Thông tin
Hỏi đáp

Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ sở ứng dụng trong phân tích kinh doanh | Đại học Ngoại Thương

Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ sở ứng dụng trong phân tích kinh doanh của trường Đại học Ngoại Thương. Hy vọng tài liệu này giúp bạn củng cố kiến thức, ôn tập và đạt kết quả cao cuối học phần. Mời bạn đọc đón xem!

Môn:

Toán cao cấp (TOA107E) 2 tài liệu

Trường:

Đại học Ngoại Thương 314 tài liệu

Thông tin:

139 trang 8 tháng trước

Tác giả:

M. Hậu

docx.com.vn

Bình luận

Vui lòng đăng nhập hoặc đăng ký để gửi bình luận.

Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ sở ứng dụng trong phân tích kinh doanh | Đại học Ngoại Thương

110 55 lượt tải Tải xuống

ÚNG DỤNG TRONG PHÂN TÍCH KINH TẾ

ThS. PHÙNG DUY QUANG

Hướnq

qifil BFU TẬP

TOAN Cơ SỞ

ÚNG DỤNG TRONG PHẢN TÍCH KINH TẾ

NHÀ XUẤT BẢN THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG

Mã số: QT 01 HM 12

LỜI NÓI ĐẦU

Toán cơ sở là môn học bắt buộc dành cho sinh viên các hệ

cao dẳng, đại học và cao học thuộc tất cả các nhóm ngành kỳ

thuật, kinh tế. Để giúp cho sinh viên có tài liệu học tập và đạt

hiệu quả cao, Nhà xuất bản Thông tin và Truyền thông đã

phối hợp với tác giả Phùng Duy Quang - Trưởng khoa Cơ

bản, Trường Đại học Ngoại thương xuất bản cuốn “H ướng

dẫn giải bài tập Toán cơ sở ứng dụng trong phân tích kinh

tế”. Cuốn sách được biên soạn phù hợp với chương trình Toán

cơ sở ứng dụng trong phân tích kinh tể được giảng dạy tại

trường Đại học Ngoại thương.

Đây cũng là tài liệu bổ ích dành cho các thí sinh ôn thi

tuyển sinh đầu vào hệ Thạc sỹ của trường Đại học Ngoại

thương, trường Đại học Kinh tế quốc dân Hà Nội. Nội dung

cuốn sách là tổng hợp các bài tập từ mức độ dễ đến khó, nhàm

giúp học viên vận dụng các kiến thức, kỹ năng cũng như các

phương pháp Toán cơ sở ứng dụng trong các bài toán phân

tích kinh tế.

Nội dung cuốn sách gồm:

Chương 1. Định thức và ma trận.

Chương 2. Một sổ mô hình tuyến tính dùng trong phân

tích kinh tế.

Chương 3. ứ ng dụng của phép tính vi phân, tích phàn

hàm một biến số trong phân tích kinh tế.

Chương 4. ứ ng dụng của phép tính vi phân hàm nhiều

biến số trong phân tích kinh tế.

Cuốn sách được viết cho sinh viên các ngành kinh tế nhàm

ứng dụng môn học Toán cơ sở sao cho hiệu quà nhất; được

trình bày một cách cụ thể, dễ hiểu. Mỗi chương gồm 2 phần:

Đề bài và phần Hướng dẫn giải bài tập cụ thể và các lời giải

gợi ý để sinh viên có thể tiếp thu kiến thức một cách hiệu quả

nhất.

Dù đã có rất nhiều cố gắng trong công tác biên soạn, song

cuốn sách sẽ khó tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong nhận

được các ý kiến đóng góp các đồng nghiệp và bạn đọc để

cuốn sách được hoàn thiện hơn trong lần tái bản sau.

Mọi góp ý xin gửi về Khoa Cơ bản, trường Đại học Ngoại

thương, email: quangpd@ftu.edu.vn

Xin trân trọng giới thiệu cùng bạn đọc./.

TÁC GIẢ

MỤC LỤC

Lời nói đầu............................................................................................3

Chương 1. Định thức và ma trận...................................................7

A. Đề b à i....................................................................................7

B. Hướng dẫn và đáp số .........................................................10

Chương 2. Một số mô hình tuyến tính dùng trong

phân tích kinh tế..........................................................12

A. Đề b ài

.................................................................................. 12

B. Hướng dẫn và đáp số......................................................28

Chương 3. ứng dụng phép tính vỉ phân, tích phân hàm

một biến trong phân tích kinh tế ............................60

A. Đề b ài..................................................................................60

B. Hướng dẫn và đáp số ........................................................ 74

Chương 4. ứng dụng phép tính vi phân hàm nhiều biến

trong phân tích kinh tế .........................................101

A. Đề b à i............................................................................. 101

B. Hướng dẫn và đáp số ....................................................114

Tài liệu tham khảo........................................................................ 133

ĐỊNH THỨC VÀ MA TRẬN

■ •

Chương 1

A. ĐÈ BÀI

Bài 1.1. Tính các định thức sau:

1) |- 2010|

5 -7

8 -12

4 - 2 3

-1 0

1 3 -5

3 2

2 -8 13

-2 4

4 2 - 3

5 -3

1 -1 3

2 -1

2 3 - 1

3 2

Bài 1.2. Tính các định thức sau:

-9 6

1 3

2 0 - 3

-2 3 1

3 9 5

-1

0 3 -2

-3

-2

-1

-3 -1

-5

4 3

-6

-5 4

Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ sớ ímg dutĩĩ

-1

-4

0 -1

0 -2

-3

3 5

1 3

-1

-3 1

0 -2

-3

-2

-1

-3 .0 -1 3

-2

4 3

-1

-1 8 0

-4 3

5 -5

Bài 1.3. Giải phương trình sau:

A =

-3x 2 -X 2x

1 - 2 3 - 4

-3 2 - 2 2

9 2 3 18

= 0

Bài 1.4. Tính AB và BA (nếu tồn tại), biết rằng:

1)A =

"1 2 3'

2 3

0 - 4 2

4 1

"-1 0 2'

'1 0

-2 2'

2)A =

1 2

-1

; B =

2 1 2 -1

_ 0 -1 1

<3 -2

1 0,

Bài 1.5. Tìm ma trận nghịch đào của các ma trận sau:

'1 2 a b

3 4

c d

Chương 1. Định thức và ma trân

-1

' 2

-1 3

-3 2

-1

0 5

-1 3 0 ' '1 0 -1 3

-4 2 -2

2 4 -6

1 3 1 -2 0 0 -2 3

-1

2 1 0 0

0 -1

Bài 1.6. Giải các phương trình A xX = B, biết:

1)A

2) A =

3) A =

- 2 3

-3 4

5 - 4

4 -3

1 -3

-3 9

B =

5 6

7 8

1 2

-2 3

4 3

1 2

Bài 1.7. Tìm hạng của các ma trận sau:

A =

c =

'2-1 3'

'12 3 -f

0 3-1

2 0-14

•

B =

-2 4 2

1 2 - 2 3

2 5 7

1— —

2 1 4 0

-1 -2 3 0 '

-1 2 - 3 0 4

2 1 -2

-1

;D =

3-1 2

3 2

3 3 -5

-1

1 3 -4 3 1

4 2-4 -2

10 Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ sớ úng dụng.

Bài 1.8. Tìm m để ma trận sau có hạng bé nhất:

A =

1 m -1 2

2 -1 m 5

1 10 -6 1

B. HƯỚNG DẨN VÀ ĐÁP SÓ

Bài 1.1. Đáp sổ

1)-2010

5)62

Bài 1.2. Đáp sổ

1)0

Bài 1.3. Đáp sổ

X = -3 và X = 1

Bài 1.4. Đáp số

2 )- 4

6)93

2) 52

1) AxB

2) AxB

16 8

0 - 1 0

5 -4 4

2 4 1

1 -3 -1

-2

3)-33

7) -117

3)0

Bx A =

4)0

8)-4

4) 189

0 4 - 2

2 -8 12

4 4 14

; Bx A (Không tồn tại)

Chương 1. Định thức và ma trận

Bài 1.5. Đáp số

-2

3 5

22 22 22

7 3

22 22 ~ 22

Bài 1.6. Đáp số

5) Không tồn tại

3) Không tồn tại

Bài 1.7. Đáp án

r(A) = 3;

ad-bc

d -b

-c a

4) Không tồn tại

1 0 - - -

0 I

0 0

' 2

-1

'-1 0'

■-11 6'

1 2

-14 7

r(B) = 4; r(C) = 2;

r(D) = 3

Bài 1.8. Hướng dần: Biến đổi đưa ma trận A về dạng bậc thana.

Dáp sổ m = 3.

C h ư ơ n g 2

MỘT SỐ MÔ HÌNH TUYẾN TÍNH

DÙNG TRONG PHÂN TÍCH KINH TẾ

A. ĐỀ BÀI

Bài 2.1. Giải các hệ phương trình tuyến tính sau:

x t - x 2 + 2x 3 = 1

3x, - 2x 2 + 5x3 = 2

-X, + x 2 x3 = 2

4x, + x 2 + 2x, = 1

Xị + X, = 2

+ 4 x3 = 3

6x, + x 2

2 )

5 x j-x 2+ 2x,+ x4 =7

2x, + x2+4x3- 2 x 4 = 1 6)

X,- 3x 2 - 6 x3 + 5 x4 = 0

- x,+ 2 x2 + x3+ 3 x4 = -1

2x, - X, + 2x, +5x, = 2

' 2 3 8 )

5x, - 4x2 + 3xj + 7x4 = 5

3x, - 3x, + X, + 2x4 = 3

X, - 2 x 3 = -3

-2x, + x 2 + 6 X3 = 11

- X|+ 5x2 - 4 xj = -4

X, - 2 x 2 + X, + 2 x4 = -1

X, - 3 x 2 - X j + 3 x 4 = 2

-X, + x 2 - 3 x3 - x 4 = 4

X, + 2 x 2 - 3 x3 + x 4 = 1

2x, — x2 + x 3 - 3 x 4 = 0

3x,

x4 =-1

5x, + x 2 - 4x3 + 6x, = 1

3x, - 2 x2 - 5 x3 + x4 = 3

2x, - 3 x 2 + X, + 5 x4 = -3

- 4 x4 = - 3

X, - 2 x 2

x 2- 4x3 + 9 x4= 22

Chương 2. Một sô'mô hình tuyên tính...

3x, + 5 x 2 - 2 x 3 = 2

2Xj - 7 x 2 + 2 x 3 = 12

-X, +5x2 +3x3 = 9

1 0)

X, - 4 x 2 + 2 x 3 = - 4

3x,

- x ,= 9

-3x, + 5 x 2 + 3x3 = - 1 5

2x, + 7x2 -3 x 3 = 13

-2x, + 4x2 -5 x 3 = 11

11)

2x, - 4 x 3 + 7 x 4 = 2

x,+ x2

5Xị - 6 x 2 +3x3

- 2 x4 = 7 12)

= -6

2Xị - 3 x2 +

13)

2x4 = -1 4

3xj + x2 - 5 x 3 +3x4 = 1

4Xj - 2 x 2 - 5 x 3 - 3 x 4 = 2

14)

2x, + 5 x2 - 3 x 3

= 3

-3 x2 +2x3 -2 x4 = 3

-3x,

- 5 x 3 + x4 = -12

5x3 +3x4 + 4X5 =-2

- 6X5 = 6

2x,-3x2 + 5X5 = -7

2x2 +3x3

Bài 2.2. Tìm các giá trị của tham số a trong mồi hệ phương trình

sau để hệ có nghiệm:

4x, - x 2 + 3 x 3 + x 4 = 3

Xj - x 2 - 2 x 3 + x 4 - a

3x2 - x 3 - x 4 = 7

, + x2 - x 3=l

2) X, +ax2 +3x3 = 2

2x, +3x2 +ax3 = 3

Xj + x2 — x3 = 1

x( +ax2 - x 3 = 1

X, + x2 +ax, = a

Bài 2.3. Giải và biện luận các hệ phương trình sau:

ax + y + z + t = 1 í-ax + y + z = a

l)<Ịx+ay+z+t=l 2)-ax + y -2 z =1

X + y + az + 1 = 1 I-X - ay - 2z = 1

Hướng dẫn giải bài táp Toán cơ sơ uvg dutỉỹ

ax + 2z = 2

5x + 2y =1 4)

X - 2y + bz = 3

2 _ 3

x + ay + a z = a

x + by + b2z = b3 6)

X + cy + C2Z = c 3

ax + by + 2z = 1

ax + (2b-l)y +3z = l 8)

ax +by + (b + 3)z = b

ax + by + z =1

x + aby -t- z =b

X +by + az = 1

kx + y + z = k

2x + (k + l)y + 2z = 2

-x-y+ (k + 2)z= 1

ax + y + z + t = 1

x+ay + z + t = a

x + y + az + t = a2

x + y + z + at = a'

Bài 2.4. Trong một nền kinh tể có 3 ngành sản xuất: ngành 1,

ngành 2 và ngành 3. Cho biết ma trận hệ số kỹ thuật là

'0,3 0,2 0,3'

A = 0,1 0,3 0,2 và mức cầu cuối cùng đổi với hàng hóa

0,3 0,3 0,2

của các ngành 1, 2, 3 lần lượt là 6, 9, 8 triệu USD. Hãy xác

định mức tổng cầu đối với hàng hóa và tổng chi phí cho các

hàng hóa được sử dụng làm đầu vào của sản xuất cua mỗi

ngành.

Bài 2.5. Cho hai ngành sản xuất có ma trận hệ số đầu vào:

A =

a i:

Chứng minh răna det(E - A) > 0.

Chương 2. Một so mô hình tuyên tính.

Bài 2.6. Một nền kinh tế có 3 ngành sản xuất và có mối quan hệ

trao đổi hàng hóa như sau:

Ngành cung ứng sản

phẩm (Output)

Ngành sử dụng sản phẩm (Inputs)

2 3 B

1 20

60 10

50 10 80

3 40 30

20 40

1) Xác định tổng cầu, tổng chi phí và tổng giá trị lao động

(giá trị gia tăng của mỗi ngành).

2) Lập ma trận hệ số kỹ thuật A.

Bài 2.7. Cho ma trận hệ số kỹ thuật của 3 ngành sản xuất:

A =

0,2 0,3 0,2

0,4 0,1 0,2

0,132 0,3 0,2

. Đơn vị: triệu USD

1) Giải thích ý nghĩa của con sổ 0,4 trong ma trận A.

2) Cho biết: (E - A)~' =

1,656 0,701 0,446

0,786 1,486 0,34

0,446 0,573 1,274

và véc tơ cầu cuối cùng B 1 = (10; 5; 6). Hây xác định tổng cầu

của các ngành.

3) Tống cầu của các ngành sẽ thay đồi thế nào nếu như cầu

cuối cùng của ngành 1 tăng 1 đơn vị còn các ngành khác giữ

nguyên.

16 Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ sa U7IỊ dunỹ

Bài 2.8. Cho ma trận hệ số kỹ thuật của 2 ngành san xuât

'0,3

0,2

'3 0 '

và ma trận cầu cuối cùng B =

100^

0,2 0,4

1) Tìm ma trận tổng cầu theo phương pháp Cramer.

2) Tính (E -A )'1 và nêu ý nghĩa cùa phần tử ở dòng 2 cột 1

của ma trận đó.

Bài 2.9. Xét nền kinh tế có 2 ngành với ma trận hệ số chi phí

trực tiếp dạng giá trị:

r 0,1 0,15]

A =

Lo,2 0,1

1) Tính định thức của ma trận D với D = A3/6.

2) Cho biết mệnh đề sau đây là đúng hay là sai?

ịA(E-A)'1 + E| > |(E-A)-'|

3) Giải thích ý nghĩa kinh tế của phần tử af2; tổng các phần

tử của dòng 1; tổng các phần tử của cột 2.

4) Lập bảng I/O nếu ma trận tổng cầu là: XT = (200 400).

5) Lập bảng I/O nếu cầu cuối cùng của ngành 1 là 120 và

tổng cầu của ngành 2 là 400.

6) Xác định ma trận tổng cầu nếu ma trận cầu.cuối củng là

Bt = (10 10).

7) Cho biết muốn tăng cầu cuối cùng của ngành 1 lên 1 đơn

vị thì tổng cung của ngành 2 phải tăng bao nhiêu?

Chươnp 2. Một sốmô hình tuyên tính.. 17

Bài 2.10. Giả sử nền kinh tế có 3 ngành thuần túy với giả thiết

sau đây:

- Ngành 1 làm ra 100 tỷ sản phẩm và ngành 1 sử dụng

20 tỷ sản phẩm của mình; 10 tỷ sản phẩm ngành 2; 10 tỷ sản

phẩm ngành 3.

- Ngành 2 làm ra 50 tỷ sản phẩm và ngành 2 sử dụng

10 tỷ sản phẩm của mình; 10 tỷ sản phẩm ngành 1; 10 tỷ sản

phẩm ngành 3.

- Ngành 3 làm ra 40 tỷ sản phẩm và ngành 3 sử dụng 8 tỷ

sản phẩm của mình; 8 tỷ sản phẩm ngành 1; 16 tỷ sản phẩm

ngành 2.

1) Lập bảng I/O với các giả thiết trên.

2) Tìm ma trận hệ sổ kỹ thuật A và giải thích ý nghĩa kinh tế

của:

- Một phần tử của A

- Một cột bất kỳ của A

- Một dòng bất kỳ của A

- Tổng các phần tử của một dòng bất kỳ của A

- Tổng các phần tử của một cột bất kỳ của A.

3) Tìm ma trận Leontiev (E - A) và ma trận nghịch đảo

Q = (E - A)'1. Hãy giải thích ý nghĩa kinh tế của:

- Một phần tử cùa c

- Một cột bất kỳ của c

Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ sơ Uĩtg dụng.

- Một dòng bất kỳ của c

- Tổng các phần tử của một dòng bất kỳ của c

- Tổng các phần từ của một cột bất kỳ của c

4) Cho tổng cung của ngành 3 là 600, hãy xác định lượng giả

trị chuyển dịch từ ngành 2 sang ngành 3.

5) Cho ma trận cầu cuối cùng là BT = (20 20 10): Hãy xác

định ma trận tổng cầu X.

6) Với ma trận A đã có, hãy lập bảng I/O nếu tổng cung cua

các ngành 2, 3 lần lượt là 80 tỷ và 60 tỷ; và cầu cuối cùng cùa

ngành 1 là 132 tỷ.

Bài 2.11. Giả sử thị trường gồm 2 mặt hàng: hàng hóa 1 vả hàng

hóa 2, với hàm cung và hàm cầu như sau:

Hàng hóa 1: Qs = -3 + 5pj;ỌD =12-4p!+2p2

Hàng hóa 2: QSỉ = -l+4p2;QU2 = 15 + 2 p ,-p 2

Hãy xác định giá và lượng cân bàng của hai mặt hàng.

Bài 2.12. Cho hàm cầu và hàm cung của thị trường 2 hàng hóa:

1) Để các nhà sàn xuất cung ứng hàng hóa cho thị trường thi

mức giá 1.2 phai thỏa mãn điều kiện nào?

2) Xác định giá và lượng cân bàng cho các hàng hóa.

Q o r 18‘3Pi+P2

Qs,= '2+P|

Chươnp 2. Một số mô hình tuyến tính...

Bài 2.13. Cho hàm cẩu và hàm cung của-thị trường 2 hàng hóa:

(Với a là tham số dương)

1) Đê các nhà sản xuất cung ứng hàng hóa cho thị trường thì

mức giá 1, 2 phải thỏa mãn điều kiện nào?

2) Xác định giá và lượng cân bằng cho các hàng hóa theo a.

3) Khi a tăng thì giá cân bằng của các hàm số thay đổi thế nào?

Bài 2.14. Cho hàm cầu và hàm cung cúa thị trường 2 hàng hóa:

1) Xác định hai mặt hàng trên là hai mặt hàng thay thế hay

bổ sung?

2) Để các nhà sản xuất sẽ cung ứng hàng hóa cho thị trường

thì

Pi,

p2 phải thoả mãn điều kiện gì?

3) Xác định giá và lượng cân bằng?

Bài 2.15. Cho hàm cầu và hàm cung cua thị trường 2 hàng hóa:

1) Xác định hai mặt hàng trên là hai mặt hàng thay thế hay

bồ sung?

Qd, ~ 18-3p|+p2

Qs, =-2+p,

Qd2= 12+pr 2p2

Qs2 = -2+aP2

Qd,= 1 l-3p,+p2

Qs, = -2+Pi

Qd2= l l +Pi-2p2

Qs2 = -2+2P2

Qr)| = 40-2p,+0,5p2

QS)= -12+2p,

Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ sõ mtỊỊ dụng.

2) Để các nhà sản xuất sẽ cung ứng hàng hóa cho ihị trường

thì Pi, p2 phải thoả mãn điều kiện gì?

3) Xác định giá và lượng cân bàng?

Bài 2.16. Cho mô hình trường 1 hàng hoá:

1) Nêu ý nghĩa kinh tế của b, d; chỉ ra mức giá cuối cùng mà

người tiêu dùng có thể chấp nhận được (mức tối đa) và mức giá

tối thiểu để người sản xuất có thể khởi nghiệp được (mức tối

thiểu); từ đó chỉ ra điều kiện tồn tại trạng thái cân bằng.

2) Xác định trạng thái cân bằng.

3) Phân tích sự biến động của trạng thái cân bàng khi các

tham số a, b, c, d thay đổi.

4) Giả sử nhà nước đánh thuế 1 đơn vị hàng trao đổi là t

(đơn vị tiền tệ). Hãy cho biết số phần trăm chịu thuế của người

tiêu dùng và người sản xuất.

Bài 2.17. Xét mô hình kinh tế:

Y = c + I0 + Go (lo > 0, Go > 0)

c = 0,85Yd + 150

Yd = (1 - t)Y ( t là thuế suất thu nhập, 0 < t <1)

Tính thu nhập quốc dân và tiêu dùng cần bàng vói I0 = 200;

Go = 450 (đơn vị: tỳ VNĐ) và thuế suất thu nhập t = 0,2.

Bài 2.18. Cho mô hình kinh tế

Y = c + I0 + G0

c = a + bY (Io>0, Go>0, a>0, 0< b< 1)

Trong đó:

Y - thu nhập quốc dân, c - tiêu dùng, I0 - đầu tư, G0 - chi tiêu

chính phủ

1) Giải thích ý nghĩa kinh tế của a,b.

2) Xác định trạng thái cân bằng (Y ;C ) bằng quy tắc

Cramer.

3) Có ý kiến cho rằng khi I0 và Go cùng tăng 1 đơn vị thì thu

nhập Y Y tăng 2 đơn vị, ý kiến này đủng hay sai?

4) Phân tích sự biến động của trạng thái cân bàng khi a, b

thay đổi.

Bài 2.19. Cho mô hình kinh tế

Y = C + Io + Go (Io>0, Go > 0)

c = a + b(Y-T) (a > 0, 0 < b < 1)

T = c + dY(c>0,0<d< 1)

Trong đó:

Y - thu nhập, c - tiêu dùng, T - thuế, I0 - đầu tư, G() - chi tiêu

chính phủ

1) Giải thích ý nghĩa kinh tế của a, b, c. d.

2) Xác định trạng thái cân bàng (Y :C ;T ) bằng quy tắc

Cramer.

Chương 2. Một sốmô hình tuyến tính...________________________21_

3) Phân tích sự biên động của trạng thái cản bảng khi a. b. c,

d thay đổi.

Bài 2.20. Cho mô hình kinh tế

Y = c + I0 + G (Io > 0 )

c = a + b(Y - T0) (a> 0, 0 < b < 1)

G = gY (0 < g < 1, b + g < 1)

Trong đó:

Y - thu nhập, c - tiêu dùng, T - thuế, I0 - đầu tư, G - chi tiêu

chính phủ

1) Giải thích ý nghĩa kinh tế của a, b, g.

2) Xác định trạng thái cân bằng (Y ;C ;G ) bằng quy tấc

Cramer

3) Phân tích sự biến động của trạng thái cân bàng khi a, b, g

thay đổi.

Bài 2.21. Cho mô hình kinh tế

Y = C + Io + Go (Io>0,Go>0)

c = 150 + 0,8(Y -T)

T = 0,2Y

Trong đó:

Y - thu nhập, c - tiêu dùng, T - thuế, I0 - đầu tư, Go - chi tiêu

chính phủ

1) Tìm trạne thái cân bàng khi I0 = 200. Go = 900.

22 Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ sớ Uĩĩg dụng..

2) Do suy thoái kinh tế nên mức tiêu dùng cận biên đối với

thu nhập sau thuế chỉ còn là 0,7. Giả sử I0 = 200, thì G0 phải là

bao nhiêu thì ổn định được thu nhập quốc dân.

Bài 2.22. Cho mô flinh kinh tế

Y = c + I + Go (Go > 0)

C = bo + b|Y (b0>0, b|> 0 )

I = 3o~*" Y — 32^0 ^1 ^ ^2 > &i+bi < 1, Ro-'* 0)

Trong đó: Y - thu nhập, c - tiêu dùng, I - đầu tư, Ro - lãi

suất, Go - chi tiêu chính phủ.

1) Xác định Y, c ở trạng thái cân bằng.

2) Cho bo = 200, b, = 0,7, ao = 100, a, = 0,2, a2 = 10,

Ro = 7, Go — 500.

Khi tăng G0 lên 1% thì thu nhập cân bằng tăng lên bao nhiêu %?

Bài 2.23. Cho mô hình kinh tế

Y = c + lo + G + NXo Go > 0, NXo > 0)

c = 20 + 075Yd

G = 20 + 0,1 Y

Yd = (l - t)Y (0<t<l)

Trong đó: Y - thu nhập, c - tiêu dùng, I0 - đầu tư, t - thuế

suất G - chi tiêu chính phủ, NX() - xuất khẩu ròng, Yđ - thu nhập

khả dụng.

1) Cho biết ý nghĩa kinh tế của t.

Chương 2. Một sốmô hình tuyêh tính...

_______________________

23_

2) Cho I0= 50, NXo = 30, tìm t để cân đổi được ngân sách.

3) Có ý kiến cho rằng đầu tư I0 không ảnh hướng đến ngân

sách, ý kiến đó đúng hay sai?

Bài 2.24. Cho mô hình kinh tế

Y = C + Io + G o + X o -M (Io > 0, G 0> 0, X o> 0)

c = 0,8Yd

M = 0,2 Yd

Yd = ( l-t)Y (0 < t < 1)

Trong đó: Y - thu nhập, c - tiêu dùng, I0 - đầu tư. Gọ - chi

tiêu chính phủ, x 0 - xuất khẩu, M - nhập khẩu, Yd - thu nhập khả

dụng, t - thuế suất.

1) Có ý kiến cho ràng khi I0, t không thay đổi thì tăng Go lẻn

1 đơn vị và giảm nhâp khẩu Xo một đơn vị thì thu nhập cản bang

Y không đổi. Ý kiến đó đúng không?

2) Giả sử I0 = 300, G0 = 400, x 0 = 288, t = 0,2 thì nền kinh tế

có thặng dư hoặc thâm hụt ngân sách, thặng dư hoặc thám hụt

thương mại?

3) Cho I0 = 300, Xfl = 288, t = 0,2 thì G0 Dhải bằng bao nhiêu

để thu nhập cân bàng là 2500. Cho biết trong trường hợp này

nếu G0 tảng thêm 1 % thì nhập khẩu M thay đổi như thế nào?

Bài 2.25. Cho mô hình kinh tế

Y = c + I + Go (Go > 0)

c = 15 + b (Y -T )(0< b< 1)

T = 25 + 0.25Y

____________________

Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ so Ị/TỊg đụng...

I = 65 - r

L = M

L = 5Y - 50r

M = M 0 = 1500, Go = 94

Trong đó: Y - thu nhập, c - tiêu dùng, I - đầu tư, r - lãi suất,

G0 - chi tiêu chính phủ, Mo - cung tiền, T - thuế, L - cầu tiền.

1) Xác định trạng thái cân bằng.

2) Thu nhập cân bằng thay đổi như thế nào khi tiêu dùng cận

biên đối với thu nhập sau thuế thay đổi.

3) Mức thâm hụt ngân sách là bao nhiêu nếu nguồn duy nhất

của chính phủ là thuế.

Bài 2.26. Cho mô hình kinh tế

Y = c + I + Go

C = a + b (Y -T 0)

I = d + iY

Go > 0; To > 0; a > 0; 0 0; 0 < i < 1;

b + i< 1.

Trong đó: Y - thu nhập quốc dân, c - tiêu dùng dân cư và

I - đầu tư; Go - chi tiêu chính phủ, T0 - thuế.

1) Tìm thu nhập quốc dân cân bằng.

2) Khi i tăng thì thu nhập quốc dân tăng hay giảm, vì sao?

Chương 2. Một sô'mô hình tuyên tính...

_______________________

Hướng dẫn giải bài táp Toán cơ sơ inig dụng.

Bài 2.27. Cho mô hình kinh tế:

Y = c + I0 + G0 (lo > 0, G0 > 0)

c = 60 + 0,7Yt

Y, = (l -t)Y (0 < t< 1)

Trong đó: Y, c , Yt, t lần lượt là thu nhập quốc dân. tiêu

dùng, thu nhập sau thuế, thuế suất.

1) Xây dựng mô hình cân bàng thu nhập quốc dân.

2) Tính Ỹ ,c khi G0 = 140; I0 = 90 (triệu USD); t = 40%.

3) Y ,c tăng hay giảm khi t tăng? Vì sao?

Bài 2.28. Cho mô hình kinh tế

Y = c + I + Go

C = a+bYt; Yt = (l-t)Y

I = d + xY

G0> 0; a > 0; d > 0; 0 < b < 1; 0 < X, t < 1; b(l-t) + X < 1

Trong đó: Y - thu nhập quốc dân; c - tiêu dùng dán cư;

I - đầu tư; Yt - thu nhập sau thuế; Go - chi tiêu chính phù.

1) Xây dựng mô hình cân bằng thu nhập quốc dán.

2) Khi X tăng thì thu nhập cân bàng tăng hay giảm?

3) Tính Ỹ ,c khi biết Go = 500 (tỷ USD); a = 150; X = 0.1;

b = 0,8; t= 0,4; d =100

4) Thuế suất tăng thì Y ,c tăng hay giảm, vì sao?

Chương 2. Một sô'mô hình tuyến tính..

Bài 2.29. Cho mô hình kinh tế

Y = c + I

c = c 0 +aY (C0 > 0, 0 < a < 1)

I = I0 - br (I0 > 0, b > 0)

L = L0 + mY - nr (L0 > 0; m, n > 0)

MS = L

Trong đó: Y - thu nhập quốc dân; I- đầu tư; c - tiêu dùng;

L - mức cầu tiền; Ms- mức cung tiền; r - lãi suất.

1) Hãy xác định thu nhập quốc dân và lãi suất cân bằng

2) Với a = 0,7; b =

1800

; c 0 = 500; L0 = 800; m = 0,6;

n = 1000; Ms = 2000; I0= 400: tính hệ số co giãn của thu nhập,

lãi suất theo mức cung tiền tại điểm cân bàng và giải thích ý

nghĩa của chúng.

Bài 2.30. Xét mô hình IS - LM với

Y = C + I + G ;L = M

c = 0,7Y + 25;

I = 80 - 2r; G = Go (Go > 0)

L = 4Y - 30r; M = M0 (M0> 0)

Trong đó: Y - thu nhập quốc dân; I - đầu tư; c - tiêu dùng;

L - mức cầu tiền; M - mức cung tiền; r - lãi suất.

Tính mức thu nhập quốc dân cân bằng và lãi suất cân bằng

với Go = 60; Mo = 1350 (nghìn tỷ VNĐ).

Hướng dẫn giải bài tâp Toán cơ só ưng dụng.

B. HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ

Bài 2.1. Đáp số

1)(Xị = - 3 ; x2 = 2; x3 = 3).

2) (x,= 1; x2= 1; x3 = 2).

3) Hệ vô nghiệm.

4) (Xi = -7 - 5a; x2 = -3 - 2a + P; x3 = a; x4 = P);

Với a, (3 e R.

5) Hệ vô nghiệm.

6) Hệ vô nghiệm.

x , = l - j a - - y P ; x 2 = - ị a - j p ; x 3 = a; x 4.= p

Với a,p G R.

137 87

22 198

X, =

-----------; x 2 = ----------; X, =

----------

; x 4 =

--------

1 13 2 15 5 4 195

398 22 513

9) X, = — ;x2 =

-------

;x,

l 139 2 139 139

10) ( X, = 2 ; x 2 = 0 ;x 3 = - 3 ) .

1 1)

' 27 73 101

X. =3 + — a;x, =4 + — a;x , = 1 +-— a ;x , = a :

50 2 50 3 50 4 J

Với a € R.

12)

(

XI =

108 + 49a 27 + 34a 8

;x 2 = -

= - - a ; x « = a j :

Với a 6 R.

Chương 2. Một số mô hình tuyến tính..

13)

Với a e R.

_ 16+14a 154 + 77a

X, = -1 5-8 a;x2 =

------------------------------

—— ;x3 =

----

--------

;x4 = a

]A\( _-27a + 4p + 2_ -18a + 5ip + 69

' xi----------

----------

ỉx7=

---------

--------

x3 =

29 7X2

12a + 24p + 12

;x4 = a ;x 5 = p

Với a, p e R.

Bài 2.2. Hướng dẫn

Gọi A và A lần lượt là ma trận hệ sổ và ma trận bổ sung của

hệ trên. Tìm điều kiện để r(A) = r( A ).

l)MọiaeR. 2) a *-3. 3 )a * - i.

Bài 2.3.

1) + a * 1 và a * -2: Hệ có vô sổ nghiệm. Nghiệm tổng quát

của hệ là:

X =

1-a

■;y =

l-a

; z =

l-a

; t = a

; a e R;

a+2 ' a+2 a+2

+ a = 1: Hệ có vô số nghiệm. Nghiệm tổng quát của hệ là:

(x = l - a - p - y ; y = a; Z = P; t = Y); a, p, Y € R;

+ a = -2: Hệ có vô sổ nghiệm. Nghiệm tổng quát của hệ là:

(X = a; y = a; z = a; t = 1); a e R.

2) + a * -1 và a * -3: Hệ có nghiệm duy nhất:

f l + 2a l + 2 a 1+a

X =

-------

—; y =

-----

---------------

v a+3 a+3 a+3y

Hướng dẫn giải bài táp Toán cơ sơ Uĩiỹ dụttỹ.

+ a = -1: Hệ có vô số nghiệm. Nghiệm tồng quát cua hệ là:

1 \

1 1 2

x = a; y = - - a - — ; z = - —a - —

3 3 3 3

; a e R;

+ a = -3: Hệ vô nghiệm.

3) + ab * 12: Hệ có nghiệm duy nhất:

2b -8 ab-10b + 28 __ 4a-12

X = —

-----

y = ;z =

ab-12

2(ab-12)

ab-12

+ ab = 12 và a * 3: Hệ vô nghiệm;

+ a = 3 và b = 4: Hệ có vô sổ nghiệm. Nghiệm tỏng quát

ũủa hệ là:

f _ 2 -2 a _ 10a -7 ì

-----

—— ; y =

----------

; z = a |;a e R.

4) +

a * 1

a * -2 : Hệ có nghiệm duy nhất:

b * 0

a - b

X =

(a-l)(a + 2)

; y

ab + b - 2

b(a — l)(a + 2)

; z =

a - b

, [a = l [a = -2

+ b = 0 hoặc < hoặc < _ : Hệ vô nghiệm:

Ịb*l Ịb * -2

+ a = b = 1: Hệ có vô sổ nghiệm. Nghiệm tổng quát cua hệ là:

(x = 1 - a - P; y = a; z = P); u, p € R;

Chươnp 2. Một sô'mô hình tuyến tính... 31

+ a - b = -2: Hệ có vô số nghiệm. Nghiệm tổng quát của hệ là:

X = a; y = -

1+a

; z = a

;a e R.

5) det(A) =

= (b - a)(c - a)(c - b) (Định thức

1 a a 2

1 b b2

1 c c2

Vandermone cấp 3).

+ a, b, c khác nhau từng đôi một: Hệ có nghiệm duy nhất

X = abc; y = -(ab + be + ca); z = a + b + c;

+ Hai trong ba số a, b, c bàng nhau: Hệ có vô số nghiệm.

Nghiệm tổng quát của hệ là:

X = -ac(a + c) + aca;

y = a2 + ac + c2 - (a + c)a;

z = a; a 6 R;

+ a = b = c: Hệ có vô số nghiệm. Nghiệm tổng quát của hệ là:

= a3 - aa -'a2p; y = a; z = P; a, p e R.

6) + k * 1: Hệ có nghiệm duy nhất

k2 + 4k + 5 4 k + 2

X =

y = —

k2+4k + 7 '', k2+4k + 7 ’ k2+4k + 7

\ '

+ k = 1: Hệ có vô số nghiệm. Nghiệm tổng quát của hệ là:

Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ sơ ưTíg dụng -

7) + a * 0, b 1: Hệ có nghiệm duy nhất

X =

3 1 b-1

;y = -T ^-r;z =

a(b + l) b + 1 b + 1

+ b = 1: Hệ có vô số nghiệm. Nghiệm tổng quát cũa hệ là:

(x = a; y = 1 - aa; z = 0); a € R;

+ a = 0, b * 1: Hệ vô nghiệm.

+ b = -1: Hệ vô nghiệm.

8) + a * 1, a * -3: Hệ có nghiệm duy nhất:

-a 2- 2 a - 2 -a 2- a + l _ 2a + l a3+3a: +2a + r

x =

---------

----

;y =

--------

— ;z =

----------------------------

—;t=

------

—

---

;

a+3 a+3 a+3 a+3 j

+ a = 1: Hệ có vô số nghiệm. Nghiệm tổng quát của hệ là:

(x = 1 - a - p - y; y = a; z = P; t = y); a, p, Y € R.

+ a = -3: Hệ vô nghiệm.

Bài 2.4. Gọi Xi, x2, x3 lần lượt là tổng cầu của các ngành. Khi đó

ma trận tổng cầu là X = . Bây giờ tìm X: (E - A)X = B

với ma trận cầu cuối cùng B = 9

Chương 2. Một số mô hình tuyên tính..

Khi đó X = (E - A) 'B =

25,72

30,52

và ma trận chi phí đầu

' 20,3 "

vào: c =

20,576

-c3_

21,364

Bài 2.5. Sử dụng tính chất tổng các cột của ma trận A nhỏ hom 1,

tức là aj! + a2i < 1 và aI2 + a22 < 1. Nên 1 - a2] > an > 0 và

1 -a ,2 > a22 > 0 , suy r a ( l- a n)(l - a22) > a12a21

Mặt khác:

det(E - A) =

1 - a , - a

- a

1 - a

= ( l - a n ) ( l - a 22) - a 12a 21> 0

(đpcm).

Bài 2.6. Theo bảng số liệu trên ta có:

xu = 20, X|2 = 60, x13 = 10; bị = 50

X2| = 50, x22 = 10, x23 = 80; b2 = 10

x3| = 40, x32 = 30, x33 = 20; b3= 40

1) Tổng cầu:

Đối với sản phẩm cùa ngành 1:

X, = 20 + 60 + 10 + 50 = 140;

Đối với sản phẩm của ngành 2:

x 2 = 50 + 10 + 80 + 10 = 150;

Hircmg dẫn giải bài tập Toan cơ sơ uvỹ dung

Đối với sàn phẩm cùa ngành 3:

x3 = 40 + 30 + 20 + 40 = 130.

Tổng chi phí:

Tổng giá trị lao động của mỗi ngành:

2) Ma trận hệ sổ kỹ thuật:

20 60 10

A =

140 150 130

50 10 80

140 150 130

0,143

0,400

0.077

0,375

0.067 0.615

0,286

0,200

0,154

Bài 2.7.

1) Sô 0,4 ở dòng 2 và cột 1 của ma trận A có nghĩa: đẽ sản

xuất ra 1 USD giá trị hàng hóa của mình, ngành 1 cần sư dụng

0,4 USD giá trị hàng hóa của ngành 2.

2) Gọi X), x2, x3 lần lượt là tồng cầu của các ngành. Khi đó

. Bây giờ tìm X: (E - A)X = B với

ma trận tổng cầu là: X =

x 2

ma trận cầu cuối cùng B =

Chương 2. Một sô'mô hình tuyên tính.

Khi đó:

'1,656

0,701 0,446'

'10‘

"22,74 r

X = (E-A)-'B =

0,786

1,486 0,340 . 5

17,330

0,446

0,573

1,274

14,969

3) Neu cầu cuối cùng của ngành 1 tăng 1 đơn vị ta có ma

trận cầu mới: B' =

+ 0

Do vậy ma trận tổng cầu mới là:

X' = (E - A)-'B’= (E - A) '(B + e3) = (E - A)-'B + (E - A)-'e3

'22,74 f

'0,446'

'23,187"

17,330

+ 0,340

17,670

14,969

1,274

16,243

Nhận xét: Tổng cầu của các ngành tăng lên tương ứng với

các phần tử của cột 1 của (E - A)'1.

Bài 2.8. Bạn đọc tự giải tương tự như 2.7.

Bài 2.9. Ta có:

0,151 , , 0,1 0,15

A = =>Ia | = _ * = 0,12- 0,15.0,2 = -0.02

'0,1

0,15'

=>|a | =

0,1

0,15

0,2

0,1

0,2 0,1

1) Với D = — ta có:

; 6

Hướng dẫn giải bài táp Toán cơ sc ưng dụng

|L)| =

= — . IA|3 = — (-0,02)3 = 2 - —

36 1 1 36 9

2) Ta luôn có: (E- A)"‘(E - A) = E

<=> (E - A)"1 - (E - A )'1 A = E

<=> (E -A )~ ' = (E -A )-'A + E

O ( E - A ) '1 = A (E -A )-1 + E

Nên mệnh đề trên là sai

3) Giải thích ý nghĩa của a]2 = 0,15: lượng giá trị san phẩm

ngành 1 cần thiết để làm ra một đơn vị giá trị sản phâm ngành 2.

Tổng dòng 1: aM + ai2 = 0,25 là lượng giá trị sán phẩm

ngành 1 cung cấp cho 2 ngành, mồi ngành làm ra một đơn vị sản

phẩm của mình.

Tổng cột 2: a)2 + a22 = 0,25 là lượng giá trị sản phâm của 2

ngành cung cấp cho ngành 2 để ngành đó làm ra 1 đơn vị sản

phẩm.

4) Áp dụng công thức: Xy = ay.Xj (i, j = 1,2)

Ta có: Xu = anX] = 0,1 X 200 = 20

x2| = a2i-Xi = 0,2 X 200 = 40

Tương tự: x12 = 60; x22 = 40.

Klhi đó, ta có bảng I/O:

Tổng cằu

Cầu trung gian Cầu cuối cùng

200

20 60

120

400

40 40

320

Chương 2. Một sô'mò hình tuyến tính..

5)bj =120; x2 = 400

X = AX + B

<=>

|x l=allxl+a|2x2+b1 íx, = 0,1 X, +0,15.400+120

Ịx2 = a21X| + a 22x 2 +b2 ^ [400 = 0,2xj +0,1,400+b2

<=>

X, = 200

b 2 =320

6) Với B =

Khi đó: (E -A )-1 = 1

0,78

0,9 0,25

0,2 0,9

X = (E -A )~‘B =

7) Đặt c = (E - A)'

0,78

'0,9

0,25"

ì o ' '13,4'

0,2

0,9

.14,1

C2I =

0 2 ,

= — = 0,256 là mức tăng của tông cung của ngành 2

0,78

đảm bảo cho ngành 1 tăng cầu cuối cùng lên 1 đơn vị.

Bài 2.10.

1) Theo giả thiết:

X,, = 20; X:, =10:x„= 10;x, = 100

X|2 = 10* X n = 10j X T— 10; X2 = 100

X|3 = 8; x2? =1 >: \ 33" 8; X3 = 40

Hướng dẫn giải bài táp Toan cơ sc ung dụng

Tìm b|, b2, b3 sao cho:

X, = x ,ị+ x i2 + xl3 + b1(i= 1,2, 3) (*)

Giải hệ phương trình (*) thu được:

b, = 62

< b 2 =14

b, = 12

Ta có bảng I/O như sau:

Tổng cầu

Cầu trung gian

Cầu

cuõi cùng

100

8 62

10 16

40 10

10 8 12

2) Áp dung công thức: a = — (i, j = 1,2,3)

ta có: A

0.2 0,2 0,2

0.1 0.2 0,4

0,1 0.2 0.2

Y nghĩa: a23 - 0.4 là lượng san phâm cua neành 2 cuna cấp

cho ngành 3 đẻ ngành đó làm ra 1 đơn vị sàn phẩm.

- Xét cột 2 cua A: Các phàn tử ;ùa cột 2 chính là eiá trị

sản phâm cùa các ngành cuna cấp cho rmành 2 đê ncanh đó

sản xuất ra 1 đơn vị aiá trị sản phalli.

ChươtĩỊỉ 2. Một sô'mó hình tuyến tính...

- Xét dòng 3 của A: Các phẩn tử của dòng 3 chính là giá

trị sản phẩm mà ngành 1 cung cấp cho cả 3 ngành để mồi

ngành làm ra một giá trị sản phẩm của mình.

- Tổng dòng 1 bàng 0.6: là lượng giá trị sản phẩm mà

ngành 1 cung cấp cho cả 3 ngành để mồi ngành làm ra 1 giá

trị sán phẩm của mình.

- Tông cột 1 bằng 0,4: là lượng giá trị sản phẩm của 3

ngành cung cấp cho ngành 1 đế ngành đó sản xuất ra một đơn

vị sản phẩm của mình.

3) Ta có: E - A =

0,8 - 0,2 - 0, 2'

-0,9 0,8 -0,6

- 0,1 - 0,2 0,8

vàC = (E -A )"‘ =

'1,38 0,49 0,59'

0,29 1,53 0,84

0,24 0,44 1,53

- Phần tử c23 = 0.84 là mức tổng cung của ngành 2 để đảm

bảo cho ngành 3 làm ra 1 đơn vị giá trị cầu cuối cùng.

- Cột 2 của c là tổng cung của các ngành để ngành 2 làm

ra một đơn vị giá trị sản phẩm cuối cùng.

- Tổng các phần tử của dòng 1 bàng 2,46 là lượng giá trị

sản phẩm ngành 1 phải có đế mỗi ngành làm ra một đơn vị giá

trị sản phẩm cầu cuối cùng.

- Tổng các phần tử của cột 1 bằng 1,91 là lượng giá trị sản

phẩm của 3 ngành phải có để ngành 1 làm ra 1 đơn vị giá trị

sản phấm cuối cùng.

40 Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ se ung dụng.

4) x3 = 600

x23 = a23X3 = 0,4.600 = 240

5) Ma trận tổng cầu

X = (E - A )“' B = C.B

"1,38 0,49 0,59

"20'

'43,3“

0,29 1,53 0,84

44,8

0,24 0,44 1,53

28,9

6) Ta có: x2 = 80, x3 = 60, b| = 132

Khi đó, ta có hệ phương trình:

X, =0;2x, +0,2.80 + 0,2.60 + 132

80 = 0,lx, + 0,2.80 + 0,4.60 + b 2

60 = 0,lx, + 0,2.80 + 0,2.60 + b3

Ta có bảng I/O như sau:

<=>

x ,

= 200

= 20

= 12

Tổng cằu

Cầu trung gian

Cẩu cuối

cùng

2 3

200

132

80 - 20 16

60 20 16 12 12

Bài 2.11. Ta có mô hình cân bàng

Qs, = Q |

Qs' = Q d;

<=>

r- 3 + 5p, = 12 — 4p, +2p2

l + 4p2 = 15 + 2p, - p 2

Chương 2. Một sô'mô hình tuyến tính...

<=>

f9 p,-2 p 2 =15

2p, - 5 p 2 = -16

<=> <

Pi =

p 2 =

107

174

- 107

P .= 7 T

174

p 2 =

. — 412

Khi đó, lượng cân băng của hàng hóa 1 là: Q, =

-----

lượng

cân bàng của hàng hóa 2 là: Q 2 =

655

Bài 2.12.

1) Để nhà sản suất cung ứng hàng hóa cho thị trường thì

mức giá pi và p2 phải thỏa mãn điều kiện là:

- 2 + P, > 0

p, > 2

<=> <

- 2 + 3p2 > 0

2) Mô hình cân bằng là:

Qs, = Q d ,

<=>

2 + p, = 18-3p, + p 2

- 2 + 3p2 = 12 + p, -2p2

<=>

4p, -p: =20 fp, =6

p, = 6

lĩp2 =4

' 2 <=> < 1 => <

p,-5p2=-14 [p2 = 4

Lượng cân bàng của hàng hóa 1 là: Q, = 4

Lượng cân bằng của hàng hóa 2 là: Q 2 =10

Hướng dẫn giải bài tập Toan cơ so uttỹ dung.

Bài 2.13.

Đế nhà sản suất cung ứng hàng hóa cho thị truờne thì mức

giá Pi và p2 phải thỏa mãn điều kiện là:

- 2 + p, > 0

p, >2

p 2 > -

2 + ap2 > 0

1) Mô hình cân bàng là:

Qs, =Qd, í-2 + Pị = 18 — 3p, +p2

Qs2 =Qd2 l“ 2 + ap2 =12 + P| -2P:

<=>

[4p,-p2=20

[pr(a+2)p2 = -14

<=>

Pi =

p2 =

20a+54

4a+7

- 20a~54

Pi= A

-----

4a+7

Lượng cân bằng của hàng hóa 1 là Q, =

Lượns cân bằng cùa hàng hóa 2 là Q 2 =

4a + 7

, ~ 68a - 14

4a + 7

T < 0 nên khi a tãna thi eiá cân

2) Ta có: (p ) =

------

-^r

^ 'a (4a + 7)

bằng của hàn2 hóa 1 tăng.

Măt khác (p,) =

------

—r—r < 0 nên khi a tăng thi eiá cản

/a (4a + 7)

băng cua hàns hóa 2 tăne.

Chương 2. Một sô'mô hình tuyêh tính...

Bài 2.14.

= 1 > 0 và

aọD

— = 1 > 0 nên hai hàng hóa đã

ỔP|

ổp2

cho là thay thế cho nhau.

2) Đê nhà sản suất cung ứng hàng hóa cho thị trường thì

mức giá Pi và p2 phải thỏa mãn điều kiện là:

Lượng cân bans cùa hàng hóa 1 là: Q| =3

Lượng cân bàng của hàng hóa 2 là: Q, = 12 .

Bài 2.15. Bạn đọc giải tương tự như bài 2.14.

Bài 2.16.

1) Hàm cầu Qd = a - bq

Qj^O) = a: lượng cầu tối đa.

= -b < 0: aiá tăng 1 đơn vị thì cầu giảm -b đem vị.

3) Mô hình cân bằng là:

Hướng dẫn giải bài tập Toan cơ sơ uvg dụng-

Qd > 0 <=> p < —: pmax = — là mức giá tổi đa đối với người

b b

tiêu dùng.

Hàm cung Qs = - c + dp

= d > 0 : giá tăng 1 đơn vi thì cung tăng d đcm vị.

õp

Qs > 0 <=> p > — :p = — là mức giá tối thiểu đối với

d mm d

người tiêu dùng.

về mặt kinh tế ta cần có pmin < p < Pmax

c < — => ad - bc > 0

d b

2) Mô hình cân bàng Qs = ỌD <=> p = a "° > 0

b + d

— ad - bc

Lương cân băng: Q =

----------

> 0

b + d

3) Xét giá cân bàng: p = ———

b + d

3 - 1

Ta có — =

------

> 0: cầu tối đa tăng thì giá cản bàne tăng.

ơa b + c

ỡp

ỡc b + d

> 0: khi c tăng thì giá cân bàng tăng.

ỡp - (a + c) , =

— =

------------

< 0 : b tăng thì giá cán hăng giam.

ỡb b + d

Chương 2. Một so mô hình tuyên tính..

ỡp - ( a + c)

T7 = —

--------

> 0 : d tăng thì giá cân băng giảm.

da b + d

4) Khi không có thuế: giá hàng hóa mà người mua trả cũng

chính là giá mà người sản xuất thực hiện.

Khi có thuế thì giá người mua trả (pd) cao hơn giá người bán

thực nhận (ps) một lượng bằng thuế: pD = Ps + t (1)

Mô hình cân bằng: Qd(Pd) = Qs(Ps)

w X 1 a + c -b t

<=> a - b(ps + 1) = -c + dps o ps = ' (2)

b + d

vu - A' a + c + dt

Khi dỏ Pp = ' (3)

b + d

Nhận xét: Khi có thuế thì người sản xuất bán với giá thấp

hơn và người tiêu dùng phải trả giá cao hơn.

_ a + c a + c -b t bt

Ký niêu: As = p - ps = —

-------

—

= — — : lưofng chiu

b + d b + d b + d

thuế của người bán

- a + c + bt a + c bt ,, . _ u. í ,

và An = pD - p =

------

-----

—— = —— là lương chiu thuê của

b + d b + d b + d

người mua. Ta có: As + AD = t

Lương cân bằng khi có thuế là: Q(t) = ———-

b + d

Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ sơ ưtiỹ dụng.

Bài 2.17.

Mô hình cân bàng:

ÍY = C+I0 + G0 J Y = 0,85 Y( 1 -t)Y+l 50+I0 -K30

[C = 0,85Yd+150 ^ j c = 0,85(l-t)Y+150

<=>

[ [l -0,85( 1 -t)] Y = 150+I0 +G0

C = 0,85(l-t)Y+150

<=>

1-0,85(1 -t)

c =

150+0,85(l-t)(I0+G0-15Q)

1 -0,85(1 -t)

Thu nhập và tiêu dùng cân bàng lần lượt là:

150+Iq+Gq 150+0,85(l-t)(I0+G0-15Q)

1-0,85(1-t) l-0,85(l-t)

Với I0= = 200; G0 = 450; t = 0,2 ta có

Ỹ = 1 5 0 ^ 5 0 =

1-0,85.0,8

C = 0,85.0,8.2500+150 = 1850 (tỷ VNĐ).

Bài 2.18.

1) a = C(0): mức tiêu dùng tự định.

b = C'(Y ): xu hướng tiêu dùng cận biên.

Chương 2. Một sô mô hình tuyên tính.

2) Ta có hệ phương trình:

<=>

Y-C = I0+G0

(*)

ỊC = a+bY [-bY+C = a

Giải hệ (*) bàng phương pháp Cramer.

Ta có:

|A |-

A, =

1 -1

-b 1

- i-b>0 =>Hệ (*) có nghiệm duy nhất

10+G0 '1

a 1

1 I0+G0

-b a

= I0+G0+ a ;

= a+b(I0+G0)

Khi đó, thu nhập quốc dân và tiêu dùng cân bằng lần lượt là:

— _ Aị _ I0+G0+a — _ A2 _ a+b(I0+G0)

|A| 1-b ; |A| 1-b

3>Tacó:

Do vậy: (Ỹ )o + (Ỹ)0í - ^

1 -b

Mặt khác 0 < b < 1 nên 0< 1- b < 1

su y ra (y ) + (y ) = —^— > 2. Vậy nhận định trên là sai.

y V V /(. j0 Ị _ b

Hướng dẫn giải bài tập Toan cơ sớ uvg dụng

4) Vì i Y Ì

-----

— > 0 nên a tăng thì Y tăng.

a 1 — b

Vì (Y ) = — ——T- > 0 nên b tăng thì Y tăng.

V /b (I_b)2

Vì (c) = — > 0 nên a tăng thì c tâng.

Vì (c ) = > 0 nên b tăng thì c tăng.

v 'b (1-b)

Bài 2.19. Bạn đọc tự giải tương tự như 2.18.

Bài 2.20. Bạn đọc tự giải tương tự như 2.18.

Bài 2.21.

1) Ta có hệ phương trình:

|Y = C+I0+G0 ÍY = C+I0+G0

|c = 150+0,8(Y-T) ^ |c = 150+0,8(Y-0,2Y) = 150+0,64Y

íy = 15Q+I0+ G 0

[ 0,36

Vậy thu nhập và tiêu dùng cân bàng lần lượt là:

150+Iq+Gq , - _ 15Q+Q,64(Ĩ0-I-G0)

0,36

c _ 150+Q,64(Ĩ0+G0)

0,36

Chương 2. Một số mô hỉnh tuyên tính.

Vớj I0 = 200; Go = 900 ta có:

Ỹ = 150 + 2 00 + 9 0 0 2

0,36

C - 11Q^ ^4 (2 0 0+900) =

0,36

T = 0,2Ỹ = 6944,4

2) c = 150 + 0,7(Y -T)

I0 = 200. Tìm Go để ổn định thu nhập quốc dân, tức là:

Ỹ = 3472,2

r|-i ' T? - 350+ G0 _ n 0

Ta có Y = —

-----

= 3472,2

0,44

« G 0 = 3472,2.0,44-350 = 1177,768

Bài 2.22.

1) Ta có hệ phương trình:

Y = C+I+G0 [Y = b0+b1Y+a0+a1Y-a2R0+G0

[c = b0+b,Y ° Ịc = b0+b|Y

<=>

(l-a.-bị)Y = a0+b0+G0-a2R0

1 '-'I

C = b0+b,Y

Y =

<=>

c = bọ (1 -a, )+b1 (a0 +G0 -a2 R0)

Vậy thu nhập và tiêu dùne cân bàng lần lượt lả

— = a0+b0+G0-a2R0~ - = b ọU -a^+ bỊU n+ G ^R ọ)

l-a|-bị l“âỊ~t)|

2) Với: bo = 200; b| = 0,7; ao = 100; ai = 0.2:

a2= 10; Ro = 7; G0 = 500.

Thu nhập quốc dân cân bàna là:

- = 100+200+500-10.7 = 7300

1-0,2-0,7

Hệ số co giãn của thu nhập cân bang theo Go

eỴ _ _ 1 Gọ

u° Ỹ l-a,-b, ' Ỹ

Tại điểm cân bằng: G„ = 500

6q =

-----

. = 0,685

° 0 1-0,2-0,7 7300

Vậy, khi G0 tăng lên 1% thì thu nhập quốc dân cân bang táng

khoảng 0,685%.

Bài 2.23.

1) Yd = Y -T = (l-t) Y = Y-tY=>T = tY=> — = t.

Số 1.100% là tỷ lệ thu nhập dành để nộp thuế.

2) lo = 50: NXo = 30.

50 Hitớìíg dẫn giải bài tập Toan cơ fO Mtg (iụỉtg

Chươnp 2. Một so mó hình tuyến tính...

Xác định thu nhập cân bằng:

Y = 20 + 0,75(1- t)Y + lo + 20 + 0,1 Y + NXo

<=> (0,75t+0,15)Y = 40+I0+NX0 o Y = 4Q+Ig+NX-°

0,75t+0,15

Hay thu nhâp cân bàng là: Y = 40 lo NX0

0,75t+0,l 5

rpi i

1 ì

— _ — _ t(40+I0+NX0)

Thuê cân băng là: T = tY = — _ ——

0,75t+0,15

Chi tiêu chính phủ cân bằng là:

G = 20+0,1Ỹ = 20+Q,1(4Q+I°+NXo)

0,75t+0,15

Khi: I0 = 50; NX0 = 30: Ỹ = 120

0,75t+0,15

120t 15t+15

I = —— :— —— ; o -

0,75t+0,15 0,75t+0,15

Điều kiện cân đổi ngân sách:

120t 15t+15

N S ^ o T - G o

0,75t+0,15 0,75t+0,15

<=> 105t = 15 <=> t

----

3) Khi chưa biết I0, NX0 ta có:

NS = T G = W X ^ o + N X p )-15*-3

(X75t+0,15

Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ sỡ Im ỹ dụng.

Từ đây, ta có:

- Nếu t = 0,1: ngân sách không phụ thuộc vào lo-

- Nếu t * 0,1: ngân sách phụ thuộc vào lo-

Bài 2.24.

1) Ta có Yd = (1- t)Y; M = 0,2(1-t)Y; c = 0,8(1 -t)Y

Xác định thu nhập quốc dân cân bàng:

Y = C + Io + Go + X o -M

<=> Y=0,8( 1 -t)Y+I0 +G0 +x0 -0,2( 1 -t)Y

<=> [l-0,6(1-t)]Y = I0+G0+X0

0 Y = Io+ G o+ x o

1 -0,6( 1 -t)

Vây thu nhâp quốc dân cân bàng là Y = .

; n 1 -0,6( 1 -t)

Mặt khác =

-----

= nên khi I0, t không đồi thì

ỠG0 l-0,6(l-t) ax0

G0 tăng lên 1 đơn vị và giảm nhập khẩu Xo xuống 1 đơn vị thì

thu nhập cân bàng không đổi.

Do đó, nhận định đó là đúng.

2) Với lo = 300; G0= 400; Xo = 288; t = 0,2 ta có:

Thu nhập quốc dán cân bàng là:

Ỹ . 300+400+288 . ,900.

1-0.6.0.8

Chương 2. Một sô'mô hình tuyến tính...

Tiêu dùng cân bàng là: c = 0,8-0,8.1900 = 1216.

Nhập khẩu cân bàng là: M = 0,2.0,8.1900 = 304.

Thuế cân bàng là: T = 0,2.1900 = 380.

Ngân sách: NS = T-G0 = 380-400 = -20<0, do đó nền kinh

tế có thâm hụt ngân sách.

Mặt khác: M-X0 = 304-288 = 16>0, do đó nền kinh tế thâm

hụt thương mại.

3) Với I0 = 300; Xo = 288; t = 0, 2 thu nhập quốc dân cân

bàng là:

- = 300+288+Gọ = 588+G0

1-0,6.0,8 0,52

£ = 2500 <=> G0= 712.

Ta có nhập khẩu cân bằng là:

= ^(588+G 0)

Hệ số co giãn của M theo G0 là:

Tại Go = 712: M = 400 và £q = - . — = 0,5477.

0 3 400

Vậy khi Go tăng 1% thì M tăng khoảng 0,5477%.

Hướng dẫn giải bài tập Toan cơ sg intỹ íiựĩtg-

Bài 2.25.

1) Ta có hệ phương trình:

í Y = C+I+G0 Ị (1 -0,75b)Y+r = 174-25Ò

[L = M ^ [5Y-50r = 1500

■ 10200-1250b

100-37,5b

^ 1 _ 7200-125b

r 100-37,5b

Vậy thu nhập quốc dân và lãi suất cân bằng là:

— = 10200-1250b - = 7200-125b

100-37,5b ; r 100-37,5b

2) Ta có: b = C’(Y)

(y ) = — -——°— > 0. Nên b tăng thì Y tảng.

v Jb (37,5b-100)

3) Bạn đọc tự giái tương tự như 2.24.

Bài 2.26.

1) Ta có: Y = a + b(Y - T0) + d + iY + G0

<=>(l-b-i)Y = a-bT0+d+G0

^ Y = a'bT0+d+G0

1-b-i

Chương 2. Một số mô hình tuyến tính. 55

Hay thu nhập quốc dân cân bằng là: Y =

a-bT0 +d+G

1-b-i

2) Vì (y ) = g__bT0 d G0 > Qn£n khi j

tăng

thị thu nhập

v h (1-b-i)

quốc dân cân bẳng tăng.

Bài 2.27.

1) Ta có hệ phương trình:

ÍY = C+I0+G0 f Y = 60+0,7( 1 -t)Y+I0 +G0

|c = 60+0,7( 1 -t)Y ^ ịc = 60+0,7( 1 -t)Y

Y = 6Q+I0+G0

l-0,7(l-t)

Vậy thu nhập quổc dân và tiêu dùng cân bàng lần lượt là:

Ỹ _ 60+Iq+Gq - _ 60+0,7(1-t)(I0+G0)

l-0,7(l-t) l-0,7(l-t)

2) Với G0 = 140; I0 = 90; t = 0,4; thu nhập quốc dân và tiêu

c _ 60+0,7(1-t)(I0+G0)

l-0,7(l-t)

dùng cân bàng lần lượt là: Y =

60+90+140

1-0,7.0,6

= 500 (triệu USD)

- 60+0,7.0.6(90+140)

c ~ 1-0,7.0,6

= 270 (triệu USD).

Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ sơ dụng

3) Vì (y Ị = -7°(60+10+° 0) < 0 nên k h i, tăne (hi thu nhập

' h [l-0,7(l-t)f

quốc dân cân bằng giảm.

Vì (c) = r0- 2 < 0 nên khi t tăng thì tiêu dùng

' h [l-0,7(l-t)f

cân bàng giảm.

Bài 2.28.

1) Ta có hệ phương trình:

f Y = C+I+G0 ÍY = a+ b( 1 -t) Y+d+x Y+G0

Ị c = a+bYt ^ |c = a+b(l-t)Y

Y _ a+d+Gn

c = a( 1 -x)+b( 1 -t)(d+G Q)

l-b(l-t)-x

Vậy thu nhập quốc dân và tiêu dùng dân cư cân bàng lần

lượt là:

- _ a+d+Gọ , - _ a( 1 -x)+b( 1 -t)(d+G0)

1 -b( 1 -t)-x ’ l-b(l-t)-x

a+d+G

l-b(l

quốc dân cân bàng tăng.

2) Vì (y ) = —— ^+^ -° - > 0 nên khi X tăng thi thu nhập

v '* [ 1 -b( 1 -t)-x]

Chương 2. Một sô'mô hình tuyến tính.

3) Với Go = 500; a = 150; X = 0,1; b = 0,8; t = 0,4;

d = 100. Thu nhập quốc dân và tiêu dùng dân cư cân bàng lẩn

lượt là:

Ỹ - 150+100+500 ,.7 8 5 ,7 (tỳ USD)

1-0,8.0,6-0,1 -

c = 150+0,8.0,6.1785,7 = 1007,1 (tỷ USD).

4) Vì (Ỹ) = - +-G-0-}- <0 nên khi t tăng thì thu nhập

v 't [l-b(l-t)-x]

quốc dân cân bàng giảm.

ín \ _ -b[(l-x)(d+G0)+a(l-x)] A

Vì c = —

-----------------

--------

< 0 nên khi t tăng thì tiêu

v [l-b(l-t)-x]

dùng cân bằng giảm.

Bài 2.29.

1) Ta có hệ phương trình:

[Y = C0 + aY + I0-b r J(l-a)Y + br = c 0 + I0

lm Y -nr = Ms - L 0 Ịm Y -nr = Ms - L 0

Y =

n(C0 + I0) + b(Ms - L 0)

<=>

r =

n (l-a ) + bm

m(Cọ + lọ) - (1 - a)(Ms - Lọ)

n (l-a ) + bm

Vậy thu nhập quốc dân và lãi suất cân bằng lần lượt là:

Hư&tĩg dẫn giải bai tập Toan cơ so mĩỊỊ dụng.

Ỹ = n(Cọ4'I0)+b(Ms-L0)

n( 1 -a)+bm

- = m(C0 +I0)-(1 -a)(Ms-L0)

n( 1 -a)+bm

2) Với a = 0,7; b = 1800; c 0 = 500; L0 = 800: m = 0.6;

n = 1000; Ms - 2000; I0 = 400.

Thu nhập quốc dân và lãi suất cân bằng lần lượt là:

- _ 100Q.(500 + 400) +1800.(2000 - 800) = 22 Ị 7 39

1000.0.3 + 1800.0,6

f4 0 0 )-(l-0 ,7 ).(2 0

1000.0.3 + 1800.0,6

- _ 0,6.(500 + 400) - (1 - 0,7).(2000 - 800) _ j 3013

(ỸÌ b 1800 90

^ ~ n(l - a) + bm _ 1000.0,3 +1800.0,6 _ 69

/-V - d - a ) -0,3 -3

' n(l -a ) + bm 1000.0,3 + 1800.0,6 13800

Hệ số co giãn của thu nhập quốc dân cân bằng theo mức

cung tiền là:

Ỹ _ (V)MS w 90 2000 ,

Em = — = - L .M = — = 1,17647

Y 69 2217,39

Y nghĩa: Khi tăng mức cung tiên lên 1% thi thu nhập quốc

dân cân bane tăne khoảng 1.17647%.

Hệ sô co eiãn cùa lãi suất cân bàng theo mức cung tiên la:

0r _ (r>MSw -3 2000 „

8M, = - - -Mo = — — .— —— = -3,3335

s r 13800 0,13043

Y nghĩa'. Khi tăng mức cung tiền lên 1% thì lãi suất cân bằng

giảm khoảng 3,3335%.

Bài 2.30. Bạn đọc tự giải tương tự như 2.27.

Chương 2. Một sô'mô hình tuyến tính...

____________________ 59

ÚNG DỤNG PHÉP TÍNH VI PHẢN, TÍCH PHÂN

HÀM MỘT BIỂN TRONG PHÂN TÍCH KINH TỂ

A. ĐỀ BÀI

Bài 3.1. Cho hàm cung, hàm cầu của thị trường 1 hàng hóa:

Qs = 4P-l

Qd = 4 -P 2

1) Tìm điều kiện của p để hàm cung, hàm cầu cùng dương.

2) Tìm giới hạn cao nhất (thấp nhất) của giá mua (giá bán)

của người mua (bán)

3) Tìm giá và lượng cân bằng (P,Q ).

Bài 3.2. Cho mô hình thị trường

Hàm cung: Qs = 0,1 p2 + 5P +10

Hàm câu: Qn = -—

P-2

Chứng tò rằng mô hình trên có giá cân bàng thuộc khoảng

(3; 5).

Bài 3.3. Cho mô hình thị trường

Qs =6P-4

Qd = 3-P2; p > 0

Chương 3

1) Tìm hàm cầu đảo.

2) Giới hạn cao nhất (thấp nhất) của giá người mua (người

bán) chấp nhận là bao nhiêu?

3) Chứng minh tồn tại điểm cân bằng thị trường này.

Bài 3.4. Một doanh nghiệp sản xuất có hàm doanh thu:

TR = 4000Q - 33Q2 và hàm chi phí TC = 3Q3 - 3Q2 +

400Q + 500. Xác định mức sản lượng cho lợi nhuận tối đa.

Bài 3.5. Một doanh nghiệp độc quyền có hàm cầu:

p = 40 - 0,03Q và hàm chi phí TC = 10Q + 120. Hãy xác

định sản lượng và mức giá để doanh nghiệp tối đa hóa lợi nhuận.

Bài 3.6. Cho hàm chi phí trung bình

AC = — - 0,5Q + 0,25Q2 +10

1) Tìm hàm chi phí cận biên.

2) Với p = 106, tìm Q* thỏa mãn điều kiện cực đại lợi

nhuận.

Bài 3.7. Cho hàm doanh thu bình quân: AR = 240 - 0,5Q

1) Tìm hàm doanh thu cận biên MR.

2) Cho biết hàm chi phí TC = 40 + 12Q - 2Ọ2 + 0,25Q3

Xác định lợi nhuận cận biên Mn và tính Mn tại điểm

Qj = 20;Q2= 10.

3 ) Có tồn tại hay không điểm hòa vốn thuộc (10; 20)

Chương 3. ứng dụng phép tính vi phân, tích phân... 61

Bài 3.8. Doanh thu trung bình AR = 240 + 12Ọ - 0.5Ọ: (Q>0)

1) Viết hàm chênh lệch giữa doanh thu cận biên và doanh

thu trung bình.

2) Tìm cực trị của doanh thu trung bình.

0.1

Bài 3.9. Cho hàm chi phí trung bình: AC = 12 + ———

F & 0.2 + Q

1) Tính chi phí cận biên MC tại Qo = 10.

2) Tìm hàm chênh lệch giữa chi phí trung bình và chi phi

cận biên; cho nhận xét về hàm này.

3) Tính hệ số co giãn của chi phí theo sản lượng Q tại

Q o-10.

Bài 3.10. Cầu về hàng hóa A là: Qu = 200P'0 5, thị trường hàng

hóa A có 2 hàm cung là: Qsi = 5P° 5 và QS2 = 4P° 5.

1) Hãy lập mô hình thị trường hàng hóa A.

2) Thị trường có tồn tại trạng thái cân bang khône?

Bài 3.11. Cho mô hình thị trường 1 hàng hóa như sau:

p = 180-0,5Qị

p =30 + 2Ọ^

1) Hãy xác định trạne thái cân bàng cùa thị trườna.

2) Chính phù đánh thuế t/đơn vị hàng hóa. phái định t la bao

nhiêu đê tôna thuế thu được là lớn nhất.

3) Khi t tăng 1% thì giá cản bàna có tăna 1% khôn2°

_________

________

Hướng dẫn giải bài tập Toan cơ so UTỊ£ dụng...

Bài 3.12. Hàm cầu vể ngô có dạng:

Q o = 2 0 0 - 5 0 p .

Có 50 cơ sở giống nhau có hàm chi phí tại đó mỗi cơ sở là

TC = Q (Q - sản lượng ngô ở mỗi cơ sờ). Xác định mức sản

lượng Q đê tôi đa hóa lợi nhuận và giá cân bàng của thị trường.

Bài 3.13. Cho hàm cung Qs, hàm cầu ỌD về 1 loại hàng hoá:

Q s = 0 ,2 p 2 + 5 p -1 0

Qd = — với p là giá hàng hoá

P - 2

1) Với điều kiện nào của p thì cung và cầu đều dương? Với

điều kiện trên hãy viết phương trình cân bằng thị trường

2) Xác định hàm dư cầu và khảo sát tính đơn điệu của hàm

này. Chứng tỏ rằng luôn tồn tại duy nhất giá trị cân bằng trong

khoảng (3,5).

Bài 3.14. Cho hàm doanh thu TR = 1400Q - ọ 2 (Ọ > 0)

1) Tìm hàm doanh thu cận biên MR(Q).

2) Tại điểm Qo = 500, khi Q tăng lên một đơn vị thì doanh

thu sẽ thay đổi bao nhiêu đơn vị.

3) Tính giá trị doanh thu cận biên tại Qo = 710 và giai thích ý

nghĩa kết quả nhận được.

Bài 3.15. Cho hàm tồng chi phí TC = 2Q2 +3Q + 100 (Q > 0)

1) Tìm hàm chi phí cận biên MC(Q).

2) Tính chi phí cận biên lại mức sản lượng Q0 = 2 và giải

thích V nghĩa kết qua nhận được.

Chương 3. ứng dụng phép tính vi phân, tích phân... 63

Bài 3.16. .Cho hàm cầu QD = 8p - p2 (p > 0), Po = 5

Tại mức giá Po, khi tăng giá lên 3% thì lượng cầu thay đổi

một lượng xấp xỉ bằng bao nhiêu %

Bài 3.17. Hãy phân tích mối quan hệ giữa hàm chi phí bình quân

AC(Q) và hàm chi phí cận biên MC(Q), cho biết hàm chi phí

TC = Q2 + 8Q + 18(Q>0)

Bài 3.18. Hãy phân tích mối quan hệ giữa hàm sản xuất bình

quân APL và hàm sản xuất cận biên MPL, biết hàm sản xuất

ngắn hạn có dạng: Q = 60L - 3L2 (L > 0).

Bài 3.19. Cho biết hàm sản xuất ngẩn hạn Q = 100-v/ l (L > 0)

và giá của sản phẩm p = 4ƯSD, giá thuê lao động bàng

pL = 20ƯSD. Hãy tìm mức sử dụng lao động để cho lợi

nhuận tối đa.

Bài 3.20. Cho hàm tổng chi phí TC = Q3 - 120Q2 + 14Ọ (Ọ > 0).

Tìm mức sản lượng Q để chi phí bình quân đạt giá trị nhò nhất.

Bài 3.21. Cho biết hàm chi phí TC = Q3 -7Ọ2 + 49Ọ - 4 (Ọ > ])

và hàm cầu đảo p = 40 - Q. Hãy xác định mức sàn lưcmg ọ

cho lợi nhuận đạt cực đại.

Bài 3.22. Một doanh nghiệp có hàm tổng doanh thu:

TR = 58Q - 0,5Q2

và hàm tồng chi phí TC = - ọ 3 - 8,5Q2 + 97Q + FC . trong đó

Ọ là sản lượng (Q > 0) và FC là chi phí cổ định.

__________________Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ sà mtg dụng...

1) Với FC = 4, hãy xác định mức sản lượng tối đa hóa

lợi nhuận.

2) Hãy phân tích tác động của chi phí cố định FC tới mức

sản lượng tối đa hóa lợi nhuận và mức lợi nhuận tối đa.

Bài 3.23. Một công ty cạnh tranh hoàn hảo có hàm tổng chi phí

TC = Q3 -Ọ 2+ 1 (Q > 1).

1) Với giá thị trường p, hãy viết phương trình xác định hàm

cung của công ty.

2) Hãy phân tích tác động của giá p tới mức cung tối đa hóa

lợi nhuận và tới mức lợi nhuận tối đa của công ty.

Bài 3.24. Doanh nghiệp độc quyền có hàm cầu đảo:

p = 490 - 2Q và hàm chi phí TC = 0,5Q2AD°5;

Trong đó: Q là sản lượng và AD là chi phí quảng cáo.

1) Với AD = 9, hãy xác định mức sản lượng và giá bán

tối ưu.

2) Hãy phân tích tác động của chi phí quảng cáo AD tới mức

sản lượng và giá bán toi ưu.

Bài 3.25. Cho hàm tổng chi phí:

TC = Q3 - 5Q2 + 14Q + 144 (Q > 0)

1) Khảo sát sự thay đổi tuyệt đối của TC theo Q, từ đó cho

nhận xét về mở rộng sản xuất.

2) Tírìh hệ số co giãn của TC theo Q tại Qo = 2.

Chương 3. ứng dụng phép tính vi phân, tích phân... 65

Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ sỏ ưn? dụng.

Bài 3.26. Cho hàm chi phí TC = 5000+ 4 ^ -

Q+3

(Ọ là sản lượng, ọ > 0)

1) Tìm hàm chi phí cận biên MC.

2) Tính chi phí trung bình AC tại Qo = 100.

Bài 3.27. Cho hàm chi phí trung bình để sản xuất ra một sản

phẩm:

AC = Ọ2 - 12Ọ + 60 (Q là sản lượng, Q>0)

1) Xác định các biểu thức tính sự thay đổi tuyệt đổi và tương

đối của AC theo Q và cho các nhận xét.

2) Xác định hàm chi phí cận biên MC và mô tà trên cùng

mặt phẳng tọa độ đồ thị hai hàm MC, AC. Từ đó hãv nêu các

nhận xét quan hệ giữa MC và AC.

Bài 3.28 Cho biết hàm doanh thu và hàm chi phí cùa nhà sản

xuất như sau:

TR = 1400Q - 7,5Q2; TC = Q3 - 6Q2 + 140Q + 750

(Q > 0)

Hãy chọn múc sản lượng để lợi nhuận tối đa.

Bài 3.29. Hãy xác định mức sản lượng tối ưu của nhà sán xuất

độc quyền, biết:

Hàm chi phí cận biên MC = 3Q2 - 6Q + 96

Hàm câu đôi với sản phâm: Q = 148 - - p

Chương 3. ứng dụng phép tính vi phân, tích phân.

Bài 3.30: Cho mô hình thị trường 1 hàng hoá

Qs = 0,3pa(0 < a < 1)

Qd= 0,1 pbMcqd ( b < 0, 0 < c < l,d*0)

Trong đó: Qs, QD là các hàm cung, cầu của hàng A, p là giá

hàng A, M là thu nhập khả dụng, q là giá hàng B

1) Giải thích ý nghĩa kinh tế của a?

2) Hai hàng hoá nêu trong mô hình có quan hệ thay thế hay

bổ sung?

3) Tìm mối liên hệ giữa b, c, d để khi p, M, q thay đổi cùng

1 tỉ lệ thì cầu D không đổi.

4) Phân tích ảnh hưởng của M tới lượng cân bằng.

Bài 3.31: Hàm cung Qs và hàm cầu Qo của hàng A có dạng

Qs = 0,7p-150

Qd= 0,3M - 0,5p +120

Trong đó: p - giá hàng A, M - thu nhập khả dụng

1) Có ý kiến cho rằng lượng cân bàng không phụ thuộc vào

thu nhập, ý kiến này đúng hay sai?

2) Giả sử Nhà nước đánh thuế thu nhập với thuế suất t, phân

tích tác động của thuế tới mức giá cân bàng.

Bài 3.32. Cho mô hình thị trường hàng A dạng:

Qp = D(p,Y 0) (Dp<0;Dy >0)

Hướng dẫn giải bài tập Toan cơ I/Tiff dụtĩỹ.

Qs = S(p,T0) (Sp>0;STo<0)

Trong đó: p là giá hàng A, Y0 là thu nhập, T0 lả ihuẻ

1) Phân tích ảnh hưởng của Y0, T0 tới giá cản băng, giải

thích ý nghĩa kinh tế của các kết quả nhận được.

2) Dùng hàm cung phân tích ảnh hưởng của Y0 tới lượng cân

bằng, dùng hàm cầu phân tích ảnh hưởng của To tới lượng cản

bằng.

Bài 3.33. Gọi p là giá hàng A, q là giá hàng B, M là thu nhập,

T là thuế. Mô hình thị trường có dạng

Da = 0,8M°’4p'0’5q0,1

Sa = 5,4p°’3T'0,05

1) Cho biết quan hệ giữa 2 hàng hoá A, B.

2) Phân tích tác động của M, T tới giá cân bằng mặt hàng A.

3) Lượng cung Sa thay đổi thế nào khi giá hàne A lảng 7%

và thuế cũng tăng 7%.

Bài 3.34. Cho hàm tổng chi phí: TC = Q3 - 5Q2 + 14Q +75 với

Q là sản lượng (Q > 0)

1) Tìm hàm VC, AVC, xác định FC.

2) Tìm hệ số co giãn của c theo ọ tại mức Qo = 10 và giải

thích ý nghĩa kinh tế của nó

3) Tìm các hàm MC và AC, chứng minh MC cắt AC lại

điêm AC cực tiểu.

Bài 3.35: Cho hàm doanh thu trung bình AR = 60 - 3Ọ. Tìm

hàm MR, chứng minh rằng AR, MR có cùng tung độ gốc,

nhưng độ dốc của MR gấp đôi độ dốc của AR.

Bài 3.36. Cho hàm tống chi phí:

TC(Q) = Q3 -4 Q 2 + 1800Q+ 150 ( Q > 0 )

Hàm cầu về sản phẩm của công ty là Q = 9000 - p

1) Viết hàm tổng doanh thu là hàm của Q (là hàm của p).

2) Tìm MC và MR theo Q.

3) Tìm Q* để lợi nhuận đạt cực đại.

Bài 3.37. Cho hàm lợi nhuận:

71 = -Q 3 +3Q2 + 1320Q-10 (Q > 0)

Tính 7ĩ(0) và giai thích ý nghĩa kinh tế.

Tìm mức sàn lượng ọ ’ để lợi nhuận đạt cực đại.

_ 9

Bài 3.38. Cho hàm sản xuât: Q = —— L’ +10L2

Trong đó: Q - san lượng, L - số đơn vị lao động sử dụng

1) Tìm tập xác định thực tế cùa hàm trên.

2) Tìm hàm san phâin trung bình AỌ và hàm sản phâm biên

MQ. Chứng minh ràng AỌ = MQ tại mức sản lượng ọ mà AỌ

đạt cực đại.

3) Tìm mức su dụng la . động L* tại đó ọ đạt giá trị lớn rh; ì .

Chương 3. ứng dung phép tính vi phản, tích phân... 69

Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ sa ựTỊỹ dụng.

4) Tìm hệ số co giãn của Q theo L tại mức L = 5 và giãi

thích ý nghĩa kinh tế.

Bài 3.39. Một công ty có hàm tổng doanh thu: TR = 60Ọ - 1,5Q2

o 3

và hàm tổng chi phí:TC =

------

9,5Q2 + 101Q + FC.

1) Cho FC = 3, tìm mức cung Q* để lợi nhuận đạt cực đại.

2) Gọi n * là mức lợi nhuận cực đại. Phân tích ảnh hường

của FC tới Q* và 71 *.

Bài 3.40. Hàm cầu ngược p = 200- Q; TC = Q2

Trong đó: p - giá; ọ - sản lượng

1) Tìm mức sản lượng và mức giá sao cho lợi nhuận cực đại.

2) Tìm hệ số co giãn của cầu tại mức tối đa lợi nhuận.

3) Giả sử chính phủ đánh một lượng thuế t vào mỗi sàn

phẩm bán ra. Tìm mức cung tối đa hóa lợi nhuận; sản lượng đó

thay đổi thế nào khi t thay đổi.

Bài 3.41. Một doanh nghiệp độc quyền có hàm doanh thu biên

MR = 1800- 1,8Q2

1) Cho biết nếu tại mức sản lượng Qo =10 mà doanh nghiệp

giảm giá 1% thì mức cầu sẽ biến động như thế nào?

2) Neu doanh nghiệp định giá bán Po = 50 thì tốna doanh thu

là bao nhiêu?

3) Neu doanh nghiệp tăng mức F'.m lượnt: cune từ 10 lén 20

thì tông doanh thu tăng lên bao nhiêu?

Chương 3. ứng dụng phép tính vi phân, tích phân... 71

Bài 3.42. Cho hàm lợi nhuận bậc hai:

7ĩ(Q) = hQ2 + jQ + k (Q > 0)

Hãy cho biết các điều kiện đối với các hệ số h, j, k để hàm

lợi nhuận trên thỏa mãn đồng thời các điều kiện kinh tế sau:

1) Khi sản lượng bán ra Q = 0 thì lợi nhuận âm.

2) Lợi nhuận 7i(Ọ)đạt cực đại tại Q* > 0.

Bài 3.43. Cho hàm chi phí:

TC(Q) = aQ2 + bQ + c ( a > 0;Q > — )

1) Cho biết các điều kiện đối với a, b, c để hàm C(Q) là hàm

chi phí hợp lý về mặt kinh tế; lập hàm AC và MC.

2) Cho hàm cầu ngược về sản phẩm cúa công ty là

p = p(Q) có P’(Q) < 0. Hãy lập hàm doanh thu, doanh thu bình

quân, doanh thu cận biên.

3) Hãy lập hàm lợi nhuận; chỉ ra điều kiện để hàm lợi nhuận

đạt cực đại

Bài 3.44. Tìm hàm tổng chi phí, hàm chi phí bình quân trong các

trường hợp sau:

1 )T C '(Q ),= MC(Q)= 15Q2 + 8Ọ + 3; FC = 100

2) MC = 3Qe°-5Q: FC = 30

3) MC = 2e°-2Ọ; FC = 90

Hướng dẫn giải bài táp Toan cơ so img dụng

Bài 3.45. Tìm hàm tổng doanh thu TR(Q) trong các truờng hợp

1) MR(Q) = 28Q - e°'3Q

2) MR(Ọ) = 10(1 + Q)'2

Bài 3.46. Tìm hàm tổne nhập khẩu M(Y) với Y là thu nhập quốc

dân nếu khuynh hướne nhập khẩu biên M’(Y) = 0.1 và

M = 20 khi Y = 0.

Bài 3.47. Biết tiêu dùng c bàng thu nhập Y khi Y = 1001'SD và

khuynh hướng tiêu dùng là:

C’(Y) = MPC(Y) = 0.8 + 0,1 Y'°-5

1) Tìm hàm tiêu dùne.

2) Cho biết mức tăng lên của tiêu dùng khi thu nhập tâng từ

100USD lên 200USD

3) Tính hệ số co giãn của tiêu dùng tại mức thu nhập

Y = 200ƯSD, giải thích ý nghĩa của nó.

Ị

Bài 3.48. Cho hàm đầu tư I(t) = 12t- (trons đó t là biến thời

gian)

1) Xác định hàm vốn K(t) khi K(0) = 25.

2) Xác định tône lượna vốn tích lũy được trona khoane thời

gian t e [0:1].

Bài 3.49. Cho cầu về một loại hàng hóa (Ọ) phụ thuộc \ao 2Ìá

cùa hàn2 hóa đó (p) và thu nhập (Y) dạng:

Q = 4YỬ 5 - lnp - 2

Chương 3. Ưng dụng phép tính vi phân, tích phân.

1) Tính và giải thích ý nghĩa kinh tế của các hệ sổ co giãn

riêng của ọ theo p, theo Y.

2) Tại mức cầu Q0 cho trước, giả sủa giá p tăng 1 đơn vị thi

thu nhập Y phải tăng bao nhiêu thì cầu không đổi.

Bài 3.50. Cho biết hàm cung và hàm cầu đối với một loại sản

phẩm: Qd = Ạ 13 —p ; Qs = 7 ? - 1

Hãy tính thặng dự của nhà sản xuất và thặng dư của người

tiêu dùng.

Bài 3.51. Cho Qs và Qo là hàm cung và hàm cầu một loại hàne hóa:

Qs = 50p2 - 20

Q„=0,5p-2M2

Với p là giá một đơn vị hàng hóa, M là thu nhập cúa người

tiêu dùng (M > 0)

1) Tìm điều kiện đối với p sao cho hàm cung và hàm cầu đều

nhận giá trị dương. Với điều kiện này hãy viết mô hình cân bàng

thị trường, viết hàm dư cung và xét tính đơn điệu của hàm này

theo p.

2) Cho p;Q là giá cân bang và lượng cân bàng. Nếu thu

nhập M giam thi sẽ tác động như thế nào tới p:Ọ .

Bài 3.52. Y là thu nhập, s là tiết kiệm.

Biết ràne mức tiết kiệm s = -7,42 khi thu nhập Y = 5.

1) Hãy xác định hàm tiết kiệm nếu biết khuynh hướna tiết

kiệm cận biên:

MPS - V - 0.4.

Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ so U7Ị£ dụng.

2) Kê từ mức thu nhập dương nào trở lẽn sẽ có tiẽt kiệm

dương?

B. HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ

Bài 3.1.

1) Điều kiện để lượng cung và lượng cầu dương là:

Qs > 0

.Qd > °

4P -1 > 0

<=>

4 - p >0<=>-<P<2

p > 0

2)- Qs> 0 « 4 P -]> 0 o P > -

Suy ra: Giá thâp nhât là: pmin = —.

- Qd >0<=>4-P2 >0»0<P<2

Suy ra: Giá cao nhất là pmax = 2.

3)MÔ hình cân bàng:

Qs = Q0 o 4P -1 = 4 - p2 p2 + 4P - 5 = 0 co

p =

Chương 3. ứng dụng phép tính vi phân, tích phân.

Vì p > 0 nên p = -5 (loại) và p = 1 (thỏạ mãn).

Vậy giá cân bằng là p = 1 và lượng cân bàng Q = 3

Bài 3.2. Xét mô hình cân bàng Qs = QD

« 0 , l P 2 +5P + 10 = -5 5 -

P - 2

« 0 ,1 P 3 +4,8P2 -7 0 = 0 (*)

Xét hàm f(P) = 0,1P3 + 4,8P2 - 70 trên [3; 5]

- f(P) liên tục trên [3, 5]

- f(3).f(5 ) < 0

Nên phương trình (*) có nghiệm thuộc (3; 5).

Vậy mô hình có giá cân bàng thuộc (3; 5).

Bài 3.3. Bạn đọc giải tương tự bài 3.1.

Bài 3.4.

Lợi nhuận của doanh nghiệp là:

71 = TR - TC = 4000Q - 33Q2 - (3Q3 - 3Q2 + 400Q + 500)

= -3Q3- 30Q2 + 3600Q - 500 (Ọ > 0)

Bài toán đưa về tìm giá trị lớn nhất của n .

Ta có: (7ĩ)' = -9Q2 -60Q + 3600

(7t)' = 0 « 3Ọ2+20Ọ-1200 = 0

Hướng dẫn giải bài táp Toán cơ sà ưng đung.

Q, =

_ -10(1+>/37)

<=>

q 2 =

_ 10(V37-1)

Lập bảng biến thiên kết luận hàm 71 đạt giá trị lớn nhát tại ọ2.

Bài 3.5.

Hàm doanh thu của doanh nghiệp là:

TR = p.ọ = 40Ọ - 0,03Ọ2.

Lợi nhuận của doanh nghiệp là

7t = TR - TC = 40Q - 0,03Q: -(10Q + 120)

= -0,03Q2 + 30Ọ - 120 (Q > 0)

Bài toán đưa về tìm giá trị lớn nhất của Tí.

Ta có: (n)'= -0.06Ọ + 30

(n)'= 0 <=> Q = 500

Lập bána biến thiên kết luận hàm Tí đạt giá trị lớn nhất tại

Q = 500.

Bài 3.6.

1) Hàm tông chi phí:

TC = AC.Q = 0.25Ọ3 - 0.5Q2 + 1 oọ + 12

Hàm chi phí cận biên:

MC = (TC)* = 0.75Q2 - Q + 10

Chương 3. Ưng dụng phép tính vi phân, tích phân.

2)Với p = 106, hàm tổng doanh thu là:

TR = P.Q = 106Ọ

Hàm lợi nhuận:

71 = TR - TC = -0,25Q 3 + 0,5Q2 + 96Q - 1 2(Q > 0)

Bài toán đưa về tìm giá trị lớn nhất của n .

Ta có: (n)' = -0,75Q2 +Ọ + 96

-32

(71 ) ' = 0 o 3Q2 - 4Q - 384 = 0 o

Q ,= 3

Q2=12

Lập bảng biến thiên kết luận hàm 71 đạt giá trị lớn nhất tại

02 = 12.

Bài 3.7.

1) Hàm doanh thu: TR = AC. Q = 240Q - 0,5Q2

Hàm doanh thu cận biên MR = (TR)1 = 240 - Q

2) Hàm lợi nhuận:

n =TR-TC = 240Q-0,5Q2 -(40+12Q-2Q2 +0,25Q3)

= -0,25Q 3 + 1,5Q2 + 238Q - 40 (Q > 0)

Hàm lợi nhuận cận biên là:

Mn = (7t)'= -0,75Q 2 + 3Q + 238

Từ đây suy ra M7t(10);Mĩi(20 )

3) Lập bảng biến thiên suy ra không tồn tại điểm hòa vôn

thuộc (10; 20).

Bài 3.8.

1) Hàm chênh lệch là: f(P) = MR - AR

Hàm doanh thu là: TR = AR. Q = 240Q + 12Q2 - 0,5Q3

Hàm doanh thu cận biên là:

MR = (TR)' = 240 + 24Q - 1,5Q2

Khi đó, hàm chênh lệch là:

f(P) = 240 + 24Q - 1,5Q2 - (240 + 12Q - 0,5Q2)

= 12Q - Q 2

2) Ta có: (AR)'= 12-Q

(AR)' = 0 <=> Q = 12

Lập bảng biên thiên kết luận hàm doanh thu trung bình đạt

giá trị nhỏ nhất tại Q* = 12.

Bài 3.9.

1) Hàm tổng chi phí: TC = AC. Q = 12Q + --P- ■^

0,2 + Q

Hàm chi phí cận biên là:

MC = (TC)'= 12 + — 0,0

(0,2 + Q)2

Hàm chi phí cận biên tại Qo = 10

__________________Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ sở ừng dụng■ ■

Chương 3. ứng dụng phép tính vi phân, tích phân.

0,02

(0,2+loỵ

2) f(P) = AC - MC = Q,1Q ■

(0,2+ Q)2

Lập bảng biến thiên để nhận xét hàm này.

3) Hệ số co giãn của chi phí theo sản lượng Q

CTC _ (TC)' n

Theo giả thiết ta có:

MC(Qo) = 12,000192; TC(Qo) = 120,09804 nên

eĨC (Q ) = 12’000192.10 = 0,9991997

Q 0 120,09804

Bài 3.10.

1) Hàm cung Qs = Qsi + Qs2 = 5P0’5 + 4P0,75

Mô hình cân bàng thị trường A:

Qs = Qd<=> 5P° 5 + 4P° 75 = 200P '0,5

2) Biến đổi phương trình cân bằng về phương trình đa thức

và chứng minh phương trình có nghiệm.

Bài 3.11.

1) ọ ị = =360-2P => QD =>/360-2P

Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ so iniỹ dụng.

Qỉ = p 30

P-30

2 J V 2

Điều kiện: 3<p< 180 (*)

Giải phương trình: Qs = Qd thu được giá cân băng p = 150

và Q = V ó õ.

2) Khi có tác động của thuế (t) thì trạng thái cán bằng mới

là:

ÍPS + 1 = 180-0,5Q 2

ps = 30 + 2Q 2

Ps > 0;t > 0

Giải hệ thu được: Q = < t < 150)

-ri / 2 ( 1 5 0 - 1)

Tông thuê: T = t.Q = t.J — —— =>max

Lập bảng biến thiên suy ra T đạt giá trị lớn nhất tại t* = 100.

3) Khi thuế tăng 1% thì giá cân bàng tăng chưa đến 1%.

Bài 3.12.

Hàm cung là: Qs = 50Q

Mô hình cân bàng thị trường:

Qs =Q d <=> 200-50P = 50Q <=> P = 4-Q

■'TÍ

Chương 3. ứng dụng phép tính vi phân, tích phân.

Hàm lợi nhuận:

7U = T R -T C = ( 4 -Q )Q -Q 2 =4Q-2Q2

Lập bảng biến thiên, kết luận lợi nhuận đạt giá trị lớn nhất

tại Q = 1 và giá cân bàng khi đó là p* = 3.

Bài 3.13. Bạn đọc giải tương tự bài 3.2

Bài 3.14.

1) Hàm doanh thu cận biên: MR(Q) = (TR)’ = 1400 - 2Q.

2) Tính MR(500) và giải thích ý nghĩa.

3) Tính MR(710) và giải thích ý nghĩa.

Bài 3.15.

1)MC = (TC)’=4Q + 3

2) Tính MC(2) và giải thích ý nghĩa của kết quả.

Bài 3.16.

8 2 d

Hê số co giãn của cầu theo giá bằng: £° =

-----

—

8 - p

Tại Po = 5: Ep = —- . Bạn đọc giải thích ý nghĩa

Bài 3.17.

Lập hàm chi phí bình quân AC = ——. Tính (AC)’, lập bảng

biến thiên của AC và kết luận.

Bài 3.18.

Lập hàm sản xuất bình quânAPL = — . Tính (APL)\ lập

bảng biến thiên cùa APL và kết luận.

82 Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ sỡ UTtg dụng.

Bài 3.19.

Hàm doanh thu: TR = p. Q = 400 Vl

Hàm chi phí: TC = pL. L = 20L

Hàm lợi nhuận: 71 = TR - TC = 400a/ l - 20L

Lập bảng biến thiên của hàm 7Ĩ và kết luận.

Bài 3.20.

Lập hàm chi phí bình quân AC = —— . Tính (AC)’, lập bảng

biến thiên của AC và kết luận.

Bài 3.21.

Tìm hàm doanh thu: TR = p. Q và hàm lợi nhuận:

71 = TR - TC . Lập bảng biến thiên của hàm 7t và kết luận.

Bài 3.22.

1)FC = 4:

Hàm lợi nhuận:

71 = TR-TC = j Q 3+8Q2-39Q-4

7i = -Q2 + 16Q-39

k ' = 0 <=>| Q| .

Q2=13

Lập bảng biến thiên, kết luận lợi nhuận 71 đạt giá trị lớn nhất

tại Q* = 13.

2) Gọi Q là mức sản lượng làm cho lợi nhuận 7Ĩ đạt giá trị

lớn nhất: n(Q*) = 0

«> MR(Q*) = MC(Q*)

<=> 58-Q* = Ọ*2-17Q*+97 (1)

Phương trình (1) không chứa FC nên Q* không phụ thuộc

vào FC.

Ta có: 71* = — Q*3+8Q*-39Q*-FC.

ỞK* „ „ '

— — = -KO => FC tác đông ngươc chiêu tới n*.

ỔFC

Bài 3.23.

1) Phương trình xác định hàm cung: p = 3Q2- 2Q.

2) Tìm và ta được:

ổp ỡp

- = — ỉ— > 0 VÌQ* > 1. Do đó khi giá p tăng thì mức

õp 6Q*-2

cung tối đa hóa lợi nhuận tăng.

- — = Q*> 0 . Do đỏ khi giá p tăng thì mức lơi nhuân tối

õp

đa tăng.

Chương 3. ứng dụng phép tính vi phân, tích phân... 83

Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ sớ UĨĨỊỊ dụng.

Bài 3.24.

1) Với AD = 9, lợi nhuận là:

71 = TR-TC = 490Q-3,5Q2

n' = 490-7Q

7ĩ’ = 0 o Q* = 70

Lập bảng biến thiên, kết luận hàm lợi nhuận đạt giá trị lớn

nhất tại Q* = 70.

2) Gọi Q* là mức sản lượng tối đa hóa lợi nhuận:

4Q* + Ọ*.AD0’5 - 490 = 0

Khi đó, ta có:

- < 0 vì AD > 0 và Q* > 0.

ỔAD 4+AD ’

Do đó, chi phí quảng cáo tăng thì sản lượng tổi ưu giàm.

i P l . > n vì JẼ2!

> 0 vì - _ < 0

ỔAD AD ỔAD

Do đó, chi phí quảng cáo tăng thì giá bán tăng.

Tại AD = 9, Q* = 70, ta có:

Õ Q * _ - 5 n d p * 10 n

—V = — < 0 ; —S-— = — > 0

ỔAD 3 ỔAD 3

Bạn đọc giải thích ý nghĩa của kết quà.

Bài 3.25.

1) Xét hàm chi phí cận biên:

MC = (TC)' = 3Q2 - 10Q + 14 > 0 với VQ > 0.

Nên khi sản lượng Q tâng thì chi phí tăng.

2) Hệ số co giãn của TC theo Q tại Qo = 2:

ejc (2) = 0,075

Bài 3.26.

1) Hàm chi phí cận biên:

MC = (TC)’ = ^ » 2

(Q+3)2

2) Hàm chi phí bình quân:

4 ^ _ TC _ 5000 5Q

AC = —— = — ■ + — ■■

Q Q Q + 3

Khi đó: AC( 100) = 54,85

Bài 3.27.

l)(AC)' = 2Q - 12

- Nếu Q > 6 nên (AC)' > 0.

- Nếu Q < 6 nên (AC)' < 0.

TC = 2Q2-12Q = 2Q(Q-6)

Q Q2-12Q+60 Q2-12Q+60

- Nếu Q > 6 nên ejc > 0.

- Nếu Q < 6 nên £qC < 0.

Chương 3. ứng dụng phép tính vi phẫn, tích phàn... 85

2) TC = ẠC. Q = Q3 - 12Q2 + 60Q

MC = (TC)' = 3Q2 - 24Q + 60

Vẽ đồ thị hàm MC, AC trên cùng mặt phẳng tọa độ.

Bài 3.28.

Xác định hàm lợi nhuận 71 = TR-TC

Lập bảng biến thiên và kết luận lợi nhuận đạt giá trị lớn nhất

tại Q = 20.

Bài 3.29.

Xác định hàm lợi nhuận 71 = TR-TC

Lập bảng biến thiên và kết luận lợi nhuận đạt giá trị lớn nhất

tại Q - 7.

Bài 3.30.

1) Ta có £pS = a : khi tăng giá lên 1% thì cung của hàng hóa

A tăng khoảng a%.

2) QD = 0,lpbMcqd.

^ 0 - = 0,ldpbMcqd'1 (p > 0, M > 0, q > 0)

- Neu d > 0 : hai mặt hàng là thay thế cho nhau.

- Neu d < 0: hai mặt hàng bổ sung cho nhau.

3) Giả sử p, M, q cùng tăng 1 tỳ lệ X. ( (X>1 )ta có:

QD(?,p.?JVDoq) = QD(p.Mq) Cí> = 1 b+í-d = 0

__________________Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ so U7ig dụng...

Chương 3. ừng dung phép tính vi phàn, tích phẫn.

4) Lượng cân bàng: Q*=Q*S= 0,3(p*)a

Với p* là giá cân bằng: p* =g(M, q). Khi đó:

ỔM ỡp* 'ỠM

Hay khi M tăng và p, q không đổi thì Q* tăng.

Bài 3.31.

1) Điều kiện cân bàng:

Qs= Qd <=> 0,7p*-150 = 0,3M-0,5p* + 120

<=> l,2p*= 0,3M+270

Khi đó, giá cân bàng p* là một hàm của M nên lượng cân

bằng cũng là một hàm của M => Ý kiến nhận định là sai.

2) Với thuế suất t thì thu nhập khả dụng là

Md = (l-t)M; (0<t< 1)

Điều kiện cân bàng là:

Qs=Qd «0,7p*-150 = 0,3(l-t)M-0,5p* + 120

<=> l,2p*+0,3(l-t)M-270 = 0

Đặt F(p ,M ,t)=l,2p +0,3(1-t)M-270. Khi đó:

àp_ = -Q,3(t-1) > Q

ỠM 1,2

dp* _ -0.3M

at 1,2

Bạn đọc tự nêu ý nghĩa.

Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ sớ inig dụng.

Bài 3.32.

1) Gọi giá cân bàng là p \ Phương trinh cân bang là:

D ( p \ Y o) = S ( p \ To)

<=> F (p*, Yo, To) = D ( p \ Y 0) - S (p *, T o) = 0 (1 )

Phưomg trình này xác định hàm ẩn p’ = g(Y0, To)

, ổp* _ “D ì

n* —-— =

------

Khi đó, ta có:

D . -S .

p p

^ -> 0

Hay khi thu nhập tăng, các yếu tổ khác không đổi thì giá cân

bằng tăng.

Tương tự

dp* =

ÕYn

D . -s’.

p p

< 0 .

Bạn đọc tự giải thích ý nghĩa.

2) Ta có:

[q ’= D(p\Y0) õq^ = d^_ dp_

[p'=g(Y0,T0) a p "a T 0 <

Q'=D(p‘,Y0) = ao" õp_

y = r t . T , ) 3 s v 0 3 p " ' e Ý l ) >

Bạn đọc tự giải thích ý nghĩa.

Bài 3.33.

1) —— = 0,08.M° V V ’9 > 0

õp

Hay hai mặt hàng này là thay thế nhau.

2) Sử dụng đạo hàm của hàm ẩn.

3) Áp dụng công thức nhịp tăng trưởng của hàm hợp

rs = eị‘ .rp+4* .rT= 0,3.7%+(-0,05).7% = 1,75%

Bài 3.34.

1) VC = Q3 -5Q2+ 14Q

AVC = —— = Q -5Q+14

FC = 75

= ( ĩ£ i n = 3Q3-10Q2+14Q

Q TC Q3-5Q2+14Q+75

ejc (10) = 2,993

Bạn đọc tự giải thích ý nghĩa.

3) Hàm chi phí cận biên:

MC = (TC)’ = 3Q2 - 10Q + 14

AC = I £ = Q

ỉ

-5Q+14+^

Chưcmg 3. ứng dụng phép tính vi phân, tích phân...

____________

Phương trình:

A C = M C <=> Q 2-5 Q + 1 4 + — = 3 Q 2-1 0 Ọ + 1 4

« 2Q3-5Ọ2-75 = 0 (2)

Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh.

Bài 3.35.

AR = 60 - 3Q

TR = AR. Q = 60Q - 3Ọ2

MR = (TR)' = 60 - 6Ọ

Tung độ gốc của AR và MR bàng 60.

Hệ số góc của AR bằng -3 (1)

Hệ số góc của MR bàng -6 (2)

Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh.

Bài 3.36.

1) Hàm doanh thu

TR = p. Q = (9000 - Q)Q = 9000Ọ - Q2

2) Hàm chi phí cận biên:

MC = (TC)’ = 3Q2 - 8Ọ + 1800

Hàm doanh thu cận biên:

MR = (TR)' = 9000- 2Q

_________________

Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ sỏ UV£ dụng...

Chương 3. ứng dụng phép tính vi phân, tích phân.

3) Hàm lợi nhuận

71 = TR-TC = -Ọ3 +3Q2 +7200Ọ-150

Lập bảng biến thiên và kết luận lợi nhuận đạt giá trị lớn nhất

tại Q =50.

Bài 3.37.

1) 71(0) = -10

2) Lập bảng biến thiên và kết luận lợi nhuận đạt giá trị lớn

nhất Q* = 22.

Bài 3.38.

1) Q > 0 L3+10L2 > 0 < ^ 0 < L < 15 (*)

2) AP= — = — L2 + 10L

L 3

MP = Q'(L) = -2L2+20L

-4 ' •

Mặt khác (AP)'= — L+10. Lập bảng biên thiên và kêt luận

AP đạt giá trị lớn nhất tại L* =

AP = MP » - L 2-10L = 0 «

L = 0

L =

15 •

Dối chiếu với điều kiện (*) suy ra AP = MP khi L* =

3) Lập bảng biến thiên của hàm lợi nhuận Q, kết luận lợi

nhuận đạt giá trị lớn nhất tại L* = 10.

4) Hệ số co giãn của TC theo L:

TC _ Q' r _ 30-3L

L Q 15-L

Khi đó J c (5)= - .

L 2

Bài 3.39. Bạn đọc tự giải tương tự bài 3.22.

Bài 3.40.

1) Xác định hàm chi phí TC = Q2

Hàm doanh thu TR = p.Q = 200Q - Q2

Hàm lợi nhuận 71 = TR - TC = 200Q - 2Q 2 (Q > 0)

Lập bảng biến thiên của hàm lợi nhuận 71 và kết luận

hàm lợi nhuận đạt giá trị lớn nhất tại Q* = 50.

2) Q* = 50 => p*= 150

Hệ số co giãn của cầu theo giá:

Q _ Q' _ - p

£„ = — .p =

-----

—

p Q 2 0 0 -p

Khi đó: Ep (p’) = -3 .

3) Khi có tác động của yếu tố thuế, có hai cách tiếp cận:

a) Thuế làm thay đổi hàm cầu:

p + t = 200 - Q <=> p = 200 - Q - 1

__________________

Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ sỏ ứrtg dụng...

Khi đó hàm doanh thu là TR = p. Q = 200Q - tỌ - Q2

Hàm lợi nhuận: n = TR - TC = 200Q - tQ - 2Q2

Lập bảng biến thiên, kết luận lợi nhuận 71 đạt giá trị lớn nhất

. 2 0 0 - 1

tại Q = ——— .

b) Coi thuế làm tăng chi phí hay chi phí mới có dạng:

T O Q 2 + tQ

Khi đó hàm lợi nhuận: 71 = TR - TC = 200Q - tQ - 2Q2

Lập bảng biến thiên, kết luận lợi nhuận 7Ĩ đạt giá trị lớn nhất

. 2 0 0 - t

tại: Q = ———

200 - 1 ỔQ’ -1 n

Suy ra: Q = — —— =>

= —- < 0 .

4 ỡt 4

Vậy thuế tăng thì lượng cung tối đa giảm.

Bài 3.41.

1) Ta có: TR = p.Q => p = — = AR(Q)

Mặt khác: TR = jM RdQ = 1800Q - 0,6Q3 + c .

Ta luôn có: 0 = TR(0) => c = 0 => TR = 1800Ọ - 0,6Q3

Khi đó: p = ™ = 1800 - 0,6Q2.

Chương 3. ứng dụng phép tính vi phân, tích phán... 93

94 Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ sỡ mtg dụng.

o Qp.p 1800-0.6Q 2

Hệ sô co giãn của câu theo giá: 6p = — — =

---------—

Tại: Qo=10: 8^(10) = -14,5.

2) p = 50 ^ 5 0 = 1800-0,6Q 2 <=> Q* « 54

Tổng doanh thu: TR = Q \p » 54.50 = 2700

3) Mức tăng của tổng doanh thu khi sản lượng tăng từ 10 lẽn 20:

TR(20) - TR(10) = |M RdQ = Ị(1800 - 1,8Q2 )dQ = 13800

10 1 0

Bài 3.42.

1) 7i(0) < 0 <=> k < 0 (1)

2) n’= 2hQ + j

k'= 0 <=> Q’ = — :Q’ > 0 <=> jh < 0 (2)

Hàm 71 đạt lợi nhuận lớn nhất thì:

7 ĩ" (Ọ * ) < 0 <=> 2h < 0 <=> h < 0 (3)

Ket hợp với (2) suy ra j > 0

Hơn nữa n (Q ‘) = —— + > 0.

Kết hợp với (3) suy ra j2 - 4hk > 0 (4)

Chương 3. ứng dụng phép tính vi phân, tích phân.

Từ (1), (2), (3) và (4) suy ra điều kiện:

k < 0

j> 0

h < 0

j 2 -4 h k > 0

Bài 3.43.

1) Theo giả thiết chỉ xét một nửa parabol quay bề ỉõm về

phía trên ứng với Q > —— . Tính hop lý về măt kinh tế của hàm

chi phí là:

+) Khi sản lượng Q = 0 thì chi phí luôn dương (do chi phí cố

định)

+) Khi sản lượng tăng thì chi phí tăng.

- b

Ta có: TC' = 2aQ + b > 0, với mọi Q >

Muốn hàm TC đồng biến với mọi Q > 0 ta phải có:

- b

< 0 <=> b > 0 (Vì a > 0)

Mặt khác: TC(0) = c > 0

Vậy điều kiện các hệ số là: a > 0, b > 0, c > 0.

TC c

Ta có: AC' - = aQ + b + — (Q > 0)

MC = TC’ = 2aQ + b

2) TR = p.Q = p(Q). Q

ad_ tr_

AR = = p

MR = TC' = p(Q) + Q. p'(Q) = AR +Q. p’(Q)

3) Hàm lợi nhuận

Tt = p(Q).Q - aQ2 - bQ - c -> max

7C*= p(Q) + Q.p'(Q) - 2aQ - b

Điều kiện cần:

n'= 0 <=> MR(Q) = MC(Q) có nghiệm Q*

Điều kiện đủ:

7i"(Q* ) < o « M R ' ( Q ‘)< m C '(Q * )

Bài 3.44.

1 ) TC(Q) = |M C(Q)dQ = 5Q3 + 4Q 2 + 3Q + c

TC(0) = FC= 100^>c = 100

TC = 5Q3 + 4Ọ2 + 3Q + 100

=> AC = — = 5Q2 +4Q + 3 + —

Q Q

2) TC(Q) = |M C (Q )dỌ = |3Qe° 5QdỌ = 3 Jọe° 5°dỌ

Tích phân từng phần ta được:

__________________Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ sà ưrtg dụng.

TC(Q) = 6Qe°50 - 12e°5Q + c

FC = 30 <=> TC(

) =

Cí> c = 42

Khi đó:

TC(Q) = 6Qe°-5Q - 12e°-5Q + 42

12e0'50 42

và AC = 6e°‘5Q - ———— + —

Q Q

3) TC(Q) = |M C(Q )dQ = |2e°-5QdQ = 4e°’5Q + c

TC(0) =FC = 90 <=> c = 86

Khi đó: TC(Q) = 4e0>5Q + 86 và AC = ^

Bài 3.45.

1) TR(Q) = |MR(Q)dQ

= j(28Q-e°’3Q)dQ = 14Q2-— e0,3Q+C

. , „ 10

TR(0) =0 <» c = -y

Khi đó: TR(Q) = 14Q2 - J e”-w + y .

2 ) TR(Q) = jM R(Q)dQ = JlO(l + o r dQ = +

1 "4"

Chương 3. ứn% dụng phép tính vi phân, tích phân..■

________

98 Hướng dẫn giải bài tâp Toán cơ sỏ inỉỹ dụng...

TR(O) = 0 « c = 10

Khi đó: TR(Q) = 10 -

10 _ 10Q

1 + Q ” 1 + Q

Bài 3.46.

M(Y) = jM '(Y )dY = |0,lY dY = 0,1Y + c

M(0) = 2 0 <=> c = 20

Khi đó: M(Y) = 0,1 Y + 20.

Bài 3.47.

1) C(Y) = JC'(Y)dY = j(0,8+0,lY-°-5)dY = 0,8Y+ịVỸ+a

C(100)= 20 o a = 18

Khi đó: C( Y) = 0,8Y + — VỸ + 18.

2) C(200) - C(100) = 78 + 2 ^ 2 .

3) Hệ số co giãn của c theo Y là:

.200 = 0,8926

1) K (t)= Jl(t)dt = jl2 t3dt = 9 ự t7 + C

Mà: K(0) = 25 => c = 25

Chương 3. ứng dụng phép tính vi phân, tích phân.

Khi đó: K(t) = 9 ự tĩ + 25

2) K (l) - K(0) = 9

Bài 3.49.

1) Hệ số co giãn riêng của Q theo p:

A . í ị s . . -■

p Qd 4 Vỹ + 2 -ln p

Hệ số co giãn riêng của Q theo Y:

eQd _ (Q d )'y y = 2 V Ỹ

Y Qd ' 4 VỸ + 2-ln p

2) Qn = 4yfỸ-lnp+2 <=> F(Y,p) = 4VỸ-lnp+2-QD = 0

o 0

VỸ

Từ đây suy ra: Y 'p = ——

2 2

Bài 3.50. c s = 2 2 8 - và PS = 2 7 7 -

3 3

Bài 3.51.

a/Ĩ Õ

1) Điều kiện của p: p >

Mô hình cân bàng là: Q s = Q D <=> 50p2 - 20 = 0,5p"2M 2

r/ X ^ ^ _ 50p4 - 20p2 -0 ,5 M 2

Hàm dư cung: f(p) = Qs - Q d =

------------

-----------------

100p4 + M 2 AW _

Ta có: f'(p) = ---------r

----------

> OVp > 0 .

100

_______________

Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ sở ừrtỊỊ dụng...

Hàm f(p) luôn đồng biến với mọi p >0.

2) Ta có: 50p4 - 20p2 - 0,5M 2 = 0 và Q = 0,5p:M 2

- ^ > 0. Do đó M giảm thì Q giảm.

ỔM p

- = —— ~~T

-------

> 0. Do đó M giảm thỉ P giảm.

ỔM 40p(4p -1 )

Bài 3.52.

1) MPS = Y - 0,4

=> s = jMPSdY = j(Y - 0,4)dY = - Y 2 - 0,4Y + c

S(5) = -7,42 <=>c = -17,92

=> s = — Y2 - 0,4Y -17,92

2) Giải bất phương trình:

s > 0 <=> Y2 -0 ,8 Y - 35,84 > 0. Từ bất phương trình này

suy ra điều kiện của Y.

ỨNG DỤNG PHÉP TÍNH VI PHÂN

HÀM NHIỀU BIỂN TRONG PHÂN 1ÍCH KINH l í

A. ĐẺ BÀI

Bài 4.1. Cho hàm sản xuất: Q = Í - K 0'5+ “ L0,6j .

Trong đó: Q là sản lượng, K là vốn, L là lao động (Q, K, L >0).

1) Tìm năng suất cận biên của vốn và lao động?

2) Với hàm sản xuất trên thì hiệu quả có tăng theo quy mô

không?

Bài 4.2. Hàm lợi ích của hộ gia đình có dạng:

Ư(x, y) = lOxy - 3x2 - ly 1

Trong đó: X là số đơn vị hàng hóa 1,

y là số đơn vị hàng hóa 2 (x > 0 , y > 0).

1) Hàm lợi ích cận biên có thỏa mãn quy luật lợi ích cận

biên giảm dần hay không?

2) Viết đường bàng ourn tại X = 2 và y = 2; tìm độ dốc của

đường này và giải thíc 1 ý nghĩa của giá trị tìm được.

Chương 4

Bài 4.3. Một công ty sản xuất 2 loại sản phẩm (cạnh tranh hoàn

hảo). Cho biết giá của 2 loại sản phẩm lần lượt là Pị, P2 và

hàm tổng chi phí có dạng:

TC = 2Q Í+ 2Q 22+Q ,Q2

1) Tìm mức sản lượng cho mỗi loại sản phẩm để đạt lợi

nhuận tối đa.

2) Khi p b p2 biến động sẽ tác động như thế nào đến các mức

sản lượng tối ưu.

Bài 4.4. Một công ty độc quyền sản xuất một loại sản phẩm ờ

hai cơ sở với hàm chi phí tương ứng: TC, = 128+0,2Qf;

TC2 = 156+0,1Q2 (Qi, Q2 lần lượt là lượng sản xuất của cơ

sở 1, 2). Hàm cầu ngược về sản phẩm của công ty có dạng:

p = 600 - 0,1Q; trong đó Q = Ch + Q2 và Q < 6000.

1) Xác định lượng sản phẩm cần sản xuất ở mỗi cơ sờ để tối

đa hóa lợi nhuận.

2) Tại mức sản lượng tối đa hóa lợi nhuận, hãy tính độ co

giãn của cầu theo giá.

Bài 4.5. Một hãng độc quyền sản xuất ra một mặt hàng nhưng

tiêu thụ ở hai thị trường với các hàm cầu: Qị = 24 - 0,2P|Ỉ

Q2 = 10 - 0,05P2 và hàm chi phí kết hợp là: TC =35 + 40Ọ

(Q = Qi+ Q2). Hãy xác định lượng hàng hóa và eiá bán để

thu được lợi nhuận tối đa.

Bài 4.6. Hãng kinh doanh độc quyền có các hàm cầu trén hai thị

trường:

102 Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ sỡ ÚV£ dụng...

Qi = 40 - 2P| — p2; Q2 = 35 - p| - p2

Cho biết hàm tổng chi phí: TC = Qj* + 2 Q2 +10

1) Tìm mức sản lượng cho mỗi thị trường để lợi nhuận tối đa.

2) Hãy tính mức giá cho mỗi thị trường khi lợi nhuận tổi đa.

Bài 4.7. Nhu cầu 2 mặt hàng phụ thuộc vào giá có dạng:

Q, = 40 - 2P, - p2; Q2 = 3 5 -P ,- P 2

và hàm tổng chi phí: TC = Q,2 + 2 Q2 +10

1) Xác định sản lượng để lợi nhuận đạt giá trị lớn nhất.

2) Tính chi phí cận biên cho từng mặt hàng tại mức tối ưu.

Bài 4.8. Một trung tâm thương mại có doanh thu phụ thuộc vào

thời lượng quảng cáo trên đài phát thanh (x: phút, X > 0) và

trên đài truyền hình (y: phút, y > 0). Hàm doanh thu:

TR = 320x - 2x2 - 3xy - 5 / + 540y + 2000

Chi phí cho mỗi phút quảng cáo trên đài phát thanh là 1 triệu

đồng, trên đài truyền hình là 4 triệu đồng. Ngân sách chi cho

quảng cáo là 180 triệu đồng.

1) Tìm X, y để cực đại doanh thu

2) Nếu ngân sách chi cho quảng cáo tăng 1 triệu đồng thì

doanh thu cực đại sẽ tăng lên bao nhiêu?

Bài 4.9. Cho hàm sàn xuất Q = 0,3K°-5L°5

Trong đó: Q là sản lượng; K là vốn và L là lao độne

(Ọ, K, L > 0).

Chương 4. ứng dụng phép tính vi phân hàm nhiều biến... 103

104

Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ sở ung dụng.

1) Tính lượng sản phẩm cận biên của vổn vả lao động tại

Ko = 4;Lo = 9.

2) Chứng minh ràng năng suất biên của vốn là hàm thuần

nhất bậc 0.

3) Cho biết quá trình sản xuất trên có hiệu quả như thế nào

với việc tăng quy mô?

Bài 4.10. Một hộ gia đình cỏ hàm lợi ích tiêu dùng với 2 loại

hàng hóa như sau:

U(X|, x2) = 5 xf-4x í4

Trong đó: Xị là số đơn vị hàng hóa 1, x2 là số đơn vị hàng

hóa 2 (Xị, x2 > 0).

Ngân sách tiêu dùng là 300ƯSD; giá một đơn vị hàng hóa 1,

2 lần lượt là 3ƯSD, 5USD.

1) Tìm gói hàng hóa mà tại đó hộ gia đình có lợi ích tiêu

dùng đạt giá trị lớn nhất.

2) Nếu ngân sách tiêu dùng giảm 1ƯSD thì mức lợi ích tối

đa giảm bao nhiêu?

3) Nếu ngân sách tiêu dùng giảm 2% thì mức lợi ích tối đa

giảm bao nhiêu?

Bài 4.11. Một doanh nghiệp có hàm sản xuất Q =K0 3L0 5

Trong đó: Q là sản lượng, K là vốn, L là lao động

(Q, K, L > 0).

1) Quá trình sản xuất có hàm sản lượng trên có hiệu quá như

thế nào đối với việc tăng quy mô sản xuất.

Chương 4. ứng dụng phép tính vi phân hàm nhiều biẽh..

105

2) Tìm sản lượng cận biên theo vốn, theo lao động.

3) Nếu doanh nghiệp thuê một đơn vị vốn là 6USD; một đom

vị lao động là 2ƯSD; ngân sách chi cho các yếu tố đầu vào là

384ƯSD. Tìm mức sử dụng vốn và lao động để sản lượng tối đa.

4) Nếu tăng ngân sách chi cho yếu tố đầu vào 10USD thì sản

lượng tối đa tăng bao nhiêu?

Bài 4.12. Cho hàm sản xuất Cobb - Douglas:

Q = 30k U (K > 0;L > 0)

Trong đó: Q là sản lượng; K là vốn; L là lao động

(Q, K, L > 0)

1) Tìm và giải thích ý nghĩa kinh íế tại điểm Ko = 27 và

Lo = 64 của: ^ = QK = Q, = QL = Q2

ỔK ỔL

2) Tính các hệ số co giãn riêng của Q theo K và L.

Cho biết ý nghĩa tại điểm Ko = 27; L0 = 64.

3) Nếu K và L cùng tăng 1% thì Q tăng bao nhiêu phần trăm.

4) Với hàm sản xuất trên khi tăng quy mô thì hiệu quả có

tăng không?

5) Hàm sổ đã cho có thỏa mãn quy luật lợi ích cận biên giảm

dần hay không?

6) Tại mức đầu vào Ko = 27, Lo = 64; giả sử dK = 0,1;

dL = 0 3 là các mức biến động của vốn và lao động. Tìm các

mức biến động dQtc. dQL và giải thích ý nghĩa kinh tế các đại

lượng đó. Tìm và giải thích ý nghĩa vi phân toàn phần dQ.

Bài 4.13. Cho hàm sản xuất Q = 0,3K°’5L°'5

Trong đó: Q là sản lượng; K là vốn; L là lao động (Q, K,

L > 0).

1) Hãy tính sản phẩm biên của vốn và lao động tại Ko = 4;

Lo = 9.

2) Quá trình công nghệ thể hiện bằng hàm số trên có năng

suất cận biên giảm dần hay không? Hãy giải thích.

3) Nếu K tăng lên 8% và L không đổi thì Q tảng bao

nhiêu %?

4) Viết phương trình đường mức tại K0 = 16; L0= 9.

Bài 4.14. Cho biết hàm lợi nhuận của một doanh nghiệp sản xuất

ba loại sản phẩm là:

n = -Q Ĩ -3Q* -7 Q 32 +300Q2 + I2 0 0 Q3 + 4Q,Ọ3 +20

Hãy tìm mức sản lượng Qb Q2, Q3 để doanh nghiệp thu được

lợi nhuận tối đa.

Bài 4.15. Một hộ gia đình có hàm lợi ích tiêu dùng với 2 loại

hàng hóa như sau:

U (x„x2 ) = 5xJ-4xJ4

Trong đó: X! là số đơn vị hàng hóa 1, x2 là số đơn vị hàng

hóa 2 (X|, x2 > 0).

Ngân sách tiêu dùng là 300ƯSD, giá một đơn vị hảng hóa 1,

2 lần lượt là 5USD, 3USD.

1) Hàm số trên có tuân theo quy luật lợi ích cận biẽn giảm

dần hay không?

106 Hướng dân giái bài tập Toán cơ sớ ưng aụng...

Chương 4. ứng dụng phép tính vi phân hàm nhiều biến.

107

2) Hai hàng hóa trên là thay thế hay bổ sung cho nhau?

3) Nếu ngân sách tiêu dùng giảm 2% thì mức lợi ích tối đa

giảm bao nhiêu?

Bài 4.16. Cho hàm lợi ích tiêu dùng ư = X[X2 + Xt + x2

Trong đó: X] là số đơn vi hàng hóa 1, x2 là số đơn vị hàng

hóa 2 (Xj, x2 > 0).

Giả sử giá của các mặt hàng tương ứng là P] = 2ƯSD;

p2 = 5ƯSD và thu nhập dành cho tiêu dùng là 51 USD. Hãy xác

định lượng cầu đối với mỗi mặt hàng trên nếu người tiêu dùng

tói đa hóa lợi ích của mình.

Bài 4.17. Cho biết hàm lợi ích tiêu dùng: Ư = X°,6X°’25.

Trong đó: X\ là số đơn vi hàng hóa 1, x2 là số đơn vị hàng

hóa 2 (Xi, x2 > 0).

Giả sử giá của các mặt hàng tương ứng là Pi = 8ƯSD;

p2 = 5USD và thu nhập dành cho tiêu dùng là 680ƯSD. Hãy xác

định lượng cầu đối với các mặt hàng để người tiêu dùng tối đa

hóa lợi ích của mình.

Bài 4.18. Một doanh nghiệp có hàm sản xuất như sau:

Q = 12Ựk 7 .Vl .

Trong đó: Q là sán lượng; K là vốn; L là lao động (Q, K,

L > 0).

1) Hãy tính MPK, MPL tại điểm (K0 = 125, L0 = 100) và giải

thích ý nghĩa.

108

Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ sớ ứng dụng.

2) Chứng tỏ rằng MPK giảm khi K tăng và L không đôi.

3) Chứng tỏ rằng MPL giảm khi L tăng và K không đồi.

Bài 4.19. Cho biết hàm lợi ích của người tiêu dùng Ư = x0 4y0-7;

trong đó X là lượng hàng hóa A (x > 0), y là lượng hàng hỏa

B (y > 0).

1) Hãy lập các hàm số biểu diễn lợi ích cận biên của mồi

hàng hóa. Hàm này có phù hợp với quy luật lợi ích cận biên

giảm dần hay không?

2) Nếu lượng hàng hóa A tăng 1% và lượng hàng hóa B

không đổi thì lợi ích tăng bao nhiêu %.

Bài 4.20. Một doanh nghiệp sản xuất 2 loại sản phẩm với hàm

chi phí kết hợp như sau:

TC = 45 + 125Q, +84Q2 -ÓQ^Q* +0,8Q^ +1,2Q^

(Qi > 0 ,Q 2> 0 ,Q 3>0).

Hãy lập các hàm số biểu diễn chi phí cận biên của mỗi sản

phẩm.

Bài 4.21. Cho hàm cầu đổi với một mặt hàng như sau:

Q = 35 - 0,4p + 0,15m + 0,12ps

Trong đó: Q, p là lượng cầu và giá của hàng hóa đó, m là thu

nhập, Ps là hàng hóa thay thế. Hãy lập hàm sổ biểu diễn.

1) Hệ số co giãn của cầu theo giá p;

2) Hệ số co giãn của cầu theo thu nhập m.

3) Hệ số co giãn của cầu theo giá hàng hóa thay thế ps.

Chương 4. ứng dụng phép tính vi phân hàm nhiều biên.

109

Bài 4.22. Hãy đánh giá hiệu quả của quy mô qua các hàm sản

Bài 4.23. Cho biết hàm lợi ích u = (Xi + 3)x2.

Tròng đó: X! là lượng hàng hóa A (X! > 0), x2 là lượng hàng

hóa B (x2 > 0). Hãy chọn túi hàng để lợi ích tối đa trong điều

kiện giá hàng hóa A bằng 5USD, giá hàng hóa B là 20ƯSD,

ngân sách tiêu dùng là 185ƯSD.

Bài 4.24. Giả sử doanh nghiệp độc quyền sản xuất hai loại sản

phẩm với hàm chi phí kết hợp TC = Qf + 5QịQ2 + Q* (Ch > 0,

Q2 > 0). Giả sử cầu đối với hàng hóa đó là Pi = 56 - 4Qj;

p2 = 48 - 2Q2. Hãy xác định mức sản lượng và giá tối ưu của

các sản phẩm.

Bài 4.25. Một công ty độc quyền sản xuất một loại sản phẩm tại

hai nhà máy với hàm chi phí cận biên như sau (Qj là lượng

sản phẩm sản xuất ở nhà máy i, Qi > 0; MCi là chi phí cận

biên của nhà máy i): MCi

= 2 + 0,2Qb MC2 = 6 + 0,04Q2.

Công ty đó bán sản phẩm trên thị trường với hàm cầu ngược:

p = 66 - 0,1Q. Nếu công ty đó muốn tối đa hóa lợi nhuận thì phải

sản xuất bao nhiêu sản phẩm với giá bao nhiêu?

Bài 4.26. Một công ty sản xuất một loại sản phẩm với hàm sản

xuất như sau: Q = K(L + 5).

xuất

1) Q = 20K0 4L°'3

3) Q = 12a/K . Ự Ữ

2) Q = 5K°’6L0’8

4) Q = (2K 0’6 +3L0’7)2

110

Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ sớ trttg dụng.

Trong đó: Q là sản lượng, K là vốn, L là lao động (Q, K,

L > 0). Công ty này nhận hợp đồng cung cấp 5600 sản phâm.

Hãy cho biết phương án sử dụng các yếu tố K, L sao cho việc

sản xuất lượng sản phẩm theo hợp đồng tốn ít chi phí nhất,

trong điều kiện giá thuê tư bản W K = 70 và giá thuê lao động

W L = 2 0 .

Bài 4.27. Một nhà sản xuất độc quyền sản xuất ra một loại sản

phẩm và bán sản phẩm đó cho hai loại khách hàng. Cho biết

hàm chi phí: TC = 90 + 20Q (Q > 0). Nếu nhà sản xuất đưa

Qi (Qi > 0) sản phẩm ra bán cho loại khách hàng thứ nhất thì

các khách hàng này bàng lòng trả giá P! = 50 - 5Qi (USD)

cho mỗi sản phẩm. Nếu nhà sản xuất đưa Q2 (Q2 > 0) sản

phẩm ra bán cho loại khách hàng thứ 2 thì các khách hàng

này bằng lòng trả giá p2 = 100 - IOQ2 (USD) cho mồi sản

phẩm. Hãy cho biết lượng cung tối ưu và giá tối ưu cho mỗi

loại khách hàng.

Bài 4.28.

1) Cho biết hàm đầu tư I = 40.ịft* và quỹ vốn tại thời điểm

t = 0 là 90. Hãy xác định hàm quỹ vốn K(t).

2) Cho biết hàm đầu tư I = 60.ỰĨ và quỹ vốn tại thời điểm

t = 1 là 85. Hãy xác định hàm quỹ vổn K(t).

3) Cho biết xu hướng tiêu dùng cận biên MPC = 0.8 ơ mọi

mức thu nhập Y và mức tiêu dùng thiết yếu (mức tiêu dùng khi

Y = 0) là 40. Hãy xác định hàm tiêu dùng C(Y).

Chương 4. ứng dụng phép tính vi phân hàm nhiều biên... 111

4) Cho biết hàm cầu ngược p = 42 - 5Q - Q2. Giả sử sản

phâm được bán trên thị trường với giá Po = 6. Hãy tính thặng dư

của người tiêu dùng.

Bài 4. 29. Hàm thỏa dụng của hộ gia đình khi tiêu dùng hàng

hóa 1, 2 có dạng: u = 40x°'25x°’5;

Trong đó: Xị, x2 là mức tiêu dùng hàng hóa 1, 2 (X| > 0,

x2 > 0). Giá hàng được cho như sau Pi = 4; p2 = 10.

1) Có ý kiến cho ràng hàng hóa 1 luôn có thể thay thế hàng

hóa 1 và tỷ lệ thay thế là 1:1. Hãy nhận xét ý kiến này.

2) Hãy xác định mức cầu hàng hóa 1, 2 của hộ gia đình nếu

thu nhập là 600.

Bài 4.30. Một doanh nghiệp cạnh tranh hoàn hảo có hàm sản

xuất Q = K0,5 + L0,5

với Pk. = 6; pL = 4; p = 2 (Q là sản lượng, K là vốn, L là lao

động, Q > 0, K > 0, L > 0).

1) Hãy xác định mức sử dụng vốn, lao động tối ưu.

2) Hãy phân tích tác động của giá vốn, lao động tới mức lợi

nhuận tối đa.

Bài 4.31. Mức cầu một loại hàng hóa (Qd) phụ thuộc vào giá

hàng hóa đó (p) và thu nhập của người tiêu dùng (M) có

dạng như sau: Qd= l,5M°'3p'0’2

Mức cung loại hàng trên (Qs) có dạng: Qs = 1,4p0,3

1) Xác định hệ số co giãn của cầu theo giá, theo thu nhập.

112 Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ sà úng dụng.

2) Hãy xem xét tác động của thu nhập M tới mức giá cân

bàng.

Bài 4.32. Cho hàm sản xuất Y(t) = 0,2K°'4L0-8

Trong đó K =120 + 0,lt; L = 200 + 0,3t (t là thời gian,

t > 0).

1) Tính hệ số co giãn của Y theo K và theo L.

2) Tính hệ số tăng trưởng của vốn K, lao động L và Y.

3) Hãy cho biết hiệu quả của việc tăng quy mô sản xuất

trong trường hợp này.

Bài 4.33. Nhu cầu hai mặt hàng phụ thuộc giá như sau:

Q ,= 4 0 - 2 P ,- P 2; Q2 = 3 5 - P , - P 2.

Tổng chi phí là hàm của các sản lượng:

TC = Qf + 2Q* +12

Trong đó: Pj, Qi là giá và sản lượng hàng hóa thứ i (i =1,2)

1) Xác định mức Qi, Q2 sao cho tổng lợi nhuận lớn nhất.

2) Tính chi phí cận biên cho từng mặt hàng tại mức tối ưu

tìm được ở câu a).

3) Hai mặt hàng này có thay thế lẫn nhau trong tiêu dùng

không?

Bài 4.34. Thu nhập quốc dân của một quốc gia (Y) phụ thuộc

vào von (K), lao động được sử dụng (L) và ngân sách đào

tạo 5 năm trước đó (G) như sau:Y = 0,24K°'JL° 8G0 <>5

Chương 4. ứng dụng phép tính vi phân hàm nhiều biến.

113

Trong đó các yếu tố biến đổi theo thời gian như sau: hàng

năm vốn tăng 15%, công ăn việc ỉàm tăng 9%, chi phí cho đào

tạo tăng 20%. Tính hệ số tăng trưởng của thu nhập quốc dân.

2 J_

Bài 4.35. Cho hàm sản xuất Q = 300K3L4 (Q > 0, K > 0, L > 0).

Trong đó: Q là sản lượng, K là vốn, L là lao động (Q, K,

L > 0). Gọi Pq, Pl, Pk là giá bán một sản phẩm, giá thuê một đơn

vị vốn và giá thuê một đơn vị lao động. Hãy xác định vốn và lao

động sao cho lợi nhuận đạt cực đại biết Pọ = ỉ,

PK= 100, PL= 150.

Bài 4.36. Một doanh nghiệp có hàm sản xuất: Q = K 04L03.

Trong đó: ọ là sản lượng, K là vốn, L là lao động (Q, K, L > 0).

1) Hãy đánh giá hiệu quả của việc tăng quy mô sản xuất

2) Giả sử giá thuê tư bản là 4ƯSD, giá thuê lao động là

3USD và doanh nghiệp tiến hành sản xuất với ngân sách cố định

là 1050USD. Hãy cho biết danh nghiệp đó sử dụng bao nhiêu

đơn vị tư bản và bao nhiêu đơn vị lao động thì thu được sản

lượng tối đa.

Bài 4.37. Một doanh nghiệp có hàm sản xuất: Q = 40K° 75L°25.

Trong đó: Q là sản lượng, K là vốn, L là lao động (Q, K,

L > 0). Nếu doanh nghiệp thuê một đơn vị vốn là 3ƯSD; một

đơn vị lao động là 1ƯSD; ngân sách chi cho yếu tổ đầu vào

là B = 160USD.

1) Với hàm sản xuất trên khi tăng quy mô sản xuất thì hiệu

quả thay đổi như thế nào? Nấu K tăng lên 1% và L tăng 3 % thì

sản lượng tăng lên bao nhiêu % tại mỗi mức (K, L)?

2) Xác định mức sử dụng vốn và lao động để sản lượng tôi

đa. Nếu tăng ngân sách chi cho yếu tố đầu vào 1ƯSD thì sàn

lượng tối đa tăng bao nhiêu đơn vị?

3) Hàm sổ trên có tuân theo quy luật lợi ích cận biên giảm

dần hay không?

4) Xác định hàm sản lượng cận biên theo vốn, theo lao động.

5) Xác định phương trình đường đồng lượng tại điểm

K0 = 625; L0 — 16

6) Vốn và lao động là hai hàng hóa thay thế hay bổ sung cho

nhau.

114 Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ sờ uiig dụng...

B. HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ ĐÁP SÓ

Bài 4.1.

1) ẼQ. = 1 + 1 L» ‘K --° 5; ẼS. = ± K <°-’L-°4 + — L°'!

ỔK 9 9 ỔL 15 15

2)Q = Ì k + ^ k oìl°‘ + ^ lÌ = q i + q 1 + q j

Q, = — K : Quá trình sản xuất có hàm sản xuất Qi là có hiệu

quả không đổi theo quy mô (1).

Q 2 = — K° 5L°6: Quá trình sản xuất có hàm sản xuát ọ2 là có

hiệu quả tăng theo quy mô (2).

Chương 4. ứng dụng phép tính vi phân hàm nhiều biên... 115

Q 3 = —L '2: Quá trình sản xuất có hàm sản xuất Q3 là có

hiệu quả tăng theo quy mô (3).

Từ (1), (2) và (3) quá trình sản xuất có hàm sản xuất Q là có

hiệu quả tăng theo quy mô.

Bài 4.2.

1) Ta có:

U'x = 10y-6x^>U " 2 =-6 < 0V x,y> 0 (1)

U'y =10x-10y =>U" 2 = -4 < 0V x,y> 0 (2)

Từ (1) và (2) suy ra hàm u tuân theo quy luật lợi ích cận

biên giảm dần.

2) ưo = ư(2, 2) = 20.

Phương trình đường bàng quan: Ư(x, y) = U0

<=> 1 0x y -3 x 2 - 2 y 2 -2 0 = 0

Đặt F(x, y) = 1 Oxy - 3x2 - 2y2 - 20

-r ' - - F ’x _ 3 x-5y ,

Tacó: y ' =

—

-------

— => y V

F'y 5x -2 y

Ỷ nghĩa: Bạn đọc tự giải thích

Bài 4.3.

Hàm doanh thu: TR = P]Qi + P2Q2

-2

X0=y0=2 3

116

Hướng dẫn giải bài tập Toáv Cử sờ úng dụng.

Hàm lợi nhuận:

TU = TR - TC = P,Q, + P2Q 2 - 2QÍ - 2Q ; - Q,Q;

1) Ta có:

71,q i = P j-4 Q |-Q 2; 71'q 2 = P2 - 4Q2 -Q ị

71 "q? __4; 71 W h _ - 1 _ 7 Ĩ "Q2Qi; n "ọị _ _ 4

- Điều kiện cần: Giải hệ:

*'q,= 0 Í4Qi + Q2 =P

u'q = 0 iQi +4Q2 - ^2

Q.=

- 4P ,-P ;

- 4P^-P,

D =

a u

a .2

- 4

-1

a 21 a 22

-1 - 4

- Điều kiện đủ: Ta có:

ị - l l

= 15>0vàau =-4< 0

Do đó hàm lợi nhuận 7C đạt giá trị lớn nhất tại (ộ) ;Q 2 )•

2) ỂÕl = ± . ẼÕ± = l i • Ẽ Õ l = I± .

ap, 15 ap2 15 ỡPị 15 ỔP2 15

Bài 4.4.

Với các hàm chi phí:

TC, =128 + 0,20?; TC2 = 156 + 0,ỈQị

Chương 4. ứng dụng phép tính vi phân hàm nhiều biên... 117

Hàm doanh thu:

TR = p.Q = [600 - 0,1(Q| + Q2)]. [Q, + Q2 ]

= 600Q, + 600Q2 -0,1(Q , + Q 2)2

= 600Q, +600Q 2 -0,1Q Í -0 ,2 Q ,Q 2 -0 ,\Q ị

Hàm chi phí:

TC = TC, + TC2 = 284 + 0,2QÍ + 0,1Q*

Hàm lợi nhuận:

7C = TR - TC = 600Q, + 600Q2 - 0,3QÍ - 0,2Q,Q2 - 0,2Qị

1) Ta có:

tc'q = 600-0,óQị -0,2Q2; tc'q = 600-0,2Q,-0,4Q2

n ' Q2 = -0 ,6 ; n Q2Q2 = -0 ,2 = n Q2Qt; 7Ĩ q2 = -0 ,4

" Điều kiện cần: Giải hệ:

n'Qi=0 Í3Qj + Q 2 =3000

<=> < <=>

tx'q = 0 1q ,+ 2Q 2 =3000

- Điều kiện đủ: Ta có:

Qj = 600

Õ2 =1200

D =

a il a !2

-0 ,6

-0 ,2

a 2l a 22

-0 ,2

-0 ,4

= 0,2 > 0 và at! = - 0,6 < 0

Do đó hàm lợi nhuận TC đạt giá trị lớn nhất tại (q 1 ;Q 2 )■

2) Q = Q ,+ Q : =1800

p = p, + p 2 =420

Q = 6000 - 10P

Hê số co giãn của Q theo p là: Ep =

—

6 v p 6000-1 0 P

Khi đó: £p (P*) = ——

Bài 4.5.

Hàm doanh thu:

TR = P,.Q, + P2.Q2 = 120Q, + 200Q2 - 5QÍ - 20Q]

Hàm chi phí:

TC = 35 + 40Q, + 40Q 2

Hàm lợi nhuận:

n = TR -T C = 80Q, + 160Q2 - 5QÍ - 20Qị - 35

Ta có:

71'Q =80-10Q j; n'ọ =160-40Q 2

71" ,=-10; 71" n = 0 = 71" n ; ít" , = 40

q2 Q2 Q2 Q2 Q1 ọ2

118 Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ sở úng dụng...

Chương 4. ứng dụng phép tính vi phân hàm nhiều biêh... 119

D =

a u a i2

-1 0 0

a 2l a 22

0 -4 0

= 400 > 0 và a(1 = - 10 < 0

Do đó hàm lợi nhuận n đạt giá trị lớn nhất tại (q 1; Q2 )•

Bài 4.6.

Q, = —

p2 =

405

Bài 4.7.

1) Kết quả bài 4.6.

^ , ỔTC ^ ÕTC

> a n Q ,:fln Q r

ỠQ| ỠQ2

Tại điểm tối ưu

Q. = —

1 14

Q 2 = —

2 14

ta có:

ỔQ,

Bài 4.8.

ỔTC - 50 ỠTC - 130

= 2Q, = ^ ; ^ = 4Q2 = ^ -

7 ỠQ2

1) Bước 1. Bài toán đưa về tìm cực trị có điều kiện của

hàm sổ:

TR = 320x-2x2-3 x y -5 y 2 + 540y + 2000 vớix + 4y= 180

120

Hướng dẫn giải bài tập Toan cơ sơ un£ dụn&-

Bước 2. Xét hàm Lagrange

L(x,y,Ằ) = 320x-2x2 -3xy-5y2 +540y+200(R?»( 180-x-4y)

Tính các đạo hàm riêng cấp 1, 2 của hàm L:

L'x= 320-4x-3y-X; L'y= 540-3x-10y-4Ằ; L\= 180-x-4y

L"„2= -4;L"xy= L"vx = -3;L "v2 = -10

Bước 3. Giải hệ:

n '

4x+ 3y+ X = 320

X = 52

L'y=0< = >«

3x+10y+4Ằ = 540 <=> • y = 32 => <

L\= 0

x+4y =180

1= 16

X = 52

ỹ = 32

Vậy: M(52, 32, 16)

Bước 4. Kiểm tra điều kiện đủ

êl ê X — 1 » ẽ> 2~ 8 y~“ 4

L"x2 - -4; L"xy= L"yx= -3; L"„2 = -10

Xét định thức:

|H |-

0 1 4

1 -4 -3

1 -3 -10

> 0 nên M là điểm cực đại cùa hàm sổ

Vậy doanh thu đạt cực đại tại: X - 52;y = 32.

Chương 4. ứng dụng phép tính vi phân hàm nhiều biêh.

121

2) Gọi TRmax là doanh thu đạt giá trị cực đại. Khi đó

ỔTR

max

ỔB

= Ầ=16

Vậy khi tăng ngân sách chi cho quảng cáo lên 1 triệu đồng

thì doanh thu cực đại tăng 16 triệu đồng.

Bài 4.9.

1) Tại K = 4; L = 9 ta có:

^ 5 = 0 ,2 2 5 ;^ = 0,1

ỠK ÕL

2 ) ^ = o,15K-°-5L0'5 =g (K ,L ).

ỠK

Với t > 0: g(tK, tL) = g(K, L). Vậy g là hàm thuần nhất bậc 0.

3) Quá trình sản xuất có hàm Q có hiệu quả không đổi theo

quy mô.

Bài 4,10.

1) Dùng phương pháp nhân tử Lagrange tìm được:

X, = 50

X2 = 30

X = 0,248

2) Gọi umax là lợi ích cực đại và B là ngân sách chi cho tiêu

dùng. B thay đổi thì Ưmax thay đổi. - Umax = ị = 0,248. Từ đó

ỔB

suy ra ý nghĩa.

122

_______________

Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ sở ỊỊTỊ£ dụng.

3) Bạn đọc suy ra từ ý 2) và hệ sổ co giãn.

Bài 4.11.

1) Quá trình sản xuất có hiệu quả giảm theo quy mô.

2) Sản lương cân biên theo vốn: - — = 0,3K • L .

Sản lương cân biên theo lao động: = 0,5K° 3L~0,5.

ỠL

3) Dùng phương pháp nhân tử Lagrange tìm được

K =24

L = 120

X = 5-0.56 -0,24 -,.2

4) Bạn đọc từ giải thích ý nghĩa từ kết quả của ý 3).

Bài 4.12.

1) Sản lượng cận biên của tư bản và của lao động lần lượt là:

- I I 2-2

Q k = 20K 3 ữ ; Q l = ÌOK^L3

Sản lượng cận biên của tư bản và của lao động tại Ko = 16'

Lo = 81 tương ứng là: Q K(27;64) = ^ 5 , Q L(27;64) = —

3 8

Bạn đọc tự giải thích ý nghĩa.

2) Hệ sổ co giãn riêng cùa Q theo K, L lần lượt là:

Chưcmg 4. ứng dụng phép tính vi phân hàm nhiều biêh... 123

ọ 2 ọ 1

C rr — • P — —

sỉ 3 : : 3

Bạn đọc tự giải thích ý nghĩa.

3) K và L cùng tăng 1% thì Q cũng tăng 1%.

4) Quá trình sản xuất là có hiệu quả không đổi đối với việc

tăng quy mô.

5) Hàm số trên tuân theo quy luật lợi ích cận biên giảm dần.

6) Tính dQK = Q 'K dK; dQL = Q 'L dL; dQ = dQK + dQL

Bạn đọc tự giải thích ý nghĩa tại Ko= 27; L0 = 64; dK = 0,1;

dL = 0,3.

Bài 4.13. Bạn đọc giải tương tự bài 4.12.

Bài 4.14.

Bước ỉ. Giải hệ phương trình:

k'q, * -2Q i +4Q3 = 0 ÍQi = 400

- n 'Qi = -6Q 2+ 300 = 0 « Ì q 2=50

7i ,Q3. = -14Q3+4Qi +1200 = 0 [Q3 =200

Vậy hàm số có một điểm dừng: M(400; 50; 200)

Bước 2. Kiểm tra điều kiện đủ:

- 2; a22 - 71 "o o - -6; a = 71

an _7I"q,Qi " A,a22 ~ n q2q

= -14

a 12 a 21 ^"QiQỉi ~

ai3= a3i= «"0 ,0 , = 4; a2 3 = a32= 7t"Q2Q3 = 0

124

Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ sớ uiìỹ dụng-

"-2 0 4

= -2 < 0

Xét ma trận H =

0 - 6

có <

h 2

= 12 > 0

4 0 -1 4

H 3

= -72 < 0

Nên M là điểm cực đại của hàm sổ 7t.

Bước 3. Kết luận

Doanh nghiệp cần bán các mặt hàng với số lượng

Qj = 400;Q 2 = 50;Q 3 = 200 thu được lợi nhuận tối đa bàng

127520.

Bài 4.15.

1) Hàm số trên tuân theo quy luật lợi ích cận biên giảm dần.

2) Hai hàng hóa này thay thế cho nhau.

3) Dùng phương pháp nhân tử Lagrange tìm được:

Xi = 50

X 2 = 30

X = 0,248

Gọi Umax là lợi ích cực đại và B là ngân sách chi cho tiêu

dùng. B thay đổi thì Ưmax thay đổi. d^max-

= x

= 0,248 .

ỠB

Nên nếu ngân sách chi cho tiêu dùng giảm 2% thi lợi ích cực

đại giảm khoảng 0,596%.

Chương 4. ứng dụng phép tính vi phân hàm nhiều biến.

125

Bài 4.18. Bạn đọc tự giải tương tự như bài 4.12.

Bài 4.19.

1) Hàm số tuân theo quy luật lợi ích cận biên giảm dần.

2) Lợi ích tăng 0,4%.

Bài 4.20.

MCj =(TC)'q = 125 + 2,4Q^ — 1 2Q,q !

MC2 = (TC) •0i = 84 + 3,6Qị -1 2QÍQ2

Bài 4.21.

---------------

------------------------

p 35 - 0,4p + 0,15m + 0,12ps

ọ _ 0,15m

2) 8 ~ 3 5 -0 ,4 p + 0,15m + 0,12ps

Q 0 ,1 2 p s

3) So =

-----------------

- 1—

-------------

Ps 35 - 0,4p + 0,15m + 0,12ps

Bài 4.22.

1) Hiệu quả giảm theo quy mô

2) Hiệu quả tăng teo quy mô

3) Hiệu quả tăng theo quy mô

4) Hiệu quả tăng theo quy mô

Bài 4.23. X, =17; x 2 = 5

126

Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ sơ 1/7»,e dung-•

Bài 4.24.

ộ = — ;Õ

1 35 2 7

- 1576 - 256

p , ~ ; p 2~ -

Bài 4.25.

Q* = 260 và p* = 40

Bài 4.26. ĨC = 40; L = 135

Bài 4.27.

Q,=3;Q2=4

P, = 35;p 2 = 6 0

Bài 4.28.

1) K(t) = 25.ựtĩ + 90

2) K(t) = 45.ựt7 + 40

3) c = 0,8Y + 40

4) cs = 82—

Bài 4.29.

1) Ý kiến đó không đúng

2) Xi = 50; X2 = 40

Chương 4. ứng dụng phép tính vi phân hàm nhiều biến.

127

Bài 4.30.

1) K = — ;L = —

36 16

2) Gọi lợi nhuận tối đa là n . Ta có:

Ỡ7ĩ’ _ ĨT . - 1 n d ĩ ì T - 1

—— = -K = — < 0; —— = -L = — < 0.

ỔK 36 ỠL 16

Bài 4.31.

1) Hệ số co giãn riêng của cầu theo giá, theo thu nhập lần

lượt là: 6° = -0,2;8 ° =0,3

2) Gọi giá cân bằng là P . Chứng minh đươc > 0.

ỠM

Bài 4.32.

1) Hệ số co giãn riêng của Y theo K, L lần lượt là:

eỵk = 0,4;El = 0,8

2) Hệ số tăng trưởng của K và L lần lượt là:

rK =

0,1 0,3

-;rL =

120 + 0,lt 200 + 0,3t

Hệ sổ tăng trưởng của Y là:

Y_ , „Y_ 0,04 0,24

120 + 0,lt 200 + 0,3t

rY EKrK + e L rL -

3) Quá trình sàn xuất có hiệu quả tăng đối với việc tăng

quy mô.

128

Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ sở úmg dụng- ■ ■

Bài 4.33. Bạn đọc tự giải tương tự như bài 4.24 vã 4.25.

Bài 4.34. rY =6KrK + £LrL + 8 GrG

Bài 4.35. Bài toán đưa về tìm cực trị hàm lợi nhuận

7ĩ = 300kJ iJ -10 0K -1 50 L

Kết quả lợi nhuận đạt giá trị lớn nhất tại K = 64. L = 16.

Bài 4.36.

1) Hàm Q = K°'4L0'3 là hàm thuần nhất bậc k = 0,3 + 0,4

= 0,7 < 1 nên doanh nghiệp sản xuất có hiệu quả theo quy mô

2) Bước 1. Xác định bài toán

Tìm cực đại của hàm số Q = K° 4L°3 với điều kiện:

4K+3L= 1050

Bước 2. Xét hàm Lagrange:

F = K°-4L0-3 + MI 050 - 4K - 3L)

Bước 3. Giải hệ phương trình:

F'k = 0,4K'°'6L0’3-4X. = 0

F'l = 0,3K04L'°’7-3X. = 0 <=> •

F\= Ì050-4K-3L =0

<=> <

K -0,6L0,3= x

K°-4L'°’7=X

1050 = 4K+3L

K = L= 150

10.150°3

Chương 4. ứng dụng phép tính vi phân hàm nhiều biến.

129

Bước 4. Kiểm tra điều kiện đủ:

g| = g 'K = 4; g2 =g'L = 3

F"KK = -0.24x l 6y06

Fn =-0,24.150“' 6 150-6 <0

L"u = -0,21K°'4L-1'7 =>F22 = —0,21.150°4.150 1 ' <0

L "KL = 0,12K“° 6L“°-7 => Fj2 = F21 = 0,12.15<r°-6.150“° 7 > 0

Xét định thức:

1.7

|H =

0 4 3

4 F„ F12

3 F„ F22

= 24FI2 -9 F m — 16F22 >0 nên M là điểm

cực đại của hàm số.

Bước 5. Ket luận: Doanh nghiệp cần sử dụng 150 đơn vị tư

bản và 150 đơn vị lao động để thu được sản lượng tối đa là

Q(150, 150)= 1500,7.

Bài 4.37.

1) Hàm Q = 40K0,75L0'25 là hàm thuần nhất bậc k = 0,75 +

0,25 = 1 nên quá trinh sản xuất trên là có hiệu quả không đổi khi

tăng quy mô sản xuất.

Hệ số co giãn riêng cúa sản lượng theo vốn và lao động lần

lượt là:

EỈ = 0,75; = 0,25 => + 3e? = 0,75 + 3.0,25 = 1,5

Nên nêu K tăng 1% và L tăng 3% thì sản lượng tăng lên 1,5%.

130

Hương dẫn giai bai tập Toan cơ so 1/Tig du 11$

2) Bài toán đưa về tìm cực trị hàm Ọ = 40K1L1 với điêu

kiện: 3K + L = 160.

Hàm Laerange là: F(K.L.Ằ) = 40K4L4 + Â(160- 3K. - L)

- Điêu kiện cần:

-I I 3 -3

F’k = 30K 4 L4 -3X; F'L =10K4L4 -Ầ; F\ = 160-3K- L

10K4L4

Thay vào (3) ta được: K = L = 40;/. = 10.

- Điều kiện đù:

d2F = F"k;(dK r + (F"lk + F"K1 )dKdL + F’’ ; (dL r

-1 1

30K 4 L4 = 3X

(1)

F'[ = 0 <^><ỊlOK4L4 =x

F'. =0 160 = 3K + L

(2)

(3)

Chia (1) cho (2) vế theo vể ta được

30K 4 L4 3

-15 - - 15 - -

F" =— K4L4: F"ik = FV, = — K 4 L4 ; F" =

K' 7 w. 2 I

Tại K = L = 40; Â = 10:

Chương 4. ứng dụng phép tính vi phân hàm nhiều biến.

d2F = — ídL-dK)2 <0

(vì 3dK + dL = 0 và (dK)2 + (dL)2 * 0)

Nên hàm ọ đạt cực đại tại mức:

K = L = 40 và Qmax = 1600

a o

Với —%s- = x = 10

ỔB

Nên khi tăng ngân sách chi cho yếu tố đầu vào 1 USD thì sản

lượng tối đa tăng khoảng 10 đơn vị.

3)Ta có:

~ I . - 1 5 „ Í ỉ

Q 'k = 30K 4 L4 =>QK2 = — K4L4 < 0; VK > 0;L > 0(4)

. 3 T .. -15 J T7

Q'l =10K4L4 ^Q " = — K4L4 <0;VK >0;L >0(5)

L 2

Từ (4) và (5) suy ra hàm Q tuân theo quy luật lợi ích cận

biên giảm dần.

-I I

4) Hàm sản lượng cận biên theo vốn là: Q k = 30K 4 L4

Hàm sản lượng cận biên theo lao động là: Q’L = 10K4L4

5)TạiKo = 625; L0 = 16:

Qr, =40.625 .16^ = 40.5 .2 = 10000

Phương trinh đưòna đồne lượng tại điẻm (K„. L0):

132 Hướtì<Ị dẫn fiai bai táp Toan cơ s<7 uv<z dụng.

Ọ - ọ„ 40K ' ’5L ° = 10000

<=> K0 75L', :< -250 = 0

6) Ta có:

ạ = - ^ = - 10K j_ L ị = - ^ < :L> 0

dL Q' ri Ị 4L

K 40K 4 L4

Suy ra vốn và lao động là hai hàng hóa thay thế cho nhau.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Alpha c . Chiang, Fundamental Methods o f Mathematical

Economics, McGRAW-HILL Book Copany, 1984.

2. Lê Đình Thúy (Chủ biên), Toán cao cấp cho các nhà kinh tế,

NXB Thống kê, 2004. •

3. Lê Đình Thúy (Chủ biên), Bài tập Toán cao cấp cho các nhà

kinh tế, NXB Đại học Kinh tế quốc dân, 2008

4. Phùng Duy Quang (Chủ biên), Toán cao cấp ứng dụng trong

phán tích kinh tế, NXB Đại học sư phạm Hà Nội, 2012.

5. Phùng Duy Quang (Chủ biên), Bài tập Toán cao cắp ỉ, NXB

Thông tin và Truyền thông, 2012.

6. Ngô Văn Thứ, Nguyễn Quang Dong, Mô hình toán kirìh tế,

NXB Thống kê, 2005

H ướ nq Dflfi qifil BÀI T 0 P

TOÁN Cơ SỞ

ÚNG DỊMCHtONG PHÁN TlCH KINH TÉ

Chịu trách nhiệm xuất bản:

Nguyễn Thị Thu Hà

Biên tập:

Sửa bản in:

Trình bày sách:

Thiết kế bìa:

Ngô Mỹ Hạnh

Nguyễn Long Biên

Đoàn Thanh

Đức Anh

Trần Hồng Minh

NHÀ XUẤT BẢN THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG

Trụ sở chính: Số 9, ngõ 90, phố Ngụy Như Kon Tum, Thanh Xuân, Hà Nội

Điện thoại: 04-35772143 Fax: 04-35779858

Email: nxb.tttt.@mic.gov.vn Website: www.nxbthongtintruyenthong.vn

Chi nhánh TP. HCM: Số 8A đường D2, phường 25, quận Bình Thạnh, TP. HCM

ĐT: 08-35127750 ; Fax:08-35127751; Email: cnsg.nxbtttt@mic.gov.vn

Chi nhánh TP. Đà Nắng: 42 Trần Quốc Toản TP. Đà Nẳng

ĐT: 0511-3897467 Fax 0511-3843359 ; Email: cndn.nxbtttt@mic.gov.vn

In 1000 cuốn khổ 14,5 X 20,5 cm tại Cóng ty Hải Nam

Số đăng ký kế hoạch xuất bản 622-2012/CXB/6-172/TTTT

Sô’ Quyết định xuất bản: 142/QĐ-NXB TTTT ngày 30/5'2012

In xong và nộp lưu chiểu tháng 6 năm 2012

Bấm Tải xuống để xem toàn bộ.

| 1/139

| | Tải xuống

Preview text:

ÚNG DỤ9NG TRONG PHÂN TÍCH KINH TẾ ThS. PHÙNG DUY QUANG
Hướnq Dm qifil BFU TẬP TOAN Cơ SỞ
ÚNG DỤING TRONG PHẢN TÍCH KINH TẾ
NHÀ XUẤT BẢN THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG
Mã số: QT 01 HM 12 LỜI NÓI ĐẦU
Toán cơ sở là môn học bắt buộc dành cho sinh viên các hệ
cao dẳng, đại học và cao học thuộc tất cả các nhóm ngành kỳ
thuật, kinh tế. Để giúp cho sinh viên có tài liệu học tập và đạt
hiệu quả cao, N hà xuất bản Thông tin và Truyền thông đã
phối hợp với tác giả Phùng Duy Q uang - Trưởng khoa Cơ
bản, Trường Đại học Ngoại thương xuất bản cuốn “H ư ớ n g
dẫn g iả i bài tập Toán c ơ s ở ứ n g d ụ n g trong p h â n tích k in h
tế ”. Cuốn sách được biên soạn phù hợp với chương trình Toán
cơ sở ứng dụng trong phân tích kinh tể được giảng dạy tại
trường Đại học N goại thương.
Đây cũng là tài liệu bổ ích dành cho các thí sinh ôn thi
tuyển sinh đầu vào hệ Thạc sỹ của trường Đại học Ngoại
thương, trường Đại học Kinh tế quốc dân Hà Nội. Nội dung
cuốn sách là tổng hợp các bài tập từ mức độ dễ đến khó, nhàm
giúp học viên vận dụng các kiến thức, kỹ năng cũng như các
phương pháp Toán cơ sở ứng dụng trong các bài toán phân tích kinh tế. Nội dung cuốn sách gồm:
C hương 1. Định thức và m a trận.
Chương 2. M ột sổ mô hình tuyến tính dùng trong phân tích kinh tế.
C hương 3. ứ n g dụng của phép tính vi phân, tích phàn
hàm một biến số trong phân tích kinh tế.
C hương 4. ứ n g dụng của phép tính vi phân hàm nhiều
biến số trong phân tích kinh tế.
C uốn sách được viết cho sinh viên các ngành kinh tế nhàm
ứng dụng m ôn học Toán cơ sở sao cho hiệu quà nhất; được
trình bày m ột cách cụ thể, dễ hiểu. M ỗi chương gồm 2 phần:
Đề bài và phần H ướng dẫn giải bài tập cụ thể và các lời giải
gợi ý để sinh viên có thể tiếp thu kiến thức m ột cách hiệu quả nhất.
Dù đã có rất nhiều cố gắng trong công tác biên soạn, song
cuốn sách sẽ khó tránh khỏi những thiếu sót. R ất m ong nhận
được các ý kiến đóng góp các đồng nghiệp và bạn đọc để
cuốn sách được hoàn thiện hơn trong lần tái bản sau.
M ọi góp ý xin gửi về K hoa C ơ bản, trường Đại học Ngoại
thương, email: quangpd@ ftu.edu.vn
X in trân trọng giới thiệu cùng bạn đọc./. T Á C G IẢ MỤC LỤC
L ờ i n ó i đ ầ u ............................................................................................ 3
Chương 1. Định thức và ma tr ậ n ................................................... 7
A. Đề b à i .................................................................................... 7
B. Hướng dẫn và đáp s ố .........................................................10
Chương 2. Một số mô hình tuyến tính dùng trong
phân tích kinh tế .......................................................... 12
A. Đề b à i.................................................................................. 12
B. Hướng dẫn và đáp s ố ...................................................... 28
Chương 3. ứ n g dụng phép tính vỉ phân, tích phân hàm
một biến trong phân tích kinh t ế ............................60
A. Đề b à i .................................................................................. 60
B. Hướng dẫn và đáp s ố ........................................................ 74
Chương 4. ứ n g dụng phép tính vi phân hàm nhiều biến
trong phân tích kinh t ế .........................................101
A. Đề b à i ............................................................................. 101
B. Hướng dẫn và đáp s ố ....................................................114
Tài liệu tham khảo........................................................................ 133 C h ư ơ n g 1
ĐỊNH THỨC VÀ MA TRẬN ■ • A. ĐÈ BÀI
Bài 1.1. Tính các định thức sau: 5 - 7 - 9 6 1) |- 2010| 2) 3) 8 - 1 2 1 3 4 - 2 3 -1 0 2 0 - 3 4) 1 3 -5 5) 3 2 6) -2 3 1 2 -8 13 -2 4 3 9 5 4 2 - 3 5 -3 7) 1 -1 3 8) 2 -1 2 3 - 1 3 2
Bài 1.2. Tính các định thức sau: -1 0 3 -2 1 0 -3 2 2 1 4 -3 -2 2 3 -1 1) 2) 3 2 -3 -1 3 4 -5 1 4 3 4 -6 2 6 -5 4 8
Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ sớ ím g d u tĩĩ 2 -1 3 - 4 0 -1 0 -2 -3 1 9 1 2 3 5 4 2 1 3 0 -1 3) -3 1 2 0 -2 4) -3 -2 1 -1 1 4 -3 .0 -1 3 -2 4 3 -1 1 4 -1 8 0 5 - 4 3 5 -5 2
Bài 1.3. Giải phương trình sau: 2 -3 x 2 - X 2x 1 - 2 3 - 4 A = = 0 -3 2 - 2 2 9 2 3 18
Bài 1.4. Tính AB và BA (nếu tồn tại), biết rằng: o 1 "1 2 3' CQ I 1 )A = 2 3 0 - 4 2 4 1 "-1 0 2' '1 0 -2 2 ' 2 )A = 1 2 -1 ; B = 2 1 2 -1 _ 0 -1 1 <3 -2 1 0 ,
Bài 1.5. Tìm ma trận nghịch đào của các ma trận sau: '1 2 a b 1) 2) 3 4 c d
Chương 1. Định thức và ma trân 9 -1 0 2 ' 2 -1 3 3) 3 1 3 4) -3 2 -1 2 3 1 1 0 5 2 -1 3 0 ' '1 0 -1 3 - 4 2 -2 3 0 2 4 - 6 5) 6) 1 3 1 -2 0 0 -2 3 -1 4 2 1 0 0 0 -1
Bài 1.6. Giải các phương trình A x X = B, biết: - 2 3 5 6 1)A B = - 3 4 7 8 5 - 4 1 2 2) A = B = 4 - 3 - 2 3 1 -3 4 3 3) A = B = -3 9 1 2
Bài 1.7. Tìm hạng của các ma trận sau: ' 2 - 1 3' ' 1 2 3 - f 0 3 - 1 2 0 - 1 4 A = • B = 5 - 2 4 2 1 2 - 2 3 2 5 7 2 1 4 0 1— — - 1 - 2 3 0 ' - 1 2 - 3 0 4 2 1 - 2 -1 c = ; D = 3 - 1 2 3 2 3 3 - 5 - 1 1 3 - 4 3 1 4 2 - 4 - 2 10
Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ sớ úng dụng.
Bài 1.8. Tìm m để ma trận sau có hạng bé nhất: 1 m -1 2 A = 2 -1 m 5 1 10 -6 1
B. HƯỚNG DẨN VÀ ĐÁP SÓ Bài 1.1. Đáp sổ 1)-2010 2 ) - 4 3 )-3 3 4 ) 0 5 )6 2 6 )9 3 7) -117 8 )-4 Bài 1.2. Đáp sổ 1)0 2) 52 3 )0 4) 189 Bài 1.3. Đáp sổ X = -3 và X = 1 Bài 1.4. Đáp số 0 4 - 2 16 8 1) A x B B x A = 2 - 8 12 0 -10 4 4 14 5 - 4 4 -2 2) A xB 2 4 1 0 ; Bx A (Không tồn tại) 1 -3 -1 1
Chương 1. Định thức và ma trận 11 Bài 1.5. Đáp số - 2 1 1 d -b 1) 3 1 2) ad-bc -c a 2 2. 8 5 2 22 22 22 3 5 9 3) 4) Không tồn tại 22 22 22 7 3 1 22 22 ~ 22 1 0 - - - 0 I 0 5) Không tồn tại 6) 2 _ 3 0 0 ' 2 2 0 0 0 -1 Bài 1.6. Đáp số ' - 1 0' ■-11 6' 1) 2) 1 2 -1 4 7 3) Không tồn tại Bài 1.7. Đáp án r(A) = 3; r(B) = 4; r(C) = 2; r(D) = 3
Bài 1.8. Hướng dần: Biến đổi đưa ma trận A về dạng bậc thana. Dáp sổ m = 3. C h ư ơ n g 2
MỘT SỐ MÔ HÌNH TUYẾN TÍNH
DÙNG TRONG PHÂN TÍCH KINH TẾ A. ĐỀ BÀI
Bài 2.1. Giải các hệ phương trình tuyến tính sau: x t - x 2 + 2 x 3 = 1 X, - 2 x 3 = - 3 1)
3 x , - 2 x 2 + 5 x 3 = 2
2 ) -2 x , + x 2 + 6 X3 = 11 - X, + x 2 x 3 = 2
- X | + 5 x 2 - 4 xj = - 4 4 x , + x 2 + 2 x , = 1
X, - 2 x 2 + X , + 2 x 4 = - 1 3) Xị + X , = 2 4)
X, - 3 x 2 - X j + 3 x 4 = 2 6 x , + x 2 + 4 x 3 = 3 - X , + x 2 - 3 x 3 - x 4 = 4
X, + 2 x 2 - 3 x 3 + x 4 = 1 5 x j - x 2 + 2 x ,+ x4 = 7 2 x , — x 2 + x 3 - 3 x 4 = 0 5) 2x, + x 2 + 4 x 3- 2 x 4 = 1 6) 3 x , + x4 =-1
X , - 3 x 2 - 6 x 3 + 5 x 4 = 0
5 x , + x 2 - 4 x 3 + 6 x , = 1
- x , + 2 x 2 + x 3 + 3 x 4 = - 1 3 x , - 2 x 2 - 5 x 3 + x 4 = 3
2 x , - X , + 2 x , + 5 x , = 2
2 x , - 3 x 2 + X , + 5 x 4 = - 3 7) ' 2 3 8 )
5x, - 4 x 2 + 3 x j + 7 x 4 = 5 X, - 2 x 2 - 4 x 4 = - 3
3 x , - 3 x , + X , + 2 x 4 = 3
x 2 - 4 x 3 + 9 x 4 = 2 2
Chương 2. M ột sô'mô hình tuyên tính... 13 X, - 4 x 2 + 2 x 3 = - 4
3 x , + 5 x 2 - 2 x 3 = 2 3 x , - x ,= 9 9)
2 X j - 7 x 2 + 2 x 3 = 1 2 10)
- 3 x , + 5 x 2 + 3 x 3 = - 1 5
- X , + 5 x 2 + 3 x 3 = 9 2x, + 7x2 - 3 x 3 = 13 -2 x , + 4x 2 - 5 x 3 = 11 2x,
- 4 x 3 + 7 x 4 = 2
2 x , + 5 x 2 - 3 x 3 = 3 11) x,+ x2 - 2 x 4 = 7 1 2 ) - 3 x2 + 2 x3 - 2 x4 = 3 5Xị - 6 x 2 + 3 x 3 = - 6 - 3 x , - 5 x 3 + x 4 = - 1 2 2 Xị - 3 x 2 + 2 x 4 = - 1 4 X,
5 x 3 + 3 x 4 + 4 X5 = - 2 13)
3 x j + x 2 - 5 x 3 + 3 x 4 = 1 14) 2 x 2 + 3 x 3 - 6X5 = 6
4 Xj - 2 x 2 - 5 x 3 - 3 x 4 = 2 2 x , - 3 x 2
+ 5 X5 = - 7
Bài 2.2. Tìm các giá trị của tham số a trong mồi hệ phương trình sau để hệ có nghiệm:
4 x , - x 2 + 3 x 3 + x 4 = 3 , + x 2 - x 3 = l 1)
Xj - x 2 - 2 x 3 + x 4 - a
2) X, + a x 2 + 3 x 3 = 2
3 x 2 - x 3 - x 4 = 7 2x, + 3 x2 + a x 3 = 3 Xj + x 2 — x 3 = 1 3) x ( + a x 2 - x 3 = 1 X, + x 2 + a x , = a
Bài 2.3. Giải và biện luận các hệ phương trình sau: ax + y + z + t = 1 í-a x + y + z = a
l ) < Ị x + a y + z + t = l 2 )-a x + y - 2 z =1 X + y + az + 1 = 1 I-X - ay - 2z = 1 14
Hướng dẫn giải bài táp Toán cơ sơ u vg dutỉỹ ax + 2z = 2 ax + by + z =1 3) 5x + 2y =1 4) x + aby -t- z =b X - 2y + b z = 3 X + b y + a z = 1 2 _ 3 x + ay + a z = a kx + y + z = k 5) x + by + b 2z = b 3 6) 2x + (k + l)y + 2z = 2
X + cy + C 2 Z = c 3 - x - y + (k + 2 )z= 1 ax + y + z + t = 1 ax + by + 2z = 1 x + a y + z + t = a 7) ax + ( 2 b - l) y +3z = l 8) x + y + az + t = a 2 ax +by + (b + 3)z = b x + y + z + at = a '
Bài 2.4. Trong một nền kinh tể có 3 ngành sản xuất: ngành 1,
ngành 2 và ngành 3. Cho biết ma trận hệ số kỹ thuật là '0,3 0,2 0 ,3 ' A = 0,1
0,3 0,2 và mức cầu cuối cùng đổi với hàng hóa 0,3 0,3 0,2
của các ngành 1, 2, 3 lần lượt là 6, 9, 8 triệu USD. Hãy xác
định mức tổng cầu đối với hàng hóa và tổng chi phí cho các
hàng hóa được sử dụng làm đầu vào của sản xuất cua mỗi ngành.
Bài 2.5. Cho hai ngành sản xuất có ma trận hệ số đầu vào: a i: A =
Chứng minh răna det(E - A) > 0.
Chương 2. M ột so mô hình tuyên tính. 15
Bài 2.6. Một nền kinh tế có 3 ngành sản xuất và có mối quan hệ
trao đổi hàng hóa như sau:
Ngành sử dụng sản phẩm (Inputs)
Ngành cung ứng sản phẩm (Output) 1 2 3 B 1 20 60 10 50 2 50 10 80 10 3 40 30 20 40
1) Xác định tổng cầu, tổng chi phí và tổng giá trị lao động
(giá trị gia tăng của mỗi ngành).
2) Lập ma trận hệ số kỹ thuật A.
Bài 2.7. Cho ma trận hệ số kỹ thuật của 3 ngành sản xuất: 0,2 0,3 0,2 A = 0,4
0,1 0,2 . Đơn vị: triệu USD 0,132 0,3 0,2
1) Giải thích ý nghĩa của con sổ 0,4 trong ma trận A. 1,656 0,701 0,446
2) Cho biết: (E - A)~' = 0,786 1,486 0,34 0,446 0,573 1,274
và véc tơ cầu cuối cùng B 1 = (10; 5; 6). Hây xác định tổng cầu của các ngành. 3)
Tống cầu của các ngành sẽ thay đồi thế nào nếu như cầu
cuối cùng của ngành 1 tăng 1 đơn vị còn các ngành khác giữ nguyên. 16
Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ sa U7IỊ dunỹ
Bài 2.8. Cho ma trận hệ số kỹ thuật của 2 ngành san xuât '0,3 0,2 ' 3 0 '
và ma trận cầu cuối cùng B = 0,2 0,4 100^
1) Tìm ma trận tổng cầu theo phương pháp Cramer.
2) Tính (E - A ) '1 và nêu ý nghĩa cùa phần tử ở dòng 2 cột 1 của ma trận đó.
Bài 2.9. Xét nền kinh tế có 2 ngành với ma trận hệ số chi phí
trực tiếp dạng giá trị: r 0,1 0,15] A = Lo,2 0,1
1) Tính định thức của ma trận D với D = A3/6.
2) Cho biết mệnh đề sau đây là đúng hay là sai?
ịA(E-A)'1 + E| > |(E-A)-'|
3) Giải thích ý nghĩa kinh tế của phần tử a f2; tổng các phần
tử của dòng 1; tổng các phần tử của cột 2.
4) Lập bảng I/O nếu ma trận tổng cầu là: XT = (200 400).
5) Lập bảng I/O nếu cầu cuối cùng của ngành 1 là 120 và
tổng cầu của ngành 2 là 400.
6) Xác định ma trận tổng cầu nếu ma trận cầu.cuối củng là Bt = (10 10).
7) Cho biết muốn tăng cầu cuối cùng của ngành 1 lên 1 đơn
vị thì tổng cung của ngành 2 phải tăng bao nhiêu?
Chươnp 2. Một sốmô hình tuyên tính.. 17
Bài 2.10. Giả sử nền kinh tế có 3 ngành thuần túy với giả thiết sau đây:
- N gành 1 làm ra 100 tỷ sản phẩm và ngành 1 sử dụng
20 tỷ sản phẩm của mình; 10 tỷ sản phẩm ngành 2; 10 tỷ sản phẩm ngành 3.
- N gành 2 làm ra 50 tỷ sản phẩm và ngành 2 sử dụng
10 tỷ sản phẩm của m ình; 10 tỷ sản phẩm ngành 1; 10 tỷ sản phẩm ngành 3.
- Ngành 3 làm ra 40 tỷ sản phẩm và ngành 3 sử dụng 8 tỷ
sản phẩm của mình; 8 tỷ sản phẩm ngành 1; 16 tỷ sản phẩm ngành 2.
1) Lập bảng I/O với các giả thiết trên.
2) Tìm ma trận hệ sổ kỹ thuật A và giải thích ý nghĩa kinh tế của: - Một phần tử của A
- Một cột bất kỳ của A
- Một dòng bất kỳ của A
- Tổng các phần tử của một dòng bất kỳ của A
- Tổng các phần tử của một cột bất kỳ của A.
3) Tìm ma trận Leontiev (E - A) và ma trận nghịch đảo
Q = (E - A )'1. Hãy giải thích ý nghĩa kinh tế của: - Một phần tử cùa c
- Một cột bất kỳ của c 18
Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ sơ Uĩtg dụng.
- Một dòng bất kỳ của c
- Tổng các phần tử của một dòng bất kỳ của c
- Tổng các phần từ của một cột bất kỳ của c
4) Cho tổng cung của ngành 3 là 600, hãy xác định lượng giả
trị chuyển dịch từ ngành 2 sang ngành 3.
5) Cho ma trận cầu cuối cùng là BT = (20 20 10): Hãy xác
định ma trận tổng cầu X.
6) Với ma trận A đã có, hãy lập bảng I/O nếu tổng cung cua
các ngành 2, 3 lần lượt là 80 tỷ và 60 tỷ; và cầu cuối cùng cùa ngành 1 là 132 tỷ.
Bài 2.11. Giả sử thị trường gồm 2 mặt hàng: hàng hóa 1 vả hàng
hóa 2, với hàm cung và hàm cầu như sau:
Hàng hóa 1: Qs = -3 + 5pj;Ọ D = 1 2 -4 p !+ 2 p 2
Hàng hóa 2: QSỉ = - l+ 4 p 2;Q U2 = 15 + 2 p , - p 2
Hãy xác định giá và lượng cân bàng của hai mặt hàng.
Bài 2.12. Cho hàm cầu và hàm cung của thị trường 2 hàng hóa: Q o r 1 8 ‘3 P i + P2 Qs,= ' 2 + P |
1) Để các nhà sàn xuất cung ứng hàng hóa cho thị trường thi
mức giá 1.2 phai thỏa mãn điều kiện nào?
2) Xác định giá và lượng cân bàng cho các hàng hóa.
Chươnp 2. Một số mô hình tuyến tính... 19
Bài 2.13. Cho hàm cẩu và hàm cung của-thị trường 2 hàng hóa: Qd, ~ 18-3p|+p2 Qd2= 12+pr 2p2 Qs, =-2+p, Q s2 = -2+aP2
(Với a là tham số dương)
1) Đê các nhà sản xuất cung ứng hàng hóa cho thị trường thì
mức giá 1, 2 phải thỏa mãn điều kiện nào?
2) Xác định giá và lượng cân bằng cho các hàng hóa theo a.
3) Khi a tăng thì giá cân bằng của các hàm số thay đổi thế nào?
Bài 2.14. Cho hàm cầu và hàm cung cúa thị trường 2 hàng hóa: Qd,= 1 l-3p,+p2 Qd2= l l +Pi-2p2 Qs, = -2+Pi Qs2 = -2+2P2
1) Xác định hai mặt hàng trên là hai mặt hàng thay thế hay bổ sung?
2) Để các nhà sản xuất sẽ cung ứng hàng hóa cho thị trường
thì P i , p2 phải thoả mãn điều kiện gì?
3) Xác định giá và lượng cân bằng?
Bài 2.15. Cho hàm cầu và hàm cung cua thị trường 2 hàng hóa: Q r)| = 40-2p,+0,5p2 QS)= -12+2p, 1)
Xác định hai mặt hàng trên là hai mặt hàng thay thế hay bồ sung? 20
Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ sõ mtỊỊ dụng.
2) Để các nhà sản xuất sẽ cung ứng hàng hóa cho ihị trường
thì Pi, p2 phải thoả mãn điều kiện gì?
3) Xác định giá và lượng cân bàng?
Bài 2.16. Cho mô hình trường 1 hàng hoá:
1) Nêu ý nghĩa kinh tế của b, d; chỉ ra mức giá cuối cùng mà
người tiêu dùng có thể chấp nhận được (mức tối đa) và mức giá
tối thiểu để người sản xuất có thể khởi nghiệp được (mức tối
thiểu); từ đó chỉ ra điều kiện tồn tại trạng thái cân bằng.
2) Xác định trạng thái cân bằng.
3) Phân tích sự biến động của trạng thái cân bàng khi các
tham số a, b, c, d thay đổi.
4) Giả sử nhà nước đánh thuế 1 đơn vị hàng trao đổi là t
(đơn vị tiền tệ). Hãy cho biết số phần trăm chịu thuế của người
tiêu dùng và người sản xuất.
Bài 2.17. Xét mô hình kinh tế:
Y = c + I0 + Go (lo > 0, Go > 0) c = 0,85Yd + 150
Yd = (1 - t)Y ( t là thuế suất thu nhập, 0 < t <1)
Tính thu nhập quốc dân và tiêu dùng cần bàng vói I0 = 200;
Go = 450 (đơn vị: tỳ VNĐ) và thuế suất thu nhập t = 0,2.
Chương 2. M ột sốm ô hình tuyến tính...________________________21_
Bài 2.18. Cho mô hình kinh tế Y = c + I0 + G0 c = a + bY
(Io>0, Go>0, a > 0 , 0 < b < 1) Trong đó:
Y - thu nhập quốc dân, c - tiêu dùng, I0 - đầu tư, G0 - chi tiêu chính phủ
1) Giải thích ý nghĩa kinh tế của a,b.
2) Xác định trạng thái cân bằng ( Y ; C ) bằng quy tắc Cramer.
3) Có ý kiến cho rằng khi I0 và Go cùng tăng 1 đơn vị thì thu
nhập Y Y tăng 2 đơn vị, ý kiến này đủng hay sai?
4) Phân tích sự biến động của trạng thái cân bàng khi a, b thay đổi.
Bài 2.19. Cho mô hình kinh tế
Y = C + Io + Go (Io> 0 , G o > 0)
c = a + b(Y-T) (a > 0, 0 0 , 0 < d < 1) Trong đó:
Y - thu nhập, c - tiêu dùng, T - thuế, I0 - đầu tư, G() - chi tiêu chính phủ
1) Giải thích ý nghĩa kinh tế của a, b, c. d.
2) Xác định trạng thái cân bàng ( Y :C ;T ) bằng quy tắc Cramer. 22
Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ sớ Uĩĩg dụng..
3) Phân tích sự biên động của trạng thái cản bảng khi a. b. c, d thay đổi.
Bài 2.20. Cho mô hình kinh tế Y = c + I0 + G ( I o > 0 ) c = a + b(Y - T0)
(a> 0, 0 < b < 1) G = gY
( 0 < g < 1, b + g < 1) Trong đó:
Y - thu nhập, c - tiêu dùng, T - thuế, I0 - đầu tư, G - chi tiêu chính phủ
1) Giải thích ý nghĩa kinh tế của a, b, g.
2) Xác định trạng thái cân bằng ( Y ;C ;G ) bằng quy tấc Cramer
3) Phân tích sự biến động của trạng thái cân bàng khi a, b, g thay đổi.
Bài 2.21. Cho mô hình kinh tế Y = C + Io + Go
( I o > 0 , G o > 0 ) c = 150 + 0 ,8 (Y -T ) T = 0,2Y Trong đó:
Y - thu nhập, c - tiêu dùng, T - thuế, I0 - đầu tư, Go - chi tiêu chính phủ
1) Tìm trạne thái cân bàng khi I0 = 200. Go = 900.
Chương 2. M ột sốm ô hình tuyêh tính..._______________________ 23_ 2)
Do suy thoái kinh tế nên mức tiêu dùng cận biên đối với
thu nhập sau thuế chỉ còn là 0,7. Giả sử I0 = 200, thì G0 phải là
bao nhiêu thì ổn định được thu nhập quốc dân.
Bài 2.22. Cho mô flinh kinh tế Y = c + I + Go (Go > 0)
C = bo + b|Y (b0> 0 , b |> 0 ) I = 3o~*" Y — 32^0 ^1 ^ ^2 >
&i+bi < 1, Ro-'* 0 )
Trong đó: Y - thu nhập, c - tiêu dùng, I - đầu tư, Ro - lãi
suất, Go - chi tiêu chính phủ.
1) Xác định Y, c ở trạng thái cân bằng.
2) Cho bo = 200, b, = 0,7, ao = 100, a, = 0,2, a2 = 10, R o = 7 , G o — 5 0 0 .
Khi tăng G0 lên 1% thì thu nhập cân bằng tăng lên bao nhiêu %?
Bài 2.23. Cho mô hình kinh tế
Y = c + lo + G + NXo Go > 0, NXo > 0) c = 20 + 075Yd G = 20 + 0,1 Y
Yd = (l - t)Y ( 0 < t < l )
Trong đó: Y - thu nhập, c - tiêu dùng, I0 - đầu tư, t - thuế
suất G - chi tiêu chính phủ, NX() - xuất khẩu ròng, Yđ - thu nhập khả dụng.
1) Cho biết ý nghĩa kinh tế của t.
24____________________ Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ so Ị/TỊg đụng...
2) Cho I0= 50, NXo = 30, tìm t để cân đổi được ngân sách.
3) Có ý kiến cho rằng đầu tư I0 không ảnh hướng đến ngân
sách, ý kiến đó đúng hay sai?
Bài 2.24. Cho mô hình kinh tế
Y = C + Io + G o + X o - M ( I o > 0 , G 0 > 0 , X o > 0 ) c = 0,8Yd M = 0,2 Yd
Yd = ( l - t ) Y (0 < t < 1)
Trong đó: Y - thu nhập, c - tiêu dùng, I0 - đầu tư. Gọ - chi
tiêu chính phủ, x 0 - xuất khẩu, M - nhập khẩu, Yd - thu nhập khả dụng, t - thuế suất.
1) Có ý kiến cho ràng khi I0, t không thay đổi thì tăng Go lẻn
1 đơn vị và giảm nhâp khẩu Xo một đơn vị thì thu nhập cản bang
Y không đổi. Ý kiến đó đúng không?
2) Giả sử I0 = 300, G0 = 400, x 0 = 288, t = 0,2 thì nền kinh tế
có thặng dư hoặc thâm hụt ngân sách, thặng dư hoặc thám hụt thương mại?
3) Cho I0 = 300, Xfl = 288, t = 0,2 thì G0 Dhải bằng bao nhiêu
để thu nhập cân bàng là 2500. Cho biết trong trường hợp này
nếu G0 tảng thêm 1 % thì nhập khẩu M thay đổi như thế nào?
Bài 2.25. Cho mô hình kinh tế
Y = c + I + Go (Go > 0)
c = 15 + b ( Y - T ) ( 0 < b < 1) T = 25 + 0.25Y
Chương 2. M ột sô'mô hình tuyên tính..._______________________ 25 I = 65 - r L = M L = 5Y - 50r M = M 0 = 1 5 0 0 , G o = 9 4
Trong đó: Y - thu nhập, c - tiêu dùng, I - đầu tư, r - lãi suất,
G0 - chi tiêu chính phủ, Mo - cung tiền, T - thuế, L - cầu tiền.
1) Xác định trạng thái cân bằng.
2) Thu nhập cân bằng thay đổi như thế nào khi tiêu dùng cận
biên đối với thu nhập sau thuế thay đổi.
3) Mức thâm hụt ngân sách là bao nhiêu nếu nguồn duy nhất của chính phủ là thuế.
Bài 2.26. Cho mô hình kinh tế Y = c + I + Go C = a + b ( Y - T 0) I = d + iY
Go > 0; To > 0; a > 0; 0 0; 0 < i < 1; b + i < 1.
Trong đó: Y - thu nhập quốc dân, c - tiêu dùng dân cư và
I - đầu tư; Go - chi tiêu chính phủ, T0 - thuế.
1) Tìm thu nhập quốc dân cân bằng.
2) Khi i tăng thì thu nhập quốc dân tăng hay giảm, vì sao? 26
Hướng dẫn giải bài táp Toán cơ sơ inig dụng.
Bài 2.27. Cho mô hình kinh tế:
Y = c + I0 + G0 (lo > 0, G0 > 0) c = 60 + 0,7Yt
Y, = (l - t ) Y (0 < t < 1)
Trong đó: Y, c , Yt, t lần lượt là thu nhập quốc dân. tiêu
dùng, thu nhập sau thuế, thuế suất.
1) Xây dựng mô hình cân bàng thu nhập quốc dân.
2) Tính Ỹ ,c khi G0 = 140; I0 = 90 (triệu USD); t = 40%.
3) Y ,c tăng hay giảm khi t tăng? Vì sao?
Bài 2.28. Cho mô hình kinh tế Y = c + I + Go C = a + b Y t; Yt = (l-t)Y I = d + xY
G 0 > 0 ; a > 0 ; d > 0 ; 0 < b < 1; 0 < X, t < 1; b ( l - t ) + X < 1
Trong đó: Y - thu nhập quốc dân; c - tiêu dùng dán cư;
I - đầu tư; Yt - thu nhập sau thuế; Go - chi tiêu chính phù.
1) Xây dựng mô hình cân bằng thu nhập quốc dán.
2) Khi X tăng thì thu nhập cân bàng tăng hay giảm?
3) Tính Ỹ ,c khi biết Go = 500 (tỷ USD); a = 150; X = 0.1;
b = 0 , 8 ; t = 0 , 4 ; d = 1 0 0
4) Thuế suất tăng thì Y ,c tăng hay giảm, vì sao?
Chương 2. M ột sô'mô hình tuyến tính.. 27
Bài 2.29. Cho mô hình kinh tế Y = c + I
c = c 0 +aY (C0 > 0, 0 < a < 1)
I = I0 - br (I0 > 0, b > 0)
L = L0 + mY - nr (L0 > 0; m, n > 0) MS = L
Trong đó: Y - thu nhập quốc dân; I- đầu tư; c - tiêu dùng;
L - mức cầu tiền; Ms- mức cung tiền; r - lãi suất.
1) Hãy xác định thu nhập quốc dân và lãi suất cân bằng
2) Với a = 0,7; b = 1800; c 0 = 500; L0 = 800; m = 0,6;
n = 1000; Ms = 2000; I0= 400: tính hệ số co giãn của thu nhập,
lãi suất theo mức cung tiền tại điểm cân bàng và giải thích ý nghĩa của chúng.
Bài 2.30. Xét mô hình IS - LM với Y = C + I + G ;L = M c = 0,7Y + 25;
I = 80 - 2r; G = Go (Go > 0)
L = 4Y - 30r; M = M0 (M0> 0)
Trong đó: Y - thu nhập quốc dân; I - đầu tư; c - tiêu dùng;
L - mức cầu tiền; M - mức cung tiền; r - lãi suất.
Tính mức thu nhập quốc dân cân bằng và lãi suất cân bằng với Go = 60; Mo = 1350 (nghìn tỷ VNĐ). 28
Hướng dẫn giải bài tâp Toán cơ só ưng dụng.
B. HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ Bài 2.1. Đáp số
1 ) ( X ị = - 3 ; x 2 = 2 ; x 3 = 3 ) . 2) (x ,= 1; x2 = 1; x3 = 2). 3) Hệ vô nghiệm.
4) ( Xi = -7 - 5a; x2 = -3 - 2 a + P; x3 = a ; x4 = P); Với a , (3 e R. 5) Hệ vô nghiệm. 6) Hệ vô nghiệm. 11 1 3 7 )
x , = l - j a - - y P ; x 2 = - ị a - j p ; x 3 = a ; x 4. = p Với a ,p G R. 1 3 7 8 7 22 198 8) X, = -----------; x 2 = ----------; X , =
---------- ; x 4 = -------- 1 1 3 2 1 5 5 4 1 9 5 398 22 513 9 ) X, = — ; x 2 = -------; x , l 139 2 139 139
1 0 ) ( X, = 2 ; x 2 = 0 ; x 3 = - 3 ) . 11) ' 27 73 101
X. = 3 + — a ;x , = 4 + — a ;x , = 1 + -— a ; x , = a : 50 2 50 3 50 4 J Với a € R. ( 108 + 49a 27 + 34a 8 12) XI = ; x 2 = - = - - a ; x « = a j : 27 27 Với a 6 R.
Chương 2. M ột số mô hình tuyến tính.. 29 _ 16+14a 154 + 77a 13)
X, = - 1 5 - 8 a ; x 2 = ------------------------------ —— ;x 3 = ---- -------- ;x 4 = a 15 Với a e R. ] A \ ( _ -2 7 a + 4p + 2_ -18a + 5ip + 69
' xi -------------------- ỉx7=--------- r r -------- 29 7X2 29 12a + 24p + 12 x 3 = ;x 4 = a ; x 5 = p 29 Với a , p e R.
Bài 2.2. Hướng dẫn
Gọi A và A lần lượt là ma trận hệ sổ và ma trận bổ sung của
hệ trên. Tìm điều kiện để r(A) = r( A ). l ) M ọ i a e R . 2) a * - 3 . 3 ) a * - i . Bài 2.3. 1)
+ a * 1 và a * -2: Hệ có vô sổ nghiệm. Nghiệm tổng quát của hệ là: 1-a l - a l - a X = ■;y = ; z = ; t = a ; a e R ; a+2 ' a+2 a+2
+ a = 1: Hệ có vô số nghiệm. Nghiệm tổng quát của hệ là:
( x = l - a - p - y ; y = a ; Z = P; t = Y) ; a , p , Y € R ;
+ a = -2: Hệ có vô sổ nghiệm. Nghiệm tổng quát của hệ là:
(X = a; y = a; z = a; t = 1); a e R.
2) + a * -1 và a * -3: Hệ có nghiệm duy nhất: f l + 2a l + 2 a 1+a
X = ------- —; y = -----z --------------- - v a + 3 a + 3 a + 3 y 30
Hướng dẫn giải bài táp Toán cơ sơ Uĩiỹ dụttỹ.
+ a = -1: Hệ có vô số nghiệm. Nghiệm tồng quát cua hệ là: 1 \ 1 1 2
x = a; y = - - a - — ; z = - —a - — ; a e R; 3 3 3 3 + a = -3: Hệ vô nghiệm.
3) + ab * 12: Hệ có nghiệm duy nhất: 2 b - 8 a b -1 0 b + 28 _ _ 4 a -1 2 X = —----- y = ; z = a b -1 2 2 (ab -1 2 ) a b -1 2
+ ab = 12 và a * 3: Hệ vô nghiệm;
+ a = 3 và b = 4: Hệ có vô sổ nghiệm. Nghiệm tỏng quát ũủa hệ là: f _ 2 - 2 a _ 10a -7 ì
X-----—— ; y = ---------- ; z = a |; a e R. V a * 1 4) +
a * -2 : Hệ có nghiệm duy nhất: b * 0 a - b ab + b - 2 a - b X = ; y ; z = ( a - l) ( a + 2) b(a — l)(a + 2) , [a = l [a = -2 + b = 0 hoặc < hoặc < _ : Hệ vô nghiệm: Ị b * l Ịb * -2
+ a = b = 1: Hệ có vô sổ nghiệm. Nghiệm tổng quát cua hệ là:
(x = 1 - a - P; y = a ; z = P); u, p € R;
Chươnp 2. M ộ t sô'mô hình tuyến tính... 31
+ a - b = -2: Hệ có vô số nghiệm. Nghiệm tổng quát của hệ là: 1+a X = a; y = - ; z = a ;a e R. 1 a a 2
5) det(A) = 1 b b 2 = (b - a)(c - a)(c - b) (Định thức 1 c c 2 Vandermone cấp 3).
+ a, b, c khác nhau từng đôi một: Hệ có nghiệm duy nhất X = abc; y = -(ab + be + ca);
z = a + b + c;
+ Hai trong ba số a, b, c bàng nhau: Hệ có vô số nghiệm.
Nghiệm tổng quát của hệ là:
X = -ac(a + c) + a c a ; y = a2 + ac + c2 - (a + c)a; z = a ; a 6 R;
+ a = b = c: Hệ có vô số nghiệm. Nghiệm tổng quát của hệ là: X = a3 - a a -'a2p; y = a ; z = P; a , p e R.
6) + k * 1: Hệ có nghiệm duy nhất k 2 + 4k + 5 4 k + 2 X = y = — k 2 + 4 k + 7 ' ' , k 2 + 4 k + 7 ’ k 2 + 4 k + 7 \ '
+ k = 1: Hệ có vô số nghiệm. Nghiệm tổng quát của hệ là: 32
Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ sơ ưTíg dụng - 7) + a * 0, b
1: Hệ có nghiệm duy nhất 3 1 b -1 X = ; y = - T ^ - r ; z = a(b + l) b + 1 b + 1
+ b = 1: Hệ có vô số nghiệm. Nghiệm tổng quát cũa hệ là:
(x = a ; y = 1 - a a ; z = 0); a € R;
+ a = 0, b * 1: Hệ vô nghiệm. + b = -1: Hệ vô nghiệm.
8) + a * 1, a * -3: Hệ có nghiệm duy nhất:
- a 2 - 2 a - 2 - a 2- a + l _ 2a + l a 3+ 3 a : + 2a + r
x = --------- ---- ;y = -------- — ;z = ---------------------------- — ; t = ------ — --- ; a + 3 a + 3 a + 3 a + 3 j
+ a = 1: Hệ có vô số nghiệm. Nghiệm tổng quát của hệ là:
(x = 1 - a - p - y; y = a ; z = P; t = y); a , p, Y € R. + a = -3: Hệ vô nghiệm.
Bài 2.4. Gọi Xi, x2, x3 lần lượt là tổng cầu của các ngành. Khi đó ma trận tổng cầu là X =
. Bây giờ tìm X: (E - A)X = B 6
với ma trận cầu cuối cùng B = 9 8
Chương 2. M ột số mô hình tuyên tính.. 33 29 Khi đó X = (E - A) 'B = 25,72 và ma trận chi phí đầu 30,52 V ' 20,3 " vào: c = c 2 = 20,576 - c 3_ 21,364
Bài 2.5. Sử dụng tính chất tổng các cột của ma trận A nhỏ hom 1,
tức là a j! + a2i < 1 và a I2 + a22 < 1. Nên 1 - a2] > a n > 0 và
1 - a , 2 > a 22 > 0 , suy r a ( l - a n )(l - a22) > a 12a21 Mặt khác: 1 - a , - a 12 det(E - A ) =
= ( l - a n ) ( l - a 22) - a 12a 21> 0 - a 1 - a 21 22 (đpcm).
Bài 2.6. Theo bảng số liệu trên ta có:
x u = 20, X|2 = 60, x 13 = 10; bị = 50
X2| = 50, x 22 = 10, x 23 = 80; b2 = 10
x 3| = 40, x 32 = 30, x 33 = 20; b3= 40 1) Tổng cầu:
Đối với sản phẩm cùa ngành 1:
X, = 20 + 60 + 10 + 50 = 140;
Đối với sản phẩm của ngành 2:
x 2 = 5 0 + 1 0 + 8 0 + 1 0 = 1 5 0 ; 34
Hircmg dẫn giải bài tập Toan cơ sơ u v ỹ dung
Đối với sàn phẩm cùa ngành 3: x3 = 40 + 30 + 20 + 40 = 130. Tổng chi phí:
Tổng giá trị lao động của mỗi ngành:
2) Ma trận hệ sổ kỹ thuật: 20 60 10 140 150 130 0,143 0,400 0.077 50 10 80 A = 0,375 0.067 0.615 140 150 130 40 30 20 0,286 0,200 0,154 140 150 130 Bài 2.7.
1) Sô 0,4 ở dòng 2 và cột 1 của ma trận A có nghĩa: đẽ sản
xuất ra 1 USD giá trị hàng hóa của mình, ngành 1 cần sư dụng
0,4 USD giá trị hàng hóa của ngành 2.
2) Gọi X) , x2, x3 lần lượt là tồng cầu của các ngành. Khi đó X ,
ma trận tổng cầu là: X =
. Bây giờ tìm X: (E - A)X = B với x 2 X , 10
ma trận cầu cuối cùng B = 5 6
Chương 2. Một sô'mô hình tuyên tính. 35 Khi đó: '1,656 0,701 0,446' '10‘ "22,74 r X = (E -A )-'B = 0,786 1,486 0,340 . 5 = 17,330 0,446 0,573 1,274 6 14,969
3) Neu cầu cuối cùng của ngành 1 tăng 1 đơn vị ta có ma 10 10 0 trận cầu mới: B' = 5 = 5 + 0 7 6 1
Do vậy ma trận tổng cầu mới là:
X' = (E - A)-'B’= (E - A) '(B + e3) = (E - A)-'B + (E - A)-'e3 '22,74 f '0,446' '23,187" 17,330 + 0,340 = 17,670 14,969 1,274 16,243
Nhận xét: Tổng cầu của các ngành tăng lên tương ứng với
các phần tử của cột 1 của (E - A )'1.
Bài 2.8. Bạn đọc tự giải tương tự như 2.7. Bài 2.9. Ta có: '0,1 0,1 , 5 1 1 5' , , 0, 0 1 , 1 0,15 A = =>I|a | = _ * = 0,12 - 0,15.0,2 = -0 .0 2 0,2 0,1 0,2 0,1 A 1) Với D = — ta có: ; 6 36
Hướng dẫn giải bài táp Toán cơ sc ưng dụng A3 |L)| =
= — . IA|3 = — (-0 ,0 2 )3 = 2 - — 6 36 1 1 36 9
2) Ta luôn có: (E- A)"‘(E - A) = E
<=> (E - A )"1 - (E - A ) '1 A = E
<=> ( E - A ) ~ ' = ( E - A ) - 'A + E
O ( E - A ) ' 1 = A ( E - A ) - 1 + E
Nên mệnh đề trên là sai
3) Giải thích ý nghĩa của a ]2 = 0,15: lượng giá trị san phẩm
ngành 1 cần thiết để làm ra một đơn vị giá trị sản phâm ngành 2.
Tổng dòng 1: a M + ai2 = 0,25 là lượng giá trị sán phẩm
ngành 1 cung cấp cho 2 ngành, mồi ngành làm ra một đơn vị sản phẩm của mình.
Tổng cột 2: a )2 + a22 = 0,25 là lượng giá trị sản phâm của 2
ngành cung cấp cho ngành 2 để ngành đó làm ra 1 đơn vị sản phẩm.
4) Áp dụng công thức: Xy = ay.Xj (i, j = 1,2) Ta có:
Xu = anX] = 0,1 X 20 0 = 20
x 2 | = a 2 i - Xi = 0 , 2 X 2 0 0 = 4 0
Tương tự: x 12 = 60; x22 = 40. Klhi đó, ta có bảng I/O: Cầu trung gian Cầu cuối cùng Tổng cằu 1 2 200 20 60 120 400 40 40 320
Chương 2. M ột sô'mò hình tuyến tính.. 37 5) bj =120; x2 = 400 X = AX + B
| x l = a llx l +a|2x 2+b1
íx, = 0,1 X, +0,15.400+120 <=>
Ị x 2 = a 21X| + a 22x 2 +b2 ^ [400 = 0,2xj +0,1,400+b2 X , = 200 <=> b 2 = 3 2 0 10 6) Với B = 10 0,9 0,25 Khi đó: ( E - A ) - 1 = 1 0,78 0,2 0,9 1 '0 ,9 0,25" ì o ' '13,4'
X = ( E -A ) ~ ‘B = 0,78 0,2 0,9 10 .14,1
7) Đặt c = (E - A)' 0 2 , =
— = 0,256 là mức tăng của tông cung của ngành 2 C2I = 0,78
đảm bảo cho ngành 1 tăng cầu cuối cùng lên 1 đơn vị. Bài 2.10. 1) Theo giả thiết:
X,, = 20; X:, = 1 0 :x „ = 10;x, = 100
X | 2 = 10* X n = 1 0 j X T— 1 0; X2 = 1 0 0
X|3 = 8; x2? =1 >: \ 33" 8; X3 = 40 38
Hướng dẫn giải bài táp Toan cơ sc ung dụng Tìm b|, b2, b3 sao cho:
X, = x , ị + x i2 + xl3 + b1( i= 1,2, 3) (*)
Giải hệ phương trình (*) thu được: b, = 62 < b 2 = 14 b , = 12 Ta có bảng I/O như sau: Cầu trung gian Cầu Tổng cầu cuõi cùng 1 2 3 100 20 10 8 62 50 10 10 16 14 40 10 10 8 12 X
2) Áp dung công thức: a = — (i, j = 1,2,3) X J 0.2 0,2 0,2 ta có: A 0.1 0.2 0,4 0,1 0.2 0.2 Y
nghĩa: a23 - 0.4 là lượng san phâm cua neành 2 cuna cấp
cho ngành 3 đẻ ngành đó làm ra 1 đơn vị sàn phẩm. -
Xét cột 2 cua A: Các phàn tử ;ùa cột 2 chính là eiá trị
sản phâm cùa các ngành cuna cấp cho rmành 2 đê ncanh đó
sản xuất ra 1 đơn vị aiá trị sản phalli.
ChươtĩỊỉ 2. M ộ t sô'mó hình tuyến tính... 39
- Xét dòng 3 của A: Các phẩn tử của dòng 3 chính là giá
trị sản phẩm mà ngành 1 cung cấp cho cả 3 ngành để mồi
ngành làm ra một giá trị sản phẩm của mình.
- Tổng dòng 1 bàng 0.6: là lượng giá trị sản phẩm mà
ngành 1 cung cấp cho cả 3 ngành để mồi ngành làm ra 1 giá trị sán phẩm của mình.
- Tông cột 1 bằng 0,4: là lượng giá trị sản phẩm của 3
ngành cung cấp cho ngành 1 đế ngành đó sản xuất ra một đơn vị sản phẩm của mình. 0,8 - 0,2 - 0, 2 ' 3) Ta có: E - A = -0 ,9 0,8 -0 ,6 - 0,1 - 0 ,2 0,8 '1,38 0,49 0,59' v à C = ( E - A ) " ‘ = 0,29 1,53 0,84 0,24 0,44 1,53
- Phần tử c23 = 0.84 là mức tổng cung của ngành 2 để đảm
bảo cho ngành 3 làm ra 1 đơn vị giá trị cầu cuối cùng.
- Cột 2 của c là tổng cung của các ngành để ngành 2 làm
ra một đơn vị giá trị sản phẩm cuối cùng.
- Tổng các phần tử của dòng 1 bàng 2,46 là lượng giá trị
sản phẩm ngành 1 phải có đế mỗi ngành làm ra một đơn vị giá
trị sản phẩm cầu cuối cùng.
- Tổng các phần tử của cột 1 bằng 1,91 là lượng giá trị sản
phẩm của 3 ngành phải có để ngành 1 làm ra 1 đơn vị giá trị sản phấm cuối cùng. 40
Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ se ung dụng. 4) x3 = 600 x23 = a23X3 = 0,4.600 = 240 5) Ma trận tổng cầu X = (E - A ) “' B = C.B "1,38 0,49 0,59 "20' '4 3 ,3 “ 0,29 1,53 0,84 20 = 44,8 0,24 0,44 1,53 10 28,9
6) Ta có: x2 = 80, x3 = 60, b| = 132
Khi đó, ta có hệ phương trình:
X, = 0 ;2 x , + 0 ,2 .8 0 + 0,2.60 + 132 x , = 200
80 = 0,lx , + 0,2.80 + 0,4.60 + b 2 <=> = 20
60 = 0,lx, + 0,2.80 + 0,2.60 + b 3 b, = 12 Ta có bảng I/O như sau: Cầu trung gian Cẩu cuối Tổng cằu cùng 1 2 3 200 40 16 12 132 80 - 20 16 24 20 60 20 16 12 12
Bài 2.11. Ta có mô hình cân bàng Qs, = Q |
r- 3 + 5p, = 12 — 4p, + 2 p 2 <=> Qs' = Q l + 4 p 2 = 15 + 2p, - p 2 d;
Chương 2. M ột sô'mô hình tuyến tính... 41 107 - 107 Pi = f 9 p , - 2 p 2 = 1 5 41 P . = 7 T <=> <=> < 2 p , - 5 p 2 = - 1 6 174 1 7 4 p 2 = p 2 = 41 41 . — 412
Khi đó, lượng cân băng của hàng hóa 1 là: Q, = ----- lượng 6 5 5
cân bàng của hàng hóa 2 là: Q 2 = 41 Bài 2.12. 1)
Để nhà sản suất cung ứng hàng hóa cho thị trường thì
mức giá pi và p2 phải thỏa mãn điều kiện là: p, > 2 - 2 + P, > 0 <=> < - 2 + 3 p 2 > 0 2) Mô hình cân bằng là: Qs, 2 + p, = 1 8 - 3 p , + p 2 = Q d , <=> - 2 + 3 p 2 = 12 + p, - 2 p 2 Q s, = Q d , 4p, - p : = 2 0 fp, = 6 p, = 6 <=> ' 2 <=> < 1 => < p , - 5 p 2 = - 1 4 [ p 2 = 4 lĩp2 = 4
Lượng cân bàng của hàng hóa 1 là: Q, = 4
Lượng cân bằng của hàng hóa 2 là: Q 2 = 1 0 42
Hướng dẫn giải bài tập Toan cơ so uttỹ dung. Bài 2.13.
Đế nhà sản suất cung ứng hàng hóa cho thị truờne thì mức
giá Pi và p2 phải thỏa mãn điều kiện là: p, > 2 - 2 + p, > 0 2 2 + a p 2 > 0 p 2 > - a 1) Mô hình cân bàng là: Qs, =Qd ,
í - 2 + Pị = 18 — 3p, + p 2 Q s2 = Q d2
l “ 2 + a p 2 = 1 2 + P| - 2 P : 20a+54 - 20a~54 [4p,-p2= 20 Pi = 4a+7 P i = A-----n 4a+7 <=> <=> [pr(a+ 2)p2 = -14 76 76 p2 = 4a+7 4a+7
Lượng cân bằng của hàng hóa 1 là Q, = 4a + 7 , ~ 68a - 14
Lượns cân bằng cùa hàng hóa 2 là Q 2 = 4a + 7
2) Ta có: (p ) = ------- ^ r T < 0 nên khi a tãna thi eiá cân ^ 'a (4a + 7)
bằng của hàn2 hóa 1 tăng.
Măt khác ( p, ) = ------ —r—r < 0 nên khi a tăng thi eiá cản /a (4a + 7) băng cua hàns hóa 2 tăne.
Chương 2. M ộ t sô'mô hình tuyêh tính... 43 Bài 2.14. a ọ D = 1 > 0 và
— = 1 > 0 nên hai hàng hóa đã ổ p 2 ỔP| cho là thay thế cho nhau. 2)
Đê nhà sản suất cung ứng hàng hóa cho thị trường thì
mức giá P i và p2 phải thỏa mãn điều kiện là: 3) Mô hình cân bằng là: I
Lượng cân bans cùa hàng hóa 1 là: Q| = 3
Lượng cân bàng của hàng hóa 2 là: Q , = 12 .
Bài 2.15. Bạn đọc giải tương tự như bài 2.14. Bài 2.16. 1) Hàm cầu Q d = a - bq
Qj^O) = a: lượng cầu tối đa.
= - b < 0: aiá tăng 1 đơn vị thì cầu giảm -b đem vị. 44
Hướng dẫn giải bài tập Toan cơ sơ u vg dụng-
Qd > 0 <=> p < —: pmax = — là mức giá tổi đa đối với người b b tiêu dùng. Hàm cung Qs = - c + dp
= d > 0 : giá tăng 1 đơn vi thì cung tăng d đcm vị. õp
Q s > 0 <=> p > — :p
= — là mức giá tối thiểu đối với d mm d người tiêu dùng.
v ề mặt kinh tế ta cần có pmin ad - bc > 0 d b
2) Mô hình cân bàng Qs = Ọ D <=> p = a "° > 0 b + d — ad - bc
Lương cân băng: Q = ----------> 0 b + d
3) Xét giá cân bàng: p = —— — b + d 3 - 1
Ta có — = ------ > 0: cầu tối đa tăng thì giá cản bàne tăng. ơa b + c ỡp
> 0 : khi c tăng thì giá cân bàng tăng. ỡc b + d ỡp - ( a + c) , =
— = ------------ < 0 : b tăng thì giá cán hăng giam. ỡb b + d
Chương 2. M ột so mô hình tuyên tính.. 45 ỡp - ( a + c)
T7 = —--------- > 0 : d tăng thì giá cân băng giảm. da b + d 4)
Khi không có thuế: giá hàng hóa mà người mua trả cũng
chính là giá mà người sản xuất thực hiện.
Khi có thuế thì giá người mua trả (pd) cao hơn giá người bán
thực nhận (ps) một lượng bằng thuế: pD = Ps + t (1)
Mô hình cân bằng: Q d(Pd) = Qs(Ps) w X 1 a + c - b t
<=> a - b(ps + 1 ) = - c + dps o ps = ' (2 ) b + d v u - A ' a + c + dt Khi dỏ Pp = ' (3) b + d
Nhận x ét: Khi có thuế thì người sản xuất bán với giá thấp
hơn và người tiêu dùng phải trả giá cao hơn. _ a + c a + c - b t bt
Ký niêu: As = p - ps = —--------- —-= — — : lưofng chiu b + d b + d b + d thuế của người bán - a + c + bt a + c bt ,, . _ u . í ,
và An = p D - p = ------ :----- — — = — — là lương chiu thuê của b + d b + d b + d
người mua. Ta có: As + AD = t
Lương cân bằng khi có thuế là: Q (t) = —— —- b + d 46
Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ sơ ưtiỹ dụng. Bài 2.17. Mô hình cân bàng:
ÍY = C+I0 + G 0
J Y = 0,85 Y( 1 -t)Y+l 50+I0 -K30
[C = 0,85Yd+150 ^ j c = 0,85(l-t)Y+150
[ [l -0,85( 1 -t)] Y = 150+I0 +G0 <=> C = 0,85(l-t)Y+150 1-0,85(1 -t) <=>
1150+0,8 5 (l-t)(I0+ G 0-15Q) c = 1 -0,85(1 -t)
Thu nhập và tiêu dùng cân bàng lần lượt là: 150+Iq+Gq 150+0,85(l-t)(I0+G0-15Q) 1-0,85(1-t) l-0,85(l-t)
Với I0= = 200; G0 = 450; t = 0,2 ta có Ỹ = 1 5 0 ^ 5 0 = 1-0,85.0,8
C = 0,85.0,8.2500+150 = 1850 (tỷ VNĐ). Bài 2.18.
1) a = C(0): mức tiêu dùng tự định.
b = C '(Y ): xu hướng tiêu dùng cận biên.
Chương 2. M ột sô mô hình tuyên tính. 47
2) Ta có hệ phương trình: Y-C = I0+G0 <=> (*) ỊC = a+bY [-bY+C = a
Giải hệ (*) bàng phương pháp Cramer. Ta có: 1 - 1 |A |-
- i-b > 0 =>Hệ (*) có nghiệm duy nhất -b 1 10 +G 0 '1 A, = = I0 +G 0 + a ; a 1 1
I0 +G0 = a+b(I0+G0) -b a
Khi đó, thu nhập quốc dân và tiêu dùng cân bằng lần lượt là:
— _ Aị _ I0 +G0+a — _ A2 _ a+b(I0+G0) |A| 1-b ; |A| 1-b 3>Tacó: 2 _
Do vậy: (Ỹ )o + (Ỹ )0í - ^1 -b
Mặt khác 0 2. Vậy nhận định trên là sai. y V V /(. j0 Ị _ b 48
Hướng dẫn giải bài tập Toan cơ sớ uvg dụng
4) Vì i Y Ì -----— > 0 nên a tăng thì Y tăng. a 1 — b
Vì ( Y ) = — ——T- > 0 nên b tăng thì Y tăng. V /b ( I _ b ) 2
Vì (c ) = — > 0 nên a tăng thì c tâng. Vì ( c ) =
> 0 nên b tăng thì c tăng. v 'b (1-b)
Bài 2.19. Bạn đọc tự giải tương tự như 2.18.
Bài 2.20. Bạn đọc tự giải tương tự như 2.18. Bài 2.21.
1) Ta có hệ phương trình: |Y = C+I0 +G0 ÍY = C+I0+G0
| c = 150+0,8(Y-T) ^ | c = 150+0,8(Y-0,2Y) = 150+0,64Y
í y = 1 5 Q+I0 + G 0 0,36 c _ 150+Q,64(Ĩ0+G0) [ 0,36
Vậy thu nhập và tiêu dùng cân bàng lần lượt là:
150+Iq+Gq , - _ 15Q+Q,64(Ĩ0-I-G0) 0,36 0,36
Chương 2. M ột số mô hỉnh tuyên tính. 49
Vớj I0 = 2 0 0 ; Go = 900 ta có: Ỹ = 150 + 2 0 0 + 9 0 0 2 0,36 C - 11Q^ ^ 4 ( 2 0 0 +900) = 0,36 T = 0,2Ỹ = 6944,4 2) c = 150 + 0,7(Y -T )
I0 = 200. Tìm Go để ổn định thu nhập quốc dân, tức là: Ỹ = 3472,2 r|-i
' T? - 350+ G0 _ n 0
Ta có Y = — ----- - = 3472,2 0,44
« G 0 = 3472,2.0,44-350 = 1177,768 Bài 2.22.
1) Ta có hệ phương trình: Y = C+I+G0
[Y = b0 +b1Y+a0 +a1Y-a2R 0 +G0
[c = b0+b,Y ° Ịc = b0 +b|Y
(l-a.-bị)Y = a 0+b0+G0-a2R0 1 '-'I <=> C = b0+b,Y Y =
<=> c = bọ (1 -a, )+b1 (a0 +G0 -a2 R0) 50
Hitớìíg dẫn giải bài tập Toan cơ fO Mtg (iụỉtg
Vậy thu nhập và tiêu dùne cân bàng lần lượt lả
— = a0 +b0 +G0 -a2 R 0~ - = b ọ U - a ^ + b Ị U n + G ^ R ọ ) l-a|-bị l “âỊ~t)| 2) Với:
bo = 200; b| = 0,7; ao = 100; ai = 0.2:
a2 = 10; Ro = 7; G0 = 500.
Thu nhập quốc dân cân bàna là:
- = 100+200+500-10.7 = 7 3 0 0 1-0,2-0,7
Hệ số co giãn của thu nhập cân bang theo Go e Ỵ _ _ 1 Gọ u° Ỹ l-a,-b, ' Ỹ
Tại điểm cân bằng: G„ = 500 6 q = ----- ------. = 0,685 ° 0 1-0,2-0,7 7300
Vậy, khi G0 tăng lên 1% thì thu nhập quốc dân cân bang táng khoảng 0,685%. Bài 2.23.
1) Y d = Y - T = ( l - t ) Y = Y - t Y = > T = t Y = > — = t . rY
Số 1 . 1 0 0 % là tỷ lệ thu nhập dành để nộp thuế. 2) lo = 50: NXo = 30.
Chươnp 2. M ột so mó hình tuyến tính...
Xác định thu nhập cân bằng:
Y = 20 + 0,75(1- t)Y + lo + 20 + 0,1 Y + NXo
<=> (0,75t+0,15)Y = 40+I0+NX0 o Y = 4 Q+Ig+NX-° 0,75t+0,15
Hay thu nhâp cân bàng là: Y = 40 lo NX0 0,75t+0,l 5 rpi i A 1 ì p — _ — _ t(40+I0+NX0)
Thuê cân băng là: T = tY = — _ —— 0,75t+0,15
Chi tiêu chính phủ cân bằng là:
G = 20+0,1Ỹ = 2 0 + Q,1(4Q+I° +NXo) 0,75t+0,15
Khi: I0 = 50; NX0 = 30: Ỹ = 1 2 0 0,75t+0,15 120t 15t+15 I = —— :— —— ; o - 0,75t+0,15 0,75t+0,15
Điều kiện cân đổi ngân sách: 1 2 0 t 15t+15 N S ^ o T - G o 0,75t+0,15 0,75t+0,15
<=> 105t = 15 <=> t ----7
3) Khi chưa biết I0, NX0 ta có:
NS = T G = W X ^ o + N X p ) - 1 5 *-3 (X75t+0,15 52
Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ sỡ Im ỹ dụng. Từ đây, ta có:
- N ếu t = 0,1: ngân sách không phụ thuộc vào lo-
- N ếu t * 0,1: ngân sách phụ thuộc vào lo- Bài 2.24.
1) Ta có Yd = (1- t)Y; M = 0,2(1-t)Y; c = 0,8(1 -t)Y
Xác định thu nhập quốc dân cân bàng:
Y = C + Io + Go + X o - M
<=> Y=0,8( 1 -t)Y+I0 +G0 + x 0 -0,2( 1 -t)Y
<=> [ l-0,6(1-t)]Y = I0+G0+X0 0 Y = I o+ G o+ x o 1 -0,6( 1 -t)
Vây thu nhâp quốc dân cân bàng là Y = . ; n 1 -0,6( 1 -t) Mặt khác = ----- í----- =
nên khi I0, t không đồi thì ỠG0 l-0,6(l-t) a x 0
G0 tăng lên 1 đơn vị và giảm nhập khẩu Xo xuống 1 đơn vị thì
thu nhập cân bàng không đổi.
Do đó, nhận định đó là đúng.
2 ) Với lo = 300; G0= 400; Xo = 288; t = 0,2 ta có:
Thu nhập quốc dán cân bàng là:
Ỹ . 300+400+288 . , 9 0 0 .
1 -0 .6 .0. 8
Chương 2. M ột sô'mô hình tuyến tính... 53
Tiêu dùng cân bàng là: c = 0,8-0,8.1900 = 1216.
Nhập khẩu cân bàng là: M = 0,2.0,8.1900 = 304.
Thuế cân bàng là: T = 0,2.1900 = 380.
Ngân sách: NS = T-G0 = 380-400 = -2 0 < 0 , do đó nền kinh
tế có thâm hụt ngân sách.
Mặt khác: M-X0 = 304-288 = 16>0, do đó nền kinh tế thâm hụt thương mại.
3) Với I0 = 300; Xo = 288; t = 0, 2 thu nhập quốc dân cân bàng là: - = 300+288+Gọ = 588+G0 1-0,6.0,8 0,52 £ = 2500 <=> G0= 712.
Ta có nhập khẩu cân bằng là: = ^ ( 5 8 8 + G 0)
Hệ số co giãn của M theo G0 là:
Tại Go = 712: M = 400 và £q = - . — = 0,5477. 0 3 400
Vậy khi Go tăng 1% thì M tăng khoảng 0,5477%. 54
Hướng dẫn giải bài tập Toan cơ sg intỹ íiựĩtg- Bài 2.25.
1) Ta có hệ phương trình: í Y = C+I+G0
Ị (1 -0,75b)Y+r = 174-25Ò [L = M ^ [5Y-50r = 1500 ■ 10200-1250b 100-37,5b ^ 1 _ 7200-125b r 100-37,5b
Vậy thu nhập quốc dân và lãi suất cân bằng là:
— = 10200-1250b - = 7200-125b 100-37,5b ; r 100-37,5b 2) Ta có: b = C ’(Y)
( y ) = — - —— °— > 0 . Nên b tăng thì Y tảng. v Jb (37,5b-100)
3) Bạn đọc tự giái tương tự như 2.24. Bài 2.26.
1) Ta có: Y = a + b(Y - T0) + d + iY + G0
<=>(l-b-i)Y = a-bT0 +d+G0 ^ Y = a' bT0+d+G0 1 -b-i
Chương 2. M ột số mô hình tuyến tính. 55 a-bT0 +d+G
Hay thu nhập quốc dân cân bằng là: Y = 1 -b-i
2) Vì ( y ) = g__bT0 d G0 > Qn£n khi j tă n g thị thu nhập v h (1-b-i) quốc dân cân bẳng tăng. Bài 2.27.
1) Ta có hệ phương trình: ÍY = C+I0 +G0
f Y = 60+0,7( 1 -t)Y+I0 +G0
| c = 60+0,7( 1 -t)Y ^ ị c = 60+0,7( 1 -t)Y
Y = 6 Q+I0 +G0 l-0,7(l-t) c _ 60+0,7(1-t)(I0+G0) l-0,7(l-t)
Vậy thu nhập quổc dân và tiêu dùng cân bàng lần lượt là:
Ỹ _ 60+Iq+Gq - _ 60+0,7(1-t)(I0+G0) l-0,7(l-t) l-0,7(l-t)
2) Với G0 = 140; I0 = 90; t = 0,4; thu nhập quốc dân và tiêu 60+90+140
dùng cân bàng lần lượt là: Y = = 500 (triệu USD)
1 -0 ,7.0,6 -
60+0,7.0.6(90+140) = 270 (triệu USD). c ~ 1 -0,7.0,6 56
Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ sơ dụng
3) Vì ( y Ị = -7 °(6 0 +1 0 +° 0 ) < 0 nên k h i , tăne (hi thu nhập ' h [l-0 ,7 (l-t)f
quốc dân cân bằng giảm. Vì ( c ) = r0 -
2 < 0 nên khi t tăng thì tiêu dùng ' h [l-0 ,7 (l-t)f cân bàng giảm. Bài 2.28.
1) Ta có hệ phương trình: f Y = C+I+G0
ÍY = a + b( 1 -t) Y+d+x Y+G0 Ị c = a+bYt ^ | c = a+b(l-t)Y Y _ a+d+Gn o c = a( 1 -x)+b( 1 -t)(d+G Q) l-b(l-t)-x
Vậy thu nhập quốc dân và tiêu dùng dân cư cân bàng lần lượt là:
- _ a+d+Gọ , - _ a( 1 -x)+b( 1 -t)(d+G0 )
1 -b( 1 -t)-x ’ l-b(l-t)-x a+d+G
2) Vì ( y ) = —— ^+^ -° - > 0 nên khi X tăng thi thu nhập v '* [l 1- b( -b l ( 1 -t)-x] quốc dân cân bàng tăng.
Chương 2. M ột sô'mô hình tuyến tính. 57
3) Với Go = 500; a = 150; X = 0,1; b = 0,8; t = 0,4;
d = 100. Thu nhập quốc dân và tiêu dùng dân cư cân bàng lẩn lượt là:
Ỹ - 1 5 0 + 1 0 0 + 5 0 0 ,. 7 8 5 , 7 (tỳ USD)
1 -0 ,8 .0 ,6 -0 , 1 -
c = 150+0,8.0,6.1785,7 = 1007,1 (tỷ USD). 4) Vì (Ỹ ) =
- +-G-0}- < 0 nên khi t tăng thì thu nhập v 't [l-b(l-t)-x] quốc dân cân bàng giảm.
í n \ _ -b[(l-x)(d+G 0 )+a(l-x)] A
Vì c = —------------------ r-------- - < 0 nên khi t tăng thì tiêu v [l-b(l-t)-x] dùng cân bằng giảm. Bài 2.29.
1) Ta có hệ phương trình:
[Y = C0 + aY + I0 - b r
J ( l - a ) Y + br = c 0 + I0 lm Y - n r = Ms - L 0
Ị m Y - n r = Ms - L 0
n(C0 + I0) + b(M s - L 0) Y = n ( l - a ) + bm <=>
m(Cọ + lọ) - (1 - a)(M s - Lọ) r = n ( l - a ) + bm
Vậy thu nhập quốc dân và lãi suất cân bằng lần lượt là: 58
Hư&tĩg dẫn giải bai tập Toan cơ so mĩỊỊ dụng.
Ỹ = n(Cọ4'I0)+b(Ms-L0) n( 1 -a)+bm
- = m(C0 +I0)-(1 -a)(Ms-L0) n( 1 -a)+bm 2)
Với a = 0,7; b = 1800; c 0 = 500; L 0 = 800: m = 0.6;
n = 1000; Ms - 2000; I0 = 400.
Thu nhập quốc dân và lãi suất cân bằng lần lượt là:
- _ 100Q.(500 + 400) + 1800.(2000 - 800) = 2 2 Ị 7 3 9 1000.0.3 + 1800.0,6 - _ 0,6.(500 f +4 0 4 0 ) ) - ( l( - 1 0 - , 7 0, )7. ( ). 2 ( 0 2 00 - 800) _ j 3 0 1 3 1000.0.3 + 1800.0,6 (ỸÌ b 1800 90 ^
~ n(l - a) + bm _ 1000.0,3 +1800.0,6 _ 69 /-V - d - a ) -0 ,3 - 3 ' n(l - a ) + bm 1000.0,3 + 1800.0,6 13800
Hệ số co giãn của thu nhập quốc dân cân bằng theo mức cung tiền là: Ỹ _ (V)MS w 90 2000 ,
Em = — = - L .M = — = 1,17647 Y 69 2217,39 Y
nghĩa: Khi tăng mức cung tiên lên 1% thi thu nhập quốc
dân cân bane tăne khoảng 1.17647%.
Hệ sô co eiãn cùa lãi suất cân bàng theo mức cung tiên la:
Chương 2. M ột sô'mô hình tuyến tính...____________________ 59 0r _ (r>MS w -3 2 0 0 0 „ 8 M, = - -
-Mo = — — .— —— = -3,3335 s r 13800 0,13043 Y
nghĩa'. Khi tăng mức cung tiền lên 1% thì lãi suất cân bằng giảm khoảng 3,3335%.
Bài 2.30. Bạn đọc tự giải tương tự như 2.27. C h ư ơ n g 3
ÚNG DỤNG PHÉP TÍNH VI PHẢN, TÍCH PHÂN
HÀM MỘT BIỂN TRONG PHÂN TÍCH KINH TỂ A. ĐỀ BÀI
Bài 3.1. Cho hàm cung, hàm cầu của thị trường 1 hàng hóa: Qs = 4 P - l Q d = 4 - P 2
1) Tìm điều kiện của p để hàm cung, hàm cầu cùng dương.
2) Tìm giới hạn cao nhất (thấp nhất) của giá mua (giá bán) của người mua (bán)
3) Tìm giá và lượng cân bằng (P ,Q ).
Bài 3.2. Cho mô hình thị trường
Hàm cung: Qs = 0,1 p 2 + 5P +10 Hàm câu: Qn = -— P-2
Chứng tò rằng mô hình trên có giá cân bàng thuộc khoảng (3; 5).
Bài 3.3. Cho mô hình thị trường Qs = 6 P -4 Qd = 3 -P 2; p > 0
Chương 3. ứ n g dụng phép tính vi phân, tích phân... 61 1) Tìm hàm cầu đảo.
2) Giới hạn cao nhất (thấp nhất) của giá người mua (người
bán) chấp nhận là bao nhiêu?
3) Chứng minh tồn tại điểm cân bằng thị trường này.
Bài 3.4. Một doanh nghiệp sản xuất có hàm doanh thu:
TR = 4000Q - 33Q2 và hàm chi phí TC = 3Q3 - 3Q2 +
400Q + 500. Xác định mức sản lượng cho lợi nhuận tối đa.
Bài 3.5. Một doanh nghiệp độc quyền có hàm cầu:
p = 40 - 0,03Q và hàm chi phí TC = 10Q + 120. Hãy xác
định sản lượng và mức giá để doanh nghiệp tối đa hóa lợi nhuận.
Bài 3.6. Cho hàm chi phí trung bình AC = — - 0,5Q + 0,25Q2 +10
1) Tìm hàm chi phí cận biên.
2) Với p = 106, tìm Q* thỏa mãn điều kiện cực đại lợi nhuận.
Bài 3.7. Cho hàm doanh thu bình quân: AR = 240 - 0,5Q
1) Tìm hàm doanh thu cận biên MR.
2) Cho biết hàm chi phí TC = 40 + 12Q - 2Ọ2 + 0,25Q3
Xác định lợi nhuận cận biên Mn và tính Mn tại điểm
Qj = 2 0 ; Q 2 = 1 0 .
3 ) Có tồn tại hay không điểm hòa vốn thuộc (10; 20)
62_________ ________ Hướng dẫn giải bài tập Toan cơ so UTỊ£ d ụ n g ...
Bài 3.8. Doanh thu trung bình AR = 240 + 12Ọ - 0.5Ọ : (Q>0)
1) Viết hàm chênh lệch giữa doanh thu cận biên và doanh thu trung bình.
2) Tìm cực trị của doanh thu trung bình. 0.1
Bài 3.9. Cho hàm chi phí trung bình: AC = 12 + ——— F & 0.2 + Q
1) Tính chi phí cận biên MC tại Qo = 10.
2) Tìm hàm chênh lệch giữa chi phí trung bình và chi phi
cận biên; cho nhận xét về hàm này.
3) Tính hệ số co giãn của chi phí theo sản lượng Q tại Q o - 1 0 .
Bài 3.10. Cầu về hàng hóa A là: Qu = 200P'0 5, thị trường hàng
hóa A có 2 hàm cung là: Qsi = 5P° 5 và QS2 = 4P° 5.
1) Hãy lập mô hình thị trường hàng hóa A.
2) Thị trường có tồn tại trạng thái cân bang khône?
Bài 3.11. Cho mô hình thị trường 1 hàng hóa như sau: p = 1 8 0 -0 ,5Q ị p =30 + 2Ọ^
1 ) Hãy xác định trạne thái cân bàng cùa thị trườna.
2) Chính phù đánh thuế t/đơn vị hàng hóa. phái định t la bao
nhiêu đê tôna thuế thu được là lớn nhất.
3) Khi t tăn g 1% thì g iá cản b à n a c ó tăna 1% k h ô n 2 °
Chương 3. ứ n g dụng phép tính vi phân, tích phân... 63
Bài 3.12. Hàm cầu vể ngô có dạng: Q o = 2 0 0 - 5 0 p .
Có 50 cơ sở giống nhau có hàm chi phí tại đó mỗi cơ sở là
TC = Q (Q - sản lượng ngô ở mỗi cơ sờ). Xác định mức sản
lượng Q đê tôi đa hóa lợi nhuận và giá cân bàng của thị trường.
Bài 3.13. Cho hàm cung Qs, hàm cầu ỌD về 1 loại hàng hoá: Q s = 0 , 2 p 2 + 5 p - 1 0 50 Qd = — với p là giá hàng hoá P - 2
1) Với điều kiện nào của p thì cung và cầu đều dương? Với
điều kiện trên hãy viết phương trình cân bằng thị trường
2) Xác định hàm dư cầu và khảo sát tính đơn điệu của hàm
này. Chứng tỏ rằng luôn tồn tại duy nhất giá trị cân bằng trong khoảng (3,5).
Bài 3.14. Cho hàm doanh thu TR = 1400Q - ọ 2 (Ọ > 0)
1) Tìm hàm doanh thu cận biên MR(Q).
2 ) Tại điểm Qo = 500, khi Q tăng lên một đơn vị thì doanh
thu sẽ thay đổi bao nhiêu đơn vị.
3) Tính giá trị doanh thu cận biên tại Qo = 710 và giai thích ý
nghĩa kết quả nhận được.
Bài 3.15. Cho hàm tồng chi phí TC = 2Q2 +3Q + 100 (Q > 0)
1 ) Tìm hàm chi phí cận biên MC(Q).
2) Tính chi phí cận biên lại mức sản lượng Q0 = 2 và giải
thích V nghĩa kết qua nhận được.
64__________________ Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ sà m tg d ụ n g ...
Bài 3.16. .Cho hàm cầu QD = 8 p - p2 (p > 0), Po = 5
Tại mức giá Po, khi tăng giá lên 3% thì lượng cầu thay đổi
một lượng xấp xỉ bằng bao nhiêu %
Bài 3.17. Hãy phân tích mối quan hệ giữa hàm chi phí bình quân
AC(Q) và hàm chi phí cận biên MC(Q), cho biết hàm chi phí
TC = Q2 + 8 Q + 1 8 ( Q > 0 )
Bài 3.18. Hãy phân tích mối quan hệ giữa hàm sản xuất bình
quân APL và hàm sản xuất cận biên MPL, biết hàm sản xuất
ngắn hạn có dạng: Q = 60L - 3L2 (L > 0).
Bài 3.19. Cho biết hàm sản xuất ngẩn hạn Q = 100-v/l (L > 0)
và giá của sản phẩm p = 4ƯSD, giá thuê lao động bàng
p L = 20ƯSD. Hãy tìm mức sử dụng lao động để cho lợi nhuận tối đa.
Bài 3.20. Cho hàm tổng chi phí TC = Q3 - 120Q2 + 14Ọ (Ọ > 0).
Tìm mức sản lượng Q để chi phí bình quân đạt giá trị nhò nhất.
Bài 3.21. Cho biết hàm chi phí TC = Q3 -7Ọ2 + 49Ọ - 4 (Ọ > ])
và hàm cầu đảo p = 40 - Q. Hãy xác định mức sàn lưcmg ọ
cho lợi nhuận đạt cực đại.
Bài 3.22. Một doanh nghiệp có hàm tổng doanh thu: TR = 58Q - 0,5Q2
và hàm tồng chi phí TC = - ọ 3 - 8,5Q2 + 97Q + FC . trong đó
Ọ là sản lượng (Q > 0) và FC là chi phí cổ định.
Chương 3. ứ n g dụng phép tính vi phân, tích phân... 65
1) Với FC = 4, hãy xác định mức sản lượng tối đa hóa lợi nhuận.
2) Hãy phân tích tác động của chi phí cố định FC tới mức
sản lượng tối đa hóa lợi nhuận và mức lợi nhuận tối đa.
Bài 3.23. Một công ty cạnh tranh hoàn hảo có hàm tổng chi phí
TC = Q3 - Ọ 2 + 1 (Q > 1 ).
1) Với giá thị trường p, hãy viết phương trình xác định hàm cung của công ty.
2) Hãy phân tích tác động của giá p tới mức cung tối đa hóa
lợi nhuận và tới mức lợi nhuận tối đa của công ty.
Bài 3.24. Doanh nghiệp độc quyền có hàm cầu đảo:
p = 490 - 2Q và hàm chi phí TC = 0,5Q2A D °5;
Trong đó: Q là sản lượng và AD là chi phí quảng cáo.
1) Với AD = 9, hãy xác định mức sản lượng và giá bán tối ưu.
2) Hãy phân tích tác động của chi phí quảng cáo AD tới mức
sản lượng và giá bán toi ưu.
Bài 3.25. Cho hàm tổng chi phí:
TC = Q3 - 5Q 2 + 14Q + 144 (Q > 0)
1 ) Khảo sát sự thay đổi tuyệt đối của TC theo Q, từ đó cho
nhận xét về mở rộng sản xuất.
2) Tírìh hệ số co giãn của TC theo Q tại Qo = 2. 66
Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ sỏ ưn? dụng.
Bài 3.26. Cho hàm chi phí TC = 5000+ 4 ^ - Q+3
(Ọ là sản lượng, ọ > 0)
1) Tìm hàm chi phí cận biên MC.
2) Tính chi phí trung bình AC tại Qo = 100.
Bài 3.27. Cho hàm chi phí trung bình để sản xuất ra một sản phẩm:
AC = Ọ2 - 12Ọ + 60 (Q là sản lượng, Q>0)
1) Xác định các biểu thức tính sự thay đổi tuyệt đổi và tương
đối của AC theo Q và cho các nhận xét.
2) Xác định hàm chi phí cận biên MC và mô tà trên cùng
mặt phẳng tọa độ đồ thị hai hàm MC, AC. Từ đó hãv nêu các
nhận xét quan hệ giữa MC và AC.
Bài 3.28 Cho biết hàm doanh thu và hàm chi phí cùa nhà sản xuất như sau:
TR = 1400Q - 7,5Q2; TC = Q3 - 6 Q2 + 140Q + 750 ( Q > 0 )
Hãy chọn múc sản lượng để lợi nhuận tối đa.
Bài 3.29. Hãy xác định mức sản lượng tối ưu của nhà sán xuất độc quyền, biết:
Hàm chi phí cận biên MC = 3Q2 - 6 Q + 96 2
Hàm câu đôi với sản phâm: Q = 148 - - p
Chương 3. ứ n g dụng phép tính vi phân, tích phân. 67
Bài 3.30: Cho mô hình thị trường 1 hàng hoá
Qs = 0,3pa(0 < a < 1 )
Qd= 0 , 1 pbMcqd ( b < 0 , 0 < c < l , d * 0 )
Trong đó: Qs, QD là các hàm cung, cầu của hàng A, p là giá
hàng A, M là thu nhập khả dụng, q là giá hàng B
1) Giải thích ý nghĩa kinh tế của a?
2) Hai hàng hoá nêu trong mô hình có quan hệ thay thế hay bổ sung?
3) Tìm mối liên hệ giữa b, c, d để khi p, M, q thay đổi cùng
1 tỉ lệ thì cầu D không đổi.
4) Phân tích ảnh hưởng của M tới lượng cân bằng.
Bài 3.31: Hàm cung Qs và hàm cầu Qo của hàng A có dạng Qs = 0 ,7 p - 1 5 0 Qd= 0,3M - 0,5p +120
Trong đó: p - giá hàng A, M - thu nhập khả dụng
1) Có ý kiến cho rằng lượng cân bàng không phụ thuộc vào
thu nhập, ý kiến này đúng hay sai?
2) Giả sử Nhà nước đánh thuế thu nhập với thuế suất t, phân
tích tác động của thuế tới mức giá cân bàng.
Bài 3.32. Cho mô hình thị trường hàng A dạng: Qp = D (p , Y 0)
( D p < 0 ; D y > 0 ) 68
Hướng dẫn giải bài tập Toan cơ I/Tiff dụtĩỹ. Qs = S (p ,T 0) (S p> 0 ;S To< 0 )
Trong đó: p là giá hàng A, Y0 là thu nhập, T0 lả ihuẻ
1) Phân tích ảnh hưởng của Y0, T0 tới giá cản băng, giải
thích ý nghĩa kinh tế của các kết quả nhận được.
2) Dùng hàm cung phân tích ảnh hưởng của Y0 tới lượng cân
bằng, dùng hàm cầu phân tích ảnh hưởng của To tới lượng cản bằng.
Bài 3.33. Gọi p là giá hàng A, q là giá hàng B, M là thu nhập,
T là thuế. Mô hình thị trường có dạng
Da = 0,8M°’4p'0’5q0,1
Sa = 5,4p°’3T'0,05
1) Cho biết quan hệ giữa 2 hàng hoá A, B.
2) Phân tích tác động của M, T tới giá cân bằng mặt hàng A.
3) Lượng cung Sa thay đổi thế nào khi giá hàne A lảng 7% và thuế cũng tăng 7%.
Bài 3.34. Cho hàm tổng chi phí: TC = Q3 - 5Q2 + 14Q +75 với
Q là sản lượng (Q > 0)
1) Tìm hàm VC, AVC, xác định FC.
2) Tìm hệ số co giãn của c theo ọ tại mức Qo = 10 và giải
thích ý nghĩa kinh tế của nó
3) Tìm các hàm MC và AC, chứng minh MC cắt AC lại điêm AC cực tiểu.
Chương 3. ứ n g dung phép tính vi phản, tích p hân... 69
Bài 3.35: Cho hàm doanh thu trung bình AR = 60 - 3Ọ. Tìm
hàm MR, chứng minh rằng AR, MR có cùng tung độ gốc,
nhưng độ dốc của MR gấp đôi độ dốc của AR.
Bài 3.36. Cho hàm tống chi phí:
TC(Q ) = Q 3 - 4 Q 2 + 1800Q + 150 ( Q > 0 )
Hàm cầu về sản phẩm của công ty là Q = 9000 - p
1) Viết hàm tổng doanh thu là hàm của Q (là hàm của p). 2) Tìm MC và M R theo Q.
3) Tìm Q* để lợi nhuận đạt cực đại.
Bài 3.37. Cho hàm lợi nhuận:
71 = - Q 3 + 3 Q 2 + 1 3 2 0 Q - 10 ( Q > 0)
Tính 7ĩ(0 ) và giai thích ý nghĩa kinh tế.
Tìm mức sàn lượng ọ ’ để lợi nhuận đạt cực đại. _ 9
Bài 3.38. Cho hàm sản xuât: Q = —— L’ +10L2 3
Trong đó: Q - san lượng, L - số đơn vị lao động sử dụng
1) Tìm tập xác định thực tế cùa hàm trên.
2) T ì m h à m san p h â i n t r u n g b ì n h A Ọ v à h à m s ản p h â m bi ê n
MQ. Chứng minh ràng AỌ = MQ tại mức sản lượng ọ mà AỌ đạt cực đại.
3) Tìm mức su dụng la . động L* tại đó ọ đạt giá trị lớn rh; ì . 70
Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ sa ựTỊỹ dụng. 4)
Tìm hệ số co giãn của Q theo L tại mức L = 5 và giãi thích ý nghĩa kinh tế.
Bài 3.39. Một công ty có hàm tổng doanh thu: TR = 60Ọ - 1,5Q2 o 3
và hàm tổng chi phí:T C = ------ 9,5Q 2 + 101Q + FC .
1) Cho FC = 3, tìm mức cung Q* để lợi nhuận đạt cực đại.
2) Gọi n * là mức lợi nhuận cực đại. Phân tích ảnh hường của FC tới Q* và 71 *.
Bài 3.40. Hàm cầu ngược p = 200- Q; TC = Q2
Trong đó: p - giá; ọ - sản lượng
1) Tìm mức sản lượng và mức giá sao cho lợi nhuận cực đại.
2) Tìm hệ số co giãn của cầu tại mức tối đa lợi nhuận.
3) Giả sử chính phủ đánh một lượng thuế t vào mỗi sàn
phẩm bán ra. Tìm mức cung tối đa hóa lợi nhuận; sản lượng đó
thay đổi thế nào khi t thay đổi.
Bài 3.41. Một doanh nghiệp độc quyền có hàm doanh thu biên MR = 1800- 1,8Q2
1) Cho biết nếu tại mức sản lượng Qo =10 mà doanh nghiệp
giảm giá 1 % thì mức cầu sẽ biến động như thế nào?
2) Neu doanh nghiệp định giá bán Po = 50 thì tốna doanh thu là bao nhiêu?
3) Neu doanh nghiệp tăng mức F'.m lượnt: cune từ 10 lén 20
thì tông doanh thu tăng lên bao nhiêu?
Chương 3. ứng dụng phép tính vi phân, tích phân... 71
Bài 3.42. Cho hàm lợi nhuận bậc hai:
7ĩ(Q) = hQ 2 + jQ + k (Q > 0 )
Hãy cho biết các điều kiện đối với các hệ số h, j, k để hàm
lợi nhuận trên thỏa mãn đồng thời các điều kiện kinh tế sau:
1) Khi sản lượng bán ra Q = 0 thì lợi nhuận âm.
2) Lợi nhuận 7i(Ọ )đạt cực đại tại Q* > 0. Bài 3.43. Cho hàm chi phí:
TC(Q) = aQ2 + bQ + c ( a > 0;Q > — ) 2 a
1) Cho biết các điều kiện đối với a, b, c để hàm C(Q) là hàm
chi phí hợp lý về mặt kinh tế; lập hàm AC và MC.
2) Cho hàm cầu ngược về sản phẩm cúa công ty là
p = p(Q) có P’(Q) < 0. Hãy lập hàm doanh thu, doanh thu bình quân, doanh thu cận biên.
3) Hãy lập hàm lợi nhuận; chỉ ra điều kiện để hàm lợi nhuận đạt cực đại
Bài 3.44. Tìm hàm tổng chi phí, hàm chi phí bình quân trong các trường hợp sau:
1 ) T C '( Q ) ,= MC ( Q ) = 15Q2 + 8 Ọ + 3; FC = 100 2) MC = 3Qe°-5Q: FC = 30 3) MC = 2e°-2Ọ; FC = 90 72
Hướng dẫn giải bài táp Toan cơ so im g dụng
Bài 3.45. Tìm hàm tổng doanh thu TR(Q) trong các truờng hợp sau: 1) MR(Q) = 28Q - e°'3Q
2) MR(Ọ) = 10(1 + Q )'2
Bài 3.46. Tìm hàm tổne nhập khẩu M(Y) với Y là thu nhập quốc
dân nếu khuynh hướne nhập khẩu biên M ’(Y) = 0.1 và M = 20 khi Y = 0.
Bài 3.47. Biết tiêu dùng c bàng thu nhập Y khi Y = 1001'SD và
khuynh hướng tiêu dùng là:
C ’(Y) = MPC(Y) = 0.8 + 0,1 Y'°-5 1) Tìm hàm tiêu dùne.
2) Cho biết mức tăng lên của tiêu dùng khi thu nhập tâng từ 100USD lên 200USD
3) Tính hệ số co giãn của tiêu dùng tại mức thu nhập
Y = 200ƯSD, giải thích ý nghĩa của nó. Ị
Bài 3.48. Cho hàm đầu tư I(t) = 12t- (trons đó t là biến thời gian)
1) Xác định hàm vốn K(t) khi K(0) = 25.
2) Xác định tône lượna vốn tích lũy được trona k h o a n e thời
gian t e [0 : 1 ].
Bài 3.49. Cho cầu về một loại hàng hóa (Ọ) phụ thuộc \a o 2 Ìá
cùa hàn2 hóa đó (p) và thu nhập (Y) dạng: Q = 4YỬ 5 - lnp - 2
Chương 3. Ưng dụng phép tính vi phân, tích phân. 73
1) Tính và giải thích ý nghĩa kinh tế của các hệ sổ co giãn
riêng của ọ theo p, theo Y.
2) Tại mức cầu Q0 cho trước, giả sủa giá p tăng 1 đơn vị thi
thu nhập Y phải tăng bao nhiêu thì cầu không đổi.
Bài 3.50. Cho biết hàm cung và hàm cầu đối với một loại sản
phẩm: Qd = Ạ 13 —p ; Qs = 7 ? - 1
Hãy tính thặng dự của nhà sản xuất và thặng dư của người tiêu dùng.
Bài 3.51. Cho Qs và Qo là hàm cung và hàm cầu một loại hàne hóa: Qs = 5 0 p 2 - 2 0
Q „= 0 ,5 p -2M2
Với p là giá một đơn vị hàng hóa, M là thu nhập cúa người tiêu dùng (M > 0)
1) Tìm điều kiện đối với p sao cho hàm cung và hàm cầu đều
nhận giá trị dương. Với điều kiện này hãy viết mô hình cân bàng
thị trường, viết hàm dư cung và xét tính đơn điệu của hàm này theo p.
2) Cho p;Q là giá cân bang và lượng cân bàng. Nếu thu
nhập M giam thi sẽ tác động như thế nào tới p:Ọ .
Bài 3.52. Y là thu nhập, s là tiết kiệm.
B i ế t r à n e m ứ c tiết k i ệ m s = -7 ,42 khi t hu n h ậ p Y = 5. 1)
Hãy xác định hàm tiết kiệm nếu biết khuynh hướna tiết kiệm cận biên: MPS - V - 0.4. 74
Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ so U7Ị£ dụng.
2) Kê từ mức thu nhập dương nào trở lẽn sẽ có tiẽt kiệm dương?
B. HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ Bài 3.1.
1) Điều kiện để lượng cung và lượng cầu dương là: Q s > 0 .Qd > ° 4P - 1 > 0
<=> 4 - p > 0 < = > - 0
2 ) - Qs > 0 « 4 P - ] > 0 o P > - 1
Suy ra: Giá thâp nhât là: p min = —. 4
- Q d > 0 < = > 4 - P 2 > 0 » 0 0 nên p = -5 (loại) và p = 1 (thỏạ mãn).
Vậy giá cân bằng là p = 1 và lượng cân bàng Q = 3
Bài 3.2. Xét mô hình cân bàng Qs = QD
« 0 , l P 2 + 5 P + 10 = - 5 5 - P - 2
« 0 , 1 P 3 + 4 ,8 P 2 - 7 0 = 0 (*)
Xét hàm f(P) = 0,1P3 + 4,8P2 - 70 trên [3; 5]
- f(P) liên tục trên [3, 5]
- f ( 3 ) . f ( 5 ) < 0
Nên phương trình (*) có nghiệm thuộc (3; 5).
Vậy mô hình có giá cân bàng thuộc (3; 5).
Bài 3.3. Bạn đọc giải tương tự bài 3.1. Bài 3.4.
Lợi nhuận của doanh nghiệp là:
71 = TR - TC = 4000Q - 3 3Q 2 - (3Q 3 - 3Q 2 + 400Q + 500)
= -3Q3- 30Q2 + 3600Q - 500 (Ọ > 0)
Bài toán đưa về tìm giá trị lớn nhất của n .
Ta có: (7ĩ)' = -9 Q 2 -6 0 Q + 3600
(7t)' = 0 « 3Ọ2+20Ọ-1200 = 0 76
Hướng dẫn giải bài táp Toán cơ sà ưng đung. _ -10(1+>/37) Q, = <=> _ 10(V37-1) q 2 =
Lập bảng biến thiên kết luận hàm 71 đạt giá trị lớn nhát tại ọ 2. Bài 3.5.
Hàm doanh thu của doanh nghiệp là:
TR = p .ọ = 40Ọ - 0,03Ọ2.
Lợi nhuận của doanh nghiệp là
7t = TR - TC = 40Q - 0 ,03Q : - ( 1 0 Q + 120)
= -0,03Q2 + 30Ọ - 120 (Q > 0)
Bài toán đưa về tìm giá trị lớn nhất của T í .
Ta có: (n)'= -0 .0 6 Ọ + 30
(n)'= 0 <=> Q = 500
Lập bána biến thiên kết luận hàm Tí đạt giá trị lớn nhất tại Q = 500. Bài 3.6. 1) Hàm tông chi phí:
TC = AC.Q = 0.25Ọ3 - 0.5Q2 + 1 oọ + 12 Hàm chi phí cận biên:
MC = (TC)* = 0.75Q2 - Q + 1 0
Chương 3. Ưng dụng phép tính vi phân, tích phân. 77
2 )Với p = 106, hàm tổng doanh thu là: TR = P.Q = 106Ọ Hàm lợi nhuận:
71 = TR - TC = - 0 ,2 5 Q 3 + 0 ,5 Q 2 + 96Q - 1 2 (Q > 0)
Bài toán đưa về tìm giá trị lớn nhất của n .
Ta có: (n)' = -0 ,7 5 Q 2 + Ọ + 96 -32 ( 7 1 ) ' = 0 o 3Q2 - 4Q - 384 = 0 o Q ,= 3 Q2 =12
Lập bảng biến thiên kết luận hàm 71 đạt giá trị lớn nhất tại 0 2 = 1 2 . Bài 3.7.
1) Hàm doanh thu: TR = AC. Q = 240Q - 0,5Q2
Hàm doanh thu cận biên MR = (TR) 1 = 240 - Q 2) Hàm lợi nhuận:
n =TR-TC = 240Q-0,5Q2 -(40+12Q-2Q2 +0,25Q3)
= - 0 ,2 5 Q 3 + 1,5Q2 + 238Q - 40 (Q > 0)
Hàm lợi nhuận cận biên là:
M n = (7t)'= -0 ,7 5 Q 2 + 3Q + 238
Từ đây suy ra M 7t( 1 0 );M ĩi(2 0 )
78__________________Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ sở ừng d ụ n g ■ ■ 3)
Lập bảng biến thiên suy ra không tồn tại điểm hòa vôn
thuộc ( 1 0 ; 2 0 ). Bài 3.8.
1) Hàm chênh lệch là: f(P) = M R - AR
Hàm doanh thu là: TR = AR. Q = 240Q + 12Q2 - 0,5Q 3
Hàm doanh thu cận biên là:
MR = (TR)' = 240 + 24Q - 1,5Q2
Khi đó, hàm chênh lệch là:
f(P) = 240 + 24Q - 1,5Q2 - (240 + 12Q - 0,5Q2) = 1 2 Q - Q 2 2) Ta có: (A R )'= 1 2 - Q (AR)' = 0 <=> Q = 12
Lập bảng biên thiên kết luận hàm doanh thu trung bình đạt
giá trị nhỏ nhất tại Q* = 12. Bài 3.9.
1) Hàm tổng chi phí: TC = AC. Q = 12Q + --P- ■ ^ 0,2 + Q Hàm chi phí cận biên là:
MC = (T C )'= 12 + — 0,0 (0,2 + Q ) 2
Hàm chi phí cận biên tại Qo = 10
Chương 3. ứ n g dụng phép tính vi phân, tích phân. 79 0,02 (0,2 +loỵ 2) f(P ) = AC - M C = Q,1Q ■ ( 0 ,2 + Q ) 2
Lập bảng biến thiên để nhận xét hàm này.
3) Hệ số co giãn của chi phí theo sản lượng Q CTC _ (T C )' n TC Theo giả thiết ta có:
MC(Qo) = 12,000192; TC(Qo) = 120,09804 nên
eĨC (Q ) = 12’000192.10 = 0,9991997 Q 0 120,09804 Bài 3.10.
1 ) Hàm cung Qs = Qsi + Qs2 = 5P0’5 + 4P0,75
Mô hình cân bàng thị trường A:
Qs = Qd<=> 5 P ° 5 + 4 P ° 75 = 2 0 0 P ' 0,5
2) Biến đổi phương trình cân bằng về phương trình đa thức
và chứng minh phương trình có nghiệm. Bài 3.11. 1 ) ọ ị = =360-2P => Q D =>/360-2P 80
Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ so iniỹ dụng. P - 3 0 Q ỉ = p 3 0 2 J V 2
Điều kiện: 3 0 ;t > 0 Giải hệ thu được: Q = < t < 150) - r i / 2 ( 1 5 0 - 1 )
Tông thuê: T = t.Q = t . J — —— =>m ax
Lập bảng biến thiên suy ra T đạt giá trị lớn nhất tại t* = 100.
3) Khi thuế tăng 1% thì giá cân bàng tăng chưa đến 1%. Bài 3.12. Hàm cung là: Qs = 50Q
Mô hình cân bàng thị trường:
Qs = Q d <=> 200-50P = 50Q <=> P = 4-Q ■'TÍ
Chương 3. ứ n g dụng phép tính vi phân, tích phân. 81 Hàm lợi nhuận:
7U = T R - T C = ( 4 - Q ) Q - Q 2 = 4 Q - 2 Q 2
Lập bảng biến thiên, kết luận lợi nhuận đạt giá trị lớn nhất
tại Q = 1 và giá cân bàng khi đó là p* = 3.
Bài 3.13. Bạn đọc giải tương tự bài 3.2 Bài 3.14.
1) Hàm doanh thu cận biên: MR(Q) = (TR)’ = 1400 - 2Q.
2) Tính M R(500) và giải thích ý nghĩa.
3) Tính MR(710) và giải thích ý nghĩa. Bài 3.15. 1)M C = (TC)’ = 4 Q + 3 2)
Tính MC(2) và giải thích ý nghĩa của kết quả. Bài 3.16. 8 2 d
Hê số co giãn của cầu theo giá bằng: £° = -----— 8 - p
Tại Po = 5: Ep = —- . Bạn đọc giải thích ý nghĩa Bài 3.17. TC
Lập hàm chi phí bình quân AC = ——. Tính (AC)’, lập bảng
biến thiên của AC và kết luận. Bài 3.18.
Lập hàm sản xuất bình quânA PL = — . Tính (A P L )\ lập
bảng biến thiên cùa APL và kết luận. 82
Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ sỡ UTtg dụng. Bài 3.19.
Hàm doanh thu: TR = p. Q = 400 Vl
Hàm chi phí: TC = pL. L = 20L
Hàm lợi nhuận: 71 = TR - TC = 4 0 0 a/ l - 20L
Lập bảng biến thiên của hàm 7Ĩ và kết luận. Bài 3.20. TC
Lập hàm chi phí bình quân AC = —— . Tính (A C)’, lập bảng
biến thiên của AC và kết luận. Bài 3.21.
Tìm hàm doanh thu: TR = p. Q và hàm lợi nhuận:
71 = TR - TC . Lập bảng biến thiên của hàm 7t và kết luận. Bài 3.22. 1) FC = 4: Hàm lợi nhuận:
71 = TR-TC = j Q 3 +8Q2 -39Q-4
7i = -Q2 + 16Q-39
k ' = 0 <=>| Q| . Q2 =13
Chương 3. ứ n g dụng phép tính vi phân, tích phân... 83
Lập bảng biến thiên, kết luận lợi nhuận 71 đạt giá trị lớn nhất tại Q* = 13. 2)
Gọi Q là mức sản lượng làm cho lợi nhuận 7Ĩ đạt giá trị
lớn nhất: n(Q *) = 0 «> MR(Q*) = MC(Q*)
<=> 58-Q* = Ọ*2-17Q*+97 (1)
Phương trình (1) không chứa FC nên Q* không phụ thuộc vào FC.
Ta có: 71* = — Q*3 +8Q*-39Q*-FC. ỞK* „ „ ' — —
= - K O => FC tác đ ô n g ngươc chiêu tới n * . ỔFC Bài 3.23.
1) Phương trình xác định hàm cung: p = 3Q2- 2Q. 2) Tìm và ta được: ổp ỡp -
= — ỉ— > 0 VÌQ* > 1. Do đó khi giá p tăng thì mức õp 6 Q * - 2
cung tối đa hóa lợi nhuận tăng.
- — = Q*> 0 . Do đỏ khi giá p tăng thì mức lơi nhuân tối õp đa tăng. 84
Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ sớ UĨĨỊỊ dụng. Bài 3.24.
1) Với AD = 9, lợi nhuận là: 71 = TR-TC = 490Q-3,5Q2 n' = 490-7Q 7ĩ’ = 0 o Q * = 70
Lập bảng biến thiên, kết luận hàm lợi nhuận đạt giá trị lớn nhất tại Q* = 70.
2) Gọi Q* là mức sản lượng tối đa hóa lợi nhuận:
4Q* + Ọ*.AD0’5 - 490 = 0 Khi đó, ta có: -
< 0 vì AD > 0 và Q* > 0. ỔAD 4+AD ’
Do đó, chi phí quảng cáo tăng thì sản lượng tổi ưu giàm. i P l . > n vì JẼ2!
> 0 vì - _ < 0 ỔAD AD ỔAD
Do đó, chi phí quảng cáo tăng thì giá bán tăng. Tại AD = 9, Q* = 70, ta có: Õ Q * _ - 5 n d p * 1 0 n
—V = — < 0 ; —S-— = — > 0 ỔAD 3 ỔAD 3
Bạn đọc giải thích ý nghĩa của kết quà. Bài 3.25.
1) Xét hàm chi phí cận biên:
MC = (TC)' = 3Q2 - 10Q + 14 > 0 với VQ > 0.
Chương 3. ứ n g dụng phép tính vi phẫn, tích phàn... 85
Nên khi sản lượng Q tâng thì chi phí tăng. 2)
Hệ số co giãn của TC theo Q tại Qo = 2: e j c (2) = 0,075 Bài 3.26. 1) Hàm chi phí cận biên: MC = (T C )’ = ^ » 2 (Q+3) 2 2) Hàm chi phí bình quân: 4 ^ _ TC _ 5000 5Q AC = — — = — ■ + — ■ Q Q Q + 3 Khi đó: AC( 100) = 54,85 Bài 3.27. l)(A C )' = 2 Q - 12
- N ếu Q > 6 nên (A C)' > 0.
- N ếu Q < 6 nên (A C)' < 0. TC = 2Q 2-12Q = 2Q(Q-6) Q Q2-12Q+60 Q2-12Q+60
- N ếu Q > 6 nên e jc > 0.
- N ếu Q < 6 nên £qC < 0.
86__________________Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ so U7ig d ụ n g ...
2) TC = ẠC. Q = Q3 - 12Q2 + 60Q
MC = (TC)' = 3Q2 - 24Q + 60
Vẽ đồ thị hàm MC, AC trên cùng mặt phẳng tọa độ. Bài 3.28.
Xác định hàm lợi nhuận 71 = TR-TC
Lập bảng biến thiên và kết luận lợi nhuận đạt giá trị lớn nhất tại Q = 2 0 . Bài 3.29.
Xác định hàm lợi nhuận 71 = TR-TC
Lập bảng biến thiên và kết luận lợi nhuận đạt giá trị lớn nhất tại Q - 7. Bài 3.30.
1) Ta có £pS = a : khi tăng giá lên 1% thì cung của hàng hóa A tăng khoảng a%. 2 ) Q D = 0 ,lp bM cqd.
^ 0 - = 0 ,ld p bMcq d' 1 (p > 0, M > 0, q > 0) 0 q
- N eu d > 0 : hai m ặt hàng là thay thế cho nhau.
- Neu d < 0: hai mặt hàng bổ sung cho nhau.
3) Giả sử p, M, q cùng tăng 1 tỳ lệ X. ( (X>1 )ta có:
QD(?,p.?JVDoq) = Q D(p.Mq) Cí> = 1 b+í - d = 0
Chương 3. ừ n g dung phép tính vi phàn, tích phẫn. 87
4) Lượng cân bàng: Q*=Q*S= 0,3(p*)a
Với p* là giá cân bằng: p* =g(M, q). Khi đó: ỔM ỡp* 'ỠM
Hay khi M tăng và p, q không đổi thì Q* tăng. Bài 3.31. 1) Điều kiện cân bàng:
Qs = Q d <=> 0,7p*-150 = 0,3M-0,5p* + 120 <=> l,2p*= 0,3M+270
Khi đó, giá cân bàng p* là một hàm của M nên lượng cân
bằng cũng là một hàm của M => Ý kiến nhận định là sai.
2) Với thuế suất t thì thu nhập khả dụng là
M d = (l-t)M ; ( 0 < t < 1) Điều kiện cân bàng là:
Qs= Q d « 0 , 7 p * - 1 5 0 = 0,3(l-t)M-0,5p* + 120
<=> l,2p*+0,3(l-t)M-270 = 0
Đặt F(p , M ,t)= l,2 p +0,3(1-t)M -270. Khi đó:
àp_ = -Q,3(t-1) > Q ỠM 1,2 dp* _ -0.3M at 1,2
Bạn đọc tự nêu ý nghĩa. 88
Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ sớ inig dụng. Bài 3.32.
1) Gọi giá cân bàng là p \ Phương trinh cân bang là: D ( p \ Y o ) = S ( p \ T o )
<=> F ( p * , Y o , T o ) = D ( p \ Y 0) - S ( p * , T o ) = 0 ( 1 )
Phưomg trình này xác định hàm ẩn p’ = g(Y0, To) , ổ p * _ “D ì n* —-— = ------ Khi đó, ta có: ^ - > 0 D . -S . p p
Hay khi thu nhập tăng, các yếu tổ khác không đổi thì giá cân bằng tăng. Tương tự dp* = Yo < 0 . Õ Y n D . -s’. p p
Bạn đọc tự giải thích ý nghĩa. 2) Ta có: [ q ’ = D (p\Y 0)
õq^ = d ^ _ dp_ [p '= g (Y 0,T0) a p " a T 0 < Q'=D(p‘ ,Y0) = ao" õp_ y = r t . T , ) 3 s v 0 3 p " ' e Ý l ) >
Bạn đọc tự giải thích ý nghĩa. Bài 3.33.
1) —— = 0,08.M° V V ’9 > 0 õp
Chưcmg 3. ứ n g dụng phép tính vi phân, tích phân...____________ 89
Hay hai mặt hàng này là thay thế nhau.
2) Sử dụng đạo hàm của hàm ẩn.
3) Áp dụng công thức nhịp tăng trưởng của hàm hợp
rs = eị‘ .rp+4* .rT= 0,3.7%+(-0,05).7% = 1,75% Bài 3.34.
1) VC = Q3 - 5 Q 2 + 14Q v c AVC = —— = Q -5Q+14 Q FC = 75
= ( ĩ £ i n = 3Q3-10Q2+14Q Q TC Q3-5Q2+14Q+75 e jc (10) = 2,993
Bạn đọc tự giải thích ý nghĩa. 3) Hàm chi phí cận biên:
MC = (T C )’ = 3Q2 - 10Q + 14
AC = I £ = Q ỉ -5 Q + 1 4 + ^
90_________________ Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ sỏ UV£ d ụ n g ... Phương trình:
A C = M C <=> Q 2 - 5 Q + 1 4 + — = 3 Q 2 - 1 0 Ọ + 1 4 « 2Q3 -5Ọ2-75 = 0 (2)
Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh. Bài 3.35. AR = 60 - 3Q
TR = AR. Q = 60Q - 3Ọ2
MR = (TR)' = 60 - 6 Ọ
Tung độ gốc của AR và MR bàng 60.
Hệ số góc của AR bằng -3 (1)
Hệ số góc của MR bàng - 6 (2)
Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh. Bài 3.36. 1) Hàm doanh thu
TR = p. Q = (9000 - Q)Q = 9000Ọ - Q2 2) Hàm chi phí cận biên:
MC = (TC)’ = 3Q2 - 8 Ọ + 1800 Hàm doanh thu cận biên: MR = (TR)' = 9000- 2Q
Chương 3. ứ n g dụng phép tính vi phân, tích phân. 91 3) Hàm lợi nhuận
71 = TR-TC = -Ọ3 +3Q2 +7200Ọ-150
Lập bảng biến thiên và kết luận lợi nhuận đạt giá trị lớn nhất tại Q = 5 0 . Bài 3.37. 1) 71(0) = -10
2) Lập bảng biến thiên và kết luận lợi nhuận đạt giá trị lớn nhất Q* = 22. Bài 3.38. 1) Q > 0
L3+10L2 > 0 < ^ 0 < L < 15 (*) 2) A P = — = — L2 + 10L L 3 MP = Q '(L) = -2L2+20L -4 ' •
Mặt khác (A P )'= — L+10. Lập bảng biên thiên và kêt luận 15
AP đạt giá trị lớn nhất tại L* = L = 0 AP = MP » - L 2-10L = 0 « 15 • 3 L = 15
Dối chiếu với điều kiện (*) suy ra AP = MP khi L* =
92__________________ Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ sỏ ứrtg d ụ n g ...
3) Lập bảng biến thiên của hàm lợi nhuận Q, kết luận lợi
nhuận đạt giá trị lớn nhất tại L* = 10.
4) Hệ số co giãn của TC theo L: TC _ Q' r _ 30-3L L Q 15-L Khi đó J c (5 )= - . L 2
Bài 3.39. Bạn đọc tự giải tương tự bài 3.22. Bài 3.40.
1) Xác định hàm chi phí TC = Q2
Hàm doanh thu TR = p.Q = 200Q - Q2
Hàm lợi nhuận 71 = TR - TC = 200Q - 2 Q 2 (Q > 0)
Lập bảng biến thiên của hàm lợi nhuận 71 và kết luận
hàm lợi nhuận đạt giá trị lớn nhất tại Q* = 50. 2) Q* = 50 => p*= 150
Hệ số co giãn của cầu theo giá: Q _ Q ' _ - p
£„ = — .p = ----- -— p Q 2 0 0 - p Khi đó: Ep ( p ’ ) = - 3 .
3) Khi có tác động của yếu tố thuế, có hai cách tiếp cận:
a) Thuế làm thay đổi hàm cầu:
p + t = 200 - Q <=> p = 200 - Q - 1
Chương 3. ứ n g dụng phép tính vi phân, tích phán... 93
Khi đó hàm doanh thu là TR = p. Q = 200Q - tỌ - Q2
Hàm lợi nhuận: n = TR - TC = 200Q - tQ - 2 Q 2
Lập bảng biến thiên, kết luận lợi nhuận 71 đạt giá trị lớn nhất . 2 0 0 - 1 tại Q = ——— . 4
b) Coi thuế làm tăng chi phí hay chi phí mới có dạng: T O Q 2 + t Q
Khi đó hàm lợi nhuận: 71 = TR - TC = 200Q - tQ - 2 Q 2
Lập bảng biến thiên, kết luận lợi nhuận 7Ĩ đạt giá trị lớn nhất . 2 0 0 - t tại: Q = ——— 4 200 - 1 ỔQ’ - 1 n
Suy ra: Q = — —— = > -= —- < 0 . 4 ỡt 4
Vậy thuế tăng thì lượng cung tối đa giảm. Bài 3.41.
1) Ta có: TR = p.Q => p = — = A R (Q )
Mặt khác: TR = jM R d Q = 1800Q - 0,6Q 3 + c .
Ta luôn có: 0 = TR(0) => c = 0 => TR = 1800Ọ - 0,6Q3
Khi đó: p = ™ = 1800 - 0,6Q 2. 94
Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ sỡ m tg dụng. o Qp.p 1 8 0 0 -0 .6 Q 2
Hệ sô co giãn của câu theo giá: 6p = — — = ---------—
Tại: Qo=10: 8^(10) = -1 4 ,5 .
2) p = 50 ^ 5 0 = 1 8 0 0 - 0 ,6 Q 2 <=> Q* « 54
Tổng doanh thu: TR = Q \ p » 54.50 = 2700
3) Mức tăng của tổng doanh thu khi sản lượng tăng từ 10 lẽn 20:
T R (20) - T R (10) = |M R d Q = Ị(1800 - 1,8Q2 )dQ = 13800 10 10 Bài 3.42.
1) 7i(0) < 0 <=> k < 0 (1) 2) n ’= 2hQ + j
k '= 0 <=> Q ’ = — :Q ’ > 0 <=> jh < 0 (2) 2h
Hàm 71 đạt lợi nhuận lớn nhất thì:
7 ĩ " ( Ọ * ) < 0 <=> 2h < 0 <=> h < 0 ( 3)
Ket hợp với (2) suy ra j > 0
Hơn nữa n (Q ‘ ) = —— + > 0. 2h
Kết hợp với (3) suy ra j 2 - 4hk > 0 (4)
Chương 3. ứ n g dụng phép tính vi phân, tích phân. 95 k < 0 j > 0
Từ (1), (2), (3) và (4) suy ra điều kiện: h < 0 j 2 - 4 h k > 0 Bài 3.43.
1) Theo giả thiết chỉ xét một nửa parabol quay bề ỉõm về _
phía trên ứng với Q > —— . Tính hop lý về măt kinh tế của hàm 2a chi phí là:
+) Khi sản lượng Q = 0 thì chi phí luôn dương (do chi phí cố định)
+) Khi sản lượng tăng thì chi phí tăng. - b
Ta có: TC' = 2aQ + b > 0, với mọi Q > 2a
Muốn hàm TC đồng biến với mọi Q > 0 ta phải có:
- b < 0 <=> b > 0 (Vì a > 0) 2a Mặt khác: TC(0) = c > 0
Vậy điều kiện các hệ số là: a > 0, b > 0, c > 0. TC c Ta có: AC' - = aQ + b + — (Q > 0) MC = TC’ = 2aQ + b
96__________________Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ sà ưrtg dụng. 2) TR = p.Q = p(Q). Q a d _ t r _ A R = = p Q
MR = TC' = p(Q) + Q. p'(Q) = AR +Q. p’(Q) 3) Hàm lợi nhuận
Tt = p(Q ).Q - aQ 2 - bQ - c -> m ax
7C*= p(Q) + Q.p'(Q) - 2aQ - b Điều kiện cần:
n'= 0 <=> M R (Q ) = M C (Q ) có nghiệm Q* Điều kiện đủ:
7 i " ( Q * ) < o « M R ' ( Q ‘ ) < m C ' ( Q * ) Bài 3.44.
1 ) T C (Q ) = |M C (Q )d Q = 5 Q 3 + 4 Q 2 + 3Q + c
TC(0) = FC = 100^ > c = 100 TC = 5Q3 + 4Ọ2 + 3 Q + 100
=> AC = — = 5Q 2 + 4 Q + 3 + — Q Q
2) TC (Q ) = |M C (Q )d Ọ = |3 Q e° 5QdỌ = 3 Jọ e ° 5°d Ọ
Tích phân từng phần ta được:
Chương 3. ứn% dụng phép tính vi phân, tích phân. .■________
TC(Q) = 6Q e°50 - 12e°5Q + c
FC = 30 <=> TC(0) = 30 Cí> c = 42 Khi đó:
T C (Q ) = 6Qe°-5Q - 12e°-5Q + 42 12e0'50 42
và A C = 6e°‘5Q - ———— + — Q Q
3) TC(Q) = |M C (Q )d Q = |2e°-5QdQ = 4e°’5Q + c
TC(0) =FC = 90 <=> c = 86
Khi đó: T C (Q ) = 4 e 0>5Q + 86 và A C = ^ Bài 3.45. 1) TR(Q) = |M R(Q)dQ
= j(28Q-e°’3Q)dQ = 14Q2- — e0,3Q+C . , „ 10 T R (0) =0 <» c = - y
Khi đó: T R (Q ) = 14Q2 - J e ”-w + y .
2 ) TR (Q ) = jM R (Q )d Q = JlO(l + o r dQ = + 1 "4" 98
Hướng dẫn giải bài tâp Toán cơ sỏ inỉỹ dụng... TR(O) = 0 « c = 10 10 _ 10Q
Khi đó: T R (Q ) = 1 0 - 1 + Q ” 1 + Q Bài 3.46.
M(Y) = jM '(Y )d Y = |0 ,lY d Y = 0,1Y + c
M(0) = 2 0 <=> c = 20
Khi đó: M (Y ) = 0,1 Y + 2 0 . Bài 3.47.
1) C(Y) = JC'(Y)dY = j(0,8+0,lY-°-5)dY = 0 ,8 Y + ịV Ỹ + a C (1 0 0 )= 20 o a = 18
Khi đó: C( Y) = 0,8Y + — V Ỹ + 18.
2) C (200) - C(100) = 78 + 2 ^ 2 .
3) Hệ số co giãn của c theo Y là: .200 = 0,8926
1) K ( t) = J l(t)d t = j l 2 t 3dt = 9 ự t 7 + C Mà: K(0) = 25 => c = 25
Chương 3. ứ n g dụng phép tính vi phân, tích phân. 99
Khi đó: K (t) = 9 ự t ĩ + 25 2) K (l) - K(0) = 9 Bài 3.49.
1) Hệ số co giãn riêng của Q theo p: A . í ị s . . -■ p Q d 4 Vỹ + 2 - l n p
Hệ số co giãn riêng của Q theo Y : e Qd _ ( Q d ) ' y y = 2 V Ỹ Y Qd ' 4 VỸ + 2 - l n p
2) Qn = 4 y fỸ -lnp+2 <=> F(Y,p) = 4VỸ-lnp+2-QD = 0 o 0 VỸ
Từ đây suy ra: Y 'p = —— 2p 2 2
Bài 3.50. c s = 2 2 8 - và PS = 2 7 7 - 3 3 Bài 3.51. a/ Ĩ Õ
1) Điều kiện của p: p >
Mô hình cân bàng là: Q s = Q D <=> 50p2 - 20 = 0,5p"2M 2 r / X ^ ^ _ 50p 4 - 2 0 p 2 - 0 ,5 M 2
Hàm dư cung: f(p ) = Qs - Q d = ----------------------------- p 100p4 + M 2 AW _
Ta có: f '( p ) = ---------r ---------- > OVp > 0 . p
100_______________ Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ sở ừrtỊỊ dụn g...
Hàm f(p) luôn đồng biến với mọi p >0.
2) Ta có: 5 0 p 4 - 2 0 p 2 - 0,5M 2 = 0 và Q = 0 ,5 p : M 2 - ^
> 0 . D o đó M giảm thì Q giảm . ỔM p -
= —— ~~T-------> 0 . D o đó M giảm thỉ P giảm. ỔM 4 0 p (4 p - 1 ) Bài 3.52. 1) MPS = Y - 0,4
=> s = jM P S d Y = j( Y - 0,4)dY = - Y 2 - 0 ,4 Y + c
S(5) = -7 ,4 2 <=>c = -1 7 ,9 2
=> s = — Y 2 - 0 ,4 Y -1 7 ,9 2 2
2) Giải bất phương trình:
s > 0 <=> Y 2 - 0 , 8 Y - 35,84 > 0. Từ bất phương trình này suy ra điều kiện của Y. C hư ơ ng 4
ỨNG DỤNG PHÉP TÍNH VI PHÂN
HÀM NHIỀU BIỂN TRONG PHÂN 1ÍCH KINH l í A. ĐẺ BÀI
Bài 4.1. Cho hàm sản xuất: Q = Í - K 0'5 + “ L0,6j .
Trong đó: Q là sản lượng, K là vốn, L là lao động (Q, K, L >0).
1) Tìm năng suất cận biên của vốn và lao động?
2) Với hàm sản xuất trên thì hiệu quả có tăng theo quy mô không?
Bài 4.2. Hàm lợi ích của hộ gia đình có dạng:
Ư(x, y) = lOxy - 3x2 - l y 1
Trong đó: X là số đơn vị hàng hóa 1,
y là số đơn vị hàng hóa 2 (x > 0 , y > 0).
1) Hàm lợi ích cận biên có thỏa mãn quy luật lợi ích cận biên giảm dần hay không?
2) Viết đường bàng ourn tại X = 2 và y = 2; tìm độ dốc của
đường này và giải thíc 1 ý nghĩa của giá trị tìm được. 102
Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ sỡ ÚV£ dụng...
Bài 4.3. M ột công ty sản xuất 2 loại sản phẩm (cạnh tranh hoàn
hảo). Cho biết giá của 2 loại sản phẩm lần lượt là Pị, P2 và
hàm tổng chi phí có dạng: TC = 2 Q Í + 2 Q 2 + Q ,Q 2
1) Tìm mức sản lượng cho mỗi loại sản phẩm để đạt lợi nhuận tối đa.
2) Khi p b p 2 biến động sẽ tác động như thế nào đến các mức sản lượng tối ưu.
Bài 4.4. Một công ty độc quyền sản xuất một loại sản phẩm ờ
hai cơ sở với hàm chi phí tương ứng: T C , = 128+0,2Qf;
TC2 = 156+0,1Q2 (Qi, Q2 lần lượt là lượng sản xuất của cơ
sở 1, 2). Hàm cầu ngược về sản phẩm của công ty có dạng:
p = 600 - 0,1Q; trong đó Q = Ch + Q2 và Q < 6000.
1) Xác định lượng sản phẩm cần sản xuất ở mỗi cơ sờ để tối đa hóa lợi nhuận.
2) Tại mức sản lượng tối đa hóa lợi nhuận, hãy tính độ co giãn của cầu theo giá.
Bài 4.5. Một hãng độc quyền sản xuất ra một mặt hàng nhưng
tiêu thụ ở hai thị trường với các hàm cầu: Qị = 24 - 0,2P|Ỉ
Q2 = 10 - 0,05P2 và hàm chi phí kết hợp là: TC =35 + 40Ọ
(Q = Qi+ Q2). Hãy xác định lượng hàng hóa và eiá bán để
thu được lợi nhuận tối đa.
Bài 4.6. Hãng kinh doanh độc quyền có các hàm cầu trén hai thị trường:
Chương 4. ứ n g dụng phép tính vi phân hàm nhiều biến... 103
Qi = 40 - 2P| — p 2; Q2 = 35 - p | - p2
Cho biết hàm tổng chi phí: TC = Qj* + 2 Q 2 +10
1) Tìm mức sản lượng cho mỗi thị trường để lợi nhuận tối đa.
2) Hãy tính mức giá cho mỗi thị trường khi lợi nhuận tổi đa.
Bài 4.7. Nhu cầu 2 mặt hàng phụ thuộc vào giá có dạng:
Q, = 40 - 2P, - p 2; Q2 = 3 5 - P , - P 2
và hàm tổng chi phí: TC = Q,2 + 2 Q 2 +10
1) Xác định sản lượng để lợi nhuận đạt giá trị lớn nhất.
2) Tính chi phí cận biên cho từng mặt hàng tại mức tối ưu.
Bài 4.8. Một trung tâm thương mại có doanh thu phụ thuộc vào
thời lượng quảng cáo trên đài phát thanh (x: phút, X > 0) và
trên đài truyền hình (y: phút, y > 0). Hàm doanh thu:
TR = 320x - 2x2 - 3xy - 5 / + 540y + 2000
Chi phí cho mỗi phút quảng cáo trên đài phát thanh là 1 triệu
đồng, trên đài truyền hình là 4 triệu đồng. Ngân sách chi cho
quảng cáo là 180 triệu đồng.
1) Tìm X, y để cực đại doanh thu
2) Nếu ngân sách chi cho quảng cáo tăng 1 triệu đồng thì
doanh thu cực đại sẽ tăng lên bao nhiêu?
Bài 4.9. Cho hàm sàn xuất Q = 0,3K°-5L °5
Trong đó: Q là sản lượng; K là vốn và L là lao độne (Ọ, K, L > 0). 104
Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ sở ung dụng.
1) Tính lượng sản phẩm cận biên của vổn vả lao động tại Ko = 4;L o = 9.
2) Chứng minh ràng năng suất biên của vốn là hàm thuần nhất bậc 0.
3) Cho biết quá trình sản xuất trên có hiệu quả như thế nào với việc tăng quy mô?
Bài 4.10. M ột hộ gia đình cỏ hàm lợi ích tiêu dùng với 2 loại hàng hóa như sau: U(X|, x2) = 5 xf-4x í 4
Trong đó: Xị là số đơn vị hàng hóa 1, x2 là số đơn vị hàng
hóa 2 (Xị, x2 > 0).
Ngân sách tiêu dùng là 300ƯSD; giá một đơn vị hàng hóa 1,
2 lần lượt là 3ƯSD, 5USD.
1) Tìm gói hàng hóa mà tại đó hộ gia đình có lợi ích tiêu
dùng đạt giá trị lớn nhất.
2) Nếu ngân sách tiêu dùng giảm 1ƯSD thì mức lợi ích tối đa giảm bao nhiêu?
3) Nếu ngân sách tiêu dùng giảm 2% thì mức lợi ích tối đa giảm bao nhiêu?
Bài 4.11. Một doanh nghiệp có hàm sản xuất Q =K0 3L0 5
Trong đó: Q là sản lượng, K là vốn, L là lao động (Q, K, L > 0). 1)
Quá trình sản xuất có hàm sản lượng trên có hiệu quá như
thế nào đối với việc tăng quy mô sản xuất.
Chương 4. ứ n g dụng phép tính vi phân hàm nhiều biẽh. . 105
2) Tìm sản lượng cận biên theo vốn, theo lao động.
3) N ếu doanh nghiệp thuê một đơn vị vốn là 6USD; một đom
vị lao động là 2ƯSD; ngân sách chi cho các yếu tố đầu vào là
384ƯSD. Tìm mức sử dụng vốn và lao động để sản lượng tối đa.
4) Nếu tăng ngân sách chi cho yếu tố đầu vào 10USD thì sản
lượng tối đa tăng bao nhiêu?
Bài 4.12. Cho hàm sản xuất Cobb - Douglas: Q = 30k U (K > 0;L > 0)
Trong đó: Q là sản lượng; K là vốn; L là lao động (Q, K, L > 0)
1) Tìm và giải thích ý nghĩa kinh íế tại điểm Ko = 27 và Lo = 64 của: ^ = Q K = Q, = Q L = Q 2 ỔK ỔL
2) Tính các hệ số co giãn riêng của Q theo K và L.
Cho biết ý nghĩa tại điểm Ko = 27; L0 = 64.
3) Nếu K và L cùng tăng 1% thì Q tăng bao nhiêu phần trăm.
4) Với hàm sản xuất trên khi tăng quy mô thì hiệu quả có tăng không?
5) Hàm sổ đã cho có thỏa mãn quy luật lợi ích cận biên giảm dần hay không?
6) Tại mức đầu vào Ko = 27, Lo = 64; giả sử dK = 0,1;
dL = 0 3 là các mức biến động của vốn và lao động. Tìm các
mức biến động dQtc. dQ L và giải thích ý nghĩa kinh tế các đại
lượng đó. Tìm và giải thích ý nghĩa vi phân toàn phần dQ. 106
Hướng dân giái bài tập Toán cơ sớ ưng aụng...
Bài 4.13. Cho hàm sản xuất Q = 0,3K°’5L°'5
Trong đó: Q là sản lượng; K là vốn; L là lao động (Q, K, L > 0).
1) Hãy tính sản phẩm biên của vốn và lao động tại Ko = 4; Lo = 9.
2) Quá trình công nghệ thể hiện bằng hàm số trên có năng
suất cận biên giảm dần hay không? Hãy giải thích.
3) Nếu K tăng lên 8% và L không đổi thì Q tảng bao nhiêu %?
4) Viết phương trình đường mức tại K0 = 16; L0= 9.
Bài 4.14. Cho biết hàm lợi nhuận của một doanh nghiệp sản xuất ba loại sản phẩm là:
n = -Q Ĩ -3Q * - 7 Q 32 + 300Q 2 + I 2 0 0 Q 3 + 4Q ,Ọ 3 + 2 0
Hãy tìm mức sản lượng Q b Q2, Q3 để doanh nghiệp thu được lợi nhuận tối đa.
Bài 4.15. Một hộ gia đình có hàm lợi ích tiêu dùng với 2 loại hàng hóa như sau: U ( x „ x 2 ) = 5xJ-4x J 4
Trong đó: X! là số đơn vị hàng hóa 1, x2 là số đơn vị hàng hóa 2 (X|, x2 > 0).
Ngân sách tiêu dùng là 300ƯSD, giá một đơn vị hảng hóa 1,
2 lần lượt là 5USD, 3USD. 1)
Hàm số trên có tuân theo quy luật lợi ích cận biẽn giảm dần hay không?
Chương 4. ứ n g dụng phép tính vi phân hàm nhiều biến. 107
2) Hai hàng hóa trên là thay thế hay bổ sung cho nhau?
3) Nếu ngân sách tiêu dùng giảm 2% thì mức lợi ích tối đa giảm bao nhiêu?
Bài 4.16. Cho hàm lợi ích tiêu dùng ư = X[X2 + Xt + x2
Trong đó: X] là số đơn vi hàng hóa 1, x2 là số đơn vị hàng hóa 2 (Xj, x2 > 0).
Giả sử giá của các mặt hàng tương ứng là P] = 2ƯSD;
p2 = 5ƯSD và thu nhập dành cho tiêu dùng là 51 USD. Hãy xác
định lượng cầu đối với mỗi mặt hàng trên nếu người tiêu dùng
tói đa hóa lợi ích của mình.
Bài 4.17. Cho biết hàm lợi ích tiêu dùng: Ư = X°,6X°’25.
Trong đó: X\ là số đơn vi hàng hóa 1, x2 là số đơn vị hàng hóa 2 (Xi, x2 > 0).
Giả sử giá của các mặt hàng tương ứng là Pi = 8ƯSD;
p2 = 5USD và thu nhập dành cho tiêu dùng là 680ƯSD. Hãy xác
định lượng cầu đối với các mặt hàng để người tiêu dùng tối đa hóa lợi ích của mình.
Bài 4.18. Một doanh nghiệp có hàm sản xuất như sau: Q = 1 2 Ự k 7 . V l .
Trong đó: Q là sán lượng; K là vốn; L là lao động (Q, K, L > 0). 1)
Hãy tính MPK, MPL tại điểm (K0 = 125, L0 = 100) và giải thích ý nghĩa. 108
Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ sớ ứng dụng.
2) Chứng tỏ rằng MPK giảm khi K tăng và L không đôi.
3) Chứng tỏ rằng MPL giảm khi L tăng và K không đồi.
Bài 4.19. Cho biết hàm lợi ích của người tiêu dùng Ư = x0 4y0-7;
trong đó X là lượng hàng hóa A (x > 0), y là lượng hàng hỏa B (y > 0).
1) Hãy lập các hàm số biểu diễn lợi ích cận biên của mồi
hàng hóa. Hàm này có phù hợp với quy luật lợi ích cận biên giảm dần hay không?
2) Nếu lượng hàng hóa A tăng 1% và lượng hàng hóa B
không đổi thì lợi ích tăng bao nhiêu %.
Bài 4.20. Một doanh nghiệp sản xuất 2 loại sản phẩm với hàm chi phí kết hợp như sau:
TC = 45 + 125Q, + 84Q 2 -ÓQ^Q* +0,8Q^ +1,2Q^
(Q i > 0 , Q 2> 0 , Q 3> 0 ).
Hãy lập các hàm số biểu diễn chi phí cận biên của mỗi sản phẩm.
Bài 4.21. Cho hàm cầu đổi với một mặt hàng như sau:
Q = 35 - 0,4p + 0,15m + 0,12 p s
Trong đó: Q, p là lượng cầu và giá của hàng hóa đó, m là thu
nhập, Ps là hàng hóa thay thế. Hãy lập hàm sổ biểu diễn.
1) Hệ số co giãn của cầu theo giá p;
2) Hệ số co giãn của cầu theo thu nhập m.
3) Hệ số co giãn của cầu theo giá hàng hóa thay thế ps.
Chương 4. ứ n g dụng phép tính vi phân hàm nhiều biên. 109
Bài 4.22. Hãy đánh giá hiệu quả của quy mô qua các hàm sản xuất 1) Q = 2 0 K 0 4L°'3 2) Q = 5K°’6L0’8
3 ) Q = 1 2 a/ K . Ự Ữ
4) Q = (2 K 0’6 + 3 L 0’7)2
Bài 4.23. Cho biết hàm lợi ích u = (Xi + 3)x2.
Tròng đó: X! là lượng hàng hóa A (X! > 0), x2 là lượng hàng
hóa B (x2 > 0). Hãy chọn túi hàng để lợi ích tối đa trong điều
kiện giá hàng hóa A bằng 5USD, giá hàng hóa B là 20ƯSD,
ngân sách tiêu dùng là 185ƯSD.
Bài 4.24. Giả sử doanh nghiệp độc quyền sản xuất hai loại sản
phẩm với hàm chi phí kết hợp TC = Qf + 5QịQ2 + Q* (Ch > 0,
Q2 > 0). Giả sử cầu đối với hàng hóa đó là Pi = 56 - 4Q j;
p2 = 48 - 2Q2. Hãy xác định mức sản lượng và giá tối ưu của các sản phẩm.
Bài 4.25. M ột công ty độc quyền sản xuất một loại sản phẩm tại
hai nhà máy với hàm chi phí cận biên như sau (Qj là lượng
sản phẩm sản xuất ở nhà máy i, Qi > 0; MCi là chi phí cận
biên của nhà máy i): MCi = 2 + 0,2Q b MC2 = 6 + 0,04Q2.
Công ty đó bán sản phẩm trên thị trường với hàm cầu ngược:
p = 66 - 0,1Q. Nếu công ty đó muốn tối đa hóa lợi nhuận thì phải
sản xuất bao nhiêu sản phẩm với giá bao nhiêu?
Bài 4.26. Một công ty sản xuất một loại sản phẩm với hàm sản xuất như sau: Q = K(L + 5). 110
Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ sớ trttg dụng.
T rong đó: Q là sản lượng, K là vốn, L là lao động (Q , K,
L > 0). C ông ty này nhận hợp đồng cung cấp 5600 sản phâm.
Hãy cho biết phương án sử dụng các yếu tố K, L sao cho việc
sản xuất lượng sản phẩm theo hợp đồng tốn ít chi phí nhất,
trong điều kiện giá thuê tư bản W K = 70 và giá thuê lao động W L = 2 0 .
Bài 4.27. Một nhà sản xuất độc quyền sản xuất ra một loại sản
phẩm và bán sản phẩm đó cho hai loại khách hàng. Cho biết
hàm chi phí: TC = 90 + 20Q (Q > 0). Nếu nhà sản xuất đưa
Qi (Qi > 0) sản phẩm ra bán cho loại khách hàng thứ nhất thì
các khách hàng này bàng lòng trả giá P! = 50 - 5Qi (USD)
cho mỗi sản phẩm. Nếu nhà sản xuất đưa Q2 (Q 2 > 0) sản
phẩm ra bán cho loại khách hàng thứ 2 thì các khách hàng
này bằng lòng trả giá p2 = 100 - IOQ2 (USD) cho mồi sản
phẩm. Hãy cho biết lượng cung tối ưu và giá tối ưu cho mỗi loại khách hàng. Bài 4.28.
1) Cho biết hàm đầu tư I = 40.ịft* và quỹ vốn tại thời điểm
t = 0 là 90. Hãy xác định hàm quỹ vốn K(t).
2) Cho biết hàm đầu tư I = 60.ỰĨ và quỹ vốn tại thời điểm
t = 1 là 85. Hãy xác định hàm quỹ vổn K(t).
3) Cho biết xu hướng tiêu dùng cận biên MPC = 0.8 ơ mọi
mức thu nhập Y và mức tiêu dùng thiết yếu (mức tiêu dùng khi
Y = 0) là 40. Hãy xác định hàm tiêu dùng C(Y).
Chương 4. ứ n g dụng phép tính vi phân hàm nhiều biên... 111 4)
Cho biết hàm cầu ngược p = 42 - 5Q - Q2. Giả sử sản
phâm được bán trên thị trường với giá Po = 6. Hãy tính thặng dư của người tiêu dùng.
Bài 4. 29. Hàm thỏa dụng của hộ gia đình khi tiêu dùng hàng
hóa 1, 2 có dạng: u = 40x°'25x°’5;
Trong đó: Xị, x2 là mức tiêu dùng hàng hóa 1, 2 (X| > 0,
x2 > 0). Giá hàng được cho như sau Pi = 4; p2 = 10.
1) Có ý kiến cho ràng hàng hóa 1 luôn có thể thay thế hàng
hóa 1 và tỷ lệ thay thế là 1:1. Hãy nhận xét ý kiến này.
2) Hãy xác định mức cầu hàng hóa 1, 2 của hộ gia đình nếu thu nhập là 600.
Bài 4.30. Một doanh nghiệp cạnh tranh hoàn hảo có hàm sản xuất Q = K0,5 + L0,5
với Pk. = 6; pL = 4; p = 2 (Q là sản lượng, K là vốn, L là lao
động, Q > 0, K > 0, L > 0).
1) Hãy xác định mức sử dụng vốn, lao động tối ưu.
2) Hãy phân tích tác động của giá vốn, lao động tới mức lợi nhuận tối đa.
Bài 4.31. Mức cầu một loại hàng hóa (Qd) phụ thuộc vào giá
hàng hóa đó (p) và thu nhập của người tiêu dùng (M) có
dạng như sau: Qd= l,5M °'3p'0’2
Mức cung loại hàng trên (Qs) có dạng: Qs = 1,4p0,3
1) Xác định hệ số co giãn của cầu theo giá, theo thu nhập. 112
Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ sà úng dụng. 2)
Hãy xem xét tác động của thu nhập M tới mức giá cân bàng.
Bài 4.32. Cho hàm sản xuất Y(t) = 0,2K°'4L0-8
Trong đó K =120 + 0 ,lt; L = 200 + 0,3t (t là thời gian, t > 0).
1) Tính hệ số co giãn của Y theo K và theo L.
2) Tính hệ số tăng trưởng của vốn K, lao động L và Y.
3) Hãy cho biết hiệu quả của việc tăng quy mô sản xuất trong trường hợp này.
Bài 4.33. Nhu cầu hai mặt hàng phụ thuộc giá như sau:
Q , = 4 0 - 2 P , - P 2; Q2 = 3 5 - P , - P 2.
Tổng chi phí là hàm của các sản lượng: TC = Qf + 2Q* +12
Trong đó: Pj, Qi là giá và sản lượng hàng hóa thứ i (i = 1 ,2 )
1) Xác định mức Qi, Q2 sao cho tổng lợi nhuận lớn nhất.
2) Tính chi phí cận biên cho từng mặt hàng tại mức tối ưu tìm được ở câu a).
3) Hai mặt hàng này có thay thế lẫn nhau trong tiêu dùng không?
Bài 4.34. Thu nhập quốc dân của một quốc gia (Y) phụ thuộc
vào von (K), lao động được sử dụng (L) và ngân sách đào
tạo 5 năm trước đó (G) như sau:Y = 0,24K°'JL° 8G0 <>5
Chương 4. ứ n g dụng phép tính vi phân hàm nhiều biến. 113
Trong đó các yếu tố biến đổi theo thời gian như sau: hàng
năm vốn tăng 15%, công ăn việc ỉàm tăng 9%, chi phí cho đào
tạo tăng 20%. Tính hệ số tăng trưởng của thu nhập quốc dân. 2 J_
Bài 4.35. Cho hàm sản xuất Q = 300K3L4 (Q > 0, K > 0, L > 0).
Trong đó: Q là sản lượng, K là vốn, L là lao động (Q, K,
L > 0). Gọi Pq, Pl , Pk là giá bán một sản phẩm, giá thuê một đơn
vị vốn và giá thuê một đơn vị lao động. Hãy xác định vốn và lao
động sao cho lợi nhuận đạt cực đại biết Pọ = ỉ, PK= 100, PL= 150.
Bài 4.36. Một doanh nghiệp có hàm sản xuất: Q = K 04L03.
Trong đó: ọ là sản lượng, K là vốn, L là lao động (Q, K, L > 0).
1) Hãy đánh giá hiệu quả của việc tăng quy mô sản xuất
2) Giả sử giá thuê tư bản là 4ƯSD, giá thuê lao động là
3USD và doanh nghiệp tiến hành sản xuất với ngân sách cố định
là 1050USD. Hãy cho biết danh nghiệp đó sử dụng bao nhiêu
đơn vị tư bản và bao nhiêu đơn vị lao động thì thu được sản lượng tối đa.
Bài 4.37. Một doanh nghiệp có hàm sản xuất: Q = 40K° 75L°25.
Trong đó: Q là sản lượng, K là vốn, L là lao động (Q, K,
L > 0). Nếu doanh nghiệp thuê một đơn vị vốn là 3ƯSD; một
đơn vị lao động là 1ƯSD; ngân sách chi cho yếu tổ đầu vào là B = 160USD. 1)
Với hàm sản xuất trên khi tăng quy mô sản xuất thì hiệu
quả thay đổi như thế nào? Nấu K tăng lên 1% và L tăng 3 % thì
sản lượng tăng lên bao nhiêu % tại mỗi mức (K, L)? 114
Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ sờ uiig d ụ n g ...
2) Xác định mức sử dụng vốn và lao động để sản lượng tôi
đa. Nếu tăng ngân sách chi cho yếu tố đầu vào 1ƯSD thì sàn
lượng tối đa tăng bao nhiêu đơn vị?
3) Hàm sổ trên có tuân theo quy luật lợi ích cận biên giảm dần hay không?
4) Xác định hàm sản lượng cận biên theo vốn, theo lao động.
5) Xác định phương trình đường đồng lượng tại điểm K0 = 625; L0 — 16
6) Vốn và lao động là hai hàng hóa thay thế hay bổ sung cho nhau.
B. HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ ĐÁP SÓ Bài 4.1.
1) ẼQ. = 1 + 1 L» ‘ K --° 5; Ẽ S. = ± K <°-’ L-°4 + — L°'! ỔK 9 9 ỔL 15 15
2 ) Q = Ì k + ^ k oì l ° ‘ + ^ lÌ = q i + q 1 + q j
Q, = — K : Quá trình sản xuất có hàm sản xuất Qi là có hiệu
quả không đổi theo quy mô (1). 4
Q 2 = — K° 5L°6: Quá trình sản xuất có hàm sản xuát ọ 2 là có
hiệu quả tăng theo quy mô (2).
Chương 4. ứ n g dụng phép tính vi phân hàm nhiều biên... 115
Q 3 = —L '2: Quá trình sản xuất có hàm sản xuất Q3 là có
hiệu quả tăng theo quy mô (3).
Từ (1), (2) và (3) quá trình sản xuất có hàm sản xuất Q là có
hiệu quả tăng theo quy mô. Bài 4.2. 1) Ta có:
U 'x = 1 0 y -6 x ^ > U " 2 = - 6 < 0 V x ,y > 0 (1)
U'y = 1 0 x -1 0 y =>U" 2 = - 4 < 0 V x ,y > 0 (2)
Từ (1) và (2) suy ra hàm u tuân theo quy luật lợi ích cận biên giảm dần. 2) ưo = ư (2 , 2) = 20.
Phương trình đường bàng quan: Ư(x, y) = U0
<=> 1 0 x y - 3 x 2 - 2 y 2 - 2 0 = 0
Đặt F(x, y) = 1 Oxy - 3x2 - 2y2 - 20 -r ' - - F ’x _ 3 x - 5 y , -2 T acó: y ' = — = ------- — => y V F'y 5 x - 2 y X0=y0=2 3
Ỷ nghĩa: Bạn đọc tự giải thích Bài 4.3.
Hàm doanh thu: TR = P]Qi + P2Q2 116
Hướng dẫn giải bài tập Toáv Cử sờ úng dụng. Hàm lợi nhuận:
TU = T R - TC = P,Q, + P2Q 2 - 2Q Í - 2 Q ; - Q,Q; 1) T a có:
71,q i = P j - 4 Q | - Q 2; 71'q 2 = P2 - 4Q 2 - Q ị
71 "q? _ _ 4 ; 71 W h _ - 1 _ 7 Ĩ "Q2Qi; n "ọị _ _ 4
- Đ iều kiện cần: Giải hệ: - 4P , - P ; * ' Q .= q, = 0 Í4Qi + Q2 = P 15 u 'q = 0 iQi + 4 Q2 - ^2 - 4 P ^-P , 15
- Điều kiện đủ: Ta có: - 4ị - 1ll a u a . 2 D = =
= 1 5 > 0 v à a u = - 4 < 0 - 1 - 4 a 21 a 22
Do đó hàm lợi nhuận 7C đạt giá trị lớn nhất tại (ộ) ;Q 2 )•
2) ỂÕl = ± . ẼÕ± = l i • Ẽ Õ l = I± . ap, 15 ap2 15 ỡPị 15 ỔP2 15 Bài 4.4. Với các hàm chi phí:
TC, =128 + 0 ,2 0 ?; TC2 = 156 + 0, ỈQị
Chương 4. ứ n g dụng phép tính vi phân hàm nhiều biên... 117 Hàm doanh thu:
TR = p.Q = [600 - 0,1(Q| + Q 2)]. [Q, + Q 2 ]
= 600Q, + 60 0 Q 2 -0 ,1 (Q , + Q 2) 2
= 600Q, + 6 0 0 Q 2 -0 ,1 Q Í - 0 ,2 Q ,Q 2 - 0 , \ Q ị Hàm chi phí:
TC = TC, + T C 2 = 284 + 0,2Q Í + 0,1Q* Hàm lợi nhuận:
7C = TR - TC = 600Q , + 6 0 0 Q 2 - 0,3QÍ - 0 ,2 Q ,Q 2 - 0,2Qị 1) Ta có:
tc'q = 600-0,óQị -0,2 Q 2; tc'q = 600-0,2Q,-0,4Q2
n ' Q2 = - 0 , 6 ; n Q2Q2 = - 0 , 2 = n Q2Qt ; 7Ĩ q2 = - 0 , 4
" Điều kiện cần: G iải hệ: n ' Q i = 0 Í3Qj + Q 2 =3000 Qj = 600 <=> < <=> tx'q = 0 1q ,+ 2 Q 2 = 3000 Õ 2 =1200
- Điều kiện đủ: Ta có: - 0 , 6 - 0 , 2 a il a !2 D =
= 0,2 > 0 và a t ! = - 0,6 < 0 - 0 , 2 - 0 , 4 a 2l a 22
Do đó hàm lợi nhuận TC đạt giá trị lớn nhất tại (q 1 ;Q 2 )■ 2) Q = Q , + Q : = 1800 118
Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ sở úng dụng... p = p, + p 2 = 4 2 0 Q = 6000 - 10P
Hê số co giãn của Q theo p là: Ep = __ — 6 v p 6 0 0 0 - 1 0 P Khi đó: £p (P*) = —— Bài 4.5. Hàm doanh thu:
T R = P,.Q, + P2.Q 2 = 120Q, + 2 0 0 Q 2 - 5QÍ - 20Q] Hàm chi phí: TC = 35 + 40Q , + 4 0 Q 2 Hàm lợi nhuận:
n = T R - T C = 80Q, + 160Q 2 - 5QÍ - 2 0 Q ị - 35 Ta có:
71'Q = 8 0 -1 0 Q j; n 'ọ = 1 6 0 -4 0 Q 2 71" ,= -1 0 ; 71" n = 0 = 71" n ; ít" , = 40 q2 Q2 Q2 Q2 Q1 ọ2
Chương 4. ứ n g dụng phép tính vi phân hàm nhiều biêh... 119 a u a i2 - 1 0 0 D =
= 400 > 0 và a (1 = - 10 < 0 0 - 4 0 a 2l a 22
Do đó hàm lợi nhuận n đạt giá trị lớn nhất tại (q 1 ; Q 2 )• Bài 4.6. Q, = — 14 14 1) 2) 65 405 p 2 = 14 14 Bài 4.7. 1) Kết quả bài 4.6. ^ , ỔTC ^ ÕTC > a n Ỡ Q| Q , : fln ỠQ2 Q r Q. = — 1 14 Tại điểm tối ưu ta có: Q 2 = — 2 14 ỔTC - 50 ỠTC - 130 = 2Q, = ^ ; ^ = 4 Q 2 = ^ - ỔQ, 7 ỠQ2 Bài 4.8. 1)
Bước 1. Bài toán đưa về tìm cực trị có điều kiện của hàm sổ:
TR = 3 2 0 x -2 x 2- 3 x y - 5 y 2 + 540y + 2000 v ớ ix + 4 y = 180 120
Hướng dẫn giải bài tập Toan cơ sơ un£ dụn&-
Bước 2. Xét hàm Lagrange
L(x,y,Ằ) = 320x-2x2 -3xy-5y2 +540y+200(R?»( 180-x-4y)
Tính các đạo hàm riêng cấp 1, 2 của hàm L:
L'x= 320-4x-3y-X; L'y= 540-3x-10y-4Ằ; L \= 180-x-4y
L"„2= -4;L"xy= L"vx = - 3 ; L " v2 = -10 yx Bước 3. Giải hệ: ' n I o X = 52 X 4x+ 3y+ X = 320 X = 52
L'y= 0 < = >« 3x+10y+4Ằ = 540 <=> • y = 32 => <ỹ = 32 L \= 0 x + 4 y = 1 8 0 1 = 1 6 16 Vậy: M(52, 32, 16)
Bước 4. Kiểm tra điều kiện đủ
êl ê X — 1 » ẽ> 2 ~ 8 y~“ 4
L"x2 - -4; L"xy= L"yx= -3; L"„2 = -10 Xét định thức: 0 1 4 | H | - 1 -4
-3 > 0 nên M là điểm cực đại cùa hàm sổ 1 -3 -10
Vậy doanh thu đạt cực đại tại: X - 52;y = 32.
Chương 4. ứ ng dụng phép tính vi phân hàm nhiều biêh. 121
2) Gọi TRmax là doanh thu đạt giá trị cực đại. Khi đó ỔTRmax = Ầ=16 ỔB
Vậy khi tăng ngân sách chi cho quảng cáo lên 1 triệu đồng
thì doanh thu cực đại tăng 16 triệu đồng. Bài 4.9. 1) Tại K = 4; L = 9 ta có: ^ 5 = 0 , 2 2 5 ; ^ = 0,1 ỠK ÕL
2 ) ^ = o,15K-°-5L0'5 = g ( K ,L ) . ỠK
Với t > 0: g(tK, tL) = g(K, L). Vậy g là hàm thuần nhất bậc 0. 3)
Quá trình sản xuất có hàm Q có hiệu quả không đổi theo quy mô. Bài 4,10.
1) Dùng phương pháp nhân tử Lagrange tìm được: X , = 50 X2 = 3 0 X = 0,248 2) Gọi um
ax là lợi ích cực đại và B là ngân sách chi cho tiêu
dùng. B thay đổi thì Ưmax thay đổi. - Umax = ị = 0 ,2 4 8 . Từ đó ỔB suy ra ý nghĩa.
122_______________ Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ sở ỊỊTỊ£ dụng.
3) Bạn đọc suy ra từ ý 2) và hệ sổ co giãn. Bài 4.11.
1) Quá trình sản xuất có hiệu quả giảm theo quy mô.
2) Sản lương cân biên theo vốn: - — = 0,3K • L . 0K
Sản lương cân biên theo lao động: = 0,5K ° 3L~0,5. ỠL
3) Dùng phương pháp nhân tử Lagrange tìm được K = 2 4 L = 120 X = 5-0.56 -0,24 -,.2
4) Bạn đọc từ giải thích ý nghĩa từ kết quả của ý 3). Bài 4.12.
1) Sản lượng cận biên của tư bản và của lao động lần lượt là: - I I 2 - 2
Q k = 20K 3 ữ ; Q l = ÌO K ^L 3
Sản lượng cận biên của tư bản và của lao động tại Ko = 16'
Lo = 81 tương ứng là: Q K(27;64) = ^ 5 , Q L(27;64) = — 3 8
Bạn đọc tự giải thích ý nghĩa.
2) Hệ sổ co giãn riêng cùa Q theo K, L lần lượt là:
Chưcmg 4. ứ n g dụng phép tính vi phân hàm nhiều biêh... 123 ọ 2 ọ 1 C rr — • P — — s ỉ 3 : : 3
Bạn đọc tự giải thích ý nghĩa.
3) K và L cùng tăng 1% thì Q cũng tăng 1%.
4) Quá trình sản xuất là có hiệu quả không đổi đối với việc tăng quy mô.
5) Hàm số trên tuân theo quy luật lợi ích cận biên giảm dần.
6) Tính dQK = Q 'K dK; dQL = Q 'L dL; dQ = dQK + dQL
Bạn đọc tự giải thích ý nghĩa tại Ko= 27; L0 = 64; dK = 0,1; dL = 0,3.
Bài 4.13. Bạn đọc giải tương tự bài 4.12. Bài 4.14.
Bước ỉ. Giải hệ phương trình: k 'q, * - 2 Q i + 4 Q 3 = 0 ÍQ i = 400
- n 'Qi = - 6 Q 2 + 300 = 0 « Ì q 2 =50
7i ,Q3. = -1 4 Q 3 + 4 Q i +1200 = 0 [Q3 = 2 00
Vậy hàm số có một điểm dừng: M(400; 50; 200)
Bước 2. Kiểm tra điều kiện đủ:
- 2; a 22 - 71 "o o - -6; a = 71
a n _ 7 I "q,Qi " A ,a22 ~ n q 2q = - 1 4 a 12 a 21 ^"QiQỉi ~
a i3= a 3i= «"0 ,0 , = 4; a 23= a 32= 7t"Q2Q3 = 0 124
Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ sớ uiìỹ dụng- " - 2 0 4 H, = - 2 < 0 Xét ma trận H = 0 - 6 0 có 0 4 0 - 1 4 = - 7 2 < 0 H 3
Nên M là điểm cực đại của hàm sổ 7t. Bước 3. Kết luận
Doanh nghiệp cần bán các mặt hàng với số lượng
Qj = 4 0 0 ;Q 2 = 50;Q 3 = 200 thu được lợi nhuận tối đa bàng 127520. Bài 4.15.
1) Hàm số trên tuân theo quy luật lợi ích cận biên giảm dần.
2) Hai hàng hóa này thay thế cho nhau.
3) Dùng phương pháp nhân tử Lagrange tìm được: Xi = 5 0 X 2 = 30 X = 0,248
Gọi Umax là lợi ích cực đại và B là ngân sách chi cho tiêu
dùng. B thay đổi thì Ưmax thay đổi. d^m
ax- = x = 0,248 . ỠB
Nên nếu ngân sách chi cho tiêu dùng giảm 2% thi lợi ích cực đại giảm khoảng 0,596%.
Chương 4. ứ n g dụng phép tính vi phân hàm nhiều biến. 125
Bài 4.18. Bạn đọc tự giải tương tự như bài 4.12. Bài 4.19.
1) Hàm số tuân theo quy luật lợi ích cận biên giảm dần. 2) Lợi ích tăng 0,4%. Bài 4.20.
MCj = (T C )'q = 125 + 2,4Q^ — 1 2Q,q !
MC2 = (TC) •0i = 84 + 3,6Qị - 1 2QÍQ2 Bài 4.21.
? = --------------- ------------------------ p
35 - 0 ,4 p + 0 ,1 5m + 0 ,1 2 p s ọ _ 0,15m
2) 8 ~ 3 5 - 0 , 4 p + 0,15m + 0 ,1 2 p s Q 0 , 1 2 p s
3) So = ----------------- - 1—------------- Ps 35 - 0 ,4 p + 0,15m + 0,12 p s Bài 4.22.
1) Hiệu quả giảm theo quy mô
2) Hiệu quả tăng teo quy mô
3) Hiệu quả tăng theo quy mô
4) Hiệu quả tăng theo quy mô
Bài 4.23. X, =17; x 2 = 5 126
Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ sơ 1/7»,e dung-• Bài 4.24. ộ = — ;Õ 1 35 2 7 - 1576 - 256 p , ~ ; p 2 ~ - Bài 4.25. Q* = 260 và p* = 40 Bài 4.26. ĨC = 40; L = 135 Bài 4.27. Q , = 3 ; Q 2 = 4 P, = 3 5 ; p 2 = 6 0 Bài 4.28. 1) K (t) = 2 5 .ự tĩ + 90 2) K (t) = 4 5 .ự t7 + 40 3) c = 0,8Y + 40 4) c s = 82— 3 Bài 4.29.
1) Ý kiến đó không đúng
2 ) Xi = 5 0 ; X 2 = 4 0
Chương 4. ứ n g dụng phép tính vi phân hàm nhiều biến. 127 Bài 4.30. 1) K = — ;L = — 36 16
2) Gọi lợi nhuận tối đa là n . Ta có: Ỡ7ĩ’ _ ĨT . - 1 n d ĩ ì T - 1
—— = - K = — < 0 ; —— = - L = — < 0 . ỔK 36 ỠL 16 Bài 4.31.
1) Hệ số co giãn riêng của cầu theo giá, theo thu nhập lần
lượt là: 6° = - 0 ,2 ;8 ° = 0 ,3
2) Gọi giá cân bằng là P . Chứng minh đươc > 0. ỠM Bài 4.32.
1) Hệ số co giãn riêng của Y theo K, L lần lượt là: e ỵ k = 0,4;E l = 0,8
2) Hệ số tăng trưởng của K và L lần lượt là: 0,1 0,3 rK = - ; r L = 120 + 0 ,lt 200 + 0,3t
Hệ sổ tăng trưởng của Y là: Y _ , „ Y _ 0,04 0,24 r Y E K r K + e L r L - 120 + 0,lt 200 + 0,3t 3)
Quá trình sàn xuất có hiệu quả tăng đối với việc tăng quy mô. 128
Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ sở úmg dụng- ■ ■
Bài 4.33. Bạn đọc tự giải tương tự như bài 4.24 vã 4.25.
Bài 4.34. rY =6 KrK + £LrL + 8 GrG
Bài 4.35. Bài toán đưa về tìm cực trị hàm lợi nhuận
7ĩ = 3 00kJ iJ - 1 0 0 K - 1 5 0 L
Kết quả lợi nhuận đạt giá trị lớn nhất tại K = 64. L = 16. Bài 4.36.
1) Hàm Q = K°'4L0'3 là hàm thuần nhất bậc k = 0,3 + 0,4
= 0,7 < 1 nên doanh nghiệp sản xuất có hiệu quả theo quy mô
2) Bước 1. Xác định bài toán
Tìm cực đại của hàm số Q = K° 4L °3 với điều kiện: 4 K + 3 L = 1050
Bước 2. Xét hàm Lagrange:
F = K°-4L0-3 + MI 050 - 4K - 3L)
Bước 3. Giải hệ phương trình: F'k = 0,4K'°'6L0’3-4X. = 0 K -0,6L 0,3= x
F'l = 0,3K 04L'°’7-3X. = 0 <=> • K°-4L'°’7=X F \= Ì050-4K-3L = 0 1050 = 4K+3L K = L = 150 <=> < 1 10.150°3
Chương 4. ứ n g dụng phép tính vi phân hàm nhiều biến. 129
Bước 4. Kiểm tra điều kiện đủ: g| = g ' K = 4; g2 = g ' L = 3 F"KK = -0.24x l 6y06
Fn =-0,24.150“' 6 150-6 <0 1.7
L"u = -0,21K°'4L-1'7 =>F22 = — 0,21.150°4. 150 1 ' <0
L "KL = 0,12K“° 6L“°-7 => Fj2 = F21 = 0,12.15 0 Xét định thức: 0 4 3 |H = 4 F„
F12 = 24FI2 - 9 F m — 16F22 > 0 nên M là điểm 3 F„ F22 cực đại của hàm số.
Bước 5. Ket luận: Doanh nghiệp cần sử dụng 150 đơn vị tư
bản và 150 đơn vị lao động để thu được sản lượng tối đa là Q(150, 150)= 1500,7. Bài 4.37.
1) Hàm Q = 40K 0,75L0'25 là hàm thuần nhất bậc k = 0,75 +
0,25 = 1 nên quá trinh sản xuất trên là có hiệu quả không đổi khi tăng quy mô sản xuất.
Hệ số co giãn riêng cúa sản lượng theo vốn và lao động lần lượt là: EỈ = 0,75; = 0,25 => + 3e? = 0,75 + 3.0,25 = 1,5
Nên nêu K tăng 1% và L tăng 3% thì sản lượng tăng lên 1,5%. 130
Hương dẫn giai bai tập Toan cơ so 1/Tig du 11$ 2)
Bài toán đưa về tìm cực trị hàm Ọ = 4 0 K 1L1 với điêu kiện: 3K + L = 160.
Hàm Laerange là: F(K.L.Ằ) = 4 0 K 4L4 + Â(160- 3K. - L) - Điêu kiện cần: -I I 3 -3
F’k = 30K 4 L4 -3X; F 'L = 1 0 K 4L 4 -Ầ; F \ = 1 6 0 - 3 K - L -1 1 30K 4 L4 = 3X (1)
F'[ = 0 <^><ỊlOK4L 4 = x (2 ) F'. = 0 160 = 3K + L (3) 30K 4 L4 3
Chia (1) cho (2) vế theo vể ta được 10K4L 4
Thay vào (3) ta được: K = L = 40;/. = 10. - Điều kiện đù:
d2F = F"k;(dK r + (F"lk + F"K1 )dKdL + F ’ ; (dL r -15 - - 15 - -
F" = — K 4 L4: F"ik = FV, = — K 4 L4 ; F" = K' 7 w. 2 I
Tại K = L = 40; Â = 10:
Chương 4. ứ n g dụng phép tính vi phân hàm nhiều biến. d 2F = — í d L - d K ) 2 < 0 80
(vì 3dK + dL = 0 và (dK)2 + (dL)2 * 0)
Nên hàm ọ đạt cực đại tại mức: K = L = 40 và Qmax = 1600 a o Với —% s- = x = 10 ỔB
Nên khi tăng ngân sách chi cho yếu tố đầu vào 1 USD thì sản
lượng tối đa tăng khoảng 10 đơn vị. 3)Ta có: I . - 1 5 „ Í ỉ ~
Q 'k = 30K 4 L4 =>QK2 = — K 4 L4 < 0; VK > 0;L > 0(4) . 3 T . -15 J T7
Q' l = 1 0 K4L 4 ^ Q " = — K 4L 4 < 0 ; VK > 0 ; L >0(5) L 2
Từ (4) và (5) suy ra hàm Q tuân theo quy luật lợi ích cận biên giảm dần. - I I 4)
Hàm sản lượng cận biên theo vốn là: Q k = 30K 4 L4
Hàm sản lượng cận biên theo lao động là: Q ’L = 10K4L 4 5 ) Tạ i Ko = 625; L0 = 16: 132
Hướtì<Ị dẫn fiai bai táp Toan cơ s<7 uv
Q r, =4 0 . 6 2 5 .16^ = 40.5 .2 = 10000
Phương trinh đưòna đồne lượng tại điẻm (K„. L0): Ọ - ọ „ 40K ' ’5L ° = 10000
<=> K0 75L', :< - 2 5 0 = 0 6) Ta có: ạ = - ^ = - 10K j_ L ị = - ^ < : L > 0 dL Q' ri Ị 4L K 40K 4 L4
Suy ra vốn và lao động là hai hàng hóa thay thế cho nhau. TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Alpha c . C hiang, Fundamental M ethods o f M athematical
Economics, McGRAW-HILL Book Copany, 1984.
2. Lê Đình Thúy (Chủ biên), Toán cao cấp cho các nhà kinh tế, NXB Thống kê, 2004. •
3. Lê Đình Thúy (Chủ biên), Bài tập Toán cao cấp cho các nhà
kinh tế, NXB Đại học Kinh tế quốc dân, 2008
4. Phùng Duy Qu a n g (Chủ biên), Toán cao cấp ứng dụng trong
phán tích kinh tế, NXB Đại học sư phạm Hà Nội, 2012.
5. Phùng Duy Qu a n g (Chủ biên), Bài tập Toán cao cắp ỉ, NXB
Thông tin và Truyền thông, 2012.
6. Ngô Văn T h ứ , Nguyễn Qu a n g Dong, Mô hình toán kirìh tế, NXB Thống kê, 2005
H ư ớ n q D flfi q ifil BÀI T 0 P TOÁN Cơ SỞ
ÚNG DỊMCHtONG PHÁN TlCH KINH TÉ
Chịu trách nhiệm xuất bản: Nguyễn Thị Thu Hà Biên tập: Ngô Mỹ Hạnh Nguyễn Long Biên Sửa bản in: Đoàn Thanh Trình bày sách: Đức Anh Thiết kế bìa: Trần Hồng Minh
NHÀ XUẤT BẢN THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG
Trụ sở chính: Số 9, ngõ 90, phố Ngụy Như Kon Tum, Thanh Xuân, Hà Nội Điện thoại: 04-35772143 Fax: 04-35779858 Email: nxb.tttt.@mic.gov.vn
Website: www.nxbthongtintruyenthong.vn
Chi nhánh TP. HCM: Số 8A đường D2, phường 25, quận Bình Thạnh, TP . HCM ĐT: 08-35127750 ; Fax:08-35127751; Email: cnsg.nxbtttt@mic.gov.vn
Chi nhánh TP. Đà Nắng: 42 Trần Quốc Toản T P . Đà Nẳng ĐT: 0511-3897467
Fax 0511-3843359 ; Email: cndn.nxbtttt@mic.gov.vn
In 1000 cuốn khổ 14,5 X 20,5 cm tại Cóng ty Hải Nam
Số đăng ký kế hoạch xuất bản 622-2012/CXB/6-172/TTTT
Sô’ Quyết định xuất bản: 142/QĐ-NXB T T T T ngày 30/5'2012
In xong và nộp lưu chiểu tháng 6 năm 2012