27 trang 59 lượt tải

Lý thuyết và bài tập bổ trợ cho môn Giải tích 1 | Đại học bách khoa Hà Nội

117

Lý thuyết và bài tập bổ trợ cho môn Giải tích 1 | Đại học bách khoa Hà Nội. Tài liệu được biên soạn giúp các bạn tham khảo, củng cố kiến thức, ôn tập và đạt kết quả cao kết thúc học phần. Mời các bạn đọc đón xem!

Môn: Giải tích 1 80 tài liệu

Trường: Đại học Bách Khoa Hà Nội 2.8 K tài liệu

Tác giả:

Profile

Thùy Dương

1 năm trước
Danh sách Quiz
/27
Chuyên đề 1: Giới hạn hàm số
1.
Dạng
0
,
0
Cách làm: Áp dụng quy tắc L’Hospital
Khi
o
x x
mà
f x
g x
hoặc
0
0
f x
g x
=>
'
lim lim
'
o o
x x x x
f x f x
I
g x g x
Ví dụ:
0 0
1
lim lim 1
1
ln 1
1
x x
x
x
x
0 0
1
2
lim lim
sin cos
x x
x
x
x x
Câu 3 – N1 – GK20171 – Đề 1
0 0
4cos
ln 1 4 sin
1 4sin
lim lim
x x
x x
x
x
x
I
Câu 6 – N1 – GK20181 – Đề 2
3 4 2 3 2
0 0 0 0
3 4 6 12 6 24
lim lim lim lim 6
sin 1 cos sin cos
x x x x
x x x x x x x
x x x x x
2. Dạng
1
. Vận dụng
1
0
1
lim 1 lim 1
x
x
x x
e x
x

Ví dụ:
cos 1
cos 1 sin
1
1
1
cos 1
0 0 0 0
lim cos lim 1 cos 1 lim lim 1
x
x x
x
x
x
x
x x x x
x x e e
2.
2
2
2 2
lim 1 lim 1
x
x
x x
e
x x
Câu 2 – N1 – GK20181 – Đề 3
cos 1
cos 1 sin
1
1
sin cos
cos 1
sin
0 0 0 0
lim cos lim 1 cos 1 lim lim 1
x
x x
x
x x
x
x
x x x x
x x e e
3. Dạng
00
0 ,
,0
Khi
,
o
x x
0
0
u x
v x
=>
ln
lim lim
o o
v x
v x u x
x x x x
I u x e
Ví dụ
ln 1/
lim lim lim
2
1/
1/
0 0 0
0
lim ln
ln
0 0
lim lim 1
x x
x
x
x
x x x
x
x x
x x x
x x
x e e e e e
5 5ln 5
lim lim lim 1
x
x x x
x x x
x e e
  
Câu 6 – N1 – GK20171 – Đề 3:
tan
0
lim sin
x
x
I x
2 2
cos
ln sin
sin
1
1
tan
tan ln sin
sin cos 0
tan tan .cos
0 0 0 0 0
lim sin lim lim lim lim 1
x
x
x
x
x x
x x
x x x
x x x x x
I x e e e e e
Câu 9 – N1 – GK20181 – Đề 2:
2
lim 1
n
n
n

Xét
2
2
ln 1
2
1
lim
lim
2 2 0
1
lim 1 lim 1 1
x
x
x
x
x
x
x x
xx
I x x e e e


 
=>
2
lim 1
n
n
n

=1
4. Vô cùng bé – Vô cùng lớn
: , 0
: ,
o
o
VCB x x f x
VCL x x f x
a. So sánh VCB: Cho
,
là các VCB khi
o
x x
. Xét lim
o
x x
k
1k
0
k
cấp cao hơn
0;1
k
cùng cấp
b. So sánh VCL: Cho
,A B
là các VCL khi
o
x x
. Xét lim
o
x x
A
K
B
1
K A B
K
A cấp cao hơn B
0;1
K
A, B cùng cấp
Ví dụ:
So sánh VCB khi x -> 0: ln(1+x) và sin x
0 0
1
ln 1
1
lim lim 1
sin cos
x x
x
x
k
x x
=> ln(1+x) và sin x tương đương
So sánh VCL khi x ->
:
2
x
và
x
e
2
2 2
lim lim lim 0
x x x
x x x
x x
K
e e e
  
=>
x
e
cấp cao hơn
2
x
Câu 2 – N1 – GK20181 – Đề 1
So sánh VCL khi x ->
:
2
x x x
và
1
x
x e
Xét
2
1 2 2
lim lim lim 0
1
x x x
x x x
x x x
K
e e e
 
=> B cao cấp hơn A
Câu 4 – N3 – GK20181 – Đề 7
Khi x->0, các VCB sau có tương đương không?
5 2
sin5 ; 1
x
x x x e x
5 2 5
0 0 0
sin 5 5cos5
lim lim lim 1
1 5 2
x x
x x x
x
x x
k
x e x e x
=> có tương đương
c. Ngắt bỏ, thay thế VCL, VCB
- Thay VCB, VCL tương đương trong tích/ thương
- Ngắt VCB bậc cao, VCL bậc thấp trong tổng/hiệu
d. Bảng VCB tương đương:
0
x
ln 1
1
x
x x
e x
1 1
1 ln
a
x
x ax
a x a
sin tan arctan arcsin
x x x x x
Ví dụ:
So sánh VCB khi x -> 0: ln(1+x) và sin x
0 0
ln 1
lim lim 1
sin
x x
x
x
k
x x
=> ln(1+x) và sin x tương đương
Câu 4 – N3 – GK20181 – Đề 7
Khi x->0, các VCB sau có tương đương không?
5 2
sin5 ; 1
x
x x x e x
5 2 5
0 0 0
sin 5 5
lim lim lim 1
1 1
x x
x x x
x
x x
k
x e x e
=> có tương đương
Câu 5 – N1 – GK20181 – Đề 4
Tìm a,b để 2 VCB sau tương đương khi x-> 0:
2 3 4 3
, sin
x ax bx x x x
Ta có:
3 3
sin
x x x
2 3 4 2
x ax bx x ax
nếu a khác 0 => a = 0
3 4 4
x bx x x
nếu b = 0;
3 4 3
x bx x x
nếu b =1
Vậy a = 0; b =1
Chuyên đề 2: Các ứng dụng tìm giới hạn
I. Giới hạn trái – Giới hạn phải – Hàm số liên tục
Giới hạn phải của hàm số f(x) tại x :
o
lim
o
o
x x
f x f x
Giới hạn trái của hàm số f(x) tại x :
o
lim
o
o
x x
f x f x
Ví dụ:
0
1
lim
x
x
0
lim ln
x
x

Câu 3 – GK20173 – N2 – D4:
2 1
1
2
lim
1
x
x
x
x
Câu 3 – GK20171 – N3 – D7:
1
1 1
ln
1 ln
0 0
1
lim lim 0
1 ln
x
x
x x x
x x
x
e
x x
Hàm số f(x) liên tục tại x khi và chỉ khi:
o
o o o
f x f x f x
Ví dụ:
Xét sự liên tục của f(x) = x +2x+5 tại x =0 => f(x ) = f(x )= f(x ) = 5=> LT
2
o o
+
o
-
o
Câu 2 – GK20173 – N2 – D4: Xét tính liên tục
y =
2
ln 1 4
; 0
0; 0
x
x
x
x
Nhận xét: Hàm số liên tục trên R\{0}
Tại x = 0:
2 2
0 0
ln 1 4 ln 1 4
0 0 lim lim 0 0
x x
x x
f f f
x x
=> liên tục tại 0
Hàm số liên tục trên R
Đề 5 – 20141: Tìm m để f(x) =
2
1 cos2
; 0
; 0
x
x
x
m x
liên tục tại x = 0
0 0
lim lim 2 2
x x
f x f x m

II. Điểm gián đoạn
o
Điểm gián đoạn x
o
: tại đó không tồn tại f(x
o
)
o Phân loại điểm gián đoạn:
Tìm f(x ) và f(x
o
+
o
-
)
Nếu tồn tại cả f(x ) và f(x
o
+
o
-
): loại 1
Khi đó: h = | f(x
o
+
) - f(x
o
-
) | gọi là bước nhảy
h = 0 => Gián đoạn bỏ được
Không phải loại 1 => loại 2
Ví dụ:
Xét sự gián đoạn của hàm số:
1
f x
x
Tại x = 0, ta có: f(0 ) = ∞ và f(0 ) = - ∞ => Loại 2
+ -
C3 – 20181 – N3 – D7:Xét sự gián đoạn của y =
1
arctan
x
Ta có:
0 ; 0
2 2
f f

Loại 2
C4 – 20181 – N1 – D1: Xét sự gián đoạn của y = cot
1
arctan
x
f(0
+
) =0 và f(0 ) = 0 => Loại 1
-
C3 – 20181 – N1 – D3: Tìm a để x = 0 là điểm gián đoạn bỏ được
f(x) =
1
; 0
1
; 0
ln
x
a e x
x
x
. Ta có f(0 ) =0 và f(0
+ -
) = a = > a = 0
C2 – 20173 – N1 – D1
Phân loại điểm gián đoạn
sin
1
x
y
x x
f(0
+
) = - 1 và f(0 ) = -1 => L1
-
f(1
+
) = và f(1 ) = - => L2 ∞
-
∞
III. Đạo hàm
1. Định nghĩa đạo hàm:
' | lim
o
o
o
x
x x
o
f x f x
f x
x x
2. Đạo hàm trái – Đạo hàm phải
Phải:
' lim
o
o
o
x x
o
f x f x
f x
x x
Trái:
' lim
o
o
o
x x
o
f x f x
f x
x x
Chú ý: f(x) có đạo hàm tại x => Liên tục tại x không có ngược lại
o o,
Ví dụ:
Tính đạo hàm
2
tan
tan '
cos
2
x x
y x x y
x
x
C5 – 20181 – D7 – N3: Dùng định nghĩa tính đạo hàm y’(0) với
3
arcsiny x x
3
0 0
0
arcsin
'(0) lim lim 0
x x
f x f
x x
y
x x
C5 – 20181 – D5 – N2: Tìm a để hàm số có đạo hàm tại x = 0
f(x) =
sin ; 0
cos ; 0
x
e a x x
x x
. Với a tìm được, tính f’(0)
f(0) = f(0 )= f(0 ) = 1: Hàm số liên tục tại x = 0
+ +
f’(0
+
) = 1 – a; f’(0 ) = 0 => a = 1 => f’(0) = 0
-
IV. Vi phân cấp 1 – Tính xấp xỉ
Vi phân của y = f(x) là
' .y f x x f x f x x
Cách tính xấp xỉ:
'
o o o
f x x f x f x x
Ví dụ:
Áp dụng vi phân, tính gần đúng
3
7.97
Xét
2
3
3
1
'
3
f x x f x x
. Ta có
8; 0.03
o
x x
Áp dụng
'
o o o
f x x f x f x x
=>
3
7.97 7.9975
Tồn tại đạo hàm khi và
chỉ khi f’(x ) = f’(x )
o
+
o
-
Áp dụng vi phân, tính gần đúng
sin 0.01
4
Xét
sin '( ) cosf x x f x x
. Ta có
; 0.01
4
o
x x
sin 0.01 sin 0.01cos 0.714
4 4 4
Câu 6 – 20181 – D4 – N1:
Ứng dụng vi phân, tính gần đúng
4
2
2 0.02
Xét
1 3
4 4
4
2
2 2 1 2
'
2
f x f x
x x x x
. Ta có
2; 0.02
o
x x
4
2
2 0.02 ' 2 1.0025
2 0.02
f f
Chuyên đề 3: Đạo hàm, vi phân cấp cao
Khai triển Taylor, Maclaurin
I. Đạo hàm, vi phân cấp cao
Đạo hàm cấp n:
1n n
f x f x
Vi phân cấp n:
n
n n
d y y dx
Ví dụ:
3 4
7 6 5 4 3
' 7 '' 42 210 840y x y x y x y x y x
Bảng đạo hàm cấp cao của một số hàm số:
Chú ý: Công thức Leibiniz:
0
. .
n
n
n k k
k
n
k
u v C u v
Trong đó:
( Sử dụng khi biết một số k hữu hạn nào đó sẽ khiến v = 0
(k)
Ví dụ: x có đạo hàm cấp 5 bằng 0
5
2
1 2
2 2 1
0 1 2
2 2 2 2
0
( ) sin . ' cos sin '' 2cos
'' sin . sin . sin . sin .
sin . 2cos . sin . 2cos .
x x x
k
k
k x x x x
k
x x x x
f x x e f x x x e f x xe
f x C x e C x e C x e C x e
x e x e x e x e
Cho y = xlnx. Tính y
(20)
(1)
20
20 20 19
20 0 10 1
20 20 20
0
20 19 19 18
20 19 19 19 19
ln ln ln
20.18! 19!
19! 18! 19! 20.18!
ln 20 ln 1 . . 20 1
k
k
k
k
y C x x C x x C x x
x x x x
x x x x x
y
(20)
(1) = 20.18!-19!
Lưu ý: Cách chứng minh công thức đạo hàm cấp cao: Dùng quy nạp
2 3
1 1 2
' ''
1
1 1
y y y
x
x x
Giả sử
1
1 !
1 .
1
1
n
n
n
n
x
x
(*)
Với
2
1
1 '
1
n y
x
=> n = 1 đúng với (*)
Với
3
2
2 ''
1
n y
x
=> n = 2 đúng với (*)
Giả sử
1
!
1 .
1
k
k
k
k
n k y
x
là đúng
1
1
2 2 2
1 1 1 !
1 1 . !. 1
1 1
k
k k
k k
k k
k x k
n k y y k
x x
(đúng với *)
Ví dụ:
Câu 7 – 20181 – Đề 5 – N2
: Cho y = (x+1)lnx. Tính y (1)
(20)
20
20 20 0 19
20 1
0 1
20 20 20
0
20 19 19 18
20 19
ln 1 ln 1 ln ( 1)
19! 18!
ln 1 20 ln 1 . .( 1) 20 1 2.19! 20.18! 2.19! 19! 18! 18
! 19!
k k
k
k
y C x x C x x C x x
x x x x
x x
Câu 5 – 20171 – Đề 1 – N1: Tính y (x) với y = ln(2x -x)
(5) 2
5
(5)
5
5
2
4! 2 .4!
ln ln ln 2 1
2
2
1
y x x yx
x
x
x

Câu 10 – 20173 – Đề 4 – N2: Cho y = x ln(1-3x). Tính y
2 (n)
(0), n 3. ≥
2 2
0
0 0 ln 1 3 0 , 0
n
k k
n k
n
k
n
k
y C x x x
2; 2
0; 0
k
k
2
2
0 2 ln 1 3 0
n
n
n
y C x
Ta có
1
( )
2
3
3 9
ln 1 3 ' '' 1 1 !
1 3
1 3 1 3
n
n
n
n
y x y y y n
x
x x
2
2
3
2 2 2 2
2
3
2 ln 1 3 0 2 1 3 ! 2.3 3 !
1 3
n
n
n
n
n n n
n
C x C n C n
x
Câu 9 – 20171 – Đề 7 – N3: Cho
4
1
( ) ln 2
5!
x
f x x
. Tính d f(1).
10
10
10
4
10 10
10 10
10
0
1
1 1 , 1 1 ln 2
5!
k
k
k
k
d y y dx y C x x
.
Ta có
( )
4
1
k
x
4!; 4
0; 4
k
k
=>
6
6 6
5
(10) 4
10
6
1
1
1 4! ln 2 42 ln 2 42. 1 .5!. 5040
5!
2
y C x x
x
II. Khai triển Taylor, Maclaurin
2
2
' ''
... ...
1! 2! !
' 0 '' 0
0 ... ...
1! 2! !
k
k
o o o
o o o o
k
o k
f x f x f x
f x f x x x x x x x
k
f f x f
f x f x x x
k
2 3 4
1
2
ln 1 ... 1
2 3 4
1
( 1)...( 1)
1 1 ...
2! !
n
n
n
x x x x
x x
n
n
x x x x
n
x~0
a. Tìm khai triển Maclaurin hoặc Taylor
Ví dụ:
Tìm khai triển Maclaurin của
5
1
1 3
f x
x
đến số hạng o(x )
2
5
2 2
5
1
1 3 1 15 135
1 3
f x x x x o x
x
Câu 8 – 20173 – Đề 4 – N2: Khai triển Maclaurin của
40 50
1
1 2 1
f x
x x
đến số
hạng o(x ).
2
40
2 2
50
2 2
40 50
2 2 2 2 2 2
1 2 1 80 3280
1 1 50 1275
1 2 1 1 50 1275 80 4000 3280 1 30 555
x x x o x
x x x o x
y x x x x x x x o x x x o x
Bỏ qua những x có bậc cao hơn 2.
Câu 9 – 20171 – Đề 1 – N1:
Sử dụng khai triển Maclaurin của hàm số
3
1
y x
đến x để tính gần đúng
3
3
1, 09
Quy tròn đến 10 .
-6
1
2 3 3
3
3
2 3
3 3
1 1 5
1 1 1
3 9 81
1 1 5
1,09 1 0,09 1 .0,09 .0,09 .0,09 1,029145
3 9 81
x x x x x o x
b. Vận dụng khai triển Taylor để tìm đạo hàm cấp cao
Cách làm: Đề bài yêu cầu tìm đạo hàm cấp n hàm số y tại x = 0
Khai triển Maclaurin hàm số y
Hệ số của số hạng chứa x . n! = kết quả cần tìm
n
Ví dụ:
Tìm đạo hàm cấp cao y (0) của y = sin x.
(5)
y
(5)
(0) = sin (x+5π/2)|
x=0
= 1
Ta có khai triển Mac của y là:
3 5
1 1
sin
3! 5!
x x x x
Hệ số của x là
5
1
5!
=> y (0) =
(5)
1
5!
. 5! = 1
Câu 9 – 20173 – Đề 6 – N3
: Cho y = e
x
sinx. Tính đạo hàm cấp cao y (0).
(6)
2 3 4 5
1 1 1 1
1
2 3! 4! 5!
x
e x x x x x
3 5
1 1
sin
3! 5!
x x x x
=> Hệ số của x của
6
sin
x
e x
là:
2
6 3 6
1 1 1 1
5! 3! 5! 90
x x x
6
6
0
1
0 8
6! 90
y
y
Câu 8 – 20181 – Đề 2 – N1: Cho
2
2
1
x
y
x
. Tính đạo hàm cấp cao y (0).
(7)
8
2 (7) 2
2
2
ln 1 ln 1
1
x
y x y x x
x
.
Ta có:
2 3 4
ln 1 ...
2 3 4
x x x
x x
=>
4 6 8
2 2
ln 1 ...
2 3 4
x x x
x x
8
2
(7)
ln 1 0
1 8!
0 10080
4 8! 4
x
y
c. Vận dụng khai triển maclaurin để tìm giới hạn
Cách làm: Khai triển cả tử và mẫu để số hạng có bậc lớn nhất phụ thuộc mẫu
Ví dụ:
Câu 9 – 20173 – Đề 1 – N1: Tính
4 2
5 3
0
1 1 2 cos 2
lim
ln 1 2
x
x x
x x
5 3 8
ln 1 2 2x x x
8
4 4
8
2 4
1 2 1
2
cos 2 1
6
x
x x
x
x x
=>
8 8
4 2 4 4 8 8
8
4
1 2 cos 2 1 1
2 6 3
x x
x x x x x o x x
8
4 2
8
5 3
0 0
4
1 1 2 cos 2
2
3
lim lim
2 3
ln 1 2
x x
x
x x
x
x x
Chuyên đề 4: Các vấn đề về hàm số - đồ thị
I. Tìm cực trị
Cách làm: Hàm số y=f(x) có cực trị <=> y' đổi dấu
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số f(x)
Bước 2: Tìm y’, giải phương trình y’ = 0.
Bước 3: Lập bảng biến thiên và kết luận
Ví dụ:
Câu 5 – GK20141 – Đề 4: Tìm cực trị của hàm số
2
2
3
x
y
x
Điều kiện xác định:
0
x
2 2 2 2
2 2 2
6 3 6 3 6 2
'
9 9 3
x x x x
y
x x x
.
' 0 2
y x
. Vẽ bảng biến thiên:
Vậy hàm số đạt cực đại
2 2
3
y
tại x =
2
Hàm số đạt cực tiểu y =
2 2
3
tại x =
2
Câu 5 – GK20151 – Đề 2: Tìm cực trị của hàm số
5
4
4 5
y x x
4 1
1/5
5 5
1/5 1/5
1 1
4 5 ' 4 4 1
' 0 1
x
y x x y x
x x
y x
. Ta có bảng biến thiên
x -
∞
2
0
2
∞
y’ 1/3 + 0 - -
∞
-
∞
- 0 + 1/3
2 2
3
∞ ∞
y -
∞
-
∞
2 2
3
x -
∞
0 1
∞
y’ + - 0 +
0 ∞
y -
∞ -1
II. Tiệm cận
1.
f x
- Tiệm cận ngang: xét f(x) khi x tiến tới ∞ và -∞
- Tiệm cận đứng: xét f(x) tại điểm x gián đoạn
- Tiệm cận xiên: y = ax + b
Trong đó:
( )
lim lim ( )
( )
lim lim ( )
x x
x x
f x
a b f x ax
x
f x
a b f x ax
x

2.
x f t
y g t
. Xét lim tiến tới t hoặc ∞
o
Tiệm cận đứng:
lim
lim
o
o
t t
t t
f t a
g t
Tiệm cận ngang:
lim
lim
o
o
t t
t t
f t
g t b
Tiệm cận xiên:
Nếu
lim
o
t t
f t
và
lim
o
t t
g t
thì đường cong có thể có tiệm cận xiên.
lim
lim
o
o
t t
t t
y
a
x
b y ax
Ví dụ:
Tìm tiệm cận của hàm số
2
2
x
y
x
.
lim 1; lim 1
x x
y y
=> 2 tiệm cận ngang
2 2
lim l; im
x x
y y


=> 2 tiệm cận đứng
Câu 6 – GK20181 – D7 – N3: Tìm tiệm cận xiên của
1
2
1
x
x
y xe
2 2
2 2 2 2
1
lim lim lim 4 4
x
x
x x x
y
e e y e x e y e x
x
. Xét lim tại -∞ tương tự.
Câu 8 – GK20173 – D5 – N3:
Tìm tiệm cận xiên y = ln(1+e ).
-2x
2
2
2
ln 1
lim lim 0 lim limln 1 0
ln 1
lim lim 2 lim 2 0 2
x
x
x x x x
x
x x x
e
y
y e khongco
x x
e
y
y x y x
x x


Ví dụ: Tìm tiệm cận của
2
1
x
t
y t
0 0
0
lim lim 0 : 0
lim 0 li
;
; :m
t t
t t
T
x y TCN y
x y CD y


Câu 9 – 20161 – D4:
Tìm các tiệm cận của đường cong cho bởi
2
3 3
2016 2016
;
1 1
t t
x y
t t
1 1
;lim lim
t t
x y
=> Không có TCD, TCN. Có TCX
0
;lim 0 lim
t t
x y
=> Không có
1 1 1
2016
lim lim 1;lim
3
2016
3
t t t
y
t y x
x
y x
III. Tiếp tuyến:
1. Tìm tiếp tuyến y = f(x) tại x
o
.
y = f’(x ) + y
o
)(x-x
o o
2. Tiếp tuyến của hàm số có tham số t:
x x t
y y t
tại t
o
' '
o o
o o
x x t y y t
x t y t
Ví dụ:
Câu 8 – 20181 – Đề 3 – N1:
sin
1 cos
x t t
y t
tại
2
o
t
.
Ta có:
1; 1
2
o o
x y
.
x’= 1 – cost => x’ = 1 và y’= sint => y’
o o
= 1
1
1
2
1 1 2 0
1 1 2 2
x
y
x y x y
3. Tọa độ cực: r = f(φ)
Cách 1: Đưa về tọa độ Oxy
2 2
2 2 2 2
;cos ;sin
x y
r x y
x y x y
Từ f(x;y) = 0, viết pttt: f’(x )(x – x ) + f’(t )(y – y ) = 0
o o o o
Cách 2: Tính tan V =
'
r
r
tan V = 0 => tt trùng bán kính cực
tan V = ∞ => tt vuông góc bán kính cực
Ví dụ:
Câu 10 – 20181 – D1 – N1: tìm tiếp tuyến tại φ = 0 của r = 2+cos φ
Cách 1:
Với φ = 0 => r = 3. Chuyển tọa độ Oxy
2 2 2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 0 3;0
2
' 2 1 ' 3
2
' 2 ' 0
o
o
x
x y x y x y x M
x y
x
f x x f x
x y
y
f y y f y
x y
3(x – 3) + 0.y = 0 => x = 3
Cách 2:
r = 2+cos φ => r’ = - sin φ = 0 và r = 3 => tan V = => Tiếp tuyến vuông góc r tại M ∞
=> x = 3
Chuyên đề 4: Nguyên hàm – Tích phân
I. Bảng nguyên hàm
Dạng sin cos
m n
x xdx
+ Nếu m lẻ: đặt t = cos x
+ Nếu n lẻ: đặt t = sin x
+ Nếu m,n chẵn: hạ bậc
Ví dụ:
3 2
sin cosI x x dx
.
Đặt t = cos x =>
5 3 5 3
2 2 4 2
cos cos
1
5 3 5 3
t t x x
I t t dt t t dt C I C 
Câu 7 – 20191 – N1 – Đề 2:
2
2
2 2
x
I dx
x x
2
2 2 22
ln 1 1
2 2 1 3
3arctan 1
2 2 2
1 1 1 1 1 1
x
x x x
I dx dx dx x C
x x
x x x
Câu 8 – 20183 – N1 – Đề 1:
3/2
2ln 1
2ln 1
3
x
x
I dx C
x
Câu 7 – 20181 – Đề 3 – N1:
2
arccos
I xdx
Đặt t = arccos x => x = cos t => dx = -sin t dt
2 2 2
sin cos 2 cos cos 2 sin 2 cos
I t tdt t t t tdt t t t t t C
Câu 7 – 20181- N3 – Đề 7:
2
arctan
x
I dx
x
I
Đặt t = arctan x => x = tan t => dx = (tan t +1)dt
2
2
2 2
(tan 1) 1 arctan
ln sin ln sin(arctan )
tan sin tan tan
t t tdt t x
I dt td t C x C
t t t t x
Câu 7 – 20191 – N1 – Đề 3:
2
2
arcsin
1
1
arcsin
1
2 1
1
2 1 2
2arcsin 1 2arcsin 1 2arcsin 1 4 1
1
1
x
I dx
x
u x du dx
x
dx
dv v x
x
x
I x x dx x x dx x x x C
x
x

Câu 6 – 20181 – Đề 7 – N3:
2
7/ 4 3/4
3/4 1/4 7/4 3/4
1/4
4
4 4 4 4
1 1 1 1 1 1
7 3 7 3
1
1
x
x
x x
e tdt
I dx t t dt t t C e e C
t
e
Câu 7 – 20181 – Đề 1 – N1:
2 2
3 2
2
2 2 1 1 2 2 1
ln 1 arctan
1 1 1 21 1 3 3
x x
I dx dx dx x x C
x x x xx x x
Câu 9 – 20183 – N1 – Đề 1:
2
ln 1I x x dx
Đặt
2
2
2 1
ln 1
1
x
u x x du dx
x x
dv dx v x
2
2
2
2
ln 1
1
x x
I x x x dx
x x
.
Xét
2
1
2 2 2 2
2
1 3
2 2
2 2
2 2
1 1 1 1
1 2 1
2 ln 1 3 arctan
2 23
x
x x x
I dx dx dx
x x x x x x x x
x x x x
2 2
1 2 1
ln 1 2 ln 1 3 arctan
2 2
3
I x x x x x x x C
Câu 7 – 20171 – Đề 4 – N1: 2 sin
x
I xe xdx
Đặt
2 sin 2sin 2 cos 2(sin cos )
x x
u x x du x x x dx du x x x
dv e dx v e
2 sin 2sin 2 cos
x x x
I x xe xe dx x xe dx
Xét
1
2 cos
x
I x xe dx
Đặt
2 cos 2 cos 2 sin 2(cos sin )
x x
u x x du x x x dx du x x x
dv e dx v e
1
2 cos 2cos 2 sin
x x x
I x xe xe dx x xe dx
2 sin 2sin 2 cos 2cos 2 sin
2 sin 2 cos 2 cos sin
2 2 sin cos 2cos
sin cos cos
x x x x x
x x x
x x
x x
I x xe xe dx x xe xe dx x xe dx
I x xe x xe x x e dx I
I xe x x xe
I xe x x xe C
Bổ sung
I. Các kiến thức cần nhớ về hàm số
1. Hàm số chẵn, hàm số lẻ
Hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng
x T −x T ∈ ⇒ ∈
f(−x) = f(x).
Hàm số lẻ nhận gốc O làm tâm đối xứng
x T −x T ∈ ⇒ ∈
f(−x) = −f(x).
Cách xác định một hàm số f(x) là chẵn hay lẻ:
- Xác định tập xác định T của hàm số, nếu tập không đối xứng thì kết luận hàm
không chẵn, không lẻ.
- Nếu f (- x) = f (x) với mọi x D thì hàm số y = f (x) là hàm số chẵn. ∈
- Nếu f (- x) = - f (x) với mọi x D thì hàm số y = f (x) là hàm số lẻ. ∈
Ví dụ: Hàm cos x là hàm chẵn còn sin x, tan x, cotan x là hàm lẻ.
(Đề 2 – 20183 – N1) Câu 2: Xác định tính chẵn lẻ của hàm số
3
cosy x x
Tập xác định của hàm số đã cho là R. Ta có
3
3
3
cos
cos cos
y x x x
y x x x x x
Hàm số không chẵn, không lẻ
(Đề 4 – 20173 – N2) Câu 1: Xác định tính chẵn lẻ
5 5
2 2
y x x
Tập xác định của hàm số đã cho là R. Ta có
5 5
2 2
y x x x y x
Hàm số đã cho là hàm số chẵn
2. Hàm số tuần hoàn
Một hàm số f(x) được gọi là tuần hoàn nếu như tồn tại số thực T > 0 sao cho
f(x) = f(x + T) x T . ∀ ∈
Cách tìm chu kỳ T: Tìm T nhỏ nhất ≠ 0 sao cho với mọi x D ∈
x+T D ∈
x - T D ∈
f(x+T)=f(x).
Ví dụ:
(Đề 3 – 20181 – N1) Câu 1: Hàm số y = arctan x có phải hàm số tuần hoàn
không?
Hàm số xác định trên R. Xét T > 0 thỏa mãn y(x + T) = y(x)
arctan(x) = arctan(x+T) => arctan(x+T) - arctan(x) = 0
arctan 0
1 ( )
x T x
x T x
=>
arctan 0
1 ( )
T
x T x
=>
0
T
( không thỏa
mãn)
Hàm số không tuần hoàn
3. Hàm ngược
Cho f là một đơn ánh với miền xác định A và miền giá trị B. Khi đó hàm ngược
1
f
có miền xác định B và miền giá trị A, được định nghĩa bởi
1
f y x f x y
Cách tìm hàm ngược:
- Từ y = f(x), giải x theo y, giả sử được x = g(y),
- Đổi vai trò của x và y để được hàm số ngược
1
f x g x
Định lý: Nếu hàm số f(x) đơn điệu tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a, b) thì tồn
tại hàm số ngược
1
f
của f trên khoảng đó.
Ví dụ:
(Đề 1 – 20181 – N1) Câu 3: tìm hàm ngược của hàm số
1
ln , 1;1
1
x
y x
x
Ta có:
1 1 2 1
ln 1
1 1 1 1
y
y
y
x x e
y e x
x x x e
1
1
1
y
y
e
x f y y R
e
1
1
x
y
e
y
e
là hàm ngược cần tìm
4. Các hàm số sơ cấp cơ bản:
a. Hàm lượng giác ngược
arcsin : 1,1 ,
2 2
arccos: 1,1 0,
arcsin sinx y x x y
arccos cosx y x x y
arctan : , ,
2 2

arccot : , 0,

arctan tanx y x x y
arccot cotx y x x y
b. Hàm hyperbolic:
Ví dụ:
(Đề 1 – 20182 – N1) Câu 1: Tìm TXĐ và MGT của cos(arcsin )y x
Tập xác định
1;1D =>
arcsin ; cos(arcsin ) 0;1
2 2
x x
TXD của hàm số là
1;1D , MGT là
0;1
II. Giới hạn hàm số
1. Một số chú ý
Hàm số f(x) có giới hạn là L khi x→x
o
:
lim
o
x x
f x L
Ví dụ:
1
lim 10 5 16
x
x
Hàm số f(x) có giới hạn là A khi x nếu mọi dãy →x
o
n
x hội tụ đến x thì f(x ) hội
o n
tụ đến A
Ví dụ:
0
1
lim sin
x
x
Ta có
1
1
lim sin 0
n
x n
n

và
2
1
lim sin 2
2
2
2
n
x n
n

Cả 2 dãy x đều hội tụ đến 0 nhưng f(x) không hội tụ ở cùng một giá trị
Không tồn tại
0
1
lim sin
x
x
Định lý các hàm khả vi
1. Định lý Fermat.
Cho f(x) liên tục trên khoảng (a, b), nếu hàm số đạt cực trị tại điểm x (a, b) và
o
∈
có đạo hàm tại x thì f ‘(x
o o
) = 0.
2. Định lý Lagrange.
Nếu hàm số f(x) :
i) Liên tục trong khoảng đóng [a, b],
ii) Có đạo hàm trong khoảng mở (a, b)
thì tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a, b) sao cho
'
f a f b
f c
a b
3. Định lý Rolle.
Nếu hàm số f(x) :
i) Liên tục trong khoảng đóng [a, b],
ii) Có đạo hàm trong khoảng mở (a, b),
iii) thỏa mãn điều kiện f(a) = f(b),
thì tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a, b) sao cho f′(c) = 0.
4. Định lý Cauchy
Nếu các hàm số f(x), g(x) thỏa mãn các điều kiện:
i) Liên tục trong khoảng đóng [a, b],
ii) Có đạo hàm trong khoảng mở (a, b),
iii) g′(x) không triệt tiêu trong khoảng mở (a, b)
thì tồn tại ít nhất một điểm c (a, b) sao cho ∈
( ) ( ) '( )
( ) ( ) '( )
f b f a f c
g b g a g c
Bài tập ví dụ
(20191) Cho a – b + c =0. Chứng minh phương trình 4ax – 3bx + c =0 có nghiệm
3 2
thuộc (0;1).
Xét f(x) = ax – bx +cx. Ta thấy f(0) = f(1) = 0
4 3
Theo định lỳ Rolle, tồn tại c thuộc (0;1) để f’(c) = 0
4ax
3
– 3bx + c =0 có nghiệm
2
Ví dụ: Chứng minh ln
a b a a b
a b b
Ta có
1
( ) ln '( )f x x f x
x

. Theo định lý Lagrange, tồn tại c sao cho:
1
ln ln ln ( )
a
a b a b
b c
. Mà ln
a b a a b
b c a
a b b


Tài liệu khác của Đại học Bách Khoa Hà Nội

Preview text:

Chuyên đề 1: Giới hạn hàm số 1.  Dạng 0 , 0 
Cách làm: Áp dụng quy tắc L’Hospital f  x   f  x  0 f  x f 'x Khi x  x mà hoặc => I  lim  lim o g  x   g  x  0 x x x x o g  x o g  ' x Ví dụ: 1 x 1 x lim  lim  1 2 lim  lim x   x0 ln1 x x0 1 x 0  x 0 sin x  cos x x  1
Câu 3 – N1 – GK20171 – Đề 1 4cos x ln1 4sinx 4 1 4sin  lim  lim x I  0 x  0 3 1  3x x x ln 3 ln 3
Câu 6 – N1 – GK20181 – Đề 2 3 4 2 3 2 x  x 3 x  4 x 6 x12 x 6  24 x lim  lim  lim  lim  6 x0 x0 x0 x0 x  sin x 1 cosx sin x cosx x 1 2.  1 
Dạng 1 . Vận dụng lim 1  e  lim   1 xx x  x  0  x  Ví dụ: cos x1 1 1 cos x1  sin x x  
lim cosxx  lim 1   cosx  1cosx 1 x 1  lime  lime  1  x0 x0 x0 x0   x x 2.2  2  2 2 lim 1  lim 1  e     x x  x    x 
Câu 2 – N1 – GK20181 – Đề 3 cos x 1  1 1 cos x 1  sin x x  
lim cosxsinx  lim 1 cosx  1 cosx1 sin x cos  lime  lim x e  1  x0 x0 x0 x0   3. Dạng 0 0 0 , ,0  u x  0 v x Khi v x ln u x x x ,
=> I  lim u x        lim e     o v x  0 xx  o x xo Ví dụ ln x 1/ lim lim x lim lim x ln  x x 2  1/ x 0 x  x 0  1/ x x 0 x xln x    x 0 lim x  lim e  e    e  e  e  1 x 0 x 0   5 5ln x 5 lim x x  lim x e  lim x e  1 x x x
Câu 6 – N1 – GK20171 – Đề 3: I  lim sin xtanx x 0   cosx l  n sin x sin x 1 1 I  lim sin xtanx tan x lnsin x 2 2 sin x cos x 0 tan x tan x.cos  lim e  lim e  lim x e  lim e  e  1 x0 x0 x0 x0 x0
Câu 9 – N1 – GK20181 – Đề 2: n 2 lim n 1 n l 1  2 n 1x  2x lim lim 2 Xét x 2 I  x    2  x  x x    0 x x 1 lim 1 lim 1 x  e  e  e  1 => n 2 lim n 1  =1 x x n
4. Vô cùng bé – Vô cùng lớn VCB :x  x , f x  o   0 VCL : x  x , f x   o  
a. So sánh VCB: Cho , là các VCB khi x x . Xét k   lim o x xo  k  1    
k  0  cấp cao hơn 
k  0;1   cùng cấp  b. A So sánh VCL: Cho ,
A B là các VCL khi x  x . Xét K  lim o x xo B K 1   A  B
K    A cấp cao hơn B K  0;1 A, B cùng cấp Ví dụ:
So sánh VCB khi x -> 0: ln(1+x) và sin x 1 ln 1 x  1  lim  lim  x k
 1 => ln(1+x) và sin x tương đương x 0 x 0 sin x cos x
So sánh VCL khi x -> : 2 x và x e 2 x 2x 2  K  lim  lim  lim  0=> x e cấp cao hơn 2 x x x x x  x  x e e  e
Câu 2 – N1 – GK20181 – Đề 1
So sánh VCL khi x -> :    2 x  x  x và   x x  e  1 2 Xét x  x 1 2x 2 K  lim  lim  lim
 0 => B cao cấp hơn A x  e 1 x x x x x e  e
Câu 4 – N3 – GK20181 – Đề 7
Khi x->0, các VCB sau có tương đương không?  x  x  x  5 x 2 sin5 ;  e 1x   x sin 5 x 5 cos 5 x k  lim  
 => có tương đương    x lim lim 1 5 x 2 5 0 0 0 e 1  x 5 x x x x e  2 x
c. Ngắt bỏ, thay thế VCL, VCB
- Thay VCB, VCL tương đương trong tích/ thương
- Ngắt VCB bậc cao, VCL bậc thấp trong tổng/hiệu
d. Bảng VCB tương đương: x  0 ln1  x a  x 1 x 1 ax
sin x  tan x  arctan x  arcsin x  x x e 1  x x a 1 x lna Ví dụ:
So sánh VCB khi x -> 0: ln(1+x) và sin x ln 1 x  x  k  lim
 lim  1 => ln(1+x) và sin x tương đương x 0 x 0 sin x x
Câu 4 – N3 – GK20181 – Đề 7
Khi x->0, các VCB sau có tương đương không?  x  x  x  5 x 2 sin5 ;  e 1x  x  sin 5x 5x  k  lim  lim  lim
 1=> có tương đương   x  5 x 2 5 0 0 0 e  1 x x x x  x e  1
Câu 5 – N1 – GK20181 – Đề 4
Tìm a,b để 2 VCB sau tương đương khi x-> 0:  x  2 3 4
 ax  bx  x  x  3 , sin x  Ta có:   x   3x 3 sin  x    2 3 4 2
x  ax  bx  x  ax nếu a khác 0 => a = 0    3 4 4
x  bx  x  x nếu b = 0;   3 4 3 x b  x x  x nếu b =1 Vậy a = 0; b =1
Chuyên đề 2: Các ứng dụng tìm giới hạn I.
Giới hạn trái – Giới hạn phải – Hàm số liên tục
 Giới hạn phải của hàm số f(x) tại x  o : f  x  f x o  lim   x   o x
 Giới hạn trái của hàm số f(x) tại x  o : f  x  f x o  lim   x   ox Ví dụ: 1 lim   lim ln x     x 0  x x 0  2x 1  x  2  
Câu 3 – GK20173 – N2 – D4: lim     x 1   x 1   1 1  x 1 ln  x 1  x    
Câu 3 – GK20171 – N3 – D7: x 1  x ln lim   lim x e  0   x 0   x 0 1 x ln x   
 Hàm số f(x) liên tục tại x  
o khi và chỉ khi: f  x  f x  f x o   o   o  Ví dụ:
Xét sự liên tục của f(x) = x2+2x+5 tại x = + -
o 0 => f(xo ) = f(xo )= f(xo) = 5=> LT
Câu 2 – GK20173 – N2 – D4: Xét tính liên tục  2 ln 1 4x  y = ;x  0 x 0; x  0
Nhận xét: Hàm số liên tục trên R\{0} ln      2 1 4x  ln  2 1 4x 
Tại x = 0: f 0   f 0   lim  lim
 0  f 0 => liên tục tại 0 x 0  x 0 x   x
 Hàm số liên tục trên R 1 cos 2x x
Đề 5 – 20141: Tìm m để f(x) = ;  0 2 x liên tục tại x = 0 m; x  0
lim f x  lim f x  2  m  2 x 0 x 0   II. Điểm gián đoạn
o Điểm gián đoạn xo: tại đó không tồn tại f(xo)
o Phân loại điểm gián đoạn:  Tìm f(x + - o ) và f(xo )
 Nếu tồn tại cả f(x + - o ) và f(xo ): loại 1 Khi đó: h = | f(x + -
o ) - f(xo ) | gọi là bước nhảy
h = 0 => Gián đoạn bỏ được
 Không phải loại 1 => loại 2 Ví dụ:
Xét sự gián đoạn của hàm số:   1 f x  x
Tại x = 0, ta có: f(0+) = ∞ và f(0 -) = - ∞ => Loại 2 1
C3 – 20181 – N3 – D7:Xét sự gián đoạn của y = arctan x Ta có:     
f 0   ; f 0    Loại 2 2 2
C4 – 20181 – N1 – D1: Xét sự gián đoạn của y = cot 1 arctan   x   
f(0+) =0 và f(0 -) = 0 => Loại 1
C3 – 20181 – N1 – D3: Tìm a để x = 0 là điểm gián đoạn bỏ được 1 x a  e ; x  0 f(x) =
. Ta có f(0+) =0 và f(0 -) = a = > a = 0 1 ; x  0 ln x C2 – 20173 – N1 – D1
Phân loại điểm gián đoạn sin x y  x x  1
f(0+) = - 1 và f(0 -) = -1 => L1
f(1+) = ∞ và f(1 -) = - ∞ => L2 III. Đạo hàm  1. f x f x
Định nghĩa đạo hàm: f  x    o  ' |  lim o x x o x x  xo
2. Đạo hàm trái – Đạo hàm phải  Phải:  f x f x f x   o     o  ' lim
Tồn tại đạo hàm khi và x x   x  x o o chỉ khi f’(x + - o ) = f’(xo )  Trái:  f x f x f x   o     o  ' lim xx   o x xo
Chú ý: f(x) có đạo hàm tại xo => Liên tục tại x k o, hông có ngược lại Ví dụ: Tính đạo hàm tan x x y  x tan x y '  2 2 x cos x
C5 – 20181 – D7 – N3: Dùng định nghĩa tính đạo hàm y’(0) với 3 y  x arcsin x f x   f 0 3 x arcsin x y '(0)  lim  lim  0 x 0 x 0 x  x
C5 – 20181 – D5 – N2: Tìm a để hàm số có đạo hàm tại x = 0 x f(x) = e  sin a ;
x x  0 . Với a tìm được, tính f’(0) cos x; x  0
f(0) = f(0+)= f(0+) = 1: Hàm số liên tục tại x = 0
f’(0+) = 1 – a; f’(0 -) = 0 => a = 1 => f’(0) = 0
IV. Vi phân cấp 1 – Tính xấp xỉ Vi phân của y = f(x) là y   f x  x
  f  x  f 'x. x 
 Cách tính xấp xỉ: f  x    x  f  x   f ' x x  o o  o Ví dụ:
 Áp dụng vi phân, tính gần đúng 3 7.97 2  Xét f  x 1 3  x  f ' x 3  x . Ta có x  8; x   0.03  3 o Áp dụng f  x    x  f  x   f ' x x  => 3 7.97 7.9975 o o  o    
Áp dụng vi phân, tính gần đúng sin  0.01  4   
Xét f  x sin x  f '( ) x cos x . Ta có  x  ; x   0.01 o 4           sin  0.01  sin  0.01cos  0.714  4   4   4       
Câu 6 – 20181 – D4 – N1:
Ứng dụng vi phân, tính gần đúng 2 4 2 0.02 1 3 4 4 Xét      f   2 2 1 2 4 x    f '  x   
. Ta có x  2; x  0.02  2 x x     2x  x o 2  4
 f 2 0.02f '2 1.0025 2  0.02
Chuyên đề 3: Đạo hàm, vi phân cấp cao
Khai triển Taylor, Maclaurin I.
Đạo hàm, vi phân cấp cao  n n 1   Đạo hàm cấp n:   f  x     f  x    n n Vi phân cấp n:   n d y  y dx Ví dụ: 7 6 5 3 4 4 3
y  x  y '  7x  y '  42x  y  210x  y  840x
Bảng đạo hàm cấp cao của một số hàm số: n n k nk k
Chú ý: Công thức Leibiniz: u.v       C u v n . k 0  Trong đó:
( Sử dụng khi biết một số k hữu hạn nào đó sẽ khiến v(k) = 0
Ví dụ: x5 có đạo hàm cấp 5 bằng 0 f (x)  sin x. x
e  f 'x  cos x  sin x x e  f ' x  2cos x xe  2 f  x k  k k
'  C sin x . xe   0    C sin x . xe  1  
 C sin x .  xe  1 2  C sin . x x e 2 2 2 2  2 2 2 1  k 0  sin x. x e  2cos x. x e  sin x. x e  2cos x. x e
 Cho y = xlnx. Tính y(20)(1) 20 20 k y
 C ln x 20k k 0
x  C ln x 2 0  0 1 x  C ln x x 20 20 20  19  1 k 0     
ln x2 0 x  20ln x19   19 19! 18! 19! 20.18! 20.18! 19! 1 . .x  20 1     20  18   19 19 19 19 x x x x x  y(20)(1) = 20.18!-19!
Lưu ý: Cách chứng minh công thức đạo hàm cấp cao: Dùng quy nạp 1 1  2 y   y '   y '  x 1 x  2 1 x  3 1  n
Giả sử  1      n n ! 1 . (*)  x 1 1 xn 1 Với 1 n  1  y '  => n = 1 đúng với (*) x  2 1 Với 2 n  2  y '  => n = 2 đúng với (*)  x  3 1 Giả sử k n  k  y   k k ! 1 . là đúng 1 xk 1 k    k   x  k  k   k  n k   y  y    k  11  k 1 ! 1 1 .k !.  1  (đúng với *) 2k 2   1 1     1   x  1 x k 2 Ví dụ:
Câu 7 – 20181 – Đề 5 – N2: Cho y = (x+1)lnx. Tính y(20)(1) 20  2 0 y
  C ln x20k x   k k 0 1
 C ln x2 0  x   0 1 1 C ln x (x 1) 20 20 20  19 1 k 0 
  x20  x  
 x1 9   19 19! x   18 18! ln 1 20 ln 1 . .( 1) 20 1
 2.19! 20.18! 2.19! 19! 18! 18!19! 20 19 x x
Câu 5 – 20171 – Đề 1 – N1: Tính y(5)(x) với y = ln(2x - 2 x) y   2 2x  x 5 (5) 4! 2 .4! ln
 ln x  ln 2x 1  y   5 x 2x  5 1
Câu 10 – 20173 – Đề 4 – N2: Cho y = x2ln(1-3x). Tính y(n) (0), n≥3. n 2; k  2  n y  k nk k 0 k  C x  x x  
n  2     0 ln 1
3    0, 2   0 k 0 0;k  0 n y   2 0 2C x     n  ln 1 3  n 2   0 n    Ta có y    x 3 9 ln 1 3  y '  y ' n   y   n1 3 ( ) 1 n  1 ! 2     1 3x 1 3 x 1 3 n x n2    2C  x  C   n     C n  n  ln 1 3  n 2   0 2 n  n 3 3 2 2 1     n 2 2 3 ! 2.3 n n   3 ! 1 3x 2 x 14
Câu 9 – 20171 – Đề 7 – N3: Cho f (x)  ln 2  x  . Tính d f 10 (1). 5! 10 k 10 d y   10  y   10 10 dx y   1 1 1 , 1  C x 1 ln 2 k k  x   . 10  4     10  5! k 0 k 4!;k  4 Ta có  x  ( ) 4 1  => 0;k  4 6  y 1 1 1  C 4! ln 2  x 42 ln 2  x 42. 1  .5!.  5040  10   6   6  5 (10) 4   5!  2 x6
II. Khai triển Taylor, Maclaurin  k     f x f x f x f x f x  x  x  x  x   x  x  o 
' o  o '' o o2  o ...  o  k ... 1! 2! k! k
f  x  f   f '0 f ' x f o    0 2   0  x  x  ... k  x  ... 1! 2! k ! 2 3 4 n x x x  x ln1 x  x     ...  n 1 1 2 3 4 n        x   1 2  ( 1)...( n 1) 1  1 x  x  ... n  x 2! n! x~0
a. Tìm khai triển Maclaurin hoặc Taylor Ví dụ:
Tìm khai triển Maclaurin của f x  1  đến số hạng o(x ) 2 1 3x5 f x  1   1 3x 5 2 1 15x 135x o  2 x 5  1 3x 
Câu 8 – 20173 – Đề 4 – N2: Khai triển Maclaurin của f x  1  đến số
1 2x 40 1 x 50 hạng o(x2). 1 2x 40 2
180x  3280x o  2 x  1 x 50 2
1  50x 1275x  o 2x 
y  1 2x 40 1 x 50 2 2 2
1 50x 1275x 80x  4000x  3280x o  2 x  2 1 30x 555x o  2 x 
Bỏ qua những x có bậc cao hơn 2.
Câu 9 – 20171 – Đề 1 – N1:
Sử dụng khai triển Maclaurin của hàm số 3
y  1 x đến x3 để tính gần đúng 3 1,09 Quy tròn đến 10-6. 1 1 1 5 3 1 x  1 x 2 3 3  1 x  x  x  o  3x  3 9 81 1 1 2 5 3 3 3 1,09  1 0,09 1
  .0,09  .0,09  .0,09 1  ,029145 3 9 81
b. Vận dụng khai triển Taylor để tìm đạo hàm cấp cao
Cách làm: Đề bài yêu cầu tìm đạo hàm cấp n hàm số y tại x = 0
 Khai triển Maclaurin hàm số y
 Hệ số của số hạng chứa xn . n! = kết quả cần tìm Ví dụ:
Tìm đạo hàm cấp cao y(5)(0) của y = sin x.
y(5)(0) = sin (x+5π/2)|x=0 = 1 1 1
Ta có khai triển Mac của y là: 3 5 sin x  x  x  x 3! 5!
Hệ số của x5 là 1 => y(5)(0) = 1 . 5! = 1 5! 5!
Câu 9 – 20173 – Đề 6 – N3: Cho y = exsinx. Tính đạo hàm cấp cao y(6)(0). x 1 2 1 3 1 4 1 5 1 1 e  1 x  x  x  x  x 3 5 sin x  x x  x 2 3! 4! 5! 3! 5! 2   
=> Hệ số của x6 của 1 1 1 1 x e sin x là: 6 3 6 x  x  x  5!  3!    5! 90 6 y 0 1   6   y 0  8 6! 90
Câu 8 – 20181 – Đề 2 – N1: Cho 2x y 
. Tính đạo hàm cấp cao y(7)(0). 2 x 1 2 x  y   lnx  
1   y x  ln1 x  8 2 (7) 2 . 2 x 1  2 3 4 Ta có: x x x x x x ln 1 x  x    ... =>  x  4 6 8 2 2 ln 1  x    ... 2 3 4 2 3 4  ln 2 1  x  8 0 1  8  !  (7)   y   0   10080 4 8! 4
c. Vận dụng khai triển maclaurin để tìm giới hạn
Cách làm: Khai triển cả tử và mẫu để số hạng có bậc lớn nhất phụ thuộc mẫu Ví dụ: 4 1 1 2x cos 2 2x 
Câu 9 – 20173 – Đề 1 – N1: Tính lim 5 x  x ln  3 0 1 2x  5 x  3  x  8 ln 1 2   2x 8 4 4 x 1 2x  1 x  2 8 8 =>  4 x x 1 2x cos  2 2x  4 4 8 1 x  x x  o  8 x  4 8 1  x x 2 6 3 cos 2x  8 2 4  1  x  6 1 1 2 cos  2  4 8 4 2 x x x 2   3 lim  lim  5 x x ln  3 0 1 2 x  8 x0 2  x 3
Chuyên đề 4: Các vấn đề về hàm số - đồ thị I. Tìm cực trị
Cách làm: Hàm số y=f(x) có cực trị <=> y' đổi dấu
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số f(x)
Bước 2: Tìm y’, giải phương trình y’ = 0.
Bước 3: Lập bảng biến thiên và kết luận Ví dụ: 2 x  2
Câu 5 – GK20141 – Đề 4: Tìm cực trị của hàm số y  3x
Điều kiện xác định: x  0 2 2 2 2 6x  3x  6 3x  6 x  2 y '   
. y'  0  x   2 . Vẽ bảng biến thiên: 2 2 2 9 x 9 x 3 x x -∞  2 0 2 ∞ y’ 1/3 + 0 - -∞ -∞ - 0 + 1/3  2 2 ∞ ∞ 3 y - 2 2 ∞ -∞ 3
Vậy hàm số đạt cực đại 2  2 y  tại x =  2 3
Hàm số đạt cực tiểu y = 2 2 tại x = 2 3
Câu 5 – GK20151 – Đề 2: Tìm cực trị của hàm số 5 4 y  4x 5 x 4  1 1/5 1 x 1 5 5
y  4x  5x  y '  4  4x 1  1/5 1/5 x x
. Ta có bảng biến thiên y '  0  x  1 x -∞ 0 1 ∞ y’ + - 0 + 0 ∞ y -∞ -1 II. Tiệm cận 1. f   x
- Tiệm cận ngang: xét f(x) khi x tiến tới ∞ và -∞
- Tiệm cận đứng: xét f(x) tại điểm x gián đoạn
- Tiệm cận xiên: y = ax + b f (x) a  lim
 b  lim f (x) ax Trong đó: x x x  f ( ) x a  lim  b  lim  f ( ) x  a  x x  x x    x  f t  2. . Xét lim tiến tới t h o oặc ∞ y  g t  lim f t  a  tt Tiệm cận đứng: o limg t    tto lim f  t    tt Tiệm cận ngang: o lim g t  b t ot  Tiệm cận xiên:
Nếu lim f t   và lim g t   thì đường cong có thể có tiệm cận xiên. tt tt o o y a  lim t t  o x b  li  m y  ax t t  o Ví dụ:
Tìm tiệm cận của hàm số x y  . 2 x  2
lim y  1; lim y  1 => 2 tiệm cận ngang x x lim y  ;
 lim y   => 2 tiệm cận đứng x 2 x 2   x 1 2 
Câu 6 – GK20181 – D7 – N3: Tìm tiệm cận xiên của x 1 y xe   2x 2 y  2 x  e   e   2 y  e x  2 2 1 lim lim lim
 4e  y  e  x  
4 . Xét lim tại -∞ tương tự. x x   x x 
Câu 8 – GK20173 – D5 – N3: Tìm tiệm cận xiên y = ln(1+e-2x). ln 2 1 x  e y  lim  lim  0  lim y  lim ln  2 1 x  e   0  khongco x x x x x x   y ln  2 1 x e  lim  lim  2
  lim  y 2x 0  y  2  x x  x  x x x   1 x 
Ví dụ: Tìm tiệm cận của t 2 y  t
lim x   ;lim y  0 TCN : y  0 t0 t0
lim x 0;lim y   TCD : y  0 t t Câu 9 – 20161 – D4: 2
Tìm các tiệm cận của đường cong cho bởi 2016t 2016t x  ; y  3 3 1 t 1 t lim x  ;
 lim y   => Không có TCD, TCN. Có TCX t1 t1 lim x  ;
0 lim y  0 => Không có t t y   t   y  x 2016 lim lim 1;lim  t1 t1 t1 x 3 2016  y  x 3 III. Tiếp tuyến:
1. Tìm tiếp tuyến y = f(x) tại xo.  y = f’(xo)(x-x ) o + yo x  x t 
2. Tiếp tuyến của hàm số có tham số t: tại to y  y t  x  xt y  y t o   o  x 't y t o  ' o  Ví dụ: x  t  sint
Câu 8 – 20181 – Đề 3 – N1: tại  t  . y  1 cost o 2 Ta có:  x  1; y  1 . o 2 o
x’= 1 – cost => x’o= 1 và y’= sint => y’o= 1 x   1 y 1    2   x  1  y 1
  x  y  2  0 1 1 2 2
3. Tọa độ cực: r = f(φ)
 Cách 1: Đưa về tọa độ Oxy 2 2 x y r  x  y ;cos   ;sin   2 2 2 2 x  y x  y
 Từ f(x;y) = 0, viết pttt: f’(xo)(x – xo) + f’(t ) o (y – yo) = 0  r Cách 2: Tính tan V = r '
tan V = 0 => tt trùng bán kính cực
tan V = ∞ => tt vuông góc bán kính cực Ví dụ:
Câu 10 – 20181 – D1 – N1: tìm tiếp tuyến tại φ = 0 của r = 2+cos φ Cách 1:
Với φ = 0 => r = 3. Chuyển tọa độ Oxy 2 2 x 2 2 2 2 x  y  2   x  y 2 
x  y  x  0  M 3;0  2 2 x  y 2x f 'x  2x  1 f 'x  3 2 2 o x  y 2 y f ' y  2y   f ' y  0 o 2 2 x  y
 3(x – 3) + 0.y = 0 => x = 3 Cách 2:
r = 2+cos φ => r’ = - sin φ = 0 và r = 3 => tan V = ∞ => Tiếp tuyến vuông góc r tại M => x = 3
Chuyên đề 4: Nguyên hàm – Tích phân I. Bảng nguyên hàm  Dạng sinm cosn x xdx 
+ Nếu m lẻ: đặt t = cos x
+ Nếu n lẻ: đặt t = sin x
+ Nếu m,n chẵn: hạ bậc Ví dụ: 3 2 I  sin x cos x dx  .
Đặt t = cos x =>   t t x x I t 1
 t dt   t t  5 3 5 3 cos cos 2 2 4 2 dt    C  I    C 5 3 5 3
Câu 7 – 20191 – N1 – Đề 2: x  2 I  dx  2 x 2x 2   ln x  x  x  x 21 1 2 2 1 3  I  dx dx    dx  3arctan x 1  C  2  2  2 2   x  2x  2  x 1  1    x   1  1  x   1  1 2  2ln x 1  2ln x  3/2
Câu 8 – 20183 – N1 – Đề 1: 1 I  dx  C  x 3
Câu 7 – 20181 – Đề 3 – N1: 2 I  arccos xdx 
Đặt t = arccos x => x = cos t => dx = -sin t dt 2 2 2 I  t
 sintdt  t cost  2 t costdt t
 cost  2t sint  2 cost  C  
Câu 7 – 20181- N3 – Đề 7: arctan x I  dx  I 2 x
Đặt t = arctan x => x = tan t => dx = (tan t 2 +1)dt 2 t (tan t  1) tdt  1  t  arctan x I  dt   td   ln sint C   ln sin(arctan x) C  2  2  tan t sin t  tant    tant x
Câu 7 – 20191 – N1 – Đề 3: arcsin x I  dx  1 x 1 u  arcsin x  du  dx 2 1  x dx dv   v  2 1 x 1 x 2 1  x 2 I  2arcsin x 1 x  dx  2arcsin x 1 x 
dx 2arcsin x 1  x  4 1  x C   2 1 x 1 x
Câu 6 – 20181 – Đề 7 – N3: 2 x e tdt I  dx   
 t   t    4 dt   t   4  t   4 x 4 1 1 1 1 C  e 1 x  e 1  C    x 1/4  7/4  3/4 3/4 1/4 7/4 3/4 4   1  t e   1 7 3 7 3
Câu 7 – 20181 – Đề 1 – N1: 2 2 x  2 x  2  1 1  2  2  1   I  dx  dx   dx  ln x  1  arctan x  C  3        x 1
x  1 2x  x   2 1  x 1 x x 1 3  3 2      
Câu 9 – 20183 – N1 – Đề 1: I   2 ln x  x   1dx  2 2x 1
Đặt u ln  x  x   1  du  dx 2 x  x 1 dv  dx  v  x     x  x   2 2 2x x I x ln 1  dx  . 2 x  x 1  1 3  2 x  2x  x  x  2   2 2  I  dx  2 dx  2      d  x 1 2 2 2 2 x  x  1  x  x  1 x  x  1 x  x  1 Xét     1     2x  ln 2 1 2 x  x   1  3 arctan x     2  3  2  1  2  1   I x ln 2 x x   1 2x  ln 2 x x   1  3 arctan x  C     2  3  2 
Câu 7 – 20171 – Đề 4 – N1:  2 x I xe sinxdx 
u  2xsin x  du  2sin x 2 xcos x    Đặt dx du 2(sin x xcos ) x x x dv  e dx  v  e
  2 sin x  2sin x  2 cos x I x xe xe dx x xe dx   Xét  2 cos x I x xe dx 1 
u  2xcos x  du  2cos x 2xsin x    Đặt dx du 2(cos x xsin ) x x x dv  e dx  v  e
  2 cos x  2cos x  2 sin x I x xe xe dx x xe dx 1   I  2x sin x xe  2sin x xe dx  2x cos x xe  2cos x xe dx  2x sin x xe dx    I  2x sin x xe  2x cos x
xe  2 cosx sinx  x e dx I  2 I 2 x xe sin x c  os  x 2cos x xe x
I  xe sinx cosx  cos x xe C  Bổ sung I.
Các kiến thức cần nhớ về hàm số
1. Hàm số chẵn, hàm số lẻ
 Hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng x ∈ T ⇒ −x ∈ T f(−x) = f(x).
 Hàm số lẻ nhận gốc O làm tâm đối xứng x ∈ T ⇒ −x ∈ T f(−x) = −f(x).
Cách xác định một hàm số f(x) là chẵn hay lẻ:
- Xác định tập xác định T của hàm số, nếu tập không đối xứng thì kết luận hàm không chẵn, không lẻ.
- Nếu f (- x) = f (x) với mọi x ∈ D thì hàm số y = f (x) là hàm số chẵn.
- Nếu f (- x) = - f (x) với mọi x ∈ D thì hàm số y = f (x) là hàm số lẻ.
Ví dụ: Hàm cos x là hàm chẵn còn sin x, tan x, cotan x là hàm lẻ.
 (Đề 2 – 20183 – N1) Câu 2: Xác định tính chẵn lẻ của hàm số 3 y  x  cos x y x 3  x  cosx
Tập xác định của hàm số đã cho là R. Ta có y  x    x  3 cos x   3  x  cos x
 Hàm số không chẵn, không lẻ
 (Đề 4 – 20173 – N2) Câu 1: Xác định tính chẵn lẻ 5 5 y  2  x  2  x
Tập xác định của hàm số đã cho là R. Ta có y  x   5 5
 2  x  2  x  y x
 Hàm số đã cho là hàm số chẵn 2. Hàm số tuần hoàn
 Một hàm số f(x) được gọi là tuần hoàn nếu như tồn tại số thực T > 0 sao cho f(x) = f(x + T) ∀x ∈ T .
Cách tìm chu kỳ T: Tìm T nhỏ nhất ≠ 0 sao cho với mọi x ∈ D x+T ∈ D x - T ∈ D f(x+T)=f(x). Ví dụ:
 (Đề 3 – 20181 – N1) Câu 1: Hàm số y = arctan x có phải hàm số tuần hoàn không?
Hàm số xác định trên R. Xét T > 0 thỏa mãn y(x + T) = y(x)
 arctan(x) = arctan(x+T) => arctan(x+T) - arctan(x) = 0  x T  x   T    arctan  0   => arctan 0  
=> T  0 ( không thỏa 1 (x T  )x  1 (x  T)x   mãn)
 Hàm số không tuần hoàn 3. Hàm ngược
 Cho f là một đơn ánh với miền xác định A và miền giá trị B. Khi đó hàm ngược 1
f  có miền xác định B và miền giá trị A, được định nghĩa bởi 1
f   y  x  f  x  y Cách tìm hàm ngược:
- Từ y = f(x), giải x theo y, giả sử được x = g(y),
- Đổi vai trò của x và y để được hàm số ngược 1 f  x  g  x
 Định lý: Nếu hàm số f(x) đơn điệu tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a, b) thì tồn tại hàm số ngược 1
f  của f trên khoảng đó. Ví dụ:  1 x
(Đề 1 – 20181 – N1) Câu 3: tìm hàm ngược của hàm số y  ln , x  1  ;1 1 x y Ta có: 1 x   y 1 x 2 1 e y  ln  e   1  x  1 x 1 x 1 x 1 y  e  1 y  e  1 x  f y   y  R  1 y  e 1 x  e  y  là hàm ngược cần tìm 1 y  e
4. Các hàm số sơ cấp cơ bản:
a. Hàm lượng giác ngược      arcsin :  1  ,1   ,  arccos :1,  1  0,  2 2   
x  y  arcsin x  x  sin y
x  y  arccos x  x  cos y      arctan :  ,     ,   arccot :,     0,   2 2 
x  y  arctan x  x  tan y
x  y  arccot x  x  cot y b. Hàm hyperbolic: Ví dụ:
 (Đề 1 – 20182 – N1) Câu 1: Tìm TXĐ và MGT của y  cos(arcsin x) Tập xác định    D   1  ;  1 => arcsin x ;    cos(arcsin x) 0;  1  2 2   
 TXD của hàm số là D   1  ;1, MGT là 0;  1 II. Giới hạn hàm số 1. Một số chú ý
 Hàm số f(x) có giới hạn là L khi x→x lim f x  L o :   xxo
Ví dụ: lim 10x 5 16 x 1
 Hàm số f(x) có giới hạn là A khi x→xo nếu mọi dãy x hội tụ đến xo thì f(xn) hội n  tụ đến A Ví dụ:  1 lim sin    x 0  x  Ta có 1 1     x    lim sin  n  0 và x   lim sin  2 n 1        n  n  2  n   2 2 n    2
 Cả 2 dãy x đều hội tụ đến 0 nhưng f(x) không hội tụ ở cùng một giá trị  1   Không tồn tại lim sin   x0  x 
Định lý các hàm khả vi 1. Định lý Fermat.
Cho f(x) liên tục trên khoảng (a, b), nếu hàm số đạt cực trị tại điểm xo ∈ (a, b) và
có đạo hàm tại xo thì f ‘(xo) = 0. 2. Định lý Lagrange. Nếu hàm số f(x) :
i) Liên tục trong khoảng đóng [a, b],
ii) Có đạo hàm trong khoảng mở (a, b) f a  f b
thì tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a, b) sao cho f 'c  a b 3. Định lý Rolle. Nếu hàm số f(x) :
i) Liên tục trong khoảng đóng [a, b],
ii) Có đạo hàm trong khoảng mở (a, b),
iii) thỏa mãn điều kiện f(a) = f(b),
thì tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a, b) sao cho f′(c) = 0. 4. Định lý Cauchy
Nếu các hàm số f(x), g(x) thỏa mãn các điều kiện:
i) Liên tục trong khoảng đóng [a, b],
ii) Có đạo hàm trong khoảng mở (a, b),
iii) g′(x) không triệt tiêu trong khoảng mở (a, b)
thì tồn tại ít nhất một điểm c f (b)  f (a) f '(c) ∈ (a, b) sao cho  g( ) b  ( g ) a g'( ) c Bài tập ví dụ
(20191) Cho a – b + c =0. Chứng minh phương trình 4ax3 – 3bx2 + c =0 có nghiệm thuộc (0;1).
Xét f(x) = ax4 – bx3+cx. Ta thấy f(0) = f(1) = 0
 Theo định lỳ Rolle, tồn tại c thuộc (0;1) để f’(c) = 0
 4ax3 – 3bx2 + c =0 có nghiệm Ví dụ: Chứng minh a  b a a  b  ln  a b b Ta có 1
f (x)  ln x  f '(x)  . Theo định lý Lagrange, tồn tại c sao cho: x a 1 a  b a a  b ln a  lnb  ln
 (a b) . Mà b  c  a   ln  b c a b b

Tài liệu liên quan: