Hướng dẫn giải bài tập phương trình vi phân thường | Đại học Yersin Đà Lạt

Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti 2009 Ch ng 6 PH NG TRÌNH VI PHÂN I. Khái niệm Dạng tổng quát: � , , ′, … , = 0
Với x là biến số, = ( ) là hàm số phải tìm, ′ , ′′ , … , ( ) là các đạo hàm các cấp của = ( ).
Nghiệm của phương trình vi phân là mọi hàm số thỏa mãn phương trình đó. Ví dụ : ′′ + = 0
Là phương trình vi phân cấp 2 có nghiệm là = sin⁡( ) hoặc = . sin⁡( )
Phương trình vi phân tuyến tính cấp n: ( ) + −1 ′ 1 + ⋯ + −1 + = ( ) Trong đó 1 , 2 , … ,
, ( ) là những hàm cho trước. II. Ph
ng trình vi phơn cấp 1 1. Khái niệm
a. Dạng: � , , ′ = 0 (1) hoặc ′ = , (2)
Nếu từ (1) ta tìm được hàm số = ( , ) với là hằng số tùy ý thì = ( , )
gọi là nghiệm tổng quát của (1).
Đôi khi ta không tìm được nghiệm tổng quát của (1) mà tìm được một hệ thức
dạng: Φ , , = 0 nó xác định nghiệm tổng quát dưới dạng ẩn thì hệ thức này
gọi là tích phân tổng quát của (1).
Nếu cho trong nghiệm tổng quát của (1) một giá trị xác định 0 thì ta được
nghiệm riêng của (1), tức là = ( , 0) là nghiệm riêng của (1).
Tương tự nếu cho trong tích phân tổng quát của (1) một giá trị xác định 0 thì
ta được tích phân riêng của (1), tức là Φ , , 0
= 0 là tích phân riêng của (1).
Nếu khi giải (1) có những nghiệm không nằm trong họ nghiệm tổng quát thì giọ là
nghiệm kỳ dị (hay nghiệm ngoại lai)
Ví dụ : Xét phương trình ′ − = 0 ⟺ ′ = 1
Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti 2009 2 2 Ta thấy =
2 là nghiệm tổng quát của phương trình, = − 2 là nghiệm riêng. 2
Nếu ta biểu diễn nghiệm tổng quát dưới dạng hệ thức − 2 = 0 thì ta được 2
tích phân tổng quát, cho = −1 thì ta có + 2 = 0 là tích phân riêng. b. BƠi toán Cauchy
Tìm nghiệm = ( ) của phương trình ′ = ( , ) thỏa mãn điều kiện ban đầu: 0
= 0 với 0, 0 cho trước ( = = 0 0) Định lý 1.1
Nếu hàm ( , ) liên tục tại lân cận điển ( 0, 0) thì bài toán Cauchy luôn có
nghiệm. Hơn nữa nếu ′ ( , ) liên tục tại lân cận điển ( 0, 0) thì bài toán
Cauchy tồn tại duy nhất nghiệm. 2. Ph
ng trình vi phơn cấp một biến số phơn ly
Là phương trình có thể tách rời mỗi biến một vế a. Dạng 1: ′ = . (2.1) Ph ng pháp giải Nếu ≠ 0 thì ta có = ( )
Suy ra tích phân tổng quát : = + ( )
Nếu = 0 có nghiệm = thì = là nghiệm của phương trình
Ví dụ : Giải phương trình ′ = (1 + 2) Giải: Chia 2 vế cho 1 + 2 ta có 2
Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti 2009 = 1 + 2
Suy ra tích phân tổng quát = + 1 + 2 2 ⇔ = + 2 b. Dạng 2 : + = 0 (2.2) Ph ng pháp giải
Ta có tích phân tổng quát : + =
Ví dụ : Giải phương trình cos . ′ = Giải. cos =
Ta có tích phân tổng quát : cos = + 2 = + 2 c. Dạng 3 : 1 1( ) + 2 2( ) = 0 (2.3) Ph ng pháp giải Nếu 2 1 ≠ 0 chia 2 vế cho 2 1 ≠ 0 thì ta có : 1 2 + = 0 2 1( )
Suy ra tích phân tổng quát : 3
Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti 2009 1 + 2 = 2 1( ) Nếu từ 1
= 0 ta có nghiệm = thì đây là nghiệm riêng của phương trình Nếu từ 2
= 0 ta có nghiệm = thì đây là nghiệm riêng của phương trình
Ví dụ : Giải phương trình vi phân 1 + 2 + 1 + 2 = 0 Giái
Chia 2 vế cho 1 + 2 (1 + 2) phương trình đã cho tương đương với : + = 0 1 + 2 1 + 2 Tích phân tổng quát : + = 1 + 2 1 + 2 1 1 ⇔ 1 + 2 + 1 + 2 = 2 2 d. Dạng 4 : ′ = + + (2.4) Ph ng pháp giải
Nếu = 0 hoặc = 0 ta có dạng (2.1) Nếu ≠ 0, đặt = + + ta có : ′ = + Đây là dạng (2.1)
Ví dụ : Giải phương trình ′ = 2 + 2 + 2 − 1 Giải
Phương trình đã cho viết lại thành ′ = ( + )2 − 1
Đặt = + ⇒ ′ = 1 + ′ = 1 + 2 − 1 4
Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti 2009 ⇔ ′ = 2
Nếu ≠ 0 chia 2 vế cho 2 ta có : = 2 1 ⇔ = − + 1 ⇔ = − Nghiệm tổng quát 1 = − −
Nếu = 0 ⇔ = − , đây là nghiệm kỳ di của phương trình. 3. Ph
ng trình vi phơn đẳng cấp cấp 1 Dạng : ′ = , = � (3.1) Ph ng pháp giải Đặt = suy ra = nên ′ = + ′ , thay vao ta có: ′ = � − Nếu � − ≠ 0, ta có : � − =
Suy ra tích phân tổng quát : � − = +
Nếu � − = 0 có nghiệm = thì = là nghiệm Nếu Nếu � −
0 thì phương trình trở thành ′ = Có nghiệm =
Chú ý 1: Muốn kiểm tra phương trình ′ = , có phải đẳng cấp cấp 1 không 5
Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti 2009 ta có thể 1 kiểm tra ,
= , , ∀ thì cho = ta có , = , = 1, = �( )
Ví dụ : Giải phương trình ′ = + Giải Đặt = ta có = và ′ = ′ + = + Suy ra : ′ = hay − = Tích phân 2 vế ta có : − − = ⇔ = − + Chú ý 2: Phương trình ′ 1 + 1 + 1 = ( ) 2 + 2 + 2
Có thê đưa về dạng biến số phân ly Trường hợp 1 :Nếu 1 1 ≠ 0 thì đặt 2 2 = + = +
Với , là nghiệm của hệ 1 + 1 + 1 = 0 , khi đó : 2 + 2 + 2 = 0 = = Thay vào ta có : 6
Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti 2009 ′ 1 + 1 = ( ) 12 + 2
Đây là phương trình đẳng cấp cấp 1. Trường hợp 2 :Nếu 1
1 = 0 thì 1 = 1 = ta đặt : 2 2 2 2 = 2 + 2 Ta có : ′ + 1 = 2 + 2 ( ) + 2
Đây là phương trình biến số phân ly.
Ví dụ : Giải phương trình vi phân + − 2 − − + 4 = 0 Giải
Nếu − + 4 ≠ 0 phương trình đã cho tương đương với : ′ + − 2 = − + 4 Do = 1
1 = −2 ≠ 0 nên giải hệ : 1 −1 + − 2 = 0 − ⇒ = −1 + 4 = 0 = 3 Đặt: + = − 1 ⇒ ′ = = + 3 − Đặt = ta có = và ′ 1 + = ′ + = 1 − 2 + 1 ⇔ ′ = 1 − 1 − ⇔ = 1 + 2 Lấy tích phân 2 vế 7
Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti 2009 1 − = + 1 + 2 ⇔ − 1 + 2 = ( ) ⇔ = ( 1 + 2) ⇔ = 1 + 2 Thay = ta có = 2 + 2 Thay =
− 3 và = + 1 ta được tích phân tổng quát −3 +1 = ( − 3)2 + ( + 1)2 4. Ph
ng trình vi phơn tuyến tính cấp 1 a. Ph
ng trình vi phơn tuyến tính cấp 1 thuần nhất Dạng : ′ + = 0 (4.1)
Với ( ) là hàm cho trước. Ph ng pháp giải Có nghiệm tổng quát là = − b. Ph
ng trình vi phơn tuyến tính cấp 1 không thuần nhất Dạng : ′ + = 4.2
Với p x , q(x) là các hàm cho trước. Ph ng pháp giải Có nghiệm tổng quát là y = − ( + ) 8
Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti 2009
Chú ý : Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 không
thuần nhất có thể viết y = − + − = 1 + 2
Với 1 là nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 thuần nhất
tương ứng và 2 là nghiệm riêng của phương trình vi phân tuyến tính cấp 1
không thuần nhất tìm được bằng phương pháp biến thiên hằng số đối vơi 1.
Ví dụ :Giải phương trình ′ − = 2 Giải y = 1 ( + − 1 2 ) y = + = ( + ) 2 5. Ph ng trình Becnuly Dạng ′ + = 5.1 Ph ng pháp giải
Nếu = 0 hoặc = 1 thì đây là phương trình tuyến tính
Nếu ≠ 0 và ≠ 1 bằng cách chia cả 2 vế cho và đặt = 1− ta có : ′ + 1 − = 1 − ( )
Đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1.
Ví dụ : Giải phương trình vi phân ′ + = 2 4 Giải Chia 2 vế cho 4 ta có − 1 4 ′ + −3 = 2
Đặt = −3 ta có ′ = −3 −4 ′, thay vào phương trình ta có : 9
Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti 2009 ′ 3 − = −3 2
Đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 theo nên có nghiệm tổng quát : = 3 ( − 3 − 3 2 ) ⇔ = 3 − 3 3 1 ⇔ = 3 − 3 3 3 6. Ph
ng trình vi phơn toƠn phần Dạng : , + , = 0 (6.1)
Với , , ( , ) là các hàm liên tục và có các đạo hàm riêng liên tục trong
miền D và thỏa mãn điều kiện : � ( , ) � ( , ) � = � (6.2) Ph ng pháp giải
Khi đó tích phân tổng quát có dạng : , + 0, = 0 0 Hoặc , 0 + , = 0 0 Với ( 0, 0) ∈
Ví dụ: Giải phương trình: 4 2 + + 4 2 + = 0 Giải = 4 2 + , = 4 2 + Do 10
Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti 2009 � ( , ) � ( , ) � = � = 8 + 1, ∀( , )
Nên đây là phương trình vi phân toàn phần, chọn 0 = 0 = 0 ta có tích phân tổng quát (4 2 + ) + 4. 02 + 0 = 0 0 2 2 2 + = Chú ý :
Nếu điều kiện (6.2) không thỏa mãn thì , + , = 0 không phải là
vi phân toàn phần. Khi đó ta có thể tìm được hàm ( , ) sao cho phương trình , , + , , = 0 (6.3)
Là phương trình vi phân toàn phần. Khi đó nghiệm tổng quát của (6.1) và (6.3) là như nhau.
Hàm số ( , ) gọi là thừa số tích phân được tìm dựa vào đẳng thức �( ) �( ) � = �
Nói chung, không có phương pháp tổng quát nào để tìm thừa số tích phân, ta chỉ xét hai trương hợp sau: Trường hợp 1: Nếu � ( , ) � − � ( , ) � = ( ) ( , ) Thì thừa số tích phân , = = Trường hợp 2: Nếu � ( , ) � − � ( , ) � = ( ) ( , ) Thì thừa số tích phân , = = − 11
Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti 2009
Ví dụ: Giải phương trình: − 4 2 + = 0 Giải � ( , ) � ( , ) = , = − 4 2 + ⇒ � = 1 ≠ � = −8 − 1 Do � ( , ) � − � ( , ) � 2 = − ( , ) Nên ta tìm 1 , = = − 2 = 2
Phương trình đã cho có cùng nghiệm tổng quát với phương trình 1 − 4 + = 0 2
Đây là phươg trình toàn phần, lấy x0 = 1, y0 = 0 ta có tích phân tổng quát: 0 1 − 4 + = 2 1 0 2 2 + = 7. Ph ng trình Clairaut Dạng : = ′ + ′ (7.1)
Trong đó là một hàm khả vi Ph ng pháp giải Đặt ′ = ta có =
+ ( ). Lấy đạo hàm 2 vế đối với biến ta có : ′ � � = + � + ′ � = Hay � + ′ � = 0 12
Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti 2009 Suy ra : � Nếu
= 0 thì = nên nghiêm tổng quát là � = + ( )
Nếu = − ′( ) thì = − ′ + ( ) ta có nghiệm kỳ dị cho dưới dạng tham số: = − ′( ) = − ′ + ( )
Ví dụ: Giải phương trình 1 = ′ − ( ′)2 4 Giải
Đây là phương trình Clairaut vớ 1
i ′ = ( ′)2. Thực hiện như trên ta có nghiệm 4 tổng quát là 1 = − 2 4 Và nghiệm kỳ dị là : 1 = − 2 4 1 = 2 8. Ph ng trình Lagrange Dạng: = ′ + ′ (8.1)
Trong đó , là các hàm khả vi. Ph ng pháp giải Đặt = ′ ta có =
+ ( ), lấy đạo hàm 2 vế theo ta có: ′ � � = + ′ � + ′ � = Suy ra: � − � + ′ = − ′( ) 13
Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti 2009
Đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1theo hàm , giải phương trình trên ta có = �( , )
Suy ra nghiệm tổng quát tìm được dưới dạng tham số: = �( , ) = �( , ) + ( )
Ví dụ: Giải phương trình = ′2 + ′2 Giải
Đặt = ′ ta có = 2 + 2, lấy đạo hàm 2 vế ta có : ′ � � = 2 + 2 � + 2 � = Hay � 2 − � + 2 = −2
Nếu 2 − ≠ 0, chia 2 vê cho 2 − ta có : � 2 2 � + − = 1 1 −
Đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 nên có nghiệm tổng quát : 2 = − 2 −1 ( + 2−1 1 − ) = ( − 1)2
Suy ra nghiệm tổng quát dưới dạng tham số : = ( − 1)2 2 = + 2 ( − 1)2 9. Một số dạng khác
a. Dạng = � ′ (9.1) Ph ng pháp giải 14
Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti 2009
Đặt = ′ = khi đó ta có = �( ) nên = �′ Suy ra = = �′ Nên = �′ +
Vậy nghiệm tổng quát tìm được dưới dạng tham số = � = �′ +
Ví dụ: Giải phương trình: = ′ + ′ Giải Đặt = ′ ta có = + nên = − , suy ra = = − = − = − 1 + + 1 +
Vậy nghiệm tổng quát là = + = − 1 + + 1 +
b. Dạng = � ′ (9.2) Ph ng pháp giải
Đặt = ′ ta có = �( ) nên = �′ . Mặt khác �′ = = Suy ra �′ = +
Vậy nghiêm tổng quát tìm được dưới dạng tham số �′ = + = �( ) 15
Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti 2009
Ví dụ: Giải phương trình: ( ′ )2 = ′ Giải Đặ 2 t = ′ ta có = suy ra = 2 − − 2 − Nên = = 2 − − Suy ra = 2 − − + = − 1 − +
Vậy nghiệm tổng quát là = − 1 − + 2 = III. Ph
ng trình vi phơn cấp 2 1. Khái niệm
Dạng: � , , ′, ′′ = 0 (3) hoặc ′′ = , , ′ (4)
Nếu từ (3) ta tìm được hàm số = ( , 1, 2) với 1, 2 là hằng số tùy ý thì
= ( , 1, 2) gọi là nghiệm tổng quát của (3).
Đôi khi ta không tìm được nghiệm tổng quát của (3) mà tìm được một hệ thức dạng: Φ , , 1, 2
= 0 nó xác định nghiệm tổng quát dưới dạng ẩn thì hệ thức
này gọi là tích phân tổng quát của (3).
Nếu cho 1, 2 trong nghiệm tổng quát của (3) một giá trị xác định , thì ta được
nghiệm riêng của (3), tức là = ( , , ) là nghiệm riêng của (3).
Tương tự nếu cho 1, 2 trong tích phân tổng quát của (3) một giá trị xác định ,
thì ta được tích phân riêng của (3), tức là Φ , , , = 0 là tích phân riêng của (3).
Nếu khi giải (3) có những nghiệm không nằm trong họ nghiệm tổng quát thì giọ là
nghiệm kỳ dị (hay nghiệm ngoại lai). 2. Các ph
ng trình vi phơn cấp 2 giải đ ợc bằng ph ng pháp hạ cấp a. Dạng: ′′ = (2.1) 16
Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti 2009 Ph ng pháp giải
Lấy tích phân 2 lần liên tiếp ta có nghiệm tổng quát = + 1 +
Ví dụ: Giải phương trình: ′′ = 2 + + 1 Giải = ( 2 + + 1) + 1 + 4 2 = + + + 12 2 1 + 2 b. Dạng ′′ = , ′ (2.2) Ph ng pháp giải
Đặt = ′, phương trình đã cho được đưa về dạng: ′ = ( , )
Đây là phương trình vi phân cấp 1, giải phương trình này ta tìm được rồi từ đó tìm được .
Ví dụ: Giải phương trình: ′ ′′ = − Giải Đặt = ′ ta có: ′ = − ⇔ ′ + =
Đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 nên có nghiệm tổng quát : 2 1 = − 1 1 + 1 = + 3 17
Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti 2009 Do đó : 2 ′ 1 = + 3 Nên : 2 3 1 = ( + ) + + + 3 2 = 9 1 2 c. Dạng ′′ = , ′ (2.3) Ph ng pháp giải
Đặt ′ = , coi là biến của hàm , tức là = ( ), ta có : ′ ′′ = = = = ′ . = ( , ) Suy ra : ′ , =
Đây là phương trình vi phân cấp 1, giải đươc ra rồi từ đó tìm được
Ví dụ : Giải phương trình : ′′ − ′2 = 0 Giải
Đặt ′ = suy ra ′′ = ′ , thay vào ta có: ′ − 2 = 0 ⇔ ′ = 2 Nếu = 0 ⇒ = 1 Nếu ≠ 0 =
Lấy tích phân 2 vế ta có: 18
Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti 2009 = = 1 Ta có ′ = 1 = 1 Lấy tích phân ta có: = 1 + 2 = 1 2 d. Ph
ng trình vi phơn cấp 2 đẳng cấp đối với hƠm phải tìm vƠ các đạo hƠm của nó Dạng : � , , ′, ′′ = 0 (2.4)
Trong đó � là hàm đẳng cấp cấp m đối với , ′, ′′ , tức là � , , ′, ′′ = �( , , ) Ph ng pháp giải Đặt ′ =
với là hàm của , ta có : ′′ = ′ + ′ = 2 + ′ = ( 2 + ′) Thay vào ta có : �( , , , 2 + ′ ) ⇔ � , 1, , 2 + ′ = 0 ⇔ � , 1, , 2 + ′ = 0
Đây là phương trình vi phân cấp 1.
Ví dụ : Giải phương trình 3 ′2 = 4 ′′ + 2 Giải 19
Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti 2009 Đặt ′ =
với là hàm của , ta có : ′′ = ′ + ′ = 2 + ′ = ( 2 + ′) Thay vào ta có : 3 2 2 = 4 2( 2 + ′ + 1) Nếu ≠ 0 ta có : 2 ′ + 1 = − 4 ⇔ = − 2 + 1 4
Lấy tích phân 2 vế ta có : = − + 1 ⇒ = ( 1 − ) ′ ⇔ = ( 1 − ) ⇔ = ( 1 − ) + 2 ⇔ = 4 1 − + 2 = 4 2 1 − 3. Ph
ng trình vi phơn tuyến tính cấp 2 a. Định nghĩa Dạng : ′′ + ′ 1 + 0 = (5)
Trong đó 0( ), 1( ), ( )là các hàm liên tục Nếu ( ) 0 thì phương trình ′′ + ′ 1 + 0 = 0 (6)
Là phương trình vi phân cấp 2 thuần nhất, ngược lại gọi là phương trình vi phân
tuyến tính cấp 2 không thuần nhất.
Nếu 0( ), 1( ) là các hằng số thì gọi là phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 với hệ số hằng. 20