lOMoARcPSD|46958826 lOMoARcPSD|46958826 Chương 1.
HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ
§1. GIỚI HẠN VÀ SỰ LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ 1. Định nghĩa
Ta gọi L là giới hạn của hàm y = f (x) khi x dần đến x0 (và ký hiệu là lim f (x) = L) x ® x0
nếu "e > 0, $ d > 0 sao cho 0 < x - x0 < d thì f (x) - L < e (nói
chung số d phụ thuộc vào số e)
Nói cách khác lim f (x) = L nếu f (x) càng gần L khi x càng gần x0 x ® x0
Ví dụ 1. Chứng minh lim (3x + 2) = 8 x ® 2 Thật vậy, ta có "e > 0
(3x + 2) - 8 = 3x - 6 = 3 x - 2 < e khi x - 2 < e , 3
Nghĩa là nếu lấy d = e thì (3x + 2) - 8 < e khi x - 2 < d 3
Đó là điều cần chứng minh.
Chú ý. Hàm số y = f (x) có thể không xác định tại x = x0 nhưng phải xác định tại
những điểm thuộc lân cận của điểm đó. x2 + x - 6
Ví dụ 2. Xét hàm số y = f(x) = .
Hàm số không xác định tại x = 2, nhưng khi x ¹ 2, tức là x - 2 ¹ 0 ta có
x2 + x - 6 = (x - 2).(x +3) = x +3 x - 2 x - 2 2
Nên x + x - 6 - 5 = x +3 - 5 = x - 2 x - 2 Nghĩa là
x2 + x - 6 - 5 < e khi x - 2 < d (chọn d = e) x - 2
Vậy lim x2 + x - 6 = 5 mặc dù hàm số không xác định tại x = 2. x ® 2 x - 2
2. Giới hạn vô cực.
• lim f (x) = L Û " e > 0, $ N > 0 : "x > N Þ f (x) - L < e x ® +¥ 1 lOMoARcPSD|46958826
• lim f (x) = L Û " e > 0, $ N > 0 : "x < - N Þ f (x) - L < e x ® -¥
lim f (x) = + ¥ Û " M > 0, $ d > 0 : x - x 0 < d Þ f (x) > M • x ® x0
lim f (x) = - ¥ Û " M > 0, $ d > 0 :
x - x 0 < d Þ f (x) < - M • x ® x0 (với N và M đủ lớn)
• lim f (x) = L Û " e > 0, $ N > 0 : " x > N Þ f (x) - L < e x ® ¥
• lim f (x) = ¥ Û " M > 0, $ d > 0 : x - x 0 < d Þ f (x) > M x ® x0
Ví dụ 1. Chứng minh lim 1 = 0 x ® ¥ x 1 1 1 1 Thật vậy, - 0 = = < e Û x > nên x x x e 1 x > N Þ - 0 < e
" e > 0 ta chọn N > 1 thì luôn có e x
3. Một số tính chất và phép toán về giới hạn hàm số
a. Nếu f (x) = C thì lim C = C, lim C = C x ® x 0 x ® ¥
b. Nếu hàm số f(x) có giới hạn (khi x ®x0hay
x®¥) thì giới hạn đó là duy nhất
c. Nếu lim f (x) > 0 (hoặc lim f (x) < 0) thì f (x) > 0 (hoặc f (x) < 0) với mọi x x ® x0 x ® x0 khác x0 và đủ gần x0
d. Nếu lim f (x) = L và f (x) ³ 0 với mọi x thuộc lân cận x0 thì L ³ 0 x ®x0
e. Nếu lim f (x) = L và f (x) > 0 với mọi x thuộc lân cận x0 thì L ³ 0 x ®x0
f. Giả sử lim f (x) = L , lim g(x) = L ;L,L hữu hạn. Khi đó x ® x 0 1 x ® x0 2 1 2 •
lim ( f(x) ± g(x) ) = L1 ± L2 x ® x0 •
lim ( f(x) ± g(x) ) = L1 ± L2 x ® x0 •
lim ( C.f (x) ) = C.L1 , (C = const) x ® x0 • lim ( f(x).g(x) ) = L1 .L2 x ® x0 • lim f (x) =L1 , (L ¹ 0) 2 x ® x g(x) L 0 2 2 lOMoARcPSD|46958826 g. Giớ
i hạn của các hàm sơ cấp
Nếu hàm sơ cấp f(x) xác định tại x0và ở lân cận của x0 thì lim f (x) = f (x 0 ). x ® x0
h. Giả sử ba hàm số f(x), g(x), h(x) thỏa mãn bất đẳng thức f (x) £ g(x) £ h(x) trong
lân cận của x0. Khi đó nếu lim f (x) = lim h(x) = L thì lim g(x) = L x ® x 0 x ® x0 x ® x0
4. Một số ví dụ về tìm giới hạn của một dạng vô định æ 0 ¥ ¥ 0 0 ö ç , , ¥ - ¥, 0.¥,1 , ¥ , 0 ÷ è 0 ¥ ø Ví dụ 1. lim 4 + 2x + x 2 - 2 (Dạng 0 ) x ®0 x 0
( 4 + 2x + x2 - 2).( 4 + 2x + x2 + 2) Ta có lim 4 + 2x + x2 - 2 = lim x ® 0 x x ®0 2 x.( 4 + 2x + x + 2) = lim 4 + 2x + x2 - 4 = lim 2x + x2 = lim 2 + x = 1 x ® 0 x.( 4 + 2x + x2 + 2) x ® 0 x.( 4 + 2x + x2 + 2) ( 4 + 2x + x2 + 2) x ®0 2
Ví dụ 2. lim xm - 1 , m, n nguyên dương. (Dạng 0 ) x ®1 xn - 1 0
Ta có lim xm - 1 = lim (x - 1).(1 + x + ... + xm -1) = lim (1 + x + ... + xm -1) =m x ® 1 xn - 1
x ®1 (x - 1).(1 + x + ... + xn -1) x ®1 (1 + x + ... + xn -1) n Ví dụ 3. lim x + x (Dạng ¥ ) x ® +¥ x + 1 ¥ 1 + 1 lim x + x = lim x = 1 x ® +¥ x + 1 x ® +¥ 1 + 1 x lim Ví dụ 4. ( x 2 + 3x - x 2 - 1 ) x ®¥ (Dạng ¥ - ¥) 2 2 ( x2 + 3x - x2 - 1 ).( x2 + 3x + x2 - 1 ) lim ( - 1) = lim x ®¥ x + 3x - x x ®¥ ( x 2+ 3x + x 2 - 1) 3 lOMoARcPSD|46958826 3 + 1 = lim 3x + 1 = lim x = 3 x ® ¥ 1 ö 2
( x 2 + 3x + x 2- 1) x ® ¥ æ 3 ç1 + + 1- 2 ÷ è x x ø Ví dụ 5. lim x. ( x 2 + 1 - x) x ®+¥
Khi x®+ ¥ thì riêng biểu thức x 2 + 1 - x đã có dạng vô định ¥ - ¥. Ta có 2 ( x2 + 1 - x).( x2 + 1 + x) 1 lim x + 1 - x = lim = lim = 0 ( ( x ® +¥ ) x2 + 1 + x) x ® +¥ x ® +¥ x2 + 1 + x
Đến đây ta lại gặp dạng vô định 0.¥. Tiếp tục: x 1 ( ) = 1 lim x. x2 + 1 - x = lim = lim x ® +¥ x ® +¥ ( x 2 + 1 + x) x ® +¥ æ 1 ö 2 ç 1+ + 1÷ x è ø Chú ý.
- Khi tính các giới hạn trước hết cần nhận xét xem nó có thuộc dạng vô định hay
không ( ¥ , ¥ - ¥ , 0 , 1¥ , ¥ 0 , 0 0 , 0.¥). Nếu nó không thuộc dạng vô định thì ¥ 0
chỉ việc áp dụng các định lý thông thường về giới hạn. Chỉ khi nó thuộc dạng
vô định thì ta mới cần khử dạng vô định đó đi.
- Có nhiều phương pháp khử các dạng vô định, trong các ví dụ trên ta mới sử
dụng 1 vài phương pháp. Để khử các dạng vô định khác ta còn cần một số kết
quả chi tiết hơn và một số giới hạn điển hình. Giới hạn điển hình 1: lim sinx = 1 x ®0 x æ 1 öx ¥ 1 Giới hạn điển hình 2:
lim ç 1 + ÷ = lim(1 + x) x = e , dạng vô định 1 x ® ¥ è x ø x ®0 Ví dụ 6.
lim tanx = 1 do lim tan x = lim sin x . 1 = 1.1 =1 x ®0 x x ® 0 x x ®0 x cos x 1 -1 .(cos3x + cos x) 1 - cos x.cos2x 2 - (cos3x + cos x) Ví dụ 7. lim = lim 2 = lim x ® 0 1 - cos x x ® 0 1 - cos x x ®0 2.(1 - cos x) 4 lOMoARcPSD|46958826 = 2.sin2 x + 2.sin2 3x
lim (1 - cosx) + (1 - cos3x) = lim 2 2 = 5 x ®0 x ® 0 2.(1 - cosx) x 4.sin2 2 é 2 - x 2 + 3 ù- 2. x2 x 2 + 3 æ 2. x2 ö æ x 2 + 1 ö x ê æ 2 ö - 2 ú lim ç ÷ ç Ví dụ 8. lim ç ÷ x ®¥ x 2 + 3 ÷ = limê ç 1 2 ÷ ú = e è ø = e 2 - -2 . x ®¥ è x + 3 ø x®¥ê è x + 3 ë ø ú û Ví dụ 9. sin3x 1 é 1 ù lim sin3x x
lim x 1 + sin3x = lim (1 + sin3x) x = lim 3 ê (1 + sin3x) sin3x ú = ex ® ¥ x = e . x ® 0 x ® 0 x ®0 ë û
Chú ý. Ở trên đã sử dụng kết quả về tính giới hạn của hàm số liên tục sẽ được trình
bày trong phần hàm số liên tục: Nếu f(x) liên tục tại x0 thì ta có lim f (x) = f ( lim x) x ® x 0 x ® x0 5 lOMoARcPSD|46958826
§2. ĐẠI LƯỢNG VÔ CÙNG BÉ - ĐẠI LƯỢNG VÔ CÙNG LỚN
1. Đại lượng vô cùng bé (VCB) 1.1. Định nghĩa.
Hàm f (x) được gọi là VCB trong quá trình x ®x0 nếu lim f (x) = 0 x ® x0
( x0 có thể là hữu hạn hoặc vô cùng)
Ví dụ. sinx là một VCB trong quá trình x ®0, 1/x là một VCB trong quá trình x®¥
Chú ý. Cần phân biệt khái niệm “vô cùng bé” với khái niệm “rất bé”.
1.2. Liên hệ giữa VCB và hàm có giới hạn
Định lý. Điều kiện cần và đủ để hàm f(x) có giới hạn L khi x ®x0 là f (x) - L là một
VCB trong quá trình x ®x0. Tức là:
lim f (x) = L Û f (x) = L + a(x) với a(x) là một VCB khi x ®x0 x ® x0
1.3. Các tính chất của VCB
• Nếu f(x) là một VCB khi x ® x0, C là hằng số thì Cf(x) cũng là một VCB khi x ® x0.
• Nếu f1 (x), f 2 (x),..., f n (x) là một số hữu hạn các VCB khi x ®x0 thì tổng
f1 (x) + f 2 (x) + ... + f n (x) và tích f1 (x).f 2 (x). ... .f n (x) cũng là các VCB khi x ®x0.
• Nếu f(x) là VCB khi x ® x0 và M(x) là hàm bị chặn trong lân cận nào đó của x0
thì M(x).f (x) là VCB khi x ®x0. 1.4. So sánh các VCB
Giả sử f(x), g(x) đều là các VCB khi x ®x0. Khi đó:
Nếu lim f (x) = 0 thì f(x) gọi là VCB bậc cao hơn g(x) x ® x0 g(x)
Nếu lim f (x) = ¥ thì f(x) gọi là VCB bậc thấp hơn g(x) x ® x0 g(x)
Nếu lim f (x) = A ¹ 0, ¹ ¥ thì f(x), g(x) gọi là 2 VCB cùng bậc. x ® x0 g(x)
Nếu lim f (x) không tồn tại thì f(x) và g(x) gọi là không so sánh được với nhau. x ® x0 g(x) 6 lOMoARcPSD|46958826 Đặc biệt, nếu lim f (x)
= 1 thì f(x) và g(x) gọi là 2 VCB tương đương. Ký hiệu là x ® x0 g(x) f (x) ! g(x)
Ví dụ 1. sinx và 1 - cos x là 2 VCB khi x ® 0. x 2.sin 2 sin x lim 1 - cosx = lim 2 = lim 2 = 0 x ® 0 sinx x ® 0 x x x ®0 x 2sin .cos cos 2 2 2
Nên 1 - cos x là VCB bậc cao hơn sinx khi x ® 0
Ví dụ 2. So sánh 2 VCB sau khi x ® 0: cos x - cos3x và sin 2 2x
lim cos x - cos3x = lim 2.sin 2x.sinx
= 1. Vậy cos x - cos3x ! sin 2 2x x ® 0 sin 2 2x x ®0 sin 2 2x
1.5. Định lý về thay thế VCB tương đương
Nếu f (x), g(x), f1 (x), g 1 (x) là các VCB khi x ®x0 và f (x) ! f1 (x), g(x) ! g 1 (x). Khi đó: lim f (x) = lim f1 (x) g(x) g1 (x) x ® x 0 x ® x 0 2 2 Ví dụ. lim tan 2x = lim 4x2 = 8 x ® 0 1 - cosx x ®0 x 2
vì khi x ®0 thì tan2 2x ! 4x2 ,1 - cosx = 2sin2 x ! x2 2 2
1.6. Quy tắc ngắt bỏ VCB bậc cao ! !
Nếu f(x), f(x) là 2 VCB khi x ®x0 mà f (x) bậc cao hơn f (x) thì ! f(x) + f(x) " f(x)
Hệ quả. Trong khi tìm giới hạn của một thương mà tử hay mẫu là tổng của nhiều VCB có bậc khác nhau ta có
thể ngắt bỏ các VCB bậc cao ở tử và mẫu mà giới hạn của thương không thay đổi.
Ví dụ. lim tan3x + x2 + 2x.sinx = lim tan3x = 3 x ® 0 1 - cosx + sin2x x ®0 sin2x 2
2. Đại lượng vô cùng lớn (VCL) 2.1. Định nghĩa
Hàm f (x) được gọi là VCL trong quá trình x ®x0 nếu lim f (x) = ¥ x ® x0 7 lOMoARcPSD|46958826
( x0 có thể là hữu hạn hoặc vô cùng)
Ví dụ. x2 là một VCL trong quá trình x®¥, 1/x là một VCL trong quá trình x ®0 Chú
ý. - Cần phân biệt khái niệm “vô cùng lớn” với khái niệm “rất lớn”.
- Cần phân biệt khái niệm “vô cùng lớn” với khái niệm “không bị chặn”.
Một hàm nếu là VCL thì không bị chặn. Nhưng một hàm không bị chặn có thể không
phải là một VCL. Ví dụ hàm f (x) = x.sinx.
2.2. Liên hệ giữa VCB và VCL
Nếu f(x) là một VCB khi x ®x0 thì
1 là một VCL khi x ®x 0 và ngược lại f (x) 2.3. So sánh các VCL
Giả sử F(x), G(x) đều là các VCL khi x ®x0. Khi đó:
Nếu lim F(x) = 0 thì F(x) gọi là VCL bậc thấp hơn G(x) x ® x0 G(x)
Nếu lim F(x) = ¥ thì F(x) gọi là VCL bậc cao hơn G(x) x ® x0 G(x)
Nếu lim F(x) = A ¹ 0, ¹ ¥ thì F(x), G(x) gọi là 2 VCL cùng bậc. x ® x0 G(x)
Nếu lim F(x) không tồn tại thì F(x) và G(x) gọi là không so sánh được với nhau. x ® x0 G(x)
Đặc biệt, nếu lim F(x) = 1 thì F(x) và G(x) gọi là 2 VCL tương đương. Ký hiệu là x ® x0 G(x) F(x) ! G(x)
2.4. Định lý về thay thế VCL tương đương
Giới hạn lim F(x) không thay đổi khi ta thay F(x), G(x) bởi các VCL tương đương x ® x0 G(x)
F (x), G (x) khi x ®x, tức là: lim F(x) = lim F1 (x) 1 1 0 x ® x G(x) 0 x ® x0 G 1 (x)
2.5. Quy tắc ngắt bỏ VCL bậc thấp ! !
Nếu F(x), F(x) là 2 VCL khi x ®x0 mà F(x) có bậc thấp hơn F(x) thì: ! F(x) + F(x) " F(x) 8 lOMoARcPSD|46958826
Hệ quả. Trong khi tìm giới hạn của một thương mà tử hay mẫu là tổng của nhiều VCL có bậc khác nhau ta có
thể ngắt bỏ các VCL bậc thấp ở tử và mẫu mà giới hạn của thương không thay đổi. Ví dụ. lim 3x2 + x - 2 = lim 3x 2 = 3 2 2 x ® ¥ 5x - 7x + 3 x ® ¥ 5x 5 9 lOMoARcPSD|46958826
§3. TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ
1. Giới hạn một phía
- Hàm số f(x) có giới hạn trái là L khi x ®x0, viết là lim f (x) = L khi và chỉ khi x ® x 0 - 0
" e >0, $ d>0 sao cho với mọi x thuộc lân cận trái của x0 thì ta có f (x) - L < e
- Hàm số f(x) có giới hạn phải là L khi x ®x0, viết là lim f (x) = L khi và chỉ khi x ® x 0 + 0
" e >0, $ d>0 sao cho với mọi x thuộc lân cận phải của x0 thì ta có f (x) - L < e Định lý. ì $ lim f (x) ï x ® x 0 -0 ï
Tồn tại lim f (x) = L khi và chỉ khi í $ lim f (x) x ® x0 ï x ® x 0 +0 ï lim f (x) = lim f (x) = L îx ® x 0 - 0 x ® x 0 +0 Ví dụ. ì x, x < 0 ï Xét hàm số f(x) = í 3 - x, 0 £ x < 3 ï 2 x î - 3, x ³ 3 Ta có lim f (x) = lim x = 0, lim f (x) = lim 3 - x = 3 x ® 0 - 0 x ® 0 - 0 x ®0 + 0 x ®0 + 0 lim f(x) = lim 3 - x = 0, lim f(x) = lim x2 - 9= 0 x ® 3 - 0 x ®3 - 0 x ®3 + 0 x ®3 + 0 Þ $/ lim f (x), $ lim f (x) = 0 x ® 0 x ®3
2. Tính liên tục của hàm số
• Hàm số f(x) gọi là liên tục tại điểm x0 nếu lim f (x) = f (x 0 ). x ® x0
Chú ý. Hàm số f(x) liên tục tại x0 khi thỏa mãn các điều kiện sau:
+ x0 thuộc TXĐ của hàm số
+ lim f (x) = lim f (x) = lim f (x) = f (x 0 ) x ® x 0 - 0 x ® x 0 +0 x ® x0
• Hàm số f(x) được gọi là liên tục trái tại x0 nếu lim f (x) = f (x 0 ) x ® x 0 - 0
• Hàm số f(x) được gọi là liên tục phải tại x0 nếu lim f (x) = f (x 0 ) x ® x 0 + 0
Chú ý. Hàm số f(x) liên tục tại x0 khi và chỉ khi nó liên tục trái và liên tục phải tại x0 10 lOMoARcPSD|46958826
• Hàm số f(x) được gọi là liên tục trong khoảng (a, b) nếu nó liên tục tại mọi điểm trong khoảng ấy
• Hàm số f(x) được gọi là liên tục trong đoạn [a, b] nếu nó liên tục trong khoảng
(a,b) và liên tục trái tại b, liên tục phải tại a.
3. Điểm gián đoạn
Điểm x0 được gọi là điểm gián đoạn của hàm số f(x) nếu f(x) không liên tục tại x0. Từ
định nghĩa trên suy ra: x0 là điểm gián đoạn của hàm số nếu xảy ra 1 trong 3 trường hợp sau:
Trường hợp 1: x0 không thuộc TXĐ của hàm số f(x) Trường hợp 2: $ lim f (x) x ® x0
Trường hợp 3: lim f (x) ¹ f (x 0 ) x ® x0
4. Phân loại điểm gián đoạn
• Giả sử x0 là điểm gián đoạn của hàm số f(x). Khi đó x0 được gọi là điểm gián
đoạn loại I nếu $ lim f (x), $ lim f (x) hữu hạn. Tức là: x ® x 0 - 0 x ® x 0 + 0
- Hoặc $ lim f (x), $ lim f (x) hữu hạn và
lim f (x) = lim f (x) ¹ f (x 0 ): x ® x 0 - 0 x ® x 0 + 0 x ® x 0 - 0 x ® x 0 + 0
trong trường hợp này ta gọi x0 là điểm gián đoạn bỏ được
- Hoặc $ lim f (x), $ lim f (x) hữu hạn và
lim f (x) ¹ lim f (x). Hiệu số x ® x 0 - 0 x ® x 0 + 0 x ® x 0 - 0 x ® x 0 + 0
lim f (x) - lim f (x) được gọi là bước nhảy của hàm số tại x0 x ® x 0 + 0 x ® x 0 - 0
• Những điểm gián đoạn không phải loại I được gọi là gián đoạn loại II ìx + 2, x £ 0
Ví dụ 1. Cho f (x) = í îx - 2, x > 0 Ta có lim f (x) = lim (x + 2) = 2 x ® 0 - 0 x ® 0 - 0
lim f (x) = lim (x - 2) = - 2 ¹ lim f (x) x ®0 + 0 x ®0 + 0 x ® 0 - 0
Suy ra x 0 = 0 là điểm gián đoạn loại I của hàm số, tại đó bước nhảy bằng 4 Ví dụ 2. Cho f (x) = 1 . x + 2
Hàm số gián đoạn tại x 0 = - 2 và đó là điểm gián đoạn loại II. 11 lOMoARcPSD|46958826 Ví dụ 3. Cho ì + 2 x - 3x 2 ï , x ¹ 1 f(x) = í x - 1 ï î a, x = 1 Có lim f(x) = lim
x2 - 3x + 2 = lim (x - 2) = -1, f (1) = a x ® 1 x ® 1 x - 1 x ®1
Do đó, hàm số liên tục tại x 0 = 1 nếu a = -1.
Nếu a ¹ -1 thì hàm số gián đoạn tại x 0 = 1 và đó là điểm gián đoạn bỏ được.
Ví dụ 4. Xác định a, b để hàm số sau liên tục trên ! . ì x 2 - 4 ï , x < 2 ï x - 2 ï f (x) = í ax 2 - bx + 1, 2 £ x < 3 ï3x - a + b, x ³ 3 ïï î
5. Giới hạn của hàm số liên tục
Nếu f(x) liên tục tại x0 thì ta có lim f (x) = f (x 0 ) = f ( lim x), nghĩa là muốn tìm giới x ® x 0 x ® x0
hạn của hàm số liên tục tại x0 khi x ® x0 ta chỉ việc tính giá trị của hàm số f(x) tại điểm x0.
Chú ý. Mọi hàm số sơ cấp đều liên tục trong toàn bộ miền xác định của chúng. Giới hạn điển hình 3: lim ln(1 + x) = 1 x ®0 x Giới hạn điển hình 4: lim ex - 1 = 1 x ®0 x
6. Một số công thức giới hạn khác •lim arcsin x = 1 lim arctan x = 1 x ®0 x x ®0 x ax - 1
• lim log a (1 + x) = log e = 1 a lim = lna x ®0 x ln a x ®0 x • lim (1 + x)a - 1 = a n (1 + x) - 1 1 lim = x ®0x x ®0 x n 12