Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ sở ứng dụng trong phân tích kinh doanh | Đại học Ngoại Thương

Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ sở ứng dụng trong phân tích kinh doanh của trường Đại học Ngoại Thương. Hy vọng tài liệu này giúp bạn củng cố kiến thức, ôn tập và đạt kết quả cao cuối học phần. Mời bạn đọc đón xem!

ÚNG DNG TRONG PHÂN TÍCH KINH TẾ
9
ThS. PHÙNG DUY QUANG
Hưnq
Dm
qifil BFU TP
TOAN Cơ S
ÚNG DNG TRONG PHN TÍCH KINH T
I
NHÀ XUT BN THÔNG TIN VÀ TRUYN THÔNG
Mã s: QT 01 HM 12
LI I ĐU
Toán cơ s là môn hc bt buc dành cho sinh viên các h
cao dng, đi hc và cao hc thuc tt c các nhóm ngành k
thut, kinh tế. Đ giúp cho sinh viên có tài liu hc tp và đt
hiu qu cao, Nhà xut bn Thông tin và Truyn thông đã
phi hp vi tác gi Phùng Duy Quang - Trưng khoa Cơ
bn, Trưng Đi hc Ngoi thương xut bn cun H ưng
dn gii bài tp Toán cơ s ng dng trong phân tích kinh
tế. Cun sách đưc biên son phù hp vi chương trình Toán
cơ s ng dng trong phân tích kinh t đưc ging dy ti
trưng Đi hc Ngoi thương.
Đây cũng là tài liu b ích dành cho các thí sinh ôn thi
tuyn sinh đu vào h Thc s ca trưng Đi hc Ngoi
thương, trưng Đi hc Kinh tế quc dân Hà Ni. Ni dung
cun sách là tng hp các bài tp t mc đ d đến khó, nhàm
giúp hc viên vn dng các kiến thc, k năng cũng như các
phương pháp Toán cơ s ng dng trong các bài toán phân
tích kinh tế.
Ni dung cun sách gm:
Chương 1. Đnh thc và ma trn.
Chương 2. Mt s mô hình tuyến tính dùng trong phân
tích kinh tế.
Chương 3. ng dng ca phép tính vi phân, tích phàn
hàm mt biến s trong phân tích kinh tế.
Chương 4. ng dng ca phép tính vi phân hàm nhiu
biến s trong phân tích kinh tế.
Cun sách đưc viết cho sinh viên các ngành kinh tế nhàm
ng dng môn hc Toán cơ s sao cho hiu quà nht; đưc
trình bày mt cách c th, d hiu. Mi chương gm 2 phn:
Đ bài và phn Hưng dn gii bài tp c th và các li gii
gi ý đ sinh viên có th tiếp thu kiến thc mt cách hiu qu
nht.
Dù đã có rt nhiu c gng trong công tác biên son, song
cun sách s khó tránh khi nhng thiếu sót. Rt mong nhn
đưc các ý kiến đóng góp các đng nghip và bn đc đ
cun sách đưc hoàn thin hơn trong ln tái bn sau.
Mi góp ý xin gi v Khoa Cơ bn, trưng Đi hc Ngoi
thương, email: quangpd@ftu.edu.vn
Xin trân trng gii thiu cùng bn đc./.
TÁC GI
MC LỤC
Li nói đu............................................................................................3
Chương 1. Đnh thc và ma trn...................................................7
A. Đ b à i....................................................................................7
B. Hưng dn và đáp s .........................................................10
Chương 2. Mt s mô hình tuyến tính dùng trong
phân tích kinh tế..........................................................12
A. Đ b ài
.................................................................................. 12
B. Hưng dn và đáp s......................................................28
Chương 3. ng dng phép tính v phân, tích phân hàm
mt biến trong phân tích kinh tế ............................60
A. Đ b ài..................................................................................60
B. Hưng dn và đáp s ........................................................ 74
Chương 4. ng dng phép tính vi phân hàm nhiu biến
trong phân tích kinh tế .........................................101
A. Đ b à i............................................................................. 101
B. Hưng dn và đáp s ....................................................114
Tài liu tham kho........................................................................ 133
ĐỊNH THỨC VÀ MA TRẬN
Chương 1
A. ĐÈ BÀI
Bài 1.1. Tính các đnh thc sau:
1) |- 2010|
2)
5 -7
8 -12
4 - 2 3
-1 0
4)
1 3 -5
5)
3 2
2 -8 13
-2 4
4 2 - 3
5 -3
7)
1 -1 3
8)
2 -1
2 3 - 1
3 2
Bài 1.2. Tính các đnh thc sau:
1)
3)
6)
-9 6
1 3
2 0 - 3
-2 3 1
3 9 5
-1
0 3 -2
1
0
-3
2
2
1
4
-3
2)
-2
2
3
-1
3
2
-3 -1
3
4
-5
1
4 3
4
-6
2
6
-5 4
8
Hưng dẫn gii bài tập Toán cơ sớ ímg dutĩĩ
3)
2
-1
3
-4
0 -1
0 -2
-3
1
1
2
9
3 5
4
2
1 3
0
-1
-3 1
2
0 -2
4)
-3
-2
1
-1
1
4
-3 .0 -1 3
-2
4 3
-1
1
4
-1 8 0
5
-4 3
5 -5
2
Bài 1.3. Gii phương trình sau:
2
A =
-3x 2 -X 2x
1 - 2 3 - 4
-3 2 - 2 2
9 2 3 18
= 0
Bài 1.4. Tính AB và BA (nếu tn ti), biết rng:
1)A =
1
o
"1 2 3'
II
CQ
2 3
0 - 4 2
4 1
"-1 0 2'
'1 0
-2 2'
2)A =
1 2
-1
; B =
2 1 2 -1
_ 0 -1 1
<3 -2
1 0,
Bài 1.5. Tìm ma trn nghch đào ca các ma trn sau:
1)
'1 2 a b
2)
3 4
c d
Chương 1. Đnh thc ma trân
9
-1
0
2
' 2
-1 3
3)
3
1
3
4)
-3 2
-1
2
3
1
1
0 5
2
-1 3 0 ' '1 0 -1 3
5)
-4 2 -2
3
6)
0
2 4 -6
1 3 1 -2 0 0 -2 3
-1
4
2 1 0 0
0 -1
Bài 1.6. Gii các phương trình A xX = B, biết:
1)A
2) A =
3) A =
- 2 3
-3 4
5 - 4
4 -3
1 -3
-3 9
B =
B =
B =
5 6
7 8
1 2
-2 3
4 3
1 2
Bài 1.7. Tìm hng ca các ma trn sau:
A =
c =
'2-1 3'
'12 3 -f
0 3-1
2 0-14
B =
5
-2 4 2
1 2 - 2 3
2 5 7
1
2 1 4 0
-1 -2 3 0 '
-1 2 - 3 0 4
2 1 -2
-1
;D =
3-1 2
3 2
3 3 -5
-1
1 3 -4 3 1
4 2-4 -2
10 Hưng dn giải bài tập Toán cơ sớ úng dng.
Bài 1.8. Tìm m đ ma trn sau có hng bé nht:
A =
1 m -1 2
2 -1 m 5
1 10 -6 1
B. HƯNG DN VÀ ĐÁP
Bài 1.1. Đáp s
1)-2010
5)62
Bài 1.2. Đáp s
1)0
Bài 1.3. Đáp s
X = -3 và X = 1
Bài 1.4. Đáp số
2 )- 4
6)93
2) 52
1) AxB
2) AxB
16 8
0 - 1 0
5 -4 4
2 4 1
1 -3 -1
-2
0
1
3)-33
7) -117
3)0
Bx A =
4)0
8)-4
4) 189
0 4 - 2
2 -8 12
4 4 14
; Bx A (Không tn ti)
Chương 1. Đnh thc ma trận
11
Bài 1.5. Đáp số
1)
3)
-2
1
3
1
2
2.
8
5
2
22
22
22
3 5
9
22 22 22
7 3
1
22 22 ~ 22
Bài 1.6. Đáp số
1)
5) Không tn tại
3) Không tn tại
Bài 1.7. Đáp án
r(A) = 3;
2)
1
ad-bc
d -b
-c a
4) Không tn tại
6)
1 0 - - -
0 I
2
0 0
0 0
' 2
0
0
_3
2
-1
'-1 0'
■-11 6'
2)
1 2
-14 7
r(B) = 4; r(C) = 2;
r(D) = 3
Bài 1.8. Hưng dn: Biến đổi đưa ma trn A v dng bc thana.
Dáp s m = 3.
C h ư ơ n g 2
MT S MÔ HÌNH TUYN TÍNH
DÙNG TRONG PHÂN TÍCH KINH T
A. Đ BÀI
Bài 2.1. Gii các h phương trình tuyến tính sau:
1)
5)
7)
x t - x 2 + 2x 3 = 1
3x, - 2x 2 + 5x3 = 2
-X, + x 2 x3 = 2
3)
4x, + x 2 + 2x, = 1
X + X, = 2
+ 4 x3 = 3
6x, + x 2
2 )
4)
5 x j-x 2+ 2x,+ x4 =7
2x, + x2+4x3- 2 x 4 = 1 6)
X,- 3x 2 - 6 x3 + 5 x4 = 0
- x,+ 2 x2 + x3+ 3 x4 = -1
2x, - X, + 2x, +5x, = 2
' 2 3 8 )
5x, - 4x2 + 3xj + 7x4 = 5
3x, - 3x, + X, + 2x4 = 3
X, - 2 x 3 = -3
-2x, + x 2 + 6 X3 = 11
- X|+ 5x2 - 4 xj = -4
X, - 2 x 2 + X, + 2 x4 = -1
X, - 3 x 2 - X j + 3 x 4 = 2
-X, + x 2 - 3 x3 - x 4 = 4
X, + 2 x 2 - 3 x3 + x 4 = 1
2x, x2 + x 3 - 3 x 4 = 0
3x,
+
x4 =-1
5x, + x 2 - 4x3 + 6x, = 1
3x, - 2 x2 - 5 x3 + x4 = 3
2x, - 3 x 2 + X, + 5 x4 = -3
- 4 x4 = - 3
X, - 2 x 2
x 2- 4x3 + 9 x4= 22
Chương 2. Mt sô'mô hình tuyên tính...
13
9)
3x, + 5 x 2 - 2 x 3 = 2
2Xj - 7 x 2 + 2 x 3 = 12
-X, +5x2 +3x3 = 9
1 0)
X, - 4 x 2 + 2 x 3 = - 4
3x,
- x ,= 9
-3x, + 5 x 2 + 3x3 = - 1 5
2x, + 7x2 -3 x 3 = 13
-2x, + 4x2 -5 x 3 = 11
11)
2x, - 4 x 3 + 7 x 4 = 2
x,+ x2
5X - 6 x 2 +3x3
- 2 x4 = 7 12)
= -6
2X - 3 x2 +
13)
2x4 = -1 4
3xj + x2 - 5 x 3 +3x4 = 1
4Xj - 2 x 2 - 5 x 3 - 3 x 4 = 2
14)
2x, + 5 x2 - 3 x 3
= 3
-3 x2 +2x3 -2 x4 = 3
-3x,
- 5 x 3 + x4 = -12
X,
5x3 +3x4 + 4X5 =-2
- 6X5 = 6
2x,-3x2 + 5X5 = -7
2x2 +3x3
i 2.2. Tìm các giá tr ca tham s a trong mi h phương trình
sau đ h có nghim:
1)
4x, - x 2 + 3 x 3 + x 4 = 3
Xj - x 2 - 2 x 3 + x 4 - a
3x2 - x 3 - x 4 = 7
, + x2 - x 3=l
2) X, +ax2 +3x3 = 2
2x, +3x2 +ax3 = 3
3)
Xj + x2 x3 = 1
x( +ax2 - x 3 = 1
X, + x2 +ax, = a
Bài 2.3. Gii và bin lun các h phương trình sau:
ax + y + z + t = 1 í-ax + y + z = a
l)<x+ay+z+t=l 2)-ax + y -2 z =1
X + y + az + 1 = 1 I-X - ay - 2z = 1
14
Hưng dẫn gii bài p Toán cơ uvg dut
3)
5)
7)
ax + 2z = 2
5x + 2y =1 4)
X - 2y + bz = 3
2 _ 3
x + ay + a z = a
x + by + b2z = b3 6)
X + cy + C2Z = c 3
ax + by + 2z = 1
ax + (2b-l)y +3z = l 8)
ax +by + (b + 3)z = b
ax + by + z =1
x + aby -t- z =b
X +by + az = 1
kx + y + z = k
2x + (k + l)y + 2z = 2
-x-y+ (k + 2)z= 1
ax + y + z + t = 1
x+ay + z + t = a
x + y + az + t = a2
x + y + z + at = a'
Bài 2.4. Trong mt nn kinh t có 3 ngành sn xut: ngành 1,
ngành 2 và ngành 3. Cho biết ma trn h s k thut
'0,3 0,2 0,3'
A = 0,1 0,3 0,2 và mc cu cui cùng đi vi hàng hóa
0,3 0,3 0,2
ca các ngành 1, 2, 3 ln lưt 6, 9, 8 triu USD. Hãy xác
đnh mc tng cu đi vi hàng hóa và tng chi phí cho các
hàng hóa đưc s dng làm đu vào ca sn xut cua mỗi
ngành.
Bài 2.5. Cho hai ngành sn xut có ma trn hs đu vào:
A =
a i:
Chng minh răna det(E - A) > 0.
Chương 2. Mt so mô hình tuyên tính.
15
Bài 2.6. Mt nn kinh tế có 3 ngành sn xut và có mi quan h
trao đi hàng hóa như sau:
Ngành cung ng sn
phm (Output)
Ngành s dụng sn phm (Inputs)
1
2 3 B
1 20
60 10
50
2
50 10 80
10
3 40 30
20 40
1) Xác đnh tng cu, tng chi phí và tng giá tr lao đng
(giá tr gia tăng ca mi ngành).
2) Lp ma trn h s k thut A.
i 2.7. Cho ma trn h s k thut ca 3 ngành sn xut:
A =
0,2 0,3 0,2
0,4 0,1 0,2
0,132 0,3 0,2
. Đơn v: triu USD
1) Gii thích ý nghĩa ca con s 0,4 trong ma trn A.
2) Cho biết: (E - A)~' =
1,656 0,701 0,446
0,786 1,486 0,34
0,446 0,573 1,274
và véc tơ cu cui cùng B 1 = (10; 5; 6). Hây xác đnh tng cu
ca các ngành.
3) Tng cu ca các ngành sẽ thay đi thế nào nếu như cu
cui cùng ca ngành 1 tăng 1 đơn vị còn các ngành khác gi
nguyên.
16 Hưng dn giải bài tập Toán cơ sa U7I dun
Bài 2.8. Cho ma trn h s k thut ca 2 ngành san xuât
'0,3
0,2
'3 0 '
và ma trn cu cui cùng B =
100^
0,2 0,4
1) Tìm ma trn tng cu theo phương pháp Cramer.
2) Tính (E -A )'1 và nêu ý nghĩa cùa phn t dòng 2 ct 1
ca ma trn đó.
Bài 2.9. Xét nn kinh tế có 2 ngành vi ma trn h s chi phí
trc tiếp dng giá trị:
r 0,1 0,15]
A =
Lo,2 0,1
1) Tính đnh thc ca ma trn D vi D = A3/6.
2) Cho biết mnh đ sau đây là đúng hay là sai?
A(E-A)'1 + E| > |(E-A)-'|
3) Gii thích ý nghĩa kinh tế ca phn t af2; tng các phn
t ca dòng 1; tng các phn t ca ct 2.
4) Lp bng I/O nếu ma trn tng cu : XT = (200 400).
5) Lp bng I/O nếu cu cui cùng ca ngành 1 là 120 và
tng cu ca ngành 2 là 400.
6) Xác đnh ma trn tng cu nếu ma trn cu.cui cng
Bt = (10 10).
7) Cho biết mun tăng cu cui cùng ca ngành 1 lên 1 đơn
v thì tng cung ca ngành 2 phi tăng bao nhiêu?
Chươnp 2. Mt smô hình tuyên nh.. 17
Bài 2.10. Gi s nn kinh tế có 3 ngành thun túy vi gi thiết
sau đây:
- Ngành 1 làm ra 100 t sn phm và ngành 1 s dng
20 t sn phm ca mình; 10 t sn phm ngành 2; 10 t sn
phm ngành 3.
- Ngành 2 làm ra 50 t sn phm và ngành 2 s dng
10 t sn phm ca mình; 10 t sn phm ngành 1; 10 t sn
phm ngành 3.
- Ngành 3 làm ra 40 t sn phm và ngành 3 s dng 8 t
sn phm ca mình; 8 t sn phm ngành 1; 16 t sn phm
ngành 2.
1) Lp bng I/O vi các gi thiết trên.
2) Tìm ma trn h s k thut A và gii thích ý nghĩa kinh tế
ca:
- Mt phn t ca A
- Mt ct bt k ca A
- Mt dòng bt k ca A
- Tng các phn t ca mt dòng bt k ca A
- Tng các phn t ca mt ct bt k ca A.
3) Tìm ma trn Leontiev (E - A) và ma trn nghch đo
Q = (E - A)'1. Hãy gii thích ý nghĩa kinh tế ca:
- Mt phn t cùa c
- Mt ct bt k ca c
18
Hưng dn gii bài tập Toán cơ Uĩtg dng.
- Mt dòng bt k ca c
- Tng các phn t ca mt dòng bt k ca c
- Tng các phn t ca mt ct bt k ca c
4) Cho tng cung ca ngành 3 600, hãy xác đnh lưng gi
tr chuyn dch t ngành 2 sang ngành 3.
5) Cho ma trn cu cui cùng là BT = (20 20 10): Hãy xác
đnh ma trn tng cu X.
6) Vi ma trn A đã có, hãy lp bng I/O nếu tng cung cua
các ngành 2, 3 ln lưt là 80 t và 60 t; và cu cui cùng cùa
ngành 1 là 132 t.
Bài 2.11. Gi s thtrưng gm 2 mt hàng: hàng hóa 1 v hàng
hóa 2, vi hàm cung và hàm cu như sau:
Hàng hóa 1: Qs = -3 + 5pj;D =12-4p!+2p2
Hàng hóa 2: QS = -l+4p2;QU2 = 15 + 2 p ,-p 2
Hãy xác đnh giá và lưng cân bàng ca hai mt hàng.
Bài 2.12. Cho hàm cu và hàm cung ca th trưng 2 hàng hóa:
1) Đ các nhà sàn xut cung ng hàng hóa cho thtrưng thi
mc giá 1.2 phai tha mãn điu kin nào?
2) Xác đnh giá và lưng cân bàng cho các hàng hóa.
Q o r 18‘3Pi+P2
Qs,= '2+P|
Chươnp 2. Mt s mô hình tuyến tính...
19
Bài 2.13. Cho hàm cu và hàm cung ca-th trưng 2 hàng hóa:
(Vi a tham s dương)
1) Đê các nhà sn xut cung ng hàng hóa cho th trưng thì
mc giá 1, 2 phi tha mãn điu kin nào?
2) Xác đnh giá và lưng cân bng cho các hàng hóa theo a.
3) Khi a tăng thì giá cân bng ca các hàm số thay đổi thế nào?
Bài 2.14. Cho hàm cu và hàm cung cúa th trưng 2 hàng hóa:
1) Xác đnh hai mt hàng trên hai mt hàng thay thế hay
b sung?
2) Đ các nhà sn xut sẽ cung ng hàng hóa cho th trưng
thì
Pi,
p2 phi tho mãn điu kin gì?
3) Xác đnh giá và lưng cân bng?
Bài 2.15. Cho hàm cu và hàm cung cua th trưng 2 hàng hóa:
1) Xác đnh hai mt hàng trên hai mt hàng thay thế hay
b sung?
Qd, ~ 18-3p|+p2
Qs, =-2+p,
Qd2= 12+pr 2p2
Qs2 = -2+aP2
Qd,= 1 l-3p,+p2
Qs, = -2+Pi
Qd2= l l +Pi-2p2
Qs2 = -2+2P2
Qr)| = 40-2p,+0,5p2
QS)= -12+2p,
20
Hưng dẫn giải bài tập Toán cơ sõ mt dng.
2) Đ các nhà sn xut s cung ng hàng hóa cho ih trưng
thì Pi, p2 phi tho mãn điu kin gì?
3) Xác đnh giá và lưng cân bàng?
Bài 2.16. Cho mô hình trưng 1 hàng hoá:
1) Nêu ý nghĩa kinh tế ca b, d; ch ra mc giá cui cùng mà
ngưi tiêu dùng có th chp nhn đưc (mc ti đa) và mc giá
ti thiu đ ngưi sn xut có th khi nghip đưc (mc tối
thiu); t đó ch ra điu kin tn ti trng thái cân bng.
2) Xác đnh trng thái cân bng.
3) Phân tích s biến đng ca trng thái cân bàng khi các
tham s a, b, c, d thay đi.
4) Gi s nhà nưc đánh thuế 1 đơn v hàng trao đi là t
(đơn v tin t). Hãy cho biết s phn trăm chu thuế ca ngưi
tiêu dùng và ngưi sn xut.
Bài 2.17. Xét mô hình kinh tế:
Y = c + I0 + Go (lo > 0, Go > 0)
c = 0,85Yd + 150
Yd = (1 - t)Y ( t thuế sut thu nhp, 0 < t <1)
Tính thu nhp quc dân và tiêu dùng cn bàng i I0 = 200;
Go = 450 (đơn vị: t VNĐ) và thuế sut thu nhp t = 0,2.
Bài 2.18. Cho mô hình kinh tế
Y = c + I0 + G0
c = a + bY (Io>0, Go>0, a>0, 0< b< 1)
Trong đó:
Y - thu nhp quc dân, c - tiêu dùng, I0 - đu tư, G0 - chi tiêu
chính ph
1) Gii thích ý nghĩa kinh tế ca a,b.
2) Xác đnh trng thái cân bng (Y ;C ) bng quy tc
Cramer.
3) Có ý kiến cho rng khi I0 và Go cùng tăng 1 đơn v thì thu
nhp Y Y tăng 2 đơn v, ý kiến này đng hay sai?
4) Phân tích s biến đng ca trng thái cân bàng khi a, b
thay đi.
Bài 2.19. Cho mô hình kinh tế
Y = C + Io + Go (Io>0, Go > 0)
c = a + b(Y-T) (a > 0, 0 < b < 1)
T = c + dY(c>0,0<d< 1)
Trong đó:
Y - thu nhp, c - tiêu dùng, T - thuế, I0 - đu tư, G() - chi tiêu
chính ph
1) Gii thích ý nghĩa kinh tế ca a, b, c. d.
2) Xác đnh trng thái cân bàng (Y :C ;T ) bng quy tc
Cramer.
Chương 2. Mt smô hình tuyến tính...________________________21_
3) Phân tích s biên đng ca trng thái cn bng khi a. b. c,
d thay đi.
Bài 2.20. Cho mô hình kinh tế
Y = c + I0 + G (Io > 0 )
c = a + b(Y - T0) (a> 0, 0 < b < 1)
G = gY (0 < g < 1, b + g < 1)
Trong đó:
Y - thu nhp, c - tiêu dùng, T - thuế, I0 - đu tư, G - chi tiêu
chính ph
1) Gii thích ý nghĩa kinh tế ca a, b, g.
2) Xác đnh trng thái cân bng (Y ;C ;G ) bng quy tấc
Cramer
3) Phân tích s biến đng ca trng thái cân bàng khi a, b, g
thay đi.
Bài 2.21. Cho mô hình kinh tế
Y = C + Io + Go (Io>0,Go>0)
c = 150 + 0,8(Y -T)
T = 0,2Y
Trong đó:
Y - thu nhp, c - tiêu dùng, T - thuế, I0 - đu tư, Go - chi tiêu
chính ph
1) Tìm trne thái cân bàng khi I0 = 200. Go = 900.
22 Hưng dẫn giải bài tập Toán cơ s Uĩĩg dng..
2) Do suy thoái kinh tế nên mc tiêu dùng cn biên đi vi
thu nhp sau thuế ch còn là 0,7. Gi s I0 = 200, thì G0 phi
bao nhiêu thì n đnh đưc thu nhp quc dân.
Bài 2.22. Cho mô flinh kinh tế
Y = c + I + Go (Go > 0)
C = bo + b|Y (b0>0, b|> 0 )
I = 3o~*" Y 32^0 ^1 ^ ^2 > &i+bi < 1, Ro-'* 0)
Trong đó: Y - thu nhp, c - tiêu dùng, I - đu tư, Ro - lãi
sut, Go - chi tiêu chính ph.
1) Xác đnh Y, c trng thái cân bng.
2) Cho bo = 200, b, = 0,7, ao = 100, a, = 0,2, a2 = 10,
Ro = 7, Go 500.
Khi tăng G0 lên 1% thì thu nhp cân bng tăng n bao nhiêu %?
Bài 2.23. Cho mô hình kinh tế
Y = c + lo + G + NXo Go > 0, NXo > 0)
c = 20 + 075Yd
G = 20 + 0,1 Y
Yd = (l - t)Y (0<t<l)
Trong đó: Y - thu nhp, c - tiêu dùng, I0 - đu , t - thuế
sut G - chi tiêu chính ph, NX() - xut khu ròng, Yđ - thu nhp
kh dng.
1) Cho biết ý nghĩa kinh tế ca t.
Chương 2. Mt smô hình tuyêh nh...
_______________________
23_
2) Cho I0= 50, NXo = 30, tìm t đ cân đi đưc ngân sách.
3) Có ý kiến cho rng đu tư I0 không nh hưng đến ngân
sách, ý kiến đó đúng hay sai?
Bài 2.24. Cho mô hình kinh tế
Y = C + Io + G o + X o -M (Io > 0, G 0> 0, X o> 0)
c = 0,8Yd
M = 0,2 Yd
Yd = ( l-t)Y (0 < t < 1)
Trong đó: Y - thu nhp, c - tiêu dùng, I0 - đu . G - chi
tiêu chính ph, x 0 - xut khu, M - nhp khu, Yd - thu nhp kh
dng, t - thuế sut.
1) Có ý kiến cho ràng khi I0, t không thay đi thì tăng Go lẻn
1 đơn vị và gim nhâp khu Xo mt đơn vthì thu nhp cn bang
Y không đi. Ý kiến đó đúng không?
2) Gi s I0 = 300, G0 = 400, x 0 = 288, t = 0,2 thì nn kinh tế
có thng dư hoc thâm ht ngân sách, thng dư hoc thám ht
thương mi?
3) Cho I0 = 300, Xfl = 288, t = 0,2 thì G0 Dhi bng bao nhiêu
đ thu nhp cân bàng 2500. Cho biết trong trưng hp này
nếu G0 tng thêm 1 % thì nhp khu M thay đi như thế nào?
Bài 2.25. Cho mô hình kinh tế
Y = c + I + Go (Go > 0)
c = 15 + b (Y -T )(0< b< 1)
T = 25 + 0.25Y
24
____________________
Hưng dẫn giải bài tập Toán cơ so /Tg đng...
I = 65 - r
L = M
L = 5Y - 50r
M = M 0 = 1500, Go = 94
Trong đó: Y - thu nhp, c - tiêu dùng, I - đu tư, r - i sut,
G0 - chi tiêu chính ph, Mo - cung tin, T - thuế, L - cu tin.
1) Xác đnh trng thái cân bng.
2) Thu nhp cân bng thay đi như thế nào khi tiêu dùng cn
biên đi vi thu nhp sau thuế thay đi.
3) Mc thâm ht ngân sách bao nhiêu nếu ngun duy nht
ca chính ph là thuế.
Bài 2.26. Cho mô hình kinh tế
Y = c + I + Go
C = a + b (Y -T 0)
I = d + iY
Go > 0; To > 0; a > 0; 0 < b < 1; bT0 < a; d > 0; 0 < i < 1;
b + i< 1.
Trong đó: Y - thu nhp quc dân, c - tiêu dùng dân cư và
I - đu tư; Go - chi tiêu chính ph, T0 - thuế.
1) Tìm thu nhp quc dân cân bng.
2) Khi i tăng thì thu nhp quc dân tăng hay gim, vì sao?
Chương 2. Mt sô'mô hình tuyên tính...
_______________________
25
26
Hưng dn giải bài táp Toán cơ sơ inig dng.
Bài 2.27. Cho mô hình kinh tế:
Y = c + I0 + G0 (lo > 0, G0 > 0)
c = 60 + 0,7Yt
Y, = (l -t)Y (0 < t< 1)
Trong đó: Y, c , Yt, t ln lưt là thu nhp quc dân. tiêu
dùng, thu nhp sau thuế, thuế sut.
1) Xây dng mô hình cân bàng thu nhp quc dân.
2) Tính ,c khi G0 = 140; I0 = 90 (triu USD); t = 40%.
3) Y ,c tăng hay gim khi t tăng? Vì sao?
Bài 2.28. Cho mô hình kinh tế
Y = c + I + Go
C = a+bYt; Yt = (l-t)Y
I = d + xY
G0> 0; a > 0; d > 0; 0 < b < 1; 0 < X, t < 1; b(l-t) + X < 1
Trong đó: Y - thu nhp quc dân; c - tiêu dùng dán ;
I - đu tư; Yt - thu nhp sau thuế; Go - chi tiêu chính phù.
1) Xây dng mô hình cân bng thu nhp quc dán.
2) Khi X tăng thì thu nhp cân bàng tăng hay gim?
3) Tính ,c khi biết Go = 500 (t USD); a = 150; X = 0.1;
b = 0,8; t= 0,4; d =100
4) Thuế sut tăng thì Y ,c tăng hay gim, vì sao?
Chương 2. Mt sô'mô hình tuyến tính..
27
Bài 2.29. Cho mô hình kinh tế
Y = c + I
c = c 0 +aY (C0 > 0, 0 < a < 1)
I = I0 - br (I0 > 0, b > 0)
L = L0 + mY - nr (L0 > 0; m, n > 0)
MS = L
Trong đó: Y - thu nhp quc dân; I- đu tư; c - tiêu dùng;
L - mc cu tin; Ms- mc cung tin; r - lãi sut.
1) Hãy xác đnh thu nhp quc dân và lãi sut cân bng
2) Vi a = 0,7; b =
1800
; c 0 = 500; L0 = 800; m = 0,6;
n = 1000; Ms = 2000; I0= 400: tính h s co giãn ca thu nhp,
i sut theo mc cung tin ti đim cân bàng và gii thích ý
nghĩa ca chúng.
Bài 2.30. Xét mô hình IS - LM vi
Y = C + I + G ;L = M
c = 0,7Y + 25;
I = 80 - 2r; G = Go (Go > 0)
L = 4Y - 30r; M = M0 (M0> 0)
Trong đó: Y - thu nhp quc dân; I - đu ; c - tiêu dùng;
L - mc cu tin; M - mc cung tin; r - i sut.
Tính mc thu nhp quc dân cân bng và lãi sut cân bng
vi Go = 60; Mo = 1350 (nghìn t VNĐ).
28
Hưng dẫn giải bài tâp Toán só ưng dng.
B. HƯNG DN VÀ ĐÁP S
Bài 2.1. Đáp s
1)(X = - 3 ; x2 = 2; x3 = 3).
2) (x,= 1; x2= 1; x3 = 2).
3) H vô nghim.
4) (Xi = -7 - 5a; x2 = -3 - 2a + P; x3 = a; x4 = P);
Vi a, (3 e R.
5) H vô nghim.
6) H vô nghim.
7)
13
11
x , = l - j a - - y P ; x 2 = - a - j p ; x 3 = a; x 4.= p
Vi a,p G R.
8)
137 87
22 198
X, =
-----------; x 2 = ----------; X, =
----------
; x 4 =
--------
1 13 2 15 5 4 195
398 22 513
9) X, = ;x2 =
-------
;x,
l 139 2 139 139
10) ( X, = 2 ; x 2 = 0 ;x 3 = - 3 ) .
1 1)
' 27 73 101
X. =3 + a;x, =4 + a;x , = 1 +- a ;x , = a :
50 2 50 3 50 4 J
Vi a R.
12)
(
XI =
108 + 49a 27 + 34a 8
;x 2 = -
27
27
= - - a ; x « = a j :
Vi a 6 R.
Chương 2. Mt s mô hình tuyến tính..
29
13)
Vi a e R.
_ 16+14a 154 + 77a
X, = -1 5-8 a;x2 =
------------------------------
;x3 =
----
--------
;x4 = a
15
]A\( _-27a + 4p + 2_ -18a + 5ip + 69
' xi----------
----------
x7=
---------
rr
--------
x3 =
29 7X2
12a + 24p + 12
29
29
;x4 = a ;x 5 = p
Vi a, p e R.
Bài 2.2. Hưng dn
Gi A và A ln lưt là ma trn h s và ma trn b sung ca
h trên. Tìm điu kin đ r(A) = r( A ).
l)MọiaeR. 2) a *-3. 3 )a * - i.
Bài 2.3.
1) + a * 1 và a * -2: H có vô s nghim. Nghim tng quát
ca h là:
X =
1-a
;y =
l-a
; z =
l-a
; t = a
; a e R;
a+2 ' a+2 a+2
+ a = 1: H có vô s nghim. Nghim tng quát ca h là:
(x = l - a - p - y ; y = a; Z = P; t = Y); a, p, Y R;
+ a = -2: H có vô s nghim. Nghim tng quát ca h là:
(X = a; y = a; z = a; t = 1); a e R.
2) + a * -1 và a * -3: H có nghim duy nht:
f l + 2a l + 2 a 1+a
X =
-------
; y =
-----
z
---------------
-
v a+3 a+3 a+3y
30
Hưng dn gii bài p Toán cơ Uĩiỹ dtt.
+ a = -1: H có vô s nghim. Nghim tng quát cua h là:
1 \
1 1 2
x = a; y = - - a - ; z = - a -
3 3 3 3
; a e R;
+ a = -3: H vô nghim.
3) + ab * 12: H có nghim duy nht:
2b -8 ab-10b + 28 __ 4a-12
X =
-----
y = ;z =
ab-12
2(ab-12)
ab-12
+ ab = 12 và a * 3: H vô nghim;
+ a = 3 và b = 4: H có vô s nghim. Nghim tng quát
ũa h là:
f _ 2 -2 a _ 10a -7 ì
X
-----
; y =
----------
; z = a |;a e R.
V
4) +
a * 1
a * -2 : H có nghim duy nht:
b * 0
a - b
X =
(a-l)(a + 2)
; y
ab + b - 2
b(a l)(a + 2)
; z =
a - b
, [a = l [a = -2
+ b = 0 hoc < hoc < _ : H vô nghim:
b*l b * -2
+ a = b = 1: Hệ có sổ nghim. Nghim tng quát cua h là:
(x = 1 - a - P; y = a; z = P); u, p R;
Chươnp 2. Mt sô'mô hình tuyến tính... 31
+ a - b = -2: H có vô s nghim. Nghim tng quát ca h là:
X = a; y = -
1+a
; z = a
;a e R.
5) det(A) =
= (b - a)(c - a)(c - b) (Đnh thc
1 a a 2
1 b b2
1 c c2
Vandermone cp 3).
+ a, b, c khác nhau tng đôi mt: H có nghim duy nht
X = abc; y = -(ab + be + ca); z = a + b + c;
+ Hai trong ba s a, b, c bàng nhau: H có vô s nghim.
Nghim tng quát ca h là:
X = -ac(a + c) + aca;
y = a2 + ac + c2 - (a + c)a;
z = a; a 6 R;
+ a = b = c: H có vô s nghim. Nghim tng quát ca h là:
X
= a3 - aa -'a2p; y = a; z = P; a, p e R.
6) + k * 1: H có nghim duy nht
k2 + 4k + 5 4 k + 2
X =
y =
k2+4k + 7 '', k2+4k + 7 k2+4k + 7
\ '
+ k = 1: H có vô s nghim. Nghim tng quát ca h là:
32
Hưng dẫn gii bài tập Toán cơ sơ ưTíg dng -
7) + a * 0, b 1: H có nghim duy nht
X =
3 1 b-1
;y = -T ^-r;z =
a(b + l) b + 1 b + 1
+ b = 1: H có vô s nghim. Nghim tng quát cũa h là:
(x = a; y = 1 - aa; z = 0); a R;
+ a = 0, b * 1: H vô nghim.
+ b = -1: H vô nghim.
8) + a * 1, a * -3: H có nghim duy nht:
-a 2- 2 a - 2 -a 2- a + l _ 2a + l a3+3a: +2a + r
x =
---------
----
;y =
--------
;z =
----------------------------
—;t=
------
---
;
a+3 a+3 a+3 a+3 j
+ a = 1: H có vô s nghim. Nghim tng quát ca h :
(x = 1 - a - p - y; y = a; z = P; t = y); a, p, Y R.
+ a = -3: H vô nghim.
Bài 2.4. Gi Xi, x2, x3 ln lưt là tng cu ca các ngành. Khi đó
ma trn tng cu X = . Bây gi tìm X: (E - A)X = B
6
vi ma trn cu cui cùng B = 9
8
Chương 2. Mt s mô hình tuyên tính..
33
Khi đó X = (E - A) 'B =
29
25,72
30,52
và ma trn chi phí đu
V
' 20,3 "
vào: c =
c2
=
20,576
-c3_
21,364
Bài 2.5. S dng tính cht tng các ct ca ma trn A nh hom 1,
tc aj! + a2i < 1 và aI2 + a22 < 1. Nên 1 - a2] > an > 0 và
1 -a ,2 > a22 > 0 , suy r a ( l- a n)(l - a22) > a12a21
Mt khác:
det(E - A) =
1 - a , - a
12
- a
21
1 - a
22
= ( l - a n ) ( l - a 22) - a 12a 21> 0
(đpcm).
Bài 2.6. Theo bng số liu trên ta :
xu = 20, X|2 = 60, x13 = 10; b = 50
X2| = 50, x22 = 10, x23 = 80; b2 = 10
x3| = 40, x32 = 30, x33 = 20; b3= 40
1) Tng cu:
Đi vi sn phm cùa ngành 1:
X, = 20 + 60 + 10 + 50 = 140;
Đi vi sn phm ca ngành 2:
x 2 = 50 + 10 + 80 + 10 = 150;
34
Hircmg dẫn gii bài tập Toan sơ uv dung
Đi vi sàn phm cùa ngành 3:
x3 = 40 + 30 + 20 + 40 = 130.
Tng chi phí:
Tng giá tr lao đng ca mi ngành:
2) Ma trn h s k thut:
20 60 10
A =
140 150 130
50 10 80
140 150 130
40
30
20
140 150 130
0,143
0,400
0.077
0,375
0.067 0.615
0,286
0,200
0,154
Bài 2.7.
1) Sô 0,4 dòng 2 và ct 1 ca ma trn A có nghĩa: đ sản
xut ra 1 USD giá trị hàng hóa ca mình, ngành 1 cn sư dng
0,4 USD giá tr hàng hóa ca ngành 2.
2) Gi X), x2, x3 ln lưt tng cu ca các ngành. Khi đó
X,
. Bây gi tìm X: (E - A)X = B với
ma trn tng cu : X =
x 2
X,
ma trn cu cui cùng B =
10
5
6
Chương 2. Mt 'mô hình tuyên tính.
Khi đó:
35
'1,656
0,701 0,446'
'10
"22,74 r
X = (E-A)-'B =
0,786
1,486 0,340 . 5
=
17,330
0,446
0,573
1,274
6
14,969
3) Neu cu cui cùng ca ngành 1 tăng 1 đơn v ta có ma
10
10
0
trn cu mi: B' =
5
=
5
+ 0
7
6
1
Do vy ma trn tng cu mi :
X' = (E - A)-'B= (E - A) '(B + e3) = (E - A)-'B + (E - A)-'e3
'22,74 f
'0,446'
'23,187"
17,330
+ 0,340
=
17,670
14,969
1,274
16,243
Nhn xét: Tng cu ca các ngành tăng lên tương ng vi
các phn t ca ct 1 ca (E - A)'1.
Bài 2.8. Bn đc t gii tương t như 2.7.
i 2.9. Ta có:
0,151 , , 0,1 0,15
A = =>Ia | = _ * = 0,12- 0,15.0,2 = -0.02
'0,1
0,15'
=>|a | =
0,1
0,15
0,2
0,1
0,2 0,1
A
1) Vi D = ta có:
; 6
36
Hưng dẫn gii bài p Toán cơ sc ưng dng
A3
|L)| =
6
= . IA|3 = (-0,02)3 = 2 -
36 1 1 36 9
2) Ta luôn có: (E- A)"‘(E - A) = E
<=> (E - A)"1 - (E - A )'1 A = E
<=> (E -A )~ ' = (E -A )-'A + E
O ( E - A ) '1 = A (E -A )-1 + E
Nên mnh đ trên là sai
3) Gii thích ý nghĩa ca a]2 = 0,15: lưng giá tr san phm
ngành 1 cn thiết đ làm ra mt đơn v giá tr sn phâm ngành 2.
Tng dòng 1: aM + ai2 = 0,25 là lưng giá tr sán phm
ngành 1 cung cp cho 2 ngành, mi ngành làm ra mt đơn vsản
phm ca mình.
Tng ct 2: a)2 + a22 = 0,25 là lưng giá tr sn phâm ca 2
ngành cung cp cho ngành 2 đ ngành đó làm ra 1 đơn vị sn
phm.
4) Áp dng công thức: Xy = ay.Xj (i, j = 1,2)
Ta có: Xu = anX] = 0,1 X 200 = 20
x2| = a2i-Xi = 0,2 X 200 = 40
Tương t: x12 = 60; x22 = 40.
Klhi đó, ta có bng I/O:
Tng cu
Cu trung gian Cu cui cùng
1
2
200
20 60
120
400
40 40
320
Chương 2. Mt sô'mò hình tuyến tính..
37
5)bj =120; x2 = 400
X = AX + B
<=>
|x l=allxl+a|2x2+b1 íx, = 0,1 X, +0,15.400+120
x2 = a21X| + a 22x 2 +b2 ^ [400 = 0,2xj +0,1,400+b2
<=>
X, = 200
b 2 =320
6) Vi B =
10
10
Khi đó: (E -A )-1 = 1
0,78
0,9 0,25
0,2 0,9
X = (E -A )~B =
7) Đt c = (E - A)'
1
0,78
'0,9
0,25"
ì o ' '13,4'
0,2
0,9
10
.14,1
C2I =
0 2 ,
= = 0,256 là mc tăng ca tông cung ca ngành 2
0,78
đm bo cho ngành 1 tăng cu cui cùng lên 1 đơn vị.
Bài 2.10.
1) Theo gi thiết:
X,, = 20; X:, =10:x= 10;x, = 100
X|2 = 10* X n = 10j X T 10; X2 = 100
X|3 = 8; x2? =1 >: \ 33" 8; X3 = 40
38
Hưng dẫn giải bài táp Toan cơ sc ung dng
Tìm b|, b2, b3 sao cho:
X, = x ,+ x i2 + xl3 + b1(i= 1,2, 3) (*)
Gii h phương trình (*) thu đưc:
b, = 62
< b 2 =14
b, = 12
Ta có bng I/O như sau:
Tng cu
Cu trung gian
Cu
cuõi cùng
1
2
3
100
20
10
8 62
50
10
10 16
14
40 10
10 8 12
X
2) Áp dung công thc: a = (i, j = 1,2,3)
X
J
ta : A
0.2 0,2 0,2
0.1 0.2 0,4
0,1 0.2 0.2
Y nghĩa: a23 - 0.4 lưng san phâm cua neành 2 cuna cp
cho ngành 3 đ ngành đó làm ra 1 đơn vsàn phm.
- Xét ct 2 cua A: Các phàn t ;ùa ct 2 chính eiá trị
sn phâm cùa các ngành cuna cp cho rmành 2 đê ncanh đó
sn xut ra 1 đơn vị aiá tr sn phalli.
Chươtĩ 2. Mt sô'mó hình tuyến tính...
39
- Xét dòng 3 ca A: Các phn t ca dòng 3 chính giá
tr sn phm mà ngành 1 cung cp cho c 3 ngành đ mi
ngành làm ra mt giá tr sn phm ca mình.
- Tng dòng 1 bàng 0.6: là lưng giá tr sn phm mà
ngành 1 cung cp cho c 3 ngành đ mi ngành làm ra 1 giá
tr sán phm ca mình.
- Tông ct 1 bng 0,4: là lưng giá tr sn phm ca 3
ngành cung cp cho ngành 1 đế ngành đó sn xut ra mt đơn
vsn phm ca mình.
3) Ta : E - A =
0,8 - 0,2 - 0, 2'
-0,9 0,8 -0,6
- 0,1 - 0,2 0,8
vàC = (E -A )" =
'1,38 0,49 0,59'
0,29 1,53 0,84
0,24 0,44 1,53
- Phn t c23 = 0.84 mc tng cung ca ngành 2 đ đm
bo cho ngành 3 làm ra 1 đơn v giá tr cu cui cùng.
- Ct 2 ca c là tng cung ca các ngành đ ngành 2 làm
ra mt đơn v giá tr sn phm cui cùng.
- Tng các phn t ca dòng 1 bàng 2,46 là lưng giá tr
sn phm ngành 1 phi có đế mi ngành làm ra mt đơn vị giá
tr sn phm cu cui cùng.
- Tng các phn t ca ct 1 bng 1,91 lưng giá tr sn
phm ca 3 ngành phi có đ ngành 1 làm ra 1 đơn v giá trị
sn phm cui cùng.
40 Hưng dn gii bài tp Toán se ung dng.
4) x3 = 600
x23 = a23X3 = 0,4.600 = 240
5) Ma trn tng cu
X = (E - A )' B = C.B
"1,38 0,49 0,59
"20'
'43,3
0,29 1,53 0,84
20
=
44,8
0,24 0,44 1,53
10
28,9
6) Ta : x2 = 80, x3 = 60, b| = 132
Khi đó, ta có h phương trình:
X, =0;2x, +0,2.80 + 0,2.60 + 132
80 = 0,lx, + 0,2.80 + 0,4.60 + b 2
60 = 0,lx, + 0,2.80 + 0,2.60 + b3
Ta có bng I/O như sau:
<=>
x ,
= 200
= 20
b,
= 12
Tng cu
Cu trung gian
Cu cui
cùng
1
2 3
200
40
16
12
132
80 - 20 16
24
20
60 20 16 12 12
Bài 2.11. Ta có mô hình cân bàng
Qs, = Q |
Qs' = Q d;
<=>
r- 3 + 5p, = 12 4p, +2p2
l + 4p2 = 15 + 2p, - p 2
Chương 2. Mt sô'mô hình tuyến nh...
41
<=>
f9 p,-2 p 2 =15
2p, - 5 p 2 = -16
<=> <
Pi =
p 2 =
107
41
174
41
- 107
P .= 7 T
174
p 2 =
41
. 412
Khi đó, lưng cân băng ca hàng hóa 1 : Q, =
-----
lưng
cân bàng ca hàng hóa 2 là: Q 2 =
655
41
Bài 2.12.
1) Đ nhà sn sut cung ng hàng hóa cho th trưng thì
mc giá pi và p2 phi tha mãn điu kin là:
- 2 + P, > 0
p, > 2
<=> <
- 2 + 3p2 > 0
2) Mô hình cân bng là:
Qs, = Q d ,
Qs, = Q d ,
<=>
2 + p, = 18-3p, + p 2
- 2 + 3p2 = 12 + p, -2p2
<=>
4p, -p: =20 fp, =6
p, = 6
lĩp2 =4
' 2 <=> < 1 => <
p,-5p2=-14 [p2 = 4
Lưng cân bàng ca hàng hóa 1 : Q, = 4
Lưng cân bng ca hàng hóa 2 : Q 2 =10
42
Hưng dẫn gii bài tập Toan cơ so utt dung.
Bài 2.13.
Đế nhà sn sut cung ng hàng hóa cho th trune thì mc
giá Pi và p2 phải tha mãn điu kin là:
- 2 + p, > 0
p, >2
2
p 2 > -
a
2 + ap2 > 0
1) Mô hình cân bàng là:
Qs, =Qd, í-2 + P = 18 3p, +p2
Qs2 =Qd2 l 2 + ap2 =12 + P| -2P:
<=>
[4p,-p2=20
[pr(a+2)p2 = -14
<=>
Pi =
p2 =
20a+54
4a+7
76
4a+7
- 20a~54
Pi= A
-----
n
4a+7
76
4a+7
Lưng cân bng ca hàng hóa 1 Q, =
Lưns cân bng cùa hàng hóa 2 Q 2 =
4a + 7
, ~ 68a - 14
4a + 7
T < 0 nên khi a tãna thi eiá cân
2) Ta : (p ) =
------
-^r
^ 'a (4a + 7)
bng ca hàn2 hóa 1 tăng.
Măt khác (p,) =
------
rr < 0 nên khi a tăng thi eiá cn
/a (4a + 7)
băng cua hàns hóa 2 tăne.
Chương 2. Mt 'mô hình tuyêh tính...
Bài 2.14.
43
= 1 > 0
aD
= 1 > 0 nên hai hàng hóa đã
P|
p2
cho thay thế cho nhau.
2) Đê nhà sn sut cung ng hàng hóa cho th trưng thì
mc giá Pi và p2 phi tha mãn điu kin là:
Lưng cân bans cùa hàng hóa 1 là: Q| =3
Lưng cân bàng ca hàng hóa 2 : Q, = 12 .
Bài 2.15. Bn đc gii tương t như i 2.14.
i 2.16.
1) Hàm cu Qd = a - bq
Qj^O) = a: lưng cu ti đa.
= -b < 0: aiá tăng 1 đơn v thì cu gim -b đem v.
3) Mô hình cân bng :
I
44
Hưng dẫn giải bài tập Toan uvg dng-
Qd > 0 <=> p < —: pmax = là mc giá tổi đa đi vi ngưi
b b
tiêu dùng.
Hàm cung Qs = - c + dp
= d > 0 : giá tăng 1 đơn vi thì cung tăng d đcm v.
õp
Qs > 0 <=> p > :p = mc giá ti thiu đối vi
d mm d
ngưi tiêu dùng.
v mt kinh tế ta cn có pmin < p < Pmax
c < => ad - bc > 0
d b
2) Mô hình cân bàng Qs = D <=> p = a "° > 0
b + d
ad - bc
Lương cân băng: Q =
----------
> 0
b + d
3) Xét giá cân bàng: p =
b + d
3 - 1
Ta có =
------
> 0: cu tối đa tăng thì giá cn bàne tăng.
ơa b + c
p
ỡc b + d
> 0: khi c tăng thì giá cân bàng tăng.
p - (a + c) , =
=
------------
< 0 : b tăng thì giá cán hăng giam.
b b + d
Chương 2. Mt so hình tuyên nh..
45
p - ( a + c)
T7 =
-
--------
> 0 : d tăng thì giá cân băng gim.
da b + d
4) Khi không có thuế: giá hàng hóa mà ngưi mua tr cũng
chính giá mà ngưi sn xut thc hin.
Khi có thuế thì giá ngưi mua tr (pd) cao hơn giá ngưi bán
thực nhận (ps) mt lưng bng thuế: pD = Ps + t (1)
Mô hình cân bng: Qd(Pd) = Qs(Ps)
w X 1 a + c -b t
<=> a - b(ps + 1) = -c + dps o ps = ' (2)
b + d
vu - A' a + c + dt
Khi d Pp = ' (3)
b + d
Nhn xét: Khi có thuế thì ngưi sn xut bán vi giá thp
hơn và ngưi tiêu dùng phi tr giá cao hơn.
_ a + c a + c -b t bt
Ký niêu: As = p - ps =
--
-------
-
= : lưofng chiu
b + d b + d b + d
thuế ca ngưi bán
- a + c + bt a + c bt ,, . _ u. í ,
An = pD - p =
------
:
-----
= lương chiu thuê ca
b + d b + d b + d
ngưi mua. Ta có: As + AD = t
Lương cân bng khi có thuế : Q(t) = —-
b + d
46
Hưng dẫn giải bài tập Toán cơ sơ ưti dng.
Bài 2.17.
Mô hình cân bàng:
ÍY = C+I0 + G0 J Y = 0,85 Y( 1 -t)Y+l 50+I0 -K30
[C = 0,85Yd+150 ^ j c = 0,85(l-t)Y+150
<=>
[ [l -0,85( 1 -t)] Y = 150+I0 +G0
C = 0,85(l-t)Y+150
<=>
1-0,85(1 -t)
1
c =
150+0,85(l-t)(I0+G0-15Q)
1 -0,85(1 -t)
Thu nhp và tiêu dùng cân bàng ln lưt :
150+Iq+Gq 150+0,85(l-t)(I0+G0-15Q)
1-0,85(1-t) l-0,85(l-t)
Vi I0= = 200; G0 = 450; t = 0,2 ta có
= 1 5 0 ^ 5 0 =
1-0,85.0,8
C = 0,85.0,8.2500+150 = 1850 (t VNĐ).
Bài 2.18.
1) a = C(0): mc tiêu dùng t đnh.
b = C'(Y ): xu hưng tiêu dùng cn biên.
Chương 2. Mt sô hình tuyên nh.
47
2) Ta có h phương trình:
<=>
Y-C = I0+G0
(*)
ỊC = a+bY [-bY+C = a
Gii h (*) bàng phương pháp Cramer.
Ta có:
|A |-
A, =
1 -1
-b 1
- i-b>0 =>H (*) có nghim duy nht
10+G0 '1
a 1
1 I0+G0
-b a
= I0+G0+ a ;
= a+b(I0+G0)
Khi đó, thu nhp quc dân và tiêu dùng cân bng ln lưt :
_ A _ I0+G0+a _ A2 _ a+b(I0+G0)
|A| 1-b ; |A| 1-b
3>Tacó:
Do vy: ( )o + ()0í - ^
2_
1 -b
Mt khác 0 < b < 1 nên 0< 1- b < 1
2
su y ra (y ) + (y ) = ^ > 2. Vy nhn đnh trên là sai.
y V V /(. j0 _ b
48
Hưng dn gii bài tập Toan cơ s uvg dng
4) Vì i Y Ì
-----
> 0 nên a tăng thì Y tăng.
a 1 b
Vì (Y ) = T- > 0 nên b tăng thì Y tăng.
V /b (I_b)2
Vì (c) = > 0 nên a tăng thì c tâng.
Vì (c ) = > 0 nên b tăng thì c tăng.
v 'b (1-b)
Bài 2.19. Bn đc t gii tương t như 2.18.
Bài 2.20. Bn đc t gii tương t như 2.18.
Bài 2.21.
1) Ta có h phương trình:
|Y = C+I0+G0 ÍY = C+I0+G0
|c = 150+0,8(Y-T) ^ |c = 150+0,8(Y-0,2Y) = 150+0,64Y
íy = 15Q+I0+ G 0
[ 0,36
Vy thu nhp và tiêu dùng cân bàng ln lưt :
150+Iq+Gq , - _ 15Q+Q,64(Ĩ0-I-G0)
0,36
c _ 150+Q,64(Ĩ0+G0)
0,36
0,36
Chương 2. Mt s mô hnh tuyên nh.
49
Vj I0 = 200; Go = 900 ta có:
= 150 + 2 00 + 9 0 0 2
0,36
C - 11Q^ ^4 (2 0 0+900) =
0,36
T = 0,2 = 6944,4
2) c = 150 + 0,7(Y -T)
I0 = 200. Tìm Go đ n đnh thu nhp quc dân, tc là:
= 3472,2
r|-i ' T? - 350+ G0 _ n 0
Ta có Y =
-----
-
= 3472,2
0,44
« G 0 = 3472,2.0,44-350 = 1177,768
i 2.22.
1) Ta có h phương trình:
Y = C+I+G0 [Y = b0+b1Y+a0+a1Y-a2R0+G0
[c = b0+b,Y ° c = b0+b|Y
<=>
(l-a.-b)Y = a0+b0+G0-a2R0
1 '-'I
C = b0+b,Y
Y =
<=>
c = b (1 -a, )+b1 (a0 +G0 -a2 R0)
Vy thu nhp và tiêu dùne cân bàng ln lưt lả
= a0+b0+G0-a2R0~ - = b U -a^+ bU n+ G ^R )
l-a|-b lâ~t)|
2) Vi: bo = 200; b| = 0,7; ao = 100; ai = 0.2:
a2= 10; Ro = 7; G0 = 500.
Thu nhp quc dân cân bàna :
- = 100+200+500-10.7 = 7300
1-0,2-0,7
H s co giãn ca thu nhp cân bang theo Go
e _ _ 1 Gọ
u° l-a,-b, '
Ti đim cân bng: G = 500
6q =
-----
-
-----
. = 0,685
° 0 1-0,2-0,7 7300
Vy, khi G0 tăng lên 1% thì thu nhp quc dân cân bang táng
khong 0,685%.
Bài 2.23.
1) Yd = Y -T = (l-t) Y = Y-tY=>T = tY=> = t.
rY
S 1.100% t lệ thu nhp dành đ np thuế.
2) lo = 50: NXo = 30.
50 Hitìíg dẫn giải bài tập Toan cơ fO Mtg (iụỉtg
Chươnp 2. Mt so mó hình tuyến tính...
Xác đnh thu nhp cân bng:
Y = 20 + 0,75(1- t)Y + lo + 20 + 0,1 Y + NXo
<=> (0,75t+0,15)Y = 40+I0+NX0 o Y = 4Q+Ig+NX-°
0,75t+0,15
Hay thu nhâp cân bàng : Y = 40 lo NX0
0,75t+0,l 5
rpi i
A
1 ì
p
_ _ t(40+I0+NX0)
Thuê cân băng : T = tY = _
0,75t+0,15
Chi tiêu chính ph cân bng là:
G = 20+0,1 = 20+Q,1(4Q+I°+NXo)
0,75t+0,15
Khi: I0 = 50; NX0 = 30: = 120
0,75t+0,15
120t 15t+15
I = : —— ; o -
0,75t+0,15 0,75t+0,15
Điu kin cân đi ngân sách:
120t 15t+15
N S ^ o T - G o
0,75t+0,15 0,75t+0,15
<=> 105t = 15 <=> t
----
7
3) Khi chưa biết I0, NX0 ta có:
NS = T G = W X ^ o + N X p )-15*-3
(X75t+0,15
52
Hưng dn gii bài tập Toán cơ sỡ Im dng.
Từ đây, ta có:
- Nếu t = 0,1: ngân sách không ph thuc vào lo-
- Nếu t * 0,1: ngân sách ph thuc vào lo-
Bài 2.24.
1) Ta có Yd = (1- t)Y; M = 0,2(1-t)Y; c = 0,8(1 -t)Y
Xác định thu nhp quốc dân cân bàng:
Y = C + Io + Go + X o -M
<=> Y=0,8( 1 -t)Y+I0 +G0 +x0 -0,2( 1 -t)Y
<=> [l-0,6(1-t)]Y = I0+G0+X0
0 Y = Io+ G o+ x o
1 -0,6( 1 -t)
Vây thu nhâp quc dân cân bàng là Y = .
; n 1 -0,6( 1 -t)
Mt khác =
-----
í
-----
= nên khi I0, t không đi thì
G0 l-0,6(l-t) ax0
G0 tăng lên 1 đơn vị và gim nhp khu Xo xung 1 đơn vị thì
thu nhp cân ng không đổi.
Do đó, nhn đnh đó đúng.
2) Vi lo = 300; G0= 400; Xo = 288; t = 0,2 ta :
Thu nhp quốc dán cân bàng là:
. 300+400+288 . ,900.
1-0.6.0.8
Chương 2. Mt sô'mô hình tuyến nh...
53
Tiêu dùng cân bàng là: c = 0,8-0,8.1900 = 1216.
Nhp khu cân bàng : M = 0,2.0,8.1900 = 304.
Thuế cân bàng : T = 0,2.1900 = 380.
Ngân sách: NS = T-G0 = 380-400 = -20<0, do đó nn kinh
tế có thâm ht ngân sách.
Mt khác: M-X0 = 304-288 = 16>0, do đó nn kinh tế thâm
ht thương mi.
3) Vi I0 = 300; Xo = 288; t = 0, 2 thu nhp quc dân cân
bàng :
- = 300+288+G = 588+G0
1-0,6.0,8 0,52
£ = 2500 <=> G0= 712.
Ta có nhp khu cân bng là:
= ^(588+G 0)
H s co giãn ca M theo G0 là:
Ti Go = 712: M = 400 và £q = - . = 0,5477.
0 3 400
Vy khi Go tăng 1% thì M tăng khong 0,5477%.
54
Hưng dẫn giải bài tập Toan cơ sg int íiĩtg-
Bài 2.25.
1) Ta có h phương trình:
í Y = C+I+G0 (1 -0,75b)Y+r = 174-25Ò
[L = M ^ [5Y-50r = 1500
10200-1250b
100-37,5b
^ 1 _ 7200-125b
r 100-37,5b
Vy thu nhp quc dân và lãi sut cân bng :
= 10200-1250b - = 7200-125b
100-37,5b ; r 100-37,5b
2) Ta có: b = C(Y)
(y ) = -° > 0. Nên b tăng thì Y tng.
v Jb (37,5b-100)
3) Bn đc t giái tương t như 2.24.
Bài 2.26.
1) Ta có: Y = a + b(Y - T0) + d + iY + G0
<=>(l-b-i)Y = a-bT0+d+G0
^ Y = a'bT0+d+G0
1-b-i
Chương 2. Mt s mô hình tuyến tính. 55
Hay thu nhp quc dân cân bng là: Y =
a-bT0 +d+G
1-b-i
2) Vì (y ) = g__bT0 d G0 > Qn£n khi j
tăng
th thu nhp
v h (1-b-i)
quc dân cân bng tăng.
Bài 2.27.
1) Ta có h phương trình:
ÍY = C+I0+G0 f Y = 60+0,7( 1 -t)Y+I0 +G0
|c = 60+0,7( 1 -t)Y ^ c = 60+0,7( 1 -t)Y
Y = 6Q+I0+G0
l-0,7(l-t)
Vy thu nhp quc dân và tiêu dùng cân bàng ln lưt :
_ 60+Iq+Gq - _ 60+0,7(1-t)(I0+G0)
l-0,7(l-t) l-0,7(l-t)
2) Với G0 = 140; I0 = 90; t = 0,4; thu nhp quc dân và tiêu
c _ 60+0,7(1-t)(I0+G0)
l-0,7(l-t)
dùng cân bàng lần lưt : Y =
60+90+140
1-0,7.0,6
= 500 (triu USD)
- 60+0,7.0.6(90+140)
c ~ 1-0,7.0,6
= 270 (triu USD).
56
Hưng dn gii bài tập Toán cơ sơ dng
3) Vì (y = -7°(60+10+° 0) < 0 nên k h i, tăne (hi thu nhp
' h [l-0,7(l-t)f
quc dân cân bng gim.
Vì (c) = r0- 2 < 0 nên khi t tăng thì tiêu dùng
' h [l-0,7(l-t)f
cân bàng gim.
Bài 2.28.
1) Ta có h phương trình:
f Y = C+I+G0 ÍY = a+ b( 1 -t) Y+d+x Y+G0
c = a+bYt ^ |c = a+b(l-t)Y
Y _ a+d+Gn
o
c = a( 1 -x)+b( 1 -t)(d+G Q)
l-b(l-t)-x
Vy thu nhp quc dân và tiêu dùng dân cư cân bàng lần
lưt là:
- _ a+d+G , - _ a( 1 -x)+b( 1 -t)(d+G0)
1 -b( 1 -t)-x l-b(l-t)-x
a+d+G
l-b(l
quc dân cân bàng tăng.
2) Vì (y ) = ^+^ -° - > 0 nên khi X tăng thi thu nhp
v '* [ 1 -b( 1 -t)-x]
Chương 2. Mt sô'mô hình tuyến nh.
57
3) Vi Go = 500; a = 150; X = 0,1; b = 0,8; t = 0,4;
d = 100. Thu nhp quc dân và tiêu dùng dân cư cân bàng lẩn
t :
- 150+100+500 ,.7 8 5 ,7 (t USD)
1-0,8.0,6-0,1 -
c = 150+0,8.0,6.1785,7 = 1007,1 (t USD).
4) Vì () = - +-G-0-}- <0 nên khi t tăng thì thu nhp
v 't [l-b(l-t)-x]
quc dân cân bàng gim.
ín \ _ -b[(l-x)(d+G0)+a(l-x)] A
Vì c =
-
-----------------
r
--------
-
< 0 nên khi t tăng thì tiêu
v [l-b(l-t)-x]
dùng cân bng gim.
Bài 2.29.
1) Ta có h phương trình:
[Y = C0 + aY + I0-b r J(l-a)Y + br = c 0 + I0
lm Y -nr = Ms - L 0 m Y -nr = Ms - L 0
Y =
n(C0 + I0) + b(Ms - L 0)
<=>
r =
n (l-a ) + bm
m(Cọ + l) - (1 - a)(Ms - L)
n (l-a ) + bm
Vy thu nhp quc dân và lãi sut cân bng ln lưt :
58
Hư&tĩg dẫn giải bai tập Toan cơ so mĩỊỊ dng.
= n(C4'I0)+b(Ms-L0)
n( 1 -a)+bm
- = m(C0 +I0)-(1 -a)(Ms-L0)
n( 1 -a)+bm
2) Vi a = 0,7; b = 1800; c 0 = 500; L0 = 800: m = 0.6;
n = 1000; Ms - 2000; I0 = 400.
Thu nhp quc dân và lãi sut cân bng ln lưt :
- _ 100Q.(500 + 400) +1800.(2000 - 800) = 22 7 39
1000.0.3 + 1800.0,6
f4 0 0 )-(l-0 ,7 ).(2 0
1000.0.3 + 1800.0,6
- _ 0,6.(500 + 400) - (1 - 0,7).(2000 - 800) _ j 3013
(Ì b 1800 90
^ ~ n(l - a) + bm _ 1000.0,3 +1800.0,6 _ 69
/-V - d - a ) -0,3 -3
' n(l -a ) + bm 1000.0,3 + 1800.0,6 13800
H s co giãn ca thu nhp quc dân cân bng theo mc
cung tin là:
_ (V)MS w 90 2000 ,
Em = = - L .M = = 1,17647
Y 69 2217,39
Y nghĩa: Khi tăng mc cung tiên n 1% thi thu nhp quc
dân cân bane tăne khong 1.17647%.
H sô co eiãn cùa lãi sut cân bàng theo mc cung tiên la:
0r _ (r>MSw -3 2000
8M, = - - -Mo = .— = -3,3335
s r 13800 0,13043
Y nghĩa'. Khi tăng mc cung tin lên 1% thì lãi sut cân bng
giảm khong 3,3335%.
Bài 2.30. Bn đc t gii tương t như 2.27.
Chương 2. Mt sô'mô hình tuyến tính...
____________________ 59
ÚNG DỤNG PHÉP TÍNH VI PHN, TÍCH PHÂN
HÀM MT BIN TRONG PHÂN TÍCH KINH T
A. Đ BÀI
Bài 3.1. Cho hàm cung, hàm cu ca th trưng 1 hàng hóa:
Qs = 4P-l
Qd = 4 -P 2
1) Tìm điu kin ca p đ hàm cung, hàm cu cùng dương.
2) Tìm gii hn cao nht (thp nht) ca giá mua (giá bán)
ca ngưi mua (bán)
3) Tìm giá và lưng cân bng (P,Q ).
Bài 3.2. Cho mô hình th trưng
Hàm cung: Qs = 0,1 p2 + 5P +10
Hàm câu: Qn = -
P-2
Chng tò rng mô hình trên có giá cân bàng thuc khong
(3; 5).
i 3.3. Cho mô hình th trưng
Qs =6P-4
Qd = 3-P2; p > 0
Chương 3
1) Tìm hàm cu đo.
2) Gii hn cao nht (thp nht) ca giá ngưi mua (ngưi
bán) chp nhn là bao nhiêu?
3) Chng minh tn tại đim cân bng th trưng này.
Bài 3.4. Mt doanh nghip sn xut có hàm doanh thu:
TR = 4000Q - 33Q2 và hàm chi phí TC = 3Q3 - 3Q2 +
400Q + 500. Xác đnh mc sn lưng cho lợi nhun ti đa.
i 3.5. Mt doanh nghip đc quyn có hàm cu:
p = 40 - 0,03Q và hàm chi phí TC = 10Q + 120. Hãy xác
định sn lưng và mc giá đ doanh nghip ti đa hóa li nhun.
Bài 3.6. Cho hàm chi phí trung bình
AC = - 0,5Q + 0,25Q2 +10
1) Tìm hàm chi phí cn biên.
2) Vi p = 106, tìm Q* tha mãn điu kin cc đi li
nhuận.
Bài 3.7. Cho hàm doanh thu bình quân: AR = 240 - 0,5Q
1) Tìm hàm doanh thu cn biên MR.
2) Cho biết hàm chi phí TC = 40 + 12Q - 22 + 0,25Q3
Xác đnh lợi nhun cn biên Mn và tính Mn tại đim
Qj = 20;Q2= 10.
3 ) Có tn ti hay không đim hòa vn thuc (10; 20)
Chương 3. ng dng phép tính vi phân, ch phân... 61
Bài 3.8. Doanh thu trung bình AR = 240 + 12 - 0.5: (Q>0)
1) Viết hàm chênh lch gia doanh thu cn biên và doanh
thu trung bình.
2) Tìm cc tr ca doanh thu trung bình.
0.1
Bài 3.9. Cho hàm chi phí trung bình: AC = 12 +
F & 0.2 + Q
1) Tính chi phí cn biên MC ti Qo = 10.
2) Tìm hàm chênh lch gia chi phí trung bình và chi phi
cn biên; cho nhn xét về hàm này.
3) Tính h s co giãn ca chi phí theo sn lưng Q ti
Q o-10.
Bài 3.10. Cu về hàng hóa A : Qu = 200P'0 5, th trưng hàng
hóa A có 2 hàm cung là: Qsi = 5P° 5 và QS2 = 4P° 5.
1) Hãy lp mô hình th trưng hàng hóa A.
2) Th trưng có tn tại trng thái cân bang khône?
Bài 3.11. Cho mô hình th trưng 1 hàng hóa như sau:
p = 180-0,5Q
p =30 + 2^
1) Hãy xác đnh trne thái cân bàng cùa thtrưna.
2) Chính phù đánh thuế t/đơn v hàng hóa. phái đnh t la bao
nhiêu đê tôna thuế thu đưc lớn nht.
3) Khi t tăng 1% thì giá cn bàna có tăna 1% khôn2°
62
_________
________
Hưng dẫn gii bài tập Toan cơ so UT£ dng...
Bài 3.12. Hàm cu v ngô có dng:
Q o = 2 0 0 - 5 0 p .
Có 50 cơ s ging nhau có hàm chi phí ti đó mi cơ s
TC = Q (Q - sn lưng ngô mi cơ s). Xác đnh mc sn
lưng Q đê tôi đa hóa li nhun và giá cân bàng ca th trưng.
Bài 3.13. Cho hàm cung Qs, hàm cu D v 1 loi hàng hoá:
Q s = 0 ,2 p 2 + 5 p -1 0
50
Qd = với p giá hàng hoá
P - 2
1) Vi điu kin nào ca p thì cung và cu đu dương? Vi
điu kin trên hãy viết phương trình cân bng th trưng
2) Xác đnh hàm dư cu và kho t tính đơn điu ca hàm
này. Chng t rng luôn tn tại duy nht giá tr cân bng trong
khong (3,5).
Bài 3.14. Cho hàm doanh thu TR = 1400Q - 2 ( > 0)
1) Tìm hàm doanh thu cn biên MR(Q).
2) Ti đim Qo = 500, khi Q tăng lên mt đơn vị thì doanh
thu sẽ thay đi bao nhiêu đơn vị.
3) Tính giá tr doanh thu cn biên tại Qo = 710 và giai thích ý
nghĩa kết qu nhn đưc.
Bài 3.15. Cho hàm tng chi phí TC = 2Q2 +3Q + 100 (Q > 0)
1) Tìm hàm chi phí cn biên MC(Q).
2) Tính chi phí cn biên lại mc sn lưng Q0 = 2 gii
thích V nghĩa kết qua nhn đưc.
Chương 3. ng dng phép tính vi phân, tích phân... 63
Bài 3.16. .Cho hàm cu QD = 8p - p2 (p > 0), Po = 5
Ti mc giá Po, khi tăng giá lên 3% thì lưng cu thay đi
mt lưng xp x bng bao nhiêu %
Bài 3.17. Hãy phân tích mi quan h gia hàm chi phí bình quân
AC(Q) và hàm chi phí cn biên MC(Q), cho biết hàm chi phí
TC = Q2 + 8Q + 18(Q>0)
Bài 3.18. Hãy phân tích mi quan h gia hàm sn xut bình
quân APL và hàm sn xut cn biên MPL, biết hàm sn xut
ngn hn có dng: Q = 60L - 3L2 (L > 0).
Bài 3.19. Cho biết hàm sn xut ngn hn Q = 100-v/ l (L > 0)
và giá ca sn phm p = 4ƯSD, giá thuê lao đng bàng
pL = 20ƯSD. Hãy tìm mc s dng lao đng đ cho lợi
nhun ti đa.
Bài 3.20. Cho hàm tng chi phí TC = Q3 - 120Q2 + 14 ( > 0).
Tìm mc sn lưng Q đ chi phí bình quân đt giá trị nhò nht.
Bài 3.21. Cho biết hàm chi phí TC = Q3 -72 + 49 - 4 ( > ])
và hàm cu đo p = 40 - Q. Hãy xác đnh mc sàn lưcmg
cho lợi nhun đt cc đi.
Bài 3.22. Mt doanh nghip có hàm tng doanh thu:
TR = 58Q - 0,5Q2
và hàm tng chi phí TC = - 3 - 8,5Q2 + 97Q + FC . trong đó
sn lưng (Q > 0) và FC chi phí c đnh.
64
__________________Hưng dẫn giải bài tập Toán sà mtg dng...
1) Vi FC = 4, hãy xác đnh mc sn lưng tối đa hóa
lợi nhun.
2) Hãy phân tích tác đng ca chi phí c đnh FC ti mc
sản lưng ti đa hóa lợi nhun và mc lợi nhun ti đa.
Bài 3.23. Mt công ty cnh tranh hoàn ho có hàm tng chi phí
TC = Q3 - 2+ 1 (Q > 1).
1) Vi giá th trưng p, hãy viết phương trình xác đnh hàm
cung ca công ty.
2) Hãy phân tích tác đng ca giá p ti mc cung ti đa hóa
li nhun và ti mc li nhun ti đa ca công ty.
Bài 3.24. Doanh nghip đc quyn có hàm cu đo:
p = 490 - 2Q và hàm chi phí TC = 0,5Q2AD°5;
Trong đó: Q sn lưng và AD là chi phí qung cáo.
1) Vi AD = 9, hãy xác đnh mc sn lưng và giá bán
tối ưu.
2) Hãy phân tích tác đng ca chi phí qung cáo AD tới mc
sản lưng và giá bán toi ưu.
Bài 3.25. Cho hàm tng chi phí:
TC = Q3 - 5Q2 + 14Q + 144 (Q > 0)
1) Kho sát s thay đi tuyt đi ca TC theo Q, t đó cho
nhn xét về m rng sn xut.
2) Tírìh h s co giãn ca TC theo Q ti Qo = 2.
Chương 3. ng dng phép tính vi phân, tích phân... 65
66
Hưng dẫn gii bài tập Toán cơ s ưn? dng.
Bài 3.26. Cho hàm chi phí TC = 5000+ 4 ^ -
Q+3
( là sn lưng, > 0)
1) Tìm hàm chi phí cn biên MC.
2) Tính chi phí trung bình AC ti Qo = 100.
Bài 3.27. Cho hàm chi phí trung bình đ sn xut ra mt sản
phm:
AC = 2 - 12Ọ + 60 (Q là sn lưng, Q>0)
1) Xác đnh các biu thc tính s thay đi tuyt đi và tương
đi ca AC theo Q và cho các nhn xét.
2) Xác đnh hàm chi phí cn biên MC và mô tà trên cùng
mt phng ta đ đ th hai hàm MC, AC. T đó hãv nêu các
nhn xét quan h gia MC và AC.
Bài 3.28 Cho biết hàm doanh thu và hàm chi phí cùa nhà sn
xut như sau:
TR = 1400Q - 7,5Q2; TC = Q3 - 6Q2 + 140Q + 750
(Q > 0)
Hãy chn múc sn lưng đ li nhun ti đa.
Bài 3.29. Hãy xác đnh mc sn lưng ti ưu ca nhà sán xut
đc quyn, biết:
Hàm chi phí cn biên MC = 3Q2 - 6Q + 96
2
Hàm câu đôi với sn phâm: Q = 148 - - p
Chương 3. ng dng phép tính vi phân, ch phân.
67
Bài 3.30: Cho mô hình th trưng 1 hàng hoá
Qs = 0,3pa(0 < a < 1)
Qd= 0,1 pbMcqd ( b < 0, 0 < c < l,d*0)
Trong đó: Qs, QD là các hàm cung, cầu của hàng A, p là giá
hàng A, M là thu nhp kh dng, q là giá hàng B
1) Gii thích ý nghĩa kinh tế ca a?
2) Hai hàng hoá nêu trong mô hình có quan h thay thế hay
b sung?
3) Tìm mi liên h gia b, c, d đ khi p, M, q thay đi cùng
1 t lệ thì cu D không đổi.
4) Phân tích nh hưng ca M ti lưng cân bng.
Bài 3.31: Hàm cung Qs và hàm cu Qo ca hàng A có dng
Qs = 0,7p-150
Qd= 0,3M - 0,5p +120
Trong đó: p - giá hàng A, M - thu nhp kh dng
1) Có ý kiến cho rng lưng cân bàng không ph thuc vào
thu nhp, ý kiến y đúng hay sai?
2) Gi s Nhà nưc đánh thuế thu nhp vi thuế sut t, phân
tích tác đng ca thuế ti mức giá n bàng.
Bài 3.32. Cho mô hình th trưng hàng A dng:
Qp = D(p,Y 0) (Dp<0;Dy >0)
68
Hưng dẫn gii bài tập Toan cơ I/Tiff dtĩ.
Qs = S(p,T0) (Sp>0;STo<0)
Trong đó: p là giá hàng A, Y0 là thu nhp, T0 l ihu
1) Phân tích nh hưng ca Y0, T0 ti giá cn băng, giải
thích ý nghĩa kinh tế ca các kết qu nhn đưc.
2) Dùng hàm cung phân tích nh hưng ca Y0 tới lưng cân
bng, dùng hàm cu phân tích nh hưng ca To ti lưng cn
bng.
Bài 3.33. Gi p giá hàng A, q giá hàng B, M là thu nhp,
T là thuế. Mô hình th trưng có dng
Da = 0,8M°4p'05q0,1
Sa = 5,4p°3T'0,05
1) Cho biết quan h gia 2 hàng hoá A, B.
2) Phân tích tác đng ca M, T tới giá cân bng mt hàng A.
3) Lưng cung Sa thay đi thế nào khi giá hàne A lng 7%
và thuế cũng tăng 7%.
Bài 3.34. Cho hàm tng chi phí: TC = Q3 - 5Q2 + 14Q +75 vi
Q sn lưng (Q > 0)
1) Tìm hàm VC, AVC, xác đnh FC.
2) Tìm h số co giãn ca c theo ti mc Qo = 10 và giải
thích ý nghĩa kinh tế ca nó
3) Tìm các hàm MC và AC, chng minh MC ct AC lại
điêm AC cc tiu.
Bài 3.35: Cho hàm doanh thu trung bình AR = 60 - 3. Tìm
hàm MR, chng minh rng AR, MR có cùng tung đ gc,
nhưng đ dc ca MR gp đôi đ dc ca AR.
Bài 3.36. Cho hàm tng chi phí:
TC(Q) = Q3 -4 Q 2 + 1800Q+ 150 ( Q > 0 )
Hàm cu về sn phm ca công ty Q = 9000 - p
1) Viết hàm tng doanh thu hàm ca Q (là hàm ca p).
2) Tìm MC và MR theo Q.
3) Tìm Q* đ lợi nhun đt cc đi.
Bài 3.37. Cho hàm lợi nhun:
71 = -Q 3 +3Q2 + 1320Q-10 (Q > 0)
Tính 7ĩ(0) và giai thích ý nghĩa kinh tế.
Tìm mc sàn lưng đ lợi nhun đt cc đi.
_ 9
Bài 3.38. Cho hàm sn xuât: Q = L +10L2
3
Trong đó: Q - san lưng, L - s đơn vlao đng s dng
1) Tìm tp xác đnh thc tế cùa hàm trên.
2) Tìm hàm san phâin trung bình A hàm sản phâm biên
MQ. Chng minh ràng A = MQ tại mc sản lưng mà A
đt cc đi.
3) Tìm mc su dng la . đng L* tại đó đt giá tr lớn rh; ì .
Chương 3. ng dung phép tính vi phn, tích phân... 69
70
Hưng dn gii bài tập Toán cơ sa T dng.
4) Tìm h s co giãn ca Q theo L ti mc L = 5 và giãi
thích ý nghĩa kinh tế.
Bài 3.39. Mt công ty có hàm tng doanh thu: TR = 60 - 1,5Q2
o 3
và hàm tng chi phí:TC =
------
9,5Q2 + 101Q + FC.
1) Cho FC = 3, tìm mc cung Q* đ lợi nhun đt cc đi.
2) Gi n * là mc lợi nhun cc đi. Phân tích nh hưng
ca FC ti Q* và 71 *.
Bài 3.40. Hàm cu ngưc p = 200- Q; TC = Q2
Trong đó: p - giá; - sn lưng
1) Tìm mc sn lưng và mc giá sao cho lợi nhun cc đại.
2) Tìm h s co giãn ca cu tại mc ti đa lợi nhun.
3) Gi s chính ph đánh mt lưng thuế t vào mi n
phm bán ra. Tìm mc cung ti đa hóa li nhun; sn lưng đó
thay đi thế nào khi t thay đi.
Bài 3.41. Mt doanh nghip đc quyn có hàm doanh thu biên
MR = 1800- 1,8Q2
1) Cho biết nếu ti mc sn lưng Qo =10 mà doanh nghip
gim giá 1% thì mc cu s biến đng như thế nào?
2) Neu doanh nghip đnh giá n Po = 50 thì tna doanh thu
bao nhiêu?
3) Neu doanh nghip tăng mc F'.m lưnt: cune t 10 n 20
thì tông doanh thu tăng lên bao nhiêu?
Chương 3. ng dng phép tính vi phân, ch phân... 71
Bài 3.42. Cho hàm lợi nhun bc hai:
7ĩ(Q) = hQ2 + jQ + k (Q > 0)
Hãy cho biết các điu kin đi vi các h s h, j, k đ hàm
lợi nhun trên tha mãn đng thi các điu kin kinh tế sau:
1) Khi sn lưng bán ra Q = 0 thì lợi nhun âm.
2) Li nhun 7i()đt cc đi tại Q* > 0.
Bài 3.43. Cho hàm chi phí:
TC(Q) = aQ2 + bQ + c ( a > 0;Q > )
2a
1) Cho biết các điu kin đi vi a, b, c đ hàm C(Q) là hàm
chi phí hp v mt kinh tế; lp hàm AC và MC.
2) Cho hàm cu ngưc v sn phm cúa công ty
p = p(Q) có P(Q) < 0. Hãy lp hàm doanh thu, doanh thu bình
quân, doanh thu cn biên.
3) Hãy lp hàm lợi nhun; ch ra điu kin đ hàm lợi nhun
đt cc đi
Bài 3.44. Tìm hàm tng chi phí, hàm chi phí bình quân trong các
trưng hp sau:
1 )T C '(Q ),= MC(Q)= 15Q2 + 8 + 3; FC = 100
2) MC = 3Qe°-5Q: FC = 30
3) MC = 2e°-2; FC = 90
72
Hưng dẫn gii bài táp Toan cơ so img dng
Bài 3.45. Tìm hàm tng doanh thu TR(Q) trong các trung hp
sau:
1) MR(Q) = 28Q - e°'3Q
2) MR() = 10(1 + Q)'2
Bài 3.46. Tìm hàm tne nhp khu M(Y) vi Y thu nhp quc
dân nếu khuynh hưne nhp khu biên M(Y) = 0.1
M = 20 khi Y = 0.
Bài 3.47. Biết tiêu dùng c bàng thu nhp Y khi Y = 1001'SD và
khuynh hưng tiêu dùng :
C(Y) = MPC(Y) = 0.8 + 0,1 Y'°-5
1) Tìm hàm tiêu dùne.
2) Cho biết mc tăng lên ca tiêu dùng khi thu nhp tâng từ
100USD lên 200USD
3) Tính h s co giãn ca tiêu dùng ti mc thu nhp
Y = 200ƯSD, gii thích ý nghĩa ca .
Bài 3.48. Cho hàm đu tư I(t) = 12t- (trons đó t biến thi
gian)
1) Xác đnh hàm vn K(t) khi K(0) = 25.
2) Xác đnh tône lưna vn tích y đưc trona khoane thi
gian t e [0:1].
Bài 3.49. Cho cu v mt loại hàng hóa () ph thuc \ao 2Ìá
cùa hàn2 hóa đó (p) và thu nhp (Y) dng:
Q = 4Y 5 - lnp - 2
Chương 3. Ưng dng phép tính vi phân, tích phân.
73
1) Tính và gii thích ý nghĩa kinh tế ca các h sổ co giãn
riêng ca theo p, theo Y.
2) Ti mc cu Q0 cho trưc, gi sa giá p tăng 1 đơn v thi
thu nhp Y phi tăng bao nhiêu thì cu không đi.
Bài 3.50. Cho biết hàm cung và hàm cu đối vi mt loại sản
phm: Qd = 13 p ; Qs = 7 ? - 1
Hãy tính thng d ca nhà sn xut và thng dư ca ngưi
tiêu dùng.
Bài 3.51. Cho Qs và Qo hàm cung hàm cu mt loi hàne hóa:
Qs = 50p2 - 20
Q=0,5p-2M2
Với p giá mt đơn vị hàng hóa, M thu nhp cúa ngưi
tiêu dùng (M > 0)
1) Tìm điu kin đi vi p sao cho hàm cung và hàm cu đu
nhn giá tr dương. Vi điu kin này hãy viết mô hình cân bàng
th trưng, viết hàm dư cung và xét tính đơn điu ca hàm này
theo p.
2) Cho p;Q giá cân bang và lưng cân bàng. Nếu thu
nhp M giam thi s tác đng như thế nào tới p: .
Bài 3.52. Y là thu nhp, s là tiết kiệm.
Biết ne mc tiết kiệm s = -7,42 khi thu nhập Y = 5.
1) Hãy xác đnh hàm tiết kim nếu biết khuynh hưna tiết
kim cn biên:
MPS - V - 0.4.
74
Hưng dẫn gii bài tập Toán so U7£ dng.
2) Kê t mc thu nhp dương nào tr ln s có tit kim
dương?
B. HƯNG DN VÀ ĐÁP S
Bài 3.1.
1) Điu kin đ lưng cung và lưng cu dương là:
Qs > 0
.Qd > °
4P -1 > 0
<=>
4 - p >0<=>-<P<2
4
p > 0
2)- Qs> 0 « 4 P -]> 0 o P > -
1
Suy ra: Giá thâp nhât là: pmin = .
4
- Qd >0<=>4-P2 >0»0<P<2
Suy ra: Giá cao nht là pmax = 2.
3)MÔ hình cân bàng:
Qs = Q0 o 4P -1 = 4 - p2 p2 + 4P - 5 = 0 co
p =
p =
Chương 3. ng dng phép tính vi phân, tích phân.
75
Vì p > 0 nên p = -5 (loi) và p = 1 (th mãn).
Vy giá cân bng là p = 1 và lưng cân bàng Q = 3
Bài 3.2. Xét mô hình cân bàng Qs = QD
« 0 , l P 2 +5P + 10 = -5 5 -
P - 2
« 0 ,1 P 3 +4,8P2 -7 0 = 0 (*)
Xét hàm f(P) = 0,1P3 + 4,8P2 - 70 trên [3; 5]
- f(P) liên tc trên [3, 5]
- f(3).f(5 ) < 0
Nên phương trình (*) có nghim thuc (3; 5).
Vy mô hình có giá cân bàng thuc (3; 5).
Bài 3.3. Bn đc gii tương t bài 3.1.
i 3.4.
Li nhun ca doanh nghip là:
71 = TR - TC = 4000Q - 33Q2 - (3Q3 - 3Q2 + 400Q + 500)
= -3Q3- 30Q2 + 3600Q - 500 ( > 0)
i toán đưa vtìm giá tr ln nht ca n .
Ta có: (7ĩ)' = -9Q2 -60Q + 3600
(7t)' = 0 « 3Ọ2+20-1200 = 0
76
Hưng dẫn gii bài p Toán cơ sà ưng đung.
Q, =
_ -10(1+>/37)
<=>
q 2 =
_ 10(V37-1)
Lp bng biến thiên kết lun hàm 71 đt giá trị ln nhát ti 2.
Bài 3.5.
Hàm doanh thu của doanh nghip là:
TR = p. = 40 - 0,032.
Li nhun của doanh nghip là
7t = TR - TC = 40Q - 0,03Q: -(10Q + 120)
= -0,03Q2 + 30 - 120 (Q > 0)
Bài toán đưa v tìm giá tr ln nht ca Tí.
Ta có: (n)'= -0.06 + 30
(n)'= 0 <=> Q = 500
Lp bána biến thiên kết lun hàm Tí đt giá tr ln nht tại
Q = 500.
Bài 3.6.
1) Hàm tông chi phí:
TC = AC.Q = 0.253 - 0.5Q2 + 1 o + 12
Hàm chi phí cn biên:
MC = (TC)* = 0.75Q2 - Q + 10
Chương 3. Ưng dng phép tính vi phân, tích phân.
77
2)Vi p = 106, hàm tng doanh thu là:
TR = P.Q = 106Ọ
Hàm lợi nhun:
71 = TR - TC = -0,25Q 3 + 0,5Q2 + 96Q - 1 2(Q > 0)
i toán đưa v tìm giá tr ln nht ca n .
Ta : (n)' = -0,75Q2 + + 96
-32
(71 ) ' = 0 o 3Q2 - 4Q - 384 = 0 o
Q ,= 3
Q2=12
Lp bng biến thiên kết lun hàm 71 đt giá trị ln nht tại
02 = 12.
Bài 3.7.
1) Hàm doanh thu: TR = AC. Q = 240Q - 0,5Q2
Hàm doanh thu cn biên MR = (TR)1 = 240 - Q
2) Hàm lợi nhun:
n =TR-TC = 240Q-0,5Q2 -(40+12Q-2Q2 +0,25Q3)
= -0,25Q 3 + 1,5Q2 + 238Q - 40 (Q > 0)
Hàm lợi nhun cn biên :
Mn = (7t)'= -0,75Q 2 + 3Q + 238
T đây suy ra M7t(10);Mĩi(20 )
3) Lp bng biến thiên suy ra không tn ti đim hòa vôn
thuc (10; 20).
Bài 3.8.
1) Hàm chênh lch là: f(P) = MR - AR
Hàm doanh thu : TR = AR. Q = 240Q + 12Q2 - 0,5Q3
Hàm doanh thu cn biên :
MR = (TR)' = 240 + 24Q - 1,5Q2
Khi đó, hàm chênh lch :
f(P) = 240 + 24Q - 1,5Q2 - (240 + 12Q - 0,5Q2)
= 12Q - Q 2
2) Ta có: (AR)'= 12-Q
(AR)' = 0 <=> Q = 12
Lp bng biên thiên kết lun hàm doanh thu trung bình đt
giá tr nh nht ti Q* = 12.
Bài 3.9.
1) Hàm tng chi phí: TC = AC. Q = 12Q + --P- ^
0,2 + Q
Hàm chi phí cn biên là:
MC = (TC)'= 12 + 0,0
(0,2 + Q)2
Hàm chi phí cn biên ti Qo = 10
78
__________________Hưng dẫn gii bài tp Toán s ng dng
Chương 3. ng dng phép tính vi phân, tích phân.
79
0,02
(0,2+lo
2) f(P) = AC - MC = Q,1Q
(0,2+ Q)2
Lp bng biến thiên đ nhn xét hàm này.
3) H s co giãn ca chi phí theo sn lưng Q
CTC _ (TC)' n
TC
Theo gi thiết ta có:
MC(Qo) = 12,000192; TC(Qo) = 120,09804 nên
eĨC (Q ) = 12000192.10 = 0,9991997
Q 0 120,09804
Bài 3.10.
1) Hàm cung Qs = Qsi + Qs2 = 5P05 + 4P0,75
Mô hình cân bàng th trưng A:
Qs = Qd<=> 5P° 5 + 4P° 75 = 200P '0,5
2) Biến đi phương trình cân bng v phương trình đa thc
và chng minh phương trình có nghim.
Bài 3.11.
1) = =360-2P => QD =>/360-2P
80
Hưng dn gii bài tập Toán cơ so ini dng.
Q = p 30
P-30
2 J V 2
Điu kin: 3<p< 180 (*)
Gii phương trình: Qs = Qd thu đưc giá cân băng p = 150
và Q = V ó õ.
2) Khi có tác đng ca thuế (t) thì trng thái cán bng mi
là:
ÍPS + 1 = 180-0,5Q 2
ps = 30 + 2Q 2
Ps > 0;t > 0
Gii h thu đưc: Q = < t < 150)
-ri / 2 ( 1 5 0 - 1)
Tông thuê: T = t.Q = t.J =>max
Lp bng biến thiên suy ra T đt giá trị ln nht tại t* = 100.
3) Khi thuế tăng 1% thì giá cân bàng tăng chưa đến 1%.
Bài 3.12.
Hàm cung là: Qs = 50Q
Mô hình cân bàng th trưng:
Qs =Q d <=> 200-50P = 50Q <=> P = 4-Q
'TÍ
Chương 3. ng dng phép tính vi phân, tích phân.
81
Hàm li nhun:
7U = T R -T C = ( 4 -Q )Q -Q 2 =4Q-2Q2
Lp bng biến thiên, kết lun lợi nhun đt giá tr ln nht
tại Q = 1 và giá cân bàng khi đó p* = 3.
Bài 3.13. Bn đc gii tương t bài 3.2
Bài 3.14.
1) Hàm doanh thu cn biên: MR(Q) = (TR) = 1400 - 2Q.
2) Tính MR(500) và gii thích ý nghĩa.
3) Tính MR(710) và gii thích ý nghĩa.
Bài 3.15.
1)MC = (TC)=4Q + 3
2) Tính MC(2) và gii thích ý nghĩa ca kết qu.
Bài 3.16.
8 2 d
Hê s co giãn ca cu theo giá bng: £° =
-----
8 - p
Ti Po = 5: Ep = - . Bn đc gii thích ý nghĩa
Bài 3.17.
TC
Lp hàm chi phí bình quân AC = . Tính (AC), lp bng
biến thiên ca AC và kết lun.
Bài 3.18.
Lp hàm sn xut bình quânAPL = . Tính (APL)\ lp
bng biến thiên cùa APL và kết lun.
82 Hưng dẫn gii bài tập Toán s UTtg dng.
Bài 3.19.
Hàm doanh thu: TR = p. Q = 400 Vl
Hàm chi phí: TC = pL. L = 20L
Hàm lợi nhun: 71 = TR - TC = 400a/ l - 20L
Lp bng biến thiên ca hàm 7Ĩ và kết lun.
Bài 3.20.
TC
Lp hàm chi phí bình quân AC = . Tính (AC), lp bng
biến thiên ca AC kết lun.
Bài 3.21.
Tìm hàm doanh thu: TR = p. Q và hàm lợi nhun:
71 = TR - TC . Lp bng biến thiên ca hàm 7t và kết lun.
Bài 3.22.
1)FC = 4:
Hàm lợi nhun:
71 = TR-TC = j Q 3+8Q2-39Q-4
7i = -Q2 + 16Q-39
k ' = 0 <=>| Q| .
Q2=13
Lp bng biến thiên, kết lun lợi nhun 71 đt giá tr ln nht
tại Q* = 13.
2) Gi Q là mc sn lưng làm cho lợi nhun 7Ĩ đt giá tr
lớn nht: n(Q*) = 0
«> MR(Q*) = MC(Q*)
<=> 58-Q* = *2-17Q*+97 (1)
Phương trình (1) không cha FC nên Q* không ph thuc
vào FC.
Ta : 71* = Q*3+8Q*-39Q*-FC.
K* '
= -KO => FC tác đông ngươc chiêu tới n*.
FC
Bài 3.23.
1) Phương trình xác đnh hàm cung: p = 3Q2- 2Q.
2) Tìm và ta đưc:
ổp p
- = > 0 VÌQ* > 1. Do đó khi giá p tăng thì mc
õp 6Q*-2
cung ti đa hóa li nhun tăng.
- = Q*> 0 . Do đ khi giá p tăng thì mc lơi nhuân ti
õp
đa tăng.
Chương 3. ng dng phép tính vi phân, tích phân... 83
84
Hưng dn gii bài tập Toán s UĨĨ dng.
Bài 3.24.
1) Vi AD = 9, li nhun là:
71 = TR-TC = 490Q-3,5Q2
n' = 490-7Q
7ĩ = 0 o Q* = 70
Lp bng biến thiên, kết lun hàm lợi nhun đt giá tr lớn
nht ti Q* = 70.
2) Gi Q* mc sn lưng ti đa hóa li nhun:
4Q* + *.AD05 - 490 = 0
Khi đó, ta :
- < 0 vì AD > 0 và Q* > 0.
AD 4+AD
Do đó, chi phí qung cáo tăng thì sn lưng ti ưu giàm.
i P l . > n JẼ2!
> 0 vì - _ < 0
AD AD AD
Do đó, chi phí qung cáo tăng thì giá bán tăng.
Ti AD = 9, Q* = 70, ta có:
Õ Q * _ - 5 n d p * 10 n
—V = < 0 ; S- = > 0
AD 3 AD 3
Bn đc gii thích ý nghĩa ca kết quà.
Bài 3.25.
1) Xét hàm chi phí cn biên:
MC = (TC)' = 3Q2 - 10Q + 14 > 0 vi VQ > 0.
Nên khi sn lưng Q tâng thì chi phí tăng.
2) H s co giãn ca TC theo Q ti Qo = 2:
ejc (2) = 0,075
Bài 3.26.
1) Hàm chi phí cn biên:
MC = (TC) = ^ » 2
(Q+3)2
2) Hàm chi phí bình quân:
4 ^ _ TC _ 5000 5Q
AC = = +
Q Q Q + 3
Khi đó: AC( 100) = 54,85
Bài 3.27.
l)(AC)' = 2Q - 12
- Nếu Q > 6 nên (AC)' > 0.
- Nếu Q < 6 nên (AC)' < 0.
TC = 2Q2-12Q = 2Q(Q-6)
Q Q2-12Q+60 Q2-12Q+60
- Nếu Q > 6 nên ejc > 0.
- Nếu Q < 6 nên £qC < 0.
Chương 3. ng dng phép tính vi phn, tích phàn... 85
2) TC = C. Q = Q3 - 12Q2 + 60Q
MC = (TC)' = 3Q2 - 24Q + 60
V đ th hàm MC, AC trên cùng mt phng ta đ.
Bài 3.28.
Xác đnh hàm lợi nhun 71 = TR-TC
Lp bng biến thiên và kết lun li nhun đt giá tr ln nht
ti Q = 20.
Bài 3.29.
Xác đnh hàm lợi nhun 71 = TR-TC
Lp bng biến thiên và kết lun li nhun đt giá tr ln nhất
ti Q - 7.
Bài 3.30.
1) Ta có £pS = a : khi tăng giá lên 1% thì cung ca hàng hóa
A tăng khong a%.
2) QD = 0,lpbMcqd.
^ 0 - = 0,ldpbMcqd'1 (p > 0, M > 0, q > 0)
0q
- Neu d > 0 : hai mt hàng là thay thế cho nhau.
- Neu d < 0: hai mt hàng b sung cho nhau.
3) Gi s p, M, q cùng tăng 1 t lệ X. ( (X>1 )ta :
QD(?,p.?JVDoq) = QD(p.Mq) Cí> = 1 b+í-d = 0
86
__________________Hưng dẫn gii bài tập Toán cơ so U7ig dng...
Chương 3. ng dung phép tính vi phàn, tích phn.
87
4) Lưng cân bàng: Q*=Q*S= 0,3(p*)a
Vi p* là giá cân bng: p* =g(M, q). Khi đó:
M p* 'ỠM
Hay khi M tăng và p, q không đi thì Q* tăng.
Bài 3.31.
1) Điu kin cân bàng:
Qs= Qd <=> 0,7p*-150 = 0,3M-0,5p* + 120
<=> l,2p*= 0,3M+270
Khi đó, giá cân bàng p* là mt hàm ca M nên lưng cân
bng cũng mt hàm ca M => Ý kiến nhn đnh là sai.
2) Vi thuế sut t thì thu nhp kh dng
Md = (l-t)M; (0<t< 1)
Điu kin cân bàng là:
Qs=Qd «0,7p*-150 = 0,3(l-t)M-0,5p* + 120
<=> l,2p*+0,3(l-t)M-270 = 0
Đt F(p ,M ,t)=l,2p +0,3(1-t)M-270. Khi đó:
àp_ = -Q,3(t-1) > Q
M 1,2
dp* _ -0.3M
at 1,2
Bn đc t nêu ý nghĩa.
88
Hưng dn gii bài tập Toán s inig dng.
Bài 3.32.
1) Gi giá cân bàng là p \ Phương trinh cân bang :
D ( p \ Y o) = S ( p \ To)
<=> F (p*, Yo, To) = D ( p \ Y 0) - S (p *, T o) = 0 (1 )
Phưomg trình này xác đnh hàm n p = g(Y0, To)
, p* _ D ì
n* - =
------
Khi đó, ta có:
D . -S .
p p
^ -> 0
Hay khi thu nhp tăng, các yếu t khác không đi thì giá cân
bng tăng.
Tương t
dp* =
Yo
ÕYn
D . -s.
p p
< 0 .
Bn đc t gii thích ý nghĩa.
2) Ta có:
[q = D(p\Y0) õq^ = d^_ dp_
[p'=g(Y0,T0) a p "a T 0 <
Q'=D(p‘,Y0) = ao" õp_
y = r t . T , ) 3 s v 0 3 p " ' e Ý l ) >
Bn đc t gii thích ý nghĩa.
Bài 3.33.
1) = 0,08.M° V V 9 > 0
õp
Hay hai mt hàng này là thay thế nhau.
2) S dng đo hàm ca hàm n.
3) Áp dụng công thức nhịp tăng trưởng ca hàm hợp
rs = e .rp+4* .rT= 0,3.7%+(-0,05).7% = 1,75%
Bài 3.34.
1) VC = Q3 -5Q2+ 14Q
vc
AVC = = Q -5Q+14
Q
FC = 75
= ( ĩ£ i n = 3Q3-10Q2+14Q
Q TC Q3-5Q2+14Q+75
ejc (10) = 2,993
Bn đc t gii thích ý nghĩa.
3) Hàm chi phí cn biên:
MC = (TC) = 3Q2 - 10Q + 14
AC = I £ = Q
-5Q+14+^
Chưcmg 3. ng dng phép tính vi phân, tích phân...
____________
89
Phương trình:
A C = M C <=> Q 2-5 Q + 1 4 + = 3 Q 2-1 0 + 1 4
« 2Q3-52-75 = 0 (2)
T (1) và (2) suy ra điu phi chng minh.
Bài 3.35.
AR = 60 - 3Q
TR = AR. Q = 60Q - 32
MR = (TR)' = 60 - 6
Tung đ gc ca AR và MR bàng 60.
H s góc ca AR bng -3 (1)
H s góc ca MR bàng -6 (2)
T (1) và (2) suy ra điu phi chng minh.
Bài 3.36.
1) Hàm doanh thu
TR = p. Q = (9000 - Q)Q = 9000 - Q2
2) Hàm chi phí cn biên:
MC = (TC) = 3Q2 - 8 + 1800
Hàm doanh thu cn biên:
MR = (TR)' = 9000- 2Q
90
_________________
Hưng dn gii bài tập Toán cơ s UV£ dng...
Chương 3. ng dng phép tính vi phân, tích phân.
91
3) Hàm lợi nhun
71 = TR-TC = -3 +3Q2 +7200-150
Lp bng biến thiên và kết lun lợi nhun đt giá trị lớn nht
tại Q =50.
Bài 3.37.
1) 71(0) = -10
2) Lp bng biến thiên và kết lun li nhun đt giá tr ln
nht Q* = 22.
Bài 3.38.
1) Q > 0 L3+10L2 > 0 < ^ 0 < L < 15 (*)
2) AP= = L2 + 10L
L 3
MP = Q'(L) = -2L2+20L
-4 '
Mt khác (AP)'= L+10. Lp bng biên thiên và kêt lun
AP đt giá tr ln nht ti L* =
15
AP = MP » - L 2-10L = 0 «
3
L = 0
L =
15
Di chiếu vi điu kin (*) suy ra AP = MP khi L* =
15
3) Lp bảng biến thn của hàm lợi nhuận Q, kết lun li
nhun đt giá tr ln nht ti L* = 10.
4) H s co giãn ca TC theo L:
TC _ Q' r _ 30-3L
L Q 15-L
Khi đó J c (5)= - .
L 2
Bài 3.39. Bn đc t gii tương t bài 3.22.
Bài 3.40.
1) Xác đnh hàm chi phí TC = Q2
Hàm doanh thu TR = p.Q = 200Q - Q2
Hàm li nhun 71 = TR - TC = 200Q - 2Q 2 (Q > 0)
Lp bng biến thiên ca hàm li nhun 71 và kết luận
hàm li nhun đt giá tr ln nht ti Q* = 50.
2) Q* = 50 => p*= 150
H s co giãn ca cu theo giá:
Q _ Q' _ - p
£ = .p =
-----
-
p Q 2 0 0 -p
Khi đó: Ep (p) = -3 .
3) Khi có tác đng ca yếu t thuế, có hai cách tiếp cn:
a) Thuế làm thay đi hàm cu:
p + t = 200 - Q <=> p = 200 - Q - 1
92
__________________
Hưng dn gii bài tp Toán cơ s rtg dng...
Khi đó hàm doanh thu là TR = p. Q = 200Q - t - Q2
Hàm lợi nhun: n = TR - TC = 200Q - tQ - 2Q2
Lp bng biến thiên, kết lun li nhun 71 đt giá tr lớn nht
. 2 0 0 - 1
tại Q = —— .
4
b) Coi thuế làm tăng chi phí hay chi phí mi có dng:
T O Q 2 + tQ
Khi đó hàm lợi nhun: 71 = TR - TC = 200Q - tQ - 2Q2
Lp bng biến thiên, kết lun lợi nhun 7Ĩ đt giá tr ln nht
. 2 0 0 - t
tại: Q =
4
200 - 1 ỔQ -1 n
Suy ra: Q = =>
-
= - < 0 .
4 t 4
Vy thuế tăng thì lưng cung ti đa gim.
Bài 3.41.
1) Ta có: TR = p.Q => p = = AR(Q)
Mt khác: TR = jM RdQ = 1800Q - 0,6Q3 + c .
Ta luôn có: 0 = TR(0) => c = 0 => TR = 1800 - 0,6Q3
Khi đó: p = = 1800 - 0,6Q2.
Chương 3. ng dng phép tính vi phân, tích phán... 93
94 Hưng dn gii bài tập Toán s mtg dng.
o Qp.p 1800-0.6Q 2
H sô co giãn ca câu theo giá: 6p = =
---------
Ti: Qo=10: 8^(10) = -14,5.
2) p = 50 ^ 5 0 = 1800-0,6Q 2 <=> Q* « 54
Tng doanh thu: TR = Q \p » 54.50 = 2700
3) Mc ng ca tổng doanh thu khi sản lưng tăng t 10 lẽn 20:
TR(20) - TR(10) = |M RdQ = (1800 - 1,8Q2 )dQ = 13800
10 1 0
Bài 3.42.
1) 7i(0) < 0 <=> k < 0 (1)
2) n= 2hQ + j
k'= 0 <=> Q = :Q > 0 <=> jh < 0 (2)
2h
Hàm 71 đt lợi nhun lớn nht thì:
7 ĩ" ( * ) < 0 <=> 2h < 0 <=> h < 0 (3)
Ket hp vi (2) suy ra j > 0
Hơn na n (Q ) = + > 0.
2h
Kết hp với (3) suy ra j2 - 4hk > 0 (4)
Chương 3. ng dng phép tính vi phân, tích phân.
95
T (1), (2), (3) và (4) suy ra điu kin:
k < 0
j> 0
h < 0
j 2 -4 h k > 0
Bài 3.43.
1) Theo gi thiết ch xét mt na parabol quay b õm v
_
phía trên ng vi Q > . Tính hop v măt kinh tế ca hàm
2a
chi phí là:
+) Khi sn lưng Q = 0 thì chi phí luôn dương (do chi phí c
định)
+) Khi sn lưng tăng thì chi phí tăng.
- b
Ta : TC' = 2aQ + b > 0, vi mi Q >
2a
Mun hàm TC đng biến vi mi Q > 0 ta phi có:
- b
2a
< 0 <=> b > 0 (Vì a > 0)
Mt khác: TC(0) = c > 0
Vy điu kin các h s : a > 0, b > 0, c > 0.
TC c
Ta có: AC' - = aQ + b + (Q > 0)
MC = TC = 2aQ + b
2) TR = p.Q = p(Q). Q
ad_ tr_
AR = = p
Q
MR = TC' = p(Q) + Q. p'(Q) = AR +Q. p(Q)
3) Hàm li nhun
Tt = p(Q).Q - aQ2 - bQ - c -> max
7C*= p(Q) + Q.p'(Q) - 2aQ - b
Điu kin cn:
n'= 0 <=> MR(Q) = MC(Q) có nghim Q*
Điu kin đủ:
7i"(Q* ) < o « M R ' ( Q ‘)< m C '(Q * )
Bài 3.44.
1 ) TC(Q) = |M C(Q)dQ = 5Q3 + 4Q 2 + 3Q + c
TC(0) = FC= 100^>c = 100
TC = 5Q3 + 42 + 3Q + 100
=> AC = = 5Q2 +4Q + 3 +
Q Q
2) TC(Q) = |M C (Q )d = |3Qe° 5Qd = 3 Je° 5°d
Tích phân tng phn ta đưc:
96
__________________Hưng dẫn gii bài tập Toán cơ sà ưrtg dng.
TC(Q) = 6Qe°50 - 12e°5Q + c
FC = 30 <=> TC(
0
) =
30
Cí> c = 42
Khi đó:
TC(Q) = 6Qe°-5Q - 12e°-5Q + 42
12e0'50 42
và AC = 6e°5Q - +
Q Q
3) TC(Q) = |M C(Q )dQ = |2e°-5QdQ = 4e°5Q + c
TC(0) =FC = 90 <=> c = 86
Khi đó: TC(Q) = 4e0>5Q + 86 và AC = ^
i 3.45.
1) TR(Q) = |MR(Q)dQ
= j(28Q-e°3Q)dQ = 14Q2- e0,3Q+C
. , 10
TR(0) =0 <» c = -y
Khi đó: TR(Q) = 14Q2 - J e-w + y .
2 ) TR(Q) = jM R(Q)dQ = JlO(l + o r dQ = +
1 "4"
Chương 3. ứn% dng phép tính vi phân, ch phân..
________
98 Hưng dn gii bài p Toán cơ s in dng...
TR(O) = 0 « c = 10
Khi đó: TR(Q) = 10 -
10 _ 10Q
1 + Q 1 + Q
Bài 3.46.
M(Y) = jM '(Y )dY = |0,lY dY = 0,1Y + c
M(0) = 2 0 <=> c = 20
Khi đó: M(Y) = 0,1 Y + 20.
Bài 3.47.
1) C(Y) = JC'(Y)dY = j(0,8+0,lY-°-5)dY = 0,8Y+V+a
C(100)= 20 o a = 18
Khi đó: C( Y) = 0,8Y + V + 18.
2) C(200) - C(100) = 78 + 2 ^ 2 .
3) H s co giãn ca c theo Y :
.200 = 0,8926
1) K (t)= Jl(t)dt = jl2 t3dt = 9 t7 + C
Mà: K(0) = 25 => c = 25
Chương 3. ng dng phép tính vi phân, ch phân.
99
Khi đó: K(t) = 9 tĩ + 25
2) K (l) - K(0) = 9
i 3.49.
1) H s co giãn riêng ca Q theo p:
A . í s . . -
p Qd 4 V + 2 -ln p
H s co giãn riêng ca Q theo Y:
eQd _ (Q d )'y y = 2 V
Y Qd ' 4 V + 2-ln p
2) Qn = 4yf-lnp+2 <=> F(Y,p) = 4V-lnp+2-QD = 0
o 0
V
2p
T đây suy ra: Y 'p =
2 2
Bài 3.50. c s = 2 2 8 - và PS = 2 7 7 -
3 3
i 3.51.
a/Ĩ Õ
1) Điu kin ca p: p >
Mô hình cân bàng là: Q s = Q D <=> 50p2 - 20 = 0,5p"2M 2
r/ X ^ ^ _ 50p4 - 20p2 -0 ,5 M 2
Hàm dư cung: f(p) = Qs - Q d =
------------
-----------------
p
100p4 + M 2 AW _
Ta có: f'(p) = ---------r
----------
> OVp > 0 .
p
100
_______________
Hưng dn gii bài tp Toán cơ s rt dng...
Hàm f(p) luôn đng biến vi mi p >0.
2) Ta có: 50p4 - 20p2 - 0,5M 2 = 0 và Q = 0,5p:M 2
- ^ > 0. Do đó M gim thì Q gim.
M p
- = ~~T
-------
> 0. Do đó M gim th P gim.
M 40p(4p -1 )
Bài 3.52.
1) MPS = Y - 0,4
=> s = jMPSdY = j(Y - 0,4)dY = - Y 2 - 0,4Y + c
S(5) = -7,42 <=>c = -17,92
=> s = Y2 - 0,4Y -17,92
2
2) Gii bt phương trình:
s > 0 <=> Y2 -0 ,8 Y - 35,84 > 0. T bt phương trình này
suy ra điu kin ca Y.
NG DỤNG PHÉP TÍNH VI PHÂN
HÀM NHIU BIN TRONG PN 1ÍCH KINH l í
A. Đ BÀI
Bài 4.1. Cho hàm sn xut: Q = Í - K 0'5+ L0,6j .
Trong đó: Q sn lưng, K vn, L là lao đng (Q, K, L >0).
1) Tìm năng sut cn biên ca vn và lao đng?
2) Vi hàm sn xut trên thì hiu qu có tăng theo quy mô
không?
Bài 4.2. Hàm li ích ca h gia đình có dng:
Ư(x, y) = lOxy - 3x2 - ly 1
Trong đó: X là s đơn v hàng hóa 1,
y s đơn v hàng hóa 2 (x > 0 , y > 0).
1) Hàm lợi ích cn biên có tha mãn quy lut lợi ích cn
biên gim dn hay không?
2) Viết đưng bàng ourn tại X = 2 và y = 2; tìm đ dc ca
đưng này và gii thíc 1 ý nghĩa ca giá tr tìm đưc.
Chương 4
Bài 4.3. Mt công ty sn xut 2 loi sn phm (cnh tranh hoàn
ho). Cho biết giá ca 2 loi sn phm ln lưt là P, P2 và
hàm tng chi phí có dng:
TC = 2Q Í+ 2Q 22+Q ,Q2
1) Tìm mc sn lưng cho mi loi sn phm đ đt li
nhun ti đa.
2) Khi p b p2 biến đng s tác đng như thế nào đến các mc
sn lưng ti ưu.
Bài 4.4. Mt công ty đc quyn sn xut mt loi sn phm
hai cơ s vi hàm chi phí tương ng: TC, = 128+0,2Qf;
TC2 = 156+0,1Q2 (Qi, Q2 ln lưt là lưng sn xut ca
s 1, 2). Hàm cu ngưc v sn phm ca công ty có dạng:
p = 600 - 0,1Q; trong đó Q = Ch + Q2 và Q < 6000.
1) Xác đnh lưng sn phm cn sn xut mi cơ s đ ti
đa hóa li nhun.
2) Ti mc sn lưng ti đa hóa li nhun, hãy tính đ co
giãn ca cu theo giá.
Bài 4.5. Mt hãng đc quyn sn xut ra mt mt hàng nhưng
tiêu th hai th trưng vi các hàm cu: Q = 24 - 0,2P|
Q2 = 10 - 0,05P2 và hàm chi phí kết hp là: TC =35 + 40
(Q = Qi+ Q2). Hãy xác đnh lưng hàng hóa và eiá bán để
thu đưc lợi nhun ti đa.
Bài 4.6. Hãng kinh doanh đc quyn có các hàm cu trén hai th
trưng:
102 Hưng dn gii bài tập Toán s ÚV£ dng...
Qi = 40 - 2P| p2; Q2 = 35 - p| - p2
Cho biết hàm tng chi phí: TC = Qj* + 2 Q2 +10
1) Tìm mc sản lưng cho mi thtrưng đ li nhun tối đa.
2) Hãy tính mc giá cho mi thtrưng khi lợi nhun ti đa.
Bài 4.7. Nhu cu 2 mt hàng ph thuc vào giá có dng:
Q, = 40 - 2P, - p2; Q2 = 3 5 -P ,- P 2
và hàm tng chi phí: TC = Q,2 + 2 Q2 +10
1) Xác đnh sn lưng đ li nhun đt giá tr ln nht.
2) Tính chi phí cn biên cho tng mt hàng ti mc ti ưu.
Bài 4.8. Mt trung tâm thương mi có doanh thu ph thuc vào
thời lưng qung cáo trên đài phát thanh (x: pt, X > 0) và
trên đài truyn hình (y: phút, y > 0). Hàm doanh thu:
TR = 320x - 2x2 - 3xy - 5 / + 540y + 2000
Chi phí cho mi phút qung cáo trên đài phát thanh là 1 triu
đng, trên đài truyn hình là 4 triu đng. Ngân sách chi cho
qung cáo là 180 triu đng.
1) Tìm X, y đcc đại doanh thu
2) Nếu ngân sách chi cho qung cáo tăng 1 triu đng thì
doanh thu cc đại s tăng lên bao nhiêu?
Bài 4.9. Cho hàm sàn xut Q = 0,3K°-5L°5
Trong đó: Q sn lưng; K là vn và L là lao đne
(, K, L > 0).
Chương 4. ng dng phép tính vi phân hàm nhiều biến... 103
104
Hưng dn gii bài tập Toán s ung dng.
1) Tính lưng sn phm cn biên ca vn v lao đng ti
Ko = 4;Lo = 9.
2) Chng minh ràng năng sut biên ca vn là hàm thun
nht bc 0.
3) Cho biết quá trình sn xut trên có hiu qu như thế nào
vi vic tăng quy mô?
Bài 4.10. Mt h gia đình c hàm li ích tiêu dùng vi 2 loi
hàng hóa như sau:
U(X|, x2) = 5 xf-4x í4
Trong đó: X là s đơn v hàng hóa 1, x2 là s đơn v hàng
hóa 2 (Xị, x2 > 0).
Ngân sách tiêu dùng là 300ƯSD; giá mt đơn v hàng hóa 1,
2 ln lưt là 3ƯSD, 5USD.
1) Tìm gói hàng hóa mà ti đó h gia đình có lợi ích tiêu
dùng đt giá tr ln nht.
2) Nếu ngân sách tiêu dùng gim 1ƯSD thì mc li ích tối
đa gim bao nhiêu?
3) Nếu ngân sách tiêu dùng gim 2% thì mc li ích ti đa
gim bao nhiêu?
Bài 4.11. Mt doanh nghip có hàm sn xut Q =K0 3L0 5
Trong đó: Q là sn lưng, K là vn, L là lao đng
(Q, K, L > 0).
1) Quá trình sn xut có hàm sn lưng trên có hiu quá như
thế nào đi vi vic tăng quy mô sn xut.
Chương 4. ng dng phép tính vi phân hàm nhiu bih..
105
2) Tìm sn lưng cn biên theo vn, theo lao đng.
3) Nếu doanh nghip thuê mt đơn v vn là 6USD; mt đom
v lao đng là 2ƯSD; ngân sách chi cho các yếu t đu vào là
384ƯSD. Tìm mc s dng vn và lao đng đ sn lưng ti đa.
4) Nếu tăng ngân sách chi cho yếu t đu vào 10USD thì sn
lưng ti đa tăng bao nhiêu?
Bài 4.12. Cho hàm sn xut Cobb - Douglas:
Q = 30k U (K > 0;L > 0)
Trong đó: Q là sn lưng; K là vn; L là lao đng
(Q, K, L > 0)
1) Tìm và gii thích ý nghĩa kinh íế ti đim Ko = 27 và
Lo = 64 ca: ^ = QK = Q, = QL = Q2
K L
2) Tính các h s co giãn riêng ca Q theo K và L.
Cho biết ý nghĩa ti đim Ko = 27; L0 = 64.
3) Nếu K và L cùng tăng 1% thì Q tăng bao nhiêu phn trăm.
4) Vi hàm sn xut trên khi tăng quy mô thì hiu qu có
tăng không?
5) Hàm s đã cho có tha mãn quy lut lợi ích cn biên gim
dn hay không?
6) Ti mc đu vào Ko = 27, Lo = 64; gi s dK = 0,1;
dL = 0 3 là các mc biến đng ca vn và lao đng. Tìm các
mc biến đng dQtc. dQL và gii thích ý nghĩa kinh tế các đi
lưng đó. Tìm và gii thích ý nghĩa vi phân toàn phn dQ.
Bài 4.13. Cho hàm sn xut Q = 0,3K°5'5
Trong đó: Q là sn lưng; K là vn; L là lao đng (Q, K,
L > 0).
1) Hãy tính sn phm biên ca vn và lao đng ti Ko = 4;
Lo = 9.
2) Quá trình công ngh th hin bng hàm s trên có năng
sut cn biên gim dn hay không? Hãy gii thích.
3) Nếu K tăng lên 8% và L không đi thì Q tng bao
nhiêu %?
4) Viết phương trình đưng mc ti K0 = 16; L0= 9.
Bài 4.14. Cho biết hàm li nhun ca mt doanh nghip sn xut
ba loi sn phm :
n = -Q Ĩ -3Q* -7 Q 32 +300Q2 + I2 0 0 Q3 + 4Q,3 +20
Hãy tìm mc sn lưng Qb Q2, Q3 đ doanh nghip thu đưc
lợi nhun ti đa.
Bài 4.15. Mt h gia đình có hàm li ích tiêu dùng vi 2 loại
hàng hóa như sau:
U (xx2 ) = 5xJ-4xJ4
Trong đó: X! là s đơn vị hàng hóa 1, x2 là s đơn v hàng
hóa 2 (X|, x2 > 0).
Ngân sách tiêu dùng là 300ƯSD, giá mt đơn v hng hóa 1,
2 ln lưt là 5USD, 3USD.
1) Hàm s trên có tuân theo quy lut lợi ích cn bin gim
dn hay không?
106 Hưng dân giái bài tập Toán s ưng ang...
Chương 4. ng dng phép tính vi phân hàm nhiu biến.
107
2) Hai hàng hóa trên là thay thế hay b sung cho nhau?
3) Nếu ngân sách tiêu dùng gim 2% thì mc li ích ti đa
gim bao nhiêu?
Bài 4.16. Cho hàm li ích tiêu dùng ư = X[X2 + Xt + x2
Trong đó: X] s đơn vi hàng hóa 1, x2 s đơn v hàng
hóa 2 (Xj, x2 > 0).
Gi s giá ca các mt hàng tương ng P] = 2ƯSD;
p2 = 5ƯSD và thu nhp dành cho tiêu dùng là 51 USD. Hãy xác
đnh lưng cu đi vi mi mt hàng trên nếu ngưi tiêu dùng
i đa hóa li ích ca mình.
Bài 4.17. Cho biết hàm lợi ích tiêu dùng: Ư = X°,6X°25.
Trong đó: X\ là s đơn vi hàng hóa 1, x2 là s đơn v hàng
hóa 2 (Xi, x2 > 0).
Gi s giá ca các mt hàng tương ng Pi = 8ƯSD;
p2 = 5USD và thu nhp dành cho tiêu dùng là 680ƯSD. Hãy xác
đnh lưng cu đi vi các mt hàng đ ngưi tiêu dùng ti đa
hóa lợi ích ca mình.
Bài 4.18. Mt doanh nghip có hàm sn xut như sau:
Q = 12k 7 .Vl .
Trong đó: Q sán lưng; K vn; L lao đng (Q, K,
L > 0).
1) Hãy tính MPK, MPL ti đim (K0 = 125, L0 = 100) và gii
thích ý nghĩa.
108
Hưng dn gii bài tp Toán cơ s ng dng.
2) Chng t rng MPK gim khi K tăng và L không đôi.
3) Chng t rng MPL gim khi L tăng và K không đi.
Bài 4.19. Cho biết hàm li ích ca ngưi tiêu dùng Ư = x0 4y0-7;
trong đó X lưng hàng hóa A (x > 0), y là lưng hàng hỏa
B (y > 0).
1) Hãy lp các hàm s biu din li ích cn biên ca mồi
hàng hóa. Hàm này có phù hp vi quy lut lợi ích cn biên
gim dn hay không?
2) Nếu lưng hàng hóa A tăng 1% và lưng hàng hóa B
không đi thì lợi ích tăng bao nhiêu %.
Bài 4.20. Mt doanh nghip sn xut 2 loi sn phm vi hàm
chi phí kết hp như sau:
TC = 45 + 125Q, +84Q2 -ÓQ^Q* +0,8Q^ +1,2Q^
(Qi > 0 ,Q 2> 0 ,Q 3>0).
Hãy lp các hàm s biu din chi phí cn biên ca mi sn
phm.
Bài 4.21. Cho hàm cu đi vi mt mt hàng như sau:
Q = 35 - 0,4p + 0,15m + 0,12ps
Trong đó: Q, p lưng cu và giá ca hàng hóa đó, m là thu
nhập, Ps hàng hóa thay thế. Hãy lập hàm s biu din.
1) H s co giãn ca cu theo giá p;
2) H s co giãn ca cu theo thu nhp m.
3) H s co giãn ca cu theo giá hàng hóa thay thế ps.
Chương 4. ng dng phép tính vi phân hàm nhiu biên.
109
Bài 4.22. Hãy đánh giá hiu qu ca quy mô qua các hàm sn
Bài 4.23. Cho biết hàm li ích u = (Xi + 3)x2.
Tròng đó: X! là lưng hàng hóa A (X! > 0), x2 là lưng hàng
hóa B (x2 > 0). Hãy chn túi hàng đ lợi ích ti đa trong điu
kin giá hàng hóa A bng 5USD, giá hàng hóa B 20ƯSD,
ngân sách tiêu dùng là 185ƯSD.
Bài 4.24. Gi s doanh nghip đc quyn sn xut hai loại sản
phm vi hàm chi phí kết hp TC = Qf + 5QQ2 + Q* (Ch > 0,
Q2 > 0). Gi s cu đi vi hàng hóa đó Pi = 56 - 4Qj;
p2 = 48 - 2Q2. Hãy xác đnh mc sn lưng và giá ti ưu ca
các sn phm.
Bài 4.25. Mt công ty đc quyn sn xut mt loi sn phm tại
hai nhà máy vi hàm chi phí cn biên như sau (Qj là lưng
sn phm sn xut nhà máy i, Qi > 0; MCi là chi phí cn
biên ca nhà máy i): MCi
= 2 + 0,2Qb MC2 = 6 + 0,04Q2.
Công ty đó bán sn phm trên th trưng vi hàm cu ngưc:
p = 66 - 0,1Q. Nếu công ty đó mun ti đa hóa lợi nhun thì phi
sn xut bao nhiêu sn phm vi giá bao nhiêu?
Bài 4.26. Mt công ty sn xut mt loại sn phm vi hàm sn
xut như sau: Q = K(L + 5).
xut
1) Q = 20K0 4L°'3
3) Q = 12a/K .
2) Q = 5K°6L08
4) Q = (2K 06 +3L07)2
110
Hưng dn gii bài tập Toán cơ s trttg dng.
Trong đó: Q là sn lưng, K là vn, L là lao đng (Q, K,
L > 0). Công ty này nhn hp đng cung cp 5600 sn phâm.
Hãy cho biết phương án s dng các yếu t K, L sao cho vic
sn xut lưng sn phm theo hp đng tn ít chi phí nht,
trong điu kin giá thuê tư bn W K = 70 và giá thuê lao đng
W L = 2 0 .
Bài 4.27. Mt nhà sn xut đc quyn sn xut ra mt loi sản
phm và bán sn phm đó cho hai loi khách hàng. Cho biết
hàm chi phí: TC = 90 + 20Q (Q > 0). Nếu nhà sn xut đưa
Qi (Qi > 0) sn phm ra bán cho loi khách hàng th nht thì
các khách hàng này bàng lòng tr giá P! = 50 - 5Qi (USD)
cho mi sn phm. Nếu nhà sn xut đưa Q2 (Q2 > 0) sản
phm ra bán cho loi khách hàng th 2 thì các khách hàng
này bng lòng tr giá p2 = 100 - IOQ2 (USD) cho mi sn
phm. Hãy cho biết lưng cung ti ưu và giá ti ưu cho mỗi
loi khách hàng.
Bài 4.28.
1) Cho biết hàm đu tư I = 40.ịft* và qu vn ti thi đim
t = 0 90. Hãy xác đnh hàm qu vn K(t).
2) Cho biết hàm đu tư I = 60.Ĩ và qu vn ti thi đim
t = 1 85. Hãy xác đnh hàm qu vn K(t).
3) Cho biết xu hưng tiêu dùng cn biên MPC = 0.8 ơ mi
mc thu nhp Y và mc tiêu dùng thiết yếu (mc tiêu dùng khi
Y = 0) 40. Hãy xác đnh hàm tiêu dùng C(Y).
Chương 4. ng dng phép tính vi phân hàm nhiu biên... 111
4) Cho biết hàm cu ngưc p = 42 - 5Q - Q2. Gi s sn
phâm đưc bán trên th trưng vi giá Po = 6. Hãy tính thng dư
ca ngưi tiêu dùng.
Bài 4. 29. Hàm tha dng ca h gia đình khi tiêu dùng hàng
hóa 1, 2 có dng: u = 40x°'25x°5;
Trong đó: X, x2 mc tiêu dùng hàng hóa 1, 2 (X| > 0,
x2 > 0). Giá hàng đưc cho như sau Pi = 4; p2 = 10.
1) Có ý kiến cho ràng hàng hóa 1 luôn có th thay thế hàng
hóa 1 và t lệ thay thế là 1:1. Hãy nhn xét ý kiến này.
2) Hãy xác đnh mc cu hàng hóa 1, 2 ca h gia đình nếu
thu nhp là 600.
Bài 4.30. Mt doanh nghip cnh tranh hoàn ho có hàm sn
xut Q = K0,5 + L0,5
vi Pk. = 6; pL = 4; p = 2 (Q sản lưng, K vn, L lao
đng, Q > 0, K > 0, L > 0).
1) Hãy xác đnh mc s dng vn, lao đng ti ưu.
2) Hãy phân tích tác đng ca giá vn, lao đng ti mc lợi
nhun ti đa.
Bài 4.31. Mc cu mt loi hàng hóa (Qd) ph thuc vào giá
hàng hóa đó (p) và thu nhp ca ngưi tiêu dùng (M) có
dng như sau: Qd= l,5M°'3p'02
Mc cung loi hàng trên (Qs) có dng: Qs = 1,4p0,3
1) Xác đnh h s co giãn ca cu theo giá, theo thu nhp.
112 Hưng dn gii bài tập Toán cơ sà úng dng.
2) Hãy xem xét tác đng ca thu nhp M ti mc giá cân
bàng.
Bài 4.32. Cho hàm sn xut Y(t) = 0,2K°'4L0-8
Trong đó K =120 + 0,lt; L = 200 + 0,3t (t là thi gian,
t > 0).
1) Tính h s co giãn ca Y theo K và theo L.
2) Tính h s tăng trưng ca vn K, lao đng L và Y.
3) Hãy cho biết hiu qu ca vic tăng quy mô sn xut
trong trưng hp này.
Bài 4.33. Nhu cu hai mt hàng ph thuc giá như sau:
Q ,= 4 0 - 2 P ,- P 2; Q2 = 3 5 - P , - P 2.
Tng chi phí là hàm ca các sn lưng:
TC = Qf + 2Q* +12
Trong đó: Pj, Qi là giá và sn lưng hàng hóa th i (i =1,2)
1) Xác đnh mc Qi, Q2 sao cho tng li nhun ln nht.
2) Tính chi phí cn biên cho tng mt hàng ti mc ti ưu
tìm đưc câu a).
3) Hai mt hàng này có thay thế ln nhau trong tiêu dùng
không?
Bài 4.34. Thu nhp quc dân ca mt quc gia (Y) ph thuc
vào von (K), lao đng đưc s dng (L) và ngân sách đào
to 5 năm trưc đó (G) như sau:Y = 0,24K°'JL° 8G0 <>5
Chương 4. ng dng phép tính vi phân hàm nhiu biến.
113
Trong đó các yếu t biến đi theo thi gian như sau: hàng
năm vn tăng 15%, công ăn vic àm tăng 9%, chi phí cho đào
to tăng 20%. Tính h s tăng trưng ca thu nhp quc dân.
2 J_
Bài 4.35. Cho hàm sn xut Q = 300K3L4 (Q > 0, K > 0, L > 0).
Trong đó: Q là sn lưng, K là vn, L là lao đng (Q, K,
L > 0). Gi Pq, Pl, Pk là giá bán mt sn phm, giá thuê mt đơn
v vn và giá thuê mt đơn vị lao đng. Hãy xác đnh vn và lao
đng sao cho lợi nhun đt cc đi biết Pọ = ,
PK= 100, PL= 150.
Bài 4.36. Mt doanh nghip có hàm sn xut: Q = K 04L03.
Trong đó: sn ợng, K vốn, L lao đng (Q, K, L > 0).
1) Hãy đánh giá hiu qu ca vic tăng quy mô sn xut
2) Gi s giá thuê tư bn 4ƯSD, giá thuê lao đng
3USD và doanh nghip tiến hành sn xut vi ngân sách c đnh
1050USD. Hãy cho biết danh nghip đó s dng bao nhiêu
đơn vị tư bn và bao nhiêu đơn v lao đng thì thu đưc sn
lưng ti đa.
Bài 4.37. Mt doanh nghip có hàm sn xut: Q = 40K° 75L°25.
Trong đó: Q là sn lưng, K là vn, L là lao đng (Q, K,
L > 0). Nếu doanh nghip thuê mt đơn v vn là 3ƯSD; mt
đơn vị lao đng 1ƯSD; ngân sách chi cho yếu t đu vào
là B = 160USD.
1) Vi hàm sn xut trên khi tăng quy mô sn xut thì hiu
qu thay đi như thế nào? Nu K tăng lên 1% và L tăng 3 % thì
sn lưng tăng lên bao nhiêu % ti mi mc (K, L)?
2) Xác đnh mc s dng vn và lao đng đ sn lưng tôi
đa. Nếu tăng ngân sách chi cho yếu t đu vào 1ƯSD thì sàn
lưng ti đa tăng bao nhiêu đơn v?
3) Hàm s trên có tuân theo quy lut li ích cn biên giảm
dn hay không?
4) Xác đnh hàm sn lưng cn biên theo vn, theo lao động.
5) Xác đnh phương trình đưng đng lưng ti điểm
K0 = 625; L0 16
6) Vn và lao đng hai hàng hóa thay thế hay b sung cho
nhau.
114 Hưng dn gii bài tập Toán cơ s uiig dng...
B. HƯNG DN GIẢI VÀ ĐÁP SÓ
Bài 4.1.
1) Q. = 1 + 1 L» K --° 5; S. = ± K <°-L-°4 + L°'!
K 9 9 L 15 15
2)Q = Ì k + ^ k oìl° + ^ lÌ = q i + q 1 + q j
Q, = K : Quá trình sn xut có hàm sn xut Qi là có hiệu
qu không đi theo quy mô (1).
4
Q 2 = K° 5L°6: Quá trình sn xut có hàm sn xuát 2 là có
hiu qu tăng theo quy mô (2).
Chương 4. ng dng phép tính vi phân hàm nhiu biên... 115
Q 3 = L '2: Quá trình sn xut có hàm sn xut Q3 là có
hiệu qu tăng theo quy mô (3).
T (1), (2) và (3) quá trình sn xut có hàm sn xut Q là có
hiệu qu tăng theo quy mô.
i 4.2.
1) Ta có:
U'x = 10y-6x^>U " 2 =-6 < 0V x,y> 0 (1)
U'y =10x-10y =>U" 2 = -4 < 0V x,y> 0 (2)
T (1) và (2) suy ra hàm u tuân theo quy lut lợi ích cn
biên gim dn.
2) ưo = ư(2, 2) = 20.
Phương trình đưng bàng quan: Ư(x, y) = U0
<=> 1 0x y -3 x 2 - 2 y 2 -2 0 = 0
Đt F(x, y) = 1 Oxy - 3x2 - 2y2 - 20
-r ' - - F x _ 3 x-5y ,
Tacó: y ' =
=
-------
=> y V
F'y 5x -2 y
nghĩa: Bn đc t gii thích
Bài 4.3.
Hàm doanh thu: TR = P]Qi + P2Q2
-2
X0=y0=2 3
116
Hưng dn gii bài tập Toáv C s úng dng.
Hàm li nhun:
TU = TR - TC = P,Q, + P2Q 2 - 2QÍ - 2Q ; - Q,Q;
1) Ta :
71,q i = P j-4 Q |-Q 2; 71'q 2 = P2 - 4Q2 -Q
71 "q? __4; 71 W h _ - 1 _ 7 Ĩ "Q2Qi; n " _ _ 4
- Điu kin cn: Gii h:
*'q,= 0 Í4Qi + Q2 =P
u'q = 0 iQi +4Q2 - ^2
Q.=
- 4P ,-P ;
15
- 4P^-P,
15
D =
a u
a .2
=
- 4
-1
a 21 a 22
-1 - 4
- Điu kin đ: Ta có:
- l l
= 15>0vàau =-4< 0
Do đó hàm lợi nhun 7C đt giá tr ln nht ti () ;Q 2 )
2) Õl = ± . Õ± = l i Õ l = I± .
ap, 15 ap2 15 P 15 P2 15
Bài 4.4.
Vi các hàm chi phí:
TC, =128 + 0,20?; TC2 = 156 + 0,Q
Chương 4. ng dng phép tính vi phân hàm nhiu biên... 117
Hàm doanh thu:
TR = p.Q = [600 - 0,1(Q| + Q2)]. [Q, + Q2 ]
= 600Q, + 600Q2 -0,1(Q , + Q 2)2
= 600Q, +600Q 2 -0,1Q Í -0 ,2 Q ,Q 2 -0 ,\Q
Hàm chi phí:
TC = TC, + TC2 = 284 + 0,2QÍ + 0,1Q*
Hàm lợi nhun:
7C = TR - TC = 600Q, + 600Q2 - 0,3QÍ - 0,2Q,Q2 - 0,2Q
1) Ta có:
tc'q = 600-0,óQ -0,2Q2; tc'q = 600-0,2Q,-0,4Q2
n ' Q2 = -0 ,6 ; n Q2Q2 = -0 ,2 = n Q2Qt; 7Ĩ q2 = -0 ,4
" Điu kin cn: Gii h:
n'Qi=0 Í3Qj + Q 2 =3000
<=> < <=>
tx'q = 0 1q ,+ 2Q 2 =3000
- Điu kin đ: Ta có:
Qj = 600
Õ2 =1200
D =
a il a !2
-0 ,6
-0 ,2
a 2l a 22
-0 ,2
-0 ,4
= 0,2 > 0 và at! = - 0,6 < 0
Do đó hàm li nhun TC đt giá tr ln nht ti (q 1 ;Q 2 )
2) Q = Q ,+ Q : =1800
p = p, + p 2 =420
Q = 6000 - 10P
Hê s co giãn ca Q theo p là: Ep =
__
6 v p 6000-1 0 P
Khi đó: £p (P*) =
Bài 4.5.
Hàm doanh thu:
TR = P,.Q, + P2.Q2 = 120Q, + 200Q2 - 5QÍ - 20Q]
Hàm chi phí:
TC = 35 + 40Q, + 40Q 2
Hàm li nhun:
n = TR -T C = 80Q, + 160Q2 - 5QÍ - 20Q - 35
Ta có:
71'Q =80-10Q j; n' =160-40Q 2
71" ,=-10; 71" n = 0 = 71" n ; ít" , = 40
q2 Q2 Q2 Q2 Q1 2
118 Hưng dn gii bài tập Toán s úng dng...
Chương 4. ng dng phép tính vi phân hàm nhiu biêh... 119
D =
a u a i2
-1 0 0
a 2l a 22
0 -4 0
= 400 > 0 và a(1 = - 10 < 0
Do đó m lợi nhun n đt giá tr lớn nht ti (q 1; Q2 )
Bài 4.6.
1)
Q, =
14
65
14
2)
14
p2 =
405
14
i 4.7.
1) Kết qu bài 4.6.
^ , ỔTC ^ ÕTC
> a n Q ,:fln Q r
Q| ỠQ2
Ti đim ti ưu
Q. =
1 14
Q 2 =
2 14
ta :
Q,
Bài 4.8.
TC - 50 TC - 130
= 2Q, = ^ ; ^ = 4Q2 = ^ -
7 Q2
1) Bưc 1. Bài toán đưa v tìm cc tr có điu kin ca
hàm s:
TR = 320x-2x2-3 x y -5 y 2 + 540y + 2000 vix + 4y= 180
120
Hưng dn gii bài tập Toan cơ sơ un£ dn&-
Bưc 2. Xét hàm Lagrange
L(x,y,Ằ) = 320x-2x2 -3xy-5y2 +540y+200(R( 180-x-4y)
Tính các đo hàm riêng cp 1, 2 ca hàm L:
L'x= 320-4x-3y-X; L'y= 540-3x-10y-4; L\= 180-x-4y
L"2= -4;L"xy= L"vx = -3;L "v2 = -10
yx
Bưc 3. Gii h:
n '
X
II
o
4x+ 3y+ X = 320
X = 52
L'y=0< = >«
3x+10y+4Ằ = 540 <=> y = 32 => <
L\= 0
x+4y =180
1= 16
X = 52
= 32
16
Vy: M(52, 32, 16)
Bưc 4. Kim tra điu kin đ
êl ê X 1 » > 2~ 8 y~ 4
L"x2 - -4; L"xy= L"yx= -3; L"2 = -10
Xét đnh thc:
|H |-
0 1 4
1 -4 -3
1 -3 -10
> 0 nên M là đim cc đi cùa hàm s
Vy doanh thu đt cc đi ti: X - 52;y = 32.
Chương 4. ng dng phép tính vi phân hàm nhiu biêh.
121
2) Gi TRmax là doanh thu đt giá tr cc đi. Khi đó
TR
max
B
= =16
Vy khi tăng ngân sách chi cho qung cáo lên 1 triu đng
thì doanh thu cc đi tăng 16 triu đng.
i 4.9.
1) Ti K = 4; L = 9 ta :
^ 5 = 0 ,2 2 5 ;^ = 0,1
K ÕL
2 ) ^ = o,15K-°-5L0'5 =g (K ,L ).
K
Với t > 0: g(tK, tL) = g(K, L). Vy g là hàm thun nht bc 0.
3) Quá trình sn xut có hàm Q có hiu qu không đi theo
quy mô.
i 4,10.
1) Dùng phương pháp nhân t Lagrange tìm đưc:
X, = 50
X2 = 30
X = 0,248
2) Gọi umax là lợi ích cực đi và B là ngân sách chi cho tu
dùng. B thay đổi thì Ưmax thay đi. - Umax = = 0,248. T đó
B
suy ra ý nghĩa.
122
_______________
Hưng dẫn gii bài tập Toán cơ sở T£ dng.
3) Bn đc suy ra t ý 2) và h s co giãn.
Bài 4.11.
1) Quá trình sn xut có hiu qu gim theo quy mô.
2) Sn lương cân biên theo vn: - = 0,3K L .
0K
Sn lương cân biên theo lao đng: = 0,5K° 3L~0,5.
L
3) Dùng phương pháp nhân t Lagrange tìm đưc
K =24
L = 120
X = 5-0.56 -0,24 -,.2
4) Bn đc t gii thích ý nghĩa t kết qu ca ý 3).
Bài 4.12.
1) Sn lượng cận bn của tư bn và của lao động ln t là:
- I I 2-2
Q k = 20K 3 ; Q l = ÌOK^L3
Sn lưng cn biên ca tư bn và ca lao đng tại Ko = 16'
Lo = 81 tương ng : Q K(27;64) = ^ 5 , Q L(27;64) =
3 8
Bn đc t gii thích ý nghĩa.
2) H s co giãn riêng cùa Q theo K, L ln lưt là:
Ccmg 4. ng dng phép tính vi phân hàm nhiu biêh... 123
2 1
C rr P
s 3 : : 3
Bn đc t gii thích ý nghĩa.
3) K và L cùng tăng 1% thì Q cũng tăng 1%.
4) Quá trình sn xut có hiu qu không đi đi vi vic
tăng quy mô.
5) Hàm s trên tuân theo quy lut li ích cận biên gim dn.
6) Tính dQK = Q 'K dK; dQL = Q 'L dL; dQ = dQK + dQL
Bn đc t gii thích ý nghĩa tại Ko= 27; L0 = 64; dK = 0,1;
dL = 0,3.
Bài 4.13. Bn đc gii tương t bài 4.12.
Bài 4.14.
Bưc . Gii h phương trình:
k'q, * -2Q i +4Q3 = 0 ÍQi = 400
- n 'Qi = -6Q 2+ 300 = 0 « Ì q 2=50
7i ,Q3. = -14Q3+4Qi +1200 = 0 [Q3 =200
Vy hàm s có mt đim dng: M(400; 50; 200)
Bưc 2. Kim tra điu kin đ:
- 2; a22 - 71 "o o - -6; a = 71
an _7I"q,Qi " A,a22 ~ n q2q
= -14
a 12 a 21 ^"QiQi ~
ai3= a3i= «"0 ,0 , = 4; a2 3 = a32= 7t"Q2Q3 = 0
124
Hưng dn gii bài tập Toán cơ s uiì dng-
"-2 0 4
H,
= -2 < 0
Xét ma trn H =
0 - 6
0
có <
h 2
= 12 > 0
4 0 -1 4
H 3
= -72 < 0
Nên M là đim cc đi ca hàm s 7t.
Bưc 3. Kết lun
Doanh nghip cn bán các mt hàng vi s lưng
Qj = 400;Q 2 = 50;Q 3 = 200 thu đưc li nhun ti đa bàng
127520.
Bài 4.15.
1) Hàm s trên tuân theo quy lut li ích cn biên gim dn.
2) Hai hàng hóa này thay thế cho nhau.
3) Dùng phương pháp nhân t Lagrange tìm đưc:
Xi = 50
X 2 = 30
X = 0,248
Gi Umax là li ích cc đi và B ngân ch chi cho tu
dùng. B thay đi thì Ưmax thay đi. d^max-
= x
= 0,248 .
B
Nên nếu ngân sách chi cho tiêu dùng gim 2% thi lợi ích cc
đi gim khong 0,596%.
Chương 4. ng dng phép tính vi phân hàm nhiu biến.
125
Bài 4.18. Bn đc t gii tương t như bài 4.12.
Bài 4.19.
1) Hàm s tuân theo quy lut lợi ích cận biên gim dn.
2) Li ích tăng 0,4%.
i 4.20.
MCj =(TC)'q = 125 + 2,4Q^ 1 2Q,q !
MC2 = (TC) 0i = 84 + 3,6Q -1 2QÍQ2
Bài 4.21.
?=
---------------
------------------------
p 35 - 0,4p + 0,15m + 0,12ps
_ 0,15m
2) 8 ~ 3 5 -0 ,4 p + 0,15m + 0,12ps
Q 0 ,1 2 p s
3) So =
-----------------
- 1
-------------
Ps 35 - 0,4p + 0,15m + 0,12ps
Bài 4.22.
1) Hiu qu gim theo quy mô
2) Hiu qu tăng teo quy mô
3) Hiu qu tăng theo quy mô
4) Hiu qu tăng theo quy mô
i 4.23. X, =17; x 2 = 5
126
Hưng dn gii bài tập Toán sơ 1/7»,e dung-
Bài 4.24.
= ;Õ
1 35 2 7
- 1576 - 256
p , ~ ; p 2~ -
Bài 4.25.
Q* = 260 và p* = 40
Bài 4.26. ĨC = 40; L = 135
Bài 4.27.
Q,=3;Q2=4
P, = 35;p 2 = 6 0
Bài 4.28.
1) K(t) = 25.tĩ + 90
2) K(t) = 45.t7 + 40
3) c = 0,8Y + 40
4) cs = 82—
3
Bài 4.29.
1) Ý kiến đó không đúng
2) Xi = 50; X2 = 40
Chương 4. ng dng phép tính vi phân hàm nhiu biến.
127
i 4.30.
1) K = ;L =
36 16
2) Gi lợi nhun ti đa là n . Ta :
7ĩ _ ĨT . - 1 n d ĩ ì T - 1
= -K = < 0; —— = -L = < 0.
K 36 L 16
Bài 4.31.
1) H s co giãn riêng của cầu theo g, theo thu nhp ln
lượt là: 6° = -0,2;8 ° =0,3
2) Gi giá cân bng là P . Chng minh đươc > 0.
M
Bài 4.32.
1) H s co giãn riêng ca Y theo K, L ln lưt :
ek = 0,4;El = 0,8
2) H số tăng trưng ca K và L ln lưt :
rK =
0,1 0,3
-;rL =
120 + 0,lt 200 + 0,3t
Hệ sổ tăng trưng ca Y là:
Y_ , Y_ 0,04 0,24
120 + 0,lt 200 + 0,3t
rY EKrK + e L rL -
3) Quá trình sàn xut có hiu qu tăng đi vi vic tăng
quy mô.
128
Hưng dn gii bài tập Toán s úmg dng-
Bài 4.33. Bn đc t gii tương t như bài 4.24 vã 4.25.
Bài 4.34. rY =6KrK + £LrL + 8 GrG
Bài 4.35. Bài toán đưa v tìm cc tr hàm li nhun
7ĩ = 300kJ iJ -10 0K -1 50 L
Kết qu lợi nhun đt giá tr ln nht ti K = 64. L = 16.
Bài 4.36.
1) Hàm Q = K°'4L0'3 là hàm thun nht bc k = 0,3 + 0,4
= 0,7 < 1 nên doanh nghip sản xuất có hiu quả theo quy mô
2) Bưc 1. Xác đnh bài toán
Tìm cc đi ca hàm s Q = K° 4L°3 vi điu kin:
4K+3L= 1050
Bưc 2. Xét hàm Lagrange:
F = K°-4L0-3 + MI 050 - 4K - 3L)
Bưc 3. Gii h phương trình:
F'k = 0,4K'°'6L03-4X. = 0
F'l = 0,3K04L7-3X. = 0 <=>
F\= Ì050-4K-3L =0
<=> <
K -0,6L0,3= x
K°-4L'°7=X
1050 = 4K+3L
K = L= 150
1
10.150°3
Chương 4. ng dng phép tính vi phân hàm nhiu biến.
129
Bưc 4. Kim tra điu kin đủ:
g| = g 'K = 4; g2 =g'L = 3
F"KK = -0.24x l 6y06
Fn =-0,24.150' 6 150-6 <0
L"u = -0,21K°'4L-1'7 =>F22 = 0,21.150°4.150 1 ' <0
L "KL = 0,12K° 6L°-7 => Fj2 = F21 = 0,12.15<r°-6.150° 7 > 0
Xét đnh thc:
1.7
|H =
0 4 3
4 F F12
3 F F22
= 24FI2 -9 F m 16F22 >0 nên M là đim
cực đại ca hàm số.
Bưc 5. Ket lun: Doanh nghip cn s dng 150 đơn vtư
bản và 150 đơn vị lao đng đ thu đưc sn lưng ti đa
Q(150, 150)= 1500,7.
Bài 4.37.
1) m Q = 40K0,75L0'25 hàm thun nht bc k = 0,75 +
0,25 = 1 n quá trinh sn xut trên là có hiu qu không đi khi
tăng quy sn xut.
H s co giãn riêng cúa sn lưng theo vn và lao đng ln
t là:
E = 0,75; = 0,25 => + 3e? = 0,75 + 3.0,25 = 1,5
Nên nêu K tăng 1% L ng 3% thì sản ng tăng n 1,5%.
130
Hương dẫn giai bai tập Toan cơ so 1/Tig du 11$
2) i toán đưa về tìm cc trị hàm = 40K1L1 vi điêu
kin: 3K + L = 160.
Hàm Laerange là: F(K.L.) = 40K4L4 + Â(160- 3K. - L)
- Điêu kin cn:
-I I 3 -3
Fk = 30K 4 L4 -3X; F'L =10K4L4 -; F\ = 160-3K- L
10K4L4
Thay vào (3) ta đưc: K = L = 40;/. = 10.
- Điu kin đù:
d2F = F"k;(dK r + (F"lk + F"K1 )dKdL + F ; (dL r
-1 1
30K 4 L4 = 3X
(1)
F'[ = 0 <^><lOK4L4 =x
F'. =0 160 = 3K + L
(2)
(3)
Chia (1) cho (2) vế theo vta đưc
30K 4 L4 3
-15 - - 15 - -
F" = K4L4: F"ik = FV, = K 4 L4 ; F" =
K' 7 w. 2 I
Tại K = L = 40; Â = 10:
Chương 4. ng dng phép tính vi phân hàm nhiu biến.
d2F = ídL-dK)2 <0
80
(vì 3dK + dL = 0 và (dK)2 + (dL)2 * 0)
Nên hàm đt cc đi tại mc:
K = L = 40 và Qmax = 1600
a o
Vi %s- = x = 10
B
Nên khi tăng ngân sách chi cho yếu t đu vào 1 USD thì sản
lưng ti đa tăng khong 10 đơn vị.
3)Ta có:
~ I . - 1 5 Í
Q 'k = 30K 4 L4 =>QK2 = K4L4 < 0; VK > 0;L > 0(4)
. 3 T .. -15 J T7
Q'l =10K4L4 ^Q " = K4L4 <0;VK >0;L >0(5)
L 2
T (4) và (5) suy ra hàm Q tuân theo quy lut lợi ích cn
biên gim dn.
-I I
4) Hàm sn lưng cn biên theo vn : Q k = 30K 4 L4
Hàm sn lưng cn biên theo lao đng là: QL = 10K4L4
5)TiKo = 625; L0 = 16:
Qr, =40.625 .16^ = 40.5 .2 = 10000
Phương trinh đưòna đne lưng ti đim (K. L0):
132 Hưtì< dn fiai bai táp Toan cơ s<7 uv<z dng.
- 40K ' 5L ° = 10000
<=> K0 75L', :< -250 = 0
6) Ta có:
= - ^ = - 10K j_ L = - ^ < :L> 0
dL Q' ri 4L
K 40K 4 L4
Suy ra vn và lao đng hai hàng hóa thay thế cho nhau.
TÀI LIU THAM KHO
1. Alpha c . Chiang, Fundamental Methods o f Mathematical
Economics, McGRAW-HILL Book Copany, 1984.
2. Lê Đình Thúy (Ch biên), Toán cao cp cho các nhà kinh tế,
NXB Thng kê, 2004.
3. Lê Đình Thúy (Ch biên), Bài tp Toán cao cp cho các nhà
kinh tế, NXB Đại hc Kinh tế quc dân, 2008
4. Phùng Duy Quang (Ch biên), Toán cao cp ng dng trong
phán tích kinh tế, NXB Đại hc sư phm Hà Ni, 2012.
5. Phùng Duy Quang (Ch biên), Bài tp Toán cao cp , NXB
Thông tin và Truyn thông, 2012.
6. Ngô Văn Th, Nguyn Quang Dong, Mô hình toán kih tế,
NXB Thng kê, 2005
H ư nq Dflfi qifil BÀI T 0 P
TOÁN Cơ S
ÚNG DỊMCHtONG PHÁN TlCH KINH TÉ
Chịu trách nhiệm xuất bn:
Nguyn Thị Thu Hà
Biên tp:
Sa bn in:
Trình y sách:
Thiết kế bìa:
Ngô M Hnh
Nguyn Long Biên
Đoàn Thanh
Đc Anh
Trần Hng Minh
NHÀ XUẤT BN THÔNG TIN TRUYỀN THÔNG
Trs chính: S 9, ngõ 90, phố Ngụy Như Kon Tum, Thanh Xuân, Ni
Điện thoại: 04-35772143 Fax: 04-35779858
Email: nxb.tttt.@mic.gov.vn Website: www.nxbthongtintruyenthong.vn
Chi nhánh TP. HCM: S 8A đưng D2, png 25, quận nh Thnh, TP. HCM
ĐT: 08-35127750 ; Fax:08-35127751; Email: cnsg.nxbtttt@mic.gov.vn
Chi nhánh TP. Đà Nắng: 42 Trn Quc Ton TP. Đà Nẳng
ĐT: 0511-3897467 Fax 0511-3843359 ; Email: cndn.nxbtttt@mic.gov.vn
In 1000 cun khổ 14,5 X 20,5 cm tại Cóng ty Hải Nam
S đăng kế hoch xut bản 622-2012/CXB/6-172/TTTT
Sô Quyết định xut bản: 142/QĐ-NXB TTTT ngày 30/5'2012
In xong np u chiu tháng 6 năm 2012
| 1/139

Preview text:

ÚNG DỤ9NG TRONG PHÂN TÍCH KINH TẾ ThS. PHÙNG DUY QUANG
Hướnq Dm qifil BFU TẬP TOAN Cơ SỞ
ÚNG DỤING TRONG PHẢN TÍCH KINH TẾ
NHÀ XUẤT BẢN THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG
Mã số: QT 01 HM 12 LỜI NÓI ĐẦU
Toán cơ sở là môn học bắt buộc dành cho sinh viên các hệ
cao dẳng, đại học và cao học thuộc tất cả các nhóm ngành kỳ
thuật, kinh tế. Để giúp cho sinh viên có tài liệu học tập và đạt
hiệu quả cao, N hà xuất bản Thông tin và Truyền thông đã
phối hợp với tác giả Phùng Duy Q uang - Trưởng khoa Cơ
bản, Trường Đại học Ngoại thương xuất bản cuốn “H ư ớ n g
dẫn g iả i bài tập Toán c ơ s ở ứ n g d ụ n g trong p h â n tích k in h
tế ”. Cuốn sách được biên soạn phù hợp với chương trình Toán
cơ sở ứng dụng trong phân tích kinh tể được giảng dạy tại
trường Đại học N goại thương.
Đây cũng là tài liệu bổ ích dành cho các thí sinh ôn thi
tuyển sinh đầu vào hệ Thạc sỹ của trường Đại học Ngoại
thương, trường Đại học Kinh tế quốc dân Hà Nội. Nội dung
cuốn sách là tổng hợp các bài tập từ mức độ dễ đến khó, nhàm
giúp học viên vận dụng các kiến thức, kỹ năng cũng như các
phương pháp Toán cơ sở ứng dụng trong các bài toán phân tích kinh tế. Nội dung cuốn sách gồm:
C hương 1. Định thức và m a trận.
Chương 2. M ột sổ mô hình tuyến tính dùng trong phân tích kinh tế.
C hương 3. ứ n g dụng của phép tính vi phân, tích phàn
hàm một biến số trong phân tích kinh tế.
C hương 4. ứ n g dụng của phép tính vi phân hàm nhiều
biến số trong phân tích kinh tế.
C uốn sách được viết cho sinh viên các ngành kinh tế nhàm
ứng dụng m ôn học Toán cơ sở sao cho hiệu quà nhất; được
trình bày m ột cách cụ thể, dễ hiểu. M ỗi chương gồm 2 phần:
Đề bài và phần H ướng dẫn giải bài tập cụ thể và các lời giải
gợi ý để sinh viên có thể tiếp thu kiến thức m ột cách hiệu quả nhất.
Dù đã có rất nhiều cố gắng trong công tác biên soạn, song
cuốn sách sẽ khó tránh khỏi những thiếu sót. R ất m ong nhận
được các ý kiến đóng góp các đồng nghiệp và bạn đọc để
cuốn sách được hoàn thiện hơn trong lần tái bản sau.
M ọi góp ý xin gửi về K hoa C ơ bản, trường Đại học Ngoại
thương, email: quangpd@ ftu.edu.vn
X in trân trọng giới thiệu cùng bạn đọc./. T Á C G IẢ MỤC LỤC
L ờ i n ó i đ ầ u ............................................................................................ 3
Chương 1. Định thức và ma tr ậ n ................................................... 7
A. Đề b à i .................................................................................... 7
B. Hướng dẫn và đáp s ố .........................................................10
Chương 2. Một số mô hình tuyến tính dùng trong
phân tích kinh tế .......................................................... 12
A. Đề b à i.................................................................................. 12
B. Hướng dẫn và đáp s ố ...................................................... 28
Chương 3. ứ n g dụng phép tính vỉ phân, tích phân hàm
một biến trong phân tích kinh t ế ............................60
A. Đề b à i .................................................................................. 60
B. Hướng dẫn và đáp s ố ........................................................ 74
Chương 4. ứ n g dụng phép tính vi phân hàm nhiều biến
trong phân tích kinh t ế .........................................101
A. Đề b à i ............................................................................. 101
B. Hướng dẫn và đáp s ố ....................................................114
Tài liệu tham khảo........................................................................ 133 C h ư ơ n g 1
ĐỊNH THỨC VÀ MA TRẬN ■ • A. ĐÈ BÀI
Bài 1.1. Tính các định thức sau: 5 - 7 - 9 6 1) |- 2010| 2) 3) 8 - 1 2 1 3 4 - 2 3 -1 0 2 0 - 3 4) 1 3 -5 5) 3 2 6) -2 3 1 2 -8 13 -2 4 3 9 5 4 2 - 3 5 -3 7) 1 -1 3 8) 2 -1 2 3 - 1 3 2
Bài 1.2. Tính các định thức sau: -1 0 3 -2 1 0 -3 2 2 1 4 -3 -2 2 3 -1 1) 2) 3 2 -3 -1 3 4 -5 1 4 3 4 -6 2 6 -5 4 8
Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ sớ ím g d u tĩĩ 2 -1 3 - 4 0 -1 0 -2 -3 1 9 1 2 3 5 4 2 1 3 0 -1 3) -3 1 2 0 -2 4) -3 -2 1 -1 1 4 -3 .0 -1 3 -2 4 3 -1 1 4 -1 8 0 5 - 4 3 5 -5 2
Bài 1.3. Giải phương trình sau: 2 -3 x 2 - X 2x 1 - 2 3 - 4 A = = 0 -3 2 - 2 2 9 2 3 18
Bài 1.4. Tính AB và BA (nếu tồn tại), biết rằng: o 1 "1 2 3' CQ I 1 )A = 2 3 0 - 4 2 4 1 "-1 0 2' '1 0 -2 2 ' 2 )A = 1 2 -1 ; B = 2 1 2 -1 _ 0 -1 1 <3 -2 1 0 ,
Bài 1.5. Tìm ma trận nghịch đào của các ma trận sau: '1 2 a b 1) 2) 3 4 c d
Chương 1. Định thức và ma trân 9 -1 0 2 ' 2 -1 3 3) 3 1 3 4) -3 2 -1 2 3 1 1 0 5 2 -1 3 0 ' '1 0 -1 3 - 4 2 -2 3 0 2 4 - 6 5) 6) 1 3 1 -2 0 0 -2 3 -1 4 2 1 0 0 0 -1
Bài 1.6. Giải các phương trình A x X = B, biết: - 2 3 5 6 1)A B = - 3 4 7 8 5 - 4 1 2 2) A = B = 4 - 3 - 2 3 1 -3 4 3 3) A = B = -3 9 1 2
Bài 1.7. Tìm hạng của các ma trận sau: ' 2 - 1 3' ' 1 2 3 - f 0 3 - 1 2 0 - 1 4 A = • B = 5 - 2 4 2 1 2 - 2 3 2 5 7 2 1 4 0 1— — - 1 - 2 3 0 ' - 1 2 - 3 0 4 2 1 - 2 -1 c = ; D = 3 - 1 2 3 2 3 3 - 5 - 1 1 3 - 4 3 1 4 2 - 4 - 2 10
Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ sớ úng dụng.
Bài 1.8. Tìm m để ma trận sau có hạng bé nhất: 1 m -1 2 A = 2 -1 m 5 1 10 -6 1
B. HƯỚNG DẨN VÀ ĐÁP SÓ Bài 1.1. Đáp sổ 1)-2010 2 ) - 4 3 )-3 3 4 ) 0 5 )6 2 6 )9 3 7) -117 8 )-4 Bài 1.2. Đáp sổ 1)0 2) 52 3 )0 4) 189 Bài 1.3. Đáp sổ X = -3 và X = 1 Bài 1.4. Đáp số 0 4 - 2 16 8 1) A x B B x A = 2 - 8 12 0 -10 4 4 14 5 - 4 4 -2 2) A xB 2 4 1 0 ; Bx A (Không tồn tại) 1 -3 -1 1
Chương 1. Định thức và ma trận 11 Bài 1.5. Đáp số - 2 1 1 d -b 1) 3 1 2) ad-bc -c a 2 2. 8 5 2 22 22 22 3 5 9 3) 4) Không tồn tại 22 22 22 7 3 1 22 22 ~ 22 1 0 - - - 0 I 0 5) Không tồn tại 6) 2 _ 3 0 0 ' 2 2 0 0 0 -1 Bài 1.6. Đáp số ' - 1 0' ■-11 6' 1) 2) 1 2 -1 4 7 3) Không tồn tại Bài 1.7. Đáp án r(A) = 3; r(B) = 4; r(C) = 2; r(D) = 3
Bài 1.8. Hướng dần: Biến đổi đưa ma trận A về dạng bậc thana. Dáp sổ m = 3. C h ư ơ n g 2
MỘT SỐ MÔ HÌNH TUYẾN TÍNH
DÙNG TRONG PHÂN TÍCH KINH TẾ A. ĐỀ BÀI
Bài 2.1. Giải các hệ phương trình tuyến tính sau: x t - x 2 + 2 x 3 = 1 X, - 2 x 3 = - 3 1)
3 x , - 2 x 2 + 5 x 3 = 2
2 ) -2 x , + x 2 + 6 X3 = 11 - X, + x 2 x 3 = 2
- X | + 5 x 2 - 4 xj = - 4 4 x , + x 2 + 2 x , = 1
X, - 2 x 2 + X , + 2 x 4 = - 1 3) Xị + X , = 2 4)
X, - 3 x 2 - X j + 3 x 4 = 2 6 x , + x 2 + 4 x 3 = 3 - X , + x 2 - 3 x 3 - x 4 = 4
X, + 2 x 2 - 3 x 3 + x 4 = 1 5 x j - x 2 + 2 x ,+ x4 = 7 2 x , — x 2 + x 3 - 3 x 4 = 0 5) 2x, + x 2 + 4 x 3- 2 x 4 = 1 6) 3 x , + x4 =-1
X , - 3 x 2 - 6 x 3 + 5 x 4 = 0
5 x , + x 2 - 4 x 3 + 6 x , = 1
- x , + 2 x 2 + x 3 + 3 x 4 = - 1 3 x , - 2 x 2 - 5 x 3 + x 4 = 3
2 x , - X , + 2 x , + 5 x , = 2
2 x , - 3 x 2 + X , + 5 x 4 = - 3 7) ' 2 3 8 )
5x, - 4 x 2 + 3 x j + 7 x 4 = 5 X, - 2 x 2 - 4 x 4 = - 3
3 x , - 3 x , + X , + 2 x 4 = 3
x 2 - 4 x 3 + 9 x 4 = 2 2
Chương 2. M ột sô'mô hình tuyên tính... 13 X, - 4 x 2 + 2 x 3 = - 4
3 x , + 5 x 2 - 2 x 3 = 2 3 x , - x ,= 9 9)
2 X j - 7 x 2 + 2 x 3 = 1 2 10)
- 3 x , + 5 x 2 + 3 x 3 = - 1 5
- X , + 5 x 2 + 3 x 3 = 9 2x, + 7x2 - 3 x 3 = 13 -2 x , + 4x 2 - 5 x 3 = 11 2x,
- 4 x 3 + 7 x 4 = 2
2 x , + 5 x 2 - 3 x 3 = 3 11) x,+ x2 - 2 x 4 = 7 1 2 ) - 3 x2 + 2 x3 - 2 x4 = 3 5Xị - 6 x 2 + 3 x 3 = - 6 - 3 x , - 5 x 3 + x 4 = - 1 2 2 Xị - 3 x 2 + 2 x 4 = - 1 4 X,
5 x 3 + 3 x 4 + 4 X5 = - 2 13)
3 x j + x 2 - 5 x 3 + 3 x 4 = 1 14) 2 x 2 + 3 x 3 - 6X5 = 6
4 Xj - 2 x 2 - 5 x 3 - 3 x 4 = 2 2 x , - 3 x 2
+ 5 X5 = - 7
Bài 2.2. Tìm các giá trị của tham số a trong mồi hệ phương trình sau để hệ có nghiệm:
4 x , - x 2 + 3 x 3 + x 4 = 3 , + x 2 - x 3 = l 1)
Xj - x 2 - 2 x 3 + x 4 - a
2) X, + a x 2 + 3 x 3 = 2
3 x 2 - x 3 - x 4 = 7 2x, + 3 x2 + a x 3 = 3 Xj + x 2 — x 3 = 1 3) x ( + a x 2 - x 3 = 1 X, + x 2 + a x , = a
Bài 2.3. Giải và biện luận các hệ phương trình sau: ax + y + z + t = 1 í-a x + y + z = a
l ) < Ị x + a y + z + t = l 2 )-a x + y - 2 z =1 X + y + az + 1 = 1 I-X - ay - 2z = 1 14
Hướng dẫn giải bài táp Toán cơ sơ u vg dutỉỹ ax + 2z = 2 ax + by + z =1 3) 5x + 2y =1 4) x + aby -t- z =b X - 2y + b z = 3 X + b y + a z = 1 2 _ 3 x + ay + a z = a kx + y + z = k 5) x + by + b 2z = b 3 6) 2x + (k + l)y + 2z = 2
X + cy + C 2 Z = c 3 - x - y + (k + 2 )z= 1 ax + y + z + t = 1 ax + by + 2z = 1 x + a y + z + t = a 7) ax + ( 2 b - l) y +3z = l 8) x + y + az + t = a 2 ax +by + (b + 3)z = b x + y + z + at = a '
Bài 2.4. Trong một nền kinh tể có 3 ngành sản xuất: ngành 1,
ngành 2 và ngành 3. Cho biết ma trận hệ số kỹ thuật là '0,3 0,2 0 ,3 ' A = 0,1
0,3 0,2 và mức cầu cuối cùng đổi với hàng hóa 0,3 0,3 0,2
của các ngành 1, 2, 3 lần lượt là 6, 9, 8 triệu USD. Hãy xác
định mức tổng cầu đối với hàng hóa và tổng chi phí cho các
hàng hóa được sử dụng làm đầu vào của sản xuất cua mỗi ngành.
Bài 2.5. Cho hai ngành sản xuất có ma trận hệ số đầu vào: a i: A =
Chứng minh răna det(E - A) > 0.
Chương 2. M ột so mô hình tuyên tính. 15
Bài 2.6. Một nền kinh tế có 3 ngành sản xuất và có mối quan hệ
trao đổi hàng hóa như sau:
Ngành sử dụng sản phẩm (Inputs)
Ngành cung ứng sản phẩm (Output) 1 2 3 B 1 20 60 10 50 2 50 10 80 10 3 40 30 20 40
1) Xác định tổng cầu, tổng chi phí và tổng giá trị lao động
(giá trị gia tăng của mỗi ngành).
2) Lập ma trận hệ số kỹ thuật A.
Bài 2.7. Cho ma trận hệ số kỹ thuật của 3 ngành sản xuất: 0,2 0,3 0,2 A = 0,4
0,1 0,2 . Đơn vị: triệu USD 0,132 0,3 0,2
1) Giải thích ý nghĩa của con sổ 0,4 trong ma trận A. 1,656 0,701 0,446
2) Cho biết: (E - A)~' = 0,786 1,486 0,34 0,446 0,573 1,274
và véc tơ cầu cuối cùng B 1 = (10; 5; 6). Hây xác định tổng cầu của các ngành. 3)
Tống cầu của các ngành sẽ thay đồi thế nào nếu như cầu
cuối cùng của ngành 1 tăng 1 đơn vị còn các ngành khác giữ nguyên. 16
Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ sa U7IỊ dunỹ
Bài 2.8. Cho ma trận hệ số kỹ thuật của 2 ngành san xuât '0,3 0,2 ' 3 0 '
và ma trận cầu cuối cùng B = 0,2 0,4 100^
1) Tìm ma trận tổng cầu theo phương pháp Cramer.
2) Tính (E - A ) '1 và nêu ý nghĩa cùa phần tử ở dòng 2 cột 1 của ma trận đó.
Bài 2.9. Xét nền kinh tế có 2 ngành với ma trận hệ số chi phí
trực tiếp dạng giá trị: r 0,1 0,15] A = Lo,2 0,1
1) Tính định thức của ma trận D với D = A3/6.
2) Cho biết mệnh đề sau đây là đúng hay là sai?
ịA(E-A)'1 + E| > |(E-A)-'|
3) Giải thích ý nghĩa kinh tế của phần tử a f2; tổng các phần
tử của dòng 1; tổng các phần tử của cột 2.
4) Lập bảng I/O nếu ma trận tổng cầu là: XT = (200 400).
5) Lập bảng I/O nếu cầu cuối cùng của ngành 1 là 120 và
tổng cầu của ngành 2 là 400.
6) Xác định ma trận tổng cầu nếu ma trận cầu.cuối củng là Bt = (10 10).
7) Cho biết muốn tăng cầu cuối cùng của ngành 1 lên 1 đơn
vị thì tổng cung của ngành 2 phải tăng bao nhiêu?
Chươnp 2. Một sốmô hình tuyên tính.. 17
Bài 2.10. Giả sử nền kinh tế có 3 ngành thuần túy với giả thiết sau đây:
- N gành 1 làm ra 100 tỷ sản phẩm và ngành 1 sử dụng
20 tỷ sản phẩm của mình; 10 tỷ sản phẩm ngành 2; 10 tỷ sản phẩm ngành 3.
- N gành 2 làm ra 50 tỷ sản phẩm và ngành 2 sử dụng
10 tỷ sản phẩm của m ình; 10 tỷ sản phẩm ngành 1; 10 tỷ sản phẩm ngành 3.
- Ngành 3 làm ra 40 tỷ sản phẩm và ngành 3 sử dụng 8 tỷ
sản phẩm của mình; 8 tỷ sản phẩm ngành 1; 16 tỷ sản phẩm ngành 2.
1) Lập bảng I/O với các giả thiết trên.
2) Tìm ma trận hệ sổ kỹ thuật A và giải thích ý nghĩa kinh tế của: - Một phần tử của A
- Một cột bất kỳ của A
- Một dòng bất kỳ của A
- Tổng các phần tử của một dòng bất kỳ của A
- Tổng các phần tử của một cột bất kỳ của A.
3) Tìm ma trận Leontiev (E - A) và ma trận nghịch đảo
Q = (E - A )'1. Hãy giải thích ý nghĩa kinh tế của: - Một phần tử cùa c
- Một cột bất kỳ của c 18
Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ sơ Uĩtg dụng.
- Một dòng bất kỳ của c
- Tổng các phần tử của một dòng bất kỳ của c
- Tổng các phần từ của một cột bất kỳ của c
4) Cho tổng cung của ngành 3 là 600, hãy xác định lượng giả
trị chuyển dịch từ ngành 2 sang ngành 3.
5) Cho ma trận cầu cuối cùng là BT = (20 20 10): Hãy xác
định ma trận tổng cầu X.
6) Với ma trận A đã có, hãy lập bảng I/O nếu tổng cung cua
các ngành 2, 3 lần lượt là 80 tỷ và 60 tỷ; và cầu cuối cùng cùa ngành 1 là 132 tỷ.
Bài 2.11. Giả sử thị trường gồm 2 mặt hàng: hàng hóa 1 vả hàng
hóa 2, với hàm cung và hàm cầu như sau:
Hàng hóa 1: Qs = -3 + 5pj;Ọ D = 1 2 -4 p !+ 2 p 2
Hàng hóa 2: QSỉ = - l+ 4 p 2;Q U2 = 15 + 2 p , - p 2
Hãy xác định giá và lượng cân bàng của hai mặt hàng.
Bài 2.12. Cho hàm cầu và hàm cung của thị trường 2 hàng hóa: Q o r 1 8 ‘3 P i + P2 Qs,= ' 2 + P |
1) Để các nhà sàn xuất cung ứng hàng hóa cho thị trường thi
mức giá 1.2 phai thỏa mãn điều kiện nào?
2) Xác định giá và lượng cân bàng cho các hàng hóa.
Chươnp 2. Một số mô hình tuyến tính... 19
Bài 2.13. Cho hàm cẩu và hàm cung của-thị trường 2 hàng hóa: Qd, ~ 18-3p|+p2 Qd2= 12+pr 2p2 Qs, =-2+p, Q s2 = -2+aP2
(Với a là tham số dương)
1) Đê các nhà sản xuất cung ứng hàng hóa cho thị trường thì
mức giá 1, 2 phải thỏa mãn điều kiện nào?
2) Xác định giá và lượng cân bằng cho các hàng hóa theo a.
3) Khi a tăng thì giá cân bằng của các hàm số thay đổi thế nào?
Bài 2.14. Cho hàm cầu và hàm cung cúa thị trường 2 hàng hóa: Qd,= 1 l-3p,+p2 Qd2= l l +Pi-2p2 Qs, = -2+Pi Qs2 = -2+2P2
1) Xác định hai mặt hàng trên là hai mặt hàng thay thế hay bổ sung?
2) Để các nhà sản xuất sẽ cung ứng hàng hóa cho thị trường
thì P i , p2 phải thoả mãn điều kiện gì?
3) Xác định giá và lượng cân bằng?
Bài 2.15. Cho hàm cầu và hàm cung cua thị trường 2 hàng hóa: Q r)| = 40-2p,+0,5p2 QS)= -12+2p, 1)
Xác định hai mặt hàng trên là hai mặt hàng thay thế hay bồ sung? 20
Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ sõ mtỊỊ dụng.
2) Để các nhà sản xuất sẽ cung ứng hàng hóa cho ihị trường
thì Pi, p2 phải thoả mãn điều kiện gì?
3) Xác định giá và lượng cân bàng?
Bài 2.16. Cho mô hình trường 1 hàng hoá:
1) Nêu ý nghĩa kinh tế của b, d; chỉ ra mức giá cuối cùng mà
người tiêu dùng có thể chấp nhận được (mức tối đa) và mức giá
tối thiểu để người sản xuất có thể khởi nghiệp được (mức tối
thiểu); từ đó chỉ ra điều kiện tồn tại trạng thái cân bằng.
2) Xác định trạng thái cân bằng.
3) Phân tích sự biến động của trạng thái cân bàng khi các
tham số a, b, c, d thay đổi.
4) Giả sử nhà nước đánh thuế 1 đơn vị hàng trao đổi là t
(đơn vị tiền tệ). Hãy cho biết số phần trăm chịu thuế của người
tiêu dùng và người sản xuất.
Bài 2.17. Xét mô hình kinh tế:
Y = c + I0 + Go (lo > 0, Go > 0) c = 0,85Yd + 150
Yd = (1 - t)Y ( t là thuế suất thu nhập, 0 < t <1)
Tính thu nhập quốc dân và tiêu dùng cần bàng vói I0 = 200;
Go = 450 (đơn vị: tỳ VNĐ) và thuế suất thu nhập t = 0,2.
Chương 2. M ột sốm ô hình tuyến tính...________________________21_
Bài 2.18. Cho mô hình kinh tế Y = c + I0 + G0 c = a + bY
(Io>0, Go>0, a > 0 , 0 < b < 1) Trong đó:
Y - thu nhập quốc dân, c - tiêu dùng, I0 - đầu tư, G0 - chi tiêu chính phủ
1) Giải thích ý nghĩa kinh tế của a,b.
2) Xác định trạng thái cân bằng ( Y ; C ) bằng quy tắc Cramer.
3) Có ý kiến cho rằng khi I0 và Go cùng tăng 1 đơn vị thì thu
nhập Y Y tăng 2 đơn vị, ý kiến này đủng hay sai?
4) Phân tích sự biến động của trạng thái cân bàng khi a, b thay đổi.
Bài 2.19. Cho mô hình kinh tế
Y = C + Io + Go (Io> 0 , G o > 0)
c = a + b(Y-T) (a > 0, 0 < b < 1)
T = c + d Y ( c > 0 , 0 < d < 1) Trong đó:
Y - thu nhập, c - tiêu dùng, T - thuế, I0 - đầu tư, G() - chi tiêu chính phủ
1) Giải thích ý nghĩa kinh tế của a, b, c. d.
2) Xác định trạng thái cân bàng ( Y :C ;T ) bằng quy tắc Cramer. 22
Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ sớ Uĩĩg dụng..
3) Phân tích sự biên động của trạng thái cản bảng khi a. b. c, d thay đổi.
Bài 2.20. Cho mô hình kinh tế Y = c + I0 + G ( I o > 0 ) c = a + b(Y - T0)
(a> 0, 0 < b < 1) G = gY
( 0 < g < 1, b + g < 1) Trong đó:
Y - thu nhập, c - tiêu dùng, T - thuế, I0 - đầu tư, G - chi tiêu chính phủ
1) Giải thích ý nghĩa kinh tế của a, b, g.
2) Xác định trạng thái cân bằng ( Y ;C ;G ) bằng quy tấc Cramer
3) Phân tích sự biến động của trạng thái cân bàng khi a, b, g thay đổi.
Bài 2.21. Cho mô hình kinh tế Y = C + Io + Go
( I o > 0 , G o > 0 ) c = 150 + 0 ,8 (Y -T ) T = 0,2Y Trong đó:
Y - thu nhập, c - tiêu dùng, T - thuế, I0 - đầu tư, Go - chi tiêu chính phủ
1) Tìm trạne thái cân bàng khi I0 = 200. Go = 900.
Chương 2. M ột sốm ô hình tuyêh tính..._______________________ 23_ 2)
Do suy thoái kinh tế nên mức tiêu dùng cận biên đối với
thu nhập sau thuế chỉ còn là 0,7. Giả sử I0 = 200, thì G0 phải là
bao nhiêu thì ổn định được thu nhập quốc dân.
Bài 2.22. Cho mô flinh kinh tế Y = c + I + Go (Go > 0)
C = bo + b|Y (b0> 0 , b |> 0 ) I = 3o~*" Y — 32^0 ^1 ^ ^2 >
&i+bi < 1, Ro-'* 0 )
Trong đó: Y - thu nhập, c - tiêu dùng, I - đầu tư, Ro - lãi
suất, Go - chi tiêu chính phủ.
1) Xác định Y, c ở trạng thái cân bằng.
2) Cho bo = 200, b, = 0,7, ao = 100, a, = 0,2, a2 = 10, R o = 7 , G o — 5 0 0 .
Khi tăng G0 lên 1% thì thu nhập cân bằng tăng lên bao nhiêu %?
Bài 2.23. Cho mô hình kinh tế
Y = c + lo + G + NXo Go > 0, NXo > 0) c = 20 + 075Yd G = 20 + 0,1 Y
Yd = (l - t)Y ( 0 < t < l )
Trong đó: Y - thu nhập, c - tiêu dùng, I0 - đầu tư, t - thuế
suất G - chi tiêu chính phủ, NX() - xuất khẩu ròng, Yđ - thu nhập khả dụng.
1) Cho biết ý nghĩa kinh tế của t.
24____________________ Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ so Ị/TỊg đụng...
2) Cho I0= 50, NXo = 30, tìm t để cân đổi được ngân sách.
3) Có ý kiến cho rằng đầu tư I0 không ảnh hướng đến ngân
sách, ý kiến đó đúng hay sai?
Bài 2.24. Cho mô hình kinh tế
Y = C + Io + G o + X o - M ( I o > 0 , G 0 > 0 , X o > 0 ) c = 0,8Yd M = 0,2 Yd
Yd = ( l - t ) Y (0 < t < 1)
Trong đó: Y - thu nhập, c - tiêu dùng, I0 - đầu tư. Gọ - chi
tiêu chính phủ, x 0 - xuất khẩu, M - nhập khẩu, Yd - thu nhập khả dụng, t - thuế suất.
1) Có ý kiến cho ràng khi I0, t không thay đổi thì tăng Go lẻn
1 đơn vị và giảm nhâp khẩu Xo một đơn vị thì thu nhập cản bang
Y không đổi. Ý kiến đó đúng không?
2) Giả sử I0 = 300, G0 = 400, x 0 = 288, t = 0,2 thì nền kinh tế
có thặng dư hoặc thâm hụt ngân sách, thặng dư hoặc thám hụt thương mại?
3) Cho I0 = 300, Xfl = 288, t = 0,2 thì G0 Dhải bằng bao nhiêu
để thu nhập cân bàng là 2500. Cho biết trong trường hợp này
nếu G0 tảng thêm 1 % thì nhập khẩu M thay đổi như thế nào?
Bài 2.25. Cho mô hình kinh tế
Y = c + I + Go (Go > 0)
c = 15 + b ( Y - T ) ( 0 < b < 1) T = 25 + 0.25Y
Chương 2. M ột sô'mô hình tuyên tính..._______________________ 25 I = 65 - r L = M L = 5Y - 50r M = M 0 = 1 5 0 0 , G o = 9 4
Trong đó: Y - thu nhập, c - tiêu dùng, I - đầu tư, r - lãi suất,
G0 - chi tiêu chính phủ, Mo - cung tiền, T - thuế, L - cầu tiền.
1) Xác định trạng thái cân bằng.
2) Thu nhập cân bằng thay đổi như thế nào khi tiêu dùng cận
biên đối với thu nhập sau thuế thay đổi.
3) Mức thâm hụt ngân sách là bao nhiêu nếu nguồn duy nhất của chính phủ là thuế.
Bài 2.26. Cho mô hình kinh tế Y = c + I + Go C = a + b ( Y - T 0) I = d + iY
Go > 0; To > 0; a > 0; 0 < b < 1; bT0 < a; d > 0; 0 < i < 1; b + i < 1.
Trong đó: Y - thu nhập quốc dân, c - tiêu dùng dân cư và
I - đầu tư; Go - chi tiêu chính phủ, T0 - thuế.
1) Tìm thu nhập quốc dân cân bằng.
2) Khi i tăng thì thu nhập quốc dân tăng hay giảm, vì sao? 26
Hướng dẫn giải bài táp Toán cơ sơ inig dụng.
Bài 2.27. Cho mô hình kinh tế:
Y = c + I0 + G0 (lo > 0, G0 > 0) c = 60 + 0,7Yt
Y, = (l - t ) Y (0 < t < 1)
Trong đó: Y, c , Yt, t lần lượt là thu nhập quốc dân. tiêu
dùng, thu nhập sau thuế, thuế suất.
1) Xây dựng mô hình cân bàng thu nhập quốc dân.
2) Tính Ỹ ,c khi G0 = 140; I0 = 90 (triệu USD); t = 40%.
3) Y ,c tăng hay giảm khi t tăng? Vì sao?
Bài 2.28. Cho mô hình kinh tế Y = c + I + Go C = a + b Y t; Yt = (l-t)Y I = d + xY
G 0 > 0 ; a > 0 ; d > 0 ; 0 < b < 1; 0 < X, t < 1; b ( l - t ) + X < 1
Trong đó: Y - thu nhập quốc dân; c - tiêu dùng dán cư;
I - đầu tư; Yt - thu nhập sau thuế; Go - chi tiêu chính phù.
1) Xây dựng mô hình cân bằng thu nhập quốc dán.
2) Khi X tăng thì thu nhập cân bàng tăng hay giảm?
3) Tính Ỹ ,c khi biết Go = 500 (tỷ USD); a = 150; X = 0.1;
b = 0 , 8 ; t = 0 , 4 ; d = 1 0 0
4) Thuế suất tăng thì Y ,c tăng hay giảm, vì sao?
Chương 2. M ột sô'mô hình tuyến tính.. 27
Bài 2.29. Cho mô hình kinh tế Y = c + I
c = c 0 +aY (C0 > 0, 0 < a < 1)
I = I0 - br (I0 > 0, b > 0)
L = L0 + mY - nr (L0 > 0; m, n > 0) MS = L
Trong đó: Y - thu nhập quốc dân; I- đầu tư; c - tiêu dùng;
L - mức cầu tiền; Ms- mức cung tiền; r - lãi suất.
1) Hãy xác định thu nhập quốc dân và lãi suất cân bằng
2) Với a = 0,7; b = 1800; c 0 = 500; L0 = 800; m = 0,6;
n = 1000; Ms = 2000; I0= 400: tính hệ số co giãn của thu nhập,
lãi suất theo mức cung tiền tại điểm cân bàng và giải thích ý nghĩa của chúng.
Bài 2.30. Xét mô hình IS - LM với Y = C + I + G ;L = M c = 0,7Y + 25;
I = 80 - 2r; G = Go (Go > 0)
L = 4Y - 30r; M = M0 (M0> 0)
Trong đó: Y - thu nhập quốc dân; I - đầu tư; c - tiêu dùng;
L - mức cầu tiền; M - mức cung tiền; r - lãi suất.
Tính mức thu nhập quốc dân cân bằng và lãi suất cân bằng với Go = 60; Mo = 1350 (nghìn tỷ VNĐ). 28
Hướng dẫn giải bài tâp Toán cơ só ưng dụng.
B. HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ Bài 2.1. Đáp số
1 ) ( X ị = - 3 ; x 2 = 2 ; x 3 = 3 ) . 2) (x ,= 1; x2 = 1; x3 = 2). 3) Hệ vô nghiệm.
4) ( Xi = -7 - 5a; x2 = -3 - 2 a + P; x3 = a ; x4 = P); Với a , (3 e R. 5) Hệ vô nghiệm. 6) Hệ vô nghiệm. 11 1 3 7 )
x , = l - j a - - y P ; x 2 = - ị a - j p ; x 3 = a ; x 4. = p Với a ,p G R. 1 3 7 8 7 22 198 8) X, = -----------; x 2 = ----------; X , =
---------- ; x 4 = -------- 1 1 3 2 1 5 5 4 1 9 5 398 22 513 9 ) X, = — ; x 2 = -------; x , l 139 2 139 139
1 0 ) ( X, = 2 ; x 2 = 0 ; x 3 = - 3 ) . 11) ' 27 73 101
X. = 3 + — a ;x , = 4 + — a ;x , = 1 + -— a ; x , = a : 50 2 50 3 50 4 J Với a € R. ( 108 + 49a 27 + 34a 8 12) XI = ; x 2 = - = - - a ; x « = a j : 27 27 Với a 6 R.
Chương 2. M ột số mô hình tuyến tính.. 29 _ 16+14a 154 + 77a 13)
X, = - 1 5 - 8 a ; x 2 = ------------------------------ —— ;x 3 = ---- -------- ;x 4 = a 15 Với a e R. ] A \ ( _ -2 7 a + 4p + 2_ -18a + 5ip + 69
' xi -------------------- ỉx7=--------- r r -------- 29 7X2 29 12a + 24p + 12 x 3 = ;x 4 = a ; x 5 = p 29 Với a , p e R.
Bài 2.2. Hướng dẫn
Gọi A và A lần lượt là ma trận hệ sổ và ma trận bổ sung của
hệ trên. Tìm điều kiện để r(A) = r( A ). l ) M ọ i a e R . 2) a * - 3 . 3 ) a * - i . Bài 2.3. 1)
+ a * 1 và a * -2: Hệ có vô sổ nghiệm. Nghiệm tổng quát của hệ là: 1-a l - a l - a X = ■;y = ; z = ; t = a ; a e R ; a+2 ' a+2 a+2
+ a = 1: Hệ có vô số nghiệm. Nghiệm tổng quát của hệ là:
( x = l - a - p - y ; y = a ; Z = P; t = Y) ; a , p , Y € R ;
+ a = -2: Hệ có vô sổ nghiệm. Nghiệm tổng quát của hệ là:
(X = a; y = a; z = a; t = 1); a e R.
2) + a * -1 và a * -3: Hệ có nghiệm duy nhất: f l + 2a l + 2 a 1+a
X = ------- —; y = -----z --------------- - v a + 3 a + 3 a + 3 y 30
Hướng dẫn giải bài táp Toán cơ sơ Uĩiỹ dụttỹ.
+ a = -1: Hệ có vô số nghiệm. Nghiệm tồng quát cua hệ là: 1 \ 1 1 2
x = a; y = - - a - — ; z = - —a - — ; a e R; 3 3 3 3 + a = -3: Hệ vô nghiệm.
3) + ab * 12: Hệ có nghiệm duy nhất: 2 b - 8 a b -1 0 b + 28 _ _ 4 a -1 2 X = —----- y = ; z = a b -1 2 2 (ab -1 2 ) a b -1 2
+ ab = 12 và a * 3: Hệ vô nghiệm;
+ a = 3 và b = 4: Hệ có vô sổ nghiệm. Nghiệm tỏng quát ũủa hệ là: f _ 2 - 2 a _ 10a -7 ì
X-----—— ; y = ---------- ; z = a |; a e R. V a * 1 4) +
a * -2 : Hệ có nghiệm duy nhất: b * 0 a - b ab + b - 2 a - b X = ; y ; z = ( a - l) ( a + 2) b(a — l)(a + 2) , [a = l [a = -2 + b = 0 hoặc < hoặc < _ : Hệ vô nghiệm: Ị b * l Ịb * -2
+ a = b = 1: Hệ có vô sổ nghiệm. Nghiệm tổng quát cua hệ là:
(x = 1 - a - P; y = a ; z = P); u, p € R;
Chươnp 2. M ộ t sô'mô hình tuyến tính... 31
+ a - b = -2: Hệ có vô số nghiệm. Nghiệm tổng quát của hệ là: 1+a X = a; y = - ; z = a ;a e R. 1 a a 2
5) det(A) = 1 b b 2 = (b - a)(c - a)(c - b) (Định thức 1 c c 2 Vandermone cấp 3).
+ a, b, c khác nhau từng đôi một: Hệ có nghiệm duy nhất X = abc; y = -(ab + be + ca);
z = a + b + c;
+ Hai trong ba số a, b, c bàng nhau: Hệ có vô số nghiệm.
Nghiệm tổng quát của hệ là:
X = -ac(a + c) + a c a ; y = a2 + ac + c2 - (a + c)a; z = a ; a 6 R;
+ a = b = c: Hệ có vô số nghiệm. Nghiệm tổng quát của hệ là: X = a3 - a a -'a2p; y = a ; z = P; a , p e R.
6) + k * 1: Hệ có nghiệm duy nhất k 2 + 4k + 5 4 k + 2 X = y = — k 2 + 4 k + 7 ' ' , k 2 + 4 k + 7 ’ k 2 + 4 k + 7 \ '
+ k = 1: Hệ có vô số nghiệm. Nghiệm tổng quát của hệ là: 32
Hướng dẫn giải bài tập Toán cơưTíg dụng - 7) + a * 0, b
1: Hệ có nghiệm duy nhất 3 1 b -1 X = ; y = - T ^ - r ; z = a(b + l) b + 1 b + 1
+ b = 1: Hệ có vô số nghiệm. Nghiệm tổng quát cũa hệ là:
(x = a ; y = 1 - a a ; z = 0); a € R;
+ a = 0, b * 1: Hệ vô nghiệm. + b = -1: Hệ vô nghiệm.
8) + a * 1, a * -3: Hệ có nghiệm duy nhất:
- a 2 - 2 a - 2 - a 2- a + l _ 2a + l a 3+ 3 a : + 2a + r
x = --------- ---- ;y = -------- — ;z = ---------------------------- — ; t = ------ — --- ; a + 3 a + 3 a + 3 a + 3 j
+ a = 1: Hệ có vô số nghiệm. Nghiệm tổng quát của hệ là:
(x = 1 - a - p - y; y = a ; z = P; t = y); a , p, Y € R. + a = -3: Hệ vô nghiệm.
Bài 2.4. Gọi Xi, x2, x3 lần lượt là tổng cầu của các ngành. Khi đó ma trận tổng cầu là X =
. Bây giờ tìm X: (E - A)X = B 6
với ma trận cầu cuối cùng B = 9 8
Chương 2. M ột số mô hình tuyên tính.. 33 29 Khi đó X = (E - A) 'B = 25,72 và ma trận chi phí đầu 30,52 V ' 20,3 " vào: c = c 2 = 20,576 - c 3_ 21,364
Bài 2.5. Sử dụng tính chất tổng các cột của ma trận A nhỏ hom 1,
tức là a j! + a2i < 1 và a I2 + a22 < 1. Nên 1 - a2] > a n > 0 và
1 - a , 2 > a 22 > 0 , suy r a ( l - a n )(l - a22) > a 12a21 Mặt khác: 1 - a , - a 12 det(E - A ) =
= ( l - a n ) ( l - a 22) - a 12a 21> 0 - a 1 - a 21 22 (đpcm).
Bài 2.6. Theo bảng số liệu trên ta có:
x u = 20, X|2 = 60, x 13 = 10; bị = 50
X2| = 50, x 22 = 10, x 23 = 80; b2 = 10
x 3| = 40, x 32 = 30, x 33 = 20; b3= 40 1) Tổng cầu:
Đối với sản phẩm cùa ngành 1:
X, = 20 + 60 + 10 + 50 = 140;
Đối với sản phẩm của ngành 2:
x 2 = 5 0 + 1 0 + 8 0 + 1 0 = 1 5 0 ; 34
Hircmg dẫn giải bài tập Toan cơu v ỹ dung
Đối với sàn phẩm cùa ngành 3: x3 = 40 + 30 + 20 + 40 = 130. Tổng chi phí:
Tổng giá trị lao động của mỗi ngành:
2) Ma trận hệ sổ kỹ thuật: 20 60 10 140 150 130 0,143 0,400 0.077 50 10 80 A = 0,375 0.067 0.615 140 150 130 40 30 20 0,286 0,200 0,154 140 150 130 Bài 2.7.
1) Sô 0,4 ở dòng 2 và cột 1 của ma trận A có nghĩa: đẽ sản
xuất ra 1 USD giá trị hàng hóa của mình, ngành 1 cần sư dụng
0,4 USD giá trị hàng hóa của ngành 2.
2) Gọi X) , x2, x3 lần lượt là tồng cầu của các ngành. Khi đó X ,
ma trận tổng cầu là: X =
. Bây giờ tìm X: (E - A)X = B với x 2 X , 10
ma trận cầu cuối cùng B = 5 6
Chương 2. Một sô'mô hình tuyên tính. 35 Khi đó: '1,656 0,701 0,446' '10‘ "22,74 r X = (E -A )-'B = 0,786 1,486 0,340 . 5 = 17,330 0,446 0,573 1,274 6 14,969
3) Neu cầu cuối cùng của ngành 1 tăng 1 đơn vị ta có ma 10 10 0 trận cầu mới: B' = 5 = 5 + 0 7 6 1
Do vậy ma trận tổng cầu mới là:
X' = (E - A)-'B’= (E - A) '(B + e3) = (E - A)-'B + (E - A)-'e3 '22,74 f '0,446' '23,187" 17,330 + 0,340 = 17,670 14,969 1,274 16,243
Nhận xét: Tổng cầu của các ngành tăng lên tương ứng với
các phần tử của cột 1 của (E - A )'1.
Bài 2.8. Bạn đọc tự giải tương tự như 2.7. Bài 2.9. Ta có: '0,1 0,1 , 5 1 1 5' , , 0, 0 1 , 1 0,15 A = =>I|a | = _ * = 0,12 - 0,15.0,2 = -0 .0 2 0,2 0,1 0,2 0,1 A 1) Với D = — ta có: ; 6 36
Hướng dẫn giải bài táp Toán cơ sc ưng dụng A3 |L)| =
= — . IA|3 = — (-0 ,0 2 )3 = 2 - — 6 36 1 1 36 9
2) Ta luôn có: (E- A)"‘(E - A) = E
<=> (E - A )"1 - (E - A ) '1 A = E
<=> ( E - A ) ~ ' = ( E - A ) - 'A + E
O ( E - A ) ' 1 = A ( E - A ) - 1 + E
Nên mệnh đề trên là sai
3) Giải thích ý nghĩa của a ]2 = 0,15: lượng giá trị san phẩm
ngành 1 cần thiết để làm ra một đơn vị giá trị sản phâm ngành 2.
Tổng dòng 1: a M + ai2 = 0,25 là lượng giá trị sán phẩm
ngành 1 cung cấp cho 2 ngành, mồi ngành làm ra một đơn vị sản phẩm của mình.
Tổng cột 2: a )2 + a22 = 0,25 là lượng giá trị sản phâm của 2
ngành cung cấp cho ngành 2 để ngành đó làm ra 1 đơn vị sản phẩm.
4) Áp dụng công thức: Xy = ay.Xj (i, j = 1,2) Ta có:
Xu = anX] = 0,1 X 20 0 = 20
x 2 | = a 2 i - Xi = 0 , 2 X 2 0 0 = 4 0
Tương tự: x 12 = 60; x22 = 40. Klhi đó, ta có bảng I/O: Cầu trung gian Cầu cuối cùng Tổng cằu 1 2 200 20 60 120 400 40 40 320
Chương 2. M ột sô'mò hình tuyến tính.. 37 5) bj =120; x2 = 400 X = AX + B
| x l = a llx l +a|2x 2+b1
íx, = 0,1 X, +0,15.400+120 <=>
Ị x 2 = a 21X| + a 22x 2 +b2 ^ [400 = 0,2xj +0,1,400+b2 X , = 200 <=> b 2 = 3 2 0 10 6) Với B = 10 0,9 0,25 Khi đó: ( E - A ) - 1 = 1 0,78 0,2 0,9 1 '0 ,9 0,25" ì o ' '13,4'
X = ( E -A ) ~ ‘B = 0,78 0,2 0,9 10 .14,1
7) Đặt c = (E - A)' 0 2 , =
— = 0,256 là mức tăng của tông cung của ngành 2 C2I = 0,78
đảm bảo cho ngành 1 tăng cầu cuối cùng lên 1 đơn vị. Bài 2.10. 1) Theo giả thiết:
X,, = 20; X:, = 1 0 :x „ = 10;x, = 100
X | 2 = 10* X n = 1 0 j X T— 1 0; X2 = 1 0 0
X|3 = 8; x2? =1 >: \ 33" 8; X3 = 40 38
Hướng dẫn giải bài táp Toan cơ sc ung dụng Tìm b|, b2, b3 sao cho:
X, = x , ị + x i2 + xl3 + b1( i= 1,2, 3) (*)
Giải hệ phương trình (*) thu được: b, = 62 < b 2 = 14 b , = 12 Ta có bảng I/O như sau: Cầu trung gian Cầu Tổng cầu cuõi cùng 1 2 3 100 20 10 8 62 50 10 10 16 14 40 10 10 8 12 X
2) Áp dung công thức: a = — (i, j = 1,2,3) X J 0.2 0,2 0,2 ta có: A 0.1 0.2 0,4 0,1 0.2 0.2 Y
nghĩa: a23 - 0.4 là lượng san phâm cua neành 2 cuna cấp
cho ngành 3 đẻ ngành đó làm ra 1 đơn vị sàn phẩm. -
Xét cột 2 cua A: Các phàn tử ;ùa cột 2 chính là eiá trị
sản phâm cùa các ngành cuna cấp cho rmành 2 đê ncanh đó
sản xuất ra 1 đơn vị aiá trị sản phalli.
ChươtĩỊỉ 2. M ộ t sô'mó hình tuyến tính... 39
- Xét dòng 3 của A: Các phẩn tử của dòng 3 chính là giá
trị sản phẩm mà ngành 1 cung cấp cho cả 3 ngành để mồi
ngành làm ra một giá trị sản phẩm của mình.
- Tổng dòng 1 bàng 0.6: là lượng giá trị sản phẩm mà
ngành 1 cung cấp cho cả 3 ngành để mồi ngành làm ra 1 giá trị sán phẩm của mình.
- Tông cột 1 bằng 0,4: là lượng giá trị sản phẩm của 3
ngành cung cấp cho ngành 1 đế ngành đó sản xuất ra một đơn vị sản phẩm của mình. 0,8 - 0,2 - 0, 2 ' 3) Ta có: E - A = -0 ,9 0,8 -0 ,6 - 0,1 - 0 ,2 0,8 '1,38 0,49 0,59' v à C = ( E - A ) " ‘ = 0,29 1,53 0,84 0,24 0,44 1,53
- Phần tử c23 = 0.84 là mức tổng cung của ngành 2 để đảm
bảo cho ngành 3 làm ra 1 đơn vị giá trị cầu cuối cùng.
- Cột 2 của c là tổng cung của các ngành để ngành 2 làm
ra một đơn vị giá trị sản phẩm cuối cùng.
- Tổng các phần tử của dòng 1 bàng 2,46 là lượng giá trị
sản phẩm ngành 1 phải có đế mỗi ngành làm ra một đơn vị giá
trị sản phẩm cầu cuối cùng.
- Tổng các phần tử của cột 1 bằng 1,91 là lượng giá trị sản
phẩm của 3 ngành phải có để ngành 1 làm ra 1 đơn vị giá trị sản phấm cuối cùng. 40
Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ se ung dụng. 4) x3 = 600 x23 = a23X3 = 0,4.600 = 240 5) Ma trận tổng cầu X = (E - A ) “' B = C.B "1,38 0,49 0,59 "20' '4 3 ,3 “ 0,29 1,53 0,84 20 = 44,8 0,24 0,44 1,53 10 28,9
6) Ta có: x2 = 80, x3 = 60, b| = 132
Khi đó, ta có hệ phương trình:
X, = 0 ;2 x , + 0 ,2 .8 0 + 0,2.60 + 132 x , = 200
80 = 0,lx , + 0,2.80 + 0,4.60 + b 2 <=> = 20
60 = 0,lx, + 0,2.80 + 0,2.60 + b 3 b, = 12 Ta có bảng I/O như sau: Cầu trung gian Cẩu cuối Tổng cằu cùng 1 2 3 200 40 16 12 132 80 - 20 16 24 20 60 20 16 12 12
Bài 2.11. Ta có mô hình cân bàng Qs, = Q |
r- 3 + 5p, = 12 — 4p, + 2 p 2 <=> Qs' = Q l + 4 p 2 = 15 + 2p, - p 2 d;
Chương 2. M ột sô'mô hình tuyến tính... 41 107 - 107 Pi = f 9 p , - 2 p 2 = 1 5 41 P . = 7 T <=> <=> < 2 p , - 5 p 2 = - 1 6 174 1 7 4 p 2 = p 2 = 41 41 . — 412
Khi đó, lượng cân băng của hàng hóa 1 là: Q, = ----- lượng 6 5 5
cân bàng của hàng hóa 2 là: Q 2 = 41 Bài 2.12. 1)
Để nhà sản suất cung ứng hàng hóa cho thị trường thì
mức giá pi và p2 phải thỏa mãn điều kiện là: p, > 2 - 2 + P, > 0 <=> < - 2 + 3 p 2 > 0 2) Mô hình cân bằng là: Qs, 2 + p, = 1 8 - 3 p , + p 2 = Q d , <=> - 2 + 3 p 2 = 12 + p, - 2 p 2 Q s, = Q d , 4p, - p : = 2 0 fp, = 6 p, = 6 <=> ' 2 <=> < 1 => < p , - 5 p 2 = - 1 4 [ p 2 = 4 lĩp2 = 4
Lượng cân bàng của hàng hóa 1 là: Q, = 4
Lượng cân bằng của hàng hóa 2 là: Q 2 = 1 0 42
Hướng dẫn giải bài tập Toan cơ so uttỹ dung. Bài 2.13.
Đế nhà sản suất cung ứng hàng hóa cho thị truờne thì mức
giá Pi p2 phải thỏa mãn điều kiện là: p, > 2 - 2 + p, > 0 2 2 + a p 2 > 0 p 2 > - a 1) Mô hình cân bàng là: Qs, =Qd ,
í - 2 + Pị = 18 — 3p, + p 2 Q s2 = Q d2
l “ 2 + a p 2 = 1 2 + P| - 2 P : 20a+54 - 20a~54 [4p,-p2= 20 Pi = 4a+7 P i = A-----n 4a+7 <=> <=> [pr(a+ 2)p2 = -14 76 76 p2 = 4a+7 4a+7
Lượng cân bằng của hàng hóa 1 là Q, = 4a + 7 , ~ 68a - 14
Lượns cân bằng cùa hàng hóa 2 là Q 2 = 4a + 7
2) Ta có: (p ) = ------- ^ r T < 0 nên khi a tãna thi eiá cân ^ 'a (4a + 7)
bằng của hàn2 hóa 1 tăng.
Măt khác ( p, ) = ------ —r—r < 0 nên khi a tăng thi eiá cản /a (4a + 7) băng cua hàns hóa 2 tăne.
Chương 2. M ộ t sô'mô hình tuyêh tính... 43 Bài 2.14. a ọ D = 1 > 0 và
— = 1 > 0 nên hai hàng hóa đã ổ p 2 ỔP| cho là thay thế cho nhau. 2)
Đê nhà sản suất cung ứng hàng hóa cho thị trường thì
mức giá P i và p2 phải thỏa mãn điều kiện là: 3) Mô hình cân bằng là: I
Lượng cân bans cùa hàng hóa 1 là: Q| = 3
Lượng cân bàng của hàng hóa 2 là: Q , = 12 .
Bài 2.15. Bạn đọc giải tương tự như bài 2.14. Bài 2.16. 1) Hàm cầu Q d = a - bq
Qj^O) = a: lượng cầu tối đa.
= - b < 0: aiá tăng 1 đơn vị thì cầu giảm -b đem vị. 44
Hướng dẫn giải bài tập Toan cơ sơ u vg dụng-
Qd > 0 <=> p < —: pmax = — là mức giá tổi đa đối với người b b tiêu dùng. Hàm cung Qs = - c + dp
= d > 0 : giá tăng 1 đơn vi thì cung tăng d đcm vị. õp
Q s > 0 <=> p > — :p
= — là mức giá tối thiểu đối với d mm d người tiêu dùng.
v ề mặt kinh tế ta cần có pmin < p < Pmax
c < — => ad - bc > 0 d b
2) Mô hình cân bàng Qs = Ọ D <=> p = a "° > 0 b + d — ad - bc
Lương cân băng: Q = ----------> 0 b + d
3) Xét giá cân bàng: p = —— — b + d 3 - 1
Ta có — = ------ > 0: cầu tối đa tăng thì giá cản bàne tăng. ơa b + c ỡp
> 0 : khi c tăng thì giá cân bàng tăng. ỡc b + d ỡp - ( a + c) , =
— = ------------ < 0 : b tăng thì giá cán hăng giam. ỡb b + d
Chương 2. M ột so mô hình tuyên tính.. 45 ỡp - ( a + c)
T7 = —--------- > 0 : d tăng thì giá cân băng giảm. da b + d 4)
Khi không có thuế: giá hàng hóa mà người mua trả cũng
chính là giá mà người sản xuất thực hiện.
Khi có thuế thì giá người mua trả (pd) cao hơn giá người bán
thực nhận (ps) một lượng bằng thuế: pD = Ps + t (1)
Mô hình cân bằng: Q d(Pd) = Qs(Ps) w X 1 a + c - b t
<=> a - b(ps + 1 ) = - c + dps o ps = ' (2 ) b + d v u - A ' a + c + dt Khi dỏ Pp = ' (3) b + d
Nhận x ét: Khi có thuế thì người sản xuất bán với giá thấp
hơn và người tiêu dùng phải trả giá cao hơn. _ a + c a + c - b t bt
Ký niêu: As = p - ps = —--------- —-= — — : lưofng chiu b + d b + d b + d thuế của người bán - a + c + bt a + c bt ,, . _ u . í ,
và An = p D - p = ------ :----- — — = — — là lương chiu thuê của b + d b + d b + d
người mua. Ta có: As + AD = t
Lương cân bằng khi có thuế là: Q (t) = —— —- b + d 46
Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ sơ ưtiỹ dụng. Bài 2.17. Mô hình cân bàng:
ÍY = C+I0 + G 0
J Y = 0,85 Y( 1 -t)Y+l 50+I0 -K30
[C = 0,85Yd+150 ^ j c = 0,85(l-t)Y+150
[ [l -0,85( 1 -t)] Y = 150+I0 +G0 <=> C = 0,85(l-t)Y+150 1-0,85(1 -t) <=>
1150+0,8 5 (l-t)(I0+ G 0-15Q) c = 1 -0,85(1 -t)
Thu nhập và tiêu dùng cân bàng lần lượt là: 150+Iq+Gq 150+0,85(l-t)(I0+G0-15Q) 1-0,85(1-t) l-0,85(l-t)
Với I0= = 200; G0 = 450; t = 0,2 ta có Ỹ = 1 5 0 ^ 5 0 = 1-0,85.0,8
C = 0,85.0,8.2500+150 = 1850 (tỷ VNĐ). Bài 2.18.
1) a = C(0): mức tiêu dùng tự định.
b = C '(Y ): xu hướng tiêu dùng cận biên.
Chương 2. M ột sô mô hình tuyên tính. 47
2) Ta có hệ phương trình: Y-C = I0+G0 <=> (*) ỊC = a+bY [-bY+C = a
Giải hệ (*) bàng phương pháp Cramer. Ta có: 1 - 1 |A |-
- i-b > 0 =>Hệ (*) có nghiệm duy nhất -b 1 10 +G 0 '1 A, = = I0 +G 0 + a ; a 1 1
I0 +G0 = a+b(I0+G0) -b a
Khi đó, thu nhập quốc dân và tiêu dùng cân bằng lần lượt là:
— _ Aị _ I0 +G0+a — _ A2 _ a+b(I0+G0) |A| 1-b ; |A| 1-b 3>Tacó: 2 _
Do vậy: (Ỹ )o + (Ỹ )0í - ^1 -b
Mặt khác 0 < b < 1 nên 0< 1- b < 1 2 s u y ra ( y ) + ( y )
= —^— > 2. Vậy nhận định trên là sai. y V V /(. j0 Ị _ b 48
Hướng dẫn giải bài tập Toan cơ sớ uvg dụng
4) Vì i Y Ì -----— > 0 nên a tăng thì Y tăng. a 1 — b
Vì ( Y ) = — ——T- > 0 nên b tăng thì Y tăng. V /b ( I _ b ) 2
Vì (c ) = — > 0 nên a tăng thì c tâng. Vì ( c ) =
> 0 nên b tăng thì c tăng. v 'b (1-b)
Bài 2.19. Bạn đọc tự giải tương tự như 2.18.
Bài 2.20. Bạn đọc tự giải tương tự như 2.18. Bài 2.21.
1) Ta có hệ phương trình: |Y = C+I0 +G0 ÍY = C+I0+G0
| c = 150+0,8(Y-T) ^ | c = 150+0,8(Y-0,2Y) = 150+0,64Y
í y = 1 5 Q+I0 + G 0 0,36 c _ 150+Q,64(Ĩ0+G0) [ 0,36
Vậy thu nhập và tiêu dùng cân bàng lần lượt là:
150+Iq+Gq , - _ 15Q+Q,64(Ĩ0-I-G0) 0,36 0,36
Chương 2. M ột số mô hỉnh tuyên tính. 49
Vớj I0 = 2 0 0 ; Go = 900 ta có: Ỹ = 150 + 2 0 0 + 9 0 0 2 0,36 C - 11Q^ ^ 4 ( 2 0 0 +900) = 0,36 T = 0,2Ỹ = 6944,4 2) c = 150 + 0,7(Y -T )
I0 = 200. Tìm Go để ổn định thu nhập quốc dân, tức là: Ỹ = 3472,2 r|-i
' T? - 350+ G0 _ n 0
Ta có Y = — ----- - = 3472,2 0,44
« G 0 = 3472,2.0,44-350 = 1177,768 Bài 2.22.
1) Ta có hệ phương trình: Y = C+I+G0
[Y = b0 +b1Y+a0 +a1Y-a2R 0 +G0
[c = b0+b,Y ° Ịc = b0 +b|Y
(l-a.-bị)Y = a 0+b0+G0-a2R0 1 '-'I <=> C = b0+b,Y Y =
<=> c = bọ (1 -a, )+b1 (a0 +G0 -a2 R0) 50
Hitớìíg dẫn giải bài tập Toan cơ fO Mtg (iụỉtg
Vậy thu nhập và tiêu dùne cân bàng lần lượt lả
— = a0 +b0 +G0 -a2 R 0~ - = b ọ U - a ^ + b Ị U n + G ^ R ọ ) l-a|-bị l “âỊ~t)| 2) Với:
bo = 200; b| = 0,7; ao = 100; ai = 0.2:
a2 = 10; Ro = 7; G0 = 500.
Thu nhập quốc dân cân bàna là:
- = 100+200+500-10.7 = 7 3 0 0 1-0,2-0,7
Hệ số co giãn của thu nhập cân bang theo Go e Ỵ _ _ 1 Gọ u° Ỹ l-a,-b, ' Ỹ
Tại điểm cân bằng: G„ = 500 6 q = ----- ------. = 0,685 ° 0 1-0,2-0,7 7300
Vậy, khi G0 tăng lên 1% thì thu nhập quốc dân cân bang táng khoảng 0,685%. Bài 2.23.
1) Y d = Y - T = ( l - t ) Y = Y - t Y = > T = t Y = > — = t . rY
Số 1 . 1 0 0 % là tỷ lệ thu nhập dành để nộp thuế. 2) lo = 50: NXo = 30.
Chươnp 2. M ột so mó hình tuyến tính...
Xác định thu nhập cân bằng:
Y = 20 + 0,75(1- t)Y + lo + 20 + 0,1 Y + NXo
<=> (0,75t+0,15)Y = 40+I0+NX0 o Y = 4 Q+Ig+NX-° 0,75t+0,15
Hay thu nhâp cân bàng là: Y = 40 lo NX0 0,75t+0,l 5 rpi i A 1 ì p — _ — _ t(40+I0+NX0)
Thuê cân băng là: T = tY = — _ —— 0,75t+0,15
Chi tiêu chính phủ cân bằng là:
G = 20+0,1Ỹ = 2 0 + Q,1(4Q+I° +NXo) 0,75t+0,15
Khi: I0 = 50; NX0 = 30: Ỹ = 1 2 0 0,75t+0,15 120t 15t+15 I = —— :— —— ; o - 0,75t+0,15 0,75t+0,15
Điều kiện cân đổi ngân sách: 1 2 0 t 15t+15 N S ^ o T - G o 0,75t+0,15 0,75t+0,15
<=> 105t = 15 <=> t ----7
3) Khi chưa biết I0, NX0 ta có:
NS = T G = W X ^ o + N X p ) - 1 5 *-3 (X75t+0,15 52
Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ sỡ Im ỹ dụng. Từ đây, ta có:
- N ếu t = 0,1: ngân sách không phụ thuộc vào lo-
- N ếu t * 0,1: ngân sách phụ thuộc vào lo- Bài 2.24.
1) Ta có Yd = (1- t)Y; M = 0,2(1-t)Y; c = 0,8(1 -t)Y
Xác định thu nhập quốc dân cân bàng:
Y = C + Io + Go + X o - M
<=> Y=0,8( 1 -t)Y+I0 +G0 + x 0 -0,2( 1 -t)Y
<=> [ l-0,6(1-t)]Y = I0+G0+X0 0 Y = I o+ G o+ x o 1 -0,6( 1 -t)
Vây thu nhâp quốc dân cân bàng là Y = . ; n 1 -0,6( 1 -t) Mặt khác = ----- í----- =
nên khi I0, t không đồi thì ỠG0 l-0,6(l-t) a x 0
G0 tăng lên 1 đơn vị và giảm nhập khẩu Xo xuống 1 đơn vị thì
thu nhập cân bàng không đổi.
Do đó, nhận định đó là đúng.
2 ) Với lo = 300; G0= 400; Xo = 288; t = 0,2 ta có:
Thu nhập quốc dán cân bàng là:
Ỹ . 300+400+288 . , 9 0 0 .
1 -0 .6 .0. 8
Chương 2. M ột sô'mô hình tuyến tính... 53
Tiêu dùng cân bàng là: c = 0,8-0,8.1900 = 1216.
Nhập khẩu cân bàng là: M = 0,2.0,8.1900 = 304.
Thuế cân bàng là: T = 0,2.1900 = 380.
Ngân sách: NS = T-G0 = 380-400 = -2 0 < 0 , do đó nền kinh
tế có thâm hụt ngân sách.
Mặt khác: M-X0 = 304-288 = 16>0, do đó nền kinh tế thâm hụt thương mại.
3) Với I0 = 300; Xo = 288; t = 0, 2 thu nhập quốc dân cân bàng là: - = 300+288+Gọ = 588+G0 1-0,6.0,8 0,52 £ = 2500 <=> G0= 712.
Ta có nhập khẩu cân bằng là: = ^ ( 5 8 8 + G 0)
Hệ số co giãn của M theo G0 là:
Tại Go = 712: M = 400 và £q = - . — = 0,5477. 0 3 400
Vậy khi Go tăng 1% thì M tăng khoảng 0,5477%. 54
Hướng dẫn giải bài tập Toan cơ sg intỹ íiựĩtg- Bài 2.25.
1) Ta có hệ phương trình: í Y = C+I+G0
(1 -0,75b)Y+r = 174-25Ò [L = M ^ [5Y-50r = 1500 ■ 10200-1250b 100-37,5b ^ 1 _ 7200-125b r 100-37,5b
Vậy thu nhập quốc dân và lãi suất cân bằng là:
— = 10200-1250b - = 7200-125b 100-37,5b ; r 100-37,5b 2) Ta có: b = C ’(Y)
( y ) = — - —— °— > 0 . Nên b tăng thì Y tảng. v Jb (37,5b-100)
3) Bạn đọc tự giái tương tự như 2.24. Bài 2.26.
1) Ta có: Y = a + b(Y - T0) + d + iY + G0
<=>(l-b-i)Y = a-bT0 +d+G0 ^ Y = a' bT0+d+G0 1 -b-i
Chương 2. M ột số mô hình tuyến tính. 55 a-bT0 +d+G
Hay thu nhập quốc dân cân bằng là: Y = 1 -b-i
2) Vì ( y ) = g__bT0 d G0 > Qn£n khi j tă n g thị thu nhập v h (1-b-i) quốc dân cân bẳng tăng. Bài 2.27.
1) Ta có hệ phương trình: ÍY = C+I0 +G0
f Y = 60+0,7( 1 -t)Y+I0 +G0
| c = 60+0,7( 1 -t)Y ^ ị c = 60+0,7( 1 -t)Y
Y = 6 Q+I0 +G0 l-0,7(l-t) c _ 60+0,7(1-t)(I0+G0) l-0,7(l-t)
Vậy thu nhập quổc dân và tiêu dùng cân bàng lần lượt là:
Ỹ _ 60+Iq+Gq - _ 60+0,7(1-t)(I0+G0) l-0,7(l-t) l-0,7(l-t)
2) Với G0 = 140; I0 = 90; t = 0,4; thu nhập quốc dân và tiêu 60+90+140
dùng cân bàng lần lượt là: Y = = 500 (triệu USD)
1 -0 ,7.0,6 -
60+0,7.0.6(90+140) = 270 (triệu USD). c ~ 1 -0,7.0,6 56
Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ sơ dụng
3) Vì ( y Ị = -7 °(6 0 +1 0 0 ) < 0 nên k h i , tăne (hi thu nhập ' h [l-0 ,7 (l-t)f
quốc dân cân bằng giảm. Vì ( c ) = r0 -
2 < 0 nên khi t tăng thì tiêu dùng ' h [l-0 ,7 (l-t)f cân bàng giảm. Bài 2.28.
1) Ta có hệ phương trình: f Y = C+I+G0
ÍY = a + b( 1 -t) Y+d+x Y+G0 Ị c = a+bYt ^ | c = a+b(l-t)Y Y _ a+d+Gn o c = a( 1 -x)+b( 1 -t)(d+G Q) l-b(l-t)-x
Vậy thu nhập quốc dân và tiêu dùng dân cư cân bàng lần lượt là:
- _ a+d+Gọ , - _ a( 1 -x)+b( 1 -t)(d+G0 )
1 -b( 1 -t)-x ’ l-b(l-t)-x a+d+G
2) Vì ( y ) = —— ^+^ -° - > 0 nên khi X tăng thi thu nhập v '* [l 1- b( -b l ( 1 -t)-x] quốc dân cân bàng tăng.
Chương 2. M ột sô'mô hình tuyến tính. 57
3) Với Go = 500; a = 150; X = 0,1; b = 0,8; t = 0,4;
d = 100. Thu nhập quốc dân và tiêu dùng dân cư cân bàng lẩn lượt là:
Ỹ - 1 5 0 + 1 0 0 + 5 0 0 ,. 7 8 5 , 7 (tỳ USD)
1 -0 ,8 .0 ,6 -0 , 1 -
c = 150+0,8.0,6.1785,7 = 1007,1 (tỷ USD). 4) Vì (Ỹ ) =
- +-G-0}- < 0 nên khi t tăng thì thu nhập v 't [l-b(l-t)-x] quốc dân cân bàng giảm.
í n \ _ -b[(l-x)(d+G 0 )+a(l-x)] A
Vì c = —------------------ r-------- - < 0 nên khi t tăng thì tiêu v [l-b(l-t)-x] dùng cân bằng giảm. Bài 2.29.
1) Ta có hệ phương trình:
[Y = C0 + aY + I0 - b r
J ( l - a ) Y + br = c 0 + I0 lm Y - n r = Ms - L 0
Ị m Y - n r = Ms - L 0
n(C0 + I0) + b(M s - L 0) Y = n ( l - a ) + bm <=>
m(Cọ + lọ) - (1 - a)(M s - Lọ) r = n ( l - a ) + bm
Vậy thu nhập quốc dân và lãi suất cân bằng lần lượt là: 58
Hư&tĩg dẫn giải bai tập Toan cơ so mĩỊỊ dụng.
Ỹ = n(Cọ4'I0)+b(Ms-L0) n( 1 -a)+bm
- = m(C0 +I0)-(1 -a)(Ms-L0) n( 1 -a)+bm 2)
Với a = 0,7; b = 1800; c 0 = 500; L 0 = 800: m = 0.6;
n = 1000; Ms - 2000; I0 = 400.
Thu nhập quốc dân và lãi suất cân bằng lần lượt là:
- _ 100Q.(500 + 400) + 1800.(2000 - 800) = 2 2 7 3 9 1000.0.3 + 1800.0,6 - _ 0,6.(500 f +4 0 4 0 ) ) - ( l( - 1 0 - , 7 0, )7. ( ). 2 ( 0 2 00 - 800) _ j 3 0 1 3 1000.0.3 + 1800.0,6 (ỸÌ b 1800 90 ^
~ n(l - a) + bm _ 1000.0,3 +1800.0,6 _ 69 /-V - d - a ) -0 ,3 - 3 ' n(l - a ) + bm 1000.0,3 + 1800.0,6 13800
Hệ số co giãn của thu nhập quốc dân cân bằng theo mức cung tiền là: Ỹ _ (V)MS w 90 2000 ,
Em = — = - L .M = — = 1,17647 Y 69 2217,39 Y
nghĩa: Khi tăng mức cung tiên lên 1% thi thu nhập quốc
dân cân bane tăne khoảng 1.17647%.
Hệ sô co eiãn cùa lãi suất cân bàng theo mức cung tiên la:
Chương 2. M ột sô'mô hình tuyến tính...____________________ 59 0r _ (r>MS w -3 2 0 0 0 8 M, = - -
-Mo = — — .— —— = -3,3335 s r 13800 0,13043 Y
nghĩa'. Khi tăng mức cung tiền lên 1% thì lãi suất cân bằng giảm khoảng 3,3335%.
Bài 2.30. Bạn đọc tự giải tương tự như 2.27. C h ư ơ n g 3
ÚNG DỤNG PHÉP TÍNH VI PHẢN, TÍCH PHÂN
HÀM MỘT BIỂN TRONG PHÂN TÍCH KINH TỂ A. ĐỀ BÀI
Bài 3.1. Cho hàm cung, hàm cầu của thị trường 1 hàng hóa: Qs = 4 P - l Q d = 4 - P 2
1) Tìm điều kiện của p để hàm cung, hàm cầu cùng dương.
2) Tìm giới hạn cao nhất (thấp nhất) của giá mua (giá bán) của người mua (bán)
3) Tìm giá và lượng cân bằng (P ,Q ).
Bài 3.2. Cho mô hình thị trường
Hàm cung: Qs = 0,1 p 2 + 5P +10 Hàm câu: Qn = -— P-2
Chứng tò rằng mô hình trên có giá cân bàng thuộc khoảng (3; 5).
Bài 3.3. Cho mô hình thị trường Qs = 6 P -4 Qd = 3 -P 2; p > 0
Chương 3. ứ n g dụng phép tính vi phân, tích phân... 61 1) Tìm hàm cầu đảo.
2) Giới hạn cao nhất (thấp nhất) của giá người mua (người
bán) chấp nhận là bao nhiêu?
3) Chứng minh tồn tại điểm cân bằng thị trường này.
Bài 3.4. Một doanh nghiệp sản xuất có hàm doanh thu:
TR = 4000Q - 33Q2 và hàm chi phí TC = 3Q3 - 3Q2 +
400Q + 500. Xác định mức sản lượng cho lợi nhuận tối đa.
Bài 3.5. Một doanh nghiệp độc quyền có hàm cầu:
p = 40 - 0,03Q và hàm chi phí TC = 10Q + 120. Hãy xác
định sản lượng và mức giá để doanh nghiệp tối đa hóa lợi nhuận.
Bài 3.6. Cho hàm chi phí trung bình AC = — - 0,5Q + 0,25Q2 +10
1) Tìm hàm chi phí cận biên.
2) Với p = 106, tìm Q* thỏa mãn điều kiện cực đại lợi nhuận.
Bài 3.7. Cho hàm doanh thu bình quân: AR = 240 - 0,5Q
1) Tìm hàm doanh thu cận biên MR.
2) Cho biết hàm chi phí TC = 40 + 12Q - 2Ọ2 + 0,25Q3
Xác định lợi nhuận cận biên Mn và tính Mn tại điểm
Qj = 2 0 ; Q 2 = 1 0 .
3 ) Có tồn tại hay không điểm hòa vốn thuộc (10; 20)
62_________ ________ Hướng dẫn giải bài tập Toan cơ so UTỊ£ d ụ n g ...
Bài 3.8. Doanh thu trung bình AR = 240 + 12Ọ - 0.5Ọ : (Q>0)
1) Viết hàm chênh lệch giữa doanh thu cận biên và doanh thu trung bình.
2) Tìm cực trị của doanh thu trung bình. 0.1
Bài 3.9. Cho hàm chi phí trung bình: AC = 12 + ——— F & 0.2 + Q
1) Tính chi phí cận biên MC tại Qo = 10.
2) Tìm hàm chênh lệch giữa chi phí trung bình và chi phi
cận biên; cho nhận xét về hàm này.
3) Tính hệ số co giãn của chi phí theo sản lượng Q tại Q o - 1 0 .
Bài 3.10. Cầu về hàng hóa A là: Qu = 200P'0 5, thị trường hàng
hóa A có 2 hàm cung là: Qsi = 5P° 5 và QS2 = 4P° 5.
1) Hãy lập mô hình thị trường hàng hóa A.
2) Thị trường có tồn tại trạng thái cân bang khône?
Bài 3.11. Cho mô hình thị trường 1 hàng hóa như sau: p = 1 8 0 -0 ,5Q ị p =30 + 2Ọ^
1 ) Hãy xác định trạne thái cân bàng cùa thị trườna.
2) Chính phù đánh thuế t/đơn vị hàng hóa. phái định t la bao
nhiêu đê tôna thuế thu được là lớn nhất.
3) Khi t tăn g 1% thì g iá cản b à n a c ó tăna 1% k h ô n 2 °
Chương 3. ứ n g dụng phép tính vi phân, tích phân... 63
Bài 3.12. Hàm cầu vể ngô có dạng: Q o = 2 0 0 - 5 0 p .
Có 50 cơ sở giống nhau có hàm chi phí tại đó mỗi cơ sở là
TC = Q (Q - sản lượng ngô ở mỗi cơ sờ). Xác định mức sản
lượng Q đê tôi đa hóa lợi nhuận và giá cân bàng của thị trường.
Bài 3.13. Cho hàm cung Qs, hàm cầu ỌD về 1 loại hàng hoá: Q s = 0 , 2 p 2 + 5 p - 1 0 50 Qd = — với p là giá hàng hoá P - 2
1) Với điều kiện nào của p thì cung và cầu đều dương? Với
điều kiện trên hãy viết phương trình cân bằng thị trường
2) Xác định hàm dư cầu và khảo sát tính đơn điệu của hàm
này. Chứng tỏ rằng luôn tồn tại duy nhất giá trị cân bằng trong khoảng (3,5).
Bài 3.14. Cho hàm doanh thu TR = 1400Q - ọ 2 (Ọ > 0)
1) Tìm hàm doanh thu cận biên MR(Q).
2 ) Tại điểm Qo = 500, khi Q tăng lên một đơn vị thì doanh
thu sẽ thay đổi bao nhiêu đơn vị.
3) Tính giá trị doanh thu cận biên tại Qo = 710 và giai thích ý
nghĩa kết quả nhận được.
Bài 3.15. Cho hàm tồng chi phí TC = 2Q2 +3Q + 100 (Q > 0)
1 ) Tìm hàm chi phí cận biên MC(Q).
2) Tính chi phí cận biên lại mức sản lượng Q0 = 2 và giải
thích V nghĩa kết qua nhận được.
64__________________ Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ sà m tg d ụ n g ...
Bài 3.16. .Cho hàm cầu QD = 8 p - p2 (p > 0), Po = 5
Tại mức giá Po, khi tăng giá lên 3% thì lượng cầu thay đổi
một lượng xấp xỉ bằng bao nhiêu %
Bài 3.17. Hãy phân tích mối quan hệ giữa hàm chi phí bình quân
AC(Q) và hàm chi phí cận biên MC(Q), cho biết hàm chi phí
TC = Q2 + 8 Q + 1 8 ( Q > 0 )
Bài 3.18. Hãy phân tích mối quan hệ giữa hàm sản xuất bình
quân APL và hàm sản xuất cận biên MPL, biết hàm sản xuất
ngắn hạn có dạng: Q = 60L - 3L2 (L > 0).
Bài 3.19. Cho biết hàm sản xuất ngẩn hạn Q = 100-v/l (L > 0)
và giá của sản phẩm p = 4ƯSD, giá thuê lao động bàng
p L = 20ƯSD. Hãy tìm mức sử dụng lao động để cho lợi nhuận tối đa.
Bài 3.20. Cho hàm tổng chi phí TC = Q3 - 120Q2 + 14Ọ (Ọ > 0).
Tìm mức sản lượng Q để chi phí bình quân đạt giá trị nhò nhất.
Bài 3.21. Cho biết hàm chi phí TC = Q3 -7Ọ2 + 49Ọ - 4 (Ọ > ])
và hàm cầu đảo p = 40 - Q. Hãy xác định mức sàn lưcmg ọ
cho lợi nhuận đạt cực đại.
Bài 3.22. Một doanh nghiệp có hàm tổng doanh thu: TR = 58Q - 0,5Q2
và hàm tồng chi phí TC = - ọ 3 - 8,5Q2 + 97Q + FC . trong đó
Ọ là sản lượng (Q > 0) và FC là chi phí cổ định.
Chương 3. ứ n g dụng phép tính vi phân, tích phân... 65
1) Với FC = 4, hãy xác định mức sản lượng tối đa hóa lợi nhuận.
2) Hãy phân tích tác động của chi phí cố định FC tới mức
sản lượng tối đa hóa lợi nhuận và mức lợi nhuận tối đa.
Bài 3.23. Một công ty cạnh tranh hoàn hảo có hàm tổng chi phí
TC = Q3 - Ọ 2 + 1 (Q > 1 ).
1) Với giá thị trường p, hãy viết phương trình xác định hàm cung của công ty.
2) Hãy phân tích tác động của giá p tới mức cung tối đa hóa
lợi nhuận và tới mức lợi nhuận tối đa của công ty.
Bài 3.24. Doanh nghiệp độc quyền có hàm cầu đảo:
p = 490 - 2Q và hàm chi phí TC = 0,5Q2A D °5;
Trong đó: Q là sản lượng và AD là chi phí quảng cáo.
1) Với AD = 9, hãy xác định mức sản lượng và giá bán tối ưu.
2) Hãy phân tích tác động của chi phí quảng cáo AD tới mức
sản lượng và giá bán toi ưu.
Bài 3.25. Cho hàm tổng chi phí:
TC = Q3 - 5Q 2 + 14Q + 144 (Q > 0)
1 ) Khảo sát sự thay đổi tuyệt đối của TC theo Q, từ đó cho
nhận xét về mở rộng sản xuất.
2) Tírìh hệ số co giãn của TC theo Q tại Qo = 2. 66
Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ sỏ ưn? dụng.
Bài 3.26. Cho hàm chi phí TC = 5000+ 4 ^ - Q+3
(Ọ là sản lượng, ọ > 0)
1) Tìm hàm chi phí cận biên MC.
2) Tính chi phí trung bình AC tại Qo = 100.
Bài 3.27. Cho hàm chi phí trung bình để sản xuất ra một sản phẩm:
AC = Ọ2 - 12Ọ + 60 (Q là sản lượng, Q>0)
1) Xác định các biểu thức tính sự thay đổi tuyệt đổi và tương
đối của AC theo Q và cho các nhận xét.
2) Xác định hàm chi phí cận biên MC và mô tà trên cùng
mặt phẳng tọa độ đồ thị hai hàm MC, AC. Từ đó hãv nêu các
nhận xét quan hệ giữa MC và AC.
Bài 3.28 Cho biết hàm doanh thu và hàm chi phí cùa nhà sản xuất như sau:
TR = 1400Q - 7,5Q2; TC = Q3 - 6 Q2 + 140Q + 750 ( Q > 0 )
Hãy chọn múc sản lượng để lợi nhuận tối đa.
Bài 3.29. Hãy xác định mức sản lượng tối ưu của nhà sán xuất độc quyền, biết:
Hàm chi phí cận biên MC = 3Q2 - 6 Q + 96 2
Hàm câu đôi với sản phâm: Q = 148 - - p
Chương 3. ứ n g dụng phép tính vi phân, tích phân. 67
Bài 3.30: Cho mô hình thị trường 1 hàng hoá
Qs = 0,3pa(0 < a < 1 )
Qd= 0 , 1 pbMcqd ( b < 0 , 0 < c < l , d * 0 )
Trong đó: Qs, QD là các hàm cung, cầu của hàng A, p là giá
hàng A, M là thu nhập khả dụng, q là giá hàng B
1) Giải thích ý nghĩa kinh tế của a?
2) Hai hàng hoá nêu trong mô hình có quan hệ thay thế hay bổ sung?
3) Tìm mối liên hệ giữa b, c, d để khi p, M, q thay đổi cùng
1 tỉ lệ thì cầu D không đổi.
4) Phân tích ảnh hưởng của M tới lượng cân bằng.
Bài 3.31: Hàm cung Qs và hàm cầu Qo của hàng A có dạng Qs = 0 ,7 p - 1 5 0 Qd= 0,3M - 0,5p +120
Trong đó: p - giá hàng A, M - thu nhập khả dụng
1) Có ý kiến cho rằng lượng cân bàng không phụ thuộc vào
thu nhập, ý kiến này đúng hay sai?
2) Giả sử Nhà nước đánh thuế thu nhập với thuế suất t, phân
tích tác động của thuế tới mức giá cân bàng.
Bài 3.32. Cho mô hình thị trường hàng A dạng: Qp = D (p , Y 0)
( D p < 0 ; D y > 0 ) 68
Hướng dẫn giải bài tập Toan cơ I/Tiff dụtĩỹ. Qs = S (p ,T 0) (S p> 0 ;S To< 0 )
Trong đó: p là giá hàng A, Y0 là thu nhập, T0 lả ihuẻ
1) Phân tích ảnh hưởng của Y0, T0 tới giá cản băng, giải
thích ý nghĩa kinh tế của các kết quả nhận được.
2) Dùng hàm cung phân tích ảnh hưởng của Y0 tới lượng cân
bằng, dùng hàm cầu phân tích ảnh hưởng của To tới lượng cản bằng.
Bài 3.33. Gọi p là giá hàng A, q là giá hàng B, M là thu nhập,
T là thuế. Mô hình thị trường có dạng
Da = 0,8M°’4p'05q0,1
Sa = 5,4p°’3T'0,05
1) Cho biết quan hệ giữa 2 hàng hoá A, B.
2) Phân tích tác động của M, T tới giá cân bằng mặt hàng A.
3) Lượng cung Sa thay đổi thế nào khi giá hàne A lảng 7% và thuế cũng tăng 7%.
Bài 3.34. Cho hàm tổng chi phí: TC = Q3 - 5Q2 + 14Q +75 với
Q là sản lượng (Q > 0)
1) Tìm hàm VC, AVC, xác định FC.
2) Tìm hệ số co giãn của c theo ọ tại mức Qo = 10 và giải
thích ý nghĩa kinh tế của nó
3) Tìm các hàm MC và AC, chứng minh MC cắt AC lại điêm AC cực tiểu.
Chương 3. ứ n g dung phép tính vi phản, tích p hân... 69
Bài 3.35: Cho hàm doanh thu trung bình AR = 60 - 3Ọ. Tìm
hàm MR, chứng minh rằng AR, MR có cùng tung độ gốc,
nhưng độ dốc của MR gấp đôi độ dốc của AR.
Bài 3.36. Cho hàm tống chi phí:
TC(Q ) = Q 3 - 4 Q 2 + 1800Q + 150 ( Q > 0 )
Hàm cầu về sản phẩm của công ty là Q = 9000 - p
1) Viết hàm tổng doanh thu là hàm của Q (là hàm của p). 2) Tìm MC và M R theo Q.
3) Tìm Q* để lợi nhuận đạt cực đại.
Bài 3.37. Cho hàm lợi nhuận:
71 = - Q 3 + 3 Q 2 + 1 3 2 0 Q - 10 ( Q > 0)
Tính 7ĩ(0 ) và giai thích ý nghĩa kinh tế.
Tìm mức sàn lượng ọ ’ để lợi nhuận đạt cực đại. _ 9
Bài 3.38. Cho hàm sản xuât: Q = —— L’ +10L2 3
Trong đó: Q - san lượng, L - số đơn vị lao động sử dụng
1) Tìm tập xác định thực tế cùa hàm trên.
2) T ì m h à m san p h â i n t r u n g b ì n h A Ọ v à h à m s ản p h â m bi ê n
MQ. Chứng minh ràng AỌ = MQ tại mức sản lượng ọ mà AỌ đạt cực đại.
3) Tìm mức su dụng la . động L* tại đó ọ đạt giá trị lớn rh; ì . 70
Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ sa ựTỊỹ dụng. 4)
Tìm hệ số co giãn của Q theo L tại mức L = 5 và giãi thích ý nghĩa kinh tế.
Bài 3.39. Một công ty có hàm tổng doanh thu: TR = 60Ọ - 1,5Q2 o 3
và hàm tổng chi phí:T C = ------ 9,5Q 2 + 101Q + FC .
1) Cho FC = 3, tìm mức cung Q* để lợi nhuận đạt cực đại.
2) Gọi n * là mức lợi nhuận cực đại. Phân tích ảnh hường của FC tới Q* và 71 *.
Bài 3.40. Hàm cầu ngược p = 200- Q; TC = Q2
Trong đó: p - giá; ọ - sản lượng
1) Tìm mức sản lượng và mức giá sao cho lợi nhuận cực đại.
2) Tìm hệ số co giãn của cầu tại mức tối đa lợi nhuận.
3) Giả sử chính phủ đánh một lượng thuế t vào mỗi sàn
phẩm bán ra. Tìm mức cung tối đa hóa lợi nhuận; sản lượng đó
thay đổi thế nào khi t thay đổi.
Bài 3.41. Một doanh nghiệp độc quyền có hàm doanh thu biên MR = 1800- 1,8Q2
1) Cho biết nếu tại mức sản lượng Qo =10 mà doanh nghiệp
giảm giá 1 % thì mức cầu sẽ biến động như thế nào?
2) Neu doanh nghiệp định giá bán Po = 50 thì tốna doanh thu là bao nhiêu?
3) Neu doanh nghiệp tăng mức F'.m lượnt: cune từ 10 lén 20
thì tông doanh thu tăng lên bao nhiêu?
Chương 3. ứng dụng phép tính vi phân, tích phân... 71
Bài 3.42. Cho hàm lợi nhuận bậc hai:
7ĩ(Q) = hQ 2 + jQ + k (Q > 0 )
Hãy cho biết các điều kiện đối với các hệ số h, j, k để hàm
lợi nhuận trên thỏa mãn đồng thời các điều kiện kinh tế sau:
1) Khi sản lượng bán ra Q = 0 thì lợi nhuận âm.
2) Lợi nhuận 7i(Ọ )đạt cực đại tại Q* > 0. Bài 3.43. Cho hàm chi phí:
TC(Q) = aQ2 + bQ + c ( a > 0;Q > — ) 2 a
1) Cho biết các điều kiện đối với a, b, c để hàm C(Q) là hàm
chi phí hợp lý về mặt kinh tế; lập hàm AC và MC.
2) Cho hàm cầu ngược về sản phẩm cúa công ty là
p = p(Q) có P’(Q) < 0. Hãy lập hàm doanh thu, doanh thu bình quân, doanh thu cận biên.
3) Hãy lập hàm lợi nhuận; chỉ ra điều kiện để hàm lợi nhuận đạt cực đại
Bài 3.44. Tìm hàm tổng chi phí, hàm chi phí bình quân trong các trường hợp sau:
1 ) T C '( Q ) ,= MC ( Q ) = 15Q2 + 8 Ọ + 3; FC = 100 2) MC = 3Qe°-5Q: FC = 30 3) MC = 2e°-2Ọ; FC = 90 72
Hướng dẫn giải bài táp Toan cơ so im g dụng
Bài 3.45. Tìm hàm tổng doanh thu TR(Q) trong các truờng hợp sau: 1) MR(Q) = 28Q - e°'3Q
2) MR(Ọ) = 10(1 + Q )'2
Bài 3.46. Tìm hàm tổne nhập khẩu M(Y) với Y là thu nhập quốc
dân nếu khuynh hướne nhập khẩu biên M ’(Y) = 0.1 và M = 20 khi Y = 0.
Bài 3.47. Biết tiêu dùng c bàng thu nhập Y khi Y = 1001'SD và
khuynh hướng tiêu dùng là:
C ’(Y) = MPC(Y) = 0.8 + 0,1 Y'°-5 1) Tìm hàm tiêu dùne.
2) Cho biết mức tăng lên của tiêu dùng khi thu nhập tâng từ 100USD lên 200USD
3) Tính hệ số co giãn của tiêu dùng tại mức thu nhập
Y = 200ƯSD, giải thích ý nghĩa của nó. Ị
Bài 3.48. Cho hàm đầu tư I(t) = 12t- (trons đó t là biến thời gian)
1) Xác định hàm vốn K(t) khi K(0) = 25.
2) Xác định tône lượna vốn tích lũy được trona k h o a n e thời
gian t e [0 : 1 ].
Bài 3.49. Cho cầu về một loại hàng hóa (Ọ) phụ thuộc \a o 2 Ìá
cùa hàn2 hóa đó (p) và thu nhập (Y) dạng: Q = 4YỬ 5 - lnp - 2
Chương 3. Ưng dụng phép tính vi phân, tích phân. 73
1) Tính và giải thích ý nghĩa kinh tế của các hệ sổ co giãn
riêng của ọ theo p, theo Y.
2) Tại mức cầu Q0 cho trước, giả sủa giá p tăng 1 đơn vị thi
thu nhập Y phải tăng bao nhiêu thì cầu không đổi.
Bài 3.50. Cho biết hàm cung và hàm cầu đối với một loại sản
phẩm: Qd = 13 —p ; Qs = 7 ? - 1
Hãy tính thặng dự của nhà sản xuất và thặng dư của người tiêu dùng.
Bài 3.51. Cho Qs và Qo là hàm cung và hàm cầu một loại hàne hóa: Qs = 5 0 p 2 - 2 0
Q „= 0 ,5 p -2M2
Với p là giá một đơn vị hàng hóa, M là thu nhập cúa người tiêu dùng (M > 0)
1) Tìm điều kiện đối với p sao cho hàm cung và hàm cầu đều
nhận giá trị dương. Với điều kiện này hãy viết mô hình cân bàng
thị trường, viết hàm dư cung và xét tính đơn điệu của hàm này theo p.
2) Cho p;Q là giá cân bang và lượng cân bàng. Nếu thu
nhập M giam thi sẽ tác động như thế nào tới p:Ọ .
Bài 3.52. Y là thu nhập, s là tiết kiệm.
B i ế t r à n e m ứ c tiết k i ệ m s = -7 ,42 khi t hu n h ậ p Y = 5. 1)
Hãy xác định hàm tiết kiệm nếu biết khuynh hướna tiết kiệm cận biên: MPS - V - 0.4. 74
Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ so U7Ị£ dụng.
2) Kê từ mức thu nhập dương nào trở lẽn sẽ có tiẽt kiệm dương?
B. HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ Bài 3.1.
1) Điều kiện để lượng cung và lượng cầu dương là: Q s > 0 .Qd > ° 4P - 1 > 0
<=> 4 - p > 0 < = > - < P < 2 4 p > 0
2 ) - Qs > 0 « 4 P - ] > 0 o P > - 1
Suy ra: Giá thâp nhât là: p min = —. 4
- Q d > 0 < = > 4 - P 2 > 0 » 0 < P < 2
Suy ra: Giá cao nhất là pmax = 2. 3)MÔ hình cân bàng: p =
Qs = Q 0 o 4P -1 = 4 - p 2 p 2 + 4P - 5 = 0 co p =
Chương 3. ứ n g dụng phép tính vi phân, tích phân. 75
Vì p > 0 nên p = -5 (loại) và p = 1 (thỏạ mãn).
Vậy giá cân bằng là p = 1 và lượng cân bàng Q = 3
Bài 3.2. Xét mô hình cân bàng Qs = QD
« 0 , l P 2 + 5 P + 10 = - 5 5 - P - 2
« 0 , 1 P 3 + 4 ,8 P 2 - 7 0 = 0 (*)
Xét hàm f(P) = 0,1P3 + 4,8P2 - 70 trên [3; 5]
- f(P) liên tục trên [3, 5]
- f ( 3 ) . f ( 5 ) < 0
Nên phương trình (*) có nghiệm thuộc (3; 5).
Vậy mô hình có giá cân bàng thuộc (3; 5).
Bài 3.3. Bạn đọc giải tương tự bài 3.1. Bài 3.4.
Lợi nhuận của doanh nghiệp là:
71 = TR - TC = 4000Q - 3 3Q 2 - (3Q 3 - 3Q 2 + 400Q + 500)
= -3Q3- 30Q2 + 3600Q - 500 (Ọ > 0)
Bài toán đưa về tìm giá trị lớn nhất của n .
Ta có: (7ĩ)' = -9 Q 2 -6 0 Q + 3600
(7t)' = 0 « 3Ọ2+20Ọ-1200 = 0 76
Hướng dẫn giải bài táp Toán cơ sà ưng đung. _ -10(1+>/37) Q, = <=> _ 10(V37-1) q 2 =
Lập bảng biến thiên kết luận hàm 71 đạt giá trị lớn nhát tại ọ 2. Bài 3.5.
Hàm doanh thu của doanh nghiệp là:
TR = p .ọ = 40Ọ - 0,03Ọ2.
Lợi nhuận của doanh nghiệp là
7t = TR - TC = 40Q - 0 ,03Q : - ( 1 0 Q + 120)
= -0,03Q2 + 30Ọ - 120 (Q > 0)
Bài toán đưa về tìm giá trị lớn nhất của T í .
Ta có: (n)'= -0 .0 6 Ọ + 30
(n)'= 0 <=> Q = 500
Lập bána biến thiên kết luận hàm đạt giá trị lớn nhất tại Q = 500. Bài 3.6. 1) Hàm tông chi phí:
TC = AC.Q = 0.25Ọ3 - 0.5Q2 + 1 oọ + 12 Hàm chi phí cận biên:
MC = (TC)* = 0.75Q2 - Q + 1 0
Chương 3. Ưng dụng phép tính vi phân, tích phân. 77
2 )Với p = 106, hàm tổng doanh thu là: TR = P.Q = 106Ọ Hàm lợi nhuận:
71 = TR - TC = - 0 ,2 5 Q 3 + 0 ,5 Q 2 + 96Q - 1 2 (Q > 0)
Bài toán đưa về tìm giá trị lớn nhất của n .
Ta có: (n)' = -0 ,7 5 Q 2 + Ọ + 96 -32 ( 7 1 ) ' = 0 o 3Q2 - 4Q - 384 = 0 o Q ,= 3 Q2 =12
Lập bảng biến thiên kết luận hàm 71 đạt giá trị lớn nhất tại 0 2 = 1 2 . Bài 3.7.
1) Hàm doanh thu: TR = AC. Q = 240Q - 0,5Q2
Hàm doanh thu cận biên MR = (TR) 1 = 240 - Q 2) Hàm lợi nhuận:
n =TR-TC = 240Q-0,5Q2 -(40+12Q-2Q2 +0,25Q3)
= - 0 ,2 5 Q 3 + 1,5Q2 + 238Q - 40 (Q > 0)
Hàm lợi nhuận cận biên là:
M n = (7t)'= -0 ,7 5 Q 2 + 3Q + 238
Từ đây suy ra M 7t( 1 0 );M ĩi(2 0 )
78__________________Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ sở ừng d ụ n g ■ 3)
Lập bảng biến thiên suy ra không tồn tại điểm hòa vôn
thuộc ( 1 0 ; 2 0 ). Bài 3.8.
1) Hàm chênh lệch là: f(P) = M R - AR
Hàm doanh thu là: TR = AR. Q = 240Q + 12Q2 - 0,5Q 3
Hàm doanh thu cận biên là:
MR = (TR)' = 240 + 24Q - 1,5Q2
Khi đó, hàm chênh lệch là:
f(P) = 240 + 24Q - 1,5Q2 - (240 + 12Q - 0,5Q2) = 1 2 Q - Q 2 2) Ta có: (A R )'= 1 2 - Q (AR)' = 0 <=> Q = 12
Lập bảng biên thiên kết luận hàm doanh thu trung bình đạt
giá trị nhỏ nhất tại Q* = 12. Bài 3.9.
1) Hàm tổng chi phí: TC = AC. Q = 12Q + --P- ■ ^ 0,2 + Q Hàm chi phí cận biên là:
MC = (T C )'= 12 + — 0,0 (0,2 + Q ) 2
Hàm chi phí cận biên tại Qo = 10
Chương 3. ứ n g dụng phép tính vi phân, tích phân. 79 0,02 (0,2 +loỵ 2) f(P ) = AC - M C = Q,1Q ■ ( 0 ,2 + Q ) 2
Lập bảng biến thiên để nhận xét hàm này.
3) Hệ số co giãn của chi phí theo sản lượng Q CTC _ (T C )' n TC Theo giả thiết ta có:
MC(Qo) = 12,000192; TC(Qo) = 120,09804 nên
eĨC (Q ) = 12’000192.10 = 0,9991997 Q 0 120,09804 Bài 3.10.
1 ) Hàm cung Qs = Qsi + Qs2 = 5P0’5 + 4P0,75
Mô hình cân bàng thị trường A:
Qs = Qd<=> 5 P ° 5 + 4 P ° 75 = 2 0 0 P ' 0,5
2) Biến đổi phương trình cân bằng về phương trình đa thức
và chứng minh phương trình có nghiệm. Bài 3.11. 1 ) ọ ị = =360-2P => Q D =>/360-2P 80
Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ so iniỹ dụng. P - 3 0 Q ỉ = p 3 0 2 J V 2
Điều kiện: 3 < p < 180 (*)
Giải phương trình: Q s = Qd thu được giá cân băng p = 150 và Q = V ó õ .
2) Khi có tác động của thuế (t) thì trạng thái cán bằng mới là:
ÍPS + 1 = 1 8 0 - 0 ,5 Q 2 ps = 30 + 2 Q 2 Ps > 0 ;t > 0 Giải hệ thu được: Q = < t < 150) - r i / 2 ( 1 5 0 - 1 )
Tông thuê: T = t.Q = t . J — —— =>m ax
Lập bảng biến thiên suy ra T đạt giá trị lớn nhất tại t* = 100.
3) Khi thuế tăng 1% thì giá cân bàng tăng chưa đến 1%. Bài 3.12. Hàm cung là: Qs = 50Q
Mô hình cân bàng thị trường:
Qs = Q d <=> 200-50P = 50Q <=> P = 4-Q ■'TÍ
Chương 3. ứ n g dụng phép tính vi phân, tích phân. 81 Hàm lợi nhuận:
7U = T R - T C = ( 4 - Q ) Q - Q 2 = 4 Q - 2 Q 2
Lập bảng biến thiên, kết luận lợi nhuận đạt giá trị lớn nhất
tại Q = 1 và giá cân bàng khi đó là p* = 3.
Bài 3.13. Bạn đọc giải tương tự bài 3.2 Bài 3.14.
1) Hàm doanh thu cận biên: MR(Q) = (TR)’ = 1400 - 2Q.
2) Tính M R(500) và giải thích ý nghĩa.
3) Tính MR(710) và giải thích ý nghĩa. Bài 3.15. 1)M C = (TC)’ = 4 Q + 3 2)
Tính MC(2) và giải thích ý nghĩa của kết quả. Bài 3.16. 8 2 d
Hê số co giãn của cầu theo giá bằng: £° = -----— 8 - p
Tại Po = 5: Ep = —- . Bạn đọc giải thích ý nghĩa Bài 3.17. TC
Lập hàm chi phí bình quân AC = ——. Tính (AC)’, lập bảng
biến thiên của AC và kết luận. Bài 3.18.
Lập hàm sản xuất bình quânA PL = — . Tính (A P L )\ lập
bảng biến thiên cùa APL và kết luận. 82
Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ sỡ UTtg dụng. Bài 3.19.
Hàm doanh thu: TR = p. Q = 400 Vl
Hàm chi phí: TC = pL. L = 20L
Hàm lợi nhuận: 71 = TR - TC = 4 0 0 a/ l - 20L
Lập bảng biến thiên của hàm 7Ĩ và kết luận. Bài 3.20. TC
Lập hàm chi phí bình quân AC = —— . Tính (A C)’, lập bảng
biến thiên của AC và kết luận. Bài 3.21.
Tìm hàm doanh thu: TR = p. Q và hàm lợi nhuận:
71 = TR - TC . Lập bảng biến thiên của hàm 7t và kết luận. Bài 3.22. 1) FC = 4: Hàm lợi nhuận:
71 = TR-TC = j Q 3 +8Q2 -39Q-4
7i = -Q2 + 16Q-39
k ' = 0 <=>| Q| . Q2 =13
Chương 3. ứ n g dụng phép tính vi phân, tích phân... 83
Lập bảng biến thiên, kết luận lợi nhuận 71 đạt giá trị lớn nhất tại Q* = 13. 2)
Gọi Q là mức sản lượng làm cho lợi nhuận 7Ĩ đạt giá trị
lớn nhất: n(Q *) = 0 «> MR(Q*) = MC(Q*)
<=> 58-Q* = Ọ*2-17Q*+97 (1)
Phương trình (1) không chứa FC nên Q* không phụ thuộc vào FC.
Ta có: 71* = — Q*3 +8Q*-39Q*-FC. ỞK* „ „ ' — —
= - K O => FC tác đ ô n g ngươc chiêu tới n * . ỔFC Bài 3.23.
1) Phương trình xác định hàm cung: p = 3Q2- 2Q. 2) Tìm và ta được: ổp ỡp -
= — ỉ— > 0 VÌQ* > 1. Do đó khi giá p tăng thì mức õp 6 Q * - 2
cung tối đa hóa lợi nhuận tăng.
- — = Q*> 0 . Do đỏ khi giá p tăng thì mức lơi nhuân tối õp đa tăng. 84
Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ sớ UĨĨỊỊ dụng. Bài 3.24.
1) Với AD = 9, lợi nhuận là: 71 = TR-TC = 490Q-3,5Q2 n' = 490-7Q 7ĩ’ = 0 o Q * = 70
Lập bảng biến thiên, kết luận hàm lợi nhuận đạt giá trị lớn nhất tại Q* = 70.
2) Gọi Q* là mức sản lượng tối đa hóa lợi nhuận:
4Q* + Ọ*.AD0’5 - 490 = 0 Khi đó, ta có: -
< 0 vì AD > 0 và Q* > 0. ỔAD 4+AD ’
Do đó, chi phí quảng cáo tăng thì sản lượng tổi ưu giàm. i P l . > n vì JẼ2!
> 0 vì - _ < 0 ỔAD AD ỔAD
Do đó, chi phí quảng cáo tăng thì giá bán tăng. Tại AD = 9, Q* = 70, ta có: Õ Q * _ - 5 n d p * 1 0 n
—V = — < 0 ; —S-— = — > 0 ỔAD 3 ỔAD 3
Bạn đọc giải thích ý nghĩa của kết quà. Bài 3.25.
1) Xét hàm chi phí cận biên:
MC = (TC)' = 3Q2 - 10Q + 14 > 0 với VQ > 0.
Chương 3. ứ n g dụng phép tính vi phẫn, tích phàn... 85
Nên khi sản lượng Q tâng thì chi phí tăng. 2)
Hệ số co giãn của TC theo Q tại Qo = 2: e j c (2) = 0,075 Bài 3.26. 1) Hàm chi phí cận biên: MC = (T C )’ = ^ » 2 (Q+3) 2 2) Hàm chi phí bình quân: 4 ^ _ TC _ 5000 5Q AC = — — = — ■ + — ■ Q Q Q + 3 Khi đó: AC( 100) = 54,85 Bài 3.27. l)(A C )' = 2 Q - 12
- N ếu Q > 6 nên (A C)' > 0.
- N ếu Q < 6 nên (A C)' < 0. TC = 2Q 2-12Q = 2Q(Q-6) Q Q2-12Q+60 Q2-12Q+60
- N ếu Q > 6 nên e jc > 0.
- N ếu Q < 6 nên £qC < 0.
86__________________Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ so U7ig d ụ n g ...
2) TC = ẠC. Q = Q3 - 12Q2 + 60Q
MC = (TC)' = 3Q2 - 24Q + 60
Vẽ đồ thị hàm MC, AC trên cùng mặt phẳng tọa độ. Bài 3.28.
Xác định hàm lợi nhuận 71 = TR-TC
Lập bảng biến thiên và kết luận lợi nhuận đạt giá trị lớn nhất tại Q = 2 0 . Bài 3.29.
Xác định hàm lợi nhuận 71 = TR-TC
Lập bảng biến thiên và kết luận lợi nhuận đạt giá trị lớn nhất tại Q - 7. Bài 3.30.
1) Ta có £pS = a : khi tăng giá lên 1% thì cung của hàng hóa A tăng khoảng a%. 2 ) Q D = 0 ,lp bM cqd.
^ 0 - = 0 ,ld p bMcq d' 1 (p > 0, M > 0, q > 0) 0 q
- N eu d > 0 : hai m ặt hàng là thay thế cho nhau.
- Neu d < 0: hai mặt hàng bổ sung cho nhau.
3) Giả sử p, M, q cùng tăng 1 tỳ lệ X. ( (X>1 )ta có:
QD(?,p.?JVDoq) = Q D(p.Mq) Cí> = 1 b+í - d = 0
Chương 3. ừ n g dung phép tính vi phàn, tích phẫn. 87
4) Lượng cân bàng: Q*=Q*S= 0,3(p*)a
Với p* là giá cân bằng: p* =g(M, q). Khi đó: ỔM ỡp* 'ỠM
Hay khi M tăng và p, q không đổi thì Q* tăng. Bài 3.31. 1) Điều kiện cân bàng:
Qs = Q d <=> 0,7p*-150 = 0,3M-0,5p* + 120 <=> l,2p*= 0,3M+270
Khi đó, giá cân bàng p* là một hàm của M nên lượng cân
bằng cũng là một hàm của M => Ý kiến nhận định là sai.
2) Với thuế suất t thì thu nhập khả dụng là
M d = (l-t)M ; ( 0 < t < 1) Điều kiện cân bàng là:
Qs= Q d « 0 , 7 p * - 1 5 0 = 0,3(l-t)M-0,5p* + 120
<=> l,2p*+0,3(l-t)M-270 = 0
Đặt F(p , M ,t)= l,2 p +0,3(1-t)M -270. Khi đó:
àp_ = -Q,3(t-1) > Q ỠM 1,2 dp* _ -0.3M at 1,2
Bạn đọc tự nêu ý nghĩa. 88
Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ sớ inig dụng. Bài 3.32.
1) Gọi giá cân bàng là p \ Phương trinh cân bang là: D ( p \ Y o ) = S ( p \ T o )
<=> F ( p * , Y o , T o ) = D ( p \ Y 0) - S ( p * , T o ) = 0 ( 1 )
Phưomg trình này xác định hàm ẩn p’ = g(Y0, To) , ổ p * _ “D ì n* —-— = ------ Khi đó, ta có: ^ - > 0 D . -S . p p
Hay khi thu nhập tăng, các yếu tổ khác không đổi thì giá cân bằng tăng. Tương tự dp* = Yo < 0 . Õ Y n D . -s’. p p
Bạn đọc tự giải thích ý nghĩa. 2) Ta có: [ q ’ = D (p\Y 0)
õq^ = d ^ _ dp_ [p '= g (Y 0,T0) a p " a T 0 < Q'=D(p‘ ,Y0) = ao" õp_ y = r t . T , ) 3 s v 0 3 p " ' e Ý l ) >
Bạn đọc tự giải thích ý nghĩa. Bài 3.33.
1) —— = 0,08.M° V V ’9 > 0 õp
Chưcmg 3. ứ n g dụng phép tính vi phân, tích phân...____________ 89
Hay hai mặt hàng này là thay thế nhau.
2) Sử dụng đạo hàm của hàm ẩn.
3) Áp dụng công thức nhịp tăng trưởng của hàm hợp
rs = eị‘ .rp+4* .rT= 0,3.7%+(-0,05).7% = 1,75% Bài 3.34.
1) VC = Q3 - 5 Q 2 + 14Q v c AVC = —— = Q -5Q+14 Q FC = 75
= ( ĩ £ i n = 3Q3-10Q2+14Q Q TC Q3-5Q2+14Q+75 e jc (10) = 2,993
Bạn đọc tự giải thích ý nghĩa. 3) Hàm chi phí cận biên:
MC = (T C )’ = 3Q2 - 10Q + 14
AC = I £ = Q ỉ -5 Q + 1 4 + ^
90_________________ Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ sỏ UV£ d ụ n g ... Phương trình:
A C = M C <=> Q 2 - 5 Q + 1 4 + — = 3 Q 2 - 1 0 Ọ + 1 4 « 2Q3 -5Ọ2-75 = 0 (2)
Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh. Bài 3.35. AR = 60 - 3Q
TR = AR. Q = 60Q - 3Ọ2
MR = (TR)' = 60 - 6
Tung độ gốc của AR và MR bàng 60.
Hệ số góc của AR bằng -3 (1)
Hệ số góc của MR bàng - 6 (2)
Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh. Bài 3.36. 1) Hàm doanh thu
TR = p. Q = (9000 - Q)Q = 9000Ọ - Q2 2) Hàm chi phí cận biên:
MC = (TC)’ = 3Q2 - 8 Ọ + 1800 Hàm doanh thu cận biên: MR = (TR)' = 9000- 2Q
Chương 3. ứ n g dụng phép tính vi phân, tích phân. 91 3) Hàm lợi nhuận
71 = TR-TC = -Ọ3 +3Q2 +7200Ọ-150
Lập bảng biến thiên và kết luận lợi nhuận đạt giá trị lớn nhất tại Q = 5 0 . Bài 3.37. 1) 71(0) = -10
2) Lập bảng biến thiên và kết luận lợi nhuận đạt giá trị lớn nhất Q* = 22. Bài 3.38. 1) Q > 0
L3+10L2 > 0 < ^ 0 < L < 15 (*) 2) A P = — = — L2 + 10L L 3 MP = Q '(L) = -2L2+20L -4 '
Mặt khác (A P )'= — L+10. Lập bảng biên thiên và kêt luận 15
AP đạt giá trị lớn nhất tại L* = L = 0 AP = MP » - L 2-10L = 0 « 15 • 3 L = 15
Dối chiếu với điều kiện (*) suy ra AP = MP khi L* =
92__________________ Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ sỏ ứrtg d ụ n g ...
3) Lập bảng biến thiên của hàm lợi nhuận Q, kết luận lợi
nhuận đạt giá trị lớn nhất tại L* = 10.
4) Hệ số co giãn của TC theo L: TC _ Q' r _ 30-3L L Q 15-L Khi đó J c (5 )= - . L 2
Bài 3.39. Bạn đọc tự giải tương tự bài 3.22. Bài 3.40.
1) Xác định hàm chi phí TC = Q2
Hàm doanh thu TR = p.Q = 200Q - Q2
Hàm lợi nhuận 71 = TR - TC = 200Q - 2 Q 2 (Q > 0)
Lập bảng biến thiên của hàm lợi nhuận 71 và kết luận
hàm lợi nhuận đạt giá trị lớn nhất tại Q* = 50. 2) Q* = 50 => p*= 150
Hệ số co giãn của cầu theo giá: Q _ Q ' _ - p
£„ = — .p = ----- -— p Q 2 0 0 - p Khi đó: Ep ( p ’ ) = - 3 .
3) Khi có tác động của yếu tố thuế, có hai cách tiếp cận:
a) Thuế làm thay đổi hàm cầu:
p + t = 200 - Q <=> p = 200 - Q - 1
Chương 3. ứ n g dụng phép tính vi phân, tích phán... 93
Khi đó hàm doanh thu là TR = p. Q = 200Q - tỌ - Q2
Hàm lợi nhuận: n = TR - TC = 200Q - tQ - 2 Q 2
Lập bảng biến thiên, kết luận lợi nhuận 71 đạt giá trị lớn nhất . 2 0 0 - 1 tại Q = ——— . 4
b) Coi thuế làm tăng chi phí hay chi phí mới có dạng: T O Q 2 + t Q
Khi đó hàm lợi nhuận: 71 = TR - TC = 200Q - tQ - 2 Q 2
Lập bảng biến thiên, kết luận lợi nhuận 7Ĩ đạt giá trị lớn nhất . 2 0 0 - t tại: Q = ——— 4 200 - 1 ỔQ’ - 1 n
Suy ra: Q = — —— = > -= —- < 0 . 4 ỡt 4
Vậy thuế tăng thì lượng cung tối đa giảm. Bài 3.41.
1) Ta có: TR = p.Q => p = — = A R (Q )
Mặt khác: TR = jM R d Q = 1800Q - 0,6Q 3 + c .
Ta luôn có: 0 = TR(0) => c = 0 => TR = 1800Ọ - 0,6Q3
Khi đó: p = ™ = 1800 - 0,6Q 2. 94
Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ sỡ m tg dụng. o Qp.p 1 8 0 0 -0 .6 Q 2
Hệ sô co giãn của câu theo giá: 6p = — — = ---------—
Tại: Qo=10: 8^(10) = -1 4 ,5 .
2) p = 50 ^ 5 0 = 1 8 0 0 - 0 ,6 Q 2 <=> Q* « 54
Tổng doanh thu: TR = Q \ p » 54.50 = 2700
3) Mức tăng của tổng doanh thu khi sản lượng tăng từ 10 lẽn 20:
T R (20) - T R (10) = |M R d Q = Ị(1800 - 1,8Q2 )dQ = 13800 10 10 Bài 3.42.
1) 7i(0) < 0 <=> k < 0 (1) 2) n ’= 2hQ + j
k '= 0 <=> Q ’ = — :Q ’ > 0 <=> jh < 0 (2) 2h
Hàm 71 đạt lợi nhuận lớn nhất thì:
7 ĩ " ( Ọ * ) < 0 <=> 2h < 0 <=> h < 0 ( 3)
Ket hợp với (2) suy ra j > 0
Hơn nữa n (Q ‘ ) = —— + > 0. 2h
Kết hợp với (3) suy ra j 2 - 4hk > 0 (4)
Chương 3. ứ n g dụng phép tính vi phân, tích phân. 95 k < 0 j > 0
Từ (1), (2), (3) và (4) suy ra điều kiện: h < 0 j 2 - 4 h k > 0 Bài 3.43.
1) Theo giả thiết chỉ xét một nửa parabol quay bề ỉõm về _
phía trên ứng với Q > —— . Tính hop lý về măt kinh tế của hàm 2a chi phí là:
+) Khi sản lượng Q = 0 thì chi phí luôn dương (do chi phí cố định)
+) Khi sản lượng tăng thì chi phí tăng. - b
Ta có: TC' = 2aQ + b > 0, với mọi Q > 2a
Muốn hàm TC đồng biến với mọi Q > 0 ta phải có:
- b < 0 <=> b > 0 (Vì a > 0) 2a Mặt khác: TC(0) = c > 0
Vậy điều kiện các hệ số là: a > 0, b > 0, c > 0. TC c Ta có: AC' - = aQ + b + — (Q > 0) MC = TC’ = 2aQ + b
96__________________Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ sà ưrtg dụng. 2) TR = p.Q = p(Q). Q a d _ t r _ A R = = p Q
MR = TC' = p(Q) + Q. p'(Q) = AR +Q. p’(Q) 3) Hàm lợi nhuận
Tt = p(Q ).Q - aQ 2 - bQ - c -> m ax
7C*= p(Q) + Q.p'(Q) - 2aQ - b Điều kiện cần:
n'= 0 <=> M R (Q ) = M C (Q ) có nghiệm Q* Điều kiện đủ:
7 i " ( Q * ) < o « M R ' ( Q ‘ ) < m C ' ( Q * ) Bài 3.44.
1 ) T C (Q ) = |M C (Q )d Q = 5 Q 3 + 4 Q 2 + 3Q + c
TC(0) = FC = 100^ > c = 100 TC = 5Q3 + 4Ọ2 + 3 Q + 100
=> AC = — = 5Q 2 + 4 Q + 3 + — Q Q
2) TC (Q ) = |M C (Q )d Ọ = |3 Q e° 5QdỌ = 3 Jọ e ° 5°d Ọ
Tích phân từng phần ta được:
Chương 3. ứn% dụng phép tính vi phân, tích phân. .■________
TC(Q) = 6Q e°50 - 12e°5Q + c
FC = 30 <=> TC(0) = 30 Cí> c = 42 Khi đó:
T C (Q ) = 6Qe°-5Q - 12e°-5Q + 42 12e0'50 42
và A C = 6e°‘5Q - ———— + — Q Q
3) TC(Q) = |M C (Q )d Q = |2e°-5QdQ = 4e°’5Q + c
TC(0) =FC = 90 <=> c = 86
Khi đó: T C (Q ) = 4 e 0>5Q + 86 và A C = ^ Bài 3.45. 1) TR(Q) = |M R(Q)dQ
= j(28Q-e°’3Q)dQ = 14Q2- — e0,3Q+C . , „ 10 T R (0) =0 <» c = - y
Khi đó: T R (Q ) = 14Q2 - J e ”-w + y .
2 ) TR (Q ) = jM R (Q )d Q = JlO(l + o r dQ = + 1 "4" 98
Hướng dẫn giải bài tâp Toán cơ sỏ inỉỹ dụng... TR(O) = 0 « c = 10 10 _ 10Q
Khi đó: T R (Q ) = 1 0 - 1 + Q ” 1 + Q Bài 3.46.
M(Y) = jM '(Y )d Y = |0 ,lY d Y = 0,1Y + c
M(0) = 2 0 <=> c = 20
Khi đó: M (Y ) = 0,1 Y + 2 0 . Bài 3.47.
1) C(Y) = JC'(Y)dY = j(0,8+0,lY-°-5)dY = 0 ,8 Y + ịV Ỹ + a C (1 0 0 )= 20 o a = 18
Khi đó: C( Y) = 0,8Y + — V Ỹ + 18.
2) C (200) - C(100) = 78 + 2 ^ 2 .
3) Hệ số co giãn của c theo Y là: .200 = 0,8926
1) K ( t) = J l(t)d t = j l 2 t 3dt = 9 ự t 7 + C Mà: K(0) = 25 => c = 25
Chương 3. ứ n g dụng phép tính vi phân, tích phân. 99
Khi đó: K (t) = 9 ự t ĩ + 25 2) K (l) - K(0) = 9 Bài 3.49.
1) Hệ số co giãn riêng của Q theo p: A . í ị s . . -■ p Q d 4 Vỹ + 2 - l n p
Hệ số co giãn riêng của Q theo Y : e Qd _ ( Q d ) ' y y = 2 V Ỹ Y Qd ' 4 VỸ + 2 - l n p
2) Qn = 4 y fỸ -lnp+2 <=> F(Y,p) = 4VỸ-lnp+2-QD = 0 o 0 VỸ
Từ đây suy ra: Y 'p = —— 2p 2 2
Bài 3.50. c s = 2 2 8 - và PS = 2 7 7 - 3 3 Bài 3.51. a/ Ĩ Õ
1) Điều kiện của p: p >
Mô hình cân bàng là: Q s = Q D <=> 50p2 - 20 = 0,5p"2M 2 r / X ^ ^ _ 50p 4 - 2 0 p 2 - 0 ,5 M 2
Hàm dư cung: f(p ) = Qs - Q d = ----------------------------- p 100p4 + M 2 AW _
Ta có: f '( p ) = ---------r ---------- > OVp > 0 . p
100_______________ Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ sở ừrtỊỊ dụn g...
Hàm f(p) luôn đồng biến với mọi p >0.
2) Ta có: 5 0 p 4 - 2 0 p 2 - 0,5M 2 = 0 và Q = 0 ,5 p : M 2 - ^
> 0 . D o đó M giảm thì Q giảm . ỔM p -
= —— ~~T-------> 0 . D o đó M giảm thỉ P giảm. ỔM 4 0 p (4 p - 1 ) Bài 3.52. 1) MPS = Y - 0,4
=> s = jM P S d Y = j( Y - 0,4)dY = - Y 2 - 0 ,4 Y + c
S(5) = -7 ,4 2 <=>c = -1 7 ,9 2
=> s = — Y 2 - 0 ,4 Y -1 7 ,9 2 2
2) Giải bất phương trình:
s > 0 <=> Y 2 - 0 , 8 Y - 35,84 > 0. Từ bất phương trình này suy ra điều kiện của Y. C hư ơ ng 4
ỨNG DỤNG PHÉP TÍNH VI PHÂN
HÀM NHIỀU BIỂN TRONG PHÂN 1ÍCH KINH l í A. ĐẺ BÀI
Bài 4.1. Cho hàm sản xuất: Q = Í - K 0'5 + “ L0,6j .
Trong đó: Q là sản lượng, K là vốn, L là lao động (Q, K, L >0).
1) Tìm năng suất cận biên của vốn và lao động?
2) Với hàm sản xuất trên thì hiệu quả có tăng theo quy mô không?
Bài 4.2. Hàm lợi ích của hộ gia đình có dạng:
Ư(x, y) = lOxy - 3x2 - l y 1
Trong đó: X là số đơn vị hàng hóa 1,
y là số đơn vị hàng hóa 2 (x > 0 , y > 0).
1) Hàm lợi ích cận biên có thỏa mãn quy luật lợi ích cận biên giảm dần hay không?
2) Viết đường bàng ourn tại X = 2 và y = 2; tìm độ dốc của
đường này và giải thíc 1 ý nghĩa của giá trị tìm được. 102
Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ sỡ ÚV£ dụng...
Bài 4.3. M ột công ty sản xuất 2 loại sản phẩm (cạnh tranh hoàn
hảo). Cho biết giá của 2 loại sản phẩm lần lượt là Pị, P2
hàm tổng chi phí có dạng: TC = 2 Q Í + 2 Q 2 + Q ,Q 2
1) Tìm mức sản lượng cho mỗi loại sản phẩm để đạt lợi nhuận tối đa.
2) Khi p b p 2 biến động sẽ tác động như thế nào đến các mức sản lượng tối ưu.
Bài 4.4. Một công ty độc quyền sản xuất một loại sản phẩm ờ
hai cơ sở với hàm chi phí tương ứng: T C , = 128+0,2Qf;
TC2 = 156+0,1Q2 (Qi, Q2 lần lượt là lượng sản xuất của cơ
sở 1, 2). Hàm cầu ngược về sản phẩm của công ty có dạng:
p = 600 - 0,1Q; trong đó Q = Ch + Q2 và Q < 6000.
1) Xác định lượng sản phẩm cần sản xuất ở mỗi cơ sờ để tối đa hóa lợi nhuận.
2) Tại mức sản lượng tối đa hóa lợi nhuận, hãy tính độ co giãn của cầu theo giá.
Bài 4.5. Một hãng độc quyền sản xuất ra một mặt hàng nhưng
tiêu thụ ở hai thị trường với các hàm cầu: Qị = 24 - 0,2P|Ỉ
Q2 = 10 - 0,05P2 và hàm chi phí kết hợp là: TC =35 + 40Ọ
(Q = Qi+ Q2). Hãy xác định lượng hàng hóa và eiá bán để
thu được lợi nhuận tối đa.
Bài 4.6. Hãng kinh doanh độc quyền có các hàm cầu trén hai thị trường:
Chương 4. ứ n g dụng phép tính vi phân hàm nhiều biến... 103
Qi = 40 - 2P| — p 2; Q2 = 35 - p | - p2
Cho biết hàm tổng chi phí: TC = Qj* + 2 Q 2 +10
1) Tìm mức sản lượng cho mỗi thị trường để lợi nhuận tối đa.
2) Hãy tính mức giá cho mỗi thị trường khi lợi nhuận tổi đa.
Bài 4.7. Nhu cầu 2 mặt hàng phụ thuộc vào giá có dạng:
Q, = 40 - 2P, - p 2; Q2 = 3 5 - P , - P 2
và hàm tổng chi phí: TC = Q,2 + 2 Q 2 +10
1) Xác định sản lượng để lợi nhuận đạt giá trị lớn nhất.
2) Tính chi phí cận biên cho từng mặt hàng tại mức tối ưu.
Bài 4.8. Một trung tâm thương mại có doanh thu phụ thuộc vào
thời lượng quảng cáo trên đài phát thanh (x: phút, X > 0) và
trên đài truyền hình (y: phút, y > 0). Hàm doanh thu:
TR = 320x - 2x2 - 3xy - 5 / + 540y + 2000
Chi phí cho mỗi phút quảng cáo trên đài phát thanh là 1 triệu
đồng, trên đài truyền hình là 4 triệu đồng. Ngân sách chi cho
quảng cáo là 180 triệu đồng.
1) Tìm X, y để cực đại doanh thu
2) Nếu ngân sách chi cho quảng cáo tăng 1 triệu đồng thì
doanh thu cực đại sẽ tăng lên bao nhiêu?
Bài 4.9. Cho hàm sàn xuất Q = 0,3K°-5L °5
Trong đó: Q là sản lượng; K là vốn và L là lao độne (Ọ, K, L > 0). 104
Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ sở ung dụng.
1) Tính lượng sản phẩm cận biên của vổn vả lao động tại Ko = 4;L o = 9.
2) Chứng minh ràng năng suất biên của vốn là hàm thuần nhất bậc 0.
3) Cho biết quá trình sản xuất trên có hiệu quả như thế nào với việc tăng quy mô?
Bài 4.10. M ột hộ gia đình cỏ hàm lợi ích tiêu dùng với 2 loại hàng hóa như sau: U(X|, x2) = 5 xf-4x í 4
Trong đó: Xị là số đơn vị hàng hóa 1, x2 là số đơn vị hàng
hóa 2 (Xị, x2 > 0).
Ngân sách tiêu dùng là 300ƯSD; giá một đơn vị hàng hóa 1,
2 lần lượt là 3ƯSD, 5USD.
1) Tìm gói hàng hóa mà tại đó hộ gia đình có lợi ích tiêu
dùng đạt giá trị lớn nhất.
2) Nếu ngân sách tiêu dùng giảm 1ƯSD thì mức lợi ích tối đa giảm bao nhiêu?
3) Nếu ngân sách tiêu dùng giảm 2% thì mức lợi ích tối đa giảm bao nhiêu?
Bài 4.11. Một doanh nghiệp có hàm sản xuất Q =K0 3L0 5
Trong đó: Q là sản lượng, K là vốn, L là lao động (Q, K, L > 0). 1)
Quá trình sản xuất có hàm sản lượng trên có hiệu quá như
thế nào đối với việc tăng quy mô sản xuất.
Chương 4. ứ n g dụng phép tính vi phân hàm nhiều biẽh. . 105
2) Tìm sản lượng cận biên theo vốn, theo lao động.
3) N ếu doanh nghiệp thuê một đơn vị vốn là 6USD; một đom
vị lao động là 2ƯSD; ngân sách chi cho các yếu tố đầu vào là
384ƯSD. Tìm mức sử dụng vốn và lao động để sản lượng tối đa.
4) Nếu tăng ngân sách chi cho yếu tố đầu vào 10USD thì sản
lượng tối đa tăng bao nhiêu?
Bài 4.12. Cho hàm sản xuất Cobb - Douglas: Q = 30k U (K > 0;L > 0)
Trong đó: Q là sản lượng; K là vốn; L là lao động (Q, K, L > 0)
1) Tìm và giải thích ý nghĩa kinh íế tại điểm Ko = 27 và Lo = 64 của: ^ = Q K = Q, = Q L = Q 2 ỔK ỔL
2) Tính các hệ số co giãn riêng của Q theo K và L.
Cho biết ý nghĩa tại điểm Ko = 27; L0 = 64.
3) Nếu K và L cùng tăng 1% thì Q tăng bao nhiêu phần trăm.
4) Với hàm sản xuất trên khi tăng quy mô thì hiệu quả có tăng không?
5) Hàm sổ đã cho có thỏa mãn quy luật lợi ích cận biên giảm dần hay không?
6) Tại mức đầu vào Ko = 27, Lo = 64; giả sử dK = 0,1;
dL = 0 3 là các mức biến động của vốn và lao động. Tìm các
mức biến động dQtc. dQ L và giải thích ý nghĩa kinh tế các đại
lượng đó. Tìm và giải thích ý nghĩa vi phân toàn phần dQ. 106
Hướng dân giái bài tập Toán cơ sớ ưng aụng...
Bài 4.13. Cho hàm sản xuất Q = 0,3K°’5L°'5
Trong đó: Q là sản lượng; K là vốn; L là lao động (Q, K, L > 0).
1) Hãy tính sản phẩm biên của vốn và lao động tại Ko = 4; Lo = 9.
2) Quá trình công nghệ thể hiện bằng hàm số trên có năng
suất cận biên giảm dần hay không? Hãy giải thích.
3) Nếu K tăng lên 8% và L không đổi thì Q tảng bao nhiêu %?
4) Viết phương trình đường mức tại K0 = 16; L0= 9.
Bài 4.14. Cho biết hàm lợi nhuận của một doanh nghiệp sản xuất ba loại sản phẩm là:
n = -Q Ĩ -3Q * - 7 Q 32 + 300Q 2 + I 2 0 0 Q 3 + 4Q ,Ọ 3 + 2 0
Hãy tìm mức sản lượng Q b Q2, Q3 để doanh nghiệp thu được lợi nhuận tối đa.
Bài 4.15. Một hộ gia đình có hàm lợi ích tiêu dùng với 2 loại hàng hóa như sau: U ( x „ x 2 ) = 5xJ-4x J 4
Trong đó: X! là số đơn vị hàng hóa 1, x2 là số đơn vị hàng hóa 2 (X|, x2 > 0).
Ngân sách tiêu dùng là 300ƯSD, giá một đơn vị hảng hóa 1,
2 lần lượt là 5USD, 3USD. 1)
Hàm số trên có tuân theo quy luật lợi ích cận biẽn giảm dần hay không?
Chương 4. ứ n g dụng phép tính vi phân hàm nhiều biến. 107
2) Hai hàng hóa trên là thay thế hay bổ sung cho nhau?
3) Nếu ngân sách tiêu dùng giảm 2% thì mức lợi ích tối đa giảm bao nhiêu?
Bài 4.16. Cho hàm lợi ích tiêu dùng ư = X[X2 + Xt + x2
Trong đó: X] là số đơn vi hàng hóa 1, x2 là số đơn vị hàng hóa 2 (Xj, x2 > 0).
Giả sử giá của các mặt hàng tương ứng là P] = 2ƯSD;
p2 = 5ƯSD và thu nhập dành cho tiêu dùng là 51 USD. Hãy xác
định lượng cầu đối với mỗi mặt hàng trên nếu người tiêu dùng
tói đa hóa lợi ích của mình.
Bài 4.17. Cho biết hàm lợi ích tiêu dùng: Ư = X°,6X°’25.
Trong đó: X\ là số đơn vi hàng hóa 1, x2 là số đơn vị hàng hóa 2 (Xi, x2 > 0).
Giả sử giá của các mặt hàng tương ứng là Pi = 8ƯSD;
p2 = 5USD và thu nhập dành cho tiêu dùng là 680ƯSD. Hãy xác
định lượng cầu đối với các mặt hàng để người tiêu dùng tối đa hóa lợi ích của mình.
Bài 4.18. Một doanh nghiệp có hàm sản xuất như sau: Q = 1 2 Ự k 7 . V l .
Trong đó: Q là sán lượng; K là vốn; L là lao động (Q, K, L > 0). 1)
Hãy tính MPK, MPL tại điểm (K0 = 125, L0 = 100) và giải thích ý nghĩa. 108
Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ sớ ứng dụng.
2) Chứng tỏ rằng MPK giảm khi K tăng và L không đôi.
3) Chứng tỏ rằng MPL giảm khi L tăng và K không đồi.
Bài 4.19. Cho biết hàm lợi ích của người tiêu dùng Ư = x0 4y0-7;
trong đó X là lượng hàng hóa A (x > 0), y là lượng hàng hỏa B (y > 0).
1) Hãy lập các hàm số biểu diễn lợi ích cận biên của mồi
hàng hóa. Hàm này có phù hợp với quy luật lợi ích cận biên giảm dần hay không?
2) Nếu lượng hàng hóa A tăng 1% và lượng hàng hóa B
không đổi thì lợi ích tăng bao nhiêu %.
Bài 4.20. Một doanh nghiệp sản xuất 2 loại sản phẩm với hàm chi phí kết hợp như sau:
TC = 45 + 125Q, + 84Q 2 -ÓQ^Q* +0,8Q^ +1,2Q^
(Q i > 0 , Q 2> 0 , Q 3> 0 ).
Hãy lập các hàm số biểu diễn chi phí cận biên của mỗi sản phẩm.
Bài 4.21. Cho hàm cầu đổi với một mặt hàng như sau:
Q = 35 - 0,4p + 0,15m + 0,12 p s
Trong đó: Q, p là lượng cầu và giá của hàng hóa đó, m là thu
nhập, Ps là hàng hóa thay thế. Hãy lập hàm sổ biểu diễn.
1) Hệ số co giãn của cầu theo giá p;
2) Hệ số co giãn của cầu theo thu nhập m.
3) Hệ số co giãn của cầu theo giá hàng hóa thay thế ps.
Chương 4. ứ n g dụng phép tính vi phân hàm nhiều biên. 109
Bài 4.22. Hãy đánh giá hiệu quả của quy mô qua các hàm sản xuất 1) Q = 2 0 K 0 4L°'3 2) Q = 5K°’6L0’8
3 ) Q = 1 2 a/ K . Ự Ữ
4) Q = (2 K 0’6 + 3 L 0’7)2
Bài 4.23. Cho biết hàm lợi ích u = (Xi + 3)x2.
Tròng đó: X! là lượng hàng hóa A (X! > 0), x2 là lượng hàng
hóa B (x2 > 0). Hãy chọn túi hàng để lợi ích tối đa trong điều
kiện giá hàng hóa A bằng 5USD, giá hàng hóa B là 20ƯSD,
ngân sách tiêu dùng là 185ƯSD.
Bài 4.24. Giả sử doanh nghiệp độc quyền sản xuất hai loại sản
phẩm với hàm chi phí kết hợp TC = Qf + 5QịQ2 + Q* (Ch > 0,
Q2 > 0). Giả sử cầu đối với hàng hóa đó là Pi = 56 - 4Q j;
p2 = 48 - 2Q2. Hãy xác định mức sản lượng và giá tối ưu của các sản phẩm.
Bài 4.25. M ột công ty độc quyền sản xuất một loại sản phẩm tại
hai nhà máy với hàm chi phí cận biên như sau (Qj là lượng
sản phẩm sản xuất ở nhà máy i, Qi > 0; MCi là chi phí cận
biên của nhà máy i): MCi = 2 + 0,2Q b MC2 = 6 + 0,04Q2.
Công ty đó bán sản phẩm trên thị trường với hàm cầu ngược:
p = 66 - 0,1Q. Nếu công ty đó muốn tối đa hóa lợi nhuận thì phải
sản xuất bao nhiêu sản phẩm với giá bao nhiêu?
Bài 4.26. Một công ty sản xuất một loại sản phẩm với hàm sản xuất như sau: Q = K(L + 5). 110
Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ sớ trttg dụng.
T rong đó: Q là sản lượng, K là vốn, L là lao động (Q , K,
L > 0). C ông ty này nhận hợp đồng cung cấp 5600 sản phâm.
Hãy cho biết phương án sử dụng các yếu tố K, L sao cho việc
sản xuất lượng sản phẩm theo hợp đồng tốn ít chi phí nhất,
trong điều kiện giá thuê tư bản W K = 70 và giá thuê lao động W L = 2 0 .
Bài 4.27. Một nhà sản xuất độc quyền sản xuất ra một loại sản
phẩm và bán sản phẩm đó cho hai loại khách hàng. Cho biết
hàm chi phí: TC = 90 + 20Q (Q > 0). Nếu nhà sản xuất đưa
Qi (Qi > 0) sản phẩm ra bán cho loại khách hàng thứ nhất thì
các khách hàng này bàng lòng trả giá P! = 50 - 5Qi (USD)
cho mỗi sản phẩm. Nếu nhà sản xuất đưa Q2 (Q 2 > 0) sản
phẩm ra bán cho loại khách hàng thứ 2 thì các khách hàng
này bằng lòng trả giá p2 = 100 - IOQ2 (USD) cho mồi sản
phẩm. Hãy cho biết lượng cung tối ưu và giá tối ưu cho mỗi loại khách hàng. Bài 4.28.
1) Cho biết hàm đầu tư I = 40.ịft* và quỹ vốn tại thời điểm
t = 0 là 90. Hãy xác định hàm quỹ vốn K(t).
2) Cho biết hàm đầu tư I = 60.ỰĨ và quỹ vốn tại thời điểm
t = 1 là 85. Hãy xác định hàm quỹ vổn K(t).
3) Cho biết xu hướng tiêu dùng cận biên MPC = 0.8 ơ mọi
mức thu nhập Y và mức tiêu dùng thiết yếu (mức tiêu dùng khi
Y = 0) là 40. Hãy xác định hàm tiêu dùng C(Y).
Chương 4. ứ n g dụng phép tính vi phân hàm nhiều biên... 111 4)
Cho biết hàm cầu ngược p = 42 - 5Q - Q2. Giả sử sản
phâm được bán trên thị trường với giá Po = 6. Hãy tính thặng dư của người tiêu dùng.
Bài 4. 29. Hàm thỏa dụng của hộ gia đình khi tiêu dùng hàng
hóa 1, 2 có dạng: u = 40x°'25x°’5;
Trong đó: Xị, x2 là mức tiêu dùng hàng hóa 1, 2 (X| > 0,
x2 > 0). Giá hàng được cho như sau Pi = 4; p2 = 10.
1) Có ý kiến cho ràng hàng hóa 1 luôn có thể thay thế hàng
hóa 1 và tỷ lệ thay thế là 1:1. Hãy nhận xét ý kiến này.
2) Hãy xác định mức cầu hàng hóa 1, 2 của hộ gia đình nếu thu nhập là 600.
Bài 4.30. Một doanh nghiệp cạnh tranh hoàn hảo có hàm sản xuất Q = K0,5 + L0,5
với Pk. = 6; pL = 4; p = 2 (Q là sản lượng, K là vốn, L là lao
động, Q > 0, K > 0, L > 0).
1) Hãy xác định mức sử dụng vốn, lao động tối ưu.
2) Hãy phân tích tác động của giá vốn, lao động tới mức lợi nhuận tối đa.
Bài 4.31. Mức cầu một loại hàng hóa (Qd) phụ thuộc vào giá
hàng hóa đó (p) và thu nhập của người tiêu dùng (M) có
dạng như sau: Qd= l,5M °'3p'0’2
Mức cung loại hàng trên (Qs) có dạng: Qs = 1,4p0,3
1) Xác định hệ số co giãn của cầu theo giá, theo thu nhập. 112
Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ sà úng dụng. 2)
Hãy xem xét tác động của thu nhập M tới mức giá cân bàng.
Bài 4.32. Cho hàm sản xuất Y(t) = 0,2K°'4L0-8
Trong đó K =120 + 0 ,lt; L = 200 + 0,3t (t là thời gian, t > 0).
1) Tính hệ số co giãn của Y theo K và theo L.
2) Tính hệ số tăng trưởng của vốn K, lao động L và Y.
3) Hãy cho biết hiệu quả của việc tăng quy mô sản xuất trong trường hợp này.
Bài 4.33. Nhu cầu hai mặt hàng phụ thuộc giá như sau:
Q , = 4 0 - 2 P , - P 2; Q2 = 3 5 - P , - P 2.
Tổng chi phí là hàm của các sản lượng: TC = Qf + 2Q* +12
Trong đó: Pj, Qi là giá và sản lượng hàng hóa thứ i (i = 1 ,2 )
1) Xác định mức Qi, Q2 sao cho tổng lợi nhuận lớn nhất.
2) Tính chi phí cận biên cho từng mặt hàng tại mức tối ưu tìm được ở câu a).
3) Hai mặt hàng này có thay thế lẫn nhau trong tiêu dùng không?
Bài 4.34. Thu nhập quốc dân của một quốc gia (Y) phụ thuộc
vào von (K), lao động được sử dụng (L) và ngân sách đào
tạo 5 năm trước đó (G) như sau:Y = 0,24K°'JL° 8G0 <>5
Chương 4. ứ n g dụng phép tính vi phân hàm nhiều biến. 113
Trong đó các yếu tố biến đổi theo thời gian như sau: hàng
năm vốn tăng 15%, công ăn việc ỉàm tăng 9%, chi phí cho đào
tạo tăng 20%. Tính hệ số tăng trưởng của thu nhập quốc dân. 2 J_
Bài 4.35. Cho hàm sản xuất Q = 300K3L4 (Q > 0, K > 0, L > 0).
Trong đó: Q là sản lượng, K là vốn, L là lao động (Q, K,
L > 0). Gọi Pq, Pl , Pk là giá bán một sản phẩm, giá thuê một đơn
vị vốn và giá thuê một đơn vị lao động. Hãy xác định vốn và lao
động sao cho lợi nhuận đạt cực đại biết Pọ = ỉ, PK= 100, PL= 150.
Bài 4.36. Một doanh nghiệp có hàm sản xuất: Q = K 04L03.
Trong đó: ọ là sản lượng, K là vốn, L là lao động (Q, K, L > 0).
1) Hãy đánh giá hiệu quả của việc tăng quy mô sản xuất
2) Giả sử giá thuê tư bản là 4ƯSD, giá thuê lao động là
3USD và doanh nghiệp tiến hành sản xuất với ngân sách cố định
là 1050USD. Hãy cho biết danh nghiệp đó sử dụng bao nhiêu
đơn vị tư bản và bao nhiêu đơn vị lao động thì thu được sản lượng tối đa.
Bài 4.37. Một doanh nghiệp có hàm sản xuất: Q = 40K° 75L°25.
Trong đó: Q là sản lượng, K là vốn, L là lao động (Q, K,
L > 0). Nếu doanh nghiệp thuê một đơn vị vốn là 3ƯSD; một
đơn vị lao động là 1ƯSD; ngân sách chi cho yếu tổ đầu vào là B = 160USD. 1)
Với hàm sản xuất trên khi tăng quy mô sản xuất thì hiệu
quả thay đổi như thế nào? Nấu K tăng lên 1% và L tăng 3 % thì
sản lượng tăng lên bao nhiêu % tại mỗi mức (K, L)? 114
Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ sờ uiig d ụ n g ...
2) Xác định mức sử dụng vốn và lao động để sản lượng tôi
đa. Nếu tăng ngân sách chi cho yếu tố đầu vào 1ƯSD thì sàn
lượng tối đa tăng bao nhiêu đơn vị?
3) Hàm sổ trên có tuân theo quy luật lợi ích cận biên giảm dần hay không?
4) Xác định hàm sản lượng cận biên theo vốn, theo lao động.
5) Xác định phương trình đường đồng lượng tại điểm K0 = 625; L0 — 16
6) Vốn và lao động là hai hàng hóa thay thế hay bổ sung cho nhau.
B. HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ ĐÁP SÓ Bài 4.1.
1) ẼQ. = 1 + 1 L» ‘ K --° 5; Ẽ S. = ± K <°-’ L-°4 + — L°'! ỔK 9 9 ỔL 15 15
2 ) Q = Ì k + ^ k oì l ° ‘ + ^ lÌ = q i + q 1 + q j
Q, = — K : Quá trình sản xuất có hàm sản xuất Qi là có hiệu
quả không đổi theo quy mô (1). 4
Q 2 = — K° 5L°6: Quá trình sản xuất có hàm sản xuát ọ 2 là có
hiệu quả tăng theo quy mô (2).
Chương 4. ứ n g dụng phép tính vi phân hàm nhiều biên... 115
Q 3 = —L '2: Quá trình sản xuất có hàm sản xuất Q3 là có
hiệu quả tăng theo quy mô (3).
Từ (1), (2) và (3) quá trình sản xuất có hàm sản xuất Q là có
hiệu quả tăng theo quy mô. Bài 4.2. 1) Ta có:
U 'x = 1 0 y -6 x ^ > U " 2 = - 6 < 0 V x ,y > 0 (1)
U'y = 1 0 x -1 0 y =>U" 2 = - 4 < 0 V x ,y > 0 (2)
Từ (1) và (2) suy ra hàm u tuân theo quy luật lợi ích cận biên giảm dần. 2) ưo = ư (2 , 2) = 20.
Phương trình đường bàng quan: Ư(x, y) = U0
<=> 1 0 x y - 3 x 2 - 2 y 2 - 2 0 = 0
Đặt F(x, y) = 1 Oxy - 3x2 - 2y2 - 20 -r ' - - F ’x _ 3 x - 5 y , -2 T acó: y ' = — = ------- — => y V F'y 5 x - 2 y X0=y0=2 3
Ỷ nghĩa: Bạn đọc tự giải thích Bài 4.3.
Hàm doanh thu: TR = P]Qi + P2Q2 116
Hướng dẫn giải bài tập Toáv Cử sờ úng dụng. Hàm lợi nhuận:
TU = T R - TC = P,Q, + P2Q 2 - 2Q Í - 2 Q ; - Q,Q; 1) T a có:
71,q i = P j - 4 Q | - Q 2; 71'q 2 = P2 - 4Q 2 - Q ị
71 "q? _ _ 4 ; 71 W h _ - 1 _ 7 Ĩ "Q2Qi; n "ọị _ _ 4
- Đ iều kiện cần: Giải hệ: - 4P , - P ; * ' Q .= q, = 0 Í4Qi + Q2 = P 15 u 'q = 0 iQi + 4 Q2 - ^2 - 4 P ^-P , 15
- Điều kiện đủ: Ta có: - 4 - 1ll a u a . 2 D = =
= 1 5 > 0 v à a u = - 4 < 0 - 1 - 4 a 21 a 22
Do đó hàm lợi nhuận 7C đạt giá trị lớn nhất tại (ộ) ;Q 2 )•
2) ỂÕl = ± . ẼÕ± = l i Ẽ Õ l = I± . ap, 15 ap2 15 ỡPị 15 ỔP2 15 Bài 4.4. Với các hàm chi phí:
TC, =128 + 0 ,2 0 ?; TC2 = 156 + 0, ỈQị
Chương 4. ứ n g dụng phép tính vi phân hàm nhiều biên... 117 Hàm doanh thu:
TR = p.Q = [600 - 0,1(Q| + Q 2)]. [Q, + Q 2 ]
= 600Q, + 60 0 Q 2 -0 ,1 (Q , + Q 2) 2
= 600Q, + 6 0 0 Q 2 -0 ,1 Q Í - 0 ,2 Q ,Q 2 - 0 , \ Q ị Hàm chi phí:
TC = TC, + T C 2 = 284 + 0,2Q Í + 0,1Q* Hàm lợi nhuận:
7C = TR - TC = 600Q , + 6 0 0 Q 2 - 0,3QÍ - 0 ,2 Q ,Q 2 - 0,2Qị 1) Ta có:
tc'q = 600-0,óQị -0,2 Q 2; tc'q = 600-0,2Q,-0,4Q2
n ' Q2 = - 0 , 6 ; n Q2Q2 = - 0 , 2 = n Q2Qt ; 7Ĩ q2 = - 0 , 4
" Điều kiện cần: G iải hệ: n ' Q i = 0 Í3Qj + Q 2 =3000 Qj = 600 <=> < <=> tx'q = 0 1q ,+ 2 Q 2 = 3000 Õ 2 =1200
- Điều kiện đủ: Ta có: - 0 , 6 - 0 , 2 a il a !2 D =
= 0,2 > 0 và a t ! = - 0,6 < 0 - 0 , 2 - 0 , 4 a 2l a 22
Do đó hàm lợi nhuận TC đạt giá trị lớn nhất tại (q 1 ;Q 2 )■ 2) Q = Q , + Q : = 1800 118
Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ sở úng dụng... p = p, + p 2 = 4 2 0 Q = 6000 - 10P
Hê số co giãn của Q theo p là: Ep = __ — 6 v p 6 0 0 0 - 1 0 P Khi đó: £p (P*) = —— Bài 4.5. Hàm doanh thu:
T R = P,.Q, + P2.Q 2 = 120Q, + 2 0 0 Q 2 - 5QÍ - 20Q] Hàm chi phí: TC = 35 + 40Q , + 4 0 Q 2 Hàm lợi nhuận:
n = T R - T C = 80Q, + 160Q 2 - 5QÍ - 2 0 Q ị - 35 Ta có:
71'Q = 8 0 -1 0 Q j; n 'ọ = 1 6 0 -4 0 Q 2 71" ,= -1 0 ; 71" n = 0 = 71" n ; ít" , = 40 q2 Q2 Q2 Q2 Q1 ọ2
Chương 4. ứ n g dụng phép tính vi phân hàm nhiều biêh... 119 a u a i2 - 1 0 0 D =
= 400 > 0 và a (1 = - 10 < 0 0 - 4 0 a 2l a 22
Do đó hàm lợi nhuận n đạt giá trị lớn nhất tại (q 1 ; Q 2 )• Bài 4.6. Q, = — 14 14 1) 2) 65 405 p 2 = 14 14 Bài 4.7. 1) Kết quả bài 4.6. ^ , ỔTC ^ ÕTC > a n Ỡ Q| Q , : fln ỠQ2 Q r Q. = — 1 14 Tại điểm tối ưu ta có: Q 2 = — 2 14 ỔTC - 50 ỠTC - 130 = 2Q, = ^ ; ^ = 4 Q 2 = ^ - ỔQ, 7 ỠQ2 Bài 4.8. 1)
Bước 1. Bài toán đưa về tìm cực trị có điều kiện của hàm sổ:
TR = 3 2 0 x -2 x 2- 3 x y - 5 y 2 + 540y + 2000 v ớ ix + 4 y = 180 120
Hướng dẫn giải bài tập Toan cơ sơ un£ dụn&-
Bước 2. Xét hàm Lagrange
L(x,y,Ằ) = 320x-2x2 -3xy-5y2 +540y+200(R?»( 180-x-4y)
Tính các đạo hàm riêng cấp 1, 2 của hàm L:
L'x= 320-4x-3y-X; L'y= 540-3x-10y-4Ằ; L \= 180-x-4y
L"„2= -4;L"xy= L"vx = - 3 ; L " v2 = -10 yx Bước 3. Giải hệ: ' n I o X = 52 X 4x+ 3y+ X = 320 X = 52
L'y= 0 < = >« 3x+10y+4Ằ = 540 <=> • y = 32 => <ỹ = 32 L \= 0 x + 4 y = 1 8 0 1 = 1 6 16 Vậy: M(52, 32, 16)
Bước 4. Kiểm tra điều kiện đủ
êl ê X — 1 » ẽ> 2 ~ 8 y~“ 4
L"x2 - -4; L"xy= L"yx= -3; L"„2 = -10 Xét định thức: 0 1 4 | H | - 1 -4
-3 > 0 nên M là điểm cực đại cùa hàm sổ 1 -3 -10
Vậy doanh thu đạt cực đại tại: X - 52;y = 32.
Chương 4. ứ ng dụng phép tính vi phân hàm nhiều biêh. 121
2) Gọi TRmax là doanh thu đạt giá trị cực đại. Khi đó ỔTRmax = Ầ=16 ỔB
Vậy khi tăng ngân sách chi cho quảng cáo lên 1 triệu đồng
thì doanh thu cực đại tăng 16 triệu đồng. Bài 4.9. 1) Tại K = 4; L = 9 ta có: ^ 5 = 0 , 2 2 5 ; ^ = 0,1 ỠK ÕL
2 ) ^ = o,15K-°-5L0'5 = g ( K ,L ) . ỠK
Với t > 0: g(tK, tL) = g(K, L). Vậy g là hàm thuần nhất bậc 0. 3)
Quá trình sản xuất có hàm Q có hiệu quả không đổi theo quy mô. Bài 4,10.
1) Dùng phương pháp nhân tử Lagrange tìm được: X , = 50 X2 = 3 0 X = 0,248 2) Gọi um
ax là lợi ích cực đại và B là ngân sách chi cho tiêu
dùng. B thay đổi thì Ưmax thay đổi. - Umax = ị = 0 ,2 4 8 . Từ đó ỔB suy ra ý nghĩa.
122_______________ Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ sở ỊỊTỊ£ dụng.
3) Bạn đọc suy ra từ ý 2) và hệ sổ co giãn. Bài 4.11.
1) Quá trình sản xuất có hiệu quả giảm theo quy mô.
2) Sản lương cân biên theo vốn: - — = 0,3K • L . 0K
Sản lương cân biên theo lao động: = 0,5K ° 3L~0,5. ỠL
3) Dùng phương pháp nhân tử Lagrange tìm được K = 2 4 L = 120 X = 5-0.56 -0,24 -,.2
4) Bạn đọc từ giải thích ý nghĩa từ kết quả của ý 3). Bài 4.12.
1) Sản lượng cận biên của tư bản và của lao động lần lượt là: - I I 2 - 2
Q k = 20K 3 ữ ; Q l = ÌO K ^L 3
Sản lượng cận biên của tư bản và của lao động tại Ko = 16'
Lo = 81 tương ứng là: Q K(27;64) = ^ 5 , Q L(27;64) = — 3 8
Bạn đọc tự giải thích ý nghĩa.
2) Hệ sổ co giãn riêng cùa Q theo K, L lần lượt là:
Chưcmg 4. ứ n g dụng phép tính vi phân hàm nhiều biêh... 123 ọ 2 ọ 1 C rr — • P — — s ỉ 3 : : 3
Bạn đọc tự giải thích ý nghĩa.
3) K và L cùng tăng 1% thì Q cũng tăng 1%.
4) Quá trình sản xuất là có hiệu quả không đổi đối với việc tăng quy mô.
5) Hàm số trên tuân theo quy luật lợi ích cận biên giảm dần.
6) Tính dQK = Q 'K dK; dQL = Q 'L dL; dQ = dQK + dQL
Bạn đọc tự giải thích ý nghĩa tại Ko= 27; L0 = 64; dK = 0,1; dL = 0,3.
Bài 4.13. Bạn đọc giải tương tự bài 4.12. Bài 4.14.
Bước ỉ. Giải hệ phương trình: k 'q, * - 2 Q i + 4 Q 3 = 0 ÍQ i = 400
- n 'Qi = - 6 Q 2 + 300 = 0 « Ì q 2 =50
7i ,Q3. = -1 4 Q 3 + 4 Q i +1200 = 0 [Q3 = 2 00
Vậy hàm số có một điểm dừng: M(400; 50; 200)
Bước 2. Kiểm tra điều kiện đủ:
- 2; a 22 - 71 "o o - -6; a = 71
a n _ 7 I "q,Qi " A ,a22 ~ n q 2q = - 1 4 a 12 a 21 ^"QiQỉi ~
a i3= a 3i= «"0 ,0 , = 4; a 23= a 32= 7t"Q2Q3 = 0 124
Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ sớ uiìỹ dụng- " - 2 0 4 H, = - 2 < 0 Xét ma trận H = 0 - 6 0 có 0 4 0 - 1 4 = - 7 2 < 0 H 3
Nên M là điểm cực đại của hàm sổ 7t. Bước 3. Kết luận
Doanh nghiệp cần bán các mặt hàng với số lượng
Qj = 4 0 0 ;Q 2 = 50;Q 3 = 200 thu được lợi nhuận tối đa bàng 127520. Bài 4.15.
1) Hàm số trên tuân theo quy luật lợi ích cận biên giảm dần.
2) Hai hàng hóa này thay thế cho nhau.
3) Dùng phương pháp nhân tử Lagrange tìm được: Xi = 5 0 X 2 = 30 X = 0,248
Gọi Umax là lợi ích cực đại và B là ngân sách chi cho tiêu
dùng. B thay đổi thì Ưmax thay đổi. d^m
ax- = x = 0,248 . ỠB
Nên nếu ngân sách chi cho tiêu dùng giảm 2% thi lợi ích cực đại giảm khoảng 0,596%.
Chương 4. ứ n g dụng phép tính vi phân hàm nhiều biến. 125
Bài 4.18. Bạn đọc tự giải tương tự như bài 4.12. Bài 4.19.
1) Hàm số tuân theo quy luật lợi ích cận biên giảm dần. 2) Lợi ích tăng 0,4%. Bài 4.20.
MCj = (T C )'q = 125 + 2,4Q^ — 1 2Q,q !
MC2 = (TC) •0i = 84 + 3,6Qị - 1 2QÍQ2 Bài 4.21.
? = --------------- ------------------------ p
35 - 0 ,4 p + 0 ,1 5m + 0 ,1 2 p s ọ _ 0,15m
2) 8 ~ 3 5 - 0 , 4 p + 0,15m + 0 ,1 2 p s Q 0 , 1 2 p s
3) So = ----------------- - 1—------------- Ps 35 - 0 ,4 p + 0,15m + 0,12 p s Bài 4.22.
1) Hiệu quả giảm theo quy mô
2) Hiệu quả tăng teo quy mô
3) Hiệu quả tăng theo quy mô
4) Hiệu quả tăng theo quy mô
Bài 4.23. X, =17; x 2 = 5 126
Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ sơ 1/7»,e dung-• Bài 4.24. ộ = — ;Õ 1 35 2 7 - 1576 - 256 p , ~ ; p 2 ~ - Bài 4.25. Q* = 260 và p* = 40 Bài 4.26. ĨC = 40; L = 135 Bài 4.27. Q , = 3 ; Q 2 = 4 P, = 3 5 ; p 2 = 6 0 Bài 4.28. 1) K (t) = 2 5 .ự tĩ + 90 2) K (t) = 4 5 .ự t7 + 40 3) c = 0,8Y + 40 4) c s = 82— 3 Bài 4.29.
1) Ý kiến đó không đúng
2 ) Xi = 5 0 ; X 2 = 4 0
Chương 4. ứ n g dụng phép tính vi phân hàm nhiều biến. 127 Bài 4.30. 1) K = — ;L = — 36 16
2) Gọi lợi nhuận tối đa là n . Ta có: Ỡ7ĩ’ _ ĨT . - 1 n d ĩ ì T - 1
—— = - K = — < 0 ; —— = - L = — < 0 . ỔK 36 ỠL 16 Bài 4.31.
1) Hệ số co giãn riêng của cầu theo giá, theo thu nhập lần
lượt là: 6° = - 0 ,2 ;8 ° = 0 ,3
2) Gọi giá cân bằng là P . Chứng minh đươc > 0. ỠM Bài 4.32.
1) Hệ số co giãn riêng của Y theo K, L lần lượt là: e ỵ k = 0,4;E l = 0,8
2) Hệ số tăng trưởng của K và L lần lượt là: 0,1 0,3 rK = - ; r L = 120 + 0 ,lt 200 + 0,3t
Hệ sổ tăng trưởng của Y là: Y _ , „ Y _ 0,04 0,24 r Y E K r K + e L r L - 120 + 0,lt 200 + 0,3t 3)
Quá trình sàn xuất có hiệu quả tăng đối với việc tăng quy mô. 128
Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ sở úmg dụng- ■
Bài 4.33. Bạn đọc tự giải tương tự như bài 4.24 vã 4.25.
Bài 4.34. rY =6 KrK + £LrL + 8 GrG
Bài 4.35. Bài toán đưa về tìm cực trị hàm lợi nhuận
7ĩ = 3 00kJ iJ - 1 0 0 K - 1 5 0 L
Kết quả lợi nhuận đạt giá trị lớn nhất tại K = 64. L = 16. Bài 4.36.
1) Hàm Q = K°'4L0'3 là hàm thuần nhất bậc k = 0,3 + 0,4
= 0,7 < 1 nên doanh nghiệp sản xuất có hiệu quả theo quy mô
2) Bước 1. Xác định bài toán
Tìm cực đại của hàm số Q = K° 4L °3 với điều kiện: 4 K + 3 L = 1050
Bước 2. Xét hàm Lagrange:
F = K°-4L0-3 + MI 050 - 4K - 3L)
Bước 3. Giải hệ phương trình: F'k = 0,4K'°'6L0’3-4X. = 0 K -0,6L 0,3= x
F'l = 0,3K 04L'°’7-3X. = 0 <=> • K°-4L'°’7=X F \= Ì050-4K-3L = 0 1050 = 4K+3L K = L = 150 <=> < 1 10.150°3
Chương 4. ứ n g dụng phép tính vi phân hàm nhiều biến. 129
Bước 4. Kiểm tra điều kiện đủ: g| = g ' K = 4; g2 = g ' L = 3 F"KK = -0.24x l 6y06
Fn =-0,24.150“' 6 150-6 <0 1.7
L"u = -0,21K°'4L-1'7 =>F22 = — 0,21.150°4. 150 1 ' <0
L "KL = 0,12K“° 6L“°-7 => Fj2 = F21 = 0,12.15 0 Xét định thức: 0 4 3 |H = 4 F„
F12 = 24FI2 - 9 F m — 16F22 > 0 nên M là điểm 3 F„ F22 cực đại của hàm số.
Bước 5. Ket luận: Doanh nghiệp cần sử dụng 150 đơn vị tư
bản và 150 đơn vị lao động để thu được sản lượng tối đa là Q(150, 150)= 1500,7. Bài 4.37.
1) Hàm Q = 40K 0,75L0'25 là hàm thuần nhất bậc k = 0,75 +
0,25 = 1 nên quá trinh sản xuất trên là có hiệu quả không đổi khi tăng quy mô sản xuất.
Hệ số co giãn riêng cúa sản lượng theo vốn và lao động lần lượt là: EỈ = 0,75; = 0,25 => + 3e? = 0,75 + 3.0,25 = 1,5
Nên nêu K tăng 1% và L tăng 3% thì sản lượng tăng lên 1,5%. 130
Hương dẫn giai bai tập Toan cơ so 1/Tig du 11$ 2)
Bài toán đưa về tìm cực trị hàm Ọ = 4 0 K 1L1 với điêu kiện: 3K + L = 160.
Hàm Laerange là: F(K.L.Ằ) = 4 0 K 4L4 + Â(160- 3K. - L) - Điêu kiện cần: -I I 3 -3
F’k = 30K 4 L4 -3X; F 'L = 1 0 K 4L 4 -Ầ; F \ = 1 6 0 - 3 K - L -1 1 30K 4 L4 = 3X (1)
F'[ = 0 <^><ỊlOK4L 4 = x (2 ) F'. = 0 160 = 3K + L (3) 30K 4 L4 3
Chia (1) cho (2) vế theo vể ta được 10K4L 4
Thay vào (3) ta được: K = L = 40;/. = 10. - Điều kiện đù:
d2F = F"k;(dK r + (F"lk + F"K1 )dKdL + F ’ ; (dL r -15 - - 15 - -
F" = — K 4 L4: F"ik = FV, = — K 4 L4 ; F" = K' 7 w. 2 I
Tại K = L = 40; Â = 10:
Chương 4. ứ n g dụng phép tính vi phân hàm nhiều biến. d 2F = — í d L - d K ) 2 < 0 80
(vì 3dK + dL = 0 và (dK)2 + (dL)2 * 0)
Nên hàm ọ đạt cực đại tại mức: K = L = 40 và Qmax = 1600 a o Với —% s- = x = 10 ỔB
Nên khi tăng ngân sách chi cho yếu tố đầu vào 1 USD thì sản
lượng tối đa tăng khoảng 10 đơn vị. 3)Ta có: I . - 1 5 „ Í ỉ ~
Q 'k = 30K 4 L4 =>QK2 = — K 4 L4 < 0; VK > 0;L > 0(4) . 3 T . -15 J T7
Q' l = 1 0 K4L 4 ^ Q " = — K 4L 4 < 0 ; VK > 0 ; L >0(5) L 2
Từ (4) và (5) suy ra hàm Q tuân theo quy luật lợi ích cận biên giảm dần. - I I 4)
Hàm sản lượng cận biên theo vốn là: Q k = 30K 4 L4
Hàm sản lượng cận biên theo lao động là: Q ’L = 10K4L 4 5 ) Tạ i Ko = 625; L0 = 16: 132
Hướtì<Ị dẫn fiai bai táp Toan cơ s<7 uv
Q r, =4 0 . 6 2 5 .16^ = 40.5 .2 = 10000
Phương trinh đưòna đồne lượng tại điẻm (K„. L0): Ọ - ọ „ 40K ' ’5L ° = 10000
<=> K0 75L', :< - 2 5 0 = 0 6) Ta có: ạ = - ^ = - 10K j_ L ị = - ^ < : L > 0 dL Q' ri Ị 4L K 40K 4 L4
Suy ra vốn và lao động là hai hàng hóa thay thế cho nhau. TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Alpha c . C hiang, Fundamental M ethods o f M athematical
Economics, McGRAW-HILL Book Copany, 1984.
2. Lê Đình Thúy (Chủ biên), Toán cao cấp cho các nhà kinh tế, NXB Thống kê, 2004. •
3. Lê Đình Thúy (Chủ biên), Bài tập Toán cao cấp cho các nhà
kinh tế, NXB Đại học Kinh tế quốc dân, 2008
4. Phùng Duy Qu a n g (Chủ biên), Toán cao cấp ứng dụng trong
phán tích kinh tế, NXB Đại học sư phạm Hà Nội, 2012.
5. Phùng Duy Qu a n g (Chủ biên), Bài tập Toán cao cắp ỉ, NXB
Thông tin và Truyền thông, 2012.
6. Ngô Văn T h ứ , Nguyễn Qu a n g Dong, Mô hình toán kirìh tế, NXB Thống kê, 2005
H ư ớ n q D flfi q ifil BÀI T 0 P TOÁN Cơ SỞ
ÚNG DỊMCHtONG PHÁN TlCH KINH TÉ
Chịu trách nhiệm xuất bản: Nguyễn Thị Thu Hà Biên tập: Ngô Mỹ Hạnh Nguyễn Long Biên Sửa bản in: Đoàn Thanh Trình bày sách: Đức Anh Thiết kế bìa: Trần Hồng Minh
NHÀ XUẤT BẢN THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG
Trụ sở chính: Số 9, ngõ 90, phố Ngụy Như Kon Tum, Thanh Xuân, Hà Nội Điện thoại: 04-35772143 Fax: 04-35779858 Email: nxb.tttt.@mic.gov.vn
Website: www.nxbthongtintruyenthong.vn
Chi nhánh TP. HCM: Số 8A đường D2, phường 25, quận Bình Thạnh, TP . HCM ĐT: 08-35127750 ; Fax:08-35127751; Email: cnsg.nxbtttt@mic.gov.vn
Chi nhánh TP. Đà Nắng: 42 Trần Quốc Toản T P . Đà Nẳng ĐT: 0511-3897467
Fax 0511-3843359 ; Email: cndn.nxbtttt@mic.gov.vn
In 1000 cuốn khổ 14,5 X 20,5 cm tại Cóng ty Hải Nam
Số đăng ký kế hoạch xuất bản 622-2012/CXB/6-172/TTTT
Sô’ Quyết định xuất bản: 142/QĐ-NXB T T T T ngày 30/5'2012
In xong và nộp lưu chiểu tháng 6 năm 2012