Giới hạn hàm 1 biến bem - abc | Đại học Xây Dựng Hà Nội

lOMoAR cPSD| 45148588 1
I. Các hàm lượng giác ngược 1. Hàm Arcsin
Ánh xạ [ / 2; / 2] [ 1;1] là một song ánh, do ó có ánh xạ ngược. x sin x
Ánh xạ này gọi là hàm Arcsin. Như vậy, có thể nói Arcsin là hàm ngược
của hàm sin thu hẹp vào [ ; ]. 2 2
Chú ý rằng, từ ịnh nghĩa, ta có sin x t Ar sinc x t [ t / 2; / 2].
Chẳng hạn, ể tìm Arcsin(-1/2), có thể lập luận như sau: Đặt t=Arcsin(-1/2), ta có sin t / 2 t [
1/ 2; / 2]. Do ó có t / 6. Vậy Ar sin( 1/ 2)c / 6.
Hàm Arcsin là hàm lẻ ( hàm ngược của hàm lẻ là hàm lẻ), tăng trên
tập xác ịnh[-1;1] từ / 2 ến / 2 Đồ thị hàm y=Arcsinx ArcSin x 1.5 1 0.5 x -1 -0.5 0.5 1 -0.5 -1 -1.5 lOMoAR cPSD| 45148588 2 2. Hàm Arccos
Ánh xạ [0; ] [ 1;1] là một song ánh, do ó có ánh xạ ngược. Ánh xạ
x c xos này gọi là hàm Arccos. Như vậy, có thể nói Arccos là
hàm ngược của hàm cos thu hẹp vào [0; ].
Chú ý rằng, từ ịnh nghĩa, ta có cos t x
t Arccosx t [0 ; ]. Chẳng hạn, ể
tìm Arccos(-1/2), có thể lập luận như sau: Đặt t=Arccos(-1/2), ta có cos t 1/ 2 t [0 ; ]
. Do ó có t 2 /3. Vậy Arccos( 1/ 2) 2 /3.
Hàm Arccos giảm trên tập xác ịnh[-1;1] từ ến 0. Đồ thị hàm y=Arccosx ArcCos x 3 2.5 2 1.5 1 0.5 x -1 -0.5 0.5 1 lOMoAR cPSD| 45148588 3 Chú ý
Có thể chứng minh ược hằng ẳng thức
x [ 1;1], Arcsinx Arccosx / 2. 3. Hàm Arctan
Ánh xạ ( / 2; / 2) là một song ánh, do ó có ánh xạ ngược. Ánh xạ
x tan x này gọi là hàm Arctan. Như vậy, có thể nói Arctan là
hàm ngược của hàm tan thu hẹp vào ( ; ). 2 2
Chú ý rằng, từ ịnh nghĩa, ta có tan t t Ar tanc x t ( x/ 2; / 2).
Chẳng hạn, ể tìm Arcsin(-1), có thể lập luận như sau: Đặt t=Arctan(-1), ta có tan t 1 t (
/ 2; / 2) . Do ó có t / 4. Vậy Ar tan( 1)c / 4.
Hàm Arcsin là hàm lẻ ( hàm ngược của hàm lẻ là hàm lẻ), tăng trên tập xác ịnh( ; ) từ
/ 2 ến / 2. Đồ thị y=Arctanx có 2 tiệm cận ngang y
/ 2 ( phía trái) và y / 2 (phía phải) lOMoAR cPSD| 45148588 4 4. Hàm Arccot
Ánh xạ (0; ) là một song ánh, do ó có ánh xạ ngược. Ánh xạ này
x cot x gọi là hàm Arccot. Như vậy, có thể nói Arccot là hàm
ngược của hàm cot thu hẹp vào (0; ) .
Chú ý rằng, từ ịnh nghĩa, ta có cot t x t Ar cotcx t (0 ; ). Chẳng hạn, ể tìm
Arcot(-1), có thể lập luận như sau: Đặt t=Arccot(-1), ta có cot t 1 t (0
; ) . Do ó có t 3 / 4. Vậy Ar cot( 1)c 3 / 4.
Hàm Arccot giảm trên tập xác ịnh( ; ) từ ến 0. Đồ thị
y=Arccotx có 2 tiệm cận ngang y ( phía trái) và y 0 (phía phải) Chú ý
Có thể chứng minh ược hằng ẳng thức x
,Arctanx Arccot x / 2.
II. Các hàm sơ cấp cơ bản và các hàm sơ cấp
1. Danh sách các hàm sơ cấp cơ bản 1. Hàm hằng lOMoAR cPSD| 45148588 5 2. Hàm lũy thừa x a
x với a là số thực cho trước. Lưu ý rằng, khi a
là số vô tỷ, tập xác ịnh của hs này là * . 3. Hàm mũ x ax với 0 a 1
4. Hàm logarit x loga x với 0 a 1. Chú ý rằng hàm x loga x là hàm ngược của hàm x ax
5. Các hàm lượng giác và lượng giác ngược: sin, cos, tan, cot, Arcsin, Arccos, Arctan và Arccot.
2. Khái niệm hàm sơ cấp
Các hàm lập nên từ các hàm sơ cấp bởi các phép toán số học ( cộng, trừ,
nhân, chia) và phép lấy hàm hợp gọi là các hàm sơ cấp ( hoặc các hàm
thông dụng (tiếng Pháp: fonctions usuelles). Chú ý rằng các hàm sơ cấp
thường ược cho bằng biểu thức giải tích, khi không nói gì về tập xác ịnh,
thì qui ước tập xác ịnh là tập các giá trị của biến số sao cho biểu thức có
nghĩa. Chẳng hạn, ể tìm tx của hàm 1 log2 x , ta cần giải bpt
1 log2 x 0. Kết quả ược tx là (0;2]. III. Dãy số 1. Định nghĩa dãy
Dãy các số thực (phức) là ánh xạ : ( tương ứng ).
Chú ý rằng, nếu kí hiệu ánh xạ trên là u, thì ôi khi, thay vì nói dãy u:
hoặc dãy u: , người ta còn viết dãy ( )u n , hoặc ơn giản
là dãy ( )u n , thậm chí, một cách lạm dụng ký hiệu, người ta còn viết dãy
u un , trong ó un là ảnh của n. Chẳng hạn, với dãy u: * , người ta n 1/n
có thể nói: 1/n là dãy ơn iệu giảm và có giới hạn bằng 0. 2.
Định nghĩa giới hạn của dãy số thực ; Dãy hội tụ a)Xét dãy u :
Phần tử a gọi là giới hạn của u khi và chỉ khi : 0, N( ) , n ,(n N( )
|un a| ). Để dễ nhớ, có thể nói ơn
giản là, un có thể “gần” a một cách tùy ý, miễn là n ủ lớn. Để chỉ rằng a
là giới hạn của u, người ta viết limun a hoặc un a khi n . Nếu tồn tại a lOMoAR cPSD| 45148588 6 n
sao cho u có giới hạn bằng a ( u có giới hạn hữu hạn), thì nói u là dãy
hội tụ. Một dãy không hội tụ gọi là phân kỳ.
Chú ý: Với dãy số phức z: , ta xét ồng thời 2 dãy số thực x: ; y:
, khi ó có zn xn iyn . n Re(zn) n Im(zn)
Ngoài ra, dễ chứng minh ược a bi limx n a limn zn limnny n b VD
Dùng ịnh nghĩa, dễ chứng minh ược lim1/ n 0. n
b) Dãy số thực u gọi là có giới hạn khi và chỉ khi
M0, N M(), n ,(n N M( ) un M)
c) Dãy số thực u gọi là có giới hạn khi và chỉ khi
M0, N M(), n ,(n N M( ) un M)
3. Tính duy nhất của giới hạn
Giả sử a, b cùng là giới hạn của dãy (un). Khi ó a=b. 4. Dãy bị chặn a) Dãy bị chặn trên
Dãy ( )u n gọi là bị chặn trên, nếu tồn tai số thưc A sao cho n ,un
A b) Dãy bị chặn dưới
Dãy ( )u n gọi là bị chặn dưới, nếu tồn tai số thưc A sao cho n ,un A c) Dãy bị chặn lOMoAR cPSD| 45148588 7
Dãy ( )u n gọi là bị chặn, nếu tồn tai số thưc A>0 sao cho n ,|un | A Nói
cách khác: dãy vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới gọi là dãy bị chặn. Nhận xét
Mọi dãy thực có giới hạn ều bị chặn dưới và không bị chặn trên.
Mọi dãy thực có giới hạn ều bị chặn trên và không bị chặn dưới.
Mọi dãy số thực hoặc phức hội tụ ều bị chăn.
5. Các tính chất ại số của dãy hội tụ. Mệnh ề
( về giới hạn của tổng, tích, thương của hai dãy hội tụ và của tích của 1
dãy hội tụ với một số)
Cho hai dãy ( )u n và ( )v n là hai dãy số phức. và các số phức , ,a b. Khi ó 1*)
Nếu un a, thì | un | | a | 2*)
Nếu un a và vn b, thì un vn
a b và u vn n ab 3*)
Nếu un a, thì un a 4*)
Nếu un 0 và ( )v n bị chặn, thì u vn n 0 5*)
Nếu un a và vn b
0, ngoài ra khi n ủ lớn, vn 0, thì un a vn b 5)
Với những dãy không hội tụ, nhưng có giới hạn , có thể chứng minh các mệnh ề sau
Cho hai dãy số thực ( )u n và ( )v n 1*) Nếu un và vn , thì un vn 2*) Nếu un
và (vn) bị chặn dưới, thì un vn lOMoAR cPSD| 45148588 8 3*) Nếu un
và (vn) thỏa mãn iều kiện: khi n ủ lớn, vn C const>0, thì un vn
6) Một số tiêu chuẩn tồn tại giới hạn a) Tiêu chuẩn bị kẹp
Cho ba dãy(un), (vn) và (wn) sao cho khi n ủ lớn, un wn vn . Khi ó, nếu
(un)và (vn) hội tụ và có cùng giới hạn bằng a, thì (wn) hội tụ về a. VD
Dùng tiêu chuẩn bị kẹp, chứng minh rằng lim n n 1 n Hướng dẫn
Đặt n n 1 un . Cần chứng minh un 0 n n 1 u n
n n 1 un (1 un)n n (1)
Mặt khác: (1 un)n 1 nun
n n( 1)un2 ...(2) 2 Từ (1), (2) suy ra 1 n n( 1)u 2 2 n
n, từ ó un 2 . Vì un 0, nên 2 n 2 * 0 un n n
. Từ ó, theo tiêu chuẩn bị kẹp, suy ra pcm.
b) Tiêu chuẩn tăng và bị chặn trên hoặc giảm và bị chặn dưới ĐN
Dãy (un) gọi là tăng,( tương ứng: tăng nghiêm ngặt), nếu n ,un un 1
(tương ứng: nếu n ,un un 1 )
Dãy (un) gọi là giảm ,( tương ứng: giảm nghiêm ngặt), nếu n ,un un 1
(tương ứng: nếu n ,un un 1 ) Dãy
ơn iệu là dãy tăng hoặc giảm. Định lý lOMoAR cPSD| 45148588 9
1) Một dãy số thực tăng và bị chặn trên thì hội tụ.
2) Một dãy số thực giảm và bị chặn dưới thì hội tụ.
*)Ví dụ dẫn tới ịnh nghĩa số e
Có thể chứng minh ược dãy 1 (u *
n) xác ịnh bởi : n
, un (1 )n 1 là n dãy
giảm. Mặt khác, dãy này bị chặn dưới bởi số 0. Suy ra ( )u n hội tụ. Mặt khác 1
(1 1)n (1 )n 1 :(1 1). Do ó, dãy (1 1)n là dãy hội tụ. Giới n n n n
hạn của dãy này gọi là số e.
Người ta chứng minh ược e là số vô tỉ và có thể biểu diễn e bằng số thập
phân với hàng nghìn chữ số sau dấu phẩy
(e=2.718281828459045235360287471352662497757247…) Ví dụ 2
Tìm giới hạn của dãy un 2n n! Ta có 2
un 1 2 n 1)!1 2nn!.n 1 un khi n>1. Suy ra dãy ơn iêụ giảm. Mặt (n
khác. dãy bị chặn dưới bởi 0. Vậy dãy hội tụ. Gọi giới hạn là a, ta có n 1 n a 2 2 2 limn un 1 lim (n
1)! lim( n n!. 1) a.0 0 n n Vậy 2 lim n 0 n! n c) Tiêu chuẩn Cauchy
Xét dãy số thực hoặc phức(un). Dãy (un) gọi là dãy Cauchy, nếu thỏa mãn iều kiện : lOMoAR cPSD| 45148588 10
0, N( ) , ( , m n) 2,(n N( ) &m N( ) |um un | )
Đôi khi, k trên viết dưới dạng khác: 0, N( ) , p
N, n ,(n N( ) | un un p | ) 7) Dãy con ĐN
Mọi ánh xạ tăng nghiêm ngặt : gọi là một hàm trích. Với dãy
(un), một dãy (u ( )n ) với là một hàm trích, gọi là một dãy con của dãy (un)
Chẳng hạn (u2n),(u2n 1),(un2 ) là những dãy con của (un) Mệnh ề
Nếu dãy (un) hội tụ ến a, thì mọi dãy con của (un) hội tụ ến a.
Dùng mệnh ề này, ể chứng minh một dãy không hội tụ, ta có thể chỉ ra
hai dãy con của dãy có giới hạn khác nhau. VD
Không tồn tại giới hạn của dãy un ( 1)n
Chọn 2 dãy con: u2n ( 1)2n và u2n 1 ( 1)2n 1. Hiển nhiên u2n 1;u2n 1 1 Suy ra pcm. Mệnh ề
Để dãy (un) hội tụ ến a, k là 2 dãy (u2n),(u2n 1) cùng hội tụ ến a.
8) Về các phương pháp tìm giới hạn của dãy.
Để tìm giới hạn của dãy, tùy trường hợp, có thể áp dụng các mệnh ề ã
nêu ở các mục trên. Ngoài ra, khi ã thành thạo tìm giới hạn của hàm số (
xem các phần tiếp theo), có thể thông qua giới hạn của hàm số.
Chẳng hạn, có thể tìm lim n n như sau n
Giới hạn cần tìm bằng limx1/x x
Ta có x1/x e1/ lnx x. Mặt khác lim
ln x 0. Vậy limx1/x e0 1. x x x lOMoAR cPSD| 45148588 11
IV. Giới hạn của hàm số
Trong các phần tiếp theo, ký hiệu chỉ tập hợp số thực bổ sung thêm 2
phần tử . Như vậy, khi viếta , thì iều này nghĩa là a có thể là số thực, hoặc a
1. Khái niệm lân cận, iểm tụ ĐN 1)
Cho a . Lân cận của a với bán kính r, ký hiệu U ar ( ) là khoảng mở
(r;r). Khi không cần nêu rõ bán kính, người ta nói gọn là “ lân cận iểm
a”. Chẳng hạn, khi nói “ hàm f bị chặn trong lân cận iểm a”, thì iều này
nghĩa là: tồn tại r>0 sao cho f bị chặn trong U ar ( ) ( f bị chặn trên X
nghĩa là M 0, x X,| f x( ) | M ) ĐN 2)
Lân cận với bk r (r>0) của a= (a= ) là khoảng (1/r; ) ( tương ứng khoảng ( ; 1/ r)). ĐN 3) Phần tử a
gọi là iểm tụ của tập A , nếu với mọi r>0, U ar ( )
X ( iều này nghĩa là trong lân cận của a có vô số phần tử của A)
2. Các ịnh nghĩa giới hạn. ĐN 1)
Cho hàm f : X ;a và a là iểm tụ của X. Số thực b gọi là giới hạn của f tại a khi và chỉ khi 0, ( ), x X,(0 | x a| | f x( )
b| ) Điều này nghĩa là: f(x) có thể “gần” b tùy ý khi x ủ “gần” a. Để
chỉ rằng b là giới hạn của f tại a, người ta viết lim f x( ) b hoặc x a
lim f b hoặc f x( ) b a x a ĐN 2a) lOMoAR cPSD| 45148588 12
Cho hàm f : X ;a và a là iểm tụ của X. Phần tử gọi là giới hạn của f
tại a khi và chỉ khi M 0, (M), x X,(0 | x
a | f x( ) M) ĐN 2b)
Cho hàm f : X ;a và a là iểm tụ của X. Phần tử gọi là giới hạn của f
tại a khi và chỉ khi M 0, (M), x X,(0 | x
a | f x( ) M) ĐN 3)
Cho hàm f : X ; là iểm tụ của X. Số thực b gọi là giới hạn của f tại
khi và chỉ khi 0, M( ) , x X,(x M | f x( ) b | ) ĐN 3b)
Cho hàm f : X ; là iểm tụ của X. Số thực b gọi là giới hạn của f tại
khi và chỉ khi 0, M( ) , x X,(x M | f x( ) b| ) ĐN 4)
Cho hàm f : X ; là iểm tụ của X. Phần tử gọi là giới hạn của f
tại khi và chỉ khi M 0, (M), x X,(x f x( ) M) Tương tự, có
thể nêu n hàm f có giới hạn bằng tại , có gh bằng tại
Để chỉ rằng b là giới hạn của f tại a ( (a b, ) ( )2 ), người ta viết lim f
x( ) b hoặc lim f b. Chẳng hạn 1 x a
a lim ex 0; lim ex ; limex 1; lim 2 , v.v. x x x 0 0 x
3) Giới hạn phải, giới hạn trái
Cho hàm f : X ;a và a là iểm tụ của X.
Số thực b gọi là giới hạn phải của f tại a khi và chỉ khi
0,( ), x X,(0 xa | f x( ) b | )
Số thực c gọi là giới hạn trái của f tại a khi và chỉ khi 0, ( ), xX,( x a 0 | f x( ) c| )
Giới hạn phải của f tại a ký hiệu là lim f x( ) hoặc f a( ). Ký hiệu tương tự lOMoAR cPSD| 45148588 13 x a cho giới hạn trái.
Tương tự ĐN 2a) và 2b), có thể ĐN trường hợp f có giới hạn phải hoặc trái bằng VD 1 1
xlim0 e1/x 0; limx 0 e1/x ; lim0 ;lim0 x x Định lý
Cần và ủ ể tồn tại giới hạn của f tại a là tồn tại f a( ), f a( ) và f a( ) f a( ) VD Hàm x 1 /x
e không có giới hạn tại 0 vì gh phải và gh trái không bằng nhau.
4) Các phép toán ại số với hàm có giới hạn hữu hạn Mệnh ề 1) f x( ) b | f x( )| |b| x a x a 2) f x b g x ( )( )x a b ' f x( ) g x( ) ) x a b b' ( x a
3) Nếu f x( ) 0 và hàm g bị chặn trong lân cận của a, thì f x g x( ) ( ) 0 x a x a 4) g xf x( )( )x a
bb' f x g x( ) ( )x a bb' lOMoAR cPSD| 45148588 14 x a 5) f x( )x a b
f x( ) / g x( ) b b/ ' g x( ) x a b' 0 x a
5) Trường hợp giới hạn vô hạn Mệnh ề 1) Nếu f x( )
và g bị chặn dưới trong lân cận của a, thì x a f x( ) g x( ) x a 2) Nếu f x( )
và g bị chặn dưới trong lân cận của a bởi số dương, x a thì f x g x( ) ( ) x a Nói riêng ( ) ( ) g xf x( )( )x a 0 f x g x x a x a b'
Phát biểu tương tự cho trường hợp f x( ) x a
6) Giới hạn của hàm hợp
Mệnh ề về giới hạn hàm hợp có thể viết ngắn gọn như sau ( bỏ qua
những giả thiết chặt chẽ cần có)
Giả sử f x( ) b và g t( ) c. Khi ó g f x( ( )) c x a t b x a VD lOMoAR cPSD| 45148588 15
x 1 limAr tanc t
;lime1 cosx lime1 t e0 1 lim(Ar tanc ) x t 1 4 x 0 t 1 x
7) Một số tiêu chuẩn tồn tại giới hạn Mệnh ề 1)
Cần và ủ ể lim f x( ) b là: với mọi dãy (un) có giới hạn là a, dãy giá trị x a
tương ứng của f ( dãy ( f u( n)) có giới hạn là b. VD
Chứng minh rằng hàm sin không có giới hạn tại
Chọn 2 dãy u:n / 2 2n và v:n n . Ta có sin(un) 1 1 và sin(vn) 0
0. Suy ra không tồn tại giới hạn tại
của hàm sin. Dùng ịnh lý
trên , trong một số trường hợp, có thể tìm ược giới hạn của dãy (un) cho
trước nào ó. Cách làm là tìm hàm f sao cho f n( ) un sau ó tìm lim f x( ) .
Giới hạn tìm ược chính là giới hạn của dãy ã cho x ( xem VD mục II.8) Mệnh ề 2)
Cho f : X là hàm sơ cấp và a là iểm tụ của X. Nếu f tăng và bị chặn trên
trên ( ; )a X hoặc giảm và bị chặn dưới trên ( ; )a X , thì tồn tại giới
hạn trái f a( ) . Phát biểu tương tự cho trường hợp tồn tại f a( ) .
8) Định lý về tính liên tục của hàm sơ cấp Định lý
Cho f : X là hàm sơ cấp và a là iểm tụ của X và a thuộc X. Khi ó lim f
x( ) f a( ) x a VD Cho hàm f : x x tan3 x x lOMoAR cPSD| 45148588 16
Áp dụng ịnh lý trên, ta có xlim /4 f x( ) f ( / 4) ( / 4 1/ 4) 3
Tuy nhiên, l không áp dụng ược cho trường hợp lim f x( ) vì 0 không
0x thuộc tập xác inh
của f; ngoài ra, các ịnh lý nêu ở các mục trước cũng không áp dụng ược
( ây là dạng vô ịnh sẽ xét sau, ể tìm x tan x cần biết cách khử các
dạng vô ịnh ). limx 0 x3
9) Giới thiệu 7 dạng vô ịnh
Trong thực hành, ta có thể gặp các bài toán tìm giới hạn mà các ịnh lý
thông dụng không áp dụng ược, như ví dụ ã nêu ở mục 8). Có 7 dạng vô ịnh là 0; ;0. ;
;1 ; 0;00 hiểu theo nghĩa sau 0 *) Nếu f x( )
lim f x( ) lim g x( ) 0 , thì giới hạn lim gọi là dạng vô ịnh 0/0 x a x a g x( ) x a *) Nếu f x( )
lim | f x( ) | lim | g x( ) | , thì giới hạn lim gọi là dạng vô ịnh x a x a g x( ) x a
*) Nếu lim f x( ) 0;lim | g x( ) |
, thì giới hạn lim( ( ) ( ))f x g x gọi là dạng vô x a x a x a ịnh 0. *) Xét hàm x
u x( )v x( ) , với u, v là hai hàm sơ cấp cho trước ( chú ý:
những hàm dạng này chỉ xác ịnh khi u(x)> 0 và x thuộc tx của v).
Trong trường hợp limu x( ) A ;lim g x( ) B , ta có ngay x a x a lOMoAR cPSD| 45148588 17
limu x( )v x( ) AB x a
Tuy nhiên, nếu xảy ra các trường hợp sau, thì ta có các trường hợp vô ịnh “ dạng mũ”:
1) u x( ) 1;v x( ) : dạng vô ịnh 1 x a x a 2) u x( )
; ( )v x 0: dạng vô ịnh 0 x a x a
3) u x( ) 0;v x( ) 0: dạng vô ịnh 00 x a x a
V. Phương pháp khử các dạng vô ịnh 1.
Qui tắc thay hàm tương ương
a) Định nghĩa tính trội
Cho các hàm f, g xác ịnh trong lân cận U a( ) của a sao cho
xU a( ) \{ },a g x( ) 0, g x( ) 0. Nếu tồn tại hàm sao cho
x U a( )\{ },a f x( )
( ) ( )x g x và ( )x 0, thì nói f không áng kể so với g x a
hoặc g trội hơn f trong lân cận a và viết f o g( ) hoặc viết a
f x( ) o g x( ( )) khi x a VD
Trong lân cận 0: x2 o x( ) ; trong lân cận : x o x( 2) Chú ý 1)Nếu có f x( ) lim
0, thì f o g( ) x a g x( ) a
2) Ký hiệu f o(1) nghĩa là lim f x( ) 0 a x a
3) Người ta chứng minh ược: khi x
, loga x o x( k) ; xk o a( x) (a 1;k
0). Do ó, các giới hạn sau không thuộc lOMoAR cPSD| 45148588 18 dạng vô ịnh: log lim a x k 0; lim x
k 0 (a 1;k 0) x x x loga x
b) Định nghĩa hàm tương ương
Nói rằng f tương ương với g ( ký hiệu : f ~ g hoặc f x( ) ~ g x( )) trong a x a lân cận của a, nếu f x( ) lim
1. Dễ thấy, nếu f ~ g thì g ~ f x a g x( ) a a
( do ó có thể nói f và g là 2 hàm tương ương với nhau trong lân cận của
a). Cũng dễ thấy là nếu f ~ g và g ~ h, thì f ~ h a a a
c) Qui tắc ngắt bỏ hàm không áng kể
Nếu f o g( ), thì f g ~ g a a Thật vậy, lim
f x( ) g x( ) lim( f x( ) 1) 0 1 1 x a g x( ) x a g x( ) VD
Arctanx x x2 ~ x2 ; x2 ex ~ ex x x
d) Qui tắc thay hàm tương ương
Nếu f ~a f g1;~ g1, thì limx a
g xf x( )( ) limx a g xf x11( )( ) (1).
Tương tự , nếu ~ f g g
f a 1; ~ 1, thì lim(x a f x g x( ) ( )) lim(x a f x g x1( ) 1( )) (2).
Đẳng thức (1) và (2) hiểu theo nghĩa sau:nếu giới hạn ở một trong 2 vế
tồn tại ( giới hạn hữu hạn hoặc vô hạn) , thì giới hạn ở vế còn lại cũng
tồn tại và hai giới hạn bằng nhau. lOMoAR cPSD| 45148588 19
Nói một cách ơn giản, ta có qui tắc sau: khi tìm giới hạn của một tích hoặc
một thương, có thể thay một thừa số bởi một hàm tương ương với nó. VD xlim
logsin2x xx- x 23xx2 xlim 3x22 3; limx
x22e x 5 e1x xlim 52eexx 52 2 2x 2
e) Các hàm thông dụng tương ương trong lân cận iểm 0 Trong lân cận
iểm 0, ta có: x ~ sinx ~ tanx ~ Arcsin x ~ Arctan x ~ ln(1 x) ~ (ex 1);(1 x) ~
x ( 0) Bảng trên còn gọi là bảng vô cùng bé tương ương ( hàm có
giới hạn bằng 0 khi x a gọi là vô cùng bé khi x a) VD x limx 0 sin3sin2x 2xx2 limx sin2x 2; limx ln(1 2 2x
51x) limx 0 52xx 52;limx 0 tan4sin3xx
sinx3 x limx 0 43xx 43 3 0 sin3x 3 0 e 2) Qui tắc L’Hospital
Định lý sau gọi là qui tắc L’Hospital
lim f x( ) lim g x( ) 0 1) Giả sử x lima
g xf '( )'( )xx a b x a Khi ó f x( ) lim
và giới hạn này cũng bằng
b. g x( ) x a
lim f x( ) lim ( )g x 2) Giả sử x lima
f '( )x b x a lOMoAR cPSD| 45148588 20 f x( )
g x'( )x a Khi ó lim và
giới hạn này cũng bằng b. g x( ) x a
Chú ý: người ta thường viết ơn giản qui tắc trên như sau: f x( ) lim f '(
)x . Tuy nhiên, phải hiểu “ ngầm” là: nếu giới hạn ở vế lim x a g x( ) x a g x'( )
phải tồn tại ( hữu hạn hoặc vô hạn), thì giới hạn ở vế trái cũng tồn tại và
hai giới hạn bằng nhau . Có thể xảy ra trường hợp, giới hạn ở vế trái tồn
tại, nhưng vế phải thì không. Ngoài ra, lưu ý rằng qui tắc L’Hospital có
thể áp dụng nhiều lần ( cho ến khi hết dạng vô ịnh 0 hoặc ). 0 VD Tính A lim x2 sin x sin 2 sin5x x x 0 Giải
Áp dụng qui tắc thay tương ương, ta có x sin x A lim 3 20x x 0
(Vì sin 2 ~ (2 )2 x x 2 4x2;sin5 ~ 5x x) Tiếp
theo, áp dụng qui tắc L’Hospital: 1 A lim
cosx lim 2sin222x lim x 2 1 2
60x 60x 120x 120 x 0 x 0 x 0 2 2