Giới hạn dãy số, giới hạn hàm số và hàm số liên tục – Diệp Tuân

󰉪󰉗󰉭 󰉼󰉴-Bài 1. 󰉵󰉗 󰉯

1

󰉵󰉚󰉪 Tel: 0935.660.880

4

GI󰉇I H󰈩N

A. 󰈸

I. DÃY S󰉁 CÓ GI󰉇I H󰈩N

0.

1. 󰉬 Ta nói r󰉟ng dãy s󰉯

 

n

u

có gi󰉵i h󰉗n 0 n󰉦u v󰉵i m󰉭i s󰉯 󰉼󰉴󰉮 bao nhiêu tùy ý cho

󰉼󰉵c, m󰉭i s󰉯 h󰉗ng c󰉻a dãy s󰉯, k󰉨 t󰉾 s󰉯 h󰉗󰉷 󰉧u có giá tr󰉬 tuy󰉪󰉯i nh󰉮 󰉴󰉯

󰉼󰉴

B󰉟ng cách s󰉿 d󰉺ng các kí hi󰉪u toán h󰉭c, 󰉬nh ngha trên có th󰉨 vi󰉦t nh󰉼 sau:

 

00

lim 0 0, :

nn

u n n n u



       

.

Kí hi󰉪u:

 

lim 0

n

u 

ho󰉢c

lim 0

n

u 

ho󰉢c

0

n

u 

󰉺 1. 󰉽h 󰉯

 

1

45

n

u

n







󰉵󰉗

L󰉶i gi󰉘i

....................................................................................................................................................................................................................

2. Nh󰉝n xét

lim 0 lim 0.

nn

uu  

N󰉦u

 

n

u

có

0

n

u 

,

*

n

thì

lim lim0 0

n

u 

.

Cho hai dãy s󰉯

 

n

u

và

 

n

v

. N󰉦u

 

lim 0

nn

n

uv

v













thì

lim 0

n

u 

.

󰉳󰉝 󰉭󰉨󰉽󰉵󰉗󰉟

0

󰉟󰉬(

󰉵󰉗󰉣

).

3. Các dãy s󰉯 có gi󰉵i h󰉗n

0

󰉼󰉶ng g󰉢p.

1

lim 0

n



1

lim 0

n





 

0





lim 0

C

n



v󰉵i

C

là h󰉟ng s󰉯

1

lim 0

k

n





 

k





1

lim 0

k

n



 

2, kk

lim 0

n

q 

 

1.q 

4. Ví d󰉺 minh h󰉭a.

󰉺. 󰉽󰉟󰉯󰉵󰉯󰉗󰉱󰉵󰉗

a).

 

1

32

n

u

n







. b).

3

sin2

2

n

nn

u

n





. c).

 

1 cos

n

u

n





. d.)

2

3sin 4cos

21

n

nn

u

n







.

L󰉶i gi󰉘i

....................................................................................................................................................................................................................

 GI󰉇I H󰈩N C󰉍A DÃY S󰉁

󰉪󰉗󰉭 󰉼󰉴-Bài 1. 󰉵󰉗󰉯

2

󰉵󰉚󰉪 Tel: 0935.660.880

....................................................................................................................................................................................................................

II. DÃY S󰉁 CÓ GI󰉇I H󰈩N H󰉒U H󰈩N.

1. 󰉬 Ta nói dãy s󰉯

 

n

u

có gi󰉵i h󰉗n là s󰉯 th󰊁c

L

n󰉦u

 

lim 0

n

uL

.

󰉦t

 

lim

n

uL





, vi󰉦t t󰉞t là

 

lim

n

uL

ho󰉢c

lim

n

uL

.

Nh󰉝n xét:

󰉨 ch󰉽ng minh dãy s󰉯

 

n

u

có gi󰉵i h󰉗n là s󰉯 th󰊁c

L

ta chuy󰉨n v󰉧 vi󰉪󰉽ng minh

 

lim 0

n

uL

.

lim

nn

u a u a  

nh󰉮 bao nhiêu cng 󰉼󰉹c v󰉵i

n

󰉻 l󰉵n.

Không ph󰉘i m󰉭i dãy s󰉯 󰉧u có gi󰉵i h󰉗n h󰊀u h󰉗n.

 󰉺󰉽󰉟

a).

3

lim 1

1

n













. b).

2

3 2 1

lim

22

nn













.

L󰉶i gi󰉘i

....................................................................................................................................................................................................................

󰉺󰉽󰉟

a).

3.3 sin3

lim 3

3

n











. b).





2

1

lim

2

n n n  

.

L󰉶i gi󰉘i

....................................................................................................................................................................................................................

󰉪󰉗󰉭 󰉼󰉴-Bài 1. 󰉵󰉗 󰉯

3

󰉵󰉚󰉪 Tel: 0935.660.880

....................................................................................................................................................................................................................

2. M󰉳t s󰉯 󰉬nh lý.

󰉬nh lý 1.

( tìm gi󰉵i h󰉗n c󰉻a hàm tr󰉬 tuy󰉪󰉯i ho󰉢󰉽c)

Gi󰉘 s󰉿

lim

n

uL



lim

n

uL

và

3

lim

n

uL

.

N󰉦u

0

n

u 

v󰉵i m󰉭i

n

thì

0L 

và

lim

n

uL

.

󰉬nh lý 2. Gi󰉘 s󰉿

lim

n

uL

,

lim

n

vM

và

C

là m󰉳t h󰉟ng s󰉯

 

lim

nn

u v L M  

.

 

lim . .

nn

u v L M

 

lim

n

Cu CL

.

lim

n

u

L

vM









v󰉵i

0M 

.

limcc

(c là h󰉟ng s󰉯).

Nh󰉝n xét.

Cho ba dãy s󰉯

   

,

nn

uv

và

 

n

w

. N󰉦u

 

,

n n n

u v w n  

và

 

lim lim ,

nn

u w a a  

thì

lim

n

va

(g󰉭i 󰉬nh lí k󰉣p).

i󰉧u ki󰉪n 󰉨 m󰉳t dãy s󰉯 tng ho󰉢c dãy s󰉯 gi󰉘m có gi󰉵i h󰉗n h󰊀u h󰉗n:

 M󰉳t dãy s󰉯 tng và b󰉬 ch󰉢n trên thì có gi󰉵i h󰉗n h󰊀u h󰉗n.

 M󰉳t dãy s󰉯 gi󰉘m và b󰉬 ch󰉢n d󰉼󰉵i thì có gi󰉵i h󰉗n h󰊀u h󰉗n.

3. T󰉱ng c󰉻a c󰉙p s󰉯 nhân lùi vô h󰉗n

Cho c󰉙p s󰉯 nhân

 

n

u

có công b󰉳i

q

và th󰉮a

1q 

.

Khi ó t󰉱ng

1 2 3 n

S u u u u    

󰉼󰉹c g󰉭i là t󰉱ng vô h󰉗n c󰉻a c󰉙p s󰉯 nhân và

 

1

lim lim

11

n

uq

u

SS

qq



  



.

V󰉝y c󰉙p s󰉯 nhân

 

n

u

có công b󰉳i

q

th󰉮a mãn

1q 

thì

1

12

...

1

u

S u u

q

   



.

󰉺󰉱

a).

2

1 1 1

... ...

3 3 3

n

S     

b).

 

1 1 1

1 1 .

2 4 2

n

S       

c).

16 8 4 2 ...S     

L󰉶i gi󰉘i

󰉪󰉗󰉭 󰉼󰉴-Bài 1. 󰉵󰉗󰉯

4

󰉵󰉚󰉪 Tel: 0935.660.880

....................................................................................................................................................................................................................

󰉺. 󰉨󰉩󰉯󰉝󰉗󰉚󰉼󰉵󰉗󰉯

a).

0,353535...A 

. b).

5,231231...B 

.

L󰉶i gi󰉘i

....................................................................................................................................................................................................................

III. DÃY S󰉁 CÓ GI󰉇I H󰈩N VÔ C󰉓C

1. Dãy s󰉯 có gi󰉵i h󰉗n



󰉬 Ta nói r󰉟ng dãy s󰉯

 

n

u

có gi󰉵i h󰉗n là



n󰉦u v󰉵i m󰉲i s󰉯 󰉼󰉴󰉼󰉵c, m󰉭i

s󰉯 h󰉗ng c󰉻a dãy s󰉯, k󰉨 t󰉾 s󰉯 h󰉗󰉷 󰉧u l󰉵󰉴󰉯 󰉼󰉴 

󰉦t

 

lim

n

u  

ho󰉢c

lim

n

u  

.

T󰉾 󰉬󰉦t qu󰉘

3

lim ; lim ; limn n n     

.

2. Dãy s󰉯 có gi󰉵i h󰉗n



󰉬 Ta nói r󰉟ng dãy s󰉯

 

n

u

có gi󰉵i h󰉗n là



n󰉦u v󰉵i m󰉲i s󰉯 󰉼󰉵c, m󰉭i s󰉯

h󰉗ng c󰉻a dãy s󰉯, k󰉨 t󰉾 s󰉯 h󰉗󰉷 󰉧u nh󰉮 󰉴󰉯 âm 

󰉦t

 

lim

n

u  

ho󰉢c

lim

n

u  

.

Nh󰉝n xét.

N󰉦u

 

lim

n

u  

thì

 

lim

n

u  

.

󰉪󰉗󰉭 󰉼󰉴-Bài 1. 󰉵󰉗 󰉯

5

󰉵󰉚󰉪 Tel: 0935.660.880

Các dãy s󰉯 có gi󰉵i h󰉗n



ho󰉢c



󰉼󰉹c g󰉭i chung là các dãy s󰉯 có gi󰉵i h󰉗n vô c󰊁c hay d󰉚n

󰉦n vô c󰊁c.

N󰉦u

lim

n

u  

thì

1

lim 0

n

u



.

3. Các quy t󰉞c tìm gi󰉵i h󰉗n vô c󰊁c

Quy t󰉞c nhân:

lim

n

u

lim

n

v

 

lim .

nn

uv

lim

n

u

lim 0

n

vL

 

lim .

nn

uv































 Quy t󰉞c chia

lim 0

n

uL

có d󰉙u

lim 0, 0

nn

vv

có d󰉙u

lim

n

u

v





















4. Các ví d󰉺 minh h󰉭a.

󰉺. Tìm gi󰉵i h󰉗n c󰉻a dãy

 

n

u

bi󰉦t:

a).

32

3 2 2

n

u n n  

b).

43

23

n

u n n n   

c).

43

2

4 2 1

1

n

nn

u

n







d).

 

1

4 2. 3

n

u



  

e).

2

cos 4

10

n

u n n





f).

4 2 2

3

4 1 2

32

n

n n n

u

n n n

  





.

L󰉶i gi󰉘i

....................................................................................................................................................................................................................

󰉪󰉗󰉭 󰉼󰉴-Bài 1. 󰉵󰉗󰉯

6

󰉵󰉚󰉪 Tel: 0935.660.880

....................................................................................................................................................................................................................

B. PHÂN D󰈩NG VÀ BÀI T󰈯P MINH H󰈿A.

󰉗󰉽󰉯󰉵󰉗 là 0.

1. 󰉼󰉴

 Cách 1: Áp d󰉺󰉬

 Cách 2: S󰉿 d󰉺󰉬nh lí sau:

N󰉦u

k

là s󰉯 th󰊁󰉼󰉴

1

lim 0

k

n



.

V󰉵i hai dãy s󰉯

 

n

u

và

 

n

v

, n󰉦u

nn

uv

v󰉵i m󰉭i

n

và

lim 0

n

v 

thì

lim 0

n

u 

.

N󰉦u

1q 

thì

lim 0

n

q 

.

2. 󰉝󰉭

󰉝 󰉽󰉯

 

n

u

󰉵󰉗

a).

cos4

3

n

u

n





b).

3

1 cos

23

n

u

n







c).

 

11

1

23

n

nn

u







L󰉶i gi󰉘i

....................................................................................................................................................................................................................

󰉪󰉗󰉭 󰉼󰉴-Bài 1. 󰉵󰉗 󰉯

7

󰉵󰉚󰉪 Tel: 0935.660.880

󰉝 󰉽 󰉟󰉯󰉵󰉯󰉗󰉱󰉵󰉗

a).

33

21

n

u n n   

. b).

3 sin 2 4

2 4.5

nn

n

nn

n

u







.

c).

2

sin2

n

nn

u







. d).

cos

5

n

u

n n n









.

L󰉶i gi󰉘i

....................................................................................................................................................................................................................

󰉪󰉗󰉭 󰉼󰉴-Bài 1. 󰉵󰉗󰉯

8

󰉵󰉚󰉪 Tel: 0935.660.880

󰉝 󰉯

 

n

u

󰉵

3

n

u 

.

a). 󰉽󰉟

1

2

3

n

u





󰉵󰉭

*

n

.

b). 󰉟󰉼󰉴󰉗 󰉽󰉟

2

0

3

n

u









󰉵󰉭

*n

.

c). Dãy

 

n

u

󰉵󰉗

L󰉶i gi󰉘i

....................................................................................................................................................................................................................

3. 󰉮󰉞󰉪.

Câu 1. 󰉦󰉘󰉻󰉵󰉗

sin5

lim 2

3

n









󰉟

A.

2.

B. 3. C. 0. D.

5

.

3

󰉶󰉘

....................................................................................................................................................................................................................

󰉪󰉗󰉭 󰉼󰉴-Bài 1. 󰉵󰉗 󰉯

9

󰉵󰉚󰉪 Tel: 0935.660.880

Câu 2. 󰉯󰊁󰉡

k

󰉨

1

2 cos

1

lim .

22

k

nn

n





A.

0.

B. 1. C.

4.

D. 󰉯

󰉶󰉘

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 3. 󰉦󰉘󰉻󰉵󰉗

3sin 4cos

lim

1

nn

n



󰉟

A.

1

. B.

0

. C.

2

. D.

3

.

󰉶󰉘

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 4. 󰉦󰉘󰉻󰉵󰉗

2

cos2

lim 5

1

nn

n











󰉟

A.

4

. B.

1

.

4

C.

5

. D.

4.

󰉶󰉘

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 5. 󰉦󰉘󰉻󰉵󰉗

23

lim sin 2

5

n

nn











là:

A.

.

B.

2.

C.

0

. D.

.

󰉶󰉘

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 6. 󰉬󰉻󰉵󰉗

 

1

lim 4

1

n













󰉟

A.

1

. B.

3

. C.

4

. D.

2

.

󰉪󰉗󰉭 󰉼󰉴-Bài 1. 󰉵󰉗󰉯

10

󰉵󰉚󰉪 Tel: 0935.660.880

󰉶󰉘

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 7. 󰉯

 

n

u

và

 

n

v

có

 

2

1

n

u

n







và

2

1

.

2

n

v

n







 

lim

nn

uv

󰉬

󰉟

A.

3

. B.

0

. C.

2

. D.

1

.

󰉶󰉘

....................................................................................................................................................................................................................

󰉗󰉬󰉽󰉯

 

n

u

󰉵󰉗󰊀󰉗

L

.

1. 󰉼󰉴

Ta bi󰉦󰉱i

lim

n

uL

v󰉧 d󰉗ng tìm lim có gi󰉵i h󰉗n b󰉟ng

0

t󰉽c là ch󰉽ng minh

lim 0

n

uL

.

K󰉦t lu󰉝n

lim

n

uL

.

2. 󰉝󰉭

󰉝 󰉽

a).

2 3 1

lim

4 5 2

n







b).

4.3 5.2 2

lim

6.3 3.2 3

nn







c).





2

lim 2 1n n n  

.

L󰉶i gi󰉘i

....................................................................................................................................................................................................................

󰉪󰉗󰉭 󰉼󰉴-Bài 1. 󰉵󰉗 󰉯

11

󰉵󰉚󰉪 Tel: 0935.660.880

....................................................................................................................................................................................................................

󰉗Tìm gi󰉵i h󰉗n c󰉻a dãy

 

n

u

có gi󰉵i h󰉗n h󰊀u h󰉗󰉟󰉞󰉬

Bài toán 1. Dãy

 

n

u

là m󰉳t phân th󰉽c h󰊀u t󰉫 d󰉗ng

 

n

Pn

u

Qn



(v󰉵i

   

,P n Q n

là hai a th󰉽c).

1. Ph󰉼󰉴ng pháp:

Chia c󰉘 t󰉿 và m󰉜u cho

k

n

v󰉵i

k

n

là ly th󰉾a có s󰉯 m l󰉵n nh󰉙t c󰉻a

 

Pn

và

 

Qn

(ho󰉢c rút

k

n

là ly th󰉾a có s󰉯 m l󰉵n nh󰉙t c󰉻a

 

Pn

và

 

Qn

ra làm nhân t󰉿) sau ó áp d󰉺ng các 󰉬nh

lý v󰉧 gi󰉵i h󰉗n.

N󰉦u

k

là s󰉯 th󰊁󰉼󰉴

1

lim 0

k

n



.

N󰉦u

1q 

thì

lim 0

n

q 

.

2. 󰉝󰉭

󰉝. Tìm gi󰉵i h󰉗n c󰉻a dãy

 

n

u

bi󰉦t:

a).

2

2 3 1

53

n

nn

u

n







b).

32

43

2 3 4

4

n

nn

u

n n n

  





c).

  

 

42

2

23

2 1 1 3 2 1

n

n n n

u

n n n





  

d).

22

11

2 2 3

n

u

n n n





e).

 

   

2

3

32

2 1 3 4

4 2 2

n

nn

u

nn







f).

2

21

23

n

nn

u

nn







L󰉶i gi󰉘i

....................................................................................................................................................................................................................

󰉪󰉗󰉭 󰉼󰉴-Bài 1. 󰉵󰉗󰉯

12

󰉵󰉚󰉪 Tel: 0935.660.880

....................................................................................................................................................................................................................

󰉪󰉗󰉭 󰉼󰉴-Bài 1. 󰉵󰉗 󰉯

13

󰉵󰉚󰉪 Tel: 0935.660.880

....................................................................................................................................................................................................................

 󰉝. 󰉵󰉗

a).

2

42

lim

21

nn

  



. b).

 

2

22

31

lim 2 1

2 3 1

n

n n n n







  



.

L󰉶i gi󰉘i

....................................................................................................................................................................................................................

4. 󰉮󰉞󰉪.

Câu 8. 󰉬󰉻󰉵󰉗

2

3

lim

4 2 1nn





là:

A.

3

.

4



B.

.

C.

0

. D.

1.

󰉶󰉘

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 9. 󰉬󰉻󰉵󰉗

2

3

2

lim

31

nn





󰉟

A.

2

. B.

1

. C.

2

.

3

D.

0

.

󰉶󰉘

....................................................................................................................................................................................................................

󰉪󰉗󰉭 󰉼󰉴-Bài 1. 󰉵󰉗󰉯

14

󰉵󰉚󰉪 Tel: 0935.660.880

Câu 10. 󰉬󰉻󰉵󰉗

3

4

3 2 1

lim

4 2 1

nn





là:

A.

.

B. 0. C.

2

.

7

D.

3

.

4

󰉶󰉘

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 11. 󰉬󰉻󰉵󰉗

1

lim

2

nn

n





󰉟

A.

3

.

2

B. 2. C. 1. D. 0.

󰉶󰉘

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 12. 󰉯

 

n

u

và

 

n

v

có

1

n

u

n





và

2

.

2

n

v

n







lim

n

v

u

󰉬󰉟

A. 1. B. 2. C. 0. D. 3.

󰉶󰉘

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 13. 󰉯

 

n

u

󰉵

4

53

n

an

u

n









a

󰉯󰊁󰉨󰉯

 

n

u

󰉵󰉗

󰉟

2

󰉬󰉻

a

là:

A.

10.a 

B.

8.a 

C.

6.a 

D.

4.a 

󰉶󰉘

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 14. 󰉯

 

n

u

󰉵

2

53

n

nb

u

n









b

󰉯󰊁󰉨󰉯

 

n

u

󰉵󰉗

󰊀󰉗󰉬󰉻

b

là:

A.

b

󰉳󰉯󰊁 B.

2.b 

C. 󰉰󰉗

.b

D.

5.b 

󰉶󰉘

....................................................................................................................................................................................................................

󰉪󰉗󰉭 󰉼󰉴-Bài 1. 󰉵󰉗 󰉯

15

󰉵󰉚󰉪 Tel: 0935.660.880

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 15. 󰉵󰉗

2

5

lim .

21

nn

L

n







A.

3

.

2

L 

B.

1

.

2

L 

C.

2.L 

D.

1.L 

󰉶󰉘

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 16. 󰉯

 

n

u

󰉵

2

42

.

5

n

nn

u

an







󰉨󰉯󰉵󰉗󰉟

2

󰉬󰉻

a

là:

A.

4.a 

B.

4.a 

C.

3.a 

D.

2.a 

󰉶󰉘

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 17. 󰉵󰉗

23

3

lim .

2 5 2

nn

L

nn







A.

3

.

2

L 

B.

1

.

5

L 

C.

1

.

2

L 

D.

0.L 

󰉶󰉘

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 18. 󰉙󰉘󰉬󰉻󰉯

a

󰉨

 

24

4

53

lim 0.

1 2 1

n an

L

a n n





  

A.

0; 1.a a

B.

0 1.a

C.

0; 1.aa

D.

0 1.a

󰉶󰉘

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 19. 󰉵󰉗

  

 

32

4

2 3 1

lim .

2 1 7

n n n

L

nn







󰉪󰉗󰉭 󰉼󰉴-Bài 1. 󰉵󰉗󰉯

16

󰉵󰉚󰉪 Tel: 0935.660.880

A.

3

.

2

L 

B.

1.L 

C.

3.L 

D.

.L  

󰉶󰉘

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 20. 󰉵󰉗

  

 

  

23

42

2 2 1 4 5

lim .

3 1 3 7

n n n n

L

n n n

  



  

A.

0.L 

B.

1.L 

C.

8

.

3

L 

D.

.L  

󰉶󰉘

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 21. 󰉵󰉗

3

1

lim .

8

n

L

n







A.

1

.

2

L 

B.

1.L 

C.

1

.

8

L 

D.

.L  

󰉶󰉘

....................................................................................................................................................................................................................

Bài Toán 2. Dãy

n

u

là m󰉳t phân th󰉽c d󰉗ng

 

n

Pn

u

Qn



(v󰉵i

   

,P n Q n

là các bi󰉨u th󰉽c ch󰉽a cn

c󰉻a

n

).

1. 󰉼󰉴

 󰉼󰉵c 1. Chia c󰉘 t󰉿 và m󰉜u cho

k

n

v󰉵i

k

n

là ly th󰉾a có s󰉯 m l󰉵n nh󰉙t c󰉻a

 

Pn

và

 

Qn

(ho󰉢c rút

k

n

là ly th󰉾a có s󰉯 m l󰉵n nh󰉙t c󰉻a

 

Pn

và

 

Qn

ra làm nhân t󰉿) sau ó áp d󰉺ng

các 󰉬nh lý v󰉧 gi󰉵i h󰉗n.

󰉪󰉗󰉭 󰉼󰉴-Bài 1. 󰉵󰉗 󰉯

17

󰉵󰉚󰉪 Tel: 0935.660.880

 󰉼󰉵c 2. 󰉦t qu󰉘 sau

N󰉦u

 

lim lim

n

Pn

uC

Qn

  

gi󰉵i h󰉗n c󰉻a dãy s󰉯 là

.C

N󰉦u

 

0

lim lim

n

Pn

u

Qn









  









thì ta nói gi󰉵i h󰉗󰉗󰉬nh.

󰉨 tính ti󰉦p gi󰉵i h󰉗n ta ph󰉘i kh󰉿 d󰉗󰉬nh b󰉟ng các k󰊄 thu󰉝t sau:

 󰉯i v󰉵󰉽c: 󰉼󰉹ng liên h󰉹p c󰉻a b󰉝c hai và b󰉝󰇛󰇜



  

   

2

a b a b

ab

a b a b





  





  

   

2

a b a b

ab

a b a b





  





   

2

3 3 3

3

22

3 3 3 3

.

..

a b a a b b

ab

a a b b a a b b



  







  

   

.



   

2

3 3 3

3

22

3 3 3 3

.

..

a b a a b b

ab

a a b b a a b b



  







  

   



   

2

3 3 3

3

22

3 3 3 3

.

..

a b a a b b

ab

a a b b a a b b



  







  

   



   

2

3 3 3

3

22

3 3 3 3

.

..

a b a a b b

ab

a a b b a a b b



  







  

   



     

       

22

3 3 3 3 3 3

33

2 2 2 2

3 3 3 3 3 3 3 3

.

..

a b a a b b

ab

a a b b a a b b



  







  

   

.



     

       

22

3 3 3 3 3 3

33

2 2 2 2

3 3 3 3 3 3 3 3

.

..

a b a a b b

ab

a a b b a a b b



  







  

   

 󰉯i v󰉵i 󰉽c: 󰉢t nhân t󰉿 chung b󰉟󰉼󰉴th󰉽c thành

nhân t󰉿.



Th󰉾a s󰉯 chung.



H󰉟󰉠ng th󰉽󰉵.

.



Nhóm, tách và thêm b󰉵t h󰉗ng t󰉿.

 Nh󰉵:



N󰉦u

2

ax bx c

có hai nghi󰉪m

12

,xx

thì

  

2

12

ax bx c a x x x x    



N󰉦u b󰉝c ba

32

ax bx cx d  



0

xx

r󰉰󰉽󰉨 󰉼󰉧

   

32

0

ax bx cx d x x f x    

, v󰉵i

 

fx

là hàm b󰉝c hai.

2. 󰉝󰉭

 󰉝. Tìm gi󰉵i h󰉗n c󰉻a dãy

 

n

u

bi󰉦t:

󰉪󰉗󰉭 󰉼󰉴-Bài 1. 󰉵󰉗󰉯

18

󰉵󰉚󰉪 Tel: 0935.660.880

a).

2

41

93

n

n n n

u

nn

  





b).

2 1 3

45

n

nn

u

n

  





c).

3

2 3 2

24

4

4 1 8 2 3

16 4 1

n

n n n

u

n n n

   



  

d).

3

23

4

3

16 1

n

n n n n

u

n

  





L󰉶i gi󰉘i

....................................................................................................................................................................................................................

 󰉝. Tìm gi󰉵i h󰉗n c󰉻a dãy

 

n

u

bi󰉦t:

a).

2

35

n

u n n n   

b).

2

9 3 4 3 2

n

u n n n    

c).

3

32

3

n

u n n n  

d).

3

32

8 4 2 2 3

n

u n n n    

e).

3

2 3 2

4 3 7 8 5 1

n

u n n n n     

f).





3

4 2 6

11

n

u n n n    

L󰉶i gi󰉘i

....................................................................................................................................................................................................................

󰉪󰉗󰉭 󰉼󰉴-Bài 1. 󰉵󰉗 󰉯

19

󰉵󰉚󰉪 Tel: 0935.660.880

....................................................................................................................................................................................................................

󰉪󰉗󰉭 󰉼󰉴-Bài 1. 󰉵󰉗󰉯

20

󰉵󰉚󰉪 Tel: 0935.660.880

....................................................................................................................................................................................................................

 Bài 󰉝. 󰉵󰉗

a).

2

lim

4 3 2

n n n



b).

2

3

23

24

4

n

n n n

u

n n n







c).





22

lim 2 9 2n n n n n   

d).





3

2 2 3 2

lim 2 2 8 3n n n n n n    

L󰉶i gi󰉘i

....................................................................................................................................................................................................................

󰉪󰉗󰉭 󰉼󰉴-Bài 1. 󰉵󰉗 󰉯

21

󰉵󰉚󰉪 Tel: 0935.660.880

....................................................................................................................................................................................................................

󰉪󰉗󰉭 󰉼󰉴-Bài 1. 󰉵󰉗󰉯

22

󰉵󰉚󰉪 Tel: 0935.660.880

....................................................................................................................................................................................................................

 󰉝. 󰉵󰉗

a).

2

9 2 3

lim

43

n n n

n





. b).

5

4

5

4

3 4 2

lim

23

nn





. c).





2

lim 4 2 2n n n

.

d).





3

lim 2 1 .n n n  

e).

3

26

42

1

lim

1

nn



f).





3

2 2 3

lim 2 3n n n n   

L󰉶i gi󰉘i

....................................................................................................................................................................................................................

󰉪󰉗󰉭 󰉼󰉴-Bài 1. 󰉵󰉗 󰉯

23

󰉵󰉚󰉪 Tel: 0935.660.880

....................................................................................................................................................................................................................

5. 󰉮󰉞󰉪.

Câu 22. 󰉦󰉘󰉻󰉵󰉗

2

91

lim

42

nn

n





󰉟

A.

2

.

3

B.

3

.

4

C. 0. D. 3.

󰉶󰉘

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 23. 󰉦󰉘󰉻󰉵󰉗

2

4

21

lim

32

nn

n

  



󰉟

A.

2

.

3



B.

1

.

2

C.

3

.

3



D.

1

.

2



󰉶󰉘

....................................................................................................................................................................................................................

󰉪󰉗󰉭 󰉼󰉴-Bài 1. 󰉵󰉗󰉯

24

󰉵󰉚󰉪 Tel: 0935.660.880

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 24. 󰉦󰉘󰉻󰉵󰉗

23

lim

25

n



là:

A.

5

.

2

B.

5

.

7

C.

.

D.

1.

󰉶󰉘

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 25. 󰉦󰉘󰉻󰉵󰉗

14

lim

1

n

nn





󰉟

A. 1. B. 0. C.

1.

D.

1

.

2

󰉶󰉘

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 26. 󰉦󰉟

2

1

lim sin .

4

2

nn

ab

nn









Tính

33

.S a b

A.

1.S 

B.

8.S 

C.

0.S 

D.

1.S 

󰉶󰉘

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 27. 󰉦󰉘󰉻󰉵󰉗

42

10

lim

1nn

là:

A.

.

B. 10. C. 0. D.

.

󰉶󰉘

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 28. 󰉦󰉘󰉻󰉵󰉗

 

42

22

lim 1

1

n

nn





là:

A.

.

B. 1. C. 0. D.

.

󰉪󰉗󰉭 󰉼󰉴-Bài 1. 󰉵󰉗 󰉯

25

󰉵󰉚󰉪 Tel: 0935.660.880

󰉶󰉘

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 29. 󰉦󰉟

3

32

2

57

lim 3

32

an n

bc

nn







󰉵

,,abc

󰉯󰉬󰉻󰉨󰉽

3

.

ac

P

b





A.

3.P 

B.

1

.

3

P 

C.

2.P 

D.

1

.

2

P 

󰉶󰉘

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 30. 󰉦󰉘󰉻󰉵󰉗

5

52

lim 200 3 2nn

là:

A.

.

B. 1. C. 0. D.

.

󰉶󰉘

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 31. 󰉬󰉻󰉵󰉗

 

lim 5 1nn  

󰉟

A.

0.

B.

1.

C.

3.

D.

5.

󰉶󰉘

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 32. 󰉬󰉻󰉵󰉗





2

lim 1n n n  

là:

A.

1

.

2



B.

0.

C.

1.

D.

.

󰉶󰉘

....................................................................................................................................................................................................................

󰉪󰉗󰉭 󰉼󰉴-Bài 1. 󰉵󰉗󰉯

26

󰉵󰉚󰉪 Tel: 0935.660.880

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 33. 󰉬󰉻󰉵󰉗





22

lim 1 3 2nn  

là:

A.

2.

B.

0.

C.

.

D.

.

󰉶󰉘

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 34. 󰉬󰉻󰉵󰉗





22

lim 2 2n n n n  

là:

A.

1.

B.

2.

C.

4.

D.

.

󰉶󰉘

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 35. 󰉬󰉻

a

󰉨

 





2 2 2

lim 2 1 0.n a n n a n     

A.

0.

B. 2. C.

1.

D. 3.

󰉶󰉘

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 36. 󰉬󰉻󰉵󰉗





22

lim 2 1 2 3 2n n n n    

là:

A.

0.

B.

2

.

2

C.

.

D.

.

󰉶󰉘

....................................................................................................................................................................................................................

󰉪󰉗󰉭 󰉼󰉴-Bài 1. 󰉵󰉗 󰉯

27

󰉵󰉚󰉪 Tel: 0935.660.880

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 37. 󰉬󰉻󰉵󰉗





22

lim 2 1 2n n n n   

là:

A.

1.

B.

1 2.

C.

.

D.

.

󰉶󰉘

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 38. 󰉬󰉻

a

󰉮





22

lim 8 0n n n a   

.

A.

0.

B. 2. C. 1. D. 󰉯

󰉶󰉘

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 39. 󰉬󰉻󰉵󰉗





2

lim 2 3n n n  

là:

A.

1.

B.

0.

C.

1.

D.

.

󰉶󰉘

....................................................................................................................................................................................................................

󰉪󰉗󰉭 󰉼󰉴-Bài 1. 󰉵󰉗󰉯

28

󰉵󰉚󰉪 Tel: 0935.660.880

Câu 40. 󰉯

 

n

u

󰉵

22

51

n

u n an n    



a

󰉯󰊁

a

󰉨

lim 1.

n

u 

A.

3.

B.

2.

C.

2.

D.

3.

󰉶󰉘

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 41. 󰉬󰉻󰉵󰉗





33

lim 1 2nn  

󰉟

A.

3.

B.

2.

C.

0.

D.

1.

󰉶󰉘

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 42. 󰉬󰉻󰉵󰉗





3

23

lim n n n

là:

A.

1

.

3

B.

.

C.

0.

D.

1.

󰉶󰉘

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 43. 󰉬󰉻󰉵󰉗





3

32

lim 2n n n

󰉟

A.

1

.

3

B.

2

.

3



C.

0.

D.

1.

󰉶󰉘

....................................................................................................................................................................................................................

󰉪󰉗󰉭 󰉼󰉴-Bài 1. 󰉵󰉗 󰉯

29

󰉵󰉚󰉪 Tel: 0935.660.880

Câu 44. 󰉬󰉻󰉵󰉗

 

lim 1 1n n n



  



là:

A.

1.

B.

.

C.

0.

D.

1.

󰉶󰉘

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 45. 󰉬󰉻󰉵󰉗

 

lim 1n n n







󰉟

A.

0.

B.

1

.

2

C.

1

.

3

D.

1

.

4

󰉶󰉘

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 46. 󰉬󰉻󰉵󰉗





22

lim 1 3n n n



  





󰉟

A.

1.

B.

2.

C.

4.

D.

.

󰉶󰉘

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 47. 󰉬󰉻󰉵󰉗





22

lim 1 6n n n n n



    





là:

A.

7 1.

B.

3.

C.

7

.

2

D.

.

󰉶󰉘

....................................................................................................................................................................................................................

󰉪󰉗󰉭 󰉼󰉴-Bài 1. 󰉵󰉗󰉯

30

󰉵󰉚󰉪 Tel: 0935.660.880

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 48. 󰉬󰉻󰉵󰉗

2

1

lim

24nn



  

là:

A.

1.

B.

0.

C.

.

D.

.

󰉶󰉘

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 49. 󰉬󰉻󰉵󰉗

2

92

lim

32

n n n

n

  



là:

A.

1.

B.

0.

C.

3.

D.

.

󰉶󰉘

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 50. 󰉬󰉻󰉵󰉗

3

1

lim

1nn

là:

A.

2.

B.

0.

C.

.

D.

.

󰉶󰉘

....................................................................................................................................................................................................................

Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV-Bài 1. Giới Hạn Dãy số

31

Lớp Toán Thầy–Diệp Tuân Tel: 0935.660.880

Bài Toán 3. Dãy

 

n

u

là một phân thức hữu tỉ dạng

 

n

Pn

u

Qn



( trong đó

   

,P n Q n

là các biểu

thức chứa hàm mũ

,,

n n n

abc

,…

1. Phương pháp.

Chia cả tử và mẫu cho

n

a

với

a

là cơ số lớn nhất .

Rồi áp dụng kết quả của giới hạn

lim 0

n

q 

 

1.q 

2. Bài tập minh họa.

 Bài tập 11. Tìm giới hạn của dãy

 

n

u

biết:

a).

24

43

nn

n

nn

u







b).

3.2 5

5.4 6.5

nn

n

nn

u







c).

21

13

46

5 2.6

nn

n

nn

u











d).

2

21

32

n

u







e).

 

1

3 4.5

2.4 3.5

n

nn

u









f).

2

1 2 1

2 3 4.5

2 3 5

n n n

n

n n n

u



  







g).

11

2 3 4

lim

2 3 4

n n n

n n n





h).

2

1 2 2 ... 2

lim

1 3 3 ... 3

n

   

Lời giải

....................................................................................................................................................................................................................

Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV. Giới Hạn Dãy Số

32

Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880

....................................................................................................................................................................................................................

3. Câu hỏi trắc nghiệm.

Câu 51. Kết quả của giới hạn

2

25

lim

3 2.5

n

nn







bằng:

A.

25

.

2



B.

5

.

2

C.

1.

D.

5

.

2



Lời giải.

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 52. Kết quả của giới hạn

1

3 2.5

lim

25

nn







bằng:

A.

15.

B.

10.

C.

10.

D.

15.

Lời giải.

....................................................................................................................................................................................................................

Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV-Bài 1. Giới Hạn Dãy số

33

Lớp Toán Thầy–Diệp Tuân Tel: 0935.660.880

Câu 53. Kết quả của giới hạn

1

3 4.2 3

lim

3.2 4

nn







là:

A.

0.

B.

1.

C.

.

D.

.

Lời giải.

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 54. Kết quả của giới hạn

31

lim

2 2.3 1

n

nn





bằng:

A.

1.

B.

1

.

2



C.

1

.

2

D.

3

.

2

Lời giải.

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 55. Biết rằng

 

1

2

1

2

5 2 1

2 3 5

lim

1

5.2 5 3

n

na

c

nb











  











với

,, .abc

Tính giá trị của biểu

thức

2 2 2

.S a b c  

A.

26.S 

B.

30.S 

C.

21.S 

D.

31.S 

Lời giải.

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 56. Kết quả của giới hạn

2

22

32

lim

3 3 2

n n n









là:

A.

1.

B.

1

.

3

C.

.

D.

1

.

4

Lời giải.

....................................................................................................................................................................................................................

Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV. Giới Hạn Dãy Số

34

Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 57. Kết quả của giới hạn

lim 3 5

n









là:

A.

3.

B.

5.

C.

.

D.

.

Lời giải.

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 58. Kết quả của giới hạn

 

41

lim 3 .2 5.3

nn



là:

A.

2

.

3

B.

1.

C.

.

D.

1

.

3

Lời giải.

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 59. Kết quả của giới hạn

1

3 4.2 3

lim

3.2 4

nn

n







là:

A.

0.

B.

1.

C.

.

D.

.

Lời giải.

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 60. Kết quả của giới hạn

1

2

2 3 10

lim

32

n

nn







là:

A.

.

B.

2

.

3

C.

3

.

2

D.

.

Lời giải.

....................................................................................................................................................................................................................

Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV-Bài 1. Giới Hạn Dãy số

35

Lớp Toán Thầy–Diệp Tuân Tel: 0935.660.880

Câu 61. Tìm tất cả giá trị nguyên của

a

thuộc

 

0;2018

để

1

4

.

42

l

4

im

23

1

04 1

nn

n n a







A.

2007.

B.

2008.

C.

2017.

D.

2016.

Lời giải.

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 62. Kết quả của giới hạn

 

2

1

2

lim

3 1 3

n

nn

n













bằng:

A.

2

.

3

B.

1.

C.

1

.

3

D.

1

.

3



Lời giải.

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 63. Kết quả của giới hạn

 

3 1 cos3

lim

1

n

nn

n











bằng:

A.

3

.

2

B.

3.

C.

5.

D.

1.

Lời giải.

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 64. Có bao nhiêu giá trị nguyên của

a

thuộc

 

0;20

sao cho

2

11

lim 3

32

n

an

n







là một số

nguyên.

A.

1.

B.

3.

C.

2.

D.

4.

Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV. Giới Hạn Dãy Số

36

Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880

Lời giải.

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 65. Kết quả của giới hạn

lim 2.3 2

n

n

là:

A.

0.

B.

2.

C.

3.

D.

.

Lời giải.

....................................................................................................................................................................................................................

Dạng 4. Tính giới hạn mà dãy

 

n

u

cho dưới dạng công thức truy hồi.

1. Phương pháp.

Đưa dãy số

 

n

u

về dạng tổng quát rồi làm giống như ba dạng trên.

Từ dãy cho dưới dạng truy hồi ta công thức tuy hồi ta đưa về công thức tổng quát.

Chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn (có nghĩa chứng minh dãy số tăng và bị chặn trên

hoặc dãy số giảm và bị chặn dưới) sau đó dựa vào hệ thức truy hồi để tìm giới hạn.

2. Bài tập minh họa.

 Bài tập 12. Tìm giới hạn của dãy

 

n

u

biết:

a).

1 1 1

1.2 2.3 ( 1)

n

u

nn

  



b).

2 2 2 2

1 2 3

( 1)( 2)

n

u

n n n

  





c).

1 1 1 1

1.4 4.7 7.10 (3 2)(3 1)

n

u

nn

    



d).

2

1 3 5 (2 1)

34

n

u

n

   





e).

2 2 2

1 1 1

1 1 ... 1

23

n

u

n

    

   

    

    

f).

3 3 3

43

12

lim

41

n

nn

  



g).

1 1 1

lim

1.2.3 2.3.4 ( 1)( 2)n n n



 







h).

2 2 2 2

4

2.1 3.2 ( 1) ( 1)

lim

n n n n

n



     





k).

  

1 1 1

lim

1.3 3.5 2 1 2 1nn



 







Lời giải

....................................................................................................................................................................................................................

Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV-Bài 1. Giới Hạn Dãy số

37

Lớp Toán Thầy–Diệp Tuân Tel: 0935.660.880

....................................................................................................................................................................................................................

Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV. Giới Hạn Dãy Số

38

Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880

....................................................................................................................................................................................................................

 Bài tập 14. Cho dãy số

 

n

u

xác định bởi

01

21

1; 6

3 2 0,

n n n

uu

u u u n









    



. Tìm

lim

3.2

n

u

.

Lời giải

....................................................................................................................................................................................................................

 Bài tập 15. Cho dãy số

 

n

u

được xác định như sau:

12

21

1, 3

2 1, *

n n n

uu

u u u n









   



. Tính

2

lim

n

u

n

.

Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV-Bài 1. Giới Hạn Dãy số

39

Lớp Toán Thầy–Diệp Tuân Tel: 0935.660.880

Lời giải

....................................................................................................................................................................................................................

4. Câu hỏi trắc nghiệm.

Câu 66. Giá trị của giới hạn

2

13

1 ...

2 2 2

lim

1

n

   



bằng:

A.

1

.

8

B.

1.

C.

1

.

2

D.

1

.

4

Lời giải.

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 67. Giá trị của giới hạn

2 2 2

1 2 1

lim ...

n

n n n





  





bằng:

A.

0

. B.

1

.

3

C.

1

.

2

D.

1

.

Lời giải.

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 68. Giá trị của giới hạn

 

2

1 3 5 2 1

lim

34

n

    









bằng:

A. 0. B.

1

.

3

C.

2

.

3

D.

1

.

Lời giải.

Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV. Giới Hạn Dãy Số

40

Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 69. Giá trị của giới hạn

 

1 1 1

lim ...

1.2 2.3 1nn



  







là:

A.

1

.

2

B.

1.

C.

0.

D.

.

Lời giải.

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 70. Giá trị của giới hạn

  

1 1 1

lim ...

1.3 3.5 2 1 2 1nn



  







bằng:

A.

1

.

2

B.

1

.

4

C.

1

. D.

2

.

Lời giải.

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 71. Giá trị của giới hạn

 

1 1 1

lim ......

1.4 2.5 3nn











bằng:

A.

11

.

18

B.

2

. C.

1

. D.

3

.

2

Lời giải.

....................................................................................................................................................................................................................

Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV-Bài 1. Giới Hạn Dãy số

41

Lớp Toán Thầy–Diệp Tuân Tel: 0935.660.880

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 72. Giá trị của giới hạn

 

2 2 2

2

1 2 ...

lim

1

n

nn

  



bằng:

A. 4. B.

1

. C.

1

.

2

D.

1

.

3

Lời giải.

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 73. Cho dãy số có giới hạn

 

n

u

xác định bởi

1

2

.

1

, 1

2

n

u

un

u





















Tính

lim .

n

u

A.

lim 1.

n

u 

B.

lim 0.

n

u 

C.

1

lim .

2

n

u 

D.

lim 1.

n

u 

Lời giải.

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 74. Cho dãy số có giới hạn

 

n

u

xác định bởi

1

2

.

1

, 1

2

n

u

un



















Tính

lim .

n

u

A.

lim 1.

n

u 

B.

lim 0.

n

u 

C.

lim 2.

n

u 

D.

lim .

n

u  

Lời giải.

....................................................................................................................................................................................................................

Dạng 5. Tính giới hạn dựa vào định lý kẹp.

1. Phương pháp.

Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV. Giới Hạn Dãy Số

42

Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880

Dựa vào định lí: Cho ba dãy số

   

,

nn

uv

và

 

n

w

.

Nếu

 

,

n n n

u v w n  

và

 

lim lim ,

nn

u w a a  

thì

lim

n

va

.

2. Bài tập minh họa.

 Bài tập 16. Tìm giới hạn của dãy

 

n

u

biết:

a).

1 3 5 2 1

2 4 6 2

n

u

n



   

b).

2 2 2

1 1 1

12

n

u

n n n n

  

  

c).

 

*

1.3.5.7.... 2 1

,

2.4.6...2n

n

un





d).

1 2 3 ...

n

u

nn

   



e).

2 2 2

1 1 1

l

4 1 4 2 4

n

u

n n n n

   

  

Lời giải

....................................................................................................................................................................................................................

Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV-Bài 1. Giới Hạn Dãy số

43

Lớp Toán Thầy–Diệp Tuân Tel: 0935.660.880

....................................................................................................................................................................................................................

Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV. Giới Hạn Dãy Số

44

Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880

....................................................................................................................................................................................................................

Dạng 6. Giới hạn có kết quả là vô cực (



hoặc



)

1. Phương pháp.

Chia cả tử và mẫu cho

k

n

với

k

n

là lũy thừa có số mũ lớn nhất của

 

Pn

và

 

Qn

(hoặc rút

k

n

là lũy thừa có số mũ lớn nhất của

 

Pn

và

 

Qn

ra làm nhân tử) sau đó áp dụng các quy

tắc nhân và quy tắc chia).

Nếu gặp dạng vô định thì ta khử nhé.

Nếu gặp dạng

0

L

, là bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu thì ta tách cùng bậc đưa về tích.

Quy tắc nhân:

lim

n

u

lim

n

v

 

lim .

nn

uv

lim

n

u

lim 0

n

vL

 

lim .

nn

uv































Quy tắc chia

lim 0

n

uL

có dấu

lim 0, 0

nn

vv

có dấu

lim

n

u

v





















2. Bài tập minh họa.

 Bài tập 17. Tìm các giới hạn sau

a).

5 4 3

32

2

lim

4 6 9

n n n n

nn

  



. b).

3

63

7 5 8

lim

12

n n n

n

   



c).

 

lim 2 3 1nn  

d).

 

2

42

1 2 3

lim

1

nn





e).





4

lim 1 1nn  

.

f).

3

1

lim 2sin 2 3

3

nn









.

Lời giải

....................................................................................................................................................................................................................

Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV-Bài 1. Giới Hạn Dãy số

45

Lớp Toán Thầy–Diệp Tuân Tel: 0935.660.880

....................................................................................................................................................................................................................

Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV. Giới Hạn Dãy Số

46

Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880

....................................................................................................................................................................................................................

 Bài tập 18. Tìm các giới hạn sau

a).

 

1

lim 5 3

nn



. b).

 

1

36

lim

35

n





.

Lời giải

....................................................................................................................................................................................................................

Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV-Bài 1. Giới Hạn Dãy số

47

Lớp Toán Thầy–Diệp Tuân Tel: 0935.660.880

....................................................................................................................................................................................................................

5. Câu hỏi trắc nghiệm.

Câu 75. Kết quả của giới hạn

5

52

lim 200 3 2nn

là:

A.

.

B.

1

. C.

0

. D.

.

Lời giải.

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 76. Giá trị của giới hạn

 

lim 5 1nn  

bằng:

A.

0.

B.

1.

C.

3.

D.

5.

Lời giải.

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 77. Giá trị của giới hạn





22

lim 1 3 2nn  

là:

A.

2.

B.

0.

C.

.

D.

.

Lời giải.

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 78. Giá trị của giới hạn

2

1

lim

24nn



  

là:

A.

1.

B.

0.

C.

.

D.

.

Lời giải.

....................................................................................................................................................................................................................

Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV. Giới Hạn Dãy Số

48

Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 79. Kết quả của giới hạn

3

2

lim

13

nn

n



là:

A.

1

.

3



B.

.

C.

.

D.

2

.

3

Lời giải.

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 80. Kết quả của giới hạn

3

2

23

lim

4 2 1

nn





là:

A.

3

.

4

B.

.

C. 0 D.

5

.

7

Lời giải.

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 81. Kết quả của giới hạn

4

3

lim

45

nn

n



là:

A.

0.

B.

.

C.

.

D.

3

.

4

Lời giải.

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 82. Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng 0?

A.

3

2

32

lim .

21

n





B.

2

3

23

lim .

24

n





C.

3

2

23

lim .

21

nn

n





D.

24

42

23

lim .

2

nn





Lời giải.

....................................................................................................................................................................................................................

Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV-Bài 1. Giới Hạn Dãy số

49

Lớp Toán Thầy–Diệp Tuân Tel: 0935.660.880

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 83. Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng

1

3



?

A.

2

.

35

n

nn

u

n







B.

43

32

21

.

3 2 1

n

nn

u

nn

  





C.

23

32

3

.

91

n

nn

u

nn







D.

2

3

25

.

3 4 2

n

nn

u

nn

  





Lời giải.

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 84. Dãy số nào sau đây có giới hạn là

?

A.

2

1

.

55

n

u

n







B.

2

3

2

.

55

n

u

nn







C.

2

.

55

n

nn

u

nn







D.

2

12

.

55

n

nn



Lời giải.

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 85. Dãy số nào sau đây có giới hạn là

?

A.

2

12

.

55

n

nn



B.

3

21

.

2

n

nn

u

nn







C.

24

23

.

2

n

nn

u

nn







D.

2

.

51

n

nn

u

n







Lời giải.

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 86. Tính giới hạn

 

2

lim 3 5 3 .L n n  

A.

3.L 

B.

.L  

C.

5.L 

D.

.L  

Lời giải.

....................................................................................................................................................................................................................

Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV. Giới Hạn Dãy Số

50

Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880

Câu 87. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

a

thuộc khoảng

 

10;10

để

 

23

lim 5 3 2L n a n    

.

A. 19. B. 3. C. 5. D. 10.

Lời giải.

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 88. Tính giới hạn

 

42

lim 3 4 1 .n n n  

A.

7.L 

B.

.L  

C.

3.L 

D.

.L  

Lời giải.

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 89. Cho dãy số

 

n

u

với

   

2

2 2 ... 2 .

n

u    

Mệnh đề nào sau đây đúng ?

A.

lim .

n

u  

B.

2

lim .

12

n

u 



C.

lim .

n

u  

D. Không tồn tại

lim .

n

u

Lời giải.

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 90. Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn bằng

2

, tổng của ba số hạng đầu tiên của cấp số

nhân bằng

9

4

. Số hạng đầu

1

u

của cấp số nhân đó là:

A.

1

3.u 

B.

1

4.u 

C.

1

9

.

2

u 

D.

1

5.u 

Lời giải.

....................................................................................................................................................................................................................

Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV-Bài 1. Giới Hạn Dãy số

51

Lớp Toán Thầy–Diệp Tuân Tel: 0935.660.880

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 91. Tính tổng

3

1 1 1

9 3 1

3 9 3

n

S



       

.

A.

27

.

2

S 

B.

14.S 

C.

16.S 

D.

15.S 

Lời giải.

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 92. Tính tổng

1 1 1 1

21

2 4 8 2

n

S



      





.

A.

2 1.S 

B.

2.S 

C.

2 2.S 

D.

1

.

2

S 

Lời giải.

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 93. Tính tổng

2 4 2

1

3 9 3

n

S      

.

A.

3.S 

B.

4.S 

C.

5.S 

D.

6.S 

Lời giải.

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 94. Tổng của cấp số nhân vô hạn

 

1

1 1 1

, , ,..., ,...

2 6 18 2.3

n





bằng:

A.

3

.

4

B.

8

.

3

C.

2

.

3

D.

3

.

8

Lời giải.

....................................................................................................................................................................................................................

Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV. Giới Hạn Dãy Số

52

Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880

Câu 95. Tính tổng

1 1 1 1 1 1

... ...

2 3 4 9 2 3

nn

S

     

       

     

     

.

A.

1.

B.

2

.

3

C.

3

.

4

D.

1

.

2

Lời giải.

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 96. Giá trị của giới hạn

 

2

1 ...

lim 1, 1

1 ...

n

a a a

ab

b b b

   



   

bằng:

A.

0.

B.

1

.

1

b

a



C.

1

.

1

a

b



D. Không tồn tại.

Lời giải.

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 97. Rút gọn

2 4 6 2

cos cos cos c s1 o

n

S x x x x    

với

cos 1.x 

A.

2

sin .Sx

B.

2

cos .Sx

C.

2

1

.

sin

S

x



D.

2

1

.

cos

S

x



Lời giải.

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 98. Rút gọn

 

2 4 6 2

1 sin si 1n sin .sin

n

S x x x x     

với

sin 1.x 

A.

2

sin .Sx

B.

2

cos .Sx

C.

2

1

.

1 sin

S

x





D.

2

tan .Sx

Lời giải.

....................................................................................................................................................................................................................

Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV-Bài 1. Giới Hạn Dãy số

53

Lớp Toán Thầy–Diệp Tuân Tel: 0935.660.880

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 99. Thu gọn

23

1 tan tantanS

  

   

với

0.

4







A.

1

.

1 tan

S







B.

cos

.

2 sin

4

S

















C.

tan

.

1 tan

S







D.

2

tan .S





Lời giải.

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 100. Cho

,mn

là các số thực thuộc

 

1;1

và các biểu thức:

23

1M m m m    

23

1N n n n    

2 2 3 3

1A mn m n m n    

Khẳng định nào dưới đây đúng?

A.

.

1

MN

A

MN





B.

.

1

MN

A

MN





C.

1 1 1

.A

M N MN

  

D.

1 1 1

.A

M N MN

  

Lời giải.

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 101. Số thập phân vô hạn tuần hoàn

0,5111

được biểu diễn bởi phân số tối giản

a

b

. Tính

tổng

.T a b

A.

17.

B.

68.

C.

133.

D.

137.

Lời giải.

....................................................................................................................................................................................................................

Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV. Giới Hạn Dãy Số

54

Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 102. Số thập phân vô hạn tuần hoàn

0,353535...A 

được biểu diễn bởi phân số tối giản

a

b

.

Tính

.T ab

A.

3456.

B.

3465.

C.

3645.

D.

3546.

Lời giải.

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 103. Số thập phân vô hạn tuần hoàn

5,231231...B 

được biểu diễn bởi phân số tối giản

a

b

.

Tính

.T a b

A.

1409.

B.

1490.

C.

1049.

D.

1940.

Lời giải.

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 104. Số thập phân vô hạn tuần hoàn

0,17232323

được biểu diễn bởi phân số tối giản

a

b

.

Khẳng định nào dưới đây đúng?

A.

15

2.ab

B.

14

2.ab

C.

13

2.ab

D.

12

2.ab

Lời giải.

....................................................................................................................................................................................................................

󰉪󰉗󰉭

󰉼󰉴-Bài 2. 󰉵󰉗 󰉯

55

󰉵󰉚 󰉪 Tel: 0935.660.880

A. 󰈸

I. Gi󰉵i h󰉗n c󰉻a hàm s󰉯 t󰉗i m󰉳󰉨m

0

xx

.

1. Gi󰉵i h󰉗n h󰊀u h󰉗n: Cho

   

0

;,x a b f x

là hàm s󰉯 󰉬nh trên t󰉝p h󰉹p:

   

0

;\D a b x

, n󰉦u

v󰉵i m󰉭i dãy s󰉯

   

0

;\

n

x a b x

sao cho

0

lim

n

xx

󰉧u có:

 

lim

n

f x L



s󰉯

 

fx

có gi󰉵i h󰉗n là

L

khi d󰉚󰉦n

0

x

󰉼󰉹c kí hi󰉪u:

 

0

lim

xx

f x L





.

Chú ý:

0

lim

xx





0

lim

xx

CC





, (

C

: h󰉟ng s󰉯).

󰉺󰉵󰉗

a).

 

2

1

lim 3 2 1

x

xx





. b).

 

3

2

31

lim

3

x

x x x

x







. c).

2

3 10

lim .

3 5 2

x

xx







d).

32

3

2

3 9 2

lim

6

x

x x x

xx



  



. e).

2

4 1 3

lim

4

x







. f).

2

22

lim .

73

x





h).

3

0

1 4 1

lim

x





. g).

3

2

3

2

1

3 2 4 2

lim

32

x

x x x

xx



   



. k).

3

2

1

lim

32

x







l).

0

9 16 7

lim

x

xx

x



   

. m).

3

32

0

1 3 1 1

lim

x

x x x

xx



   



. n).

3

22

0

3 1 2 1

lim

1 cos

x

xx

x



  



L󰉶i gi󰉘i

....................................................................................................................................................................................................................

 GI󰉇I H󰈩N C󰉍A HÀM S󰉁

󰉪󰉗󰉭 󰉼󰉴-Bài 2. 󰉵󰉗 󰉯

56

󰉵󰉚 󰉪 Tel: 0935.660.880

....................................................................................................................................................................................................................

2. Gi󰉵i h󰉗n vô c󰊁c:

Cho

   

0

;,x a b f x

là hàm s󰉯 󰉬nh trên t󰉝p h󰉹p:

N󰉦u v󰉵i m󰉭i dãy s󰉯

 

n

x

v󰉵i

   

0

;\

n

x a b x

sao cho

0

lim

n

xx

󰉧u có:

 

lim

n

fx  

thì

ta nói

 

0

lim

xx

fx



 

.

N󰉦u v󰉵i m󰉭i dãy s󰉯

 

n

x

v󰉵i

   

0

;\

n

x a b x

sao cho

0

lim

n

xx

󰉧u có:

 

lim

n

fx  

thì ta

nói

 

0

lim

xx

fx



 

.

II. Gi󰉵i h󰉗n c󰉻a hàm s󰉯 t󰉗i vô c󰊁c

x  

1. 󰉬

Cho

 

fx

là hàm s󰉯 󰉬nh trên

 

;a 

, n󰉦u v󰉵i m󰉭i dãy s󰉯

 

n

x

v󰉵i

n

x 

 

;a 

và

lim

n

x  

󰉧u có:

 

lim

n

f x L

thì ta nói

 

lim

x

f x L





󰉪󰉗󰉭

󰉼󰉴-Bài 2. 󰉵󰉗 󰉯

57

󰉵󰉚 󰉪 Tel: 0935.660.880

Các gi󰉵i h󰉗n

         

lim ; lim ; lim ; lim ; lim

x x x x x

f x f x f x L f x f x

    

        

󰉼󰉹c

󰉬󰉼󰉴󰊁.

2. Các gi󰉵i h󰉗󰉢c bi󰉪t:

lim

k

x



 

2

lim

21

k

x

khi k n

x

khi k n





 





  



lim

x

CC





, (

C

là h󰉟ng s󰉯)

lim 0

k

x

C

x





 󰉺󰉵󰉗

a).

3

31

lim

31

x

xx







. b).





2

lim 1

x

x x x



  

. c).





2

lim 3 1

x

x x x



  

d).

3

23

31

lim

2 6 6

x

xx







. e).

32

1

lim

4

x

xx







. f).

2

31

lim

9 2 1

x

xx







g).

5 3 1

lim

1

x

xx

x







. h).

2

23

lim

4 1 2

x

x x x

xx





  

. k).

   

 

20 30

50

2 3 3 2

lim

21

x

xx

x







l).





2

lim 2 1 4 4 3

x

x x x



   

. m).





3

23

lim 1 1

x

xx



  

. n).





3

32

lim 3 1 2

x

xx



  

L󰉶i gi󰉘i

....................................................................................................................................................................................................................

󰉪󰉗󰉭 󰉼󰉴-Bài 2. 󰉵󰉗 󰉯

58

󰉵󰉚 󰉪 Tel: 0935.660.880

....................................................................................................................................................................................................................

3. M󰉳t s󰉯 󰉬nh lí v󰉧 gi󰉵i h󰉗n

󰉬nh lí 1: N󰉦u

 

0

lim

xx

x

f x L







và

 

0

lim

xx

x

g x M







thì:

 

   

0

lim

xx

x

f x g x L M





  





 

   

0

lim

xx

x

f x g x L M





  





 

   

0

lim . .

xx

x

f x g x L M











 

0

lim . .

xx

x

C f x C L











, (C là h󰉟ng s󰉯);

0

lim . .

kk

xx

C x C x





,(C là h󰉟ng s󰉯,

k





 

0

lim 0

xx

x

fx

L

khi M

g x M







󰉬nh lí 2: Gi󰉘 s󰉿

 

0

lim

xx

x

f x L







 

0

lim

xx

x

f x L







;

 

0

3

lim

xx

x

f x L







;

N󰉦u

     

0 0 0

0, ; \f x x x x x



    

và

 

0

lim

xx

f x L





thì

0L 

và

 

0

lim

xx

f x L





󰉺󰉵󰉗

a).

2

3

lim

6

x

xx





. b).

4

3

2

2 3 2

lim

2

x

xx







. c).

2

32

lim

4

x

xx

x







d).

2

2 2 5

lim

2

x

xx

x







. e).

3

23

31

lim

2

x

xx







.

󰉪󰉗󰉭

󰉼󰉴-Bài 2. 󰉵󰉗 󰉯

59

󰉵󰉚 󰉪 Tel: 0935.660.880

L󰉶i gi󰉘i

....................................................................................................................................................................................................................

󰉬nh lí 3: Cho 3 hàm s󰉯

     

,,f x g x h x

󰉬nh trên t󰉝p:

D 

     

0 0 0

; \ , 0x x x

  

  

N󰉦u

     

,f x g x h x x D   

và

   

00

lim lim

x x x x

g x h x L





thì:

 

0

lim

xx

h x L





.

T󰉾 󰉽󰉼󰉹c:

 

0 0 0

sin

lim 0 lim 1 lim 0

x x x x x x

ux

x

khi u x

x u x

  

   

.

󰉺󰉵󰉗

a).

0

sin5

lim

x



. b).

0

tan2

lim

3

x



. c).

0

1 cos

lim .

sin

x





d).

2

0

1 cos

lim

x





. e).

3

0

sin5 .sin3 .sin

lim

45

x

x x x

x



. f).

0

sin7 sin5

lim .

sin

x

xx

x





g).

0

1 cos5

lim

1 cos3

x





. h).

2

0

1 cos 2

lim

.sin

x

xx





. k).

0

.sin

lim

1 cos

x

x ax

ax





L󰉶i gi󰉘i

....................................................................................................................................................................................................................

󰉪󰉗󰉭 󰉼󰉴-Bài 2. 󰉵󰉗 󰉯

60

󰉵󰉚 󰉪 Tel: 0935.660.880

....................................................................................................................................................................................................................

󰉪󰉗󰉭

󰉼󰉴-Bài 2. 󰉵󰉗 󰉯

61

󰉵󰉚 󰉪 Tel: 0935.660.880

....................................................................................................................................................................................................................

3. Các quy t󰉞c tìm gi󰉵i h󰉗n vô c󰊁c:

N󰉦u

 

0

lim

xx

fx



 

thì

 

0

1

lim 0

xx

fx





.

N󰉦u

 

0

lim 0

xx

f x L





và

 

0

lim

xx

gx



 

thì

   

 

0

'

lim

r

l

m t ái d

im .

li âu

xx

và cùng dh âk ui L g x

f x g x

khi L gvà x



















N󰉦u

 

0

lim 0

xx

f x L





và

 

0

lim 0

xx

gx





thì

 

0

'

lim

t

l

l rái

i

d

m

im âu

xx

và cùng dh âk ui L g x

fx

gx

khi L gvà x



















 󰉺. 󰉵󰉗

a).

3

2

31

lim

31

x

xx







. b).

 

2

7

lim 1 2 3

1

x

xx

x























. c).

  

2 1 3

lim

42

x

x x x

xx



  



L󰉶i gi󰉘i

....................................................................................................................................................................................................................

B. PHÂN D󰈩NG VÀ BÀI T󰈯P MINH H󰈿A.

󰉗󰉵󰉗󰉻󰉯󰉟󰉬

1. 󰉼󰉴

a). 󰉨 tìm

 

0

lim

xx

fx



󰉼

Xét dãy s󰉯

 

n

x

b󰉙t k thu󰉳c t󰉝󰉬nh D v󰉵i

0n

xx

mà

0

lim

n

xx

Tìm

 

lim

n

fx

:

 N󰉦u ta có

 

lim

n

f x L

thì

 

0

lim

xx

f x L





.

 N󰉦u ta có

 

lim

n

fx  

thì

 

0

lim

xx

fx



 

.

󰉪󰉗󰉭 󰉼󰉴-Bài 2. 󰉵󰉗 󰉯

62

󰉵󰉚 󰉪 Tel: 0935.660.880

b). 󰉨 tìm

 

lim

x

fx



ho󰉢c

 

lim

x

fx



󰉼 :

Xét dãy s󰉯

 

n

x

b󰉙t k thu󰉳c t󰉝󰉬nh mà

lim

n

x  

.

Tìm

 

lim

n

fx

:

 N󰉦u ta có

 

lim

n

f x L

thì

 

lim

x

f x L





.

 N󰉦u ta có

 

lim

n

fx  

thì

 

lim

x

fx



 

.

 󰉼󰉴󰊁 khi tính

 

lim

x

fx



.

c). 󰉨 ch󰉽ng minh hàm s󰉯

 

fx

không có gi󰉵i h󰉗n khi

0

xx

󰉼󰉶󰉼 :

Ch󰉭n hai dãy s󰉯

 

n

u

và

 

n

v

cùng thu󰉳c t󰉝󰉬nh c󰉻a hàm s󰉯 sao cho

00

,

nn

u x v x

và

có

0

lim lim

nn

u v x

.

Ch󰉽ng minh

   

lim lim

nn

f u f v

ho󰉢c m󰉳t trong hai gi󰉵i h󰉗n này không t󰉰n t󰉗i.

󰉬󰉯 không có gi󰉵i h󰉗n khi

0

xx

.

󰉯i v󰉵󰉼󰉶ng h󰉹p

00

, , ,x x x x x x



     

󰉼󰉴󰊁.

2. 󰉝󰉭

 Bài 󰉝1. 󰉬󰉵󰉗

a).

2

1

34

lim

1

x

xx

x







. b).

 

2

1

4

lim

1

x





.

c).





2

lim 9 2

x

xx





. d).

 

2

lim 2 sin

4

x





.

L󰉶i gi󰉘i

....................................................................................................................................................................................................................

󰉪󰉗󰉭

󰉼󰉴-Bài 2. 󰉵󰉗 󰉯

63

󰉵󰉚 󰉪 Tel: 0935.660.880

....................................................................................................................................................................................................................

 󰉝 󰉬󰉵󰉗󰉻󰉯

a).

0

1

lim .sin

x









. b).

2

31

lim

1

x

xx

x







. c).

2

1

23

lim

21

x

xx







.

L󰉶i gi󰉘i

....................................................................................................................................................................................................................

 Bài 󰉝. 󰉽󰉟

1

3

lim sin

1

x





󰉰󰉗

L󰉶i gi󰉘i

....................................................................................................................................................................................................................

󰉪󰉗󰉭 󰉼󰉴-Bài 2. 󰉵󰉗 󰉯

64

󰉵󰉚 󰉪 Tel: 0935.660.880

....................................................................................................................................................................................................................

󰉗Tìm g󰉵󰉗󰉻󰉯󰉗󰉳󰉨

0

xx

󰉟󰉞󰉬:

 

0

lim

xx

fx



1. 󰉼󰉴 chung.

Thay

0

xx

vào

 

fx

n󰉦u k󰉦t qu󰉘 b󰉟ng m󰉳t s󰉯

C

thì ta k󰉦t lu󰉝n gi󰉵i h󰉗󰉟ng

C

, t󰉽c là:

     

00

lim lim

x x x x

f x f x f x C



  

Thay

0

xx

vào

 

fx

n󰉦u k󰉦t qu󰉘 b󰉟ng

0

thì ta k󰉦t lu󰉝n gi󰉵i h󰉗n 󰉬nh, 󰉨 kh󰉿 nó ta xét 3

bài toán sau.

Bài toán 1. 󰉯

 

Px

fx

Qx





   

,P x Q x

󰉽󰉦

x

.

N󰉦u

 

0

lim 0

xx

Px





;

 

0

lim 0

xx

Qx





thì

 

0

lim

xx

Px

Qx



󰉼󰉹c g󰉭i là có d󰉗󰉬nh

0

.

Ta bi󰉦󰉱i v󰉧 d󰉗ng

   

01

.

m

n

x x P x

x x Q x







r󰉰i gi󰉘󰉼󰉵c các th󰉾a s󰉯 có d󰉗ng

 

0

k

xx

 

; max ,k m n

 

Px

Qx

Các cách bi󰉦󰉱i :

 󰉽c thành nhân t󰉿󰉭n bi󰉨u th󰉽c làm c󰉘 t󰉿 và m󰉜u b󰉟ng 0.

Phân 󰉽c thành nhân t󰉿 󰉼󰉴

 S󰉿 d󰉺ng b󰉘y h󰉟󰉠ng th󰉽󰉵.

 N󰉦u tam th󰉽c b󰉝c hai thì s󰉿 d󰉺ng

    

2

12

,0ax bx c a x x x x a     

v󰉵i

12

,xx

là

nghi󰉪m c󰉻󰉼󰉴

2

0ax bx c  

.

 S󰉿 d󰉺󰉼󰉴

 󰉽c

 

4 3 2

P x ax bx cx dx e    

cho

0

()xx

󰉴󰉰 Hoocner:

2. 󰉝󰉭

 󰉝 󰉵󰉗

a).

3

2

8

lim

11 18

x

xx







b).

32

3

2 5 2 3

lim

4 13 4 3

x

x x x

L

x x x



  



  

c).

32

1

2 5 4 1

lim

1

x

x x x



  

  

d).

3

2

1 12

lim

28

x

xx













e).

3

42

1

lim

43

x

xx







f).

22

2

11

lim

3 2 5 6

x

x x x x









   



L󰉶i gi󰉘i

󰉪󰉗󰉭

󰉼󰉴-Bài 2. 󰉵󰉗 󰉯

65

󰉵󰉚 󰉪 Tel: 0935.660.880

....................................................................................................................................................................................................................

󰉪󰉗󰉭 󰉼󰉴-Bài 2. 󰉵󰉗 󰉯

66

󰉵󰉚 󰉪 Tel: 0935.660.880

Bài toán 2. 󰉯

 

Px

fx

Qx





   

,P x Q x

󰉨 󰉽󰉽󰉽

x

.

1. 󰉼󰉴

󰉼󰉵c 1. N󰉦u bi󰉨u th󰉽󰉼󰉵i d󰉙u gi󰉵i h󰉗n có ch󰉽a d󰉙󰉨u th󰉽c liên h󰉹p c󰉻a

bi󰉨u th󰉽c ch󰉽󰉦n v󰉧 0, r󰉰󰉼󰉴󰊁 󰉼d󰉗ng trên ta s󰉥 kh󰉿 󰉼󰉹c d󰉗󰉬nh.

  

22

ab

a b a b a b

ab













    













33

22

ab

a ab b









33

22

ab

a ab b







.

   

2

3 3 3

3

22

3 3 3 3

.

..

a b a a b b

ab

a a b b a a b b



  







  

   

.

   

2

3 3 3

3

22

3 3 3 3

.

..

a b a a b b

ab

a a b b a a b b



  







  

   

   

2

3 3 3

3

22

3 3 3 3

.

..

a b a a b b

ab

a a b b a a b b



  







  

   

   

2

3 3 3

3

22

3 3 3 3

.

..

a b a a b b

ab

a a b b a a b b



  







  

   

     

       

22

3 3 3 3 3 3

33

2 2 2 2

3 3 3 3 3 3 3 3

.

..

a b a a b b

ab

a a b b a a b b



  







  

   

.

     

       

22

3 3 3 3 3 3

33

2 2 2 2

3 3 3 3 3 3 3 3

.

..

a b a a b b

ab

a a b b a a b b



  







  

   

󰉼󰉵c 2: 󰉽c thành nhân t󰉿󰉭n h󰉗ng t󰉿 chung c󰉻a c󰉘 t󰉿 và m󰉜u.

2. 󰉝󰉭

 Bài 󰉝. 󰉵󰉗

󰇛󰉿󰉝󰇜:

a).

1

32

lim

1

x







b).

2

7

23

lim

49

x







c).

22

2

3

2 6 2 6

lim

43

x

x x x x

xx



    



d).

2

22

lim

73

x





e).

2

4

1

21

lim

x

x x x

xx



   



f).

2

22

lim

13

x

xx





  

.

g).

1

4 5 3 6

lim

32

x

xx

x



  



h).

3

1 3 5

lim

2 3 6

x

xx



  

  

k).

2

0

11

lim

93

x





l).

2

1

3 2 4 2

lim

1

x

x x x

x



   



m).

2

0

42

lim

93

x





n).

 

2

0

1 2 1

lim

x

x x x

x



   

L󰉶i gi󰉘i

....................................................................................................................................................................................................................

󰉪󰉗󰉭

󰉼󰉴-Bài 2. 󰉵󰉗 󰉯

67

󰉵󰉚 󰉪 Tel: 0935.660.880

....................................................................................................................................................................................................................

󰉪󰉗󰉭 󰉼󰉴-Bài 2. 󰉵󰉗 󰉯

68

󰉵󰉚 󰉪 Tel: 0935.660.880

....................................................................................................................................................................................................................

 Bài 󰉝. 󰉵󰉗

󰇛󰉿󰉝󰇜:

a).

3

2

42

lim

2

x





b).

3

2

1

10 2 1

lim

32

x

xx



  



c).

3

2

3

27

lim

1 4 28

x

xx





  

d).

3

1

lim

21

x







e).

33

1

21

lim

1

x

xx

x







f).

4

1

4 3 1

lim

1

x







.

g).

3

1

32

lim

1

x

xx

x







h).

3

2

3 58

lim

2

x

xx

x







k).

3

1

lim

4 4 2

x







.

L󰉶i gi󰉘i

....................................................................................................................................................................................................................

󰉪󰉗󰉭

󰉼󰉴-Bài 2. 󰉵󰉗 󰉯

69

󰉵󰉚 󰉪 Tel: 0935.660.880

....................................................................................................................................................................................................................

󰉪󰉗󰉭 󰉼󰉴-Bài 2. 󰉵󰉗 󰉯

70

󰉵󰉚 󰉪 Tel: 0935.660.880

....................................................................................................................................................................................................................

Bài toán 3: 󰉵󰉯󰉗󰉢󰉳󰉨󰉽󰉞󰉨󰉿󰉼󰉹󰉗󰉬

󰇛󰉿 󰉝hai và 󰉝ba)

1. 󰉳󰉯󰉗󰉼󰉶󰉢

   

0

lim

kk

xx

f x g x c

xx







ho󰉢c

   

0

lim

km

xx

f x g x c

xx







ho󰉢c

   

 

0

lim

km

n

xx

f x g x c

xx







.



*

,,k m n N

và

min( , )n k m

.

2. 󰉼󰉴:

Bài toán 1.

0

( ) ( )

lim

nm

xx

f x g x

x





Ta tách v󰉧 t󰉱ng ho󰉢c hi󰉪u c󰉻a hai

lim

: vi󰉪c tách h󰉟ng s󰉯

C

(bi󰉦n s󰉯󰇜󰉼󰉹󰉼󰉘

s󰉿 ta tính gi󰉵i h󰉗n:

0

( ) ( )

lim

nm

xx

f x g x

x





.

 Ta ti󰉦n hành tách ra:

0 0 0

12

( ) ( ) ( ) ( )

lim lim lim

n m n m

x x x x x x

f x c c g x f x c c g x

II

x x x

  

    

   

.

 Tìm

C

b󰉟ng cách: th󰉦

0

xx

vào:

00

( ) 0 ( )

nn

mm

f x c c f x

c

f x c c f x



   







   





N󰉦u gi󰉵i h󰉗n có d󰉗ng t󰉱ng quát :

0

1

( ) ( )

lim

....

nm

nn

xx

f x g x

ax bx c







  

.

 Ta ti󰉦n hành tách ra:

0

1 2 1 2

1

( ) ( ... ) ( ... ) ( )

lim

....

n n n n

nm

nn

xx

f x x x x x g x

ax bx c

   

   





          

  

 S󰉿 d󰉺󰉼󰉴󰉰ng nh󰉙t th󰉽c.

3. 󰉝󰉭

󰉪󰉗󰉭

󰉼󰉴-Bài 2. 󰉵󰉗 󰉯

71

󰉵󰉚 󰉪 Tel: 0935.660.880

 Bài 󰉝. 󰉵󰉗 :

a).

1

2 2 5 4 5

lim

1

x

xx

x



   



b).

3

2

3 2 5 6

lim

2

x

xx

x



  



c).

3

2

2 4 11 7

lim

4

x

x x x

x



   



d).

3

2

3 2 3 2

lim

2

x

xx

x



  



e).

22

1

5 1 3 1 5 2 1

lim

1

x

x x x x

x



     



f).

3

32

2

1

57

lim

1

x

xx

x



  



g).

3

0

2 1 8

lim

x

xx

x



  

h).

3

0

3 8 5 4

lim

x

xx

x



  

k).

2

3

2

1

3 2 4 2

lim

32

x

x x x

xx



   



l).

3

2

8 11 7

lim

2 5 2

x

xx



  



L󰉶i gi󰉘i

....................................................................................................................................................................................................................

󰉪󰉗󰉭 󰉼󰉴-Bài 2. 󰉵󰉗 󰉯

72

󰉵󰉚 󰉪 Tel: 0935.660.880

....................................................................................................................................................................................................................

󰉪󰉗󰉭

󰉼󰉴-Bài 2. 󰉵󰉗 󰉯

73

󰉵󰉚 󰉪 Tel: 0935.660.880

....................................................................................................................................................................................................................

󰉪󰉗󰉭 󰉼󰉴-Bài 2. 󰉵󰉗 󰉯

74

󰉵󰉚 󰉪 Tel: 0935.660.880

....................................................................................................................................................................................................................

 󰉝 󰉵󰉗

a).

3

2

0

1 4 1 6

lim

x

xx

x



  

b).

 

3

22

2

2 6 5 3 9 7

lim

2

x

x x x x

x



    



c).

3

3 2 2

3

0

8 6 9 9 27 27

lim

x

x x x x x

x



     

d).

3

2

32

1

6 2 2

lim

1

x

xx

x x x





  

e).

2 2 2

2

1

3 2 4 19 3 46

lim

1

x

x x x x

x



     



f).

3

2

3 4 24 2 8 2 3

lim

4

x

x x x

x



    



L󰉶i gi󰉘i

....................................................................................................................................................................................................................

󰉪󰉗󰉭

󰉼󰉴-Bài 2. 󰉵󰉗 󰉯

75

󰉵󰉚 󰉪 Tel: 0935.660.880

....................................................................................................................................................................................................................

󰉪󰉗󰉭 󰉼󰉴-Bài 2. 󰉵󰉗 󰉯

76

󰉵󰉚 󰉪 Tel: 0935.660.880

....................................................................................................................................................................................................................

󰉪󰉗󰉭

󰉼󰉴-Bài 2. 󰉵󰉗 󰉯

77

󰉵󰉚 󰉪 Tel: 0935.660.880

....................................................................................................................................................................................................................

 󰉝 󰉵󰉗

a) .

3

4

1

lim

1

x





b).

3

2

4

2

0

1 1 2

lim

x

xx



  



.

c) .

4

3

1

21

lim

21

x





d) .

3

4

2

6 7 2

lim

2

x

xx

x



  



L󰉶i gi󰉘i

....................................................................................................................................................................................................................

Bài toán 2. Tính

0

( ) 1 ( )

lim

n

xx

P x ax Q x

xx







b󰉟ng cách thêm b󰉵t

 

Px

r󰉰󰉢t nhân t󰉿 chung.

󰉪󰉗󰉭 󰉼󰉴-Bài 2. 󰉵󰉗 󰉯

78

󰉵󰉚 󰉪 Tel: 0935.660.880

Tách

 

00

( ) 1 ( ) ( ) ( )

( ) 1 ( )

lim lim

n

x x x x

P x ax P x Q x P x

P x ax Q x

x x x x



   







 

00

12

00

( ) P( )

( ) 1 ( )

lim lim

n

x x x x

Q x x

P x ax P x

II

x x x x







   



Tính hai

1

I

và

2

.I

 󰉝 󰉵󰉗

a).

0

1 4 . 1 6 1

lim

x

xx

x



  

b).

3

0

4 . 1 2 2

lim

x

xx

x



  

c).

3

1

3 1 2 2

lim

1

x

xx

x



  



d).

3

2

0

4 8 3 4

lim

x

xx



  



e).

3

4

0

1.2 1 2.3 1 3.4 1 1

lim

x

xxx

x



   

f).

L󰉶i gi󰉘i

....................................................................................................................................................................................................................

Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV-Bài 2. Giới Hạn Hàm Số

79

Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880

4. Câu hỏi trắc nghiệm

Mức độ 1. Nhận biết

Câu 1. Giá trị của giới hạn

 

2

lim 3 7 11

x

xx





là:

A.

37.

B.

38.

C.

39.

D.

40.

Lời giải.

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 2. Giá trị của giới hạn

2

3

lim 4

x





là:

A.

0.

B.

1.

C.

2.

D.

3.

Lời giải.

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 3. Giá trị của giới hạn

2

0

1

lim sin

2

x



là:

A.

1

sin .

2

B.

.

C.

.

D.

0.

Lời giải.

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 4. Giá trị của giới hạn

2

3

1

3

lim

2

x







là:

A.

1.

B.

2.

C.

2.

D.

3

.

2



Lời giải.

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 5. Giá trị của giới hạn

 

3

4

1

lim

2 1 3

x

xx







là:

A.

1.

B.

2.

C.

0.

D.

3

.

2



Lời giải.

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 6. Giá trị của giới hạn

4

1

lim

3

x

xx







là:

A.

3

.

2



B.

2

.

3

C.

3

.

2

D.

2

.

3



Lời giải.

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 7. Giá trị của giới hạn

2

1

31

lim

1

x

xx

x







là:

Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV-Bài 2. Giới Hạn Hàm Số

80

A.

3

.

2



B.

1

.

2

C.

1

.

2



D.

3

.

2

Lời giải.

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 8. Giá trị của giới hạn

 

2

4

3

9

lim

2 1 3

x

xx







là:

A.

1

.

5

B.

5.

C.

1

.

5

D.

5.

Lời giải.

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 9. Giá trị của giới hạn

2

3

2

1

lim

2

x

xx







là:

A.

1

.

4

B.

1

.

2

C.

1

.

3

D.

1

.

5

Lời giải.

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 10. Giá trị của giới hạn

3

2

3 4 3 2

lim

1

x

xx

x



  



là:

A.

3

.

2



B.

2

.

3



C.

0.

D.

.

Lời giải.

....................................................................................................................................................................................................................

Mức độ 2. Thông Hiểu

Câu 11. Giá trị của giới hạn

3

2

8

lim

4

x





là:

A.

0.

B.

.

C.

3.

D. Không xác định.

Lời giải.

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 12. Giá trị của giới hạn

5

3

1

lim

1

x





là:

A.

3

.

5



B.

3

.

5

C.

5

.

3



D.

5

.

3

Lời giải.

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 13. Giá trị của giới hạn

2

3

6

lim

3

x

xx



  



là:

Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV-Bài 2. Giới Hạn Hàm Số

81

Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880

A.

1

.

3

B.

2

.

3

C.

5

.

3

D.

3

.

5

Lời giải.

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 14.(Sở Quảng Ninh Lần1)

2018

2 2018

2018

2

4

lim

2

x





A.

2019

2

B.

2018

2

C. 2 D.



.

Lời giải

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 15. Biết rằng

3

2

3

2 6 3

lim 3 .

3

x

ab

x









Tính

22

.ab

A.

10.

B.

25.

C.

5.

D.

13.

Lời giải.

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 16. (THPT Lý Thái Tổ) Tính giới hạn

2

2 3 3

lim

4

x

xx

L

x









.

A.

2

7

L 

. B.

7

24

L 

. C.

9

31

L 

. D.

0L 

.

Lời giải

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 17. Giá trị của giới hạn

 

2 21 21

7

0

12

lim

x

xx

x





  

là:

A.

21

2

.

7





B.

21

2

.

9





C.

21

2

.

5





D.

21

12

.

7





Lời giải.

....................................................................................................................................................................................................................

Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV-Bài 2. Giới Hạn Hàm Số

82

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 18.(THPT Hoàng Hoa Thám) Tính

2

28

lim

2 5 1

x

xx

x







.

A.

3

. B.

1

2

. C.

6

. D.

8

.

Lời giải

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 19.(Tạp Chí Toán Học)Giới hạn

3

1 5 1

lim

43

x

xx



  



bằng

a

b

(Phân số tối giản). Giá trị thực của

ab

là

A.

1

. B.

1

9

. C.

1

. D.

9

8

.

Lời giải

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 20. (Tạp Chí Toán Học)Giới hạn

1

2 7 2

lim

54

x

xx



  



bằng

a

b

(Phân số tối giản).

Giá trị thực của

ab

là

A.

10

. B.

1

9

. C.

8

. D.

10

9

.

Lời giải

....................................................................................................................................................................................................................

Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV-Bài 2. Giới Hạn Hàm Số

83

Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880

Mức độ 3. Vận dụng

Câu 21. Giá trị của giới hạn

3

1

lim

4 4 2

x







là:

A.

1.

B.

0.

C.

1.

D.

.

Lời giải.

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 22. Giá trị của giới hạn

3

0

2 1 8

lim

x

xx

x



  

là:

A.

5

.

6

B.

13

.

12

C.

11

.

12

D.

13

.

12



Lời giải.

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 23. Biết rằng

0, 5b a b  

và

3

0

11

lim 2

x

ax bx

x



  



. Khẳng định nào dưới đây sai?

A.

1 3.a

B.

1.b 

C.

22

10.ab

D.

0.ab

Lời giải.

....................................................................................................................................................................................................................

Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV-Bài 2. Giới Hạn Hàm Số

84

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 24. (THPT Lý Thái Tổ) Tìm tất cả các giá trị của tham số

m

để

2B 

với

 

32

1

lim 2 2 5 5

x

B x x m m



    

.

A.

 

0;3m

. B.

1

2

m 

hoặc

2m 

. C.

1

2

m

. D.

23m  

.

Lời giải

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 25.(THPT Lý Thái Tổ) Nếu

 

2

lim 5

x

fx





thì

 

2

lim 3 4

x

fx









bằng bao nhiêu?

A.

18

. B.

1

. C.

1

. D.

17

.

Lời giải

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 26.(THPT Gia Lộc Hải Dương 2019) Cho hàm số

 

y f x

thỏa mãn:

2 1 3 5

2 2 1

xx

f

xx













1

2;

2

xx



  





. Tìm

 

lim ?

x

fx



A.

4

3

. B.

1

5

. C.

3

2

. D.

2

3

.

Lời giải

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 27.(THPT Sơn Tây Hà Nội 2019) Cho hàm số

 

y f x

có đạo hàm tại điểm

0

2x 

. Tính

   

2

22

lim

2

x

f x xf

x





.

A.

   

2 2 2ff





. B. 0. C.

 

2f



. D.

   

2 2 2ff





.

Lời giải

....................................................................................................................................................................................................................

Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV-Bài 2. Giới Hạn Hàm Số

85

Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 28.(THPT Lý Thái Tổ) Cho

 

1

lim 1

1

x

fx

x









. Tính

 

2

1

2

I lim

1

x

x x f x

x









A.

5I 

. B.

4I 

. C.

4I 

. D.

5I 

.

Lời giải

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 29. (HSG Lớp 12 Bắc Giang) Cho

a

,

b

là các số thực dương thỏa mãn

8ab

và

2

0

2 1 1

lim 5

x

x ax bx

x



   



. Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào đúng?

A.

 

2;4a

. B.

 

3;8a

. C.

 

3;5b

. D.

 

4;9b

.

Lời giải

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 30. (Kênh truyền Hình GD Quốc Gia 2019) Cho

,mn

là các số thực khác

0

. Nếu giới hạn

2

1

lim 3

1

x

x mx n

x









thì

.mn

bằng

A.

3

. B.

1

. C.

3

. D.

2

.

Lời giải

....................................................................................................................................................................................................................

Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV-Bài 2. Giới Hạn Hàm Số

86

Câu 31. (Sở GD Và Đào Tạo Vĩnh Phúc) Tính

 

2

3

1

21

lim

1



   



x

x a x a

x

.

A.

2

3

a

B.

2

3

a

C.

3

a

D.

3

a

Lời giải

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 32. Biết rằng

4ab

và

3

1

lim

11

x

ab

xx













hữu hạn. Tính giới hạn

3

1

lim

11

x

ba

L

xx













.

A.

1.

B.

2.

C.

1

. D.

2.

Lời giải.

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 33. Kết quả của giới hạn

0

1

lim 1

x

















là:

A.

.

B.

1.

C.

0.

D.



.

Lời giải.

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 34. Kết quả của giới hạn

2

0

1

lim sin

x

xx

x













là:

A.

0

. B.

1

. C.

.



D.

.

Lời giải.

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 35. (THPT Chuyên Bắc Giang) Cho biết

2

3

1

2

12

lim

4 3 1

x

ax bx

c

xx



  





với

,,abc

.

Tập nghiệm của phương trình

42

2 2 0ax bx c   

trên có số phần tử là

A.

1

. B.

3

. C.

0

. D.

2

.

Lời giải

Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV-Bài 2. Giới Hạn Hàm Số

87

Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 36.(Chuyên KHTN 2019) Cho hàm số

 

y f x

xác định trên thỏa mãn

 

2

16

lim 12

2

x

fx

x









.

Tính giới hạn

 

3

2

5 16 4

lim

28

x

fx

xx







.

A.

5

24

. B.

1

5

. C.

5

12

. D.

1

4

.

Lời giải

....................................................................................................................................................................................................................

Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV-Bài 2. Giới Hạn Hàm Số

88

Câu 37. Tính

   

  

2018 2018

2 2 2018

1

1 2 2.3

lim

1 2017

x

x x x

xx



    



A.

2017

5.3

. B.

2017

3

. C.

2017

8.3

. D.

2017

2.3

.

Lời giải

....................................................................................................................................................................................................................

Dạng 3. Tìm giới hạn của hàm số khi

x  

1. Phương pháp.

Để tìm

 

lim

x

fx



ta làm như sau:

Chia tử và mẫu cho

k

x

với

k

x

là lũy thừa có số mũ lớn nhất của tử và mẫu, (hoặc rút

k

x

làm

nhân tử) sau đó áp dụng các định lý về giới hạn hữu hạn hoặc các quy tắc về giới hạn vô cực.

 Nếu

 

lim

x

f x C





thì kết luận hàm số đó có giới hạn là

.C

 Nếu

     

lim lim .

xx

f x P x Q x

 



với

   

lim , lim

xx

P x L Q x

 

  

thì ta dựa vào quy tắc

dấu để kết luận kết quả của giới hạn là



hoặc

.

 Nếu

 

lim lim

xx

Px

fx

Qx

 



với đa thức

   

,P x Q x

có bậc lần lượt mà

,mn

và

   

lim , lim 0

xx

P x L Q x

 



ta đặt mũ cao nhất của tử và mẫu rồi tách ra cùng bậc đưa về

lim

của tích.

Nếu gặp dạng vô định

,0 ;



   



thì ta khử dạng vô định:

 Dạng



: Nếu

 

0

lim

xx

x

fx





 

;

 

0

lim

xx

x

gx





 

thì

 

0

lim

xx

x

fx

gx





được gọi là có dạng vô định.

 Dạng

0

: Nếu

 

0

lim 0

xx

x

fx







;

 

0

lim

xx

x

gx





 

thì

 

   

0

lim .

xx

x

f x g x









được gọi là có dạng

vô định .

 Dạng

  

: Nếu

 

0

lim

xx

x

fx





 

;

 

0

lim

xx

x

gx





 

thì

 

   

0

lim

xx

x

f x g x











được gọi là có

dạng vô định

  

.

Khử dạng vô định bằng phương pháp nhân lượng liên hợp.

2. Bài tập minh họa

Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV-Bài 2. Giới Hạn Hàm Số

89

Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880

Bài toán 1. Giới hạn hữu hạn

     

lim lim .

xx

f x P x Q x

 



với

   

lim , lim

xx

P x L Q x

 

  

Phương pháp:

Đặt mũ cao nhất rồi dựa vào quy tắc dấu để kết luận kết quả của giới hạn là



hoặc

.

 Bài tập 11. Tính giới các giới hạn sau:

a).

3

lim (2 3 )

x

xx





b).

2

lim 3 4

x

xx





c).





2

lim 2 1

x

xx





Lời giải

....................................................................................................................................................................................................................

Bài toán 2. Giới hạn hữu hạn hữu tỉ

 

lim lim

xx

Px

fx

Qx

 



( bậc tử bé hơn hoặc bằng bậc mẫu)

Phương pháp. ta đặt mũ cao nhất của tử và mẫu rồi rút gọn nhân tử chung.

 Bài tập 12. Tìm các giới hạn sau:

a).

2

3

2 3 6

lim

4 3 5

x

xx







. b).

     

4 6 7

5 9 3

2 3 5 3 6 2

lim

3 2 6 3 7 2

x

x x x



  

  

. c).

2

4 2 1 2

lim

9 3 2

x

x x x



   



d).

2

2 3 4 1

lim

4 1 2

x

x x x

xx



   

  

. e).

2

23

lim

4 1 2

x

x x x

xx





  

. f).

2

1

lim

1

x

xx







g).

 

2

2 1 3

lim

5

x

xx







. h).

3

2

5

lim

x

x x x







. k).

  

53

3

23

21

lim

21

x

xx

x x x







Lời giải

....................................................................................................................................................................................................................

Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV-Bài 2. Giới Hạn Hàm Số

90

....................................................................................................................................................................................................................

 Bài tập 13. Tìm giới hạn của các hàm số sau:

a).

 

2

3 2 1

lim

5 1 2

x

xx

x x x







b).

 

42

lim 1

21

x

xx







c).

2

1

lim

1

x

xx







d).

2

23

lim

5

x

L

xx









e).

3

52

2

lim .

3

x

xx

x

xx







f).

42

21

lim

12

x

xx

x







.

Lời giải

....................................................................................................................................................................................................................

Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV-Bài 2. Giới Hạn Hàm Số

91

Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880

....................................................................................................................................................................................................................

 Bài tập 14. Tính các giới hạn sau:

a).

2

lim

10

x

x x x

x







b).

2

32

lim

31

x

x x x

x







c).

2

2 3 1

lim

4 1 1

x

x x x

xx



   

  

d).

2

2 3 1

lim

4 1 1

x

x x x

xx



   

  

e).

3

3 2 2 3 2 2

3

2

( 2 ) 2

lim

32

x

x x x x x x

xx



   



f).

2

3

23

lim

x

xx

x

xx













g).

42

4

4 1 2 4

lim

2

x

xx

x x x

















Lời giải

....................................................................................................................................................................................................................

Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV-Bài 2. Giới Hạn Hàm Số

92

....................................................................................................................................................................................................................

Bài toán 3. Giới hạn vô cực

(bậc tử lớn hơn bậc mẫu:

 

)lim lim

0

xx

L

Px

fx

Qx

 









Phương pháp.

Ta đặt mũ cao nhất của tử và mẫu rồi tách ra cùng bậc đưa về

lim

của tích

 

   

0

lim .

xx

x

f x g x









 Bài tập 15. Tìm các giới hạn sau:

a).

2

52

lim

21

x

xx

x







. b).

42

21

lim

12

x

xx

x







.

Lời giải

....................................................................................................................................................................................................................

Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV-Bài 2. Giới Hạn Hàm Số

93

Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880

....................................................................................................................................................................................................................

Bài toán 4. Giới hạn vô cực dạng vô định

  

0

1. Phương pháp.

Khi ta đặt mũ cao nhất của tử và mẫu thì xuất hiện

;



0;

  

Khử dạng vô định bằng phương pháp nhân lượng liên hợp rồi làm bình thường bài toán 1,2.

2. Bài tập minh họa

 Bài tập 16. Tìm các giới hạn sau:

a).

2

lim ( )

x

x x x





. b).

2

lim( 3 2 )

x

x x x



  

. c).

2

lim ( )

x

x x x





d).

2

lim( 3 2 )

x

x x x



  

. e).

2

lim( 3 2 )

x

x x x



  

. f).

lim( 2 2)

x

xx



  

g).





22

lim 4 3 3 2

x

x x x x



    

. h).





22

4 3 3 2

x

lim x x x x



    

.

k).





4 2 2

lim 4 3 1 2

x

x x x



  

l).





3

lim 8 1 2 1

x

xx



  

m).

Lời giải

....................................................................................................................................................................................................................

Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV-Bài 2. Giới Hạn Hàm Số

94

....................................................................................................................................................................................................................

 Bài tập 17. Tìm các giới hạn sau

a).





22

lim 1 2

x

x x x



  

. b).

lim 3 3 3 3

x

x x x x





  





. c).





3

32

lim 6

x

x x x





d).





3

32

lim 3 1 2

x

xx



  

e).

 

lim 2 2 1

x

x x x



   

f).

Lời giải

....................................................................................................................................................................................................................

Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV-Bài 2. Giới Hạn Hàm Số

95

Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880

....................................................................................................................................................................................................................

Bài toán 5. Giới hạn vô cực dạng vô định

0

1. Phương pháp.

Giả sử cần tìm giới hạn của hàm số

     

.h x f x g x

khi

0

xx

hoặc

x  

trong đó

 

0fx

và

 

gx 

. Ta thường biến đổi theo các hướng sau:

Nếu

0

xx

thì ta thường viết

   

 

.

1

fx

f x g x

gx



sẽ đưa về dạng vô định

0

.

Nếu

x  

thì ta thường viết

   

 

.

1

gx

f x g x

fx



sẽ đưa về về dạng



.

Tuy nhiên ở nhiều bài toán giới hạn loại này ta chỉ cần thực hiện một số biến đổi như đưa

thừa số vào trong dấu căn thức, quy đồng mẫu số,... ta có thể đưa về giới hạn quen thuộc.

2. Bài tập minh họa

Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV-Bài 2. Giới Hạn Hàm Số

96

 Bài tập 18. Tìm các giới hạn sau:

a).

 

3

1 1 1

lim

3

x













. b).

 

3

1

lim 2

x

xx







.

Lời giải

....................................................................................................................................................................................................................

Dạng 4. Tìm giới hạn của hàm số các hàm đặc biệt.

1. Phương pháp.

1 1 1 1

n

n   

 

3 3 2 3

3 so hang

a b a b a ab b



    





 

1 2 3 2 2 1

so hang

n n n n n n n

n

a b a b a a b a b ab b

    



      





2. Bài tập minh họa

 Bài tập 19. Dùng định nghĩa tìm các giới hạn sau:

a).

2

1

...

lim

1

n

x

x x x n

x



   



. b).

 

2

1

lim

1

n

x

x nx n

x



  



. c).

0

11

lim

n

x

ax

L

x







.

d).

0

11

lim

nm

x

ax bx

L

x



  



. e).

 

0

11

lim 0

11

n

m

x

ax

L ab

bx









f).

0

11

lim

11

nm

x

ax bx

L

x



  





Lời giải

....................................................................................................................................................................................................................

Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV-Bài 2. Giới Hạn Hàm Số

97

Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880

....................................................................................................................................................................................................................

 Bài tập 20. Dùng định nghĩa tìm các giới hạn sau:

a).

1

lim

1

m

n

x

L

x









. b).

23

1

lim

n

m

x

x x x x n

L

x x x x m



   



   

. c).

100

50

1

21

lim

21

x

xx

L

xx









.

d).

 

1

2

1

lim

1

n

x

x n x n

L

x





  





. e).

 

1

lim , , *

11

mn

x

mn

xx













Lời giải

....................................................................................................................................................................................................................

Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV-Bài 2. Giới Hạn Hàm Số

98

....................................................................................................................................................................................................................

3. Câu hỏi trắc nghiệm

Mức độ 1. Nhận biết

Câu 38. Giá trị của giới hạn

 

3

lim 1

x

xx





là:

A.

1.

B.

.

C.

0.

D.

.

Lời giải.

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 39. Giá trị của giới hạn

 

3

2

lim 2 3

x

x x x





là:

A.

0.

B.

.

C.

1.

D.



.

Lời giải.

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 40. Giá trị của giới hạn

 

2

lim 1

x

xx





là:

A.

0.

B.

.

C.

2 1.

D.



.

Lời giải.

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 41. Giá trị của giới hạn

 

3

32

lim 3 1 2

x

xx



  

là:

A.

3

3 1.

B.

.

C.

3

3 1.

D.



.

Lời giải.

....................................................................................................................................................................................................................

Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV-Bài 2. Giới Hạn Hàm Số

99

Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880

Câu 42. Giá trị của giới hạn





2

lim 4 7 2

x

x x x x





là:

A.

4.

B.

.

C.

6.

D.



.

Lời giải.

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 43. Kết quả của giới hạn

2

2 5 3

lim

63

x

xx







là:

A.

2.

B.

.

C.

3.

D.

2

.

Lời giải.

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 44. Kết quả của giới hạn

32

2

2 5 3

lim

63

x

xx







là:

A.

2.

B.

.

C.

.

D.

2

.

Lời giải.

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 45. Kết quả của giới hạn

32

65

2 7 11

lim

3 2 5

x

xx







là:

A.

2.

B.

.

C.

0.

D.

.

Lời giải.

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 46. Kết quả của giới hạn

2

23

lim

1

x

xx







là:

A.

2.

B.

.

C.

3.

D.

1

.

Lời giải.

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 47. (THPT Lý Thái Tổ) Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai?

A.





2

1

lim 1

2





   

x

x x x

. B.

2

1 2 1

lim

2 3 2





  









x

xx

x

.

C.

1

32

lim

1







 



x

. D.

32

lim 3

2









x

.

Lời giải

....................................................................................................................................................................................................................

Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV-Bài 2. Giới Hạn Hàm Số

100

Mức độ 2. Thông Hiểu

Câu 48. Kết quả của giới hạn

2

41

lim

1

x

xx

x







là:

A.

2.

B.

1.

C.

2.

D.

.

Lời giải.

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 49. Kết quả của giới hạn

2

4 2 1 2

lim

9 3 2

x

x x x



   



là:

A.

1

.

5



B.

.

C.

.

D.

1

5

.

Lời giải.

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 50. Kết quả của giới hạn

3

32

2

21

lim

21

x

xx

x







là:

A.

2

.

2

B.

0.

C.

2

.

2



D.

1.

Lời giải.

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 51. Giá trị của giới hạn

 

32

lim 2

x

xx





là:

A.

1.

B.

.

C.

1.

D.



.

Lời giải.

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 52. Giá trị của giới hạn

 

2

lim 1 2

x

xx





là:

A.

0.

B.

.

C.

2 1.

D.



.

Lời giải.

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 53. Giá trị của giới hạn





2

lim 1

x

xx





là:

A.

0.

B.

.

C.

1

.

2

D.



.

Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV-Bài 2. Giới Hạn Hàm Số

101

Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880

Lời giải.

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 54.(THPT Đoàn Thượng) Tính

2

23

lim

1

x

xx







.

A.

0

. B.



. C.

1

. D.

1

.

Lời giải

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 55.( THPT Lý Thái Tổ) Giá trị

2

3 6 2

23

lim

x

x x x

x



  



bằng

A.

1

2

. B.

9

17

. C.

3

2

. D.

1

.

Lời giải

....................................................................................................................................................................................................................

Mức độ 3. Vận dụng

Câu 56. Giá trị của giới hạn





22

lim 3 4

x

x x x x



  

là:

A.

7

.

2

B.

1

.

2



C.

.

D.

.

Lời giải.

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 57. Giá trị của giới hạn

 

3

32

lim 3 1 2

x

xx



  

là:

A.

3

3 1.

B.

.

C.

3

3 1.

D.



.

Lời giải.

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 58. Giá trị của giới hạn

 

33

lim 2 1 2 1

x

xx



  

là:

A.

0.

B.

.

C.

1.

D.



.

Lời giải.

Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV-Bài 2. Giới Hạn Hàm Số

102

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 59. Kết quả của giới hạn

32

21

lim

32

x

xx







là:

A.

2

.

3

B.

6

.

3

C.

.

D.



.

Lời giải.

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 60. Giá trị của giới hạn





3

2 3 2

lim

x

x x x x



  

là:

A.

5

.

6

B.

.

C.

1.

D.



.

Lời giải.

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 61. (THPT Chuyên Vĩnh Phúc 2019)





3

2 3 2

lim 2 3

x

x x x x x



  

A.

1

2

. B.

0

. C.



. D.



.

Lời giải

....................................................................................................................................................................................................................

Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV-Bài 2. Giới Hạn Hàm Số

103

Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 62. Tìm tất cả các giá trị của

a

để





2

lim 2 1

x

x ax





là

.

A.

2.a 

B.

2.a 

C.

2.a 

D.

2.a 

Lời giải.

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 63. Biết rằng

2

4 2 1 2

lim 0

3

x

x x x

L

ax x bx



   





là hữu hạn (với

,ab

là tham số). Khẳng định

nào dưới đây đúng.

A.

0.a 

B.

3

.L

ab





C.

3

.L

ba





D.

0.b 

Lời giải.

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 64. Biết rằng

 

2

23

1

ax

xx





có giới hạn là



khi

x  

(với

a

là tham số). Tính giá trị nhỏ

nhất của

2

2 4.P a a  

A.

min

1.P 

B.

min

3.P 

C.

min

4.P 

D.

min

5.P 

Lời giải.

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 65. Biết rằng





2

lim 5 2 5 5 .

x

x x x a b



   

Tính

5.S a b

A.

1.S 

B.

1.S 

C.

5.S 

D.

5.S 

Lời giải.

....................................................................................................................................................................................................................

Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV-Bài 2. Giới Hạn Hàm Số

104

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 66.(THPT Lý Thái Tổ) Cho biết

2

1 4 5 2

lim

23

x

xx

ax



  





. Giá trị của

a

bằng

A. 3. B.

2

3



. C.

3

. D.

4

3

.

Lời giải

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 67.(Sở GD và Đào Tạo Cần Thơ 2018) Cho biết

2

4 7 12 2

lim

17 3

x

xx

ax









. Giá trị của

a

bằng

A.

3

.

B.

3

. C.

6

. D.

6

.

Lời giải

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 68.(THPT Lý Thái Tổ) Cho

3

23

2

2 2 5 1

lim

1

x

x x x x a

xb





    









(

a

b

là phân số tối giản,

,ab

là

số nguyên). Tính tổng

22

L a b

.

A.

150

. B.

143

. C.

140

. D.

145

.

Lời giải

....................................................................................................................................................................................................................

Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV-Bài 2. Giới Hạn Hàm Số

105

Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 69.(THPT Lý Thái Tổ Bắc Ninh) Có bao nhiêu giá trị

m

nguyên thuộc đoạn

 

20;20

để

 

2

lim 2 3

x

mx m x



   

A.21. B.22. C.20. D.41.

Lời giải

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 70. (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội) Biết rằng

2

1

lim 5

2

x

ax b

x







   







. Tính tổng

ab

.

A.

6

. B.

7

. C.

8

. D.

5

.

Lời giải

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 71. (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội) Biết rằng





2

lim 2 3 1 2 2

x

a

x x x

b



   

, (

a

là số

nguyên,

b

là số nguyên dương,

a

b

tối giản). Tổng

ab

có giá trị là

A.

1

. B.

5

. C.

4

. D.

7

.

Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV-Bài 2. Giới Hạn Hàm Số

106

Lời giải

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 72. (HSG Bắc Ninh) Cho





2

lim 5 5

x

x ax x



   

. Khi đó giá trị

a

là

A.

10

. B.

6

. C.

6

. D.

10

.

Lời giải

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 73.(THPT Nghèn Hà Tĩnh 2018) Biết

 





2

lim 4 3 1 0

x

x x ax b



    

. Tính

4ab

ta được

A.

3

. B.

5

. C.

1

. D.

2

.

Lời giải

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 74.(Sở GD và Đào Tạo Cần Thơ 2018) Cho





2

lim 5 5

x

x ax x



   

. Khi đó giá trị

a

là

A.

6

. B.

10

. C.

10

. D.

6

.

Lời giải

....................................................................................................................................................................................................................

Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV-Bài 2. Giới Hạn Hàm Số

107

Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 75.(THPT Chuyên Thái Bình) Cho hai số thực

a

và

b

thoả mãn

2

4 3 1

lim 0

21

x

xx

ax b

x







  







. Khi đó

2ab

bằng:

A.

4

. B.

5

. C.

4

. D.

3

.

Lời giải

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 76. (THPT Chuyên Vĩnh Phúc 2018) Cho





2

lim 5 5

x

x ax x



   

thì giá trị của

a

là một

nghiệm của phương trình nào trong các phương trình sau?

A.

2

11 10 0xx  

. B.

2

5 6 0xx  

. C.

2

8 15 0xx  

. D.

2

9 10 0xx  

.

Lời giải

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 77.(Chuyên Lương Thế Vinh 2019) Giá trị của số thực

m

sao cho

 

2

3

2 1 3

lim 6

47

x

x mx

xx









là

A.

3m 

. B.

3m 

. C.

2m 

. D.

2m 

.

Lời giải

....................................................................................................................................................................................................................

Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV-Bài 2. Giới Hạn Hàm Số

108

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 78.(THPT Quãng Xương 2019) Cho

2

1 2017 1

lim

2018 2

x

ax

x









;





2

lim 1 2

x

x bx x



   

. Tính

4P a b

.

A.

3P 

. B.

1P 

. C.

2P 

. D.

1P 

.

Lời giải

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 79.(THPT Xuân Trường 2018) Cho số thực

a

thỏa mãn

2

2 3 2017 1

lim

2 2018 2

x

ax

x









. Khi đó giá

trị của

a

là

A.

2

a 

. B.

2

a





. C.

1

2

a 

. D.

1

2

a 

.

Lời giải

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 80.(Tạp chí Toán Học) Tìm giá trị dương của

k

để

 

2

3 1 1

lim 9 2

x

kx

f

x









với

 

2

ln 5f x x

:

A.

12k 

. B.

2k 

. C.

5k 

. D.

9k 

.

Lời giải

....................................................................................................................................................................................................................

Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV-Bài 2. Giới Hạn Hàm Số

109

Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 81.(THPT Lý Thái Tổ) Cho

,ab

là các số dương. Biết





3

2 3 2

7

lim 9 27 5

27

x

x ax x bx



    

.

Tìm giá trị lớn nhất của

.ab

A.

49

18

. B.

59

34

. C.

43

58

. D.

75

68

.

Lời giải

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 82.(THPT Triệu Thị Trinh) Biết

 

2

3

1

2 7 1 2

lim

21

x

x x x a

c

b

x



   





với

a

,

b

,

c



và

a

b

là

phân số tối giản. Giá trị của

abc

bằng:

A.

5

. B.

37

. C.

13

. D.

51

.

Lời giải

....................................................................................................................................................................................................................

Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV-Bài 2. Giới Hạn Hàm Số

110

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 83.(THPT Yên Định 2018) Cho

 

fx

là một đa thức thỏa mãn

 

1

16

lim 24

1

x

fx

x









.

Tính

 

   

 

1

16

lim

1 2 4 6

x

fx

I

x f x







  

A. 24. B.

I  

. C.

2I 

. D.

0I 

.

Lời giải

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 84.(THPT Chuyên Lương Thế Vinh 2018) Cho

 

1

10

lim 5

1

x

fx

x









.

Giới hạn

 

1

10

lim

1 4 9 3

x

fx

x f x





  

bằng

A.

1

. B.

2

. C.

10

. D.

5

3

.

Lời giải

....................................................................................................................................................................................................................

Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV-Bài 2. Giới Hạn Hàm Số

111

Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880

....................................................................................................................................................................................................................

Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV-Bài 3. Giới Hạn Một Bên

112

A. LÝ THUYẾT

I. CÁC ĐỊNH NGHĨA:

1. Giới hạn bên phải:

Giả sử

 

fx

là hàm số xác định trên khoảng

 

0

;xb

, nếu với mọi dãy số

 

n

x

với

0n

xx

và

lim

0n

xx

, ta đều có:

 

lim

n

f x L

, thì lúc đó ta nói hàm số

 

fx

có giới hạn bên phải là số thực

L

khi dần đến

0

x

và được

Kí hiệu:

 

0

lim

xx

f x L







Ví dụ 1. Tìm các giới hạn sau

a).

 

2

31

lim

2

x

xx

x









. b).

2

1

1 3 2

lim

1

x

xx

x





  



.

Lời giải

....................................................................................................................................................................................................................

2. Giới hạn bên trái:

Giả sử

 

fx

là hàm số xác định trên khoảng

 

0

;ax

, nếu với mọi dãy số

 

n

x

với

0n

xx

và

lim

0n

xx

, ta đều có:

 

lim

n

f x L

, thì lúc đó ta nói hàm số

 

fx

có giới hạn bên trái là số thực

L

khi dần đến

0

x

và được

Kí hiệu:

 

0

lim

xx

f x L







 Ví dụ 2. Tìm các giới hạn sau

a)

2

15

lim

2

x







. b).

2

3

1 3 2

lim

3

x

xx

x









.

c).

2

5

lim

25

x







. d).

2

5

lim

25

x







.

Lời giải

....................................................................................................................................................................................................................

BI 3: GIỚI HẠN MỘT BÊN

Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV-Bài 3. Giới Hạn Một Bên

113

Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880

....................................................................................................................................................................................................................

3. Giới hạn vô cực:

Giả sử

 

fx

là hàm số xác định trên khoảng

 

0

;xb

, nếu với mọi dãy số

 

x

n

với

0n

xx

và

0

lim

n

xx

, ta đều có:

 

lim

n

xf  

, thì lúc đó ta nói hàm số

 

fx

có giới hạn bên phải là vô

cực khi dần đến

0

x

và được

Kí hiệu:

 

0

lim

xx

fx





 

Các định nghĩa

     

0 0 0

lim , lim , lim ,

x x x x x x

f x f x f x

  

  

     

được phát biểu tương tự trên.

II. ĐỊNH LÝ VỀ SỰ TỒN TẠI CỦA GIỚI HẠN.

Nếu

 

0

lim

xx

f x L





thì hàm số

f

có giới hạn bên phải và giới hạn bên trái tại điểm

0

x

.

và

   

00

lim lim

x x x x

f x f x L







Ngược lại, nếu

   

00

lim lim

x x x x

f x f x L







thì hàm số

f

có giới hạn tại điểm

0

x

và

 

0

lim

xx

f x L





.

Tương tự,

     

0

00

lim lim lim

xx

x x x x

f x f x f x







     

     

0

00

lim lim lim

xx

x x x x

f x f x f x







     

Ví dụ 3. Cho hàm số

 

3

2 2 1

3 1

x x x

fx

x x x

















Tìm

   

11

lim ; lim .

xx

f x f x





Hàm số có giới hạn tại

1x 

không? Vì sao?

Lời giải

....................................................................................................................................................................................................................

B. PHÂN DẠNG VÀ BÀI TẬP MINH HỌA.

Dạng 1. Tìm giới hạn của hàm số bằng định nghĩa.

1. Phương pháp.

Khi

0

xx





thì

0

xx

suy ra

0

2

00

0xx

x x x

x x x x











  





Khi

0

xx





thì

0

xx

suy ra

 

0

2

00

0xx

x x x

x x x x







  



   





2. Bài tập minh họa.

Bài tập 1. Tìm các giới hạn sau:

Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV-Bài 3. Giới Hạn Một Bên

114

a).

3

lim

5 15

x







b).

0

lim .

x

xx









c).

0

2

lim

x

xx









d).

 

2

32

1

43

lim

x

xx









e).

3

2

1

44

lim

35

x

xx









f).

0

2

lim

x

xx









Lời giải

....................................................................................................................................................................................................................

Bài tập 2. Tìm các giới hạn sau:

a).

2

4

lim

2

x







b).

2

54

1

32

lim

x

xx









c).

2

3

7 12

lim

9

x

xx

x









d).

22

2

11

lim

3 2 5 6

x

x x x x











   



e).

2

lim

2 5 2

x

xx









f).

2

32

lim

2

x

xx

x







g).

2

3

1 3 2

lim

3

x

xx

x









h).

 

2

3

2 5 3

lim

3

x

xx

x









k).

2

11

lim

24

x

xx















Lời giải

....................................................................................................................................................................................................................

Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV-Bài 3. Giới Hạn Một Bên

115

Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880

....................................................................................................................................................................................................................

Bài tập 3. Tìm các giới hạn sau

( đưa ra đa thứckhỏi căn hoặc đưa vào căn)

a).

 

3

2

1

lim 1

1

x















b).

1

lim .

2 1 1

x

xx











  



c).

 

2

lim 2

4

x







d).

2

4

lim

2

x







e).

2

1

2

2 5 2

lim

1

4

x

xx

x









f).

 

2

1

5

lim 1

23

x

xx











Lời giải

....................................................................................................................................................................................................................

Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV-Bài 3. Giới Hạn Một Bên

116

....................................................................................................................................................................................................................

3. Câu hỏi trắc nghiệm.

Câu 1. Kết quả của giới hạn

2

15

lim

2

x







là:

A.

.

B.

.

C.

15

.

2



D.

1.

Lời giải.

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 2.(THPT Lê Quý Đôn) Tính giới hạn

2

1

lim

1

x









.

A.

0

. B.



. C.



. D.

1

.

Lời giải

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 3.(THPT Chuyên Biên Hòa 2018) Tính giới hạn

2

23

lim

2







x

.

A.



. B.

2

. C.



. D.

3

2

.

Lời giải

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 4.(THPT Nguyễn Trãi-Đà Nẵng-lần 1 năm 2017-2018) Tìm giới hạn

1

43

lim

1

x







A.



. B.

2

. C.



. D.

2

.

Lời giải

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 5.(THPT Chuyên Lương Thế Vinh) Kết quả của giới hạn

 

2

4

2

28

lim

2

x

xx

x









là

A.



. B.

0

. C.



. D.

1

.

Lời giải

Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV-Bài 3. Giới Hạn Một Bên

117

Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 6.(THPT Chuyên Biên Hòa 2018) Tính giới hạn

2

23

lim

2







x

.

A.



. B.

2

. C.



. D.

3

2

.

Lời giải

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 7. Kết quả của giới hạn

2

lim

2

x









là:

A.

.

B.

.

C.

15

.

2



D. Không xác định.

Lời giải.

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 8. Kết quả của giới hạn

 

2

36

lim

2

x







là:

A.

.

B.

3.

C.

.

D. Không xác định.

Lời giải.

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 9. Kết quả của giới hạn

2

lim

2 5 2

x

xx









là:

A.

.

B.

.

C.

1

.

3



D.

1

.

3

Lời giải.

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 10. Kết quả của giới hạn

 

2

3

13 30

lim

35

x

xx







là:

A.

2.

B.

2.

C.

0.

D.

2

.

15

Lời giải.

Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV-Bài 3. Giới Hạn Một Bên

118

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 11. Giá trị của giới hạn

3

lim

27

x







là:

A.

1

.

3

B.

0.

C.

5

.

3

D.

3

.

5

Lời giải.

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 12. Giá trị của giới hạn

2

0

lim

x

x x x

x







là:

A.

0.

B.

.

C.

1.

D.

.

Lời giải.

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 13. Giá trị của giới hạn

2

11

lim

24

x

xx















là:

A.

.

B.

.

C.

0.

D.

1.

Lời giải.

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 14. Kết quả của giới hạn

 

2

lim 2

4

x







là:

A.

1.

B.

.

C.

0.

D.



.

Lời giải.

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 15. Kết quả của giới hạn

 

3

2

1

lim 1

1

x









là:

A.

3.

B.

.

C.

0.

D.



.

Lời giải.

Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV-Bài 3. Giới Hạn Một Bên

119

Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 16.(Chuyên KHTN) Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A.





2

3

lim 1 2

2

x

x x x



     

. B.

( 1)

32

lim

1

x







 



.

C.





2

lim 1 2

x

x x x



     

. D.

( 1)

32

lim

1

x







 



.

Lời giải

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 17.(THPT Hoàng Hoa Thám 2018) Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A.

0

1

lim

x





 

. B.

0

1

lim

x





 

. C.

5

0

1

lim

x





 

. D.

0

1

lim

x





 

.

Lời giải

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 18. (THPT Trần Nhân Tông 2018) Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai

A.





2

3

lim 1 2

2

x

x x x





    

. B.





2

lim 1 2

x

x x x



     

.

C.

1

32

lim

1

x







 



. D.

1

32

lim

1

x







 



.

Lời giải

....................................................................................................................................................................................................................

Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV-Bài 3. Giới Hạn Một Bên

120

Dạng 2. Chứng minh sự tồn tại của giới hạn.

1. Phương pháp.

Hàm số có giới hạn là

L

thì

     

0

00

lim lim lim

xx

x x x x

f x L f x f x L







   

Hàm số có giới hạn là



thì

     

0

00

lim lim lim

xx

x x x x

f x f x f x







     

Hàm số có giới hạn là



thì

     

0

00

lim lim lim

xx

x x x x

f x f x f x







     

2. Bài tập minh họa.

Bài tập 4. Cho hàm số

 

42

3

5 6 1

3 1

x x x x

fx

x x x



  













Tìm

   

11

lim ;lim .

xx

f x f x





Hàm số có giới hạn tại

1x 

không? Vì sao?

Lời giải

....................................................................................................................................................................................................................

Bài tập 5. Cho hàm số

 

2

23

1

8

x

y f x

x























a). Tìm

 

1

lim .

x

fx



So sánh

 

1

lim

x

fx



và

 

1f

b). Tìm

 

3

lim .

x

fx





So sánh

 

3

lim

x

fx





và

 

3.f 

Lời giải

....................................................................................................................................................................................................................

Bài tập 6. Cho hàm số

 

2

2 3 2

5 2

3 1 2

xx

f x x

xx

















a). Tìm

 

22

lim ; lim .

xx

f x f x



   

b). Hàm số có giới hạn tại

2x 

không? Tại sao?

Lời giải

....................................................................................................................................................................................................................

Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV-Bài 3. Giới Hạn Một Bên

121

Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880

....................................................................................................................................................................................................................

Bài tập 7. Cho hàm số

 

3

2

2 1 8

0

1 2 0

4

2

xx

x

f x ax b x

x



  





     

















Tìm a, b để hàm số cùng có giới hạn tại

2x 

và

0.x 

Lời giải

....................................................................................................................................................................................................................

Bài tập 8. Tìm các giới hạn sau :

a).

 

1

lim

x

fx



với

 

2

3, 1

13, 1

1 7 2, 1

x khi x

f x x khi x

x khi x







   





  



b).

 

2

lim

x

gx



với

 

32

, 2

1

10, 2

x

khi x

gx

x

x khi x

















  



Lời giải

Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV-Bài 3. Giới Hạn Một Bên

122

....................................................................................................................................................................................................................

Bài tập 9. Tìm giới hạn của hàm số

 

31

, 0

1

10, 0

x

khi x

gx

x

x khi x





















tại

0x 

Lời giải

....................................................................................................................................................................................................................

Bài tập 10. Tìm m để hàm số

 

3

22

1

, 1

1

, 1

x

khi x

hx

x

mx x m khi x

















   



có giới hạn tại

1x 

.

Lời giải

....................................................................................................................................................................................................................

Bài 11. Cho hàm số

 

2

32

khi 1

1

khi 1

2

xx

x

fx

x





















. Tính các giới hạn sau

a).

 

1

lim

x

fx





. b).

 

1

lim

x

fx





. c).

 

1

lim

x

fx



, (nếu có).

Lời giải

Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV-Bài 3. Giới Hạn Một Bên

123

Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880

....................................................................................................................................................................................................................

Bài 12. Cho hàm số

 

3

2

khi 1

khi 3 12

x

fx

x















. Tìm

 

1

lim

x

fx



.

Lời giải

....................................................................................................................................................................................................................

3. Câu hỏi trắc nghiệm.

Câu 19. Cho hàm số

 

2

1

.

2

1

3 1 1

x

fx

xx



















víi

Khi đó

 

1

lim

x

fx





là:

A.

.

B.

2.

C.

4.

D.

.

Lời giải.

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 20. Cho hàm số

 

2

.

1

2 2 1

x

fx

x

xx





















víi

Khi đó

 

1

lim

x

fx





là:

A.

.

B.

1.

C.

0.

D.

1.

Lời giải.

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 21. Cho hàm số

 

2

3 2

1 2

.

xx

fx

xx













víi

Khi đó

 

2

lim

x

fx



là:

A.

1.

B.

0.

C.

1.

D. Không tồn tại.

Lời giải.

....................................................................................................................................................................................................................

Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV-Bài 3. Giới Hạn Một Bên

124

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 22. Cho hàm số

 

2 3 2

1

.

2

xx

fx

ax x







  











víi

Tìm

a

để tồn tại

 

2

lim .

x

fx



A.

1.a 

B.

2.a 

C.

3.a 

D.

4.a 

Lời giải.

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 23. Cho hàm số

 

2

2 3 3

1 .3

3 2 3

x x x

f x x

xx

  















víi

Khẳng định nào dưới đây sai?

A.

 

3

lim 6.

x

fx







B. Không tồn tại

 

3

lim .

x

fx



C.

 

3

lim 6.

x

fx







D.

 

3

lim 15.

x

fx







Lời giải.

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 24.(THTT Số 4 2018) Cho hàm số

 

42

khi 0

1

khi 0

4

x

fx

mx m x















  





,

m

là tham số . Tìm giá trị

của

m

để hàm số có giới hạn tại

0x 

.

A.

1m 

. B.

0m 

. C.

1

2

m 

. D.

1

2

m





.

Lời giải

....................................................................................................................................................................................................................

󰉪󰉗󰉭 󰉼󰉴-Bài 4. 󰉯󰉺

125

󰉵 󰉚 󰉪 Tel: 0935.660.880

A. 󰈸

I. Hàm s󰉯 liên t󰉺c t󰉗󰉨m:

󰉬Gi󰉘 s󰉿 hàm s󰉯

 

fx

󰉬nh trên kho󰉘ng

 

;ab

và

 

0

;.x a b

Hàm s󰉯

 

y f x

g󰉭i

là liên t󰉺c t󰉗󰉨m

0

x

n󰉦u:

   

0

.lim

xx

f x f x





Hàm s󰉯 không liên t󰉺c t󰉗󰉨m

0

x

g󰉭󰉗n t󰉗i

0

x

.

2. Nh󰉝n xét.

󰉨 xét tính liên t󰉺c t󰉗i m󰉳󰉨m

0

x

ta ti󰉦󰉼󰉵c sau.

󰉼󰉵c 1: Tính

 

0

fx

.

󰉼󰉵c 2: Tính

 

0

lim

xx

fx



.

N󰉦u

   

0

lim

xx

f x f x





thì hàm s󰉯

 

fx

liên t󰉺c t󰉗i

0

x

.

3. Ví d󰉺 minh h󰉭a.

 󰉺. 󰉺󰉻󰉯󰉗󰉨

2x 

a).

 

2

4

2

x

fx

x







b).

 

2

4

2

4 2

x

gx

x

















  



L󰉶i gi󰉘i

....................................................................................................................................................................................................................

 󰉺. 󰉯

 

2

35

2

4

1

2

6

x

y f x

x























a). Tính

 

2

lim .

x

fx



b). 󰉺󰉻󰉯

 

fx

󰉗

2;x 

L󰉶i gi󰉘i.

....................................................................................................................................................................................................................

4. HÀM S󰉁 LIÊN T󰉌C

󰉪󰉗󰉭 󰉼󰉴-Bài 4. 󰉯󰉺

126

II. Hàm s󰉯 liên t󰉺c trên m󰉳t kho󰉘ng, trên m󰉳󰉗n.

1. 󰉬

Gi󰉘 s󰉿 hàm s󰉯

f

󰉬nh trên kho󰉘ng

 

;ab

.Ta nói r󰉟ng hàm s󰉯

 

y f x

liên t󰉺c trên kho󰉘ng

 

;ab

n󰉦u nó liên t󰉺c t󰉗i m󰉭󰉨m c󰉻a kho󰉘

Hàm s󰉯

 

y f x

g󰉭i là liên t󰉺󰉗n

 

;ab

n󰉦u nó liên t󰉺c trên kho󰉘ng

 

;ab

và

   

lim

xa

xb

f x f a

f x f b





















2. Các tính ch󰉙t c󰉻a hàm s󰉯 liên t󰉺c.

󰉬nh lí 1.

Hàm s󰉯 󰉽c liên t󰉺c trên .

Hàm s󰉯 phân th󰉽c, các hàm s󰉯 󰉼󰉹ng giác liên t󰉺c trên t󰉾ng kho󰉘󰉬nh c󰉻a chúng.

󰉬nh lí 2. Gi󰉘 s󰉿

 

y f x

,

 

y g x

liên t󰉺c t󰉗󰉨m

0

x



Các hàm s󰉯

           

, , .y f x g x y f x g x y f x g x    

liên t󰉺c t󰉗i

0

x

Hàm s󰉯

 

fx

y

gx



liên t󰉺c t󰉗i

0

x

n󰉦u

 

0

0gx 

.

3. Ví d󰉺 minh h󰉭a.

 󰉺. 󰉽󰉯󰉺

.

a).

 

42

2f x x x  

b).

 

22

.sin 2cos 3f x x x x  

c).

 

3

23

1

7

1

3

xx

x

fx

x























d).

 

2

43

1

5 1

xx

x

fx

x

xx

















  



L󰉶i gi󰉘i.

....................................................................................................................................................................................................................

󰉪󰉗󰉭 󰉼󰉴-Bài 4. 󰉯󰉺

127

󰉵 󰉚 󰉪 Tel: 0935.660.880

....................................................................................................................................................................................................................

III. Ch󰉽󰉼󰉴󰉪m:

1. 󰉬nh lí 2

󰇛󰉬nh lí v󰉧 giá tr󰉬 trung gian c󰉻a hàm s󰉯 liên t󰉺c)

Gi󰉘 s󰉿 hàm s󰉯

f

liên t󰉺󰉗n

 

;ab

.

N󰉦u

   

f a f b

thì v󰉵i m󰉲i s󰉯 th󰊁c

M

n󰉟m gi󰊀a

   

,f a f b

, t󰉰n t󰉗i ít nh󰉙t m󰉳󰉨m

 

;c a b

sao cho

 

.f c M

2. 󰉭c c󰉻󰉬nh lí

N󰉦u hàm s󰉯

f

liên t󰉺󰉗n

 

;ab

và

M

là m󰉳t s󰉯 th󰊁c n󰉟m gi󰊀a

   

,f a f b

󰉼󰉶ng

th󰉠ng

yM

c󰉞󰉰 th󰉬 c󰉻a hàm s󰉯

 

y f x

t󰉗i ít nh󰉙t m󰉳󰉨󰉳

 

;c a b

.

3. H󰉪 qu󰉘

N󰉦u hàm s󰉯

f

liên t󰉺󰉗n

 

;ab

và

   

.0f a f b 

thì t󰉰n t󰉗i ít nh󰉙t m󰉳󰉨m

 

;c a b

sao

cho

 

0.fc

4. 󰉭c c󰉻a h󰉪 qu󰉘

N󰉦u hàm s󰉯

f

liên t󰉺󰉗n

 

;ab

và

   

.0f a f b 

󰉰 th󰉬 c󰉻a hàm s󰉯

 

y f x

c󰉞t tr󰉺c

hoành ít nh󰉙t t󰉗i m󰉳󰉨󰉳

 

;c a b

.

5. Ví d󰉺 minh h󰉭a.

 󰉺. 󰉽󰉟󰉼󰉴

32

4 8 1 0xx  

󰉪󰉘

 

1;2

L󰉶i gi󰉘i.

....................................................................................................................................................................................................................

󰉺. 󰉽󰉼󰉴

42

4 2 3 0x x x   

󰉙󰉪󰉳

 

1;1

.

L󰉶i gi󰉘i.

....................................................................................................................................................................................................................

󰉪󰉗󰉭 󰉼󰉴-Bài 4. 󰉯󰉺

128

....................................................................................................................................................................................................................

B. PHÂN D󰈩󰉎󰉆󰉌 MINH H󰈿A.

󰈩󰉺󰉻󰉯󰉗󰉳󰉨

Ta xét d󰉗ng này g󰉰m hai bài toán t󰉱ng quát sau.

Bài toán 1. 󰉯

 

10

20

khi

f x x x

fx

f x x x

















.

󰉨󰉺󰉢󰉬󰉬󰉻󰉯󰉨󰉯󰉺󰉗󰉨

0

x

, ta 󰊁 󰉪

󰉼󰉵

1. 󰉼󰉴

B󰉼󰉵c 1. Tính gi󰉵i h󰉗n

   

00

1

lim lim

x x x x

f x f x L





.

B󰉼󰉵c 2. Tính

   

0 2 0

f x f x

.

B󰉼󰉵c 3. 󰉢c gi󰉘󰉼󰉴

 

20

L f x

, t󰉾 󰉼󰉦t lu󰉝n.

 N󰉦u

 

20

L f x

thì k󰉦t lu󰉝n hàm s󰉯 liên t󰉺c t󰉗i

0

x

.

 N󰉦u

 

20

L f x

thì k󰉦t lu󰉝n hàm s󰉯 không liên t󰉺c t󰉗i

0

x

hay b󰉬 󰉗n t󰉗i

0

x

.

2. 󰉝󰉭

 󰉝 󰉺󰉻󰉯

 

2

khi 2

2

2 2 khi 2

x

fx

x





















󰉗

2x 

.

L󰉶i gi󰉘i

....................................................................................................................................................................................................................

 󰉝. 󰉺󰉻󰉯

 

2

4

khi 2

2

2 khi 2

x

fx

xx

x





















󰉗

2x 

.

L󰉶i gi󰉘i

....................................................................................................................................................................................................................

󰉪󰉗󰉭 󰉼󰉴-Bài 4. 󰉯󰉺

129

󰉵 󰉚 󰉪 Tel: 0935.660.880

 󰉝. 󰉺󰉻󰉯

 

1 2 3

khi 2

2

1 khi 2

x

fx

x





















󰉗

2x 

.

L󰉶i gi󰉘i

....................................................................................................................................................................................................................

󰉝 󰉺󰉻󰉯

 

sin

khi 1

1

khi 1

x

fx

x





















󰉗

1x 

.

L󰉶i gi󰉘i

....................................................................................................................................................................................................................

󰉝 Tìm

m

󰉨󰉯

 

32

22

khi 1

1

3 khi 1

x x x

x

fx

x

x m x



  

















󰉺󰉗

1x 

.

L󰉶i gi󰉘i

....................................................................................................................................................................................................................

 󰉝 Tìm

m

󰉨󰉯󰉺󰉗󰉨󰉫

 

2

1

sin khi 0

khi 0

xx

fx

x

mx

















󰉗

0x 

.

L󰉶i gi󰉘i

....................................................................................................................................................................................................................

󰉪󰉗󰉭 󰉼󰉴-Bài 4. 󰉯󰉺

130

....................................................................................................................................................................................................................

 󰉝 Tìm

m

󰉨󰉯󰉺󰉗󰉨󰉫

 

2

1 cos

khi

x

fx

mx























󰉗

x





.

L󰉶i gi󰉘i

....................................................................................................................................................................................................................

 󰉝 Tìm

m

󰉨󰉯

 

2

22

2 khi 1

1

11

khi 1

xx

mx x

x

fx

xx

x





  









  









󰉺󰉗

1x 

.

L󰉶i gi󰉘i

....................................................................................................................................................................................................................

Bài toán 2. Cho hàm s󰉯

 

10

20

khi

f x x x

fx

f x x x

















. 󰉨 xét tính liên t󰉺c ho󰉢󰉬nh giá tr󰉬 c󰉻a

tham s󰉯

m

󰉨 hàm s󰉯 liên t󰉺c t󰉗󰉨m

0

x

, ta làm 󰉼󰉵c

1. 󰉼󰉴

B󰉼󰉵c 1. Tính

   

0 2 0

f x f x

.

B󰉼󰉵c 2.

(Liên t󰉺c trái)

Tính gi󰉵i h󰉗n

   

00

11

lim lim

x x x x

f x f x L







.

󰉢c gi󰉘󰉼󰉴

 

1 2 0

L f x

, t󰉾 󰉼󰉦t lu󰉝n.

B󰉼󰉵c 3. (

Liên t󰉺c ph󰉘i)

Tính gi󰉵i h󰉗n

   

00

12

lim lim

x x x x

f x f x L







.

󰉢c gi󰉘󰉼󰉴

 

2 2 0

L f x

, t󰉾 󰉼󰉦t lu󰉝n.

B󰉼󰉵c 4. 󰉢c gi󰉘󰉼󰉴

12

LL

, t󰉾 󰉼󰉦t lu󰉝n.

 N󰉦u

 

1 2 2 0

L L f x

thì k󰉦t lu󰉝n hàm s󰉯 liên t󰉺c t󰉗i

0

x

.

󰉪󰉗󰉭 󰉼󰉴-Bài 4. 󰉯󰉺

131

󰉵 󰉚 󰉪 Tel: 0935.660.880

 N󰉦u

 

1 2 0

L f x

ho󰉢c

 

2 2 0

L f x

ho󰉢c

21

LL

k󰉦t lu󰉝n hàm s󰉯 không liên t󰉺c t󰉗i

0

x

hay b󰉬

󰉗n t󰉗i

0

x

.

2. Bài t󰉝p minh h󰉭a.

 󰉝 󰉺󰉻󰉯

 

2

5

khi 5

2 1 3

5 3 khi 5

x

fx

xx

















  



󰉗

5x 

.

L󰉶i gi󰉘i

....................................................................................................................................................................................................................

 󰉝 󰉺󰉻󰉯

 

1 cos khi 0

1 khi 0

xx

fx

xx

















󰉗

0x 

.

L󰉶i gi󰉘i

....................................................................................................................................................................................................................

 󰉝 󰉺󰉻󰉯

 

3

khi 0

2

11

khi 0

11

xx

fx

x























󰉗

0x 

.

L󰉶i gi󰉘i

....................................................................................................................................................................................................................

󰉪󰉗󰉭 󰉼󰉴-Bài 4. 󰉯󰉺

132

....................................................................................................................................................................................................................

 󰉝 Tìm

m

󰉨󰉯󰉺󰉗󰉨󰉫

 

2

khi 1

2 khi 1

1 khi 1

x x x

f x x

mx x

















󰉗

1x 

.

L󰉶i gi󰉘i

....................................................................................................................................................................................................................

 󰉝 󰉯

 

 

2

32

khi 1

1

khi 1

xx

x

fx

ax





















.

a). Tìm

a

󰉨󰉯󰉺󰉗󰉨

1x 

.

b). Tìm

a

󰉨󰉯󰉺󰉘󰉗󰉨

1x 

.

c). Tìm

a

󰉨󰉯󰉺󰉗󰉨

1x 

.

L󰉶i gi󰉘i

....................................................................................................................................................................................................................

4. Câu h󰉮i tr󰉞c nghi󰉪m.

Câu 1. 󰉯

 

1

3

4

f x x

x

  



󰉺

A.

 

4;3 .

B.





4;3 .

C.





4;3 .

D.

  



; 4 3; .   

󰉶󰉘

....................................................................................................................................................................................................................

󰉪󰉗󰉭 󰉼󰉴-Bài 4. 󰉯󰉺

133

󰉵 󰉚 󰉪 Tel: 0935.660.880

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 2. 󰉯

 

3

cos sin

2sin 3

x x x x

fx

x







󰉺

A.

 

1;1 .

B.

 

1;5 .

C.

3

;.

2



 





D.

.

󰉶󰉘

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 3. 󰉯

 

fx

󰉬󰉺 󰉵

 

2

32

1

xx

fx

x







󰉵󰉭

1.x 



Tính

 

1.f

A.

2.

B.

1.

C.

0.

D.

1.

󰉶󰉘

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 4. 󰉯

 

fx

󰉬󰉺

m

󰉵

 

33xx

fx

x

  



󰉵

0x 

. Tính

 

0f

.

A.

23

.

3

B.

3

.

3

C.

1.

D.

0.

󰉶󰉘

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 5. 󰉯

 

fx

󰉬󰉺

 

4; 

󰉵

 

42

x

fx

x





󰉵

0x 

.

Tính

 

0f

.

A.

0.

B.

2.

C.

4.

D.

1.

󰉶󰉘

....................................................................................................................................................................................................................

󰉪󰉗󰉭 󰉼󰉴-Bài 4. 󰉯󰉺

134

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 6. 󰉬󰊁󰉻󰉯

m

󰉨󰉯

 

2

khi 2

2

khi 2

xx

x

fx

x

mx





















󰉺󰉗

2.x 

A.

0.m 

B.

1.m 

C.

2.m 

D.

3.m 

󰉶󰉘

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 7. 󰉬󰊁󰉻󰉯

m

󰉨󰉯

 

32

22

khi 1

1

3 khi 1

x x x

x

fx

x

x m x

  



















󰉺 󰉗

1.x 

A.

0.m 

B.

2.m 

C.

4.m 

D.

6.m 

󰉶󰉘

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 8. 󰉬󰊁󰉻󰉯

k

󰉨󰉯

 

1

khi 1

1

1 khi 1

x

y f x

x

kx





















󰉺󰉗

1.x 

A.

1

.

2

k 

B.

2.k 

C.

1

.

2

k 

D.

0.k 

󰉶󰉘

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 9. 󰉦󰉟󰉯

 

3

khi 3

12

khi 3

x

fx

x

mx





















󰉺󰉗

3x 

󰇛󰉵

m

󰉯󰇜󰉠

󰉬󰉼󰉵

A.

 

3;0 .m 

B.

3.m 

C.





0;5 .m

D.





5; .m 

󰉶󰉘

....................................................................................................................................................................................................................

󰉪󰉗󰉭 󰉼󰉴-Bài 4. 󰉯󰉺

135

󰉵 󰉚 󰉪 Tel: 0935.660.880

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 10. 󰉬󰊁󰉻󰉯

m

󰉨󰉯

 

2

1

sin khi 0

khi 0

xx

fx

x

mx















󰉺󰉗

0.x 

A.

 

2; 1 .m 

B.

2.m 

C.





1;7 .m

D.





7; .m 

󰉶󰉘

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 11. 󰉦󰉟

0

sin

lim 1.

x





󰉯

 

tan

khi 0

0 khi 0

x

fx

x















󰉺󰉘



?

A.

0; .

2









B.

0x 

C.

;.

44











D.

 

;. 

󰉶󰉘

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 12. 󰉦󰉟

0

sin

lim 1.

x





󰉬󰊁󰉻󰉯

m

󰉨󰉯

 

sin

khi 1

1

khi 1

x

fx

x

mx





















󰉺󰉗

1.x 

A.

.m





B.

.m





C.

1.m 

D.

1.m 

󰉶󰉘

....................................................................................................................................................................................................................

󰉪󰉗󰉭 󰉼󰉴-Bài 4. 󰉯󰉺

136

Câu 13. 󰉦󰉟

0

sin

lim 1.

x





󰉬󰊁󰉻󰉯

m

󰉨󰉯

 

2

1 cos

khi

x

fx

mx





















󰉺󰉗

.x





A.

.

2

m





B.

.

2

m





C.

1

.

2

m 

D.

1

.

2

m 

󰉶󰉘

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 14. 󰉯

 

4

2

3 khi 1

khi 1, 0

1 khi 0

x

xx

f x x x

xx

x













   







󰉺󰉗

A. 󰉭󰉨󰉾

0, 1.xx

B. 󰉭󰉨

.x

C. 󰉭󰉨󰉾

1.x 

D. 󰉭󰉨󰉾

0.x 

󰉶󰉘

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 15. 󰉯󰉨󰉗󰉻󰉯

 

2

0,5 khi 1

1

khi 1, 1

1

1 khi 1

x

xx

f x x x

x



























là:

A.

0.

B.

1.

C.

2.

D.

3.

󰉪󰉗󰉭 󰉼󰉴-Bài 4. 󰉯󰉺

137

󰉵 󰉚 󰉪 Tel: 0935.660.880

󰉶󰉘

....................................................................................................................................................................................................................

D󰈩NG 2: Xét tính liên t󰉺c c󰉻a hàm s󰉯 trên .

Ta xét d󰉗ng này g󰉰m bài toán t󰉱ng quát sau.

Bài toán 1. Cho hàm s󰉯

 

10

20

khi

f x x x

fx

f x x x

















. 󰉨 xét tính liên t󰉺c ho󰉢󰉬nh giá tr󰉬 c󰉻a

tham s󰉯 󰉨 hàm s󰉯 liên t󰉺c t󰉗󰉨m

0

x

, ta làm 󰉼󰉵c

1. 󰉼󰉴

󰉼󰉵c 1. Xét trên kho󰉘ng

0

xx

.

 N󰉦󰉽󰉼󰉹ng giác, hàm phân th󰉽c h󰊀u t󰉫 thì k󰉦t lu󰉝n liên t󰉺c trên kho󰉘ng

 

0

;.x 

B󰉼󰉵c 2. Xét trên kho󰉘ng

0

xx

.

 N󰉦u là 󰉽󰉼󰉹ng giác, hàm phân th󰉽c h󰊀u t󰉫 thì k󰉦t lu󰉝n liên t󰉺c trên kho󰉘ng

 

0

;.x 

B󰉼󰉵c 3. Xét liên t󰉺c t󰉗i

0

xx

.

 󰉼󰉧 d󰉗ng toán 1: xét tinh liên t󰉺c t󰉗󰉨m

0

xx

g󰉰m hai bài toán 1 và 2.

B󰉼󰉵c 4. K󰉦t lu󰉝n.

2. Bài t󰉝p minh h󰉭a.

󰉝 󰉯

 

fx

󰉬󰉷

 

2

2 khi 3

3

khi 1 3

12

x x x

fx

x



  





  













.

󰉽󰉟󰉯󰉺󰉘

 

1; 

.

L󰉶i gi󰉘i

....................................................................................................................................................................................................................

󰉪󰉗󰉭 󰉼󰉴-Bài 4. 󰉯󰉺

138

....................................................................................................................................................................................................................

󰉝 󰉬

a

󰉨󰉯

 

2

1

khi 1

1

khi 1

x

fx

x

ax





















󰉺󰉗

 

0;1

.

L󰉶i gi󰉘i

....................................................................................................................................................................................................................

󰉝 󰉯

 

1 3

3 5

7 5

x

f x ax b x

x







   









. 󰉬󰉨󰉯󰉺

L󰉶i gi󰉘i

....................................................................................................................................................................................................................

󰉪󰉗󰉭 󰉼󰉴-Bài 4. 󰉯󰉺

139

󰉵 󰉚 󰉪 Tel: 0935.660.880

󰉝 󰉯󰉺󰉵

xR

󰉦󰉫󰉨

󰉗

a).

 

43

2 4 2 1f x x x x   

b).

 

2

3 4 5

32

xx

fx

xx







c).

 

2

2 1 1

2 3 1 2

1

2

x

xx

fx

x























d).

 

32

2 6 3

3

19 3

x x x

x

fx

x



  

















L󰉶i gi󰉘i

....................................................................................................................................................................................................................

󰉝 󰉯

 

3

2

8

2

4

3 2

3 5 3 2

x

khi x

x

f x khi x

x khi x













   





     





󰉘󰉿󰉘

󰉯󰇛󰇜󰉺

L󰉶i gi󰉘i

....................................................................................................................................................................................................................

󰉪󰉗󰉭 󰉼󰉴-Bài 4. 󰉯󰉺

140

....................................................................................................................................................................................................................

󰉝 󰉯

 

2

32

2

xx

x

fx

x

ax





















󰉵󰉬󰉻󰉯󰉺󰉗󰉨

2x 

?

L󰉶i gi󰉘i

....................................................................................................................................................................................................................

󰉝 󰉯

 

2

2 7 6

khi x < 2

2

1

a + 2

2

xx

x

y f x

x

khi x

x

























󰉬󰉨󰉯󰇛󰇜󰉺

󰉗

0

2x 

.

L󰉶i gi󰉘i

....................................................................................................................................................................................................................

󰉪󰉗󰉭 󰉼󰉴-Bài 4. 󰉯󰉺

141

󰉵 󰉚 󰉪 Tel: 0935.660.880

3. 󰉮󰉞󰉪.

Câu 16. 󰉬󰊁󰉻

m

󰉨󰉯

 

22

khi 2

1 khi 2

m x x

fx

m x x



















󰉺 ?

A.

2

. B.

1

. C.

0

. D.

3

.

󰉶󰉘

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 17. 󰉦 󰉟  󰉯

 

 





0;4

4;6

khi

1 khi

xx

fx

mx



















󰉺 

 

0;6 .

󰉠󰉬   



A.

2.m 

B.

2 3.m

C.

3 5.m

D.

5.m 

󰉶󰉘

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 18. 󰉬󰉯

a

󰉨󰉯

 

2

32

khi 1

1

khi 1

xx

x

fx

ax





















󰉺

.

A.

1

. B.

2

. C.

0

. D.

3

.

󰉶󰉘

....................................................................................................................................................................................................................

󰉪󰉗󰉭 󰉼󰉴-Bài 4. 󰉯󰉺

142

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 19. 󰉦󰉟

 

2

1

khi 1

1

khi 1

x

fx

x

ax





















󰉺󰉗

 

0;1

󰇛󰉵

a

󰉯󰇜󰉠

󰉬󰉼󰉵󰉧󰉬

a



A.

a

󰉳󰉯 B.

a

󰉳󰉯󰉫

C.

5.a 

D.

0.a 

󰉶󰉘

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 20.    󰉺 󰉻  󰉯

 

.

1

khi 1

21

2 khi 1

x

fx

x

xx























󰉠 󰉬  󰉼󰉵 



A.

 

fx

󰉺

.

B.

 

fx

󰉺

 

0;2 .

C.

 

fx

󰉗󰉗

1.x 

D.

 

fx

󰉺

.

󰉶󰉘

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 21. 󰉬󰉮󰉙󰉻

a

󰉨󰉯

 

2

56

khi 3

43

1 khi 3

xx

x

fx

xx

a x x























󰉺󰉗

3x 

.

A.

2

3



. B.

2

.

3

C.

4

.

3



D.

4

.

3

󰉶󰉘

....................................................................................................................................................................................................................

󰉪󰉗󰉭 󰉼󰉴-Bài 4. 󰉯󰉺

143

󰉵 󰉚 󰉪 Tel: 0935.660.880

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 22. 󰉬󰉵󰉙󰉻

a

󰉨󰉯

 

3

2

3 2 2

khi 2

2

1

khi 2

4

x

fx

a x x

























󰉺󰉗

2.x 

A.

max

3.a 

B.

max

0.a 

C.

max

1.a 

D.

max

2.a 

󰉶󰉘

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 23. 󰉺󰉻󰉯

 

1 cos khi 0

1

.

khi 0

xx

x

fx

x



















󰉠󰉬

A.

 

fx

󰉺󰉗

0.x 

B.

 

fx

󰉺

 

;1 .

C.

 

fx

󰉺

.

D.

 

fx

󰉗󰉗

1.x 

󰉶󰉘

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 24. 󰉘󰉺󰉻󰉯

 

cos khi 1

2

1

.

khi 1

x

fx

x



















󰉪󰉧 là sai?

A. 󰉯󰉺󰉗

1x 

.

B. 󰉯󰉺󰉘

   

.;, 1 1;  

C. 󰉯󰉺󰉗

1x 

.

D. 󰉯󰉺󰉘

 

1,1

.

󰉶󰉘

....................................................................................................................................................................................................................

󰉪󰉗󰉭 󰉼󰉴-Bài 4. 󰉯󰉺

144

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 25. 󰉯

 

fx

󰉰󰉬󰉼󰉺

󰉗󰉨󰉳

A.

0.x 

B.

1.x 

C.

2.x 

D.

3.x 

󰉶󰉘

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 26. 󰉯

 

2

khi 1, 0

0 khi 0 .

khi 1

x

xx

x

f x x

xx



















󰉯

 

fx

󰉺󰉗

A. 󰉭󰉨󰉳 . B. 󰉭󰉨󰉾

0x 

.

C. 󰉭󰉨󰉾

1x 

. D. 󰉭󰉨󰉾

0x 

và

1x 

.

󰉶󰉘

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 27. 󰉯

 

2

1

khi 3, 1

1

4 khi 1

1 khi 3

x

xx

x

f x x

xx

























󰉯

 

fx

󰉺󰉗

A. M󰉭󰉨󰉳 . B. M󰉭󰉨󰉾

1x 

.

C. M󰉭󰉨󰉾

3x 

. D. M󰉭󰉨󰉾

1x 

và

3x 

.

󰉶󰉘

󰉪󰉗󰉭 󰉼󰉴-Bài 4. 󰉯󰉺

145

󰉵 󰉚 󰉪 Tel: 0935.660.880

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 28. 󰉯󰉨󰉗󰉻󰉯

 

2

2 khi 0

1 khi 0 2

3 1 khi 2

xx

h x x x

xx







   









là:

A. 1. B. 2. C. 3. D. 0.

󰉶󰉘

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 29. 󰉱

S

󰉰󰉙󰉘󰉬

m

󰉨󰉯

 

2

khi 1

2 khi 1

1 khi 1

x x x

f x x

m x x

















󰉺󰉗

1x 

A.

1.S 

B.

0.S 

C.

1.S 

D.

2.S 

󰉶󰉘

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 30. 󰉯

 

2

3

cos khi 0

khi 0 1.

1

khi 1

x x x

x

f x x

x

xx







  











󰉯

 

fx

󰉺󰉗

A. 󰉭󰉨󰉳

.x

B. 󰉭󰉨󰉾

0.x 

C. 󰉭󰉨󰉾

1.x 

D. 󰉭󰉨󰉾

0; 1.xx

󰉶󰉘

....................................................................................................................................................................................................................

󰉪󰉗󰉭 󰉼󰉴-Bài 4. 󰉯󰉺

146

....................................................................................................................................................................................................................

D󰉗ng 3: Ch󰉽󰉼󰉴󰉪m.

Ta xét bài toán t󰉱ng quát sau.

Bài toán 1. 󰉼󰉴

 

0fx

. Ch󰉽󰉼󰉴trình có nghi󰉪m.

1. 󰉼󰉴

󰉼󰉵c 1: Bi󰉦󰉱󰉼󰉴󰉧 d󰉗ng

 

0fx

.

󰉼󰉵c 2: Hàm s󰉯 liên t󰉺󰉬nh trên t󰉝󰉬nh



hàm s󰉯 liên t󰉺c trên

 

;.ab

󰉼󰉵c 3: Tìm hai s󰉯

a

và

b

sao cho

   

.0f a f b 

.

T󰉾 󰉼󰉴

 

0fx

có ít nh󰉙t m󰉳t nghi󰉪m thu󰉳c

 

;ab

.

Chú ý:

 N󰉦u

   

.0f a f b 

󰉼󰉴󰉙t m󰉳t nghi󰉪m thu󰉳c

 

;ab

 N󰉦u hàm s󰉯

 

fx

liên t󰉺c trên





;a 

và có

   

. lim 0

x

f a f x





󰉼󰉴

 

0fx

có ít nh󰉙t m󰉳t nghi󰉪m thu󰉳c

 

;a 

.

 N󰉦u hàm s󰉯 f(x) liên t󰉺c trên





;a

và có

   

. lim 0

x

f a f x





󰉼󰉴

 

0fx

có ít nh󰉙t m󰉳t nghi󰉪m thu󰉳c

 

;a

.

 󰉨 ch󰉽ng minh

 

0fx

có ít nh󰉙t

n

nghi󰉪m trên

 

;ab

󰉗n

 

;ab

thành

n

󰉗n

nh󰉮 r󰉶i nhau, r󰉰i ch󰉽ng minh trên m󰉲i kho󰉘󰉼󰉴󰉙t m󰉳t nghi󰉪m.

2. Bài t󰉝p minh h󰉭a.

󰉝 󰉽󰉟󰉼󰉴

a).

42

3 5 6 0x x x   

󰉙󰉳󰉪󰉳󰉘

 

1;2

.

b).

3

10xx  

󰉙󰉳󰉪󰉵󰉴

1

.

c).

2

cos sin 1 0x x x x  

󰉙󰉳󰉪󰉳󰉘

 

0;



.

L󰉶i gi󰉘i

....................................................................................................................................................................................................................

󰉪󰉗󰉭 󰉼󰉴-Bài 4. 󰉯󰉺

147

󰉵 󰉚 󰉪 Tel: 0935.660.880

....................................................................................................................................................................................................................

 󰉝 󰉽󰉼󰉴

53

5 4 1 0x x x   

󰉪

L󰉶i gi󰉘i

....................................................................................................................................................................................................................

 󰉝 󰉽󰉟󰉼󰉴󰉪

a).

5

3 3 0xx  

. b).

4 3 2

3 1 0x x x x    

.

L󰉶i gi󰉘i

....................................................................................................................................................................................................................

󰉪󰉗󰉭 󰉼󰉴-Bài 4. 󰉯󰉺

148

󰉝 󰉽󰉟󰉼󰉴

a).

42

4 2 3 0x x x   

󰉙󰉪󰉪󰉳󰉘

 

1;1

.

b).

54

5 4 1 0x x x   

󰉙󰉪󰉪󰉳󰉘

 

0;5

.

L󰉶i gi󰉘i

....................................................................................................................................................................................................................

󰉝 󰉽󰉟󰉼󰉴

a).

2

2 3 4 0xx  

󰉪󰉪󰉳󰉘

 

3;1

.

b).

32

3 3 0xx  

󰉪󰉪󰉳󰉘

 

1;3

.

c).

3

2 6 1 3xx  

󰉪󰉪󰉳󰉘

 

7;9

.

L󰉶i gi󰉘i

....................................................................................................................................................................................................................

󰉪󰉗󰉭 󰉼󰉴-Bài 4. 󰉯󰉺

149

󰉵 󰉚 󰉪 Tel: 0935.660.880

....................................................................................................................................................................................................................

Bài toán 2. Ch󰉽󰉼󰉴󰉽a tham s󰉯

m

luôn có nghi󰉪m v󰉵i m󰉭i

.m

1. 󰉼󰉴

󰉼󰉵c 1. Ch󰉭n hai s󰉯

a

và

b

th󰉮󰉼󰉶ng h󰉹p.



 

0fa

thì

 

0,f b m

󰇛󰉼󰉧 󰉼󰉴󰉦u khi bi󰉨u th󰉽c có ch󰉽a tham s󰉯

)m



   

. 0,f a f b m

󰉼󰉴󰉙t m󰉳t nghi󰉪m

.m



 

0fa

thì

 

0,f b m

󰇛󰉼󰉧 󰉼󰉴󰉦u khi bi󰉨u th󰉽c có ch󰉽a tham s󰉯

)m



   

. 0,f a f b m

󰉼󰉴󰉙t m󰉳t nghi󰉪m

.m

󰉼󰉵c 2. K󰉦t lu󰉝n

2. 󰉝󰉭

 󰉝 󰉽󰉟󰉼󰉴󰉪

a).

 

3

22

1 1 3 0m x x x     

. b).

 

2 7 5

5 1 0m m x x    

.

c).

      

43

1 2 1 3 0m x x x x     

. d).

cos cos2 0x m x

e).

 

2cos 2 2sin5 1m x x  

. f).

11

cos sin

m

xx



L󰉶i gi󰉘i

....................................................................................................................................................................................................................

󰉪󰉗󰉭 󰉼󰉴-Bài 4. 󰉯󰉺

150

....................................................................................................................................................................................................................

 󰉝 󰉽󰉟󰉦

3m 

󰉼󰉴

 

   

2 3 2

3 1 3 2 1 3 0m m x m x m x       

có 󰉙󰉳󰉪󰉳󰉘

 

1;1

.

L󰉶i gi󰉘i

....................................................................................................................................................................................................................

Bài toán 2. Ch󰉽󰉼󰉴󰉽a tham s󰉯

m

luôn có nghi󰉪󰉼󰉴󰉢c nghi󰉪m âm

v󰉵i m󰉭i

.m

1. 󰉼󰉴

Ch󰉭n s󰉯

a

th󰉮󰉼󰉶ng h󰉹p.

󰉼󰉶ng h󰉹p 1. N󰉦u nghi󰉪󰉼󰉴󰉭n

0a 

󰉪󰉗󰉭 󰉼󰉴-Bài 4. 󰉯󰉺

151

󰉵 󰉚 󰉪 Tel: 0935.660.880

 hàm s󰉯

 

fx

liên t󰉺c trên





;a 

th󰉮a

 

00

lim 0

x

tính f

f

x



















   

. lim 0

x

f a f x





t󰉼󰉴

 

0fx

có ít nh󰉙t m󰉳t nghi󰉪m 󰉼󰉴thu󰉳c

 

;a 

.

󰉼󰉶ng h󰉹p 2. N󰉦u nghi󰉪m âm ch󰉭n

0a 

 Thì hàm s󰉯

 

fx

liên t󰉺c trên





;a

th󰉮a

 

00

lim 0

x

tính f

f

x



















   

. lim 0

x

f a f x





thì

󰉼󰉴

 

0fx

có ít nh󰉙t m󰉳t nghi󰉪m âm thu󰉳c

 

;a

.

2. Bài t󰉝p minh h󰉭a.

 󰉝 󰉽󰉟󰉼󰉴

a).

32

10x mx  

󰉳󰉪󰉼󰉴

b).

 

3

11x mx m   

󰉳󰉪󰉵󰉴

1

.

c).

 

2 2 *

3 2 4 0,

n

m m x x n      

luôn có ít nh󰉙t m󰉳t nghi󰉪m âm v󰉵i m󰉭i

.m

L󰉶i gi󰉘i

....................................................................................................................................................................................................................

 󰉝 Tìm

m

󰉨󰉼󰉴

 

32

3 2 2 3 0x x m x m     

󰉪󰉪

1 2 3

, , x x x

󰉮 mãn

1 2 3

1x x x   

.

L󰉶i gi󰉘i

....................................................................................................................................................................................................................

󰉪󰉗󰉭 󰉼󰉴-Bài 4. 󰉯󰉺

152

....................................................................................................................................................................................................................

 󰉝 󰉽󰉼󰉴

4

30xx  

󰉙󰉳󰉪

0

x

󰉮

󰉧󰉪

7

0

12x 

.

L󰉶i gi󰉘i

....................................................................................................................................................................................................................

 󰉝25. Cho

, , a b c

󰉯󰊁

0

󰉽󰉟󰉼󰉴

󰉪

a).

2

0ax bx c  

󰉵

2 3 6 0.a b c  

b).

2

0ax bx c  

󰉵

0

21

a b c

m m m

  



và

0m 

.

L󰉶i gi󰉘i

....................................................................................................................................................................................................................

󰉪󰉗󰉭 󰉼󰉴-Bài 4. 󰉯󰉺

153

󰉵 󰉚 󰉪 Tel: 0935.660.880

....................................................................................................................................................................................................................

 󰉝 󰉽󰉟󰉦

2 3 6 0a b c  

󰉼󰉴

2

tan tan 0a x b x c  

có

󰉙󰉳󰉪󰉘

;

4

kk













.

L󰉶i gi󰉘i

....................................................................................................................................................................................................................

 󰉝 󰉽󰉟󰉭󰉼󰉴󰉝

32

0ax bx cx d   

 

0a 

luôn có ít

󰉙󰉳󰉪

L󰉶i gi󰉘i

....................................................................................................................................................................................................................

 󰉝 󰉽󰉟󰉭󰉼󰉴󰉝󰉯

4 3 2

0ax bx cx dx e    

󰉵

.0ae

󰉙󰉳󰉪

L󰉶i gi󰉘i

....................................................................................................................................................................................................................

󰉪󰉗󰉭 󰉼󰉴-Bài 4. 󰉯󰉺

154

 󰉝 Cho

, , a b c

󰉯󰉼󰉴󰉪

󰉽󰉟󰉼󰉴

        

0a x b x c b x a x c c x a x b        

󰉪󰉝󰉪

L󰉶i gi󰉘i

....................................................................................................................................................................................................................

4. 󰉮󰉞󰉪.

Câu 31. 󰉯

 

3

4 4 1.f x x x   

󰉪󰉧

A. 󰉯󰉺

.

B. 󰉼󰉴

 

0fx

󰉪󰉘

 

;1 .

C. 󰉼󰉴

 

0fx

󰉪󰉘ng

 

2;0 .

D. 󰉼󰉴

 

0fx

󰉙󰉪󰉘

1

3; .

2









󰉶󰉘

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 32. 󰉼󰉴

42

2 5 1 0.x x x   

󰉪󰉧

A. 󰉼󰉴󰉪󰉘

 

1;1 .

B. 󰉼󰉴󰉪󰉘

 

2;0 .

C. 󰉼󰉴󰉫󰉳󰉪󰉘

 

2;1 .

D. 󰉼󰉴󰉙󰉪󰉘

 

0;2 .

󰉶󰉘

....................................................................................................................................................................................................................

󰉪󰉗󰉭 󰉼󰉴-Bài 4. 󰉯󰉺

155

󰉵 󰉚 󰉪 Tel: 0935.660.880

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 33. 󰉯

3

31()f x x x 

󰉯󰉪󰉻󰉼󰉴

 

0fx

trên là:

A.

0.

B.

1.

C.

2.

D.

3.

󰉶󰉘

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 34. 󰉯

 

fx

󰉺󰉗

 

1;4

sao cho

 

12f 

,

 

47f 

󰉨󰉧

󰉯󰉪󰉻󰉼󰉴

 

5fx

󰉗

[ 1;4]

:

A. 󰉪 B. 󰉙󰉳󰉪

C. 󰉳󰉪 D. C󰉪

󰉶󰉘

....................................................................................................................................................................................................................

Câu 35. 󰉙󰉘󰉬󰉻 󰉯

m

󰉳󰉘

 

10;10

󰉨󰉼󰉴

trình

 

32

3 2 2 3 0x x m x m     

󰉪󰉪

1 2 3

, , x x x

󰉮

1 2 3

1x x x   

?

A.

19.

B.

18.

C.

4.

D.

3.

󰉶󰉘

....................................................................................................................................................................................................................

󰉪󰉗󰉭 󰉼󰉴-Bài 4. 󰉯󰉺

156

....................................................................................................................................................................................................................

Giới hạn dãy số, giới hạn hàm số và hàm số liên tục – Diệp Tuân

Thông tin :

Tài liệu liên quan:

Toán 11 Bài 15: Giới hạn của dãy số Giải Toán 11 Kết nối - sách Kết Nối Tri Thức

Toán 11 Bài 17: Hàm số liên tục - Sách Kết Nối Tri Thức

Toán 11 Bài 16: Giới hạn của hàm số - sách Kết Nối Tri Thức

Toán 11 Bài 16: Giới hạn của hàm số - sách Kết Nối Tri Thức

Chuyên đề giới hạn – Nguyễn Hoàng Việt