Lý thuyết Ma Trận nghịch đảo | Đại số tuyến tính | Đại học Bách Khoa Hà Nội

Lý thuyết Ma Trận nghịch đảo | Đại số tuyến tính | Đại học Bách Khoa Hà Nội.Tài liệu được biên soạn giúp các bạn tham khảo, củng cố kiến thức, ôn tập và đạt kết quả cao kết thúc học phần. Mời các bạn đọc đón xem! 

87 44 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Môn: Đại số tuyến tính

Trường: Đại học Bách Khoa Hà Nội

Thông tin:

62 trang 6 tháng trước

Tác giả:

Profile Thùy Dương
Bài 3
1
AX X
B A B
1
§3: Ma trận nghịch đảo
)0(.
1
1
abab
a
a
b
x
1
.
AX B X A B
Xét phương trình: a x = b.
Ta có:
Tương tự lập luận trên thì liệu ta có thể có
như vậy là ma trận sẽ được định nghĩa
như thế nào?
1
A
2
§3: Ma trận nghịch đảo
a
x
bax
baaxa
bxa
1
1
11
1
1 1
1
1
A X B
A A X A B
I X A B
X A B
Ta để ý:
Phải chăng
?
1
IAA
3
§3: Ma trận nghịch đảo
3.1 Định nghĩa.
a. Đ/n: Cho ma trận A vuông cấp n. Ta nói ma
trận A là ma trận khả nghịch nếu tồn tại ma trận B
sao cho
Khi đó, B gọi là ma trận nghịch đảo của ma
trận A, kí hiệu là A
-1.
Như vậy, A.A
-1
= A
-1
A=E
n
AB=BA=E
n
4
§3: Ma trận nghịch đảo
Nhận xét:
(1) Ma trận đơn vị E khả nghịch và
n
(E )
n
-1
=E
n
(2) Ma trận không không khả nghịch vì
A A A
. . ,
5
§3: Ma trận nghịch đảo
Nhận xét:
6
§3: Ma trận nghịch đảo
b. Tính chất:
Cho A, B là các ma trận khả nghịch và một
số k≠0. Khi đó, AB, kA và A
-1
là các ma trận khả
nghịch và
1
1 1
1
1
1 1
i)
1
(ii)
(iii) ( )
( AB B A
kA A
k
A A
7
§3: Ma trận nghịch đảo
c. Ma trận phụ hợp
8
§3: Ma trận nghịch đảo
9
§3: Ma trận nghịch đảo
Ví dụ1: Tìm ma trận phụ hợp của ma trận sau:
1 2 3
2 4 0
4 5 7
A
11
A
28
12
A
14
13
A
-6
21
A
-29
22
A
-5
23
A
13
31
A
-12
32
A
-6
33
A
8
11 21 31
12 22 32
13 23 33
A
A A A
P A A A
A A A
10
§3: Ma trận nghịch đảo
Ví dụ 2: Tìm ma trận phụ hợp của ma trận sau:
2 0 0
5 1 0
3 4 1
A
11
A
-1
12
A
5
13
A
17
21
A
0
22
A
-2
23
A
-8
31
A
0
32
A
0
33
A
2
11 21 31
12 22 32
13 23 33
A
A A A
P A A A
A A A
11
§3: Ma trận nghịch đảo
3.2 Cách tính ma trận nghịch đảo
a. Sử dụng phần phụ đại số
Định lý: Nếu A là ma trận vuông cấp n thì
A A
P .A A.P det A.E
trong đó, P
A
là ma trận phụ hợp của ma trận A.
12
§3: Ma trận nghịch đảo
1 2 3 28 29 12
2 4 0 14 5 6
4 5 7 6 13 8
A
AP
38 0 0
0 38 0
0 0 38
Ví dụ:
1 0 0
38 0 1 0
0 0 1
13
§3: Ma trận nghịch đảo
Định lý: Điều kiện cần và đủ để ma trận vuông A
khả nghịch là . Khi đó, detA
1
1
A
A P
det A
14
§3: Ma trận nghịch đảo
Ví dụ:
1
28 29 12
1
14 5 6
38
6 13 8
A
15
§3: Ma trận nghịch đảo
Ví dụ: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận
sau:
1 2 3
0 1 4
0 0 1
A
det( ) 1
A
1 2 5
0 1 4
0 0 1
1 2 5
0 1 4
0 0 1
A
P
1
A
16
§3: Ma trận nghịch đảo
Ví dụ: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận
sau:
2 6
1 4
A
det( ) 2
A
4 6
1 2
1
2
2 3
4 6
1
1
1 2
2
A
P
1
A
17
§3: Ma trận nghịch đảo
Ví dụ: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận
sau:
1
2 5 2 5 2 5
1
1 2 1 2 1 2
det
A A
A
Chú ý: Đối với ma trận vuông cấp 2
A
a b d b
A P
c d c a
18
§3: Ma trận nghịch đảo
b. Phương pháp Gauss-Jordan
Cho ma trận A có detA≠0.
-Viết ma trận đơn vị E vào đằng sau ma trận A,
được ma trận [A|E]
-Sử dụng phép biến đổi sơ cấp chuyển theo hàng
ma trận [A|E] về dạng [E|B]
-Khi đó B=A
-1
19
Ví dụ: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận
sau:
1 2 3
0 1 4
1 2 2
A
20
Lời giải:
1 2 3 1 0 0
| 0 1 4 0 1 0
1 2 2 0 0 1
A E
3 1
( 1)
1 2 3 1 0 0
0 1 4 0 1 0
0 0 1 1 0 1
h h
2 3
1 3
4
3
1 2 0 2 0 3
0 1 0 4 1 4
0 0 1 1 0 1
h h
h h
1 2
( 2)
1 0 0 6 2 5
0 1 0 4 1 4
0 0 1 1 0 1
h h
3
( 1)
1 0 0 6 2 5
0 1 0 4 1 4
h
1
A
6 2 5
4 1 4
21
0 0 1 1 0 1
1 0 1
§3: Ma trận nghịch đảo
Bài toán: Tìm ma trận X thỏa mãn
1) AX = B
2) XA = B
3) AXB = C
4) AX + kB = C
22
§3: Ma trận nghịch đảo
Ta có:
-1
1
-1
-1
1) AX=B A AX=A
X=A
B
X A
E B
B
1 1
1
1
2)
XA B XAA BA
X
X
A
BA
E B
1
A B
23
§3: Ma trận nghịch đảo
Ta có:
-1 -1
-1 -1
1 1
3) AXB=C A AXB=A
XBB =A
X A
B
CB
C
C
1
1 1
(
4 ( )
( )
)
)
AX kB C AX C kB
A AX A C kB
X A C kB
24
§3: Ma trận nghịch đảo
Ví dụ 1: Tìm ma trận thỏa mãn:X
1 2 3 1 5
0 1 4 0 4
0 0 1 2 3
X
Phương trình có dạng: AX=B
1
X A B
Ta có:
25
§3: Ma trận nghịch đảo
1 3 1 1 2 3
2
2 4 2 0 0 5
X
2
XA B C
Ví dụ 2: Tìm ma trận thỏa mãn:X
Phương trình có dạng
1
( 2 )
X C B A
27
§3: Ma trận nghịch đảo
Ta có
1
( 2 )
X C B A
1
4 3 0 1
1
; 2
2 1 4 5
2
A C B
0 1 4 3 0 1 4 3
1 1
( )
4 5 2 1 4 5 2 1
2 2
X
Với nên
1
2
17
2
1
2 1
1
1326 172
28
§3: Ma trận nghịch đảo
2 4 2 7 4 8
3 5 1 3 2 0
X
AXB C
Ví dụ 3. Tìm ma trận thỏa mãn:X
Phương trình có dạng
1 1
X A CB
29
§3: Ma trận nghịch đảo
Ví dụ: Dùng ma trận nghịch đảo giải hệ
phương trìnhsau:
2 6
3 2 1
4 3 5 5
x y z
x y z
x y z
1 2 1 6
3 1 2 1
4 3 5 5
x
y
z
1
2
1
X
1
AX B X A B
30
§3: Ma trận nghịch đảo
2 3
(5 )
t
A A X A
Bài tập:
1. Cho ma trận và đa thức
Tính f(A). Tìm ma trận X thỏa mãn
2 1
A
5 3
2
f (x) x 5x 1
2. Cho các ma trận
1 2 3 7 7 1 2 1 0
A 0 1 2 ,B 2 3 8 ,C 1 1 3
1 3 0 0 4 5 0 1 4
a) Tính det(B-2C) và tìm ma trận nghịch đảo của A (nếu có)
b) Tìm ma trận X thỏa mãn
2
X(AB 2AC) (B 2C)
31
(Đề thi K55 Đề 1 Đề 3)– –
| 1/62
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

Bài 3 1
AX  B X A B 1
§3: Ma trận nghịch đảo
Xét phương trình: a x = b. b 1 1 Ta có: x   b   a b.(a  0) a a
Tương tự lập luận trên thì liệu ta có thể có 1
AX B X A B. như vậy 1 
A là ma trận sẽ được định nghĩa như thế nào? 2
§3: Ma trận nghịch đảo Ta để ý: a x b A X Baax 1  ab 1 1  1
A A X AB   x 1  ab 1 1  I X A B  
x ab 1 1  X A B Phải chăng 1
AA I ? 3
§3: Ma trận nghịch đảo 3.1 Định nghĩa.
a. Đ/n: Cho ma trận A vuông cấp n. Ta nói ma
trận A là ma trận khả nghịch nếu tồn tại ma trận B sao cho AB=BA=En
Khi đó, B gọi là ma trận nghịch đảo của ma trận A, kí hiệu là A-1. Như vậy, A.A-1 = A-1A=En 4
§3: Ma trận nghịch đảo Nhận xét:
(1) Ma trận đơn vị E khả nghịch và n (E )-1=E n n (2) Ma trận không  không khả nghịch vì  A
.  A.  , A  5
§3: Ma trận nghịch đảo Nhận xét: 6
§3: Ma trận nghịch đảo b. Tính chất:
Cho A, B là các ma trận khả nghịch và một
số k≠0. Khi đó, AB, kA và A-1 là các ma trận khả nghịch và  ( i)  AB 1 1  1  B A  (ii) kA 1 1 1  A k 1  1
(iii) (A )  A 7
§3: Ma trận nghịch đảo c. Ma trận phụ hợp 8
§3: Ma trận nghịch đảo 9
§3: Ma trận nghịch đảo
 Ví dụ1: Tìm ma trận phụ hợp của ma trận sau:  1 2
3 A  28 A  -29 A  -12   11 21 31 A  2  4 0 
A  14 A A  12 -5 -6 22 32  4 5 7 
A  -6 A A  13 13 8 23 33  A A A    11 21 31     P A A AA 12 22 32      A A A     13 23 33        10
§3: Ma trận nghịch đảo
 Ví dụ 2: Tìm ma trận phụ hợp của ma trận sau: 2 0
0  A  -1 A  0 A  0 11 21 31   A  5 1 0 A  5 A  -2 A  0   12 22 32 
A  17 A  -8 A  2 3 4 1     13 23 33  A A A    11 21 31     P A A AA 12 22 32      A A A     13 23 33        11
§3: Ma trận nghịch đảo
3.2 Cách tính ma trận nghịch đảo
a. Sử dụng phần phụ đại số
Định lý: Nếu A là ma trận vuông cấp n thì
P .A A.P det A.E A A
trong đó, P là ma trận phụ hợp của ma trận A. A 12
§3: Ma trận nghịch đảo Ví dụ:  1 2 328 29  12       AP  2 4 0 14 5 6 A      4 5  7  6  13 8      38 0 0  1 0 0      0 38 0    38 0 1 0    0 0 38   0 0 1   13
§3: Ma trận nghịch đảo
Định lý: Điều kiện cần và đủ để ma trận vuông A
khả nghịch là detA. Khi đó,  1 1 A PA det A 14
§3: Ma trận nghịch đảo  Ví dụ: 28 2  9 1  2 1 1   A  14 5  6  38    6  13 8    15
§3: Ma trận nghịch đảo
 Ví dụ: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận sau: 1  2 3    det( ) A  1  A  0 1 4   0 0 1   1 2  5   1    A  1  2 5  0 1 4     0 0 1   P A 0 1 4      0 0 1    16
§3: Ma trận nghịch đảo
 Ví dụ: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận sau: 2 6  4 6   A    det( ) A  2 P A   1 4 1  2   1  4 6  2 3   1 A       1 2 1 2  1    2  17
§3: Ma trận nghịch đảo
Chú ý: Đối với ma trận vuông cấp 2 a b   d b   A   P    A   c d ca    
 Ví dụ: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận sau: 2  5        1 2 5 2 5 1 A A         1  2 det A 1  2   1 2   18
§3: Ma trận nghịch đảo
b. Phương pháp Gauss-Jordan Cho ma trận A có detA≠0.
-Viết ma trận đơn vị E vào đằng sau ma trận A, được ma trận [A|E]
-Sử dụng phép biến đổi sơ cấp theo hàng chuyển
ma trận [A|E] về dạng [E|B] -Khi đó B=A-1 19 
 Ví dụ: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận sau: 1 2 3   A  0 1 4   1 2 2   20   Lời giải: 1 2 3 1 0 0 1 2 3 1 0 0    h h  
A | E  0 1 4 0 1 0 ( 1  )   3 1   0 1 4 0 1 0   1 2 2 0 0 1   0 0 1 1 0 1   1 2 0 2  0 3 1 0 0 6 2 5 h 4 h   h ( 2  ) h   2 3  0 1 0 4  1 4 1 2   0 1 0 4  1 4 h 3 h     1 3 0 0 1 1 0 1   0 0 1  1  0 1    1 0 0 6 2 5    6 2  5   h (  1  )     3  0 1 0 4 1 4 1   A    4 1 4 0 0 1 1 0 1    1 0 1     21  
§3: Ma trận nghịch đảo
Bài toán: Tìm ma trận X thỏa mãn 1) AX = B 2) XA = B 3) AXB = C 4) AX + kB = C 22
§3: Ma trận nghịch đảo  Ta có: -1 -1 1) AX=B  A AX=A B -1  X E =A B 1  X A B 1 1 2)  
XA B XAA BA 1  XE A B 1   X BA 1 A  B 23
§3: Ma trận nghịch đảo  Ta có: -1 -1 3) AXB=C  A AXB=A C -1 -1 1  XBB =A B C  1  1  X A CB  4)
AX kB C AX  (C k ) B 1  1
A AX A (Ck ) B 1
X A (Ck ) B 24
§3: Ma trận nghịch đảo
 Ví dụ 1: Tìm ma trận X thỏa mãn: 1 2 3  1 5     0 1 4 X  0 4     0 0 1 2 3    
Phương trình có dạng: AX=B 1
Ta có: X A B 25
§3: Ma trận nghịch đảo
 Ví dụ 2: Tìm ma trận X thỏa mãn: 1 3 1 1 2 3 X  2        2 4 2 0  0 5  Phương trình có dạng
XA  2B C 1 X (C 2B)A    27
§3: Ma trận nghịch đảo        1 4 3 0 1  Ta có 1 A   ;C  2B      2 2  1 4  5     1 Với X ( C 2 B ) A   nên  0 1   1  4 3   1  0 1    4 3   X  ( )           4 5  2 2 1  2 4 5  2 1  1 1  2 1   1  2        17 2 2   6 17  13   2  28
§3: Ma trận nghịch đảo
 Ví dụ 3. Tìm ma trận X thỏa mãn: 2 4 2 7  4 8 X        3 5 1 3 2  0       Phương trình có dạng AXB C 1 1  X A CB 29
§3: Ma trận nghịch đảo
 Ví dụ: Dùng ma trận nghịch đảo giải hệ phương trìnhsau:
x  2y z  6 1 2 1
   x  6         3
x y  2z  1  3 1  2 y  1              
4x  3y  5z  5  4 3 5 z 5        1  1   
AX B X A B X  2    1     30
§3: Ma trận nghịch đảo  Bài tập: 2  1 1. Cho ma trận A  và đa thức 2   f (x)  x  5x  1 5 3   2 3
Tính f(A). Tìm ma trận X thỏa mãn (5  )  t A A X A 2. Cho các ma trận 1  2 3  7 7 1  2 1 0        A  0 1 2 ,B  2 3 8 ,C  1 1 3       1  3 0   0 4 5    0 1 4        
a) Tính det(B-2C) và tìm ma trận nghịch đảo của A (nếu có)
b) Tìm ma trận X thỏa mãn 2 X (A B  2AC)  (B  2C)
(Đề thi K55 – Đề 1 – Đề 3) 31