Giáo trình Xác xuất thống kê - Tống Đình Quỳ

Giáo trình Xác xuất thống kê - Tống Đình Quỳ giúp sinh viên củng cố kiến thức và đạt điểm cao trong bài thi kết thúc học phần.

TNG ĐÌNH QU
GIÁO TRÌNH
C SUT
THỐNG KÊ
(Tái bán lần th năm)
NHÀ XUT BN BÁCH KHOA - HÀ NI
LI NÚI ĐU
Lý thuyết xác sut và thng kê toán hc mt ngành khoa hc
đang gi v trí quan trng trong các lĩnh vc ứng dng rng râi và
phong phú ca đi sng con người. Cùng với s phát trin mnh m
ca khoa hc và công ngh, nhu cu hiu biết và s dng các công
c ngu nhiên trong phân tích và x thông tin ngày càng tr nên
đc bit cn thiết. Các kiến thc pơng pháp ca xác sut và
thng kê đă h trhu hiu các nhà nghiên cứu trong nhiu lĩnh vc
khoa hc khác nhau như vt lý, hóa hc, sinh y hc, nông hc, kinh
tế hc, xã hi hc, ngôn ng hc...
Trong mt chc năm gn đây, giáo trình xác sut thông kê đã tr
thành cơ s ca nhiều ngành hc trong các trưng đi hc cao đng,
từ đó xut hiện nhu cu hc tp và nghn cu ng dng rt ln, nht
đôi vi sinh vn các ngành khoa hc không chuyên v toán. Đ tho
mãn yêu cu đó, giáo trình này c gng đáp ng đòi hỏi ca đông đo
sinh viên nhm hiểu biết u sc hơn các khái niệm và phương pháp
tính xác sut thông kê đ hc tp đt hiệu qu cao hơn cũng như
ng dng môn học vào ngành hc và môn hc khác.
Giáo trình xác suất thng kê đưc viết cho thi gian ging dy
là 60 tiết hc. Do đi ợng sinh viên rt đa dng với trình đ toán cơ
bn khác nhau, chúng tôi đã c gng m nhng cách tiếp cn đơn
gin và hợp lý, như vy đã buc phi bt đi phn nào s cht ch
hình thc (vn rt đc trưng cho toán hc) đ giúp bn đc tiếp cn
d dàng hơn bản cht xác sut ca các vn đ đt ra và tăng ng
k năng phân tích, x các tình hung, t đó dn dn hình thành
mt h thng khái nim khá đy đ đ đi sâu gii quyết các bài toán
ngày càng phc tp hơn.
Giáo trình đưc chia thành 6 chương gm 3 chương dành cho phn
xác sut 3 chương cho phn phân ch thng kê. Nhũmg khái niệm
công thức cơ bn đưc trình bày tương đi đơn giản, d hiểu và đưc
minh hoạ bằng nhiu thí dụ áp dng. Các chng minh khó đưc lưt bt
có chn lọc đ giáo trình không quá cng knh, mc vy các công
thức vn đề liên quan đều đưc nhc đến đy đ để tiện không ch
cho hc tp sâu hơn, còn có ích cho những bn đc mun tra cu,
m i phc v cho ng dụng tính toán thng kê. Cui mỗi chương có
mt lot bài tập dành đ bạn đc tự giải nhm hiu biết sâu sc hơn lý
thuyết và rèn luyn kỹ năng thực nh.
Hy vng rằng go trình ích cho bạn đc xa gần, các sinh viên,
cán bộ giảng dy các trưng đại hc cao đng, các cán bộ khoa
hc và kinh tế mun tự học tự nghn cu xác sut thng - môn
hc thưng đưc coi là khó tiếp thu. Tác giả cũng cám ơn mi ý kiến
góp ý đ quyn sách s ngày càng đưc hoàn thin hơn đ góp phn
nâng cao cht lưng dy học môn hc này.
Trong ln i bản này tại Nhà xut bản Bách Khoa - Nội, mt số
lỗi chế bản đã đưc sa cha. Tác giả mt lần na t li cm ơn đẽn
những ý kiến góp ý ca đông đo bạn đc đ ci tiến go trình trong
lần i bản tiếp theo.
TÁC GIẨ
Chương I
s KIN NGU NHIÊN VÀ PHÉP TÍNH XÂC SUT
m
§1.KHÁI NIM M ĐẦU
1.1. S kin ngẫu nhn
Khái nim thưng gặp trong lý thuyết xác sut s kin
(mà không th đnh nghĩa cht ch). S kin đưc hiu như
mt s c. một hin ng nào đó ca cuộc sông t nhiên
xã hi.
Khi thc hiện một tập hp điều kin xác định, nói tt b
điu kiện, gi mt phép th, có th có nhiu kt cc khác nhau.
Thí d 1.1. Gieo mt con xúc sc đng chât trên mt mt
phng (phép th). Phép th này có 6 kết cc là: xut hin mt
1, mt 2,..., mt 6 chm. Mỗi kết cc này cùng với các kết qu
phc tp hơn như: xut hin mt có sô" chm chn, mt có sô"
chm bội 3, đều có th coi các sự kin.
Như vy kết cc ca mt phép th là mt tòng hp riêng
ca sự kin. Đ cho tin lợi sau này, ta ký hiu s kin bng
c ch i in hoa A, c, ... Sự kin đưc gọi là tt yếu, nếu
chc chn xy ra, và đưc gọi bt kh. nếu nó không th
xy ra khi thực hin phép th. Còn nếu sự kin có th xy ra
hoc không s đưc gi là s kin ngu nhiên. Tđó, theo mt
nghĩa nào đó, có th coi các sự kin tâ't yếu, ký hiu là ư, và
bât kh, hiu là V, như c trưng hp riêng ca s kin
ngu nhiên. Thí dụ, dưói nhng điu kin xác đnh, ốc đóng
báng 0'^C sự kin tt yếu; khi gieo mt con xúc xắc, vic
xuât hin mt bv chà"m là sự kin bt kh...
5
Đ mô t mt phép th người ta xác đnh tp hp các kết
cục có th có. Tập hp tt cả các kết cc ca một phép th
(đưc gọi các s kin sơ cp, ký hiu là co) to thành không
gian các sự kin sơ cấp, ký hiu là Q = {cúj i e /}, I là tp ch
sô", có th hn (đếm đưc hoc không đếm đưc). D thy
trong thí dụ 1.1, nếu ký hiu A s kin xut hin mt i
chm (i = 1,6) thì Q = A2, A3, A4, A5, Ag} = {A i = 1,6}.
Trong nhiu hin tưng hàng lot khi thc hin nhiu ln
cùng mt phép thử, ta thây tn sut xut hin một s kin A
nào đó chênh lch không nhiu so vói mt sô' đc trưng cho
kh năng xut hin A. S đó đưc gọi là xác sut xut hin A
và đưc ký hiu là P(A). Như vy nếu viết P(A) - p c6 nghĩa
xác suâ^t xy ra sự kinA là bngp.
Mt câu hi t nhiên là. Do đâu có s kin ngu nhiên? Và
chúng ta có th nhn biêt đưc chúng không? Thực ra mỗi s
kin đu xy ra theo quv lut nào đó; song do điu kin Lhiêu
tri thức, thông tin pơng tin cn thiết (c v kinh phí,
thiết b ln thòi gian) nên ta không có kh năng nhn thc dy
dủ v sự kin đó. Vn đề càng trỏ nên khó khàn hơn khi chỉ
cn có mt s thay di bâ"t ngò rt nh ca b điu kin dã
làm thay đi kết cục của phép th. Cho nên bài toán c đnh
bn cht xác suâ^t ca một s kin bt k trong mt phép th
tùy ý không th gii đưc.
1.2. Phép toán và quan h của c s kin
V mt toán học, vic nghiên cu quan h phép toán
trên tp c s kin cho phép ta xác đnh chúng thực cht hơn.
(i) Tng ca A và B, ký hiu là A + 5 , ch sự kin khi có
xut hin ít nht mt trong hai s kin trên.
(ii) Tích ca A và B, ký hiu là AB, ch s kin khi có xuâ"t
hin đng thi cả hai sự kin trên.
6
(iii) Đi lp của A, ký hiu A, ch s kin không xut
hin A. ràng đối lp có tính tương h A = A và A + A = u,
AÃ = V, = y.
(iv) Xung khc: hai s kin A v B đưc gọi là xung khc
nếu chúng không th đng thi xy ra, tc là AB = V.
(v) Kéo theo, ký hiu A => B, ch nếu xut hin A thì xut
hin B.
(vi) Tương đương, hiu A = B, ch vic nếu xut hin A thì
xut hin B ngưc lại.
(vii) Hiu của A và B, hiu A - B (hoc A\B), ch skin
xut hin A nhưng không xut hin B, tức là A - jB = AB.
Các khái niệm cho thy tính đi lp, tổng, tích và hiu của
hai kiện ơng ứng vi bù, hp, giao và hiu ca hai tập hp.
Như vậy có th sử dng các tính cht ca các phép toán trên tập
hp cho c phép toán trên sự kiện, chng hn ng sơ đ Ven
trong thí dụ sau đây.
Thí d 1.2. Ký hiu u là tp vũ tr, V là tp 0 (rỗng). Khi
đó A và s là các tp con ca u và c phép toán trên Avà B
có th minh họa bng sơ đ Ven (xem hình 1.1).
Tập vũ tr
Kéo theo A => B
Đi lập A
Tng A + B
nh 1.1
khc (B = 0)
Tích AB
Từ đó, dễ dàng ch ra các công thc sau;
A + B = B + A, AB = BA (giao hn);
A + (B + Q = {A + B) + C, A(BC) = (AB)C (kết hp);
A(B + o = AB + AC (phân phi);
A + Ư=U,A + V = A,A+A=A;
AU = A,AV=V,AA=A.
Thí d 1.3. Chn t mt hàng ra 5 sn phm và ta quan
tâm đến sô"phế phm trong 5 sn phm đó (phép th).
a) Xác đnh các s kin sơ cp.
b) Biu din các s kin sau theo các s kin sơ cấp: có
nhiu nht 1 phế phm; không quá 4 phế phm, có ít
nht 1 phế phm.
Gii, a) Ký hiu A - trong 5 sn phm có phế phm. Rõ
ràng i = 0,5 và Q = {Ao, A A2, A 3, A , A 5I.
b) Gi A, B và c là các sự kin tương ng. D dàng biu
din A = Aq + A, B Aq + A| + A2 + Ag + A = A-, c = Aj + Av +
A3 + A4 + A5 - Aq.
Thí d 1.4. Cho sơ đ mng đin trên hình 1.2 gồm 3 bóng
đèn. Vic mng mt đin (s kin A) ch có th xy ra do cháy
các bóng đèn íý hiu là Aj, A2, A3). Hãy biu din A theo các
= 1, 2, 3).
Gii. A xut hin khi xy
ra mt trong 3 trưng hp:
___
^
(i) cả ba bóng cháy,
(ii) cháy hai bóng 1 và 2,
(iii) cháy hai bóng 1 và 3. nh 1.2
Tđó ta có A = A 1A2A3 + AA^A.j + A, A,,.
8
Có th dùng tính cht ca mng song song và nì tiếp đ có
một biu din khác gọn hơn:
A =A,(A2 + A 3).
Trong nhiu bài tp, vic c đnh sô" lưng c sự kin sơ
cấp đưa đến sử dng các kết qu ca lý thuyết t hp.
1.3. Gii tích kết hp
Vic đếm sô" các kết cục của mt phép th dựa vào mô
hinh: chn hú ha ra k phn t t n phn t cho trưc. Nếu
phân bit th tự các phn t chn ra, ta khái nim chnh
hp; nếu th t không phân bit, ta có t hp.
(i) Chinh hp: chnh hp chập k t nà mt nhóm có th tự
gồm k phn t ly t n đã cho. Đó chính là mt nhóm gồm k
phn tử khác nhau đưc xếp theo th t nht đnh. Sô" các
chnh hp như vy, hiu là (k < TÌ).
= n{n - l)...(n - Ã + 1) = ^ (1.1)
{n-k)\
(ii) Chnh hp lp: chnh hp lp chp t n mt nhóm
có th t gm k phn t có th ging nhau ly t n đã cho. Đó
chính là mt nhóm gpn k phn t có th lp li và đưc xếp
theo th t nht đnh, s các chnh hp lp như vy, ký hiu l
ĂÌ=n'. (1.2)
(iii) Hoán v: hoán v ca n là mt nhóm gồm n phn t
đưc sp xếp theo một 'th tự nào đó. Rõ ràng s các hoán vị
như vy, ký hiu là p, chính s c chnh hp A" và
p = n\ .(1.3)
(iv' T hp: t hp chp ^ t n là mt nhóm (không phân
bit i;!ứ t) gm k phn t khác nhau ly t n đã cho. S c
t' hp r.hu vậy, ký hiu là (k < n)
9
= ^ (1.4)
" k\ k\{n-k)\
Thí d 1.5. Cho mt tp hp gồm 3 phn t {a, 6, c}. Có thế
to ra bao nhiêu nhóm gồm 2 phn t chn t tp trên?
Gii:
(i) Nếu ta đ ý đến th t các phn t và mi phn t ch
đưc chọn một lần, sô" nm thu đưc s là = 3.2 = 6; đó
{a, 6}; {6, a}; {a, c}; {c, a}; {b, c}, {c, b}.
(ii) Nếu vn đ ý đến th tự, nhưng mi phn t đưc chn
nhiu ln, s nhóm thu được tr thành Ag = 3^ = 9; đó là:
{a, 6}; b, a}; {a, c}; {c, a}; {, c), {c, 6}; {a, a)\ {b, 6}; c, e}.
(iii) Nếu không đ ý đến th t các phn tử và chúng ch
đưc chn mt ln, sô" nhóm thu đưc tr thành c | = 3; đó
{a, 6}; {a, c}; {, c}.
Thí d 1.6. Mt lổp phi học 6 môn trong học kỳ, mi ngày
học 3 n. Hỏi có bao nhiêu cách xếp thòi khóa biu trong
1 ngày?
Gii. Sô" cách xếp cn tìm chính là sô" cách ghép 3 môn t 6
món, trong đó các cách ghép s khác nhau nếu có ít nht mt
môn khác nhau hoc th t môn khác nhau. Từ đó theo (1.1)
ta có s cách cn tìm là A = 6.5.4 = 120.
Thí d 1.7. Có th đánh s đưc bao nhiêu xe nếu ch dùng 3
con sô" t 1 đến 5?
Gii. Mi sô" th tự ca mt xe dễ thy chnh hp lp chp
3 từ 5. Tđó theo (1.2) ta có slưng xe đưc đánh s s là
Ă\ = 5^ = 125.
Thí d 1.8. Có bao nhiêu cách lập mt hội đng gm 3 ngưi
chọn trong s 8 ngưòi?
10
Gii. Hội đng một nm 3 người ly t 8 ngưi, do đó
theo (1.4) s có Cg = 8!/(3!5!) = 56 cách lập.
Cuối ng, đ ý ta đã rt quen thuc vi khái niệm t hp
đưc dùng trong công thức nh thc Niu-tơn
(x + a = c°x' + C>"^'a +... + +... + C"a\
^ ' n n n n
Tđó có th d dàng chng minh (đ ý c° = = 1)
c ' c* =C^í +c*
n n ^ n n.-l, n -1
§2. CÁC ĐỊNH NGHĨA CỦA XÁC SUT
2.1. Định nghĩa c đin
Trong mục này ta làm vic vi các phép th có kết cục
đng kh năng. Khái nim đồng kh năng đóng vai trò ch
đo và khó có th định nghĩa mt cách hình thc. Xét thí dụ
đơn gin sau đây:
Thí d 2.1. Trong mt hộp có n viên bi giông nhau v kích
c và ch khác nhau v màu sắc, trong đó có m bi trng v n -
m bi đ. Rút hú ha ra mt viên bi (phép th). Do sô" viên bi là
n nên tng s các kết cục khác nhau s là n, và vì tính giông
nhau ca chúng nên mỗi viên bi có cùng kh năng đưc rút.
Bây giò nếu gọi A là sự kin rút đưc bi trng thì trong sô" n
kết cục đng kh năng có m kết cục thun li cho A. vy
trc giác cho thy nên chn t sô" mln làm c sut ca vic
xuâ't hin A.
Đinh nghĩa. Cho một phép th với n kết cục đng kh
năng, trong đó có m kết cục thun li cho A, khi đó
, X m s kết cuc thuân i cho A /o 1 \
P{A) = =
....
- , , . (2.1)
n tng sô kết cục có thê
11
Đnh nghĩa trên đưc gi là đnh nghĩa c đin ca xác
sut. Cách tính xác sut theo (2.1) có ưu đim là tương đối đơn
gin và trực quan, tuy nhiên phm vi áp dng rt hn chê ch
cho các loi phép th gồm hu hn kết cục đng kh năng.
Trong tính toán thưng s dng c kết qu (1.1) - (1.4).
Thí d 2.2. Gieo đng thòi 2 con xúc sc ging nhau. Tính
xác sut đ tng sô' chm thu đưc bng 6.
Gii. Phép th có 6.6 = 36 kết cc (s kin sơ cấp) khác
nhau đng kh năng. Gọi A là s kin tng sô" chm bng 6,
thì tt cả 5 kết cc thun lợi cho A là {1,5}, {2,4}, {3,3}, {4,2}
và {5,1} (s th nht ch sô" chm ca con xúc sc 1, sô" th 2 -
s chm ca con xúc sc 2). Vy P(A) = 5/36.
Thí d 2.3. Trong hộp có 4 viên bi trng và 6 vn bi đ cùng
kích cõ. Rút hú ha ra 2 bi, tính các xác sut để trong đó có:
a) hai viên trng;
b) ít nht 1 viên đ;
c) viên th hai đ.
Gii. Ta dùng đnh nghĩa cổ đin trên.
a) Tng s cách đ rút ra 2 bi có quan tâm đến th t
Afo = 10.9 = 90, trong đó s cách thun lợi cho A - rút đưc 2
bi trng - là Al = 4.3 = 12; vy xác sut cn tìm P(A) = 12/90
= 2/15. Có th s dng khái nim t hp đ tính c sut: tng
sô" cách ly ra 2 bi t 10 viên bi là cf(j (không quan tâm đến
th t), trong đó đ rút ra 2 bi trng có C4 ch. T đó ta có
cùng kết qu như trên.
b) th tính trc tiếp xác sut ca B - s kin rút
đưc ít nht 1 bi đ (tc là hoc được 1 hoc cả 2 bi đ). D
thy s kin đi lp B - c 2 bi đu trng - đã xác sut
hin bng 2/15. T đó P(B) = 1 - P(B) = 13/15 (xem tính
cht ca xác sut ngay dưi đây).
12
c) Gọi c là s kin viên bi th hai màu dỏ. s cách
thun lợi cho c bao gm (có quan tâm đến th tự): 6.5 = 30
cách đi vi trưng hp viên bi đu màu đỏ và 4.6 = 24 cách
đòì với trưòng hp bi đu màu trng. T đó P(C) = (30 +
24)/90 = 3/5. Có th lý lun đơn gin hơn như sau: do viên bi
đu không biết màu sc nên thông tin v t l màu không
thay đổi vói viên bi th hai. Vy s kin c s cùng xác
sut với vic rút hú ha ra 1 bi đ t hp 10 viên ban đu và
xác sut ca s kin đó rt d tính là 6/10 = 3/5.
Dùng công thc (2.1) dễ dàng chng minh các tính cht
sau đây ca xác sut (đúng cho cả các trưng hp đnh
nghĩa khác):
(i) 1 > P(A) > 0;
(li) P(ơ) = 1; P(V) = 0;
(iii) Nếu A, B xung khc thì P(A + B) = P(A) + P{B)-,
(iv) P(Ã) = 1 -P(A);
(v) Nếu A B thì P{A) < P{B).
Đe khc phc hn chế ca (2.1) ch áp dng cho các phép
th có hu hn kết cc, ngưi ta đưa ra đnh nghĩa hình hc
cúa xác sut. Gi s tp hp (vô hn) các kết cc đng kh
năng ca mt phép th th biu th bi mt min hình
hc G (chng hn đon thng, mt min mt cong hoc khôi
không gian...), n tp các kết cc thun li cho A bi mt
min con nào đó s c G. S rt hp lý nếu ta đnh nghĩa xác
sut bng t s đ đo ca s vi G (ph thuc vào s và G mà
đ đo có th là đ dài, din tích hoc th tích...). Như vy ta
có P(A) bng xác sut đ đim‘gieo rơi vào s, vi gi thiết nó
có th rơi đng kh năng vào các đim ca G và
đ đ o ^ (2.2)
đđoG
13
Khái nim rơi đng kh năng vào G có nghía là đim gieo có
th rơi vào bt k đim nào ca G và xác sut đ rơi vào
mt min con nào đó ca G t l vói đ đo ca min y, mà
không ph thuc vào v trí và hình dng ca min.
Thí d 2.4. Đưòng dây đin thoi ngm nôl mt tng đài
vi mt trm dài Ikm. Tính c sut đ dây đt ti nơi ch
tng đài không q lOOm.
Gii. Rõ ràng nếu dây đin thoi đng cht, kh năng nó
bị đt ti mt đim bt kỳ là như nhau, nên tp hp các kết
cục đng kh năng có th biu th bng đon thng ni tng
đài vi trm. Các kết cc thun lợi cho A - s kin ch đứt
cách tng đài không quá lOOm - đưc biu th bng đoạn
thng có đ i lOOm. T đó theo (2.2) P(A) = 100/1000 = 0,1.
Mt s i toán thc tế khác có th đưa v mô hình dng
trên. Chú ý rng theo ch định nghĩa này thì s kin có c
sut bng 0 vn có th xy ra (chng hn mũi tên bn trúng
mt đim cho trưóc...)- Tính cht này rt đặc trưng cho các
biến ngu nhiên liên tc s nghiên cứu chương II.
2.2. Định nghĩa thng kê
Điu kin đng kh năng ca các kết cục mt phép th
không phi lúc nào cũng đưc bảo đm. Có nhiu hin tưng
xy ra không theo các yêu cu ca đnh nghĩa cổ đin, chng
hn khi tính xác sut mt đứa tr sp sinh con trai, ngày
mai tròi mưa vào lúc chính ngọ, v.v...
Có mt cách khác để xác định xác sut ca mt s kiện. Gi
sử tiến hành mt lot «1 phép th cùng loi, nếu s kin A nào
đó xut hin trong mj phép th thì ta gọi mj/r, là tần sut xut
hin A trong lot phép th đã cho. Tương t vi loại phép th
th hai, th ba... ta có các tn sut tương ng mjn2, rnJn:,...
14
Trên cơ s quan sát lâu dài các thí nghim khác nhau ngưòi ta
nhn thy tn sut xuât hin mt sự kin có tính ổn đnh,
thay đổi rt ít trong các lot phép th khác nhau và dao đng
xung quanh mt hng sô" xác định. S khác bit đó càng ít khi
sô' phép th tăng nhiu lên. Hơn na đối với các phép th xét
mục 2.1 hng sô" xác đnh đó trùng vi xác sut theo đnh
nghĩa cổ điển. Đc tính n định của tn sut khi sô phép th
tăng lên khá lớn cho phép ta định nghía xác sut ca sự kin
là tr sô" n định đó của tn sut xuâ^t hin s kin. Nhưng do
hng sô^ đó chưa biết, nên ni ta ly ngay tn sut khi sô"
phép th đủ lớn làm xác sut của s kin. Cách hiu như vy
đưc gọi đnh nghĩa thng kê của xác sut.
Như vy c sut đây là mr giá tr gn đúng và nhiu
ngưòi cho rng đó không phi một đnh nghĩa tht sự. Tuy
nhiên, trong nhiu ngành khoa hc thc nghim xác sut đưc
c đnh theo cách này đt đ chính xác khá lớn và rt phù
hp vi thực tế cũng như vi tính toán lý thuyết, nhiu khi sai
sôphm phi hơn nhiu so vi sai s^ đo của thí nghim. Vì
thế đnh nghĩa thông kê vn đưc tha nhn rộng i và rt có
ý nghla. Ta có th định nghía cht c}'i hơn v mt toán hc như
sau: xác suâ^t của skin là gii hn ca tn sut xut hin s
kiện đó khi s^ phép thử tăng vô hn. Sự hp của định nghĩa
đvíc minh chng không ch bng thực nghim mà cả bng
thuyết (sau này ta s thy rõ trong lut sô ln Béc-nu-li).
Có nhiu thí dụ minh ha tính ổn đnh ca tn sut khi sô"
phép th khá lớn. Ta có th tham kho dưi đây các tn sut
xut hin mt sâp khi gieo mt đng tin nhiu lần:
Ngưi thí nghim S ln gieo s ln sp Tần sut
Buýt-phông 4040 2048 0,5080
Piếc-xơn 12000 6019 0,5016
Piếc-xơn 24000 12012 0,5005
15
Mt thí dụ khác: có th cho rng xác sut phân ca mt
nguyên t Ra"^® sau 100 năm là 0,04184 (vi đ chính xác tôi 5
ch s sau dấu phảy); đây s lưng nguyên t tham gia thí
nghim rt ln (c 10^® - 10^'*).
Có th kim tra đưc rng xác sut đnh nghĩa theo thng
kê tha mãn các tính cht trình hày mc trưc. Chú ý ỉà
trong đnh nghĩa phi có điu kin c phép th lặp i nhu
nhau, điu này trên thc tế không d bo đm nên tn sut có
th ph thuc vào thi gian. Mặc vy pơng pháp xác
đnh xác sut theo tn sut có phm vi ng dng rt lớn trong
nhiu ngành khoa học và k thut. Mt khác, điểm xut phát
đ xây dng lý thuyết xác sut như là một khoa học cũng
chính là vic quan sát tính ổn đnh thông kê ca các tn sut
ca vàn c hin tưng thc tế. T đó dễ hiu vì sao có th
định nghĩa l thuyết xác sut như là mt khoa hc nghiên cứu
các hình toán hc ca các hin đng ngu nhiên có tii
sut n định.
2.3. Định nghĩa tn đ
Các đnh nghĩa cổ đin và thng kê ca xác sut có nhiu
hn chế đ xây dng mt lý thuyết tng quát. Khái nim cổ
đin không dùng đưc trong trưng hp không th xây dng
mt h thng đy đ các sự kin đng kh năng. Trong khi đó,
tn sut ch là mt giá tr xp x đ đánh giá xác sut, chưa k
đòi hi là sô" quan sát phi rt lớn và giá tr tn sut tìm đưc
phi ln hơn nhiu sai sô" đo và c sai s tính toán.
Chúng ta bt đu t h thng các tiên đ dưi dng do
Kôn-mô-gô-rôp phát biu. Các tiên đ đó (giông như c tiên đ
toán học kc) đưc tha nhn là đúng đn, tt nhiên căn c
vào kinh nghim cuộc sôVig và hot đng thc tin. Cách tiếp
cn này liên h cht ch lý thuyết xác sut với lý thuyết hàrn
sô và tp hp. Cách xác đnh xác sut theo tiên đ s chứa
16
trong các định nghĩa cổ đin và thng kê ca c sut như
các trưng hp riêng.
Ta quay tr li không gian các s kin sđ cấp Q (xem §1),
còn bn thân các phn t là gì không quan trọng. Tiếp theo
xác đnh h thng ( các tp hp con ca Q, các phn t ca dl
đưc gi các sự kin ngu nhiên. Ta đt cho cA c yêu cu
hp lý sau:
(i) cha
(ii) Nếu AvàiB & C thì A,B,A + B, AB e C Á .
Hệ thng c tha măn các điều kin trên đưc gi là đi s
Bun. Nếu ta yêu cu thêm
(iii) Nếu A2: A. ... là các phn tử của cA, thì tng
tích vô hn Aj + A2 + ... + + .... AiA, ... A... cũng.thuc CÃ.
Nếu thỏa mãn thêm điều kin (iii) ta có một trưng Bô-ren,
hay ơ - đi sô'.
Bây giò ta đã có th đnh nghĩa xác sut:
Đnh nghĩa. Ta gọi xác sut trên (Q, c//) là mt hàm s
xác định trên íA có giá trị trong [0; 1] và tha mãn 3 tiên đề
(T,)P(fi) = l;
(T2) P(A + B) = P{A) + P{B) (A, B xung khắc);
(T;j) Nếu dãy {A,,} có tính cht Aj => A, V <_/
A,A2...A... = V, thì P(A) >0.
Xut phát t h tiên đ trên có th chng minh đưc các tính
cht của xác sut đã trình bày §1, hoc chính chúng đã là các
tính cht đó (tiên đề 1 và 2). Chú ý rng h tiên đ này chưa
đy đ: ng vi mt tp Q có th chn xác sut theo nhiu
cách khác nhau. Người ta có th thay tiên đ 2 và 3 bng mt
tiên đề có tên là tiên đ cng m rng:
17
(TJ Nếu dãy {AJ có tính cht xung khc tng đôi và
A = ^ G thì
rt=i
P(A) = P(A,) + P(A,) + ... P(A) + ... = P (A J.
n=ì
Đ kết lun, có th nói rng cách đnh nghĩa xác sut
đây nhìn t quan đim ca lý thuyết tp hp chính là sự đưa
vào cùng với Q mt đ đo không âm, trực chun, cng tính, xác
đnh cho mọi phn t ca tp <. Như vy khi đnh nghĩa c
sut chúng ta phi có không ch tp Q các sự kin cấp ban
đu, mà n phi có tp các sự kin ngu nhiên C và hàm sô" p
xác đnh trên đó. Tổ hp {Q, c4 , P} sau này thưng đưc gi
không gian xác sut.
§3. XÁC SUT CÓ ĐIỀU KIN
3.1. Khái niệm
Thực ra mi xác sut P(A) đu là có điu kin, vì s kin A
xy ra khi thc hin mt b điu kin xác đnh. Tuy nhiên,
nếu ngoài b điu kin đó ra còn thêm điu kin khác th
hin bng vic xut hin B nào đó, thì ngưi ta đưa ra mt
khái nim mi: xác sut có điu kin ca A biết rng đã xy ra
B, ký hiu P( B). Bng trc giác ta cũng thy rng khi có
B vi P(B) > 0 thì nói chung kh năng xut hin A cũng thay
đi; đặc bit nếu AB = V kh năng đó trit tiêu, còn nếu B ^ A
thì kh năng tr thành tt yếu. Vy là, vi điu kin đã có B,
nời ta xác đnh mt cách t nhiên kh năng xut hin A nào
đó bng mt s t l vi P(AB), tức là s dng kP(AB), k > 0.
Đ xác đnh hng s k đó, do P{A IB) = kP(AB) là mt xác sut
và ta chn A = B, P(B
I
fi) = 1, nên kP{B) = 1. Tđó
18
k =
P{B)
Đnh nghĩa 1. Gi sử trong mt phép th ta có P(B) > 0.
Khi đó xác sut có điu kin của sự kin A nào đó, biết rng đã
có B, s là một s không âm, ký hiu là:
P{A B) =
P{AB)
P(B)
(3.1)
Đ ý rng nói chung P(A) ^ P(A B). Ngoài ra xác sut có
điu kin có mọi tính cht ca một xác sut bình thường.
Thí d 3.1. Gieo 2 con xúc sắc ging nhau. Tính xác sut
đ ta có tng s chm thu đưc bng 6, biết rng tng đó là
mt sô" chn.
Gii. Ta đã biết P(A) - 5/36 (xem thí d 2.2, A là s kin
xut hin tông chm bng 6). Nếu ký hiu B là s kin xut
hin tng chm chn, thì điu kin đ tính P{A Is) đã thay đi,
tng sô chn ch tương ng vi 18 kết cc ca phép th gieo 2
con xúc c. T đó P(A IB) = 5/18.
Thí d 3.2. Rút t b bài tú lơ khơ 52 con ln lượt ra 2 con
bài. Tìm xác sut đ con th hai át, biết rng con th nht
đã là át.
Gii. Dễ thy nếu hiu Ai là sự kin con th i là át
(i = 1,2), thì P(A, A,) =
1
, tương đương vi vic do đã có
51 17
A|, vic tính xác sut s kin đưa v tính trong trưng hp
ch còn 51 con bài vi 3 con át trong đó.
Đnh nghĩa 2. Ta nói rng A và B đc lp (thng kê), nếu
P(A 1B) = P(A) hoc P(B \A) = P(B). (3.2)
Như vy nếu A, B đc lp vic xut hin s kin này không
làm thay đi xác su"! ca sự kin kia. Tuy nhiên vic kim tra
tính cht (3.2) trong thc tin râ't khó khăn và trong nhiu
19
trưng hp là không th. vy dựa vào thc tê và trực giác
mà ta tha nhn các s kin đc lp trong các bài tập sau này.
Công thc tương đương ca (3.2), có đ ý đến (3.1) là:
P(AB) = P{A)P{B). (3.3)
Đinh nghĩa 3. Ta nói b s kin Ai, Ag, đc lp (hay
đc lp trong tng th) nếu
P(a X . .. A,^) = P(A,;)P(A. )... P ( \ ) (3.4)
vói mọi dãy (i, ik) gm các s nguyên khác nhau lấy t {1, 2,
n}.
Thí d 3.3. Gieo hai ln mt đng tin, và ta có 4 kết cục
đng kh năng iS - ký hiu mt sp, N - mt ngửa)
fì = {SS, SN, NS, NN].
Rõ ràng c s kin A = SS +SN, B = s s + NS, c = s s + NN
là đc lp tng đôi do P{A) = P(B) = P(0 - ; còn P{AB)
2
P(AC) = P{BƠ) ~ tha mãn (3.3). Tuy nhiên chúng không
4
đc lp trong tng th do
P{ABC) = - ^ P{A)P(B)P(C) =
4 8
Như vy không nên nhm ln hai khái nim đc lp trong c
đnh nghĩa 2 và 3. Khái nim đc lp trong tng th kéo theo
đc lp tng đôi (do (3.3) là trưng hp riêng ca (3.4) khi
k - 2), nhưng ngưỢc li nói chung không đúng.
3.2. Công thc cộng và nhân xác suất
l. Công thc nhân xác sut
P(AB) = P(A)P(B IA) = P(B)P(A IB). {8.5)
Đó là h quả trực tiếp suy ra t (3.1). Từ (3.5) có th dn ra
các kết qu quan trọng:
20
(i) Nếu A, B đc lập thì P(AB) = P{A)P{B) (xem 3.3)).
(ii) M rng cho tích n s kiện
P{AA,...A) =
= P{A,)P{A, IA,)P(A., IA,A,)..,P(A
I
(3.6)
(iii) Nếu A,A;,, ... A đc lập trong tng th, thì:
p A:
\
1 = 1
P(A).
/^1
2. Cng thc cng xác sut
P(A ^B) = P(A) -f P{B) - P(AB).
(3.7)
Vic chng minh ng thức trên không có gì quá phức tp
(nht là từ các tiên đ của mục 2.3). Từ (3.7) có th dĩl ra các
kết quả sau:
(i) Nêu A, B xung khác, thì P(A + B) = P(A) + P(B),
(ii) M rng cho tng n s kiện
p
+ ( - i r ' P(A,A,...A).
(iii) Nếu Aj, A2, xung khắc tng đôi
(3.8)
p
Các công thc (3.5) - (3.8) cho ta c công cụ hiu qu để
tính c sut các sự kin phức tạp qua xác sut các s kin đơn
gin hơn.
Thí d 3.4, Hai cc bài đưc ly t mt b bài tú lơ khơ, cc
th nht gồm 4 con át, cc th hai gồm 4 con ka. Rút ngu
nhiên t mi cc bài ra mt con bài, tính các c sut đế
21
a) c 2 con là con cơ,
b) ít nht 1 con cơ.
Cũng câu hi như vy nhưng thay điu kin đu bài: trn
cọc bài và rút hú ha t đó ra 2 con bài.
Gii. Gọi A - con bài th nht là cơ, B con bài th hai
cơ. Đ ý rng thut ng th nht”... ch đ phân bit hai con
bài ch không đ ch th tự nào cả. Trong trưng hp hai cc
bài riêng r, d thy A và B đc lp. Tđó
a) Xác sut cn tìm là P(AB), đ ý đến (3.3) ta có:
P(AB)^P(A)P(B) = . = ~ .
4 4 16
b) S kin ta quan tâm là A + 5 , theo (3.7):
P(A + B )-P (A ) + P (B )-P (A fi) = i + - ^ = ^ .
4 4 16 16
Trưng hp trn ln hai cc bài thành mt thì A, B không
còn độc lp na. Tuy nhiên các xác sut P(A) và P(B) đu bng
2/8 = 1/4 do vai trò hai quân bài như nhau. T đó;
a) Dùng công thc (3.5):
P(AB) = P(A)P(B IA) = . = ^
4 7 28
b) Mt ln na theo (3.7):
P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) = i + - = .
4 4 28 28
Thí d 3.5. Ba x th mi người bn mt viên đn với c
sut bn trúng ca tng ngưòi tương ng là 0,7; 0,8 và 0,9.
Tính các xác sut:
a) có hai ngưòi bn trúng,
b) có ít nht mt ngưi bn trượt.
Gii. Gọi A, là s kin x th th i bn trúng (i = 1, 2, 3)
P(A,) = o’7; PCA^) = 0,8; P(A,) = 0,9.
22
a) Nếu gọi A là s kin có đúng 2 ngưi bn trúng thì:
A = A, A, + Aj A2A3 + A1A2A3.
Dùng tính xung khc ca các sô' hng và tính đc lp ca các
A và A, (75^ ), ta có:
P(A) = P(A,A,A,) + P{A, A, A3 ) + P( A )
= P(A)P(A,)P(Ã^) + P(A,)P(Ã;)P(A3) + P(Ã)P(A,)(/43)
= 0,7.0,8.(1 - 0,9) + 0,7.(1 - 0,8).0,9 + (1 - 0,7).0,8.0,9
= 0,398.
b) Nếu gi B là s kin ít nht mt ngưi bn trưt, thì
B là s kin không có ai bn trượt hay c ba đu bn trúng.
ràng vic tính P{B) dễ dàng hơn nhiu so vi tính P{B)
theo cách trực tiếp, t đó
P{B) = l-P { B )= \-P {A ,A ^ ,)
= 1 - 0,7.0,8.0,9 = 0,496.
Thí d 3.6. Cho mt mch đin gm 4 linh kin như hình
1.3, trong đó xác sut hng của tng linh kin trong mt
khong thời gian nào đó tương ng là 0,2; 0,1; 0,05 và 0,02.
Tìm xác sut đ mng hot đng tt trong khong thòi gian
đó, vi gi thiết là các linh kin làm vic đc lp vi nhau và
các dây luôn tô"t.
Gii. Gi Ai là sự kin linh
kin th làm vic tt ( = 1,4).
S dng cá( tính cht ca mng
song song và nl tiếp, gọi A là s
kin mng hot đng tt, khi đó
A =Ai(Ã2 +3)A4.
Đ ý rng t gi thiết đầu bài ta luôn Ai, A4 và A2 + A3 đc
lp, nên:
Hinh 1.3
PiA).= P(A,)PiA,+,)P{A,).
(3.9)
23
Ta cn tính P { \ + Ag), và do A;j không xung khắc, nên
P( A, + A3 ) = P( A,) + P( A3 ) - P( A, A3 ).
Thay vào (3.9), đ ý rng P{A.A^ = P{A2)P{A) và giả thiết ca
đu bài
P(A) = P{A,)[P{A.^ + P{A,) - P(A,)P(A3)]P(A,)
= 0,8.(0,9 + 0,95 - 0,9.0,95).0,98
= 0,78008.
Chú ý rng nếu ta khai trin A = sau đó
dùng các công thc (3.6) - (3.7) đ tính P{A) thì s phức tp
hơn mt chút, bn đc hãy t gii theo cách này.
Thí d 3.7. Mt gia đình có 6 coh. Tìm xác sut đế gia đình
đó có s con trai nhiu n sô" con gái.
Gii. Ta chp nhn xác sut sinh con trai bng xác sut
sinh con gái và bng 0,5, ngoài ra kết qu mỗi ln sinh đưc
coi là đc lp với nhau. Gi A là sự kin sô" con trai nhiu hơn
con gái, khi đó vic tính trc tiếp P(A) đưa v xác đnh các
trưng hp; hoc 6 trai, hoc 5 trai 1 gái, hoc 4 trai 2 gái. Tuy
nhiên có th dùng cách khác. Gi B là s kin s gái nhiu n
trai, còn c là s kin sô" trai và s gái như nhau. Dễ thy
A + B + C = Uv P{A) + P(B) + P(C) = 1.
Do tính đì xng ca vic sinh con trai và con gái, nên P(A) =
P(B), t đó:
P(A) = ^ ~
2
và ta cn phi tính P(C) - xác sut đ trong gia đình có 3 con
trai, 3 con gái. Môt trưng hơp như vây có c sut có tât
c Cg = 20 kh năng khác nhau, t đó P{C) = 20/64 =
16
24
P(A) =
----
2 32
Thí d 3,8. Một ngưòi viết n thư cho n ngưòi khác nhau,
b ngu nhiên vào n phong bì đã có sn đa ch. Tìm xác sut
để có ít nht mt lá thư b vào đúng phong bì.
Gii, Gi A, là sự kin là thư th i b đúng phong bì (i =
1, /?), A - là skin cần tìm c sut, ta có A = A + A2 + ... + A.
Do ccA không xung khc, nên ta dùng công thức (3.8). D thy
ni
P(A,Aj) = P{A^)P{A^\A,)
( n - 2)!
ĨI n -1
n\
P{A,AA,) = P(A,)P(A J4)P(A J A,A^.) -
(AI-3 )!
n\
PiA,A,...AJ = P{A,)P{A, A)...P(A A A - A - ,) = - i
71/
Tđó theo (3.8)
P(A) = X ^ ( A ) - Z m A ) + z p (AAjA,)-...
i= l i<j i<J<k
+ ( - i r p(AiA2...a)
An-iy. ^,(n-2y , ^An-sy.
= c
n\
_ c,
__
__
+ C'
n - n 1
n\ n\
n\
1 1 . 1
= 1 - + + ( - 1)' -
2! 3!
n\
1
Khi n khá ln xác sut cn tìm Sí 1 - .
e
25
Thí d 3.9. Tìm xác sut để xut hin ít nht 1 ln 2 mt
chm khi gieo n ln 2 con xúc sắc.
Gii. Xác suâ^t đ trong 1 ln gieo 2 con xúc sc ta có hai
mt 6 chm s là , và không có hai mt 6 chm sẽ là
36
1 - . Nếu đăt A là sư kiên cần tìm, rõ ràng A là sư kiên gieo
36 ' '
n ln 2 con xúc sc mà không ln nào có 2 mt 6 chấm. T đó
P(Ã) =
f 1 ^
n
^35
1 và P(A) - 1-
, 36 j
3.3. Công thc c-nu-li
Xét mt dãy n phép th đc lập giông nhau, trong mỗi phép
th ch có hai kết cục hoc xy ra A hoc không P() = p.
P{A) = 1 - p = q không phụ thuộc vào s th tự ca phép th.
Nhng bài toán tha mãn các yêu cầu trên đưc gi tuân theo
lưc đ Béc-nu-li và hay gặp trong nhiu lĩnh vc ứng dụng.
Ta quan tâm đến xác sut đ trong dãy n phép th đc lp
i trên sự kin A xut hin đúng k ln, hiu là p,k). Gi B
sự kin trong dãy n phép th Béc-nu-li sự kin A xut hin
đúng k ln, ta thy B có th xy ra theo nhiu phương án khác
nhau, min sao trong dãy các kết cc của n phép thử skin A có
mt đúng k lần. Rõ ràng B sẽ là tng của c* các phương án như
vậy. Còn xác sut đ xy ra mt phương án, do trong y n phép
th đc lp s kin A xut hin đúng k ln, A xut hin n - k
ln, nên s bng Tđó ta có công thc Béc-nu-li
P(B) = P^(k) = k = 0,l,...n. (3.10)
Vic s dng công thc (3.10) s đơn gin hơn nhiu vic
dùng các công thc (3.5) - (3.8) và vì vy có ý nghĩa thc
tin rt ln.
Thí d 3.10. Mt thiết b có 10 chi tiết đôl vối đ tin cậy
(xác sut làm vic tô"t trong mt khong thòi gian nào đó) ca
26
mi chi tiết là 0,9. Tìm xác sut đ trong khong thi gian y
đúng 2 chi tiết làm vic tô"t.
Gii. Rõ ràng ta có lưc đ Béc-nu-li, với n = 10, p = 0,9 và
k = 2, áp dng (3.10) ta có xác sut cn tìm là;
p,(2) = c,V (0,9)1(0,1)« = 3645.10-'«.
Thí d 3.11. Một bác s có xác sut cha khi bnh là 0,8.
người i rng c 10 ngưòi đến cha thì có chc chn 8
ngưi khi bnh; điu đó có đúng không?
Gii. Câu khng đnh là sai. đây th coi vic cha
bnh cho 10 người là dãy 10 phép th, trong đó A là s kin
đưc cha khi bnh có P() = 0,8- T đó xác sut đ trong 10
bnh nhân đến cha có 8 ngưòi khi là:
P,o(8) = CjVO,8®.0,2' =0,3108.
Thí d 3.12. T l phế phm ca mt hàng là 1%. Hi c
mu cn chọn ra bao nhiêu (có hoàn li) sao cho trong mu
có ít nhâ't 1 phế phm vi xác sut lón hơn 0,95?
Gii. Gi s mu chn ra có kích cõ là n và vic chn ra mt
sn phm có hoàn li là mt phép th Béc-nu-li vi p = 0,01. Rõ
ràng xác sut đ trong mu có ít nht 1 phế phm s là;
1 - ( 1 - pT = 1-0,99".
Theo yêu cu ca đu bài
1 - 0,99" > 0,95 o 0,05 > 0,99"
^ . 296.
log 0,99
Nhiu khi ta mun tìm xác sut đ trong dãy n phép th
Béc-nu-ni s kin A xut hin vi sô" ln t ki đến ^2 d
thy xác sut cầĩỊ tìm, ký hiu là Pn(ki, k), s ;
«,)= t È c .p V . (3.11)
k=k^
27
Ta nhn xét rng khi n và k khá ln, vic tính toán xác
sut theo (3.10) và (3.11) rt cng knh và khó khăn; vì vy
ngưi ta tìm cách tính gn đúng các xác sut đó. Có th s
dng c cách xp x sau đây:
(i) Nếu n rt ln, trong khi p rt nh, xác sut theo công
thc (3.10) có th xp x bng {xp x Poa-xông)
(3.12)
(ii) Nếu n lớn, nhưng p không quá bé và quá lớn, ta có xp
x chun (đnh lý giới hn địa phưđng Moa-vrd - p-la-xơ)
(3.13)
ynpq ynpq
_£Ĩ
trong đó ({x) = - 7= e 2 à hàm Gao-xơ (xem bng 1).
v 2;r
(iii) Nếu n ln, nhưng p không quá bé hoc quá lón thì xác
sut trong (3.11) th xp x bng (đnh lý gii hn tích phân
Moa-vrđ - Láp-la-xơ)
k:-np _ _
K)~{oc^)-{x^), Xj = , j = l, 2, (3.14)
yjnpq
r /2
1 f --
và trong đó (x) = -7== e ^dt \à hàm Láp-la-xơ (xem bng 2).
v 2;r
Thí d 3.13. Xác sut sn xut ra phế phm ca mt máy
là 0,005. Tìm xác sut đ trong 800 sn phm ca máy đó có
đúng 3 phế phm.
Gii. ràng th dùng xp x Poa-xông theo (3.12), với
np = 4
n o o ( 3 ) - - ^ = 0,1954.
28
Thí d 3.14. Xác sut ném trúng rô ca mt cu th là 0,8-
Tìm xác sut đ trong 100 ln cầu th đó:
a) ném trúng 75 lần;
b) ném trúng không ít hơn 75 ln.
Gii. Vic tính theo công thức (3.10) hoc (3.11) ca c
đ Béc-nu-li sẽ khá phức tạp. Ta s tính xp x theo (3.13) và
(3.14);
í 7 5 -0 ,8.100 '
a) p,(76,. M = 0,04565.
OO.0,8.0,2 4
b) P,oo(75; 100) ^ íý(õ) + {l,25) = 0,8943.
§4. CÔNG THC BAY-ÉT
4.1. Ki niệm nm đầy đ
Đnh nghĩa. Nhóm các sự kin Aj, A2, An {n ^ 2) ca
một phép th đưc gi là (hay tạo thành) mt nhóm đy đ, nếu
(i) Aj = V, V 7^ j (xung khc tng đôi),
(ii) A| + A2 + ... + A = ơ.
Theo đnh nghĩa này phép th đang xét ch có th xut hin
mt sự kin trong s n sự kin Aj, A (và phi mt s
kiện). Nhóm Ai, A có các tính cht trên còn đưc gi là mt
h thng đy đ.
Thí d 4.1. Xét phép th gieo mt con xúc sắc. Nếu ký hiu
A, s kin xut hin mt i chấm (í = 1,6), ta có mt nhóm
đầy đ Ai, i = 1,6}. Có th to thành nhiu nhóm đy đ khác
cho phép th này, chng hn đt A = Ag, t đó A = A] + A2 + ...
+ A5 = Ag nhóm {A, A } chính là mt nhóm đy đ.
29
Như vy d thy tp hp tt c các s kin sơ cấp to nên
mt nhóm đầy đ. Tng quát n tp các s kin tạo nên mt
phân hoch của không gian Q các s kin cấp cũng mt
nhóm đy đ. Tập {A, A }, với A là sự kin tùy ý nhóm đy
đủ bé nht (ch có 2 phn tử). Đ ý {U, V} cũng tạo nên mt
nhóm đy đ và đưc gi là nhóm đy đ tầm thưng.
4.2. Công thc c suất đẩy đ
Giả s ta có mt nhóm đy đ các s kin Aj, A.2, ... A và
đng thi xét mt sự kin H nào đó. Nếu đã biết các P(A,) và
P{H Aj), ta có th tính đưc P{H). Rõ ràng t giả thiết v
nhóm đy đ;
i=l
/
Tđó P(H) = p
(do xung khc),
i=l J =1
V i=i
và áp dng công thc nhân (3.5):
P(H)=^P{A^)P{H\A^). (4.1)
= 1
ng thc (4.1) có tên gi là công thc xác sut đy đ (hay
xác sut toàn phn).
Thí d 4.2. Mt phân xưng có 3 máy sn xut cùng loi
sn phm vi t l phế phm tương ng 1%; 0,5% và 0,2%.
Biết rng máy I sn xut ra 35%, máy II 45% máy III
20% sn phm. Chn hú ha ra mt sn phm, tìm xác sut đó
là phế phm.
Gii. Đt M2 và M3 tương ng là s kin sn phm
chn ra do máy I, II và III sn xut. D thy {M = 1,3} to
nên mt nhóm đy đủ và P(M) = 0,35; PìM.) - 0,45;
P{M.^ = 0,20, Gi H sự kin rút đưc phế phm, áp dụng (4.1) đ
ý rng P{H
1
Mi) = 1%; P{H 1M2) = 0,5%; P{H
I
M;) = 0,2%, ta có
30
P{H) = ^P{M^)P{H\M^) =
Í=1
= 0,35.1% + 0,45.0,5% + 0,20.0,2% = 0,615%.
Ý nghĩa ca xác sut này là t lệ phế phm ca phân xưởng.
Thí d 4.3. Có hai hộp áo, hp I có 10 áo trong đó có 1 phế
phm, hp II có 8 áo trong đó có 2 phế phm. Ly hú ha 1 áo
t hộp I b sang hộp II, sau đó từ hộp này chn hú ha ra 2 áo.
Tìm c sut đ cả 2 áo đó đu phế phm.
Gii. Ta lp nhóm đy đ để làm rõ thông tin v cht
lưng chiếc áo mang t hp I sang; gọi A - áo đó là phế phm,
A - áo t. Đt H là s kin 2 áo cuôl chn ra đu là phế
phm. Rõ ràng P(A) = ; P(Ã) = ; ta còn cn tính P(H\A)
và P{H\ A ). Dùng đnh nghĩa c sut;
T đó dùng (4.1)
P(H) = P(A)P(H IA) + P{Ã)P{H 11) = . + . = .
10 12 10 36 30
4.3. ng thc Bay-ét
Gi s ta có mt nhóm đầy đủ Ai, A2, ... A, sau đó có thêm
s kin H nào đó. Đôi khi ta muôVi xác định xác sut Pi H), i
mt sô' nào đó trong {1, 2, n}. Theo công thc nhân (3.5) ta có
P{A,H) = P(AdP(H IA,) = P{H)P{A, IH).
31
T đó P(A,
I / / )
^ (4.2)
P{H)
và thay (4.1) vào (4.2)
P (A ,|//)= ; (4.3)
P(A,)P(H A.)
X p (a ,)P(h |a ,)
i = l
Công thc (4.3) có tên gọi là công thc Bay-ét. Các xác sut
P(Ai), i 1, n, đã đưc xác đnh t trưc, thưng đưc gọi
xác suâ^t tiên nghim; còn các xác sut P(A( H), i - 1. n, đưc
xác đnh sau khi đã có kết qu thí nghim nào đó thế hin qua
sự xuât hin ca H, thưng đưc gọi là xác sut hu nghim.
Như vy công thc Bay-ét cho phép đánh giá li xác sut xy
ra các A, sau khi đã thêm thông tin v H. cn phi nhn
mnh rng nếu muôn dùng các công thc (4.1) hoc (4.3), nht
thiết phi có nhóm đy đ. Ngoài ra nếu (4.1) cho ta xác sut
không có điu kin, thì (4.3) cho phép tính xác sut có điu
kin, trong đó s kin A, cn tính xác sut phi mt thành
viên ca nhóm đy đ đang xét. T đó thy rng vic dùng
công thc Bay-ét đ tính c sut có điu kin đã gi ý cho ta
cách chn nhóm đy đ sao cho s kin quan tâm phi là
thành viên. Trong trưng hp không có (hoc rt khó xác định)
nhóm đy đủ, nên dùng công thc (4.2), trong trưng hp này
vic tính P{H) s khó hơn là dùng công thc (4.1).
Thí d 4.4. Mt mch đin gồm 2 b phn mc nối tiếp, vi
xác suâ't làm vic tt trong mt khong thòi gian nào đó của
mi b phn là 0,95 và 0,98. mt thi đim trong khong
thi gian trên ngưi ta thy mch đin ngng làm vic (do b
phn nào đó hng); tìm xác sut đ ch bphn th hai hng.
Gii. Do hai bphn mc l tiếp nên ch cn mt b phn
hng là mch ngng làm vic. Gọi A, (i = 1, 2) s kin b
phn th i tô't; khi đó có th xy ra 4 kh năng khác nhau:
32
Bq - c hai b phn đu tốt; s , - b phn I tôt, II hng; B2 - b
phn II tt, I hỏng; Bs - cả hai b phn đu hng. D thy các
B,, i = 0,3, to nên mt nhóm đy đ và do tính đc lp
P(Bo) = P{A,A^ = 0,95.0,98 = 0,931;
P(BJ = P(A^A^) = 0,95.0,02 = 0,019;
P(B^) = P { A ^ = 0,05.0,98 = 0,049;
P(3) = 4 ) = 0,05.0,02 = 0,001.
Gi H - S\ kin mch không làm vic, ta có:
= P{H\B,) = P{H\B^) = P{H\B,) = 1.
T đó theo công thc Bay-ét (4.3):
P{B,)P{H\B,) 0,019
!=0
= 19
69'
Đ ý rng ta th dùng (4.2) đ tính P(JBi \H). Đ làm điu
đó ta viết:
H = Aj + A, A2 + Aj A2.
Do tính xung khc và đc lập ca các s kin tương ng ta
có P(H) = P ( )P (4 ) + P(A^)P(4) + P(Ã ^)P(4) = 0,069. Mt
khác BiH = A| A2 (nhân o công thc ca H và đ ý
= V), nên tử s ca (4.2) s là 0,019; t đó ta có li kết qu cn
tìm mà không cn đến nhóm đầy đủ. Tuy nhiên mi khó khăn
rơi vào vic tính trực tiếp P(H).
Thí d 4.5. Ti mt phòng khám chuyên khoa t l ngưòi
đến khám có bnh là 83%. Theo thông kê biết rng nếu chn
đoán có bnh thì đúng tới 90%, còn nếu chn đoán không bnh
thì ch đúng 80%.
33
a) Tính c sut chn đoán đúng.
b) Biết có mt trưng hp chn đoán đúng; tìm xác sut
ngưi đươc chn đoán đúng có bnh.
Gii. Gi H sự kin chn đoán đúng, vy H - chn đoán
sai; A - người có bnh, A - ngưòi không có bệnh; B - chn
đoán bnh, B chn đoán không bnh.
a) Đ tính P{H), ta th dùng công thc (do , A - nhóm
đy đ):
P{H) = P(A)P{H A) + P(A)P(H A),
tuy nhiên P(H A) - xác sut đ khi chn đoán người bnh
thì đúng - chưa biết (chú ý phân bit với xác sut chn đoán
có bnh thì đúng là P(H\B). Vì vy ta tìm cách dùng công thc
th hai (do B và B to ra nhóm đy đ).
P(H) = P{B)P{H IB) + P(B)P{H\B). (4.4)
Nhưng P{B) (và P{B) na) li chưa biết, tuy nhiên ta có th
khai thác công thc;
P(A) = P{B)P{A\B) + P(B)P{A\B). (4.5)
Theo gi thiết đu bài P(A) = 0,83; ngoài ra d thấy;
P{A\B)P{H\B) = 0,9;
P(A\B) = P(H\B) ^ 1-P(H\B) = 1 - 0,8 = 0,2.
Tđó nếu đt P(B) = X, P(B) = 1 - P(B) = 1 - X và thay tt c
vào (4.5).
0,83 = 0,9;c + 0,2(1 -x)=>x = P{B) = 0,9.
Tđó thay các kết qu trên vào (4.4)
P{H) = 0,9.0,9 + 0,1.0,8 = 0,89.
b) Xác sut cn tìm là P{A\H). Áp dng công thc (4.2):
P(H)
I
34
Mt khác da vào ý nghĩa các sự kin và li dùng tiếp (4.2)
P{H\A) = P(B\A) = ^(-S)P(A|g)
P{A)
t đó thay vào công thc trên:
P(A\H) = ^0 9]^
P(H) 0,89
BÀI TP
1. Cho 4 sn phm và gọi A là sự kin có ít nht mt phế
phm, - c 4 đu tt. Cho biết ý nghĩa ca các s kin
sau: Ã, , A + B,AB, AB, ÃB, Ã + B, A + B, Ã + B,Ã.
2. Chng minh công thc Đơ Moóc-găng:
A + B = ÃB,ÃB = Ã + B.
3. Có bao nhiêu sô" tự nhiên mi s có 4 chữ s?
4. Tìm s kin X t đng thc X + A + X + A = B.
5. Mt gii bóng đá gồm 16 đi. Hi phi t chức bao nhiêu
trn đấu, biết rng mỗi đi gp nhau 2 lần?
6. Có bao nhiêu cách xếp 10 qu bóng vào 2 hp?
7. Có bao nhiêu s đin thoi có c chữ s khác nhau mt
tng đài ni bvi các sô" chỉ có 4 ch s? Có bao nhiêu sô'
đin thoi có đúng 1 cặp sô" trùng?
8. Có bao nhiêu cách xếp 5 ngưòi ngi quanh mt bàn tròn
sao cho hai nời đnh trưc ngi cnh nhau? Cũng câu
hi như vy nhưng thay bàn tròn bng bàn dài.
9. Một hàng có N sn phẩm trong đó có M phế phm. Có bao
nhiêu cách chọn ra n sn phẩm để trong đó có m phế phẩm?
10. Có bao nhiêu cách đ 8 ngưòi lên tng ca mt tòa nhà có 4
tng lầu?
35
11. xếp ngu nhiên mt b sách gm 6 tp lên giá sách, tìm
xác sut đ b sách đưc xếp đúng th tự.
12. Mt cu bé có 10 bi, trong đó có 6 đ và 4 xanh. Mt m
cu thy mt mt viên bi, tìm xác sut đ nếu rút hú ha
ra 1 bi trong sô" còn li thì đó là bi đ.
13. Tìm xác xut đ khi rút hú ha ra n con bài t c bài tú lơ
khơ 52 con thì chúng có giá tr khác nhau (không đ ý đến
cht).
14. Mt lp học sinh có 30 sinh viên trong đó có 4 gii, 8 khá và
10 trung bình. Chọn hú ha ra 3 người, tính các xác sut:
a) cả ba đu là học sinh yếu;
b) có ít nht mt hc sinh gii;
c) có đúng mt học sinh giỏi.
15. Gieo đồng thời 4 đồng tin cân đi đồng cht, tìm các c sut:
a) cả 4 mt giông nhau xut hiện;
b) có đúng 2 mt sp.
16. Tìm xác sut khi chia đi một b tam c thì mi phn có
đúng mt na là quân đ.
17. B ngu nhiên mt thanh g có đ dài l thành 3 đon. Tìm
xác sut đ ba đon đó to đưc mt tam giác.
18. Tìm xác sut đ khi ly hú ha ra mt sô" có hai ch s thì
nó là bi s ca 2 và 3.
19. Bài toán Buýt-phông. Trên mt phng đã kẻ sn các
đưng song song cách đu nhau mt khong có đ dài 2a
gieo ngu nhiên mt kim dài 21 ( < a). Tính c sut để
chiếc kim ct mt đường thng nào đó.
20. Bài toán Ba-nc. Mt ngưòi có trong túi 2 bao diêm, mi
bao có n que. Mi khi cn dm anh ta rút hú ha ra một
bao. Tìm xác sut sao cho nời đó ln đu rút phi bao
rng thì trong bao kia còn đúng k que (k = 1, 2,..., n).
36
21. Xác sut trúng đích ca một ln bn là 0,4. cn phi bn
bao nhiêu phát để xác sut có ít nht mt viên trúng s ìôn
hơn 0,95?
22. Mt xí nghip có 3 xe ti vi xác sut hng trong ngày ca
mỗi xe tương ng là 0,01; 0,005 và 0,002. Tìm xác sut đ
trong ngày:
a) có 2 xe bhỏng;
b) có ít nht mt xe hỏng.
23. Xếp ngu nhiên 10 quyn ch vào 2 ngăn kéo. Tính các
xác sut:
a) ngăn kéo nào cũng có sách;
b) ngăn kéo th nht có 2 quyn sách và ngăn th hai có 6
quyn sách.
24. Chng minh rng nếu A và đc lp thì các cp s kin
sau cũng đc lập: A và , A B, A và .
25. Một gia đình có 6 con. Gi s xác sut sinh con trai là 0,5,
tính các xác sut đê trong 6 con có:
a) đúng 3 con trai;
b) có không quá 3 con trai;
c) có nhiu nhât 4 con trai.
26. Mt xạ th phi bn cho đến khi nào trúng thì thôi. Tìm
xác sut đ anh ta phi bn không quá 4 ln, biết rng xác
suâ"t trúng ca mỗi ln bn 0,6.
27. Trong thòi gian có dịch 1 vùng dân cư c 100 ngưi b
dịch thì có 10 ngưòi phi đi cấp cứu. Xác sut gp mt
ngưòi phi cp cứu mc bnh dịch vùng đó là 0,06.
Tìm t l mc bnh dịch ca vùng dân cư.
28. Mt công nhân đng máy 1000 ô"ng si. Xác sut mi ông
b đứt trong vòng một giò là 0,005. Tính xác sut đ trong
vòng 1 gi có: a) 40 ông si b đứt; b) không quá 40 ông si
bị đt.
37
29. T l hút thuôc mt vùng là 35%. Theo thng kê biết
rng t l viêm hng trong s ngưòi hút thuc là 60%,
còn trong sô" không hút là 30%. Khám ngu nhiên mt
ngưòi thì thy anh ta b viêm hng; tìm xác sut đó là
ngưi hút thuốic. Nếu anh ta không b viêm hng thì xác
sut đó bng bao nhiêu?
30. Mt x th bn 4 phát đn vi xác sut bn trúng ca mỗi
viên đn là 0,7. Biết rng có hai viên trúng, tìm xác sut
đ viên th nht đã trúng đích.
31. Mt phân xưng 3 máy với xác sut trc trc trong ngày
ca tng máy là 0,1; 0,05 và 0,2. Cui ngày thy có 2 máy
trc trc, tính xác sut đó là máy th hai và ba.
32. Mt ngưi có 3 ch ưa thích như nhau đ câu cá. Xác sut
đ câu đưc cá mi ln th câu tng ndi tương ng là 0,2;
0,3 và 0,4. Biết rng mt ch anh ta th câu 3 ln và ch
câu đưc 1 con cá, tìm xác sut đ đó là ch th nht.
33. mt bnh vin t l mc bnh A là 15%. Đ chn đoán
xác đnh người ta phi làm phn ng min dch, nếu không
bbnh thì phn ng dương tính ch 10%. Mt khác biết
rng khi phn ng là dương tính thì xác sut b bnh là
60%.
a) Tinh xác sut phn ng dương tính ca nhóm có bnh.
b) Tính xác suâ't chn đoán đúng.
38
Cơng II
BIN NGU NHIÊN
LUT PHÂN PHI XC SUT
§1. KHÁI NIỆM BIẾN NGU NHIÊN
1.1. Khái niêm
Tính toán bng s vn đã quen thuc và d s dng
trong ng dng, nht là dùng ti máy tính. Khi nghiên
cu các sự kin ngu nhiên, rt bt tin khi mô t và làm
tính vi các s kin.
íOìái nim biến s (đi lưng biến thiên) đã rt thông dng
trong gii tích toán. Chính vì thế ta tìm cách đưa vào khái
nim biến s ngu nhiên như là mt đi lưng ph thuc vào
kết cục của mt phép th ngu nhiên nào đó.
Thí d 1.1. Gieo mt con xúc sc. Nếu ta gi biến ngu
nhiên là sô" chm xut hin, rõ ràng nó ph thuc vào kết cục
ca phép th và nhn các giá tr nguyên t 1 đến 6.
Thí d 1.2. Nghiên cu biến ngu nhiên nhit độ” ca
mt phn ng hóa hc trong mt khong thi gian nào đó Rõ
ràng nhit đ đó nhn giá tr trong mt khong [í; T], trong đó
í và T c nhit đ thp nht và cao nht ca phn ng
trong khong thi gian trên.
V mt hình thc, th đnh nghĩa biến ngu nhiên như
là mt hàm s có giá tr thc xác đnh trên không gian các sự
kin sơ cp (sao cho nghch nh ca mt khong sô' là mt sự
kin). Đ phân bit sau này ta kí hiu X, Y,... là các biến ngu
nhiên, còn X, 3', ... ìà giá tr ca các biến ngu nhiên đó. Như
39
vy, X mang tính ngu nhiên, còn X là giá tr cụ th quan sát
đưc khi phép th đã tiến hành (trong thng kê đưc gọi là th
hin ca X).
Vic c đnh mt biến ngu nhiên bng tp các giá tr ca
rõ ràng l chưa đủ. Bưc tiếp theo là phi xác đnh xác sut
ca tng giá trị hoc tng tp các giá tr. Vì thế tiết sau ta s
phi dùng tổi khái nim v phân phi xác sut ca biến ngu
nhiên X.
1.2. Phân loi
Biến ngu nhiên đưc gọi ri rc, nếu tp giá tr ca nó
là mt tp hu hn hoc vô hn đếm đưc các phn tử. Thí d:
sô" đim thi cửa mt học sinh, sô" cuc gọi đin thoi ca mt
tng đài trong mt đơn vị thòi gian, sô"tai nn giao thông, ...
Biến ngu nhiên đưc gọi là liên tc, nếu tập giá trị của
lp kín mc khong trên trc s^ (sô" phn t ca tp giá tr
là hn khng đếm đưc theo thuyết sô). Thí d: huyêt áp
ca mt bnh nhân, đ i ca chi tiết máy, tui th ca một
loi bóng đèn đin tử, ...
Như vy min giá tr ca mt biến i rạc s là mt dãy sô"
Xi, %2, x,... có th hu hn hoc hn. Min g trị của mt
biến liên tục s một đoạn [a; ] c R hoặc chính R = {-co, +co).
§2. LUT PHÂN PHI XÁC SUẤT
2.1. Bng phân phối xác suã't và hàm xác suất
Đôi vi biến ngu nhiên ròi rạc, mi giá tr ca nó đưc
gn vi một xác sut đc trưng cho kh năng biến ngu nhiên
nhn giá trị đó P i- P(X - Xi). Như vy ta đã xác định;
Đnh nghĩa 1. Bng phân phi xác sut ca biến ngu
nhiên X là
40
X = x X X2 .... Xn
p{x) Pi ....
trong đó [X, X2, ...} là tập các giá tr ca X ã sp xếp
theo th tự tăng); còn = p(xj = P{X = x j.
Thí d 2.1. Bng phân phôi xác sut ca thí dụ LI §1 s là:
X
. 1 2
3 4 5 6
píx) 1 1 1 1 1 1
6
6 6 6 6 6
D thy các p{x), X =1,6, đu bng nhau; hay X có phân phi
đu trên tp {1, 2,..., 6}. Chú ý rngp{x) = 0 vối mọi X không
nm trong tp giá tr trên ca X, chng hn /}(8) = 0.
Thí d 2.2. Mt x th chcó 3 viên đn. Anh ta đưc yêu
cu bn tng phát cho đến khi trúng mc tiêu thì dng bn,
biết rng xác suât trúng ca mi ln bn là 0,6. Hãy lp bng
phân phôi xác sut ca sô" đn cn bn.
Gii. Rõ ràng s^ đn cn bn, ký hiu là X, là mt biến
ngẫu nhiên ri rạc và t yêu cầu ca bài toán s có 3 giá tr
1, 2 và 3. X = 1 là s kin phát th nht trúng và Pi = P{X - 1)
= D,6; X = 2 là sự kin phát thứ nht trưt, còn phát th hai
trúng do đc lp nên P2 = P{X = 2) = 0,4.0,6 = 0,24; cuôl
cùng nếu viên th hai vn trưt, thì dù viên th ba kết quả
thế nào, P vn bng P{X = 3) = 0,4^ = 0,16. Từ đó bng phân
phôi cn tìm:
X 1 2 3
Pix)
0,6
0,24
0,16
Thí d 2,3. Mt x th bn 3 phát, xác sut bn trúng mục
tiéu ca mỗi phát là 0,6. Hãy lp bng phân phô^i xác sut ca
sô đn trúng mc tiêu.
41
Gii. Nếu gọi X là sô" đn bn trúng, ta tp giá tr là
{0, 1, 2, 3}. Ta tính xác sut P{X = k) - p{k) bng công thc
Béc-nu-li p(k) = ; n = 3, p = 0,6; t đó bng phân phôi
cn tìm:
X
0 1
2
3
p{x) 0,064 0,288
0,432
0,216
Hàm sp(x) = P(X = x), X e tp giá tr ca X, thưng đưc gọi
là hàm xác sut ca X; nó có hai tính cht cơ bn:
(i) p{x)> 0 Vx;
(ii) p{x) = 1.
mi X
Bn đc có th kim tra d dàng các tính cht này trong 3 thí
dụ trên. Ngoài ra có th thy rng hàm của mt hoc nhiu
biến ngu nhiên vn tiếp tc là mt biến ngu nhiên. Trong
trưng hp biến ri rc việc tìm lut phân phôi ca mt biến
hàm như vy thưng d hơn so với biến liên tục.
Thí d 2.4. Cho hai biến X và y có bng phân phối tương ng:
và
X -1 0 1
p{x) 0,3 0,4 0,3
y
1 2
p(y)
0,3 0,7
Hãy lp bng phân phôi xác sut của: a) b) X + y.
Gii, a) Biến
z
= rõ ràng ch có hai giá tr 0 và 1, t đó
bng phân phôi xác sut ca nó:
z
0
1
p(z)
0,4
0,6
b) Biến
z = X +
Y có các giá tr sau: 0, 1, 2 và 3. Đ ý rng
í>(Z = z,) = P (X + y = 2,)= P (X .x ,:Y = ^
trong đó tng hiu theo nghĩa ly theo mi giá t- X,
ca X và Y sao cho + j = Zf,\ còn P{X = x^; yj) là xác sut
42
đê đng thòi x= X, y = Vj. Nếu X vằ Y không có quan h gì
(tức đc lp, sẽ nói đến chương III) thì rõ ràng xác sut
P{X = X- Y -
y.i) =
P(X
= X,)P(Y
= j). T đó bng phâ
ca Z:
2 0 1 2 3
p(z)
0,09 0,33 0,37 0,21
(chng hn P(Z = 2) =
P(X = 0; y = 2) + P(Z = 1; y
0,4.0,7 + 0,3.0,3 = 0,37).
2.2. Hàm phân phối xác suâ't
Bng phân phôi xác sut có một hn chế cơ bn là chưa đ
tng quát đ đc trưng cho mt biến ngu nhiên tùy ý, nh^t là
ti^ưòng hp biến liên tục. Vì vy ngưòi ta đưa ra khái nim sau:
Đnh nghĩa 2. Hàm phân phi xác sut ca biến ngu
nhiên X, ký hiu là F{x), đưc xác đnh như sau:
F(x) = P{X < x), X e R (2.1)
Từ đnh nghĩa trên, F{x) phn ánh đ tập trung xác sut
bên phi ca sô' thc X . Trong trưòng hp biến ngu nhiên ròi
rc, (2.1) cho ta mt hàm còn đưc gi là hàm phân phôi tích
lũy (hay xác sut tích lũy).
Thí d 2.5. T bng phân phôi ca thí d 2.2 và dùng (2.1)
ta s có F{x) = 2^ p{X)v
X. < x
F{x) =
0, X < 1,
0,6, 1< X < 2,
0,84, 2 < X < 3,
1, X ^ 3.
Đ th của hàm phân phôi xác sut này là hàm bc thang;
Đ ý là X có bao nhiêu g tr thì F(x) có bng ấy đim gián
đon loại 1 (xí-m hình 2.1).
43
1
0,84
0,6
0
2
Hình 2.1
3
X
Hàm phân phôi xác sut có F{x)
vai trò quan trng khi nghiên
cu các biến ngu nhiên liên
tc. Nếu ta biết được hàm
phân phi xác sut có nghĩa
xác đnh hoàn toàn biến ngu
nhiên. Tuy nhiên trong thc tế
cũng phi thy rng vic tìm
đưc F{x) là rt khó, nếu không
nói là hu như không th làm
đưc.
Có th nêu ra mt văi tính cht ca hàm F{x)\
(i) 1 > F{x) > 0.
(ii) F{x) là mt hàm không gim, tức là nếu thì
F{x) > F{x[).
n)P{a<X< fĩ)^F{J}-F{a). (2.2)
Hqu hin nhiên: nếu X liên tc và F{x) liên tc ti a thì
P{X = a) = 0.
(iv) F{+<x>) = 1; F{-<ò) = 0.
Vic chng minh các tính cht trên có th da vào đnh
nghĩa- (2.1). Cũng t đnh nghĩa y ta thy F{x) ít nht phi
hàm liên tc trái (xem d 2.5 trên), còn trong trưng hp
X liên tc thì F{x) nói chung là mt hàm liên tục. Trong tính
cht (iv) F{+ oc) ký hiu lim F{x), tương t đôi vi F{-<ò), Ci
cùng đ ý là (2-.2) luôn đúng vi mọi biến X liên tc hay ròi rc,
trong trưng hp F{x) liên tc có h qu hin nhiên:
P{a <x< p) - P{a <x< P) = P{a <x< p) - P{a <x <P),
Thí d 2.6. Cho hàm phân phôi c sut ca mt biến
ngu nhiên liên tc X có dạng:
44
F(x)=i
0, X < 2,
a(x - 2)^, 2 < X < 4,
], X > 4.
Xác đnh hng s a và tính P(2 < X < 3).
Gii. Do F(x) liên tc, nên ti = 4 ta phi có a(4
từ đó a = . Dùng (2.2) ta có:
4
P(2<x<3)= F (3 )-F(2) = - (3 - 2)2 - 0
4
1
4
2.3. Hàm mật đxác suất
Hàm phân phôi F{x) còn một hn chê (mà bng phân phi
không có) là không cho biết rõ phân phi xác sut lân cn mt
điểm nào đó trên trc sô". vy đì vi c biến ngu-nhiên liên
tục, có F(x) kh vi, ni ta đưa ra khái nim sau đây.
Đnh nghĩa 3. Hàm mt đ xác sut ca biến ngu nhiên
X, ký hiu là fix), có hàm phân phi F{x) kh vi (trừ mt sô'
hữu hn điểm gián đon b chn), đưc xác đnh bng
f{x) = F\x). (2.3a)
T công thc đnh nghĩa (2.3a) và các khái nim đo hàm
và tích phân, ta có ngay do tích phân là phép toán ngưc của
đạo hàm
X
F{x)= \fit)dt.
4
00
T đó công thc (2.2) s tương đưdng vi;
p
p[a<x<p) = f/'(x)dx.
(2.3b)
(2.4)
a
V mt hình hc (2.3b) và (2.4) cho ta din tích phn mt
phng chn bi đường cong y = f{x), trc Ox và các đưòng
thng tương ng (xem hình 2.2 và 2.3).
45
Hàm mt đ xác sut ca mt biến liên tục có hai tính
cht cơ bn ging như hàm xác sut mc 2.1
(i)f(x)>0 \/x;
+00
(ii) f(x)dx - 1.
J
00
T đnh nghĩa (2.1) và khái nim đo hàm, ta có th thy
i nào giá trị ca f(x) lân thì ti lân cn đim đó có đ tp
trung xác sut cao, điu đó gii thích tên gọi mt đ xác sut.
Thí d 2.7. Cho hàm mt đ ca biến ngu nhiên X có dạng ;
f(x) =
acosx, X G
<
K n
. 2 2
0, X
K n
. 2 2_
a) Tìm a và xác đnh hàm phân phi xác sut F{x) ca X.
b) Tính xác sut đ X nhn giá tr trong khong
Gii, a) Dùng tính cht (ii) ca hàm mt đ:
,ĩĩ
+ 00
n
' 2
f{x)dx = a cosxdx = 2a = 1,
K
t đó rút ra a -. Việc tìm Fiy) dựa o công thc (2.3b). Ta có:
2
46
n
Vi X < thì
2
f{x)dx = 0;
X
Vi ~~<x< thì [f{x)dx =
2 2 J
-oc
1
cosxcx = -rísina: + l ) ;
{2 2^
- 0 0 /T
9
n ""r 1
Vi X > ^ thì fx)dx = -^cosxdx = 1.
2 ^ ^ ^ J 2
- y , ĩĩ
2
T đ F(x)
0,
X < -
71
2
;r
1,
.r >
71
b) Theo (2.2):
p
n
< x <n = p
- 1
;r
)
1 r , n .
sm + 1
1 V2
2 4
Thí d 2.8. Cho xác sut phân rã ca mt nguyên t cht
phóng x trong khong thòi gian dt khá bé là Ădt (gi sử s
phân rã đó không ph thuc o quá kh). Hãy xác định:
a) Xác suâ^t đ nguyên t đó phân rã trong khong thòi
gian t\
b) Hàm mt đ xác sut ca thòi điếm phâm rã ca
nguyên t.
47
Gii.
a) D thy xác sut không phân ca nguyên tử trong
khong thòi gian dí là 1 - dt. Chia khong thời gian t thành
tldt các khong con có đ dài dt\ t đó xác sut để nguyên t
không phân trong khong thi gian đó xp xỉ là (do có gi
thuyết đc lp) (1 - dty''^\ Ly gii hn khi dt -> 0, ta có xác
sut cn tìm à 1 - (bng 1 - xác sut nguyên t không
phân rã trong khong thi gian t).
b) Gọi T là thòi đim phân ca nguyên tử f{t) là hàm
mt đ ca T. ràng xác sut đ nguyên t phân thòi
đim trong khong thi gian t t đến í + dí s bng xác sut
không phân rã trong khong thi gian t trưc đó nhân vi xác
sut phân rã trong khong thi gian dt, t đó;
P{t < T < t + dt) = f{t)dt - e^^dt.
0,t<0,
t > 0.
Vy ta có f{t) =
Đây chính là hàm mt đ ca biến ngu nhiên tuân theo
lut phân phi mũ, ký hiu đây T ~ £{).
§3. C S ĐC TRƯNG CA BIẾN NGU NHN
Dâu biết rng hàm phân phi xác sut cho ta thông tin
đy đ nht v biến ngu nhiên, nhưng trong thực tế ta không
th xác đnh đưc nó; t đó dn đến vic tìm jnt vài đc trưng
quan trng, thông thưng là đặc trưng v v trí và v đ phân
tán. Trong 3 sô" đc trưng v v trí, đu tiên ta xét v k vng,
hai sô'khác là mt và trung vị s xét mc 3.3.
3.1. K vng
Đ nh n gh ĩa 1. K vng ca biến ngu nhiên X, ký hiu
EX, đưc xác đnh như sau:
48
nêu X biến ròi rạc có hàm xác sut
p (X i)
-p^i- 1, 2,. thì:
EX=^x,p,] (3. la)
Vi
nếu X là biến liên tc có hàm m t đ f{x), X e R, thì:
EX= xfix)dx. (3.1b)
T (3.1) ta thy k vng chính là tng có trng sô" ca tt
c các g tr ca X, hay còn là tr trung bình ca biến ngu
nhiên (phân bit vi trung bình cộng ca các giá tr). Trong
thc tế, nếu quan sát các giá tr ca X nhiu ln và ly trung
bình cng, thì khi sô" quan sát càng lớn sô" trung bình đó càng
gn ti k vng EX, vì vy k vng còn đưc gi là tr trung
binh ca biến X không s nhm ln.
Thí d 3.1. Xét li thí d 2,1 vi X là sô" chm xut hin
khi gieo mt con c sc. Theo (3.la)
E X = ( l + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = 3,5.
6
Như vv trong trưòng hp xác sut đưc phân phi đu trên
tp giá tr, kỳ vọng chính là trung bình cng ca c giá tr ấy.
EX - 3,5 n có nghĩa là nếu gieo nhiu ln sô" chm trung
bình thu đưc s là 3,5.
Thí d 3.2. Tìm kỳ vng ca biến X trong thí dụ 2.3.
Gii. TI eo (3.la) ta có:
l X = 0.0,064 + 1.0,288 + 2.0,432 + 3.0,216 = 1,8.
Thí d 3 3. Tìm k vng ca biến X trong thí dụ 2,6.
Gii. Trước hết ta phi tìm hàm mt đ ca X, theo (2.3a)
- 2), x e [2;4],
0, X Í2;4
f{x) =
49
T đó theo (3.1b):
4-cr
EX = xfix)dx= '~[x-2)dx
2
10
3
Thí d 3.4. Mt người mua 10000 đng x sô" lô 2 sô^ vi
lut chơi như sau: anh ta sè thng 700000 đng (gp 70 ln
tin mua) nếu sô" mua trùng vi 2 sô" cuôi ca giải đc đc gn
nht sp tới (và không đưc đồng nào nếu không trùng). Hãy
tìm sô" tin thng trung bình ca mt ln ci như vy.
Gii. Gi X là sô" tin thng ca mt ln chơi, rõ ràng X
nhn các g tr 0'' và 700000^^ vi các tn sut (và coi luôn là
c sut cũng không s làm mt tng quát) tương ng là 99%
và 1%. T đó sô" tin thng trung bình chính là:
EX = 0^.99% + 700000^1% = 7000 đng.
Mc dù EX > 0, nhưng ch quên rng anh ta đã b ra
10000 đng đ mua xổ sô". Như vy trong thc tế mi ln chơi
anh ta mt trung bình 3000 đng.
Ta phát biu mt sô" tính cht ca k vng:
(i) Ec - c {c hng sô");
(ii) E{cX) = cEX\
(iii) E{X +Y)^EX^EY\
(iv) Nếu X, Y đc lp thì E{XY) = EX.EY
(đ ý rng khái nim đc lp s đưc làm rõ hơn chương III);
(v) Nếu Y = (fÁX), thì ph thuc vào X ròi rc hay liên tc
+0C
ta có; EY = )Pi hoc EY = \(p[x)f[x)dx, trong đó các
i -cr
p{x) và f{x) các hàm xác sut hoc mt đ tương ứng.
Thí d 3.5. Gieo đng thòi 2 con xúc sc. Tìm tng sô^ châm
trung bình.
50
Gii. Gi X, là sô' chm xut hin ca con c sắc th i
{i = 1, 2), dễ thy t thí d 3.1 EXị = EX
2
- 3,5. Mt khác tng
sô^ chm ca 2 con xúc sắc s X + X2 , t đó dùng tính cht
(iii) ca k vng, ta có E(X- + X
2
) = 3,5 + 3,5 = 7.
3.2. Phương sai
1. Dùng phép lấy kỳ vọng mc trưc, ta có th đnh
nghĩa khái nim phương sai.
Đnh nghĩa 2. Phương sai của biến ngu nhiên X, ký hiu
vx. đưc đnh nghĩa như sau:
VX^E[{X-EX)~]. (3.2)
Trong (3.2) ta thy X - EX chính là đ lch ca biến X so
vi trung bình ca nó, t đó phương sai chính là trung bình
ca bình phương đ lch đó. Vậy phương sai đặc trưng cho đ
phân tán ca biến ngu nhiên quanh tr trung bình ca biến
đó. Cũng theo ý nghĩa đó phương sai càng lớn thì đ bt đnh
ca biến tương ng càng làn.
Trong tính toán, ph thuc vào X là i rc (vi hàm xác
sut p{x)) hay liên tc (vi hàm mt đ f{x)), ta có hai công
thc tính phương sai:
- E x f p^. (3.3a)
Vi
hoặc: v x = \[x - E X f f [x)dx. (3.3b)
«
Tuy nhiên vic tính theo (3.3) khá phc tp, vì vy, dùng các
tính cht ca k vọng, ta có th biến đổi (3.2) về dng tưdng
đương, khá dễ dàng để tính toán
vx = E{X^) - {EX)\ (3.4)
vi các phương án tính ng với X rời rc hay liên tc như
trong (3.3):
51
J
(3.4a)
+CC
v x = x^f^x)dx-
co
'^+00 ^
x/'(x)dx
v - c c J
2
(3.4b)
Thí d 3,6. Bng phân phôi ca biến ngu nhiên X trong
thí d 2.3 có dng:
X
0 1 2 3
p ( x )
0,064
0,288
0,432
0,216
Hãy tính vx.
Gii, Ta đã tính EX = 1,8 trong thí d 3.2. Rõ ràng việc
tính theo (3.3a) khá phc tp. Ta sẽ dùng ng thc (3.4a)
vx = 010,064 + 110,288 + 2l0,432 + 3l0,216 - 1,8
= 3 ,9 6 -3 ,2 4 = 0,72.
Thí d 3.7, Cho hàm mt đ ca biến ngu nhiên X tuân
theo phân phi mũ (xem thí d 2.8, đ ý > 0)
0, JC < 0,
, X > 0.
Hãy tính phương sai ca X,
Gii. Đu tiên ta tính k vng theo (3.1)
+CC '
f(x) =
EX = xf[x)dx = xe -
oc 0
Tđó dùng (3.4b) ta có;
vx = \x^e'^dx-\ = \ .
Ã
52
2. Đê ý rng phương sai v x luôn là mt sô" không âm. T
đnh nghĩa ta cũng thy rng v mt vt v x không cùng
th nguyên (cùng đơn v đo) đôi vi X, vì vy ta đưa vào khái
nim sau đây:
Đnh nghĩa 3. Đ lch chuẩn ca biến ngu nhiên X, ký
liu là ơ(X), đưc đnh nghĩa như sau:
ơ { x ) = 4 v x . (3.5)
T đnh nghĩa (3.5), nhiu khi ngưi ta ký hiu phương sai
à cr{X) hoc (nếu đã biết rõ là phương sai ca biến o). Đ
ch chun đưc dùng thưng xuyên hơn phương sai do có cùng
đơn v đo vi chính biến X.
3. Cuôi cùng ta phát biu mt sô^ tính chất ca phương sai
đ lệch chun;
(i) Vc = 0 (c - hng sô);
(ii) V{cX) = c'VX; a{cX) = |c|ơ(Z);
(iii) Nếu X, Y đc lp thì ViX+Y) = v x + VY;
a{X + Y) = ^a^X) + a^{Y).
Chú ý điồu kin đc lp khá cht, sau này chương III
ta thây có tho gim nh. Tba tính cht trên, ta có th dn ra
2 h qu quan trng:
- V(X + í ) = vx.
- Phưn sai ca trung bình cộng n biến ngu nhiên đc
lập cùng ph. n phôi s bé hơn n ln phương sai ca các biến
thành phn, :c là nếu VX^ = cr^ V = 1,^1, thì:
v x = v
n
ơ
n
Đây chính là lý do khi đo đạc các đi lưng vt ngưòi ta
thưng đo nhiu ln rồi ly trung bình cng c kết qu.
53
3.3. Mt sô đặc s khác
1 . Mt giá tr ca biến ngu nhiên X có kh năng xut
hin ln nht trong mt lân cn nào đó ca nó. Như vy đôi
vói biến ròi rc mô"t là giá tr ca X ng vi xác sut lớn nht,
còn đốĩ vi biến liên tc mô"t là giá tr làm hàm mt đ đt
max. Như vy m^t có th chcc đi đa phương và mt biến
ngu nhiên có th có mt môt hoc nhiu mô't.
Thí d 3.8. Cho hàm mt đ ca biến ngu nhiên X tuân
theo phân phi Vây-bun
0,
X
< 0,
f{^) =
X
4
-e \ x > 0.
[ 2
Hãy xác đnh môt ca X.
Gii. Môt ca X s là nghim ca phương trình:
Từ đó mt s là nghim ca 1 - = 0 . Nhưng do X > 0,
2
suy ra môt = yÍ2 ^ 1,414.
2. Trung v là giá tr ca biến ngu nhiên X chia phân phôi
thành hai phn có xác sut ging nhau, tc nếu ký hiu
trung v là medX thì:
P(X < medX) = P(X > medX) =
2
Từ đnh nghĩa hàm phân phôi, rõ ràng đ tìm trung v ta chỉ
cn giiF(:r) = . Trong nhiu trưòng hp ng dng, trung v
2
là đặc trưng vị trí rt tt, nhiu khi tô"t hơn cả kỳ vng, nht
khi trong sô" liu nhng sai sót thái quá.
54
Trung v còn có tên gi là phân v 50% ca phân phôi.
Phân v là mt điểm (giá tr ca X) sao cho xác suât để biến
ngu nhiên nhn g tr bé hơn s bng sô' phn trăm cho
trưâc ca tng xác sut phân phôi, chng hn ta nói rng 2 là
phân v 72% ca X nếu F(2)= 0,72. Thông thưng ngưòi ta hay
xét các phân v 25%, 50% (trung v), 75%, 95%,...
Thí dụ 3.9, Tìm trung v ca biến X trong thí d 3.8.
Gii. R ràng trung v là nghim ca phương trình:
madX {medx
f{x)dx ~ 0,5 hay 1 ~e ^ = 0,5;
t đó suy ra medX - 1,665.
Nói chung, ba sô^ đc trưng k vng, môt và trung v không
trùng nhau, chng hn t thí d 3.8 và 3.9 và tính thêm trung
bình, ta có EX = 1,772; môt = 1,414 và med X = 1,665. Tuy
nhiên trong trường hp phân phôi đôi xng và chỉ có một môt
thì cả ba đc trưng đó trùng nhau.
3. Mômen khái nim tng quát hơn so vói k vng và
phương sai.
Đnh nghĩa 4. Mô men cp k đôi vi a ca biến ngu
nhiên X là mt sô" xác đnh như sau:
v,{a) ^ E{{X ~ af]. (3.6)
Nếu a = 0, ta hiu V, = Vk(0) = E{X^) và gi nó mômen gc
cp k. Rõ ràng kỳ vọng chính mômen gôc cấp 1 EX = Ui- Nếu
a = EX, ta hiu Vf,{EX) - E[(X - EX)^] và gi nó
mômen trung tâm cp k; cũng rõ ràng phương sai là mômen
trung tâm cấp 2 vx = .
Mômen có vai trò quan trng trong thông kê và ng dng
xác suâ"t. Gia chúng (mômen gc và mômen trung tâm) có các
liên h sau:
55
1^2 =V2-V'=ơ\
//3 =ư. - 3 ^2 ^] + 2 i>f,
=U -iv.V+6v.^V-3ul,....
Ngưòi ta còn dùng các
mômen đ đc trưng cho hình
dng ca hàm mt đ phân phôi:
- H sô bt đi xng là t sô" nếu = 0 đưng
a . .
cong mt đ đôi xng, nếu nó âm hay dương đưòng cong đó sè
bt đôi xng tương ng vi các đưòng I và II trên hình 3.1.
- H s nhọn là t s' . Nếu tỷ sô^ này càng lốn
^4
đưòng cong có đnh càng nhn hơn. Đưòng cong mt đ ca
phân phi chun (xét mc sau) có /?2 3.
§4. MỘT S PHÂN PHI THÒNG DNG
4.1. Phân phối đểu
1. Phân phối đu ri rc
Đnh nghĩa 1. Biến ngu nhiên X đưc gi là tuân theo
luật đều ri rc vi tham sô' n, ký hiu nếu X có
bng phân phôi xác sut
X 1 2 n
1 1 1
p{x)
n n n
(4.1)
1
Như vậy hàm xác sut s có dng p{i) - , i-\,n . Ngưòi
n
ta còn m rộng khái niệm phân phôi đu cho biến X nhn giá tr
trên một tp hu hn bt kỳ có n phn t {Xi, x}; khi đó:
56
piXị) = i=ĩ,n .
n
D dàng, nếu X - ^/(n) và t (4.1), ta có ngay:
E X ^ ^ - V X
rì^ -1
2 12
2. Phân phi đu liên tc
Đnh nghĩa 2. Biến ngu nhiên X đưc gi tuân theo
lut phân phi đu liên tc trên [a;6] ký hiu x~ ^/([a; ò]),
nếu X có hàm mt đ (a < 6):
f{x) =
1
, x e
b-a
a; 6]
0, X
a; b .
(4.2)
Đồ th ca hàm f(x) cho trên hình 4.1. Bng tính toán đơn
gin có th tìm đưc: nếu X ~ 6]) thì:
EX
vx =
a + b
12
Phân phi đều ^/([0: 1 ]) có vai trò
rt quan trng trong mô phng các
sô" ngu nhiên.
Hình 4.1
4.2. Phân phi nh thc
1. Phân phi Béc-nu-li
Đnh nghĩa 3. Biến ngu nhiên X đưc gi là tuân theo
lut phân phi Béc-nu-li, ký hiu là X ~ nêu hàm xác
sut của có dạng:
p(x) = pY~', X = 0 và 1. (4.3)
57
Ta thây mọi phép th ch có hai kết cục đu có thê mô
hình hóa bng phân phôi này. Chng hn mt phép ch có kết
cục A vi xác sut p và A vi c sut q = 1 ~ p. Xây dng
biến ngu nhiên X sao cho P(X = 1 ) = P(A) = p v P{X = 0) =
P(Ãj= g, ta có X p).
X
0
1
p(x)
p
EX = o. + l.p - p ,
vx=ơ\q + p(l - p ) = pq.
Trong thực tế phân phôi Béc-nu-li ít đưc sử dng (có th
do quá đơn gin), tuy nhiên nó đưc dùng làm cơ s để tìm
lut phân pi ca các biến ngu nhiên khác.
2. Phân phi nh thc
Đây một trong các phân phôi rât hay dùng trong thông
hin đại. chương I ta đã làm quen vi lưc đ c-nu-li
khi xét dãy n phép th đc lp, giông nhau, trong mi phép
th sự kin A xut hin vi xác suâ^t p. Nếu gi X là sô^ ln
xuât hin A trong dãy n phép th đó, ta đã biết X có c giá
trị t 0 đến n vi các xác sut tương ng ( = 1 ~p):
p(x) = (x) = x^O,n. (4.4)
Đnh nghrĩa 4. Biến ngu nhiên X đưc gi tuân theo
lut phân phi nh thc, ký hiu X - p) nếu hàm xác suât
ca nó có dng (4.4).
Bn đc hày t xây dng bng phân phi xác sut ca x~
p). Rõ ràng phân phôi Béc-nu-li trên mt trưòng hp
riêng ca phân phôi nh thc khi n = 1 . Cn nhc li các điu
kin đ có phân phôi nh thc:
58
- dãy các phép th giông nhau, đc lp;
- trong mỗi phép th ch có 2 kết cục (có không);
- hai tham sô^ hng xác đnh: sô^ các phép th n và xác suât
xut hin 1 trong 2 kết cc trên p.
Thí d 4.1. Cho X - (5; 0,25). Hãy xây dng bng phân
phôi xác sut ca X, sau đó tính các xác sut;
a) X > 3; b)X > 1; c) X < 4.
Gii. V mt ý nghĩa X s ln xut hin s kin A nào
đó trong dãv õ phép th đc lập, biết rng trong mi phép th
sự kin A có xác sut P(A) = 0,25. Dùng ng thc (4.4) vi
n - õ\ p ~ 0,25. ta sè có;
0 1 2 3 4 5
X
pix) 0.2373 0,3955 0,2637 0,0879 0,0146 0,0010
Quan sát bng s^ này ta thy X ~ 1 ì giá tr có xác sut lớn
nht, vy 1 môt ca X, trong ng dng ngưòi ta gi s ln
xut hiện chc chn nht, Vic tìm các xác sut tương ng da
vào bng sô" trên:
a) P{X > 3) = p(4) + p(5) = 0,0156;
b) P{X>\) = 1 -P (X < 1) = 1 -p(0) = 0,7627;
c) P(X < 4) = 1 - P{X > 4) = 1- p(5) = 0,9990.
Có th dng biu đ (đ th ca hàm ròi rạc) ca p{x) như
hình 4.2.
y giò ta tính kỳ vng
phương sai ca phân phôi nhị
thc. Rõ ràng nếu X -ì{n, p)
thì X là sô" ln xut hin sự kin
A nào đó trong dãy n phép th
Béc-nư-li. Gi X, là sô" ln xut
hin s kin A đó trong phép th
0,4-
0,2-
pM
0 1
2 3 4
Hinh 4.2
X
59
th i, i = 1 , n . Ta thy Xi ch có hai giá tr 0 và 1 và P(A) = p =
P{X = 1), X = Xi + X2 + ...+ x. Do các X; độc lp, mt khác EXi
= p, VX = pq, nên ta có:
EX =
i = l
v x = v x , = npq.
i = l
Chú ý rng khi n khá lớn mức đ đối xng (đối vi k
vng) ca hàm xác sut càng rõ rt. Nói chung vic tính xác
sut theo công thc (4.4) khá phức tp, tuy nhiên bng các
chương trình máy tính thì không có vn đ lớn. Vic tính
xp x các xác sut đó đã xét §3 chương I và các mc dưi
đây. Ngoài ra d dàng chng minh hai kết qu sau:
(i) Nếu X ~ ^{n, p) thì Y = n - X~ n, l-p).
(ii) Nếu.Xi~ p), X2~S9(ri2, p), thìX) + ^ 2~ +ri2,p).
4.3. Phân phối Poa-xông
Đ nh nghĩa 5. Biến ngu nhiên X đưc gi là tuân theo
lut phân phi Poa-xông, ký hiu là x~ nếu hàm xác
suâ't ca nó có dng:
p(jc) = ^ ^ , :)C = 0,1, 2,... (4.5)
a:!
Phân phi Poa-xông có nhiu ng dng trong lý thuyết
phc v đám đông, kim tra cht lưng sn phm... Chang
hn s cuc gọi đin thoi ca mt tng đài trong 1 ngày, s
lưng khách hàng ca mt nhà băng trong 1 gi... đu là các
biến ngu nhiên có phân phi Poa-xông.
Có th chng minh rng [1- p' , khi n -» + 00,
p -> 0 sao cho np ^ = hng sô", có gii han - . Trong thưc
xĩ
hành, nếu n khá ln và p khá , thì (À = np):
60
p(x) = C>^(1 - p)"-^ -
Thí d 4.2. Ngưòi ta vn chuyn 5000 chai rượu vào kho
vi xác sut v ca mi chai 0,0004. Tính xác sut đ khi
vn chuyn có không quá 1 chai b v.
Gii. Có th dùng lưc đ Béc-nu-li (phân phi nh thc),
nhưng n = 5000 rt lớn, còn p = 0,0004 quá bé. Nếu gi X là s
chai b vỡ khi vn chuyn, có th coi phân phi ca X xp x
vi phân phôi Poa-xông với Ă = np = 2.T đó theo (4.5):
p(0 < X < 1) = « 0,406.
^ ^ 0! V.e^
Ta đi tính các sô" đặc trưng của X ~
h x ct? - X
EX ^J^xp{x) = ^xe~^~
x=0 a:=0 ^ *
vx = Ex'^) - {Exf = ì + -^ =Ă.
Đôi khi ngưòi ta yêu cu tính mt ca X. Ngưi ta đã
chng minh Ă - 1 < mt X < . Nếu nguyên, ta có 2 mt là
- 1 ; n nếu Ă không nguyên, môt s là giá tr nguyên
nằm gia A - 1 và . Trong thí d 4.2 môt ca X là 1 và 2, đó là
s chai có kh năng v nhiu nht khi vn chuyn (xác sut v
bng 0,2707 cho mi trưòng hp X = 1 hoc X = 2).
4.4. Các phân phi ri rc khác
1 . Mt trong các gi thiết của phân phi nh thc là s đc
lập ca các phép th thành viên trong dãy. Trong nhiu bài
toán thc tế gii thiết đó không đưc tha mãn. Mt trưng
hp c đin là việc chn mu không hoàn lại, trong đó xác sut
61
không n la hng sô nữa. Thí d ta có N sán phấm trong đó
có m phế pbôm: nếu ta chn không hoàn li ra n sn phm và
gọi X là sô" phế phm trong đó thì P(X = x) sẽ không còn cưc
tính theo (4.4) đưc nữa ý muôn tính theo (4.4) ta phi
chn có hoàn lại). Theo định nghĩa cổ đin, c sut để trong n
sn phm có đúng X phế phm chính là;
X
P (x) = .r - 0, 1 , ....n.
tl ^ ' r'\n
Đinh nghĩa 6. Biên ngu nhiên X đưc gi tuân theo
luật phân phôi siêu hinh hc, hiu là X - .'TíiN, n, p). nếu
hàm xác suâ^t đưc xác đnh theo công thc:
/ 'IX X
p(^) = = 0, 1, /7, (4.6)
Để ý rng trong công thc (4.6). nếu u ý đến thí d bên
trên đinh ngiìa, ta có p - là tỷ lê phê phám lúc ban đaiu và
N
nếu đt = 1 - p thì (4.6) s tr thành:
^n-x
X - 0, 1, n.
Khi N rt ln, xác suâ^t p s ít thay đổi và khi đó ta có thê
dùng li (4.4) đ xấp x cho (4.6) và gi thiết p là hng xác
đnh không b thay đi đáng k.
Thí d 4.3. Trong một hp đèn 15 bóng có 5 bóng kém châ^t
ng. Chọn ngu nhiên ra 10 bóng (tt nhiên không hoàn li),
hãy lp bng phân pi xác sut ca sô^ bóng kém cht lưng
trong mu chn ra.
Gii. Rõ ràng X tuân theo phân phôi siêu hình hc vi
1 _ . .
N" = 15, = 10 và p = . Dùng phn mm đế tính theo (4.6), ta
3
có bng phân phôi như sau:
62
X
p{x)
0 1 2 3 4 5
¥,00033 0,01665 0,14985 (^39960 034965' 0,0.^592
X
6 7
8 9
1 0
p(x)
0 0
0 0 0
Trong trưng hp này ta không th xp x các xác sut bng
phân phôi nhị thc đưc. chang hn tính theo (4.4) với n - 10,
p = - , ta có P,o(3) = 0,26012; p,„(7) = 0,01626, ... Trong thc
3
hành khi N > lOn ngưòi ta mi chp nhn x bng phân phĩ
nh thức.
Có thế chng minh đưc rng nếu X - .^{N, riy p):
N ~n
EX = np\ vx = npq~ .
N - \
Ngoài ra khi > 00 sao cho > 0 ta có:
N
^l-x
Vi p - Điu đó gii thích cho vic xp x phân phôi siêu
hình bng phân phôi nh thc khi N khá lớn.
Trong mục này ta đnh nghĩa thêm hai phân phôi ròi rạc
ly cơ s ca phép th Béc-nu-li.
2. Đ nh nghĩa 7. Biến ngu nhiên X đưc gọi là tuân theo
lut phân phi hnh hc, hiu là X - ^(p)y nếu hàm c
sut ca có dng:
p(x) = p{l - p ) \ X = 0, 1, 2, ... (4.7)
Từ đó ta thy X chính là sô' ln không xut hin trưc
lần xut hin đu tiên ca mt s kin A nào đó (trong dãy
Béc-nu-li vi P(A) = p). D dàng chng minh khi X - &ip)-
63
2
p p p p
3. Đ nh nghĩa 8. Biến ngu nhiên X đưc gọi là tuân theo
luật phân phi nh thc âm, ký hiu \kX~ cA^^{r, p), nếu hàm
xác sut ca nó có dạng:
p{x) = il - p )\ x = 0 ,l,2 ,... (4.8)
Ý nghĩa ca X chính là s ln không xut hin trưc ln xut
hin th r (r > 0) ca mt sự kin A nào đó (trong dãy Béc-nu-li
với P{A) = p). So sánh (4.7) và (4.8) ta thy rng phân phôi
hình học là trưng hp riêng ca phân phôi nh thc âm khi
r = 1 . Cũng có th chng tỏ khi X ~ cA"í/ì (r, p).
= = ( = l - p ) .
p p
Có th tóm tt các quan h ca các phân phi ri rạc trên
bng sơ đ sau;
Sơ đ quan h gia các phân phôi ri rc
64
4.5. Phân phi chun
Đây phân phôi liên tc quan trng và có ng dng rộng
rãi nhât, còn có tên gọi phăn phi Gao-xơ,
Đnh nghĩa 9. Biến ngu nhiên X đưc gọi là tuân theo
luật phân phi chun, hiu l X ~ ơi\a, ơ^), nếu hàm mt
đ ca có dng
f{x) =
ix-ciý
'2ơ~
ơ
xeR.
(4.9)
7T
D thây hai tham sô"
trong (4.9) a và cũng
chính là hai sô" đc trưng
quan trng EX và vx, còn ơ
à đ lch chun ca X. v
mt đ th, đường cong (4.9)
có dng hình chuông (xem
hình 4.3). Từ hình v 4.3 ta
thy hàm f{x) trong (4.9) đì
xng qua EX = a, t đó
medx ~ a, đồng thi mt X - a
do hàm đt
m a x
ti
X - a.
Nếu ta lây lân cn crca a, thì phn
din tích chn bi /'(x), tục hoành và c đường X = a ± ơ- sẽ
có din tích bng 68,26% (đơn v din ch). Đó cũng chính
P(l X - a\< ) - 68,26%. Tương t ta cũng có
P (|X -a |< 2 c x ) = 95,44%;
P ( |X - a I < 3a) = 99,74%. (4.10)
Công thức (4.10) cho ta thây hu chắc chn biến ngu nhiên
X ơ\a, cr) fiè nhn giá tr trong lân cận Scrcủa k vọng, sự
kin đó mang tên gi quy tc Yắt quen thuc trong các tính
toán k thut. Qua hình 4.3 ta cùng thy rõ nếu EX là đc
trưng định v ca phân phôi, thì v x đc tng đ tán x.
65
Nếu & càng lớn f{x) phân tán nhiu hơn, đnh đ th càng
thâp và tù hơn, đưòng cong tim cn ti trc hoành chm
hơn (chú ý là tng din tích chn bi f{x) và trc Ox luôn
bng 1 ).
Thí d 4,4. Đ dài mt chi tiết máy gi sử tuân theo lut
phân phôi chun với tr trung bình 20cm và đ lch chuan
0,5. Hãy tính xác sut khi chn ngu nhiên ra mt chi tiết thì
đ i ca nó:
a) lớn hơn 20cm;
b) hơn 19,5cm;
c) lớn n 21,5cm.
Gii. Gi X là đ dài ca chi tiết máy chn ra, rõ ràng
X ~ o4'^(20; 0,5').
a) Do phân phôi đôi xng qua k vng nên P(X > 20) = 0,5.
b) Do P(19,5 < X < 20,5) = 68,26% (quy tc la) nên xác
sut để X nm ngoài khong đó là 31,74%. Do tính đôi xng
P(X < 19,5) = 15,87% (và cũng bng P(X > 20,5)).
c) Do cùng lý do như trên và dùng quy tc 3cr ta có
P(X > 21,5) = (1- 99,74%)/2 = 0,13% = 0,0013 (xác sut không
đáng k).
Tuy nhiên trong thí d trên khó tìm đưc xác sut đ đ
dài X nm trong mt khong tùy ý. Có hai cách gii quyết
hoc dùng máy tính với các phn mm tương ng, hoc sử
dng các bng sô" có sn. chương I §3 ta đã đưa vào khái
nim hàm Láp-la-xơ
^(x) - e '^dt. (4,11)
^ 4 ^
Ta s tìm ch biến đổi (4.9) và hàm phân phôi tương ng ca
X ~ ơ'\a; (ỷ) đ có th dùng đưc bng sô" hàm trên. D thây
t (4.9), hàm phân phi ca X có dạng:
66
F(x) =
c
y2.
2a
dt.
(4.12)
ơ\^Z7ĩ
Dùng phép biến đổi 2 = ~ ta có th đưa (4.12) v dng
ơ
F W =
1
x - a
o
V2
e dz
n
x - a
a z*
yÍ2n
dz +
'J2n 0
Mt khác phép biến đổi biến trên s ng với phép biến đi:
x-a
(4.13)
z =
(4.14)
ơ
t đó do cV{a;
<),
nên
z
~ ũ4''(0; 1) vi hàm mt đ:
f{z)
V2
1
e 2 (hàm Gao-xơ).
n
Phân phôi ũV{0; 1) s có tên gọi là phân phôi chun rút gn,
hay phân phôi chun chun tc và đng tác biến đổi (4.14)
đưc gi là quy chun. Do k vng ca z bng 0 nên
0
p[z<0)=
f[z^dz = ,b
- 0 0
và t (4.13) ta có:
ơ
(4.15)
Vic biết đưc hàm phân phôi trong (4.15) cho phép chúng ta
tính đưc mi xác sut ca X thông qua hàm Láp-la-xơ trong
(4.11) đưc xác đnh trong bng sô" 2. Chú ý rng z ch có phân
67
phôi chun khi biến X tương ng tuân theo lut chun, tuy
nhiên z luôn có kỳ vng 0 và phương sai 1 .
Bây giò gi sử ta muôn tính p[a <x < p), biết rng X -
(a; ơ^). Dùng tính cht ca hàm phân phôi của X ta có ngay, có
tính đến (4.15):
P{a<x< p) = F{p)-F[a)^
p -a
o- )
a - a
ơ
(4.16)
Trong trưng hp đặc bit nếu ta muôn tính P X - a ) < ó) tùy
ý, viết li
x ~ a
< e thành a-e < X < a + ^ và t đó:
X - a
<£) =
(s^
-
= 2
' e
lơ ;
v<y)
lơ j
p (|x - 2 0 |< 1,25) =2
= 2ệ{2,5)
Vi sự kin này, các kết qu đưc tính trong thí dụ 4.4 các
trưng hp riêng ng vi £ ~ơ và
3
ơ. Nếu ta chọn £ tùy ý,
chng hn £ - 1,25 (dung sai ca máy) và muôn tính xác sut
X -2 0 ) < 1,25) vi a = 20 chính là đ dài quy đnh, khi đó
theo ng thức trên;
' 1,25"
. 0,5 ,
= 2.0,4938 = 0,9876.
đây xác sut này có ý nghĩa là t l chính phm ca chiếc
máy đã cho bng 98,76%.
Tng của n biến ngu nhiên đc lp cùng có phân phi
chun vn là mt biến ngu nhiên chun (mà ta có th chng
minh bng c kết qu chương III). Từ đó nếu X- ~ c4'\a', ơ^)
Vi = l,n , và đc lp, theo các nh cht của kvng phương sai:
o \
ơV'
n
a,
ơ
n
(4.17a)
68
ơng đương vi điu đó nếu đt:
x~a
thì '(0; 1 ).
(4.17)
ơ
Phân phôi chun có th dùng xp x khá tô"t cho mt sô"
phân phôi ròi rc. Đôi vi phân phi nh thức, khi tham sô" p
không quá gn 0 hoặc 1 và n khá lớn, p) s rt gn vi
ơVinp; npq)\ vic xp x s rt tôt nếu np>ĩi khi p < 0,5 hoặc
i(l ~ p) > 5 khi p > 0,5. Từ đó nếu X- ì{n, p) và có c điu
kin trên thì (xem §3 chương I):
p(a < X < /?) -
p-np
ynpq
-
a -np
npq
(4.18)
<p
P(X.a)
a -np
.npq
, (p - hàm Gao-xơ.
npq
Trong trưng hp như vy ngưòi ta nói rng lut nh thc hi
t theo lut đến lut chun chun tc và viết:
X - n p L
npq
^c4'{0; 1).
Thí d 4.5. Xét X - .0(20; 0,4), tính P{4<x< 13).
Gii. Theo (4.18):
P(4<X <13)^i
13-S'^ ^4-8^
^ \Í4,8
J
ư4.sj
= íí(2,28)+íý(l,83)
= 0,4884 + 0,4664 = 0,9548.
Nhưng do n = 20 vn chưa tht ln, trong thc hành người ta
hiu chnh (4.18) như sau:
p[a < X < P)
/? 4 - 0 , 5 - n p
Jnpq
-
a-0 ,õ -/zp
npq
69
Vic cng thêm vào +0,5 và -0,5 chính là yếu t hiu chnh khi
xp x mt biến i rc bng biến liên tục. Từ đó
p{4<x < 13) = {2,ĩ>\)+ <íí(l,60) = 0,9743.
Đ ý là kết qu tht ca xác sut này là 0,978.
Ngưòi ta cùng chng minh đưc rng, nếuX~^() thì:
X -Ă L
VI
*0O
4 cT(0; 1).
4.6. Các phân phối liên tục khác
Ngưòi ta đã thy rng nhiu phân phĩ liên tc đưc cm
sinh trc tiếp bi phân phi chun (k c chun). Trong mục
này ta s xét mt s phân phi quan trng hay dùng trong
thhg kê. Các phân phôi khác có th tham kho trong bng
thông kê cui tiết này.
1. Pn phi vi n bc t do, ký hiu là ;^(n), có th
đưc đnh nghĩa bng vic xác đnh hàm mt đ:
f(x) = , JC > 0, n > 0,
trong đó hàm gam-ma đã đưc xét trong gii tích
nx)
(4.19)
có các tính cht Ví nguyên
(i) m + 1 ) = i! (i > 0);
v2 .
- - 1
2
3 1
2
(ii) r
(iii) r{x) = (x - 1)F(:!c - 1), X e R.
(i > 2, l);
70
Tuy nhiên cách đnh nghĩa này khá phc tp và không cho
ta cách xác đnh rõ ràng phân phôi ^ xuâ^t phát t phân
phôi chun.
Đnh nghĩa 10. Xét n biến ngu nhiên đc lp X - c4 '{Ò\ 1),
1 - 1, n . Khi đó biến ngu nhiên:
i = l
(4.20)
R ràng (4.20) cho ta cách nhn biết đơn gin mt biến có
phân phôi khi bình phương xut phát t n biến đc lp cùng
phân pi chun chun tắc. Dng đ th ca hàm mt đ
(4.19) cho hình 4.4. Các sô^ đc trưng quan trng
EU^-n,
VU, = 2n.
Phân phôi ^ có mt vài tính
cht quan trng:
a) Nếu X ~ /in), Y - / (m),
và đc lp => X + F ~ ;f{n + m).
u - n -r
n>2
b)
\/2Ã i
n->x
o4^'{0; 1).
n = 2
Hình 4.4
Ngoài ra có mt h qu quan trng s đưc dùng nhiu
trong thông kê: Nếu ta có n biến đc lp ' cy^^(a; ơ^); t = 1, /I,
và x = -{x, +...+ Z)thì-Vx(X, -/(n - 1 ) . (4.21)
ĩ ơ i^]
Trong (4.21) do ta thay thế a bng X , vì vy bậc t do ca
phân phôi đă bớt đi I. Việc tính toán với phân phôi ;^{n) đưa
s dng bng 4 trong ph lục hoc dùng máy tính.
2. Ta s dùng ch định nghĩa trên đ xác đnh lut phân
phi Stiu-đơn với n bậc tự do, hiu là t{n).
71
Đnh nghĩa 11. Cho X và y là hai biến ngu nhiên đc lp
tuân theo lut c4'X0; 1) và ^{n) tương ứng. Khi đó biến
(4.22)
Y
n
Hàm mt đ ca phân phôi t{n) cho bng cuôi tiết, đ th
ca nó có dng rt giông với đưòng cong chun. Các sô' đặc
trưng ca là (chú ý hàm mt đ đôi xng):
ET^ = 0 {n > 1);
v r' = ^ ( « > 2).
Phân phi Stiu-đơn có tính cht quan trng:
/ > cyf '{0; 1).
^ ;->oc ' ^
Trong thực hành, khi n > 30, đ th ca đưòng cong mt đ
phân phôi t{n) đã rt gn với >/ '(0; 1). Chú ý khi n = 1 , ta có
phân phi -si, đó là phân phi không có mô men nào. Bng
phân v t{n) cho phn ph lc (bng 3).
3. T sô" ca hai biến ngu nhiên đc lp có phân phi
cho ta một phân phối mi (ký hiu là íĩ (n, m) - phân phi Phi-sơ
- Sne-đơ-co vi nvm bc t do).
Đnh nghĩa 12 . Cho X và y là hai biến ngu nhiên độc lập
tuân theò lut ^{n) và x^{ni) tương ng. Khi đó biến
u = (4.23)
Y Im
Hàm mt đ ca phân phi {n, m) cho bng cuôi tiết.
Đồ th ca hàm đó có dng gn giông với đường cong mt. đ
Biến có các đc trưng:
m-2^
72
2m^(n + m-2) . .
VU =
----
------------
Um > 4 .
nm - 4)(m - 2)
Đ ý t (4.23), do vai trò ca X và y có th đi cho nhau nên
nếu u ~ F (n, m), V ~ . {m, n) thì ơ và có cùng phân phôi.
Ngoài ra nếu M = 1 , t (4.22) thy ngay rng tuân theo lut
,^(1 , m).
4. Đnh n ghĩa 13. X tuân theo lut phân phi Gam-ma,
ký hiu là X ~ [r, ) , nếu hàm mt đ có dng:
f{x) = - - ,r>0,>0,x>0. (4.24)
r ( x )
(hàm r(x) đã xác đnh trên).
Các s đặc trưng ca X ~ (r, ) :
EX = j; V X = -^.
Ta đ ý mt s tính cht quan trng ca phân phối Gam-ma
a) Nếu X ~ y{p, ), Y ~ y{q, ) đc lập => X + y ~ X + p, ^)-
b) Nếu X ~ /(r,l) thì
x - r ,
£/K(0; 1 ).
Đế ý nếu r = 1 , ta có phân phôi mũ £{) (xem thí dụ 2.8
chương này) có nhiu ng dng trong lý thuyết đ tin cy.
5. Bng tng kết các phân phi liên tục.
73
n
Chun
Stiuơn
Phi-sơ
Bảng tổng kết phân phối liên
Hàm mt âf{x)
ơy2n
exp
/
x-a
ơ
--1
.2 /> 2
e
x> 0
n
22 r
n>0
r
n + l
TĩTl
r
.2 \
1 +
n
n+l
r
V
r
v2y
r
m
n-2 n+m
X {m+ nx) 2
JC> 0
m,n>0
EX
a
n
0(n>\)
m
m-2
(m > 2)
vx
ơ
2n
2nì^ {n + m-2)
n{m-2f {m-4)
{m > 4)
Ký hiệu
<yV{a, )
x\n)
t{n)
^(n, m)
Gam-ma
Mũ
Đu
Vây-
bun
Lô-ga
cHun
B-ta
Bảng tổng kết phi liên tục (tiếp)
Ã
x>0
e Ã, X > 0
6-
a< x<b
a
ax^~^ ex)[-ax^)
\ a, > 0
n/2^
x'^exp
(7vz;r
(Inx-g)"
2ơ-'
A>0
ơ-> 0
r{a + ) g
-1
0
<X
< 1
r{a)r[) ^ a,
>0
r-
a-^b
1.1
exp
a +
ơ'
a
'
12
r
1 + -
/I
-r-
I.iì
J
exp2a+ơ-') exp(cr^)-l
aÃ
(a + ý (a + /I + 1)
r{r, )
8(A)
'«<([«, b])
^{a, )
^ơ\a,
_ J Í L _
(a, )
i
Tbng tng kết trên, có th xây dng sơ đ quan h sau:
o Z(±x,)
Sơ đ quan h g/ũa các phân phi liên tc
BÀI TẬP
Mt xí nghip có 3 xe ô vi các xác sut làm vic tt
trong ngày là 0,99; 0,995 và 0,999. Tìm bng phân phi
xác sut ca sô" xe hng trong ngày.
Hai cu th thay nhau ném bóng vào rổ cho đến khi nào
trúng rô thì dng ném, biết rng xác sut ném trúng ca
mi ngưi tương ng là 0,6 và 0,7 (trong mỗi ln ném).
Tìm lut phân phi xác sut ca:
a) s ln ném ca cu th th nht;
b) s ln ném ca cả hai cu th.
Vlt t có 6 nam và 4 nữ. Chọn ngu nhiên ra 3 ngưòi. Tìm
lut phân phôi ca sô" n trong nhóm đưc chn.
76
6,
7,
8.
9,
Xác suât cha khi bnh A của mt bác sĩ là 0,8. Tìm lut
phân phôi ca s^ đưc cha khi bnh trong mt nhóm
bnh nhân gồm 5 người do bác sĩ đó điu trị.
Cho bng phân phôi c sut của mt biến X nào đó có dng:
X
1 2 3 4
5
p(x) a 2a a 3a 2a
(a là tham số). Hãy xác đnh: a) tham sô" a; b) giá tr k nh
nht sao cho P{X < Ã) > .
2
Một vùng dân cư có t l sôt rét là 5%. cn chn ra ít nht
bao nhiêu ngưòi đ vi xác suât 95% trong sô" đó có ít nhất
1 ngưòi mắc bnh sôt rét?
Xác sut bn trúng đích của mt khu súng là p. Tiến
hành bn liên tiếp trong điu kin như nhau đến khi
trúng thì dng bn. Tìm sô" đn trung bình phi bn.
Cho hàm mt đ ca biến ngu nhiên X có dạng:
f{x) = x>0.
(l + e")ln2
Hãy tính EX và v x
Cho biến X có hàm phân phôi có dạng:
0, X < 2,
f ( i ) =
X
a + b arcsin , - 2 < X < 2,
2
1,
X > 2.
a) Xác định a và b; b) Tìm hàm mt đ f{x)\ tìm các sô đc
trưng EX,
vx,
mt X, medX.
10. Năng sut lúa một địa phương là biến ngu nhiên có phân
phi chun vi kvng 42 t/ha và cr= 3 t/ha. Tìm xác sut
77
đ khi gt ngu nhiên 3 tha rung thì có 2 tha có năng
suâ^t sai lch so với trung bình không quá 1 t/ha.
11. Kim tra cht lưng 100 sn phm vi t l chính phm
0,95. Tìm xác sut để sô^ sn phm đt tiêu chun nm
trong khong t 900 đến 980.
12 . mt tha rung trung bình trong mt g tìm đưc 60
con sâu. Tìm xác sut trong vòng 1 phút không tìm thây
con sâu nào.
13. Tìm môt ca biếnX tuân theo lut nh thức.
14. Mt viên đn có tm xa trung bình là 300 m. Gi sử tm xa
đó là mt biến ngu nhiên tuân theo lut chuẩn vi a = 10.
Hãy tìm tỉ l đn bay quá tầm xa trung bình t 15 đến 30 m.
15. Biên đ dao đng ca thành tu thy là biến ngu nhiên X
tuân theo lut phân phôi Rê-le
f{x) =
X
ơ
2ơ
[x > 0).
Tìm xác sut để biên đ dao động lốn hơn trung bình của nó.
16. T kết qu 2 ln thí nghim ta có 2 đi lượng ngu nhiên
độc lp cùng phân phôi với bc t do ơng ng là 4 /à
6. Tìm xác sut đ đi lưng th nht n 3 ln đi
.ưng th hai.
17. Ch í các X: ~
0, , i = 1,5; 0, ^ , i = 1,11; V, giả
) V
s chúng đc lp. Tính p
3 x >
V = 1 =1
18. Cho X ~ £^'(3, l), Y ~ 2) đc lp. Tìm các xác gai
a)Z > Y ;
b) X > 27.
78
Chương Hi
BIÊN NGU NHIÊN NHIÊU CHIÊU
§1. LUẬT PN PHI CỦA BIẾN NGU n h iê n
NHIỀU CHIỀU
1.1. Các khái nim cơ s
1 . hai chương trưốc ta đã nghiên cu bn cht xác sut
ca mt biến ngu nhiên riêng rè. Nhưng trong thc tế nhiu
khi phi xét đng thời nhiu biến khác nhau có quan h tương
hvà dn tối khái nim ưéc tơ ngu nhiên hay biến ngu nhiên
nhiu chiu. Nhng thí dụ v các biến nhiu chiu rt phổ
biến, chang hn khi nghiên cu mt chi tiết máy, ta quan tâm
đng thòi đến nhiu khía cnh khác nhau như trng ng,
kích tc (riêng nó đã nhiu chiu), cht ng, cht liu...
Vic nghiên cu riêng r tng khía cnh có th cho ta các
thông tin không đy đ.
Đ cho đơn gin, ta nghiên cứu biến ngu nhiên 2 chiu
(X, Y), trong đó X v Y là các biến mt chiu. Hu hết các kết
qu có th m rông khá d dàng cho biến n chiu. Nếu X và y
ròi rc, ta có biến ngu nhiên hai chiu ròi rc; nếu chúng liên
tục, ta có biến hai chiu liên tục. S phc tp n mt chút
một biến ròi rc và mt biến liên tục mà ta không xét đây.
2. Ta phát trin khái niệm m phân phi xác sut cho biến
ngu nhiên hai chiu. Xét hai s kin A = {X < và < y}.
Đnh nghĩa 1. m phân phi xác sut ca biến hai chiu
(X, Y) đưc c đnh như sau;
F{x, y) = P{AB) = p{x < X-, Y<y), X, yeR . (1.1)
79
Trong nhiu tài liu hàm F{x, y) trong (1.1) đưc gi
m phân phi đng thi ca hai biến X và y. Đây là mt hàm
thực hai biến và v mt hình hc ta có th biu din tp xác
đnh ca F{x, y) bng các đim trên mt phng ta đ Đề-c.
Tương tự như trưòng hp một chiu, ta có th dn ra mt
sô^ tính cht ca hàm phân phôi hai chiu
(i) 1 >F(x,y) > 0;
(ii) F(x, y) không gim theo tng đôl sô";
(iii) F(-co, y) = jP(x;-CX)) = 0; F(+co;+oo) = l(giá tr ±00 hiu
theo nghĩa lây gii hạn);
(iv) Vi < X2, yi < y2 ta luôn có
P(x^ < X < X2; F < y.) = ^ 2) - F(^2. yù - ^(^1, yi)
F(x^,y,).
Đó chính là c sut đ đim ngu nhiên (X, Y) rơi vào min
ch nht ABCD (xem hình 1 .1).
Đ ý rằng
F (x ;+ 0 0 ) = p ( x < x; F <+0 0 ) = p ( x < x) = (x);
F{^; y) = P{X < + cx); Y < y) = P{Y <y) = F^{y)
là các phân phôi ca riêng tng
thành phn X v Y tương ng;
chúng đưc gọi là các phân phi
biên ca biến hai chiu (X, Y). Đó
cũng chính các phân phôi (một
chiu) thông thưòng ca X và Y.
3. chương I ta đã làm quen
vi khái nim đc lp ca hai sự
kin A và B: chúng đưc gi là đc
lập nếu PB) ~ P{A)P{B). Áp dụng
khái nim này vào (1 .1) ta có
Y
y2
3^1
0
Hình 1.1
80
Đ nh nghĩa 2. Hai biến ngu nhiên X và y đưc gọi là đc
lp nếu
F (x,y) = F,(x)F2(y). (1.2)
Tt nhiên nếu X và y độc lp, ta có th nghiên cứu riêng r
tng biến theo các phưng pháp đã và t các phân phi biên
ca X và Y có th xác đnh đưc phân phi của (X, Y) theo
(1.2). Tuy nhiên chúng không đ đ xác đnh phân phi đng
thòi nếu X và y không đc lp.
1.2. Phân phi xác sut ca biến ngu nhiên hai chiu ri rc
1. Giông như trưng hp mt chiu ta tìm ch xác đnh
biến hai chiu rồi rc qua bng phân phi xác sut.
Đ nh ngha 3. Bảng phân phối xác suất ca biến (X, Y)
ri rạc là
X
V2
...
:Vm
Y.
J
Pll
P 12
..
Pij
...
P\m Pĩ (^1)
^2 P21 P 22
P 2 j
.
P2m P2(^2)
.
...
Pil
Pi2
Pij
Pìm P l )
1
,
Pnl
Pn2
...
Pnm Pl )
X
{
P 2 (>'1 ) pÁy2)
P2(yj)
...
Pìiym)
1
trong đó P = px - X-,Y = yj"j là xác sut đng thi đ X ly
giá tr X i , i = l,ra , và y ly giá yj, j = l,m. Bng này có th tr
thành vô hn khi n, m nhn giá tr 00.
Giông như trong trưng hp mt chiu, ta xác đnh hàm
xác sut p(a:, y^sao cho y-) = i= l,n, j = l,m . Hàm này
tính chất:
81
(i) Pý > 0 Vi, j;
(ii) Z Z a. = 1 (tng hiu theo nghĩa ly theo V , j),
T đnh nghĩa 3, ta có thê tìm đưc hàm phân phi c
sut đưc đưa vào bng (1 .1):
>i <y
Các phân phối biên của biến hai chiu đang xét đưc xác đnh t:
(1.4a)
P(X = X;)-Pi(a:.) = ^ p . , i = l,n\
J
p[Y=yj) = p,(yj)^^p,j ,j = ĩ,.
(1.4b)
Thí dụ 1.1. Cho bng phân phì đng thòi ca X và Y:
y
X
1 0,10 0,25 0,10
2 0,15 0,05 0,35
Tìm lut phân phi xác sut ca c biến X và Y, sau đó tính
F{2, 3).
Gii. Ly tng hàng và tng ct tương ng ca bng s, ta
có các phân phi biên cn tìm (xem (1.4)):
X
1 2
y
1 2
3
PÁx)
0,45 0,55
P2(y)
0,25 0,30 0,45
Vic tính F(2, 3) dựa vào (1.3):
F(2,3)= X p ^ = A i+ P i2 = 0 ,3 5 .
x ,< 2 y j < s
82
T đnh nghĩa 2, hai biến i rạc X, Y đưc gi là đc lập
nếu vi mi cặp giá tr Xi, y, ta luôn có
Pij =P\{xi)P2(yj),i = ln J = ì,m
(1.5)
Rõ ràng trong thí dụ 1.1 ta thy Pi, = 0,10 ?ípi(l)j02(l) = 0,1125;
vy hai biến X v Y đây không đc lp do (1.5) b phá khi
i =j = 1 . Có th chng t(1.2) và (1.5) là tương đương.
2. Bây gi gi sử Y ly mt giá tr cô" đnh nào đó và ta
muôn quan tâm đến lut phân phi xác sut ca X có b nh
hưng không. Theo công thc xác sut có điu kin chương I
p(x
= x,| y ^ 3/J
i =
(1 .6)
P (y = y;^)
Như vy (1.6) cho phép ta đnh nghĩa lut phân phi có điu
kin ca X biết Y nhn giá trị c th. Tương tự có th x.ác
đnh lut phân phi có điu kin ca Y biết X nhn mt giá tr
c th nào đó.
Thí d 1.2. Tìm phân phi có điu kin ca X biết rng
y = 1 trong bài toán thí d 1 .1 .
Gii. Theo (1 .6)
p (x = 1 I 7 = 1 ) =: = _ ^ = ^ = o,4;
^ P Y = ĩ) A 1 0,25
p(x =
2
y = l) = - ^ = - ^ =
0
,
6
.
^ P2(l) 0,25
Bng phân phi xác sut có điu kin ca X biết y = 1 là:
X 1
2
Pix Y=l)
0,40
0,60
Tng quát, nếu ta biết mt điu kin Cy nào đó ca Y, thì
phân phi có điu kin ca X biết Cy s là:
83
Chng hn nếu ta biết < y < ^2 vi yi và y2 nào đó, thì:
P{y^<Y<y2)
Đ ý rng trong (1.7) biến ngu nhiên Y th ròi rạc hoc
liên tục.
1.3. Phân phi c suất của biến ngẫu nhn hai chiểu
liên tục
m
1 . Khái nim hàm phân phi xác sut ca biến hai chiu
{X, Y) liên tục đã đưc xét đnh nghĩa 1 (công thc (1.1). Ta
s đưa ra khái nim hàm mt đ ca (X, Y) như sau
Đnh nghĩa 4. Nếu hàm phân phi F(x, y) ca biến hai
chiu (X, Y) có dạng:
X' y
F{x,)= f[u,v)dudv, (1 .8a)
-<X) on
trong đó f{x, y) > 0, thì hàm f{x, y) đưc gi là m mt đ ca
biến (X; Y) (hay m mt đ đng thi ca X và Y).
V mt hình học, hàm f{x, y) có th xem như là mt mt
cong trong và đưc gi là mt phân phôi xác sut. Nếu f{x, y)
liên tc theo cả hai biến thì:
dxdy
Thí d 1.3. Cho hàm mt đ đng thi ca X và y là f{x, )
= 1, vi 0 < X, <1. V hàm /Ix, y) và tính hàm phân phĩ
đng thòi F(x, ).
(1.7)
84
Gii. Mt cong phân phối
cho trên hình 1 .2. Đ ý
/(a:, y) ÍÉ 0 ch với các (x, ) thuc
khong vuông [0; 1] X [0; 1]. Hàm
phân phi F(x, y) đưc tính theo
(1 .8a):
f(x, y) = 1
Hinh 1.2
F{x,y) =
0, nếu a: < 0 hoặc y <0;
xy, nếu 0 ^ <1 và 0 <3/ < 1 ;
X, nếu 0 < » :< lv à y > l;
y, nếu a :> lv à O < y < l;
1, nếu X > 1 y > 1 .
Dng hàm phân phi thưng khá phc tp, nên ngưòi ta hay
dùng hàm mt đ. Đây thí d v phân phi đu hai chiu, tng
quát hóa pn phi đu liên tục í / ([0; 1]) đã xét chương II.
Hàm mt đ ca biến hai chiu í, Y) có các tính cht
quan trng sau:
)f{x,y) > 0;
- K O + C 0
(ii) f{x,y)dxdy = 1 ;
- X - 0 0
(iii) P\{X,Y)^.í?'A= \\f[x,y)dxdy.
Chng hn, trong thí d 1.3, ta mun tính P(0,2 < X < 0,7;
0,25 < Y< 0,45), đó chính ch phân kép ca f{x, )
' ' dxdy = (0,7-0 ,2 )(0 ,4 5 - 0,25)= 0,1.
0.2 0.25
85
v mt hình hc, đó là th. tích mt hp ch nht có đáy trên
nm trong mt phân phi f{x, y) = 1. Trong thưng hp tng
quát, S) s là mt min nào đó thuc mt xOy và P[{X, Y)eáO
bng th tích ca hp ch nht cong giới hn bi phn mt xác
sut f(x, y) và có đáy là hình chiếu ca mt đó trên mt xOy
(chính là min ù)).
Tưdng t như mc 1.1, ta xác đnh các hàm mật đ biên
ca biến (X, Y):
-KC
co
4-00
/2Í>')= f[x,y)dx\
-00
(1.9)
dF
Đ ý fx{x) cũng chính bng và là mât đô ca biến thành
dx
phn X, tương t đối với / 2(y)-
Thí dụ 1.4. Tìm các hàm mt đ biên ca biến (X, Y) có
hàm mt đ hai chiu f{x,y)= ^>3' ^
Gii. D thy theo (1.9)
KO
/i (^) =
n
dy =
n
Do tính đi xng, ta ngay /"2 (>') =
..
--------
r-
2. Tương t như (1.2), hai biến ngu nhiên đưc gọi là đc
lp, nếu
f{x, y) = fi{x)f
2
{y)- (1-10)
86
Nếu mt đ đng thòi ca X vY không bng tích các mt đ
biên fi và /'2, ta nói X vY không đc lp. Trong trưòng hp đó
có th đưa vào khái nim hàm mật đcó điều kin ca thanh
phn X biết Y = y,'ký hiu
f{x, y)dx
-c o
tương t như hàm mt đ điu kin ca Y biết
X = X cụ th nào đó, s bng f{x, y)fi(x). Chú ý rng các
mt đ có điu kin cũng tho mãn các tính cht ca hàm mt
đ bình thưng.
Thí d 1.5. Cho hàm mt đ đng thòi f(x) = X + y, 0 ^x, y
< 1. Xác đnh các hàm mt đ có điu kin.
Gii. Đ có th dùng đưc (1.11), trước hết ta phi tính các
f(x) và f2Íy) (là các mt đ biên, xem (1.9)):
fi{x)= {x +y)dy = x + ^ ,0<X<1;
0
tương t /gíy) = 3' + . 0^ y~ 1- Tđó theo (1.11), với 0 < >-< 1
2
- ^ , 0 < X < 1,
7 + 0,5
0, X [0;1],
và vi 0 < < 1 ;
y/(y\x) =
x-^y
x + 0,5
, 0 < y < l,
0, y g [ 0;l".
Đ ý hàm mt đ có điều kin (px y)là hàm ca X, đng
thời nếu C0Ĩ3' là tham s thì cũng là hàm ca y. T (1.11) ta có
f{x,y) = f2 {y)<p(x \y) = f^{x)y/[y I x) và rô ràng nếu;
87
{x\y) = fi{x) (hoc ((/(3/ I x) = f^{y'ì
ta li điu kin đc lp (1 .10).
Cui cùng th dn ra các công thc tng quát sau đây
(xem (1.7) và (1.8)):
(x I y) =
f[u, y)du
f2{y)
(phân phi điu kin);
ẹ(x\ 3/1 < y < V2 ) =
p[x <
< 7 < ^2 ) =
-0 0
>2
%
du f[u, v)dv
«
>'1
du
¥
00
f[u, v)dv
>1
>'2
{x\y^ < 7 < 3/2) =
v)dv
+00 y-)
( 1. 12)
du fiu,v)dv
- X
Đ ý trong các công thc trên cần bảo đảm để mẫu sô" khác không.
Thí dụ 1.6, Ly hàm mt đ ca thí d 1.5, hãy tính c m
mt đ có điều kin caXbiết Y 0,5; 0,75'; biết Y - 0,5.
Gii. Theo công thc (1.12) ta có:
0.75
[x + y)dy
^(x|Y e[0,5; 0,75]) = 4 õ;
đ
(x + y)dxdy
0,5
88
đ ý là 0 <x <1; nêu X 0; 1 thì (px 0,5 < y < 0,75
trưng hp biết Y - 0,5;
/ _ n ^ + 0,5
(px Y = 0,5j =
= 0. Trong
0,5 + 0,5
- = x + 0,5, 0 < X <1.
§2. C S ĐẶC TRƯNG CỦA BIẾN NGẪU NHN
HAI CHIỂU
2.1. Các sô đặc trưng ca các biến thành phần
Các biến X và F đã có các sô^ đặc trưng quan trng là k
vng và phương sai. đây ta nhc li kết qu đã biết có đ ý
đến các khái nim mi chương này, các công thc ch viết cho
biến X, đôi vi Y hoàn toàn ơng t.
Nếu X là biến ròi rc:
E X ^ ^ (x,) x.p(x^, yj);
ĩ i J
vx = (xi - EXýp, (X,) = z E - 3^,) - (EXf.
i i J
Còn nếu X là biến liên tc
+-X
EX =
cc X
* í*
xf (x)dx ^ xf(x, ydxdy;
-00 r-
X X
{x-EXf f,{x)ix= í \x^f{x,y)dxdy -{EX)
—'-T OC
M rng phép ly k vng, ta có th dn ra các công thc
tng quát hơn. Chng hn nếu (X, y) có phân phôi đã biết và
ta xác đnh biến mới z - gÍ, Y) ig là hàm đo đưc), khi đó:
89
E { (^ .^ )} = yj)
i J
g (x, 3^) f[x, y)dxdy (biến liên tục). (2.1)
V.V..V
Khi đó, để tính EX ta ch cn đt g = X M3. thay vào công thc
(2.1); đ tính vx đt g = {X- EX)\
2.2. Hiệp phương sai và h sô' tương quan
Trong (2.1), nếu thay g{X,Y) = {X-EX)[Y-EY),tà có
đnh nghĩa hip phương sai ca hai biến X và Y, hiu là -ixY
y = £ :[(x -£ ;x )(y -£ ;Y )] = í;(X Y )-í;x .:7 . (2.2)
Chú ý là phép toán ly E bên ngoài du ngoc móc hiu theo
nghĩa (2.1) và không giông như trưng hp biến mt chiu.
Ph thuc vào í, Y) là ri rạc hay liên tc, ta có
^^XY ^ j_x^Xjp[x^,Xj)-EX.EY, (2.2a)
Ì J
^XY
xyf[x, 3/) dxdy - EX.EY.
(2. 2b)
D thy phương sai là trưòng hp riêng ca hip pơng sai
khi X ~ Y vk vx = /U. Hip phương sai đưc dùng làm đ đo
quan h gia hai biến X và Y; nếu chúng đng biến cùng nhau
thì hip phương sai dương, nếu chúng nghch biến ta có hip
phương sai âm,
Ta biết nếu XvY đc lp thì E{XY) = EX. EY, điều đó kéo
theo hip phương sai ca hai biến đc lập bng 0. Nhưng điu
ngưc li không chc đúng. Vì vy ta đưa o khái nim mi:
Đ nh nghĩa 1. Nếu JxY - 0, ta nói rng X v Y không
tương quan.
Rõ ràng khái nim đc lp mnh hơn không tương quan.
Nhiu khi đ đơn gin ký hiu, ngưòi ta tp hp các hip
90
phương sai của mt c ngu nhiên vào mt ma trn gọi là
ma trn hip phương sai; trong trưng hp biến 2 chiu (X, Y)
đó là:
r =
vx MXY
^yxVY
Trên đưòng chéo chính các phương sai, và do ^ Hyx
ma trn này đối xng.
Hiệp phương sai có hn chê cơ bn là khó xác đnh đưc
min biến thiên, nó thay đi t cặp biến này sang cp biến
khác. Chưa k v mt vt lý nó có đơn v đo bng bình phương
đdn v đo của X và F (nếu chúng cùng đơn v đo). Vì thê ngưi
ta đưa ra một sô' đc trưng khác gọi là h s tương quan, ký
hiu là PXY, đưc xác đnh như sau:
PxY -
f^XY
ơƠ
(2.3)
Có th chng minh rng /?|<l.Nêu P = ± 1, ta có hai
biến X và y tương quan dng tuyến tính (tức là tn ti a và
sao cho Y - aX + b)\ còn nếu PXY - 0 thì X và Y không tương
quan. Nói chung 0 < \py \ < 1, trong trưng hp này ta nói rng
hai biến X và Y tương quan vi nhau. Hai biến tương quan thì
ph thuc (không đc lập), nhưng không tương quan thì chưa
chc đc lập.
Thí d 2.1. Tính hip pơng sai và h sô' tương quan ca
X và Y trong thí d 1.1.
Gii. Ta phi tính vx VY và E(XY) - EX.EY. Hai báng
phân phôi biên đã tìm đưc trong thí d 1.1.
X 1
2
y
1
2 3
pl(x)
0,45
0,55
p>(y)
0,25
0,30
0,45
91
Ta có ngay EX = 1,55; = 2,20; v x = 0,2475; v y = 0,66. Tinh
HXY) = ỵỵx,xjP(x„y)^
ì j
= 1.1.0,10 + 1.2.0,25 + 1.3.0,10 + 2.1.0,15 4-
+ 2.2.0,05 + 2.3.0,35 =3.50.
T đó hip phương sai
= E{XY) - EX.EY - 3,50 - 1,55.2,20 - 0,09.
Hsô" tương quan đưc tính theo (2.3)
IP
0, 22.
PxY "
^XY _
____
0^09
____
^vx . VY ~ 7024757066
^
__
Thí dụ 2,2. Biến ngu nhiên hai chiu {Xj Y) có hàm mt đ:
^ , 4x'^ + <4,
f(x, y) =
2n
Chng t X và y ph thuc và tính hip phương sai //xy.
Gii. Các hàm mt đ biên đưc tính theo (1.9):
30
X
< 1 ,
f{x, y)dy=
* 1
K
7
0, X
> 1,
co
f{%, y)dx =
< 2,
-o t
0,
y
> 2.
Do /*(x, y) ^ (^)/2 (3^) X vY ph thuc. Đ tính /.lY ta
dùng công thc (2.2). Vì fi(x) và f2Ìx) là các hàm chn nên đ
th đi xng qua các trc tương ng và EX = EY = 0, t đó:
y)dxdy
2/1-1 1 2\l\~x^
JL c c
= - xdx ydy = 0.
tt J
-1
92
(tích phân trong ly theo hàm l có cn đi xng). ràng X
và Y không tương quan, nhưng vn ph thuc nhau.
2.3. Các s đặc trưng điu kiện
Dùng các khái nim xác sut có điu kin (xem (1.6)) và
hàm mt đ có điu kin (xem (1.11)), ta th đnh nghĩa k
vng có điu kin ca biến ngu nhiên X vi y = > là mt giá
tr xác đnh như sau:
^(^1 3^*) = ^ .P (X - |y - y*) ròi rc),
i
Ex xx jdx (X liên tc).
-0 0
Tương t có th đnh nghĩa và các phương sai tương ng.
K vng có điu kin là mt hàm ph thuc X , và
trong thng kê ngưi ta gọi là hàm hi quy ca Y đối vi X . Đồ
th ca hàm đó trên mt phng ta đ Đ-các có tên gi
đường hi quy. Sau này ta s dùng hi quy đ biu din sự ph
thuc tương quan giữa các biến ngu nhiên (xem chương VI).
Đ ý là các k vng có điu kin JS(X| Y), E(Y\X) (cũng như
c s đặc trưng có điu kin khác) là các biến ngu nhiên nên
đến ợt mình li có th có nhng đc sô" tưdng ng.
Thí dụ 2.3. Cho bng phân phối ca biến {X, Y):
X
1 2
3
2
0,15 0,08 0,27
4
0,10
0,20
0,20
Tính c k vng có điu kin E^x I E{Y I Xg).
93
Gii. Dùng (1.3) và (1.6) ta có
p(x =
2 y = l) = - ^
^ ^ P2(l)
p ( x = 4 y = i) = - ^
P2(1)
0,15
0,25
0,10
0,25
= 0,6;
= 0,4.
Tđó
E(X y = 1) = 2.0,6 + 4.0,4 = 2,8. Tương t
0,10
0,50
0,20
0,50
= 0,2;
= 0,4;
P{Y = Ĩ X = 4) = - ^
^ Pi(4)
P(Y = 2 Z=4) = - ^ =
^ Pi(4)
p (y = 3 z = 4) = = 0,4.
^ p,(4) 0,50
và t đó suy ra E{Y\x = 4) = 1. 0,2 + 2.0,4 + 3. 0,4 = 2,2.
Cuối ng, lưu ý đến mt sô" tính cht ca k vng điu
kin£;(y|X):
(i) vi m i liên tc E[g{X)Y\X] = g (X )E (y |X );
(ii) E(X, +X,\X) = E(X, IX) + E(X2 I
(iii) Nếu X,
y
đc lp EiYX) = e[y)\
{ìv)E[E{Y\X)\=EY.
2.4. Phân pl >i chuẩn hai chiểu
Đê cho gn, ta dùng các ký hiu sau:
% = EX\ Oy - EY]ơ'ị = VX-, ơ = VY\ p = /9^ và - jy.
Đnh nghĩa 2. Biến ngu nhiên hai chiu í, Y) đưc gọi
là tuân theo luật phân phi chun, ký hiu là cV{ax, O-Y^
ơ, p), nếu hàm mt đ đng thời ca X và y có dng
27TơƠY^Jl - p'
94
X exp
x - a
\2
X
+
- 2 p
{x-a){y-ay)
ơỵơy
.(2.4)
Có thê ch ra dễ dàng nếu X, Y không tương quan (p = 0) thì
gi thiết chun cho phép kết lun chúng là đc lp. Bn đc có
th chng minh trong trưng hp này f(x, = /i {x)f2 (y).
Dùng ma trận hiệp phương sai r véc X xác định như sau:
X =
v3'y
ơ
2
Y J
ta thê biêu diên hàm mt đ chuân (2.4) dưi dng gn hơn
f{x) - f{x,y) =
exp
- {x-Ex)‘r (x - E x )
2;rVdet/
trong đó det là ký hiu đnh thc, t - phép chuyn v, còn Ex
hiu theo nghĩa là véctơ có c thành phn EX và EY (hay
U và Oy).
Thí dụ 2.4. Cho (^X,Y) ~ ova, Ơ, ơ, ơ, p Hãy tính
các k vng có điu kin và phương sai có điu kin.
Gii. Bn đc có th tính đưc d dàng t (2.4)
1
Í2 (>') =
ơy V2
hay Y ~ oV(aY, ơí),
2ơ'ý
7T
t đó
(p[x\y) =
f{x, y)
f2{y)
ơ
{Y-ay)= =
--------
. .. e x p -^
-------------
;
------------
r x - ũ y - p ^ \ I - ơ v
2ơ^ (1 -p ')L
Biu thc trên chính là hàm mt đ ca phân phi chun
95
o-x + / 0 (y - O y ) ; ơ(l-p^]
Ơ ^
t đó E[X\Y= y) = aỵ + P^^iy-ay)-,
ơy
V{X\Y ^y) = a(\-p^\
Hn toàn tương tự đi biến y (do tính đi xứng của hai biến):
E{Y\X = x) = a + p ^ [ x - a x \,
V{Y\X=x) = a(l-p^).
§3. HÀM CA CÁC BIẾN NGU n h iê n
3.1. Hàm của một biến ngu nhn
Nếu ta c đnh z = g{X) là mt hàm của biến ngu nhiên
X thì z tr thành mt biến ngu nhiên mi. Vn đ đt ra là
tìm cách c đnh lut phân phi ca z qua lut phân phi đã
biết ca X đây ta ch xét các trưng hp đđn gin khi hàm g
không quá phÚG tp. Xét trưng hp ròi rc.
Thí dụ 3.1. Cho biến ngu nhiên X có lut phân phi
X -2 -1 0 1 2
p(x) 0,1 0,2 0,3 0,2 0,2
Xác đnh lut phân phi ca z = và tìm kỳ vng ca z.
Gii. D thy P(Z = 0) = P{X = 0) = 0,3;
z = 1 <=> X = -1 hoc x = 1, suy ra P(Z = 1) = 0,2 + 0,2 =
z = 4 o X = -2 hoc x=2, suy ra P(Z = 4) = 0,1 + 0,2 :
0,4;
0,3.
96
T đó bng phân phi ca z =x^ là:
z
0
1 4
p{z)
0,3
0,4
0,3
Xut phát t lut phân phi trên:
EZ = = 0.0,3 + 1.0,4 + 4.0,3 = 1,6.
Trong trưng hp z = g(X) tng quát, ta có th tích trực
tiếp k vng ca
z
không cn qua lut phân phi (xem tính
cht k vng chương II):
= = 'Z,s{Xi)Pr
i i
Trong thí dụ 3.1, dễ thy EZ = (-2)^.0,! + (-1)^.0,2 + 0^.0,3 +
Il0,2 + 2 l0 ,2 = 1,6.
Khi X là biến ngu nhiên liên tục, vn đ s phức tp hơn.
Giả sử X có hàm mt đ f(x) đã biết và z = g{X), trong đó g
hàm đơn điu sao cho tn ti hàm ngược duy nht X = A,Z) =
Khi đó hàm mt đ ca (z) ca biến
z
=g(X) s là:
(3.1)
Thí dụ 3.2. Biến ngu nhiên X tuân theo lut phân phối mũ
vi tham sô" /l = . Tìm lut phân phôi xác sut của biến
z
=
GiL Vì hài y = là đđn điu tăng và kh vi, do đó có th
1
áp dng công thc (3.1). D thy = X, mt khác do
hàm mt đ ca X có dạng:
f[x) = ,X>Q,
nên nếu đt [z) là hàm mt đ ca z = ta có
97
'i ( z ) = /'[»'(2)] |»'(z)|=
Thí dụ 3.3. Cho biến ngu nhiên X -ơym, j. Tìm lut
phân phôi xác sut ca biến Y - aX + h trong đó a, ò e R.
GiL Hàm s y = ax f b kh vi đơn điu, có hàm ngưc
x = / [ y ) - Tđó:
¥'{y)
a
còn f[y/(yy =
ơ yĩn
exp
y-6
\2
- m
a
/
2ơ-'
exp
Ơ^ÁTt
-[y-am-h'j
2[aơf
T đó dùng công thc (3.1) ta có hàm mt đ ca Y = aX + b là:
{y)= /[v^(3')] ^ (y)
a
crV2
exp
y - [am + 6)
2 (a')'
Đó chính là hàm mt đ ca lut phân phi chun vối hai tham
s EY = am + 6 và VY = à^cP'. Như vy mt hàm tuyến tính của
biến ngu nhiên chun vn bo toàn tính phân phối chun.
3.2. m ca hai biến ngu nhiên
Xét biến ngu nhiên
z
= gÍ, Y), trong đó (X, Y) là biến
ngu nhiên 2 chiu đã biết lut phân phĩ xác sut. Nếu g là
98
mt hàm tùy ý thì bài toán xác đnh lut phân phi ca z qua
lut phân phi ca (X, Y) s rt phc tp. Ta s xét mt trưng
hợp đơn gin khi g(X, Y) = X +Y.
1. Trưng hp các biến X, Y ri rc
Theo ng thc xác sut đy đ (tng ly theo i sao cho
Xi + yi = Zk)
P(Z = 2,) = P(X = x,;Y = z,-x,)
i
hoặc = - yy, Y = yj)
j,
Nếu XvàY đc lp:
Thí d 3.3. Cho lut phân phi ca (X, Y) dng.
(3.2)
2 3 4
1
0
0,15
0,05
2 0,20 0,10 0
3 0,25 0,05 0,20
Xác đnh lut phân phi xác sut ca X +Y.
Gii. Tập giá tr ca
z
= X +y là {3, 4, 5, 6, 7}, t đó
P(Z = 3)=P{X= l ,y = 2 ) = 0;
P(Z = 4) = P(X=1,Y=3) + P(X = 2, y = 2) = 0,15 + 0,20 = 0,35;
P(Z = 5)=P{X= 1, Y=4)+P(X= 2, Y= 3)+P(X= 3, y = 2)
= 0,05 + 0,10 + 0,25 = 0,40;
P(Z = 6) = P(X = 2, y = 4) + P(X = 3, y = 3)= 0 + 0,05 = 0,05;
P(Z = 7) = P(X = 3, y = 4) = 0,20.
99
Tbng phân phi xác sut ca z là:
6
p{z) 0,35 0,40 0,05 0,20
Thí d 3.4. Cho X và y là hai biến ngu nhiên đc lp tuân
theo lut Poa-xông vi các tham sô' tương ng và i. Tìm lut
phân phi ca z = X + Y.
Gii. Theo công thc (3.2)
P{Z=z) = e~^ e~^ ^ ]X, y, z eN.
Nhân và chia vế phi vói z\
P{Z = z) =
21 2 !
H thc cui cho thy
z
= X + Y cũng tuân theo lut
Poa-xông vi tham s + .
2. Trưng hp các biến X, Y liên tc
Gi {z) là hàm phân phi ca biến
z
= X + Y, ta có;
[z) = P{Z <z) = p{x+ Y <z).
Biu din tp giá tr ca (X,
Y) sao cho X + Y < z là min
) (min gch chéo trên hình
3.1) nên theo tính cht (iii) ca
hàm mt đ 2 chiu;
{z) = P ((X T ) e .?) = fí/-(;c, y)dxdy
V »
)
+ 0 0
- 0 0
z-x
f{x, y)dy
00
X + y ^ z
dx.
Hình 3.1
100
Lây đo hàm hai vê theo 2 và gi {z) = (z) là mt đ ca Z:
ra.'
(p{z) = f{x,z - x)dx. (3.3a)
X .
Tương t nêu ta thay đối trình tự lây tích phân:
p{^)= \f-y^y)dy- (3.3b)
--cr,
Trong trưng hp riêng, khi X và y đc lp, t (3.3) ta có:
-hcr -tX:
'p\= [/', (^)/, ( 2 --x)ưx = f^{z-y)f^{y)dy, (3.4)
-oc
troiìg đó /i [2 là các hàm mt đ biên ca X vY tương ng.
Biêu thc (3.4) mô t mt phép toán liên h hai hàm và />;
nó (lưc gi tích chp, hiu f*f>-
Tfú d 3.5. Cho hai biến X, Y đc lp cùng có phân phôi đều
trên đoạn [0; 1] (tức hàm mt đ /i(x) = /2(x) = 1 khi X [0; 1]).
Tìm hàm mt đ và hàm phân phôi ca z - X + Y.
Gii. Đ ý rng cả hai hàm mt đ ca X v Y đu bng 0
khi đổì sô" nm ngoài [0; 1]. Gi (p(z) là hàm mt đ ca z ~ X +
y, ta có theo (3.4):
1
^z) = f {x)f2 [z~x)dx.
0
(3.5)
Do f{x) và f>{x) có giá trị khác không trên [0; 1], nên (p(z)
ch có th có giá tr khác không nên [0;2]. Ta tính ln lưt:
- nếu 2 < 0, {z) = 0;
- nếu 0
<2
< 1, (3.5) đưc viết li;
^ 1
<p{^)= fi{x)f2 {z - x)dx + fi{x )f2 {z-x)dx;
0 z
101
2
do tích phân th hai bng 0 bởi /"2 s 0, suy ra [z) - dx = z ,
4
0
- nếu 1<Z <2, hay 0 < z - 1 < 1, (3.5) tr thành
Z - 1 1
<p{^)= \fi{x)f^[z-x)dx+ [f^{x)f2 {z-x)dx]
w J
0 z - l
1
do ch phân thứ nht bng 0 bi/2 = 0, suy ra <p[z) - dx = 2- z ;
2-1
V ^ / \ r\
[z) =
- nếu 2 > 2, <f{z) = 0.
Từ đó mt đ ca
z
= X + Y sìk
0, 2 < 0,
2, 0 < z < 1,
2 -2 , 1 < 2 < 2 ,
0, z>2. Hình 3.2
Biến ngu nhiên z có hàm mt đ như trên đưc gọi là tuân
theo ut phân phi tam giác, hay phân phi Xim-xơn ("xem
hình 3.2). Việc tìm hàm phân phi ca z không phc tp:
0, z <0,
.2
(í(z) =
l _ í i z ĩ ,
2
< z < 2,
1, 2 >2.
3.3. Các s đặc trưng của hàm của c biến ngu nhn
Khi muốn tính c s đc trưng (kỳ vọng, pơng sai, ...)
của biến ngu nhiên X = g(X, Y), đã biết lut phân phân phối
xác sut của
z,
ta không gp tr ngi gì ln. Tuy nhiên vic xác
định lut phân phôi ca
z
khá phc tp. Trong thực tế nhiu
khi ta ch cần quan tâm đến các sô" đc trưng ca z là đ.
102
Chng hn trong trưng hp khi X và y là các biến ròi rc
và đã biết phân phi đng thi p(X; yj)
EZ = E[g{x, y)] = ^^giXi; yj) p{xt\ y). (3.6a)
t' j
Nếu {X, Y) liên tc có hàm mt đ f{x, y), thì
E Z ^ \ [(:x:, y)f{x, y)dxdy. (3.6b)
9 %
R*
Tt nhiên (3.6) ch có giá tr khi tng và tích phân tồn ti.
Đ ý là (3.6) cho phép ta chng minh cht ch nhiu tính
cht ca k vng như:
EiX +Y) = EX + EY\
+ nếu X và y đc lập, E(XY) = EX. EY.
Bn đc th thiết lp công thc sau đây cho pơng sai:
+ V(X+Y) = VX+VY-
§4. CÁC ĐỊNH LÝ GII HN VÀ LUT s LN
Các đnh lý giới hn và lut sô" ln rt có ý nghĩa trong
thc tin. to ra cơ s cho c ng dng ca thông kê toán
học sau này.
4.1. Sự hi tụ ca dãy biến ngu nhn
1. Hi t hu chc chn
Ta nói rng dãy biến ngu nhiên hi t hu chc chn
(hay hi t mnh) đến biến Xy hiu là —> X, nếu
plimX =
Có th dùng một tiêu chun khác đ xác định hội t hu
chc chắn: Điu kin cn và đ đ x >Xy ì \/£ > 0:
103
/
" '
<
sup
-X
m
> e
>
m>n
V
.
/
n - > c c
>0 .
(4.1)
Như vy hi t hu chc chn trùng vi hi t thưòng đôi vi
sự kin có xác sut 1. Chú ý là có th thay (4.1) bng các điu
kin tương đương
V m>n
/
>0.
m > n
n>00
^1.
2. Hi t theo xác sut
Ta nói rng dãy x} hi t theo xác sut đến X, ký hiu
X.
xs
-> X, nếu
(4.2)
V6'>0:P(|X-Z >g) >0.
Vi " )/
Rõ ràng hi t chc chn (xem (4.1)) kéo theo hi t theo
xác sut (4.2), điu ngược li nói chung không đúng.
3. Hi t theo lut
Ta nói rng dãy
[x,^]hi
t theo luật đến X ký hiu là
-> X, nếu dãy hàm pn phối F(jc) ca x hội t đến
X
**n
----
J
-----
I i "
hàm phân phi F(x) của biếnX ti mi điểm liên tục của hàm F(x).
Đ ý đi vi biến ngu nhiên i rạc sự hi t theo lut
đưc din đt bi h thc
p. w = í>(^, = ^) = p W-
Ngưòi ta chng minh đưc rng hi t theo xác sut kéo theo
hi t theo lut. Đây là kiu hi t yếu nht, tuy nhiên li
hay dùng nht, chương II ta đã s dng kiu hi t này,
thí d trong các công thc xp x chun. Chng hn nếu
y ~ J[n, p), vip không quá gn 0 hoc 1, ta đã có
104
x_
=
Yn -np
(4.3)
v « p (i-p )
í^/''(0,1) hiu theo nghĩa là biến ngu nhiên có phân phối
chun chun tc).
4. Hi t trung binh cp k
Ta nói rằng dãy hi t trung binh cp k đến X, hiệu
là X.
tbk
^X, nếu E X.-X
>0, (vói điu kin kỳ
vng đó tn tại). Hi t trung bình cp k (thường hay dùng vi
k = 2 - hội t trung bình bình phương) kéo theo hội t theo
xác sut.
4.2. Các định lý gii hn
1. Các đnh gii hn Moa-vrơ - Láp-la-xơ
Sử dng kết qu (4.3) dễ dàng suy ra đnh giới hn địa
phuVíng Moa-vrơ - Láp-la-xơ (xem (3.13) chương I)
Pn[k)
)
k - np
npq
\{x) =
2 .
72
(4.4)
và đnh lý giới hn tích phân (xem (3.14) chương I, (4.18)
chưđng II)
Pn h)- > i = 1^2, (4.5)
^npq
^ X X
1 r r
{x) -
.
e dt = (p)dt.
^2^ 0 0
Công thc xấp x (4.5) sẽ khá tt khi np > hoặc nq > 5. Nếu p
càng gần 0,5 đ th của phân phốỉ nh thức càng rt gn chuẩn.
2. Định gii hn trung tâm
Linơ-bc - Lê-vi đã m rng đnh lý giới hn Moa-v -
Láp-la-xơ t nm 1922 và kết qu đó mang tên định gii
105
hn trung tăm: gi sử {X,,} là dãy c biến ngu nhiên đc lập
có cùng phân phối với EX^ = m và vx = Vn, khi đó
ơ n
Ý nghĩa ca đnh lý giới hn trung tâm là khi có nhiu
nhân tô" ngu nhiên tác đng (sao cho không có nhân tô" nào
vượt tri ln át các nhân t khác) thì kết qu ca chúng có
dng phân phi tim cn chun.
Thí d 4.1. Một quả đu có trọng ợng trung bình là 15 gam
vi đ lệch chun 3 gam. Một túi gm 100 qu đậu cùng loại
đưc gi là đạt loi A nếu trng lưng ít nht phi đt 1,5 kg.
a) Ly ra ngu nhiên mt túi, tìm xác sut đ túi đó đt
loi A.
b) Chọn ngu nhiên ra 40 túi đu, tìm xác sut đ sô" túi
loi A không ợt quá 15.
Gii. Gi X - trng lưng qu đu th i trong túi ( =
1,100), rõ ràng trọng lượng của túi Sioo = + X2 + ... + Xioo và
theo đnh giới hn trung tâm (4.6) >
oVES^,ơ^ .D thy đây ESioo = 100.15 gam = 1,5 kg,
VSioo = ơ = 100.3^ = 900gam^ T đó có th coi Sioo có phân
phi xp xỉ chun.
Sioo ~ ^(1.5; 0,9).
a) Rõ ràng do Sioo có phân phi chun nên P(Sioo ^ ESiũo -
1.5 kg) = 0,5.
b) Chọn hú ha ra 40 túi và gi p = 0,5 là xác sut đ mt
túi đt loi A, suy ra s túi loi A trong lot túi 40 túi đó, ký
hiu là X, tuân theo lut nh thc ^ (40; 0,5). T đó ta cn
phi tính P{X < 15) = P4o(0; 15). đây np = 40.0,5 = 20 > 5, ta
áp dng công thc (4.5)
106
P,o{0;i5)^
=
15 ~ np
yrm
-
vj 1>/ĨÕ
-
-20
0-np
snpq
= {2yĩ)-
n/ĨÕ
« <i>(6,32) - (ý(l,58) = 0,5 - 0,443 = 0,017.
4.3. Lut sô ln
Mt p c đnh lý giới hn đặc bit có tên gi là lut s
ln. Đe ý là trong các kết quả sau này ta sử dng khái nim
hi t theo xác sut (mnh hơn (4.4) - (4.6) dùng hi t theo
lut phân phi).
1. Bt đẳng thc Trê-bư-sép
Đ nh lý 1. Nếu biến ngu nhiên X có kỳ vng EX = a
phương sai v x = ( hu hn thì;
(4.7)
Chng minh. Ta s chứng minh cho trường hp biến X liên
tục. Việc chng minh cho trưng hp X ròi rc dành cho bạn đc.
Đt flx) là hàm mt đ của X, theo tính cht củạ hàm mt đ
p(
x-a
^ - f{x)dx.
x-a >e
x-a\íe
Trong min ly .tích phân dễ thy [x-a ^ nên:
'f^x)dx < \ [x-.a f[x)dx
< -^ ^x-àf f[x)dx = ^ (đpcm).
£ £
Bt đng thc (4.7) có th chuyn v dng tương đương
2
p ( x - a >0. (4.8)
107
Mặc (4.7) - (4.8) đưc chng minh khá đơn gin, song
chúng có ý nghĩa rt to ln đ dùng làm cơ s cho các ng dng
ca thng . Đ ý nếu chn e khá bé, chng hn e < ơ, bt
đng thc Trê-bư-sép tr nên tm thường; nếu chn £= 3ơta
có p (|z - a | <3£-) > 1 - * 0,9 (ít nht bng 0,9, chương II ta
đã biết nếu X ~ oi^a; jthì xác sut trên » 0,9973).
2. Luật s ln Trê-bư-sép
Đnh lý 2. Nếu dãy các biến ngu nhiên Xị, ...
đc lp có k vng hu hn và phương sai b chn đu (tức là
VX < c V), khi đó với mọi £> 0
lim p
V
1 ĩì 1 n
l ± x . - l±EX,
j=l i=l
< e
= 1. (4.9)
Chng minh. Đt X - t đó
EX = ~^EX^ hu hn;
n n
Tđó áp dng (4.8) cho biến ngu nhiên X
X-EX < e
(4.10)
e ne
Do xác sut không vưt quá 1, nên khi chuyn qua gii hn
n-^oo ta có kết qu cn chng minh (4.9).
Đ ý đến (4.2) và (4.9), rõ ràng
l x . _ - ^ i í ; x , .
y, ^ í n-^Qo í
^ i=l i=l
108
Điu đó có nghĩa là khi n đ lớn thì trung bình cng ca c
biến ngu nhiên s có giá tr lch rt ít so vi trung bình cng
ca các kỳ vọng. Một h qu quan trng ca đnh lý 2 là nếu
đưa thêm gi thiết là các = 1, 2, ... có cùng vng sô (tức là
EXi ~ a, i = 1, 2, ...) thì (4.9) s tr thành
< £
n>oc
Sự kin này cho phép ta ưc lưng k vng bng trung bình
cng các kết qu đo đạc đc lp ca biến ngu nhiên có k
vng đó. Ngoài ra công thc (4.10) cung cấp mt đánh giá khá
tt xác sut p X - EX < f ), nht là khi n đ n.
^ /
3. Luật sốlớn Béc-nu-li
Đ nh lý 3. Nếu ta dãy n phép th đc lp Béc-nu-li, vi
p = P(A) và m là s ln xut hin A trong dãy phép th đó, thì
V£-> 0
limP
n-¥<x>
/
m
\
p
<
V
n
)
= 1.
(4.11)
Việc chứng minh (4.11) không q phức tp nó là trường
hp riêng của (4.9), nếu ta ký hiu X là s ln xut hin A trong
phép th thứ i, i = l,n. Rõ ràngXi tuân theo lut Béc-nu-li và
EX = p,VX^ p (l - p)< 1, m =
i=l
các điu kin ca đnh lý 2 đã đưc tha mãn và ta suy ra
ngay (4.11). Kết qu này cho ta:
m
n
xs
n-^oo
đó chính là cơ s cho đnh nghĩa thhg kê ca xác sut đã đưa
ra chương I.
109
Như vy tng ca mt s khá lớn các biến ngu nhiên
tưđng đối tùy ý li tr nên tuân theo mt s quy lut xác định.
Điu này cho phép chúng ta ng dng rng rãi các kết qu ca
xác sut và thng kê vào nhiu lĩnh vc khác nhau ca khoa
học và đòi sống.
BÀI TP
1. Cho biến ngu nhiên hai chiu (X, Y) có bng phân phôi
như sau
X
V
y\
3^2
Xi
0,18 008
x-
0,22 0,16
^3 ,,
0,16
0,20
Ngưòi ta tiến hành 3 thí nghim vi xác sut thành công
ca mi in là 0,7. Tìm lut phân pi đng thòi ca cp
biến X, y với X s thí nghim thành công, còn Y sô'
tht bại.
Lut phân ph ca biến (X, Y) cho bi bng
X
20 40 60
10
À
0
20
2
30
3
Xác định và c phân phi biên ca X và ca y.
Lut phân phi đng thi ca s li v màu X và sô' li đúc
Y ca một loi sn phm nha mt công ty cho bởi
X
0
1 2
0 0,58
0,10
0,06
1
0,06 0,05 0,05
2
0,02 0,04 0,0]
3 0,02 0,01
0,00
110
Hai biến X w Y đc lp không? Tính xác sut đ tng sô"
các li v màu và li đúc lớn hơn 4. Nếu ta biết trên sn
phm có 2 li v màu thì xác sut đ không có lỗi đúc bng
bao nhiêu?
5. Cho lut phân phôi ca biến hai chiu (X, Y) như sau:
X
2 3 5
1
0,1
0
0,1
4 0,2
0,5
0,1
Tìm lut phân phôi xác sut ca hàm X + y và XY sau đó
tính các kvng và phương sai.
6. Biến ngu nhiên (X, Y) có hàm mt đ đng thời
f[x,y)=ax^+y^),x^ + y^<4.
Xác định h sa, các kvọng thành phần hiệp phương sai.
7. Cho biến hai chiu {X, Y) có phân phi đu trong mt tròn
tâm gc ta đ và bán kính r. Hãy xác đnh hàm phân
phi biên ca X và Y, sau đó tìm hàm mt đ có điu kin
>(
X
y
8. Cho hàm mt đ đng thi của XvàY
y) - cxy, 0< :í< 4 ;0 < 3 '< 5.
Xác đnh hng s c, sau đó tìm các hàm mt đ biên và
hàm mt đ có điu kin ca ybiết 0,5
< x< 2.
9. Cho hàm mt đ đng thòi của X vàY
Xác đnh hng sa, sau đó tìm các hàm mt đ có điu kiện.
10. Hai máy t đng làm vic đc lp, xác sut đ tng máy
sn xut ra sn phm tt tương ng là và P2- Giả s mi
máy làm đưc 2 sn phm và gọi X và y tương ng là s
sn phm tt của tng y. Hãy tìm bng phân phi xác
sut ca biến hai chiu {X, y).
111
11. Tính hip phương sai và h sô' tương quan ca z và y cho
trong bài tp 4.
12. Các ta đ {X, Y) ca mt đim ngu nhiên trên mt
phng tuân theo lut phân phi có hàm mt đ
f {^- y) ^ , a,6 e R*.
2n-ab
Tìm xác sut đ đim đó nm trong mt elíp có các bán
trc bng ka và kb nm trên các trc ta đ Ox Oy.
13. Tính h s tương quan ca X và Y có hàm mt đ đng thi
2
f{x. .v) =
14. Cho hai biên ngu nhiến XwY đc lp, có cùng phân phôi
chun ơi'(0. (/). Tính các xác sut ca các s kin sair
x< Y; X > F:đng thòiX < 1 và Y < 1.
15. Cho hai biên ngu nhiên XvY đc lp, có cùng phân phi
đu trên \a; ò]. Xác đnh hàm phân phôi ca z = X + Y; sau
đó tính k vng và phương sai ca z^.
16. Xác sut đ có lỗ hng trong mt vt đúc là 0,2. Tìm xác
sut đ trong 1000 vt đúc đ lch ca s vt đúc tôt
(không có lỗ hng) so với 800 không vưt quá 5%.
17. Cho đ lch chun ca mỗi biến trong sô^ 2500 biến ngu
nhiên đc lp không quá 3 (đơn vị). Tìm xác sut đ đ
lch tuyt đôì ca trung bình cng các biến đó so vi trung
bình cng các k vng ca chúng không vưt quá 0,3.
18. Gieo 1000 ln mt đng tin cân đối đng cht. Hày đánh
giá xác sut đ tn sut xut hin mt sp lch khi 0,5 s
không vưt quá 0,1. Tìm khong dao đng của sô' ln xut
hin mt sp tương ng.
112
Chương iV
MU THÔNG KÊ ưc LƯNG THAM số
m
Tchương này ta bt đu nghiên cu thhg kê, mt lĩnh
vc rng tới mc khó có th đưa ra mt đnh nghĩa chung. Mc
vy cũng có th tóm tt thôhg kê như là mt khoa hc v
phân tích d liu (bao gm cả thu nhp và x lý) nhm thu
nhn thông tin chân thc vê đôi tưng nghiên cu vi mt đ
tin cy nht đnh và rút ra nhng kết lun hp lý. Nhng
quyết đnh thng kê có ng dng to lớn như: d báo, chn
đoán, điu khin ngu nhiên, kim tra cht lưng sn phm,
thăm dò lun...
Cũng cần u ý rng c vn đề thông kê xut hin nếu có
hai điu kin; (i) có nhiu tình huôVig cn phi la chn (chọn
mt hoc một sô); (ii) có các thông tin v các tình hung thông
qua các d liu thông kê. Trong giáo trình này chúng ta ch yếu
nghiên cứu vic x lý d liu sô mà ta hay gọi là xử lý sô'liu.
§1. MU VÀ THNG KÊ MÔ TẢ
1.1. Mu và tp đám đông
Trong công vic hàng ngày ta phi làm vic vói các dãy sô'
liu. Chúng có th là kết qu ca vic đếm khi quan sát, ca
đo đc nhờ các thiết b đo, của tính toán trước đó... và cn
đưc thu thp, lưu tr và phn tích. Đ làm đưc điu đó ta
cn sp xếp li các sô', tng hp và x lý bưc đu nhm tìm
kiếm các thông tin quan trng ca tp sô" liu. Phn công vic
này và vn đ thu thp các sô" liu đưc mang tên gi là thng
kê mô t.
113
Dãy s liu thhg kê thưng đưc gi là mu. Nó có ngun
gc t mt tp lớn hơn mà ta s gi là tp đám đông hay tp
nn. Chính thế mu s mang thông tin nào đó v tp nn,
mc dù các thông tin đó có th khác nhau nhng mu khác
nhau. Sau này đ cho xác đnh, ta gi s rng c tp nn ln
mu đu là tp c s cùng bn cht, đc trưng cho mt sô" khía
cnh nào đó ca các đối tưng quan tâm. Các đó chính là c
giá tr khác nhau ca mt biến sô". Nếu tp giá tr có th có ca
biến s có sô" lưng hu hn, ta biến ri rc. Đi vi các biến
liên tc, sô" lượng giá tr là vô hn không đếm đưc và tp s
liu ch phn ánh tp nn vi mt đ chính xác nht đnh.
Mun có đy đ thông tin v đì tưng nào đó, ta phi làm
vic với tp nn. Tuy nhiên vic nghiên cu tp nn s vô cùng
khó khăn vì:
- do quá lớn dn đến đòi hi quá nhiu chi phí vt cht
và thòi gian;
- do trình đ t chc và nghiên cu hn chê ca đi ngũ
khi làm vic với quy mô lớn, không nm bt và kim soát đưc
quá trình nghiên cu;
do nhiu khi không th làm đưc nếu tp nn biến đng
nhanh, các phn t thay đổi thưng xuyên, v.v...
Như vy vic nghiên cứu trên tp nn, tr các tp đ ,
thưng không th thc hin đưc. T đó đt ra vn đê' chn
mu và nghiên cu trên tp mu. Nếu mu đưc chn ngu
nhiên và vi s lưng đủ, chúng ta hy vng rng vic x lý
chúng s cho ta kết qu va nhanh va đ th kém ir.à vn
đt đưc đ chính xác và tin cy cn thiết.
1.2. Vấn đ chn mẫu
Ta mong mun mu có tính đi din tt cho tập nn bi
vic nghiên cứu vi mu như vy cho ta đ tin cậy cao. Hin nay
114
có nhiu phương pháp khác nhau đ chn mu, nhưng khó có
th nói rng phương pháp nào là tt nht. Vic chn phương
pháp ly mu phù hp ph thuc vào chính tp đi tưng c
th và vào thói quen sở trưòng ca nhà nghiên cứu.
ĩ. Chn mẫu ngu nhiên
Trong phương pháp chn mu ngu nhiên, mi phn t
ca tp nn đã xác sut chn xác đnh t trước c khi chn
mu. Mu ngu nhiên cho phép đánh giá khách quan hơn các
đặc trưng ca tp nn. Có 3 cách chn như sau:
a) Chn mu ngu nhiên đơn gin là phương pháp chn
mu tính cht: mi mu cùng kích (cùng sô" phn tử)
có cùng xác sut đưc chn và mi phn t ca tp nn có
đng kh năng lt vào mu. Đe vic chn hoàn toàn ngu
nhiên, ta th tiến hành theo kiu bốc thăm hoc dùng bng
số ngu nhiên, đây đ ý hai phương thc chn là không
hoàn lại (mi phn t ch đưc chn mt ln) và có hoàn li.
Nếu sô" lưng phn t ca mu khá bé so vi tp nn thì kết
qu ly mu theo hai phương thc sai lch không đáng k. Do
tính ngu nhiên nên mu có tính đi din cao và tin cy. Tuy
nhiên phương pháp đòi hi phi biết toàn bộ tp nn và vì thế
chi phí chn mu khá lớn.
b) Chn mu phân nhóm: Đu tiên ta chia tp nn thành
các nhóm ơng đốì thun nht, sau đó t mi nhóm trích ra
mt mu ngu nhiên; tp hp tt c các mu đó cho ta mt
mu (ngu nhiên) phân nhóm. Ngưòi ta dùng phương pháp
này khi trong ni b tp nn có nhng sai khác ln. Nhà
nghiên cứu phi có hiu biết nht đnh v cu trúc tp nn đ
phân chia nhóm hp lý. Sau này mi nhóm s vai trò khác
nhau ph thuc vào đ quan trng ca chúng trong tp nn.
Hn chế ca phương pháp là tính ch quan khi phân chia
nhóm. Nhưng nó vn hay đưc dùng do cách thc đơn gin khi
làm vic vi các nhóm đã khá bé và thun nht.
115
c) Chn mu chùm chính là chn một mu ngu nhiên ca
các tp con ca tp nn, đưc gi là các chùm. Ta cũng gi sử
rng các phn tử ca mỗi chùm man^ tính đi din cho tp
nn. Ngoài ra ta c gng sao cho mi chùm vn có đ phân tán
cao như tp nn và đng đu nhau v quy mô. Chng hn ta
mun nghiên cu nhu cu tiêu th mt mt hàng nào đó bng
phương pháp chn mu chùm: đu tiên ta chia thành phô'
thành các khu dân cư, sau đó chọn ra mt s khu làm phn tử
ca mu, cui cùng ta nghiên cứu tt cả các gia đình sng
trong các khu dân đưc chn. Phương pháp này cho ta tiết
kim kinh phí và thòi gian (vì không phi di chuyn trên toàn
thành ph), nhưng sai sô" có th lớn hơn hai phvíng pháp trên.
2. Chn mu có suy lun
Phương pháp chn mẫu này da trên ý kiến các chuyên gia
v đôl tưng nghiên cứu. Như vậy vic chọn mẫu da trên hiu
biết và kinh nghim của một vài nhà chuyên môn. Tuy nhiên
pơng pháp này cũng có hn chế cơ bn; Khi không có sự tham
gia ca các còng c thng kê vào vic chọn mu tính khách
quan rt k đưc bảo đảm, t đó kéo theo các kết lun mang
nng tính chủ quan. Tt nhiên điều đó không có nghĩa là không
nên dùng các phơng pháp chuyên gia. Rt rõ ràng cht lượng
mu ph thuc nhiu vào trình đ ca nhà nghiên cứu và kinh
nghim ca họ hy vng tr thành mt ng c hu hiu.
1.3. Pn loại và mò t sô liu mu
1. Phân loi. Gi sử t một tp nn có N phn tử, ta chn
ra mt mu có kích thưóc n, các phn tử ca mu đưc ký hiu
là X , i = l,n. Tp n giá tr Xi, to ra mt mẫu đơn.
Nhiu khi trong mu có nhiu giá tr giông nhau: chng hn
giá trị a:i xut hin ln, X2 xut hin Uo ln, x^. xut hin
iX lần; khi .Ó ìij + ÌI2 + ... + U,- n. Trong thc hành có nhiu
sô liu cho dưi dng khong:
116
Thí d 1.1. Chiu cao ca 300 hc sinh 12 tui cho bi
bng sô" liệu:
Ta đê ý là trong b s
liu đó các khong có đ
dài đu nhau (tuy nhiên
nói chung đ dài đó có
th không đu). Trong
trưng hp này ta có
mu lp (mẫu cho dưi
dng nhiu lp là các
khong không ct nhau).
2. Tn s và bng tn sô'
S ln xut hin Xi hoc một lp th i nào đó, ký hiu Hi,
đưc gi là tn sô'. Sau khi sp xếp sô" liu theo th tự tăng
ca giá tr mu, ta có th xây dng bảng tần s. Bng sô" trong
thí d 1.1 chính là một bng tn sô" (hay còn gi là phân phi
tn sô). Bng này bao gồm 7 lp, mỗi lớp đ dài 5 cm và
toàn b có 300 s liu đo chia thành các tn sô ca các lp.
Thông thưng ngưi ta hay chia các sô' liu vào t 5 đến 15 lốp
ph thuc vào nhiu yếu tô như s lưng sô' liu, mc đích x
lý... Đ ý là nếu số lốp nhiu hơn, có th làm tô"t hđn các phân
tích, nhưng vic ci thin đó không nhiu, ngưc li nếu sô" ỉớp
ít quá, có kh năng s b mt mát nhiu thông tin. Mỗi sô" liu
ch có mt trong mt lp, đ i mỗi lốp chính là hiu của c
giá tr ln nhâ't và bé nht.
Thông thưng nời ta hay biu din phân phôi tn sô"
bng đ th đ quan sát và nghiên cứu trc giác hơn. Có hai
dng biu din đ th hay dùng là biu đồ và đa giác tn s.
a) Biu đ
Biu đ bao gồm c hình chữ nht cnh nhau có đáy bng
đdài và chiu cao bng s quan sát ca lớp sô' liu tương ng.
Chiu cao (cm)
S lưng
117,5-122,5
9
122,5- 127,5 33
127,5- 132,5 74
132,5- 137,5 93
137,5- 142,5 64
142,5 - 147,5 21
147,5- 152,5 , 6
117
Trên hình 1.1 cho ta .biu đ ng với bng tn sut trong
thí d 1.1.
n
90 -
60 --
30 --
Sô" ợng h/s
0
117,5 122,5 127,5 132,5 137,5 142,5 147,5 152,5 X, (chiu cao)
Hình 1.1. Biu đ tn s
ràng din tích các hình ch nht t l vói tn sô" ca các lp
tương ng.
b) Đa giác tần sô'
Đa giác tổn sô'ì đường p khúc nốĩ các đim có hoành đ
X và tung đ rii (hoc các đim có hoành đ gia lp sô" liu th
i và tung đ Đa giác tn sô" của thí dụ 1.1 v trên hình 1.2.
n ,
90
60
30 +
"õ
1 / 1
/\
1
l \
1
r~ ^
/ 1
/ j 1
1 1
1
1
1
1
1 1
1 ! 1
1
1
r
.. . . . . . . . . . . . . . . .
^
Hình 1.2. Đa giác tn s
llb
Ta thy đa giác tn số dễ xây dng hơn và dễ dùng hơn
biu đ. Ngoài ra khi hiu gia hai hoành đ liên tiếp khá bé,
đường gp khúc s càng ngày càng trơn và dn tiến tới tíng
hàm mt đ xác sut.
3. Tn sut và phân phi thc nghim
Tbng tn s
Xi Xz
Xk
rii
«1
«2
n
....
rik
nếu ta đt f là tn sut xut hin giá trX trong
n
mu thì ta có th mô t bng tn sut tương ng. Rõ ràng t
định nghĩa /] ta có + /"2 + ... + /"^ = 1 và bng tn sut đó là
X,-
0:2 .... o:,- .... Xk
A h .... f. .... fk
rt giông với bng phân phôi c suât ca mt biến ngu
nhiên i rc.
Nếu đt i - ly k y \ tn s tích lũy ca X và F^{x) là tn
sut tích lũy của X, ta s có
thì là mt hàm ca X, và đưc gi là hàm phân phi thc
nghim ca mu hay là m phân phối mu. Chú ý rng theo
lut s* lốn (đnh lý Béc-nu-li) = p [ x < x),
trong đó X là biến ngu nhiên gc cm sinh ra tp đám đông
(và cả tp mu). Như vy hàm phân phi mu th dùng đ
xấp xỉ lut phân phôi ca tp nn.
Thí d 1.2. Ta xây dng bng tn sut và tn sut tích
lũy ng vi b sô^ liu ca thí d 1.1.
119
Lp Tn sô"
Tn sô"
tích lũy
Tn sut
Tn sut
tích lũy
117,5-122,5
9 9 0,030 0,030
1 2 2 ,5 - 127,5 33 42
0,110
0,140
12 7 ,5 - 132,5
74 116 0,247 0,387
13 2 ,5 - 137,5 93 209 0,310 0,697
13 7 ,5 - 142,5
64
273 0,213 0,910
142 ,5 - 147,5
21 294
0,070 0,980
147 ,5 - 152.5 6 300 0,020 1,000
Tương t như trên ta th xây dng biu đ tn sut và
đa giác tn sut tương ng. Ngoài ra th v đưc đ th ca
đa giác tn sut tích lũy hoc tn sô" tích lũy (xem hình 1.3).
Hình 1.3. Đa giác tn sut tích lũy
120
§2. MU NGU NHIÊN VÀ C ĐC TRƯNG MU
2.1. Mu ngu nhn từ mt tp nn
1. Mu ngu nhiên
Trong phân tích thông kê cổ đin ngưi ta chp nhn gi
thiết rng c phn t ca mt tp đám đông nào đó đu đưc
cm sinh bi mt biến ngu nhiên gốc. Trong thc hành biến
ngu nhiên gc thưng tuân theo lut phân phi chun c4^a,
ơ^), hoc chưa biết rõ dng, hoc chưa biết c tham s. Vic
phân tích đ xác đnh phân phôi ca tp nn s dựa trên các sô"
liu mu.
Giả sử bây gi ta tiến hành n phép th đc lp đ xác
đnh các giá tr mu (biến ngu nhiên gc ca tp nn sẽ ký
hiu là X). Gọi X, là biến ngu nhiên ch giá tr s thu đưc
phép th th , = 1, n; rõ ràng các X, s to nên tp các biến
ngu nhiên đc lp có cùng phân phôi vi X. Sau khi th
nghim, mỗi Xi s có mt giá tr xác đnh X,, đưc gọi là c giá
tr quan sát hay th hin ca mu. Đ đm bo tính đi din
ca tập a:}cho tp nn, ta cn da trên khái nim mu
ngu nhiên.
Đnh nghĩa 1. Ta gi mẫu ngu nhiên kích tc n t tp
nn có biến ngu nhiên gc X là mt tp các biến X, X2, x
tha mãn điu kin:
(i) đc lp thng kê,
(ii) có cùng phân phôi xác sut vi biến X.
Các Xi tha mãn hai tính cht trên s đưc gọi là các biến
ngu nhiên đc lp và đng phân phôi. Như vy khái nim
mu mà ta đưa vào tiết trưc có th hiu như là mt th hin
ca mt mu ngu nhiên.
Đ ý rng gi, thiết độc lp cho phép làm đơn gin rt
nhiu các tính toán sau này. Chng hn nếu biến gc X ri rạc,
có hàm xác sut p{x), thì hàm xác sut đng thi ca (Xi, X2,
s
121
p^{x...,x,^)^P{X, = x^,...,X^ =x) = ^ p (x ,). (2.la)
í-1
Tương t nếu biến X liên tc có mt đ f{x) thì
- . ^ J = (2 -lb)
1 = 1
Như vy t (2.1) các phân phi đng thòi đã đưc biu din
đơn gin qua các phân phô'i biến thành phần. Ngoài ra lut
phân phôi đồng thòi còn có th ph thuc vào các tham sô
chưa biết.
2. Thng kê
Đnh nghĩa 2. Mt hàm nào đó y = gíi, X2, x) ph
thuc vào tp giá tr ca mu ngu nhiên đưc gi là mt
thng k.
Chú ý thng kê là mt hàm đo đưc (khái nim ca 15"
thuyết m) và không ph thuộc o các tham số chưa bt.
Do X, nhn các giá tr tương ng X,, nên hàm x) cũng
đưc gi là thông kê.
Thí d 2.1. Xét tp hp giá trị mu (Xi, x-
2
, X,x các hàm
sau đây s đưc gi là các thống kê:
a) g{x...,x,,) = -^Xi = X;
b) = - x f ;
^ 1=1
c) = trong đó o:(i,<X(2)< ... < X().
Thông kê trong c) có tên gi là thng kê hạng (trong đó là
dãy các Xi đã đưc sp th t), và giá tr ca mt thông kê
trong đnh nghĩa 2 có th là mt véc tơ {g là véc tơ hàm).
122
2.2. Các đặc trưng mu
Từ nay v sau, trong các công thức liên quan đến đc
trưng mu, thay vì X ta hay ng X, do nhiu lý do. Thnhất,
đó các công thức tính toán m vic trực tiếp vi các quan
sát mu c th. Th hai, nếu dùng quá nhiu ký hiu khác
nhau s gây nhm lẫn (hơn na v mt bin chứng trong ngu
nhiên có tâ"t định và ngưc li). Th ba, các công thc ch yếu
dùng đê tính toán, còn trong các tng hp chứng minh các
tính chât lý thuvết, ta d dàng (và nên ng đ tránh nhm)
thay trở li các giá trị mu X bngX,.
Mt mu, như ta đã biết tiết 1 , có th mó tả bằng bảng
phân phôi Ln số hoc bng chính dãy sô^ liu
a) X, x.>
......
(2.2)
b)
n, tĩ2 ... ìĩk
Trong trưng hp mu lóp, nhiều khi thay khoảng giá tri
bng giá trị trung bình của khoảng; khi đó ta đưa v mu
đơn dng (2.3).
1. Trung binh mu (hay kvng mẫu)
Nếu mu cho dưi dạng (2.2) thì trung bình mẫu ký hiệu
X , đưc xác đnh như sau:
1 "
riiTĨ
(2.4)
Đ ý khi chứng minh lý thuyết, ta s thay các X bằng là
biến ngu nhiên cm sinh ra quan sát có cùng phân phôi
vi X gc. Nếu sô' liu cho dưi dạng (2.3), ta có
x = i>.rn,. (2.5)
1
1-1
v mt bn chât (2.4) và (2.5) là mt (nếu k ~ n, thì n, - IVi),
mc dù vv trên nh thc ta vẫn đ riêng dưi dạng hai công
thc khóc nhau.
123
Rõ ràngX theo cách hiu thuyết s là một biến ngu
nhiên (do các X là biến ngu nhiên), nên có th tìm các s đặc
trưng ca X . Giả sử biến ngu nhiên gc X có EX = a và
vx
= ^; khi đó
EX = a,vx = (2-6)
n
Ta chng minh công thc bên trái: do X = + X2 + ... + x)
n
nên dùng tính cht ca k vong EX = [EX, + ... + EX ); t
n
định nghĩa mu ngu nhiên ccJ có cùng phân phôi vi X nên
EX = EX =a, suy ra EX - (na) -a . Công thc bên phi ca
ĩl/
(2.6) đã đưc chng minh phn tính cht ca phương sai. T
(2.6), do pơng sai v x bé hơn n ln vx, nên c giá tr có th
có ca X s ôn đnh quanh k vng hơn các giá trca X.
Chú ý rng nếu tp nn có kích thước bé {N bé) và ta chn
mu không hoàn lại, công thc v x trong (2.6) phi nhân
thêm vi tha sô' hiu chnh {N ~ n) !{N l)\
(2,7)
n N - l
Ta xét ý nghĩa ca (2.7) trong các trưng hp đặc bit. Nếu
chn mu có n = N, tức là ly toàn bcác phn tử ca tp nn,
khi đó mi thông tin ca tp nn đã biết và rõ ràng v x = 0.
Trong mi trưng hp ta chn ra mu rt bé so với tp nn
(chng hn N hn hoc chn mu có hoàn li vói trưng hp
N lôn và hu hn), rõ ràng v x tr thành như trong (2.6)
N^CC N - l
124
Thí dụ 2.2. Ta có năm mnh bìa đưc đánh sô' t 1 đến 5.
Nếu gọi X s thu đưc khi rút hú ha ra mt mnh bìa thì rõ
ràng phân phi ca X
X 1
p{x) 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2
Gi sử bây gi ta lv ra mt mu 2 mnh bìa không hoàn lại
và thu đưc sô và X.2. Hãy tìm phân phôi của X c sô"
đc trưng ca nó.
Gii. Rõ ràng X ~í//(5)vi EX = 3
vx
= 2 (xem §4
chương II). Mt khác đt X = (X| +X.^)I2,CÓ thê tính đưc
ut phân phi của X
1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5
p{x) 0,1 0,1 0.2 0,2 0,2 0,1 0,1
Dễ dàng tính đưc
EX = 1,5.0,1 + 2.0,1 + 2,5.0,2 + 3.0,2 + 3,5. 0,2 + 4.0,1 +
4,5.0,1 = 3;
v x = (1,5 - .0,1 + (2 - 3)'\ 0,1 + (2,5 - 3)'-.0,2 + (3 - 3)-.
0,2 + (3,5 - 3)^0,2 + (4 - 3 )l0 ,l + (4,5 - 3)^.0,1 = 0,75.
Ta thy EX = EX\ vx = 0,75 < vx. Đ ý nếu chn có hoàn lại,
ta có phương sai đưc tính theo (2.6) và bng 1. T đó theo
(2.7) vx = 1. ^ 1.-^-^ = 0,75 như trên. Cũng lưu ý rằng
N - l 5 -1
khi chn mẫu không hoàn li, X đã không cùng phân phi
nhưX na nên vic áp dng (2.6) là không đưc phép.
2. Phương sai mu
Nếu mu cho đưi dng (2.2), phương sai mẫu, ký hiu
đưc xác định như sau:
s ' = - X ( a: , - x f ; (2.8)
^ Í = 1
125
vi X c định theo (2.4). Nếu mu cho dưi dng (2.3), ta có
(2.9)
vối X c định theo (2.5). Do là biến ngu nhiên, ta tìm sô'
đặc trưng ES^\
Ta viết
i = l
1
- ~ ^ p
í-1
n ~ l ^
n
do Xi, i = l,n, đc lp đng phân phôi vi X nên E{XK) = EXi.
EXj = ( W và £ ( x f ) = nên
ES'^ ^ ĩ^ .n E (x ^ )- = - ^ v x = (2.10)
^ ^ rì^ n n
Chính vì ES^ ^ ơ^, nên ngưòi ta đưa vào đc trưng mu th hai
ca pơng sai với tên gi là phương sai mu hiu chnh,
hiu là s^, như sau (so sánh với (2.8) và (2.9)):
(2.11)
(2. 12)
Rõ ràng và Es^ = ^ ES'^ = (xem (2.10)).
n ~ l 71-1
Ngoài trung bình mu và các phương sai mu, ta còn có
th c định các đặc trưng mu khác:
126
mô men mẫu cp k = V ;
n
Í-I
mô men trung m mu cp k S^ = ;
^ i=\
~ trung v mu, mt mu...
3. v lut phân phi ca các đc trưng mu
Nếu biến ngu nhiên gôc tuân theo lut phân phôi chun
X c4 \a, ơM, khi đó X đc lp vi nhau
1
^ 2 \
a) X ~ aV a, h a y - ơi'(0; l);
{ n ) ơ
n
_
2
nS^ _ (n-l)s'^ _
ơ ơ ơ
X a X - a I - /
=
-------
\J n -l ~ tin
(2.13)
'n - ^ yln -1 - í (ra - 1).
(2.14)
(2.15)
s s
Các kết qu này đã đưc nhc tới trong các ng thức (4.17),
(4.21)... ca chương II. Ngoài ra, nếu ta xét hai mu khác
nhau cảm sinh bi hai biến ngu nhiên chun và gi và s
là các phương sai mu hiu chnh ca các mu ơng ng (vi
kích thưc ii và n.2) thì vi gi thiết crf ^ a
d) ~ - 1; n.^~ì) (2.16)
^2
s.^ /s.^ , 'ì -
nêu ơ-f ^ Ơ2\ Y / Ì ~ -1; - 1) . Cuôi cùng để ý
r ^2 )
trong (2.14) nếu thay X bng a ta sẽ có - a f / ~ (n).
i=i
127
Vi các gi thiết tn ti các giới hn hoc mômen tương
ng và dùng các kết qu ca lut sô' lớn hoặc định lý giới hn
trung tâm, khi > 00 ta s có
a) X-
hcc
X
a; s
o2
-----
^ ã o
hix
cr
x - a
; ^ cy K (0 ,l);
c)
/^4 - ơ'
2 _ 2
s ~ ơ
cyK(0,l),
o'K(0,1),
^^ -ơ-
d) (s-cr)7«
L
ơ
Các kết qu trên s rt có ích trong thực hành vì không
cn đến giả thiết chun ca biến ngu nhiên gc và trong
nhiu trường hp ta đã có th châp nhn kết qu với n không
quá lón. Chang hn vi n > 30, kết qu (b) đã có th chp nhn
đưc. Ngoài ra theo đnh lý Gli-ven-cô - Can-te-li, khi n đủ lớn
làm phân phôi thc nghim đã khá gn vi hàm thuyết.
K W - n x ) B
sup
rsR
^0.
2.3. Vn đ nh toán c dc trưng mu
1. Mu đơn
Nếu mẫu cho dưi dng (2.2) Xu X2, x, ta tính X và S'^,
S ' theo c công thc (2.4), (2.8) và (2.11). Trong nhiu trưng
hp, người ta thay tng trong (2.8) và (2.11) bng
128
± x f-n ( x f
i = l
dễ tính hơn. Trung vị thc nghim chính là giá tr thứ
n +1
ca tp mu đã sp xếp (nếu n l thì đó là giá tr chính giữa
dãy sô"^ liu, nếu n chn ta lây trung bình cng của hai giá tr
chính gia).
Nếu mu cho dưối dng (2.3), tức là c giá tr mu có tn
sô' xut hin khác 1, khi đó ta dùng các công thc (2.5), (2.9) và
(2.12). Trong cách tính trực tiếp, giông như trên ta thay tng
trong (2.9) (2.12) bng
^xfn,-n(xf.
l = \
Tuy nhiên có th dùng mt cách tính rút gọn n theo các
bưc sau:
Bl. Chn mt giá trị trung bình tùy ý X(J.
B2. Gọi h là khong ch đu gia hai sô" liu liên tiếp và
h '
k k
B3. Tính các tong và ^ .
i=l i=\
B4. Tính X = Xo + -^d,n -
=
h
n -\
n
(2.17)
(2.18a)
hoặc S'^ =
h
n
d n ,
,d,n^
\-
(2.18b)
n
129
Hn chế của ch tính này là thưòng đòi hi s" liu ch đu
(nhưng trong nhiu bài toán thc tế li chp nhn đưc). Các
kết quả trung gian đưc đưa vào mt bng tính nên vic kim
tra li kết quả khá dễ dàng và tin li.
Thí d 2.3. Ngưòi ta cân 150 con vt của mt giông mi,
kết quả như sau
Cân nng 1,25 1,50 1,75 2,0 0 2,25 2,50 2,75
3,00
Sô" con 2 6 24
35
39 24 14 6
Hãy tính các đặc trưng mu ca trng lưng vt.
Gii, Ta chn Xo = 2,25, h - 0,25 và
X,-
n, d,
n,di
dfn,
1,25
2 -4
- 8
32
1,50 6 -3 -18
54
1,75
24
- 2 -48 96
2 , 0 0 35
- 1
-35 35
2,25 39 0 0 0
2,50
24
1
24 24
2,75 14 2
28
56
3,00 6
3
18
54
£
150 -39
351
Từ đó X - Xo + -Y á r i: = 2,25 - - ^ . 3 9 = 2,185;
° 150
=
h'
150
2
n
0,25
2
150
351
39
150
= 0,142025.
D dàng thy trung v mu là 2,25, đng thòi đó cũng là giá tr
thc nghim ca mô"t.
130
2. Mu lp
Mu lốp đưc cho dưi dng
... (2.19)
71, n., ... n,
trong đó giá tr mu là mt khong sô' t X,_1 đến Xi. Trong
trưòng hp này các đc trưng X và s^, ch có th đưc tính
gn đúng. Ta s chuyến mu từ dng (2.19) v dng (2.3) bng
cách thay c khong s bng giá tr trung bình ca khong.
Như vy, vic tính X và đưa v trưng hp mu đơn.
Trong thc hành, đôì vi mô"t trung v mẫu, ngưi ta
sử dng các công thc sau đây (ký hiu môt và trung v là
Mod và Med)
Mod = x , , + - ^ h , (2.20)
í
trong đó - đim đu ca khong môt,
d - hiu tn sô" ca khong môt và khong trưc,
ds - hiu tn sô^ ca khong môt và khong sau,
h - đ dài khong;
Med = ~ h, (2.21)
trong đó ~ đim đu ca trung vị,
ìiti ~ tn sô" tích lũy trưc khong trung vị,
^me tn sô" khong trung vị,
h - à dài khong;
n - tng tn sô' hay kích thước mu.
131
Kết qutính toán đưc minh họa trong thí dụ sau:
Thí d 2.4. Tính c đc trưng nu của thí d 1.1.
Gi. Ta lp bng tính (chọn X() 135 trong công thức
(2,17), n h -b )
Khong
TB
n, d, d,n,
dfn,
11,1
117,5-122,5 120
9 -3
-27 81
9
122 ,5- 127,5 125 33
-2 -66 132
42
127 ,5- 132,5 130 74 -1
-74 74 116
132 ,5 - 137,5 135 93 0 0
0
209
137 ,5 - 142,5 140
64 1 64 64 273
142 ,5- 147,5 145 21
2 42 84
294
147 ,5- 152,5
150
6
3 18
54 300
I 150
-43 489
Theo các công thc (2.17), (2.18)
z - 135 + - ( - 4 3 ) = 134,2823;
=
300
300
489
43"
300
40,2364.
Đ tính mô't và trung v mu theo (2.20) và (2.21) ta thy
=132,5; d, = 93 - 74 = 9; d, = 93 - 64 = 19;
x, = 132,5; riti = 116; = 93;
t đó
9
Mod = 132,5 +
9 + 19
.5 = 134,1072;
Med - 132,5 +
....
---^-.5 ^ 134,3279.
93
132
§3. ƯC LƯNG ĐIỂM
3.1. ưc lưng tham s
Khái nim ưc lượng thưng đưc dùng trong thc tế,
chng hn đ đánh giá trình đ học sinh ta tính đim trung
bình. Đó là mt ưc lượng ca điềm sô' hc sinh y, nó da trên
thông tin quá kh là các đim hc sinh đã nhn đưc trong
lc kỳ.
Bài toán ưc lưng tham sô'có th phát biu tng quát như
sau: Cho biến ngu nhiên gôc X có lut phân phôi xác sut đã
biết nhưng chưa biết tham sô' nào đó; ta phi xác đnh giá tr
của 0 da trên các thông tin thu đưc t mt mu quan sát Xi,
X o , ca X. Quá trình đi xác đnh mt tham sô^ chưa biết
đưc gọi là q trình ưc lưng tham sô" Giá tr tìm đưc trong
quá trình ấy, ký hiu là , s đưc gọi là ưc lưng ca ,
đây do 9 mt giá trị s^ nên nó đưc gi là ưc lưng điểm,
sau này ta còn có ưc lượng khong hay khong tin cy. Chú ý
là 0 sau này có th nhiu chiu và 9 s là mt đim trong
không gian nhiu chiu tương ứng.
Rõ ràng 6 - (^i, ^2) » ^rt) là một hàm ca các giá tr mu,
hay là mt thông kê. Đ đánh giá mt ưc lưng là tt hay
không, ta phi so sánh vi giá tr tht, nhưng chưa biết.
Vì vy sau này phi đưa ra c tiêu chun đ đánh giá cht
ượng của thông kê 0 như là một xâp x tt nht ca 0. Nhng
tiêu chun như vy cho ta c nguyên thng kê khác nhau.
Nói chung, do nhiu lý do, ta không th xác đnh đưc 6
chính xác. Vic chn mt ưc lưng ò nào đó khó có th gi là
i ưu, bao giò ta cũng phi chu mt tn tht. Trong thng kê,
ngươi ta thưòng ly hàm tổn tht dng bình phương Lg, 9) -
(g - ). Trong nhiu bài toán thực tế vic chn hàm tn tht
như trên bảo đảm đưc yêu cu cn thiết, Nếu hàm tn tht L
133
có dng khác, ta hoàn toàn có th xp x nó bng dng bình
phương như trên vi nhng gi thiết v tính li trong mt lân
cn nào đó ca 9 (cùng vói gi thiết v liên tc và kh vi hai
lần); khi đó ta có th khai trin L ti lân cn đó của 0.
Lig, 6) = L(g,, 0) + B iĨL ( - ) + ( - )^ (3.1)
õg 2 õg^
trong đó nm gia g và 6. Rõ ràng
+ Ligo, 0) - (tn tht cc tiu, nếu gQ= )\
-f =0 tsà go- 9 do muôn tn tht cưc tiểu;
+ với gi e lân cn , đạo hàm cấp 2 ngt dương g (do giả
thiết li ca L), t đó L{gj ) hoàn toàn có th xp x bng ig -
6f, ít ra lân cn ca 0. Chú ý là = Q^i ^ 2j --m nên sau
này ngưòi ta thưòng làm cc tiu m ri ro
R(g, 0) -E[L{g, 0)_.
3.2. Các tính cht ca ưc lưng điếm
đây ta quan tâm đến ưc lưng đim ca , hiu
0 - 9 (Xj, ^2, x) hay v mt lý thuvết 6 - 0 (Xj, Xv, x).
L ưc lưng không chch
Đ nh nghĩa 1. Thông kê đưc gi là ưc lưng không
chch ca 6 nếu EÔ = 6.
T đnh nghĩa trên ta thy E( ) ~ 0, điu đó có nghĩa
là trung bình đ lch ca ưc lượng so vi giá tr tht bng 0.
Nếu đ lch có trung bình khác 0, ta có ưc lượng chch. Một
sai sô nào đó có trung bình khác không s đưc gọi là sai sô h
thng; ngưc li s là sai s ngu nhiên. Như vy mt ưc
lưng s đưc gi là không chch khi đ lch so vi giá tr tht
(sai sô" ưc ợng) là sai s^ ngu nhiên.
134
Da vào các kết quca mục 2.2 rõ ràng ta có
- trung bình mu ưc lượng không chch ca kỳ vng,
- phưdng sai mu hiu chnh là ưc lưng không chch ca
phương sai,
- tn sut mu ưc lượng không chch ca xác sut
xut hin sự kin A nào đó (nếu X có phân phi Béc-nu-li và
vic ly mu có hoàn lại),
1 ^
- phương sai tính theo công thức - Oí) là ưốc lưng
^ Í=1
không chch ca phương sai, trong khi đó là ưc lượng chệch.
2. ưc lưng vng
Đ nh nghĩa 2. Thhg kê è đưc gọi là ưc lưng vng ca
é nếu (Xi, .... > .
^ n->00
S dng khái nim hi t theo xác sut chương III, ta có
th thây rng nếu 9 là ưc lượng tim cn không chch ca 0
(tc là \ìmEè - 0) và lim V = 0 thì è s là ưc lưng vng.
Rõ ràng X và (hoc s^) là các ưc lưng vng tương ng
ca EX và vx, tn sut mu là ưc lưng vng ca xác sut
tương ng.
3. ưc lưng hiu qu
Trong lp c ưc lượng không chch ca 6 vic so sánh hai
ưc lưng theo nghĩa tổn tht đưa v so sánh hai phương sai.
Đ nh nghĩa 3. Thông kê è đưc gi là ưc lưng hiu qu
ca (9, nếu nó ưc lưng không chch phương sai bé nht.
Ngưi ta đã chng minh đưc rng nếu là ưc lưng
hiu qu ca thì phương sai của
v =
----------
-
---------
(3.2)
d
135
trong đó f{Xy 6) là hàm mt đ ca biến ngu nhiên góc cảm
sinh ra tp mu đang xét. Như vy vói mi ưc lượng không
chch bt kỳ ca 6 ta luôn có phương sai lớn hơn v trong
(3.2), sau này (3.2) đưc gọi ìkgiới hn Cra-me - Rao.
Thí d 3.1. Nếu biến ngu nhiên gôc X -c4''{a, thì
trung bình mu X là ưóc lượng hiu quca k vng EX = a.
Gii. Ta đã biết X = y X ~
n ^
=1
ơ
n
Mt khác X có phân phôi chun, nên nếu f(x, a) là hàm .nt đ
ca X,
/ 2ơ~
7T
_a_
õa
lnf[xy a)
x~a
ơ
Vy ĩiE
ln/'(x, a)
2
= riE
x-a^
õa
l ]
n
ơ
và
v x
chính bng nghch đảo (/In. Vy X là uc lượrg hiu
qu của a.
Bn đc hãy chng minh tn sut mu / là ưc lượrg hiu
qu ca xác sut biến ngu nhiên gc X tuân theo lut Bé>nu-li.
Đe ý là nghch đảo ca (3.2) thưng mang tên gọi lưng
thông tin Phi-sơ ca mu ơng ng hay dùng trong lý '.huyết
thông tin.
3.3. Các phương pháp ưóc lưng
L S dng các đặc trưng mu
Cách ưc lưng này đưa v s dng các đặc trưng đĩ inhc
tới §2 trung bình mu, phương sai mu hiu chnh, i lch
chun mu hiu chnh...
136
2. Phương pháp mômen
Đây là phương pháp thực nghim da trên s kiện thuyết
các mô men mẫu của mt tập mu ngu nhiên có biến gc X
hội t hu chắc chn v c mô men thuyết tương ng của X.
Như vy nếu ký hiu bây giò là véc tơ k chiu 9= (J,
m) là mô men thuyết cấp 7, m/e, n) - mômen thc nghim
cấp j, ưc lượng theo phương pháp men ca véc tơ tham s
6 đưc tìm bng ch gii h pơng trình
m^{6) = m^[e, n),
Thí dụ 3.2. Cho biến gc X tuân theo lut gam-ma X ~
(r, ). Dùng phương pháp mô men tìm ưc lưng của r và
Gii. T kết quả chương II, ta đưa v gii h
EX = - = X;
VX = ^ = S'K
Suy ra các ưc lượng cn tìm
- \ 2
A
i -
X
r =
(^)
3. Phương pháp hp nht
Nguyên hp lý nht tìm giá trị ca 0 - hàm ca quan
sát (Xi, o:) sao cho bảo đảm xác sut thu đưc c quan sát
đó lớn nht. Gi s biến gc X có phân phôi (hàm mt đ) là
f{x, 9)\ khi đó hàm hdp , hiu là L(x. 0), X đây là c
(X|, X2, x), cũng có th là véctơ,
L{x,0) = Y[f{x^,9).
7=1
(3.3)
137
Đ ý là hàm hp lý L{Xy d) có th không kh vi đì với . Ta
gi 6 là ưc lưng hp nht của 9 nếu V (thu-c tập tham
sô" nào đó)
L{x, è)>L{x, 9). (3.4)
Vic tìm 6 tha mãn (3.4) rt khó khăn do hàm hp lý (3.3)
không là hàm li và tt nhiên thưng phi tuyến. Không có lý
do nào đ đảm bo cho è tha mãn (3.4) là duy nht, hoc là
không chch (và vì thế không th hiu quả).
Nếu đảm bo các gi thiết v kh vi hai ln ca hàm hp
lý, ta có tìm hiu điu kin cn để có cc tr:
0
ee
hoc ơng đương với nó
ln L(x, )
-----
^ ^ ^0. (3.5)
06
(3.5) có tên gi là phương trinh hp nht, nhưng nghim ca
nó không duy nht và vy chưa chc đã.là nghim cn tìm.
vy ta cần kim tra điu kin đ
nLx, ớ)
d'
<0. (3.5)
0=9
Đ ý trong trường hp ròi rc, f{x,, 9) trong (3.3) phi đưc thay
bng hăm xác sut 9). Nếu là mt véc tơ tham sô", c đạo
hàm trong (3.5) phi hiu đo hàm theo véc. May sao ngưi ta
đã chng minh đưc rng nếu phương trình (3.5) có nghim duy
nht thì khi đó không cn kim tra điu kin đ (3.6).
Thí dụ 3.3, Tìm ưc lưng hp lý nht ca tham sô" trong
phân phôi Poa-xông
n
Gii. ) = - (theo 3.3);
" -'
i = l
138
d\nL[xy,...,x^,)
Õ
Í=1
có nghim duy nht => = X.
Cũng d dàng kim tra (đ ý c X, đu dương);
InL
di
X
= -n
=x
'
n
=x
X
<0.
Thí dụ 3.4. Tìm ưc lưng hp lý nht ca các tham s a
và ca phân phôi chun cva, ơ'^ .
n
T,(=c.-af
i = l
___
2-2
T đó
In L
da
õơ'
Gii h pơng trình trên và do tính duy nht nghim, ta có
các ưc lượng hợp lý nht
â = x = x ,,
i=i
1 ^ o
= 1
ơ
Ngoài ra ta có các phương pháp ưc lưng khác không xét
đây như Bay-ét, đ lch bé nht... Cui cùng nếu hàm L
trong (3.3) phc tp, vic tìm ò theo (3.5)-(3.6) rt khó khăn;
khi đó ta phi dùng c thut toán phi tuyến xp xỉ dng lặp
hoc Niu-tơn ~ Ráp-xơn ci biên.
139
§4. KHOÀNG TIN CY
4.1. ưc lưng khong
ưc lưng đim có mt nhược đim cơ bn không th
biết đưc đ chính xác cũng như xác sut đ ưc lưng đó
chính xác. Nht là khi kích thưc mu nh sự sai lệch ca ưc
lưng so vói giá tr tht khá lớn và ch với một sô" k đánh giá
đưc kh năng mc sai lm khi ưc lưng là bao nhiêu. Đ
khc phc các hn chế đó, người ta dựa vào khái nim ưc
lưng bng mt khong giá trị. Rõ ràng ưc lượng khong có
đ tin cy cao hơn nhiu và cho phép xác đnh khách quan sai
sô^ ưóc ợng. Tt nhiên mt khong ưc lưng vn có thê sai,
giông như mi ưc lưng khác, nhưng khác VI ưóc lưng đim,
xác sut sai lm có th biết và trong chng mc nào đó có th
hy vng kim soát đưc. Nói như vy không có nghĩa là không
nên dùng ưc lưng đim na. Nó vn cho ta mt thông tin
quan trng và ưóc lưng khong s đưc xây dng xung quanh
ưc lưng đim.
T đó, đ ưc lưng mt tham gia sô' , png pháp này
ch trương xây dng mt thông kê nào đó có lut phân phôi
xác đnh không ph thuc 6 (nhưng thông kê li ph thuc).
Nếu da vào thông kê đó ta tìm đưc khong giá tr (I, 2)
trong đó và ph thuc vào thông kê trên, sao cho vi mt
xác sut cho trước tham sô" 6 rơi vào khong đó, thì khong
(J, 2) s ('ưc gi là khong tin cy vi đ tin cy đã cho. Như
vy nếu đ it 1 a = 7 là đ tin cy cho trưốc, ta cn c đnh
O và
0 2
sr
0
cho
P ( , < < 2) = l~a. (4.1)
Đ dài 2 s đưc gọi là đ i ca khong tin cy,
Đ làm đưc điu đó quy tc chung như sau; Đu tiên tìm
mt thông kê ơ = G(xu x, ) sao cho phân phôi ca G xác
đnh hoàn toàn (không cha tham sô" na). Khi đó vi đ tin
cy 1 a = cho trước, ta tìm cặp giá tr a Ơ2 sao cho
140
+ «2 = a ý tâ^t cả chúng đu dương) và tương ng vi
chúng là các phân v g và tho mãn điu kin
P(G < ) = «, và P(G > ) - «2- (4.2)
Rõ ràng
p(ga, <G(x^, )< 1 -«1-«2 =!-« (4-3)
Bng các phép biến đổi ơng đương ta đưa bt đng thc
trong (4.3) v dng I < < 2
P(, < <,)=l-a
đó chính là khong tin cy cần tìm. Trong thc tế ngưòi ta
thưng chn đ tin cy khá lớn 1 - a = 0,95, 0,99 hoc 0,999.
Kh năng mc sai lầm khi dùng các ưc lưng khong đây
bng a.
4.2. Khong tin cậy cho k vng
Đu tiên ta gi s biến gôc x~ c4\a, (') và tham sô' a chưa
biết, ngoài ra ta biết đưc mu quan sát đưc cm sinh t X là
Xi, ^2, Bài toán đt ra là tìm khong tin cy cho EX = a
với đ tin cậy 1 - a cho trưc.
1. Bài toán 1 (phương sai = Q đã biết)
Ta chọn thông kê
ơr
(4.4)
Từ gi thiết chun ca X
ta thy
z
^ c4'^(0, 1). Chọn cp
ơ và «2 sao cho ơx + Ơ2 = a v
tìm c phân vị (xem (4,2))
p(z
p(z
< z.
=
Hình 4,1. Phân phi ca z
141
Do phân vị chun có tính cht = - 2j nên
<^í-,) = l--«- (4.5)
Đ ý đến (4.4) và gii h bt png trình trong (4.5) đôi vi a,
ta thu đưc khong tin cy cn tìtn
0
n ' V /?
/
(4.6)
Như vy đ*i vi đ tin cậy 1- a cho trưc, ta s có vô sô" cp
ơ, «2 tha mãn «1 a.) - a tương ng có s* khong tin
cy. Ta xét mt sô" trưng hp đặc biệt:
a) Khoảng tin cây đôi xng: Nếu ta chon a, -- a,, = (xem
hình 4.1); (4.6) nếu đt 2^ --2 (.(tra t báng sô 2) ta có
íhong
V ^ 0 V ^ 0
X - < a < X ~^z,.
^Jn \n
Đai lương " - ^ 2^ đươc goi đô chính xác ca ưc ơng,
yjn ' ' '
phn ánh đ lch của trung bình mu so với kỳ vng lý thuyết
vi đ tin cy 1 - a.
h) Khong tin cy phi: Nếu chn ơ = 0, Ơ2 ~ a thì
^ = +00 đt 2 , ~ z^_a ta có khong cn tìm
V
(4. 8)
c) Khoảng tin cy trái: Nếu chn ƠI = a, «2 = 0 thì
^ ^ khong cn
ơr
-00,z + ^
(4.9)
142
Đ ý trong (4.8) và (4.9) đều là phân vị chun \ - a. Khi tra
bng hàm Láp-la-xơ u ý [zi^) = [z\-,) = - -- « Trong khi đó
2
/
I
ca (4.7) tha mãn ô(z/,) = \ z
Vi cùng đ tin cặy 1 - a. r ràng khong tin cy càng
ngn càng.tôt. Theo nghĩa đó khong (4.7) tôt nht, chưa k
đến sự đi xng ca nó đôi vi k vng mu. Đe ý trong trưng
hp nàv đ i khong tin cậy s
(4.10)
0
ng thc (4.10) cho ta thây quan h gia đ tin cy 1 - a,
dung lượng mu n đ chính xác o (hay đ dài khong tin
c}- 2í, Nếu biêt 2 trong 3Ô^ 3 tham sô^ ta hoàn toàn xác đnh
đưc biến th ba.
Thí d 4.1. Một phan xưởng mun ưc lượng thi «'ian
trung bình đ sản xut I ram giy. Gi s lưng thòi gian đó
tuân theo luật chun vi ơ~ 0,3 phút. Tn một tp mu gm
36 ram thòi gian trung bình nh đưc là 1,2 phút/ram. Tính
khong tin cy 95/ú cho thi gian san xut trung bình trên.
Gii. Thông tin đầu o X -^1,2; = 0,3; n = 36 và a = 1 -
95% = 5%. Ta chn khong tin cậy ăi xng (4,7), trước tèn
tra bng
1-a
0,470 đ có Z, - 1,96; t đó
X -
1,2 - -^ 1 ,9 6 ; 1,2 + -^ 1 ,9 6
\
>/36 736
o (1,102; 1,298).
Thí d 4.2. Trong thí dụ 4.1 nếu ta muôn đ chính xác ca
ưc lượng tăng gâp đôi nhưng đ tin cy không đổi = 0,95 thì
cn nghiên cu mu có kích thưc bng bao nhiêu?
143
Gii. Do thí dụ 4.1, đ chính xác ca ưc lưng bng
0,098; nên để nó tăng gp đôi ta cn có e = 0,049. Theo (4.10)
ta cn mu có dung lượng
»142.
0 '^0 ,4 75 ~
£ (0,049)
Cuô'i cùng t (4.10) ta có hai nhn xét:
- Khi kích thước mu tăng và đ tin cy giữ nguyên thì £
gim hay đ chính xác ca ưc lưng tăng.
- Ngưc li nếu tăng đ tin cy gi ngun kích thưc
mẫu, do giá trị phân v chun tăng nên e ng làm cho đ
chính xác ca ưc lưng gim đi.
2. Bài toán 2 (phương sai chưa biết)
Trong trưng hp này đu tiên ta phi ưc lưng (/ bng
phương sai mu hiu chnh, sau đó chn thông kê
G = T = (4.11)
Theo (2.15) ta biết thông kê T tuân theo lut Stiu-đơn vi 71-1
bậc t do, mt khác hình dng ca mt đ phân phi này rt
gn vi chun, nên cách ưc lượng rt giông vi bài toán 1. Ta
tìm phân v
P T < \ P T < = 1 <^2
và áo ai + a2 - a nên
P(T< J = a, ; P(T < ) = ! - « , . (4.12)
So sánh (4.13) dưi đây vi (4.6) ta thy ch khác nhau hai
ch: thay ƠQ bng s và thay giá tr bng Láp-la-xơ bng bng
Stiu-đơn. T đó ging như trong (4.7) - (4.9);
a) Khong tin cy đi xng: tra bng tính = t a
n-1. 1~--
2
ta có
144
b
n y
b) Khong tin cy phi: tra bng tìm t, = Í_1 I_a và
s
(4.13)
X
'Jn
íj;+co
c) Khong tin cy trái: vi cùng giá tr bng phn b)
\
n
Thí d 4.3. Mt bánh mun ưc lưng trng lưng trung
bình ca sô" bột dùng hàng ngày (gi sử lưng bt tuân theo
lut chun). Vối kết qu thông kê ca 14 ngày ta có ưc lượng
đim ca a 17,3kg vi s - 4,5kg. Xây dng khong tin cy
99% cho trng lưng trung bình a.
Gii. S liu đu vào X = 17,3; s = 4,5; n = 14 và 1 - a -
99%. Ta tra bng Stiu-đơn tf, =ÍJ3. 0995 = 3,0 1 2. T đó khong
tin cy 99% s là
X - .3,012, X + .3,012! = (136,77; 209,23).
14 14 j
Thí d 4.4. Ta muôn đánh giá nhit đ lớn nht trung
bình tnh Lâm Đng vào ngày 25 tháng 9 (gi sử nhit đ đó
tuân theo lut chun). Nhit đ cao nht 5 vùng ca tnh đo
đưc trong ngày hôm đó là 25, 27, 29, 32 và ss^c. Hãy xác
đnh khong tin cy 95% cho nhit đ cao nht trung bình
trong ngày đang xét.
Giải: Gi X là nhit đ cao nht
m Đng vào ngày 25/9, ta đã có
X~c^'a,ơ^Y Do chưa có các đặc
trưng mu nên ta cn tính
X = = 29,2; s = =: 3,35
X
X - X
25
-4,2- 17,64
27
-2,2
8,84
29
-0,2
0,04
32 2,8
7,84
33 3,8
14,44
146 44,8
145
Tra bng Stiu-đơn = ^4 0 975 2,776, ta có
\
29,2 - ^ặ^.2,776; 29,2 + -^ .2 ,7 76
V5 V5
= (25,04; 33,36).
Đ ý đây là khong tin cy 95% tính trên b sô" liu c th
ca thí d, nó hoàn toàn không có nghĩa là xác sut đê trung
bình tht rơi vào khong tin cy trên là 0,95. Bi vy không
nên quên rng đ tin cy 95% ca mt khong nào đó đưc
hiu theo nghĩa thông kê (tức là nếu c làm thí nghim 100
ln vi c khong tin cy 95% thì có khong 95 ln giá trị
trung bình tht nm trong khong đó).
Nếu dung lưng mu n > 30, thông kê T trong (4.11) s có
phân phôi tim cn chun c4''{0, 1), và vic tìm khong ưc
ợng vi đ tin cy 1 - a đưc làm ging như bài toán 1, vi ƠQ
đưc thay bng đ lch chun mu hiu chnh s. Lưu ý là
trong các bài toán và thí dụ đây, ta luôn luôn có gi thuyết
chun ca phân phôi gc.
4.3. Khoảng tin cậy cho tỷ l
Nếu biến ngu nhiên gc không tuân theo lut phân phôi
chun, vic xác đnh khong tin cy cho EX s rt phức tạp và
đòi hi các k thut hin đại hơn. Tuy nhiên trong trường hp
n đủ lớn, cả hai thông kê z trong (4.4) và T trong (4.11) đu có
phân phôi xấp x chun ơV{0, 1). Do đó các th tc ưc lượng
khong làm giông như bài toán 1 đã nói đến mục trên.
Ta xét một trưng hp c th khi du hiu X ~ p)
(phân phi Béc-nu-li). Khi đó nếu ta chn ra phn tử t tp
nn (theo dng mu ngu nhiên) thì sô" ln xut hin du hiu
- 1 "
quan tâm Xi cùng phân phi vói X. Như vây X = 7 X; chính
là tn sut ưc lượng điểm của xác sut hay tỉ ]ệ p = EX.
Mt khác t kết qu chương II, nX s có phân phi nh thức
146
p), t đó EX = p và vx = . Nếu ta chọn thng
n
(vối / = là tn sut mu xut hin du hiu quan tâm)
n
z= = (4.14)
ypi^-p)
thì khi n khá lớn z ^' {0, 1).
Bài toán 3 (m thy khong tin cy 1 - a cho t l (xác
sut))
Da vào (4.14) ta có hai ch đi tìm khong tin cy khi n
đủ ln.
1) Theo ch làm trên chn - U2 = (xem bài toán 1)
và t (4.5) - (4.6) ta có
f ~ p r~
với = z ^ (khong tin cy đôl xng). Gii h bt pơng
1--
2
VUI [ J
f pf<p{l~p)zl
n + 2^ jp^ - {2nf + + nf^ < 0.
^ r\ A.' , ^ ,
trình trên đốì vi p
n - p < p (l - p)z]
o n + 2
(Hi và tìm nghim phương trình bc 2 vế trái, ta có 2 nghim
nf + \z ± zJnf{l-f) + z
Pi,P2-
--------
^ ^ (4.15)
n + z.
0
và khong tin cy cn tìm s là (Pi, p<^, vi Pi < P2- Tuy nhiên
vic tính toán theo (4.15) s khá khó khăn.
147
2. Ta tìm ưc lưng khong gn đúng theo cách khác. Đ ý
nếu n khá ln, thông kê
f - p
z =
yfn^ o r { 0 , 1)
^/(1 - n
với
vx
= p (l - p) đưc thay bng ưc lưng đim f(l - f). Bây
giò quy trình gii bài toán 1 đã có th đưc áp dng (X thay
hngf, ơ thay bng/(!-/), ...)
f , lr(-n
<p<f-
n n
'l-a,
Tđó (xem (4.7) - (4.9))
a) Khoảng tin cy đi xng: Z^ = z ^
1--
2
n \ n
b) Khoảng tin cy phi: Zb - Z_ a và
/ I^ :
--------\
(4.16)
+ 00
n
(4.17a)
c) Khoảng tin cy trái: vói Z như trên
/ I^
Í(1 - n
n
(4.17b)
Cui cùng, nếu ký hiu £ là đ chính xác ca ưc lưng khong
đốì xng, ta có quan h (xem (4.10)):
=
. n
1-
a
Thí dụ 4.5. Kim tra ngu nhiên 600 sn phm c mt
máy dp thy 24 phế phm. Với đ tin cy 1 a = 95% hãy
ưc lưng t l phế phm tĩ đa ca máy đó.
148
Gii, Gi p là c sut ra phế phm ca máy trên hay p là
xác sut xut hin du hiu phế phm ca sn phm nào đó
và ta có th dùng quy trình bài toán 3. đây n = 600 (khá
lốn), t l phế phm mu f = 24/600 = 0,04. Ta s dùng khong
tin cy trái (xei 4.17b); trưốc tiên tìm phân v chun = Z_a
(nếu tra bng Láp-la-xơ {z.) = - a = 0,45) ta tìm đưc Z, =
1,64; t đó
-oo;/* +
n
-»;0,04 + , ^ ^ . 1 , 6 4
600
hay t l phế phm ti đa là 0,05312 = 5,312%.
Thí d 4.6. Phng vn 400 ngưòi mt khu vực 300000
người thy có 240 người ng hd lut A. Vi đtin cy 0,95
hãy ưc lưng số người ng hộ d lut A trong khu vc bng
khong tin cy đối xng.
Gii. Gi p là t l nời ng hộ dự lut A và ta s s dng
kết quả (4.16). Theo đu bài f= 240/400 = 0,6; a = 0,05; phân
v chun z a ^og^ĩ,- 1,96 (^(l,96)= 0,475), vy khong tin
2
cy cn tìm ca p là
^0 6 _ 0,6+ .1,96
400 V 400
=> u,5522 < p < 0,6478.
Do đó khong tin cy của s ngưòi ng hộ dự lut A vùng đó là
(300000. 0,5522; 300000. 0,6478) = (165660; 194340).
Nếu ta sử dng công thc (4.15) khong tin cy s là (0,5513;
0,6468) đôi vi p và (165390; 194040) đi vi sô" ngưòi ng h
d lut A.
149
Ta có th tóm tt các kết quả ca mục 4.2 và 4.3 như sau:
ơ đã cho ^ ơ không biết
n béì r A? ln
nbé\fn\n
x ~ 0 ,
x ~ 0 ,
T
" \f
T T
Y
Phương
Gii Xp xỉ
Giải Phương
Giải Xp x
pháp
đúng (4.4)
đúng pháp
đúng (4.4)
khác
(4.4)
(4.4) kc
(4.11) (ƠQ = s)
Gii đúng Xp x(4.4)
(4.11) (ơb = s)
4.4. Khoảng tin cy cho phương sai
Bài toán 4. Gi s X ~ oV o, j và đ tin cậy 1 - a đã
cho. Ta cn xác đnh khong tin cy tương ng cho vx = (
da trên mu Xi, X2, đưc cảm sinh bi biến gc X.
Quy trình xây dng khong tin cy dựa trên sự kin
-\2
( n -l) s
2
.2
.2 _ i=l
ơ
n _ ,
= \
___________
/ ( - )
/ ( n - l ) ; (4.18)
(4.19)
T đó ta làm giông như trong mc 4.2, chia bài toán thành hai
trưng hp:
1) Nếu a = ƠQ đã biết, sử dng thông kê (4.19) và chn ai,
«2, sao cho «1 + «2 - sau đó tìm các phân vị
p ư <xla,) = a,-, =
T đó suy ra P{x,a, < < xlx-a,) = 1 - «
150
=1 . i=l
hay khong tin cy 1 - a của
(
là
A-n,l-a2
A
Ta xét mt sô" trưòng hp cụ th ca (4.20):
a) Nếu aj = «2 = , khong (4.20) trở thành
2
Ĩ=1
________
. t=I
_____
2 » 2
;ir a ;ìr a
n, 1 n,
2 2
b) Nếu ai = 0, Ơ2 = a, ta có khong tin cy phi
/ \
(^ í
i = l
^ n , ì-a
; +0 0
c) Nếu «1 - a, a^- 0, ta có khong tin cy trái
(^ i
-00
. i=l
An.
(4.20)
(4.21)
(4.21a)
(4.21b)
2) Nếu a chưa biết, ta thay bng ưc lưng X và s
dng thng (4.18). Cách làm ging như trên và bn đc tự
tìm ra kết quả. Chng han trưng hơp chon Ơ = a<2 = thì
2
(4.21) tr thành
151
n-l. 1 --
V 2
^ ,
a-1 ,
2 ;
(4.22)
Thí d 4.7. Cho khi lưng mt loi sn phm tuân theo
lut phân phi chun. Cân th tng sn phm của mt mu
ngu nhiên gồm 25 đơn v, ta có kết qu
Khối lượng 29,3 29,7 30 30,5 30,7
S sn phm
4 5
8 5 3
Vi đ tin cậy 95% hãy tìm khong tin cậy cho phương sai ca
khi ng sn phm trong 2 trường hp: a) biết k vng a = 30;
b) không biết k vng.
Gii. Đu tiên xác đnh các đc trưng mu
_ - 5 -
X = = (29,3.4 + 29,7.5 + 30.8 + 30,5.5 + 30,7.3)
25 25
= 30,012;
5
- 3 0 f =5,13;
i=ì
5
24s^ = ^ (x , - 30,012f ra,. = 5,1264.
i=i
a) Ta dùng (4.21), với Co = 30, và khong tin cy cn tìm là
= (0,1262; 0,3910)
5,13 5,13 5,13 . 5,13 ^
2 2
^ 2 5 ; 0,975 X25-. 0,025 ^
U o,6 5 13,12
J
b) Dùng (4.22), khong tin cậy cn tìm
5,1264 5,1264
2 2
., ^ 2 4 ; 0,97 5 0,025
5,1264 . 5,1254
39,36 12,40
= (0,1302; 0,4134).
152
BÀI TẬP
1. Đim thi tiếng Anh ca một lp hc sinh như sau:
68 52 49
69 56
41
74 79 59
81 57
42
88
87
60 65 55 47
65
68
50
78 61 90
85 66 65 72 63
95
a) Xác định bng phân phôi thc nghim đa giác tn
sut tương ng.
b) Tính các' sô đc trưng mu: trung bình, mô"t, trung v,
phương sai.
2. Thông kê sô" km đã chy ca 100 xe ti ca một hãng trong
năm 1997:
Sô" km Sô" xe ti
10000- 14000 5
14000- 18000 10
18000- 22000 11
22 0 0 0- 26000 20
2 6 0 00- 30000 25
300 00- 34000 13
34 0 0 0- 38000 12
38 0 0 0- 42000 4
a) Dng biu đ và đa giác tn suât.
b) Tính các sô" đc trưng mẫu: trung bình, môt trung v.
Cho biết ý nghĩa ca chúng.
c) Phân pi mu không đôl xng, hãy gii thích ti sao?
153
3. Thu nhp gia đình năm ca hai nhóm dân hai làng mt
huyn nh là:
Thu nhp năm ng) Sô" gia
đình
nhóm A
nhóm
1250000 - 1300000
4 2
1300000 -
1350000
40 20
1350000- 1400000 73
32
1400000 - 1450000
52 58
1450000 - 1500000
23
34
1500000 - 1550000 8 31
1550000- 1600000
15
1600000 trở lên
8
a) Tính thu nhp trung bình năm ca hai nhóm gia đình
tn.
b) Tính môt ca thu nhp ca hai nhóm gia đình.
c) So nh và phân tích tình trng thu nhp ca nhóm A và B.
4. Sô" km phi đi ca 6 học sinh mt lp bui tôi như sau:
Hc sinh 1 2
3
4 5 6
Sô" km 1 4
9 8
6 5
a) Tính khong cách trung bình.
b) Tính các sô" đặc trưng mu ca khong cách: mt và
trung v.
5. Giá của mt loi bt đng sn mt vùng dân cư là
180 165 151 148 145
121
110
110 105 100
100 100 100 98 95 95 90
90
90
85
84
83
82
80 80 75
72 72
68 65
61 61 60 60 60 58 57 56 55 55
54
54
53
52
51 50 50 50 50 50
50 49 46 45 45
41 41
40
40
38
38 36 35 35
154
a) Xác định bng phân phối thc nghim (lấy đ i
khong bng 30 và bt đu t giá trị 30).
b) Xây dng biu đ và đa gc tn sut.
c) Tính các sô" đc trưng mu theo bng phân phối mục a,
sau đó so sánh vi kết quả tính trực tiếp (trung bình,
phương sai, môt và trung v).
6. Sô" lưng khách hàng đến mua mt cửa hàng trong vòng
1 ngày đưc thông kê như sau:
S khách Sô' ngày
9 5 -1 0 5
4
10 5-1 1 5 14
11 5-1 2 5 18
12 5-1 3 5 15
13 5-1 4 5 10
14 5-1 5 5 7
15 5-1 6 5
2
Hãy xác đnh c sô" đặc trưng mu (trung bình, phương
sai, đ lch chun, môt, trung v, mômen cấp 1 và 2) ca
sô" khách.
7. Điu tra 1600 gia đình có 4 con ta có kết quả
Sô" con trai 0 1 2 3 4
S gia đình 111 367 576 428 118
Xác định kỳ vng mu và pơng sai mu hiu chnh.
8. Cho 8 s^ liu đo cùng mt đại lưng thiết b đo không có
sai sô' h thông
369 378 365 420 385 401 372 383
Hãy tính ưc lưng không chch ca phương sai sai đo
trong hai trưrig hp: a) biết sô" đo tht bng 375; b) không
biết sô" đo tht.
9. Theo dõi thi gian hoàn thành mt sn phm ca hai
nhóm ng nhân
155
- Nhóm 1
- Nhóm 2
Thòi gian 43 44
50
55 60
65
Sô" người 2
5
15 20 5
3
Thòi gian 45
49
53 60
S người
2
41 5 1
Tính trung bình mu và phương sai mu hiu chnh ca
thòi gian hoàn thành sn phm ca tng nhóm và bình
lun kết quả.
10. Một lô hàng gồm n linh kin (n rt lớn). Ngưòi ta chn
ngu nhiên ra m linh kin, đánh dâu chúng ri tr li lô
hàng. Sau khi trn k, chọn ngu nhiên ra k linh kin thì
thy có l chiếc chiếc b đánh du {k khá so với n). Hãy
xác định ưc lưng hp lý nht cho sô^ lượng n.
11. mt ng trưng xây dng lớn lương trung bình ca mt
công nhân là 600000 đng với đ lch chun là 50000
đồng. Tính xác sut đ lương trung bình của mt nhóm 50
công nhân chn ngu nhiên nm trong khong t 610000
đến 650000 đồng.
12. Biết t lệ phê phm ca một hàng là 5%, Tìm xác sut
đ khi chn ra 400 sn phm t hàng trên (vi s^ lưng
rt ln) thì có trên 9% phế phm.
13. Trong 3500 sinh viên năm th nht ca trưòng đi hc
Bách khoa có 28% muôn hc nghành đin tử - vin thông.
Chọn ngu nhiên ra mt nhóm sinh viên 350 ngưi (ca
năm th nht đó). Tính t l trung bình của sô" sinh viên
muôn hc ngành đin t - vin thông trong nhóm sinh
viên trên.
14. Nhit đ ca 24 thành phô" Vit Nam cùng một giò và
mt ngày trong tháng 7 như sau:
36 30 31 32 31 40 37 29
41 37 35 34 34 35 32 33
35 33 33 31 34 34 35 32
Xây dựng khong tin cy 99% cho nhit đ trung bình trên.
156
15. Ngưòi ta muôn ưc lượng sô^ ln gọi trung bình ca một
tng đài đin thoi trong vòng 1 ngày. Thông kê trong
vòng 50 ngày cho sô" ln gi trung bình 525 vi s = 52.
Hãy xác đnh khong tin cy 90% cho sô" ln gi trung bình
đó.
16. Chiu cao trung bình ca mt nhóm học sinh gồm 20 em
1,65 m vi đ lch chun mu là 0,2 m. Xây dng khong
tin cy 95% cho chiu cao trung bình ca toàn b hc sinh.
17. Chọn ngu nhiên 50 sinh viên mt trưng đi hc thì
thây có 21 nữ. Hãy ưc lượng t l n trường đi học đó
vối đ tin cy 90%.
18. Một thiết b đo có hai dung sai là 0,2 cm. Thông kê 25 ln
đo các chi tiết cùng loi ta có đ dài trung bình là 15,2 cm.
Hãy ưc lưng đ dài trung bình ca loi chi tiết trên vi
đ tin cy 99% (giả sử sai sô" đo không có tính h thông).
19. Kiểm tra ngu nhiên 500 sn phm ca một nhà máy thì
thy có 240 sn phm loi A. Hãy ưc lượng t l sn
phm loi A tì thiu ca nhà máy với đ tin cy 95%.
20. Theo dõi 100 sinh viên để xác đnh sô" giò tự học (X), kết
quả như sau: x= 4,01 vi s = 3,51. Hãy tìm khong tin
cậy 95% cho sô" giò t hc trung bình ca sinh viên. Thử
ưc lượng t l sinh viên không t hc.
21. Trên một mu gồm 26 sô" liu người ta tính đưc đ i
trung bình X = 30,2, với S = 6,25. Tìm khong tin cy 95%
cho phương sai.
22. Đê ưc lượng xác sut mắc bnh A vi đ tin cy 95%
sai sô" không vượt quá 2% thì cn khám bao nhiêu người,
biêt rng t lc mc bnh A thc nghim đã cho bng 0,8-
157
Chương V
KIỂM ĐNH GI THUYT
§1. GIẢ THUYT THNG KÊ VÀ QUY TẮC KIỂM đ n h
1.1. Gi thuyết thng kê
Trong nhiu lĩnh vc đi sông kinh tế - xã hi chúng ta
hay nêu ra các nhn xét khác nhau v c đối ng quan tâm.
Shng nhn xét như vy thưng đưc coi là các gi thuyết,
chúng có th đúng và cũng có th sai. Vn đ c đnh đúng
sai ca mt gi thuyết s đưc gi là kim đnh.
Trong thng kê chúng ta xut phát t mt mu Xi, X2,
chn t mt tp nn chưa biết phân phi hoc có phân phi
F{x, ) nhưng chưa biết tham s 6. Ta có th phát biu nhiu
nhn xét khác nhau v các yếu tô" chưa biết - đó là các gi
thuyết thng kê (thí d phân phi tp nn có dng chun,
tham s k vng bng mt s cho trưc...). Nếu tham sô' chưa
biết và gi thuyết 6 bng giá tr c th 0Q đưc đưa ra, ta nói
rng có mi giả thuyết đơn\ nếu khác đi, ta có gi thuyết phc.
Vic kim định mt gi thuyết đđn thưng dễ dàng hơn.
Giả thuyết đưc đưa ra kim đnh đưc gi gi thuyết
gc, ký hiu là Hq, nó thưng là gi thuyết đơn trong các bài
toán kim định tham sô". Các gi thuyết khác với gc đưc gọi
là giả thuyết đi hay đi thuyết (có th đơn hoc phc), hiu
là /ĩi- Ta tha nhn khi đã chn cặp Q thì vic chp nhn
N s chính là bác b ỈỈ và ngưc li. Vic kim đnh mt gi
thuyết đúng hay sai dựa trên thông tin mu s đưc gi
kim đnh thông kê.
Chng hn khi nghiên cứu thu nhp ca cư dân một thành
ph nào đó, ta có th đưa ra nhiu gi thuyết khác nhau;
158
- Thu nhp ca dân tuân theo lut phân phi chun
(Ho) hoc không tuân theo lut đó (Hi).
- Thu nhp trung bình năm 50 triu đng (Hq) vi nhiu
dng đôi thuyết khác nhau: thí dụ 50 triu, > 50 triu hoc
< 50 triu đng...
1.2. Quy tắc kim định giả thuyết
Nguyên tc chung ca kim đnh gi thuyết thng kê là
da trên nguyên xác suất nh: mt sự kin có c sut xut
hin khá bé thì có th coi rng nó không xy ra khi thc hin
mt phép th có liên quan đến s kin đó. Tuy nhiên trong
thc tế, vn đ phc tp và tế nh hơn nhiu.
1. Tiêu chun kim đnh
Tiêu chun đưc xây dng rõ ràng phi đơn gin và da
trên các thông tin mu Thông thưng người ta
chn mt thng kê
K = K ( x ^ , X 2 , . . . , x J ( 1 . 1 )
có th ph thuộc vào tham sô" đã biết trong gi thuyết Hq. Nếu
giả thuyết Hq đúng thì lut phân phi ca K phi hoàn toàn c
định. Mt thng kê như vy đưc gọi là tiêu chun kim đnh.
2. Quy tc kim đnh
Nếu ta thành công trong vic chia min xác đnh ca tiêu
chun (1.1) thành hai phn và trong đó là min bác
b Hq, còn B là min chp nhn Hq, thì quy tc kim định
khá đơn giản: Nếu K tính trên mu có giá tr thuc min B ta
bác b nếu ngưc li ta chp nhn Min bác bHq đưc
gọi là min ti hn ca tiêu chun K.
Như vy, nếu ta dùng quy tắc như trên, có th mắc hai
loi sai lm sau đây:
159
- Sai lm loi 1: bác b mt gi thuyết đúng;
- Sai lm loi 2: chp nhn mt gi thuyết sai.
Do gi thiết K có phân phôi xác định khi đúng nếu
gi a c sut đ xy ra sai lm loi 1 thì
« = ^ 0 đúng ), (1.2)
trong đó K,, chính là giá tr của K trên mu cụ th đang xét.
Tương tự nếu gi ylà xác sut phm sai lm loi 2, thì
/? = P(K ,e |//oSai). (1.3)
Ngưòi ta hay gọi xác sut bác b gi thuyết sai 1 - y là lc
lưng của tiêu chun K.
Tât nhiên chúng ta mong muôn c hai xác sut (1.2) và
(1.3) càng càng tôt. Trong thc tế ta không th đng thòi
làm gim cả hai xác sut đó, bi c a gim thì p táng và
ngưc li, Thông thưòng do sai lm loi 1 dễ kim soát và (1.2)
dễ tính n nên người ta hay la chn trưốc a như là mt
ngưõng để c sut phm sai lm loi 1 luôn nh n a đ bé
đó. Các giá tr ca a có th là 0,1; 0,05; 0,01; 0,001... ph
thuc vào yêu cầu ca thc tế và nhà nghiên cu; giá tr a
đưc gọi là mc ý nghĩa ca quy tc kim đnh (hay ca tiêu
chun kim định tương ứng). Quy tc vi mc ý nghĩa a đưc
gi là mnh nht nếu nó có lực lượng ln nht.
Thí d 1.1. Theo Nây-man - Piếc-xơn: Nếu st' =
có phân pi ^(.) dưi gi thuyết H^\ 9 - Q và phân phôi f^{.)
dưi đôi thuyết H^\ = 01^ Oo7 ngoài ra cho 0 < a < 1 sao cho tn
t i m t sô^ ka đ P(fx{.) > kafo{) líỉ^o) - th ì - {T : /i)(.íO ^
s min bác b iío của tiêu chun mnh nhât cho
bài toán kim đnh gi thuyết đơn Hq đôi với thuyết đơn í/i.
Áp dng vào bài toán kim đnh 3, đi thuyết H^ : 0 - 4;
có 71 = 9, X 2,35 và phân phôi nn o4X0, 25) (a = 0,05).
160
Gii. Do tp nn có phân phi chun oV{0, (/) nên
27ĩơ^^
T biu thc xác đnh min ti hn Ba trong b đ và ng
thc trên suy ra
và
B. =
2
ơ^ \nk^ ¥ n [el - e l) _
y\
.
........
.
......
.............
.
I
-
2n{e, -o)
A,
. (1.4)
trong đó Ao xác đinh từ
p{x
> Hq) = a, X = (x, + ... + x).
' '' n
Trong bài toán áp dng X = 2,35 còn Ao đưc xác đnh dựa
vào gi thuyết chun
= 0,05.
T bng Láp-la-xơ ta ^.3 = 1,645, t đó Ao = 5,74. Rõ
5
ràng X = 2,35 < Ao và e nên không có cđ s đ bác b
gi thuyết Hq: = 3.
Chú ý là t thí d trên ta thy khi xác đnh đưc tiêu
chun kim đnh, v mt nguyên tc th tính đưc các c
sut (1.2) và (1.3) nếu biết đưc ngưõng phân chia min bác b
Hq ví min chp nhn nó.
Thí dụ 1.2. Tìm các xác sut phm sai lm loi 1 và loi 2
trong thí d 1.1, nếu chn ngưng Ao = 5,5.
161
Gii. T công thc (1.4)-, do X ~ oV^3; 25) khi Hq đúng
a - p X > 5y5 Hq = p
X - 3
và do z =
5 5
\ /
.3 ~ ơVO, l)nên dễ thy a - P{Z >15) = 0,5 -
^1,5) = 0,5 - 0,4332 = 0,0668. Còn xác sut phm sai lm
loi hai
y ơ -p (x <5,5|iĩi),
do khi H đúng z = ~ '^..3 ~ o4''(0, l) nên p = P{Z < 0,9) = 0,5
+ (S),<d) = 0,5 + 0,3159 = 0,8159 khá lớn.
1.3. Các dạng miền i hn
Trong thc tế, ngưi ta chn min ti hn của tiêu chun
K ph thuc vào cặp gi thuyết Hà, Hị như sau:
) Nếu H, là đm lp (Ho = 9
= o với H. 6 * 6q), ta chn các
phân v Ka!2 và Ki_ai2 (xem hình
5.1) sao cho (dựa vào phân phôi <^^2
ca K khi H đúng)
a
l - a /2
Hình 5.1
a
Khi đó min ti hn
= (-«, (-K'l-a/2. +<»)
2) Nếu H bt đôi xng lch
v trái (thí à Hy. 6 < o)» ta
chn min tối hn lch v bên
trái (hình 5.2). Da vào phân
phi ca K khi Hq đúng, ta c
đnh phân v Ka sao cho
Hình 5.2
162
P{K < K^\Hq = a) và min tới hn Ba là (-<X), K^.
3) Tưđng tự nếu bt đi
xứng lch v phi (thí d 6 >
o), ta chọn Ba lch v bên p hi
(hình 5.3). Da vào phân phi
của K khi Hq đúng, ta xác định
Ki_a sao cho P{K > Ki_a\Ho) = a
và min tối hn Ba là +0«. Hình 5.3
§2. CÁC KIM ĐỊNH DÙNG MT MU
2.1. Kim định về k vng
Gi s mu Xi, X2, , x đưc chn t biến gc X - (a,
Bài toán đt ra là vi mc ý nghĩa a cho trước hãy kim đnh
gi thuyết Hq. a = ao (Oo đã cho).
1. Bài toán 1 (phương sai = ƠQ đã biết)
Ta chn tiêu chun
. X -a,
(2.1)
Rõ ràng nếu Hq đúng, K ~ l) xác đnh hoàn toàn. Ph
thuc o đì thuyết H, ta có min tới hn khác nhau.
a) Kim đnh hai phía s đưc dùng, nếu Hi.a^ ao. Khi đó
do tính đốì xng ca phân phi chun o4''(0, l), hai phân
v s đì xng qua gc ta đ và nếu đt Z(, = _ a/2 (hay
(/>^1,) - 0^ - a/2Ìta có min tới hn cn tìm
Ba = (-co; - 2,,) hoc {z, ; +oo). (2.2)
To là nếu < Zf^ ta chấp nhn H (không có cơ s đ bác b
Hq)\ > Zf, ta bác b H).
163
b) Kiếm định mt phía
+ Nếu Hi. 0 < Q, rõ ràng nên chn min tới hn lch trái
(xem hình 5.2). T đó nếu đt Zb = Ka (hay {z^ - a - 0,5) ta có
min bác b
(2.3)
tc là nếu iiC, < (chú ý là 2;, là s âm) ta bác b íío, ngưc li
ta chp nhn nó.
+ Nếu Hi'. d> 9o, min ti hn s lch phi (xem hình 5.3):
B a = (2ô> +<») (2.4)
với Zk = K^-a (hay <Hzb) = 0,5 - a).
Đ ý rng min chp nhn Hq (tính đôi vi thông kê K)
chính là khong tin cy với đ tin cy 1 - a cho kỳ vng Oo (khi
biết phương sai = ơg). Ngưòi đọc có th d dàng kim tra
đưc khi so sánh (2.1) và (2.2) - (2.4) với các ng thc tương
ng chưng IV, §4 (các công thc (4.4), (4.7) - (4.9)).
Thí d 2.ĩ. Mt hãng bo him thông báo rng sô" tin trung
bình hãng chi tr cho khách hàng b tai nn ôtô là 8500 đô la.
Đê kim tra li, người ta kim tra ngu nhiên hồ sơ chi tr của
25 trưng hp thì thy trung bình mu là 8900 đô la. Giả sử
rng s tin chi tr tuân theo lut chun vi ơ= 2600; hãy kim
đnh li thông báo ca hãng bo him trên {a = 0,05).
Gii. Ta chn Ho, a = 8500, vi Hi'. a 8500; đây mu
đưc cm sinh bi X ~ cKa, 2600^). Min bác b
gi thuyết //o là (xem (2.2)) (-C0, hoc (2*, +ũo) với
Zf,
tìm t
bn phân phôi: (zi,) - 0,5 - 0,025 = 0,475, suy ra = 1,96.
Tính thng kê thc nghim
Ơ-Q 2600
ràng |0,77 = 0,77 < 1,96; ta không cđ sở để bác b thông
báo ca hãng bo him.
164
Thí d 2.2. Mt ông ch cửa hàng thùng cho rng dung
tích trung bình ca thùng là 55 lít (cr = 6 lít). Do kích thưc
tôn mua v đã cô" đnh nên không có kh năng đóng đưc
thùng có dung tích ln hơn na. Hãy kim đnh li ý kiến ca
ông ch trên, biết rng khi kim tra 36 thùng ta thy dung
tích trung bình ch có 49 lít (a = 0,001).
Gii. Dọ điu kin ca đu bài, s hp lý nếu ta chn Ho',
a = 55 vi Hii a < 55 (a ký hiu là dung tích trung bình lý
thuyết). Đ ý đến kết qu ca chương IV, thng kê (2.1) s có
phân phôi xấp x chun, ngay cả trong trưng hp chưa biết
phân phi của biến gc X. T đó min ti hn ca cp Hq,
trên s là Ba - (-co,Z) vi Zf, tìm t (p(zi,) - a 0,5 = -0,499;
suy ra Z) - -3,09. Mt khác thông kê thc nghim
^ c.
ƠQ b
Ta thy -6 < -3,09, không cơ s đê chp nhn ý kiến ca
ông ch cửa hàng thùng.
2. Bài toán 2 (phương sai chưa biết)
Ta thay thông kê (2.1) bng
K = (2.5)
s
trong đó là phương sai mu hiu chnh. Khi Ho đúng, ta đã
biết K s có phân phĩ Stiu-đơn t{n - 1). Mt khác do tính đốì
xng ca phân phi này qua gc ta đ, nên cách làm rt
ging vi bài toán 1 trên.
a) Kim đnh hai phía với Ho', a = ao v H: a ^ o- Đt
= K^_ ^ ta min tói hn tương ng
n-1.1--
2
(2.6)
165
b) Kim đnh mt phía
+ Nếu H{. 9 < o/ tìm z^ = Ka = a và min tới hn s
(2.7)
+ Nếu H-. 6> Ooi tìm Z, = K-^a - 1-a và min tới hn s là
K={K^r,-.K,^>z,]. (2.8)
Bn đc hãy so sánh (2.5) - (2.8) vi (2.1) - (2.4) để thy rõ sự
giông và khác nhau gia hai bài toán 1 và 2.
Thí dụ 2.3. Mt nhà nhân chng học cho rng chiu cao
trung bình ca mt b tộc người thiu s là 160 cm. Ngưi ta
chn ngu nhiên ra 16 người lốn ca b tc người đó thì thy
chiu cao trung bình là 164,25 cm với đ lch chun mu hiu
chnh là 6,25 cm. Có th cho rng b tc nời đó có chiu cao
trung bình lớn hơn 160 cm hay không (gi sử chiu cao tuân
theo lut phân phi chun và a chn bng 0,05)?
Gii, đây ta chn Hq-. a = 160 vi Hi. a > 160 cùng với gi
thiết chiu cao X tuân theo lut chun. Với a = 0,05, /I = 16 ta
có Z, = ^15- ũ 9 5 = 1,753. Mt khác
s 6,25
ì
Do 1,36 < 1,753, ta không có cơ s đế bác b Hq, có nghĩa là ý
kiến ca nhà nhân chng hc là th tin đưc.
Chú ý rng khi ^ > 30 vic tìm Zb trong các công thc (2.6)
- (2.8) s đưa v tra bng Láp-la-xơ do tính xp x chun ca
phân phi Stiu-đơn. Thm chí ngưòi ta có th b qua cả gi
thiết chun ca biến gốc X. Tuy nhiên c kết qu trong cả hai
trưng hợp đu ch là gn đúng (nhưng đòi hi mu lớn).
2.2. Kiểm đnh v t l
Gihg như bài toán 3 phn khong tin cy, ta đi gii
quyết bài toán kim đnh v t l sau;
166
Bài toán 3, Với mc ý nghĩa a, hãy kim đnh gi thuyết
H q: p = P q, biết rngp là tham sô phân phôi p).
chương IV ta đã biết nếu dung lưng mu n lớn và p
không quá gần 0 hoặc 1 (tc ĩip > 5 hoc n(ĩ - p) > 5) thì
phân phi chun có th đưc dùng xâp x phân phôi nh thc
,[n, p.Nếu gi m/n = /'là tn suâ^t mu - ưc lưng ca
xác suâ"t Py thì p s có phân phôi xp x chun vi k vng
bng p và phương sai p (l - p)n, T đó bài toán kim đnh v
t l không có khác bit cán bn so với kim đnh v k vng.
Bn đc hãy tự tìm ly các quy tc kim đnh tương ng
(để ý đến mục 4.3 của chương IV). Chng hn nếu chn đôi
thuyết H: p ^ Po thì tiêu chun kim đnh s là
f - P
K =
Vp o (1 - Po)
(2.9)
và ta s bác b Hq nếu > Zf, vi [z^) = 0,5 -
a
Thí dụ 2.4. Mt toà báo thanh niên thông báo có 25% học
sinh ph thông trung hc là đc gi thưng xuyên. Mt mu
ngu nhiên gm 200 học sinh đưc chn cho thy có 45 em đc
báo đó thưòng xuyên. Kiểm định tính chính xác ca thông báo
trên vi mức ý nghĩa 0,05.
Gii. Rõ ràng nên chn Hq. p = 0,25 vi p 0,25. Vi
a = 0,05 giá trị tra bng = 1,96. Mt khác theo (2.9)
' - 0.806
> o ( l- P o ) > 2 5 .(1 -0 ,2 5 )
Tđó do -0,806 < 1,96 ta không có cơ s đ bác bthông báo
ca tòa báo đó.
Thí d 2.5. Mt hiu làm đầu cho rng 90% khách hàng
ca h hài lòng với cht lượng phc v. Nghi ngờ ch hiu i
quá lên, mt nhà điu tra xã hội học phng vn 150 khách
hàng ca hiu .làm đầu thì thy 132 ngưòi i hài lòng. Với
mc a = 0,05; có th tr lòi thế nào cho nghi ng trên?
167
Gii, đây ta nên chn HqI p = 0,9 vi H^: p < 0.9. Với
a - 0,05, giá tr Zj tìm đưc bng các tra bng (Zb) = a - 0,5 =
-0,45, suy ra Zj = -1,645. Mt khác
^ ~
.
- Vn = (^32/150)- -0,833.
Po(l - Po) j0 ,9 .(l-0 ,9 )
Từ đó do -0,833 > -1,645; ta không có cơ s bác b ý kiến ca
hiu làm đầu.
2.3. Kiểm định v phương sai
Với gi thuyết chun ca biến gc X và xut phát t mt
mu X i, ^2, ta phi kim đnh gi thuyết sau:
Bài toán 4. Kim đnh Hq. VX = ƠQ (ơođã biết) vi mc ý
nghĩa a. Đ kim đnh gi thuyết trên ta dùng thng kê
(2.10)
Nếu gi thuyết Hq đúng thì t chương IV ta biết K ~ [n-ì)
(chú ý rng nếu thay (n -l)s^ = ^{x- -do, vi ao = EX đã
i=l
cho, thì thông kê trong (2.10) s tuân theo lut ^{n) và cách
làm s giông như trưng hp trên vi n - l đưc thay bng n).
T đó ph thuc vào ta có các min ti hn khác nhau:
a) ơ ^ ƠQ
hoặc K,, > } (2.11)
b) //, ; cr^ < CT;
, (2.12a)
c) : a^> ơ
(2.12a)
lê8
Bn đc hãy so sánh (2.11) - (2.12) với các công thc tương
ng của mc 4.4, chương IV.
Thí d 2.6. Ch hãng sn xut mt loi thiết b đo cho biết
đ lch chun ca sai sô'' đo (gi s nó tuân theo lut chun)
5 mm. Kim tra mu gm 19 thiết b đo thì thy s'^ = 33 mni".
Vi a = 0,05 có th kết lun v ý kiến ca ch hãng?
Gii. Ta chn Hq. cr - 25, còn đôi thuyết hoc cr ^ 25,
hoc cr > 25. Trong cả hai trưng hp
cr;
18,33
25
23,76.
Mt khác nếu cho 25 ta phi tra hai ln bng
/Í^18;0,02õ /18-0,975 ~ 31,5;
Còn nếu /Í : > 25 thì = 28,9 . Như vy trong cả hai
trưng hp ý kiến ca ch hãng đu có th chp nhn đưc (do
8,2 < 23,76 < 31,5 hoc 23,76 < 28,9).
Thí d 2.7. Th đ chu lực ca 35 chôt khoá thì thy đ
^ ch chun mu hiu chnh là 3,5 pao (1 pao c 450g). Có th
cho rng bảo đm ca ngưi sn xut là đ lch chun tht
bng 3 pao đưc không?
Gii. Ta chn //(): cr= 3 với đôi thuyết ơ-> 3. Tt nhiên
có th đưa v bài toán 4, nhưng đây dung lưng mu n = 35
nên ta s dng s kin (xem §2, chương IV) s có phân phôi xp
_2 ^
X chun c4'
cr,
o;
2n
nếu Hq đúng. T đó ta đưa v dùng (2.4).
Với a = 0,05, giá tr Z, - 1,645. Mt khác
K
tn
s - ơc
ơf
Do 1,39 < 1,645 nên không có cơ sở đ bác b bo đm ca nhà
sn xuâ't.
169
§3. CÁC KIM ĐỊNH DÙNG NHIỂU MU
3.1. So sánh hai k vng
Giả s ta có hai tp nn với hai biến gôc ơng ng X ~
c4\ai, ơ-|) Y ~ ơ'{a.2, ). Nếu mun so sánh a, và Ơ2 người
ta đưa ra giả thuyết Hq-. a, = «2- Thông tin mu gồm hai tp
mu tương nga:„ vày,, ,
Bài toán 1. Vi mc a hãy kim đnh H. Oi = 02-
Ý ng lý thuyết đưa v kim định Oi - Ơ2 = 0 = Eí- Y).
1) Nếu biết ơ, và ơ- 2 ta sử dng tiêu chun
(x-)-(ai -a^)
K = ^-------------( 3 . 1 )
?
2
i
^2
+ ----
^2
D kim tra t chương IV, ta thy thông kê (3.1) có phân phi
c4'X0, 1) và nếu Hq đúng thì Oi - Ơ2 = 0. Từ đó giông như bài
toán 1 của §2 ta có (trong đó Za là phân v chun a).
a) Nếu Hi, 2 , min tới hn mt phía là (xem (2.2))
B a = liTj > z (3.2)
1--
2
b) Nếu H: ơi < 02, min tói hn mt phía là (xem (2.3))
Ba= {K,,K,,<Za} (3.3)
c) Nếu H: ai > a2, min tói hn hai phía là (xem (2.4))
Ba { K^. Ki^ Zi_a) (3*4)
Đ ý trong (3.3) và (3.4) Za - 2i_a.
2) Nếu ơ và ơ chưa biết ta lưu ý hai trưòng hp:
+ Nêu và rí2 đ ln (>30) ta có th tính toán xp xỉ bng
cách dùng thông kê (3.1), nhưng các ơ và thay bng các
ưc lượng không chch tương ng ca chúng $1 và s. Bn
đc tự viết các min ti hn tương ng (xem (3.2). (3.4)).
170
+ Nếu /2] và I2 khá , vn đ s phc tp hơn mt chút.
Ta s sử dng tiêu chun sau:
(x-)-(a,-a,)
K = ,
\
________1 ) s + ( ^ 2 ^
(3.5)
V^I
n
2 J
+ rÌ2 ~ 2
Nếu thêm gi thiết hai biến gôc có phương sai giông nhau thì
nếu Ho đúng, thông kê K ^ t(rii + ri2 2). Từ đó cách làm s
giông như bài toán 2 ca §2.
a) H^: O 2 thì Ba = Kt^:\KiJ> t ^ }; (3.6)
) 2
b) H,: a, < thì (3-7)
c) H^: a, > a., thì (3-8)
Bn đc th so sánh (3.6) - (3.8) với (2.6) - (2.8) và sau đó vi
(3*2)-(3.4).
Thí dụ 3,1, Nghiên cứu trng lưng sơ sinh ca hai nhóm
tr có mẹ không hút thuc và hút thuc trên 2 mu ơng ng,
ta có
n, = 15; = 3,5933; = 0,3707;
ri2 = 14; ^2 = 3,2029; = 0,4927;
Giả s trng lượng tr các nhóm có phân phôi chun cùng
phương sai. Vi mc a = 0,05 có th cho rng trẻ sơ sinh
nhóm m hút thuc nh cân n ca nhóm m không hút
thuôc không?
Gii: Ta chọn iío: cti = «2 vi đôi thuyết H\ Ui > Ơ2. Theo
(3.8) giá tr bng
Z,
= ^ = í,^7;0.95 = Mt kc
3,5933 - 3,2029
2,42.
14.0,3707^ - 13.0,4927'
15 + 14-2
1 1
+ -
15 14
171
Theo (3.8) do 2,42 > 1,703, có cơ s để cho rng trẻ nhóm mẹ
xhông hút thuôc nng hơn.
Thí dụ 3.2. Ngvíòi ta nghiên cu năng sưât lúa m hai vùng
khác nhau, vùng thứ nht có 9 tha rung đưc chọn vi năng
sut nh quân X] = 24,6 t/ha s = 0,24 ; còn vùng th hai
có 16 tha ruộng vi năng sut bình qn - 25,8 t/ha
s = 0,16. Vi a = 0,05 hỏi có s sai khác đáng k giữa các năng
sut trung bình hai vùng không (gi s ng sut là các biến
ngẫu nhiên tuân theo lut chun cùng phương sai)?
Gii, Đ so sánh năng sut trung bình, ta chn ơ] = a.; vi
H^ \ a^. Tra bng Stiu-đơn cho ta 0.975 - 2,069. Mt khác
24,6 - 25,8
8.0,24 + 15.0,16
/
1
1
-6,67.
9 + 16-2 ^ + - -
[9 16,
Do 1-6,67 1 > 2,069 không có cơ s châ^p nhn H, hay năng
sut trung bình có th coi là khác nhau.
Chú ý:
~ Nếu ĩi và ri2 khá ln, ta có th b giả thiết chun ca
đu bài.
- Đ ý hai đối thuyết Ơ > a-2 và ƠI < Ơ2 dễ dàng chuyn
đi cho nhau bng cách thay đi th tự ca hai mu.
- Trường hp mu cặp (x,, i nên thiết lập hiu
"và đưa v kim đnh gi thuyết H)', EZ - 0 (m trong
§2 đã xét).
3.2, So sánh hai tỷ l
Cho ^ai tập nn có các biến gc Pj) và
Y ~ Ta có th so sánh các xác sut Pi và p-> bng
kiểm định gi thuyết.
Bài toán 2. Vi mức ý nghĩa a, hãy kim đnh P - P2-
172
Tiêu chun kim định s là
n
2 J
trong đó f là tn suâ^t mu tương ng vi hai mu
. và yi, 3/2, , yn^\ ĩ =^hlUhfl._ Nếu iĩo đúng và Tii, Ui
khá lân thì
fr-f2
ri + rì2
ĩ f )
1 1
(3.9)
V ' n ^ )
có phân phi c4'X0, 1). T đó ch làm giông như bài toán 3 §2.
a) Nếu Hi: Pi ^ P2 , tra bng [zij) = 0,5 - đ tìm Z,
B^={K,^:\K,^\>Z,}. (3.10)
b) Nếu H-. Py > P2, tra bng [z,) = 0,5 - a để tìm và
B={K,^:K,^>z,}. (3.11)
Nếu H,: p, < p.,, ta có th đổi s th hai mu đ đưa v min
ti h n (3 .11) 1 1 d u
Thí d 3.3. Kim tra cht lượng hai sn phm, nời ta
thy trong th nht gồm 500 sn phm có 50 phế phm, n
trong th hai gồm 400 sn phẩm thì có 60 phế phm. Với
mức ý nghĩa a = 0,05 có th kết lun gì so sánh cht lượng hai
sn phẩm?
Gii. Gi Pi, P2 là các xác sut gặp phế phm ca các
hàng ơng ng. Ta cn kim định gi thuyết P = p-2 vi Hy
Pi ^ P 2 ia= 0,05). Ta s dng tiêu chun (3.9):
/;
=0,1;/; = ^ = 0,15;/' =
500 400
50 + 60
500 + 400
0, 12,
173
khi đó
0,1-0,15
1 1
n
0, 12. 0, 88.
1 1
+
«-2,276.
500 400
Tra bng tìm = 1,96 và do I -2,2761 > 1,96 ta không có cơ s
đ chp nhn Hq. Chú ý rng do mu lớn nên đ ý đến phn 2
ca bài toán 1 ta có th tính xp x
/ 1 - ^ 2 _ 0,1 - 0,15
M ìi  l + íL i l
r i c
V
0,1.0,9 0,15.0,85
«=-2,56
500 400
và Hq càng b bác b. Nhưng đê kết lun th nht có cht
lưng tt hđn thì chưa đ. Bây giờ ta chn Hi: p, < P 2 và tự
nhn xét theo (3.11), ta tìm Zi t ^Zh) = 0,5 - a, suy ra =
1,654. Do 2,276 > 1,645 nên không có cơ s đ chấp nhn Ho;
ta chp nhn Hi, tức là t l phế phm ca hàng th nht
bé hđn đáng k so vi hàng th hai.
3.3. So sánh hai phương sai
Cho hai tp nn với hai biến gốc X ~ oV(i, ơ-f) và
Y ~ oV(a2, ơ|). T hai mu tương ng Xi, ^2, x,^ vài,y2,
ta muốn so sánh hai phương sai lý thuyết orf và Ơ2 .
Bài toán 3. Với mức ý nghĩa a hãy kim đnh Hq : ơ = ờị.
Ta chn thng kê
2 2
V- _ ^1-^2
2 _2
«2 .ƠI
nếu . Phân phi ca K đã xét chương IV. Nếu Ho đúng
tiêu chun kim đnh tr thành
(3.12)
174
và K ~ #(«! - 1, «2 - 1). Tđó ph thuc vào đl thuyết Hi ta có:
a) Nếu Hi: crf 5^ ơ|, ta có min tới hn
(3.13)
ni-ì.n.i-.~ ^
1
-
1
. «
2
-
1
.
1
- -
b) Nếu H : af > ơ-g, ta có ơng ng
(3.14)
Thí d 3.4. Ngưi ta đo tốc đ xut phát ca đn khi súng
phát ha khi th nghim hai mu đn ca hai ng ty khác
nhau. Sô" liu th nghim ca mu th nht /Ii = 10,
Xj = 1210 và Si = 2500, n ca mu th hai «2 = 10,
X2 =1175 và §2 = 3600 . Với mc a = 0,05 có th kết lun gì
cht lưng ging nhau ca hai mu đn (gi sử các biến X] và
X2 tuân theo lut chun)?
Gii. Muôn đưa v hình so sánh k vọng, ta phi có giả
thiết là Xi và X2 cùng phương sai. Giả thiết đó có th đưc
tha nhn da vào bài toán 3: kim đnh Hq : Ơ = Ơ2 với Hi '.
ơ > Ơ2 , xem (3.12) - (3.14). Tra bng Phi-sơ ta có ^990 95 =
3,18 và
S2 3600
sf ~ 2550
T đó do 1,41 < 3,18 nên gi thuyết v s bng nhau ca hai
phưng sai chp nhn đưc.
Báy giò ta kim đnh Hg, a, = Ơ2 vi Hi- Ơ ^ a2- Ta s tính
theo (3.5)
9.2550 + 9.3600 r 1 1^
10 + 10-2
V
10 10
Trong khi đó í,8- 0,975 = 2,101 và do I 1,42 I < 2,101 gi thuyết
Hq. Oi = 02 đưc chp nhn. Chú ý trong thc hành khi ĩi và
«2 > 30 nời ta còn xp xỉ
175
s ~ cyK
t đó sf - s ~ ơV crf - ơ, và n
ca quy tc kim đnh Hq s là (xem (3.2))
và min tới hn hai phía
K,. =
Sj «2
tn
2S 2s
K
tn
> z
4-
1-^
2
n. n<
3.4. So sánh nhiều trung binh (phân tích phương sai)
Ta xét mt trưng hp đơn gin là bài toán phân tích
phương sai mt nhân tô" Giả s ta có k biến ngu nhiên gc
(ứng vi k tp nn) Xj - ũV(aj, = l,k, với các tham s* chưa
biết. Đ có th so sánh các trung bình dựa trên k b sô" liu
mu Xjy i = l,rij, j = lyk ta cn gii bài toán sau:
Bài toán 4, Với mức ý nghĩa a hãy kim đnh Hq\ ơi = ơ2 =
... -a^ vi đốì thuyết tn tai ji và^2 sao cho . ^ a.
J \ J'2
Lưu ý vic tách bài toán 4 thành nhiu bài toán 1 cho
sai s rt ln và khi lưng tính toán rt đ sộ khi k ln. Vì
vy ta s dùng mt k thut mi là phân tích phương sai, v
mt lý thuyết có hơi phc tp, nhưng v mt thc hành khá
đdn gin. Đe'ý là các mu theo gi thiết đu có phân phi
chun cùng phương sai, và do nhiu mu nên ta có nhiu cách
ưc lưng phương sai đó.
Trưc hết ta tính các đc trưng mu trên cơ s các s liu
Xij, ch sô" i là th t quan sát trơng ni bmu ca nhóm th j
(gồm ĩij s liu), ch sô" j là sô" th t nhóm (gồm k nhóm). Gọi n
là tng s các quan sát, t đó
176
n = Hy + ^2 + ... + ĩlk -
__
1 /Ll _ 1 *
i = l J = \ i = l
k
trong đó là trung bình mu ca nhóm , còn X là trung
bình chung.
T mỗi nhóm ta có th c đnh phương sai mu hiu
chnh ca nhóm
' V i=\
và tính tng bình phương các đ lch riêng ca các nhóm so
với X
= ( T j - x f nj. (3.15)
j = l
Tng bình phương các đ lch đưc tính theo công thức
J=ì i=l
Bn đc có th chng minh đưc ý (3.15))
S ' Z (^ » - - ( ^ - + i ( * » - <3-115)
j= l Ì = 1 J=\ j=l i=l
trong đó tng th nht bên phi đặc trưng cho sự khác nhau
gia các nhóm, còn tng th hai - gia các sô' liu trong nội b
các nhóm. Bậc t do ca là n -1, ca ì k - 1, dn đến
2
bậc t do ca - j s là n - (bc tự do ca phân
i J
phôi ^), Tđó ta có hai ưc lượng phương sai
177
(3.17a)
(3.17b)
Người ta chng minh đưc rng nếu Hq đúng thì t sô' s f / s
tuân theo lut Phi-sơ - Sne-đơ-co vối c bậc tự do à - 1 và n - /.
T đó min ti hn ca quy tc kim đnh s là
g2
®a ~ ^ tn ~ ^ ^k-\.n-k,\-a
oõ
(3.18)
trong đó SIS đưc xác đnh t (3.17), Fk-1 n-k 1-a là phân v
1- a ca phân phi ĩ{ji - \,n - K).
Thí d 3.5. Người ta do nồng đ haemoglobin 3 nhóm bnh
nhân mc 3 dng bnh khác nhau A, B, c, kết qu đo bi bng:
Nhóm 71,
Xij
A 16
7,2 7,7 8,0
8,1
8,3
8,4
8,4
8,5 8,6
8,7 9,1
9,1
9,1
9,8
10,1 10,3
B 10
8,1
12,1
9,2 10,0
10,4
10,6
10,9
11,1
11,9 12,0
c 15
10,7
12,6
11,3
12,6
11,5
13,3
11,6
13,3
11.7
13.8
11,8
13,9
12,0
12,1
12,3
Hãy so sánh các nng đ trung bình ca các nhóm {a = 0,05).
Gii, n = 16 + 10 + 15 = 41; k = S; X 8,7425; X2 =
10,6300; X3 = 12,3000; Si = 0,8445, «2 = 1,2841, S3 = 0,9419.
S X 4 = '^>2^ + " 4651,80;
Ì J
178
t đó tng bình phương
n
= 4651,80 - 430,2^/41 = 137,85.
Ta tính s và S2 :
( \
2
-
n
J
K )
/
= - (16.8,7125^ + 10.10,6300 + 15. 12,3000^ - 430,2"^ /41)
= 49,94;
2
99,89
J
1 Q V
= fl5.0,8445^ + 9.1,2841^ + 14.0,9419^ = = 0,99.
38'' ' 38
Cui cùng t (3.18) =
49,94
0,99
50,5;
mt khác nếu chn a - 0,05 thì F. 38 0 95 = 3,24 < 50,5. Như vy
không có cơ s đ chp nhn í/(), hay nng đ haemoglobin của
các nhóm bnh khác nhau đáng kể.
§4. KIỂM ĐNH PHI THAM s
4.1. Kim định githiết v lut phân phi
Trong nhiu bài toán thng kê, ta hay có giả thiết biến gc X
có phân phối chun, phân phôi Béc-nu-li... Trong thc tế nói
chung không th biết đưc X có phân phi nào từ đó dn đến i
179
toán kiêm định tính đúng đắn ca nhng gi thiết v phân phối.
Cách gii quyết các bài toán dng này làm giông như kim đnh
tham sô, Đu tiên ta c định giả thuyết, thí d như X tuân theo
lut chuẩn, lut đều, lut Poa-xông..., và đĩ thuyết X không
có phân phôi tương ng đó. Sau đó da vào mt tiêu chuẩn kim
định và tính nó trên tập mu đã có để quyết đnh. Loi tiêu
chun đây đưc gi là tiêu chun phù hp,
Có nhiu loi tiêu chun phù hp khác nhau. Trong mc này
ta chỉ xét một tiêu chun khá thông dng mang tên Piếc-xn và
dùng tới phân phôi 2^. Nó đưc xây dng da trên sự so sánh
tn sut thực nghim và xác sut lý thuyết ca phân phối xác
sut gi định.
Giả sử ta có mt tp mu đã đưc phân lp
X - X 2
Xi- - X,
Xk-I - Xk
n x 7Ĩ2
rii ...
rik
vi kích thưốc mu n = 7Zi + ^2 và X < %2 < ... < Xk.
Thông thưòng đ dài các khong chia bng nhau (có th khác
nhau) và giá tr rii không quá (> 5, có th chp nhn ngoi l
cho khong đầu và cuôi). Giả thuyết đưa ra kim định có dng
Hq\ X - có hàm phân phĩ c sut F{x' vi đôì thuyết Hi đôi
lập vi o- Lưu ý rng nếu F{x) ph thuc vào các tham sô" chưa
biết, ta phi thay thế chúng bng các ưc lưng hp lý nht.
Nếu Hq đúng, t sô" ìiln s gn với xác sut Pi để biến X
nhn giá trị trong khong th i (chú ý Pi hoàn toàn tính đưc
dựa vào F(x) đã biết). Từ đó Piếc-xơn đưa ra tiêu chun
k
-
i = l
npi
(4.1)
Rõ ràng K càng bé thì phân phi xác sut ca X càng gn F{x).
Ngưòi ta đã chng minh đưc rng 72 -> co thì phân phi xác
sut ca K không ph thuc vào phân phi ca biến gc X s
lao
xp xỉ tới phân phi - r - 1), với r là tham s chưa biết cn
phi ưc ng.
Từ đó vi mức ý nghĩa a, ta có th xác đnh min tới hn
cho tiêu chun K trong (4.1)
B^={K,^-.K,^>xlr-v^-a] (4.2)
Chú ý khi tính Pi = P{Xi_i < X < Xi) - F(xi) - F(Xi_i) cho các
biến X liên tc thì Xo chn bng -0 0 và X); = +00. Nếu biến X
ri rc vic tính p, dựa vào hàm xác sut tương ứng với Ho.
Thí d 4.1. Quan sát mt thiết bcó 10 trng thái tt cả 75
ln ta thu đưc kết quả
Trng thái
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Sô" ln Tii 5 8 3 11 4 5 4 14 . 13 8
Vi a = 0,05 có th cho rng vai trò các trng thái như nhau
hay không?
Gii. Nếu vai trò các trng thái là như nhau thì s ln
xut hin của chúng phi bng nhau. Tđó nếu gọi X là biến
ngu nhiên ch sô" th t ca trng thái thì X phi tuân theo
lut phân phôi đu ròi rạc với Pi = 0,1, i = 1,10. Bài toán đưa
v kim đnh Hũ, X có phân phi đu, với a = 0,05. Tính vi
k = 10, n = 75,
-npi
10
=
i = l
nPi
19,0.
Tra bng / tìm 9 5 = 16,92 < 19,0, t đó e So,05 và gi
thuyết Hq không có cơ s đưc chp nhn.
Thí d 4.2. Quan sát sô" lượng ký sinh trùng trong hng
cu ca bnh nhân mắc mt loi bnh v máu, ta có kết qu
S lượng ký sinh trùng
0 1 2 3 4 >5
S người bnh
40000 8621 1259 99 21 0
181
4.2. Kiếm định giả thuyết độc lập
Tiêu chun còn có th dùng đ kim đnh tính đc lp
ca hai đặc tính nào đó ca các đl tưng ta quan âm. Đ
kim định gi thuyết trên ta lp bng như sau: Gi S I X và y
ĩiij là sô" ln quan sát đốì tưng cùng có thuc tính i của đặc
tính X và thuc tính j ca đặc tính Y. Nếu ký hiu p(i j), Px{i),
Pyự) là các xác sut có đng thòi các thuc tính i j, ;ó thuc
tính i, có thuc tính j (ca các đặc tính tương ứng), thì :ính đc
lp tương đương vi (xem chương III)
p(i,f) -Px(i)Py(J)-
s r r s
Đt ri = mj ='^n^j\n = ta có th ưc ng các
J=\ Í = 1 i = i = i
xác sut trên bng
P Á ^ = PyU)
n ^ n
Rõ ràng nếu X và y đôc lâp thì «
n n
đó nếu Hq-. X và Y đc lp đúng, tiêu chun
184
^ ^ ý » [ z v ^ n ^ j ) "
i h j)
(4.3)
s là đ đo s gn nhau gia xác sut lý thuyết và thc
nghim. Đ ý K tuân theo lut vi s bc t do {r - l)(s - 1)
khi n khá lớn. Vì vy với a cho trước min tới hn ca tiêu
« .*>
__
*
chun K s là
B
a
K,n=n
r s 2
i= ý=i
(4.4)
Thí d 4.4. Kho sát màu mt và c ca 6800 nời Pháp
cho ta kết qu
Tóc
Mt
Vàng Nâu
Đen Hung
z
Xanh 1768 807 189 47 2811
Ghi
946
1387 746 53
3132
Nâu 115 438 288 16
857
s
2829
2632
1223 116 6800
Hi màu mt và màu tóc đc lp với nhau hay không
(a = 0,05)?
Gii: Theo (4.4) min bác b Hq: Màu mt và màu tóc đc
lp
~ ^ t n ^ t n > - í ^ ( 3 - l ) ( 4 - l ) ; 0 , 9 5 1
= 12,59}.
Có th dùng (4.3) hoc (4.4) đ tính tiêu chun Ktn = 1075. Rõ
ràng hai đặc tính trên không th đc lp vi nhau.
Thí dụ 4.5. Ngưi ta tiến hành thăm dò v 3 ng c viên
vào chc th trng (là các ông A ], Aa, A3) ba qun (qun Bi,
B2, B3). Kết qu thăm dò như sau (trên tng s 310 ngưi):
85
4.2. Kiểm định giả thuyết đc lập
Tiêu chun n có th dùng đ kim đnh tính đc lp
ca hai đặc tính nào đó ca các đối tưng ta quan tâm. Đe
kim đnh giả thuyết trên ta lập bng như sau: Giả sử X và y
Ti là sô" ln quan sát đôi tưng cùng có thuc tính i ca đặc
tính X và thuc tính j ca đặc tính Y, Nếu ký hiu p(i, j), pJS)->
P y ( j ) là các c sut có đng thòi các thuc tính i và có thuc
tính , có thuc tính j (của các đc tính tương ng), thì tính đc
lập tương đương vi (xem chương III)
P{Ì,j)=^PÁÌ)Py(J)-
s r r s
Đt n. - '^rij; mj \ n = ta có th ưc lượng các
j= \ Í=1 i= l
xác suâ^t trên bng
m
n
Rõ ràng nếu X v k Y đc lp thì a;
..
, i = l,r; j - l,s. Từ
n n
đó nếu Hq: X và Y đc lp đúng, tiêu chun
184
r s n ^ ^ ^ n ^ j )
t t h
(4.3)
s là đ đo sự gn nhau gia xác sut lý thuyết và thc
nghim. Đ ý K tuân theo lut vi số bậc t do {r - l)(s - 1)
khi n khá ln. vy vi a cho trưc min tói hn ca tiêu
chun K s
K,n=n
y y _ Z !v _
(4.4)
Thí dụ 4.4. Kho sát màu mt và tóc ca 6800 ngưòi Pháp
cho ta kết quả
Mt
Vàng
Nâu
Đen
Hung
I
Xanh
1768 807 189 47 2811
Ghi
946 1387 746
53
3132
Nâu
115 438 288 16 857
2829 2632 1223 116 6800
Hỏi màu mt và màu tóc có đc lp với nhau hay không
(a=0,05)?
Gii'. Theo (4.4) min bác b Hq. Màu mt và màu tóc đc
lp là
® o r ^ t n ^ t n > - í ^ ( 3 - l ) ( 4 - l ) ; 0 , 9 5 1
= > 12,59} .
Có th dùng (4.3) hoc (4.4) đ tính tiêu chun K^ = 1075. Rõ
ràng hai đặc tính trên không th đc lp vi nhau.
Thí d4.5. Ni ta tiến hành thăm dò v 3 ng c viên
vào chc th trng (là các ông Ai, A2, A 3) ba qun (qun Bi,
B2, B3). Kết quả thăm dò như sau (trên tng sô" 310 ngưòi):
185
ng c viên
Qun
Ba
B3
I
A.
50 40 35 125
30 45 25 100
A3
20
45
20
85
z
100 130 80 310
Hỏi có s khác bit đáng k gia các qun v s tín nhim ca
c tri hay không (a = 0,05)?
Gii. Rõ ràng nên chn gi thuyết gic là t l tín nhim
ca các c tri đi vi các ng c viên là như nhau cả 3 qun.
Như vy đôi thuvéĩ s là t l đó không giông nhau. Tuy nhiên
bài toán so sánh 3 t l không đơn gin, vy ta chn gi
thuyết gc Hq tương đương như sau: Mức tín nhim ca c tri
đc lp vi vic họ qun nào và ta đưa v bài toán đã xét
mục này (đi thuyết trong trưng hp này có tn ti quan
h gia mc tín nhim ca c tri với nơi ca h).
Trong công thc (4.3), r iij chính là tn sô" người đưc thăm
dò qun B, bu cho ng c viên A,; đây là tn sô" thc
nghim. Còn np{i, J) được hiu là tn s lý thuyết tính trên
tng s" người đưc thăm dò nếu gi thuyết đúng; nó s
bng ĩii mjln. T đó ta có bng tn s mong mun để Ho đúng
ng c viên
Qun
Ba
40,32 52,42 32,26
A2
32,26
41,94
25,81
A3
27,42 35,65 21,94
Chú ý là các tng hàng và ct ca bng sô" mi vn giông như
bng sô" cũ. Bây giờ ta đã có th tính tiêu chun
186
3 3
t=ĩ j = l
r ^
n,m.
^ y
n
10,539.
Bn đc có th thiết lp bng tính tương ng, đ ý là - đã
n
> \
đưc tính trong bng va lp trên. Bây giờ ta ch còn vic tra
bng đ tìm ngưõng ca min ti hn 2 (3-i)(3-i);0 95 =9>488.
Do Kn - 10,539 > 9,488 ta không có cơ s đ chấp nhn gi
thuyết Ho và có th kết lun rng mức đ tín nhim ca cử tri
A I s ll. / 1
Jĩ
3 qun là khác nhau.
BÀI TP
1. Mt loi bóng đèn có tui th tuân theo lut phân phi
chun ơ\a, (/) vi ơ = 150. Cho gi thuyết gc Hà. a =
3600 vi đối thuyết Hì. a = 3500 và a = 0,01. Nếu mun
xác sut phm sai lm loi hai bng 0,05 thì cn đòi hi
kích thước mu bng bao nhiêu?
2. Mt thy giáo nghĩ rng ch có 33% học sinh có làm bài tập
nhà. Nhưng mt cậu hc sinh li cho rng thy giáo có
phn bi quan. Cậu chn mt nhóm ngu nhiên gm 49 học
sinh và thy có 17 làm bài tp nhà. Với mức a = 0,05 bạn
xác đnh xem thy giáo hay hc sinh có lý hơn.
3. Mt đưc thông báo là có trng lưng trung bình
1,6 kg. Nghi ngò trng lượng trung bình không đt mc
ấy, mt người ly ngu nhiên ra 24 con gà thì thy giá trị
trung bình mu là 1,5 kg vi 5 = 0,1 kg. Vi a = 0,01, hãy
kim định li nghi ng trên.
4. Thông thưng mt máy đóng gói đưc coi là đt yêu cu
nếu 90% sn phm đt mt trng lưng quy đnh nào đó.
Chọn hú ha ra 100 sn phm thì thy có 87 đt trng
187
lượng quy đnh. Hãy xác đnh xem, với a - 0,05, máy hot
đng đt yêu cu hay không?
5. Một hãng điu tra lun cho biết 68% c tri s b
phiếu cho ng c viên A. Chn ngu nhiên ra 36 c tri thì
thy có 26 nời bỏ phiếu cho ng c viên A. Vổi a = 0,05
bn có kết lun v kết qu điu tra ca hãng trên.
6. Mt dây chuyn sn xut bóng đèn có tui th 750 g.
Nghi ng do dây chuyn hot đng đã lâu nên sn xut
kém cht ợng, ngưòi ta chn ngu nhiên ra 10 bóng thì
thy tui th trung bình đt 740 giò vi s = 40 gi. Vi mc
a = 0,1 có th kết lun rng cht lưng ca dây chuyn
trên có kém hơn hay không?
7. Mt hãng truyn hình cho biết 70% khán gi xem chưng
trình phim truyn ca hãng vào tl th by hàng tun.
Mt hãng khác nghi ng tính chân thc ca tuyên bô" y đã
làm mt cuộc điu tra trên mu gồm 200 khán gi thì ch
có 130 người nói có xem chương trình phim truyn trên.
Vi ngưng a = 0,05 có th cho rng tuyên bô" ca hãng
truyn hình đu là nói hơi quá lên không?
8. Mt máy tin sn xut ra mt loi chi tiết có đưòng kính
trung bình là 1,5 cm (gi s đưng kính đó tuân theo lut
chun), biết rng đ lch chun ca toàn bsô chi tiết sn
xũt ra 0,01 cm. Ngưi ta chn ngu nhiên ra 25 chi tiết
thì thy đường kính trung bình là l,501cm. Vối ngưng
a = 0,05 có th cho rng máy tin trên vn đt yêu cu hay
không?
9. Đ xác đnh đ béo ca mt loi pho mát, ngưòi ta chn
ngu nhiên ra 10 miếng, ct đôi và hai na đưc gửi cho
hai png thí nghim A và B. Kết qu xét nghim như sau ;
Th t
miếng
1 2 3 4
5 6
7 8 9
10
A
40
39
40,2 38,2 39,7 37,7 41,4 36,5 40,7 38,9
B
41,9 39
40,7
39,3
39,2 38,2 41,3 38,5 39,8 38,7
188
Giả sử các sô" đo tuân theo lut chun. Vi a ~ 0,01 có th
cho rng các kết qu xét nghim ca hai phòng thí nghim
khác nhau cơ bn hay không?
10. Theo phương pháp nuôi th nht có 12 con gà con b chết
trong sô^ 200 con. Nuôi đi chng 100 con theo ch nuôi
th hai thì có 5 con b chết. Vi a ~ 0,05 có th kết lun
phương pháp nuôi th hai tôt hơn không?
11. Chọn ngu nhiên 47 vòng bi cùng loi thì thây đ lệch
chun trung bình ca đưòng kính s ~ 0,003. Theo qung
o thì đ lch chun tht không vượt q 0,0025. Vy ta
có th kết lun (ơ = 0,05)?
12. Nhà sn xu^t đinh tán cho biết đưòng kính đinh ca ông
ta có đ lệch chun 0,01 cm. Chọn mt mu rjgu nhiên
gồm 10 đinh tán thì thy s - 0,018 cm. Bn s nói gì v ý
kiến ca nhà sn xut?
13. Mt hãng sn xut cho rng chi phí trung bình cho một
chuyên ng tác đến c A của nhân viên hãng đó
1700$. Nghiên cứu ngu nhiên chi phí ca 10 ln công c
như vy cho kết qu ($)
1750 1693 1710 1730 1650
1720 1688 1703 1680 1760
Vi a = 0,05, kim đnh xem chi phí trung bình của một
ln công tác có quá cao hay không?
14. Kho sát hai siêu th thành phô' X, ngưi ta thây độ lch
chun ca sô^ tin mua hàng siêu th tương ng là 30000
đng và 20000 đồng. Nghiên cu 2 mu khách hàng hai
siôu th trên vi ìì 44 và n > == 15 ta thy s tin trung
bình chi đế mua hàng là lõOOOO và 135000 đồng. Vi a =
0,05 hi có s khác bit cơ bn v chi phí mua hàng trung
bình của khách hàng hai siêu th trên hav không?
189
15. Hai máy ct dây thép có c đ lch chun tương ứng ƠI =
0,26 cm và Ơ2 - 0,31 cm. Đe kim tra xem hai máy có ct
dây cùng đ dài hay không, người ta chn ngu nhièn 50
dây thép do mỗi máy ct ra thì thy có các đ i trung
bình mu tương ng - 142,6 cm, ^2 = 142,30 cm.
Hãy kim đnh với a - 0,05.
16. Ngưòi ta chia các vn đng viên thành hai nhóm: nhóm
th nht gồm 130 ngưòi đưc ung vitamin X, nhóm th
hai gồm 128 ngưi đưc uông thuôc gi (placebo). Sau mt
mùa thi đấu sô' nời nhim cúm mi nhóm tương ứng là
30 và 39. V a - 0,05 ta có thế cho rng vitamin X làm
tăng đáng k kh năng chông cúm ca các vn động viên
không? Có th cùng kết lun như trên với a ~ 0,01 không?
Gii thích ti sao.
17. Đ xác định xem ngưòi vùng núi cao có tui th trung bình
cao hơn người vùng bin hay không, ngưòi ta chn ngu
nhiên ra hai mu. mu th nht gồm ngưòi vùng núi
khi xét 50 giy khai t thy tui th trung bình là 70 năm
vi độ lch chun S] = 11,2 năm; còn mu th hai (ngưòi
vùng biển) 100 giy khai t cho thy tui th trung bình là
65 năm vi đ lch chun $ 2 = 12 năm. Vi mc a - 0,05 có
th cho rng nời vùng núi th hơn ngưòi vùng bin
khÔig?
19. Ngưòi ta kho sát 15 sinh viên để nghiên cứu hiu quả của
vic ging dy theo phương pháp mi. Trưc khi hc, sinh
viên s làm mt bài kim tra (đim ti đa bng 100), sau
khi hc s làm bài kim tra th hai. Kết quả đim ca
tng học sinh như sau:
Sô" th tự 1
2
3 4 5 6 7
8
Trưc học 54
79 91 75 68
43 33 85
Sau học
66 85 83 88 93
40 58 91
1 n
Sô" th t 9 10
11 12
13 14 15
Trưc hc
22
56 73 63 29 75 87
Sau hc
34 62 59 80
54
83 81
Vi mc a - 0,05 bn có nhn xét gì vê sự khác nhau gia
hai dãy điểm trên? Có th coi rng vic học theo phương
pháp mi có hiu qu n hay không?
20. Có hai máy tự đng sn xut cùng mt loi sn phm. T
c sn phm ca mỗi máy ta chn ra 10 sn phm
kết qu đo đ dài ca các mu đó như sau:
Mu 1:
39,37
49,88
49,91 49,33
49,77
49,81 50,01
50,14
49,75 ,
50,15
49,68 49,75
50,12
48,99
49,67
49,99
50,20 50,11 50,02
49,72
Mu 2:
Hi có sự khác nhau đáng k gia các đ dài trung bình
ca hai máy trên hay không (chn a - 0,05)?
21. Dùng mt dng c đo 200 ln ta tính đưc phương sai mu
hiu chnh s' = 3,54. Đo 16 ln bng dng c đo th hai
cho ta sl = 2,04. Có th cho rng dng cụ đo th hai chính
xác hơn không {a = 0,05)?
22. Khảo sát s thích v 6 mác phê ca 300 khách hàng
thì thy
Mác
A
B
c
D E F
Khác hàng
41
56 60 60
59 46
Vối mc a = 0,01, có th cho rng không có sự sai khác
đáng k v s thích c loi cà phê khác nhau hay không?
191
23. Một ng ty lắp máy mua linh kin ca hai nhà máy. Mi
linh kin có th có 4 loi li khác nhau. Sau khi th
nghim mt sô" linh kin người ta thu đưc kết qu (hai
mu cùng kích thưốc)
loi
Nhà
1 2
3
4
A
60 50 40 30
B
30
32
25 25
Vi mc a ~ 0,01 có th chp nhn gi thuyết v s giông
nhau gia c t l li ca c linh kin ca hai nhà máy?
24. Một hãng bảo him nghiên cứu tn sô" tai nn ti gia trong
các gia đình có t hai con tr lên. Mt mu gm 200 gia
đình đưc chn và kết qu thông kê cho thy:
Sô" tai nn
0 1
2
3
4
5 7
S gia đình
25
54
59 36 18 6 2
Theo bn sô" tai nn trên phù hp với phân phôi xác sut
nào? Kiểm đnh điu nhn xét ca bn với mc a - 0,05.
25. Người ta tiến hành bn th 100 lot vào bia, mi lot 10
viên vào 1 bia. Bng sô" liu quan sát như sau:
S đn trúng
0 1 2 3 45 6 7 8 9 10
Sô" bia
0 1 3 5 20 22 25 16 6 2 0
Hỏi sô" đn bn trúng 1 bia có tuân theo lut nh thc
không (a = 0,05; tham số^p đưc ưc lưng bng tn sut)?
26. Nghiên cu 1000 đôl tưng ta có b s^ liu
X,
5-15 15-25 25-35 35-45 45-55 55-65 65-75
45 197 308 212
198 22 18
192
Có th cho rng bộ s liu đưc cm sinh bi mt biến
ngu nhiên chun hay không (a = 0,05)?
27. Cho b sô" liu v chiu cao ca mt giông cây 2 tun tui
Đ cao 5
7 9 11 13 15 17 19
21
Sô' y 10 26
27
33 25
22 24 20 13
Vi a = 0,01 hãy kim đnh gi thuyết v phân phi chun
ca đ cao trên.
28. Gm đc thương mi ca mt hãng đ chơi muôn nghiên
cứu ý kiến khác hàng v mt loi đ chơi mi 4 vùng. Kết
qu điu tra như sau:
Vùng
Không biết gì
v đ chơi
G đ chơi
va phi
Giá
cao
Tng
1 64 28 106 198
2 84
42 76
202
3 56
14 130 200
4 60 20
120 200
Tổng
264
104
432
800
Vâi mức a = 0,01 th cho rng các câu tr lời là ging
nhau gia 4 vùng trên?
193
Chương VI
PHÂN TlCH HI QUY
§1. PHÂN TÍCH TƯƠNG QUAN
1.1. Hip phương sai và h s tương quan
Trong nhiu bài toán thc tế ngưòi ta quan tâm đến quan
h ca hai (hoặc nhiu) biến ngu nhiên. Tuy nhiên do thiếu
thông tin, ta không th nghiên cứu đy đ mi đc trưng ca
mối quan h đó. Thông thưng ta ch mt b s liu cặp (a:i,
yi), (^2> 3'2)> > (^n. 3'n) đưc xem như là cặp quan sát ca hai
biến ngu nhiên X, Y.
Ni dung chính ca chương này là xác đnh sự ph thuc
giữa các biến ngu nhiên. Rõ ràng nếu hai biến ngu nhiên
đc lập, ta có th nghiên cứu chúng riêng r. Trong trưng hp
chúng không đc lp, cn xác định mc đ ph thuc và quan
h hàm giữa các biến.
Ta đã biết chương III mt s đặc trưng quan trng ca
cặp biến {X, Y) là hip phương sai jiixY = cov{X, Y). Nếu /JXY ^ 0
ta có th cho rng hai biến X và y mi quan h nào đó, hay
là chúng ph thuc ngu nhiên (còn gi là tương quan). Do
nhng hn chế ca khái nim hip phương sai, ta đã đưa vào
đnh nghĩa h s tương quan, hiu là P X Y hay p nếu không
sđ nhm lẫn,
PXY ~ ^ . (1.1)
ơƠ
trong đó P x , p-i lă c đ lch chun tương ng của X và Y. Sô'
đặc trưng P X Y có các tính cht (xem chương III):
194
(i) I PxY I á 1!
(ii) I f>xY I = 1 khi và ch khi Y = aX + 6, trong đó a và là
c hng s tt đnh;
(iii) Nếu X, Y đc lp thì P X Y - 0 (ngưc li i chung không
đúng).
Như vy ta có th dùng p để đo mc đ ph thuc tuyến
tính gia hai biến ngu nhiên. Khi I /71 = 1 chúng có quan h
tuyến tính', nếu p = 0 hai biến đó không tương quan; khi p khá
gn 0 ta nói rng chúng tương quan yếu, n nếu I p 1 khá gn
1 chúng tương quan chặt (hiu theo nghĩa gn vi tuyến tính).
Nếu thêm gi t h i ế t chun ca X và y t h ì P X Y = 0 tương
đương vi khng đnh X và y đc lp.
1.2. H s tương quan mu
Trong thc hành, ta không th tính p chính c đưc.
Ngưi ta thưng xp x p bng h sô'tương quan mu, hiu
là r, như sau:
r =
- x)(y, - )
i = ì
j(x,-xfiy,- Ý
V Í=1 i=i
x ,y ^ -n X
xÌ-nxA y-n
A=i
( 1.2)
Tt nhiên ta có thê tính hip phưng sai mẫu hiu chỉnh:
195
và (1.2) s tr thành gn hơn (sl và S y l à phương sai mu hiu
chnh tương ng ca XvY)
s.
s s .
X y
Giống như p, h số mu r đ đo mc quan h cũng như
chiu hưng ca quan h gia các giá trX và yi- Nếu ta biu din
các cp s (Xi, ,) là các điểm trên mt phang ta đ. Đ-các, ta s
có mt đám mây đim. Khi đó nếu I r I = 1 đám mây đim s
tp trung trên mt đưòng s tp trung trên mt đưng thng.
Nếu r > 0, đa s các giá tr ln ca ng vi các giá tr ln ca
X và ngược lại; ta nói ti tương quan dương hay t l thun.
Tương quan âm s có khi r < 0 và ta quan h vối khuynh
hưng t l nghch (xem hình 1.1). Trong thc tế, do sai s
quan sát, đo đc hoc tính toán mà
a) Tương quan ơng b) ơng quan tuyến tinh ơng c) Không ơng quan
e) Tưang quan tuyến tinh m
Hình 1,1. Các dng tương quan
r rt khó bng ± 1 (hoặc 0). Vì vy nếu trong thực hành nếu 1 r
> 0,8i ta đã có th coi là có mối quan h dng tuyến tính (xấp
x tuyến tính) gia hai biến đang xét.
196
Trong một sô" tài liu, người ta còn xét h s xác đnh mu
i^y (viết tt ì) đưc đnh nghĩa \ p - vi r đã xét trong
(1.2). Rõ ràng (ì có min xác đnh 0 < /? < 1 trưng hp
riêng ca khái nim ơng ng dùng cho các h động hc,
nhiu chiu phi tuvến.
Thí d 1.1. Tính c đặc trưng mu ca b s^ liu (x^, yi),
i - 1,15 , th hin cột 1 và ct 2 ca bng sô" dưi đây.
X,;
y,
y\
yr
7,9
70,3 28,1 62,41 789,61
221,99
0,9 85,0 42,8
0,81
1831,84 38,52
3,7
100,0 57,8 13,69 3340,84 213,86
8,1
78,1 35,9 65,61 1288,81 290,79
6,9 77,9 35,7
47,61
1274,49
246,33
0,8 98,4 56,2 0,64 3158,44 44,96
6,0 59,2 17,0
36,00 289,00 102,00
7,2
86,8
44,6
51,84
1989,16
321,12
8,8
10,1 27,9 77,44
778,41 245,52
10,2
42,2
0,0
104,04 0,00 0,00
11,2
81,9 39,7 125,44 1576,09
444,64
0,5 97,1
54,9 0,25
3014,01 27,45
4,6 68,2
26,0
21^6
676,00 119,60
9,7 92,1
49,9 94,09
2490,01 484,03
1,0
91.2
49,0 1,00 2401,00 49,00
87,5 1198,5 565,5
702,03
24897,71 2489,81
Gii. Đê tính các đặc trưng mu ca b s liu cp (x yX
ta phi tính các tng sau:
i i i l
197
Đ tránh phi tính toán vi các s quá ln, các giá tr của y
đưc tr đi 42,2 và ta thu đưc y. Đ ý là:
y' = X - 42,2; ' = - 42,2; Sy, = s, r^y. = r^;
Các kết qu tính trung gian đưc đưa ra trong bng s (cột 3 -
6). Từ đó:
ĩt = ^ = 5,83; ' - = 37,7;
15 15
= 37,7+ 42,2 = 79,9;
s = (702,03 - 15.5,83^) = 13,7; S;, = 3,7;
= s^, = (24897,71 - 15.37,7^ = 255,6; = 16,0;
2849,81 -15.5,83.37,7 _
^
----------
= -0,5417
^ 14.3,7.16,0
p^y = 0,2934.
V mt tính toán, khi Xi và yi ln và mu kích thưc ln
{n lốn), ta s gp khá nhiu khó khăn. Đ đơn gin n, ngưi
ta đu tiên sp xếp sô" liu ối dng bng hai chiu. Giả s
trong bng đó cp giá tr (x xut hin riij ln = n).
Khi đó ta đi biến s giông như đã làm §2, chương IV:
Bl. Chn a:o, Jo vi h, /2 tương ng;
B2. Tính các ư: = ~ ;
hx
B3. Tính ^Uĩi^^-, ^ u f n ^ ; v j n ^ j \
Ì ĩ J J i
B4. Tính X - ũhy + Xq',Y = vh^ + y^]
S
2 _ l 2 o ^ . C 2 _ Z , 2 c 2 .
198
r =
i
nyj[u^ - (uf][v^ - (vý
Ta xét quy trình tính toán trên mt thí d c th sau đây:
Thí d 1.2. Xác định các đc trưng mu t bng sô" liu sau:
y,
10-15 15-20 20-25
25 -3 0 30-35 35-40
0-0 ,2 4
4
0,2-0,4 2 2
4
0,4-0,6
2
2
0,6-0,8
6
4 4
14
0,8- 1,0
6 6 12
1,0-1.2
4 4
n.
6
8 2
4 10 40
40
Gii. ĐI vói biến X ta chọn X o = 0,7; hi = 0,2 và biến mi
X - 0 7
U
= n đôl với Y chon yQ = 27,5; hi = 5
v
biến mi
0,2
J =r Bng sô" trên tr thành
* 5
-3
-2 -1
0
1 1
-3
4
4
-2 2 2
4
-1
2
2
0
6
4 4
14
1
6 6
12
2
4 4
6 8 2 4 10 10
40
199
Như vy thay làm vic vi c X, không nguyên và V, khá
lớn, ta tính toán vi các U và ưi đu nguyên và khá bé. Theo
các công thc trên:
, = ( -3 .4 -2 .4 -1 .2 + 0.14+ 1.12 + 2.4)= -0,05;
40 r 40
= y y,n = (-3.6 - 2.8 -1.2 + 0,4 + 1.10 + 2.10) = -0,15;
40 ' " 40
-
1
y - (9.4 + 4.4 + 1.2 + 0.14 + 1.12 + 4.4)= 2,05;
v-n, = (9.6+ 4.8 + 1.2+ 0.4+ 1.10 + 4.10) = 3,45;
40 Y 40
Y^u vn , = (9.4 + 6.2 + 4.2 + 1.2 + 1.6 + 2.6 + 4.4) = 92.
92-40.0,15.0,05 91,7 _ ^
Tđó r =
-----
, ...............rL:_
......
= ------
-------
= 0,86;
407(2,05 - 0,0025)(3,45 - 0,0225) 40.1,85.1,43
X - -0,05.0,2 + 0,7 = 0,69 ; =-0,15.5 + 27,5 = 26,75;
s , = 1.43. 0,2 = 0,286 ; s,, = 1,85.5 = 9,25.
1.3. Tiêu chuẩn độc lp ca hai biến ngu nhn
Trong thc hành, như đã i trên, r cũng hiếm khi bng
0 và kết lun ngay cả X, Y không tương quan cũng đã gp khó
íhăn. Nhưng nếu có thêm gi thiết chun ca phân phi (điu
trong nhiu bài toán thc tế có th chp nhn đưc) thì
điu kin PXY^ 0 s tương đương với sự kin X và Y độc lp.
Như vy nếu ta thiết lp gi thuyết gc Hq, X và y đc lp
(vi đôi thuyết H đôl lp), thì nếu có gi thiết X, Y tuân theo
lut chun, gi thuyết trên tương đương với Ho; 'PXY - 0-
Tiêu chun đ kim đnh Hq. Pyi = 0 (Hi: PXY 5* 0) là:
r\jn-2
(1-3)
200
vi r là h sô" tương quan tính trên tp mu ngu nhiên (x y),
i = l,n . Nếu gi thuyết Hq đúng nời ta đã chng minh rng
K - t{n 2)\ i\l min ti hn ca tiêu chun k s là:
2
(1.4)
Nếu gi thuyết v tính độc lp ca X và F chp nhn đưc, ít
có lý do để xem xét đng thòi hai biến đó. Trong trưng hp
ngưc li, ta s quan tâm đến quan h ca chúng.
Thí d 1.3. Cho cặp biến (X, Y) tuân theo lut chun và b
sô" liu quan sát như sau:
Xi
12,0 16,5 15,2 11,7
18,3 10,9 14,4
16,0
3',
2,75 3,37
2,86
2,62
2,76
3,49
3,12
3,05
Vi a = 0,05 hãy kiếm định tính đc lập của hai biến X vY đó.
Gii. Trước-hết ta tính h sô' tương quan mu theo (1.2)
n = 8; = 12,0 + 16,5 + ...+16,0 = 115;
- 2,75 + 3,37 + ...+ 3,05 = 24,02;
x f = 1701,25; y f = 72,798; = 345,008;
(x^ - x f = x = 1701,25 = 48,125;
ĩl o
1(3', - f = y - H y . = 72,798= 0,6780;
^ (x , - z ) ( x = =345,008
Th
= -0,2975;
115.24,02
8
201
r = -0.0489.
748,125.0,678
Bài toán kim đnh tính đc lập ca X và y đưa v kim định
gi thuyết
ũ'. Aíy = 0; / ? X Y 0 (a = 0,05).
Theo (1.3), ta tính
Vl-r^ 7 l - 0,0489^
Do t bng Stiu-đơn ^6 0 970 = 2,447 > I I = 0,1199 nên theo
(1.4) gi thuyết Hq chp nhn đưc.
Thí d 1.4. Kiểm đnh tính đc lp ca hai biến X v Y
cm sinh ra b số liu mu trong thí d 1.1 (a = 0,01; X và y
tuân theo lut chun).
Gii. Tkết qu thc nghim r = -0,5417, ta có tiêu chun
(1.3) tính trên mu là:
V l - 0,5417'
Mt khác, vic tra bng cho ta ^13 0 995 = 3 , 01. Do \Ki\ = 2,32 <
3,01 nên ta không có cơ sở đ bác b Hq. đây ta thy r =
0,5417 khác khá xa 0 mà ta vn chưa th khng đnh là giữa
X Y có quan h nào đó. Nguyên nhân cũng có th là kích
thưc mu quá bé chăng? Lưu ý là nếu chn a = 0,05, ta có
^13 0 975 = 2,16 và kết lun ca kim đnh li là bác b Hq. Như
vy có th thy rng ưc lưng h sô" tương quan ph thuc ti
mc độ nào vào kích thưc mu và nhng kết lun không dựa
trên nhng tiêu chun thông kê chính xác và hp lý s dn ti
nhng sai lm nguy him.
202
1.4. Kiếm định gi thuyết v h s tương quan
1. Kiểm đnh Hq\ p~p cho trưc
Theo mt nghĩa nào đó, gi thuyết //() đây là trưòng hp
tng quát hóa kết quả ca mục trên, Ngưòi ta đưa ra thông kê
z = -ln^-Ì-^
2 l - r
(1.5)
Theo Phi-sơ, nếu Hq đúng thng kê z s tim cn ti phân
phô'i chun (khi n -> oo) vi c s đặc trưng xp xỉ
^ + , Po .
1 -P o 2 (n-l)
v z =
n -3
Trong thc hành vi n. > 50 đã có th chp nhn kết qu trên.
T đó nếu chn tiêu chun ca quy tc kim đnh là:
K = = (z - :z) ~ c4^{<, 1),
thì min tới hn ca quy tc s (min đối xng)
a
B=K.-.K
tn ' tn
>
vi {Zh)^
(1.6)
Thí dụ 1.5. Từ b sô" liu thy văn gồm 150 cặp, ngưi ta
tính đưc h sô' tương quan mu r = 0,5273. Với a = 0,05; có
th cho rng h s tương quan tht là 0,5 đưc không?
Gii. Theo (1.5) ta xác đnh giá tr thc nghim ca z
tn
2 1-0,5273
và các sô" đc trưng tương ng
- In = 0,5510;
2 1 -0 ,5 2.149
203
7Ã^ = ^ = = = 0,082,
Vl47
0 5 8 6 2 - ^ ^
' 0,082
Vi a = 0,05, ta có í>(l,96) = ^ ~ - 0,475. Do 0,43 < 1,96,
2
không có cơ s đ bác b Hq và chp nhn rng h sô" tương
quan lý thuyết ca tp nn là 0,5.
2. So sánh hai h s tương quan
Bài toán đưa v kim đnh Hq\ Px p2 dựa trên hai b sô"
liu mu cp (có kích thước ơng ng là 7ii và 712) của hai cặp
biến (Xi, Y) và (X9, ^2)- Bng cách xác đnh hai thông kê Zi và
như trong (1.5), nời ta đưa ra tiêu chun kim định
yjvz, +
Hàm s này có phân phô tim cn chun cyíXO, 1) và ta th
dùng li quy tc như trong (1 .6) cho min tới hn đi xng.
từ đó:
§2. HI QUY
K =
2.1. Mô hinh tuyến nh
Khi hai biến X và y ph thuc, ta quan tâm đầu tiên đến
quan h hàm Y = f(x). Nếu hàm f tùy ý, đây là quan h rt
phức tp. Trong phn này ta gii hn vào trưng hp /'có dng
tuyến tính
Y = aX +b, (2.1)
trong đó a, b là các hng sô" thc cn xác định. Tuy nhiên do X
và Y đu là các biến ngu nhiên, quan h (2.1) không giông
204
như quan h hàm theo nghĩa thông thưòng ca gii tích, v
mt thuyết ngưòi ta đưa vào khái nim hi quy tuyến tính
(xem chương III) thông qua k vng có điu kin
E{Y/X = x)=ax + b. (2.la)
V mt thc hành, để cho đơn gin, ta s tt định hóa biến
X, và sau này s chuyn cách viết thành X, và gi nó là biến
đc lp (x là tât đnh theo nghĩa ta kim soát nó hoàn toàn). Y
vn là biến phụ thuc và là biến ngu nhiên, th hin ca nó i
là đáp ng đi với giá tr X. Ta vn có bộ mu cp kích thưc n
là (X, yi), i = l,n . Với nhng đơn gin đó, công thc (2. la) s
tr thành:
EY = ax + 6.
Trong công thc (2.1b) chưa xut hin các yếu tô" ngu nhiên
gây ra tính bt đnh ca biến Y. Vì thế đ cho cht ch và đầy
đ, nòi ta đưa vào khái nim nhiu, ký hiu là e, và thiết
lp mô hinh tuyến tính
Yi - ax^ + 6 + £,, = l,w, (2.2)
vi Si là c biến ngu nhiên liên quan trực tiếp gây ra sự
hắt đnh ca y,. Ta s yêu cu £ tha mãn 2 điu kin
(i) : Ee^ == 0 V = l,/z; (2.3a)
(ii) : E[e^Sj) = i, j = l,n (2.3b)
và s gi nhiu trng (ký hiu õ = 0 nếu i v= 1 nếu
Giả thiết cho thây e, có dng sai sô' ngu nhiên, còn ^ 2 yêu
cu chúng tạo ra dãy không tương quan. Như vy trong mô
hình (2.2), a 6 là hai h sô^ hi quy chưa biết và sau này phi
ưc ng, Xi là các hng sô^ đã biết, còn là th hin của biến
ngu nhiên ph thuc vào X. Ngoài ra tham sô" đóng vai trò
phương sai hng ca các nhiu trng G và nó cũng chưa biết.
Trong thc tế, có th vic gi s là các đưc c đnh
chính xác là không tht hp . Tuy nhiên có th yêu cu tính
205
bt đnh của biến X là không đáng k so vổi Y (mà thc
nghim có th chp nhn đưc). Hđn na, vế phi ca (2.2) đã
có yếu tô" nhiu ngu nhiên, nhng khía cnh ngu nhiên ca
X có th trong mt chng mc nào đó chuyn sang cho nhiu.
Tóm li, bài toán đt ra là trên cơ s bộ số liu quan sát
(x,, y-),i = l,n, hãy:
a) ưc lượng các h sô" hi quy, tc là tìm â, ò và sau đó
c ;
b) Kiểm đnh tính phù hp ca mô hình (2.2) đôl vi b sô"
liu đã cho.
Khi â, b đã xác đnh, ta có đưng hi quy tuyến tính mẫu
y - x + ĩ).
2.2. ưc lưng h hi quy
1. Phương pháp binh phương cc tiu
Trong thực hành tp đim sô' liu nm xung quanh dc
theo đưòng hi quy (lý thuyết hoc mu). Nếu trong (2.2) thay
các biến ngu nhiên Y bng các quan sát, ta có;
- aX + b + e^,i = l,n. (2.4)
Trong (2.4) biến £; còn th hiu như là sai sô'khi ta dùng
mô hình tuyến tính đ xp x quan h gia 2 biến đang xét. Rõ
ràng nếu phương sai sai sô" càng nh thì hình (2.4) càng
phù hp đ mô t quan h đó và tp sô' liu đã cho.
Đ ưc lượng các h s a và ò ta dùng đnh nghĩa sau;
Đnh nghĩa. Các à vài) đưc gi là ươc lưng bnh phương
cc tiu ca a và b, nếu:
-àX - bý = min Q[a, b) = min^(>'; -aX - bf. (2.5)
i=l i=l
206
Q(a, b) = - a X - bý = chính tng bình phương sai
i
s mô hình (2.4). v mt hình hc đó chính là tng bình phương
khong ch (theo phương song song vi trc tung) t c điểm
(x y,) đến đưng thng hi quy y - ax + b (xem hình 2.1).
Vic cc tiu hàm Q{a, b)
trong (2.5) đưa v gii h hai
Phương pháp này có tên gọi là bình phương cực tiu, còn hàm
dO ÕQ
phương trình ^ = 0 và = 0,
õa
b
suy ra:
àx + ) =
Ta s có:
A
à =
Z(»,-X )(y,-y) Y^x^y^-nXY
i
(2.6a)
(^<
-
í
b = ~âx, (2.6b)
Có nhn xét rng
(x^ - X )(y, - ) = (x , - x)y^ = - )x,.
i i i
Việc kim tra điu kin đủ không cn thiết do Q hàm dng
bình phương. Đưòng hồi quy mu y ~ àx ^ b sẽ đi qua trọng m
của tp điểm, tức là điểm ( X, ] s nm trên đương thng đó.
Đ ý là trong (2.2) Y, biến ngu nhiên có;
EYi - ax, + ò; (2.7a)
207
vy . = = o^; (2.7b)
và có th đ ước lưng bng phương sai mu ca Yi
2
(2.8)
Sau khi đã có â và 6, ta đt = âX + và hiu - i s
đưc gọi là phn dư (sai sô" thc nghim) ca mô hình đ ý:
êị = - âX - 6 = (a - )x- + 6 - ò + £*..
Sígưi ta cũng chng minh đưc rng ưc lượng khôig chch
ca theo phưng pháp bình phương cực tiu khôn; phi là
(2.8) mà là:
s' = = - ^ ( y i - àx, - b) ' . (2.9)
n - 2 ^ n -2 ^ ^
2. Phương pháp hp nht
Nếu ta thêm vào gi thiết chun ca Si
: £ - c vo , ơ-^), V = 1,^, (2.3c)
\ /
thì dễ dàng chng t Yi ~ ũ4\aXi + b, (). Khi đó ưc ng hp
lý nhất ca a và s hoàn toàn ging như (2.6) (bạn cc có th
t chng minh, s dng hàm hp lý xây dng trên :ác quan
sát y, ca biến ngu nhiên chun Y (xem chương IV). Lưu ý
ưc lưng hp lý nht ca phưng sai s là:
(2 .10)
Cũng chú ý là khi dùng (2.9) hoc (2.10), tng các bìnì phương
ưc lưng sai s s đưc tính như sau:
i = E (^ . - = (s - á s). (2.11)
208
Thí d 2.1. Kết quả nghiên cứu thc nghim trên 8 ngưi
đàn ông như sau:
Trọng lưng (kg)
58,0 70,0 74,0 63,5 62,0 70,5 71,0 66,0
Huyết ơng (1) 2,75 2,86 3,37 2,76 2,62 3,49 3,05 3,12
Hãy xây dng đường hồi quy tuyến tính mu ca huyết tương
vi trng ng.
Gii. Gi X là trng lượng cơ th, còn Y là lưng huyết
tương, đây n - 8 các tng ly theo = 1,8 ;
ỵ^x - 535; ^y- = 24,02; X = 66,875; = 3,0025;
= 35983.5; ^yf - 72,7980; = 1615,f95.
Tđó
- z)(>' - F )= 1615,295- 535.24,02/8= 8,96;
^ix- - x f = 35983,5-535^/8 = 205,38;
^{yr - ý = 72,7980 - 20,02^8 = 0,6780.
và
8,96
r = = 0,76;
7205,38. 0,6780
â= - = 0,043615;
205,38
6 = 3,0025 - 0,043615.66,875 = 0,0857.
Như vy sự ph thuc ca lượng huyết tưđng vào trng lưng
cơ th có th đưc mô t bng (hồi quy mẫu);
y = 0,0436x + 0,0857.
Ta có th tích ưc lưng không chch ca phương sai sai sô"
hình trên theo (2.9) có để ý đến (2.11)
2,09
= -(0,6780 - 0,0436^205,38) = 0,047929.
Thí dụ 2.2. Xây dng đường hi quy tuyến tính mu theo
thí d 1.2.
Gii. Áp dng công thc (2.6) và kết qu tính toán ca thí
dụ 1.2
à = - 0 ,8 6 .-^ ^ = 27,8147;
0,286
= - Ô" = 26,75 - 27,8147.0,69 - - 7,5578;
và đường hi quy cn tìm là:
3/ = 27,81a: - 7,56.
3. Các tính cht ca ưc lưng bình phương cc tiu
a) Các tính cht thng kê
(i) â là ưc lượng không chch ca a và 6.
Ta chng minh cho â, vic chng minh đốì vi 6 rt đơn
gin. Đ ý đến (2.4)
=aX + b + £,i = l,n,
ta có;
Y - aX + b + I;
- Ì
- í -\ -
(s = T đó y; - y = a(X; - Xj + - e và thay vào công
Í=1
thc (2.6a):
â = a +
È (* . -
i = l
______________
w _ o
( - , -
i = l
từ đó E{ã) = a. Nếu ký hiu = àX + , d thy:
E{i~yi) = 0 Vi = l,n.
210
(ii) Và - =
n
I ( * , -
i=l
; v é = a =
p :
I
_____
=]
_____
.
^ n _ o
i ( " . -
i=l
COl^
(
_í' \
â, b )
= -ai, =
( - . -
»=1
Bn đc hãy th chng minh các công thc trên, đ ý đến
cách chng minh trong tính cht a).
b) Ý nghĩa hình hc
Ký hiu các véc tơ n chiu
í^ì
y =
.yn,
: e =
.1.
; =
£ =
Mô hình tuyến tính (2.4) viết dưi dng véctơ (trong R")
y - ax + be í:.
211
Vic tìm ước liíng bình phương cc tiu dn đến xp x tôt
nht ca y trong mt phang p sinh bi hai véctơ e và .X (xem
hình 2.2). Đe ý là hinh chiếu vuông c ca V trên p, ngn
ca là đim ca mt phng gn với (ngn ca) y nht. Hình
chiếu vuông ;^óc ca y lên e s là Ye. Đng thòi dng t gôc véc
tơ X ~ Xe, ta có đnh lý Ta-lét:
~Ye - à(x - Xe).
Véc tơ vuông c với mt phng chính là véc tơ phn dư
ê = y - . Trong.tam giác vuông (y, ỷ, ), theo đnh lý Pi-ta-go
X (v ,- f = l f + I ( , (2.13)
i i l
ý = Y ). Do = 0 nên £ = 0 và - ê .
Chia hai vế ca (2.13) cho n, ta thu đưc:
(2-14)
trong đó:
y 'Í 3/^ - f = sl là tng phương sai ca tp mu (yi,
~ ) là phương sai ca tp điu chnh (- , /i)*
^
V(£-; - ê f là phương sai dư.
n
i
Như vy (2.14) chính là phương trình phân tích phương sai
(xem (3.16) bài toán 4, §3 chưdng V). Cũng theo Ta-lét;
ì i
hay Sl = S | + à^Sl
212
2.3. Trưng hp có giả thiết chun
1. Phản phối ca ưc lưng
Mô hình (2.4) vi các gi thiết th tóm tt li
(xem (2.3a - c))
y; = aX; + 6 + i = l,n,
£ ~ o ^(0, ơ-^); E[e-Sj) = Q,iit j.
Khi đó ta có th xác đnh lut phân phôi xác sut ca các ưốc
ng â, b và (trong (2.9)). Trưc hết:
â ~ oVo, ơ^y, b ~ cvb, al j ,
với ơl ơl đã xác đnh trong (2.12). Tưdng t;
(2.15)
(n -2 )4~ /(n -2 ),
ơ
(2.16)
vi Đ ý là và 6 v mt lý thuyết là các biến
/z 2
ngu nhiên đc lp vi Ngoài ra lưu ý đến công
thc ca cov(â,b) trong (2.12), ta phân phi đng thòi
ca â 6 là:
a
oV
1 -X
-X
n
(2.17)
Các phân phi (2.15) - (2.17) đt cơ s cho các bài toán kiếm
đnh gi thuyết hoc tìm khong tin cy cho các ưc lưng
hoc cho c d báo dùng hi quy trong thc hành.
Ngưòi ta cũng chng minh đưc rng ô và 6 cũng là ưc
lưng hiu quả ca a và ò.
213
Đu tiên ta tìm khong tin cy 1 - a cho ưc lưng ă .
Theo (2.15) và (2.16):
= ~oV{0, 1);
4M
2. K h o n g tin c y
â - a
(n-2)4- ~ z''(n-2),
ơ
nên thông kê:
à - a
í(n - 2).
Kết qu §4, chương V, cho ta khong tin cy \ - a (xét khong
đối xng, các khong dng khác bn đc dễ dàng t tìm đưc):
A
-
st
n-2,l-ơ/2
< a < ã +
v ( - . -
qf
. (2.18a)
Tương t:
> -
-------
-
---------
n 2,1c/2 / - \
(x,-X j
< 6 < 6 +
_____
________
(2.18)
(2.18c)
2 - w y 2
^ n -2 ;l- a /2 ^ n -2 ;a /2
Thí d 2.3. Tìm các khong tin cy 95% cho các tham s'
trong thí dụ 2.1.
Gii. Trưc hết lưu ý rng phi có gi thiết chun thì các
khong (2.18a-c) mi dùng đưc. Bây giờ ta tra c bng phân
v í(6) và /( 6 )
214
^6; 0,975 2,447; ^1-0.975 14,449; ^1;0,025 1,237.
Tđó ta có các khong tin cy 95% tương ng cho a, b và
'o,0436 - 0,0436 + 0.2189-2.447'
7205,38
0,0857 - 0,2189.2,447.
^205,38
= (0,0062; 0,0810)
35893,5
8.205,38
0,0857 + 0,2189.2,447.
/35893,5
0,2867 0,2876
V 8.205,38
= (-2,8049; 2,9763);
= (0,0199; 0,2325).
14,449 1,237
Ta có th lưu ý rng:
~ Phân phôi đng thòi (2.17) cho phép xây dng min tin
cy cho c tham sô' (min tin cậy đng thòi của a và 6, đó
mt hình e-p);
- Mô hình (2.4) có thế dùng đ d báo giá trị y nếu biết X
tưđng ng và ta có th tìm khong tin cy ăì vi giá tr đó.
3. Kiểm đnh giả thuyết
Bng các lý lun giông như trên và đ ý đến chưđng V ta
có thê xét các kiếm định gi thuyết v tham sô. Chang hn xét
bài toán kim đnh:
Hy: a = Oo vi a ^ Uq.
Thông thưng chưa biết dùng tiêu chun:
à - c
ta có min tối hn vối mc a (miền đôi xứng):
Ba = K,.:
> C 2 ; I ^ . / 2 } -
(2.19)
15
Bn đc th tìm các kết qu khác cho trưng hp kiểm đnh
mt phía; tương t cho kim đnh v tham sô" 6 và <.
Thí dụ 2.4. Vi a = 0,05 hãy kim đnh gi thuyết a = 0
vi đì thuyết a ^ (sô' liu ca thí dụ 2.1).
Gii. Như trong thí d 2.3 đây ta gi s có giả thiết
chun. Khi đó giá tr ngưng ca bài toán te 0 975 = 2,447. Tính
thng kê thc nghim (2.19), da vào tiêu chun tương ng:
= ~ Q 7205,38 2,8542.
0,2189 ^
Do 2,447 < 2,8542 gi thuyết Ho bbác b.
Đ ý rng gi thuyết Hq: a = 0 có ý nghĩa rt quan trng vì
nó cho phép chp nhn hay bác b s có mt ca biến X trong
mô hình đang xét. Ngoài ra đây;
± * 2
_ ^ r^2
_
^
K ~ ,
--------
--------
, suy ra K =
A
à
s i
Z{^, -
/=1
và do ^ --------------'^(1; n - 2) ta có th dùng
s ^ ' 1 -r
tiêu chun này và phân phi & đ kim đnh Hq. a = 0.
2.4. Hê s xác đinh
è
Đ đánh giá s phù hp ca hình tuyến tính ngưòi ta
s dng nhiu cách khác nhau, chng hn dùng phương sai
sai s mô hình, khong tin cy ca các h số dùng c kim
đnh tương ng, h s tương quan mu gn ±1 ... Khái nim
h số xác đnh cũng rt có ích đ đánh giá cht lượng ca mô
hình tuyến tính.
T công thc (2.13) ta đã thy;
Z(>'. - = E í x - if + Z(>'. - ^í-
với vế trái là tng bình phương đ lch ca y khi Y (đ lch
tiên nhim); hai sô" hng vế phi ln lưt là tng bình phương
21b
đ lch ca y so vâi hi quy (hay tng phương sai dư, tng bình
phương sai sô" hi quy) và tng bình phương sai sô" cm sinh
bi hi quy. Nếu ta đem tng th ba chia cho vế trái thì:
r - = ^ 1 _ (2.20)
Z ( x - ? ) I(:v , - ĩ )
s đưc gọi h sô'xác định mẫu ca hình hi quy tuyến tính
(2.4), giá tr ta đã biết §1 như là bình phương ca h s
ơng quan. Đ ý là nếu = 1, (2.20) s cho ta ^ ( 3', ~ , f - 0
hay trong mọi trưng hp y, = - (mô hình chính xác). Nói
chung , r'^ cho thy t l tng bình phương sai số tiên nghim
đưc gii thích bi mô hình tuyến tính (bi biến X). Đ ý rng
t đó cho ta phn ca tng tiên nghim không
đưc gii thích bi mô hình tuyến tính.
Cuô'i cùng ưc lng (không điu kin hay tiên nghim)
ca phương sai ca Y, như ta biết chính là:
Còn
là ưc lượng có điu kin ca phương sai EY biết giá trị tương
ng
x
= X. Đy cũng là ưc lưng tt nht ca VY = hiu theo
nghĩa không chch mà ta đã xét trong (2.9) và ký hiu là s^.
2.5. Hi quy phì tuyến
Nếu ta mô hình hóa quan h gia ha biến X Y bng
hàm /tùy ý (chng hn Y = f(X) = P(X) đa thc cấp n > 1), thì
vic xác đnh /'s cực kỳ phc tp (bài toán ưc lưng hàm).
217
Đ cho đơn gin, thông thưng ta gi s đã biết dng hàm,
khi đó bài toán đưa v ưc lưng các tham s ca một hàm đã
biết. Thí dụ cho hàm fc.ó dng đa thc bc hai:
f{x) = a + UX + aX^.
Vic xác định đường hi quy phi tuyến mu i dựa vào
phương pp bình phương cực tiu đã xét trên, đây ta đi
tìm các ưc lượng âg, âj và â.2 làm cực tiu hàm mục tu:
Q(ao, a„ 02) = ^ ( 3/, - Cq - OiX, - a,xff, (2.21)
= 1
vi
(X, y i)
các cặp s liu ( = l,«).Đ tìm các ưc lưng
V /
trên, ta phi ly các đạo hàm riêng' ca Q(ao, Oi, 02) trong
(2.21) và cho chúng = 0. Khi đó vn đ đưa v gii mt h
phương trình tuyến tính:
+ à^^x'* = ỵ^xfy,
+ à,^xf + (2.22)
,n + â ,^x f = ^y,
Việc gii h (2.22) vi 3 pơng trình 3 n cũng không quá phc
tạp. Tuy nhiên các tính cht thông kê đẹp đẽ ca các ưc lượng
bình phương cc tiu các mc trên s không n đúng na, dù
ta có th đưa vào gi thiết chun ca nhiu trong mô hình phi
tuyến tương tự vi dng (2.4) = f[x^) + i l,n,
Hoàn toàn tương tự ta có th ưc lượng các tham sô" cho các
dng hàm phi tuyến khác (chang hn hàm hy-péc-bôn J = 6 + a/x,
dng lùy thừa, dng lô-ga-rít, dng mũ...). Phương sai mu của
sai sô" mô hình phi tuyến thưòng đưc tính thei công thc;
218
trong đó k tham sô" chưa biết ca /'mà ta cn ưc lượng, còn
f có dng giông /'nhưng các tham sô" đưc thay bng các ưc
lưng ca chúng.
Trong một trưòng hp, ta có th s dng thut toán hi
quy tuyến tính cho phi tuyến, nhưng tt nhiên trưc đó phi
làm các biên đổi sơ b tương ng:
Hàm f Phương trình Biến đổi sơ b
Phương trình
sau biến đi
hy-péc-bôn
X
y - ::
----
a bx
z = at + b
mũ
y = be'''' 2 = Iny; z = ax + In
lũy tha y = 6x
2 = \ny; t - Inx
z = at + Inò
mũ ngưc
^ = be^'^
1
z = Inv; t = ~
X
z = at + In
gi
1
y -
-----------
b -r ae
z= ^ í = e"
y
z = at + h
Tdụ 2.5. Tìm đưòng hi quy dng đa thc bậc hai ca y
đôl vi X dựa trên b sô' liu sau đây:
' \ y ,
X,
1 2 3 4 5 6
lx
1
2 1
3
2
1 2
3
1
7
3
1
3
2
6
4
1 2 1
4
5
_
2
1
3
6
-
1
2
tiy 3 3 4
5
6 3
25
Gii, đây n - 25, nhưng đ ý có nhiu cặp sô^ liu xut
hin nhiu n 1 ln. Đưng hi quy mu cn tìm có dng :
y - x" + x + c,
219
trong đó â, ò, c tha mãn h (2.22), nhưng tng không nên ly
chy t 1 đến 25, mà ch đến 6, với các điu chnh tương ng:
A x~' 4 J 3 - 2 2
_
+ ^2. ^x,;
à,n^xf + b^n^x + è^n^x, =
à ,\ x f + b^n^x^ + cn = X"x,x,;
trong đó là trung bình cộng ca c giá tr yj ứng vối Xi cụ
thể, chng hn đây g = (2.5 + 1.6) = 16/3 . Bng tính đưc
3
thiết lập như sau:
X,
'^.v,
n nx'
yx
n,x^
1 3 3 3 3 3 1,33 3,99
3,99
3,99
2 7 14 28 56
112 2,57 17,99 35,98
71,96
3
6 18
54 162
486
4,17 25,02 75,06
225,18
4 4
16
64
256
1024
5,00
20,00 80,00
320,00
õ
3
15
75 375 1875
5,33 15,99 79,95 339,75
6
2 12 72 432 2592 5,50 11,00 66,00 396,00
s
25 78 296
1284 6092 93.99
340,98
1416,88
Từ đó h phương trình tr thành:
2960 + 78 + 25c = 93,99
12840 + 2966 + 78c = 340,98
6092â + 12840 + 296c = 1416,88.
Gii h này ta thu đưc â «-0,19; 6 «2,21 v c ~ -0,98 và
đường hồi quy phi tuyến mu s là:
y = -0,19a:^ + 2,21x - 0,89.
220
§3. HI QUY BI
3.1. Mô hình hi quy bi tuyến tính
1. Mô hình
Khi xét đng thòi biến ph thuc Y vi nhiu biến đc lập
X,, Xk, ta có th m rng mô hình tuyến tính (2.1). Giả s
ta có b sô' liu có kích thưc n (yi, X i u Xi,), i = l,n . Ký hiu
X là ma trn s liu ca c biến X), ...,X,.
l
x„
z =
1
X21
Xk
1
\
còn y, s v a và véctơ tưđng ng vi các biến yi, £ aj
i = 1,ÌT, j = 0,j; khi đó hình hi quy bội tuyến tính biu
din theo các quan sát s là:
y,. = Oq + a|X + + ... + = 1; (3.1)
hay viết gn dưói dng véctơ ma trn:
3^ = Xa + e.
Đ ý trong mô hình (3.1) các £ là nhiu trng tha mãn các gi
thiết đã xét §2; các h s^ Oo, ữi, a* là các tham số hi quy
cn ưc lượng cùng với phưng sai ca sai sô' mô hình ( .
Đ cho đơn gin, ta xét trưng hp k = 2. Khi đó mt hồi
quy bội s có dạng;
y = ao + Xi + a.ipc2 ,
là pơng trình t mt mt phng trong không gian 3
chiu. Mô hình hi quy tuyến tính bội 2 s có dng
x = Oo + a,X;, + + £.,i = l,n. (3.2)
Nếu dùng- c hiệu:
221
; a =
/ _ \
a.
a,
1
^12
1 ^21
^22
1 ^1
e =
v^.y
min
a ^ . a . . . . , a *
7
(3.4a)
thì mô hình có thế viết gn lại:
y - Xa + e.
với E s - 0 (véc tơ không); Vs = ơ^/ (/ ma trn đơn v cấp n).
2. ưc lưng tham s hi quy
Ta li dùng phương pháp bình phương cực tiểu:
i = l
Dưới dng ma trn, ta có th viết hàm mc tiêu:
Q{a) = (y - Xa)(y - Xa) =
= - aX'y - yXa + arX a . (3.4b)
(du t ch phép chuyn v). Như vy, nếu ký hiu à véc tơ
các ưc lưng ca ƠQ, tti, a^, ta có ngay (ly đo hàm (3.4b)
theo véc tơ a và cho bng 0);
-2Xy + 2XXa = 0, (3.5)
t đó
à ={XX)-^Xy. (3.6)
Đ ý trong (3.6) gi s ma trn x không suy biến. Trong
thc hành khi k - 2 vic tính các ưc lưng âg ,âi và âg đưa v
gii h phương trình đi s tuyến tính (3.5) gồm 3 pơng
trình 3 n sô" khá đơn gin. Bng các phương pháp s vic gii
các h như vy không đt ra nhiu khó khăn ln. đây (3.5)
s có dng c thê;
«oZ^.2+ «lZ^il^i2 + «2Z4= Z^Í23',
a^n + «2X ^.2= Z x -
vi các tng ly theo t 1 đến n.
222
3, Các tính cht ca ưc lưng binh phương cc tiu
Bn đc có th t chng minh các tính cht sau:
(i) à là ưc lưng không chch ca véctơ tham sa:
{ìì)V^ c/{XX)-\
(iii) á và è -y - = y- Xà không tương quan.
(iv) ưc lưng không chch của c/ s là:
^ JL
k -lù
s'= ; (3.7)
n - k
4. Trưng hp có gi thiết chun
Mô hình (3.1) với gi thiết : -0^(0, Ơ^/J có nhiu tính cht
thông kê khá tt (xem tiết trưc). Chng hn ưc lưng hợp lý
nht ca a s trùng với âđưc xác đnh trong (3.6); n ưc
lưng hợp lý nht ca ( s có dng (so sánh (3.7) tn):
1 ^
Cũng do có gi thiết chun ca e nên:
Y ~ c4''(Xa, ơ^In) (Y là véc ct gm các y/i);
â-ũT ia, ơ^(CX)-y, (3.8)
{n -k -l)-^ ~ '^{n-k-l). (3.9)
ơ
Ngoài ra, â còn là ưc lưng hiu qu ca a. Các kết qu trên
cho phép ta xác đnh c khong tin cy hoc làm các kim
định gi thuyết tương ng.
Chú ý, do (3.8) nên:
(â - a) X X{â - a)
và do tính cht (iii) trên, có đ ý đến (3.9):
223
{à-a)TXiầ-a)
-------
-
----------
^{k + l,n-k-l).
[k + l)s
Từ đó ta có th kim đnh đng thòi nhiu gi thuyết đơn dng
Khi đó min ti hn ca quy tc kim đnh s là:
(à-af'TX(à-ar
^ t n ' ^ t n / 7 . ^ ^ k + \,n-k~\A~o
[k + 1) s
3.2. Tương quan bi và tương quan riêng
1. Tương quan riêng
Khi xét đng thi 3 biến X2, và Y ta có th sử dng c
(h S) tương quan mẫu:
(3.10)
Tuy nhiên, ^ chng hn khi mô t quan h gia hai biến X
và Y, rõ ràng quan h đó không ch ph thuc vào bn thân Xi
và Y, còn b nh hưng bi tác đng ca biến s th ba là
X2. vy để loi tr nh hưng đó, ngưi ta đưa ra khái nim
h sô'tương quan riêng mu, ký hiu ;
(3.11)
Khái nim này dễ dàng m rộng cho trưng hp có nhiu hơn 3
biến. ng thc tính h sô" tương quan riêng (3.11) theo các h
sô" tương quan đơn (3.10) có dng;
r - r ,.r .
x^x.^ x^y x^y
r . = ;
........................
Do tính đôi xng ca ba biến nên bng cách thay đi v trí ca
chúng, bn đc dễ dàng tìm đưc hai công thc còn li. Đê ý hệ
224
số tương quan riêng cũng có tính cht ch nhn giá tr t -1
đến +1. Ta hoàn toàn có th định nghĩa h sô" c đnh riêng
giông như §1.
2. Tương quan bi
Khái nim h sô tương quan bi đưc đưa vào đ đo mi
ph thuc gia mt biến nào đó vi tp các biến khác, đây ta
có th xác đnh h s^ ơng quan bi mu:
(3.12a)
và các h sô^ xác đnh bội mu tương ng:
p _. . (3.12b)
r.
y.XX.
Rõ ràng ta luôn có 0 < /3 ^ < 1 và -1 < r . < 1. Khi
càng gn 1, biến Y càng có tương quan cht (gần vối tuyến
tính bi) với cặp biến Xị và X2. Có th chng minh:
_ k x (x - - ) + à,±{x,, - - )
i = l
Trong thc hành người ta hay dùng công thc sau:
~2r r r
p _ Xj,v
Như §2 cho ta t l của tng bình phương sai sô' đưc
gii thích bi mô hình hồi quy bội đã chn. Khái nim h s
tương quan bi là tng quát hóa ca tương quan đn đã xét t
trưc đến nay.
225
BÀI TẬP
1. Kho sát chi phí sn xut (X) và sn lưng (Y) ca 10 công
ty cùng loi ta có b sô" liu:
STT công ty
Chi phí (triu đồng) Sn lưng (nghìn tn)
1
150 40
2
140 38
3
160 48
4
170 56
5
150
62
6 162
75
7
180 70
8 190 110
9
165 90
10 185 120
2.
a) Xây dng đưng hi quy tuyến tính mu.
b) Đánh giá s phù hp ca mô hình tuyến tính đốì vi b
sô" liu.
c) Xác đnh h sô' xác đnh mu và cho biết ý nghĩa.
Kho sát hai biến ngu nhiên, ta thu đưc kết qu:
yi
Xi
1
3
5 7 9
10
4
15 7 10
20
15 26 10
2
25
35
8
5
30
3 18
6
35
6 1
226
3.
a) Đánh giá mức đph thuc ca hai biến trên.
b) Xây dng đưng hi quy tuyến tính mu (ca3' theo x).
Một hãng qung cáo nhn thy có ml liên h gia ngân
sách qung cáo (Y) và doanh s ca các công ty (X). Điu
tra 8 công ty ngưòi ta thu đưc:
STT công ty Chi phí (t đồng)
Ngân sách qung o
(triu đồng)
1
6
45
2 7 80
3 9
70
4
9
85
5 7 60
6 8
55
1
6
75
8 12 90
a) Xác định đưòng hi quy tuyến tính mu.
b) Đánh giá s phù hp ca mô hình tuyến tính đã chn.
c) Tìm khong tin cy 95% cho h sô" góc ca đưng hồi quy.
Có th cho rng h s đó khác không đáng k không?
4. Nghiên cu v lưng prô-tê-in cha trong ht lúa m và
năng sut lúa trên 10 tha rung cho ta kết qu:
Năng
suâ^t
{.X,)
9,9 10,2
11,0
11,6 11,8 12,5 12,8 13,5
14,3 14,4
T l
prôtêin
(y,)
10,7
10,8
12,1
12,5
12,2 12,8 12,4
11,8 11,8 12,6
a) Xác định đưng hi quy tuyến tính ca y theo sau đó
ca X theoy. Bn có nhn xét v hai đưng hi quy đó.
b) Có nên dùng mô hình phi tuyến không? Ti sao?
227
5. Trong mt ngiên cứu v tai nn giao thông, ngíi ta đã
thng kê giá tr thit hi (y;) và tốc đ va chm ci phương
tin ã quy chun, kí hiu X):
Xi
1
6 11
16 2
7
12
17
3 8
,
41
61 89 129 44
66
94
134
48 70
X, 13
18 4 9 14
19 5 10
15
96 142
50 75 106 147
58 81
118
6.
7,
Xác địnhđưng hi quy tuyến tính mu. Bn có nhn xét
gì v mô hình đó và có ý kiến đ ci tiến mô nh?
Nghiên cu đ bn Xi ca các dây kim loi có đưng kính i,
ngưi ta thu đưc các s liệu:
X, 0,6 2 2,2 2,45 2,6
500 560 690 760 900
Giả sử giữa y và X có liên h dng đa thc bc hai, hãy xây
dựng đường hi quy thc nghim.
Sô" liu điều tra v t l cơ giới hóa (x,) và giá tr mt đơn v
sn phm (y,) như sau:
Xi
1,5-2,1 2,1-2,7
2,7-3,3 3,3-3,9 S,9-4,5
50-60
1 1
1
60-70 1 4 1
70-80
3 6
1
80-90
6 3
90 - 100 10 3
3
Tìm đưòng hi quy phi tuyến thc nghim dng V = + 6
X
và đánh giá sai s hình.
228
8. Kho sát nhit đ mt phn ng hóa học (y) cùng vi nng
đ ca bốn hóa cht khác nhau (Xi, i = 1,4 ) ta có s liệu:
y
X
^2
X3
^ 4
78,5 7 26 6 60
74,5 1
29 15
52
104,3 11 56
8 20
87,6 11 31
8 47
95,9 7 52
6 33
109,2
11 55
9
22
102,7 3 71 17 6
72,5
1
31
22
44
93,1 2 54
18
22
115,9 21 47 4
26
83,8 1 40 23 34
113,3 11 66 9 12
109,4
10 68 8 1 2
a) Tính ma trn tương quan mu và bình lun kết qu.
b) Xây dng các mô hình hi quy bội 2 (tuyến tính) thực
nghim và so sánh kết quả trên phương din sai s mô
hình và h số tưdng quan bội và riêng.
c) Mô hình hi quy bội 3 có tốt hơn mô hình bi 2 hay không?
Ti sao?
d) Xây dng mô hình hi quy mu bội 4 và đánh giá tính
phù hp ca mô hình. Theo bn hình bội cp cao có tt
hơn không? Ti sao?
229
Ph lục
m
CÂC BNG SÔ
1. Bng hàm Gao-xơ (p(x) =
1
72 K
0
1
2 3 4
5 6
7
8 9
0.0 0.3989 3989 3989 3986 3986 3984
3982 3980
3977
3973
0.1 3970 3965
3961 3956 3951 3945 3939 3932
3925 3918
0.2 3910 3902 3894
3885 3876
3867 3857 3847
3836 3825
0.3
3814
3802 3790 3778 3765 3752 3739 3726
3712 3697
0.4 3683 3668
9653 3637 3621 3605 3589 3572 3555 3538
0.5 3521 3503 3485 3467 3448 3929 3410 3391
3372 3352
0.6
3332 3312
3292 3271
3251 3230 3209 3187
3166 3144
0.7 3123
3101
3079 3056 3034 3011 2989 2966 2943
2920
0.8 2897
2874
2850 2827 2803 2780 2756 2732 2709
2685
0.9
2661 2637 2613
2589 2565
2541 2516
2492 2468 2444
1.0 0,2420 2396 2371 2347 2323 2299 2275 2251 2227 2203
1.1 2179 2155 2131
2107
2083 2059 2036 2012
1989 1965
1.2 1942 1919 1895 1872 1849 1826 1804 1781 1758 1736
1.3 1714 1691 1669 1647 1626
1604
1582 1561 1539 1518
1.4
1497
1476 1456 1435 1415 1394 1374 1354 1334
1315
1.5
1295
1276 1257 1238 1219 1200 1182 1163 1145 1127
1.6 1109 1092
1074 1057
1040 1023
1006
0989 0973
0957
1.7 0940 0925 0909 0893
0878
0863 0848 0833
0818 0804
1.8 0790 0775 0761 0748 0734 0721 0707 0694 0681 0669
1.9 0656 0644 0632 0620 0608 0596
0584
0573
0562
0551
230
l _
1. Bng hàm Gao-xơ <p[x) - {tiếp theo)
\ I 2 ì 7ĩ
2.0 0,0540 0529 0519 0508 0498 0488 0478 0468 0459 0449
2.1
0440 0431
0422
0413
0404
0396 0388
0379
0371 0363
2.2 0355
0347
0339 0332 0325 0317 0310 0303 0297 0290
2.3 0283 .0277 0270 0264 0258 0252 0246 0241
0235
0229
2.4
0224 0219 0213 0208 0203 0198 0194 0189 0184 0180
2.5 0175 0171 0167 0163 0158
0154
0151 0147 0143 0139
2.6 0136 0132 0129 0126 0122 0119 0116 0113 0110
0107
2.7 0104 0101 0099 0096 0093 0091 0088
0086
0084
0081
2.8 0079 0077 0075 0073 0071
0069 0067 0065
0063
0061
2.9 0060 0058
0056
0055 0053 0051 0050 0048 0047 0046
3.0 0,0044 0043 0042 0040 0039 0038 0037 0036 0035 0034
3.1 0033 0032 0031 0030 0029 0028 0027 0026 0025 0025
3.2
0024 0023 0022
0022
0021
0020 0020 0019
0018
0018
3.3
0017 0017
0016
00-16 0015 0015 0014
0014 0013 0013
3.4 0012 0012 0012 0011 0011 0010 0010 0010 0009 0009
3.5 0009 0008 0008
0008
0008 0007 0007 0007 0007 0006
3.6 0006
0006 0006 0006 0006 0005
0005
0005 0005
0004
3.7 0004 0004
0004 0004 0004
0004 0003 0003
0003
0003
3.8 0003
0003
0003 0003 0003 0002 0002 0002 0002 0002
3.9 0002 0002
0002 0002 0002
0002 0002 0002
0001
0001
X
0 1 2 3 4 5 6 7 8
9
31
2 Bảng hàm Láp-ia- [x) =
dt
X
0
1 2 3 4 5 6 7 8
9
0.0 0 ,00 0 0 00399 007 9 8 011 97
01595
01994 02392 02790 031 88
03 586
0.1 03983 0 4 380 04 7 7 6
051 72
05567
05962
06356 06749 07142
07 535
0.2 0 7 9 26
083 17
08 7 06 0909 5 09483 09871
10257
10642 11026 11409
0.3 11791 12172
12556
12930 13307 13683 14058 14431 14803
15173
0.4 15542 15910 16276 16640 17003 17364 17724 18082 18439
18793
0.5 19146 19497 19847 20194 20194 208 84 21226 21566
21904
22240
0.6 2 2575 22907 232 37 2 3 5 65 23891 24215
24537 24857 25175
25490
0.7 2 5804 26115 264 24 2 67 30 27035
27337 27637 27935 28230
28524
0.8 2 8814 29103 .2 9 389 2 9673 29955
30234
30511
30785 31057 31327
0.9 3159 4 31859 32121 32881 32639 32894
33147 33398 33646
33891
1.0 341 34 34375 34 614 34850 35083
35314 35543 35769 359 93
36214
1.1 36433 3 6650 3 6 864 370 76 37286 37493 37698
37900 381 00
38298
1.2 38 493 3 8686 38877 39065 39251 39435
39617 39796 39973 4 01 47
1.3 4 0 3 2 0 4 0490 4 0 6 5 8 40 8 24 409 88 4 1 149
41309 41466
41621
417 7 4
1.4 41 9 2 4 420 73 422 2 0 4 2364 42507 4 2647 42786 42922
43 056
431 8 9
1.5 43 3 1 9 434 48 435 7 4 4 3699 4 38 22
439 43
440 6 2
44179 4 4295
44408
1.6 4 4520 44630 4 4 7 3 8 4 4 815 44950 4 5 053
451 5 4 45254
45352 45449
1.7 45 5 4 3 456 37
45 7 2 8
458 1 8 4 5907 45994 4 60 80
46164
46246 46327
1.8 4 6 4 0 7 464 85 4 65 62 46 638 46712 4 6 784 46856 46926
469 95
47062
1.9 47128 4 7 193 4 7257 4 73 20 47381 47441 47500 47558 47615 47670
2.0 47 725
477 78 4 7831 47 8 8 2 4 7932 47982
480 30 48077 481 24
48 169
2.1 48214 482 57 4 8 3 0 0 48341
48382 4 8422
48461 48500 48537 485 74
2.2 48 610 4 8 645
48 6 7 9
48 7 1 3 4 8745 48778 48809 48840 48870 48 899
2.3 48928 489 56 4 89 8 3 49 0 10 490 36 49061 4 9 086
49111 4913 4
491 58
2.4
49180 4 9202 4 92 2 4
492 45
492 6 6
492 85 4 9305 49324 49343 49361
2.5 49 3 7 9 4 9396 49413 4 9 430 49446 49261
49477
49492 495 06 4 9520
2.6 49 534 4 9547
49560
495 73 49585 49598 4 9 609 49621 49632
49 643
2.7 49 653 4 9664 4 9 6 7 4 4 9683 49693 4 9702 49711 49720 4 9 728 49736
2.8
49744
49752 4 9 7 60 49767 49774 49781 4 9788 49795 49801 49807
2.9
498 1 3 4 98 19 498 2 5
49831 49836 49841 4 9846 49851 4 9856
49861
3.0 0,49865
3.1
499 0 3
3.2
49931 3,3 49952 3.4 4 9966
3.5
4.0
4.5
5.0
49 9 77
4 9 9 96 8
499997
49999 9 9 7
3.6
499 8 4 3.7 49 989 3.8 49993 3,9
499 9 5
232
3. Bảng phân v stiu-đơn P(X < t a)= ay/ôiX- t{n)
a
n
0,90 0.95
0,975
0,99
0,995 0,9995
1
3.078
6.314 12.706
31.820 63.526
363.6
2 1.886 2.920 4.303 6.965 9.925 31.600
3
1.638 2.353 3.182 4.541 5.841 12.922
4 1.533
2.132 2.776
3.747 4.604
8.610
5 1.476
2.015
2.571
3.365 4.032 6.869
6 1.440 1.943 2.447 3.143 3.707 5.959
7
1.415 1.895 2.365 2.998 3.499 5.408
8 1.397
1.860 2.306 2.896 3.355 5.041
9
1.383 1.833 2.262 2.821 3.250 4.781
10
1.372 1.812 2.228
2.764
3.169 4.587
11
1.363
1.796
2.201 2.718 3.106 4.437
12
1.356 1.782 2.179 2.681 3.055 4.318
13 1.350
1.771
2.160 2.650 3.012 4.221
14
1.345 1.761 2.145 2.624 2.977. 4.140
15 1.341 1.753
2.131
2.602 2.947 4.073
16
1.337
1.746 2.120
2.583 2.921 4.015
17 1.333 1.740
2
.n o 2.567 2.898 3.965
18
1.330
1.734 2.101
2.552 2.878
3.922
19
1.328
1.729
2.093 2.539 2.861 3.883
20
1.325
1.725 2.086 2.528 2.845 3,850
21 1.323 1.721
2.080 2.518 2.831 3.819
22
1.321
1.717
2.074
2.508 2.819 3.792
23 1.319
1.714 2.069 2.500 2.807 3.767
24 1.318 1711
2.064
2.492
2.797
3.745
25 1.316 1.708 2.060 2.485 2.787 3.725
26 1.315 1.706
2.056 2.479 2.779 3.707
27
1.314 1.703
2.052 2.473 2.771 3.690
28
1.313 1.7Ũ1 2.048 2.467 2.763
3.674
29
1.311
1.699 2.045 2.462 2.756 3.659
1.282
1.645 1.960 2.326 2.576 3.291
233
4. Bng phân vị / P{X < / a) = a vói X ~ z^n)
a
n
0.005
0.001
0.025 0.05 0.95 0.975 0.99 0.995
1
0.0000393 0.000157 0.000982 0.00393 3.841
5.024 6.635
7.879
2 0.0100 0.0201 0.0506 0.103 5.991 7.378
9.210
10.597
3 0.0717 0.115 0.216 0.352 7.815 9.348
11.345
12.838
4 0.207 0.297 0.484 0.711 9.488 11.143
13 277
14.860
5 0.412 0.554 0.831 1.145
11.071 12.833 15.086
16.749
6 0.676
0.872
1.237 1.635 12.592 14.449 16.812
18.548
7 0.989 1.239
1.690 2.167 14.067 16.013 18.475
20.278
8 1.344 1.646 2.180 2.733 15.507
17.535 20.090
21.955
9 1.735 2.088 2.700 3.325 16.919 19.023
21.666
23.590
10
2.156 2.558
3.247 3.940 18.307 20.483 23.209
25.188
11 2.603 3.053 3.816 4.575 19.675 . 21.920
24.725
26.758
12
3.074 3.571 4.404
5.226 21.026
23.337 26.217
28.299
13 3.565 4.107 5.009 5.892 22.362
24.736 27.688
29.820
14 4.075 4.660 5.629 6.571 23.685 26.119 29.142 31.320
15 4.601
5.229 6.262
7.261 24.996 27.489
30.578
32.801
16
5.142 5.812 6.908 7.962 26.296
28.845 32.000
34.268
17 5.697 6.408 7.564
8.672
27.587 30.191 33.409 35717
18 6.265
7.015
8.231 9.390 28.869 31.526 34.805
37.156
19 6.844 7.633 8.907 10.117 30.144 32.853 36.191
38.581
20 7.434 8.260
9.591
10.851 31.410 34.170
37.566
39.997
21 8.034 8.897 10.283 11.591 32.671 35.479 38.932
41.400
22
8.643 9.542 10.982 12.338 33.926
36.781 40.289
42.796
23 9.260
10.196 11.689 13.091 35.172
38.075 41.638
44.184
24
9.886 10.856 12.401 13.848 36.415 39.364
42.980
45.559
25
10.520 11.524 13.120 14.611 37.652 40.646
44.314
46.930
26
11.160 12.198 13.844 15.379 38.885 41.924 45.643
48.290
27 '11.808
12.878 14.573 16.151 40.113 43.195
46.963
49.647
28 12.461
13.565
15.308
16.928
41.337
44.461
48 278
50.994
29 13.121
14.256
16.047 17.708 42.557 45.722 49.588
52.338
30
13.787 14.953 16.791 18.493 43.773 46.979 50.892
53.673
234
5. Bảng phân v Phi-sơ
P{X< = a= ũ ,2 b \ ìx ~ íTin^rii)
Ìl2
1
2 3
4
5
6 7 8 9
1 161.14 199.5 215.7 224.6 230.2 234.0 236.8 238.9 240.5
2 18.51 19.00 19.16 19.25 19.30 19.33 19.35 19.37 19.38
3 10..13 9.55
9.28 9.12
9.01 8.94 8.89 8.85 8.81
4
7.71
6.94 6.59 6.39 6.26 6.16 6.09 6.04 6.00
5 6.61 5.79 5.41 5.19 5.05
4.95
4.88 4.82 4.77
6 5.99 5.14 4.76 4.53 4.39 4.28 4.21 4.15 4.10
7 5.59 4.74 4.35 4.12 3.97 3.87 3.79 3.73 3.68
8 5.32 4.46
4.07 3.84
3.69
3.58
3.50
3.44
3.39
9
5.12 4.26 3.86 3.63 3.48 3.37 3.29 3.23 3.18
10 4.96 4.10 3.71 3.48
3.33
3.22 3.14 3.07 3.02
11
4.84 3.98 3.59 3.36 3.20 3.09 3.01 ' 2.95 2.90
12
4.75 3.89 3.49 3.26 3.11 3.00 2.91 2.85 2.80
13
4.67
3.81
3.41
3.18
3.03
2.92 2.83 2.77 2.71
14
4.60
3.74
3.34
3.11
2.96
2.85 2.76 2.70 2.65
15
4.54
3.68
3.29 3.06 2.90 2.79 2.71 2.64 2.59
16
4.49
3.63
3.24 3.01 2.85 2.74 2.66 2.59 2.54
17 4 4 5 3.59
3.20
2.96 2.81
2.70
2.61
2.55
2.49
18
4.41
3.55
3.16 2.93 2.77 2.66 2.58 2.51 2.46
19 4 3 8 3.52 3.13 2.90 2.74 2.63 2.54 2.48 2.42
20
4.35
3.49
3.10 2.87 2.71 2.60 2.51 2.45 2.39
21
4 32 3.47 3.07
2.84
2.68 2.57 2.49 2.42
2.37
22
4.30 3.44 3.05 2.82 2.66 2.55 2.46 2.40 2.34
23
4.28
3.42
3.03 2.80 2.64 2.53 2.44 2.37 2.32
24 4.26 3.40 3.01 2.78 2.62 2.51 2.42 2.36 2.30
25 4.24
3.39
2.99 2.76 2.60 2.49 2.40 2.34 2.28
30 4.17
3.32
2.92 2.69 2.53 2.42 2.33
2.27
2.21
40 4.08 3.23 2.84 2.61 2.45 2.34 2.25 2.18
2.12
60 4.00 3.15
2.76 2.53 2.37
2.25 2.17 2.10 2.04
120 3.92 3.07
2.68 2.45 2.29
2.17 2.09
2.02
1.96
co
3.84 3.00
2.60 2.37 2.21
2.10 2.01 1.94 1.88
235
5. Bng phân vị Phi-sơ {tiếp theo)
10 12 15 20
24
30 40
60
120
00
241.9 243.9 245.9 248.0 249.1 250.1
251.1
252.2 253.3 254.3
19.40
19.41 19.43 19.45 19.45 19.46 19.47 19.48 9.49 19.50
8.79
8.74
8.70 8.66
8.64 8.62 8.59 8.57 8.55
8.53
5.96 5.91 5.86
5.80 5.77 5.75 5.72 5.69 5.66
5.63
4.74 4.68 4.62 4.56 4.53
4.50 4.46
4.43
4.40
4.36
4.06 4.00 3.94 3.87
3.84 3.81 3.77 3.74 3.70
3.67
3.65
3.57 3.51 3.44 3.41 3.38
3.34
3.30
3.27
3.23
3.14 3.07 3.01 2.94 2.90 2.86 2.83 2.79 2.75 2.71
2.98 2.91 2.85 2.77 2.74 2.70
2.66
2.62
2.578
2.54
2.85 2.79 2.72 2.65
2.61 2.57 2.53 2.49 2.45 2.40
2.75 2.69 2.62 2.54
2.51 2.47 2.43 2.38
2.34
2.30
2.67 2.60 2,53 2.46 2.42
2.38 2.34 2.30 2.25
2.21
2.60 2.53 2.46
2.39 2.35 2.31
2.34
2.30 2.25 2.21
2.54 2.48 2.40 2 33 2.29
2.25 2.20 2.16 2.11
2.07
2.49
2.42
2.35 2.28
2.24 2.19 2.15 2.10 2.06
2.02
2.45 2.38 2.31
2.23 2.19 2.15 2.10
2.06
2.01 1.96
2.41 2.34 2.27 2.19 2.15
2.11 2.06 2.02 1.97 1.92
2.38 2.31 2.23 2.16 2.11
2.07 2.03 1.98 1.93 1.88
2.35 2.28 2.20 2.12
2.08 2.04 1.99 1.95 1.90 1.84
2.32 2.25
2.18 2.10 2.05
2.01 1.96 1.92 1.87 1.81
2.30 2.23 2.15
2.07 2.03 1.98
1.94 1.89 1.84
1.78
2.27
2.20 2.13
2.05 2.01
1.96 1.91 1.86 1.81 1.76
2.25 2.18 2.11
2.03 1.98 1.94
1.89 1.84 1.79 1.73
2.24 2.16 2.09 2.01 1.96
1.92 1.87 1.82 1.77 1.71
2.16 2.09 2.01 1.93 1.89
1.84 1.79 1.74
1.68
1.62
2.08 2.00 1.92 1.84 1.79
1.74 1.69 1.64
1.58
1.51
1.99 1.92 1.84 1.75
1.70 1.65 1.59 1.53
1.47
1.39
1.91 1.83 1.75 1.66 1.61 1.55 1.50 1.43
1.35
1.25
1.83 : 1.75 1.67 1.57 1.52
1.46 1.39 1.32
1.22
1.00
236
6. Hưóng dn s dụng c bng s
1. Nếu muôn tính (p{l,2b), dóng hàng "1,2" và ct "5" ta
thy 1826, suy ra ?(l,25) = 0,1826. Với các giá tr không có
trong bng (x > 3,9) coi qx) = 0. Chú ý (p{.) là hàm chn (p{-x)
- (p{x).
2. Vic tra bng tính {x) làm giông như trên. Chng hn
nếu mun tính {l,2ò), dóng hàng "1,2" và ct "5" ta gp 39435
nên {l,2ĩ)) = 0,39425. Vi X > 5 coi {x) = 0,5. Chú ý rng <fx)
là hàm l {-x) = - {x).
Ý nghĩa xác sut ca {x) rõ ràng: nếu X ~ 1) thì
^Xo) = P(0 < X < Xo). Ngoài ra hàm F(x) = {x) + 0,5 s làm
hàm phân phi xác sut ca X i trên, tc : (xo > 0)
P(| z I < Xo) = P(-Xo < X < Xo) = 2 {xq),
P(X < Xo) = (p(xq) + 0,5 = Fixo),
P(X < -Xo) = 0,5 - {xo),
P ( X > X q) = 0,5 - {Xo)...
Nếu X ~ oV{a, ơ^), nên làm phép biến đổi Y - và
ơ
vic tra bng đốì với biến X chuyn thành đì với biến Y ~
l (0, 1).
Nếu đã biết giá trị (xo), muôn tìm li Xo, quá trình tra
bng ngưc li vi bên trên.
3. Đ tìm giá tr sao cho P{X < a) - oc biết rng X ~
t{n) vic tra bng cũng đơn giản; dóng hàng "n" và ct "a"
tương ng (chng hn í(8; 0,95) = 1,860). Vic tìm , > 0 sao
cho P{X > O,) = a vi X ~ t{n) ơng đương với vic tra bng tìm
- K i-n Do tính đôi xng, nếu muôn tìm * < 0 sao cho P{X
> O,) = a, ta tra bng tìm , sau đó = -í 1_ a
237
Trong ba tham sô" n, a v tna nê\i biết hai ta có th tìm
đưc tham sô" th 3.
Cuôi ng, nếu n > 30, thay vì tìm 9b = 1- a ta s tìm 6(j
^
sao cho ^(j) =
------
t bng Láp-la-.
4. Đ tìm giá tr xl^ sao cho P(X <Zna') ~ ^ rng X ~
y^in) ta làm ging phn 3: dóng hàng n và ct cf.
5. Việc tra bng tìm giá trị F{tix, U2, 0,95) cũng đơn giản:
dóng cột «i và hàng n{.
238
TÀI LIU THAM KHO
. Barnes J.w. Statistical analysis for engineers and scientists.
McGraw - Hill, 1994.
2. Cramer H, Mathematical methods of statistics, Princeton
Univ. Press, Princeton, NJ, 1946.
3. Feller w . An introduction to probability theory and its
applications. John Wiley & Sons, NY, vol. 1, 1950; voL 2.
1966.
4. Gnedenko B .v. Giáo trình lý thuyết xác sut, Khoa hc”,
Moskva, 1965 (tiếng Nga).
5. Hald A. Statistical theory ivith engineering applcatons.
John Wiley & Sons, NY, 1966.
6. Kirkwood B.R. Essentials of medical statistics. Blackwell
Scient. PubL, 1988.
7. Monfort A, Cours de probabilités. Enconomica, Paris, 1980.
8. Monfort A. Cours de. statistque mathématique. Economica,
Paris, 1982.
9. Sanders D.H. and F. Allard. Statistics: A fresh approaci.
McGraw - Hill, 1990.
10. TsiSĩiY, Méthodes statistiques. Economica, Paris, 1989.
11. Trn Tun Đ ip, Lý H oàng Tú, Giáo trinh lý thuyết xác
suất và thng kê toán hc, NXB Đi hc và THCN, Hà Ni,
1977.
239
MC LC
Lời nói đ u ....................................................................................................3
CHƯƠNG I. S NGU NHIÊN VÀ PHÉP TÍNH XÁC SUT.....................5
§1. Khái niệm m đu
...................................
.
.................................
.
..............
5
1.1. S kin ngu nhiên
..........................................................
5
1 .2 . Phép toán quan hệ ca các s kin
.................
.
........
6
1.3. Gii ch kết hp................................................................. 9
§2. Các định nghĩa của xác sut
.................................................
........11
2.1. Đnh nghĩa c đin
......
.
..................................................
11
2.2. Định nghĩa thông k ê.......................................................14
2.3. Định nghĩa tiên đ ..........................................................16
§3. Xác sut c điểu kiện
.
.....................
.
.........
.
...........................
.
..............
18
3.1. Khái niệm
.
....................................................................... 18
3.2. Công thc cng và nhân xác su"t
..................................
20
3.3. Công thc Béc-nu-li
................................................
.
.....26
§4. Công thức Bay-ét
.
......
.
.............................................. .
............
.
.....
29
4.1. Khái niệm nhóm đầy đ
................................................
29
4.2. Công thc xác suất đy đ
.............................................
30
4.3. Công thc Bay-ét.............................................................31
i tp ...................................................................................
.
................
.
........
35
CHƯƠNG II. BIỂN NGU NHIÊN VÀ LUT PHÂN PHI XÁC SUT 39
§1.Khái niệm biến ngu nhiên.........................................
.
...........................
39
1.1. Kliái nim
.
.......................................................................39
1.2. Phân loi......................................................................... 40
§2. Lut phân phi xác sut
......................
.
..................................................40
2.1. Bng phân ph xác sut và hàm xác sut
........
........
K)
2.2. Hàm phân phi xác sut...............................
.........................
43
2.3. Hàm mât đô xác sut
.....................................................45
240
^3. Các s đặc trưng ca biến ngẫu nhièn
..............
.
.....................
.
......
.
48
3.1. K vng................................................................
.
........
48
3.2. Phương sai.......................................................................51
3.3. Mt sô" đc sô" khác
.......................................................... 54
§4. Mt s phàn phối thông dng
............................
.
.................................56
4.1. Phân phôi đu.
............................................................... 56
4.2. Phân phi nh thức
......
..................................................57
4.3. Phân phối Poa-xông
...................................................... 60
4.4. Các phân phôi ròi rạc khác
.........................................
61
4.5. Phân phôi chuẩn
............................................................. 65
4.6. Các phân phối liên tc khác
..........................................
70
Bàí t p
...........................
.
...................................................................................76
CHƯƠNG III. BIỂN NGU NHIÊN NHlU CHIU
................................
79
§1. Lut phân phi ca bn ngu nhiên nhiu chiu
............
.
.....
.
79
1 .1 . Các khái niệm cơ s
........................................................ 79
1.2. Phân phôi xác sut của biến ngu nhiên hai chiều
ròi rạc
............................................................................... 81
1.3. Phân phôi xác sut của biến ngu nhiên hai chiều
liên tục
..........................
.
..................................................84
§2. Các đặc trưng ca biến ngu nhiên hai chiu.....................
.
......
89
2 .1 . Các s đc trưng của các biến thành phn
...................
89
2.2. Hip phương sai và h sô" tương quan
...........................
90
2.3. Các s đc trưng có điu kin
........................................
93
2.4. Phân phôi chun hai chiii
............................................ 94
§3. Hàm ca c biến ngu nhiên
............................
.
.................................
96
3.1. Hàm ca mt biến ngu nhiên
......................................96
3.2. m ca hai biến ngu nhiên.......................................98
3.3. Các sô" đc trưng ca hàm ca các biến ngu nhn.. 102
§4. Các định t giới hạn và lut sô ln
.
.....................................................
103
4.1. S hi t ca dăy biến ngu nhiên
..............................
103
4.2. Các đnh lý gii hn
......................................
.
..............105
4.3. Lut s* ln.................................................................... 107
Đàí t p
...........................
.
......................
.
................
.
....................................... 110
241
CHƯƠNG V. MẪU THNG KÊ VÀ ưc LƯNG THAM s
...........
.113
§1. Mau v thòng t.
.........
.
............
.
................
.
...........
.
...........
.......
113
1 .1 . u và tp đám đông.............................................. .113
1.2. Vến đ chn mẫu....
................................
.
.....................114
1.3. Phân loi và mô t số liu m u
...................................116
§2. Mu ngu nhiên và các đặc trưng mu...
........
.
......
.
..............
.
........
121
2.1. Mu ngu nhiên t mt tp nn
....
.
............................121
2.2. Các đc trưng mu
....................................................... 123
2.3. Vn đ nh toán các dng đc trưng mu
..................
128
§3. ưc lưng đim
.............
................................
........
.
.....................
.133
3.1. ưc lưng tham sô'
...................
.
....................................133
3.2. Các tính cht ca ưc lưng dim
...........
.
...................134
3.3. Các phương pháp ưc lượng.......
...........
.
............
.
.....
136
§4. Khoảng tin cy................
.
.......
.
................... .
............
.
.............
.....140
4.1. ươt; ợng khong
.....................
.
...................
.
.......................
140
4.2. Khoáng tin cậy cho k vng..................................
.
141
4.3. Khong tin cậy cho t l......................................
.
...............146
4.4. Khoảng tin cv cho phương sai
....
.
...............................150
Bài tập
.
........................
.
...........
.
.........
.
............
.
..................................153
CHƯƠNG V. KIỂM ĐNH G THUYT
..............
......................
.
.........158
§1. Gi thuyết thng kê và quy tc km đnh......................................158
1 .1 . Giả thuyết thng kê
.
..............................
......................
158
1.2. Quv tc kiểm đnh giả thuyết......................................159
; 1.3. Các dng miền tói hn
..............................
.
..................162
§2. Các kim đnh dùng mt m u ......
.
....................... .
...................................
......
..........
163
2.1. Kim đnh v k vng
.............
....................................
163
2.2. Kim đnh vt l
..............
..........
.
...............
.
166
2.3. Kiếm đnh về phương sai
.........
.
..................................
168
§3. Các kiểm định dùng nhiều m u
.......................... .
........................170
3.1. So nh hai k vng.....................................................170
3.2. So sánh hai tỷ l
.................................................
.
......
172
3.3. So sánh hai phương sai
..........................
.
....................
174
3.4. So sánh nhiu trung bình (phân tích phương sai) .... 176
242
§4. Kiểm định phi tham sô ..................................
.
.....................
.
.......
.
179
4.1. Kiểm đnh giả thiết v lut phân phôi
........................
179
4.2. Kiểm đnh giả thuyết đc l p
......................................184
Bài t p
.................
.
...........................
.............................
.
..........................188
CHƯƠNG VI. PHÂN TÍCH Hl QUY
....................................................
194
§1. Phàn tích tương quan.......................................................................
.
194
1.1. Hip phương sai và hs ơng quan
........................
194
1.2. H s tương quan mu
................................................. 195
1.3. Tiêu chun đc lp của hai biến ngu nhiên
...........
..200
1.4. líim đnh gi thuyết vh sô" tương quan.................203
§2. Hổi quy
...........................
.
..............
.
...........................
.
............
.
.........
204
2.1. Mô nh tuyến tính......................................................204
2.2. ước lưng h sô"hi quy...............................................206
2.3. Trưng hp có giả thiết chun
..................................
...213
2.4. H sô" xác đnh..............................................................216
2.5. Hi quy phi tuyến.........................................................217
§3. Hổi quy bi........................................................................................... 221
3.1. Mô hình hi quy bi tuyến tính...................................2 2 1
3.2. Tương quan bi và tương quan riêng
.........................
224
Bà t p
.................................................................................................
227
PHỤ LỤC. CÁC BẢNG s
.......... .
............
1. Bng hàm Gao-xơ (p{x) = -
v2
X
'Y
230
230
n
1
2 Bng hàm Láp-la-xơ = 7==r e dt
.................
232
v2;r
3. Bng phân v Stiuơn PÍ < a a) - ^ vi X - t{n)
.......
233
4. Bng phân v / P(X < vi X - /{n)
............................
234
5. Bng phàn v Phi-sơ
...................................................... 235
6 . ớng dn s dng các bng '.................................237
Tài liêu tham kho....................
.
.................................................................239
243
| 1/242