Giáo trình Toán cao cấp | Học viện Nông nghiệp Việt Nam
Giáo trình Toán cao cấp | Học viện Nông nghiệp Việt Nam. Tài liệu được sưu tầm giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao. Mời bạn đọc đón xem.
Môn: Toán cao cấp (TCC2023) 4 tài liệu
Trường: Học viện Nông nghiệp Việt Nam 2.4 K tài liệu
Tác giả:
Preview text:
Nguyễn Sơn Hồng Hạnh – Quách Văn Chương Toán T cao cấp Đồng Nai – 2023 Mục lục Chương 1
Ma trận và định thức. Hệ phương trình tuyến tính 5 1.1
Ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.1
Khái niệm ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.2
Các ma trận đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.3
Các phép toán trên ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2
Các phép biến đổi sơ cấp trên hàng. Ma trận bậc thang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.1
Các phép biến đổi sơ cấp trên hàng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.2
Ma trận bậc thang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3
Định thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3.1
Định thức cấp 1, 2, 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3.2
Phương pháp tính định thức bằng khai triển Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3.3
Các tính chất của định thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3.4
Phương pháp tính định thức bằng các phép biến đổi sơ cấp trên hàng . . . . . . . . . . . 17 1.4
Ma trận đảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.4.1
Khái niệm và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.4.2
Phương pháp tìm ma trận đảo bằng các phép biến đổi sơ cấp trên hàng . . . . . . . . . . 19 1.4.3
Phương pháp tìm ma trận đảo bằng định thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.4.4
Giải phương trình ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.5
Hạng của ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.5.1
Phương pháp tìm hạng ma trận bằng các phép biến đổi sơ cấp trên hàng . . . . . . . . . . 25 1.6
Hệ phương trình tuyến tính tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.6.1
Điều kiện tồn tại nghiệm của hệ phương trình tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.6.2
Phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.7
Hệ Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.7.1
Phương pháp giải hệ Cramer bằng ma trận đảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.7.2
Phương pháp giải hệ Cramer bằng định thức
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.8
Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.9
Bài tập Chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Chương 2
Phép tính vi phân của hàm hai biến 39 2.1 Giới hạn của dãy trong 2 R
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.1.1 Không gian 2 R
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.1.2 Khoảng cách trong 2 R
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.1.3
Hình tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.1.4
Vị trí tương đối của một phần tử với một tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.1.5
Tập mở, tập đóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.1.6
Tập bị chặn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.1.7 Giới hạn của dãy trong 2 R
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.2
Giới hạn của hàm hai biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.2.1
Hàm hai biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.2.2
Đồ thị của hàm hai biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.2.3
Giới hạn của hàm hai biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.2.4
Giới hạn mở rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.2.5
Giới hạn kép – Giới hạn lặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2 Toán cao cấp – 12/2023 2.3
Hàm hai biến liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.4
Đạo hàm riêng của hàm hai biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.4.1
Đạo hàm riêng của hàm hai biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.4.2
Đạo hàm riêng cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.5
Vi phân toàn phần của hàm hai biến
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.5.1
Vi phân của hàm một biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.5.2
Vi phân của hàm hai biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.6
Cực trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.6.1
Khái niệm cực trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.6.2
Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.6.3
Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.7
Hàm ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.8
Cực trị có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.8.1
Khái niệm cực trị có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.8.2
Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị có điều kiện
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.8.3
Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.9
Bài tập Chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 Chương 3 Phương trình vi phân 63 3.1
Phương trình vi phân cấp 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.1.1
Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.1.2
Phương trình Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.1.3
Phương trình vi phân toàn phần
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.2
Phương trình vi phân cấp 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.2.1
Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 với hệ số hằng
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
ThS. Nguyễn Sơn Hồng Hạnh – ThS. Quách Văn Chương 3 Toán cao cấp – 12/2023
ThS. Nguyễn Sơn Hồng Hạnh – ThS. Quách Văn Chương 4 Chương 1
Ma trận và định thức. Hệ phương trình tuyến tính 1.1 Ma trận 1.1.1 Khái niệm ma trận
Trong đời sống hàng ngày, chúng ta thường gặp những bảng số liệu được sắp xếp theo hàng và cột.
Ví dụ, một bảng điểm của lớp học có các hàng là sinh viên và các cột là môn học; một bảng thống kê
dân số có các hàng là các tỉnh thành và các cột là các năm điều tra. Việc sắp xếp dữ liệu như vậy giúp
ta dễ quan sát, so sánh và xử lý. Tương tự trong Toán học, khi giải hệ phương trình nhiều ẩn, ta cũng
cần ghi lại các hệ số theo một cấu trúc có trật tự. Chính từ nhu cầu đó, khái niệm ma trận ra đời – một
bảng chữ nhật gồm các phần tử (thường là số), đóng vai trò vừa là cách lưu trữ thông tin, vừa là công
cụ mạnh mẽ để mô tả và nghiên cứu các hiện tượng toán học và thực tế.
Định nghĩa 1.1.1. Một bảng hình chữ nhật gồm m × n phần tử (số thực) lập thành m hàng và n cột
được gọi là một ma trận cấp m × n a 11 a12 · · · a1n a 21 a22 · · · a2n A = . . . . = [aij ]m×n, .. .. .. .. am1 am2 · · · amn
trong đó aij là phần tử ở hàng i và cột j. Ví dụ 1.1.2. Xét ma trận " # 1 2 9 A = . 4 6 7
Ta có A là ma trận cấp 2 × 3, a21 = 4, a13 = 9. 1.1.2 Các ma trận đặc biệt Ma trận không
Định nghĩa 1.1.3. Ma trận không là ma trận có tất cả các phần tử bằng 0. 5 Toán cao cấp – 12/2023 Ví dụ 1.1.4. " # 0 0 0 O2×3 = , 0 0 0 " # 0 O2×1 = , 0 Ma trận hàng
Định nghĩa 1.1.5. Ma trận hàng là ma trận chỉ có một hàng h i Ví dụ 1.1.6. A1×5 = 1 3 2 5 4 . Ma trận cột
Định nghĩa 1.1.7. Ma trận cột là ma trận chỉ có một cột 1 Ví dụ 1.1.8. B 3×1 = 3 . 5 Ma trận vuông
Định nghĩa 1.1.9. Ma trận vuông là ma trận có số hàng và số cột bằng nhau a 11 a12 · · · a1n a 21 a22 · · · a2n A = . . . . .. .. . . .. an1 an2 · · · ann
Ma trận cấp n × n được gọi là ma trận vuông cấp n. Ví dụ 1.1.10. " # 1 2 A = 4 6 là ma trận vuông cấp 2, 1 2 0 B = 4 6 −3 1 3 5 là ma trận vuông cấp 3. Ma trận tam giác
Định nghĩa 1.1.11. Cho A = [aij]n×n là ma trận vuông cấp n. Đường thẳng đi qua các phần tử
a11, a22, ..., ann được gọi là đường chéo chính của A.
Định nghĩa 1.1.12. Ma trận vuông A được gọi là ma trận tam giác trên nếu các phần tử nằm phía
dưới đường chéo chính đều bằng 0. Ví dụ 1.1.13. 1 2 3 A = 0 4 2 0 0 8
ThS. Nguyễn Sơn Hồng Hạnh – ThS. Quách Văn Chương 6 Toán cao cấp – 12/2023 là ma trận tam giác trên, 1 2 7 B = 0 4 2 4 0 8
không phải là ma trận tam giác trên.
Định nghĩa 1.1.14. Ma trận vuông A được gọi là ma trận tam giác dưới nếu các phần tử nằm phía
trên đường chéo chính đều bằng 0. Ví dụ 1.1.15. 1 0 0 C = 3 0 0 0 1 8
là ma trận tam giác dưới. Ma trận đơn vị
Định nghĩa 1.1.16. Ma trận đơn vị là ma trận vuông có các phần tử nằm trên đường chéo chính bằng
1 và các phần tử còn lại bằng 0. Ma trận đơn vị cấp n được kí hiệu là In. Ví dụ 1.1.17. " # 1 0 0 1 0 I 2 = , I3 = 0 1 0 . 0 1 0 0 1 Hai ma trận bằng nhau
Định nghĩa 1.1.18. Hai ma trận được gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng cấp và các phần tử tương ứng bằng nhau.
Ví dụ 1.1.19. Cho hai ma trận " # " # x + 2y x − y 3 0 A = , B = . z − 2t z + t 0 3 Tìm x, y, z, t sao cho A = B. Ma trận chuyển vị
Định nghĩa 1.1.20. Ma trận chuyển vị của ma trận A là ma trận nhận được từ ma trận A bằng cách
chuyển hàng thành cột, kí hiệu là At. Ví dụ 1.1.21. Cho ma trận " # 1 2 7 A = . 0 4 2 Khi ấy, 1 0 At = 2 4 . 7 2 t Nhận xét 1.1.22. (At) = A.
ThS. Nguyễn Sơn Hồng Hạnh – ThS. Quách Văn Chương 7 Toán cao cấp – 12/2023 1.1.3
Các phép toán trên ma trận Phép cộng hai ma trận
Định nghĩa 1.1.23. Giả sử A và B là hai ma trận cùng cấp. Ma trận tổng của A và B, được kí hiệu là
A + B, là ma trận có cùng cấp với A, B và mỗi phần tử của ma trận tổng bằng tổng các phần tử tương ứng của A và B. Ví dụ 1.1.24. Cho " # " # 2 3 −1 4 1 −3 2 −2 A = , B = . 5 1 3 −2 −1 4 1 3 Khi đó " # " # 2 + 1 3 + (−3) −1 + 2 4 + (−2) 3 0 1 2 A + B = = . 5 + (−1) 1 + 4 3 + 1 −2 + 3 4 5 4 1 Phép trừ hai ma trận
Định nghĩa 1.1.25. Giả sử A và B là hai ma trận cùng cấp. Ma trận hiệu của A và B, được kí hiệu là
A − B, là ma trận có cùng cấp với A, B và mỗi phần tử của ma trận hiệu bằng hiệu các phần tử tương ứng của A và B. Ví dụ 1.1.26. Cho " # " # 4 7 2 1 4 −3 A = , B = . 3 −1 5 2 0 6 Khi đó " # " # 4 − 1 7 − 4 2 − (−3) 3 3 5 A − B = = . 3 − 2 −1 − 0 5 − 6 1 −1 −1
Phép nhân một số với ma trận
Định nghĩa 1.1.27. Tích của số thực α và ma trận A là ma trận có cùng cấp với A và mỗi phần tử của
ma trận tích bằng α nhân với phần tử tương ứng của A, kí hiệu là αA. Ví dụ 1.1.28. Cho " # 2 −1 3 A = . 4 0 5 Khi đó " # " # 2 · 2 2(−1) 2 · 3 4 −2 6 2A = = . 2 · 4 2 · 0 2 · 5 8 0 10 Chú ý 1.1.29.
1) Tích (−1)A được viết là −A, nghĩa là −A = (−1)A. Hơn nữa, −A được gọi là ma trận đối của ma trận A. 2) A − B = A + (−B). Phép nhân hai ma trận
Định nghĩa 1.1.30. Nếu A = [aij]m×n và B = [bjk]n×p thì tích AB là ma trận C = [cik]m×p được xác định bởi
cik = ai1b1k + ai2b2k + · · · ainbnk, (1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ k ≤ p)
ThS. Nguyễn Sơn Hồng Hạnh – ThS. Quách Văn Chương 8 Toán cao cấp – 12/2023 a c 11 a12 · · · a1n 11 c12 · · · c1k · · · c1p a c 21 a22 · · · a2n b 21 c22 · · · c2k · · · c2p 11 b12 · · · b1k · · · b1p . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. b . . . . . . 21 b22 · · · b2k · · · b2p . . . . . . = . . . . . a . . . . . . . . . . . i1 ai2 · · · ain . . . . . . . . . c . . ik . . . . . . . . . . .. .. .. .. bn1 bn2 · · · bnk · · · bnp . . . . . . . . . . . . am1 am2 · · · amn cm1 cm2 · · · cmk · · · cmp Nhận xét 1.1.31.
1) A chỉ nhân được với B nếu số cột của A bằng số hàng của B.
2) Nhìn chung AB ̸= BA (phép nhân hai ma trận không có tính giao hoán). Thậm chí, có trường hợp
AB xác định nhưng BA không xác định. Ví dụ 1.1.32. 1) 1 2 " # 7 8 A = 3 4 , B = 9 10 5 6 2×2 3×2 Ta có 1 2 " # 1 · 7 + 2 · 9 1 · 8 + 2 · 10 25 28 7 8 AB = 3 4 = 3 · 7 + 4 · 9 3 · 8 + 4 · 10 = 57 64 9 10 5 6 5 · 7 + 6 · 9 5 · 8 + 6 · 10 89 100 3×2
Trong khi đó, BA không xác định vì B có 2 cột nhưng A có 3 hàng. 2) Cho " # " # 1 2 2 0 A = , B = . 0 1 1 3 Ta có " # " # 1 · 2 + 2 · 1 1 · 0 + 2 · 3 4 6 AB = = , 0 · 2 + 1 · 1 0 · 0 + 1 · 3 1 3 nhưng " # " # 2 · 1 + 0 · 0 2 · 2 + 0 · 1 2 4 BA = = . 1 · 1 + 3 · 0 1 · 2 + 3 · 1 1 5 Vậy, AB ̸= BA.
Tính chất 1.1.33. Giả sử A, B, C là các ma trận với cấp phù hợp để phép nhân được xác định và α ∈ R. Khi đó,
1) Tính chất kết hợp: (AB)C = A(BC), (αA)B = A(αB) = α(AB).
2) Tính chất phân phối với phép cộng: A(B + C) = AB + AC, (A + B)C = AC + BC.
3) AI = IA = A, với I là ma trận đơn vị. 4) (AB)t = BtAt. Ví dụ 1.1.34. Cho ma trận " # 1 2 A = . 3 −1 Tính A2024.
ThS. Nguyễn Sơn Hồng Hạnh – ThS. Quách Văn Chương 9 Toán cao cấp – 12/2023 Giải. Ta có " # " # " # 1 2 1 2 7 0 A2 = A · A = = = 7I. 3 −1 3 −1 0 7 Khi đó, " # 71012 0
A2024 = (A2)1012 = (7I)1012 = 71012I = . 0 71012
Ví dụ 1.1.35. Cho các ma trận " # " # 1 2 5 6 A = , B = . 3 4 7 8
Tìm ma trận X sao cho AX = B.
Giải. Vì A, B là các ma trận vuông cấp 2 nên X cũng là ma trận vuông cấp 2. Đặt " # a b X = . c d Ta có " # " # " # 1 2 a b a + 2c b + 2d AX = = . 3 4 c d 3a + 4c 3b + 4d
Khi đó, phương trình AX = B dẫn đến hệ a + 2c = 5 b + 2d = 6 3a + 4c = 7 3b + 4d = 8
Giải hệ trên ta thu được a = −3, b = −4, c = 4, d = 5. Vậy, " # −3 −4 X = . 4 5 Ví dụ 1.1.36. Cho ma trận " # 1 2 A = . 3 4
Tìm tất cả ma trận X sao cho AX = XA.
Giải. Vì A là ma trận vuông cấp 2 nên X cũng là ma trận vuông cấp 2. Đặt " # x y X = . z t Ta có " # " # " # 1 2 x y x + 2z y + 2t AX = = , 3 4 z t 3x + 4z 3y + 4t và " # " # " # x y 1 2 x + 3y 2x + 4y XA = = . z t 3 4 z + 3t 2z + 4t
Điều kiện AX = XA cho ta hệ phương trình: x + 2z = x + 3y, y + 2t = 2x + 4y, 3x + 4z = z + 3t, 3y + 4t = 2z + 4t.
ThS. Nguyễn Sơn Hồng Hạnh – ThS. Quách Văn Chương 10 Toán cao cấp – 12/2023
Giải hệ trên ta thu được x = t, y = z = 0. Vậy, " # x 0 X = = xI2, 0 x trong đó x ∈ R tùy ý.
ThS. Nguyễn Sơn Hồng Hạnh – ThS. Quách Văn Chương 11 Toán cao cấp – 12/2023 1.2
Các phép biến đổi sơ cấp trên hàng. Ma trận bậc thang
Khi giải hệ phương trình tuyến tính, ta thường dùng các phép biến đổi quen thuộc: đổi chỗ hai phương
trình, nhân cả phương trình với một hằng số khác 0, hoặc cộng thêm một bội của phương trình này vào
phương trình khác. Các phép biến đổi này cho phép chuyển sang hệ phương trình mới đơn giản hơn mà
vẫn tương đương với hệ phương trình ban đầu. Các phép biến đổi này được gọi là các phép biến đổi sơ cấp trên hàng. 1.2.1
Các phép biến đổi sơ cấp trên hàng
Cho A là ma trận cấp m × n. Kí hiệu hi là hàng thứ i của A. Có ba phép biến đổi sơ cấp trên hàng. Phép đổi chỗ hai hàng
Hai hàng i và j đổi chỗ cho nhau hi↔hj A −−−−→ B. 1 2 −1 3 3 4 0 5 h Ví dụ 1.2.1. 1 ↔h3 2 1 1 7 −−−−→ 2 1 1 7 3 4 0 5 1 2 −1 3
Nhân một hàng với một số khác 0
Nhân hàng i với số α ̸= 0. h A i →αhi −−−−−→ B. 1 2 −1 3 2 4 −2 6 h Ví dụ 1.2.2. 1 →2h1 2 1 1 7 −−−−−→ 2 1 1 7 3 4 0 5 3 4 0 5
Cộng vào một hàng bởi một hàng khác đã nhân với một số
Cộng vào hàng i bởi hàng j đã nhân với số α hi→αhj +hi A − −−−−−−−→ B. 1 2 −1 3 1 2 −1 3 h Ví dụ 1.2.3. 2 →−2h1 +h2 2 1 1
7 −−−−−−−−−→ 0 −3 3 1 3 4 0 5 3 4 0 5
Định nghĩa 1.2.4. Nếu qua một số phép biến đổi sơ cấp trên hàng, ma trận A biến thành ma trận B
thì ta nói hai ma trận A và B tương đương. Kí hiệu A ∼ B. 1.2.2 Ma trận bậc thang
Định nghĩa 1.2.5. Một ma trận khác 0 được gọi là ma trận bậc thang nếu thỏa hai điều kiện sau:
1) Các hàng khác 0 phải nằm trên các hàng bằng 0 (nếu có).
2) Gọi phần tử được đánh dấu của một hàng là phần tử đầu tiên của hàng đó khác 0. Với hai hàng khác
0, phần tử được đánh dấu của hàng phía dưới luôn nằm về bên phải cột chứa phần tử được đánh dấu của hàng phía trên.
ThS. Nguyễn Sơn Hồng Hạnh – ThS. Quách Văn Chương 12 Toán cao cấp – 12/2023
Nhận xét 1.2.6. Trên cùng một cột trong ma trận bậc thang, các phần tử nằm phía dưới phần tử được đánh dấu phải bằng 0. Ví dụ 1.2.7. Ma trận 1∗ 2 −1 3 0 3∗ 4 −2 . 0 0 0 5∗ là ma trận bậc thang. Ma trận 0 1∗ 2 3 2∗ 0 −1 4 0 0 3∗ 5
không là ma trận bậc thang vì phần tử được đánh dấu của hàng 2 không nằm bên phải cột chứa phần
tử được đánh dấu của hàng 1.
Ví dụ 1.2.8. Trong các ma trận dưới đây ma trận nào là bậc thang? 1 2 −1 1 0 1 0 1 4 −2 1 0 2 2 −1 0 4 A = 0 3 5 , B = 0 0 0 , C = 0 0 2 3 , D = 0 1 −1 , E = 0 0 5 1 . 0 0 2 0 2 3 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 7
Định lý 1.2.9. Mọi ma trận khác 0 đều có thể đưa về dạng bậc thang bằng các phép biến đổi sơ cấp trên hàng. Ví dụ 1.2.10. Cho ma trận 1 2 −1 3 A = 2 1 1 7 . 3 4 0 5
Hãy biến đổi A về dạng bậc thang. Giải. 1∗ 2 −1 3 1∗ 2 −1 3 1∗ 2 −1 3 h h h 2 →−2h1 +h2 2 →− 1 3 2 2 1 1
7 −−−−−−−−−→ 0 −3∗ 3
1 −−−−−−−→ 0 1∗ −1 − 1 h 3 3 →−3h1 +h3 3 4 0 5 0 −2 3 −4 0 −2 3 −4 1∗ 2 −1 3 h3→2h2+h3 − −−−−−−−− → 0 1∗ −1 − 1 . 3 0 0 1∗ − 14 3 Ví dụ 1.2.11. Cho ma trận 0 2 1 −1 A = 1 −1 2 3 . 2 1 3 4
Hãy biến đổi A về dạng bậc thang. Giải. 0 2∗ 1 −1 1∗ −1 2 3 1∗ −1 2 3 h1↔h2 h3→−2h1+h3 1∗ −1 2 3 −−−−−→ 0 2∗ 1
−1 −−−−−−−−−→ 0 2∗ 1 −1 2 1 3 4 2 1 3 4 0 3 −1 −2 1∗ −1 2 3 1∗ −1 2 3 h2→ 1 h 2 2 h −−−−−−→ 3 →−3h2 +h3 0 1∗ 1
− 1 −−−−−−−−−→ 0 1∗ 1 − 1 . 2 2 2 2 ∗ 0 3 −1 −2 0 0 − 5 − 1 2 2
ThS. Nguyễn Sơn Hồng Hạnh – ThS. Quách Văn Chương 13 Toán cao cấp – 12/2023 1.3 Định thức
Cho A = [aij]n×n là ma trận vuông cấp n. Định thức của A là một số thực, được kí hiệu là detA hoặc |A|. 1.3.1 Định thức cấp 1, 2, 3
Với n = 1, nếu A = [a11] thì |A| = a11. " # a11 a12 Với n = 2, nếu A = thì |A| = a11a22 − a12a21. a21 a22 Ví dụ 1.3.1. Cho ma trận " # 1 2 A = . 3 4 Ta có
|A| = 1 · 4 − 2 · 3 = −2. a 11 a12 a13 Với n = 3, nếu A = a 21 a22 a23 thì a31 a32 a33
|A| = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − (a13a22a31 + a11a23a32 + a12a21a33) .
Chú ý 1.3.2. Ta thường sử dụng quy tắc Sarrus để tính định thức của ma trận cấp 3 như sau: Viết
thêm hai cột đầu của ma trận A bên cạnh cột cuối. Khi đó
|A| = (tổng các đường chéo chính) − (tổng các đường chéo phụ). Ví dụ 1.3.3. Cho ma trận 1 2 3 A = 4 5 6 . 7 8 9 Theo quy tắc Sarrus,
|A| = (1 · 5 · 9 + 2 · 6 · 7 + 3 · 4 · 8) − (7 · 5 · 3 + 8 · 6 · 1 + 9 · 4 · 2) = 0. 1.3.2
Phương pháp tính định thức bằng khai triển Laplace
Định nghĩa 1.3.4. Cho A = [aij]n×n là ma trận vuông cấp n. Phần bù đại số của aij, kí hiệu là Aij, là
một số thực được xác định bởi Aij = (−1)i+j|Mij|, trong đó Mij là ma trận nhận được từ A bằng cách
bỏ đi hàng và cột chứa aij.
ThS. Nguyễn Sơn Hồng Hạnh – ThS. Quách Văn Chương 14 Toán cao cấp – 12/2023 Ví dụ 1.3.5. Cho a 11 a12 a13 A = a 21 a22 a23 . a31 a32 a33 Ta có a22 a23 a21 a23 a21 a22 A 11 = , A12 = − , A13 = , a a a 32 a33 31 a33 31 a32 a12 a13 a11 a13 a11 a12 A 21 = − , A22 = , A23 = − , a a a 32 a33 31 a33 31 a32 a12 a13 a11 a13 a11 a12 A 31 = , A32 = − , A33 = . a a a 22 a23 21 a23 21 a22
Giả sử A là ma trận vuông cấp n, a11 a12 · · · a1n . a . .. .. .. 11 · · · a1j · · · a1n . . . . a 21 · · · a2j · · · a2n A = [a ij ]n×n = ai1 ai2 · · · ain = . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . . . an1 · · · anj · · · ann an1 an2 · · · ann
Khi đó, ta có thể tính |A| bằng cách khai triển theo hàng i
|A| = ai1Ai1 + ai2Ai2 + · · · + ainAin,
hoặc khai triển theo cột j
|A| = a1jA1j + a2jA2j + · · · + anjAnj.
Phương pháp tính định thức như trên được gọi là phương pháp khai triển Laplace. Ví dụ 1.3.6. Cho ma trận 1 2 3 A = 4 5 6 . 7 8 9
Ta khai triển định thức theo hàng 1: 5 6 4 6 4 5 |A| = 1 − 2 + 3 8 9 7 9 7 8
= 1(5 · 9 − 6 · 8) − 2(4 · 9 − 6 · 7) + 3(4 · 8 − 5 · 7) = 0
Nếu khai triển định thức theo hàng 3, ta có 2 3 1 3 1 2 |A| = 7 − 8 + 9 5 6 4 6 4 5
= 7(2 · 6 − 3 · 5) − 8(1 · 6 − 3 · 4) + 9(1 · 5 − 2 · 4) = 0.
Nếu khai triển định thức theo cột 2, ta có 4 6 1 3 1 3 |A| = −2 + 5 − 8 7 9 7 9 4 6
= −2(4 · 9 − 6 · 7) + 5(1 · 9 − 3 · 7) − 8(1 · 6 − 3 · 4) = 0.
Nhận xét 1.3.7. Giá trị của định thức không phụ thuộc vào việc chọn hàng hay cột để khai triển.
ThS. Nguyễn Sơn Hồng Hạnh – ThS. Quách Văn Chương 15 Toán cao cấp – 12/2023 Ví dụ 1.3.8. Cho 1 0 2 0 0 3 0 4 A = . 0 0 5 0 6 0 0 7
Vì giá trị của định thức không phụ thuộc vào việc chọn hàng hay cột để khai triển nên ta sẽ lựa chọn
khai khiển theo hàng hay cột nào càng nhiều số 0 càng tốt. Ta khai triển theo cột 2 (vì chỉ a22 = 3 ̸= 0): 1 2 0 |A| = 3A 22 = 3 0 5 0 . 6 0 7
Khai triển tiếp theo cột 3 của định thức 1 2 0 1 2 0 5 0 = 7 = 7(1 · 5 − 2 · 0) = 35. 0 5 6 0 7 Do đó |A| = 3 · 35 = 105. 1.3.3
Các tính chất của định thức Tính chất 1.3.9. 1) |In| = 1.
2) Chuyển vị ma trận vuông thì định thức không đổi: |At| = |A|.
3) Định thức của một ma trận tam giác trên (hoặc tam giác dưới) bằng tích các phần tử nằm trên đường 1 2 5 chéo chính. Ví dụ: 0 2 7 = 1 · 2 · 3 = 6. 0 0 3
4) Nếu đổi chỗ hai hàng (cột) thì định thức đổi dấu. 2 1 5 1 2 5 Ví dụ: 2 0 7 = − 0 2 7 = −6. 0 0 3 0 0 3 u
5) Một định thức có một hàng (cột) nào đó có các phần tử đều bằng 0 thì định thức đó bằng 0. 2 1 5 Ví dụ: 2 0 7 = 0. 0 0 0
6) Một định thức có hai hàng (cột) tỉ lệ thì định thức đó bằng 0. Đặc biệt, một định thức có hai hàng
(cột) bằng nhau thì định thức đó bằng 0. 2 1 5 Ví dụ: 4 2
10 = 0 vì có hàng 1 và hàng 2 tỉ lệ. 1 4 7
7) Nếu các phần tử trên một hàng (cột) có một thừa số chung thì ta có thể đem thừa số chung đó ra ngoài định thức. . . . . . . · · · · · · αa1 · · · a1 · · · . . . . . . . . · · · . . . · · · . · · · · · · αa2 · · · a2 · · · αa = α a , . . . = α . . . 1 αa2 · · · αan 1 a2 · · · an . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. · · · .. . . .. · · · .. · · · αan · · · · · · an · · ·
ThS. Nguyễn Sơn Hồng Hạnh – ThS. Quách Văn Chương 16 Toán cao cấp – 12/2023 3 1 2 3 1 2 3 1 2 Ví dụ: 4 2 10 = 2 · 2 2 · 1 2 · 5 = 2 2 1 5. 1 3 5 1 3 5 1 3 5 8) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . · · · . . . · · · . . . · · · . a = a + b , 1 + b1 a2 + b2 · · · an + bn 1 a2 · · · an 1 b2 · · · bn . . . . . . . . . .. .. · · · .. . . .. · · · .. .. .. · · · .. · · · · · · · · · a1 + b1 · · · a1 · · · b1 · · · · · · a 2 + b2 · · · · · · a2 · · · · · · b2 · · · . . . = . . . + . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. · · · an + bn · · · · · · an · · · · · · bn · · ·
9) Giá trị của định thức không đổi nếu ta cộng vào một hàng (cột) bằng một hàng (cột) khác đã nhân với một số tùy ý.
10) Cho A và B là hai ma trận vuông cùng cấp. Khi đó, |AB| = |A||B|.
11) Cho A là ma trận vuông cấp n và α ∈ R. Khi đó, |αA| = αn|A|. 1.3.4
Phương pháp tính định thức bằng các phép biến đổi sơ cấp trên hàng
Cách tính định thức bằng khai triển Laplace thường không hiệu quả khi gặp ma trận kích thước lớn.
Một phương pháp hiệu quả hơn là sử dụng các phép biến đổi sơ cấp trên hàng để đưa ma trận về dạng
tam giác (trên hoặc dưới), sau đó sử dụng tính chất của định thức. Ví dụ 1.3.10. Cho ma trận 2 1 3 A = 1 0 2 . 3 4 1 Hãy tính |A|. Giải. 2 1 3 2 1 3 2 1 3 h h 1 2 →− 1 2 1 +h2 1 h3→5h2+h3 1 1 0 2 =========== 0 − 1 ========== 0 − 1 = 2 · − · (−1) = 1. 2 2 2 2 h 2 3 →− 3 h 2 1 +h3 3 4 1 0 5 − 7 0 0 −1 2 2 Ví dụ 1.3.11. Cho ma trận 1 2 0 3 2 1 1 4 A = . 3 0 2 1 0 1 3 2 Tính |A|.
ThS. Nguyễn Sơn Hồng Hạnh – ThS. Quách Văn Chương 17 Toán cao cấp – 12/2023 Giải. 1∗ 2 0 3 1 2 0 3 1∗ 2 0 3 2 1 1 4 0 −3 1 −2 0 1∗ 3 2 h2→−2h1+h2 h2↔h4 = ========= = = ===== − 3 0 2 1 h3→−3h1+h3 0 −6 2 −8 0 −6 2 −8 0 1 3 2 0 1 3 2 0 −3 1 −2 1∗ 2 0 3 1∗ 2 0 3 0 1∗ 3 2 0 1∗ 3 2 h h h 4 →3h2 +h4 4 →− 1 3 +h4 ========= − 2 = ========== − = −40. h3→6h2+h3 0 0 20∗ 4 0 0 20∗ 4 0 0 10 4 0 0 0 2∗
ThS. Nguyễn Sơn Hồng Hạnh – ThS. Quách Văn Chương 18 Toán cao cấp – 12/2023 1.4 Ma trận đảo 1.4.1 Khái niệm và tính chất
Định nghĩa 1.4.1. Ma trận vuông A được gọi là khả đảo nếu tồn tại ma trận vuông B cùng cấp sao cho AB = BA = I,
trong đó I là ma trận đơn vị cùng cấp với A và B. Khi đó, B được gọi là ma trận đảo của A và được kí hiệu là A−1.
Tính chất 1.4.2. Cho A và B là hai ma trận vuông cùng cấp và khả đảo, số thực α ̸= 0. Khi đó, 1) A−1−1 = A. 2) (At)−1 = (A−1)t. 3) (AB)−1 = B−1A−1. 4) (αA)−1 = α−1A−1. 5) |A−1| = |A|. 1.4.2
Phương pháp tìm ma trận đảo bằng các phép biến đổi sơ cấp trên hàng
Định lý 1.4.3 (Điều kiện để ma trận khả đảo). Ma trận vuông A là khả đảo khi và chỉ khi A ∼ I, trong
đó I là ma trận đơn vị cùng cấp với A.
Ta tìm ma trận đảo của ma trận A theo các bước:
Bước 1. Lập ma trận mở rộng [A|I].
Bước 2. Thực hiện phép biến đổi sơ cấp trên hàng để chuyển [A|I] thành [I|B].
Nếu đưa được về dạng [I|B] thì B = A−1.
Nếu không đưa được về dạng [I|B] (ma trận bên trái xuất hiện một hàng có các phần tử
đều bằng 0) thì A không khả đảo.
Ví dụ 1.4.4. Tìm ma trận đảo của " # 3 1 A = . 5 2 Giải. " # " # 3 1 1 0 1 h1→ 1 h1 1 1 0 [A|I] = 3 −−−−−→ 3 3 5 2 0 1 5 2 0 1 " 1 # " 1 # h 1 1 0 1 1 0 2 →−5h1 +h2 h −−−−−−−−−→ 3 3 2 →3h2 −−−−−→ 3 3 0 1 − 5 1 0 1 −5 3 3 3 " # h1→− 1 h 1 0 2 −1 3 2 +h1 −−−−−−−−−→ . 0 1 −5 3 Vậy " # 2 −1 A−1 = . −5 3
ThS. Nguyễn Sơn Hồng Hạnh – ThS. Quách Văn Chương 19 Toán cao cấp – 12/2023
Ví dụ 1.4.5. Tìm ma trận đảo của " # 2 1 A = . 3 4 Giải. " # " # " # 2 1 1 0 1 1 h1→ 1 h1 1 1 0 h 1 1 0 [A|I] = 2 −−−−−→ 2 2 2 →−3h1 +h2 −−−−−−−−−→ 2 2 3 4 0 1 3 4 0 1 0 5 − 3 1 2 2 " 1 # " # h − 1 2 → 2 h 1 1 0 h h 1 0 4 5 2 −−−−−→ 2 2 1 →− 1 2 2 +h1 −−−−−−−−−→ 5 5 . 0 1 − 3 2 0 1 − 3 2 5 5 5 5 Vậy " 4 # − 1 A−1 = 5 5 . − 3 2 5 5
Ví dụ 1.4.6. Tìm ma trận đảo của 1 1 1 A = 0 1 1 . 0 0 1 Giải. 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 h [A|I] = 2 →h2 −h3 0 1 1 0 1
0 −−−−−−−→ 0 1 0 0 1 −1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 −1 1 0 0 1 −1 0 h1→h1−h3 h −−−−−−−→ 1 →h1 −h2 0 1 0 0 1
−1 −−−−−−−→ 0 1 0 0 1 −1 . 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 Vậy 1 −1 0 A−1 = 0 1 −1 . 0 0 1
Ví dụ 1.4.7. Tìm ma trận đảo của 1 2 3 A = 0 1 4 . 2 0 1 Giải. 1 2 3 1 0 0 1 2 3 1 0 0 h [A|I] = 3 →−2h1 +h3 0 1 4 0 1
0 −−−−−−−−−→ 0 1 4 0 1 0 2 0 1 0 0 1 0 −4 −5 −2 0 1 1 2 3 1 0 0 1 2 3 1 0 0 h h h 3 →4h2 +h3 −−−−−−−−→ 3 → 1 11 3 0 1 4 0 1
0 −−−−−−→ 0 1 4 0 1 0 0 0 11 −2 4 1 0 0 1 − 2 4 1 11 11 11 1 2 3 1 0 0 1 2 0 17 − 12 − 3 11 11 11 h2→−4h3+h2 h −−−−−−−−−→ 1 →−3h3 +h1 0 1 0 8 7
− 4 −−−−−−−−−→ 0 1 0 8 7 − 4 11 11 11 11 11 11 0 0 1 − 2 4 1 0 0 1 − 2 4 1 11 11 11 11 11 11 1 0 0 1 − 26 5 11 11 11 h1→−2h2+h1
−−−−−−−−−→ 0 1 0 8 7 − 4 . 11 11 11 0 0 1 − 2 4 1 11 11 11
ThS. Nguyễn Sơn Hồng Hạnh – ThS. Quách Văn Chương 20
