Giao an TOAN CAO CAP
Preview text:
VŨ THỊ HỒNG THANH
TRẦN VĂN ÂN, NGUYỄN HUY CHIÊU, NGUYỄN DUY BÌNH , GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP PHẦN: GIẢI TÍCH NGHỆ AN, 2022 VŨ THỊ HỒNG THANH
TRẦN VĂN ÂN, NGUYỄN DUY BÌNH, NGUYỄN HUY CHIÊU TOÁN CAO CẤP (GIẢI TÍCH)
(Dùng cho sinh viên khoa kinh tế) NGHỆ AN, 2022 1 MỤC LỤC Mục lục 1 Lời nói đầu 1 1
Phép tính vi phân hàm số một biến số 5 1.1. Hàm số
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2. Giới hạn của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3. Hàm số liên tục
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.4. Đạo hàm và vi phân cấp 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.5. Vi phân
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2
Phép tính tích phân của hàm một biến 55
2.1. Nguyên hàm và tích phân không xác định . . . . . . . . . . . . 55 2.2. Tích phân xác định
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 2.3. Tích phân suy rộng
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 ´
2.4. Ưng dụng tích phân bất định trong kinh tế . . . . . . . . . . . 81 3
Phép tính vi phân của hàm nhiều biến 85
3.1. Hàm nhiều biến số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.2. Giới hạn của hàm nhiều biến
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.3. Tính liên tục của hàm nhiều biến . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.4. Đạo hàm riêng của hàm nhiều biến
. . . . . . . . . . . . . . . 94
3.5. Cực trị của hàm nhiều biến
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 Tài liệu tham khảo 105 2 3 LỜI NÓI ĐẦU
Tại sao học ngành kinh tế phải học toán?
Economics is a social science. It does not just describe what goes on
in the economy. It attempts to explain how the economy operates and to
make predictions about what may happen to specified economic variables if
certain changes take place, e.g. what effect a crop failure will have on crop
prices, what effect a given increase in sales tax will have on the price of
finished goods, what will happen to unemployment if government expendi-
ture is increased. It also suggests some guidelines that firms, governments
or other economic agents might follow if they wished to allocate resources
efficiently. Mathematics is fundamental to any serious application of eco- nomics to these areas.
Tạm dịch : Kinh tế học là môn học thuộc lĩnh vực khoa học xã hội. Nó
không chỉ mô tả những gì đang diễn ra trong nên kinh tế. Nó cố gắng giải
thích cách nền kinh tế vận hành và đưa ra dự đoán về những gì có thể xẩy
ra với các biến số kinh tế cụ thể nếu nhữngthay đổi nhất định diến ra. Ví
dụ: Mất mùa sẽ ảnh hưởng thế nào đến giá cây trồng, việc tăng thuế bán
hàng nhất định có ảnh hưởng đến giá thành phẩm, điều gì xẩy ra với thất
nghiệp nếu chi tiêu của chính phủ tăng. Nó cũng gợi một số hướng dẫn mà
các công ty, chính phủ hoặc các cơ quan kinh tế khác có thể tuân theo nếu
họ muốn phân bổ nguồn lực 1 cách hiệu quả. Toán học là nền tảng cho bất
kỳ ứng dụng nghiêm túc nào của kinh tế học vào các lĩnh vực như thế. Nội dung gồm 3 chương:
Chương 1: Phép tính vi phân hàm một biến
Chương 2: Phép tính tích phân hàm một biến
Chương 3: Phép tính vi phân hàm nhiều biến
Mỗi chương đều trình bày các kiến thức toán học trước, sau đó giới thiệu
các vấn đề trong kinh tế thường dùng và ứng dụng các kiến thức toán vừa
được trình bày để giải quyết một số bài toán kinh tế thông qua các hàm
kinh tế. Sau mỗi Chương sẽ có bài tập tự luận liên quan đến công thức
toán và ứng dụng toán học trong kinh tế. Các tác giả 4 5 CHƯƠNG 1
PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ
Sau khi học xong chương này, sinh viên có thể:
1. Trình bày được các khái niệm của hàm số, các hàm số đặc biệt, các
phép toán hàm số, một số biến số kinh tế và hàm kinh tế;
2. Trình bày được khái niệm các lọai dãy số, dãy hội tụ và các tính chất
của dãy hội tụ, ứng dụng cúa giới hạn dãy số trong kinh tế;
3. Trình bày được khái niệm giới hạn hàm số và các tính chất;
4. Trình bày được khái niệm hàm liên tục, liên tục trên một đoạn và tính chất;
5. Trình bày được các khái niệm đạo hàm và các tính chất cơ bản của nó;
6. Trình bày được các ứng dụng của phép toán vi phân trong kinh tế. 6
Trong kinh doanh, một số câu hỏi thường được đặt ra là
1. Làm thế nào để người bán quyết định được là nên tăng hay giảm giá
hàng hóa để tăng doanh thu hay tăng lợi nhuận?
2. Nhà nước muốn tăng doanh thu từ thuế thì nên đánh thuế vào những mặt hàng nào?
3. Làm sao để ước tính được sự thay đổi giá để loại bỏ sự dư thừa hay thiếu hụt hàng hóa?
4. Làm thế nào để đoán cầu tiêu dùng khi biết sự thay đổi thu nhập của khách hàng?
5. Làm sao biết hàng hóa mình cung cấp là hàng hóa thông thường hay thứ cấp?
6. Khi biết sự thay đổi của nền kinh tế thì nên thay đổi chiến lược sản xuất như thế nào? ......
Sau khi học chương này, về cơ bản sẽ giúp người học trả lời
được các câu hỏi nêu trên. 7 1.1. Hàm số
1.1.1. Các khái niệm cơ bản về hàm số
1.1.1.1 Định nghĩa. Cho X ⊂ R. Ta gọi ánh xạ f : X → R là một hàm
số. Tập X được gọi là tập xác định của hàm f , tập Y = f (X) := {f (x) : x ∈ X}
được gọi là tập giá trị của hàm f . Ký hiệu y = f (x), x ∈ X. (1.1)
Đẳng thức (1.1) cho phép ta xác định giá trị của hàm số f tại điểm
x ∈ X. Khi đó, x được gọi là biến số và y được gọi là giá trị của hàm số tại x.
Nếu f (X) chỉ có một phần tử thì ta nói f là hàm hằng trên X. Tập G 2
f = {(x, f (x)) : x ∈ X } ⊂ R
được gọi là đồ thị của hàm số f . 1.1.1.2. Ví dụ
a) Ánh xạ f : R → R cho bởi công thức y = f (x) = x2 + 1 là một hàm
số. Tập xác định của f là X = R và tập giá trị là Y = [1, +∞). b) Công thức x2 x|x| nếu x > 0 y = f (x) = = 2 2 − x2 nếu x < 0 2
cho ta một hàm số xác định trên X = R và tập giá trị cũng là Y = R.
1.1.1.3. Định nghĩa. Hai hàm số f và g được gọi là bằng nhau trên tập
D ⊂ R nếu các điều kiện sau được thoả mãn
i) f và g cùng xác định trên D.
ii) f (x) = g(x) với mọi x ∈ D.
Khi đó, ta ký hiệu f = g trên D. Tương tự, ta có thể định nghĩa
"f < g, f > g, f 6 g, f > g". 1.1.1.4. Ví dụ. a) Cho các hàm số x2 − 4 nếu x 6= 2 f (x) = x − 2
(a là hằng số cho trước) a nếu x = 2
và g(x) = x + 2. Khi đó, f và g cùng xác định trên R. Rõ ràng f = g trên R khi và chỉ khi a = 4.
b) Cho các hàm số f (x) = x2 + 2x + 2 và g(x) = 2x + 1. Khi đó, f lớn hơn g trên R. 8
1.1.2. Một số hàm số đặc biệt
1.1.2.1. Định nghĩa. Cho hàm số f có tập xác định là Df .
a) Hàm số f được gọi là hàm chẵn nếu x ∈ Df thì −x ∈ Df và f (x) = f (−x).
b) Hàm số được gọi là hàm lẻ nếu x ∈ Df thì −x ∈ Df và f (−x) = −f (x).
c) Hàm số được gọi là hàm tuần hoàn với chu kỳ T nếu với mọi x ∈ Df
mà x + T ∈ Df thì f (x) = f (x + T ). 1.1.2.2. Ví dụ. 1
a) Các hàm f (x) = sin x, f (x) = x3 và f (x) = là hàm số lẻ trên tập x xác định của nó.
b) Các hàm f (x) = cos x, f (x) = sin2 x là hàm chẵn trên tập xác định của nó.
c) Hàm y = sin x tuần hoàn với chu kỳ 2π. Hàm y = cos 4x tuần hoàn π với chu kỳ trên R. 2
1.1.2.3. Định nghĩa. Cho một hàm xác định trên D.
a) Hàm số f được gọi là bị chặn trên trên tập D ⊂ R nếu tồn tại số M
sao cho f (x) 6 M, với mọi x ∈ D.
b) Hàm số f được gọi là bị chặn dưới trên tập D ⊂ R nếu tồn tại số m
sao cho f (x) > m, với mọi x ∈ D.
c) Hàm số f được gọi là bị chặn trên tập D ⊂ R nếu nó đồng thời bị
chặn trên và bị chặn dưới trên D.
Ta dễ dàng suy ra f bị chặn trên D khi và chỉ khi tồn tại M > 0 sao cho |f (x)| 6 M, ∀x ∈ D. 1.1.2.4. Ví dụ.
a) Các hàm số f (x) = sin x, f (x) = cos x bị chặn trên R. 1 b) Hàm số f (x) =
bị chặn dưới trên (0, +∞), nhưng không bị chặn x trên trên khoảng này.
1.1.2.5. Định nghĩa. Giả sử f và g lần lượt là các hàm số xác định trên
các tập D1 và D2. Giả sử D = D1 ∩ D2 6= ∅. Ta định nghĩa các phép toán của f và g như sau:
a) Hàm h được gọi là tổng của f và g nếu h(x) = f (x) + g(x), ∀x ∈ D.
b) Hàm h được gọi là hiệu của f và g nếu h(x) = f (x) − g(x), ∀x ∈ D.
c) Hàm h được gọi là tích của f và g nếu h(x) = f (x)g(x), ∀x ∈ D.
d) Hàm h được gọi là thương của f và g nếu g(x) 6= 0 ∀x ∈ D và 9 f (x) h(x) = , ∀x ∈ D. g(x)
1.1.2.6. Định nghĩa. Cho X, Y và Z là các tập con của R và các hàm số f : X → Y, g : Y → Z.
Khi đó, ánh xạ F : X → Z được xác định bởi F (x) = g(f (x)), ∀x ∈ X
được gọi là hàm số hợp của f và g. Ký hiệu F = g ◦ f .
1.1.2.7. Ví dụ. Cho các hàm số f (x) = 2x2 + 1 và g(x) = cos x. Khi đó,
hàm số hợp của g và f là
F (x) = (g ◦ f )(x) = g(f (x)) = cos(2x2 + 1), ∀x ∈ R.
1.1.2.8. Định nghĩa. Cho f là một hàm số xác định trên tập X và có
tập giá trị là Y = f (X). Giả sử f là một song ánh. Khi đó, ánh xạ ngược
f −1 : Y → X của f được gọi là hàm số ngược của hàm số f . 1.1.2.9. Ví dụ.
a) Cho a > 0 và a 6= 1. Khi đó, hàm số y = loga x là hàm số ngược của hàm số mũ y = ax.√
b) Hàm số y = 3 x là hàm số ngược của hàm số y = x3.
c) Hàm số y = x2 không có hàm số ngược trên R bởi vì nó không phải
là một song ánh từ R vào tập giá trị của nó là [0, +∞). Tuy nhiên, nếu chỉ √
xét nó trên [0, +∞) thì nó có hàm ngược là y = x.
1.1.3. Các hàm số sơ cấp 1.1.3.1. Hàm lũy thừa
Cho α là một số thực khác không. Hàm số f : + + R → R xác định bởi
f (x) = xα được gọi là hàm luỹ thừa. Hàm này có hàm ngược f −1 : + + R → R 1
xác định bởi f −1(x) = xα . Khi đó, f −1 cũng là hàm luỹ thừa.
Trong một số trường hợp đặc biệt của số mũ α người ta có thể mở rộng
tập xác định của nó. Tuy nhiên, xác định sự tồn tại các hàm ngược của
chúng là cần phải lưu ý. Chẳng hạn:
Nếu α = n ∈ N là số tự nhiên thì f (x) = xn xác định trên R. Tuy nhiên,
nếu n chẵn thì nó không có hàm ngược trên R.
Nếu α = n là số nguyên âm thì f (x) = xn xác định trên R \ {0}. Chẳng hạn 1 f (x) = x−3 = . x3 10 m Giả sử α =
là số hữu tỷ. Không mất tổng quát, ta có thể giả thiết n m
n > 0. Khi đó, hàm f (x) = x n còn được viết dưới dạng √ f (x) = n xm.
Tập xác định của hàm này có thể mở rộng hay không là tuỳ thuộc vào tính
chẵn hay lẻ của n và dấu của m. 1.1.3.2. Hàm số mũ Hàm số f : + R → R
xác định bởi f (x) = ax(a > 0, a 6= 1) là hàm số mũ
cơ số a. Nó là một song ánh từ +
R vào R , hàm ngược của nó như đã biết
là hàm số logarit y = loga x.
1.1.3.3. Các hàm lượng giác và hàm ngược của nó
Các hàm lượng giác sin x, cos x, tan x, cot x chúng ta đã biết ở chương
trình phổ thông, ở đây chúng ta trình bày sơ lược cách xây dựng hàm ngược của chúng. π π
i) Xét hạn chế của hàm y = sin x trên [− , ]. Khi đó, hàm 2 2 π π sin : [− , ] → [−1, 1] 2 2
là một song ánh. Do đó, tồn tại hàm số ngược, ký hiệu là arcsin π π
arcsin : [−1, 1] → [− , ]. 2 2
Hàm y = arcsin x thoả mãn các hệ thức của hàm số ngược, tức là π π
sin(arcsin x) = x, ∀x ∈ [−1, 1] và
arcsin(sin x) = x, ∀x ∈ [− , ]. 2 2
ii) Xét hạn chế của hàm y = cos x trên [0, π]. Khi đó, hàm cos : [0, π] → [−1, 1]
là một song ánh. Do đó, tồn tại hàm ngược, ký hiệu là arccos
arccos : [−1, 1] → [0, π].
Hàm y = arccos x thoả mãn các hệ thức của hàm số ngược, tức là
cos(arccos x) = x, ∀x ∈ [−1, 1] và
arccos(cos x) = x, ∀x ∈ [0, π]. π π
iii) Xét hạn chế của hàm y = tan x trên (− , ). Khi đó, hàm 2 2 π π tan : (− , ) → R 2 2 11
là một song ánh. Do đó, tồn tại hàm số ngược, ký hiệu là arctan π π arctan : R → (− , ). 2 2
Từ định nghĩa dễ thấy rằng π π
tan(arctan x) = x, ∀x ∈ R và
arctan(tan x) = x, ∀x ∈ (− , ). 2 2
iv) Xét hạn chế của hàm y = cot x trên (0, π). Khi đó, hàm cot : (0, π) → R
là một song ánh. Do đó, tồn tại hàm ngược, ký hiệu là arccot arccot : R → (0, π).
Từ định nghĩa dễ thấy rằng
cot(arccotx) = x, ∀x ∈ R và arccot(cot x) = x, ∀x ∈ [0, π].
1.1.4. Các hàm và các biến số thường gặp trong kinh tế
1.1.4.1. Các biến số kinh tế
Trong lĩnh vực kinh tế, người ta thường quan tâm đến các đại lượng
như: giá cả, lượng cung, lượng cầu, doanh thu, chi phí,.... Khi phân tích xu
hướng thay đổi trị số của các đại lượng đó theo không gian, thời gian và
theo các điều kiện khác nhau, các nhà kinh tế xem chúng như các biến số.
Các biến số đó được gọi là biến số kinh tế.
Ta có một số kí hiệu thường gặp p : giá hàng hóa (price); Qs :
lượng cung (quantity supplied); Qd :
lượng cầu (quantity demanded); T C : tổng chi phí (total cost); T R :
tổng doanh thu (total revenue); I : đầu tư (investment); U : lợi ích (utility); Y :
thu nhập quốc dân (national income); C : tiêu dùng (consumption); S : tiết kiệm (saving); K : vốn (Capital); L :
lực lượng lao động (Lable). 12
1.1.4.2. Một số mô hình hàm số trong phân tích kinh tế a. Hàm cung và hàm cầu
Khi phân tích thị trường hàng hóa và dịch vụ, các nhà kinh tế sử dụng
khái niệm hàm cung (supply function) và hàm cầu (demand function) để
biểu diễn sự phụ thuộc của lượng cung và lượng cầu đối với một loại hàng
hóa vào giá của hàng hóa đó.
Hàm cung có dạng: Qs = S(p), trong đó p là giá hàng hóa, Qs là lượng
cung, tức là lượng hàng hóa mà người bán bằng lòng bán.
Lượng cung của thị trường là tổng lượng cung của tất cả các nhà sản xuất.
Hàm cầu có dạng: Qd = D(p), trong đó p là giá hàng hóa, Qd là lượng
cầu, tức là lượng hàng hóa mà người mua bằng lòng mua. Lượng cầu của
thị trường là tổng lượng cầu của tất cả những người tiêu dùng.
Tất nhiên lượng cung và lượng cầu hàng hóa không chỉ phụ thuộc vào
giá của hàng hóa đó, mà còn chịu ảnh hưởng của nhiều yếu tố khác như:
thu nhập, giá của các hàng hóa khác...
Trong tài liệu này, khi xem xét các mô hình hàm cung và hàm cầu ở
dạng trên, ta giả thiết rằng các yếu tố khác không thay đổi. Trong kinh tế
học, đối với hàng hóa thông thường, hàm cung là hàm đơn điệu tăng, hàm
cầu là hàm đơn điệu giảm. Các nhà kinh tế gọi đồ thị của hàm cung và
hàm cầu là đường cung va đường cầu.
Giao điểm của đường cung và đường cầu được gọi là điểm cân bằng của thị trường.
Do tính chất đặc trưng của hàm cung và hàm cầu nên các hàm này có
hàm ngược. Trong kinh tế học, người ta vẫn gọi hàm cầu ngược p = D−1(Qd)
là hàm cầu, hàm cung ngược p = S−1(Qs) là hàm cung.
b. Hàm sản xuất ngắn hạn
Trong kinh tế học, ngắn hạn là khoảng thời gian mà ít nhất một trong
các yếu tố sản xuất không thể thay đổi. Dài hạn là khoảng thời gian mà
tất cả các yếu tố sản xuất có thể thay đổi.
Các nhà kinh tế học sử dụng khái niệm hàm sản xuất để mô tả sự
phụ thuộc của sản lượng hàng hóa của một nhà sản xuất vào các yếu tố
đầu vào, gọi là các yếu tố sản xuất như: vốn, lao động,...
Khi phân tích sản xuất, người ta thường quan tâm đến hai yếu tố sản
xuất quan trọng là vốn K (capital) và lao động L (labor). Trong ngắn hạn,
K không thay đổi, do đó, hàm sản xuất ngắn hạn có dạng Q = f (L)
trong đó L là lượng lao động được sử dụng và Q là mức sản lượng tương ứng. 13
Chú ý rằng khi xem xét hàm sản xuất, sản lượng Q và các yếu tố sản
xuất K, L được đo theo luồng, tức là do định kỳ (hàng ngày, hàng tuần, hàng tháng,...).
c. Hàm doanh thu, hàm chi phí và hàm lợi nhuận
i) Hàm doanh thu là hàm số biểu diễn sự phụ thuộc của tổng doanh thu T R vào sản lượng Q T R = T R(Q).
Ví dụ, tổng doanh thu của nhà sản xuất cạnh tranh (bán cùng một mặt
hàng) khi bán Q sản phẩm với p là giá mỗi sản phẩm trên thị trường là T R = p.Q
ii) Hàm chi phí là hàm số biểu diễn sự phụ thuộc của tổng chi phí sản
xuất T C vào sản lượng Q T C = T C(Q).
iii) Hàm lợi nhuận là hàm số biểu diễn sự phụ thuộc của tổng lợi nhuận π vào sản lượng Q π = π(Q).
Hàm lợi nhuận có thể được xác định thông qua hàm doanh thu và hàm chi phí là π = T R(Q) − T C(Q).
d. Hàm tiêu dùng và hàm tiết kiệm Lượng tiền mà người tiêu dùng
dành để mua sắm hàng hóa và dịch vụ phụ thuộc vào thu nhập. Các nhà
kinh tế sử dụng hàm tiêu dùng để biểu diễn sự phụ thuộc của biến tiêu
dùng C(consumption) vào biến thu nhập Y (income) là C = f (Y ).
Thông thường, khi thu nhập tăng người ta có xu hướng tiêu dùng nhiều
hơn, do đó hàm tiêu dùng là hàm đồng biến.
Hàm tiết kiệm là hàm số biểu diễn sự phụ thuộc của biến tiết kiệm S
(saving) vào biến thu nhập: S = S(Y ). Bài tập về nhà. 1) Tự đọc mục 1.1.3.
2) Tự đọc mục 1.2.5, 1.2.6, 1.2.7, 1.2.8, 1.2.9. 3) Tự đọc mục 1.3.
4) Bạn đọc có thể đọc các chứng minh của định lý của ở trong tài liệu [2]. 14
1.2. Giới hạn của hàm số
1.2.1. Dãy số và giới hạn dãy số
1.2.1.1. Định nghĩa. Một ánh xạ u : ∗
N → R được gọi là một dãy số. Bằng cách đặt u ∗ n = u(n), n ∈ N
thì dãy u có thể viết như sau
u1, u2, ..., un, ... hay viết gọn {un}∞ hoặc {u n=1 n}.
Một phần tử của dãy được gọi là số hạng của dãy. Phần tử un được gọi là
số hạng thứ n của dãy.
Dãy được gọi là vô hạn nếu {u( ∗
N )} là tập vô hạn. Nói chung, ta thường
xét dãy là vô hạn. Khi un 6= um với mọi n 6= m, dãy gọi là phân biệt. 1.2.1.2. Ví dụ. n a) Ánh xạ u : ∗
N → R xác định bởi u(n) = là một dãy số. Dãy 1 + n2 n n o∞
này là vô hạn. Ta còn viết dãy này là . 1 + n2 n=1 b) Ánh xạ u : ∗
N → R xác định bởi u(n) = (−1)n là một dãy số. Dãy
này chỉ gồm hai phần tử là ±1.
1.2.1.3. Định nghĩa. Cho hai dãy số {un} và {vn}. Khi đó, các dãy u { n
un + vn}, {un − vn}, {unvn} và {
}(vn 6= 0) lần lượt được gọi là dãy vn
tổng, hiệu, tích và thương của hai dãy trên.
1.2.1.4. Định nghĩa. Cho dãy {un}. Ta nói, {un} là
a) Dãy đơn điệu tăng nếu và chỉ nếu un 6 un+1 với mọi n ∈ N.
b) Dãy đơn điệu giảm nếu và chỉ nếu un > un+1 với mọi n ∈ N.
c) Dãy đơn điệu nếu và chỉ nếu dãy đó là đơn điệu tăng hoặc đơn điệu giảm.
d) Dãy bị chặn trên nếu và chỉ nếu tồn tại số M ∈ R sao cho un 6 M với mọi n ∈ N.
e) Dãy bị chặn dưới nếu và chỉ nếu tồn tại số m ∈ R sao cho un > m với mọi n ∈ N.
f) Dãy bị chặn nếu và chỉ nếu dãy đó vừa bị chặn trên vừa bị chặn
dưới. Như vậy, dãy {un} bị chặn khi và chỉ khi sup | n u >1 n| < ∞ hay tồn tại
số thực không âm M , sao cho |un| 6 M.
g) Dãy con của dãy {un} là dãy {un }các chỉ số n i 1 < n2 < .... 1.2.1.5. Ví dụ. 15 1 1) Dãy { } bị chặn vì n 1 0 < 6 1, ∀n. n
2) Dãy {(−1)n} bị chặn vì |(−1)n| = 1 ∀n.
3) Dãy {(−1)nn} không bị chặn trên vì với mọi M ∈ R đều tồn n sao
cho (−1)nn > M. Tương tự, dãy này cũng không bị chặn dưới.
1.2.1.6. Định nghĩa. Cho dãy số {un} ⊂ R. Nếu tồn tại a ∈ R sao cho
∀ε > 0 ∃n0 = n0(ε), ∀n > n0 : |un − a| < ε
thì ta nói a là giới hạn của dãy {un} hoặc dãy {un} hội tụ tới a và {un} là dãy hội tụ. Ta viết a = lim un hay un → a khi n → ∞. n→∞
Dãy không hội tụ được gọi là dãy phân kỳ. 1.2.1.7. Ví dụ. 1
a) Dãy { } hội tụ đến 0, bởi vì với mọi ε > 0 ta có n 1 h 1 i < ε ∀n > n0 = n ε h 1i 1 trong đó là phần nguyên của . ε ε n + 1 b) Dãy {
} hội tụ tới 1. Thật vậy, với mọi ε > 0 ta có n − 1 n + 1 2 − 1 = < ε n − 1 n − 1 h 2i với mọi n > n0 = + 1. ε
1.2.1.8. Định lý. Mọi dãy hội tụ đều có giới hạn duy nhất.
1.2.1.9. Định lý. Mọi dãy hội tụ đều bị chặn.
1.2.1.10. Định lý. (Các phép toán) Giả sử {un} và {vn} là các dãy hội
tụ. Khi đó, các dãy tổng, hiệu và tích của chúng cũng hội tụ và
lim (un + vn) = lim un + lim vn; n→∞ n→∞ n→∞
lim (un − vn) = lim un − lim vn; n→∞ n→∞ n→∞ lim (unvn) = lim un lim vn. n→∞ n→∞ n→∞ u lim un n Nếu lim v n→∞ n 6= 0 thì lim = . n→∞ n→∞ vn lim vn n→∞ 16
1.2.1.11. Định lý. (hội tụ của dãy trị tuyệt đối) Nếu lim un = a thì n→∞ lim |un| = |a|. n→∞
1.2.1. 12. Định lý. (Bảo toàn thứ tự) Cho {un} là dãy hội tụ.
1) Nếu un > α với mọi n đủ lớn, tức là tồn tại n0 ∈ N sao cho un > α
với mọi n > n0 thì lim un > α. Ngược lại, nếu lim un > α thì un > α với n→∞ n→∞ mọi n đủ lớn.
2) Nếu un 6 β với mọi n đủ lớn thì lim un 6 β. Ngược lại, nếu n→∞
lim un < β thì un < β với mọi n đủ lớn. n→∞
1.2.1.13. Định lý. (Nguyên lí kẹp) Cho {un}, {vn} là hai dãy số hội tụ,
lim un = lim vn = a và dãy số {wn}. Nếu khi n đủ lớn ta có un 6 wn 6 vn n→∞ n→∞
thì {wn} hội tụ và lim wn = a. n→∞ 1.2.1.14. Ví dụ. sin n 1) Tìm giới hạn lim . n→∞ n Ta có 1 sin n 1 − 6 6 ∀n = 1, 2, ... n n n và 1 1 lim − = lim = 0. n→∞ n n→∞ n sin n Do đó, lim = 0 n→∞ n ! 1 1 1 2) Tìm giới hạn lim √ + √ + ... + √ . n→∞ n2 + 1 n2 + 2 n2 + n Ta có n 1 1 1 n √ < √ + √ + ... + √ < √ ∀n n2 + n n2 + 1 n2 + 2 n2 + n n2 + 1 và n n lim √ = lim √ = 1. n→∞ n2 + n n→∞ n2 + 1 Vậy, ! 1 1 1 lim √ + √ + ... + √ = 1. n→∞ n2 + 1 n2 + 2 n2 + n 17
Sự hội tụ của dãy đơn điệu
1.2.1.15. Định lý. (Nguyên lí hội tụ của dãy đơn điệu)
1) Nếu dãy {un} đơn điệu tăng và bị chặn trên thì nó hội tụ và lim un = sup un. n→∞ n
2) Nếu dãy {un} đơn điệu giảm và bị chặn dưới thì nó hội tụ và lim un = inf un. n→∞ n
1.2.1.16. Ví dụ. Khảo sát sự hội tụ của dãy số {un}, 1 1 1 un = 1 + + + ... + , n = 1, 2, ... 4 9 n2 Vì 1 un+1 − un = > 0 ∀n (n + 1)2
nên dãy {un} đơn điệu tăng. Mặt khác 1 1 1 un = 1 + + + ... + 4 9 n2 1 1 1 < 1 + + + .... + 1.2 2.3 (n − 1)n 1 1 1 1 1 = 1 + 1 − + − + ... + − 2 2 3 n − 1 n 1 = 2 − < 2 ∀n n
nên dãy {un} bị chặn trên. Do đó, dãy {un} hội tụ. 1n
1.2.1.17. Số e. Xét dãy số un = 1 + , n = 1, 2, ... n
Ta chứng minh {un} là dãy tăng. Xét n + 1 số dương 1
x1 = 1, x2 = x3 = .... = xn+1 = 1 + . n
Theo bất đẳng thức Cauchy x1 + x2 + ... + xn+1 √ > n+1 x1.x2....xn.xn+1. n + 1 18 1 + n 1 + 1 r 1 1 n+1 1 n ⇔ n > n+1 (1 + )n ⇔ 1 + > 1 + , ∀n. n + 1 n n + 1 n
Vậy, un+1 > un ∀n hay {un} là dãy tăng.
Tiếp theo, ta chứng minh {un} bị chặn trên. Dùng khai triển nhị thức Newton ta có 1 n n 1 (n(n − 1) 1 n(n − 1)...2.1 1 1 + = 1 + + + ... + . n 1! n 2! n2 n! nn Vì n(n − 1)...(n − k + 1) 1 1 1 < < ∀k > 2 k! nk k! 2k−1 nên 1 n n 1 (n(n − 1) 1 n(n − 1)...2.1 1 1 + = 1 + + + ... + n 1! n 2! n2 n! nn 1 1 1 < 1 + 1 + + + ... + 2 22 2n−1 1 1 − = 1 + 2n < 3 ∀n. 1 1 − 2 1n Vậy, { 1 +
} là một dãy tăng và bị chặn trên nên nó có giới hạn. Ta n đặt 1 n e = lim 1 + . n→∞ n
Người ta chứng minh được số e là số vô tỷ và tính được giá trị gần đúng
của nó là: e ≈ 2, 718281...
Các nguyên lý cơ bản của dãy hội tụ
(Tự đọc) 1.2.1.18. Định nghĩa. Cho X 6= ∅ là một tập hợp tuỳ ý và dãy {un}∞ ⊂ X. Nếu n n=1
1 < n2 < ... < nk < ... là một dãy tăng ngặt các số tự
nhiên thì dãy un , u , ..., u , ... gọi là dãy con của dãy {u . 1 n2 nk n}∞ n=1
1.2.1.19. Mệnh đề. Nếu dãy {un} hội tụ và lim un = a thì mọi dãy con n→∞
{un } của nó cũng hội tụ và lim u = a. k nk k→∞
1.2.1.20. Nguyên lý Bolzano-Weierstrass. Mỗi dãy bị chặn trong R
đều có một dãy con hội tụ.
