Lý thuyết và bài tập chuyên đề giới hạn – Lư Sĩ Pháp
Giới thiệu đến các em học sinh lớp 11 tài liệu lý thuyết và bài tập chuyên đề giới hạn do thầy Lư Sĩ Pháp biên soạn, tài liệu gồm 78 trang tóm tắt lý thuyết chuyên đề giới hạn và tuyển chọn bài tập tự luận, trắc nghiệm giới hạn dãy số
Chủ đề: Chương 5: Giới hạn. Hàm số liên tục (KNTT)
Môn: Toán 11
Thông tin:
Tác giả:
Tài liệu liên quan:
Preview text:
Giáo Viên Trườn g THPT Tuy Phong ÑAÏI SOÁ VAØ GIAÛI TÍCH 11 GIỚI HẠN LỜI NÓI ĐẦU
Quý đọc giả, quý thầy cô và các em học sinh thân mến!
Nhằm giúp các em học sinh có tài liệu tự học môn Toán,
tôi biên soạn cuốn giải toán trọng tâm của lớp 11.
Nội dung của cuốn tài liệu bám sát chương trình chuẩn và
chương trình nâng cao về môn Toán đã được Bộ Giáo dục và Đào tạo quy định. NỘI DUNG
1. Tóm tắt lý thuyết cần nắm ở mỗi bài học
2. Bài tập có hướng dẫn giải và bài tập tự luyện
3. Phần bài tập trắc nghiệm đủ dạng và có đáp án.
4. Một số đề ôn kiểm tra
Cuốn tài liệu được xây dựng sẽ còn có những khiếm
khuyết. Rất mong nhận được sự góp ý, đóng góp của quý đồ
ng nghiệp và các em học sinh để lần sau cuốn bài tập hoàn chỉnh hơn.
Mọi góp ý xin gọi về số 0355.334.679 – 0916 620 899 Email: lsp02071980@gmail.com Chân thành cảm ơn. Lư Sĩ Pháp MỤC LỤC
§1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ ...................................................... 01 - 19
§2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ .................................................... 20 – 40
§3. HÀM SỐ LIÊN TỤC ............................................................... 41 – 56
ÔN TẬP CHƯƠNG IV .................................................................. 57 – 79
MỘT SỐ ĐỀ ÔN KIỂM TRA ...................................................... 80 – 88
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp
CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN
§1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
A. KIẾN THỨC CẤN NẮM
1. Giới hạn hữu hạn của dãy số
lim u = 0 khi và chỉ khi u có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở n n→+∞ n đi.
lim v = a ⇔ lim (v − a) = 0 n n n→+∞ n→+∞
Dãy số (un) có giới hạn 0 khi và chỉ khi dãy số ( u có giới hạn 0 n ) 2. Giới hạn vô cực
lim u = +∞ khi và chỉ khi u có thể lớn hơn một số dương lớn tùy ý, kể từ một số hạng nào đó n n→+∞ n
trở đi. Kí hiệu: lim u = +∞ hay u → +∞ khi n → +∞ n n
Dãy số ( u ) được gọi là có giới hạn −∞ khi n → +∞ nếu lim(−u ) = +∞ n n
Nhận xét: lim u = +∞ ⇔ lim (−u ) = −∞ ; lim u = −∞ ⇔ lim (−u ) = +∞ n n n→+∞ n→+∞ n n n→+∞ n→+∞
Lưu ý: Thay cho viết lim u = a, lim u = ±∞ , ta viết lim u = a, lim u = ±∞ n n n→+∞ n→+∞ n n
3. Các giới hạn đặc biệt 1 1 a) lim = 0 ; lim = 0; k
lim n = +∞ , với k nguyên dương. n k n b) n
lim q = 0 , nếu q < 1; n
lim q = +∞ nếu q > 1 c c) lim c = c ; lim = 0 , lim(c u k
n) = climun, với c là hằng số, k * ∈ ℕ n n d) lim = 0 nếu q > 1 n q
4. Định lí về giới hạn hữu hạn
Định lí 1. Nếu lim u = L và lim v = M , thì: n n lim u
( + v ) = lim u + lim v = L + M n n n n lim u
( − v ) = lim u − lim v = L − M n n n n lim u v
. = lim u .lim v = L.M n n n n lim c ( u . ) = c L
. ( với c là hằng số) n u L n lim = (nếu M ≠ 0 ) v M n
Định lí 2. Giả sử lim u = L n
Nếu u ≥ 0 với mọi n thì L ≥ 0 và lim u = L n n lim u = L 3 và 3 lim u = L n n 1
Nếu lim u = +∞ thì lim = 0 n un
5. Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực
a) Quy tắc 1. Nếu lim u = ±∞ và lim v = ±∞ thì lim (u v được cho trong bảng: n n ) n n 1
Chương IV. Giới hạn
0916620899 – 0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp lim u lim v lim (u v n n ) n n +∞ +∞ +∞ +∞ −∞ −∞ −∞ +∞ −∞ −∞ −∞ +∞
b) Quy tắc 2. Nếu lim u = ±∞ và lim v = L ≠ 0 thì lim (u v được cho trong bảng: n n ) n n lim u Dấu của L lim (u v n n ) n +∞ + +∞ +∞ − −∞ −∞ + −∞ −∞ − +∞ u
c) Quy tắc 3. Nếu lim u = L ≠ 0 và lim v = 0 và v > 0 hoặc v < 0 thì n
lim được cho trong n n n n v n bảng: Dấu của L Dấu của v u n n lim v n + + +∞ + − −∞ − + −∞ − − +∞ u
Chú ý . Nếu lim u = L > 0,lim v = ±∞ thì n lim = 0 n n vn
6. Tổng cấp số nhân lùi vô hạn
Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân có công bội q thỏa mãn q < 1
Công thức tính tổng S của cấp số nhân lùi vô hạn (un) u 2 1 u
S = u + u + u + ... + u 1 + ... = ; q < 1
S = u + u q + u q + ... + u q − 1 + ... = ; q <1 1 2 3 hay n n 1− q 1 1 1 1 1− q
7. Định lí kẹp về giới hạn của dãy số
Cho ba dãy số (un), (vn) ,(wn) và số thực L. Nếu u ≤ v ≤ w với mọi n và lim u n n n
n = lim wn = L thì dãy
số (vn) có giới hạn và lim vn = L. 8. Lưu ý
a) Dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn
b) Dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn
c) Nếu limun = a thì limun + 1 = a n 1
d) Số e: e = lim 1+ n→+∞ n
9. Phương pháp tìm giới hạn của dãy số
- Vận dụng nội dung định nghĩa
- Tìm giới hạn của một dãy số ta thường đưa về các giới hạn dạng đặc biệt và áp dụng các định lí về
giới hạn hoặc các định lí về giới hạn vô cực:
+ Nếu biểu thức có dạng phân thức mà mẫu và tử đều chứa các lũy thừa của n, thì chia tử và mẫu
cho nk, với k là số mũ cao nhất.
+ Nếu biểu thức có chứa n dưới dấu căn, thì có thể nhân tử số và mẫu số với cùng một biểu thức liên hợp.
10. Phương pháp tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
- Nhận dạng xem dãy số đã cho có phải là một cấp số nhân lùi vô hạn không. Sau đó áp dụng công thức tính tổng đã biết. 2
Chương IV. Giới hạn
0916620899 – 0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp
- Cách tìm cấp số nhân lùi vô hạn khi biết một số điều kiện: Dùng công thức tính tổng để tìm công bội và số hạng đầu
- Cách viết một số thập phân vô hạn tuần hoàn dưới dạng phân số hữu tỉ: Khai triển số đã cho dưới
dạng tổng của một số nhân lùi vô hạn và tính tổng này. B. BÀI TẬP +1 Bài 1.1. n
Biết dãy số (un) thỏa mãn u ≤
với mọi n. Chứng minh rằng lim u n n = 0. n2 HD Giải 1 1 + n +1 n 2 +1 Đặ n t v = . Ta có n lim v = lim = lim
= 0. Do đó, v có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy n n2 n n2 1 n
ý kể từ một số hạng nào đó trở đi. (1)
Mặt khác, theo giả thiết ta có u ≤ v ≤ v (2) n n n
Từ (1) và (2) suy ra u có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý kể từ một số hạng nào đó trở đi, nghĩa là n lim un = 0. π n 3 +1− sin
Bài 1.2. Bằng định nghĩa tính giới hạn n lim n 3 HD Giải π π n 3 +1− sin n sin 1 Ta có n n lim = lim 1+ − n n 3 3 3 sin π 1 1 n 1 1 1 Mặt khác, ta lại có n ≤ = và lim = lim = 0 nên
có thể nhỏ hơn một số dương bé n n n 3 3 3 n 3 3 n 3
tùy ý kể từ một số hạng nào đó trở đi. sin π Từ đó suy ra
n có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý kể từ một số hạng nào đó trở đi. n 3 sin π π π n 3 +1− sin n sin 1 Nghĩa là n lim = 0 . Vậy n n lim = lim1+ − = 1 n 3 n n 3 3 3
Bài 1.3. Cho biết dãy số (u lim
n) thỏa mãn un > n2 với mọi n. Chứng minh rằng u = +∞ n HD Giải Vì n2 lim
= +∞ (giới hạn đặt biệt), nên n2 có thể lớn hơn một số dương lớn tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Mặt khác, theo giả thiết un > n2 với mọi n, nên un cũng có thể lớn hơn một số dương tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở đi. Vậy lim u = +∞ n 1
Bài 1.4. Biết dãy số (u −1 n) thỏa mãn u <
với mọi n. Chứng minh rằng lim u = 1 n n3 n 3
Chương IV. Giới hạn
0916620899 – 0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp HD Giải 1 1 Ta có lim = 0 nên
có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi . Mặt n3 n3 1 1
khác, ta có u −1 < = với mọi n n n3 n3
Từ đó suy ra u −1 có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi, nghĩ là lim(u n n
– 1) = 0. Do đó limun = 1 2 +1 Bài 1.5. n
Cho dãy số (un) xác định bởi u = n n + 2 1
a) Tìm số n sao cho u − 2 < n 100
b) Chứng minh rằng với mọi n > 2007 thì các số hạng của dãy số (un) đều nằm trong khoảng (1,998; 2,001) HD Giải 2n +1 3 − 3 1 3 1 a) Ta có u − 2 = − 2 = = . Khi đó u − 2 < ⇔ < ⇔ n > 298 n n + 2 n + 2 n + 2 n 100 n + 2 100 3 3
b) Khi n > 2007 ⇔ n + 2 > 2009 ⇔ < n + 2 2009 3 3 3 ⇔ u − 2 < ⇔ 2 − < u < 2 +
⇔ 1,998 < u < 2,001 n n n 2009 2009 2009
Bài 1.6. Tính các giới hạn sau 6n −1 4n2 − n −1 n2 3 + n − 5 2n3 − 2n + 3 a) lim b) lim c) lim d) lim n 3 + 2 3 + 2n2 2n2 +1 1− 4n3 HD Giải 1 1 1 1 n 6 − 6 6 − 4 − − n −1 n 4n2 − n −1 n 2 a) lim = lim = lim n = 2 n lim = lim = 2 3 b) n + 2 2 2 3 + 2n2 3 n 3 + 3 + + 2 2 n n n 2 3 2 − + n2 3 + n − 5 3 2n3 − 2n 2 3 + 3 1 c) lim = d) n n lim = lim = − 2n2 +1 2 1− 4n3 1 2 − 4 n3
Bài 1.7. Tính các giới hạn sau: n n 3 + 5.4 n n ( 2 − ) + 3
n +1 cos n n ( 1) − a) lim b) lim c) lim + d) lim 3 + n n 4 + 2 n 1 + n 1 ( 2 − ) + 3 + n n 3 n 2 HD Giải n 3 n 3 n 4 + 5 + 5 n n 4 3 + 5.4 4 a) lim = lim = lim = 5 4n + 2n n 2 n 1 n 4 1 + 1 + 4 2 n n ( 2 − ) + 3 1 b) lim = n 1 + n 1 ( 2 − ) + 3 + 3 4
Chương IV. Giới hạn
0916620899 – 0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp
n +1 cos n n +1 cosn c) lim + = lim + lim = 1 n n n 3 n 3 n n (−1) 1 d) lim 3 +
= lim 3 + lim − = 3 n 2 2
Bài 1.8. Tính các giới hạn n2 3 +1 + n
(n +1)(3 − 2n 2) n2 9 − n +1 n2 4 +1 + n a) lim b) lim c) lim d) lim 1− 2n2 n3 +1 4n − 2 2n +1 HD Giải 1 1 1 1 3 + + 3 2 n n + + n 3 +1 + n n2 n n2 n a) lim = lim = lim = 0 1− 2n2 1− 2n2 1 −2 n2 8 3 9 4 ( − − + n +1)(3 − 2n 2 ) 4n3 − n2 8 − n 3 + 9 n 2 3 b) n n lim = lim = lim = 4 n3 +1 n3 +1 1 1+ n3 1 1 3 1 2 n 9 − + n − n +1 9n 9n2 3 c) lim = lim = 4 n − 2 4n − 2 4 1 4 + +1 4n2 +1 + n n2 3 d) lim = lim = 2 n +1 1 2 2 + n
Bài 1.9. Tính các giới hạn sau a)
( n2+n− n2 lim −1) b) ( n2 lim − n − n) c)
( n4+n2+ −n2 lim 1
) d) n( n2− − n2 lim 1 + 2) HD Giải 2 2 2 2 + − −1 + + −1
a) lim ( n2 + n − n2 −1)
( n n n )( n n n ) = lim
n2 + n + n2 −1 1 n 1+ n +1 n 1 = lim = lim =
n2 + n + n2 2 −1 1 1 n 1+ + 1− n n2
n2 − n − n
n2 − n + n − 1 2 n
b) lim ( n − n − n) ( )( ) = lim = lim = −
n2 − n + n 2 1 n 1− +1 n 1 4 2 4 1+ 2 + +1− 1 4 2 2 c) lim ( + +1 − ) n n n n n n n = lim = lim =
n4 + n2 +1 + n2 1 1 2 1+ + +1 n2 n4 5
Chương IV. Giới hạn
0916620899 – 0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp 2 2 2 2 −1 − + 2 −1 + + 2
d) lim n ( n2 −1− n2 +2) n ( n n )( n n ) = lim n2 −1 + n2 + 2 − n 3 3 = lim = − 2 1 2 n 1− + 1+ n2 n2
Bài 1.10. Tính các giới hạn sau: 1 2
a) lim ( n + n + 2 − n +1) b) lim n 3 + 2 − 2n +1 n2 +1 − n +1 1 c) lim d) lim n 3 + 2
n2 + 2n − n HD Giải 1 a) +∞ b) 0 c) 3 2 1+ +1 1
n2 + 2n + n n d) lim = lim = lim = 1 2 + 2 n2 − + 2n − n2 n n n 2
Bài 1.11. Tính các giới hạn sau 2 3 3 2 a) lim ( n + n 3 − n + 2)
b) lim ( n −2n − n) 4n2 +1 − 2n +1
c) lim n ( n −1 − n) d) lim
n2 + 2n − n HD Giải n2 + n 3 − n n2 + n 3 + n 2
a) lim ( n +3n − n + 2) ( )( ) = lim + 2 n2 + n 3 + n n 3 3 7 lim 2 lim 2 = + = + = 3 3 2 n 1+ +1 1+ +1 n n ( 2
3 n3 − 2n2 − n) (n3 −2n2) +n3 n3 −2n2 +n2 3 3 3 2
b) lim ( n −2n − n) = lim ( 2
n3 − 2n2 ) + n3 n3 − 2n2 + n2 3 2 − n2 2 − 2 = lim = lim = −
3 n6 − 4n5 + 4n2 + n3 n3 − 2n2 + n2 4 4 2 3 3 3 1− + + 1− +1 n n4 n n n −1− n n 1
c) lim n ( n −1 − n) ( ) = lim = − lim = − n −1 + n 2 1 n 1− +1 n 6
Chương IV. Giới hạn
0916620899 – 0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp 4 +1 − 2 +1
( 4n2+1−(2n−1))( 4n2+1+(2n−1))( n2 2 + 2n + n n n ) d) lim = lim
n2 + 2n − n
( n2+2n−n)( n2+2n+n)( 4n2+1−(2n−1)) 2 2 1+ +1 4
n ( n2 +2n + n) n 4 = lim = lim = = 1
2n( 4n2 +1+(2n−1)) 1 1 4 4 + + 2 − n2 n
Bài 1.12. Tính các giới hạn sau: 4
a) lim 3n −10n +12 b) ( n n lim 2.3 − 5.4 ) c) ( n2 lim − n + n) d) n lim 2.3 − n + 2 HD Giải a) +∞ ; b) −∞ 1 2
c) lim ( n − n + n) = lim n 1− +1 = +∞ n n 2 n 2
d) 2.3 − n + 2 = ( 3)n n 2 − + với mọi n. Vì lim = 0;lim = 0 nên n n 3 3 n n 3 3 n 2 lim 2 − + = 2 > 0 . Ngoài ra ( )n lim 3 = +∞ n n 3 3 Do đó n
lim 2.3 − n + 2 = +∞
Bài 1.13. Tính các giới hạn sau: 2 2 a) lim 2 n −
b) lim(−n + n n +1) n +1
n 1+ 2 + 3 + ... + n 1 2 3 n −1 c) lim d) lim + + + ...+ n2 + n +1
n2 +1 n2 +1 n2 +1 n2 +1 HD Giải 1 2 1 2 + − 2 + − 2 n3 n2 n 2 a) n lim n − = lim = lim = +∞ n +1 n +1 1 1 + n2 n3 1 1
b) lim(−n2 + n n +1) = lim(−n2 )1− + = −∞ n n2 n(n +1) 1 n 1+
n 1+ 2 + 3 + ... + n 2 n 2 c) lim = lim = lim = n2 + n +1 n2 + n +1 1 1 2 2 1+ + n n2 1 2 3 n −1 1+ 2 + 3 +...+ (n −1) n(n −1) 1 d) lim + + + ...+ = lim = lim =
n2 +1 n2 +1 n2 +1 n2 +1 n2 +1 2n2 + 2 2
Bài 1.14. Tìm các giới hạn sau n 1 + n 2 − 3.5 + 3 n 1 + n 2 − 3 +11 a) ( n n 1 lim 3.2 5 + − +10) b) lim c) lim n n 3.2 + 7.4 n+2 n+3 3 + 2 − 4 7
Chương IV. Giới hạn
0916620899 – 0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp n 13.3 − n 5 n n 1 3 + 2 + d) lim e) lim f) n lim 3.4 − n + 2 n n 3.2 + 5.4 n 1 5 + 3 + HD Giải 2 1 a) lim ( 1 3.2 5 + 10) n n n n lim 5 3. 5 10. − + = − + n 5 5 n 2 1 Ta có n
lim 5 = +∞ , lim 3. 5 10. − + = 5 − < 0 . Do vậy ( n n 1 lim 3.2 5 + − +10) = −∞ n 5 5 n 2 3 2. −3+ n 1 + n n 2 − 3.5 + 3 5 5 b) lim = lim n n n n 3.2 + 7.4 2 4 3. + 7.2. 5 5 n 2 3 n n 2 4 n n 2 4 Ta có lim 2. 3 − + = 3 − < 0 ; lim 3. 7.2. +
= 0 và 3. + 7.2. > 0, n ∀ n 5 5 5 5 5 5 n 1 + n 2 −3.5 + 3 Vậy lim = −∞ n n 3.2 + 7.4 n 1 + n 2 − 3 +11 1
c) Chia tử và mẫu cho 3n, ta được lim = − n+2 n+3 3 + 2 − 4 9 n n 13.3 − n 5 0
d) Chia tử và mẫu cho 4n, và lưu ý lim
= 0 nếu q < 1. Vậy lim = = 0 n q n n 3.2 + 5.4 5 n n 1 3 + 2 + n n 1 3 + 2 + 1 e) Xét u =
, chia tử và mẫu cho 3n, khi đó lim = n n 1 5 + 3 + n 1 5 + 3 + 3 n n 1 3 + 2 + 3 Vậy lim = n 1 5 + 3 + 3 n 2 f) n n
lim 3.4 − n + 2 = lim 2 3− + n n 4 4 n 2 Ta có n lim 2 = +∞ , lim 3− + = 3 > 0 . Do vậy n
lim 3.4 − n + 2 = +∞ n n 4 4
Bài 1.15. Tính các giới hạn 1 1 1 1 1 1 1 1 a) lim + + + ...+ b) lim + + + ...+ 1.2 2.3 3.4 n(n +1) 1.3 3.5 5.7
(2n −1)(2n +1) 2 2 2.1 3.2 ... (n 1 n2 ) 1 1 1 c) lim + + + + d) lim + + ...+ n4 n3 +1 n3 + 2 n3 + n HD Giải 1 1 1 1 n 1 a) lim + + + ...+ = lim = lim 1− = 1 1.2 2.3 3.4 n(n +1) n +1 n +1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 b) Ta có + + + ...+ = 1 − + − + ... + − = 1 − 1.3 3.5 5.7 (2 n −1)(2n +1) 2 3 3 5
2n −1 2n +1 2 2n +1 1 1 1 1 1 Nên lim + + + ...+ = 1.3 3.5 5.7
(2n −1)(2n +1) 2 8
Chương IV. Giới hạn
0916620899 – 0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp 2 2
2.1 + 3.2 + ...+ (n +1 n2 3 3 3 ) 1 + 2 + 3 +...+ n3 2 2 2 +1 + 2 + 3 + .. n2 . c) lim = lim n4 n4 2 2 n(n +1)
n(n +1)(2n +1) 1 2 3 1 + 1+ 2 6 + + n n n2 n3 1 = lim = lim + = n4 4 6 4 1 1 d) Vì ≤ với mọi k * ∈ℕ n3 + k n3 +1 1 1 1 n 1 Do đó 0 < + + ...+ ≤ < n3 +1 n3 + 2 n3 + n n3 +1 n 1 1 1 1 Mà lim = 0 nên suy ra lim + + ...+ = 0 n n3 +1 n3 + 2 n3 + n
Bài 1.16. Tìm các giới hạn của dãy số (un) sau, biết 1 1 1 1 1 1 a) u = + + ...+ b) u = + + ...+ n n n2 +1 n2 + 2 n2 + n 1 2 n 1 1 1 3sin n + 4cosn c) u = + + ...+ d) u = n n n + 1 n + 2 n + n n +1 HD Giải 1 1 1 1 1 1 * a) Ta có + + ...+ ≤ u ≤ + + ...+ , n ∀ ∈ℕ n n2 + n n2 + n n2 + n n2 +1 n2 +1 n2 +1 n n n n Do đó: ≤ u ≤ . Mà lim = 1 = lim n n2 + n n2 +1 n2 + n n2 +1 1 1 1 Vậy lim u = lim + + ...+ = 1 n n2 +1 n2 + 2 n2 + n 1 1 1 n * b) Ta có u ≥ + + ...+ = = n, n ∀ ∈ℕ n n n n n 1 1 1
Mà lim n = +∞ . Vậy lim u = lim + + ...+ = +∞ n 1 2 n 1 1 1 1 1 1 * c) Ta có + + ...+ ≤ u ≤ + + ...+ , n ∀ ∈ℕ n n + n n + n n + n n + 1 n + 1 n + 1 n n n n Do đó ≤ u ≤ . Mà lim = 1 = lim n n + n n +1 n + n n +1 1 1 1 Vậy lim u = lim + + ...+ = 1 n n + 1 n + 2 n + n 3sin n + 4cosn 5 5 * d) Ta có ≤ , n ∀ ∈ℕ . Mà lim = 0 . n +1 n +1 n +1 3sin n + 4cosn Vậy lim u = lim = 0 n n +1 1 1
Bài 1.17. Tính tổng S = 2 − 2 +1− + −... 2 2 HD Giải 9
Chương IV. Giới hạn
0916620899 – 0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp 1 1 2 1
Dãy số vô hạn 2, − 2,1, −
, ,... là một cấp số nhân với công bội q = − = − 2 2 2 2 1 1 Vì q = − =
< 1 nên dãy số này là một cấp số nhân lùi vô hạn. 2 2 1 1 2 2 2
Do đó S = 2 − 2 +1− + −... = = 2 2 1 2 +1 1+ 2 n 1 1 ( 1 − )
Bài 1.18. Tính tổng S = 1 − + − + ...+ + ... 2 n 1 10 10 10 − HD Giải n 1 1 ( 1 − ) 1 Dãy số −1, ,− ,...,
,... là một cấp số nhân với công bội q = − 2 n 1 10 10 10 − 10 1 1 Vì q = − = < 1 10 10
nên dãy số này là một cấp số nhân lùi vô hạn. n 1 1 ( 1 − ) 1 − 10 Do đó S = 1 − + − + ...+ + ... = = − 2 n 1 10 10 10 − 1 11 1− −10 1 1 1 1
Bài 1.19. Tìm tổng cấp số nhân , , ,..., ,... 2 3 n 2 2 2 2 HD Giải 1 1 1 1 1 1 Dãy số , , ,...,
,...là một cấp số nhân lùi vô hạn với u = ,q = 2 3 n 2 2 2 2 1 2 2 1 1 1 1 1 2 Do đó S = + + + ...+ + ... = = 1 2 3 n 2 2 2 2 1 1− 2
Bài 1.20. Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,777…dưới dạng một phân số. HD Giải 7 7 7 Ta có 0, 777... = + + + ... 2 3 10 10 10 7 1
Đây là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu u = ,q = 1 10 10 7 7 7 7 10 7 Do đo 0, 777... = + + + ... = = 2 3 10 10 10 7 9 1− 10
Bài 1.21. Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,313131…dưới dạng một phân số. HD Giải 2 31 31 1 31 1 31 1 31 0,313131... = + . + . + ... = . = 100 100 100 100 100 100 1 99 1− 100
Bài 1.22. Cho số thập phân vô hạn tuần hoàn a = 1,020 202… (chu kì là 02), b = 2,131313 …(chu kì 13)
và c = 2,131131131…( chu kì 131). Hãy viết a, b, c dưới dạng một phân số. HD Giải 10
Chương IV. Giới hạn
0916620899 – 0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp 2 2 2 2 100 2 101
Ta có a = 1,020202... = 1+ + + ...+ + ... = 1+ = 1+ = 2 n 100 100 100 1 99 99 1− 100 2 2 2 1 (vì , ,...
,...là một cấp số nhân lùi vô hạn, công bội q = ) 2 n 100 100 100 100 13 13 13 13 100 13 211
Ta có b = 2,131313... = 2 + + + ...+ + ... = 2 + = 2 + = 2 n 100 100 100 1 99 99 1− 100 131 131 131 131 1000 131 2129
Ta có c = 2,131131131... = 2 + + + ...+ + ... = 2 + = 2 + = 2 n 1000 1000 1000 1 999 999 1− 1000 Bài 1.23. 5 39
a) Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn là 3 , tổng ba số hạng đầu tiên của nó là 25 .
Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số đó. 2
b) Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân lùi vô hạn có tổng bằng 3 và công bội q = 3 HD Giải
a) Gọi u1 và q là số hạng đầu và công bội của cấp số đó. Theo đề bài, ta có u 5 1 = (1) 1− q 3 u (1− q3 1 ) 39 = (2) 1− q 25 5 39 2 3
Thay (1) vào (2), ta được (1− q ) = ⇔ q = u = 1 3 25 5 thay vào (1), ta được 1 n 1 2 − b) u = n 3
Bài 1.24. Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân lùi vô hạn, biết rằng tổng của cấp số nhân đó là 3
12, hiệu của số hạng đầu và số hạng thứ hai là 4 và số hạng đầu là một số dương. HD Giải
Gọi u1 là số hạng đầu, q là công bội và S là tổng của cấp số nhân đã cho. u1 = 12 (1) 1 − q u 3 Khi đó S 1 = u 1− q = (2) 1 . Theo giả thiết, ta có 1 ( ) . − q 4 u > 0 1 u2 = 9 3 3 Nhân (1) với (2), ta có 1
⇔ u = 3 ⇒ q = = 3; = 1 . Vậy u q 1 u > 0 4 4 1 12
Bài 1.25. Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân lùi vô hạn, biết rằng số hạng thứ hai là 5 và 11
Chương IV. Giới hạn
0916620899 – 0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp
tổng cấp số nhân này là 15. HD Giải
Gọi u1 và q là số hạng đầu và công bội của cấp số đó. Theo đề bài, ta có 12 u q = 1 4 1 5 q = q = ⇔ 5 hoặc 5 u 1 = 15 u = 12 u = 3 1 1− q 1 Bài 1.26. 155
a) Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn là 10, tổng năm số hạng đầu tiên của nó là 16 .
Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số đó. 1
b) Tính tổng S = 9 + 3 +1+ ... + + ... n 3 3 − HD Giải
a) Gọi u1 và q là số hạng đầu và công bội của cấp số đó. Theo đề bài, ta có u1 = 10 (1) 1− q u (1− q5 1 ) 155 = (2) 1− q 16 155 1
Thay (1) vào (2), ta được 10(1− q5 ) = ⇔ q = u = 5 16 2 thay vào (1), ta được 1 1 1 b) Vì 9,3,1,...,
,...là cấp số nhân lùi vô hạn, có q = và u = 9 nên : n 3 3 − 3 1 1 9 27 S = 9 + 3 +1+ ... + + ... = = n−3 3 1 2 1− 3 1 7
Bài 1.27. Giải phương trình 2 n
+ x + x + ...+ x + ... = , trong đó x < 1. x 2 HD Giải u1 2 x
Vì x < 1, nên với u = 1, q = x S =
= x + x + ...+ x + ... = 1 . Ta có n 1 − q 1− x 1 2 x 1 1 1 7 − +1 7 = 2 x x x 3 Do đó: n
+ x + x + ...+ x + ... = + S ⇔ + = ⇔ = ⇒ x x x 1− x 2 x(1− x) 2 2 x = 3 u = 2 Bài 1.28. 1
Cho dãy số (un) xác định bởi
. Biết (un) có giới hạn khi n → +∞ , hãy tìm u = 2 + u ;n ≥ 1 n 1 + n giới hạn đó. HD Giải = −1 2 a Đặt limu = 2 + ⇒ lim = lim 2 + ⇒ = 2 + ⇒ − − 2 = 0 ⇒
n = a. Ta có u u u u a a a a n 1 + n n 1 + n a = 2 Vì u lim = ≥ 0 n > 0 nên u a . Vậy limu n n = 2. 12
Chương IV. Giới hạn
0916620899 – 0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp 1 u = 1 2
Bài 1.29. Cho dãy số (un) xác định bởi công thức truy hồi 1 u = ;n ≥ 1 n 1 + 2 − un
Dãy số (un) có giới hạn hay không khi n → +∞ ? Nếu có, hãy tìm giới hạn đó. HD Giải 1 2 3 4 n
Ta có u = ; u = ;u = ; u = u = (1) 1 2 3 4 2 3 4 5 . Từ đó ta dự đoán n n +1
Chứng minh dự đoán trên bằng qui nạp: 1 1 - n = 1, ta có u = = 1 1 (đúng) +1 2 k
- Giả sử đẳng thức (1) đúng với n = k ( k ≥ 1), nghĩa là u = . Khi đó ta có k k +1 1 1 k +1 u = = =
, nghĩa là đẳng thức (1) cũng đúng với n = k + 1. k 1 + 2 − u k k + 2 k 2 − k +1 n 1 * n - Vậy u = , n
∀ ∈ ℕ . Từ đó ta có lim u = lim = lim = 1 n n +1 n n +1 1 1+ n u = 2 1
Bài 1.30. Cho dãy số (un) xác định bởi công thức truy hồi u +1 n u = ;n ≥ 1 n 1 + 2
Chứng minh rằng (un) có giới hạn hữu hạn khi n → +∞ . Tìm giới hạn đó. HD Giải 3 5 9 17 n 1 2 − +1
Ta có u = 2;u = ;u = ;u = ;u = * u = ; n ∀ ∈ 1 2 3 4 5 ℕ 2 4 8 16 . Từ đó dự đoán n n 1 2 −
Chứng minh dự đoán trên bằng qui nạp (tự chứng minh) n 1 − n n 1 2 − +1 1 1 Từ đó, lim u lim u lim 1 lim 1 2. = = = + = + = 1 n n n 1 2 − 2 2 u = 1 1
Bài 1.31. Cho dãy số (un) xác định bởi công thức truy hồi 2u + 3 n u = ;n ≥ 1 n 1 + u + 2 n
a) Chứng minh rằng un > 0 với mọi n
b) Biết (un) có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn đó. HD Giải
a) Chứng minh bằng quy nạp: un > 0 với mọi n. (1)
- Với n =1, ta có u1 = 1 > 0
- Giả sử (1) đúng với n = k ( k ≥ 1), nghĩa là uk > 0, ta cần chứng minh (1) cũng đúng với n = k + 1. Ta 2u + 3 2u + 3 có k u = . Vì u u = > 0 k 1 + k > 0 nên k u + 2 k 1 + u + 2 k k
Vậy: un > 0 với mọi n. 2u + 3 2u + 3 2a + 3 Đặt limu = ⇒ lim = lim ⇒ = ⇒ = ± 3 n = a. Ta có n n u u a a n 1 + n u 1 + 2 + u + 2 a + 2 n n Vì u lim = ≥ 0 lim = 3
n > 0 với mọi n, nên u a . Từ đó suy ra u n n 13
Chương IV. Giới hạn
0916620899 – 0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp u = 5 − 1
Bài 1.32. Cho dãy số (un) xác định bởi 2u
. Gọi (vn) là một dãy số xác định bởi vn = un + 18 n u = − 6 n 1 + 3
a) Chứng minh rằng (vn) là một cấp số nhân lùi vô hạn
b) Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn (v lim n) và tìm u n HD Giải 2 2 a) Ta có v
= u +18 = u − 6 +18 = u +12 n 1 + n 1 + n n 3 3
Thay un = vn – 18 vào đẳng thức trên, ta được: 2 2 v =
v −18 +12 = v . n 1 + ( n ) n 3 3 2
Điều này chứng tỏ, dãy số (vn) là một cấp số nhân lùi vô hạn với công bội q = 3 v 13
b) Gọi S là tổng CSN lùi vô hạn (v 1 = = = 39 n). Khi đó S 1 − q 2 1− 3
Vì lim v = 0 nên lim u = 1 − 8 n n
C. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1.33. Tính các giới hạn sau n ( 1) − sin n 3 n −1 n + 2 a) lim 2 + b) lim −1 c) lim d) lim n + 2 4n n n + 1
Bài 1.34. Tìm limun với n2 − n 3 + 5 −2n2 + n + 2 2n2 − n n 4 a) u = b) u = c) u = d) u = n 2n2 −1 n n4 3 + 5 n 1−3n2 n n n 2.3 + 4
Bài 1.35. Tính các giới hạn sau:
n4 − 40n3 +1 n 5 − 7 2n3 + 3 n2 5 −10n + 3 n4 6 + n +1 a) lim b) lim c) lim d) n4 + n +100 n5 5 − n3 + 2n 2n +1 1 + −2 1 − n n 3.2 − 8.7 n 2 ( n n 3.2 − 3 ) n 2 ( n n 3 − 5.2 ) lim e) lim f) lim n n 4.3 + 5.7 n 3 ( n 1 2 − + 4) n 1 3 − ( n2 + 4)
Bài 1.36. Tính các giới hạn sau n n ( 3 − ) + 2.5 1+ 2 + 3 + ...+ n 2 2 a) lim b) lim
c) lim ( n + 2n +1 − n + n −1) n 1− 5 n2 + n +1 1 2n+3 3n+2 8 − 3 6n+3 3n+5 2 − 3 d) lim e) lim f) lim 3 +4 2 +3 3 +4 2 +3 n + 2 − n +1 n n 4 + 5 n n 4 + 7
Bài 1.37. Biểu diễn các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng một phân số a) 0,444… b) 0,212121… c) 0,32111111… d) 0,51111… e) 0,393939… f) 0,27323232… Bài 1.38. n 1 1 1 1 1 −
a) Tìm tổng cấp số nhân 1, − , , − ,..., − ,... 2 4 8 2 b) Tính tổng n S 2 3 1 1 0,9 (0,9) (0,9) ... (0,9) − = + + + + + + ... 14
Chương IV. Giới hạn
0916620899 – 0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp
D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1. 5 39
Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn là
, tổng ba số hạng đầu tiên của nó là . Tìm số hạng 3 25
đầu và công bội của cấp số đó. 5 2 5 2 q = q = q = q = A. 2 . B. 5 . C. 2 . D. 5 . u = 2 u =1 u =1 u = 2 1 1 1 1 Câu 2. 1 1 1 1 1 1
Tìm tổng S = − + − + ... + − + ... 2 3 4 9 2n 3n A. 1 2 3 . B. 1. C. . D. . 2 3 4 Câu 3. 4 Tìm N = lim n 3 −10n +12.
A. N = −∞.
B. N = 0.
C. N = +∞.
D. N = 3. n 1 1 (−1)
Câu 4. Tính tổng S = 1 − + − + ...+ + ... 2 n 1 10 10 10 − 10 10 1 11 A. S = − . B. S = . C. S = . D. S = − . 11 11 11 10 n n+ 3 + 1 2
Câu 5. Tìm P = lim . n+ 5 + 1 3 π 2 π π π A. P = cot .
B. P = tan .
C. P = sin .
D. P = cos . 3 6 3 4 5 39
Câu 6. Biết tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn là 3 , tổng ba số hạng đầu tiên của nó là 25 . Tìm số
hạng đầu và công bội của cấp số đó. 2 5 2
A. u = 1,q = .
B. u = 1,q = .
C. u = 2,q = .
D. u = 1,q = 2. 1 5 1 2 1 5 1 ( 2 − )n + 3n
Câu 7. Tìm H = lim . n 1 + n 1 ( 2 − ) + 3 + 1 1
A. H = .
B. H = − . C. H = D. H = 3 2 3. 1. Câu 8. 155
Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn là 10, tổng năm số hạng đầu tiên của nó là . Tìm số hạng 16
đầu và công bội của cấp số đó. 1 1 1 1 q = q = q = q = A. 5 . B. 2 . C. 2 . D. 2 . u = 5 u =1 u = 3 u = 5 1 1 1 1 Câu 9. 2 2
Tìm J = lim n ( n −1− n +2). 1 3
A. J = 1.
B. J = − . C. J .
D. J = − . 2 = +∞ 2 1 7 Câu 10. 2 Giải phương trình n
+ x + x +...+ x + ... = , trong đó x < 1. x 2 1 2 2 1
A. x ∈ ; .
B. x ∈ .
C. x ∈ . D. x ∈{1; } 2 . 3 3 3 3 15
Chương IV. Giới hạn
0916620899 – 0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp 1 1 1 1
Câu 11. Tiính tổng S của cấp số nhân , , ,..., ,... 2 3 n 2 2 2 2 1 1
A. S = 1.
B. S = . C. S = . D. n 2 S = 1 2 . 2n+ 3 n6 − n3 7 − n 5 + 8
Câu 12. Tìm Q = lim . n +12
A. Q = 0.
B. Q = +∞.
C. Q =1.
D. Q = n. 3 π n +1− sin Câu 13. Tìm = lim n I . 3n 1 1
A. I = .
B. I = .
C. I = 1. D. I = 3 2 0. Câu 14. Tìm = n J
lim 2.3 − n + 2.
A. J = −∞.
B. J = 1.
C. J = 2.
D. J = +∞. 1 1
Câu 15. Tính tổng S = 2 − 2 +1− + −... 2 2 2 2 2
A. S = 2 2. B. S = .
C. S = 2 +1. D. S = . 2 +1 2 +1 1
Câu 16. Tính tổng S = 9 + 3 +1+ ... + + ... n 3 3 − 35 7 1 27 A. S = .
B. S = .
C. S = . D. S = . 3 2 2 2
Câu 17. Cho (u ) và (v ) là hai dãy số có giới hạn. Khẳng định nào dưới đây là đúng? n n A. 3 3
lim u = limu .
B. lim v = limv . n n n n C. 1 1 u u lim = . D. lim lim n n = . u lim u v lim v n n n n Câu 18. Tính tổng n S 2 3 1 1 0,9 (0,9) (0,9) ... (0,9) − = + + + + + + ... 9
A. S = 9.
B. S = 10.
C. S = 11. D. S = . 10 Câu 19. 2
Tìm L = lim ( n − n + n).
A. L = 2.
B. L = 0.
C. L = +∞.
D. L = 1.
n +1 cosn
Câu 20. Tìm J = lim + . n 3n 1
A. J = .
B. J = 1. C. J = D. J = 2 0. 2. n+1 2 − n 3 +11 Câu 21. a a Biết lim
= , với a,b∈ℤ và tối giản. Tính P = ab + . a n+2 n+ 3 + 3 2 − 4 b b
A. P = −12.
B. P = −10.
C. P = 9.
D. P = 7. Câu 22. 2
Tìm F = lim ( n + n + 2 − n +1).
A. F = 0.
B. F = +∞.
C. F = −∞.
D. F = 1. Câu 23. Tìm = ( n − n M lim 2.3 5.4 ). 16
Chương IV. Giới hạn
0916620899 – 0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp 4
A. M = .
B. M = −∞. C. M 5. D. M . 3 = = +∞ Câu 24. a
Số thập phân vô hạn tuần hoàn 1,(2345) được viết dưới dạng một phân số tối giản là . Tính b S = a − . b
A. S = 12345.
B. S = 54321.
C. S = 2345.
D. S = 5432. Câu 25. a
Số thập phân vô hạn tuần hoàn 7,(23456) được viết dưới dạng một phân số tối giản là . Tính b S = a − . b
A. S = 654321.
B. S = 123450.
C. S = 123456.
D. S = 623450. Câu 26. Tìm = n L
lim 3.4 − n + 2.
A. L = +∞.
B. L = 2.
C. L = 3.
D. L = 0. Câu 27. 3 3 2
Tìm E = lim ( n −2n −n). 2 1
A. E = −2.
B. E = −1.
C. E = − . D. E . 3 = − 3 n2 3 +1 + Câu 28. n Tìm L = lim . 1− 2n2 3 A. L = − .
B. L = 0. C. L 1. D. L 1. 2 = − = n 1 1 1 1 1 −
Câu 29. Tính tổng S cấp số nhân 1,− , ,− ,..., − ,... 2 4 8 2 3 2 3 3
A. S = .
B. S = .
C. S = . D. S = . 4 3 2 8 Câu 30. 2
Tìm H = lim ( n −n −n). 1
A. H = 2.
B. H = −∞.
C. H = − . D. 0. 2 H = 1 Câu 31. 2
Tìm L = lim n − 3sin 2n + 5. 2 11 1 A. L = . B. L . C. L 5.
D. L = +∞. 5 = 2 = 2
Câu 32. Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân lùi vô hạn có tổng bằng 3 và công bội q = 3 n 1 3 − n 1 n 1 n 1 2 + 3 + 2 −
A. u = .
B. u = .
C. u = .
D. u = . n 2 n 3 n 2 n 3 n2 +1 − n +1 a Câu 33. a Biết lim = , a, b và tối giản. Tính 2 2
S = a − b . n 3 + 2 với ∈ℤ b b
A. S = 4.
B. S = −2.
C. S = 10.
D. S = −8. Câu 34. 4 2 2
Tìm I = lim ( n + n +1− n ). 1 1
A. I = 1. B. I = . C. I = .
D. I = 0. 3 +1 2 Câu 35. Tìm I ( n n+ = − 1 lim 3.2 5 +10). 17
Chương IV. Giới hạn
0916620899 – 0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp
A. I = +∞.
B. I = −5.
C. I = −2.
D. I = −∞. ( 1)n −
Câu 36. Tìm M = lim 3 + 2n
A. M = 3.
B. M = 0.
C. M = 1.
D. M = 4.
Câu 37. Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân lùi vô hạn, biết rằng tổng của cấp số nhân đó là 12, 3
hiệu của số hạng đầu và số hạng thứ hai là 4 và số hạng đầu là một số dương. 3 1 3
A. u = 3;q = 3.
B. u = 3;q = .
C. u = 3;q = .
D. u = 1;q = . 1 1 4 1 4 1 4 n+1 2 − n 3.5 + 3
Câu 38. Tìm H = lim . n 3.2 + n 7.4 2
A. H = −∞.
B. H = −3.
C. H = . D. H . 5 = +∞ 3n + 5.4n
Câu 39. Tìm K = lim . 4n + 2n 5 3
A. K = . B.
C. K = 5.
D. K = . 2 K = 1. 4
Câu 40. Tìm F = lim n ( n−1− n). 3 1
A. F = 1.
B. F = − . C. F 0.
D. F = − . 2 = 2 1
Câu 41. Tìm N = lim . n 3 + 2 − 2n +1 1
A. N = 3 − 2.
B. N = 1.
C. N = 0. D. N = . 3 − 2 (n +1)(3− 2 2 ) Câu 42. n Tìm K = lim . n3 +1
A. K = 1.
B. K = −2.
C. K = 4.
D. K = 2. n2 4 +1 + n a Câu 43. a Biết lim = , a, b 2 và
tối giản. Mệnh đề nào dưới đây sai ? n +1 với ∈ℤ b b
A. 2b − a = −1.
B. a + b = 5.
C. a − 2b = −1.
D. ab + 4 = 10. 4n2 +1 − 2n +1
Câu 44. Tìm P = lim .
n2 + 2n − n 3
A. P = . B. P 1. C. P 0.
D. P = 1. 2 = − = 3sin n + 4cos Câu 45. n Tìm G = lim . n +1 1
A. G = 1.
B. G = 7.
C. G = 0.
D. G = . 2
Câu 46. Tên của một học sinh được mã hóa bởi số 1530. Biết rằng mỗi chữ số trong số này là giá trị của
một trong các biểu thức A, H, N và O với 3n −1 n n n − − A = lim H = lim + − = = n + ( 2 3 5.4 2 n 2n n) N lim O lim 2 3n + 7 1− 4n
Hãy cho biết tên của học sinh này, bằng cách thay các chữ số trên bởi các chữ kí hiệu tương ứng. A. HAN . O
B. HOAN. C. NHO . A D. NHA . O 18
Chương IV. Giới hạn
0916620899 – 0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp Câu 47. 2 a Biết lim ( + 3 − + 2) = a n n n
, với a,b∈ℤ và tối giản. Tính S = a + b − a . b b b
A. S = 9.
B. S = −14.
C. S = −5.
D. S = 23. 1
Câu 48. Tìm M = lim .
n2 + 2n − n 1
A. M = 1.
B. M = . C. M 0. D. M 2. 2 = = − 1
Câu 49. Biết dãy số (u −1 n) thỏa mãn u <
với mọi n. Tìm lim u ? n n3 n 1
A. lim u = −1.
B. lim u = 0.
C. lim u = .
D. lim u = 1. n n n 2 n Câu 50. 2 2
Biết lim ( n + n − n −1) = a,a∈ℚ. Tính 2
S = a + a +1. 3 7 1
A. S = . B. 1. C. S = . D. S . 2 S = 4 = 2 n2 9 − n +1 a Câu 51. a Biết lim = , a, b 4 và
tối giản. Mệnh đề nào dưới đây đúng ? n − 2 với ∈ℤ b b
A. b − a = 1.
B. a + b = 9.
C. 2a + b = 12.
D. ab + 2 = 10. n 13.3 − 5 Câu 52. n Tìm Q = lim . n 3.2 + n 5.4 3 1
A. Q = −∞.
B. Q = 0.
C. Q = . D. Q . 4 = 2 ĐÁP ÁN
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
B A C A B A A D D A A B C D D D A B C B B B B C D
26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
A C B B C D D D C D A B A C D C C A D C B C A D C
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 A B 19
Chương IV. Giới hạn
0916620899 – 0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp
§2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
A. KIẾN THỨC CẦN NẮM 1. Giới hạn hữu hạn −
Cho khoảng K, x ∈ K ( ) K \ x
lim f (x) = L 0
và hàm số f x xác định trên K (hoặc { 0}). khi và chỉ khi x→x0
với dãy số ( x bất kì, x ∈ K \ x và x → x thì lim f (x ) = L n { 0} n ) n 0 n n→+∞ −
Cho hàm số f (x) xác định trên khoảng ( x ;b
lim f (x) = L x 0 ).
khi và chỉ khi với dãy số ( bất kì, n ) x x+ → 0
x < x < b x → x
lim f (x ) = L 0 và thì n n 0 n n→+∞ −
Cho hàm số f (x) xác định trên khoảng (a; x
lim f (x) = L x 0 ) .
khi và chỉ khi với dãy số ( bất kì, n ) x x− → 0
a < x < x và x → x thì lim f (x ) = L n 0 n 0 n n→+∞ −
Cho hàm số f (x) xác định trên khoảng (a;+∞) . lim f (x) = L khi và chỉ khi với dãy số ( x bất kì, n ) x→+∞
x > a và x → +∞ thì lim f (x ) = L . n n n n→+∞ −
Cho hàm số f (x) xác định trên khoảng (− ;
∞ a) . lim f (x) = L khi và chỉ khi với dãy số (x bất kì, n ) x→−∞
x < a và x → −∞ thì lim f (x ) = L . n n n n→+∞ 2. Giới hạn vô cực −
Cho hàm số f (x) xác định trên khoảng (− ;
∞ a) . lim f (x) = −∞ khi và chỉ khi với dãy số (x bất n ) x→+∞
kì, x > a và x → +∞ thì lim f (x ) = −∞ . n n n n→+∞ −
Cho khoảng K, x ∈ K ( ) K \ x lim f (x) = +∞ 0
và hàm số f x xác định trên K (hoặc { 0}). khi và chỉ x→x0
khi với dãy số ( x bất kì, x ∈ K \ x và x → x thì lim f (x ) = +∞ n { 0} n ) n 0 n n→+∞ −
lim f (x) = +∞ ⇔ lim − f (x) = −∞ x→+∞ x→+∞
3. Định lí vể giới hạn hữu hạn Định lí 1.
Giả sử lim f (x) = L và lim g(x) = M . Khi đó x→x0 x→x0 a) lim f (x)
± g(x) = L ± M x→x0
b) lim k. f (x)
= k. lim f (x) = k L . ;(k ∈ℝ) x→x x→x 0 0
c) lim f (x) g . (x) = L.M x→x0 lim f (x) f (x) → L d) x x0 lim = =
(nếu M ≠ 0, lim g(x) ≠ 0 )
x→x0 g(x)
lim g(x) M x→x0 x→x0
e) Nếu f (x) ≥ 0 và lim f (x) = L thì L ≥ 0 và lim
f (x) = L x→x0 x→x0
Các tính chất trên vẫn đúng khi x → +∞ hoặc x → −∞
Định lí 2. (Định lí giới hạn một bên)
lim f (x) = L khi và chỉ khi lim f (x) = lim f (x) = L x→x + − 0 x→x x→x 0 0
4. Các giới hạn đặc biệt a) lim x = x0 x→x0 20
Chương IV. Giới hạn
0916620899 – 0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp c b) lim c = c ; lim c = c ; lim
= 0 (c là hằng số). x→x0 x→±∞ x→±∞ x c) k
lim x = +∞ , với k nguyên dương x→+∞ d) k
lim x = −∞ , nếu k là số lẻ; k
lim x = +∞ , nếu k là số chẵn x→−∞ x→−∞ sin x sin u(x) e) lim
= 1; lim u(x) = 0 ⇒ lim = 1 x→0 x x→0 x→0 u(x) tan x π π f) lim = 1; lim tan x = ; lim tan x = − x→0 x x→+∞ 2 x→−∞ 2
5. Quy tắc về giới hạn vô cực
a) Quy tắc tìm giới hạn của tích ƒ(x).g(x)
Nếu lim f (x) = L ≠ 0 và lim g(x) = +∞ hoặc lim g(x) = −∞ thì lim f (x) g . (x) được tính: x→x0 x→x0 x→x0 x→x0 lim f (x) lim g(x)
lim f (x) g . (x) x→x0 x→x0 x→x0 L > 0 +∞ +∞ −∞ −∞ L < 0 +∞ −∞ −∞ +∞ f (x)
b) Quy tắc tìm giới hạn của thương g(x) lim f (x) lim g(x) Dấu của g(x) f (x) x→x lim 0 x→x0
x→x0 g(x) L ±∞ Tùy ý 0 + +∞ L > 0 − −∞ 0 + −∞ L < 0 − +∞
4. Khử các dạng vô định
Khi tính giới hạn mà không thể áp dụng trực tiếp định lí về giới hạn, ta phải biến đổi biểu thức xác định
hàm số về dạng áp dụng được các định lí này. f (x) 0 Dạng 1. Tính lim
khi lim f (x) = lim g(x) = 0 (hay dạng
x→x0 g(x) x→x x→x 0 0 0 )
- Phân tích tử và mẫu thành tích các nhân tử và giản ước. Cụ thể ta biến đổi như sau: f (x)
(x − x )A(x) ( ) ( ) 0 A x lim = lim = lim A x và tính lim x→x x→x x→x 0 g(x)
0 (x − x )B(x) 0 B(x)
x→x0 B(x) 0
- Nếu f (x) hay g(x) có chứa biến dưới dấu căn thì có thể nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp, trước
khi phân tích chúng thành tích để giản ước. f (x) ∞ Dạng 2. Tính lim
khi lim f (x) = ±∞ và lim g(x) = ±∞ (hay dạng )
x→x0 g(x) x→x0 x→x0 ∞
- Ta chia tử và mẫu cho n
x với n là số mũ bậc cao nhất của biến số x ( hay phân tích tử và mẫu thành
tích chứa nhân tử n
x rồi giản ước).
- Nếu f (x) hay g(x) có chứa biến x trong dấu căn thức, thì đưa k
x ra ngoài dấu căn (k là số mũ bậc
cao nhất của x trong dấu căn), trước khi chia tử và mẫu cho lũy thừa của x .
Dạng 3. Tính lim f (x)
− g(x) khi lim f (x) = lim g(x) = +∞ (hay dạng ∞ − ∞) hoặc x→x0 x→x x→x 0 0
Tính lim f (x) g
. (x) khi lim f (x) = 0 và lim g(x) = ±∞ (hay dạng 0.∞ ) x→x0 x→x0 x→x0 21
Chương IV. Giới hạn
0916620899 – 0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp
- Nhân chia với biểu thức liên hợp( nếu có biểu thức chứa biến dưới dấu căn thức) hoặc quy đồng mẫu
để đưa về cùng một phân thức ( nếu chứa nhiều phân thức) B. BÀI TẬP
Bài 2.1. Dùng định nghĩa, tìm các giới hạn sau: x2 − 4 2x2 + x − 3 x +1 2 − 5x2 a) lim b) lim c) lim d) lim x→−2 x + 2 x 1 → x −1 x→4 3x − 2 x→+∞ x2 + 3 HD Giải x2 − 4 x2 − 4 a) lim
. Xét hàm số f (x) = x→−2 x + 2 x + 2
Hàm số xác định trên ℝ \ {− } 2
Giả sử ( x ) là một dãy số bất kì, thỏa mãn x ≠ 2
− và x → −2 khi n → +∞ ( hay lim x = 2 − ) n n n n x2 − 4 (x + 2)(x − 2) Ta có n n n lim f (x ) = lim = lim = lim(x − 2) = 4 − n n x + 2 x + 2 n n x2 − 4 Vậy lim = 4 − x→−2 x + 2 2x2 + x − 3 x2 2 + x − 3 b) lim
. Xét hàm số f (x) = x 1 → x −1 x −1
Hàm số xác định trên ℝ \ { } 1
Giả sử ( x ) là một dãy số bất kì, thỏa mãn x ≠ 1 và x → 1 khi n → +∞ ( hay lim x = 1) n n n n 3 2(x −1) x + 2 n n 2x + x − 3 2 3 Ta có n n lim f (x ) = lim = lim = lim 2 x + = 5 n n x −1 x −1 2 n n 2x2 + x − 3 Vậy lim = 5 x 1 → x −1 x +1 x +1 c) lim
. Xét hàm số f (x) = x→4 3x − 2 3x − 2 2 2 2
Hàm số xác định trên − ; ∞ ∪ ;+∞ = 4∈ ;+∞ 3 3 và x 3 2
Giả sử ( x ) là một dãy số bất kì, thỏa mãn x ∈ ; +∞ và x → 4 khi n → +∞ n n 3 n x +1 4 +1 1 x +1 1 Ta có n lim f (x ) = lim = = . Vậy lim = n 3x − 2 3.4 − 2 2 x→4 3x − 2 2 n 2 − 5x2 2 − 5x2 d) lim
. Xét hàm số f (x) = x→+∞ x2 + 3 x2 + 3
Hàm số xác định trên ℝ
Giả sử ( x ) là một dãy số bất kì và x → +∞ khi n → +∞ n n 2 −5 2 − 5x2 x2 2 − 5x2 Ta có n n lim f (x ) = lim = lim = −5. Vậy lim = 5 − n x2 + 3 3 x→+∞ x2 + 3 n 1+ x2n
Bài 2.2. Dùng định nghĩa, tìm các giới hạn sau: 22
Chương IV. Giới hạn
0916620899 – 0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp x + 3 x3 +1 x2 − 3x − 4 a) lim b) lim c) lim x→5 3 − x x→+∞ x2 +1 x→−1 x +1 1 1 d) lim
e) lim x.cos x 1 → 5 − x x→0 x HD Giải x + 3 x + 3 a) lim
. Xét hàm số f (x) = x→5 3 − x 3 − x
Hàm số xác định trên (− ;
∞ 3)∪(3;+∞) và x = 5∈(3;+∞)
Giả sử ( x ) là một dãy số bất kì, thỏa mãn x ∈ 3; +∞ và x → 5 khi n → +∞ n ( ) n n x + 3 5 + 3 x + 3 Ta có n lim f (x ) = lim = = 4 − . Vậy lim = 4 − n 3 − x 3 − 5 x→5 3 − x n x3 +1 x3 +1 b) lim
. Xét hàm số f (x) =
. Hàm số xác định trên ℝ x→+∞ x2 +1 x2 +1
Giả sử ( x ) là một dãy số bất kì và x → +∞ khi n → +∞ n n 1 x + 3 n x +1 x3 x3 +1 Ta có n n lim f (x ) = lim = lim = +∞ . Vậy lim = +∞ n x2 +1 1 x→+∞ x2 + 1 n 1+ x2n x2 − 3x − 4 x2 − 3x − 4 c) lim
. Xét hàm số f (x) = x→−1 x +1 x +1
Hàm số xác định trên ℝ \ {− } 1
Giả sử ( x ) là một dãy số bất kì, thỏa mãn x ≠ 2 − và x → 1 − khi n → +∞ n n n x2 − 3x − 4 (x +1) x − 4 n ( n n n )
Ta có lim f (x ) = lim = lim = lim x − 4 = 5 − n ( n ) x +1 x −1 n n x2 − 3x − 4 Vậy lim = −5 x→−1 x +1 1 1 d) lim
. Xét hàm số f (x) = x 1 → 5 − x 5 − x
Hàm số xác định trên (− ;
∞ 5) và x =1∈(− ; ∞ 5)
Giả sử ( x ) là một dãy số bất kì, thỏa mãn x ∈ − ;
∞ 5 và x →1 khi n → +∞ n ( ) n n 1 1 1 1 1
Ta có lim f (x ) = lim = = . Vậy lim = n 5 − x 5 −1 2 x 1 → 5 − x 2 n 1 1
e) lim x.cos . Xét hàm số f (x) = x.cos . x→0 x x
Với mọi dãy ( x ) mà x ≠ 0 với mọi n và lim x = 0 n n n 1 1
Ta có f (x ) = x .cos
. Vì f (x ) = x cos
≤ x và lim x = 0 n n x n n n x n n n 1
Nên lim f (x ) = 0. Do đó lim x.cos = 0 n x→0 x
Bài 2.3. Tính các giới hạn sau: 23
Chương IV. Giới hạn
0916620899 – 0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp x2 +1 x2 + x − 2 x2 − x − 2 2x2 − x +1 a) lim b) lim c) lim d) lim x→3 2 3 2 2 x x 1 → x −1 x→−1 x + x x→−1 x + 2x HD Giải lim x2 +1 lim x2 2 2 + lim lim x.lim x x + x + lim1 1 +1 5 x→3 ( ) a) →3 →3 →3 →3 →3 lim = lim = = = = →3 2 x →3 2 x lim 2 x lim 2.lim x lim 2. lim x 3 x→3 ( ) x x x x x x x x→3 x→3 x→3 x→3 x2 + x − 2 x2 + x − 2 (x −1)(x + 2) b) lim = lim = lim = lim(x + 2) = 3 x 1 → x −1 x 1 → x 1 → x x −1 x 1 −1 → x2 − x − 2 (x +1)(x − 2) x − 2 c) lim = lim = lim = −3 x 3 2 →− x 2 →− x x + x x (x +1) →− x2 1 1 1 2x2 − x +1 4 d) lim = = 4 − x→− x2 1 + 2x 1 −
Bài 2.4. Tính các giới hạn sau: x2 −1 4 − x2 x + 3 − 3 a) lim b) lim c) lim d) lim x2 + 5 −1 x→−2 ( ) x→−3 x +1 x→−2 x + 2 x→6 x − 6 HD Giải x2 −1 x2 −1 9 −1 a) lim = lim = = 4 − x→−3 x x →−3 +1 x +1 3 − +1 4 − x2 (2 − x)(2 + x) b) lim = lim = lim(2 − x) = 4 x→−2 x→−2 x x + 2 x →−2 + 2 + 3 − 3
( x+3−3)( x+3+3 x ) c) lim = lim x→6 x x →6 − 6
(x − 6)( x +3 +3) x − 6 1 1 = lim = lim = x→6 x −
( x+ + ) x→6 ( x+ + ) 6 ( 6) 3 3 3 3 d) lim
x2 + 5 −1 = 4 + 5 −1 = 2 x→−2 ( )
Bài 2.5. Tính các giới hạn sau: x2 + 2x − 3 2 − x x2 − 2x − 3 a) lim b) lim c) lim x→ 2x2 1 − x −1 x→2 x + 7 − 3 x→3 x −1 2x3 +15 (1+ x 3) −1 x2 + 5 − 3 d) lim e) lim f) lim x→− (x 2 2 + 2) x→0 x x→−2 x + 2 HD Giải x2 + 2x − 3 (x −1)(x + 3) (x + 3) 4 a) lim = lim = lim = x 2 1 → x 1 → − − x 2x x 1 1 1 → 1 3
2(x −1) x + 2 x + 2 2 (2 − x) − ( x+7+3)
(2 − x)( x +7 +3 2 x ) b) lim = lim = lim x→2 x x →2 + 7 − 3
( x+7−3)( x+7+3) x→2 x − 2 = lim − x + 7 + 3 = −6 x→2 ( ) x2 − 2x − 3 9 − 6 − 3 c) lim = = 0 x→3 x −1 3 −1 24
Chương IV. Giới hạn
0916620899 – 0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp 2x3 +15 d) lim
. Ta có lim (2x3 +15) = 1 − < 0 và lim(x 2 + 2) = 0 . x→− (x 2 2 + 2) x→−2 x→−2 2x3 +15 Nên lim = −∞ x→− (x 2 2 + 2)
(1+ x −1)(1+ x 2) + (1+ x) +1 x (1+ x 2 3 ) + (1+ x + x ) +1 (1 ) −1 e) lim = lim = lim x→0 x→0 x x x →0 x lim (1 x 2 ) (1 x) 1 = + + + + = 3 x→0 x2 + 5 − 3 x2 + 5 − 9 x − 2 2 f) lim = lim = lim = − x→−2 x x →−2 + 2
(x + 2)( x2 +5 +3) x→ 2− x2 3 + 5 + 3
Bài 2.6. Tính các giới hạn sau: x − x3 x − 3 x4 + 3x −1 1 a) lim b) lim c) lim d) lim x 1−
x→ (2x −1)(x4 1 − 3)
x→ 9x − x2 9 x→ 2x2 2 −1 x→0 x HD Giải x − x3 3 1−1 a) lim = = 0
x→ (2x −1)(x4 4 1 − 3) (2.1−1)(1 − 3) − 3 ( x −3)( x +3 x ) x − 9 1 1 b) lim = lim = lim = − lim = − x 2 →9 x 9x − x
→9 (9x − x2 )( x +3) x→9 x(9− x)( x +3) x→9 x( x +3) 54 x4 + 3x 4 −1 2 + 3.2 −1 c) lim = = 3 x→ 2x2 2 2 −1 2.2 −1 1 1
d) lim x 1− . Với mọi x ≠ 0 , ta có x 1− = (x −1) . x→0 x x 1
Nên lim x 1− = lim(x −1) = 1 − x→0 x x →0
Bài 2.7. Tính các giới hạn sau: x3 2x(x +1) a) lim x2 − 4 b) lim c) 3 lim 2 2 x→ 3 x→−1 x − 3 x→3 x − 6 1− 2 x3 − 3x
2 x +1 − 5 x −3 d) lim x2 − 8 e) lim f) lim 2 x→ 3
x→−2 2x + x − 3 x→−2 2x + 3 HD Giải x3 2
a) lim x2 − 4 = 3 − 4 = 1 b) lim = 2 x→ 3 x→−1 x − 3 2 2x(x +1) c) 3 lim = 2 d) lim x2 − 8 = 5 x→ x2 3 − 6 x→ 3 1− 2 x3 − 3x
2 x +1 − 5 x −3 e) lim = 3 f) lim = 3 x→− 2x2 2 + x − 3 x→−2 2x + 3
Bài 2.8. Tính các giới hạn sau: 3 2 + 3 − 4 3 2 x x
a) lim −x + x − x + 1 b) lim x→−∞ ( )
x→+∞ −x3 − x2 +1 25
Chương IV. Giới hạn
0916620899 – 0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp x2 − x − x2 4 +1 2 c) lim d) lim
4x − x + 2x x→−∞ ( ) x→−∞ 2x + 3 HD Giải 1 1 1 3 2 3
a) lim −x + x − x +1 = lim x −1+ − + = +∞ x→−∞ (
) x→−∞ x x2 x3 3 4 2 2 + − x3 + 3x 2 3 − 4 b) x x lim = lim = 2 − x 3 2 →+∞ x −x − x +1 →+∞ 1 1 −1− + x x3 1 1 1 1 1− − 4 + − 1− + 4 2 2 x x x x +
x − x − 4x +1 x x2 x x2 c) lim = lim = lim x→−∞ x→−∞ x 2x + 3 2x + 3 →−∞ 2x + 3 1 1 − 1− + 4 + x x2 1 = lim = x→−∞ 3 2 2 + x
4x2 − x − 4x2 2 −x d) lim
4x − x + 2x = lim = lim x→−∞ (
) x→−∞( 4x2−x−2x) x→−∞ 1 x 4 − − 2x x −x 1 = lim = x→−∞ 1 4
−x 4 − − 2x x
Bài 2.9. Tính các giới hạn sau: 2x − 6 17 − x2 2 + x −1 a) lim b) lim c) lim x→+∞ 4 − x x→+∞ x2 +1 x→+∞ 3 + x 3x2 − 2x x2 +1 + x
x2 − 2x + 4 − x d) lim e) lim f) lim x→+∞ x2 +1 x→+∞ 5 − 2x x→−∞ 3x −1 HD Giải 6 2 2 − x − 6 17 a) x lim = lim = 2 − b) lim = 0 x→+∞ x 4 − x →+∞ 4 −1 x→+∞ x2 +1 x 1 1 2 2 2 − + − − 3 − x2 + x −1 2 x 2 3x − 2x c) x lim = lim = −∞ d) x lim = lim = 3 x→+∞ x 3 + x →+∞ 3 1 2 →+∞ +1 →+∞ 1 + x x x 1+ x2 x x2 1 1 1 1+ + 1+ + 1+ +1 2 x x x x x +1 + x x2 x2 x2 e) lim = lim = lim = lim = 1 − x→+∞ x→+∞ x→+∞ x 5 − 2x 5 − 2x 5 − 2x →+∞ 5 −2 x 2 4 1− + +1
x2 − 2x + 4 − x x x2 2 f ) lim = − lim = − x→−∞ x 3x −1 →−∞ 1 3 3 − x 26
Chương IV. Giới hạn
0916620899 – 0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp x ; x ≥ 0
Bài 2.10. Cho hàm số f (x) = 1
− x ; x < 0
Dùng định nghĩa chứng minh rằng hàm số f (x) không có giới hạn khi x → 0 .
Phương pháp: Dùng định nghĩa chứng minh hàm số y = f (x) không có giới hạn khi x → x0 ta thường làm như sau
- Chọn hai dãy số khác nhau ( x ) và ( y ) thỏa mãn: x và y thuộc tập xác định của hàm số y = f (x) n n n n và khác x
x → x ; y → x 0 ; n 0 n 0
- Chứng minh rằng lim f (x ) ≠ lim f (y ) hoặc chứng minh một trong các giới hạn này không tồn tại. n n n→+∞ n→+∞
Lưu ý: Trường hợp x x+; x x− → → 0
0 hay x → ±∞ chứng minh tương tự. HD Giải
Hàm số xác định trên ℝ 1 1
Lấy dãy số ( x ) với x =
. Ta có x → 0 và lim f (x ) = lim x = lim = 0 (1) n n n n n n n→+∞ n→+∞ n→+∞ n 1 1
Lấy dãy số ( y ) với y = − . Ta có y → 0 và lim f (y ) = lim (1− y ) = lim 1+ = 1 (2) n n n n n n n→+∞ n→+∞ n→+∞ n
Từ (1) và (2) suy ra hàm số f(x) không có giới hạn khi x → 0 Bài 2.11. 1 2
a) Cho hai dãy số có dạng tổng quát là u = và v =
. Tính limun và limvn. n n3 n 4n +1
b) Dùng kết quả câu a), chứng minh rằng hàm số f (x) sin π =
không có giới hạn khi x → 0 x HD Giải 2 1 2 a) n lim u = lim = 0,lim v = lim = lim = 0 (1) n 3 n n 4n +1 1 4 + n
b) Hàm số f (x) sin π = xác định trên ℝ \ { }
0 . Ta có u ,v đều thuộc ℝ \ { } 0 , với mọi n và x n n lim π f (u ) = lim sin = sin n3π = 0, n 1 n3 π (4n +1) lim π π f (v ) = lim sin = limsin
= limsin2nπ + = 1 n 2 2 2 4n +1 Vì limu lim ( ) ≠ lim ( ) ( ) = sin π n = limvn = 0, nhưng f u
f v nên hàm số f x không có giới hạn khi n n x x → 0
Bài 2.12. Chứng minh rằng hàm số y = sin x không có giới hạn khi x → +∞ HD Giải π
Xét hai dãy số ( x ) với x = 2nπ và ( y ) với y = + nπ n * 2 ( ∈ℕ ) n n n n 2 π π
Ta có lim x = lim 2nπ = +∞ , lim y = lim
+ 2nπ = lim n + 2π = +∞ n n 2 2n 27
Chương IV. Giới hạn
0916620899 – 0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp π
lim sin x = lim sin 2nπ = lim 0 = 0 , lim sin y = lim sin + 2nπ = lim1 =1 n n 2
Vì lim x = lim y = +∞ nhưng lim f (x ) ≠ lim f (y ) nên hàm số f (x) = sin x không có giới hạn khi n n n n x → 0 1
Bài 2.13. Chứng minh rằng hàm số y = cos không có giới hạn khi x → 0 x HD Giải 1 1
Chọn hai dãy số có số hạng tổng quát là x = và y = n 2nπ n (2n +1)π
Làm tương tự như bài 2.12. +1; ≥ 0 1 1 Bài 2.14. x x
Cho hàm số f (x) =
.và các dãy số ( u ) với u =
và ( v ) với v = − . Tính n n n n 2x; x < 0 n n
lim u ;lim v ;lim f u
( );lim f (v ) n n n n HD Giải 1 1 Ta có lim u = lim
= 0,lim v = lim − = 0 n n n n 1 1 1 2 Do n *
∀ ∈ℕ , u = > 0 và v = − < 0 . Nên f u ( ) =
+1 và f (v ) = − n n n n n n n n 1 2 Từ đó lim f u ( ) = lim
+1 = 1;lim f (v ) = lim − = 0 n n n n
Vì lim u = lim v = 0 nhưng lim f u
( ) ≠ lim f (v ) nên hàm số y = f (x) không có giới hạn khi x → 0 n n n n
5x + 2; x ≥ 1
Bài 2.15. Cho hàm số f (x) =
. Tìm lim f (x), lim f (x), lim f (x)
x2 − 3; x < 1 x 1− → x 1+ x 1 → → HD Giải
Ta có lim f (x) = lim(x2 − 3) = 2
− ; lim f (x) = lim(5x + 2) = 7 x 1− x 1− → → x 1+ x 1+ → →
Vì lim f (x) ≠ lim f (x) nên lim f (x) không tồn tại x 1− x 1+ → → x 1 → 2 − 2 + 3; ≤ 2 Bài 2.16. x x x
Cho hàm số f (x) =
. Tìm lim f (x), lim f (x), lim f (x)
4x − 3; x > 2 x→2− x→2+ x→2 HD Giải 2
Ta có lim f (x) = lim (x − 2x + 3) = 3 ; lim f (x) = lim (4x − 3) = 5 x 2− x 2− → → x 2+ x 2+ → →
Vì lim f (x) ≠ lim f (x) nên lim f (x) không tồn tại x 2− x 2+ → → x→2
9 − x2;−3 ≤ x < 3
Bài 2.17. Cho hàm số f (x) = 1
; x = 3 . Tìm lim f (x), lim f (x) và lim f (x) (nếu có) x 3− x 3+ → → x→3 x2 − 9 ; x > 3 HD Giải
Ta có lim f (x) = lim 9 − x2 = 0 ; lim f (x) = lim x2 − 9 = 0 x 3− x 3− → → x 3+ x 3+ → →
Do đó lim f (x) = 0 x→3 28
Chương IV. Giới hạn
0916620899 – 0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp 1 3 − ; x > 1
Bài 2.18. Cho hàm số f (x) = x −1 x3 −1 .
mx + 2; x ≤ 1
Với giá trị nào của m thì hàm số f (x) có giới hạn khi x → 1? Tìm giới hạn này. HD Giải Ta có 1 3 x2 + x − 2
lim f (x) = lim − = lim + + 3 + 2 x 1 → x 1 → x −1 −1 x x 1 →
(x −1)(x + x +1) (x −1)(x + 2) (x + 2) = lim = lim = 1 + 2 + 2 x 1 → ( −1)( + +1) x x x x 1 → (x + x +1)
lim f (x) = lim(mx + 2) = m + 2 x 1− x 1− → →
f (x) có giới hạn khi x → 1 ⇔ m + 2 = 1 ⇔ m = 1. Khi đó lim f (x) = 1 x 1 →
Bài 2.19. Tính các giới hạn sau: 2x −3 2x − 3 2x − 7 a) lim b) lim c) lim x 1− → x −1 x 1+ → x −1 x 1− → x −1 2x − 7 3 2 4 d) lim
e) lim 2x − 5x + 7 f) lim 2x − 3x +12 x→−∞ ( ) x 1+ → x −1 x→+∞ HD Giải 2x − 3
a) Ta có lim(x −1) = 0 , x – 1 < 0 với mọi x và lim(2x − 3) = 1 − < 0 . Vậy lim = +∞ x 1− → x 1− → x 1− → x −1 2x −3
b) Ta có lim(x −1) = 0 , x – 1 > 0 với mọi x và lim(2x − 3) = −1 < 0 . Vậy lim = −∞ x 1+ → x 1+ → x 1− → x −1 2x − 7
c) Ta có lim(x −1) = 0 , x – 1 < 0 với mọi x và lim(2x − 7) = −5 < 0 . Vậy lim = +∞ x 1− → x 1− → x 1− → x −1 2x − 7
d) Ta có lim(x −1) = 0 , x – 1 > 0 với mọi x và lim(2x − 7) = 5 − < 0 . Vậy lim = −∞ x 1+ → x 1+ → x 1+ → x −1 5 7 5 7 3 2 3 3
e) lim 2x − 5x + 7 = lim x 2 − +
. Ta có lim x = − ; ∞ lim 2 − + = 2 > 0 x→−∞ (
) x→−∞ x x2 x→−∞ x→−∞ x x2 3 2
Vậy lim 2x − 5x + 7 = −∞ x→−∞ ( ) 3 12 f) lim
2x4 − 3x +12 = lim x2 2 − + = +∞ x→+∞ x→+∞ x2 x4
Bài 2.20. Tìm các giới hạn sau: x + 2 x 4 − x2 x2 + 3x + 2 x2 − 7x +12 a) lim b) lim c) lim d) lim x 0+ → x − x x 2− → 2 − x x ( 1)+ → − x5 + x4 x 3− → 9 − x2 HD Giải x + 2 ( x +2 x x ) x +2 x + 2 x x + 2 2
a) Với mọi x > 0, ta có = = . Do đó lim = lim = = 2 − x − x x ( x − ) 1 x −1 x 0+ x x − x 0+ → → x −1 1 − 4 − x2 (2 − x)(2 + x)
b) Với mọi x < 2, ta có lim = lim
= lim(x + 2) 2 − x = 0 x 2− x 2− x 2 − x 2 − x 2− → → → 29
Chương IV. Giới hạn
0916620899 – 0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp x2 + 3x + 2 (x +1)(x + 2) x +1(x + 2)
c) Với mọi x > -1, ta có lim = lim = lim = 0 + + + 2 x→(−1) 5 4 x 2 →(−1) x x + x x x →(−1) +1 x x2 − 7x +12
(3 − x)(4 − x) 4 − x 6
d) Với mọi – 3 < x < 3, ta có lim = lim = lim = x 3− 2 x 3− x 9 − x (3 − x)(3+ x 3 ) − → → → 3 + x 6
Bài 2.21. Tìm các giới hạn sau:
x2 + x − x 1− x 3 − x x3 − 8 a) lim b) lim c) lim d) lim + 2 + 2 x→0 x x 1−
→ 2 1− x +1− x x 3− → 27 − x3 x→2 x − 2x HD Giải
x2 + x − x
x2 + x − x 1 a) lim = lim = lim = +∞ + 2 + x 0 x x
0 x2 ( x2 + x + x) + → → x→0
x2 + x + x 1− x 1− x 1 1 b) lim = lim = lim = x 1− x 2 1− x +1− x 1−
1− x (2+ 1− x) x 1− → → → 2 + 1− x 2 3 − x 3 − x 3 − x c) lim = lim = lim = 0 x 3− 3 x 3− 2 x 27 − x
(3 − x)(9 + 3x + x 3 ) − → → → 9 + 3x + x2 x3 − 8
(x − 2)(x2 + 2x + 4) 1 x2 + 2x + 4 d) lim = lim = lim = +∞ + 2 x 2 − 2 x x x 2+ x(x − 2) x 2+ → → → x x − 2
Bài 2.22. Tìm các giới hạn sau: 2x4 + 3x +1 x2 − x + 5 x4 +1 a) 3 lim b) lim c) lim x→− x2 2 − x + 2 x→−∞ 2x −1 − 2 x→( 3 − ) x + 4x + 3 8 + 2x − 2 3 x + 4 2 2 d) lim e) lim . f) lim
x + x − 4 + x x→−∞ ( ) x ( 2)+ → − x + 2 x→ (x 2 2 − 2) 4 − x HD Giải 2x4 + 3x +1 27 3 a) 3 3 lim = = x→− x2 2 − x + 2 8 2 1 5 1 5 1− + − 1 2 x x − + x − x + 5 x x2 x x2 1 b) lim = lim = lim = − x→−∞ x→−∞ x 2x −1 1 →−∞ 1 2 x 2 − x 2 − x x x4 +1 x4 +1 x4 +1 1 c) lim . Với mọi x < 3 − , ta có = . − 2 2 x→( 3 − ) x + 4x + 3 x + 4x + 3 x +1 x + 3 x4 +1 1 x4 +1 Vì lim = 4 − 1< 0 và lim = −∞ nên lim = +∞ − 2 x ( 3)− → − x +1 x ( 3)− → − x + 3
x→(−3) x + 4x + 3 8 + 2x − 2 8 + 2x − 4 d) lim = lim x ( 2)+ x x ( 2) + 2 + → − → −
x + 2 ( 8+ 2x + 2) 2(x + 2) 2 x + 2 = lim = lim = 0 x ( 2)+
x + 2 ( 8+ 2x + 2) x ( 2)+ → − → − 8 + 2x + 2 3 x + 4 3 x + 4 3 x + 4 e) lim . . Vì lim = +∞ và lim = 3 > 0 . Nên lim . = +∞ x→ (x 2 2 − 2) 4 − x x→ (x 2 2 − 2) x→2 4 − x x→ (x 2 2 − 2) 4 − x 30
Chương IV. Giới hạn
0916620899 – 0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp − 4 − 4 2 2 x x f ) lim
x + x − 4 + x = lim = lim x→−∞ ( ) x→−∞ 2 2 x
x + x + 4 + x →−∞ 1 4 x 1+ + x +1 x x 4 1− x 1 = lim = − x→−∞ 1 4 2 − 1+ − +1 x x
Bài 2.23. Tìm các giới hạn sau: x2 +1 −1 x − x 2x4 + 5x −1 a) lim b) lim c) lim x→0 4 − 2 4 x2 +16 x 1 → x −1
x→+∞ 1− x + x x + x2 4 − x +1 1 1 2 d) lim e) lim x x +1 − x f) lim − x→+∞ ( ) x→−∞ 1− 2x x + → x2 2 − 4 x − 2 HD Giải 2 x2 +1 −1 (4+ x2+16 x ) 4 + x2 +16 a) lim = lim = − lim = 4 − x→0 2 x 4 − x →0 2 2 →0 +16 −x ( x +1+ ) x 1 x2 +1 +1 x − ( x −1 x x ) b) lim = lim = lim x = 1 x 1 → x 1 → x x −1 x 1 −1 → 5 1 2 2 + − x4 + 5x 3 4 −1 c) x x lim = lim = 2 x 2 4 →+∞ x 1− x + x →+∞ 1 1 − +1 x4 x2 1 1 1− 4 − +
x + 4x2 − x +1 x x2 1 d) lim = lim = x→−∞ x 1− 2x →−∞ 1 2 − 2 x x x2 +1− x2 1 1 2 x e) lim x + − = = = = →+∞ ( x 1 x) ( ) lim lim lim x x→+∞ 2 x→+∞ x x +1 + x 1 →+∞ 1 2 x 1+ + x 1+ +1 x2 x2 1 1 1− (x + 2) −x −1 f) lim − = lim = lim = −∞ + 2 + 2 + 2
x→2 x − 4 x − 2 x→2 − 4 x x →2 x − 4
Bài 2.24. Tính các giới hạn sau: 6 − 3x x − 3x − 2 x2 − 3x +1 a) lim b) lim c) lim x→−2 2x2 +1 x→ x2 2 − 4 x 2+ → x − 2 2 −1 2 + 4 −1 2 n x x x d) n
lim x + x + ...+ x − e) lim f) lim x 1− → 1− x x→+∞ x + 3 x→−∞ 2 − 3x HD Giải 6 − 3x a) lim = 4 x→−2 2x2 +1 x − 3x − 2 x2 − 3x + 2 b) lim = lim x 2 →2 x x →2 − 4
(x2 −4)(x+ 3x−2) 31
Chương IV. Giới hạn
0916620899 – 0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp
(x −1)(x − 2) x −1 1 = lim = lim = x→2 x − x +
(x+ x− ) x→2 x+ (x+ x− ) 16 ( 2)( 2) 3 2 ( 2) 3 2 x2 − 3x +1 2 c) lim = −∞ ( Vì khi x 2+ → thì lim
− = và x − 2 > 0 còn x − 3x +1→ −1) + ( x 2) 0 x 2+ → x − 2 x→2 2 n d) n
lim x + x + ...+ x − . Khi x 1−
→ thì x < 1 nên theo tổng của cấp số nhân lùi vô hạn, ta x 1− → 1− x 2 x x n x − n có: n
x + x + ... + x = lim − = lim = −∞ 1 . Do đó − x x
1− 1− x 1− x x 1− → → 1− x 1 2 2 − x −1 e) x lim = lim = 2 x→+∞ x x + 3 →+∞ 3 1+ x 1 1− 4 − x + 4x2 −1 x2 1 f) lim lim = x→−∞ x 2 −3x →−∞ 2 3 − 3 x
Bài 2.25. Tính các giới hạn sau: x2 + x +10 x2 +1 x 1 + 30
x6 + 4x2 + x − 2 a) lim b) lim c) lim x→− x3 1 + 6 x→− 25 − x2 5 x→−∞ ( 2 x3 + 2) x2 + x − 40 x4 + x2 2 4 + 3 x +1 d) lim e) lim f) lim (2x +1)
x→+∞ 2x5 + 7x4 + 21 x→−∞ 2x +1 x→+∞ 2x3 + x2 1 2 g) lim 5x +1 − x 5 h) lim x→+∞ ( ) x→+∞
x2 + x +1 − x HD Giải 1 a) 2; b) 10 ; c) 1; d) 0 1 3 4 2 2 2 + 4 + 3 − 2 + 4 4 2 x x x 2 + x + 4x + 3 x x2 e) lim = lim = lim = −∞ x→−∞ x 2 +1 →−∞ 1 x x →−∞ 1 2 + 2 + x x x +1 (2x 2 +1) (x +1) (2x +1)(x +1) 1 1 f ) lim (2x +1) = lim = lim = lim 2 + 1+ = 2 x 3 2 →+∞ x 2 →+∞ x 2 →+∞ x 2x + x x (2x +1) x →+∞ x x 1 2 g) lim
5x +1 − x 5 = lim = 0 x→+∞ (
) x→+∞ 5x2+1+x 5 1 1 1+ + +1 1
x2 + x +1 + x x x2 h) lim = lim = lim = 2 x→+∞ 2 x→+∞ x + +1 x x x − x +1 →+∞ 1 1+ x
Bài 2.26. Tìm giới hạn các hàm số sau: x − 2 2x + 7 − 3 x2 −1 a) lim b) lim c) lim
x→2 3 − x + 7 x 1 → x + 3 − 2 x 1 → 3 x −1 32
Chương IV. Giới hạn
0916620899 – 0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp x + x2 −1 −1 1− x 3 − 1− x
3x − 2 − 4x2 − x − 2 d) lim e) lim f) lim 2 x 1+ → x −1 x→0 x x 1 → x − 3x + 2 x3 − 3x + 2 1 1
x − 4 − x + 4 + 2 g) lim h) lim − k) lim − 2 2 3 x 1 → x − 5x + 4 x 1
→ x + x − 2 x −1 x→5 x − 5 HD Giải − 2 (x −2)(3+ x+7) (x−2)(3+ x+7 x ) a) lim = lim = lim = − lim 3+ x + 7 = 6 − x→2 x 3 − x →2 + 7
(3− x+7)(3+ x+7) x→2 x 2 − x →2 ( ) + 7 − 3
( 2x+7−3)( 2x+7+3)( x+3+2 2x ) b) lim = lim x 1 → x x 1 + 3 − 2 →
( 2x+7+3)( x+3−2)( x+3+2)
2(x −1)( x +3 +2) 2( x +3 +2) 4 4 = lim = lim = 2. = x 1 →
x − ( x + + ) x 1 → ( x + + ) 6 3 ( 1) 2 7 3 2 7 3 −1
(x2 − )1(3 x2 3 2 + x 3 + 1 x ) c) lim = lim x 1 → 3 x x 1 −1
→ (3 x − )1(3 x2 3 + x 3 + 1)
(x −1)(x +1)(3 x2 3 + x 3 + 1) = lim = lim(x 3 +1) x2 3 + x 3 + 1 = 6 x 1 → x x 1 −1 → ( ) 2 2 1 1 1 1 + − − − − ( x − )1( x +1 x x x x ) d) lim = lim + = lim x +1 + x 1+ → x 1+ → x x −1 x −1 x 1 −1 + → x −1( x + ) 1 x −1
(x −1) x −1 = lim x +1 + = lim x +1 + x 1+ →
x −1( x + ) x 1 1 + → (x −1) x +1 x −1 = lim x +1 + = 2 1+ → ⇒ −1 > 0 ( vì x x ) x 1+ → x +1 1− x 3 − 1− x 1− x 3 −1 1− x −1 e) lim = lim − lim x→0 x→0 x x x →0 x
( 1−x − )1( 1−x + )1 (31−x − )1(3 (1−x 2 3 ) + 1− x 3 + 1) = lim − lim x→0 x ( 1− x + ) x→0 1 x (3 (1− x 2 3 ) + 1− x 3 + 1) −x x = lim − lim
x→0 x ( 1− x + ) x→0 1 x (3 (1− x 2 3 ) + 1− x 3 + 1) −1 1 1 = lim − lim = −
x→0 ( − x + ) x→0 (3 − x 2 3 + − x 3 + ) 6 1 1 (1 ) 1 1 − 2) − 4 − − 2
((3x−2)− 4x2−x−2)((3x−2)+ 4x2 2 − x − 2 (3x x x ) f ) lim = lim x 2 1 → x x − 3x 1 + 2 →
(x2 −3x+2)((3x−2)+ 4x2 −x−2) 33
Chương IV. Giới hạn
0916620899 – 0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp 5x2 −1 x 1 + 6 (x −1)(5x + 6) = lim = lim x 1
→ (x2 −3x +2)((3x −2)+ 4x2 − x−2) x 1→ (x −1)(x −2)((3x −2)+ 4x2 − x −2) 5x + 6 1 = lim = x 1 → x −
( x− + x2−x− ) 2 ( 2) (3 2) 4 2 x3 − 3x + 2 (x 2 −1) (x + 2) x −1 (x − 2)
(x −1) (x + 2) − 3 3 g) lim = lim = lim = − lim = = − 2 x 1 − 5 + 4 x x x 1−
(x −1)(x − 4) x
1− (x −1)(x − 4) x 1− → → → →
(x −1)(x − 4) 3 − 3 1 1 1 1 h) lim − = lim − x 2 3 → x x + x − 2 x −1 →
(x −1)(x + 2) (x −1)(x2 1 1 + x +1)
x2 + x +1− (x − 2) (x −1)(x +1) (x +1) 2 = lim = lim = lim = x 2 → x 2 → x
(x −1)(x + 2)(x + x +1)
(x −1)(x + 2)(x + x +1) → (x + 2)(x2 1 1 1 + x +1) 9 − 4 − + 4 + 2
( x−4− )1−( x+4−3 x x ) k) lim = lim x→5 x x →5 − 5 x − 5 ( x − 4 − )
1 ( x −4 + )1 ( x +4 −3)( x +4 +3 1 ) lim = − x→5 x − 5 x − 4 +1 x + 4 + 3 1 x 5 x 5 1 1 − − 1 = lim − = lim − = x→5 x
x − 5 x − 4 +1 x →5 + 4 + 3 x − 4 +1 x + 4 + 3 3
Bài 2.27. Tìm các giới hạn sau: 1 1
x2 + 2x − 4 + 3x +1 a) lim + b) lim
x→ x2 − 3x + 2 x2 2 − 5x + 6 x→+∞
x2 + 4x − 3 + 2x − 5 2 2
c) lim x + x − x d) lim
x − 2x −1 − x − 7x + 3 x→+∞ ( ) x→+∞ x2 − 3x + 2
x3 − x2 + 4x + 5 e) lim f) lim
x→ x3 − 4x2 1 + 2x +1 x→+∞ x4 − x + 3 HD Giải 1 1 2x2 − 8x + 8 a) lim + = lim x 2 2 → x x − 3x + 2 x − 5x + 6 → (x 2 2 2
− 2) (x −1)(x − 3) 2(x 2 − 2) 2 2 = lim = lim = = −2 x 2 →2 x
(x − 2) (x −1)(x →2 − 3)
(x −1)(x − 3) 1 − 2 4 1+ − + 3 +1 2 x x
x + 2x − 4 + 3x +1 x x2 b) lim = lim x→+∞ 2 x
x + 4x − 3 + 2x − 5 →+∞ 4 3 x 1+ − + 2x − 5 x x2 2 4 1 x 1+ − + 3 2 4 1 + 1+ − + 3 x + x2 x x x2 x 4 = lim = lim = x→+∞ x 4 3 5 →+∞ 4 3 5 3 x 1+ − + 2 − 1+ − + 2 − x x2 x x x2 x 34
Chương IV. Giới hạn
0916620899 – 0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp 2 4 1 − 1+ − − 3 − + 2 − 4 + 3 +1 x x2 2 x x x x Lưu ý: lim = lim = 2 x→−∞ 2 x x 4x 3 2x 5 →−∞ 4 3 5 + − + − − 1+ − − 2 + x x2 x
x + x − x x + x + x
c) lim x + x − x = lim x→+∞ x→+∞
x + x + x x 1 1 = lim = lim = x→+∞ x→+∞ 1 2 x + x + x 1+ +1 x d) lim
x2 − 2x −1 − x2 − 7x + 3 x→+∞ ( )
( x2−2x−1− x2−7x+3)( x2−2x−1+ x2−7x+3) = lim x→+∞
x2 − 2x −1 + x2 − 7x + 3 4 x 4 5 − 5 − x x 5 = lim = lim = x→+∞ x 2 1 7 3 →+∞ 2 1 7 3 2 x 1− − + 1− + 1− − + 1− + x x2 x x2 x x2 x x2 Lưu ý: 4 5 − 5 2 2 x lim
x − 2x −1 − x − 7x + 3 = lim = − x→−∞ ( ) x→−∞ 2 2 1 7 3 − 1− − + 1− + x x2 x x2 x2 − 3x + 2
(x −1)(x − 2) x − 2 1 e) lim = lim = lim = x 3 2 → x 2 → x
x − 4x + 2x +1
(x −1)(x − 3x −1) → x2 1 1 1 − 3x −1 3 1 4 5 1− + +
x3 − x2 + 4x + 5 x x2 x3 f ) lim = lim = 0 x 4 →+∞ x x − x + 3 →+∞ 1 3 x 1− + x3 x4
C. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 2.28. Tìm các giới hạn sau: 1 1 1 4x4 − 3 a) lim − b) lim x→ x 3 ( 3 3 + 2 x − 3) x→( 2
− ) 2x + 3x − 2
x3 − x2 − x +10 2 2 c) lim d) lim
x − 2x −1 − x − 7x + 3 x→−∞ ( ) x→− x2 2 + 3x + 2
Bài 2.29. Tìm các giới hạn sau:
x + 9 + x +16 − 7
3 x + 7 − 5− x2 a) lim b) lim x→0 x x 1 → x −1 35
Chương IV. Giới hạn
0916620899 – 0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp 3 3 2 2 2 c) lim x −1 − x +1 d) lim
x + 8x + 3 − x + 4x + 3 x→±∞ ( ) x→+∞ ( ) x3 −1 < 1 Bài 2.30. neáu x
Cho hàm số f (x) = x −1
. Với giá trị nào của m thì hàm số f (x) có giới hạn khi
mx + 2 neáu x ≥ 1 x → 1? 5 − Bài 2.31. x
Cho hàm số f (x) =
. Tìm các giới hạn sau: lim f (x), lim f (x) và lim f (x) (nếu có). x − 5 x 5+ x 5− → → x→5 2 x -1 neáu x ≤ 2 −
Bài 2.32. Cho hàm số f (x) =
. Tìm các giới hạn sau: lim f (x), lim f (x) và 2 + −
2x +1 neáu x > 2 x→( 2 − ) x→(−2)
lim f (x)(nếu có). x→2
Bài 2.33. Tìm các giới hạn sau: (x2 + )1(1−2x) x2 − 9x − 22 a) lim b) lim 2 2 3 c) lim
x + 8x − x − x x→−∞ ( ) x→− x2 1 + x +1 x 1 → 1
(x −11)(x2 −3x +16) 2 3
x2 + x + 2 − 1− x x2 + 7x −18 d) lim − e) lim f) lim − 2 4
x→(−4) x + 3x − 4 x + 4 x→−1 x + x x→2 3x − 2 − 2
x3 + 3x2 − 9x − 2
2x +1− 2x2 + 9x −1 3 10 − x − 2 g) lim h) lim k) lim x→ x3 2 − x − 6 x→ x3 + 3x2 2 − 9x − 2 x→2 x − 2
D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM a Câu 1. 2 2 a Biết lim
x − 2x −1 − x − 7x + 3 = , với a,b ∈ ℤ và tối giản. Mệnh đề nào dưới đây sai x→+∞ ( ) b b ?
A. b − a = 2.
B. a + b = 7. C. a b . = 10.
D. a − b = 3. x2 − 2x − 3
Câu 2. Tính G = lim . x→3 x −1 9
A. G = 0.
B. G = −1.
C. G = 9. D. G = . 2 x − Câu 3. x Tính P = lim . x→1 x −1
A. P = −3.
B. P = 1.
C. P = 0.
D. P = −1. x + x2 −1 −1
Câu 4. Tính M = lim . + x→1 x −1
A. M = 2.
B. M = 2.
C. M = +∞.
D. M = 0. a a b Câu 5. a
Biết lim x + x − x =
, với a,b∈ℤ và tối giản. Tính S = + . x→+∞ b b b a 2 1 3 5
A. S = .
B. S = .
C. S = .
D. S = . 3 2 2 2 2 2 x x 4x 1 − − +
Câu 6. Biết lim a + = 3 . Tìm . a x→−∞ 2x 3 + 36
Chương IV. Giới hạn
0916620899 – 0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp 1 5 1
A. a = 3.
B. a = − . C. a = . D. a = . 2 2 2 2x3 +15
Câu 7. Tính H = lim . x→− (x + 2 2 2) 1
A. H = −∞.
B. H = +∞.
C. H = −1. D. H = . 16
x3 − x2 + 4x + 5
Câu 8. Tính I = lim . x→+∞ x4 − x + 3
A. I = −1.
B. I = 0.
C. I = 1.
D. I = 3. 4 2x + 5x −1 2
x + 4x − x +1 Câu 9. Biết lim = a và lim
= b . Tính P = a b . +1. 2 4
x→+∞ 1 − x + x x→−∞ 1− 2x 1
A. P = .
B. P = −2.
C. P = 2.
D. P = 1. 4
Câu 10. Tên của một người được mã hóa là 6320. Biết rằng mỗi chữ số là giá trị của một trong các biểu thức sau: 2 3 x − 9 2x x − + 3x A = lim ; H = lim ; N = lim x x x − − −
x→−∞ x −1 x→−∞ x − 5 x→+∞ ( 2 2 6 3 ; 2 ) 2 x 1 5x 6 − + O = lim ; T = lim . x 1 x → x →6 −1 x − 5
Vậy tên của người đó là?
A. THAN B. HOAN. C. THO . A D. TOAN. 1 3 − ; x > 1
Câu 11. Cho hàm số f (x) = x −1 x3 −1 .
mx + 2; x ≤ 1
Với giá trị nào của m thì hàm số f (x) có giới hạn khi x →1? Tìm giới hạn này.
A. m = 1;lim f (x) = 2.
B. m = 2;lim f (x) = 2. x 1 → x 1 →
C. m = 2;lim f (x) = 1.
D. m = 1;lim f (x) = 1. x 1 → x 1 →
x − 4 − x + 4 + 2 a Câu 12. a Biết lim = , a,b và tối giản. Tính . b a u a b − = . x→5 x − 5 với ∈ℤ b b 10 A. u 3. B. u 18. C. u 9. D. u 27. 10 = 10 = 10 = 10 = x2 + 5 − 3
Câu 13. Tính K = lim . x→−2 x + 2 2 2
A. K = +∞. B. K =
C. K = 0.
D. K = − . 3 3 x2 −1
Câu 14. Tính N = lim . x→1 3 x −1
A. N = +∞.
B. N = 6.
C. N = 9.
D. N = 0. 1− a Câu 15. x a Biết lim
= , với a,b∈ℤ và tối giản. Biết a, ,
b x theo thứ tự lập thành cấp số −
x→1 2 1− x +1− x b b cộng. Tìm . x
A. x = 1.
B. x = 3.
C. x = 2.
D. x = 4. 37
Chương IV. Giới hạn
0916620899 – 0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp 1 1
Câu 16. Tính L = lim − . + x→ x2 2 − 4 x − 2 1
A. L = −∞.
B. L = 2.
C. L = 0. D. L = . 32 1− x − 3 1− Câu 17. x Tính Q = lim . x→0 x 2 30
A. Q =1. B. Q = − . C. Q = .
D. Q = 6. 12 36 4 − x2 x2 + 3x + 2 Câu 18. Biết lim = a và lim
= b, với a,b∈ℤ. Mệnh đề nào dưới đây đúng ? − x→2 2 − x + x→(−1) x5 + x4
A. a = b.
B. a > b.
C. a + b ≥ 4.
D. ab = 1. Câu 19. 2 Biết lim + −
= . Tính cosa . →+∞ ( 5x 1 x 5 a x ) 1
A. cosa = .
B. cosa = k2π,k ∈ℤ. 2
C. cos a = 1.
D. cos a = 0. x2 + 2x − 3
Câu 20. Tính E = lim . x→ 2x2 1 − x −1 1 3 4
A. E = 2. B. E = .
C. E = . D. E = . 2 4 3 2x + 7 − 3 a Câu 21. a Biết lim
= , với a,b∈ℤ và tối giản. Mệnh đề nào dưới đây đúng ? x→1 x + 3 − 2 b b
A. 2a − b = 3.
B. a − 2b = 4.
C. 2a + b = 12.
D. a + 2b = 10.
5x + 2; x ≥ 1
Câu 22. Cho hàm số f (x) =
. Tính lim f (x).
x2 − 3; x < 1 x 1 →
A. lim f (x) = −2.
B. lim f (x) = 7. x 1 → x 1 →
C. lim f (x)không tồn tại.
D. lim f (x) = 1. x 1 → x 1 → x2 − 3x + 2
Câu 23. Tính P = lim .
x→ x3 − 4x2 1 + 2x +1 1 1 1 1
A. P = . B. P = . C. P = .
D. P = − . 3 6 2 4 1 1
Câu 24. Tính L = lim + . 2 2
x→2 x − 3x + 2 x − 5x + 6 1
A. L = 2.
B. L = −
C. L = 0.
D. L = −2. 2 Câu 25. 3 2
Tính Q = lim −x + x − x +1 . x→−∞ ( )
A. Q = 0.
B. Q = +∞.
C. Q = −∞.
D. Q = −1. 2 x + x +10 2 x +11x + 30 Câu 26. Biết lim = a và lim
= b . Tính S = a + . b 3 x→−1 x + 6 2 x→−5 25 − x 21 1 1 A. S = . B. S = .
C. S = 2. D. S = . 10 10 5 38
Chương IV. Giới hạn
0916620899 – 0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp 6 2
x + 4x + x − 2 2 x + x − 40 Câu 27. Biết lim = a và lim
= b . Tính S = a − . b 5 4 x→−∞ (
x→+∞ 2x + 7x + 21 x + 2)2 3 10 1 A. S = .
B. S = 1.
C. S = 0.
D. S = . 3 2 3 2x + 3x − 4 2 Câu 28. c Biết lim = c . Tính H = +1 3 2
x→+∞ −x − x +1 2
A. H = 3.
B. H = −2.
C. H = −1.
D. H = 4. +1; ≥ 0 1 Câu 29. x x
Cho hàm số f (x) =
.và dãy số ( u ) với u =
. Tính lim f (u ) n n n 2x; x < 0 n
A. lim f (u ) = −1.
B. lim f (u ) = 0.
C. lim f (u ) = 2.
D. lim f (u ) = 1. n n n n 1 Câu 30. Biết lim = a. Tính a
P = C + a 10 x→+∞ 2
x + x +1 − x
A. P = 2.
B. P = 47.
C. P = 45.
D. P = 100. 1 1 a a Câu 31. Biết lim −
, với a,b ∈ℤ và tối giản. Tính u a b = + 2 3 = 9 .
x→1 x + x − 2 x −1 b b 10 A. u 162. B. u 27. C. u 20. D. u 83. 10 = 10 = 10 = 10 = 2 − x
Câu 32. Tính F = lim . x→2 x + 7 − 3 1
A. F = −6.
B. F = −1.
C. F = 0.
D. F = − . 6
Câu 33. Tên của một người được mã hóa là 4359. Biết rằng mỗi chữ số là giá trị của một trong các biểu thức sau: n n+ + A = lim − − − = − + = →−∞ ( 5 3.12 2 2 x 10x x 3 ); H lim →− ( 3 x 7 x ; N lim ; n n x x 1 ) 2 3 12 +10 2 3x − 9 O = lim
; T = lim 7 − 3x . 2 ( ) x x →+∞ x 1 − 1 →
Vậy tên của người đó là? A. THAN. B. THOA. C. HOAN. D. TOAN. x2 +1 −1
Câu 34. Tính H = lim .
x→0 4 − x2 +16 1
A. H = − .
B. H = 2.
C. H = 0.
D. H = −4. 4
x2 + 2x − 4 + 3x +1 a Câu 35. a Biết lim
= , với a,b∈ℤ và tối giản. Mệnh đề nào dưới đây đúng ? x→+∞ 2 + 4 − 3 + 2 − 5 b x x x b
A. b − a = 1.
B. a + ab = 12.
C. a + b = 7.
D. ab − b = 10. x2 + x − Câu 36. x Tính J = lim . + 2 x→0 x
A. J = 2.
B. J = +∞.
C. J = 0.
D. J = −∞. 2 − 2 + 3; ≤ 2 Câu 37. x x x
Cho hàm số f (x) =
. Tính lim f (x).
4x − 3; x > 2 x→2
A. lim f (x) = 5.
B. lim f (x) = 1. x→2 x→2
C. lim f (x) không tồn tại.
D. lim f (x) = 3. x→2 x→2 39
Chương IV. Giới hạn
0916620899 – 0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp 3 Câu 38. 2 Biết lim
x − x + x + m = . Tìm m. x→−∞ ( 4 2 ) 4 3 1 1
A. m = 1. B. m = . C. m = . D. m = . 4 2 4 x +1
Câu 39. Tính K = lim (2x +1) . x→+∞ 2x3 + x2 2
A. K = 2.
B. K = 3.
C. K = 2. D. K = . 2 (1+ x 3) −1
Câu 40. Tính J = lim . x→0 x 1
A. J = .
B. J = 3.
C. J = 0.
D. J = −3. 3 3 − x3 − 8 Câu 41. x Biết lim = a và lim
= b, với a,b∈ℤ. Mệnh đề nào dưới đây đúng ? − 2 x→3 27 − x3 + x→2 x − 2x
A. a + b = 10.
B. ab = 1.
C. a < b.
D. a − b = 0. x2 − 7x +12
Câu 42. Tính E = lim . − x→3 9 − x2 2 5 6 3 A. E = . B. E = . C. E = . D. E = . 2 5 6 3 3 a
x − 2 − 4x2 − x − 2 a 10(1 b − ) Câu 43. a Biết lim
= , với a,b∈ℤ và tối giản. Tính S = . x→ x2 1 − 3x + 2 b b 1 b −
A. S = 7.
B. S = 10.
C. S = −10.
D. S = 5. x + 2 Câu 44. x Tính F = lim . + x→0 x − x
A. F = 0.
B. F = 2.
C. F = −∞.
D. F = −2. x3 − 3x + 2 π Câu 45. Biết lim
= tanα, với 0 < α < . S = α + α − 2 x→1 x − 5x + 4 2 Tính sin cos . 1+ 3 1 3 3 A. S = .
B. S = . C. S = . D. S = . 2 2 2 3 2 a a
Câu 46. Biết lim x
x +1 − x = , với a,b ∈ ℤ và tối giản. Tính P = . a b . x→+∞ ( ) b b 1
A. P = 3.
B. P = 2.
C. P = . D. P = 1. 2 ĐÁP ÁN 1 2 3 4 5 6 7 8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
A A B A D C A B C C D C D B B A B A C D D C A
24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46
D B A B A D B D A D D C B C C A B C C B D A B 40
Chương IV. Giới hạn
0916620899 – 0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp
§3. HÀM SỐ LIÊN TỤC
A. KIẾN THỨC CẦN NẮM 1. Hàm số liên tục
Cho hàm số y = f (x)xác định trên khoảng K và x ∈ K = ( ) 0 . Hàm số y
f x liên tục tại x0 khi và chỉ
khi lim f (x) = f (x ) 0 x→x0
Hàm số y = f (x)không liên tục tại x0 được gọi là gián đoạn tại điểm đó
y = f (x) liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.
y = f (x)liên tục trên đoạn a;b
nếu nó liên tục trên khoảng ( ; a b) và
lim f (x) = f (a), lim f (x) = f (b) x a+ x b− → →
Đồ thị hàm số liên tục trên một khoảng được biểu thị bởi một “đường liền” trên khoảng đó. 2. Các định lí Định lí 1
a) Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực ℝ
b) Hàm số phân thức hữu tỉ và hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định của chúng. Định lí 2.
Giả sử y = f (x) và y = g(x) là hai hàm số liên tục tại điểm x0. Khi đó:
a) Các hàm số f (x) + g(x), f (x) − g(x) và f (x) g
. (x) cũng liên tục tại điểm x0. f (x) b) Hàm số ( ) ≠ 0
g(x) liên tục tại x0, nếu g x0 Định lí 3
Nếu hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn a; b
và f (a). f (b) < 0 thì tồn tại ít nhất một điểm
c ∈(a;b) sao cho f c ( ) = 0 Mệnh đề tương đương
Cho hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn a; b
và f (a). f (b) < 0 . Khi đó phương trình f (x) = 0
có ít nhất một nghiệm trong khoảng (a; b). B. BÀI TẬP Bài 3.1. x
Xét tính liên tục của hàm số f (x) = tại x0 = 3 x − 2 HD Giải
Hàm số y = f (x) xác định trên ℝ \ { }
2 , do đó xác định trên khoảng (2;+∞) chứa x0 = 3. x lim f (x) = lim
= 3 = f (3) . Vậy hàm số y = f (x) liên tục tại x0 = 3. x→3 x→3 x − 2 x2 2 − 2x ≠ 1 Bài 3.2. khi x
Cho hàm số f (x) = x −1
. Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định của nó. 5 khi x = 1 HD Giải
Tập xác định của hàm số là ℝ . x2 2 − 2x
Nếu x ≠ 1 thì f (x) = . x −1
Đây là hàm số phân thức hữu tỉ có tập xác định là (− ; ∞ 1)∪ (1;+∞) 41
Chương IV. Giới hạn
0916620899 – 0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp
Vậy nó liên tục trên mỗi khoảng (− ; ∞ 1)và (1;+∞) 2x2 − 2x 2x(x −1)
Nếu x = 1, ta có f (1) = 5 và lim f (x) = lim = lim = 2 ≠ f (1) x 1 → x 1 → x x 1 −1 → x −1
Vì lim f (x) ≠ f (1) , nên hàm số không liên tục tại x = 1. x 1 →
Vậy hàm số đã cho liên tục trên các khoảng (− ;
∞ 1),(1;+∞)và gián đoạn tại x = 1.
x2 − 2x − 3 ≠ 3 Bài 3.3. khi x
Cho hàm số f (x) = x − 3
. Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định của 5 khi x = 3 nó. HD Giải
Tập xác định của hàm số là ℝ . x2 − 2x − 3
Nếu x ≠ 3 thì f (x) = . x − 3
Đây là hàm số phân thức hữu tỉ có tập xác định là (− ; ∞ 3)∪(3;+∞)
Vậy nó liên tục trên mỗi khoảng (− ; ∞ 3) và (3;+∞) x2 − 2x − 3 (x +1)(x −3)
Nếu x = 3, ta có f (3) = 5 và lim f (x) = lim = lim = 4 ≠ f (3) x→3 x→3 x x →3 −3 x − 3
Vì lim f (x) ≠ f (3) , nên hàm số không liên tục tại x = 3. x→3
Vậy hàm số đã cho liên tục trên các khoảng (− ;
∞ 3) ,(3;+∞) và gián đoạn tại x = 3
Bài 3.4. Xét tính liên tục của hàm số f x = − x2 ( ) 1
trên đoạn −1;1 . HD Giải
Hàm số đã cho xác định trên đoạn 1
− ;1 . Với mọi x ∈ ( 1 − ;1) 0 , ta có
lim f (x) = lim 1− x2 = 1− x2 = f (x ) −1;1 0
0 , nên hàm số liên tục trên khoảng ( ) x→x x→x 0 0 2 2
Ngoài ra, ta có lim f (x) = lim
1− x = 0 = f (−1)và lim f (x) = lim 1− x = 0 = f (1) x ( 1)+ x ( 1)+ → − → − x ( 1)− x ( 1)− → − → −
Do đó f (x) liên tục trên đoạn −1;1
Bài 3.5. Chứng minh rằng hàm số f (x) = x +1 liên tục trên nửa khoảng [ 1 − ;+∞) HD Giải
Hàm số f (x) liên tục trên nửa khoảng [ 1
− ;+∞)nếu nó liên tục trên khoảng (−1;+∞) và
lim f (x) = f (−1) Vì với mỗi x ∈( 1 − ;+∞) 0 , ta có x ( 1)+ → −
lim f (x) = lim x +1 = x +1 = f (x ) − +∞ 0
0 , nên hàm số liên tục trên khoảng ( 1; ) . x→x x→x 0 0
Ngoài ra, ta có lim f (x) = lim x +1 = 0 = f ( 1 − ) x ( 1)+ x ( 1)+ → − → −
Do đó hàm số f (x) liên tục trên nửa khoảng [ 1 − ;+∞) x3 − 8 ≠ 2 Bài 3.6. neáu x
Cho hàm số f (x) = x − 2
. Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định của nó.
5 neáu x = 2 HD Giải
Tập xác định của hàm số là ℝ . x3 − 8
Nếu x ≠ 2 thì f (x) = . x − 2 42
Chương IV. Giới hạn
0916620899 – 0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp
Đây là hàm số phân thức hữu tỉ có tập xác định là (− ; ∞ 2)∪(2;+∞)
Vậy nó liên tục trên mỗi khoảng (− ; ∞ 2) và (2;+∞) x2 − 8
(x − 2)(x2 + 2x + 4)
Nếu x = 2, ta có f (2) = 5 và lim f (x) = lim = lim = 12 ≠ f (2) x→2 x→2 x x →2 − 2 x − 2
Vì lim f (x) ≠ f (2) , nên hàm số không liên tục tại x = 2. x→2
Vậy hàm số đã cho liên tục trên các khoảng (− ;
∞ 2),(2;+∞)và gián đoạn tại x = 2
x2 − x − 2 > 2 Bài 3.7. neáu x
Xét tính liên tục của hàm số f (x) = x − 2 tại x = 2
5 − x neáu x ≤ 2 HD Giải
x2 − x − 2 khi x > 2
Hàm số f (x) = x − 2
có tập xác định là ℝ
5 − x khi x ≤ 2 Ta có f (2) = 3. (1) x2 − x − 2 (x − 2)(x +1) lim f (x) = lim = lim = 3 (2) x 2+ x 2+ x − 2 x 2+ → → → x − 2
lim f (x) = lim(5− x) = 3 (3) x 2− x 2− → →
Từ (1), (2) và (3) suy ra lim f (x) = 3 = f (2) . Vậy f (x) liên tục tại x = 2. x→2 x −1 neáu x < 1
Bài 3.8. Xét tính liên tục của hàm số f (x) = 2 − x −1 tại x = 1
− 2x neáu x ≥ 1 HD Giải x −1 neáu x < 1
Hàm số f (x) = 2 − x −1
có tập xác định là ℝ
− 2x neáu x ≥ 1 Ta có f (1) = 2 − . (1) (x −1) −1 ( 2−x +1 x ) lim f (x) = lim = lim = −2 (2) x 1− x 1− x 2 − x 1 −1 − → → → 1− x
lim f (x) = lim(−2x) = 2 − (3) x 1+ x 1+ → →
Từ (1), (2) và (3) suy ra lim f (x) = −2 = f (1) . Vậy f (x) liên tục tại x = 1. x 1 → 2 x + 5x + 4 neáu x ≠ 1 − Bài 3.9.Cho hàm số 3 f (x) = x +1
. Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định 1 neáu x = 1 − của nó. HD Giải
Tập xác định của hàm số là ℝ . x2 + 5x + 4 Nếu x ≠ 1 − thì f (x) = . x3 +1
Đây là hàm số phân thức hữu tỉ có tập xác định là (− ; ∞ 1 − )∪(−1;+∞)
Vậy nó liên tục trên mỗi khoảng (− ; ∞ −1) và (−1;+∞) 43
Chương IV. Giới hạn
0916620899 – 0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp x2 + 5x + 4 (x +1)(x + 4)
Nếu x = −1, ta có f (−1) = 1 và lim f (x) = lim = lim = 1 x→− x 3 →− x x +1 →− (x +1)(x2 1 1 1 − x +1)
Vì lim f (x) = f ( 1
− ), nên hàm số liên tục tại x = −1. x→−1
Vậy hàm số đã cho liên tục trên ℝ .
Bài 3.10. Chứng minh rằng phương trình x3 + 2x − 5 = 0 có ít nhất một nghiệm. HD Giải
Xét hàm số f x = x3 ( ) + 2x − 5 Ta có f (0) = 5
− và f (2) = 7. Do đó f (0). f (2) < 0
y = f (x) làm hàm đa thức nên liên tục trên ℝ . Do đó nó liên tục trên đoạn [0; 2]. Từ đó suy ra phương
trình f (x) = 0 có ít nhất một nghiệm x ∈(0;2) 0
Bài 3.11.Chứng minh rằng phương trình:
a) 2x3 – 6x + 1 = 0 có ít nhất hai nghiệm
b) cosx = x có nghiệm HD Giải
a) Xét hàm số f (x) = 2x3 – 6x + 1. Hàm số này là hàm đa thức nên liên tục trên ℝ . Do đó nó liên tục trên
các đoạn [0; 1] và [1; 2] (1) Mặt khác, ta có
f (0) = 1; f (1) = 3
− và f (2) = 5. Do đó f (0).f (1) < 0 và f (1). f (2) < 0 (2)
Từ (1) và (2) suy ta f (x) = 0 có ít nhất hai nghiệm, một nghiệm thuộc khoảng (0; 1), còn nghiệm kia thuộc khoảng (0; 2)
b) Xét f (x) = cosx – x. Hàm số này là hàm đa thức nên liên tục trên ℝ . Do đó nó liên tục trên các đoạn 0; π2 (1) π π π
Mặt khác, ta có f (0) = 1 ; f = −
. Do đó f (0). f < 0 (2) 2 2 2 π
Từ (1) và (2) suy ra f (x) = 0 có nghiệm thuôc khoảng 0; 2 .
Bài 3.12. Chứng minh rằng phương trình:
a) x5 – 3x – 7 = 0 luôn có nghiệm π
b) cos2x = 2sinx – 2 có ít nhất hai nghiệm thuộc trong khoảng − ;π 6 3
c) x + 6x +1 − 2 = 0 có nghiệm dương
d) x4 – 3x3 + 1 = 0 có nghiệm trong khoảng ( 1 − ;3) HD Giải
a) Xét hàm số f (x) = x5 – 3x – 7 . Hàm số này là hàm đa thức nên liên tục trên ℝ . Do đó nó liên tục trên các đoạn [0; 2] (1) Mặt khác, ta có f (0) = 7
− < 0 ; f (2) = 19 > 0 f(2) = 19 > 0 . Do đó f (0). f (2) < 0 (2)
Từ (1) và (2) suy ta f (x) = 0 có ít nhất hai nghiệm, một nghiệm thuộc khoảng (0; 2)
Vậy f (x) = 0 luôn có nghiệm.
b) Xét f (x) = cos2x – 2sinx + 2. Hàm số này là hàm đa thức nên liên tục trên ℝ . Do đó nó liên tục trên π π π các đoạn − ; π 6 2 và
; (1). Mặt khác, ta có 2 44
Chương IV. Giới hạn
0916620899 – 0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp π 7 π π π π f − = ; f = 1
− và f (π ) = 3. Do đó f − .f < 0 và f .f (π ) < 0 (2) 6 2 2 6 2 2 π π
Từ (1) và (2) suy ra f (x) = 0 có ít nhất hai nghiệm, một nghiệm thuôc khoảng − ; 6 2 , còn nghiệm kia π thuộc khoảng ;π 2 . 3 3 3
c) Ta có x + 6x +1 − 2 = 0 ⇔ x + 6x +1 = 4 ⇔ x + 6x − 3 = 0
Xét hàm số f (x) = x3 + 6x – 3 liên tục trên ℝ nên liên tục trên đoạn [0; 1] (1)
Mặt khác, ta có: f (0) = 3
− ; f (1) = 4 . Do đó f (0). f (1) < 0 (2)
Từ (1) và(2) suy ra phương trình f (x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (0; 1) 3
Vậy phương trình x + 6x +1 − 2 = 0 có ít nhất một nghiệm dương.
d) Xét hàm số f (x) = x4 – 3x3 + 1 liên tục trên ℝ
Nên f (x) liên tục trên đoạn [-1; 1] chứa trong 1
− ;3 . Mặt khác, ta có f ( 1 − ) = 5và f (1) = 1 − . Do đó f ( 1 − ).f (1) < 0
Suy ra f (x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (-1; 1) chứa trong khoảng ( 1 − ;3).
Vậy f (x) = 0 có nghiệm trong khoảng ( 1 − ;3).
Bài 3.13. Chứng minh rằng phương trình:
a) x5 – 3x4 + 5x – 2 = 0 có ít nhất ba nghiệm trong khoảng (−2;5).
b) x5 – 5x – 1= 0 có ít nhất ba nghiệm
c) x3 + 3x2 – 4x – 7 = 0 có nghiệm hay không trong khoảng ( 4 − ;0) ? HD Giải
a) Xét hàm số f (x) = x5 – 3x4 + 5x – 2 liên tục trên ℝ
Nên f(x) liên tục trên đoạn [0; 1], [1; 2] và [2; 3] chứa trong 2 − ;5 . Mặt khác, ta có f (0) = 2
− và f (1) = 1, f (2) = 8
− và f (3) = 13 . Do đó f (0).f (1) < 0 , f (1). f (2) < 0 và f (2). f (3) < 0
Suy ra f (x) = 0 có ba nghiệm, một nghiệm thuộc trong khoảng (0; 1), một nghiệm thuộc trong khoảng
(1; 2) và nghiệm còn lại thuộc trong khoảng (2; 3).
Vậy f (x) = 0 có ba nghiệm trong khoảng (−2;5)
b) Xét hàm số f (x) = x5 – 5x – 1 tương tự như câu a), trên các đoạn 2 − ; 1 − , 1
− ; 0 và [0;3]
c) Xét hàm số f (x) = x3 + 3x2 – 4x – 7 là hàm đa thức nên liên tục trên ℝ .
Mặt khác, vì f (0). f (−2) < 0 nên phương trình f (x) = 0 có nghiệm trong khoảng ( 2 − ;0). Do đó có nghiệm trong khoảng ( 4 − ;0) .
Bài 3.14. Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m: (1 – m2)x5 – 3x – 1 = 0 HD Giải
Xét hàm số f (x) = (1 – m2)x5 – 3x – 1, là hàm đa thức, liên tục trên ℝ , nên liên tục trên đoạn 1 − ; 0 Mặt khác, ta có
f (0) = −1 < 0 và f = m2 (1)
+1 > 0 nên f (1). f (0) < 0 , với mọi m
Suy ra phương trình f (x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc trong khoảng ( 1
− ;0) , nghĩa là phương trình
f (x) = 0 luôn có nghiệm với mọi m. 45
Chương IV. Giới hạn
0916620899 – 0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp
Bài 3.15. Chứng minh rằng phương trình: (1 – m2)(x + 1)3 + x2 – x – 3 = 0 luôn có nghiệm với mọi giá trị
của tham số m. HD Giải
Xét hàm số f (x) = (1 – m2)(x + 1)3 + x2 – x – 3 là hàm đa thức nên liên tục trên ℝ . Do đó liên tục trên đoạn 2
− ; −1 . Mặt khác, ta có f ( 1
− ) = −1< 0 và f − = m2 ( 2) + 2 > 0 nên f ( 1
− ). f (−2) < 0 , với mọi m
Do đó f (x) = 0 luôn có ít một nghiệm thuộc trong khoảng ( 2 − ;− )
1 với mọi m. Nghĩa là phương trình (1
– m2)(x + 1)3 + x2 – x – 3 = 0 luôn có nghiệm với mọi m.
Bài 3.16. Chứng minh rằng các phương trình:
a) x2cosx + xsinx + 1 = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0;π )
b) sinx = x – 1 có ít nhất một nghiệm
c) x4 – 3x3 + x – 1 = 0 có nghiệm trong khoảng ( − 1; 3) không ? HD Giải
a) Hàm số f (x) = x2cosx + xsinx + 1 là hàm đa thức nên liên tục trên ℝ . Do đó liên tục trên đoạn 0;π . Mặt khác, ta có
f (0) = 1 > 0 , f 2
(π ) = 1−π < 0 nên f (0).f (π ) < 0 . Do đó f (x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng
(0;π ) . Vậy phương trình f (x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0;π )
b) Hàm số f (x) = sinx – x + 1 là hàm đa thức nên liên tục trên ℝ . Do đó liên tục trên đoạn 0;π . Mặt khác, ta có
f (0) = −1 < 0 , f (π ) = π −1 > 0 nên f (0). f (π ) < 0 . Do đó f (x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng
(0;π ) . Vậy phương trình f (x) = 0 có ít nhất một nghiệm.
c) Hàm số f (x) = x4 – 3x3 + x – 1 là hàm đa thức nên liên tục trên ℝ . Do đó liên tục trên đoạn 1 − ; 0 . Mặt khác, ta có
f (0) = −1 < 0 , f ( 1
− ) = 2 > 0 nên f ( 1
− ).f (0) < 0 . Do đó f (x) = 0 luôn có ít nhất một nghiệm thuộc
khoảng (−1;0) chứa trong ( 1
− ;3). Vậy phương trình f (x) = 0 có nghiệm trong khoảng ( 1 − ;3).
x2 − 3x + 2 < 2 Bài 3.17. neáu x
Tìm các giá trị của tham số m để hàm số f (x) = x2 − 2x
liên tục trên ℝ .
mx + m + 1 neáu x ≥ 2 HD Giải
Tập xác định của hàm số là D = ℝ
Ta có f (2) = 3m + 1. lim f (x) = lim (xm + m +1) = m 3 +1 = f (2) và x 2+ x 2+ → → x2 − 3x + 2
(x −1)(x − 2) x −1 1 lim f (x) = lim = lim = lim = − − 2 x 2 x 2 − 2 x x x 2− x(x − 2) x 2− → → → → x 2 1 1
Để hàm số liên tục tại x = 2 khi và chỉ khi m 3 +1 = ⇔ m = − 2 6 1
Dễ thấy với mọi m, hàm số f liên tục tại mọi điểm x ≠ 2 . Vậy f liên tục trên ℝ khi và chỉ khi m = − 6 .
x2 − x − 2 ≠ 2 Bài 3.18. neáu x
Tìm già trị của m để hàm số f (x) = x − 2
liên tục tại x = 2. m neáu x = 2 HD Giải
Tập xác định của hàm số là D = ℝ 46
Chương IV. Giới hạn
0916620899 – 0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp x2 − x − 2 (x +1)(x − 2)
Ta có f (2) = m và lim f (x) = lim = lim = lim(x +1) = 3 x→2 x→2 x→2 x x − 2 x →2 − 2
Để hàm số f liên tục tại x = 2 khi và chỉ khi f (2) = lim f (x) ⇔ m = 3 x→2
Vậy m = 3 thì hàm số f liên tục tại x = 2. 1 3 − neáu x > 1
Bài 3.19. Cho hàm số f (x) = x −1 x3 −1
. Với giá trị nào của tham số m thì hàm số
mx + 2 neáu x ≤ 1
f (x) liên tục tại x = 1 . HD Giải
Tập xác định của hàm số là D = ℝ
Ta có. f (1) = m + 2 1 3 x2 + x − 2
lim f (x) = lim − = lim + + 3 + 2 x 1 → x 1 → x −1 −1 x x 1 →
(x −1)(x + x +1) (x −1)(x + 2) x + 2 = lim = lim = 1 + 2 + 2 x 1 → ( −1)( + +1) x x x x 1 → x + x +1
Và lim f (x) = lim(mx + 2) = m + 2 = f (1) x 1− x 1− → →
Để f (x) liên tục tại x = 1 ⇔ lim f (x) = lim f (x) ⇔ m + 2 = 1 ⇔ m = −1. x 1+ x 1− → →
Bài 3.20. Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng x2 − 2 1− x neáu x ≠ 2 neáu x ≠ 2
a) f (x) = x − 2
b) f (x) = (x 2 − 2) 2 2 neáu x = 2 3 neáu x = 2 HD Giải x2 − 2 ; khi x ≠ 2
a) f (x) = x − 2
. Hàm số xác định trên ℝ 2 2; khi x = 2 x2 − 2
Nếu x ≠ 2 thì f (x) =
là hàm phân thức hữu tỉ nên liên tục trên các khoảng (− ; ∞ 2 ) và x − 2 ( 2;+∞) 2 − 2 (x− 2)(x+ 2 x ) Tại x = 2 . lim = lim
= lim x + 2 = 2 2 = f 2 x→ 2 x→ 2 x→ 2 ( ) ( ) x − 2 x − 2
Do đó hàm số liên tục tại x = 2
Vậy hàm số f (x) liên tục trên ℝ 1− x ; khi x ≠ 2
b) f (x) = (x 2 − 2)
có tập xác định là ℝ 3 ; khi x = 2 1− x
Nếu x ≠ 2 thì f (x) =
là hàm phân thức hữu tỉ, nên nó liên tục trên các khoảng (− ; ∞ 2) và (x 2 − 2) (2;+∞). 47
Chương IV. Giới hạn
0916620899 – 0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp 1− x
Tại x = 2, ta có lim f (x) = lim = −∞ ≠ f (2) x→ x→ (x 2 2 2 − 2)
Do đó hàm số f (x) không liên tục tại x = 2.
Vậy hàm số f (x) liên tục trên các khoảng (− ;
∞ 2) và (2;+∞) và gián đoạn tại x = 2.
Bài 3.21. Tìm số thực a sao cho hàm số
a2x2 neáu x ≤ 2 f (x) = liên tục trên ℝ (
1− a)x neáu x > 2 HD Giải 2 2 2
Ta có lim f (x) = lim
= 4 = (2) ; lim f (x) = lim − = − + + (1
a) x 2(1 a) →2− →2− ( a x ) a f x x x→2 x→2 a = 1 − 2
Hàm số f liên tục tại x = 2 khi và chỉ khi 4a = 2(1− a) ⇔ 1 a = 2
Hiển nhiên hàm số f liên tục tại mọi điểm x ≠ 2 với mọi a 1
Vậy hàm số f liên tục trên ℝ khi và chỉ khi a = 1 − ,a = 2 Bài 3.22. 3 2
a) Chứng minh rằng phương trình x +1000x + 0,1 = 0 có ít nhất một nghiệm âm 3 2
b) Chứng minh rằng phương trình x −1000x − 0, 01 = 0 có ít nhất một nghiệm dương 3 2
c) CMR với mọi số thực a, b, c, phương trình x + ax + bx + c = 0 có ít nhất một nghiệm HD Giải 3 2
a) Hàm số f (x) = x +1000x + 0,1 liên tục trên ℝ . Ta có f (0) = 0,1 > 0 . Vì lim f (x) = −∞ nên tồn x→−∞
tại một số thực a sao cho f (a) < 0
Vì f (0). f (a) < 0 nên, theo hệ quả của định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục, tồn tại một số
thực c ∈ (a; 0) sao cho f c
( ) = 0 . Vậy x = c là một nghiệm âm của phương trình đã cho.
b) Hàm số f x = x3 − x2 ( )
1000 − 0,01 liên tục trên ℝ . Ta có f (0) = 0
− ,01< 0 . Vì lim f (x) = +∞ nên x→+∞
tồn tại một số thực b đủ lớn sao cho f (b) > 0
Vì f (0). f (b) < 0 nên, theo hệ quả của định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục, tồn tại một số
thực c ∈ (0; b) sao cho f c
( ) = 0 . Vậy x = c là một nghiệm dương của phương trình đã cho. c) Hàm số f x x3 ax2 ( ) = +
+ bx + c liên tục trên ℝ .
lim f (x) = +∞ và lim f (x) = −∞ . Do đó phương trình f (x) = 0 có ít nhất một nghiệm với mọi x→+∞ x→−∞ số thực a, b, c.
Bài 3.23. Tìm các giá trị của a và b để hàm số
ax − b neáu x ≤ 1 f (x) = 3
x neáu 1 < x < 2 liên tục tại x = 1 và gián đoạn tại x = 2.
bx2 − a neáu x ≥ 2 HD Giải
Hàm số liên tục tại x = 1 và gián đoạn tại x = 2 khi và chỉ khi
lim f (x) = lim f (x) = f (1) − + − = 3 = + 3 1 → 1 a b a b x x→ ⇒ ⇒ lim
f (x) ≠ lim f (x)
4b − a ≠ 6 b ≠ 3 x→2− x→2+ 48
Chương IV. Giới hạn
0916620899 – 0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp x −1 ≠ 1 Bài 3.24. neáu x
Tìm m để hàm số f (x) = x2 −1
liên tục tại x = 1. 2 m x neáu x = 1 HD Giải −1 ( x − )1( x +1 x ) 1 1 Ta có f m2 (1) = . lim = lim = lim = x 2 1 → x x 1 −1
→ (x −1)(x +1)( x + ) x 1 1
→ (x +1)( x + ) 4 1 1
Để hàm số liên tục tại x = 1thì lim f (x) = f (1) ⇔ m = ± x 1 → 2
C. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ 1
Bài 3.25. Chứng minh rằng hàm số f (x) = x2 + x + 3 +
liên tục trên tập xác định của nó. x − 2
Bài 3.26. Chứng minh rằng phương trình x3 + x +1 = 0 có ít nhất một nghiệm âm lớn hơn – 1.
Bài 3.27. Chứng minh rằng các phương trình m (2cosx − 2) = 2sin5x +1 luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m.
Bài 3.28. Chứng minh rằng hàm số x5 + x2 neáu x ≠ 1 va øx ≠ 0 x2 + x f (x) = 3 − neáu x = 1 − liên tục trên ℝ . 0 neáu x = 0
x2 − 3x + 2 ≠ 2 Bài 3.29. neáu x
Chứng minh rằng hàm số f (x) = x − 2
liên tục tại x = 2 . 1 neáu x = 2
x2 − 5x + 6 ≠ 3 Bài 3.30. neáu x
Cho hàm số f (x) = x − 3
. Tìm m để hàm số y = f (x) liên tục tại x = 3 .
(m −1)x neáu x = 3 6x + 7 − x > 7 Bài 3.31. neáu x
Cho hàm số f (x) = x2 − 8x + 7
. Tìm m để hàm số f (x) liên tục tại x = 7 .
2ax2 − 6ax + 1 neáu x ≤ 7 49
Chương IV. Giới hạn
0916620899 – 0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp
D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
cos 2x − cos 4x ; x ≠ 0 Câu 1. Cho hàm số 2 f (x) = x
. Với giá trị nào của m thì hàm số f (x) liên tục tại ; m x = 0 điểm x = 0?
A. m = 3.
B. m = 5.
C. m = 4.
D. m = 6. 1 1 +
khi x > 2 v aø x ≠ 3
Câu 2. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số 2 2
f (x) = x − 3x + 2 x − 5x + 6 2 2
m x − 3mx − 5 khi x ≤ 2 liên tục tại x = 2 0 . 3 ± 21 3 4 ± 21 A. m = . B. m = . C. m = .
D. m = 3 ± 21. 4 2 3
Câu 3. Cho hàm số f (x) xác định trên đoạn [ ;
a b]. Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào đúng ?
A. Nếu f (a). f (b) < 0 thì phương trình f (x) = 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng ( ; a b).
B. Nếu phương trình f (x) = 0 có nghiệm trong khoảng ( ;
a b) thì hàm số f (x) phải liên tục trên khoảng ( ;ab).
C. Nếu hàm số f (x) liên tục, tăng trên đoạn [ ;
a b] và f (a). f (b) > 0 thì phương trình f (x) = 0 không thể
có nghiệm trong khoảng ( ; a b).
D. Nếu hàm số f (x) liên tục trên đoạn [ ;
a b] và f (a). f (b) > 0 thì phương trình f (x) = 0 không thể có nghiệm trong khoảng ( ; a b). 2 x − 3x + 2 vôùi x < 2
Câu 4. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số 2
f (x) = x − 2x
liên tục trên ℝ .
mx + m +1 vôùi x ≥ 2 1
A. m = − .
B. m = −1.
C. m = 6.
D. m = 4. 6 x −1 vôùi x ≠ 1
Câu 5. Tìm m để hàm số 2
f (x) = x −1
liên tục tại x = 1. 2
m x vôùi x = 1 1 1 1 1
A. m ≠ ± . B. m = .
C. m = − .
D. m = ± . 2 2 2 2 2 2
a x neáu x ≤ 2
Câu 6. Tìm số thực a sao cho hàm số f (x) =
liên tục trên ℝ. (
1− a)x neáu x > 2 1 1 A. a = 1 − ,a = 1. B. a = 1 − ,a = .
C. a = 1,a = .
D. a = −1,a = 2. 2 2
Câu 7. Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào sai ?
A. Hàm số y = tan x liên tục trên ℝ.
B. Hàm số y = x + sin x liên tục trên ℝ. 2 x + 3x + 2
C. Hàm số y =
liên tục trên các khoảng (− ; ∞ 2 − ) và ( 2 − ;+∞). x + 2 D. Phương trình 5 4
x − 3x + 5x − 2 = 0 có ít nhất ba nghiệm nằm trong khoảng ( 2 − ;5).
Câu 8. Cho phương trình 4 2
2x − 5x + x +1 = 0 (1). Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào đúng ? 50
Chương IV. Giới hạn
0916620899 – 0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp
A. Phương trình (1) không có nghiệm trong khoảng ( 2 − ;0).
B. Phương trình (1) không có nghiệm trong khoảng (−1; ) 1 .
C. Phương trình (1) chỉ có một nghiệm trong khoảng (−2; ) 1 .
D. Phương trình (1) có ít nhất hai nghiệm trong khoảng (0;2). 1 3 − vôùi x > 1 Câu 9. Cho hàm số 3
f (x) = x −1 x −1
. Với giá trị nào của tham số m thì hàm số
mx + 2 vôùi x ≤ 1
f (x) liên tục tại x = 1.
A. m = 1.
B. m = −1.
C. m = −2.
D. m = −3. 2
x − x − 2 vôùi x ≠ 2
Câu 10. Tìm giá trị của m để hàm số f (x) = x − 2
liên tục tại x = 2.
m vôùi x = 2
A. m = 0.
B. m = 2.
C. m = 1. D. m = 3. 3 x +1 khi x ≠ 1 − , x ≠ 2 2 x − x − 2
Câu 11. Cho hàm số y = f (x) = 1 − khi x = 1 −
. Khẳng định nào dưới đây là đúng? 2 khi x = 2
A. Hàm số liên tục trên ℝ.
B. Hàm số gián đoạn tại x = 2.
C. Hàm số liên tục trên khoảng (−2;3).
D. Hàm số gián đoạn tại x = 1 − ; x = 2.
ax − b vôùi x ≤ 1
Câu 12. Tìm các giá trị của a và b để hàm số f (x) = 3x vôùi 1 < x < 2 liên tục tại x = 1 và gián 2
bx − a vôùi x ≥ 2
đoạn tại x = 2. b = a + 3 b = a + 3 a = b + 3 a = b − 3 A. . B. . C. . D. . a ≠ 3 b ≠ 3 b ≠ 3 b ≠ 3
Câu 13. Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào sai ?
A. Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực . ℝ
B. Nếu hàm số y = f (x) liên tục tại điểm x y = g x x 0 , còn hàm số
( ) không liên tục tại 0 thì
y = f (x) + (
g x) là hàm số liên tục tại x . 0
C. Nếu hàm số y = f (x) liên tục tại điểm x y = g x x 0 , còn hàm số
( ) không liên tục tại 0 thì
y = f (x) + (
g x) là hàm số không liên tục tại x . 0
D. Nếu hàm số y = f (x) và y = (
g x) liên tục tại điểm x
y = f x − g x x . 0 thì hàm số ( ) ( ) liên tục tại 0 2
ax khi x ≤ 2
Câu 14. Cho hàm số y = f (x) =
. Tìm giá trị của a để hàm số liên tục trên . ℝ 2
x + x −1 khi x > 2
A. a = 3.
B. a = 4. C. 5 a = . D. 2 a = . 4 3 2
x + 2x + a khi x > 2
Câu 15. Cho f (x) = 2a +1 khi x = 2
liên tục trên tại x = 2 với a,b ∈ .
ℚ Tính S = a + . b bx − 3 khi x < 2
A. S = 16.
B. S = 14.
C. S = 15.
D. S = 17. 51
Chương IV. Giới hạn
0916620899 – 0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp 2
x − x − 2 khi x ≠ 2
Câu 16. Tim tham số thực m để hàm số f (x) 2
= 3x −5x − 2
liên tục tại x = 2 2 2 3
x m + m + x khi x = 2 1 1 1
A. m = − .
B. m ≠ ± .
C. m ∈∅ D. m = . 2 2 2
−x cos x khi x < 0 Câu 17. x
Cho hàm số f ( x) 2 =
khi 0 ≤ x < 1. Hàm số f ( x) liên tục tại: 1 + x 3 x khi x ≥ 1
A. mọi điểm trừ x = 0; x = 1.
B. mọi điểm trừ x = 1.
C. mọi điểm trừ x = 0.
D. mọi điểm thuộc x ∈ . ℝ 2 2 m x khi x ≤ 2
Câu 18. Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để hàm số f ( x) = ( liên tục trên 1
− m) x khi x > 2 ℝ ? A. 3. B. 1. C. 0. D. 2. Câu 19. x
Cho hàm số f ( x) xác định và liên tục trên (−4;+∞) với f ( x) = với x ≠ 0 . Tính x + 4 − 2 f (0) . A. 1. B. 4. C. 2. D. 0. 2 x
khi x < 1, x ≠ 0 x
Câu 20. Cho hàm số f (x) = 0 khi x = 0
. Hàm số f ( x) liên tục tại: x khi x ≥ 1
A. mọi điểm thuộc ℝ .
B. mọi điểm trừ x = 0 .
C. mọi điểm trừ x = 1 .
D. mọi điểm trừ x = 0 và x = 1. x − x +
Câu 21. Cho hàm số f (x) xác định và liên tục trên ℝ với f ( x) 2 3 2 =
với mọi x =/1. Tính x −1 f ( ) 1 . A. 2. B. 1 − . C. 1. D. 0. tan x x ≠ Câu 22. sin x khi 0 Biết rằng lim
=1. Hàm số f (x) = x
liên tục trên khoảng nào sau đây? x→0 x 0 khi x = 0 π π π A. (− ; ∞ +∞).
B. x = 0
C. − ; . D. 0; . 4 4 2 3 khi x = 1 − x + Câu 23. x Hàm số f ( x) 4 =
khi x ≠ −1, x ≠ 0 liên tục tại: 2 x + x 1 khi x 0 =
A. mọi điểm trừ x = 1 − .
B. mọi điểm trừ x = 0.
C. mọi điểm x ∈ . ℝ
D. mọi điểm trừ x = 0, x =1.
Câu 24. Cho hàm số f (x) liên tục trên đoạn [−1;4] sao cho f (− )
1 = 2 , f (4) = 7 . Có thể nói gì về số
nghiệm của phương trình f ( x) = 5 trên đoạn [ 1 − ;4] : 52
Chương IV. Giới hạn
0916620899 – 0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp
A. Có đúng một nghiệm.
B. Có đúng hai nghiệm.
C. Có ít nhất một nghiệm. D. Vô nghiệm. − x x ≤
Câu 25. Xét tính liên tục của hàm số f (x) 1 cos khi 0 =
. Khẳng định nào sau đây đúng? x +1 h k i x > 0
A. f (x) liên tục tại x = 0.
B. f (x) gián đoạn tại x =1.
C. f (x) không liên tục trên ℝ.
D. f (x) liên tục trên (− ; ∞ ) 1 .
2x khi x < 0
Câu 26. Số điểm gián đoạn của hàm số h (x) 2
= x +1 khi 0 ≤ x ≤ 2 là: 3
x −1 khi x > 2 A. 3. B. 0. C. 1. D. 2. 2 x −1 khi x ≠ 1
Câu 27. Biết rằng f ( x) = x −1
liên tục trên đoạn [0; ]
1 (với a là tham số). Khẳng định a khi x = 1
nào dưới đây về giá trị a là đúng? A. a < 0.
B. a là một số nguyên.
C. a là một số vô tỉ. D. a > 5. 2 x −1
khi x < 3, x ≠ 1 x −1
Câu 28. Cho hàm số f ( x) = 4 khi x = 1
. Hàm số f ( x) liên tục tại:
x +1 khi x ≥ 3
A. mọi điểm trừ x = 1 và x = 3.
B. mọi điểm trừ x = 1.
C. mọi điểm trừ x = 3.
D. mọi điểm thuộc ℝ . 2
x − x − 2 x ≠ Câu 29. khi 2
Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số f ( x) = x − 2
liên tục tại x = 2. m khi x = 2
A. m = 0.
B. m = 1.
C. m = 2. D. m = 3. x −1 x ≠ Câu 30. khi 1
Tìm giá trị thực của tham số k để hàm số y = f ( x) = x −1
liên tục tại x = 1. k +1 khi x = 1 A. 1 1 k = − .
B. k = 2.
C. k = . D. k = 0. 2 2 3 2
x − x + 2x − 2 x ≠ Câu 31. khi 1
Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số f ( x) = x −1 liên tục tại 3 x + m khi x = 1 x = 1.
A. m = 4.
B. m = 6.
C. m = 0. D. m = 2. Câu 32. sin x Biết rằng lim
=1. Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số x→0 x 1+ cos x x ≠ π
f ( x) = ( x − π ) khi 2
liên tục tại x = π. m khi x = π π π
A. m = . B. 1 m = − . C. 1 m = . D. m = − . 2 2 2 2 53
Chương IV. Giới hạn
0916620899 – 0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp
Câu 33. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc khoảng ( 1
− 0;10) để phương trình 3 2
x − 3x + (2m − 2) x + m − 3 = 0 có ba nghiệm phân biệt x , x , x thỏa mãn x < −1 < x < x ? 1 2 3 1 2 3 A. 4. B. 18. C. 19. D. 3. 3 − x khi x ≠ 3
Câu 34. Biết rằng hàm số f (x) = x +1 − 2
liên tục tại x = 3 (với m là tham số). Khẳng m khi x = 3
định nào dưới đây đúng?
A. m ∈[0;5).
B. m ∈[5;+∞).
C. m ≤ −3.
D. m ∈(−3;0).
Câu 35. Hàm số f ( x) 1 = 3− x + liên tục trên: x + 4 A. [− ; ∞ 4 − ]∪[3;+∞). B. [−4;3). C. [ 4 − ; ] 3 . D. ( 4 − ; ] 3 . 2 x − 5x + 6 khi x > 3
Câu 36. Tìm giá trị nhỏ nhất của a để hàm số f (x) = 4x − 3 − x
liên tục tại x = 3 . 2 1 − a x khi x ≤ 3 A. 4 . B. 2 − . C. 2 . D. 4 − . 3 3 3 3 + − −
Câu 37. Cho hàm số f (x) xác định và liên tục trên m với ( ) 3 3 = x x f x với x ≠ 0 . Tính x f (0) . A. 3 . B. 2 3 . C. 1. D. 0. 3 3 3 3x + 2 − 2 khi x > 2
Câu 38. Tìm giá trị lớn nhất của x −
a để hàm số f ( x) 2 =
liên tục tại x = 2. 1 2 a x + khi x ≤ 2 4 A. a = 2. B. a = 0. C. a = 3. D. a =1. max max max max ∈ Câu 39. khi 0; 4 Biết rằng hàm số ( ) [ ] = x x f x
tục trên [0;6]. Khẳng định nào sau đây đúng? 1
+ m khi x ∈(4;6]
A. m < 2.
B. 2 ≤ m < 3.
C. 3 < m < 5. D. m ≥ 5.
Câu 40. Cho hàm số f (x) 3
= −4x + 4x −1. Mệnh đề nào sau đây là sai? A. 1
Phương trình f ( x) = 0 có ít nhất hai nghiệm trên khoảng −3; . 2
B. Phương trình f (x) = 0 không có nghiệm trên khoảng (− ; ∞ ) 1 .
C. Hàm số đã cho liên tục trên . ℝ
D. Phương trình f (x) = 0 có nghiệm trên khoảng ( 2 − ;0).
Câu 41. Cho phương trình 4 2
2x − 5x + x +1 = 0. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Phương trình chỉ có một nghiệm trong khoảng (−2; ) 1 .
B. Phương trình không có nghiệm trong khoảng (−1; ) 1 .
C. Phương trình có ít nhất hai nghiệm trong khoảng (0;2).
D. Phương trình không có nghiệm trong khoảng ( 2 − ;0). 54
Chương IV. Giới hạn
0916620899 – 0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp x + x x + Câu 42. x Hàm số f ( x) 3 cos sin = liên tục trên: 2 sin x + 3 A. 3 ℝ. B. [1;5].
C. − ;+∞. D. [ 1 − ; ] 1 . 2 1 2 x sin khi x ≠ 0
Câu 43. Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số f ( x) = x
liên tục tại x = 0. m khi x = 0
A. m ∈[7;+∞). B. m ≤ 2 − .
C. m ∈(−2;− ) 1 . D. m ∈[ 1 − ;7). 0,5 khi x = −1 x x +1
Câu 44. Số điểm gián đoạn của hàm số f (x) ( ) = khi x ≠ 1 − , x ≠ 1 là 2 x −1 1 khi x = 1 A. 3. B. 0. C. 2. D. 1. x −1 khi x < 1
Câu 45. Xét tính liên tục của hàm số f (x) = 2 − x −1
. Khẳng định nào dưới đây đúng? −2x khi x ≥ 1
A. f (x) không liên tục trên ℝ.
B. f (x) liên tục trên . ℝ
C. f (x) không liên tục trên (0;2).
D. f (x) gián đoạn tại x =1. 2 x − 3x + 2 khi x ≠ 1
Câu 46. Có bao nhiêu giá trị của tham số a để hàm số f (x) = x −1 liên tục trên ℝ. a khi x = 1 A. 3. B. 0. C. 2. D. 1. sin π x khi x ≠ 1 Câu 47. sin x Biết rằng lim
=1. Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số f (x) = x −1 x→0 x m khi x = 1
liên tục tại x = 1. A. m = π − .
B. m = π. C. m = 1 − . D. m = 1. Câu 48. Cho hàm số 3
f (x) = x − 3x −1. Số nghiệm của phương trình f ( x) = 0 trên ℝ là: A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. 2
x + x khi x <1
Câu 49. Tính tổng S gồm tất cả các giá trị m để hàm số f ( x) = 2
khi x = 1 liên tục tại x = 1 . 2
m x +1 khi x > 1
A. S = 0.
B. S = −1.
C. S = 1. D. S = 2.
Câu 50. Hàm số f (x) có đồ thị như hình bên không liên tục tại điểm có hoành độ là bao nhiêu? A. x = 0. B. x = 1. C. x = 2. D. x = 3. . 55
Chương IV. Giới hạn
0916620899 – 0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp ĐÁP ÁN 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 D A C A D B A D B D B C B C A C 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 B D B A B D C C C C B A D A C C A 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 C D B A D A B C A D D B B A D A B 56
Chương IV. Giới hạn
0916620899 – 0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp
ÔN TẬP CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN
Bài 1. Tính các giới hạn sau: 2n3 − 2n + 3
2n +1 cosn n ( 1) − a) lim b) lim + c) lim 3 + n→+∞ 1− 4n3 n n→+∞ n 4 n n→+∞ 3 HD Giải 2 3 2 3 n3 2 − + 2 2 − + n3 − 2n + 3 n2 n3 2 3 1 a) n n lim = lim = lim = − n 3 →+∞ n→+∞ − n 1 4n 1 →+∞ 1 2 n3 − 4 − 4 n3 n3
2n +1 cosn 2n +1 cos n b) lim + = lim + lim n n n→+∞ n→+∞ n n 4 n →+∞ 4 2 n n n +1 1 cosn 1 1 1 cosn Ta có lim = lim 2 + = 2 . ≤
= với mọi n và lim = 0 nên lim = 0 . n→+∞ n n →+∞ n n n 4 4 4 n→+∞ 4 n n→+∞ 4
2n +1 cos n Vậy lim + = 2 n n→+∞ n 4 n n ( 1) − ( 1 − ) n n ( 1 − ) 1 c) lim 3 + = lim 3 + lim = 3 (Vì
≤ → 0 khi n → +∞ ) n n n→+∞ n→+∞ n 3 →+∞ 3 n 3 3
Bài 2. Tính các giới hạn sau: n4 − 2n + 3 a)
( n2+ n+ − n2 lim 3 1 + 2n −1) b) lim 2 − n2 + 3 n n 3 5 − 7 9 2 c) lim n + n 8 − 7 d) lim n n 3 + 2.7 HD Giải 2 2 + 3 +1− + 2 −1
a) lim ( n2 + n
3 +1 − n2 + 2n −1) n n (n n )
= lim n2 + n3+1+ n2 +2n−1 2 n 1+ n + 2 n = lim = lim n2 n 3 1 n2 2n 1 3 1 2 1 + + + + − n 1+ + + 1+ − n n2 n n2 2 1+ n 1 = lim = 3 1 2 1 2 1+ + + 1+ − n n2 n n2 2 3 2 3 1− + 1 4 n2 − + n − 2n + 3 n3 n4 n3 n4 1 b) lim = lim = lim = − 2 − n2 + 3 3 3 2 n2 2 − + −2 + n2 n2 8 7 8 7 c 3 )lim n9 + n2 8 − 7 = lim n3 3 1+ − = +∞ ( vì lim n 3 = + ; ∞ lim 1+ − = 1 > 0 ) n7 n9 n7 n9 57
Chương IV. Giới hạn
0916620899 – 0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp n n 5 5 −1 −1 n n n 5 − 7 7 7 1 d) lim = lim = lim = − n n n n 3 + 2.7 3 2 3 + 2 + 2 n 7 7
Bài 3. Tìm các giới hạn sau: 4x5 + 9x + 7
x3 + 3x2 − 9x − 2 x +1 a) lim b) lim c) lim x→ 3x6 + x3 1 +1 x→ x3 2 − x − 6 x→−1 6x2 + 3 + 3x
9 + 5x + 4x2 − 3 3 10 − x − 2 x + 8 − 8x +1 d) lim e) lim f) lim x→0 x x→2 x − 2 x 1 →
5 − x − 7x −3 HD Giải 4x5 + 9x 5 + 7 4.1 + 9.1+ 7 a) lim = = 4 x→ 3x6 + x3 6 3 1 +1 3.1 +1 +1 (x − 2)(x2 3 2 + 5x x x x + + − − )1 3 9 2 x2 + 5x +1 15 b) lim = lim = lim = x 3 →2 x x − x →2 2 2 − 6
(x − 2)(x + 2x +3) x→2 x + 2x +3 11 +1
(x + )1( 6x2 +3−3x x ) 6x2 + 3 −3x c) lim = lim = lim = 1 x→− 2 x 2 1 →−1 x 6 + 3 + 3 3 −3x → 1 − 3(1− x x x )
9 + 5x + 4x2 −3 5x + 4x2 5 + 4x 5 d) lim = lim = lim = x→0 x x →0 2 →0
x ( 9+ 5x + 4x +3) x + x + x2 6 9 5 4 + 3 3 10 − x − 2 2 − x e) lim = lim x→2 x x →2 − 2 ( 2 x − 2) 3 (10 − x) 3 + 2 10 − x + 4 1 1 = − lim = − x→2 12 3 ( 2 10 − x) 3 + 2 10 − x + 4 7(1− x) + 8 − 8 +1
( 5−x + 7x−3)
7( 5− x + 7x −3 x x ) 7 f) lim = lim = lim = x 1 → x 5 − x − 7x 1 − 3
→ 8(1− x)( x +8 + 8x +1) x 1→ 8( x +8 + 8x +1) 12
Bài 4. Tìm các giới hạn sau: x + 3 − 2 2 − x − 3 2 a) lim b) lim c) lim
3x + x +1 − x 3 x→+∞ ( ) x 1 → x −1 x→ x2 7 − 49 x − 3
x2 − 2x + 6 − x2 + 2x − 6 x + 2 − 2 d) lim e) lim f) lim 2 x 3− → 3 − 6x − x2 x→3 x − 4x + 3 x→2 x + 7 − 3 HD Giải + 3 − 2
( x+3−2)( x+3+2 x ) x −1 1 1 a) lim = lim = lim = lim = x 1 → x x 1 −1 → (x− )1( x+3+2) x 1 → (x − )
1 ( x +3 +2) x 1→ x +3 +2 4 2 − x − 3 7 − x 1 1 b) lim = lim = − lim = − x 2 →7 x x →7 − 49
(x − 7)(x + 7)(2+ x −3) x→7 (x +7)(2+ x −3) 56 58
Chương IV. Giới hạn
0916620899 – 0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp +1 3 2 x c) lim
3x + x +1 − x 3 = lim = x→+∞ (
) x→+∞ x2+x+ +x 6 3 1 3 (x − 3) − 3 (3+ 6x−x2 x ) 3 + 6x − x2 d) lim = lim = lim x 3− 2 x 3− − − ( 2 − − )( 2 + − ) x 3− → → → x x x x x x x − 3 3 6 3 6 3 6 2
Ta có lim 3 + 6x − x
= 6 > 0, lim(x − 3) = 0 và x – 3 < 0 với mọi x < 3 x 3− ( ) x 3− → → x − 3 Do vậy lim = −∞ x 3− → 3 − 6x − x2
x2 − 2x + 6 − x2 + 2x − 6 −4x +12 e) lim = lim x 2 →3 x x − 4x →3 + 3
(x2 −4x+3)( x2 −2x+6+ x2 +2x−6) 4 1 = lim = −
x→3 ( − x)( x2 − x + + x2 + x − ) 3 1 2 6 2 6 (x − 2) + 2 − 2 ( x+7+3 x ) x + 7 + 3 3 f) lim = lim = lim = x→2 x x →2 + 7 − 3
(x − 2)( x +2 +2) x→2 x +2 +2 2
Bài 5. Tìm giới hạn của các hàm số sau: 3 x3 + 8
2x3 − 5x2 − 2x − 3 (x +3) −27 a) lim b) lim c) lim x→− x2 2 +1 x 1 +18
x→ 4x3 −13x2 3 + 4x − 3 x→0 x 3x2 + x4 x x + 2 1 3 d) lim e) lim f) lim − x→0 2x + 2 x→( 2 − ) x + 3x + 2 x→ 1− x 1− x3 1 HD Giải (x + 2) + (x2 3 − 2x x + 4 8 ) x2 − 2x + 4 12 a) lim = lim = lim = x 2 →−2 x→ 2 − x x +1 x 1 +18 (x + 2)(x → 2 + 9) − x + 9 7 (x − 3)(2x2 3 2 + x x x x + − − − )1 2 5 2 3 2x2 + x +1 11 b) lim = lim = lim = x 3 2 →3 x
4x −13x + 4x →3 2 2 − 3
(x − 3)(4x − x + ) x→3 1 4x − x +1 17 ( 3 x + 3) − 27 2 c) lim
= lim x + 9x + 27 = 27 x→0 x→0 ( ) x 2 4 3 x 3 + + x2 x x d) Ta có = 2 x 2x x + x2 −x + x2 3 3 3x2 + x4 3 Với x < 0, = lim = − 2 . Do đó x 2x x 0− → 2x 2 x + x2 x + x2 3 3 3x2 + x4 3 Với x > 0, = lim = 2 . Do đó x 2x x 0+ → 2x 2 3x2 + x4
Từ đó suy ra không tồn tại lim x→0 2x x x + 2 x e) Khi x ( 2)+ → −
thì x + 2 = x + 2 . Do đó lim = lim = 2 + 2 x ( 2) + 3 + 2 x x x ( 2)+ → − → − x +1 59
Chương IV. Giới hạn
0916620899 – 0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp 1 3 −x − 2 f) lim − = lim = −1 x 3 → x
1− x 1− x → x2 1 1 + x +1
Bài 6. Tìm giới hạn của các hàm số sau: −x2 − x + 6 9 − x2 3 − x −1 a) lim b) lim c) lim x→− x2 3 + 3x x→− 2x2 3 + 7x + 3
x→4 x − 2 − 2 2x +1 1+ x 3 − 1+ x 2 3 d) lim x e) lim f) x + − x3 lim 1 −1 x→+∞ ( ) x→+∞ 3x3 + x2 + 2 x→0 x HD Giải
−x2 − x + 6 2 − x −x2 − x + 6 2 − x 5 a) Ta có = với mọi x ≠ 3 − và lim = lim = − x2 + 3x x x 2 →−3 x x + 3x → 3 − x 3 −x2 − x + 6 5 5 Do đó lim = − = x→− x2 3 + 3x 3 3 9 − x2 6 b) lim = x→− 2x2 3 + 7x + 3 5
c) Với x > 2, ta có x −1 = x −1 và x − 2 = x − 2 . 3 − x −1
3 − x +1 4 − x Do đó = = = 1
− với x > 2 và x ≠ 4 x − 2 − 2 x − 2 − 2 x − 4 3 − x −1 Vậy lim = lim(−1) = −1 x→4 x x →4 − 2 − 2 1 3 2 2 2 + x +1 2x + x 6 d) lim = lim = lim x x = 3 2 3 2 x→+∞
3x + x + 2 x→+∞ 3x + x + 2 x→+∞ 1 2 3 3 + + 3 x x 1+ x 3 − 1+ x 1+ x 3 −1+1− 1+ x 1+ x 3 −1 1+ x −1 e) lim = lim = lim − lim x→0 x→0 x→0 x x x x →0 x
( 1+x − )1( 1+x + )1 (31+x − )1(3 (1+x 2 3 ) + 1+ x 3 + 1) = lim − lim x→0 x ( 1+ x + ) x→0 1 x ( 3 (1+ x 2 3 ) + 1+ x 3 + 1) x x = lim − lim
x→0 x ( 1+ x + ) x→0 1 x (3 (1+ x 2 3 ) + 1+ x 3 + 1) 1 1 1 = lim − lim = x→0 ( + + ) x x →0 (3 + x 2 3 + + x 3 + ) 6 1 1 (1 ) 1 1 f ) lim x2 3 +1 − x3 −1 = lim
x2 +1 − x + x 3 − x3 −1 x→+∞ ( ) x→+∞( ) 1 1 = lim + = 0
x→+∞ x2 +1 + x 2 x2 x 3 x3 1 (x3 3 )1 + − + − 60
Chương IV. Giới hạn
0916620899 – 0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp
x2 − 3x + 2 < 1 Bài 7. neáu x
Tìm các giá trị của tham số m để hàm số : f (x) = x2 − x
liên tục trên ℝ .
mx + m + 1 neáu x ≥ 1 HD Giải
Ta có f (1) = 2m + 1. lim f (x) = lim(xm + m +1) = 2m +1 = f (1) và x 1+ x 1+ → → x2 − 3x + 2
(x −1)(x − 2) x − 2 lim f (x) = lim = lim = lim = 1 − − − 2 x 1 x 1 − 2 x x x 1− x(x −1) x 1− → → → → x
Để hàm số liên tục tại x = 1 khi và chỉ khi 2m +1 = −1 ⇔ m = 1 −
Dễ thấy với mọi m, hàm số f liên tục tại mọi điểm x ≠ 1 . Vậy f liên tục trên ℝ khi và chỉ khi m = 1 − . x2 + x − 2 ≠ 1 Bài 8. neáu x
Tìm già trị của m để hàm số f (x) = x −1
liên tục tại x = 1. m neáu x = 1 HD Giải x2 + x − 2 (x −1)(x + 2)
Ta có f (1) = m và lim f (x) = lim = lim = lim(x + 2) = 3 x 1 → x 1 → x→2 x x −1 x 1 −1 →
Để hàm số f liên tục tại x = khi và chỉ khi f (1) = lim f (x) ⇔ m = 3 x 1 →
Vậy m = 3 thì hàm số f liên tục tại x = 1. Bài 9. 4 2
Chứng minh rằng phương trình x − 3x + 5x − 6 = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (1; 2). HD Giải
Xét hàm số f x = x4 − x2 ( )
3 + 5x − 6 . Hàm số này là hàm đa thức nên liên tục trên ℝ . Do đó nó liên tục trên các đoạn [1; 2] (1)
Mặt khác, ta có f (1) = 3
− < 0 ; f (2) = 8 > 0 . Do đó f (1). f (2) < 0 (2)
Từ (1) và (2) suy ta f (x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (1; 2).
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 10. Tìm các giới hạn sau: 4 2 2 a) lim ( n 2 − 2n + 3)
b) lim ( n + 2n − n ) 2 n n n 2 cosn − n2 − n 3 + n3 + n2 4 8 c) lim + d) lim n 2n 1 3 − 2 + 3 n 2n 1 2 + ( n+2 3 − 5) n n+2 n+2 3 .4 + 2 e) lim f) lim n 1 3 − ( n+2 2 + 4 ) n 1 − n−2 2 .6 − 3
Bài 11. Tìm các giới hạn sau: n 3 3 a) lim b) ( n3 lim 1+ − n) c) ( n2 n3 lim − + n) n +1 + n 2 1 1 1− 4 2 2 n n n
d) lim n (n − n +1) e) lim + + f) lim n −
3 n3 + n − n n 2n2
Bài 12. Tìm các giới hạn sau: x3 x2 2 2 a) lim − b) lim 9x +1 − 3x c) lim
2x − 3 − 5x x→−∞ ( ) x→+∞ ( )
x→+∞ 3x2 − 4 3x + 2 61
Chương IV. Giới hạn
0916620899 – 0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp 2x −1
x2 − 2x − 4x − 9 x2 2 + 3 d) lim e) lim f) lim
x→2 (x − 2)(x2 − x − 2)
x→3 (x − 3)(x2 − 2x −3) x→±∞ 4x + 2
Bài 13. Tìm các giới hạn sau: x3 − 3x − 2 2x 3 +1. 3x +1 −1 1+ 2x 3 − 1+ 3x a) lim b) lim c) lim x 1 → x −1 x→0 x x→ x2 0
x +1 − 3x − 5 3 3 2 2 d) lim
e) lim x + x + x − x f) lim
x + 3x − x − 2x x→+∞ ( ) x→3 2x + 3 − x + 6 x→+∞
Bài 14. Tìm các giới hạn sau: 1 3 2 2
a) lim − x + 5x − 4x +1
b) lim 2x − 3 + 4x + 7x − 9 x→−∞ ( ) x→−∞ 3 −2x +1 2 c) lim
d) lim 6x − 5 − 36x − 4xx − 5 x→+∞ ( ) x 1+ → 1− x 1 4 2 2
e) lim x − 2x + 4
f) lim 5x +1− 9x + 2x x→+∞ ( ) x→−∞ 4
Bài 15. Tìm các giới hạn sau: 2x +1 2 a) lim b) lim
4x + 3x −1+ 3x x→−∞ ( ) 1 + 2x −1 x→ 2 1 4 2 2
c) lim − x − 2x + 3 d) lim
36x − 24x − 6x + 2 x→+∞ ( ) x→−∞ 4 4x2 + x − 20 2 e) lim f) lim
9x − 3x + 5 + 3x − 4 x→−∞ ( ) − → − 3 + 9 x ( 3) x
Bài 16. Tìm các giới hạn sau: 2x2 + x − 20 2 a) lim b) lim
4x − 3x + 5 + 2x − 4 x→−∞ ( ) − → − 2 + 4 x ( 2) x 3 2 c) lim 2
− x + 3x − 4
d) lim 4x − 36 + 4x −12x x→−∞ ( ) x→+∞ ( ) 3 3 2 2 3 3 e) lim
8x + x +1 + 4x − 3x + 5 f) lim
9x − 3x + 5 + 27x + x +1 x→−∞ ( ) x→−∞ ( ) 1 1 x3 − 2x + 4 g) lim − h) lim x − → x2 2 − 4 x − 2
x→−2 x + 4 − x + 6 6 − x 3 − x2 + 4
3 x + 7 − 5− x2 k) lim l) lim x→ x2 2 − 4 x 1 → x −1
x2 − x + 4 neáu x = 2
Bài 17. Chứng minh rằng hàm số f (x) = x − 2
liên tục trên tập xác định của nó. neáu x ≠ 2 x + 7 − 3 Bài 18. 3 2
Chứng minh rằng phương trình x − 3x + 5x + 7 = 0 luôn có nghiệm. 1 3 − neáu x > 1
Bài 19. Cho hàm số f (x) = x −1 x3 −1
. Với giá trị nào của tham số m thì hàm số
m2x + 2mx + 2 neáu x ≤ 1
f (x) liên tục tại x = 1. 62
Chương IV. Giới hạn
0916620899 – 0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp
m2x2 − mx + 4 neáu x = 2
Bài 20. Cho hàm số f (x) = x − 2
. Với giá trị nào của tham số m thì hàm số neáu x ≠ 2 x + 7 − 3
f (x) liên tục tại x = 2.
x3 − x2 + x −1 > 1 Bài 21. neáu x
Cho hàm số f (x) = x2 − 5x + 4
. Xét tính liên tục của hàm số y = f (x) tại x = 1. 2 − x + 1 neáu x ≤ 1
x3 + 3x2 − 9x − 2 ≠ 2 Bài 22. neáu x
Cho hàm số f (x) = x2 − 3x + 2
. Xét tính liên tục của hàm số y = f (x) tại x =
5x + 5 neáu x = 2 2. −2x + 1 khi x ≤ −1
Bài 23. Xét tính liên tục của hàm số y = f (x) = x2 + 5x + 4 tại x = −1 khi x > 1 − x3 +1
2x + 5 khi x > 2 −
Bài 24. Xét tính liên tục của hàm số y = f (x) = x4 −3x2 − 4 tại x = −2 khi x ≤ 2 − x3 + 8
2x + 8 khi x ≠ 1
Bài 25. Xét tính liên tục của hàm số y = f (x) = x4 + 3x2 − 4 tại x = 1 khi x = 1 x3 − 2x +1 x2 + 3x + 2 khi x > 1 − Bài 26. + + 2
Xét tính liên tục của hàm số x x
y = f (x) = tại x = −1
1 x3 + x2 + 2x −2 khi x ≤ 1 − 3
Bài 27. Tìm các giới hạn sau: n n 5.2 − 3.7 n2 9 +1 + n x6 − 2x a) lim b) lim c) lim n n 4 + 2.5 2n +1
x→−∞ 3x2 + 2 2x + 2 − 2 3 2 3 −11 + 7 − 3 2 x x x d) lim e) lim
x + x + 3 − x f) lim x→+∞ ( ) x 1 → x −1
x→ 5x3 −19x2 3 +14x − 6 1 1 2 2 g) lim − h) lim
x − 2x −1 − x − 7x + 3 x→−∞ ( ) x + → x2 4 −16 x − 4
Bài 28. Tìm các giới hạn sau:
(n + 2)(2 − 3n 2) n+3 2n 1 2 − 2 +
2x3 − 7x2 +1 x 1 −10 a). lim b) lim c) lim n3 + 8 n−2 n 4 + 3 x→ x3 − 2x2 2 − 3x + 6 x +1
x + 9 + x + 4 − 5 2x3 − 5x − 3 d) lim e) lim f) lim x→−1 6x2 + 3 + 3x x→0 x x→−1 5x + 6 + x 2x2 + 2x − 5 2 9 − 5 + − 3 2 x x x g) lim h) lim
4x +12x + 3x −15 i) lim x→−∞ ( ) x→−∞ 3 8x3 − x
x→−∞ 2x + 3 − 4x2 − 7 5 3 2
x − 5x + 2x + 6x − 4 3 x − x − 6 j) lim k) − + − l) lim →−∞ ( 3 3 2 2 lim x 3x x 2x x ) 3 2 x 1 →
x − x − x +1
x→2 x + 4 − 5x + 26
Bài 29. Tìm các giới hạn sau: 63
Chương IV. Giới hạn
0916620899 – 0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp 3 4 2 2 2
x3 − 3x2 + 5x − 2
(6x + 4) (3x − 5) 2 a) lim b) lim
c) lim x − 2 + x + 3x x→−∞ ( ) 3 1 2 2 → 1− 8 x→+∞ x x
(9x4 − 2) (8x3 + 2) 2 2x 3 −1 + x − 2 x 3 + 4 − x + 8
3x3 + 2x2 − 4x +1 d) lim e) lim g) lim x→ x2 1 −1 x→ 2x2 0 + x 3 1 → 27 −1 x x 3 (3 x − 4)2 (5x + n n 1 − n )4 3 2 1 2 (3 −5.2 ) 2x 3 + 3 − 3x +18 h) lim lim i) lim j) x→+∞ (4 n 1 − n →3 − 3 x 2)2 (7x 2)3 4 2 − + 3 (2 + 4) x x m khi x = 2
Bài 30. Cho hàm số f (x) = 2x2 − 5x + 2
. Với giá trị nào của tham số m thì hàm số khi x ≠ 2 x2 − 4
f (x) liên tục tại x = 2 .
m2x2 − mx + 4 khi x = 2
Bài 31. Cho hàm số f (x) = x − 2
. Với giá trị nào của tham số m thì hàm số khi x ≠ 2 x + 7 − 3
f (x) liên tục tại x = 2 . 1 3 − khi x ≠ 1
Bài 32. Cho hàm số f (x) = x −1 x3 −1
. Tìm m để hàm số f (x) liên tục tại x = 1.
m2x + 2mx + 2 khi x = 1
4x +1 − 6x −3 khi x ≠ 2 2 Bài 33. 4 Cho hàm số − x f (x) =
. Tìm m để hàm số f (x) liên tục tại x = 2 . 1 1
m2x2 + x − khi x = 2 6 4
3x +1 − x + 3 ≠ 1 Bài 34. khi x
Cho hàm số f (x) = x3 −1
. Tìm m để hàm số f (x) liên tục tại x = 1.
m2x2 − 4x khi x = 1
x +1 + x + 4 −3 khi x > 0 Bài 35. Cho hàm số x f (x) =
. Tìm m để hàm số f (x) liên tục tại 5
(1+ x)m2 + (1− 2x)m − khi x ≤ 0 4 x = 0 .
x + 9 + x + 4 − 5 khi x > 0 Bài 36. Cho hàm số x f (x) =
. Tìm m để hàm số f (x) liên tục tại 19 (1− x m2 ) + (2x −1 m ) − khi x ≤ 0 12 x = 0 .
2x2 + 3x −14 khi x ≠ 2 3 2 Bài 37. − − − 2 Cho hàm số x x x f (x) =
. Tìm m để hàm số f (x) liên tục tại x = 2 . m 3 − 5 khi x = 2 2x + 3 64
Chương IV. Giới hạn
0916620899 – 0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp Bài 38. 5
a) Chứng minh rằng phương trình x + x −1 = 0 có ít nhất một nghiệm thực. 3 2
b) Chứng minh rằng phương trình x + 3x − 4x − 7 = 0 có ít nhất một nghiệm. 4 3 2
c) Chứng minh rằng phương trình 2x − x + 3x − 3x − 9 = 0 có ít nhất hai nghiệm. 4 3 2
d) Chứng minh rằng phương trình 16x −16x +19x −16x + 3 = 0 có ít nhất hai nghiệm trong khoảng (0; 1).
e) Chứng minh rằng các phương trình: x2cosx + xsinx + 1 = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0;π ) .
f) Chứng minh rằng các phương trình: sinx = x – 1 có ít nhất một nghiệm có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0;π ) . 5 4
g) Chứng minh rằng phương trình x − 3x + 5x − 2 = 0 có ít nhất ba nghiệm phân biệt. 5
h) Chứng minh rằng phương trình x − 5x −1 = 0 có ít nhất ba nghiệm phân biệt. Bài 39. + n n 1 1 (− ) 1 1 a) Tính tổng 2 4 8 2 S = 1+ + + + ...+ +.... b) Tính S = − +...+ +.... 3 9 27 3n 3 9 3n n+ 1 1 1 (− ) 1 1 1 1 (−1)n
c) Tính tổng của cấp số nhân vô hạn , − , ,...,
,... d) Tính S = 1+ − +...+ +... n 1 3 6 12 3.2 − 2 n 1 9 9 9 − 1 1 1 2 4 2n e) Tính tổng S = + +...+ + ... f) Tính S = 1+ + +...+ +... 2 3 3 3n 3 9 3n 1 1 1 1 1 1 3 4 8 16 32
g) Tính S = − + − + ...+
− +... h) Tính S = + − + − +... 2 3 4 9 2n 3n 2 3 9 27 81 n+ 1 1 1 1 1 1 1 (− ) 1 1
k) Tìm tổng cấp số nhân , , ,...,
,... l) Tổng của cấp số nhân vô hạn , − , ,..., ,... 2 3 2 2 2 2n n 1 2 6 18 2.3 −
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM x2 − 3x + 2
Câu 1. Tính P = lim .
x→ x3 − 4x2 1 + 2x +1 1 1 1 1
A. P = .
B. P = − .
C. P = . D. P = . 2 4 3 6 2 n + n − − 2 1 4n − 2
Câu 2. Tính J = lim . n + 3 1
A. J = −2.
B. J = − .
C. J = 0.
D. J = −1. 3 2 + − − Câu 3. 3x 2 2 2x a 2 a Biết lim =
, ( tối giản). Tính S = a + . b x b b
A. S = 5.
B. S = −2.
C. S = 1.
D. S = 3. 2 n sin n − 2 3 Câu 4. n Tính J = lim . 2 n
A. J = 0.
B. J = 2.
C. J = −3.
D. J = 3. 2 x + x +10 2 x +11x + 30 Câu 5. Biết lim = a và lim
= b . Tính S = a + . b 3 x→−1 x + 6 2 x→−5 25 − x 1 1 21
A. S = . B. S = .
C. S = 2. D. S = . 5 10 10 3 10 − x − 2
Câu 6. Tính P = lim . x→2 x − 2 65
Chương IV. Giới hạn
0916620899 – 0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp 1 1 1 A. P = − . B. P = .
C. P = 2. D. P = . 12 12 24 1 1− 4n
Câu 7. Tính H = lim n − . 2 n 2n 1
A. H = −2.
B. H = − .
C. H = 2.
D. H = +∞. 2 (− )1n
Câu 8. Tính E = lim . 2n +1 1 1
A. E = 1.
B. E = 0. C. E = .
D. E = − . 2 2 1 1
Câu 9. Tính N = lim − . + x→ x2 2 − 4 x − 2 1 A. N = .
B. N = −∞.
C. N = 2.
D. N = 0. 32 4 2x + 5x −1 2
x + 4x − x +1 Câu 10. Biết lim = a và lim
= b . Tính P = a b . +1. 2 4
x→+∞ 1 − x + x x→−∞ 1− 2x 1
A. P = −2.
B. P = 2.
C. P = 1. D. P = . 4 2 x − 2x + 6 − 2 x + 2x − 6
Câu 11. Tính N = lim . x→ 2 3 x − 4x + 3 2 1
A. N = .
B. N = 1.
C. N = −3.
D. N = − . 3 3 x + 2 − 2 Câu 12. a Biết lim
= với a,b∈ℤ. Mệnh đề nào dưới đây đúng ? x→2 x + 7 − 3 b
A. a + b = 5.
B. 2a − b = 1.
C. ab +1 = 6.
D. b − a = 1. x − Câu 13. x Tính P = lim . x→1 x −1
A. P = −3.
B. P = 0.
C. P = −1.
D. P = 1.
Câu 14. Trong bốn giới hạn dưới đây, giới hạn nào có giới hạn là +∞? 3 n + 2n −1 2 n − 3n + 2 2 2n − 3 2 n − n +1 A. lim . B. lim . C. lim n . D. lim . 3 n − 2n 2 n + n 3 n + 3n 2n −1
Câu 15. Cho (u ) và (v ) là hai dãy số có giới hạn. Khẳng định nào dưới đây là đúng? n n A. 1 1 u u lim = . B. lim lim n n = . u lim u v lim v n n n n C. 3 3
lim u = limu .
D. lim v = limv . n n n n
Câu 16. Cho phương trình 3
−4x + 4x −1 = 0 (1). Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào sai ?
A. Phương trình (1) có nghiệm trên khoảng ( 2 − ;0). 1
B. Phương trình (1) có ít nhất hai nghiệm trên khoảng −3; 2
C. Phương trình (1) không có nghiệm trên khoảng (− ; ∞ ) 1 . D. Hàm số 3
f (x) = 4x + 4x −1 liên tục trên ℝ.
Câu 17. Số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,5111... được biểu diễn bởi một phân số nào dưới đây? 66
Chương IV. Giới hạn
0916620899 – 0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp 47 46 6 43 A. . B. . C. . D. . 90 90 11 90 2 − (− )1n n
Câu 18. Tính I = lim . 1+ 2 2n 3 1
A. I = .
B. I = −2.
C. I = 0.
D. I = . 2 2
Câu 19. Trong bốn giới hạn dưới đây, giới hạn nào là 0 ? x −1 2x + 5 2 x −1 A. lim . B. lim . C. + − D. lim . →+∞ ( 2 lim x 1 x x ) 3 x 1 → x −1 x→ 2 − x +10 2 x 1 → x − 3x + 2 1+ x − 3 1+ Câu 20. x Tính L = lim . x→0 x
A. L = 0.
B. L = 2.
C. L = 8.
D. L = −3.
Câu 21. Trong bốn giới hạn dưới đây, giới hạn nào là +∞? 2 n − n +1 2 n − 3n + 2 2 2n − 3 3 n + 2n −1 A. lim . B. lim . C. lim n . D. lim . 2n −1 2 n + n 3 n + 3n 3 n − 2n
6 − x − 3 x2 + 4
Câu 22. Tính I = lim . x→ x2 2 − 4 1 7 7 A. I = − . B. I = − . C. I = .
D. I = −7. 48 48 48
Câu 23. Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào sai ? A. 4 3
Phương trình x − 3x + x −1 = 0 có nghiệm trong khoảng (−1;3).
B. Hàm số y = x + cos x liên tục trên . ℝ 2 x − 3x + 2
C. Hàm số y =
liên tục trên các khoảng (− ; ∞ ) 1 và (1;+∞). x −1
D. Hàm số y = cot x liên tục trên . ℝ Câu 24. 3 3
Tính M = lim ( 1+ n −n).
A. M = +∞.
B. M = 2.
C. M = 0.
D. M = 3. 2n − 3 3n +1
Câu 25. Tính L = lim . 3 n + 2 n 1
A. L = − .
B. L = 3.
C. L = 0. D. L = −3. 3
Câu 26. Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào sai ? 2 x + 3x + 2
A. Hàm số y =
liên tục trên các khoảng (− ; ∞ 2 − ) và ( 2 − ;+∞). x + 2 B. Phương trình 5 4
x − 3x + 5x − 2 = 0 có ít nhất ba nghiệm nằm trong khoảng ( 2 − ;5).
C. Hàm số y = tan x liên tục trên ℝ.
D. Hàm số y = x + sin x liên tục trên ℝ. Câu 27. 2 2
Biết lim ( n + n − n −1) = a,a∈ℚ. Tính 2
S = a + a +1. 7 1 3
A. S = 1.
B. S = .
C. S = .
D. S = . 4 2 2
Câu 28. Cho phương trình 3 2
x + 3x − 4x − 7 = 0 (1). Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào sai ?
A. Phương trình (1) ít nhất nghiệm trong khoảng (1;3). 67
Chương IV. Giới hạn
0916620899 – 0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp
B. Phương trình (1) có nghiệm trong khoảng ( 4 − ;0). C. 3 2
Hàm số f (x) = x + 3x − 4x − 7 liên tục trên ℝ.
D. Phương trình (1) không có nghiệm trong khoảng ( 2 − ;0). (2−3n)3(n+ )2 1
Câu 29. Tính M = lim . bằng. 1− 5 4n 27 3 27 3 A. M = − .
B. M = − . C. M = .
D. M = . 4 4 4 4
Câu 30. Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân lùi vô hạn, biết rằng tổng của cấp số nhân đó là 12, 3
hiệu của số hạng đầu và số hạng thứ hai là 4 và số hạng đầu là một số dương. 3 1 3
A. u = 3;q = .
B. u = 3;q = .
C. u = 1;q = .
D. u = 3;q = 3. 1 4 1 4 1 4 1
Câu 31. Trong các hàm số sau đây, hàm số nào liên tục tại x = 1. 2x − 2
A. f (x) = .
B. f (x) = 1− 2x. x2 − 6x + 5
x2 − 5x + 4
x2 − 3x + 2 khi x > 1 khi x ≠ 1
C. f (x) = x −1 .
D. f (x) = x −1 .
3x +1 khi x ≤ 1 −x khi x = 1 2x + 7 − 3 Câu 32. a a Biết lim
= , với a,b∈ℤ và tối giản. Mệnh đề nào dưới đây đúng ? x→1 x + 3 − 2 b b
A. 2a + b = 12.
B. 2a − b = 3.
C. a + 2b = 10.
D. a − 2b = 4.
Câu 33. Trong bốn giới hạn dưới đây, giới hạn nào là 0? (2n+ )1(n−3)2 2n +1 A. lim . B. lim . 3 n − 2n 3.2n − 3n 2n + 3 3 1− C. lim . D. lim n . 1− 2n 2 n + 2n n+2 4 ( 2n− 5 − 3 3 )
Câu 34. Tính L = lim . n→+∞ ( 2n+1 2 − )1( n− 2 − 2 9 )
A. L = 24.
B. L = 4.
C. L = 16.
D. L = 36. 1 1
Câu 35. Tính L = lim − . + x→ x2 2 − 4 x − 2 1
A. L = −∞.
B. L = 2.
C. L = 0. D. L = . 32 2 3 3 2
4n − n + 8n + Câu 36. n Tính K = lim . 2n 3 +
A. K = 1.
B. K = 2.
C. K = 4.
D. K = 3. n − 2 Câu 37. n Tính K = lim . 2n 1 1
A. K = 2.
B. K = − .
C. K = .
D. K = −1. 2 2 68
Chương IV. Giới hạn
0916620899 – 0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp 3− 5x −1 x > Câu 38. khi 2
Tìm tham số m để hàm số: 2
y = f (x) = 2x − 5x + 2
liên tục tại x = 2 0 3
(m − 2)x − mx +10 khi x ≤ 2 A. 5 m = . B. 103 m = . C. 5 m = − . D. 103 m = − . 18 108 18 108 3 2 2
2x − 5x − 2x − 3 ax + bx +1 Câu 39. Biết lim = lim
, với a, b, c, d ∈ .
ℤ Tính P = abcd. 3 2 2 x→3 x→3
4x −13x + 4x − 3 cx + dx +1
A. P = 6.
B. P = 4. C. P = 2 − . D. P = 8 − . 1 1 a Câu 40. a Biết lim −
= , với a,b ∈ ℤ và tối giản. Tính u = a + 9 . b
x→ x2 + x − 2 x3 1 −1 b b 10 A. u 162. B. u 27. C. u 20. D. u 83. 10 = 10 = 10 = 10 =
Câu 41. Trong bốn giới hạn dưới đây, giới hạn nào là 0? 3 1− (2n+ )1(n−3)2 A. lim x . B. lim . 2 3
x→+∞ x + 2x n − 2n 2n +1 2x + 3 C. lim . D. lim . 3.2n − 3n x 1− → x −1 1 3
Câu 42. Tính L = lim − . 3 x→1 1− x 1− x 1
A. L = 4.
B. L = 0.
C. L = −1.
D. L = − . 2 2 2sin Câu 43. n Tính G = lim 10 − . n
A. G = +∞.
B. G = 0.
C. G = 10.
D. G = 9. 1 1 1 (−1)n
Câu 44. Tính tổng S của cấp số nhân vô hạn − , ,− ,... ,... 2 4 8 2n 1 1 1
A. S = .
B. S = −1.
C. S = − .
D. S = − . 2 4 3 x +1 Câu 45. Biết lim = a . Tính a a
H = P + A + C x→−1 2 6 a a a x + 3 + 3x
A. H = 55.
B. H = 105.
C. H = 3.
D. H = 9. 2n 1 + n + − Câu 46. 3 2( 5) Tính M = lim . n−2 n→+∞ 6 − 3
A. M = 108.
B. M = 102.
C. M = 1. D. 1 M = . 6 Câu 47. 3 2 3
Tính P = lim ( n − n + n). 1
A. P = .
B. P = 2.
C. P = 0.
D. P = −3. 3 n n ( 1) ( 3 1 ) − Câu 48. a Biết lim + = , với , a b ∈ ℤ. Tính 2 2
S = a − b . n+1 2 3.2 b 1
A. S = .
B. S = −1.
C. S = −3.
D. S = 3. 2 69
Chương IV. Giới hạn
0916620899 – 0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp 2
x + 2x + a khi x > 2
Câu 49. Cho f (x) = 2a +1 khi x = 2
liên tục trên tại x = 2 với a,b ∈ .
ℚ Tính S = a + . b bx − 3 khi x < 2
A. S = 17.
B. S = 16.
C. S = 14.
D. S = 15. x + 3 − 2 Câu 50. a Biết lim
= với a,b∈ℤ. Mệnh đề nào dưới đây đúng ? x→1 x −1 b
A. ab = 4.
B. a + b = 7.
C. a + 3b = 5.
D. b − 2a = 3. 1
Câu 51. Tính tổng S = 9 + 3 +1+ ...+ + ... 3n 35 27 7 1 A. S = . B. S = . C. S = . D. S = . 3 2 2 2 x2 −1
Câu 52. Tính N = lim . x→1 3 x −1
A. N = 0.
B. N = +∞.
C. N = 6.
D. N = 9. ( x + 3)3 − 27 Câu 53. Biết lim
+ m = 27. Tìm m. x→0 x
A. m = −9.
B. m = 1.
C. m = 0.
D. m = 27. 1 1
Câu 54. Tính tổng S = 2 − 2 +1− + −... 2 2 2 2 2
A. S = 2 2. B. S = .
C. S = 2 +1. D. S = . 2 +1 2 +1 5 4x + 9x + 7
Câu 55. Tính I = lim . x→ 6 3x + 3 1 x +1 4
A. I = 4.
B. I = 2. C. I = .
D. I = 8. 3 3 x + 2 3x − 9x − 2
Câu 56. Tính J = lim . x→ 3 2 x − x − 6 15 15 11
A. J = 15. B. J = . C. J = . D. J = . 10 11 15 n2 9 − n +1 a Câu 57. a Biết lim = , a, b 4 và
tối giản. Mệnh đề nào dưới đây đúng ? n − 2 với ∈ℤ b b
A. b − a = 1.
B. a + b = 9.
C. 2a + b = 12.
D. ab + 2 = 10. n2 4 +1 + n a Câu 58. a Biết lim = , a, b 2 và
tối giản. Mệnh đề nào dưới đây sai ? n +1 với ∈ℤ b b
A. ab + 4 = 10.
B. 2b − a = −1.
C. a + b = 5.
D. a − 2b = −1.
Câu 59. Hàm số nào sau đây liên tục tại x = 1? 0 2 x − 9x + 8 2 x − 2x − 3 khi x ≠ 1
A. f (x) = .
B. f (x) = x −1 . x −1 −7 khi x = 1
2x − 5 khi x ≥1
C. f (x) = .
D. f (x) = x − 2. 3 2
x − 2x + x − 3 khi x < 1 70
Chương IV. Giới hạn
0916620899 – 0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp 2 2 a Câu 60. a Biết lim
x − 2x −1 − x − 7x + 3 = , với a,b ∈ ℤ và tối giản. Mệnh đề nào dưới đây x→+∞ ( ) b b sai ?
A. b − a = 2.
B. a + b = 7. C. a b . = 10.
D. a − b = 3.
Câu 61. Đoàn trường tổ chức trò chơi lớn, tên của một đồng chí trạm trưởng được mã hóa bởi số 1234.
Biết rằng mỗi chữ số trong số này là giá trị của một trong các biểu thức , A ,
O H,T, N,U với: 3n + 4 4 2 x + 2x + 3 x −1 A = lim O = lim H = lim n − 2 x→−1 x −1 x 2+ → x + 2 6 2
x + 4x + x − 2
4n +1 cosn 1 T = lim N = lim + U = lim x→−∞ ( x→+∞ 2 x + 2)2 3 n 3n
x + x +1 − x
Hãy cho biết tên của đồng chí trạm trưởng này, bằng cách thay các chữ số trên bởi các chữ kí hiệu biểu thức tương ứng.
A. HUAN. B. TOAN.
C. THOA. D. TUAN. 2 x
vôùi x < 1, x ≠ 0 x
Câu 62. Cho hàm số f (x) = 0 vôùi x = 0
. Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào đúng ? x vôùi x ≥ 1
A. Hàm số liên tục tại mọi điểm trừ điểm x = 1.
B. Hàm số liên tục tại mọi điểm trừ các điểm x thuộc đoạn [0;1].
C. Hàm số liên tục tại mọi điểm trừ điểm x = 0.
D. Hàm số liên tục tại mọi điểm thuộc ℝ. x +1
Câu 63. Tính K = lim (2x +1) . x→+∞ 2x3 + x2 2 A. K = .
B. K = 2.
C. K = 3.
D. K = 2. 2 Câu 64. a a a b
Biết lim x + x − x =
, với a,b ∈ℤ và tối giản. Tính S = + . x→+∞ b b b a 2 1 3 5
A. S = .
B. S = .
C. S = .
D. S = . 3 2 2 2
Câu 65. Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào sai ?
A. Hàm số đa thức liên tục trên toàn tập số thực . ℝ 1 n u − q 1 ( )
B. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn S = , q < 1. 1− q u
C. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn 1 S = , q < 1. 1− q
D. lim f (x) + (
g x) = lim f (x) + lim ( g x). x→x0 x→x0 x→x0 Câu 66. Tính tổng n S 2 3 1 1 0,9 (0,9) (0,9) ... (0,9) − = + + + + + + ... 9 A. S = .
B. S = 9.
C. S = 10.
D. S = 11. 10 ( x + 2)3 − 8 Câu 67.
neáu x ≠ 0, x ≠ 1 −
Cho hàm số: y = f (x) = 2 x + x
. Khẳng định nào dưới đây là sai ? 2
x − 2x +12 neáu x = 0 71
Chương IV. Giới hạn
0916620899 – 0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp
A. f (0) = lim f (x)
B. Hàm số gián đoạn tại x = 0 x→0 (x +2)3 −8
C. Hàm số liên tục tại x = 0 D. lim = 12 2 x→0 x + x x2 +1 −1
Câu 68. Tính H = lim .
x→0 4 − x2 +16 1
A. H = − .
B. H = 2.
C. H = 0.
D. H = −4. 4 n 1 1 1 1 1 −
Câu 69. Tính tổng S cấp số nhân 1,− , ,− ,..., − ,... 2 4 8 2 2 3 3 3
A. S = .
B. S = . C. S = . D. S = . 3 2 8 4 Câu 70. 5 39
Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn là
, tổng ba số hạng đầu tiên của nó là . Tìm số hạng 3 25
đầu và công bội của cấp số đó. 2 5 2 5 q = q = q = q = A. 5 . B. 2 . C. 5 . D. 2 . u =1 u =1 u = 2 u = 2 1 1 1 1
Câu 71. Tính = lim (5n Q − cos nπ).
A. Q = +∞.
B. Q = 1.
C. Q = 0.
D. Q = −1. x3 − 3x + 2 π Câu 72. Biết lim
= tanα, với 0 < α < . S = α + α − 2 x→1 x − 5x + 4 2 Tính sin cos . 3 1+ 3 1 3 A. S = . B. S = . C. S = . D. S = . 3 2 2 2 3 − x −1
Câu 73. Tính K = lim .
x→4 x − 2 − 2
A. K = −1.
B. K = 1.
C. K = 0.
D. K = 4. Câu 74. 2 Biết lim + −
= . Tính cosa . →+∞ ( 5x 1 x 5 a x ) 1
A. cosa = .
B. cosa = k2π,k ∈ . 2 ℤ
C. cos a = 1.
D. cos a = 0. 1
Câu 75. Tính L = lim . n! 1 1
A. L = 0.
B. L = 1. C. L = . D. L = . 1000 9 10 Câu 76. 2
Tính Q = lim 2x +1− 9x + 4x . x→+∞ ( )
A. Q = −1.
B. Q = 0.
C. Q = −∞.
D. Q = +∞.
Câu 77. Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn 2,780780780... dưới dạng một phân số nào dưới đây ? 278 926 999 278 A. . B. . C. . D. . 333 333 10000 333 72
Chương IV. Giới hạn
0916620899 – 0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp 2 − x − 3
Câu 78. Tính K = lim . x→ 2 7 x − 49 1
A. K = 0.
B. K = +∞. C. K = − .
D. K = −56. 56 6 2
x + 4x + x − 2 2 x + x − 40 Câu 79. Biết lim = a và lim
= b . Tính S = a − . b 5 4 x→−∞ (
x→+∞ 2x + 7x + 21 x + 2)2 3 1 10
A. S = . B. S = .
C. S = 1.
D. S = 0. 2 3 Câu 80. 155
Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn là 10, tổng năm số hạng đầu tiên của nó là . Tìm số 16
hạng đầu và công bội của cấp số đó. 1 1 1 1 q = q = q = q = A. 5 . B. 2 . C. 2 . D. 2 . u = 5 u = 5 u =1 u = 3 1 1 1 1 1+ x − 3 1+ Câu 81. x a Biết lim = với ,
a b ∈ ℤ. Mệnh đề nào dưới đây sai ? x→0 x b
A. 2a + b 3 = 5.
B. ab +1 = 7.
C. 2a + b = 8.
D. b − a = 5. 2 x − + x + Câu 82. 2 3 4 x Biết lim
+ 2m =10. Tìm m. x→−∞ 3 3 2
8x − 4x − x + 5
A. m = 10.
B. m = 1.
C. m = 5.
D. m = 0.
Câu 83. Tìm mối liên hệ giữa các số thực a,b sao cho ( 2 2 lim
n + an + 2 − n − bn = →+∞ ) 2. n
A. a + b = 4.
B. a + b = 2.
C. a − b = 4.
D. a − b = 2. n 1 1 (−1)
Câu 84. Tính tổng S = 1 − + − + ...+ + ... 2 n 1 10 10 10 − 11 10 1 10 A. S = − . B. S = . C. S = . D. S = − . 10 11 11 11
Câu 85. Tên của một học sinh được mã hóa bởi số 5301. Biết rằng mỗi chữ số trong số này là giá trị của
một trong các biểu thức A, H, N và O với 3n −1 n n n − − A = lim ; H = lim + − = = n + ( 2 3 5.4 2 n 2n n); N lim ; O lim . 2 3n + 7 1− 4n
Hãy cho biết tên của học sinh này, bằng cách thay các chữ số trên bởi các chữ kí hiệu tương ứng. A. HAN . O
B. OANH. C. NHO . A
D. HOAN. 3 3n − 5n +1 Câu 86. K = lim . 2 n + 4 1
A. K = +∞.
B. K = 3.
C. K = 0. D. K = . 3 1 Câu 87. Biết lim = a. Tính a
P = C + a 10 x→+∞ 2
x + x +1 − x
A. P = 47.
B. P = 45.
C. P = 100.
D. P = 2. n − Câu 88. 1 1 1 ( 1)
Cho cấp số nhân vô hạn − , , − ,...,
,... . Tính tổng S của cấp số đã cho. 2 4 8 2n A. 1 S = − . B. 1 S = .
C. S = −1. D. 1 S = − . 4 2 3 73
Chương IV. Giới hạn
0916620899 – 0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp x − 3
Câu 89. Tính P = lim . −
x→3 3 − 6x − x2 6
A. P = −∞.
B. P = 0.
C. P = 2. D. P = − . 6
Câu 90. Trong bốn giới hạn dưới đây, giới hạn nào là −1? 2n + 3 3 2 + 2 3 − A. lim . B. lim n . C. lim n n . D. lim n n . 2 −3n 2 n + 3 2 −2n − n 3 2n +1 Câu 91. Tính tổng n S 2 3 1 1 0,9 (0,9) (0,9) ... (0,9) − = + + + + + + ... 9 A. S = .
B. S = 9.
C. S = 10.
D. S = 11. 10 x + x2 −1 −1
Câu 92. Tính M = lim . + x→1 x −1
A. M = 0.
B. M = 2.
C. M = +∞.
D. M = 2. 2
Câu 93. Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân lùi vô hạn có tổng bằng 3 và công bội q = 3 n 1 3 − n 1 n 1 n 1 2 − 2 + 3 +
A. u = .
B. u = .
C. u = .
D. u = . n 2 n 3 n 3 n 2
x3 − x2 + 4x + 5
Câu 94. Tính I = lim . x→+∞ x4 − x + 3
A. I = 0.
B. I = 1.
C. I = 3.
D. I = −1. x2 +1 −1 Câu 95. 1 Biết lim
= a, với a ∈ℤ. Tính S = a + .
x→0 4 − x2 +16 a 1 17
A. S = − .
B. S = 2.
C. S = −4. D. S = − . 4 4 Câu 96. 2 Tính J = lim
3x + x +1 − x 3 . x→+∞ ( ) 1 1 3
A. J = 0.
B. J = . C. J = . D. J = . 6 2 3 3 2 n +1 + Câu 97. n Tính T = lim . 3 3
n + n − n 1
A. T = 2.
B. T = 1.
C. T = .
D. T = +∞. 2
x2 + 2x − 4 + 3x +1 a Câu 98. a Biết lim
= , với a,b∈ℤ và tối giản. Mệnh đề nào dưới đây đúng ? x→+∞ 2 + 4 − 3 + 2 − 5 b x x x b
A. a + ab = 12.
B. a + b = 7.
C. ab − b = 10.
D. b − a = 1. 1 1 1 (−1)n
Câu 99. Tính tổng S của cấp số nhân vô hạn − , ,− ,... ,... 2 4 8 2n 1 1 1
A. S = − .
B. S = .
C. S = − . D. S = 1 − . 4 2 3
Câu 100. Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn 2,131131131... dưới dạng một phân số nào dưới đây ? 129 2129 212 219 A. . B. . C. . D. . 999 999 999 999 74
Chương IV. Giới hạn
0916620899 – 0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp x + 8 − 8x +1 Câu 101. a Biết lim
= với a,b∈ℤ. Mệnh đề nào dưới đây đúng ? x→1
5 − x − 7x − 3 b
A. 2a − b = 2.
B. a + b = 20.
C. a − 2b = 17. D. . a b = −84.
Câu 102. Đoàn trường tổ chức trò chơi lớn, tên của một đồng chí trạm trưởng được mã hóa bởi số 1234.
Biết rằng mỗi chữ số trong số này là giá trị của một trong các biểu thức A,O, H ,T , N ,U với: 3n + 4 4 2 x + 2x + 3 x −1 A = lim O = lim H = lim n − 2 x→−1 x −1 x 2+ → x + 2 6 2
x + 4x + x − 2
4n +1 cosn 1 T = lim N = lim + U = lim x→−∞ ( n 3n x→+∞ 2 x + 2)2 3
x + x +1 − x
Hãy cho biết tên của đồng chí trạm trưởng này, bẳng cách thay các chữ số trên bởi các chữ kí hiệu biểu thức tương ứng.
A. HUAN. B. TUAN. C. TOAN. D. THO . A 2 n n − n 2 cos Câu 103. n Tính Q = lim + . 2n 1 n − 3 1 1
A. Q = .
B. Q = − .
C. Q = 2.
D. Q = 0. 2 2
Câu 104. Trong bốn giới hạn dưới đây, giới hạn nào là 1 − ? 3 2 x − x + 3 2 2x + x −1 2x + 3 2 x −1 A. lim . B. lim . C. lim . D. lim . 2 3 x→+∞ 5x − x 2 x→+∞ 3x + x 2
x→−∞ x − 5x x→−∞ x +1 5 39
Câu 105. Biết tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn là 3 , tổng ba số hạng đầu tiên của nó là 25 . Tìm số
hạng đầu và công bội của cấp số đó. 5 2 2
A. u = 1,q = 2.
B. u = 1,q = .
C. u = 2,q = .
D. u = 1,q = . 1 1 2 1 5 1 5
Câu 106. Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào sai ? A. k
lim ax = +∞,a < 0. x→−∞ u
B. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn 1 S = , q < 1. 1− q
C. lim f (x) + (
g x) = lim f (x) + lim ( g x). x→x0 x→x0 x→x0
D. Hàm số đa thức liên tục trên toàn tập số thực ℝ.
Câu 107. Tính = lim ((0.99)n P cos n). 9 11 2
A. P = 0. B. P = . C. P = . D. P = . 10 10 2 2x + 3 1. 3x +1 −1
Câu 108. Tính M = lim . x→0 x
A. M = −4.
B. M = 1.
C. M = 2.
D. M = +∞.
x − 4 − x + 4 + 2 Câu 109. a a Biết lim = , a, b và tối giản. Tính . b a u a b − = . x→5 x − 5 với ∈ℤ b b 10 A. u 9. B. u 27. C. u 3. D. u 18. 10 = 10 = 10 = 10 = 2n n
Câu 110. Tính I = lim . 2 n + 2n −1 1
A. I = 2.
B. I = .
C. I = 0.
D. I = 3. 2 75
Chương IV. Giới hạn
0916620899 – 0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp n+2 4 ( 2n− 5 − 3 3 )
Câu 111. Tính K = lim . n→+∞ ( 2n+1 2 − )1( n− 2 − 2 9 )
A. K = −42.
B. K = −24.
C. K = 42.
D. K = 24. 1 Câu 112. Tính = lim 2n K + . n
A. K = 0.
B. K = 2.
C. K = 3.
D. K = +∞. 9 + 5x + 2 4x −3 a Câu 113. Biết lim = , với ,
a b ∈ ℤ. Mệnh đề nào dưới đây đúng ? x→0 x b
A. 2a + 3b = 30.
B. a − b = 1.
C. ab +1 = 12.
D. 2a + b = 16. Câu 114. a a
Biết số thập phân vô hạn tuần hoàn 235, 235235... = , ( tối giản). Tính 2
P = 7a − b + 2 . b b b
A. P = 649979.
B. P = 649996.
C. P = 649987.
D. P = 648997. n 2 3n Câu 115. Tính N = lim + . π n 4 3 2
A. N = +∞. B. N = .
C. N = 0. D. N = . 4 π 2 − + − Câu 116. x x 1 2x 1 4 Cho C = lim ; A = lim ; N = + − ; O = lim . →+∞ ( 2 lim x 4x x x ) x 1 → x −1 x→0 x 4 x→−∞ x
Tìm từ được mã hóa bởi chuổi số 30213?
A. CONAC.
B. CANON.
C. CONAN.
D. CANOC.
Câu 117. Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào sai ?
A. Hàm số y = tan x liên tục trên ℝ.
B. Hàm số y = x + sin x liên tục trên ℝ. 2 x + 3x + 2
C. Hàm số y =
liên tục trên các khoảng (− ; ∞ 2 − ) và ( 2 − ;+∞). x + 2 D. Phương trình 5 4
x − 3x + 5x − 2 = 0 có ít nhất ba nghiệm nằm trong khoảng ( 2 − ;5).
Câu 118. Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,313131…dưới dạng một phân số nào dưới đây ? 31 32 100 13 A. . B. . C. . D. . 99 99 99 99 3n − 4n
Câu 119. Tính H = lim . 2.4n + 2n 1 1
A. H = −2.
B. H = − .
C. H = −1. D. H = . 2 2 − 2 x − x + 6 Câu 120. a Biết lim = với ,
a b ∈ ℤ. Mệnh đề nào dưới đây đúng ? x→− 2 3 x + 3x b
A. ab − 2 = 8.
B. a + b = 2.
C. 3a + b = 10.
D. a − 2b = −1. Câu 121. n Tính L = lim . n +1 + n 1
A. L = −2. B. L = .
C. L = 1.
D. L = 0. 2 2
ax khi x ≤ 2
Câu 122. Cho hàm số y = f (x) =
. Tìm giá trị của a để hàm số liên tục trên . ℝ 2
x + x −1 khi x > 2 76
Chương IV. Giới hạn
0916620899 – 0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp
A. a = 4. B. 2 a = .
C. a = 3. D. 5 a = . 3 4 1 7 Câu 123. 2 Giải phương trình n
+ x + x +...+ x + ... = , trong đó x < 1. x 2 1 1 2 2
A. x ∈ . B. x ∈{1; } 2 .
C. x ∈ ; .
D. x ∈ . 3 3 3 3 2 −
Câu 124. Cho hàm số ( ) = a x f x
. Tính lim f (x). x x→−∞
A. lim f (x) = + . ∞
B. lim f (x) = + . ∞
C. lim f (x) = 1.
D. lim f (x) = −1. x→−∞ x→−∞ x→−∞ x→−∞ 2 + + Câu 125. 3n n 1 a 3 a Biết g lim =
, ( tối giản). Tính S = b − . a 12n + 8 b b
A. S = 11+ 3.
B. S = 12.
C. S =12 + 3.
D. S = 11. 2 m(x −1) khi x = 3 m − Câu 126. 1
Cho hàm số f (x) =
. Với giá trị nào của tham số m thì hàm số 2 x − 9 khi x ≠ 3 3− 2x + 3
f (x) liên tục tại x = 3.
A. m = 18. B. 9 m = .
C. m = −18. D. 9 m = − . 13 13 Câu 127. 2 Tính H = lim
3x + x +1 − x 3 . x→+∞ ( ) 1 3 3
A. H = . B. H = . C. H = .
D. H = 0. 6 6 3
Câu 128. Trong bốn giới hạn dưới đây, giới hạn nào không tồn tại ? x 2x +1 A. lim cos x x. B. lim . C. lim . D. lim . x→+∞ x→− ( 2 1 2 x + ) 1 x→0 x +1 x→−∞ x +1 Câu 129. 1 Cho phương trình
= 0 (1). Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào sai ? x 1
A. Hàm số f (x) = liên tục trên các khoảng (− ; ∞ 0) và (0;+∞). x
B. Phương trình (1) vô nghiệm.
C. Phương trình (1) có nghiệm trong khoảng (−1; ) 1 .
D. Phương trình (1) không có nghiệm trong khoảng (−1; ) 1 . 2 a Câu 130. a Biết lim x
x +1 − x = , với a,b ∈ ℤ và tối giản. Tính P = . a b . x→+∞ ( ) b b 1
A. P = 3. B. P = .
C. P = 1.
D. P = 2. 2 1 1 1 1
Câu 131. Tiính tổng S của cấp số nhân , , ,..., ,... 2 3 n 2 2 2 2 1 1
A. S = 1.
B. S = . C. S = . D. 2n S = . 2 1 2n+ 2 − + Câu 132. x bx c Biết lim = 7,( ,
b cℝ). Tính P = b − . c x→7 x − 7
A. P = 3.
B. P = 7.
C. P = −7.
D. P = 14. 77
Chương IV. Giới hạn
0916620899 – 0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp Câu 133. 4 2 2
Tính F = lim ( n +2n − n ).
A. F = 1.
B. F = −1.
C. F = 2.
D. F = 0. 1
Câu 134. Biết u − 2 ≤ . Tìm lim u . n 3n n 1 A. lim u = + . ∞
B. lim u = 2.
C. lim u = 0.
D. lim u = . n n n n 3 1− x − 3 1− Câu 135. x Tính Q = lim . x→0 x 2 30
A. Q = 1. B. Q = − . C. Q = .
D. Q = 6. 12 36 ( x 3)3 27 + − Câu 136. Biết lim
+ m = 29 . Tìm m. x→0 x A. m = 9 − .
B. m = 1.
C. m = 2.
D. m = 27. 3 − x neáu x ≠ 3
Câu 137. Cho hàm số f (x) = x +1 − 2
. Tìm tham số m để hàm số đã cho liên tục tại
m neáu x = 3 x = 3.
A. m = 1.
B. m = 4.
C. m = −1.
D. m = −4.
x − + 3 x3 − x2 5 7 9 3 +1
Câu 138. Tính J = lim . x→−∞ 2017 − 4 x 1 3 9 − 5 3 9 + 5 9
A. J = . B. J = . C. J = . D. J = . 4 4 4 4 (x + 2) + 8 ( 2 3
ax + bx + c x ) Câu 139. Biết lim = lim , với , a , b c,d ∈ .
ℤ Tính S = a + b + c + d. 2 x→ 2 − x→ 2 x +11x +18 −
(x + 2)(x + d)
A. S = 4.
B. S = −2.
C. S = 12.
D. S = 9.
Câu 140. Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn 2,780780780... dưới dạng một phân số nào dưới đây ? 96 999 278 926 A. . B. . C. . D. . 33 10000 333 333 3 x +1 khi x ≠ 1 − , x ≠ 2 2 x − x − 2
Câu 141. Cho hàm số y = f (x) = 1 − khi x = 1 −
. Khẳng định nào dưới đây là đúng? 2 khi x = 2
A. Hàm số liên tục trên ℝ.
B. Hàm số gián đoạn tại x = 2.
C. Hàm số liên tục trên khoảng (−2;3).
D. Hàm số gián đoạn tại x = 1 − ; x = 2.
Câu 142. Tính = lim (2n L − 2n + 3).
A. L = −∞.
B. L = 2.
C. L = 3.
D. L = +∞. 3 a
x − 2 − 4x2 − x − 2 10 (1− b ) Câu 143. a a Biết lim
= , với a,b∈ℤ và tối giản. Tính S = . x→ x2 1 − 3x + 2 b b 1− b
A. S = 7.
B. S = 10.
C. S = −10.
D. S = 5. 78
Chương IV. Giới hạn
0916620899 – 0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp x − 3
Câu 144. Tính M = lim . −
x→3 3 − 6x − 2 x 6 A. M = − .
B. M = 0.
C. M = 2.
D. M = −∞. 6 Câu 145. 2 2
Tính N = lim n (n − n +1).
A. N = 2.
B. N = −∞.
C. N = 1. D. N = 0. ĐÁP ÁN 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 C D D C D A A B B B D A D D C C B C C A
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 A B D C D C B D C A D C B A A B C B D D
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 C C C D C A A C B A B C C D A C A B B A
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 D D B D B C B D A A A B A C A C B C C B
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 A C A D B A A D A C C D B A D C D B C B
101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 A B A A D A A C A C D D D D C A A A B D
121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 B D C B D B B A C D A B A B B C D B C D
141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 B D B D B 79
Chương IV. Giới hạn
0916620899 – 0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp
MỘT SỐ ĐỀ ÔN KIỂM TRA ĐỀ 1
I. Phần trắc nghiệm Câu 1: lim x x bằng x ( +5− −7 →+∞ ) A. 0. B. + . ∞ C. − . ∞ D. −3.
Câu 2: Khẳng định nào dưới đây đúng ?
A. lim u là giới hạn của hàm số tại điểm x .
B. lim u là giới hạn của hàm số tại vô cực. n 0 n→+∞ n n→+∞
C. lim u là giới hạn 1 bên.
D. lim u là giới hạn của dãy số. n n→+∞ n n→+∞
Câu 3: Khẳng định nào dưới đây sai ?
A. lim [ f (x) + g(x)] = lim f (x) + lim g(x). x→ 0 x x→ 0 x x→ 0 x B. lim k
ax = +∞, a < 0. x→−∞
C. Hàm số đa thức liên tục trên toàn tập số thực . ℝ
D. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn 1 = u S , q < 1. 1− q n+ 1 1 (− ) 1 1
Câu 4: Gọi S = − + ...+
+.... .Khi đó giá trị của S bằng 3 9 3n 1 1 3 A. . B. . C. 1. D. . 2 4 4 3 n − 2
Câu 5: Kết quả của lim n bằng 2 1− 3n 2 1 A. . B. − . ∞ − . D. + . ∞ 3 C. 3
Câu 6: Trong các hàm số sau đây, hàm số nào liên tục tại x = 1. 2x − 2
A. f (x) = .
B. f (x) = 1− 2x. 2 x − 6x + 5 2 x − 3x + 2 2 x − 5x + 4 khi x ≠ 1 khi x > 1
C. f (x) = x −1 .
D. f (x) = x −1 .
−x khi x = 1 3
x +1 khi x ≤ 1 2 4 3x + Câu 7: Tính lim x . x→0 2x 3 3 1 A. − . B. . C. Không tồn tại. D. . 2 2 2
Câu 8: Cho a và b là các số thực khác 0. Tính tổng a + b , biết ax b x x x ( 2 lim + − − 6 + 2) = 5. →+∞ A. 2. B. 3. C. 7. D. −5.
Câu 9: Tìm từ được mã hóa bởi chuỗi số 4271 biết 3 2 2 x − x − x − T = − x U = = = + ( ) 7 5 1 3 lim 7 3 ; lim ; H lim ; Y lim 3 x 1 → x→+∞ x 1 → x + x x −1 x→−∞ 1− x A. THUY. B. HUYT. C. TUYH. D. THUC. 2x + Câu 10: lim x bằng x 0+ → 5x − x 80
Chương IV. Giới hạn
0916620899 – 0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp 2 A. . B. + . ∞ C. − . ∞ D. −1. 5 II. Phần tự luận
Bài 1. Tính các giới hạn sau: n n 1 3.5 2 + + 4 2 x + 3x − 4 a) I = lim b) J = lim 2 2 n − 5n 3 2 x→ 1
− x + 2x − 5x − 6 2 16x + x − 2
3 6x +1 − 4x +1 c) K = lim d ) H = lim x→−∞ 1− 3 x 2 x→0 x 2 3 − x + 5 khi x < −2
Bài 2. Cho hàm số y= 2
f (x) = x + 2x . 2
m x + x −1 khi x ≥ 2 −
Tìm tham số m để hàm số trên liên tục tại x = −2. 0 ĐỀ 2
I. Phần trắc nghiệm
Câu 1: Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng ?
A. Hàm số f ( x) liên tục tại lim f x = . 0 x ⇔ ( ) f ( 0x) x→ 0 x
B. lim f (x).g ( x)
= lim f ( x). lim g ( x) . x→ 0 x x→ 0 x x→ 0 x C. lim k x = −∞ . x→−∞
D. Hàm số hữu tỉ liên tục trên tập xác định của nó. x + 3 − 2 Câu 2: Tính lim . 3 x 1 → x − 3x + 2 A. − . ∞ B. + . ∞ C. Không tồn tại. D. 0.
Câu 3: Khẳng định nào dưới đây đúng ?
A. lim f (x) là giới hạn của dãy số. + x→ 0 x
B. lim f (x) là giới hạn của hàm số tại vô cực. + x→ 0 x
C. lim f (x) là giới hạn bên phải của hàm số tại điểm x . + 0 x→ 0 x
D. lim f (x) là giới hạn bên trái của hàm số tại điểm x . + 0 x→ 0 x
Câu 4: Tìm từ được mã hóa bởi chuỗi số 6243, biết 3 2 5x + 6 4x − x x 9x + 5 M = lim ; N = lim ; I = lim ; H = lim 3 x→6 x→−∞ x→0 x − 5 x − 5 4 + 2x − 2 x→+∞ x −1 A. NHIM B. HINH C. MINA D. MINH 3x − 7 Câu 5: lim bằng x 2+ → 2x − 4 A. −1. B. − . ∞ C. + . ∞ D. 5 Câu 6: Tính ( 2 lim
x + 3x +1 − x . x→+∞ ) 2 1 1 3 A. . B. . C. . D. . 3 2 4 2 9 2n + 3 Câu 7: lim n bằng 7 4n + 2n +1 81
Chương IV. Giới hạn
0916620899 – 0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp 5 3 A. + . ∞ B. − . ∞ . − . C. 7 D. 4
Câu 8: Cho a và b là các số thực khác 0. Tính tích ab , biết ax b x x x ( 2 lim + − − 6 + 2 ) = 5 →+∞ A. 2. B. 3. C. 7. D. 5.
Câu 9: Hàm số nào sau đây liên tục tại x = 1? 0 2x − 5 khi x ≥ 1
A. f (x) = x − 2.
B. f (x) = . 3 2
x − 2x + x − 3 khi x < 1 2 x − 9x + 8 2 x − 2x − 3 khi x ≠ 1
C. f (x) = .
D. f (x) = x −1 . x −1 7 khi x = 1 Câu 10: Tính tổng 2 3 n 1 S 1 0,9 (0,9) (0,9) ... (0,9) − = + + + + + +... 9 A. S = 11. B. S = 9. C. S = 10. D. S = . 10 II. Phần tự luận
Bài 1. Tính các giới hạn sau: n 2 2 − 3 n 4 2 x + 2x − 3 a) M = lim b) N = lim n n 1 2.9 + 6 − 3 2 x→ 1
− x − 4x + x + 6 1+ 2 x 3
6x + 9 − 27x + 27 c) P = lim d ) Q = lim x→−∞ 2 9 2 x − 5x + 2 x→0 x 2 4 − x + 7 khi x > 3
Bài 2. Cho hàm số y= 2 f (x) = x − 3x . 2
m x − x + 2 khi x ≤ 3
Tìm tham số m để hàm số trên liên tục tại x = 3. 0 ĐỀ 3
I. Phần trắc nghiệm
Câu 1: Đoàn trường tổ chức trò chơi lớn, tên của một đồng chí trạm trưởng được mã hóa bởi số 1234. Biết
rằng mỗi chữ số trong số này là giá trị của một trong các biểu thức ,
A O, H,T, N,U với: 3n + 4 4 2 x + 2x + 3 x −1 A = lim O = lim H = lim n − 2 x→−1 x −1 x 2+ → x + 2 6 2
x + 4x + x − 2
4n +1 cosn 1 T = lim N = lim + U = lim x→−∞ ( x→+∞ 2 x + 2)2 3 n 3n
x + x +1 − x
Hãy cho biết tên của đồng chí trạm trưởng này, bẳng cách thay các chữ số trên bởi các chữ kí hiệu biểu thức tương ứng. A. TUAN. B. TOAN. C. THO . A D. HUAN.
Câu 2: Trong bốn giới hạn dưới đây, giới hạn nào là 0? 2x + 3 3 1− 2n +1 (2n+ )1(n−3)2 A. lim . x B. lim . C. lim . D. lim . 2 3 x 1− → x −1
x→+∞ x + 2x 3.2n − 3n n − 2n Câu 3: Tính tổng n S 2 3 1 1 0,9 (0,9) (0,9) ... (0,9) − = + + + + + + ... 9 A. S = . B. S = 10. C. S = 9. D. S = 11. 10 82
Chương IV. Giới hạn
0916620899 – 0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp Câu 4: x2 lim
3 + x +1 − x 3 bằng x→+∞ ( ) 1 3 1 A. . B. . C. 0. D. . 2 3 3 6 2 +1 −1 Câu 5: x lim bằng
x→0 4 − x2 +16 1 A. 2. B. − . C. 0. D. 4 − . 4 1 1 Câu 6: lim − bằng x + → x2 2 − 4 x − 2 1 A. 2. B. 0. C. − . ∞ D. . 32
Câu 7: Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào sai ? 2 x + 3x + 2 A. Hàm số y =
liên tục trên các khoảng (− ; ∞ −2) và (−2;+∞). x + 2
B. Hàm số y = tan x liên tục trên . ℝ C. Phương trình 5 4
x − 3x + 5x − 2 = 0 có ít nhất ba nghiệm nằm trong khoảng (−2;5).
D. Hàm số y = x + sin x liên tục trên . ℝ
Câu 8: Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn 2,780780780... dưới dạng một phân số. 926 999 278 278 A. . B. . C. . D. . 333 10000 3333 333
Câu 9: Hàm số dưới đây liên tục tại x = 1? 2x − 2
A. f (x) = .
B. f (x) = 1− 2x. 2 x − 6x + 5 2 x − 5x + 4 2 x − 3x + 2 khi x > 1 khi x ≠ 1
C. f (x) = x −1 .
D. f (x) = x −1 . 3
x +1 khi x ≤ 1
−x khi x = 1
Câu 10: Khẳng định nào dưới đây sai? A. lim k
ax = +∞,a < 0. x→−∞ u
B. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn 1 S = , q < 1. 1− q
C. lim f (x) + (
g x) = lim f (x) + lim ( g x). x→x0 x→x0 x→x0
D. Hàm số đa thức liên tục trên toàn tập số thực . ℝ II. Tự luận .
Bài 1. Tìm các giới hạn sau:
(2n +1)(4 − n 2 5 ) a) lim b) x2 lim
4 + 5x +1− 7x x→+∞ ( ) n3 8 + 8 3x +1 − x + 3 x3 − 3x − 2 c) lim d) lim x→ x3 1 −1 x 1 → x −1 83
Chương IV. Giới hạn
0916620899 – 0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp
2x3 − 5x2 − 2x − 3 khi x ≠ 3 3 2 Bài 2. Cho hàm số
4x −13x + 4x − 3 f (x) = . 6 2mx2 + mx − khi x = 3 17
Tìm các giá trị của tham số m để hàm số f (x) liên tục tại x = 3. ĐỀ 4 I. Phần trắc nghiệm Câu 1: Tính tổng n S 2 3 1 1 0,9 (0,9) (0,9) ... (0,9) − = + + + + + + ... 9 A. S = 11. B. S = 9. C. S = 10. D. S = . 10
Câu 2: Hàm số nào dưới đây liên tục tại x = 1? 2 x − 5x + 4 khi x > 1 2x − 2
A. f (x) = x −1 .
B. f (x) = . 2 x − 6x + 5 3
x +1 khi x ≤ 1 2 x − 3x + 2 khi x ≠ 1
C. f (x) = 1− 2x.
D. f (x) = x −1 .
−x khi x = 1
Câu 3: Đoàn trường tổ chức trò chơi lớn, tên của một đồng chí trạm trưởng được mã hóa bởi số 1234. Biết
rằng mỗi chữ số trong số này là giá trị của một trong các biểu thức ,
A O, H,T, N,U với: 3n + 4 4 2 x + 2x + 3 x −1 A = lim O = lim H = lim n − 2 x→ 1 − x −1 x 2+ → x + 2 6 2
x + 4x + x − 2
4n +1 cosn 1 T = lim N = lim + U = lim x→−∞ ( x→+∞ 2 x + 2)2 3 n 3n
x + x +1 − x
Hãy cho biết tên của đồng chí trạm trưởng này, bẳng cách thay các chữ số trên bởi các chữ kí hiệu biểu thức tương ứng. A. TOAN. B. TUAN. C. HUAN. D. THO . A 2 +1 −1 Câu 4: x lim bằng
x→0 4 − x2 +16 1 A. 0. B. − . C. 4 − . D. 2. 4
Câu 5: Trong bốn giới hạn dưới đây, giới hạn nào là 0? 2n +1 3 1− (2n+ )1(n−3)2 2x + 3 A. lim . x B. lim . C. lim . D. lim . 3.2n − 3n 2
x→+∞ x + 2x 3 n − 2n x 1− → x −1
Câu 6: Khẳng định nào dưới đây sai ? 2 x + 3x + 2 A. Hàm số y =
liên tục trên các khoảng (− ; ∞ −2) và (−2;+∞). x + 2
B. Hàm số y = tan x liên tục trên . ℝ C. Phương trình 5 4
x − 3x + 5x − 2 = 0 có ít nhất ba nghiệm nằm trong khoảng (−2;5).
D. Hàm số y = x + sin x liên tục trên . ℝ
Câu 7: Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn 2,780780780... dưới dạng một phân số. 926 999 278 278 A. . B. . C. . D. . 333 10000 3333 333 84
Chương IV. Giới hạn
0916620899 – 0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp Câu 8: x2 lim
3 + x +1 − x 3 bằng. x→+∞ ( ) 3 1 1 A. . B. . C. 0. D. . 3 2 3 6
Câu 9: Khẳng định nào dưới đây sai ? u
A. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn 1 S = , q < 1. 1− q B. lim k
ax = +∞,a < 0. x→−∞
C. Hàm số đa thức liên tục trên toàn tập số thực . ℝ
D. lim f (x) + (
g x) = lim f (x) + lim ( g x). x→x0 x→x0 x→x0 1 1 Câu 10: lim − bằng x + → x2 2 − 4 x − 2 1 A. . B. 0. C. 2. D. − . ∞ 32 II. Tự luận
Bài 1. Tìm các giới hạn sau: n+1 n− 3 − 1 2 a) lim b) x − + x2 lim 5 1 9 + 2x x→−∞ ( ) n− 4 + 2 3
2x +1− 2x2 + 9x −1 c) lim d)
3 x3 + x2 − x2 lim 3 − 2x x→+∞ ( ) x→ x3 + 3x2 2 − 9x − 2
x3 + 3x2 − 9x − 2 khi x ≠ 2 3 Bài 2. Cho hàm số x − x − 6 f (x) = . 4 m
3 x2 + mx + khi x = 2 11
Tìm các giá trị của tham số m để hàm số f (x) liên tục tại x = 2. ĐỀ 5
I. Phần trắc nghiệm Câu 1: + + − bằng. →+∞ ( 2 lim 3x x 1 x 3 x ) 1 3 1 A. . B. . C. 0. D. . 2 3 3 6
Câu 2: Cho hàm số y = f ( x) xác định trên đoạn [ ;
a b]. Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. Nếu f (a). f (b) < 0 thì phương trình f ( x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng ( ; a b).
B. Nếu hàm số f ( x) = 0 liên tục trên đoạn [ ;
a b] và f (a). f (b) > 0 thì phương trình f ( x) = 0 không có nghiệm thuộc khoảng ( ; a b).
C. Nếu hàm số y = f ( x) liên tục trên đoạn [ ;
a b] và f (a). f (b) < 0 thì phương trình f ( x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng ( ; a b).
D. Nếu phương trình f (x) = 0 có nghiệm thuộc khoảng ( ;
a b). thì hàm số f ( x) = 0 phải liên tục trên khoảng ( ;ab).
Câu 3: Mệnh đề nào dưới đây đúng? 85
Chương IV. Giới hạn
0916620899 – 0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp
A. lim f (x) = L ⇔ lim f (x) = M , lim f (x) = .
L B. lim f (x) = L ⇔ lim f (x) = lim f (x) = . L − + x→ − + 0 x x→ x→ 0 x x→ 0 x 0 x x→ 0 x x→ 0 x
C. lim f (x) = L ⇔ lim f (x) = lim f (x) = M.
D. lim f (x) = L ⇔ lim f (x) ≠ lim f (x). − + x→ − + 0 x x→ x→ 0 x x→ 0 x 0 x x→ 0 x x→ 0 x 1 1 1 (−1)n
Câu 4: Tính tổng của cấp số nhân vô hạn − , , − ,..., ,... 2 4 8 2n 1 1 1 A. – 1. B. − . C. − . D. . 4 3 2 n+2 n 1 7 7 + + +1 Câu 5: Biết lim a
= . (Với a là phân số tối giản). Tính P = a − . b 5.7n − 7 b b A. P = 44. B. P = 7. C. P = 12. D. P = 51.
Câu 6: Cho số thập phân: 0,3211111….. được biểu diễn dưới dạng phân số tối giản là m . Tính m – . n n A. 6 − 11. B. 27901. C. 611. D. −27901. 2
x +1 − x + x +1 Câu 7: lim bằng x→0 x 1 A. − . ∞ B. 0. C. –1. D. − . 2
Câu 8: Hàm số nào dưới đây liên tục tại x = 1? 0 2 x − 5x + 4 2 khi x > 1 A. ( ) = x f x .
B. f (x) = x −1 . x −1 3
x +1 khi x ≤ 1 2 x − 6x + 5 khi 2 x ≠ 1
x +1 khi x ≤1
C. f (x) = x −1 .
D. f (x) = .
2x khi x > 1 x −1 khi x=1
Câu 9: Tên của một học sinh được mã hóa bởi số 9876 . Biết rằng mỗi chữ số trong số này là giá trị của một
trong các biểu thức H, O, A, N, G với: 2 − H = ( x + ) x 1 lim 6 3 ; A = lim ; N = lim x + x − x − x→ x→ x −1 x→+∞ ( 2 2 9 63 9 3 ; 1 1 ) n n 1 5 + 6.17 + G = lim ;O = lim x + x − x 17n+ +10n x→+∞ ( 2 16 . 1 )
Tên của học sinh này là: A. OANH. B. HOAN. C. HANG. D. HONG.
Câu 10: Tìm tất cả các giá trị của m sao cho ( 2 2 lim
4x + 2017x − 2018 − m .x = +∞ →+∞ ) . x A. 2 − < m < 2. B. m < 2 − .
C. m > − 2.
D. − 2 < m < 2. II. Phần tự luận
Bài 1. Tính các giới hạn sau: n n 1 3 2.5 + + 2 − x + 2 a) A = lim b) B = lim 5n − 2 3
x→2 x − 3x − 2
x +1 − 3x − 5 3 1+ 2x − 1+ 3x c) C = lim d) D = lim x→3 2 2 x + 3 − x + 6 x→0 x 2 x + 5 − 3 khi x > 2
Bài 2. Cho hàm số y= f (x) = x − 2 . 3
mx − 6mx +1 khi x ≤ 2
Tìm tham số m để hàm số liên tục tại x = 2. 0 86
Chương IV. Giới hạn
0916620899 – 0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp ĐỀ 6
I. Phần trắc nghiệm 2 x + 2x −15
Câu 1: Giới hạn lim bằng x→3 2x + 3 − 3 1 A. 24. B. 48. C. . D. 4. 24 Câu 2: + − − − bằng →−∞ ( 2 2 lim x 4x x 3 x x ) A. + ∞ B. − ∞ C. 2 D. 0 n+2 n 1 7 7 + − +1 Câu 3: Biết lim a
= . (Với a là phân số tối giản). Tính P = a − . b 5.7n − 7 b b A. P = 51. B. P = 44. C. P = 37. D. P =12.
Câu 4: Tên của một học sinh được mã hóa bởi số 5678. Biết rằng mỗi chữ số trong số này là giá trị của một
trong các biểu thức H , O, ,
A N , G với 2 n n 1 + − + H = lim ( x + 3) 3x 3 ;O = lim ; N = lim x + x − x − G = = x − − x x −1 ( 2 8.5 2 2 14 3); lim ; A lim 5n+ → → →+∞ + 3n x x x x→+∞ ( 3 3 1 . 1 2 1 )
Tên của học sinh này là A. HAN . G B. HONG. C. HOAN. D. OANH. 2 2
x + 7 − 5x − 3x − 3 − Câu 5: Biết lim a b =
. (Với a,b là số nguyên tố) . Tính P = a + b + . c 2 x→2 x − 4 c A. P = 31. B. P =112. C. P = 88. D. P = 43.
Câu 6: Tìm phân số phát sinh ra số thập phân vô hạn tuần b biết a = 3 − .104104104... 104 2893 3 − 101 2 − 893 A. . B. . C. . D. . 999 999 999 999
Câu 7: Cho hàm số y = f (x) liên tục trên [ ;
a b] và f (a). f (b) < 0 . Khi đó phương trình f (x) = 0 có
A. Ít nhất 2 nghiệm thuộc ( ; a b).
B. Ít nhất 1 nghiệm thuộc [ ; a b].
C. Ít nhất 1 nghiệm thuộc ( ; a b).
D. Luôn có nghiệm trên . ℝ
Câu 8: Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào liên tục tại x = 1? 2x − 2
A. f (x) = .
B. f (x) = 1− 2x. 2 x − 6x + 5 2 x − 5x + 4 2 x − 3x + 2 khi x > 1 khi x ≠ 1
C. f (x) = x −1 .
D. f (x) = x −1 . 3
x +1 khi x ≤ 1
−x khi x = 1 + 1 1 1 (− )n 1 1
Câu 9: Tổng của cấp số nhân vô hạn , − , ,..., ,... là n 1 2 4 8 2.2 − 3 2 8 1 A. B. C. D. 4 3 3 3
Câu 10: Cho hàm số y = f (x). Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. Nếu f (a). f (b) > 0 thì hàm số liên tục trên ( ; a b).
B. Nếu f (a). f (b) < 0 thì hàm số liên tục trên ( ; a b).
C. Nếu hàm số liên tục trên[ ;
a b] thì f (a). f (b) < 0.
D. Nếu hàm số liên tục trên [ ;
a b] và f (a). f (b) < 0 thì phương trình f (x) = 0 có nghiệm. II. Phần Tự luận 87
Chương IV. Giới hạn
0916620899 – 0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp
Bài 1. Tính các giới hạn sau: 3n + 5.7n 3 2 x − 4x + 3 a) A = lim b) B = lim n 1 7 + − 3 x 1 → 1− 2 − x 3 x − 2x + 4 c) C = lim d D = − + + + + →−∞ ( 2 3 3 ) lim 9x 3x 5 27x x 1 x ) x→ 2
− x + 4 − x + 6 2x −1 −1 khi x > 1 Bài 2. Cho hàm số 2
y = f (x) = x + x − 2 . 2
mx + 2mx − 3 khi x ≤ 1
Tìm tham số m để hàm số liên tục tại x = 1. 0 88
Chương IV. Giới hạn
0916620899 – 0355334679