Lý thuyết Chương 2: Tích phân bội môn Giải tích 2 | Đại học Bách Khoa Hà Nội
Lý thuyết Chương 2: Tích phân bội môn Giải tích 2 | Đại học Bách Khoa Hà Nội. Tài liệu được sưu tầm giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao. Mời bạn đọc đón xem.
Môn: Giải tích 2 48 tài liệu
Trường: Đại học Bách Khoa Hà Nội 5.8 K tài liệu
Tác giả:
Preview text:
I. Tổng quan lý thuyết 1. Định nghĩa
Định nghĩa Cho hàm số f(x, y )xác định trong một miền đóng, bị chặn D. Chia miền D một
cách tuỳ ý thành n mảnh nhỏ. Gọi các mảnh đó và diện tích của chúng là
ΔS1, ΔS2, … , ΔSn. Trong mỗi mảnh ΔSi lấy một điểm tuỳ ý M (xi, yi )và thành lập tổng
tích phân In = ∑ni=1 f (xi, yi)ΔSi. Nếu khi n →
∞ sao cho max {ΔSi → 0 } mà In tiến tới
một giá trị hữu hạn I, không phụ thuộc vào cách chia miền
D và cách chọn điểm M (xi, yi)
thì giới hạn ấy được gọi là tích phân kép của hàm số f(x, y )trong miền , D kí hiệu là
∬ f(x, y)dxdy D
Nếu tồn tại tích phân trên thì ta nói f(x, y )là hàm khả tích trong miền D
2. Các tính chất cơ bản
Cho f(x, y), g(x, y )là các hàm khả tích trên miền D ⊆ R2, và c, m, M là các số thực. Khi đó, (1) ∬ ;
D[f(x, y) + g(x, y)]dxdy = ∬D f(x, y)dxdy + ∬D g(x, y)dxdy (2) ∬ ;
D c ⋅ f(x, y)dxdy = c ∬D f(x, y)dxdy
(3) Nếu D = D1 ∪ D2, trong đó D1 và D2 không giao nhau ngoại trừ biên của chúng, thì
∬ f(x, y)dxdy = ∬ f(x, y)dxdy + ∬ f(x, y)dxdy D D1 D2
(4) Nếu f(x, y) ≥ g(x, y), ∀(x, y) ∈ , D thì ∬ .
D f(x, y)dxdy ≥ ∬D g(x, y)dxdy 3. Định lý Fubini
Nếu f(x, y )là một hàm số khả tích trên miền hình chữ nhật R = [a, b] × [c, d ]thì b d d b
∬ f(x, y)dxdy = ∫ dx ∫ f(x, y)dy = ∫ dy ∫ f(x, y)dx R a c c a
Đặc biệt nếu f(x, y) = g(x) ⋅ h(y )thì b d
∬ g(x)h(y)dxdy = (∫ g(x)dx) ⋅ (∫ h(y)dy) R a c
4. Các cách lấy miền để tính tích phân
Cho f(x, y )là một hàm số khả tích trên miền D
Nếu miền D : a ≤ x ≤ b, c ≤ x ≤ d (Miền chữ nhật) b d d d
∬ f(x, y)dxdy = ∫ dx ∫ f(x, y)dy = ∫ dy ∫ f(x, y)dx D a c c c
Dạng 1: Nếu miền D : a ≤ x ≤ b, g1(x) ≤ y ≤ g2(x) Thì ta có: b g2(x) b g2(x)
∬ f(x, y)dxdy = ∫ (∫
f(x, y)dy)dx = intDf(x, y)dxdy = ∫ dx (∫
f(x, y)dy) D a g1(x) a g1(x)
Dạng 2: Nếu miền D : c ≤ y ≤ d, h1(y) ≤ x ≤ h2(y) Thì ta có: d h2(y) d h2(y)
∬ f(x, y)dxdy = ∫ (∫
f(x, y)dx)dy = ∫ dy ∫
f(x, y)dx D c h1(y) c h1(y) Dạng 3: Nếu miền
D là một miền phức tạp thì ta thực hiện chia miền
D và các miền dạng 1 ,
dạng 2 để thực hiện tính toán tích phân
Lưu ý: Trường hợp miền lấy tích phân là đối xứng Nế
iề D là iể đối ứ t
O (tươ tự O ) à hà là hà lẻ đối ới (tươ
I = ∬ f(x, y)dxdy = ∬
f(x(u, v), y(u, v))|J|dudv D
∣Duvu′JJ−1=D(u,v)xu′yD(x,y)=v′xv′yNếu miền Dlà miển đối xứng qua trục O x(tương tự O y) và hàm là hàm lẻ đối với y (tươngtựi x) thì∬f(x,y)dxdy=0DNếu miền Dlà miền đối xứng qua trục O x(tương tựO y) và hàm là hàm chẵn đối với y (tươngtự x) thì∬f(x,y)dxdy=2∬f(x,y)dxdyDD+Trong đó D+là phần nằm bên trên trục O xcủa D(tương ứng phía phải trục O ycủa D).Nếu miền D là miền đối xứng qua trục gốc toạ độ Ovà hàm f(x,y )thoả mãnf(−x,−y)=−f(x,y )thì∬f(x,y)dxdy=0D5. Phương pháp đổi thứ tự lấy tích phân để tính tích phân képBước 1: Sử dụng các cách lấy miền ở trên, đưa tích phân kép về tích phân lặpBước 2: Vẽ phác thảo miền DBước 3: Nếu miền D có dạng 1 , ta chia miền D thành các miền dạng 2. Nếu miền D có dạng 2thì ta chia nó thành các miền có dạng 1 .Bước 4: Thực hiện tính tích phân6. Phương pháp đổi biến sốCho f(x,y )là một hàm số khả tích trên miền Da) Dạng tổng quátx=x(u,v)Bước 1: Đổi biến số { với x(u,v),y(u,v )liên tục và khả vi trên Dy=y(u,v)uvBước 2: Đổi cận từ D→Duvx′Bước 3: Tính định thức Jacobi: J=D(x,y)ux′vD(u,v)=≠0∀(u,v)∈Duvy′uy′vHoặc tính thông qua .Bước 4: Áp dụng công thức đổi biến số b) Trong tọa độ cực
Tọa độ cực: M(r, φ)
x = r cos φ
Bước 1: Đổi biến số {y = rsinφ
Bước 2: Đổi cận từ D → Drφ
Bước 3: Tính định thức Jacobi: J = r
Bước 4: Áp dụng công thức đổi biến số I = ∬D f(r cos φ, r sin φ)rdrdφ rφ φ
Đặc biệt: nếu miền lấy tích phân có dạng hình quạt { 1 ⩽ φ ⩽ φ2 (xem hình vẽ)
r1(φ) ⩽ r ⩽ r2(φ)
Thì ta sẽ có I = ∫ φ2
φ dφ ∫ r2(φ) 1
r1(φ) f(r cos φ, r sin φ)rdr
c) Trong tọa độ cực suy rộng
x = ar cos φ 1. Nếu D : x2
, thực hiện phép đổi biến . a2 + y2 b2 = 1 { , J = abr
y = br sin φ x = a+rcosφ
2. Nếu D : (x − a)2 + (y − b)2 = R2, thực hiện phép đổi biến { , J = . r
y = b + r sin φ
∣II. Ví dụ minh họaπVD1: Thay đổi thứ tự lấy tích phân của tích phân kép sau I=∫20dy∫1+y2sinyf(x,y)dxLời giảiTừ biểu thức tích phân ta có miền D được biểu diễn và chia thành 2 phần D1 và D2 như bêndưới:0≤x≤11≤x≤1+π2/4D1{;D2{0≤y≤arcsinx√x−1≤y≤π/2πĐổi thứ tự tích phân: I=∫120dx∫arctanx0.f(x,y)dy+∫1+π241dx∫f(x,y)dy√x−1VD2: Tính tích phân kép sau ∬yD1+xydxdy,D={(x,y)∈R2:0≤x≤1;0≤y≤2}Lời giảiTa thực hiện lấy miền và tính tích phân21yI=∫∫dxdy001+xy22=∫[ln(1+xy)]x=1x=0dy=∫ln(1+y)dy,002y=[yln(1+y)]20−∫dy01+y21=[yln(1+y)]20−∫(1−)dy01+y221=(2ln(3))−∫1dy+∫dy001+y=2ln(3)−2+ln(3)=3ln(3)−2.VD3: Tính tích phân kép sau∭. miền giới hạn bởi các đường cong 0x2(y−x)dxdyDy=x2;x=y2Lời giảiTa có miền D tương đương0≤x≤1D{x2≤y≤√x1√x1y2√xI=∫dx∫x2(y−x)dy=∫dx(x2(−xy)0x202x21x3x61=∫(−x7/2−+x5)dx=−022504
I = ∬D |x + y|d
D = D+ ∪ D− D+ = D ∩
(x + y)dxdy − ∬ (x + y)dxdy D− 1 1 1 −y
= ∫ dx ∫ (x + y)dy − ∫ dy ∫ (x + y)dx −1 −x −1 −1 4 4 8 = − (− ) = . 3 3 3 1 ⩽ xy ⩽ 4
I = ∬D (4x2 − 2y2)dxdy, trong đó D : ∣xdy,trongđó D={(x,y)||x∣≤1 và |{(x,y):f(x,y)≥0}D−=D∩{(x,y):f(x,y)≤0}∬D|f(x,y)|dxdy=∬D+f(x,y)dxdy−∬D−f(x,{x⩽y⩽4x.∬D|x+y|dxdyD11I=2∫1(x+y)2(x+1)2−1dx∫1−x(x+y)dy=2∫1−12dx=2∫1=8yVD4: Tính tích phân lặp sau bằng các đổi thứ tự lấy tích phân I=∫1xe3y0dx∫1−x201−ydyLời giải0≤x≤1Từ biểu thức tính tích phân D{0≤y≤1−x20≤y≤1Đổi thứ tự tính tích phân, miề̀n Dtương đương D′{0≤x≤√1−y1−yI=∫1xe3y0dy∫√1−y01−ydx=∫10dy(x22⋅e3y1−y)=∫100(12e3y)dy=e3−16VD5: Tính tích phân sau , ở đó miền D là hình vuông: |x|≤1,|y|≤1. Lời giảiCâu này chúng ta lợi dụng tích chất của miền đối xứngDo miền hình dưới và hàm dưới dấu tích phân đới xứng qua đường x+y=,0 nên có=−x−12dx=2⋅(x+1)36−13VD6: Tính tích phân sau y|≤1}.Lời giảiPhương pháp giải các bài toán tích phân kẹ́p có chứa dấu trị tuyệt đốiChia miền , với và.Áp dụng công thức cộng tính, y)dxd.yI=∬D+VD7: Tính tích phân sau bằng phương pháp đổi biến sốLời giải
I = ∫ 41 du ∫ 41 (
x2 + (y − 1)2 = 1 ∬D xy2dxdy,
{x = r cos ϕ, 0 ≤ ϕ ≤ π,
y = r sin ϕ π 2 1+y2 ∫ dy ∫
f(x, y)dx 0 sin y
∣4uv−2D→{2siu=xyBước 1: Đặt {v=yx1≤xy≤41≤u≤4Bước 2: Ta có : D:{→Duv{x≤y≤4x1≤v≤4yxBước 3: J−1=−y=2y.1x=2vx2xBước 4: Tính tích phânuv)⋅12vdv=∫41du∫41(2uv2−u)dv=∫41−32udu=−454VD8: Tính tích phân sau bằng các sử dụng phép đổi biến sang tọa độ cực giới hạn bởi {x2+y2−4y=0.Lời giảinϕ≤r≤4sinϕI=∫π0∫4sinϕ2sinϕrcosϕ(rsinϕ)2drdϕ=0.III. Bài tậpPhần 1: Mức độ 1Câu 1 [ID:6031].Thay đổi thứ tự lấy tích phân của các tích phân sau 1 6 0 ≤ 2y y = π8 2+4
3 ∣≤x22x925+4√4∫∫0sinyCâu 2 [ID:6755].Tính tích phân ∬ex2+y2dxd,y với D:1≤x2+y2≤4,y≥.0Dπ2(e4−e1)Câu 3 [ID:6786].Tính tích phân ∬(x+y)dxd,y vớiDD={(x,y)∣(x−4)2+y2≤1,y≥0.}2π+23Câu 4 [ID:6813].Tính tích phân kép ∬(y2−x4)dxd,y với Dlà miền xác định bởiD2|x|+x2+y≤1Câu 5 [ID:6839].Tính tích phân kép ∬(y2−x2)dxd,y trong đó Dlà miềnD+y2≤2.x−π2Câu 6 [ID:6845].Tính ∬(x4−y4)dxdy, Dgiới hạn bởi x=√1−y2 và x=.0D0Câu 7 [ID:6592].Tính tích phân kép : ∬(x+2y)dxd yvới Dlà miền giới hạn bởi y=x2Dvà Câu 8 [ID:6594].Tính tích phân kép ∬(x+3y3)dxd yvới Dxác định bởi x2+y2≤4xDCâu 9 [ID:6583].Tính ∬√x2+y2dxd,y với Dlà miền phía trên parabol y=x2 và phíaDtrong đường tròn x2+y2=.2π√2.5Câu 10 [ID:6575].0√6−x2Đổi thứ tự lấy tích phân ∫dx∫f(x,y)d.y−√3−x I = ∫ √3 dy ∫ 0 . 0
dy ∫ 0−y f(x, y)dx + ∫ √6 √3
−√6−y2 f(x, y)dx
Câu 11 [ID:6576].Tính ∬ (|x|(1 + tany) − |y|)dxdy,
D xác định bởi x2 + y2 ≤ . 1 D 0
Câu 12 [ID:6536].Tính các tích phân kép sau. ∬ (2x + y)2022(2x − y)2023dxd yvới D
D := {(x, y) ∈ R2; 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2 . } 0
