I,d
cắt EF tại J (1)
Trong
ABCD
có I thuộc
P
P // AFD
Suy ra từ I kẻ
IH//AD
(2)
(1)(2) suy ra
IJH
trùng
P
// AFD
Ta có:
P
cắt
AC
tại
N
. mthuộc
ABCD
, IH thuộc
P
ABCD
.
Suy ra: IH cắt
AC
tại
N
Ta có các hình bình hành
IBCH
,
IBEJ
Gọi
O
là trung điểm của
AB
trọng tâm
ABE
.
Suy ra:
1
2
MO
ME
có:
AB//CD
suy ra:
AI//CH
.
Định lí Ta-lét:
AN AI
NC CH
mà CH = IB (IBCH là hình bình hành)
Suy ra:
AN AI
NC IB
Ta có:
AB//EF
nên
OI // EJ
Do đó:
1
2
OI MO
EJ ME
EJ IB
(
IBEJ
là hình bình hành)
Suy ra:
1
2
OI
IB
hay
IB 2OI
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
99
GV: TR
N ĐÌNH CƯ
0834332133
Ta có:
2
AN AI AO OI
NC IB OI
OA OB(O
là trung điểm
AB)
Nên
2
2
AN OB OI
NC OI
Do đó:
2
AN
NC
.
I 5: NH LĂNG TRVÀ HÌNH HỘP
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CN NẮM
I. NH LĂNG TRỤ
1. Định nga
Ta có định nghĩa sau:
Hình gồm hai đa giác
1 2 1 2
, , '' '
n n
A A A A A A
và các hình bình hành
1 2 2 1 2 3 3 2 1 1
' ', ' ' , ' ',
n n
A A A A A A A A A A A A
được gọi là hình lăng trụ, kí hiệu là
1 2 1 2
' ' '.
n n
A A A A A A
Chú ý:
Nếu đáy của lăng trụ là một tam giác, tứ giác, ngũ giác,
thì hình lăng trụ tương ứng
gọi là hình lăng trụ tam giác, hình lăng trụ tứ giác, hình lăng trụ ngũ giác
(Hình 71),...
Trong hình lăng trụ
1 2 1 2
' '.
n n
A A A A A A
:
Hai đa giác
1 2 n
A A A
1 2
'
n
A A A
gọi là hai mặt đáy;
Các hình bình hành
1 2 2 1 2 3 3 2 1 1
' ', ' ', , ' '
n n
A A A A A A A A A A A A
, gọi là các
mặt bên
Các cạnh của hai mặt đáy gọi là các cạnh đáy;
Các đoạn thẳng
1 1 2 2
, ',..., ''
n n
A A A A A A
gọi là các cạnh bên;
Các đỉnh của hai mặt đáy gọi là các đỉnh của hình lăng trụ.
2. Tính cht
- Các cạnh bên của hình lăng trụ song song và bằng nhau.
- Các mặt bên của hình lăng trụ là các hình bình hành.
- Hai mặt đáy của hình lăng trụ là hai đa giác có các cạnh tương ứng song song và bằng nhau.
II. NH HỘP
Hình hộp là hình lăng trụ có đáy là hình bình hành.
Trong mỗi hình hộp, ta gọi:
Hai mặt không có đỉnh chung là hai mặt đối diện;
Hai cạnh song song không nằm trong một mặt là hai cạnh đối
diện;
Hai đỉnh không thuộc cùng một mặt là hai đỉnh đối diện;
Đoạn thẳng nối hai đỉnh đối diện là đuờng chéo.
2. Tính cht
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
100
GV: TR
N ĐÌNH CƯ
0834332133
Hình hộp là một hình lăng trụ nên hình hộp có các tính chất của hình lăng trụ, ngoài ra:
Các mặt của hình hộp là các hình bình hành.
Hai mặt phẳng lần lượt chứa hai mặt đối diện của hình hộp song song với nhau.
Nhận xét:
Ta có thể coi hai mặt đối diện bất kì của một hình hộp là hai mặt đáy của nó.
B. GIẢI BÀI TP CH GO KHOA
i 1. Cho hình hộp
ABCD A B C D
.
a) Chứng minh rằng
/ /ACB A C D
.
b) Gọi
1 2
,G G
lần lượt là giao điểm của
BD
với các mặt phẳng
ACB
A C D
. Chứng minh
rằng
1 2
,G G
lần lượt là trọng tâm của hai tam giác
ACB
A C D
.
c) Chứng minh rằng
1 1 2 2
BG G G D G
.
Lời gii
a) Ta có:
AD//B C ,AD=B C
nên
ADC B
là hình bình hành
Suy ra:
AB //DC
nên
/ / 1AB A C D
Ta có:
' 'ACC A
là hình bình hành nên
AC//A C
. Suy ra:
AC// A C D 2
', AB AC
thuộc
'ACB
(3)
1 2 3
suy ra
A B // A C D
b) Gọi
,O O
lần lượt là tâm hình bình hành
,ABCD A B C D
Trong (BDD'B'): B'O cắt BD' mà B'O thuộc (ACB'), BD' cắt (ACB') tại
1
G
Suy ra: B'O cắt BD' tại
1
G
Tương tự ta có: DO' cắt BD' tại
2
G
Ta có:
1
OBG
đồng dạng với
'
1
B DG
(do
BD / /B D
)
Suy ra:
1
1
1
2
G O OB
G B B D
Nên:
1
2
3
G O
OB
Do đó:
1
G
là trọng tâm
ACB'
Chứng minh tương tự ta có:
2
G
là trọng tâm
A C D
.
c) Ta có:
1
OBG
đồng dạng với
1
B D'G
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
101
GV: TR
N ĐÌNH CƯ
0834332133
Suy ra:
1
1
1
2
G B OB
G D B D
Nên:
1
1
1
3
G B BD
Tương tự ta có:
2
2
1
2
G D OD
G B DB
Nên:
2
1
2
3
G D DD
(1)(2) suy ra
1 1 2 2
G B G G G D
.
i 2. Cho hình hộp
ABCD A B C D
. Gọi
, , ,M N P Q
lần lượt là trung điểm của các cạnh
, , ,BC AA C D AD
. Chứng minh rằng:
a)
/ /NQ A D
1
2
NQ A D
;
b) Tứ giác
MNQC
là hình bình hành;
c)
/ /MN ACD
;
d)
/ /MNP ACD
.
Lời gii
a) Ta có:
N
là trung điểm của
AA'
nên
1
2
AN
AA
Q
là trung điểm của
AD'
nên
1
2
AQ
AD
Theo định lí Ta-lét ta có:
NQ//A'D'
Suy ra:
1
2
NQ AN
A D AA
nên
1
2
NQ A D
b) Ta có:
/ /NQ A D
/ /BCA D
nên
/ /BCNQ
hay
/ /NQ MC
(1)
Ta có:
1
2
NQ A D
1
A D BC,MC BC
2
nên
NQ MC
(2)
(1)(2) suy ra:
MNQC
là hình bình hành
c) Ta có: MNCQ là hình bình hành nên
MN//CQ
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
102
GV: TR
N ĐÌNH CƯ
0834332133
Mà CQ thuộc
'ACD
Nên
MN// ACD'
d) Gọi O là trung điểm của
AC
ACB
có:
,O M
là trung điểm của
,AC BC
Suy ra:
OM//AB
nên
1
2
OM AB
1
,
2
AB C D D P C D
Suy ra: OM = D'P (1)
Ta có:
OM//AB, AB//C'D'
nên
OM//C'D'
hay
OM//D'P
(2)
(1)(2) suy ra OMPD' là hình bình hành. Do đó:
MP // OD'
'OD
thuộc
'ACD
Suy ra:
MP // ACD'
Mà MN thuộc
'ACD
(câu c)
Do đó:
MNP // ACD' .
i 3. Cho hình lăng trụ tam giác
ABC A B C
. Gọi
,E F
lần lượt là trung điểm của các cạnh
AC
A B
.
a) Chứng minh rằng
/ /EF BCC B
.
b) Gọi
I
là giao điểm của đường thẳng
CF
với mặt phẳng
AC B
. Chứng minh rằng
I
trung điểm đoạn thẳng
CF
.
Lời gii
a) Gọi H là trung điểm của
BC
ABC
có:
E
là trung điểm của
AC,H
là trung điểm của
BC
Suy ra:
EH//AB
AB//A B
Do đó:
EH//A B
. hay
EH//B F
(1)
Ta có:
EH//AB
nên
1
2
EH EC
AB AC
1
,
2
AB A B B F A B
Nên:
2EH B F
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
103
GV: TR
N ĐÌNH CƯ
0834332133
(1)(2) suy ra: EHB'F là hình bình hành. Do đó:
EF // 'B H
'B H
thuộc
' 'BCC B
Suy ra:
EF// BCC'B'
b)Gọi K là trung điểm
AB
Dễ dàng chứng minh được FKBB' là hình bình hành
Ta có:
FK//B
BB'//CC'
Suy ra:
FK//CC 1
Ta có:
FK BB
, mà
BB' CC
Do đó:
FK CC' 2
(1)(2) suy ra FKCC' là hình bình hành
Mà hai đường chéo của hình bình hành cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
Nên C'K cắt CF tại trung điểm của hai đường thẳng
C K
thuộc
AC B
, CF cắt
AC B
tại I (đề bài)
Do đó: I là trung điểm của CF.
C. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1. Chứng minh hai mt phẳng song song
1. Pơng pp
Áp dụng kết quả sau:
a c, b d
a, b P
P Q
c,d Q
a b A
Áp dụng: Chứng minh đường thẳng a song song với mặt phẳng (P).
a Q
a P
Q P
2. Các ví drèn luyện kĩ ng
d1. Cho hình chóp S.ABCD đáy hình thang ABCD,
AD BC, AD 2BC
. Gọi E, F, I
lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, AD, SD.
a. Chứng minh
EFB SCD
. Từ đó chứng minh
CI EFB
.
b. Tìm giao tuyến của (SBC) và (SAD). Tìm giao điểm K của FI với giao tuyến này, chứng minh
SBF KCD
.
Giải
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
104
GV: TR
N ĐÌNH CƯ
0834332133
a. Ta có:
EF SD
(EF là đường trung bình của tam giác SAD).
BF CD
BC FD, BC FD
.
Suy ra
EFB SCD
.
CI SCD
nên
CI EFB
.
b. Ta có:
BC AD
BC SBC , AD SAD
S SBC SAD
SBC SAD Sx, Sx AD BC
Trong mp(SAD): FI cắt Sx tại K.
Ta có:
SK FD, IS ID
nên
IK IF
.
Vậy tứ giác SKDF là hình bình hành, suy ra
SF KD
.
Mặt khác
BF CD
nên
SBF KCD
.
dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M và N lần lượt trung điểm
của SA và CD.
a. Chứng minh mặt phẳng (OMN) và mặt phẳng (SBC) song song với nhau.
b. Giả shai tam giác SAD ABC đều tam giác cân tại A. Gọi AE AF lần lượt các
đường phân giác trong của các tam giác ACD và SAB. Chứng minh EF song song với mặt phẳng
(SAD).
Giải
x
K
I
E
F
A
D
CB
S
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
105
GV: TR
N ĐÌNH CƯ
0834332133
a. Ta có:
ON BC
(ON đường trung bình của tam
giác BCD).
OM SC
(OM đường trung bình của tam
giác SAC)
OM,ON OMN ; BC,SC SBC
nên
OMN SBC
.
b. Từ E kẻ đường thẳng
EP AD
(P thuộc
AB) (1)
Khi đó theo tính chất đường phân giác tam
giác cân ta có:
PB EC AC AB FB
PA ED AD AS FA
Do đó:
PF SA
(2)
Từ (1) và (2) suy ra
PEF SAD
.
Mặt khác
EF PEF
nên
EF SAD
.
Ngoài ra ta có thể dùng định lí Thales để chứng minh
EF SAD
như sau:
Theo tính chất đường phân giác và tính chất của tam giác cân ta chứng minh được:
AB AC FB EC
AS AD FS ED
.
Theo địnhThales ta suy ra ba đường thẳng BC, EF và SD nằm trong ba mặt phẳng song song,
suy ra EF song song với mặt phẳng chứa BC song song với mặt phẳng chứa SD. Mặt khác
BC AD
nên EF song song với mặt phẳng (SAD).
dụ 3. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh AA’, BB’, CC’, DD’ song song với nhau.
a. Chứng minh hai mặt phẳng (BDA’) và (B’D’C) song song với nhau.
b. Chứng minh rằng đường chéo AC’ đi qua trọng tâm G và G’ lần lượt của hai tam giác BDA’
và B’D’C.
c. Chứng minh G và G’ chia đoạn AC’ thành ba phần bằng nhau.
Giải
a. Ta có:
A'B D'C
(vì tứ giác A’BCD’ là hình bình hành).
BD B'D'
(vì tứ giác BB’D’D là hình bình hành), suy ra
mp BDA' mp B'D'C
.
P
F
E
O
N
M
B
A
D
C
S
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
106
GV: TR
N ĐÌNH CƯ
0834332133
b. Gọi O, O’ Q lần lượt tâm các hình bình
hành ABCD, A’B’C’D và AA’C’C.
Ta có: A’O là đường trung tuyến và G là trọng tâm
của tam giác BDA’ nên
A'G 2
A'O 3
.
Do đó G cũng trọng tâm tam giác A’AC (vì A’O
là đường trung tuyến của tam giác A’AC).
AQ đường trung tuyến của tam giác A’AC
nên G thuộc AQ, G thuộc AC’ .
(1)
Tương tự ta có G’ là trọng tâm của tam giác B’D’C
và cũng là trọng tâm của tam giác A’C’C.
C’Q đường trung tuyến của tam giác A’C’C
nên G’ thuộc C’Q. Suy ra G’ thuộc AC’. (2)
Từ (1) và (2) suy ra đường chéo AC’ đi qua hai trọng tâm G và G’ lần lượt của hai tam giác BDA’
và B’D’C.
c. Ta có:
G là trọng tâm tam giác A’AC nên
AG 2 AG 1
AC' 2AQ
AQ 3 AC' 3
. Suy ra
1
AG AC'
3
.
G’ là trọng tâm tam giác A’C’C nên
C'G' 2 C'G' 1
AC' 2C'Q
C'Q 3 C'A 3
. Suy ra
1
C'G' AC'
3
.
Vậy
1
AG GG' C'G' AC'
3
. Tức là G và G’ chia đoạn AC’ thành ba phần bằng nhau.
Dạng 2. Tìm giao tuyến ca hai mt phẳng và tìm thiết din qua một đim và song song
với một mặt phng
1. Pơng pp
P Q
P a a b
Q b
2. Các ví drèn luyện kĩ ng
dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M trung điểm của AD. Gọi
mặt phẳng
qua điểm M và lần lượt song song với mặt phẳng (SBD) và (SAC).
a. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mp
.
b. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mp
.
G'
G
Q
O
O'
A'
B'
C'
A
D
C
B
D'
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
107
GV: TR
N ĐÌNH CƯ
0834332133
c. Gọi H K lần lượt giao điểm của
với AC BD. Chứng minh tứ giác OHMK
là hình bình hành.
Giải
a.
SBD
ABCD SBD BD
M ABCD
ABCD MN BD N AB
Gọi M là trung điểm của AD nên N trung điểm của AB.
Ta có:
SBD
SAB SBD SB SAB NE SB E SA
N SAB
Mà N là trung điểm của AB nên E là trung điểm của SA.
Khi đó:
ME SAD
.
Vậy thiết diện cần tìm là tam giác MNE.
b.
SAC
ABCD SAC AC ABCD MP AC P CD
M ABCD
Mà M là trung điểm của AD nên P là trung điểm của CD.
Ta có:
SAC
SCD SAC SC SCD PF SC F SD
P SCD
Mà P là trung điểm của CD nên F là trung điểm của SD.
Vậy thiết diện cần tìm là tam giác MPF.
c. Trong mp(ABCD): AC cắt MN tại H, BD cắt MP tại K. Do MN chứa trong
mp
MP
chứa trong
mp
nên H chính là giao điểm của AC với
mp
và K chính là giao điểm của BD
với
mp
.
Ta có
MN BD
nên
MH OK, MP AC
nên
MK HO
. Vậy tứ giác OHMK là hình bình hành.
d2. Trong mặt phẳng (P) cho hình bình hành ABCD. Ta dựng các nửa đường thẳng song
song với nhau nằm về một phía đối với (P) lần lượt đi qua các điểm A, B, C, D. Một mặt
phẳng (P’) cắt bốn nửa đường thẳng nói trên tại A’, B’, C’, D’. Chứng minh:
a. Tứ giác A’B’C’D’ là hình bình hành.
b.
AA' CC' BB' DD'
.
Giải
K
H
F
E
N
P
M
A
D
C
B
S
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
108
GV: TR
N ĐÌNH CƯ
0834332133
a. Ta có
AB CD
Ax Dt
nên
mp Ax,By mp Cz,Dt
.
P' Ax,By A'B'
;
P' Cz,Dt C'D'
nên
A'B' C'D'
(1)
Tương tự:
mp Ax,Dt mp By,Cz
P' Ax, Dt A'D' A' D' B'C'
P' By,Cz B'C'
(2)
Từ (1) (2) suy ra tứ giác A’B’C’D’ hình
bình hành.
b. Gọi O O’ lần lượt tâm các hình bình
hành ABCD và A’B’C’D’.
Khi đó ta OO’ đường trung bình của hình
thang AA’C’C và hình thang BB’D’D.
Do đó:
AA' CC' 2OO'
BB' DD' 2OO'
.
Vậy
AA' CC' BB' DD'
.
dụ 3. Cho tứ diện ABCD và M, N lần lượt trung điểm của AB, CD. Mặt phẳng
chứa MN
cắt các cạnh AD và BC lần lượt là P và Q.
a. Cho trước điểm P, hãy nói cách dựng điểm Q.
b. Gọi K là giao điểm của MN và PQ. Chứng minh rằng
KP KQ
.
Giải
a. Ta có
là mp(MNP).
Trong mp(ABD): MP cắt BD tại E.
Trong mp(BCD): EN cắt BC tại Q.
Vậy
chính là mp(MPNQ). Q là điểm cần tìm.
b. Trên hai đường thẳng chéo nhau AB và CD lần
lượt các điểm A, M, B C, N, D định ra các tỉ
số bằng nhau:
MA ND
1
MB NC
.
Theo định Thales ta suy ra AD, MN, BC nằm trên
ba mặt phẳng song song.
Mà PQ là cát tuyến cắt ba mặt phẳng song song lần lượt tại P, K, Q nên:
KP MA ND
1
KQ MB NC
.
Vậy K là trung điểm của PQ.
dụ 4. Cho hình chóp
.S ABCD
, có đáy là hình bình hành tâm
O
. Gọi
,M N
lần lượt là trung
điểm của
SB
SC
, lấy điểm
P SA
.
a) Tìm giao tuyến
SAB
SCD
.
b) Tìm giao điểm
SD
MNP
.
x
t
y
z
O
O'
C'
D'
C
A
D
B
A'
B'
K
P
Q
M
N
B
C
A
D
E
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
109
GV: TR
N ĐÌNH CƯ
0834332133
c) Tìm thiết diện hình chóp và mặt phẳng
MNP
. Thiết diện là hình gì?
d) Gọi
J MN
. Chứng minh rằng
.OJ SAD
Lời gii
a) Do
AB
song song với
CD
nên giao tuyến của
SAB
SCD
là đường thẳng
d
đi qua
S
và song song
với
AB
CD
.
b) Trong măt phẳng
SAB
, kéo dài
PM
cắt
AB
tại
Q
, trong mặt phẳng
PMQR
, kéo dài
QN
cắt
SD
tại
R
, giao điểm của
SD
MNP
R
.
c) Thiết diện hình chóp và mặt phẳng
MNP
là tứ giác
MPRN
.
Do 3 mặt phẳng
; ;MNP ABC SAD
cắt nhau theo 3 giao tuyến là
; ;PR MN AD
nên chúng
song song hoặc đồng quy.
Mặt khác
MN AD MN AD PR MPRN
là hình thang.
d) Ta có:
OM
là đường trung bình trong tam giác
SBD
OM SD
.
Tương tự ta có:
ON SA OMN SAD
.
Mặt khác
.OJ OMN OJ SAD
(điều phải chứng minh).
D. BÀI TẬP TRẮC NGHIM
Câu 1: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Hai mặt phẳng không cắt nhau thì song song.
B. Hai mặt phẳng cùng song song với một đường thẳng thì cắt nhau.
C. Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước duy nhất một mặt phẳng song
song với mặt phẳng đó.
D. Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có vô số mặt phẳng song song với
mặt phẳng đó.
Lời gii
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
110
GV: TR
N ĐÌNH CƯ
0834332133
Chọn C
Trong không gian, hai mặt phẳng có
3
vị trí tương đối: trùng nhau, cắt nhau, song song
với nhau. Vì vậy,
2
mặt phẳng không cắt nhau thì có thể song song hoặc trùng nhau
A là mệnh đề sai.
Hai mặt phẳng cùng song song với một đường thẳng thì chúng có thể song song với nhau
(hình vẽ)
B là mệnh đề sai.
Ta có:
,a P a Q
nhưng
P
Q
vẫn có thể song song với nhau.
Mệnh đề C là tính chất nên C đúng.
Câu 2: Trong các điều kiện sau, điều kiện nào kết luận
?mp mp
A.
(
là mặt phẳng nào đó
).
B.
a
b
với
,a b
là hai đường thẳng phân biệt thuộc
.
C.
a
b
với ,a b là hai đường thẳng phân biệt cùng song song với
.
D.
a
b
với
,a b
là hai đường thẳng cắt nhau thuộc
.
Lời gii
Chọn D
Trong trường hợp:
(
mặt phẳng nào đó) thì
thể
trùng nhau
Loại A
P
a
Q
a
b
b
a
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
111
GV: TR
N ĐÌNH CƯ
0834332133
a
b
với
,a b
hai đường thẳng phân biệt thuộc
thì
vẫn thể
cắt nhau (hình 1)
Loại B
a
b
với
,a b
là hai đường thẳng phân biệt cùng song song với
thì
vẫn có thể cắt nhau (hình 2)
Loại C
Câu 3: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Nếu mặt phẳng
thì mọi đường thẳng nằm trong
đều song song với
.
B. Nếu hai mặt phẳng
song song với nhau thì bất đường thẳng nào nằm
trong
cũng song song với bất kì đường thẳng nào nằm trong
.
C. Nếu hai đường thẳng phân biệt
a
b
song song lần lượt nằm trong hai mặt phẳng
phân biệt thì
.a
D. Nếu đường thẳng
d
song song với
mp
thì song song với mọi đường thẳng nằm
trong
.mp
Lời gii
Chọn A
Nếu hai mặt phẳng
song song với nhau thì hai đường thẳng bất lần lượt
thuộc
có thể chéo nhau (Hình 1)
Loại B
Nếu hai đường thẳng phân biệt
a
b
song song lần lượt nằm trong hai mặt phẳng
phân biệt thì hai mặt phẳng
có thể cắt nhau (Hình 2)
Loại C
Nếu đường thẳng
d
song song với
mp
thì nó có thể chéo nhau với một đường thẳng
nào đó nằm trong
.
(Hình 3).
Câu 4: Cho hai mặt phẳng song song
, đường thẳng
a
. Có mấy vị trí tương đối
của
a
.
A.
1.
B.
2.
C.
3.
D.
4.
Lời gii
Chọn B
Hình 3
Hình 2Hình 1
b
a
b
a
a
d
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
112
GV: TR
N ĐÌNH CƯ
0834332133
Trong không gian, giữa đường thẳng và mặt phẳng
3
vị trí tương đối: đường thẳng cắt
mặt phẳng, đường thẳng song song với mặt phẳng, đường thẳng nằm trên mặt phẳng.
a
a
không thể cắt nhau.
Vậy còn
2
vị trí tương đối.
Câu 5: Cho hai mặt phẳng song song
P
Q
. Hai điểm
,M N
lần lượt thay đổi trên
P
.Q
Gọi
I
là trung điểm của
.MN
Chọn khẳng định đúng.
A. Tập hợp các điểm
I
là đường thẳng song song và cách đều
P
.Q
B. Tập hợp các điểm
I
là mặt phẳng song song và cách đều
P
.Q
C. Tập hợp các điểm
I
là một mặt phẳng cắt
.P
D. Tập hợp các điểm
I
là một đường thẳng cắt
.P
Lời gii
Chọn B
Ta có:
I
là trung điểm của
MN
Khoảng cách từ
I
đến
P
bằng khoảng cách từ
I
đến
Q
Tập hợp các điểm
I
là mặt phẳng song song và cách đều
P
.Q
Câu 6: Trong các điều kiện sau, điều kiện nào kết luận đường thẳng
a
song song với mặt phẳng
?P
A.
a b
.b P
B.
a b
.b P
C.
a Q
.Q P
D.
a Q
.b P
Lời gii
Chọn D
Ta có:
a b
b P
suy ra
a P
hoặc
a P
Loại A
a b
b P
suy ra
a P
hoặc
a P
Loại B
a Q
Q P
suy ra
a P
hoặc
a P
Loại C
Câu 7: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Q
P
I
N
M
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
113
GV: TR
N ĐÌNH CƯ
0834332133
A. Nếu
,a b
thì
.a b
B. Nếu
,a b
thì
a
b
chéo nhau.
C. Nếu
a b
,a b
thì
.
D. Nếu
,a b
thì
.a b
Lời gii
Chọn D
Nếu
,a b
thì
a b
hoặc
a
chéo
b
A, B sai.
Nếu
a b
,a b
thì
hoặc
cắt nhau theo giao tuyến song
song với
a
.b
Câu 8: Cho đường thẳng
a mp P
và đường thẳng
.b mp Q
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
.P Q a b
B.
.a b P Q
C.
P Q a Q
.b P
D.
a
b
chéo nhau.
Lời gii
Chọn C
Với đường thẳng
a mp P
và đường thẳng
b mp Q
Khi
P Q a b
hoặc
,a b
chéo nhau
A sai.
Khi
a b P Q
hoặc
,P Q
cắt nhau theo giao tuyến song song với
a
b
B
sai.
a
b
có thể chéo nhau, song song hoặc cắt nhau
D sai.
Câu 9: Hai đường thẳng
a
b
nằm trong
.mp
Hai đường thẳng
a
b
nằm trong
.mp
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Nếu
a a
b b
thì
.
B. Nếu
thì
a a
.b b
C. Nếu
a b
a b
thì
.
D. Nếu
a
cắt
b
,a a b b
thì
.
Lời gii
Chọn D
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
114
GV: TR
N ĐÌNH CƯ
0834332133
Nếu
a a
b b
thì
hoặc
cắt
(Hình 1)
A sai.
Nếu
thì
a a
hoặc
,a a
chéo nhau (Hình 2)
B sai.
Nếu
a b
a b
thì
hoặc
cắt
.CC
(Hình 1)
C sai.
Câu 10: Cho hai mặt phẳng
P
Q
cắt nhau theo giao tuyến
.
Hai đường thẳng
p
q
lần
lượt nằm trong
P
.Q
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A.
p
q
cắt nhau. B.
p
q
chéo nhau.
C.
p
q
song song. D. Cả ba mệnh đề trên đều sai.
Lời gii
Chọn D
Ta có
p
q
có thể cắt nhau, song song, chéo nhau (hình vẽ).
Câu 11: Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
hình bình hành tâm
.O
Gọi
, ,M N P
theo thứ
tự là trung điểm của
,SA SD
.AB
Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
NOM
cắt
.OPM
B.
MON
//
.SBC
C.
.PON MNP NP
D.
NMP
//
.SBD
Lời gii
Chọn B
Hình 1 Hình 2
a
b
b'
a'
a
a'
P
Q
p
q
q
p
P
Q
q
p
Q
P
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
115
GV: TR
N ĐÌNH CƯ
0834332133
Ta có
MN
là đường trung bình của tam giác
SAD
suy ra
MN
//
.AD
1
OP
là đường trung bình của tam giác
BAD
suy ra
OP
//
.AD
2
Từ
1 , 2
suy ra
MN
//
OP
//
AD
, , ,M N O P
đồng phẳng.
Lại có
MP
//
,SB OP
//
BC
suy ra
MNOP
//
SBC
hay
MON
//
.SBC
Câu 12: Cho hình chóp
.S ABCD
đáy
ABCD
là hình bình hành tâm
.O
Tam giác
SBD
đều. Một
mặt phẳng
P
song song với
SBD
qua điểm
I
thuộc cạnh
AC
(không trùng với
A
hoặc
C
). Thiết diện của
P
và hình chóp là hình gì?
A. Hình hình hành. B. Tam giác cân. C. Tam giác vuông. D. Tam giác đều.
Lời gii
Chọn D
Gọi
MN
là đoạn thẳng giao tuyến của mặt phẳng
P
và mặt đáy
.ABCD
P
//
,SBD P ABCD MN
SBD ABCD MN
suy ra
MN
//
.BD
Lập luận tương tự, ta có
P
cắt mặt
SAD
theo đoạn giao tuyến
NP
với
NP
//
.SD
P
N
M
O
A
B
D
C
S
O
P
M
N
S
A
D
B
C
I
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
116
GV: TR
N ĐÌNH CƯ
0834332133
P
cắt mặt
SAB
theo đoạn giao tuyến
MP
với
MP
//
.SB
Vậy tam giác
MNP
đồng dạng với tam giác
SBD
nên thiết diện của
P
hình chóp
.S ABCD
là tam giác đều
.MNP
Câu 13: Cho hình chóp
.S ABC
đáy tam giác
ABC
thỏa mãn
4,AB AC
30 .BAC
Mặt
phẳng
P
song song với
ABC
cắt đoạn
SA
tại
M
sao cho
2 .SM MA
Diện tích thiết
diện của
P
và hình chóp
.S ABC
bằng bao nhiêu?
A.
16
.
9
B.
14
.
9
C.
25
.
9
D.
1.
Lời gii
Chọn A
Diện tích tam giác
ABC
0
1 1
. . .sin .4.4.sin 30 4.
2 2
ABC
S AB AC BAC
Gọi
,N P
lần lượt là giao điểm của mặt phẳng
P
và các cạnh
, .SB SC
P
//
ABC
nên theoo định lí Talet, ta có
2
.
3
SM SN SP
SA SB SC
Khi đó
P
cắt hình chóp
.S ABC
theo thiết diện tam giác
MNP
đồng dạng với tam
giác
ABC
theo tỉ số
2
.
3
k
Vậy
2
2
2 16
. .4 .
3 9
MNP ABC
S k S
Câu 14: Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
hình thang cân với cạnh bên
2,BC
hai đáy
6, 4.AB CD
Mặt phẳng
P
song song với
ABCD
cắt cạnh
SA
tại
M
sao cho
3 .SA SM
Diện tích thiết diện của
P
và hình chóp
.S ABCD
bằng bao nhiêu?
A.
5 3
.
9
B.
2 3
.
3
C.
2.
D.
7 3
.
9
Lời gii
Chọn A
N
P
S
B
C
A
M
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
117
GV: TR
N ĐÌNH CƯ
0834332133
Gọi
,H K
lần lượt là hình chiếu vuông góc của
,D C
trên
.AB
ABCD
là hình thang cân
;
1.
AH BK CD HK
BK
AH HK BK AB
Tam giác
BCK
vuông tại
,K
2 2 2 2
2 1 3.CK BC BK
Suy ra diện tích hình thang
ABCD
4 6
. 3. 5 3.
2 2
ABCD
AB CD
S CK
Gọi
, ,N P Q
lần lượt là giao điểm của
P
và các cạnh
, , .SB SC SD
P
//
ABCD
nên theo định lí Talet, ta có
1
.
3
MN NP PQ QM
AB BC CD AD
Khi đó
P
cắt hình chóp theo thiết diện
MNPQ
có diện tích
2
5 3
. .
9
MNPQ ABCD
S k S
Câu 15: Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
hình bình hành có tâm
, 8O AB
,
6.SA SB
Gọi
P
là mặt phẳng qua
O
và song song với
.SAB
Thiết diện của
P
và hình chóp
.S ABCD
là:
A.
5 5.
B.
6 5.
C.
12.
D.
13.
Lời gii
Chọn B
O
P
N
B
A
C
D
D
C
A
B
S
M
H
K
M
N
Q
P
S
D
C
A
B
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
118
GV: TR
N ĐÌNH CƯ
0834332133
Qua
O
kẻ đường thẳng
d
song song
AB
và cắt
,BC AD
lần lượt tại
, .P Q
Kẻ
PN
song song với
SB N SB
, kẻ
QM
song song với
.SA M SA
Khi đó
MNPQ
//
SAB
thiết diện của
P
và hình chóp
.S ABCD
là tứ giác
MNPQ
,P Q
là trung điểm của
,BC AD
suy ra
,N M
lần lượt là trung điểm của
, .SC SD
Do đó
MN
là đường trung bình tam giác
SCD 4.
2 2
CD AB
MN
3; 3
2 2
SB SA
NP QM NP QM MNPQ
là hình thang cân.
Hạ
,NH MK
vuông góc với
.PQ
Ta có
1
2.
2
PH KQ PH PQ MN
Tam giác
PHN
vuông, có
5.NH
Vậy diện tích hình thang
MNPQ
. 6 5.
2
MNPQ
PQ NM
S NH
Câu 16: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. Hình lăng trụ có các cạnh bên song song và bằng nhau.
B. Hai mặt đáy của hình lăng trụ nằm trên hai mặt phẳng song song.
C. Hai đáy của lăng trụ là hai đa giác đều.
D. Các mặt bên của lăng trụ là các hình bình hành.
Lời gii
Chọn C
Xét hình lăng trụ có đáy là một đa giác (tam giác, tứ giác,… ), ta thấy rằng
Hình lăng trụ luôn có các cạnh bên song song và bằng nhau.
Hai mặt đáy của hình lăng trụ nằm trên hai mặt phẳng song song.
Hai đáy của lăng trụ là hai đa giác bằng nhau (tam giác, tứ giác,… )
Các mặt bên của lăng trụ là các hình bình hành vì có hai cạnh là hai cạnh bên của hình
lăng trụ, hai cạnh còn lại thuộc hai đáy song song.
Câu 17: Trong các mệnh đều sau, mệnh đề nào sai?
A. Các cạnh bên của hình lăng trụ bằng nhau và song song với nhau.
B. Các mặt bên của hình lăng trụ là các hình bình hành.
C. Các mặt bên của hình lăng trụ là các hình bình hành bằng nhau.
D. Hai đáy của hình lăng trụ là hai đa giác bằng nhau.
Lời gii
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
119
GV: TR
N ĐÌNH CƯ
0834332133
Chọn C
Các mặt bên của hình lăng trụ là các hình hình hành, chúng bằng nhau nếu hình lăng trụ
có đáy là tam giác đều.
Câu 18: Trong các mệnh đều sau, mệnh đề nào đúng?
A. Các cạnh bên của hình chóp cụt đôi một song song.
B. Các cạnh bên của hình chóp cụt là các hình thang.
C. Hai đáy của hình chóp cụt là hai đa giác đồng dạng.
D. Cả 3 mệnh đề trên đều sai.
Lời gii
Chọn C
Xét hình chóp cụt có đáy là đa giác (tam giác, tứ giác,… ) ta thấy rằng:
Các cạnh bên của hình chóp cụt đôi một cắt nhau.
Các mặt bên của hình chóp cụt là các hình thang cân.
Hai đáy của hình chóp cụt là hai đa giác đồng dạng.
Câu 19: Trong các mệnh đều sau, mệnh đề nào sai?
A. Trong hình chóp cụt thì hai đáy hai đa giác các cạnh tương ứng song song
các tỉ số các cặp cạnh tương ứng bằng nhau.
B. Các mặt bên của hình chóp cụt là các hình thang.
C. Các mặt bên của hình chóp cụt là các hình thang cân.
D. Đường thẳng chứa các cạnh bên của hình chóp cụt đồng quy tại một điểm.
Lời gii
Chọn C
Với hình chóp cụt, các mặt bên của hình chóp cụt là các hình thang.
Câu 20: Cho hình lăng trụ
. .ABC A B C
Gọi
,M N
lần lượt là trung điểm của
BB
.CC
Gọi
là giao tuyến của hai mặt phẳng
AMN
.A B C
Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
.AB
B.
.AC
C.
.BC
D.
.AA
Lời gii
Chọn C
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
120
GV: TR
N ĐÌNH CƯ
0834332133
Ta có
MN AMN
B C A B C
MN B C
là giao tuyến của hai mặt phẳng
AMN
A B C
sẽ song
song với
MN
B C
. Suy ra
.BC
Câu 21: Cho hình lăng trụ
. .ABC A B C
Gọi
H
trung điểm của
.A B
Đường thẳng
B C
song song
với mặt phẳng nào sau đây?
A.
.AHC
B.
.AA H
C.
.HAB
D.
.HA C
Lời gii
Chọn A
Gọi
M
là trung điểm của
AB
suy ra
.MB AH MB AHC
1
MH
là đường trung bình của hình bình hành
ABB A
suy ra
MH
song song và bằng
BB
nên
MH
song song bằng
CC
 MHC C
hình hình hành
.MC HC MC AHC

2
Từ
1
2
, suy ra
.B MC AHC B C AHC
Câu 22: Cho hình lăng trụ
.ABC A B C
. Gọi
H
trung điểm của
.A B
Mặt phẳng
AHC
song
song với đường thẳng nào sau đây?
A.
.CB
B.
.BB
C.
.BC
D.
.BA
N
M
C'
A'
C
B
A
M
A'
C
B
A
B'
C'
H
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
121
GV: TR
N ĐÌNH CƯ
0834332133
Lời gii
Chọn A
Gọi
M
là trung điểm của
AB
suy ra
.MB AH MB AHC
1
MH
đường trung bình của hình bình hành
ABB A
suy ra
MH
song song bằng
BB
nên
MH
song song bằng
CC
 MHC C
hình hình hành
.MC HC MC AHC

2
Từ
1
2
, suy ra
.B MC AHC B C AHC
Câu 23: Cho hình lăng trụ
1 1 1
. .ABC A B C
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A.
ABC
//
1 1 1
.A B C
B.
1
AA
//
1
.BCC
C.
AB
//
1 1 1
.A B C
D.
1 1
AA B B
là hình chữ nhật.
Lời gii
Chọn D
mặt bên
1 1
AA B B
hình bình hành, còn hình chữ nhật nếu
1 1 1
.ABC A B C
hình
lăng trụ đứng.
Câu 24: Cho hình hộp
1 1 1 1
. .ABCD A B C D
Khẳng định nào dưới đây là sai?
A.
ABCD
là hình bình hành.
B. Các đường thẳng
1 1 1 1
, , ,A C AC DB D B
đồng quy.
C.
1 1
ADD A
//
1 1
.BCC B
D.
1
AD CB
là hình chữ nhật.
Lời gii
Chọn D
M
A'
C
B
A
B'
C'
H
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
122
GV: TR
N ĐÌNH CƯ
0834332133
Dựa vào hình vẽ và tính chất của hình hộp chữ nhật, ta thấy rằng:
Hình hộp có đáy
ABCD
là hình bình hành.
Các đường thẳng
1 1 1 1
, , ,A C AC DB D B
cắt nhau tại tâm của
1 1 1 1
, .AA C C BDD B
Hai mặt bên
1 1 1 1
,ADD A BCC B
đối diện và song song với nhau.
1
AD
CB
là hai đường thẳng chéo nhau suy ra
1
AD CB
không phải là hình chữ nhật.
Câu 25: Cho hình hộp
.ABCD A B C D
các cạnh bên
, , , .AA BB CC DD
Khẳng định nào dưới
đây sai?
A.
AA B B
//
.DD C C
B.
BA D
//
.ADC
C.
A B CD
là hình bình hành. D.
BB D D
là một tứ giác.
Lời gii
Chọn B
Dựa vào hình vẽ dưới và tính chất của hình hộp, ta thấy rằng:
Hai mặt bên
AA B B
DD C C
đối diện, song song với nhau.
D
C
A
B
B
1
A
1
C
1
D
1
D'
C'
A'
B'
B
A
C
D
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
123
GV: TR
N ĐÌNH CƯ
0834332133
Hình hộp hai đáy
,ABCD A B C D
hình bình hành
A B CD
A B
//
CD
suy ra
A B CD
là hình hình hành.
BD
//
B D
suy ra
, , ,B B D D
đồng phẳng
BB D D
là tứ giác.
Mặt phẳng
BA D
chứa đường thẳng
CD
CD
cắt
C D
suy ra
BA D
không song
song với
.ADC
Câu 26: Nếu thiết diện của một lăng trụ tam giác và một mặt phẳng là một đa giác thì đa giác đó
có nhiều nhất mấy cạnh?
A.
3
cạnh. B.
4
cạnh. C.
5
cạnh. D.
6
cạnh.
Lời gii
Chọn C
Đa giác thiết diện của một lăng trụ tam giác và một mặt phẳng có nhiều nhất
5
cạnh với
các cạnh thuộc các mặt của hình lăng trụ tam giác.
Câu 27: Nếu thiết diện của một hình hộp và một mặt phẳng là một đa giác thì đa giác đó nhiều
nhất mấy cạnh?
A.
4
cạnh. B.
5
cạnh. C.
6
cạnh. D.
7
cạnh.
Lời gii
Chọn C
Vì hình hộp là hình lăng trụ có đáy là tứ giác và có
6
mặt nên thiết diện của hình hộp
và mặt phẳng bất kì là một đa giác có nhiều nhất
6
cạnh.
Câu 28: Cho hình hộp
.ABCD A B C D
. Gọi
I
là trung điểm của
.AB
Mặt phẳng
IB D
cắt hình
hộp theo thiết diện là hình gì?
A. Tam giác. B. Hình thang. C. Hình bình hành. D. Hình chữ nhật.
Lời gii
Chọn B
M
I
D'
C'
B'
A'
D
C
B
A
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản
word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
124
GV: TR
N
ĐÌNH CƯ
0834
332133
Ta có
B
D IB D
BD ABCD
B D BD

Ggiao tuyến của
IB D
với
A
BCD
là đường thẳng
d
đi qua
I
và song song với
BD
.
Trong mặt phẳng
A
BCD
, gọi
M d AD IM BD B D
.
Khi đó thiết diện là tứ giác
IMB D
và tứ giác này là hình thang.
Câu 29: Cho hình hộp
.A
BCD A B C D
. Gọi
là mặt phẳng đi qua một cạnh của hình hộp và cắt
hình hộp theo thiết diện là một tứ giác
T
. Khẳng định nào sau đây không sai?
A.
T
là hình chữ nhật.
B.
T
là hình bình hành.
C.
T
là hình thoi.
D.
T
là hình vuông.
Lời gii
Chọn B
Giả sử mặt phẳng
đi qua cạnh
AB
và cắt hình hộp theo tứ giác
.T
Gọi
d
là đường thẳng giao tuyến của
và mặt phẳng
.A B C D
Ta chứng minh được
A
B
//
d
suy ra tứ giác
T
là một hình bình hành.
d
B
C
A
D
D'
A'
C'
B'
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản
word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
125
GV: TR
N
ĐÌNH CƯ
0834
332133
I 6: PHÉP CHIẾU SONG SONG.HÌNH BIU DIN CA MT HÌNH KHÔNG GIAN
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CN NẮM
I. PP CHIU SONG SONG
1. Định nga
-Ta có định nghĩa sau:
Cho mặt phẳng
P
và đường thẳng
cắt mặt phẳng
P
. Phép
đặt tương ứng mỗi điểm
M
trong không gian với điểm
M
của
mặt phẳng
P
sao cho
'M
M
song song hoặc trùng với
gọi là
phép chiếu song song lên mặt phẳng
P
theo phương
.
-Mặt phẳng
P
gọi là mặt phẳng chiếu, đường thẳng
gọi là
phuơng chiếu, điểm
M
gọi là hình chiếu song song (hoặc ảnh) của điểm
M
qua phép chiếu
song song nói trên.
2. Tính cht
Trong trường hợp tổng quát, ta có định lí sau:
Phép chiếu song song biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm
thay đổi thứ tự ba điểm
đó.
Phép chiếu song song biến đường thẳng thành đường thẳng; biến tia thành tia; biến đoạn
thẳng thành đoạn thẳng.
Trong trường hợp tổng quát, ta có định lí sau (Hình 80 , Hình 81):
Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song
hoặc trùng nhau.
Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng nằm trên hai
đường thẳng song song hoặc cùng nằm trên một đường thẳng.
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
126
GV: TR
N ĐÌNH CƯ
0834332133
Chú ý:
Đối với hình chiếu song song của đường tròn, người ta chứng minh được rằng: Hình chiếu
song song của một đường tròn trên một mặt phẳng theo phương
cho trước là một đường elip
hoặc một đường tròn, hoặc đặc biệt có thể là một đoạn thẳng.
II. NH BIỂU DIN CA MT HÌNH KHÔNG GIAN
1. Ki nim
Hình biểu diễn của một hình
trong không gian là hình chiếu song song của hình
trên một
mặt phẳng theo một phương chiếu nào đó hoặc hình đồng dạng với hình chiếu đó.
Chú ý: Muốn vẽ đúng hình biểu diễn của một hình không gian ta phải áp dụng các tính chất của
phép chiếu song song.
2. Hình biểu diễn của một s nh khối đơn giản
Các hình sau đây thường được sử dụng làm hình biểu diễn của: hình tứ diện (Hình 86a); hình hộp
(Hình 86b); hình hộp chữ nhật (Hình 86c); hình lăng trụ tam giác (Hình 86d).
Chú ý
1.
Một tam giác bất kì bao giờ cũng có thể coi là hình biểu diễn của
một tam giác có dạng tuỳ ý cho trước (có thể là tam giác đều, tam
giác cân, tam giác vuông, ...).
Một hình bình hành bất kì bao giờ cũng có thể coi là hình biểu diễn
của một hình bình hành tuỳ ý cho trước (có thể là hình bình hành,
hình vuông, hình thoi, hình chữ nhật, ...).
Một hình thang bất kì bao giờ cũng có thể coi là hình biểu diễn cho
một hình thang tuỳ ý cho trước, sao cho tỉ số độ dài hai đáy của
hình biểu diễn phải bằng tỉ số độ dài hai đáy của hình thang ban đầu.
Ta thường dùng đường elip làm hình biểu diễn của đường tròn, tâm của elip biểu diễn cho tâm
của đường tròn (Hình 87).
2 . Phép chiếu song song nói chung không giữ nguyên tỉ số của hai đoạn thẳng không nằm
trên hai đường thẳng song song (hay không cùng nằm trên một đường thẳng) và không giữ
nguyên độ lớn của một góc. Từ đó suy ra nếu trên hình
có hai đoạn thẳng không nằm trên hai
đường thẳng song song thì tỉ số của chúng không nhất thiết phải giữ nguyên trên hình biểu diễn.
Cũng như vậy, độ lớn của một góc trên hình
không nhất thiết được giữ nguyên trên hình biểu
diễn.
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
127
GV: TR
N ĐÌNH CƯ
0834332133
B. PƠNG PP GII TOÁN
Dạng 1. Vẽ hình biểu din ca một nh trong không gian
1. Phương pháp
Để vẽ hình biểu diễn của một hình trong không gian, ta cần chú ý một số điểm sau:
- Nếu trên hình H có hai đoạn thẳng cùng phương thì trên hình H’ hình chiếu của hai đoạn thẳng
đó phải cùng phương.
- Trung điểm của một đoạn thẳng có hình chiếu là trung điểm của đoạn thẳng hình chiếu.
- Trong tam giác có một góc tù, ta cần chú ý chân đường cao kẻ từ đỉnh của góc nhọn không nằm
trên cạnh đối diện mà nằm ở trên phần kéo dài của cạnh ấy.
- Một góc bất kì có thể biểu diễn cho mọi góc (nhọn, vuông, tù).
- Một tam giác bất kì có thể là hình biểu diễn của mọi tam giác (cân, đều, vuông).
- Hình bình hành thể ng làm hình biểu diễn cho các hình tính chất của hình bình hành
(vuông, thoi, chữ nhật,…)
- Một đường tròn được biểu diễn bởi một đường elip hoặc một đường tròn, hoặc đặc biệt có thể
một đoạn thẳng.
2. Các ví dụ
d1. Cho tam giác ABC. Hãy chọn mặt phẳng chiếu (P) và phương chiếu d để hình chiếu của
tam giác ABC trên mặt phẳng (P) là:
a. Một tam giác cân.
b. Một tam giác vuông.
Giải
Qua BC dựng mặt phẳng (P) không qua A.
a. Trong mặt phẳng (P), dựng tam giác BCA’ cân tại
A’. Khi đó, phép chiếu song song lên (P) theo phương
chiếu AA’ biến tam giác ABC thành tam giác BCA’.
b. Trong mặt phẳng (P), dựng tam giác BCA” vuông
tại A”. Khi đó, phép chiếu song song lên (P) theo
phương chiếu AA” biến tam giác ABC thành tam giác
vuông A”BC.
d
2.
V
h
ình chi
ếu của h
ình chóp S.ABCD lên
mặt phẳng (P) theo phương chiếu SA (SA không song
song với (P)).
Giải
phương chiếu d SA nên SA cắt (P) tại A’. Các
đỉnh B, C, D hình chiếu trên (P) lần lượt B’, C’,
D’
BB' AA',CC' AA',DD' AA'
. Vậy hình chiếu
của hình chóp S.ABCD lên (P) là tứ giác A’B’C’D’.
dụ 3. Vẽ hình biểu diễn của tam giác ABC có góc A tù, đường cao BH.
Giải
P
A'
A
B
C
A"
d
P
A
D
C
B
S
A'
B'
C'
D'
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
128
GV: TR
N ĐÌNH CƯ
0834332133
Xem hình vẽ sau:
Hình thật
Hình biểu diễn
dụ 4. Vẽ hình biểu diễn của đường tròn có hai đường kính vuông góc.
Giải
Giả sử trên hình thật ta đường tròn tâm (O), tâm O, hai đường kính AB CD vuông góc.
Nếu ta vẽ dây dung MN song song với AB thì CD sẽ cắt MN tại trung điểm I của MN.
Suy ra cách vhình biểu diễn như
sau:
- Vẽ elip (E), tâm O’ đường kính
A’B’ (qua O’) của nó.
- Vẽ dây cung
M ' N ' A ' B'
.
- Lấy I’ là trung điểm của M’N’.
Đường thẳng O’I’ cắt elip (E) tại C’,
D’. Ta có A’B’ C’D’ hình biểu
diễn hai đường kính vuông góc với
nhau của đường tròn.
Hình thật
Hình biểu diễn
dụ 5. Vẽ hình biểu diễn của một lục giác đều.
Giải
Xét hình lục giáo đều ABCDEF, ta thấy:
- Tứ giác OABC là một hình thoi.
- Các điểm D, E, F lần lượt là các điểm đối xứng của các điểm A, B, C qua tâm O. Suy ra cách
vẽ như sau:
+ Vẽ hình bình hành O’A’B’C’ biểu diễn cho hình thoi OABC.
+ Lấy các điểm D’, E’, F’ đối xứng với các điểm A’, B’, C’ qua O’.
+ A’B’C’D’E’F’ là hình cần vẽ.
Hình biểu diễn lục giác đều
dụ 6. Vẽ hình biểu diễn của một tam giác đều.
Giải
H
B
C
A
C'
B'
A'
H'
D
C
M
N
A
O
B
I
N'
M'
C'
O'
D'
I'
C
F
D
A
E
O
B
A'
F'
E'
D'
O'
B'
C'
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
129
GV: TR
N ĐÌNH CƯ
0834332133
Xét tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi D điểm đối xứng với A qua O, ta thấy tứ
giác OBDC là hình thoi. Từ đó suy ra cách vẽ như sau:
+ Vẽ hình bình hành O’B’D’C’ biểu diễn cho hình thoi OBDC.
+ Lấy điểm A’ là điểm đối xứng của D’ qua O’.
+ Tam giác A’B’C’ là tam giác đều cần tìm.
Hình biểu diễn tam giác đều
Dạng 2. Các i toán ln quan đến pp chiếu song song
1. Phương pháp
Các bài toán liên quan đến phép chiếu song song thường dựa vào các tính chất của phép chiếu
song song để chứng minh một vấn đề nào đó. Cần chú ý rằng trong các bài toán dạng này, việc tìm
phương chiếu đóng vai trò khá quan trọng.
2. Các ví dụ
dụ 1. Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm của tam giác ACD.
a. Chứng minh hình chiếu G’ của điểm G trên mặt phẳng (BCD) theo phương chiếu AB là trọng
tâm của tam giác BCD.
b. Gọi M, N lần lượt trung điểm của AD AC. Tìm hình chiếu song song của các điểm M,
N theo phép chiếu nói trên.
Giải
a. Chứng minh G’ là trọng tâm của tam giác BCD:
- Gọi I trung điểm của CD. Qua phép chiếu song song
phương AB thì IB hình chiếu của IA trên mặt phẳng
(BCD).
- Vì phép chiếu song song bảo toàn tính thẳng hàng và thứ
tự ba điểm A, G, I nên hình biểu diễn G’ của G nằm trên
BI và ở giữa B và I.
Trong tam giác IAB, ta có:
IG IG'
IG' 1
IA IB
IG 1
IB 3
IA 3
.
Suy ra G’ là trọng tâm của tam giác BCD.
b. Hình chiếu của M, N qua phép chiếu song song phương AB trên mặt phẳng (BCD). Ta thấy:
D
O
A
B
C
A'
C'
O'
B'
D'
d
M
N
M'
G
G'
N'
I
B
C
A
D
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
130
GV: TR
N ĐÌNH CƯ
0834332133
- BD là hình chiếu của AD trên mặt phẳng (BCD); M là trung điểm của AD nên M’ là trung điểm
của BD.
- BC là hình chiếu của AC trên mặt phẳng (BCD); N trung điểm của AC nên N’ trung điểm
của BC.
dụ 2. Cho hai hình bình hành ABCD và BCC’B’ nằm trong hai mặt phẳng phân biệt. Tìm điểm
M trên đoạn DB’, và điểm N trên đường chéo AC sao cho
MN BC '
.
Giải
- Phân tích:
Giả sử đã tìm được
M DB'
N AC
sao cho
MN BC '
.
Xét phép chiếu song song theo phương BC’ n
mặt phẳng (ABCD). Khi đó qua phép chiếu này,
hình chiếu của các điểm D, M, B’ lần lượt là D,
N, B’’. D, M, B’ thẳng hàng nên D, N, B”
cũng thẳng hàng. Do đó, N giao điểm của DB”
và AC. Từ đó, ta có cách dựng như sau:
- Cách dựng:
+ Dựng B” là hình chiếu của B’ qua phép chiếu theo phương BC’ lên mặt phẳng (ABCD).
+ Dựng N là giao điểm của DB” và AC.
+ Trong mặt phẳng (DB’B”), ta kẻ
NM B' B "
cắt DB’ tại M.
Vậy M và N là các điểm cần tìm.
C. GIẢI I TP SÁCH GIÁO KHOA
i 1. Trong
các Hình
88 ,88 ,88a b c
, hình nào là hình biểu diễn cho hình tứ diện?
Lời gii
Ba Hình 88a, 88b, 88c đều là hình biểu diễn cho hình tứ diện.
M
N
B''
A
B'
B
C
C'
D
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
131
GV: TR
N ĐÌNH CƯ
0834332133
i 2. Cho hình hộp
ABCD A B C D
. Xác định ảnh của tam giác
A C D
qua phép chiếu song
song lên mặt phẳng
ABCD
theo phương
A B
.
Lời gii
Ta có:
B
là ảnh của
A
lên (ABCD)
Có:
D'C // 'A B
nên C là ảnh của D' lên
ABCD
Từ C' kẻ C'E // CD' // A'B. Suy ra E là ảnh của C' lên
ABCD
Vậy tam giác
BCE
là ảnh của tam giác
A C D
qua phép chiếu song song lên mặt phẳng
ABCD
theo phương A'B.
i 3. Vẽ hình biểu diễn của các vật trong Hình 89 và Hình 90.
Lời gii
i 4. Vẽ hình biểu diễn của:
a) Một tam giác vuông nội tiếp trong một đường tròn;
b) Một lục giác đều.
Lời gii
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
132
GV: TR
N ĐÌNH CƯ
0834332133
D. BÀI TẬP TRẮC NGHIM
Câu 1: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Hình chiếu song song của hai đường thẳng cắt nhau là hai đường thẳng song song.
B. Hình chiếu song song của một hình bình hành là một hình bình hành.
C. Phép chiếu song song biến một tam giác thành một tam giác nếu mặt phẳng chứa tam
giác không cùng phương với phương chiếu.
D. Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng.
Lời gii
Chọn C
Câu 2: Trên hình
AH BC
HB HC
và hình
AB CD,AD BC
AC BD
Hình
Hình
Hãy Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A. ABC là tam giác đều.
B. ABC là tam giác cân tại A
C. ABCD là hình thoi.
D. B và C đúng.
Lời gii
Chọn D
Nhìn hình vẽ, ta thấy:
- Tam giác ABC có AH vừa là đường cao vừa là trung tuyến nên cân tại A B đúng.
- Tứ giác ABCD
AB CD , AC BD
nên hình bình hành. Mặt khác hai đường chéo
của nó vuông góc nên ABCD là hình thoi C đúng.
H
A
B
C
O
D
A
B
C
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
133
GV: TR
N ĐÌNH CƯ
0834332133
Câu 3: Trên hình
, ta phép chiếu song song theo phương d mặt phẳng chiếu (P);
AB CG
AB DG
; A’, B’, C’, D’, E’, G’ lần lượt hình chiếu của A, B, C, D, E, G qua phép
chiếu nói trên.
Hình
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
DG D'G'
1
AB A'B'
. B.
C'D' CD
D'E' DE
.
C.
D'G ' A' B'
. D. Tất cả A, B, C đều đúng.
Lời gii
Chọn D
The định lí 2, ta thấy câu A và câu B đúng. Từ câu A đúng suy ra câu C đúng.
Câu 4: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau có thể song song với nhau.
B. Hình chiếu song song của hai đường thẳng cắt nhau thì song song.
C. Hình chiếu song song của hai một hình vuông là một hình vuông.
D. Hình chiếu song song của một lục giác đều là một lục giác đều.
Lời gii
Chọn A
Dựng mặt phẳng (P) qua a song song với b. Dựng mặt phẳng (Q) qua b và song song
với a. Giả sử (P) song song với (Q). Ta Chọn phương chiếu d song song với (P) và mặt
phẳng chiếu (R) sao cho (R) cắt (P) và (Q) lần lượt theo hai giao tuyến a’ và b’. Khi đó
hình chiếu a’, b’ song song với nhau.
Câu 5: Qua phép chiếu song song lên mặt phẳng (P), hai đường thẳng chéo nhau a và b có hình
chiếu là hai đường thẳng a’ và b’. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. a’ và b’ luôn luôn cắt nhau.
d
P
B'
A'
G'
E'
D'
C'
B
A
C
D
E
G
a'
b'
a
b
Q
R
P
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản
word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
134
GV: TR
N
ĐÌNH CƯ
0834
332133
B. a’ và b’ có thể trùng nhau.
C. a và b không thể song song.
D. a’ và b’ có thể cắt nhau hoặc song song với nhau.
Lời gii
Chọn D
Gọi l là phương chiếu,
là các mặt phẳng song song với l và lần lượt đi qua a
b. Khi đó nếu
cắt nhau thì a’ b’ cắt nhau, nếu
song song
thì a’ và b’ song song.
Câu 6: Qua phép chiếu song song lên mặt phẳng (P), hai đường thẳng a và b có hình chiếu là hai
đường thẳng song song a’ và b’. Khi đó:
A. a và b phải song song với nhau.
B. a và b phải cắt nhau.
C. a và b có thể chéo nhau hoặc song song với nhau.
D. a và b không thể song song.
Lời gii
Chọn C
Nếu
a
' b'
thì
m
p a,a' mp b,b'
. Bởi vậy a và b có thể song song hoặc chéo nhau.
Câu 7: Cho bốn điểm không đồng phẳng A, B, C, D hình chiếu song song trên mặt phẳng
(P) lần lượt bốn điểm A’, B’, C’, D’. Những trường hợp nào sau đây không thể xảy
ra?
A. A’B’C’D’ là bốn đỉnh của một hình bình hành.
B. D’ là trọng tâm tam giác A’B’C’.
C. D’ là trung điểm cạnh A’B’.
D. Hai điểm B’, C’ nằm giữa hai điểm A’ và D’.
Lời gii
Chọn D
Bốn điểm không đồng phẳng A’, B’, C’, D’ không thể thẳng hàng.
Câu 8: Hình chiếu song song của một hình thang ABCD không thể là hình nào dưới đây?
A. Hình bình hành. B. Hình tam giác cân.
C. Đoạn thẳng. D. Bốn điểm thẳng hàng.
Lời gii
Chọn B
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản
word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133
135
GV: TR
N
ĐÌNH CƯ
0834
332133
| 1/136

Preview text:

LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ
CS 1: Trung tâm MASTER EDUCATION- 25 THẠCH HÃN
CS 2: Trung Tâm 133 Xuân 68
CS 3: Trung tâm 168 Mai Thúc Loan
CS4: Trung Tâm THPT Nguyễn Trường Tộ
TÀI LIỆU DÀNH CHO HỌC SINH LỚP TOÁN THẦY CƯ-TP HUẾ
(Chiêu sinh thường xuyên, bổ trợ kiến thức kịp thời)
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com MỤC LỤC
CHƯƠNG IV. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ
SONG SONG .................................................................................................................. 4
BÀI 1: ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN ........................... 4
A. TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM ....................................................... 4
B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP................................................ 7
Dạng 1. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ................................................................. 7
1. Phương pháp ......................................................................................................................... 7
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng ................................................................................................ 7
3. Bài tập trắc nghiệm ........................................................................................................... 11
Dạng 2. Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng ............................................. 11
1. Phương pháp ....................................................................................................................... 11
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng .............................................................................................. 11
Dạng 3. Thiết diện..................................................................................................... 14 GV: TR
1. Phương pháp .................................................................................................................... 14
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng ........................................................................................... 15 N Đ ÌN
Dạng 4. Ba điểm thẳng hàng ba đường thẳng đồng quy ........................................... 16 H C Ư
1. Phương pháp .................................................................................................................... 16 – 0834
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng ........................................................................................... 17 3321
Dạng 5. Tìm tập hợp giao điểm của hai đường thẳng. ............................................... 20 33
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA .................................................................... 22
D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ................................................................................... 27
Bài 2: HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN ......................... 49
A. TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM ..................................................... 49
B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP.............................................. 50
Dạng 1. Chứng minh đường thẳng song song hoặc đồng quy ..................................... 50
1. Phương pháp ....................................................................................................................... 50
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng .............................................................................................. 50
Dạng 2. Tìm giao điểm và thiết diện của hình chóp .................................................. 53
1. Phương pháp ....................................................................................................................... 53
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 1
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng .............................................................................................. 53
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA .................................................................... 56
D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ................................................................................... 59
BÀI 3: ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẰNG SONG SONG .......................................... 75
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM ....................................................................... 75
B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP.............................................. 76
Dạng 1. Chứng minh đường thẳng song song hoặc đồng quy ..................................... 76
1. Phương pháp ....................................................................................................................... 76
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng .............................................................................................. 76
Dạng 2. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng. Thiết diện qua một điểm và song song với một
đường thẳng............................................................................................................... 79
1. Phương pháp ....................................................................................................................... 79
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng .............................................................................................. 80
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA .................................................................... 83
D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ................................................................................... 85 GV: TR
BÀI 4: HAI MẶT PHẲNG SONG SONG ..................................................................... 96 Ầ N
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM ....................................................................... 96 Đ ÌN H
B. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA .................................................................... 96 C Ư –
BÀI 5: HÌNH LĂNG TRỤ VÀ HÌNH HỘP ................................................................... 99 0834
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM ....................................................................... 99 3321
B. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA ................................................................... 100 33
C. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP ............................................ 103
Dạng 1. Chứng minh hai mặt phẳng song song ......................................................... 103
1. Phương pháp ................................................................................................................... 103
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng .......................................................................................... 103
Dạng 2. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng và tìm thiết diện qua một điểm và song song
với một mặt phẳng ................................................................................................... 106
1. Phương pháp ......................................................................................................................106
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng .............................................................................................106
D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM .................................................................................. 109
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 2
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
BÀI 6: PHÉP CHIẾU SONG SONG.HÌNH BIỂU DIỄN CỦA MỘT HÌNH KHÔNG GIAN
.................................................................................................................................... 125
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM ...................................................................... 125
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN ............................................................................. 127
Dạng 1. Vẽ hình biểu diễn của một hình trong không gian ....................................... 127 1.
Phương pháp ................................................................................................................127 2.
Các ví dụ ......................................................................................................................127
Dạng 2. Các bài toán liên quan đến phép chiếu song song ........................................ 129 1.
Phương pháp ................................................................................................................129 2.
Các ví dụ ......................................................................................................................129
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA ................................................................... 130
D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM .................................................................................. 132 GV: TR Ầ N Đ ÌN H C Ư – 0834 3321 33
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 3
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
CHƯƠNG IV. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ SONG SONG
BÀI 1: ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN
A. TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I. KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU 1. Mặt phẳng
Người ta thường biểu diễn một mặt phẳng bằng một hình bình hành
và dùng các chữ cái đặt trong dấu ngoặc đơn () để đặt tên cho mặt
phẳng ấy. Ví dụ: mặt phẳng P (Hình 3) mặt phẳng Q , mặt
phẳng   , mặt phẳng   ,…
Trong thực tiễn có nhiều ví dụ minh hoạ cho mặt phẳng. Chẳng hạn: tấm gương phẳng, mặt bàn,
bảng treo tường , ... Cho ta hình ảnh một phần mặt phẳng trong không gian.
2. Điểm thuộc mặt phẳng
Nhận xét: Với mỗi điểm A và mặt phẳng P , chỉ xảy ra một trong hai khả năng sau:
- Điểm A thuộc mặt phẳng  P , ta kí hiệu A  P (Hình 5a).
- Điểm A không thuộc mặt phẳng  P hay A nằm ngoài GV: TR
P , ta kí hiệu A P (Hình 5 ) b .
3. Hình biểu diễn của một hình trong không gian Ầ N a) Khái niệm Đ ÌN
Một cách tổng quát, ta quy ước: H C
Hình được vẽ trong mặt phẳng để giúp ta hình dung được về một hình trong không gian gọi là Ư –
hình biểu diễn của hình không gian đó. 0834
b) Quy tắc vẽ hình biểu diễn của một hình trong không gian 3321
Để việc vẽ hình biểu diễn của một hình trong không gian được thuận lợi và thống nhất, ta quy 33 ước như sau:
1) Đường thẳng được biểu diễn bởi đường thẳng. Đoạn thẳng được biểu diễn bởi đoạn thẳng;
2) Hai đường thẳng song song (hoặc cắt nhau) được biểu diễn bởi hai đường thẳng song song (hoặc cắt nhau);
3) Hình biểu diễn giữ nguyên tính liên thuộc giữa điểm với đường thẳng hoặc vởi đoạn thẳng;
4) Những đường nhìn thấy được vẽ bằng nét liền, những đường không nhìn thấy được vẽ bằng nét đứt.
Chú ý: Các quy tắc khác sẽ được đề cập sau.
II. CÁC TÍNH CHẤT THỪA NHẬN CỦA HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Tính chất 1
Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt cho trước.
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 4
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com Tính chất 2
Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng cho trước.
Như vậy, mặt phẳng hoàn toàn xác định khi biết ba điểm ,
A B,C không thẳng hàng. Mặt phẳng
đó được kí hiệu mp ABC  hay đơn giản là  ABC  (Hình 11). Tính chất 3
Nếu một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt của một mặt
phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều nằm trong mặt phẳng đó.
Như vậy, nếu một đường thẳng d đi qua hai điểm phân biệt ,
A B của mặt phẳng  P thì mọi điểm của đường thẳng d đều
nằm trong mặt phẳng P . Khi đó, ta nói d nằm trong P , hoặc P chứa d , hoặc P đi qua d , kí hiệu:
d   P hay  P  d (Hình 12 ) . Tính chất 4
Tồn tại bốn điểm không cùng nằm trên một mặt phẳng. Tính chất 5
Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường
thẳng chung duy nhất chứa tất cả các điểm chung của hai mặt phẳng đó.
Nếu hai mặt phẳng phân biệt P và Q có điểm chung thì chúng có một GV: TR
đường thẳng chung duy nhất d chứa tất cả các điểm chung của hai mặt
phẳng đó. Đường thẳng d đó gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng P và N Đ
Q , kí hiệu d P Q (Hình 16). ÌN       H C Nhận xét: Ư –
- Có thể xác định giao tuyến của hai mặt phẳng bằng cách đi tìm hai điểm chung của chúng. 0834
Đường thẳng đi qua hai điểm chung đó là giao tuyến cần tìm. 3321
- Để tìm giao điểm của đường thẳng a và mặt phẳng P (với giả thiết a cắt P ), ta có thể 33 làm như sau:
- Chọn một đường thẳng b thích hợp trong mặt phẳng P và tìm giao điểm M của hai đường
thẳng a b Khi đó, M là giao điểm cần tìm. Tính chất 6
Trên mỗi mặt phẳng của không gian, các kết quả đã biết của hình học phẳng đều đúng.
III. MỘT SỐ CÁCH XÁC ĐỊNH MẶT PHẲNG Định lí 1
Cho điểm A không thuộc đường thẳng d . Khi đó, qua điểm A và đường thẳng d có một và
chỉ một mặt phẳng, kí hiệu mp  , A d  .hoặc  , A d  . Định lí 2
Cho hai đường thẳng a b cắt nhau. Khi đó, qua a b có một và chỉ một mặt phẳng, kí
hiệu mp a,b .
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 5
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
Nhận xét: Từ Tính chất 2 và hai định lí trên, ta thấy mặt phẳng hoàn toàn được xác định theo một trong ba cách sau:
- Đi qua ba điểm không thẳng hàng.
- Đi qua một đường thẳng và một điểm nằm ngoài đường thẳng đó.
- Đi qua hai đường thẳng cắt nhau.
IV. HÌNH CHÓP VÀ HÌNH TỨ DIỆN 1. Hình chóp
Trong mặt phẳng P , cho đa giác A A A n  3 . Lấy điểm S nằm ngoài P . Nối S với các 1 2 n   đỉnh A , A , ,
A ta được n tam giác: SA A , SA A , ,
SA A . Hình gồm đa giác A A A n 1 2 n 1 2 2 3 n 1 1 2 n
tam giác SA A , SA A , ,
SA A gọi là hình chóp, kí hiệu S.A A A . 1 2 2 3 n 1 1 2 n Chú ý  Trong hình chóp S.A A …A 1 2 n -
Điểm S gọi là đỉnh; -
Đa giác A A A gọi là mặt đáy; 1 2 n -
Các cạnh của mặt đáy gọi là cạnh đáy, các đoạn thẳng SA , SA , ,
SA gọi là các cạnh 1 2 n bên; -
Các tam giác SA A , SA A , ,
SA A gọi là các mặt bên. 1 2 2 3 n 1 GV: TR
Nếu đáy của hình chóp là một tam giác, tứ giác, ngũ giác, ... thì
hình chóp tương ứng gọi là hình chóp tam giác, hình chóp tứ giác, hình
chóp ngũ giác, ... Hình 23 minh hoạ cho hình chóp ngũ giác N Đ S.A A A A A . ÌN 1 2 3 4 5 H C Ư – 0834 2. Hình tứ diện 3321 Cho bốn điểm ,
A B,C, D không cùng nằm trong một mặt phẳng. 33
Hình gồm bốn tam giác ABC, ACD, ABD BCD gọi là hình tứ
diện (hay ngắn gọn là tứ diện), kí hiệu là ABCD . Chú ý 
Trong hình tứ diện ABCD (Hình 26) - Các điểm ,
A B,C, D gọi là các đỉnh.
- Các đoạn thẳng AB, BC,CD, D , A C ,
A BD gọi là các cạnh. Hai cạnh không có điểm chung gọi là hai cạnh đối diện.
- Các tam giác ABC, ACD, ABD, BCD gọi là các mặt.
- Đỉnh không nằm trên một mặt gọi là đỉnh đối diện với mặt đó.
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 6
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
Hình tứ diện có các mặt là tam giác đều là hình tứ diện đều. 
Mỗi hình chóp tam giác là một hình tứ diện. Ngược lại, nếu ta quy định rõ đỉnh và mặt
đáy trong một hình tứ diện thì hình tứ diện đó trở thành hình chóp tam giác.
Nhận xét: Để chứng minh ba điểm thẳng hàng, ta có thể chỉ ra ba điểm đó cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt.
B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng 1. Phương pháp
Để xác định giao tuyến của hai mặt phẳng, ta đi tìm hai điểm chung của chúng.
Đường thẳng đi qua hai điểm chung đó chính là giao tuyến GV: TR
Chú ý: Điểm chung của hai mặt phẳng  P và Q thường được tìm như sau: N Đ ÌN
- Tìm hai đường thẳng a và b lần lượt thuộc mặt phẳng P Q cùng nằm trong một mặt H     C Ư phẳng  R . – 0834
- Giao điểm M a b chính là điểm chung của mặt phẳng  P và Q . 3321 33
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD, đáy là tứ giác lồi ABCD có các cạnh đối không song song với
nhau. Gọi M là điểm trên cạnh SA. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng: a. (SAC) và (SBD) b. (SAB) và (SCD) c. (SBC) và (SAD) d. (BCM) và (SAD) e. (CDM) và (SAB) f. (BDM) và (SAC) Giải
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 7
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com a. Trong mp (ABCD): S AC  BD    O  M   AC  SAC
  O  SAC  SBD  BD  SBD   D A E
Mà SSAC SBD nên SO  SAC SBD . O C b. Trong (ABCD) ta có: B AB  CD    F 
AB  SAB   F SAB  SCD F  CD  SCD 
Mà SSAB SCD nên SF  SAB SCD . c. Trong (ABCD) ta có: BC  AD    E  BC  SBC
  E  SAD  SBC  AD  SAD  GV: TR
Mà SSAD SBC nên SE  SAD SBC . Ầ N
d. Ta có: MMBC SAD Đ ÌN H C
EBC  AD  EMBC SAD Ư – 0834
Nên ME  MBC SAD . 3321
e. Ta có: MMCD SAB 33
F  AB  CD  FMCD SAB
Vậy MF  MCD SAB .
f. Ta có: MBDM SAC OBDM SAC
Do đó MO  BDM SAC .
Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P là ba điểm lần lượt nằm trên ba cạnh AB, CD, AD. Tìm
giao tuyến của các cặp mặt phẳng: a. (ABN) và (CDM); b. (ABN) và (BCP).
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 8
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com Giải
a. Ta có M và N là hai điểm chung của hai mặt phẳng A
(ABN) và (CDM), nên giao tuyến của hai mặt phẳng
này chính là đường thẳng MN. M P
b. Trong mặt phẳng (ACD): AN cắt CP tại K. Do đó
K là điểm chung của hai mặt phẳng (BCP) và (ABN). K B D
Mà B cũng là điểm chung của hai mặt phẳng này nên N
giao tuyến của chúng là đường thẳng BK. C
Ví dụ 3. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD và BC.
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng  IBC  và  JAD.
b) Điểm M nằm trên cạnh AB, điểm N nằm trên cạnh AC. Tìm giao tuyến của hai mặt
phẳng  IBC  và  DMN . Lời giải GV: TR Ầ N Đ ÌN H C Ư – 0834 3321
a) Ta có: I AD I   JAD  IBC . 33
J BC J   JAD   IBC .
Do đó IJ   IBC    JAD.
b) Trong mặt phẳng  ABC  gọi E DM IB suy ra E  DMN    IBC .
Trong mặt phẳng  ACD gọi F DN IC suy ra F DMN   IBC .
Do đó EF   DMN   IBC .
Ví dụ 4. Cho tứ diện ABCD. Điểm M nằm bên trong tam giác ABD, điểm N nằm bên trong
tam giác ACD. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau:
a)  AMN  và BCD.
b) DMN  và  ABC .
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 9
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com Lời giải
a) Trong mặt phẳng  ABD gọi Q AM B . D
Khi đó Q   AMN   BCD.
Tương tự gọi P AN CD P   AMN    BCD.
Do vậy PQ   AMN    BCD.
b) Trong mặt phẳng  ABD gọi E DM AB suy ra
E   DMN    ABC .
trong mặt phẳng  ACD gọi F DN AC suy ra
F   DMN    ABC .
Do đó EF  DMN    ABC .
Ví dụ 5. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình bình hành tâm O, gọi M, N, P lần lượt
là trung điểm của BC, CD và SO. Tìm giao tuyến của
a) Mặt phẳng MNP và SAB.
b) Mặt phẳng MNP và SBC . GV: TR Lời giải Ầ N Đ ÌN H C Ư – 0834 3321 33
a) Gọi H NO AB , trong mặt phẳng SHN  dựng NP cắt SH tại Q Q  MNP  SAB.
Gọi F NM AB F  MNP  SAB.
Do đó QF  SAB  MNP.
b) Trong mặt phẳng SAB , gọi E QF SB E  SBC   MNP
Do đó ME  MNP  SBC.
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 10
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com 3. Bài tập trắc nghiệm
Dạng 2. Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng 1. Phương pháp
Muốn tìm giao điểm của một đường thẳng a và mặt β
phẳng  , ta tìm giao điểm của a và một đường thẳng a b nằm trong  . b a  b  M M    M  a   b   α   Phương pháp:
- Bước 1: Xác định mp  chứa a.
- Bước 2: Tìm giao tuyến b    .
- Bước 3: Trong  : a  b  M , mà b   , suy ra M  a  .
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng GV: TR
Ví dụ 1. Cho tứ giác ABCD (không có cặp cạnh đối nào song song) nằm trong mặt phẳng  . Ầ N
S là điểm không nằm trên  . Đ ÌN H C
a. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng: (SAC) và (SBD), (SAB) và (SCD). Ư –
b. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh SC và SD. Tìm giao điểm P của đường thẳng 0834 BN với mặt phẳng (SAC). 3321
c. Gọi Q và R lần lượt là trung điểm của SA và SB. Chứng minh rằng bốn điểm M, N, Q, R 33 đồng phẳng. Giải
a. * Giao tuyến của mặt mp(SAC) và mp(SBD): Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Ta có:
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 11
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com S SAC S
  S SAC  SBD S SBD  (1) Q N
Từ (1) suy ra S là điểm chung thứ nhất của mp(SAC) R M và mp(SBD). P T O  AC    A D   O SAC O AC  SAC  
  O SAC  SBD (2) B O  BD    C   O  SBD BD SBD      J
Từ (2) suy ra O là điểm chung thứ hai của mp(SAC) và mp(SBD).
Vậy SO  SAC SBD .
* Giao tuyến của mp(SAB) và mp(SCD): Gọi E là giao điểm của AB và CD. Ta có:
S SAB SSABSCD (3) S SCD GV: TR
Từ (3) suy ra S là điểm chung thứ nhất của mp(SAB) và mp(SCD). Ầ N Đ E  AB   ÌN    E  SAB  H AB  SAB C     Ư
  E  SAB  SCD (4) E  CD    0834   E SCD CD SCD      3321
Từ (4) suy ra E là điểm chung thứ hai của mp(SAB) và mp(SCD). 33
Vậy: SE  SAB SCD .
b. Trong mp(SBD), hai đường thẳng SO, BN cắt nhau tại P, ta có: P   BN 
 P là giao điểm của BN và (SAC).
P  SO  SAC  P   SAC 
Vậy P là giao điểm cần tìm.
c. Chứng minh bốn điểm M, N, Q, R đồng phẳng:
 Trong mp(SCD), gọi T là giao điểm của MN và SE. Ta có MN là đường trung bình của tam
giác SCD nên MN∥ CD . Xét tam giác SDE, ta có: M ∥ N CD 
  T là trung điểm của SE.
N laø trung ñieåm cuûa SD
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 12
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
 Tương tự, QR là đường trung bình của tam giác SAB nên QR∥ AB . Xét tam giác SAE, ta có: QR∥ A B 
  QR đi qua trung điểm T của SE.
Q laø trung ñieåm cuûa SA
Như vậy, bốn điểm M, N, Q, R nằm trong mặt phẳng tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau TN và TQ nên chúng đồng phẳng.
Ví dụ 2. Trong mặt phẳng  , cho tứ giác ABCD. Gọi S là điểm không thuộc  , M là điểm nằm trong tam giác SCD.
a. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAM) và (SBD).
b. Xác định giao điểm của AM và mặt phẳng (SBD). Giải
a. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAM) và S
(SBD): Gọi N là giao điểm của SM và CD, gọi E là giao
điểm của aN và BD. Rõ ràng mpSAM  mpSAN . Ta có: E F  AN  ESAM MGV: TR
  E SAM  SBD 1 A D
E  BD  E SBD  Ầ N Đ
Mặt khác: SSAM SBD 2 E ÌN N H B C
Từ (1) và (2) suy ra: SE  SAM SBD . Ư C 0834
b. Xác định giao điểm của AM và mặt phẳng (SBD). Ta 3321 có: 33 SAM  AM    
SAM  SBD  SE   F  AM SBD 
F AM  SE  SAM
Ví dụ 3. Cho tứ diện SABC. Trên cạnh SA lấy điểm M, trên cạnh SC lấy điểm N, sao cho MN
không song song vói AC. Cho điểm O nằm trong tam giác ABC. Tìm giao điểm của mặt phẳng
(OMN) với các đường thẳng AC, BC và AB. Giải
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 13
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
Trong mp(SAC): MN  AC    K , mà MN  OMN nên S   K  AC OMN . M N
Trong mp(ABC): OK  BC    H , mà OK  OMN nên C A K   H  BC OMN . H G O Ta có: OK  AB    G , mà OK  OMN nên B   G  AB OMN .
Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD. Gọi E và F là hai điểm lần lượt nằm trên hai cạnh SB và CD.
a. Tìm giao điểm của EF với mặt phẳng (SAC).
b. Tìm giao điểm của mặt phẳng (AEF) với các đường thẳng BC và SC. Giải a. Ta có EF  SBF . S
Trong mp(ABCD): BF  AC   O , suy ra GV: TR
SAC SBF  SO. E H N
Trong mp(SBF): EF SO  K , mà SO  SAC K Đ     ÌN A D H , suy ra   K  EF SAC . C Ư – O F 0834
b. Trong mp(ABCD): AF  BC   G , mà G B C 3321
AF  AEF , suy ra   G  BC AEF . 33 Khi đó: AEF  AEG .    
Trong mp(SBC): EG SC   
H , mà EG  AEF , suy ra   H  SC AEF . Dạng 3. Thiết diện 1. Phương pháp
Tìm các đoạn giao tuyến nối tiếp nhau của mặt cắt với hình chóp cho đến khi khép kín thành
một đa giác phẳng. Đa giác đó chính là thiết diện cần tìm. Mỗi đoạn giao tuyến là cạnh của thiết diện.
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 14
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD, M là một điểm trên cạnh SC, N và P lần lượt là trung điểm
của AB và AD. Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng MNP . Lời giải
Trong mặt phẳng  ABCD gọi Q NP CD K NP BC
Trong mp SBC  gọi E SB KM , trong mp SAD gọi F SD QM.
Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng MNP là ngũ giác NEMFP.
Ví dụ 2. Cho tứ diện đều ABCD, cạnh bằng a. Kéo dài BC một đoạn CE a . Kéo dài BD một GV: TR đoạn DF  .
a Gọi M là trung điểm của AB. Ầ N
a) Tìm thiết diện của tứ diện với mặt phẳng MEF  . Đ ÌN H
b) Tính diện tích của thiết diện. C Ư Lời giải – 0834 3321 33
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 15
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
a) Trong mp ABC  : Dựng ME cắt AC tại I.
Trong mp ABD : Dựng MF cắt AD tại J.
Từ đó thiết diện của tứ diện với mp MEF  là MIJ .
b) Theo cách dựng thì I và J lần lượt là trọng tâm tam giác ABE và ABF  2 2a AI AC    3 3 2a  
 tam giác AIJ đều  IJ  . 2 2a  3 AJ AD    3 3
Mặt khác AI AJ nên AMI  AMJ MI MJ. a 13 Trong 2 2 AMI , MI
MA IA  2M . A . IA cos A  . 6 2 2 2 1 1 2aa 13   a a SIJ .MK  . .2     . MJI   2 2 3  6   3  6  
Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang với đáy lớn AD. Gọi M là một điểm trên
cạnh SB. Tìm thiết diện của hình chóp được cắt bởi mặt phẳng (AMD). GV: TR Giải Ầ N Đ
Trong mp(ABCD): ABCD   E . S ÌN H C Ư
Trong mp(SAB): AM  SE    K . K 0834 M N
Do đó mpAMD  mpAKD . 3321 A D 33
Trong mp(SCD): KDSC   N B C
Do đó MN  AMD SBC , ND  AMD SCD . E
Vậy thiết diện cần tìm là tứ giác AMND.
Dạng 4. Ba điểm thẳng hàng ba đường thẳng đồng quy 1. Phương pháp
- Muốn chứng minh ba đường thẳng đồng quy ta chứng minh có hai đường thẳng cắt nhau và giao
điểm đó nằm trên đường thẳng thứ 3 (Hình a).
- Muốn chứng minh ba điểm thẳng hàng ta chứng minh chúng cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt (Hình b).
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 16
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com a A B b K C c β α Hình a. Hình b.
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
Ví dụ 1. Cho tứ diện S.ABC. Trên các cạnh SA, SB, SC lần lượt lấy các điểm D, E và F sao
cho DE cắt AB tại I, EF cắt BC tại J, FD cắt CA tại K. Chứng minh I, J, K thẳng hàng. Lời giải GV: TR Ầ N Đ ÌN H C Ư – 0834 3321I    DEF 33
Ta có: I DE AB  
I  giao tuyến của hai mặt phẳng  DEF  và  ABC  . I    ABC 
Tương tự J EF BC J thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng DEF  và  ABC .
K FD AC K thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng  DEF  và  ABC  .
Do đó I, J, K thẳng hàng do cùng thuộc đường thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng DEF  và  ABC .
Ví dụ 2. Cho hình bình hành ABCD, S là điểm không thuộc (ABCD), M và N lần lượt là
trung điểm của đoạn AB và SC.
a) Xác định giao điểm I AN  SBD.
b) Xác định giao điểm J MN  SBD.
c) Chứng minh I, J, B thẳng hàng.
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 17
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com Lời giải
a) Gọi O AC BD I AN SO
Khi đó I SO I  SBD  I AN  SBD
b) Gọi E CM BD
Trong mặt phẳng SCM  gọi J MN SE
Khi đó J MN  SBD .
c) Các điểm I, J, B lần lượt thuộc các đường thẳng AI,
MN, AM nên I , J , B mp AMN
Mặt khác các điểm I , J , B mp SBD
Do đó I, J, B thuộc giao tuyến của 2 mặt phẳng  AMN
và SBD  I, J , B thẳng hàng.
Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có AB CD E, AD BC F. Gọi M, N, P theo thứ tự là
trung điểm của SA, SB, SC.
a) Tìm giao điểm Q SD MNP . GV: TR  
b) Giả sử MN PQ H. Chứng minh S, H, E thẳng hàng. Ầ N Đ
c) Chứng minh SF, MQ, NP đồng qui. ÌN H C Lời giải Ư – 0834 3321 33
a) Qua P kẻ đường thẳng d // CD , cắt SD tại Q Q SD  MNP
b) Ta có SAB  SCD  AMN   SAB
Lại có MN PQ H mà  
 SAB  SCD  H PQ   SCD 
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 18
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com AB   SAD
Mặt khác AB CD E mà  
 SAB  SCD  E PQ   SBC 
S, H , E thẳng hàng
c) Ta có SAD  SBC   SF
Lại có SBC   MNPQ  NP,SAD  MNPQ  MQ
Suy ra ba đường thẳng SF, NP, MQ đồng quy.
Ví dụ 4. Cho tứ diện SABC. Gọi I, J và K lần lượt là các điểm nằm trên các cạnh SB, SC và AB,
sao cho IJ không song song với BC, IK không song song với SA.
a. Tìm giao điểm D của (IJK) và BC.
b. Gọi E là giao điểm của DK và AC. Chứng minh ba đường thẳng SA, KI, EJ đồng quy. Lời giải
a. Trong mp(SBC): IJ  BC   D (do IJ không S song song với BC).
Mà IJ  IJK nên D  IJK  BC . GV: TR I J
b. Ta có IK không song song với SA nên trong D A mp(ABC): IK  SA    F . N E C Đ K ÌN H Ta có: C Ư B    IK SA   F F 0834  
IK  IJK ,SA  SAC  F  EJ . 3321  EJ  IJK  SAC   33
Vậy ba đường thẳng SA, IK, EJ đồng quy.
Ví dụ 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD không là hình thang. Gọi O là giao điểm của AC
và BD, K là một điểm trên cạnh SD.
a. Tìm giao điểm E của mặt phẳng (ABK) với CD.
b. Tìm giao điểm F của mặt phẳng (ABK) với SC.
c. Chứng minh các đường thẳng AF, BK và SO đồng quy. Lời giải
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 19
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
a. Trong mp(ABCD): ABCD   E . S
Mà AB  ABK nên EABK CD . K
b. Ta có: ABK  AEK G F
Trong mp(SCD): EK SC    F . D A
Mà EK  ABK nên FABK SC. O C B
c. Trong mp(ABK): AF  BK   G . Mà E
AF  SAC , BK  SBD
nên GSAC SBD  SO .
Vậy ba đường thẳng AF, BK và SO đồng quy.
Dạng 5. Tìm tập hợp giao điểm của hai đường thẳng. 1. Phương pháp I a b    GV: TR  Áp dụng kết quả: 
a  P ,b Q  Ic 
P Q  c  N Đ ÌN 2. Các ví dụ H C Ư
Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD. Gọi K là trung điểm của cạnh BC, H là một điểm cố định trên cạnh – 0834
AC. Mặt phẳng (P) di động chứa HK, cắt các cạnh BD và AD lần lượt tại M và N. 3321
a. Giả sử cho trước điểm M không là trung điểm của BD, hãy xác định điểm N. 33
b. Tìm tập hợp giao điểm I của hai đường HM và KN khi M di động trên canh BD. Giải
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 20
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com A E N H F I B M D K C
a. Trong mp(BCD): KM  CD    E .
Trong mp(ACD): HE  AD    N .
Mà HE  P nên N  ADP là điểm cần tìm. b. Ta có: I HM KN     
HM  HBD  I HBD AKD   1 GV: TR  KN  AKD  Ầ N Đ
Trong mp(ABC): BH AK  
F  FHBD AKD ÌN H C
Mà D HBD  AKD , nên DF  HBD  AKD (2) Ư         – 0834
Từ (1) và (2) suy ra I chạy trên đường thẳng cố định DF. 3321 Giới hạn: 33
Cho M  D thì N  D . Khi đó I  D .
Cho M  B thì N  A . Khi đó I  F .
Vậy tập hợp điểm I là đoạn DF.
Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là hai điểm trên hai cạnh AB và AC, sao cho
MN không song song với BC. Mặt phẳng (P) thay đổi luôn chứa MN, cắt các cạnh CD và BD lần lượt tại E và F.
a. Chứng minh EF luôn đi qua điểm cố định.
b. Tìm tập hợp giao điểm của ME và NF.
c. Tìm tập hợp giao điểm của MF và NE. Giải
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 21
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
a. Trong mp(ABC): MN  BC  K . A
Khi đó K là điểm chung của (BCD) và (P), mà EF là M
giao tuyến của (BCD) và (P) nên EF đi qua điểm K cố định. N J
b. Gọi I là giao điểm của ME và NF thì I là điểm D B F
chung của (NBD) và (MCD), suy ra I thuộc giao E
tuyến DJ của mp(MCD) và (NBD). C
Giới hạn: Tậm hợp cần tìm là đoạn DJ.
c. Gọi H là giao điểm của MF và NE thì H là điểm H
chung của (ABD) và (ACD), suy ra H thuộc giao K
tuyến AD của mp(ABD) và mp(ACD).
Giới hạn: Tập hợp điểm cần tìm là đường thẳng AD trừ đi đoạn AD.
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 1. Khi trát tường, dụng cụ không thể thiếu của người thợ là thước dẹt dài (Hình 28). Công GV: TR
dụng của thước dẹt này là gì? Giải thích. Ầ N Đ ÌN H C Ư – 0834 Lời giải 3321
Thước dẹt làm cho mặt lớp vữa phẳng và dải mốc cùng nằm trên mặt phẳng. 33
Bài 2. Hình 29 là hình ảnh của chặn giấy bằng gỗ có bốn mặt phân biệt là các tam giác. Vẽ
hình biểu diễn của chặn giấy bằng gỗ đó. Lời giải
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 22
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
Bài 3. Cho ba đường thẳng a, ,
b c không cùng nằm trong một mặt phẳng và đôi một cắt nhau.
Chứng minh rằng ba đường thẳng a, ,
b c cùng đi qua một điểm, hay còn gọi là ba đường thẳng đồng quy. Lời giải
Giả sử: Đường thẳng a và b cắt nhau tại C .
Đường thẳng a và c cắt nhau tại B . GV: TR
Đường thẳng b và c cắt nhau tại A .
trong đó, A, B, C không đồng quy (1)
Khi đó: B và C thuộc đường thẳng A N Đ
Mặt khác: B thuộc đường thẳng c, C thuộc đường thẳng b ÌN H Suy ra: BC thuộc C
mp chứa đường thẳng b và c . Ư
Do đó: Đường thẳng a thuộc mp b, c nên ba đường thẳng này đồng quy (trái với (1)).   0834
Kết luận: Ba đường thẳng a, b,c cùng đi qua một điểm. 3321
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD AC cắt BD tại O AB cắt CD tại P . Điểm M thuộc 33 cạnh S (
A M khác S, M khác A ). Gọi N là giao điểm của MP S ,
B I là giao điểm của MC
DN . Chứng minh rằng S, , O I thẳng hàng. Lời giải
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 23
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
Ta có: DN thuộc SBD và MC thuộc SAC
Mà MC cắt DN tại I nên I là giao điểm của SBDSAC .
Ta có: S và O cùng thuộc hai mặt phẳng SBDSAC .
Theo tính chất 4: Các điểm S, O, I đều thuộc giao điểm của hai mặt phẳng SBDSAC .
Vậy ba điểm S, O,I thẳng hàng.
Bài 5. Cho hình chóp S.ABC . Các điểm M , N lần lượt thuộc các cạnh S , A SC sao cho
MA  2MS, NS  2NC .
a) Xác định giao điểm của MN với mặt phẳng  ABC .
b) Xác định giao tuyến của mặt phẳng  BMN  với mặt phẳng  ABC . Lời giải GV: TR a) SA
C có: MN cắt AC tại E AC thuộc (ABC)
Do đó: E là giao điểm của MN và ( ABC) . N Đ ÌN
b) Ta có: B thuộc hai mặt phẳng  BMN  và  ABCH C
E thuộc hai mặt phẳng BMN và ABC Ư –
Suy ra: BE là giao tuyến của hai mặt phẳng trên. 0834
Bài 6. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy không là hình thang. Gọi M là trung điểm của 3321 SA . 33
a) Xác định giao điểm của CD với mặt phẳng SAB .
b) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng SAB và SCD .
c) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng MCD và SBC  . Lời giải
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 24
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
a) Gọi E là giao điểm của AB CD
AB thuộc mặt phẳng (SAB) nên E là giao điểm của CD và SAB.
b) Ta có: S thuộc hai mặt phẳng SABSCD.
E thuộc hai mặt phẳng SAB và SCD .
Suy ra: SE là giao tuyến của hai mặt phẳng trên.
c) Trong SAB, gọi G là giao điểm của ME SB .
Mà SB thuộc (SBC), ME thuộc (MCD). GV: TR
Do đó, G thuộc hai mặt phẳng MCD và SBC .
Ta có: C thuộc hai mặt phẳng MCD và SBC . N Đ
Vậy CG là giao tuyến của hai mặt phẳng trên. ÌN H
Bài 7. Cho hình tứ diện ABCD . Gọi C
I là trung điểm cạnh CD . Gọi M , N lần lượt là trọng Ư
tâm các tam giác BCD,CDA . – 0834
a) Chứng minh rằng các điểm M , N thuộc mặt phẳng  ABI  . 3321 GM GN 1
b) Gọi G là giao điểm của AM BN . Chứng minh rằng:   . 33 GA GB 3
c) Gọi P,Q lần lượt là trọng tâm các tam giác DAB, ABC . Chứng minh rằng các đường thẳng GP GQ 1
CP, DQ cùng đi qua điểm G và   . GC GD 3 Lời giải
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 25
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
a) Ta có: M là trọng tâm của BCD , mà I là trung điểm của CD
Nên: M nằm trên trung tuyến BI (1)
Ta có: N là trọng tâm của A
 CD , mà I là trung điểm của CD
Nên: N nằm trên trung tuyến AI (2)
Từ (1)(2) suy ra: M và N thuộc (ABI) .
b) Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AG, BG.
Ta có: HK / / AB GV: TRAB / /MN
Suy ra: MN / / HK. Ầ N GM GN MN Đ
Theo định lý Ta-lét, ta có:   (1) ÌN GH GK HK H C HK 1 MN 1 Ta có:  ,  Ư AB 2 AB 3 – 0834 MN HK 2 MN 2 Do đó: :    (2) 3321 AB AB 3 HK 3 GM 2 1 GM 2 GM 1 33 (1)(2) suy ra:  GH GA     GH 3 2 1 3 GA 3 GA 2 GN 1
Chứng minh tương tự ta được:  . GB 3
c) Gọi H, K lần lượt là trung điểm của BC, BD HM HQ 1 AHD có:   HD HA 3 Suy ra: QM // AD Do đó: QG
M đồng dạng với D  GA Nên ,
D G,Q thẳng hàng QM HM HQ 1 Ta có: QM / /AD nên    AD HD HA 3 QM QG Mà  AD GD
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 26
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com QG 1 Do đó:  GD 3 GP 1
Chứng minh tương tự ta được:  GC 3
Suy ra điều cần chứng minh. D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. Qua 2 điểm phân biệt có duy nhất một mặt phẳng.
B. Qua 3 điểm phân biệt bất kì có duy nhất một mặt phẳng.
C. Qua 3 điểm không thẳng hàng có duy nhất một mặt phẳng.
D. Qua 4 điểm phân biệt bất kì có duy nhất một mặt phẳng. Lời giải Chọn C
 A sai. Qua 2 điểm phân biệt, tạo được 1 đường thẳng, khi đó chưa đủ điều kiện để lập
một mặt phẳng xác định. Có vô số mặt phẳng đi qua 2 điểm đã cho.
 B sai. Trong trường hợp 3 điểm phân biệt thẳng hàng thì chỉ tạo được đường thẳng, khi
đó có vô số mặt phẳng đi qua 3 điểm phân biệt thẳng hàng. GV: TR
 D sai. Trong trường hợp 4 điểm phân biệt thẳng hàng thì có vô số mặt phẳng đi qua
4 điểm đó hoặc trong trường hợp 4 điểm mặt phẳng không đồng phẳng thì sẽ tạo không Ầ N Đ
tạo được mặt phẳng nào đi qua cả 4 điểm. ÌN H C
Câu 2: Trong không gian, cho 4 điểm không đồng phẳng. Có thể xác định được bao nhiêu mặt Ư –
phẳng phân biệt từ các điểm đã cho? 0834 A. 6. B. 4. C. 3. D. 2. 3321 Lời giải 33 Chọn B
Với 3 điểm phân biệt không thẳng hàng, ta luôn tạo được 1 mặt phẳng xác định.
Khi đó, với 4 điểm không đồng phẳng ta tạo được tối đa 3 C  4 mặt phẳng. 4
Câu 3: Các yếu tố nào sau đây xác định một mặt phẳng duy nhất? A. Ba điểm phân biệt.
B. Một điểm và một đường thẳng.
C. Hai đường thẳng cắt nhau.
D. Bốn điểm phân biệt. Lời giải Chọn C
 A sai. Trong trường hợp 3 điểm phân biệt thẳng hàng thì sẽ có vô số mặt phẳng chứa 3
điểm thẳng hàng đã cho.
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 27
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
 B sai. Trong trường hợp điểm thuộc đường thẳng đã cho, khi đó ta chỉ có 1 đường thẳng,
có vô số mặt phẳng đi qua đường thẳng đó.
 D sai. Trong trường hợp 4 điểm phân biệt thẳng hàng thì có vô số mặt phẳng đi qua 4
điểm đó hoặc trong trường hợp 4 điểm mặt phẳng không đồng phẳng thì sẽ tạo không tạo
được mặt phẳng nào đi qua cả 4 điểm.
Câu 4: Cho tứ giác ABCD . Có thể xác định được bao nhiêu mặt phẳng chứa tất cả các định của tứ giác ABCD? A. 1. B. 2. C. 3. D. 0. Lời giải Chọn A 4 điểm ,
A B, C, D tạo thành 1 tứ giác, khi đó 4 điểm ,
A B, C, D đã đồng phẳng và tạo
thành 1 mặt phẳng duy nhất là mặt phẳng  ABCD .
Câu 5: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? A. Nếu 3 điểm , A ,
B C là 3 điểm chung của 2 mặt phẳng  P và Q thì , A , B C thẳng hàng . B. Nếu , A ,
B C thẳng hàng và  P , Q có điểm chung là A thì B, C cũng là 2 điểm GV: TR
chung của P và Q . Ầ N C. Nếu 3 điểm , A ,
B C là 3 điểm chung của 2 mặt phẳng  P và Q phân biệt thì Đ ÌN , A ,
B C không thẳng hàng . H C Ư D. Nếu , A ,
B C thẳng hàng và ,
A B là 2 điểm chung của  P và Q thì C cũng là điểm – 0834
chung của P và Q . 3321 Lời giải 33 Chọn D
Hai mặt phẳng phân biệt không song song với nhau thì chúng có duy nhất một giao tuyến.
 A sai. Nếu P và Q trùng nhau thì 2 mặt phẳng có vô số điểm chung. Khi đó,
chưa đủ điều kiện để kết luận , A , B C thẳng hàng .
 B sai. Có vô số đường thẳng đi qua A , khi đó B, C chưa chắc đã thuộc giao tuyến
của P và Q .
 C sai. Hai mặt phẳng P và Q phân biệt giao nhau tại 1 giao tuyến duy nhất, nếu 3 điểm , A ,
B C là 3 điểm chung của 2 mặt phẳng thì , A ,
B C cùng thuộc giao tuyến.
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 28
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
Câu 6: Trong mặt phẳng   , cho 4 điểm ,
A B, C, D trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng.
Điểm S không thuộc mặt phẳng   . Có mấy mặt phẳng tạo bởi S và 2 trong 4 điểm nói trên? A. 4. B. 5. C. 6. D. 8. Lời giải Chọn C
Với điểm S không thuộc mặt phẳng   và 4 điểm ,
A B, C, D thuộc mặt phẳng   , ta có 2
C cách chọn 2 trong 4 điểm ,
A B, C, D cùng với điểm S lập thành 1 mặt phẳng xác 4
định. Vậy số mặt phẳng tạo được là 6. Câu 7: Cho 5 điểm ,
A B, C , D, E trong đó không có 4 điểm nào đồng phẳng. Hỏi có bao nhiêu mặt
phẳng tạo bởi 3 trong 5 điểm đã cho? A. 10. B. 12. C. 8. D. 14. Lời giải Chọn A
Với 3 điểm phân biệt không thẳng hàng, ta luôn tạo được 1 mặt phẳng xác định. GV: TR Ta có 3
C cách chọn 3 điểm trong 5 điểm đã cho để tạo được 1 mặt phẳng xác định. Số 5
mặt phẳng tạo được là 10. N Đ ÌN
Câu 8: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai? H C
A. Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có vô số điểm chung khác nữa. Ư –
B. Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất. 0834
C. Hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung 3321 duy nhất. 33
D. Hai mặt phẳng cùng đi qua 3 điểm ,
A B, C không thẳng hàng thì hai mặt phẳng đó trùng nhau. Lời giải Chọn B
Nếu 2 mặt phẳng trùng nhau, khi đó 2 mặt phẳng có vô số điểm chung và chung nhau vô số đường thẳng.
Câu 9: Cho 3 đường thẳng d , d , d không cùng thuộc một mặt phẳng và cắt nhau từng đôi. 1 2 3
Khẳng định nào sau đây đúng?
A. 3 đường thẳng trên đồng quy.
B. 3 đường thẳng trên trùng nhau.
C. 3 đường thẳng trên chứa 3 cạnh của một tam giác.
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 29
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
D. Các khẳng định ở A, B, C đều sai. Lời giải Chọn A
 B sai. Nếu 3 đường thẳng trùng nhau thì chúng sẽ cùng thuộc 1 mặt phẳng.
 C sai. Nếu 3 đường thẳng trên chứa 3 cạnh của một tam giác khi đó sẽ tạo được 3 điểm
phân biệt không thẳng hàng (là 3 đỉnh của tam giác), chúng lập thành 1 mặt phẳng xác
định, 3 đường thẳng sẽ cùng thuộc 1 mặt phẳng.
Câu 10: Thiết diện của 1 tứ diện có thể là: A. Tam giác. B. Tứ giác. C. Ngũ giác.
D. Tam giác hoặc tứ giác. Lời giải Chọn D GV: TR Ầ N Đ
Khi thiết diện cắt 3 mặt của tứ diện thì sẽ tạo thành 3 giao tuyến. Ba giao tuyến lập ÌN H thành 1 hình tam giác. C Ư
Khi thiết diện cắt cả 4 mặt của tứ diện thì sẽ tạo thành 4 giao tuyến. Bốn giao tuyến – 0834
lập thành 1 hình tứ giác. 3321
Thiết diện không thể là ngũ giác vì thiết diện có 4 mặt, số giao tuyến tối đa là 4. 33
Câu 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCDAB CD. Khẳng định nào sau đây sai?
A. Hình chóp S.ABCD có 4 mặt bên.
B. Giao tuyến của hai mặt phẳng SAC  và SBD là SO (O là giao điểm của AC và BD).
C. Giao tuyến của hai mặt phẳng SAD và SBC  là SI (I là giao điểm của AD và BC).
D. Giao tuyến của hai mặt phẳng SAB và SAD là đường trung bình của ABCD Lời giải Chọn D
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 30
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com S A B O D C I
• Hình chóp S.ABCD có 4 mặt bên: SAB, SBC , SCD, SAD. Do đó A đúng.
S là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng SAC  và SBD. O
  AC  SAC   O   SAC 
O là điểm chung thứ hai của hai mặt phẳng SAC  và
O BD  SBD  O   SBD  SBD. 
 SAC   SBD  S . O Do đó B đúng.
• Tương tự, ta có SAD  SBC   SI. Do đó C đúng. GV: TR
• SAB  SAD  SA mà SA không phải là đường trung bình của hình thang ABCD Ầ N Đ Do đó D sai. ÌN H C
Câu 12: Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm của tam giác .
BCD Giao tuyến của mặt phẳng Ư –
ACD và GAB là: 0834
A. AM (M là trung điểm của AB).
B. AN (N là trung điểm của CD). 3321
C. AH (H là hình chiếu của B trên CD).
D. AK (K là hình chiếu củaC trên BD). 33 Lời giải Chọn B A B D G N C
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 31
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
A là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng ACD và GAB.
N BG ABG N ABG  Ta có 
BG CD N  
N là điểm chung thứ hai giữa hai
N CD ACD N ACD 
mặt phẳng ACD và GAB.
Vậy ABGACD  AN.
Câu 13: Cho điểm A không nằm trên mặt phẳng  chứa tam giác .
BCD Lấy E, F là các điểm
lần lượt nằm trên các cạnh AB, AC. Khi EF BC cắt nhau tại I , thì I không phải là
điểm chung của hai mặt phẳng nào sau đây?
A. BCD và DEF .
B. BCD và ABC . C. BCD và AEF . D. BCD và ABD. Lời giải Chọn D A E GV: TR B D F Ầ N Đ ÌN C H C Ư I – 0834
EF DEF  I  BCDDEF      3321 Điểm  
I là giao điểm của EF BC mà EF  ABC   I  BCDABC .            33 EFAEF I
BCD AEF  
Câu 14: Cho tứ diện ABCD. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AC, CD. Giao tuyến của hai
mặt phẳng MBD và ABN  là:
A. đường thẳng MN.
B. đường thẳng AH (H là trực tâm tam giác ACD).
C. đường thẳng BG (G là trọng tâm tam giác ACD).
D. đường thẳng AM . Lời giải Chọn C
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 32
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com A M G B D N C
B là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng MBD và ABN .
 Vì M , N lần lượt là trung điểm của AC, CD nên suy ra AN , DM là hai trung tuyến của
tam giác ACD. Gọi G AN DM G
  AN ABN  G ABN    
G là điểm chung thứ hai giữa hai mặt phẳng MBD và G
  DM MBD G MBD  ABN .
Vậy ABN MBD  BG. GV: TR
Câu 15: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M , N lần lượt là trung
điểm AD BC. Giao tuyến của hai mặt phẳng SMN  và SAC  là: Ầ N A. Đ SD. ÌN
B. SO (O là tâm hình bình hành ABCD). H C Ư
C. SG (G là trung điểm AB). – 0834
D. SF (F là trung điểm CD). 3321 Lời giải 33 Chọn B S A M D T O B N C
S là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng SMN  và SAC .
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 33
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
 Gọi O AC BD là tâm của hình hình hành.
Trong mặt phẳng ABCD gọi T AC MN O
  AC SAC  O SAC   
O là điểm chung thứ hai giữa hai mặt phẳng SMN  và O
  MN SMN  O   SMN   SAC .
Vậy SMN SAC   SO.
Câu 16: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I , J lần lượt là trung điểm S ,
A SB. Khẳng định nào sau đây sai?
A. IJCD là hình thang.
B. SABIBC   IB.
C. SBDJCD  JD.
D. IAC JBD  AO (O là tâm ABCD). Lời giải Chọn D S I GV: TR J M A D N Đ ÌN O H C B C Ư – 0834
 Ta có IJ là đường trung bình của tam giác SAB IJ AB CD IJ CD 3321
IJCD là hình thang. Do đó A đúng. 33
IB SAB  Ta có 
 SABIBC   IB. Do đó B đúng.
IB IBC 
JD SBD  Ta có 
 SBDJBD  JD. Do đó C đúng.
JD JBD 
 Trong mặt phẳng IJCD , gọi M IC JD  IAC JBD  MO. Do đó D sai.
Câu 17: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCDAD BC . Gọi M là trung điểm CD.
Giao tuyến của hai mặt phẳng MSB và SAC  là:
A. SI (I là giao điểm của AC BM ).
B. SJ (J là giao điểm của AM BD).
C. SO (O là giao điểm của AC BD).
D. SP (P là giao điểm của AB CD).
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 34
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com Lời giải Chọn A S A D I M B C
S là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng MSB và SAC .
I BM SBM  I SBM   Ta có 
I là điểm chung thứ hai giữa hai mặt phẳng MSB
I ACSAC I SAC  và SAC .
Vậy MSBSAC   SI. GV: TR
Câu 18: Cho 4 điểm không đồng phẳng ,
A B, C , D. Gọi I , K lần lượt là trung điểm của AD Ầ N
BC. Giao tuyến của IBC  và KAD là: Đ ÌN A. IK . B. BC. C. AK. D. DK. H C Ư Lời giải – 0834 Chọn A 3321 33 A I B D K C
Điểm K là trung điểm của BC suy ra K  IBC   IK IBC .
Điểm I là trung điểm của AD suy ra I  KAD  IK KAD.
Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng IBC  và KAD là IK.
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 35
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
Câu 19: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với AB CD . Gọi I là giao điểm của
AC BD . Trên cạnh SB lấy điểm M . Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ADM  và SAC  . A. SI.
B. AE ( E là giao điểm của DM SI ). C. DM .
D. DE ( E là giao điểm của DM SI ). Lời giải Chọn B S M E A B I D C GV: TR Ta có
và SAC  . Trong mặt phẳng SBD , gọi
A là điểm chung thứ nhất của ADM N Đ
E SI DM . ÌN H C Ta có: Ư – 0834
E SI SI  SAC  suy ra E  SAC  . 3321
E DM DM  ADM  suy ra E  ADM  . 33
Do đó E là điểm chung thứ hai của ADM  và SAC  .
Vậy AE là giao tuyến của ADM  và SAC  .
Câu 20: Cho tứ diện ABCD và điểm M thuộc miền trong của tam giác ACD . Gọi I J lần
lượt là hai điểm trên cạnh BC BD sao cho IJ không song song với CD. Gọi H , K
lần lượt là giao điểm của IJ với CD của MH AC . Giao tuyến của hai mặt phẳng
ACD và IJM  là: A. KI. B. KJ . C. MI. D. MH. Lời giải Chọn A
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 36
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com A K M I C B J D H
Trong mặt phẳng BCD, IJ cắt CD tại H H ACD.
Điểm H IJ suy ra bốn điểm M , I, J , H đồng phẳng.
Nên trong mặt phẳng IJM  , MH cắt IJ tại H MH IJM .
M ACD Mặt khác 
MH ACD. Vậy ACDIJM    MH .
H  ACD 
Câu 21: Cho bốn điểm ,
A B, C , D không đồng phẳng. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AC
BC. Trên đoạn BD lấy điểm P sao cho BP  2PD. Giao điểm của đường thẳng CD GV: TR
mặt phẳng MNP  là giao điểm của A. CD NP. B. CD MN. C. CD MP. D. CD AP. Ầ N Đ Lời giải ÌN H C Chọn A Ư – 0834 A 3321 E 33 M B D P N C
Cách 1. Xét mặt phẳng BCD chứa CD. Do NP không song song CD nên NP cắt CD tại E .
Điểm E NP E  MNP . Vậy CD MNP  tại E. N BC Cách 2. Ta có 
NP BCD suy ra 
NP, CD đồng phẳng. P BD 
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 37
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
Gọi E là giao điểm của NP CD NP MNP suy ra CD MNP   E .
Vậy giao điểm của CD mp MNP  là giao điểm E của NP CD.
Câu 22: Cho tứ diện ABCD. Gọi E F lần lượt là trung điểm của AB CD ; G là trọng tâm tam giác .
BCD Giao điểm của đường thẳng EG và mặt phẳng ACD là: A. điểm F.
B. giao điểm của đường thẳng EG AF.
C. giao điểm của đường thẳng EG AC.
D. giao điểm của đường thẳng EG CD. Lời giải Chọn B A E B D G F GV: TR C Ầ N Đ ÌN H M C Ư –
G là trọng tâm tam giác BCD, F là trung điểm của CD G  ABF . 0834 3321
Ta có E là trung điểm của AB E  ABF . 33
Gọi M là giao điểm của EG AF AF  ACD suy ra M ACD.
Vậy giao điểm của EG mp ACD là giao điểm M EG AF .
Câu 23: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của SC.
Gọi I là giao điểm của AM với mặt phẳng SBD. Mệnh đề nào dưới đây đúng?      
A. IA  2IM.
B. IA  3IM. C. IA  2IM.
D. IA  2,5IM . Lời giải Chọn A
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 38
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com S M I A D O B C
Gọi O là tâm hình bình hành ABCD suy ra O là trung điểm của AC .
Nối AM cắt SO tại I SO  SBD suy ra I AM SBD.
Tam giác SAC M , O lần lượt là trung điểm của SC, AC.
I AM SO suy ra I là trọng tâm tam giác 2 SAC AI
AM IA  2IM. 3   
Điểm I nằm giữa A M suy ra IA  2MI  2IM.
Câu 24: Cho tứ giác ABCD AC BD giao nhau tại O và một điểm S không thuộc mặt phẳng
ABCD. Trên đoạn SC lấy một điểm M không trùng với S C . Giao điểm của đường GV: TR
thẳng SD với mặt phẳng ABM  là:
A. giao điểm của SD AB. N Đ ÌN
B. giao điểm của SD AM . H C
C. giao điểm của SD BK (với K SO AM ). Ư –
D. giao điểm của SD MK (với K SO AM ). 0834 Lời giải 3321 33 Chọn C S N M K A D O B C
● Chọn mặt phẳng phụ SBD chứa SD .
● Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng SBD và ABM  .
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 39
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
Ta có B là điểm chung thứ nhất của SBD và ABM .
Trong mặt phẳng ABCD , gọi O AC BD . Trong mặt phẳng SAC  , gọi K AM SO . Ta có:
K SO SO  SBD suy ra K  SBD .
K AM AM  ABM  suy ra K  ABM  .
Suy ra K là điểm chung thứ hai của SBD và ABM .
Do đó SBDABM   BK .
● Trong mặt phẳng SBD , gọi N SD BK . Ta có:
N BK BK  ABM  suy ra N  ABM  . ▪ N SD .
Vậy N SD ABM  .
Câu 25: Cho bốn điểm ,
A B, C , S không cùng ở trong một mặt phẳng. Gọi I , H lần lượt là trung điểm của S ,
A AB . Trên SC lấy điểm K sao cho IK không song song với AC ( K không
trùng với các đầu mút). Gọi E là giao điểm của đường thẳng BC với mặt phẳng IHK GV: TR
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. E nằm ngoài đoạn BC về phía . B N Đ ÌN
B. E nằm ngoài đoạn BC về phía C. H C
C. E nằm trong đoạn BC. Ư –
D. E nằm trong đoạn BC E B, E C. 0834 Lời giải 3321 33 Chọn D S K I A F C H E B
● Chọn mặt phẳng phụ ABC  chứa BC .
● Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ABC  và IHK  .
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 40
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
Ta có H là điểm chung thứ nhất của ABC  và IHK .
Trong mặt phẳng SAC  , do IK không song song với AC nên gọi F IK AC . Ta có
F AC AC  ABC  suy ra F  ABC  .
F IK IK  IHK  suy ra F  IHK  .
Suy ra F là điểm chung thứ hai của ABC  và IHK .
Do đó ABC IHK   HF .
● Trong mặt phẳng ABC  , gọi E HF BC . Ta có
E HF HF  IHK  suy ra E  IHK  . ▪ E BC .
Vậy E BC IHK  .
Câu 26: Cho tứ diện ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm các cạnh AB AC, E là điểm trên
cạnh CD với ED  3EC. Thiết diện tạo bởi mặt phẳng MNE  và tứ diện ABCD là: A. Tam giác MNE.
B. Tứ giác MNEF với F là điểm bất kì trên cạnh BD . GV: TR
C. Hình bình hành MNEF với F là điểm trên cạnh BD EF // BC. Ầ N
D. Hình thang MNEF với F là điểm trên cạnh BD EF // BC. Đ ÌN Lời giải H C Ư Chọn D – 0834 A 3321 33 M N B D F E C
Tam giác ABC M , N lần lượt là trung điểm của AB, AC .
Suy ra MN là đường trung bình của tam giác ABC MN // BC .
Từ E kẻ đường thẳng d song song với BC và cắt BD tại F EF // BC.
Do đó MN // EF suy ra bốn điểm M , N , E, F đồng phẳng và MNEF là hình thang.
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 41
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
Vậy hình thang MNEF là thiết diện cần tìm.
Câu 27: Cho tứ diện ABCD . Gọi H , K lần lượt là trung điểm các cạnh AB , BC . Trên đường
thẳng CD lấy điểm M nằm ngoài đoạn CD . Thiết diện của tứ diện với mặt phẳng HKM  là:
A. Tứ giác HKMN với N AD.
B. Hình thang HKMN với N AD HK MN .
C. Tam giác HKL với L KM BD.
D. Tam giác HKL với L HM AD. Lời giải Chọn C A H M L B GV: TR D K Ầ N Đ C ÌN H C Ư
Ta có HK , KM là đoạn giao tuyến của HKM  với ABC  và BCD . – 0834
Trong mặt phẳng BCD , do KM không song song với BD nên gọi L KM BD . 3321
Vậy thiết diện là tam giác HKL . 33
Câu 28: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a a  0. Các điểm M , N, P lần
lượt là trung điểm của S ,
A SB, SC . Mặt phẳng MNP  cắt hình chóp theo một thiết diện có diện tích bằng: 2 2 2 A. a a a 2 a . B. . C. . D. . 2 4 16 Lời giải Chọn C
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 42
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com S Q M N P A D B C
Gọi Q là trung điểm của SD.
Tam giác SAD M , Q lần lượt là trung điểm của ,
SA SD suy ra MQ // AD .
Tam giác SBC N , P lần lượt là trung điểm của SB, SC suy ra NP // BC .
Mặt khác AD // BC suy ra MQ // NP MQ NP MNPQ là hình vuông.
Khi đó M , N , P, Q đồng phẳng  MNP  cắt SD tại Q MNPQ là thiết diện của hình
chóp S.ABCD với mp MNP. 2 S
Vậy diện tích hình vuông a MNPQ ABCD S   . MNPQ GV: TR 4 4
Câu 29: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Mặt phẳng Ầ N Đ
GCD cắt tứ diện theo một thiết diện có diện tích là: ÌN 2 2 2 2 H a 3 a 2 a 2 a 3 C A. . B. . C. . D. . Ư 2 4 6 4 – 0834 Lời giải 3321 Chọn B 33 A M G B D N H C
Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB, BC suy ra AN MC G.
Dễ thấy mặt phẳng GCD cắt đường thắng AB tại điểm M.
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 43
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
Suy ra tam giác MCD là thiết diện của mặt phẳng GCD và tứ diện ABCD . Tam giác a
ABD đều, có M là trung điểm AB suy ra 3 MD  . 2 Tam giác a
ABC đều, có M là trung điểm AB suy ra 3 MC  . 2
Gọi H là trung điểm của 1
CD MH CD S  .MH.CD MCD 2 2 Với CD a 2 2 2 2 MH MC HC MC   . 4 2 2 Vậy 1 a 2 a 2 S  . .a  . MCD 2 2 4
Câu 30: Cho tứ diện đều ABCD có độ dài các cạnh bằng 2a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm các
cạnh AC , BC ; P là trọng tâm tam giác BCD . Mặt phẳng MNP  cắt tứ diện theo một
thiết diện có diện tích là: 2 2 2 2 A. a 11 a 2 a 11 a 3 . B. . C. . D. . 2 4 4 4 Lời giải Chọn C GV: TR A D N Đ ÌN H C Ư – 0834 M 3321 B D 33 M H N P N C
Trong tam giác BCD có: P là trọng tâm, N là trung điểm BC . Suy ra N , P , D thẳng hàng.
Vậy thiết diện là tam giác MND . Xét tam giác AB AD
MND , ta có MN   a ; 3 DM DN   a 3 . 2 2
Do đó tam giác MND cân tại D .
Gọi H là trung điểm MN suy ra DH MN .
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 44
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com 2 Diện tích tam giác 1 1 a 11 2 2 S
MN.DH MN. DM MH  . MND 2 2 4
Câu 31: Cho tứ diện ABCD. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB CD. Mặt phẳng  qua
MN cắt AD, BC lần lượt tại P Q. Biết MP cắt NQ tại I. Ba điểm nào sau đây thẳng hàng? A. I, , A C.
B. I, B, D.
C. I , A, B.
D. I , C, D. Lời giải Chọn B A M P D B I N Q C GV: TR
Ta có ABDBCD  BD .
I MP ABDN Lại có 
I thuộc giao tuyến của ABD và BCD ĐI NQ   BCD  ÌN H C
I BD I , B, D thẳng hàng. Ư – 0834
Câu 32: Cho tứ diện SABC . Gọi L, M , N lần lượt là các điểm trên các cạnh SA, SB AC sao 3321
cho LM không song song với AB , LN không song song với SC . Mặt phẳng LMN  cắt 33
các cạnh AB, BC, SC lần lượt tại K, I , J . Ba điểm nào sau đây thẳng hàng?
A. K, I , J .
B. M , I , J .
C. N , I , J .
D. M , K, J. Lời giải Chọn B
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 45
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com S L M A N C I B J K Ta có
M SB suy M là điểm chung của LMN  và SBC  .
I là điểm chung của LMN  và SBC  .
J là điểm chung của LMN  và SBC  .
Vậy M , I , J thẳng hàng vì cùng thuộc giao tuyến của LMN  và SBC  .
Câu 33: Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm tam giác BCD, M là trung điểm CD, I là điểm ở
trên đoạn thẳng AG, BI cắt mặt phẳng ACD tại J. Khẳng định nào sau đây sai? GV: TR
A. AM  ACDABG.
B. A, J , M thẳng hàng. C. D.   N
J là trung điểm của AM . DJ
ACD BDJ . Đ ÌN H Lời giải C Ư – Chọn C 0834 A 3321 33 J I B D G M C
Ta có A là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng ACD và GAB.
M BG ABG  M ABG Do 
BG CD M  
M là điểm chung thứ hai giữa hai mặt
M CD ACD  M   ACD 
phẳng ACD và GAB.
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 46
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
 ABGACD  AM   A đúng.
BI ABG 
Ta có AM ABM   AM ,BI đồng phẳng.
ABGABM 
J BI AM A, J , M thẳng hàng   B đúng.
DJ ACD Ta có 
DJ  ACDBDJ    D đúng.
DJ BDJ  
Điểm I di động trên AG nên J có thể không phải là trung điểm của AM   C sai.
Câu 34: Cho tứ diện ABCD . Gọi E, F, G là các điểm lần lượt thuộc các cạnh AB, AC, BD sao cho
EF cắt BC tại I , EG cắt AD tại H . Ba đường thẳng nào sau đây đồng quy?
A. CD, EF , EG.
B. CD, IG, HF.
C. AB, IG, HF .
D. AC, IG, BD. Lời giải Chọn B A GV: TR E Ầ N Đ F ÌN B C I H C Ư O – 0834 G D 3321 H 33
Phương pháp: Để chứng minh ba đường thẳng d , d , d đồng quy ta chứng minh giao 1 2 3
điểm của hai đường thẳng d d là điểm chung của hai mặt phẳng  và  ; đồng 1 2
thời d là giao tuyến  và  . 3
Gọi O HF IG . Ta có
O HF HF  ACD suy ra O  ACD .
O IG IG  BCD suy ra O  BCD .
Do đó O  ACDBCD .   1
Mà ACDBCD  CD . 2 Từ  
1 và 2 , suy ra O CD .
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 47
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
Vậy ba đường thẳng CD, IG, HF đồng quy.
Câu 35: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD không phải là hình thang. Trên cạnh SC lấy điểm
M . Gọi N là giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng AMB . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Ba đường thẳng AB, CD, MN đôi một song song.
B. Ba đường thẳng AB, CD, MN đôi một cắt nhau.
C. Ba đường thẳng AB, CD, MN đồng quy.
D. Ba đường thẳng AB, CD, MN cùng thuộc một mặt phẳng. Lời giải Chọn C S N K M O A B GV: TR C Ầ N D Đ I ÌN H C Ư
Gọi I AD BC. Trong mặt phẳng SBC  , gọi K BM SI . Trong mặt phẳng SAD, gọi – 0834
N AK SD . 3321
Khi đó N là giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng AMB. 33
Gọi O AB CD . Ta có:
O AB AB  AMB suy ra O  AMB .
O CD CD  SCD suy ra IJ, MN ,SE .
Do đó O  AMBSCD .   1
Mà AMBSCD  MN . 2 Từ  
1 và 2 , suy ra O MN . Vậy ba đường thẳng AB, CD, MN đồng quy.
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 48
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
Bài 2: HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN
A. TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM
I. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG PHÂN BIỆT
Trong mục này, nếu không nói gì thêm, ta luôn giả sử hai đường thẳng là phân biệt.
Nhận xét: Cho hai đường thẳng a b phân biệt trong không gian. Khi đó chỉ xảy ra một trong các trường hợp sau:
Trường hợp 1: Có một mặt phẳng chứa a b . Khi đó ta nói a b đồng phẳng (Hình 32a).
Trường hợp 2: Không có mặt phẳng nào chứa a b . Khi đó ta nói a b chéo nhau, hay a chéo với b (Hình 32b).
Khi hai đường thẳng a b (phân biệt) đồng phẳng, ta đã biết có hai khả năng xảy ra: 
a b có một điểm chung duy nhất I . Ta nói a b cắt nhau tại I và kí hiệu là
a b  I . Ta còn có thể viết a b I (Hình 33a ). GV: TR Ầ N Đ ÌN H C Ư
a b không có điểm chung. Ta nói a b song song với nhau và kí hiệu là a//b (Hình 33b). 0834
Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng và không có 3321 điểm chung. 33
Nhận xét: Cho hai đường thẳng song song a b . Có duy nhất một mặt phẳng chứa hai đường
thẳng đó, kí hiệu là mp a,b . II. TÍNH CHẤT Định lí 1
Trong không gian, qua một điểm không nằm trên đường thẳng cho trước, có một và chỉ một
đường thẳng song song với đường thẳng đã cho.
Định lí 2 (về giao tuyến của ba mặt phẳng).
Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc
đồng quy, hoặc đôi một song song với nhau.
Từ Định lí 2, ta suy ra hệ quả sau:
Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của
chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó (Hình 39).
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 49
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com Định lí 3
Trong không gian, hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
Khi hai đường thẳng a b cùng song song với đường thẳng c , ta kí hiệu a//b//c và gọi là ba đường thẳng song song.
B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1. Chứng minh đường thẳng song song hoặc đồng quy 1. Phương pháp
- Nếu ba mp phân biệt đôi một cắt nhau theo c
ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy β β α α b a b
hoặc dồng qui hoặc đôi một song song với a c GV: TR nhau. γ
Hệ quả: Nếu hai mp phân biệt lần lượt β β β N d d d α α α Đ
chứa hai đt song song thì giao tuyến của d" d" d' d' ÌN d" d' H
chúng (nếu có) cũng song song với hai đt đó C Ư
hoặc trùng với một trong hai đt đó. – 0834
- Hai đường thẳng phân biệt cùng song
song với đường thẳng thứ ba thì song β 3321 song với nhau. α b c a 33a b γ
a / /c a / /b b / /c
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi P, Q, R, S là bốn điểm lần lượt trên các cạnh AB, BC, CD,
DA. CMR nếu bốn điểm P, Q, R, S đồng phẳng thì:
a) PQ, SR, AC hoặc song song hoặc đồng qui.
b) PS, RQ, BD hoặc song song hoặc đồng qui.
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 50
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com Lời giải A S
Theo định lí về giao tuyến của 3 mặt phẳng. P D
a) Nếu PQ // SR thì PQ // SR // AC. R B b) C
Nếu PQ cắt SR tại I thì AC đi qua I. Q
Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC AC . Trên
cạnh PD lấy điểm P sao cho DP  2PB .
a) Xác định giao tuyến của mặt phẳng (MNP) với các mặt phẳng ( ABD),(BCD) .
b) Trên cạnh AD lấy điểm Q sao cho DQ  2QA. Chứng minh: PQ song song với mặt phẳng
( ABC) , ba đường thẳng DC,QN, PM đồng quy. Lời giải 1) Do đó:
MN  MNP  A
AB   ABD   MNP   ABD  Px / / AB / /MN MN / /ABQ GV: TR x
Xác định giao tuyến của (MNP) và (BCD) : N Ầ N D Đ
M   MNPB P ÌN Ta có: 
M  MNP  (BCD) H
M BC  (BCD) M CƯ C Mặt khác: 0834 I
P   MNP 3321
P  MNP  (BCD)
P BD  (BCD)  33
Vậy MNP  (BCD)  MP là giao tuyến cần tìm
Chứng minh PQ song song với mặt phẳng (ABC) : DQ DPPQ / / AB Vì 
nên PQ / / AB . Do đó: 
PQ / /( ABC) QA PB AB  ( ABC) 
2) Ta có: Q MNP . Do đó:
 (MNP)  ( ACD)  QN
 (MNP)  (BCD)  PM
 ( ACD)  (BCD)  CD CM DP  Vì 
nên DC cắt PM tại I . MB PB
 Vậy DC,QN, PM đồng quy
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 51
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M,N lần lượt là
trung điểm ADSB .
a/ Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng SAB và SCD
b/ Chứng minh: ON song song với mặt phẳngSAD
c/ Tìm giao điểm của đường thẳng MN và mặt phẳng SAC  Lời giải S
a) Xét 2 mặt phẳng SAB và SCD
Ta có: S là điểm chung của 2 mặt phẳng N Mặt khác: J x A M D  AB / /CD  I
AB   SAB  O
CD   SCD  B C
Suy ra giao tuyến của 2 mặt phẳngSAB và SCDlà
đường thẳng qua S qua S và song song với AB và CD. x GV: TR b)Xét tam giác SBD, ta có: Ầ N Đ
ON / /SD (Vì O,N lần lượt là trung điểm BD và SB) ÌN H C
SD  SADƯ – 0834
Suy ra ON song song mặt phẳngSAD3321
c) Xét mặt phẳng ABCD33
Gọi I là giao điểm của AC và BM
Xét 2 mặt phẳng SAC  và SBM
Ta có: (SAC)  (SBM )  SI
Gọi J là giao điểm của SI và MN Khi đó:
J SI  SAC   J SAC  J MN
Vậy J là giao điểm của MN và mặt phẳngSAC
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 52
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
Dạng 2. Tìm giao điểm và thiết diện của hình chóp 1. Phương pháp
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
Câu 1: Cho hình chóp S.ABC, gọi M, P và I lần lượt là trung điểm của AB, SC và SB. Một mặt
phẳng  qua MP và song song với AC và cắt các cạnh SA, BC tại N, Q.
a) Chứng minh đường thẳng BC song song với mặt phẳng IMP .
b) Xác định thiết diện của  và hình chóp. Thiết diện này là hình gì?
c) Tìm giao điểm của đường thẳng CN và mặt phẳng SMQ . Lời giải J S x
a) Có IP là đường trung bình của S  BC  IP  BC I
mà IP  (IMP)  BC  (IMP) . N P GV: TR  M  ()  (ABC) b) Có B  (ABC)  AC (   ) M Q N Đ
 ()  (ABC)  MQ  AC, Q  BC . A ÌN C H C  P  ()  (S AC) Ư (S AC)  AC ()   0834 3321
 ()  (S AC)  PN  AC, N  SA . 33
Kết luận thiết diện cần tìm là hình bình hành MNPQ. Thật vậy dễ dàng chứng minh Q, N lần   
lượt là trung điểm của BC và SA. Do đó 1 MQ  NP  AC 2
c) Chọn mặt phẳng (SAC) chứa NC. Tìm giao tuyến của (SAC) và (SMQ):  S (SAC)  (SMQ) Có 
 (SAC)  (SMQ)  Sx  AC  MQ
AC  MQ; AC  (SAC), MQ  (SMQ)   J  CN
Trong mp(SAC) gọi J  CN Sx , có   J  CN  (SMQ) . J  Sx  (SMQ) 
Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một hình tứ giác lồi. Gọi M, N lần lượt là trung điểm
của SC và CD. Gọi  là mặt phẳng qua M, N và song song với đường thẳng AC.
a) Tìm giao tuyến của  với mpABCD .
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 53
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
b) Tìm giao điểm của đường thẳng SB với mp .
c) Tìm thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng  . Lời giải  N  ()  (ABCD) a) Có  () AC    (ABCD)
 ()  (ABCD)  NE  AC; E  AD .
b) Có MN là đường trung bình của S  CD  MN  SD .
Trong mp(ABCD) gọi F  BD  NE .  F ()  (SBD) Có 
MN S D; MN  (), SD    (SBD)
 () (SBD)  Fx  MN  S D  H  SB
Trong mp(SBD) gọi H  Fx  SB , vì   H  SB  () . H  Fx  ()   E ()  (S AD) c) Có 
 () (S AD)  EK  SD; K  SA .
MN  SD; MN  (),SD  (S AD)  GV: TR
Từ đó suy ra thiết diện cần tìm là ngũ giác MNEKH. Ầ N Đ
Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với AB  CD . Gọi M, N, I lần lượt ÌN H
là trung điểm của AD, BC, SA. C Ư –
a)Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (IMN) và (SAC); (IMN) và (SAB). 0834
b) Tìm giao điểm của SB và (IMN). 3321 33
c)Tìm thiết diện của mặt phẳng (IDN) với hình chóp S.ABCD. Lời giải
a) Có I (IMN) (SAC) (1). Trong mp(ABCD) gọi E  MN  (IMN) E  MN  AC   E  AC   (SAC)  E (IMN)  (SAC) (2).
Từ (1) và (2) suy ra (IMN) (SAC)  EI .
b) Có MN là đường trung bình của hình thang ABCD  MN  AB  CD .
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 54
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com I  (IMN)  (SAB) Có MN  AB
 (IMN)  (SAB)  Ix  MN  AB . MN  (IMN); AB  (SAB)  c) Trong mp(SAB) gọi J  SB J  Ix  SB    J  SB  (IMN) . J  Ix  (IMN)  I  (IDN)  (SAB) (3) Trong mp(ABCD) gọi K  DN  (IDN)
K  DN  AB  KAB   (SAB)
 K  (IDN)  (SAB) (4).
Từ (3) và (4) suy ra (IDN) (SAB)  IK
Trong mp(SAB) gọi P  IK  SB  thiết diện cần tìm là tứ giác MNPI.
Câu 4: Cho chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và N là trung điểm SA .
a)Tìm giao điểm của AC và mặt phẳng SBD
b)Tìm thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng  NBC  . Thiết diện là hình gì? Lời giải S GV: TR
1) Gọi O là giao điểm giữa AC BD . Khi đó: Ầ N ĐO ACM ÌNN H O BD   SBD  C Ư –
Vậy O là giao điểm của AC và mặt phẳng SBD0834 A D 3321 2) Ta có: O 33
+  NBC    ABCD  BC B C
+  NBC   SBC   BC
+  NBC   SAB  NB N    NBC  +    1 N   SAD 
NBC   BC || AD  SAD 2 Từ  
1 & 2   NBC   SAD  NM || AD || BC
+  NBC   SCD  MC
Vậy thiết diện là hình thang MNCD
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 55
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 1. Quan sát phòng học của lớp và nêu lên hình ảnh của hai đường thẳng song song, cắt nhau, chéo nhau. Lời giải
- Hình ảnh hai đường thẳng song song: mép bảng trên và mép bảng dưới
- Hình ảnh hai đường thẳng cắt nhau: hai đường chân tường liền kề nhau
- Hình ảnh hai đường thẳng chéo nhau: cột dọc và chân tường đối diện
Bài 2. Quan sát Hình 43 và cho biết vị trí tương đối của hai trong ba cột tuabin gió có trong hình. Lời giải
Ba cột tuabin gió đôi một song song với nhau.
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M , N, P lần lượt là trung GV: TR
điểm của các cạnh S ,
A AB, SD . Xác định giao tuyến của mỗi cặp mặt phẳng sau: SAD và
SBC ;MNP và  ABCDẦ N Đ Lời giải ÌN H C Ư – 0834 3321 33
Ta có: S là điểm chung của hai mặt phẳng SADSBC
Từ S kẻ Sx sao cho Sx / / AD / /BC . Vậy Sx là giao tuyến của hai mặt phẳng SAD và SBC  .
Ta có: M , P là trung điểm của S ,
A SD . Suy ra MP / / AD / /BC
Có: N là điểm chung của hai mặt phẳng MNP và ABCD
Từ N kẻ NQ sao cho NQ / /AD .
Vậy NQ là giao tuyến của hai mặt phẳng MNPABCD.
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 56
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
Bài 4. Cho tứ diện ABCD . Gọi G ,G lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC ABD . 1 2
Chứng minh rằng đường thẳng G G song song với đường thẳng CD . 1 2 Lời giải
Gọi E là trung điểm AB
Ta có: G là trọng tâm của A  BC 1 EG 1 Suy ra: 1    1 EC 3
Ta có: G là trọng tâm của ABD 2 EG 1 GV: TR Suy ra: 2  2 ED 3 EG EG Từ (1)(2) suy ra: ECD có 1 2  N Đ EC ED ÌN
Theo định lí Ta-lét, suy ra: G G / /CD H 1 2 C Ư
Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với AB là đáy lớn và AB  2CD . – 0834
Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh SA SB . Chứng minh rằng đường thẳng NC
song song với đường thẳng MD . 3321 Lời giải 33
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 57
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com SM SN 1 Ta có:    MN / /AB SA SB 2 Mà: AB / /CD Suy ra: MN / /CD   1 MN 1 Ta có:  mà AB  2CD AB 2 MN 1 Suy ra: 
MN CD 2 2CD 2
Từ (1)(2) suy ra: MNCD là hình bình hành Do đó: NC // MD.
Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M , N, P,Q lần lượt là trung
điểm của các cạnh AB, BC,C , D D ;
A I , J , K, L lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng
SM , SN, SP, SQ .
a) Chứng minh rằng bốn điểm I , J , K, L đồng phẳng và tứ giác IJKL là hình bình hành.
b) Chứng minh rằng IK//BC .
c) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng IJKL và SBC  . Lời giải GV: TR Ầ N Đ ÌN H C Ư – 0834 3321 33
a) ABC M N là trung điểm của AB, BC . nên MN / / AC . (1)
ACD P Q là trung điểm của C ,
D DA . nên PQ / / AC . (2)
SMN có I và J là trung điểm SN nên IJ // MN (3)
SPQ L K là trung đi4)
Từ (1)(2)(3)(4) suy ra IJ // LK. Do đó: I, J, K, L đồng phẳng. MN QP 1 Ta có:   AC AC 2 IJ LK 1   MN PQ 2
Từ (6)(7) suy ra: IJ = LK mà IJ // LK
Do đó: IJKL là hình bình hành.
b) Ta có: M , P lần lượt là trung điểm của AB,CD Suy ra: MP // BC (1)
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 58
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
Bài 7. Cho tứ diện ABCD . Gọi I , J lần lượt là trung điểm của các cạnh BC,CD . Trên cạnh AC
lấy điểm K . Gọi M là giao điểm của BK AI , N là giao điểm của DK AJ . Chứng minh
rằng đường thẳng MN song song với đường thẳng BD . Lời giải
Giả sử K là trung điểm của AC
Suy ra: M , N lần lượt là trọng tâm của ABC ACD . KM KN 1 Do đó: KBD có   KB KD 3 GV: TR Suy ra: MN / /BD
Trường hợp K bất kỳ cũng chứng minh được MN / /BD . Ầ N Đ ÌN H D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM C Ư –
Câu 1: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? 0834
A. Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau. 3321
B. Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung. 33
C. Hai đường thẳng phân biệt không cắt nhau và không song song thì chéo nhau.
D. Hai đường thẳng phân biệt không chéo nhau thì hoặc cắt nhau hoặc song song. Lời giải Chọn A
Hai đường thẳng không có điểm chung thì chúng song song (khi chúng đồng phẳng)
hoặc chéo nhau (khi chúng không đồng phẳng).
Câu 2: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Hai đường thằng có một điểm chung thì chúng có vô số điểm chung khác.
B. Hai đường thẳng song song khi và chỉ khi chúng không điểm chung.
C. Hai đường thẳng song song khi và chỉ khi chúng không đồng phẳng.
D. Hai đường thẳng chéo nhau khi và chỉ khi chúng không đồng phẳng.
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 59
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com Lời giải Chọn D
 A sai. Trong trường hợp 2 đường thẳng cắt nhau thì chúng chỉ có 1 điểm chung.
 B và C sai. Hai đường thẳng song song khi và chỉ khi chúng đồng phằng và không có điểm chung.
Câu 3: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
B. Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì trùng nhau.
C. Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau hoặc trùng nhau.
D. Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì chúng lần lượt nằm
trên hai mặt phẳng song song. Lời giải Chọn C
Câu 4: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. Hai đường thẳng chéo nhau thì chúng có điểm chung. GV: TR
B. Hai đường thẳng không có điểm chung là hai đường thẳng song song hoặc chéo nhau.
C. Hai đường thẳng song song với nhau khi chúng ở trên cùng một mặt phẳng. Ầ N Đ
D. Khi hai đường thẳng ở trên hai mặt phẳng phân biệt thì hai đường thẳng đó chéo ÌN H nhau. C Ư – Lời giải 0834 Chọn B 3321 33
 A sai. Hai đường thẳng chéo nhau thì chúng không có điểm chung.
 C sai. Có thể xảy ra trường hợp hai đường thẳng đó hoặc cắt nhau hoặc trùng nhau.
 D sai. Có thể xảy ra trường hợp hai đường thẳng đó song song.
Câu 5: Cho hai đường thẳng chéo nhau a b . Lấy ,
A B thuộc a C, D thuộc b . Khẳng
định nào sau đây đúng khi nói về hai đường thẳng AD BC ?
A. Có thể song song hoặc cắt nhau. B. Cắt nhau. C. Song song với nhau. D. Chéo nhau. Lời giải Chọn D
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 60
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com a B A D b C
Theo giả thiết, a b chéo nhau  a b không đồng phẳng.
Giả sử AD BC đồng phẳng.
 Nếu AD BC I I  ABCD  I  a;b . Mà a b không đồng phẳng, do đó, không tồn tại điểm I .
 Nếu AD BC a b đồng phẳng (Mâu thuẫn với giả thiết).
Vậy điều giả sử là sai. Do đó AD BC chéo nhau.
Câu 6: Cho ba mặt phẳng phân biệt  ,  ,   có       d ;       d ; 1 2 GV: TR
      d . Khi đó ba đường thẳng d , d , d : 3 1 2 3 A. Đôi một cắt nhau. B. Đôi một song song. Ầ N Đ C. Đồng quy.
D. Đôi một song song hoặc đồng quy. ÌN H C Lời giải Ư – 0834 Chọn D 3321
Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyền ấy 33
hoặc đồng quy hoặc đôi một song song.
Câu 7: Trong không gian, cho 3 đường thẳng ,
a b, c , biết a b , a c chéo nhau. Khi đó hai
đường thẳng b c :
A. Trùng nhau hoặc chéo nhau.
B. Cắt nhau hoặc chéo nhau.
C. Chéo nhau hoặc song song.
D. Song song hoặc trùng nhau. Lời giải Chọn B
Giả sử b c c a (mâu thuẫn với giả thiết).
Câu 8: Trong không gian, cho ba đường thẳng phân biệt ,
a b, c trong đó a b . Khẳng định nào sau đây sai?
A. Nếu a  c thì b  c .
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 61
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
B. Nếu c cắt a thì c cắt b .
C. Nếu A a B b thì ba đường thẳng ,
a b, AB cùng ở trên một mặt phẳng.
D. Tồn tại duy nhất một mặt phẳng qua a b . Lời giải Chọn B
Nếu c cắt a thì c cắt b hoặc c chéo b .
Câu 9: Cho hai đường thẳng chéo nhau ,
a b và điểm M ở ngoài a và ngoài b . Có nhiều nhất bao
nhiêu đường thẳng qua M cắt cả a b ? A. 1. B. 2. C. 0. D. Vô số. Lời giải Chọn A c M b a GV: TR Q Ầ N Đ P ÌN H C Ư
Gọi P là mặt phẳng tạo bởi đường thẳng a M ; Q là mặt phẳng tạo bỏi đường – 0834
thẳng b M . 3321
Giả sử c là đường thẳng qua M cắt cả a b . 33 c   P    
c  P Q. c  Q 
Vậy chỉ có 1 đường thẳng qua M cắt cả a b .
Câu 10: Trong không gian, cho 3 đường thẳng ,
a b, c chéo nhau từng đôi. Có nhiều nhất bao
nhiêu đường thẳng cắt cả 3 đường thẳng ấy? A. 1. B. 2. C. 0. D. Vô số. Lời giải Chọn D
Gọi M là điểm bất kì nằm trên a .
Giả sử d là đường thẳng qua M cắt cả b c . Khi đó, d là giao tuyến của mặt phẳng
tạo bởi M b với mặt phẳng tạo bởi M c .
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 62
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
Với mỗi điểm M ta được một đường thẳng d .
Vậy có vô số đường thẳng cắt cả 3 đường thẳng , a b, c .
Câu 11: Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC ABD. Chọn khẳng
định đúng trong các khẳng định sau?
A. IJ song song với CD.
B. IJ song song với AB.
C. IJ chéo CD.
D. IJ cắt AB. Lời giải Chọn A A J I N B C GV: TR M Ầ N D Đ ÌN H C
Gọi M , N lần lượt là trung điểm của BC, BD. Ư – 0834
MN là đường trung bình của tam giác BCD MN //CD   1 3321 AI AJ 2
I , J lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC ABD  
  IJ MN 2 AM AN 3 33 Từ  
1 và 2 suy ra: IJ CD.
Câu 12: Cho hình chóp S.ABCD AD không song song với BC. Gọi M, N, P,Q, , R T lần lượt là
trung điểm AC,BD,BC,CD, , SA S .
D Cặp đường thẳng nào sau đây song song với nhau? A. MP RT. B. MQ RT. C. MN RT. D. PQ RT. Lời giải Chọn B
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 63
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com S T R A D M Q N C P B
Ta có: M ,Q lần lượt là trung điểm của AC,CD
MQ là đường trung bình của tam giác CAD MQ AD   1 Ta có: ,
R T lần lượt là trung điểm của , SA SD
RT là đường trung bình của tam giác SAD RT AD 2 Từ  
1 ,2 suy ra: MQ RT .
Câu 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I, J ,E, F lần lượt là trung điểm ,
SA SB,SC,S .
D Trong các đường thẳng sau, đường thẳng nào không song song với IJ ? GV: TR A. EF. B. DC. C. AD. D. AB. Lời giải Ầ N Đ Chọn C ÌN H C Ư S – 0834 3321 F I 33 J E A D B C
Ta có IJ AB (tính chất đường trung bình trong tam giác SAB ) và EF CD (tính chất
đường trung bình trong tam giác SCD ).
CD AB (đáy là hình bình hành) 
CD AB EF IJ .
Câu 14: Cho tứ diện ABCD. Gọi M , N là hai điểm phân biệt cùng thuộc đường thẳng AB;P,Q
hai điểm phân biệt cùng thuộc đường thẳng CD. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng MP, NQ.
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 64
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com A. MP NQ. B. MP NQ. C. MP cắt N . Q
D. MP,NQ chéo nhau. Lời giải Chọn D A M N B D Q P C
Xét mặt phẳng ABP .
Ta có: M , N thuộc AB M , N thuộc mặt phẳng ABP .
Mặt khác: CD ABP   P.
Mà: Q CD Q  ABP   M , N ,P,Q không đồng phẳng. GV: TR
Câu 15: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi d là giao tuyến của hai Ầ N
mặt phẳng SADvà SBC . Khẳng định nào sau đây đúng? Đ ÌN
A. d qua S và song song với BC.
B. d qua S và song song với DC. H C Ư
C. d qua S và song song với AB.
D. d qua S và song song với . BD – 0834 Lời giải 3321 Chọn A 33 S d A D B C
 SADSBC S 
Ta có AD SAD,BC SBC  
 SADSBC     (với  ).  Sx AD BC d Sx AD BC  
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 65
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
Câu 16: Cho tứ diện ABCD. Gọi I J theo thứ tự là trung điểm của AD AC,G là trọng tâm tam giác .
BCD Giao tuyến của hai mặt phẳng GIJ  và BCD là đường thẳng:
A. qua I và song song với AB.
B. qua J và song song với . BD
C. qua G và song song với CD.
D. qua G và song song với BC. Lời giải Chọn C A J I C D x G M B
 GIJ BCD G  GV: TR
Ta có IJ GIJ , CD BCD 
 GIJ BCD     Gx IJ CD. IJ CD   Ầ N Đ ÌN
Câu 17: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang với các cạnh đáy là AB CD. Gọi I, J lần H C
lượt là trung điểm của AD BC G là trọng tâm của tam giác SAB. Giao tuyến của Ư –
SAB và IJG là 0834 A. SC. 3321
B. đường thẳng qua S và song song với AB. 33
C. đường thẳng qua G và song song với DC.
D. đường thẳng qua G và cắt BC. Lời giải Chọn C
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 66
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com S P G Q A B I J D C
Ta có: I, J lần lượt là trung điểm của AD BC
IJ là đường trunh bình của hình thang ABCD IJAB CD.
Gọi d  SABIJG
Ta có: G là điểm chung giữa hai mặt phẳng SAB và IJG 
 SAB AB;IJG IJ Mặt khác:  AB IJ  
 Giao tuyến d của SAB và IJG là đường thẳng qua G và song song với AB IJ . GV: TR
Câu 18: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I là trung điểm S . A Thiết
diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng IBC  là: N Đ ÌN A. Tam giác IBC. H C
B. Hình thang IBCJ ( J là trung điểm SD ). Ư –
C. Hình thang IGBC (G là trung điểm SB ). 0834 D. Tứ giác IBCD. 3321 Lời giải 33 Chọn B S J I A D B C
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 67
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
 IBC SAD  I 
Ta có BC IBC , AD SAD 
IBC SAD  Ix BC AD
BC AD 
Trong mặt phẳng SAD: Ix AD, gọi Ix SD J   IJ BC
Vậy thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng IBC  là hình thang IBCJ.
Câu 19: Cho tứ diện ABCD, M N lần lượt là trung điểm AB AC. Mặt phẳng  qua MN
cắt tứ diện ABCD theo thiết diện là đa giác T . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. T  là hình chữ nhật.
B. T  là tam giác.
C. T  là hình thoi.
D. T  là tam giác; hình thang hoặc hình bình hành. Lời giải Chọn D A A K GV: TR M M N N B D B D N Đ I ÌN H J C C Ư C – 0834
Trường hợp  AD K 3321 
T  là tam giác MNK. Do đó A và C sai. 33
Trường hợp BCD  IJ , với I BD,J CD; I, J không trùng . D 
T  là tứ giác. Do đó B đúng.
Câu 20: Cho hai hình vuông ABCD CDIS không thuộc một mặt phẳng và cạnh bằng 4. Biết
tam giác SAC cân tại S, SB  8. Thiết diện của mặt phẳng ACI  và hình chóp S.ABCD có diện tích bằng: A. 6 2. B. 8 2. C. 10 2. D. 9 2. Lời giải Chọn B
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 68
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com S I O C D N B A
Gọi O SD CI ; N AC BD.
O,N lần lượt là trung điểm của 1
DS, DB ON SB  4. 2
Thiết diện của mpACI  và hình chóp S.ABCD là tam giác OC  . A Tam giác SA
C cân tại S SC SA SDC SDA
CO AO (cùng là đường trung tuyến của 2 định tương ứng)  O
CA cân tại O 1 1  S
ON.AC  .4.4 2  8 2. OCA  2 2 GV: TR
Câu 21: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn AB đáy nhỏ CD. Gọi
M , N lần lượt là trung điểm của SA SB. Gọi P là giao điểm của SC và AND. Gọi N Đ ÌN
I là giao điểm của AN DP. Hỏi tứ giác SABI là hình gì? H C A. Hình bình hành. B. Hình chữ nhật. Ư – C. Hình vuông. D. Hình thoi. 0834 3321 Lời giải 33 Chọn A S I N M B A P D C E
Gọi E AD BC, P NE SC . Suy ra P SC AND . Ta có
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 69
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
S là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng SAB và SCD ;
I DP AN I là điểm chugn thứ hai của hai mặt phẳng SAB và SCD.
Suy ra SI  SABSCD. Mà AB CD 
SI AB CD.
MN là đường trung bình của tam giác SAB và chứng minh được cũng là đường trung
bình của tam giác SAI nên suy ra SI AB .
Vậy SABI là hình bình hành.
Câu 22: Cho tứ diện ABCD. Các điểm P, Q lần lượt là trung điểm của AB CD; điểm R nằm
trên cạnh BC sao cho BR  2RC. Gọi S là giao điểm của mặt phẳng PQR và cạnh AD. Tính tỉ số SA . SD A. 2. B. 1. C. 1 . D. 1 . 2 3 Lời giải Chọn A A GV: TR P S Ầ N B I Đ ÌN D H C Ư Q R 0834 C 3321 33
Gọi I là giao điểm của BD R .
Q Nối P với I , cắt AD tại S . Xét tam giác DI BR CQ DI DI
BCD bị cắt bởi I , R ta có 1 . .  1  .2.1  1   . IB RC QD IB IB 2 Xét tam giác AS DI BP SA SA
ABD bị cắt bởi PI , ta có 1 . .  1  . .1  1   2. SD IB PA SD 2 SD
Câu 23: Cho tứ diện ABCD và ba điểm P, Q, R lần lượt lấy trên ba cạnh AB, CD, BC. Cho PR //
AC CQ  2QD. Gọi giao điểm của AD và PQR là S . Chọn khẳng định đúng? A. AD 3DS. B. AD  2 DS. C. AS  3 DS. D. AS DS. Lời giải Chọn A
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 70
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com A P S B D I Q R C
Gọi I là giao điểm của BD R .
Q Nối P với I , cắt AD tại S . Ta có DI BR CQ CQ DI BR DI RC . .  1 mà  2 suy ra 1 1 .    . . IB RC QD QD IB RC 2 IB 2 BRRC AP DI AP
PR song song với AC suy ra 1    . . BR PB IB 2 PB Lại có SA DI BP SA 1 AP BP SA . .  1  . . .  1   2 
AD  3 DS. SD IB PA SD 2 PB PA SD
Câu 24: Gọi G là trọng tâm tứ diện ABCD. Gọi A là trọng tâm của tam giác BCD. Tính tỉ số GA . GAGV: TR A. 2. B. 3. C. 1. D. 1 . 3 2 Ầ N Đ Lời giải ÌN H C Chọn B Ư – 0834 A 3321 33 G E B D A' M C
Gọi E là trọng tâm của tam giác ACD, M là trung điểm của CD.
Nối BE cắt AA tại G suy ra G là trọng tâm tứ diện.   Xét tam giác ME MA A E MAB, có 1 
 suy ra AE // 1 AB   . MA MB 3 AB 3  
Khi đó, theo định lí Talet suy ra A E A G 1 GA     3. AB AG 3 GA
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 71
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
Câu 25: Cho tứ diện ABCD trong đó có tam giác BCD không cân. Gọi M , N lần lượt là trung điểm
của AB, CD G là trung điểm của đoạn MN. Gọi A là giao điểm của AG và BCD. 1
Khẳng định nào sau đây đúng?
A. A là tâm đường tròn tam giác BCD . 1
B. A là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BCD . 1
C. A là trực tâm tam giác BCD . 1
D. A là trọng tâm tam giác BCD . 1 Lời giải Chọn D A M G B D P A1 N GV: TR C
Mặt phẳng ABN  cắt mặt phẳng BCD theo giao tuyến BN . N Đ ÌN
AG  ABN  suy ra AG cắt BN tại điểm A . H 1 C Ư Qua 
M dựng MP // AA với M BN . 1 0834
M là trung điểm của AB suy ra P là trung điểm BA BP PA 1 . 1 1   3321 33
Tam giác MNP MP // GA G là trung điểm của MN . 1
A là trung điểm của NP PA NA 2 . 1 1   1 BA Từ   2 1 ,2 suy ra 1
BP PA A N
 mà N là trung điểm của CD. 1 1 BN 3
Do đó, A là trọng tâm của tam giác BCD . 1
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 72
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com GV: TR Ầ N Đ ÌN H C Ư – 0834 3321 33
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 73
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com GV: TR Ầ N Đ ÌN H C Ư – 0834 3321 33
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 74
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
BÀI 3: ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẰNG SONG SONG
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM
I. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG
Nhận xét: Có ba khả năng có thể xảy ra đối với số điểm chung của d và PHình 45 là:
d và  P có từ hai điểm trở lên. Khi đó đường thẳng d nằm trong mặt phẳng  P hay  P
chứa d và kí hiệu là d  P hay P  d (Hình 45a) .
d và  P có một điểm chung duy nhất A . Khi đó ta nói d và  P cắt nhau tại điểm A và kí
hiệu là d   P   
A hay d   P  A (Hình 45b) .
d và  P không có điểm chung .Khi đó ta nói d song song với  P hay  P song song với d
kí hiệu là d// P hay P //d Hình 45c .
Đường thẳng được gọi là song song với mặt phẳng nếu chúng không có điểm chung GV: TR
II. ĐIỀU KIỆN VÀ TÍNH CHẤT Ầ N
Định lí 1 (dấu hiệu nhận biết một đường thẳng song song với một mặt Đ ÌN phẳng) (Hình 49) H C
Nếu đường thẳng a không nằm trong mặt phẳng P và a song song Ư –
với đường thẳng a nằm trong P thì a song song với P . 0834
Định lí 2 (Tính chất của đường thẳng song song với mặt phẳng) (Hình 3321 52): 33
Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng P . Nếu mặt phẳng Q    
chứa a và cắt P theo giao tuyến b thì b song song với a .
- Trong trường hợp tổng quát, ta có hệ quả của Định lí 2:
Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng
(nếu có) cũng song song với đường thẳng đó.
Chú ý: Cho hai đường thẳng chéo nhau. Khi đó có duy nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng
này và song song với đường thẳng kia.
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 75
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1. Chứng minh đường thẳng song song hoặc đồng quy 1. Phương pháp  a∥ b  b P    a∥ P a P   
Nếu không có sẵn đường thẳng b trong mặt phẳng (P) thì ta tìm đường thẳng b bằng cách chọn
một mặt phẳng (Q) chứa a và cắt (P), giao tuyến của (P) và (Q) chính là đường thẳng b cần tìm.
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
Ví dụ 1. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi O
và O’ lần lượt là tâm của hai hình bình hành ABCD và ABEF.
a. Chứng minh OO’ song song với các mặt phẳng (ADF) và (BCE).
b. Gọi G và G’ lần lượt là trọng tâm các tam giác ABD và ABF. Chứng minh GG'/ / DCEF . Giải GV: TR
a. Ta có OO’ là đường trung bình của tam giác ACE F E
và tam giác BDF nên: OO'∥ CE và OO'∥ DF. O' N G' Đ
Mà CE  BCE, DF  ADF nên OO'∥ BCE và ÌN M H A B C OO'∥ ADF . Ư G O 0834
b. Theo tính chất của trọng tâm tam giác, ta có: C D 3321 AG AG' 2   AO AO' 3 33
Vậy GG'∥ OO' Cd OO'∥ CE nên GG'∥ CE .
Mà CE  CDEF nên GG'∥ DCEF .
Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD, G là trọng tâm tam giác ABD. M là điểm trên cạnh BC sao cho MB  2MC .
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 76
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
Chứng minh MG∥ ACD . A Giải E BG 2 G
Gọi E là trung điểm của AD. Ta có:  (do G là trọng BE 3 tâm của tam giác ABD). B D BM 2 BG BM Mà  (do MB  2MC ) nên  . M BC 3 BE BC C Suy ra MG∥ CE .
Mà CE  ACD do đó MG∥ ACD .
Ví dụ 3. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC và BCD. Chứng
minh rằng MN∥ ABD và MN∥ ACD . Giải A
Gọi H là trung điểm của BC, ta có: M AH, N DH . Do đó: HM HN 1 GV: TR  
(tính chất trọng tâm tam giác)  MN∥ AD . HA HD 3 M B D Như vậy: N Đ N ÌN MN H ∥ AD   H   ∥ C MN ABD AD  C Ư ABD – 0834 MN∥ AD     MN∥ ACD AD  ACD 332133
Ví dụ 4. Cho tứ diện ABCD. Gọi M là một điểm bất kì trên cạnh BC;  là mặt phẳng qua M
và song song với AB và CD, cắt các cạnh BD, AD, AC lần lượt tại N, P, Q. Chứng minh rằng MNPQ là hình bình hành. Giải AB∥    Ta có: ABC   AB   MQ∥ AB (1) ABC       MQ
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 77
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
Tương tự, ta có: NP∥ AB A (2) P CD∥    α Q ACD   CD   PQ∥ CD (3) B D ACD       PQ N   M
Tương tự, ta có: MN∥ CD (4) C
Từ (1) và (2) suy ra: MQ∥ NP (5)
Từ (3) và (4) suy ra: PQ∥ MN (6)
Từ (5) và (6) suy ra MNPQ là hình bình hành.
Ví dụ 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là ABCD là hình bình hành; F, G lần lượt là trung điểm của AB và CD.
a. Chứng minh rằng FG song song với các mặt phẳng (SAD) và (SBC).
b. Gọi E là trung điểm của SA. Chứng minh rằng SB, SC song song với mặt phẳng (FGE). Giải GV: TR a. Ta có: S Ầ N FG∥ AD  Đ    FG∥ SAD ÌN AD  SAD H HE C Ư D G C
Chứng minh tương tự, ta cũng có: FG∥ SBC 0834 3321
b. Gọi EFG SD  H. Ta có: A F B 33
ABCD EFG  FG 
ABCD SAD  ADEH∥ AD∥ FG
SAD EFG  EH  FG∥ AD 
Suy ra H là trung điểm của SD. Như vậy:
GH∥ SC (tính chaát ñöôøng trung bình) SC∥ EFG. HG  EFG  
Tương tự, ta có: SB∥ EFG .
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 78
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
Ví dụ 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành.  là mặt phẳng đi qua trung
điểm M của cạnh SB, song song với cạnh AB, cắt các cạnh SA, SD, SC lần lượt tại Q, P và N. Hãy
xác định hình tính của tứ giác MNPQ? Lời giải S N P α Q M D C A B Ta có: AB∥  
    SAB  MQ / /AB (1)
M   SAB Mặt khác: GV: TR 1  DC∥AB DC∥QM *    DC / /  Ầ N QM      ĐÌN H C Như vậy: Ư – DC / /   0834      PN / /DC (2)
PN    SCD 332133
Từ (*) và (2) suy ra MNPQ là hình bình thang.
Dạng 2. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng. Thiết diện qua một điểm và song song với một đường thẳng 1. Phương pháp
Ngoài hai cách đã đề cập ở Bài 1 và Bài 2 ta có hai cách sau để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng. Cách 1. Dùng định lí 2. a∥ P   a Q     d∥ a P Q    d Cách 2. Dùng hệ quả 2.
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 79
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com P∥ a   Q  ∥ a   d∥ a P Q    d
Tìm thiết diện là tìm các đoạn giao tuyến theo phương pháp tìm giao tuyến được nêu ở trên, cho
đến khi các giao tuyến khép kín ta được thiết diện.
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD, tâm O. Gọi M và N lần lượt là
trung điểm của SA và SD.
a. Chứng minh MN∥ SBC , SB∥ OMN , SC∥ OMN .
b. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (OMN). Thiết diện là hình gì? Giải
a. Ta có MN∥ AD (MN là đường trung bình của S
tam giác SAD) và AD∥ BC (tứ giác ABCD là hình
bình hành), suy ra MN∥ BC . M N
Mà BC  SBC nên MN∥ SBC . GV: TR
Ta có: ON∥ SB (ON là đường trung bình của tam A D Ầ N Đ
giác SBD) nên ON  OMN . P ÌN Q O H C Do đó: SB∥ OMN . B Ư C – 0834
Ta có OM∥ SC (OM là đường trung bình của 3321
SAC) và OM  OMN . 33 Vậy SC∥ OMN .
b. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của AB và CD. Từ đó có: PQ∥ AD , suy ra PQ∥ MN .
Vậy MN và PQ đồng phẳng, nghĩa là OMN  MNPQ .
Ta có thiết diện do mp(OMN) cắt hình chóp là hình thang MNPQ MN∥ PQ .
Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD, M là một điểm
trên đoạn IJ. Gọi (P) là mặt phẳng qua M, song song với AB và CD.
a. Tìm giao tuyến của mặt phẳng (P) và mặt phẳng (ICD).
b. Xác định thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (P). Thiết diện là hình gì? Giải
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 80
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com a. Ta có: A P∥ CD   CD ICD  
  P  ICD  Mx∥ CD . I M P ICD    R
Trong mp(ICD) ta có Mx cắt IC tại E và cắt ID tại F. S F M
Suy ra EF  P ICD . B D E Q b. Ta có: P J P∥ AB  C  AB ABC  
  P  ABC  Ey∥ AB . E P ABC    
Trong mp(ABC) ta có Ey cắt BC tại P và cắt AC tại S.
Suy ra PS  P ABC . Ta có: P∥ AB  GV: TR  AB ABD  
  P  ABD  Ft∥ AB .  FP ABD N Đ ÌN
Trong mp(ABD) ta có Ft cắt BD tại Q và cắt AD tại R. H C Ư Suy ra QR  P  ABD .     0834
Khi đó: PQ  P  CBD và RS  P  ACD . 3321         33
Vậy thiết diện cần tìm là tứ giác PQRS.
Theo chứng minh trên ta có thể suy ra được: PS∥ AB, QR∥ AB nên PS∥ QR . (1) Mặt khác, ta có: P∥ CD      RS∥ CD  RS  P  ACD       RS∥ PQ (2) P∥ CD      PQ∥ CD PQ P BCD       
Từ (1) và (2) suy ra thiết diện PQRS là hình bình hành.
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 81
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M, N là hai điểm bất kì trên SB, CD. Mặt phẳng  P qua MN và song song với SC.
a) Tìm các giao tuyến của  P với các mặt phẳng SBC  , SCD , SAC  .
b) Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng  P . Lời giải
a) Trong mặt phẳng SBC  , từ M kẻ đường thẳng song song với SC cắt BC tại Q.
Trong mặt phẳng SCD , từ N kẻ đường thẳng song song với SC cắt SD tại P.
Khi đó giao tuyến của  P với SBC  và SCD lần lượt là MQ và NP.
Gọi I AC NQ . Từ I kẻ đường thẳng song song với SC cắt SA tại H.
Khi đó P  SAC   IH .
b) Thiết diện của mặt phẳng  P với khối chóp là ngũ giác MQNPH. GV: TR
Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC, BC, H, K lần lượt là
trọng tâm của các tam giác SAC, SBC. N Đ ÌN
a) Chứng minh AB / / SMN  , HK / / SAB . H C Ư
b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng CHK  và  ABC  . – 0834
c) Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng  P đi qua MN và  P / /SC . Thiết diện là hình 3321 gì? 33 Lời giải
a) Dễ thấy MN là đường trung bình trong tam giác SAB do đó AB / /MN AB / / SMN
H, K là trọng tâm của tam giác SAC, SBC suy ra SH SK 2  
HK / /MN / / AB HK / / SAB . SM SN 3
b) Do HK / / AB nên giao tuyến của CAB và CHK  là đường
thẳng qua C và song song với HK và AB.
c) Qua M dựng MF / /SC F SA thì MF là đường trung bình
trong tam giác SCA  F là trung điểm của SA.
Tương tự dựng NE / /SC E SB thì E là trung điểm của SB.
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 82
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com AB
Khi đó thiết diện là hình bình hành MNEF vì có MN / /EF , MN EF  . 2
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 1. Trong phòng học của lớp, hãy nêu những hình ảnh về đường thẳng song song với mặt phẳng. Lời giải
Những hình ảnh về đường thẳng song song với mặt phẳng: mép cột dọc với bảng; xà ngang trần nhà với mặt sàn; ...
Bài 2. Trong Hình 57, khi cắt bánh sinh nhật, mặt cắt và mặt khay
đựng bánh lần lượt gợi nên hình ảnh mặt phẳng Q và mặt phẳng
P ; mép trên và mép dưới của lát cắt lần lượt gợi nên hình ảnh hai
đường thẳng a b trong đó a song song với mặt phẳng P . Cho
biết hai đường thẳng a,b có song song với nhau hay không. Lời giải
Hai đường thẳng a,b có song song với nhau vì a song song với P mà Q cắt P tại giao tuyến b .
Bài 3. Cho tứ diện ABCD . Gọi G là trọng tâm của tam giác ABD , điểm I nằm trên cạnh BC
sao cho BI  2IC Chứng minh rằng IG song song với mặt phẳng  ACD . GV: TR Lời giải Ầ N Đ ÌN H C Ư – 0834 3321 33 B
CE có: E là trung điểm AD BG BI 2 Suy ra:   BE BC 3
Do đó: IG // CE mà CE thuộc (ACD) Suy ra: IG // (ACD).
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M , N lần lượt là trung
điểm của AB CD . Chứng minh rằng đường thẳng MN song song với giao tuyến d của hai
mặt phẳng SBC  và SAD . Lời giải
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 83
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
Ta có: Sx là giao tuyến SADSBC  sao cho Sx / / AD / /BC (1)
Có : M , N là trung điểm của AB,CD
Suy ra: MN / / AD / / BC 2 Từ   1 2 suy ra: MN // Sx.
Bài 5. Cho hai hình bình hành ABCD ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi
M , N lần lượt là trọng tâm của hai tam giác ABF ABC . Chứng minh rằng đường thẳng
MN song song với mặt phẳng  ACF  . GV: TR Lời giải Ầ N Đ ÌN H C Ư – 0834 3321 33
Gọi I là trung điểm của AB IM 1
ABF có: M là trọng tâm nên  (1) IF 3 IN 1 A
 BC có: N là trọng tâm nên  (2) IC 3 IM IN (1)(2) suy ra ICF có:  IF IC
Suy ra: MN // CF mà CF thuộc (ACF) nên MN // (ACF).
Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Lấy điểm M trên cạnh AD
sao cho AD  3AM . Gọi G, N lần lượt là trọng tâm của tam giác SAB, ABC .
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng SAB và SCD .
b) Chứng minh rằng MN song song với mặt phẳng SCD và NG song song với mặt phẳng SAC  .
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 84
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com Lời giải
a) S là điểm chung của hai mặt phẳng SAB và SCD mà AB / /CD
Từ S kẻ Sx sao cho Sx / / AB / /CD nên Sx là giao tuyến của hai mặt phẳng SAB và SCD .
b) Gọi I, K là trung điểm của BC, AC mà hai đường chéo của hình bình tại trung điểm mỗi đường
Suy ra K là trung điểm của BD 1 1 DB DB DN DK KN 2 DM DAB có: 2 6     . DB DB DB 3 DA GV: TR
Suy ra: MN / / AB . mà AB / /CD .
Do đó: MN / /CD . nên MN / / SCD. Ầ N
Gọi E là trung điểm của AB Đ ÌN EG 1 G là trọng tâm SAB . nên  H SE 3 C Ư EN 1 N là trọng tâm A  BC nên  0834 EC 3 EG EN 3321 ESC  có: 
. suy ra GN / /SC mà SC thuộc (SAC). Do đó: GN / / SAC . SE EC 33 D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Cho đường thẳng a và mặt phẳng P trong không gian. Có bao nhiêu vị trí tương đối
của a và P ? A. 2. B. 3. C. 1. D. 4. Lời giải Chọn B
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 85
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com a a a A (P) (P) (P)
Có 3 vị trí tương đối của a và P , đó là: a nằm trong P , a song song với P và a cắt P .
Câu 2: Cho hai đường thẳng phân biệt ,
a b và mặt phẳng  . Giả sử a b , b   . Khi đó:
A. a  .
B. a .
C. a cắt .
D. a   hoặc a . Lời giải Chọn D
Câu 3: Cho hai đường thẳng phân biệt ,
a b và mặt phẳng  . Giả sử a   , b   . Khi đó: A. a  . b B. , a b chéo nhau.
C. a b hoặc , a b chéo nhau. D. , a b cắt nhau. GV: TR Lời giải Chọn C Ầ N Đ ÌN a H a C Ư – 0834 b c 3321 33   b
a   nên tồn tại đường thẳng c   thỏa mãn a c. Suy ra ,
b c đồng phẳng và xảy ra các trường hợp sau:
 Nếu b song song hoặc trùng với c thì a b .
 Nếu b cắt c thì b cắt   a,c nên ,
a b không đồng phẳng. Do đó , a b chéo nhau.
Câu 4: Cho đường thẳng a nằm trong mặt phẳng  . Giả sử b   . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Nếu b   thì b  . a
B. Nếu b cắt  thì b cắt . a
C. Nếu b a thì b  .
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 86
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
D. Nếu b cắt  và  chứa b thì giao tuyến của  và  là đường thẳng cắt cả a và . b Lời giải Chọn C
 A sai. Nếu b   thì b a hoặc , a b chéo nhau.
 B sai. Nếu b cắt  thì b cắt a hoặc , a b chéo nhau.
 D sai. Nếu b cắt  và  chứa b thì giao tuyến của  và  là đường thẳng cắt a
hoặc song song với a .
Câu 5: Cho hai đường thẳng phân biệt ,
a b và mặt phẳng  . Giả sử a   và b   . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. a b không có điểm chung.
B. a b hoặc song song hoặc chéo nhau.
C. a b hoặc song song hoặc chéo nhau hoặc cắt nhau.
D. a b chéo nhau. Lời giải GV: TR Chọn C
Câu 6: Cho mặt phẳng P và hai đường thẳng song song a b . Khẳng định nào sau đây N Đ ÌN đúng? H C
A. Nếu P song song với a thì P cũng song song với . b Ư –
B. Nếu P cắt a thì P cũng cắt . b 0834
C. Nếu P chứa a thì P cũng chứa . b 3321
D. Các khẳng định A, B, C đều sai. 33 Lời giải Chọn B
Gọi Q  a,b.
 A sai. Khi b  P Q  b  P .
 C sai. Khi P   Q  b  P  .
 Xét khẳng định B, giả sử P không cắt b khi đó b  P  hoặc b  P  . Khi đó, vì b a
nên a  P  hoặc a cắt P (mâu thuẫn với giả thiết P cắt a ).
Vậy khẳng định B đúng.
Câu 7: Cho d   , mặt phẳng  qua d cắt  theo giao tuyến d  . Khi đó:
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 87
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com A. d d .
B. d cắt d  .
C. d d  chéo nhau. D. d d . Lời giải Chọn A
Ta có: d    . Do d d  cùng thuộc  nên d cắt d  hoặc d d  .
Nếu d cắt d  . Khi đó, d cắt  (mâu thuẫn với giả thiết).
Vậy d d  .
Câu 8: Có bao nhiêu mặt phẳng song song với cả hai đường thẳng chéo nhau? A. 1. B. 2. C. 3. D. Vô số. Lời giải Chọn D a c GV: TRb Ầ N
Gọi a b là 2 đường thẳng chéo nhau, c là đường thẳng song song với a và cắt b . Đ ÌN
Gọi   b,c . Do a c a  . H C Ư –
Giả sử   . Mà b    b   . 0834
Mặt khác, a    a   . 3321 33
Có vô số mặt phẳng   . Vậy có vô số mặt phẳng song song với 2 đường thẳng chéo nhau.
Câu 9: Cho hai đường thẳng chéo nhau a b . Khẳng định nào sau đây sai?
A. Có duy nhất một mặt phẳng song song với a và . b
B. Có duy nhất một mặt phẳng qua a và song song với . b
C. Có duy nhất một mặt phẳng qua điểm M , song song với a b (với M là điểm cho trước).
D. Có vô số đường thẳng song song với a và cắt . b Lời giải Chọn A
Có có vô số mặt phẳng song song với 2 đường thẳng chéo nhau.
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 88
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com Do đó A sai.
Câu 10: Cho ba đường thẳng đôi một chéo nhau ,
a b, c . Gọi P  là mặt phẳng qua a , Q  là mặt
phẳng qua b sao cho giao tuyến của P và Q song song với c . Có nhiều nhất bao nhiêu
mặt phẳng P và Q thỏa mãn yêu cầu trên?
A. Một mặt phẳng P , một mặt phẳng Q.
B. Một mặt phẳng P , vô số mặt phẳng Q.
C. Một mặt phẳng Q , vô số mặt phẳng P.
D. Vô số mặt phẳng P và Q. Lời giải Chọn A a c b GV: TR (Q) (P) Ầ N Đ ÌN
c song song với giao tuyến của P và Q nên c  P  và c  Q . H C Ư
Khi đó, P là mặt phẳng chứa a và song song với c, mà a c chéo nhau nên chỉ có – 0834
một mặt phẳng như vậy. 3321
Tương tự cũng chỉ có một mặt phẳng Q chứa b và song song với c . 33
Vậy có nhiều nhất một mặt phẳng P và một mặt phẳng Q thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 11: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD . Gọi M N lần lượt là trung điểm của SA SC .
Khẳng định nào sau đây đúng?
A. MN // mp ABCD. B. MN // mp SAB. C. MN // mp SCD. D. MN // mp SBC . Lời giải Chọn A
Xét tam giác SAC M , N lần lượt là trung điểm của , SA SC .
Suy ra MN // AC AC ABCD 
MN // mpABCD.
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 89
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
Câu 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, M N là hai điểm trên S , A SB sao cho SM SN 1 
 . Vị trí tương đối giữa MN và ABCD là: SA SB 3
A. MN nằm trên mp ABCD.
B. MN cắt mp ABCD.
C. MN song song mp ABCD.
D. MN mp ABCD chéo nhau. Lời giải Chọn C
Theo định lí Talet, ta có SM SN
suy ra MN song song với AB . SA SB
AB nằm trong mặt phẳng ABCD suy ra MN //ABCD.
Câu 13: Cho tứ diện ABCD . Gọi G là trọng tâm của tam giác ABD, Q thuộc cạnh AB sao cho
AQ  2 QB, P là trung điểm của AB . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. MN //BCD.
B. GQ //BCD.
C. MN cắt BCD.
D. Q thuộc mặt phẳng CDP . Lời giải Chọn B GV: TR A Ầ N Đ ÌN P H Q C G Ư D B 0834 M 3321 33 C
Gọi M là trung điểm của BD . Vì AG 2
G là trọng tâm tam giác ABD   . AM 3 Điểm AQ
Q AB sao cho 2 AQ  2 QB   . Suy ra AG AQ    GQ // BD . AB 3 AM AB
Mặt khác BD nằm trong mặt phẳng BCD suy ra GQ //BCD.
Câu 14: Cho hai hình bình hành ABCD ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi O, O 1
lần lượt là tâm của ABCD, ABEF . M là trung điểm của CD. Khẳng định nào sau đây sai?
A. OO //BEC .
B. OO //AFD. 1 1
C. OO //EFM .
D. MO cắt BEC . 1 1
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 90
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com Lời giải Chọn D D C O A B O1 F E
Xét tam giác ACE O, O lần lượt là trung điểm của AC, AE . 1
Suy ra OO là đường trung bình trong tam giác ACE OO // EC . 1 1
Tương tự, OO là đường trung bình của tam giác BFD nên OO // FD . 1 1
Vậy OO //BEC  , OO //AFD và OO //EFC . Chú ý rằng: EFC   EFM . 1 1 1
Câu 15: Cho tứ diện ABCD . Gọi M , N, P, Q, R, S theo thứ tự là trung điểm của các cạnh
AC , BD, AB, CD, AD, BC . Bốn điểm nào sau đây không đồng phẳng?
A. P, Q, R, S.
B. M , P, R, S.
C. M , R, S, N.
D. M , N , P, Q. GV: TR Lời giải Ầ N Đ Chọn C ÌN H C A Ư – 0834 R M 3321 P 33 B C Q S N D
Theo tính chất của đường trung bình của tam giác ta có
PS // AC // QR suy ra P, Q, R, S đồng phẳng
Tương tự, ta có được PM // BC // NQ suy ra P, M , N , Q đồng phẳng.
NR //CD // SN suy ra M , R, S, N đồng phẳng.
Câu 16: Cho tứ diện ABCD . Gọi H là một điểm nằm trong tam giác ABC,  là mặt phẳng đi qua
H song song với AB CD . Mệnh đề nào sau đây đúng về thiết diện của  của tứ diện?
A. Thiết diện là hình vuông.
B. Thiết diện là hình thang cân.
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 91
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
C. Thiết diện là hình bình hành.
D. Thiết diện là hình chữ nhật. Lời giải Chọn C A N P H B C M Q D
Qua H kẻ đường thẳng d  song song AB và cắt BC, AC lần lượt tại M , N.
Từ N kẻ NP song song vớ CD P CD. Từ P kẻ PQ song song với AB Q BD.
Ta có MN // PQ // AB suy ra M , N , P, Q đồng phẳng và AB //MNPQ.
Suy ra MNPQ là thiết diện của  và tứ diện.
Vậy thiết diện là hình bình hành. GV: TR
Câu 17: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 10. M là điểm trên SA sao cho Ầ N SM 2 Đ
 . Một mặt phẳng  đi qua M song song với AB CD, cắt hình chóp theo SA 3 ÌN H C
một tứ giác có diện tích là: Ư – A. 400 . B. 20 . C. 4 . D. 16 . 0834 9 3 9 9 3321 Lời giải 33 Chọn A S Q M D N A P B C
Ta có   AB CD mà ,
A B, C , D đồng phẳng suy ra   ABCD.
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 92
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
Giả sử  cắt các mặt bên SAB, SBC , SCD, SDA lần lượt tại các điểm N, P, Q với
N SB, P SC , Q SD suy ra   MNPQ. Khi đó SM MN
MN // AB MN là đường trung bình tam giác SAB 2    . SA AB 3
Tương tự, ta có được NP PQ QM 2  
 và MNPQ là hình vuông. BC CD DA 3 2   Suy ra 2 4 4 400 S      SS  .10.10  . MNPQ   3 ABCD  9 ABCD 9 9
Câu 18: Cho hình chóp S.ABCD ABCD là hình thang cân đáy lớn AD . M , N lần lượt là hai
trung điểm của AB CD. P là mặt phẳng qua MN và cắt mặt bên SBC  theo một
giao tuyến. Thiết diện của P và hình chóp là A. Hình bình hành. B. Hình thang. C. Hình chữ nhật. D. Hình vuông Lời giải Chọn B S GV: TR P Q A D Ầ N Đ ÌN M N H C Ư – B C 0834 3321
Xét hình thang ABCD , có M , N lần lượt là trung điểm của AB, CD . 33
Suy ra MN là đường trung bình của hình thang ABCD MN // BC .
Lấy điểm P SB , qua P kẻ đường thẳng song song với BC và cắt BC tại Q .
Suy ra PSBC   PQ nên thiết diện P và hình chóp là tứ giác MNQP MN // PQ
// BC . Vậy thiết diện là hình thang MNQP .
Câu 19: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O . Gọi M là điểm thuộc
cạnh SA (không trùng với S hoặc A ). P là mặt phẳng qua OM và song song với AD .
Thiết diện của P và hình chóp là A. Hình bình hành. B. Hình thang. C. Hình chữ nhật. D. Hình tam giác. Lời giải Chọn B
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 93
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com S M N D A Q P O B C
Qua M kẻ đường thẳng MN // AD và cắt SD tại N MN // AD .
Qua O kẻ đường thẳng PQ // AD và cắt AB, CD lần lượt tại Q, P PQ // AD .
Suy ra MN // PQ // AD 
M, N, P, Q đồng phẳng  P cắt hình chóp S.ABCD theo
thiết diện là hình thang MNPQ .
Câu 20: Cho tứ diện ABCD . Gọi I, J lần lượt thuộc cạnh AD, BC sao cho IA  2 ID JB  2 JC .
Gọi P là mặt phẳng qua IJ và song song với AB. Thiết diện của P và tứ diện ABCD là A. Hình thang.
B. Hình bình hành. C. Hình tam giác. D. Tam giác đều. GV: TR Lời giải Ầ N Chọn B Đ ÌN H A C Ư – 0834 3321 I 33 B D H K J C
Giả sử P cắt các mặt của tứ diện ABC  và ABD theo hai giao tuyến JH IK .
Ta có PABC   JH , P ABD  IK
ABC ABD AB, P // AB 
JH // IK // AB .
Theo định lí Thalet, ta có JB HA   2 suy ra HA IA   IH //CD. JC HC HC ID
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 94
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
IH  P suy ra IH song song với mặt phẳng P.
Vậy P cắt các mặt phẳng ABC , ABD theo các giao tuyến IH , JK với IH // JK .
Do đó, thiết diện của P và tứ diện ABCD là hình bình hành. GV: TR Ầ N Đ ÌN H C Ư – 0834 3321 33
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 95
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
BÀI 4: HAI MẶT PHẲNG SONG SONG
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM
I. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG
Hai mặt phẳng được gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung.
II. ĐIỀU KIỆN VÀ TÍNH CHẤT
Định lí 1 (dấu hiệu nhận biết hai mặt phẳng song song):
Nếu mặt phẳng P chứa hai đường thẳng cắt nhau a,b a,b cùng song song với mặt phẳng
Q thì P song song với Q .
Định lí 2 (Tính chất về hai mặt phẳng song song):
Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có một và chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đã cho.
Từ định lí trên, ta có thể chứng minh được các hệ quả sau:
Hệ quả 1. Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng Q thì có duy nhất một mặt phẳng P
chứa a và song song với mặt phẳng Q .
Hệ quả 2. Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau. Định lí 3
Cho hai mặt phẳng song song P và Q . Nếu mặt phẳng R cắt mặt phẳng P thì cũng cắt
mặt phẳng Q và hai giao tuyến của chúng song song với nhau. GV: TR III. ĐỊNH LÍ THALÈS
Định lí 4 (Định lí Thalès) Ầ N Đ
Nếu a,b là hai cát tuyến bất kì cắt ba mặt phẳng song song P,Q, RÌN AB BC CA H
lần lượt tại các điểm    thì C ,
A B,C A , B ,C   . Ư ABB C   C A   – 0834 3321
B. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA 33
Bài 1. Bạn Chung cho rằng: Nếu mặt phẳng P chứa hai đường thẳng a,b a,b cùng song
song với mặt phẳng Q thì P luôn song song với Q . Phát biểu của bạn Chung có đúng không? Vì sao? Lời giải
Trường hợp a cắt b thì theo dấu hiệu nhận biết hai mặt phẳng song song thì ý kiến đúng.
Trường hợp a không cắt b thì a // b
Ta có: a thuộc (P), a // (Q)
b thuộc P,b / / Q mà a // b
Do đó: P / / Q . Vậy ý kiến đúng.
Bài 2. Trong mặt phẳng P cho hình bình hành ABCD . Qua ,
A B,C, D lần lượt vẽ bốn đường thẳng a, ,
b c, d đôi một song song với nhau và không nằm trong mặt phẳng  P . Một mặt phẳng cắt a, ,
b c, d lần lượt tại bốn điểm A ,
B ,C , D . Chứng minh rằng AB CD  ' là hình bình hành.
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 96
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com Lời giải
Theo định lí 2 ta có: Chỉ có một và một mặt phẳng qua A //
 P . Tương tự với các điểm B ,C , D .
Mà đề bài cho A , B , C , D đồng phẳng
Suy ra mặt phẳng chứa A , B ,C , D song song với P Do đó: A D  /  /AD,B C  //B  C,AD//BC Suy ra: A D  /  /B C    1
Tương tự ta có: A'B'//C'D' (2)
(1)(2) suy ra A'B'C'D' là hình bình hành.
Bài 3. Cho tứ diện ABCD . Lấy G ,G ,G lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC , 1 2 3 AC , D ADB .
a) Chứng minh rằng G G G / / BCD . 1 2 3   
b) Xác định giao tuyến của mặt phẳng G G G với mặt phẳng  ABD . 1 2 3  Lời giải GV: TR Ầ N Đ ÌN H C Ư – 0834
a) Gọi E, F, H là trung điểm của BC,C , D BD AG 2 3321
Ta có: G là trọng tâm A  BC , suy ra 1  1 AE 3 33 2
G là trọng tâm ABD , suy ra  3 3 AG AG Suy ra AEH có 1 3  nên G G //EH . AE AH 1 3
Mà EH thuộc (BCD) nên G G // BCD . 1 3  
Tương tự ta có G G // BCD 2 3   Do đó: G G G // BCD . 1 2 3  
b) Ta có: G G G // BCD nên G G //BD 1 2 3   1 2
G là điểm chung của hai mặt phẳng 3
Từ G kẻ G x sao cho G x//BD . 3 3 3
Vậy G x là giao tuyến cần tìm. 3
Bài 4. Cho hai hình bình hành ABCD ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng.
a) Chứng minh rằng  AFD / /  BEC  .
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 97
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
b) Gọi M là trọng tâm của tam giác ABE . Gọi P là mặt phẳng đi qua M và song song với AN
mặt phẳng  AFD . Lấy N là giao điểm của P và AC . Tính NC Lời giải
a) Ta có: AD//BC ( ABCD là hình bình hành) Mà AD thuộc ( AFD ,
) BC thuộc  BEC  Nên AFD // BEC
b) Trong ABEF . kẻ đường thẳng d qua M//AF GV: TR
Ta có: d cắt AB tại I, d cắt EF tại J (1)
Trong  ABCD có I thuộc  P mà P // AFD Ầ N Đ Suy ra từ I kẻ IH//AD (2) ÌN (1)(2) suy ra trùng và H IJH P // AFD C Ư
Ta có: P cắt AC tại N . mthuộc  ABCD , IH thuộc P và  ABCD . – 0834 Suy ra: IH cắt AC tại N 3321
Ta có các hình bình hành IBCH , IBEJ
Gọi O là trung điểm của AB 33 trọng tâm ABE . MO 1 Suy ra:  ME 2 có: AB//CD suy ra: AI//CH . AN AI Định lí Ta-lét: 
mà CH = IB (IBCH là hình bình hành) NC CH AN AI Suy ra:  NC IB Ta có: AB//EF nên OI // EJ OI MO 1 Do đó:   EJ ME 2
Mà EJ  IB ( IBEJ là hình bình hành) OI 1 Suy ra:  hay IB  2OI IB 2
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 98
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com AN AI AO OI Ta có:   NC IB 2OI
Mà OA  OB(O là trung điểm AB) AN OB OI Nên   2 NC 2OI AN Do đó:  2 . NC
BÀI 5: HÌNH LĂNG TRỤ VÀ HÌNH HỘP
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I. HÌNH LĂNG TRỤ 1. Định nghĩa Ta có định nghĩa sau:
Hình gồm hai đa giác A A A , A ' A ,'A ' và các hình bình hành 1 2 n 1 2 n
A A A ' A ', A A A ' A ', ,
A A A ' A ' được gọi là hình lăng trụ, kí hiệu là A A A .A ' A 'A ' 1 2 2 1 2 3 3 2 n 1 1 n 1 2 n 1 2 n
Chú ý: Nếu đáy của lăng trụ là một tam giác, tứ giác, ngũ giác,  thì hình lăng trụ tương ứng
gọi là hình lăng trụ tam giác, hình lăng trụ tứ giác, hình lăng trụ ngũ giác (Hình 71),...
Trong hình lăng trụ A A A .A ' A A ' : 1 2 n 1 2 n
Hai đa giác A A A A A  
A ' gọi là hai mặt đáy; GV: TR 1 2 n 1 2 n
Các hình bình hành A A A ' A ', A A A ' A ', ,
A A A ' A ' , gọi là các 1 2 2 1 2 3 3 2 n 1 1 n Ầ N mặt bên Đ ÌN
Các cạnh của hai mặt đáy gọi là các cạnh đáy; H C
Các đoạn thẳng A A ,' A A ',..., A A ' gọi là các cạnh bên; Ư 1 1 2 2 n n – 0834
Các đỉnh của hai mặt đáy gọi là các đỉnh của hình lăng trụ. 3321 2. Tính chất
- Các cạnh bên của hình lăng trụ song song và bằng nhau. 33
- Các mặt bên của hình lăng trụ là các hình bình hành.
- Hai mặt đáy của hình lăng trụ là hai đa giác có các cạnh tương ứng song song và bằng nhau. II. HÌNH HỘP
Hình hộp là hình lăng trụ có đáy là hình bình hành.
Trong mỗi hình hộp, ta gọi: 
Hai mặt không có đỉnh chung là hai mặt đối diện; 
Hai cạnh song song không nằm trong một mặt là hai cạnh đối diện; 
Hai đỉnh không thuộc cùng một mặt là hai đỉnh đối diện; 
Đoạn thẳng nối hai đỉnh đối diện là đuờng chéo. 2. Tính chất
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 99
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
Hình hộp là một hình lăng trụ nên hình hộp có các tính chất của hình lăng trụ, ngoài ra: 
Các mặt của hình hộp là các hình bình hành. 
Hai mặt phẳng lần lượt chứa hai mặt đối diện của hình hộp song song với nhau.
Nhận xét: Ta có thể coi hai mặt đối diện bất kì của một hình hộp là hai mặt đáy của nó.
B. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 1. Cho hình hộp ABCD A BCD   .
a) Chứng minh rằng  ACB / /  AC D   .
b) Gọi G ,G lần lượt là giao điểm của BD với các mặt phẳng  ACB và  A CD   . Chứng minh 1 2
rằng G ,G lần lượt là trọng tâm của hai tam giác ACB và A CD  . 1 2
c) Chứng minh rằng BG G G D G  . 1 1 2 2 Lời giải GV: TR a) Ta có: AD//B C  ,A  D=B C   nên ADC B   là hình bình hành N Đ Suy ra: AB /
 /DC nên AB / /  AC D    1 ÌN H C
Ta có:  ACC ' A' là hình bình hành nên AC//A C   . Suy ra: AC// A C  D  2 Ư –
AB ', AC thuộc  ACB ' (3) 0834   1 23 suy ra A B   // A C  D   3321 b) Gọi ,
O O lần lượt là tâm hình bình hành ABC , D AB CD   33
Trong (BDD'B'): B'O cắt BD' mà B'O thuộc (ACB'), BD' cắt (ACB') tại G 1
Suy ra: B'O cắt BD' tại G 1
Tương tự ta có: DO' cắt BD' tại G 2 Ta có: G  OB đồng dạng với '
G B D (do BD / /B D   ) 1 1 G O OB 1 Suy ra: 1   G BB D   2 1 G O 2 Nên: 1  OB 3
Do đó: G là trọng tâm A  CB' 1
Chứng minh tương tự ta có: G là trọng tâm A  C  D  . 2 c) Ta có: G
 OB đồng dạng với G  B D  ' 1 1
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 100
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com G B OB 1 Suy ra: 1   G DB D   2 1 1
Nên: G B BD 1 1   3 G DOD 1 Tương tự ta có: 2   G B DB 2 2 1
Nên: G D  DD 2 2   3
(1)(2) suy ra G B G G G D . 1 1 2 2
Bài 2. Cho hình hộp ABCD A BCD
  . Gọi M , N, P,Q lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, AA ,  C D
 , AD . Chứng minh rằng: 1 a) NQ / / A D   và NQ AD ; 2
b) Tứ giác MNQC là hình bình hành;
c) MN / /  ACD ;
d) MNP / /  ACD . Lời giải GV: TR Ầ N Đ ÌN H C Ư – 0834 3321 33 AN 1
a) Ta có: N là trung điểm của AA' nên  AA 2 AQ 1
Q là trung điểm của AD' nên  AD 2
Theo định lí Ta-lét ta có: NQ//A'D' NQ AN 1 1 Suy ra:   nên NQ ADADAA 2 2
b) Ta có: NQ / / A D   mà A D
  / /BC nên NQ / /BC hay NQ / /MC (1) 1 1 Ta có: NQ AD mà A D    BC, MC  BC nên NQ  MC (2) 2 2
(1)(2) suy ra: MNQC là hình bình hành
c) Ta có: MNCQ là hình bình hành nên MN//CQ
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 101
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
Mà CQ thuộc  ACD ' Nên MN// ACD'
d) Gọi O là trung điểm của AC A
CB có: O, M là trung điểm của AC, BC 1
Suy ra: OM//AB nên OM AB 2 1 Mà AB C D  , D P   C D  2 Suy ra: OM = D'P (1)
Ta có: OM//AB, AB//C'D' nên OM//C'D' hay OM//D'P (2)
(1)(2) suy ra OMPD' là hình bình hành. Do đó: MP // OD'
OD ' thuộc  ACD ' Suy ra: MP // ACD'
Mà MN thuộc  ACD ' (câu c)
Do đó: MNP // ACD'.
Bài 3. Cho hình lăng trụ tam giác ABC A BC
  . Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh
AC AB .
a) Chứng minh rằng EF / / BCC B   . GV: TR
b) Gọi I là giao điểm của đường thẳng CF với mặt phẳng  AC B
  . Chứng minh rằng I
trung điểm đoạn thẳng CF . Ầ N Lời giải Đ ÌN H C Ư – 0834 3321 33
a) Gọi H là trung điểm của BC A
 BC có: E là trung điểm của AC, H là trung điểm của BC Suy ra: EH//AB Mà AB//A B   Do đó: EH//A B   . hay EH//B F  (1) EH EC 1 Ta có: EH//AB nên   AB AC 2 1
AB AB , B F   AB 2 Nên: EH B F  2
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 102
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
(1)(2) suy ra: EHB'F là hình bình hành. Do đó: EF // B ' H
B ' H thuộc  BCC ' B ' Suy ra: EF// BCC'B'
b)Gọi K là trung điểm AB
Dễ dàng chứng minh được FKBB' là hình bình hành Ta có: FK//B Mà BB'//CC' Suy ra: FK//CC  1
Ta có: FK BB , mà BB'  CC  Do đó: FK  CC'2
(1)(2) suy ra FKCC' là hình bình hành
Mà hai đường chéo của hình bình hành cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
Nên C'K cắt CF tại trung điểm của hai đường thẳng mà C K  thuộc  AC B
  , CF cắt  AC B   tại I (đề bài)
Do đó: I là trung điểm của CF.
C. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1. Chứng minh hai mặt phẳng song song 1. Phương pháp GV: TR Áp dụng kết quả sau: Ầ N Đ a∥ c, b∥ d  ÌN a, b P   H C   P∥ Q Ư c,d  Q  0834 a  b    A  3321
Áp dụng: Chứng minh đường thẳng a song song với mặt phẳng (P). 33 a  Q    a∥ P Q∥ P
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD, AD∥ BC, AD  2BC . Gọi E, F, I
lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, AD, SD.
a. Chứng minh EFB∥ SCD . Từ đó chứng minh CI∥ EFB .
b. Tìm giao tuyến của (SBC) và (SAD). Tìm giao điểm K của FI với giao tuyến này, chứng minh SBF∥ KCD . Giải
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 103
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com a. Ta có: S K x
EF∥ SD (EF là đường trung bình của tam giác SAD).
BF∥ CD BC∥ FD, BC  FD . E I
Suy ra EFB∥ SCD .
Mà CI  SCD nên CI∥ EFB . b. Ta có: A D F  BC∥ AD  BC SBC, AD SAD    S SBC SAD     B C
 SBC  SAD  Sx, Sx∥ AD∥ BC
Trong mp(SAD): FI cắt Sx tại K.
Ta có: SK∥ FD, IS  ID nên IK  IF .
Vậy tứ giác SKDF là hình bình hành, suy ra SF∥ KD .
Mặt khác BF∥ CD nên SBF∥ KCD .
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SA và CD.
a. Chứng minh mặt phẳng (OMN) và mặt phẳng (SBC) song song với nhau. GV: TR
b. Giả sử hai tam giác SAD và ABC đều là tam giác cân tại A. Gọi AE và AF lần lượt là các
đường phân giác trong của các tam giác ACD và SAB. Chứng minh EF song song với mặt phẳng N Đ (SAD). ÌN H C Giải Ư – 0834 3321 33
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 104
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com a. Ta có: S
ON∥ BC (ON là đường trung bình của tam giác BCD).
OM∥ SC (OM là đường trung bình của tam M giác SAC) Vì
OM,ON  OMN; BC,SC  SBC nên F OMN∥ SBC . D A
b. Từ E kẻ đường thẳng EP∥ AD (P thuộc P O N AB) (1) E B
Khi đó theo tính chất đường phân giác và tam C giác cân ta có: PB EC AC AB FB     PA ED AD AS FA Do đó: PF∥ SA (2)
Từ (1) và (2) suy ra PEF∥ SAD .
Mặt khác EF  PEF nên EF∥ SAD .
Ngoài ra ta có thể dùng định lí Thales để chứng minh EF∥ SAD như sau: GV: TR
Theo tính chất đường phân giác và tính chất của tam giác cân ta chứng minh được: AB AC FB EC    . AS AD FS ED N Đ ÌN
Theo định lí Thales ta suy ra ba đường thẳng BC, EF và SD nằm trong ba mặt phẳng song song, H C
suy ra EF song song với mặt phẳng chứa BC và song song với mặt phẳng chứa SD. Mặt khác Ư –
BC∥ AD nên EF song song với mặt phẳng (SAD). 0834
Ví dụ 3. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh AA’, BB’, CC’, DD’ song song với nhau. 3321
a. Chứng minh hai mặt phẳng (BDA’) và (B’D’C) song song với nhau. 33
b. Chứng minh rằng đường chéo AC’ đi qua trọng tâm G và G’ lần lượt của hai tam giác BDA’ và B’D’C.
c. Chứng minh G và G’ chia đoạn AC’ thành ba phần bằng nhau. Giải a. Ta có:
A'B∥ D'C (vì tứ giác A’BCD’ là hình bình hành).
BD∥ B'D' (vì tứ giác BB’D’D là hình bình hành), suy ra mpBDA'∥ mpB'D'C .
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 105
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
b. Gọi O, O’ và Q lần lượt là tâm các hình bình D' C'
hành ABCD, A’B’C’D và AA’C’C. O'
Ta có: A’O là đường trung tuyến và G là trọng tâm A' A'G 2 B' của tam giác BDA’ nên  . G' A'O 3
Do đó G cũng là trọng tâm tam giác A’AC (vì A’O Q G
là đường trung tuyến của tam giác A’AC). D
Mà AQ là đường trung tuyến của tam giác A’AC C
nên G thuộc AQ, G thuộc AC’ . O (1) A B
Tương tự ta có G’ là trọng tâm của tam giác B’D’C
và cũng là trọng tâm của tam giác A’C’C.
Mà C’Q là đường trung tuyến của tam giác A’C’C
nên G’ thuộc C’Q. Suy ra G’ thuộc AC’. (2)
Từ (1) và (2) suy ra đường chéo AC’ đi qua hai trọng tâm G và G’ lần lượt của hai tam giác BDA’ và B’D’C. c. Ta có: 1
G là trọng tâm tam giác A’AC nên AG 2 AG 1   
AC'  2AQ . Suy ra AG  AC' . AQ 3 AC' 3 3 GV: TR 1
G’ là trọng tâm tam giác A’C’C nên C'G' 2 C'G' 1   
AC'  2C'Q . Suy ra C'G'  AC' . C'Q 3 C' A 3 3 N Đ 1 ÌN
Vậy AG  GG'  C'G'  AC' . Tức là G và G’ chia đoạn AC’ thành ba phần bằng nhau. H 3 C Ư –
Dạng 2. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng và tìm thiết diện qua một điểm và song song 0834 với một mặt phẳng 3321 1. Phương pháp 33 P∥ Q     P     a   a∥ b   Q     b
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M là trung điểm của AD. Gọi  và  là mặt phẳng
qua điểm M và lần lượt song song với mặt phẳng (SBD) và (SAC).
a. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mp  .
b. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mp  .
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 106
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
c. Gọi H và K lần lượt là giao điểm của  và  với AC và BD. Chứng minh tứ giác OHMK là hình bình hành. Giải ∥ SBD  S  
a. ABCD SBD  BD M ABCD         F
 ABCD   MN E ∥ BD NAB
Gọi M là trung điểm của AD nên N là trung điểm của AB. Ta có: A DM ∥ SBD  H  SAB SBD  
 SB  SAB    NE∥ SB E  SA K N P N SAB         B
Mà N là trung điểm của AB nên E là trung điểm của SA. C
Khi đó: ME   SAD .
Vậy thiết diện cần tìm là tam giác MNE. ∥ SAC   b. ABCD SAC  
 AC  ABCD    MP∥ AC P  CD GV: TR M ABCD         Ầ N
Mà M là trung điểm của AD nên P là trung điểm của CD. Đ ÌN Ta có: H C ∥ SAC  Ư
SCD  SAC  SC  SCD    PF∥ SC F           SD 0834 P SCD         3321
Mà P là trung điểm của CD nên F là trung điểm của SD. 33
Vậy thiết diện cần tìm là tam giác MPF.
c. Trong mp(ABCD): AC cắt MN tại H, BD cắt MP tại K. Do MN chứa trong mp và MP
chứa trong mp nên H chính là giao điểm của AC với mp và K chính là giao điểm của BD với mp .
Ta có MN∥ BD nên MH∥ OK, MP∥ AC nên MK∥ HO . Vậy tứ giác OHMK là hình bình hành.
Ví dụ 2. Trong mặt phẳng (P) cho hình bình hành ABCD. Ta dựng các nửa đường thẳng song
song với nhau và nằm về một phía đối với (P) lần lượt đi qua các điểm A, B, C, D. Một mặt
phẳng (P’) cắt bốn nửa đường thẳng nói trên tại A’, B’, C’, D’. Chứng minh:
a. Tứ giác A’B’C’D’ là hình bình hành. b. AA' CC'  BB  ' DD' . Giải
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 107
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
a. Ta có AB∥ CD và Ax∥ Dt nên mpAx,By∥ mpCz,Dt .
Mà P' Ax,By  A'B' ; P' Cz,Dt  C'D' nên A'B'∥ C'D' (1) Tương tự:
mpAx,Dt∥ mpBy,Cz y z P' Ax,Dt    A' D'   A ' D'∥ B'C' x t C' P' By,Cz    B'C'   (2) D' B' O'
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác A’B’C’D’ là hình bình hành. D A' C
b. Gọi O và O’ lần lượt là tâm các hình bình O
hành ABCD và A’B’C’D’. A
Khi đó ta có OO’ là đường trung bình của hình B
thang AA’C’C và hình thang BB’D’D. Do đó: AA  ' CC'  2OO' và BB  ' DD'  2OO' . Vậy AA' CC'  BB  ' DD' .
Ví dụ 3. Cho tứ diện ABCD và M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD. Mặt phẳng  chứa MN
cắt các cạnh AD và BC lần lượt là P và Q. GV: TR
a. Cho trước điểm P, hãy nói cách dựng điểm Q.
b. Gọi K là giao điểm của MN và PQ. Chứng minh rằng KP  KQ . Ầ N Giải Đ ÌN
a. Ta có  là mp(MNP). A H C Ư
Trong mp(ABD): MP cắt BD tại E. – 0834
Trong mp(BCD): EN cắt BC tại Q. M 3321
Vậy  chính là mp(MPNQ). Q là điểm cần tìm. P 33
b. Trên hai đường thẳng chéo nhau AB và CD lần
lượt có các điểm A, M, B và C, N, D định ra các tỉ B E số bằng nhau: D K MA ND N   1 . MB NC Q C
Theo định lí Thales ta suy ra AD, MN, BC nằm trên ba mặt phẳng song song.
Mà PQ là cát tuyến cắt ba mặt phẳng song song lần lượt tại P, K, Q nên: KP MA ND    1 . KQ MB NC
Vậy K là trung điểm của PQ.
Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABCD , có đáy là hình bình hành tâm O . Gọi M , N lần lượt là trung
điểm của SB SC , lấy điểm P SA .
a) Tìm giao tuyến SAB và SCD .
b) Tìm giao điểm SD và MNP .
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 108
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
c) Tìm thiết diện hình chóp và mặt phẳng MNP . Thiết diện là hình gì?
d) Gọi J MN . Chứng minh rằng OJ  SAD. Lời giải a) Do AB
song song với CD nên giao tuyến của SAB và SCD là đường thẳng d đi qua S và song song
với AB CD .
b) Trong măt phẳng SAB , kéo dài PM cắt AB tại Q , trong mặt phẳng  PMQR , kéo dài QN
cắt SD tại R , giao điểm của SD và MNP là R . GV: TR
c) Thiết diện hình chóp và mặt phẳng MNP là tứ giác MPRN . Ầ N
Do 3 mặt phẳng MNP ; ABC ; SAD cắt nhau theo 3 giao tuyến là PR; MN; AD nên chúng Đ       ÌN H song song hoặc đồng quy. C Ư –
Mặt khác MN AD MN AD PR MPRN là hình thang. 0834
d) Ta có: OM là đường trung bình trong tam giác SBD OM SD . 3321 33
Tương tự ta có: ON SA  OMN   SAD .
Mặt khác OJ  OMN   OJ  SAD. (điều phải chứng minh). D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Hai mặt phẳng không cắt nhau thì song song.
B. Hai mặt phẳng cùng song song với một đường thẳng thì cắt nhau.
C. Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có duy nhất một mặt phẳng song
song với mặt phẳng đó.
D. Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có vô số mặt phẳng song song với mặt phẳng đó. Lời giải
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 109
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com Chọn C a P Q
Trong không gian, hai mặt phẳng có 3 vị trí tương đối: trùng nhau, cắt nhau, song song
với nhau. Vì vậy, 2 mặt phẳng không cắt nhau thì có thể song song hoặc trùng nhau  A là mệnh đề sai.
Hai mặt phẳng cùng song song với một đường thẳng thì chúng có thể song song với nhau
(hình vẽ)  B là mệnh đề sai.
Ta có: a  P,a  Q nhưng P  và Q vẫn có thể song song với nhau. GV: TR
Mệnh đề C là tính chất nên C đúng.
Câu 2: Trong các điều kiện sau, điều kiện nào kết luận mp  mp? Ầ N Đ
A.    và    
(  là mặt phẳng nào đó ). ÌN H C
B.   a và   b với a,b là hai đường thẳng phân biệt thuộc . Ư –
C.   a và   b với a,b là hai đường thẳng phân biệt cùng song song với . 0834
D.   a và   b với a,b là hai đường thẳng cắt nhau thuộc . 3321 Lời giải 33 Chọn D  a ba b  
Trong trường hợp:    và    
(  là mặt phẳng nào đó) thì  và  có thể trùng nhau  Loại A
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 110
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
  a và   b với a,b là hai đường thẳng phân biệt thuộc  thì  và  vẫn có thể
cắt nhau (hình 1)  Loại B
  a và   b với a,b là hai đường thẳng phân biệt cùng song song với  thì  và
 vẫn có thể cắt nhau (hình 2)  Loại C
Câu 3: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Nếu mặt phẳng    thì mọi đường thẳng nằm trong  đều song song với .
B. Nếu hai mặt phẳng  và  song song với nhau thì bất kì đường thẳng nào nằm
trong  cũng song song với bất kì đường thẳng nào nằm trong .
C. Nếu hai đường thẳng phân biệt a b song song lần lượt nằm trong hai mặt phẳng
 và  phân biệt thì a  .
D. Nếu đường thẳng d song song với mp thì nó song song với mọi đường thẳng nằm
trong mp. Lời giải Chọn A GV: TR a d Na ĐÌN b a Hb CƯ – Hình 1 Hình 2 Hình 3 0834 3321
Nếu hai mặt phẳng  và  song song với nhau thì hai đường thẳng bất kì lần lượt 33
thuộc  và  có thể chéo nhau (Hình 1)  Loại B
Nếu hai đường thẳng phân biệt a b song song lần lượt nằm trong hai mặt phẳng 
và  phân biệt thì hai mặt phẳng  và  có thể cắt nhau (Hình 2)  Loại C
Nếu đường thẳng d song song với mp thì nó có thể chéo nhau với một đường thẳng
nào đó nằm trong . (Hình 3).
Câu 4: Cho hai mặt phẳng song song  và  , đường thẳng a   . Có mấy vị trí tương đối
của a và . A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Lời giải Chọn B
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 111
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
Trong không gian, giữa đường thẳng và mặt phẳng có 3 vị trí tương đối: đường thẳng cắt
mặt phẳng, đường thẳng song song với mặt phẳng, đường thẳng nằm trên mặt phẳng.
a   mà     a và  không thể cắt nhau.
Vậy còn 2 vị trí tương đối.
Câu 5: Cho hai mặt phẳng song song P  và Q . Hai điểm M , N lần lượt thay đổi trên P  và
Q. Gọi I là trung điểm của MN. Chọn khẳng định đúng.
A. Tập hợp các điểm I là đường thẳng song song và cách đều P  và Q.
B. Tập hợp các điểm I là mặt phẳng song song và cách đều P  và Q.
C. Tập hợp các điểm I là một mặt phẳng cắt P.
D. Tập hợp các điểm I là một đường thẳng cắt P. Lời giải Chọn B M P I GV: TR Ầ N Q N Đ ÌN H C
Ta có: I là trung điểm của MN Ư – 0834
 Khoảng cách từ I đến P  bằng khoảng cách từ I đến Q3321
 Tập hợp các điểm I là mặt phẳng song song và cách đều P  và Q. 33
Câu 6: Trong các điều kiện sau, điều kiện nào kết luận đường thẳng a song song với mặt phẳng P?
A. a b b  P .
B. a b b  P.
C. a  Q và Q  P .
D. a  Q và b  P . Lời giải Chọn D
Ta có: a b b  P  suy ra a  P  hoặc a  P   Loại A
a b b  P  suy ra a  P  hoặc a  P   Loại B
a  Q  và Q  P  suy ra a  P  hoặc a  P   Loại C
Câu 7: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 112
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
A. Nếu    và a  , b   thì a  . b
B. Nếu    và a  , b   thì a b chéo nhau.
C. Nếu a b a  , b   thì   .
D. Nếu   a,   b và    thì a  . b Lời giải Chọn D
Nếu    và a  , b   thì a b hoặc a chéo b  A, B sai.
Nếu a b a  , b   thì    hoặc  và  cắt nhau theo giao tuyến song
song với a b.
Câu 8: Cho đường thẳng a mpP  và đường thẳng b mpQ. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. P   Q  a  . b
B. a b  P   Q.
C. P  Q  a  Q và b  P.
D. a b chéo nhau. Lời giải Chọn C GV: TR
Với đường thẳng a mpP  và đường thẳng b mpQẦ N
Khi P  Q  a b hoặc a,b chéo nhau  A sai. Đ ÌN H C
Khi a b  P   Q hoặc P,Q cắt nhau theo giao tuyến song song với a b  B Ư – sai. 0834 3321
a b có thể chéo nhau, song song hoặc cắt nhau  D sai. 33
Câu 9: Hai đường thẳng a b nằm trong mp. Hai đường thẳng a và b nằm trong mp.
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Nếu a a và b b thì   .
B. Nếu    thì a a và b b .
C. Nếu a b a  b thì   .
D. Nếu a cắt b a a , b b thì   . Lời giải Chọn D
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 113
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com a a   b a' b' a'  Hình 1 Hình 2
Nếu a a và b b thì    hoặc  cắt  (Hình 1)  A sai.
Nếu    thì a a hoặc ,
a a chéo nhau (Hình 2)  B sai.
Nếu a b a  b thì    hoặc  cắt CC . (Hình 1)  C sai.
Câu 10: Cho hai mặt phẳng P  và Q cắt nhau theo giao tuyến .
 Hai đường thẳng p q lần
lượt nằm trong P  và Q. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. p q cắt nhau.
B. p q chéo nhau.
C. p q song song.
D. Cả ba mệnh đề trên đều sai. GV: TR Lời giải Chọn D N Đ ÌN H C P Ư P p p P p 0834 Qq Q q 3321 Q   q 33
Ta có p q có thể cắt nhau, song song, chéo nhau (hình vẽ).
Câu 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm .
O Gọi M , N , P theo thứ tự là trung điểm của ,
SA SD AB. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. NOM  cắt OPM .
B. MON  //SBC .
C. PON MNP   NP.
D. NMP  //SBD. Lời giải Chọn B
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 114
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com S M P N A B O D C
Ta có MN là đường trung bình của tam giác SAD suy ra MN // AD.   1
OP là đường trung bình của tam giác BAD suy ra OP // AD. 2 Từ  
1 ,2 suy ra MN // OP // AD M , N , O, P đồng phẳng.
Lại có MP // SB, OP // BC suy ra MNOP  //SBC  hay MON  //SBC .
Câu 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm .
O Tam giác SBD đều. Một
mặt phẳng P  song song với SBD và qua điểm I thuộc cạnh AC (không trùng với A GV: TR
hoặc C ). Thiết diện của P  và hình chóp là hình gì? A. Hình hình hành. B. Tam giác cân.
C. Tam giác vuông. D. Tam giác đều. Ầ N Đ Lời giải ÌN H C Chọn D Ư – 0834 S 3321 33 P C B O I M D N A
Gọi MN là đoạn thẳng giao tuyến của mặt phẳng P  và mặt đáy ABCD.
Vì P  //SBD, PABCD  MN và SBDABCD  MN suy ra MN // . BD
Lập luận tương tự, ta có
P  cắt mặt SAD theo đoạn giao tuyến NP với NP // SD.
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 115
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
P  cắt mặt SAB theo đoạn giao tuyến MP với MP //SB.
Vậy tam giác MNP đồng dạng với tam giác SBD nên thiết diện của P  và hình chóp
S.ABCD là tam giác đều MNP.
Câu 13: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC thỏa mãn AB AC  4,  BAC  30. Mặt
phẳng P  song song với ABC  cắt đoạn SA tại M sao cho SM  2M .
A Diện tích thiết
diện của P  và hình chóp S.ABC bằng bao nhiêu? A. 16 . B. 14 . C. 25 . D. 1. 9 9 9 Lời giải Chọn A S N M A C P GV: TR B N Đ ÌN 1 1 H
Diện tích tam giác ABC là  0 S
 .AB.AC.sin BAC  .4.4.sin 30  4. C ABC  2 2 Ư – 0834
Gọi N , P lần lượt là giao điểm của mặt phẳng P  và các cạnh SB, SC. 3321 Vì  SM SN SP
P  // ABC  nên theoo định lí Talet, ta có 2    . 33 SA SB SC 3
Khi đó P  cắt hình chóp S.ABC theo thiết diện là tam giác MNP đồng dạng với tam 2   giác 2 16 ABC theo tỉ số 2 k  . Vậy 2 Sk .S      .4  .     3 MNP ABC 3 9
Câu 14: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân với cạnh bên BC  2, hai đáy
AB  6, CD  4. Mặt phẳng P  song song với ABCD và cắt cạnh SA tại M sao cho
SA  3SM . Diện tích thiết diện của P  và hình chóp S.ABCD bằng bao nhiêu? A. 5 3 . B. 2 3 . C. 2. D. 7 3 . 9 3 9 Lời giải Chọn A
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 116
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com S O P M N D C D C A B A H K B
Gọi H , K lần lượt là hình chiếu vuông góc của D, C trên AB.
AH BK; CD HK
ABCD là hình thang cân    BK  1.
AH HK BK AB 
Tam giác BCK vuông tại K, có 2 2 2 2 CK
BC BK  2 1  3.  
Suy ra diện tích hình thang AB CD ABCD là 4 6 SCK.  3.  5 3. ABCD 2 2
Gọi N , P, Q lần lượt là giao điểm của P  và các cạnh SB, SC, SD. GV: TR Vì  MN NP PQ QM
P  // ABCD nên theo định lí Talet, ta có 1     . AB BC CD AD 3 N Đ ÌN 5 3 H
Khi đó P  cắt hình chóp theo thiết diện MNPQ có diện tích 2 Sk .S  . MNPQ ABCD C 9 Ư – 0834
Câu 15: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành có tâm O, AB  8 , SA SB  6. 3321
Gọi P  là mặt phẳng qua O và song song với SAB. Thiết diện của P  và hình chóp 33 S.ABCD là: A. 5 5. B. 6 5. C. 12. D. 13. Lời giải Chọn B S M N A B Q P C D
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 117
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
Qua O kẻ đường thẳng d  song song AB và cắt BC, AD lần lượt tại P, Q.
Kẻ PN song song với SB N SB, kẻ QM song song với SA M SA.
Khi đó MNPQ //SAB  thiết diện của P  và hình chóp S.ABCD là tứ giác MNPQ
P, Q là trung điểm của BC, AD suy ra N, M lần lượt là trung điểm của SC, SD. Do đó CD AB
MN là đường trung bình tam giác SCD MN    4. 2 2 Và SB SA NP   3; QM
 3  NP QM MNPQ là hình thang cân. 2 2 Hạ 1
NH , MK vuông góc với PQ . Ta có PH KQ PH
PQ MN   2. 2
Tam giác PHN vuông, có NH  5. 
Vậy diện tích hình thang PQ NM MNPQ SNH.  6 5. MNPQ 2
Câu 16: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. Hình lăng trụ có các cạnh bên song song và bằng nhau. GV: TR
B. Hai mặt đáy của hình lăng trụ nằm trên hai mặt phẳng song song.
C. Hai đáy của lăng trụ là hai đa giác đều. Ầ N
D. Các mặt bên của lăng trụ là các hình bình hành. Đ ÌN Lời giải H C Ư Chọn C – 0834
Xét hình lăng trụ có đáy là một đa giác (tam giác, tứ giác,… ), ta thấy rằng 3321 33
Hình lăng trụ luôn có các cạnh bên song song và bằng nhau.
Hai mặt đáy của hình lăng trụ nằm trên hai mặt phẳng song song.
Hai đáy của lăng trụ là hai đa giác bằng nhau (tam giác, tứ giác,… )
Các mặt bên của lăng trụ là các hình bình hành vì có hai cạnh là hai cạnh bên của hình
lăng trụ, hai cạnh còn lại thuộc hai đáy song song.
Câu 17: Trong các mệnh đều sau, mệnh đề nào sai?
A. Các cạnh bên của hình lăng trụ bằng nhau và song song với nhau.
B. Các mặt bên của hình lăng trụ là các hình bình hành.
C. Các mặt bên của hình lăng trụ là các hình bình hành bằng nhau.
D. Hai đáy của hình lăng trụ là hai đa giác bằng nhau. Lời giải
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 118
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com Chọn C
Các mặt bên của hình lăng trụ là các hình hình hành, chúng bằng nhau nếu hình lăng trụ
có đáy là tam giác đều.
Câu 18: Trong các mệnh đều sau, mệnh đề nào đúng?
A. Các cạnh bên của hình chóp cụt đôi một song song.
B. Các cạnh bên của hình chóp cụt là các hình thang.
C. Hai đáy của hình chóp cụt là hai đa giác đồng dạng.
D. Cả 3 mệnh đề trên đều sai. Lời giải Chọn C
Xét hình chóp cụt có đáy là đa giác (tam giác, tứ giác,… ) ta thấy rằng:
Các cạnh bên của hình chóp cụt đôi một cắt nhau.
Các mặt bên của hình chóp cụt là các hình thang cân.
Hai đáy của hình chóp cụt là hai đa giác đồng dạng. GV: TR
Câu 19: Trong các mệnh đều sau, mệnh đề nào sai?
A. Trong hình chóp cụt thì hai đáy là hai đa giác có các cạnh tương ứng song song và Ầ N
các tỉ số các cặp cạnh tương ứng bằng nhau. Đ ÌN
B. Các mặt bên của hình chóp cụt là các hình thang. H C Ư
C. Các mặt bên của hình chóp cụt là các hình thang cân. – 0834
D. Đường thẳng chứa các cạnh bên của hình chóp cụt đồng quy tại một điểm. Lời giải 3321 33 Chọn C
Với hình chóp cụt, các mặt bên của hình chóp cụt là các hình thang.
Câu 20: Cho hình lăng trụ ABC.AB C
 . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của BB và CC . Gọi 
là giao tuyến của hai mặt phẳng AMN  và A BC
 . Khẳng định nào sau đây đúng? A.   AB. B.   AC. C.   BC. D.   AA . Lời giải Chọn C
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 119
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com C' A' B' N M A C B
MN AMN   Ta có B C
   AB C   
  là giao tuyến của hai mặt phẳng AMN  và A BC   sẽ song MN B C  
song với MN B C
  . Suy ra   BC.
Câu 21: Cho hình lăng trụ ABC.AB C
 . Gọi H là trung điểm của AB . Đường thẳng B C  song song
với mặt phẳng nào sau đây? A. AHC . B. AA H  . C. HAB. D. HA C  . Lời giải GV: TR Chọn A Ầ N C Đ ÌN H A M C B Ư – 0834 3321 C' 33 A' B' H
Gọi M là trung điểm của AB suy ra MB  AH 
MB  AHC .   1
MH là đường trung bình của hình bình hành ABB A
  suy ra MH song song và bằng BB
nên MH song song và bằng CC    MHC C  là hình hình hành 
MC HC  
MC  AHC . 2 Từ  
1 và 2 , suy ra B M
C  AHC   B C   AHC.
Câu 22: Cho hình lăng trụ ABC.A BC
  . Gọi H là trung điểm của AB . Mặt phẳng AHC  song
song với đường thẳng nào sau đây? A. CB . B. BB . C. BC. D. BA .
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 120
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com Lời giải Chọn A C A M B C' A' B' H
Gọi M là trung điểm của AB suy ra MB  AH 
MB  AHC .   1
MH là đường trung bình của hình bình hành ABB A
  suy ra MH song song và bằng BB  nên MH
song song và bằng CC    MHC C  là hình hình hành 
MC HC  
MC  AHC . 2 GV: TR Từ  
1 và 2 , suy ra B M
C  AHC   B C   AHC. Ầ N
Câu 23: Cho hình lăng trụ ABC.A B C . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? 1 1 1 Đ ÌN
A. ABC //A B C .
B. AA //BCC . 1  1 1 1  1 H C Ư
C. AB //A B C .
D. AA B B là hình chữ nhật. 1 1 1  1 1 – 0834 Lời giải 3321 Chọn D 33
Vì mặt bên AA B B là hình bình hành, còn nó là hình chữ nhật nếu ABC.A B C là hình 1 1 1 1 1 lăng trụ đứng.
Câu 24: Cho hình hộp ABCD.A B C D . Khẳng định nào dưới đây là sai? 1 1 1 1
A. ABCD là hình bình hành.
B. Các đường thẳng A C, AC , DB , D B đồng quy. 1 1 1 1
C. ADD A //BCC B . 1 1  1 1 
D. AD CB là hình chữ nhật. 1 Lời giải Chọn D
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 121
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com D C A B D1 C1 A1 B1
Dựa vào hình vẽ và tính chất của hình hộp chữ nhật, ta thấy rằng:
 Hình hộp có đáy ABCD là hình bình hành.
 Các đường thẳng A C, AC , DB , D B cắt nhau tại tâm của AA C C, BDD B . 1 1 1 1 1 1 1 1
 Hai mặt bên ADD A , BCC B đối diện và song song với nhau. 1 1   1 1 
AD CB là hai đường thẳng chéo nhau suy ra AD CB không phải là hình chữ nhật. 1 1
Câu 25: Cho hình hộp ABCD.AB CD
  có các cạnh bên AA , BB , CC , DD . Khẳng định nào dưới GV: TR đây sai? A. AA BB  //DD CC  . B. BA D
 //ADC . N Đ ÌN C. AB C
D là hình bình hành. D. BB DD  là một tứ giác. H C Lời giải Ư – 0834 Chọn B 3321 D C 33 A B D' C' A' B'
Dựa vào hình vẽ dưới và tính chất của hình hộp, ta thấy rằng:
 Hai mặt bên AA BB   và DD CC
  đối diện, song song với nhau.
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 122
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
 Hình hộp có hai đáy ABCD, A BCD
  là hình bình hành  AB CD AB //CD suy ra AB C
D là hình hình hành.  BD // B D
  suy ra B, B , D , D đồng phẳng  BB DD  là tứ giác.
 Mặt phẳng BA D
  chứa đường thẳng CD mà CD cắt C D  suy ra BA D   không song
song với ADC .
Câu 26: Nếu thiết diện của một lăng trụ tam giác và một mặt phẳng là một đa giác thì đa giác đó
có nhiều nhất mấy cạnh? A. 3 cạnh. B. 4 cạnh. C. 5 cạnh. D. 6 cạnh. Lời giải Chọn C
Đa giác thiết diện của một lăng trụ tam giác và một mặt phẳng có nhiều nhất 5 cạnh với
các cạnh thuộc các mặt của hình lăng trụ tam giác.
Câu 27: Nếu thiết diện của một hình hộp và một mặt phẳng là một đa giác thì đa giác đó có nhiều nhất mấy cạnh? A. 4 cạnh. B. 5 cạnh. C. 6 cạnh. D. 7 cạnh. GV: TR Lời giải Ầ N Chọn C Đ ÌN H C
Vì hình hộp là hình lăng trụ có đáy là tứ giác và có 6 mặt nên thiết diện của hình hộp Ư –
và mặt phẳng bất kì là một đa giác có nhiều nhất 6 cạnh. 0834
Câu 28: Cho hình hộp ABCD.AB CD
  . Gọi I là trung điểm của AB. Mặt phẳng IB D   cắt hình 3321
hộp theo thiết diện là hình gì? 33 A. Tam giác. B. Hình thang.
C. Hình bình hành. D. Hình chữ nhật. Lời giải Chọn B B' C' I M A' D' B C A D
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 123
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com B D     IB D   
Ta có BD ABCD 
 Ggiao tuyến của IB D
  với ABCD là đường thẳng  d đi qua I B D    BD  
và song song với BD .
Trong mặt phẳng ABCD , gọi M d AD 
IM BD B D   .
Khi đó thiết diện là tứ giác IMB D
  và tứ giác này là hình thang.
Câu 29: Cho hình hộp ABCD.AB CD
  . Gọi  là mặt phẳng đi qua một cạnh của hình hộp và cắt
hình hộp theo thiết diện là một tứ giác T  . Khẳng định nào sau đây không sai?
A. T  là hình chữ nhật.
B. T  là hình bình hành.
C. T  là hình thoi.
D. T  là hình vuông. Lời giải Chọn B GV: TR B C Ầ N Đ A ÌN D H C Ư – C' B' 0834 3321 33 A' D' d
Giả sử mặt phẳng  đi qua cạnh AB và cắt hình hộp theo tứ giác T .
Gọi d là đường thẳng giao tuyến của  và mặt phẳng A BCD  .
Ta chứng minh được AB // d suy ra tứ giác T  là một hình bình hành.
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 124
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
BÀI 6: PHÉP CHIẾU SONG SONG.HÌNH BIỂU DIỄN CỦA MỘT HÌNH KHÔNG GIAN
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I. PHÉP CHIẾU SONG SONG 1. Định nghĩa -Ta có định nghĩa sau:
Cho mặt phẳng P và đường thẳng  cắt mặt phẳng P . Phép
đặt tương ứng mỗi điểm M trong không gian với điểm M  của
mặt phẳng P sao cho MM ' song song hoặc trùng với  gọi là
phép chiếu song song lên mặt phẳng P theo phương  .
-Mặt phẳng P gọi là mặt phẳng chiếu, đường thẳng  gọi là
phuơng chiếu, điểm M  gọi là hình chiếu song song (hoặc ảnh) của điểm M qua phép chiếu GV: TR song song nói trên. 2. Tính chất N Đ
Trong trường hợp tổng quát, ta có định lí sau: ÌN H
Phép chiếu song song biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm C Ư
thay đổi thứ tự ba điểm – 0834 đó. 3321
Phép chiếu song song biến đường thẳng thành đường thẳng; biến tia thành tia; biến đoạn 33
thẳng thành đoạn thẳng.
Trong trường hợp tổng quát, ta có định lí sau (Hình 80 , Hình 81): 
Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau. 
Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng nằm trên hai
đường thẳng song song hoặc cùng nằm trên một đường thẳng.
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 125
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
Chú ý: Đối với hình chiếu song song của đường tròn, người ta chứng minh được rằng: Hình chiếu
song song của một đường tròn trên một mặt phẳng theo phương  cho trước là một đường elip
hoặc một đường tròn, hoặc đặc biệt có thể là một đoạn thẳng.
II. HÌNH BIỂU DIỄN CỦA MỘT HÌNH KHÔNG GIAN 1. Khái niệm
Hình biểu diễn của một hình  trong không gian là hình chiếu song song của hình  trên một
mặt phẳng theo một phương chiếu nào đó hoặc hình đồng dạng với hình chiếu đó.
Chú ý: Muốn vẽ đúng hình biểu diễn của một hình không gian ta phải áp dụng các tính chất của phép chiếu song song.
2. Hình biểu diễn của một số hình khối đơn giản
Các hình sau đây thường được sử dụng làm hình biểu diễn của: hình tứ diện (Hình 86a); hình hộp
(Hình 86b); hình hộp chữ nhật (Hình 86c); hình lăng trụ tam giác (Hình 86d). GV: TR Ầ N Đ ÌN H Chú ý C Ư 1. – 0834
 Một tam giác bất kì bao giờ cũng có thể coi là hình biểu diễn của 3321
một tam giác có dạng tuỳ ý cho trước (có thể là tam giác đều, tam
giác cân, tam giác vuông, ...). 33
 Một hình bình hành bất kì bao giờ cũng có thể coi là hình biểu diễn
của một hình bình hành tuỳ ý cho trước (có thể là hình bình hành,
hình vuông, hình thoi, hình chữ nhật, ...).
 Một hình thang bất kì bao giờ cũng có thể coi là hình biểu diễn cho
một hình thang tuỳ ý cho trước, sao cho tỉ số độ dài hai đáy của
hình biểu diễn phải bằng tỉ số độ dài hai đáy của hình thang ban đầu.
 Ta thường dùng đường elip làm hình biểu diễn của đường tròn, tâm của elip biểu diễn cho tâm
của đường tròn (Hình 87). 2
. Phép chiếu song song nói chung không giữ nguyên tỉ số của hai đoạn thẳng không nằm
trên hai đường thẳng song song (hay không cùng nằm trên một đường thẳng) và không giữ
nguyên độ lớn của một góc. Từ đó suy ra nếu trên hình  có hai đoạn thẳng không nằm trên hai
đường thẳng song song thì tỉ số của chúng không nhất thiết phải giữ nguyên trên hình biểu diễn.
Cũng như vậy, độ lớn của một góc trên hình  không nhất thiết được giữ nguyên trên hình biểu diễn.
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 126
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
Dạng 1. Vẽ hình biểu diễn của một hình trong không gian 1. Phương pháp
Để vẽ hình biểu diễn của một hình trong không gian, ta cần chú ý một số điểm sau:
- Nếu trên hình H có hai đoạn thẳng cùng phương thì trên hình H’ hình chiếu của hai đoạn thẳng đó phải cùng phương.
- Trung điểm của một đoạn thẳng có hình chiếu là trung điểm của đoạn thẳng hình chiếu.
- Trong tam giác có một góc tù, ta cần chú ý chân đường cao kẻ từ đỉnh của góc nhọn không nằm
trên cạnh đối diện mà nằm ở trên phần kéo dài của cạnh ấy.
- Một góc bất kì có thể biểu diễn cho mọi góc (nhọn, vuông, tù).
- Một tam giác bất kì có thể là hình biểu diễn của mọi tam giác (cân, đều, vuông).
- Hình bình hành có thể dùng làm hình biểu diễn cho các hình có tính chất của hình bình hành
(vuông, thoi, chữ nhật,…)
- Một đường tròn được biểu diễn bởi một đường elip hoặc một đường tròn, hoặc đặc biệt có thể là một đoạn thẳng. 2. Các ví dụ
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC. Hãy chọn mặt phẳng chiếu (P) và phương chiếu d để hình chiếu của
tam giác ABC trên mặt phẳng (P) là: GV: TR a. Một tam giác cân. b. Một tam giác vuông. N Đ ÌN Giải A H C
Qua BC dựng mặt phẳng (P) không qua A. Ư
a. Trong mặt phẳng (P), dựng tam giác BCA’ cân tại – 0834
A’. Khi đó, phép chiếu song song lên (P) theo phương 3321
chiếu AA’ biến tam giác ABC thành tam giác BCA’. P C
b. Trong mặt phẳng (P), dựng tam giác BCA” vuông 33 A" A'
tại A”. Khi đó, phép chiếu song song lên (P) theo B
phương chiếu AA” biến tam giác ABC thành tam giác vuông A”BC.
Ví dụ 2. Vẽ hình chiếu của hình chóp S.ABCD lên S d
mặt phẳng (P) theo phương chiếu SA (SA không song song với (P)). Giải D A
Vì phương chiếu d là SA nên SA cắt (P) tại A’. Các P
đỉnh B, C, D có hình chiếu trên (P) lần lượt là B’, C’, B A' C D'
D’ BB'∥ AA',CC'∥ AA',DD'∥ AA' . Vậy hình chiếu B'
của hình chóp S.ABCD lên (P) là tứ giác A’B’C’D’. C'
Ví dụ 3. Vẽ hình biểu diễn của tam giác ABC có góc A tù, đường cao BH. Giải
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 127
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com Xem hình vẽ sau: B' H A B C C' H' A' Hình thật Hình biểu diễn
Ví dụ 4. Vẽ hình biểu diễn của đường tròn có hai đường kính vuông góc. Giải
Giả sử trên hình thật ta có đường tròn tâm (O), tâm O, có hai đường kính AB và CD vuông góc.
Nếu ta vẽ dây dung MN song song với AB thì CD sẽ cắt MN tại trung điểm I của MN.
Suy ra cách vẽ hình biểu diễn như C C' sau: M' M N N'
- Vẽ elip (E), tâm O’ và đường kính I I'
A’B’ (qua O’) của nó. A' A - Vẽ dây cung O B M ' N ' O' B' ∥ A ' B ' .
- Lấy I’ là trung điểm của M’N’.
Đường thẳng O’I’ cắt elip (E) tại C’, D D' GV: TR
D’. Ta có A’B’ và C’D’ là hình biểu Hình thật Hình biểu diễn
diễn hai đường kính vuông góc với Ầ N nhau của đường tròn. Đ ÌN
Ví dụ 5. Vẽ hình biểu diễn của một lục giác đều. H C Giải Ư –
Xét hình lục giáo đều ABCDEF, ta thấy: 0834
- Tứ giác OABC là một hình thoi. 3321
- Các điểm D, E, F lần lượt là các điểm đối xứng của các điểm A, B, C qua tâm O. Suy ra cách 33 vẽ như sau:
+ Vẽ hình bình hành O’A’B’C’ biểu diễn cho hình thoi OABC.
+ Lấy các điểm D’, E’, F’ đối xứng với các điểm A’, B’, C’ qua O’.
+ A’B’C’D’E’F’ là hình cần vẽ. F A A' B' F' E B O O' C' E' D' D C
Hình biểu diễn lục giác đều
Ví dụ 6. Vẽ hình biểu diễn của một tam giác đều. Giải
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 128
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
Xét tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi D là điểm đối xứng với A qua O, ta thấy tứ
giác OBDC là hình thoi. Từ đó suy ra cách vẽ như sau:
+ Vẽ hình bình hành O’B’D’C’ biểu diễn cho hình thoi OBDC.
+ Lấy điểm A’ là điểm đối xứng của D’ qua O’.
+ Tam giác A’B’C’ là tam giác đều cần tìm. A A' B' O O' D' B C C' D
Hình biểu diễn tam giác đều
Dạng 2. Các bài toán liên quan đến phép chiếu song song 1. Phương pháp
Các bài toán liên quan đến phép chiếu song song thường là dựa vào các tính chất của phép chiếu
song song để chứng minh một vấn đề nào đó. Cần chú ý rằng trong các bài toán dạng này, việc tìm GV: TR
phương chiếu đóng vai trò khá quan trọng. 2. Các ví dụ Ầ N
Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm của tam giác ACD. Đ ÌN
a. Chứng minh hình chiếu G’ của điểm G trên mặt phẳng (BCD) theo phương chiếu AB là trọng H C tâm của tam giác BCD. Ư –
b. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và AC. Tìm hình chiếu song song của các điểm M, 0834
N theo phép chiếu nói trên. 3321 Giải 33
a. Chứng minh G’ là trọng tâm của tam giác BCD: d A
- Gọi I là trung điểm của CD. Qua phép chiếu song song
phương AB thì IB là hình chiếu của IA trên mặt phẳng (BCD). M
- Vì phép chiếu song song bảo toàn tính thẳng hàng và thứ
tự ba điểm A, G, I nên hình biểu diễn G’ của G nằm trên N M' G B BI và ở giữa B và I. D Trong tam giác IAB, ta có: G' N' I IG IG'    IA IB IG' 1    . C IG 1  IB 3  IA 3 
Suy ra G’ là trọng tâm của tam giác BCD.
b. Hình chiếu của M, N qua phép chiếu song song phương AB trên mặt phẳng (BCD). Ta thấy:
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 129
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
- BD là hình chiếu của AD trên mặt phẳng (BCD); M là trung điểm của AD nên M’ là trung điểm của BD.
- BC là hình chiếu của AC trên mặt phẳng (BCD); N là trung điểm của AC nên N’ là trung điểm của BC.
Ví dụ 2. Cho hai hình bình hành ABCD và BCC’B’ nằm trong hai mặt phẳng phân biệt. Tìm điểm
M trên đoạn DB’, và điểm N trên đường chéo AC sao cho MN∥ BC' . Giải - Phân tích: B' C'
Giả sử đã tìm được M  DB' và N AC sao cho MN∥ BC ' . B''
Xét phép chiếu song song theo phương BC’ lên B C
mặt phẳng (ABCD). Khi đó qua phép chiếu này, M N
hình chiếu của các điểm D, M, B’ lần lượt là D,
N, B’’. Vì D, M, B’ thẳng hàng nên D, N, B” A D
cũng thẳng hàng. Do đó, N là giao điểm của DB”
và AC. Từ đó, ta có cách dựng như sau: - Cách dựng:
+ Dựng B” là hình chiếu của B’ qua phép chiếu theo phương BC’ lên mặt phẳng (ABCD).
+ Dựng N là giao điểm của DB” và AC. GV: TR
+ Trong mặt phẳng (DB’B”), ta kẻ NM∥ B' B " cắt DB’ tại M.
Vậy M và N là các điểm cần tìm. N Đ
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA ÌN H C Bài 1. Trong Ư các Hình – 0834 3321 33 88a,88 ,
b 88c , hình nào là hình biểu diễn cho hình tứ diện? Lời giải
Ba Hình 88a, 88b, 88c đều là hình biểu diễn cho hình tứ diện.
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 130
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
Bài 2. Cho hình hộp ABCD A BCD
  . Xác định ảnh của tam giác A CD
  qua phép chiếu song
song lên mặt phẳng  ABCD theo phương AB . Lời giải
Ta có: B là ảnh của A lên (ABCD)
Có: D'C // A' B nên C là ảnh của D' lên  ABCD
Từ C' kẻ C'E // CD' // A'B. Suy ra E là ảnh của C' lên  ABCD
Vậy tam giác BCE là ảnh của tam giác A CD
  qua phép chiếu song song lên mặt phẳng
ABCD theo phương A'B.
Bài 3. Vẽ hình biểu diễn của các vật trong Hình 89 và Hình 90. GV: TR Ầ N Đ ÌN H C Ư – 0834 3321 Lời giải 33
Bài 4. Vẽ hình biểu diễn của:
a) Một tam giác vuông nội tiếp trong một đường tròn; b) Một lục giác đều. Lời giải
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 131
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Hình chiếu song song của hai đường thẳng cắt nhau là hai đường thẳng song song.
B. Hình chiếu song song của một hình bình hành là một hình bình hành.
C. Phép chiếu song song biến một tam giác thành một tam giác nếu mặt phẳng chứa tam
giác không cùng phương với phương chiếu.
D. Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng. Lời giải Chọn C AH  BC AB∥ CD,AD∥ BC
Câu 2: Trên hình  có  và hình  có  HB   HC AC   BD GV: TR A A D Ầ N Đ ÌN O H C Ư B C H B C 0834 Hình  Hình  3321
Hãy Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: 33 A. ABC là tam giác đều.
B. ABC là tam giác cân tại A C. ABCD là hình thoi. D. B và C đúng. Lời giải Chọn D Nhìn hình vẽ, ta thấy:
- Tam giác ABC có AH vừa là đường cao vừa là trung tuyến nên cân tại A  B đúng.
- Tứ giác ABCD có AB∥ CD, AC∥ BD nên là hình bình hành. Mặt khác hai đường chéo
của nó vuông góc nên ABCD là hình thoi  C đúng.
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 132
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
Câu 3: Trên hình  , ta có phép chiếu song song theo phương d và mặt phẳng chiếu (P); AB∥ CG
và AB  DG ; A’, B’, C’, D’, E’, G’ lần lượt là hình chiếu của A, B, C, D, E, G qua phép chiếu nói trên. G E D C B d A C' D' G' E' P A' B' Hình 
Mệnh đề nào sau đây đúng? A. DG D'G' C' D' CD   1 . B.  . AB A' B' D'E' DE C. D'G '  A' B' .
D. Tất cả A, B, C đều đúng. Lời giải Chọn D
The định lí 2, ta thấy câu A và câu B đúng. Từ câu A đúng suy ra câu C đúng. GV: TR
Câu 4: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? Ầ N
A. Hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau có thể song song với nhau. Đ ÌN
B. Hình chiếu song song của hai đường thẳng cắt nhau thì song song. H C Ư
C. Hình chiếu song song của hai một hình vuông là một hình vuông. – 0834
D. Hình chiếu song song của một lục giác đều là một lục giác đều. 3321 Lời giải 33 P Q a b a' b' R Chọn A
Dựng mặt phẳng (P) qua a và song song với b. Dựng mặt phẳng (Q) qua b và song song
với a. Giả sử (P) song song với (Q). Ta Chọn phương chiếu d song song với (P) và mặt
phẳng chiếu (R) sao cho (R) cắt (P) và (Q) lần lượt theo hai giao tuyến a’ và b’. Khi đó
hình chiếu a’, b’ song song với nhau.
Câu 5: Qua phép chiếu song song lên mặt phẳng (P), hai đường thẳng chéo nhau a và b có hình
chiếu là hai đường thẳng a’ và b’. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. a’ và b’ luôn luôn cắt nhau.
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 133
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
B. a’ và b’ có thể trùng nhau.
C. a và b không thể song song.
D. a’ và b’ có thể cắt nhau hoặc song song với nhau. Lời giải Chọn D
Gọi l là phương chiếu,  và  là các mặt phẳng song song với l và lần lượt đi qua a
và b. Khi đó nếu  và  cắt nhau thì a’ và b’ cắt nhau, nếu  và  song song thì a’ và b’ song song.
Câu 6: Qua phép chiếu song song lên mặt phẳng (P), hai đường thẳng a và b có hình chiếu là hai
đường thẳng song song a’ và b’. Khi đó:
A. a và b phải song song với nhau. B. a và b phải cắt nhau.
C. a và b có thể chéo nhau hoặc song song với nhau.
D. a và b không thể song song. Lời giải Chọn C
Nếu a '∥ b' thì mpa,a'∥ mpb,b' . Bởi vậy a và b có thể song song hoặc chéo nhau. GV: TR
Câu 7: Cho bốn điểm không đồng phẳng A, B, C, D có hình chiếu song song trên mặt phẳng Ầ N Đ
(P) lần lượt là bốn điểm A’, B’, C’, D’. Những trường hợp nào sau đây không thể xảy ÌN H ra? C Ư
A. A’B’C’D’ là bốn đỉnh của một hình bình hành. – 0834
B. D’ là trọng tâm tam giác A’B’C’. 3321
C. D’ là trung điểm cạnh A’B’. 33
D. Hai điểm B’, C’ nằm giữa hai điểm A’ và D’. Lời giải Chọn D
Bốn điểm không đồng phẳng A’, B’, C’, D’ không thể thẳng hàng.
Câu 8: Hình chiếu song song của một hình thang ABCD không thể là hình nào dưới đây? A. Hình bình hành. B. Hình tam giác cân. C. Đoạn thẳng.
D. Bốn điểm thẳng hàng. Lời giải Chọn B
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 134
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com GV: TR Ầ N Đ ÌN H C Ư – 0834 3321 33
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 135