18 trang 12 lượt tải

Đề cương bài tập hệ Kỹ sư tài năng môn Giải tích 1 | Đại học Bách Khoa Hà Nội

24

Đề cương bài tập hệ Kỹ sư tài năng môn Giải tích 1 | Đại học Bách Khoa Hà Nội

Môn: Giải tích 1 127 tài liệu

Trường: Đại học Bách Khoa Hà Nội 5.4 K tài liệu

Tác giả:

Profile

Tài Nguyễn Đức

2 tuần trước
Tải xuống
Báo cáo
Danh sách Quiz
Tải xuống
/18
Biên soạn: Ths. Trịnh Ngọc Hải-Viện Toán ứng dụng và Tin học - BKHN
Trường ĐH Bách Khoa Hà Nội
Viện Toán ứng dụng và Tin Học
ĐỀ CƯƠNG BÀI TẬP HỆ KĨ SƯ TÀI NĂNG
Giới hạn dãy số
Tính giới hạn của dãy sau:
1.
1 1 1
...
1 3 3 5 (2 1) (2 1)
n
u
n n
2.
1 1 1
...
1 2 3 2 3 4 ( 1) ( 2)
n
u
n n n
3.
2 2 2
1 1 1
...
1 2 1
n
x
n n n n
4.
1 1 1 1
...
1 3 3 5 2 1 2 1
n
u
n n n
5.
1
1
( 1)
n
n
k
u
k k
6.
1 1
13; 12
n n
u u u
7.
2
1 1
1 4
,
2 3
n n n
u u u u
8.
1 1
1
1, 1
n
n
u u
u
9.
1 1
5, 5 ;
k
k
n n
u u u k N
10.
!
n
n
n
u
n
11.
!
n
n
a
x
n
12.
2
10
ln 1
ln 1
n
n n
u
n n
13.
0,11...1
n
n
x
14.
45
0,454545...45
n
n
x
15.
2
2 1
5 1
n
n
n
x
n
16.
2 1 !!
2 !!
n
n
x
n
17.
1
!
n
n
x
n
18.
!
n
n
n
x
n
Chứng minh dãy sau hội tụ
19.
2 2 2
1 . 1 ... 1
2.3 3.4 1 2
n
x
n n
20.
2 2 2
1 1 1
1 1 ... 1
2 3
n
x
n
Biên soạn: Ths. Trịnh Ngọc Hải-Viện Toán ứng dụng và Tin học - BKHN
21.
1 1 1
... ln
1 2
n
x n
n
22.
1 1 1
...
1 2
n
x
n n n
23. Cho dãy
n
x
thỏa mãn:
1
2
1
2
2
n n
n
x a
x b
x x
x
. Tìm
lim
n
x
24. Cho dãy
n
x
,
n
y
thỏa mãn:
1
1
1
1
2
n n
n
n n n
x a
y b
x y
x
y x y
. Tìm
lim
n
x
,
n
y
.
25. Cho dãy
n
x
thỏa mãn:
1
1
0
1 1
2
n n
n
x a
x x
x
. Tìm
lim
n
x
26. Cho dãy
n
x
thỏa mãn:
1 1
1
1, 1
n
n
u u
u
. Tìm
lim
n
x
27. Cho dãy
n
x
thỏa mãn:
2
1 1
1 4
,
2 3
n n n
u u u u
. Tìm
lim
n
x
28. Cho dãy
n
x
thỏa mãn:
1 1
13; 12
n n
u u u
. Tìm
lim
n
x
29. Cho
lim
n
x a
, tìm
1 2
...
lim
n
x x x
n
.
30. Cho
lim
n
x a
,
0
n
x
, tìm
1 2
lim . ...
n
n
x x x
.
Khái niệm hàm số
Tìm tập xác định
31.
2
arcsin
1
x
y
x
32.
log 1 2 cos
y x
33.
arcsin log
10
x
y
34. Cho
f x x
,
2
g x x
. Tìm TXĐ của
f g
,
g f
,
g g
,
f f
.
Biên soạn: Ths. Trịnh Ngọc Hải-Viện Toán ứng dụng và Tin học - BKHN
35. Cho
2
1
x
f x
x
. Tìm
f x
Hàm nào sau đây là hàm chẵn, hàm lẻ:
36.
2
ln 1
f x x x
37.
3
3
f x x x
38.
2 2
x x
f x
39.
1
ln
1
x
f x
x
40. Hàm nào sau đây là hàm tuần hoàn, xác định chu kì cơ sở (nếu có)
41.
sin cos
f x A kx B kx
42.
1 1
sin sin 2 sin 3
2 3
f x x x x
43.
2
sin
f x x
44.
2
sin
f x x
45.
sin 2 sin
f x x x
46. Liệu có hàm tuần hoàn không có chu kì cơ sở hay không?
Giới hạn của hàm số. Hàm liên tục.
Tính giới hạn:
47.
2
1/sin (2 )
2
0
lim 1 tan
x
x
x
48.
2
1/
0
lim cos
x
x
x
49.
1/(1 cos )
0
lim cosh
x
x
x
50.
2
2
2 3
lim
2 1
x
x
x
x

51.
2
2
2
lim
2
x
x
x
x
52.
1/
1
lim
x
x
x
e
x

53.
2
2
14
lim
2
x
x x
x x

54.
2
2
14
lim
2
x
x x
x x

55.
0
1
lim tanh
x
x
56.
2
2
0
sin 2 2arctan3 3
lim
ln(1 3 sin )
x
x
x x x
x x xe
57.
5 3
2 3
0
1 10 1 3
lim
arcsin(3 ) sinh(2 )
x
x x
x x x x
58.
lim ln 1 ln
2 2
x
x x
x

59.
3 3
0
cos 4 cos5
lim
1 cos3
x
x x
x
60.
3
0
1 tan 1 sin
lim
sin
x
x x
x
61.
0
tan 2 3arcsin 4
lim
sin5 6arctan 7
x
x x
x x
Cho
x

, chứng minh rằng:
62.
3 2 3
2 3 1
x x O x
63.
2 2
arctan 1
1
x
O
x x
64.
ln , 0
x o x
65.
2
1
p x
x e o
x
Tìm các điểm gián đoạn của hàm số, xác định loại điểm gián đoạn:
Biên soạn: Ths. Trịnh Ngọc Hải-Viện Toán ứng dụng và Tin học - BKHN
66.
2
1
( ) arctan
f x
x
67.
arcsin
( )
sin 2
x
f x
x
68.
2
/(1 )
( ) 3
x x
f x
69.
1 1
( ) ln
1
x
f x
x x
70.
| |
( )
arctan
x
f x
x
71.
1
arctan(1/ )
x
y
x
72.
2
( ) ln ln(1 )
f x x
73.
1/ 1/
1/ 1/
3 2
( )
3 2
x x
x x
f x
74.
1
(sin )sin
y x
x
Tìm a để hàm liên tục:
75.
(1 ) 1
, 0,
( )
, 0
n
x
x n N
f x
x
a x
76.
sinh
, 0
, 0
x
x
y
x
a x
Chứng minh phương trình sau có nghiệm duy nhất:
77.
2 1
x
x
78.
2
x
x e
79.
2
arctan ; 0
x x a a
80.
sin 1, 0 1
x x
81. CMR: hàm số
1
f x
x
liên tục trên
0,1
nhưng không liên tục đều trên khoảng đó.
82. CMR: hàm số
sin
f x
x
liên tục và bị chặn trên
0,1
nhưng không liên tục đều trên khoảng
đó.
83. CMR: hàm số
2
sin
f x x
liên tục và bị chặn trên
,
 
nhưng không liên tục đều trên
khoảng đó.
84. Kiểm tra tính liên tục đều của hàm số sau trên đoạn cho trước:
2
, 1 1
4
x
f x x
x
85. Kiểm tra tính liên tục đều của hàm số sau trên đoạn cho trước:
ln , 0 1
f x x x
86. Kiểm tra tính liên tục đều của hàm số sau trên đoạn cho trước:
sin
, 0
x
f x x
x
87. Chứng minh phương trình sau có vô số nghiệm:
sin 1/ 2
x x
88. Chứng minh phương trình sau có đúng hai nghiệm:
1
10
x
x
89. Chứng minh phương trình sau có đúng hai nghiệm:
2 4
x
x
Đạo hàm. Vi phân.
90. Tính
' 0
f
biết
2
1
sin : 0
0 : 0
x x
f x
x
x
Biên soạn: Ths. Trịnh Ngọc Hải-Viện Toán ứng dụng và Tin học - BKHN
91. Tính
' 0 ; ' 0
f f
biết
1/
: 0
0 : 0
x
e x
f x
x
92. Tính
' 0
f
biết
2
3| | 2
f x x x
93. Tính
'
f x
biết
2
cot sin
2sin
x x
f x x x
94. Tính
'
f x
biết
2
3 7
1
sin
x
f x
x x
95. Tính
n
f x
biết:
2
1
4
f x
x
96. Tính
100
f x
biết:
2
1
4
f x
x
97. Tính
n
f x
biết:
2
sin
f x x
98. Tính
100
f x
biết:
2
1 ln 1
f x x x
99.
100 101
0 ; 0
f f
biết
arctan
f x x
100. Tính
n
f x
biết:
3
( ) ln
3
x
f x x
x
101. Tìm:
2
sin
d x
x
d x
102. Tìm:
sin
cos
d x
d x
103. Tìm:
arcsin
arccos
d x
d x
104. Tìm:
tan
cot
d x
d x
105. CMR: hàm số
2
1
y=
1
x
x
có 3 điểm uốn thẳng hàng.
106. CMR:
1
, 0, 1
2 2
n
n n
x y
x y x y n
107. CMR:
/2
,
2
x y
x y
e e
e x y
108. Tìm trên đường cong
3
y x
điểm có tiếp tuyến song song với dây cung nối 2 điểm
1, 1 , 2,8
A B
.
109. Kiểm tra tính đúng đắn của định lý Rolle đối với hàm số:
1 2 3
f x x x x
110. Giải thích tại sao định lý Cô-si không đúng với 2 hàm số:
2 3
,
f x g x
trên
[-1,1]
.
111. CMR: tất cả các nghiệm thực của đa thức
2
1
{ 1 }
2 !
n
n
n
n n
d
P x x
n dx
đều thuộc
1,1
.
Biên soạn: Ths. Trịnh Ngọc Hải-Viện Toán ứng dụng và Tin học - BKHN
112. Cho đa thức Tre-bư-sep:
n
x n x
n
n
d
L x e x e
dx
. CMR: tất cả các không điểm của đa
thức trên đều dương.
113. CMR: tất cả các nghiệm của đa thức
2 2
1
n
n
x x
n
n
d
H x e e
dx
đều là số thực.
114. CMR:
| sin sin | | |
x y x y
115. CMR:
| arctan arctan | | |
x y x y
116. CMR:
ln , 0
a b a a b
b a
a b b
117. CMR:
3
sin , 0
6
x
x x x x
118. CMR:
1/ 1/
, , 0, 0
a b
a a b b
x y x y x y b a
119. CMR:
2
sin , 0
2
x x x x
120. CMR:
1 1
1 1
x x
e
x x
,
0
x
121. Xác định giá trị trung gian
c
khi áp dụng định lý Lagrange vào hàm số
2
3
: 1
2
1
: 1
x
x
f x
x
x
trên đoạn
[0,2]
.
Khai triển hàm số sau thành chuỗi Maclaurint đến cấp
n
:
122.
2
2
3
, 3
x
x
x e
f x n
e
123.
2 3
ln , 3
3 2
x
f x n
x
124.
2
4
, 3
5 6
x
f x n
x x
125.
2
2
5 5
, 3
2
x x
f x n
x x
126.
2
ln 3 2 , 4
f x x x n
127.
2
ln 1 , 5
f x x x n
128.
4
2
1
, 4
1
x
f x n
x
129.
cosh 3 , 5
f x x x n
130.
2
cosh , 5
f x x x n
131.
2 2
1
, 8
2 2-
f x n
x x
132.
2
1
, 9
1
f x n
x x
133.
cos
, 4
x x
f x e n
134.
2 3
1
, 5
1
f x n
x x x
135.
2
2
1 1
, 6
1 1
x
f x n
x
Tìm khai triển Taylor tại
x
đến cấp
n
136.
2 2
0
( 1) , 1, 3
x
f x x e x n
137.
0
ln 2 1 , 1/ 2, 3
f x x x n
138.
0
2 1
ln , 1, 4
-1
x
f x x x n
x
Biên soạn: Ths. Trịnh Ngọc Hải-Viện Toán ứng dụng và Tin học - BKHN
139.
2
0
3
, 1, 3
1
x x
f x x n
x
140.
2
2 1
0
, 1, 4
x x
f x e x n
141.
0
2
1
, 1, 4
2 -
f x x n
x x
142.
0
3 2
2
, 2, 5
4 5
x
f x x n
x x
Ứng dụng đạo hàm, tính giới hạn:
143.
2
0
ln(1 )
lim
tan
x
x x
x
144.
/4
ln(tan )
lim
cot 2
x
x
x
145.
2
0
arcsin
lim
cos sin
x
x x
x x x
146.
2
1
arctan( 1)
lim
2
x
x
x x
147.
0
tan
lim
arcsin ln(1 )
x
x x
x x
148.
1/
1/
0
(1 )
lim
x
x
x
x
e
149.
tan
0
lim arcsin
x
x
150.
1/ln(sinh )
0
lim
x
x
x
151.
0
lim 1 ln
x
x
x x
152.
1/
2
lim 3 3
x
x
x
x

153.
sin
0
lim
sin
x x
x
e e
x x
154.
lim
n x
x
x e

155.
0
1 1
lim
arcsin
x
x x
156.
2
1
1 1
lim
arctan
x
x x x
157.
1/
0
lim cos
x
x
x
158.
1
1
lim
ln 1
x
x
x
x x
159.
0
1 1 1
lim
tanh tan
x
x x x
160.
tan 2
/4
lim tan
x
x
161.
1/
lim tan
2 1
x
x
x
x

162.
1/
0
arcsin
lim
x
x
x
x
163.
2
4
0
cos 1
2
lim
x
x
x
x
164.
0
arctan arcsin
lim
tan sin
x
x x
x x
165.
0
1 cos 1 2
lim
ln(1 )
x
x x x
x x
166.
2
0
1 1
lim
x
x
x
x
167.
arctan
3
0
ln(1 ) 1
lim
2 4
x
x
e x
x
168.
sin
0
ln(1 ) 1
lim
arcsin sin
x
x
e x
x x
169.
tan 2
3
0
sin
lim
tan
x
x
xe x x
x x x
170.
2 2 3
2
0
ln(1 ) arcsin
lim
sin
x
x
x e x x
x x x
171.
3 4
0
1 2 cos
lim
tan
x
x x
x x
172.
/(1 )
6 6
0
sinh cos
lim
1 1 2
x x
x
e x x
x x
173.
1/3
2
0
cosh 2 (1 3 )
lim
/ 2 ln(1 tan ) arcsin
x
x x x
x x x
174.
sin 2
2
0
1 arcsin
lim
sinh( ) ln 1 2
x
x
e x x
x x x
175.
sinh 1/2 2
0
sin arctan tan
lim
(1 2 )
x
x
x x
e x x
Biên soạn: Ths. Trịnh Ngọc Hải-Viện Toán ứng dụng và Tin học - BKHN
176.
2
0
arcsin
lim
1 tan
x
x
x xe
x x x
177.
2
0
tan ln( 1 )
lim
sin cos
x
x x x
x x x
178.
2
0
1 2 2
lim
tan sin 2
x
x
e x x
x x x
179.
0
1 1
lim
sin cosh sinh
x
x
e x x
x x x
180.
3 4
0
ln(1 sin ) 1
lim
8 2
x
x
e x
x
181.
3
5
0
sin 1 sin1
lim
1 2 lncos 1
x
x
x x
182.
3cos 2
2
0
1 4
lim
(1/ ) arcsin 2 2cosh
x
x
e e x
x x x
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số cho bởi tham số sau:
183.
3 2 3
2 , 2 3
x t t t y t t
184.
3 3
3 , 6arctan
x t y t t
185.
3 3 2
2 2
2
,
1 1
t t t
x y
t t
186.
sin , 1 cos
x t t y t
187.
cos ln tan( / 2), sin
x t t y t
188.
2 3
2
1 1
,
t t
x y
t t
189.
2 2
1
,
1
t t
x y
t t
190.
2 2
2
1
,
1 2
t t
x y
t t
191.
2 3
1 1
,x y
t t t t
192.
2
, 2
t t
x e t y e t
193.
2
, 1
t
t
e
x y t e
t
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số cho trong tọa độ cực sau:
194.
2 cos
r
195.
1 2cos
r
196.
cos3
r
197.
1 tan
r
198.
2
1
cos
r
199.
tan 2
r
200.
1 tan
r
201.
2(1 cos )
r
Tích phân.
Tính nguyên hàm bằng công thức cơ bản:
202.
1 2 3 4
dx
x x x x
x x
203.
2
4 9 10
dx
2 1
x x
x
204.
3 2
30
2 5 11 4
dx
1
x x x
x
205.
3 2
15
3 4 9
dx
2
x x x
x
206.
2 2
dx
2 5 3
x x
207.
4
1
xdx
x
Tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến
208.
4
4 5
9
. 2 3
x x dx
209.
2
4
7
3 5
2 1
x x
dx
x
210.
2
1
x
dx
x x
211.
3
2
1
x
dx
x x
Biên soạn: Ths. Trịnh Ngọc Hải-Viện Toán ứng dụng và Tin học - BKHN
212.
2
4
dx
x x
213.
1
1
x
dx
x
214.
2 2
4
dx
x x
215.
2 2
a x dx
216.
2
2 2
x dx
x a
Tính nguyên hàm bằng phương pháp tích phân từng phần:
217.
3 cos
x
xdx
218.
x
e dx
219.
2
arcsin
x
dx
x
220.
2
arcsin
x dx
221.
2
2 2
dx
a x
222.
2
cos ln
x dx
223.
2
2
9
x dx
x
224.
2
2
2
1
x
dx
x
Tính tích phân:
225.
2
3 2
4 5
x
dx
x x
226.
3
1
dx
x
227.
2
2 5
x x dx
228.
2
1
dx
x
229.
2
2
3 5
4 5
x
dx
x x
230.
7
1
dx
x x
231.
3
1
1
x
dx
x
232.
2
2
1
1
x x
dx
x x x
233.
3
2
1 2
dx
x x x
234.
2
1
x x x dx
235.
2
sin cos
dx
x x
236.
tan
dx
x
237.
1 sin cos
dx
x x
238.
1 sin cos
1 sin cos
x x
dx
x x
239.
2 2
1 1
dx
x x
240.
arccos 5 1
x x dx
241.
cos
n
dx
x
242.
2 2
n
dx
x a
Tính giới hạn của các dãy sau:
Biên soạn: Ths. Trịnh Ngọc Hải-Viện Toán ứng dụng và Tin học - BKHN
243.
1 2 ( 1)
sin sin sin
n
n n n n
244.
1 1 2
1 1 1
n
n n n n
245.
2 2 2
1 2 2 1
n
n n n
246.
2 2 2 2 2
1 1 1
4 1 4 2 4
n n n n
247.
n
/
1
2
1 /
k n
k
n k
248.
1 1 1
1 2
n n n n
Tính các đạo hàm sau:
249.
2
2
0
1
x
d
t dt
dx
250.
2
1
t
x
d
e dt
dx
251.
cos
3
sin
cos
x
x
d
t dt
dx
252.
3
2
4
1
x
x
d dt
dx
t
Tính giới hạn:
253.
2
0
0
cos
lim
x
x
t dt
x
254.
sin
0
tan
0
0
tan
lim
sin
x
x
x
tdt
tdt
255.
2
0
2
(arctan )
lim
1
x
x
t dt
x

Tính các tích phân sau:
256.
4
2
7
9
dx
x
257.
1
cos(ln )
e
x dx
x
258.
1
1
1
x
e dx
259.
1
15 8
0
1 3
x x dx
260.
/4
3
0
cos 2
sin cos 2
x
dx
x x
261.
/6
2
0
cos
6 5 sin sin
x
dx
x x
Biên soạn: Ths. Trịnh Ngọc Hải-Viện Toán ứng dụng và Tin học - BKHN
262.
/2
0
cos
7 cos 2
x
dx
x
263.
/2
6
6 6
0
sin
sin cos
x
dx
x x
264.
/4
6
0
tan
xdx
265.
/4
3
0
cos
dx
x
266.
1
2
0
2 1
dx
x x
267.
1/3
2
0
cosh 3
xdx
268.
3
0
arcsin
1
x
dx
x
269.
/2
4 4
0
cos 2 sin cos
x x x dx
270.
1
2
0
ln(1 )
(1 )
x dx
x
271.
2
1/
1/2
1 1 /
x x
x x e dx
272.
1
0
arcsin
xdx
273.
1
1 ln
e
dx
x x
274. Xác định dấu của tích phân sau:
2
0
sin
x xdx
275. Xác định dấu của tích phân sau:
2
0
sin
x
dx
x
276. Xác định dấu của tích phân sau:
1
2
1/2
ln
x xdx
277. So sánh
2
1 1
0 0
,
x x
e dx e dx
278. CMR:
1
0
lim 0
1
n
n
x
dx
x
279. CMR:
/2
0
lim sin 0
n
n
xdx
Ứng dụng tích phân xác định:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
Biên soạn: Ths. Trịnh Ngọc Hải-Viện Toán ứng dụng và Tin học - BKHN
280.
2
3 2
2
y x
y x
281.
2 2
2
16
12( 1)
x y
x y
282.
4 4 2 2
x y x y
283.
2 cos
r
Tính độ dài cung:
284.
sin
, 0 2
1 cos
x a t t
t
y a t
285.
3
sin
3
r a
286.
1 cos
r a
287.
arcsin
0 1
x
y e
x
Tính thể tích vật thể tròn xoay thu được
288. Khi quay
2 2
2 2
1
x y
a b
quanh Ox hoặc Oy.
289. Khi quay
0, 0
x
y e
x y
quanh Ox hoặc Oy.
290. Khi quay
2
sin
0,
y x
x x
quanh Ox.
291. Khi quay
2
cos
r a
quanh trục gốc.
Tính diện tích xung quanh của vật thể tròn xoay thu được:
292. Khi quay
tan
0, / 4
y x
x x
quanh Ox.
293. Khi quay
2/3 2/3
1
x y
quanh Ox.
294. Khi quay
2
2
2 1
x y
quanh Ox.
Tích phân suy rộng:
Tính tích phân suy rộng:
295.
2
4
5 6
dx
x x

296.
5 10
1
1
dx
x x x

297.
2
0
cos
x
e xdx

298.
3
1
( 1)( 2)
dx
x x

299.
2
3
2
( 1)
( 1)
x
dx
x x

300.
2
3
2
1 ( 1)
dx
x x

301.
2
1
3
( 1)
x
dx
x x x

302.
0
x x
dx
e e

Biên soạn: Ths. Trịnh Ngọc Hải-Viện Toán ứng dụng và Tin học - BKHN
303.
2
0
1
cosh ( )
dx
x

304.
6
1
( 3)
dx
x x

305.
0
1
x x
dx
e e

306.
2
1
1
(ln 1)
dx
x x

307.
0
2
4 1
x
x
dx

308.
0
1
x
dx
e

309.
1
sinh
dx
x

310.
0
2
x
xdx

311.
3
2
1
xdx
x

312.
2
ln
e
dx
x x

313.
2
2
0
1
dx
x x

314.
2 3
( 1)
dx
x x


315.
2 2
0
(4 1) 1
dx
x x

316.
2
2
2
1
12
1
x
dx
x

317.
3/2
2
0
arctan
1
x
dx
x

318.
4
2
2
dx
x
319.
1
0
(2 ) 1
dx
x x
320.
2
2
1
1
dx
x
321.
3
1 3
5
3
0
2
x x dx
x
322.
1
2
1
(4 ) 1
dx
x x
323.
2
4
2 2
2
(1 ) 4
x dx
x x
324.
2
1
1
dx
x x
325.
2
2
1
1
dx
x x
Xét sự hội tụ:
326.
1
5 ln
dx
x x

327.
3
1
3
2 sin 3
xdx
x x

328.
2
1
arctan
2 2 ln
xdx
x x

329.
0
(3 1) 1
dx
x x

Biên soạn: Ths. Trịnh Ngọc Hải-Viện Toán ứng dụng và Tin học - BKHN
330.
0
(3 1) 1
dx
x x

331.
2
1
x
e dx

332.
2
1/
1
1
cos
x
e dx
x

333.
1
x
e
dx
x

334.
3 2
3
1
1
3 1
x x
dx
x x

335.
0
arctan
2
x
x
dx
e

336.
3
3/
1
2 arctan
1
x
x
dx
e

337.
2
1
sin
ln 2
xdx
x x

338.
1
sin
xdx
x

339.
5
3
1
0
ln 1
1
x
x dx
e
340.
3
3
2
0
2
9
x dx
x
341.
1
3
0
5
tan
x x
dx
x x
342.
2
2
0
sin
xdx
x

Tìm
để tích phân hội tụ:
343.
3/
1
1
ln 1
x
e
dx

344.
0
arctan 3
(2 )
x
dx
x

345.
2
1
1
2
dx
x x

346.
1
x
x
dx
e x

347.
1
1
2
dx
x x

348.
1
0
ln 1
1
x
x
dx
e
349.
4 2 5
0
ln(1 )
dx
x x x

350.
3
7 5
1
( 1)
1
x
dx
x x

351.
3
1
sin
dx
x x x

352.
1
0
1
cosh cos
x
e x
dx
x x
353. Tìm
1
2
0
cos
lim
x
x
t
x dt
t
Biên soạn: Ths. Trịnh Ngọc Hải-Viện Toán ứng dụng và Tin học - BKHN
354. Tìm
4
0
3
1
lim
x
x
t dt
x
355. Nếu tích phân
a
f x dx

hội tụ, liệu có thể suy ra
lim 0
x
f x
?
356. Xét tính hội tụ tuyệt đối và bán hội tụ:
0
sin
x
dx
x

357. Xét tính hội tụ tuyệt đối và bán hội tụ:
0
sin
1
p
q
x x
dx
x

358. Xét tính hội tụ tuyệt đối và bán hội tụ:
2
0
cos
x
x e dx

Không gian Metric.
359. Cho không gian metric
( , )
X d
. Ta định nghĩa:
1
,
,
1 ,
d x y
d x y
d x y
a. CMR:
1
d
là một metric
b. CMR:
n
x x
theo
1
d
khi và chỉ khi
n
x x
theo
d
c. CMR:
,
X d
đầy đủ khi và chỉ khi
1
,
X d
đầy đủ
2. Cho 2 không gian metric
1 1
,
X d
và
2 2
,
X d
. Trên
1 2
X X X
ta định nghĩa:
1 1 2 2 1 1 1 2 2
, , , , ,
d x y x y d x y d x y
a. CMR
,
X d
là không gian metric
b. Cho
1 1
,
X d
và
2 2
,
X d
đầy đủ, cmr
,
X d
là không gian metric đầy đủ.
3. Cho
[0,1]
X C
, xét 2 metric
[0,1]
, sup | |
d x y x t y t
;
1
1
0
, | |
d x y x t y t dt
.
a. CMR:
d
n
x x
suy ra
1
d
n
x x
b. Điều ngược lại có đúng không?
c. CMR
1
,
X d
không đầy đủ.
4. CMR trong không gian metric ta có:
A B A B
5. CMR trong không gian metric ta có:
A B A B
6. Cho
[0,1]
X C
, xét metric
[0,1]
, sup | |
d x y x t y t
. Giả sử:
0 [ , ]
a b
x C
. Xét các tập sau:
1 [ , ] 0
{ : , [ , ]}
a b
M x C x t x t t a b
.
2 [ , ] 0
{ : , [ , ]}
a b
M x C x t x t t a b
Biên soạn: Ths. Trịnh Ngọc Hải-Viện Toán ứng dụng và Tin học - BKHN
3 [ , ] 0
{ : [ , ]: }
a b
M x C t a b x t x t
CMR:
M
mở,
2 3
,
M M
đóng
2 3
,
M M
.
7. Trong
1
[ , ]
a b
C
định nghĩa:
1 [ , ]
| | sup | ' |
a b
p x x a x t
,
2 [ , ]
sup | |
a b
p x x t
,
3 [ , ]
sup { | | | ' | }
a b
p x x t x t
.
a. CMR:
1 2 3
, ,
p p p
là các chuẩn trên
1
[ , ]
a b
C
b. CMR:
2 3
,
p p
không tương đương nhau
c. CMR:
1 3
,
p p
không tương đương nhau
Hàm nhiều biến
Tìm miền xác định:
8.
2 2
( , ) 4
f x y x y
9.
2 2
1
( , )
x y
f x y e
10.
2
( , ) ln( 4 8)
f x y y x
11.
( , ) arcsin
y
f x y
x
12. Tìm giới hạn hoặc chứng minh giới hạn không tồn tại:
13.
( , ) (0,0)
1
lim sin
x y
x y
x
14.
2
2 2
( , ) (0,0)
3
lim
x y
x y
x y
15.
2 2
2 2
( , ) (0,0)
2
lim
x y
x y
x y
16.
2 2
( , ) (0,0)
lim
x y
xy
x y
17.
3
2 6
( , ) (0,0)
lim
x y
xy
x y
18.
2 2
2 2 2
( , ) (0,0)
lim
( )
x y
x y
x y x y
19.
3
( , ) (0,0)
lim
1 1
x y
xy
xy
20.
2
2
( , ) (0,0)
lim
9 3
x y
x y
x y
21.
4
2 2 2
( , ) (0,0)
lim
( )
x y
xy
x y
22.
2 2 2 2
4 4 2 2 2 2
6
( , ) ( , )
6
lim
2(1 )
x y
x y x y
x y x y x y
23.
2 2
( , ) (0,0)
1
lim ( )sin
x y
x y
xy
24.
2 2 2
( , ) (0,0)
lim ln( )
x y
x x y
25.
2 2
2
( , ) (2,1)
4
lim
2 2 4
x y
x y
x x xy y
26.
2 2 2
( , ) (0,0)
lim ln( )
x y
x x y
27.
2 2
1/
( , ) (0,0)
lim 1
x y
x y
xy
28.
2 2
1/( )
2 2
( , ) (0,0)
lim cos
x y
x y
x y
29.
Biên soạn: Ths. Trịnh Ngọc Hải-Viện Toán ứng dụng và Tin học - BKHN
Hàm liên tục:
Khảo sát tính liên tục của hàm sau:
30.
3 3
2 2
sin( )
, ( , ) (0, 0)
( , )
0, ( , ) (0, 0)
x y
x y
f x y
x y
x y
31.
2 2
2 2
, ( , ) (0, 0)
( , )
, ( , ) (0, 0)
x y
x y
f x y
x y
a x y
32.
3 3
, 0
3, 0
x y
x y
z
x y
x y
33.
2
sin( )
, 0
, 0
xyz
z
u
z
x z
34.
3 2
2 2
2 2
2 2
, 0
, 0
x xy
x y
z
x y
m x y
Đạo hàm - vi phân:
35. Cho hàm
2 3
( , )
f x y x y
, tính
'
(1,1)
x
f
,
'
(0, 0)
x
f
,
'
(0, 0)
y
f
.
36. Cho
2 2
2
1
( , )
t
x y
f x y e dt
, tính
' '
( , ), ( , ).
x y
f x y f x y
37. Cho
2 2
1/( ) 2 2
2 2
, neu 0
( , )
0, neu 0
x y
e x y
f x y
x y
. Tính
'
(0, 0).
x
f
38. CMR hàm
( , ) sin
x
f x y e y
thỏa mãn
2 2
2 2
0
f f
x y
.
39. CMR hàm
( , ) sin( )
u x t x at
thỏa mãn
2 2
2
2 2
u u
a
t x
.
40. CMR hàm
2 2
/(4 )
1
( , )
2
x a t
u t x e
a t
thỏa mãn
2
2
2
u u
a
t
x
.
41. Cho
2 2
2 2
2 2
, neu 0
( , )
0, neu 0
xy
x y
f x y
x y
x y
. Tìm
''
(0, 0)
xx
f
.
42. Cho
( , ) (2 3 )ln( 2 ).
u x y x y x y
Tìm
100
100
(1, 2).
f
x
43. Cho
2 2
( , ) 3
f x y x xy y
. Tìm
2 2
( , ) 3
f x y x xy y
. Tìm
( , )
df x y
.
44. Cho
( , )
xy
f x y e
. Tìm
2
(1,1)
d f
.
45. Cho
( , )
y
f x y
x
. Tìm
2
(1,1)
d f
.
46. Dùng vi phân cấp 1, tính gần đúng
2 3
(1.03) (1.98)
A
.
47. Tìm
''
xy
f
của hàm hợp
2 2
( , ) 2 , ( , ) , ( , ) 3
f u v u v u x y xy v x y x y
.
Biên soạn: Ths. Trịnh Ngọc Hải-Viện Toán ứng dụng và Tin học - BKHN
48. Tìm
''
xy
f
của hàm hợp
2
( , ) , ( , ) , ( , ) 2
uv
f u v e u x y xy y v x y x y
.
49. Tìm
df
của hàm
2
( 2 , )
xy
f x y e
.
50. Tìm
2
d f
của hàm hợp
2 2 2
( , ) 2 ; ( , ) 2 ; ( , )
f f u v u v u x y xy x v x y x y
.
51. Tìm
'
y x
biết
y x
xác định bởi
2 2
xy
xy x y e
.
52. Tìm
(1,1)
dz
biết
,
z z x y
xác định bởi
3 3 3
2 3 2 3 0, (1,1) 2.
x y z xyz y z
53. Tìm
''
xy
z
biết
,
z z x y
xác định bởi
2 2 2
x y z
x y z e
.
54. Tìm
2
z
x y
biết
,
z z x y
xác định bởi
2 2
2 3
xyz x y z
.
55. Tìm đạo hàm của
2 4 5
( , ) 3
f x y xy x y
tại điểm
1,1
M
theo hướng
(1, 2)
u
.
56. Tìm đạo hàm của
3 2
( , ) 3 4
f x y x xy y
tại
1,2
M
theo hướng của vecto tạo với chiều dương
Ox một góc
30
o
.
57. Tìm đạo hàm của hàm
3 2 2
( , , ) 2 3
f x y z x xy yz
tại
3, 3,1
M
theo hướng của vecto
2,1, 2
58. Tìm đạo hàm của hàm
2
( , , ) 3 4
f x y z x yz
tại
1,2, 1
M
theo hướng của vecto tạo với các
trục tọa độ những góc bằng nhau.
59. Cho
( , ) ln( )
f x y xyz
và điểm
1, 2, 3
M
. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của đạo hàm theo
hướng của hàm số tại M.
Công thức Taylor, Maclaurint:
60. Cho hàm
2
( , ) 2
f x y x xy
và một điểm M(1,2). Tìm công thức Taylor của f tại M đến cấp 2.
61. Tìm khai triển Taylor của
1
( , )
2 3
f x y
x y
đến cấp 2 tại M(1,2).
62. Tìm khai triển Taylor cấp 3 của hàm số
, ln
f x y x y
tại M(1,1).
63. Tìm khai triển Maclaurint của hàm số
, sin
x
f x y e y
đến cấp 3.
Cực trị.
Tìm cực trị của hàm
64.
2 2
( , ) 2
f x y x xy y x y
65.
4 4 2 2
( , ) 2
f x y x y x xy y
66.
2 2
( , ) 1
f x y x y
67.
2 2
( , ) 1 ( 1) ( 1)
f x y x y
68.
2 2
( , ) 32 ln
f x y x y xy
69.
4 4 2 2
( , ) 2 2
f x y x y x y

Tài liệu khác của Đại học Bách Khoa Hà Nội

Preview text:

Biên soạn: Ths. Trịnh Ngọc Hải-Viện Toán ứng dụng và Tin học - BKHN
Trường ĐH Bách Khoa Hà Nội
Viện Toán ứng dụng và Tin Học
ĐỀ CƯƠNG BÀI TẬP HỆ KĨ SƯ TÀI NĂNG Giới hạn dãy số
Tính giới hạn của dãy sau: 1 1 1 1. u    ...  n 13 35
(2n 1)  (2n 1) 1 1 1 2. u    ...  n 1 2  3 2 3 4
n  (n 1)  (n  2)  1 1 1    3. x     ...   n   2 2 2  n  1 n  2
n n  1  4. 1  1 1 1  u    ...  n   n  1  3 3  5
2n 1  2n 1  n 1 13. x  0, n  11...1 5. u nn k 1  k (k  1)
14. x  0, 454545...45
 6. u  13;u  12  u n 1 n 1  n n 45 1 4 2 n 7. 2 u  ,uu u  2n  1  1 n 1   2  3 n n 15. x    n  5n  1 1 8. u  1,u  1 1 n 1  u 2n  1!! n 16. xn 9. k u  5, k u
 5u ; k N 2n !! 1 n 1  n n! 10. u  1 n n n 17. xn n n a n ! 11. x n n ! n 18. x  ln 2
n  1  n n n n ! 12. u n ln 10 n n  1
Chứng minh dãy sau hội tụ  2   2   2        19. x  1  .1  ...1   n   2.3   3.4    
n  1n  2  1  1   1       20. x
 1  1  ...1   n  2    2     2 2 3  n 
Biên soạn: Ths. Trịnh Ngọc Hải-Viện Toán ứng dụng và Tin học - BKHN 1 1 1 21. x    ...   lnn n 1 2 n  1 1 1    22. x     ...   n  n n  1 2n 
x a  1 
23. Cho dãy x thỏa mãn: x b . Tìm lim x n 2  n  xxn 1 nx   n 2  2 x a  1 y b  1 
24. Cho dãy x , y thỏa mãn:  
. Tìm lim x , y . n n x y n nxn nn1  2
y x yn1 n n
x a  0  1 
25. Cho dãy x thỏa mãn:  1  1 . Tìm lim x nx   n  x    n 1  2 n    x   n 1
26. Cho dãy x thỏa mãn: u  1,u  1 . Tìm lim x n 1 n 1  n un 1 4
27. Cho dãy x thỏa mãn: 2 u  ,u
u u . Tìm lim x n 1 n 1 n 2  3 n n
28. Cho dãy x thỏa mãn: u  13;u
 12  u . Tìm lim x n 1 n 1  n n
x x  ...  x 1 2 29. Cho lim xa lim n n , tìm . n 30. Cho lim xa x
lim n x .x ...x n , 0 n , tìm 1 2 n . Khái niệm hàm số Tìm tập xác định 2x   x     31. y  arcsin
33. y  arcsin  log  x  1  10 
32. y  log1  2 cos x
34. Cho f x  x , g x  2  x . Tìm TXĐ của f g  , g f  , g g  , f f  .
Biên soạn: Ths. Trịnh Ngọc Hải-Viện Toán ứng dụng và Tin học - BKHN  x    2 35. Cho f    x
. Tìm f x   x  1
Hàm nào sau đây là hàm chẵn, hàm lẻ: x x
36. f x    2
ln x  1  x
38. f x   2  2  x 37. f x  3  3x x 39. f x  1  ln 1  x
40. Hàm nào sau đây là hàm tuần hoàn, xác định chu kì cơ sở (nếu có)
41. f x   A sin kx B coskx 44. f x  2  sin x f x  sin 2x  sin x 42. f x  1 1
 sin x  sin 2x  sin 3x 45.     2 3 43. f x  2  sin x
46. Liệu có hàm tuần hoàn không có chu kì cơ sở hay không?
Giới hạn của hàm số. Hàm liên tục. Tính giới hạn: 2 1/sin (2 x)  1 47. lim  2 1 tan x  55. lim tanh x0   x 0   x  2 1/ x 48. lim cos x 2
sin 2x  2 arctan 3x  3x x0 56. lim 2  x 0
49. lim cosh x1/(1 cos )
ln(1 3x  sin x) x xxe x0 5 3
110x  1 3x 2 2 x 57. lim  2x  3  2 3 x0 50. lim
arcsin(3x x )  sinh(2x x )  2  x 2x 1     x x  58. lim x ln 1  ln x 2     2  x x   2  2 51. lim  x2 x  2 3 3
cos 4x  cos 5x x 59. lim  x 1  x0 1 cos 3x 52. 1/ lim e    x  x
1 tan x  1 sin x 60. lim 2 x 14  x 3 x0 sin x 53. lim x 2
tan 2x  3arcsin 4x x  2  x 61. lim
x0 sin 5x  6 arctan 7x 2 x 14  x 54. lim x 2 x  2  x
Cho x   , chứng minh rằng: 62. 3 2
x x   O  3 2 3 1 x
64. ln x o x ,  0 arctan x  1     1    63.  O   65. p x x e  o   2  2 1  xx   2  x 
Tìm các điểm gián đoạn của hàm số, xác định loại điểm gián đoạn:
Biên soạn: Ths. Trịnh Ngọc Hải-Viện Toán ứng dụng và Tin học - BKHN 1 x 1
66. f (x)  arctan 71. y  2 x arctan(1 / x) arcsin x 67. f (x)  72. 2
f (x)  ln ln(1 x ) sin 2x 1/ x 1/ 3  2 x 2 68. / (1 ) ( ) 3x x f x   73. f (x)  1/ x 1/ 3  2 x 1 1 x 1 69. f (x)  ln
74. y  (sin x) sin x 1 x x | x | 70. f (x)  arctan x
Tìm a để hàm liên tục: (1 )n x 1 sinh x  ,
x  0, n N  , x  0
75. f (x)   x 76. y   xa, x  0   a, x  0 
Chứng minh phương trình sau có nghiệm duy nhất: 77. 2x x   1 79. 2
x  arctan x  ; a a  0 78. x x e  2
80. x   sin x 1, 0    1 81. CMR: hàm số   1 f x
liên tục trên  0,1 nhưng không liên tục đều trên khoảng đó. x
82. CMR: hàm số f x   sin liên tục và bị chặn trên  0,1 nhưng không liên tục đều trên khoảng x đó.
83. CMR: hàm số f x  2
 sin x liên tục và bị chặn trên  ,
  nhưng không liên tục đều trên khoảng đó. x
84. Kiểm tra tính liên tục đều của hàm số sau trên đoạn cho trước: f x   ,  1  x  1 2 4  x
85. Kiểm tra tính liên tục đều của hàm số sau trên đoạn cho trước: f x   ln x, 0  x  1 x
86. Kiểm tra tính liên tục đều của hàm số sau trên đoạn cho trước: f x  sin 
, 0  x x
87. Chứng minh phương trình sau có vô số nghiệm: x sin x  1 / 2
88. Chứng minh phương trình sau có đúng hai nghiệm: 1 10x  x
89. Chứng minh phương trình sau có đúng hai nghiệm: 2x  4x Đạo hàm. Vi phân.  1 2 x sin : x  0
90. Tính f '0 biết f x   x 0 : x  0 
Biên soạn: Ths. Trịnh Ngọc Hải-Viện Toán ứng dụng và Tin học - BKHN 1/ xe : x  0
91. Tính f '0 ; f '0  biết f x   0 : x  0 
92. Tính f '0 biết f x 2
x  3 | x | 2 97. Tính nf
x biết: f x 2  sin x
93. Tính f ' x biết 98. Tính 100 fx biết: 2      
xcot x sin x f x x 2sin
f x   2 x   1 ln  x   1 2 1 x 99. 100 f     101 0 ; f
0 biết f x  arctan x
94. Tính f ' x biết f x  3 7 x sin x 100. Tính nfx biết: 1 95. Tính nf
x biết: f x  3  x 2 x  4
f (x)  x ln 3  x 1 96. Tính 100 f
x biết: f x  2 x  4 d  sin x   
d arcsin x  101. Tìm:   103. Tìm: d  2
x  x  d arccosx d sin x d  tan x  102. Tìm: 104. Tìm: d cosx d cotx x  1 105. CMR: hàm số y=
có 3 điểm uốn thẳng hàng. 2 x  1 1 nx y    106. CMR:  n n
x y   
 , x y  0, n  1 2  2  x y e exy /2 107. CMR:  e , x y 2 108. Tìm trên đường cong 3
y x điểm có tiếp tuyến song song với dây cung nối 2 điểm A 1  , 1  ,B 2,8. 109.
Kiểm tra tính đúng đắn của định lý Rolle đối với hàm số: f x   x  1x  2x  3 110.
Giải thích tại sao định lý Cô-si không đúng với 2 hàm số: 2 3
f x , g x trên [-1,1]. 1 n d n 111.
CMR: tất cả các nghiệm thực của đa thức P x x n   { 2 1 } đều thuộc 2nn ! n dx  1  ,1.
Biên soạn: Ths. Trịnh Ngọc Hải-Viện Toán ứng dụng và Tin học - BKHN n d 112.
Cho đa thức Tre-bư-sep: L x x en x x e  n
. CMR: tất cả các không điểm của đa n dx thức trên đều dương. n n 2 d 2 113.
CMR: tất cả các nghiệm của đa thức H x   1 x ex e   n đều là số thực. ndx 114.
CMR: | sin x  sin y | |  x y | 115.
CMR: | arctan x  arctan y | |  x y | a b a a b 116. CMR:  ln 
, 0  b a a b b 3 x 117. CMR: x
 sin x x, x  0 6 1/a 1/b 118. CMR:  a a     b b x y
x y  , x,y  0, b a  0 2 119. CMR:
x  sin x x, 0  x 2 x x 1   1   1      120.
CMR: 1    e    1   , x  0  x   x  121.
Xác định giá trị trung gian c khi áp dụng định lý Lagrange vào hàm số 2
3  x : x 1   f x 2   trên đoạn [0, 2] . 1  : x  1   x
Khai triển hàm số sau thành chuỗi Maclaurint đến cấp n : 2 x  3 x e 129.
f x  x cosh 3 , x n  5 122. f x  , n  3 2 x e 130. f x 2
x  cosh x, n  5 2  3x 123.
f x  ln , n  3 1 3  2x 131. f x  , n  8 2 2 x  4
x  2  2 - x 124. f x  , n  3 2 1 x  5x  6 132. f x  , n  9 2 2 x x 1 x  5x  5 125. f x  , n  3 133.   x cos x f x e , n  4 2 x x  2 1 126. f x   2
ln x  3x  2, n  4 134. f x  , n  5 2 3
1 x x x 127. f x   2
ln x x 1,n  5 2 1 1 x 135. f x  , n  6 4 x 1 2 1 1 x 128. f x  , n  4 2 x 1
Tìm khai triển Taylor tại x đến cấp n 0 136.   2 2  ( 1) x f x x
e , x  1, n  3 2x  1 0 138. f x 
ln x, x  1, n  4 0 137.
f x  ln 2x  
1 , x  1 / 2, n  3 x -1 0
Biên soạn: Ths. Trịnh Ngọc Hải-Viện Toán ứng dụng và Tin học - BKHN 2 x  3x x  2 139. f x 
, x  1, n  3 142. f x 
, x  2, n  5 0 0 x 1 3 2 x  4x  5 140. f x 2 x 2x 1 e  
, x  1, n  4 0 1 141. f x 
, x  1, n  4 0 2 2x - x
Ứng dụng đạo hàm, tính giới hạn: ln(1 x)  x 1/ x 143. lim   x  2 161. lim tan x0 tan x   x  2x 1  ln(tan x) 144. lim 2 1/ x  arcsin x x   / 4 cot 2x 162. lim   2 x0 x arcsin xx  145. lim 2 x
x0 x cos x  sin x cos x 1 arctan(x 1) 2 146. lim 163. lim 4 x0 x x 1  2 x x  2
arctan x  arcsin x tan x x 164. lim 147. lim x0 tan x  sin x
x0 arcsin x  ln(1 x)
1 x cos x  1 2x 1/ x 1/
 (1 x) x  165. lim 148. lim x0   ln(1 x)  x x0 e    x 1 x 1 x 149. lim arcsin xtan 166. lim 2 x0 x x 0  arctan x 150. 1/ln(sinh ) lim x x e  ln(1 x) 1 167. lim x 0  x0 3 2  4  x 151. lim    x x  1 ln x sin x x0 e  ln(1 x) 1 x 168. lim 152.  x x  1/ 2 lim 3 3 x0
arcsin x  sin x x tan x 2 sin x x xe  sin x x ee 169. lim 153. lim 3 x0
x x  tan x
x0 sin x x 2 x 2 3 3
x e  ln(1 x )  arcsin x 154. lim n x x e 170. lim 2 x x0
x sin x x  1 1  3 4 155. lim 
1 2x  cos x   171. lim x0  x arcsin x x0 tan x x  1 1  x /(1 x) 156. lim  e
 sinh x  cos x   172. lim  2 x 1   x arctan x x  6 6 x0
1 x  1 x  2 2 1/ x 157. lim cos x 1/  3
cosh 2x  (1 3x)  x x0 173. lim 2 x0 x
x / 2  ln(1 tan x)  arcsin x x 1 158. lim sin x 2 x 1
 ln x x  1 e
 1 x  arcsin x 174. lim 1 2  1 1 
x0 sinh(x x )  ln 1 2x 159. lim   
x0 x  tanh x tan x
sin arctan x  tan x 175. lim x sinh x 1/ 2 2 x0 160. lim tan xtan2 e  (1 2x)  x x   /4
Biên soạn: Ths. Trịnh Ngọc Hải-Viện Toán ứng dụng và Tin học - BKHN arcsin x x xe x
e  ln(1 sin x) 1 176. lim 180. lim x0 2
x 1 x  tan x x0 3 4 8  x  2 2
tan x  ln(x  1 x ) 3 sin 1 x  sin1 177. lim 181. lim x0
sin x x cos x 5 x0
1 2x ln cos x 1 x 2
e  1 2x  2x cos x 3 2 ee 1 4x 178. lim 182. lim x0
x  tan x  sin 2x 2
x0 (1 / x) arcsin 2x  2 cosh x x
e x 1 x 1 179. lim
x0 sin x cosh x  sinh x
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số cho bởi tham số sau: 183. 3 2 3
x t  2t t, y  2
  3t t 2 2 t t 1 189. x  , y  184. 3 3
x t  3 , y t  6 arctan t t 1 t 3 3 2 2 2 t t  2t t t 1 185. x  , y  190. x  , y  2 2 2 1 t 1 t t 1 t  2 186.
x t  sin t, y  1 cos t 1 1 191. x  , y  2 3 187.
x  cos t  ln tan(t / 2), y  sin t t t t t t t 2 3 t 1 t 1 192. 2
x e t, y e  2t 188. x  , y t 2 t t e 193. x
y  t  2 , 1 t e t
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số cho trong tọa độ cực sau: 194. r  2  cos 2 198. r  1 195. r  1 2 cos cos 196. r  cos 3 199. r  tan 2 197. r  1 tan  200. r  1 tan  201. r  2(1  cos) Tích phân.
Tính nguyên hàm bằng công thức cơ bản:
x  1x  2x  3x  4 3 2
x  3x  4x  9 202. dx  205. dx  x xx  215 dx 2 4x  9x  10 206.  203. dx   2 2x  5 2 x  3 2x  1 3 2
2x  5x  11x  4 xdx 204. dx  207.  x  130 4 1  x
Tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến x 208. 9 x .  2x  34 4 5 dx 210. dx  2 x x  1 2 x  3x  5 209. dx  3 x  211. dx  2x  14 7 2 x x  1
Biên soạn: Ths. Trịnh Ngọc Hải-Viện Toán ứng dụng và Tin học - BKHN dx  212.  215. 2 2 a x dx  2 x x  4 2 x dx 1  x 216.  213. dx  2 2 x a 1  x dx 214.  2 2 x 4  x
Tính nguyên hàm bằng phương pháp tích phân từng phần: 217. 3x cos xdx  222. 2
cos ln x dx  2 218. x e dxx dx 223.  2 arcsin x 9  x 219. dx  2 2 x x 224. dx  2 2 220.  2 arcsin x dx  x  1 dx 221.  a x 2 2 2 Tính tích phân: 3x  2   225. dx  234. 2 x x x 1dx  2 x  4x  5 dx dx 235.  226.  2 3 sin x cos x x  1 dx 227. 2
x  2x  5dx  236.  tan x dx dx 228.  237. 2  1  x
1  sin x  cos x 3x  5
1  sin x  cos x 229. dx  238. dx
x  4x  52 2
1  sin x  cos x dx dx 239.  230.   2  x  2 1 1  x x  7 x  1 240. x arccos 
5x  1dx x  1 231. 3 dxx  1 dx 241.  2 x x  1 cosn x 232. dxdx 2 x x x  1 242.  2 2 n dxx a  233.  x  3 2 1 x  2x
Tính giới hạn của các dãy sau:
Biên soạn: Ths. Trịnh Ngọc Hải-Viện Toán ứng dụng và Tin học - BKHN 1  2 (n  1)   243. sin  sin    sin  n  n n n  1  1 2 n  244.  1   1     1     n  n n n  1 2 2n  1 245.     2 2 2 n n n 1 1 1 246.     2 2 2 2 2 4n  1 4n  2 4n n n k / 2 n 247.  n  1 / k k 1  1 1 1 248.     n  1 n  2 n n Tính các đạo hàm sau: 2  x   cosxd       d  3  249. 2  1  t dt    251.  cos t  dt    dx        dx    0   sinx   1  3  xd   d dt  2       250. te dt   252.   dx        dx 4   1  t x  2  x  Tính giới hạn: x x 2 cost dt  2 (arctan t) dt  253. 0 lim 255. 0 lim x 0 x x  2 x  1 sin x tan tdt  254. 0 lim  tan 0 x x sin tdt  0 Tính các tích phân sau: 4 1 dx 256.  259. 15 8 x 1  3x dx  2 x  9 7 0 e /4 cos(ln x)dx cos 2x 257.  260. dxx 3 1
0  sin x  cos x  2  1 /6 cos x 258. x e  1dx  261. dx  2 1 
6  5 sin x  sin x 0
Biên soạn: Ths. Trịnh Ngọc Hải-Viện Toán ứng dụng và Tin học - BKHN /2 /2 cos x 262. dx  269. cos 2x   4 4
sin x  cos x dx 7  cos 2x 0 0 /2 6 1 sin x ln(1  x)dx 263. dx  270.  6 6 sin x  cos x 2 (1  x ) 0 0 /4 2 264. 6 tan xdx  271.
 1   1 /  x1/x x x e dx 0 1/2 /4 dx 1 265.  arcsin xdx 3 272.  cos x 0 0 1 dx e dx 266.  273.  2 0 x  2x  1 x 1  ln x 1 1/3 267. 2 cosh 3xdx  0 3 x 268. arcsin dx  1  x 0 2 274.
Xác định dấu của tích phân sau: x sin xdx 0 2sinx 275.
Xác định dấu của tích phân sau: dx x 0 1 276.
Xác định dấu của tích phân sau: 2 x ln xdx 1/2 1 1 2 277. So sánh x  , x e dx edx   0 0 1 n x 278. CMR: lim dx  0  n  1  x 0 /2 279. CMR: lim sinn xdx  0  n  0
Ứng dụng tích phân xác định:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
Biên soạn: Ths. Trịnh Ngọc Hải-Viện Toán ứng dụng và Tin học - BKHN  2 y  2  x  282. 4 4 2 2
x y x y 280.  3 2 y x r    283. 2 cos   2 2
x y  16  281.  2
x  12(y  1)  Tính độ dài cung:
x a t  sint   286.
r a 1  cos 284.    y a   t , 0 t 2 1 cos    arcsin   x y e  287. 0  x  1 285. 3 r a sin  3
Tính thể tích vật thể tròn xoay thu được 2 2 x y 288. Khi quay   1 quanh Ox hoặc Oy. 2 2 a bxy e  289. Khi quay  quanh Ox hoặc Oy. x  0, y  0   2 y  sin x  290. Khi quay  quanh Ox.
x  0, x  291. Khi quay 2
r a cos quanh trục gốc.
Tính diện tích xung quanh của vật thể tròn xoay thu được:
y  tan x  292. Khi quay  quanh Ox.
x  0, x / 4  293. Khi quay 2/3 2/3 xy  1 quanh Ox. 294.
Khi quay x  y  2 2 2  1 quanh Ox. Tích phân suy rộng:
Tính tích phân suy rộng:   dx 2 (x  1) 295.  299. dx  2 x  5x  6 3 x(x  1) 4 2   dx dx 296.  300.  5 10 1 x 1  x xx  2 3 2 1 (x  1)   x  3 297. 2  x e cos xdx  301. dx  2 0
x(x x  1) 1  1  dx 298. dx
(x  1)(x  2) 302.  x x  3 e e 0
Biên soạn: Ths. Trịnh Ngọc Hải-Viện Toán ứng dụng và Tin học - BKHN   1 dx 303. dx  315.  2 cosh (x) 2 2 0 0 (4x  1) x  1   dx 2 x  12 304.  316. dx  6 x(x  3) 2 2 1 1 x  1  1  305. dx  arctan x x x 317. dx  0 ee 1  x 3/2 2 0  1 306. dx  4 2 x(ln x  1) dx 1 318.  x  2  2 2x 307. dx  1 4x  1 dx 0 319. 
(2  x) 1  x  0 dx 308.  2 dx x 0 e  1 320.  2  1 x  1 dx 309.  1  3 3
2  x x dx sinh x 1 321.  5 3  0 x xdx 310.  1 2x dx 0 322.  2  1 (4 x) 1 x    xdx 311.  2 4 3 x  1 x dx 2 323.  2 2  2 (1 x ) 4 x    dx 312.  2 2 x ln x dx e 324.   x x  1 1 dx 313.  2  dx x   x 2 2 0 1 325.  2 1 x x  1  dx 314.  2 3 (x x  1)  Xét sự hội tụ:   dx arctan xdx 326.  328.  5x  ln x 2 2x  2 ln x 1 1   3xdx dx 327.  329.  3 2x  sin 3x
(3x  1) x  1 1 0
Biên soạn: Ths. Trịnh Ngọc Hải-Viện Toán ứng dụng và Tin học - BKHN   dx sin xdx 330.  337. 
(3x  1) x  1 2 x  ln 2x 0 1   2 sin xdx 331. x edx  338.  x 1 1    1 ln 5 3 1  x dx 2 1   332. 1/x  e  cos dx    x  339.  x 1 e  1 0  x e 3 3 2x dx 333. dxx 340.  1 2 0 9  x  3 2 x x  1 1 3 5x x 334. dx  3 dx x  3x  1 341.  1 tan x x 0  arctanx  2 sin xdx 335. dx  342. 2 xe  2 0 x 0  3
 2 arctan x 336. dx  3/x e  1 1
Tìm để tích phân hội tụ:   3/x 1 e 1   ln 1  x    343. ln1  dx   dx  348.    x e   1 1 0   arctan 3x dx 344. dx  349.  (2  x)
x  ln(1  x ) x  0  4 2  5 0  1  3 (x  1) 345. dxdx 2 350.  x  2x  7 5 1 1 x x  1  x  dx 346. dxx 351.  e x  3
x  sin x x  1  1  1 1 x 347. dxe  1  x dx x  2x  352.  1 cosh x  cos x 0 1 cost 353. Tìm lim x dt  2 x 0 t x
Biên soạn: Ths. Trịnh Ngọc Hải-Viện Toán ứng dụng và Tin học - BKHN x 4 1  t dt  354. Tìm 0 lim 3 x  x  355. Nếu tích phân f
 x dx hội tụ, liệu có thể suy ra lim f x   0 ? x  a  sin x 356.
Xét tính hội tụ tuyệt đối và bán hội tụ: dxx 0  p x sin x 357.
Xét tính hội tụ tuyệt đối và bán hội tụ: dx  1 qx 0  358.
Xét tính hội tụ tuyệt đối và bán hội tụ: 2 cos   x x e dx 0 Không gian Metric.
d x,y  359.
Cho không gian metric (X,d). Ta định nghĩa: d x,y  1  
1  d x,y
a. CMR: d1 là một metric b. CMR: xx d xx n
theo 1 khi và chỉ khi n theo d
c. CMR:  X,d  đầy đủ khi và chỉ khi  X,d1  đầy đủ
2. Cho 2 không gian metric  X ,d X ,d
X X X 1 1  và  2 2 . Trên 1 2 ta định nghĩa:
d x ,y , x ,y
d x ,y d x ,y 1 1   2 2  1  1 1   2 2 
a. CMR  X,d  là không gian metric b. Cho  X ,d X ,d X,d 1 1  và  2 2  đầy đủ, cmr 
 là không gian metric đầy đủ. 1 3. Cho X C d x,y  sup
| x t y t | d x,y
| x t y t | dt [0,1] , xét 2 metric   [0,1]  
  ; 1        . 0 d d
a. CMR: x  x x   x n suy ra 1 n
b. Điều ngược lại có đúng không?
c. CMR  X,d1  không đầy đủ.
4. CMR trong không gian metric ta có: A B A B
5. CMR trong không gian metric ta có: A B A B 6. Cho X C d x,y  sup | x t y t | x C [0,1] , xét metric   [0,1]     . Giả sử: 0
[a,b] . Xét các tập sau:
M  {x C
: x t x t ,t  [a,b]} 1 [a,b ]   0   .
M  {x C
: x t x t ,t  [ , a b]} 2 [a,b]   0  
Biên soạn: Ths. Trịnh Ngọc Hải-Viện Toán ứng dụng và Tin học - BKHN
M  {x C
: t  [a,b]: x t x t } 3 [a,b]   0   CMR: M M , M M , M 1 mở, 2 3 đóng 2 3 . 7. Trong 1 C p x |  x a |  sup
| x ' t | p x  sup | x t |
[a,b ] định nghĩa: 1     [a,b]   , 2   [a,b]   , p x  sup
{ | x t |  | x ' t | } 3   [a,b ]     .
a. CMR: p , p , p C 1 2 3 là các chuẩn trên 1[a,b] b. CMR: p , p 2
3 không tương đương nhau c. CMR: p , p 1
3 không tương đương nhau Hàm nhiều biến Tìm miền xác định: 8. 2 2
f (x,y)  4  x y 1  2 2 9. ( , ) x y f x y e 10. 2
f (x,y)  ln(y  4x  8) y
11. f (x, y)  arcsin x
12. Tìm giới hạn hoặc chứng minh giới hạn không tồn tại:  1    4 xy 13. lim
x y sin    21. lim (x,y)(0,0) x  2 2 2
(x,y)(0,0) (x y ) 2 3x y 2 2 2 2 14. lim
x y  6  x y 2 2 lim
(x,y)(0,0) x y 22. (x,y)( ,  ) 6 4 4 2 2 2 2
x y  2(1  x y )  x y 2 2 x  2y 15. lim 2 2
(x,y)(0,0) x y 1 23. 2 2
lim (x y )sin xy (x,y)(0,0) xy 16. lim 2 2
(x,y)(0,0) x y 24. 2 2 2 lim
x ln(x y ) (x,y) (0,  0) 3 xy 17. lim 2 2 x  4y 2 6
(x,y)(0,0) x y 25. lim 2
(x,y)(2,1) x  2x  2xy  4y 2 2 x y 18. lim 26. 2 2 2 lim
x ln(x y ) 2 2 2
(x,y)(0,0) x y  (x y) (x,y) (0,  0) xy x y   19. lim 27. lim 1 xy  2 2 1/ (x,y)(0,0) 3 1  1  xy (x,y)(0,0)  x y  2 x y 28. lim
cos x y  2 2 1/( ) 2 2 20. lim (x,y)(0,0) (x,y)(0,0) 2
x y  9  3 29.
Biên soạn: Ths. Trịnh Ngọc Hải-Viện Toán ứng dụng và Tin học - BKHN Hàm liên tục:
Khảo sát tính liên tục của hàm sau:  3 3
 sin(x y )    sin(xyz) 
, (x,y)  (0, 0)   , z  0  30. 2 2
f (x,y)   x y 33. u   z    2   0, (x,y)  (0, 0) x , z  0    2 2   3 2 x yx xy   2 2 
, (x,y)  (0, 0)  , x y  0   2 2 31. 2 2
f (x,y)  x y
34. z   x y     2 2  a, (x,y)  (0, 0)  m, x y  0    3 3  x y  , x y  0 
32. z   x y   3, x y  0 
Đạo hàm - vi phân: 35. Cho hàm 2 3
f (x,y)  x y , tính ' f (1,1) f f x , ' (0, 0) x , '(0, 0) y . 2 2 x y 2
36. Cho f (x, y) te dt  , tính ' '
f (x,y), f (x,y). x y 1 2 2  1  /(x y  ) 2 2 e
, neu x y  0 
37. Cho f (x, y)   . Tính ' f (0, 0). 2 2  0,
neu x y  0 x  2 2  ff 38. CMR hàm ( , ) x
f x y e sin y thỏa mãn   0 . 2 2 xy 2 2  uu
39. CMR hàm u(x, t)  sin(x at) thỏa mãn 2  a . 2 2 tx 1 2 2 2 uu 40. CMR hàm x  /(4a t)
u(t, x)  e thỏa mãn 2  a . 2a t 2 tx  xy 2 2 
, neu x y  0  41. Cho 2 2
f (x,y)  x y f  . Tìm ' (0, 0) xx .  2 2  0,
neu x y  0  100  f
42. Cho u(x,y)  (2x  3y)ln(x  2y). Tìm (1, 2). 100 x 43. Cho 2 2
f (x,y)  x  3xy y . Tìm 2 2
f (x,y)  x  3xy y . Tìm df (x,y). 44. Cho ( , ) xy
f x y e . Tìm 2 d f (1,1). y
45. Cho f (x, y)  . Tìm 2 d f (1,1). x
46. Dùng vi phân cấp 1, tính gần đúng 2 3
A  (1.03)  (1.98) . 47. Tìm '' f
f u v u v u x y xy v x y x y xy của hàm hợp 2 2 ( , ) 2 , ( , ) , ( , ) 3 .
Biên soạn: Ths. Trịnh Ngọc Hải-Viện Toán ứng dụng và Tin học - BKHN 48. Tìm '' f uv f u v e
u x y xy y v x y x y xy của hàm hợp 2 ( , ) , ( , ) , ( , ) 2 .
49. Tìm df của hàm 2 (  2 , xy f x y e ). 50. Tìm 2 d f của hàm hợp 2 2 2
f f (u,v)  2u v ;u(x,y)  xy  2x;v(x,y)  x y .
51. Tìm y 'x  biết y x  xác định bởi 2 2 xy
xy x y e .
52. Tìm dz(1,1) biết z z x,y  xác định bởi 3 3 3
x  2y z  3xyz  2y  3  0, z(1,1)  2. 53. Tìm '' z
z z x,y xy biết   xác định bởi 2 2 2 x y z x y z e      . 2  z 54. Tìm
biết z z x,y  xác định bởi 2 2
xyz x y  2z  3 . xy  55. Tìm đạo hàm của 2 4 5
f (x,y)  xy  3x y tại điểm M 1,1 theo hướng u  (1, 2  ). 56. Tìm đạo hàm của 3 2
f (x,y)  x  3xy  4y tại M 1,2 theo hướng của vecto tạo với chiều dương Ox một góc 30o .
57. Tìm đạo hàm của hàm 3 2 2 f (x, ,
y z)  x  2xy  3yz tại M 3, 3,1 theo hướng của vecto 2,1,2
58. Tìm đạo hàm của hàm 2 f (x, ,
y z)  x  3yz  4 tại M 1,2, 1
  theo hướng của vecto tạo với các
trục tọa độ những góc bằng nhau.
59. Cho f (x, y)  ln(xyz) và điểm M 1, 2  , 3
  . Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của đạo hàm theo
hướng của hàm số tại M.
Công thức Taylor, Maclaurint: 60. Cho hàm 2
f (x,y)  x  2xy và một điểm M(1,2). Tìm công thức Taylor của f tại M đến cấp 2. 1
61. Tìm khai triển Taylor của f (x, y)  đến cấp 2 tại M(1,2). 2x  3y
62. Tìm khai triển Taylor cấp 3 của hàm số f x,y   ln x y  tại M(1,1).
63. Tìm khai triển Maclaurint của hàm số  ,  x
f x y e sin y đến cấp 3. Cực trị.
Tìm cực trị của hàm 64. 2 2
f (x,y)  x xy y  2x y 65. 4 4 2 2
f (x,y)  x y x  2xy y 66. 2 2
f (x,y)  1  x y 67. 2 2
f (x,y)  1  (x  1)  (y  1) 68. 2 2
f (x,y)  x y  32 ln xy  69. 4 4 2 2
f (x,y)  2x y x  2y

Tài liệu liên quan: