Giải hệ phương trình bằng phương pháp hàm số – Huỳnh Chí Hào

Tài liệu gồm 14 trang hướng dẫn giải hệ phương trình bằng phương pháp hàm số, tài liệu được biên soạn bởi thầy Huỳnh Chí Hào.

133 67 lượt tải Tải xuống

Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Tài liệu ôn thi môn Toán TNTHPTQG - Chuyên Nguyễn Quang Diêu Đồng Tháp

HỆ PHƯƠNG TRÌNH

(Ôn thi TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA NĂM 2015)

Biên soạn: Huỳnh Chí Hào - THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu

PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ

Bài 1: Giải hệ phương trình





3 2

2 2

2 12 25 18 2 9 4 (

3 1 3 14 8 6 4 (

y y y x x

x x x y y





     







      





(Thi thử của THPT Nghi Sơn – Thanh Hóa)

Bài giải

♥ Điều kiện:

6 4 0

y y













  





(*)

♥ Khai thác phương trình (1) để tìm hệ thức liên hệ đơn giản của

và

(sử dụng phương pháp hàm số kiểu









f u f v



)

♦





3 2

2 12 25 18 2 9 4

y y y x x

     



   





2 4

2 2 42y y x x   

  

(3)

[Tại sao ?]

♦ Xét hàm đặc trưng





f t t t

 

trên



ta có:





' 6 1 0,f t t t

    









f t

đồng biến trên



Nên:

   

 





3 2 4 2 4

4 (4)

2 4

f y f x y x

x y y

y x













         

 

 

 

  

 



♥ Thế (4) vào (2) để được phương trình một ẩn

3 1 6 3 14 8 0

x x x x

      

(5)

♦ Phương trình (5) có một nghiệm là



nên có thể biến đổi về phương trình tích số bằng kỹ thuật nhân

liên hợp.













4 1

5 3 1 6 3 14 5 0

x x x x      





(Tách thành các biểu thức liên hợp)





  

3 5

5 3 1 0

3 1 4 6 1

x x



     

   

(Nhân liên hợp)

   

3 1

5 3 1 0

3 1 4 6 1

x x



 

 

     

 

   

 

 



 

♦ Với







(thỏa điều kiện (*))

♥ Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất









; 5;1

x y





Tài liệu ôn thi môn Toán TNTHPTQG - Chuyên Nguyễn Quang Diêu Đồng Tháp

PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Bước 1: Tìm điều kiện cho các biến x, y của hệ phương trình (nếu có)

Bước 2: Tìm một hệ thức liên hệ đơn giản của x và y bằng phương pháp hàm số

+ Biến đổi một phương trình của hệ về dạng f(u) = f(v) (u, v là các biểu thức chứa x,y)

+ Xét hàm đặc trưng f(t), chứng minh f(t) đơn điệu, suy ra: u = v (đây là hệ thức đơn giản chứa x, y)

Bước 3: Thay hệ thức đơn giản tìm được vào phương trình còn lại của hệ để được phương trình 1 ẩn

Bước 4: Giải phương trình 1 ẩn (cần ôn tập tốt các phương pháp giải phương trình 1 ẩn).

Bài 2: Giải hệ phương trình









3 3 2 2

17 32 6 9 24 (1)

2 4 9 2 9 9 1 (2)

x y x y x y

y x x y x x y





     







        





(Thi thử của THPT Chuyên Vĩnh Phúc)

Bài giải

♥ Điều kiện:

2 9 0

y x











  





(*)

♥ Khai thác phương trình (1) để tìm hệ thức liên hệ đơn giản của

và

(sử dụng phương pháp hàm số kiểu









f u f v



)

♦

3 3 2 2

17 32 6 9 24

x y x y x y

     



3 2 3 2

18 42

7 326 91x x y yyx

  



 



[Tại sao ?]



















3 3

2 2

2 25 5xx y y   



 (3)

♦ Xét hàm đặc trưng





f t t t

 

trên



ta có:





' 3 5 0,f t t t

    









f t

đồng biến trên



Nên:













3 2 2

3 3f x f y x y y x

      









(4)

♥ Thế (4) vào (2) để được phương trình một ẩn









3 4 9 11 9 10

x x x x x x

       

(5)

♦ Phương trình (5) có một nghiệm là



nên có thể biến đổi về phương trình tích số bằng kỹ thuật nhân

liên hợp.





















5 3 4 3 4

9 11 2 35

x x x x x x

       

 

(Tách thành các biểu thức liên hợp)

      

5 5

3 . 9 . 5 7

4 3 11 4

x x

x x x x

x x

 

      

   

(Nhân liên hợp)

   

3 9

5 7 0

4 3 11 4

x x

 

 

 

     

 

   

 

Tài liệu ôn thi môn Toán TNTHPTQG - Chuyên Nguyễn Quang Diêu Đồng Tháp

 

5 0

3 9

7 0

(6)

4 3 11 4

x x



 





 



   



   



♦ Chứng minh (6) vô nghiệm

 

3 5 9 9

6 0

2 2

4 3 11 4

x x x x

x x

   

    

   

[Tại sao ?]

   

0 0

1 1 1 1 2

5 9 0

2 2

4 3 11 4 4 3

x x

x x x



 

   

 

 

 

       

 

 

 

 

 

   

     



 

: phương trình VN

♦ Với







(thỏa điều kiện (*))

♥ Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất









; 5;6

x y





BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

Giải các hệ phương trình

3 3 2

2 2

3 6 3 4

6 10 5 4

x y x x y

x y x y y x y





    







       













53 5 10 5 48 9 0

2 6 2 66 2 11

x x y y

x y x x x y





     







        













2012 3 4 6 2009 3 2 0

2 7 8 3 14 18 6 13

x x y y

x y x y x x





     







     









4 3 2

1 0

1 1 1

x x y y

x x x x y





   







     





Tài liệu ôn thi môn Toán TNTHPTQG - Chuyên Nguyễn Quang Diêu Đồng Tháp

Bài 3: Giải hệ phương trình





2 2

3 2 5 (1)

2 2 8 4 0 (2)

x x y y

x x y y y





     







     





(Phạm Trọng Thư GV THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu, Đồng Tháp – THTT số 2)

Bài giải

♥ Điều kiện:



(*)

♥ Khai thác phương trình (1) để tìm hệ thức liên hệ đơn giản của

và

♦

3 2 5

x x y y

     







2 2 5 5

x x y y

      

(3)

♦ Xét hàm đặc trưng





f t t t

  

trên nữa khoảng







liên tục trên







và

   

' 1 0, 0;

f t t

     









f t

đồng biến trên







2 0

 

và





4 2 0

y x y y

    

nên













3 2

2f x f y x x yy     





(4)

♥ Thế (4) vào (2) để được phương trình một ẩn





y y y

 

 

7 4

2 4 0

2 4 0 (5)

y y y y

y y y







     



   



♦ Giải phương trình (5) bằng phương pháp hàm số

Xét hàm số





7 4

2 4

g y y y y

   

trên nữa khoảng







liên tục trên







và









6 3

g' 7 8 1 0, 0;y y y y

      







g y

đồng biến trên







Nên:













5 1 1

g y g y

   

♣ Với







[thỏa (*)]

♣ Với







[thỏa (*)]

♥ Vậy hệ phương trình có hai nghiệm





;

x y

là





2;0

và





3;1



Tài liệu ôn thi môn Toán TNTHPTQG - Chuyên Nguyễn Quang Diêu Đồng Tháp

Bài 4: Giải hệ phương trình:

 

   





      









 

   

 



x x y y y

y x y x

3 3 2

2 3

3 6 9 2 ln 0 1

log 3 log 1 2

(Thi thử của THPT Chuyên Vĩnh Phúc)

Bài giải

♥ Điều kiện:

3 0



















  

 













(*)

♥ Khai thác phương trình (1) để tìm hệ thức liên hệ đơn giản của

và

♦







           

3 2 3 2

1 3 1 ln 1 1 3 1 ln 1

x x x y y x

          

(3)

♦ Xét hàm đặc trưng





3 2

3 ln

f t t t t

   trên khoảng







 

3 6 0 0

f t t t t



      





f t

đồng biến trên khoảng







1 0

 

và

1 0

 

nên













3 1 1 1 1 2

f x f y x y y x

          

(4)

♥ Thế (4) vào (2) để được phương trình một ẩn













2 3

2 log 3 log 2 1

x x x x

 

     

 

(5)

♦ Giải phương trình (5) bằng phương pháp hàm số





         

2 3 2 3

1 1

log 3 log 2 log 3 log 2 0 6

2 2

x x

x x x x

x x

 

          

 

♣ Xét hàm số

     

2 3

log 3 log 2

g x x x



    



trên khoảng







 

   

 

1 1 3

0 3

3 ln2 2 ln3

g x x

x x



     

 









g x

đồng biến trên khoảng







Nên

     





6 5 5 3

g x g x y

     

[thỏa mãn (*)]

♥ Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất









; 5;3

x y 



Tài liệu ôn thi môn Toán TNTHPTQG - Chuyên Nguyễn Quang Diêu Đồng Tháp

Bài 5: Giải hệ phương trình:.

 





 



      





     





x y y x y xy x

x y y x

2 2 2 2

3 3 8 6 1

13 3 14 1 5 2

(Thi thử của THPT Chuyên Vĩnh Phúc)

Bài giải

♥ Điều kiện:

1 0

3 14 0

 



 







 

 













♥ Khai thác phương trình (1) để tìm hệ thức liên hệ đơn giản của

và

♦







       

3 3

1 3 1 1 3 1

x x y y

      

(3)

♦ Xét hàm đặc trưng

 

3 ,f t t t t

  



 

3 3 0,f t t t



     







f t

đồng biến trên



1 0

 

và

1 0

 

nên















1 1 1 1 2

f x f y x y x y

         

(4)

♥ Thế (4) vào (2) để được phương trình một ẩn

 





2 11 3 8 1 5

x x x

    





♦ Giải phương trình (5) bằng phương pháp hàm số

Ta nhận thấy



không là nghiệm của phương trình





nên

 

5 3 8 1 0.

2 11

x x

     







Xét hàm số

 

5 8 11 11

3 8 1 , ; ;

2 11 3 2 2

g x x x x

   

       

  





   

 

  

 

2 2

3 1 10 3 1 3 8 10

2 3 8 2 1

2 3 8 1

2 11 2 11

x x

g x

x x

  



     

 

 

8 11 11

; & ;

3 2 2

   

  

   

   







g x

đồng biến trên các khoảng

8 11 11

; & ;

3 2 2

   



   

   

♣ Trên khoảng

8 11

;

3 2

 





 

thì





g x

đồng biến,

 

8 11

3 ; , 3 0

3 2

 

 





 

nên







   





3 3 5

g x g x y

    

[thoả mãn (*)]

♣ Trên khoảng

;

 



 

 

thì





g x

đồng biến,

 

8 ; , 8 0

 

  

 

 

nên







   





8 8 10

g x g x y

    

[thoả mãn (*)]

♥ Vậy hệ phương trình có hai nghiệm

















, 3;5 , , 8;10

x y x y 



Tài liệu ôn thi môn Toán TNTHPTQG - Chuyên Nguyễn Quang Diêu Đồng Tháp

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

Giải các hệ phương trình









2 2

4 1 3 5 2 0

4 2 3 4 7

x x y y

x y x





    







   





3 3 2

3 4 2

3 3 19 105

x y y y x

x y x y y xy





    







      





   

4 2 2 4 6

2 2 1 2 1 2 3 2

x y

x x y y





   







     





Tài liệu ôn thi môn Toán TNTHPTQG - Chuyên Nguyễn Quang Diêu Đồng Tháp

Bài 6: Giải hệ phương trình

2 2 2

2 2 1 3 1 (1)

9 4 2 6 7 (2)

y y x x x

y x y





    







   





(Thi thử của THPT Trần Phú – Thanh Hóa)

Bài giải

♥ Điều kiện:

3 3

2 2











  





(*)

♥ Khai thác phương trình (1) để tìm hệ thức liên hệ đơn giản của

và

(sử dụng phương pháp hàm số kiểu









f u f v



)

♦

2 2 1 3 1

y y x x x

    



2 2 1 2 1 1

y y x x x x

      







2 2 1 1 1

y y x x x

     

(3)

♦ Xét hàm đặc trưng





f t t t

 

trên



ta có:





' 6 1 0,f t t t

    





đồng biến trên



Nên:

   

 

3 1 1

f y f x y x

y x







      





 





(4)

♥ Thế (4) vào (2) để được phương trình một ẩn

4 5 2 6 1

x x x

   

(5)

♦ Giải phương trình (5) bằng phương pháp đặt ẩn phụ chuyển về hệ đối xứng loại II



Phương trình (5) viết lại thành:





2 3 2 4 5 11

x x

   

Điều kiện

Đặt

4 5 2 3

x t

  

 















 

, ta được hệ phương trình: [Tại sao ?]









2 3 4 5 (6)

2 3 4 5 (7)

x t

t x





  







  







Trừ theo từng vế của (6) và (7) ta được:









4 3 4 4

x t x t t x

    











2 0

x t x t

   

+ Khi

x t



, thay vào (7) ta được:

2 2

4 12 9 4 5 4 1 0 2 3

x x x x x x

          

So với điều kiện của

và

ta chọn

2 3

 

. [không thỏa mãn (*)]

+ Khi 2 0 2

x t t x

     

, thay vào (7) ta được:

Tài liệu ôn thi môn Toán TNTHPTQG - Chuyên Nguyễn Quang Diêu Đồng Tháp





1 2 4 5 2 1 0 1 2

x x x x x          (loại)

So với điều kiện của

và

ta chọn

1 2

 

♦ Với

1 2

 



 

. [thỏa mãn (*)]

♥ Vậy hệ phương trình có hai nghiệm





;

x y

là





1 2; 2

 

và





1 2; 2





Bài 7: Giải hệ phương trình





3 2 3

2 4 3 1 2 2 3 2 (1)

2 14 3 2 +1

(2)

x x x x y y

x x y





     







   





(Thi thử của THPT Chuyên Lê Quý Đôn – Đà Nẵng)

Bài giải

♥ Điều kiện:



















(*)

♥ Khai thác phương trình (1) để tìm hệ thức liên hệ đơn giản của

và

(sử dụng phương pháp hàm số kiểu









f u f v



)

♦ Do



không thỏa hệ nên ta có:







 

2 3

4 3 1

2 2 2 3 2

y y

x x x

     



 

1 1

1 1 3 2 3 2 3 2

y y y

x x

   

 

 

       

 

 

 

 

   

(3)

♦ Xét hàm đặc trưng





f t t t

 

trên



ta có:





' 3 1 0,f t t t

    





đồng biến trên



Nên:

 





1 1

3 1 3 2 1 3 2

f f y y

x x

 





       









 

(4)

♥ Thế (4) vào (2) để được phương trình một ẩn

2 15 1

x x

   

(5)

♦ Phương trình (5) có một nghiệm là



nên có thể biến đổi về phương trình tích số bằng kỹ thuật

nhân liên hợp.







2 3 2 15 0

x x

     



 

3 3

1 1

7 0

2 3

4 2 15 15

x x



 























  





 

 





   

















 







Tài liệu ôn thi môn Toán TNTHPTQG - Chuyên Nguyễn Quang Diêu Đồng Tháp

♦ Với





111

y  [thỏa mãn (*)]

♥ Vậy hệ phương trình có nghiệm





;

x y

là

111

 













 



Bài 8: Giải hệ phương trình

1 3 4

3 1 +

(1)

9 2 7 2 2 2 3

(2)

x y y

y x y y







   









     





(Thi thử của THPT Chuyên Lê Quý Đôn – Đà Nẵng)

Bài giải

♥ Điều kiện:

















(*)

♥ Khai thác phương trình (1) để tìm hệ thức liên hệ đơn giản của

và

(sử dụng phương pháp hàm số kiểu









f u f v



)

♦ Ta có







1 1

3 1 3 1

y y x x

      



(3)

♦ Xét hàm đặc trưng

 

f t t t

  

trên







ta có:

 









 

2 1 1

' 0, 0;

t t

f t t

 

    



đồng biến trên







Nên:













3 1 1 1

f y f x y x x y

        

(4)

♥ Thế (4) vào (2) để được phương trình một ẩn

9 1 7 2 5 2 3

y y y y

     

(5)

♦ Phương trình (5) có hai nghiệm là



và nên có thể biến đổi về phương trình tích số bằng kỹ

thuật nhân liên hợp. Định hướng biến đổi về dạng













2 3 . 0

y y h x

  

hay









5 6 . 0

y y h x

  















9 2 7 0

2 12 5y yy yy    















   





2 2

3 3

1 5 6

5 6

9 2 2

1 1 7 2 5 7 2 5

y y y

y y

y y y y y y

  

 

 

  

       



 

   

 

2 2

3 3

1 1

5 6 0

9 2 2

1 1 7 2 5 7 2 5

y y

y y y y y y



 





























   







  





       

















 



Tài liệu ôn thi môn Toán TNTHPTQG - Chuyên Nguyễn Quang Diêu Đồng Tháp



5 6 0

y y







   







♦ Với







[thỏa mãn (*)]

♦ Với







[thỏa mãn (*)]

♥ Vậy hệ phương trình có nghiệm





;

x y

là





3;2

;





8;3



Bài 9: Giải hệ phương trình:.

    

 



    





  



 



x y y x y

x y

2 2

2 1 2 1

3 8 2

Bài giải

♥ Điều kiện:

12 0

x y













  









♥ Khai thác phương trình (1) để tìm hệ thức liên hệ đơn giản của

và

♦







 

1 0 1

y x y x

     

(3)

♥ Thế (3) vào (2) để được phương trình một ẩn

3 8 1

2 11

x x

   







♦ Giải phương trình (5) bằng phương pháp hàm số

 

5 3 8 1 0.

2 11

x x

     







Xét hàm số

 

5 8 11 11

3 8 1 , ; ;

2 11 3 2 2

f x x x x

   

       

  





   

 

  

 

2 2

3 1 10 3 1 3 8 10

' 0

2 3 8 2 1

2 3 8 1

2 11 2 11

x x

f x

x x

  

     

 

 

8 11 11

; & ;

3 2 2

   

  

   

   







f x

đồng biến trên các khoảng

8 11 11

; & ;

3 2 2

   



   

   

♣ Trên khoảng

8 11

;

3 2

 





 

thì





f x

đồng biến,

 

8 11

3 ; , 3 0

3 2

 

 





 

nên







   





3 3 4

f x f x y

    

[thoả mãn (*)]

♣ Trên khoảng

;

 



 

 

thì





f x

đồng biến,

 

8 ; , 8 0

 

  

 

 

nên







   





8 8 9

f x f x y

    

[thoả mãn (*)]

♥ Vậy hệ phương trình có hai nghiệm

















, 3;5 , , 8;10

x y x y 



Tài liệu ôn thi môn Toán TNTHPTQG - Chuyên Nguyễn Quang Diêu Đồng Tháp

XEM THÊM PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ DẠNG TRÊN

CÁCH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH DẠNG





' '

ax b p a x b qx r

    

(

là ẩn số;

, , , , , ', '

p q r a b a b

là các hằng số;

' 0

paa



;





2;3



Dạng thường gặp:





' '

ax b p a x b qx r

    

1. Phương pháp giải

Đặt ẩn phụ:

+ Đặt

' '

a x b ay b

  

nếu

' 0



+ Đặt





' '

a x b ay b

   

nếu

' 0



Bài toán dẫn đến giải hệ phương trình hai ẩn đối với

và

 

( )

( ) ' '

h x Ay Bx C

h y A B x C



  







  





(*)

(*) thường là hệ đối xứng loại 2 đối với

và

Chú ý: Có thể sử dụng phương pháp nâng lũy thừa để đưa về phương trình bậc bốn.

2. Các ví dụ

Ví dụ 1: Giải phương trình

2 15 32 32 20

x x x

   

(1)

Lời giải



Điều kiện:

2 15 0

x x   



Phương trình (1) viết lại thành:





2 4 2 2 15 28

x x   

Đặt

2 15 4 2

x y

  

 















 

, ta được hệ phương trình:









4 2 2 15 (2)

4 2 2 15 (3)

y x

x y





  







  







Trừ theo từng vế của (2) và (3) ta được:

Tài liệu ôn thi môn Toán TNTHPTQG - Chuyên Nguyễn Quang Diêu Đồng Tháp













4 4 4 4 4 2

y x y x x y

    











1 8 1 0

x y x y

 

    

 

+ Khi

x y



, thay vào (3) ta được:

 

4 2 2 15 16 14 11 0

x x x x









       



 





So với điều kiện của

và

ta chọn



+ Khi

 

1 8 1 0

x y y x

       

, thay vào (3) ta được:

 

9 9 221

4 2 2 15 64 72 35 0

4 16

x x x x x

 

          

So với điều kiện của

và

ta chọn

9 221

 

 .



Tập nghiệm của (1) là

1 9 221

;

2 16

 

 

 

 



 

 

 



Ví dụ 2: Giải phương trình

4 3 1 5 13

x x x

   

(1)

Lời giải



Điều kiện:

3 1 0

x x

    



Phương trình (1) viết lại thành:





2 3 3 1 4

x x x

     

Đặt





3 1 2 3

x y

   

 















 

, ta được hệ phương trình:









2 3 2 1 (2)

2 3 3 1 (3)

x y x

y x





   







  







Trừ theo từng vế của (2) và (3) ta được:









2 2 2 6 2 2

x y x y y x

    











2 2 5 0

x y x y

   

+ Khi

x y



, thay vào (3) ta được:

2 2

15 97

4 12 9 3 1 4 15 8 0

x x x x x x



         

So với điều kiện của

và

ta chọn

15 97



 .

Tài liệu ôn thi môn Toán TNTHPTQG - Chuyên Nguyễn Quang Diêu Đồng Tháp

+ Khi

2 2 5 0 2 5 2

x y y x

     

, thay vào (3) ta được:

 

11 73

2 2 3 1 4 11 3 0

x x x x x



        

So với điều kiện của

và

ta chọn

11 73



 .



Tập nghiệm của (1) là

11 73 15 97

;

8 8

 

 

 

 



 

 

 



3. Một số bài toán tự luyện

Giải các phương trình

6 4

x x x

  

4 3 5

x x x

   

2 1 3 1 0

x x x

    

4 14 11 4 6 10

x x x

   

9 12 2 3 8

x x x

   

7) 6)

9 6 5 3 5

x x x

   

---------------------------------Hết----------------------------------

Bấm Tải xuống để xem toàn bộ.

| 1/14

| | Tải xuống

Preview text:

Tài liệu ôn thi môn Toán TNTHPTQG - Chuyên Nguyễn Quang Diêu Đồng Tháp HỆ PHƯƠNG TRÌNH
(Ôn thi TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA NĂM 2015)
Biên soạn: Huỳnh Chí Hào - THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu
PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ  3 2
2y 12y  25y 18  
2x 9 x  4 (1) 
Bài 1: Giải hệ phương trình   2 2
 3x 1  3x 14x8  6 4y  y (2) 
(Thi thử của THPT Nghi Sơn – Thanh Hóa) Bài giải  1 x   ♥ Điều kiện:  3  (*)  2 6
 4 y  y  0 
♥ Khai thác phương trình (1) để tìm hệ thức liên hệ đơn giản của x và y
(sử dụng phương pháp hàm số kiểu f u  f v ) ♦ 3 2
2 y 12 y  25y 18  2x   9
x  4  2 y    y  2  2 x  43 3 2  x  4 (3) [Tại sao ?]
♦ Xét hàm đặc trưng f t 3
 2t t trên  ta có: f t 2 '
 6t 1 0, t    f t đồng biến trên  y 2 y 2   Nên:  
3  f  y  2  f  x  4  y  2  x  4       y  22 2  x   4
x  4y  y (4)  
♥ Thế (4) vào (2) để được phương trình một ẩn 2
3x 1  6  x  3x 1  4x 8  0 (5)
♦ Phương trình (5) có một nghiệm là x  5 nên có thể biến đổi về phương trình tích số bằng kỹ thuật nhân liên hợp.  
5   3x 1  6 x   2 4
1  3x 14x  5  0 (Tách thành các biểu thức liên hợp) 3x   5 x  5   x   5 3x   1  0 (Nhân liên hợp) 3x 1  4 6  x 1      3 1   x   5    3x  1  0   x  5  3x 1  4 6  x 1 
  0  
♦ Với x  5  y 1 (thỏa điều kiện (*))
♥ Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x; y  5  ;1 
Tài liệu ôn thi môn Toán TNTHPTQG - Chuyên Nguyễn Quang Diêu Đồng Tháp PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Bước 1: Tìm điều kiện cho các biến x, y của hệ phương trình (nếu có)
Bước 2: Tìm một hệ thức liên hệ đơn giản của x và y bằng phương pháp hàm số
+ Biến đổi một phương trình của hệ về dạng f(u) = f(v) (u, v là các biểu thức chứa x,y)
+ Xét hàm đặc trưng f(t), chứng minh f(t) đơn điệu, suy ra: u = v (đây là hệ thức đơn giản chứa x, y)
Bước 3: Thay hệ thức đơn giản tìm được vào phương trình còn lại của hệ để được phương trình 1 ẩn
Bước 4: Giải phương trình 1 ẩn (cần ôn tập tốt các phương pháp giải phương trình 1 ẩn). 3 3 2 2
x  y 17x32y  6x 9y 24 (1) 
Bài 2: Giải hệ phương trình  
 y 2 x 4 x9 2
2 y  x  9  x  9 y 1 (2) 
(Thi thử của THPT Chuyên Vĩnh Phúc) Bài giải x  4  
♥ Điều kiện:  (*)
2 y  x  9  0 
♥ Khai thác phương trình (1) để tìm hệ thức liên hệ đơn giản của x và y
(sử dụng phương pháp hàm số kiểu f u  f v ) ♦ 3 3 2 2
x  y 17x 32 y  6x  9 y  24  3 2 3 2 x  6x  7
1 x 18  y  9 y  32 y  42 [Tại sao ?] 3 3
 x  2  5x  2   y  
2  5 y  2 (3)
♦ Xét hàm đặc trưng f t 3
 t  5t trên  ta có: f t 2 '
 3t  5  0, t    f t đồng biến trên  Nên:  
3  f x  2  f  y  
3  x  2  y 3  y  x 1 (4)
♥ Thế (4) vào (2) để được phương trình một ẩn
x   x  x   2 3 4 9
x 11  x  9x 10 (5)
♦ Phương trình (5) có một nghiệm là x  5 nên có thể biến đổi về phương trình tích số bằng kỹ thuật nhân liên hợp.
   x   x   x 9 x 11  2 5 3 4 3
4  x  2x 35 (Tách thành các biểu thức liên hợp) x 5 x  5  x   3 . x 9.  x 
5 x  7 (Nhân liên hợp) x  4  3 x 11  4  x  3 x  9   x   5  
x  7  0  x 4 3 x 11 4       
Tài liệu ôn thi môn Toán TNTHPTQG - Chuyên Nguyễn Quang Diêu Đồng Tháp x5  0    x  3 x  9    x  7  0 (6)  x 4 3 x 11   4
♦ Chứng minh (6) vô nghiệm x  x  x  x    3 5 9 9 6      0 [Tại sao ?] x  4  3 2 x 11  4 2  1 1  1 1     2  x   5 
 x 9    0       : phương trình VN  x  4 3 2
 x 11 4 2 x  4  3
   0  0  0 
♦ Với x  5  y  6 (thỏa điều kiện (*))
♥ Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x; y  5;6 
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Giải các hệ phương trình 3 3 2  
x  y  3x  6x  3y  4    535x 
 10 x 5y4  8 9  y  0  1)  2)  2 2
x  y 6x y10  y5  4x y   2
 2x  y  6  x  2x 66  2x  y 11     2012  3x 
 4 x 6y2009 32y  0 3  
x  x  y y 1  0  3)   4)  2  3 
2 7x 8y  3 14x 1
 8y  x  6x 13  4 3 2
x  x  x 1  x y   1 1 
Tài liệu ôn thi môn Toán TNTHPTQG - Chuyên Nguyễn Quang Diêu Đồng Tháp  4 4
 x 3  x 2  y 5  y (1) 
Bài 3: Giải hệ phương trình  2
x  2x y 2 2
 y 8y  4  0 (2) 
(Phạm Trọng Thư GV THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu, Đồng Tháp – THTT số 2) Bài giải
♥ Điều kiện: x  2 (*)
♥ Khai thác phương trình (1) để tìm hệ thức liên hệ đơn giản của x và y ♦ 4 4
x  3  x  2  y  5  y  4 x  2  x  2 4
 5  y  y  5 (3)
♦ Xét hàm đặc trưng f t 4
 t  t 5 trên nữa khoảng 0; . 3 2t
f liên tục trên 0; và f 't  1
 0, t 0;  f t đồng biến trên 0; 4 t  5
Do 4 x  2  0 và y  x  y  2 4 2  y  0 nên  
3  f  4 x 2  f  y 4 4
 x 2  y  x  y  2 (4)
♥ Thế (4) vào (2) để được phương trình một ẩn  y  0    2 4 4 y y y  y 7 4
y  2 y  y  4  0   7 4
y  2 y  y  4  0 (5) 
♦ Giải phương trình (5) bằng phương pháp hàm số
Xét hàm số g  y 7 4
 y  2 y  y  4 trên nữa khoảng 0; .
Do g liên tục trên 0; và  y 6 3 g'
 7 y 8y 1 0, y
 0;  g  y đồng biến trên 0; Nên:  
5  g  y  g   1  y  1
♣ Với y  0  x  2 [thỏa (*)]
♣ Với y  1  x  3 [thỏa (*)]
♥ Vậy hệ phương trình có hai nghiệm  ;
x ylà 2; 0 và 3  ;1 
Tài liệu ôn thi môn Toán TNTHPTQG - Chuyên Nguyễn Quang Diêu Đồng Tháp  3 3 2 x 1
x  3x  y  6y  9y  2  ln   0   1
Bài 4: Giải hệ phương trình: y   1 . y log 3 log 1 2 2  x    y  x  3     
(Thi thử của THPT Chuyên Vĩnh Phúc) Bài giải  x 1  0  y 1   x  3
♥ Điều kiện: x  3  0   (*) y  0   y  0   
♥ Khai thác phương trình (1) để tìm hệ thức liên hệ đơn giản của x và y 3 2 3 2 ♦  
1   x   1  3 x   1  ln  x   1   y   1  3 y   1  ln  x   1 (3)
♦ Xét hàm đặc trưng f t 3 2
 t  3t  ln t trên khoảng 0; f t  2 1
 3t  6t   0 t
  0  f t  đồng biến trên khoảng 0;  t Do x 1
  0 và y 1 0 nên
3  f  x  
1  f  y  
1  x 1  y  1  y  x  2 (4)
♥ Thế (4) vào (2) để được phương trình một ẩn  x  2 log        2  x 3 log3  x 2 x 1  (5)
♦ Giải phương trình (5) bằng phương pháp hàm số x 1 x 1  
5  log2  x  3  log3  x  2 
 log2  x  3  log3  x  2   0 6 x  2 x  2 x  1
♣ Xét hàm số g  x  log2  x  3  log3  x  2 
trên khoảng 3;  x  2 1 1 3
g x     0 x   3
 x  3ln 2  x  2ln 3 x  22
 g  x đồng biến trên khoảng 3;  . 4
Nên 6  g  x  g 5  
 x  5  y  3 [thỏa mãn (*)]
♥ Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất  x; y   5;3 
Tài liệu ôn thi môn Toán TNTHPTQG - Chuyên Nguyễn Quang Diêu Đồng Tháp
 x2  y2   y  xy2  xy  x2 3 3 8   6   1
Bài 5: Giải hệ phương trình:.  
 x  y 13 3y 14  x 1  5 2 
(Thi thử của THPT Chuyên Vĩnh Phúc) Bài giải x  1 x 1  0 
♥ Điều kiện:    14 * 3y 14  0 y     3
♥ Khai thác phương trình (1) để tìm hệ thức liên hệ đơn giản của x và y ♦   3 3 1   x   1  3 x   1   y   1  3 y   1 (3)
♦ Xét hàm đặc trưng f t  3
 t  3t ,t   f t  2
 3t  3  0, t
    f t  đồng biến trên  .
Do x 1 0 và y 1 0 nên
3  f  x  
1  f  y  
1  x  1  y 1  x  2  y (4)
♥ Thế (4) vào (2) để được phương trình một ẩn 2x 1 
1  3x 8  x 1  5 5
♦ Giải phương trình (5) bằng phương pháp hàm số 11 Ta nhận thấy x 
không là nghiệm của phương trình 5 nên 2 5
5  3x  8  x 1   0. 6 2x 11 Xét hàm số 5 8 11   11 
g  x  3x  8  x 1  , x  ;  ;      2x 11  3 2   2  3 1 10
3 x 1  3x  8 10  8 11   11 
g x       0 x   ; & ;      2 3x  8 2 x  1 2x 1 2 1
2 3x  8 x   1 2x 1 2 1  3 2   2   8 11   11 
 g  x đồng biến trên các khoảng ; & ;       3 2   2  8 11  8 11  ♣ Trên khoảng ; 
 thì g  x đồng biến, 3 ; , g   3  0 nên  3 2   3 2  4
6  g  x  g 3  
 x  3  y  5 [thoả mãn (*)]  11   11  ♣ Trên khoảng ;  
 thì g  x đồng biến, 8 ;  , g   8  0 nên  2   2  4
6  g  x  g 8  
 x  8  y  10 [thoả mãn (*)]
♥ Vậy hệ phương trình có hai nghiệm  x, y   3;5, x, y  8;10 
Tài liệu ôn thi môn Toán TNTHPTQG - Chuyên Nguyễn Quang Diêu Đồng Tháp
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Giải các hệ phương trình  2  4x  
1xy  3 5  2 y  0  1)   2 2
4x  y  2 34x  7  3 3 2
x  y  3y  4y  x 2  2)  3
 x y 3 x3y 19 105 y  xy 
 4x  2  2y  4  6  3)  22x  3
1  2x 1 2y   3 y  2 
Tài liệu ôn thi môn Toán TNTHPTQG - Chuyên Nguyễn Quang Diêu Đồng Tháp  3
2y  y  2x 1 x  3 1 x (1) 
Bài 6: Giải hệ phương trình  2 2 2
 94 y  2x  6y 7 (2) 
(Thi thử của THPT Trần Phú – Thanh Hóa) Bài giải x 1 
♥ Điều kiện:  3 3  (*)   y   2 2
♥ Khai thác phương trình (1) để tìm hệ thức liên hệ đơn giản của x và y
(sử dụng phương pháp hàm số kiểu f u  f v ) ♦ 3
2 y  y  2x 1 x  3 1 x  3
2 y  y  2 1 x  2x 1 x  1 x  3
2 y  y  21 x 1 x  1 x (3)
♦ Xét hàm đặc trưng f t 3
 2t t trên  ta có: f t 2 '
 6t 1 0, t    f đồng biến trên  y  0  Nên:  
3  f  y  f  1 x  y  1 x   (4) 2 y 1 x 
♥ Thế (4) vào (2) để được phương trình một ẩn 2
4x  5  2x  6x 1  (5)
♦ Giải phương trình (5) bằng phương pháp đặt ẩn phụ chuyển về hệ đối xứng loại II
 Phương trình (5) viết lại thành:  x  2 2 3  2 4x  5 11 Điều kiện  3
Đặt 4x  5  2t  3 t      
 , ta được hệ phương trình: [Tại sao ?]  2   2x 2 3  4t  5 (6)     2t 2 3  4x 5 (7) 
 Trừ theo từng vế của (6) và (7) ta được:
4x  t  
3 x  t  4t  4x  x tx  t  2  0
+ Khi x  t , thay vào (7) ta được: 2 2
4x 12x 9  4x  5  x  4x 1  0  x  2  3
So với điều kiện của x và t ta chọn x  2  3 . [không thỏa mãn (*)]
+ Khi x  t  2  0  t  2  x , thay vào (7) ta được:
Tài liệu ôn thi môn Toán TNTHPTQG - Chuyên Nguyễn Quang Diêu Đồng Tháp   x2 2 1 2
 4x  5  x  2x 1
  0  x 1 2 (loại)
So với điều kiện của x và t ta chọn x  1 2 .
♦ Với x  1 2  4
y   2 . [thỏa mãn (*)]
♥ Vậy hệ phương trình có hai nghiệm  ; x ylà  4 1 2; 2 và  4 1 2; 2   3 2 3
2x 4x 3x1 2x 
2 y 32y (1) 
Bài 7: Giải hệ phương trình  3
 x  2  14 x 3 2 y +1 (2) 
(Thi thử của THPT Chuyên Lê Quý Đôn – Đà Nẵng) Bài giải  3 y   ♥ Điều kiện:  2  (*) x 2 
♥ Khai thác phương trình (1) để tìm hệ thức liên hệ đơn giản của x và y
(sử dụng phương pháp hàm số kiểu f u  f v )
♦ Do x  0 không thỏa hệ nên ta có: 4 3 1   1  2   
 22 y 32y 2 3 x x x 3  1   1   1       1    
  32 y 3 2 y  3 2 y   (3)     x  x
♦ Xét hàm đặc trưng   3
f t  t  t trên  ta có:
f t 2 '
 3t 1 0, t    f đồng biến trên   1  1 Nên:   3  f 1       f  
 32y1  32y  x  (4) x
♥ Thế (4) vào (2) để được phương trình một ẩn 3
x  2  15 x 1 (5)
♦ Phương trình (5) có một nghiệm là x  7 nên có thể biến đổi về phương trình tích số bằng kỹ thuật nhân liên hợp.   5  3
x  2  3 2  15 x  0          1 1     x  7      x  2 3 
4  2 x 15  x 15 0 2 3 3   
      0  x  7
Tài liệu ôn thi môn Toán TNTHPTQG - Chuyên Nguyễn Quang Diêu Đồng Tháp 111
♦ Với x  7  y  [thỏa mãn (*)] 98  111
♥ Vậy hệ phương trình có nghiệm x; ylà 7;      98   1 3x  4 2
x 3y 1 y  + (1) 
Bài 8: Giải hệ phương trình y  x 1   3
 9y 2  7x  2 y  2  2y 3 (2) 
(Thi thử của THPT Chuyên Lê Quý Đôn – Đà Nẵng) Bài giải x 1  ♥ Điều kiện:  2  (*) y   9
♥ Khai thác phương trình (1) để tìm hệ thức liên hệ đơn giản của x và y
(sử dụng phương pháp hàm số kiểu f u  f v ) 1 1 ♦ Ta có   1  2 y 
3y  x 1 3 x 1 (3) y x 1 1
♦ Xét hàm đặc trưng f t 2
 t  3t trên 0; ta có: t 2t   1 t  2 1
f 't 
 0, t 0;  f đồng biến trên 0; 2 t
Nên:    f  y  f  x   2 3 1  y 
x 1  x  y 1 (4)
♥ Thế (4) vào (2) để được phương trình một ẩn 2 3
9 y 1  7 y  2 y 5  2 y  3 (5)
♦ Phương trình (5) có hai nghiệm là y  2 y  3 và nên có thể biến đổi về phương trình tích số bằng kỹ
thuật nhân liên hợp. Định hướng biến đổi về dạng  y  2 y  
3 .hx  0 hay  2 y 5 y  
6 .hx  0   5 
y   y  2 2 3 9 2
 7 y  2y 5  y   1  0   y   1  2 2 y 5 y y y   6 5 6    0
9 y  2  y  2 y   1  y   1
7 y  2 y 5  7y  2y52 2 2 2 3 3            1 y 1    2
y  5 y   6     0   
 9 y 2  y  2    y   1  y   1
7 y  2 y  5  
 7y 2y52 2 2 2 3 3 
     0 
Tài liệu ôn thi môn Toán TNTHPTQG - Chuyên Nguyễn Quang Diêu Đồng Tháp  y  2  2
y 5 y  6  0   y  3 
♦ Với y  2  x  3 [thỏa mãn (*)]
♦ Với y  3  x  8 [thỏa mãn (*)]
♥ Vậy hệ phương trình có nghiệm x; ylà 3;  2 ; 8;  3 
x2  y2  y  2x  
1 y  2   1 
Bài 9: Giải hệ phương trình:.  5
3x  8  y   2 x  y   2 Bài giải  8 x   3 
♥ Điều kiện:  y  0 *
x  y 12  0  
♥ Khai thác phương trình (1) để tìm hệ thức liên hệ đơn giản của x và y ♦  
1   y  x  2 1
 0  y  x  1 (3)
♥ Thế (3) vào (2) để được phương trình một ẩn 5
3x  8  x  1  5 2x 11
♦ Giải phương trình (5) bằng phương pháp hàm số 5
5  3x  8  x 1   0. 6 2x 11 Xét hàm số 5 8 11   11 
f  x  3x  8  x 1  , x  ;  ;      2x 11  3 2   2  3 1 10
3 x  1  3x  8 10  8 11   11  f ' x       0 x   ; & ;      2 3x  8 2 x  1 2x 1 2 1
2 3x  8 x   1 2x 1 2 1  3 2   2   8 11   11 
 f  x đồng biến trên các khoảng ; & ;       3 2   2  8 11  8 11  ♣ Trên khoảng ; 
 thì f  x đồng biến, 3 ; , f   3  0 nên  3 2   3 2  4
6  f  x  f 3  
 x  3  y  4 [thoả mãn (*)]  11   11  ♣ Trên khoảng ;  
 thì f  x đồng biến, 8 ;  , f   8  0 nên  2   2  4
6  f  x  f 8  
 x  8  y  9 [thoả mãn (*)]
♥ Vậy hệ phương trình có hai nghiệm  x, y   3;5, x, y  8;10 
Tài liệu ôn thi môn Toán TNTHPTQG - Chuyên Nguyễn Quang Diêu Đồng Tháp
XEM THÊM PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ DẠNG TRÊN
CÁCH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH DẠNG   n n ax b
 p a ' x b'  qx  r
( x là ẩn số; p, q, r, a,b, a ',b ' là các hằng số; paa '  0 ; n  2;  3
Dạng thường gặp: ax  b2  p a ' x  b '  qx  r
1. Phương pháp giải Đặt ẩn phụ:
+ Đặt n a ' x  b '  ay  b nếu pa '  0
+ Đặt n a ' x  b '  ay  b nếu pa '  0
Bài toán dẫn đến giải hệ phương trình hai ẩn đối với x và y :
h(x)  Ay  BxC   (*)
h( y)   A ' B x  C ' 
(*) thường là hệ đối xứng loại 2 đối với x và y .
Chú ý: Có thể sử dụng phương pháp nâng lũy thừa để đưa về phương trình bậc bốn. 2. Các ví dụ
Ví dụ 1: Giải phương trình 2
2x 15  32x  32x  20 (1) Lời giải 15
 Điều kiện: 2x 15  0  x  2
 Phương trình (1) viết lại thành:  x  2 2 4 2  2x 15  28  1 
Đặt 2x 15  4 y  2  y     
 , ta được hệ phương trình:  2 
 4y 22  2x  15 (2)     4x 2 2  2y 15 (3) 
 Trừ theo từng vế của (2) và (3) ta được:
Tài liệu ôn thi môn Toán TNTHPTQG - Chuyên Nguyễn Quang Diêu Đồng Tháp
4y  4x  44y4x 2x y  x y 18x  y   1   0  
+ Khi x  y , thay vào (3) ta được:  1 x   2 4x  2 2 2
 2x 15  16x 14x11 0    11 x    8 1
So với điều kiện của x và y ta chọn x  . 2
+ Khi  x  y   9 1 8
1  0  y  x  , thay vào (3) ta được: 8 9 9   221 4x  2 2 2
 2x 15  64x  72x35  0  x  4 16 9   221
So với điều kiện của x và y ta chọn x  . 16   1 9   221  
 Tập nghiệm của (1) là S   ;    2 16   
Ví dụ 2: Giải phương trình 2
4x  3x 1  5  13x (1) Lời giải  1
Điều kiện: 3x 1 0  x   3
 Phương trình (1) viết lại thành:  x  2 2
3   3x 1  x  4  3
Đặt 3x 1  2 y   3  y    
 , ta được hệ phương trình:  2   2x 2 3
 2 y  x 1 (2)     2y 2 3  3x 1 (3) 
 Trừ theo từng vế của (2) và (3) ta được:
22x  2 y  6x  y  2 y  2x  x  y2x  2 y   5  0
+ Khi x  y , thay vào (3) ta được: 15  97 2 2
4x 12x  9  3x 1  4x 1
 5x  8  0  x  8 15  97
So với điều kiện của x và y ta chọn x  . 8
Tài liệu ôn thi môn Toán TNTHPTQG - Chuyên Nguyễn Quang Diêu Đồng Tháp
+ Khi 2x  2 y 5  0  2 y  5 2x , thay vào (3) ta được: 11 73 2 2x2 2
 3x 1 4x 11x 3  0  x  8 11 73
So với điều kiện của x và y ta chọn x  . 8   11 73 15 97   
 Tập nghiệm của (1) là S   ;    8 8   
3. Một số bài toán tự luyện Giải các phương trình 1) 2
x  6  x  4x 2) 2
x  4x 3  x  5 3) 2 2x 1
  x 3x 1 0 4) 2
4x 14x 11 4 6x 10 5) 2
9x 12x  2  3x  8 7) 6) 2
9x  6x  5  3x  5
---------------------------------Hết----------------------------------

Giải hệ phương trình bằng phương pháp hàm số – Huỳnh Chí Hào

Thông tin :

Tài liệu liên quan:

Chuyên đề một số phương pháp đếm trong các bài toán tổ hợp

Các dạng toán vectơ Toán 10 thường gặp

Các dạng toán mệnh đề và tập hợp Toán 10 thường gặp

Đề cương giữa học kỳ 1 Toán 10 năm 2024 – 2025 trường THPT Hoàng Văn Thụ – Hà Nội

Đề cương giữa học kỳ 1 Toán 10 năm 2024 – 2025 trường THPT Xuân Đỉnh – Hà Nội