Hiện nay, với hình thức thi đổi mới từ thi tự luận sang thi trắc nghiệm, chinh vì vậy nhiều bạn sinh viên sẽ gặp khó khăn trong việc ôn tập. | Bài giảng môn Đại số các nhóm ngành chuẩn | Đại học Bách khoa hà nội
Hiện nay, với hình thức thi đổi mới từ thi tự luận sang thi trắc nghiệm, chinh vì vậy nhiều bạn sinh viên sẽ gặp khó khăn trong việc ôn tập. Tài liệu trắc nghiệm môn Đại số các nhóm ngành chuẩn giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao. Mời bạn đọc đón xem!
Môn: Đại số các nhóm ngành chuẩn (THH)
Trường: Đại học Bách Khoa Hà Nội
Thông tin:
Tác giả:
Tài liệu liên quan:
Preview text:
BÁCH KHOA ĐẠI CƯƠNG MÔN PHÁI
BỘ TÀI LIỆU ÔN TẬP TRẮC NGHIỆM GIẢI TÍCH II
____________________________________________________
Biên soạn bởi: Team GT2 – BKĐCMP
Hà Nội, tháng 9 năm 2021 MỤC LỤC
Đề bài…..……………………………………………………………………..……1
Lời giải tham khảo……………………………………………………….………18
Tài liệu tham khảo……………………………………………………………….95 LỜI NÓI ĐẦU
Hiện nay, với hình thức thi đổi mới từ thi tự luận sang thi trắc nghiệm, chinh
vì vậy nhiều bạn sinh viên sẽ gặp khó khăn trong việc ôn tập. Trong tinh hình đó,
nhôm “BK – Đại cương môn phai” đã biên soạn “BỘ TÀI LIỆU ÔN TẬP TRẮC
NGHIỆM MÔN GIẢI TÍCH II” để giúp các bạn thuận tiện hơn trong việc ôn tập.
Nhóm tác giả: Team Giải Tích II BK- Đại cương môn phái
(Đỗ Tuấn Cường, Đinh Tiến Long, Phạm Thanh Tùng, Trần Trung Dũng, Đỗ Ngọc
Hiếu, Nguyễn Thu Hiền, Nguyễn Minh Hiếu)
Chịu trách nhiệm nội dung: Phạm Thanh Tùng
Do quá trình soạn bộ tài liệu gấp rút cùng với những hạn chế nhất định về
kiến thức, dù đã cố gắng hết sức nhưng chắc chắn không thể tránh khỏi những sai
sót về tính toán, lỗi đánh máy, mọi ý kiến góp ý của bạn đọc xin gửi qua đường
link fb “fb.com/tungg810” hoặc email tungcrossroad@gmail.com.
Tài liệu chỉ mang tính chất tham khảo, không có tác dụng thay thế các giáo
trình, sách giáo khoa chính thống. Xin chân thành cảm ơn!
I. Bài tập trắc nghiệm Tích phân Euler + 4 −
Câu 1: Kết quả của tích phân 5 x x e dx là: 0 A. B. C. D. 8 2 6 6 2
Câu 2: Kết quả của tích phân 6 4 sin x cos xdx là: 0 7 3 A. 2 B. C. D. 512 512 512 512 + 4 − Câu 3: Biết 6 x 3 x a dx =
, chọn khẳng định đúng: 7/2 b(ln 3) 0
A. 𝑎 − 𝑏 = −1
B. 𝑎 + 𝑏 = 10
C. 𝑎 > 𝑏
D. 𝑎. 𝑏 < 100 + 2 x
Câu 4: Biểu diễn tích phân dx theo hàm Gamma: 4 4 (1 + x ) 0 3 13 3 13 . . 4 4 4 4 A. C. 6. (4) 4.(4) 3 1 3 5 . . 4 4 4 4 B. D. 4. (4) 4. (4) 1 1
Câu 5: Tính tích phân dx 30 30 − 0 1 x A. C. D. B. 30sin 30sin sin 50sin 20 30 30 30 1 + 4 x
Câu 6: Tính tích phân dx 3 2 (x + 1) 0 4 3 4 2 2 2 2 3 A. B. C. D. 27 27 27 27 1 10 1
Câu 7: Tính tích phân ln dx x 0 A. 11! B. 10! C. 12! D. 9! 1
Câu 8: Tính tích phân 5 10
x (ln x) dx 0 10! 10! 11! 11! A. B. C. D. 11 5 11 6 11 5 11 6 0
Câu 9: Biểu diễn tích phân 2x 3 3 e 1 x − e dx theo hàm Gamma: − 2 4 2 1 . . 3 3 3 3 A. C. 2. (2) 9. (2) 2 1 2 4 . . 3 3 3 3 B. D. 3. (2) 3. (2) 2
Câu 10: Tính tích phân 7 5 sin x cos xdx 0 5 3 7 A. B. C. D. 128 2 256 2 256 2 256 2 2
II. Bài tập trắc nghiệm Tích phân đường
1. Tích phân đường loại I:
Câu 11: Tính tích phân (x + y)ds
với 𝐿 là đoạn thẳng nối điểm 𝑂(0; 0) và 𝐴(4; 3) L 35 35 35 35 A. B. C. D. 2 4 3 6 𝑥 = 2 + 2 cos 𝑡
Câu 12: Tính (x + y)ds
với 𝐿 là nửa đường tròn { 𝑦 = 2 sin 𝑡 L 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝜋 A. 4 + 8 B. 8 + 4 C. 4 D. 2 + 4
Câu 13: Tìm 𝑚 để (mx − y)ds
= −18 với 𝐶: 𝑦 = √9 − 𝑥2 C A. 𝑚 = 1 B. 𝑚 = 2 C. 𝑚 = 3 D. 𝑚 = 4
Câu 14: Với 𝐶 là đường tròn 𝑥2 + 𝑦2 = 2𝑥, tính (x − y)ds C A. 𝜋 B. 2𝜋 C. 3𝜋 D. 6𝜋 −
Câu 15: Tính (x + y)ds
với cung 𝐶: 𝑟2 = cos 2𝜑, 4 4 C A. √5 B. √6 C. √10 D. √2
Câu 16: Với 𝐶 là đường cong 𝑥2/3 + 𝑦2/3 = 1 trong góc phần tư thứ nhất nối 𝐴(1,0) và 𝐵(0,1), tính 2 ( y + 1)ds C 15 15 15 15 A. B. C. D. 8 9 7 4
Câu 17: Tính yds
với 𝐶 là đường 𝑥 = 𝑦2 đi từ 𝑂(0,0) đến 𝐴(1,1) C 1 1 1 1 A. (5 5 −1) B. (5 5 −1) C. (5 5 −1) D. (5 5 −1) 3 12 6 2 3
Câu 18: Tính xyds
với 𝐿 là chu tuyến của hình chữ nhật 𝐴𝐵𝐶𝐷 với 𝐴(0,0); 𝐵(4,0), L 𝐶(4,2), 𝐷(0,2) A. 20 B. 25 C. 24 D. 18 Câu 19: Tính xyds
với 𝐶 là biên của miền |𝑥| + |𝑦| ≤ 1 C A. 1 B. 4 C. 2 D. 0 Câu 20: Tính 2 2 x + y ds
với 𝐿: 𝑥2 + 𝑦2 = 2𝑥 L A. 8 B. 6 C. 4 D. 10
2. Tích phân đường loại II: Câu 21: Tính
(x − 3y)dx + 2 ydy với 𝐴𝐵
⏜ là cung 𝑦 = 1 − 𝑥2, 𝐴(1,0), 𝐵(−1,0) AB A. 0 B. 2 C. 4 D. 6 Câu 22: Tính 4 3 5y dx − 4x dy
với 𝐴𝐵𝐶 là đường gấp khúc đi qua các điểm ABC
𝐴(0,1); 𝐵(1,0); 𝐶(0, −1) A. 2 B. 3 C. 5 D. 4 10 −
Câu 23: Tìm 𝑚 để 2
(x + xy)dx + . m x dy =
với 𝐶 là cung bé trên đường tròn 3 C
𝑥2 + 𝑦2 = 4 đi từ 𝐴(−2,0) đến 𝐵(0,2) A. 2 B. 3/2 C. 0 D. 1/3 − Câu 24: Tính ( x
xy + e sin x + x + y)dx + ( y
−xy + e − x + sin y)dy với 𝐿 là đường L
𝑥2 + 𝑦2 = 2𝑥 theo chiều dương. A. −3𝜋 B. 3𝜋 C. −2𝜋 D. 4𝜋 4 2 + Câu 25: Tính 2 y 1 2
2xdx − x + 2y + e + sin(y ) d y
với 𝐿 là chu tuyến của tam giác L
𝐴𝐵𝐶 có 𝐴(−1,0), 𝐵(0,2), 𝐶(2,0) chiều cùng chiều kim đồng hồ. A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 Câu 26: Tính x 10 2
(xy + e )dx + ( y − x )dy với 𝐴𝐵
⏜ là cung 𝑦 = √1 − 𝑥2 đi từ điểm AB 𝐴(−1,0) đến 𝐵(1,0) 2 e −1 2 e −1 2 e − 2 2 e A. B. C. D. 2e e 2e 3 Câu 27: Tính x 2 4
(2e + y )dx + ( y x + e )dy với 𝐶: 𝑦 = √
4 1 − 𝑥2 đi từ 𝐴(−1,0) đến C 𝐵(1,0) 2 3 3 3 A. − + 2e B. − −𝑒 C. − D. − + 3e 2 e 2 e 2 e 2 e (3,0)
Câu 28: Tính tích phân ( 4 3 x + 4xy ) 2 2 4
dx + (6x y − 5 y )dy ( 2 − , 1 − ) A. 61 B. 62 C. 63 D. 64 2 +
Câu 29: Tìm 𝑚 để tích phân x y 2 2 e
2xy dx + (y + .
m y)dy = e với 𝐿 là đường L
𝑥 = 1 − 𝑦2 đi từ 𝐴(1,0) đến 𝐵(0,1) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2 2
− y + 2xy − x +1 x − x −1
Câu 30: Tính tích phân dx + dy với 𝐿: 𝑦 = 2𝑥 + 2 2 2 2 2 ( y − x −1) ( y − x −1) L
đi từ 𝐴(0,2) đến 𝐵(2,6) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
Câu 31: Tìm 𝑎, 𝑏 để tích phân x e ( 2 2x + ay + )
1 dx + (bx + 2 y)dy không phụ L thuộc vào đường đi 5 𝑎 = 1 𝑎 = 0 𝑎 = 0 𝑎 = 1 A. { B. { C. { D. { 𝑏 = 0 𝑏 = 1 𝑏 = 0 𝑏 = 1
Câu 32: Tìm hằng số 𝑎, 𝑏 để biểu thức [𝑦2 + 𝑎𝑥𝑦 + 𝑦 sin(𝑥𝑦)]𝑑𝑥 + [𝑥2 + 𝑏𝑥𝑦 +
𝑥 sin(𝑥𝑦)]𝑑𝑦 là vi phần toàn phần của một hàm số 𝑢(𝑥, 𝑦) nào đó 𝑎 = 1 𝑎 = 2 𝑎 = 2 𝑎 = 1 A. { B. { C. { D. { 𝑏 = 1 𝑏 = 2 𝑏 = 1 𝑏 = 2 2 2 2 2 x + y x + y xe dx + ye dy Câu 33: Tính với 2
L : y = 2x − x đi từ 𝑂(0,0) đến 𝐴(2,0) x − + y L ( )2 2 1 3 e −1 4 e −1 2 e −1 e −1 A. B. C. D. 2 2 2 2
(2x − 5y)dx + (5x + 2 y)dy
Câu 34: Cho tích phân 𝐼 =
với 𝐶 là biên của hình 2 2 x + y C 2x − 5y
phẳng 𝐷: 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 9, theo chiều dương, bạn 𝐴 lập luận “Ta đặt P = 2 2 x + và y 5x + 2 y Q = , ' '
Q − P = 0 , 𝐶 là đường cong kín, chiều dương, giới hạn miền 𝐷 nên 2 2 x + y x y
𝐼 = 0”. Hỏi bạn 𝐴 làm vậy có đúng không? Nếu sai, thì sửa lại đáp án chính xác A. Đúng B. Sai, 𝐼 = 10𝜋 C. Sai, 𝐼 = 𝜋 D. Sai, 𝐼 = 5𝜋
Câu 35: Tìm 𝑚 để tích phân
(x − 3y)dx + 2 ydy = 4 với 2
AB : y = m − x và hai AB điểm ( A 1,0), B( 1 − ,0) A. 1 B. −1 C. 2 D. −2
Câu 36: Tính ydx + zdy + xdz
với 𝐶: 𝑥 = cos 𝑡 , 𝑦 = sin 𝑡 , 𝑧 = 2𝑡, 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋 theo C chiều tăng của 𝑡 A. 2𝜋 B. 𝜋 C. −𝜋 D. 3𝜋 (4,5,6)
Câu 37: Tính tích phân y y + + ( +1) z e dx xe dy z e dz (1,2,3) 6
A. 4𝑒5 + 6𝑒6 − 𝑒2 − 3𝑒3
C. 4𝑒4 + 6𝑒6 − 2𝑒2 − 3𝑒3
B. 4𝑒4 + 6𝑒6 − 𝑒2 − 3𝑒3
D. 4𝑒5 + 6𝑒6 − 2𝑒2 − 3𝑒3
Câu 38: Tìm hàm thế vị của biểu thức (𝑥4 + 4𝑥𝑦3)𝑑𝑥 + (6𝑥2𝑦2 − 5𝑦4)𝑑𝑦 1 2 A. 2 2 3 5
x + 2x y − y C. 2 2 3 5
x + x y − y 5 5 2 1 B. 2 2 3 5
x + 2x y − y D. 2 2 3 5
x + x y − y 5 5
Câu 39: Tính (2xy − 5)dx + (2x + 3y)dy
với 𝐿 là biên của miền 𝐷 xác định bởi L
các đường 𝑦 = 𝑥2, 𝑦 = 0, 𝑥 = 1, chiều dương 1 1 1 1 A. B. C. D. 3 4 5 6 2 2 Câu 40: Tính 2 2 3 3x y + dx + 3x y + dy
với 𝐶 là đường cong 2 3 4x + 1 y + 4 C
𝑦 = √1 − 𝑥4 đi từ 𝐴(1,0) đến 𝐵(−1,0). 4 4 A. − arctan 2 C. − 3arctan 2 7 7 4 4 B. − 2arctan 2 D. + 2arctan 2 7 7
3. Ứng dụng của tích phân đường 𝑥 = 2(𝑡 − sin 𝑡)
Câu 41: Tính diện tích của miền D giới hạn bởi 𝐿: { với trục 𝑂𝑥 𝑦 = 2(1 − cos 𝑡)
biết rằng 𝑡 đi từ 2𝜋 dến 0
A. 13𝜋 (đvdt)
B. 12𝜋 (đvdt)
C. 11𝜋 (đvdt) D. 10𝜋 (đvdt)
Câu 42: Tính công của lực 𝐹⃗ = (𝑥 + 2𝑦)𝑖⃗ + (3𝑥 + 4𝑦)𝑗⃗ làm dịch chuyển một chất
điểm từ 𝐴(1,3) đến 𝐵(2,4) dọc theo đoạn thẳng 𝐴𝐵. (đvc: đơn vị công) A. 21 (đvc) B. 21,5 (đvc) C. 26 (đvc) D. 27 (đvc) 7 𝑥 = cos 𝑡
Câu 43: Tính khối lượng của đường cong vật chất 𝐿 có phương trình { 𝑦 = sin 𝑡 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝜋/2
biết hàm mật độ là 𝑝(𝑥, 𝑦) = 𝑦 A. 1 (đvkl) B. 2 (đvkl) C. 3 (đvkl) D. 5 (đvkl)
Câu 44: Tính công làm dịch chuyển một chất điểm từ A(0,1) đến B(1,0) của lực
𝐹⃗ = [8𝑥3 − 2𝑦 ln(1 + 𝑥2𝑦2)]𝑖⃗ + [5𝑦4 − 2𝑥 ln(1 + 𝑥2𝑦2)]𝑗⃗ A. 1 (đvc) B. 2 (đvc) C. 5 (đvc) D. 4 (đvc)
Câu 45: Tính khối lượng của đường cong vật chất 𝐿 có phương trình 𝑥2 + 𝑦2 = 1
biết hàm mật độ là 𝑝(𝑥, 𝑦) = 𝑥2
A. 3𝜋 (đvkl)
B. 4𝜋 (đvkl)
C. 2𝜋 (đvkl) D. 𝜋 (đvkl) 8
III. Bài tập trắc nghiệm Tích phân mặt
1. Tích phân mặt loại I: Câu 46: Tính xydS
với 𝑆 là mặt 𝑧 = √𝑥2 + 𝑦2, 𝑧 ≤ 1, 𝑥 ≥ 0 S A. 0 B. 2 C. 1 D. 3 Câu 47: Tính 2 x dS
với 𝑆 là biên của miền giới hạn bởi mặt 𝑧 = √𝑥2 + 𝑦2, 𝑧 = 1 S (2 + 2) (2 + 3) (1+ 2) (1+ 3) A. B. C. D. 4 4 4 4 5 6
Câu 48: Tìm 𝑚 để
(x + y + mz)dS =
với 𝑆 là mặt 2𝑥 + 4𝑦 + 2𝑧 = 4 và điều 3 S
kiện 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0, 𝑧 ≥ 0 A. 𝑚 = 0 B. 𝑚 = 1 C. 𝑚 = −1 D. 𝑚 = 2 Câu 49: Tính xyzdS
với 𝑆 là mặt 𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 − 4 = 0 giới hạn trong mặt trụ có S
phương trình 2𝑥2 + 3𝑦2 = 6 A. 1 B. 0 C. 2 D. 3 a 5 1 Câu 50: Biết xdS = +
biết 𝑆 là phần mặt paraboloid 𝑥 = 𝑦2 + 𝑧2 thỏa 12 b S
mãn 𝑥 ≤ 1. Kết luận nào sau đây là chính xác?
A. 𝑎 + 𝑏 < 70
B. 𝑎 − 𝑏 > 0
C. 𝑎. 𝑏 < 70 D. 𝑎/𝑏 > 1 Câu 51: Tính 2 2 1+ x + y dS
với 𝑆 là phần mặt 2𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2, 0 ≤ 𝑥, 𝑦 ≤ 1. Chọn S
đáp án gần với kết quả của tích phân nhất. A. 2 B. 3 C. 4 D. 0 2 Câu 52: Biết dS 4 =
(33 − a 3 − b 2) với 𝑆 là mặt z = ( 3/2 3/2 x + y ) với điều 15 3 S
kiện 0 ≤ 𝑥 ≤ 2, 0 ≤ 𝑦 ≤ 1. Tìm khẳng định đúng? 9 A. 𝑎 < 𝑏
B. 𝑎 + 𝑏 = 10
C. 𝑎 − 𝑏 = 5
D. 𝑎. 𝑏 = 10 Câu 53: Tính 2 zy dS
với 𝑆 là phần mặt nón 𝑧 = √𝑥2 + 𝑦2 nằm giữa hai mặt 𝑧 = 1 S và 𝑧 = 2 31 2 31 2 31 2 31 2 A. B. C. D. 3 10 4 5 Câu 54: Tính 2 yx dS
với 𝑆 là phần mặt nón 𝑦 = √𝑥2 + 𝑧2, 1 ≤ 𝑦 ≤ 2 S 32 2 31 2 33 2 34 2 A. B. C. D. 5 5 5 5 Câu 55: Tính xdS
với 𝑆 là mặt trụ 𝑥2 + 𝑦2 = 4 nằm giữa hai mặt 𝑧 = 0 và 𝑧 = 6 S A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
2. Tích phân mặt loại II: Câu 56: Tính
(1− x − z)dzdx
với 𝑆 là mặt trên của mặt 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1, 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ S 0, 𝑧 ≥ 0 1 2 1 4 A. B. C. D. 5 3 6 3 Câu 57: Tính 2 2 2 I =
(x + y + z )dxdy
với 𝑆 là mặt nửa cầu 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 1 phía S
trên 𝑂𝑥𝑦, mặt 𝑆 hướng lên trên. A. 𝜋 B. −𝜋 C. 2𝜋 D. 3𝜋 Câu 58: Cho 𝐼 = 2 ydzdx + z dxdy
, 𝑆 là phía ngoài mặt 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 1 với điều S
kiện 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0, 𝑧 ≥ 0. Chọn đáp án gần nhất với kết quả của 𝐼 A. 1 B. 0 C. 2 D. 3 Câu 59: Tính 𝐼 = 2 xdzdx + z dxdy
với 𝑆 là phía ngoài mặt 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2 với điều S
kiện 0 ≤ 𝑧 ≤ 2, 𝑦 ≥ 0 10 4 − 7 − 5 − 4 − A. B. C. D. 5 3 3 3 Câu 60: Tính 2 2 2
xz dydz + 4 yx dzdx + 9zy dxdy
với mặt 𝑆: 4𝑥2 + 9𝑦2 + 𝑧2 = 1, S hướng ra ngoài. 4 2 2 2 A. B. C. D. 15 15 13 19 a Câu 61: Biết 𝐼 = 2 2
2xydydz + (x + y )dzdx + (4x + y )dxdy =
với mặt 𝑆 là biên của b S
miền 𝑉: 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 ≤ 1, 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0, 𝑧 ≥ 0 hướng ra ngoài. Tìm khẳng định đúng
A. 𝑎 − 𝑏 = 7
B. 𝑎. 𝑏 = 7
C. 𝑎 + 𝑏 = 7 D. 𝑎/𝑏 = 7 Câu 62: Tính 𝐼 = 2 3 3 2
(xy + 2z )dydz + (z + 2y)dzdx + x zdxdy với 𝑆 là nửa mặt S
cầu 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 1, 𝑧 ≥ 0 hướng ra ngoài mặt cầu. 8 8 6 8 A. B. C. D. 5 3 7 7 Câu 63: Tính 𝐼 = 3 2 2
(x + 2 yz)dydz + (3x y + y)dzdx + (6 y z + xy)dxdy với 𝑆 là mặt S
𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2 với 𝑧 ≤ 1, hướng xuống dưới. A. 1 B. 0 C. 2 D. 8 1 Câu 64: Tính
(−xdydz − ydzdx + dxdy)
với 𝑆 là mặt 2𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2, 2 2 + + S 1 x y
𝑧 ≤ 2 theo chiều âm của trục 𝑂𝑥 (2 +10 5) ( 2 − +10 5) A. C. 3 3 (2 + 5) ( 2 − + 5) B. D. 3 3 11 a Câu 65: Biết
xdydz + zdxdy =
với 𝑆 là phần trên của mặt nón có phương b S
trình 𝑧 = −√𝑥2 + 𝑦2 , −1 ≤ 𝑧 ≤ 0 khi nhìn từ chiều dương trục 𝑂𝑧. Tính 2𝑎 + 𝑏 A. 1 B. 9 C. 0 D. 5 Câu 66: Tính 2 3
x y dx + dy + zdz
dọc theo đường tròn 𝐶: 𝑥2 + 𝑦2 = 1, 𝑧 = 0 C
chiều dương giới hạn mặt cầu 𝑧 = √1 − 𝑥2 − 𝑦2 − − A. B. C. D. 6 4 7 8 1
Câu 67: Tính tích phân 𝐼 = ( 2
− xdydz −2ydzdx + dxdy) với 𝑆 là 2 2 + + S 1 4x 4y
mặt có phương trình 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2, 0 ≤ 𝑧 ≤ 4 theo chiều 𝑧 ≥ 0 (17 17 −1) (17 16 −1) A. C. 7 6 (17 17 −1) (17 17 +1) B. D. 6 6
Câu 68: Tính tích phân 𝐼 = 3 3
(6z −9y)dydz + (3x − 2z )dzdx + (3y −3x)dxdy với S
𝑆 là mặt 𝑥2 + 3𝑦2 + 𝑧4 = 1, 𝑧 ≥ 0, hướng lên trên. A. 2 B. 3 C. 0 D. 1 Câu 69: Tính 2
(2x + xy)dydz + ( y + 2xz)dzdx + (1+ 6z + z )dxdy với 𝑆 là mặt nằm S
trong của nửa cầu 𝑧 = −√16 − (𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2)
A. (80 − 190√2)𝜋
C. (80 − 193√2)𝜋
B. (80 − 192√2)𝜋
D. (80 − 194√2)𝜋 Câu 70: Tính
xydydz + yzdzdx + zxdxdy
biết 𝑆 là mặt ngoài của tứ diện 𝑂𝐴𝐵𝐶 với S
𝑂(0,0,0), 𝐴(1,0,0), 𝐵(0,1,0), 𝐶(0,0,1) 12 1 1 1 1 A. B. C. D. 7 8 9 10 Câu 71: Biết 2 2 2
2x dydz + y dzdx − z dxdy = a + b
, S là mặt ngoài của miền giới S
hạn bởi 𝑦 = 0, 𝑦 = √1 − 𝑧2, 𝑥 = 0, 𝑥 = 2 chọn khẳng định đúng A. 𝑎 + 3𝑏 = 12 C. −𝑎 + 3𝑏 = 0 B. 3𝑎 + 6𝑏 = 16 D. 𝑎 + 𝑏 = 4 a
Câu 72: Biết I =
(x + z)dydz + ( y + x)dzdx + (z + y)dxdy = với 𝑆 là mặt trong b S
của parabol 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2 nằm dưới mặt 𝑥 + 𝑧 = 2 . Tính 𝑎 − 𝑏 A. 50 B. 49 C. 52 D. 47
3. Ứng dụng của tích phân mặt:
Câu 73: Tính diện tích mặt 𝑆: 𝑧 = 2 + √𝑥2 + 𝑦2 , 𝑧 ≤ 3 A. 7 (đvdt) B. 3 (đvdt) C. 2 (đvdt) D. 5 (đvdt)
Câu 74: Tính diện tích mặt cong 𝑆 với 𝑆 là phần mặt nón 𝑦 = √𝑥2 + 𝑧2 với điều
kiện 1 ≤ 𝑦 ≤ 2, 𝑧 ≥ 0 3 2 3 3 3 3 A. (đvdt) B. (đvdt) C. (đvdt) D. (đvdt) 2 2 2 3
Câu 75: Tính diện tích mặt paraboloid 𝑧 = 4𝑥 − 𝑥2 − 𝑦2 nằm phía trên mặt 𝑂𝑥𝑦 là
(a 17 −1) , tính 𝑎 + 𝑏 b A. 20 B. 23 C. 19 D. 15
Câu 76: Tính diện tích phần mặt paraboloid 𝑥 = 𝑦2 + 𝑧2 thỏa mãn 𝑥 ≤ 1 A. 6 (5 5 −1) B. − − C. (3 6 1) D. ( 6 1) 6 2 6 6
Câu 77: Tính diện tích mặt 𝑆: 𝑧 = √𝑥2 + 𝑦2 , 𝑧 ≤ 3 A. 9𝜋√2 B. 8𝜋√5 C. 9𝜋√8 D. 7𝜋√3 13
IV.Bài tập trắc nghiệm Lý thuyết trường
1. Trường vô hướng:
Câu 78: Tính đạo hàm theo hướng 𝑙⃗ = (1,2, −2) của 𝑢 = 𝑒𝑥(𝑦2 + 𝑧) − 2𝑥𝑦𝑧3 tại 𝐴(0,1,2) 11 − 11 − 15 − 15 − A. B. C. D. 4 3 4 2 u
Câu 79: Cho 𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥3 + 3𝑦𝑥2 + 2𝑦𝑧2. Tính ( ) A với 𝑛 ⃗ là vecto pháp tuyến n
hướng ra ngoài của mặt cầu 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 3, 𝑧 ≤ 0 tại điểm 𝐴(1,1, −1) A. −6√3 B. −6√2 C. −2√3 D. −2√6
Câu 80: Biết nhiệt độ tại điểm (𝑥, 𝑦, 𝑧) trong không gian được cho bởi hàm 80 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 1 + 𝑥2 + 2𝑦2 + 3𝑧2
ở đó 𝑇 có đơn vị là ℃ và 𝑥, 𝑦, 𝑧 là mét. Theo hướng nào thì nhiệt độ tăng nhanh
nhất tại điểm 𝐴(1,1, −2) 5 5 15 5 − 5 − 15 A. ; ; C. ; ; 8 4 4 8 4 4 5 15 15 5 5 − 15 B. ; ; D. ; ; 8 4 4 8 4 4
Câu 81: Tính góc giữa hai vecto 𝑔𝑟 ⃗⃗⃗𝑎𝑑
⃗⃗⃗⃗𝑧 (đơn vị: radian) của các trường vô hướng
sau 𝑧1 = √𝑥2 + 𝑦2, 𝑧2 = 𝑥 − 3𝑦 + √3𝑥𝑦 tại 𝑀(3,4) (Chọn đáp án gần đúng nhất) A. 2 B. 1 C. 3 D. 4 u
Câu 82: Cho 𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧) = ln(1 + 𝑥2 + 𝑒𝑦−𝑧) , 𝑂(0,0,0), 𝐴(1, −2,2). Tính (O) theo l hướng 𝑂𝐴 ⃗⃗⃗⃗ 2 − 2 − 1 − 1 − A. B. C. D. 5 3 3 5 14
Câu 83: Theo hướng nào thì sự biến thiên của hàm 𝑢 = 𝑥 sin 𝑧 − 𝑦 cos 𝑧 tại gốc tọa độ là lớn nhất
A. 𝑙⃗ = (0,1,0)
B. 𝑙⃗ = (0, −1,0)
C. 𝑙⃗ = (0, −2,0)
D. 𝑙⃗ = (0, −3,0)
Câu 84: Cho điểm 𝐴(2, −1,0), 𝐵(1,1,3). Tính đạo hàm của hàm 𝑢 = 𝑥3 + 3𝑦2 +
𝑒𝑧 + 𝑥𝑦𝑧2 tại điểm 𝐴 theo hướng 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗ 14 14 3 − 14 2 − 14 A. B. C. D. 3 2 2 3 x
Câu 85: Tính góc giữa 𝑔𝑟 ⃗⃗⃗𝑎 ⃗⃗𝑑 ⃗⃗𝑢, u = 2 2 2 x + y +
tại điểm 𝐴(1,2,2) và 𝐵(−3,1,0) z 8 − 1 − 1 7 − A. arccos B. arccos
C. arccos D. arccos 9 9 9 9 2.Trường Vecto:
Câu 86: Cho 𝐹⃗ = 𝑥2𝑦𝑧𝑖⃗ + 3𝑥𝑦2𝑧𝑗⃗ + 𝑚𝑥𝑦𝑧2𝑘
⃗⃗ với 𝑚 là tham số thực. Tìm 𝑚 để 𝐹⃗ là trường ống. A. 𝑚 = 4 B. 𝑚 = −4 C. 𝑚 = 5 D. 𝑚 = −5
Câu 87: Xác định những điểm không phải điểm xoáy trong trường vecto
𝐹⃗ = (𝑧2 + 2𝑥𝑦)𝑖⃗ + (3𝑥2 − 2𝑦𝑧)𝑗⃗ − 𝑧2𝑘⃗⃗ A. (1,0,0) B. (0,0,1) C. (0,0,0) D. (0,1,0)
Câu 88: Biết 𝐹⃗ = 𝑒𝑥2+𝑦2+𝑧2[(2𝑥2𝑦𝑧 + 𝑦𝑧)𝑖⃗ + (2𝑦2𝑥𝑧 + 𝑥𝑧)𝑗⃗ + (2𝑧2𝑦𝑥 + 𝑥𝑦)𝑘 ⃗⃗] là
trường thế. Tìm hàm thế vị. 2 2 2 2 2 A. + + + + x y z u = e xyz + C C. x y z u = e xy + C 2 2 2 2 2 B. + + + x y z u = e xy + C D. y z u = e xyz + C
Câu 89: Biết 𝐹⃗ = (3𝑥2 − 3𝑦2𝑧)𝑖⃗ + (arctan 𝑧 − 6𝑥𝑦𝑧)𝑗⃗ + ( 𝑦 + 3𝑥𝑦2) 𝑘 ⃗⃗ là trường 1+𝑧2
thế, tìm hàm thế vị. A. 2
u = x + y arctan z + 3xy z + C C. 2
u = y arctan z + 3xy z + C B. 2
u = 3x + y arctan z + 3xy z + C D. 3 2
u = x + y arctan z + 3xy z + C 15
Câu 90: Biết 𝐹⃗ = (3𝑥2 + 𝑦𝑧)𝑖⃗ + (6𝑦2 + 𝑥𝑧)𝑗⃗ + (𝑧2 + 𝑥𝑦 + 𝑒𝑧)𝑘
⃗⃗ là trường thế, tìm hàm thế vị 3 z 3 z A. 3 3 u = x + 2 z y +
+ e + xyz + C C. 3 3 u = x + 2 z y +
+ e + xy + C 3 3 3 z 3 z B. 3 3 u = x + 3 z y +
+ e + xyz + C D. 3 3 u = x + 2 xz y +
+ e + xyz + C 3 3
Câu 91: Tính thông lượng của 𝐹⃗ = 𝑥𝑖⃗ + (𝑦3 + 2𝑧)𝑗⃗ + (3𝑥2𝑧 − 𝑥)𝑘 ⃗⃗ qua mặt cầu
𝑆: 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 1 hướng ra ngoài. 54 57 47 44 A. B. C. D. 15 15 15 15
Câu 92: Tính thông lượng của 𝐹⃗ = 𝑥𝑦2𝑖⃗ − 𝑧𝑒𝑥𝑗⃗ + (𝑥2𝑧 + sin 𝑦)𝑘 ⃗⃗ qua 𝑆 là mặt
𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2, 𝑧 ≤ 4, hướng ra ngoài. (Chọn kết quả gần đúng nhất) A. −17 B. −15 C. −10 D. −14
Câu 93: Tính thông lượng của 𝐹⃗ = (𝑥2 − 2𝑦 + 𝑧)𝑖⃗ − (𝑧2 + 2𝑥𝑦)𝑗⃗ + 𝑥𝑘 ⃗⃗ qua phía
trên mặt nón 𝑧 = 1 + √𝑥2 + 𝑦2 cắt bởi hai mặt phẳng 𝑧 = 2, 𝑧 = 5 A. 25 B. 16 C. 0 D. 20
Câu 94: Tính thông lượng của trường vecto 𝐹⃗ = 2𝑥2𝑖⃗ + 𝑦2𝑗⃗ − 𝑧2𝑘 ⃗⃗ qua S là mặt
ngoài của miền giới hạn bởi 𝑦 = 0, 𝑦 = √1 − 𝑧2, 𝑥 = 0, 𝑥 = 2 8 8 8 8 A. 4 + B. 3 + C. + D. 4 + 3 3 3 5 𝑧2
Câu 95: Tính thông lượng của trường vecto 𝐹⃗ = 𝑥3𝑖⃗ + 𝑦2𝑗⃗ + 𝑘⃗⃗ qua 𝑆 là biên 2
ngoài của miền 𝑉: |𝑥 − 𝑦| ≤ 1, |𝑦 − 𝑧| ≤ 1, |𝑧 + 𝑥| ≤ 1 A. 5 B. 4 C. 0 D. 3
Câu 96: Cho trường vô hướng 𝑢 = 𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑥𝑧. Tính lưu số của trường vecto 𝑔𝑟 ⃗⃗⃗𝑎𝑑
⃗⃗⃗⃗𝑢 dọc theo đoạn thẳng nối từ 𝐴(−1, −1, −1) đến 𝐵(2,4,1) A. 11 B. 12 C. 16 D. 14
Câu 97: Tính lưu số của 𝐹⃗ = 𝑥2𝑦3𝑖⃗ + 𝑗⃗ + 𝑧𝑘
⃗⃗ dọc theo đường tròn có phương trình 16
𝐶: 𝑥2 + 𝑦2 = 1, 𝑧 = 0 giới hạn mặt cầu 𝑧 = √1 − 𝑥2 − 𝑦2 − − − − A. B. C. D. 6 8 7 9
Câu 98: Tính lưu số của 𝐹⃗ = (𝑦𝑒𝑥𝑦 + 3𝑦 + 𝑧)𝑖⃗ + (𝑥𝑒𝑥𝑦 + 𝑦 − 5𝑧)𝑗⃗ + (1 + 2𝑥)𝑘 ⃗⃗ dọc
theo đường cong 𝐿 là giao của mặt 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 4 và mặt 𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 0 hướng
ngược chiều kim đồng hồ nếu nhìn từ chiều dương trục 𝑂𝑧. A. 3√3𝜋 B. 6√3𝜋 C. 4√3𝜋 D. √3𝜋
Câu 99: Tính lưu số của 𝐹⃗ = (𝑦2 + 𝑧2)𝑖⃗ + (𝑥2 + 𝑧2)𝑗⃗ + (𝑥2 + 𝑦2)𝑘 ⃗⃗ dọc theo đường
cong 𝐶 trong đó 𝐶 là giao của mặt cầu 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 4 và mặt nón có phương
trình 𝑧 = −√𝑥2 + (𝑦 − 1)2 với hướng cùng chiều kim đồng hồ khi nhìn từ gốc O. A. 3 B. 0 C. 1 D. 5
Câu 100: Tính thông lượng của 𝐹⃗ = (6𝑧 − 2𝑦3)𝑖⃗ + (2𝑥 − 3𝑧)𝑗⃗ + (2𝑦3 − 4𝑥)𝑘 ⃗⃗ qua
mặt cong 𝑆: 2𝑥2 + 𝑦4 + 3𝑧2 = 1, 𝑧 ≥ 0 hướng lên trên. A. 3 B. 0 C. 2 D. 1 17