Lời giải chi tiết đề tham khảo kỳ thi tốt nghiệp THPT môn Toán từ năm 2025

Xin giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh lớp 12 lời giải chi tiết đề tham khảo (minh họa) kỳ thi tốt nghiệp THPT môn Toán từ năm 2025. Mời bạn đọc đón xem!

Biên son: Trương Văn Bng 0988456720 TÀI LIU ĐP
Page | 1
ĐỀ MINH HA TT NGHIP THPT 2025
PHN I. Thí sinh tr li t câu 1 đến câu 12. Mi câu hi thí sinh ch chn mt phương án.
Câu 1. Nguyên hàm ca hàm s
(
)
=
x
fx e
là:
A.
+
+
+
x
e
C
x
1
1
. B.
+
x
eC
. C.
+
x
e
C
x
. D.
+.
x
xe C
1
.
Li gii
= +
xx
e dx e C
Đáp án: B
Câu 2. Cho hàm s
liên tc, nhn giá tr dương trên đon
[ ]
;ab
. Xét hình phng
( )
H
gii hn
bi đ th hàm s
( )
=
y fx
, trc hoành và hai đưng thng
=xa
,
=
xb
. Khi tròn xoay đưc to thành
khi quay hình phng
(
)
H
quanh trc
Ox
có th tích là:
A.
( )
= π
b
a
V f x dx
. B.
(
)
= π
b
a
V f x dx
2
. C.
( )
= π


b
a
V f x dx
2
2
. D.
( )
=


b
a
V f x dx
2
.
Li gii
Th tích khi tròn xoay đưc to thành khi quay hình phng
( )
H
gii hn bi đ th hàm s
(
)
=y fx
,
trc hoành và hai đưng thng
=
xa
,
=xb
quanh trc
Ox
được tính theo công thc:
( )
=


b
a
V f x dx
2
.
Đáp án: D
Câu 3. Hai mu s liu ghép nhóm
M
1
,
M
2
có bng tn s ghép nhóm như sau:
M
1
Nhóm
[
)
;8 10
[
)
;10 12
[
)
;12 14
[
)
;14 16
[
)
;16 18
Tn s 3 4 8 6 4
M
2
Nhóm
[
)
;8 10
[
)
;10 12
[
)
;12 14
[
)
;14 16
[
)
;16 18
Tn s 6 8 16 12 8
Gi
s
1
,
s
2
ln lưt là đ lch chun ca mu s liu ghép nhóm
M
1
,
M
2
. Phát biu nào sau đây là đúng?
A.
=ss
12
. B.
=ss
12
2
. C.
=ss
12
2
. D.
=ss
12
4
.
Li gii
Mu s liu
M
1
M
1
Nhóm
[
)
;8 10
[
)
;10 12
[
)
;12 14
[
)
;14 16
[
)
;16 18
Tn s 3 4 8 6 4
i
x
9 11 13 15 17
=
n 25
++++
= =
.. . . .
x
3 9 4 11 8 13 6 15 4 17 333
25 25
Độ lch chun ca mt mu s liu ghép nhóm đưc tính theo công thc:
( )
( ) ( )
( ) ( )
++++−−
= = ,
xxxxx
s
2222 2
9 11 13 15 1
5
34 8
25
6
2
4 7
44
Mu s liu
M
2
M
2
Nhóm
[
)
;8 10
[
)
;10 12
[
)
;12 14
[
)
;14 16
[
)
;16 18
Tn s 6 8 16 12 8
i
x
9
11
13 15 17
Biên son: Trương Văn Bng 0988456720 TÀI LIU ĐP
Page | 2
=n 50
++++
= =
.. . . .
x
6 9 8 11 16 13 12 15 8 17 333
50 25
Độ lch chun ca mt mu s liu ghép nhóm đưc tính theo công thc:
( )
( )
(
)
(
)
( )
++++
−−
= = ,
xxxxx
s
22222
6 8 16 12
5
89 11 13 15 17
2 44
50
Đáp án: A
Nhn xét: Hai mu s liu có cùng các nhóm như nhau, tn s ca các nhóm tương ng t l (Mu
M
2
gp
2 ln mu
M
1
), nên đ lch chun ca hai mu s liu bng nhau.
Câu 4. Trong không gian vi h trc ta đ
Oxyz
, phương trình ca đưng thng đi qua đim
( )
;;M 1 35
và có mt vectơ ch phương
( )
;;u 2 11
là:
A.
−−
= =
xyz
135
2 11
. B.
−−+
= =
xyz
135
2 11
.
C.
−+
= =
xyz135
2 11
. D.
++
= =
xyz135
2 11
.
Li gii
Phương trình đưng thng đi qua đim
(
)
;;
M 1 35
và có mt vectơ ch phương
( )
;;2 11
là:
−+
= =
xyz135
2 11
.
Đáp án: C
Câu 5. Cho hàm s
+
=
+
ax b
y
cx d
( )
−≠,c ad bc00
có đ th như hình v bên. Tim cn ngang ca đ th
hàm s là:
A.
=
x 1
. B.
=y
1
2
. C.
=y 1
. D.
=x
1
2
.
Li gii
T đồ th hàm s, ta thy tim cn ngang ca đ th hàm s đường thng
=y
1
2
.
Đáp án: B
Câu 6. Tp nghim ca bt phương trình
( )
−<log x
2
13
là:
A.
( )
;19
. B.
( )
;9
. C.
( )
+;9
. D.
( )
;17
.
Li gii
Bt phương trình
( )
−<
log x
2
13
tương đương vi:
< −<x
3
0 12
< −<  x0 18
<<x19
.
Đáp án: A
Biên son: Trương Văn Bng 0988456720 TÀI LIU ĐP
Page | 3
Câu 7. Trong không gian vi h trc ta đ
Oxyz
, cho mt phng
( )
P
có phương trình
−+= x yz3 80
.
Vectơ nào sau đây là mt vectơ pháp tuyến ca mt phng
( )
P
?
A.
( )
;;n
1
1 31
. B.
(
)
−−
;;n
2
131
. C.
( )
;;n
3
1 38
. D.
( )
;;n
4
138
.
Li gii
Vectơ pháp tuyến ca mt phng
( )
P
có phương trình
−+= x yz3 80
( )
−−
;;
131
.
Đáp án: B
Câu 8. Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình ch nht và
(
)
SA ABCD
. Mt phng nào sau
đây vuông góc vi mt phng
( )
ABCD
?
A.
( )
SAB
. B.
( )
SBC
. C.
( )
SCD
. D.
( )
SBD
.
Li gii
Mt phng
(
)
SAB
vuông góc vi mt phng
(
)
ABCD
( )
SA ABCD
( )
SA SAB
.
Đáp án: A
Câu 9. Nghim ca phương trình
=
x
26
là:
A.
=x log
6
2
. B.
=x 3
. C.
=x 4
. D.
=
x log
2
6
.
Li gii
Phương trình
=
x
26
có nghim
=x log
2
6
.
Đáp án: D
Câu 10. Cp s cng
( )
n
u
=u
1
1
=u
2
3
. S hng
u
5
ca cp s cng là:
A. 5. B. 7. C. 9. D. 11.
Li gii
Công thc tng quát ca cp s cng
( )
n
u
là:
( )
=+−
n
uu n d
1
1
, trong đó
d
là công sai ca cp s cng.
T
=u
1
1
=u
2
3
, ta có
= =−=du u
21
31 2
.
Do đó,
=+=+ =.uu d
51
4 1 42 9
.
Đáp án: C
Câu 11. Cho hình hp
′′
.ABCD A B C D
(minh ha như hình bên).
Phát biu nào sau đây là đúng?
A.
++
=
′′
AB BB B A AC
   
. B.
++
=
′′
AB BC C D AC
   
.
C.
++=AB AC AA AC
   
. D.
+
+=
AB AA AD AC
   
.
Li gii
Theo quy tc hình hp ta có
+
+=AB AA AD AC
   
Đáp án: D
Câu 12. Cho hàm s có đ th như hình v bên. Hàm s đã cho đng biến trên khong nào sau đây?
A.
( )
−−; 1
. B.
( )
;1
. C.
( )
;11
. D.
( )
+∞;1
D
C
A
D'
A'
B'
C'
B
x
y
-1
-2
2
O
1
Biên son: Trương Văn Bng 0988456720 TÀI LIU ĐP
Page | 4
Li gii
T đồ th hàm s, ta thy hàm s đồng biến trên khong
( )
;11
.
Đáp án: C
PHN II. Thí sinh tr li t câu 1 đến câu 4. Trong mi ý (a), (b), (c), (d) mi câu, thí sinh chn đúng
hoc sai.
Câu 1. Cho hàm s
( )
= +cosfx x x2
.
a)
( )
ππ

= =


;ff02
22
.
b) Đo hàm ca hàm s đã cho là
( )
= +
sinfx x
21
.
c) Nghim ca phương trình
( )
=fx 0
trên đon
π



;0
2
π
6
.
d) Giá tr ln nht ca
( )
fx
trên đon
π



;0
2
π
+ 3
6
.
Li gii
(a)
( )
= +=cosf 0 2 00 2

= +=


f cos2
2 22 2

. Đúng.
(b) Đạo hàm ca
( )
= +cosfx x x2
( )
=−+sinfx x21
. Sai.
(c)
( )
=−+sinfx x21
khi đó

= +=


sinf 2 10
66

, suy ra
=x
6
là nghim ca phương trình
( )
=
fx 0
trên đon



;0
2
. Đúng.
(d)
( )
= +cosfx x x2
,
( )
=−+sinfx x21
có nghim

=


;x

0
62
,
( )
ππ

= =


;,ff02
22

= += +


cosf 23
6 66 6

. Do đó, giá tr ln nht ca
( )
fx
trên đon



;0
2
π
+ 3
6
. Đúng.
Câu 2. Mt ngưi điều khin ô đang đưng dn mun nhp làn vào đưng cao tc. Khi ô tô cách đim
nhp làn 200 m, tc đ ca ô tô là 36 km/h. Hai giây sau đó, ô tô bt đu tăng tc vi tc đ
( )
= +v t at b
(
,
ab R
,
>a 0
), trong đó
t
thi gian tính bng giây k t khi bt đu tăng tc. Biết rng ô tô nhp làn
cao tc sau 12 giây và duy trì s tăng tc trong 24 giây k t khi bt đu tăng tc.
a) Quãng đưng ô tô đi đưc t khi bt đu tăng tc đến khi nhp làn là 180 m.
b) Giá tr ca
b
là 10.
c) Quãng đưng
( )
St
(đơn vị: mét) mà ô tô đi đưc trong thi gian
t
giây (
≤≤t0 24
) k t khi tăng tc
được tính theo công thc
( ) ( )
=
S t v t dt
24
0
.
d) Sau 24 giây k t khi tăng tc, tc đ ca ô tô không vưt quá tc đ ti đa cho phép là 100 km/h.
Li gii
(a) Tốc đ ban đu ca ô tô là 36 km/h = 10 m/s.
Quãng đưng ô tô đi đưc trong 2 giây đu tiên là:
( )
= =.Sm
1
10 2 20
.
Quãng đưng ô tô đi đưc t khi bt đu tăng tc đến khi nhp làn là:
= −=S
2
200 20 180
m. Đúng.
(b) Ta có
( )
= +
v t at b
. (cn phi nói rõ đơn v
/ms
)
Thời điểm bt đu tăng tc ta có
=t 0
,
=v 10
( )
⇒==vb0 10
. Đúng.
(c) Do
( )
>vt 0
với
≤≤t00
, đó đó quãng đưng
( )
St
mà ô tô đi đưc trong thi gian
t
giây
( )
≤≤t0 24
k t khi tăng tc đưc tính theo công thc:
( ) ( )
=
t
S t v t dt
0
. Còn công thc
( ) ( )
=
S t v t dt
24
0
quãng đường ô tô đi đưc trong 24 giây. Sai.
Biên son: Trương Văn Bng 0988456720 TÀI LIU ĐP
Page | 5
(d) Ta có
( )
= +v t at 10
.
Biết xe nhp làn sau 12 giây k t lúc tăng tc, nên
( ) ( ) ( )

= + = + = ⇒= = + /


t
at dt a t a a v t t m s
2
12
0
12
15 15
180 10 10 192 10
0
2 16 16
Tc đ ca ô tô sau 24 giây là:
( )
(
) ( ) ( )
= + = /= /> /.,v ms kmh kmh
15
24 24 10 32 5 117 100
16
. Sai.
Câu 3. Trưc khi đưa mt loi sn phm ra th trưng, ngưi ta đã phng vn ngu nhiên 200 khách hàng
về sn phm đó. Kết qu thng kê như sau: có 105 ngưi tr li “s mua”; có 95 ngưi tr li “không mua”.
Kinh nghim cho thy t l khách hàng thc s s mua sn phm tương ng vi nhng cách tr li “s mua”
và “không mua” ln lượt là 70% và 30%.
Gi
A
là biến c “Ngưi đưc phng vn thc s s mua sn phm”.
Gi
B
là biến c “Ngưi đưc phng vn tr li s mua sn phm”.
a) Xác sut
( )
=PB
21
40
( )
=PB
19
40
.
b) Xác sut có điu kin
( )
|=
,
P AB 03
.
c) Xác sut
( )
= ,PA 0 51
.
d) Trong số nhng ngưi đưc phng vn thc s s mua sn phm có 70% ngưi đã tr li “s mua” khi
được phng vn (kết qu tính theo phn trăm đưc làm tròn đến hàng đơn vị).
Li gii
Phng vn Thc tế Ngưi mua tht Ngưi không mua tht
Ngưi tr li s mua (105)
0,7×105=73,5
105-73,5=31,5
Ngưi tr li s không mua (95)
0,3×95=28,5
95-28,5=66,5
(a) Số ngưi tr li "s mua" là 105 nên
(
)
=nB 105
. Do đó
( )
= =PB
105 21
200 40
( )
=−=
PB
21 19
1
40 40
. Đúng.
(b) Ta có:
( )
( )
( )
( )
( )
∩∩
|= =
PAB nAB
P AB
PB nB
.
AB
là tp hp các ngưi tr li s mua và mua tht, do đó
(
)
∩=,nA B
73 5
Do đó,
(
)
|= =
,
,
P AB
73 5
07
105
. Sai.
(c)
A
l tp hp các ngưi mua tht,
( )
=+=,,nA 73 5 28 5 102
, do đó
(
)
= = ,PA
102
0 51
200
. Đúng.
(d) Tng s ngưi thc s mua sn phm là 102. S ngưi tr li s mua sn phm và thc s mua là 73,5
ngưi.
T l ngưi thc s mua sn phm đã tr li "s mua" khi đưc phng vn và ngưi thc s mua sn phm
nói chung
,
%
73 5
72
102
. Sai.
Câu 4. Các thiên thch đưng kính ln hơn 140 m th li gn Trái Đt khong cách nh hơn 7
500 000 km đưc coi nhng vt th có kh năng va chm gây nguy him cho Trái Đt. Đ theo dõi nhng
thiên thch này, ngưi ta đã thiết lp các trm quan sát c vt th bay gn Trái Đt. Gi s có mt h
thng quan sát kh năng theo dõi các vt th độ cao không t quá 6 600 km so vi mc c bin.
Coi Trái Đt là khi cu bán kính 6 400 km. Chn h trc ta đ
Oxyz
trong không gian gc
O
ti
Biên son: Trương Văn Bng 0988456720 TÀI LIU ĐP
Page | 6
tâm Trái Đt đơn v độ dài trên mi trc ta đ 1000 km. Mt thiên thch (coi như mt ht) chuyn
động vi tc đ không đi theo mt đưng thng t điểm
( )
;;
M
6 20 0
đến đim
( )
−−;;N 6 12 16
.
a) Đưng thng
MN
có phương trình tham s
= +
= +
=
xt
yt
zt
63
20 8
4
(
tR
).
b) V trí đu tiên thiên thch di chuyn vào phm vi theo dõi ca h thng quan sát là đim
( )
−−;;A 3 4 12
c) Khong cách gia v trí đu tiên và v trí cui cùng mà thiên thch di chuyn trong phm vi theo dõi
ca h thng quan sát là 18 900 km (kết qu làm tròn đến hàng trăm theo đơn v ki--mét).
d) Nếu thi gian di chuyn ca thiên thch trong phm vi theo i ca h thng quan sát 3 phút thì
thi gian nó di chuyn t
M
đến
N
là 6 phút.
Li gii
(a) Vectơ ch phương ca đưng thng
MN
( ) ( )
=−− = ; ; ;;MN 12 32 16 4 3 8 4

.
Phương trình tham s ca đưng thng
MN
là:
= +
= +
=
xt
yt
zt
63
20 8
4
,
tR
. Đúng.
(b) Để tìm v trí đu tiên thiên thch di chuyn vào phm vi theo dõi, ta cn tìm đim giao ca đưng thng
MN
với mt cu có tâm
(
)
;;O 000
và bán kính
=+= , ,
R 6 4 6 6 13
Phương trình mt cu là:
++=xyz
222 2
13
.
Thay
= +
xt63
,
= + yt20 8
=
zt4
vào phương trình mt cu, ta đưc:
( ) ( ) ( )
+ + + +− =t tt
2 22
2
6 3 20 8 4 13
+ +=tt
2
89 356 267 0
Gii phương trình, ta tìm đưc
= t
3
hoc
= t
1
.
Thay
= t 3
= t 1
vào phương trình tham s ca đưng thng
MN
, ta đưc hai giao đim ca MN và
mt cu
( )
−−
;;3 4 12
( )
;;3 12 4
. Nhn thy t M đến N, hoành đ xu hương gim dn, nên đim
(
)
;;A 3 12 4
. Sai.
(c) Ta có
( )
−−;;B 3 4 12
Khong cách gia v trí đu tiên và v trí cui cùng là AB
( ) ( ) ( )
= +− + =AB
2 22
3 3 4 12 12 4 2 89
, tương đương vi
km
18900
. Đúng.
(d) Thời gian thiên thch di chuyn t
M
đến
N
là:
(
) ( ) (
)
= + +− + = =MN AB
2 22
6 6 12 20 16 0 4 89 2
Do đó
= .
MN
t
AB
36
(phút). Đúng
PHN III. Thí sinh tr li t câu 1 đến câu 6.
Câu 1. Cho hình lăng tr đứng
′′′
.ABC A B C
=AB 5
,
=BC 6
,
=CA 7
. Khong cách gia hai đưng
thng
AA
BC
bng bao nhiêu? (làm tròn kết qu đến hàng phn mưi).
6400 km
6600 km
A
M
N
Biên son: Trương Văn Bng 0988456720 TÀI LIU ĐP
Page | 7
Li gii
Kẻ
AH BC
ta có
( )
′′
⊥⇒AA ABC AA AH
AH
là đon vuông góc chung
ca
AA BC
. Do đó, khong cách gia hai đưng thng
AA
BC
bng
AH
.
Xét tam giác
ABC
na chu vi
++
= =p
567
9
2
.
Din tích
(
)(
)( )
= −−−=
ABC
S
9959697 66
= = =
.
,
ABC
S
AH
BC
2 26 6
2 6 49
6
Đáp án: 4,9.
Câu 2. Mt trò chơi đin t quy đnh như sau: Có 4 tr
,,,ABC D
với s ng
các th thách trên đưng đi gia các cp tr đưc mô t trong hình bên. Ngưi
chơi xut phát t mt tr nào đó, đi qua tt c các tr còn li, mi khi đi qua
mt tr thì tr đó sẽ b phá hy và không th quay tr li tr đó được na,
nhưng người chơi vn phi tr về tr ban đu. Tng s th thách của đường đi
tho mãn điu kin trên nhn giá tr nh nht là bao nhiêu?
Li gii
Ngưi chơi có th la chn cách xut phát t mt trong 4 tr
, , ,ABC D
.
Gi s ngưi chơi xut phát t tr
A
.
Để đi qua tt c các tr n li đúng mt ln và quay tr về
A
, ngưi chơi có th đi theo mt trong các
đường đi:
Đưng đi
Tng s th thách
→→→ABC DA
+ + +=10 12 14 9 45
→→→→
ABDC A
+++=10 11 14 11 46
→→→
AC B D A
+ + +=11 12 11 9 43
→→→→AC D B A
+++=11 14 11 10 46
→→→ADBC A
+++=9 11 12 11 43
→→→ADC BA
+++=9 14 12 10 45
Do đó, tng s th thách ca đưng đi nhn giá tr nh nht là 43.
Đáp án: 43.
Câu 3. H thng đnh v toàn cu
GPS
mt h thng cho phép xác đnh v trí ca mt vt th trong
không gian. Trong cùng mt thời điểm, v trí ca mt đim
M
trong không gian s được xác đnh bi bn
vệ tinh cho trưc nh các b thu phát tín hiu đt trên các v tinh. Gi s trong không gian vi h ta đ
Oxyz
, có bn v tinh ln lưt đt ti các đim
( )
;;A 310
,
( )
;;B 366
,
( )
;;C 462
,
( )
;;D 6 2 14
; v trí
( )
;;M abc
tha mãn
=MA
3
,
=MB 6
,
=
MC 5
,
=MD 13
.
Khong cách t điểm
M
đến đim
O
bng bao nhiêu?
Li gii
Ta có:
=
=
=
=
MA
MB
MC
MD
3
6
5
13
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) (
)
( ) ( ) ( )
+− +=
++− =
+− +− = ++ =

⇔⇔

++− =
+− +− =


++− =
+− +− =
a bc
abc ab
a b c abc a b c
abc a bc
abc
abc ab c
abc
22
2
222
222
222
222 222
222
22 2
31 9
62 1
3 6 6 36 6 12 12 45
8 12 4 31
4 6 2 25
12 4 28 67
6 2 14 169
Gii h phương trình này, ta tìm đưc
= = = , ,ab c122
Do đó, khong cách t điểm
M
đến đim
O
là:
10
12
11
9
11
14
A
B
C
D
5
7
6
C
B
A'
C'
B'
A
H
Biên son: Trương Văn Bng 0988456720 TÀI LIU ĐP
Page | 8
= ++ = ++ =OM a b c
222 222
221
3
.
Đáp án: 3.
Câu 4. Kiến trúc thiết kế mt khu sinh hot cng đng dng hình ch nht vi chiu rng chiu
dài lần t 60m 80m. Trong đó, phn đưc tô màu đm sân chơi, phn còn li đ trng hoa. Mi
phn trng hoa có đưng biên cong là mt phn ca parabol vi đỉnh thuc mt trc đi xng ca hình ch
nht và khong cách t đỉnh đó đến trung đim cnh tương ng ca hình ch nht bng 20m (xem hình
minh họa).
Din tích ca phn sân chơi là bao nhiêu mét vuông?
Li gii
Din tích ca phn sân chơi bng din tích ca hình ch nht tr đi diện
tích ca hai phn trng hoa.
Din tích ca hình ch nht là:
⋅=60 80 4800
m
2
.
Din tích ca mi phn trng hoa bng din tích ca mt parabol.
Chn h trc Oxy như hình v.
Phương trình parabol bên dưi có dng:
+
=yaxb
2
(vì đnh parabol thuc trc tung).
Ta có
( )
( )
=
=
=

⇔⇒

+=
=

=
.
b
y
a
a
y
b
2
1
20
0 20
45
30 20 0
30 0
20
.
Phương trình Parabol dưi là
=−+yx
2
1
20
45
Din tích ca mi phn trng hoa bng:

−+ =


x dx
30
2
30
1
20 800
45
m
2
.
Din tích ca phn sân chơi là:
−⋅ =4800 2 800 3200
m
2
.
Đáp án: 3200.
Câu 5. Mt doanh nghip d định sn xut không quá 500 sn phm. Nếu doanh nghip sn xut
x
sn
phm (
≤≤x
1 500
) thì doanh thu nhận được khi bán hết s sn phm đó
( )
=−+ +Fx x x x
32
1999 1001000 250000
(đồng), trong khi chi phí sn xut bình quân cho mt sn phm
( )
=++Gx x
x
250000
1000
(đồng). Doanh nghip cn sn xut bao nhiêu sn phm đ li nhun thu
được là ln nht?
Li gii
Li nhun ca doanh nghip khi sn xut
x
sn phm là:
( ) ( ) ( )

= = + + −+ +


LxFxxGxx x x xx
x
22
250000
1999 1001000 250000 1000
.
=−+xx x
32
2000 1000000
.
( )
=−+Lx x x
2
3 4000 1000000
60 m
80 m
20 m
20 m
60 m
80 m
20 m
y
x
O
Biên son: Trương Văn Bng 0988456720 TÀI LIU ĐP
Page | 9
( )
=
=−+ =
=
x
Lx x x
x
2
1000
3 4000 1000000 0
1000
3
,
[ ]
= ;x 1000 0 500
, loi
Lp BBT ca hàm s
(
)
fx
trên đon
[
]
;
0 500
Do s sn phm là s nguyên, nên ta xét giá tr ca hàm s ti hai đim nguyên trưc và sau giá tr
1000
3
là 333 và 334. Ta có
( ) ( ) ( ) ( )
= = ⇒>;f f ff333 148148037 334 148147704 333 334
Do đó, doanh nghip nên sn xut 333 sn phm đ li nhun thu đưc là ln nht.
Đáp án: 333.
Câu 6. Có hai chiếc hp, hp I có 6 qu bóng màu đ và 4 qu bóng màu vàng, hp II có 7 qu bóng màu đ
và 3 qu bóng màu vàng, các qu bóng có cùng kích thưc và khi lưng. Ly ngu nhiên mt qu bóng t
hp I b o hp II. Sau đó, ly ra ngu nhiên mt qu bóng t hp II. Tính xác sut đ qu ng đưc ly
ra t hp II là qu bóng đưc chuyn t hp I sang, biết rng qu bóng đó có màu đ (làm tròn kết qu đến
hàng phn trăm).
Li gii
Gi
A
là biến c "ly ra t hp II là qu bóng đưc chuyn t hp I sang",
B
là biến c "ly ra t hp II
qu bóng màu đ".
Ta cn tính
(
)
( )
(
)
(
)
( )
∩∩
|= =
PAB nAB
P AB
PB nB
.
Đếm
( )
nB
: Chia hai TH
TH1. Ly mt qu đỏ t hp 1 sang hp 2, ri ly mt qu đỏ mt qu đỏ t hp 2, có
=
. cách6 8 48
TH2. Ly mt qu vàng t hp 1 sang hp 2, ri ly mt qu đỏ mt qu đỏ t hp 2, có
=. cách4 7 28
Suy ra
( )
=+=nB 48 28 76
Đếm
(
)
nA B
.
AB
là biến c ly mt qu đỏ t hp 1 sang hp 2 ri ly qu đỏ đó từ hp 2 ra ngoài, do đó
( )
∩= =.nA B 61 6
Do đó,
(
)
|= ,P AB
6
0 08
76
.
Đáp án: 0,08.
HT
+
500
0
y
x
y'
-
+
1000/3
-
0
| 1/14

Preview text:

Biên soạn: Trương Văn Bằng 0988456720 TÀI LIỆU ĐẸP
ĐỀ MINH HỌA TỐT NGHIỆP THPT 2025
PHẦN I. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1.
Nguyên hàm của hàm số ( ) = x f x e là: x + e 1 x e A. + C . B. x e + C . C. + C . D. − . x x e 1 + C . x + 1 x Lời giải = + ∫ x x e dx e C Đáp án: B
Câu 2. Cho hàm số y = f (x ) liên tục, nhận giá trị dương trên đoạn [a;b]. Xét hình phẳng (H ) giới hạn
bởi đồ thị hàm số y = f (x ) , trục hoành và hai đường thẳng x = a , x = b . Khối tròn xoay được tạo thành
khi quay hình phẳng (H ) quanh trục Ox có thể tích là:
A. V = π∫b f (x ) dx . B. V = π2∫bf (x )dx . C. V = π  ∫b f (x)2 2 2 
dx . D. V =  ∫b f (x)   dx . a a a a Lời giải
Thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng (H ) giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x ) ,
trục hoành và hai đường thẳng x = a , x =
b quanh trục Ox được tính theo công thức: V =  ∫b f (x)2   dx . a Đáp án: D
Câu 3.
Hai mẫu số liệu ghép nhóm M , M có bảng tần số ghép nhóm như sau: 1 2 Nhóm [ ; 8 10) [ ; 10 12) [ ; 12 14) [ ; 14 16) [ ; 16 18) M 1 Tần số 3 4 8 6 4 Nhóm [ ; 8 10) [ ; 10 12) [ ; 12 14) [ ; 14 16) [ ; 16 18) M 2 Tần số 6 8 16 12 8
Gọi s , s lần lượt là độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm M , M . Phát biểu nào sau đây là đúng? 1 2 1 2
A. s = s . B. s = s 2 . C. s 2 = s . D. s 4 = s . 1 2 1 2 1 2 1 2 Lời giải Mẫu số liệu M 1 Nhóm [ ; 8 10) [ ; 10 12) [ ; 12 14) [ ; 14 16) [ ; 16 18) M 1 Tần số 3 4 8 6 4 x i 9 11 13 15 17 n = 25 . 3 9 + 4.11 + 8.13 + 6.15 + = 4.17 333 x = 25 25
Độ lệch chuẩn của một mẫu số liệu ghép nhóm được tính theo công thức:
3 ( − x )2 + 4 ( − x )2 + 8 (
x )2 + 6( − x )2 + 4 ( 7 − x )2 9 11 13 15 1 s = = , 2 5 44 25 Mẫu số liệu M 2 Nhóm [ ; 8 10) [ ; 10 12) [ ; 12 14) [ ; 14 16) [ ; 16 18) M Tần số 6 8 16 12 8 2 x 11 i 9 13 15 17 P a g e | 1
Biên soạn: Trương Văn Bằng 0988456720 TÀI LIỆU ĐẸP n = 50 . 6 9 + 8.11 + 16.13 + 12.15 + = 8.17 333 x = 50 25
Độ lệch chuẩn của một mẫu số liệu ghép nhóm được tính theo công thức:
(9 − x )2 + (11 − x )2 + (13 − x )2 + (15 − x )2 + 8(17 − x )2 6 8 16 12 s = = , 2 445 50 Đáp án: A
Nhận xét: Hai mẫu số liệu có cùng các nhóm như nhau, tần số của các nhóm tương ứng tỷ lệ (Mẫu M gấp 2
2 lần mẫu M ), nên độ lệch chuẩn của hai mẫu số liệu bằng nhau. 1
Câu 4. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , phương trình của đường thẳng đi qua điểm M ( ; 1 − ; 3 5) 
và có một vectơ chỉ phương u ( ; 2 − ; 1 1) là: x − 1 y − 3 z − 5 x − 1 y − 3 z + 5 A. = = . B. = = . 2 −1 1 2 −1 1 x − 1 y + 3 z − 5 x + 1 y + 3 z − 5 C. = = . D. = = . 2 −1 1 2 −1 1 Lời giải
Phương trình đường thẳng đi qua điểm M ( ; 1 − ;
3 5) và có một vectơ chỉ phương ( ; 2 − ; 1 1) là: x − 1 y + 3 z − = = 5 . 2 −1 1 Đáp án: C ax + b
Câu 5. Cho hàm số y = (c ≠ ,
0 ad bc ≠ 0) có đồ thị như hình vẽ bên. Tiệm cận ngang của đồ thị cx + d hàm số là: 1 1 A. x = − 1. B. y = . C. y = − 1. D. x = . 2 2 Lời giải 1
Từ đồ thị hàm số, ta thấy tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là đường thẳng y = . 2 Đáp án: B
Câu 6. Tập nghiệm của bất phương trình log 1 3 là: 2 (x − ) < A. ( ; 1 9) .
B. (−;9) . C. ( ; 9 +). D. ( ; 1 7). Lời giải
Bất phương trình log 1 3 tương đương với: 2 (x − ) < < x − < 3 0 1 2 ⇔ 0 < x − 1< 8 ⇔ 1 < x < 9 . Đáp án: A P a g e | 2
Biên soạn: Trương Văn Bằng 0988456720 TÀI LIỆU ĐẸP
Câu 7. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (P ) có phương trình x y 3 − z + 8= 0 .
Vectơ nào sau đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P ) ?    
A. n 1 3 1 .
B. n 1 3 1 .
C. n 1 3 8 . D. n 1 3 8 . 4 ( ; ; ) 3 ( ; − ; ) 2 ( ; − ; − ) 1 ( ; − ; ) Lời giải
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P ) có phương trình x y 3 − z + 8= 0 là ( ; 1 − ; 3 −1) . Đáp án: B
Câu 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và SA ⊥ (ABCD). Mặt phẳng nào sau
đây vuông góc với mặt phẳng (ABCD) ?
A. (SAB) .
B. (SBC ) .
C. (SCD). D. (SBD) . Lời giải
Mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABCD) vì SA ⊥ (ABCD) và SA ⊂ (SAB) . Đáp án: A
Câu 9. Nghiệm của phương trình x 2 = 6 là:
A. x = log 2 . B. x = 3 . C. x = 4 .
D. x = log 6 . 6 2 Lời giải Phương trình x
2 = 6 có nghiệm x = log 6 . 2 Đáp án: D
Câu 10. Cấp số cộng (u u = 1 và u = 3. Số hạng u của cấp số cộng là: n ) 1 2 5 A. 5. B. 7. C. 9. D. 11. Lời giải
Công thức tổng quát của cấp số cộng (u là: u = u + 1
, trong đó d là công sai của cấp số cộng. 1 (n d n ) n )
Từ u = 1 và u = 3, ta có d = u u = 3 − 1 = 2 . 1 2 2 1
Do đó, u = u + d 4 = 1 + 4 2 9 . 5 1 . = Đáp án: C
Câu 11. Cho hình hộp ABCD. ′
A BC D′ (minh họa như hình bên). A' D' B' C' A D B C
Phát biểu nào sau đây là đúng?
   
   
A. AB + BB′ + B′ ′
A = AC ′ .
B. AB + BC ′ + C D′ = AC ′.
   
   
C. AB + AC + ′
AA = AC ′ . D. AB + ′
AA + AD = AC ′ . Lời giải
   
Theo quy tắc hình hộp ta có AB + ′
AA + AD = AC Đáp án: D
Câu 12. Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào sau đây? y 2 -1 O x 1 -2
A. (−;−1) .
B. (−;1) . C. (− ; 1 1). D. ( ; 1 +∞) P a g e | 3
Biên soạn: Trương Văn Bằng 0988456720 TÀI LIỆU ĐẸP Lời giải
Từ đồ thị hàm số, ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng (− ; 1 1). Đáp án: C
PHẦN II. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý (a), (b), (c), (d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 1.
Cho hàm số f (x ) = 2 cosx + x . a) f (0)  π  π = ; 2 f =   .  2  2
b) Đạo hàm của hàm số đã cho là f ′(x ) = 2 sin x + 1.  π π
c) Nghiệm của phương trình 
f ′(x ) = 0 trên đoạn  ;0  là .  2  6  π π
d) Giá trị lớn nhất của 
f (x ) trên đoạn  ;0  là + 3 .  2  6 Lời giải
(a) f (0) = 2 cos 0 + 0 = 2 và   f = co 2 s + =   . Đúng.  2  2 2 2
(b) Đạo hàm của f (x ) = 2 cosx + x f ′(x ) = −2 sin x + 1. Sai.
(c) f ′(x ) = −2 sin x + 1 khi đó f ′  = −2 sin + 1 =   0 , suy ra x =
là nghiệm của phương trình  6  6 6
f ′(x ) = 0 trên đoạn    ; 0  . Đúng.  2    (d)  
f (x ) = 2 cosx + x , f ′(x ) = −2 sin x + 1có nghiệm   x = ∈  ;0  , f (0) π π = ; 2 f =   , 6  2   2  2  π f = 2 cos + = 3 +  
. Do đó, giá trị lớn nhất của f (x ) trên đoạn   ; 0 là + 3 . Đúng.  6  6 6 6    2  6
Câu 2. Một người điều khiển ô tô đang ở đường dẫn muốn nhập làn vào đường cao tốc. Khi ô tô cách điểm
nhập làn 200 m, tốc độ của ô tô là 36 km/h. Hai giây sau đó, ô tô bắt đầu tăng tốc với tốc độ v (t ) = at + b
(a,b R ,a > 0 ), trong đó t là thời gian tính bằng giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc. Biết rằng ô tô nhập làn
cao tốc sau 12 giây và duy trì sự tăng tốc trong 24 giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc.
a) Quãng đường ô tô đi được từ khi bắt đầu tăng tốc đến khi nhập làn là 180 m.
b) Giá trị của b là 10.
c) Quãng đường S (t ) (đơn vị: mét) mà ô tô đi được trong thời gian t giây ( 0 ≤ t ≤ 24 ) kể từ khi tăng tốc
được tính theo công thức 24
S (t ) = ∫ v (t)dt . 0
d) Sau 24 giây kể từ khi tăng tốc, tốc độ của ô tô không vượt quá tốc độ tối đa cho phép là 100 km/h. Lời giải
(a) Tốc độ ban đầu của ô tô là 36 km/h = 10 m/s.
Quãng đường ô tô đi được trong 2 giây đầu tiên là: S = 10.2 = 20(m . 1 )
Quãng đường ô tô đi được từ khi bắt đầu tăng tốc đến khi nhập làn là: S = 200 − 20 = 180 m. Đúng. 2
(b) Ta có v (t ) = at + b . (cần phải nói rõ đơn vị m/s )
Thời điểm bắt đầu tăng tốc ta có t = 0 , v = 10 ⇒ v (0) = b = 10 . Đúng.
(c) Do v (t ) > 0 với 0 ≤ t ≤ 0 , đó đó quãng đường S (t ) mà ô tô đi được trong thời gian t giây (0 ≤ t ≤ 24)
kể từ khi tăng tốc được tính theo công thức: ( ) = ∫t 24 S t
v (t )dt . Còn công thức S (t ) = ∫ v (t)dt là 0 0
quãng đường ô tô đi được trong 24 giây. Sai. P a g e | 4
Biên soạn: Trương Văn Bằng 0988456720 TÀI LIỆU ĐẸP
(d) Ta có v (t ) = at + 10 .
Biết xe nhập làn sau 12 giây kể tứ lúc tăng tốc, nên  t2 12  12 = ∫ ( 15 15 180
at + 10)dt = a  + t 10  = a 192 ⇒ a = ⇒ v (t ) =
t + 10 (m/s ) 0  2  0 16 16
Tốc độ của ô tô sau 24 giây là: 15 v (24) = . 24 + 10 = ,
32 5 (m/s ) = 117 (km/h ) > 100 (km/h ) . Sai. 16
Câu 3. Trước khi đưa một loại sản phẩm ra thị trường, người ta đã phỏng vấn ngẫu nhiên 200 khách hàng
về sản phẩm đó. Kết quả thống kê như sau: có 105 người trả lời “sẽ mua”; có 95 người trả lời “không mua”.
Kinh nghiệm cho thấy tỉ lệ khách hàng thực sự sẽ mua sản phẩm tương ứng với những cách trả lời “sẽ mua”
và “không mua” lần lượt là 70% và 30%.
Gọi A là biến cố “Người được phỏng vấn thực sự sẽ mua sản phẩm”.
Gọi B là biến cố “Người được phỏng vấn trả lời sẽ mua sản phẩm”. 21 19
a) Xác suất P (B) = và P (B) = . 40 40
b) Xác suất có điều kiện P ( | A B ) = , 0 3 .
c) Xác suất P (A) = , 0 51 .
d) Trong số những người được phỏng vấn thực sự sẽ mua sản phẩm có 70% người đã trả lời “sẽ mua” khi
được phỏng vấn (kết quả tính theo phần trăm được làm tròn đến hàng đơn vị). Lời giải Phỏng vấn Thực tế Người mua thật Người không mua thật
Người trả lời sẽ mua (105) 0,7×105=73,5 105-73,5=31,5
Người trả lời sẽ không mua (95) 0,3×95=28,5 95-28,5=66,5
(a) Số người trả lời "sẽ mua" là 105 nên n (B) = 105 . Do đó 105 21 21 19 P (B ) = =
P (B) = 1 − = . Đúng. 200 40 40 40 P A B
n (A B ) (b) Ta có: P ( | A B ) ( ) = . P (B ) = n (B )
A B là tập hợp các người trả lời sẽ mua và mua thật, do đó n (A B ) = , 73 5 Do đó, 73 5 P ( | A B ) = , = ,07 . Sai. 105
(c) A lầ tập hợp các người mua thật, n (A) = , 73 5 + , 28 5 = 102 , do đó 102 P (A) = = , 0 51. Đúng. 200
(d) Tổng số người thực sự mua sản phầm là 102. Số người trả lời sẽ mua sản phẩm và thực sự mua là 73,5 người.
Tỉ lệ người thực sự mua sản phẩm đã trả lời "sẽ mua" khi được phỏng vấn và người thực sự mua sản phẩm 73 5 nói chung là , ≈ % 72 . Sai. 102
Câu 4. Các thiên thạch có đường kính lớn hơn 140 m và có thể lại gần Trái Đất ở khoảng cách nhỏ hơn 7
500 000 km được coi là những vật thể có khả năng va chạm gây nguy hiểm cho Trái Đất. Để theo dõi những
thiên thạch này, người ta đã thiết lập các trạm quan sát các vật thể bay gần Trái Đất. Giả sử có một hệ
thống quan sát có khả năng theo dõi các vật thể ở độ cao không vượt quá 6 600 km so với mực nước biển.
Coi Trái Đất là khối cầu có bán kính 6 400 km. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz trong không gian có gốc O tại P a g e | 5
Biên soạn: Trương Văn Bằng 0988456720 TÀI LIỆU ĐẸP
tâm Trái Đất và đơn vị độ dài trên mỗi trục tọa độ là 1000 km. Một thiên thạch (coi như một hạt) chuyển
động với tốc độ không đổi theo một đường thẳng từ điểm M ( ; 6 ;
20 0) đến điểm N (− ; 6 − ; 12 16). A M N 6400 km 6600 km x = 6 + t 3 
a) Đường thẳng MN có phương trình tham số là y = 20 + t 8 (t R ).  z = −  t 4
b) Vị trí đầu tiên thiên thạch di chuyển vào phạm vi theo dõi của hệ thống quan sát là điểm A(− ; 3 − ; 4 12)
c) Khoảng cách giữa vị trí đầu tiên và vị trí cuối cùng mà thiên thạch di chuyển trong phạm vi theo dõi
của hệ thống quan sát là 18 900 km (kết quả làm tròn đến hàng trăm theo đơn vị ki-lô-mét).
d) Nếu thời gian di chuyển của thiên thạch trong phạm vi theo dõi của hệ thống quan sát là 3 phút thì
thời gian nó di chuyển từ M đến N là 6 phút. Lời giải 
(a) Vectơ chỉ phương của đường thẳng MN MN = (− ; 12 − ; 32 16) = −4 ( ; 3 ; 8 −4) .  x = 6 + t 3 
Phương trình tham số của đường thẳng MN là: y = 20 + t
8 , t R . Đúng.  z = −  t 4
(b) Để tìm vị trí đầu tiên thiên thạch di chuyển vào phạm vi theo dõi, ta cần tìm điểm giao của đường thẳng
MN với mặt cầu có tâm O ( ; 0 ;
0 0) và bán kính R = , 6 4 + , 6 6 = 13
Phương trình mặt cầu là: x2 + y2 + z2 = 2 13 . Thay x = 6+ t 3 , y = 20+ t 8 và z = − t
4 vào phương trình mặt cầu, ta được:
( + t)2 + ( + t)2 + (− t)2 = 2 6 3 20 8 4 13 ⇔ t2 89 + t 356 + 267 = 0
Giải phương trình, ta tìm được t = −3 hoặc t = −1.
Thay t = −3 và t = −1 vào phương trình tham số của đường thẳng MN , ta được hai giao điểm của MN và mặt cầu là (− ; 3 − ; 4 12) và ( ; 3 ;
12 4) . Nhận thấy từ M đến N, hoành độ có xu hương giảm dần, nên điểm A( ; 3 ; 12 4) . Sai. (c) Ta có B (− ; 3 − ; 4 12)
Khoảng cách giữa vị trí đầu tiên và vị trí cuối cùng là AB
AB = (− − )2 + (− − )2 + ( − )2 3 3 4 12 12 4
= 2 89 , tương đương với ≈ km 18900 . Đúng.
(d) Thời gian thiên thạch di chuyển từ M đến N là: MN = ( + )2 + (− − )2 + ( − )2 6 6 12 20 16 0 = 4 89 = A 2 B Do đó = MN t .3 ≈ 6 (phút). Đúng AB
PHẦN III. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Câu 1.
Cho hình lăng trụ đứng ABC. ′
A BC ′ có AB =
5 , BC = 6 , CA= 7 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng ′
AA BC bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng phần mười). P a g e | 6
Biên soạn: Trương Văn Bằng 0988456720 TÀI LIỆU ĐẸP A' C' Lời giải B'
Kẻ AH BC ta có ′
AA ⊥ (ABC ) ⇒ ′
AA AH AH là đoạn vuông góc chung của A
A và BC . Do đó, khoảng cách giữa hai đường thẳng ′
AA BC bằng AH . 7 A C 5 + 6 + Xét tam giác 7
ABC có nửa chu vi p = = 9 . 5 6 H 2 B Diện tích S
= 9 (9 − 5)(9 − 6)(9 − 7) = 6 6 ABC 2 2 6 6 AH = SABC = . = 2 6 ≈ , 4 9 BC 6 Đáp án: 4,9.
Câu 2. Một trò chơi điện tử quy định như sau: Có 4 trụ ,
A B,C,D với số lượng A
các thử thách trên đường đi giữa các cặp trụ được mô tả trong hình bên. Người 9
chơi xuất phát từ một trụ nào đó, đi qua tất cả các trụ còn lại, mỗi khi đi qua 10 11 D
một trụ thì trụ đó sẽ bị phá hủy và không thể quay trở lại trụ đó được nữa, 11 14
nhưng người chơi vẫn phải trở về trụ ban đầu. Tổng số thử thách của đường đi B C
thoả mãn điều kiện trên nhận giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu? 12 Lời giải
Người chơi có thể lựa chọn cách xuất phát từ một trong 4 trụ ,
A B, C, D .
Giả sử người chơi xuất phát từ trụ A .
Để đi qua tất cả các trụ còn lại đúng một lần và quay trở về A , người chơi có thể đi theo một trong các đường đi: Đường đi Tổng số thử thách
A B C D A 10 + 12 + 14 + 9 = 45
A B D C A 10 + 11 + 14 + 11 = 46
A C B D A 11 + 12 + 11 + 9 = 43
A C D B A 11 + 14 + 11 + 10 = 46
A D B C A 9 + 11 + 12 + 11 = 43
A D C B A 9 + 14 + 12 + 10 = 45
Do đó, tổng số thử thách của đường đi nhận giá trị nhỏ nhất là 43. Đáp án: 43.
Câu 3. Hệ thống định vị toàn cầu GPS là một hệ thống cho phép xác định vị trí của một vật thể trong
không gian. Trong cùng một thời điểm, vị trí của một điểm M trong không gian sẽ được xác định bởi bốn
vệ tinh cho trước nhờ các bộ thu phát tín hiệu đặt trên các vệ tinh. Giả sử trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz , có bốn vệ tinh lần lượt đặt tại các điểm A( ; 3 ; 1 0) , B ( ; 3 ; 6 6) , C ( ; 4 ; 6 2) , D ( ; 6 ;
2 14) ; vị trí M (a;b;c) thỏa mãn MA=
3 , MB = 6 , MC = 5, MD = 13 .
Khoảng cách từ điểm M đến điểm O bằng bao nhiêu? Lời giải Ta có: 2 2 2  MA = 3 
(a − 3) + (b − 1) + c = 9
a2 + b2 + c2 − a 6 − b 2 = −1   2 2 2   MB = 6
 (a − 3) + (b − 6) + (c − 6) = 36
a2 + b2 + c2 − a 6 − b 12 − c 12 = −45  ⇔  ⇔ 2 2 2  MC =  5
 (a − 4) + (b − 6) + (c − 2) = 25
a2 + b2 + c2 − a 8 − b 12 − c 4 = −  31 MD =  13 (  2 2 2  a )2 (b )2 (c )2
a + b + c a 12 − b 4 − c 28 = − − + − + − =   67 6 2 14 169
Giải hệ phương trình này, ta tìm được a = , 1 b = , 2 c = 2
Do đó, khoảng cách từ điểm M đến điểm O là: P a g e | 7
Biên soạn: Trương Văn Bằng 0988456720 TÀI LIỆU ĐẸP
OM = a2 + b2 + c2 = 2 1 + 2 + 2 2 2 = 3 . Đáp án: 3.
Câu 4.
Kiến trúc sư thiết kế một khu sinh hoạt cộng đồng có dạng hình chữ nhật với chiều rộng và chiều
dài lần lượt là 60m và 80m. Trong đó, phần được tô màu đậm là sân chơi, phần còn lại để trồng hoa. Mỗi
phần trồng hoa có đường biên cong là một phần của parabol với đỉnh thuộc một trục đối xứng của hình chữ
nhật và khoảng cách từ đỉnh đó đến trung điểm cạnh tương ứng của hình chữ nhật bằng 20m (xem hình minh họa). 20 m 80 m 20 m 60 m
Diện tích của phần sân chơi là bao nhiêu mét vuông? Lời giải
Diện tích của phần sân chơi bằng diện tích của hình chữ nhật trừ đi diện 60 m
tích của hai phần trồng hoa. y
Diện tích của hình chữ nhật là: 60 ⋅ 80= 4800 m2 .
Diện tích của mỗi phần trồng hoa bằng diện tích của một parabol.
Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ.
Phương trình parabol bên dưới có dạng: 80 m
y = ax2 + b (vì đỉnh parabol thuộc trục tung).  1 y (0)  = 20 b =  20 a = − Ta có  45 . 20 my (30) ⇔  ⇒ 2  =  0 a.30 + 20 =  0 b =  20 x O
Phương trình Parabol dưới là 1 y = − x2 + 20 45
Diện tích của mỗi phần trồng hoa bằng: 30  1 2  − x + 20 dx = ∫   800 m2 . −30  45 
Diện tích của phần sân chơi là: 4800 − 2 ⋅ 800 = 3200 m2 . Đáp án: 3200.
Câu 5.
Một doanh nghiệp dự định sản xuất không quá 500 sản phẩm. Nếu doanh nghiệp sản xuất x sản
phẩm (1 ≤ x ≤ 500 ) thì doanh thu nhận được khi bán hết số sản phẩm đó là
F (x ) = x3 − x2 1999 + x
1001000 + 250000 (đồng), trong khi chi phí sản xuất bình quân cho một sản phẩm 250000
G (x ) = x + 1000 +
(đồng). Doanh nghiệp cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu x được là lớn nhất? Lời giải
Lợi nhuận của doanh nghiệp khi sản xuất x sản phẩm là: 250000
L (x ) F (x ) xG (x ) 2 2   = − = x x 1999 + x
1001000 + 250000 − x x + 1000 +   .  x  = x3 − x2 2000 + x 1000000 .
L′(x ) = x2 3 − x 4000 + 1000000 P a g e | 8
Biên soạn: Trương Văn Bằng 0988456720 TÀI LIỆU ĐẸP x = 1000 L′(x ) 2  = x 3 − x 4000 + 1000000 = 0 ⇔
, x = 1000 ∉ [ ;0500] , loại  1000 x =  3
Lập BBT của hàm số f (x ) trên đoạn [ ; 0 500] x -∞ 0 1000/3 500 +∞ y' + 0 - y
Do số sản phẩm là số nguyên, nên ta xét giá trị của hàm số tại hai điểm nguyên trước và sau giá trị 1000 3
là 333 và 334. Ta có f (333) = ;
148148037 f (334) = 148147704 ⇒ f (333) > f (334)
Do đó, doanh nghiệp nên sản xuất 333 sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất. Đáp án: 333.
Câu 6.
Có hai chiếc hộp, hộp I có 6 quả bóng màu đỏ và 4 quả bóng màu vàng, hộp II có 7 quả bóng màu đỏ
và 3 quả bóng màu vàng, các quả bóng có cùng kích thước và khối lượng. Lấy ngẫu nhiên một quả bóng từ
hộp I bỏ vào hộp II. Sau đó, lấy ra ngẫu nhiên một quả bóng từ hộp II. Tính xác suất để quả bóng được lấy
ra từ hộp II là quả bóng được chuyển từ hộp I sang, biết rằng quả bóng đó có màu đỏ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm). Lời giải
Gọi A là biến cố "lấy ra từ hộp II là quả bóng được chuyển từ hộp I sang", B là biến cố "lấy ra từ hộp II là quả bóng màu đỏ". P A B
n (A B ) Ta cần tính P ( | A B ) ( ) = . P (B ) = n (B )
Đếm n (B ): Chia hai TH
TH1. Lấy một quả đỏ từ hộp 1 sang hộp 2, rồi lấy một quả đỏ một quả đỏ từ hộp 2, có 6.8 = 48cách
TH2. Lấy một quả vàng từ hộp 1 sang hộp 2, rồi lấy một quả đỏ một quả đỏ từ hộp 2, có . 4 7 = 28cách
Suy ra n (B) = 48 + 28 = 76
Đếm n (A B) .
A B là biến cố lấy một quả đỏ từ hộp 1 sang hộp 2 rồi lấy quả đỏ đó từ hộp 2 ra ngoài, do đó
n (A B ) = 6.1 = 6 Do đó, 6 P ( | A B ) = ≈ , 0 08 . 76 Đáp án: 0,08. HẾT P a g e | 9
Document Outline

  • 01_Toan
  • Đề Minh Họa 2025 có lời giải