Hệ phương trình – Đặng Thành Nam

Tài liệu gồm 114 trang hướng dẫn giải chi tiết các bài toán hệ phương trình với nhiều dạng bài khác nhau, tài liệu được biên soạn bởi tác giả Đặng Thành Nam.

121 61 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Tài liệu chung Toán 10

Môn: Toán 10

Thông tin:

114 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Mai Nguyệt
Chuyên đề 5: Hệ phương trình
288
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Email : dangnamneu@gmail.com
Yahoo: changtraipkt
Mobile: 0976266202
CHUYÊN ĐỀ 5:
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Chuyên đề 5: Hệ phương trình
289
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
290
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Email : dangnamneu@gmail.com
Yahoo: changtraipkt
Mobile: 0976266202
Cùng với phương trình, bất phương trình vô tỷ thì hệ phương trình là bài toán luôn xuất hiện
trong đề thi các năm
Thứ tự ưu tiên các hướng khi giải hệ phương trình
+ Các hệ mà 2 phương trình của hệ có dạng tương đương thì trừ 2 vế của hệ, hoặc cộng 2 vế của
hệ sẽ được nhân tử chung.
+ Biến đổi tương đương hệ phương trình đã cho, biến đổi rút ra một phương trình trong hệ là
phương trình tích.
+ Các hệ có biệt thức
2 2 2
; ;( ) ; ; ,...
xy x y x y x y x y đặt
;
u x y v xy
+ Có các nhân tử chung ở các phương trình của hệ thì đặt ẩn phụ.
+ Thường thì Đề thi Đại Học cho đặt ẩn phụ nhưng ta không thể nhận thấy ngay được nên đặt
cái gì. Vì vậy phải chia hoặc nhân với một biểu thức của biến nào đó( chẳng hạn như
2 3
, , , , ,...
x y x x xy
) sau đó mới đặt ẩn phụ được.
+ Hệ có một phương trình dạng là hàm bậc 2 của
x
hoặc của y, giải phương trình này theo ẩn
đó sẽ rút ra
x
theo
y
(hoặc
y
theo
x
).
+ Thay biểu thức ở một phương trình vào phương trình còn lại.
+ Biến đổi các phương trình trong hệ rùi dung phương pháp hàm số.
+ Đánh giá nhờ vào điều kiện có nghiệm của hệ, các bất đẳng thức.
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
291
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG
BÀI TẬP MẪU
Bài 1. Giải hệ phương trình:
2 2 3
2 2 2
5 4 3 2( ) 0 (1)
( ) 2 ( ) (2)
x y xy y x y
x y
xy x y x y
Lời giải:
Biến đổi phương trình thứ hai của hệ:
2 2 2 2 2 2 2
( ) 2 ( ) ( ) 2 2 ( )
xy x y x y xy x y x y x y
2 2
( ) ( 1) 2( 1)( 1) 0 ( 1)(( ) 2( 1)) 0
x y xy xy xy xy x y xy
2 2
2 2
1
( 1)( 2) 0
2
xy
xy x y
x y
(i). Với
1
xy
, thay vào (1) ta được:
2 2 3
5 4 3 2 ( ) 0
x y xy y xy x y
2 2 3 2
3 6 3 0 ( ) 0
x y xy y y x y
, nhưng do
1
xy
nên
1
1
x y
x y
x y
(ii). Với
2 2
2
x y
, thay vào (1) ta được:
2 2 3 2 2
5 4 3 ( )( ) 0
x y xy y x y x y
3 2 2 3 2
2
4 5 2 0 ( 2 )( ) 0
x y
x x y xy y x y x y
x y
Thay vào phương trình (1) ta suy ra các nghệm của hệ là
2 2
2 2
1 1
5 5
; ; ;
1 1
2 2
5 5
x x
x x
y y
y y
Bài 2. Giải hệ phương trình
2 2
2
,
4 5 2
x y
x y
x y x y xy
Lời giải:
Điều kiện:
0
xy
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
292
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Hệ tương đương với
2
2
2 4 5 2 0
x y
x y xy x y xy
2
2 2 4 0
x y
x y xy x y xy
2
2
2
2
1, 1
2 0
3 2 2
22 8 6 22 8 6
2 2
,
25 25
2 4 0
3 2 4 2
x y
x y
x y
x y xy
x x x
x y x y
x y
x y xy
x x x
Vậy hệ có hai nghiệm là
22 8 6 22 8 6
, 1,1 ; ,
25 25
x y
Bài 2. Giải hệ phương trình
2
2 2 1 7 2
4 1 7 3
x y x y x x y
x x y
Lời giải:
3 2 2 2
2
2 2 2 7 2
4 7 3
x x y xy y x x y
x x y
Trừ theo vế hai phương trình của hệ ta được phương trình
3 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 0
x x y xy y x y x x y y x y x y
2
2
2
2 1 0
1
y x
x y x y
y x
Đến đây xét từng trường hợp ta suy ra nghiệm của hệ
Bài 3. Giải hệ phương trình
3 2 3
3
4 12 9 6 5
xy x y
x x x y y
Lời giải:
Hệ tương đương với
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
293
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
2
1
3
3
2 2
1 2 2 0
3
y x
xy x y
xy x y
y x
x y x y
xy x y
1 1
1 1 3 1 1 3
2 2 2 2
2 2 2 2 3 2 2 2 2 3
y x y x
x x x x x x x x
y x y x
x x x x x x x x
5 5
4
2 2 5
4
x
y
Vậy hệ có hai nghiệm là
5 5 2 2 5
, ,
4 4
x y
Bài 4. Giải hệ phương trình
3 3
2 2
4 16
1 5 1
x x y x
y x
Lời giải:
Hệ đã cho tương đương với
2 2
2 2
16 4
4 5
x x y y
y x
Bình phương hai vế phương trình thứ nhất của hệ ta được
2 2
2 2 2 2
16 4
x x y y
và thay
2 2
4 5
y x
vào ta được
2 2
2 2 4 2 2 2 2
16 25 4 5 4 1 31 64 0
x x x x x x x
- Với
0
x
ta được
2
4 2
y y
- Với
2
1
x
hệ trở thành
2
1
3
15 5
9
1
3
x
y
x y
y
x
y
Vậy hệ có bốn nghiệm là
0, 2 ; 1,3 ; 1, 3
Cách khác: Xem phương pháp đồng bậc
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
294
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Bài 5. Giải hệ phương trình:
2 2
2 2
1
2 1 3
1
2 1 1
x
x y
y
x y
Lời giải:
Điều kiện
0, 0
x y
.
Khi đó hệ phương trình tương đương với
2 2 2 2
2 2
1 3 2 3 1
1
2 2 2
1 1 3 1
1 2 (*)
2 2 2
x y x x y x y
x y y x y
Nhân theo vế hai phương trình của hệ ta được
4 2 2 4
2 2 2 2
4 9 1
9 8 0
4 4
y x y x
x y x y
2 2 2 2 2 2
9 0 9 3
y x y x x y x y
Từ đây thay vào phương trình (*) ta được nghiệm của hệ là
3 1
, ,
2 2
x y
.
Bài 6. Giải hệ phương trình:
2 6 2 (1)
2 3 2 (2)
x
y x y
y
x x y x y
Lời giải:
Từ phương trình (1) của hệ ta suy ra:
2
2 2 6 0 (*)
x y y x y y
Ta đặt
2
t x y
, khi đó phương trình (*) trở thành:
2 2
6 0
t yt y
, phương trình này có biệt
thức
2
25
y
, do đó
2 3
3
2
2 2
x y y
t y
t y
x y y
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
295
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
(i). Với
2 3
x y y
, khi đó ta có hệ
2 3
2 3 2
x y y
x x y x y
(ii). Với
2 2
x y y
ta có hệ
2 2
2 3 2
x y y
x x y x y
Bài 7. Giải hệ phương trình :
3 3 3 2
2 2 2 2
16 9 2 4 3
4 2 3
x y y xy y xy
x y xy y
Lời giải :
Nhận thấy
0
y
không là nghiệm của hệ đã cho, khi đó ta chia hai vế của phương trình thứ nhất
cho
3
y
và chia cả hai vế của phương trình thứ hai cho
2
y
, khi đó hệ trở thành :
3
2
2
2
3
16 9 2 1 4 (1)
3
4 2 1 (2)
x x x
y
x x
y
Thế
2
3
y
từ phương trình (2) vào phương trình (1), ta được :
3 2 3 2
16 9 2 1 4 4 2 1 16 9 2 1 4 2 1
x x x x x x x x x
3 3
16 9 8 1 1
x x x
, thay vào phương trình (2) ta suy ra
2
3
3 1
y
y
.
Vậy hệ có hai nghiệm là
, 1, 1 ; 1,1
x y
.
Bài 8. Giải hệ phương trình:
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
296
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
2 2
2
1 1 3 4 1
1
x y x y x x
xy x x
Lời giải:
Nhận thấy
0
x
không là nghiệm của hệ, từ phương trình thứ hai của hệ ta có
2
1
1
x
y
x
ta thế vào phương trình thứ nhất, ta được
2 2
2 2 3 2
1
1 1
3 4 1 1 2 2 4 0
2
x
x x
x x x x x x x x
x
x x
do
0
x
.
Với
1 0
x y
.
Với
5
2
2
x y
Vậy hệ có hai nghiệm là
5
, 1;0 ; 2;
2
x y
.
Bài 9. Giải hệ phương trình :
2 5
3 4
x y xy x y xy
x y xy x y xy
Lời giải :
Nhận thấy
0, 0
x y
là một nghiệm của hệ.
Với
0, 0
x y
hoặc
0, 0
x y
không là nghiệm của hệ.
Ta xét
0
xy
, khi đó chia theo vế cả hai phương trình trong hệ cho
xy
thì hệ trở thành
1 1
2 5
1 1
3 4
x y
x y
x y
x y
Trừ theo vế hai phương trình của hệ ta suy ra :
2 1 2 1
y x x y
ta thế vào phương trình
thứ hai của hệ ta được :
3 2
2 1 2 1 5 3 4 2 1 10 19 10 1 0
y y y y y y y y y y
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
297
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
2
1 1; 1
1 10 9 1 0
9 41 1 41 9 41
;
20 10 20
y x y
y y y
y x y
Bài 10. Giải hệ phương trình :
2 2
1
1
x y x y x y
x y
Lời giải :
Điều kiện :
0
x y
.
Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với
1
1 1 0
1
x y
x y x y
x y
(i). Với
1
x y
khi đó hệ trở thành
1
0; 1
1; 0
1
x y
x y
x y
x y
(ii). Với
1
x y
khi đó hệ trở thành
1
1; 0
1
x y
x y
x y
Vậy hệ có hai nghiệm là
; 1;0 ; 0;1
x y
.
Bài 11. Giải hệ phương trình:
2 3 2
4 2
5
4
( , )
5
(1 2 )
4
x y x y xy xy
x y
x y xy x
Lời giải:
Hệ đã cho tương đương với:
2 2
2 2
5
( 1) (1)
4
5
( ) (2)
4
x y xy x y
x y xy
Lấy (1) trừ (2) theo vế ta được :
2 2 2 2 2
( )(1 ( )) ( ) 0 ( )( 1 ( )) 0
x y x y xy x y x y xy x y
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
298
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
2
2
0
1 ( ) 0
x y
xy x y
+ Với
2 2 2
3
3
5 5 25
0 .( )
4 4 16
x y y x HPT x x x y
+ Với
2 2
2
5
1 ( 2)
4
1 ( ) 0 1
5
( 1)
4
xy xy xy
xy x y x y xy HPT
xy xy
2
2
3
1
9 3
2
( ) 3 0
3
1
4 2
2
2
x
xy
xy xy xy
y
x y
Vậy nghiệm của hệ là:
3
3
3 5 25
, 1, ; ,
2 4 16
x y
Bài 12. Giải hệ phương trình:
2
2
( 1) 3 0
( , )
5
( ) 1 0
x x y
x y
x y
x
Lời giải:
Điều kiện
0
x
Khi đó hệ phương trình tương đương với:
2 2
2 2
3 3
1 0 1
5 3 5
( ) 1 0 ( 1) 1 0
x y x y
x x
x y
x x x
2
1
3
1
1
3
1
2
1
3 2 0
3
2
2
x
x y
y
x y
x
x
x
x
x x
x
y
Vậy hệ có hai nghiệm:
3
, 1,1 ; 2,
2
x y
.
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
299
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Bài 13. Giải hệ phương trình :
2 2
( 9) 1 1 0 (1)
(18 1) 3 22 ( 1) (2)
x y y
y x x xy
Lời giải:
Điều kiện:
1
y
Khi đó từ (1) ta suy ra:
2 2 2 2
1 1 0 ( 9) 81 18 2 1 0 (3)
y x y x x y x y y y
và (2) tương đương với:
2 2 2
18 3 22 2 1
x y y x x y xy
2 2 2
18 3 2 22 0 (4)
x y y x x y xy
Lấy (3) cộng với (4) theo vế ta được:
2
81 3 22 2( 1) 0 (*)
x x xy y
Mặt khác từ (1) ta lại có:
1 9 1
xy y x
, thay vào (*) ta suy ra:
2 2
81 3 22 2(9 1) 0 81 21 20 0
x x x x x
Bài 14. Giải hệ phương trình:
3
2
x y x y
x y x y
Lời giải:
Điều kiện:
0
(*)
0
x y
x y
Khi đó hệ tương đương với:
2 3
2
ÐK (*)
2
( ) ( )
( ) ( 1) 0
2
( ) ( ) 2
x y x y
x y x y
x y
x y x y
2
0
1 2
1 0
2
1
x y
x y
x x
y y
x y
x y
Vậy hệ có hai nghiệm:
, 1,1 ; 2,0
x y
.
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
300
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Bài 15. Giải hệ phương trình:
2
19
( 3 4 5 )2 2( 3 8)
log 1
y
x x x
x
y x
Lời giải:
+ Điều kiện
0 5
x
+ Từ (2) ta có
2 2
2 2
1 log log 2
y
y x
x x
, thay vào phương trình (1) ta được phương trình:
2
3 4 5 19 3 8
x x x x
2
( 3 4 4) (1 5 ) 16 3 8
x x x x
3 12 4
( 4)(3 4)
3 4 4 1 5
x x
x x
x x
3 1
( 4)( 3 4) 0
3 4 4 1 5
x x
x x
4 0( 0) 4 1
x x x y
Vậy nghiệm của hệ là
( ; ) (4; 1)
x y
Bài 16. Giải hệ phương trình:
4 3 2 2
2
2 2 9 (1)
( , ) (*)
2 6( 1) (2)
x x y x y x
x y
x xy x
Lời giải:
+ Thay
2
2 6 6
xy x x
ở (2) vào phương trình (1), ta được
2
4 2 2 2
6 6
(6 6 ) ( ) 2 9
2
x x
x x x x x
2 2 2
4 (6 6) (6 6 ) 4(2 9)
x x x x x
4 2 2
2 (6 6) (6 6) 4(2 9)
x x x x x
4 3 2 3 2
12 48 64 0 ( 12 48 64) 0
x x x x x x x x
3
0
( 4) 0
4
x
x x
x
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
301
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
+ Với
0 9
0 (*)
0 6
x VN
+ Với
4
4 (*)
17
4
x
x
y
Vậy hệ có nghiệm duy nhất
17
, 4,
4
x y
.
Bài 17. Giải hệ phương trình:
3
1 1 4
x y xy
x y
Lời giải:
+ Điều kiện
0
(*)
, 1
xy
x y
Khi đó hệ phương trình tương đương với
3
3
2 1 14
3 2 4 14
x y xy
x y xy
x y xy x y
xy xy xy
2
3 3
4( 4 ) (11 ) 3 26 105 0
x y xy x y xy
xy xy xy xy xy
(*)
6
3
3
3
3
3
x y
x y xy
x
y
xy
xy
Vậy hệ có nghiệm duy nhất
, 3,3
x y
.
Bài 18. Giải hệ phương trình:
2 2 2
1 7 (1)
1 13 (2)
xy x y
x y
x y xy y
Lời giải:
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
302
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Nhận thấy
0
y
, không là nghiệm của hệ, do đó ta chia cả 2 vế của (1) cho y; chia cả 2 vế của
(2) cho
2
y
.
Khi đó hệ trở thành:
2
2
1
7
1
13
x
x
y y
x
x
y y
2
1
( ) 7
1
( ) 13
x
x
y y
x
x
y y
2 2
1 1
( ) 7 ( ) 7
(7 ) 13 ( ) 15 36 0
x x
x x
y y y y
x x x x
y y y y
1
( ) 7
12
1
12
1
1
3
3
x
x
x
y y
y
x
x
y
x
y
y
Vậy hệ có hai nghiệm
1
, 12,1 ; 1,
3
x y
.
Bài 19. Giải hệ phương trình :
3
3
3
y
x y x
x
x y x x
Lời giải :
Điều kiện :
0; 3
x y
.
Khi đó phương trình thứ nhất của hệ tương đương với
3
3 3
33
y
y y
x
x y x x
x y x
(i). Với
3
y
, khi đó
2 3 0 3
x x
loại.
(ii). Với
3
x y x x
, khi đó hệ trở thành
3
3 3
1; 8
3
3
x y x x
x x
x y
x y x x
x y x x
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
303
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Vậy hệ có nghiệm duy nhất
, 1,8
x y
.
Bài 20. Giải hệ phương trình:
2
4 2 2 2
3 0
3 5 0
x xy x y
x x y x y
Lời giải:
Hệ đã cho tương đương với
2
2
2
2
2 2 2 2 2
3
3
5 0 3 5 0
x y x xy
x y x xy
x y x y x x xy x y x
2
2 2
3
5 4 0
x y x xy
x y y
2
2
0
0
0
0
1
2 1 0
1
1
4
4 0
x
y
x
y
y
x x
x
y
y
x x
Vậy hệ có hai nghiệm là
; 0;0 ; 1;1
x y
.
Bài 21. Giải hệ phương trình
3 3
3 3
3 5 2 6
2 3 3 8
x y xy
x y xy
Lời giải:
Hệ tương đương với
3 3
3 3
3 5 2 6
2 3 3 8
x y xy
x y xy
Lúc này coi đây là hệ với hai ẩn là
3 3
;
x y
từ đó suy ra hệ tương đương với
3
3
22 21
13 12
x xy
y xy
nhận thấy
0
x
hoặc
0
y
không thỏa mãn hệ nên nhân hai vế của hệ với nhau
ta được
3 2
22 21 13 12 1 274 264 0
xy xy xy xy xy xy
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
304
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
1
137 19033
xy
xy
- Với
1
1
1
x
xy
y
- Với
3
3
22 21 137 19033
137 19033
13 12 137 19033
x
xy
y
Vậy hệ có ba nghiệm
Bình luận: Dạng bài toán này có cách giải rất hay và hết sức cơ bản, ta có thể sáng tạo nhiều bài
toán tương tự
Bài 22. Giải hệ phương trình
3 2 2
2 1 1
1 1 10
x x y x y y
x y y
Lời giải:
Điều kiện:
2
2 1 0
1
x y
y
Khi đó biến đổi phương trình thứ nhất của hệ
3 2 2 2 2
2 1 1 2 1 1 0
x x y x y y x x y x y y
Nếu cả
2
2
1
1 2 1 0
1
y
y x y
x
thay vào phương trình đầu của hệ ta được
3 2
1 1 3 0
x x x x y
không thỏa mãn vậy chúng không đồng thời bằng 0, khi
đó biến đổi phương trình như sau
2 2
2 2
2 2
0 0
2 1 1 2 1 1
x y x y
x x y x y x
x y y x y y
nhưng do
1 1 10 1
x y y x y
nên
2
2
0
2 1 1
x y
x
x y y
Vậy
y x
thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được phương trình
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
305
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
2
2
1
1
2 1 1 10 3
3 4 4 17 0
1 2 1 100
x
x
x x x
x x x
x x
Vậy hệ có nghiệm duy nhất
; 3;3
x y
Bài 23. Giải hệ phương trình
3 3 3
2 2
1 19
6
x y x
y xy x
Lời giải:
Nhận thấy
0
x
không thỏa mãn hệ phương trình, với
0
x
nhân vào hai vế của phương trình
thứ hai với
x
ta được hệ
3 3 2 2
3 3 3
2 2 3
3 3 3
19
1 0
1 19
6
6
1 19
x y xy x y
x y x
xy x y x
x y x
3 3 3
1
3
2 3
1 0
2
3 2
1
1 19
2
3
x
xy xy xy
y
x
x y x
y
Vậy hệ có hai nghiệm là
1 1
; ; 2 ; ;3
3 2
x y
Bài 24. Giải hệ phương trình
2
2 2 16 0
4 32
x xy x y
x y xy
Lời giải:
Hệ tương đương với
2 16 2 16
4 32 4 32
x x y x y x y x
x y xy x y xy
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
306
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
0
8
16 32
2
2
4
2 16
2
2 16
6
2
x
y
xy x
x
x y xy
x y x
y
x y x
x
y
Vậy hệ có ba nghiệm
; 0;8 ; 2;2 ; 6;2
x y
Bài 25. Giải hệ phương trình
3 3
12 7 16 0
2 2 2
x y xy x y
x y x y
Lời giải:
Điều kiện
2 0
2 0
x y
x y
Khi đó hệ tương đương với
2
2 2
2 2
3
3 2 0
2
2 2 4 4
4 2
x y
x y x y
x y
x x y
x x y
2
3
2; 1
5 2 3
9 3 5 3 5
;
2
2 2
2 2
x y
x y
y y
x y
x y
y
Vậy hệ có hai nghiệm là
9 3 5 3 5
; 2;1 ; ;
2 2
x y
Bài 26. Giải hệ phương trình
2
3 2
2 1 4 1 0
2 2 1 1
x x y x y x
y y x y x
Lời giải:
Viết phương trình thứ hai của hệ dưới dạng
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
307
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
3 2 3 2
2 2 1 1 2 2 1 2 1
y y x y x y y y x x
2 2
2 2 1 2 2 1
y y x y y x
, thay vào phương trình đầu tiên của hệ ta được
phương trình
2
2 2 3 1 0
x x x x
Nếu
0
x
thì vế trái của phương trình luôn lớn hơn 0, vậy nên phương trình có nghiệm nếu
0
x
, nên chia cả hai vế của phương trình cho
2
, 0
x x
ta được
2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 3 0 1 2 3
x x x x x x x x
2
22
2 2
1 1
3 0
1 1 1 10
9
1 1 1 1
1 2 9
x x
x x
x x x x
2
0
3 13 4 10 10 1
1 10
6
1 0
9
x
x
x x
Suy ra
3 13 4 10 10 1 6
12
y
Bài 27. Giải hệ phương trình
2 2
2 2 2 2
3
1 4 1 8
x y xy x
x xy y x
Lời giải:
Hệ phương trình tương đương với
2 2
2 2 2 2 2 2 3 2 2 2
2 2 3 2 2 2 2
2 2 2 2
3 0 3 0
3 3 4 8
4 8
3
xy x xy x
x y x y x x y x x y x y
x y x y x y
x y x y x
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
308
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
2
2 2
2
2 2 2 2
2
2 2 2 2
0
3 0
0; 0
0
1 0
5
1
1;
5
3
3
x
xy x
x y
y
x y x
x
x y
x y x y x
x y x y x
Vậy hệ có ba nghiệm là
5
; 0;0 ; 1;
5
x y
Bài 28. Giải hệ phương trình
2 3 4 6
2
2 2
2 1 1
x y y x x
x y x
Lời giải:
Điều kiện
1
y
Biến đổi phương trình thứ nhất của hệ
2 3 4 6 2 2 2 4 2 2
2 2 2 0
x y y x x x y x y x x x y y
2
2 2 4 2 2
2 4 2 2 2 4 2
2 0
2 2 0
y x
x y x x x y y
x x x y y x y x y
- Nếu
2 4 2
2 0 0
x y x y x y
thử lại nghiệm thấy không thỏa mãn.
- Nếu
2
y x
thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được phương trình
2
2 2
2 1 1 2 1
x x x x x
(*)
Đến đây ta đặt
2
1
t x
khi đó phương trình (*) trở thành
2
2
2
1 2
2 2 2 0 3
1
x
t x x t t x t x
x x
suy ra
3
y
Vậy hệ có hai nghiệm là
; 3;3
x y
Bài 29. Giải hệ phương trình
2
1 1
1 2 0
x x y
y x x y x
Lời giải:
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
309
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Điều kiện:
0
1 0
x
x y
Khi đó hệ tương đương với
2
2 2
1 1
2 1 1
1 2 0
2 0
x x y
x x x y
y x x y x
y y x x xy
2 2
2 2
2 2
y x
y x
y x y x
y x xy
y x y x
4; 2
3 2 2 1
1
; 1
3 2 2 1
4
2 2
17 1
; 2 17 2 2
2
x y
x x x
x y
x x x
y x
x y
Bài 30. Giải hệ phương trình
3 2
2 1 3
4 1 9 8 52 4
x y
x x y x y xy
Lời giải:
Điều kiện:
1
y
Hệ phương trình tương đương với
2
2 2
3 2
3
6 5
4
3 6 5 6 5
4 . 9 8. 52 4 .
2 4 4
x
x x
y
x x x x x
x x x x
2
2
6 5
4
7
4 21 0
3
3
x x
y
x
x x
y
x
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
310
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Vậy hệ có nghiệm duy nhất
; 7;3
x y
Bài 31. Giải hệ phương trình
3 3
3 3 3
3
1
2 6 3 5 5
xy
x y
x y
x y x y x y x y
Lời giải:
Điều kiện:
0
x y
Khi đó biến đổi phương trình thứ nhất của hệ ta được
3 3 3 3
3
1 3 0
xy
x y x y x y xy x y
x y
2
2 2
3 0
x y x y xy xy x y
2 2
3 3 0
x y x y xy xy x y
4 2
3 1 0
x y x y xy x y
3 2
1 1 3 1 0
x y x y x y x y xy x y
(*)
Nhưng do
3 2
1 3 1
x y x y x y xy x y
3 3 2 2 2 2 2 2
1 0
x y x y xy x y x y x y xy x y xy
Với
0
x y
Vậy nên phương trình (*) tương đương với
1 0
x y
; lúc này thay vào phương trình thứ hai
của hệ ta được phương trình
3 3 3
3 1 5 1 2
x x x
( phương trình này được giải bằng cách lập phương hai vế; chi tiết xem
Chuyên đề phương trình, bất phương trình vô tỷ).
Giải phương trình trên có 3 nghiệm
0 0, 1
1 1 6
,
5 5 5
1 1 2
,
3 3 3
x x y
x x y
x x y
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
311
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Vậy hệ có ba nghiệm là
1 6 1 2
; 0;1 ; ; ; ;
5 5 3 3
x y
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Giải các hệ phương trình sau:
Bài 1. Giải hệ phương trình:
2 2
3 3 14
14 36
x y x y xy
x y x xy y
Bài 2. Giải hệ phương trình:
12
15
x y
x y
x y x y
xy
Bài 3. Giải hệ phương trình:
2
2 2
2 2
2 3 0
4 0
xy x y x y
xy x y x y x y
Bài 4. Giải hệ phương trình
3 3
2 2
2 3 4
5 1 3 4 3 2
x y y x
y x
Bài 5. Giải hệ phương trình
2 2
2
2 2
1 2 3 2 2 1 5
17 12 4 7 3 8 5
x x xy x y y x y y
x y x y x x y
Bài 6. Giải hệ phương trình
3 3
3 3
2 2 1
2 2 5
x y xy
x y xy
Bài 6. Giải hệ phương trình
3 3 2 2
3 3
2
1
x y x y xy
x y xy
Bài 7. Giải hệ phương trình
3 2 2 2
1 3 1
1 1 10
x x y y x y y
x y y
Bài 8. Giải hệ phương trình
1 2 2 1 9
3 1 1 10
x y x y
x y y
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
312
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Bài 9. Giải hệ phương trình
3 2
2 2 2
2 2 1 1
2 2 2 2 3
y y x y x
x y y x x y
Bài 10. Giải hệ phương trình
2
2
2 5 6 7 0
5 4 5 11 2 7
x y y
x y x y
Bài 11. Giải hệ phương trình
2
2 3 2 2
6 12
3 3 0
xy y
x y x x y xy x y
Bài 12. Giải hệ phương trình
3 1 3
3
2 2
log 3 log 1 log 2
2 3 35 0
x y x y
x y x y
Bài 13. Giải hệ phương trình
2 2
2
35
12
1
x y x x x y x
x
x
y
Bài 14. Giải hệ phương trình
2
2 2
2 2
1 1 3
6 5 2 3 6
x y y x
x y
x y
x y x y
xy y x
HỆ ĐỐI XỨNG
(i). Hệ đối xứng loại 1.
Hệ đối xứng loại 1 là hệ mà vai trò của
,
x y
trong hệ là như nhau.
Nếu
0 0
,
x y
là nghiệm của hệ thì
0 0
,
y x
cũng là nghiệm của hệ.
Phương pháp:
Đặt
S x y
P xy
với điều kiện
2
4
S P
.
(ii). Hệ đối xứng loại 2.
Hệ đối xứng loại 2 là hệ mà khi ta đổi vai trò
,
x y
cho nhau thì phương trình này chuyển thành
phương trình kia.
Nếu
0 0
,
x y
là nghiệm của hệ thì
0 0
,
y x
cũng là nghiệm của hệ.
Phương pháp:
Trừ theo vế hai phương trình trong hệ ta được
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
313
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
, 0
, 0
x y
x y f x y
f x y
BÀI TẬP MẪU
Bài 1. Giải hệ phương trình:
3 3
2 2
8
x y xy
x y
Lời giải:
Đặt
,
S x y P xy
. Khi đó hệ trở thành
2
2
2
2 2
2
2
6 3
3 8
0
8
2
S
P
S P
S
S
S S P
P
S S
2 2 0
0 0 2
x y x x
xy y y
Vậy hệ có hai nghiệm là
, 2,0 ; 0,2
x y
.
Bài 2. Giải hệ phương trình:
3 3
19
8 2
x y
x y xy
Lời giải:
Đặt
,
S x y P xy
. Khi đó hệ trở thành
2
3
2 83 19
1
6
3 2 8 19
8 2
SP SS S P
S
PS S
S P
1 3 2
6 2 3
x y x x
xy y y
Vậy hệ có hai nghiệm là
, 3, 2 ; 2,3
x y
.
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
314
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Bài 3. Giải hệ phương trình :
2 2
3 3
3
3
2 3
6
x y x y xy
x y
Lời giải :
Đặt
3
3
,
x a y b
khi đó hệ trở thành :
3 3 2 2
2 3
6
a b a b b a
a b
Đặt ,
S a b P ab
khi đó hệ trên trở thành
2
2 3 3
6 6 4 64 2
8 8 2 8 4
6
S S P SP
S a b a x a
P ab b y b
S
Từ đó suy ra nghiệm của hệ là
, 64,8 ; 8,64
x y
.
Bài 4. Giải hệ phương trình :
3
1 1 4
x y xy
x y
Lời giải :
Điều kiện :
0
, 1
xy
x y
Đặt
,
S x y P xy
khi đó hệ trở thành
2
2
3 , 3
3
2 2 1 16
2 3 1 14
P S S
S P
S S P
S S S
6 6 3
9 9 3
S x y x
P xy y
Bài 5. Giải hệ phương trình :
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
315
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
3 2 2
3 2 2
3 2
3 2
x x y
y y x
Lời giải :
Từ hai phương trình của hệ suy ra hệ có nghiệm nếu
, 0
x y
.
Trừ theo vế hai phương trình của hệ, ta được
3 3 2 2 2 2
3 3 0
x y x y x y x y xy x y
2 2
3 0
x y
x y xy x y
(i). Nếu
x y
, khi đó ta được hệ
3 2 2
0
1
3 2
x y
x y
x y
x x y
(ii). Nếu
2 2
3 0
x y xy x y
, khi đó ta có hệ
2 2
3 2 2
3 0
3 2
x y xy x y
x x y
Từ
0
x
suy ra để hệ có nghiệm thì phương trình thứ nhất phải có nghiệm
0
y
. Do đó
0
x y
là nghiệm duy nhất của hệ này.
Vậy hệ có hai nghiệm là
, 0,0 ; 1,1
x y
.
Bài 6. Giải hệ phương trình :
2
2
2
2
x x y
y y x
Lời giải :
Điều kiện :
, 0
x y
.
Xét hàm số
2
( )
f t t t
trên đoạn
0;
. Ta có
1
'( ) 2 0, 0;
2
f t t t
t

. Do đó
hàm số
( )
f t
đồng biến trên
0;
Hệ phương trình tương đương với
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
316
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
2 ( )
2 ( ) ( )
2 ( )
y f x
y x f x f y
x f y
Do
( )
f t
là hàm đồng biến nên, nếu
( ) ( )
y x f x f y
và nếu
( ) ( )
y x f x f y
. Vậy
x y
, khi đó hệ trở thành
2 2
1
3 5
1 1 0
2 2 0
2
x y
x y
x y x y
x x x
x x y x x x
x y
Vậy hệ có hai nghiệm là
3 5 3 5
, 1,1 ; ,
2 2
x y
.
Bài 7. Giải hệ phương trình :
2 2
2 2
1 6 1
1 6 1
x y y x
y x x y
Lời giải :
Hệ phương trình tương đương với
2 2 2
2 2 2
6 6
6 6
xy x y yx y
yx y x xy x
Trừ theo vế hai phương trình của hệ ta được
2 7 0
2 7 0
x y
x y x y xy
x y xy
(i). Nếu
x y
khi đó ta có hệ
2 2 2 2
2
3
6 6 5 6 0
x y x y
x y
x y
xy x y yx y x x
(ii). Nếu
2 7 0
x y xy
, khi đó cộng theo vế hai phương trinh của hệ ta được
2 2
5 12 0
x y x y
.
Từ đó ta có hệ
2
2 2
5 12 0
5 2 12 0
2 7 0
2 7 0
x y x y
x y x y xy
x y xy
x y xy
Đặt
2
, ; 4
S x y P xy S P
khi đó hệ trở thành
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
317
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
2
2
6 5 0
1, 4
5 2 12 0
7
5, 6
2 7 0
2
S S
S P
S S P
S
S P
S P
P
Chỉ nhận nghiệm
5 5 2; 3
6 6 3; 2
S x y x y
P xy x y
Vậy hệ có bốn nghiệm là
2,2 ; 3,3 ; 3,2 ; 2,3
.
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Giải các hệ phương trình sau :
Hệ đối xứng loại 1 :
Bài 1. Giải hệ phương trình :
4 4 2 2
2 2
6 41
10
x y x y
xy x y
Bài 2. Giải hệ phương trình :
2 2
4 4 2 2
7
21
x y xy
x y x y
Bài 3. Giải hệ phương trình :
2 2
4 4 2 2
13
91
x y
x y x y
Bài 4. Giải hệ phương trình :
2 2 3 3
4
280
x y
x y x y
Bài 5. Giải hệ phương trình :
2 2
2 2
1
1 49
1
1 5
x y
x y
x y
xy
Bài 6. Giải hệ phương trình :
2 2
2 8 2
4
x y xy
x y
Bài 7. Giải hệ phương trình :
2 2
12
1 1 36
x y x y
x x y y
Bài 8. Giải hệ phương trình :
2 2 2 2 2 2
1 18
1 208
x y xy xy
x y x y x y
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
318
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Bài 9. Giải hệ phương trình :
2 2
2 2
2 2
15
85
x y
x y
y x
x y
x y
y x
Bài 10. Giải hệ phương trình :
3 2
2
12
6
x x
y y
xy xy
Bài 11. Giải hệ phương trình
2 2
2 2
3
4 4 7
1
2 3
xy x y
x y
x
x y
Bài 11. Giải hệ phương trình
2 2
3
1 1 2
2 2 3
xy x y
x x y y
Hệ đối xứng loại 2 :
Bài 1. Giải hệ phương trình :
2
2
2
2
2
3
2
3
y
y
x
x
x
y
Bài 2. Giải hệ phương trình :
3
3
1 2
1 2
x y
y x
Bài 3. Giải hệ phương trình :
3
1 1
2 1
x y
x y
y x
Bài 4. Giải hệ phương trình :
3
3
3 8
3 8
x x y
y y x
Bài 5. Giải hệ phương trình :
2 2
2 2
x y
y x
Bài 6. Giải hệ phương trình :
3 3
2 2
7 7
2
x x y y
x y x y
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
319
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Bài 7. Giải hệ phương trình :
2 2
2 2
21 1
21 1
x y y
y x x
Bài 8. Giải hệ phương trình :
2
2
3 2 3
3 2 3
x x y
y y x
Bài 9. Giải hệ phương trình :
2
2 2
1
2 2
2 2
x x
y
y y x y
Bài 10. Giải hệ phương trình :
3 2 2 2
3 2 2 2
3 1 2
3 1 2
x xy x x xy y
y x y y y xy x
HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP
Phương pháp :
Xét xem hệ phương trình có nghiệm
0
x
hoặc
0
y
hay không, xét
0
x
, khi đó đặt
y tx
BÀI TẬP MẪU
Bài 1. Giải hệ phương trình :
2 2
2 2
2 3
10
y x y x
x x y y
Lời giải :
Nhận thấy
0, 0
x y
là một nghiệm của hệ. Xét
0
x
, đặt
y tx
khi đó hệ trở thành
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 3 2 1 3
10 1 10
tx x t x x tx t
x x t x tx x t t
Từ đó suy ra
2 2 2 4 2
2 1 .10 3. 1 20 20 3 3
t t t t t t t
4 2
3 1
20 17 3 0 ;
5 4
t t t t
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
320
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
(i). Với
2 2
5 85
3
3
17
5
5
3 85
1 10
17
x
y x
t
x t t
y
(ii). Với
2 2
2 170
1
1
17
4
4
170
1 10
34
x
y x
t
x t t
y
Vậy hệ có năm nghiệm là
5 85 3 85 2 170 170
, 0,0 , , ; ,
17 17 17 34
x y
.
Bài 2. Giải hệ phương trình:
2 2
2 2
3 1
2 2 1
x xy y
x xy y
Lời giải:
Nhận thấy
0
y
không là nghiệm của hệ, đặt
x ty
khi đó hệ trở thành
2 2
2 2
3 1 1
2 2 1
y t t
y t t
Chia theo vế hai phương trình của hệ, ta được
2
2
2
1
3 1
1 2 1 0
1
2 2
2
t
t t
t t
t t
t
(i). Với
2 2
1 1
3 1 1
x y
t x y
y t t
(ii). Với
2 2
1
1
2
2
3 1 1
x y
t
y t t
hệ này vô nghiệm
Bài 3. Giải hệ phương trình:
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
321
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
2 2
2 2
2 1 3
3 2
x x y y y
x xy y x y
Lời giải:
Hệ phương trình đã cho tương đương với
2 2
2 2
2 3
3 2
x xy y y x
x xy y x y
Nếu
0 0
y x
là một nghiệm của hệ.
Xét
0
y
, đặt
x ty
khi đó hệ trở thành
2 2
2 2
2 1 3
3 2
y t t y t
y t t y t
Từ đó suy ra
2 2 3 2
2 1 2 3 3 3 7 3 7 0
t t t t t t t t t
2
7
1 3 7 0 1,
3
t t t t
Thế ngược trở lại hệ đã cho tìm được các nghiệm là
7 3
, 0,0 , 1,1 , 1,1 , ,
43 43
x y
.
Bài 4. Giải hệ phương trình:
3 3
2 2
8 2
3 3 1
x x y y
x y
Lời giải:
Hệ phương trình tương đương với
3 3
2 2
8 2
3 6
x y x y
x y
Nhận thấy
0
x
không là nghiệm của phương trình, đặt
y tx
, khi đó hệ trở thành
3 3
2 2
1 2 8
1 3 6
x t t x
x t
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
322
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Từ đây suy ra
3 2 2
1
3
6 1 2 8 1 3 12 1 0
1
4
t
t t t t t
t
(i). Với
2 2
1
3
1
3
1
3
1 3 6
y x
x
t
y
x t
(ii). Với
2 2
4 78
1
13
4
4
78
1 3 6
13
x
x
y
t
x t
y
Vậy hệ có bốn nghiệm là
4 78 78 4 78 78
, 3,1 ; 3, 1 ; , ; ,
13 13 13 13
x y
.
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Giải các hệ phương trình sau:
Bài 1. Giải phương trình:
2
2 2
3 2 16
3 2 8
x xy
x xy y
Bài 2. Giải phương trình:
2 2
2 2
2 3 9
2 13 15 0
x xy y
x xy y
Bài 3. Giải phương trình:
2
2
3
2
3
2
x y
x
y x
y
Bài 4. Giải hệ phương trình:
2 2
3 3
30
35
x y y x
x y
Bài 5. Giải hệ phương trình:
3 3 2
4 4
1
4 4
x y xy
x y x y
Bài 6. Giải hệ phương trình:
2 2
2 2
3
15
x y x y
x y x y
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
323
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Bài 7. Giải hệ phương trình
3 3
2 2
2 3 4
5 1 3 4 3 2
x y y x
y x
Bài 8. Giải hệ phương trình
3 2
3
3 2 0
3 2 0
x x y y
x y y
Bài 9. Giải hệ phương trình
2 2
2 2
2 2
2 2
2
1
7
4
1
x y x y
x y
y x x y
x y
DẠNG TOÁN CỘNG, TRỪ THEO VẾ CÁC PHƯƠNG TRÌNH TRONG HỆ
(PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH)
- Đôi khi việc giải hệ phương trình, đơn giản nhất chỉ là cộng hoặc trừ theo vế 2 phương
trình của hệ.
- Nâng cao hơn thì nhân vào hai vế của một phương trình với một biểu thức rồi cộng vào
phương trình còn lại của hệ.
Các cách trên sẽ đưa về một phương trình tích( hay là các hằng đẳng thức) và ta dễ dàng tìm ra
mối liên hệ giữa x và y.
BÀI TẬP MẪU
Bài 1. Giải hệ phương trình sau:
3 3
2 2
35 (1)
2 3 4 9 (2)
x y
x y x y
Lời giải:
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
324
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Phân tích:
Lấy
(1) .(2)
ta được:
3 3 2 2
35 2 3 4 9 0
x y x y x y
3 2 3 2
2 4 3 9 35 0
x x x y y y
Ta sẽ chọn các số , ,a b
sao cho:
3 3
3 2 3 2
2 4 3 9 35
x x x y y y x a y b
3 3
2
35 3
3 2 2
3
3 4
a b
a a
b
a
Vậy đi đến lời giải cho bài toán này như sau:
Lấy phương trình (1) trừ đi 3 lần phương trình(2) ta được:
3 3
2 3 5 (3)
x y x y
Thế (3) vào phương trình (2) của hệ ta được :
2
5 6 0
y x
y y
y x
Vậy nghiệm của hệ là
3, 2 , 2, 3
.
Bài 2. Giải hệ phương trình sau:
3 3
2 2
91 (1)
4 3 16 9 (2)
x y
x y x y
Lời giải:
Lấy phương trình (1) trừ đi 3 lần phương trình (2) theo vế ta được:
3 3
4 3 7 (3)
x y x y
.
Thay (3) vào phương trình (2) của hệ ta được
2
4 3
7 12 0
y x
y y
y x
Vậy nghiệm của hệ là
3,4 , 4,3
.
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
325
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Bài 3. Giải hệ phương trình sau:
3 2
2 2
3 49 (1)
8 8 17 (2)
x xy
x xy y y x
Lời giải:
Lấy phương trình (1) cộng theo vế với 3 lần phương trình (2) ta được
3 2 2 2
3 24 3 49 24 51
x xy x xy y y x
2 2
1; 4
1 1 3 4 0
1; 4
x y
x x y
x y
Vậy nghiệm của hệ là
1, 4 , 1,4
Bài 4. Giải hệ phương trình sau:
2 2
2
1
(1)
5
57
4 3 (3 1) (2)
25
x y
x x y x
Lời giải:
Lấy 25 lần phương trình (1) cộng theo vế với 50 lần phương trình (2) ta được
2
7
3
5
25(3 ) 50(3 ) 119 0
17
3
5
x y
x y x y
x y
Giải ra ta được nghiệm của hệ là
2 1 11 2
, , ,
5 5 25 25
.
Bài 5. Giải hệ phương trình sau :
2 2
2
2 2 3 0 (1)
3 1 0 (2)
x xy y x
xy y y
Lời giải:
Lấy phương trình (1) cộng theo vế với 2 lần phương trình (2) ta được:
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
326
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
2
2 1
2 3( 2 ) 2 0
2 2
x y
x y x y
x y
+ Với
2 1
x y
, thay vào (2) ta được:
2
1 2 3 2 2
2 1 0
1 2 3 2 2
y x
y y
y x
+ Với
2 2
x y
, thay vào (2) ta được:
2
1 5
3 5
2
1 0
1 5
3 5
2
y x
y y
y x
Vậy hệ có 4 nghiệm
1 5
3 2;1 2 , 3 5;
2
.
Bài 6. Giải hệ phương trình:
2 3
2 2
6 2 35 0 (1)
5( ) 2 5 13 0 (2)
x y y
x y xy x y
Lời giải:
Lấy phương trình (1) cộng với 3 lần phương trình (2) ta được
2 3 2
(6 15) 3(2 5) 2 15 39 35 0
y x y x y y y
2 2
5 1
1 5
2 2
2 5 3 0
1 5
2 2
;
2 2
y x
y x y
x y
Vậy nghiệm của hệ là
1 5 1 5
; , ;
2 2 2 2
.
Bài 7. Giải hệ phương trình:
2 2
3 2 2 2
2 2 (1)
2 3 2 3 (2)
x y xy y
x xy y x y
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
327
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Lời giải:
+ Với
0 0
y x
là một nghiệm của hệ.
+ Xét
0
y
, nhân vào 2 vế của (1) với
y
sau đó cộng theo vế với phương trình (2) ta được
3 3 2 2
2 2 4 4 0 (3)
x y x y xy x y .
Thay (3) vào phương trình (1) ta được:
2
2 2 1 ( 0) 1
y y y y x
.
Vậy nghiệm của hệ là
0;0 , 1;1
.
Bài 8. Giải hệ phương trình :
2 2
2
3 (1)
2 7 5 9 0 (2)
x xy y
x xy x y
Lời giải:
Cộng theo vế 2 phương trình của hệ ta được:
2 0
2 2 3 0
2 3 0
x y
x y x y
x y
Với
2 0
x y
khi đó ta có hệ:
2
2 2
2
2
2 0
1
1
3
2 2 3
y x
x y
x
y
x xy y
x x x x
Với
2 3 0
x y
khi đó ta có hệ:
2
2 2
2
1
3 2
1
2 3 0
3
2
3 2 3 2 3
1
x
y x
y
x y
x xy y
xx x x x
y
Vậy hệ có hai nghiệm là
; 1;1 ; 2; 1
x y
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Giải các hệ phương trình sau:
1.1.
3 3
2 2
9
2 4
x y
x y x y
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
328
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
1.2.
3 3
2 2
91
4 3 16 9
x y
x y x y
1.3.
2
2
3 2 3 16
2 3 2 12
x xy y
y xy x
1.4.
4 4
3 3 2 2
240
2 3 4 4 8
x y
x y x y x y
Gợi ý: Nhân vào hai vế phương trình thứ hai với (-8) rùi cộng theo vế với phương trình thứ nhất
của hệ.
DẠNG TOÁN BIẾN ĐỔI VÀ ĐẶT ẨN PHỤ
Áp dụng với hệ có số hạng chung xuất hiện ở các phương trình trong hệ.
Thường thì các bài toán biến đổi đơn giản ta đặt ẩn phụ với
u x y
v xy
Chẳng hạn:
2
3 2 2 3
2 2
2
2 4
4
6
6
x y x y xy
x xy x y y
x y x xy y
x y x y xy
Ta đặt ẩn phụ như sau:
u x y
v xy
khi đó được hệ mới:
2
2
2 4
6
u u v
u u v
đơn giản hơn nhiều.
Đôi khi chia(hoặc nhân) hai vế của phương trình trong hệ với một biểu thức nào đó của biến(
thường đơn giản là
2 3 2 3
, , ; , ,
x x x y y y
) lúc này sẽ được hệ mới có thể đặt ẩn phụ được.
Chẳng hạn:
2
4 2 2 2
3 0
3 5 0
x xy x y
x x y x y
Mới đầu nhìn hệ này chưa có gì đặc biệt tuy nhiên, với
0
x
ta chia hai vế của phương trình đầu
cho
x
và chia hai vế của phương trình thứ hai cho
2
x
ta được hệ mới như sau:
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
329
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
2
2
2
2
3 0
3 0
5 0
3 5 0
y
y
x y
x y
x
x
yy
x y
x y
x
x
Đến đây ta đặt
; 3
y
u x v y
x
Khi đó hệ trở thành:
2
0
2 0
u v
u v
BÀI TẬP MẪU
Bài 1. Giải hệ phương trình:
2 2
2 2
(1)
3 (2)
x y xy x y
x y
Lời giải:
Ta có
2 2
2 2
1
3
4
x y xy x y x y
.
Vậy đặt
;
a x y b x y
, khi đó hệ trở thành
4 2 2
2 2
3 12 9 0 3( 1) ( 2 3) 0
3 2
3 4
3 3
1 1
3
b b b b b
a x
a b a
b y
ab
a a
b b
Vậy nghiệm của hệ là
; 2;1
x y
.
Bài 2.Giải hệ phương trình:
2
2 2
2 6 1
7
x x y
x xy y
Lời giải:
+ Điều kiện
1
y
, khi đó hệ tương đương với
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
330
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
2 2 2 2
2 2 2 2
2 6 2 1 2( ) 5 0
1 1
3 7 3 28
4 4
x x y y x y x y
x y x y x y x y
Đặt
;
a x y b x y
, khi đó hệ trở thành
2 2
2 5 0
1 3
5 1
3 28
ab b
a a
b b
a b
+ Với
1 1 3
5 5 2
a x y x
b x y y
( thỏa mãn điều kiện).
+ Với
3 3 1
1 1 2
a x y x
b x y y
( thỏa mãn điều kiện).
Vậy nghiệm của hệ là
1;2 , 3; 2
.
Bài 3.Giải hệ phương trình:
2 2
2
1
3( ) 2(10 )
1
2 5
x y xy
x y
x
x y
Lời giải:
+ Điều kiện
(*)
x y
+ Hệ phương trình
2 2
2
1
2( ) ( ) 20
( )
1
5
x y x y
x y
x y x y
x y
Đặt
1
; ( 2)
u x y v x y v
x y
, khi đó hệ trở thành
2 2
2
1
5
3
2 2 20
3
2 14
5 3 20 28 0
3
u
u v
u
u v
v
u v v v
v
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
331
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
+ Với
3
3 3 2
1
2
2 1 1
x y
u x y x
x y
v x y y
x y
+ Với
1
1 4 10
3
3 3
1 14
14
3 10
3
3
3
x y
u x
x y
v
y
x y
Vậy hệ có 3 nghiệm là
4 10 3 10
2;1 , ;
3 3
Bài 4.Giải hệ phương trình:
4 2 2
2 2
4 4 2
2 6 23
x x y y
x y x y
Lời giải:
+ Đặt
2
t y
, khi đó hệ trở thành
4 2
2 2
4 2 4
6 23 2
t y x x
x y x
, ta coi
x
là hằng số khi đó ta được hệ đơn giản với 2 ẩn là
,
t y
.
Ta có:
2 6 4 2 2
6; 10 30 104; 23 2
t y
D x D x x x D x
Ta có
2
2
2 2 6 4 2 2
6 10 30 104 23 2
y
t
D
D
t y x x x x x
D D
2 4 2
1 3
(1 )(1 )(1 )( 16 95) 0
x y
x x x x x
x y
Bài 5.
Giải hệ phương trình:
3 3
2 2
9 (3 1) 125 (1)
45 75 6 (2)
y x
x y x y
Lời giải:
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
332
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Nhận thấy
0 0
x y
, không là nghiệm của hệ, khi đó chia 2 vế của phương trình (1) cho
3
y
;
và chia 2 vế của phương trình (2) cho
2
y
ta được
3
3
3
3
2
2
125
125
27 9
27 9
5
15 (3 ) 6
45 75 6
x
x
y
y
x
x x
x
y y
y y
Đặt
5
3 ;u x v
y
, khi đó hệ trở thành
3
3 3
3 2 1
9
3 ( ) 9
2 1 2
( ) 6
( ) 6
u v u u
u v
u v uv u v
uv v v
uv u v
uv u v
+ Với
3 2
2
2
5
3
1
1
5
x
u
x
v
y
y
+ Với
1
3 1
1
3
5
2
2
5
2
x
x
u
v
y
y
Vậy hệ có 2 nghiệm là
2 1 5
;5 , ;
3 3 2
.
Bài 6.Giải hệ phương trình:
3 3 2 2 3
1 1
(1 ) 1 4
1 4
x x
y y
x y y x xy y
Lời giải:
+ Điều kiện
0
y
.
2
2
2
2
3
3
2 3
1 1
1 1
2 4
4
1
1 1
4
2 4
x
x x
x x
y y y
y y
HPT
x x
x
x
x x
y y y
y y y
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
333
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Đặt
1
;
x
u x v
y y
, khi đó hệ trở thành
2 2
3 3 2
2 4 2 4
2 4 (4 ) 4
u u v v u u
u uv u u u u
2
2
1
2
2 4 2
1
1
( 2) 0
1
x
v u u u
y
x y
v x
u
y
Vậy hệ có nghiệm duy nhất
1;1
.
Bài 7.Giải hệ phương trình:
3
2
(3 55) 64
( 3 3) 12 51
x y
xy y y x
Lời giải:
Nhận thấy
0
x
, không là nghiệm của hệ, khi đó hệ tương đương với
3
3 2
64
3 55
12
3 3 51
y
x
y y y
x
Đặt
3
3 2
3 55 (1)
4
3 3 3 51(2)
y t
t
x
y y y t
, cộng theo vế của (1) và (2) ta được
3 3 3 3 3
3 6 55 3 51 ( 1) 3( 1) 3 51
y y y t t y y t t
( ) ( 1)
f t f y
, trong đó
3 2
( ) 3 51 '( ) 3 3 0
f t t t f t t f
Vậy
( ) ( 1)
f t f y
khi và chỉ khi
1
t y
, khi đó thay
1
y t
vào (1) ta được
3 2
4
3 52 0 ( 4)( 4 13) 0 4 4 1 3
t t t t t t x y
x
Vậy hệ có nghiệm
1;3
.
Bài 8. Giải hệ phương trình:
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
334
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
3
3
(2 3 ) 1 (1)
( 2) 3 (2)
x y
x y
x y
Lời giải:
+ Nhận thấy
0
x
, không là nghiệm của hệ, khi đó chia 2 vế của (1) cho
3
x
và chia 2 vế của (2)
cho
x
, hệ trở thành
3 3
3 3
1 1
2 3 2 3
3 3
2 2
y y
x x
y y
x x
, đặt
1
u y
v
x
1
1 1
2
2 1
2
u y x
x
u y y
y
Vậy hệ có hai nghiệm là
1
; 1;1 ; ;2
2
x y
Bài 9. Giải hệ phương trình:
2
2
1 ( ) 4 (1)
( , )
( 1)( 2) (2)
x y x y y
x y
x x y y
Lời giải:
+ Nhận thấy
0
y
, không là nghiệm của hệ, nên ta chia cả 2 vế của (1) và (2) cho
y
ta được
2
2
1
( ) 4
1
( 2) 1
x
x y
y
HPT
x
x y
y
, đặt
2
1
; 2
x
u v x y
y
hệ trở thành
2
1
1
2 1 1 2
1 1 2 5
2 1
x
u v u x x
y
uv v y y
x y
Bài 10. Giải hệ phương trình:
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
335
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
2
1
3 3
2 1 8
x x y
y
xy y y
Lời giải:
Chia 2 vế của (2) cho y ta được
1
3 3
1
2 8
x x y
y
HPT
x y
y
, đặt
1
; 3
u x v x y
y
hệ trở thành
2 2
3
3 2; 1
2 1; 2
3 8
u v
u v u v
uv u v
u v
1
2
2 5 2
1
1 2
3 1
x
u x
y
v
y
x y
1
1
1 4 10
2
3 10
3 2
x
u x
y
v
y
x y
Bài 11. Giải hệ phương trình :
3
3
2011 2011 2012 2013 1
2010 4024 2012
x y
x y
Lời giải :
Đặt
3
3
2010, 2013
u x v y
, khi đó hệ trở thành
3
3
1 2011 2012 1
2011 2012
u v
u v
Trừ theo vế hai phương trình của hệ, ta được
3 3 3
2011 2012 2011 2012 0 0 2010, 2013
u u v u uv v u v x y
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
336
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Vậy hệ có nghiệm là
; 2010;2013
x y
Bài 12. Giải hệ phương trình:
2
1 2
3 3 2
,
2 2 2 6
x y
x
x y x y
x y
x y x y
Lời giải :
Điều kiện :
3 0; 0
x y
.
Khi đó ta đặt
2 2
0
kx
y kx
y k x
Khi đó phương trình thứ nhất của hệ trở thành :
2
2
2 2 2 2 2
1 2
2 1 0 2
3 3 2
x x kx
k k k k
x k x x k x
Với
2
k
ta có
2 0
y x x
, thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được
2
2
4 8 2 6 2 2 4 2 6
x x x x x
Đặt
2 6 2 2
x t
, khi đó ta có hệ
2
2
2
3 17
2 6 2 2
2 6 2 2
4
1 2 2 4 0
13 3 17
2 2 4 2 2
2
x
x t
x t
x t x t
x t
y
Vậy hệ có nghiệm duy nhất
3 17 13 3 17
, ,
4 2
x y
.
Bài 13.Giải hê phương trình :
3
3 2 2
2
45
3 4
4
4 3 2
x y y x y xy
x y xy
Lời giải :
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
337
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Xét
3
3 0
0 3 3,0
3 0
x
y x
x
là một nghiệm của hệ.
Xét
0
y
, khi đó chia hai vế của phương trình thứ nhất của hệ cho
3
y
và chia hai vế của
hệ cho
y
, ta đươc:
3
2 2
3 45
1 4
4
3
4 2
x
x y xy
y y
x
xy
y y
Đặt
3
1 ,
x
u v xy
y y
khi đó hệ trở thành
2
3
3 2
3 3 45
45
4
4
2 2 4
4
3
3 2
2
u u
u
u v v
u
u v
v
2
3 2
5 4 12 0
8 60 0
5
3
3
4
2
2
u u u
u u u
u
u
u
v
v
v
1
3
3 105
1 5
2
3 105
4
12
x
x
y y
xy
y
Vậy hệ có ba nghiệm là
1 3 105
; 3;0 ; 3 105 ;
2 12
x y
Bài 14. Giải hệ phương trình:
2
1 6
2 2 1 2 1 29
x y
x x y x y y
Lời giải :
Điều kiện:
1
y
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
338
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Đặt
2
1 1
a y y a
, khi đó hệ phương trình trở thành:
2
2 2
2
1 7
6
2 1 2 1 29
1 2 1 29
x a
x a
x x a x a
x a x a
2
2
2
2
1 2 1 49 (1)
1 2 1 29 (2)
x a x a
x a x a
Lấy phương trình (1) trừ theo vế cho phương trình (2), ta được:
2 2 2 2
2 2 2 2
1 1 20 0 1 5 0 1 25
x a x a x a x a
Vậy ta có hệ
2
2
6
2; 4 2; 17
3; 3 3; 10
1 25
x a
x a x y
x a x y
x a
Thử lại thấy hai nghiệm này đều thỏa mãn
Vậy hệ có hai nghiệm là
, 2,17 ; 3,10
x y
.
Bài 15. Giải hệ phương trình:
2
4 2 2 2
3 0
3 5 0
x xy x y
x x y x y
Lời giải :
Nhận thấy
; 0;0
x y
là một nghiệm của hệ phương trình
Xét
0
x
, khi đó chia hai vế của phương trình thứ nhất cho
x
và chia hai vế của phương trình
thứ hai cho
2
x
ta dược hệ
2
2
2
2
3 0
3 0
5 0
3 5 0
y
y
x y
x y
x
x
yy
x y
x y
x
x
đến đây ta đặt
; 3
y
u x v y
x
Khi đó hệ trở thành
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
339
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
2 2
1
1
0
2 0 2 0
2
2
u
v
u v v u
u v u u
u
v
1
3 1
1
1
2
3 2
y
x
x
y
x
y
y
x
x
y
Vậy hệ có hai nghiệm là
; 0;0 ; 1;1
x y
.
Bài 16. Giải hệ phương trình:
2
3 2 2
6 1 0
9 0
y x xy y
y x y x y x
Lời giải:
Nhận thấy
0
y
không là nghiệm của hệ, nên với
0
y
ta chia hai vế của phương trình thứ nhất
của hệ cho
y
và hai vế của phương trình thứ hai của hệ cho
2
y
, ta được
2
2
1
6
1
. 9
x y xy
y y
x y xy
y y
Vậy ta đặt
2
1
;
x y xy
u v
y y
Khi đó ta có hệ
2
3
6
3
9
1
3
x y
u v
y
u v
uv
xy
y
3
2
3
1 0
2
1
1
3
1
3
x y y
y
x
x y
x
y
y
Vậy hệ có nghiệm duy nhất
; 2;1
x y
.
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
340
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Bài 17. Giải hệ phương trình :
2 2 2
2 2 3 3
4 1 0
1 4 0
x x y y y
xy x y x y
Lời giải :
Hệ tương đương với
2 2 2
2 2 3 3 3
1 4
1 4
x x y y y
xy x y x y y
Nhận thấy
0
y
không thỏa mãn hệ, nên với
0
y
ta chia hai vế của phương trình thứ nhất cho
2
y
và chia hai vế của phương trình thứ hai cho
3
y
2
2
2
2
1 1
4
1 1
4
xy
x
y y
xy
x
y y
Ta đặt
2
2
1
1
u x
y
xy
v
y
khi đó hệ trở thành
2
2
1
2
4 1
2
4 1 1
2
xy
u v x
y
u v
uv y
x
y
Vậy hệ có nghiệm duy nhất
; 1;1
x y
.
Bài 18. Giải hệ phương trình
2
4 2 2 2 2 2
1 6 2
2 1 12 1
x y y
x y x y y x y
Lời giải :
Hệ tương đương với
2
2
2
4 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
1 2 6 (1)
1 2 6
2 1 13 1
1 1 1 13 (2)
x y y
x y y
x y x y y y x y
y x y x y
Nhận thấy
0
y
không thỏa mãn hệ phương trình, nên với
0
y
ta chia hai vế phương trình (1)
cho y và chia hai vế phương trình (2) cho
2
y
, ta được hệ mới
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
341
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 1 1
6 1 7
1 1 1 1
1 13 1 13
x x
x x
y y y y
x x
x x
y y y y
Đến đây ta đặt
2
2 2
1 1
1 ; ; 4 0
x
S x P S P
y y
khi đó hệ trở thành
2 2
7 7
4
3
13 20 0
S P P S
S
P
S P S S
2
2
2
2
1 3
2
1
1
1
1 4
1
0
1
1 1
3
1
1
3
3
x
x
x
y
y
y
x
x
x
y
y
y
Vậy hệ có ba nghiệm là
1
; 2;1 ; 0;
3
x y
Bài 19. Giải hệ phương trình
3 6
6 2 6
1 2 3
1 4 5
y x y x
x y x
Lời giải :
Nhận thấy
0
x
không thỏa mãn hệ, với
0
x
ta chia hai vế của các phương trình trong hệ cho
6
x
ta được hệ
3 3
2
6
1
2 3
1
4 5
y
y
x x
y
x
đến đây ta đặt
3 3
1
; 2
y
a b y
x x
khi đó hệ trở thành
2
3
2
2
3
3
5
1, 1
1
3
1
4
1 1
3 15
4 5
,
2 3
3
2 2
4
b
y
a x y
ab
a
x
bb
b a
x y
y
b
x
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
342
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Vậy hệ có hai nghiệm là
3
1 1
; 1;1 ; ;
2 2
x y
Bài 20. Giải hệ phương trình
2 2
2
2
6 0
,4
1 3 0
x y
x y
x y
x y
Lời giải :
Diều kiện :
x y
Hệ tương đương với
2
2
6
4
1 3 0
x y x y
x y
x y
Đặt
;
a x y b x y
khi đó hệ trở thành
2
2
2
2
6
6
4
1 3 0
2 1 3 0
9
b
ab
a
a
a
a a
b
2
6
3; 2
3
, 8
8 18 18 0
4
a b
b
a
a b
a a
3
5 1
2
,
2 2
3
35 29
,
4
8 8
8
x y
x y
x y
x y
x y
x y
Vậy hệ có hai nghiệm là
5 1 35 29
; ; ; ;
2 2 8 8
x y
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Giải các hệ phương trình sau :
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
343
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
1.1.
2 2
2
1 4
2
1
x y xy y
y
x y
x
1.2.
3
3
6 21 1
6 21
x y
x y
1.3.
3
3 2
6
6
8
x y x y
x y x y
1.4.
2 2
2 2
1 1
3
1 1 3 2
7
xy
x y
x y
x y xy
1.5.
2 2
2 2
12
12
x y x y
y x y
1.6.
2
2 2
2 2
19
7
x xy y x y
x xy y x y
1.7.
2 2
2 2 2
6
1 5
y xy x
x y x
1.8.
3
3
(2 3 ) 8
2 6
x y
x y
1.9.
2 2
log log log log
lg lg 8
x x y y
y x
x y
1.10.
2 2
2 2
2
3 0
1
2 3 1 0
21
x y y x y
x y
y y x
1.11.
2
4 2 2 2
2 0
4 3 0
x xy x y
x x y x y
1.12.
4 4
3
2 2
2
3
x x y y
x y
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
344
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
1.13.
2 2
2
5
8 4 13
1
2 1
x y xy
x y
x
x y
1.14.
2 2
2
2
1 4
2 7 2
x y xy y
y x y x y
1.15.
2 2
2 2 3 2
4 2 7
2 2 3 6
x y y xy
x y y xy
1.16.
4 2 2
2 2
4 6 9 0
2 22 0
x x y y
x y x y
1.17.
2 2
2
2
1 4
2 7 2
x y xy y
y x y x y
1.18.
2
2
4 2 2 2
4 3
x y x y y
x x y x y
1.19.
2
2 1 6 1
4 2
xy xy y y y
xy x y
1.20.
2
2
1
2
1 5
1
1
1 2
y xy
y
x xy
y
1.21.
2 2
2
2
4 1
2 7 2
x y xy y
y x y x y
1.22.
3 3 3
2 2
9
6
y x x
x y y x
1.23.
3 3
2 2
1 1
2
1 1
2
x y x y
x x y
ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐỒNG BẬC
Phương pháp :
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
345
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Từ hai phương trình của hệ biến đổi và đưa về phương trình đồng bậc với biến
,
x y
Giải phương
trình
x
biểu diễn theo
y
rồi thế lại hệ bân đầu.
BÀI TẬP MẪU
Bài 1. Giải hệ phương trình :
2 4 (1)
3 6 (2)
x x y y x y
x y
Lời giải:
Ý tưởng:
Nhận thấy vế trái của (1) có bậc là
3
2
, còn vế phải của (1) có bậc là
1
2
.Do đó nhân vào 2 vế của
(1) với đa thức có bậc là 1 thì ta được đa thức đồng bậc. Lúc này ta có thể rút
x
theo
y
.
+ Điều kiện
0
(*)
0
x
y
Thay
1
2 ( 3 )
3
x y
từ (2) vào phương trình (1) ta được:
3( ) ( 3 )(4 )
x x y y x y x y
12 0 3 4 0
x x xy y x x y x y
3 0
0 9 9; 1
4 0
x y
x x y x y
x y
.
Vậy nghiệm của hệ là
9;1
.
Bài 2. Giải hệ phương trình:
3 3 2
4 4
1 (1)
4 4 0 (2)
x y xy
x y x y
Lời giải:
Thay
3 3 2
1
x y xy
ở (1) vào (2) ta được
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
346
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
4 4 3 3 2
4 (4 )( ) 0
x y x y x y xy
3 3 2 2 2 2
3 4 0 (3 4 ) 0
xy x y x y xy y x xy
0
( )(3 ) 0
3
xy
xy y x y x y x
x y
+ Với
0 1
0
1 0
x x
xy
y y
+ Với
y x
, thay vào (1) ta được:
1
x y
.
+ Với
3
x y
, thay vào (1) ta được:
3 3
1 3
25 25
y x
.
Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm là
3 3
3 1
0;1 , 1;0 , 1;1 , ;
25 25
.
Bài 3. Giải hệ phương trình:
3 3
2 2
8 2
3 3 1
x x y y
x y
Lời giải:
Hệ phương trình tương đương với
3 3
2 2
8 2
3 6
x y x y
x y
Nhận thấy
0
x
không là nghiệm của phương trình, đặt
y tx
, khi đó hệ trở thành
3 3
2 2
1 2 8
1 3 6
x t t x
x t
Từ đây suy ra
3 2 2
1
3
6 1 2 8 1 3 12 1 0
1
4
t
t t t t t
t
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
347
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
(i). Với
2 2
1
3
1
3
1
3
1 3 6
y x
x
t
y
x t
(ii). Với
2 2
4 78
1
13
4
4
78
1 3 6
13
x
x
y
t
x t
y
Vậy hệ có bốn nghiệm là
4 78 78 4 78 78
, 3,1 ; 3; 1 ; ; ; ;
13 13 13 13
x y
.
Bài 4. Giải hệ phương trình:
2 2
2 2
2 3 3
2 2
x y x xy y
x y x y
Lời giải:
Nhân theo vế hai phương trình của hệ ta được
2 2 2 2 3 3 2 2
2 3 2 2 3 4 3 2 0
x y x y x y x xy y x y xy x y
2 2
4 0
1 17
2
x y
x y x xy y
x y
(i). Với
y x
thay vào phương trình thứ hai suy ra
2
0 0
3 3
1 1
x x y
x x
x x y
(ii). Với
1 17
2
x y
, khi đó ta có hệ
2 2
1 17
2
2 2
x y
x y x y
Bài 5. Giải hệ phương trình :
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 1
x y x x
x y x y xy
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
348
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Lời giải :
Hệ phương trình tương đương với
2 2
2 2 2
2 2 2 2
2 1 3
2 2 2
2 2 1
2 1 1
xy x
x y x x
x y x y xy
xy x xy
Đặt
1;
u x v xy
khi đó hệ trở thành
2 2
2
2 3
2 1
u v
uv v
Đặt
u tv
, khi đó hệ trên trở thành :
2 2
2 2
2
2 3
5
2 3 2 1 6 5 0
1
2 1 1
v t
t
t t t t
t
v t
(i). Với
2 2
5 1
,
5
3 3
5
5 1
2 3
,
3 3
u v
u v
t
u v
u v
5 5 2
1 1 , 2
3 3 3
1 1 8 1
,
3 3 3 8
x x x y
xy xy x y
(ii). Với
2 2
1 1 1
1
1 2,
1 1 1
2
2 3
u v
u v x xy
t x y
u v x xy
u v
Vậy hệ có ba nghiệm là
1 2 8 1
, 2, ; , 2 ; ,
2 3 3 8
x y
.
Phương pháp :
Hệ có nghiệm
,
a b
thì đặt
x a u
y b v
ta đưa về hệ đơn giản hơn, thường là hệ đẳng cấp ta đã
biết cách giải :
Sau đây xem xét một bài toán nữa đưa được về hệ đẳng cấp
Bài 6. Giải hệ phương trình :
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
349
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
2 2
2 2
2 2
2 2 2 0
x y xy y x
x y y
Lời giải :
Hệ phương trình tương đương với
2
2
2 2
2 2 2
2
1 1 3
2 2
2 2 2 0
2 1 1
x y x y
x y xy y x
x y y
x y
Khi đó đặt
1
u y
và hệ trở thành
2 2
2 2
3
2 1
x u xu
x u
đây là hệ đẳng cấp.
Bài 7. Giải hệ phương trình :
2 2
2
3
2 7 5 9 0
x xy y
x xy x y
Lời giải :
Hệ này có nghiệm
1,1
Đặt
1
1
x a
y b
khi đó hệ trở thành :
2 2
2
3
2 3
a b ab a b
a ab a b
Bài 8. Giải hệ phương trình :
3 2
2 2
3 49
8 8 17
x xy
x xy y y x
Lời giải :
Nhận thấy
0
x
không là nghiệm của hệ, nên đặt
y tx
Khi đó hệ trở thành
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
350
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
2
3 2 2
2 2
3
2
2
8 7 8 7
1 8
1 3 49 16 8 17
49 49 49
1 8 8 7
1 3 49 4
3 16 49
t t b
x
t t a b
x t t t
x t t x t
x
t a
t
Trong đó
2
16, 8 17
a t b t
Từ đó suy ra :
3
3
3
3
49
49 3 0
49 3
b
b a b a
a
a b
2
2
49 49 49 3 0 0
a b b a b a b a
Suy ra
2 3
16 1 1 4
t x x y
.
Vậy hệ có hai nghiệm
, 1,4 ; 1, 4
x y
.
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Giải các hệ phương trình sau :
1.1.
3 3
2 2
4 16
1 5 1
x y y x
y x
1.2.
3 3
2 2
2 3 4
5 1 3 4 3 2
x y y x
y x
1.3.
3 3
2 2
1
3
1
x y
x y
x y
DẠNG TOÁN GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ
BÀI TẬP MẪU
Bài 1. Giải hệ phương trình :
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
351
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
2
(2 )( ) (2 1) 7 2 (1)
(4 1) 7 3
(2)
x y x y x x y
x x y
Lời giải:
Thế
2
7 4 3
x x y
ở phương trình (2) vào phương trình (1) ta được
2 2
(2 )( ) (2 1) 4 3 2
x y x y x x x x y y
2 2 2
(2 )( ) 2 (2 )( 1) 0
x y x y x y x y x y
2
1 0
2 0
x y
y x
+ Với
1 0 1
x y y x
, thay vào (2) ta được:
2
2 2 0
x x
1 17 3 17
4 4
x y
.
+ Với
2
2 0
y x
, thay vào (2) ta được
2
2 7 0
x x VN
.
Vậy hệ có 2 nghiệm là :
1 17 3 17
, ,
4 4
x y
.
Bài 2. Giải hệ phương trình :
2
3 2
2 2
7 7 4 (1)
3 8 4 8 (2)
x y x y x y x
x y y x
Lời giải:
Thế
2 2
4 8 3 8
x x y y
ở phương trình (2) vào phương trình (1) ta được
2
2 15 0 5
3
x y
x y x x x
x
+ Với
x y
, thay vào phương trình (2) ta được:
2
4 2 0
x VN
+ Với
5
x
, thay vào (2) ta được:
2
8 119 0
y y VN
+ Với
3
x
, thay vào (2) ta được:
2
1
8 7 0
7
y
y y
y
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
352
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Vậy nghiệm của hệ là:
, 3; 1 , 3; 7
x y
Bài 3. Giải hệ phương trình:
2
4 2 2 2 2 2
( 1) 6 2 (1)
2 ( 1) 12 1 (2)
x y y
x y x y y x y
Lời giải:
Nhận thấy
1
y
, không là nghiệm của hệ, xét
1
y
khi đó rút
2
6 2
1
y
x
y
từ (1) thế vào (2),
ta được:
2
2 2 2
6 2 6 2 6 2
2 1 12 1
1 1 1
y y y
y y y y
y y y
2
2
2 2
1 2
1
4( 1)(9 1)
1
1
(9 1) ( 1)
0
1
3
y x
y
y y y
y
y y y
y x
y
Vậy hệ có 3 nghiệm là
1
, 0; , 2;1
3
x y
.
Bài 4. Giải hệ phương trình :
2
2 2
1 0 (1)
2 2 1 0 (2)
y xy
x y x y
Lời giải:
Thay
2
1
y xy
từ phương trình (1) vào phương trình (2), ta được
2
0
2( ) 0 ( )( 2) 0
2
x y
x xy x y x y x
x
- Với
y x
khi đó hệ trở thành
2 2
2 2
1 0
1 0
x x
x x
hệ này vô nghiệm
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
353
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
- Với
2
x
khi đó hệ trở thành
2
2
2 1 0
1
2 1 0
y y
y
y y
Vậy hệ có nghiệm duy nhất
; 2; 1
x y
.
Bài 5. Giải hệ phương trình:
2 2 2
7 1 (1)
10 1 (2)
xy x y
x y y
Lời giải:
Từ phương trình (1), rút
7 1
1
y
x
y
thay vào phương trình (2) ta được
2
2 2 4 3 2
1 3
7 1
10 1 39 34 8 2 1 0
1
1
1
3
y x
y
y y y y y y
y
y x
Vậy hệ có hai nghiệm là
1
, 3, 1 ; 1;
3
x y
.
Bài 6. Giải hệ phương trình :
2
2 2 16
( , )
( )(4 ) 32
x xy x y
x y
x y xy
Lời giải:
Hệ đã cho tương đương với
( )( 2) 16 (1)
( )(4 ) 32 (2)
x y x
x y xy
+ Nhận thấy
2
x
không là nghiệm của hệ, nên chia 2 vế của (1) cho
2
x
ta được
16
2
x y
x
, thay vào (2) ta được:
0 8
16(4 )
32 4 2( 2) ( 2) 0
2 2 6
2
x y
xy
xy x x y
y x x
x
Vậy hệ có 3 nghiệm là
, 0;8 , 2;2 , 2; 6
x y
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
354
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Bài 7. Giải hệ phương trình:
2
2
2
2
1 6( 1) 4 20
2 1 2
x x y y
x y
x y
Lời giải:
Hệ tương đương với
2 2
2 2
2 1 6 6 4 20 (1)
4 4 1 2 (2)
x x xy y y
x y y
Thay
2 2
4 1 4
x y y
từ phương trình (2) vào phương trình (1), ta được
9
2 1 1 4 6 6 20
3 5
x
x y xy y y
x
, thay vào (2) ta được
2
2
2 18
1 2 1 1
3 5
x
x x y
x
Vậy hệ có nghiệm duy nhất
, 1, 1
x y
.
Bài 8. Giải hệ phương trình
3 2
2 2
2 5 (1)
2 4 (2)
x xy
x xy y x y
Lời giải:
Nhận thấy
0
x
không thỏa mãn hệ phương trình, với
0
x
rút
3
2
5
2
x
y
x
từ phương trình (1)
và thay vào phương trình (2) ta được
3
2 3 2 2
5
2 4 3 8 5 2 2 0
2
x
x xy x y x x x y xy
x
2 2
1 3 5 5 2 1 0 1 3 5 5 2 0
x x x xy x x x x xy
- Với
1
x
khi đó hệ trở thành
2
2
1 2 5
2
2 4
y
y
y y y
- Với
2
3 5 5 2
x x xy
khi đó thay vào phương trình (2) ta được
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
355
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
2 2 2
1
2 3 5 5 4
2
x x x y x y
2 2 2
5 5 2 8 2 3 5 2 1 (*)
x x y x y x x y y
Vế trái
2
2
3 11 11
3 5
2 4 4
x x x
Vế phải
2
1 1
2 1 1
2 2
y y y y
Từ đây suy ra phương trình (*) vô nghiệm
Vậy hệ có hai nghiệm là
; 1; 2 ; 1; 2
x y
Bài 9. Giải hệ phương trình
3 2
2
13 3 1
,
4 1 5 4
y x
x y
y y x xy
Lời giải:
Nhận thấy
5
4
y
không thỏa mãn hệ, nên với
5
4
y
rút
2
4 1
4 5
y y
x
y
từ phương trình thứ
hai thay vào phương trình thứ nhất ta được
2
2
3
3 2
4 1
13 3 1 2 2 13 16 7 0
4 5
y y
y y y y y
y
2
2
y
y
Vậy hệ có hai nghiệm là
; 1; 2 ; 1;2
x y
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Giải các hệ phương trình sau:
1.1.
3 3 3 2
2 2 2 2
16 9 2 4 3
4 2 3
x y y xy y xy
x y xy y
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
356
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
1.2.
2 2 2
16 17 1
4 2 7 1
x y y
xy x y
DẠNG TOÁN DÙNG PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ
Để ý điều kiện nghiệm của hệ, Sử dụng phương pháp hàm số, sử dụng bất đẳng thức:
Biến đổi một phương trình của hệ thành
( ) ( )
f x f y
(*)
Nếu chứng minh được hàm số
( )
f x
đơn điệu tăng hoặc đơn điệu giảm trên miền nghiệm của hệ
thì phương trình (*) tương đương với:
y x
, lúc này ta thế ngược lại hệ.
Bất đẳng thức xem chuyên đề giá trị lớn nhất, nhỏ nhất và phương pháp chứng minh bất
đẳng thức
BÀI TẬP MẪU
Bài 1.
Giải hệ phương trình:
2 2
6 5 7 3 2 0 (1)
ln( 2) ln( 2) (2)
3
x y xy x y
x y
x y
Lời giải:
+ Điều kiện:
2; 2
x y
Coi (1) là phương trình bậc 2 với ẩn là
y
, ta được
2 2
(1) (3 5 ) 6 7 2 0
y x y x x
, ta có
2
5 3 1
3 2
2
1
5 3 ( 1)
2 1
2
y
x x
y x
x
x x
y x
Từ phương trình (2) ta có:
3ln( 2) 3ln( 2) ( ) ( ); ( ) 3ln( 2), 2
x x y y f x f y f t t t t
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
357
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Ta có
1
'( )
2
t
f t
t
Hàm số nghịch biến trên khoảng
2;1
và đồng biến trên khoảng
1;

.
(i). Nhận thấy với
1
x y
là nghiệm của hệ.
(ii). Với
2 2 0
1 , 1 ( ) ( )
1 0
y x x
x y x x f y f x VN
y x x
.
(iii). Với
2( 1) 0
1 1, 1 ( ) ( )
1 0
y x x
x y x x f y f x VN
y x x
Vậy hệ có nghiệm duy nhất
1,1
.
Bài 2.
Giải hệ phương trình:
2 2
2 2
1 21 1 (1)
1 21 1 (2)
x y y
y x x
Lời giải:
+ Điều kiện:
, 0
x y
Nhận thấy
0 0
x y
, không là nghiệm của hệ nên
0; 0
x y
.
Trừ theo vế 2 phương trình với nhau ta được
2 2 2 2
1 21 1 1 21 1
x x x y y y
2 2
( ) ( ); ( ) 1 21 1 , 0
f x f y f t t t t t
Ta có
2
1 1
'( ) 2( 1) 0, 0
2
1 21
t
f t t t
t
t
. Vậy hàm số
( )
f t
đồng biến.
Suy ra
( ) ( )
f x f y x y
, khi đó thay vào (1) ta được phương trình
2 2
1 1 21 0(*)
x x x
,
xét hàm số
2 2
( ) 1 1 21
g x x x x
. Ta có
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
358
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
2
1 1 1
'( ) 2 2 2 0
1
2
1 21
x x
g x x
x
x
x
. Vậy hàm số
( )
g x
đồng biến.
Mặt khác ta có,
(1) 0
g
. Vậy
1
x
là nghiệm duy nhất của phương trình (*). Suy ra nghiệm
1
x y
.
Vậy hệ có nghiệm duy nhất
1;1
.
Bài 3.
Giải hệ phương trình :
2 2
2 2
7
2 1 2 1 (1)
2
7 6 14 0 (2)
x y xy
x y xy x y
Lời giải:
Coi (2) là phương trình bậc 2 với ẩn là
x
thì điều kiện phương trình này có nghiệm là
2
2
7
7 4 24 56 0 1,
3
x
y y y y
.
Cũng coi (2) là phương trình bậc 2 với ẩn là
y
thì điều kiện để phương trình này có nghiệm là
2
2
10
6 4 28 56 0 2;
3
y
x x x x
+ Nhận thấy
0 0
x y
, không là nghiệm của hệ . Ta chia 2 vế của (1) cho
xy
1 1 7 7
2 2 ( ) ( )
2 2
x y f x f y
x y
Ta có
2
1 7
'( ) 2 0 ( ) ( ) (2) (1)
2
f t f f x f y f f
t
Vậy
2; 1
x y
. Thay vào (2) thấy thỏa mãn.
Vậy hệ có nghiệm duy nhất
2;1
.
Bài 4. Giải hệ phương trình :
3 2
3 2
4 3 7
6 7
x xy y
y x y
Lời giải :
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
359
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Từ phương trình thứ hai của hệ , ta có
3 2 2 2
6 7 6 7 0
y x y y y x y
.
Khi đó từ phương trình thứ nhất ta suy ra
0
x
. Vậy
, 0
x y
.
Trừ theo vế hai phương trình của hệ ta được :
2 2
4 2 7 1 (*)
x y x xy y y
Xét phương trình (*).
(i). Với
0 1
y
thì
0 0 0 1
VP VT x y x y
, từ đó ta suy ra
3 2
6 7
y x y
, hệ
vô nghiệm.
(ii). Với
1 7 1 0 0 0 1
y y VP VT x y
, từ đó suy ra
3 2
6 7
y x y
, hệ vô
nghiệm.
Vậy với
1
y
, ta có nghiệm
1
x
.
Vậy hệ có nghiệm duy nhất
, 1,1
x y .
Bài 5. Giải hệ phương trình :
3 2 3 2
2
3 2 3 2
2 1
log log 2012
1 2
y x
x x y y
x y
x
y x
Lời giải :
Điều kiện
0 1
0 2
1
2
y
x
y
x
Đặt
1
y u
, khi đó phương trình thứ nhất trở thành
3 2 3 2
3 3
x x u u
Xét hàm số
3
( ) 3
f t t t
trên miền xác định, ta có
2
'( ) 3 3
f t t
nên đơn điệu trên miền xác
định. Do đó
( ) ( ) 1
f x f u x u x y
Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta suy ra nghiệm
2012
x
.
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
360
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Bài 6. Giải hệ phương trình :
2 2 2
2 2 2 2
4 9.3 4 9 .7
4 4 4 4 2 2 4
x y x y y x
x
x y x
Lời giải :
Điều kiện
2 0
y x
.
Đặt
2
2
t x y
khi đó phương trình thứ nhất của hệ trở thành
2 2
2 2
2 2
4 3 4 3
4 3 4 9 .7 ( 2) (2 )
7 7
t t
t t t
t t
f t f t
Xét hàm số
4 3 1 3
( ) 4
7 7 7
x x
x
x
f x
là hàm nghịch biến.
Do đó
( 2) (2 ) 2 2 2
f t f t t t t
Từ đó suy ra
2 2
2 2 2 2
x y y x
thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được
2
2 1 2
4 4 4 4 2 2 4 4 1 1 1 4 1
x x s
x x x x x s s
Trong đó
1
s x
Do
2 2 2
1 1 1 4 1
s
s s s s s s
Từ đó ta suy ra :
4 4 2 0(*)
s s
s
Ta xét hàm số
( ) 4 4 2
x x
f x x
ta có
'( ) ln 4 4 4 2 2ln 4 2 0
x x
f x
. Do đó hàm số
đơn điệu tăng. Mặt khác nhận thấy
(0) 0
f
nên phương trình (*) có nghiệm duy nhất
0
s
. Từ
đây suy ra
1
1
2
x y
.
Vậy hệ có nghiệm duy nhất
1
, 1,
2
x y
.
Bài 7. Giải hệ phương trình :
2 2
2
1 1 1
6 2 1 4 6 1
x x y y
x x x xy x
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
361
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Lời giải :
Do
2 2
1 1 1
y y y y
nên từ phương trình thứ nhất của hệ ta suy ra
2 2
1 1 ( ) ( )
x x y y f x f y
Xét hàm số
2
( ) 1
f x x x
ta có
2
2 2 2
1
'( ) 1 0
1 1 1
x x
x x x
f x
x x x
Do đó hàm số
( )
f x
đồng biến trên
. Nên
( ) ( )
f x f y x y
Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta có phương trình
2
2 2 2 2
25
6 2 1 4 6 1 6 2 1
2 4
x
x x x x x x x x
2
2
1 1
6 2 1 3
3 11 3 11
6 2 1 2
2 2
x y
x x x
x y
x x x
Vậy hệ có hai nghiệm là
3 11 3 11
, 1, 1 ; ;
2 2
x y
.
Bài 8. Giải hệ phương trình:
2
2 2
(4 1) ( 3) 5 2 0 (1)
4 2 3 4 7 (2)
x x y y
x y x
Lời giải:
+ Điều kiện
3
4
(*)
5
2
x
y
, khi đó phương trình (1) tương đương với
2
(5 2 ) 1
(4 1) ( ) 5 2 0
2
y
x x y
2 2
(4 1)(2 ) (( 5 2 ) 1) 5 2
x x y y
2 2
(2 ) ( 5 2 ); ( ) ( 1), '( ) 3 1 0
f x f y f t t t f t t
2
5 4
(2 ) ( 5 2 ) 2 5 2 0 ; 0
2
x
f f x f y x y y x

HỆ PHƯƠNG TRÌNH
362
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Thay vào (2) ta được phương trình:
2
2 2
5 4
4 ( ) 2 3 4 7(*)
2
x
x x
Xét hàm số
2
2 2
5 4
( ) 4 ( ) 2 3 4 7
2
x
f x x x
trên đoạn
3
0;
4
Ta có
2
4 3
'( ) 4 (3 4 ) 0, 0
4
3 4
f x x x x
x
( ) 0
f f x
nếu có nghiệm thì đó là
nghiệm duy nhất. Nhận thấy
1
( ) 0
2
f
1
2
2
x
y
Bài 9. Giải hệ phương trình :
2
2 2 2
3 3
2 2
3
log 2 1 log 4 4 2 1 3 4 2 1
log 2 4 4 1 1 2
x x y x x x y x y x xy
x x x
Lời giải :
Phương trình thứ nhất của hệ được viết lại thành
2 2 2 2
3 3
2 1 1 2 1 log 2 1 1 log
x x x x y x y x y
Xét hàm số
2 2
3
( ) 1 log
f t t t t
với
0
t
, ta có
2
1
'( ) 2 0
ln3
1
t
f t t
t
t
nên hàm số
( )
f t
nghịch biến. Do đó phương trình đầu tiên
(2 1) ( ) 2 1 (*)
f x f x y x x y
Xét hàm số
2 2
3
( ) log 2 4 4 1, 0
f x x x x x
Ta có
2
1 1
'( ) 4 2 0
ln3
4 1
f x x
x
x
, nên hàm số đơn điệu tăng.
Mặt khác ta có
1
1 2
2
f
. Suy ra
1 2
x kết hợp với phương trình (*) ta có nghiệm
3
2
y
.
Bài 10. Giải hệ phương trình :
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
363
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
3
3
3 1 2 1
3 1 2 1
x x x y
y y y x
Lời giải :
Điều kiện :
1
,
2
x y
.
Trừ theo vế hai phương trình của hệ ta được
3 3
4 2 1 4 2 1 ( ) ( )
x x x y y y f x f y
Xét hàm số
3
( ) 4 2 1
f x x x x
trên đoạn
1
;
2

. Ta có
2
1
'( ) 3 4 0
2 1
f x x
x
, nên
( )
f x
đơn điệu tăng trên đoạn
1
;
2

.
Vậy phương trình
( ) ( )
f x f y x y
, thay vào phương trình thứ nhất của hệ ta được phương
trình :
3
2 1 2 1 0
x x x
Ta xét hàm số
3
( ) 2 1 2 1
f x x x x
trên đoạn
1
;
2

.
Ta có
2
1
'( ) 3 2 0
2 1
f x x
x
, nên hàm số
( )
f x
đơn điệu tăng trên đoạn
1
;
2

.
Mặt khác nhận thấy
(0) 0
f
. Vậy phương trình
( ) 0
f x
có nghiệm duy nhất
0
x
, từ đó suy
ra hệ có nghiệm duy nhất
, 0,0
x y .
Bài 11. Giải hệ phương trình :
2 2
16 2 8 2
2 2 2
4 3 1 4 3 4 8 17
1 4 3 8 ln 3 3 0
x y y
x x y y y
y x x x x x
Lời giải :
Điều kiện :
0, 4
x y
.
Khi đó biến đổi phương trình thứ nhất thành :
2
2
2
4
16 2
4 3 1 4 3 4 4 1
y
x
x x y y
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
364
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Xét hàm số
2
16 2
( ) 4 3 1
t
f t t t
trên đoạn
0;

.
Ta có
2
16
2
3
'( ) 2 4 ln 4 0, 0;
2
1
t
t
f x t t
t
t

. Nên hàm số
( )
f t
đơn điệu tăng trên
đoạn
0;

. Vậy phương trình
( ) ( 4) 4 4
f x f y x y y x
lúc này thay vào
phương trình thứ hai của hệ ta được phương trình
3 2
2 12 ln 3 3 0(*)
x x x x
Ta xét hàm số
3 2
( ) 2 12 ln 3 3
f x x x x x
. Ta có
2
2 2
2 2
2 3 2 4 3
'( ) 3 2 3 0
3 3 3 3
x x x
f x x x
x x x x
, nên hàm số
( )
f x
đơn điệu tăng trên đoạn
0;

.
Mặt khác nhận thấy
(2) 0
f
, từ đó suy ra phương trình (*) có nghiệm duy nhất
2 6
x y
.
Vậy hệ có nghiệm duy nhất
, 2,6
x y .
Bài 12. Giải hệ phương trình :
2
3 2
2
2
3
2
2 9
2
2 9
xy
x x y
x x
xy
y y x
y y
Lời giải :
Cộng theo vế hai phương trình của hệ ta được
2 2
3 2 2
3
2 2
2 9 2 9
xy xy
x y
x x y y
Phương trình này có nghiệm nếu
0
xy
. Nhận thấy
0
x y
là một nghiệm của hệ.
Xét
0
xy
Phương trình này có
2 2
3 3
2 2
2 ; 2
1 8 1 8
xy xy
VP xy VT xy xy xy
x y
Dấu bằng xảy ra khi cà chỉ khi
1
x y
.
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
365
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là
, 0,0 ; 1,1
x y .
Bài 13. Giải hệ phương trình :
3 2 2
2 3
3
2 2
2 2 1 14 2
x y x y xy
x y y x
Lời giải :
Điều kiện :
2
2 1 0
x y
.
Phương trình thứ nhất của hệ biến đổi thành :
2
2 0
x y x y
, so sánh với điều trên suy ra
x y
, lúc này ta thay vào phương trình thứ
hai của hệ ta được
32 3
2 2 1 14 2
x x x x
, phương trình này có nghiệm nếu
3 3 2
14 2 2 1 0
x x x x
. Kết hợp với điều kiện suy ra
2
2 1 0 1 2
x x x , thử
lại ta thấy nghiệm thỏa mãn.
Vậy hệ có hai nghiệm là
, 1 2,1 2 ; 1 2,1 2
x y
.
Bài 14. Giải hệ phương trình :
2
2
2 2
121
2 27
9
3 4 4 0
x
x x
x y xy x y
Lời giải :
Coi phương trình thứ hai là phương trình bậc hai ẩn
y
, khi đó phương trình này tương đương
với :
2 2
4 3 4 0
y x y x x
, phương trình này có nghiệm nếu
2
2
4
4 4 3 4 0 0
3
y
x x x x
.
Khi đó
2
2
2
32
4 8 121
2 27 27
3 3 9
x
x x
. Vậy dấu bằng xảy ra, suy ra
4 4
3 3
x y
.
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
366
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Vậy hệ có nghiệm duy nhất
4 4
, ,
3 3
x y
.
Bài 15. Giải hệ phương trình :
2 2
2
1
5 5 3
1
2 3 2
x y
x
x y
x
Lời giải :
Nhân thêm 2 vào hai vế của phương trình thứ nhất sau đó cộng theo vế với phương trình thứ hai,
ta được :
2 2
2
1 1
2 5 2 5 2 4 12
x x y y
x x
Sử dụng bất đẳng thức cauchy-shar ta có
2 2 2 2 2
2 2
2 2 2
2 5 1 2 5 5
10
1 1 1 1
2 5 1 2 5 5
x x x x
VT
x x x x
Mặt khác lại có
2
2
2 4 12 2 1 10 10
VP y y y
Vậy
1
0
1
y
VT VP
x
Bài 16. Giải hệ phương trình :
1
2
2
2
1
2 9 6
4 18 20 1
2 9 8
x
y
x y
x x
x x y
x x
Lời giải :
Điều kiện :
2
2
4 18 20 0
5
2
2 9 8 0
2
1
1 0
x x
x
x x
y
y
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
367
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Đặt
2
2
9 1 1 1
4 18 20 4 0;
4 4 2 2
t x x x t
Khi đó phương trình thứ hai của hệ trở thành :
2
4
1 1
4
t y
t
,
Xét hàm số
2
4
( ) 1
4
f t t
t
, ta có
2
4 2
2 2
2 2
7 4
8
'( ) 1 0
4 4
t t t
t
f t
t t
Do đó
( )
f t
là hàm đồng biến trên
1
0; ( ) (0) 2
2
f t f
. Từ đó suy ra ta phải có
1 2 3
y y
.
Từ phương trình thứ nhất của hê : Ta lấy logarit tự nhiên hai vế ta được
ln 1
ln
1 ln ln 1 (*)
1
y
x
y x x y
x y
Xét hàm số
ln
( )
u
g u
u
, ta có
2
1 ln
'( ) 0
u
g u u e
u
Suy ra hàm số tăng trong khoảng
0;
e
, giảm trong khoảng
;e

Vậy ta có :
5 ln2
2; ( ) (2)
2 2
x g x g
và
ln 4 ln2
3; ( ) (3)
4 2
y g y g 
Từ đó suy ra phương trình (*) tương đương với :
2; 3
x y
Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta thấy thỏa mãn.
Vậy hệ có nghiệm duy nhất
; 2;3
x y .
Bài 17. Giải hệ phương trình :
2
2
2
log 2
4 1 4 0
y
x
x xy y
Lời giải :
Điều kiện
0
x
, từ phương trình thứ hai của hệ ta suy ra
0
y
Từ phương trình thứ hai ta suy ra
2 2 2 2 4 2 2
16 1 4 4 16 1 0
x x y y x y x y x
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
368
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Coi đây là phương trình bậc hai với ẩn là
2
y
, ta được
2
2
4 2 2
' 4 16 1 4 2
y
x x x x x
, từ
đó suy ra
2
2
2
2
2
2
2 2
2 2 2
4
2 2 2
4 4
0
x x x
y
x x
x x x
x x
y
x x
Chỉ nhận nghiệm
2
2
4 4
y x
x y
, thay vào phương trình thứ nhất của hệ ta được
2 2 2
2 2
2
4
log 2 2 log 2 0 (*)
y y
y
y
Xét hàm số
2 2
2
( ) 2 log 2
y
f y y
với
0
y
Ta có
2
2 1
2 2
'( ) 2 ln 2 1 ln 2 .2 0, ;0
ln 2 ln 2
y y
f y y y
y y
Vậy
( )
f y
là hàm đơn điệu tăng trên khoảng
;0
 . Mặt khác lại có
( 1) 0 1
f y
là
nghiệm duy nhất của phương trình (*). Từ đây suy ra
4
x
.
Vậy hệ có nghiệm duy nhất
; 4; 1
x y
Bài 18. Giải hệ phương trình :
3 3
2
log 8 2 1
1 1 1 0
x
x x y y
y
x y
Lời giải :
Điều kiện :
1, 1
x y
.
Khi đó phương trình thứ nhất của hệ được biến đổi thành :
3
3
2 2
log 2 2 log 2
x x x y y y
Ta xét hàm số
3
2
( ) log , 0
f t t t t t
. Ta có
2
1
'( ) 3 1 0, 0
ln 2
f t t t
t
. Suy ra hàm số
đơn điệu tăng. Từ đó suy ra
( ) (2 ) 2
f x f y x y
, thay vào phương trình thứ hai ta được :
2 1 1 1 0 2 1 2 1 2 1 1 1 2
y y y y y y y y x
.
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
369
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Bài 19. Giải hệ phương trình
2 2
2 2
1
2
1 1
3 1
x y
y x
xy x y
Lời giải :
Ta có
1 1 1 3 4
x y xy x y xy xy xy
Khi đó sử dụng bất đẳng thức
2 2
2
a b ab
, ta được
2 2 2 2
2 2 2 2
1
2 .
2
1 1 1 1
x y x y
y x y x
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
2 2
2 2
1 2
1
1 2
4
1 1
y x
x y
x y
y x
Thế ngược lại phương trình thứ hai của hệ
Bài 20. Giải hệ phương trình
3 3
4 3 3 2 2
7
9 9
x y x
x x y y y x x y x
Lời giải :
Hệ tương đương với
3 3
3 3
3 3 2 2 2 2
7
7
9 0 9 0
x y x
x y x
x x y x y x y x y x y x x xy y x y
3 3
2 2 2
7
9 0
x y x
x x xy y x y
do
x y
3 3
2
7
9
x y x
x x y
Từ đây suy ra
0
x
và
0
y x
và
3
y x
x
, thay vào phương trình thứ nhất ta được
3
3
3
7
x x x
x
, đặt
2
x t
ta được
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
370
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
3
3
2 2 6 3 7
3
7 3 7 0
t t t t t t
t
Dễ thấy vế trái là hàm đồng biến trên
0;

, lại có
(1) 0
f
Vậy
1 2
x y
Vậy hệ có nghiệm duy nhất
; 1;2
x y
Bài 27. Giải hệ phương trình
2 2 2
3
2 1 2 1
16 5 6 4
x y y x
x y x y x
Lời giải:
Điều kiện
1
,
2
x y
khi đó hệ tương đương với
2 2 2
3 2 2 2
3
2
2
1
2 1 2 1
2 1 2 1
16 5 6 4
16 5 6 4
x y
y x
x y
x y
x y
x y x y x
x y x y x
34 3
16 5 6 4
x y
x x x
Từ đây suy ra
, 0
x y
Ta có
3 3 2 2 2
3
1 3 3
4 4 4 1 .2 4 4 1 2 4 4 3
2 2 2
x x x x x x x x
Từ đó suy ra
2
5 2 2
3 1
16 5 4 4 3 2 2 2 1 2 1 0
2 2
x x x x x x x
Thử lại thấy
1
2
x
thỏa mãn phương trình trên
Vậy hệ có nghiệm duy nhất
1 1
; ;
2 2
x y
Bài 28. Giải hệ phương trình
3 3
3 3 3
8 2 6 6 13
5 2 6 2 1 0
y x y xy x
x x x y x y
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
371
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Lời giải:
Điều kiện:
3
2 1 0
x y
Đặt
3
2 1
t x y
thì phương trình thứ hai của hệ được viết lại thành
5
5 2 5
5 5 0 5 5
x x t t x x t t
Xét hàm số
5
( ) 5
f u u u
có
4
'( ) 5 5 0
f u u
nên hàm số
( )
f u
đơn điệu tăng trên
, từ đó
suy ra
3
3 2
0
( ) ( ) 2 1
1
1
2
x
f x f t x t x x y
y x x
Thay vào phương trình thứ nhất của hệ ta được phương trình
Bài 29. Giải hệ phương trình
2 2
2 2
2 5 3 4
3 3 1 0
x x x y y
x y x y
Lời giải :
Bình luận : Phương trình thứ nhất được viết lại thành
2
2
1 4 3 4
x x y y
2 vế có dạng gần tương tự nhau ; tuy nhiên sai khác nhau đại
lượng
x
và
3
y
; bây giờ thế
3
y
từ phương trình thứ hai của hệ vào chúng ta sẽ được gì ?
2 2 2
2 2 2 2 2
1 4 3 1 4 1 1 4 4
x x y x x y x x y y
Rõ ràng đưa về phương trình dạng
( 1) ( )
f x f y
trong đó
2 2
( ) 4
f t t t
Hàm này có
2
'( ) 2
4
t
f t t
t
; liệu chúng ta có thể đánh giá được bằng tính đơn điệu của hàm
số hay không ?
Trình bày :
Rút
2 2
3 3 1
y y x x
từ phương trình thứ hai của hệ thay vào phương trình thứ nhất của hệ ta
được
2
2 2 2
1 4 3 1 4
x x y x x y
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
372
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
2 2
2 2
1 1 4 4
x x y y
2 2
2 2
1 1 4 4 0
x y x y
2
2
2
2
2
2
1
1 0
1 4 4
x y
x y
x y
2
2
2
2
1
1 1 0
1 4 4
x y
x y
2
2
1
1 0
1
y x
x y
y x
- Nếu
1
y x
khi đó ta có hệ
2
2 2
2
3
1
1
2
1
3 3 1 0
1 3 3 1 1 0
2
x
y x
y x
x y x y
x x x x
y
- Nếu
1
t x
khi đó ta có hệ
2
2 2
2
3
1
1
4
1
3 3 1 0
1 3 3 1 1 0
4
x
y x
y x
x y x y
x x x x
y
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm
3 1 3 1
; ; ; ;
2 2 4 4
x y
Bài 30. Giải hệ phương trình
2 2 4 2
2 4 3 3
2 2 2 5 1 4
x
y y x x x
y x x
Lời giải:
Điều kiện :
2 2 5 0
y x
Nhận thấy
0
x
không là nghiệm của hệ ; nên chia hai vế phương trình thứ nhất của hệ cho
3
x
,
ta được phương trình
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
373
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
3
3
2 2
3. 3
y y
x x
x x
Ta xét hàm số
3
( ) 3
f t t t
có
2
'( ) 3 3 0,f t t t
nên suy ra
( )
f t
đơn điệu tăng trên
.
Vậy nên
2
2 2
( )
2
y y x
f f x x y
x x
; ta thay vào phương trình thứ hai của hệ ; ta được
phương trình
2
1
2 1 4 1 2 (*)
x
x x
Xét hàm số
2
( ) 2 4 2
u
f u u u
trên
, ta có
2
2
1
'( ) 2 4 ln 2 0
4
u
f u u u
u
; do
2
2
4
1
ln2 1
4
u u u
u
Vậy
( )
f u
đơn điệu tăng ; nên nếu phương trình
( ) 0
f u
có nghiệm thì đó là nghiệm duy nhất.
Phương trình (*) tương đương với
( 1) 0 (0) 1
f x f x
; suy ra
1
2
y
Vậy hệ có nghiệm duy nhất
1
; 1;
2
x y
Bài 31. Giải hệ phương trình
1 1 6 2 20
3 2 3 2 2 2 18
x y x y x y
x y x y x y
Lời giải :
Điều kiện
1 0
3 2 1 0
x y
x y
Khi đó hệ phương trình tương đương với
1 1 2 3 2 16
3 2 3 2 2 1 16
x y x y x y
x y x y x y
(1)
Trừ theo vế hai phương trình trên ta được
1 1 2 1 3 2 3 2 2 3 2 0
x y x y x y x y x y x y
1 1 2 3 2 2 3 2 0
x y x y x y x y
(*)
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
374
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Từ (*) ta có nhận xét sau
Nếu
1 4
x y
thì từ (*) suy ra
3 2 2 4
x y
Nếu
1 4
x y
thì từ (*) suy ra
3 2 2 4
x y
Như vậy hệ có nghiệm khi
1 4
3 2 4
1 4
3 2 4
x y
x y
x y
x y
từ đây kết hợp với hệ (1) ta suy ra hệ tương đương
với
1
1 4
2
3 2 4 9
2
x
x y
x y
y
Kết luận :
Vậy hệ có nghiệm duy nhất
1 9
; ;
2 2
x y
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Giải các hệ phương trình sau :
Bài 1. Giải hệ phương trình :
2
1 3
4 5 5
x x y
x y
Bài 2. Giải hệ phương trình :
2 3
2 2 2
2 4 3 0
2 0
x y x
x y x y
Bài 3. Giải hệ phương trình :
3 2 2
3
2
64
2 6
y x x y
x y
Bài 4. Giải hệ phương trình :
2
3 1
8 9
y x y
x y x y
Bài 5. Giải hệ phương trình :
2 2
1
2 2
x y x
x y x y
x y
Bài 6. Giải hệ phương trình :
2 2
12 20 0
ln 1 ln 1
x xy y
x y x y
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
375
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Bài 7. Giải hệ phương trình :
11 1
7 1 6 26 3
x y y x
y y x
Bài 8. Giải hệ phương trình :
2 3 4 6
2
2 2
2 1 1
x y y x x
x y x
Bài 9. Giải hệ phương trình :
3 2 3
3
3 3 2
1 2
log log 3
2 1
x y
x x y y
y x
x
x y
Bài 10. Giải hệ phương trình :
3
4
1 8
1
x y x
x y
Bài 11. Giải hệ phương trình :
log log
2 2 3
y x
x y
xy y
Bài 12. Giải hệ phương trình:
1
2
2
2
1
2 9 6
4 18 20 1
2 9 8
x
y
x y
x x
x x x
x x
Bài 13. Giải hệ phương trình:
2 2
2
4 2 4
4 3 3 4 3 2 2 1
x y y x y
x x x x x
Bài 14. Giải hệ phương trình :
2 3 2 3
2
6 6 5 2 6 4
2 2
1
x x x x x x
x
x y
Bài 15. Giải hệ phương trình :
10 10
2
16 16 2 2
2 2
2 4 1 10
1 1 10
x y
x y x y
y x
x y y
Bài 16. Giải hệ phương trình
2
2 3 2 2
6 12
3 3 0
xy y
x y x x y xy x y
Bài 17. Giải hệ phương trình
3 3
3 3 3
8 2 6 6 13
5 2 6 2 1 0
y x y xy x
x x x y x y
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
376
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Bài 18. Giải hệ phương trình
3
4
2 1 27
2 1
x y x
x y
DẠNG HỆ CÓ MỘT PHƯƠNG TRÌNH LÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI TÌM ĐƯỢC
NGHIỆM
Một phương trình trong hệ có thể đưa về dạng :
1 1 1
0
ax by c a x b y c
Mục đích là biểu diễn ẩn này theo ẩn kia ở dạng bậc nhất ; khi đó chỉ việc thay vào phương trình
còn lại trong hệ và giải phương trình với một ẩn số.
BÀI TẬP MẪU
Bài 1. Giải hệ phương trình:
2
2 2
(5 4)(4 ) (1)
5 4 16 8 16 0 (2)
y x x
y x xy x y
Lời giải:
Biến đổi phương trình (2) thành phương trình bậc 2 với ẩn là
y
, ta được
2 2
(4 8) 5 16 16 0
y x y x x
, phương trình có
2
5 4
9
4
y
y x
x
y x
(i). Với
5 4
y x
, thay vào (1) ta được
0 4
(5 4) 0
4
0
5
x y
x x
x y
(ii). Với
4
y x
, thay vào (1) ta được:
0 4
(4 ) 0
4 0
x y
x x
x y
Vậy hệ có 3 nghiệm là
4
0;4 , 4;0 , ;0
5
.
Bài 2. Giải hệ phương trình:
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
377
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
2 2
2 (1)
2 1 2( ) (2)
xy x y x y
x y
x y y x x y
Lời giải:
+ Điều kiện
1
(*)
0
x
y
, khi đó (1) tương đương với
2 2
(1) ( 1) ( 2 ) 0
x y x y y
, coi đây là phương trình bậc 2 với ẩn là
x
ta được
2 2 2 2
( 1) 4( 2 ) 9 6 1 (3 1)
x
y y y y y y
1 (3 1)
2 1
2
(1)
1 (3 1)
2
y y
x y
y y
x y
0
x y x
loại.
2 1,
x y
thay vào phương trình 2 ta được:
(2 1) 2 2 2( 1)
y y y y y
(*)
( 1)(2 2 ) 0 2 2 0 2 5
y y y y x
Bài 3. Giải hệ phương trình:
2
2 1 2 1 (1)
2
2 3 2 4 (2)
x y
x y
x y x y x y
Lời giải:
Điều kiện:
1
2
1
2
x
y
Khi đó coi (2) là phương trình bậc hai với ẩn là
x
, ta được
1
4 2
x y
x y
nhưng do
1 1
,
2 2
x y
nên
2 4 0
x y
vậy
1 1
x y x y
Ta biến đổi phương trình thứ nhất:
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
378
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
2 2
4
2 1 2 1 2 1 2 1
2 2
x y x y xy
x y x y
2
2
4
2 2 2 4 2 1
2
x y xy
x y xy x y
2
1 3 5
2 4 3 2 4 2 2
2 2 2
xy xy xy xy
4 3 0
8 4 3 4 3 2 5 (*)
2 5 4 3 8
xy
xy xy xy
xy xy
Do
2
1 4 2 5 0
x y xy xy
, vậy hệ (*)
3
4 3 0
4
xy xy
Vậy hệ đã cho tương đương với:
1 3
1
2 2
3
3 1
4
2 2
x y
x x
xy
y y
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là
1 3 3 1
, , ; ,
2 2 2 2
x y
Bài 4. Giải hệ phương trình
2
4 3 2 11 17
3 3 5 3 2
x y y y
y y x x
Lời giải:
Điều kiện
3
4
0
x
y
Khi đó phương trình thứ hai của hệ coi là phương trình bậc hai với ẩn là
y
ta được
2
3 3 15 10 0
y x y x
có
2 2
3 3 4 15 10 3 7
x x x
Suy ra
5 0
3 2
y
y x
chỉ nhận nghiệm
3 2
y x x
, thay vào phương trình ban đầu của hệ ta được
2
4 3 3 2 5 18 24 19 5 0
x x x x x
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
379
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
2
5
5 5 18 24 19 0
4 3 3 2
x
x x x
x x
2
1
5 5 18 24 19 0 5 17
4 3 3 2
x x x x y
x x
Vậy hệ có nghiệm duy nhất
, 5,17
x y
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Giải các hệ phương trình sau:
1.1.
2 2
2 2
3
2 4 1
2
1
x y y xy x
x y
1.2.
2
4 3 2 11 17
3 3 5 3 2
x y y y
y y x x
1.3.
2 2 3
3 2
2 8 4 0
16 2 8 5 0
x xy xy y
x x y
1.4.
2
3 2 2 2
2 2
3 2
3
x x x y x x y y x y
x y
BÀI TẬP TỔNG HỢP
Giải các hệ phương trình, hệ bất phương trình sau:
Bài 1. Giải hệ phương trình:
2
2
2 3 log 3
4
2
2 3
4 1 ( 3) 8
x x
y
y y y
Bài 2. Giải hệ phương trình:
2 2
2 2
9
5
5 3
6(5 )
x x y
x
x x y
x x
y y
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
380
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Bài 3. Giải hệ phương trình:
3 2 3 2
2
3 5.6 4.2 0
( 2 )( 2 )
x y x x y
x y y y x y x
Bài 4. Giải hệ phương trình:
20
16
5
y
x y x y
x
x
x y x y
y
Bài 5. Giải hệ phương trình:
3 3 3
2 2
27 7 8
( , )
9 6
x y y
x y
x y y x
Bài 6. Giải hệ phương trình:
2 4 2 4 2
2
2 2 1 2(3 2 )
3
x y xy y x y
x y x
Bài 7. Giải hệ phương trình:
2 2 2
3
3
1
1 1
3
x y xy x
y y
x x
Bài 8. Giải hệ phương trình:
3 3
2 2
7 7
( , )
2
x x y y
x y
x y x y
Bài 9. Giải hệ phương trình:
3 2 2
2 3
3
2 2
2 2 1 14 2
x y x y xy
x y y x
Bài 10. Giải hệ phương trình:
2 2
2
8
16
xy
x y
x y
x y x y
Bài 11. Giải hệ phương trình:
4 3 2 2
3 2
1
( , )
1
x x y x y
x y
x y x xy
Bài 12. Giải hệ phương trình:
2 2
2 2 2
3( )
7( )
x xy y x y
x xy y x y
Bài 13. Giải hệ phương trình:
2 2
2 2
( )( ) 13
( )( ) 25
x y x y
x y x y
Bài 14. Giải hệ phương trình:
2 2
4
( 1) ( 1) 2
x y x y
x x y y y
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
381
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Bài 15. Giải hệ phương trình:
3
4
1 8
( 4)
x y x
x y
Bài 16. Giải hệ phương trình:
2 1 2 2 1
3 2
(1 4 )5 1 2
4 1 ln( 2 ) 0
x y x y x y
y x y x
Bài 17. Giải hệ phương trình:
7 2 5
2 2
x y x y
x y x y
Bài 18. Giải hệ phương trình:
1
3 (1 ) 2
1
2 (1 ) 4 2
x
x y
y
x y
Bài 19. Giải hệ phương trình:
8
5
x x x y y y
x y
Bài 20. Giải hệ phương trình:
10
6 6 14
x y
x y
Bài 21. Giải hệ phương trình:
2 2
2 2 2
6
1 5
y xy x
x y x
Bài 22. Giải hệ phương trình:
3 3
2 2
2 9 ( )(2 3)
( , )
3
x y x y xy
x y
x xy y
Bài 23. Giải hệ phương trình:
2 2
2 2
3
2 1
1
4 22
y
x y x
y
x y
x
Bài 24. Giải hệ phương trình:
3
(3 ) 2 2 2 1 0
2 2 (2 1) 1
x x y y
x y
Bài 25. Giải hệ phương trình:
2 2
2 2
3
1 1 4
x y xy
x y
Bài 26. Giải hệ phương trình:
2( 1)
1
x y x y
x y
e e x
e x y
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
382
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Bài 27. Giải hệ phương trình:
1 2
2
(1 4 )5 1 3
1
3 1 2
x y x y x y
x y y y
x
Bài 28. Giải hệ phương trình:
2 0
1 2 1 1
x y xy
x y
Bài 29. Giải hệ phương trình:
2
2 2
1
2 2
2 2
x x
y
y y x y
Bài 30. Giải hệ phương trình:
2 2
2 2
1 4
( ) 2 7 2
x y xy y
y x y x y
Bài 31. Giải hệ phương trình:
2 2 2 2
2 3
5 3 4 5 3
x y x y xy
x y
x xy x xy x
Bài 32. Giải hệ phương trình:
3 2
3 2
2( 2 1) ( 1)
4 1 ln( 2 ) 0
x x y y x
y x y x
Bài 33. Giải hệ phương trình:
3 3 3
2 2
27 125 9
45 75 6
x y y
x y x y
Bài 34. Giải hệ phương trình:
2 2 2 2
2
1 3
x y x y
x y x y
Bài 35. Giải hệ phương trình:
2 2
2 2
4 2 3 0
20 0
xy y x
y x y
Bài 36. Giải hệ phương trình:
2 0
1 4 1 2
x y xy
x y
Bài 37. Giải hệ phương trình:
2 2
4 2 2 2 4 2 2 2
18
( , )
208
x y y xy x xy
x y
x y y x y x x y
Bài 38. Giải hệ phương trình:
7 3
2 3
2log (2 3 ) log (2 2 3 )
ln(4 1) 3(3 7)
x y x y
x x x y
Bài 39. Giải hệ phương trình:
3 2
2 2
3 49
8 8 17
x xy
x xy y y x
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
383
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Bài 40. Giải hệ phương trình:
2 2 2
2 3
2 0
2 4 ( 3)
x y x y
x x y
Bài 41. Giải hệ phương trình:
3 3 2
2
3 4 2
1 2 1
y y x x x
x y y
Bài 42. Giải hệ phương trình:
3
2
2 2 1 3 1
2 1 2 1
y x x x y
y x xy x
Bài 43. Giải hệ phương trình:
2 2
3 3 3
6
1 19
y xy x
x y x
Bài 44. Giải hệ phương trình:
3
2 2 3 2
6 4 1
x y x y
x y
Bài 45. Giải hệ phương trình:
2 2
2 3 4 9
7 6 (2 9)
x y xy x y
y x x
Bài 46. Giải hệ phương trình:
2 2 3
2 2 2
2 3 4( ) 0
( ) 1 3 ( )
x y xy y x y
xy x y xy x y
Bài 47. Giải hệ phương trình:
2 2 2 2
4 4
1 1
( 3 )( 3 )
2
1 1
2( )
2
x y y x
x y
y x
x y
Bài 48. Giải hệ phương trình:
2
3 2
2
2 2
x xy
x xy y x
Bài 49. Giải hệ phương trình:
2 2
2 2
( 1) ( 1) 27
( 1)( 1) 10
x y xy
x y xy
Bài 50. Giải hệ phương trình:
5 3 2 1
1 3 0
x y x y
x x y
Bài 51. Giải hệ phương trình:
2 2 2
2 3
2 0
7 14 3 10 0
x y x y
x x y
Bài 52. Giải hệ phương trình:
2 2 4 2 4 2 4
2 3 3 2
3 2 (1 2 )
( , )
1 1 ( ) ( 2 )
x y x y x x y
x y
x y x x x y
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
384
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Bài 53. Giải hệ phương trình:
2
2 1 2 1
2
2 3 2 4
x y
x y
x y x y x y
Bài 54. Giải hệ phương trình:
2
3
x y y x
x y x y
Bài 55. Giải hệ phương trình:
3 2
2 2
2 12 0
8 12
x xy y
y x
Bài 56. Giải hệ phương trình:
2 2 2 2
2 2 2 2
2
17
4
4 52
x x y x x y
x x y x x y
x x y x xy
Bài 57. Giải hệ phương trình:
2 2
2
3
x y xy
x y
Bài 58. Giải hệ phương trình:
2 2
2
2
1
xy
x y
x y
x y x y
Bài 59. Giải hệ phương trình:
2 2
2 2
18
24
y x y
x y x y
Bài 60. Giải hệ phương trình:
2
2
2
2 2 0
y
x y
x
xy y x
Bài 61. Giải hệ phương trình:
2 3 4 6
2
2 1 1
x y y x x
x y x
Bài 62. Giải hệ phương trình:
3 3
2 2
4 16
1 5 1
x y y x
y x
Bài 63. Giải hệ phương trình:
2 2
2
2
1 4
2 1 7
x y xy y
y x y x y
Bài 64. Giải hệ phương trình:
2 2
sin
sin
, 0;
4
3 8 3 1 6 2 2 1 8
x y
x
e
y
x y
x y y y
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
385
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Bài 65. Giải phương trình:
2 1 2 2 1
3 2
1 4 5 1 2
4 1 ln 2 0
x y x y x y
y x y x
Bài 66. Giải hệ phương trình:
2
2
1
2
2 2
3
2 2
2
2 2 1 4 0
x
y
x
xy
x y x x y x
Bài 67. Giải hệ phương trình:
2
2
2
1
8
1
2
2 4 3 2
3 7
2
2 2
y
x
x y
y x
x y
Bài 68. Giải hệ phương trình:
2 2
3 3 2 2 2
2 3
2 6 5 3
x y x
x y x x y
Bài 69. Giải hệ phương trình:
2 2
5 5
3 3
3
31
7
x xy y
x y
x y
Bài 70. Giải hệ phương trình:
3
2 4 3
1 1 2
9 9
x y
x y y x y y
Bài 71. Giải hệ phương trình:
2
2 3 2 3 2
1 4 8 0
x y y x
y x x
Bài 71. Giải hệ phương trình:
3
2
2 2 1 20 28
2 2
x y x y
x y y x x
Bài 72. Giải hệ phương trình:
3 2 3
3
2 4 3 1 2 2 3 2
2 14 3 2 1
x x x x y y
x x y
Bài 73. Giải hệ phương trình:
2
4
16 2 3
x y x y x y
x y x
Bài 74. Giải hệ phương trình:
6 2 3 3
2 3 3 6 3 4
x
x y y
y
x x y x y
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
386
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Bài 75. Giải hệ phương trình:
2 2
1 1 1 2 1
2 2
x x y
x y x y x y
Bài 76. Giải hệ phương trình:
2 3 4 6
3
2
1
2 1
1
x y y x x
y
x y
x
Bài 77. Giải hệ phương trình:
2 2 4 1
46 16 6 4 4 8 4
x y x y
y x y y x y y
Bài 78. Giải hệ phương trình:
2
2 2
1 1 4 3 3
12 2 3 7 1 12 3 5
x y x y x y
x x y xy y x
Bài 79. Giải hệ phương trình:
2 2
2 2
7
2 1 2 1
2
7 6 14 0
x y xy
x y xy x y
Bài 80. Giải hệ phương trình:
2 2
2 3 2
2 1
12 1 17
3 12
2
8 3 3 4 2
y x y x
x x x x y
y y
Bài 81. Giải hệ phương trình:
3
2
1 log2 2
2 2
3 2
3 2 log 1 log
2
x
x y y
y x y y y x
Bài 82. Giải hệ phương trình:
7 3
2 3
2log 2 3 log 2 3 2
ln 4 1 21 9
x y x y
x x x y
Bài 83. Giải hệ phương trình:
2 8
2 2 2 2
log 3log 2
1 3
x y x y
x y x y
Bài 84. Giải hệ phương trình:
5
5
4
3
3
1
x
y
y x
x y
x
y
Bài 85. Giải hệ phương trình:
2 2
2
2 2 1
2
3 9 2 2
3 2 29
x y
x y
y x
x y
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
387
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Bài 86. Giải hệ phương trình:
2
3
3 4 3
2 2 5 2 12
y y x y
x y
Bài 87. Giải hệ phương trình:
30 18 1
45 2 20 2
x y
y x
Bài 88. Giải hệ phương trình:
2 2 2 2
10 1
1
2 3
124 1
1
4 9
x y xy
x y x y
Bài 89. Giải hệ phương trình:
2
2
2
2
2
2
3 7
2 2
3 7
2 2
y x
x y
x y
x y
y x
y x
Bài 90. Giải hệ phương trình:
2
2
2 2 2
2
2 2
2 3
1
4.64 .64 2.8
4
log log 3
x y x y
x y
y y x
x
x y
xy
y x
Bài 91. Giải hệ phương trình:
2 2
2
9 2 4
2
1 9 18
y x
x y
x y
x y
y x
Bài 92. Giải hệ phương trình:
2 2
3
1 1 2
72
29 4
x y
xy
x y
x y
Bài 93. Giải hệ phương trình:
2 2
2 2
5
4
5
5 5
x y
x y x y
x y
x y
xy
Bài 94. Giải hệ phương trình:
3 2
2
14 3 1 0
4 2 5 2 2
x y
xy y x y
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
388
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Bài 95. Giải hệ phương trình:
2 2
3 3 3
1 1 1 1 1
,
3 4 1
x y x x y y
x y
x x x y x y
Bài 96. Giải hệ phương trình:
2 2
3 3 14
14 36
x y x y xy
x y x xy y
Bài 97. Giải hệ phương trình:
2 2
2 2
1 6 1
1 6 1
x y y x
y x x y
Bài 98. Giải hệ phương trình:
2 2 4 2
2
4 8 1
5 6 2 7 7
x x y y y
x y
Bài 99. Giải hệ phương trình:
2 2
2
4 2 4
4 3 3 4 3 2 2 1
x y y x y
x x x x x
Bài 100. Giải hệ phương trình:
3 3 2
2
2 2 2 2 2 2
6 2 1 4 7 4
2 2 4 10 14 5
x y y x x x
x y xy x y x xy y
Bài 101. Tìm số nghiệm của hệ:
2 3
2 2
8
12 2012
x y
x y x y
Bài 102. Giải hệ phương trình:
2 2 3 5 7
3 5 2 3 1
x y x y
x y x y
Bài 103. Giải hệ phương trình:
2
3 3
9
7
x x y
x x y
Bài 104. Giải hệ phương trình:
2
3 2 1 3 2 1 2 3 3
x y xy
x x y y x y
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
389
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Bài 105. Giải hệ phương trình:
5
1
2
3
2 3 1
4
x y
y x x
Giải các hệ phương trình, hệ bất phương trình sau:
1.1.
2
1 6
2 2 1 2 1 29
x y
x x y x y y
1.2.
1
2
2 2
2
x y x y
x
x
x y x
y
y
y
1.3.
2
32 2
2
4 1 32 4
40 14 1
y x x x
x x y x
1.4.
2 2
3
1 1 2
72
29 4
x y
xy
x y
x y
1.5.
2
2
2
2 2
2
0
1
2 1 3
y
x y
x x
x
x y
y
1.6.
2 3
2
3
8 2 1 2
2 1
4 1
3
x y xy y
y
x x
1.7.
2
2
4 3 2
1 4 2 5 2 1 5
3 6
x y y x
x x y x y y
1.8.
3
2
5
9 3 6 0
3
2 2
x x y y
x x y
1.9.
2
2
2 1 34 2
2 1 34 2
x x y xy x
y x y xy y
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
390
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
1.10.
2 3
2
3
8 2 1 2
2 1
4 1
3
x y xy y
y
x x
1.11.
4
2 2
4 4
3 4
9
7
3
3ln 0
64 32 8 3
x y x y
x y
x y
x y x
y
1.12.
3
3
2x 2y 2x y 2xy 1 1
3y 1 8x 2y 1
x 0
1.13.
4 2 2 2
2 2
2 6
3
x x y x y y
x y y
1.14.
2
2 2
2
2 5 13 26
x xy x
y x x
1.15.
2 2 4 1
46 16 6 4 4 8 4
x y x y
y x y y x y y
Đáp số:
3 5
, ,
7 7
x y
1.16.
2 2
2
2 3 4
3
x y
xy y xy
Đáp số:
4 3 2 4 3 2
, 2,0 ; , 2 2
2 2
x y
1.17.
2
6 3
4
x x y
x y x y
Đáp số:
, 5,4
x y
1.18.
3 3 2
2 2 3
,
4 3 6 4
xy x y
x y
x y x y
Đáp số:
1
, 1,1 ; 2,
2
x y
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
391
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
1.19.
2
4 2 2 2
3 0
3 5 0
x xy x y
x x y x y
1.20.
2 2 2
2 3 ln 2 ln 0
2 3.6 4.3 0
x y
x y x
e e x y x y x xy y xy
1.21.
2
4 4 9 3
4 2 2 3 3
x x x y xy y
x y x x
1.22.
3
4
2 2
2 4 3 0
2 4 2 3 1 0
x y xy
x y x xy y x y
1.23.
2 1 2 1
3 1 1 3
x y y xy y
x y x xy x
1.24.
2
3 2 2
6 1 0
8 0
y x xy y
y x y x y x
1.25.
2 3 2 3
2
6 6 5 2 6 4
2 2
1
x x x x x x
x
x y
1.26.
3 3
8 9 9 0
2 1 0
x y x
xy
1.27.
4 2 2 2 2
3 3
9 9
7
x x y y y x x y x
x y x
1.28.
2 2 2 2
10 6
1
124 36
1
x y xy
x y x y
1.29.
3 2 2
2 1 1
1 1 10
x x y x y y
x y y
1.30.
2 2
2 2
3
3
3
0
x y
x
x y
x y
y
x y
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
392
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
1.31.
3 2
2
2 2
3 2 4 5
x y x y y x x
x y xy x
1.32.
3 3 3 2
2 2 2 2
10 9 2 4 3
4 2 3
x y y xy y xy
x y xy y
1.33.
2
4 2 2 2
2 0
4 3 0
x xy x y
x x y x y
1.34.
3 3 3
2 2
1 19
6
x y x
y xy x
1.35.
2 5
2 3
5
2
7
2
x y x y
xy x y y
1.36.
5 5
3 3
2
2012 ln 2012
2 5 4 5 4
x x y y
x
y
x y y x
1.37.
2
2
4 1 5
2
log 2
x
x x y y
x
y
y
1.38.
2 3 2
3
2
64
2 6
x y x y
x y
1.39.
3
2
2 2 1 3 1
2 1 2 1
y x x x y
y x xy x
1.40.
2 2
2 2 2 2
3
1 4
x y y xy x
x y xy y y
1.41.
2 2
2
2 3 4 9
7 6 2 9
x y xy x y
y x x
1.42.
2 2
2 2
2 2
2 1
1 2 2 2
3 1 2 1
z x y x y
y z xy xz yz
y x x x
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
393
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
1.43.
4 2 2
2 2
4 6 9 0
2 22 0
x x y y
x y x y
1.44.
2 2
2
2
1 4
2 7 2
x y xy y
y x y x y
1.45.
2
3
2 2
2 2 1
x y y x x
x y x xy
1.46.
2
3 2
2 1 4 1 0
2 2 1 1
x x y x y x
y y x y x
1.47.
3 2
2 2 2
2 2 1 1
2 2 2 2 3
y y x y x
x y y x x y
1.48.
3
2 3
2 3 1 3 1
3 2 1 2 10 3
x y x y
x y x x y
1.49.
2 2 4 1
2 3 46 2 3 8 8
x y x y
x x y
1.50.
2
2
2 3 17 13
2 4 10 13
x x xy
y y xy
1.51.
2 2
2
1 1 10
1 27
x y xy
xy x y xy
1.52.
2
2
4 3 2 10 2
6 4 3 11
x x y
y y x
1.53.
7 4 2 1 6
1 1
x y x y
x y x y
1.54.
2 2
1 1
6 2 2 3 1
1 1
29 62 9 13 1
x y xy x y
xy xy
xy x y
xy xy
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
394
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
1.55.
1
2
1 1
y
x
x y
x y
y x
1.56.
2 2 2 6
8
3
x y
xy
1.57.
2 2
2 2
2 3 8 4 4 4 16 6
4 3 2 2 4 4 16 10
x y x y x xy y
y x y x x xy y
1.58.
2
4 3 2 11 17
3 3 5 3 2
x y y y
y y x x
1.59.
2 3 4 6
2
2 2
2 1 1
x y y x x
x y x
1.60.
2 2
5 2 1
2 2 3 2 3 1
x y y x
y x xy x y x
1.61.
4 3 4 1
2 3 4 5 4 1
x y y x
y x y x y x x y
1.62.
2 2
2
3
6 3 3
,
2 2 3 2
y x x y
x y
y x x
1.63.
2 2 8
2 1
x y x y
y x y
1.64.
2 2
2
4 2 4
4 3 3 4 3 2 2 1
x y y x y
x x x x x
1.65.
2
2
7
12
xy y x y
x
x
y
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
395
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
1.66.
3 3 2
2
2 6 7 3
9
2 3 2 1 4
4
y x x x y
y y x
1.67.
2 2
2 3 2
8
16
2
8 3 3 4 2
xy
x y
x y
x x x x y
y y
1.68.
3 2
2 2
3 6 3 49
8 10 25 9
x xy xy x
x xy y y x
1.69.
2
4 2 2 2 2 2
1 6 2
2 1 12 1
x y y
x y x y y x y
1.70.
2 2
2 2 1
1 2 2
x y y
x y x y
1.71.
4 1
2
2 3
4 12 7 2 3
x y x y
x y x y x y
1.72.
2 2
2 2
1 1
1
x x y y
x y xy
1.73.
2
2
7 1 2 1
1 3 2
x xy xy
y x x
1.74.
2
3 2
3
2 3 3 2
3 5 3 3 2
x y y y x
y y y x x
1.75.
3
8 2 2 2
2 1 3
y y y y x
y x
1.76.
2
4
3
2 8 3 3 3 4
5 3
144 2
y x
x y
x y
y x
x
xy x y
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
396
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
1.77.
2 2
1 2
1
1 1 3 1
y x
x y
x
y x x
1.78.
2 2
2 2
7
2 1 2 1
2
7 6 14 0
x y xy
x y xy x y
1.79.
2
2 2
1 1 4 3
12 2 3 7 1 12 3 5
x y x y x y
x x y xy y x
1.80.
2
4
16 2 3
x y x y x y
x y x
1.81.
3 2 2 3
2 2
1 2 30
1 11
x y y x y y xy
x y x y y y
1.82.
1
1 1
3
xy xy x
y y y
x x x
1.83.
3 2
2 1 3
4 1 9 8 52 4
x y
x x y x y xy
1.84.
4 2 2 4 2 2
1 1
5 5
1 log 1 log
2 1 1 2 2
x x y x y x y y
x y x y
1.85.
4 4
3 3 2 2
240
2 3 4 4 8
x y
x y x y x y
1.86.
2 2
1 1 2
1 2
1 2 1 2
2
1 2 1 2
9
xy
x y
x x y y
1.87.
2 2 4 2
2 4 3 3
2 2 2 5 1 4
x
y y x x x
y x x
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
397
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
1.88.
4 3 2 2
2
4 2 2 2
6 12 6
5 1 11 5
x x x y y x
x x y x
1.89.
2 2 3
3 2
2 8 4 0
16 2 8 5 0
x xy xy y
x x y
1.90.
1 1 6 2 20
3 2 3 2 2 2 18
x y x y x y
x y x y x y
1.91.
2 2 2 2
2 3
2 5 3 4 5 3
x y x xy y
x y
x xy x xy x
1.92.
3
2 2 1 2 1 2 3 2
4 2 2 4 6
x x y y
x y
1.93.
2 2
2
2
4 1 0
7 2 1
x y xy x
y x y x
1.94.
2
2 2
2
9 9 22 1
2 4 1 0
x x y y
x y y
1.95.
2 2 2 2
3 3
2 2 2 3
2 2
x y y x
x y y x
1.96.
2
23 3 7 3 20 6 0
2 2 3 2 8 3 14 8 0
x x y y
x y x y x x
1.97.
2
3
2 2
2 3 2 1 11
y
x x y
x y
x y x
1.98.
2 3 4 1 2 3 4 1 2 2 3 2 3
4
x x y y x y
x y xy
1.99.
3 3
3 3 3
3
1
2 6 3 5 5
xy
x y
x y
x y x y x y x y
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
398
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
1.100.
2 2
3 3
2
14 2 2
9
2 2
xy y x y
x y x y
x y x y
1.101.
2
1 1 4
xy x y xy x y y
x y xy x x
1.102.
2 2
3
2
4 8 3 64
6 12 8 1
y y x x
y y y x x
1.103.
2 2 2
2 2
2 2 1
x y x
x y xy x y xy y x y
1.104.
2
2 2
4 32 44
x y x
y x y x y
1.105.
9 2
4 2 4 2 44
x y x y
x x y y y
1.106.
2 2
2 2
2
2 3 0
1
2 3 1 0
6
x y y x y
x y
y y x
1.107.
2
2 2
11 2 16 3 13 3 23 2
4 8
4
x y x y x y x y x y
x x
x y
y
1.108.
2 2
2
2 4 2 3
4 1
1 3 2 5 2 3 3
x y
x y
xy y x
x xy x y x x y x y
1.109.
2 3 4 1 2 3 4 1 2 2 3 2 3
4
x x y y x y
x y xy
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
399
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
1.110.
3 3
2 2
2 2
3 10 12
6
2 3
x xy y
x y
x x y
x xy y
1.111.
2
3
2 2
2 3 2 11 11
y
x x y
x y
x y x
1.112.
2 2
5 2 1
2 2 3 2 3 1 0
x y y x
y x xy x y x
1.113.
2
2
2 1 2 2 2 2
4 1 17
x y x x x y
y x x
1.114.
2
2 2
2
2 2
1
3
5
1
4
5
x y
x y
y x
x y
1.115.
2 2 2 2 2 2
1 4
1 4
x y xy xy
x y x y x y
1.116.
4
3 3
1 3
x y x y
x y y x y
1.117.
2 2
2 2 2
4 4 0
2 4 2 3
x y xy
xy y x y y
1.118.
2 2
3 3
2 1 1
2 2 1
x x y x y
x y
1.119.
2
3 2
2 4 3 8 13
x x y
x y
1.120.
2
2 7 10 3 1 1
3
1 2
1
y y x y y x
y x y
x
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
400
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
1.121.
3 1 2 3
5 4 3 2 4 2
2 2 3.2
3 3 1 1
x y y x
x x y x x y x x
1.122.
2
3 2
2 0
3 2 1 2 4
x xy y
x xy y x x y
1.123.
2 2
4 4
2 2 4
3 2
2 17
x xy y x
x xy y x
1.124.
3 2 3 1
5
3 2 2 2
2
x y x y
x
y xy y
1.125.
2 2
8 2 4
2 4
x y x y
x x y y x x
1.126.
3 2 2 2 2 2 2
3 2
2 2
2 3 6 12 13
x y x y y x x x y
x x y x
1.127.
4 2 2 2
3 2
2 3 1 5 4 11 10 2 0
2 2 0
x y x y y x y y
y x y x x
1.128.
2 2
1 1 1 2 1
1 1 2
1 1
1
x x y
x y
xy
1.129.
2
2 2 2 2 2 2 2
2
2 2 2
1
3 6 48 3 12
1 3 6 31 1
x y y xy x y y x y y x y
y
y x y x y xy xy x x y y
1.130.
2 2
2
9 2 4
2
1 9 18
y x
x y
x y
x y
y x
1.131.
2 2
3
2 2
1 1 6 2
3 1
x x y x y x x
x xy y
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
401
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
1.132.
2
3 2 3
3
16
16 4
2
, 0
2 3 3 3 12 4 0
x y
y x
x y
x
x x x y
1.133.
2
3 2
2 0
3 2 1 2 4
x xy y
x xy y x x y
1.134.
6 3 2 2 2
2
3 3 4 2
2
1
8 2 4 3 2 1 2
2
y y x xy x y
xy y x x x x y
1.135.
2 2 2
2
1 3
1 3 0
x x xy y x y
y x xy x
1.136.
4 2 2 2 3 2 2
3 2 3
3
10 5 12 11 2 7 7 2 7
x y x y y x y x
x x y x x y x
1.137.
2 2
3 3
3 1 9 6 2 1 4 16 1
2012 2012 log log 12 4
x y
x y y y x y
y x xy
1.138.
2 2 2
2 2
3 2 6 3 3 7 7 2
3 4 3 3 1 0
y y y x x x
y x y x
1.139.
2
2
4
2
1 1 4 3
log 3 2 log 1 4
x y x y x y
x y x
1.140.
4 2
2 3
2 6 7 2 9
2 10
x xy y y x
x y y
1.141.
2
2
3 2 2 3
3
2
2 4
2 2 1 5
y y
x x y xy x y
x y
| 1/114
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

Chuyên đề 5: Hệ phương trình Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam Email : dangnamneu@gmail.com Yahoo: changtraipkt Mobile: 0976266202 CHUYÊN ĐỀ 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH 288 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Chuyên đề 5: Hệ phương trình 289 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HỆ PHƯƠNG TRÌNH Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam Email : dangnamneu@gmail.com Yahoo: changtraipkt Mobile: 0976266202
Cùng với phương trình, bất phương trình vô tỷ thì hệ phương trình là bài toán luôn xuất hiện
trong đề thi các năm
Thứ tự ưu tiên các hướng khi giải hệ phương trình
+ Các hệ mà 2 phương trình của hệ có dạng tương đương thì trừ 2 vế của hệ, hoặc cộng 2 vế của
hệ sẽ được nhân tử chung.
+ Biến đổi tương đương hệ phương trình đã cho, biến đổi rút ra một phương trình trong hệ là phương trình tích.
+ Các hệ có biệt thức 2 2 2 x ;
y x y;(x y) ; x y; x y ,...đặt u x  ; y v xy
+ Có các nhân tử chung ở các phương trình của hệ thì đặt ẩn phụ.
+ Thường thì Đề thi Đại Học cho đặt ẩn phụ nhưng ta không thể nhận thấy ngay được nên đặt
cái gì. Vì vậy phải chia hoặc nhân với một biểu thức của biến nào đó( chẳng hạn như 2 3 ,
x y, x , x , xy,... ) sau đó mới đặt ẩn phụ được.
+ Hệ có một phương trình dạng là hàm bậc 2 của x hoặc của y, giải phương trình này theo ẩn
đó sẽ rút ra x theo y (hoặc y theo x ).
+ Thay biểu thức ở một phương trình vào phương trình còn lại.
+ Biến đổi các phương trình trong hệ rùi dung phương pháp hàm số.
+ Đánh giá nhờ vào điều kiện có nghiệm của hệ, các bất đẳng thức. 290 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HỆ PHƯƠNG TRÌNH
PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG BÀI TẬP MẪU
Bài 1. Giải hệ phương trình: 2 2 3 5 
x y  4xy  3y  2(x y)  0 (1)  ( , x y  )  2 2 2
xy(x y )  2  (x y) (2)  Lời giải:
Biến đổi phương trình thứ hai của hệ: 2 2 2 2 2 2 2
xy(x y )  2  (x y)  xy(x y)  2x y  2  (x y) 2 2
 (x y) (xy 1)  2(xy 1)(xy 1)  0  (xy 1)((x y)  2(xy 1))  0 xy 1 2 2
 (xy 1)(x y  2)  0   2 2 x y  2 
(i). Với xy 1, thay vào (1) ta được: 2 2 3
5x y  4xy  3y  2xy(x y)  0 x y 1 2 2 3 2
 3x y  6xy  3y  0  y(x y)  0 , nhưng do xy 1nên x y   x y  1   (ii). Với 2 2
x y  2 , thay vào (1) ta được: 2 2 3 2 2
5x y  4xy  3y  (x y )(x y)  0 x  2y 3 2 2 3 2
x  4x y  5xy  2y  0  (x  2y)(x y)  0   x y
Thay vào phương trình (1) ta suy ra các nghệm của hệ là  2  2 x  2 x  2
x  1 x  1   5  5  ;  ;  ;  y  1 y  1     2  2 y y    5    5 x y  2 
Bài 2. Giải hệ phương trình   , x y   2 2 4x y  5 
2x yxy Lời giải:
Điều kiện: xy  0 291 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HỆ PHƯƠNG TRÌNH x y  2 
Hệ tương đương với 2xy
2  4xy  52x yxy  0  x y  2   
2x y xy
2x y  4 xy  0 
x y  2
x y  2    
x  1, y  1 2
2x y xy  0   3  x  2  2x x        22  8 6 22  8 6 x y 2 x y 2      x  , y       25 25    2
2x y  4 xy  0 
3x  2  4 2x x   22  8 6 22  8 6 
Vậy hệ có hai nghiệm là  x, y  1,  1 ; ,   25 25     2  2x y
x y  x2x   1  7  2 y
Bài 2. Giải hệ phương trình 
x  4x   1  7  3yLời giải: 3 2 2 2 
2x  2x y xy y  2x x  7  2 y  2
4x x  7  3y
Trừ theo vế hai phương trình của hệ ta được phương trình 3 2 2 2 2
x x y xy y x y x x y  y x y   2 2 2 2 2
2x y  0 2    y  2x 2
2x y x y   1  0   y  1 x
Đến đây xét từng trường hợp ta suy ra nghiệm của hệ
xy x y  3
Bài 3. Giải hệ phương trình  3 2 3
4x  12x  9x   y  6 y  5  Lời giải: Hệ tương đương với 292 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HỆ PHƯƠNG TRÌNH  y  1   x 
xy x y  3
xy x y  3      
x y  
1 2x  2  y2  0  y  2   2x  
xy x y  3   y  1   x    y  1   x    x   1
  x  x 1 x  3 x    1
  x  x 1 x  3       y  2   2x   y  2   2x       x   2
  2x  x  2  2x  3  x    2
  2x  x  2  2x  3   5   5 x   4    2  2 5 y    4  5   5 2  2 5 
Vậy hệ có hai nghiệm là  x, y   ,   4 4    3 3
x  4x y 16x
Bài 4. Giải hệ phương trình  2 1 y  5   2 1 x   Lời giải:
Hệ đã cho tương đương với x   2
x 16  y  2 y  4  2 2
y  4  5x
Bình phương hai vế phương trình thứ nhất của hệ ta được
x x  2  y y  2 2 2 2 2 16 4 và thay 2 2
y  4  5x vào ta được x x
2  x   x 2 2 2 4 2 2  x  2 x   2 16 25 4 5 4 1 31x  64  0 -
Với x  0 ta được 2
y  4  y  2  x  1   1  5x  5 y y  3   - Với 2
x  1 hệ trở thành    2 y 9     x  1   y  3 
Vậy hệ có bốn nghiệm là 0, 2;1,3;1, 3
Cách khác: Xem phương pháp đồng bậc 293 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Bài 5. Giải hệ phương trình:   1  2x 1  3   2 2  x y      1  2y 1  1  2 2   x y    Lời giải:
Điều kiện x  0, y  0 .
Khi đó hệ phương trình tương đương với  1 3  2 3 1 1     2 2  2 2  x y 2xx y 2x 2 y    1 1 3 1 1     2   (*) 2 2  x y 2 y  2x 2 y  
Nhân theo vế hai phương trình của hệ ta được 4 9 1 4 2 2 4  
 9 y  8x y x  0 2 2 2 2 x y 4x 4 y   2 2 y x  2 2 y x  2 2 9
 0  x  9 y x  3y  3 1 
Từ đây thay vào phương trình (*) ta được nghiệm của hệ là  x, y  ,    .  2 2 
Bài 6. Giải hệ phương trình:  x 2  6 y   x  2 y (1)  y
x x  2y x  3y  2 (2)  Lời giải:
Từ phương trình (1) của hệ ta suy ra: 2
x  2y y x  2y  6y  0 (*) Ta đặt t
x  2 y , khi đó phương trình (*) trở thành: 2 2
t yt  6 y  0 , phương trình này có biệt t  3y
x  2 y  3y thức 2   25 y , do đó    t  2  y
x  2 y  2 y  294 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HỆ PHƯƠNG TRÌNH
(i). Với x  2y  3y , khi đó ta có hệ
x  2 y  3y  
x x  2 y x  3y  2  (ii). Với x  2 y  2  y ta có hệ
x  2 y  2  y  
x x  2 y x  3y  2 
Bài 7. Giải hệ phương trình : 3 3 3 1
 6x y  9 y  
2xy y 2 4xy  3  2 2 2 2
4x y  2xy y  3  Lời giải :
Nhận thấy y  0không là nghiệm của hệ đã cho, khi đó ta chia hai vế của phương trình thứ nhất cho 3
y và chia cả hai vế của phương trình thứ hai cho 2
y , khi đó hệ trở thành :   3  3 16x  9   2x   1 4x  (1)  2   y    3  2
4x  2x 1  (2) 2  y  3 Thế
từ phương trình (2) vào phương trình (1), ta được : 2 y 3
x    x   2
x x x   3 
x    x   2 16 9 2 1 4 4 2 1 16 9 2
1 4x  2x   1 3 3 3
16x  9  8x 1  x 1, thay vào phương trình (2) ta suy ra  3  y  1  . 2 y
Vậy hệ có hai nghiệm là  x, y   1,   1 ;1,  1 .
Bài 8. Giải hệ phương trình: 295 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2 x   y  
1  x y   2
1  3x  4x 1  2
xy x 1  x Lời giải:
Nhận thấy x  0 không là nghiệm của hệ, từ phương trình thứ hai của hệ ta có 2 x 1 y 1 
ta thế vào phương trình thứ nhất, ta được x 2 2  x 1 x 1 x 1 2 2 x x
 3x  4x 1   x   1  3 2
2x  2x  4x  0      do x  0 . x x x  2      
Với x 1 y  0 . 5  Với x  2   y   2  5 
Vậy hệ có hai nghiệm là  x, y  1;0; 2  ;    .  2 
Bài 9. Giải hệ phương trình :
x y xy
2x y  5xy
x y xy
3x y  4xy Lời giải :
Nhận thấy x  0, y  0 là một nghiệm của hệ.
Với x  0, y  0 hoặc x  0, y  0 không là nghiệm của hệ.
Ta xét xy  0 , khi đó chia theo vế cả hai phương trình trong hệ cho xy thì hệ trở thành 1 1 
 2x y  5   x y  1 1
   3x y  4  x y
Trừ theo vế hai phương trình của hệ ta suy ra : 2y x  1  x  2y 1 ta thế vào phương trình
thứ hai của hệ ta được :
y   y yy   y    yy   3 2 2 1 2 1 5 3 4 2
1 10y 19y 10y 1   0 296 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HỆ PHƯƠNG TRÌNH y  1
x  1; y  1     y   1  2
10 y  9 y   1  0  9  41   1 41 9  41  y x  ; y    20  10 20
Bài 10. Giải hệ phương trình : 2 2   x y
x y  1  x y   x y  1  Lời giải :
Điều kiện : x y  0 .  x y
Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với  x y   x y   1 1 1  0  
x y  1 
x y  1 
x  0; y  1
(i). Với x y  1khi đó hệ trở thành    x  1; y  0  x y  1  
x y  1  (ii). Với
x y  1 khi đó hệ trở thành 
x  1; y  0  x y  1 
Vậy hệ có hai nghiệm là  ;
x y   1; 0;0;  1 .
Bài 11. Giải hệ phương trình:  5 2 3 2
x y x y xy xy    4  (x, y  ) 5 4 2
x y xy(1 2x)    4 Lời giải:
Hệ đã cho tương đương với:  5 2 2
x y xy(x y 1)  (1)   4  5 2 2
(x y)  xy  (2)   4
Lấy (1) trừ (2) theo vế ta được : 2 2 2 2 2
(x y)(1 (x y))  xy(x y)  0  (x y)(xy  1 (x y))  0 297 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2 x y  0   2
xy 1 (x y)  0  5  5 25 + Với 2 2 2 3 3
x y  0  y  x HPT  . x (x )   x   y   4 4 16  5
xy 1  xy(xy  2)    + Với 2 2 4
xy 1  (x y)  0  x y xy 1  HPT   5 2
(xy 1)  xy    4  3 xy   x  1 9 3   2  2 
 (xy)  3xy   0  xy      3 4 2 1 2 y   x y     2   2 3  5 25   
Vậy nghiệm của hệ là:  x, y 3 3  1,  ;    , 
Bài 12. Giải hệ phương trình: 2  4 16     
x(x y 1)  3  0   (x, y  ) 5 2 (x y)  1  0  2  x Lời giải: Điều kiện x  0
Khi đó hệ phương trình tương đương với:  3  3 x y 1   0 x y  1  x    x    5 3 5 2 2 (x y) 1 0      ( 1)  1  0 2 2   x   x x x  1  3   3 x y  1 y  1 x y  1   x    x    x  2 x  1 2 
x  3x  2  0       3 x  2  y    2  3 
Vậy hệ có hai nghiệm:  x, y  1,  1 ; 2,    .  2  298 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HỆ PHƯƠNG TRÌNH
x( y  9)  y 1 1  0 (1)
Bài 13. Giải hệ phương trình :  2 2
y(18x 1)  3x  22  (xy  1) (2)  Lời giải: Điều kiện: y 1 Khi đó từ (1) ta suy ra: 2 2 2 2 y 1 1  0  (
x y  9)  81x x y 18x y y  2 y 1  0 (3)
và (2) tương đương với: 2 2 2
18x y y  3x  22  x y  2xy 1 2 2 2
 18x y y  3x x y  2xy  22  0 (4)
Lấy (3) cộng với (4) theo vế ta được: 2
81x  3x  22  2(xy y 1)  0 (*)
Mặt khác từ (1) ta lại có: xy
y 1  9x 1, thay vào (*) ta suy ra: 2 2
81x  3x  22  2(9x 1)  0  81x  21x  20  0
Bài 14. Giải hệ phương trình: 3
x y x y   x y x y  2  Lời giải: x y  0 Điều kiện:  (*) x y  0 
Khi đó hệ tương đương với: 2 3 2 ÐK (*) ( 
x y)  (x y) (
x y) (x y 1)  0    2 (
x y)  (x y)  2 x y  2  
x y  2
x y  0  x  1 x  2     
x y  2 y  1 y  0   
x y  1 
Vậy hệ có hai nghiệm:  x, y   1,  1 ; 2, 0 . 299 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Bài 15. Giải hệ phương trình:  y 19
( 3x  4  5  x )2  2(  3x  8)  x
y  log x  1  2 Lời giải:
+ Điều kiện 0  x  5 2 2 + Từ (2) ta có  1 log  log  2y y x
, thay vào phương trình (1) ta được phương trình: 2 2 x x 2
3x  4  5  x  19  3x  8x 2
 ( 3x  4  4) (1 5 x) 16 3x 8x 3x 12 x  4    (
x  4)(3x  4) 3x  4  4 1 5  x 3 1  (x  4)(   3x  4)  0 3x  4  4 1 5  x
x  4  0 (x  0)  x  4  y  1 
Vậy nghiệm của hệ là ( ; x y)  (4; 1  )
Bài 16. Giải hệ phương trình: 4 3 2 2 
x  2x y x y  2x  9 (1)  ( , x y  )  (*) 2
x  2xy  6(x 1) (2)  Lời giải: + Thay 2
2xy  6x  6  x ở (2) vào phương trình (1), ta được 2 6x  6  x 4 2 2 2
x x (6x  6  x )  ( )  2x  9 2 2 2 2
 4x (6x  6)  (6x  6  x )  4(2x  9) 4 2 2
x  2x (6x  6)  (6x  6)  4(2x  9) 4 3 2 3 2
x 12x  48x  64x  0  x(x 12x  48x  64)  0 x  0 3  (
x x  4)  0   x  4   300 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HỆ PHƯƠNG TRÌNH 0   9
+ Với x  0  (*)   VN 0  6   x  4  + Với x  4   (*)   17 y    4  17 
Vậy hệ có nghiệm duy nhất  x, y  4  ,   .  4 
Bài 17. Giải hệ phương trình:
x y xy  3    x 1  y 1  4  Lời giải: xy  0 + Điều kiện  (*) , x y  1  
Khi đó hệ phương trình tương đương với
x y  3  xy
x y  3  xy      
x y  2 xy x y 1  14 3   
xy  2 xy  4  xy  14 
x y  3  xy
x y  3  xy       2 4( xy  4  xy )  (11 xy ) 3 
xy  26 xy 105  0 
(*)  x y  3  xyx y  6    x  3        xy  3  xy  3 y  3   
Vậy hệ có nghiệm duy nhất  x, y   3,3 .
Bài 18. Giải hệ phương trình:
xy x 1  7 y (1)  ( , x y  )  2 2 2
x y xy 1  13y (2)  Lời giải: 301 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Nhận thấy y  0, không là nghiệm của hệ, do đó ta chia cả 2 vế của (1) cho y; chia cả 2 vế của (2) cho 2 y .  x 1 x    7   y y
Khi đó hệ trở thành:  x 1 2 x    13 2  y y   1 x  1 x  1 x (x  )   7  (x  )  7  (x  )  7     y yy yy y       1 x x x x x 2 (x  )   13 2 2 (7 ) 13     ( ) 15  36  0  y y   y yy y    1 x (x  )  7  x  12  y y   y  1   x   12     x  1 y      1  x y   3    3 y   1 
Vậy hệ có hai nghiệm  x, y  12,  1 ; 1,   .  3 
Bài 19. Giải hệ phương trình :  y  3 x y x  3   x
x y x x  3  Lời giải :
Điều kiện : x  0; y  3 .
Khi đó phương trình thứ nhất của hệ tương đương với    y  3 y 3 y 3    x y x  3 x
x y x  3  x
(i). Với y  3 , khi đó 2 x  3  0  x  3  loại.
(ii). Với x y x  3  x , khi đó hệ trở thành
x y x  3  x
x  3  x    3   
x  1; y  8  x y x x  3  x y x  3  x   302 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Vậy hệ có nghiệm duy nhất  x, y  1,8 . 2 
x xy  3x y  0
Bài 20. Giải hệ phương trình:  4 2 2 2
x  3x y  5x y  0  Lời giải:
Hệ đã cho tương đương với 2 2
x y  3x xy
x y  3x xy      x y
2  x y 5x  0 3x xy  2 2 2 2 2 2
x y  5x  0   2
x y  3x xy    2 x   2
y  5 y  4  0  x  0  y  0  x  0    y  1 y  0      2
x  2x 1  0   x  1    y  4  y  1   2
x x  4  0 
Vậy hệ có hai nghiệm là  x; y   0;0;1;  1 . 3 3 3 
x  5 y  2xy  6
Bài 21. Giải hệ phương trình  3 3
2x  3y  3xy  8  Lời giải: 3 3 3 
x  5 y  2xy  6
Hệ tương đương với  3 3
2x  3y  3  xy  8 
Lúc này coi đây là hệ với hai ẩn là 3 3
x ; y từ đó suy ra hệ tương đương với 3 
x  22  21xy
nhận thấy x  0 hoặc y  0 không thỏa mãn hệ nên nhân hai vế của hệ với nhau 3
y  13xy 12  ta được  xy3    xy xy
   xy   xy2 22 21 13 12 1
 274xy  264  0 303 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HỆ PHƯƠNG TRÌNH xy  1   xy  1  37  19033  x  1 - Với xy  1   y  1   3 x  22  21   1  37  19033  -
Với xy  137  19033    3
y  13 12 137  19033  Vậy hệ có ba nghiệm
Bình luận: Dạng bài toán này có cách giải rất hay và hết sức cơ bản, ta có thể sáng tạo nhiều bài toán tương tự 3 2 2
x x  2 y 1  x y y 1 
Bài 22. Giải hệ phương trình  
x y   1 y 1  10  Lời giải: 2
x  2 y 1  0 Điều kiện:  y  1 
Khi đó biến đổi phương trình thứ nhất của hệ 3 2 2 2
x x y   x y y   x x y 2 2 1 1
x  2 y 1  y   1  0  y  1  Nếu cả 2 y 1 
x  2 y 1  0  
thay vào phương trình đầu của hệ ta được 2 x  1  3 2
x  x x  1
  x y 1  3
  0 không thỏa mãn vậy chúng không đồng thời bằng 0, khi
đó biến đổi phương trình như sau 2 2 x yx y    2
x x y 
 0   x y 2  x    0 nhưng do 2 x 2 y 1  y  2 1  x 2 y 1  y  1            x y
x y   1
y  1  10  x y  1 nên 2 x   0 2
x  2 y  1   y   1
Vậy y x thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được phương trình 304 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HỆ PHƯƠNG TRÌNH x  1 x  1    2x   1 x 1  10      x  3  x    1 2x  2 1  100  x  3    2
4x  4x 17  0 
Vậy hệ có nghiệm duy nhất  x; y   3;3 3 3 3 1 
  x y  19x
Bài 23. Giải hệ phương trình  2 2
y xy  6  x Lời giải:
Nhận thấy x  0 không thỏa mãn hệ phương trình, với x  0 nhân vào hai vế của phương trình
thứ hai với x ta được hệ  19 3 3 3 3 3 1 
  x y  19x 1   x y   2 2
xy x y   0    6 2 2 3
xy x y  6  x 3 3 3  1
  x y 19x   1 x   3  2   3   xy xy     xy  1 0       y  2     3    2      1 3 3 3 1 x y  19x   x    2  y  3   1   1 
Vậy hệ có hai nghiệm là  ; x y   ; 2  ;  ;3      3   2  2
x xy  2x  2 y 16  0 
Bài 24. Giải hệ phương trình   x y
 xy  4  32  Lời giải: Hệ tương đương với x
  x y  2  x y  16   x y
 x  2  16     x y
 xy  4  32  x y  
 xy  4  32  305 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HỆ PHƯƠNG TRÌNH x  0  y  8   16 32   xy  2x   x  2  x y xy  4        
x y  x  2 16  y  2
x y x  2 16    x 6   y  2 
Vậy hệ có ba nghiệm  x; y   0;8;2; 2;6; 2 3 3
x 12y xy
7x 16y  0
Bài 25. Giải hệ phương trình 
x  2 y x  2 y  2  Lời giải:
x  2 y  0 Điều kiện  x  2 y  0 
Khi đó hệ tương đương với  x  3y   x  3y
 x  2y2  0    x  2 y  2 2
2x  2 x  4 y  4  2 2  x x  4 y  2  x  3y  
x  2; y  1 2
 5y  2  3y      9  3 5 3  5  x  2 y x  ; y    2 2   2y  2   9  3 5 3  5 
Vậy hệ có hai nghiệm là  ; x y   2;  1 ; ;   2 2    2
x x  2y x 1  4y x 1  0 
Bài 26. Giải hệ phương trình  2 3
y  2 y x   2
1  y x   1  Lời giải:
Viết phương trình thứ hai của hệ dưới dạng 306 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HỆ PHƯƠNG TRÌNH  3
y y x   2
y x     3 y y 2 2 2 1 1 2 2
y x   1  2 x   1  y  2
y     x   2 2 2
1 y  2  2y x 1, thay vào phương trình đầu tiên của hệ ta được phương trình 2
x x  2x  2  3 x   1  0
Nếu x  0 thì vế trái của phương trình luôn lớn hơn 0, vậy nên phương trình có nghiệm nếu
x  0 , nên chia cả hai vế của phương trình cho 2
x , x  0 ta được  1 1   1 1   1 1   1 1   1 2   3   0  1 2   3   2   2   2   2   x x   x x   x x   x x    1 1  3   0   2    x x   1 1  1 10      2  2    1 1   1 1   x x  9 1 2   9   2   2     x x   x x  x  0 
3 134 10  10  1  1 10  x  2
x x 1  0 6   9
3 134 10 10  16 Suy ra y  12 2 2
x y xy   x  3
Bài 27. Giải hệ phương trình  2 x  2 1 4xy  2  y  2 1  8x   Lời giải:
Hệ phương trình tương đương với
xy x  3  0
xy x   3  0    
x y x y x  32  x y x  32 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2
 4x y  8x y  2 2 3 2 2 2 
x y  4x y  8x y
x y x y     x  32 2 2 2 2  307 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HỆ PHƯƠNG TRÌNH  
xy x   x 0 3  0 
x  0; y  0  y  0   x y x 2 2 2 1 0         5  x  1  
x  1; y    
x y x y x   2 2 2 2 2  5 3 
x y x y x  32 2 2 2 2   5 
Vậy hệ có ba nghiệm là  ;
x y  0;0; 1  ;    5    2 3 4 6
2x y y  2x x
Bài 28. Giải hệ phương trình 
x  2 y 1   x   2 1  Lời giải: Điều kiện y  1 
Biến đổi phương trình thứ nhất của hệ 2 3 4 6 2
x y y x x x  2
y x    2 y x  4 2 2 2 2 2
x x y y   0 2  y x   2 x y  2 4 2 2
2x x x y y   0   2 4 2 2 2
2x x x y y x y  2 4 2
x y  0  - Nếu 2 x y   4 2
2  x y  0  x y  0 thử lại nghiệm thấy không thỏa mãn. - Nếu 2
y x thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được phương trình
x   x    x  2 2 2 2 1 1
x  2x 1(*) Đến đây ta đặt 2 t
x 1 khi đó phương trình (*) trở thành 2  x 1  2 2
t  2x   x  2t  t xt  2  0  
x   3 suy ra y  3 2  x 1  x
Vậy hệ có hai nghiệm là  x; y    3;3
x x y 1  1 
Bài 29. Giải hệ phương trình  2
y 1 x  x  2 y x   0  Lời giải: 308 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HỆ PHƯƠNG TRÌNH x  0 Điều kiện: 
x y 1  0 
Khi đó hệ tương đương với
x 1  x y 1  
x  2 x  1  x y 1    2
y 1 x 2 2
x  2 y x  0
y  2 y x x xy  0  
y  2 x  2
y  2 x  2       
y x y x
 y x2   xy2  
 y x   y x     x   x x   x  4; y  2 3 2 2 1     1    x   
x x    x  ; y  1 3 2 2 1    4  
y  2 x  2   17 1  x  ; y  2 17  2  2  2
x  2 y 1  3 
Bài 30. Giải hệ phương trình  3 2 x  4 x
y  1  9x  8 y  5  2  4xyLời giải: Điều kiện: y  1 
Hệ phương trình tương đương với  x  3  2  x  6x  5  y  4  2 2  x  3 x  6x  5 x  6x  5 3 2 x  4x .  9x  8.  52  4 . x   2 4 4 2  x  6x  5 y   4   x  7 2
 x  4x  21  0   y  3   x  3    309 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Vậy hệ có nghiệm duy nhất  x; y   7;3  3xy 3 3 x y   1 
Bài 31. Giải hệ phương trình x y
x y  3 3
2x y  6x y  3
 3x  5 y  5  Lời giải:
Điều kiện: x y  0
Khi đó biến đổi phương trình thứ nhất của hệ ta được 3xy 3 3 x y
 1   x y 3 3
x y   3xy  x y  0 x y
  x y2  2 2
x y xy  3xy  x y  0
  x y 2  x y2 3xy  3xy  x y  0
  x y4   x y  xy   x y2 3 1   0
  x y    x y3   x y2 1
x y 1  3xy x y   1   0 (*) 3 2
Nhưng do  x y   x y  x y 1 3xyx y   1 3 3 2 2
x y x y xy x y   x y 2 2
x y xy   2 2
1  x y xy  0
Với x y  0
Vậy nên phương trình (*) tương đương với x y 1  0 ; lúc này thay vào phương trình thứ hai
của hệ ta được phương trình 3 3 3
3x 1  5x 1  2 x ( phương trình này được giải bằng cách lập phương hai vế; chi tiết xem
Chuyên đề phương trình, bất phương trình vô tỷ).    x  0
x  0, y  1   1 1 6
Giải phương trình trên có 3 nghiệm  x   
x   , y   5  5 5  1  1 2  x
x  , y   3  3 3 310 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HỆ PHƯƠNG TRÌNH  1  6   1 2 
Vậy hệ có ba nghiệm là  ; x y  0;  1 ; ; ; ;      5 5   3 3 
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Giải các hệ phương trình sau:   3x y
 x  3yxy 14
Bài 1. Giải hệ phương trình:   x y   2 2
x 14 xy y   36   x y 12 x y  
Bài 2. Giải hệ phương trình:  x y x y xy  15  xy
x y2  2 x y  3  0
Bài 3. Giải hệ phương trình: 
xy x y 2  4x y   x y2 2 2  0  3 3
2x  3y y  4x
Bài 4. Giải hệ phương trình  5   2 1 3y   4 2 3x  2  x  2 x  
1  xy 2x  3y  y x  2 2
 2 y 1 5y 
Bài 5. Giải hệ phương trình  
x 17 y 122 2
 4  x y  7  2
x  3x  8 y  5  3 3 
x  2 y  2xy  1
Bài 6. Giải hệ phương trình  3 3
2x y  2xy  5  3 3 2 2 
x y x y xy  2
Bài 6. Giải hệ phương trình  3 3
x y xy  1  3 2 2 2
x x 1 3y y x   y   1  y
Bài 7. Giải hệ phương trình  
x y   1 y 1  10  
x y  
1 2x  2 y   1  9 
Bài 8. Giải hệ phương trình 3xy   1 y 1  10  311 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2   3
y  2 y x   2
1  y x   1
Bài 9. Giải hệ phương trình  2 2 2
x  2 y  2  2 y x x  2 y  3  2
x 2 y  5  6 y  7  0 
Bài 10. Giải hệ phương trình  2 5 
x  4 y  5  11x  2 y  7  2 
xy  6  12  y
Bài 11. Giải hệ phương trình  2 3 2 2
x y x  3x  3y xy x y  0  log 3x y  log
x y  1 log 2 3   1   3 
Bài 12. Giải hệ phương trình 3  2 2
x y  2x  3 y  35  0   2 2 
x y x x
x y x
Bài 13. Giải hệ phương trình  x 35 x    2 12  y 1 
x y 1  y x 1  3 
Bài 14. Giải hệ phương trình  x y2 2 2 x y 2 2 6 
x y  5 x y  2  3  6 xy y xHỆ ĐỐI XỨNG
(i). Hệ đối xứng loại 1.
Hệ đối xứng loại 1 là hệ mà vai trò của x, y trong hệ là như nhau.
Nếu  x , y là nghiệm của hệ thì  y , x cũng là nghiệm của hệ. 0 0  0 0  Phương pháp:
S x y Đặt  với điều kiện 2 S  4P . P xy
(ii). Hệ đối xứng loại 2.
Hệ đối xứng loại 2 là hệ mà khi ta đổi vai trò x, y cho nhau thì phương trình này chuyển thành phương trình kia.
Nếu  x , y là nghiệm của hệ thì  y , x cũng là nghiệm của hệ. 0 0  0 0  Phương pháp:
Trừ theo vế hai phương trình trong hệ ta được 312 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HỆ PHƯƠNG TRÌNH x y
x yf  , x y   0  
f x, y  0  BÀI TẬP MẪU
Bài 1. Giải hệ phương trình:
x y  2xy  2  3 3 x y  8  Lời giải:
Đặt S x  ,
y P xy . Khi đó hệ trở thành  2  S P
S  2P  2    2 S  2      S   2
S  3P  8  6  3S 2  P  0  S S   8       2  x y  2 x  2 x  0       xy  0 y  0 y  2   
Vậy hệ có hai nghiệm là  x, y  2, 0;0, 2 .
Bài 2. Giải hệ phương trình: 3 3
x y  19    x y  8  xy  2  Lời giải:
Đặt S x  ,
y P xy . Khi đó hệ trở thành S   2
S  3P   19
SP  2  8S  S  1       8   3 S  3  2  2 8S S P   19 P  6    x y 1 x  3 x  2        xy  6  y  2  y  3   
Vậy hệ có hai nghiệm là  x, y   3, 2;2,3 . 313 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Bài 3. Giải hệ phương trình : 2
  x y   3 2 2 3 3 x y xy   3 3
x y  6  Lời giải :    3 3
a b    2 2 2
3 a b b a  Đặt 3 3 x  , a
y b khi đó hệ trở thành :  a b  6 
Đặt S a  ,
b P ab khi đó hệ trên trở thành  S   2 2
S  3P  3SPS  6 a b  6
a  4  x  64 a  2          P  8 ab  8
b  2  y  8 b  4 S  6     
Từ đó suy ra nghiệm của hệ là  x, y   64,8;8, 64 .
Bài 4. Giải hệ phương trình :
x y xy  3    x 1  y 1  4  Lời giải : xy  0 Điều kiện :  , x y  1  
Đặt S x y, P xy khi đó hệ trở thành   PS P  
S  32 , S  3 3    
S  2  2 S P 1  16 
2 S  S  32 1  14  S  S  6 x y  6 x  3       P  9 xy  9 y  3   
Bài 5. Giải hệ phương trình : 314 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HỆ PHƯƠNG TRÌNH 3 2 2 3 
x x  2 y  3 2 2 3
y y  2x Lời giải :
Từ hai phương trình của hệ suy ra hệ có nghiệm nếu , x y  0 .
Trừ theo vế hai phương trình của hệ, ta được  3 3
x y    2 2
x y    x y  2 2 3
3 x y xy  x y  0  x y     2 2
3 x y xy  x y  0  x yx y  0
(i). Nếu x y , khi đó ta được hệ   3 2 2 
3x x  2 y x y 1   (ii). Nếu  2 2
3 x y xy   x y  0 , khi đó ta có hệ 3   2 2
x y xy  x y  0  3 2 2
3x x  2 y
Từ x  0 suy ra để hệ có nghiệm thì phương trình thứ nhất phải có nghiệm y  0 . Do đó
x y  0 là nghiệm duy nhất của hệ này.
Vậy hệ có hai nghiệm là  x, y   0,0;1,  1 .
Bài 6. Giải hệ phương trình : 2
x x  2 y   2  y y  2x Lời giải : Điều kiện : , x y  0 . 1 Xét hàm số 2
f (t)  t t trên đoạn 0;   . Ta có f '(t)  2t   0, t
 0;  . Do đó 2 t
hàm số f (t) đồng biến trên 0;  
Hệ phương trình tương đương với 315 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2
y f (x) 
 2 y x  f ( )
x f (y)
2x f (y) 
Do f (t) là hàm đồng biến nên, nếu y x f ( ) x f ( )
y và nếu y x f ( ) x f ( ) y . Vậy
x y , khi đó hệ trở thành x y  1      x y x y x y          2 2  x x  2 y  x  2x x  0   x x x  3 5 1 1 0      x y    2  3  5 3  5 
Vậy hệ có hai nghiệm là  , x y   1,  1 ; ,  .  2 2   
Bài 7. Giải hệ phương trình :   x   1  2
y  6  y  2 x    1    y   1  2
x  6  x 2 y   1  Lời giải :
Hệ phương trình tương đương với 2 2 2 
xy  6x y  6  yx y  2 2 2
yx  6 y x  6  xy x
Trừ theo vế hai phương trình của hệ ta được x y
x y x y 2xy  7  0  
x y  2xy  7  0  x yx yx y  2
(i). Nếu x y khi đó ta có hệ     2 2 2 2 
xy  6x y  6  yx y
x  5x  6  0 x y  3   
(ii). Nếu x y  2xy  7  0 , khi đó cộng theo vế hai phương trinh của hệ ta được 2 2
x y 5 x y 12  0. 2 2 
x y  5 x y 12  0 
x y 2  5 x y  2xy 12  0 Từ đó ta có hệ   
x y  2xy  7  0 
x y  2xy  7  0  Đặt 2
S x y, P xy; S  4P khi đó hệ trở thành 316 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2  2
S  6S  5  0
S  5S  2P 12  0 
S  1, P  4    S  7  
S  2P  7  0  P S  5, P  6    2 S  5 x y  5
x  2; y  3 Chỉ nhận nghiệm      P  6 xy  6 x  3; y  2   
Vậy hệ có bốn nghiệm là 2, 2;3, 3;3, 2;2,3 .
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Giải các hệ phương trình sau :
Hệ đối xứng loại 1 : 4 4 2 2
x y  6x y  41 
Bài 1. Giải hệ phương trình :  xy   2 2
x y   10  2 2 
x y xy  7
Bài 2. Giải hệ phương trình :  4 4 2 2
x y x y  21  2 2 
x y  13
Bài 3. Giải hệ phương trình :  4 4 2 2
x y x y  91  x y  4 
Bài 4. Giải hệ phương trình :   2 2 x y   3 3
x y   280    1  2 2 x y   1  49  2 2  x y   
Bài 5. Giải hệ phương trình :    1 
x y 1  5    xy    2 2 
x y  2xy  8 2
Bài 6. Giải hệ phương trình :   x y  4  2 2 
x y x y  12
Bài 7. Giải hệ phương trình :  x   x  
1 y y   1  36  
x y 1 xy  18xy
Bài 8. Giải hệ phương trình :   2 2 x y   2 2 1  x y  2 2  208x y  317 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HỆ PHƯƠNG TRÌNH  x y   
  x y  15 y x   
Bài 9. Giải hệ phương trình :  2 2  x y       2 2 x y  85 2 2   y x    3 2  x   x     12     
Bài 10. Giải hệ phương trình : y y     
xy2  xy  6  4xy  4   3 2 2 x y    7 2 2  x y
Bài 11. Giải hệ phương trình  1 2x   3  x y
xy x y  3 
Bài 11. Giải hệ phương trình  1 1 2   2 2
x  2x y  2y 3 
Hệ đối xứng loại 2 : 2  y  2 3y   2  x
Bài 1. Giải hệ phương trình :  2 x  2 3  x  2  y  3 
x 1  2 y
Bài 2. Giải hệ phương trình :  3
y 1  2x   1 1 x   y  
Bài 3. Giải hệ phương trình : x y   3 2 y x  1  3 
x  3x  8y
Bài 4. Giải hệ phương trình :  3
y  3y  8x
x  2  y  2 
Bài 5. Giải hệ phương trình : 
y  2  x  2  3 3 
x  7 x y  7 y
Bài 6. Giải hệ phương trình :  2 2
x y x y  2  318 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2 2
x  21  y 1  y
Bài 7. Giải hệ phương trình :  2 2  y  21  x 1  x  2
x  3  2 x y  3 
Bài 8. Giải hệ phương trình :  2
y  3  2 y x  3   1 2 2x x   2 
Bài 9. Giải hệ phương trình : y   2 2
y y x  2 y  2  3 2 2 2 
x  3xy x 1  x  2xy y
Bài 10. Giải hệ phương trình :  3 2 2 2
y  3x y y 1  y  2xy x
HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP
Phương pháp :
Xét xem hệ phương trình có nghiệm x  0 hoặc y  0hay không, xét x  0 , khi đó đặt y tx BÀI TẬP MẪU
Bài 1. Giải hệ phương trình : 2y   2 2
x y   3x  x  2 2
x y   10y Lời giải :
Nhận thấy x  0, y  0 là một nghiệm của hệ. Xét x  0 , đặt y tx khi đó hệ trở thành 2tx   2 2 2 x t x  2  3x 2tx   2 1 t   3    x  2 2 2 x t x  2  10txx  2
1 t  10t   Từ đó suy ra t  2  t t   2  t  2 4 2 2 1 .10 3. 1
 20t  20t  3  3t 3 1 4 2
 20t 17t  3  0  t  ;t  5 4 319 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HỆ PHƯƠNG TRÌNH  5 85  3 x     3 y x   17 (i). Với t   5    5 2 x  2  t   3 85 1  10t y      17  2 170  1 x    1 y x   17
(ii). Với t   4    4 2 x  2  t   170 1  10ty     34  5 85 3 85   2 170 170 
Vậy hệ có năm nghiệm là  x, y  0, 0 ,  ,  ;  ,   .  17 17   17 34     
Bài 2. Giải hệ phương trình: 2 2 
x  3xy y  1  2 2
x  2xy  2 y  1  Lời giải:
Nhận thấy y  0không là nghiệm của hệ, đặt x ty khi đó hệ trở thành 2  y
 2t  3t   1  1  2  y  2
t  2t  2  1 
Chia theo vế hai phương trình của hệ, ta được t  1 2 t  3t 1 2 1 2t t 1 0         2 1 t  2t  2 t    2  x y  (i). Với t  1 
x y  1  2 y
 2t 3t   1  1   1 1 x   y  (ii). Với t    2  hệ này vô nghiệm 2 2
y  2t  3t   1  1 
Bài 3. Giải hệ phương trình: 320 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2 2x x   y   2 1  y  3y  2 2
x xy  3y x  2 y Lời giải:
Hệ phương trình đã cho tương đương với 2 2 
2x xy y  3y x  2 2
x xy  3y x  2 y
Nếu y  0  x  0 là một nghiệm của hệ.
Xét y  0 , đặt x ty khi đó hệ trở thành 2  y   2 2t t  
1  y 3  t  2  y  2
t t  3  y t  2  Từ đó suy ra  2
t t  t      t 2 t t   3 2 2 1 2 3
3  3t  7t  3t  7  0   7 2 t  
1 3t  7  0  t  1,t  3  7 3 
Thế ngược trở lại hệ đã cho tìm được các nghiệm là  x, y  0, 0,1,  1 , 1,  1 , ,   .  43 43 
Bài 4. Giải hệ phương trình: 3 3
x  8x y  2 y   2 x  3  3 2 y    1  Lời giải:
Hệ phương trình tương đương với 3 3 
x y  8x  2 y  2 2
x  3y  6 
Nhận thấy x  0 không là nghiệm của phương trình, đặt y tx , khi đó hệ trở thành 3 x   3
1 t   2t  8 x  2 x  2 1  3t   6  321 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HỆ PHƯƠNG TRÌNH  1 t   Từ đây suy ra  3
t    t   2  t  2 3 6 1 2 8 1 3
 12t t 1  0   1 t    4  1 1 y x  x  3 (i). Với t   3    3 2   2 y   x 1  3t  1  6    4 78  x x    1 y     13
(ii). Với t    4    4 2 x  2  t   78 1 3  6  y     13  4 78 78   4 78 78 
Vậy hệ có bốn nghiệm là  x, y  3,  1 ;3,   1 ; ,  ; ,  .  13 13   13 13     
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Giải các hệ phương trình sau: 2 3 
x  2xy  16
Bài 1. Giải phương trình:  2 2
x  3xy  2 y  8  2 2 
x  2xy  3y  9
Bài 2. Giải phương trình:  2 2
2x 13xy 15 y  0   3 2x y   2  x
Bài 3. Giải phương trình:  3
2y x  2  y  2 2 
x y y x  30
Bài 4. Giải hệ phương trình:  3 3
x y  35  3 3 2 
x y xy  1
Bài 5. Giải hệ phương trình:  4 4
4x y  4x y    x y   2 2
x y   3
Bài 6. Giải hệ phương trình: xy 2 2
x y  15  322 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HỆ PHƯƠNG TRÌNH 3 3
2x  3y y  4x
Bài 7. Giải hệ phương trình 5   2 1 3y   4 2 3x  2  3 2 
x  3x y  2 y  0
Bài 8. Giải hệ phương trình  3
x  3y  2 y  0  2 2
x y x y   2 2 2  1 x y
Bài 9. Giải hệ phương trình  2 2
y x x y 7   2 2 4  1 x y
DẠNG TOÁN CỘNG, TRỪ THEO VẾ CÁC PHƯƠNG TRÌNH TRONG HỆ
(PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH) -
Đôi khi việc giải hệ phương trình, đơn giản nhất chỉ là cộng hoặc trừ theo vế 2 phương trình của hệ. -
Nâng cao hơn thì nhân vào hai vế của một phương trình với một biểu thức rồi cộng vào
phương trình còn lại của hệ.
Các cách trên sẽ đưa về một phương trình tích( hay là các hằng đẳng thức) và ta dễ dàng tìm ra
mối liên hệ giữa x và y. BÀI TẬP MẪU
Bài 1. Giải hệ phương trình sau: 3 3 
x y  35 (1)  2 2
2x  3y  4x  9 y (2)  Lời giải: 323 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HỆ PHƯƠNG TRÌNH Phân tích: Lấy (1)  .  (2) ta được: 3 3 x y    2 2 35
2x  3y  4x  9 y  0 3 2 3 2
x  2x  4x y  3y  9y  35  0
Ta sẽ chọn các số a, b,    sao cho: x x   x   y y   y  
  x a3  y b3 3 2 3 2 2 4 3 9 35 3 3 a b  3  5   3    3a  2  a  2   2  3a  4   b  3  
Vậy đi đến lời giải cho bài toán này như sau: 3 3
Lấy phương trình (1) trừ đi 3 lần phương trình(2) ta được:  x  2  3  y  x y  5 (3) y  2   x  3
Thế (3) vào phương trình (2) của hệ ta được : 2
y  5y  6  0   y  3   x  2 
Vậy nghiệm của hệ là 3, 2 ,2, 3 .
Bài 2. Giải hệ phương trình sau: 3 3 
x y  91 (1)  2 2
4x  3y  16x  9y (2)  Lời giải:
Lấy phương trình (1) trừ đi 3 lần phương trình (2) theo vế ta được:
x  3    y3 4 3
x  7  y (3) .
Thay (3) vào phương trình (2) của hệ ta được
y  4  x  3 2
y  7 y 12  0  
y  3  x  4 
Vậy nghiệm của hệ là 3, 4,4, 3 . 324 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Bài 3. Giải hệ phương trình sau: 3 2 
x  3xy  4  9 (1)  2 2
x  8xy y  8y 17x (2)  Lời giải:
Lấy phương trình (1) cộng theo vế với 3 lần phương trình (2) ta được 3 2 2 2
x xy  3x  24xy  3y  49   24 y  51x 2 2  x   1; y  4   x   1  x   1
 3 y  4   0   x  1  ; y  4 
Vậy nghiệm của hệ là 1, 4,1, 4
Bài 4. Giải hệ phương trình sau:  1 2 2 x y  (1)   5  57 2 4x  3x
  y(3x 1) (2)   25 Lời giải:
Lấy 25 lần phương trình (1) cộng theo vế với 50 lần phương trình (2) ta được  7 3x y   2 5
25(3x y)  50(3x y) 119  0   17
3x y    5  2 1   11 2 
Giải ra ta được nghiệm của hệ là , , ,     .  5 5   25 25 
Bài 5. Giải hệ phương trình sau : 2 2 
x  2xy  2y  3x  0 (1)  2
xy y  3y 1  0 (2)  Lời giải:
Lấy phương trình (1) cộng theo vế với 2 lần phương trình (2) ta được: 325 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HỆ PHƯƠNG TRÌNH
x y    x y2 2 1 2
 3(x  2y)  2  0   x  2y  2  
y  1 2  x  3   2 2
+ Với x  2y  1
 , thay vào (2) ta được: 2
y  2 y 1  0  
y  1 2  x  3  2 2 
+ Với x  2y  2
 , thay vào (2) ta được:  1 5  y   x  3  5 2 2
y y 1  0    1 5  y   x  3  5  2 Vậy hệ có 4 nghiệm        1 5  3 2;1 2 , 3  5;  .  2   
Bài 6. Giải hệ phương trình: 2 3 6 
x y  2y  35  0 (1)  2 2 5
 (x y )  2xy  5x 13y  0 (2)  Lời giải:
Lấy phương trình (1) cộng với 3 lần phương trình (2) ta được 2 3 2
(6 y 15)x  3(2 y  5)x  2 y  15 y  39 y  35  0  5 1 2 2 y    x    1   5      y   2 2 2 5  3 x   y    0        2 2      1 5  
x   ; y    2 2  1 5   1 5  Vậy nghiệm của hệ là ;  ,  ;      .  2 2   2 2 
Bài 7. Giải hệ phương trình: 2 2 
x  2 y xy  2y (1)  3 2 2 2 2
x  3xy  2y  3x y (2)  326 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HỆ PHƯƠNG TRÌNH Lời giải:
+ Với y  0  x  0 là một nghiệm của hệ.
+ Xét y  0 , nhân vào 2 vế của (1) với  y sau đó cộng theo vế với phương trình (2) ta được 3 3 2 2
2x  2 y  4x y  4xy  0  x y (3) .
Thay (3) vào phương trình (1) ta được: 2
2 y  2 y y  1 ( y  0)  x  1.
Vậy nghiệm của hệ là 0;0,1;  1 .
Bài 8. Giải hệ phương trình : 2 2 
x xy y  3 (1)  2
x  2xy  7x  5y  9  0 (2)  Lời giải:
x y  2  0
Cộng theo vế 2 phương trình của hệ ta được:  x y  22x y  
3  0  2xy3 0  
Với x y  2  0 khi đó ta có hệ:
x y  2  0
y  2  x  x  1     
x xy y  3 x x  
2  x  2  x2 2 2 2  3 y  1   
Với 2x y 3  0 khi đó ta có hệ: x  1 
2x y  3  0
y  3  2x y  1       x xy y 3 
x x 3  2x  3  2x2 2 2 2  3     x  2    y  1  
Vậy hệ có hai nghiệm là  x; y   1;  1 ;2;   1
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Giải các hệ phương trình sau: 3 3  x y  9 1.1.  2 2
x  2 y x  4 y  327 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HỆ PHƯƠNG TRÌNH 3 3 
x y  91 1.2.  2 2
4x  3y  16x  9 y  2 3 
x  2xy  3y 16 1.3.  2
2 y  3xy  2x 12  4 4
x y  240  1.4.  3 3 x  2 y  3   2 2
x  4 y   4 x  8y 
Gợi ý: Nhân vào hai vế phương trình thứ hai với (-8) rùi cộng theo vế với phương trình thứ nhất của hệ.
DẠNG TOÁN BIẾN ĐỔI VÀ ĐẶT ẨN PHỤ
Áp dụng với hệ có số hạng chung xuất hiện ở các phương trình trong hệ. u   x y
Thường thì các bài toán biến đổi đơn giản ta đặt ẩn phụ với v xyChẳng hạn:        x y  
x y2 3 2 2 3  2xy x xy x y y   4 4     x y   2 2
x xy y   6  
x y  x y2  xy  6  2 u   x y u
 u  2v   4
Ta đặt ẩn phụ như sau: 
khi đó được hệ mới:  đơn giản hơn nhiều. v xyu   2
u v   6 
Đôi khi chia(hoặc nhân) hai vế của phương trình trong hệ với một biểu thức nào đó của biến(
thường đơn giản là 2 3 2 3
x, x , x ; y, y , y ) lúc này sẽ được hệ mới có thể đặt ẩn phụ được. Chẳng hạn: 2 
x xy  3x y  0  4 2 2 2
x  3x y  5x y  0 
Mới đầu nhìn hệ này chưa có gì đặc biệt tuy nhiên, với x  0 ta chia hai vế của phương trình đầu
cho x và chia hai vế của phương trình thứ hai cho 2
x ta được hệ mới như sau: 328 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HỆ PHƯƠNG TRÌNH yy x   y  3  0 x   y  3  0    xx    2 2 yy 2  x   3y  5  0  x   y  5  0 2     x   x y
Đến đây ta đặt u x  ; v y  3 x u   v  0
Khi đó hệ trở thành:  2
u v  2  0  BÀI TẬP MẪU
Bài 1. Giải hệ phương trình: 2 2 
x y xy x y (1)  2 2
x y  3 (2)  Lời giải: 1 2 2 Ta có 2 2
x y xy
xy 3xy . 4
Vậy đặt a x  ;
y b x y , khi đó hệ trở thành 4 2 2          2 2 3b 12b 9 0 3(b 1) (b 2b 3) 0
a  3b  4a   a  3 x  2    3   3     ab  3 a a b  1 y  1       bb
Vậy nghiệm của hệ là  x; y   2;  1 .
Bài 2.Giải hệ phương trình: 2 
x  2x  6  y 1  2 2
x xy y  7  Lời giải:
+ Điều kiện y  1
 , khi đó hệ tương đương với 329 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2 2 2 2
x  2x  6  y  2 y 1
x y  2(x y)  5  0   1    1
x y2  3 x y2   7
  x y2  3 x y2   28  4  4
Đặt a x  ;
y b x y , khi đó hệ trở thành
ab  2b  5  0 a  1  a  3      2 2 3a b  28 b  5  b  1     a   1  x y  1  x  3  + Với     
( thỏa mãn điều kiện). b  5  x y  5  y  2    a   3 x y  3 x  1 + Với     
( thỏa mãn điều kiện). b  1  x y  1  y  2   
Vậy nghiệm của hệ là 1; 2 ,3; 2 .
Bài 3.Giải hệ phương trình:  1 2 2 3(x y )   2(10  xy)    x y2  1 2x   5  x y Lời giải:
+ Điều kiện x y (*)  1 2 2
2(x y)  (x y)   20  2  (x y) + Hệ phương trình   1
x y x y   5  x y  1
Đặt u x  ;
y v x y
( v  2) , khi đó hệ trở thành x y  1 u  2 2
2u v  2  20 u   5  v u   3   3        2 u v  5
3v  20v  28  0 v  2 14    v    3 330 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HỆ PHƯƠNG TRÌNH x y  3 u   3  x y  3 x  2 + Với    1     v  2 x y   2 x y  1 y  1     x y   1  1  4  10 u x y x      3  3  3 + Với      14 1 14         3  10 v x y y    3  x y 3    3  4  10 3   10 
Vậy hệ có 3 nghiệm là 2;  1 , ;   3 3   
Bài 4.Giải hệ phương trình: 4 2 2 
x  4x y  4y  2  2 2
x y  2x  6y  23  Lời giải: + Đặt 2
t y , khi đó hệ trở thành 4 2 t
  4 y  2  x  4x
, ta coi x là hằng số khi đó ta được hệ đơn giản với 2 ẩn là t, y .   2 x  6   2 y  23  2x  2 6 4 2 2
Ta có: D x  6; D  x 1
 0x 30x 104; D  23 2x t y 2 DD  2 Ta có 2 y t t y       2 x   6 4 2 x x x    2 6 10 30 104 23  2x D D  
x 1 y  3 2 4 2
 (1 x)(1 x)(1 x )(x 16x  95)  0  x  1   y  3  Bài 5. Giải hệ phương trình: 3 3 9 
y (3x 1)  1  25 (1)  2 2
45x y  75x  6y (2)  Lời giải: 331 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Nhận thấy x  0  y  0 , không là nghiệm của hệ, khi đó chia 2 vế của phương trình (1) cho 3 y ;
và chia 2 vế của phương trình (2) cho 2 y ta được  125 3  125 3 27x   9 27x   9  3  3 y   y    2 x x x 5 45  75  6 15  (3x  )  6 2  y yy y   5 Đặt u  3 ; x v  , khi đó hệ trở thành y u   v  9 
u v3 3 3
 3uv(u v)  9 u   v  3 u  2 u  1         
uv(u v)  6 uv  2 v  1 v  2 
uv(u v)  6     3  x  2  2 u   2  x  + Với    5   3 v  1  1   yy  5    1 3  x  1 x  u  1    + Với 3    5   v  2  2 5   yy     2  2   1 5  Vậy hệ có 2 nghiệm là ;5 , ;     .  3   3 2 
Bài 6.Giải hệ phương trình:  1  1  x(1 x)  1  4    y y     3 3 2 2 3
x y y x xy 1  4 y Lời giải:
+ Điều kiện y  0 . 2  1 1  1   1  x 2 x x    4  x   x   2  4  2     y y y y y      HPT     2 3 x x 1 3    1  x  1 x     4  2 3 x   2 x   4  y y y       y y y     332 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HỆ PHƯƠNG TRÌNH 1 x
Đặt u x  ; v  , khi đó hệ trở thành y y 2 2 u
  u  2v  4   2
v  4  u u    3 3 2 u   2uv  4 u  
u(4  u u )  4   1 x   2 2  2v 4 u u u  2        y      
x y 1 2 (u  2)  0 v  1 x     1  y
Vậy hệ có nghiệm duy nhất 1;1 .
Bài 7.Giải hệ phương trình: 3 
x (3y  55)  64  2
xy(y  3y  3) 12  51x Lời giải:
Nhận thấy x  0 , không là nghiệm của hệ, khi đó hệ tương đương với  64 3y  55   3  x  12 3 2
y  3y  3y   51   x 3 4 3 
y  55  t (1) Đặt t   
, cộng theo vế của (1) và (2) ta được 3 2 x
y  3y  3y  3t  51(2)  3 3 3 3 3
y  3y  6 y  55  t  3t  51  ( y 1)  3( y 1)  t  3t  51
f (t)  f ( y 1) , trong đó 3 2
f (t)  t  3t  51  f '(t)  3t  3  0  f
Vậy f (t)  f ( y 1) khi và chỉ khi t y 1, khi đó thay y t 1 vào (1) ta được 4 3 2
t  3t  52  0  (t  4)(t  4t  13)  0  t  4 
 4  x  1  y  3 x
Vậy hệ có nghiệm 1;3 .
Bài 8. Giải hệ phương trình: 333 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HỆ PHƯƠNG TRÌNH 3 
x (2  3y)  1 (1)  ( , x y ) 3
x(y  2)  3 (2)  Lời giải:
+ Nhận thấy x  0 , không là nghiệm của hệ, khi đó chia 2 vế của (1) cho 3
x và chia 2 vế của (2)
cho x , hệ trở thành  1  1 2  3y  2  3y  u y  3  3  xx     , đặt  1 3 3 v  3 3  y 2    2   y   x   x   x  1 u y  1
x  1 x        2 u y  2 y  1    y  2   1 
Vậy hệ có hai nghiệm là  ; x y   1;  1 ; ; 2    2 
Bài 9. Giải hệ phương trình: 2 
x 1 y(x y)  4 y (1)  ( , x y ) 2 (
x 1)(x y  2)  y (2)  Lời giải:
+ Nhận thấy y  0 , không là nghiệm của hệ, nên ta chia cả 2 vế của (1) và (2) cho y ta được 2
x 1 (x y)  4   y 2 x 1 HPT   , đặt u
; v x y  2  hệ trở thành 2 x 1  y
(x y  2)  1  y  2  x 1 u   v  2 u   1   1 x  1 x  2       y     uv  1 v  1 y  2 y  5     
x y  2  1 
Bài 10. Giải hệ phương trình: 334 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HỆ PHƯƠNG TRÌNH  1  x
x y  3  3 y  2
2xy y 1  8y Lời giải:
Chia 2 vế của (2) cho y ta được  1  x
x y  3  3  y 1 HPT   , đặt u x  ; v
x y  3  hệ trở thành 1  y 2x y   8  yu   v  3 u v  3
u  2;v  1     2 2 
u v  3  8 uv  2 u  1; v  2     1 u   2  x   2  x  5  2    y    v  1    y  1   2 
x y  3  1   1 u   1  x   1   x  4  10    y    v  2    y  3  10 
x y  3  2 
Bài 11. Giải hệ phương trình :   x  201   1  3
2011  2012 y  2013  1  3
x  2010  y  4024  2012  Lời giải : Đặt 3 3
u x  2010, v
y  2013 , khi đó hệ trở thành  3  u   
1 2011 2012v  1  u   3 v  201  1  2012 
Trừ theo vế hai phương trình của hệ, ta được 3 3 3
2011u  2012u v  2011u uv  2012v  0  u v  0  x  2010, y  2013 335 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Vậy hệ có nghiệm là  x; y  2010; 2013
Bài 12. Giải hệ phương trình:  1 2x x y     2 3x 3y 2x y
x, y   2  2x
y   2x  6  y Lời giải : Điều kiện : 3
  x  0; y  0 . kx  0 Khi đó ta đặt y kx   2 2 y k x
Khi đó phương trình thứ nhất của hệ trở thành : 1 2x x kx  
 k  22  2
k k 1  0  k  2 2 2 2 2 2  3x 3k x 2x k x
Với k  2 ta có y  2x x  0 , thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được x x
x    x  2 2 4 8 2 6 2 2  4  2x  6
Đặt 2x  6  2t  2 , khi đó ta có hệ  3   17 2  6   2  22  x x t
2x  6  2t  22  4      
 2x  22  4  2t  2 
x t  1 2x  2t  4  0    13  3 17 y    2  3   17 13  3 17 
Vậy hệ có nghiệm duy nhất  x, y   ,  .  4 2   
Bài 13.Giải hê phương trình :   45  
x y  33 3 2 2  4 y x y xy       4   2
x  4 y  3  2xyLời giải : 336 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HỆ PHƯƠNG TRÌNH    x  3 3  0  Xét y  0  
x  3  3, 0 là một nghiệm của hệ. x  3  0  
Xét y  0 , khi đó chia hai vế của phương trình thứ nhất của hệ cho 3
y và chia hai vế của
hệ cho y , ta đươc: 3  x 3   45 2 2   1
 4 x y xy       y y    4    x 3  4   2xyy yx 3 Đặt u  1
, v xy khi đó hệ trở thành y y 2    u 3  u 3 45    3   45 3 2  u   4      u
 4 v v       2  2 4    4        u  3 u  3  2vv    2 3 2 u
u  8u  60  0 u  5 2
u  4u 12  0   u  5   u  3   u  3   v v  4  v    2  2  1  x 3 x       3 105 1 5   2   y y   3  105 xy 4    y    12  1  3   105 
Vậy hệ có ba nghiệm là  ;
x y   3;0;  3   105 ;   2 12   
Bài 14. Giải hệ phương trình:
x y 1  6   2
x  2x y  2x y 1  2 y 1  29  Lời giải :
Điều kiện: y  1 337 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HỆ PHƯƠNG TRÌNH Đặt 2 a
y 1  y a 1, khi đó hệ phương trình trở thành: x a  6
x  1 a  7      2 2
x  2 x a 1  2   x   1 a  29    x  2 2 1
a  2  x   1 a  29   x  2 2
1  a  2 x   1 a  49 (1)      x  2 2
1  a  2  x   1 a  29 (2) 
Lấy phương trình (1) trừ theo vế cho phương trình (2), ta được:
x  2  a   x  2  a
   x  2  a    x  2 2 2 2 2 1 1 20 0 1 5 0 1  a  25 Vậy ta có hệ x a  6 
x  2; a  4
x  2; y  17       x   2 2 1  a  25 x  3; a  3
x  3; y  10   
Thử lại thấy hai nghiệm này đều thỏa mãn
Vậy hệ có hai nghiệm là  x, y   2,17;3,10 .
Bài 15. Giải hệ phương trình: 2 
x xy  3x y  0  4 2 2 2
x  3x y  5x y  0  Lời giải :
Nhận thấy  x; y   0; 0 là một nghiệm của hệ phương trình
Xét x  0 , khi đó chia hai vế của phương trình thứ nhất cho x và chia hai vế của phương trình thứ hai cho 2 x ta dược hệ  yy x   y  3  0 x   y  3  0    xx y   
đến đây ta đặt u x  ; v y  3 2 2 yy x 2  x   3y  5  0  x   y  5  0 2     x   x  Khi đó hệ trở thành 338 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HỆ PHƯƠNG TRÌNH u   1  u   v  0 v uv  1      2 2 u v 2 0 u u 2 0        u     2   v  2   yx   1   x   y  3  1  x  1      y y  1  x   2  x  y  3  2  
Vậy hệ có hai nghiệm là  ;
x y   0;0;1;  1 . 2 
y x xy  6 y 1  0
Bài 16. Giải hệ phương trình:  3 2 2
y x  9 y x y x  0  Lời giải:
Nhận thấy y  0 không là nghiệm của hệ, nên với y  0 ta chia hai vế của phương trình thứ nhất
của hệ cho y và hai vế của phương trình thứ hai của hệ cho 2 y , ta được 2  x y xy 1   6   y y  2 x y xy 1  .  9  y y  2 x y xy 1 Vậy ta đặt u  ; v y y 2
x y  3 uv 6     y Khi đó ta có hệ 
u v  3   uv  9  xy  1   3  y
x y y   y  3 2 3 1  0   x  2   1   1   x  3  x  3  y  1    yy
Vậy hệ có nghiệm duy nhất  ; x y    2;  1 . 339 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HỆ PHƯƠNG TRÌNH  2  x x   2 2
y  4 y y 1  0
Bài 17. Giải hệ phương trình :  2 2
xy x y 1  3 4  x  3 y  0  Lời giải : Hệ tương đương với  2  x x   2 2
y y  1  4 y  2 2 3 3 3
xy x y 1  x y  4 y
Nhận thấy y  0 không thỏa mãn hệ, nên với y  0 ta chia hai vế của phương trình thứ nhất cho 2
y và chia hai vế của phương trình thứ hai cho 3 y  1 xy 1 2 x    4  2 y y     1   xy 1  2  x   4  2     y y      1  xy 1 2 u x    2 2   y u   v  4  yx  1 Ta đặt 
khi đó hệ trở thành 
u v  2     xy 1  uv  4 1 y  1 v   2 x   2   y 2   y
Vậy hệ có nghiệm duy nhất  x; y   1;  1 . 2
x y   1  6 y  2 
Bài 18. Giải hệ phương trình  4 2 2 2
x y  2x y y   2 x   2 1  12 y 1  Lời giải : Hệ tương đương với 2
x y   2 1  2  6 y
x y   1  2  6 y (1)      
x y  2x y y
  yx   1  13y 1 y  x  2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 1  y  2 x   2 1 1  13y (2) 
Nhận thấy y  0 không thỏa mãn hệ phương trình, nên với y  0 ta chia hai vế phương trình (1)
cho y và chia hai vế phương trình (2) cho 2
y , ta được hệ mới 340 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2 2  x 2  1 x  1 2 2 x    6 x 1   7    y yy y    2 2  2 x 1 1 x   x 1 13       x  2 1 1 2 2 1    13 2 2  y yy y   2 1 x  1 Đến đây ta đặt 2 S x 1 ; P  ;  2
S  4P  0 khi đó hệ trở thành y yS P  7 P  7  SS  4      2 2 S P  13
S S  20  0 P  3    2 x 1  3  x   2  1  1 2   x  1  4  1      y  1 y y          2   2 x 0 x 1  x 1  1   3     1 y   1 y    3    3  y   
Vậy hệ có ba nghiệm là  x y    1 ; 2;1 ; 0;    3   y   3 1 2x y  6  3x
Bài 19. Giải hệ phương trình  6 2 6 1
  4x y  5xLời giải :
Nhận thấy x  0 không thỏa mãn hệ, với x  0 ta chia hai vế của các phương trình trong hệ cho 6 x ta được hệ  y  1   2 y  3  3  3   x xy 1 
đến đây ta đặt a  ; b
 2 y khi đó hệ trở thành 3 3 1  x x 2  4 y  5 6   x 2  b  5  y a   
x  1, y  1 1       3 ab 3 4 a 1  x          2 2 1 1 b  4a  5 b  5 b 3 1     3    x  , y b  3   2 y  3    3  2 2  4   x    341 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HỆ PHƯƠNG TRÌNH  1 1 
Vậy hệ có hai nghiệm là  ; x y   1;  3 1 ; ;   2 2    2 2
x y  6  0 
Bài 20. Giải hệ phương trình 2  4
x, y  
x y   1   3  0   x y2  Lời giải : x y Diều kiện : Hệ tương đương với 
x y  x y  6   4
x y  2 1   3  0   x y2 
Đặt a x  ;
y b x y khi đó hệ trở thành  6 ab  6 b     a  4   a  2 2 1   3  0 a 2  2  b
a  2a 1  3  0   9  6
a  3;b  2 b    a    3      2 a , b 8 8
a 18a 18  0   4
x y  3   5 1 x y  2  x  , y   2 2  3   
x y   35 29  x   , 4 y    8 8
x y  8    5 1   35 29 
Vậy hệ có hai nghiệm là  ; x y  ; ;  ;      2 2   8 8 
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Giải các hệ phương trình sau : 342 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2 2
x 1 y xy  4 y1.1. y
x y  2   2  x 1 3
x 6  21y  1  1.2. x   3 y  6  21  3
x y x y  6  1.3.
  x y3  x y2 6  8  1 1   3  xyx y1.4. 2 2 1 1 3x y  2    7  2 2  x y xy  2 2
x y x y 12  1.5. 2 2
y x y  12 
x xy y 19   x y2 2 2 1.6. 2 2
x xy y  7  x y  2 2 
y xy  6x 1.7. 2 2 2 1
  x y  5x  3
x (2  3y)  8  1.8. x   3 y  2  6  log y xx  log x
 logy logy 1.9. 2 2
lg x  lg y  8  2 2
x y y x  3y  0  1.10. 2 2  x y 1 2
2 y  3y x  1  0  21 2 
x  2xy x y  0 1.11. 4 2 2 2
x  4x y  3x y  0  4 4
x  2x y y1.12. x y  3 2 2  3  343 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HỆ PHƯƠNG TRÌNH 8   5 2 2
x y   4xy   13   x y2 1.13. 1 2x   1  x y  2 2
x y xy 1  4 y1.14.
y x y 2 2
 2x  7 y  2  2 2 
4x y y  2  7xy 1.15. 2 2 3 2
2x  2 y  3y  6xy  4 2 2 
x  4x y  6 y  9  0 1.16. 2 2
x y x  2 y  22  0  2 2
x y xy 1  4 y1.17.
y x y 2 2
 2x  7 y  2     x y 2 2
x y y 1.18. 4 2 2 2
x  4x y  3x   y  
xy xy y   2 2
1  y  6 y 1 1.19.
xy x  4 y  2 
y xy   1 2   2  y 1 5 1.20. x xy    1 1  2  y 1 2  2 2
x y xy  4 y 1  1.21.
y x y 2 2
 2x  7 y  2  3 3  y x   3 9  x 1.22. 2 2
x y y  6x   1 1   2 3 3  1.23.
x y   1  x y    1  2 2
x  2x y
ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐỒNG BẬC
Phương pháp : 344 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Từ hai phương trình của hệ biến đổi và đưa về phương trình đồng bậc với biến x, y Giải phương
trình x biểu diễn theo y rồi thế lại hệ bân đầu. BÀI TẬP MẪU
Bài 1. Giải hệ phương trình : 
x x y y  2 4 x y  (1) 
x  3y  6 (2)  Lời giải: Ý tưởng: 3 1
Nhận thấy vế trái của (1) có bậc là
, còn vế phải của (1) có bậc là
.Do đó nhân vào 2 vế của 2 2
(1) với đa thức có bậc là 1 thì ta được đa thức đồng bậc. Lúc này ta có thể rút x theo y . x  0 + Điều kiện  (*) y  0  1 Thay 2 
(x  3y) từ (2) vào phương trình (1) ta được: 3(x x y y )  (x  3y)(4 x y) 3 
x x xy 12y  0  x x 3 y  x  4 y  0
x  3 y  0    x  0
x  9 y x  9; y  1.
x  4 y  0 
Vậy nghiệm của hệ là 9  ;1 .
Bài 2. Giải hệ phương trình: 3 3 2 
x y xy  1 (1)  4 4
4x y  4x y  0 (2)  Lời giải: Thay 3 3 2
1  x y xy ở (1) vào (2) ta được 345 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HỆ PHƯƠNG TRÌNH 4 4 3 3 2
4x y  (4x y)(x y xy )  0 3 3 2 2 2 2
 3xy x y  4x y  0  xy(3y x  4xy)  0 xy  0 
xy( y x)(3y x)  0  y x  x  3y
x  0 x 1
+ Với xy  0     y 1 y  0  
+ Với y x , thay vào (1) ta được: x y 1 . 1 3
+ Với x  3y , thay vào (1) ta được: y   x  . 3 3 25 25
Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm là  3 1  0;  1 ,1;0, 1;  1 , ;  . 3 3   25 25 
Bài 3. Giải hệ phương trình: 3 3
x  8x y  2 y   2 x  3  3 2 y    1  Lời giải:
Hệ phương trình tương đương với 3 3 
x y  8x  2 y  2 2
x  3y  6 
Nhận thấy x  0 không là nghiệm của phương trình, đặt y tx , khi đó hệ trở thành 3 x   3
1 t   2t  8 x  2 x  2 1 3t   6   1 t   3 Từ đây suy ra 6  3
1 t   2t  8 2 1 3t  2
 12t t 1  0   1 t    4 346 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HỆ PHƯƠNG TRÌNH  1 1 y x  x  3 (i). Với t   3    3 2   2 y   x 1  3t  1  6    4 78  x x    1 y     13
(ii). Với t    4    4 2 x  2  t   78 1 3  6 y      13  4 78 78   4 78 78 
Vậy hệ có bốn nghiệm là  x, y  3,  1 ;3;   1 ; ;  ; ;  .  13 13   13 13     
Bài 4. Giải hệ phương trình: 2 2 
2x  3y x  3xy y  2 2
x  2 y x  2 y Lời giải:
Nhân theo vế hai phương trình của hệ ta được
x y 2 2
x y    x y 2 2
x xy y  3 3 2 2 2 3 2 2 3
x  4 y  3xy  2x y  0 x yx y 2 2 x xy 4 y  0       1 17 x y  2  x  0
x y  0
(i). Với y x thay vào phương trình thứ hai suy ra 2 3x  3x     x  1 x y  1   1 17
(ii). Với x
y , khi đó ta có hệ 2  1 17 x y  2  2 2
x  2 y x  2 y
Bài 5. Giải hệ phương trình : 2 2 2 
2x y x  2x  2  2 2 2
2x y x y  2xy  1  347 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HỆ PHƯƠNG TRÌNH Lời giải :
Hệ phương trình tương đương với 
2x y x  2x  2 2
  xy2   x  2 2 2 2 1  3    2 2 2
2x y x y  2xy  1 
2xy x   1   xy2  1 
Đặt u x 1; v xy khi đó hệ trở thành 2 2 u    2v  3  2
2uv v  1 
Đặt u tv , khi đó hệ trên trở thành : 2 v   2t  2  3 t  5 2 
t  2  32t   2
1  t  6t  5  0   2
v t   t  1 2 1  1    5 1 u  , v  u  5v  3 3
(i). Với t  5     2 2 u  2v  3 5 1 
u   ,v    3 3  5  5  2 x 1  x 1   x  , y  2  3  3    3       1 1 8 1 xy   xy   
x   , y    3   3  3 8 u vu v  1
x 1  xy  1 1
(ii). Với t  1   
x  2, y   2 2   u  2v  3 u v  1
x 1  xy  1  2     1   2   8 1 
Vậy hệ có ba nghiệm là  x, y  2  , ; , 2  ;  ,       .  2   3   3 8 
Phương pháp :
x a u
Hệ có nghiệm a,b thì đặt 
ta đưa về hệ đơn giản hơn, thường là hệ đẳng cấp ta đã
y b v  biết cách giải :
Sau đây xem xét một bài toán nữa đưa được về hệ đẳng cấp
Bài 6. Giải hệ phương trình : 348 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2 2 
x y xy  2 y x  2  2 2
2x y  2 y  2  0  Lời giải :
Hệ phương trình tương đương với 
x y xy  2 y x  2 x    y  2 2 2 2
1  x y   1  3    2 2 2
x y  2 y  2  0  2
x   y  2 2 1  1 
Khi đó đặt u y 1và hệ trở thành 2 2 
x u xu  3 
đây là hệ đẳng cấp.  2 2
2x u  1 
Bài 7. Giải hệ phương trình : 2 2 
x xy y  3  2
x  2xy  7x  5 y  9  0  Lời giải :
Hệ này có nghiệm 1,  1 2 2 x a 1
a b ab  3  a b Đặt 
khi đó hệ trở thành :  y b 1 2  a  2ab  3  a b 
Bài 8. Giải hệ phương trình : 3 2 
x  3xy  49  2 2
x  8xy y  8 y 17x Lời giải :
Nhận thấy x  0 không là nghiệm của hệ, nên đặt y tx Khi đó hệ trở thành 349 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HỆ PHƯƠNG TRÌNH  8t  7 8t  7 b x    3 x   2 1 3t   2  49  1 8t t
 2t 16 8t 17 a b    2 x  2
t t   x t   49  49 49 1 8 8 7 3   x    2  1 3t 3 2 t 16  49 49  4a  Trong đó 2
a t 16, b  8t 17 3 b 4  9 3 Từ đó suy ra :   49 3
b a b  3a  0 3    a b 49  3a
a b ba b  a b2 2 49 49 49
 3  0  a  0 Suy ra 2 3
t  16  x  1   x  1   y  4  .
Vậy hệ có hai nghiệm  , x y    1  , 4; 1  , 4   .
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Giải các hệ phương trình sau : 3 3
x  4 y y 16x1.1.  2 1 y  5   2 1 x   3 3
2x  3y y  4x1.2.  5   2 1 3y   4 2 3x  2   1 3 3 3x y   1.3. x y   2 2 x y  1 
DẠNG TOÁN GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ BÀI TẬP MẪU
Bài 1. Giải hệ phương trình : 350 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2 (
 2x y)(x y)  x(2x 1)  7  2y (1) 
x(4x 1)  7  3y (2)  Lời giải: Thế 2
7  4x x  3y ở phương trình (2) vào phương trình (1) ta được 2 2
(2x y)(x y)  x(2x 1)  4x x  3y  2 y 2 2 2
 (2x y)(x y)  2x y  (2x y)(x y 1)  0
x y 1  0   2 y  2x  0  + Với
x y 1  0  y 1 x , thay vào (2) ta được: 2
2x x  2  0 1  17 3  17  x   y  . 4 4 + Với 2
y  2x  0 , thay vào (2) ta được 2
2x x  7  0  VN .  1 17 3  17 
Vậy hệ có 2 nghiệm là :  x, y   ,  .  4 4   
Bài 2. Giải hệ phương trình : 
x  7 y   x y2 3 2
x y  7x  4 (1)  2 2 3
x y  8 y  4  8x (2)  Lời giải: Thế 2 2
4  8x  3x y  8 y ở phương trình (2) vào phương trình (1) ta được  x y   x y  2
x  2x 15  0  x  5    x  3 
+ Với x y , thay vào phương trình (2) ta được: 2
4  2x  0  VN
+ Với x  5 , thay vào (2) ta được: 2
y  8y 119  0  VN y  1 
+ Với x  3 , thay vào (2) ta được: 2
y  8y  7  0   y  7   351 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Vậy nghiệm của hệ là:  x, y  3;   1 ,3; 7  
Bài 3. Giải hệ phương trình: 2 
x (y 1)  6 y  2 (1)  4 2 2 2 2 2
x y  2x y y(x 1)  12 y 1 (2)  Lời giải: 6 y  2 Nhận thấy y  1
 , không là nghiệm của hệ, xét y  1  khi đó rút 2 x  từ (1) thế vào (2), y 1 ta được: 2  6 y  2  6 y  2  6 y  2  2 2 2 y  2 yy 1  12 y 1     y 1 y 1 y 1      2
y  1  x   2    y  1
4( y 1)(9 y 1) y y 1        1  y  2 2 2 1 (9 y 1) y ( y 1)      y   x  0  3 Vậy hệ có 3 nghiệm là  1   x, y  0; ,    2;  1 .  3 
Bài 4. Giải hệ phương trình : 2 
y xy 1  0 (1)  2 2
x y  2x  2y 1  0 (2) 
Lời giải: Thay 2
y 1  xy từ phương trình (1) vào phương trình (2), ta được x y  0 2
x xy  2(x y)  0  (x y)(x  2)  0  x  2  2 2 
x x 1  0 -
Với y   x khi đó hệ trở thành  hệ này vô nghiệm 2 2
x x 1  0  352 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2 
y  2 y  1  0 -
Với x  2 khi đó hệ trở thành   y  1  2
y  2 y  1  0 
Vậy hệ có nghiệm duy nhất  ; x y    2  ;   1 .
Bài 5. Giải hệ phương trình:
xy x  7 y 1 (1)  2 2 2
x y 10y 1 (2)  Lời giải: 7 y  1
Từ phương trình (1), rút x
thay vào phương trình (2) ta được y 1 2
y  1  x  3  7 y 1  2 2 4 3 2 y 10 y 1 39 y 34 y 8 y 2 y 1 0             1 y 1
y    x  1    3  1 
Vậy hệ có hai nghiệm là  x, y  3,   1 ; 1;    .  3 
Bài 6. Giải hệ phương trình : 2
x xy  2x  2y  16  ( , x y  )
(x y)(4  xy)  32  Lời giải:
Hệ đã cho tương đương với (
x y)(x  2)  16 (1) 
(x y)(4  xy)  32 (2) 
+ Nhận thấy x  2 không là nghiệm của hệ, nên chia 2 vế của (1) cho x  2 ta được 16 x y  , thay vào (2) ta được: x  2 16(4  xy)
x  0  y  8
 32  4  xy  2(x  2)  x( y  2)  0   x  2
y  2  x  2  x  6  
Vậy hệ có 3 nghiệm là  ,
x y  0;8,2;2 ,2; 6   353 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Bài 7. Giải hệ phương trình:   x   2 2
1  6(x 1) y  4 y  20  (x, y  )
x  2 y  2 2 1  2  Lời giải: Hệ tương đương với 2 2 
x  2x 1 6xy  6y  4 y  20 (1)  2 2
x  4 y  4y 1  2 (2)  Thay 2 2
x  4 y  1 4 y từ phương trình (2) vào phương trình (1), ta được x  9 2
x 11 4 y  6xy  6 y  20  y  , thay vào (2) ta được 3x  5 2  2x 18 2  x  1  2  x  1   y  1     3x  5 
Vậy hệ có nghiệm duy nhất  x, y   1  ,   1 . 3 2 
x  2xy  5 (1)
Bài 8. Giải hệ phương trình  2 2
2x xy y  4x y (2)  Lời giải: 3 5  x
Nhận thấy x  0 không thỏa mãn hệ phương trình, với x  0 rút 2 y  từ phương trình (1) 2x
và thay vào phương trình (2) ta được 3 5  x 2 3 2 2 2x xy
 4x y  3x  8x  5  2x y  2xy  0 2x   x   2
x x    xy x      x   2 1 3 5 5 2 1 0
1 3x  5x  5  2 xy  0 2 1    2 y  5 -
Với x  1 khi đó hệ trở thành   y   2 2
2  y y  4  y  - Với 2
3x  5x  5  2xy khi đó thay vào phương trình (2) ta được 354 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HỆ PHƯƠNG TRÌNH 1 2 2x   2
3x  5x  5 2
y  4x y 2 2 2 2
x  5x  5  2 y  8x  2 y x  3x  5  2 y 1 y (*) 2  3  11 11 Vế trái 2
x  3x  5  x       2  4 4 1 1
Vế phải 2 y 1 y   y 1 y2  2 2
Từ đây suy ra phương trình (*) vô nghiệm
Vậy hệ có hai nghiệm là  ;
x y  1; 2;1; 2 3 2 1 
 3y  3x  1
Bài 9. Giải hệ phương trình 
x, y   2
y  4 y  1  5x  4xyLời giải: 5 5 2 y  4 y 1 Nhận thấy y  
không thỏa mãn hệ, nên với y   rút x  từ phương trình thứ 4 4 4  5 y
hai thay vào phương trình thứ nhất ta được 2 2
y  4 y 1  13y  3  1     y  23 3  y  2 2
13y 16 y  7  0 4  5y    y  2   y  2 
Vậy hệ có hai nghiệm là  ;
x y   1;2;1;2
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Giải các hệ phương trình sau: 3 3 3 16 
x y  9 y  2xy y  2 4xy    3 1.1.  2 2 2 2
4x y  2xy y  3  355 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2 2 2 1
 6x y 17 y  1 1.2.
4xy  2x  7 y  1 
DẠNG TOÁN DÙNG PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ
Để ý điều kiện nghiệm của hệ, Sử dụng phương pháp hàm số, sử dụng bất đẳng thức:
Biến đổi một phương trình của hệ thành f (x)  f ( y) (*)
Nếu chứng minh được hàm số f (x) đơn điệu tăng hoặc đơn điệu giảm trên miền nghiệm của hệ
thì phương trình (*) tương đương với: y x , lúc này ta thế ngược lại hệ.
Bất đẳng thức xem chuyên đề giá trị lớn nhất, nhỏ nhất và phương pháp chứng minh bất đẳng thức BÀI TẬP MẪU Bài 1. 2 2
6x y  5xy  7 x  3y  2  0 (1) 
Giải hệ phương trình:  x y
 ln( x  2)  ln( y  2) (2)   3 Lời giải:
+ Điều kiện: x  2  ; y  2 
Coi (1) là phương trình bậc 2 với ẩn là y , ta được 2 2
(1)  y  (3  5x) y  6x  7x  2  0 , ta có 
5x  3  x 1 y   3x  2    x    y  2 2 1
5x  3  (x 1)  y   2x 1  2
Từ phương trình (2) ta có:
x  3ln(x  2)  y 3ln( y  2)  f (x)  f (y); f (t)  t  3ln(t  2),t  2  356 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HỆ PHƯƠNG TRÌNH t 1
Ta có f '(t) 
 Hàm số nghịch biến trên khoảng  2  
;1 và đồng biến trên khoảng 1; . t  2
(i). Nhận thấy với x y 1là nghiệm của hệ.
y x  2x  2  0
(ii). Với x 1   y  , x x
  1 f ( y)  f (x)  VN  .
y x x 1  0 
y x  2(x 1)  0
(iii). Với x  1
y x  1, x
  1 f ( y)  f ( ) x VN
y x x 1  0 
Vậy hệ có nghiệm duy nhất 1,  1 . Bài 2.  x  2 1  21 
y   y  2 1 (1) 
Giải hệ phương trình:    y  2 1  21 
x   x  2 1 (2)  Lời giải:
+ Điều kiện: x, y  0
Nhận thấy x  0  y  0, không là nghiệm của hệ nên x  0; y  0 .
Trừ theo vế 2 phương trình với nhau ta được  x  2 
x   x  2   y  2  
y   y  2 1 21 1 1 21 1
f x f y f t  t  2 
t  t  2 ( ) ( ); ( ) 1 21 1 ,t  0 1 t  1
Ta có f '(t)  2(t  1)    0, t
  0 . Vậy hàm số f (t) đồng biến. 2 tt  2 1  21
Suy ra f (x)  f ( y)  x y , khi đó thay vào (1) ta được phương trình
x  2  x   x  2 1 1  21  0(*) , 2 2 xét hàm số g( )
x   x  
1  x   x   1  21 . Ta có 357 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HỆ PHƯƠNG TRÌNH 1 x  1 x  1
g '(x)  2x  2    2 
 0. Vậy hàm số g(x) đồng biến. 2 xx  2 x  1 1  21
Mặt khác ta có, g(1)  0 . Vậy x  1là nghiệm duy nhất của phương trình (*). Suy ra nghiệm x y  1.
Vậy hệ có nghiệm duy nhất 1;  1 . Bài 3.   7 2  2x   1  2 2 y   1  xy (1)
Giải hệ phương trình :  2 2 2
x y xy  7x  6 y 14  0 (2)  Lời giải:
Coi (2) là phương trình bậc 2 với ẩn là x thì điều kiện phương trình này có nghiệm là  7    y   y y    y  . x  72 2 4 24 56 0 1,  3  
Cũng coi (2) là phương trình bậc 2 với ẩn là y thì điều kiện để phương trình này có nghiệm là  10    x   x x    x y  62 2 4 28 56 0 2;  3   
+ Nhận thấy x  0  y  0 , không là nghiệm của hệ . Ta chia 2 vế của (1) cho xy  1  1  7 7  2x  2 y  
f (x) f ( y)      x y 2 2   1 7
Ta có f '(t)  2 
 0  f  f (x) f ( y)  f (2) f (1)  2 t 2
Vậy x  2; y 1. Thay vào (2) thấy thỏa mãn.
Vậy hệ có nghiệm duy nhất 2;  1 .
Bài 4. Giải hệ phương trình : 3 2 
4x  3xy  7 y  3 2
y  6x y  7  Lời giải : 358 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Từ phương trình thứ hai của hệ , ta có 3 2 y x y   y  2 2 6 7
y  6x   7  y  0 .
Khi đó từ phương trình thứ nhất ta suy ra x  0 . Vậy , x y  0 .
Trừ theo vế hai phương trình của hệ ta được :
x y 2 2
4x  2xy y   7 y   1 (*) Xét phương trình (*).
(i). Với 0  y 1thì VP  0 VT  0  x y  0  x y 1, từ đó ta suy ra 3 2
y  6x y  7 , hệ vô nghiệm.
(ii). Với y  1  7  y  
1  0  VP  0  VT  0  x y  1, từ đó suy ra 3 2
y  6x y  7 , hệ vô nghiệm.
Vậy với y 1, ta có nghiệm x  1 .
Vậy hệ có nghiệm duy nhất  x, y  1,  1 .
Bài 5. Giải hệ phương trình : 3 2 3 2
x  3x  2  y  3y  2    x  2   y 1  log  log  x   y   x    20122 y 1     x  2  Lời giải : 0  y  1 0  x  2  Điều kiện  y  1   x  2 
Đặt y u 1, khi đó phương trình thứ nhất trở thành 3 2 3 2
x  3x u  3u Xét hàm số 3
f (t)  t  3t trên miền xác định, ta có 2
f '(t)  3t  3 nên đơn điệu trên miền xác định. Do đó f ( )
x f (u)  x u x y 1
Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta suy ra nghiệm x  2012 . 359 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Bài 6. Giải hệ phương trình : 2 x y     2 x y    2 2 2 2 y x 2 4 9.3 4 9 .7 
4x  4  4x  4 2y  2x  4  Lời giải :
Điều kiện y x  2  0 . Đặt 2
t x  2 y khi đó phương trình thứ nhất của hệ trở thành t 2 2    tt 4 3 4 3 t t 2 4  3  4  9  2 .7  
f (t  2)  f (2t) t 2 2 7 7 t x x 4  3x  1   3 
Xét hàm số f (x)   4   
  là hàm nghịch biến. 7x  7   7 
Do đó f (t  2)  f (2t)  2t t  2  t  2 Từ đó suy ra 2 2
x  2 y  2  2 y x  2 thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được x x x x x        
x    x  2 2 1 s 2 4 4 4 4 2 2 4 4 1 1  1  4  s s  1
Trong đó s x 1 Do  2 s s   2 s   s s 2 1 1  1  4  s 1  s
Từ đó ta suy ra : 4s  4s  2s  0(*)
Ta xét hàm số ( )  4x  4x f x  2x ta có '( ) ln 4 4x 4 x f x   
  2  2 ln 4  2  0 . Do đó hàm số
đơn điệu tăng. Mặt khác nhận thấy f (0)  0 nên phương trình (*) có nghiệm duy nhất s  0 . Từ 1
đây suy ra x  1  y   . 2  1 
Vậy hệ có nghiệm duy nhất  x, y  1,    .  2 
Bài 7. Giải hệ phương trình :  2  x  1 x   2
y  1 y  1  2
x 6x  2x 1  4xy  6x 1  360 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HỆ PHƯƠNG TRÌNH Lời giải : Do  2 y y   2 1
y 1  y 1nên từ phương trình thứ nhất của hệ ta suy ra 2 2
x  1  x   y
y  1  f ( x)  f ( y) 2 x 1 x x x x Xét hàm số 2
f (x)  x  1 x ta có f '(x)  1    0 2 2 2 1 x 1 x 1 x
Do đó hàm số f (x) đồng biến trên  . Nên f ( )
x f (y)  x  y
Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta có phương trình 2  x  25 2 2 2 2
x 6x  2x 1  4x  6x 1 
6x  2x  1   x    2  4
x  1  y  1 2
 6x  2x 1  3x     3  11 3   11 2   6  2 1  2 x   y x x x    2 2  3  11 3   11 
Vậy hệ có hai nghiệm là  x, y  1,   1 ; ;  .  2 2   
Bài 8. Giải hệ phương trình: 2 ( 
 4x 1)x  ( y  3) 5  2 y  0 (1)  2 2
4x y  2 3  4x  7 (2)  Lời giải:  3 x    + Điề 4 u kiện 
(*) , khi đó phương trình (1) tương đương với 5  y    2 (5  2y) 1 2 (4x 1)x  ( ) 5  2 y  0 2 2 2
 (4 x  1)(2 x)  (( 5  2 y )  1) 5  2 y 2 2
f (2 x)  f ( 5  2 y ); f (t)  t(t  1), f '(t)  3t  1  0 2 5  4x
f  f (2x)  f ( 5  2 y )  2x  5  2 y  0  y  ; x  0 2 361 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2 5  4x
Thay vào (2) ta được phương trình: 2 2 4x  (
)  2 3  4x  7(*) 2 2 5  4x  3 2 2 
Xét hàm số f (x)  4x  (
)  2 3  4x  7 trên đoạn 0; 2  4    4 3 Ta có 2
f '( x)  4x(3  4 x )   0, 0  x
f  f ( x)  0 nếu có nghiệm thì đó là 3  4x 4  1 1  x
nghiệm duy nhất. Nhận thấy f ( )  0   2 2  y  2 
Bài 9. Giải hệ phương trình :  log  2x  
1  log  x y  4x  4x  2   x y2 2 2 2
1  3x y  4x  2xy 1 3 3  log 2x 2 2
 4x  4x  1  1 2  3 Lời giải :
Phương trình thứ nhất của hệ được viết lại thành
2x 12 1  2x  2 1  log  2x   1 
x y2 1   x y2  log x y 3 3   Xét hàm số 2 2
f (t)  t 1  t  log t với t  0 , ta có 3 t 1 f '(t)   2t
 0 nên hàm số f (t) nghịch biến. Do đó phương trình đầu tiên 2 t ln 3 t 1
f (2x 1)  f (x y)  2x 1  x y (*)
Xét hàm số f (x)  log 2x 2 2
 4x  4x 1, x  0 3  1  1
Ta có f '(x)  4x 2     
0 , nên hàm số đơn điệu tăng. 2 x ln 3  4x 1   1  Mặt khác ta có f  1 2  
. Suy ra x  1 2 kết hợp với phương trình (*) ta có nghiệm  2  3 y   . 2
Bài 10. Giải hệ phương trình : 362 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HỆ PHƯƠNG TRÌNH 3 
x  3x 1 2x 1  y  3
y  3y 1 2 y 1  x Lời giải : 1 Điều kiện : , x y   . 2
Trừ theo vế hai phương trình của hệ ta được 3 3 x  4 x
2 x  1  y  4 y
2 y  1  f ( x)  f ( y)  1  Xét hàm số 3
f ( x)  x  4 x  2 x  1 trên đoạn  ;    . Ta có  2  1 2  1 
f '(x)  3x  4 
 0, nên f (x) đơn điệu tăng trên đoạn  ;    . 2x 1  2 
Vậy phương trình f (x)  f ( y)  x y , thay vào phương trình thứ nhất của hệ ta được phương trình : 3
x  2x 1 2x  1  0  1  Ta xét hàm số 3
f (x)  x  2x 1 2x 1 trên đoạn  ;    .  2  1  1  Ta có 2
f '(x)  3x  2 
 0, nên hàm số f (x) đơn điệu tăng trên đoạn  ;    . 2x 1  2 
Mặt khác nhận thấy f (0)  0 . Vậy phương trình f (x)  0 có nghiệm duy nhất x  0 , từ đó suy
ra hệ có nghiệm duy nhất  x, y  0, 0 .
Bài 11. Giải hệ phương trình : 2 2 x 1  6 2 y 8 y 2 4  3 x x  1  4  3 y  4  y  8 y  17    y  2 x   2
1  4x  3x  8  ln  2
x  3x  3  0  Lời giải :
Điều kiện : x  0, y  4 .
Khi đó biến đổi phương trình thứ nhất thành : x 1  6 2  y  2 2 4  3 x x  1  4
 3 y  4   y  42 4  1 363 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2 Xét hàm số t 1  6 2 f (t)  4
 3 t t 1 trên đoạn 0; . 2  3 t Ta có t 16
f '(x)  2t4 ln 4  
 0,t 0; . Nên hàm số f (t)đơn điệu tăng trên 2 2 t t 1
đoạn 0; . Vậy phương trình f ( )
x f (y  4)  x y  4  y x  4 lúc này thay vào
phương trình thứ hai của hệ ta được phương trình 3 x x    2 2 12
ln x  3x  3  0(*) Ta xét hàm số 3
f x x x    2 ( ) 2 12
ln x  3x  3 . Ta có 2 2x  3 2x  4x  3 2 2
f '(x)  3x  2   3x
 0, nên hàm số f (x) đơn điệu tăng trên đoạn 2 2 x  3x  3 x  3x  3 0; .
Mặt khác nhận thấy f (2)  0, từ đó suy ra phương trình (*) có nghiệm duy nhất x  2  y  6 .
Vậy hệ có nghiệm duy nhất  x, y  2, 6 .
Bài 12. Giải hệ phương trình :  2xy 2 x   x y  3 2  x  2x  9  2xy 2  y   y x 2 3  y  2 y  9  Lời giải :
Cộng theo vế hai phương trình của hệ ta được 2xy 2xy 2 2   x y 3 2 2 3 x  2x  9 y  2 y  9
Phương trình này có nghiệm nếu xy  0 . Nhận thấy x y  0 là một nghiệm của hệ. Xét xy  0 2xy 2xy
Phương trình này có VP  2xy;VT  
xy xy  2xy x  2 1  8  y  2 3 3 1  8
Dấu bằng xảy ra khi cà chỉ khi x y 1. 364 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là  x, y  0, 0;1,  1 .
Bài 13. Giải hệ phương trình : 3 2 2
x  2y x y  2xy   2 3 3 2 
x  2 y 1 
y 14  x  2  Lời giải : Điều kiện : 2
x  2 y 1  0 .
Phương trình thứ nhất của hệ biến đổi thành :  2
x  2 y  x y  0 , so sánh với điều trên suy ra x y , lúc này ta thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được 2 3 3
2 x  2x 1 
x  14  x  2 , phương trình này có nghiệm nếu 3 3 2
x 14  x  2  x  2x 1  0 . Kết hợp với điều kiện suy ra 2
x  2x 1  0  x  1 2 , thử
lại ta thấy nghiệm thỏa mãn.
Vậy hệ có hai nghiệm là  x, y  1 2,1 2;1 2,1 2.
Bài 14. Giải hệ phương trình :  121 x 2 2 x  2x   27  9  2 2
x y xy  3x  4 y  4  0  Lời giải :
Coi phương trình thứ hai là phương trình bậc hai ẩn y , khi đó phương trình này tương đương với : 2
y   x   2
4 y x  3x  4  0 , phương trình này có nghiệm nếu 4   x   x x     x  . y  42 4 2 3 4 0 0 3 2 x 2  4  8 121 4 4 Khi đó 2 2 3
x  2x  27    27   
. Vậy dấu bằng xảy ra, suy ra x   y  .  3  3 9 3 3 365 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HỆ PHƯƠNG TRÌNH  4 4 
Vậy hệ có nghiệm duy nhất  x, y  ,   .  3 3 
Bài 15. Giải hệ phương trình :  1 2 2  5  x  5   3  y 2  x  1
x   23 2y   x Lời giải :
Nhân thêm 2 vào hai vế của phương trình thứ nhất sau đó cộng theo vế với phương trình thứ hai, ta được : 1 1 2 2
2 5  x x   2 5 
 2 y  4 y 12 2 x x
Sử dụng bất đẳng thức cauchy-shar ta có 2
x  2 5  x   2 2 1  2  2 2
x  5  x   5     VT  10 1 1     2 5    1 1 2 2 1  2  5   5 2  2 2   x x   x x
Mặt khác lại có VP y y    y  2 2 2 4 12 2 1 10  10  y  1
Vậy VT VP  0   x  1 
Bài 16. Giải hệ phương trình : 1      x y x y 1  2  2x  9x  6 2  4
x 18x  20   y 1 2  2x  9x  8 Lời giải : 2  4
x 18x  20  0  5  2  x  Điều kiện : 2
2x  9x  8  0   2  y 1 0  y  1    366 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2  9  1 1  1  Đặt 2 t  4
x 18x  20  4  x     t  0;   4 4 2  2      4
Khi đó phương trình thứ hai của hệ trở thành : t 1  y 1 , 2 t  4 2 4 4 2 8t
t  7t  t  4
Xét hàm số f (t)  t 1
, ta có f '(t)  1   0 2 t  4 t  42 t  42 2 2  1 
Do đó f (t) là hàm đồng biến trên 0;
f (t)  f (0)  2 
. Từ đó suy ra ta phải có 2   
y  1  2  y  3 .
Từ phương trình thứ nhất của hê : Ta lấy logarit tự nhiên hai vế ta được ln x ln  y   1  y  
1 ln x x ln  y   1   (*) x y 1 ln u 1 ln u
Xét hàm số g(u) 
, ta có g '(u) 
 0  u e u 2 u
Suy ra hàm số tăng trong khoảng 0;e , giảm trong khoảng  ; e   5  ln 2 ln 4 ln 2 Vậy ta có : x  2;
g(x)  g(2)  
và y 3;   g( y)  g(3)   2    2 4 2
Từ đó suy ra phương trình (*) tương đương với : x  2; y  3
Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta thấy thỏa mãn.
Vậy hệ có nghiệm duy nhất  ;
x y   2;3 .
Bài 17. Giải hệ phương trình : y 2 l  og x  2  2  2
4 1 x xy 4  y  0  Lời giải :
Điều kiện x  0 , từ phương trình thứ hai của hệ ta suy ra y  0
Từ phương trình thứ hai ta suy ra  x   2 2  x y  2  y  2 4 2 2 16 1 4
x y  4x y  16  x   1  0 367 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2
Coi đây là phương trình bậc hai với ẩn là 2 y , ta được 4 2 2  '  4x 16x x 1  4x x  2 , từ 2     y đó suy ra 2 
2x  2x x  2 4 2   y    2 x x  2 
2x  2x x  2 2 4x  4x 2  y    0 2 2  x x 4 4 Chỉ nhận nghiệm 2 y   x
, thay vào phương trình thứ nhất của hệ ta được 2 x y 4 y2 2 y2 log  2  2  log y  2  0 (*) 2 2 2 y Xét hàm số 2 2 ( ) 2 log 2y f y y     với y  0 2  y  2 2 2 Ta có 2 f '( y)  2 ln 2  
1 yln 2 y 1
.2    0,y ;0 y ln 2 y ln 2
Vậy f ( y) là hàm đơn điệu tăng trên khoảng ;0 . Mặt khác lại có f ( 1  )  0  y  1  là
nghiệm duy nhất của phương trình (*). Từ đây suy ra x  4 .
Vậy hệ có nghiệm duy nhất  ;
x y   4;   1
Bài 18. Giải hệ phương trình :  x 3 3 x x  log
 8 y  2 y 1 2  y
x 1  y 1 1  0  Lời giải :
Điều kiện : x 1, y 1.
Khi đó phương trình thứ nhất của hệ được biến đổi thành :
x x  log x  2 y3 3
 2 y  log 2 y 2 2 1 Ta xét hàm số 3
f (t)  t t  log t,t  0 . Ta có 2
f '(t)  3t  1
 0, t  0 . Suy ra hàm số 2 t ln 2
đơn điệu tăng. Từ đó suy ra f ( ) x f (2 )
y x  2y , thay vào phương trình thứ hai ta được : 2 y 1 
y 1 1  0  2 y 1  y  2 y 1  2 y 1  1 y y  1  x  2. 368 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2 2  x y 1    2 2
Bài 19. Giải hệ phương trình  y   1  x   1 2
3xy x y 1  Lời giải : Ta có  x   1  y  
1  xy x y 1  3xy xy  4xy
Khi đó sử dụng bất đẳng thức 2 2
a b  2ab , ta được 2 2 2 2 x y x y 1   2 .   y  2 1  x  2 1  y  2 1  x  2 1 2 2 2 x y 1  y  1   2x
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi      y  2 1  x  2 1 4 x  1   2 y
Thế ngược lại phương trình thứ hai của hệ x   3 3
y x   7
Bài 20. Giải hệ phương trình  4 3 3 2 2
x x y  9 y y x x y  9xLời giải : Hệ tương đương với x   3 3
y x   7 x  3 3
y x   7     x  3 3 x y  2
x y x y  9 x y  0   x y   x 2 2
x xy y  2  x y  9  0  x   3 3
y x   7   do x y x  2 2
x xy y  2  x y  9  0  x   3 3
y x   7  
x x y2  9  3
Từ đây suy ra x  0 và y x  0 và y
x , thay vào phương trình thứ nhất ta được x 3  3    3 x   xx   7   , đặt 2
x t ta được  x      369 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HỆ PHƯƠNG TRÌNH 3  3  ttt  7    t 33 2 2 6 3 7
t  7t  0  t
Dễ thấy vế trái là hàm đồng biến trên 0; , lại có f (1)  0
Vậy x 1 y  2
Vậy hệ có nghiệm duy nhất  ; x y   1;2
 2x 1  2 y 1  y x
Bài 27. Giải hệ phương trình  2 2 2 3 1
 6x y  5  6 4x y x Lời giải: 1
Điều kiện x, y  
khi đó hệ tương đương với 2  2 x y   2   y x  
x y  1 2x 1 2 y 1     2x 1 2 y 1             2 2 2 3 2 2 2 3
16x y  5  6 4x y x  16 
x y  5  6 4x y x  x y    4 3 3 1
 6x  5  6 4x x  Từ đây suy ra , x y  0 1 3 3 Ta có 3 3 4x x  4x  2 4x   1 .2   2
4x  4x 1 2   2 3
4x  4x   3 2 2 2 3 1
Từ đó suy ra 16x  5 
4x  4x  3  22x  2x   1  2x  2 5 2 2 1  0  x   2 2 1
Thử lại thấy x  
thỏa mãn phương trình trên 2  1 1 
Vậy hệ có nghiệm duy nhất  ; x y   ;    2 2  3 8
y  2x y 3 6xy  6x 13 
Bài 28. Giải hệ phương trình  3
x  5x   3
x  2 y  6 3
x  2 y 1  0  370 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HỆ PHƯƠNG TRÌNH Lời giải: Điều kiện: 3
x  2 y 1  0 Đặt 3 t
x  2 y  1 thì phương trình thứ hai của hệ được viết lại thành
x x  t  t   x x  t5 5 2 5 5 5 0 5  5 t   Xét hàm số 5
f (u)  u  5u có 4
f '(u)  5u  5  0 nên hàm số f (u) đơn điệu tăng trên  , từ đó  x  0  suy ra 3
f (x)  f (t)  x t
  x   x  2 y  1   1 y    3 2
x  1  x   2
Thay vào phương trình thứ nhất của hệ ta được phương trình 2 2  x
x  2 x  5  3 y y  4
Bài 29. Giải hệ phương trình  2 2
x y  3x  3 y 1  0  Lời giải :
Bình luận : Phương trình thứ nhất được viết lại thành
x   x  2 2 1  4  3y
y  4 2 vế có dạng gần tương tự nhau ; tuy nhiên sai khác nhau đại
lượng x và 3y ; bây giờ thế 3y từ phương trình thứ hai của hệ vào chúng ta sẽ được gì ?
x   x  2   y x   x y    x  2   x  2 2 2 2 2 2 1 4 3 1 4 1 1  4  y y  4
Rõ ràng đưa về phương trình dạng f (x 1)  f ( y) trong đó 2 2
f (t)  t t  4 t
Hàm này có f '(t)  2t
; liệu chúng ta có thể đánh giá được bằng tính đơn điệu của hàm 2 t  4 số hay không ? Trình bày : Rút 2 2
3y y  3x 1 x từ phương trình thứ hai của hệ thay vào phương trình thứ nhất của hệ ta được
x   x  2 2 2 2
1  4  y  3x 1 x y  4 371 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HỆ PHƯƠNG TRÌNH
  x  2   x  2 2 2 1 1  4  y y  4
  x  2  y   x  2 2 2 1
1  4  y  4  0 2 x 1  y 2  2 2   x   1  y   0  x  2 2 1  4  y  4   1 1    x  2 2 1  y  0 2     x   2 1  4  y  4    y x 1   x  2 2 1  y  0   y  1 x  - Nếu y x 1 khi đó ta có hệ  3 x   y x 1  y x 1    2     
x y  3x  3y 1  0 x     x  2 2 2 2
1  3x  3 x   1 1  0 1   y    2 -
Nếu t  1 x khi đó ta có hệ  3 x   y  1 xy  1 x    4     
x y  3x  3y 1  0 x    1 x2 2 2 2
 3x  31 x 1  0 1   y    4  3 1   3 1 
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm  ; x y  ; ; ;      2 2   4 4   y  2 2 y x  4  x  2 2 4 3 x  3 
Bài 30. Giải hệ phương trình 
2x  2y  2x  5  x   1  4  Lời giải:
Điều kiện : 2y  2x  5  0
Nhận thấy x  0 không là nghiệm của hệ ; nên chia hai vế phương trình thứ nhất của hệ cho 3 x , ta được phương trình 372 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HỆ PHƯƠNG TRÌNH 3  2 y  2 y 3  3.  x  3x    x x Ta xét hàm số 3
f (t)  t  3t có 2
f '(t)  3t  3  0,t   nên suy ra f (t) đơn điệu tăng trên  . 2  2 y  2 y x Vậy nên f
f (x)  x   y   
; ta thay vào phương trình thứ hai của hệ ; ta được  x x 2 phương trình x  x  2 1 2
1  4   x    1   2 (*) Xét hàm số u f u   2 ( ) 2
u  4  u  2 trên  , ta có 2
u  4  u u    '( )  2u f u  1 2
u  4  u  ln 2     0 ; do  1 2  u  4  ln 2  1   2  u  4
Vậy f (u) đơn điệu tăng ; nên nếu phương trình f (u)  0 có nghiệm thì đó là nghiệm duy nhất. 1
Phương trình (*) tương đương với f (x 1)  0  f (0)  x  1 ; suy ra y  2  1 
Vậy hệ có nghiệm duy nhất  ; x y  1;    2    x y    1
x y 1  6x  2 y  20
Bài 31. Giải hệ phương trình  
 3x y  2 3x y  2  2x  2 y  18  Lời giải :
x y 1  0 Điều kiện 
3x  2 y 1  0 
Khi đó hệ phương trình tương đương với   x y    1
x y 1  23x y  2  16  (1) 
 3x y  2 3x y  2  2 x y   1  16 
Trừ theo vế hai phương trình trên ta được
x y   1
x y 1  2 x y  
1 3x y  2 3x y  2  2 3x y   2  0
  x y  
1  x y 1  2 3x y  22  3x y  2  0 (*) 373 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Từ (*) ta có nhận xét sau
Nếu x y 1  4 thì từ (*) suy ra 3x  2 y  2  4
Nếu x y 1  4 thì từ (*) suy ra 3x  2 y  2  4
x y 1  4
3x y  2  4 
Như vậy hệ có nghiệm khi
từ đây kết hợp với hệ (1) ta suy ra hệ tương đương
x y 1  4 
 3x y  2  4  với  1 x
x y 1  4   2   
3x y  2  4 9   y    2 Kết luận :  1 9 
Vậy hệ có nghiệm duy nhất  ; x y  ;    2 2 
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Giải các hệ phương trình sau :
x 1  x y  3 
Bài 1. Giải hệ phương trình : 
x   y  42  5  5  2 3 
2x y  4x  3  0
Bài 2. Giải hệ phương trình :  2 2 2
x y  2x y  0  3 2 2
y x  64  x y
Bài 3. Giải hệ phương trình :   x  23 2  y  6      y  2 3 1  x y
Bài 4. Giải hệ phương trình :  x  8 y x y  9  2 2 
x y x y
Bài 5. Giải hệ phương trình :  xy x 1 2
 2   x y  2 2 
x 12xy  20 y  0
Bài 6. Giải hệ phương trình :  ln
 1 x  ln 1 y  x y  374 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HỆ PHƯƠNG TRÌNH
 11x y y x  1 
Bài 7. Giải hệ phương trình :  7 
y 1  6 y  26x  3  2 3 4 6
2x y y  2x x
Bài 8. Giải hệ phương trình : 
x  2 y 1   x   2 1  3 2 3
x  3x y  3y  2 
Bài 9. Giải hệ phương trình :   y 1   x  2  log  log  x   x   y    3 3   x  2  y 1   3
x 1  y  8  x
Bài 10. Giải hệ phương trình :    x  4 1  y  l   og xy  log y
Bài 11. Giải hệ phương trình : y x 2x   2y  3  1      x y x y 1 
Bài 12. Giải hệ phương trình: 2  2x  9x  6 2
 4x 18x  20   x 1 2  2x  9x  8
Bài 13. Giải hệ phương trình: 2 2   4x y y  2  4x y  2
4x  3x  3  4x x  3  2 2x 1 
Bài 14. Giải hệ phương trình : 2 3
6x x  6x  5   2
x  2x  6 3 x  4   2 2 x   1 2 x y
Bài 15. Giải hệ phương trình : 10 10   x y  2   x y  4 1 x y 10   2 2   2 16 16 2 2 y x    
x y  1 y 1 10  2 
xy  6  12  y
Bài 16. Giải hệ phương trình  2 3 2 2
x y x  3x  3y xy x y  0  3 8
y  2x y 3 6xy  6x 13 
Bài 17. Giải hệ phương trình  3
x  5x   3
x  2 y  6 3
x  2 y 1  0  375 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HỆ PHƯƠNG TRÌNH 3
x  2  y 1  27  x
Bài 18. Giải hệ phương trình  
x  24 1  y
DẠNG HỆ CÓ MỘT PHƯƠNG TRÌNH LÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI TÌM ĐƯỢC NGHIỆM
Một phương trình trong hệ có thể đưa về dạng : ax by ca x b y c  0 1 1 1 
Mục đích là biểu diễn ẩn này theo ẩn kia ở dạng bậc nhất ; khi đó chỉ việc thay vào phương trình
còn lại trong hệ và giải phương trình với một ẩn số. BÀI TẬP MẪU
Bài 1. Giải hệ phương trình: 2 
y  (5x  4)(4  x) (1)  2 2
y  5x  4xy 16x 8y 16  0 (2) 
Lời giải:
Biến đổi phương trình (2) thành phương trình bậc 2 với ẩn là y , ta được 2 2
y  (4x  8) y  5x  16x 16  0 , phương trình có
y  5x  4 2   9x yy  4 x
x  0  y  4
(i). Với y  5x  4 , thay vào (1) ta được x(5x 4) 0     4
x    y  0  5
x  0  y  4
(ii). Với y  4  x , thay vào (1) ta được: ( x 4  ) x  0  
x  4  y  0   4  
Vậy hệ có 3 nghiệm là 0; 4, 4;0, ; 0   .  5 
Bài 2. Giải hệ phương trình: 376 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2 2
xy x y x  2 y (1)  ( x, y  ) 
x 2 y y x 1  2(x y) (2)  Lời giải: x 1 + Điều kiện 
(*) , khi đó (1) tương đương với y  0  2 2
(1)  x  ( y 1)x  ( y  2 y )  0 , coi đây là phương trình bậc 2 với ẩn là x ta được 2 2 2 2
  ( y 1)  4( y  2 y )  9y  6 y 1  (3y 1) x
y  1 (3 y 1) x   2 y 1  2  (1)  
y  1 (3y 1) x    y  2
x  y x  0  loại.
x  2y 1, thay vào phương trình 2 ta được: (2 y  1) 2 y y 2 y  2( y  1) (*)
 ( y 1)(2  2y )  0  2  2y  0  y  2  x  5
Bài 3. Giải hệ phương trình:   x y2
 2x 1  2 y 1  (1)  2 
x yx  2y 3x  2y  4 (2)  Lời giải:  1 x     Điều kiện: 2  1  y     2
Khi đó coi (2) là phương trình bậc hai với ẩn là x , ta được  x  1 y 1 1 
nhưng do x   , y  
nên x  2y  4  0 vậy x 1 y x y 1 x  4   2 y  2 2
Ta biến đổi phương trình thứ nhất: 377 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HỆ PHƯƠNG TRÌNH x y2
x y2  4xy 2x 1  2 y 1   2 x 1  2 y 1  2 2 2
  x y2 4xy   
 2  x y  2  2 4xy  2 x y 1     2    2  1   3   5   2 4xy  3   2xy  4  2xy   2xy        2   2   2  4xy  3  0
 8 4xy  3  4xy   3 2xy   5   (*)
 2xy  5 4xy  3  8  3
Do   x y2 1
 4xy  2xy  5  0, vậy hệ (*)  4xy  3  0  xy   4
Vậy hệ đã cho tương đương với:  1  3 x y  1 x   x   2     2 3      xy   3 1    4 y y      2   2  1 3   3 1 
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là  x, y   , ; ,       2 2   2 2   x     2 4 3 2 y 1 
1 17  y  y
Bài 4. Giải hệ phương trình 
y y  3x  3  53x  2  Lời giải:  3 x  Điều kiện  4  y  0 
Khi đó phương trình thứ hai của hệ coi là phương trình bậc hai với ẩn là y ta được 2 2 2
y  3  3xy 15x 10  0 có   3  3x  415x 10  3x  7  y  5   0 Suy ra 
chỉ nhận nghiệm y  3x  2x , thay vào phương trình ban đầu của hệ ta được y  3x  2  x   x    2 4 3 3 2
5 18x  24x 19 x  5  0 378 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HỆ PHƯƠNG TRÌNH x  5   5 x  5 2
18x  24x 19  0
4x  3  3x  2  1    x  5  5   2
18x  24x 19  0  x  5  y  17 
 4x  3  3x  2 
Vậy hệ có nghiệm duy nhất  x, y   5,17
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Giải các hệ phương trình sau:  3   2 2
x y   2 y xy  4x 1 1.1.  2 2 2 x y  1   x     2 4 3 2 y 1 
1 17  y  y 1.2.
y y  3x  3  53x  2  2 2 3 
2x  8xy xy  4 y  0 1.3.  3 2 1
 6x  2x  8 y  5  0 
x x x y  xx y2 3 2 2  3  2 y   x 2 y 1.4.  2 2 x y  3 
BÀI TẬP TỔNG HỢP
Giải các hệ phương trình, hệ bất phương trình sau: 2
x 2 x3 log 3 2   y4 2  3
Bài 1. Giải hệ phương trình:  2
4 y y 1  ( y  3)  8  2 2
x x y 9x   2 2  5
x x y
Bài 2. Giải hệ phương trình:   x 5  3x   y 6(5  y)  379 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HỆ PHƯƠNG TRÌNH 3x2 y x 3x2 3   5.6  4.2 y  0 
Bài 3. Giải hệ phương trình:  2  x y
y  ( 2 y x)( 2 y x)   20y   x y x yx
Bài 4. Giải hệ phương trình:  16x  
x y x y  5y  3 3 3 
27x y  7 y  8
Bài 5. Giải hệ phương trình:  ( , x y  ) 2 2 9
x y y  6x  2 4 2 4 2
2  x y  2xy y 1  2(3  2  x) y
Bài 6. Giải hệ phương trình:  2
x y x  3  2 2 2 1
  x y xy x
Bài 7. Giải hệ phương trình:  1 1 3  y   3y  3  x x 3 3 
x  7x y  7 y
Bài 8. Giải hệ phương trình:  ( , x y  ) 2 2
x y x y  2  3 2 2
x  2 y x y  2xy
Bài 9. Giải hệ phương trình:  2 3 3
2 x  2 y 1 
y 14  x  2   8xy 2 2 x y   16 
Bài 10. Giải hệ phương trình: x y   2
x y x y  4 3 2 2 
x x y x y  1
Bài 11. Giải hệ phương trình:  (x, y  ) 3 2
x y x xy  1   2 2 
x xy y  3(x y)
Bài 12. Giải hệ phương trình:  2 2 2
x xy y  7(x y)  2 2 
(x y)(x y )  13
Bài 13. Giải hệ phương trình:  2 2
(x y)(x y )  25  2 2
x y x y  4
Bài 14. Giải hệ phương trình: 
x(x y 1)  y( y  1)  2  380 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HỆ PHƯƠNG TRÌNH 3   x 1  y  8  x
Bài 15. Giải hệ phương trình:  4 (
x  4)  y  2 xy 12 xy 2 xy 1 (1 4 )5 1 2     
Bài 16. Giải hệ phương trình:  3 2
y  4x  1 ln( y  2x)  0 
 7x y  2x y  5 
Bài 17. Giải hệ phương trình: 
 2x y x y  2   1 3x (1 )  2   x y
Bài 18. Giải hệ phương trình:  1  2y(1 )  4 2  x y  
x x x y y  8 y
Bài 19. Giải hệ phương trình:  x y  5 
x y  10 
Bài 20. Giải hệ phương trình:   x  6  y  6  14  2 2 
y xy  6x
Bài 21. Giải hệ phương trình:  2 2 2 1
  x y  5x  3 3 
2x  9 y  (x y)(2xy  3)
Bài 22. Giải hệ phương trình:  ( , x y  ) 2 2
x xy y  3   3 y  2  1  2 2  x y 1 x
Bài 23. Giải hệ phương trình:  y  2 2 x y  4  22   x
(3  x) 2  x  2 y 2y 1  0 
Bài 24. Giải hệ phương trình:  3
2 2  x  (2 y 1)  1  2 2
x y xy  3 
Bài 25. Giải hệ phương trình:  2 2  x 1  y 1  4  xy xy  ee  2(x 1)
Bài 26. Giải hệ phương trình:  xyex y 1  381 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HỆ PHƯƠNG TRÌNH xy 1 xy xy2 (1 4 )5  1 3 
Bài 27. Giải hệ phương trình:  1 2 x  3 y y   1 2 y   x
x  2 y xy  0 
Bài 28. Giải hệ phương trình: 
x 1  2 y 1  1   1 2 2x x   2 
Bài 29. Giải hệ phương trình: y   2 2
y y x  2 y  2   2 2 
x y xy 1  4 y
Bài 30. Giải hệ phương trình:  2 2
y(x y)  2x  7 y  2  2 2 2 2  x y
x y xy    x y
Bài 31. Giải hệ phương trình:  2 3
x xy  5x  3  4xy 5x 3  3 2 
2(x  2x y 1)  ( y  1)x
Bài 32. Giải hệ phương trình:  3 2
y  4x  1 ln( y  2x)  0  3 3 3 
27x y 125  9 y
Bài 33. Giải hệ phương trình:  2 2
45x y  75x  6 y
x y x y  2 
Bài 34. Giải hệ phương trình:  2 2 2 2
x y 1  x y  3  2 2 
4xy  2 y  3x  0
Bài 35. Giải hệ phương trình:  2 2
y x y  20  0 
x  2 y xy  0 
Bài 36. Giải hệ phương trình: 
x 1  4 y 1  2  2 2 
x y y xy x  18xy
Bài 37. Giải hệ phương trình:  ( , x y  ) 4 2 2 2 4 2 2 2
x y y x y x  208x y
2 log (2x  3y)  log (2  2x  3y) 7 3
Bài 38. Giải hệ phương trình:  2 3
ln(4x x 1)  x  3(3y  7)  3 2 
x  3xy  49
Bài 39. Giải hệ phương trình:  2 2
x  8xy y  8 y 17x  382 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2 2 2 
x y  2x y  0
Bài 40. Giải hệ phương trình:  2 3
2x  4x  ( y  3)  3 3 2
y y x  3x  4x  2 
Bài 41. Giải hệ phương trình:  2  1 x y  2  y 1  3 2 
y  2x 1 x  3 1 x y
Bài 42. Giải hệ phương trình:  2
y  2x 1 2xy 1 x  2 2 
y xy  6  x
Bài 43. Giải hệ phương trình:  3 3 3 1
  x y  19x
2 2x y  3  2x y
Bài 44. Giải hệ phương trình:  3
x  6  4  1 y  2 2
2x y  3xy  4x  9 y
Bài 45. Giải hệ phương trình: 
7 y  6  x(2x  9)  2 2 3 
x y  2xy  3y  4(x y)  0
Bài 46. Giải hệ phương trình:  2 2 2
xy(x y ) 1  3xy  ( x y)  1 1 2 2 2 2 
 (x  3y )( y  3x )   x 2 y
Bài 47. Giải hệ phương trình:  1 1 4 4    2( y x )  x 2 y  2 
x xy  2
Bài 48. Giải hệ phương trình:  3 2
x  2xy  2 y x  2 2 
(x 1) ( y 1)  27xy
Bài 49. Giải hệ phương trình:  2 2
(x 1)( y 1)  10xy  
x y  5  3x  2 y  1 
Bài 50. Giải hệ phương trình: 
x 1  x  3  y  0  2 2 2 
x y  2x y  0
Bài 51. Giải hệ phương trình:  2 3 7
x 14x  3y 10  0  2 2 4 2 4 2 4
 3  2x y x y x (1 2x )  y
Bài 52. Giải hệ phương trình:  (x, y  ) 2 3 3 2 1
  1 (x y)  x (x x  2 y )  383 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HỆ PHƯƠNG TRÌNH   x y2
 2x 1  2 y 1 
Bài 53. Giải hệ phương trình:  2 
x y x  2y 3x  2y  4  2
  x y y x
Bài 54. Giải hệ phương trình:  
x y x  3 y  3 2 
x  2xy 12 y  0
Bài 55. Giải hệ phương trình:  2 2 8
y x  12  2 2 2 2
x x y
x x y 17    
Bài 56. Giải hệ phương trình: 2 2 2 2 4
x x y x x y
x x y  2 
x xy  4  52  
 2  x y  xy
Bài 57. Giải hệ phương trình:  2 2 x y  3   2xy 2 2 x y   1 
Bài 58. Giải hệ phương trình: x y   2
x y x y  2 2
y x y 18 
Bài 59. Giải hệ phương trình:  2 2
x y x y  24   2 y x y   2  
Bài 60. Giải hệ phương trình:  x 2
2xy  2y x  0  2 3 4 6
x y y x x
Bài 61. Giải hệ phương trình: 
x   y    x   2 2 1 1  3 3
x  4 y y 16x
Bài 62. Giải hệ phương trình:  2 1 y  5 2 x    1  2 2
x y xy 1  4 y
Bài 63. Giải hệ phương trình:  y
  x y 2  2  2 x   1  7 y    x x y sin e   
Bài 64. Giải hệ phương trình: sin yx, y  0;    4   2 2
3 8x  3 1  6 2 y  2 y 1  8 y  384 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HỆ PHƯƠNG TRÌNH  2
1 4 xy  12xy 2 xy 1 5 1 2      
Bài 65. Giải phương trình:  3
y  4x  1 ln  2
y  2x  0  2 1 xy 3 2
2 x  2  xy  
Bài 66. Giải hệ phương trình: 2    x y  2x  2 2 2
 2x y  1 4x  0  2 1  2 8 y x 1  2 2  4  3   2 y x
Bài 67. Giải hệ phương trình:   xy2 3 7 2  x y    2 2 2 2
x y  2x  3 
Bài 68. Giải hệ phương trình:  2   3 3 x y  2  6x  5  3 2 2 x y   2 2
x xy y  3 
Bài 69. Giải hệ phương trình: 5 5  x y 31   3 3 x y 7  3
 1 x  1 y  2 
Bài 70. Giải hệ phương trình:  2 4
x y  9 y x   3
9  y y  
2 x  3y  2  3 y x  2 
Bài 71. Giải hệ phương trình:  2
y 1  4  x  8  x  0  
x  2 2 y   3
1  x  20 y  28 
Bài 71. Giải hệ phương trình:  2
  x  2y y 2  x x  3 2 3
2x  4x  3x 1  2x 2  y 3 2y
Bài 72. Giải hệ phương trình:  3
x  2  14  x 3  2 y 1 
x y x y  4x y
Bài 73. Giải hệ phương trình:  2
x 16  2  y  3x   x 6  2 
3x y  3y
Bài 74. Giải hệ phương trình: y
2 3x  3x y  6x  3y  4  385 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HỆ PHƯƠNG TRÌNH  2   x x   2 1 1 1 2 1  y
Bài 75. Giải hệ phương trình: 
 2x y x  2y x y  2 3 4 6
x y y x x
Bài 76. Giải hệ phương trình:  1 y3
2x  1 y  2  1 x
2x y  2 4x y  1 
Bài 77. Giải hệ phương trình: 
 46 16 y x y  6 y  4 4x y  8  4 y
x y 1 1  4 
x y2  3x  3y
Bài 78. Giải hệ phương trình:  1  2x  2
2x  3y  7xy 2
 112 y 3  5x    7 2  2x   1  2 2 y   1  xy
Bài 79. Giải hệ phương trình:  2 2 2
x y xy  7x  6 y 14  0   2 1 2 y
x 12 y 1    2 x 17 3 12 
Bài 80. Giải hệ phương trình:  2 3 2 x 2x x x y      8y 3 3y 4 2  3 2 1log2 3   2 x x  log   2 y 1  log y 2  2
Bài 81. Giải hệ phương trình:  3 2
y  2x y y y x  2 log
2x  3y  log 2x  3y  2 7   3   
Bài 82. Giải hệ phương trình:  ln   2 4x x   3
1  x  21  9 y  log x y  3log x y  2 2 8   
Bài 83. Giải hệ phương trình:  2 2 2 2
x y 1  x y  3  5 x  5 yy 4 x 3 xy  
Bài 84. Giải hệ phương trình:  1 3 x   y  2 2 x 2 2 y 1 3   9   2   2y x
Bài 85. Giải hệ phương trình: 
xy2 2 3 
 2 x y  29  386 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2
y   y  3 x  4 y  3  
Bài 86. Giải hệ phương trình:  3
2 x  2  5 2  y  12 
 30  x  18  y  1 
Bài 87. Giải hệ phương trình: 
 45  2 y  20  x  2   10 1   1   2x  3 y xy
Bài 88. Giải hệ phương trình:  124 1    1 2 2 2 2  4x  9 y x y  2  3 y 7 x 2 x y    2  2 x 2 y
Bài 89. Giải hệ phương trình:  2 3 x 7 y  2 y x   2  2 y 2x  2 2 xy x y x y   2 2 2 1 2 4.64 y  .64  2.8 y x x  4
Bài 90. Giải hệ phương trình:  2 2  x y  log   log xy  3 2   3    y x     y 2x  9x   2 y   4 x y
Bài 91. Giải hệ phương trình:    2x   y  1  9  18  2   2   y     x
x 1  y 1  2 
Bài 92. Giải hệ phương trình: 72xy 2 2 3
 29 x y  4  x y   x 5 y   4  2 2 x y x y
Bài 93. Giải hệ phương trình:  2 2 x  5 y 5  x y   5  xy  3 2 1 
 4x  3y 1  0
Bài 94. Giải hệ phương trình:  2
4xy  2 y  5x  2 y  2  387 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HỆ PHƯƠNG TRÌNH   x   1  y   1 1   2 x x   1  2 y y   1 
Bài 95. Giải hệ phương trình:  x, y    3
x  3x   3 x y  4 3 x y 1    3x y
 x  3yxy  14
Bài 96. Giải hệ phương trình:   x y   2 2
x 14 xy y   36    x   1  2
y  6  y  2 x    1
Bài 97. Giải hệ phương trình:    y   1  2
x  6  x 2 y   1  x  2 2 x  4 y  4  8 y  2 y    1
Bài 98. Giải hệ phương trình:  2
 5x  6  2 y  7  7  2 2   4x y y  2  4x y
Bài 99. Giải hệ phương trình:  2
4x  3x  3  4x x  3  2 2x 1  3 3 2
x  6y  2y 1  x  4x  7x  4 
Bài 100. Giải hệ phương trình:  
 2x  2 y xy 2 2 2   2 2 4x y  2 2
10x 14xy  5y   2 3 x y
Bài 101. Tìm số nghiệm của hệ:  2 2 8
x y 12 x y  2012 
2 2x  3y  5  x y  7 
Bài 102. Giải hệ phương trình:  3 
5  x y  2x y  3  1  x
  x y 2  9
Bài 103. Giải hệ phương trình:  x   3 3
x y   7 
x y  2xy
Bài 104. Giải hệ phương trình: 
x  3 2x 1   y  3 2y 1  2  x   3  y    3  388 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HỆ PHƯƠNG TRÌNH  5 x y 1   
Bài 105. Giải hệ phương trình: 2  3
y  2 x  3 x 1     4
Giải các hệ phương trình, hệ bất phương trình sau:
x y 1  6  1.1.  2
x  2x y  2x y 1  2 y 1  29   x y 1 x y     2 x x 1.2. x  2 2 y x 2  y    y y  2 
y   4x  2 3 2 1  32x  4x 1.3.  2
40x x y 14x 1 
x 1  y 1  2  1.4. 72xy 2 2 3
 29 x y  4  x y   y 2 x   y  0  2  x  1 x 1.5.  2 x  2 2
 2 1 x y  3 2  y  2 3
x  8 y  2xy 1 2y  1.6.  2 y  2 1 3
x  4x  1  3
x 1  4  2y  5  2y    x  2 1  5 1.7.  3
x   x y2 4 3 2  6x y y    5 3 
9x x y  3y  6  0    1.8.   3   2
x x  2  y  2  2
x  2  x  1 y  34  2xy x1.9.  2
y  2  x  1 y  34  xy  2 y  389 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2 3
x  8 y  2xy 1 2y  1.10.  2 y  2 1 3
x  4x  1  3 
x y4  3  4 x y   1.11.  9 x y  2 2 4 4
x y  7  x y  x  3      3 ln  0    64 32 8 y  3   
2x  2y  2x  y  2xy 1  1   1.12. 3 3  3y 1  8x  2y 1 x  0   4 2 2 2 
x  2x y x y y  6 1.13.  2 2
x y y  3  2
x xy x  2  1.14.   2 2 y  5   2 x 13x  26 
x  2 y  2 4x y  1  1.15.
 46 16 y x y  6 y  4 4x y  8  4 y   3 5  Đáp số:  , x y  ,     7 7  2 2
2x  3y  4  1.16.  2
 3xy y xy   4 3 2 4 3 2   
Đáp số:  x, y   2,0;  ,  2  2   2 2    2 
x  6 x y  3 1.17.   x y x y  4 
Đáp số:  x, y   5, 4
2xy x  2y  3 1.18.   , x y   3 3 2
x  4 y  3x  6y  4   1 
Đáp số:  x, y  1,  1 ; 2  ,     2  390 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2 
x xy  3x y  0 1.19.  4 2 2 2
x  3x y  5x y  0  x 2 ye e  
x y 2 2 2
x y  3  ln  x xy  2 y  ln xy  0 1.20.
2x  3.6y  4.3x  0  2
 4x  4x  9 x y  xy  3y1.21.
4  x  2 y  2x  3 x  3  2
  x y 3  4xy  3  0 1.22.    x y4 2 2
 2x  4xy  2 y x  3y 1  0    x y
 y  2   xy   1 2 y   1 1.23.   x y
 x  3   xy   1 1 3x  2 
y x xy  6 y 1  0 1.24.  3 2 2
y x  8y x y x  0  2 3
6x x  6x  5   2
x  2x  6 3 x  4  1.25.  2 2 x   1 2 x y     3 3
8 x y   9 x  9  0 1.26.  2xy 1  0  4 2 2 2 2
x x y  9 y y x x y  9x1.27. x   3 3
y x   7   10 6   1   x y xy 1.28.  124 36    1 2 2 2 2  x y x y  3 2 2  x
x  2 y 1  x y y  1 1.29.  
x y   1 y 1  10   3x y x   3  2 2  x y 1.30. x  3yy   0 2 2  x y  391 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HỆ PHƯƠNG TRÌNH 3 x y
x  2  2 y  2
y x   x 1.31.  2
x  3 y  2xy  4  5x  3 3 3 1
 0x y  9 y  
2xy y 2 4xy  3 1.32.  2 2 2 2
4x y  2xy y  3  2 
x  2xy x y  0 1.33.  4 2 2 2
x  4x y  3x y  0  3 3 3 1 
  x y  19x 1.34.  2 2
y xy  6  x   5 2 5 x y x y   1.35. 2  7 2 3
xy x y y   2 5 5   x x 3x y 3 2012  ln  2012 y1.36. y   2
2x  5 y  4  y 5x  4  
x  4 x  
1  y y  5  1.37. x  2 log y  2   x2   2 y  2 3 2
x y  64  x y1.38.    x  23 2  y  6  3 2 
y  2x 1 x  3 1 x y 1.39.  2
y  2x 1 2xy 1 x  2 2 
x y y  3xy x 1.40.  2 2 2 2
x y xy y 1  4 y  2 2 
2x y  3xy  4x  9 y 1.41.  2
7 y  6  2x  9x
2z x y 2 2 1  x y   1.42. 2 2
y z  1  2xy  2xz  2 yz   y 2 3x   1  2x  2 x    1  392 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HỆ PHƯƠNG TRÌNH 4 2 2 
x  4x y  6 y  9  0 1.43.  2 2
x y x  2 y  22  0  2 2
x y xy 1  4 y1.44. y
  x y2 2
 2x  7 y  2  2
  x  2 y y 2  x x 1.45.  
x  2 2 y   3 1  x xy  2
x x  2y x 1  4y x 1  0  1.46.  2 3
y  2 y x   2
1  y x   1  2   3
y  2 y x   2
1  y x   1 1.47.  2 2 2
x  2 y  2  2 y x x  2 y  3  3
 2x  3y 1  x  3y  1  1.48.  3
 2x y   2 3
1  2x 10 x  3y
x  2 y  2 4x y  1  1.49.  2  x  3 
46  2 3  8x  8 y  2 
2x  3  17x 13xy 1.50.  2
2 y  4  10 y 13xy   2  x    1  2 y   1  10xy 1.51.  
xy x y  2 1  27 xy  2 
x  4 3x  2 10  2 y 1.52.  2
y  6 4 y  3 11  x
 7x y  4x  2 y 1  6  1.53.
x y 1  x y  1    1   1 
6 x yxy   2   2 2
2x  3y  1      xy xy      1.54.   1   1  29 xy
 62  9x 13y 1      xy xy      393 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HỆ PHƯƠNG TRÌNH  1 x y   2  1.55. y x  1   1   x   y       y     x   x y  2   2 2  6 1.56.  8 xy   3   x  2 y   2 2
3x  8y  4 x  4xy  4 y 16   6 1.57.  
y  4x  2 2
3y  2x  2 x  4xy  4 y 16   1  0   x     2 4 3 2 y 1 
1 17  y  y 1.58.
y y  3x  3  53x  2  2 3 4 6
2x y y  2x x1.59.
x  2 y 1   x   2 1 
 5x y  2 y x  1  1.60.  2 2
2 2 y x  3xy  2x y  3x  1 
 4x y  3y  4x  1  1.61.
2 3y  4x y 5x y  x  4x y   1  2
y  6x x   2 y  3  3 1.62. x, y    2 3
y x  2  2x  3  2 
x  2 y x  2 y  8  1.63.
y x  2 y  1  2 2   4x y y  2  4x y 1.64.  2
4x  3x  3  4x x  3  2 2x 1  2
xy y x  7 y1.65. 2  xx  12  y  394 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2 3 3 y x  2
 6x  7x y  3  1.66.  9
2 3  y  2 1 y 2  x  4  4  8xy 2 2 x y   16  x y1.67.  2 3 2 x 2x x x y      8y 3 3y 4 2  3 2 
x  3xy  6xy  3x  49 1.68.  2 2
x  8xy y  10 y  25x  9  2
x y   1  6 y  2  1.69.  4 2 2 2
x y  2x y y   2 x   2 1  12 y 1  
 2x y  2   y 1 1.70.  2 2
x y 1  2x  2 y   4 1   2  1.71. 2x y 3x y
4x 12y  72x y3x y  2 2  x x 1  y y 1 1.72.  2 2
x y xy  1  2 
 7x xy 1  2xy 1 1.73.  2
y 1 3x  2x  2 
2 x y y  3  3 y x  2 1.74.  3 2 3
y y  3 y  5  3x  3 x  2  3 8
y y  2  y y  2  2x1.75.
y  2x 1  3    y   x   2  8x  3 3  3y  4       xy   1.76.  2 4  5  y   3x  144  2x      3  xyx y    395 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HỆ PHƯƠNG TRÌNH  1 y 2 x     1  1.77. x x y   y   2 x 1   1  3 2 x   1    7 2  2x   1  2 2 y   1  xy 1.78.  2 2 2
x y xy  7x  6y 14  0 
x y 1 1  4 x y2  3 x y  1.79.  12  x  2
2x  3y  7xy 2
 112 y 3  5x 
x y x y  4x y1.80.  2
x 16  2  y  3x  3
x y 1 y 2 2
x y 2  y 3  xy  30  1.81.  2 x y x   2
1  y y   y  11  1
  xy xy x1.82.  1 1  y y   3 y   x x x
x  2 y 1  3  1.83.  3 2 x  4 x
y  1  9x  8 y  5  2  4xy  4 x   2 2 1 x y  4
log x y   2 2 1 x y log y 1  1  1.84. 5 5 
x  2y 1  1 2x y  2  4 4
x y  240  1.85.  3 3 x  2 y  3   2 2
x  4 y   4 x  8y   1 1 2    2 2  1 2x 1 2 y 1 2xy 1.86.   2
x 1 2x  y 1 2y    9  y  2 2 y x  4  x  2 2 4 3 x  3  1.87.
2x  2y  2x  5  x   1  4  396 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HỆ PHƯƠNG TRÌNH 4 6x   3 x x 2
y   y 12 2 x  6  1.88.  5
x   x  2 4 2 2 2 1 y 11x  5   2 2 3 
2x  8xy xy  4 y  0 1.89.  3 2 1
 6x  2x  8 y  5  0    x y    1
x y 1  6x  2 y  20 1.90.  
 3x y  2 3x y  2  2x  2 y  18  2 2 2 2  x y
x xy y    x y 1.91.  2 3
x 2xy  5x  3  4xy  5x  3     x  3 2 2
1  2x 1   2 y  3 y  2 1.92.
 4x  2  2 y  4  6  2 2
x y xy  4x 1  0  1.93.
y 7   x y2   2 2 x    1  
x  9 x  9y  22 y   2 2 2 1 1.94.  2
x  2  4 y y  1  0  2 2 2 2 
2 2x y y  2x  3 1.95.  3 3
x  2 y y  2x    23  3x
 7  x  3y  20 6  y  0 1.96.  2
 2x y  2  3x  2 y  8  3x 14x  8  0   y 2
x   x y   1.97. 3 x y    2 2
2 x y   3 2x 1  11   
 2x  3 4x 1   2 y  3 4 y 1  2  2x   3  2 y   3 1.98.
x y  4xy   3xy 3 3 x y   1  1.99. x y
x y  3 3
2x y  6x y  3
 3x  5 y  5  397 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2 2
 2xy y x y x y x y     14 2 2 1.100.  3 3
  x y   x y    9        2   2 
xy  x y 
xy 2  x y y 1.101.    x  
1  y xy x1 x  4   2
y  4 y  8 2 x  3 3  64 x1.102.   y  2
y  6 y  12  81 x x  
x y x  2  2  1.103.  2 2
x y xy x y 2 
xy y  2 2  x y   1 
x y x  2  2  1.104.  2
4 y x y  32x y  44 
x y  9  x  2 y1.105. x
  x  4 y  2  y  4 y  2  44  2 2
x  2y y x  3y  0  1.106. 2 2  x y  1 2
2 y  3y x 1  0  6 
 11 2x y 16 x  3y x y13 x  3y  23 2x y  1.107. 2  4x  8x 2 2 x y   4  y  2 2  2x  4y  2 3    4  
  x y  1  1.108. xy y x       x  2 1
xy  3x  2 y  5  2x x y   3  x y  3   
 2x  3 4x 1   2 y  3 4 y 1  2  2x   3  2 y   3 1.109.
x y  4xy  398 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HỆ PHƯƠNG TRÌNH 3
x 10 xy y  12  1.110.  6  3 3 x y  x   2 2 2 x y  3 2 2 
x xy y   y 2
x   x y   1.111. 3 x y    2 2
2 x y   3 2x 11  11 
 5x y  2 y x  1  1.112.  2 2
2 2 y x  3xy  2x y  3x 1  0   2x y x 1 
2x  2  22x y2 1.113.  2
y  4x x 1  17   x  2 y   1 3   2 2  x y 5 1.114.   y  2 x   1 4   2 2 x y 5  
x y  1 xy  4xy1.115.   2 2 x y   2 2 1  x y  2 2  4x y  4
x  3 y  3x y1.116. x y   y  
1  3 x y   2 2 
x y  4xy  4  0 1.117.  2 2 2
2xy  4 y x y  2 y  3  2 2 
2x  1 x y x y  1 1.118.  3 3
2x  2 y  1  2   x
x y  3  2 1.119.
2 x  4  3 y  8  13  2
 2 y  7 y 10  xy  3  y 1  x 1  1.120.  3  y 1   x  2 yx 1 399 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HỆ PHƯƠNG TRÌNH 3x 1  y 2 y3 2  2  3.2 x1.121.  5 4 3 2 4 2
 3x x y  3x x y 1  x x  1  2
x  2xy y  0  1.122.  3
x  3xy  2 y 1   2 x x y  2   4  2 2
x xy y  3x  2  1.123.  x xy
4   y  24 2 2 4  17x
x  3  2 3y x y   1  1.124. x  5  3y  2 
xy  2 y  2  2
x  8  2 y x y  4  1.125.  2 2
x  2x y y x x  4  3 2 2 2 2 2 2 
x y x y y x  2x  2x y 1.126.  3 2
2x  3x  6 y  12x 13  4 x  2  3y   2 1 x   2
5 y  4 y  1  2
1 x y 10 y  2  0 1.127.  3
y   x  2 2
y x x  2  0   2   x x   2 1 1 1 2 1 y   1.128.  1 1 2    1 x 1 y  1 xy   1
 3x y y  6xy x y2 2 2 2  48y  2 2 x y  2 2  y  3 12x y 2  1.129. y
yx y   1  3   2 2
x y   6xy  31  xy xx y 2  y  1   y 2x  9x   2 y   4 x y1.130.    2x   y  1  9  18  2   2   y     x  
x x y  
1   x y2   x  2 3 1  6  x  2 1.131.  2 2
x  3xy y  1  400 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HỆ PHƯƠNG TRÌNH  16x y 2  y   16  4x1.132. 2x y  , x  0  3 2 3 3
2x  3x  3 x  3 y 12  4  0   2
x  2xy y  0  1.133.  3
x  3xy  2 y 1   2 x x y  2   4  6 3 2 2 2
y y  2x xy x y1.134.  1 8
xy  2 y
 4x  3x x  2 1 2x y2 3 3 4 2  2 x   2 x   1   xy  3 2 2
y x y 1.135.   y  2 x  
1   xy  3 x  0  4 2 2 2 3 2 2
x y x y y x y x1.136.  3 2 3 3  10 
x  5x 12 y 11  2x
7x  7 y  2x  7     3x   2 2 1
9 y  6 y  2  y 1  4x 16 y 1 1.137.
2012x  2012y  log y  log x 12  4xy  3 3   2 2 2 
y  3y  2 y  6  3x  3x  7x  7  2 1.138.  2 2 3
y  4x  3y  3x 1  0  1
  x y 1  4 x y2  3 x y  1.139.
log 3x  2 y2  log x 1  4 4  2 4
x  2xy  6 y  7  2 y 2 x  9   1.140.  2 3
2x y y  10  2 2   y  3y 3 2 2 3
2x x y xy x   y    1.141.   2  4
 2 x  2y 1  5  401 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam