Lý thuyết Ma Trận nghịch đảo | Đại số tuyến tính | Đại học Bách Khoa Hà Nội

 Bài 3 1
AX  B  X  A B 1
 §3: Ma trận nghịch đảo
Xét phương trình: a x = b. b 1 1 Ta có: x   b   a b.(a  0) a a
Tương tự lập luận trên thì liệu ta có thể có 1
AX  B  X  A B. như vậy 1 
A là ma trận sẽ được định nghĩa như thế nào? 2
 §3: Ma trận nghịch đảo Ta để ý: a x  b A X  B  a ax 1  a b 1 1  1
 A A X  A B   x 1  a b 1 1  I X  A B  
x  a b 1 1  X  A B Phải chăng 1
A A  I ? 3
 §3: Ma trận nghịch đảo 3.1 Định nghĩa.
a. Đ/n: Cho ma trận A vuông cấp n. Ta nói ma
trận A là ma trận khả nghịch nếu tồn tại ma trận B sao cho AB=BA=En
Khi đó, B gọi là ma trận nghịch đảo của ma trận A, kí hiệu là A-1. Như vậy, A.A-1 = A-1A=En 4
 §3: Ma trận nghịch đảo Nhận xét:
(1) Ma trận đơn vị E khả nghịch và n (E )-1=E n n (2) Ma trận không  không khả nghịch vì  A
.  A.  , A  5
 §3: Ma trận nghịch đảo Nhận xét: 6
 §3: Ma trận nghịch đảo b. Tính chất:
Cho A, B là các ma trận khả nghịch và một
số k≠0. Khi đó, AB, kA và A-1 là các ma trận khả nghịch và  ( i)  AB 1 1  1  B A  (ii) kA 1 1 1  A k 1  1
(iii) (A )  A 7
 §3: Ma trận nghịch đảo c. Ma trận phụ hợp 8
 §3: Ma trận nghịch đảo 9
 §3: Ma trận nghịch đảo
 Ví dụ1: Tìm ma trận phụ hợp của ma trận sau:  1 2
3 A  28 A  -29 A  -12   11 21 31 A  2  4 0 
 A  14 A  A  12 -5 -6 22 32  4 5 7 
 A  -6 A  A  13 13 8 23 33  A A A    11 21 31     P  A A A  A 12 22 32      A A A     13 23 33        10
 §3: Ma trận nghịch đảo
 Ví dụ 2: Tìm ma trận phụ hợp của ma trận sau: 2 0
0  A  -1 A  0 A  0 11 21 31   A  5 1 0 A  5 A  -2 A  0   12 22 32 
A  17 A  -8 A  2 3 4 1     13 23 33  A A A    11 21 31     P  A A A  A 12 22 32      A A A     13 23 33        11
 §3: Ma trận nghịch đảo
3.2 Cách tính ma trận nghịch đảo
a. Sử dụng phần phụ đại số
Định lý: Nếu A là ma trận vuông cấp n thì
P .A  A.P  det A.E A A
trong đó, P là ma trận phụ hợp của ma trận A. A 12
 §3: Ma trận nghịch đảo Ví dụ:  1 2 328 29  12       AP  2 4 0 14 5 6 A      4 5  7  6  13 8      38 0 0  1 0 0      0 38 0    38 0 1 0    0 0 38   0 0 1   13
 §3: Ma trận nghịch đảo
Định lý: Điều kiện cần và đủ để ma trận vuông A
khả nghịch là detA. Khi đó,  1 1 A  PA det A 14
 §3: Ma trận nghịch đảo  Ví dụ: 28 2  9 1  2 1 1   A  14 5  6  38    6  13 8    15
 §3: Ma trận nghịch đảo
 Ví dụ: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận sau: 1  2 3    det( ) A  1  A  0 1 4   0 0 1   1 2  5   1    A  1  2 5  0 1 4     0 0 1   P  A 0 1 4      0 0 1    16
 §3: Ma trận nghịch đảo
 Ví dụ: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận sau: 2 6  4 6   A    det( ) A  2 P  A   1 4 1  2   1  4 6  2 3   1 A       1 2 1 2  1    2  17
 §3: Ma trận nghịch đảo
Chú ý: Đối với ma trận vuông cấp 2 a b   d b   A   P    A   c d c  a    
 Ví dụ: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận sau: 2  5        1 2 5 2 5 1 A A         1  2 det A 1  2   1 2   18
 §3: Ma trận nghịch đảo
b. Phương pháp Gauss-Jordan Cho ma trận A có detA≠0.
-Viết ma trận đơn vị E vào đằng sau ma trận A, được ma trận [A|E]
-Sử dụng phép biến đổi sơ cấp theo hàng chuyển
ma trận [A|E] về dạng [E|B] -Khi đó B=A-1 19 
 Ví dụ: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận sau: 1 2 3   A  0 1 4   1 2 2   20   Lời giải: 1 2 3 1 0 0 1 2 3 1 0 0    h h  
A | E  0 1 4 0 1 0 ( 1  )   3 1   0 1 4 0 1 0   1 2 2 0 0 1   0 0 1 1 0 1   1 2 0 2  0 3 1 0 0 6 2 5 h 4 h   h ( 2  ) h   2 3  0 1 0 4  1 4 1 2   0 1 0 4  1 4 h 3 h     1 3 0 0 1 1 0 1   0 0 1  1  0 1    1 0 0 6 2 5    6 2  5   h (  1  )     3  0 1 0 4 1 4 1   A    4 1 4 0 0 1 1 0 1    1 0 1     21  
 §3: Ma trận nghịch đảo
Bài toán: Tìm ma trận X thỏa mãn 1) AX = B 2) XA = B 3) AXB = C 4) AX + kB = C 22
 §3: Ma trận nghịch đảo  Ta có: -1 -1 1) AX=B  A AX=A B -1  X E =A B 1  X  A B 1 1 2)  
XA  B  XAA  BA 1  XE  A B 1   X  BA 1 A  B 23
 §3: Ma trận nghịch đảo  Ta có: -1 -1 3) AXB=C  A AXB=A C -1 -1 1  XBB =A B C  1  1  X A CB  4)
AX kB  C  AX  (C k ) B 1  1
 A AX  A (Ck ) B 1
 X  A (Ck ) B 24
 §3: Ma trận nghịch đảo
 Ví dụ 1: Tìm ma trận X thỏa mãn: 1 2 3  1 5     0 1 4 X  0 4     0 0 1 2 3    
Phương trình có dạng: AX=B 1
Ta có: X  A B 25
 §3: Ma trận nghịch đảo
 Ví dụ 2: Tìm ma trận X thỏa mãn: 1 3 1 1 2 3 X  2        2 4 2 0  0 5  Phương trình có dạng
XA  2B  C 1 X (C 2B)A    27
 §3: Ma trận nghịch đảo        1 4 3 0 1  Ta có 1 A   ;C  2B      2 2  1 4  5     1 Với X ( C 2 B ) A   nên  0 1   1  4 3   1  0 1    4 3   X  ( )           4 5  2 2 1  2 4 5  2 1  1 1  2 1   1  2        17 2 2   6 17  13   2  28
 §3: Ma trận nghịch đảo
 Ví dụ 3. Tìm ma trận X thỏa mãn: 2 4 2 7  4 8 X        3 5 1 3 2  0       Phương trình có dạng AXB  C 1 1  X  A CB 29
 §3: Ma trận nghịch đảo
 Ví dụ: Dùng ma trận nghịch đảo giải hệ phương trìnhsau:
 x  2y  z  6 1 2 1
   x  6         3
 x  y  2z  1  3 1  2 y  1              
4x  3y  5z  5  4 3 5 z 5        1  1   
AX  B  X  A B  X  2    1     30
 §3: Ma trận nghịch đảo  Bài tập: 2  1 1. Cho ma trận A  và đa thức 2   f (x)  x  5x  1 5 3   2 3
Tính f(A). Tìm ma trận X thỏa mãn (5  )  t A A X A 2. Cho các ma trận 1  2 3  7 7 1  2 1 0        A  0 1 2 ,B  2 3 8 ,C  1 1 3       1  3 0   0 4 5    0 1 4        
a) Tính det(B-2C) và tìm ma trận nghịch đảo của A (nếu có)
b) Tìm ma trận X thỏa mãn 2 X (A B  2AC)  (B  2C)
(Đề thi K55 – Đề 1 – Đề 3) 31