Lý thuyết môn học Đại số tuyến tính nội dung về "Ánh xạ tuyến tính"

lOMoARcPSD| 36782889 1.
Khái niệm ánh xạ tuyến tính
1.1 Định nghĩa: Cho hai không gian vectơ V và V’ trên trường K. Một ánh xạ
được gọi là ánh xạ tuyến tính nếu f thỏa mãn hai điều kiện sau đây: i.
(tính bảo toàn phép cộng). ii.
(tính bảo toàn phép nhân với vô hướng). 1 số tính chất 1.f(0)=0
2.f(-v)=-f(v), f(ax +by)=af(x) +bf(y) với mọi a,b iii) Nếu và
là các ánh xạ tuyến tính thì cũng là ánh xạ tuyến tính.
*Định lí về sự xác định ánh xạ tuyến tính
2. nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính
Ảnh của ánh xạ tuyến tính f , ký hiệu .
Imf là một không gian con của V’.
- Nhân của một ánh xạ tuyến tính f, ký hiệu .
Kerf là không gian con của V.
- Khi V và V’ là không gian hữu hạn chiều thì Imf và Kerf cũng là không gian
conhữu hạn chiều, hơn nữa và
*Định lý cơ bản của ánh xạ tuyến tính Cho ánh xạ tuyến tính
. Khi đó, nếu V là một không gian vectơ hữu hạn
chiều thì Im(f ) và Ker(f ) cũng hữu hạn chiều, đồng thời
dim Im(f ) + dim Ker(f) = dim V. 2. Đơn cấu, toàn cấu và đẳng cấu:
2.1 Định nghĩa: Ánh xạ tuyến tính
, ta nói f là đơn cấu (tương ứng
toàn cấu, đẳng cấu) nếu và chỉ nếu f là đơn ánh (tương ứng toàn ánh, song ánh).
3.2 Định lý: Cho V là không gian vectơ hữu hạn chiều và là một ánh
xạ tuyến tính. Khi đó, các khẳng định sau là tương đương i. f là một đơn cấu; ii)
; iii) f biến một hệ vectơ độc lập tuyến tính thành một hệ vectơ
độc lập tuyến tính. Tức là nếu hệ
độc lập tuyến tính thì hệ độc lập tuyến tính;
iv) f giữ nguyên hạng của một hệ vectơ, tức là lOMoARcPSD| 36782889 ;
v) Nếu W là một không gian con của V thì vi) . ;
3.3 Định lý: Cho V là một không gian vectơ hữu hạn chiều và là một
ánh xạ tuyến tính. Khi đó, các khẳng định sau là tương đương: i. f là toàn cấu; ii. Imf = V’;
iii. rank(f ) = dim V’; iv. f biến một hệ sinh của V thành một hệ sinh của V’, nói cách khác nếu thì . v.
Có một hệ sinh S của V mà ảnh của nó là một hệ sinh của V’.
3.4 Hệ quả: Cho V là một không gian vectơ và
là một cơ sở của nó. Giả sử
là một ánh xạ tuyến tính. Khi đó: i.
f là một đơn cấu khi và chỉ khi
là một hệ độc lập tuyến tính. ii.
f là một toàn cấu khi và chỉ khi là một hệ sinh của V’. iii.
f là một đẳng cấu khi và chỉ khi
là một cơ sở của V’.
3.5 Hệ quả: Cho
là một ánh xạ tuyến tính. Khi đó, i.
f là một đơn cấu khi và chỉ khi ; ii.
f là toàn cấu khi và chỉ khi ; iii.
f là đẳng cấu khi và chỉ khi 3.6 Nhận xét:
• Nếu dimV = dimV’ thì f là đơn cấu f là toàn cấu
f là đẳng cấu.
• Tích các đẳng cấu là một đẳng cấu. Ánh xạ ngược của một đẳng cấu là một đẳng cấu.
1,Trong các ánh xạ sau, ánh xạ nào là ánh xạ tuyến tính a.f:R3
R3 :f(x1,x2,x3)=(2x1-x2,x3-x2.x1); b.f:R3 R3 :f(x ,x ,x ) 1 x x 2 2 , 2,x3)=(x1, 2+3,x3-x1) c, f:R3 R3 :f(x1,x2,x3)=(x21 2 3 lOMoARcPSD| 36782889
2 , Trong R 3 cho hai hệ vectơ
. Hỏi có tồn tại một phép biến đổi tuyến tính
f:R 3 R 2 thỏa
không? Nếu có hãy xác định công thức của f. m và
3.Cho T là tự đồng cấu của không gian vector V. Giả sử x ∈ V mà T x =0, Tm−1x ≠0
với m là số nguyên nào đó. Chứng minh rằng: x, Tx, T2x, . . . , T m−1x độc lập tuyến tính.
4,Suppose S, T ∈ L(V, V) are such that imS ⊆ kerT. Show that (ST)2 = 0.
5,Prove that there does not exist a linear map T : R5 → R5 such that imT = kerT.
6,Cho V là không gian vector, hệ x1, ..., xn ∈ V , xi ≠ 0 với mọi i. Giả sử có ánh xạ
tuyến tính f : V → V sao cho f(x1) = x1, f(xk) = xk + xk+1, ∀k ≥ 2..
Chứng tỏ rằng hệ {x1, ..., xn} độc lập tuyến tính trong V
7. Suppose T ∈ L(V, W) is injective and v1, . . . , vm are linearly independent in V. Show that
T(v1), . . . , T(vm) are linearly independent in W.
8. Suppose T : R4 → R2 is a linear map such that kerT = {(x1, x2, x3, x4) ∈ R4| x1 =
5x2 and x3 = 7x4}.Prove that T is surjective.
9, Let T be the function from C3to C3 defined by T(x1, x , −x
2, x3) = (x1 − x2 + 2x3, 2x1 + x2 1 − 2x2 + 2x3).
(a) Verify that T is a linear transformation.
(b) Show that (a, b, c) ∈ imT if and only if −a + b + c = 0. (c) Find a basis of imT. (d) Find a basis of ker T.