Phương trình vi phân Cấp 2 | Đại học Yersin Đà Lạt

* PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2
* HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
TUYẾN TÍNH CẤP MỘT PTVP TUYẾN TÍNH CẤP 2
y  p x y  q x y  f  x (1)
Định lý tồn tại duy nhất nghiệm:
Nếu các hàm số p(x), q(x), f(x) liên tục trong (a,b) thì
với mọi x (a,b) và với mọi giá trị y , y , phương 0 0 1
trình (1) có duy nhất nghiệm thỏa mãn
y  x  y , y x  y 0  0  0 1
Nguyên lý chồng chất nghiệm
Nếu y và y lần lượt là các nghiệm của pt 1 2
y” + p(x)y’ + q(x)y = f (x) 1
y” + p(x)y’ + q(x)y = f (x) 2
thì y + y là nghiệm của pt 1 2
y” + p(x)y’ + q(x)y = f (x) + f (x) 1 2
CẤU TRÚC NGHIỆM PTVP TUYẾN TÍNH CẤP 2
y” + p(x)y’ + q(x)y = f(x) (1) y” + p(x)y’ + q(x)y = 0 Phương trình thuần nhất
Cấu trúc nghiệm pt(1): y  y + y 0 r
• y là nghiệm tổng quát của pt thuần nhất, 0
• y là 1 nghiệm riêng của pt không thuần nhất r
Giải phương trình thuần nhất
Nếu y và y là 2 nghiệm độc lập tuyến tính của pt thuần 1 2 nhất
y  p(x) y  q(x) y  0
nghiệm tổng quát của pt này là y  C y  C y 0 1 1 2 2
Nếu biết trước 1 nghiệm y  0, y được tìm như sau 1 2
 p(x)dx e  y  2 1 y dx  2 1 y Chứng minh
Giả sử y là nghiệm của pttn 1
y  p(x) y  q(x) y  0
Ta tìm y dạng : y  u(x) y 2 2 1 Thay y vào pt ta có : 2
y u  2y  py u  0 1  1 1 
1  p xdx 
1  p xdx  u  e u e    dx 2  2 y y 1 1 Ví dụ
Giải pt: x2y” – xy’ + y = 0, biết pt có 1 nghiệm y = x 1 p(x) = – 1/x
 p(x)dx e  y  2 1 y dx  2 1 y dx  x e x y    2 x dx x dx x ln | x |  2  2 x x y = C x + C xln|x| 0 1 2
Giải pt: (1+x2)y” + 2xy’ – 2y = 4x2 + 2 (1)
biết phương trình có 2 nghiệm y = x2 và y = x + x2
Lưu ý: pt đã cho là pt không thuần nhất
y = x2 và y = x + x2 là 2 nghiệm của (1)
 y = (x + x2) – x2 là nghiệm của pt thuần nhất 1 2x  dx  2 1 x e dx  y = x  y  x dx  x 1 2  2  2 2 x x (1 x ) 2x  dx  2 1 x e dx  y   2 x dx x  2  2 2 x x (1 x )  1 x arctan x   
   xarctan x 1  x  y = C x + C (xarctanx + 1) 0 1 2 (NTQ của pt thuần nhất) Nghiệm TQ của (1)
y = C x + C (xarctanx + 1) + x2 1 2
PTVP TUYẾN TÍNH CẤP 2 HỆ SỐ HẰNG
y  ay  by  f  x (a, b là hằng số )
Bước 1: Giải pt thuần nhất : y  ay  by  0  y0
Bước 2: tìm 1 nghiệm riêng của pt không thuần nhất
y  ay  by  f  x  yr
Cách xác định nghiệm tổng quát của pt thuần nhất
Giải phương trình đặc trưng: k2 + ak + b = 0
 k , k là nghiệm thực phân biệt: 1 2 1 k x k2x   1 y e , y2 e kx kx  k là nghiệm kép:   1 y e , y2 xe    k =  i (phức): x x     1 y
e cos x, y2 e sin x y = C y + C y 0 1 1 2 2 Ví dụ 1. y” – 3y’ – 4y = 0, Ptđt: k2 – 3k – 4 = 0  k = 1, k = 4 x 4x   x 4x 1 y
e , y2 e    0 y 1 C e C2e 2. y” – 2y’ + y = 0, Ptđt: k2 – 2k + 1 = 0  k = 1 (kép) x x   x x    1 y e , y2 xe 0 y 1 C e C2xe 3. y” – 2y’ + 5y = 0, Ptđt: k2 – 2k + 5 = 0  k = 1  2i 1x 1x   1 y
e cos 2x, y2 e sin 2x x x    0 y 1
C e cos 2x C2e sin 2x
Tìm nghiệm riêng y của pt y” + ay’ + by = f(x) r Biến thiên bằng số
Trong y , xem C = C (x), C = C (x), giải hệ 0 1 1 2 2      1 C (x) 1 y C2(x)y2 0         1 C (x) 1 y
C2(x)y2 f (x)
y  C (x) y + C (x) y r 1 1 2 2 Ví dụ
y” + 3y’ + 2y  sin(e x)
Pt thuần nhất : y” + 3y’ + 2y = 0 (k2 + 3k + 2 = 0) x 2  x x 2  x      1 y e , y2 e y0 1 C e C2e
Xem C và C là các hàm theo x, giải hệ 1 2      1 C (x) 1 y C2(x)y2 0           1 C (x) 1 y
C2(x)y2 f (x) x 2  x      1 C (x)e C2(x)e 0  x 2  x x         1
C (x)( e ) C2(x)( 2e ) sin(e ) x x 2x x       1
C (x) e sin(e ),C2(x) e sin(e ) Chọn:  cos x ,
 cos x  sin x C x e C x e x e 1     2     
y  C  x x
e  C  x 2x e r 1 2 2  x   sin  x e e  x 2x   2  x y  e sin  x e r  0 y 1 C e C2e , x 2x 2  x x y      0 y yr 1 C e C2e e sin(e )
PP hệ số bất định tìm yr
Áp dụng nếu: f (x)  x
 e  P (x)cos  x  Q (x)sin  x m n 
P , Q là các đa thức bậc m, n. m n
• Xác định các hằng số ,  và s = max(m, n)
Lưu ý : vắng ex: xem  = 0 vắng cos, sin: xem  = 0
không có sin, cos, s là bậc của đa thức trong f (x) • Định dạng yr
• Nếu +i  không là nghiệm pt đặc trưng  x
yr  e  P (x)cos  x  Q (x)sin s s  x 
• Nếu +i  là nghiệm bội p của pt đặc trưng (p = 1, 2) p  x
yr  x e  P (x)cos  x  Q (x)sin s s  x
Các đa thức P , Q được xác định khi thay y vào pt không s s r thuần nhất. VÍ DỤ
Ptđt: k2 + 1 = 0  k =  i (1) y” + y = x2 + x y = C cos x + C sin x 0 1 2 f(x)  = 0,  = 0, s = 2
 + i = 0: không là nghiệm ptđt  y = Ax2 + Bx + C r  y’ = 2Ax + B, y ” = 2A r r Thay y vào (1): r
2A + Ax2 + Bx + C = x2 + x, x