Lý thuyết Giới hạn - Đạo hàm | Giải tích 1 | Đại học Bách Khoa Hà Nội

Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ Trợ Học Tập GIỚI HẠN HÀM SỐ I. Định nghĩa 1. Giới hạn hàm số
- Định nghĩa : Giả sử hàm số f(x) được xác định tại mọi điểm x ∈ (a, b)\ {x0}. Ta nói giới hạn của hàm
số f(x) khi x tiến đến x0 bằng L và viết: lim f (x) = L x→x0
- Nói nôm na, nếu ta có thể làm cho giá trị của hàm số f(x) gần L với một giá trị tùy ý bằng cách chọn x đủ gần x0
- Nếu nói một cách chính xác, nếu với mọi  > 0, tồn tại một số thực δ > 0 sao cho : Nếu |x − x0| < δ thì |f(x) − L| < 
- Với bất kì một dãy {xn} trong (a, b)\ {x0} mà xn → x0 thì lim f (xn) = A xn→x0
- Định lí tương đương: Hàm f(x) xác định trên (a, b) được gọi là có giới hạn A khi x → x0 ∈ [a, b] nếu
thỏa mãn điều kiện sau :
∀ε > 0, ∃δ > 0 : 0 < |x − x0| < δ ⇒ |f(x) − A| < ε
2. Giới hạn trái, giới hạn phải
- Giới hạn trái: Kí hiệu x → x− là 0
x dần tới x0 nhưng luôn nhỏ hơn x0. Ta nói A là giới hạn trái tại x0 nếu lim f(x) = A. x x → − 0
- Giới hạn phải: Kí hiệu x → x+ là 0
x dần tới x0 nhưng luôn lớn hơn x0. Ta nói A là giới hạn phải tại x0 nếu lim f(x) = A. x x → + 0
- Điều kiện tồn tại giới hạn: Một hàm số tồn tại giới hạn, khi giới hạn trái và giới hạn phải của chúng tồn tại và bằng nhau.
∃ lim f(x) = A ⇔ lim f(x) = lim f(x) = A x x → 0 x x → + x x 0 → − 0 ( Ví dụ: x + 1 (x ≥ 0) Xét hàm f(x) = −x2 (x < 0)
Ta có lim f(x) = lim(x + 1) = 1, lim f(x) = lim(−x2) = 0 x→0+ x→0 x→0− x→0
Do đó lim f(x) 6= lim f(x) nên không tồn tại giới hạn của f(x) tại x = 0 x→0+ x→0−
II. Tính chất và phép toán
1. Tính chất của giới hạn
- Tính duy nhất : lim f(x) = A, lim f(x) = B ⇒ A = B. x x → 0 x x → 0
- Giới hạn của hằng số : lim f(x) = C ⇒ lim (f(x) − C) = 0. x x → 0 x x → 0
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ Trợ Học Tập
- Nếu lim f(x) = a và ∀x ∈ (a, b)\ {x0} mà f(x) ≤ c thì a ≤ c. x x → 0
– Nếu lim f(x) = a và ∀x ∈ (a, b)\ {x0} mà f(x) > p thì a > p. x x → 0
- Nguyên lí kẹp: Với ba hàm f(x), g(x), h(x) thỏa mãn f(x) ≤ g(x) ≤ h(x). Nếu như lim f(x) = x x → 0
lim h(x) = A thì ta cũng sẽ có: x x → 0 lim g(x) = A x x → 0
2. Tính giới hạn của hàm số
- Cho lim f(x) = a, lim g(x) = b. Tổng, hiệu, tích, thương của các giới hạn các hàm số đó là : x x → 0 x x → 0 • Tổng: lim [f (x) + g(x)] = a + b x→x0 • Hiệu: lim [f (x) − g(x)] = a − b x x → 0 • Tích : lim [f (x)g(x)] = ab x→x0 • Thương: f (x) a lim = , nếu b 6= 0 x x → 0 g(x) b
- Chú ý: Nếu các giới hạn ở dạng vô định, những phép toán trên sẽ không thực hiện được. Các dạng vô định bao gồm: ∞ 0 ∞ − ∞, 0 × ∞, , ∞ 0
3. Giới hạn của hàm hợp :
Nếu có lim u(x) = uo, lim f(u) = f (uo) và có hàm hợp f(u(x)) thì: x x → 0 u u → o lim f (u(x)) = f (u0) x x → 0 Áp dụng: lim B(x x ) ln A( ) lim A(x)B(x) = ex→x0 x x → 0 .
III. Vô cùng bé, vô cùng lớn 1. Định nghĩa
- Hàm f(x) được gọi là vô cùng bé (VCB) khi x → a ( a hữu hạn hoặc vô cùng) nếu lim f(x) = 0. x→a
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ Trợ Học Tập
- Hàm f(x) được gọi là vô cùng lớn (VCL) khi x → a (a hữu hạn hoặc vô cùng) nếu lim |f(x)| = +∞. x→a
2. Quy tắc ngắt bỏ VCB, VCL
- Khi xét hàm VCB, ta giữ lại biểu thức có bậc thấp hơn (hoặc tiến về 0 chậm hơn) và ngắt bỏ các biểu thức có bậc cao hơn.
- Khi xét hàm VCL, ta giữ lại biểu thức có bậc cao hơn (hoặc tiến ra vô cùng nhanh hơn) và ngắt bỏ các
biểu thức có bậc thấp hơn.
- Chú ý: Không được phép thay các VCB tương đương vào tổng hoặc hiệu, chỉ được thay vào tích hoặc thương.
- Một số VCL, VCB hay dùng: ax − 1
x ∼ sin x ∼ tan x ∼ arcsin x ∼ arctan x ∼ ex − 1 ∼ ∼ ln(1 + x) ln a (1 + x)a − 1 ∼ ax Đặc biệt, √ αx m 1 + αx − 1 ∼ m x2 1 − cos x ∼ 2 3. Ví dụ VCB, VCL
- Ví dụ 1 : Khi x → 0, ta có x2 + x là một VCB tương đương với x.Ta có x2 + x ∼ x khi x → 0
- Ví dụ 2: Khi x → +∞, ta có x2 + x là một V CL tương đương với x2. x2 + x ∼ x2 khi x → +∞ IV. Hàm số liên tục 1. Định nghĩa
I Cho hàm số f (x) xác định trong (a; b), nói rằng f (x) liên tục tại x0 ∈ (a; b) nếu lim f (x) = f (x0) x x → 0
∗ Lưu ý: điểm x0 nhất thiết phải thuộc miền xác định của f(x)
I Như vậy f (x) xác định liên tục trong khoảng (a; b) nếu f (x) liên tục tại mọi điểm x ∈ (a; b) 2. Định lý
Cho f(x), g(x) là hai hàm số liên tục trong khoảng (a; b), khi đó:
(i) f(x) + g(x) liên tục trong khoảng (a; b)
(ii) f(x).g(x) liên tục trong khoảng (a; b)
Đặc biệt : Cf(x) (C là hằng số) liên tục trong khoảng (a; b) f (x) (iii)
liên tục trong khoảng (a; b) trừ ra những điểm x làm g(x) = 0 g(x)
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ Trợ Học Tập Nhận xét
Các đa thức là các hàm số liên tục; phân thức hữu tỉ là các hàm số liên tục trừ các điểm làm cho đa thức
mẫu số bằng 0; các hàm lượng giác liên tục trong miền xác định của nó.
3. Tính chất của hàm liên tục
Định lí 3.1 Nếu hàm u = ϕ(x) liên tục tịa x0 , hàm y = f(u) liên tục tại u0 = ϕ(x0) thì hàm hợp
y = (f ◦ u)(x) = f[ϕ(x)] liên tục tại x0.
Định lí 3.2 Nếu hàm f(x) liên tục trên [a; b] thì nó bị chặn trên đoạn đó, đạt giá trị lớn nhât và giá trị nhỏ
nhất; lấy mọi giá trị trung gian giữa các giá tị nhỏ, lấn nhất đó.
Ta kí hiệu, giá trị nhỏ nhất (GTNN), giá tị lớn nhất (GTLN) là min f = m; max f = M a≤x≤b a≤x≤b Từ đó có hệ quả:
Hệ quả. Nếu f (x) liên tục trên [a; b] thì:
a) Phương trình f(x) = 0 có nghiệm nếu f(a)f(b) < 0;
b) Phương trình f(x) = k có nghiệm khi min f ≤ k ≤ maxf;
c) Bất phương trình f(x) ≥ k có nghiệm thì max f ≥ k;
d) Bất phương trình f(x) ≥ k có nghiệm ∀x ∈ [a; b] khi min f ≥ k; 4. Sự liên tục đều
CHo hàm f(x) liên tục tỏng miền X, theo định nghĩa ∀x ∈ X, lim f(x) = f(x0) x x → 0
Hay ∀ε > 0, ∃δ > 0, |x − x0| < δ ⇒ |f(x) − f(x0)| < ε.
Nói chung δ không những phụ thuộc vaò ε mà còn phụ thuộc vào ε, không phụ thuộc vào mỗi x0 ∈ X,
nghĩa là ∀x0 ∈ X thì f(x) gọi là liên tục đều tỏng miền X, một cách chính xác ta có:
Định nghĩa. Hàm f (x) là liên tục đều trong X nếu ∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀u, ∀v ∈ X thỏa mãn |u − v| < δ thì |f(u) − f(v)| < ε.
Định lí Heine. Cho một hàm số f liên tục trên một khoảng đóng, giới nội [a; b] , khi đó f liên tục đều trên [a; b]
5. Điểm gián đoạn hàm số 5.1 Định nghĩa
Hàm số f(x) không liên tục tại điểm x0 được gọi là điểm gián đoạn tại điểm đó. Vậy x0 là điểm gián đoạn cảu f(x) nếu:
(i) x0 không thuộc miền xác định của f(x) hoặc
(ii) x0 thuộc miền xác định của f(x) nhưng lim f(x) 6= f(x0) hay không tồn tại lim f(x) x x → 0 x x → 0
5.2 Phân loại điểm gián đoạn
Giả sử x0 là điểm gián đoạn của f(x)
i. Điểm gián đoạn loại I
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ Trợ Học Tập Nếu ∃ lim f(x) = f(x + − 0 ) và
lim f (x) = f (x0 ) thì x0 được gọi là điểm gián đoạn loại I của hàm x x → + x − 0 →x0 số f(x).
Đặc biệt: Nếu f (x + −
0 ) = f (x0 ) thì x0 được gọi là điểm gián đoạn bỏ đượccủa hàm số.
ii. Điểm gián đoạn loại II
Nếu x0 không là điểm gián đoạn loại I thì ta nói là điểm gián đoạn loại II. V. Áp dụng
Ví dụ. Ví dụ 1: Tính giới hạn của các hàm số sau, áp dụng phương pháp phân tích thành nhân tử: a) lim x100 x −2 +1
b) lim (xn−an)−nan−1(x−a) 50 x x x →1 −2 +1 x→a (x a − )2
Lời giải Ta áp dụng phương pháp phân tích thành nhân tử : Câu a:
T S = x100 − ... − x2 + x2 − 2x + 1 = (x − 1) x99 + x98 + x97 + ... + x2 + (x − 1)2
= (x − 1) x99 + x98 + ... + x2 + x − 1)
Tương tự ta có: MS = (x − 1) (x49 + x48 + . . . + x2 + x − 1)
Do đó T S/MS khi x → 1 có giá trị là 98/48 = 49/24
Câu b : Khái quát hơn câu a
TS = (x − a) (xn−1 + xn−2a + . . . + an−2 · x + an−1) − nan−1(x − a) MS = (x − a)2
⇒ TS/MS khi x → 1 có giá trị là (n n −1) · an−2 2
Ví dụ 2: Áp dụng phương pháp nhân liên hợp, tính giới hạn √  lim 3 x3 + x2 − 1 − x x→+∞
Đây là dạng ∞ − ∞. Ta sử dụng phương pháp nhân liên hợp, sẽ có : 2 3 √  x3 + x − 1 − x 3 x3 + x2 − 1 − x = q √ 3
(x3 + x2 − 1)2 + x 3 x3 + x2 − 1 + x2 Nên ta có : √  x2 − 1 1 lim 3 x3 + x2 − 1 − x = lim = x q →+∞ x→∞ √ 3 3
(x3 + x2 − 1)2 + x 3 x3 + x2 − 1 + x2
Ví dụ 3: Áp dụng VCL VCB để giải bài tập tính giới hạn:
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ Trợ Học Tập √ √ √ √
m 1 + αx − k 1 + βx 0 n 1 + αx 1 + βx  0  a) · n − 1 lim b) lim x→0 x 0 x→0 x 0 Lời giải: Câu a: ta có : √ √ √ √ m 1 + αx − n 1 + βx m 1 + αx − 1 n 1 + βx − 1 = − x x x
Mà cũng có các VLB tương đương: √ α β m 1 + αx − 1 ∼ x, np1 + βx − 1 ∼ x m n
Do đó nên suy ra được giới hạn cần tìm là : √ √ m 1 + αx − n 1 + βx α β lim = − x→0 x m n Câu b: Ta có: √ √ √ √ m 1 + αx · n 1 + βx − 1  √ n 1 + βx − 1 m 1 + αx − 1 α β lim = lim m 1 + αx · + = + x→0 x x→0 x x m n
Ví dụ 4. Xác định giá trị của các hàm sau tại x = 0 để chúng liên tục tại điểm này arcsin x √ a) y(x) = 1−x2 ln(1+x) b) 2 g(x) = 1−cos 2x+tan x x sin x c) f(x) = x2 √ √ 1+x sin x− cos x Lời giải
a) Để hàm liên tục tại x = 0, ta cần arcsin x √ x √ y(0) = lim 1−x2 = lim 1−x2 = 1 x→0 ln(1 + x) x→0 x b) g(0) = lim 1−cos 2x+tan2 x 2x2+x2 x→0 = lim = 3 x sin x x→0 x2 c) x2 f (0) = lim √ √ x→0 1 + x sin x − cos x x2 = lim 1 1
x→0 (1 + x sin x)2 − (1 + cos x − 1)2 x2 = lim x x→0 sin x + 1(1 x 2 − cos ) 2 x2 4 = lim = x x2 x2 →0 + 1 3 2 2 2 ĐẠO HÀM - VI PHÂN
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ Trợ Học Tập I. Đạo hàm: 1. Đạo hàm
Giới hạn, nếu có, của tỉ số f (x0 + ∆x) − f (x lim 0) ∆x→0 ∆x
được gọi là đạo hàm của hàm số f(x) tại x0 và được kí hiệu là f0 (x0).
Khi đó ta nói hàm số f(x) có đạo hàm tại x0.
Đạo hàm một phía : Nếu quá trình ∆x → 0 trong định nghĩa trên được thay bằng: + 
• ∆x → 0 thì giới hạn đó là đạo hàm phải của hàm số f (x) tại x0, ki, hiệu là f 0 x+ . 0 
• ∆x → 0− thì giới hạn đó là đạo hàm trái của hàm số f (x) tại x0, kí hiệu là f 0 x− . 0
- Một hàm số có đạo hàm tại x0 khi và chỉ khi nó có đạo hàm trái và đạo hàm phải tại điểm đó.
2. Liên hệ giữa đạo hàm và liên tục
- Nếu tồn tại f0 (x0) thì hàm số f(x) là liên tục tại x0.Tuy nhiên điều ngược lại là không đúng. Ví dụ hàm
số f(x) = |x|, có liên tục tại 0 nhưng không có đạo hàm tại điểm đó.
3.Các phép toán trên đạo hàm
- Các phép toán đạo hàm của tổng, của tích, của thương
Định lí: Cho u(x) và v(x) là các hàm số có đạo hàm tại x0. Khi đó:
i) (u ± v)0 (x0) = u0 (x0) ± v0 (x0)
ii) (uv)0 (x0) = u0 (x0) v (x0) + u (x0) v0 (x0)  u0 u0 (x x x x iii) (x
0) v ( 0) − u ( 0) v0 ( 0) nếu v (x v 0) = v2 (x 0) 6= 0. 0)
- Đạo hàm của hàm hợp :
Định lí: Nếu u có đạo hàm tại x và f có đạo hàm tại u(x) thì hàm số hợp F = f ◦ u có đạo hàm tại x và: F 0(x) = f 0(u(x)) · u0(x)
- Đạo hàm của hàm ngược:
Định lí: Giả thiết:
i) x = ϕ(y) có đạo hàm tại y 0 0 và ϕ (y0) 6= 0
ii) x = ϕ(y) biến thiên đơn điệu trong lân cận điểm y0. 1
Khi đó nó tồn tại hàm ngưọc y = f(x), hàm ngược này cũng có đạo hàm tại điểm x0 và f0 (x0) = ϕ0 (y0)
II. Đạo hàm của một số hàm sơ cấp cơ bản: (xα)0 = αxα−1 a) b) (ax)0 = ax ln a 1 1 c) (log x 0 = d) (ln x)0 = a ) x ln a x
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ Trợ Học Tập e) (sin x)0 = cos x f) (cos x)0 = − sin x 1 1 g) (tan x)0 = h) (cot x)0 = − cos2 x sin2 x 1 1 i) (arcsin x)0 = √ j) (arccos x)0 = −√ 1 − x2 1 − x2 1 1 k) (arctan x)0 = l) (arccot x)0 = − 1 + x2 1 + x2 III. Vi phân
1. Định nghĩa vi phân:
Giả sử f(x) là hàm khả vi tại x. Ta gọi tích f0(x)∆x là "vi phân" của f(x) tại x và kí hiệu là df, như vậy: df = f 0(x)∆x
Ta có: dx = (x)0∆x = 1.∆x = ∆x, suy ra: df = f 0(x)dx hoặc tương đương: df f 0(x) = dx
IV. Một số quy tắc tính vi phân
Với u = u(x), v = v(x), ta có vi phân của tổng, hiệu, tích, thương là: • d(u + v) = du + dv • d(αu) = αdu(α ∈ R) • d(uv) = vdu + udv  u  vdu − udv • d = v v2
V. Ứng dụng vi phân để tính gần đúng
Xuất phát từ công thức ∆y = f(x + ∆x) − f(x) = f0(x)∆x + o(∆x) ta ngắt bỏ phần VCB bậc cao
o(∆x) để được công thức tính gần đúng sau:
f (x0 + ∆x) ≈ f (x0) + f0 (x0) ∆x
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ Trợ Học Tập
Ví dụ: Tính gần đúng sin 29o 3.1416 Giải: Chọn f(x) = sin x, x o o = 30o, ∆x = −1 = − 180 3.1416 −3.1416
sin 29o = sin(30o − 1o) = sin(30o − ) ' sin 30o + (cos 30o)(− ) 180 180 √ 1 3 3.1416 = + (− ) = 0, 4849 2 2 180
VI. Đạo hàm và vi phân cấp cao 1. Đạo hàm cấp cao
Định nghĩa: Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm thì y0 = f0(x) gọi là đạo hàm cấp một của f(x).
• Đạo hàm, nếu có, của đạo hàm cấp một được goi là đạo hàm cấp hai, kí hiệu là f 00(x).
• Đạo hàm, nếu có, của đạo hàm cấp n − 1 dược goi là đạo hàm cấp n, kí hiệu là f (n)(x).
Cho u, v là các hàm số khả vi đến cấp n. Các phép toán trên đạo hàm cấp cao bao gồm : • Phép cộng, trừ : (u ± v)(n) = u(n) ± v(n) • Công thức Leibniz n X (u.v)(n) = Ckn · u(n−k)v(k) k=0
2.Công thức đạo hàm cấp cao của một số hàm cơ bản
• (xα)(n) = α(α − 1) . . . (α − n + 1)xα−n a
• [(1 + x) ](n) = α(α − 1) . . . (α − n + 1) · (1 + x)a−n  1 (n) n! • = (−1)(n) · 1 + x (1 + x)n+1  1 (n) n! • = 1 − x (1 − x)n+1  nπ  • (sin x)(n) = sin x + 2  nπ • (cos x)(n) = cos x + 2
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ Trợ Học Tập (n) n • (ax) = ax · (ln a) (n ( − 1)! n) n • (ln x) = (−1) −1 · xn
Mở rộng ra, ta có đạo hàm cấp cao của một số hàm sơ cấp như sau: (n) n • (ax) = ax ln a(a > 0) α (n) α • ((ax + b) )
= anα(α − 1) . . . (α − n + 1)(ax + b) −n  nπ   nπ  • (sin x)(n) = sin x + , (cos x)(n) = cos x + 2 2  nπ  nπ  (n) (n) • (sin(ax + b)) = an sin ax + b + , (cos(ax + b)) = an cos ax + b + 2 2 (−1)n−1an(n − 1)! (n) • (ln(ax + b)) = (ax + b)n (−1)n−1(n − 1)! • (log x (n) = a | |) xn ln a 3.Vi phân cấp cao
Định nghĩa: Nếu hàm số y = f(x) khả vi thì dy = f0(x)dx goi là vi phân cấp một của f(x).
• Vi phân, nếu có, của vi phân cấp một được gọi là vi phân cấp hai, kí hiệu là d2f (x).
• Vi phân, nếu có, của vi phân cấp n − 1 được goi là vi phân cấp n, kí hiệu là dnf (x).
4. Biểu thức của vi phân cấp cao
Nếu x là biến số độc lập thì dnf (x) = f (n)(x)dxn
Chú ý: Vi phân cấp cao không có tính chất bất biến với hàm hợp Ví dụ như nếu y = x3, x = t2 thì ta sẽ
chứng minh được d2y 6= y(2)dx2 VII.Áp dụng  sin(sin x) nếu x ≥ 0 Ví dụ 1:  Tính f0(0) biết f(x) =  x2 + x nếu x < 0 Ta có: sin(sin x) − sin(0) sin(sin x) f 0(0+) = lim = lim = 1 x→0+ x − 0 x→0+ x x2 + x − 0 x(x + 1) f 0(0−) = lim = lim = lim (x + 1) = 1 x→0− x − 0 x→0− x x→0−
Vậy f0(0) = f0(0+) = f0(0−) = 1
Ví dụ 2: Tính gần đúng nhờ vi phân: A = p4, 032 + 9 √
Xét hàm f(x) = x2 + 9. Chọn x0 = 4, ∆x = 0, 03. Khi đó
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ Trợ Học Tập
A = f (4, 03) = f (4 + 0, 03). Sử dụng công thức tính gần đúng, ta có:
A = f (4 + 0, 03) ≈ f(4) + f0(4).0, 03 √ √ 0 = 42 + 9 + x2 + 9  .0, 03 x=4 0, 03x  = 5 + √   x2 + 9x=4 = 5 + 0, 024 = 5, 024 Ví dụ 3: 1 Cho f(x) = . Tính f (50)(−2) x2 + 2x + 1 1 Viết lại f(x) = = (x + 1)−2 (x + 1)2
Khi đó f(50)(−2) = ((x + 1)−2)(50)
= (−2)(−3)(−4) . . . (−51)(x + 1)−52| = 51!  x=−2 x=−2 ( Ví dụ 4: ln (ex + x) (x > 0) (GK20181) Cho f (x) = . Tính f0 (0+) 0 (x = 0) Theo định nghĩa, ta có f (0 + ∆x) − f(0) ln e∆x + ∆x ln(1 + ∆x) f 0 0+ = lim = lim = lim = 1 ∆x→0+ ∆x ∆x→0+ ∆x ∆x→0+ ∆x   1   arctan nếu x 6= 0 Ví dụ 5 (CK20193)  : Cho hàm số f(x) = |x| π   nếu x = 0 2
Xét tính khả vi của hàm số tại x = 0 Ta có: 1  1   1 π − arctan − 1 x2 f (x) − f(0) x 2 1 + +) lim = lim = lim x2 = −1 x→0+ x − 0 x→0+ x x→0+ 1 1 1 ( )  1  π 1 x2 arctan − 1 + f (x) − f(0) 2 2 +) −x (−x) lim = lim = lim = 1 x→0− x − 0 x→0− x x→0− 1
Do vậy f không khả vi tại 0 .