193 trang 9 lượt tải

Giáo trình Toán cao cấp A3 | Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Vĩnh Long

18

Giáo trình Toán cao cấp A3 | Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Vĩnh Long. Tài liệu được sưu tầm giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao. Mời bạn đọc đón xem.

Môn: Quản trị kinh doanh (KD1506) 9 tài liệu

Trường: Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Vĩnh Long 63 tài liệu

Tác giả:

Profile

Soobin

1 tuần trước
Tải xuống
Báo cáo
Danh sách Quiz
Tải xuống
/193
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT VĨNH LONG
GIÁO TRÌNH
TOÁN CAO CẤP A3
(LƯU HÀNH NỘI BỘ)
VĨNH LONG, 05/2025
TRẦN HOÀI NGỌC NHÂN (Chủ biên)
TRƯƠNG THỊ THÚY VÂN, LÊ THỊ THU THÙY
NGUYỄN THANH NGỌC, BÙI THỊ KIM HUỆ
LƯU THỊ KIỀU HƯƠNG
GIÁO TRÌNH
TOÁN CAO CẤP A3
VĨNH LONG, 05/2025
LỜI NÓI ĐẦU
Môn học Toán cao cấp A3 (Đại số tuyến tính) là học phần toán học cơ sở và là
nền tảng thiết yếu cho sinh viên thuộc các khối ngành kỹ thuật, công nghệ thông tin
và kinh tế. Các khái niệm trong môn học không chỉ cung cấp công cụ toán học để giải
quyết các bài toán kỹ thuật phức tạp, mà còn là ngôn ngữ cốt lõi của Khoa học Dữ
liệu và Trí tuệ Nhân tạo (AI) hiện đại.
Nhằm đáp ứng nhu cầu giảng dạy và học tập môn học này tại Trường Đại học Sư
phạm Kỹ thuật Vĩnh Long, nhóm tác giả đã biên soạn GIÁO TRÌNH TOÁN CAO
CẤP A3 với mục tiêu cung cấp một tài liệu học tập có hệ thống, cập nhật và gắn liền
với thực tiễn.
Giáo trình được cấu trúc thành năm chương, với sự phân công biên soạn như sau:
• Chương 1. Ma trận và định thức: Trần Hoài Ngọc Nhân và Trương Thị Thúy
Vân.
• Chương 2. Hệ Phương trình tuyến tính: Trần Hoài Ngọc Nhân và Lê Thị Thu
Thùy.
• Chương 3. Không gian vectơ: Trần Hoài Ngọc Nhân và Nguyễn Thanh Ngọc.
• Chương 4. Ánh xạ tuyến tính: Trần Hoài Ngọc Nhân và Bùi Thị Kim Huệ.
• Chương 5. Ứng dụng trí tuệ nhân tạo (AI) trong môn học: Trần Hoài Ngọc
Nhân và Lưu Thị Kiều Hương.
Bốn chương đầu tập trung trình bày các kiến thức cốt lõi của Đại số tuyến tính,
bao gồm: Ma trận và định thức, Hệ Phương trình tuyến tính, Không gian vectơ, và
Ánh xạ tuyến tính. Nội dung lý thuyết được trình bày rõ ràng, logic, kèm theo nhiều
ví dụ minh họa và các bài tập ứng dụng đa dạng giúp người học củng cố kiến thức.
Điểm đặc biệt của giáo trình là Chương 5: Ứng dụng trí tuệ nhân tạo (AI) trong
môn học. Chương này được thiết kế để giúp sinh viên làm quen với việc sử dụng các
công cụ AI hiện đại như một trợ giảng toán học, đồng thời khám phá mối liên hệ sâu
sắc giữa lý thuyết đại số tuyến tính (như vectơ, ma trận, giá trị riêng, …) với các ứng
dụng thực tiễn trong AI (như biểu diễn dữ liệu, xử lý ảnh và giảm chiều dữ liệu, …).
Giáo trình là tài liệu học tập chính thức cho sinh viên Trường Đại học Sư phạm
Kỹ thuật Vĩnh Long. Đây cũng là tài liệu tham khảo hữu ích cho các giảng viên, học
viên cao học và sinh viên các trường đại học kỹ thuật khác quan tâm đến môn học.
Mặc dù nhóm tác giả đã có nhiều cố gắng trong quá trình biên soạn, song giáo
trình khó tránh khỏi những thiếu sót. Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến
đóng góp quý báu từ quý đồng nghiệp và các bạn sinh viên để giáo trình ngày càng
hoàn thiện hơn trong các lần tái bản sau.
Vĩnh Long, tháng 05 năm 2025
Nhóm tác giả
i
MỤC LỤC
LỜI NÓI ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i
MỤC LỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i
CÁC KÝ HIỆU SỬ DỤNG TRONG GIÁO TRÌNH . . . . . . . . . . . . . iv
DANH MỤC CÁC THUẬT NGỮ (VIỆT - ANH) . . . . . . . . . . . . . . v
DANH SÁCH HÌNH ẢNH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii
CHƯƠNG 1. MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1. MA TRẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.1. Các định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.2. Các phép toán trên ma trân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.3. Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2. ĐỊNH THỨC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.1. Định thức của ma trận vuông . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.2. Các tính chất của định thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.3. Ma trận khả nghịch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.2.4. Hạng của ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.3. BÀI TẬP CHƯƠNG 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
CHƯƠNG 2. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH . . . . . . . . . . . . 46
2.1. TỔNG QUAN VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH . . . . . . . 47
2.1.1. Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.1.2. Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính . . . . . . . . . . . . . 48
2.2. PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH . . . . . 50
2.2.1. Phương pháp Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.2.2. Phương pháp khử Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.2.3. Ứng dụng của hệ phương trình tuyến tính . . . . . . . . . . . . 56
2.3. BÀI TẬP CHƯƠNG 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
CHƯƠNG 3. KHÔNG GIAN VECTƠ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.1. TỔNG QUAN VỀ KHÔNG GIAN VECTƠ . . . . . . . . . . . . . . 78
3.1.1. Các định nghĩa và tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.1.2. Không gian vectơ con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.1.3. Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính . . . . . . . . . . . 83
3.2. CƠ SỞ, SỐ CHIỀU, TỌA ĐỘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.2.1. Cơ sở của không gian vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.2.2. Số chiều của không gian vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.2.3. Tọa độ của vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.3. BÀI TẬP CHƯƠNG 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
CHƯƠNG 4. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.1. TỔNG QUAN VỀ ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH . . . . . . . . . . . . . . 108
ii
4.1.1. Các định nghĩa và tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.1.2. Ảnh và hạt nhân của ánh xạ tuyến tính . . . . . . . . . . . . . 110
4.1.3. Đơn cấu, toàn cấu và đẳng cấu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.1.4. Ma trận của ánh xạ tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.2. CẤU TRÚC CỦA MỘT TỰ ĐỒNG CẤU . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.2.1. Đa thức đặc trưng, giá trị riêng, vectơ riêng của ma trận . . . . 120
4.2.2. Ma trận đồng dạng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
4.2.3. Chéo hóa ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
4.3. KHÔNG GIAN EUCLIDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
4.3.1. Các định nghĩa và tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . 126
4.3.2. Trực giao hóa Gram–Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.3.3. Chéo hóa trực giao ma trận đối xứng . . . . . . . . . . . . . . 129
4.4. BÀI TẬP CHƯƠNG 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
CHƯƠNG 5. ỨNG DỤNG TRÍ TUỆ NHÂN TẠO (AI) TRONG MÔN
HỌC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
5.1. GIỚI THIỆU VỀ AI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
5.1.1. Tổng quan về AI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
5.1.2. Sử dụng AI như một trợ giảng toán học . . . . . . . . . . . . . 147
5.2. BIỂU DIỄN DỮ LIỆU BẰNG VECTƠ VÀ MA TRẬN . . . . . . . . 148
5.2.1. Biểu diễn và thao tác với vectơ, ma trận cơ bản . . . . . . . . . 148
5.2.2. Biểu diễn dữ liệu (ảnh, âm thanh, văn bản...) dưới dạng ma trận
số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
5.2.3. Sử dụng AI để phân tích và giải thích dữ liệu ma trận . . . . . . 149
5.3. GIẢI BÀI TOÁN TUYẾN TÍNH BẰNG AI . . . . . . . . . . . . . . 151
5.3.1. Giải hệ phương trình tuyến tính dạng ma trận . . . . . . . . . . 151
5.3.2. Tính định thức, ma trận nghịch đảo và phân tích kết quả . . . . 152
5.3.3. Giải thích và minh họa không gian nghiệm bằng lời của AI . . 152
5.4. ỨNG DỤNG GIÁ TRỊ RIÊNG VÀ DỰ ÁN THỰC HÀNH . . . . . . 154
5.4.1. Khái niệm giá trị riêng, vectơ riêng và ý nghĩa trong AI . . . . 154
5.4.2. Ứng dụng trong giảm chiều dữ liệu, xử lý ảnh . . . . . . . . . 155
5.4.3. Thực hành phân tích và mô phỏng dữ liệu bằng AI . . . . . . . 155
5.5. BÀI TẬP CHƯƠNG 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO . . . . . . . . . . . . . . . 178
CHỈ MỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
iii
CÁC KÝ HIỆU SỬ DỤNG TRONG GIÁO TRÌNH
Ký hiệu Giải thích
A, B, C, . . . Ma trận (hệ số, dữ liệu, v.v.).
A
T
Ma trận chuyển vị của A.
A
−1
Ma trận nghịch đảo của A.
I
n
Ma trận đơn vị cấp n.
O Ma trận không hoặc vectơ không (0).
detA, det(A), |A| Định thức của ma trận vuông A.
Tr(A) Vết của ma trận A (tổng các phần tử trên đường chéo chính).
rankA, rank(A) Hạng của ma trận A.
A Ma trận mở rộng ([A|b]) của hệ phương trình.
A ∼ B Ma trận đồng dạng, thỏa mãn B = P
−1
AP .
V, W, . . . Không gian vectơ (hoặc không gian con).
R
n
Không gian vectơ hoặc không gian Euclide n-chiều.
R
n
[x] Không gian đa thức có bậc không quá n.
hSi Bao tuyến tính (Hệ sinh) của các vectơ trong S.
dim V Số chiều của không gian vectơ V .
[x]
B
Vectơ tọa độ của x đối với cơ sở B.
hu, vi Tích vô hướng (chuẩn).
kvk Chuẩn (Độ dài) của vectơ: kvk =
q
hv, vi.
u ⊥ v Vectơ u trực giao (vuông góc) với vectơ v.
f : V → W Ánh xạ tuyến tính (đồng cấu).
f ◦ g Ánh xạ hợp.
id Ánh xạ đồng nhất.
Kerf, Ker(f) Hạt nhân (Nhân) của ánh xạ f.
Imf, Im(f) Ảnh của ánh xạ f.
rankf, rank(f) Hạng của ánh xạ f (dim(Im(f))).
deff, def(f) Số khuyết của ánh xạ f (dim(Ker(f))).
V
∼
=
V
0
V và V
0
đẳng cấu với nhau.
[f]
C←B
Ma trận của ánh xạ tuyến tính f từ cơ sở B sang C.
P
A←B
Ma trận chuyển cơ sở từ B sang A.
λ Giá trị riêng.
v Vectơ riêng, v 6= 0.
p(λ) Đa thức đặc trưng.
m
A
(x) Đa thức tối tiểu.
E
λ
Không gian riêng ứng với giá trị riêng λ.
iv
DANH MỤC CÁC THUẬT NGỮ (VIỆT - ANH)
Thuật ngữ Tiếng Việt Thuật ngữ Tiếng Anh
A - B
Ẩn (của hệ) Variable / Unknown
Ảnh (của ánh xạ tuyến tính) Image (of a Linear Map)
Ánh xạ tuyến tính Linear Map / Linear Transformation
Bao tuyến tính Linear Span
Biểu thị tuyến tính Linear Expression
C - D - Đ
Chéo hóa (ma trận) Diagonalization
Chéo hóa trực giao Orthogonal Diagonalization
Chuẩn (của vectơ) Norm (of a vector)
Cơ sở Basis
Cơ sở chính tắc Standard Basis / Canonical Basis
Cột (của ma trận) Column
Dạng bậc thang (ma trận) Echelon Form
Dạng ma trận (của hệ) Matrix Form (of a system)
Diễn giải (kết quả) Interpret (the result)
Đa thức đặc trưng Characteristic Polynomial
Đa thức tối tiểu Minimal Polynomial
Đẳng cấu Isomorphism (Bijective Map)
Định lý Phổ Spectral Theorem
Định thức Determinant
Độc lập tuyến tính Linear Independence
Đồng cấu Homomorphism
Đồng dạng (ma trận) Similar (matrix)
Đơn cấu Monomorphism (Injective Map)
G - H
Giá trị riêng Eigenvalue
Giao (của không gian con) Intersection (of subspaces)
Hạng (của ma trận/hệ vectơ) Rank
Hàng (của ma trận) Row
Hạt nhân (của ánh xạ tuyến tính) Kernel (of a Linear Map)
Học máy Machine Learning
Học sâu Deep Learning
Hệ Cramer Cramer’s System
v
Thuật ngữ Tiếng Việt Thuật ngữ Tiếng Anh
Hệ phương trình tuyến tính System of Linear Equations
Hệ sinh Spanning Set
Hệ thuần nhất Homogeneous System
Hệ trực giao Orthogonal Set
Hệ trực chuẩn Orthonormal Set
K - L
Khai triển (định thức) Expansion (of a determinant)
Khả nghịch (ma trận) Invertible (matrix)
Không gian con Subspace
Không gian Euclide Euclidean Space
Không gian riêng Eigenspace
Không gian vectơ Vector Space
Liêm chính học thuật Academic Integrity
M - N
Ma trận Matrix
Ma trận bậc thang (dòng) (Row) Echelon Form Matrix
Ma trận bổ sung Augmented Matrix
Ma trận chuyển cơ sở Change-of-Basis Matrix
Ma trận chuyển vị Transpose Matrix
Ma trận chéo Diagonal Matrix
Ma trận cột Column Matrix
Ma trận đối xứng Symmetric Matrix
Ma trận đơn vị Identity Matrix
Ma trận đường chéo Diagonal Matrix
Ma trận hàng Row Matrix
Ma trận hệ số Coefficient Matrix
Ma trận hoán vị Permutation Matrix
Ma trận không Zero Matrix
Ma trận nghịch đảo Inverse Matrix
Ma trận phản đối xứng Skew-symmetric Matrix
Ma trận phụ đại số Adjugate Matrix (hoặc Adjoint Matrix)
Ma trận tam giác (trên/dưới) (Upper/Lower) Triangular Matrix
Ma trận trực giao Orthogonal Matrix
Ma trận vuông Square Matrix
Mô hình ngôn ngữ lớn (LLMs) Large Language Models
Nghiệm (của hệ) Solution (of a system)
Nghiệm duy nhất Unique Solution
vi
Thuật ngữ Tiếng Việt Thuật ngữ Tiếng Anh
Nghiệm không tầm thường Non-trivial Solution
Nghiệm tầm thường Trivial Solution
Nhúng từ (trong AI) Word Embedding
P - S - T
Phân tích thành phần chính (PCA) Principal Component Analysis (PCA)
Phép biến đổi sơ cấp Elementary Operation
Phép biến đổi tuyến tính Linear Transformation
Phép chéo hóa trực giao Orthogonal Diagonalization
Phép khử Gauss Gaussian Elimination
Phép quay (đồ họa) Rotation
Phần phụ đại số Cofactor
Phụ thuộc tuyến tính Linear Dependence
Phương trình đặc trưng Characteristic Equation
Số chiều Dimension
Tích vô hướng Inner Product (hoặc Dot Product)
Tọa độ (của vectơ) Coordinates (of a vector)
Tổ hợp tuyến tính Linear Combination
Toàn cấu Epimorphism (Surjective Map)
Tổng (của không gian con) Sum (of subspaces)
Trí tuệ nhân tạo Artificial Intelligence (AI)
Trực giao Orthogonal
Trực giao hóa Gram-Schmidt Gram-Schmidt Orthogonalization
Trực chuẩn Orthonormal
Trực quan hóa Visualization
Truy vấn (AI) Prompt
V
Vectơ Vector
Vectơ cột / Vectơ hàng Column Vector / Row Vector
Vectơ không Zero Vector
Vectơ riêng Eigenvector
Vết (của ma trận) Trace (of a matrix)
Vô số nghiệm Infinitely Many Solutions
Vô nghiệm No Solution
vii
DANH SÁCH HÌNH ẢNH
1.1 Ứng dụng của ma trận. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2.1 Ứng dụng của Hệ phương trình tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.1 Ứng dụng của Không gian vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.1 Ứng dụng của Ánh xạ tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.1 Ứng dụng AI trong môn học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
viii
CHƯƠNG 1.
MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
Hình 1.1: Ứng dụng của ma trận.
Ma trận và định thức là những khái niệm trung tâm trong đại số tuyến tính, đóng
vai trò nền tảng cho nhiều lĩnh vực trong toán học ứng dụng và khoa học kỹ thuật. Từ
việc biểu diễn các hệ phương trình tuyến tính, mô tả các phép biến đổi tuyến tính, đến
ứng dụng trong cơ học, điện tử, tin học và trí tuệ nhân tạo,... các kiến thức về ma trận
và định thức đều giữ vai trò thiết yếu. Việc nắm vững nội dung của chương này không
chỉ giúp người học hiểu sâu các kiến thức đại số tuyến tính, mà còn làm nền tảng để
học các chương tiếp theo cũng như vận dụng vào giải quyết các bài toán thực tiễn.
1
GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A3
MỤC TIÊU CHƯƠNG
Chương này cung cấp các kiến thức cốt lõi về ma trận và định thức, bao gồm các
loại ma trận, các phép toán cơ bản, phương pháp tính định thức, ma trận nghịch đảo
và hạng của ma trận.
Kiến thức cần đạt
Sau khi hoàn thành chương, người học cần:
• Trình bày được khái niệm ma trận và các loại ma trận thường gặp.
• Nắm được các phép toán cơ bản trên ma trận và các phép biến đổi sơ cấp.
• Trình bày được định nghĩa định thức, tính chất cơ bản và các phương pháp tính
định thức.
• Trình bày được khái niệm ma trận nghịch đảo và điều kiện khả nghịch của ma
trận.
• Trình bày được khái niệm hạng của ma trận và cách xác định hạng của ma trận.
Kĩ năng cần đạt
Người học cần phát triển các năng lực sau:
• Thực hiện thành thạo các phép toán ma trận và biến đổi sơ cấp.
• Tính được định thức của ma trận bằng nhiều phương pháp khác nhau.
• Tìm được ma trận nghịch đảo nếu tồn tại, bằng các kỹ thuật phù hợp.
• Xác định được hạng của ma trận.
• Phân tích, trình bày rõ ràng các bước giải và lý giải được tính đúng đắn của lời
giải.
1.1. MA TRẬN
1.1.1. Các định nghĩa và ví dụ
Định nghĩa 1.1.1. Ma trận là một bảng hình chữ nhật gồm các phần tử là các số
thực được sắp xếp theo hàng và cột. Nếu ma trận có m hàng và n cột thì ta gọi
đó là ma trận có cấp (hay kích thước) m ×n. Một ma trận có dạng tổng quát:
A =
a
11
a
12
··· a
1n
a
21
a
22
··· a
2n
. . . . . .
.
.
.
. . .
a
m1
a
m2
··· a
mn
hoặc A =
a
11
a
12
··· a
1n
a
21
a
22
··· a
2n
. . . . . .
.
.
.
. . .
a
m1
a
m2
··· a
mn
,
trong đó a
ij
∈ R là phần tử nằm ở hàng i, cột j. Tập hợp tất cả các ma trận cấp
m × n trên R ký hiệu là M
m×n
(R).
2
1.1. MA TRẬN
Ví dụ 1.1.2. Xét ma trận A có cấp 3 ×2, nghĩa là có 3 hàng và 2 cột:
A =
a
11
a
12
a
21
a
22
a
31
a
32
.
Nếu cho cụ thể
A =
1 4
2 5
3 6
thì a
11
= 1, a
12
= 4, a
21
= 2, a
22
= 5, a
31
= 3, a
32
= 6.
• Ma trận không cấp m ×n là ma trận mà tất cả các phần tử đều bằng 0. Ma trận
không thường được ký hiệu là O
m×n
, hoặc đơn giản là O khi kích thước đã được hiểu
rõ từ ngữ cảnh.
Ví dụ 1.1.3. Ma trận không cấp 2 × 3 có dạng:
O
2×3
=
0 0 0
0 0 0
.
• Ma trận hàng là ma trận có một hàng (tức là có cấp 1 × n).
Ví dụ 1.1.4.
R =
h
3 −1 0 5
i
.
• Ma trận cột là ma trận có một cột (tức là có cấp m × 1).
Ví dụ 1.1.5.
C =
7
0
−2
5
.
• Ma trận vuông là ma trận có số hàng bằng số cột (m = n). Khi đó, ma trận có
kích thước n ×n và ta ký hiệu A
n
hay (a
ij
)
n
. Trong một ma trận vuông, các phần tử
có chỉ số hàng và cột trùng nhau, tức là a
ii
với i = 1, 2, . . . , n, nằm trên một đường
chéo nối từ góc trái trên đến góc phải dưới gọi là đường chéo chính. Đường chéo nối
các phần tử còn lại, tức là từ góc phải trên đến góc trái dưới, được gọi là đường chéo
phụ.
• Ma trận đường chéo là ma trận vuông mà tất cả các phần tử ngoài đường chéo
chính đều bằng 0.
3
GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A3
Ví dụ 1.1.6. Ma trận sau đây là ma trận đường chéo cấp 4:
3 0 0 0
0 −1 0 0
0 0 5 0
0 0 0 2
• Ma trận đơn vị là ma trận vuông mà các phần tử trên đường chéo chính bằng 1,
còn lại bằng 0, ký hiệu là I
n
.
Ví dụ 1.1.7. Ma trận đơn vị cấp 2, 3 có dạng:
I
2
=
1 0
0 1
, I
3
=
1 0 0
0 1 0
0 0 1
.
• Ma trận tam giác trên (tương ứng, ma trận tam giác dưới) là ma trận vuông mà
các phần tử dưới (tương ứng, trên) đường chéo chính đều bằng 0.
Ví dụ 1.1.8. Ma trận A =
2 −1 3
0 5 4
0 0 7
và B =
1 0 0
4 −2 0
6 3 5
lần lượt là ma trận tam
giác trên và ma trận tam giác dưới.
• Ma trận chuyển vị của ma trận A =
a
ij
m×n
, ký hiệu A
T
, là ma trận thu được
bằng cách hoán đổi hàng và cột của A. Cụ thể, phần tử hàng i, cột j của A trở thành
phần tử hàng j, cột i của A
T
, tức là A
T
= (a
ji
)
n×m
.
Ví dụ 1.1.9. Ma trận chuyển vị của A =
1 2 3
4 5 6
là A
T
=
1 4
2 5
3 6
.
• Ma trận đối xứng là ma trận vuông mà các phần tử đối xứng qua đường chéo
chính đều bằng nhau, tức là A
T
= A, điều này tương đương với a
ij
= a
ji
với mọi
i, j = 1, 2, . . . , n.
Ví dụ 1.1.10. Ma trận sau là ma trận đối xứng (A = A
T
) vì các phần tử đối xứng qua
đường chéo chính đều bằng nhau [a
ij
= a
ji
]:
A =
2 −1 9
−1 3 5
9 5 4
.
• Ma trận phản đối xứng là ma trận vuông mà các phần tử đối xứng qua đường
chéo chính là đối nhau, tức là A
T
= −A, điều này tương đương với a
ij
= −a
ji
với
mọi i, j = 1, 2, . . . , n.
4
1.1. MA TRẬN
Ví dụ 1.1.11. Ma trận sau là ma trận phản đối xứng (A
T
= −A) vì các phần tử đối
xứng qua đường chéo chính là đối nhau [a
ij
= −a
ji
] và các phần tử trên đường chéo
chính đều bằng 0:
A =
0 2 −1
−2 0 4
1 −4 0
.
• Ma trận bậc thang dòng là ma trận thoả mãn đồng thời các điều kiện sau:
(a) Nếu một dòng không toàn số 0 thì phần tử đầu tiên khác 0 (gọi là phần tử chủ
đạo) phải nằm bên phải phần tử chủ đạo của dòng liền trên nó.
(b) Mọi dòng toàn số 0 (nếu có) ở dưới tất cả các dòng không toàn số 0.
Ví dụ 1.1.12. Các ma trận dưới đây là ma trận bậc thang dòng:
1 3 5 2 0 −1 4
0 0 2 6 1 0 −3
0 0 0 0 7 8 9
0 0 0 0 0 1 5
0 0 0 0 0 0 0
2 4 1
0 0 3
0 0 0
0 0 0
Ma trận xuất hiện tự nhiên trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Dưới đây là một số
tình huống thực tiễn trong đó khái niệm ma trận được sử dụng:
Ví dụ 1.1.13.
• Xử lý ảnh: Ảnh kỹ thuật số được lưu trữ dưới dạng ma trận các giá trị điểm
ảnh, mỗi phần tử thể hiện độ sáng hoặc màu sắc. Ví dụ: Một ảnh xám kích thước
640 × 480 được lưu dưới dạng ma trận có 640 hàng và 480 cột, mỗi phần tử là
số nguyên từ 0 đến 255.
• Bản đồ số và GPS: Dữ liệu bản đồ được tổ chức theo dạng lưới tọa độ, chính là
một ma trận thể hiện thông tin địa hình hoặc vị trí. Ví dụ: Một bản đồ nhiệt độ
mặt đất biểu diễn dưới dạng ma trận cấp 10 × 10, trong đó mỗi ô chứa nhiệt độ
trung bình của vùng tương ứng.
• Mạng xã hội: Ma trận mô tả mối quan hệ giữa các người dùng, dùng trong việc
gợi ý bạn bè hoặc phân tích cộng đồng. Ví dụ: Nếu có 4 người dùng thì: ta có
thể dùng ma trận 4 × 4 với a
ij
= 1 nếu người i là bạn với người j, ngược lại
a
ij
= 0.
• Khoa học dữ liệu: Dữ liệu khảo sát, điểm số học sinh hay thông tin y tế thường
được lưu dưới dạng bảng, tương ứng với ma trận. Ví dụ: Một lớp học có 30 học
5
GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A3
sinh, mỗi học sinh có điểm số ở 5 môn học. Toàn bộ dữ liệu điểm được lưu trong
ma trận 30 × 5.
• Lập trình trò chơi: Bản đồ trong trò chơi 2D hoặc dữ liệu pixel được biểu diễn
bằng ma trận các giá trị đặc trưng (ví dụ: loại địa hình, vật thể). Ví dụ: Trong trò
chơi “rắn săn mồi”, bản đồ 20×20 được lưu dưới dạng ma trận, mỗi ô mang giá
trị đại diện cho thân rắn, mồi hoặc tường.
• Mô hình kinh tế: Mối quan hệ cung – cầu giữa các ngành trong nền kinh tế được
mô phỏng bằng ma trận đầu vào – đầu ra. Ví dụ: Ngành điện cần 0.2 đơn vị than,
0.1 đơn vị sắt để sản xuất 1 đơn vị điện. Dữ liệu này tạo thành một hàng trong
ma trận tiêu thụ nội bộ.
Như vậy, ma trận là công cụ biểu diễn thông tin có cấu trúc lưới và là nền tảng
quan trọng trong nhiều ứng dụng thực tiễn.
1.1.2. Các phép toán trên ma trân
a) Cộng hai ma trận
Phép cộng hai ma trận được thực hiện bằng cách cộng từng phần tử tương ứng.
Phép toán này chỉ thực hiện được khi hai ma trận có cùng cấp. Tổng của hai ma trận
là kết quả của phép cộng hai ma trận đó. Cụ thể, tổng của hai ma trận A = (a
ij
)
m×n
và B = (b
ij
)
m×n
là ma trận C = (c
ij
)
m×n
, ký hiệu C = A + B, được xác định bởi:
c
ij
= a
ij
+ b
ij
, ∀i = 1, m, j = 1, n.
Ví dụ 1.1.14.
1 2
3 4
+
5 6
7 8
=
1 + 5 2 + 6
3 + 7 4 + 8
=
6 8
10 12
.
Phép cộng hai ma trận thường được dùng để tổng hợp dữ liệu từ nhiều nguồn,
nhiều thời điểm, hoặc nhiều bộ phận. Dưới đây là một số tình huống minh họa:
Ví dụ 1.1.15.
• Tổng hợp sản lượng sản xuất
Một phân xưởng có 2 tổ sản xuất 3 loại sản phẩm A, B, C trong hai ngày liên
tiếp. Sản lượng được ghi lại bằng:
A =
100 80 60
90 70 50
, B =
95 85 65
88 75 55
.
Tổng sản lượng sau hai ngày:
A + B =
195 165 125
178 145 105
.
6
1.1. MA TRẬN
• Tổng hợp tồn kho tại hai kho hàng
Hai kho hàng lưu trữ 3 mặt hàng (gạo, đường, sữa) tại 2 chi nhánh. Số lượng
hàng tồn (tính bằng tấn) được cho bởi:
M =
20 15 18
25 17 22
, N =
22 18 20
27 14 25
.
Tổng hàng tồn ở mỗi chi nhánh:
M + N =
42 33 38
52 31 47
.
• Cộng lượng mưa tại hai trạm đo
Hai trạm khí tượng ghi nhận lượng mưa (mm) trong 3 ngày tại 3 địa điểm:
R
1
=
6 7 8
4 5 6
3 2 1
, R
2
=
5 6 7
6 4 5
2 3 2
.
Tổng lượng mưa đo được:
R
1
+ R
2
=
11 13 15
10 9 11
5 5 3
.
b) Nhân một số với ma trận
Phép nhân một số với ma trận được thực hiện bằng cách nhân số đó với từng
phần tử của ma trận. Tích của một số với ma trận là kết quả của phép nhân của số
với ma trận đó. Cụ thể, tích của một số thực λ với ma trận A = (a
ij
)
m×n
là ma trận
C = (c
ij
)
m×n
, ký hiệu C = λ.A hay C = λA, được xác định bởi:
c
ij
= λa
ij
, ∀i = 1, m, j = 1, n.
Đặc biệt, khi λ = −1, ta sẽ viết −A và gọi là ma trận đối của A. Từ đó ta có thể
định nghĩa phép trừ hai ma trận: Hiệu của hai ma trận A và B cùng cấp được xác định
là A − B = A + (−B).
Ví dụ 1.1.16.
4.
2 −1
0 3
=
4 · 2 4 · (−1)
4 · 0 4 · 3
=
8 −4
0 12
.
−
2 −1
0 3
= (−1).
2 −1
0 3
=
−2 1
0 −3
.
7
GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A3
Phép nhân một số với một ma trận thường được dùng để điều chỉnh tỷ lệ, tính
toán chi phí hoặc mô phỏng sự thay đổi đồng đều. Dưới đây là một tình huống minh
họa:
Ví dụ 1.1.17. Một cửa hàng bán 3 loại mặt hàng: áo, quần, giày tại 2 chi nhánh. Giá
gốc (nghìn đồng) được lưu trữ trong ma trận
G =
250 300 400
260 320 420
,
trong đó mỗi hàng là một chi nhánh, mỗi cột là một mặt hàng. Cửa hàng quyết định
tăng giá 10% để bù lạm phát. Khi đó, giá mới là
1.1 · G =
275 330 440
286 352 462
.
c) Nhân hai ma trận
Phép nhân hai ma trận được thực hiện bằng cách lấy các phần tử của từng hàng
(thuộc ma trận thứ nhất) nhân tương ứng với các phần tử của từng cột (thuộc ma trận
thứ hai) rồi cộng các tích đó lại. Phép toán này chỉ thực hiện được khi số cột của ma trận
thứ nhất bằng số hàng của ma trận thứ hai. Cụ thể, tích của hai ma trận A = (a
ij
)
m×n
và B = (b
jk
)
n×p
là một ma trận C = (c
ik
)
m×p
, ký hiệu C = A.B hoặc C = AB,
được xác định bởi:
c
ik
=
n
X
j=1
a
ij
b
jk
, ∀i = 1, m; k = 1, p.
Ví dụ 1.1.18. Cho hai ma trận:
A =
1 0 2 1
−1 1 0 3
0 2 1 −2
, B =
2 1
0 1
−1 0
1 −1
.
Vì ma trận A có kích thước 3 × 4, ma trận B có kích thước 4 × 2 nên tích AB
xác định và là ma trận 3 × 2:
1 0 2 1
−1 1 0 3
0 2 1 −2
2 1
0 1
−1 0
1 −1
=
2 + 0 − 2 + 1 1 + 0 + 0 −1
−2 + 0 + 0 + 3 −1 + 1 + 0 − 3
0 + 0 − 1 − 2 0 + 2 + 0 + 2
=
1 0
1 −3
−3 4
.
8
1.1. MA TRẬN
Lưu ý 1.1.19. Ngay cả khi tích AB và BA đều xác định, ta không thể kết luận
rằng AB = BA. Ví dụ, xét hai ma trận:
A =
1 0
0 0
, B =
0 1
0 0
.
Khi đó:
AB =
0 1
0 0
6=
0 0
0 0
= BA.
Trong ví dụ trên, mặc dù A 6= O và B 6= O, ta thấy rằng BA = O. Điều này
cho thấy rằng, nếu AB = O thì không nhất thiết suy ra A = O hoặc B = O.
Phép nhân ma trận thường được sử dụng trong các bài toán kết hợp thông tin giữa
các đại lượng khác nhau, chẳng hạn như sản lượng, đơn giá, hệ số ảnh hưởng,... Sau
đây là các tình huống minh họa:
Ví dụ 1.1.20.
• Tính doanh thu từ sản lượng và đơn giá
Một nhà máy sản xuất 3 loại sản phẩm (A, B, C) tại 2 xưởng. Sản phẩm mỗi
ngày được biểu diễn bởi ma trận:
P =
100 150 200
120 130 180
,
trong đó mỗi hàng tương ứng với một xưởng, mỗi cột tương ứng với một sản
phẩm. Đơn giá từng sản phẩm (nghìn đồng) được cho bởi:
G =
10
12
15
.
Khi đó, doanh thu tại mỗi xưởng được biểu diễn bởi ma trận:
P ·G =
100 · 10 + 150 · 12 + 200 ·15
120 · 10 + 130 · 12 + 180 ·15
=
1000 + 1800 + 3000
1200 + 1560 + 2700
=
5800
5460
.
• Lập ngân sách chi tiêu theo phòng ban
Một công ty có 3 phòng ban: Hành chính, Kỹ thuật, Kinh doanh. Mỗi phòng dự
kiến chi tiêu cho 4 hạng mục: điện, nước, văn phòng phẩm và bảo trì. Dự toán
(triệu đồng) được lưu trong ma trận
B =
5 2 1 3
6 3 2 4
4 1 1 2
,
9
GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A3
trong đó mỗi hàng tương ứng với một phòng ban, mỗi cột tương ứng với một
loại chi phí. Công ty phân loại chi tiêu thành hai nhóm:
- Chi thường xuyên: điện, nước, văn phòng phẩm.
- Chi không thường xuyên: bảo trì.
Ma trận tỷ lệ phân bổ cho hai nhóm chi phí như sau:
T =
0.7 0.3
0.6 0.4
0.5 0.5
0.8 0.2
,
trong đó mỗi hàng tương ứng với một loại chi phí, mỗi cột ứng với một nhóm
chi tiêu. Khi đó, ta tính ngân sách theo từng nhóm bằng cách nhân hai ma trận:
B · T =
5 2 1 3
6 3 2 4
4 1 1 2
·
0.7 0.3
0.6 0.4
0.5 0.5
0.8 0.2
=
7.6 3.4
10.2 4.8
5.5 2.5
.
Kết luận:
– Phòng Hành chính cần chi: 7.6 triệu cho chi thường xuyên, 3.4 triệu cho
chi không thường xuyên.
– Phòng Kỹ thuật: 10.2 triệu cho chi thường xuyên và 4.8 triệu cho chi không
thường xuyên.
– Phòng Kinh doanh: 5.5 triệu cho chi thường xuyên và 2.5 triệu cho chi
không thường xuyên.
• Tính tổng điện năng tiêu thụ trong các phòng
Một tòa nhà có 2 phòng, mỗi phòng sử dụng 3 loại thiết bị: đèn, quạt, máy lạnh.
Số lượng thiết bị mỗi loại trong từng phòng được ghi lại trong ma trận:
A =
4 2 1
3 3 2
.
Công suất tiêu thụ điện trung bình của từng thiết bị (tính theo đơn vị kWh mỗi
giờ sử dụng) trong hai chế độ ban ngày và ban đêm được cho bởi ma trận:
B =
0.06 0.07
0.09 0.10
1.50 1.40
.
Khi đó, tổng mức tiêu thụ điện năng theo từng chế độ ở mỗi phòng là:
A · B =
4 · 0.06 + 2 · 0.09 + 1 ·1.50 4 · 0.07 + 2 · 0.10 + 1 · 1.40
3 · 0.06 + 3 · 0.09 + 2 ·1.50 3 · 0.07 + 3 · 0.10 + 2 · 1.40
10

Tài liệu khác của Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Vĩnh Long

Preview text:

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT VĨNH LONG GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A3 (LƯU HÀNH NỘI BỘ) VĨNH LONG, 05/2025
TRẦN HOÀI NGỌC NHÂN (Chủ biên)
TRƯƠNG THỊ THÚY VÂN, LÊ THỊ THU THÙY
NGUYỄN THANH NGỌC, BÙI THỊ KIM HUỆ
LƯU THỊ KIỀU HƯƠNG GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A3 VĨNH LONG, 05/2025 LỜI NÓI ĐẦU
Môn học Toán cao cấp A3 (Đại số tuyến tính) là học phần toán học cơ sở và là
nền tảng thiết yếu cho sinh viên thuộc các khối ngành kỹ thuật, công nghệ thông tin
và kinh tế. Các khái niệm trong môn học không chỉ cung cấp công cụ toán học để giải
quyết các bài toán kỹ thuật phức tạp, mà còn là ngôn ngữ cốt lõi của Khoa học Dữ
liệu và Trí tuệ Nhân tạo (AI) hiện đại.
Nhằm đáp ứng nhu cầu giảng dạy và học tập môn học này tại Trường Đại học Sư
phạm Kỹ thuật Vĩnh Long, nhóm tác giả đã biên soạn GIÁO TRÌNH TOÁN CAO
CẤP A3 với mục tiêu cung cấp một tài liệu học tập có hệ thống, cập nhật và gắn liền với thực tiễn.
Giáo trình được cấu trúc thành năm chương, với sự phân công biên soạn như sau:
• Chương 1. Ma trận và định thức: Trần Hoài Ngọc Nhân và Trương Thị Thúy Vân.
• Chương 2. Hệ Phương trình tuyến tính: Trần Hoài Ngọc Nhân và Lê Thị Thu Thùy.
• Chương 3. Không gian vectơ: Trần Hoài Ngọc Nhân và Nguyễn Thanh Ngọc.
• Chương 4. Ánh xạ tuyến tính: Trần Hoài Ngọc Nhân và Bùi Thị Kim Huệ.
• Chương 5. Ứng dụng trí tuệ nhân tạo (AI) trong môn học: Trần Hoài Ngọc
Nhân và Lưu Thị Kiều Hương.
Bốn chương đầu tập trung trình bày các kiến thức cốt lõi của Đại số tuyến tính,
bao gồm: Ma trận và định thức, Hệ Phương trình tuyến tính, Không gian vectơ, và
Ánh xạ tuyến tính. Nội dung lý thuyết được trình bày rõ ràng, logic, kèm theo nhiều
ví dụ minh họa và các bài tập ứng dụng đa dạng giúp người học củng cố kiến thức.
Điểm đặc biệt của giáo trình là Chương 5: Ứng dụng trí tuệ nhân tạo (AI) trong
môn học. Chương này được thiết kế để giúp sinh viên làm quen với việc sử dụng các
công cụ AI hiện đại như một trợ giảng toán học, đồng thời khám phá mối liên hệ sâu
sắc giữa lý thuyết đại số tuyến tính (như vectơ, ma trận, giá trị riêng, …) với các ứng
dụng thực tiễn trong AI (như biểu diễn dữ liệu, xử lý ảnh và giảm chiều dữ liệu, …).
Giáo trình là tài liệu học tập chính thức cho sinh viên Trường Đại học Sư phạm
Kỹ thuật Vĩnh Long. Đây cũng là tài liệu tham khảo hữu ích cho các giảng viên, học
viên cao học và sinh viên các trường đại học kỹ thuật khác quan tâm đến môn học.
Mặc dù nhóm tác giả đã có nhiều cố gắng trong quá trình biên soạn, song giáo
trình khó tránh khỏi những thiếu sót. Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến
đóng góp quý báu từ quý đồng nghiệp và các bạn sinh viên để giáo trình ngày càng
hoàn thiện hơn trong các lần tái bản sau.
Vĩnh Long, tháng 05 năm 2025 Nhóm tác giả i MỤC LỤC
LỜI NÓI ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i
MỤC LỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i
CÁC KÝ HIỆU SỬ DỤNG TRONG GIÁO TRÌNH . . . . . . . . . . . . . iv
DANH MỤC CÁC THUẬT NGỮ (VIỆT - ANH) . . . . . . . . . . . . . . v
DANH SÁCH HÌNH ẢNH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii CHƯƠNG 1.
MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1. MA TRẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.1. Các định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.2. Các phép toán trên ma trân
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.3. Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2. ĐỊNH THỨC
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.1. Định thức của ma trận vuông . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.2. Các tính chất của định thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.3. Ma trận khả nghịch
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.2.4. Hạng của ma trận
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.3. BÀI TẬP CHƯƠNG 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 CHƯƠNG 2.
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH . . . . . . . . . . . . 46
2.1. TỔNG QUAN VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH . . . . . . . 47
2.1.1. Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.1.2. Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính . . . . . . . . . . . . . 48
2.2. PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH . . . . . 50 2.2.1. Phương pháp Cramer
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.2.2. Phương pháp khử Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.2.3. Ứng dụng của hệ phương trình tuyến tính . . . . . . . . . . . . 56
2.3. BÀI TẬP CHƯƠNG 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 CHƯƠNG 3.
KHÔNG GIAN VECTƠ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.1. TỔNG QUAN VỀ KHÔNG GIAN VECTƠ . . . . . . . . . . . . . . 78
3.1.1. Các định nghĩa và tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.1.2. Không gian vectơ con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.1.3. Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính . . . . . . . . . . . 83
3.2. CƠ SỞ, SỐ CHIỀU, TỌA ĐỘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.2.1. Cơ sở của không gian vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.2.2. Số chiều của không gian vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.2.3. Tọa độ của vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.3. BÀI TẬP CHƯƠNG 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 CHƯƠNG 4.
ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.1. TỔNG QUAN VỀ ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH . . . . . . . . . . . . . . 108 ii
4.1.1. Các định nghĩa và tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.1.2. Ảnh và hạt nhân của ánh xạ tuyến tính . . . . . . . . . . . . . 110
4.1.3. Đơn cấu, toàn cấu và đẳng cấu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.1.4. Ma trận của ánh xạ tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.2. CẤU TRÚC CỦA MỘT TỰ ĐỒNG CẤU . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.2.1. Đa thức đặc trưng, giá trị riêng, vectơ riêng của ma trận . . . . 120
4.2.2. Ma trận đồng dạng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 4.2.3. Chéo hóa ma trận
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
4.3. KHÔNG GIAN EUCLIDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
4.3.1. Các định nghĩa và tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . 126
4.3.2. Trực giao hóa Gram–Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.3.3. Chéo hóa trực giao ma trận đối xứng . . . . . . . . . . . . . . 129
4.4. BÀI TẬP CHƯƠNG 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 CHƯƠNG 5.
ỨNG DỤNG TRÍ TUỆ NHÂN TẠO (AI) TRONG MÔN
HỌC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
5.1. GIỚI THIỆU VỀ AI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
5.1.1. Tổng quan về AI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
5.1.2. Sử dụng AI như một trợ giảng toán học . . . . . . . . . . . . . 147
5.2. BIỂU DIỄN DỮ LIỆU BẰNG VECTƠ VÀ MA TRẬN . . . . . . . . 148
5.2.1. Biểu diễn và thao tác với vectơ, ma trận cơ bản . . . . . . . . . 148
5.2.2. Biểu diễn dữ liệu (ảnh, âm thanh, văn bản...) dưới dạng ma trận
số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
5.2.3. Sử dụng AI để phân tích và giải thích dữ liệu ma trận . . . . . . 149
5.3. GIẢI BÀI TOÁN TUYẾN TÍNH BẰNG AI . . . . . . . . . . . . . . 151
5.3.1. Giải hệ phương trình tuyến tính dạng ma trận . . . . . . . . . . 151
5.3.2. Tính định thức, ma trận nghịch đảo và phân tích kết quả . . . . 152
5.3.3. Giải thích và minh họa không gian nghiệm bằng lời của AI . . 152
5.4. ỨNG DỤNG GIÁ TRỊ RIÊNG VÀ DỰ ÁN THỰC HÀNH . . . . . . 154
5.4.1. Khái niệm giá trị riêng, vectơ riêng và ý nghĩa trong AI . . . . 154
5.4.2. Ứng dụng trong giảm chiều dữ liệu, xử lý ảnh . . . . . . . . . 155
5.4.3. Thực hành phân tích và mô phỏng dữ liệu bằng AI . . . . . . . 155
5.5. BÀI TẬP CHƯƠNG 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO . . . . . . . . . . . . . . . 178
CHỈ MỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 iii
CÁC KÝ HIỆU SỬ DỤNG TRONG GIÁO TRÌNH Ký hiệu Giải thích A, B, C, . . .
Ma trận (hệ số, dữ liệu, v.v.). AT
Ma trận chuyển vị của A. A−1
Ma trận nghịch đảo của A. In
Ma trận đơn vị cấp n. O
Ma trận không hoặc vectơ không (0).
detA, det(A), |A|
Định thức của ma trận vuông A. Tr(A)
Vết của ma trận A (tổng các phần tử trên đường chéo chính). rankA, rank(A)
Hạng của ma trận A. A
Ma trận mở rộng ([A|b]) của hệ phương trình. A ∼ B
Ma trận đồng dạng, thỏa mãn B = P −1AP . V, W, . . .
Không gian vectơ (hoặc không gian con). n R
Không gian vectơ hoặc không gian Euclide n-chiều. Rn[x]
Không gian đa thức có bậc không quá n. hSi
Bao tuyến tính (Hệ sinh) của các vectơ trong S. dim V
Số chiều của không gian vectơ V . [x]B
Vectơ tọa độ của x đối với cơ sở B. hu, vi Tích vô hướng (chuẩn). q kvk
Chuẩn (Độ dài) của vectơ: kvk = hv, vi. u ⊥ v
Vectơ u trực giao (vuông góc) với vectơ v.
f : V → W
Ánh xạ tuyến tính (đồng cấu). f ◦ g Ánh xạ hợp. id Ánh xạ đồng nhất. Kerf , Ker(f )
Hạt nhân (Nhân) của ánh xạ f . Imf , Im(f )
Ảnh của ánh xạ f . rankf , rank(f )
Hạng của ánh xạ f (dim(Im(f ))). deff , def(f )
Số khuyết của ánh xạ f (dim(Ker(f ))). V ∼ = V 0
V và V 0 đẳng cấu với nhau. [f ]C←B
Ma trận của ánh xạ tuyến tính f từ cơ sở B sang C. PA←B
Ma trận chuyển cơ sở từ B sang A. λ Giá trị riêng. v
Vectơ riêng, v 6= 0. p(λ) Đa thức đặc trưng. mA(x) Đa thức tối tiểu. Eλ
Không gian riêng ứng với giá trị riêng λ. iv
DANH MỤC CÁC THUẬT NGỮ (VIỆT - ANH)
Thuật ngữ Tiếng Việt
Thuật ngữ Tiếng Anh A - B Ẩn (của hệ) Variable / Unknown
Ảnh (của ánh xạ tuyến tính) Image (of a Linear Map) Ánh xạ tuyến tính
Linear Map / Linear Transformation Bao tuyến tính Linear Span Biểu thị tuyến tính Linear Expression C - D - Đ Chéo hóa (ma trận) Diagonalization Chéo hóa trực giao Orthogonal Diagonalization Chuẩn (của vectơ) Norm (of a vector) Cơ sở Basis Cơ sở chính tắc
Standard Basis / Canonical Basis Cột (của ma trận) Column Dạng bậc thang (ma trận) Echelon Form Dạng ma trận (của hệ) Matrix Form (of a system) Diễn giải (kết quả) Interpret (the result) Đa thức đặc trưng Characteristic Polynomial Đa thức tối tiểu Minimal Polynomial Đẳng cấu Isomorphism (Bijective Map) Định lý Phổ Spectral Theorem Định thức Determinant Độc lập tuyến tính Linear Independence Đồng cấu Homomorphism Đồng dạng (ma trận) Similar (matrix) Đơn cấu Monomorphism (Injective Map) G - H Giá trị riêng Eigenvalue Giao (của không gian con) Intersection (of subspaces)
Hạng (của ma trận/hệ vectơ) Rank Hàng (của ma trận) Row
Hạt nhân (của ánh xạ tuyến tính) Kernel (of a Linear Map) Học máy Machine Learning Học sâu Deep Learning Hệ Cramer Cramer’s System v
Thuật ngữ Tiếng Việt
Thuật ngữ Tiếng Anh
Hệ phương trình tuyến tính System of Linear Equations Hệ sinh Spanning Set Hệ thuần nhất Homogeneous System Hệ trực giao Orthogonal Set Hệ trực chuẩn Orthonormal Set K - L Khai triển (định thức) Expansion (of a determinant) Khả nghịch (ma trận) Invertible (matrix) Không gian con Subspace Không gian Euclide Euclidean Space Không gian riêng Eigenspace Không gian vectơ Vector Space Liêm chính học thuật Academic Integrity M - N Ma trận Matrix Ma trận bậc thang (dòng) (Row) Echelon Form Matrix Ma trận bổ sung Augmented Matrix Ma trận chuyển cơ sở Change-of-Basis Matrix Ma trận chuyển vị Transpose Matrix Ma trận chéo Diagonal Matrix Ma trận cột Column Matrix Ma trận đối xứng Symmetric Matrix Ma trận đơn vị Identity Matrix Ma trận đường chéo Diagonal Matrix Ma trận hàng Row Matrix Ma trận hệ số Coefficient Matrix Ma trận hoán vị Permutation Matrix Ma trận không Zero Matrix Ma trận nghịch đảo Inverse Matrix Ma trận phản đối xứng Skew-symmetric Matrix Ma trận phụ đại số
Adjugate Matrix (hoặc Adjoint Matrix)
Ma trận tam giác (trên/dưới)
(Upper/Lower) Triangular Matrix Ma trận trực giao Orthogonal Matrix Ma trận vuông Square Matrix
Mô hình ngôn ngữ lớn (LLMs) Large Language Models Nghiệm (của hệ) Solution (of a system) Nghiệm duy nhất Unique Solution vi
Thuật ngữ Tiếng Việt
Thuật ngữ Tiếng Anh
Nghiệm không tầm thường Non-trivial Solution Nghiệm tầm thường Trivial Solution Nhúng từ (trong AI) Word Embedding P - S - T
Phân tích thành phần chính (PCA)
Principal Component Analysis (PCA) Phép biến đổi sơ cấp Elementary Operation
Phép biến đổi tuyến tính Linear Transformation Phép chéo hóa trực giao Orthogonal Diagonalization Phép khử Gauss Gaussian Elimination Phép quay (đồ họa) Rotation Phần phụ đại số Cofactor Phụ thuộc tuyến tính Linear Dependence Phương trình đặc trưng Characteristic Equation Số chiều Dimension Tích vô hướng
Inner Product (hoặc Dot Product) Tọa độ (của vectơ) Coordinates (of a vector) Tổ hợp tuyến tính Linear Combination Toàn cấu Epimorphism (Surjective Map) Tổng (của không gian con) Sum (of subspaces) Trí tuệ nhân tạo Artificial Intelligence (AI) Trực giao Orthogonal Trực giao hóa Gram-Schmidt Gram-Schmidt Orthogonalization Trực chuẩn Orthonormal Trực quan hóa Visualization Truy vấn (AI) Prompt V Vectơ Vector Vectơ cột / Vectơ hàng Column Vector / Row Vector Vectơ không Zero Vector Vectơ riêng Eigenvector Vết (của ma trận) Trace (of a matrix) Vô số nghiệm Infinitely Many Solutions Vô nghiệm No Solution vii DANH SÁCH HÌNH ẢNH
1.1 Ứng dụng của ma trận. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2.1 Ứng dụng của Hệ phương trình tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.1 Ứng dụng của Không gian vectơ
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.1 Ứng dụng của Ánh xạ tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.1 Ứng dụng AI trong môn học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 viii CHƯƠNG 1.
MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
Hình 1.1: Ứng dụng của ma trận.
Ma trận và định thức là những khái niệm trung tâm trong đại số tuyến tính, đóng
vai trò nền tảng cho nhiều lĩnh vực trong toán học ứng dụng và khoa học kỹ thuật. Từ
việc biểu diễn các hệ phương trình tuyến tính, mô tả các phép biến đổi tuyến tính, đến
ứng dụng trong cơ học, điện tử, tin học và trí tuệ nhân tạo,... các kiến thức về ma trận
và định thức đều giữ vai trò thiết yếu. Việc nắm vững nội dung của chương này không
chỉ giúp người học hiểu sâu các kiến thức đại số tuyến tính, mà còn làm nền tảng để
học các chương tiếp theo cũng như vận dụng vào giải quyết các bài toán thực tiễn. 1
GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A3 MỤC TIÊU CHƯƠNG
Chương này cung cấp các kiến thức cốt lõi về ma trận và định thức, bao gồm các
loại ma trận, các phép toán cơ bản, phương pháp tính định thức, ma trận nghịch đảo và hạng của ma trận.
Kiến thức cần đạt
Sau khi hoàn thành chương, người học cần:
• Trình bày được khái niệm ma trận và các loại ma trận thường gặp.
• Nắm được các phép toán cơ bản trên ma trận và các phép biến đổi sơ cấp.
• Trình bày được định nghĩa định thức, tính chất cơ bản và các phương pháp tính định thức.
• Trình bày được khái niệm ma trận nghịch đảo và điều kiện khả nghịch của ma trận.
• Trình bày được khái niệm hạng của ma trận và cách xác định hạng của ma trận. Kĩ năng cần đạt
Người học cần phát triển các năng lực sau:
• Thực hiện thành thạo các phép toán ma trận và biến đổi sơ cấp.
• Tính được định thức của ma trận bằng nhiều phương pháp khác nhau.
• Tìm được ma trận nghịch đảo nếu tồn tại, bằng các kỹ thuật phù hợp.
• Xác định được hạng của ma trận.
• Phân tích, trình bày rõ ràng các bước giải và lý giải được tính đúng đắn của lời giải. 1.1. MA TRẬN 1.1.1.
Các định nghĩa và ví dụ
Định nghĩa 1.1.1. Ma trận là một bảng hình chữ nhật gồm các phần tử là các số
thực được sắp xếp theo hàng và cột. Nếu ma trận có m hàng và n cột thì ta gọi
đó là ma trận có cấp (hay kích thước) m × n. Một ma trận có dạng tổng quát:     a11 a12 · · · a1n a11 a12 · · · a1n      a   a   21 a22 · · · a2n   21 a22 · · · a2n A =   hoặc A =   ,  . .   . .   . . . . . . . . . .   . . . . . . . . . .         
am1 am2 · · · amn
am1 am2 · · · amn
trong đó aij ∈ R là phần tử nằm ở hàng i, cột j. Tập hợp tất cả các ma trận cấp
m × n trên R ký hiệu là Mm×n(R). 2 1.1. MA TRẬN
Ví dụ 1.1.2. Xét ma trận A có cấp 3 × 2, nghĩa là có 3 hàng và 2 cột:   a11 a12   A = a.  21 a22   a31 a32 Nếu cho cụ thể   1 4   A = 2 5     3 6
thì a11 = 1, a12 = 4, a21 = 2, a22 = 5, a31 = 3, a32 = 6.
• Ma trận không cấp m × n là ma trận mà tất cả các phần tử đều bằng 0. Ma trận
không thường được ký hiệu là Om×n, hoặc đơn giản là O khi kích thước đã được hiểu rõ từ ngữ cảnh.
Ví dụ 1.1.3. Ma trận không cấp 2 × 3 có dạng:   0 0 0 O2×3 = .   0 0 0
• Ma trận hàng là ma trận có một hàng (tức là có cấp 1 × n). Ví dụ 1.1.4. h i R = 3 −1 0 5 .
• Ma trận cột là ma trận có một cột (tức là có cấp m × 1). Ví dụ 1.1.5.   7    0  C =     . −2     5
• Ma trận vuông là ma trận có số hàng bằng số cột (m = n). Khi đó, ma trận có
kích thước n × n và ta ký hiệu An hay (aij)n. Trong một ma trận vuông, các phần tử
có chỉ số hàng và cột trùng nhau, tức là aii với i = 1, 2, . . . , n, nằm trên một đường
chéo nối từ góc trái trên đến góc phải dưới gọi là đường chéo chính. Đường chéo nối
các phần tử còn lại, tức là từ góc phải trên đến góc trái dưới, được gọi là đường chéo phụ.
• Ma trận đường chéo là ma trận vuông mà tất cả các phần tử ngoài đường chéo chính đều bằng 0. 3
GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A3
Ví dụ 1.1.6. Ma trận sau đây là ma trận đường chéo cấp 4:   3 0 0 0      0 −1 0 0       0 0 5 0     0 0 0 2 
• Ma trận đơn vị là ma trận vuông mà các phần tử trên đường chéo chính bằng 1,
còn lại bằng 0, ký hiệu là In.
Ví dụ 1.1.7. Ma trận đơn vị cấp 2, 3 có dạng:   1 0 0   1 0   I   2 =   , I3 = 0 1 0 . 0 1     0 0 1
• Ma trận tam giác trên (tương ứng, ma trận tam giác dưới) là ma trận vuông mà
các phần tử dưới (tương ứng, trên) đường chéo chính đều bằng 0.     2 −1 3 1 0 0    
Ví dụ 1.1.8. Ma trận A = 0 5
4 và B = 4 −2 0 lần lượt là ma trận tam         0 0 7 6 3 5
giác trên và ma trận tam giác dưới.
• Ma trận chuyển vị của ma trận A = aij
, ký hiệu AT , là ma trận thu được m×n
bằng cách hoán đổi hàng và cột của A. Cụ thể, phần tử hàng i, cột j của A trở thành
phần tử hàng j, cột i của AT , tức là AT = (aji)n×m.   1 4   1 2 3  
Ví dụ 1.1.9. Ma trận chuyển vị của A =     là AT = 2 5 . 4 5 6     3 6
• Ma trận đối xứng là ma trận vuông mà các phần tử đối xứng qua đường chéo
chính đều bằng nhau, tức là AT = A, điều này tương đương với aij = aji với mọi
i, j = 1, 2, . . . , n.
Ví dụ 1.1.10. Ma trận sau là ma trận đối xứng (A = AT ) vì các phần tử đối xứng qua
đường chéo chính đều bằng nhau [aij = aji]:   2 −1 9   A = −1 3 5 .     9 5 4
• Ma trận phản đối xứng là ma trận vuông mà các phần tử đối xứng qua đường
chéo chính là đối nhau, tức là AT = −A, điều này tương đương với aij = −aji với
mọi i, j = 1, 2, . . . , n. 4 1.1. MA TRẬN
Ví dụ 1.1.11. Ma trận sau là ma trận phản đối xứng (AT = −A) vì các phần tử đối
xứng qua đường chéo chính là đối nhau [aij = −aji] và các phần tử trên đường chéo chính đều bằng 0:   0 2 −1   A = −2 0 4  .     1 −4 0
• Ma trận bậc thang dòng là ma trận thoả mãn đồng thời các điều kiện sau:
(a) Nếu một dòng không toàn số 0 thì phần tử đầu tiên khác 0 (gọi là phần tử chủ
đạo) phải nằm bên phải phần tử chủ đạo của dòng liền trên nó.
(b) Mọi dòng toàn số 0 (nếu có) ở dưới tất cả các dòng không toàn số 0.
Ví dụ 1.1.12. Các ma trận dưới đây là ma trận bậc thang dòng:   1 3 5 2 0 −1 4       2 4 1      0 0 2 6 1 0 −3           0 0 3           0 0 0 0 7 8 9       0 0 0           0 0 0 0 0 1 5      0 0 0    0 0 0 0 0 0 0 
Ma trận xuất hiện tự nhiên trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Dưới đây là một số
tình huống thực tiễn trong đó khái niệm ma trận được sử dụng: Ví dụ 1.1.13.
• Xử lý ảnh: Ảnh kỹ thuật số được lưu trữ dưới dạng ma trận các giá trị điểm
ảnh, mỗi phần tử thể hiện độ sáng hoặc màu sắc. Ví dụ: Một ảnh xám kích thước
640 × 480 được lưu dưới dạng ma trận có 640 hàng và 480 cột, mỗi phần tử là
số nguyên từ 0 đến 255.
• Bản đồ số và GPS: Dữ liệu bản đồ được tổ chức theo dạng lưới tọa độ, chính là
một ma trận thể hiện thông tin địa hình hoặc vị trí. Ví dụ: Một bản đồ nhiệt độ
mặt đất biểu diễn dưới dạng ma trận cấp 10 × 10, trong đó mỗi ô chứa nhiệt độ
trung bình của vùng tương ứng.
• Mạng xã hội: Ma trận mô tả mối quan hệ giữa các người dùng, dùng trong việc
gợi ý bạn bè hoặc phân tích cộng đồng. Ví dụ: Nếu có 4 người dùng thì: ta có
thể dùng ma trận 4 × 4 với aij = 1 nếu người i là bạn với người j, ngược lại aij = 0.
• Khoa học dữ liệu: Dữ liệu khảo sát, điểm số học sinh hay thông tin y tế thường
được lưu dưới dạng bảng, tương ứng với ma trận. Ví dụ: Một lớp học có 30 học 5
GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A3
sinh, mỗi học sinh có điểm số ở 5 môn học. Toàn bộ dữ liệu điểm được lưu trong ma trận 30 × 5.
• Lập trình trò chơi: Bản đồ trong trò chơi 2D hoặc dữ liệu pixel được biểu diễn
bằng ma trận các giá trị đặc trưng (ví dụ: loại địa hình, vật thể). Ví dụ: Trong trò
chơi “rắn săn mồi”, bản đồ 20×20 được lưu dưới dạng ma trận, mỗi ô mang giá
trị đại diện cho thân rắn, mồi hoặc tường.
• Mô hình kinh tế: Mối quan hệ cung – cầu giữa các ngành trong nền kinh tế được
mô phỏng bằng ma trận đầu vào – đầu ra. Ví dụ: Ngành điện cần 0.2 đơn vị than,
0.1 đơn vị sắt để sản xuất 1 đơn vị điện. Dữ liệu này tạo thành một hàng trong
ma trận tiêu thụ nội bộ.
Như vậy, ma trận là công cụ biểu diễn thông tin có cấu trúc lưới và là nền tảng
quan trọng trong nhiều ứng dụng thực tiễn. 1.1.2.
Các phép toán trên ma trân a) Cộng hai ma trận
Phép cộng hai ma trận được thực hiện bằng cách cộng từng phần tử tương ứng.
Phép toán này chỉ thực hiện được khi hai ma trận có cùng cấp. Tổng của hai ma trận
là kết quả của phép cộng hai ma trận đó. Cụ thể, tổng của hai ma trận A = (aij)m×n
và B = (bij)m×n là ma trận C = (cij)m×n, ký hiệu C = A + B, được xác định bởi:
cij = aij + bij,
∀ i = 1, m, j = 1, n. Ví dụ 1.1.14.         1 2 5 6 1 + 5 2 + 6 6 8 + = =         . 3 4 7 8 3 + 7 4 + 8 10 12
Phép cộng hai ma trận thường được dùng để tổng hợp dữ liệu từ nhiều nguồn,
nhiều thời điểm, hoặc nhiều bộ phận. Dưới đây là một số tình huống minh họa: Ví dụ 1.1.15.
• Tổng hợp sản lượng sản xuất
Một phân xưởng có 2 tổ sản xuất 3 loại sản phẩm A, B, C trong hai ngày liên
tiếp. Sản lượng được ghi lại bằng:     100 80 60 95 85 65 A =   , B =   . 90 70 50 88 75 55
Tổng sản lượng sau hai ngày:   195 165 125 A + B =   . 178 145 105 6 1.1. MA TRẬN
• Tổng hợp tồn kho tại hai kho hàng
Hai kho hàng lưu trữ 3 mặt hàng (gạo, đường, sữa) tại 2 chi nhánh. Số lượng
hàng tồn (tính bằng tấn) được cho bởi:     20 15 18 22 18 20 M =   , N =   . 25 17 22 27 14 25
Tổng hàng tồn ở mỗi chi nhánh:   42 33 38 M + N = .   52 31 47
• Cộng lượng mưa tại hai trạm đo
Hai trạm khí tượng ghi nhận lượng mưa (mm) trong 3 ngày tại 3 địa điểm:     6 7 8 5 6 7     R     1 = 4 5 6 , R 6 4 5 .   2 =       3 2 1 2 3 2
Tổng lượng mưa đo được:   11 13 15   R   1 + R2 = 10 9 11 .     5 5 3
b) Nhân một số với ma trận
Phép nhân một số với ma trận được thực hiện bằng cách nhân số đó với từng
phần tử của ma trận. Tích của một số với ma trận là kết quả của phép nhân của số
với ma trận đó. Cụ thể, tích của một số thực λ với ma trận A = (aij)m×n là ma trận
C = (cij)m×n, ký hiệu C = λ.A hay C = λA, được xác định bởi: cij = λaij,
∀ i = 1, m, j = 1, n.
Đặc biệt, khi λ = −1, ta sẽ viết −A và gọi là ma trận đối của A. Từ đó ta có thể
định nghĩa phép trừ hai ma trận: Hiệu của hai ma trận A và B cùng cấp được xác định
là A − B = A + (−B). Ví dụ 1.1.16.       2 −1 4 · 2 4 · (−1) 8 −4 4. = = .       0 3 4 · 0 4 · 3 0 12       2 −1 2 −1 −2 1 − = (−1) =   .     . 0 3 0 3 0 −3 7
GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A3
Phép nhân một số với một ma trận thường được dùng để điều chỉnh tỷ lệ, tính
toán chi phí hoặc mô phỏng sự thay đổi đồng đều. Dưới đây là một tình huống minh họa:
Ví dụ 1.1.17. Một cửa hàng bán 3 loại mặt hàng: áo, quần, giày tại 2 chi nhánh. Giá
gốc (nghìn đồng) được lưu trữ trong ma trận   250 300 400 G =   , 260 320 420
trong đó mỗi hàng là một chi nhánh, mỗi cột là một mặt hàng. Cửa hàng quyết định
tăng giá 10% để bù lạm phát. Khi đó, giá mới là   275 330 440 1.1 · G =   . 286 352 462 c) Nhân hai ma trận
Phép nhân hai ma trận được thực hiện bằng cách lấy các phần tử của từng hàng
(thuộc ma trận thứ nhất) nhân tương ứng với các phần tử của từng cột (thuộc ma trận
thứ hai) rồi cộng các tích đó lại. Phép toán này chỉ thực hiện được khi số cột của ma trận
thứ nhất bằng số hàng của ma trận thứ hai. Cụ thể, tích của hai ma trận A = (aij)m×n
và B = (bjk)n×p là một ma trận C = (cik)m×p, ký hiệu C = A.B hoặc C = AB, được xác định bởi: n c X ik = aijbjk,
∀ i = 1, m; k = 1, p. j=1
Ví dụ 1.1.18. Cho hai ma trận:   2 1   1 0 2 1       0 1 A =   −1 1 0 3  , B =   .       −1 0 0 2 1 −2     1 −1
Vì ma trận A có kích thước 3 × 4, ma trận B có kích thước 4 × 2 nên tích AB
xác định và là ma trận 3 × 2:   2 1       1 0 2 1   2 + 0 − 2 + 1 1 + 0 + 0 − 1 1 0     0 1       −1 1 0 3        =
−2 + 0 + 0 + 3 −1 + 1 + 0 − 3 = 1 −3 .           −1 0     0 2 1 −2     0 + 0 − 1 − 2 0 + 2 + 0 + 2 −3 4 1 −1 8 1.1. MA TRẬN
Lưu ý 1.1.19. Ngay cả khi tích AB và BA đều xác định, ta không thể kết luận
rằng AB = BA. Ví dụ, xét hai ma trận:     1 0 0 1 A =   , B =   . 0 0 0 0 Khi đó:     0 1 0 0 AB = 6= =     BA. 0 0 0 0
Trong ví dụ trên, mặc dù A 6= O và B 6= O, ta thấy rằng BA = O. Điều này
cho thấy rằng, nếu AB = O thì không nhất thiết suy ra A = O hoặc B = O.
Phép nhân ma trận thường được sử dụng trong các bài toán kết hợp thông tin giữa
các đại lượng khác nhau, chẳng hạn như sản lượng, đơn giá, hệ số ảnh hưởng,... Sau
đây là các tình huống minh họa: Ví dụ 1.1.20.
• Tính doanh thu từ sản lượng và đơn giá
Một nhà máy sản xuất 3 loại sản phẩm (A, B, C) tại 2 xưởng. Sản phẩm mỗi
ngày được biểu diễn bởi ma trận:   100 150 200 P = ,   120 130 180
trong đó mỗi hàng tương ứng với một xưởng, mỗi cột tương ứng với một sản
phẩm. Đơn giá từng sản phẩm (nghìn đồng) được cho bởi:   10   G = 12 .     15
Khi đó, doanh thu tại mỗi xưởng được biểu diễn bởi ma trận:      
100 · 10 + 150 · 12 + 200 · 15 1000 + 1800 + 3000 5800 P ·G = = = .      
120 · 10 + 130 · 12 + 180 · 15 1200 + 1560 + 2700 5460
• Lập ngân sách chi tiêu theo phòng ban
Một công ty có 3 phòng ban: Hành chính, Kỹ thuật, Kinh doanh. Mỗi phòng dự
kiến chi tiêu cho 4 hạng mục: điện, nước, văn phòng phẩm và bảo trì. Dự toán
(triệu đồng) được lưu trong ma trận   5 2 1 3  
B = 6 3 2 4 ,     4 1 1 2 9
GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A3
trong đó mỗi hàng tương ứng với một phòng ban, mỗi cột tương ứng với một
loại chi phí. Công ty phân loại chi tiêu thành hai nhóm:
- Chi thường xuyên: điện, nước, văn phòng phẩm.
- Chi không thường xuyên: bảo trì.
Ma trận tỷ lệ phân bổ cho hai nhóm chi phí như sau:   0.7 0.3   0.6 0.4 T =     , 0.5 0.5     0.8 0.2
trong đó mỗi hàng tương ứng với một loại chi phí, mỗi cột ứng với một nhóm
chi tiêu. Khi đó, ta tính ngân sách theo từng nhóm bằng cách nhân hai ma trận:   0.7 0.3     5 2 1 3   7.6 3.4     0.6 0.4   B · T =   6 3 2 4 ·     =
10.2 4.8 .         0.5 0.5   4 1 1 2     5.5 2.5 0.8 0.2 Kết luận:
– Phòng Hành chính cần chi: 7.6 triệu cho chi thường xuyên, 3.4 triệu cho chi không thường xuyên.
– Phòng Kỹ thuật: 10.2 triệu cho chi thường xuyên và 4.8 triệu cho chi không thường xuyên.
– Phòng Kinh doanh: 5.5 triệu cho chi thường xuyên và 2.5 triệu cho chi không thường xuyên.
• Tính tổng điện năng tiêu thụ trong các phòng
Một tòa nhà có 2 phòng, mỗi phòng sử dụng 3 loại thiết bị: đèn, quạt, máy lạnh.
Số lượng thiết bị mỗi loại trong từng phòng được ghi lại trong ma trận:   4 2 1 A = .   3 3 2
Công suất tiêu thụ điện trung bình của từng thiết bị (tính theo đơn vị kWh mỗi
giờ sử dụng) trong hai chế độ ban ngày và ban đêm được cho bởi ma trận:   0.06 0.07  
B = 0.09 0.10 .     1.50 1.40
Khi đó, tổng mức tiêu thụ điện năng theo từng chế độ ở mỗi phòng là:  
4 · 0.06 + 2 · 0.09 + 1 · 1.50 4 · 0.07 + 2 · 0.10 + 1 · 1.40 A · B =  
3 · 0.06 + 3 · 0.09 + 2 · 1.50 3 · 0.07 + 3 · 0.10 + 2 · 1.40 10

Tài liệu liên quan: