Giới hạn của dãy số, giới hạn của hàm số và hàm số liên tục – Lê Hải Trung

Tài liệu gồm 75 trang được biên soạn bởi thầy Lê Hải Trung trình bày lý thuyết, dạng toán, ví dụ minh họa và các bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết chuyên đề giới hạn của dãy số,

56 28 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 5: Giới hạn. Hàm số liên tục (KNTT)

Môn: Toán 11

Thông tin:

75 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Kim Oanh
Giới hạn của dãy số Ths. Lê Hải Trung 0984735736
Chương IV: Giới hạn Page 1
CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN
BÀI 1: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
A. LÝ THUYẾT
I. Giới hạn 0
1. Định nghĩa:
Dãy số
( )
n
u
được gọi là có giới hạn bằng 0 khi n tiến ra dương vô cực nếu với
mỗi số dương nhỏ tuỳ ý cho trước, mọi số hạng của dãy số , kể từ một số hạng nào
đó trở đi, đều có giá tri tuyệt dối nhỏ hơn số dương đó.
Kí hiệu:
lim 0
n
u
.Hay là:
0
lim 0
n
x
u
2. Một số giới hạn đặc biệt
1
lim 0
k
n
với
*
k
Nếu
1
q
thì
lim 0
n
n
q

II. Giới hạn hữu hạn
1. Định nghĩa:
Ta nói rằng dãy số
( )
n
u
được gọi là có giới hạn
a
nếu
n
u a
.Khi đó ta
viết:
lim lim 0
n n
u a u a
,
Dãy số (u
n
) có giới hạn là số thực gọi là dãy số có giới hạn hữu hạn.
Chú ý: Nếu
n
u c
(với
c
là hằng số) thì
lim lim
n
n n
u c c
 
2. Một số định lí về giới hạn
Định lí 1. Nếu dãy số (u
n
) thỏa
n n
u v
kể từ số hạng nào đó trở đi và
lim 0
n
v
thì
lim 0
n
u
.
Định lí 2. Cho
lim , lim
n n
u a v b
. Ta có:
lim( )
n n
u v a b
lim( )
n n
u v a b
lim( . ) .
n n
u v a b
lim ( 0)
n
n
u
a
b
v b
Nếu
0
n
u n
thì
lim
n
u a
Giới hạn của dãy số Ths. Lê Hải Trung 0984735736
Chương IV: Giới hạn Page 2
3. Tổng của CSN lùi vô hạn
Cho CSN
( )
n
u
có công bội q thỏa
1
q
. Khi đó tổng
1 2
... ....
n
S u u u
gọi là tổng vô hạn của CSN và
1 1
(1 )
lim lim
1 1
n
n
u q u
S S
q q
.
III. Giới hạn vô cực
1. Định nghĩa:
Ta nói rằng dãy số
( )
n
u
được gọi là có giới hạn

với mỗi số dương tuỳ
ý cho trước , mọi số hạng của dãy số , kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn
số dương đó . Kí hiệu
lim
n
u

Chú ý
lim lim
n n
n n
u u
 
 
.
4.2. Một số kết quả đặc biệt
lim
k
n
với mọi
0
k
lim
n
q
với mọi
1
q
.
4.3.Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực.
Quy tắc 1: Nếu
lim
n
u

,
lim
n
v
thì
lim( . )
n n
u v
được cho như sau;
lim
n
u
lim
n
v
lim( )
n n
u v












Quy tắc 2: Nếu
lim
n
u
,
lim
n
v l
thì
lim( . )
n n
u v
được cho như sau;
lim
n
u
Dấu của
l
lim( )
n n
u v








Giới hạn của dãy số Ths. Lê Hải Trung 0984735736
Chương IV: Giới hạn Page 3
Quy tắc 3: Nếu
lim
n
u l
,
lim 0
n
v
và
0
n
v
hoặc
0
n
v
kể từ một số hạng nào dó trở
đi thì
lim
n
n
u
v
được coi như sau;
Dấu của
l
Dấu của
n
v
lim
n
n
u
v








B. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: Giới hạn 0
Phương pháp:
Dể chứng minh dãy số (u
n
) có
lim 0
n
u
ta chỉ ra dãy số (v
n
) sao
n n
u v
kể từ số hạng nào đó trở đi và
lim 0
n
v
thì
lim 0
n
u
.
Chú ý : các dãy có giới hạn không được áp dụng
1
lim 0
k
n
với
*
k
Nếu
1
q
thì
lim 0
n
n
q

Ví dụ 1: Chứng minh các dãy sau có giới hạn 0
a)
3
1
n
n
u
n
b)
cos
1
n
nx
u
n
Giải
a) Ta có
3 3 3 2
1
1 1
n
n n n
u
n n n n
Mà
2
1
lim 0 lim 0
n
u
n
b) Ta có
cos 1 1
1 1
n
nx
u
n n n
mà
1
lim 0 lim 0
n
u
n
Ví dụ 2: Cho dãy số (u
n
) với
3
n
n
n
u
.
a) Chứng minh
1
2
3
n
n
u
u
với mọi
2
n
Giới hạn của dãy số Ths. Lê Hải Trung 0984735736
Chương IV: Giới hạn Page 4
b) Chứng minh rằng dãy
n
u
có giới hạn
0
Giải
a) Ta có
1
1
1 3 1 2
.
3 3 3 3
n
n
n
n
u
n n n n
u n n n
1
2
3
n
n
u
u
b) Vì
2 1
1 2 1
1
2 2 2 2
...
3 3 3 3
n
n
n n n
n
u
u u u u
u
lại có
1
1
3
u
1
2 1 1 2
.
3 3 2 3
n n
n
u
Có
1 2
lim 0 lim 0
2 3
n
n
u
Dang 2: Dạng vô định
Phương pháp
Đối với dãy
1
0 1
0 0
1
0 1
...
, 0, 0
...
m m
m
n
k k
k
a n a n a
u a b
b n b n b
thì chia cả tử lẫn mẫu của phân
thức cho lũy thừa lớn nhất của n ở tử
m
n
hoặc mẫu
k
n
, việc này cũng như đặt thừa số
chung cho
m
n
hoặc mẫu
k
n
rồi rút gọn, khử dạng vô định. Kết quả:
0
0
0
lim
n
khi m k
a
u khi m k
b
khi m k

(dấu

hoặc

tùy theo dấu của
0
0
a
b
)
Đối với biểu thức chứa căn bậc hai, bậc ba thì cũng đánh giá bậc tử và mẫu để đặt thừa
số chung rồi đưa ra ngoài căn thức, việc này cũng như chia tử và mẫu cho lũy thừa số
lớn của n ở tử hoặc mẫu.
Đối với các biểu thức mũ thì chia tử và mẫu cho mũ có cơ số lớn nhất ở tử hoặc mẫu,
việc này cũng như đặt thừa số chung cho tử và mẫu số hạng đó.
Ví dụ 3 : Tính giới hạn
a)
1
lim
2 3
n
n
b)
2
3
lim
1 2
n n n
n
c)
2
2
2
lim
3 1
n n
n n
d)
32 3
44
1 3 2
lim
2 2
n n
n n n
Giải
Giới hạn của dãy số Ths. Lê Hải Trung 0984735736
Chương IV: Giới hạn Page 5
a)
1
1
1
1
1 1
lim lim lim
3
3
2 3 2
2
2
n
n
n
n
n
n
n
n
b)
2
1 1
. 1 3 1 3
3 1 3
lim lim lim 1
1
1 2 1 2 0 2
2
n n
n n n
n n
n n
n
c) Ta có:
2
2
2
lim
3 1
n n
n n
=
2
2
2
1
1
1
lim lim
1 1 3
3 1
1 3
n n
n
n
n n
n
n
d) Ta có:
32 3
44
1 3 2
lim
2 2
n n
n n n
=
3
2 3
3
4
4
3 4
1 2
1 3
1 3
lim
2 1
1 2
2 1
n
n n
n
n n
.
Ví dụ 4 : Tính giới hạn
a)
1 1
4 5
lim
4 5
n n
n n
A
. b)
2 1
1
4.3 2.7
lim
4 7
n n
n n
B
Giải
a) Chia cả tử và mẫu cho
5
n
ta có:
4
4 5
5
lim 5
4
1
5
n
n
A
( do
4
lim 0
5
n
).
b) Ta có:
4 2
36
2
7 7
lim
49
4
7
7
n
n
B
.
Ví dụ 5 : Tính giới hạn
a)
2
1 3 5 ... (2 1)
lim
2 1
n n
A
n
b)
3 2 2 2
1 2 ...
lim
1 2 ... 2
n n
B
n n
c)
2 2 2
1 1 1
lim 1 1 ... 1
2 3
C
n
d)
1 1 1 1
lim ...
1.2 2.3 3.4 ( 1)
D
n n
Giải
a) Ta có:
2
1 3 5 ... 2 1
n n
Giới hạn của dãy số Ths. Lê Hải Trung 0984735736
Chương IV: Giới hạn Page 6
Suy ra
2
2
2
1 1
lim lim
1
2 1 2
2
n
A
n
n
.
b) Ta có:
( 1)
1 2 ...
2
n n
n
;
2 2 2
( 1)(2 1)
1 2 ...
6
n n n
n
Suy ra :
2
3
3 3
3
1
1
( 1) 1
1
2 2 2
lim lim
( 1)(2 1) 1
1 1
2 2
1 2
6 3
2
6
n
n n
n
n n
B
n n n
n
n
n n
n
c) Ta có:
2 2
1 ( 1)( 1)
1
k k
k k
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1.3 2.4 ( 1)( 1) 1
1 1 ... 1 . ...
2 3 2 3 2
n n n
n n n
Do vậy
1 1
lim
2 2
n
C
n
.
d) Ta có
1 1 1
( 1) 1k k k k
1 1 1 1 1
... 1
1.2 2.3 3.4 ( 1) 1n n n
Vậy
1
lim 1 1
1
D
n
.
Dạng 3: Dạng vô định
. 0
a a
Phương pháp : Nhóm số mũ to nhất
Ví dụ 6 : Tính giới hạn
a)
2
lim 4 1
n n
b)
2
lim 2 1
n n
Giải
a)
2 2
2
4 1
lim 4 1 lim 1n n n
n n
Vì
2
2
lim
4 1
lim 1 1 0
n
n n

nên
2
lim 4 1n n

b)
2
lim 2 1
n n
=
1
lim 2 1
n
n
Vì
lim
1
lim 2 1 1
n
n

nên
2
lim 2 1
n n
=

Giới hạn của dãy số Ths. Lê Hải Trung 0984735736
Chương IV: Giới hạn Page 7
Dạng 4: Dạng vô đinh
0.
Phương pháp
Đối với biểu thức chứa căn thức thì nhân, chia lượng liên hợp bậc hai, bậc ba để đưa về
dạng:
2
A B
A B =
A B
3
3
3
3
2 2
A B
A B =
A B. A B
A B
A B =
A B
3
3
3
3
2 2
A B
A B =
A B. A B
2
A B
A B =
A B
3 3
3 3
3
2 2
A B
A B =
A A.B B
A B
A B =
A B
3 3
3 3
3
2 2
A B
A B =
A A.B B
Đặc biệt, đôi khi ta thêm, bớt đại lượng đơn giản để xác định các giới hạn mới có cùng
dạng vô định, chẳng hạn:
3 3
3 2 3 2
2 1 2 1
n n n n n n
;
3 3
2 3 2 3
2 2
n n n n n n n n
Ví dụ7 : Tính giới hạn
a)
2
lim 3
n n n
b)
3 3
lim 2
n n
c)
2 2
lim 7 5
n n
d)
2 2
lim 3
n n n
Giải
a)
2 2
2
2
2
3 3
3
lim 3 lim lim
3
3
n n n n n n
n
n n n
n n n
n n n
2
3
lim
3
1
n
n n
n
3 3
lim
2
3
1 1
n
n
n
b)
2
3
2
3 3 3 3
3
3 3
2
3 2
3 3
3
2 2 2.
lim 2 lim
2 2.
n n n n n n
n n
n n n n
3 3
3 3
2 2
3 3
2 2
3 3 3 3
3 3
2
2
lim lim
2 2. 2 2.
n n
n n
n n n n n n n n
Giới hạn của dãy số Ths. Lê Hải Trung 0984735736
Chương IV: Giới hạn Page 8
2
3
2
3 3
3
2
lim 0
2 2.n n n n
c)
2 2
2 2
2 2 2 2
7 5 2
lim 7 5 lim lim 0
7 5 7 5
n n
n n
n n n n
d)
2 2
lim 3
n n n
=
2 2
2 2
3
lim 3 lim
3
n
n n n
n n n
3 3
lim
2
3
1 1
n
Ví dụ 8 : Tính giới hạn
a)
3
2 3 2
lim 2 2
n n n n
b)
3
2 3
lim 4 1 8
n n n
Giải
a) Ta có:
3
2 3 2
lim 2 2
n n n n
=
3
2 3 2
lim 2 lim 2
n n n n n n
2
3
2 3 2 2 3 2 2
3
2 2
lim lim
2 ( 2 ) 2
n n
n n n n n n n n n
2
3 3
2 2 1
lim lim
3
2 2 2
1 1 (1 ) 1 1
n n n
.
b) Ta có:
3
2 3
lim 4 1 8
n n n
=
3
2 3
lim 4 1 2 lim 8 2n n n n n
Mà:
2
2
1
lim 4 1 2 lim 0
4 1 2
n n
n n
3
2
32 2 2 2
3
lim 8 2 lim 0
(8 ) 2 8 4
n
n n n
n n n n n n
Vậy
3
2 3
lim 4 1 8 0
n n n
.
Dạng 5: Cấp số nhân lùi vô hạn
Phương pháp:
Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân vô hạn và có công bội là
1
q
.
Tổng các số hạng của một cấp số nhân lùi vô hạn
n
u
1
1 2
... ...
1
n
u
S u u u
q
Mọi số thập phân đều được biểu diễn dưới dạng lũy thừa của 10
3
1 2
1 2 3
2 3
, ... ... ...
10 10 10 10
n
n
n
a
a a a
X N a a a a N
Giới hạn của dãy số Ths. Lê Hải Trung 0984735736
Chương IV: Giới hạn Page 9
Ví dụ 9. Viết số thập phân
0,030303
m
… (chu kỳ 03) dưới dạng số hữu tỉ.
Giải
3
3 3 3 3 1 100
100
3 ... 3 3 3
1
100 10000 100 99 33 33
1
100
n
m
Ví dụ 10. Tính tổng
1 1
2 2 1 ...
2
2
S
Giải
Xét dãy:
1
2, 2,1,
2
,… là cấp số nhân
2
2 1 1
; 1
2 2
2
q q
Vậy
2 2 2
4 2 2
1
2 1
1
2
S
Ví dụ 11 . Hãy viết số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng một phân số.
34,1212
… (chu kỳ 12)
Giải
2
1
12 12 12 1134
100
34,1212... 34 ... 34 12
1
100 100 100 33
1
100
n
C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng
0
?
A.
2
1 2
5 3
n
n n
. B.
2
2
1 2
5 3
n
n n
.
C.
2
2
2
5 3
n
n n
u
n n
. D.
2
2
2
5 3
n
n
u
n n
.
Câu 2:
3
4
3 2 1
lim
4 2 1
n n
n n
bằng
A.

. B.
0
. C.
2
7
. D.
3
4
.
Câu 3:
4
2
lim
5 2 1n n
bằng
A.
1
2
. B.
0
. C.

. D.
2
5
.
Câu 4: Tính
2
3
2
lim
3 1
n n
n n
. Kết quả là
Giới hạn của dãy số Ths. Lê Hải Trung 0984735736
Chương IV: Giới hạn Page 10
A.
2
. B.
1
. C.
2
3
. D.
0
.
Câu 5: Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng
0
?
A.
3
2
3 2
lim
2 1
n
n
. B.
2
3
2 3
lim
2 4
n
n
.
C.
3
2
2 3
lim
2 1
n n
n
. D.
2 4
3 2
2 3
lim
2
n n
n n
.
Câu 6:
2
3
lim
4 2 1n n
bằng
A.
3
4
. B.

. C.
0
. D.
– 1
.
Câu 7: Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng
0
?
A.
2
2
2
5 3
n
n
u
n n
. B.
2
2
2
5 3
n
n n
u
n n
.
C.
2
2
1 2
5 3
n
n
u
n n
. D.
2
1 2
5 3
n
n
u
n n
.
Câu 8: Kết quả của giới hạn
1
lim
k
x
x

(với k nguyên dương) là
A.

. B.

. C.
0
. D.
x
.
Câu 9: Tính
3
3
2
lim
. Kết quả là
A.
2
. B.
1
. C.
2
3
. D.
0
.
Câu 10: Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào là
0
?
A.
2 3
lim
1 2
n
n
. B.
2
3
2 1 3
lim
2
n n
n n
.
C.
3
2
1
lim
2
n
n n
. D.
2 1
lim
3.2 3
n
n n
.
Câu 11: Kết quả
2
2
3 2 4
lim
4 5 3
n n
n n
là
A.
3
4
. B.
0
. C.
1
. D.
4
3
.
Câu 12: Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng
1
?
A.
2
3
2 3
lim
2 4
n
n
. B.
2
2
2 3
lim
2 1
n
n
.
Giới hạn của dãy số Ths. Lê Hải Trung 0984735736
Chương IV: Giới hạn Page 11
C.
2
3 2
2 3
lim
2 2
n
n n
. D.
3
2
2 3
lim
2 1
n
n
.
Câu 13:
3
3 2
4 5
lim
3 7
n n
n n
bằng
A.
1
3
. B.
1
. C.
1
4
. D.
1
2
.
Câu 14: Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng
1
5
?
A.
2
1 2
5 5
n
n
u
n
. B.
2
1 2
5 5
n
n
u
n n
.
C.
2
2
2
5 5
n
n n
u
n n
. D.
1 2
5 5
n
n
u
n
.
Câu 15:
2 4
4
5 3
lim
4 2 1
n n
n n
bằng
A.
3
4
. B.
5
4
. C.
3
4
. D.
0
.
Câu 16: Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào là
0
?
A.
2 3
lim
1 2
n
n
. B.
2
3
2 1 3
lim
2
n n
n n
.
C.
3
2
1
lim
2
n
n n
. D.
2 1
lim
3.2 3
n
n n
.
Câu 17: Cho
1 4
5
n
n
u
n
. Khi đó
lim
n
u
bằng
A.
4
5
. B.
3
5
. C.
3
5
. D.
4
5
.
Câu 18: Cho dãy số
( )
n
u
với
2
2
4 2
5
n
n n
u
an
. Để
( )
n
u
có giới hạn bằng
2
, giá trị của
a
là
A.
4
. B.
2
. C.
4
. D.
3
.
Câu 19: Dãy số
n
u
với
2
2
5
2 1
n
n n
u
n
có giới hạn bằng
A.
3
2
. B.
1
2
. C.
2
. D.
1
.
Câu 20: Cho dãy số
n
u
với
2
5 3
n
n b
u
n
. Để dãy số
n
u
có giới hạn hữu hạn thì giá
trị của
b
là
A.
b
là một số thực tùy ý.
Giới hạn của dãy số Ths. Lê Hải Trung 0984735736
Chương IV: Giới hạn Page 12
B.
b
nhận một giá trị duy nhất là
2
.
C.
b
nhận một giá trị duy nhất là
3
.
D.
b
nhận một giá trị duy nhất là
5
.
Câu 21:
3
3 2
2 5 3
lim
3
n n
n n
là
A.
3
2
. B.
2
3
. C.
3
. D.

.
Câu 22: Cho
1
1
n
u
n
và
2
2
n
v
n
. Khi đó
lim
n
n
v
u
bằng
A.
1
. B.
2
. C.
0
. D.
3
.
Câu 23: Dãy số nào sau đây có giới hạn
1
3
?
A.
4 3
3 2
2 1
3 2 1
n
n n
u
n n
. B.
2
2
2
3 5
n
n n
u
n
.
C.
2 3
3 2
3
9 1
n
n n
u
n n
. D.
2
3
2 5
3 4 2
n
n n
u
n n
.
Câu 24:
4
4
10
lim
10 2
n
n
bằng bao nhiêu?
A.

. B.
1
. C.
1000
. D.
5000
.
Câu 25: Dãy số
n
u
với
2
2
5
2 1
n
n n
u
n
có giới hạn bằng
A.
3
2
. B.
1
2
. C.
2
. D.
1
.
Câu 26: Tính
5 2
lim
3 1
n
n
ta được kết quả
A.
4
3
. B.
5
3
. C.
5
9
. D.
3
5
.
Câu 27:
4
4
2 2 2
lim
4 2 5
n n
n n
bằng
A.

. B.
1
2
. C.
0
. D.
3
11
.
Câu 28: Dãy số
n
a
với
2
2
n
n
a
n
,
1, 2,
n
có giới hạn bằng
A.
0
. B.
1
. C.
2
. D.
3
.
Giới hạn của dãy số Ths. Lê Hải Trung 0984735736
Chương IV: Giới hạn Page 13
Câu 29: Cho dãy số
n
u
với
4
5 3
n
an
n
u
, trong đó
a
là hằng số. Để dãy số
n
u
có
giới hạn bằng
2
, giá trị của
a
là
A.
10
. B.
6
. C.
8
. D.
4
.
Câu 30: Dãy số nào sau đây có giới hạn
1
3
?
A.
3
3 2
2 1
3 2 1
n
n n
u
n n
. B.
2
2
2
3 5
n
n n
u
n
.
C.
2 4
3 2
3
9 1
n
n n
u
n n
. D.
2
3
2 5
3 4 2
n
n n
u
n n
.
Câu 31:
2 3
3
3
lim
2 5 2
n n
n n
bằng
A.
0
. B.
1
2
. C.
1
5
. D.
3
2
.
Câu 32: Dãy số
n
u
với
2
2
5
2 1
n
n n
u
n
có giới hạn bằng:
A.
3
2
. B.
1
2
. C.
2
. D.
1
.
Câu 33: Trong bốn giới hạn dưới đây, giới hạn nào bằng
1
?
A.
2 3
3
lim
2 1
n n
n
. B.
2 3
lim
2 3
n
n
.
C.
2
2
lim
2
n n
n n
. D.
3
2
lim
3
n
n
.
Câu 34: Trong bốn giới hạn dưới đây, giới hạn nào bằng

?
A.
2
3
2 3
lim
3
n n
n n
. B.
2
2
3 2
lim
n n
n n
.
C.
3
3
2 1
lim
2
n n
n n
. D.
2
1
lim
2 1
n n
n
.
Câu 35: Giới hạn của dãy số (u
n
) với u
n
=
4
3
4 5
n n
n
có giới hạn bằng
A.

. B.

. C.
0
. D.
3
4
.
Câu 36: Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây?
A.
4
3
2
lim
1
n
n

. B.
2
5
lim
2 1
n
n

.
C.
2
2 1
lim
3
n n
n

. D.
1
lim
2 3n

.
Giới hạn của dãy số Ths. Lê Hải Trung 0984735736
Chương IV: Giới hạn Page 14
Câu 37: Trong bốn giới hạn dưới đây, giới hạn nào bằng

?
A.
2
2
2 3
lim
2 1
n n
n
. B.
3
2
3 2
lim
2 1
n
n
.
C.
2 4
3 2
2 3
lim
2
n n
n n
. D.
2
3
2 3
lim
4
n
n
.
Câu 38:
3
2
2
lim
1 3
n n
n
bằng
A.
1
3
. B.

. C.

. D.
2
3
.
Câu 39: Kết quả
3
lim 5 3L n n
bằng
A.
4
. B.

. C.

. D.
6
.
Câu 40: Trong bốn giới hạn dưới đây, giới hạn nào bằng

?
A.
2
1 2
5 5
n
n
u
n n
. B.
2
3
2
5 5
n
n
u
n n
.
C.
2
2
2
5 5
n
n n
u
n n
. D.
2
1
5 5
n
n
u
n
.
Câu 41: Kết quả
2
lim 3 5 3
L n n
là
A.
3
. B.

. C.

. D.
5
.
Câu 42: Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào là

?
A.
2
3
2 3
lim
3
n n
n n
. B.
2
2
3 2
lim
n n
n n
.
C.
3
3
2 1 1
lim
2 2
n n
n n
. D.
2
1
lim
2 1
n n
n
.
Câu 43:
3
lim 2 3n n
là:
A.
2
. B.

. C.

. D.
3
.
Câu 44:
3 2
lim 3 2 5
n n
bằng
A.
3
. B.
6
. C.

. D.

.
Câu 45:
3
2
2 3
lim
4 2 1
n n
n n
bằng
A.
3
4
. B.

. C.
0
. D.
.
Câu 46: Dãy số nào sau đây có giới hạn

?
A.
2
2
9 7
n
n n
u
n n
. B.
2
2008 2007
n
u n n
.
Giới hạn của dãy số Ths. Lê Hải Trung 0984735736
Chương IV: Giới hạn Page 15
C.
2007 2008
1
n
n
u
n
. D.
2
1
n
u n
.
Câu 47: Dãy số nào sau đây có giới hạn là

?
A.
2
3
n
u n n
. B.
4 3
3
n
u n n
.
C.
2 3
4
n
u n n
. D.
3 4
3 2
n
u n n
.
Câu 48:
3
2
100 7 9
lim
1000 1
n n
n n
là
A.
9
. B.

. C.

. D.
1
10
.
Câu 49: Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào là

?
A.
2
3
2 3
lim
3
n n
n n
. B.
2
2
3 2
lim
n n
n n
.
C.
3
2
2 1
lim
2
n n
n n
. D.
2
1
lim
2 1
n n
n
.
Câu 50: Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A.
1
lim
2 3n

. B.
2
5
lim
2 1
n
n

.
C.
2
2 1
lim
3
n n
n

. D.
4
3
2
lim
1
n
n

.
BẢNG ĐÁP SỐ
1.A
2.B
3.B
4.D
5.B
6.C
7.D
8.C
9.C
10.D
11.C
12.B
13.A
14.C
15.A
16.D
17.D
18.B
19.B
20.A
21.B
22.B
23.C
24.D
25.B
26.B
27.B
28.C
29.A
30.A
31.D
32.B
33.C
34.D
35.A
36.A
37.C
38.C
39.B
40
41.C
42.D
43.C
44.C
45.B
46.D
47.D
48.B
49.D
50.D
Giới hạn của dãy số Ths. Lê Hải Trung 0984735736
Chương IV: Giới hạn Page 16
HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1: Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng
0
?
A.
2
1 2
5 3
n
n n
. B.
2
2
1 2
5 3
n
n n
.
C.
2
2
2
5 3
n
n n
u
n n
. D.
2
2
2
5 3
n
n
u
n n
.
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Ta có
2
2
1 2
1 2
lim lim 0
5
5 3
3
n
n n
n n
n
Câu 2:
3
4
3 2 1
lim
4 2 1
n n
n n
bằng
A.

. B.
0
. C.
2
7
. D.
3
4
.
Hướng dẫn giải
Chọn B.
3
3 4
4
3 4
3 2 1
3 2 1
lim lim 0
2 1
4 2 1
4
n n
n n n
n n
n n
Câu 3:
4
2
lim
5 2 1n n
bằng
A.
1
2
. B.
0
. C.

. D.
2
5
.
Hướng dẫn giải
Chọn B.
4
4
3 4
2
2
lim lim 0
2 1
5 2 1
5
n
n n
n n
Câu 4: Tính
2
3
2
lim
3 1
n n
n n
. Kết quả là
A.
2
. B.
1
. C.
2
3
. D.
0
.
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Giới hạn của dãy số Ths. Lê Hải Trung 0984735736
Chương IV: Giới hạn Page 17
2
2
3
2 3
1 2
2
lim lim 0
3 1
3 1
1
n n
n n
n n
n n
Câu 5: Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng
0
?
A.
3
2
3 2
lim
2 1
n
n
. B.
2
3
2 3
lim
2 4
n
n
.
C.
3
2
2 3
lim
2 1
n n
n
. D.
2 4
3 2
2 3
lim
2
n n
n n
.
Hướng dẫn giải
Chọn B.
2
3
3
3
2 3
2 3
lim lim 0
4
2 4
2
n
n n
n
n
Câu 6:
2
3
lim
4 2 1n n
bằng
A.
3
4
. B.

. C.
0
. D.
– 1
.
Hướng dẫn giải
Chọn C.
2
2
2
3
3
lim lim 0
2 1
4 2 1
4
n
n n
n n
Câu 7: Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng
0
?
A.
2
2
2
5 3
n
n
u
n n
. B.
2
2
2
5 3
n
n n
u
n n
.
C.
2
2
1 2
5 3
n
n
u
n n
. D.
2
1 2
5 3
n
n
u
n n
.
Hướng dẫn giải
Chọn D.
2
2
1 2
1 2
lim lim 0
5
5 3
3
n
n n
n n
n
Câu 8: Kết quả của giới hạn
1
lim
k
x
x

(với k nguyên dương) là
A.

. B.

. C.
0
. D.
x
.
Giới hạn của dãy số Ths. Lê Hải Trung 0984735736
Chương IV: Giới hạn Page 18
Hướng dẫn giải
Chọn C.
1
lim 0
k
x
x

Câu 9: Tính
3
3
2
lim
. Kết quả là
A.
2
. B.
1
. C.
2
3
. D.
0
.
Hướng dẫn giải
Chọn C.
3
2
3
2 3
1
2
2 2 2
lim lim lim
2 1
3 2 1 3 3
3
n n
n
n n
n n
Câu 10: Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào là
0
?
A.
2 3
lim
1 2
n
n
. B.
2
3
2 1 3
lim
2
n n
n n
.
C.
3
2
1
lim
2
n
n n
. D.
2 1
lim
3.2 3
n
n n
.
Hướng dẫn giải
Chọn D.
2 1
2 1
3 3
lim lim 0
3.2 3
2
3. 1
3
n n
n
n
n n
Câu 11: Kết quả
2
2
3 2 4
lim
4 5 3
n n
n n
là
A.
3
4
. B.
0
. C.
1
. D.
4
3
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
2
2
2
2
3 2
4
3 2 4
lim lim 1
5 3
4 5 3
4
n n
n n
n n
n n
Câu 12: Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng
1
?
A.
2
3
2 3
lim
2 4
n
n
. B.
2
2
2 3
lim
2 1
n
n
.
Giới hạn của dãy số Ths. Lê Hải Trung 0984735736
Chương IV: Giới hạn Page 19
C.
2
3 2
2 3
lim
2 2
n
n n
. D.
3
2
2 3
lim
2 1
n
n
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
2
2
2
2
3
2
2 3
lim lim 1
1
2 1
2
n
n
n
n
Câu 13:
3
3 2
4 5
lim
3 7
n n
n n
bằng
A.
1
3
. B.
1
. C.
1
4
. D.
1
2
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
3
2 3
3 2
3
4 5
1
4 5 1
lim lim
1 7
3 7 3
3
n n
n n
n n
n n
Câu 14: Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng
1
5
?
A.
2
1 2
5 5
n
n
u
n
. B.
2
1 2
5 5
n
n
u
n n
.
C.
2
2
2
5 5
n
n n
u
n n
. D.
1 2
5 5
n
n
u
n
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
2
2
2
1
2 1
lim lim
5
5 5 5
5
n n
n
n n
n
Câu 15:
2 4
4
5 3
lim
4 2 1
n n
n n
bằng
A.
3
4
. B.
5
4
. C.
3
4
. D.
0
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
2 4
4
4
3 4
5
3
5 3 3
lim lim
2 1
4 2 1 4
4
n n
n
n n
n n
Giới hạn của dãy số Ths. Lê Hải Trung 0984735736
Chương IV: Giới hạn Page 20
Câu 16: Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào là
0
?
A.
2 3
lim
1 2
n
n
. B.
2
3
2 1 3
lim
2
n n
n n
.
C.
3
2
1
lim
2
n
n n
. D.
2 1
lim
3.2 3
n
n n
.
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Vì:
2 1
2 1 0
3 3
lim lim 0
3.2 3 1
2
3. 1
3
n n
n
n
n n
2 3
lim 1
1 2
n
n
;
2
3
2 1 3
lim 1
2
n n
n n
;
3
2
1
lim
2
n
n n

Câu 17: Cho
1 4
5
n
n
u
n
. Khi đó
lim
n
u
bằng
A.
4
5
. B.
3
5
. C.
3
5
. D.
4
5
.
Hướng dẫn giải
Chọn D.
1
4
1 4 4
lim lim lim
5 5 5
n
n
n
u
n
.
Câu 18: Cho dãy số
( )
n
u
với
2
2
4 2
5
n
n n
u
an
. Để
( )
n
u
có giới hạn bằng
2
, giá trị của
a
là
A.
4
. B.
2
. C.
4
. D.
3
.
Hướng dẫn giải
Chọn B.
2
2
2
2
1 2
4
4 2 4
lim lim lim 2 2
5
5
n
n n
n n
u a
an a
a
n
.
Câu 19: Dãy số
n
u
với
2
2
5
2 1
n
n n
u
n
có giới hạn bằng
A.
3
2
. B.
1
2
. C.
2
. D.
1
.
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Giới hạn của dãy số Ths. Lê Hải Trung 0984735736
Chương IV: Giới hạn Page 21
2
2
2
2
1 5
1
5 1
lim lim lim
1
2 1 2
2
n
n n
n n
u
n
n
.
Câu 20: Cho dãy số
n
u
với
2
5 3
n
n b
u
n
. Để dãy số
n
u
có giới hạn hữu hạn thì giá
trị của
b
là
A.
b
là một số thực tùy ý.
B.
b
nhận một giá trị duy nhất là
2
.
C.
b
nhận một giá trị duy nhất là
3
.
D.
b
nhận một giá trị duy nhất là
5
.
Hướng dẫn giải
Chọn A.
2
2 2
lim lim lim
3
5 3 5
5
n
x x x
b
n b
n
u
n
n
  
vì
1
lim lim 0,
x x
b
b b
n n
 
Câu 21:
3
3 2
2 5 3
lim
3
n n
n n
là
A.
3
2
. B.
2
3
. C.
3
. D.

.
Hướng dẫn giải
Chọn B.
3
2 3
3 2
5 3
2
2 5 3 2
lim lim
1
3 3
3
n n
n n
n n
n
Câu 22: Cho
1
1
n
u
n
và
2
2
n
v
n
. Khi đó
lim
n
n
v
u
bằng
A.
1
. B.
2
. C.
0
. D.
3
.
Hướng dẫn giải
Chọn B.
2 2
2
2 2
2
lim lim lim lim 2
1 2
2
1
1
n
n
v
n
n n
u n
n n
Câu 23: Dãy số nào sau đây có giới hạn
1
3
?
Giới hạn của dãy số Ths. Lê Hải Trung 0984735736
Chương IV: Giới hạn Page 22
A.
4 3
3 2
2 1
3 2 1
n
n n
u
n n
. B.
2
2
2
3 5
n
n n
u
n
.
C.
2 3
3 2
3
9 1
n
n n
u
n n
. D.
2
3
2 5
3 4 2
n
n n
u
n n
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
2 3
3 2
3
1
3
3 3 1
lim lim lim lim
1 1
9 1 9 3
9
n
n n
n
u
n n
n n
Câu 24:
4
4
10
lim
10 2
n
n
bằng bao nhiêu?
A.

. B.
1
. C.
1000
. D.
5000
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
4 4 4
4
4
10 10 10
lim lim 5000
10
10 2 2
2
n
n
n
Câu 25: Dãy số
n
u
với
2
2
5
2 1
n
n n
u
n
có giới hạn bằng
A.
3
2
. B.
1
2
. C.
2
. D.
1
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
2
2
2
2
1 5
1
5 1
lim lim lim
1
2 1 2
2
n
n n
n n
u
n
n
Câu 26: Tính
5 2
lim
3 1
n
n
ta được kết quả
A.
4
3
. B.
5
3
. C.
5
9
. D.
3
5
.
Hướng dẫn giải
Chọn B.
2
5
5 2 5
lim lim
1
3 1 3
3
n
n
n
n
Giới hạn của dãy số Ths. Lê Hải Trung 0984735736
Chương IV: Giới hạn Page 23
Câu 27:
4
4
2 2 2
lim
4 2 5
n n
n n
bằng
A.

. B.
1
2
. C.
0
. D.
3
11
.
Hướng dẫn giải
Chọn B.
4
3 4
4
3 4
2 2
2
2 2 2 2 1
lim lim
2 5
4 2 5 4 2
4
n n
n n
n n
n n
Câu 28: Dãy số
n
a
với
2
2
n
n
a
n
,
1, 2,
n
có giới hạn bằng
A.
0
. B.
1
. C.
2
. D.
3
.
Hướng dẫn giải
Chọn C.
2 2
lim lim lim 2
2
2
1
n
n
a
n
n
Câu 29: Cho dãy số
n
u
với
4
5 3
n
an
n
u
, trong đó
a
là hằng số. Để dãy số
n
u
có
giới hạn bằng
2
, giá trị của
a
là
A.
10
. B.
6
. C.
8
. D.
4
.
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Ta có
4
4
3
5 3
lim lim l
5
im
5
n
a
a a
n
n
u
n
n
. Để dãy số
n
u
có giới hạn bằng
2
thì
2 10
5
a
a
Câu 30: Dãy số nào sau đây có giới hạn
1
3
?
A.
3
3 2
2 1
3 2 1
n
n n
u
n n
. B.
2
2
2
3 5
n
n n
u
n
.
C.
2 4
3 2
3
9 1
n
n n
u
n n
. D.
2
3
2 5
3 4 2
n
n n
u
n n
.
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Giới hạn của dãy số Ths. Lê Hải Trung 0984735736
Chương IV: Giới hạn Page 24
3
2 3
3 2
3
2 1
1
2 1 1 1
lim lim lim lim
2 1
3 2 1 3 3
3
n
n n
n n
u
n n
n n
Câu 31:
2 3
3
3
lim
2 5 2
n n
n n
bằng
A.
0
. B.
1
2
. C.
1
5
. D.
3
2
.
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Ta có:
2 3
3
2 3
1
3
3 3
lim lim
5 2
2 5 2 2
2
n n
n
n n
n n
.
Câu 32: Dãy số
n
u
với
2
2
5
2 1
n
n n
u
n
có giới hạn bằng:
A.
3
2
. B.
1
2
. C.
2
. D.
1
.
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Ta có :
2
2
2
2
1 5
1
5 1
lim lim lim
1
2 1 2
2
n
n n
n n
u
n
n
.
Câu 33: Trong bốn giới hạn dưới đây, giới hạn nào bằng
1
?
A.
2 3
3
lim
2 1
n n
n
. B.
2 3
lim
2 3
n
n
.
C.
2
2
lim
2
n n
n n
. D.
3
2
lim
3
n
n
.
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Ta tính giới hạn lần lượt trong bốn phương án trên.
Xét A:
2 3
3
3
1
1
1
lim lim
1
2 1 2
2
n n
n
n
n
Xét B :
3
2
2 3 2
lim lim
2
2 3 3
3
n
n
n
n
Giới hạn của dãy số Ths. Lê Hải Trung 0984735736
Chương IV: Giới hạn Page 25
Xét C:
2
2
1
1
lim lim 1
2
2
1
n n
n
n n
n
.
Xét D:
3
2
2
1
lim lim .
3
3
1
n
n
n
n

.
Câu 34: Trong bốn giới hạn dưới đây, giới hạn nào bằng

?
A.
2
3
2 3
lim
3
n n
n n
. B.
2
2
3 2
lim
n n
n n
.
C.
3
3
2 1
lim
2
n n
n n
. D.
2
1
lim
2 1
n n
n
.
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Ta tính giới hạn lần lượt trong bốn phương án trên.
Xét A:
2
2
3
2
2 3
2 3
lim lim 0
3
3
1
n n
n n
n n
n
Xét B
2
2
2
3 2
1
3 2
lim lim
1
1
n n
n n
n n
n
Xét C:
3
2 3
3
2
2 1
1
2 1 1
lim lim
1
2 2
2
n n
n n
n n
n
.
Xét D:
2
2
1 1
1
1
lim lim .
1
2 1
2
n n
n n
n
n
n

.
Câu 35: Giới hạn của dãy số (u
n
) với u
n
=
4
3
4 5
n n
n
có giới hạn bằng
A.

. B.

. C.
0
. D.
3
4
.
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Ta có :
4
3
3
3
1
3
lim lim lim .
5
4 5
4
n
n n
n
u n
n
n

.
Giới hạn của dãy số Ths. Lê Hải Trung 0984735736
Chương IV: Giới hạn Page 26
Câu 36: Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây?
A.
4
3
2
lim
1
n
n

. B.
2
5
lim
2 1
n
n

.
C.
2
2 1
lim
3
n n
n

. D.
1
lim
2 3n

.
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Ta tính giới hạn lần lượt trong bốn phương án trên.
Xét A :
4
4
3
3
2
1
2
lim lim .
1
1
1
n
n
n
n
n

Xét B :
2
2
5
1
5
lim lim .
1
2 1
2
n
n
n
n
n

Xét C:
2
2
1 1
2
2 1
lim lim .
3
3
1
n n
n n
n
n
n

.
Xét D:
1
1
lim lim 0
2
2 3
3
n
n
n
.
Câu 37: Trong bốn giới hạn dưới đây, giới hạn nào bằng

?
A.
2
2
2 3
lim
2 1
n n
n
. B.
3
2
3 2
lim
2 1
n
n
.
C.
2 4
3 2
2 3
lim
2
n n
n n
. D.
2
3
2 3
lim
4
n
n
.
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Ta tính giới hạn lần lượt trong bốn phương án trên.
Xét A:
2
2
2
2
3
2 3 3
lim lim
1
2 1 2
2
n n
n
n
n
Xét B:
3
3
2
2
3
2
3 2
lim lim .
1
2 1
2
n
n
n
n
n

Giới hạn của dãy số Ths. Lê Hải Trung 0984735736
Chương IV: Giới hạn Page 27
Xét C:
2 4
2
3 2
2
3
2 3
lim lim .
1
2
2
n n
n
n
n n
n

.
Xét D:
2
3
3
3
2 3
2 3
lim lim 0
4
4
1
n
n n
n
n
.
Câu 38:
3
2
2
lim
1 3
n n
n
bằng
A.
1
3
. B.

. C.

. D.
2
3
.
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Ta có :
3
2
2
2
2
1
2
lim lim .
1
1 3
3
n n
n
n
n
n

.
Câu 39: Kết quả
3
lim 5 3L n n
bằng
A.
4
. B.

. C.

. D.
6
.
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Ta có :
3 3
2
5
lim 5 3 lim 3L n n n
n

.
Câu 40: Trong bốn giới hạn dưới đây, giới hạn nào bằng

?
A.
2
1 2
5 5
n
n
u
n n
. B.
2
3
2
5 5
n
n
u
n n
.
C.
2
2
2
5 5
n
n n
u
n n
. D.
2
1
5 5
n
n
u
n
.
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Ta tính giới hạn lần lượt trong bốn phương án trên.
Xét A:
2
2
1 2
1 2
lim lim lim 0
5
5 5
5
n
n
n n
u
n n
n
Xét B :
2
3
3
2
1 2
2
lim lim lim 0
5
5 5
5
n
n
n n
u
n n
n
Giới hạn của dãy số Ths. Lê Hải Trung 0984735736
Chương IV: Giới hạn Page 28
Xét C:
2
2
2
1
2 1
lim lim lim
5
5 5 5
5
n
n n
n
u
n n
n
.
Xét D:
2
2
1
1
1
lim lim lim .
5
5 5
5
n
n
n
u n
n
n

.
Câu 41: Kết quả
2
lim 3 5 3
L n n
là
A.
3
. B.

. C.

. D.
5
.
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Ta có
2 2
2
5 3
lim 3 5 3 lim 3 .
n n n
n n

.
Vì
2
2
lim
5 3
lim 3 3 0
n
n n

.
Câu 42: Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào là

?
A.
2
3
2 3
lim
3
n n
n n
. B.
2
2
3 2
lim
n n
n n
.
C.
3
3
2 1 1
lim
2 2
n n
n n
. D.
2
1
lim
2 1
n n
n
.
Hướng dẫn giải
Chọn D.
A sai vì
2
3
2 3
lim 0.
3
n n
n n
B sai vì
2
2
3 2
lim 1.
n n
n n
C sai vì
3
3
2 1 1
lim .
2 2
n n
n n
D đúng
2
2
2 2
1 1 1 1
1 1
1
2 2
lim lim lim .
1 1
2 1
2 2
n n
n n
n n
n
n
n n

Câu 43:
3
lim 2 3n n
là:
A.
2
. B.

. C.

. D.
3
.
Hướng dẫn giải.
Chọn C.
Giới hạn của dãy số Ths. Lê Hải Trung 0984735736
Chương IV: Giới hạn Page 29
Ta có
3 3
2
2
lim 2 3 lim 3 .
n n n
n

.
3
2
lim
2
lim 3 3 0
n
n

.
Câu 44:
3 2
lim 3 2 5
n n
bằng
A.
3
. B.
6
. C.

. D.

.
Hướng dẫn giải.
Chọn C.
Ta có
3 2 3
3
2 5
lim 3 2 5 lim 3 .
n n n
n n

Vì
3
3
lim
2 5
lim 3 3 0
n
n n

Câu 45:
3
2
2 3
lim
4 2 1
n n
n n
bằng
A.
3
4
. B.

. C.
0
. D.
.
Hướng dẫn giải.
Chọn B.
Ta có
3
2
2
2
2
3
2 3
lim lim .
2 1
4 2 1
4
n n
n
n
n n
n n

Vì
2
2
lim
2
3
3
lim 0
2 1
4
4
n
n
n n

.
Câu 46: Dãy số nào sau đây có giới hạn

?
A.
2
2
9 7
n
n n
u
n n
. B.
2
2008 2007
n
u n n
.
C.
2007 2008
1
n
n
u
n
. D.
2
1
n
u n
.
Hướng dẫn giải
Chọn D.
A sai vì
2
2
9 7
lim lim 9.
n
n n
u
n n
Giới hạn của dãy số Ths. Lê Hải Trung 0984735736
Chương IV: Giới hạn Page 30
B sai vì
2
lim lim(2008 2007 ) .
n
u n n

C sai vì
2007 2008
lim lim 2008.
1
n
n
u
n
D đúng
2 2
2
1
lim lim( 1) lim 1 .
n n
u u n n
n

Câu 47: Dãy số nào sau đây có giới hạn là

?
A.
2
3
n
u n n
. B.
4 3
3
n
u n n
.
C.
2 3
4
n
u n n
. D.
3 4
3 2
n
u n n
.
Hướng dẫn giải
Chọn D.
A sai vì
2
lim lim(3 ) .
n
u n n

B sai vì
4 3
lim lim( 3 ) .
n
u n n
C sai vì
2 3
lim lim( 4 ) .
n
u n n

D đúng
3 4
lim lim(3 2 ) .
n
u n n

Câu 48:
3
2
100 7 9
lim
1000 1
n n
n n
là
A.
9
. B.
. C.

. D.
1
10
.
Hướng dẫn giải.
Chọn B.
Ta có
3
2 3
2
2
7 9
100
100 7 9
lim lim .
1 1
1000 1
1000
n n
n n
n
n n
n n

Câu 49: Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào là

?
A.
2
3
2 3
lim
3
n n
n n
. B.
2
2
3 2
lim
n n
n n
.
C.
3
2
2 1
lim
2
n n
n n
. D.
2
1
lim
2 1
n n
n
.
Hướng dẫn giải
Chọn D.
A sai vì
2
3
2 3
lim 0.
3
n n
n n
B sai vì
2
2
3 2
lim 1.
n n
n n
C sai vì
3
2
2 1
lim .
2
n n
n n

Giới hạn của dãy số Ths. Lê Hải Trung 0984735736
Chương IV: Giới hạn Page 31
D đúng
2
1
lim .
2 1
n n
n

Câu 50: Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A.
1
lim
2 3n

. B.
2
5
lim
2 1
n
n

.
C.
2
2 1
lim
3
n n
n

. D.
4
3
2
lim
1
n
n

.
Hướng dẫn giải
Chọn D.
A sai vì
1
lim 0.
2 3n
B sai vì
2
5
lim .
2 1
n
n

C sai vì
2
2 1
lim .
3
n n
n

`
Giới hạn hàm số Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Chương V: Giới hạn Page 1
CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN
BÀI 2: GIỚI HẠN HÀM SỐ
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1. Giới hạn hữu hạn:
a. Giới hạn hữu hạn:
Cho
0
;x a b
và
f
là hàm số xác định trên tập
0
; \
a b x
. Ta nói rằng hàm số
f
có giới hạn là số thực L, kí hiệu
0
lim
x x
f x L
, khi x dần tới
0
x
( hoặc tại điểm
0
x
) ,
nếu với mọi dãy số
n
x
trong tập
0
; \
a b x
mà
0
lim
n
x x
.
Ta đều có
lim
n
f x L
.
b. Giới hạn vô cực:
0
lim
x x
f x

nếu mọi dãy
n
x
trong tập
0
; \
a b x
mà
0
limx
n
x
thì
lim
n
f x

2. Giới hạn của hàm số tại vô cực:
Định nghĩa: Giả sử hàm số
f
xác định trên khoảng
;a

. Ta nói rằng hàm số
f
có giới hạn là số thực L khi x dần tới

, kí hiệu
lim
x
f x L

, nếu với mọi dãy số
n
x
trong khoảng
;a

mà l imx
n

, ta đều có
lim
n
f x L
.
3. Các định lí:
a. Định lí 1: Giả sử
0
lim
x x
f x L
và
0
lim
x x
g x M
,
L M R
. Khi đó:
-
0
lim
x x
f x g x L M
-
0
lim . .
x x
f x g x L M
-
0
lim . .
x x
k f x k L k R
-
0
lim 0
x x
f x
L
M
g x M
Giới hạn hàm số Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Chương V: Giới hạn Page 2
b. Định lí 2: Giả sử
0
lim
x x
f x L
. Khi đó:
-
0 0
lim lim
x x x x
f x f x L
-
0
3
3
lim
x x
f x L
- Nếu
f x
0
với mọi
0
\
x J x
, trong đó
J
là một khoảng nào đó chứa
0
x
thì
0
L
và
0
lim
x x
f x L
c. Định lí 3: Giả sử
J
là một khoảng nào đó chứa
0
x
và
, ,f g h
là ba hàm số xác
định trên tập hợp
0
\
J x
. Khi đó:
0
0 0
0
\ :
lim
lim lim
x x
x x x x
x J x g x f x h x
f x L
g x h x L

4. Giới hạn một bên
a. Định nghĩa:
- Giả sử hàm
f
xác định trên khoảng
0 0
; ,
x b x R
. Ta nói rằng hàm
f
có giới
hạn bên phải là số thực L khi x dần đến
0
x
, kí hiệu:
0
lim
x x
f x L
, nếu mọi dãy số
n
x
trong khoảng
0
;x b
mà
0
limx
n
x
, ta đều có
lim
n
f x L
- Giả sử hàm
f
xác định trên khoảng
0 0
; ,
a x x R
. Ta nói rằng hàm
f
có giới
hạn bên trái là số thực L khi x dần đến
0
x
, kí hiệu:
0
lim
x x
f x L
, nếu mọi dãy số
n
x
trong khoảng
0
;a x
mà
0
limx
n
x
, ta đều có
lim
n
f x L
- Các định nghĩa:
0
lim
x x
f x

,
0
lim
x x
f x

,
0
lim
x x
f x

,
0
lim
x x
f x

được phát biểu tương tự như trên.
b. Các định lí:
-
0 0
lim ( ) lim ( )
x x x x
f x f x L
0
lim ( )
x x
f x L
-
0 0
1
lim lim 0
x x x x
f x
f x

- Nếu
0
lim ( )
x x
f x L
0 và
0
lim ( )
x x
g x

thì:
Giới hạn hàm số Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Chương V: Giới hạn Page 3
0
0
0
lim ( )
lim ( ) ( )
lim ( )
x x
x x
x x
neáu L vaø g x cuøng daáu
f x g x
neáu L vaø g x traùi daáu


0
0 0
0
0 lim ( )
( )
lim lim ( ) 0 . ( ) 0
( )
lim ( ) 0 . ( ) 0
x x
x x x x
x x
neáu g x
f x
neáu g x vaø L g x
g x
neáu g x vaø L g x



5. Các giới hạn đặc biệt:
-
lim
k
x
x


;
lim
k
x
neáu k chaün
x
neáu k leû



-
lim
x
c c

;
lim 0
k
x
c
x

-
0
1
lim
x
x

;
0
1
lim
x
x

-
0 0
1 1
lim lim
x x
x x

Quy tắc về giới hạn vô cực
Quy tắc tìm giới hạn của tích
.
f x g x
Quy tắc tìm giới hạn của thương
f(x)
g(x)
0
0
lim ( )
x x
x x
x
f x

0
0
lim ( )
x x
x x
x
g x

0
0
lim ( ). ( )
x x
x x
x
f x g x

L > 0
+
+
L < 0
+
+
0
0
lim ( )
x x
x x
x
f x

0
0
lim ( )
x x
x x
x
g x

Dấu của
g x
0
0
( )
lim
( )
x x
x x
x
f x
g x

L
Tùy ý 0
L > 0 0
+ +
L < 0 0
+
+
* Khi tính giới hạn có một trong các dạng vô định:
0
0
,
,
–
, 0.
thì phải tìm cách khử
dạng vô định.
Giới hạn hàm số Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Chương V: Giới hạn Page 4
B. DẠNG BÀI TẬP
DẠNG 1: Sử dụng định nghĩa
Phương pháp: thay trực tiếp
0
x
và biểu thức
f x
Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau
a)
0
1
lim 1
x
x
x
. b)
1
lim 2
x
x
c)
2
2
1
lim
1
x
x
x
Giải
a)
2 2
4
lim 3 1 3.4 4 1 45
x
x x
b)
1
lim 2 1 2 3
x
x
c)
2 2
2
1 2 1
lim 5
1 2 1
x
x
x
DẠNG 2: Dạng vô định
0
0
Phương pháp: Tính
0
lim
x x
P x
L
Q x
, với
0 0
0
P x Q x
- Trường hợp 1:
,
P x Q x
là các đa thức: Ta phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử và
rút gọn.
Lưu ý:
2
1 2
ax 0 0
bx c a a x x x x
với
1 2
,x x
là nghiệm của pt
Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau:
a)
3
2
2
8
lim
4
x
x
x
b)
2
2
2
5 6
lim
7 10
x
x x
x x
c)
1
1
lim , *
1
m
n
x
x
m n
x
Giải
a)
2
3 2
2
2 2 2
2 2 4
8 2 4 12
lim lim lim 3
4 2 2 2 4
x x x
x x x
x x x
x x x x
b)
2
2
2 2 2
2 3
5 6 3 1
lim lim lim
7 10 2 5 5 3
x x x
x x
x x x
x x x x x
c)
1 2 1 2
1 2 1 2
1 1 1
1 ..... 1 ..... 1
1
lim lim lim
1
1 ..... 1 ..... 1
m m m m
m
n
n n n n
x x x
x x x x x x x
x m
x n
x x x x x x x
Giới hạn hàm số Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Chương V: Giới hạn Page 5
- Trường hợp 2:
,
P x Q x
là các biểu thức chứa căn cùng bậc: Nhân liên hợp ở tử và
mẫu.
Đối với biểu thức chứa căn thức thì nhân, chia lượng liên hợp bậc hai, bậc ba để đưa về dạng:
2
A B
A B =
A B
3
3
3
3
2 2
A B
A B =
A B. A B
A B
A B =
A B
3
3
3
3
2 2
A B
A B =
A B. A B
2
A B
A B =
A B
3 3
3 3
3
2 2
A B
A B =
A A.B B
A B
A B =
A B
3 3
3 3
3
2 2
A B
A B =
A A.B B
Ví dụ 3: Tính các giới hạn sau:
a)
0
2 4
lim
x
x
x
b)
2
1
3 5 1
lim
1
x
x x
x
c)
3
1
7 2
lim
1
x
x
x
Giải
a)
0 0 0
2 4 2 4
2 4 1 1
lim lim lim
4
2 4
2 4
x x x
x x
x
x
x
x x
b)
2
2
1 1
3 5 1 3 5 1
3 5 1
lim lim
1
1 3 5 1
x x
x x x x
x x
x
x x x
1
1
4 1
lim
1 1 3 5 1
4 1
lim
2
1 3 5 1
x
x
x
x x x x
x x x
c)
2
3 3 3
3
2
1 1
3 3
7 2 7 2 7 4
7 2
lim lim
1
1 7 2 7 4
x x
x x x
x
x
x x x
2
1
3 3
1 1
lim
12
7 2 7 4
x
x x
- Trường hợp 3:
,
P x Q x
là các biểu thức chứa căn khác bậc:
Giả sử:
m n
P x u x v x
với
0 0
m n
u x v x a
Ta phân tích
m n
P x u x a a v x
Ví dụ 4: Tính giới hạn sau :
Giới hạn hàm số Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Chương V: Giới hạn Page 6
3
0
1 1
lim
x
x x
x
Giải
3 3 3
0 0 0
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
lim lim lim
x x x
x x x x x x
x x x x
2
0
3
3
1 1 1 1 5
lim
3 2 6
1 1
1 1 1
x
x
x x
DẠNG 3: dạng vô định
Phương pháp: Tính
lim
x
P x
L
Q x

với
,
P x Q x
là các đa thức hoặc các biểu
thức chứa căn.
- Trường hợp 1:
,
P x Q x
là các đa thức thì chia cả tử và mẫu cho lũy thừa cao nhất
của
x
.
- Trường hợp 2:
,
P x Q x
có chứa căn thì có thể chia cả tử và mẫu cho lũy thừa cao
nhất của
x
.
Lưu ý:
2
x khi x
x x
x khi x


. Khi đó
lim lim à lim lim
x x x x
x x v x x
   
Ví dụ 5 : Tính các giới hạn sau
a)
2
2
2 5 3
lim
6 3
x
x x
x x

b)
2
3
2
5 2
2 1 1
lim
3 1 3 5
x
x x x
x x x

c)
2
2 3
lim
4 1
x
x
x x

d)
2
2 3
lim
1
x
x
x x

Giải
a)
2
2
2
2
5 3
2
2 5 3
lim lim 2
6 3
6 3
1
x x
x x
x x
x x
x x
 
b)
3 2
2
3
2
2
5 2
5 2
1 1 1
2 1
2 1 1
8
lim lim
1 3 5
3
3 1 3 5
3 1
x x
x x x
x x x
x x x
x x x

Giới hạn hàm số Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Chương V: Giới hạn Page 7
c)
2
2
3
2
2 3 2
lim lim 2
2 1
1
4 1
4 1
x x
x
x
x x
x
 
d)
2
2
3
2
2 3 2
lim lim 1
1 1
1
1
1 1
x x
x
x
x x
x
 
DẠNG 4: Dạng vô định
Phương pháp : (giới hạn này thường chứa căn): Ta thường sử dụng phương
pháp nhân liên hợp của tử và mẫu.
Ví dụ 6 : Tính các giới hạn sau:
a)
lim 1
x
x x

b)
4 24
lim 16 3 1 4 2
x
x x x

c)
2 2
lim 1 2
x
x x x x

d)
3 3 2 2
lim 1 1
x
x x x x

Giải
a)
1 1
1
lim 1 lim lim 0
1 1
x x x
x x x x
x x
x x x x
  
b)
4 2
4 24
16 3 1 (4 2)
lim
16 3 1 4 2
x
x x x
x x x

4 2 2
4 2 4 24
16 3 1 (4 2)
lim
16 3 1 4 2 16 3 1 4 2
x
x x x
x x x x x x

2
4 2 4 24
16 3 3
lim
16 3 1 4 2 16 3 1 4 2
x
x x
x x x x x x

c)
2 2 2
2 2
2 1 2 ( 1)( )
lim
1 2
x
x x x x x
x x x x

2
4 3 2 2
2 2 2 2 2
4( ) 2 1
lim
1 2 2 ( 1)( ) 2 1
x
x x x x x x
x x x x x x x x x

2
4 3 2 2
2 2 2 2 2
4( ) 2 1
lim
1 2 2 ( 1)( ) 2 1
x
x x x x x x
x x x x x x x x x

3 2
2 2 2 2 2
8 7 2 1 1
lim
2
1 2 2 ( 1)( ) 2 1
x
x x x
x x x x x x x x x

Giới hạn hàm số Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Chương V: Giới hạn Page 8
d)
3 3 2 2
lim 1 lim 1
x x
x x x x x x M N
 
2
33 2 2 3 2 2
3
1 1
lim
3
( 1) . 1
x
x
M
x x x x x x

2
2
1
1
1 1
lim lim
2
1 1
1
1 1
x x
x
x
N
x x x
x x
 
3 3 2 2
1
lim 1 1
6
x
x x x x

DẠNG 5: Giới hạn 1 bên
Phương pháp: Áp dụng định lý giới hạn của một tích và một thương
Ví dụ 7 : Tính các giới hạn sau
a)
2 3
0
1 2
lim
x
x x
b)
3 2
1
lim
1 1
x
x x
x x
c)
3
3
lim
3
x
x
x
Giải
a)
2 3 3
0 0
1 2 2
lim lim
x x
x
x x x
0
lim 2 2 0
x
x
Khi
3
0 0 0
x x x
Vậy
3
0
2
lim
x
x
x

.
b)
2
3 2
2
1 1 1
1
1
lim lim lim
1 1
1 1 1
1 1
x x x
x x
x x x x
x x
x x
x x
1
lim 1.
1 1
x
x
x
c)
3 3
3 3
3 3
3
3
lim lim 1
3 3
3 3
lim lim
3 3
3
3
lim lim 1
3 3
x x
x x
x x
x
x
x x
x x
x x
x
x
x x
Vậy không tồn tại giới hạn trên.
DẠNG 6 : Giới hạn lượng giác – phần nâng cao
Phương pháp : Ta biến đổi về dạng
0 0
sin
lim lim 1
sin
x x
x x
x x
Hệ quả: 1)
0 0
tan
lim lim 1
tan
x x
x x
x x
2) Nếu
0 0
sin ( )
lim ( ) 0 lim 1
( )
x x x x
u x
u x
u x
và
0
tan ( )
lim 1
( )
x x
u x
u x
.
Giới hạn hàm số Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Chương V: Giới hạn Page 9
Ví dụ 8 : Tính các giới hạn sau:
a)
2
0
1 cos
lim
x
ax
x
b)
0
1 sin cos
lim
1 sin cos
x
mx mx
nx nx
c)
2
0
1 cos .cos 2 .cos3
lim
x
x x x
x
d)
0
1 cos 2
lim
3
2sin
2
x
x
x
Giải
a) :
2
2
2
0 0
2sin sin
2 2
lim lim
2 2
2
x x
ax ax
a a
ax
x
.
b) Ta có:
2
2
2sin 2sin cos
1 sin cos
2 2 2
1 sin cos
2sin 2sin cos
2 2 2
mx mx mx
mx mx
nx nx nx
nx nx
sin sin cos
2 2 2 2
. .
sin sin cos
2 2 2 2
mx nx mx mx
m
mx nx nx nx
n
0 0 0 0
sin sin cos
1 sin cos
2 2 2 2
lim lim .lim .lim
1 sin cos
sin sin cos
2 2 2 2
x x x x
mx nx mx mx
mx mx m m
mx nx nx nx
nx nx n n
.
c) Ta có
2
1 cos .cos 2 .cos 3x x x
x
2
1 cos cos cos 2 (1 cos3 ) cos (1 cos 2 )x x x x x x
x
2 2 2
1 cos 1 cos3 1 cos 2
cos .cos 2 cos
x x x
x x x
x x x
2 2 2 2
0 0 0 0
1 cos .cos 2 .cos3 1 cos 1 cos3 1 cos 2
lim lim lim cos .cos 2 lim cos
3
x x x x
x x x x x x
x x x
x x x x
d) Ta có:
2
2
0 0 0 0
3
sin
1 cos 2 sin sin 3
2
lim lim lim ( ) . lim 0
3 3 3
2
2sin sin
2 2 2
x x x x
x
x x x
x
x x x
x
.
Giới hạn hàm số Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Chương V: Giới hạn Page 10
D. BÀI TẬP TRÁC NGHIỆM
Câu 1: Giá trị
5
lim
3 2
x
x
bằng:
A.
0
. B.
1
. C.
5
3
. D.

.
Câu 2: Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của
2
3
1
2 1
lim
2 2
x
x x
x
là:
A.

. B.
0
. C.
1
2
. D.

.
Câu 3: Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của
3 2
5
1
2 1
lim
2 1
x
x x
x
là:
A.
2
. B.
1
2
. C.
1
2
. D.
2
.
Câu 4: Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của
2
0
2
lim cos
x
x
nx
là:
A. Không tồn tại. B.
0
. C.
1
. D.

.
Câu 5:
2
2
2 1
lim
3
x
x
x
bằng:
A.
2
. B.
1
3
. C.
1
3
. D.
2
.
Câu 6: Cho hàm số
2
3
4 3
( )
2 1 2
x x
f x
x x
. Chọn kết quả đúng của
2
lim ( )
x
f x
:
A.
5
9
. B.
5
3
. C.
5
9
. D.
2
9
.
Câu 7: Cho hàm số
2
4 2
1
( )
2 3
x
f x
x x
. Chọn kết quả đúng của
lim ( )
x
f x

:
A.
1
2
. B.
2
2
. C.
0
. D.

.
Câu 8:
2
1 3
lim
2 3
x
x
x

bằng:
A.
3 2
2
. B.
2
2
. C.
3 2
2
. D.
2
2
.
Câu 9: Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của
cos 5
lim
2
x
x
x

là:
Giới hạn hàm số Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Chương V: Giới hạn Page 11
A.

. B.
0
. C.
1
2
. D.

.
Câu 10: Giá tri đúng của
3
3
lim
3
x
x
x
A. Không tồn tại. B.
0
. C.
1
. D.

.
Câu 11:
2
2
3 5sin 2 cos
lim
2
x
x x x
x

bằng:
A.

. B.
0
. C.
3
. D.

.
Câu 12: Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của
4
3 2
8
lim
2 2
x
x x
x x x

là:
A.
21
5
. B.
21
5
. C.
24
5
. D.
24
5
.
Câu 13:
3 2
1
lim
1 1
x
x x
x x
bằng:
A.
1
. B.
0
. C.
1
. D.

.
Câu 14:
2
2
1
1
lim
1
x
x x
x
bằng:
A. –. B. –1. C. 1. D. +.
Câu 15: Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của
5 3
lim 4 3 1
x
x x x

là:
A.

. B.
0
. C.
4
. D.

.
Câu 16: Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của
4 3 2
lim
x
x x x x

là:
A.

. B.
0
. C.
1
. D.

.
Câu 17:
2
1
3
lim
2 1
x
x x
x
bằng:
A.
3
. B.
1
2
. C.
1
. D.

.
Câu 18: Cho hàm số
4 2
1
2
1
x
f x x
x x
. Chọn kết quả đúng của
lim
x
f x

:
A.
0
. B.
1
2
.
C.
1
. D. Không tồn tại.
Câu 19: Cho hàm số
2
3 khi 2
1 khi 2
x x
f x
x x
. Chọn kết quả đúng của
2
lim
x
f x
:
A.
1
. B.
0
.
Giới hạn hàm số Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Chương V: Giới hạn Page 12
C.
1
. D. Không tồn tại.
Câu 20: Chọn kết quả đúng của
2 3
0
1 2
lim
x
x x
:
A.

. B.
0
.
C.

. D. Không tồn tại.
Câu 21: Cho hàm số . Chọn kết quả đúng của
1
lim
x
f x
:
A.

. B.
2
3
. C.
2
3
. D.

.
Câu 22: Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
I
f x
liên tục trên đoạn
;a b
và
. 0
f a f b
thì tồn tại ít nhất một số
;c a b
sao cho
0
f c
II
f x
liên tục trên đoạn
;a b
và trên
;a b
nhưng không liên tục
;a c
A. Chỉ
I
. B. Chỉ
II
.
C. Cả
I
và
II
đúng. D. Cả
I
và
II
sai.
Câu 23: Cho hàm số
2
3
9
x
f x
x
. Giá trị đúng của
3
lim
x
f x
là:
A.
.
B.
0.
C.
6.
D.
.
Câu 24:
3
2
2
4 1
lim
3 2
x
x
x x
bằng:
A
.
B.
11
.
4
C.
11
.
4
. D.
.
Câu 25: Giá trị đúng của
4
4
7
lim
1
x
x
x

là:
A.
1.
B.
1.
C.
7.
D.
.
1
1
1
1
)(
3
x
x
xf
Giới hạn hàm số Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Chương V: Giới hạn Page 13
HƯỚNG DẪN GIẢI
BẢNG ĐÁP ÁN
1.A
2.B
3.A
4.B
5.D
6.B
7.C
8.A
9.B
10.A
11.B
12.C
13.C
14.D
15.A
16.D
17.A
18.A
19.C
20.C
21.A
22.B
23.B
24.B
25.B
Câu 1: Giá trị
5
lim
3 2
x
x

bằng:
A.
0
. B.
1
. C.
5
3
. D.

.
Lời giải
Chọn A.
Cách 1:
5
5
lim lim 0
2
3 2
3
x x
x
x
x

Cách 2: Bấm máy tính như sau:
5
3 2x
+ CACL +
9
10
x
và so đáp án (với máy
casio 570 VN Plus)
Cách 3: Dùng chức lim của máy VNCALL 570ES Plus:
9
5
lim
3 2
10
x
x
và so
đáp án.
Câu 2: Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của
2
3
1
2 1
lim
2 2
x
x x
x

là:
A.

. B.
0
. C.
1
2
. D.
.
Lời giải
Chọn B.
Cách 1:
2
3
1
2 1
lim
2 2
x
x x
x

2
2
1
1
lim
2 1 1
x
x
x x x
2
1
1
lim 0
2 1
x
x
x x
Cách 2: Bấm máy tính như sau:
2
3
2 1
2 2
x x
x
+ CACL +
9
1 10
x
và so đáp án.
Cách 3: Dùng chức lim của máy VNCALL 570ES Plus:
2
3
9
2 1
lim
2 2
1 10
x x
x
x
và so đáp án.
Câu 3: Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của
3 2
5
1
2 1
lim
2 1
x
x x
x
là:
Giới hạn hàm số Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Chương V: Giới hạn Page 14
A.
2
. B.
1
2
. C.
1
2
. D.
2
.
Lời giải
Chọn A.
Cách 1:
3 2
3 2
5
5
1
1 2. 1 1
2 1
lim 2
2 1
2 1 1
x
x x
x
Cách 2: Bấm máy tính như sau:
3 2
5
2 1
2 1
x x
x
+ CACL +
9
1 10
x
và so đáp
án.
Cách 3: Dùng chức lim của máy VNCALL 570ES Plus:
3 2
5
9
2 1
lim
2 1
1 10
x x
x
x
và so đáp án.
Câu 4: Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của
2
0
2
lim cos
x
x
nx
là:
A. Không tồn tại. B.
0
. C.
1
. D.

.
Lời giải
Chọn B.
Cách 1:
2 2
2 2
0 cos 1 0 cos
x x
nx nx
Mà
2
0
lim 0
x
x
nên
2
0
2
lim cos 0
x
x
nx
Cách 2: Bấm máy tính như sau: Chuyển qua chế độ Rad +
2
2
cos
x
nx
+ CACL +
9
10
x
+
10
n
và so đáp án.
Câu 5:
2
2
2 1
lim
3
x
x
x

bằng:
A.
2
. B.
1
3
. C.
1
3
. D.
2
.
Lời giải
Chọn D.
Cách 1:
2
2
2 1
lim
3
x
x
x

2
2
1
2
lim 2
3
1
x
x
x

Cách 2: Bấm máy tính như sau:
2
2
2 1
3
x
x
+ CACL +
9
10
x
và so đáp án.
Giới hạn hàm số Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Chương V: Giới hạn Page 15
Cách 3: Dùng chức lim của máy VNCALL 570ES Plus:
2
2
9
2 1
lim
3
10
x
x
x
và so
đáp án.
Câu 6: Cho hàm số
2
3
4 3
( )
2 1 2
x x
f x
x x
. Chọn kết quả đúng của
2
lim ( )
x
f x
:
A.
5
9
. B.
5
3
. C.
5
9
. D.
2
9
.
Lời giải
Chọn B.
Cách 1:
2 2
3 3
2
4 3 4.2 3.2 5
lim
3
2 1 2 2.2 1 2 2
x
x x
x x
Cách 2: Bấm máy tính như sau:
2
3
4 3
2 1 2
x x
x x
+ CACL +
9
2 10
x
và so
đáp án.
Cách 3: Dùng chức lim của máy VNCALL 570ES Plus:
2
3
9
4 3
lim
2 1 2
2 10
x x
x x
x
và so đáp án.
Câu 7: Cho hàm số
2
4 2
1
( )
2 3
x
f x
x x
. Chọn kết quả đúng của
lim ( )
x
f x

:
A.
1
2
. B.
2
2
. C.
0
. D.
.
Lời giải
Chọn C.
Cách 1:
2
4 2
1
lim
2 3
x
x
x x

2 4
2 4
1 1
lim 0
1 3
2
x
x x
x x

Cách 2: Bấm máy tính như sau:
2
4 2
1
2 3
x
x x
+ CACL +
9
10
x
và so đáp án.
Cách 3: Dùng chức lim của máy VNCALL 570ES Plus:
2
4 2
9
1
lim
2 3
10
x
x x
x
và so đáp án.
Giới hạn hàm số Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Chương V: Giới hạn Page 16
Câu 8:
2
1 3
lim
2 3
x
x
x

bằng:
A.
3 2
2
. B.
2
2
. C.
3 2
2
. D.
2
2
.
Lời giải
Chọn A.
Cách 1:
2
2
2
1
3
1 3 3 2
lim lim
2
3
2 3
2
x x
x
x
x
x
 
Cách 2: Bấm máy tính như sau:
2
1 3
2 3
x
x
+ CACL +
9
10
x
và so đáp án.
Cách 3: Dùng chức lim của máy VNCALL 570ES Plus:
2
9
1 3
lim
2 3
10
x
x
x
và so đáp án.
Câu 9: Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của
cos5
lim
2
x
x
x

là:
A.

. B.
0
. C.
1
2
. D.

.
Lời giải
Chọn B.
Cách 1:
cos5 1
0 cos5 1 0 , 0
2 2
x
x x
x x
Mà
1
lim 0
2
x
x

nên
cos5
lim 0
2
x
x
x

Cách 2: Bấm máy tính như sau: Chuyển qua chế độ Rad +
cos5
2
x
x
+ CACL +
9
10
x
và so đáp án.
Cách 3: Dùng chức lim của máy VNCALL 570ES Plus: chuyển chế độ Rad +
9
cos5
lim
2
10
x
x
x
và so đáp án.
Câu 10: Giá tri đúng của
3
3
lim
3
x
x
x
A. Không tồn tại. B.
0
. C.
1
. D.

.
Lời giải
Chọn A.
Giới hạn hàm số Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Chương V: Giới hạn Page 17
3 3
3 3
3 3
3
3
lim lim 1
3 3
3 3
lim lim
3 3
3
3
lim lim 1
3 3
x x
x x
x x
x
x
x x
x x
x x
x
x
x x
Vậy không tồn tại giới hạn trên.
Câu 11:
2
2
3 5sin 2 cos
lim
2
x
x x x
x

bằng:
A.

. B.
0
. C.
3
. D.

.
Lời giải
Chọn B.
2 2
2 2 2 2
3 5sin 2 cos 3 5sin 2 cos
lim lim lim lim
2 2 2 2
x x x x
x x x x x x
x x x x
   
1
2
2
3
3
lim lim 0
2
2
1
x
x
x
x
A
x
x


2 2
2 2 2
5 5sin 2 5
lim 0 lim lim 0 0
2 2 2
x x x
x
A A
x x x
  
2
3 3
2 2 2
0 cos 1
lim 0 lim lim 0 0
2 2 2
x x x
x
A A
x x x
  
Vậy
2
2
3 5sin 2 cos
lim 0
2
x
x x x
x

.
Câu 12: Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của
4
3 2
8
lim
2 2
x
x x
x x x

là:
A.
21
5
. B.
21
5
. C.
24
5
. D.
24
5
.
Lời giải
Chọn C.
4
3 2
8
lim
2 2
x
x x
x x x

thành
4
3 2
2
8
lim
2 2
x
x x
x x x
2 2
4
3 2
2 2
2 2 2
2 2 4 2 4
8 24
lim lim lim .
2 2 5
2 1 1
x x x
x x x x x x x
x x
x x x
x x x
Câu 13:
3 2
1
lim
1 1
x
x x
x x
bằng:
A.
1
. B.
0
. C.
1
. D.

.
Lời giải
Chọn C.
Giới hạn hàm số Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Chương V: Giới hạn Page 18
2
3 2
2
1 1 1 1
1
1
lim lim lim lim 1.
1 1
1 1 1 1 1
1 1
x x x x
x x
x x x x x
x x
x x x
x x
Câu 14:
2
2
1
1
lim
1
x
x x
x
bằng:
A. –. B. –1. C. 1. D. +.
Lời giải
Chọn D.
2
2
1
1
lim
1
x
x x
x

vì
2
1
lim 1 1 0
x
x x
và
2 2
1
lim 1 0; 1 0
x
x x
.
Câu 15: Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của
5 3
lim 4 3 1
x
x x x

là:
A.

. B.
0
. C.
4
. D.
.
Lời giải
Chọn A.
5 3 5
2 4 5
3 1 1
lim 4 3 1 lim 4 .
x x
x x x x
x x x
 
.
Câu 16: Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của
4 3 2
lim
x
x x x x

là:
A.

. B.
0
. C.
1
. D.

.
Lời giải
Chọn D.
4 3 2 4
2 3
1 1 1
lim lim 1 .
x x
x x x x x
x x x
 

Câu 17:
2
1
3
lim
2 1
x
x x
x
bằng:
A.
3
. B.
1
2
. C.
1
. D.

.
Lời giải
Chọn A.
2
2 2 2
1 1 1 1
1 3 1 3 1 3
1 1 1
3
lim lim lim lim 3.
1 1
2 1 2 1
2 2
x x x x
x x
x x
x x x x x x
x x
x
x x
Câu 18: Cho hàm số
4 2
1
2
1
x
f x x
x x
. Chọn kết quả đúng của
lim
x
f x

:
Giới hạn hàm số Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Chương V: Giới hạn Page 19
A.
0
. B.
1
2
.
C.
1
. D. Không tồn tại.
Lời giải
Chọn A.
2 3 4
4 2 4 2
2 4
1 1 2
1 2
1
lim lim 2 lim lim 0
1 1
1 1
1
x x x x
x x
x
x x x
f x x
x x x x
x x
   
.
Câu 19: Cho hàm số
2
3 khi 2
1 khi 2
x x
f x
x x
. Chọn kết quả đúng của
2
lim
x
f x
:
A.
1
. B.
0
.
C.
1
. D. Không tồn tại.
Lời giải
Chọn C.
Ta có
2
2 2
lim lim 3 1
x x
f x x
2 2
lim lim 1 1
x x
f x x
Vì
2 2
lim lim 1
x x
f x f x
nên
2
lim 1
x
f x
.
Câu 20: Chọn kết quả đúng của
2 3
0
1 2
lim
x
x x
:
A.

. B.
0
.
C.
. D. Không tồn tại.
Lời giải
Chọn C.
2 3 3
0 0
1 2 2
lim lim
x x
x
x x x
0
lim 2 2 0
x
x
Khi
3
0 0 0
x x x
Vậy
3
0
2
lim
x
x
x

.
Câu 21: Cho hàm số . Chọn kết quả đúng của
1
lim
x
f x
:
A.

. B.
2
3
. C.
2
3
. D.
.
Lời giải
Chọn A.
1
1
1
1
)(
3
x
x
xf
Giới hạn hàm số Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Chương V: Giới hạn Page 20
2
3
1 1
lim lim
1
x x
x x
f x
x
2
1
lim 2
x
x x
Khi
3
1 1 1 0
x x x
Vậy
1
lim
x
f x

.
Câu 22: Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
I
f x
liên tục trên đoạn
;a b
và
. 0
f a f b
thì tồn tại ít nhất một số
;c a b
sao cho
0
f c
II
f x
liên tục trên đoạn
;a b
và trên
;a b
nhưng không liên tục
;a c
A. Chỉ
I
. B. Chỉ
II
.
C. Cả
I
và
II
đúng. D. Cả
I
và
II
sai.
Câu 23: Cho hàm số
2
3
9
x
f x
x
. Giá trị đúng của
3
lim
x
f x
là:
A.
.
B.
0.
C.
6.
D.
.
Lời giải
Chọn B
2
2
3 3
3
3
lim lim
3 3
9
x x
x
x
x x
x
.
3
3
lim 0
3
x
x
x
.
Câu 24:
3
2
2
4 1
lim
3 2
x
x
x x

bằng:
A
.
B.
11
.
4
C.
11
.
4
. D.
.
Lời giải
Chọn B
3
2
2
4 1 11
lim
3 2 4
x
x
x x
.
Câu 25: Giá trị đúng của
4
4
7
lim
1
x
x
x

là:
A.
1.
B.
1.
C.
7.
D.
.
Lời giải
Chọn B
4
4
4
4
7
1
7
lim lim 1
1
1
1
x x
x
x
x
x
 
.
Hàm số liên tục Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Page 1
BÀI 3: HÀM SỐ LIÊN TỤC
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Hàm số liên tục
a) Cho hàm số
y f x
xác định trên
;a b
và
0
;x a b
. Hàm số
y f x
được gọi
là liên tục tại
0
x
khi và chỉ khi
0
0
lim
x x
f x f x
Chú ý:
Một hàm số không liên tục tại điểm
0
x
được gọi là gián đoạn tại điểm đó.
b) Hàm số
y f x
liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc
khoảng đó.
c) Hàm số
y f x
liên tục trên đoạn
;a b
nếu nó liên tục trên khoảng
;a b
và
lim
x a
f x f a
;
lim
x b
f x f b
Chú ý:
Đồ thị của một hàm số liên tục là một “ đường liền” trên khoảng đó.
2. Các định lí:
a) Định lí 1:
- Hàm số đa thức liên tục trên toàn tập số thực R.
- Hàm số phân thức hữu tỉ (tức là thương của hai đa thức), hàm số lượng giác
liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.
b) Định lí 2:
Giả sử
y f x
và
y g x
là hai hàm số liên tục tại
0
x
. Khi đó:
- Các hàm số
f x g x
,
, .
f x g x f x g x
cũng liên tục tại
0
x
- Hàm số
f x
g x
liên tục tại
0
x
nếu
0
0
g x
Hàm số liên tục Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Page 2
c) Định lí 3:
Nếu hàm số
y f x
liên tục trên đoạn
;a b
và
. 0
f a f b
thì tồn tại ít
nhất một điểm
;c a b
sao cho
0
f c
.
Mệnh đề tương đương:
Cho hàm số
y f x
liên tục trên đoạn
;a b
và
. 0
f a f b
. Khi đó phương
trình
0
f x
có ít nhất một nghiệm trong khoảng
;a b
.
Mở rộng:
Nếu
y f x
liên tục trên
;a b
. Đặt
;
min ,
a b
m f x
;
ax
a b
M m f x
. Khi đó
với mọi
;T m M
luôn tồn tại ít nhất một số
;c a b
sao cho
f c T
.
B. CÁC DẠNG TOÁN Các dạng toán xét tính liên tục của hàm số
Dạng 1: Cho hàm số
1 0
2 0
,
,
f x khi x x
f x
f x khi x x
- Tìm tập xác định của
f x
và tính
0 2 0
f x f x
- Tính
0 0
1
lim lim
x x x x
f x f x
- So sánh
0
lim
x x
f x
với
0
f x
:
+ Nếu
0
lim
x x
f x
=
0
f x
thì hàm số đã cho liên tục tại
0
x
.
+ Nếu
0
lim
x x
f x
0
f x
thì hàm số đã cho không liên tục tại
0
x
(hay
hàm số gián đoạn tại
0
x
).
Hàm số liên tục Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Page 3
Dạng 2: Cho hàm số
1 0
2 0
,
,
f x khi x x
f x
f x khi x x
- Tìm tập xác định của
f x
và tính
0 2 0
f x f x
- Tính
0 0
2
lim lim
x x x x
f x f x
và
0 0
1
lim lim
x x x x
f x f x
- So sánh
0
lim
x x
f x
,
0
lim
x x
f x
,
0
f x
rồi kết luận.
+ Nếu
0
lim
x x
f x
=
0
lim
x x
f x
=
0
f x
thì hàm số đã cho liên tục tại
0
x
.
+ Nếu ngược lại, thì hàm số đã cho gián đoạn tại
0
x
.
Dạng 3: Bài toán về số nghiệm của phương trình
Cho hàm số
y f x
liên tục trên đoạn
;a b
và
. 0
f a f b
. Khi đó phương
trình
0
f x
có ít nhất một nghiệm trong khoảng
;a b
.
Ví dụ 1: Cho hàm số
2
1
1
1
1
x
x
f x
x
a x
, với
a
là hằng số.
Xét tính liên tục của hàm số tại
1x
.
Giải
Hàm số xác định với mọi
x R
Ta có:
1
f a
2
1 1 1
1 1
1
lim lim lim 1 2
1 1
x x x
x x
x
x
x x
1
lim 1 2
x
f x f a
Nếu
2
a
thì hàm số liên tục tại
1x
.
Hàm số liên tục Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Page 4
Nếu
2
a
thì hàm số không liên tục tại
1x
.
Ví dụ 2: Cho hàm số
2
ax 2 , 1
1, 1
x
f x
x x x
.
Xét tính liên tục của hàm số trên toàn trục số.
Giải:
1x
, ta có
ax 2
f x
hàm số liên tục trên R.
1x
, ta có
2
1f x x x
hàm số liên tục trên R.
1x
, ta có:
1 a+2
f
1 1
2
1 1
lim lim ax 2 2
lim lim 1 1
x x
x x
f x a
f x x x
1 1
lim lim 2 1 1
x x
f x f x a a
Nếu
1
a
thì hàm số liên tục tại
1x
Nếu
1
a
thì hàm số gián đoạn tại
1x
.
Vậy hàm số liên tục trên toàn trục số nếu
1
a
.
Hàm số liên tục trên
;1 1;
 
nếu
1
a
Ví dụ 3 : Chứng minh phương trình:
4 2
2x 4x 3 0
x
có ít nhất hai nghiệm thuộc
(
–1;1).
Giải:
Đặt
4 2
( ) 2x 4x 3f x x
( )f x
liên tục trên R
f
(–1) = 2,
f
(0) = –3
f
(–1).
f
(0) < 0 PT
( ) 0
f x
có ít nhất 1 nghiệm
1
( 1;0)
c
f
(0) = –3,
f
(1) = 4
(0). (1) 0
f f
PT
( ) 0
f x
có ít nhất 1 nghiệm
2
(0;1)
c
Mà
1 2
c c
PT
( ) 0
f x
có ít nhát hai nghiệm thuộc khoảng
( 1;1)
.
Hàm số liên tục Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Page 5
Ví dụ 4 : Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm với mọi
m
:
5 2 4
(9 5 ) ( 1) 1 0
m x m x
Giải:
Đặt
5 2 4
( ) (9 5 ) ( 1) 1
f x m x m x
( )f x
liên tục trên R.
2
5 3
(0) 1, (1)
2 4
f f m
(0). (1) 0
f f
Phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; 1) với mọi
m
Hàm số liên tục Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Page 6
C. BÀI TẬP TRÁC NGHIỆM
Câu 1: Cho hàm số
2
1
1
x
f x
x
và
2
2 2
f m
với
2
x
. Giá trị của
m
để
f x
liên tục tại
2
x
là:
A.
3
. B.
3
. C.
3
. D.
3
Câu 2: Cho hàm số
2
4
f x x
. Chọn câu đúng trong các câu sau:
(I)
f x
liên tục tại
2
x
.
(II)
f x
gián đoạn tại
2
x
.
(III)
f x
liên tục trên đoạn
2;2
.
A. Chỉ
I
và
III
. B. Chỉ
I
.
C. Chỉ
II
. D. Chỉ
II
và
III
Câu 3: Cho hàm số
2
3
1
3; 2
6
3 3;
x
x x
f x
x x
b x b
.
Tìm
b
để
f x
liên tục tại
3
x
.
A.
3
. B.
3
. C.
2 3
3
. D.
2 3
.
3
Câu 4: Cho hàm số
1
1
x
f x
x
. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
I
f x
gián đoạn tại
1.
x
II
f x
liên tục tại
1.
x
III
1
1
lim
2
x
f x
A. Chỉ
I
. B. Chỉ
I
.
C. Chỉ
I
và
III
. D. Chỉ
II
và
.III
Hàm số liên tục Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Page 7
Câu 5: Cho hàm số
2 8 2
2
2
0 2
x
x
f x
x
x
. Tìm khẳng định đúng trong các
khẳng định sau:
I
2
lim 0
x
f x
.
II
f x
liên tục tại
2.
x
III
f x
gián đoạn tại
2.
x
A. Chỉ
I
và
III
. B. Chỉ
I
và
II
.
C. Chỉ
I
. D. Chỉ
I
Câu 6: Cho hàm số
2
4 2 2
1 2
x x
f x
x
. Tìm khẳng định đúng trong các
khẳng định sau:.
I
f x
không xác định tại
3.
x
II
f x
liên tục tại
2.
x
III
2
lim 2
x
f x
A. Chỉ
I
. B. Chỉ
I
và
II
.
C. Chỉ
I
và
III
. D. Cả
; ;
I II III
đều sai.
Câu 7: Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
I
2
1
1
f x
x
liên tục trên
.
II
sin x
f x
x
có giới hạn khi
0.
x
III
2
9
f x x
liên tục trên đoạn
3;3
.
Hàm số liên tục Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Page 8
A. Chỉ
I
và
II
. B. Chỉ
II
và
III
.
C. Chỉ
II
. D. Chỉ
III
.
Câu 8: Cho hàm số
sin 5
0
5
2 0
x
x
f x
x
a x
. Tìm
a
để
f x
liên tục tại
0.
x
A.
1
. B.
1
. C.
2
. D.
2.
Câu 9: Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
I
f x
liên tục trên đoạn
;a b
và
. 0
f a f b
thì tồn tại ít nhất một số
;c a b
sao cho
0
f c
.
II
f x
liên tục trên đoạn
;a b
và trên
;b c
nhưng không liên tục
;a c
A. Chỉ
I
. B. Chỉ
II
.
C. Cả
I
và
II
đúng. D. Cả
I
và
II
sai.
Câu 10: Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
I.
f x
liên tục trên đoạn
;a b
và
. 0
f a f b
thì phương trình
0
f x
có nghiệm.
II.
f x
không liên tục trên
;a b
và
. 0
f a f b
thì phương trình
0
f x
vô nghiệm.
A. Chỉ I đúng. B. Chỉ II đúng.
C. Cả I và II đúng. D. Cả I và II sai.
Câu 11: Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
I
.
1
1
x
f x
x
liên tục với mọi
1x
.
II
.
sinf x x
liên tục trên
.
Hàm số liên tục Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Page 9
III
.
x
f x
x
liên tục tại
1x
.
A. Chỉ
I
đúng. B. Chỉ
I
và
II
.
C. Chỉ
I
và
III
. D. Chỉ
II
và
III
.
Câu 12: Cho hàm số
2
3
, 3
3
2 3 , 3
x
x
f x
x
x
. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng
định sau:
I
.
f x
liên tục tại
3
x
.
II
.
f x
gián đoạn tại
3
x
.
III
.
f x
liên tục trên
.
A. Chỉ
I
và
II
. B. Chỉ
II
và
III
.
C. Chỉ
I
và
III
. D. Cả
I
,
II
,
III
đều đúng.
Câu 13: Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
I
.
5 2
– 1
f x x x
liên tục trên
.
II
.
2
1
1
f x
x
liên tục trên khoảng
–1;1
.
III
.
2
f x x
liên tục trên đoạn
2;

.
A. Chỉ
I
đúng. B. Chỉ
I
và
II
.
C. Chỉ
II
và
III
. D. Chỉ
I
và
III
.
Hàm số liên tục Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Page 10
Câu 14: Cho hàm số
2
2
2
1 , 1
3 , 1
, 1
x x
f x x x
k x
. Tìm
k
để
f x
gián đoạn tại
1x
.
A.
2
k
. B.
2
k
. C.
2
k
. D.
1
k
.
Câu 15: Cho hàm số
3 9
, 0 9
, 0
3
, 9
x
x
x
f x m x
x
x
.
Tìm
m
để
f x
liên tục trên
0;

là.
A.
1
3
. B.
1
2
. C.
1
6
. D.
1
.
Câu 16: Cho hàm số .Khi đó hàm số
y f x
liên tục trên các
khoảng nào sau đây?
A.
3;2
. B.
2;

. C.
;3

. D.
2;3
.
Câu 17: Cho hàm số
3 2
–1000 0,01
f x x x
. Phương trình
0
f x
có nghiệm
thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây?
I.
1;0
. II.
0;1
. III.
1;2
.
A. Chỉ I. B. Chỉ I và II. C. Chỉ II. D. Chỉ III.
Câu 18: Cho hàm số
tan
, 0; ,
2
0 , 0
x
x x k k
f x
x
x
.
Hàm số
y f x
liên tục trên các khoảng nào sau đây?
A.
0;
2
. B.
;
4

.
65
1
)(
2
2
xx
x
xf
Hàm số liên tục Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Page 11
C.
;
4 4
. D.
;
 
.
Câu 19: Cho hàm số
2 2
2
, 2,
2 , 2
a x x a
f x
a x x
. Giá trị của
a
để
f x
liên tục
trên
là:
A.
1
và
2
. B.
1
và
–1
.
C.
–1
và
2
. D.
1
và
–2
.
Câu 20: Cho hàm số
2
3
, 1
2
, 0 1
1
sin , 0
x x
x
f x x
x
x x x
. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng
định sau:
A.
f x
liên tục trên
. B.
f x
liên tục trên
\ 0
.
C.
f x
liên tục trên
\ 1
. D.
f x
liên tục trên
\ 0;1
.
Hàm số liên tục Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Page 12
BẢNG ĐÁP ÁN
1.C 2.B 3.D 4.C 5.B 6.B 7.B 8.B 9.D 10.A
11.D 12.C 13.D 14.A 15.C 16.B 17.B. 18.A 19.D 20.A
Hướng dẫn giải
Câu 1: Cho hàm số
2
1
1
x
f x
x
và
2
2 2
f m
với
2
x
. Giá trị của
m
để
f x
liên
tục tại
2
x
là:
A.
3
. B.
3
. C.
3
. D.
3
Lời giải
Chọn C
Hàm số liên tục tại
2
x
2
lim 2
x
f x f
.
Ta có
2
2 2
1
lim lim 1 1
1
x x
x
x
x
.
Vậy
2
3
2 1
3
m
m
m
.
Câu 2: Cho hàm số
2
4
f x x
. Chọn câu đúng trong các câu sau:
(I)
f x
liên tục tại
2
x
.
(II)
f x
gián đoạn tại
2
x
.
(III)
f x
liên tục trên đoạn
2;2
.
A. Chỉ
I
và
III
. B. Chỉ
I
.
C. Chỉ
II
. D. Chỉ
II
và
III
Lời giải
Chọn B.
Ta có:
; 2 2;D
 
.
Hàm số liên tục Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Page 13
2
2 2
lim lim 4 0
x x
f x x
.
2 0
f
.
Vậy hàm số liên tục tại
2
x
.
Câu 3: Cho hàm số
2
3
1
3; 2
6
3 3;
x
x x
f x
x x
b x b
. Tìm
b
để
f x
liên tục tại
3
x
A.
3
. B.
3
. C.
2 3
3
. D.
2 3
.
3
Lời giải
Chọn D.
Hàm số liên tục tại
3
3 lim 3
x
x f x f
.
2
3
3
1 1
lim
6 3
x
x
x x
.
3 3
f b
.
Vậy:
1 1 2
3 3
3
3 3
b b
.
Câu 4: Cho hàm số
1
1
x
f x
x
. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
I
f x
gián đoạn tại
1.
x
II
f x
liên tục tại
1.
x
III
1
1
lim
2
x
f x
A. Chỉ
I
. B. Chỉ
I
.
C. Chỉ
I
và
III
. D. Chỉ
II
và
.III
Lời giải
Chọn C.
\ 1
D
Hàm số liên tục Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Page 14
1 1
1 1 1
lim lim
1 2
1
x x
x
x
x
Hàm số không xác định tại
1.
x
Nên hàm số gián đoạn tại
1.
x
.
Câu 5: Cho hàm số
2 8 2
2
2
0 2
x
x
f x
x
x
. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng
định sau:
I
2
lim 0
x
f x
.
II
f x
liên tục tại
2.
x
III
f x
gián đoạn tại
2.
x
A. Chỉ
I
và
III
. B. Chỉ
I
và
II
. C. Chỉ
I
. D. Chỉ
I
Lời giải
Chọn B.
2 2 2
2 8 2 2 8 4 2 2
lim lim lim 0
2
2 8 2 2 2 8 2
x x x
x x x
x
x x x
.
Vậy
2
lim 2
x
f x f
nên hàm số liên tục tại
2.
x
.
Câu 6: Cho hàm số
2
4 2 2
1 2
x x
f x
x
. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng
định sau:.
I
f x
không xác định tại
3.
x
II
f x
liên tục tại
2.
x
III
2
lim 2
x
f x
A. Chỉ
I
. B. Chỉ
I
và
II
.
C. Chỉ
I
và
III
. D. Cả
; ;
I II III
đều sai.
Lời giải
Hàm số liên tục Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Page 15
Chọn B.
2; 2
D
f x
không xác định tại
3.
x
2
2
lim 4 0
x
x
;
2 0
f
. Vậy hàm số liên tục tại
2.
x
2
2 2
lim lim 4 0
x x
f x x
;
2
lim 1
x
f x
. Vậy không tồn tại giới hạn của hàm số
khi
2.
x
.
Câu 7: Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
I
2
1
1
f x
x
liên tục trên
.
II
sin x
f x
x
có giới hạn khi
0.
x
III
2
9
f x x
liên tục trên đoạn
3;3
.
A. Chỉ
I
và
II
. B. Chỉ
II
và
III
.
C. Chỉ
II
. D. Chỉ
III
.
Lời giải
Chọn B.
Dễ thấy kđ (I) sai, Kđ (II) là lí thuyết.
Hàm số:
2
9
f x x
liên tục trên khoảng
3;3
. Liên tục phải tại
3
và liên tục
trái tại
3
.
Nên
2
9
f x x
liên tục trên đoạn
3;3
.
Câu 8: Cho hàm số
sin 5
0
5
2 0
x
x
f x
x
a x
. Tìm
a
để
f x
liên tục tại
0.
x
A.
1
. B.
1
. C.
2
. D.
2.
Lời giải
Chọn B.
Ta có:
0
sin 5
lim 1
5
x
x
x
;
0 2
f a
.
Hàm số liên tục Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Page 16
Vậy để hàm số liên tục tại
0
x
thì
2 1 1
a a
.
Câu 9: Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
I
f x
liên tục trên đoạn
;a b
và
. 0
f a f b
thì tồn tại ít nhất một số
;c a b
sao cho
0
f c
.
II
f x
liên tục trên đoạn
;a b
và trên
;b c
nhưng không liên tục
;a c
A. Chỉ
I
. B. Chỉ
II
.
C. Cả
I
và
II
đúng. D. Cả
I
và
II
sai.
Lời giải
Chọn D.
KĐ 1 sai.
KĐ 2 sai.
Câu 10: Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
I.
f x
liên tục trên đoạn
;a b
và
. 0
f a f b
thì phương trình
0
f x
có
nghiệm.
II.
f x
không liên tục trên
;a b
và
. 0
f a f b
thì phương trình
0
f x
vô nghiệm.
A. Chỉ I đúng. B. Chỉ II đúng.
C. Cả I và II đúng. D. Cả I và II sai.
Lời giải
Chọn A.
Câu 11: Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
Hàm số liên tục Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Page 17
I
.
1
1
x
f x
x
liên tục với mọi
1x
.
II
.
sinf x x
liên tục trên
.
III
.
x
f x
x
liên tục tại
1x
.
A. Chỉ
I
đúng. B. Chỉ
I
và
II
.
C. Chỉ
I
và
III
. D. Chỉ
II
và
III
.
Lời giải
Chọn D.
Ta có
II
đúng vì hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định.
Ta có
III
đúng vì
, khi 0
, khi 0
x
x
x
x
f x
x
x
x
x
.
Khi đó
1 1
lim lim 1 1
x x
f x f x f
.
Vậy hàm số
x
y f x
x
liên tục tại
1x
.
Câu 12: Cho hàm số
2
3
, 3
3
2 3 , 3
x
x
f x
x
x
. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định
sau:
I
.
f x
liên tục tại
3
x .
II
.
f x
gián đoạn tại
3
x .
Hàm số liên tục Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Page 18
III
.
f x
liên tục trên
.
A. Chỉ
I
và
II
. B. Chỉ
II
và
III
.
C. Chỉ
I
và
III
. D. Cả
I
,
II
,
III
đều đúng.
Lời giải
Chọn C.
Với
3
x ta có hàm số
2
3
3
x
f x
x
liên tục trên khoảng
; 3
 và
3;

,
1
.
Với
3
x ta có
3 2 3
f
và
2
3 3
3
lim lim 2 3 3
3
x x
x
f x f
x
nên
hàm số liên tục tại
3
x ,
2
Từ
1
và
2
ta có hàm số liên tục trên
.
Câu 13: Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
I
.
5 2
– 1
f x x x
liên tục trên
.
II
.
2
1
1
f x
x
liên tục trên khoảng
–1;1
.
III
.
2
f x x
liên tục trên đoạn
2;

.
A. Chỉ
I
đúng. B. Chỉ
I
và
II
.
C. Chỉ
II
và
III
. D. Chỉ
I
và
III
.
Lời giải
Chọn D.
Hàm số liên tục Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Page 19
Ta có
I
đúng vì
5 2
1
f x x x
là hàm đa thức nên liên tục trên
.
Ta có
III
đúng vì
2
f x x
liên tục trên
2;

và
2
lim 2 0
x
f x f
nên hàm số liên tục trên
2;

.
Câu 14: Cho hàm số
2
2
2
1 , 1
3 , 1
, 1
x x
f x x x
k x
. Tìm
k
để
f x
gián đoạn tại
1x
.
A.
2
k
. B.
2
k
. C.
2
k
. D.
1
k
.
Lời giải
Chọn A.
TXĐ:
D
.
Với
1x
ta có
2
1
f k
Với
1x
ta có
2
1 1
lim lim 3 4
x x
f x x
;
2
1 1
lim lim 1 4
x x
f x x
suy ra
1
lim 4
x
f x
.
Vậy để hàm số gián đoạn tại
1x
khi
2
1
lim
x
f x k
2
4
k
2
k
.
Câu 15: Cho hàm số
3 9
, 0 9
, 0
3
, 9
x
x
x
f x m x
x
x
. Tìm
m
để
f x
liên tục trên
0;

là.
A.
1
3
. B.
1
2
. C.
1
6
. D.
1
.
Lời giải
Hàm số liên tục Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Page 20
Chọn C.
TXĐ:
0;D

.
Với
0
x
ta có
0
f m
.
Ta có
0 0
3 9
lim lim
x x
x
f x
x
0
1
lim
3 9
x
x
1
6
.
Vậy để hàm số liên tục trên
0;

khi
0
lim
x
f x m
1
6
m
.
Câu 16: Cho hàm số .Khi đó hàm số
y f x
liên tục trên các khoảng
nào sau đây?
A.
3;2
. B.
2;

. C.
;3

. D.
2;3
.
Lời giải
Chọn B.
Hàm số có nghĩa khi
2
3
5 6 0
2
x
x x
x
.
Vậy theo định lí ta có hàm số
2
2
1
5 6
x
f x
x x
liên tục trên khoảng
; 3
;
3; 2
và
2;

.
Câu 17: Cho hàm số
3 2
–1000 0,01
f x x x
. Phương trình
0
f x
có nghiệm thuộc
khoảng nào trong các khoảng sau đây?
I.
1;0
. II.
0;1
. III.
1;2
.
A. Chỉ I. B. Chỉ I và II. C. Chỉ II. D. Chỉ III.
Lời giải
65
1
)(
2
2
xx
x
xf
Hàm số liên tục Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Page 21
Chọn B.
TXĐ:
D
.
Hàm số
3 2
1000 0,01
f x x x
liên tục trên
nên liên tục trên
1;0
,
0;1
và
1;2
,
1
.
Ta có
1 1000,99
f
;
0 0,01
f
suy ra
1 . 0 0
f f
,
2
.
Từ
1
và
2
suy ra phương trình
0
f x
có ít nhất một nghiệm trên khoảng
1;0
.
Ta có
0 0,01
f
;
1 999,99
f
suy ra
0 . 1 0
f f
,
3
.
Từ
1
và
3
suy ra phương trình
0
f x
có ít nhất một nghiệm trên khoảng
0;1
.
Ta có
1 999,99
f
;
2 39991,99
f
suy ra
1 . 2 0
f f
,
4
.
Từ
1
và
4
ta chưa thể kết luận về nghiệm của phương trình
0
f x
trên
khoảng
1;2
.
Câu 18: Cho hàm số
tan
, 0; ,
2
0 , 0
x
x x k k
f x
x
x
.
Hàm số
y f x
liên tục trên các khoảng nào sau đây?
A.
0;
2
. B.
;
4

.
C.
;
4 4
. D.
;
 
.
Lời giải
Chọn A.
Hàm số liên tục Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Page 22
TXĐ:
\ ,
2
D k k
.
Với
0
x
ta có
0 0
f
.
0 0
tan
lim lim
x x
x
f x
x
0 0
sin 1
lim .lim
cos
x x
x
x x
1
hay
0
lim 0
x
f x f
.
Vậy hàm số gián đoạn tại
0
x
.
Câu 19: Cho hàm số
2 2
2
, 2,
2 , 2
a x x a
f x
a x x
.
Giá trị của
a
để
f x
liên tục trên
là:
A.
1
và
2
. B.
1
và
–1
.
C.
–1
và
2
. D.
1
và
–2
.
Lời giải
Chọn D.
TXĐ:
D
.
Với
2
x
ta có hàm số
2 2
f x a x
liên tục trên khoảng
2;

.
Với
2
x
ta có hàm số
2
2
f x a x
liên tục trên khoảng
; 2
 .
Với
2
x
ta có
2
2 2f a
.
2
2 2
lim lim 2 2 2
x x
f x a x a
;
2 2 2
2 2
lim lim 2
x x
f x a x a
.
Để hàm số liên tục tại
2
x
2 2
lim lim 2
x x
f x f x f
2
2 2 2
a a
2
2 0
a a
1
2
a
a
.
Hàm số liên tục Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Page 23
Vậy
1
a
hoặc
2
a
thì hàm số liên tục trên
.
Câu 20: Cho hàm số
2
3
, 1
2
, 0 1
1
sin , 0
x x
x
f x x
x
x x x
.
Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
A.
f x
liên tục trên
. B.
f x
liên tục trên
\ 0
.
C.
f x
liên tục trên
\ 1
. D.
f x
liên tục trên
\ 0;1
.
Lời giải
Chọn A.
TXĐ:
TXĐ:
D
.
Với
1x
ta có hàm số
2
f x x
liên tục trên khoảng
1;

.
1
Với
0 1x
ta có hàm số
3
2
1
x
f x
x
liên tục trên khoảng
0;1
.
2
Với
0
x
ta có
sinf x x x
liên tục trên khoảng
;0

.
3
Với
1x
ta có
1 1
f
;
2
1 1
lim lim 1
x x
f x x
;
3
1 1
2
lim lim 1
1
x x
x
f x
x
Suy ra
1
lim 1 1
x
f x f
.
Vậy hàm số liên tục tại
1x
.
Với
0
x
ta có
0 0
f
;
3
0 0
2
lim lim 0
1
x x
x
f x
x
;
0 0
lim lim .sin
x x
f x x x
2
0 0
sin
lim . lim 0
x x
x
x
x
suy ra
0
lim 0 0
x
f x f
.
Hàm số liên tục Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Page 24
Vậy hàm số liên tục tại
0
x
.
4
Từ
1
,
2
,
3
và
4
suy ra hàm số liên tục trên
.
| 1/75
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

Giới hạn của dãy số Ths. Lê Hải Trung 0984735736
CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN
BÀI 1: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ A. LÝ THUYẾT I. Giới hạn 0 1. Định nghĩa:
Dãy số (u ) được gọi là có giới hạn bằng 0 khi n tiến ra dương vô cực nếu với n
mỗi số dương nhỏ tuỳ ý cho trước, mọi số hạng của dãy số , kể từ một số hạng nào
đó trở đi, đều có giá tri tuyệt dối nhỏ hơn số dương đó.
Kí hiệu: lim u  0 .Hay là: lim u  0 n n x0
2. Một số giới hạn đặc biệt 1  lim
 0 với k   *
 Nếu q  1 thì lim n q  0 k n n
II. Giới hạn hữu hạn 1. Định nghĩa:
Ta nói rằng dãy số (u ) được gọi là có giới hạn a nếu lim u a  .Khi đó ta n  0 n
viết: lim u a  lim u a  0 , n n
Dãy số (un) có giới hạn là số thực gọi là dãy số có giới hạn hữu hạn.
Chú ý: Nếu u c (với c là hằng số) thì lim u  lim c c n n n n
2. Một số định lí về giới hạn
Định lí 1. Nếu dãy số (un) thỏa u v kể từ số hạng nào đó trở đi và lim v  0 thì n n n lim u  0 . n
Định lí 2. Cho limu  ,
a lim v b . Ta có: n n
 lim(u v )  a b
 lim(u v )  a b n n n n u a
 lim(u .v )  . a b  lim n  (b  0) n n v b n
 Nếu u  0 n
 thì lim u a n n Chương IV: Giới hạn Page 1
Giới hạn của dãy số Ths. Lê Hải Trung 0984735736
3. Tổng của CSN lùi vô hạn
Cho CSN (u ) có công bội q thỏa q  1 . Khi đó tổng n
S u u  ...  u  .... gọi là tổng vô hạn của CSN và 1 2 n u (1 nq ) u 1 1
S  lim S  lim  . n 1 q 1 q
III. Giới hạn vô cực 1. Định nghĩa:
Ta nói rằng dãy số (u ) được gọi là có giới hạn   với mỗi số dương tuỳ n
ý cho trước , mọi số hạng của dãy số , kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số dương đó .
Kí hiệu lim u   n
Chú ý lim u    lim u    . nn n n
4.2. Một số kết quả đặc biệt  lim k
n   với mọi k  0  lim n
q   với mọi q  1.
4.3.Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực.
Quy tắc 1: Nếu limu   , lim v   thì lim(u .v ) được cho như sau; n n n n lim u lim v u v n n lim( ) n n            
Quy tắc 2: Nếu limu   , lim v l thì lim(u .v ) được cho như sau; n n n n lim u Dấu của l u v n lim( ) n n             Chương IV: Giới hạn Page 2
Giới hạn của dãy số Ths. Lê Hải Trung 0984735736
Quy tắc 3: Nếu limu l , lim v  0 và v  0 hoặc v  0 kể từ một số hạng nào dó trở n n n n u
đi thì lim n được coi như sau; vn Dấu của l Dấu của v u n lim n vn             B. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: Giới hạn 0
Phương pháp: Dể chứng minh dãy số (un) có lim u  0 ta chỉ ra dãy số (v n n) sao
u v kể từ số hạng nào đó trở đi và lim v  0 thì lim u  0 . n n n n
Chú ý : các dãy có giới hạn không được áp dụng 1  lim
 0 với k   * k n
 Nếu q  1 thì lim n q  0 n
Ví dụ 1: Chứng minh các dãy sau có giới hạn 0 n a) u n 3 n 1 cos nx b) u n n 1 Giải n n n 1 1 a) Ta có u     Mà lim  0  lim u  0 n 3 3 3 2 n 1 n 1 n n 2 n n cos nx 1 1 1 b) Ta có u    mà lim  0  lim u  0 n n 1 n 1 n n n n
Ví dụ 2: Cho dãy số (un) với u  . n 3n u 2 a) Chứng minh n 1   với mọi n  2 u 3 n Chương IV: Giới hạn Page 3
Giới hạn của dãy số Ths. Lê Hải Trung 0984735736
b) Chứng minh rằng dãy u có giới hạn 0 n Giải u n 1 3n n 1 n n 2 u 2 a) Ta có n 1   .     n 1   n 1 u 3  n 3n 3n 3 u 3 n n 2 n 1  u 2 2  2   2  b) Vì n   u uu  ...  u n n 1    n2   1 u 3 3  3   3 n 1   n 1  n 1  2  1 1  2 
lại có u   u  .  1     3 n  3  3 2  3  n 1  2  Có lim  0  lim u  0   2  3 n  
Dang 2: Dạng vô định  Phương pháp m m 1
a n a n   ...  aĐối với dãy 0 1 m u
, a  0, b  0 thì chia cả tử lẫn mẫu của phân n k k 1  0 0 b n b n  ...  b 0 1 k
thức cho lũy thừa lớn nhất của n ở tử m n hoặc mẫu k
n , việc này cũng như đặt thừa số chung cho m n hoặc mẫu k
n rồi rút gọn, khử dạng vô định. Kết quả: 0 khi m k   a a 0 lim u  
khi m k (dấu  hoặc  tùy theo dấu của 0 ) n b b 0  0
 khi m k
Đối với biểu thức chứa căn bậc hai, bậc ba thì cũng đánh giá bậc tử và mẫu để đặt thừa
số chung rồi đưa ra ngoài căn thức, việc này cũng như chia tử và mẫu cho lũy thừa số
lớn của n ở tử hoặc mẫu.
Đối với các biểu thức mũ thì chia tử và mẫu cho mũ có cơ số lớn nhất ở tử hoặc mẫu,
việc này cũng như đặt thừa số chung cho tử và mẫu số hạng đó.
Ví dụ 3 : Tính giới hạn n 1 2
n n  3n a) lim b) lim 2n  3 1 2n 2 n  2n 2 3 3
n 1  3n  2 c) lim d) lim 2 n  3n 1 4 4
2n n  2  n Giải Chương IV: Giới hạn Page 4
Giới hạn của dãy số Ths. Lê Hải Trung 0984735736  1  1 n 1   1 n 1  n  1 a) lim  lim  lim n  2n  3  3  3 2 n 2  2     n n  1 1 2 . n 1  3n 1  3
n n  3n n n 1 3 b) lim  lim  lim   1 1 2n 1 2n 1 0  2  2 n 2 n n 1 2 1 n  2n n n 1 c) Ta có: lim = lim  lim  2 n  3n 1 2 n  3n 1 1 1 3 1 3  2 n n  1 2  3 n  1  3   2 3 3 2 3
n 1  3n  2 3 n n   1 3 d) Ta có: lim = lim  . 4 4
2n n  2  n 4  1 2  2 1 4 n  2   1 3 4  n n  
Ví dụ 4 : Tính giới hạn n 1  n 1 4 5   n2 n 1 4.3  2.7  a) A  lim . b) B  lim 4n  5n n n 1 4  7  Giải n  4  4  5   n  5  4 
a) Chia cả tử và mẫu cho 5n ta có:  A  lim  5 ( do lim  0 ). n    4   5  1    5  n  4  2 36     7  7 2 b) Ta có: B  lim   . n  4 49   7    7 
Ví dụ 5 : Tính giới hạn
n 1 3  5  ...  (2n 1)
1 2  ...  n n a) A  lim b) B  lim 2 2n 1 3 2 2 2
1  2  ...  n  2n  1   1   1   1 1 1 1  c) C  lim 1 1 ... 1  d) D  lim    ...  2   2   2     2   3   n  1.2 2.3 3.4 n(n 1)   Giải a) Ta có: 2
1 3  5  ...  2n 1  n Chương IV: Giới hạn Page 5
Giới hạn của dãy số Ths. Lê Hải Trung 0984735736 2 n 1 1 Suy ra A  lim  lim  . 2 2n 1 1 2 2  2 n n(n 1)
n(n 1)(2n 1)
b) Ta có: 1 2  ...  n  ; 2 2 2
1  2  ...  n  2 6  1 2  n 1   n(n 1)  n  1  nn 1 Suy ra : 2 2 2 B  lim  lim 
n(n 1)(2n 1)  1   1  1 3 3 3  2n n 1 2   2     3 6  n   n 3   2n 6 1 (k 1)(k 1) c) Ta có: 1  2 2 k k  1  1   1  1.3 2.4 (n 1)(n 1) n 1  1 1 ... 1  . ...   2   2   2  2 2 2  2  3   n  2 3 n 2n n 1 1 Do vậy C  lim  . 2n 2 1 1 1 1 1 1 1 1 d) Ta có       ...   1 k(k 1) k k 1 1.2 2.3 3.4 n(n 1) n 1  1  Vậy D  lim 1  1   .  n 1 
Dạng 3: Dạng vô định .
a  a  0
Phương pháp : Nhóm số mũ to nhất
Ví dụ 6 : Tính giới hạn a)  2
lim n  4n   1 b)  2 lim
2n 1  n Giải  4 1  a) lim  2 n  4n   2 1  lim n 1   2   n n  2 lim n    Vì 2   4 1 
nên lim n  4n   1   lim 1   1  0   2    n n   1  b)  2 lim
2n 1  n = lim n 2  1  n    lim n    Vì  2 1  
nên lim  2n 1  n =  lim  2  1  1   n     Chương IV: Giới hạn Page 6
Giới hạn của dãy số Ths. Lê Hải Trung 0984735736
Dạng 4: Dạng vô đinh 0. Phương pháp
Đối với biểu thức chứa căn thức thì nhân, chia lượng liên hợp bậc hai, bậc ba để đưa về dạng: 2 AB 3 AB A B = 3 A B = A B 3 2 3 2
A B. A B AB 3 AB A B = 3 A B = A B 3 2 3 2
A B. A B 2 AB AB A B = 3 3 A B = A B 3 2 3 3 2 A A.B B AB AB A B = 3 3 A B = A B 3 2 3 3 2 A A.B B
Đặc biệt, đôi khi ta thêm, bớt đại lượng đơn giản để xác định các giới hạn mới có cùng
dạng vô định, chẳng hạn: 3 3 2 n   n    3 3 n   n   2 2 1 2
n n 1 ; 2 3 3 n n   n   2
n n n   3 3 2
n  2  n
Ví dụ7 : Tính giới hạn a)  2 lim
n  3n n b)  3 3 lim
n  2  n  c)  2 2 lim
n  7  n  5  d)  2 2 lim
n  3n n  Giải
 2n 3n n 2n 3n n 3  n 2 
a) lim  n 3n n  lim  lim
 2n 3n n 2
n  3n n 3  n 3  n 3  lim  lim    3  3  2 2  n 1  n   n  1 1  n n    3 3
n  2  n  3 n  2  n  2. n n 3 3  2 3 3 3 2 
b) lim  n  2  n   lim 3 n  22 3 3 3 2
n  2. n n
n  23  n3 3 3 n  2  n  lim  lim 3 n  22 3 3 2 3
n  2. n nn  22 3 3 3 3 2
n  2. n n Chương IV: Giới hạn Page 7
Giới hạn của dãy số Ths. Lê Hải Trung 0984735736 2  lim  0 3 n  22 3 3 3 2
n  2. n n 2 2
n  7  n  5 2 c) lim  2 2
n  7  n  5   lim  lim  0 2 2 2 2
n  7  n  5
n  7  n  5 3n d)  2 2 lim
n  3n n  =lim 2 2
n  3n n   lim 2 2
n  3n n 3 3  lim  3 2 1  1 n
Ví dụ 8 : Tính giới hạn a)  2 3 3 2 lim
n  2n n  2n  b)  2 3 3 lim
4n 1  8n n Giải a) Ta có:  2 3 3 2 lim
n  2n n  2n
 2n n n 3 3 2 lim 2 lim
n  2n n = 2 2n 2n  lim  lim 2 3 2 2 3 3 2 2 3
n  2n n
(n  2n )  n n  2n n 2 2 1  lim  lim  . 2 2 2 3 2 3 3 1 1 (1 )  1 1 n n n b) Ta có:  2 3 3 lim
4n 1  8n n  =
 2n   n 3 3 lim 4 1 2 lim
8n n  2n 1 Mà: lim  2
4n 1  2n  lim  0 2 4n 1  2n n lim  3 2
8n n  2n  lim  0 2 2 3 2 2
3 (8n n)  2n 8n n  4n Vậy  2 3 3 lim
4n 1  8n n   0 .
Dạng 5: Cấp số nhân lùi vô hạn Phương pháp:
Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân vô hạn và có công bội là q  1 .
 Tổng các số hạng của một cấp số nhân lùi vô hạn u n u1
S u u  ...  u  ...  1 2 n 1 q
 Mọi số thập phân đều được biểu diễn dưới dạng lũy thừa của 10 n a a a a 1 2 3
X N, a a a ...a N     ...   ... 1 2 3 n 2 3 10 10 10 10n Chương IV: Giới hạn Page 8
Giới hạn của dãy số Ths. Lê Hải Trung 0984735736
Ví dụ 9. Viết số thập phân m  0, 030303 … (chu kỳ 03) dưới dạng số hữu tỉ. Giải 3 3 3 3 3 1 100 100 m  3    ...   3   3   3   100 10000 100n 1 99 33 33 1 100 1 1
Ví dụ 10. Tính tổng S  2  2 1   ... 2 2 Giải 1  2 1 1 Xét dãy: 2,  2,1, 
,… là cấp số nhân q    ; q   1 2  2 2 2 2 2 2 2 Vậy S    4  2 2 1 2 1 1 2
Ví dụ 11 . Hãy viết số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng một phân số.
  34,1212 … (chu kỳ 12) Giải  1  12 12 12   1134 100   34,1212...  34    ...   34 12  2   100 100 100n 1 33  1   100 
C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1:
Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0 ? 1 2n 2 1 2n A. . B. . 2 5n  3n 2 5n  3n 2 n  2n 2 n  2 C. u  . D. u  . n 2 5n  3n n 2 5n  3n 3 3n  2n 1 Câu 2: lim bằng 4 4n  2n 1 2 3 A.  . B. 0 . C. . D. . 7 4 2 Câu 3: lim bằng 4 5n  2n 1 1 2 A. . B. 0 . C.  . D. . 2 5 2 n  2n Câu 4: Tính lim . Kết quả là 3 n  3n 1 Chương IV: Giới hạn Page 9
Giới hạn của dãy số Ths. Lê Hải Trung 0984735736 2 A. 2 . B. 1. C. . D. 0 . 3 Câu 5:
Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng 0 ? 3 3  2n 2 2n  3 A. lim . B. lim . 2 2n 1 3 2  n  4 3 2n  3n 2 4 2n  3n C. lim . D. lim . 2 2  n 1 3 2 2  n n 3  Câu 6: lim bằng 2 4n  2n 1 3 A.  . B.  . C. 0 . D. – 1 . 4 Câu 7:
Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0 ? 2 n  2 2 n  2n A. u  . B. u  . n 2 5n  3n n 2 5n  3n 2 1 2n 1 2n C. u  . D. u  . n 2 5n  3n n 2 5n  3n 1 Câu 8:
Kết quả của giới hạn lim
(với k nguyên dương) là k x x A.  . B.  . C. 0 . D. x . 3 n  2n Câu 9: Tính lim . Kết quả là 3 3n  2n 1 2 A. 2 . B. 1. C. . D. 0 . 3
Câu 10: Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào là 0 ? 2n  3 2n   1 n  32 A. lim . B. lim . 1 2n 3 n  2n 3 1 n 2n 1 C. lim . D. lim . 2 n  2n 3.2n  3n 2 3  2n  4n
Câu 11: Kết quả lim là 2 4n  5n  3 3 4 A. . B. 0 . C. 1. D.  . 4 3
Câu 12: Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng 1? 2 2n  3 2 2n  3 A. lim . B. lim . 3 2  n  4 2 2  n 1 Chương IV: Giới hạn Page 10
Giới hạn của dãy số Ths. Lê Hải Trung 0984735736 2 2n  3 3 2n  3 C. lim . D. lim . 3 2 2  n  2n 2 2  n 1 3 n  4n  5 Câu 13: lim bằng 3 2 3n n  7 1 1 1 A. . B. 1. C. . D. . 3 4 2 1
Câu 14: Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng ? 5 2 1 2n 1 2n A. u  . B. u  . n 5n  5 n 2 5n  5n 2 n  2n 1 2n C. u  . D. u  . n 2 5n  5n n 5n  5 2 4 5n  3n Câu 15: lim bằng 4 4n  2n 1 3 5 3 A.  . B. . C. . D. 0 . 4 4 4
Câu 16: Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào là 0 ? 2n  3 2n   1 n  32 A. lim . B. lim . 1 2n 3 n  2n 3 1 n 2n 1 C. lim . D. lim . 2 n  2n 3.2n  3n 1 4n
Câu 17: Cho u
. Khi đó lim u bằng n 5n n 4 3 3 4 A. . B.  . C. . D.  . 5 5 5 5 2 4n n  2
Câu 18: Cho dãy số (u ) với u
. Để (u ) có giới hạn bằng 2 , giá trị của n n 2 an  5 n a là A. 4 . B. 2 . C. 4 . D. 3 . 2 n n  5
Câu 19: Dãy số u với u  có giới hạn bằng n n  2 2n 1 3 1 A. . B. . C. 2 . D. 1. 2 2 2n b
Câu 20: Cho dãy số u với u
. Để dãy số u có giới hạn hữu hạn thì giá n n n 5n  3 trị của b là
A. b là một số thực tùy ý. Chương IV: Giới hạn Page 11
Giới hạn của dãy số Ths. Lê Hải Trung 0984735736
B. b nhận một giá trị duy nhất là 2 .
C. b nhận một giá trị duy nhất là 3 .
D. b nhận một giá trị duy nhất là 5 . 3 2n  5n  3 Câu 21: lim là 3 2 3n n 3 2 A.  . B. . C. 3 . D.  . 2 3 1 2 v
Câu 22: Cho u  và v
. Khi đó lim n bằng n n 1 n n  2 un A. 1. B. 2 . C. 0 . D. 3 . 1
Câu 23: Dãy số nào sau đây có giới hạn  ? 3 4 3 n  2n 1 2 2  n n A. u  . B. u  . n 3 2 3n  2n 1 n 2 3n  5 2 3 n  3n 2
n  2n  5 C. u  . D. u  . n 3 2 9n n 1 n 3 3n  4n  2 4 10 n Câu 24: lim bằng bao nhiêu? 4 10  2n A.  . B. 1. C. 1000 . D. 5000 . 2 n n  5
Câu 25: Dãy số u với u  có giới hạn bằng n n  2 2n 1 3 1 A. . B. . C. 2 . D. 1. 2 2 5n  2 Câu 26: Tính lim ta được kết quả 3n 1 4 5 5 3 A. . B. . C. . D. . 3 3 9 5 4 2n  2n  2 Câu 27: lim bằng 4 4n  2n  5 1 3 A.  . B. . C. 0 . D. . 2 11 2n
Câu 28: Dãy số a với a
, n  1, 2,  có giới hạn bằng n n n  2 A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 3 . Chương IV: Giới hạn Page 12
Giới hạn của dãy số Ths. Lê Hải Trung 0984735736 an  4
Câu 29: Cho dãy số u với u
, trong đó a là hằng số. Để dãy số u có n n n 5n  3
giới hạn bằng 2 , giá trị của a là A. 10 . B. 6 . C. 8 . D. 4 . 1
Câu 30: Dãy số nào sau đây có giới hạn  ? 3 3 n  2n 1 2 2  n n A. u  . B. u  . n 3 2 3n  2n 1 n 2 3n  5 2 4 n  3n 2
n  2n  5 C. u  . D. u  . n 3 2 9n n 1 n 3 3n  4n  2 2 3 n  3n Câu 31: lim bằng 3 2n  5n  2 1 1 3 A. 0 . B. . C. . D.  . 2 5 2 2 n n  5
Câu 32: Dãy số u với u  có giới hạn bằng: n n 2 2n 1 3 1 A. . B. . C. 2 . D. 1. 2 2
Câu 33: Trong bốn giới hạn dưới đây, giới hạn nào bằng 1? 2 3 n n 2n  3 A. lim . B. lim . 3 2n 1 2  3n 2 n n 3 n C. lim . D. lim . 2 2  n n 2 n  3
Câu 34: Trong bốn giới hạn dưới đây, giới hạn nào bằng  ? 2 2n  3n 2 n  3n  2 A. lim . B. lim . 3 n  3n 2 n n 3 n  2n 1 2 n n 1 C. lim . D. lim . 3 n  2n 2n 1 4 3n n
Câu 35: Giới hạn của dãy số (un) với un = có giới hạn bằng 4n  5 3 A.  . B.  . C. 0 . D. . 4
Câu 36: Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây? 4 n  2 2 n  5 A. lim   . B. lim   . 3 n 1 2n 1 2 2n n 1 1 C. lim   . D. lim   . 3  n 2  3n Chương IV: Giới hạn Page 13
Giới hạn của dãy số Ths. Lê Hải Trung 0984735736
Câu 37: Trong bốn giới hạn dưới đây, giới hạn nào bằng  ? 2 2n  3n 3 3  2n A. lim . B. lim . 2 2n 1 2 2n 1 2 4 2n  3n 2 2n  3 C. lim . D. lim . 3 2 2  n n 3 n  4 3 n  2n Câu 38: lim bằng 2 1 3n 1 2 A.  . B.  . C.  . D. . 3 3
Câu 39: Kết quả L   3
lim 5n  3n  bằng A. 4 . B.  . C.  . D. 6  .
Câu 40: Trong bốn giới hạn dưới đây, giới hạn nào bằng  ? 1 2n 2 n  2 A. u  . B. u  . n 2 5n  5n n 3 5n  5n 2 n  2n 2 1 n C. u  . D. u  . n 2 5n  5n n 5n  5
Câu 41: Kết quả L   2
lim 3n  5n  3 là A. 3 . B.  . C.  . D. 5 .
Câu 42: Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào là  ? 2 2n  3n 2 n  3n  2 A. lim . B. lim . 3 n  3n 2 n n 3 n  2n 1 1 2 n n 1 C. lim   . D. lim . 3 n  2n 2 2n 1 Câu 43:  3
lim 2n  3n  là: A. 2 . B.  . C.  . D. 3  . Câu 44:  3 2 lim 3
n  2n  5 bằng A. 3  . B. 6  . C.  . D.  . 3 2n  3n Câu 45: lim bằng 2 4n  2n 1 3 A. . B.  . C. 0 . D.  .  4
Câu 46: Dãy số nào sau đây có giới hạn  ? 2 9n  7n A. u  . B. 2
u  2008n  2007n . n 2 n n n Chương IV: Giới hạn Page 14
Giới hạn của dãy số Ths. Lê Hải Trung 0984735736 2007  2008n C. u  . D. 2 u n 1. n n 1 n
Câu 47: Dãy số nào sau đây có giới hạn là  ? A. 2
u  3n n . B. 4 3
u n  3n . n n C. 2 3
u  n  4n . D. 3 4
u  3n  2n . n n 3
100n  7n  9 Câu 48: lim là 2 1000n n 1 1 A. 9  . B.  . C.  . D. . 10
Câu 49: Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào là  ? 2 2n  3n 2 n  3n  2 A. lim . B. lim . 3 n  3n 2 n n 3 n  2n 1 2 n n 1 C. lim . D. lim . 2 n  2n 2n 1
Câu 50: Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: 1 2 n  5 A. lim   . B. lim   . 2  3n 2n 1 2 2n n 1 4 n  2 C. lim   . D. lim   . 3  n 3 n 1 BẢNG ĐÁP SỐ 1.A 2.B 3.B 4.D 5.B 6.C 7.D 8.C 9.C 10.D 11.C 12.B 13.A 14.C 15.A 16.D 17.D 18.B 19.B 20.A 21.B 22.B 23.C 24.D 25.B 26.B 27.B 28.C 29.A 30.A 31.D 32.B 33.C 34.D 35.A 36.A 37.C 38.C 39.B 40 41.C 42.D 43.C 44.C 45.B 46.D 47.D 48.B 49.D 50.D Chương IV: Giới hạn Page 15
Giới hạn của dãy số Ths. Lê Hải Trung 0984735736 HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1:
Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0 ? 1 2n 2 1 2n A. . B. . 2 5n  3n 2 5n  3n 2 n  2n 2 n  2 C. u  . D. u  . n 2 5n  3n n 2 5n  3n Hướng dẫn giải Chọn A. 1 2  2 1 2n Ta có lim  lim n n  0 2 5n  3n 5  3 n 3 3n  2n 1 Câu 2: lim bằng 4 4n  2n 1 2 3 A.  . B. 0 . C. . D. . 7 4 Hướng dẫn giải Chọn B. 3 2 1 3   3 4 3n  2n 1 lim  lim n n n  0 4 4n  2n 1 2 1 4   3 4 n n 2 Câu 3: lim bằng 4 5n  2n 1 1 2 A. . B. 0 . C.  . D. . 2 5 Hướng dẫn giải Chọn B. 2 4 2 lim  lim n  0 4 5n  2n 1 2 1 5   3 4 n n 2 n  2n Câu 4: Tính lim . Kết quả là 3 n  3n 1 2 A. 2 . B. 1. C. . D. 0 . 3 Hướng dẫn giải Chọn D. Chương IV: Giới hạn Page 16
Giới hạn của dãy số Ths. Lê Hải Trung 0984735736 1 2 2  2 n  2n lim  lim n n  0 3 n  3n 1 3 1 1  2 3 n n Câu 5:
Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng 0 ? 3 3  2n 2 2n  3 A. lim . B. lim . 2 2n 1 3 2  n  4 3 2n  3n 2 4 2n  3n C. lim . D. lim . 2 2  n 1 3 2 2  n n Hướng dẫn giải Chọn B. 2 3 2  3 2n  3 lim  lim n n  0 3 2n  4 4 2   3 n 3  Câu 6: lim bằng 2 4n  2n 1 3 A.  . B.  . C. 0 . D. – 1 . 4 Hướng dẫn giải Chọn C. 3  2 3 lim  lim n  0 2 4n  2n 1 2 1 4   2 n n Câu 7:
Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0 ? 2 n  2 2 n  2n A. u  . B. u  . n 2 5n  3n n 2 5n  3n 2 1 2n 1 2n C. u  . D. u  . n 2 5n  3n n 2 5n  3n Hướng dẫn giải Chọn D. 1 2  2 1 2n lim  lim n n  0 2 5n  3n 5  3 n 1 Câu 8:
Kết quả của giới hạn lim
(với k nguyên dương) là k x x A.  . B.  . C. 0 . D. x . Chương IV: Giới hạn Page 17
Giới hạn của dãy số Ths. Lê Hải Trung 0984735736 Hướng dẫn giải Chọn C. 1 lim  0 k x x 3 n  2n Câu 9: Tính lim . Kết quả là 3 3n  2n 1 2 A. 2 . B. 1. C. . D. 0 . 3 Hướng dẫn giải Chọn C. 1 3  2 2 n  2n 2 2 lim  lim n  lim  3 3n  2n 1 2 1 3 3 3   2 3 n n
Câu 10: Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào là 0 ? 2n  3 2n   1 n  32 A. lim . B. lim . 1 2n 3 n  2n 3 1 n 2n 1 C. lim . D. lim . 2 n  2n 3.2n  3n Hướng dẫn giải Chọn D. n n  2   1     2n 1     3   3  lim  lim  0 3.2n  3n n  2  3.  1  3  2 3  2n  4n
Câu 11: Kết quả lim là 2 4n  5n  3 3 4 A. . B. 0 . C. 1. D.  . 4 3 Hướng dẫn giải Chọn C 3 2 2   4 2 3  2n  4n lim  lim n n  1 2 4n  5n  3 5 3 4   2 n n
Câu 12: Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng 1? 2 2n  3 2 2n  3 A. lim . B. lim . 3 2  n  4 2 2  n 1 Chương IV: Giới hạn Page 18
Giới hạn của dãy số Ths. Lê Hải Trung 0984735736 2 2n  3 3 2n  3 C. lim . D. lim . 3 2 2  n  2n 2 2  n 1 Hướng dẫn giải Chọn B 3 2 2  2 2n  3 lim  lim n  1  2 2n 1 1 2  2 n 3 n  4n  5 Câu 13: lim bằng 3 2 3n n  7 1 1 1 A. . B. 1. C. . D. . 3 4 2 Hướng dẫn giải Chọn A 4 5 3 1  2 3 n  4n  5 1 lim  lim n n 3 2 3n n  7 1 7 3 3   3 n n 1
Câu 14: Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng ? 5 2 1 2n 1 2n A. u  . B. u  . n 5n  5 n 2 5n  5n 2 n  2n 1 2n C. u  . D. u  . n 2 5n  5n n 5n  5 Hướng dẫn giải Chọn C 2 2 1 n  2n 1 lim  lim n 2 5n  5n 5 5  5 n 2 4 5n  3n Câu 15: lim bằng 4 4n  2n 1 3 5 3 A.  . B. . C. . D. 0 . 4 4 4 Hướng dẫn giải Chọn A 5 2 4  3 4 5n  3n 3 lim  lim n  4 4n  2n 1 2 1 4 4   3 4 n n Chương IV: Giới hạn Page 19
Giới hạn của dãy số Ths. Lê Hải Trung 0984735736
Câu 16: Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào là 0 ? 2n  3 2n   1 n  32 A. lim . B. lim . 1 2n 3 n  2n 3 1 n 2n 1 C. lim . D. lim . 2 n  2n 3.2n  3n Hướng dẫn giải Chọn D. n n  2   1   2n 1       3   3  0 Vì: lim  lim   0 3.2n  3n n  2 1  3. 1    3  2n  3 2n   1 n  32 3 1 n lim  1  ; lim  1  ; lim   1 2n 3 2 n  2n n  2n 1 4n
Câu 17: Cho u
. Khi đó lim u bằng n 5n n 4 3 3 4 A. . B.  . C. . D.  . 5 5 5 5 Hướng dẫn giải Chọn D. 1  4 1 4n 4 lim  lim  lim n u   . n 5n 5 5 2 4n n  2
Câu 18: Cho dãy số (u ) với u
. Để (u ) có giới hạn bằng 2 , giá trị của n n 2 an  5 n a là A. 4 . B. 2 . C. 4 . D. 3 . Hướng dẫn giải Chọn B. 1 2 2 4   2 4n n  2 4 lim  lim  lim n n u   2  a  2 . n 2 an  5 5 a a  2 n 2 n n  5
Câu 19: Dãy số u với u  có giới hạn bằng n n  2 2n 1 3 1 A. . B. . C. 2 . D. 1. 2 2 Hướng dẫn giải Chọn B. Chương IV: Giới hạn Page 20
Giới hạn của dãy số Ths. Lê Hải Trung 0984735736 1 5 2 1  2 n n  5 1 lim  lim  lim n n u  . n 2 2n 1 1 2 2  2 n 2n b
Câu 20: Cho dãy số u với u
. Để dãy số u có giới hạn hữu hạn thì giá n n n 5n  3 trị của b là
A. b là một số thực tùy ý.
B. b nhận một giá trị duy nhất là 2 .
C. b nhận một giá trị duy nhất là 3 .
D. b nhận một giá trị duy nhất là 5 . Hướng dẫn giải Chọn A. b 2  2n b 2 b 1 lim  lim  lim n u  vì lim  b lim  0, b    n x
x 5n  3 x 3 5 x x n  n 5  n 3 2n  5n  3 Câu 21: lim là 3 2 3n n 3 2 A.  . B. . C. 3 . D.  . 2 3 Hướng dẫn giải Chọn B. 5 3 3 2   2 3 2n  5n  3 2 lim  lim n n  3 2 3n n 1 3 3  n 1 2 v
Câu 22: Cho u  và v
. Khi đó lim n bằng n n 1 n n  2 un A. 1. B. 2 . C. 0 . D. 3 . Hướng dẫn giải Chọn B. 2 2 2  v 2n  2 n n  2 lim  lim  lim  lim n  2 u 1 n  2 2 n 1 n 1 n 1
Câu 23: Dãy số nào sau đây có giới hạn  ? 3 Chương IV: Giới hạn Page 21
Giới hạn của dãy số Ths. Lê Hải Trung 0984735736 4 3 n  2n 1 2 2  n n A. u  . B. u  . n 3 2 3n  2n 1 n 2 3n  5 2 3 n  3n 2
n  2n  5 C. u  . D. u  . n 3 2 9n n 1 n 3 3n  4n  2 Hướng dẫn giải Chọn C 1 2 3  3 n  3n 3 1 lim  lim  lim n u  lim   n 3 2 9n n 1 1 1 9 3 9   3 n n 4 10 n Câu 24: lim bằng bao nhiêu? 4 10  2n A.  . B. 1. C. 1000 . D. 5000 . Hướng dẫn giải Chọn D 4 4 4 10 n 10 10 lim  lim   5000 4 4 10  2n 10 2  2 n 2 n n  5
Câu 25: Dãy số u với u  có giới hạn bằng n n  2 2n 1 3 1 A. . B. . C. 2 . D. 1. 2 2 Hướng dẫn giải Chọn B 1 5 2 1  2 n n  5 1 lim  lim  lim n n un 2 2n 1 1 2 2  2 n 5n  2 Câu 26: Tính lim ta được kết quả 3n 1 4 5 5 3 A. . B. . C. . D. . 3 3 9 5 Hướng dẫn giải Chọn B. 2 5  5n  2 5 lim  lim n 3n 1 1 3 3  n Chương IV: Giới hạn Page 22
Giới hạn của dãy số Ths. Lê Hải Trung 0984735736 4 2n  2n  2 Câu 27: lim bằng 4 4n  2n  5 1 3 A.  . B. . C. 0 . D. . 2 11 Hướng dẫn giải Chọn B. 2 2 4 2   3 4 2n  2n  2 2 1 lim  lim n n   4 4n  2n  5 2 5 4 2 4   3 4 n n 2n
Câu 28: Dãy số a với a
, n  1, 2,  có giới hạn bằng n n n  2 A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 3 . Hướng dẫn giải Chọn C. 2n 2 lim a  lim  lim  2 n n  2 2 1 n an  4
Câu 29: Cho dãy số u với u
, trong đó a là hằng số. Để dãy số u có n n n 5n  3
giới hạn bằng 2 , giá trị của a là A. 10 . B. 6 . C. 8 . D. 4 . Hướng dẫn giải Chọn A. 4 a an  4 a Ta có lim u  lim  lim
n  . Để dãy số u có giới hạn bằng 2 n n 5n  3 3 5 5  n a thì  2  a  10 5 1
Câu 30: Dãy số nào sau đây có giới hạn  ? 3 3 n  2n 1 2 2  n n A. u  . B. u  . n 3 2 3n  2n 1 n 2 3n  5 2 4 n  3n 2
n  2n  5 C. u  . D. u  . n 3 2 9n n 1 n 3 3n  4n  2 Hướng dẫn giải Chọn A. Chương IV: Giới hạn Page 23
Giới hạn của dãy số Ths. Lê Hải Trung 0984735736 2 1 3 1    2 3 n  2n 1 1  1 lim  lim  lim n n u  lim   n 3 2 3n  2n 1 2 1 3 3 3   3 n n 2 3 n  3n Câu 31: lim bằng 3 2n  5n  2 1 1 3 A. 0 . B. . C. . D.  . 2 5 2 Hướng dẫn giải Chọn D. 1 2 3  3 n  3n 3 Ta có: lim  lim n   . 3 2n  5n  2 5 2 2 2   2 3 n n 2 n n  5
Câu 32: Dãy số u với u  có giới hạn bằng: n n 2 2n 1 3 1 A. . B. . C. 2 . D. 1. 2 2 Hướng dẫn giải Chọn B. 1 5 2 1  2 n n  5 1 Ta có : lim  lim  lim n n u  . n 2 2n 1 1 2 2  2 n
Câu 33: Trong bốn giới hạn dưới đây, giới hạn nào bằng 1? 2 3 n n 2n  3 A. lim . B. lim . 3 2n 1 2  3n 2 n n 3 n C. lim . D. lim . 2 2  n n 2 n  3 Hướng dẫn giải Chọn C.
Ta tính giới hạn lần lượt trong bốn phương án trên. 1 2 3 1 n n 1 Xét A: lim  lim n   3 2n 1 1 2 2  3 n 3 2  2n  3 2 Xét B : lim  lim n   2  3n 2 3  3 n Chương IV: Giới hạn Page 24
Giới hạn của dãy số Ths. Lê Hải Trung 0984735736 1 2 1 n n Xét C: lim  lim n  1  . 2 2  n n 2  1 n 3 n 1 Xét D: lim  lim . n   . 2 n  3 3 1 2 n
Câu 34: Trong bốn giới hạn dưới đây, giới hạn nào bằng  ? 2 2n  3n 2 n  3n  2 A. lim . B. lim . 3 n  3n 2 n n 3 n  2n 1 2 n n 1 C. lim . D. lim . 3 n  2n 2n 1 Hướng dẫn giải Chọn D.
Ta tính giới hạn lần lượt trong bốn phương án trên. 2 3 2  2 2n  3n Xét A: lim  lim n n  0 3 n  3n 3 1 2 n 3 2 2 1  2 n  3n  2 Xét B lim  lim n n 2 n n 1 1 n 2 1 3 1  2 3 n  2n 1 1 Xét C: lim  lim n n   . 3 n  2n 1 2  2 2 n 1 1 2 1  2 n n 1 Xét D: lim  lim . n n n   . 2n 1 1 2  n 4 3n n
Câu 35: Giới hạn của dãy số (un) với un = có giới hạn bằng 4n  5 3 A.  . B.  . C. 0 . D. . 4 Hướng dẫn giải Chọn A. 3 4 1 3 3n n Ta có : 3 lim  lim  lim . n u n   . n 4n  5 5 4  n Chương IV: Giới hạn Page 25
Giới hạn của dãy số Ths. Lê Hải Trung 0984735736
Câu 36: Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây? 4 n  2 2 n  5 A. lim   . B. lim   . 3 n 1 2n 1 2 2n n 1 1 C. lim   . D. lim   . 3  n 2  3n Hướng dẫn giải Chọn A.
Ta tính giới hạn lần lượt trong bốn phương án trên. 2 4 1 4 n  2 Xét A : lim  lim . n n   3 n 1 1 1 3 n 5 2 1 2 n  5 Xét B : lim  lim . n n   2n 1 1 2  n 1 1 2 2   2 2n n 1 Xét C: lim  lim . n n n   . 3  n 3 1 n 1 1 Xét D: lim  lim n  0 . 2  3n 2  3 n
Câu 37: Trong bốn giới hạn dưới đây, giới hạn nào bằng  ? 2 2n  3n 3 3  2n A. lim . B. lim . 2 2n 1 2 2n 1 2 4 2n  3n 2 2n  3 C. lim . D. lim . 3 2 2  n n 3 n  4 Hướng dẫn giải Chọn B.
Ta tính giới hạn lần lượt trong bốn phương án trên. 2 2  3 2n  3n 3 Xét A: lim  lim n   2 2n 1 1 2 2  2 n 3 3  2 3 3  2n Xét B: lim  lim . n n   2 2n 1 1 2  2 n Chương IV: Giới hạn Page 26
Giới hạn của dãy số Ths. Lê Hải Trung 0984735736 2 2 4  3 2 2n  3n Xét C: lim  lim . n n   . 3 2 2  n n 1 2   n 2 3 2  3 2n  3 Xét D: lim  lim n n  0 . 3 n  4 4 1 3 n 3 n  2n Câu 38: lim bằng 2 1 3n 1 2 A.  . B.  . C.  . D. . 3 3 Hướng dẫn giải Chọn C. 2 3 1 2 n  2n Ta có : lim  lim . n n   . 2 1 3n 1 3 2 n
Câu 39: Kết quả L   3
lim 5n  3n  bằng A. 4 . B.  . C.  . D. 6  . Hướng dẫn giải Chọn B.  5  Ta có : L  lim  3 5n  3n  3  lim n  3    . 2   n
Câu 40: Trong bốn giới hạn dưới đây, giới hạn nào bằng  ? 1 2n 2 n  2 A. u  . B. u  . n 2 5n  5n n 3 5n  5n 2 n  2n 2 1 n C. u  . D. u  . n 2 5n  5n n 5n  5 Hướng dẫn giải Chọn D.
Ta tính giới hạn lần lượt trong bốn phương án trên. 1 2  2 1 2n Xét A: lim  lim  lim n n u  0 n 2 5n  5n 5  5 n 1 2 2  3 n  2 Xét B : lim  lim  lim n n u  0 n 3 5n  5n 5  5 2 n Chương IV: Giới hạn Page 27
Giới hạn của dãy số Ths. Lê Hải Trung 0984735736 2 2 1 n  2n 1 Xét C: lim  lim  lim n u  . n 2 5n  5n 5 5  5 n 1 2 1 2 1 n Xét D: lim  lim  lim . n u n   . n 5n  5 5 5  n
Câu 41: Kết quả L   2
lim 3n  5n  3 là A. 3 . B.  . C.  . D. 5 . Hướng dẫn giải Chọn C.  5 3  Ta có lim  2
3n  5n  3 2  lim n 3     .   . 2   n n  2 lim n    Vì   5 3  . lim 3    3  0   2    n n
Câu 42: Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào là  ? 2 2n  3n 2 n  3n  2 A. lim . B. lim . 3 n  3n 2 n n 3 n  2n 1 1 2 n n 1 C. lim   . D. lim . 3 n  2n 2 2n 1 Hướng dẫn giải Chọn D. 2 2n  3n A sai vì lim  0. 3 n  3n 2 n  3n  2 B sai vì lim  1. 2 n n 3 n  2n 1 1 C sai vì lim   . 3 n  2n 2 2  1 1   1 1  n 1  n 1  2  2   2 n n 1     2 n   2 n D đúng lim lim lim      .  2n 1  1   1  n 2  2       n   n Câu 43:  3
lim 2n  3n  là: A. 2 . B.  . C.  . D. 3  . Hướng dẫn giải. Chọn C. Chương IV: Giới hạn Page 28
Giới hạn của dãy số Ths. Lê Hải Trung 0984735736  2  Ta có lim  3 2n  3n  3  lim n  3  .   . 2   n  3 lim n      2  . lim  3  3   0   2    nCâu 44:  3 2 lim 3
n  2n  5 bằng A. 3  . B. 6  . C.  . D.  . Hướng dẫn giải. Chọn C.  2 5  Ta có lim  3 2 3
n  2n  5 3  lim n 3     .   3   n n  3 lim n    Vì   2 5  lim 3     3  0   3    n n  3 2n  3n Câu 45: lim bằng 2 4n  2n 1 3 A. . B.  . C. 0 . D.  .  4 Hướng dẫn giải. Chọn B.  2  3  3   2 2n 3n  Ta có lim  lim n n     .  2 4n  2n 1 2 1  4    2  n n  lim n     2   Vì  3  2   3 . lim n     0  2 1 4   4    2   n n
Câu 46: Dãy số nào sau đây có giới hạn  ? 2 9n  7n A. u  . B. 2
u  2008n  2007n . n 2 n n n 2007  2008n C. u  . D. 2 u n 1. n n 1 n Hướng dẫn giải Chọn D. 2 9n  7n A sai vì lim u  lim  9. n 2 n n Chương IV: Giới hạn Page 29
Giới hạn của dãy số Ths. Lê Hải Trung 0984735736 B sai vì 2
lim u  lim(2008n  2007n )   .  n 2007  2008n C sai vì lim u  lim  2008. n n 1  1  D đúng 2 2
lim u u  lim(n 1)  lim n 1  .  n n  2   n
Câu 47: Dãy số nào sau đây có giới hạn là  ? A. 2
u  3n n . B. 4 3
u n  3n . n n C. 2 3
u  n  4n . D. 3 4
u  3n  2n . n n Hướng dẫn giải Chọn D. A sai vì 2
lim u  lim(3n n)  .  n B sai vì 4 3
lim u  lim(n  3n )   .  n C sai vì 2 3
lim u  lim(n  4n )   .  n D đúng 3 4
lim u  lim(3n  2n )  .  n 3
100n  7n  9 Câu 48: lim là 2 1000n n 1 1 A. 9  . B.  . C.  . D. . 10 Hướng dẫn giải. Chọn B.  7 9  3 100      2 3 100n 7n 9  Ta có lim  lim n n n    .  2 1000n n 1 1 1  1000    2  n n
Câu 49: Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào là  ? 2 2n  3n 2 n  3n  2 A. lim . B. lim . 3 n  3n 2 n n 3 n  2n 1 2 n n 1 C. lim . D. lim . 2 n  2n 2n 1 Hướng dẫn giải Chọn D. 2 2n  3n A sai vì lim  0. 3 n  3n 2 n  3n  2 B sai vì lim  1. 2 n n 3 n  2n 1 C sai vì lim   .  2 n  2n Chương IV: Giới hạn Page 30
Giới hạn của dãy số Ths. Lê Hải Trung 0984735736 2 n n 1 D đúng lim  .  2n 1
Câu 50: Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: 1 2 n  5 A. lim   . B. lim   . 2  3n 2n 1 2 2n n 1 4 n  2 C. lim   . D. lim   . 3  n 3 n 1 Hướng dẫn giải Chọn D. 1 A sai vì lim  0. 2  3n 2 n  5 B sai vì lim  .  2n 1 2 2n n 1 C sai vì lim  .  ` 3  n Chương IV: Giới hạn Page 31
Giới hạn hàm số Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN
BÀI 2: GIỚI HẠN HÀM SỐ
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1. Giới hạn hữu hạn:
a. Giới hạn hữu hạn: Cho x  ;
a b và f là hàm số xác định trên tập  ;
a b \ x . Ta nói rằng hàm số 0  0  
f có giới hạn là số thực L, kí hiệu lim f x  L , khi x dần tới x ( hoặc tại điểm x ) , 0 0 x 0 x
nếu với mọi dãy số  x trong tập  ;
a b \ x mà lim x x . 0 n n 0
Ta đều có lim f x L . n
b. Giới hạn vô cực:
lim f x   nếu mọi dãy  x trong tập  ;
a b \ x mà limx  x 0 n n 0 x 0 x
thì lim f x   n
2. Giới hạn của hàm số tại vô cực:
Định nghĩa: Giả sử hàm số f xác định trên khoảng  ;
a  . Ta nói rằng hàm số
f có giới hạn là số thực L khi x dần tới  , kí hiệu lim f x  L , nếu với mọi dãy số x
x trong khoảng  ;
a  mà limx   , ta đều có lim f x L . n n n 3. Các định lí:
a. Định lí 1: Giả sử lim f x  L và lim g x  M L, M R . Khi đó: x 0 x x 0 x
- lim  f x  g x  L M  
- lim  f x.g x  . L M   x 0 x x 0 x f xL
- lim k. f x  k.L k R   - lim  M  0 x 0 x x 0 x g xM Chương V: Giới hạn Page 1
Giới hạn hàm số Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
b. Định lí 2: Giả sử lim f x  L . Khi đó: x 0 x
- lim f x  lim f x  L - f x 3 3 lim  L xx xx xx 0 0 0
- Nếu f x  0 với mọi x J \ x , trong đó J là một khoảng nào đó chứa 0
x thì L  0 và lim
f x  L 0 x 0 x
c. Định lí 3: Giả sử J là một khoảng nào đó chứa x và f , g, h là ba hàm số xác 0
định trên tập hợp J \ x . Khi đó: 0  x
  J \ x : g x f x h x 0        
 lim f x  L
lim g x  lim hx  L x 0 xxx xx  0 0
4. Giới hạn một bên a. Định nghĩa:
- Giả sử hàm f xác định trên khoảng  x ;b , x R . Ta nói rằng hàm f có giới 0  0
hạn bên phải là số thực L khi x dần đến x , kí hiệu: lim f x  L , nếu mọi dãy số  x n  0 x x  0
trong khoảng  x ;b mà limx  x , ta đều có lim f x L n  0  n 0
- Giả sử hàm f xác định trên khoảng  ;
a x , x R . Ta nói rằng hàm f có giới 0  0
hạn bên trái là số thực L khi x dần đến x , kí hiệu: lim f x  L , nếu mọi dãy số  x n  0 x x  0 trong khoảng  ;
a x mà limx  x , ta đều có lim f x L n  0  n 0
- Các định nghĩa: lim f x   , lim f x   , lim f x   , lim f x   x      0 x x 0 x x 0 x x 0 x
được phát biểu tương tự như trên. b. Các định lí:
- lim f (x)  lim f (x)  L  lim f (x)  L x    xx 0 x x 0 x 0 1
- lim f x    lim  0 x 0 x x 0 x f x
- Nếu lim f (x)  L  0 và lim g(x)   thì: x 0 x x 0 x Chương V: Giới hạn Page 2
Giới hạn hàm số Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
 neáu L vaø lim g(x) cuøng daáuxx 0
lim f (x)g(x)   x 0 x
 neáu L vaø lim g(x) traùi daáux  0 x 0
neáu lim g(x)   xx0 f (x)  lim 
  neáu lim g(x)  0 vaø . L g(x)  0  xx xx 0 g ( x) 0
 neáu lim g(x)  0 vaø . L g(x)  0  xx  0
5. Các giới hạn đặc biệt:
 neáu k chaün - lim k
x   ; lim k x   x x  neáu k leûc
- lim c c ; lim  0 x k x x 1 1 - lim   ; lim   x 0  x x 0  x 1 1 - lim  lim   x 0 x 0 x    x
Quy tắc về giới hạn vô cực f(x)
Quy tắc tìm giới hạn của tích f x.g x Quy tắc tìm giới hạn của thương g(x) lim f (x) lim g(x)
lim f (x).g(x) f (x) lim f (x) lim g(x) x lim 0 x x 0 x x 0 x xx xx Dấu của xxxx  0 0 xx g(x)   0 0 xx 0 0 xx xx x x  x 0 0 xx x x
g x 0 x + + L > 0 L Tùy ý 0 + + + L > 0 0 L < 0 + + L < 0 0 + 0 
* Khi tính giới hạn có một trong các dạng vô định: ,
, – , 0. thì phải tìm cách khử 0  dạng vô định. Chương V: Giới hạn Page 3
Giới hạn hàm số Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736 B. DẠNG BÀI TẬP
DẠNG 1: Sử dụng định nghĩa
Phương pháp: thay trực tiếp x và biểu thức f x 0
Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau  1  2 x 1 a) lim x 1   . b) lim x  2 c) lim x0  x x1 x2 x 1 Giải a) lim  2 3x x   2 1  3.4  4 1  45 x4 b) lim x  2  1   2  3 x1 2 2 x 1 2 1 c) lim   5 x2 x 1 2 1 0
DẠNG 2: Dạng vô định 0 P x
Phương pháp: Tính L  lim
, với P x Q x  0 0   0  x 0 x Q x
- Trường hợp 1: P x,Q x là các đa thức: Ta phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử và rút gọn. Lưu ý: 2
ax  bx c  0a  0  a x x x x
với x , x là nghiệm của pt 1   2  1 2
Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau: 3 x  8 2 x  5x  6 m x 1 a) lim b) lim c) lim m n   n  ,  * 2 x2 x  4 2
x2 x  7 x 10 x 1  x 1 Giải x   x  2 2 3 x  2x  4 8  2 x  2x  4 12 a) lim  lim  lim   3 2 x2 x2 x  4
x  2 x  2 x2 x  2 4 2 x  5x  6
x  2 x  3 x  3 1 b) lim  lim  lim  2 x2 x2 x  7x 10
x  2 x  5 x2 x  5 3 mx   1  m 1  m2 xx  .....  x   1  m 1 m2 xx  .....  x x    1 1 m c) lim  lim  lim  n xx 1 x  x   1  n 1 n2 xx  .....  x   1 x  n 1 n2 1 1 1 xx  .....  x   1 n Chương V: Giới hạn Page 4
Giới hạn hàm số Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
- Trường hợp 2: P x,Q x là các biểu thức chứa căn cùng bậc: Nhân liên hợp ở tử và mẫu.
Đối với biểu thức chứa căn thức thì nhân, chia lượng liên hợp bậc hai, bậc ba để đưa về dạng: 2 AB 3 ABA B =
3 A B = A B 3 2 3 2
A B. A B AB 3 ABA B =
3 A B = A B 3 2 3 2
A B. A B 2 AB ABA B = 3 3 A B = A B 3 2 3 3 2 A A.B B AB ABA B = 3 3 A B = A B 3 2 3 3 2 A A.B B
Ví dụ 3: Tính các giới hạn sau: 2  4  x
x  3  5x 1 3 x  7  2 a) lim b) lim c) lim x0 x 2 x 1  x 1 x 1  x 1 Giải  
2 4 x2 4 2 4  x x  1 1 a) lim  lim  lim  x0 x0 x
x 2  4  x
x0 2  4  x 4 x   x
x 3  5x 1 x 3  5x 1 3 5 1  b) lim  lim 2 x 1  x 1 x 1   2 x  
1  x  3  5x 1 4   x   1  lim x 1   x   1  x  
1  x  3  5x 1 4  1  lim  x 1   x  
1  x  3  5x 1 2       x    x 7 2 2 3 3 3 3 x 7 2 x 7 4 7 2  c) lim  lim 2 x 1  x 1 x 1   x   1  3 3
x  7  2 x  7  4 1 1  lim  x  2 1 3 3 x   x    12 7 2 7 4
- Trường hợp 3: P x,Q x là các biểu thức chứa căn khác bậc: Giả sử:   m    n P x
u x v x với m n u xv xa 0   0 
Ta phân tích    m       n P x u x a
a v x 
Ví dụ 4: Tính giới hạn sau : Chương V: Giới hạn Page 5
Giới hạn hàm số Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
3 x 1  1 x lim x0 x Giải 3 3 3
x 1  1 x
x 1 11 1 x  
x 1 1 1 1 x  lim  lim    lim    x0 x0   x0 x xx x        1 1 1 1 5 lim        x0  3   x  2 3 1 1 x 3 2 6 1  x 1 1   
DẠNG 3: dạng vô định  P x
Phương pháp: Tính L  lim
với P x,Q x là các đa thức hoặc các biểu
x Q x thức chứa căn.
- Trường hợp 1: P x,Q x là các đa thức thì chia cả tử và mẫu cho lũy thừa cao nhất của x .
- Trường hợp 2: P x,Q x có chứa căn thì có thể chia cả tử và mẫu cho lũy thừa cao nhất của x . x khi x   Lưu ý: 2 x x  
. Khi đó lim x  lim x à v
lim x   lim x x khi x    x x x x
Ví dụ 5 : Tính các giới hạn sau 2 3 2 2 2x  5x  3 2x  
1  x x   1 a) lim b) lim 2
x x  6x  3 x  5 3x   1  2
x  3x  5 2x  3 2x  3 c) lim d) lim x 2 4x 1  x x 2 x 1  x Giải 5 3 2 2   2 2x  5x  3 a) lim  lim x x  2 2
x x  6x  3 x 6 3 1  2 x x 3 2  1   1 1  2     2x 3 1  2 x x  2 1    2 1      x   x x  8 b) lim  lim  x  5 3x   1  2
x  3x  5 x  1   3 5  3 3  1   5   2   x   x x  Chương V: Giới hạn Page 6
Giới hạn hàm số Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736 3 2  2x  3 2 c) lim  lim x   2 x 2 4x 1 xx  1 2 1 4  1 2 x 3 2  2x  3 2 d) lim  lim x   1  x 2 x 1 xx  1 1  1  1 1 2 x
DẠNG 4: Dạng vô định   
Phương pháp : (giới hạn này thường chứa căn): Ta thường sử dụng phương
pháp nhân liên hợp của tử và mẫu.
Ví dụ 6 : Tính các giới hạn sau:
a) lim  1 x x  b) lim       4 4 2 16x 3x 1 4x 2 xx c)     d)        3 3 2 2 lim x x 1 x x 1 x    2 2 lim x 1 x x 2x xGiải
 1 x x 1 x x 1
a) lim  1 x x   lim  lim  0 x x 1 xx x  1 x x 4 2
16x  3x 1  (4x  2) b) lim x 4 4 2
16x  3x 1  4x  2 4 2 2
16x  3x 1 (4x  2)  lim x  4 4 2
16x  3x 1  4x  2  4 2
16x  3x 1  4x  2 2
16x  3x  3  lim x  4 4 2
16x  3x 1  4x  2  4 2
16x  3x 1  4x  2 2 2 2 2
x x 1 2 (x 1)(x x) c) lim x 2 2
x 1  x x  2x
4(x x x x)  2x x  2 4 3 2 2 1  lim x  2 2 x 1 
x x  2x 2 2 2
2 (x 1)(x x)  2x x   1
4(x x x x)  2x x  2 4 3 2 2 1  lim x  2 2 x 1 
x x  2x 2 2 2
2 (x 1)(x x)  2x x   1 3 2 8
x  7x  2x 1 1  lim   x  2 2
x   x x x 2 2 2 x
x x x x   2 1 2 2 ( 1)( ) 2 1 Chương V: Giới hạn Page 7
Giới hạn hàm số Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736 d)            3 3 2 x x x  2 lim 1 lim x x 1 x M N x x  2 x 1 1 M  lim  x 3 2 2 3 3 2 2 3 3
(x x 1)  . x
x x 1  x 1 1 x 1 1  lim  lim x N   x 2 x x 1 xx  1 1 2  1  1 2 x x 1   lim
x x   x x   x  3 3 2 2 1 1 6
DẠNG 5: Giới hạn 1 bên
Phương pháp: Áp dụng định lý giới hạn của một tích và một thương
Ví dụ 7 : Tính các giới hạn sau  1 2  3 2 x x x  3 a) lim    b) lim c) lim  2 3 x0  x x x 1  x 1 1 x x3 x  3 Giải  1 2   x  2  a) lim   lim      2 3  3 x0 x0  x x   x
lim  x  2  2  0 x 0  Khi  3
x  0  x  0  x  0  x  2  Vậy lim     .  3 x0  x  2 3 2 x x x x   1 x x 1 b) lim  lim  lim xx 1 1 xx    
x 1   x  2 1 1 x 1 1 
x 11 x 1 x  lim  1. x 1  1 x 1 x  3 x  3  lim  lim  1  x3 x3    x  3 x  3 x 3 x 3 c)   lim  lim x3 x3 x  3 x  3 x  3  x  3 lim lim 1    x3 x3 x 3  x 3    
Vậy không tồn tại giới hạn trên.
DẠNG 6 : Giới hạn lượng giác – phần nâng cao sin x x
Phương pháp : Ta biến đổi về dạng lim  lim  1 x0 x0 x sin x tan x x Hệ quả: 1) lim  lim  1 x0 x0 x tan x sin u(x) tan u(x)
2) Nếu lim u(x)  0  lim  1 và lim  1. x 0 x x 0 x u(x) x 0 x u(x) Chương V: Giới hạn Page 8
Giới hạn hàm số Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Ví dụ 8 : Tính các giới hạn sau: 1 cos ax
1 sin mx  cos mx a) lim b) lim 2 x0 x
x0 1 sin nx  cos nx 1 cos . x cos 2 . x cos 3x 1 cos 2x c) lim d) lim 2 x0 x x0 3x 2sin 2 Giải 2 axax 2  2 sin sin a   a a) : 2 2 lim  lim  . 2   x0 x0 x 2 ax 2    2  2 mx mx mx 2 sin  2 sin cos
1 sin mx  cos mx b) Ta có: 2 2 2 
1 sin nx  cos nx nx nx nx 2 2 sin  2 sin cos 2 2 2 mx nx mx mx sin sin  cos m 2 2 2 2  . . n mx nx nx nx sin sin  cos 2 2 2 2 mx nx mx mx sin sin  cos
1 sin mx  cos mx m 2 2 2 2 m  lim  lim .lim .lim  . x0 x0  nx nx n mx x0 nx x0 1 sin cos nx nx n sin sin  cos 2 2 2 2 1 cos . x cos 2 . x cos 3x
1 cos x  cos x cos 2x(1 cos 3x)  cos x(1 cos 2x) c) Ta có  2 x 2 x 1 cos x 1 cos 3x 1 cos 2x   cos . x cos 2x  cos x 2 2 2 x x x 1 cos . x cos 2 . x cos 3x 1 cos x 1 cos 3x 1 cos 2x  lim  lim  lim cos . x cos 2x  lim cos x 2 2 2 2 x0 x0 x0 x0 x x x x  3 3x 2 sin 1 cos 2x sin x sin x 3 d) Ta có: 2 2 lim  lim  lim x( ) . lim  0 . x0 3x x0 3x x0 x0 x 2 3x 2 sin sin 2 2 2 Chương V: Giới hạn Page 9
Giới hạn hàm số Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
D. BÀI TẬP TRÁC NGHIỆM 5 Câu 1: Giá trị lim bằng: x 3x  2 5 A. 0 . B. 1. C. . D.  . 3 2 x  2x 1 Câu 2:
Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của lim là: 3 x1 2x  2 1 A.  . B. 0 . C. . D.  . 2 3 2 x  2x 1 Câu 3:
Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của lim là: 5 x1 2x 1 1 1 A. 2  . B.  . C. . D. 2 . 2 2 2 Câu 4:
Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của 2 lim x cos là: x0 nx A. Không tồn tại. B. 0 . C. 1. D.  . 2 2x 1 Câu 5: lim bằng: 2 x 3  x 1 1 A. 2  . B.  . C. . D. 2 . 3 3 2 4x  3x Câu 6:
Cho hàm số f (x) 
. Chọn kết quả đúng của lim f (x) : 2x   1  3 x  2 x2 5 5 5 2 A. . B. . C. . D. . 9 3 9 9 2 x 1 Câu 7:
Cho hàm số f (x) 
. Chọn kết quả đúng của lim f (x) : 4 2 2x x  3 x 1 2 A. . B. . C. 0 . D.  . 2 2 1 3x Câu 8: lim bằng: x 2 2x  3 3 2 2 3 2 2 A.  . B. . C. . D.  . 2 2 2 2 cos 5x Câu 9:
Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của lim là: x 2x Chương V: Giới hạn Page 10
Giới hạn hàm số Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736 1 A.  . B. 0 . C. . D.  . 2 x  3
Câu 10: Giá tri đúng của lim x3 x  3 A. Không tồn tại. B. 0 . C. 1. D.  . 2
3x  5sin 2x  cos x Câu 11: lim bằng: 2 x x  2 A.  . B. 0 . C. 3 . D.  . 4 x  8x
Câu 12: Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của lim là: 3 2
x x  2x x  2 21 21 24 24 A.  . B. . C.  . D. . 5 5 5 5 3 2 x x Câu 13: lim bằng: x 1  x 1 1 x A. 1. B. 0 . C. 1. D.  . 2 x x 1 Câu 14: lim bằng:  2 x 1  x 1 A. –. B. –1. C. 1. D. +.
Câu 15: Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của  5 3
lim 4x  3x x   1 là: x A.  . B. 0 . C. 4 . D.  .
Câu 16: Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của 4 3 2 lim
x x x x là: x A.  . B. 0 . C. 1. D.  . 2 x x  3 Câu 17: lim bằng: x 1  2 x 1 1 A. 3 . B. . C. 1. D.  . 2 x 1
Câu 18: Cho hàm số f x   x  2
. Chọn kết quả đúng của lim f x : 4 2 x x 1 x 1 A. 0 . B. . 2 C. 1. D. Không tồn tại. 2
x  3 khi x  2
Câu 19: Cho hàm số f x  
. Chọn kết quả đúng của lim f x : x 1 khi x  2  x2 A. 1. B. 0 . Chương V: Giới hạn Page 11
Giới hạn hàm số Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736 C. 1. D. Không tồn tại.  1 2 
Câu 20: Chọn kết quả đúng của lim    :  2 3 x0  x x A.  . B. 0 . C.  . D. Không tồn tại. 1 1
Câu 21: Cho hàm số f (x)  
. Chọn kết quả đúng của lim f 3  x : x 1  x  1 x  1 2 2 A.  . B.  . C. . D.  . 3 3
Câu 22: Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
I f x liên tục trên đoạn  ;
a b và f a. f b  0 thì tồn tại ít nhất một số c   ;
a b sao cho f c  0
II f x liên tục trên đoạn a;b và trên  ;
a b nhưng không liên tục a;c
A. Chỉ  I  .
B. Chỉ  II  .
C. Cả  I  và  II  đúng.
D. Cả  I  và  II  sai. x  3
Câu 23: Cho hàm số f x 
. Giá trị đúng của lim f x là: 2  x  9 x3 A. .  B. 0. C. 6. D. .  3 4x 1 Câu 24: lim bằng: 2
x2 3x x  2 11 11 A .  B.  . C. . . D. .  4 4 4 x  7
Câu 25: Giá trị đúng của lim là: 4
x x 1 A. 1. B. 1. C. 7. D. .  Chương V: Giới hạn Page 12
Giới hạn hàm số Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736 HƯỚNG DẪN GIẢI BẢNG ĐÁP ÁN 1.A 2.B 3.A 4.B 5.D 6.B 7.C 8.A 9.B 10.A 11.B 12.C 13.C 14.D 15.A 16.D 17.A 18.A 19.C 20.C 21.A 22.B 23.B 24.B 25.B 5 Câu 1: Giá trị lim bằng: x 3x  2 5 A. 0 . B. 1. C. . D.  . 3 Lời giải Chọn A. 5 5 Cách 1: lim  lim x  0 x 3x  2 x 2 3  x 5
Cách 2: Bấm máy tính như sau: + CACL + 9
x  10 và so đáp án (với máy 3x  2 casio 570 VN Plus) 5
Cách 3: Dùng chức lim của máy VNCALL 570ES Plus: lim và so 9 3x  2 x 10 đáp án. 2 x  2x 1 Câu 2:
Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của lim là: 3 x 1  2x  2 1 A.  . B. 0 . C. . D.  . 2 Lời giải Chọn B. 2 2 x  2x 1  x   1 x 1 Cách 1: lim  lim  lim  0 3 x 1  2x  2
x 2  x   1  2 1 x x   1 x 2  2 1 x x   1 2 x  2x 1
Cách 2: Bấm máy tính như sau: + CACL + 9 x 1 10    và so đáp án. 3 2x  2 Cách 3: Dùng chức lim của máy VNCALL 570ES Plus: 2 x  2x 1 lim và so đáp án. 3 2x  2 9 x  1  10 3 2 x  2x 1 Câu 3:
Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của lim là: 5 x 1  2x 1 Chương V: Giới hạn Page 13
Giới hạn hàm số Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736 1 1 A. 2  . B.  . C. . D. 2 . 2 2 Lời giải Chọn A. x  2x 1  3 1  2. 2 3 2 1 1 Cách 1: lim   2  5 x1 2x 1 2  5 1 1 3 2 x  2x 1
Cách 2: Bấm máy tính như sau: + CACL + 9 x 1 10    và so đáp 5 2x 1 án. Cách 3: Dùng chức lim của máy VNCALL 570ES Plus: 3 2 x  2x 1 lim và so đáp án. 5 2x 1 9 x  110 2 Câu 4:
Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của 2 lim x cos là: x0 nx A. Không tồn tại. B. 0 . C. 1. D.  . Lời giải Chọn B. 2 2 Cách 1: 2 2 0  cos  1  0  x cos  x nx nx 2 Mà 2 lim x  0 nên 2 lim x cos  0 x0 x0 nx 2
Cách 2: Bấm máy tính như sau: Chuyển qua chế độ Rad + 2 x cos + CACL + nx 9 x 10 
+ n  10 và so đáp án. 2 2x 1 Câu 5: lim bằng: 2 x 3  x 1 1 A. 2  . B.  . C. . D. 2 . 3 3 Lời giải Chọn D. 1 2 2  2x 1 2 Cách 1: lim  lim x  2 2 x 3  x x 3 1 2 x 2 2x 1
Cách 2: Bấm máy tính như sau: + CACL + 9
x  10 và so đáp án. 2 3  x Chương V: Giới hạn Page 14
Giới hạn hàm số Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736 2 2x 1
Cách 3: Dùng chức lim của máy VNCALL 570ES Plus: lim và so 2 3  x 9 x  10 đáp án. 2 4x  3x Câu 6:
Cho hàm số f (x) 
. Chọn kết quả đúng của lim f (x) : 2x   1  3 x  2 x2 5 5 5 2 A. . B. . C. . D. . 9 3 9 9 Lời giải Chọn B. 2 2 4x  3x 4.2  3.2 5 Cách 1: lim   x 2x   1  3 x  2 2.2   1  3 2 2  2 3 2 4x  3x
Cách 2: Bấm máy tính như sau: + CACL + 9 x 2 10   và so 2x   1  3 x  2 đáp án. Cách 3: Dùng chức lim của máy VNCALL 570ES Plus: 2 4x  3x lim và so đáp án. 2x   1  3 x  2 9 x  2 10 2 x 1 Câu 7:
Cho hàm số f (x) 
. Chọn kết quả đúng của lim f (x) : 4 2 2x x  3 x 1 2 A. . B. . C. 0 . D.  . 2 2 Lời giải Chọn C. 1 1 2  x 1 2 4 Cách 1: lim  lim x x  0 4 2 x 2x x  3 x 1 3 2   2 4 x x 2 x 1
Cách 2: Bấm máy tính như sau: + CACL + 9
x  10 và so đáp án. 4 2 2x x  3 2 x 1
Cách 3: Dùng chức lim của máy VNCALL 570ES Plus: lim 4 2 2x x  3 9 x  10 và so đáp án. Chương V: Giới hạn Page 15
Giới hạn hàm số Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736 1 3x Câu 8: lim bằng: x 2 2x  3 3 2 2 3 2 2 A.  . B. . C. . D.  . 2 2 2 2 Lời giải Chọn A. 1  3 2 1 3x 3 2 Cách 1: lim  lim x   x 2 2x  3 x 3 2  2  2 x 1 3x
Cách 2: Bấm máy tính như sau: + CACL + 9 x  1  0 và so đáp án. 2 2x  3 1 3x
Cách 3: Dùng chức lim của máy VNCALL 570ES Plus: lim 2 9
2x  3 x  10  và so đáp án. cos 5x Câu 9:
Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của lim là: x 2x 1 A.  . B. 0 . C. . D.  . 2 Lời giải Chọn B. cos 5x 1
Cách 1: 0  cos 5x  1  0   , x   0 2x 2x 1 cos 5x Mà lim  0 nên lim  0 x 2x x 2x cos 5x
Cách 2: Bấm máy tính như sau: Chuyển qua chế độ Rad + + CACL + 2x 9 x  1  0 và so đáp án.
Cách 3: Dùng chức lim của máy VNCALL 570ES Plus: chuyển chế độ Rad + cos 5x lim và so đáp án. 9 2x x  10  x  3
Câu 10: Giá tri đúng của lim x 3  x  3 A. Không tồn tại. B. 0 . C. 1. D.  . Lời giải Chọn A. Chương V: Giới hạn Page 16
Giới hạn hàm số Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736 x  3 x  3  lim  lim  1  x3 x3    x  3 x  3 x 3 x 3   lim  lim x3 x3 x  3 x  3 x  3  x  3 lim lim 1    x3 x3 x 3  x 3    
Vậy không tồn tại giới hạn trên. 2
3x  5sin 2x  cos x Câu 11: lim bằng: 2 x x  2 A.  . B. 0 . C. 3 . D.  . Lời giải Chọn B. 2 2
3x  5sin 2x  cos x 3x 5sin 2x cos x lim  lim  lim  lim 2 2 2 2 x x  2
x x  2 x x  2
x x  2 3 3x  lim  lim x A  0 1 2 x  2 x x   2 1 2 x 5  5sin 2x 5 lim  0  A  lim  lim  0  A  0 2 2 2 2 2
x x  2 x x  2
x x  2 2 0 cos x 1 lim  0  A  lim  lim  0  A  0 2 3 2 2 3
x x  2
x x  2
x x  2 2
3x  5sin 2x  cos x Vậy lim  0 . 2 x x  2 4 x  8x
Câu 12: Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của lim là: 3 2
x x  2x x  2 21 21 24 24 A.  . B. . C.  . D. . 5 5 5 5 Lời giải Chọn C. 4 x  8x 4 x  8x lim thành lim 3 2
x x  2x x  2 3 2 x 2 
x  2x x  2 x x xx  2 2
x  2x  4 x  2 4 x  2x  4 8  24 lim  lim  lim   . 3 2 x
x  2x x  2 x  x  2 2 x   1 x  2 2 2 2 x   1 5 3 2 x x Câu 13: lim bằng: x 1  x 1 1 x A. 1  . B. 0 . C. 1. D.  . Lời giải Chọn C. Chương V: Giới hạn Page 17
Giới hạn hàm số Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736 2 3 2 x x x x   1 x x 1 x lim  lim  lim  lim  1. xx 1 1 xx     
x    x  2 1 1 x 1 
x 1 1 x 1 x 1  1 x 1 1 1  2 x x 1 Câu 14: lim bằng:  2 x 1  x 1 A. –. B. –1. C. 1. D. +. Lời giải Chọn D. 2 x x 1 lim   vì lim  2 x x    và lim     .   2 x  2 1 0; x 1 0   1 1 0  2 x 1  x 1 x 1  x 1 
Câu 15: Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của  5 3
lim 4x  3x x   1 là: x A.  . B. 0 . C. 4 . D.  . Lời giải Chọn A.   lim  3 1 1 5 3
4x  3x x   5 1  lim x 4      .   . 2 4 5  x x  x x x
Câu 16: Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của 4 3 2 lim
x x x x là: x A.  . B. 0 . C. 1. D.  . Lời giải Chọn D.  1 1 1 4 3 2 4  lim
x x x x  lim x 1     .   2 3  x x  x x x  2 x x  3 Câu 17: lim bằng: x 1  2 x 1 1 A. 3 . B. . C. 1. D.  . 2 Lời giải Chọn A. 1 3 1 3 1 3 2 x 1  x 1  1  2 2 2 x x  3 x x x x x x lim  lim  lim  lim  3. x 1 x 1 x 1 2 x 1 2x 1   1 x 1       1  x 2  2       x   x x 1
Câu 18: Cho hàm số f x   x  2
. Chọn kết quả đúng của lim f x : 4 2 x x 1 x Chương V: Giới hạn Page 18
Giới hạn hàm số Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736 1 A. 0 . B. . 2 C. 1. D. Không tồn tại. Lời giải Chọn A. 1 1 2   x 1  x   1  x  2 2 3 4 lim    lim   2  lim  lim x x x f x x  0 . 4 2 4 2 x x x x 1 x x x 1 x 1 1 1  2 4 x x 2
x  3 khi x  2
Câu 19: Cho hàm số f x  
. Chọn kết quả đúng của lim f x : x 1 khi x  2  x2 A. 1  . B. 0 . C. 1. D. Không tồn tại. Lời giải Chọn C.
Ta có lim f x  lim      2 x 3 1 x2 x2
lim f x  lim  x   1  1 x 2 x 2  
Vì lim f x  lim f x  1 nên lim f x  1. x 2 x 2   x2  1 2 
Câu 20: Chọn kết quả đúng của lim    :  2 3 x0  x x A.  . B. 0 . C.  . D. Không tồn tại. Lời giải Chọn C.  1 2   x  2  lim   lim      2 3  3 x0 x0  x x   x
lim  x  2  2   0 x 0  Khi  3
x  0  x  0  x  0  x  2  Vậy lim     .  3 x0  x  1 1
Câu 21: Cho hàm số f (x)  
. Chọn kết quả đúng của lim f 3  x : x  1 x  1 x 1  2 2 A.  . B.  . C. . D.  . 3 3 Lời giải Chọn A. Chương V: Giới hạn Page 19
Giới hạn hàm số Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736 2
 x x
lim f x  lim     3 x 1  x 1  x 1   lim  2
x x     2 x 1  Khi  3
x 1  x  1  x 1  0
Vậy lim f x   . x 1 
Câu 22: Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
I f x liên tục trên đoạn  ;
a b và f a. f b  0 thì tồn tại ít nhất một số c   ;
a b sao cho f c  0
II f x liên tục trên đoạn  ; a b và trên  ;
a b nhưng không liên tục  ; a c
A. Chỉ  I  .
B. Chỉ  II  .
C. Cả  I  và  II  đúng.
D. Cả  I  và  II  sai. x  3
Câu 23: Cho hàm số f x 
. Giá trị đúng của lim f x là: 2  x  9 x3 A. .  B. 0. C. 6. D.  .  Lời giải Chọn B x  3  x  32  x  3 lim  lim .  lim  0 .  2 x 3 x 3   x  
x  3 x  3 9  x 3   x  3 3 4x 1 Câu 24: lim bằng: 2 x 2
 3x x  2 11 11 A .  B.  . C. . . D.  .  4 4 Lời giải Chọn B 3 4x 1 11 lim   . 2 x 2
 3x x  2 4 4 x  7
Câu 25: Giá trị đúng của lim là: 4
x x 1 A. 1.  B. 1. C. 7. D.  .  Lời giải 7 4 1 4 x  7 Chọn B lim  lim x  1. 4 x x x 1 1 1 4 x Chương V: Giới hạn Page 20
Hàm số liên tục Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736 BÀI 3: HÀM SỐ LIÊN TỤC A. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Hàm số liên tục
a) Cho hàm số y f x xác định trên a;b và x  ;
a b . Hàm số y f x được gọi 0  
là liên tục tại x khi và chỉ khi lim f x  f x 0  0 x 0 x
Chú ý: Một hàm số không liên tục tại điểm x được gọi là gián đoạn tại điểm đó. 0
b) Hàm số y f x liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.
c) Hàm số y f x liên tục trên đoạn a;b nếu nó liên tục trên khoảng a;b và
lim f x  f a ; lim f x  f bx a  x b 
Chú ý: Đồ thị của một hàm số liên tục là một “ đường liền” trên khoảng đó. 2. Các định lí: a) Định lí 1:
- Hàm số đa thức liên tục trên toàn tập số thực R.
- Hàm số phân thức hữu tỉ (tức là thương của hai đa thức), hàm số lượng giác
liên tục trên từng khoảng xác định của chúng. b) Định lí 2:
Giả sử y f x và y g x là hai hàm số liên tục tại x . Khi đó: 0
- Các hàm số f x  g x , f x  g x, f x.g x cũng liên tục tại x 0 f x - Hàm số
liên tục tại x nếu g x  0 0  g x 0 Page 1
Hàm số liên tục Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736 c) Định lí 3:
Nếu hàm số y f x liên tục trên đoạn  ;
a b và f a. f b  0 thì tồn tại ít
nhất một điểm c   ;
a b sao cho f c  0 .
Mệnh đề tương đương:
Cho hàm số y f x liên tục trên đoạn  ;
a b và f a. f b  0 . Khi đó phương
trình f x  0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng  ; a b . Mở rộng:
Nếu y f x liên tục trên  ;
a b . Đặt m  min f x, M  a
m x f x . Khi đó a;b a;b với mọi T   ;
m M  luôn tồn tại ít nhất một số c a;b sao cho f c  T .
B. CÁC DẠNG TOÁN Các dạng toán xét tính liên tục của hàm số
f x , khi x x  1   0
Dạng 1: Cho hàm số f x   f
x , khi x x   2   0
- Tìm tập xác định của f x và tính f x f x 0  2  0 
- Tính lim f x  lim f x 1   x 0 x x 0 x
- So sánh lim f x với f x : 0  x 0 x
+ Nếu lim f x = f x thì hàm số đã cho liên tục tại x . 0  0 x 0 x
+ Nếu lim f x  f x thì hàm số đã cho không liên tục tại x (hay 0  0 x 0 x
hàm số gián đoạn tại x ). 0 Page 2
Hàm số liên tục Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
f x , khi x x  1   0
Dạng 2: Cho hàm số f x   f
x , khi x x   2   0
- Tìm tập xác định của f x và tính f x f x 0  2  0 
- Tính lim f x  lim f x và lim f x  lim f x 1   2   x xx x   x xx x   0 0 0 0
- So sánh lim f x , lim f x , f x rồi kết luận. 0  x x  x x  0 0
+ Nếu lim f x = lim f x = f x thì hàm số đã cho liên tục tại x . 0  0 x x  x x  0 0
+ Nếu ngược lại, thì hàm số đã cho gián đoạn tại x . 0
Dạng 3: Bài toán về số nghiệm của phương trình
Cho hàm số y f x liên tục trên đoạn  ;
a b và f a. f b  0 . Khi đó phương
trình f x  0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng  ; a b . 2  x 1   x   1
Ví dụ 1: Cho hàm số f x   x 1
, với a là hằng số. ax   1 
Xét tính liên tục của hàm số tại x  1 . Giải
Hàm số xác định với mọi x R Ta có:  f   1  a 2 x 1  x   1  x   1  lim  lim  lim  x   1  2 x 1  x 1  x 1 x 1 x 1 
 lim f x  f   1  a  2 x 1 
Nếu a  2 thì hàm số liên tục tại x  1 . Page 3
Hàm số liên tục Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Nếu a  2 thì hàm số không liên tục tại x  1 . ax  2 , x  1
Ví dụ 2: Cho hàm số f x   . 2
x x 1, x  1 
Xét tính liên tục của hàm số trên toàn trục số. Giải: 
x  1 , ta có f x  ax  2 hàm số liên tục trên R. 
x  1, ta có f x 2
x x 1 hàm số liên tục trên R.  x  1 , ta có: f   1  a+2
lim f x  lim ax  2  a  2 x 1  x 1 
lim f x  lim       2 x x  1 1 x 1  x 1 
lim f x  lim f x  a  2  1  a  1 x 1 x 1   Nếu a  1
 thì hàm số liên tục tại x  1
Nếu a  1 thì hàm số gián đoạn tại x  1 .
Vậy hàm số liên tục trên toàn trục số nếu a  1  .
Hàm số liên tục trên  
;1  1;  nếu a  1
Ví dụ 3 : Chứng minh phương trình: 4 2
2x  4x  x  3  0 có ít nhất hai nghiệm thuộc (–1;1). Giải: Đặt 4 2
f (x)  2x  4x  x  3  f (x) liên tục trên R
f(–1) = 2, f(0) = –3  f(–1).f(0) < 0  PT f (x)  0 có ít nhất 1 nghiệm c  (1; 0) 1
f(0) = –3, f(1) = 4  f (0). f (1)  0  PT f (x)  0 có ít nhất 1 nghiệm c  (0;1) 2
Mà c c  PT f (x)  0 có ít nhát hai nghiệm thuộc khoảng (1;1) . 1 2 Page 4
Hàm số liên tục Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Ví dụ 4 : Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm với mọi m: 5 2 4
(9  5m)x  (m 1)x 1  0 Giải: Đặt 5 2 4
f (x)  (9  5m)x  (m 1)x 1  f (x) liên tục trên R. 2  5  3 f (0)  1
 , f (1)  m    
f (0). f (1)  0  2  4
 Phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; 1) với mọi m Page 5
Hàm số liên tục Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736 C. BÀI TẬP TRÁC NGHIỆM 2 x 1 Câu 1:
Cho hàm số f x  và f   2
2  m  2 với x  2 . Giá trị của m để f xx 1
liên tục tại x  2 là: A. 3 . B.  3 . C.  3 . D. 3  Câu 2:
Cho hàm số f x 2 
x  4 . Chọn câu đúng trong các câu sau:
(I) f x liên tục tại x  2 .
(II) f x gián đoạn tại x  2 .
(III) f x liên tục trên đoạn 2;2 .
A. Chỉ  I  và  III  . B. Chỉ  I  . C. Chỉ  II  .
D. Chỉ  II  và  III  2  x 1  x  3; x  2 Câu 3:
Cho hàm số f x 3
  x x  6 . b  3 x  3; b   
Tìm b để f x liên tục tại x  3 . 2 3 2 3 A. 3 . B.  3 . C. . D.  . 3 3 x 1 Câu 4:
Cho hàm số f x 
. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau: x 1
I f x gián đoạn tại x  1.
II f x liên tục tại x  1. 1
III  lim f x  x 1  2 A. Chỉ  I  . B. Chỉ  I  .
C. Chỉ  I  và  III  .
D. Chỉ  II  và  III . Page 6
Hàm số liên tục Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736  2x  8  2  x  2 Câu 5:
Cho hàm số f x   x  2
. Tìm khẳng định đúng trong các 0 x  2  khẳng định sau:
I  lim f x  0 . x 2 
II f x liên tục tại x  2. 
III f x gián đoạn tại x  2. 
A. Chỉ  I  và  III  .
B. Chỉ  I  và  II  . C. Chỉ  I  . D. Chỉ  I  2   4  x  2  x  2 Câu 6:
Cho hàm số f x  
. Tìm khẳng định đúng trong các 1  x  2  khẳng định sau:.
I f x không xác định tại x  3.
II f x liên tục tại x  2. 
III  lim f x  2 x2 A. Chỉ  I  .
B. Chỉ  I  và  II  .
C. Chỉ  I  và  III  .
D. Cả  I ;  II ;  III  đều sai. Câu 7:
Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau: 1
I f x  liên tục trên  . 2 x 1 sin x
II f x 
có giới hạn khi x  0. x
III f x 2
 9  x liên tục trên đoạn 3;  3 . Page 7
Hàm số liên tục Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
A. Chỉ  I  và  II  .
B. Chỉ  II  và  III  . C. Chỉ  II  . D. Chỉ  III  . sin 5xx  0 Câu 8:
Cho hàm số f x   5x
. Tìm a để f x liên tục tại x  0. a  2 x  0  A. 1. B. 1  . C. 2  . D. 2. Câu 9:
Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
I f x liên tục trên đoạn  ;
a b và f a. f b  0 thì tồn tại ít nhất một số c   ;
a b sao cho f c  0 .
II f x liên tục trên đoạn a;b và trên  ;
b c nhưng không liên tục  ; a c A. Chỉ  I  . B. Chỉ  II  .
C. Cả  I  và  II  đúng.
D. Cả  I  và  II  sai.
Câu 10: Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
I. f x liên tục trên đoạn  ;
a b và f a. f b  0 thì phương trình f x  0 có nghiệm.
II. f x không liên tục trên  ;
a b và f a. f b  0 thì phương trình
f x  0 vô nghiệm. A. Chỉ I đúng. B. Chỉ II đúng. C. Cả I và II đúng. D. Cả I và II sai.
Câu 11: Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau: x 1
I  . f x 
liên tục với mọi x  1. x 1
II  . f x  sin x liên tục trên  . Page 8
Hàm số liên tục Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736 x
III  . f x 
liên tục tại x  1 . x
A. Chỉ  I  đúng.
B. Chỉ  I  và  II  .
C. Chỉ  I  và  III  .
D. Chỉ  II  và  III  . 2
x  3 , x  3 
Câu 12: Cho hàm số f x   x  3
. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng 2 3 , x  3  định sau:
I  . f x liên tục tại x  3 .
II  . f x gián đoạn tại x  3 .
III  . f x liên tục trên  .
A. Chỉ  I  và  II  .
B. Chỉ  II  và  III  .
C. Chỉ  I  và  III  .
D. Cả  I  ,  II  ,  III  đều đúng.
Câu 13: Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
I  . f x 5 2
x – x 1 liên tục trên  . 1
II  . f x 
liên tục trên khoảng  –1  ;1 . 2 x 1
III  . f x  x  2 liên tục trên đoạn 2; .
A. Chỉ  I  đúng.
B. Chỉ  I  và  II  .
C. Chỉ  II  và  III  .
D. Chỉ  I  và  III  . Page 9
Hàm số liên tục Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736   x  2 1 , x  1  
Câu 14: Cho hàm số f x 2
 x  3 , x  1 . Tìm k để f x gián đoạn tại x  1 .  2 k , x  1   A. k  2 . B. k  2 . C. k  2 . D. k  1.
3  9  x , 0  x  9  x  
Câu 15: Cho hàm số f x  m , x  0 .  3  , x  9  x
Tìm m để f x liên tục trên 0;  là. 1 1 1 A. . B. . C. . D. 1. 3 2 6 2 x  1
Câu 16: Cho hàm số f (x) 
.Khi đó hàm số y f x liên tục trên các 2 x  5x  6 khoảng nào sau đây? A. 3; 2 . B.  2  ;  . C.  ;  3 . D. 2;3 .
Câu 17: Cho hàm số f x 3 2
x – 1000x  0, 01. Phương trình f x  0 có nghiệm
thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây? I. 1;0 . II. 0  ;1 . III. 1; 2 . A. Chỉ I. B. Chỉ I và II. C. Chỉ II. D. Chỉ III.  tan x  
, x  0; x
k ,k  
Câu 18: Cho hàm số f x   x 2 . 0 , x  0 
Hàm số y f x liên tục trên các khoảng nào sau đây?       A. 0;   . B. ;    .  2   4  Page 10
Hàm số liên tục Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736     C.  ;   . D.  ;   .  4 4  2 2
a x , x  2, a   
Câu 19: Cho hàm số f x  
. Giá trị của a để f x liên tục 2  a   2 x , x  2  trên  là: A. 1 và 2 . B. 1 và –1. C. –1 và 2 . D. 1 và –2 . 2 x , x  1  3  2x
Câu 20: Cho hàm số f x  
, 0  x  1 . Tìm khẳng định đúng trong các khẳng 1 x
x sin x , x  0  định sau:
A. f x liên tục trên  .
B. f x liên tục trên  \   0 .
C. f x liên tục trên  \  1 .
D. f x liên tục trên  \ 0;  1 . Page 11
Hàm số liên tục Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736 BẢNG ĐÁP ÁN 1.C 2.B 3.D 4.C 5.B 6.B 7.B 8.B 9.D 10.A 11.D 12.C 13.D 14.A 15.C 16.B 17.B. 18.A 19.D 20.A Hướng dẫn giải 2 x 1 Câu 1:
Cho hàm số f x  và f   2
2  m  2 với x  2 . Giá trị của m để f x liên x 1
tục tại x  2 là: A. 3 . B.  3 . C.  3 . D. 3 Lời giải Chọn C
Hàm số liên tục tại x  2  lim f x  f 2 . x2 2 x 1 Ta có lim  lim  x   1  1. x2 x2 x 1 m  3 Vậy 2 m  2  1   . m   3  Câu 2:
Cho hàm số f x 2 
x  4 . Chọn câu đúng trong các câu sau:
(I) f x liên tục tại x  2 .
(II) f x gián đoạn tại x  2 .
(III) f x liên tục trên đoạn 2;2 .
A. Chỉ  I  và  III  .
B. Chỉ  I  .
C. Chỉ  II  .
D. Chỉ  II  và  III Lời giải Chọn B. Ta có: D   ;  2   2;  . Page 12
Hàm số liên tục Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736 lim f x 2
 lim x  4  0 . x2 x2 f 2  0 .
Vậy hàm số liên tục tại x  2 . 2  x 1  x  3; x  2 Câu 3:
Cho hàm số f x 3
  x x  6
. Tìm b để f x liên tục tại x  3 b  3 x  3; b    2 3 2 3 A. 3 . B.  3 . C. . D.  . 3 3 Lời giải Chọn D.
Hàm số liên tục tại x  3  lim f x  f 3 . x 3  2 x 1 1 lim  . 3 x3 x x  6 3
f 3  b  3 . 1 1 2  Vậy: b  3   b   3   . 3 3 3 x 1 Câu 4:
Cho hàm số f x 
. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau: x 1
I f x gián đoạn tại x  1.
II f x liên tục tại x  1. 1
III  lim f x  x 1  2
A. Chỉ  I  .
B. Chỉ  I  .
C. Chỉ  I  và  III  .
D. Chỉ  II  và  III . Lời giải Chọn C. D   \   1 Page 13
Hàm số liên tục Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736 x 1 1 1 lim  lim  x 1  x 1 x 1  x 1 2
Hàm số không xác định tại x  1. Nên hàm số gián đoạn tại x  1. .  2x  8  2  x  2 Câu 5:
Cho hàm số f x   x  2
. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng 0 x  2  định sau:
I  lim f x  0 . x 2 
II f x liên tục tại x  2.
III f x gián đoạn tại x  2. 
A. Chỉ  I  và  III  .
B. Chỉ  I  và  II  .
C. Chỉ  I  .
D. Chỉ  I Lời giải Chọn B. 2x  8  2 2x  8  4 2 x  2 lim  lim  lim  0 . x 2 x 2 x  2
  2x 8  2 x 2 x  2      2x 8  2
Vậy lim f x  f 2 nên hàm số liên tục tại x  2. . x 2  2   4  x  2  x  2 Câu 6:
Cho hàm số f x  
. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng 1  x  2  định sau:.
I f x không xác định tại x  3.
II f x liên tục tại x  2.
III  lim f x  2 x2
A. Chỉ  I  .
B. Chỉ  I  và  II  .
C. Chỉ  I  và  III  .
D. Cả  I ;  II ;  III  đều sai. Lời giải Page 14
Hàm số liên tục Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736 Chọn B. D   2  ; 2
f x không xác định tại x  3. 2 lim
4  x  0 ; f 2  0 . Vậy hàm số liên tục tại x  2. x2 lim f x 2  lim
4  x  0 ; lim f x  1. Vậy không tồn tại giới hạn của hàm số x 2 x 2   x 2  khi x  2.. Câu 7:
Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau: 1
I f x  liên tục trên  . 2 x 1 sin x
II f x 
có giới hạn khi x  0. x
III f x 2
 9  x liên tục trên đoạn 3;  3 .
A. Chỉ  I  và  II  .
B. Chỉ  II  và  III  .
C. Chỉ  II  .
D. Chỉ  III  . Lời giải Chọn B.
Dễ thấy kđ (I) sai, Kđ (II) là lí thuyết.
Hàm số: f x 2
 9  x liên tục trên khoảng 3;3 . Liên tục phải tại 3 và liên tục trái tại 3  . Nên f x 2
 9  x liên tục trên đoạn 3;  3 . sin 5xx  0 Câu 8:
Cho hàm số f x   5x
. Tìm a để f x liên tục tại x  0. a  2 x  0  A. 1. B. 1. C. 2  . D. 2. Lời giải Chọn B. sin 5x Ta có: lim
 1; f 0  a  2 . x0 5x Page 15
Hàm số liên tục Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Vậy để hàm số liên tục tại x  0 thì a  2  1  a  1  . Câu 9:
Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
I f x liên tục trên đoạn  ;
a b và f a. f b  0 thì tồn tại ít nhất một số c   ;
a b sao cho f c  0 .
II f x liên tục trên đoạn  ; a b và trên  ;
b c nhưng không liên tục  ; a c
A. Chỉ  I  .
B. Chỉ  II  .
C. Cả  I  và  II  đúng.
D. Cả  I  và  II  sai. Lời giải Chọn D. KĐ 1 sai. KĐ 2 sai.
Câu 10: Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
I. f x liên tục trên đoạn  ;
a b và f a. f b  0 thì phương trình f x  0 có nghiệm.
II. f x không liên tục trên  ;
a b và f a. f b  0 thì phương trình f x  0 vô nghiệm. A. Chỉ I đúng. B. Chỉ II đúng.
C. Cả I và II đúng. D. Cả I và II sai. Lời giải Chọn A.
Câu 11: Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau: Page 16
Hàm số liên tục Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736 x 1
I  . f x 
liên tục với mọi x  1. x 1
II  . f x  sin x liên tục trên  . x
III  . f x 
liên tục tại x  1 . x
A. Chỉ  I  đúng.
B. Chỉ  I  và  II  .
C. Chỉ  I  và  III  .
D. Chỉ  II  và  III  . Lời giải Chọn D.
Ta có  II  đúng vì hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định.
x , khi x  0 x   x
Ta có  III  đúng vì f x    . x x  , khi x  0   x
Khi đó lim f x  lim f x  f   1  1. x 1 x 1   x
Vậy hàm số y f x 
liên tục tại x  1 . x 2
x  3 , x  3 
Câu 12: Cho hàm số f x   x  3
. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định 2 3 , x  3  sau:
I  . f x liên tục tại x  3 .
II  . f x gián đoạn tại x  3 . Page 17
Hàm số liên tục Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
III  . f x liên tục trên  .
A. Chỉ  I  và  II  .
B. Chỉ  II  và  III  .
C. Chỉ  I  và  III  .
D. Cả  I  ,  II  ,  III  đều đúng. Lời giải Chọn C. 2 x  3
Với x  3 ta có hàm số f x 
liên tục trên khoảng  ;  3  và x  3  3; ,  1 . 2 x  3
Với x  3 ta có f  3  2 3 và lim f x  lim
 2 3  f  3 nên x 3 x 3 x  3
hàm số liên tục tại x  3 , 2 Từ  
1 và 2 ta có hàm số liên tục trên  .
Câu 13: Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
I  . f x 5 2
x – x 1 liên tục trên  . 1
II  . f x 
liên tục trên khoảng  –1  ;1 . 2 x 1
III  . f x  x  2 liên tục trên đoạn 2; .
A. Chỉ  I  đúng.
B. Chỉ  I  và  II  .
C. Chỉ  II  và  III  .
D. Chỉ  I  và  III  . Lời giải Chọn D. Page 18
Hàm số liên tục Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Ta có  I  đúng vì f x 5 2
x x 1 là hàm đa thức nên liên tục trên  .
Ta có  III  đúng vì f x  x  2 liên tục trên 2;  và lim f x  f 2  0 x 2 
nên hàm số liên tục trên 2; .   x  2 1 , x  1  
Câu 14: Cho hàm số f x 2
 x  3 , x  1 . Tìm k để f x gián đoạn tại x  1 .  2 k , x  1   A. k  2 . B. k  2 . C. k  2 . D. k  1. Lời giải Chọn A. TXĐ: D   .
Với x  1 ta có f   2 1  k Với x  1 ta có
lim f x  lim 
 ; lim f x  lim  x  2 1
 4 suy ra lim f x  4 .    2 x 3 4 x 1  x 1  x 1 x 1   x 1 
Vậy để hàm số gián đoạn tại x  1 khi lim f x 2  k 2
k  4  k  2  . x 1 
3  9  x , 0  x  9  x  
Câu 15: Cho hàm số f x  m , x  0
. Tìm m để f x liên tục trên 0;   3  , x  9  x  là. 1 1 1 A. . B. . C. . D. 1. 3 2 6 Lời giải Page 19
Hàm số liên tục Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736 Chọn C.
TXĐ: D  0;  .
Với x  0 ta có f 0  m . 3  9  x 1 1
Ta có lim f x  lim  lim  . x 0 x 0   x x 0  3  9  x 6 1
Vậy để hàm số liên tục trên 0;  khi lim f x  m m  . x 0  6 2 x  1
Câu 16: Cho hàm số f (x) 
.Khi đó hàm số y f x liên tục trên các khoảng 2 x  5x  6 nào sau đây? A. 3; 2 .
B. 2;  . C.  ;  3 . D. 2;3 . Lời giải Chọn B. x  3  Hàm số có nghĩa khi 2
x  5x  6  0   . x  2   2 x 1
Vậy theo định lí ta có hàm số f x 
liên tục trên khoảng  ;  3   ; 2 x  5x  6 3;2 và  2  ;  .
Câu 17: Cho hàm số f x 3 2
x – 1000x  0, 01. Phương trình f x  0 có nghiệm thuộc
khoảng nào trong các khoảng sau đây? I. 1;0 . II. 0  ;1 . III. 1; 2 . A. Chỉ I. B. Chỉ I và II. C. Chỉ II. D. Chỉ III. Lời giải Page 20
Hàm số liên tục Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736 Chọn B. TXĐ: D   .
Hàm số f x 3 2
x 1000x  0, 01 liên tục trên  nên liên tục trên1;0 , 0  ;1 và 1; 2,   1 . Ta có f   1  100 
0,99 ; f 0  0, 01 suy ra f  
1 . f 0  0 , 2 . Từ  
1 và 2 suy ra phương trình f x  0 có ít nhất một nghiệm trên khoảng 1;0 .
Ta có f 0  0, 01; f  
1  999, 99 suy ra f 0. f   1  0 , 3 . Từ  
1 và 3 suy ra phương trình f x  0 có ít nhất một nghiệm trên khoảng 0  ;1 . Ta có f   1  999 
,99 ; f 2  39991,99 suy ra f  
1 . f 2  0 , 4 . Từ  
1 và 4 ta chưa thể kết luận về nghiệm của phương trình f x  0 trên khoảng 1; 2 .  tan x  
, x  0; x
k ,k  
Câu 18: Cho hàm số f x   x 2 . 0 , x  0 
Hàm số y f x liên tục trên các khoảng nào sau đây?       A. 0;   . B.  ;    .  2   4      C.  ;   . D.  ;   .  4 4  Lời giải Chọn A. Page 21
Hàm số liên tục Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736  
TXĐ: D   \   k , k   .  2 
Với x  0 ta có f 0  0 . tan x sin x 1
lim f x  lim  lim .lim
 1 hay lim f x  f 0 . x0 x0 x x0 x0 x cos x x0
Vậy hàm số gián đoạn tại x  0 . 2 2
a x , x  2, a   
Câu 19: Cho hàm số f x   . 2  a   2 x , x  2 
Giá trị của a để f x liên tục trên  là: A. 1 và 2 . B. 1 và –1. C. –1 và 2 . D. 1 và –2 . Lời giải Chọn D. TXĐ: D   .
Với x  2 ta có hàm số   2 2
f x a x liên tục trên khoảng  2; .
Với x  2 ta có hàm số f x    a 2 2
x liên tục trên khoảng  ;  2  .
Với x  2 ta có f   2 2  2a .
lim f x  lim 2  a 2
x  2 2  a ; lim f x 2 2 2
 lim a x  2a .     x 2 x 2 x 2 x 2
Để hàm số liên tục tại x  2  lim f x  lim f x  f    2 x 2 x 2 a  1 2
 2a  2 2  a 2
a a  2  0   . a  2   Page 22
Hàm số liên tục Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Vậy a  1 hoặc a  2
 thì hàm số liên tục trên  . 2 x , x  1  3  2x
Câu 20: Cho hàm số f x  
, 0  x  1 . 1 x
x sin x , x  0 
Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
A. f x liên tục trên  .
B. f x liên tục trên  \   0 .
C. f x liên tục trên  \   1 .
D. f x liên tục trên  \ 0;  1 . Lời giải Chọn A. TXĐ: TXĐ: D   .
Với x  1 ta có hàm số   2
f x x liên tục trên khoảng 1; .   1 3 2x
Với 0  x  1 ta có hàm số f x 
liên tục trên khoảng 0;  1 . 2 1 x
Với x  0 ta có f x  x sin x liên tục trên khoảng  ;  0 . 3 3 2x
Với x  1 ta có f  
1  1; lim f x 2
 lim x  1 ; lim f x  lim  1 x 1 x 1   x 1 x 1   1 x
Suy ra lim f x  1  f   1 . x 1 
Vậy hàm số liên tục tại x  1 . 3 2x
Với x  0 ta có f 0  0 ; lim f x  lim
 0 ; lim f x  lim  . x sin xx 0 x 0   1 x x 0 x 0   sin x 2  lim x . lim
 0 suy ra lim f x  0  f 0 . x 0 x 0   x x0 Page 23
Hàm số liên tục Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Vậy hàm số liên tục tại x  0 . 4 Từ  
1 , 2 , 3 và 4 suy ra hàm số liên tục trên  . Page 24
Document Outline

  • ĐS 11- Giới hạn dãy số - Lê Hải Trung
  • ĐS 11-GIỚI HẠM HÀM SỐ - LÊ HẢI TRUNG
  • ĐS 11- HÀM SỐ LIÊN TỤC- LÊ HẢI TRUNG