Giáo trình đại số tuyến tính | Đại học Bách khoa Hà Nội
Giáo trình đại số tuyến tính | Đại học Bách khoa Hà Nội. Tài liệu giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao. Mời đọc đón xem!
Môn: Đại số tuyến tính 29 tài liệu
Trường: Đại học Bách Khoa Hà Nội 5.6 K tài liệu
Tác giả:
Preview text:
MU . C LU . C
Mu.c lu.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 L` o.i n´ oi d¯ˆ a
` u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Chu.o.ng 0: Kiˆ e´n th´ u.c chuˆ
a’n bi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
§1. Tˆa.p ho..p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
§2. Quan hˆe. v`a ´Anh xa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
§3. Lu..c lu.o..ng cu’a tˆa.p ho..p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
§4. Nh´om, V`anh v`a Tru.`o.ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
§5. Tru.`o.ng sˆo´ thu..c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
§6. Tru.`o.ng sˆo´ ph´u.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 §7. D
- a th´u.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 B` ai tˆ
a.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Chu.o.ng I: Khˆ ong gian v´
ecto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
§1. Kh´ai niˆe.m khˆong gian v´ecto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 §2. D
- ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh v`a phu. thuˆo.c tuyˆe´n t´ınh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
§3. Co. so.’ v`a sˆo´ chiˆe`u cu’a khˆong gian v´ecto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
§4. Khˆong gian con - Ha.ng cu’a mˆo.t hˆe. v´ecto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
§5. Tˆo’ng v`a tˆo’ng tru..c tiˆe´p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
§6. Khˆong gian thu.o.ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 B` ai tˆ
a.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Chu.o.ng II: Ma trˆ a.n v`a ´
Anh xa. tuyˆe´n t´ınh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
§1. Ma trˆa.n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
§2. ´Anh xa. tuyˆe´n t´ınh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
§3. Ha.t nhˆan v`a a’nh cu’a d¯ˆo`ng cˆa´u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
§4. Khˆong gian v´ecto. d¯ˆo´i ngˆa˜u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 B` ai tˆ
a.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 1 Chu.o.ng III: D
- i.nh th´u.c v`a hˆe. phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
§1. C´ac ph´ep thˆe´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 §2. D
- i.nh th´u.c cu’a ma trˆa.n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
§3. ´Anh xa. d¯a tuyˆe´n t´ınh thay phiˆen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 §4. D
- i.nh th´u.c cu’a tu.. d¯ˆo`ng cˆa´u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
§5. C´ac t´ınh chˆa´t sˆau ho.n cu’a d¯i.nh th´u.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 §6. D
- i.nh th´u.c v`a ha.ng cu’a ma trˆa.n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
§7. Hˆe. phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh - Quy t˘a´c Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
§8. Hˆe. phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh - Phu.o.ng ph´ap khu.’ Gauss . . . . . . . . . . . . . . . 139
§9. Cˆa´u tr´uc nghiˆe.m cu’a hˆe. phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 B` ai tˆ
a.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 Chu.o.ng IV: Cˆ a´u tr´ uc cu’a tu. . d¯ˆ o `ng cˆ
a´u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
§1. V´ecto. riˆeng v`a gi´a tri. riˆeng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
§2. Khˆong gian con ˆo’n d¯i.nh cu’a c´ac tu.. d¯ˆo`ng cˆa´u thu..c v`a ph´u.c . . . . . . . . . . . 161
§3. Tu.. d¯ˆo`ng cˆa´u ch´eo ho´a d¯u.o..c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
§4. Tu.. d¯ˆo`ng cˆa´u lu˜y linh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
§5. Ma trˆa.n chuˆa’n Jordan cu’a tu.. d¯ˆo`ng cˆa´u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 B` ai tˆ
a.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 Chu.o.ng V: Khˆ ong gian v´
ecto. Euclid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
§1. Khˆong gian v´ecto. Euclid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
§2. ´Anh xa. tru..c giao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
§3. Ph´ep biˆe´n d¯ˆo’i liˆen ho..p v`a ph´ep biˆe´n d¯ˆo’i d¯ˆo´i x´u.ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
§4. V`ai n´et vˆe` khˆong gian Unita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 B` ai tˆ
a.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
Chu.o.ng VI: Da.ng song tuyˆe´n t´ınh v`a da.ng to`an phu.o.ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
§1. Kh´ai niˆe.m da.ng song tuyˆe´n t´ınh v`a da.ng to`an phu.o.ng . . . . . . . . . . . . . . . 234 §2. D
- u.a da.ng to`an phu.o.ng vˆe
` da.ng ch´ınh t˘a´c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 2
§3. Ha.ng v`a ha.ch cu’a da.ng to`an phu.o.ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
§4. Chı’ sˆo´ qu´an t´ınh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
§5. Da.ng to`an phu.o.ng x´ac d¯i.nh dˆa´u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 B` ai tˆ
a.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 Chu.o.ng VII: D
- a.i sˆo´ d¯a tuyˆe´n t´ınh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
§1. T´ıch tenxo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
§2. C´ac t´ınh chˆa´t co. ba’n cu’a t´ıch tenxo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 §3. D
- a.i sˆo´ tenxo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 §4. D
- a.i sˆo´ d¯ˆo´i x´u.ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275 §5. D
- a.i sˆo´ ngo`ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 B` ai tˆ
a.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290 T` ai liˆ
e.u tham kha’o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292 3 . L ` OI N ´ OI D - ˆ A ` U Theo d`
ong li.ch su.’, mˆon D
- a.i sˆo´ tuyˆe´n t´ınh kho.’i d¯ˆa`u v´o.i viˆe.c gia’i v`a biˆe.n luˆa.n c´ ac hˆ
e. phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh. Vˆe ` sau, d¯ˆe’ c´ o thˆ e’ hiˆ e’u thˆ a´u d¯´ ao cˆ a´u tr´ uc cu’a tˆ a.p nghiˆ e.m v`a d¯iˆe
` u kiˆe.n d¯ˆe’ mˆo.t hˆe. phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh c´o nghiˆe.m, ngu.`o.i ta xˆay du. . ng nh˜ u.ng kh´ ai niˆ
e.m tr`u.u tu.o..ng ho.n nhu. khˆong gian v´ecto. v`a ´anh xa. tuyˆe´n t´ınh. Ngu.` o.i ta c˜ ung c´ o nhu cˆ a ` u kha’o s´ at c´ ac khˆ ong gian v´ o.i nhiˆ e ` u thuˆ o.c t´ınh h`ınh ho.c ho.n, trong d¯´ o c´ o thˆ e’ d¯o d¯ˆ
o. d`ai cu’a v´ecto. v`a g´oc gi˜u.a hai v´ecto.. Xa ho.n, hu.´o.ng nghiˆ en c´ u.u n` ay dˆ a
˜n t´o.i b`ai to´an phˆan loa.i c´ac da.ng to`an phu.o.ng, v`a tˆo’ng qu´at ho.n phˆ
an loa.i c´ac tenxo., du.´o.i t´ac d¯ˆo.ng cu’a mˆo.t nh´om cˆa´u tr´uc n`ao d¯´o. Ng` ay nay, D
- a.i sˆo´ tuyˆe´n t´ınh d¯u.o..c ´u.ng du.ng v`ao h`ang loa.t l˜ınh vu..c kh´ac nhau, t` u. Gia’i t´ıch t´
o.i H`ınh ho.c vi phˆan v`a L´y thuyˆe´t biˆe’u diˆe˜n nh´om, t`u. Co. ho.c, Vˆa.t l´y t´ o.i K˜ y thuˆ
a.t... V`ı thˆe´, n´o d¯˜a tro.’ th`anh mˆo.t mˆon ho.c co. so.’ cho viˆe.c d¯`ao ta.o c´ac gi´ ao viˆ
en trung ho.c, c´ac chuyˆen gia bˆa.c d¯a.i ho.c v`a trˆen d¯a.i ho.c thuˆo.c c´ac chuyˆen ng`
anh khoa ho.c co. ba’n v`a cˆong nghˆe. trong tˆa´t ca’ c´ac tru.`o.ng d¯a.i ho.c. D
- ˜a c´o h`ang tr˘am cuˆo´n s´ach vˆe ` D
- a.i sˆo´ tuyˆe´n t´ınh d¯u.o..c xuˆa´t ba’n trˆen to`an thˆe´ gi´ o.i. Ch´ ung tˆ oi nhˆ
a.n thˆa´y c´o hai khuynh hu.´o.ng chu’ yˆe´u trong viˆe.c tr`ınh b`ay mˆon ho.c n`ay. Khuynh hu.´ o.ng th´ u. nhˆ a´t b˘ a ´t d¯ˆa ` u v´ o.i c´ ac kh´ ai niˆ
e.m ma trˆa.n, d¯i.nh th´u.c v`a hˆe. phu.o.ng tr`ınh tuyˆ e´n t´ınh, rˆ o `i d¯i t´ o.i c´ ac kh´ ai niˆ
e.m tr`u.u tu.o..ng ho.n nhu. khˆong gian v´ ecto. v` a ´
anh xa. tuyˆe´n t´ınh. Khuynh hu.´o.ng n`ay dˆe˜ tiˆe´p thu. Nhu.ng n´o khˆong cho ph´ ep tr`ınh b` ay l´ y thuyˆ e´t vˆ e
` d¯i.nh th´u.c v`a hˆe. phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh b˘a`ng mˆo.t ngˆ on ng˜ u. cˆ o d¯o.ng v`a d¯e.p d¯˜e. Khuynh hu.´ o.ng th´ u. hai tr`ınh b` ay c´ ac kh´ ai niˆ
e.m khˆong gian v´ecto. v`a ´anh xa. tuyˆ e´n t´ınh tru.´ o.c, rˆ o `i ´
ap du.ng v`ao kha’o s´at d¯i.nh th´u.c v`a hˆe. phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n . t´ınh. Uu d¯iˆ e’m cu’a phu.o.ng ph´ ap n` ay l` a d ¯ˆ e
` cao ve’ d¯e.p trong t´ınh nhˆa´t qu´an vˆe ` cˆ a´u tr´ uc cu’a c´ ac d¯ˆ o´i tu.o. . ng d¯u.o. . c kha’o s´ at. Nhu.o. . c d¯iˆ e’m cu’a n´ o l` a khi x´ et t´ınh d¯ˆ o.c lˆa.p 4 tuyˆ e´n t´ınh v`
a phu. thuˆo.c tuyˆe´n t´ınh, thˆa.t ra ngu.`o.i ta d¯˜a pha’i d¯ˆo´i m˘a.t v´o.i viˆe.c gia’i hˆ
e. phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh. C´ ach tr`ınh b` ay n` ao c˜ ung c´ o c´ ai l´ y cu’a n´ o. Theo kinh nghiˆ e.m cu’a ch´ung tˆoi th`ı nˆ
en cho.n c´ach tr`ınh b`ay th´u. hai cho c´ac sinh viˆen c´o kha’ n˘ang tu. duy tr`u.u tu.o..ng tˆ o´t ho.n v` a c´
o mu.c d¯´ıch hu.´o.ng t´o.i mˆo.t m˘a.t b˘a`ng kiˆe´n th´u.c cao ho.n vˆe ` to´ an. Cuˆ o´n s´ ach n` ay d¯u.o. . c ch´ ung tˆ oi biˆ
en soa.n nh˘a`m mu.c d¯´ıch l`am gi´ao tr`ınh v`a s´ach
tham kha’o cho sinh viˆ en, sinh viˆ
en cao ho.c v`a nghiˆen c´u.u sinh c´ac ng`anh khoa ho.c tu. . nhiˆ en v` a cˆ ong nghˆ
e. cu’a c´ac tru.`o.ng d¯a.i ho.c khoa ho.c tu.. nhiˆen, d¯a.i ho.c su. pha.m v`
a d¯a.i ho.c k˜y thuˆa.t. Cuˆo´n s´ach d¯u.o..c viˆe´t trˆen co. so.’ c´ac b`ai gia’ng vˆe ` D - a.i sˆo´ tuyˆe´n t´ınh cu’a tˆ oi trong nhiˆ e ` u n˘ am cho sinh viˆ en mˆ
o.t sˆo´ khoa cu’a tru.`o.ng D - a.i ho.c Tˆo’ng ho. . p (nay l` a D
- a.i ho.c khoa ho.c Tu.. nhiˆen) H`a Nˆo.i v`a cu’a mˆo.t sˆo´ tru.`o.ng d¯a.i ho.c su. pha.m. D
- ˘a.c biˆe.t, tˆoi d¯˜a gia’ng gi´ao tr`ınh n`ay trong 3 n˘am ho.c 1997-1998, 1998-1999, 1999-2000 cho sinh viˆ en c´ ac ng` anh To´ an, Co., L´ y, Ho´ a, Sinh, D
- i.a chˆa´t, Kh´ı tu.o..ng thuy’ v˘
an... cu’a Chu.o.ng tr`ınh d¯`
ao ta.o Cu.’ nhˆan khoa ho.c t`ai n˘ang, D - a.i ho.c khoa ho.c Tu.. nhiˆen H`a Nˆo.i. Ch´ ung tˆ
oi cho.n khuynh hu.´o.ng th´u. hai trong hai khuynh hu.´o.ng tr`ınh b`ay d¯˜a n´ oi o. ’ trˆen. Tˆ a´t nhiˆ en, v´ o.i d¯ˆ oi ch´ ut thay d¯ˆ o’i, cuˆ o´n s´ ach n` ay c´ o thˆ e’ d` ung d¯ˆ e’ gia’ng D
- a.i sˆo´ tuyˆe´n t´ınh theo khuynh hu.´o.ng tr`ınh b`ay th´u. nhˆa´t. Tu. tu.o. ’ ng cˆ a´u tr´ uc d¯u.o. . c ch´ ung tˆ oi nhˆ
a´n ma.nh nhu. mˆo.t ma.ch ch´ınh cu’a cuˆo´n s´ ach. Mˆ o ˜i d¯ˆo´i tu.o..ng d¯ˆe ` u d¯u.o. . c nghiˆ en c´ u.u trong mˆ o´i tu.o.ng quan v´ o.i nh´ om c´ ac ph´ ep biˆ e´n d¯ˆ o’i ba’o to` an cˆ a´u tr´ uc cu’a d¯ˆ o´i tu.o. . ng d¯´ o: Kha’o s´ at khˆ ong gian v´ ecto. g˘ a ´n liˆ e ` n v´ o.i nh´ om tuyˆ e´n t´ınh tˆ o’ng qu´
at GL(n, K), khˆ ong gian v´ ecto. Euclid v` a khˆ ong gian v´
ecto. Euclid d¯i.nh hu.´o.ng g˘a´n liˆe ` n v´ o.i nh´ om tru. . c giao O(n) v` a nh´ om tru. . c giao d¯˘
a.c biˆe.t SO(n), khˆong gian Unita g˘a´n liˆe ` n v´ o.i nh´
om unita U (n)... Kˆ e´t qua’ phˆ an
loa.i c´ac da.ng to`an phu.o.ng phu. thuˆo.c c˘an ba’n v`ao viˆe.c qu´a tr`ınh phˆan loa.i d¯u.o..c tiˆ e´n h` anh du.´ o.i t´ ac d¯ˆ
o.ng cu’a nh´om n`ao (tuyˆe´n t´ınh tˆo’ng qu´at, tru..c giao...). Theo kinh nghiˆ
e.m, ch´ung tˆoi khˆong thˆe’ gia’ng hˆe´t nˆo.i dung cu’a cuˆo´n s´ach n`ay trong mˆ
o.t gi´ao tr`ınh tiˆeu chuˆa’n vˆe ` D
- a.i sˆo´ tuyˆe´n t´ınh cho sinh viˆen c´ac tru.`o.ng d¯a.i 5
ho.c, ngay ca’ d¯ˆo´i v´o.i sinh viˆen chuyˆen ng`anh to´an. C´ac chu’ d¯ˆe ` vˆe
` da.ng chuˆa’n t˘a´c Jordan cu’a tu. . d ¯ˆ o `ng cˆ a´u, da . ng ch´ınh t˘ a ´c cu’a tu. . d ¯ˆ o `ng cˆ a´u tru. . c giao, viˆ e.c d¯u.a d¯ˆo `ng th` o.i hai da . ng to` an phu.o.ng vˆ e
` da.ng ch´ınh t˘a´c, d¯a.i sˆo´ tenxo., d¯a.i sˆo´ d¯ˆo´i x´u.ng v`a d¯a.i sˆ o´ ngo` ai... nˆ en d` ung d¯ˆ e’ gia’ng chi tiˆ e´t cho c´ ac sinh viˆ en cao ho . c v` a nghiˆ en c´ u.u sinh c´ ac ng` anh To´ an, Co. ho.c v`a Vˆa.t l´y. Ch´ ung tˆ oi cˆ o´ g˘ a
´ng b`ınh luˆa.n ´y ngh˜ıa cu’a c´ac kh´ai niˆe.m v`a u.u khuyˆe´t d¯iˆe’m cu’a c´ ac phu.o.ng ph´ ap d¯u.o. . c tr`ınh b` ay. Cuˆ o´i mˆ o ˜i chu.o.ng d¯ˆe ` u c´ o phˆ a ` n b` ai tˆ a.p, d¯u.o. . c tuyˆ
e’n cho.n chu’ yˆe´u t`u. cuˆo´n s´ach nˆo’i tiˆe´ng “B`ai tˆa.p D
- a.i sˆo´ tuyˆe´n t´ınh” cu’a I. V. Proskuryakov. D
- ˆe’ n˘a´m v˜u.ng kiˆe´n th´u.c, d¯ˆo.c gia’ nˆen d¯o.c rˆa´t k˜y phˆa`n l´y thuyˆe´t tru.´ o.c khi l` am c` ang nhiˆ e ` u c` ang tˆ o´t c´ ac b` ai tˆ a.p cuˆo´i mˆo˜i chu.o.ng. Viˆ
e.c su.’ du.ng cuˆo´n s´ach n`ay s˜e d¯˘a.c biˆe.t thuˆa.n lo..i nˆe´u ngu.`o.i d¯o.c coi n´o l`a phˆa ` n mˆ
o.t cu’a mˆo.t bˆo. s´ach m`a phˆa ` n hai cu’a n´ o l` a cuˆ o´n D
- a.i sˆo´ d¯a.i cu.o.ng cu’a c`ung t´ac gia’, do Nh` a xuˆ a´t ba’n Gi´
ao du.c H`a Nˆo.i ˆa´n h`anh n˘am 1998 v`a t´ai ba’n n˘am 1999. T´ ac gia’ chˆ an th` anh ca’m o.n Ban d¯iˆ e ` u h` anh Chu.o.ng tr`ınh d¯` ao ta.o Cu.’ nhˆan khoa ho.c t`ai n˘ang, D
- a.i ho.c Khoa ho.c tu.. nhiˆen H`a Nˆo.i, d¯˘a.c biˆe.t l`a Gi´ao su. D - `am Trung D - ˆo `n v` a Gi´ ao su. Nguyˆ e
˜n Duy Tiˆe´n, d¯˜a ta.o mo.i d¯iˆe
` u kiˆe.n thuˆa.n lo..i d¯ˆe’ t´ac gia’ gia’ng
da.y cho sinh viˆen cu’a Chu.o.ng tr`ınh trong ba n˘am qua v`a viˆe´t cuˆo´n s´ach n`ay trˆen co. so. ’ nh˜ u.ng b` ai gia’ng d¯´ o. T´ ac gia’ mong nhˆ
a.n d¯u.o..c su.. chı’ gi´ao cu’a c´ac d¯ˆo.c gia’ v`a d¯ˆo `ng nghiˆe.p vˆe ` nh˜ u.ng thiˆ e´u s´ ot kh´ o tr´ anh kho’i cu’a cuˆ o´n s´ ach. H` a Nˆ o.i, 12/1999 6 Chu.o.ng 0 . ’ KIˆ E ´N TH ´ U C CHU ˆ AN BI. Nhiˆ
e.m vu. cu’a chu.o.ng n`ay l`a tr`ınh b`ay du.´o.i da.ng gia’n lu.o..c nhˆa´t mˆo.t sˆo´ kiˆe´n th´ u.c chuˆ a’n bi. cho phˆa ` n c`
on la.i cu’a cuˆo´n s´ach: Tˆa.p ho..p, quan hˆe., ´anh xa., nh´om, v` anh, tru.` o.ng, d¯a th´ u.c... Tru.` o.ng sˆ o´ thu. . c s˜ e d¯u.o. . c xˆ ay du. . ng ch˘
a.t ch˜e o.’ §5. Nhu.ng v`ı c´ ac t´ınh chˆ a´t cu’a n´ o rˆ a´t quen thuˆ
o.c v´o.i nh˜u.ng ai d¯˜a ho.c qua chu.o.ng tr`ınh trung
ho.c phˆo’ thˆong, cho nˆen ch´ung ta vˆa˜n n´oi t´o.i tru.`o.ng n`ay trong c´ac v´ı du. o.’ c´ac tiˆe´t §1 - §4. 1 Tˆ a.p ho..p Trong tiˆ e´t n` ay, ch´ ung ta tr`ınh b` ay vˆ e ` tˆ
a.p ho..p theo quan d¯iˆe’m cu’a “L´y thuyˆe´t tˆa.p ho. . p ngˆ ay tho.”.
Cu. thˆe’, tˆa.p ho..p l`a mˆo.t kh´ai niˆe.m “nguyˆen thuy’”, khˆong d¯u.o..c d¯i.nh ngh˜ıa, m`a d¯u.o. . c hiˆ e’u mˆ
o.t c´ach tru..c gi´ac nhu. sau: Mˆo.t tˆa.p ho. . p l` a mˆ o.t su.. quˆa ` n tu. c´ac d¯ˆo´i tu.o. . ng c´ o c` ung mˆ
o.t thuˆo.c t´ınh n`ao d¯´o; nh˜u.ng d¯ˆo´i tu.o..ng n`ay d¯u.o..c go.i l`a c´ac phˆa ` n tu. ’ cu’a tˆ
a.p ho..p d¯´o. (Tˆa´t nhiˆen, mˆo ta’ n´oi trˆen khˆong pha’i l`a mˆo.t d¯i.nh ngh˜ıa cu’a tˆ
a.p ho..p, n´o chı’ diˆe˜n d¯a.t kh´ai niˆe.m tˆa.p ho..p qua mˆo.t kh´ai niˆe.m c´o ve’ gˆa ` n g˜ ui ho.n l` a “quˆ a
` n tu.”. Tuy vˆa.y, ba’n thˆan kh´ai niˆe.m quˆa
` n tu. la.i chu.a d¯u.o..c d¯i.nh ngh˜ıa.) Ngu.` o.i ta c˜ ung thu.`
o.ng go.i t˘a´t tˆa.p ho..p l`a “tˆa.p”. D
- ˆe’ c´o mˆo.t sˆo´ v´ı du., ch´ung ta c´o thˆe’ x´et tˆa.p ho..p c´ac sinh viˆen cu’a mˆo.t tru.`o.ng
d¯a.i ho.c, tˆa.p ho..p c´ac xe ta’i cu’a mˆo.t cˆong ty, tˆa.p ho..p c´ac sˆo´ nguyˆen tˆo´ ... C´ ac tˆ
a.p ho..p thu.`o.ng d¯u.o..c k´y hiˆe.u bo.’i c´ac ch˜u. in hoa: A, B, C, ..., X, Y, Z... C´ ac phˆ a ` n tu. ’ cu’a mˆ
o.t tˆa.p ho..p thu.`o.ng d¯u.o..c k´y hi.ˆeu bo.’i c´ac ch˜u. in thu.`o.ng:
a, b, c, ..., x, y, z... D
- ˆe’ n´oi x l`a mˆo.t phˆa`n tu.’ cu’a tˆa.p ho..p X, ta viˆe´t x ∈ X v`a d¯o.c l`a 7 “x thuˆ
o.c X”. Tr´ai la.i, d¯ˆe’ n´oi y khˆong l`a phˆa ` n tu.
’ cu’a X, ta viˆe´t y 6∈ X, v`a d¯o.c l`a “y khˆ ong thuˆ o.c X”. D
- ˆe’ x´ac d¯i.nh mˆo.t tˆa.p ho..p, ngu.`o.i ta c´o thˆe’ liˆe.t kˆe tˆa´t ca’ c´ac phˆa`n tu.’ cu’a n´o. Ch˘ a’ng ha.n,
A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Ngu.` o.i ta c˜ ung c´ o thˆ e’ x´
ac d¯i.nh mˆo.t tˆa.p ho..p bo.’i mˆo.t t´ınh chˆa´t d¯˘a.c tru.ng P(x) n`ao d¯´ o cu’a c´ ac phˆ a ` n tu. ’ cu’a n´ o. Tˆ a.p ho..p X c´ac phˆa ` n tu. ’ x c´ o t´ınh chˆ
a´t P(x) d¯u.o..c k´y hiˆ e.u l`a
X = {x| P(x)}, ho˘ a.c l`a
X = {x : P(x)}. V´ı du.:
N = {x| x l`a sˆo´ tu.. nhiˆen},
Z = {x| x l`a sˆo´ nguyˆen },
Q = {x| x l`a sˆo´ h˜u.u ty’},
R = {x| x l`a sˆo´ thu..c}. Nˆ e´u mo.i phˆa ` n tu. ’ cu’a tˆ
a.p ho..p A c˜ung l`a mˆo.t phˆa ` n tu. ’ cu’a tˆ
a.p ho..p X th`ı ta n´oi A l` a mˆ o.t tˆa.p ho.
. p con cu’a X, v` a viˆ
e´t A ⊂ X. Tˆa.p con A gˆo `m c´ ac phˆ a ` n tu. ’ x cu’a X c´ o t´ınh chˆ
a´t P(x) d¯u.o..c k´y hiˆe.u l`a
A = {x ∈ X| P(x)}. Hai tˆ
a.p ho..p X v`a Y d¯u.o..c go.i l`a b˘a`ng nhau nˆe´u mˆo˜i phˆa ` n tu. ’ cu’a tˆ a.p ho..p n`ay c˜ ung l` a mˆ o.t phˆa ` n tu. ’ cu’a tˆ
a.p ho..p kia v`a ngu.o..c la.i, t´u.c l`a X ⊂ Y v`a Y ⊂ X. Khi d¯´ o ta viˆ e´t X = Y . Tˆ
a.p ho..p khˆong ch´u.a mˆo.t phˆa ` n tu. ’ n` ao ca’ d¯u.o. . c k´ y hiˆ
e.u bo.’i ∅, v`a d¯u.o..c go.i l`a tˆ a . p rˆ o
˜ng. Ta quy u.´o.c r˘a`ng ∅ l`a tˆa.p con cu’a mo.i tˆa.p ho..p. Tˆa.p ho..p rˆo˜ng rˆa´t tiˆe.n lo. . i, n´ o d¯´ ong vai tr` o nhu. sˆ o´ khˆ ong trong khi l` am to´ an v´ o.i c´ ac tˆ a.p ho..p. 8 C´ ac ph´ ep to´ an ho. . p, giao v` a hiˆ
e.u cu’a hai tˆa.p ho..p d¯u.o..c d¯i.nh ngh˜ıa nhu. sau. Cho c´ ac tˆ
a.p ho..p A v`a B. Ho. . p cu’a A v` a B d¯u.o. . c k´ y hiˆ
e.u bo.’i A ∪ B v`a d¯u.o..c d¯i.nh ngh˜ıa nhu. sau
A ∪ B = {x| x ∈ A ho˘a.c x ∈ B}. Giao cu’a A v` a B d¯u.o. . c k´ y hiˆ
e.u bo.’i A ∩ B v`a d¯u.o..c d¯i.nh ngh˜ıa nhu. sau
A ∩ B = {x| x ∈ A v`a x ∈ B}. Hiˆ
e.u cu’a A v`a B d¯u.o..c k´y hiˆe.u bo.’i A \ B v`a d¯u.o..c d¯i.nh ngh˜ıa nhu. sau
A \ B = {x| x ∈ A v`a x 6∈ B}. Nˆ
e´u B ⊂ A th`ı A\B d¯u.o..c go.i l`a phˆa ` n b`
u cu’a B trong A, v` a d¯u.o. . c k´ y hiˆ e.u l`a CA(B). C´ ac ph´ ep to´ an ho. . p, giao v` a hiˆ
e.u c´o c´ac t´ınh chˆa´t so. cˆa´p sau d¯ˆay: Kˆ e´t ho.
. p: (A ∪ B) ∪ C
= A ∪ (B ∪ C),
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C). Giao ho´
an: A ∪ B = B ∪ A,
A ∩ B = B ∩ A. Phˆ an phˆ
o´i: A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C),
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). Cˆ ong th´
u.c De Morgan: X \ (A ∪ B) = (X \ A) ∩ (X \ B),
X \ (A ∩ B) = (X \ A) ∪ (X \ B). Gia’ su.
’ Ai l`a mˆo.t tˆa.p ho..p v´o.i mˆo˜i i thuˆo.c mˆo.t tˆa.p chı’ sˆo´ I (c´o thˆe’ h˜u.u ha.n hay vˆ
o ha.n). Khi d¯´o, ho..p v`a giao cu’a ho. tˆa.p ho..p {Ai}i∈I d¯u.o..c d¯i.nh ngh˜ıa nhu. sau:
[ Ai = {x| x ∈ Ai v´o.i mˆo.t i n`ao d¯´o trong I}, i∈I
\ Ai = {x| x ∈ Ai v´o.i mo.i i ∈ I}. i∈I Ta c´
o da.ng tˆo’ng qu´at cu’a cˆong th´u.c De Morgan: [ \ X \ ( Ai) = (X \ Ai), i∈I i∈I \ [ X \ ( Ai) = (X \ Ai). i∈I i∈I 9 Viˆ
e.c su.’ du.ng qu´a rˆo.ng r˜ai kh´ai niˆe.m tˆa.p ho..p d¯˜a dˆa˜n t´o.i mˆo.t sˆo´ nghi.ch l´y. Mˆo.t trong sˆ o´ d¯´ o l`
a nghi.ch l´y Cantor sau d¯ˆay. Ta n´ oi tˆ
a.p ho..p X l`a b`ınh thu.`o.ng nˆe´u X 6∈ X. X´et tˆa.p ho..p
X = {X| X l`a tˆa.p b`ınh thu.`o.ng}. Nˆ
e´u X ∈ X th`ı theo d¯i.nh ngh˜ıa cu’a X , n´o l`a mˆo.t tˆa.p b`ınh thu.`o.ng. Do d¯´o, theo
d¯i.nh ngh˜ıa tˆa.p b`ınh thu.`o.ng, X 6∈ X . Tr´ai la.i, nˆe´u X 6∈ X , th`ı X l`a mˆo.t tˆa.p khˆong b`ınh thu.` o.ng, v` a do d¯´
o X ∈ X . Ca’ hai tru.`o.ng ho..p d¯ˆe ` u dˆ a ˜n t´o.i mˆau thuˆa˜n. D
- ˆe’ tr´anh nh˜u.ng nghi.ch l´y loa.i nhu. vˆa.y, ngu.`o.i ta s˜e khˆong d`ung kh´ai niˆe.m tˆa.p ho. . p d¯ˆ e’ chı’ “nh˜ u.ng thu. . c thˆ e’ qu´ a l´ o.n”. Ta s˜ e n´ oi “l´ o.p tˆ a´t ca’ c´ ac tˆ a . p ho. . p”, ch´ u. khˆ ong n´ oi “tˆ a . p ho. . p tˆ a´t ca’ c´ ac tˆ a . p ho. . p”. Theo quan niˆ
e.m n`ay X chı’ l`a mˆo.t l´o.p ch´u. khˆ ong l` a mˆ
o.t tˆa.p ho..p. V`ı thˆe´, ta tr´anh d¯u.o..c nghi.ch l´y n´oi trˆen. Phˆ a ` n c`
on la.i cu’a tiˆe´t n`ay d¯u.o..c d`anh cho viˆe.c tr`ınh b`ay so. lu.o..c vˆe ` lu.o. . ng t` u. phˆ o’ biˆ e´n v` a lu.o. . ng t` u. tˆ o `n ta.i. Ta thu.` o.ng cˆ a ` n pha’i ph´ at biˆ e’u nh˜ u.ng mˆ e.nh d¯ˆe ` c´ o da.ng: “Mo.i phˆa ` n tu. ’ x cu’a tˆ a . p ho. . p X d ¯ˆ e ` u c´ o t´ınh chˆ
a´t P(x)”. Ngu.`o.i ta quy u.´o.c k´y hiˆe.u mˆe.nh d¯ˆe ` d¯´ o nhu. sau:
∀x ∈ X, P(x). D˜ ay k´ y hiˆ
e.u trˆen d¯u.o..c d¯o.c l`a “V´o.i mo.i x thuˆo.c X, P(x)”. K´ y hiˆ
e.u ∀ d¯u.o..c go.i l`a lu.o. . ng t` u. phˆ o’ biˆ e´n. Tu.o.ng tu. . , ta c˜ ung hay g˘ a.p c´ac mˆe.nh d¯ˆe ` c´ o da.ng: “Tˆo `n ta.i mˆo.t phˆa ` n tu. ’ x cu’a X c´ o t´ınh chˆ
a´t P(x)”. Mˆe.nh d¯ˆe ` n` ay d¯u.o. . c quy u.´ o.c k´ y hiˆ e.u nhu. sau:
∃x ∈ X, P(x). D˜ ay k´ y hiˆ
e.u d¯´o d¯u.o..c d¯o.c l`a “Tˆo
`n ta.i mˆo.t x thuˆo.c X, P(x)”. K´ y hiˆ
e.u ∃ d¯u.o..c go.i l`a lu.o. . ng t` u. tˆ o `n ta.i. Mˆ e.nh d¯ˆe ` “Tˆ o
`n ta.i duy nhˆa´t mˆo.t phˆa ` n tu. ’ x cu’a X c´ o t´ınh chˆ
a´t P(x)” d¯u.o..c viˆe´t nhu. sau:
∃!x ∈ X, P(x). 10 Lu.o. . ng t` u. phˆ o’ biˆ e´n v` a lu.o. . ng t` u. tˆ o
`n ta.i c´o mˆo´i quan hˆe. quan tro.ng sau d¯ˆay.
Go.i P l`a phu’ d¯i.nh cu’a mˆe.nh d¯ˆe ` P. Ta c´o
∀x ∈ X, P(x) ≡ ∃x ∈ X, P(x),
∃x ∈ X, P(x) ≡ ∀x ∈ X, P(x). Ch´ ung tˆ oi d¯ˆ e
` nghi. d¯ˆo.c gia’ tu.. ch´u.ng minh nh˜u.ng kh˘a’ng d¯i.nh trˆen xem nhu. mˆo.t b`ai tˆ a.p. 2 Quan hˆ e. v`a ´ Anh xa. T´ıch tru. . c tiˆ
e´p (hay t´ıch Descartes) cu’a hai tˆ
a.p ho..p X v`a Y l`a tˆa.p ho..p sau d¯ˆay:
X × Y = {(x, y)| x ∈ X, y ∈ Y }. Tru.` o.ng ho. . p d¯˘
a.c biˆe.t, khi X = Y , ta c´o t´ıch tru..c tiˆe´p X × X cu’a tˆa.p X v´o.i ch´ınh n´ o. D
- i.nh ngh˜ıa 2.1 Mˆo˜i tˆa.p con R cu’a tˆa.p ho..p t´ıch X × X d¯u.o..c go.i l`a mˆo.t quan hˆe. hai ngˆ oi trˆ en X. Nˆ
e´u (x, y) ∈ R th`ı ta n´oi x c´o quan hˆe. R v´o.i y, v`a viˆe´t xRy. Ngu.o. . c la.i, nˆ
e´u (x, y) 6∈ R th`ı ta n´oi x khˆong c´o quan hˆe. R v´o.i y, v`a viˆe´t xRy. Ch˘
a’ng ha.n, nˆe´u R = {(x, y) ∈ Z × Z| x chia hˆe´t cho y}, th`ı 6R2, nhu.ng 5R3. D
- i.nh ngh˜ıa 2.2 Quan hˆe. hai ngˆoi R trˆen X d¯u.o..c go.i l`a mˆo.t quan hˆe. tu.o.ng d¯u.o.ng nˆ e´u n´ o c´ o ba t´ınh chˆ a´t sau d¯ˆ ay:
(a) Pha’n xa.: xRx, ∀x ∈ X. (b) D
- ˆo´i x´u.ng: Nˆe´u xRy, th`ı yRx, ∀x, y ∈ X. (c) B˘ a ´c cˆa
` u: Nˆe´u xRy, yRz, th`ı xRz, ∀x, y, z ∈ X. 11 C´ ac quan hˆ
e. tu.o.ng d¯u.o.ng thu.`o.ng d¯u.o..c k´y hiˆe.u bo.’i dˆa´u ∼. Gia’ su.
’ ∼ l`a mˆo.t quan hˆe. tu.o.ng d¯u.o.ng trˆen X. L´o.p tu.o.ng d¯u.o.ng theo quan hˆe.
∼ cu’a mˆo.t phˆa`n tu.’ x ∈ X d¯u.o..c d¯i.nh ngh˜ıa nhu. sau:
[x] = {y ∈ X| x ∼ y} ⊂ X. Bˆ o’ d ¯ˆ e ` 2.3 Gia’ su.
’ ∼ l`a mˆo.t quan hˆe. tu.o.ng d¯u.o.ng. Khi d¯´o, v´o.i mo.i x, y ∈ X, c´ac l´
o.p [x] v`
a [y] ho˘ a . c tr` ung nhau, ho˘ a . c r` o.i nhau (t´ u.c l`
a [x] ∩ [y] = ∅). Ch´ u.ng minh: Gia’ su.
’ [x] ∩ [y] 6= ∅. Ta s˜e ch´u.ng minh r˘a`ng [x] = [y]. Lˆa´y mˆo.t phˆ a ` n tu.
’ z ∈ [x] ∩ [y]. Ta c´o x ∼ z v`a y ∼ z. Do t´ınh d¯ˆ o´i x´ u.ng cu’a quan hˆ
e. tu.o.ng d¯u.o.ng, x ∼ z k´eo theo z ∼ x. Gia’ su.’
t ∈ [x], t´u.c l`a x ∼ t. Do t´ınh b˘a´c cˆa
` u, z ∼ x v`a x ∼ t k´eo theo z ∼ t. Tiˆe´p theo,
y ∼ z v`a z ∼ t k´eo theo y ∼ t. Ngh˜ıa l`a t ∈ [y]. Nhu. vˆa.y, [x] ⊂ [y]. Do vai tr`o nhu. nhau cu’a c´ ac l´ o.p [x] v` a [y], ta c˜ ung c´ o bao h` am th´ u.c ngu.o.
. c la.i, [y] ⊂ [x]. Vˆ a.y [x] = [y]. 2 Theo bˆ o’ d¯ˆ e ` n` ay, nˆ
e´u y ∈ [x] th`ı y ∈ [x] ∩ [y] 6= ∅, do d¯´o [x] = [y]. V`ı thˆe´, ta c´ o thˆ e’ d` ung t` u. l´ o.p tu.o.ng d ¯u.o.ng d¯ˆ e’ chı’ l´
o.p tu.o.ng d¯u.o.ng cu’a bˆ a´t k` y phˆ a ` n tu. ’ n` ao trong l´ o.p d¯´ o. Mˆ o ˜i phˆa ` n tu. ’ cu’a mˆ
o.t l´o.p tu.o.ng d¯u.o.ng d¯u.o..c go.i l`a mˆo.t d¯a.i biˆe’u cu’a l´ o.p tu.o.ng d¯u.o.ng n` ay. Dˆ e
˜ d`ang thˆa´y r˘a`ng X l`a ho..p r`o.i ra.c cu’a c´ac l´o.p tu.o.ng d¯u.o.ng theo quan hˆe. ∼. (N´ oi c´ ach kh´ ac, X l` a ho. . p cu’a c´ ac l´
o.p tu.o.ng d¯u.o.ng theo quan hˆ
e. ∼, v`a c´ac l´o.p n`ay r` o.i nhau.) Ngu.` o.i ta c˜ ung n´ oi X d¯u.o. . c phˆ
an hoa.ch bo.’i c´ac l´o.p tu.o.ng d¯u.o.ng. D
- i.nh ngh˜ıa 2.4 Tˆa.p ho..p c´ac l´o.p tu.o.ng d¯u.o.ng cu’a X theo quan hˆe. ∼ d¯u.o..c go.i l` a tˆ a
. p thu.o.ng cu’a X theo ∼ v` a d¯u.o. . c k´ y hiˆ e.u l`a X/∼. V´ı du . 2.5 Gia’ su. ’ n l` a mˆ
o.t sˆo´ nguyˆen du.o.ng bˆa´t k`y. Ta x´et trˆen tˆa.p X = Z quan hˆ e. sau d¯ˆay:
∼ = {(x, y) ∈ Z × Z| x − y chia hˆe´t cho n}. 12 R˜ o r` ang d¯´ o l` a mˆ
o.t quan hˆe. tu.o.ng d¯u.o.ng. Ho.n n˜u.a x ∼ y nˆe´u v`a chı’ nˆe´u x v`a y c´o c` ung phˆ a
` n du. trong ph´ep chia cho n. V`ı thˆe´, Z/∼ l`a mˆo.t tˆa.p c´o d¯´ung n phˆa ` n tu. ’ :
Z/∼ = {[0], [1], ..., [n − 1]}. N´ o d¯u.o. . c go.i l` a tˆ a . p c´ ac sˆ o´ nguyˆ en modulo n, v` a thu.` o.ng d¯u.o. . c k´ y hiˆ e.u l`a Z/n. D
- i.nh ngh˜ıa 2.6 Gia’ su.’ ≤ l`a mˆo.t quan hˆe. hai ngˆoi trˆen X. N´o d¯u.o..c go.i l`a mˆo.t quan hˆ e. th´u. tu. . nˆ e´u n´ o c´ o ba t´ınh chˆ a´t sau d¯ˆ ay:
(a) Pha’n xa.: x ≤ x, ∀x ∈ X. (b) Pha’n d¯ˆ o´i x´ u.ng: Nˆ
e´u x ≤ y v`a y ≤ x th`ı x = y, ∀x, y ∈ X. (c) B˘ a ´c cˆa
` u: Nˆe´u x ≤ y, y ≤ z, th`ı x ≤ z, ∀x, y, z ∈ X. Tˆ
a.p X d¯u.o..c trang bi. mˆo.t quan hˆe. th´u. tu.. d¯u.o..c go.i l`a mˆo.t tˆa.p d¯u.o. . c s˘ a ´p. Nˆe´u
x ≤ y, ta n´oi x d¯´u.ng tru.´o.c y, hay x nho’ ho.n ho˘a.c b˘a`ng y. Ta n´ oi X d¯u.o. . c s˘ a ´p to`an phˆa
` n (hay tuyˆe´n t´ınh) bo.
’ i quan hˆe. ≤ nˆe´u v´o.i mo.i
x, y ∈ X, th`ı x ≤ y ho˘a.c y ≤ x. Khi d¯´o ≤ d¯u.o..c go.i l`a mˆo.t quan hˆe. th´u. tu.. to`an phˆ a
` n (hay tuyˆe´n t´ınh) trˆen X. Ch˘
a’ng ha.n, tru.`o.ng sˆo´ h˜u.u ty’ Q l`a mˆo.t tˆa.p d¯u.o..c s˘a´p to`an phˆa ` n d¯ˆ o´i v´ o.i quan hˆ
e. th´u. tu.. ≤ thˆong thu.`o.ng. Mˆo.t v´ı du. kh´ac: nˆe´u X l`a tˆa.p ho..p tˆa´t ca’ c´ac tˆa.p con cu’a mˆ
o.t tˆa.p A n`ao d¯´o, th`ı X d¯u.o..c s˘a´p theo quan hˆe. bao h`am. D - ˆay khˆong pha’i l`a mˆ o.t th´u. tu.. to`an phˆa ` n nˆe´u tˆ a.p A ch´u.a nhiˆe ` u ho.n mˆ o.t phˆa ` n tu. ’ . Bˆ ay gi` o. ta chuyˆ e’n qua x´ et c´ ac ´ anh xa.. Ngu.` o.i ta thu.` o.ng mˆ o ta’ c´ ac ´
anh xa. mˆo.t c´ach tru..c gi´ac nhu. sau. Gia’ su. ’ X v` a Y l` a c´ ac tˆ
a.p ho..p. Mˆo.t ´anh xa. f t`u. X v`ao Y l`a mˆo.t quy t˘a´c d¯˘a.t tu.o.ng ´ u.ng mˆ o ˜i phˆa ` n tu.
’ x ∈ X v´o.i mˆo.t phˆa ` n tu. ’ x´
ac d¯i.nh y = f(x) ∈ Y . ´ Anh xa. d¯´ o d¯u.o. . c k´ y hiˆ
e.u bo.’i f : X → Y . 13 Tˆ a´t nhiˆ en mˆ o ta’ n´ oi trˆ en khˆ ong pha’i l` a mˆ
o.t d¯i.nh ngh˜ıa ch˘a.t ch˜e, v`ı ta khˆong biˆ e´t thˆ e´ n` ao l` a mˆ
o.t quy t˘a´c. N´oi c´ach kh´ac, trong d¯i.nh ngh˜ıa n´oi trˆen quy t˘a´c chı’ l` a mˆ
o.t tˆen go.i kh´ac cu’a ´anh xa.. Ta c´ o thˆ e’ kh˘ a ´c phu.c d¯iˆe ` u d¯´ o b˘ a
`ng c´ach d¯u.a ra mˆo.t d¯i.nh ngh˜ıa ch´ınh x´ac nhu.ng ho.i cˆ o `ng kˆe ` nh vˆe ` ´ anh xa. nhu. sau. Mˆ o
˜i tˆa.p con R cu’a t´ıch tru..c tiˆe´p X × Y d¯u.o..c go.i l`a mˆo.t quan hˆe. gi˜u.a X v`a Y . Quan hˆ
e. R d¯u.o..c go.i l`a mˆo.t ´anh xa. t`u. X v`ao Y nˆe´u n´o c´o t´ınh chˆa´t sau: v´o.i mo.i
x ∈ X c´o mˆo.t v`a chı’ mˆo.t y ∈ Y d¯ˆe’ cho (x, y) ∈ R. Ta k´y hiˆe.u phˆa ` n tu. ’ duy nhˆ a´t d¯´ o l`
a y = f (x). Khi d¯´ o
R = {(x, f(x))| x ∈ X}. ´
Anh xa. n`ay thu.`o.ng d¯u.o..c k´y hiˆe.u l`a f : X → Y v`a quan hˆe. R d¯u.o..c go.i l`a d¯ˆo ` thi. cu’a ´ anh xa. f. C´ ac tˆ
a.p X v`a Y d¯u.o..c go.i lˆa ` n lu.o. . t l` a tˆ a.p nguˆo `n v` a tˆ
a.p d¯´ıch cu’a ´anh xa. f. Tˆa.p ho.
. p f (X) = {f (x)| x ∈ X} d¯u.o. . c go.i l` a tˆ
a.p gi´a tri. cu’a f. Gia’ su. ’ A l` a mˆ
o.t tˆa.p con cu’a X. Khi d¯´o, f(A) = {f(x)| x ∈ A} d¯u.o..c go.i l`a a’nh cu’a A bo.
’ i f . Nˆe´u B l` a mˆ
o.t tˆa.p con cu’a Y , th`ı f−1(B) = {x ∈ X| f(x) ∈ B} d¯u.o..c
go.i l`a nghi.ch a’nh cu’a B bo.’i f. Tru.`o.ng ho..p d¯˘a.c biˆe.t, tˆa.p B = {y} chı’ gˆo `m mˆ o.t d¯iˆ
e’m y ∈ Y , ta viˆe´t d¯o.n gia’n f −1(y) thay cho f −1({y}). D
- i.nh ngh˜ıa 2.7 (a) ´Anh xa. f : X → Y d¯u.o..c go.i l`a mˆo.t d¯o.n ´anh nˆe´u v´o.i mo.i
x 6= x0, (x, x0 ∈ X) th`ı f (x) 6= f (x0). (b) ´
Anh xa. f : X → Y d¯u.o..c go.i l`a mˆo.t to`an ´anh nˆe´u v´o.i mo.i y ∈ Y tˆo `n ta.i (´ıt nhˆ a´t) mˆ o.t phˆa ` n tu.
’ x ∈ X sao cho f(x) = y. (c) ´
Anh xa. f : X → Y d¯u.o..c go.i l`a mˆo.t song ´anh (hay mˆo.t tu.o.ng ´u.ng mˆo.t-mˆo.t) nˆ e´u n´ o v` u.a l` a mˆ
o.t d¯o.n ´anh v`u.a l`a mˆo.t to`an ´anh. Gia’ su.
’ f : X → Y l`a mˆo.t song ´anh. Khi d¯´o, v´o.i mˆo˜i y ∈ Y tˆo `n ta.i duy nhˆa´t phˆa ` n tu.
’ x ∈ X sao cho f(x) = y. Ta k´y hiˆe.u phˆa ` n tu. ’ x d¯´
o nhu. sau: x = f −1(y). Nhu. 14 thˆ e´, tu.o.ng ´
u.ng y 7→ x = f −1(y) x´ac d¯i.nh mˆo.t ´anh xa., d¯u.o..c k´y hiˆe.u l`a f−1 : Y → X v` a d¯u.o. . c go.i l` a ´
anh xa. ngu.o..c cu’a f. Hiˆe’n nhiˆen, f−1 c˜ung l`a mˆo.t song ´anh, ho.n n˜
u.a (f −1)−1 = f . Cho c´ ac ´
anh xa. f : X → Y v`a g : Y → Z. Khi d¯´o ´anh xa. h : X → Z d¯u.o..c x´ac d¯i.nh bo.’i
h(x) = g(f (x)), ∀x ∈ X, d¯u.o. . c go.i l` a ´ anh xa
. t´ıch (hay ´ anh xa . ho. . p) cu’a f v` a g, v` a d¯u.o. . c k´ y hiˆ e.u l`a h = gf ho˘ a.c h = g ◦ f. Ch´ ung tˆ oi d¯ˆ e
` nghi. d¯ˆo.c gia’ tu.. ch´u.ng minh hai mˆe.nh d¯ˆe ` sau d¯ˆ ay. Mˆ e.nh d¯ˆe ` 2.8 Ho. . p th` anh cu’a hai d ¯o.n ´ anh la . i l` a mˆ o . t d ¯o.n ´ anh. Ho. . p th` anh cu’a hai to` an ´ anh la . i l` a mˆ o . t to` an ´ anh. Ho. . p th` anh cu’a hai song ´ anh la . i l` a mˆ o . t song ´ anh.
Go.i idX : X → X l`a ´anh xa. d¯ˆo `ng nhˆ a´t trˆ en X, d¯u.o. . c x´ ac d¯i.nh nhu. sau
idX(x) = x, ∀x ∈ X. Mˆ e.nh d¯ˆe ` 2.9 (i) Gia’ su.
’ f : X → Y v`a g : Y → Z l`a c´ac ´anh xa.. Khi d¯´o, nˆe´u gf l` a mˆ o . t d ¯o.n ´ anh th`ı f c˜ ung vˆ a . y; nˆ e´u gf l` a mˆ o . t to` an ´ anh th`ı g c˜ ung vˆ a . y. (ii) ´ Anh xa . f : X → Y l` a mˆ o . t song ´ anh nˆ e´u v` a chı’ nˆ e´u tˆ o
`n ta.i mˆo.t ´anh xa.
g : Y → X sao cho gf = idX, f g = idY . 3 Lu. . c lu.o. . ng cu’a tˆ a.p ho..p D
- ˆo´i v´o.i c´ac tˆa.p ho..p h˜u.u ha.n, khi cˆa`n x´et xem tˆa.p n`ao c´o nhiˆe ` u phˆ a ` n tu. ’ ho.n, ngu.` o.i ta d¯ˆ e´m sˆ o´ phˆ a ` n tu. ’ cu’a ch´ ung. Nhu.ng d¯ˆ
o.ng t´ac d¯o.n gia’n ˆa´y khˆong thu..c hiˆe.n d¯u.o..c d¯ˆ o´i v´ o.i c´ ac tˆ a.p c´o vˆo ha.n phˆa ` n tu. ’ . D
- ˆe’ so s´anh “sˆo´ lu.o..ng phˆa`n tu.’” cu’a c´ac tˆa.p vˆo
ha.n, ngu.`o.i ta tro.’ la.i v´o.i c´ach l`am cu’a ngu.`o.i nguyˆen thuy’ khi chu.a biˆe´t d¯ˆe´m. Cu. thˆ e’ l` a, nˆ e´u muˆ o´n xem sˆ o´ r`ıu tay c´ o d¯u’ cho mˆ o
˜i ngu.`o.i mˆo.t chiˆe´c hay khˆong ngu.`o.i 15 ta ph´ at cho mˆ o
˜i ngu.`o.i mˆo.t chiˆe´c r`ıu, t´u.c l`a lˆa.p mˆo.t tu.o.ng ´u.ng gi˜u.a tˆa.p ho..p ngu.`o.i v` a tˆ a.p ho..p r`ıu. D
- i.nh ngh˜ıa 3.1 Ta n´oi tˆa.p ho..p X c`ung lu..c lu.o..ng v´o.i tˆa.p ho..p Y nˆe´u tˆo`n ta.i mˆo.t song ´ anh t` u. X v` ao Y . R˜ o r` ang quan hˆ
e. c`ung lu..c lu.o..ng l`a mˆo.t quan hˆe. tu.o.ng d¯u.o.ng. Gia’ su. ’ tˆ
a.p A c´o n phˆa ` n tu. ’ . D - iˆe ` u n` ay c´ o ngh˜ıa l` a c´ o mˆ
o.t tu.o.ng ´u.ng mˆo.t-mˆo.t gi˜ u.a c´ ac phˆ a ` n tu. ’ cu’a A v´ o.i c´ ac sˆ o´ tu. . nhiˆ
en 1, 2, 3, ..., n. N´ oi c´ ach kh´ ac, A c´ o n phˆ a ` n tu. ’ nˆe´u v` a chı’ nˆ e´u n´ o c` ung lu. . c lu.o. . ng v´ o.i tˆ
a.p ho..p {1, 2, 3, ..., n}. Sau d¯ˆ ay ch´ ung ta s˜ e kha’o s´ at l´ o.p c´ ac tˆ
a.p ho..p vˆo ha.n c´o “´ıt phˆa ` n tu. ’ nhˆ a´t”, d¯´ o l` a c´ ac tˆ a.p d¯ˆe´m d¯u.o..c. D
- i.nh ngh˜ıa 3.2 Tˆa.p X d¯u.o..c go.i l`a d¯ˆe´m d¯u.o..c nˆe´u n´o c`ung lu..c lu.o..ng v´o.i tˆa.p ho..p N c´ ac sˆ o´ tu. . nhiˆ en. Ch˘
a’ng ha.n, Z l`a mˆo.t tˆa.p d¯ˆe´m d¯u.o..c. Thˆa.t vˆa.y, ´anh xa. f : N → Z x´ac d¯i.nh bo.’i cˆ ong th´ u.c
f (2n − 1) = −n + 1,
f (2n) = n (n = 1, 2, 3, ...) l` a mˆ o.t song ´anh. Tu.o.ng tu. . , tˆ
a.p ho..p c´ac sˆo´ tu.. nhiˆen ch˘a˜n v`a tˆa.p ho..p c´ac sˆo´ tu.. nhiˆen le’ d¯ˆe ` u l` a c´ ac tˆ a.p d¯ˆe´m d¯u.o..c. C´
ac v´ı du. trˆen cho thˆa´y mˆo.t tˆa.p vˆo ha.n c´o thˆe’ c´o c`ung lu..c lu.o..ng v´o.i mˆo.t tˆa.p con thˆ a.t su.. cu’a n´o. Ta c´o Mˆ e.nh d¯ˆe ` 3.3 Mˆ o
˜i tˆa.p con vˆo ha.n cu’a mˆo.t tˆa.p d¯ˆe´m d¯u.o..c c˜ung l`a mˆo.t tˆa.p d¯ˆe´m d ¯u.o. . c. 16 Ch´ u.ng minh: Gia’ su.
’ A = {a1, a2, a3, ...} l`a mˆo.t tˆa.p d¯ˆe´m d¯u.o..c, v`a B l`a mˆo.t tˆa.p con vˆ
o ha.n cu’a A. Go.i i1 l`a sˆo´ tu.. nhiˆen nho’ nhˆa´t sao cho ai ∈ B, i 1 2 l` a sˆ o´ tu. . nhiˆ en nho’ nhˆ
a´t sao cho ai ∈ B \ {a }. Mˆo 2 i1 . t c´
ach quy na.p, in l`a sˆo´ tu.. nhiˆen nho’ nhˆa´t sao
cho ai ∈ B \ {a , a , ..., a }... n i1 i2 in−1 B˘ a `ng c´ach d¯´o, c´ac phˆa ` n tu. ’ cu’a B d¯u.o. . c xˆ e´p th` anh mˆ o.t d˜ay vˆo ha.n
B = {ai , a , ..., a , ...}. 1 i2 in N´ oi c´ ach kh´ ac, c´ o mˆ
o.t song ´anh N → B d¯˘a.t n tu.o.ng ´u.ng v´o.i ai . Nhu. thˆe´ B d¯ˆe´m n d¯u.o. . c. 2 Mˆ e.nh d¯ˆe
` 3.4 T´ıch tru. . c tiˆ e´p cu’a hai tˆ a . p d ¯ˆ e´m d ¯u.o. . c c˜ ung l` a mˆ o . t tˆ a . p d ¯ˆ e´m d ¯u.o. . c. Ch´ u.ng minh: Khˆ ong gia’m tˆ o’ng qu´ at, ta chı’ cˆ a ` n ch´
u.ng minh N × N l`a d¯ˆe´m d¯u.o..c. Ta xˆ e´p tˆ a´t ca’ c´ ac phˆ a ` n tu.
’ (a, b) cu’a N × N th`anh mˆo.t d˜ay vˆo ha.n b˘a`ng c´ach sau. Tru.´ o.c hˆ e´t ta xˆ e´p c˘
a.p (a, b) v´o.i a + b = 2. Gia’ su.’ d¯˜a xˆe´p xong c´ac c˘a.p (a, b) v´
o.i a + b = n − 1, ta xˆe´p tiˆe´p c´ac c˘a.p (a, b) v´o.i a + b = n, trong d¯´o c˘a.p (a, b) d¯u.o..c xˆ e´p tru.´ o.c c˘
a.p (a0, b0) nˆe´u a + b = a0 + b0 = n v`a a < a0. Nhu. vˆ
a.y, N × N l`a mˆo.t tˆa.p d¯ˆe´m d¯u.o..c. 2 Hˆ
e. qua’ 3.5 Tˆa.p ho. . p Q c´ ac sˆ o´ h˜ u.u ty’ l` a mˆ o . t tˆ a . p d ¯ˆ e´m d ¯u.o. . c. Ch´ u.ng minh: Ta s˜ e ch´ u.ng minh tˆ
a.p ho..p Q+ c´ac sˆo´ h˜u.u ty’ du.o.ng l`a d¯ˆe´m d¯u.o..c. Do d¯´
o Q = Q− ∪ {0} ∪ Q+ c`ung lu..c lu.o..ng v´o.i Z = N− ∪ {0} ∪ N, trong d¯´o Q− l`a tˆ
a.p ho..p c´ac sˆo´ h˜u.u ty’ ˆam v`a N− l`a tˆa.p ho..p c´ac sˆo´ nguyˆen ˆam. V`ı thˆe´ Q l`a d¯ˆe´m d¯u.o. . c. Mˆ o ˜i sˆo´ h˜ u.u ty’ du.o.ng d¯u.o. . c biˆ
e’u thi. duy nhˆa´t du.´o.i da.ng mˆo.t phˆan sˆo´ p, trong q d¯´
o p, q ∈ N v`a c˘a.p p, q nguyˆen tˆo´ c`ung nhau. Tu.o.ng ´u.ng p 7→ (p, q) l`a mˆo q . t song ´ anh t` u. Q+ lˆ en mˆ
o.t tˆa.p con cu’a t´ıch tru..c tiˆe´p N × N. Do d¯´o, theo hai mˆe.nh d¯ˆe ` trˆen th`ı Q+ l` a mˆ
o.t tˆa.p d¯ˆe´m d¯u.o..c. 2 Ch´ ung ta th` u.a nhˆ
a.n kˆe´t qua’ sau d¯ˆay, v`ı muˆo´n ch´u.ng minh n´o ta cˆa ` n mˆ o.t hiˆe’u biˆ e´t sˆ au s˘ a ´c ho.n vˆe ` c´ ac sˆ o´ thu. . c. 17 Mˆ e.nh d¯ˆe ` 3.6 Tˆ a . p ho. . p R c´ ac sˆ o´ thu. . c l` a mˆ o . t tˆ a . p khˆ ong d ¯ˆ e´m d ¯u.o. . c. Ngu.` o.i ta n´ oi tˆ
a.p ho..p c´ac sˆo´ thu..c c´o lu..c lu.o..ng continum. 4 Nh´ om, V` anh v` a Tru.` o.ng C´ ac kh´ ai niˆ
e.m nh´om, v`anh v`a tru.`o.ng d¯u.o..c gi´o.i thiˆe.u trong tiˆe´t n`ay chı’ d`u.ng o.’ m´ u.c d¯u’ d` ung cho c´ ac diˆ e
˜n d¯a.t trong phˆa`n sau cu’a cuˆo´n s´ach. Gia’ su. ’ G l` a mˆ
o.t tˆa.p ho..p. Mˆo˜i ´anh xa.
◦ : G × G → G d¯u.o. . c go.i l` a mˆ
o.t ph´ep to´an hai ngˆoi (hay mˆo.t luˆa.t ho. . p th` anh) trˆ en G. A ’ nh cu’a c˘a.p phˆ a ` n tu.
’ (x, y) ∈ G × G bo.’i ´anh xa. ◦ s˜e d¯u.o..c k´y hiˆe.u l`a x ◦ y, v`a d¯u.o..c go.i l`a t´ıch hay ho. . p th` anh cu’a x v` a y. D
- i.nh ngh˜ıa 4.1 Mˆo.t nh´om l`a mˆo.t tˆa.p ho..p kh´ac rˆo˜ng G d¯u.o..c trang bi. mˆo.t ph´ep to´ an hai ngˆ
oi ◦ thoa’ m˜an ba d¯iˆe ` u kiˆe.n sau d¯ˆay: (G1) Ph´ ep to´ an c´ o t´ınh kˆ e´t ho. . p:
(x ◦ y) ◦ z = x ◦ (y ◦ z), ∀x, y, z ∈ G. (G2) C´ o mˆ o.t phˆa ` n tu.
’ e ∈ G, d¯u.o..c go.i l`a phˆa ` n tu. ’ trung lˆ a . p, v´ o.i t´ınh chˆ a´t
x ◦ e = e ◦ x = x, ∀x ∈ G. (G3) V´ o.i mo.i x ∈ G, tˆo `n ta.i phˆa ` n tu.
’ x0 ∈ G, d¯u.o..c go.i l`a nghi.ch d¯a’o cu’a x, sao cho
x ◦ x0 = x0 ◦ x = e. Nhˆ a.n x´et: 18 Phˆ a ` n tu. ’ trung lˆ
a.p cu’a mˆo.t nh´om l`a duy nhˆa´t. Thˆa.t vˆa.y, nˆe´u e v`a e0 d¯ˆe ` u l` a c´ ac phˆ a ` n tu. ’ trung lˆ
a.p cu’a nh´om G th`ı
e = e ◦ e0 = e0. V´ o.i mo.i x ∈ G, phˆa ` n tu.
’ nghi.ch d¯a’o x0 n´oi o.’ mu.c (G3) l`a duy nhˆa´t. Thˆa.t vˆa.y, nˆ e´u x0 v` a x0 l` a c´ ac phˆ a ` n tu. ’ nghi 1 2
.ch d¯a’o cu’a x th`ı
x0 = x0 ◦ e = x0 ◦ (x ◦ x0 ) = (x0 ◦ x) ◦ x0 = e ◦ x0 = x0 . 1 1 1 2 1 2 2 2 Trong nh´ om c´ o luˆ
a.t gia’n u.´o.c, t´u.c l`a
x ◦ y = x ◦ z =⇒ y = z,
x ◦ z = y ◦ z =⇒ x = y. Thˆ
a.t vˆa.y, d¯ˆe’ c´o luˆa.t gia’n u.´o.c, chı’ cˆa ` n nhˆ an hai vˆ e´ cu’a d¯˘ a’ng th´
u.c x ◦ y = x ◦ z v´o.i
nghi.ch d¯a’o x0 cu’a x t`u. bˆen tr´ai, v`a nhˆan hai vˆe´ cu’a d¯˘a’ng th´u.c x ◦ z = y ◦ z v´o.i
nghi.ch d¯a’o z0 cu’a z t`u. bˆen pha’i. Nˆ e´u ph´ ep to´
an ◦ c´o t´ınh giao ho´an, t´u.c l`a
x ◦ y = y ◦ x, ∀x, y ∈ G, th`ı G d¯u.o. . c go.i l` a mˆ
o.t nh´om giao ho´an (hay abel). Theo th´ oi quen, luˆ
a.t ho..p th`anh ◦ trong mˆo.t nh´om abel thu.`o.ng d¯u.o..c k´y hiˆe.u theo lˆ o´i cˆ
o.ng “+”. Ho..p th`anh cu’a c˘a.p phˆa ` n tu. ’ (x, y) d¯u.o. . c k´ y hiˆ
e.u l`a x +y v`a d¯u.o..c
go.i l`a tˆo’ng cu’a x v`a y. Phˆa ` n tu. ’ trung lˆ
a.p cu’a nh´om d¯u.o..c go.i l`a phˆa ` n tu. ’ khˆ ong, k´ y hiˆ
e.u 0. Nghi.ch d¯a’o cu’a x (x´ac d¯i.nh bo.’i d¯iˆe
` u kiˆe.n (G3)) d¯u.o..c go.i l`a phˆa ` n tu. ’ d¯ˆ o´i cu’a x, k´ y hiˆ e.u (−x). Tru.` o.ng ho. . p tˆ o’ng qu´ at, ph´ ep to´
an ◦ trong nh´om thu.`o.ng d¯u.o..c k´y hiˆe.u theo lˆo´i nhˆ
an “ · ”. Ho..p th`anh cu’a c˘a.p phˆa ` n tu. ’ (x, y) d¯u.o. . c k´ y hiˆ
e.u l`a x · y, hay d¯o.n gia’n xy, v` a d¯u.o. . c go.i l` a t´ıch cu’a x v` a y. Phˆ a ` n tu. ’ trung lˆ
a.p cu’a nh´om d¯u.o..c go.i l`a phˆa ` n tu. ’ d¯o.n vi.. Phˆa ` n tu.
’ nghi.ch d¯a’o cu’a x d¯u.o..c k´y hiˆe.u l`a x−1. V´ı du . : 19 (a) C´ ac tˆ
a.p ho..p sˆo´ Z, Q, R lˆa.p th`anh nh´om abel d¯ˆo´i v´o.i ph´ep cˆo.ng. (b) C´ ac tˆ
a.p Z∗ = {±1}, Q∗ = Q \ {0}, R∗ = R \ {0} l`am th`anh nh´om abel d¯ˆo´i v´ o.i ph´ ep nhˆ an.
(c) Ta d¯i.nh ngh˜ıa ph´ep cˆo.ng trong Z/n nhu. sau:
[x] + [y] = [x + y]. Dˆ e
˜ kiˆe’m tra r˘a`ng ph´ep to´an n`ay khˆong phu. thuˆo.c d¯a.i biˆe’u cu’a c´ac l´o.p tu.o.ng d¯u.o.ng [x] v` a [y]. Ho.n n˜ u.a, Z/n c` ung v´ o.i ph´ ep cˆ
o.ng n´oi trˆen lˆa.p th`anh mˆo.t nh´ om abel. (d) Mˆ o ˜i song ´anh t` u. tˆ
a.p ho..p {1, 2, ..., n} v`ao ch´ınh n´o d¯u.o..c go.i l`a mˆo.t ph´ep thˆe´ (hay ph´ ep ho´ an vi.) trˆen n phˆa ` n tu. ’ . Tˆ
a.p ho..p Sn tˆa´t ca’ c´ac ph´ep thˆe´ trˆen n phˆ a ` n tu. ’ l` am th` anh mˆ
o.t nh´om d¯ˆo´i v´o.i ph´ep ho..p th`anh c´ac ´anh xa.
(α · β)(i) = α(β(i)), ∀α, β ∈ Sn, 0 ≤ i ≤ n. Sn d¯u.o. . c go.i l` a nh´ om d ¯ˆ o´i x´ u.ng trˆ en n phˆ a ` n tu. ’ . D
- ˆay l`a mˆo.t nh´om khˆong abel
khi n > 2. (Xem chi tiˆ e´t o. ’ Chu.o.ng III.) (e) Trong Chu.o.ng II ch´ ung ta s˜ e kha’o s´ at mˆ
o.t l´o.p nh´om khˆong abel rˆa´t quan
tro.ng d¯ˆo´i v´o.i mˆon D
- a.i sˆo´ tuyˆe´n t´ınh, d¯´o l`a nh´om GL(V ) c´ac biˆe´n d¯ˆo’i tuyˆe´n t´ınh khˆ ong suy biˆ e´n trˆ en khˆ ong gian v´ ecto. V . D
- i.nh ngh˜ıa 4.2 Gia’ su.’ G v`a G0 l`a c´ac nh´om (v´o.i ph´ep to´an viˆe´t theo lˆo´i nhˆan). ´
Anh xa. ϕ : G → G0 d¯u.o..c go.i l`a mˆo.t d¯ˆo `ng cˆ a´u nh´ om nˆ e´u
ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y), ∀x, y ∈ G. Nhˆ a.n x´et: D - ˆo `ng cˆ a´u nh´ om ϕ chuyˆ
e’n d¯o.n vi. e cu’a G th`anh d¯o.n vi. e0 cu’a G0:
ϕ(e) = e0. 20
Tài liệu liên quan:
-
Giải đề cuối kì môn Đại số tuyến tính | Đại học Bách Khoa Hà Nội
33 17 -
Bài giảng Chương V: Dạng song tuyến tính, tích vô hướng và không gian Euclide môn Đại số tuyến tính | Đại học Bách Khoa Hà Nội
24 12 -
Đề thi cuối kì 1 – Đề 3 môn Đại số tuyến tính | Đại học Bách Khoa Hà Nội
56 28 -
Bài tập cuối kì môn Đại số tuyến tính | Đại học Bách Khoa Hà Nội
59 30 -
Giải Đề Cương Môn Đại Số Tuyến Tính | Đại học Bách Khoa Hà Nội
38 19