Lý thuyết dạng song tuyến tính, tích vô hướng và không gian Euclid | Đại số tuyến tính | Đại học Bách Khoa Hà Nội

Lý thuyết dạng song tuyến tính, tích vô hướng và không gian Euclid | Đại số tuyến tính | Đại học Bách Khoa Hà Nội. Tài liệu được biên soạn giúp các bạn tham khảo, củng cố kiến thức, ôn tập và đạt kết quả cao kết thúc học phần. Mời các bạn đọc đón xem!

62 31 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Môn: Đại số tuyến tính

Trường: Đại học Bách Khoa Hà Nội

Thông tin:

204 trang 6 tháng trước

Tác giả:

Profile Thùy Dương
CHƯƠNG V
1
13/12/2020
TS. NGUYỄN HẢI SƠN
§1: DẠNG SONG TUYẾN TÍNH
TRONG KHÔNG GIAN VECTƠ THỰC
§1: DẠNG SONG TUYẾN TÍNH
1.1 Định nghĩa.
Đ/n. Cho V là một R kgvt, ánh xạ φ- : VxV฀R gọi là
một dạng song tuyến tính trên V nếu nó thỏa mãn
các t/c sau:
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
1 2 1 2
( ; ) ( ; ) ( ; )
x x y x y x y
( ; ) ( ; )
x y x y
1 2 1 2
( ; ) ( ; ) ( ; )
x y y x y x y
( ; ) ( ; )
x y x y
với
1 2 1 2
, , , , , ,
x x x y y y V
§1: DẠNG SONG TUYẾN TÍNH
Chú ý: Nếu cố định một biến thì dạng song tuyến
tính trở thành dạng tuyến tính theo biến còn lại.
VD1. Ánh xạ φ R xác định bởi φ: RxR⟶ (x,y)=x.y là
một dạng song tuyến tính.
VD2. Ánh xạ φ R xác định bởi : R
2
x R
2
⟶
φ(u,v)=x .x +y y
1 2 1 2
là một dạng song tuyến tính.
§1: DẠNG SONG TUYẾN TÍNH
Chú ý. Ánh xạ tuyến tính f : V R với V là một ⟶
R-kgvt gọi là dạng tuyến tính trên V.
VD3. Nếu V là kgvt và f, g là hai dạng tuyến tính
trên V thì ánh xạ φ : V V x ⟶ R xác định bởi
φ(u,v)=f(u)g(v) là một dạng song tuyến tính.
§1: DẠNG SONG TUYẾN TÍNH
VD4. Ánh xạ φ R xác định bởi: R
2
x R
2
⟶
là một dạng song tuyến tính.
1
1 2
2
1 3
( , )
2 4
y
x y x x
y
Đ/n. Dạng song tuyến tính φ : V V x ⟶ R gọi là đối
xứng nếu φ φ(y;x) với mọi x,y thuộc V. (x;y)=
VD5. Các dạng song tuyến tính ở VD1, VD2 là các
dạng song tuyến tính đối xứng.
§1: DẠNG SONG TUYẾN TÍNH
1.2 Ma trận của dạng song tuyến tính.
a.Đ/n. Cho φ: VxV → R là dạng song tuyến tính
trên V. Gọi B={e } là một cơ sở của V.
1
, e ,…, e
2 n
Đặt φ với i,j=1,…,n. Khi đó, ma trận (e ,e )=a
i j ij
A=[a
ij
] gọi là ma trận của φ đối với cơ sở B.
VD. Cho dạng song tuyến tính φ : R
2
x R
2
⟶ R xđ
bởi φ(u,v)=x .x +y
1 2 1
y
2
. Viết ma trận của đối với cơ
sở chính tắc của R
2
và B={v
1
=(1;1),v =(1;2)}
2
§1: DẠNG SONG TUYẾN TÍNH
b. Biểu thức tọa độ.
Cho x=x
1
e +x e +…+x e
1 2 2 n n
và y=y
1
e +y
1 2 2 n n
e +…+y e .
Khi đó.
ij
, 1 , 1
( , ) ( , ) [x] [ ]
n n
t
i j i j i j B B
i j i j
x y x y e e a x y A y
( , ) [x] [ ]
t
B B
x y A y
§1: DẠNG SONG TUYẾN TÍNH
c. Công thức đổi tọa độ
G/s B’={v , v ,…, v
1 2 n
} là cơ sở khác của V và T là
mtr chuyển cơ sở từ B sang B’.
Gọi A’ là ma trận của φ đối với cơ sở B’.
Ta có
B ' B '
' '
[x] [x] , [y] [y]
( , ) [x] '[y]
B B
t
B B
T T
x y A
Suy ra
' '
( , ) [x] [y] [x] [y]
t
t
B B B B
t t
x y A T A T
' '
[x] ( )[y]
B B
T AT
§1: DẠNG SONG TUYẾN TÍNH
Do đó
' ' ' '
[x] ( )[y] [x] '[y]
t t t
B B B B
T AT A
'
t
A T AT
ĐL. Hạng của ma trận của dạng song tuyến tính
trên kgvt V không phụ thuộc vào cơ sở được chọn.
Đn. Hạng của dạng song tuyến tính trên kgvt Vlà
hạng của ma trận của dạng song tuyến tính đó đối
với một cơ sở bất kì.
§2: DẠNG TOÀN PHƯƠNG
§2: DẠNG TOÀN PHƯƠNG
2.1 Định nghĩa
a. Đ/n. Cho dạng song tuyến tính đối xứng φ trên R-
kgvt V. Khi đó ω φ(x,x) gọi là dạng toàn (x) =
phương sinh bởi dạng song tuyến tính φ đã cho.
- Ma trận của dạng toàn phương này theo một cơ sở
nào đó là mtr của dạng song tuyến tính đối xứng
sinh ra nó theo một cơ sở đó.
Chú ý: Ma trận của dạng toàn phương là mtr đối
xứng.
§2: DẠNG TOÀN PHƯƠNG
b. Dạng toàn phương xác định dương, xác định âm.
Cho dạng toàn phương ω(x) =φ(x,x).
+ φ(x,x) gọi là xác định dương nếu
+ φ(x,x) gọi là xác định âm nếu
- Nếu φ(x,x) không xác định dương, không xác định âm
thì nó gọi là không xác định dấu.
( ; ) 0,
x x x
( ; ) 0,
x x x
- Ma trận tương ứng của dạng toàn phương cũng được gọi
là xác định dương, xác định âm và không xác định dấu.
§2: DẠNG TOÀN PHƯƠNG
c. Dạng chính tắc của dạng toàn phương.
Cho dạng toàn phương ω φ(x,x) của ma trận (x) =
A đối với cơ sở B của V.
Ta có
, 1
( , )
n
t
ij i j
B B
i j
x x x A x a x x
Trong trường hợp A là mtr chéo thì dạng toàn
phương φ(x,x) gọi là có dạng chính tắc
2 2 2
11 1 22 2
( , ) ...
nn n
x x a x a x a x
§2: DẠNG TOÀN PHƯƠNG
2 2 2
11 1 22 2
( , ) ...
nn n
x x a x a x a x
NX: φ(x,x) xác định dương khi và chỉ khi
φ(x,x) xác định âm khi và chỉ khi
0,
ii
a i
0,
ii
a i
§2: DẠNG TOÀN PHƯƠNG
→ Bài toán:
“Đưa dạng toàn phương về dạng
chính tắc”
hay “Tìm một cơ sở của V để ma
trận của dạng toàn phương có dạng
chéo”
§2: DẠNG TOÀN PHƯƠNG
2.2. Rút gọn dạng toàn phương
Có 3 phương pháp
฀ Phương pháp Lagrange (SV tự đọc)
฀ Phương pháp Jacobi
฀ Phương pháp chéo hóa trực giao
§2: DẠNG TOÀN PHƯƠNG
2.2.1 Phương pháp Lagrange (SV tự đọc)
VD. Dùng phương pháp Lagrange, đưa các dạng
toàn phương sau về dạng chính tắc.
a)
b)
2 2 2
1 2 3 1 2 1 3
( ) 2 3 4
x x x x x x x x
1 2 2 3 3 1
( )
x x x x x x x
§2: DẠNG TOÀN PHƯƠNG
2.2.2 Phương pháp Jacobi
Cho dạng toàn phương ω(x) có ma trận A=[a
ij
]
đối với một cơ sở {e } nào đó của V.
1
, e ,…, e
2 n
11 12 1
21 22 2
1 2
n
n
n n nn
a a a
a a a
A
a a a
§2: DẠNG TOÀN PHƯƠNG
Nếu A có các định thức con chính
0, 1,
k
k n
11 12 1
21 22 2
1 2
k
k
k
k k kk
a a a
a a a
a a a
thì tồn tại một cơ sở B của V sao cho theo cơ sở
đó dạng toàn phương có dạng chính tắc.
2 2 2
11
1
( ) ...
n
x y y y
1 2
1 2
( )
n
n
y y y
§2: DẠNG TOÀN PHƯƠNG
•Tiêu chuẩn Sylvester
Cho dạng toàn phương ω(x) có ma trận A theo
một cơ sở nào đó của V.
+ ω(x) xác định dương khi và chỉ khi Δ
k
>0 với
mọi k =1,2,…,n.
+ ω(x) xác định âm khi và chỉ khi (-1)
k
Δ
k
>0 với
mọi k =1,2,…,n.
§2: DẠNG TOÀN PHƯƠNG
VD 1. Xác định dấu của dạng toàn phương
2 2 2
1 2 3 1 2 1 3 2 3
( ) 5 5 4 8 4
x x x x x x x x x x
2 2 2
1 1 2 2 3
( ) 2 3 4
x x x x x x
a)
b)
VD 2. Xác định để các dạng toàn phương sau xác a
định dương
2 2 2
1 2 3 1 2 1 3
( ) 5 4 2
x x x ax x x x x
2 2
1 2 1 2 2 3
( ) 2 2 2
x x ax x x x x
a)
b)
§2: DẠNG TOÀN PHƯƠNG
•Định luật quán tính
Với một dạng toàn phương cho trước, số các số
hạng mang dấu dương và số các số hạng mang dấu
âm của các dạng chính tắc của nó không thay đổi,
không phụ thuộc vào phép biến đổi không suy biến,
hay nói cách khác không phụ thuộc vào sự lựa chọn
cơ sở.
§3:KHÔNG GIAN EUCLIDE
§3: KHÔNG GIAN EUCLIDE
3.1 Tích vô hướng và không gian Euclide.
Đ/n: Cho V là R-không gian vectơ, ánh xạ
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
.,. :
( , ) ,
V V R
x y x y
gọi là một tích vô hướng nếu thỏa mãn
, 0, .
x x x V
, , , ,
x y y x x y V
, , , , ,x y x y x y V
1 2 1 2 1 2
, , , , , ,
x x y x y x y x x y V
Dấu “=” chỉ xảy ra khi x=θ.
§3: KHÔNG GIAN EUCLIDE
-Không gian vectơ thực V hữu hạn chiều trên đó xác
định một tích vô hướng gọi là không gian Euclide.
NX. Tích vô hướng trong kgvt V thực chất là một
dạng song tuyến tính đối xứng φ(x,y)=<x,y> trên
V sao cho φ(x,x) là một dạng toàn phương xác
định dương.
VD1. Không gian các vectơ trong cùng một mặt
phẳng, hoặc trong không gian với tích vô hướng đã
học là một không gian Euclide.
§3: KHÔNG GIAN EUCLIDE
VD2. Trong R
n
, ta có các dạng sau là tích vô hướng.
NX. Trên một không gian có thể có nhiều tích vô
hướng khác nhau và ứng với mỗi tích vô hướng đó
ta có một kiểu không gian Euclide.
(i)
(ii)
(iii)
Với x=(x
1
,x ,…,x
2 n
) và y=(y
1
,y ,…,y )
2 n
฀R
n.
1 1 2 2
, ...
n n
x y x y x y x y
1 1 2 2
, 2 ...
n n
x y x y x y nx y
1 1 1 2 2 2
, ...
n n n
x y a x y a x y a x y
trong đó, các
0, 1,
i
a i n
(TVH thông thường)
ộ g g
§3: KHÔNG GIAN EUCLIDE
VD3. Trong kg P
n
[x], chứng minh dạng sau là một
tích vô hướng.
1
1
, ( ) ( )
p q p x q x dx
với mọi .
, P [ ]
n
p q x
VD4. Trong kg C[a;b], chứng minh dạng sau là một
tích vô hướng.
, ( ) ( )
b
a
f g f x g x dx
với mọi
, [ ; ]
f g C a b
§3: KHÔNG GIAN EUCLIDE
3.2 Độ dài của vectơ.
a.Đ/n. G/s E là một R kgvt đã được trang bị tích -
vô hướng < >. Khi đó với mỗi x E, thì ||x|| được ฀
xác định bởi
gọi là độ dài (hay gọi là chuẩn) của vectơ x.
1
2
, ,
x x x x x

VD: Trong R
n
với tích vô hướng thông thường ta có
2 2 2
x x x x
1 2
...
n
§3: KHÔNG GIAN EUCLIDE
b. Bất đẳng thức Cauchy-Schawarz.
Cho E là một R kgvt đã được trang bị TVH < , >. -
Khi đó, với mọi x,y E ta có
, .
x y x y
VD: Trong R
n
với tích vô hướng thông thường, ta
có bđt sau
2
1 1 2 2
2 2 2 2 2 2
1 2 1 2
( ... )
( ... )( ... )
n n
n n
x y x y x y
x x x y y y
(bđt Bunhiacopxki)
§3: KHÔNG GIAN EUCLIDE
3.3 Góc giữa hai vectơ và hệ vecto trực giao.
a.Đ/n. Cho hai vectơ x và y trong kgvt E với tích
vô hướng < , >.
- Nếu x, y khác vecto không thì góc giữa hai
vectơ x và y được xác định bởi
,
( , ) arccos
.
x y
x y
x y
- Nếu một trong hai vectơ x, y là vectơ không thì
góc giữa hai vectơ x và y là tùy ý.
§3: KHÔNG GIAN EUCLIDE
b. Hệ vectơ trực giao
- Hai vectơ x, y trong kgvt E với tích vô hướng < , >
gọi là trực giao nếu <x ,y>=0. Kí hiệu x฀y.
VD1. Trong R
3
với tích vô hướng thông thường, xét
các vectơ x=(1;-1;2), y=(1;1;0), z=(0;0;2).
Xét tính trực giao của các vectơ trên
§3: KHÔNG GIAN EUCLIDE
VD2. Trong P
2
[x] với tích vô hướng
1
1
, ( ) ( )
p q p x q x dx
Khi đó, là trực giaou=1+x
2
và v = x
§3: KHÔNG GIAN EUCLIDE
Đ/n - Hệ vectơ {v
1
,v ,…,v
2 n
} gọi là hệ trực giao nếu
, 0,
i j
v v i j

-Hệ vectơ {v
1
,v ,…,v
2 n
} gọi là hệ trực chuẩn nếu
0 khi
,
1 khi
i j
i j
v v
i j

§3: KHÔNG GIAN EUCLIDE
VD1. Trong không gian R
n
, với tích vô hướng thông
thường, cơ sở chính tắc E là một hệ trực chuẩn.
VD2. Trong P
2
[x] với tích vô hướng
1
1
, ( ) ( )
p q p x q x dx
Tìm một hệ gồm 3 véctơ trực chuẩn đối với
tích vô hướng trên.
§3: KHÔNG GIAN EUCLIDE
c. Hai không gian con trực giao
Trong kgvt E với tích vô hướng < , > , cho vectơ
x và hai kg con W, V.
(i) x gọi là trực giao với W, kí hiệu: nếu x ⏊ W
y, W
x y
(ii) V gọi là trực giao với W, kí hiệu: V W nếu ⏊
y, , W
x x V y
(iii) V gọi là phần bù trực giao với W, kí hiệu: W
⏊
nếu
{ | , }
V W x E x y y W
§3: KHÔNG GIAN EUCLIDE
3.4 Cơ sở trực giao, cơ sở trực chuẩn.
a.ĐL. Trong kgvt E với tích vô hướng < , >, mọi
hệ vectơ trực giao là hệ độc lập tuyến tính.
c/m:…
b.Đ/n. Trong kgvt E với tích vô hướng < , >, cơ sở B
gọi là tương ứngcơ sở trực giao ( cơ sở trực chuẩn)
nếu nó là hệ trực giao (hệ trực chuẩn)
VD. Trong kg Euclide R
n
với tích vô hướng thông
thường thì cơ sở chính tắc chính là cơ sở trực chuẩn
§3: KHÔNG GIAN EUCLIDE
Bài toán đặt ra:
Cho kg Euclide E. Hãy tìm một
cơ sở trực chuẩn của E.
TRỰC CHUẨN HÓA MỘT
HỆ ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH
§3: KHÔNG GIAN EUCLIDE
3.4 Thuật toán trực chuẩn hóa Gram-Smith.
G/s {v
1
, v
2 n
,…, v } là một hệ vectơ độc lập tuyến
tính của kgvt E với tích vô hướng < , >.
Quá trình trực chuẩn hóa hệ véctơ trên gồm 2 bước:
Bước 1. Trực giao hóa.
Bước 2. Trực chuẩn hóa.
3.4. Trực chuẩn hóa Gram-Smith
Bước 1. Trực giao hóa.
Đặt
1 1
u v
1 2 1
2 2
2
1
,
u v u
u v
u
…
1
2
1
,
k
i k
k k i
i
i
u v
u v u
u
…
1
2
,
n
i n
n n i
u v
u v u
u
1i
i
3.4. Trực chuẩn hóa Gram-Smith
ĐL. Hệ { } có tính chất u
1
, u ,…, u
2 n
(i) Là một hệ trực giao.
(ii) span(u
1
, u ,…, u
2 k
)= span(v
1
, v ,…, v
2 k
),
với k=1,…,n
C/m:...
3.4. Trực chuẩn hóa Gram-Smith
Bước 2. Trực chuẩn hóa.
Đặt
, 1,
i
i
i
u
e i n
u
Khi đó, ta được hệ {e ,e ,…,e
1 2 n
} là một hệ trực
chuẩn.
T/v:
,
0 khi
, ,
1 khi
.
j i j
i
i j
i
j i j
u u u
i j
u
e e
i j
u
u u u

3.4. Trực chuẩn hóa Gram-Smith
VD1. Trong không gian R
3
, với tích vô hướng
thông thường, hãy xây dựng cơ sở trực chuẩn
{e ,e ,e
1 2 3
} từ cơ sở
B={v =(1;1;1),v =(1;1;2);v
1 2 3
=(1;2;3)}
VD2. Câu hỏi như VD1 với
B={v =(1;1;1),v =(1;1;0);v
1 2 3
=(1;0;0)}
VD3. Câu hỏi như VD1 với tích vô hướng.
1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3
( , , ),( , , ) 2 3
x x x y y y x y x y x y

3.4. Trực chuẩn hóa Gram-Smith
VD4. Trong không gian P
2
[x], với tích vô hướng
hãy xây dựng cơ sở trực chuẩn { } từ cơ sở e ,e ,e
1 2 3
E={
1; x; x
2
}
1
1
, ( ) ( )
p q p x q x dx
§3: KHÔNG GIAN EUCLIDE
3.5.Công thức tọa độ đối với cơ sở trực chuẩn
Trong kg Euclide (E, < , >), cho cơ sở trực chuẩn
B={e
1
, e ,…, e
2 n
}. Khi đó, với mọi vectơ x và y
thuộc E, ta có
1 1 2 2
( ) , , ... ,
n n
i x x e e x e e x e e

tức là
1 2
( ) ( , , , ,..., , )
B n
x x e x e x e
1
( ) < , [x] .[y]=
n
t
B i i
i
ii x y x y

1 2 1 2
( ) ( , ,..., ),( ) ( , ,..., )
B n B n
x x x x y y y y
ở đó
§3: KHÔNG GIAN EUCLIDE
Ví dụ. Xét không R
3
với tích vô hướng Euclide thông
thường, có một cơ sở trực chuẩn là
1 2 3
1 1 1 1 1 1 1 2
; ; , ; ;0 ; ; ;
3 3 3 2 2 6 6 6
B e e e
Cho v=(1;2;-3). Tìm tọa độ của v đối với cơ sở B.
§3: KHÔNG GIAN EUCLIDE
3.6. Phép chiếu trực giao lên một kg vecto
W
Pr ( ) W
v v
§3: KHÔNG GIAN EUCLIDE
ĐL. Trong kg Euclide (E, < , >), cho kg con W và
vectơ x. G/s B={e } là cơ sở trực chuẩn
1
, e ,…, e
2 m
của W. Khi đó, hình chiếu của vecto v lên kg W là:
W 1 1 2 2
( ) , , ... ,
m m
ch v v e e v e e v e e

§3: KHÔNG GIAN EUCLIDE
VD1. Xét không R
3
với tích vô hướng thông thường.
Giả sử H là không gian các nghiệm của phương
trình x
1
+x -x
2 3
=0. Tìm một cơ sở trực chuẩn của H.
Tìm tọa độ của vectơ u=(1;2;3) thuộc H đối với cơ
sở vừa tìm được ở trên.
VD2. Xét không R
3
với tích vô hướng thông thường.
Giả sử H là không gian các nghiệm của phương
trình x
1
-x -x
2 3
=0. Tìm một cơ sở trực chuẩn của H.
Tìm tọa độ của vectơ u=(4;1;3) thuộc H đối với cơ
sở vừa tìm được ở trên.
(Đề II-K56)
( Đề I-K56)
ợ
(Đề II-K56)
§3: KHÔNG GIAN EUCLIDE
VD3. Xét không R
3
với tích vô hướng Euclide thông
thường. Cho các vecto u
1
=(1;2;3), u
2
=(-4;5;1),
u
3
=( =(4; 1; ,-2;9;7), u - -3). Đặt H=span{u
1
u u
2
,
3
}.
Tìm hình chiếu vuông góc của vectơ u lên không
gian con H.
VD4. Xét không R
3
với tích vô hướng Euclide thông
thường. Cho các vecto v -
1
=(1; 2;3), v
2
=(3;-7;10),
v - - v v v
3
=( 1;3; 4), v =(1;3;1). Đặt H=span{
1
,
2
,
3
}. Tìm
hình chiếu vuông góc của vectơ v lên không gian
( Đề III-K55)
con H.
( Đề IV-K55)
§3: KHÔNG GIAN EUCLIDE
(Đề III-K55)
1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3
( ; ; ),( ; ; ) 2
x x x y y y x y x y x y
w 45
w (2;1;6),w ( 2; 1; 6)
1 2
( ; ; ), ( ; ; )
Đ/s:
§3: KHÔNG GIAN EUCLIDE
VD6. Trong không gian R
3
với tích vô hướng
cho B là không gian nghiệm của phương trình
2x +x -2x
1 2 3
=0 và vecto =(2;2;1). v
1) Tìm một cơ sở trực chuẩn của B.
2) Tìm vectơ w฀B sao cho w v và ⊥
(Đề IV-K55)
1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3
( ; ; ),( ; ; ) 2
x x x y y y x y x y x y
w 3 3
Đ/s:
§3: KHÔNG GIAN EUCLIDE
(Đề I-K53)
1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3
( ; ; ),( ; ; ) 2
x x x y y y x y x y x y
Đ/s:
1 2
{e =(1;-1;1),e =(1;1;1)}
B
(2;1; 1)
x
1 1 3 3
;1; , ;0;
u v
2 2 2 2
§4: PHÉP BIẾN ĐỔI
TRỰC GIAO
§4: PHÉP BIẾN ĐỔI TRỰC GIAO
4.1 Định nghĩa. Toán tử tuyến tính f trên kg Euclide
E được gọi là phép biến đổi trực giao nếu:
( ), ( ) , , ,
f x f y x y x y E

Tính chất.
( ) ( )
( ) ( ( ), ( )) ( , )
i f x x
ii f x f y x y
§4: PHÉP BIẾN ĐỔI TRỰC GIAO
4.2.ĐL. Toán tử tuyến tính f
là trực giao khi và chỉ khi
nó biến một cơ sở trực chuẩn thành một cơ sở trực
chuẩn.
4.3.Đ/n Ma trận A được gọi là ma trận trực giao nếu
A
t
= A hay A A=E
-1 t
4.4. ĐL Toán tử tuyến tính f
trên kg Euclide E là phép
biến đổ trực giao nếu ma trận của nó theo một cơ sở
trực chuẩn nào đó là ma trận trực giao.
§4: PHÉP BIẾN ĐỔI TRỰC GIAO
Hệ quả. Ma trận chuyển cơ sở từ một cơ sở trực
chuẩn sang một cơ sở trực chuẩn khác là một ma trận
trực giao. Ngược lại, mọi ma trận trực giao đều có thể
xem là ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở trực chuẩn này
sang cơ sở trực chuẩn khác.
VD.
cos sin
sin cos
A
§5: TOÁN TỬ ĐỐI XỨNG
§5: TOÁN TỬ ĐỐI XỨNG
5.1 Đn. Toán tử tuyến tính f trên kg Euclide E gọi là
toán tử đối xứng nếu
( ), , ( )
f x y x f y

5.2 ĐL. Toán tử tuyến tính f trên kg Euclide E là
toán tử đối xứng nếu ma trận của nó đối với một cơ
sở trực chuẩn là đối xứng.
§5. TOÁN TỬ ĐỐI XỨNG
5.3 ĐL. Nếu A là ma trận đối xứng thì A có các tính
chất dưới đây.
(i) Mọi giá trị riêng của A đều là thực
(ii) Pt đặc trưng có đủ n nghiệm (kể cả bội)
(iii) Các vecto riêng ứng với các trị riêng khác nhau
trực giao với nhau.
(iv) A chéo hóa được.
§5. TOÁN TỬ ĐỐI XỨNG
5.3 Đ/n. Mtr A gọi là chéo hóa trực giao được nếu
tồn tại mtr trực giao T sao cho T
t
AT là mtr chéo.
5.4 ĐL. Mtr A chéo hóa trực giao được khi và chỉ
khi A là mtr đối xứng.
§5. TOÁN TỬ ĐỐI XỨNG
5.5. Thuật toán chéo hóa trực giao mtr đối xứng A
Bc 1. Tìm các trị riêng λ
1 2
, λ ,…, λ
k
của A tương ứng
có các bội d với d
1
, d ,…, d
2 k 1
+d
2
+…+ d =n.
k
Bc2. Với mỗi trị riêng λ , ta tìm một cơ sở trực chuẩn
i
của kg riêng bằng thuật toán Gram-Smith.
Khi đó, ta sẽ có một cơ sở trực chuẩn là các vectơ
riêng của A.
Bc3. Lập ma trận T có các cột là các VTR của A, ta
được T là mtr trực giao, làm chéo hóa A.
( )
i
P A
ợ ự g ,
§5. TOÁN TỬ ĐỐI XỨNG
VD 1. Tìm mtr trực giao T làm chéo hóa các mtr sau
5 2
)
2 8
3 1 1
) A 1 3 1
1 1 3
a A
b
(Đề IV-K49)
§5. TOÁN TỬ ĐỐI XỨNG
VD 2. Cho ma trận
i) Tìm mtr trực giao P và ma trận chéo D sao cho
0 1 2
A 1 0 2
2 2 3
(Đề IV-K54)
1
P AP D
10
A
ii) Tính
Đ/s: Các GTR là -5, 1, 1
§5. TOÁN TỬ ĐỐI XỨNG
5.6. Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc
bằng phương pháp chéo hóa trực giao
G/s A, A’ tương ứng là mtr của dạng toàn
phương φ với cơ sở trực chuẩn E và B. Nếu T là
ma trận chuyển cơ sở từ E sang B thì T là ma trận
trực giao và A’=T
t
AT.
Nếu A’ có dạng chéo thì với cơ sở B, φ có
dạng chính tắc.
§5. TOÁN TỬ ĐỐI XỨNG
Đưa các dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng
phương pháp chéo hóa trực giao
2
3 1 2 1 3 2 3
5 4 6 6
q x x x x x x x
(Đề I-K55)
(i)
(Đề I-K55)
(ii)
2
3 1 2 1 3 2 3
4 2 6 6
q x x x x x x x
(Đề III-K56)
(iii)
2 2 2
1 2 3 1 2 1 3 2 3
3 3 6 4 2 2
q x x x x x x x x x
(Đề IV-K56)
(iv)
2 2 2
1 2 3 1 2 1 3 2 3
2 2 3 2 4 4
q x x x x x x x x x
§6: KHÔNG GIAN
HÌNH HỌC EUCLIDE
§6: KG HÌNH HỌC EUCLIDE
6.1 Định nghĩa.
G/s E là một kg Euclide n chiều trên trường số thực.-
Đ/n. Tập U được gọi là
không gian hình học Euclide
n chiều tựa trên E nếu mỗi cặp (M tương , N) UxU
ứng với một véctơ của E, kí hiệu là thỏa mãn 2
tiên đề sau:
MN
, M,N,P U
MN NP MP
(i)
(ii)
Với mỗi và tồn tại duy nhất M U
a E
N U để
MN
§6: KG HÌNH HỌC EUCLIDE
Khi U là không gian hình học Euclide thì các phần
tử của U được gọi là các điểm.
VD1.
- Mặt phẳng hình học thông thường là một
không gian hình học Euclide hai chiều.
- Không gian hình học thông thường là một
không gian hình học Euclide ba chiều.
VD2. Với mỗi M(x
1
;x ;…;x
2 n
), N(y
1 2 n
;y ;…;y ) R
n
ta
cho tương ứng với vectơ
1 1 2 2
( , ,..., )
n
n n
MN y x y x y x
Khi đó, R
n
là ột k hì h h E lid
§6: KG HÌNH HỌC EUCLIDE
Đ/n 2. U là một kg hình học Euclide tựa trên E, G là
một điểm của U; {f
1
, f
2
,…,f
n
} là một cơ sở trực chuẩn
của E thì bộ [G,(f )] được gọi là hệ tọa độ
1
, f
2
,…,f
n
trực chuẩn của U với gốc tọa độ G.
Khi đó, với mỗi điểm M của U, tọa độ của véc
tơ đối với cơ sở trực chuẩn trên gọi là tọa độ của
M theo hệ tọa độ [G,(f
1
, f )] .
2
,…,f
n
GM
§6: KG HÌNH HỌC EUCLIDE
Ví dụ.
1.Hệ tọa độ Đề các Oxy trong mặt phẳng.
2. Hệ tọa độ Đề các Oxyz trong không gian.
§6: KG HÌNH HỌC EUCLIDE
6.2 Siêu phẳng và đường thẳng.
Đ/n 1. Cho kg Euclide U tựa trên E. Tập con
1 2 1 1 2 2
{ ( , ,..., ) | ... }
n n n
P M x x x U a x a x a x b
với gọi là một siêu phẳng
của U.
1 2
( , ,..., ) (0;0;...;0)
n
a a a
Khi đó, gọi là phương
trình của P.
1 1 2 2
...
n n
a x a x a x b
Ví dụ. Đường thẳng trong mặt phẳng, mặt phẳng
trong không gian.
o g ô g g .
§6: KG HÌNH HỌC EUCLIDE
Đn 2.
Đường thẳng D của không gian Euclide U là tập
con của U có dạng
0
1 1 1
0
2 2 2
1 2
0
M(x ,x ,..., x )
...
n
n n n
x x a t
x x a t
D
x x a t
với
( , ,..., ) (0;0;...;0)
a a a
1 2
§6: KG HÌNH HỌC EUCLIDE
6.3 Mặt bậc hai.
Đ/n 1. Tập con S trong kg hình học Euclide n chiều
U tựa trên E được gọi là một mặt bậc hai, nếu với
mỗi hệ tọa độ trực chuẩn [G,(f )] của U thì
1
, f
2
,…,f
n
1 2 ij
, 1 1
( , ,..., ) | ' 0
n n
n i j i i
i j i
S M x x x U a x x b x c
trong đó không đồng thời bằng 0 và b
1
, b , …,
2
b
n
, c là các hằng số xác định.
ij
'
a
§6: KG HÌNH HỌC EUCLIDE
VD1.Trong mặt phẳng Oxy, đường tròn, các đường
cônic là một mặt bậc 2:
(C) (x-a) + (y-b) = R
2 2 2
VD2.Trong không gian Oxyz, mặt cầu là một mặt
bậc 2:
(C) (x-a) + (y-b)
2 2
+(z-c)
2
= R
2
2 2 2 2
2
2 2 2 2
( ) 1, ( ) 1, ( )
x y x y
E H P y ax
a b a b
§6: KG HÌNH HỌC EUCLIDE
NX.
Nếu đặt thì A=[ ] là mộta
ij
ma trận đối xứng và
ij
1
( ' ' )
2
ij ji
a a a
ij
, 1 1 1
' [x] [ ]
n n n
t
i j i i i i
i j i i
a x x b x c A x b x c
§6: KG HÌNH HỌC EUCLIDE
Bài toán đặt ra.
Cho S là một mặt bậc hai trong kg Euclide n chiều U
tựa trên E. G/s trong một hệ tọa độ trực chuẩn
[G,(f ,f ,…,f
1 2 n
)], S có pt:
1
[x] [ ] 0
n
t
i i
i
A x b x c
Ta cần tìm một hệ tọa độ mới trong U để trong
hệ tọa độ đó pt của S là
2
1 1
0
r n
i i i i
i i r
x c x d
được gọi là dạng chính tắc của S.
§7:ĐƯA MẶT BẬC HAI VỀ DẠNG
CHÍNH TẮC TRONG KHÔNG GIAN
HÌNH HỌC EUCLIDE.
§7: ĐƯA MẶT BẬC HAI VỀ DẠNG CHÍNH TẮC
7.1.Đưa phương trình bậc hai về dạng chính tắc.
Bài toán: G/s S là mặt bậc hai trong kg hình học
Euclide U, có phương trình
trong hệ tọa độ trực chuẩn [G,(e
1
,e ,…,e )].
2 n
[x] [ ] ( )
t t
A x c A A
Cần tìm một hệ tọa độ trực chuẩn mới gốc G để
trong hệ đó S có phương trình dạng chính tắc
2
r
i i
x c
1
i
§7: ĐƯA MẶT BẬC HAI VỀ DẠNG CHÍNH TẮC
Lời giải cho bài toán.
G/s T là mtr trực giao làm chéo hóa A. Khi đó
1
2
0 0
0 0
0 0 ...
t
n
T AT
[ ]=T[ ]
x y
Đặt
thì S có pt:
1
2
2
1
[ ] [ ] [ ] [ ]
0 0
0 0
[ ] [ ]
0 0 ...
t t t
n
t
i i
i
n
x A x y T AT y
y y x
Hệ tọa độ trực chuẩn mới của U để S có dạng chính
tắc là [G,(f )] với [f
1
;f ;…;f
2 n 1
f
2
… f
n
]=[e
1
e
2
… e ]T
n
§7: ĐƯA MẶT BẬC HAI VỀ DẠNG CHÍNH TẮC
( )]
1 2 n 1 2 n
]
1 2
]
n
§7: ĐƯA MẶT BẬC HAI VỀ DẠNG CHÍNH TẮC
Ví dụ. Trong không gian tọa độ trực chuẩn
[O,(e ;e ;e
1 2 3
)], đường cong S có phương trình
Hãy tìm một hệ tọa độ trực chuẩn gốc O để
trong hệ tọa độ đó, S có pt ở dạng chính tắc.
2 2 2
1 2 3 1 2 2 3 3 1
( ) 2 2 2 2 2 2 5
S x x x x x x x x x
Nhận xét. Nếu chỉ để nhận dạng mặt bậc hai thì chỉ
việc dùng các phép biến đổi không suy biến, chẳng
hạn phương pháp Lagrange và Jacobi. Nhưng như
thế, thực chất nó đã bị biến dạng (elip thành đường
tròn, hình cầu thành elipsoid,…). Trong thực tế đôi
khi người ta không chỉ quan tâm đến dạng của mặt
mà còn kích cỡ của nó, nên người ta phải dùng đến
phép biến đổi trực giao để đưa nó về dạng chính tắc.
§7: ĐƯA MẶT BẬC HAI VỀ DẠNG CHÍNH TẮC
§7: ĐƯA MẶT BẬC HAI VỀ DẠNG CHÍNH TẮC
7.2.Đưa mặt bậc hai về dạng chính tắc trong không
gian hình học Euclide.
Bài toán: G/s S là mặt bậc hai trong kg hình học
Euclide U, có phương trình
trong hệ tọa độ trực chuẩn [G,(e
1
,e ,…,e )].
2 n
1
[ ] [ ] 0
n
t
i i
i
x A x b x c
Cần tìm một hệ tọa độ trực chuẩn mới để trong hệ
đó S có dạng chính tắc.
§7: ĐƯA MẶT BẬC HAI VỀ DẠNG CHÍNH TẮC
Bước 1: Tìm mtr trực giao T làm chéo hóa A. Tìm hệ
tọa độ [G;(f )] tương ứng với T và phép biến
1
;f ;…;f
2 n
đổi như trong mục 7.1
Khi đó, pt của (S) sẽ là
[ ]=T[ ]
x y
2
1 1
2 0 ( 0, 1, )
r n
i i i i i
i i
y c y c i r
Bước 2: Rút gọn
2
2
2 0
r n r
i i
i i i i
c c
y c y c
1 1 1i i r i
i i
§7: ĐƯA MẶT BẬC HAI VỀ DẠNG CHÍNH TẮC
Bước 3: Chọn điểm I U có tọa độ là ฀
trong hệ tọa độ [G,(f )]. Khi đó, trong hệ tọa
1
;f ;…;f
2 n
độ [I,(f )], S co pt chính tắc
1
;f ;…;f
2 n
1 2
1 2
, ,..., ,0,...,0
r
r
c c c
2
2
1 1 1
' 2 ' 0
r n r
i
i i i i
i i r i
i
c
y c y c
§7: ĐƯA MẶT BẬC HAI VỀ DẠNG CHÍNH TẮC
Ví dụ. Trong không gian tọa độ trực chuẩn
[O,(e ;e ;e
1 2 3
)], đường cong S có phương trình
Hãy tìm một hệ tọa độ trực chuẩn gốc O để
trong hệ tọa độ đó, S có pt ở dạng chính tắc.
2 2 2
1 2 3 1 2 2 3 3 1
1 2 3
( ) 2 2 2 2 2 2
3 2 5
S x x x x x x x x x
x x x
§8: PHÂN LOẠI ĐƯỜNG BẬC HAI
TRONG MẶT PHẲNG
§8: PHÂN LOẠI MẶT BẬC HAI
Bằng việc biến đổi hệ trục tọa độ, ta luôn đưa một
đường bậc 2 (C) về dạng chính tắc, bao gồm các
dạng sau đây:
Dạng 1. (elip)
Dạng 2. (hypecbol)
Dạng 3. (parabol)
2 2
2 2
1
x y
a b
2 2
2 2
1
x y
a b
2
2
x py
§8: PHÂN LOẠI MẶT BẬC HAI
Dạng 4. (cặp đường thẳng cắt nhau)
Dạng 5. (một điểm)
Dạng 6. (cặp đường thẳng song song)
2 2
2 2
0
x y
a b
2
2
1
x
a
2 2
2 2
0
x y
a b
Dạng 7. (cặp đường thẳng trùng nhau)
2
2
0
x
a
Dạng 8. (elip ảo)
Dạng 9. (cặp đường thẳng ảo song song)
2 2
2 2
1
x y
a b
2
2
1
x
§9: PHÂN LOẠI MẶT BẬC HAI
TRONG KHÔNG GIAN
§9: PHÂN LOẠI MẶT BẬC HAI
Bằng việc biến đổi hệ trục tọa độ, ta luôn đưa một
mặt bậc 2 (S) về dạng chính tắc, bao gồm các
dạng sau đây:
Dạng 1. (elipsoid)
2 2 2
2 2 2
1
x y z
a b c
§9: PHÂN LOẠI MẶT BẬC HAI
Dạng 2. (hypecboloid- một tầng)
2 2 2
2 2 2
1
x y z
a b c
§9: PHÂN LOẠI MẶT BẬC HAI
Dạng 3. (hypecboloid- hai tầng)
2 2 2
2 2 2
1
x y z
a b c
§9: PHÂN LOẠI MẶT BẬC HAI
Dạng 4. (Paraboloid- eliptic)
2 2
2 2
x y
z
a b
§9: PHÂN LOẠI MẶT BẬC HAI
Dạng 5. (Paraboloid- hypecbolic)
2 2
2 2
x y
z
a b
Mặt yên ngựa
ặ y gự
§9: PHÂN LOẠI MẶT BẬC HAI
Dạng 6. (các mặt trụ)
2 2
2 2
1
x y
a b
- Trụ eliptic
2
2
0
x
py
a
- Trụ parabolic
2 2
2 2
1
x y
a b
- Trụ hypecbolic
2 2
2 2
0
x y
a b
- Nhị diện
§9: PHÂN LOẠI MẶT BẬC HAI
Dạng 7. (Mặt nón)
2 2 2
2 2 2
0
x y z
a b c
§9: PHÂN LOẠI MẶT BẬC HAI
Dạng 8. (cặp mặt phẳng song song)
Dạng 9. (cặp mặt phẳng trùng nhau)
2
2
1
x
a
2
2
0
x
a
§9: PHÂN LOẠI MẶT BẬC HAI
Dạng 10. (Các dạng ảo)
a) Elipsoid ảo
2 2 2
2 2 2
1
x y z
a b c
2
2
1
x
a
b) Trụ elipsoid ảo
c) Các mặt phẳng ảo song song
2 2
2 2
1
x y
a b
§9: PHÂN LOẠI MẶT BẬC HAI
Ví dụ 1. Nhận dạng các đường bậc hai sau
a)
2 2
1 2 1 2 1
1
x x x x x
b)
2
1 1 2 2
2 3 0
x x x x
Ví dụ 2. Nhận dạng các mặt bậc hai sau
a)
2 2 2
1 2 3 1 2 2 3 3 1
2 3 10
x x x x x x x x x
b)
2 2
1 2 1 2 3 1 2
2 3 4 0
x x x x x x x
§9: PHÂN LOẠI MẶT BẬC HAI
VD3. Trong xét tích vô hướng thông thường,
cho dạng toàn phương
2 2 2
1 2 3 1 1 2 2 3
( ; ; ) 4 3
x x x x x x x x
i) Tìm một cơ sở trực chuẩn của để dạng
toàn phương có dạng chính tắc.
ii) Xác định tên của mặt bậc hai sau
1 2 3
( ; ; ) 1
x x x
3
3
(Đề 3-K52)
| 1/204
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

CHƯƠNG V 13/12/2020 TS. NGUYỄN HẢI SƠN 1 
§1: DẠNG SONG TUYẾN TÍNH
TRONG KHÔNG GIAN VECTƠ THỰC
§1: DẠNG SONG TUYẾN TÍNH  1.1 Định nghĩa.
Đ/n. Cho V là một R-kgvt, ánh xạ φ: VxV฀R gọi là
một dạng song tuyến tính trên V nếu nó thỏa mãn các t/c sau: (i) (
x x ; y)  (  x ; y)  (  x ; y) 1 2 1 2 (ii) (  x  ; y)   (  x; y) (iii) (
x; y y )  (  x; y )  (  x; y ) 1 2 1 2 (iv) (  x; y  )   (  x; y) với x
 ,x , x , y, y , y V  ,   1 2 1 2
§1: DẠNG SONG TUYẾN TÍNH 
Chú ý: Nếu cố định một biến thì dạng song tuyến
tính trở thành dạng tuyến tính theo biến còn lại.
VD1. Ánh xạ φ: RxR⟶ R xác định bởi φ(x,y)=x.y là
một dạng song tuyến tính.
VD2. Ánh xạ φ : R2x R2 ⟶ R xác định bởi
φ(u,v)=x .x +y y là một dạng song tuyến tính. 1 2 1 2
§1: DẠNG SONG TUYẾN TÍNH 
Chú ý. Ánh xạ tuyến tính f : V ⟶ R với V là một
R-kgvt gọi là dạng tuyến tính trên V.
VD3. Nếu V là kgvt và f, g là hai dạng tuyến tính
trên V thì ánh xạ φ : VxV ⟶ R xác định bởi
φ(u,v)=f(u)g(v) là một dạng song tuyến tính.
§1: DẠNG SONG TUYẾN TÍNH 
VD4. Ánh xạ φ : R2x R2 ⟶ R xác định bởi    y
(x, y)  x x  1 3 1 1 2     2 4 y    2 
là một dạng song tuyến tính.
Đ/n. Dạng song tuyến tính φ : Vx V ⟶ R gọi là đối
xứng nếu φ(x;y)= φ(y;x) với mọi x,y thuộc V.
VD5. Các dạng song tuyến tính ở VD1, VD2 là các
dạng song tuyến tính đối xứng.
§1: DẠNG SONG TUYẾN TÍNH 
1.2 Ma trận của dạng song tuyến tính.
a.Đ/n. Cho φ: VxV → R là dạng song tuyến tính
trên V. Gọi B={e , e ,…, e } là một cơ sở của V. 1 2 n
Đặt φ(e ,e )=a với i,j=1,…,n. Khi đó, ma trận i j ij
A=[a ] gọi là ma trận của φ đối với cơ sở B. ij
VD. Cho dạng song tuyến tính φ : R2x R2 ⟶ R xđ
bởi φ(u,v)=x .x +y y . Viết ma trận của đối với cơ 1 2 1 2
sở chính tắc của R2 và B={v =(1;1),v =(1;2)} 1 2
§1: DẠNG SONG TUYẾN TÍNH  b. Biểu thức tọa độ.
Cho x=x e +x e +…+x e và y=y e +y e +…+y e . 1 1 2 2 n n 1 1 2 2 n n Khi đó. n n (  , x y)  x y (   e ,e )  a x y   [x]t [ A y] i j i j ij i j B B i, j 1  i, j 1  (  , x ) y [x]t [ A ] y B B
§1: DẠNG SONG TUYẾN TÍNH 
c. Công thức đổi tọa độ
G/s B’={v , v ,…, v } là cơ sở khác của V và T là 1 2 n
mtr chuyển cơ sở từ B sang B’.
Gọi A’ là ma trận của φ đối với cơ sở B’.
Ta có [x]  T [x] , [y]  T [y] B B' B B'
(x, y)  [x]t A'[y] B ' B ' Suy ra t (
x, y) [x]t [y A ]  T A T B B  [x] [y] B '   B '  t t B ' B '  [x] (T AT )[y]
§1: DẠNG SONG TUYẾN TÍNH  Do đó [x]t ( t T AT )[y]  [x]t A '[y] B ' B ' B ' B '  ' t A T AT
ĐL. Hạng của ma trận của dạng song tuyến tính
trên kgvt V không phụ thuộc vào cơ sở được chọn.
Đn. Hạng của dạng song tuyến tính trên kgvt Vlà
hạng của ma trận của dạng song tuyến tính đó đối
với một cơ sở bất kì. 
§2: DẠNG TOÀN PHƯƠNG
§2: DẠNG TOÀN PHƯƠNG  2.1 Định nghĩa
a. Đ/n. Cho dạng song tuyến tính đối xứng φ trên R-
kgvt V. Khi đó ω(x) = φ(x,x) gọi là dạng toàn
phương sinh bởi dạng song tuyến tính φ đã cho.
- Ma trận của dạng toàn phương này theo một cơ sở
nào đó là mtr của dạng song tuyến tính đối xứng
sinh ra nó theo một cơ sở đó.
Chú ý: Ma trận của dạng toàn phương là mtr đối xứng.
§2: DẠNG TOÀN PHƯƠNG
b. Dạng toàn phương xác định dương, xác định âm.
Cho dạng toàn phương ω(x) =φ(x,x).     
+ φ(x,x) gọi là xác định dương nếu (x;x) 0, x
+ φ(x,x) gọi là xác định âm nếu (x; x )  0, x   
- Nếu φ(x,x) không xác định dương, không xác định âm
thì nó gọi là không xác định dấu.
- Ma trận tương ứng của dạng toàn phương cũng được gọi
là xác định dương, xác định âm và không xác định dấu.
§2: DẠNG TOÀN PHƯƠNG
c. Dạng chính tắc của dạng toàn phương.
Cho dạng toàn phương ω(x) = φ(x,x) của ma trận
A đối với cơ sở B của V. n t Ta có (
x,x)  xAx   a x xij i j B B i, j 1 
Trong trường hợp A là mtr chéo thì dạng toàn
phương φ(x,x) gọi là có dạng chính tắc 2 2 2 (
x, x)  a x a x ...  a x 11 1 22 2 nn n
§2: DẠNG TOÀN PHƯƠNG 2 2 2
(x,x)  a x a x  ... a x 11 1 22 2 nn n
NX: φ(x,x) xác định dương khi và chỉ khi a  0,i ii
φ(x,x) xác định âm khi và chỉ khi a  0, iii
§2: DẠNG TOÀN PHƯƠNG → Bài toán:
“Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc”
hay “Tìm một cơ sở của V để ma
trận của dạng toàn phương có dạng chéo”
§2: DẠNG TOÀN PHƯƠNG
2.2. Rút gọn dạng toàn phương Có 3 phương pháp
฀ Phương pháp Lagrange (SV tự đọc) ฀ Phương pháp Jacobi
฀ Phương pháp chéo hóa trực giao
§2: DẠNG TOÀN PHƯƠNG
2.2.1 Phương pháp Lagrange (SV tự đọc)
VD. Dùng phương pháp Lagrange, đưa các dạng
toàn phương sau về dạng chính tắc. a) 2 2 2 (
x)  2x x x  3x x  4x x 1 2 3 1 2 1 3 b) (
x)  x x x x x x 1 2 2 3 3 1
§2: DẠNG TOÀN PHƯƠNG 2.2.2 Phương pháp Jacobi
Cho dạng toàn phương ω(x) có ma trận A=[a ] ij
đối với một cơ sở {e , e ,…, e } nào đó của V. 1 2 n a aa  11 12 1n   a aa 21 22 2 n A            a aa  1n n2 nn
§2: DẠNG TOÀN PHƯƠNG
Nếu A có các định thức con chính   0, k  1,n k a aa 11 12 1k a aa 21 22 2k   k     a aa 1 k k2 kk
thì tồn tại một cơ sở B của V sao cho theo cơ sở
đó dạng toàn phương có dạng chính tắc. 1   2 1 2 1  2 ( )    ... n x y yy ( ) y y y 1 2 n 1 2 n   
§2: DẠNG TOÀN PHƯƠNG •Tiêu chuẩn Sylvester
Cho dạng toàn phương ω(x) có ma trận A theo
một cơ sở nào đó của V.
+ ω(x) xác định dương khi và chỉ khi Δ >0 với k mọi k =1,2,…,n.
+ ω(x) xác định âm khi và chỉ khi (-1)kΔ >0 với k mọi k =1,2,…,n.
§2: DẠNG TOÀN PHƯƠNG
VD 1. Xác định dấu của dạng toàn phương 2 2 2 a) (
x)  5x x  5x  4x x 8x x  4x x 1 2 3 1 2 1 3 2 3 2 2 2 b) (
x)  x  2x x  3x  4x 1 1 2 2 3
VD 2. Xác định a để các dạng toàn phương sau xác định dương 2 2 2 a) (
x)  5x x ax  4x x 2x x 1 2 3 1 2 1 3 2 2 b) (
x)  2x ax  2x x  2x x 1 2 1 2 2 3
§2: DẠNG TOÀN PHƯƠNG •Định luật quán tính
Với một dạng toàn phương cho trước, số các số
hạng mang dấu dương và số các số hạng mang dấu
âm của các dạng chính tắc của nó không thay đổi,
không phụ thuộc vào phép biến đổi không suy biến,
hay nói cách khác không phụ thuộc vào sự lựa chọn cơ sở.  §3:KHÔNG GIAN EUCLIDE
§3: KHÔNG GIAN EUCLIDE
3.1 Tích vô hướng và không gian Euclide.
Đ/n: Cho V là R-không gian vectơ, ánh xạ
.,. :V V R
(x, y)  x, y
gọi là một tích vô hướng nếu thỏa mãn (i)
x, y y, x , x  , y V
(ii) x, y   x, y ,x, y V ,  
(iii) x x , y x , y x , y , x  ,x , y V  1 2 1 2 1 2
(iv) x,x  0, xV
 .Dấu “=” chỉ xảy ra khi x=θ.
§3: KHÔNG GIAN EUCLIDE
-Không gian vectơ thực V hữu hạn chiều trên đó xác
định một tích vô hướng gọi là không gian Euclide.
NX. Tích vô hướng trong kgvt V thực chất là một
dạng song tuyến tính đối xứng φ(x,y)= trên
V sao cho φ(x,x) là một dạng toàn phương xác định dương.
VD1. Không gian các vectơ trong cùng một mặt
phẳng, hoặc trong không gian với tích vô hướng đã
học là một không gian Euclide.
§3: KHÔNG GIAN EUCLIDE
VD2. Trong Rn, ta có các dạng sau là tích vô hướng.
Với x=(x ,x ,…,x ) và y=(y ,y ,…,y ) 1 2 n 1 2 n ฀Rn. (i)
x, y x y x y  ... x y (TVH thông thường) 1 1 2 2 n n
(ii) x, y x y  2x y  ... nx y 1 1 2 2 n n
(iii) x, y a x y a x y  ... a x y 1 1 1 2 2 2 n n n
trong đó, các a  0, i  1,n i
NX. Trên một không gian có thể có nhiều tích vô
hướng khác nhau và ứng với mỗi tích vô hướng đó
ta có một kiểu không gian Euclide. ộ g g
§3: KHÔNG GIAN EUCLIDE
VD3. Trong kg P [x], chứng minh dạng sau là một n tích vô hướng. 1 p, q
p(x)q(x)dx 1 với mọi  p , q  P [ x ] . n
VD4. Trong kg C[a;b], chứng minh dạng sau là một tích vô hướng. b f , g
f (x) g(x)dxa với mọi f  , g  [ C ; a b]
§3: KHÔNG GIAN EUCLIDE  3.2 Độ dài của vectơ.
a.Đ/n. G/s E là một R-kgvt đã được trang bị tích
vô hướng < >. Khi đó với mỗi x฀E, thì | x|| được xác định bởi 1 2
x   x, x   x, x
gọi là độ dài (hay gọi là chuẩn) của vectơ x.
VD: Trong Rn với tích vô hướng thông thường ta có 2 2 2
x x x   x ... n 1 2
§3: KHÔNG GIAN EUCLIDE
b. Bất đẳng thức Cauchy-Schawarz.
Cho E là một R-kgvt đã được trang bị TVH < , >.
Khi đó, với mọi x,y E ta có
x, y   x . y
VD: Trong Rn với tích vô hướng thông thường, ta có bđt sau 2
(x y x y  ... x y )  1 1 2 2 n n 2 2 2 2 2 2
 (x x  ...  x )(y y  ... y ) 1 2 n 1 2 n (bđt Bunhiacopxki)
§3: KHÔNG GIAN EUCLIDE
3.3 Góc giữa hai vectơ và hệ vecto trực giao.
a.Đ/n. Cho hai vectơ x và y trong kgvt E với tích vô hướng < , >.
- Nếu x, y khác vecto không thì góc giữa hai
vectơ x và y được xác định bởi   x, y
(x, y )  arccos x . y
- Nếu một trong hai vectơ x, y là vectơ không thì
góc giữa hai vectơ x và y là tùy ý.
§3: KHÔNG GIAN EUCLIDE  b. Hệ vectơ trực giao
- Hai vectơ x, y trong kgvt E với tích vô hướng < , >
gọi là trực giao nếu =0. Kí hiệu x฀y.
VD1. Trong R3 với tích vô hướng thông thường, xét
các vectơ x=(1;-1;2), y=(1;1;0), z=(0;0;2).
Xét tính trực giao của các vectơ trên
§3: KHÔNG GIAN EUCLIDE
VD2. Trong P [x] với tích vô hướng 2 1 p,q
p(x)q(x)dx 1
Khi đó, u=1+x2 và v = x là trực giao
§3: KHÔNG GIAN EUCLIDE
Đ/n - Hệ vectơ {v ,v ,…,v } gọi là hệ trực giao nếu 1 2 n
v ,v  0, i j i j
-Hệ vectơ {v ,v ,…,v } gọi là hệ trực chuẩn nếu 1 2 n 0 khi i j
v ,v   i j 1 khi i j
§3: KHÔNG GIAN EUCLIDE
VD1. Trong không gian Rn, với tích vô hướng thông
thường, cơ sở chính tắc E là một hệ trực chuẩn.
VD2. Trong P [x] với tích vô hướng 2 1 p, q
p(x)q(x)dx 1
Tìm một hệ gồm 3 véctơ trực chuẩn đối với tích vô hướng trên.
§3: KHÔNG GIAN EUCLIDE
c. Hai không gian con trực giao
Trong kgvt E với tích vô hướng < , > , cho vectơ x và hai kg con W, V.
(i) x gọi là trực giao với W, kí hiệu: x ⏊ W nếu x  y, y   W
(ii) V gọi là trực giao với W, kí hiệu: V⏊W nếu x  y, x
 V , y  W
(iii) V gọi là phần bù trực giao với W, kí hiệu: W ⏊ nếu V W  
 {xE | x  ,
y y W}
§3: KHÔNG GIAN EUCLIDE
3.4 Cơ sở trực giao, cơ sở trực chuẩn.
a.ĐL. Trong kgvt E với tích vô hướng < , >, mọi
hệ vectơ trực giao là hệ độc lập tuyến tính. c/m:…
b.Đ/n. Trong kgvt E với tích vô hướng < , >, cơ sở B
gọi là cơ sở trực giao (tương ứng cơ sở trực chuẩn)
nếu nó là hệ trực giao (hệ trực chuẩn)
VD. Trong kg Euclide Rn với tích vô hướng thông
thường thì cơ sở chính tắc chính là cơ sở trực chuẩn
§3: KHÔNG GIAN EUCLIDE  Bài toán đặt ra:
Cho kg Euclide E. Hãy tìm một
cơ sở trực chuẩn của E. TRỰC CHUẨN HÓA MỘT
HỆ ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH
§3: KHÔNG GIAN EUCLIDE
3.4 Thuật toán trực chuẩn hóa Gram-Smith.
G/s {v , v ,…, v } là một hệ vectơ độc lập tuyến 1 2 n
tính của kgvt E với tích vô hướng < , >.
Quá trình trực chuẩn hóa hệ véctơ trên gồm 2 bước: Bước 1. Trực giao hóa.
Bước 2. Trực chuẩn hóa.
 3.4. Trực chuẩn hóa Gram-Smith Bước 1. Trực giao hóa. Đặt u v 1 1
u ,v u 1 2 1 u v  2 2 2 u1 … k 1   u ,v i k u v uk k 2 i i 1  ui … n 1   u ,v i n u v un n 2 i u i 1  i
 3.4. Trực chuẩn hóa Gram-Smith
ĐL. Hệ {u , u ,…, u } có tính chất 1 2 n
(i) Là một hệ trực giao.
(ii) span(u , u ,…, u )= span(v , v ,…, v ), 1 2 k 1 2 k với k=1,…,n C/m:...
 3.4. Trực chuẩn hóa Gram-Smith
Bước 2. Trực chuẩn hóa. u Đặt i e  , i 1, n i ui
Khi đó, ta được hệ {e ,e ,…,e } là một hệ trực 1 2 n chuẩn. T/v: u u
u , u  0 khi i je , i e  , j i j    i j u u u . u 1 khi i j i j i j
 3.4. Trực chuẩn hóa Gram-Smith
VD1. Trong không gian R3, với tích vô hướng
thông thường, hãy xây dựng cơ sở trực chuẩn
{e ,e ,e } từ cơ sở 1 2 3
B={v =(1;1;1),v =(1;1;2);v =(1;2;3)} 1 2 3
VD2. Câu hỏi như VD1 với
B={v =(1;1;1),v =(1;1;0);v =(1;0;0)} 1 2 3
VD3. Câu hỏi như VD1 với tích vô hướng.
 (x , x , x ),(y , y , y )  x y  2x y  3x y 1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3
 3.4. Trực chuẩn hóa Gram-Smith
VD4. Trong không gian P [x], với tích vô hướng 2 1 p, q
p(x)q(x)dx  1 
hãy xây dựng cơ sở trực chuẩn {e ,e ,e } từ cơ sở 1 2 3 E={1; x; x2}
§3: KHÔNG GIAN EUCLIDE
3.5.Công thức tọa độ đối với cơ sở trực chuẩn
Trong kg Euclide (E, < , >), cho cơ sở trực chuẩn
B={e , e ,…, e }. Khi đó, với mọi vectơ x và y 1 2 n thuộc E, ta có (i) x  ,
x e e   ,
x e e  ...  x,e e 1 1 2 2 n n
tức là (x)  ( x,e ,
  x,e ,..., x,e ) B 1 2 n n (i ) i < ,
x y  [x]t .[y]= x y B i i i 1 
ở đó (x)  (x , x ,..., x ),( y)  ( y , y ,..., y ) B 1 2 n B 1 2 n
§3: KHÔNG GIAN EUCLIDE
Ví dụ. Xét không R3 với tích vô hướng Euclide thông
thường, có một cơ sở trực chuẩn là   1 1 1   1 1    1 1 2    B e   ; ; ,e  ; ;0 ;e  ; ;       1 2 3    3 3 3   2 2   6 6 6 
Cho v=(1;2;-3). Tìm tọa độ của v đối với cơ sở B.
§3: KHÔNG GIAN EUCLIDE
3.6. Phép chiếu trực giao lên một kg vecto
v  Pr (v)  W W 
§3: KHÔNG GIAN EUCLIDE
ĐL. Trong kg Euclide (E, < , >), cho kg con W và
vectơ x. G/s B={e , e ,…, e } là cơ sở trực chuẩn 1 2 m
của W. Khi đó, hình chiếu của vecto v lên kg W là:
ch (v)  v,e e   v,e e  ...  v,e e W 1 1 2 2 m m
§3: KHÔNG GIAN EUCLIDE
VD1. Xét không R3 với tích vô hướng thông thường.
Giả sử H là không gian các nghiệm của phương
trình x +x -x =0. Tìm một cơ sở trực chuẩn của H. 1 2 3
Tìm tọa độ của vectơ u=(1;2;3) thuộc H đối với cơ
sở vừa tìm được ở trên. ( Đề I-K56)
VD2. Xét không R3 với tích vô hướng thông thường.
Giả sử H là không gian các nghiệm của phương
trình x -x -x =0. Tìm một cơ sở trực chuẩn của H. 1 2 3
Tìm tọa độ của vectơ u=(4;1;3) thuộc H đối với cơ
sở vừa tìm được ở trên. (Đề II-K56) ợ (Đề II-K56)
§3: KHÔNG GIAN EUCLIDE
VD3. Xét không R3 với tích vô hướng Euclide thông
thường. Cho các vecto u =(1;2;3), u =(-4;5;1), 1 2
u =(-2;9;7), u =(4;-1;-3). Đặt H=span{u ,u ,u }. 3 1 2 3
Tìm hình chiếu vuông góc của vectơ u lên không gian con H. ( Đề III-K55)
VD4. Xét không R3 với tích vô hướng Euclide thông
thường. Cho các vecto v =(1;-2;3), v =(3;-7;10), 1 2
v =(-1;3;-4), v =(1;3;1). Đặt H=span{v ,v ,v }. Tìm 3 1 2 3
hình chiếu vuông góc của vectơ v lên không gian con H. ( Đề IV-K55)
§3: KHÔNG GIAN EUCLIDE
(x ; x ; x ),( y ; y ; y )  2x y x y x y 1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3 w  45 (Đề III-K55)
w  (2;1;6), w  (2;1;6) ( ; ; ), ( ; ; ) 1 2 Đ/s:
§3: KHÔNG GIAN EUCLIDE
VD6. Trong không gian R3 với tích vô hướng
(x ; x ; x ),( y ; y ; y )  x y x y  2x y 1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3
cho B là không gian nghiệm của phương trình
2x +x -2x =0 và vecto v =(2;2;1). 1 2 3
1) Tìm một cơ sở trực chuẩn của B.
2) Tìm vectơ w฀B sao cho w⊥v và w  3 3 (Đề IV-K55) Đ/s:
§3: KHÔNG GIAN EUCLIDE
(x ; x ; x ),( y ; y ; y )  x y  2x y x y 1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3
B  {e =(1;-1;1),e =(1;1;1)} x  (2;1; 1  ) 1 2 (Đề I-K53)  1 1   3 3  Đ/s: u  ;1; , v  ;0;     2 2 2 2     
§4: PHÉP BIẾN ĐỔI TRỰC GIAO
§4: PHÉP BIẾN ĐỔI TRỰC GIAO 
4.1 Định nghĩa. Toán tử tuyến tính f trên kg Euclide
E được gọi là phép biến đổi trực giao nếu:
f (x), f ( y)  x, y , x  , y E Tính chất.
(i) f (x)  x  
(ii) ( f (x), f ( y))  (x, y)
§4: PHÉP BIẾN ĐỔI TRỰC GIAO 
4.2.ĐL. Toán tử tuyến tính f là trực giao khi và chỉ khi
nó biến một cơ sở trực chuẩn thành một cơ sở trực chuẩn.
4.3.Đ/n Ma trận A được gọi là ma trận trực giao nếu At = A-1 hay AtA=E
4.4. ĐL Toán tử tuyến tính f trên kg Euclide E là phép
biến đổ trực giao nếu ma trận của nó theo một cơ sở
trực chuẩn nào đó là ma trận trực giao.
§4: PHÉP BIẾN ĐỔI TRỰC GIAO 
Hệ quả. Ma trận chuyển cơ sở từ một cơ sở trực
chuẩn sang một cơ sở trực chuẩn khác là một ma trận
trực giao. Ngược lại, mọi ma trận trực giao đều có thể
xem là ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở trực chuẩn này
sang cơ sở trực chuẩn khác.    VD. cos sin  A    sin cos   
§5: TOÁN TỬ ĐỐI XỨNG
§5: TOÁN TỬ ĐỐI XỨNG 
5.1 Đn. Toán tử tuyến tính f trên kg Euclide E gọi là
toán tử đối xứng nếu
f (x), y  x, f ( y) 
5.2 ĐL. Toán tử tuyến tính f trên kg Euclide E là
toán tử đối xứng nếu ma trận của nó đối với một cơ
sở trực chuẩn là đối xứng.
§5. TOÁN TỬ ĐỐI XỨNG 
5.3 ĐL. Nếu A là ma trận đối xứng thì A có các tính chất dưới đây.
(i) Mọi giá trị riêng của A đều là thực
(ii) Pt đặc trưng có đủ n nghiệm (kể cả bội)
(iii) Các vecto riêng ứng với các trị riêng khác nhau trực giao với nhau. (iv) A chéo hóa được.
§5. TOÁN TỬ ĐỐI XỨNG 
5.3 Đ/n. Mtr A gọi là chéo hóa trực giao được nếu
tồn tại mtr trực giao T sao cho TtAT là mtr chéo.
5.4 ĐL. Mtr A chéo hóa trực giao được khi và chỉ khi A là mtr đối xứng.
§5. TOÁN TỬ ĐỐI XỨNG 
5.5. Thuật toán chéo hóa trực giao mtr đối xứng A
Bc 1. Tìm các trị riêng λ , λ ,…, λ của A tương ứng 1 2 k
có các bội d , d ,…, d với d +d +…+ d =n. 1 2 k 1 2 k
Bc2. Với mỗi trị riêng λ , ta tìm một cơ sở trực chuẩn i của kg riêng P (
A ) bằng thuật toán Gram-Smith. i
Khi đó, ta sẽ có một cơ sở trực chuẩn là các vectơ riêng của A.
Bc3. Lập ma trận T có các cột là các VTR của A, ta
được T là mtr trực giao, làm chéo hóa A. ợ ự g ,
§5. TOÁN TỬ ĐỐI XỨNG 
VD 1. Tìm mtr trực giao T làm chéo hóa các mtr sau  5 2   a) A    2 8   3  1 1   ) b A  1 3 1   (Đề IV-K49) 1  1 3  
§5. TOÁN TỬ ĐỐI XỨNG   0 1  2  VD 2. Cho ma trận   A  1 0 2    2 2 3   
i) Tìm mtr trực giao P và ma trận chéo D sao cho 1  P AP D 10 ii) Tính A (Đề IV-K54) Đ/s: Các GTR là -5, 1, 1
§5. TOÁN TỬ ĐỐI XỨNG 
5.6. Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc
bằng phương pháp chéo hóa trực giao
G/s A, A’ tương ứng là mtr của dạng toàn
phương φ với cơ sở trực chuẩn E và B. Nếu T là
ma trận chuyển cơ sở từ E sang B thì T là ma trận trực giao và A’=TtAT.
Nếu A’ có dạng chéo thì với cơ sở B, φ có dạng chính tắc.
§5. TOÁN TỬ ĐỐI XỨNG 
Đưa các dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng
phương pháp chéo hóa trực giao 2
(i) q  5x  4x x  6x x  6x x 3 1 2 1 3 2 3 (Đề I-K55) 2
(ii) q  4x  2x x  6x x  6x x 3 1 2 1 3 2 3 (Đề I-K55) 2 2 2
(iii) q  3x  3x  6x  4x x  2x x  2x x 1 2 3 1 2 1 3 2 3 (Đề III-K56) 2 2 2
(iv) q  2x  2x  3x  2x x  4x x  4x x 1 2 3 1 2 1 3 2 3 (Đề IV-K56)  §6: KHÔNG GIAN HÌNH HỌC EUCLIDE
§6: KG HÌNH HỌC EUCLIDE  6.1 Định nghĩa.
G/s E là một kg Euclide n- chiều trên trường số thực.
Đ/n. Tập U được gọi là không gian hình học Euclide
n chiều tựa trên E nếu mỗi cặp (M, N)    U  xU tương
ứng với một véctơ của E, kí hiệu là MN thỏa mãn 2 tiên đề sau:   
(i) MN NP MP , M  ,N,P  U  (ii) Với mỗi M    U  và  a
E tồn tại duy nhất N U để MN
§6: KG HÌNH HỌC EUCLIDE 
Khi U là không gian hình học Euclide thì các phần
tử của U được gọi là các điểm.
VD1. - Mặt phẳng hình học thông thường là một
không gian hình học Euclide hai chiều.
- Không gian hình học thông thường là một
không gian hình học Euclide ba chiều.
VD2. Với mỗi M(x ;x ;…;x ), N(y ;y ;…;y ) Rn  ta 1 2 n 1 2 n 
cho tương ứng với vectơ M N  (
y x , y x ,...,y x ) n  1 1 2 2 n n
Khi đó, Rn là ột k hì h h E lid
§6: KG HÌNH HỌC EUCLIDE 
Đ/n 2. U là một kg hình học Euclide tựa trên E, G là
một điểm của U; {f , f ,…,f } là một cơ sở trực chuẩn 1 2 n
của E thì bộ [G,(f , f ,…,f )] được gọi là hệ tọa độ 1 2 n
trực chuẩn của U với gốc tọa độ G.
Khi đó, với mỗi điểm M của U, tọa độ của véc  tơ G
M đối với cơ sở trực chuẩn trên gọi là tọa độ của
M theo hệ tọa độ [G,(f , f ,…,f )] . 1 2 n
§6: KG HÌNH HỌC EUCLIDE  Ví dụ.
1. Hệ tọa độ Đề các Oxy trong mặt phẳng.
2. Hệ tọa độ Đề các Oxyz trong không gian.
§6: KG HÌNH HỌC EUCLIDE 
6.2 Siêu phẳng và đường thẳng.
Đ/n 1. Cho kg Euclide U tựa trên E. Tập con
P  {M (x ,x ,...,x ) U
 |a x a x  ... a x b} 1 2 n 1 1 2 2 n n với ( a , a , . . . , a )  ( 0 ; 0 ; . . . ; 0
) gọi là một siêu phẳng 1 2 n của U.
Khi đó, a xa x  . . .  a xb gọi là phương 1 1 2 2 n n trình của P.
Ví dụ. Đường thẳng trong mặt phẳng, mặt phẳng trong không gian. o g ô g g .
§6: KG HÌNH HỌC EUCLIDE  Đn 2.
Đường thẳng D của không gian Euclide U là tập con của U có dạng 0 
x x a t  1 1 1    0 
x x a t  2 2 2 D  M(  x ,x ,..., x )   1 2 n ...      0 x x a t      n n n
với (a ,a ,...,a )  (0;0;...;0) 1 2
§6: KG HÌNH HỌC EUCLIDE  6.3 Mặt bậc hai.
Đ/n 1. Tập con S trong kg hình học Euclide n chiều
U tựa trên E được gọi là một mặt bậc hai, nếu với
mỗi hệ tọa độ trực chuẩn [G,(f , f ,…,f )] của U thì 1 2 n n n  
S  M (x , x ,..., x ) U  | a ' x x b x c  0    1 2 n ij i j i i i , j 1   i 1   trong đó
a ' không đồng thời bằng 0 và b , b , …, ij 1 2
b , c là các hằng số xác định. n
§6: KG HÌNH HỌC EUCLIDE 
VD1.Trong mặt phẳng Oxy, đường tròn, các đường
cônic là một mặt bậc 2:
(C) (x-a)2 + (y-b)2 = R2 2 2 2 2 x y x y 2 (E)   1, (H ) 
1, (P) y ax 2 2 2 2 a b a b
VD2.Trong không gian Oxyz, mặt cầu là một mặt bậc 2:
(C) (x-a)2 + (y-b)2 +(z-c)2 = R2
§6: KG HÌNH HỌC EUCLIDE  NX. 1 Nếu đặt a  ( a ' 
a ' ) thì A=[a ] là một ij ij ji ij 2 ma trận đối xứng và n n n a ' x x
b x c  [x]t [ A x] b x c    ij i j i i i i i , j 1  i 1  i 1 
§6: KG HÌNH HỌC EUCLIDE  Bài toán đặt ra.
Cho S là một mặt bậc hai trong kg Euclide n chiều U
tựa trên E. G/s trong một hệ tọa độ trực chuẩn [G,(f ,f ,…,f )], S có pt: 1 2 n n [x]t [
A x]  b x c  0 i i i 1 
Ta cần tìm một hệ tọa độ mới trong U để trong
hệ tọa độ đó pt của S là r n 2
 x   c x d  0 i i i i i 1  i r  1 
được gọi là dạng chính tắc của S. 
§7:ĐƯA MẶT BẬC HAI VỀ DẠNG
CHÍNH TẮC TRONG KHÔNG GIAN HÌNH HỌC EUCLIDE.
§7: ĐƯA MẶT BẬC HAI VỀ DẠNG CHÍNH TẮC 
7.1.Đưa phương trình bậc hai về dạng chính tắc.
Bài toán: G/s S là mặt bậc hai trong kg hình học Euclide U, có phương trình [x]t [ ]  ( t A x c A  ) A
trong hệ tọa độ trực chuẩn [G,(e ,e ,…,e )]. 1 2 n
Cần tìm một hệ tọa độ trực chuẩn mới gốc G để
trong hệ đó S có phương trình dạng chính tắc r 2  x c i i i 1
§7: ĐƯA MẶT BẬC HAI VỀ DẠNG CHÍNH TẮC  Lời giải cho bài toán.
G/s T là mtr trực giao làm chéo hóa A. Khi đó  0  0  1   0   0 t 2 T AT            0 0 ...   n
§7: ĐƯA MẶT BẬC HAI VỀ DẠNG CHÍNH TẮC 
Đặt [x]=T[y] thì S có pt: [x]t [
A x]  [ y]t t T AT[ y]  0  0  1   0   0 n t 2 2  [ y]  [y]  xi i       i 1    0 0 ...   n
Hệ tọa độ trực chuẩn mới của U để S có dạng chính
tắc là [G,(f ;f ;…;f )] với [f f … f ]=[e e … e ]T 1 2 n 1 2 n 1 2 n ( )] ] ] 1 2 n 1 2 n 1 2 n
§7: ĐƯA MẶT BẬC HAI VỀ DẠNG CHÍNH TẮC 
Ví dụ. Trong không gian tọa độ trực chuẩn
[O,(e ;e ;e )], đường cong S có phương trình 1 2 3 2 2 2
(S) 2x  2x  2x  2x x  2x x  2x x  5 1 2 3 1 2 2 3 3 1
Hãy tìm một hệ tọa độ trực chuẩn gốc O để
trong hệ tọa độ đó, S có pt ở dạng chính tắc.
§7: ĐƯA MẶT BẬC HAI VỀ DẠNG CHÍNH TẮC 
Nhận xét. Nếu chỉ để nhận dạng mặt bậc hai thì chỉ
việc dùng các phép biến đổi không suy biến, chẳng
hạn phương pháp Lagrange và Jacobi. Nhưng như
thế, thực chất nó đã bị biến dạng (elip thành đường
tròn, hình cầu thành elipsoid,…). Trong thực tế đôi
khi người ta không chỉ quan tâm đến dạng của mặt
mà còn kích cỡ của nó, nên người ta phải dùng đến
phép biến đổi trực giao để đưa nó về dạng chính tắc.
§7: ĐƯA MẶT BẬC HAI VỀ DẠNG CHÍNH TẮC 
7.2.Đưa mặt bậc hai về dạng chính tắc trong không gian hình học Euclide.
Bài toán: G/s S là mặt bậc hai trong kg hình học Euclide U, có phương trình n [ ]t x [ A ]
x  b x c  0 i i i 1 
trong hệ tọa độ trực chuẩn [G,(e ,e ,…,e )]. 1 2 n
Cần tìm một hệ tọa độ trực chuẩn mới để trong hệ
đó S có dạng chính tắc.
§7: ĐƯA MẶT BẬC HAI VỀ DẠNG CHÍNH TẮC 
Bước 1: Tìm mtr trực giao T làm chéo hóa A. Tìm hệ
tọa độ [G;(f ;f ;…;f )] tương ứng với T và phép biến 1 2 n đổi [ x ] =T [ y ] như trong mục 7.1
Khi đó, pt của (S) sẽ là r n 2
 y  2c y c  0 (  0,i 1,r) i i i i i i 1  i 1  Bước 2: Rút gọn 2 r n r 2  c c i  y   2 i
c y c   0 i ii i   i 1  i i r 1 i 1    i  
§7: ĐƯA MẶT BẬC HAI VỀ DẠNG CHÍNH TẮC 
Bước 3: Chọn điểm I฀U có tọa độ là  c cc  1 2 , ,..., r ,0,...,0       1 2 r
trong hệ tọa độ [G,(f ;f ;…;f )]. Khi đó, trong hệ tọa 1 2 n
độ [I,(f ;f ;…;f )], S co pt chính tắc 1 2 n r n r 2 c 2
 y'  2 c y' ic    0 i i i ii 1  ir1 i1 i
§7: ĐƯA MẶT BẬC HAI VỀ DẠNG CHÍNH TẮC 
Ví dụ. Trong không gian tọa độ trực chuẩn
[O,(e ;e ;e )], đường cong S có phương trình 1 2 3 2 2 2
(S ) 2x  2x  2x  2x x  2x x  2x x  1 2 3 1 2 2 3 3 1
 3x x  2x  5 1 2 3
Hãy tìm một hệ tọa độ trực chuẩn gốc O để
trong hệ tọa độ đó, S có pt ở dạng chính tắc. 
§8: PHÂN LOẠI ĐƯỜNG BẬC HAI TRONG MẶT PHẲNG
§8: PHÂN LOẠI MẶT BẬC HAI
Bằng việc biến đổi hệ trục tọa độ, ta luôn đưa một
đường bậc 2 (C) về dạng chính tắc, bao gồm các dạng sau đây: 2 2 Dạng 1. x y (elip)   1 2 2 a b 2 2 Dạng 2. x y (hypecbol)   1 2 2 a b Dạng 3. (parabol) 2 x  2 py
§8: PHÂN LOẠI MẶT BẬC HAI 2 2
Dạng 4. (cặp đường thẳng cắt nhau) x y   0 2 2 a b 2 2
Dạng 5. (một điểm) x y   0 2 2 a b 2
Dạng 6. (cặp đường thẳng song song) x 1 2 a 2
Dạng 7. (cặp đường thẳng trùng nhau) x  0 2 a 2 2 x y Dạng 8. (elip ảo)   1  2 2 a b 2
Dạng 9. (cặp đường thẳng ảo song song) x  1  2 
§9: PHÂN LOẠI MẶT BẬC HAI TRONG KHÔNG GIAN
§9: PHÂN LOẠI MẶT BẬC HAI
Bằng việc biến đổi hệ trục tọa độ, ta luôn đưa một
mặt bậc 2 (S) về dạng chính tắc, bao gồm các dạng sau đây: 2 2 2 Dạng 1. x y z (elipsoid)   1 2 2 2 a b c
§9: PHÂN LOẠI MẶT BẬC HAI 2 2 2 Dạng 2. x y z (hypecboloid- một tầng)   1 2 2 2 a b c
§9: PHÂN LOẠI MẶT BẬC HAI 2 2 2 Dạng 3. x y z (hypecboloid- hai tầng)    1 2 2 2 a b c
§9: PHÂN LOẠI MẶT BẬC HAI 2 2 Dạng 4. x y (Paraboloid- eliptic) z   2 2 a b
§9: PHÂN LOẠI MẶT BẬC HAI 2 2 Dạng 5. x y (Paraboloid- hypecbolic) z   2 2 a b Mặt yên ngựa ặ y gự
§9: PHÂN LOẠI MẶT BẬC HAI Dạng 6. (các mặt trụ) 2 2 x y - Trụ eliptic   1 2 2 a b2 2 x y - Trụ hypecbolic   1 2 2 a b 2 x - Trụ parabolic  py  0 2 a 2 2 x y - Nhị diện   0 2 2 a b
§9: PHÂN LOẠI MẶT BẬC HAI 2 2 2
Dạng 7. (Mặt nón) x y z    0 2 2 2 a b c
§9: PHÂN LOẠI MẶT BẬC HAI 2
Dạng 8. (cặp mặt phẳng song song) x 1 2 a 2 x
Dạng 9. (cặp mặt phẳng trùng nhau)  0 2 a
§9: PHÂN LOẠI MẶT BẬC HAI Dạng 10. (Các dạng ảo) 2 2 2 a) Elipsoid ảo x y z    1  2 2 2 a b c 2 2
b) Trụ elipsoid ảo x y   1  2 2 a b 2 x
c) Các mặt phẳng ảo song song  1  2 a
§9: PHÂN LOẠI MẶT BẬC HAI
Ví dụ 1. Nhận dạng các đường bậc hai sau a) 2 2
x x x x x  1 1 2 1 2 1 b) 2
2x  3x x x  0 1 1 2 2
Ví dụ 2. Nhận dạng các mặt bậc hai sau a) 2 2 2
x  2 x  3x x x x x x x  10 1 2 3 1 2 2 3 3 1 b) 2 2
x  2x x  3x  4x x x  0 1 2 1 2 3 1 2
§9: PHÂN LOẠI MẶT BẬC HAI VD3. Trong 3
 xét tích vô hướng thông thường, cho dạng toàn phương 2 2 2 (
x ;x ;x )  x  4x x x  3x 1 2 3 1 1 2 2 3
i) Tìm một cơ sở trực chuẩn của 3  để dạng
toàn phương có dạng chính tắc.
ii) Xác định tên của mặt bậc hai sau (
x ;x ;x ) 1 1 2 3 (Đề 3-K52)