Lý thuyết và bài tập chuyên đề giới hạn – Phùng Hoàng Em

Tài liệu gồm 31 trang, được biên soạn bởi thầy giáo Phùng Hoàng Em, tóm tắt lý thuyết và tuyển chọn các bài tập trắc nghiệm (có đáp án) các chuyên đề: giới hạn của dãy số, giới hạn của hàm số, hàm số liên tục; giúp học sinh lớp 11

60 30 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 5: Giới hạn. Hàm số liên tục (KNTT)

Môn: Toán 11

Thông tin:

31 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Kim Oanh
MỤC LỤC
CHƯƠNG 4 GIỚI HẠN 1
1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ............... . . . . . . . . . . . .............. . . . . . . . . . . . ..... 1
A TÓM TẮT LÝ THUYẾT.................... . . . . . . . . . . ............... . . 1
B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN.......................... 2
Dạng 1. Khử vô định dạng
∞
∞
.............. . . . . . . . . . . . ............... . . 2
Dạng 2. Khử vô định dạng ∞ −∞ .............. . . . . . . . . . . . ............. 3
Dạng 3. Một số quy tắc tính giới hạn vô cực............... . . . . . . . . . . . .. 4
Dạng 4. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn.... . . . . . . . . . . . .............. . . 4
C BÀI TẬP TỰ LUYỆN.............. . . . . . . . . . . . .............. . . . . . . . . . . . 5
D BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ................... . . . . . . . . . . . ............... 7
2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ. . . . . . . . . . .............. . . . . . . . . . . . ............... . . . . . 10
A TÓM TẮT LÝ THUYẾT. . . .............. . . . . . . . . . . . ............... . . . . 10
B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN. . . . . . . . . ............... . . 12
Dạng 1. Giới hạn của hàm số khi x → x
0
. Khử dạng vô định
0
0
.......... 12
Dạng 2. Giới hạn của hàm số khi x →±∞. Khử dạng vô định
∞
∞
; ∞ −∞; 0·∞ 13
Dạng 3. Giới hạn một bên. Sự tồn tại giới hạn .. . . . . ............. . . . . . . . 14
C BÀI TẬP TỰ LUYỆN.............. . . . . . . . . . . . .............. . . . . . . . . . . . 15
D BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ................... . . . . . . . . . . . ............... 17
3. HÀM SỐ LIÊN TỤC. .............. . . . . . . . . . . . ............... . . . . . . . . . . . ........ 21
A TÓM TẮT LÝ THUYẾT. . . .............. . . . . . . . . . . . ............... . . . . 21
B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN. . . . . . . . . ............... . . 22
Dạng 1. Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm. . .............. . . . . . . 22
Dạng 2. Xét tính liên tục của hàm số trên miền xác định . . . ............. 23
Dạng 3. Tìm giá trị của tham số để hàm số liên tục - gián đoạn . . . . . . . . . 23
Dạng 4. Chứng minh phương trình có nghiệm ............ . . . . . . . . . . . .... 23
C BÀI TẬP TỰ LUYỆN.............. . . . . . . . . . . . .............. . . . . . . . . . . . 24
D BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ................... . . . . . . . . . . . ............... 26
4. ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM CÁC CHỦ ĐỀ................ . . . . . . . . . . . .............. 29
Tài liệu họ c tập môn Toán 11 Trang i p GV: Phùng V Hoàng Em
CHƯƠNG
4
GIỚI HẠN
§ 1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
AA TÓM TẮT LÝ THUYẾT
11 Giới hạn hữu hạn của dãy số
L Định nghĩa 1: Dãy số (u
n
) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực nếu |u
n
| có thể nhỏ hơn một
số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Ta viết lim
n→+∞
u
n
= 0.
L Định nghĩa 2: Dãy số (u
n
) có giới hạn là a nếu lim
n→+∞
(u
n
−a) = 0. Ta viết lim
n→+∞
u
n
= a.
!
Ta có thể viết limu
n
= a thay cho cách viết lim
n→+∞
u
n
= a (không cần viết chỉ số n → +∞)
L Một vài giới hạn đặc biệt: (có thể xem như công thức)
• lim
1
n
= 0;
• lim
1
n
k
= 0, với k ∈ N
∗
;
• lim
1
√
n
= 0;
• limC = C, ∀C ∈ R;
• lim
1
q
n
= 0, với |q| > 1;
• lim q
n
= 0, nếu |q| < 1.
22 Các định lý về giới hạn hữu hạn
L Nếu lim u
n
= a và lim v
n
= b thì ta có:
• lim (u
n
±v
n
) = a + b;
• lim (u
n
.v
n
) = a.b;
• lim
Å
u
n
v
n
ã
=
a
b
, với b 6= 0;
• lim
√
u
n
=
√
a, với a ≥ 0;
• lim |u
n
| = |a|;
• lim (k.u
n
) = k.a (k ∈ R).
L Định lý "kẹp giữa":
• Nếu 0 ≤
|
u
n
|
≤ v
n
, ∀n ∈ N
∗
và lim v
n
= 0 thì lim u
n
= 0.
• Nếu w
n
≤ u
n
≤ v
n
, ∀n ∈ N
∗
và lim w
n
= lim v
n
= a thì lim u
n
= a.
33 Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
L Định nghĩa: Cấp số nhân vô hạn (u
n
) có công bội q thoả mãn |q| < 1 được gọi là cấp số nhân lùi
vô hạn.
L Công thức tính: Cho cấp số nhân lùi vô hạn (u
n
), ta có tổng của cấp số nhân lùi vô hạn đó là
S = u
1
+ u
2
+ u
3
+ ... + u
n
+ ... =
u
1
1 −q
, (|q| < 1)
Tài liệu họ c tập môn Toán 11 Trang 1 p GV: Phùng V Hoàng Em
44 Giới hạn vô cực
L Định nghĩa:
¬ Ta nói dãy số (u
n
) có giới hạn +∞ khi n →+∞, nếu u
n
có thể lớn hơn một số dương bất
kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu: lim u
n
= +∞.
Ta nói dãy số (u
n
) có giới hạn −∞ khi n → +∞, nếu lim(−u
n
) = +∞. Kí hiệu: lim u
n
=
−∞.
L Một số giới hạn đặc biệt:
lim n
k
= +∞, với k ∈N
∗
.¬ lim q
n
= +∞, với q > 1.
L Một số quy tắc tính giới hạn vô cực:
¬ Quy tắc tìm giới hạn của tích u
n
·v
n
lim u
n
= L lim v
n
= ∞ lim [u
n
·v
n
]
L > 0 +∞ +∞
L > 0 −∞ −∞
L < 0 +∞ −∞
L < 0 −∞ +∞
Quy tắc tìm giới hạn của thương
u
n
v
n
lim u
n
= L lim v
n
Dấu của v
n
lim
u
n
v
n
L ±∞ Tùy ý 0
L > 0 0 + +∞
L > 0 0 − −∞
L < 0 0 + −∞
L < 0 0 − +∞
BB PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
{ DẠNG 1. Khử vô định dạng
∞
∞
Phương pháp giải.
L Thường phát biểu dưới dạng lim
u
n
v
n
.
L Phương pháp giải:
• Đặt nhân tử n
k
có tính "quyết định ∞" ở tử và mẫu.
• Khử bỏ n
k
, đưa giới hạn về dạng xác định được.
• Áp dụng định lý về giới hạn hữu hạn để tính kết quả.
L Trong trường hợp hàm mũ, ta đặt đại lượng "quyết định ∞" có dạng a
n
.
Tài liệu họ c tập môn Toán 11 Trang 2 p GV: Phùng V Hoàng Em
# Ví dụ 1. Tính các giới hạn sau
lim
2n
2
+ 3n −1
2 −3n
2
a) lim
3n
3
+ 2n
2
+ n
n
3
+ 4
b) lim
n
2
+ 1
2n
4
+ n + 1
c)
lim
Å
n + 1
n
2
+ 2n
−
1
n −1
ã
d) lim
Ç
2n
2
+ 3n
n + 1
−
2n
3
−3
n
2
−1
å
e) lim n
Ç
1 −
n
2
+ 3
n
2
−1
å
f)
lim
(2n + 3)(1 −3n)
2n
2
−n + 5
g) lim
n
4
−2n
2
(n + 1)(2 + n)(n
2
+ 1)
h) lim
2n
4
+ 1
(n + 2)
2
(2n + 1)
2
(2 −n)
4
i)
# Ví dụ 2. Tính các giới hạn sau
lim
1 + 3
n
4 + 3
n
a) lim
4.3
n
+ 7
n+1
2.5
n
+ 7
n
b) lim
4
n+1
+ 6
n+2
5
n
+ 8
n
c)
# Ví dụ 3. Tính các giới hạn sau
lim
2n −1
√
4n
2
+ 1 + 3n
a) lim
√
4n
2
+ 3n −1
√
3n
2
+ 1 −
√
2n + 1
b) lim
√
4n
4
+ 1
√
n
4
+ 4n + 1 + n
2
c)
lim
√
n
2
−4n −
√
4n
2
+ 1
√
3n
2
+ 1 + n
d) lim
3
√
8n
3
+ n
2
−1 + n −4
2n −3
e) lim
n
2
+
3
√
1 −n
6
√
n
4
+ 1 + n
2
f)
# Ví dụ 4. Tìm các giới hạn sau:
lim
1 + 2 + . . . + n
n
2
a) lim
ï
1 +
1
2
+
1
4
+ . . . +
1
2
n
ò
b)
lim
Å
2 + 4 + 8 + ... + 2
n
3.2
n
−1
ã
c) lim
Å
1
1.2
+
1
2.3
...
1
n(n + 1)
ã
d)
# Ví dụ 5. Cho dãy số (u
n
) xác định bởi u
1
= 10 và u
n+1
=
1
5
u
n
+ 3, với mọi n ≥ 1.
Chứng minh dãy (v
n
) xác định bởi v
n
= u
n
−
15
4
là một cấp số nhân.a)
Tính lim u
n
.b)
# Ví dụ 6. Cho dãy số u
n
thỏa
®
u
1
= 3, u
2
= 6
2u
n
= u
n−1
+ u
n+1
−2;
∀n ∈ N
∗
, n ≥ 3. Biết rằng u
n
có duy
nhất một công thức, hãy tính lim
n→+∞
n + 2 −
√
u
n
n + 1 −
√
u
n
+ 3n −2
.
{ DẠNG 2. Khử vô định dạng ∞ −∞
Phương pháp giải.
L Thường phát biểu dưới dạng: lim
√
u
n
−v
n
hoặc lim
√
u
n
−
√
v
n
.
L Phương pháp giải:
• Nhân thêm lượng liên hợp bậc hai cho cả tử và mẫu:
Tài liệu họ c tập môn Toán 11 Trang 3 p GV: Phùng V Hoàng Em
lim
√
u
n
−v
n
= lim
√
u
n
−v
n
√
u
n
+ v
n
√
u
n
+ v
n
= lim
u
n
−v
2
n
√
u
n
+ v
n
lim
√
u
n
−
√
v
n
= lim
√
u
n
−
√
v
n
√
u
n
+
√
v
n
√
u
n
+
√
v
n
= lim
u
n
−v
n
√
u
n
+
√
v
n
• Biến đổi biểu thức cần tính giới hạn về Dạng 1 (phân thức, đặt n
k
)
L Đôi khi, ta còn sử dụng liên hợp bậc ba để giải các bài toán chứa ẩn trong dấu căn bậc ba:
A
3
±B
3
= (A ±B)
A
2
∓AB + B
2
.
# Ví dụ 7. Tính các giới hạn sau
lim
Ä
√
n
2
+ 2n −n
ä
a) lim
Ä
2n −
√
4n
2
+ n
ä
b) lim
Ä
√
n
2
+ n −
√
n
2
+ 2
ä
c)
lim n
Ä
√
n
2
+ 2 −n
ä
d) lim
Ä
√
n
2
+ 2n −n −1
ä
e) lim
1
√
n
2
+ 2n −
√
n
2
+ 4
.f)
# Ví dụ 8. Tính các giới hạn sau
lim
Ä
3
√
n
3
+ 2 −n
ä
a) lim
Ä
3
√
n
3
+ 1 −
√
n
2
+ 1
ä
b) lim
Ä
3
√
n
3
+ 2 −
√
n
2
+ n
ä
c)
{ DẠNG 3. Một số quy tắc tính giới hạn vô cực
Phương pháp giải.
# Ví dụ 9. Tính các giới hạn sau:
lim
2n
3
+ 2n −1
a) lim
n −2n
3
b) lim
√
n
2
+ 2n + 7c)
lim
Ä
√
n
2
−3n −
√
n + 2
ä
d) lim
Ä
1 −
√
1 + 3n
2
ä
e) lim (3
n
−2.5
n
)f)
# Ví dụ 10. Tính các giới hạn sau
lim
2
n
+ 5
n+1
1 + 5
n
a) lim
1 + 2.3
n
−7
n
5
n
−2.6
n
b) lim
1 −2.3
n
+ 7
n
2
n
(3
n+1
−5)
c)
# Ví dụ 11. Tính các giới hạn sau:
lim
2n
4
+ n
2
−3
3n
3
−2n
2
+ 1
a) lim
2n
3
+ n + 4
5n −n
2
b) lim
(3n −1)(n −2)
2n −1
c)
lim
2n + 5
√
n
2
+ 1 −n
d) lim
2n + 5
√
n + 1 −
√
n
e) lim
(3n −1)
4
(n −2)
(1 −2n)
2
f)
{ DẠNG 4. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
Phương pháp giải.
# Ví dụ 12. Tính các tổng sau:
S =
1
3
+
1
3
2
+ ... +
1
3
n
+ ...a) S = 16 −8 + 4 −2 + ...b)
Tài liệu họ c tập môn Toán 11 Trang 4 p GV: Phùng V Hoàng Em
# Ví dụ 13. Hãy biểu diễn các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng phân số.
A = 0, 353535....a) B = 5, 231231....b)
# Ví dụ 14. Tam giác mà ba đỉnh của nó là ba trung điểm
ba cạnh của tam giác ABC được gọi là tam giác trung bình của
tam giác ABC. Ta xây dựng dãy các tam giác A
1
B
1
C
1
, A
2
B
2
C
2
,
A
3
B
3
C
3
, . .. sao cho A
1
B
1
C
1
là một tam giác giác đều cạnh
bằng 3 và với mỗi số nguyên dương n ≥ 2, tam giác A
n
B
n
C
n
là tam giác trung bình của tam giác A
n−1
B
n−1
C
n−1
. Với mỗi
số nguyên dương n, kí hiệu S
n
tương ứng là diện tích hình tròn
ngoại tiếp tam giác A
n
B
n
C
n
. Tính tổng S = S
1
+S
2
+···+S
n
+
···.
C
C
1
B
2
A
B
A
1
B
1
A
2
C
2
# Ví dụ 15. Cho hình vuông ABCD cạnh bằng 2. Hình vuông A
1
B
1
C
1
D
1
có các đỉnh là trung
điểm của các cạnh của hình vuông ABCD, hình vuông A
2
B
2
C
2
D
2
có các đỉnh là trung điểm của các
cạnh của hình vuông A
1
B
1
C
1
D
1
, hình vuông A
3
B
3
C
3
D
3
có các đỉnh là trung điểm của các cạnh của
hình vuông A
2
B
2
C
2
D
2
,..., hình vuông A
n
B
n
C
n
D
n
có các đỉnh là trung điểm của các cạnh của hình
vuông A
n−1
B
n−1
C
n−1
D
n−1
,... (quá trình chia nhỏ này được lặp lại vô hạn)
A
B
C
D
A
1
B
1
C
1
D
1
A
2
B
2
C
2
D
2
Gọi S
1
, S
2
, S
3
,...,S
n
,... lần lượt là diện tích hình vuông A
1
B
1
C
1
D
1
, A
2
B
2
C
2
D
2
, A
3
B
3
C
3
D
3
,...,
A
n
B
n
C
n
D
n
,.... Tính tổng S
1
+ S
2
+ S
3
+ ... + S
n
+ ....
CC BÀI TẬP TỰ LUYỆN
c Bài 1. Tính các giới hạn sau
lim
3n + 2
2n + 3
.a) lim
4n
2
−1
2n
2
+ n
.b)
lim
√
n
2
+ 2n −3
n + 2
.c) lim
√
n
2
+ 2n −n −1
√
n
2
+ n + n
.d)
c Bài 2. Tính các giới hạn sau
lim
7.5
n
−2.7
n
5
n
−5.7
n
.a) lim
4
n+1
+ 6
n+2
5
n
+ 8
n
.b)
c Bài 3. Tính các giới hạn sau
lim
Ä
√
n
2
+ 2n −n
ä
.a) lim
Ä
√
n
3
+ 2n −n
2
ä
.b)
lim(
√
n
2
+ 3n + 2 −n + 1).c) lim(
√
n
2
+ 2n + 3 −1 + n).d)
Tài liệu họ c tập môn Toán 11 Trang 5 p GV: Phùng V Hoàng Em
c Bài 4. Tính các giới hạn sau
lim
sin 10n + cos 10n
n
2
+ 1
.a) lim
1 −sin nπ
n + 1
.b)
c Bài 5. Tính giới hạn lim(
3
√
n
3
−3 −
√
n
2
+ n −2).
c Bài 6. Tính giới hạn của B = lim
√
1 + 2 + ... + n −n
3
√
1
2
+ 2
2
+ ... + n
2
+ 2n
.
c Bài 7. Tính các giới hạn sau
A = lim
ï
1
1.3
+
1
3.5
+ ... +
1
(2n −1)(2n + 1)
ò
.a)
B = lim
ï
1
2
√
1 + 1
√
2
+
1
3
√
2 + 2
√
3
+ ... +
1
(n + 1)
√
n + n
√
n + 1
ò
.b)
c Bài 8. Tính lim
1 +
1
3
+
Å
1
3
ã
2
+ ···+
Å
1
3
ã
n
1 +
2
5
+
Å
2
5
ã
2
+ ···+
Å
2
5
ã
n
.
c Bài 9. Tính lim
1 + 3 + 3
2
+ ···+ 3
n
2 ·3
n+1
+ 2
n
.
c Bài 10. Tìm lim u
n
biết u
n
=
1
2
√
1 + 1
√
2
+
1
3
√
2 + 2
√
3
+ . . . +
1
(n + 1)
√
n + n
√
n + 1
.
c Bài 11. Tính giới hạn lim
Å
1
√
n
2
+ n
+
1
√
n
2
+ n + 1
+ . . . +
1
√
n
2
+ 2n
ã
.
c Bài 12. Cho dãy số (u
n
) xác định bởi
u
1
=
2
3
u
n+1
=
u
n
2 (2n + 1)u
n
+ 1
, ∀n ≥ 1
Tìm số hạng tổng quát
u
n
của dãy. Tính lim u
n
.
c Bài 13. Cho dãy số (u
n
) xác định như sau:
u
1
=
1
3
u
n+1
=
u
2
n
2
−1, ∀n ≥ 1
. Tìm lim u
n
.
c Bài 14. Cho dãy số (u
n
) xác định như sau:
®
u
1
= 1
u
n+1
= u
n
+ n, ∀n ≥ 1
. Tìm lim
u
n
u
n+1
.
Tài liệu họ c tập môn Toán 11 Trang 6 p GV: Phùng V Hoàng Em
DD BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Giá trị của giới hạn lim
Å
4 +
(−1)
n
n + 1
ã
bằng
A. 1. B. 3. C. 4. D. 2.
Câu 2. Giá trị của giới hạn lim
−3
4n
2
−2n + 1
là
A. −
3
4
. B. −∞. C. 0. D. −1.
Câu 3. Giá trị của giới hạn lim
n + 2n
2
n
3
+ 3n −1
bằng
A. 2. B. 1. C.
2
3
. D. 0.
Câu 4. Giá trị của giới hạn lim
3n
3
−2n + 1
4n
4
+ 2n + 1
là
A. +∞. B. 0. C.
2
7
. D.
3
4
.
Câu 5. Tính giới hạn L = lim
n
2
+ n + 5
2n
2
+ 1
.
A. L =
3
2
. B. L =
1
2
. C. L = 2. D. L = 1.
Câu 6. Cho dãy số (u
n
) với u
n
=
4n
2
+ n + 2
an
2
+ 5
. Để dãy số đã cho có giới hạn bằng 2, giá trị của a
là
A. a = −4. B. a = 4. C. a = 3. D. a = 2.
Câu 7. Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng 0?
A. lim
3 + 2n
3
2n
2
−1
. B. lim
2n
2
−3
−2n
3
−4
. C. lim
2n −3n
3
−2n
2
−1
. D. lim
2n
2
−3n
4
−2n
4
+ n
2
.
Câu 8. Dãy số nào sau đây có giới hạn là +∞?
A. u
n
=
1 + n
2
5n + 5
. B. u
n
=
n
2
−2
5n + 5n
3
. C. u
n
=
n
2
−2n
5n + 5n
2
. D.
1 + 2n
5n + 5n
2
.
Câu 9. Dãy số nào sau đây có giới hạn là −∞?
A.
1 + 2n
5n + 5n
2
. B. u
n
=
n
3
+ 2n −1
−n + 2n
3
. C. u
n
=
2n
2
−3n
4
n
2
+ 2n
3
. D. u
n
=
n
2
−2n
5n + 1
.
Câu 10. Giá trị của giới hạn lim
1
2
+ 1 +
3
2
+ ···+
n
2
n
2
+ 1
bằng
A.
1
8
. B. 1. C.
1
2
. D.
1
4
.
Câu 11. Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn bằng 2, tổng của ba số hạng đầu tiên của cấp số nhân
bằng
9
4
. Số hạng đầu u
1
của cấp số nhân đó là
A. u
1
= 3. B. u
1
= 4. C. u
1
=
9
2
. D. u
1
= 5.
Câu 12. Tính tổng S = 9 + 3 + 1 +
1
3
+
1
9
+ ···+
1
3
n−3
+ ···.
A. S =
27
2
. B. S = 14. C. S = 16. D. S = 15.
Câu 13. Giá trị của giới hạn lim
√
n + 5 −
√
n + 1
bằng
A. 0. B. 1. C. 3. D. 5.
Tài liệu họ c tập môn Toán 11 Trang 7 p GV: Phùng V Hoàng Em
Câu 14. Giá trị của giới hạn lim
Å
1
n
2
+
2
n
2
+ ···+
n −1
n
2
ã
bằng
A. 0. B.
1
3
. C.
1
2
. D. 1.
Câu 15. Giá trị của giới hạn lim
Å
1 + 3 + 5 + ···+ (2n + 1)
3n
2
+ 4
ã
bằng
A. 0. B.
1
3
. C.
2
3
. D. 1.
Câu 16. Giá trị của giới hạn lim
Å
1
1 ·2
+
1
2 ·3
+ ···+
1
n(n + 1)
ã
là
A.
1
2
. B. 1. C. 0. D. −∞.
Câu 17. Tính tổng S = 1 +
2
3
+
4
9
+ ···+
2
n
3
n
+ ···.
A. S = 3. B. S = 4. C. S = 5. D. S = 6.
Câu 18. Giá trị của giới hạn lim
Ä
√
n
2
−n + 1 −n
ä
là
A. −
1
2
. B. 0. C. 1. D. −∞.
Câu 19. Số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,5111 ··· được biểu diễn bởi phân số tối giản
a
b
. Tính tổng
T = a + b.
A. 17. B. 68. C. 133. D. 137.
Câu 20. Số thập phân vô hạn tuần hoàn A = 0,353535 . . . được biểu diễn bởi phân số tối giản
a
b
. Tính
T = ab.
A. 3456. B. 3465. C. 3645. D. 3546.
Câu 21. Cho hai dãy số (u
n
) và (v
n
) có u
n
=
1
n + 1
và v
n
=
2
n + 2
. Khi đó lim
v
n
u
n
có giá trị bằng
A. 1. B. 2. C. 0. D. 3.
Câu 22. Cho dãy số (u
n
) với u
n
=
an + 4
5n + 3
trong đó a là tham số thực. Để dãy số (u
n
) có giới hạn bằng
2, giá trị của a là
A. a = 10. B. a = 8. C. a = 6. D. a = 4 .
Câu 23. Cho dãy số (u
n
) với u
n
=
2n + b
5n + 3
trong đó b là tham số thực. Để dãy số (u
n
) có giới hạn hữu
hạn, giá trị của b là
A. b là một số thực tùy ý. B. b = 2.
C. không tồn tại b. D. b = 5.
Câu 24. Tìm tất cả các giá trị của tham số a để L = lim
5n
2
−3an
4
(1 −a)n
4
+ 2n + 1
> 0.
A. a 6 0; a > 1. B. 0 < a < 1. C. a < 0; a > 1. D. 0 6 a < 1.
Câu 25. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a thuộc khoảng (−10; 10) để L = lim
5n −3
a
2
−2
n
3
=
−∞?
A. 19. B. 3. C. 5. D. 10.
Câu 26. Cho dãy số (u
n
) với u
n
=
√
2 +
Ä
√
2
ä
2
+ ···+
Ä
√
2
ä
n
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. limu
n
= −∞. B. lim u
n
=
√
2
1 −
√
2
.
C. limu
n
= +∞. D. Không tồn tại lim u
n
.
Tài liệu họ c tập môn Toán 11 Trang 8 p GV: Phùng V Hoàng Em
Câu 27. Cho dãy số có giới hạn (u
n
) xác định bởi
u
n
=
1
2
u
n+1
=
1
2 −u
n
, n > 1
. Tính lim u
n
.
A. lim u
n
= −1. B. lim u
n
= 0. C. lim u
n
=
1
2
. D. lim u
n
= 1.
Câu 28. Cho dãy số có giới hạn (u
n
) xác định bởi
u
1
= 2
u
n+1
=
u
n
+ 1
2
, n > 1
. Tính lim u
n
.
A. lim u
n
= 1. B. lim u
n
= 0. C. lim u
n
= 2. D. lim u
n
= +∞.
Câu 29. Biết rằng lim
3
√
an
3
+ 5n
2
−7
√
3n
2
−n + 2
= b
√
3 + c với a, b, c là các tham số. Tính giá trị của biểu
thức P =
a + c
b
3
.
A. P = 3. B. P =
1
3
. C. P = 2. D. P =
1
2
.
Câu 30. Có bao nhiêu giá trị của a để lim
Ä
√
n
2
+ a
2
n −
p
n
2
+ (a + 2)n + 1
ä
= 0?
A. 0. B. 2. C. 1. D. 3.
Câu 31. Cho dãy số (u
n
) với u
n
=
√
n
2
+ an + 5 −
√
n
2
+ 1, trong đó a là tham số thực. Tìm a để
lim u
n
= −1.
A. 3. B. 2. C. −2. D. −3.
Câu 32. Biết rằng lim
Ñ
Ä
√
5
ä
n
−2
n+1
+ 1
5 ·2
n
+
Ä
√
5
ä
n+1
−3
+
2n
2
+ 3
n
2
−1
é
=
a
√
5
b
+ c với a, b, c ∈ Z. Tính giá tr ị
của biểu thức S = a
2
+ b
2
+ c
2
.
A. S = 26. B. S = 30. C. S = 21. D. S = 31.
Câu 33. Tìm tất cả giá tr ị nguyên của a thuộc (0; 2018) để lim
4
4
n
+ 2
n+1
3
n
+ 4
n+a
6
1
1024
.
A. 2007. B. 2008. C. 2017. D. 2016.
Câu 34. Có bao nhiêu giá trị nguyên của a thuộc (0; 20) sao cho lim
3 +
an
2
−1
3 + n
2
−
1
2
n
là một số
nguyên?
A. 1. B. 3. C. 2. D. 4.
Câu 35. Giá trị của giới hạn lim
1 + a + a
2
+ ···+ a
n
1 + b + b
2
+ ···+ b
n
(
|
a
|
< 1,
|
b
|
< 1) bằng
A. 0. B.
1 −b
1 −a
. C.
1 −a
1 −b
. D. Không tồn tại.
—HẾT—
Tài liệu họ c tập môn Toán 11 Trang 9 p GV: Phùng V Hoàng Em
§ 2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
AA TÓM TẮT LÝ THUYẾT
11 Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm
L Định nghĩa: Cho khoảng K chứa điểm x
0
và hàm số y = f (x) xác định trên K hoặc trên K \
{
x
0
}
.
Ta nói hàm số y = f (x) có giới hạn là số L khi x dần tới x
0
nếu với dãy số (x
n
) bất kì, x
n
∈K \
{
x
0
}
và x
n
→ x
0
, ta có f (x
n
) → L. Kí hiệu:
lim
x→x
0
f (x) = L hay f (x) → L khi x → x
0
L Nhận xét: lim
x→x
0
x = x
0
; lim
x→x
0
c = c với c là hằng số.
L Định lí về giới hạn hữu hạn:
(a) Giả sử lim
x→x
0
f (x) = L và lim
x→x
0
g(x) = M. Khi đó:
lim
x→x
0
[ f (x) + g(x)] = L + M;¬ lim
x→x
0
[ f (x) −g(x)] = L −M;
lim
x→x
0
[ f (x) ·g(x)] = L ·M;® lim
x→x
0
f (x)
g(x)
=
L
M
(nếu M 6= 0).¯
(b) Nếu f (x) > 0 và lim
x→x
0
f (x) = L, thì L > 0 và lim
x→x
0
p
f (x) =
√
L.
L Giới hạn một bên:
• Cho hàm số y = f (x) xác định trên (x
0
; b). Số L được gọi là giới hạn bên phải của hàm số
y = f (x) khi x → x
0
nếu với dãy số (x
n
) bất kì, x
0
< x
n
< b và x
n
→ x
0
, ta có f (x
n
) → L.
Kí hiệu:
lim
x→x
+
0
f (x) = L.
• Cho hàm số y = f (x) xác định trên (a; x
0
). Số L được gọi là giới hạn bên trái của hàm số
y = f (x) khi x → x
0
nếu với dãy số (x
n
) bất kì, a < x
n
< x
0
và x
n
→ x
0
, ta có f (x
n
) → L.
Kí hiệu:
lim
x→x
−
0
f (x) = L.
!
Điều kiện để tồn tại giới hạn:
lim
x→x
0
f (x) = L ⇔ lim
x→x
+
0
f (x) = lim
x→x
−
0
f (x) = L
22 Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực
L Định nghĩa:
• Cho hàm số y = f (x) xác định trên (a;+∞). Ta nói hàm số y = f (x) có giới hạn là số L khi
x → +∞ nếu với dãy số (x
n
) bất kì, x
n
> a và x
n
→ +∞, ta có f (x
n
) → L. Kí hiệu:
lim
x→+∞
f (x) = L.
Tài liệu họ c tập môn Toán 11 Trang 10 p GV: Phùng V Hoàng Em
• Cho hàm số y = f (x) xác định trên (−∞; a). Ta nói hàm số y = f (x)có giới hạn là số L khi
x → −∞ nếu với dãy số (x
n
) bất kì, x
n
< a và x
n
→ −∞, ta có f (x
n
) → L. Kí hiệu:
lim
x→−∞
f (x) = L.
L Chú ý:
• Với c, k là hằng số và k nguyên dương, ta luôn có:
!
lim
x→+∞
c = c¬ lim
x→−∞
c = c
lim
x→+∞
c
x
k
= 0® lim
x→−∞
c
x
k
= 0.¯
• Định lí về giới hạn hữu hạn của hàm số khi x → x
0
vẫn còn đúng khi x → +∞ hoặc x → −∞.
33 Giới hạn vô cực của hàm số
L Định nghĩa: Cho hàm số y = f (x) xác định trên (a; +∞). Ta nói hàm số y = f (x) có giới hạn là
−∞ khi x → +∞ nếu với dãy số (x
n
) bất kì, x
n
> a và x
n
→ +∞, ta có f (x
n
) → −∞. Kí hiệu:
lim
x→+∞
f (x) = −∞.
L Nhận xét lim
x→+∞
f (x) = +∞ ⇔ lim
x→+∞
(−f (x)) = −∞.
L Một vài giới hạn đặc biệt
• lim
x→+∞
x
k
= +∞ với k nguyên dương.
• lim
x→−∞
x
k
=
®
+ ∞ nếu k chẵn
−∞ nếu k lẻ
.
L Một vài quy tắc về giới hạn vô cực
• Quy tắc tìm giới hạn của tích f (x ) ·g(x)
lim
x→x
0
f (x) = L lim
x→x
0
g(x) lim
x→x
0
[ f (x) ·g(x)]
L > 0 +∞ +∞
L > 0 −∞ −∞
L < 0 +∞ −∞
L < 0 −∞ +∞
• Quy tắc tìm giới hạn của thương
f (x)
g(x)
lim
x→x
0
f (x) = L lim
x→x
0
g(x) Dấu của g(x) lim
x→x
0
f (x)
g(x)
L ±∞ Tùy ý 0
L > 0 0 + +∞
L > 0 0 − −∞
L < 0 0 + −∞
L < 0 0 − +∞
Tài liệu họ c tập môn Toán 11 Trang 11 p GV: Phùng V Hoàng Em
BB PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
{ DẠNG 1. Giới hạn của hàm số khi x → x
0
. Khử dạng vô định
0
0
Phương pháp giải.
L Thường gặp dạng lim
x→x
0
f (x)
g(x)
L Phương pháp giải: Thay x
0
vào
f (x)
g(x)
để kiểm tra, sẽ có một trong các trường hợp:
¬ Tử số f (x
0
) = a và mẫu số g(x
0
) = b 6= 0, ta suy ra luôn kết quả
lim
x→x
0
f (x)
g(x)
=
f (x
0
)
g(x
0
)
=
a
b
.
Cả tử số và mẫu số đều bằng 0 hay f (x
0
) = g(x
0
) = 0, ta xem đây là dạng vô định
0
0
.
Khử dạng vô định này bằng cách phân tích nhân tử (x −x
0
).
Giả sử f (x) = (x −x
0
) · f
1
(x) và g(x) = (x −x
0
) ·g
1
(x). Khi đó:
lim
x→x
0
f (x)
g(x)
= lim
x→x
0
(x −x
0
) f
1
(x)
(x −x
0
)g
1
(x)
= lim
x→x
0
f
1
(x)
g
1
(x)
(1)
Ta tiếp tục tính giới hạn (1).
® Tử số f (x
0
) 6= 0 và mẫu số g(x
0
) = 0. Ta áp dụng các định lý liên quan đến giới hạn vô
cực để tìm kết quả.
L Một số cách phân tích nhân tử thường dùng:
• Nếu f (x) = ax
2
+ bx + c có hai nghiệm x
1
, x
2
thì f (x) = a(x −x
1
)(x −x
2
).
• Nếu f (x) là một đa thức bậc ba, bậc bốn,...ta có thể dùng phương pháp chia đa thức.
• Nếu f (x) là biểu thức chứa căn, ta dùng cách nhân lượng liên hợp.
# Ví dụ 1. Tính các giới hạn sau
lim
x→2
x
2
+ 2x
4
.a) lim
x→0
√
x + 4 + 1
x
2
+ 2
.b)
# Ví dụ 2. Tính các giới hạn sau:
lim
x→−4
x
2
+ 2x −8
x
2
+ 4x
.a) lim
x→
1
2
2x
2
−5x + 2
1 −2x
.b)
lim
x→2
2x
2
−5x + 2
x
2
+ x −6
.c) lim
x→1
x
3
−1
(x −1)
3
.d)
# Ví dụ 3. Tính các giới hạn sau
lim
x→−
√
3
x
3
+ 3
√
3
3 −x
2
.a) lim
x→2
2x
3
+ 5x
2
−7x + 2
x
2
−3x + 2
.b)
Tài liệu họ c tập môn Toán 11 Trang 12 p GV: Phùng V Hoàng Em
# Ví dụ 4. Tính các giới hạn sau
lim
x→1
3x
3
−5x
2
+ 2
3x
2
−5x + 2
.a) lim
x→2
x
3
+ 3x
2
−9x −2
x
3
−x −6
.b)
lim
x→−1
2x
3
+ 3x + 5
x
3
+ 3x
2
+ x −1
.c) lim
x→−1
4x
2
−3x −7
x
3
+ 1
.d)
lim
x→1
x
4
−x
3
−x + 1
x
3
−5x
2
+ 7x −3
.e) lim
x→1
4x
5
−5x
4
+ 1
(x −1)(x
3
+ x −2)
.f)
# Ví dụ 5. Tính các giới hạn sau
lim
x→1
√
x + 3 −2
2x −2
.a) lim
x→0
1 −
√
4x + 1
x
2
+ 3x
.b)
lim
x→2
x
2
−4
√
x
2
+ 3x −1 −3
.c) lim
x→−1
x
3
+ 1
√
x + 5 −2
.d)
# Ví dụ 6. Tính các giới hạn sau
lim
x→−1
x
2
−1
2x +
√
3x
2
+ 1
.a) lim
x→5
2x −5
√
x −1
3 −
√
x + 4
.b)
lim
x→0
1 −
3
√
12x + 1
4x
.c) lim
x→−4
√
2x + 9 −x −5
3
√
x + 5 +
3
√
x + 3
.d)
# Ví dụ 7. Tính các giới hạn sau
lim
x→2
√
x + 2 +
√
3x −2 −2x
x −2
.a) lim
x→1
√
x + 3 −
√
x + 8 + x
2
−4x + 4
x −1
.b)
lim
x→0
√
x + 4 −
3
√
x + 8
x
.c) lim
x→1
√
5 −x
3
−
3
√
x
2
+ 7
x
2
−1
.d)
lim
x→0
√
1 + 3x ·
3
√
1 + 2x −1
x
.e) lim
x→1
x
2
−1
3
√
6 + 2x −
√
1 + 3x
.f)
{ DẠNG 2. Giới hạn của hàm số khi x → ±∞. Khử dạng vô định
∞
∞
; ∞ −∞; 0 ·∞
Phương pháp giải.
# Ví dụ 8. Tính các giới hạn sau:
lim
x→−∞
5x −2
3x + 1
a) lim
x→+∞
2x
3
−x + 10
x
3
+ 3x −3
b)
lim
x→+∞
3x
4
+ 5x
2
+ 7
x
3
−15x
c) lim
x→−∞
2x
3
−5x
2
+ 1
7x
2
−x + 4
d)
lim
x→+∞
x
4
−x
3
+ 3
2x
6
−7
e) lim
x→+∞
(x + 1)
2
(2x + 1)
2
(2x
3
+ 1)(x −2)
3
f)
Tài liệu họ c tập môn Toán 11 Trang 13 p GV: Phùng V Hoàng Em
# Ví dụ 9. Tính các giới hạn sau:
lim
x→+∞
√
x
2
+ x + 2x
2x + 3
a) lim
x→−∞
√
2x
2
−7x + 1
3
|
x
|
−7
b)
lim
x→−∞
3
x
2
+ 2x
8x
2
−x + 5
c) lim
x→−∞
x +
√
x
2
+ 2
3
√
8x
3
+ x
2
+ 1
d)
lim
x→−∞
√
x
4
−x
1 −3x
e) lim
x→−∞
√
x
6
−8x
x
4
+ 2x
2
+ 2
f)
# Ví dụ 10. Tính các giới hạn sau:
lim
x→+∞
Ä
√
x
2
+ x −x
ä
a) lim
x→+∞
Ä
√
x
2
+ x −
√
x
2
+ 2x
ä
b)
lim
x→−∞
x
Ä
√
x
2
+ 1 + x
ä
.c) lim
x→+∞
Ä
p
x +
√
x −
√
x
ä
.d)
lim
x→−∞
Ä
√
x
2
+ x + x + 1
ä
e) lim
x→+∞
1
x
Ä
√
x
2
+ 2 −
√
x
2
+ 1
ä
.f)
# Ví dụ 11. Tính các giới hạn sau:
lim
x→+∞
Ä
3
√
x
3
+ x −x
ä
a) lim
x→+∞
Ä
3
√
x
3
+ x −
√
x
2
+ x
ä
b)
# Ví dụ 12. Tính giới hạn của các hàm số sau:
lim
x→+∞
2x
5
−x
4
+ 4x
3
−3
;a) lim
x→−∞
2x
5
−x
4
+ 4x
3
−3
;b)
lim
x→+∞
−x
3
−x
2
+ 4x + 2
;c) lim
x→−∞
−x
3
−x
2
+ 4x + 2
;d)
lim
x→+∞
Ä
√
x
2
+ x + x
ä
e) lim
x→−∞
Ä
2x −
√
x
2
+ x
ä
f)
# Ví dụ 13. Tính các giới hạn sau:
lim
x→−∞
x
Å
1
x
2
−4
−
1
x + 2
ã
a) lim
x→+∞
(x + 2)
…
x −1
x
3
+ x
b)
lim
x→0
Å
1
x
−
1
x
2
ã
c) lim
x→1
Å
2
1 −x
2
−
1
1 −x
ã
d)
{ DẠNG 3. Giới hạn một bên. Sự tồn tại giới hạn
Phương pháp giải.
• Phương pháp tính lim
x→x
−
0
f (x) và lim
x→x
+
0
f (x) hoàn toàn tương tự như bài toán tính lim
x→x
0
f (x).
• lim
x→x
0
f (x) = L khi và chỉ khi lim
x→x
−
0
f (x) = lim
x→x
+
0
f (x) = L.
Tài liệu họ c tập môn Toán 11 Trang 14 p GV: Phùng V Hoàng Em
# Ví dụ 14. Tính giới hạn của các hàm số sau:
lim
x→+∞
3
x
2
−2x + 6
;a) lim
x→3
+
−x
2
+ 5
x −3
;b)
lim
x→3
−
2x
2
+
√
3 −x
x −3
;c) lim
x→−2
+
|x
2
−4|
x + 2
.d)
# Ví dụ 15.
1. Tính lim
x→1
f (x), biết f (x) =
x
2
−3x + 2
x −1
khi x < 1
x khi x ≥ 1
.
2. Tính lim
x→2
f (x), biết f (x) =
√
x + 7 −3
x −2
khi x > 2
x −1
6
khi x ≤ 2
.
CC BÀI TẬP TỰ LUYỆN
c Bài 1. Tính các giới hạn sau:
lim
x→−1
4x
2
−x −5
7x
2
+ 5x −2
.a) lim
x→−2
4 −x
2
x + 2
.b)
lim
x→3
x
2
+ 2x −15
x −3
.c) lim
x→2
2x
2
−5x + 2
x
2
−4
.d)
c Bài 2. Tính các giới hạn sau:
lim
x→1
x
3
−x
2
−x + 1
x
2
−3x + 2
.a) lim
x→1
x
4
−1
x
3
−2x
2
+ 1
.b)
lim
x→−1
x
5
+ 1
x
3
+ 1
.c) lim
x→3
x
3
−5x
2
+ 3x + 9
x
4
−8x
2
−9
.d)
c Bài 3. Tính các giới hạn sau
lim
x→0
√
1 + 2x −1
2x
.a) lim
x→2
x −
√
3x −2
x
2
−4
.b)
lim
x→0
√
1 + x
2
−1
2x
3
−3x
2
.c) lim
x→1
√
2x + 7 −x −2
x
3
−4x + 3
.d)
lim
x→−1
x
2
−8x −9
√
4 −3x
2
−2x −3
.e) lim
x→1
√
3x + 1 +
√
x
2
+ 8 −5
x
2
−3x + 2
.f)
lim
x→2
4x −
√
x + 2 −
√
5x + 26
x −2
.g) lim
x→0
√
1 + 4x ·
√
1 + 6x −1
x
.h)
c Bài 4. Tính các giới hạn sau:
Tài liệu họ c tập môn Toán 11 Trang 15 p GV: Phùng V Hoàng Em
lim
x→0
1 −
3
√
x + 1
3x
.a) lim
x→1
3
√
x −2 +
3
√
1 −x + x
2
x
2
−1
.b)
lim
x→2
3
√
3x + 2 + x −4
x
2
−3x + 2
.c) lim
x→1
√
5 −x
3
−
3
√
x
2
+ 7
x
2
−1
.d)
lim
x→2
3
√
8x + 11 −
√
x + 7
x
2
−3x + 2
.e) lim
x→0
√
1 + 2x ·
3
√
1 + 4x −1
x
.f)
c Bài 5. Tính các giới hạn sau:
lim
x→−∞
3x
2
−x + 7
2x
3
−1
a) lim
x→−∞
2x
4
+ 7x
2
−15
x
4
+ 1
b) ) lim
x→+∞
√
x
6
+ 2
3x
3
−1
c)
lim
x→−∞
√
x
6
+ 2
3x
3
−1
d) lim
x→−∞
3
x
2
+ 2x
8x
2
−x + 3
e) lim
x→+∞
x
√
x
x
2
−x + 2
f)
lim
x→+∞
x
3
−5
x
2
+ 1
g) lim
x→+∞
3
2x
5
+ x
3
−1
(2x
2
−1)(x
3
+ x)
h) lim
x→−∞
2|x|+ 3
√
x
2
+ x + 5
i)
lim
x→−∞
√
x
2
+ x + 2x
2x + 3
j) lim
x→+∞
(x + 1)
…
x
2x
4
+ x
2
+ 1
k) lim
x→−∞
√
x
4
+ 4
x + 4
l)
c Bài 6. Tính các giới hạn sau:
lim
x→−∞
2x
3
−3x
2
+ 4x + 1
x
4
−5x
3
+ 2x
2
−x + 3
a) lim
x→+∞
x +
√
x
2
+ 2
3
√
8x
3
+ x
2
+ 1
b)
lim
x→−∞
√
x
2
+ 2x + 3x
√
4x
2
+ 1 −x + 2
c) lim
x→+∞
√
9x
2
+ 2 −
3
√
6x
2
+ 5
4
√
16x
4
+ 3 −
5
√
8x
4
+ 7
d)
c Bài 7. Tính các giới hạn sau:
lim
x→−2
x −1 +
√
5 −2x
x
2
+ x −2
;a) lim
x→1
2
√
2 −x −
3
√
9 −x
1 −x
;b)
lim
x→−1
3
√
7 + 6x −
√
5 + 4x
(x + 1)
2
;c) lim
x→0
√
1 + 2017x ·
3
√
1 + 2018x −1
x
.d)
c Bài 8. Tính các giới hạn sau:
lim
x→+∞
(4x
3
−
√
x
2
+ 2);a) lim
x→−∞
2x −
3
√
2x
6
+ x
4
−1
x
2
+
√
x
;b)
lim
x→+∞
3
√
2x
6
+ x
4
−1
1 −x
2
;c) lim
x→+∞
√
16x
8
+ 3 −x
2
x(x + 2)(x + 4)(x + 6)
.d)
c Bài 9. Tính các giới hạn sau:
lim
x→+∞
(
√
x
2
+ 2x −1 −x −1);a) lim
x→−∞
(
√
x
2
−2x −1 + x −1);b)
lim
x→+∞
(
√
4x
2
−x −
3
√
8x
3
+ 3x
2
);c) lim
x→1
Å
2017
1 −x
2017
−
2018
1 −x
2018
ã
.d)
c Bài 10. Tính các giới hạn sau:
Tài liệu họ c tập môn Toán 11 Trang 16 p GV: Phùng V Hoàng Em
lim
x→+∞
(−6x
4
+ 2x
3
−x + 5);a) lim
x→+∞
Ä
√
4x
2
−3 + 2x
ä
;b)
lim
x→−∞
Ä
√
4x
2
−3 −2x
ä
;c) lim
x→−∞
Ä
x +
3
√
x
3
−1
ä
.d)
c Bài 11. Tính các giới hạn sau:
lim
x→−1
−
√
−4 −4x + 3x
2
x + 1
;a) lim
x→2
−
3x + 1
2 −x
;b)
lim
x→2
+
2x
2
−5x + 2
(x −2)
2
;c) lim
x→−3
+
√
x + 7 −2
|x
2
−9|
.d)
c Bài 12. Tính các giới hạn sau:
lim
x→−∞
(2x −3)
20
(3x + 2)
30
(2x + 1)
50
;a) lim
x→2
(x
2
−x −2)
20
(x
3
−12x + 16)
10
.b)
c Bài 13. Tính các giới hạn sau:
lim
x→1
2x
5
+ x
4
−4x
2
+ 1
x
3
−1
;a) lim
x→−2
2x
4
+ 9x
3
+ 11x
2
−4
(x + 2)
2
;b)
lim
x→−1
x
11
+ 1
x
7
+ 1
;c) lim
x→1
x + x
2
+ ···+ x
2018
−2018
x
2
−1
.d)
c Bài 14. Tìm các giá trị của a, b sao cho lim
x→+∞
(
√
x
2
+ x + 1 −ax −b) = 0.
c Bài 15. Tính giới hạn I = lim
x→0
(1 + x)
n
−1
x
với n là số nguyên dương.
c Bài 16. Tính L = lim
x→1
C
0
2018
+ C
2
2018
x
2
+ C
4
2018
x
4
+ ···C
2018
2018
x
2018
−2
2017
x −1
c Bài 17. Cho hàm số f (x) =
ax
2
+ 3ax −4a
x −1
khi x < 1
2bx + 1 khi x ≥ 1
. Biết rằng a, b là các số thực thỏa mãn
hàm số f (x) có giới hạn tại x = 1.
Tìm mối quan hệ giữa a và b.a)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = a
2
+ b
2
.b)
DD BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Giá trị của giới hạn lim
x→2
3x
2
+ 7x + 11
là
A. 37. B. 38. C. 39. D. 40.
Câu 2. Giá trị của giới hạn lim
x→−1
x
2
−3
x
3
+ 2
là
A. 1. B. −2. C. 2. D. −
3
2
.
Câu 3. Giá trị của giới hạn lim
x→−1
√
3x
2
+ 1 −x
x −1
là
A. −
3
2
. B.
1
2
. C. −
1
2
. D.
3
2
.
Tài liệu họ c tập môn Toán 11 Trang 17 p GV: Phùng V Hoàng Em
Câu 4. Kết quả của giới hạn lim
x→2
+
x −15
x −2
là
A. −∞. B. +∞. C. −
15
2
. D. 1.
Câu 5. Kết quả của giới hạn lim
x→2
+
√
x + 2
√
x −2
là
A. −∞. B. +∞. C. −
15
2
. D. Không xác định.
Câu 6. Kết quả của giới hạn lim
x→2
−
|
2 −x
|
2x
2
−5x + 2
là
A. −∞. B. +∞. C. −
1
3
. D.
1
3
.
Câu 7. Cho hàm số f (x) =
2x
√
1 −x
với x < 1
p
3x
2
+ 1 với x > 1
. Khi đó lim
x→1
+
f (x) là
A. +∞. B. 2. C. 4. D. −∞.
Câu 8. Cho hàm số f (x) =
x
2
+ 1
1 −x
với x < 1
√
2x −2 với x > 1
. Khi đó lim
x→1
−
f (x) là
A. +∞. B. −1. C. 0. D. 1.
Câu 9. Cho hàm số f (x) =
x
2
−2x + 3 với x > 3
1 với x = 3
3 −2x
2
với x < 3
. Khẳng định nào dưới đây sai?
A. lim
x→3
+
f (x) = 6. B. Không tồn tại lim
x→3
f (x).
C. lim
x→3
−
f (x) = 6. D. lim
x→3
−
f (x) = −15.
Câu 10. Giá trị của giới hạn lim
x→−∞
x −x
3
+ 1
là
A. 1. B. −∞. C. 0. D. +∞.
Câu 11. Giá trị của giới hạn lim
x→−∞
Ä
|
x
|
3
+ 2x
2
+ 3
|
x
|
ä
là
A. 0. B. +∞. C. 1. D. −∞.
Câu 12. Giá trị của giới hạn lim
x→2
x
3
−8
x
2
−4
là
A. 0. B. +∞. C. 3. D. Không xác định.
Câu 13. Biết rằng lim
x→−
√
3
2x
3
+ 6
√
3
3 −x
2
= a
√
3 + b. Tính a
2
+ b
2
.
A. 10. B. 25. C. 5. D. 13.
Câu 14. Giá trị của giới hạn lim
x→0
+
√
x
2
+ x −
√
x
x
2
là
A. 0. B. −∞. C. 1. D. +∞.
Câu 15. Kết quả của giới hạn lim
x→−∞
2x
2
+ 5x −3
x
2
+ 6x + 3
là
A. −2. B. +∞. C. 3. D. 2.
Câu 16. Kết quả của giới hạn lim
x→−∞
2x
3
−7x
2
+ 11
3x
6
+ 2x
5
−5
là
A. −2. B. +∞. C. 0. D. −∞.
Câu 17. Giá trị của giới hạn lim
x→−∞
2x
3
−x
2
là
A. 1. B. +∞. C. −1. D. −∞.
Tài liệu họ c tập môn Toán 11 Trang 18 p GV: Phùng V Hoàng Em
Câu 18. Giá trị của giới hạn lim
x→+∞
Ä
√
1 + 2x
2
−x
ä
là
A. 0. B. +∞. C.
√
2 −1. D. −∞.
Câu 19. Giá trị của giới hạn lim
x→2
−
Å
1
x −2
−
1
x
2
−4
ã
là
A. −∞. B. +∞. C. 0. D. 1.
Câu 20. Kết quả của giới hạn lim
x→0
ï
x
Å
1 −
1
x
ãò
là
A. +∞. B. −1. C. 0. D. +∞.
Câu 21. Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình vẽ bên.
Tính lim
x→1
+
f (x) + lim
x→3
−
f (x).
A. 5. B. 4 .
C. 2. D. 0.
x
y
O
1
2
3
3
1
Câu 22. Cho hàm số f (x) = ax
2
+ bx + c có đồ thị như hình bên.
Tính lim
x→−∞
f (x)
3x
2
+ 1
.
A.
1
3
. B.
2
3
.
C. 2. D. 1.
x
y
O
21
4
Câu 23. Cho hàm số f (x) =
2x
2
−3x + 2
x −1
. Biết rằng lim
x→+∞
f (x) −(mx + n)
= 0. Tính m + n.
A. m + n = 0. B. m + n = 1. C. m + n = −1. D. m + n = 3.
Câu 24. Biết rằng b > 0, a+b = 5 và lim
x→0
3
√
ax + 1 −
√
1 −bx
x
= 2. Khẳng định nào dưới đây sai?
A. 1 < a < 3. B. b > 1. C. a
2
+ b
2
> 10. D. a −b < 0.
Câu 25. Biết rằng L = lim
x→−∞
√
4x
2
−2x + 1 + 2 −x
√
ax
2
−3x + bx
> 0 là hữu hạn (với a, b là tham số). Khẳng định
nào dưới đây đúng?
A. a > 0. B. L = −
3
a + b
. C. L =
3
b −
√
a
. D. b > 0.
Câu 26. Tìm tất cả các giá trị của a để lim
x→−∞
Ä
√
2x
2
+ 1 + ax
ä
là +∞.
A. a >
√
2. B. a <
√
2. C. a > 2. D. a < 2.
Câu 27. Biết rằng a + b = 4 và lim
x→1
Å
a
1 −x
−
b
1 −x
3
ã
hữu hạn. Tính giới hạn
L = lim
x→1
Å
b
1 −x
3
−
a
1 −x
ã
.
A. 1. B. 2. C. 1. D. −2.
Câu 28. Biết rằng lim
x→−∞
Ä
√
5x
2
+ 2x + x
√
5
ä
= a
√
5 + b. Tính S = 5a + b.
A. S = 1. B. S = −1. C. S = 5. D. S = −5.
Tài liệu họ c tập môn Toán 11 Trang 19 p GV: Phùng V Hoàng Em
Câu 29. Cho hàm số f (x) và g(x) là các tam thức bậc hai thỏa mãn
lim
x→2
[ f (x)]
2
−2 f (x) −3
(x −2)
2
= lim
x→2
[g(x)]
2
−2g(x) −3
(x −2)
2
= −4.
Tính lim
x→2
[ f (x) ·g(x)]
A. 16. B. −3. C. −16. D. 3.
Câu 30. Biết rằng
(2 −a)x −3
√
x
2
+ 1 −x
có giới hạn là +∞ khi x → +∞ (với a là tham số). Tính giá trị nhỏ
nhất của P = a
2
−2a + 4.
A. P
min
= 1. B. P
min
= 3. C. P
min
= 4. D. P
min
= 5.
—HẾT—
Tài liệu họ c tập môn Toán 11 Trang 20 p GV: Phùng V Hoàng Em
§ 3. HÀM SỐ LIÊN TỤC
AA TÓM TẮT LÝ THUYẾT
11 Hàm số liên tục tại một điểm
L Định nghĩa: Cho hàm số y = f (x) xác định trên khoảng K và x
0
∈ K. Hàm số y = f (x) được gọi
là liên tục tại x
0
nếu
lim
x→x
0
f (x) = f (x
0
)
4
!
Nếu hàm số không liên tục tại x
0
thì ta nói hàm số đó gián đoạn tại x
0
.
L Minh họa đồ thị:
x
y
O
y = f (x )
x
0
Hàm số liên tục tại x
0
x
y
O
y = f (x )
y
0
x
0
Hàm số gián đoạn tại x
0
x
y
O
y = f (x )
y
0
x
0
Hàm số gián đoạn tại x
0
22 Hàm số liên tục trên một khoảng
L Định nghĩa: Hàm số y = f (x) được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm
của khoảng đó.
L Chú ý:
• Hàm số y = f (x) được gọi là liên tục trên đoạn [a; b] nếu nó liên tục trên khoảng (a; b)
và lim
x→a
+
f (x) = f (a), lim
x→b
−
f (x) = f (b).
• Khái niệm hàm số liên tục trên nửa khoảng như [a;b), [a;+∞),... được định nghĩa một
cách tương tự như liên tục trên đoạn.
4
!
Đồ thị của hàm số liên tục trên một khoảng là một “đường liền” trên khoảng
đó. Hình bên là đồ thị của một hàm số liên tục tên (a; b).
x
y
O
a
b
33 Một số định lí cơ bản
Định lí 1.
1. Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực R.
2. Hàm số phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) và các hàm số lượng giác liên tục trên
từng khoảng của tập xác định của chúng.
Tài liệu họ c tập môn Toán 11 Trang 21 p GV: Phùng V Hoàng Em
Định lí 2. Giả sử y = f (x) và y = g(x) là hai hàm số liên tục tại điểm x
0
. Khi đó
1. Các hàm số y = f (x) + g(x), y = f (x) −g(x ) và y = f (x).g(x) liên tục tại x
0
.
2. Hàm số y =
f (x)
g(x)
liên tục tại x
0
nếu g(x
0
) 6= 0.
Định lí 3. Sự tồn tại nghiệm của phương trình trên một khoảng
1. Nếu hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [a; b] và f (a) f (b) < 0, thì tồn tại ít nhất một điểm
c ∈ (a; b) sao cho f (c) = 0.
2. Nếu hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [a; b] và f (a) f (b) < 0 thì phương trình f (x) = 0
có ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng (a; b).
BB PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
{ DẠNG 1. Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm
Phương pháp giải. Cho hàm số y = f (x) xác định trên tập D. Để xét tính liên tục của hàm số
y = f (x) tại điểm x
0
∈ D, ta thực hiện các bước sau:
Bước 1. Tính f (x
0
).
Bước 2. Tìm lim
x→x
0
f (x).
Bước 3. So sánh và rút ra kết luận.
• Nếu lim
x→x
0
f (x) = f (x
0
) thì hàm số f (x) liên tục tại điểm x
0
.
• Nếu lim
x→x
0
f (x) 6= f (x
0
) thì hàm số f (x) không liên tục (gián đoạn) tại điểm x
0
.
# Ví dụ 1. Xét tính liên tục của hàm số f (x) =
x
2
−6x + 5
x
2
−1
nếu x 6= 1
−2 nếu x = 1
tại điểm x
0
= 1.
# Ví dụ 2. Xét tính liên tục của hàm số f (x) =
1 −
√
2x −3
2 −x
nếu x 6= 2
1 nếu x = 2
tại điểm x
0
= 2.
# Ví dụ 3. Xét tính liên tục của hàm số f (x) =
√
x −2
√
x + 5 −3
nếu x 6= 4
−
3
2
nếu x = 4
tại điểm x
0
= 4.
# Ví dụ 4. Xét tính liên tục của hàm số f (x) =
®
x
2
+ 1 nếu x > 0
x nếu x ≤ 0
tại điểm x
0
= 0.
# Ví dụ 5. Xét tính liên tục của hàm số f (x) =
x −5
√
2x −1 −3
nếu x > 5
(x −5)
2
+ 3 nếu x ≤ 5
tại điểm x
0
= 5.
Tài liệu họ c tập môn Toán 11 Trang 22 p GV: Phùng V Hoàng Em
{ DẠNG 2. Xét tính liên tục của hàm số trên miền xác định
Phương pháp giải.
1. Hàm đa thức liên tục trên R.
2. Hàm phân thức hữu tỉ, hàm lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.
# Ví dụ 6. Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định của chúng.
f (x) =
x
2
−x −2
x + 1
khi x 6= −1
−3 khi x = −1
.a) f (x) =
2x + 1
(x −1)
2
khi x 6= 1
3 khi x = 1
.b)
# Ví dụ 7. Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định của chúng.
f (x) =
®
x
2
+ 3x khi x ≥ 2
6x + 1 khi x < 2.
a) f (x) =
x
2
−3x + 5 khi x > 1
3 khi x = 1
2x + 1 khi x < 1.
b)
{ DẠNG 3. Tìm giá trị của tham số để hàm số liên tục - gián đoạn
Phương pháp giải.
# Ví dụ 8. Tìm tham số m để hàm số f (x) =
®
x
2
+ 2x −m khi x 6= 2
x + m khi x = 2
liên tục tại x
0
= 2.
# Ví dụ 9. Tìm tham số m để hàm số f (x) =
x
2
−2x −3
x + 1
khi x 6= −1
m
2
+ 5m khi x = −1
liên tục tại x
0
= −1.
# Ví dụ 10. Tìm tham số m để hàm số f (x) =
√
4x + 5 −3
x
2
−1
khi x > 1
2m + 3 khi x ≤ 1
gián đoạn tại x
0
= 1.
# Ví dụ 11. Cho hàm số f (x) =
ax +
1
4
nếu x ≤ 2
3
√
3x + 2 −2
x −2
nếu x > 2
. Tìm a để hàm số liên tục tại
x
0
= 2.
{ DẠNG 4. Chứng minh phương trình có nghiệm
Phương pháp giải.
• Để chứng minh phương trình f (x) = 0 có ít nhất một nghiệm trên D, ta chứng minh hàm
số y = f (x) liên tục trên D và có hai số a, b ∈D sao cho f (a). f (b) < 0.
• Để chứng minh phương trình f (x) = 0 có k nghiệm trên D, ta chứng minh hàm số y = f (x)
liên tục trên D và tồn tại k khoảng rời nhau (a
i
; a
i+1
)(i = 1, 2, . . . , k) nằm trong D sao cho
f (a
i
). f (a
i+1
) < 0.
Tài liệu họ c tập môn Toán 11 Trang 23 p GV: Phùng V Hoàng Em
# Ví dụ 12. Chứng minh rằng phương trình 2x
4
−2x
3
−3 = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc
khoảng (−1; 0).
# Ví dụ 13. Chứng minh rằng phương trình 6x
3
+ 3x
2
−31x + 10 = 0 có đúng 3 nghiệm phân
biệt.
# Ví dụ 14. Chứng minh rằng phương trình
m
2
+ m + 4
x
2017
−2x + 1 = 0 luôn có ít nhất một
nghiệm âm với mọi giá trị của tham số m.
# Ví dụ 15. Chứng minh rằng phương trình a cos 2x +b sin x +cos x = 0 luôn có nghiệm với mọi
tham số a, b.
# Ví dụ 16. Chứng minh phương trình (x −a)(x −b) + (x −b)(x −c) + (x −c)(x −a) = 0 có ít
nhất một nghiệm với mọi số thực a, b, c.
CC BÀI TẬP TỰ LUYỆN
c Bài 1. Tìm m để hàm số f (x) =
x
3
−5x
2
+ 7x −3
x
2
−1
khix 6= 1
2m + 1 khix = 1
liên tục tại điểm x
0
= 1.
¤ m = −
1
2
c Bài 2. Xét tính liên tục của hàm số f (x) =
3x
2
−2x −1
x −1
khi x < 1
2x + 2 khi x ≥ 1
tại điểm x
0
= 1.
¤ liên tục
c Bài 3. Xét tính liên tục của hàm số f (x) =
√
x
2
−3 −1
x −2
khi x 6= 2
2x −2 khi x = 2
tại điểm x
0
= 2.
¤ liên tục
c Bài 4. Xét tính liên tục của hàm số y = f (x) =
x
2
+ 2x −3
x
2
+ x −2
khi x > 1
√
x + 1 + 7
3
khi x ≤ 1
tại điểm x
0
= 1.
¤ không liên tục
c Bài 5. Xét tính liên tục của hàm số f (x) =
2 −7x + 5x
2
−x
3
x
2
−3x + 2
khi x 6= 2
1 khi x = 2
tại điểm x
0
= 2.
¤ liên tục
c Bài 6. Xét tính liên tục của hàm số f (x) =
x
2
+ 3x + 2
−x −1
khi x 6= −1
x
2
+ 2x khi x = −1
tại điểm x
0
= −1.
¤ liên tục
c Bài 7. Xét tính liên tục của hàm số f (x) =
x
2
−3x −4
√
x + 5 −3
khi x > 4
−4x + 46 khi x ≤ 4
tại điểm x
0
= 4.
¤ liên tục
Tài liệu họ c tập môn Toán 11 Trang 24 p GV: Phùng V Hoàng Em
c Bài 8. Tìm m để hàm số f (x) =
x
3
−8
2x
2
−x −6
khix > 2
mx + 10 khix ≤ 2
liên tục tại điểm x
0
= 2.
¤ m = −
29
7
c Bài 9. Tìm m để f (x) =
√
1 + x −
√
1 −x
x
khi x 6= 0
−5m +
4 −x
x + 2
khi x = 0
liên tục tại điểm x
0
= 0.
¤ m =
1
5
c Bài 10. Tìm m để f (x) =
√
2x −1 −1
x
2
+ 2x −3
khi x > 1
x + m khi x ≤ 1
liên tục tại điểm x
0
= 1.
¤ m =
1
5
c Bài 11. Tìm m để f (x) =
3
√
6 + x −2
x −2
khi x 6= 2
2x −m khi x = 2
liên tục tại điểm x
0
= 2.
¤ m =
47
12
c Bài 12. Tìm m để f (x) =
3
√
12x −4 −2
x −1
khi x 6= 1
p
m
2
x
2
+ 8 + 2mx khi x = 1
liên tục tại điểm x
0
= 1.
¤ m = −1
c Bài 13. Tìm m để f (x) =
3x −3 +
|
x −1
|
√
5x
2
+ 4
x
2
−2x + 1
khi x < 1
m
2
+
1
3
x −3m khi x ≥1
liên tục tại điểm x
0
= 1.
¤ m = 1 hoặc m = 2
c Bài 14. Tìm m để f (x) =
√
7 −3x −4
2 −
√
1 −x
khi x > −3
m
2
−2mx −
3
2
khi x ≤ −3
liên tục tại điểm x
0
= −3.
¤ m = −6 hoặc m = 0
c Bài 15. Tìm m để f (x) =
3 −x
5 −
√
x
2
+ 16
khi x > 3
m
3
(x + m + 1) khi x ≤ 3
liên tục tại điểm x
0
= 3.
¤ m = −5 hoặc m = 1
c Bài 16. Tìm m để f (x) =
3(x
2
−4)
√
x + 2 −x
khi x > 2
√
m + 2 + m −10x khi x ≤ 2
liên tục tại điểm x
0
= 2.
¤ m = 2
c Bài 17. Xét tính liên tục của hàm số f (x) =
2x
3
+ 6x
2
+ x + 3
x + 3
khix 6= −3
19 khix = −3
trên R.
¤ liên tục trên R
Tài liệu họ c tập môn Toán 11 Trang 25 p GV: Phùng V Hoàng Em
c Bài 18. Tìm a để f (x) =
2x
2
−x −3
x
3
+ x
2
+ x + 1
khix 6= −1
a
3
khix = −1
liên tục trên R.
c Bài 19. Chứng minh rằng phương trình x
4
−x
3
−2x
2
−15x −25 = 0 có ít nhất một nghiệm âm và
ít nhất một nghiệm dương.
c Bài 20. Chứng minh rằng phương trình x
3
+ 4x
2
−2 = 0 có ba nghiệm trong khoảng (−4; 1).
c Bài 21. Chứng minh rằng phương trình x
5
−5x
3
+ 4x −1 = 0 có đúng năm nghiệm.
c Bài 22. Chứng minh rằng phương trình x + 1 + cos x = 0 có nghiệm.
c Bài 23. Chứng minh rằng phương tr ình
1 −m
2
x
5
−3x −1 = 0 có ít nhất một nghiệm với mọi
giá trị của m.
c Bài 24. Chứng minh rằng phương trình
x
4
−x
2
+ mx −3m + 1
x
2
−x −2
= m có ít nhất 2 nghiệm với mọi
m > 1.
c Bài 25. Chứng minh rằng phương trình
1
cos x
−
1
sin x
= m luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham
số m.
c Bài 26. Cho phương trình f (x) = ax
2
+ bx + c = 0, biết a. f (c) < 0. Chứng minh rằng phương
trình a
ax
2
+ bx + c
2
+ b
ax
2
+ bx + c
+ c = x có nghiệm.
c Bài 27. Chứng minh rằng phương trình m(x −2)
3
(x −3) + 2x −5 = 0 luôn có nghiệm với mọi giá
trị của tham số m.
c Bài 28. Chứng minh phương trình (1 −m)x
5
+ 9mx
2
−16x −m = 0 có ít nhất hai nghiệm phân
biệt.
c Bài 29. Cho ba số a, b, c thỏa mãn hệ thức 2a + 3b + 6c = 0. Chứng minh rằng phương trình
ax
2
+ bx + c = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0;1).
c Bài 30. Cho hàm số f (x) = x
3
−3x
2
−1. Chứng minh phương trình có nghiệm x
0
∈(3;4). Không
tính f
Ä
5
√
36
ä
và f
Ä
1 +
5
√
36
ä
, chứng minh rằng x
0
> 1 +
5
√
36
DD BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Cho hàm số f (x) =
2x
2
x
. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
A. Hàm số f (x) xác định với mọi x 6= 0.
B. Hàm số f (x) liên tục trên R.
C. lim
x→0
+
f (x) 6= lim
x→0
−
f (x).
D. Vì lim
x→0
+
f (x) = lim
x→0
−
f (x) nên f (x) liên tục tại x = 0.
Câu 2. Cho hàm số f (x ) =
x
2
+ 3x −4
x + 4
với x 6= −4. Để hàm số f (x) liên tục tại x = −4 thì ta cần bổ
sung giá trị f (−4) bằng bao nhiêu?
A. 5. B. −5. C. 3. D. 0.
Câu 3. Hàm số nào dưới đây gián đoạn tại điểm x = 1?
A. y =
x −1
x
2
+ x + 1
. B. y =
x
2
−x + 1
x + 1
.
C. y = (x −1)(x
2
+ x + 1). D. y =
x
2
+ 2
x −1
.
Tài liệu họ c tập môn Toán 11 Trang 26 p GV: Phùng V Hoàng Em
Câu 4. Tìm a để hàm số f (x) =
x
2
−1
x −1
khi x 6= 1
a khi x = 1
liên tục tại điểm x
0
= 1.
A. a = −1. B. a = 2. C. a = 1. D. a = 0.
Câu 5. Cho hàm số f (x) =
®
x
3
+ x
2
+ 7 khi x 6= −1
2x + m −1 khi x = −1
. Tìm m để hàm số liên tục tại điểm x
0
= −1.
A. m = 10. B. m = 8. C. m = −10. D. m = 12.
Câu 6. Cho hàm số f (x) =
x
3
−8
x −2
khi x 6= 2
mx + 1 khi x = 2
. Tìm m để hàm số liên tục tại x = 2.
A. m =
15
2
. B. m =
11
2
. C. m =
17
2
. D. m =
13
2
.
Câu 7. Cho hàm số y = f (x) =
x
3
−x
2
x −1
khi x > 1
n khi x = 1
mx + 1 khi x < 1
. Biết hàm số f (x) liên tục tại x
0
= 1. Giá trị
của m, n là
A. n = m = 1. B. n = 1, m = 0. C. n = −1, m = 0. D. n = 0, m = 1.
Câu 8. Cho a, b là hai số thực sao cho hàm số f (x) =
x
2
+ ax + b
x −1
, với x 6= 1
2ax −1 , với x = 1
liên tục trên R. Tính
a −b.
A. −5. B. 7. C. −1. D. 0.
Câu 9. Cho hàm số f (x) =
x
2
−16
x −4
khi x 6= 4
ax −1 khi x = 4
. Tập hợp các giá trị của a để hàm số liên tục tại
x = 4 là
A.
{
8
}
. B.
{
0
}
. C.
ß
−
9
4
™
. D.
ß
9
4
™
.
Câu 10. Cho hàm số f (x) =
ß
sin π x khi |x| ≤ 1
x + 1 khi |x| > 1
. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Hàm số liên tục trên các khoảng (−∞; −1) và (−1; +∞).
B. Hàm số liên tục trên R.
C. Hàm số liên tục trên các khoảng (−∞; 1) và (1; +∞).
D. Hàm số gián đoạn tại x = ±1 .
Câu 11. Cho hàm số f (x) =
®
x
2
+ m khi x ≥ 2
3x −1 khi x < 2
(m là tham số). Tìm giá tr ị thực của tham số m để
hàm số đã cho liên tục tại x
0
= 2.
A. m = 0. B. m = 1. C. m = 3. D. m = 2.
Câu 12. Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình m(x −1)
3
(x −2) + 2x −3 = 0 vô nghiệm.
A. m = 1. B. m = 0.
C. ∀m ∈R. D. Không có giá trị m.
Câu 13. Cho hàm số f (x) =
x
2
−3x + 2
x −2
với x 6= 2
2m + 1 với x = 2
. Với giá trị nào của m sau đây để hàm số
f (x) liên tục tại x = 2.
A. 2. B. 0. C. 1. D. −1.
Tài liệu họ c tập môn Toán 11 Trang 27 p GV: Phùng V Hoàng Em
Câu 14. Cho hàm số f (x) =
1
5
x
5
+
4
3
x
3
−5x + 3. Mệnh đề nào sau đây sai?
A. Hàm số đã cho gián đoạn tại x
0
=
1
5
.
B. Phương trình f (x) = 0 có nghiệm trên khoảng (0; +∞).
C. Phương trình f (x) = 0 có nghiệm trên khoảng (−1; 1).
D. Hàm số f (x) liên tục trên R.
Câu 15. Cho hàm số f (x) =
x
2
−3x + 2
x −1
, khi x > 1
2x + 1 , khi x ≤ 1
. Chọn khẳng định đúng.
A. Hàm số f (x) liên tục tại điểm x = 1.
B. Hàm số f (x) gián đoạn tại điểm x = 1 vì không tồn tại lim
x→1
f (x).
C. Hàm số f (x) không xác định tại x = 1.
D. Hàm số f (x) gián đoạn tại điểm x = 1 vì lim
x→1
f (x) 6= f (1).
Câu 16. Cho hàm số f (x) =
ax
2
−(a −2)x −2
√
x + 3 −2
khi x 6= 1
8 + a
2
khi x = 1
. Có bao nhiêu giá trị của tham số
a để hàm số liên tục tại x = 1.
A. 2. B. 0. C. 1. D. 3.
Câu 17. Cho hàm số f (x) = x
5
+x −1. Xét phương trình f (x) = 0 (1). Trong các mệnh đề sau, mệnh
đề nào đúng?
A. Phương trình (1) vô nghiệm.
B. Phương trình (1) không có nghiệm trên khoảng (−1; 1).
C. Phương trình (1) có nghiệm trên khoảng (0; 1).
D. Phương trình (1) không có nghiệm trên khoảng (0; 1).
Câu 18. Tìm giá trị của tham số m để hàm số f (x) =
x
2
−3x + 2
x −1
khi x 6= 1
m khi x = 1
liên tục tại x = 1.
A. m = −2. B. m = 2. C. m = −1. D. m = 1.
Câu 19. Tìm P để hàm số y =
x
2
−4x + 3
x −1
khi x > 1
6Px −3 khi x ≤ 1
liên tục trên R.
A. P =
1
3
. B. P =
5
6
. C. P =
1
6
. D. P =
1
2
.
Câu 20. Cho hàm số f (x) =
√
x
2
+ 4 −2
x
2
khi x 6= 0
2a −
5
4
khi x = 0
. Tìm giá trị thực của tham số a để hàm số
f (x) liên tục tại x = 0.
A. a =
3
4
. B. a = −
3
4
. C. a =
4
3
. D. a = −
4
3
.
—HẾT—
Tài liệu họ c tập môn Toán 11 Trang 28 p GV: Phùng V Hoàng Em
§ 4. ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM CÁC CHỦ ĐỀ
ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM BÀI 1
1. C 2. C 3. D 4. B 5. B 6. D
7. B
8. A 9. C 10. D
11. A 12. A 13. A 14. C 15. B 16. B 17. A 18. A 19. B 20. B
21. A 22. A 23. A 24. C 25. B 26. C 27. D 28. A 29. B 30. B
31. C 32. B 33. A 34. B 35. B
ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM BÀI 2
1. A 2. B 3. A 4. A 5. B 6. C
7. B
8. A 9. C 10. D
11. B 12. C 13. A 14. D 15. D 16. C 17. D 18. B 19. A 20. B
21. B 22. B 23. B 24. A 25. C 26. B 27. C 28. A 29. B 30. B
ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM BÀI 3
1. A 2. B 3. D 4. B 5. A 6. B
7. B
8. B 9. D 10. C
11. B 12. D 13. B 14. A 15. B 16. A 17. C 18. C 19. C 20. A
Tài liệu họ c tập môn Toán 11 Trang 29 p GV: Phùng V Hoàng Em
| 1/31
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

MỤC LỤC CHƯƠNG 4 GIỚI HẠN 1 1.
GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 A
TÓM TẮT LÝ THUYẾT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 B
PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 ∞
Dạng 1. Khử vô định dạng
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 ∞
Dạng 2. Khử vô định dạng ∞ − ∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Dạng 3. Một số quy tắc tính giới hạn vô cực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Dạng 4. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 C
BÀI TẬP TỰ LUYỆN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 D
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.
GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 A
TÓM TẮT LÝ THUYẾT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 B
PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 0
Dạng 1. Giới hạn của hàm số khi x → x0. Khử dạng vô định . . . . . . . . . . 12 0 ∞
Dạng 2. Giới hạn của hàm số khi x → ±∞. Khử dạng vô định ; ∞ − ∞; 0 · ∞ 13 ∞
Dạng 3. Giới hạn một bên. Sự tồn tại giới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 C
BÀI TẬP TỰ LUYỆN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 D
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.
HÀM SỐ LIÊN TỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 A
TÓM TẮT LÝ THUYẾT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 B
PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Dạng 1. Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Dạng 2. Xét tính liên tục của hàm số trên miền xác định . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Dạng 3. Tìm giá trị của tham số để hàm số liên tục - gián đoạn . . . . . . . . . 23
Dạng 4. Chứng minh phương trình có nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 C
BÀI TẬP TỰ LUYỆN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 D
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4.
ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM CÁC CHỦ ĐỀ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Tài liệu học tập môn Toán 11 Trang i p GV: Phùng V Hoàng Em CHƯƠNG 4 GIỚI HẠN
§ 1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
A TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1 Giới hạn hữu hạn của dãy số
L Định nghĩa 1: Dãy số (un) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực nếu |un| có thể nhỏ hơn một
số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Ta viết lim un = 0. n→+∞
L Định nghĩa 2: Dãy số (un) có giới hạn là a nếu lim (un − a) = 0. Ta viết lim un = a. n→+∞ n→+∞
! Ta có thể viết limun = a thay cho cách viết lim un = a (không cần viết chỉ số n → +∞) n→+∞
L Một vài giới hạn đặc biệt: (có thể xem như công thức) 1 1 1 • lim = 0; • lim √ = 0; • lim = 0, với |q| > 1; n n qn 1 • lim = 0, với k ∈ ∗ N ; • limC = C, ∀C ∈
• lim qn = 0, nếu |q| < 1. nk R;
2 Các định lý về giới hạn hữu hạn
L Nếu lim un = a và limvn = b thì ta có: Å ã • lim (u u a n ± vn) = a + b; • n lim = , với • b 6= 0; lim |un| = |a|; vn b √ √ • lim (un.vn) = a.b; • lim un =
a, với a ≥ 0; • lim (k.un) = k.a (k ∈ R). L Định lý "kẹp giữa": • Nếu 0 ≤ |u ∗
n| ≤ vn, ∀n ∈ N và lim vn = 0 thì lim un = 0. • Nếu w ∗
n ≤ un ≤ vn, ∀n ∈ N và lim wn = lim vn = a thì lim un = a.
3 Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
L Định nghĩa: Cấp số nhân vô hạn (un) có công bội q thoả mãn |q| < 1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.
L Công thức tính: Cho cấp số nhân lùi vô hạn (un), ta có tổng của cấp số nhân lùi vô hạn đó là u1
S = u1 + u2 + u3 + ... + un + ... = , (|q| < 1) 1 − q
Tài liệu học tập môn Toán 11 Trang 1 p GV: Phùng V Hoàng Em 4 Giới hạn vô cực L Định nghĩa:
¬ Ta nói dãy số (un) có giới hạn +∞ khi n → +∞, nếu un có thể lớn hơn một số dương bất
kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu: lim un = +∞.
­ Ta nói dãy số (un) có giới hạn −∞ khi n → +∞, nếu lim(−un) = +∞. Kí hiệu: lim un = −∞.
L Một số giới hạn đặc biệt: ¬ lim nk = + ∗ ∞, với k ∈ N .
­ lim qn = +∞, với q > 1.
L Một số quy tắc tính giới hạn vô cực:
¬ Quy tắc tìm giới hạn của tích un · vn lim un = L lim vn = ∞ lim [un · vn] L > 0 +∞ +∞ L > 0 −∞ −∞ L < 0 +∞ −∞ L < 0 −∞ +∞ u ­ n
Quy tắc tìm giới hạn của thương vn un lim un = L lim vn Dấu của vn lim vn L ±∞ Tùy ý 0 L > 0 0 + +∞ L > 0 0 − −∞ L < 0 0 + −∞ L < 0 0 − +∞
B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN { ∞
DẠNG 1. Khử vô định dạng ∞ Phương pháp giải. u L n
Thường phát biểu dưới dạng lim . vn L Phương pháp giải:
• Đặt nhân tử nk có tính "quyết định ∞" ở tử và mẫu.
• Khử bỏ nk, đưa giới hạn về dạng xác định được.
• Áp dụng định lý về giới hạn hữu hạn để tính kết quả.
L Trong trường hợp hàm mũ, ta đặt đại lượng "quyết định ∞" có dạng an.
Tài liệu học tập môn Toán 11 Trang 2 p GV: Phùng V Hoàng Em
# Ví dụ 1. Tính các giới hạn sau 2n2 + 3n − 1 3n3 + 2n2 + n n2 + 1 a) lim b) lim c) lim 2 − 3n2 n3 + 4 2n4 + n + 1 Å Ç å Ç å n + 1 1 ã 2n2 + 3n 2n3 − 3 n2 + 3 d) lim − e) lim − f) lim n 1 − n2 + 2n n − 1 n + 1 n2 − 1 n2 − 1 (2n + 3) (1 − 3n) n4 − 2n2 2n4 + 1 (n + 2)2 g) lim h) lim i) lim 2n2 − n + 5 (n + 1)(2 + n)(n2 + 1) (2n + 1)2(2 − n)4
# Ví dụ 2. Tính các giới hạn sau 1 + 3n 4.3n + 7n+1 4n+1 + 6n+2 a) lim b) lim c) lim 4 + 3n 2.5n + 7n 5n + 8n
# Ví dụ 3. Tính các giới hạn sau √ √ 2n − 1 4n2 + 3n − 1 4n4 + 1 a) lim √ b) lim √ √ c) lim √ 4n2 + 1 + 3n 3n2 + 1 − 2n + 1 n4 + 4n + 1 + n2 √ √ √ √ n2 − 4n − 4n2 + 1 3 8n3 + n2 − 1 + n − 4 n2 + 3 1 − n6 d) lim √ e) lim f) lim √ 3n2 + 1 + n 2n − 3 n4 + 1 + n2
# Ví dụ 4. Tìm các giới hạn sau: 1 + 2 + . . . + n ï 1 1 1 ò a) lim b) lim 1 + + + . . . + n2 2 4 2n Å 2 + 4 + 8 + ... + 2n ã Å 1 1 1 ã c) lim d) lim + ... 3.2n − 1 1.2 2.3 n(n + 1) 1
# Ví dụ 5. Cho dãy số (un) xác định bởi u1 = 10 và un+1 = un + 3, với mọi n ≥ 1. 5 15
a) Chứng minh dãy (vn) xác định bởi vn = un − là một cấp số nhân. 4 b) Tính lim un. ®u # 1 = 3, u2 = 6 ∗
Ví dụ 6. Cho dãy số un thỏa
∀n ∈ N , n ≥ 3. Biết rằng un có duy 2un = un−1 + un+1 − 2; √ n + 2 − un
nhất một công thức, hãy tính lim √ . n→+∞ n + 1 − un + 3n − 2
{ DẠNG 2. Khử vô định dạng ∞ − ∞ Phương pháp giải. √ √ √
L Thường phát biểu dưới dạng: lim u n − vn hoặc lim un − vn . L Phương pháp giải:
• Nhân thêm lượng liên hợp bậc hai cho cả tử và mẫu:
Tài liệu học tập môn Toán 11 Trang 3 p GV: Phùng V Hoàng Em √ √ √ u u u n − vn n + vn n − v2 lim u n n − vn = lim √ = lim √ un + vn un + vn √ √ √ √ √ √ u v u v u n − n n + n n − vn lim u n − vn = lim √ √ = lim √ √ un + vn un + vn
• Biến đổi biểu thức cần tính giới hạn về Dạng 1 (phân thức, đặt nk)
L Đôi khi, ta còn sử dụng liên hợp bậc ba để giải các bài toán chứa ẩn trong dấu căn bậc ba:
A3 ± B3 = (A ± B) A2 ∓ AB + B2.
# Ví dụ 7. Tính các giới hạn sau √ √ √ √ Ä ä Ä ä Ä ä a) lim n2 + 2n − n b) lim 2n − 4n2 + n c) lim n2 + n − n2 + 2 √ √ Ä ä Ä ä 1 d) lim n n2 + 2 − n e) lim n2 + 2n − n − 1 f) lim √ √ . n2 + 2n − n2 + 4
# Ví dụ 8. Tính các giới hạn sau √ √ √ √ √ Ä ä Ä ä Ä ä a) lim 3 n3 + 2 − n b) lim 3 n3 + 1 − n2 + 1 c) lim 3 n3 + 2 − n2 + n
{ DẠNG 3. Một số quy tắc tính giới hạn vô cực Phương pháp giải.
# Ví dụ 9. Tính các giới hạn sau: √ lim 2n3 + 2n − 1 a) lim n − 2n3 b) c) lim n2 + 2n + 7 √ √ √ Ä ä Ä d) lim n2 − 3n − n + 2 lim 1 − 1 + 3n2ä e) f) lim (3n − 2.5n)
# Ví dụ 10. Tính các giới hạn sau 2n + 5n+1 1 + 2.3n − 7n 1 − 2.3n + 7n a) lim b) lim c) lim 1 + 5n 5n − 2.6n 2n(3n+1 − 5)
# Ví dụ 11. Tính các giới hạn sau: 2n4 + n2 − 3 2n3 + n + 4 (3n − 1) (n − 2) a) lim b) lim c) lim 3n3 − 2n2 + 1 5n − n2 2n − 1 2n + 5 2n + 5 (3n − 1)4(n − 2) d) lim √ e) lim √ √ f) lim n2 + 1 − n n + 1 − n (1 − 2n)2
{ DẠNG 4. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn Phương pháp giải.
# Ví dụ 12. Tính các tổng sau: 1 1 1 a) S = + + ... + + ...
b) S = 16 − 8 + 4 − 2 + ... 3 32 3n
Tài liệu học tập môn Toán 11 Trang 4 p GV: Phùng V Hoàng Em
# Ví dụ 13. Hãy biểu diễn các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng phân số. a) A = 0, 353535.... b) B = 5, 231231....
# Ví dụ 14. Tam giác mà ba đỉnh của nó là ba trung điểm A
ba cạnh của tam giác ABC được gọi là tam giác trung bình của
tam giác ABC. Ta xây dựng dãy các tam giác A1B1C1, A2B2C2, A C
3B3C3, . . . sao cho A1B1C1 là một tam giác giác đều cạnh 2 A1 C1
bằng 3 và với mỗi số nguyên dương n ≥ 2, tam giác AnBnCn
là tam giác trung bình của tam giác An−1Bn−1Cn−1. Với mỗi B2 A
số nguyên dương n, kí hiệu S 2
n tương ứng là diện tích hình tròn B C
ngoại tiếp tam giác AnBnCn. Tính tổng S = S1 + S2 + · · · + Sn + B1 · · · .
# Ví dụ 15. Cho hình vuông ABCD cạnh bằng 2. Hình vuông A1B1C1D1 có các đỉnh là trung
điểm của các cạnh của hình vuông ABCD, hình vuông A2B2C2D2 có các đỉnh là trung điểm của các
cạnh của hình vuông A1B1C1D1, hình vuông A3B3C3D3 có các đỉnh là trung điểm của các cạnh của
hình vuông A2B2C2D2,..., hình vuông AnBnCnDn có các đỉnh là trung điểm của các cạnh của hình
vuông An−1Bn−1Cn−1Dn−1,... (quá trình chia nhỏ này được lặp lại vô hạn) D C1 C D C 2 2 D1 B1 B A 2 2 A B A1
Gọi S1, S2, S3,...,Sn,... lần lượt là diện tích hình vuông A1B1C1D1, A2B2C2D2, A3B3C3D3,...,
AnBnCnDn,.... Tính tổng S1 + S2 + S3 + ... + Sn + ....
C BÀI TẬP TỰ LUYỆN
c Bài 1. Tính các giới hạn sau 3n + 2 4n2 − 1 a) lim . b) lim . 2n + 3 2n2 + n √ √ n2 + 2n − 3 n2 + 2n − n − 1 c) lim . d) lim √ . n + 2 n2 + n + n
c Bài 2. Tính các giới hạn sau 7.5n − 2.7n 4n+1 + 6n+2 a) lim . b) lim . 5n − 5.7n 5n + 8n
c Bài 3. Tính các giới hạn sau √ √ Ä ä Ä a) lim n2 + 2n − n . b) lim n3 + 2n − n2ä. √ √
c) lim( n2 + 3n + 2 − n + 1).
d) lim( n2 + 2n + 3 − 1 + n).
Tài liệu học tập môn Toán 11 Trang 5 p GV: Phùng V Hoàng Em
c Bài 4. Tính các giới hạn sau sin 10n + cos 10n 1 − sin nπ a) lim . b) lim . n2 + 1 n + 1 √ √
c Bài 5. Tính giới hạn lim( 3 n3 − 3 − n2 + n − 2). √1+2+...+n−n
c Bài 6. Tính giới hạn của B = lim √ . 3 12 + 22 + ... + n2 + 2n
c Bài 7. Tính các giới hạn sau ï 1 1 1 ò a) A = lim + + ... + . 1.3 3.5 (2n − 1)(2n + 1) ï 1 1 1 ò b) B = lim √ √ + √ √ + ... + √ √ . 2 1 + 1 2 3 2 + 2 3 (n + 1) n + n n + 1 1 Å 1 ã2 Å 1 ãn 1 + + + · · · + c 3 3 3 Bài 8. Tính lim . 2 Å 2 ã2 Å 2 ãn 1 + + + · · · + 5 5 5 1 + 3 + 32 + · · · + 3n c Bài 9. Tính lim . 2 · 3n+1 + 2n 1 1 1
c Bài 10. Tìm lim un biết un = √ √ + √ √ + . . . + √ √ . 2 1 + 1 2 3 2 + 2 3 (n + 1) n + n n + 1 Å 1 1 1 ã
c Bài 11. Tính giới hạn lim √ + √ + . . . + √ . n2 + n n2 + n + 1 n2 + 2n  2  u  1 = c Bài 12. Cho dãy số (u 3 n) xác định bởi u Tìm số hạng tổng quát n  un+1 = , ∀n ≥ 1  2 (2n + 1) un + 1 un của dãy. Tính lim un.  1 u  1 = c Bài 13. Cho dãy số (u 3 n) xác định như sau: . Tìm lim u u2 n. n  un+1 = − 1, ∀n ≥ 1 2 ®u u c Bài 14. 1 = 1 n
Cho dãy số (un) xác định như sau: . Tìm lim . un+1 = un + n, ∀n ≥ 1 un+1
Tài liệu học tập môn Toán 11 Trang 6 p GV: Phùng V Hoàng Em
D BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Å (−1)n ã
Câu 1. Giá trị của giới hạn lim 4 + bằng n + 1 A. 1. B. 3. C. 4. D. 2. −3
Câu 2. Giá trị của giới hạn lim là 4n2 − 2n + 1 3 A. − . B. −∞. C. 0. D. −1. 4 n + 2n2
Câu 3. Giá trị của giới hạn lim bằng n3 + 3n − 1 2 A. 2. B. 1. C. . D. 0. 3 3n3 − 2n + 1
Câu 4. Giá trị của giới hạn lim là 4n4 + 2n + 1 2 3 A. +∞. B. 0. C. . D. . 7 4 n2 + n + 5
Câu 5. Tính giới hạn L = lim . 2n2 + 1 3 1 A. L = . B. L = . C. L = 2. D. L = 1. 2 2 4n2 + n + 2
Câu 6. Cho dãy số (un) với un =
. Để dãy số đã cho có giới hạn bằng 2, giá trị của a an2 + 5 là A. a = −4. B. a = 4. C. a = 3. D. a = 2.
Câu 7. Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng 0? 3 + 2n3 2n2 − 3 2n − 3n3 2n2 − 3n4 A. lim . B. lim . C. lim . D. lim . 2n2 − 1 −2n3 − 4 −2n2 − 1 −2n4 + n2
Câu 8. Dãy số nào sau đây có giới hạn là +∞? 1 + n2 n2 − 2 n2 − 2n 1 + 2n A. un = . B. un = . C. un = . D. . 5n + 5 5n + 5n3 5n + 5n2 5n + 5n2
Câu 9. Dãy số nào sau đây có giới hạn là −∞? 1 + 2n n3 + 2n − 1 2n2 − 3n4 n2 − 2n A. . B. un = . C. un = . D. un = . 5n + 5n2 −n + 2n3 n2 + 2n3 5n + 1 1 3 n + 1 + + · · · +
Câu 10. Giá trị của giới hạn lim 2 2 2 bằng n2 + 1 1 1 1 A. . B. 1. C. . D. . 8 2 4
Câu 11. Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn bằng 2, tổng của ba số hạng đầu tiên của cấp số nhân 9 bằng
. Số hạng đầu u1 của cấp số nhân đó là 4 9 A. u1 = 3. B. u1 = 4. C. u1 = . D. u1 = 5. 2 1 1 1
Câu 12. Tính tổng S = 9 + 3 + 1 + + + · · · + + · · · . 3 9 3n−3 27 A. S = . B. S = 14. C. S = 16. D. S = 15. 2 √ √
Câu 13. Giá trị của giới hạn lim n + 5 − n + 1 bằng A. 0. B. 1. C. 3. D. 5.
Tài liệu học tập môn Toán 11 Trang 7 p GV: Phùng V Hoàng Em Å 1 2 n − 1 ã
Câu 14. Giá trị của giới hạn lim + + · · · + bằng n2 n2 n2 1 1 A. 0. B. . C. . D. 1. 3 2
Å 1 + 3 + 5 + · · · + (2n + 1) ã
Câu 15. Giá trị của giới hạn lim bằng 3n2 + 4 1 2 A. 0. B. . C. . D. 1. 3 3 Å 1 1 1 ã
Câu 16. Giá trị của giới hạn lim + + · · · + là 1 · 2 2 · 3 n (n + 1) 1 A. . B. 1. C. 0. D. −∞. 2 2 4 2n Câu 17. Tính tổng S = 1 + + + · · · + + · · · . 3 9 3n A. S = 3. B. S = 4. C. S = 5. D. S = 6. √ Ä ä
Câu 18. Giá trị của giới hạn lim n2 − n + 1 − n là 1 A. − . B. 0. C. 1. D. −∞. 2 a
Câu 19. Số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,5111 · · · được biểu diễn bởi phân số tối giản . Tính tổng b T = a + b. A. 17. B. 68. C. 133. D. 137. a
Câu 20. Số thập phân vô hạn tuần hoàn A = 0,353535 . . . được biểu diễn bởi phân số tối giản . Tính b T = ab. A. 3456. B. 3465. C. 3645. D. 3546. 1 2 v Câu 21. n
Cho hai dãy số (un) và (vn) có un = và vn = . Khi đó lim có giá trị bằng n + 1 n + 2 un A. 1. B. 2. C. 0. D. 3. an + 4
Câu 22. Cho dãy số (un) với un =
trong đó a là tham số thực. Để dãy số (un) có giới hạn bằng 5n + 3 2, giá trị của a là A. a = 10. B. a = 8. C. a = 6. D. a = 4 . 2n + b
Câu 23. Cho dãy số (un) với un =
trong đó b là tham số thực. Để dãy số (un) có giới hạn hữu 5n + 3 hạn, giá trị của b là
A. b là một số thực tùy ý. B. b = 2.
C. không tồn tại b. D. b = 5. 5n2 − 3an4
Câu 24. Tìm tất cả các giá trị của tham số a để L = lim > 0. (1 − a) n4 + 2n + 1 A. a 6 0; a > 1. B. 0 < a < 1. C. a < 0; a > 1. D. 0 6 a < 1.
Câu 25. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a thuộc khoảng (−10; 10) để L = lim 5n − 3 a2 − 2 n3 = −∞? A. 19. B. 3. C. 5. D. 10. √ √ √ Ä ä2 Ä än
Câu 26. Cho dãy số (un) với un = 2 + 2 + · · · + 2
. Mệnh đề nào sau đây đúng? √2 A. lim un = −∞. B. lim un = √ . 1 − 2 C. lim un = +∞.
D. Không tồn tại lim un.
Tài liệu học tập môn Toán 11 Trang 8 p GV: Phùng V Hoàng Em  1 un =  2
Câu 27. Cho dãy số có giới hạn (un) xác định bởi . Tính lim u 1 n.  un+1 = , n > 1 2 − un 1 A. lim un = −1. B. lim un = 0. C. lim un = . D. lim un = 1. 2 u1 = 2 
Câu 28. Cho dãy số có giới hạn (un) xác định bởi u . Tính lim u n + 1 n. un+1 = , n > 1 2 A. lim un = 1. B. lim un = 0. C. lim un = 2. D. lim un = +∞. √ 3 an3 + 5n2 − 7 √ Câu 29. Biết rằng lim √
= b 3 + c với a, b, c là các tham số. Tính giá trị của biểu 3n2 − n + 2 a + c thức P = . b3 1 1 A. P = 3. B. P = . C. P = 2. D. P = . 3 2 √ Ä ä
Câu 30. Có bao nhiêu giá trị của a để lim
n2 + a2n − pn2 + (a + 2) n + 1 = 0? A. 0. B. 2. C. 1. D. 3. √ √
Câu 31. Cho dãy số (un) với un = n2 + an + 5 −
n2 + 1, trong đó a là tham số thực. Tìm a để lim un = −1. A. 3. B. 2. C. −2. D. −3. Ñ √ Ä än é √ 5 − 2n+1 + 1 2n2 + 3 a 5 Câu 32. Biết rằng lim √ + =
+ c với a, b, c ∈ Z. Tính giá trị Ä än+1 5 · 2n + 5 − 3 n2 − 1 b
của biểu thức S = a2 + b2 + c2. A. S = 26. B. S = 30. C. S = 21. D. S = 31. 4n + 2n+1 1
Câu 33. Tìm tất cả giá trị nguyên của a thuộc (0; 2018) để lim 4 6 . 3n + 4n+a 1024 A. 2007. B. 2008. C. 2017. D. 2016. an2 − 1 1
Câu 34. Có bao nhiêu giá trị nguyên của a thuộc (0; 20) sao cho lim 3 + − là một số 3 + n2 2n nguyên? A. 1. B. 3. C. 2. D. 4. 1 + a + a2 + · · · + an
Câu 35. Giá trị của giới hạn lim
(|a| < 1, |b| < 1) bằng 1 + b + b2 + · · · + bn 1 − b 1 − a A. 0. B. . C. . D. Không tồn tại. 1 − a 1 − b —HẾT—
Tài liệu học tập môn Toán 11 Trang 9 p GV: Phùng V Hoàng Em
§ 2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
A TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1 Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm
L Định nghĩa: Cho khoảng K chứa điểm x0 và hàm số y = f (x) xác định trên K hoặc trên K \ {x0}.
Ta nói hàm số y = f (x) có giới hạn là số L khi x dần tới x0 nếu với dãy số (xn) bất kì, xn ∈ K \ {x0}
và xn → x0, ta có f (xn) → L. Kí hiệu:
lim f (x) = L hay f (x) → L khi x → x0 x→x0
L Nhận xét: lim x = x0; lim c = c với c là hằng số. x→x0 x→x0
L Định lí về giới hạn hữu hạn:
(a) Giả sử lim f (x) = L và lim g(x) = M. Khi đó: x→x0 x→x0
¬ lim [ f (x) + g(x)] = L + M;
­ lim [ f (x) − g(x)] = L − M; x→x0 x→x0 f (x) L
® lim [ f (x) · g(x)] = L · M; ¯ lim = (nếu M 6= 0). x→x0 x→x0 g(x) M √
(b) Nếu f (x) > 0 và lim f (x) = L, thì L > 0 và lim p f (x) = L. x→x0 x→x0
L Giới hạn một bên:
• Cho hàm số y = f (x) xác định trên (x0; b). Số L được gọi là giới hạn bên phải của hàm số
y = f (x) khi x → x0 nếu với dãy số (xn) bất kì, x0 < xn < b và xn → x0, ta có f (xn) → L. Kí hiệu: lim f (x) = L. x→x+ 0
• Cho hàm số y = f (x) xác định trên (a; x0). Số L được gọi là giới hạn bên trái của hàm số
y = f (x) khi x → x0 nếu với dãy số (xn) bất kì, a < xn < x0 và xn → x0, ta có f (xn) → L. Kí hiệu: lim f (x) = L. x→x− 0
Điều kiện để tồn tại giới hạn: !
lim f (x) = L ⇔ lim f (x) = lim f (x) = L x→x0 x→x+ x→x− 0 0
2 Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực L Định nghĩa:
• Cho hàm số y = f (x) xác định trên (a; +∞). Ta nói hàm số y = f (x) có giới hạn là số L khi
x → +∞ nếu với dãy số (xn) bất kì, xn > a và xn → +∞, ta có f (xn) → L. Kí hiệu: lim f (x) = L. x→+∞
Tài liệu học tập môn Toán 11 Trang 10 p GV: Phùng V Hoàng Em
• Cho hàm số y = f (x) xác định trên (−∞; a). Ta nói hàm số y = f (x)có giới hạn là số L khi
x → −∞ nếu với dãy số (xn) bất kì, xn < a và xn → −∞, ta có f (xn) → L. Kí hiệu: lim f (x) = L. x→−∞ L Chú ý:
• Với c, k là hằng số và k nguyên dương, ta luôn có: ¬ lim c = c ­ lim c = c x→+ x→− ! ∞ ∞ c c ® lim = 0 ¯ lim = 0. x→+∞ xk x→−∞ xk
• Định lí về giới hạn hữu hạn của hàm số khi x → x0 vẫn còn đúng khi x → +∞ hoặc x → −∞.
3 Giới hạn vô cực của hàm số
L Định nghĩa: Cho hàm số y = f (x) xác định trên (a; +∞). Ta nói hàm số y = f (x) có giới hạn là
−∞ khi x → +∞ nếu với dãy số (xn) bất kì, xn > a và xn → +∞, ta có f (xn) → −∞. Kí hiệu: lim f (x) = −∞. x→+∞
L Nhận xét lim f (x) = +∞ ⇔ lim (− f (x)) = −∞. x→+∞ x→+∞
L Một vài giới hạn đặc biệt
• lim xk = +∞ với k nguyên dương. x→+∞ ® + ∞ nếu k chẵn • lim xk = . x→−∞ − ∞ nếu k lẻ
L Một vài quy tắc về giới hạn vô cực
• Quy tắc tìm giới hạn của tích f (x) · g(x) lim f (x) = L lim g(x) lim [ f (x) · g(x)] x→x0 x→x0 x→x0 L > 0 +∞ +∞ L > 0 −∞ −∞ L < 0 +∞ −∞ L < 0 −∞ +∞ f (x)
• Quy tắc tìm giới hạn của thương g(x) f (x) lim f (x) = L lim g(x) Dấu của g(x) lim x→x0 x→x0 x→x0 g(x) L ±∞ Tùy ý 0 L > 0 0 + +∞ L > 0 0 − −∞ L < 0 0 + −∞ L < 0 0 − +∞
Tài liệu học tập môn Toán 11 Trang 11 p GV: Phùng V Hoàng Em
B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 0
{ DẠNG 1. Giới hạn của hàm số khi x → x0. Khử dạng vô định 0 Phương pháp giải. f (x) L Thường gặp dạng lim x→x0 g(x) f (x)
L Phương pháp giải: Thay x0 vào
để kiểm tra, sẽ có một trong các trường hợp: g(x)
¬ Tử số f (x0) = a và mẫu số g(x0) = b 6= 0, ta suy ra luôn kết quả f (x) f (x0) a lim = = . x→x0 g(x) g(x0) b 0
­ Cả tử số và mẫu số đều bằng 0 hay f (x0) = g(x0) = 0, ta xem đây là dạng vô định . 0
Khử dạng vô định này bằng cách phân tích nhân tử (x − x0).
Giả sử f (x) = (x − x0) · f1(x) và g(x) = (x − x0) · g1(x). Khi đó: f (x) (x − x0) f1(x) f1(x) lim = lim = lim (1) x→x0 g(x) x→x0 (x − x0)g1(x) x→x0 g1(x)
Ta tiếp tục tính giới hạn (1).
® Tử số f (x0) 6= 0 và mẫu số g(x0) = 0. Ta áp dụng các định lý liên quan đến giới hạn vô cực để tìm kết quả.
L Một số cách phân tích nhân tử thường dùng:
• Nếu f (x) = ax2 + bx + c có hai nghiệm x1, x2 thì f (x) = a(x − x1)(x − x2).
• Nếu f (x) là một đa thức bậc ba, bậc bốn,...ta có thể dùng phương pháp chia đa thức.
• Nếu f (x) là biểu thức chứa căn, ta dùng cách nhân lượng liên hợp.
# Ví dụ 1. Tính các giới hạn sau √ x2 + 2x x + 4 + 1 a) lim . b) lim . x→2 4 x→0 x2 + 2
# Ví dụ 2. Tính các giới hạn sau: x2 + 2x − 8 2x2 − 5x + 2 a) lim . b) lim . x→−4 x2 + 4x x→ 1 1 − 2x 2 2x2 − 5x + 2 x3 − 1 c) lim . d) lim . x→2 x2 + x − 6 x→1 (x − 1)3
# Ví dụ 3. Tính các giới hạn sau √ x3 + 3 3 2x3 + 5x2 − 7x + 2 a) lim√ . b) lim . x→− 3 3 − x2 x→2 x2 − 3x + 2
Tài liệu học tập môn Toán 11 Trang 12 p GV: Phùng V Hoàng Em
# Ví dụ 4. Tính các giới hạn sau 3x3 − 5x2 + 2 x3 + 3x2 − 9x − 2 a) lim . b) lim . x→1 3x2 − 5x + 2 x→2 x3 − x − 6 2x3 + 3x + 5 4x2 − 3x − 7 c) lim . d) lim . x→−1 x3 + 3x2 + x − 1 x→−1 x3 + 1 x4 − x3 − x + 1 4x5 − 5x4 + 1 e) lim . f) lim . x→1 x3 − 5x2 + 7x − 3 x→1 (x − 1)(x3 + x − 2)
# Ví dụ 5. Tính các giới hạn sau √ √ x + 3 − 2 1 − 4x + 1 a) lim . b) lim . x→1 2x − 2 x→0 x2 + 3x x2 − 4 x3 + 1 c) lim √ . d) lim √ . x→2 x2 + 3x − 1 − 3 x→−1 x + 5 − 2
# Ví dụ 6. Tính các giới hạn sau √ x2 − 1 2x − 5 x − 1 a) lim √ . b) lim √ . x→−1 2x + 3x2 + 1 x→5 3 − x + 4 √ √ 1 − 3 12x + 1 2x + 9 − x − 5 c) lim . d) lim √ √ . x→0 4x x→−4 3 x + 5 + 3 x + 3
# Ví dụ 7. Tính các giới hạn sau √ √ √ √ x + 2 + 3x − 2 − 2x x + 3 − x + 8 + x2 − 4x + 4 a) lim . b) lim . x→2 x − 2 x→1 x − 1 √ √ √ √ x + 4 − 3 x + 8 5 − x3 − 3 x2 + 7 c) lim . d) lim . x→0 x x→1 x2 − 1 √ √ 1 + 3x · 3 1 + 2x − 1 x2 − 1 e) lim . f) lim √ √ . x→0 x x→1 3 6 + 2x − 1 + 3x { ∞
DẠNG 2. Giới hạn của hàm số khi x → ±∞. Khử dạng vô định ; ∞ − ∞; 0 · ∞ ∞ Phương pháp giải.
# Ví dụ 8. Tính các giới hạn sau: 5x − 2 2x3 − x + 10 a) lim b) lim x→−∞ 3x + 1 x→+∞ x3 + 3x − 3 3x4 + 5x2 + 7 2x3 − 5x2 + 1 c) lim d) lim x→+∞ x3 − 15x x→−∞ 7x2 − x + 4 x4 − x3 + 3 (x + 1)2(2x + 1)2 e) lim f) lim x→+∞ 2x6 − 7 x→+∞ (2x3 + 1)(x − 2)3
Tài liệu học tập môn Toán 11 Trang 13 p GV: Phùng V Hoàng Em
# Ví dụ 9. Tính các giới hạn sau: √ √ x2 + x + 2x 2x2 − 7x + 1 a) lim b) lim x→+∞ 2x + 3 x→−∞ 3 |x| − 7 √ x2 + 2x x + x2 + 2 c) lim 3 d) lim √ x→− 3 ∞ 8x2 − x + 5 x→−∞ 8x3 + x2 + 1 √ √ x4 − x x6 − 8x e) lim f) lim x→−∞ 1 − 3x x→−∞ x4 + 2x2 + 2
# Ví dụ 10. Tính các giới hạn sau: √ √ √ Ä ä Ä ä a) lim x2 + x − x b) lim x2 + x − x2 + 2x x→+∞ x→+∞ √ Ä ä Ä √ √ ä c) p lim x x2 + 1 + x . d) lim x + x − x . x→−∞ x→+∞ √ Ä ä 1 e) lim x2 + x + x + 1 f) lim √ √ . x→− Ä ä ∞ x→+∞ x x2 + 2 − x2 + 1
# Ví dụ 11. Tính các giới hạn sau: √ √ √ Ä ä Ä ä a) lim 3 x3 + x − x b) lim 3 x3 + x − x2 + x x→+∞ x→+∞
# Ví dụ 12. Tính giới hạn của các hàm số sau: a) lim 2x5 − x4 + 4x3 − 3; b) lim 2x5 − x4 + 4x3 − 3; x→+∞ x→−∞ c) lim −x3 − x2 + 4x + 2; d) lim −x3 − x2 + 4x + 2; x→+∞ x→−∞ √ √ Ä ä Ä ä e) lim x2 + x + x f) lim 2x − x2 + x x→+∞ x→−∞
# Ví dụ 13. Tính các giới hạn sau: Å 1 1 ã … x − 1 a) lim x − b) lim (x + 2) x→−∞ x2 − 4 x + 2 x→+∞ x3 + x Å 1 1 ã Å 2 1 ã c) lim − d) lim − x→0 x x2 x→1 1 − x2 1 − x
{ DẠNG 3. Giới hạn một bên. Sự tồn tại giới hạn Phương pháp giải.
• Phương pháp tính lim f (x) và lim f (x) hoàn toàn tương tự như bài toán tính lim f (x). x→x− x→x+ x→x0 0 0 •
lim f (x) = L khi và chỉ khi lim f (x) = lim f (x) = L. x→x0 x→x− x→x+ 0 0
Tài liệu học tập môn Toán 11 Trang 14 p GV: Phùng V Hoàng Em
# Ví dụ 14. Tính giới hạn của các hàm số sau: 3 −x2 + 5 a) lim ; b) lim ; x→+∞ x2 − 2x + 6 x→3+ x − 3 √ 2x2 + 3 − x |x2 − 4| c) lim ; d) lim . x→3− x − 3 x→−2+ x + 2 # Ví dụ 15.  x2 − 3x + 2  khi x < 1
1. Tính lim f (x), biết f (x) = x − 1 . x→1 x khi x ≥ 1 √  x + 7 − 3   khi x > 2 
2. Tính lim f (x), biết f (x) = x − 2 . x→2 x − 1   khi x ≤ 2  6
C BÀI TẬP TỰ LUYỆN
c Bài 1. Tính các giới hạn sau: 4x2 − x − 5 4 − x2 a) lim . b) lim . x→−1 7x2 + 5x − 2 x→−2 x + 2 x2 + 2x − 15 2x2 − 5x + 2 c) lim . d) lim . x→3 x − 3 x→2 x2 − 4
c Bài 2. Tính các giới hạn sau: x3 − x2 − x + 1 x4 − 1 a) lim . b) lim . x→1 x2 − 3x + 2 x→1 x3 − 2x2 + 1 x5 + 1 x3 − 5x2 + 3x + 9 c) lim . d) lim . x→−1 x3 + 1 x→3 x4 − 8x2 − 9
c Bài 3. Tính các giới hạn sau √ √ 1 + 2x − 1 x − 3x − 2 a) lim . b) lim . x→0 2x x→2 x2 − 4 √ √ 1 + x2 − 1 2x + 7 − x − 2 c) lim . d) lim . x→0 2x3 − 3x2 x→1 x3 − 4x + 3 √ √ x2 − 8x − 9 3x + 1 + x2 + 8 − 5 e) lim √ . f) lim . x→−1 4 − 3x2 − 2x − 3 x→1 x2 − 3x + 2 √ √ √ √ 4x − x + 2 − 5x + 26 1 + 4x · 1 + 6x − 1 g) lim . h) lim . x→2 x − 2 x→0 x
c Bài 4. Tính các giới hạn sau:
Tài liệu học tập môn Toán 11 Trang 15 p GV: Phùng V Hoàng Em √ √ √ 1 − 3 x + 1 3 x − 2 + 3 1 − x + x2 a) lim . b) lim . x→0 3x x→1 x2 − 1 √ √ √ 3 3x + 2 + x − 4 5 − x3 − 3 x2 + 7 c) lim . d) lim . x→2 x2 − 3x + 2 x→1 x2 − 1 √ √ √ √ 3 8x + 11 − x + 7 1 + 2x · 3 1 + 4x − 1 e) lim . f) lim . x→2 x2 − 3x + 2 x→0 x
c Bài 5. Tính các giới hạn sau: √ 3x2 − x + 7 2x4 + 7x2 − 15 x6 + 2 a) lim b) lim c) ) lim x→−∞ 2x3 − 1 x→−∞ x4 + 1 x→+∞ 3x3 − 1 √ √ x6 + 2 x2 + 2x x x d) lim e) lim 3 f) lim x→−∞ 3x3 − 1 x→−∞ 8x2 − x + 3 x→+∞ x2 − x + 2 x3 − 5 2x5 + x3 − 1 2|x| + 3 g) lim h) lim 3 i) lim √ x→+∞ x2 + 1 x→+∞ (2x2 − 1)(x3 + x) x→−∞ x2 + x + 5 √ √ x2 + x + 2x … x x4 + 4 j) lim k) lim (x + 1) l) lim x→−∞ 2x + 3 x→+∞ 2x4 + x2 + 1 x→−∞ x + 4
c Bài 6. Tính các giới hạn sau: √ 2x3 − 3x2 + 4x + 1 x + x2 + 2 a) lim b) lim √ x→− 3 ∞ x4 − 5x3 + 2x2 − x + 3 x→+∞ 8x3 + x2 + 1 √ √ √ x2 + 2x + 3x 9x2 + 2 − 3 6x2 + 5 c) lim √ d) lim √ √ x→− 4 ∞ 4x2 + 1 − x + 2 x→+∞ 16x4 + 3 − 5 8x4 + 7
c Bài 7. Tính các giới hạn sau: √ √ √ x − 1 + 5 − 2x 2 2 − x − 3 9 − x a) lim ; b) lim ; x→−2 x2 + x − 2 x→1 1 − x √ √ √ √ 3 7 + 6x − 5 + 4x 1 + 2017x · 3 1 + 2018x − 1 c) lim ; d) lim . x→−1 (x + 1)2 x→0 x
c Bài 8. Tính các giới hạn sau: √ √ 2x − 3 2x6 + x4 − 1 a) lim (4x3 − x2 + 2); b) lim √ ; x→+∞ x→−∞ x2 + x √ √ 3 2x6 + x4 − 1 16x8 + 3 − x2 c) lim ; d) lim . x→+∞ 1 − x2
x→+∞ x(x + 2)(x + 4)(x + 6)
c Bài 9. Tính các giới hạn sau: √ √ a)
lim ( x2 + 2x − 1 − x − 1); b)
lim ( x2 − 2x − 1 + x − 1); x→+∞ x→−∞ √ √ Å 2017 2018 ã c)
lim ( 4x2 − x − 3 8x3 + 3x2); d) lim − . x→+∞ x→1 1 − x2017 1 − x2018
c Bài 10. Tính các giới hạn sau:
Tài liệu học tập môn Toán 11 Trang 16 p GV: Phùng V Hoàng Em √ Ä ä a) lim (−6x4 + 2x3 − x + 5); b) lim 4x2 − 3 + 2x ; x→+∞ x→+∞ √ √ Ä ä Ä ä c) lim 4x2 − 3 − 2x ; d) lim x + 3 x3 − 1 . x→−∞ x→−∞
c Bài 11. Tính các giới hạn sau: √−4−4x+3x2 3x + 1 a) lim ; b) lim ; x→−1− x + 1 x→2− 2 − x √ 2x2 − 5x + 2 x + 7 − 2 c) lim ; d) lim . x→2+ (x − 2)2 x→−3+ |x2 − 9|
c Bài 12. Tính các giới hạn sau: (2x − 3)20(3x + 2)30 (x2 − x − 2)20 a) lim ; b) lim . x→−∞ (2x + 1)50 x→2 (x3 − 12x + 16)10
c Bài 13. Tính các giới hạn sau: 2x5 + x4 − 4x2 + 1 2x4 + 9x3 + 11x2 − 4 a) lim ; b) lim ; x→1 x3 − 1 x→−2 (x + 2)2 x11 + 1
x + x2 + · · · + x2018 − 2018 c) lim ; d) lim . x→−1 x7 + 1 x→1 x2 − 1 √
c Bài 14. Tìm các giá trị của a, b sao cho lim ( x2 + x + 1 − ax − b) = 0. x→+∞ (1 + x)n − 1
c Bài 15. Tính giới hạn I = lim
với n là số nguyên dương. x→0 x C0 + C2 x2 + C4
x4 + · · · C2018x2018 − 22017 c Bài 16. Tính L = lim 2018 2018 2018 2018 x→1 x − 1  ax2 + 3ax − 4a  khi x < 1
c Bài 17. Cho hàm số f (x) = x − 1
. Biết rằng a, b là các số thực thỏa mãn 2bx + 1 khi x ≥ 1
hàm số f (x) có giới hạn tại x = 1.
a) Tìm mối quan hệ giữa a và b.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = a2 + b2.
D BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Giá trị của giới hạn lim 3x2 + 7x + 11 là x→2 A. 37. B. 38. C. 39. D. 40. x2 − 3
Câu 2. Giá trị của giới hạn lim là x→−1 x3 + 2 3 A. 1. B. −2. C. 2. D. − . 2 √3x2+1−x
Câu 3. Giá trị của giới hạn lim là x→−1 x − 1 3 1 1 3 A. − . B. . C. − . D. . 2 2 2 2
Tài liệu học tập môn Toán 11 Trang 17 p GV: Phùng V Hoàng Em x − 15
Câu 4. Kết quả của giới hạn lim là x→2+ x − 2 15 A. −∞. B. +∞. C. − . D. 1. 2 √x+2
Câu 5. Kết quả của giới hạn lim √ là x→2+ x − 2 15 A. −∞. B. +∞. C. − . D. Không xác định. 2 |2 − x|
Câu 6. Kết quả của giới hạn lim là x→2− 2x2 − 5x + 2 1 1 A. −∞. B. +∞. C. − . D. . 3 3  2x  √  với x < 1 Câu 7. Cho hàm số f (x) = 1 − x . Khi đó lim f (x) là p x→1+   3x2 + 1 với x > 1 A. +∞. B. 2. C. 4. D. −∞.  x2 + 1  với x < 1 Câu 8. Cho hàm số f (x) = 1 − x √ . Khi đó lim f (x) là x→1−  2x − 2 với x > 1 A. +∞. B. −1. C. 0. D. 1.
x2 − 2x + 3 với x > 3   Câu 9. Cho hàm số f (x) = 1
với x = 3 . Khẳng định nào dưới đây sai?  3 − 2x2 với x < 3 A. lim f (x) = 6.
B. Không tồn tại lim f (x). x→3+ x→3 C. lim f (x) = 6. D. lim f (x) = −15. x→3− x→3−
Câu 10. Giá trị của giới hạn lim x − x3 + 1 là x→−∞ A. 1. B. −∞. C. 0. D. +∞. Ä ä
Câu 11. Giá trị của giới hạn lim |x|3 + 2x2 + 3 |x| là x→−∞ A. 0. B. +∞. C. 1. D. −∞. x3 − 8
Câu 12. Giá trị của giới hạn lim là x→2 x2 − 4 A. 0. B. +∞. C. 3. D. Không xác định. √ 2x3 + 6 3 √ Câu 13. Biết rằng lim√ = a 3 + b. Tính a2 + b2. x→− 3 3 − x2 A. 10. B. 25. C. 5. D. 13. √ √ x2 + x − x
Câu 14. Giá trị của giới hạn lim là x→0+ x2 A. 0. B. −∞. C. 1. D. +∞. 2x2 + 5x − 3
Câu 15. Kết quả của giới hạn lim là x→−∞ x2 + 6x + 3 A. −2. B. +∞. C. 3. D. 2. 2x3 − 7x2 + 11
Câu 16. Kết quả của giới hạn lim là x→−∞ 3x6 + 2x5 − 5 A. −2. B. +∞. C. 0. D. −∞.
Câu 17. Giá trị của giới hạn lim 2x3 − x2 là x→−∞ A. 1. B. +∞. C. −1. D. −∞.
Tài liệu học tập môn Toán 11 Trang 18 p GV: Phùng V Hoàng Em √ Ä ä
Câu 18. Giá trị của giới hạn lim 1 + 2x2 − x là x→+∞ √ A. 0. B. +∞. C. 2 − 1. D. −∞. Å 1 1 ã
Câu 19. Giá trị của giới hạn lim − là x→2− x − 2 x2 − 4 A. −∞. B. +∞. C. 0. D. 1. ï Å 1 ãò
Câu 20. Kết quả của giới hạn lim x 1 − là x→0 x A. +∞. B. −1. C. 0. D. +∞.
Câu 21. Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình vẽ bên. y Tính lim f (x) + lim f (x). 3 x→1+ x→3− A. 5. B. 4 . C. 2. D. 0. 2 1 O x 1 3
Câu 22. Cho hàm số f (x) = ax2 + bx + c có đồ thị như hình bên. y f (x) Tính lim . 4 x→−∞ 3x2 + 1 1 2 A. . B. . 3 3 C. 2. D. 1. O x 1 2 2x2 − 3x + 2 Câu 23. Cho hàm số f (x) =
. Biết rằng lim f (x) − (mx + n) = 0. Tính m + n. x − 1 x→+∞ A. m + n = 0. B. m + n = 1. C. m + n = −1. D. m + n = 3. √ √ 3 ax + 1 − 1 − bx
Câu 24. Biết rằng b > 0, a + b = 5 và lim
= 2. Khẳng định nào dưới đây sai? x→0 x A. 1 < a < 3. B. b > 1. C. a2 + b2 > 10. D. a − b < 0. √4x2−2x+1+2−x Câu 25. Biết rằng L = lim √
> 0 là hữu hạn (với a, b là tham số). Khẳng định x→−∞ ax2 − 3x + bx nào dưới đây đúng? 3 3 A. a > 0. B. L = − . C. L = √ . D. b > 0. a + b b − a √ Ä ä
Câu 26. Tìm tất cả các giá trị của a để lim 2x2 + 1 + ax là +∞. x→−∞ √ √ A. a > 2. B. a < 2. C. a > 2. D. a < 2. Å a b ã
Câu 27. Biết rằng a + b = 4 và lim −
hữu hạn. Tính giới hạn x→1 1 − x 1 − x3 Å b a ã L = lim − . x→1 1 − x3 1 − x A. 1. B. 2. C. 1. D. −2. √ √ √ Ä ä Câu 28. Biết rằng lim
5x2 + 2x + x 5 = a 5 + b. Tính S = 5a + b. x→−∞ A. S = 1. B. S = −1. C. S = 5. D. S = −5.
Tài liệu học tập môn Toán 11 Trang 19 p GV: Phùng V Hoàng Em
Câu 29. Cho hàm số f (x) và g(x) là các tam thức bậc hai thỏa mãn [ f (x)]2 − 2 f (x) − 3 [g(x)]2 − 2g(x) − 3 lim = lim = −4. x→2 (x − 2)2 x→2 (x − 2)2 Tính lim [ f (x) · g(x)] x→2 A. 16. B. −3. C. −16. D. 3. (2 − a) x − 3 Câu 30. Biết rằng √
có giới hạn là +∞ khi x → +∞ (với a là tham số). Tính giá trị nhỏ x2 + 1 − x
nhất của P = a2 − 2a + 4. A. Pmin = 1. B. Pmin = 3. C. Pmin = 4. D. Pmin = 5. —HẾT—
Tài liệu học tập môn Toán 11 Trang 20 p GV: Phùng V Hoàng Em
§ 3. HÀM SỐ LIÊN TỤC
A TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1 Hàm số liên tục tại một điểm
L Định nghĩa: Cho hàm số y = f (x) xác định trên khoảng K và x0 ∈ K. Hàm số y = f (x) được gọi
là liên tục tại x0 nếu lim f (x) = f (x0) x→x0 4 !
Nếu hàm số không liên tục tại x0 thì ta nói hàm số đó gián đoạn tại x0.
L Minh họa đồ thị: y y y y y 0 0 O O O x0 x x0 x x0 x y = f (x) y = f (x) y = f (x) Hàm số liên tục tại x0
Hàm số gián đoạn tại x0
Hàm số gián đoạn tại x0
2 Hàm số liên tục trên một khoảng
L Định nghĩa: Hàm số y = f (x) được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó. L Chú ý:
• Hàm số y = f (x) được gọi là liên tục trên đoạn [a; b] nếu nó liên tục trên khoảng (a; b)
và lim f (x) = f (a), lim f (x) = f (b). x→a+ x→b−
• Khái niệm hàm số liên tục trên nửa khoảng như [a; b), [a; +∞),... được định nghĩa một
cách tương tự như liên tục trên đoạn. 4 !
Đồ thị của hàm số liên tục trên một khoảng là một “đường liền” trên khoảng y
đó. Hình bên là đồ thị của một hàm số liên tục tên (a; b). a O x b
3 Một số định lí cơ bản Định lí 1.
1. Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực R.
2. Hàm số phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) và các hàm số lượng giác liên tục trên
từng khoảng của tập xác định của chúng.
Tài liệu học tập môn Toán 11 Trang 21 p GV: Phùng V Hoàng Em
Định lí 2. Giả sử y = f (x) và y = g(x) là hai hàm số liên tục tại điểm x0. Khi đó
1. Các hàm số y = f (x) + g(x), y = f (x) − g(x) và y = f (x).g(x) liên tục tại x0. f (x) 2. Hàm số y =
liên tục tại x0 nếu g(x0) 6= 0. g(x)
Định lí 3. Sự tồn tại nghiệm của phương trình trên một khoảng
1. Nếu hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [a; b] và f (a) f (b) < 0, thì tồn tại ít nhất một điểm
c ∈ (a; b) sao cho f (c) = 0.
2. Nếu hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [a; b] và f (a) f (b) < 0 thì phương trình f (x) = 0
có ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng (a; b).
B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
{ DẠNG 1. Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm
Phương pháp giải. Cho hàm số y = f (x) xác định trên tập D. Để xét tính liên tục của hàm số
y = f (x) tại điểm x0 ∈ D, ta thực hiện các bước sau: Bước 1. Tính f (x0). Bước 2. Tìm lim f (x). x→x0
Bước 3. So sánh và rút ra kết luận.
• Nếu lim f (x) = f (x0) thì hàm số f (x) liên tục tại điểm x0. x→x0
• Nếu lim f (x) 6= f (x0) thì hàm số f (x) không liên tục (gián đoạn) tại điểm x0. x→x0  x2 − 6x + 5  # nếu x 6= 1
Ví dụ 1. Xét tính liên tục của hàm số f (x) = x2 − 1 tại điểm x0 = 1. −2 nếu x = 1 √  1 − 2x − 3  # nếu x 6= 2
Ví dụ 2. Xét tính liên tục của hàm số f (x) = 2 − x tại điểm x0 = 2. 1 nếu x = 2 √  x − 2  √ nếu x 6= 4 
# Ví dụ 3. Xét tính liên tục của hàm số f (x) = x + 5 − 3 tại điểm x 3 0 = 4.  − nếu x = 4 2 ®x2 + 1 nếu x > 0
# Ví dụ 4. Xét tính liên tục của hàm số f (x) = tại điểm x0 = 0. x nếu x ≤ 0  x − 5  √ nếu x > 5
# Ví dụ 5. Xét tính liên tục của hàm số f (x) = 2x − 1 − 3 tại điểm x0 = 5. (x − 5)2 + 3 nếu x ≤ 5
Tài liệu học tập môn Toán 11 Trang 22 p GV: Phùng V Hoàng Em
{ DẠNG 2. Xét tính liên tục của hàm số trên miền xác định Phương pháp giải.
1. Hàm đa thức liên tục trên R.
2. Hàm phân thức hữu tỉ, hàm lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.
# Ví dụ 6. Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định của chúng.  x2 − x − 2  2x + 1  khi x 6= −1  khi x 6= 1 a) f (x) = x + 1 . b) f (x) = (x − 1)2 .  − 3 khi x = −1 3 khi x = 1
# Ví dụ 7. Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định của chúng. x2 − 3x + 5 khi x > 1 ®x2 + 3x khi x ≥ 2   a) f (x) = b) f (x) = 3 khi x = 1 6x + 1 khi x < 2.  2x + 1 khi x < 1.
{ DẠNG 3. Tìm giá trị của tham số để hàm số liên tục - gián đoạn Phương pháp giải. ®x2 + 2x − m khi x 6= 2
# Ví dụ 8. Tìm tham số m để hàm số f (x) = liên tục tại x0 = 2. x + m khi x = 2  x2 − 2x − 3  khi x 6= −1
# Ví dụ 9. Tìm tham số m để hàm số f (x) = x + 1 liên tục tại x0 = −1. m2 + 5m khi x = −1 √  4x + 5 − 3  khi x > 1
# Ví dụ 10. Tìm tham số m để hàm số f (x) = x2 − 1 gián đoạn tại x0 = 1. 2m + 3 khi x ≤ 1  1 ax + nếu x ≤ 2  # √ 4
Ví dụ 11. Cho hàm số f (x) = 3
. Tìm a để hàm số liên tục tại 3x + 2 − 2   nếu x > 2 x − 2 x0 = 2.
{ DẠNG 4. Chứng minh phương trình có nghiệm Phương pháp giải.
• Để chứng minh phương trình f (x) = 0 có ít nhất một nghiệm trên D, ta chứng minh hàm
số y = f (x) liên tục trên D và có hai số a, b ∈ D sao cho f (a). f (b) < 0.
• Để chứng minh phương trình f (x) = 0 có k nghiệm trên D, ta chứng minh hàm số y = f (x)
liên tục trên D và tồn tại k khoảng rời nhau (ai; ai+1) (i = 1, 2, . . . , k) nằm trong D sao cho f (ai). f (ai+1) < 0.
Tài liệu học tập môn Toán 11 Trang 23 p GV: Phùng V Hoàng Em
# Ví dụ 12. Chứng minh rằng phương trình 2x4 − 2x3 − 3 = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (−1; 0) .
# Ví dụ 13. Chứng minh rằng phương trình 6x3 + 3x2 − 31x + 10 = 0 có đúng 3 nghiệm phân biệt.
# Ví dụ 14. Chứng minh rằng phương trình m2 + m + 4x2017 − 2x + 1 = 0 luôn có ít nhất một
nghiệm âm với mọi giá trị của tham số m.
# Ví dụ 15. Chứng minh rằng phương trình acos2x+bsinx+cosx = 0 luôn có nghiệm với mọi tham số a, b.
# Ví dụ 16. Chứng minh phương trình (x − a)(x − b) + (x − b)(x − c) + (x − c)(x − a) = 0 có ít
nhất một nghiệm với mọi số thực a, b, c.
C BÀI TẬP TỰ LUYỆN  x3 − 5x2 + 7x − 3  khi x 6= 1
c Bài 1. Tìm m để hàm số f (x) = x2 − 1
liên tục tại điểm x0 = 1. 2m + 1 khi x = 1 1 ¤ m = − 2  3x2 − 2x − 1  khi x < 1
c Bài 2. Xét tính liên tục của hàm số f (x) = x − 1 tại điểm x0 = 1. 2x + 2 khi x ≥ 1 ¤ liên tục √  x2 − 3 − 1  c khi x 6= 2
Bài 3. Xét tính liên tục của hàm số f (x) = x − 2 tại điểm x0 = 2. 2x − 2 khi x = 2 ¤ liên tục  x2 + 2x − 3   khi x > 1  c Bài 4. x2 + x − 2
Xét tính liên tục của hàm số y = f (x) = √ tại điểm x0 = 1. x + 1 + 7    khi x ≤ 1 3 ¤ không liên tục  2 − 7x + 5x2 − x3  khi x 6= 2
c Bài 5. Xét tính liên tục của hàm số f (x) = x2 − 3x + 2 tại điểm x0 = 2. 1 khi x = 2 ¤ liên tục  x2 + 3x + 2  khi x 6= −1
c Bài 6. Xét tính liên tục của hàm số f (x) = −x − 1 tại điểm x0 = −1. x2 + 2x khi x = −1 ¤ liên tục  x2 − 3x − 4   √ khi x > 4
c Bài 7. Xét tính liên tục của hàm số f (x) = x + 5 − 3 tại điểm x0 = 4.   − 4x + 46 khi x ≤ 4 ¤ liên tục
Tài liệu học tập môn Toán 11 Trang 24 p GV: Phùng V Hoàng Em  x3 − 8  khi x > 2
c Bài 8. Tìm m để hàm số f (x) = 2x2 − x − 6
liên tục tại điểm x0 = 2. mx + 10 khi x ≤ 2 29 ¤ m = − 7 √ √  1 + x − 1 − x   khi x 6= 0  c Bài 9. Tìm m để f (x) = x liên tục tại điểm x 4 − 0 = 0. x   − 5m + khi x = 0  x + 2 1 ¤ m = 5 √  2x − 1 − 1  khi x > 1
c Bài 10. Tìm m để f (x) = x2 + 2x − 3
liên tục tại điểm x0 = 1. x + m khi x ≤ 1 1 ¤ m = 5 √  3 6 + x − 2  khi x 6= 2
c Bài 11. Tìm m để f (x) = x − 2
liên tục tại điểm x0 = 2. 2x − m khi x = 2 47 ¤ m = 12 √  3 12x − 4 − 2   khi x 6= 1
c Bài 12. Tìm m để f (x) = x − 1
liên tục tại điểm x0 = 1. p  m2x2 + 8 + 2mx khi x = 1 ¤ m = −1 √
 3x − 3 + |x − 1| 5x2 + 4   khi x < 1 
c Bài 13. Tìm m để f (x) = x2 − 2x + 1
liên tục tại điểm x0 = 1. 1  m2 + x − 3m khi x ≥ 1  3 ¤ m = 1 hoặc m = 2 √  7 − 3x − 4   √ khi x > −3 
c Bài 14. Tìm m để f (x) = 2 − 1 − x
liên tục tại điểm x0 = −3. 3   m2 − 2mx − khi x ≤ −3 2
¤ m = −6 hoặc m = 0  3 − x  √ khi x > 3 
c Bài 15. Tìm m để f (x) = 5 − x2 + 16 liên tục tại điểm x m 0 = 3.   (x + m + 1) khi x ≤ 3 3
¤ m = −5 hoặc m = 1  3(x2 − 4)   √ khi x > 2
c Bài 16. Tìm m để f (x) = x + 2 − x liên tục tại điểm x √ 0 = 2.   m + 2 + m − 10x khi x ≤ 2 ¤ m = 2  2x3 + 6x2 + x + 3  khi x 6= −3
c Bài 17. Xét tính liên tục của hàm số f (x) = x + 3 trên R. 19 khi x = −3 ¤ liên tục trên R
Tài liệu học tập môn Toán 11 Trang 25 p GV: Phùng V Hoàng Em  2x2 − x − 3  khi x 6= −1
c Bài 18. Tìm a để f (x) = x3 + x2 + x + 1 liên tục trên R. a3 khi x = −1
c Bài 19. Chứng minh rằng phương trình x4 − x3 − 2x2 − 15x − 25 = 0 có ít nhất một nghiệm âm và
ít nhất một nghiệm dương.
c Bài 20. Chứng minh rằng phương trình x3 + 4x2 − 2 = 0 có ba nghiệm trong khoảng (−4; 1).
c Bài 21. Chứng minh rằng phương trình x5 − 5x3 + 4x − 1 = 0 có đúng năm nghiệm.
c Bài 22. Chứng minh rằng phương trình x + 1 + cos x = 0 có nghiệm.
c Bài 23. Chứng minh rằng phương trình 1 − m2 x5 − 3x − 1 = 0 có ít nhất một nghiệm với mọi giá trị của m. x4 − x2 + mx − 3m + 1
c Bài 24. Chứng minh rằng phương trình
= m có ít nhất 2 nghiệm với mọi x2 − x − 2 m > 1. 1 1
c Bài 25. Chứng minh rằng phương trình −
= m luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham cos x sin x số m.
c Bài 26. Cho phương trình f (x) = ax2 + bx + c = 0, biết a. f (c) < 0. Chứng minh rằng phương
trình a ax2 + bx + c2 + b ax2 + bx + c + c = x có nghiệm.
c Bài 27. Chứng minh rằng phương trình m(x − 2)3(x − 3) + 2x − 5 = 0 luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m.
c Bài 28. Chứng minh phương trình (1 − m)x5 + 9mx2 − 16x − m = 0 có ít nhất hai nghiệm phân biệt.
c Bài 29. Cho ba số a, b, c thỏa mãn hệ thức 2a + 3b + 6c = 0. Chứng minh rằng phương trình
ax2 + bx + c = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; 1).
c Bài 30. Cho hàm số f (x) = x3 − 3x2 − 1. Chứng minh phương trình có nghiệm x0 ∈ (3;4). Không √ √ √ Ä ä Ä ä tính f
5 36 và f 1 + 5 36 , chứng minh rằng x0 > 1 + 5 36
D BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 2x2 Câu 1. Cho hàm số f (x) =
. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau: x
A. Hàm số f (x) xác định với mọi x 6= 0.
B. Hàm số f (x) liên tục trên R.
C. lim f (x) 6= lim f (x). x→0+ x→0−
D. Vì lim f (x) = lim f (x) nên f (x) liên tục tại x = 0. x→0+ x→0− x2 + 3x − 4 Câu 2. Cho hàm số f (x) =
với x 6= −4. Để hàm số f (x) liên tục tại x = −4 thì ta cần bổ x + 4
sung giá trị f (−4) bằng bao nhiêu? A. 5. B. −5. C. 3. D. 0.
Câu 3. Hàm số nào dưới đây gián đoạn tại điểm x = 1? x − 1 x2 − x + 1 A. y = . B. y = . x2 + x + 1 x + 1 x2 + 2
C. y = (x − 1)(x2 + x + 1). D. y = . x − 1
Tài liệu học tập môn Toán 11 Trang 26 p GV: Phùng V Hoàng Em  x2 − 1  khi x 6= 1
Câu 4. Tìm a để hàm số f (x) = x − 1
liên tục tại điểm x0 = 1. a khi x = 1 A. a = −1. B. a = 2. C. a = 1. D. a = 0. ®x3 + x2 + 7 khi x 6= −1 Câu 5. Cho hàm số f (x) =
. Tìm m để hàm số liên tục tại điểm x0 = −1. 2x + m − 1 khi x = −1 A. m = 10. B. m = 8. C. m = −10. D. m = 12.  x3 − 8  khi x 6= 2 Câu 6. Cho hàm số f (x) = x − 2
. Tìm m để hàm số liên tục tại x = 2. mx + 1 khi x = 2 15 11 17 13 A. m = . B. m = . C. m = . D. m = . 2 2 2 2  x3 − x2   khi x > 1   x − 1
Câu 7. Cho hàm số y = f (x) =
. Biết hàm số f (x) liên tục tại x n khi x = 1 0 = 1. Giá trị    mx + 1 khi x < 1 của m, n là A. n = m = 1. B. n = 1, m = 0. C. n = −1, m = 0. D. n = 0, m = 1.  x2 + ax + b  , với x 6= 1
Câu 8. Cho a, b là hai số thực sao cho hàm số f (x) = x − 1 liên tục trên R. Tính 2ax − 1 , với x = 1 a − b. A. −5. B. 7. C. −1. D. 0.  x2 − 16  khi x 6= 4 Câu 9. Cho hàm số f (x) = x − 4
. Tập hợp các giá trị của a để hàm số liên tục tại ax − 1 khi x = 4 x = 4 là ß 9 ™ ß 9 ™ A. {8}. B. {0}. C. − . D. . 4 4 ß sin πx khi |x| ≤ 1 Câu 10. Cho hàm số f (x) =
. Mệnh đề nào sau đây là đúng? x + 1 khi |x| > 1
A. Hàm số liên tục trên các khoảng (−∞; −1) và (−1; +∞).
B. Hàm số liên tục trên R.
C. Hàm số liên tục trên các khoảng (−∞; 1) và (1; +∞).
D. Hàm số gián đoạn tại x = ±1 . ®x2 + m khi x ≥ 2 Câu 11. Cho hàm số f (x) =
(m là tham số). Tìm giá trị thực của tham số m để 3x − 1 khi x < 2
hàm số đã cho liên tục tại x0 = 2. A. m = 0. B. m = 1. C. m = 3. D. m = 2.
Câu 12. Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình m(x − 1)3(x − 2) + 2x − 3 = 0 vô nghiệm. A. m = 1. B. m = 0. C. ∀m ∈ R.
D. Không có giá trị m.  x2 − 3x + 2  với x 6= 2 Câu 13. Cho hàm số f (x) = x − 2
. Với giá trị nào của m sau đây để hàm số 2m + 1 với x = 2 f (x) liên tục tại x = 2. A. 2. B. 0. C. 1. D. −1.
Tài liệu học tập môn Toán 11 Trang 27 p GV: Phùng V Hoàng Em 1 4
Câu 14. Cho hàm số f (x) = x5 + x3 − 5x + 3. Mệnh đề nào sau đây sai? 5 3 1
A. Hàm số đã cho gián đoạn tại x0 = . 5
B. Phương trình f (x) = 0 có nghiệm trên khoảng (0; +∞).
C. Phương trình f (x) = 0 có nghiệm trên khoảng (−1; 1).
D. Hàm số f (x) liên tục trên R.  x2 − 3x + 2  , khi x > 1 Câu 15. Cho hàm số f (x) = x − 1
. Chọn khẳng định đúng. 2x + 1 , khi x ≤ 1
A. Hàm số f (x) liên tục tại điểm x = 1.
B. Hàm số f (x) gián đoạn tại điểm x = 1 vì không tồn tại lim f (x). x→1
C. Hàm số f (x) không xác định tại x = 1.
D. Hàm số f (x) gián đoạn tại điểm x = 1 vì lim f (x) 6= f (1). x→1  ax2 − (a − 2)x − 2   √ khi x 6= 1 Câu 16. Cho hàm số f (x) = x + 3 − 2
. Có bao nhiêu giá trị của tham số  8 + a2 khi x = 1
a để hàm số liên tục tại x = 1. A. 2. B. 0. C. 1. D. 3.
Câu 17. Cho hàm số f (x) = x5 + x − 1. Xét phương trình f (x) = 0 (1). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Phương trình (1) vô nghiệm.
B. Phương trình (1) không có nghiệm trên khoảng (−1; 1).
C. Phương trình (1) có nghiệm trên khoảng (0; 1).
D. Phương trình (1) không có nghiệm trên khoảng (0; 1).  x2 − 3x + 2  khi x 6= 1
Câu 18. Tìm giá trị của tham số m để hàm số f (x) = x − 1 liên tục tại x = 1. m khi x = 1 A. m = −2. B. m = 2. C. m = −1. D. m = 1.  x2 − 4x + 3  khi x > 1
Câu 19. Tìm P để hàm số y = x − 1 liên tục trên R. 6Px − 3 khi x ≤ 1 1 5 1 1 A. P = . B. P = . C. P = . D. P = . 3 6 6 2 √  x2 + 4 − 2   khi x 6= 0  Câu 20. Cho hàm số f (x) = x2
. Tìm giá trị thực của tham số a để hàm số 5  2a − khi x = 0  4 f (x) liên tục tại x = 0. 3 3 4 4 A. a = . B. a = − . C. a = . D. a = − . 4 4 3 3 —HẾT—
Tài liệu học tập môn Toán 11 Trang 28 p GV: Phùng V Hoàng Em
§ 4. ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM CÁC CHỦ ĐỀ
ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM BÀI 1 1. C 2. C 3. D 4. B 5. B 6. D 7. B 8. A 9. C 10. D 11. A 12. A 13. A 14. C 15. B 16. B 17. A 18. A 19. B 20. B 21. A 22. A 23. A 24. C 25. B 26. C 27. D 28. A 29. B 30. B 31. C 32. B 33. A 34. B 35. B
ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM BÀI 2 1. A 2. B 3. A 4. A 5. B 6. C 7. B 8. A 9. C 10. D 11. B 12. C 13. A 14. D 15. D 16. C 17. D 18. B 19. A 20. B 21. B 22. B 23. B 24. A 25. C 26. B 27. C 28. A 29. B 30. B
ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM BÀI 3 1. A 2. B 3. D 4. B 5. A 6. B 7. B 8. B 9. D 10. C 11. B 12. D 13. B 14. A 15. B 16. A 17. C 18. C 19. C 20. A
Tài liệu học tập môn Toán 11 Trang 29 p GV: Phùng V Hoàng Em
Document Outline

  • GIỚI HẠN
    • GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
      • TÓM TẮT LÝ THUYẾT
      • PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
      • blackDạng 1. Khử vô định dạng epic
      • blackDạng 2. Khử vô định dạng -
      • blackDạng 3. Một số quy tắc tính giới hạn vô cực
      • blackDạng 4. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
      • BÀI TẬP TỰ LUYỆN
      • BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
    • GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
      • TÓM TẮT LÝ THUYẾT
      • PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
      • blackDạng 1. Giới hạn của hàm số khi x x0. Khử dạng vô định 00
      • blackDạng 2. Giới hạn của hàm số khi x . Khử dạng vô định epic;-;0
      • blackDạng 3. Giới hạn một bên. Sự tồn tại giới hạn
      • BÀI TẬP TỰ LUYỆN
      • BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
    • HÀM SỐ LIÊN TỤC
      • TÓM TẮT LÝ THUYẾT
      • PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
      • blackDạng 1. Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm
      • blackDạng 2. Xét tính liên tục của hàm số trên miền xác định
      • blackDạng 3. Tìm giá trị của tham số để hàm số liên tục - gián đoạn
      • blackDạng 4. Chứng minh phương trình có nghiệm
      • BÀI TẬP TỰ LUYỆN
      • BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
    • ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM CÁC CHỦ ĐỀ