Hướng dẫn giải bài tập Toán kinh tế | Đại học Đồng Tháp

1
HƯỚNG DẪN GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP TOÁN KINH TẾ
Chương I: QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Phần II: Bài 16 LỜI GIẢI
a) Thực hiện phép biến đổi sơ cấp đối với ma trận mở rộng của hệ ràng buộc  1  1 12 2   4 9   1  1 12 2   4 9    
d 2d d 2 3 2 2 0 8 1   2 14  0 0 8 3    3 2 6      1 0 0  1 0 4   1 0 0  1 0 4     0 1 12  1 4  0 1 4  5  7 0  13 1               d d d 3 3 d d d 3 3     2 3 1 4 1 2 1 0 0 4 1 3 0 0 4 1 3 1 d d 2 2 2  2   2  4 4     1 0 0  1 0 1 0 0  1 0    
Ta có bảng đơn hình ứng với x x1 x2 x3 x4 x5 HS ACB PA 1 0 1 0  0 A2 1 0 1 -4 5  7 0 0 A5    3 0 0 4 3 3 1 2 1 A1 4 1 0 0  1 0 KT 4 0 0 -1 2 1 0
b) Vì x là phương án cực biên không suy biến nên để x là PA tối ưu 1
  2 1 0    4 2
c) Nếu λ = 1 thì ∆ = 2λ 4
-1 =1 > 0 trong khi đó véc tơ x4 = (-2;0;0) có thành phần âm
nên hàm mục tiêu không bị chặn. Nếu λ = 3 thì ∆ = 2λ 4
-1 = 5 > 0 trong khi đó véc tơ x4 = (8;-2;3) ta có bảng đơn hình sau: x x x x x HS ACB PA 1 2 3 4 5 1 0 1 -3 0 0 A2 1 0 1 -4 0 8 0 A5 3 0 0 4 -3 1 1 A1 4 1 0 0 2 0
GV Lê Văn Ngọc - Hướng dẫn giải một số bài tập toán kinh tế - Dùng cho SV các lớp tín chỉ! 2 KT 4 0 0 -1 5 0 -3 A4 1/8 0 1/8 -1/2 1 0 0 A5 27/8 0 3/8 5/2 0 1 1 A1 15/4 1 -2/8 1 0 0 KT 27/8 0 -5/8 3/2 0 0 A4 1/5 -3 4/5 0 1/5 0 1 A3 1 27/20 0 3/20 1 0 2/5 A1 1 12/5 1 -2/5 0 0 -2/5 KT 27/20 0 -17/20 0 0 -3/5
Vậy nghiệm của bài toán là: X  12 27 4  ( ;0; ; ;0) opt  5 20 5  f  17   opt 20
Chương II : BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU Bài 2.
Sử dụng định lý đối ngẫu 2. Tức là (X , Y) là tốt nhất  f(X) = g (Y)
Cho bài toán f (X )  x  3x  x  2x  Min thoả mãn 1 2 3 4 4x 12x  3x  24 (a) 1 2 4
 x  3x  x  3 (b)  1 2 3  ( I )
4x 18x  2x  3x  33  (c) 1 2 3 4   x  0 ; j 1  ,4  j
Bài toán đối ngẫu của ( I ) là
g(Y )  24 y  3y  33y  Max thoả mãn 1 2 3
GV Lê Văn Ngọc - Hướng dẫn giải một số bài tập toán kinh tế - Dùng cho SV các lớp tín chỉ! 3
4y  y  4y 1 (1) 1 2 3
12y  3y 18y  3  (2) 1 2 3  
 y  2y 1 (3) ( II ) 2 3 3y 3y  2  (4) 1 3   y , y  0  2 3
Do x có thành phần x2 = 1> 0 và x4 = 4 > 0 theo độ lệch bù yếu thì 1
 2y  3y 18y  3  (2') 1 2 3  3y 3y  2  (4')  1 3
Thay x  (0;1;0;4) vào (a), (b) và (c)  y  0 ( do (c) lỏng suy ra chặt ) 3
4y  y  4y 1 (1) 1 2 3   2  
12 y  3y 18 y  3  (2') y1  1 2 3  3   
 y  2y 1 (3)  5 Vậy ta có hệ : 2 3    y  3y 3y  2  (4')  2 1 3 3   y  0  y  0 3  3   y  0   2
Mặt khác: f(X) = g (Y) = -11  ĐPCM
Bài 3. Bài toán đối ngẫu của bài toán f (X ) 15x 10x  6x  Min thoả mãn 1 2 3 3  x
 2x  2 (1)............y 1 3 1
x  2x  2x  3 (2)............y 1 2 3 2   2
 x  x  x  2 (3)............y 1 2 3 3  4x  2x
 2x 1 (4)............y  1 2 3 4 x 1 (5)............y 1 5   x  0 , x  0  2 3
là bài toán g(Y )  2y  3y  2y  y  y  Max thoả mãn 1 2 3 4 5 3
 y  y  2y  4y  y 15 (6).......x  R 1 2 3 4 5 1 
2 y  y  2 y
10 (7)....... x  0  2 3 4 2 
2 y  2 y  y  2 y 6 (8).......x  0 1 2 3 4 3  
y  0 ;  j 1  ,5  j 5 11 Do x có x   2 0 và x   3
0 nên ta có (7) và (8) xảy ra dấu bằng 4 4
GV Lê Văn Ngọc - Hướng dẫn giải một số bài tập toán kinh tế - Dùng cho SV các lớp tín chỉ! 4 5 11
Mặt khác thay x  (1, ,
) vào bài toán gốc thì các ràng buộc của (1) và (2) xảy ra dấu 4 4 bằng. Khi đó ta có hệ y  0 1  y  0 y  0 1 2    y  0 3
 y  y  2y  4y  y 15 2  1 2 3 4 5   y  8 
2 y  y  2 y 10 3 2 3 4     y 1 
2 y  2 y  y  2 y 6  4 1 2 3 4
Bài 4. Bài toán đối ngẫu của bài toán f (X )  x  x  x  M x a thoả mãn 1 2 3
 x  2x  x  7 (1)..............y 1 2 3 1
4x  3x  6x  9 (2)..............y 1 2 3 2 
2x  x  8x  6  (3)..............y 1 2 3 3  
 2x  x  2 (4)..............y 2 3 4  2
 x  x  5x 1 (5)..............y 1 2 3 5  x
 3x 1 (6)..............y 1 3 6  x  0  3
là bài toán g(Y )  7 y  9y  6y  2y  y  y  Min thoả mãn 1 2 3 4 5 6
y  4y  2y
 2y  y  1 (7).......x 1 2 3 5 6 1
2y 3y  y  2y  y  1 (8).......x  1 2 3 4 5 2 
y  6 y  8y  y  5y  3y  1  (9).......x 1 2 3 4 5 6 3  
y  0;  j  1,6  j
a) Tính f( x ) và g ( y ).Ta có f( x ) = g ( y ) = 3  ( , x y) là PA tối ưu.
b) Tìm tập PA của bài toán đối ngẫu
Do x có x3  1
  0 nên (9) xảy ra dấu bằng Thay x  ( 4  ,6, 1
 ) vào từ (1) đến (7)  y  y  y  0 2 4 5
Vậy: Tập PA tối ưu của bài toán đối ngẫu là tập nghiệm của hệ:
GV Lê Văn Ngọc - Hướng dẫn giải một số bài tập toán kinh tế - Dùng cho SV các lớp tín chỉ! 5 
y  4y  2y
 2y  y  1
y  2y  y  1   1 2 3 5 6 y t  1 3 6  1 
2 y  3y  y  2 y  y  1 2 y  y  1 y  2t 1 1 2 3 4 5    1 3  3 
 y  6y  8y  y  5y  3y  1
  y  8y  3y  1  y  5t  3 1 2 3 4 5 6 1 3 6 6   
y  y  y  0
y  y  y  0
y  y  y  0 2 4 5  2 4 5  2 4 5  
y , y , y  0 
 y , y , y  0  3 1 3 6  1 3 6 t   5
Bài 8. Cho bài toán với tham số α
f (X )  4x 10x  2x  8x  9x   x  4x  Min 1 2 3 4 5 6 7  2x
 x  2x 2x  6x  7  (1).....y 1 3 4 5 7 1  2
 x  2x  2x  4x  3x  x  7 (2).....y  1 2 3 4 5 6 2 
4x  3x  2x  2x
 x  x  22x  2  0 (3).....y 1 2 3 4 5 6 7 3   x  0 j  1  ,7  j
a) Bài toán đố ngẫu cùa bài toán gốc là g(Y )  7
 y  7y  20y  Max 1 2 3
 2y  2y  4y  4 (4).....x 1 2 3 1 
 2y  3y 10 (5).....x 2 3 2 
 y  2y  2y  2 (6).....x 1 2 3 3   2
 y  4y  2y  8 (7).....x 1 2 3 4
 2y 3y  y  9 (8).....x 1 2 3 5   y  y   (9).....x 2 3 6  6  y  22y  4  (10).....x  1 3 7 11 9 3 Do x có 1 x 
 0; x4   ; x7   0 nên (4), (7) và (10) xảy ra dấu bằng. 2 2 2
Để x là PA tối ưu  Hệ sau có nghiệm
 2y  2y  4y  4 (4) 1 2 3 
 2y  3y 10 (5) 2 3 
 y  2y  2y  2 (6) 1 2 3   2
 y  4y  2y  8  (7)   2  1 2 3
 2y 3y  y  9 (8) 1 2 3   y  y   (9) 2 3  6  y  22y  4  (10)  1 3
b) Giả sử x không là phương án tối ưu, tức là    2 
GV Lê Văn Ngọc - Hướng dẫn giải một số bài tập toán kinh tế - Dùng cho SV các lớp tín chỉ! 6
Ta có x là PA cực biên ứng với cơ sở 1 4 7
A , A , A .Thực hiện phép biến đổi sơ cấp
trên hàng đối với ma trận mở rộng sau:  2 0 1 2  2 0 6  7   2 0 1 2  2 0 6  7      
h h h 1 2 2 2  2  2 4 3  1 0 7  0 2  3 2 1  1 6  0 2
 h h h     1 4 4  4 3 2  2  1 1 2  2 2  0 0 3 4  2  3  1 1  0 6       1 7 1 0 1  1 0 3    2 2 1 h h   1 1 2 3 1  1  0 1  1 3  0 1 2 2 2   h h 2 2 2 0 3 4  2  3  1 1  0 6     1 1 7 1 1  2 0 6    2 2 2  
h h h 2 1 1 3 1  1   0 1  1 3  0 1 2 2 2    h h 3 3 4 5 7 1 3 0  0 0 1   4 4 2 2  1  7 25 7 1 11 1 0 0  2 2 2 2 2  
h 3h h 2 3 3 1  9 27 1 9   0 1 1 0
6h h h 4 4 2 2   3 1 1 5 7 1 3 0  0 0 1   4 4 2 2  x x x x x x x HS ACB PA 1 2 3 4 5 6 7 4 10 2 -8 9  -4 4 A1 11/2 1 -17/2 25/2 0 7/2 ½ 0 -8 A4 9/2 0 -19/4 27/4 1 1 ½ 0 -4 A7 3/2 0 -5/4 7/4 0 ½ 0 1 KT 0 -1 -13 0 -5 --2 0 4 A1 1 1 -15/4 23/4 -1 5/2 0 0  A6 9 0 -19/2 27/2 2 2 1 0 -4 A7 3/2 0 -5/4 7/4 0 ½ 0 1 KT 0 19    27 2+4 2-1 0 0 20  14 2 2
Nhìn trên bảng đơn hình: - Trong bảng 1:      2  0 6 19
- Trong bảng 2: Do   
  20  0 mà các thành phần của x 2 2 đều âm. Nên 2
với  < 2 thì hàm mục tiêu không bị chặn do đó bài toán đối ngẫu của nó có tập phương án là rỗng.
GV Lê Văn Ngọc - Hướng dẫn giải một số bài tập toán kinh tế - Dùng cho SV các lớp tín chỉ!