Luyện Thi HSG Toán 6 Chủ Đề: Chứng Minh Hai Số Nguyên Tố Cùng Nhau
Ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của các số đó. Chứng minh hai số nguyên tố cùng nhau. Tìm điều kiện để hai số nguyên tố cùng nhau. Ước và Bội của một số nguyên. Ước chung của hai hay nhiều số là ước của tất cả các số đó. Tài liệu giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao. Mời đọc đón xem!
Chủ đề: Đề thi Toán 6 422 tài liệu
Môn: Toán 6 2.5 K tài liệu
Tác giả:
Preview text:
ĐS6. CHUYÊN ĐỀ 4:
ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT
CHỦ ĐỀ 2: CHỨNG MINH HAI SỐ NGUYÊN TỐ CÙNG NHAU
PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Ước và Bội của một số nguyên
Với a,b Z và b 0. Nếu có số nguyên q sao cho a bq thì ta nói a chia hết cho b. Ta còn nói a là bội
của b và b là ước của a. 2. Nhận xét
- Nếu a bq thì ta nói a chia cho b được q và viết a : b q .
- Số 0 là bội của mọi số nguyên khác 0. Số 0 không phải là ước của bất kì số nguyên nào.
- Các số 1 và -1 là ước của mọi số nguyên.
3. Ước chung của hai hay nhiều số là ước của tất cả các số đó.
Ước chung của các số a, b, c được kí hiệu là ƯC(a, b, c). 4. Ước chung lớn nhất
- Ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của các số đó. 5. Các tính chất - ¦ CLN( ,
a 1) 1; BCNN , a 1 a
- Nếu a b ¦ CLN( , a ) b ; b BCNN , a b a
- Nếu a, b nguyên tố cùng nhau ( , a ) b 1; , a b . a b
- ƯC(a, b) = Ư(ƯCLN(a, b)) và BC(a ,b) = B(BCNN(a, b)) a dm - Nếu ¦ CLN( , a ) b ; d ¦ CLN( , m ) n 1; b dn 1 0 2.5
Ví dụ ¦ CLN(10,15) 5; ¦ CLN(2,3) 1 1 5 3.5 Trang 1 c am - Nếu BCNN , a b ; c ¦ CLN( , m ) n 1; c bn Ví dụ BCNN 30 10.3 10,15 30; ¦ CLN(2,3) 1 3 0 15.2
- ab ¦ CLN(a,b).BCNNa, b PHẦN II. BÀI TẬP:
Dạng 1: Tìm ƯCLN của các số:
I. Phương pháp giải
Bài toán: Tìm ¦ CLNa ,a ,...,a 1 2 n
Phương pháp giải thường dùng: Giả sử ¦ CLNa ,a ,...,a d 1 2 n a d 1 a d 2 d ? ... a d n II.Bài toán Bài 1: Cho *
n N . Chứng minh rằng
a) ¦ CLNn 3,2n 5 1
b) ¦ CLN3n 3,4n 9 1 Lời giải: a) Gọi *
¦ CLN(n 3,2n 5) ( d d N ) n 3 d 2n 6 d 2n 5 d 2 n 5 d
2n 6 2n 5 d Trang 2
2n62n5 d 1
d d 1
Vậy n 3;2n 5 1. 4(3n 7) 7 1 2n 28 d b) Gọi *
¦ CLN(3n 3,4n 9) (
d d N ) 3 (4n 9) d 1 2n 27 d
12n 28 12n 27 d
12n 2812n 27 d 1
d d 1
Vậy ¦ CLN3n 3,4n 9 1.
Bài 2: Cho a, b là số tự nhiên lẻ, b N . Chứng minh rằng ¦ CLN( , a ab128) 1. Lời giải: a d Đặt d ¦ CLN( , a ab128)
và d lẻ 128 d và d lẻ ab 128 d 7
2 d và d lẻ 2 d và d lẻ d 1.
Vậy (a, ab 128) 1
Bài 3: Chứng tỏ rằng nếu 2 *
17n 1 6(n N ) thì ¦ CLN( , n 2) 1;¦ CLN( , m 3) 1. Lời giải: +) Theo đầu bài ta có: 2 2 2
17n 1 6 17n 1 2 17n 1 chẵn n lẻ n 2 ( , n 2) 1 +) Vì 2 2
17n 1 6 17n 1 3 n 3 ( , n 3) 1 (nếu 2 2
n 3 17n 3 17n 1 3 lo¹i n 3).
Bài 4: Cho hai số nguyên tố cùng nhau a và b . Chứng tỏ rằng 11a 2b và 18a 5b hoặc là số nguyên tố
cùng nhau hoặc có 1 ước chung là 19. Trang 3 Lời giải
Gọi d (11a 2 ,
b 18a 5b) 5(11a 2 )
b 2(18a 5 ) b d 19a d d 19 Đặt *
19a dk(k N ) d.k 19 đpcm k 19
- Nếu k 19 k 19q 19a dk d.19.q a dq a d 2b d
b d d¦ C( , a )
b 1 d 1. 5b d Bài 5: Chứng minh rằng: ¦ CLN( , a ) b 1 và a, b khác tính chẵn lẻ thì m n m n *
¦ CLN(a b ,a b ) 1 ,
m nN và m n a b 0 . Lời giải: m n a b d 2 m a d
a) d ¦ CLN( m n
a b , m n
a b ) . m n a b d 2 n b d m a d
Vì a, b khác tính chẵn lẻ nên d lẻ n b d
Giả sử d 1 d có ít nhất một ước số là số nguyên tố, giả sử ước nguyên tố đó là p m a p a p p ¦ C( , a ) b ;ma : ( , a )
b 1 1 p p 1 vô lý n b p b p
Vậy d 1 d 1 đpcm.
Bài 6: Tìm ƯCLN của 2n 1 và 3n 1 với n N . Lời giải: Gọi d
n n * ¦ CLN 2 1,2 3 dN Trang 4 2n 1 d 3 2n 1 d 6n 3 d Khi đó ta có : 3 n 2 d 2
3n 2 d 6n 4 d
6n 46n 3 d 1 d d ¦ 1 1; 1
Do đó ¦ C2n1,3n
1 là ước của d, hay là ước của 1
Vì ước của 1 hay ước của -1 có chung 1 tập hợp
Vậy ¦ C2n1,3n 1 ¦ 1 1 ; 1 .
Bài 7: Tìm ƯCLN của 9n 24 và 3n 4 . Lời giải: Gọi n n * ¦ CLN 9 24,3
4 d dN 9 n 24 d 9 n 24 d Khi đó ta có: 3 n 4 d 9 n 12 d
9n 249n 12 d 12 d d¦ 1 2 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 1 2
Do 3n 4 d, mà 3n 4 không chia hết cho 3, nên d 3;6;1 3 (loại)
Do đó d 1;2; 4
- Để d 2 thì n phải chẵn
- Để d 4 thì n phải chia hết cho 4
- Để d 1 thì n là số lẻ
Vậy n 4k 2k N thì ¦ CLN9n 24,3n 4 2
n 4k k N thì ¦ CLN9n 24,3n 4 4 Trang 5 n 2k
1 k N thì ¦ CLN9n 24,3n 4 1.
Bài 8: Cho n là số tự nhiên, tìm ƯCLN của 21n 5 và 14n 3 Lời giải: a) Gọi ¦ CLN n n * 21 5,14 3 dN 1 4n 3 d 3
14n 3 d 42n 9 d Khi đó ta có: 21n 4 d 2
21n 4 d 42n 8 d
42n 942n 8 d 1 d d 1 Vậy ¦ CLN21 , n 14n 3 1
Bài 9: Cho n là số tự nhiên, tìm ƯCLN của 18n 2 và 30n 3 Lời giải: Gọi ¦ CLN n n * 18 2,30 3 dN 1 8n 2 d 5
18n 2 d 9 0n 10 d Khi đó ta có: 3 0n 3 d 3
30n 3 d 9 0n 9 d
90n1090n9 d 1 d d 1
Vậy ¦ CLN18n 2,30n 3 1
Bài 10: Cho n là số tự nhiên, tìm ƯCLN của 24n 7 và 18n 5 Lời giải: Gọi ¦ CLN n n * 24 7,18 5 dN 24n 7 d 3
24n 7 d 72n 21 d Khi đó ta có: 1 8n 5 d 4
18n 5 d 72n 20 d 72n 2
1 72n 20 d 1 d d 1 Trang 6
Vậy ¦ CLN24n 7,18n 5 1. Bài 11: Biết ¦ L C N , a b 5
9 . Tìm ¦ CLNa , b a b . Lời giải:
Gọi a b a b * ,
d d N a b d
2b d d¦ 2 hoặc d ¦ b a b d a b d và
2a d hoặc d ¦ 2 hoặc d ¦ a a b d mà ,
a b 95, nên d 95 hoặc d 2 Vậy a ,
b a b 2 hoặc d 95. Bài 12: Cho ,
m n là hai số tự nhiên. Gọi A là tập hợp các ước số chung của m và n , B là tập hợp các
ước số chung của 11m 5n và 9m 4n. Chứng minh rằng A B Lời giải: Gọi d ¦ L C N m 5 ,9 n m 4 * 11
n dN 1 1m 5n d 9
11m 5n d 9 9m 45n d Khi đó ta có: 9 m 4n d 1 1
9m 4n d 9 9m 44n d
99m 45n99m 44n d n d (1) 1 1m 5n d 4
11m 5n d 44m 20n d Tương tự ta có: 9 m 4n d 5
9m 4n d 45m 20n d
45m 20n44m 20n m d (2)
Từ (1) và (2) ta có : d¦ C( , m ) n d¦ ( ) A
và B¦ d ¦
A . Vậy A B Trang 7
Bài 13: Tìm ƯC của 2n 1 và 3n 1 với nN Lời giải: Gọi d
n n * ¦ CLN 2 1,3 1 dN Khi đó ta có : 2n 1 d 3 2n 1 d 6n 3 d 3 n 2 d 2
3n 2 d 6n 4 d 6n 4 6n
3 d 1 d d¦ 1 1; 1
Do đó ¦ C2n1,3n
1 là ước của d , hay là ước của 1
Vì ước của 1 hay ước của -1 có chung 1 tập hợp
Vậy ¦ C2n1,3n 1 ¦ 1 1 ( , ) 1
Bài 14: Cho hai số 3n 1 và 5n 4là hai số không nguyên tố cùng nhau, tìm ¦ CLN3n1,5n 4 Lời giải:
Gọi ¦ CLN3n1,5n 4 d Khi đó 3 n1 d 5 3n 1 d 5n 4 d 3 5n 4 d 3 5n 4 5 3n
1 d 7 d d1; 7
Mà d 1 nên d 7
Bài 15: Tìm ¦ CLN2n1,9 n 4 với nN Lời giải:
Gọi d ¦ CLN2n1,9 n 4 , * dN Trang 8 Khi đó ta có : 2n 1 d 9 2n 1 d 1 8n 9 d 9 n 4 d 2
9n 4 d 1 8n 8 d
18n 818n 9 d 17 d d¦ 1 7 1 ; 1 7
Mà là các số dương nên ta có : d 1 hoặc d 17
Vậy ¦ CLN2n1, 9n 4 1 hoặc 17
Dạng 2: Chứng minh hai số nguyên tố cùng nhau
I. Phương pháp giải
Bài toán: Chứng minh hai số a, b nguyên tố cùng nhau: ¦ CLN , a b 1
Phương pháp giải: Giả sử d ¦ CLN , a b
Cách 1: Chỉ ra d 1 Cách 2:
+) Giả sử d 1(d 2) (phương pháp phản chứng)
+) Gọi p là ước nguyên tố của d
+) Chỉ ra rằng p 1 (vô lý) +) Kết luận d 1 II. Bài toán
Bài 1: Chứng minh rằng hai số n 1 và 3n 4n N là hai số nguyên tố cùng nhau. Lời giải: Gọi d n n * ¦ CLN 1,3
4 dN , nên ta có: Trang 9 n 1 d 3n 3 d
3n 4 3n 3 d 1 d 3n 4 d 3 n 4 d
Vậy hai số n 1 và 3n 4 là hai số nguyên tố cùng nhau với n N .
Bài 2: Chứng minh rằng 2n 1 và 2n 3 là hai số nguyên tố cùng nhau. Lời giải: Gọi d
n n * ¦ CLN 2 1,2 3 dN 2n1 d Khi đó ta có: 2n 3 2n
1 d 2 d d ¦ 2 1; 2 2n 3 d
Mà ta lại có 2n
1 d mà 2n 1 là số lẻ nên d 2 (loại), do đó d 1
Vậy hai số 2n 1 và 2n 3 là hai số nguyên tố cùng nhau.
Bài 3: Chứng minh rằng 14n 3 và 21n 4n N là hai số nguyên tố cùng nhau Lời giải: Gọi d
n n * ¦ CLN 2 1,2 3 dN Khi đó ta có: 1 4n 3 d 3
14n 3 d 42n 9 d 21n 4 d 2
21n 4 d 42n 8 d
42n942n8 d 1 d
Vậy hai số 14n 3 và 21n 4 là hai số nguyên tố cùng nhau.
Bài 4: Cho m là số tự nhiên lẻ, n là số tự nhiên. Chứng minh rằng m và mn 4 là hai số nguyên tố cùng nhau. Lời giải:
Giả sử m và ( mn 4) cùng chia hết cho số tự nhiên d , khi đó ta có: Trang 10 m d . m n d . m n 4 d . m n 4 d
4 d d 2;4;
1 , do m d và m lẻ d 2 hoặc d 4 (loại) Vậy d 1
Khi đó m và mn 4 là hai số nguyên tố cùng nhau. Bài 5: Cho ¦ CLN , a
b 1. Chứng tỏ rằng 8a 3 và 5b 1 là nguyên tố cùng nhau. Lời giải: Gọi
a b * ¦ CLN 8 3,5
1 d dN 8 a 3b d 5
(8a 3b) d 40a 15b d 5a b d
8(5a b) d 40a 8b d
40a 15b40a 7b 7b d 8 a 3 b d 8 a 3b d và 3
5a b d 15 a 3b d
15a 3b8a 3b d 7a d Vì ¦ CLN , a
b 1 nên d 1 hoặc d 7 .
Bài 6: Chứng minh rằng 2n 1 và 6n 5 là hai số nguyên tố cùng nhau Lời giải: Gọi d
n n * ¦ CLN 2 1,6 5 , dN Khi đó ta có : 2n 1 d 3 2n 1 d 6n 3 d 6n 5 d 6n 5 d 6n 5 d 6n 5 6n
3 d 2 d d¦ (2)=1; 2 Trang 11
Do 2n1 d , mà 2n 1 lại là số lẻ nên d 2 loại, do đó d 1
Vậy hai số 14n+3 và 21n+4 là hai số nguyên tố cùng nhau
Bài 7: Chứng minh rằng với mọi nN thì các số 7n 10 và 5n 7 ngyên tố cùng nhau Lời giải: Gọi d n n * ¦ CLN 7 10,5
7 , dN Khi dó ta có :
35n5035n 49 d 1 d Do đó d 1
Vậy hai số 7n 10 và 5n 7 là hai số nguyên tố cùng nhau
Bài 8: Chứng minh rằng với mọi nN thì các số 2n 3 và 4n 8 ngyên tố cùng nhau Lời giải: 2n 3 d
22n 3 d 4n 6 d Gọi d
n n * ¦ CLN 2 3, 4
8 , dN Khi đó ta có: 4n 8 d 4n 8 d 4n 8 d
4n84n6 d 2 d d 1; 2
Vì 2n 3 d , mà 2n 3 là số lẻ nên d 2 (loại) Khi đó d 1
Vậy hai số 2n 3 và 4n 8 là hai số nguyên tố cùng nhau Bài 9: Cho ¦ CLN , a
b 1. Chứng minh rằng ¦ CLN , a a b 1 Lời giải: Ta có đặt d ab * ¦ CLN
, a , dN a b d
a b a d b d mà a d nên d¦ C , a b hay d ¦ 1 d 1 a d
Bài 10: CMR: ¦ CLN12n1,30n
1 1 với mọi số tự nhiên n Trang 12 Lời giải:
Gọi ¦ CLN12n1,30n 1 d , suy ra *
d N khi đó ta có : 1 2n 1 d 5 12n 1 d 60n 5 d 3 0n 1 d 2 30n 1 d 60n 2 d
60n560n 2 d 3 d d 1; 3
Vì 12n 1 là một số không chia hết cho 3 nên d 3 loại
Vậy d 1 , khi đó ¦ CLN12n1,30n 1 1 Bài 11: Cho ,
a b là hai số nguyên tố cùng nhau. CMR các số sau cũng nguyên tố cùng nhau : a) 2
a và a b
b) ab và a b Lời giải: a) Giả sử 2
a và a b cùng chia hết cho số nguyên tố d
Khi đó a d , do đó b d ,
a b cùng chia hết cho số nguyên tố d , trái với giả thiết ¦ CLNa; b =1 Vậy 2
a và a b là hai số nguyên tố cùng nhau
b) Giả sử ab và a b cùng chia hết cho số nguyên tố d
Suy ra tồn tại một trong hai số a hoặc b chia hết cho d
Khi a d b d , hoặc b d a d
a và b cùng chia hết cho d , trái với , a b 1
Vậy ab và a b nguyên tố cùng nhau
Dạng 3: Tìm điều kiện để hai số nguyên tố cùng nhau
Bài 1: Tìm n N để: 7n 10 và 5n 7 là hai số sau ngyên tố cùng nhau. Lời giải: Trang 13
Gọi d n n * 7 10;5 7 d N Khi dó ta có: 7n 10 d 5
7n 10 d 3 5n 50 d 5 n 7 d 7
5n 7 d 3 5n 49 d
35n5035n 49 d 1 d Do đó d 1
Vậy với mọi n N hai số 7n 10 và 5n 7 là hai số nguyên tố cùng nhau
Bài 2: Tìm n N để: 2n 3 và 4n 8là hai số sau ngyên tố cùng nhau Lời giải :
Gọi d n n * 2 3; 4
8 d N Khi đó ta có: 2n 3 d
22n 3 d 4n 6 d 4n 8 d 4n 8 d 4n 8 d
4n84n6 d 2 d d 1; 2 Vì 2n
3 d , mà 2n 3 là một số lẻ nên d 2 (loại) Khi đó d 1.
Vậy với mọi n N hai số 2n 3 và 4n 8 là hai số nguyên tố cùng nhau.
Bài 3: Tìm n N để: 18n 3 và 21n 7 là hai số nguyên tố cùng nhau. Lời giải:
Gọi UCLN n n * 18 3, 21
7 d d N 1 8n 3 d 7
18n 3 d Khi đó ta có: 21n 7 d 6
21n 7 d Trang 14
126n 42126n 2 1 d 21 d d¦ 2 1 1 ; 3 ; 7 ; 2 1
Do 21n 7 7 , mà 21n 7 không chia hết cho 3 nên d 1 hoặc d 7
Để hai số 18n 3 và 21n 7 là hai số nguyên tố thì d khác 7, hay
18n 3 7 18n 3 21 7 18n 18 7 18n
1 7 n 1 7 n 1 7k n 7k 1Vậy
n 7k 1 với k là số tự nhiên thì 18n 3 và 21n 7 là hai số nguyên tố. Bài 3: Tìm ¦ CLN 7 ( n 3,8n ) 1 với *
(nN ) . Khi nào thì hai số đó nguyên tố cùng nhau. Lời giải: Gọi d
n n * ¦ CLN 7 3,8 1 , dN Khi đó ta có: 7n 3 d 8
7n 3 d 5 6n 24 d 8 n 1 d 7 8n 1 d 5 6n 7 d
56n 24 56n 7 d 31 d d 1 hoặc d 31.
Để d 1 thì d 31 hay 7n 3 31 7n 3 31 31 7n 28 31 7n 4 31 n 4 31
Hay n 4 31k n 31k 4 ( k là số tự nhiên)
Vậy để 7n 3 và 8n 1 là hai số nguyên tố cùng nhau thì
n 31k 4 ( k là số tự nhiên)
Bài 4: Tìm n để 9n 24 và 3n 4 là hai số nguyên tố cùng nhau (n N ). Lời giải:
Gọi d ¦ CLN9n 24,3n 4 9n 24 d 9n 24 d 3 n 4 d 3 (3n 4) d Trang 15 9n2 4 9n1 2 d 12 d d 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 1 2 Nếu d 2 ; 4 ; 6 ; 1
2 9n 24 chẵn và, 3n 4 chẵn d 2 ; 4 ; 6 ; 1 2 loại Nếu d 3
3n 4 3 Vô lý d=3(loại)
Nếu d 1 9n 24,3n 4 là số lẻ 9n 24 lẻ n lẻ và 3n 4 lẻ nlẻ Vậy n lẻ
Bài 5: Tìm số tự nhiên n để 4n 3 và 2n 3 nguyên tố cùng nhau. Lời giải:
Gọi ƯCLN( 4n+3; 2n+3) =d, d N* 4n 3 d 4n 3 d 2n 3 d 4n 6 d
4n64n
3 d 3 d d 1; 3
Để 4n 3 và 2n 3 là hai số nguyên tố cùng nhau thì d khác 3 hay
2n 3 3 2n 3 n 3 n 3k (k )
Vậy n 3k (k ) thì 4n 3 và 2n 3là hai số nguyên tố cùng nhau.
Bài 6: Tìm số tự nhiên n để 7n 13 và 2n 4 nguyên tố cùng nhau. Lời giải:
b, Gọi ¦ CLN7n13, 2n 4 d , * dN 7 n 13 d 1 4n 26 d 2n 4 d 1 4n 28 d
14n 2814n 26 d 2 d d 1; 2
Để 7n 13 và 2n 4 là hai số nguyên tố cùng nhau thì d khác 2 hay Trang 16
7n 13 2 7n 2 n 2 n chẵn
Vậy n chẵn thì 7n 13 và 2n 4 là hai số nguyên tố cùng nhau.
Bài 7: Tìm số tự nhiên n để các số 18n 3 và 21n 7 nguyên tố cùng nhau . Lời giải:
Gọi d ¦ CLN18n 3,21n 7 1 8n 3 d 7(18n 3) d 1 26n 21 d 21n 7 d 6 21n 7 d 1 26n 42 d 126n 4 2 126n 2
1 d 21 d d ¦ 2 1 1;3;7;2 1
Nếu d 3 21n 7 3 (Vô lý) Nếu d 1;
7 , để 2 số trên là nguyên tố thì
d 7 18n 3 7 18n 3 21 7 n 1 7 n 7k 1
Vậy với n 7k
1 k N thì hai số trên nguyên tố cùng nhau
Bài 8: Chứng minh rằng: có vô số số tự nhiên n để n 15 và n 72 là 2 số nguyên tố cùng nhau Lời giải:
Gọi d¦ Cn15,n 7
2 57 d , do n 15 d,57 d ,
Nên tồn tại n sao cho n 15 57k 1 thì d 1, với k 1;2;3; Vậy có vô số n HẾT Trang 17