lOMoARcPSD|47207367 lOMoARcPSD|47207367
Khóa học: "Giải tích 2 HCMUT" ĐẶNG TIẾN QUANG
Hướng dẫn giải Đề ôn CK Việt Pháp - HK232
Note that: Tài liệu lưu hành nội bộ. Vui lòng chỉ sử dụng, không chia sẻ ra ngoài cũng như là các
hội nhóm trên không gian mạng.
Chúc em một ngày tốt lành! Study hard.
Bách Khoa, ngày 01 tháng 06 năm Do good 2024 Anh Quang with love and the good life wil fol ow.
Câu 1. Tính thể tích vật thể nằm phía trong hình trụ x2 + y2 = a2, bị chặn bởi mặt x2 − y2 = 2az và
mặt phẳng z = 0 (a > 0).
Hình chiếu của Ω lên mp Oxy là D: x2 + y2 ≤ a2. (z = 0 ⇒ | | | | − Giao tuyến: x2 − y2 = 2az
hình chiếu giao tuyến: x = y (2 đường y = x và y = x)
Hình chiếu giao tuyến cắt miền D nên ta phải chia miền D làm 2 phần y y = x D2 D1 a x y = −x V = x2 − y2 dxdy + x2 − y2 dxdy Z Z 2a Z Z − 2a D1 D2 π 3π = 2 4 a 4 dϕ r2 cos2 ϕ − r2 sin2 ϕ .r dr + 2 dϕ a r2 cos2 ϕ − r2 sin2 ϕ .r dr Z Z Z Z 2a − 2a − π 0 π 0 4 4
https://www.facebook.com/giaitich.hcmut/ Trang 1 lOMoARcPSD|47207367
Khóa học: "Giải tích 2 HCMUT" ĐẶNG TIẾN QUANG π 3π 4 a r3 4 a r3 a3 a3 a3 Z Z Z Z = 2 cos(2ϕ) dϕ 2a dr + 2 cos(2ϕ) dϕ − 2a dr = 4 + 4 = 2 − π 0 π 0 4 4
Câu 2. Tìm tọa độ trọng tâm của vật thể đồng chất bị chắn bởi các mặt z = x2 + y2 và z = 1. Ω: x2 + y2 ≤ z ≤ 1 D: x2 + y2 ≤ 1 Z Z Z Z Z 1 Z Z Z 2π 1 2 2 Z Z 2 π V(Ω)= dxdydz = dxdy dz =(1 − x − y) dxdy = dϕ (1 − r ).r dr = 2 Ω D x +y D 2 2 0 0 Tọa độ trọng tâm: 2 2π 1 1 2 2π 1 2 1 ZZZ 2 Z Z x . Z Z Z G = V (Ω) . x dxdydz = π dϕ rdr r cos ϕ dz = π. cos ϕ dϕ (1 − r ).r dr = 0 Ω 0 0 0 r 2 0 2 1 ZZZ 2π 1 1 2 2π 1 2 2 Z Z Z Z Z yG = V (Ω) . y dxdydz = π . dϕ rdr r sin ϕ dz = π . sin ϕ dϕ (1 − r ).r dr = 0 Ω 0 0 r 2 0 0 2π 1 1 2π 1 1 ZZZ 2 Z Z Z 2 Z Z 1 − r4 2 z = z dxdydz = . dϕ rdr z dz = . dϕ .r dr = G V (Ω) . π π 2 3 0 0 0 0 Ω r 2 2
Vậy tọa độ trọng tâm là: 0, 0, 3 Tọa độ khối tâm: 1 1 1 Z Z x =m(Ω) Z Ω
xρ dxdydz, y =m(Ω) ZΩZZ yρ dxdydz, z =m(Ω) ZΩZZ zρ dxdydz
với m(Ω) = ZΩZZ ρ dxdydz Z Câu 3. Tính tích phân
(x2 + y2) ds, với C là cung xoắn ốc logaritthm r = a e3ϕ từ điểm A(a, 0) C đến điểm O(0, 0). x = r cos ϕ = a e3ϕ cos ϕ y = r sin ϕ = a e3ϕ sin ϕ Tại A(a, 0): (a e 3ϕ sin ϕ = 0 ⇒ ϕ=0 a e3ϕ cos ϕ = a ( Tại O(0, 0): a e 3ϕ sin ϕ = 0 ⇒ ϕ→−∞ a e3ϕ cos ϕ = 0
C: r = a e3ϕ, ϕ : −∞ → 0 I = (x2 + y2) ds = 0 a e3ϕ 2 a e3ϕ 2 + 3a e 3ϕ 2 dϕ = 0 √10 a3 e9ϕdϕ Z Z q Z C −∞ −∞ 0 √ √ a3 .e9ϕ 0 √ a3 √ a3 √ a3 a3 e9ϕdϕ = 10 10 10 .e9t 10 lim = t→−∞ Z 10 lim = lim = t→−∞ 9 t t→−∞ 9 − 9 9 t
https://www.facebook.com/giaitich.hcmut/ Trang 2 lOMoARcPSD|47207367
Khóa học: "Giải tích 2 HCMUT" ĐẶNG TIẾN QUANG
Câu 4. Hãy tính công của trường lực →− = y →− − x →− khi di chuyển một chất điểm dọc theo nửa trên x2 y 2 F i j
của el ipse a2 +b2 từ điểm A(a, 0) đến điểm B(−a, 0). ( x = a cos t Gọi C: y = b sin t , t : 0 → π
Công của trường lực →−: F Z π π Z Z C W = y dx − x dy =
b sin t.(−a sin t) − a cos t.b cos t dt = −ab dt = −abπ 0 0
Câu 5. Tính Z Z (x2 + y2 + z2) dS với S là mặt cầu tâm O bán kính 1. S Cách 1:
Phương trình mặt S: x2 + y2 + z2 = 1 Z Z I = (x 2 + y2 + z2) dS = Z Z 1 dS = S(S) = 4π S S Cách 2: S: x2 + y2 + z2 = 1
Ta có S là mặt đối xứng qua mp z = 0, hàm f (x, y, z) = x2 + y2 + z2 là hàm chẵn theo z Z Z
Suy ra I = Z Z (x2 + y2 + z2) dS = 2
(x2 + y2 + z2) dS với S1 là mặt z = 1 − x2 − y2 S S1 p S −y 1: z = −x 1 x2 y2 − − ⇒ z′ = , z′ = 1 − x2 1 − x2 − y2 p x − y2 y ′ 2 ′ 2 ⇒ dS = q p 1 p 1 + (zx) + (zy) dxdy = 1 − x2 − y2 dxdy 1 : x2 + y2 1 p
Hình chiếu của S lên mp Oxy là D ≤ 2π 1 2 2 2 1 r I = 2 (x + y + z ) dS = 2 1. 1 x2 y2 dxdy = 2 dϕ √ 1 r2 dr 0 0 Z Z Z Z Z Z S1 D − − − 1 0 1 1 p 2 1 = 2.2π − 2 . √ d(1 − r )=4π − √ 1 r2 1 2 u du = 4π. 0 Z − Z a rn Cách giải 0 √ a2 r2 dr: Z − ( ( Đặt r = a sin t : r = 0 ⇒ t = 0 , dr = a cos t r = a ⇒ t = π/2 √ a2 − r2 = a cos t a π/2 an sinn t π/2 rn Z Z Z .a cos t dt = an sinn t dt − a cos t 0 √ a2 r2 dr = 0 0
https://www.facebook.com/giaitich.hcmut/ Trang 3 lOMoARcPSD|47207367
Khóa học: "Giải tích 2 HCMUT" ĐẶNG TIẾN QUANG Câu 6. Tính Z Z dxdy z
với S là phía ngoài mặt cầu tâm O bán kính a > 0. S −→ Gọi S1: z = S 2: z = p a − x − y , hướng lên a x y , →− hướng xuống 2 2 2 n p thì S = S 1 ∪ S − 2 − 2 − 2 n 2
Hình chiếu của S1 và S2 lên mp Oxy là D: x2 + y2 ≤ a2 Z Z 1 1 2π a r Z Z Z Z I1 = z dxdy = a2 x2 y2 dxdy = dϕ √ a2 r2 dr S1 D p − − 0 0 − 1 1 2π a r Z Z Z Z Z Z I2 = z dxdy = a2 x2 y2 .(−1) dxdy = dϕ √ a2 r2 dr S2 D −p − − 0 0 − dxdy 2π a r Z Z Z Z ⇒ I = z = I1 +I2=2 dϕ √ a2 dr = 2.2π.a = 4aπ S 0 0 −r2 →−
Tìm thông lượng của trường véc-tơ
qua toàn bộ mặt vật thể −→ = x −→ + y −→ + z Câu 7. F 2 i 2 j k
p x2 + y2 z 1 theo hướng pháp véc-tơ ngoài. Ω: x2 + y2 ≤ z ≤ 1
S là mặt biên phía ngoài của Ω p Gọi −→
Thông lượng của trường véc-tơ : F ZZ F = x2 dydz + y2 dzdx + z dxdy S Áp dụng công thức G-O: Z Z Z F = (2x + 2y + 1) dxdydz Ω
Ta có Ω là miền đối xứng qua trục Ox và trục Oy, hàm f (x, y, z) = 2y là hàm lẻ theo y, hàm g(x, y, z) = 2x là hàm lẻ theo x Z Z Z Z Z Z Suy ra ZΩ (2x + 2y) dxdydz = ZΩ 2x dxdydz + ZΩ 2y dxdydz = 0 2π 1 1 2π 1 ZΩZZ Z Z Zr Z Z π ⇒ F = 1 dxdydz = dϕ r dr dz = dϕ (1 − r)r dr = 3 0 0 0 0
Câu 8. Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi: (a) ∞ 1 3 5...(2n − 1) · (b) ∞ 1 1 n2 n=1 · 2 1)! 2 n(n n=1 − n X − X an = 1 · 3 · 5...(2n − 1) 22n(n − 1)! 22n(n − 1)! 2n + 1 D = lim an+1 = lim 1 3 5...(2n 1).(2n + 1) . = lim =1/2<1 n→∞ n→∞ − 2 2n+2 n! 1 · 3 · 5...(2n − 1) n→∞ an · · 22 n ∞ X
⇒an hội tụ theo tiêu chuẩn D’Alembert (t/c tỷ số) n=1
https://www.facebook.com/giaitich.hcmut/ Trang 4 lOMoARcPSD|47207367
Khóa học: "Giải tích 2 HCMUT" ĐẶNG TIẾN QUANG 1 n2 bn = 1 − n n→∞ p | n| n→∞ s − n n2 = n→∞ − n = 1/e < 1 1 1 n C = lim n b = lim n 1 lim 1 ∞ X
⇒bn hội tụ theo tiêu chuẩn Cauchy (t/c căn thức) n=1
Câu 9. Tìm giá trị λ sao cho ∞ λ5n + 6n X = 10 n=1 7n ∞ ∞ λ5 n + 6n ∞ λ5n 6n ∞ λ5n 6n ∞ 5 n ∞ 6 n n=1 n = + 7 = n=1 7 + n + n = λ n=1 7 n 7n n=1 7 n=1 7 7 n=1 X X X X X X 5/7 6/7 5 8 = λ. 1−5/7 1−6/7 = λ. 2 +6=10 ⇒ λ= 5 +
Câu 10. Tìm miền hội tụ của các chuỗi luỹ thừa sau: (a) ∞ (−1)nxn (b) ∞ (x + 1)3n X X n2n · ln n n2 n=2 n=1 un = (−1)n n2n · ln n n→∞ n→∞ p| | n→∞ r n2n · ln n 2. √n. √ ln n 2 ⇒ ρ 1 1 1 ρ = lim n un = lim n = lim n = 1 R = = 2 n ∞ (−1)nxn X ⇒
n=2 n2n · ln n hội tụ ∀x ∈ (−2, 2) và phân kỳ ∀x ∈ (−∞, −2) ∪ (2, ∞) ∞ 1 X ·
Tại x = −2, chuỗi trở thành n=2 n
ln n và phân kỳ vì α = 1, β = 1 n n=2 n n · ln n · ln n o X 1
Tại x = 2, chuỗi trở thành ∞ (−1)n
và hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnizt vì là dãy giảm và 1 lim = 0 n→∞ n · ln n
Miền hội tụ D = (−2, 2] ∞ Xn
Đặt X = (x + 1)3, chuỗi viết lại là X n=1 n2 vn = 12 , R = lim 1 = lim √ n2 = 1 n n n p |vn| ∞n 1 n→∞ →∞ X
Tại X = 1 chuỗi trở thành
và hội tụ vì α = 2 > 1 n=1 n2 n − n=1 n2 n2 o X (−1)2 1 Tại X = 1 chuỗi trở thành
và hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz vì là dãy giảm và ∞ lim 1 = 0 n→∞ n2
⇒ chuỗi hội tụ ∀X ∈ [−1, 1] ⇔ x ∈ [−2, 0]. Miền hội tụ D = [−2, 0]
https://www.facebook.com/giaitich.hcmut/ Trang 5