Lý thuyết và bài tập Toán 7 – Nguyễn Cao Cường

Tài liệu gồm 59 trang với nội dung gồm lý thuyết và bài tập chương trình Toán 7 dành cho học sinh khá – giỏi. Nội dung tài liệu bao gồm:

SỐ HỮU TỈ – SỐ THỰC

64 32 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Tài liệu chung Toán 7

Môn: Toán 7

Thông tin:

59 trang 7 tháng trước

Tác giả:

Profile Kim Oanh
NGUYỄN
CAO CƯỜNG
Lý thuyết và Bài tập
TOÁN 7
(Dành cho học sinh khá, giỏi)
Lưu
hành nội bộ - Đang chỉnh sửa
Tp. Hồ Chí Minh - 8/2016
Mục
lục
1 SỐ HỮU TỈ - SỐ THỰC 4
1.1 Tập hợp Q các số hữu tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.1 Số hữu tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2 Biểu diễn các số hữu tỉ trên trục số . . . . . . . . . . . . 4
1.1.3 So sánh hai số hữu tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.4 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Cộng trừ số hữu tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.1 Cộng trừ hai số hữu tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.2 Cộng và trừ số thập phân . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.3 Tổng đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.4 Quy tắc chuyển vế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.5 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Nhân, chia số hữu tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.1 Nhân hai số hữu tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.2 Tính chất của phép nhân trong Q . . . . . . . . . . . . 13
1.3.3 Chia hai số hữu tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.4 Chia một tổng hoặc một hiệu cho một số . . . . . . . . 14
1.3.5 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4 Giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4.1 Giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ . . . . . . . . . . . . 18
1.4.2 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.5 Lũy thừa của một số hữu tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.5.1 Lũy thừa với số mũ tự nhiên . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.5.2 Các tính chất của lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2
T
oán 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nguyễn Cao Cường
1.5.3 Lũy thừa của một số mũ âm . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.5.4 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.6 Tỉ lệ thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.6.1 Định nghĩa tỉ lệ thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.6.2 Các tính chất của tỉ lệ thức . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.6.3 Số tỉ lệ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.6.4 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.7 Số thập phân hữu hạn. Số thập phân vô hạn tuần hoàn . . . . 30
1.7.1 Tóm tắt lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.7.2 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.8 Làm tròn số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.8.1 Tóm tắt lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.8.2 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.9 Căn bậc hai. Số vô tỉ. Số thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.9.1 Định nghĩa căn bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.9.2 Số vô tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.9.3 Số thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.9.4 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2 ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC. ĐƯỜNG THẲNG SONG
SONG 37
2.1 Hai góc đối đỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.1.1 Lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.1.2 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.2 Hai đường thẳng vuông góc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.2.2 Đường trung trực của đoạn thẳng . . . . . . . . . . . . 40
2.2.3 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.3 Các góc tạo bởi một đường thẳng cắt hai đường thẳng khác . . 42
2.3.1 Lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.3.2 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.4 Hai đường thẳng song song . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.4.1 Nhắc lại kiến thức lớp 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.4.2 Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song . . . . . 45
-3-
Nguyễn
Cao Cường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Toán 7
2.4.3 Tiên đề Ơ-clit về hai đường thẳng song song . . . . . . 46
2.4.4 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.5 Luyện tập chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
-4-
Chương
1
SỐ HỮU TỈ - SỐ THỰC
1.1
Tập hợp Q các số hữu tỉ . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Cộng trừ số hữu tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Nhân, chia số hữu tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4 Giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ . . . . . . . . 18
1.5 Lũy thừa của một số hữu tỉ . . . . . . . . . . . . 20
1.6 Tỉ lệ thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.7 Số thập phân hữu hạn. Số thập phân vô hạn
tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.8 Làm tròn số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.9 Căn bậc hai. Số vô tỉ. Số thực . . . . . . . . . . . 33
1.1
Tập hợp Q các số hữu tỉ
1.1.1 Số hữu tỉ
- Các phân số bằng nhau lá các cách viết khác nhau của cùng một số, số đó
được gọi là số hữu tỉ.
- Số hữu tỉ là số được viết dưới dạng phân số
a
b
v
ới a, b ∈ Z và b 6= 0
- Tập hợp các số hữu tỉ được kí hiệu là Q. (x là số hữu tỉ thì ghi là x ∈ Q.)
Nguyễn
Cao Cường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Toán 7
1.1.2 Biểu diễn các số hữu tỉ trên trục số
Để biểu diễn số hữu tỉ
a
b
(a, b ∈ Z; b > 0) trên trục số ta làm như sau:
- Chia đoạn đơn vị [0; 1] trên trục số thành b phần bằng nhau, mỗi phần là
1
b
gọi
là đơn vị mới.
- Nếu a > 0 thì số
a
b
được biểu diễn bởi một điểm nằm bên phải điểm O và
cách điểm O một đoạn bằng a lần đơn vị mới.
- Nếu a < 0 thì số
a
b
đượ
c biểu diễn bởi một điểm nằm bên trái điểm O và
cách điểm O một đoạn bằng |a| lần đơn vị mới.
1.1.3 So sánh hai số hữu tỉ
Để so sánh hai số hữu tỉ x, y ta thường làm như sau:
- Viết x, y dưới dạng hai phân số có cùng mẫu dương:
x =
a
m
; y =
b
m
(a; b; m ∈ Z; m > 0)
- So sánh hai số nguyên a và b:
• Nếu a < b thì x < y
• Nếu a = b thì x = y
• Nếu a > b thì x > y
- Trên trục số, nếu x < y thì điểm x nằm bên trái điểm y.
- Số hữu tỉ lớn hơn 0 gọi là số hữu tỉ dương
- Số hữu tỉ nhỏ hơn 0 gọi là số hữu tỉ âm
- Số 0 không là số hữu tỉ dương, cũng không là số hữu tỉ âm
Nhận xét:
- Số hữu tỉ
a
b
là số hữu tỉ dương
a
b
> 0
nếu a, b cùng dấu.
- Số hữu tỉ
a
b
là
số hữu tỉ âm
a
b
< 0
nếu a,
b khác dấu.
- Ta có:
a
b
>
c
d
(b; d
> 0) ⇔ ad > bc (b, d > 0).
-6-
T
oán 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nguyễn Cao Cường
1.1.4 Bài tập
Bài tập 1.1.1. Điền các kí hiệu N, Z, Q vào ... (viết đầy đủ các trường hợp)
a) 20000 ∈ ...
b)
4
5
∈ ...
c)
−7
1000
∈ ...
d) −671 ∈ ...
e)
−98
1
∈ ...
Bài
tập 1.1.2. Biểu diễn các số hữu tỉ sau trên trục số
6
4
;
−15
6
;
12
18
Bài tập 1.1.3. Viết các số hữu tỉ sau dưới dạng phân số có cùng mẫu dương:
a)
−8
−70
;
−1
−28
và
27
−180
.
b)
18
−45
;
−151515
252525
và
7777
−1111
.
Bài
tập 1.1.4. So sánh các số sau:
x
1
=
19019
76076
; x
2
=
−1919
−7676
; x
3
=
−19
−76
.
Bài
tập 1.1.5. Cho số hữu tỉ
a
b
6=
0. Chứng minh:
a) Nếu a, b cùng dấu thì
a
b
là số dương.
b) Nếu a, b trái dấu thì
a
b
là
số âm.
Bài tập 1.1.6. So sánh các số hữu tỉ sau:
a)
−13
40
và
12
−40
b)
−5
6
và
−91
−104
c)
−15
21
và
−36
44
d)
−16
30
và
−35
84
e)
−5
91
và
−501
9191
f)
−11
3
7
.7
3
và
−78
3
7
.7
4
Bài
tập 1.1.7. Sắp xếp các số hữu tỉ sau theo thứ tự tăng dần:
a)
−6
−4
;
−7
9
;
0;
−40
−50
;
27
33
.
b)
18
19
;
4
3
;
−14
37
;
17
20
;
−14
33
;
0.
-7-
Nguyễn
Cao Cường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Toán 7
Bài tập 1.1.8. Giả sử x =
a
m
; y =
b
m
(a,
b, m ∈ Z, m > 0) và x < y. Hãy
chứng minh rằng nếu chọn z =
a + b
2m
thì
ta có x < z < y.
Bài tập 1.1.9. Chứng minh rằng nếu
a
b
<
c
d
(b; d
> 0) thì
a
b
<
a + c
b + d
<
c
d
.
Tìm
5 số hữu tỉ x sao cho:
i) −1 < x < 0 ii)
−4
5
<
x <
−1
10
Bài
tập 1.1.10. So sánh các phân số sau (không qui đồng mẫu hoặc tử)
a)
1234
1235
và
4319
4320
b)
−1234
1244
và
−4321
4331
c)
−31
−32
và
31317
32327
d)
1234.1235 − 1
1234.1235
và
1235.1236 − 1
1235.1236
Bài
tập 1.1.11. Dựa vào tính chất bắc cầu của thứ tự: với x, y, z ∈ Q ta có:
(
x < y
y < z
⇒ x < z
Hãy so sánh:
a)
−37
946
và
−1
−8
b)
−1987
−1986
và
−1984
−1985
c)
−23
12
và
−5
2
d)
−24
25
và
−23
27
e)
−18
91
và
−23
114
f)
−33
131
và
53
−217
g)
22
−67
và
51
−152
h)
3246
−3247
và
−45984
45983
Bài
tập 1.1.12. Tìm x ∈ Q, biết rằng x là số âm lớn nhất được viết bằng
bốn chữ số 1.
Bài tập 1.1.13. Tìm phân số có mẫu bằng 10, biết rằng giá trị của nó lớn
hơn
−3
4
và
nhỏ hơn
−3
5
.
Bài
tập 1.1.14. Tìm x ∈ Z biết rằng
x
5
<
5
4
<
x +
2
5
.
-8-
T
oán 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nguyễn Cao Cường
Bài tập 1.1.15. Tìm hai phân số có mẫu bằng 9, tử là hai số tự nhiên liên
tiếp sao cho trên trục số điểm biểu diễn phân số bằng
4
7
nằm
giữa các điểm
biểu diễn của hai phân số phải tìm.
Bài tập 1.1.16. Tìm phân số có tử bằng 9, biết rằng giá trị của nó lớn hơn
−11
13
và
nhỏ hơn
11
−15
.
Bài
tập 1.1.17. Chứng minh rằng nếu cộng cả tử và mẫu của một phân số
nhỏ hơn 1 và mẫu đều dương, với cùng một số nguyên dương thì giá trị của
phân số tăng thêm.
Bài tập 1.1.18. So sánh các phân số sau (n là số tự nhiên):
a)
n
2n +
3
và
n + 2
2n +
1
b)
n
3n +
1
và
2n
6n +
1
Bài tập 1.1.19. Với giá trị nào của a thì số hữu tỉ x là số dương? là số âm?
là số không âm không dương?
a) x =
a − 4
4
b)
a +
7
5
c)
a − 4
a
2
d) x =
a
2
+
9
−7
e) x =
a − 6
a − 11
Bài
tập 1.1.20. So sánh các phân số:
a)
35420
35423
và
25343
25345
b)
5
12
+
1
5
13
+
1
và
5
11
+ 1
5
12
+
1
Bài tập 1.1.21. Tìm tất cả các số nguyên x để các phân số sau có giá trị là
số nguyên:
a) A =
x + 1
x − 2
b) B =
2x − 1
x +
5
c) C =
10x − 9
2x − 3
d) D =
x − 2
2x − 3
e) E =
3x − 4
2x − 3
f) F =
x
2
− 4x − 4
x − 7
Bài
tập 1.1.22. Tìm các cặp số nguyên (x; y) sao cho:
x − 1
5
=
3
y +
4
.
-9-
Nguyễn
Cao Cường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Toán 7
Bài tập 1.1.23. So sánh hai số sau:
A =
2014
2015
−
2015
2016
+
2016
2017
−
2017
2018
và B = −
1
2014.2015
−
1
2016.2017
1.2
Cộng trừ số hữu tỉ
1.2.1 Cộng trừ hai số hữu tỉ
Để cộng trừ hai số hữu tỉ x và y, ta làm như sau:
- Viết x, y dưới dạng hai phân số có cùng mẫu dương (qui đồng mẫu số dương).
x =
a
m
; y =
b
m
(m
> 0)
- Thực hiện phép cộng, trừ; (cộng, trừ tử và giữ nguyên mẫu chung).
x + y =
a
m
+
b
m
=
a + b
m
x − y =
a
m
−
b
m
=
a − b
m
Chú
ý:
1) Rút gọn các phân số trước khi tính.
2) Trong tập hợp Q, phép cộng cũng có tính chất giao hoán, kết hợp, cộng
với số 0 như trong tập hợp Z.
3) Mỗi số hữu tỉ x đều có một số đối; kí hiệu là −x, sao cho:
x + (−x) = 0
Số đối của
a
b
là −x = −
a
b
.
V
ậy −
a
b
=
−a
b
=
a
−b
nên
người ta thường viết các số hữu tỉ âm với dấu trừ
trước phân số.
1.2.2 Cộng và trừ số thập phân
Trong thực hành khi cộng, trừ hai số hữu tỉ viết dưới dạng số thập phân, ta
cộng theo qui tắc công hai số nguyên.
Ví dụ 1.2.1. −3, 12 + 1.07 = −2.05
-10-
T
oán 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nguyễn Cao Cường
1.2.3 Tổng đại số
Một dãy các phép cộng, trừ các số hữu tỉ được gọi là một tổng đại số. Trong
tổng đại số các số hữu tỉ, ta có thể:
1. Đổi chỗ một cách tùy ý các số hạng kèm theo dấu của chúng.
2. Đặt dấu ngoặc để nhóm các số hạng một cách tùy ý nhưng chú ý rằng nếu
trước dấu ngoặc là dấu “−” thì phải đổi dấu các số hạng trong ngoặc.
1.2.4 Quy tắc chuyển vế
Khi chuyển một số hạng từ vế này sang vế kia của một đẳng thức, ta phải
đổi dấu số hạng đó.
Với mọi x, y, z, t ∈ Q, ta có:
x + y = z − t ⇒ x + t = z − y
1.2.5 Bài tập
Bài tập 1.2.1. Thực hiện phép tính:
a)
13
30
−
1
5
b)
2
21
−
−1
28
c) −3
1
2
− 2
1
4
Bài
tập 1.2.2. Tìm ba cách viết số hữu tỉ
−8
15
dưới
dạng hiệu của một số
hữu tỉ âm và một số hữu tỉ dương.
Bài tập 1.2.3. Tính:
a)
1
2
−
1
3
+
1
10
b)
1
12
−
−
1
6
+
1
4
c)
1
12
−
1
3
+
1
23
+
1
6
d)
2
5
+
−
4
3
+
−
1
2
e)
1
3
−
−
5
4
−
1
4
+
3
8

Bài
tập 1.2.4. Tìm x, biết
a) x −
1
5
=
1
10
b)
−2
15
− x =
−3
10
c) x +
1
3
=
2
5
−
−
1
3
d)
3
7
− x =
1
4
−
1
4
−
−
3
5

-11-
Nguyễn
Cao Cường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Toán 7
Bài tập 1.2.5. Tính giá trị của biểu thức:
a) A =
3 −
1
4
+
2
3
−
5
+
1
3
−
6
5
−
6 −
7
4
+
3
2
.
b) B =
1
3
−
3
4
−
−
3
5
+
1
64
−
2
9
−
1
36
+
1
15
c) C =
1
3
−
3
5
+
5
7
−
7
9
+
9
11
−
11
13
+
13
15
+
11
13
−
9
11
+
7
9
−
5
7
+
3
5
−
1
3
d) D =
1
99
−
1
99.98
−
1
98.97
−
1
97.96
− ... −
1
3.2
−
1
2.1
Bài tập 1.2.6. Tìm phần nguyên của số hữu tỉ x, biết:
a) x =
−3
7
b) x =
−9
5
c) x −
1
4
< −2 <
x d) x < −3 < x + 0, 5
Bài tập 1.2.7. Tính:
a) −3
3
4
+
−10
25
+
−6
12
b) 4 − 1
2
5
−
8
3
c)
−5
12
+ 1
5
18
− 2, 25
d) −0.6 −
−4
9
−
16
15
e) −1
2
3
+
3
4
−
1
2
+
2
1
6
f) −1
+
1
3
−
1
9
+
1
27
−
1
81
g)
7
12
−
−
1
5
−
5
6
+
2
3
+
−
1
5
h)
1
2
+
16
21
+
27
13
−
14
13
−
5
21
i) 7
+
7
12
−
1
2
+
3
−
1
12
+
5
j)
11
25
−
5
13
−
−7
17
−
8
13
+
10
17
Bài
tập 1.2.8. Tính:
a)
1
1.2
+
1
2.3
+
1
3.4
+ ... +
1
1999.2000
b)
1
1.4
+
1
4.7
+
1
7.10
+ ... +
1
100.103
c) −
1
2000.1999
−
1
1999.1998
−
1
1998.1997
− ... −
1
3.2
−
1
2.1
d)
−1
3
+
−1
15
+
−1
35
+
−1
63
+ ... +
−1
9999
e) 1 −
1
2.5
−
1
5.8
−
1
8.11
− ... −
1
89.92
−
1
92.95
Bài
tập 1.2.9. Tìm x, biết:
-12-
T
oán 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nguyễn Cao Cường
a)
17
6
−
x −
7
6
=
7
4
b)
4
3
+ (1, 25 − x) = 2, 25
c) 2x − 3 = x +
1
2
d) 4x − (2x +
1) = 3 −
1
3
+ x
e) 2x −
1
2
−
1
6
−
1
12
− ... −
1
49.50
= 7 −
1
50
+ x
Bài tập 1.2.10. Tìm tập hợp các số nguyên x, biết:
a)
1
2
−
1
3
+
1
4
<
x <
1
48
−
1
16
−
1
6
b)
1
4
+
8
9
≤
x
36
< 1 −
3
8
−
5
6
Bài
tập 1.2.11. Tính tổng các phân số lớn hơn
3
5
nhưng
nhỏ hơn
7
10
và
có
mẫu 30.
Bài tập 1.2.12. Tính tổng các phân số lớn hơn
1
6
nhưng
nhỏ hơn
2
9
và
có
tử là 2.
Bài tập 1.2.13. Tìm các số nguyên x, y, biết rằng:
a)
3
x
+
1
3
=
y
3
b)
x
6
−
1
6
=
1
2
c)
2
3x
+
y
6
=
1
2
Bài
tập 1.2.14. Chứng minh các đẳng thức sau:
a)
1
a(a +
1)
=
1
a
−
1
a +
1
b)
2
a(a +
1)(a + 2)
=
1
a(a +
1)
−
1
(a +
1)(a + 2)
Bài tập 1.2.15. Tìm các cặp số nguyên (a; b) sao cho:
a)
b
5
+
1
10
=
1
a
b)
a
4
−
1
2
=
3
b
Bài
tập 1.2.16. Tìm các số hữu tỉ x, y, z thõa mãn các điều kiện:
x + y =
−7
6
; y + z =
1
4
và x + z =
1
12
Bài
tập 1.2.17. Rút gọn:
A =
2
12
.3
5
− 4
6
.9
2
(2
2
.3)
6
+
8
4
.3
5
−
5
10
.7
3
− 25
5
.49
2
(125.7)
3
+
5
9
.(14)
3
-13-
Nguyễn
Cao Cường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Toán 7
Bài tập 1.2.18. Cho phân số A =
2n − 1
n − 3
.
a)
Tìm số nguyên n để A đạt giá trị nguyên.
b) Tìm số nguyên n để A có giá trị lớn nhất.
Bài tập 1.2.19. Cho phân số B =
6n + 7
2n +
3
a) Tìm số nguyên n để B có giá trị nguyên.
b) Tìm số nguyên n để B có giá trị nhỏ nhất
Bài tập 1.2.20. Cho C =
1
11
+
1
12
+
1
13
+ ... +
1
19
.
Chứng minh rằng C
không phải là số nguyên.
Bài tập 1.2.21. Cho D = 2
1
3
+
1
15
+
1
35
+ ... +
1
n(n +
2)
, với n ∈ N
∗
.
Chứng minh rằng D không phải là số nguyên.
Bài tập 1.2.22. Cho E =
1
3
+
1
4
+
1
5
+
2
7
+
2
9
+
2
11
.
Chứng minh rằng E
không phải là số nguyên.
Bài tập 1.2.23. Cho 31 số nguyên, trong đó tổng của 3 số bất kì là 1 số
dương. Chứng minh rằng tổng của 31 là số dương.
Bài tập 1.2.24. Cho 100 số hữu tỉ bất kì, trong đó 3 số nào bất kì cũng có
tổng là một số âm.
a) Chứng minh rằng tổng của 100 số đó là một số âm.
b) Có thể khẳng định rằng tất cả 100 số đó đều âm hay không?
1.3 Nhân, chia số hữu tỉ
1.3.1 Nhân hai số hữu tỉ
Tích của hai số hữu tỉ x =
a
b
; y =
c
d
đượ
c xác định như sau:
x.y =
a
b
.
c
d
=
ac
bd
, v
ới b, d 6= 0
Chú ý:
1) Thu gọn kết quả trong quá trình tính nhân.
2) Khi nhân nhiều số hữu tỉ thì kết quả:
Có dấu “+” nếu thừ số âm chẵn.
-14-
T
oán 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nguyễn Cao Cường
Có dấu “−” nếu số thừa số âm lẻ.
3) Khi nhân hai số thập phân, trong thực hành ta áp dụng theo qui tắc nhân
hai số nguyên.
1.3.2 Tính chất của phép nhân trong Q
Trong tập hơp Q, phép nhân cũng có tính chất giao hoán, kết hợp, nhân với
1 như trong tập hợp Z.
Chú ý:
1) x.0 = 0.x = 0, ∀x ∈ Q.
2) Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng: ∀x, y, z ∈ Q, ta có:
x(y + z) = xy + xz = yx + zx = (y + z)x
x(y − z) = xy − xz = yx − zx = (y − z)x
3) Đặt thừa số chung:
xa − xb + xc = x(a − b + c)
1.3.3 Chia hai số hữu tỉ
Với x =
a
b
,
y =
c
d
(y 6=
0), ta có:
x : y =
a
b
:
c
d
=
a
b
.
d
c
=
ad
bc
Chú
ý:
1) Mỗi số hữu tỉ y 6= 0 đều có một số nghịch đảo là
1
y
,
y
.
1
y
=
1
. Số nghịch
đảo của
a
b
là
b
a
(v
ới a, b 6= 0).
2) Thương của phép chia số hữu tỉ x cho số hữu tỉ y 6= 0 gọi là tỉ số của hai
số x và y; kí hiệu là
x
y
ha
y x : y.
Ví dụ 1.3.1. Tỉ số của hai số −0.2 và 1, 25 viết là
−0, 2
1, 25
ha
y −0, 2 : 1, 25.
3) Chia hai số thập phân:
x : y = |x| : |y| nếu x, y cùng dấu.
x : y = −(|x| : |y|) nếu x, y khác dấu.
-15-
Nguyễn
Cao Cường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Toán 7
1.3.4 Chia một tổng hoặc một hiệu cho một số
∀x, y ∈ Q, z 6= 0;
x + y
z
=
x
z
+
y
z
x − y
z
=
x
z
−
y
z
1.3.5
Bài tập
Bài tập 1.3.1. Thực hiện phép tính:
a) −6.
−
2
3
.0, 25
b) −
15
4
.
−7
15
.
−2
2
3
.
c)
−2
1
5
.
−9
11
.
−1
1
14
.
2
5
d)
−5
1
2
.
−
1
2
−
2
3
.
−
2
3
e)
1
1
4
.
−
8
15
−
3
5
+
2
5
.
−3
4
f) (−0, 125).(−16).
−
8
9
.(−0, 25)
g) −0, 25.(−1, 25).(−32)
h)
5
8
+
2
1
4
.1
2
3
−
1
4
.
5
6
i) 4, 1.3, 5
+ 4, 1.7, 5 −4, 1
j)
1
1998
.
2
7
+
1
1998
.1
3
7
−
5
1998
.
1
7
k)
−2
3
+
3
7
:
4
5
+
−1
3
+
4
7
:
4
5
l)
5
9
:
1
11
−
5
22
+
5
9
:
1
15
−
2
3
m)
11
30
+
18
35
.
35
54
−
49
18
−
28
48
n)
−23
39
.
−13
56
.
70
23
:
125
75
o)
18
1
6
− (0, 06
: 7
1
2
+
3
2
5
.0, 38)
:
19 − 2
2
3
.4
3
4
p)
2
12
.3
5
− 4
6
.9
2
(2
2
.3)
6
+
8
4
.3
5
−
5
10
.7
3
− 25
5
.49
2
(125.7)
3
+
5
9
.14
3
q)

2
193
−
3
386
.
193
17
+
33
34
:

7
2001
+
11
4002
.
2001
25
+
9
2
Bài
tập 1.3.2. Tính:
a)
7
13
: (−14) −
−2
2
9
:
−1
4
9

b)
3
7
−
2
3
+ 5
:
−25
8
21
+ 24
4
21
-16-
T
oán 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nguyễn Cao Cường
c)
5
3
−
−
1
4
:
1
1
5
.
5
8
+
9
4
d) 1
1
5
:
5
8
+
5
3
−
−
1
4

.
9
4
e) 1 −
1
:
2 + 1 :
1 −
1
2

f) 3+2
:
1 + 3 :
2 − 1 :
3 +
2
1 − 3

g) 3
+
2
1
+
3
2 −
1
3
+
2
1
+ 3
k) 1 −
2
1
+
2
1 −
2
1
+
2
1 − 2
Bài
tập 1.3.3. Tính các tổng sau:
a)
1
3
+
1
6
+
1
12
+ ... +
1
a(a + 1)
(a ∈ N
∗
)
b)
1
1.2.3
+
1
2.3.4
+
1
3.4.5
+ ... +
1
a(a +
1)(a + 2)
(a ∈ N
∗
)
Bài tập 1.3.4. Tìm x, biết:
a) −
1
10
+
2
5
x +
7
20
=
1
10
b)
1
3
+
1
2
: x = −
1
5
c) −
2
3
: x +
5
8
= −
7
12
d)
1
2
x +
2
1
2
=
3
1
2
x −
3
4
e)
2
3
x −
2
5
=
1
2
x −
1
3
f)
1
3
x +
2
5
(x +
1) = 0
g)
2
3
−
1
3
x −
3
2
−
1
2
(2x + 1) = 5
h)
11
15
−
7
9
+ x
.
3
8
=
61
90
+
x
3
Bài
tập 1.3.5. Tìm x, biết:
a) 5
6
11
x +
8
9
11
x +
2
3
11
=
3
4
11
x −
8
11
b) 3x −
15
5.8
−
15
8.11
−
15
11.14
− ... −
15
47.50
= 2
1
20
c)
3
4
x − 14
2
3
:
11
15
+
1111
3535
+
111111
636363
=
12
d)
1
1.4
+
1
4.7
+
1
7.10
+ ... +
1
x(x +
3)
=
125
376
(x ∈ N
∗
)
e)
1
3
+
1
6
+
1
10
+
1
15
+ ... +
1
x(2x +
1)
=
1
10
(x ∈ N
∗
)
f)
1
15
+
1
21
+
1
28
+
1
36
+ ... +
2
x(x +
1)
=
11
40
(x ∈ N
∗
)
-17-
Nguyễn
Cao Cường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Toán 7
Bài tập 1.3.6. Cho a + b + 3 + d 6= 0 và
a + b
b +
3
=
3 + d
d + a
.
Tìm a.
Bài tập 1.3.7. Đặt thừa số chung (viết tổng thành tích):
a) ab − 2b − 3a + 6 b) a −by − ay + bx
c) ax + by − ay − bx d) a
2
− (b + c)a + bc
e) (3a−2)(4a−3)−(2−3a)(3a+1) f) ax+ay +az −bx−by −bz −x−y −z
Bài tập 1.3.8. Tính nhanh:
a)
120 − (−0, 5).(−40).(−5).(−0, 2).20.0, 25
5
+ 10 + 15 + ... + 1995
b)
5.18 − 10.27 + 15.36
10.36 − 20.54
+ 30.72
c)
1
2
− 1
1
3
− 1
1
4
− 1
....
1
1999
− 1
d) −1
1
2
.
−1
1
3
.
−1
1
4
...
−1
1
1999
e)
−6
7
+
6
19
−
6
31
9
7
−
9
19
+
9
31
f)
1
6
+
1
51
−
1
39
1
8
−
1
52
+
1
68
g)
0, 5
+
1
3
− 0, 2
0, 75
+ 0, 5 − 0, 3
+
1
7
− 0, 2
+ 0, 125
3
7
− 0, 6
+ 0, 375
Bài tập 1.3.9. Tìm các giá trị của x, biết:
a) 12x + 5 > 4x + 16 b) 6(x − 2) − 3(x − 1) > 0
c)
x − 7
2
< 0 d) (x − 1)(x − 3) < 0
e) (x − 1)(x +
1
2
≥ 0 f)
x − 1
x +
1
≤ 0
Bài tập 1.3.10. Cho A = x(x − 4). Với giá trị nào của x thì:
A = 0; A < 0; A > 0
Bài tập 1.3.11. Cho B =
x − 3
x
. Với giá trị nào của x thì:
B = 0; B < 0; B > 0
Bài tập 1.3.12. Tính các tích sau với n ∈ N, n ≥ 2.
-18-
T
oán 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nguyễn Cao Cường
a)
1 −
1
2
1 −
1
3
1 −
1
4
...
1 −
1
n
b)
1
+
1
2
1 +
1
3
1
4
...
1
+
1
n
c)
1 −
1
2
2
1 −
1
3
2
1 −
1
4
2
...
1 −
1
n
2
Bài
tập 1.3.13. Tính giá trị của biểu thức:
1
2
:
−1
1
2
: 1
1
3
:
−1
1
4
: 1
1
5
:
−1
1
6
: ... :
−1
1
100
Bài tập 1.3.14. Tìm các số hữu tỉ x, y, z thõa mãn các điều kiện:
xy =
1
3
; y
z =
−2
5
và xz =
−3
10
Bài
tập 1.3.15. Tìm các số nguyên x sao cho tích của
−3
x +
1
và
x − 2
2
là
một
số nguyên.
Bài tập 1.3.16. Tìm phân số lớn nhất
a
b
sao
cho khi chia
15
16
cho
a
b
ho
ặc
chia
9
10
cho
a
b
đượ
c mỗi thương là một số tự nhiên.
Bài tập 1.3.17. Biết C = (x −1)(x + 2)(3 − x). Tìm x sao cho C < 0.
Bài tập 1.3.18. Biết D = (x
2
− 1)(16 − x
2
). Tìm x sao cho D ≥ 0.
Bài tập 1.3.19. Cho hai số hữu tỉ có tổng bằng
4
33
và
tích của chúng bằng
−4
11
. Tính tổng các số nghịch đảo của hai số đó.
Bài tập 1.3.20. Viết 1999 số hữu tỉ trên một đường tròn, trong đó tích hai
số cạnh nhau luôn bằng
1
9
.
Tìm các số đó.
Bài tập 1.3.21. Tìm hai số hữu tỉ x và y sao cho:
a) x + y = xy = x : y (y 6= 0)
b) x − y = xy = x : y (y 6= 0)
c) x + y = xy = x − y = x : y (y 6= 0)
Bài tập 1.3.22. Cho 100 số hữu tỉ bất kì, trong đó 3 số nào bất kì cũng có
tích là một số âm.
a) Chứng minh rằng tích của 100 số đó là một số dương.
b) Có thể khẳng định rằng tất cả 100 số đó đều âm hay không?
-19-
Nguyễn
Cao Cường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Toán 7
Bài tập 1.3.23. Cho 4 số hữu tỉ a, b, c, d biết a < b < c < d. So sánh các số
sau:
x = (a + b)(c + d); y = (a + c)(b + d); z = (a + d)(b + c)
1.4 Giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ
1.4.1 Giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ
- Giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ x, kí hiệu là |x|, là Khoảng cách từ điểm
x tới điểm O trên trục số.
- Nếu x > 0 thì |x| = x.
Nếu x = 0 thì |x| = 0
Nếu x < 0 thì |x| = −x
-Định nghĩa trên có thể viết như sau:
|x| =
(
x nếu x ≥ 0
−x nếu x < 0
1.4.2 Bài tập
Bài tập 1.4.1. Tìm x, biết:
a) |x +
1
3
| =
0
b) |x|−
3
5
=
5
9
c) |x +
3
4
| =
1
2
d) |
5
18
− x|
−
7
24
=
0
e)
2
5
−
|
1
2
− x| =
6
f) |
3
8
− x| +
5
6
=
7
4
g) |
−
2
3
.x +
3
8
|.
−
8
5
=
−8
15
h) |
− 2 : x +
5
6
| =
3
4
i) |x :
−
5
6
−
3
4
| =
2
j) −
5
12
: |
−
5
6
: x| = −
5
9
k) ||x :
−
2
3
−
1
2
| +
5
6
|.
1
2
=
3
4
l) |x| = x +
2
m) |x − 1| = x
n) |x − 1|+ |x + 1| = 2x − 3
-20-
T
oán 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nguyễn Cao Cường
Bài tập 1.4.2. Tìm x để các biểu thức sau có giá trị nhỏ nhất, giá trị nhỏ
nhất là bao nhiêu?
a) A = |x +
2
3
| b) B = |x| +
1
2
b) C = |x −
1
2
| +
3 d) D = |x −
2
3
|
− 4
e) E = |x −
2
3
|
− 4 −
1
2
f) F = |
3
8
− x +
5
6
|
− 7
Bài tập 1.4.3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức.
a) A = 2 − |x +
5
6
| b) B =
5 − |
2
3
− x|
Bài
tập 1.4.4. Tìm x, y, z ∈ Q, biết:
a) |x +
1
2
| + |y −
3
4
| + |z − 1| =
0
b) |x −
3
4
| + |
2
5
− y| + |x − y + z| = 0
c) |x −
2
3
| + |x + y +
3
4
| + |y − z −
5
6
| =
0
d) |x −
1
2
| + |xy −
3
4
| + |2x − 3y − z| =
0
e) |x −
2
3
| + |xy −
5
8
| + |y
z +
3
4
|
≤ 0
f) |xy +
2
3
| + |y
z −
8
9
| + |z
x +
3
4
| =
0
Bài tập 1.4.5. Tìm các số hữu tỉ x sao cho:
a) |x − 2| < 3 b) |5 −x| ≤ 3
c) |x + 1| > 2 d) |x| > x
1.5 Lũy thừa của một số hữu tỉ
1.5.1 Lũy thừa với số mũ tự nhiên
Với x ∈ Q, n ∈ N và n > 1, ta có:
- x
n
= x.x.x...x
|
{z }
n c
hữ x
- Nếu x =
a
b
thì x
n
=
a
b
n
=
a
n
b
n
(b 6=
0)
- x
0
= 1 (với x 6= 0)
- x
1
= x (với x 6= 0)
-21-
Nguyễn
Cao Cường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Toán 7
Chú ý: x
n
gọi là một lũy thừa, x gọi là cơ số, n gọi là số mũ của lũy thừa.
- 1
n
= 1, 0
n
= 0 (n 6= 0)
- Lũy thừa bậc chẵn của một số âm là một số dương.
- Lũy thừa bậc lẽ của một số âm là một số âm.
- Nếu x =
a
b
(a,
b ∈ Z, b 6= 0) ta có: x
n
=
a
b
n
=
a
n
b
n
1.5.2
Các tính chất của lũy thừa
Tích của hai lũy thừa cùng cơ số
x
n
.x
m
= x
m+n
Thương của hai lũy thừa cùng cơ số khác 0
x
m
: x
n
= x
m−n
(x 6= 0, m ≥ n)
hoặc
x
m
x
n
= x
m−n
Lũy
thừa của một lũy thừa
(x
m
)
n
= x
m.n
Lũy thừa của một tích
Lũy thừa của một tích bằng tích các lũy thừa:
(x.y)
n
= x
n
.y
n
Lũy thừa của một thương
Lũy thừa của một thương bằng thương các lũy thừa:
x
y
n
=
x
n
y
n
(y 6=
0)
-22-
T
oán 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nguyễn Cao Cường
1.5.3 Lũy thừa của một số mũ âm
Với x ∈ Q, n ∈ N
∗
⇒ −n < 0
Ta có:
x
−n
=
1
x
n
1.5.4
Bài tập
Bài tập 1.5.1. Tính:
a) (−0, 4)
2
− (−0, 4)
3
.(−3)
b)
1
3
4
2
−
1
3
4
2
+ (−0, 1031)
0
c)
2
3
3
− 4.
−1
3
4
2
+
−
2
3
3
d) (−0, 5)
5
:
(−0, 5)
3
−
17
2
7
:
17
2
6
e)
(−2, 7)
4
5
−
(−2, 7)
2
10
f)
−
1
3
7
.
−
1
3
9
:
"
−
1
3
3
#
5
+
(−2)
12
.(−2)
3
: (−2)
15
g) (8
14
: 4
12
) : (16
6
: 8
2
)
h) (9
5
.3
2
) : (27
5
: 81)
k)
1
7
7
.7
7
−
90
3
15
3
l) (790
4
:
79
4
) − (0, 125)
3
.512.(−1)
10
m)
3
2
(0, 375)
2
+
(0, 25)
4
.1024.(−1)
11
n)
3
7
21
:
9
49
6
o)
1
3
−1
−
−
6
7
0
+
1
2
2
:
2
Bài tập 1.5.2. Viết các biểu thức số sau dưới dạng lũy thừa (a
n
), với a ∈
Q, n ∈ Z.
-23-
Nguyễn
Cao Cường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Toán 7
a)
1
81
.
1
3
−2
.9.3
3
b) (2
5
.4)
:
2
3
.
1
16
c) 2
5
.3
2
3
2
−2
d) (3
−2
)
−2
.3
−5
.27
e) 99
+ 1; 9999 + 1; 999...9
|
{z }
m chữ
số 9
+1
Bài tập 1.5.3. Tính giá trị của các biểu thức:
a)
3
17
.81
11
27
10
.9
15
b)
9
2
.2
11
16
2
.6
3
c)
2
10
.3
31
+
2
40
.3
6
2
11
.3
31
+
2
41
.3
6
d) a.(−b)(−a)
2
(−b)
3
(−a)
3
(−)
4
e)
−(−a)
3
(−a
2
)
3
.
(−b)
2
3
.
−(−b)
4
Bài tập 1.5.4. Tính nhanh:
a) A = (−1)
2n
.(−1)
n
.(−1)
n+1
, n ∈ N
b) B = (10000 − 1
2
)(10000 − 2
2
)(10000 − 3
2
)...(10000 − 1000
2
)
c) C =
1
125
−
1
1
3
1
125
−
1
2
3
1
125
−
1
3
3
...
1
125
−
1
25
3
d) D =
1999
(1000−1
2
)(1000−2
2
)(1000−3
2
)...(1000−10
3
)
Bài tập 1.5.5. Chứng minh rằng:
a
2
− b
2
= (a − b)(a + b), a, b ∈ Q
Áp dụng tính:
a) 100
2
− 99
2
+ 98
2
− 97
2
+ 96
2
− 95
2
+ ... + 2
2
− 1
2
b) (30
2
+ 28
2
+ 26
2
+ ... + 4
2
+ 2
2
) − (29
2
+ 27
2
+ 25
2
+ ... + 3
3
+ 1
2
)
Bài tập 1.5.6. Tính các số a, b, c, biết:
a) a(a − b) = 24 và b(a − b) = −40
b) a.b =
−1
3
,
b.c =
1
2
,
c.a =
−3
8
Bài
tập 1.5.7. Chứng minh rằng:
a) (x
2
− y
2
)
1999
= (x
y
)
1999
(x − y)
1999
b)
(5
4
− 5
3
)
3
125
4
=
64
125
c)
9
3
(3
4
− 3
3
)
3
=
1
4
Bài
tập 1.5.8. Tìm x, biết:
-24-
T
oán 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nguyễn Cao Cường
a)
−5
9
10
: x =
−5
9
8
b) x :
−5
9
8
=
−9
5
8
c) x
3
= −8
d) (x +
5)
3
= −27
e) (2x − 3)
3
= −64
f) (2x − 3)
2
= 25
g) (3x − 4)
2
= 36
h) (2x + 5)
4
= 4096
Bài tập 1.5.9. Tìm x ∈ Z, biết:
a) 2
x+1
= 64
b) 5
x+1
= 625
c)
27
3
x
= 3
d)
−32
(−2)
x
=
4
e)
(−0, 5)
3
x
=
1
64
f) 3
x+1
+
3
x+3
= 810
g) 8
x
.16
−2x
= 4
5
h) (n
x
)
2
= n
14
, n ∈ N, n 6= 0, n 6=
1
Bài tập 1.5.10. Tìm x, y, z, biết:
a) (x − 1)
2
+ (2x − y − 3)
2
+ (y + z)
2
= 0
b) (2x + 3)
1998
+ (3y − 5)
2000
≤ 0
c) (x − y − 7)
2
+ (4x − 3y − 24)
2
= 0
Bài tập 1.5.11. So sánh:
a) 2
30
và 3
20
b) 5
300
và 3
500
c) 2
24
và 3
16
d) (0, 3)
40
và (0, 1)
20
e)
1
2
4
và
1
4
4
f) (−16)
11
và (−32)
9
g) 99
20
và 9999
10
h) (2
2
)
3
và 2
2
3
i) 2
3
2
và 2
2
3
j) 2
30
+
3
30
+ 4
30
và 3
20
+ 6
20
+ 8
20
k) 2
30
+ 3
30
+ 4
30
và 3.24
10
l) 2
0
+ 2
1
+ 2
2
+ ... + 2
50
và 2
51
Bài tập 1.5.12. Tìm chữ số tận cùng của:
-25-
Nguyễn
Cao Cường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Toán 7
a) 4
25
b) 2
29
c) 9
2001
d) 3
1999
e) 7
2000
f) 6
1999
.1999
0
g) 14
11
+ 15
11
+ 16
11
+ 17
11
Bài tập 1.5.13. Chứng minh rằng:
a) 7
6
+ 7
5
− 7
4
.
.
. 55
b) 81
7
− 27
9
+ 3
29
.
.
. 33
c) 8
12
− 2
33
− 2
30
.
.
.55
d) 10
9
+ 10
8
+ 10
7
.
.
.555
e)
9
11
− 9
10
− 9
9
639
∈ N
f) 81
7
− 27
9
− 9
13
.
.
. 45
Bài
tập 1.5.14. Cho biết: 1
2
+ 2
2
+ 3
2
+ ... + 10
2
= 385. Tính tổng:
S = 2
2
+ 4
2
+ 6
2
+ ... + 20
2
và T = (0, 2)
2
+ (0, 4)
2
+ (0, 6)
2
+ ... + 2
2
Bài tập 1.5.15. Tìm số nguyên n biết
2.2
2
.2
3
.2
4
....2
n
= 1024
Bài tập 1.5.16. Cho A = 2 + 2
2
+ 2
3
+ ... + 2
100
. Chứng minh A chia hết
cho 2, 30.
Bài tập 1.5.17. Cho A = 5 + 5
2
+ 5
3
+ ... + 5
100
. Chứng minh A chia hết
cho 5, 6, 31.
Bài tập 1.5.18. Tìm x, y ∈ N để:
a) 27 < 3
x
< 3.81
b) 32 ≤ 2
x
≤ 2
2x−3
.2
8−2x
c) 4
15
.9
15
< 2
x
.3
x
< 18
16
.2
16
d) 2
x+1
.3
y
= 12
x
e) 6
x
: 2
2000
= 3
y
f)
(−3)
x
.3
6
−27.9
x
= −3
-26-
T
oán 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nguyễn Cao Cường
1.6 Tỉ lệ thức
1.6.1 Định nghĩa tỉ lệ thức
Tỉ lệ thức là đẳng thức giữa hai tỉ số:
a
b
=
c
d
T
a viết:
a
b
=
c
d
hoặc a : b = c : d.
1.6.2
Các tính chất của tỉ lệ thức
1) Từ tỉ lệ thức:
a
b
=
c
d
⇒ ad = bc
2)
a
b
=
c
d
⇒ a =
bc
d
; c =
ad
b
; b =
ad
c
; d =
bc
a
v
ới a, b, c, d 6= 0
3) Đẳng thức: ad = bc a, b, c, d 6= 0 ta có tỉ lệ thức:
ad = bc ⇒
a
b
=
c
d
;
a
c
=
b
d
;
d
b
=
c
a
;
d
c
=
b
a
T
rong tỉ lệ thức
a
b
=
c
d
ta
có thể đổi chỗ các thành phần a với d và b với c
cho nhau.
4) Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau
a
b
=
c
d
⇒
a
b
=
c
d
=
a + c
b + d
=
a − c
b − d
Mở
rộng:
a
b
=
c
d
=
e
f
=
a + c + e
b + d + f
=
a − c + e
b − d + f
a
b
=
c
d
=
e
f
=
ma + nc + pe
mb + nd + pf
Giả thuyết các tỉ số đều có nghĩa.
1.6.3 Số tỉ lệ
Khi nói các số x, y, z tỉ lệ với các số a, b, c nghĩa là ta có:
x
a
=
y
b
=
z
c
hoặc x : y : z = a : b : c
-27-
Nguyễn
Cao Cường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Toán 7
1.6.4 Bài tập
Bài tập 1.6.1. Thay tỉ số giữa các số hữu tỉ bằng tỉ số giữa các số nguyên:
a) 0, 7 : 1, 5
b) 2
1
5
:
3
4
c) 3
: 0, 02
d)
2
7
:
0, 42
e)
a
b
:
c
d
,
a, b, c, d ∈ Z
∗
Bài tập 1.6.2. Các tỉ số sau đây có lập thành tỉ lệ thức không?
a)
15
21
và
31
42
b)
4
8
:
8 và
3
5
:
6
c) 2
1
3
:
7 và 3
1
4
:
13
Bài tập 1.6.3. Có thể lập được tỉ lệ thức từ các số sau hay không?
a) −5; 9; 18; −10 c) 6; 9; 1, 2; 1; 8
Bài tập 1.6.4. Lập tất cả các tỉ lệ thức từ:
a) −1, 2.6, 4 = 16.(−0, 48)
b)
7
21
=
0, 8
2, 4
c)
Lập tất cả các tỉ lệ thức từ các số sau: −3; −7; 24; 56
Bài tập 1.6.5. Tìm x, biết:
a) x : 8 = 7 : 4
b) 2, 5 : 7, 5 = x :
7
9
c) 2
2
3
: x =
1
7
9
:
0, 02
d) (x + 1) : 0, 75 = 1, 4 : 0, 25
e)
x − 1
x − 5
=
6
7
f)
x
2
6
=
24
25
g)
x +
2
5
=
1
x − 2
h)
3
x − 4
=
x +
4
3
i)
x +
2
x + 6
=
3
x + 1
j)
x − 3
7 − 5x
=
1
x − 2
m)
x +
2
2
=
1
1 − x
n)
x
x +
1
=
x + 5
x +
7
p)
x + 7
x +
4
=
x − 1
x − 2
-28-
T
oán 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nguyễn Cao Cường
Bài tập 1.6.6. Cho tỉ lệ thức:
a
b
=
c
d
,
chứng minh rằng:
a)
a + b
b
=
c + d
d
b)
a − b
b
=
c − d
d
c)
a + c
c
=
b + d
d
d)
a − c
a
=
b − d
b
f)
3a +
5b
2a − 7b
=
3c +
5d
2c − 7d
g)
(a + b)
2
(c + d)
2
=
ab
cd
h)
a
2
+ b
2
c
2
+ d
2
=
ab
cd
i)
a − b
c − d
2000
=
2
2000
+ b
2000
c
2000
+ d
2000
Bài
tập 1.6.7. Tìm các số x, y, z, biết:
a)
x
y
=
7
13
và x + y =
60
b)
x
y
=
9
10
và y − x =
120
c)
x
30
=
y
10
=
z
6
và x + y + z =
92
d)
x
2
=
y
3
=
z
4
và x + y + z =
81
e)
x
4
=
y
12
=
z
15
và y − x =
4
f)
x
3
=
y
4
và 2x +
5y = 10
g)
x
y
=
3
4
và −3x +
5y = 33
h) 8x = 5y và y − 2x = −10
i)
2x
5
=
3y
7
và x + y =
29
j)
x
9
=
y
6
=
z
7
và 2x + y + z = 15, 5
k)
x
3
=
y
8
=
z
5
và 4x +
3y − 2z = 52
l)
x
5
= y =
z
−2
và −x − y +
2z = 160
m)
2x
3
=
4y
3
=
3z
10
và x + y + z =
39, 5
n)
x
2
9
=
y
2
16
và x
2
+ y
2
=
100
-29-
Nguyễn
Cao Cường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Toán 7
o)
x
3
=
y
4
và x.y =
12
p)
x
2
=
y
3
và x.y =
54
q)
x
3
=
y
5
và x
2
− y
2
= −4
r)
x
2
=
y
3
;
y
5
=
z
4
và x + y − z = −39
s)
x
3
=
y
4
;
y
3
=
z
5
và 2x − 3y + z =
6
t) 2x = 3y; 5y = 7z và 3x − 7y + 5z = 30
u) 3x = 2y; 7y = 5z và x − y + z = 32
v)
4x
5
=
3y
2
;
4y
5
=
5z
3
và 2x − 3y +
4z = 5, 34
x)
x − 1
2
=
y − 2
3
=
z − 3
4
và 2x +
3y − z = 50
Bài tập 1.6.8. Tìm các số a
1
, a
2
, a
3
, ..., a
9
, biết
a
1
− 1
9
=
a
2
− 2
8
=
a
3
− 3
7
= ... =
a
9
− 9
1
và a
1
+ a
2
+ a
3
+ ... + a
9
=
90
Bài tập 1.6.9. Tìm x, biết rằng
1 + 2y
18
=
1
+ 4y
24
=
1
+ 6y
6x
Bài
tập 1.6.10. Cho
a
x
=
b
y
=
c
z
,
chứng minh rằng:
a + 2b − 3c
4a − 5b +
6c
=
x + 2y − 3z
4x − 5y +
6z
Bài tập 1.6.11. Cho a, b, c là 3 số khác 0 và a 6= b, a 6= c, a + c 6= 0. Chứng
minh rằng nếu a
2
= bc thì
a + b
a − b
=
c + a
c − a
Bài
tập 1.6.12. Cho
a + b + c
a + b − c
=
a − b + c
a − b − c
(b 6=
0). Chứng minh rằng c = 0.
Bài tập 1.6.13. Cho a, b, c, d là 4 số khác 0 và b
3
+ c
3
+ d
3
6= 0. Chứng minh
rằng nếu b
2
= ac và c
2
= bd thì
a
3
+ b
3
+ c
3
b
3
+ c
3
+ d
3
=
a
d
-30-
T
oán 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nguyễn Cao Cường
Bài tập 1.6.14. Chứng minh rằng nếu
a + 2002
a − 2002
=
b +
2001
b − 2001
với a 6=
2002; b 6=
0; b 6= ±2001 thì
a
2002
=
b
2001
Bài tập 1.6.15. Tìm diện tích của một hình chữ nhật, biết rằng tỉ số giữa
hai cạnh của nó bằng
3
4
và
chu vi bằng 28m.
Bài tập 1.6.16. Tỉ số sản phẩm làm được của hai công nhân là 0, 9. Hỏi
mỗi người làm được bao nhiêu sản phẩm, biết rằng người thứ nhất hơn người
thứ hai 120 sản phẩm.
Bài tập 1.6.17. Hai đơn vị kinh doanh chia lãi theo tỉ lệ 3 : 7. Hỏi mỗi đơn
vị được chia bao nhiêu tiền? Biết rằng tổng số tiền lãi là 32050000 đồng.
Bài tập 1.6.18. Tìm hai số dương, biết 7 lần số thứ nhất bằng 3 lần số thứ
hai, và hiệu của chúng là 100.
Bài tập 1.6.19. Tỉ số của hai số nguyên dương là
3
7
.
Tổng các bình phương
của chúng là 522. Tìm hai số đó.
Bài tập 1.6.20. Tìm hai số tự nhiên, biết rằng
2
3
số
thứ nhất bằng
3
4
số
thứ
hai và hiệu các bình phương của chúng là 68.
Bài tập 1.6.21. Có 54 tờ giấy bạc vừa 500 đồng, vừa 2000 đồng, vừa 5000
đồng. Trị giá mỗi loại tiền trên đều bằng nhau. Hỏi mỗi loại tiền có mấy tờ?
Bài tập 1.6.22. Tổng các lũy thừa bậc ba của ba số là −1009. Biết tỉ số giữa
số thứ nhất vả số thứ hai là
2
3
;
giữa số thứ nhất là số thứ ba là
4
9
.
Tìm hai số
đó.
Bài tập 1.6.23. Tìm tỉ lệ ba cạnh của một tam giác biết rằng nếu cộng lận
lượt độ dài từng hai đường cao của tam giác đó thì tỉ lệ các kết quả sẽ là
5 : 7 : 8.
1.7 Số thập phân hữu hạn. Số thập phân vô
hạn tuần hoàn
1.7.1 Tóm tắt lý thuyết
- Để viết phân số dưới dạng số thập phân, ta thực hiện phép chia tử cho mẫu.
3, 0
20
=
3, 0 : 20 = 0, 15;
37
25
=
37 : 25 = 1, 48
-31-
Nguyễn
Cao Cường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Toán 7
Ta nói 0, 15 và 1, 48 lần lượt là biểu diễn thập phân của các phân số
3
20
v
à
37
25
.
Nếu
phép chia đến một lúc chấm dứt, ta nói các biểu diễn thập phân này là
các số thập phân hữu hạn.
Nhưng cũng có những phân số (ví dụ:
17
11
;
5
12
),
mà phép chia tử cho mẫu
không bao giờ chấm dứt
17
11
=
1, 54545454...;
5
12
=
0, 416666.....
Khi đó, ta nói 1, 545454.... và 0, 416666... là các số thập phân vô hạn.
Nếu trong phần thập phân của môt số thập phân vô hạn có một nhóm chữ
số liên tục lặp lại mãi (ví dụ 54 trong 1,545454... hay 6 trong 0,416666...), ta
nói nhóm chữ số đó là chu kì và số thập phân đó là số thập phân vô hạn tuần
hoàn.
Khi đó có thể viết gọn:
1, 545454... = 1, (54); 0, 416666... = 0, 41(6)
Người ta chứng minh được rằng:
- Nếu một phân số tối giản với mẫu dương mà mẫu không chứa thừa số nguyên
tố nào khác 2 và 5 thì phân số đó viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn.
- Nếu một phân số tối giản với mẫu số dương mà mẫu có chứa thừa số nguyên
tố khc1 2 và 5 thì phân số đó được viết dưới dạng số thập phân vô hạn tuần
hoàn.
Ví dụ 1.7.1.
−
6
75
= −
2
25
= −0, 08;
14
60
=
7
30
=
0, 2333... = 0, 2(3)
- Mỗi số hữu tỉ được biểu diễn bởi một số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn
tuần hoàn. Ngược lại một số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn biểu
diễn một số hữu tỉ.
1.7.2 Bài tập
Bài tập 1.7.1. Viết các số sau dưới dạng số thập phân:
a) −1
6
8
b) −
9
25
c)
39
60
d)
121
220
e)
204
−160
f)
378
375
-32-
T
oán 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nguyễn Cao Cường
Bài tập 1.7.2. Viết các số sau dưới dạng số thập phân
a)
9
13
b)
5
6
c)
8
14
d)
10
15
e)
16
30
f)
34
22
h)
−600
132
Bài tập 1.7.3. Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng thu
gọn:
a) 0, 6666...; 1, 838383...; 4, 3012012...; 6, 4135135...
b) 0, 363636...; 0, 681681681...; 0, 58333...; 1, 26666....
Bài tập 1.7.4. Dùng dấu ngoặc để chỉ rõ chu kì trong thương của các phép
chia sau:
a) 8, 5 : 3 b) 18, 7 : 6 c) 58 : 11
d) 3 : 7
Bài tập 1.7.5. Viết các số thập phân hữu hạn sau đây dưới dạng phân số
tối giản:
a) 0, 32 b) −0, 124 c) 1, 28 d)
−3, 12
Bài tập 1.7.6. Viết các phân số
1
9
;
1
99
;
1
999
dưới
dạng số thập phân.
Bài tập 1.7.7. Viết các số thập phân sau đây dưới dạng phân số tối giản:
a) 0, (27); 4, (5); 3, (42); 3, (321)
b) 0, 0(8); 0, 1(2); 3, 2(45); −0, 34(567)
Bài tập 1.7.8. Chứng tỏ rằng:
a) 0, (123) + 0, (876) = 1
b) 0, (123).3 + 0, (630) = 1
Bài tập 1.7.9. So sánh các số sau:
a) 0, 3 và 0, 3(13) b) 0, (54) và 0, 5(45)
1.8 Làm tròn số
1.8.1 Tóm tắt lý thuyết
Để dễ nhớ, dễ so sánh, dễ tính toán với các số thập phân có nhiều chữ số (kể
cả vô hạn), người ta làm tròn số đến một độ chính xác muốn có.
♦ Quy ước làm tròn số
-33-
Nguyễn
Cao Cường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Toán 7
1) Nếu chữ số đầu tiên bỏ đi nhỏ hơn 5 thì ta giữ nguyên bộ phận còn lại.
2) Nếu chữ số đầu tiên bỏ đi lớn hơn hoặc bằng 5 thì ta công thêm 1 vào chữ
số cuối cùng của bộ phận còn lại.
1.8.2 Bài tập
Bài tập 1.8.1. Làm tròn các số sau:
a) Tròn chục: 5734; 5782; 4748; 7435
b) Tròn trăm: 6748; 739783; 78389; 77484
c) Tròn nghìn: 84984; 82983; 86476; 67839
Bài tập 1.8.2. Cho các số sau đây:
73, 2532 − 9, 428 − 47, 2030 −54070 −64300 −2730, 23
Hãy làm tròn các số đó:
a) Chính xác đến chữ số thập phân thứ hai.
b) Chính xác đến chữ số thập phân thứ nhất.
c) Chính xác đến hàng đơn vị.
d) Chính xác đến hàng chục.
e) Chính xác đến hàng trăm.
Bài tập 1.8.3. Tính giá trị các biểu thức sau (chính xác đến chữ số thập
phân thứ nhất) bằng 2 cách:
Cách 1: Làm tròn các số rồi tính.
Cách 2: Tính rồi làm tròn kết quả.
Sau đó hãy so sánh kết quả qua hai cách làm
a) 35, 3 + 1, 442 + 3, 741 b) 312, 53 − 2621542
c) 5, 032 + 11, 3 d) 8, 04 + 2, 2239
e) 2710, 32 − 1518, 0394 f) 4546, 0114 − 3819, 23
Bài tập 1.8.4. Biết 1 inch (ký hiệu “in”) bằng 2, 54 cm. Hỏi 1cm gần bằng
bao nhiêu inch (làm tròn đến chữ số thập phân thứ tư)?
Bài tập 1.8.5. Biết 1 mét gần bằng 3, 28 foot (Ký hiệu: ft). Hỏi 1 ft gần
bằng bao nhiêu mét (làm tròn đến chữ số thập phân thứ tư)?
-34-
T
oán 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nguyễn Cao Cường
1.9 Căn bậc hai. Số vô tỉ. Số thực
1.9.1 Định nghĩa căn bậc hai
Căn bậc hai của một số a không âm là số x sao cho x
2
= a.
Ví dụ 1.9.1. Số 9 có hai căn bậc hai là 3 và −3 vì (3)
2
= (−3)
2
= 9
Lưu ý
+ Nếu a > 0 thì a có căn bậc hai:
- Căn bậc hai dương của a, kí hiệu
√
a.
-
Căn bậc hai âm của a, kí hiệu là −
√
a
Ví dụ 1.9.2. Số 4 có 2 căn bậc hai:
√
4
= 2 và −
√
4
= −2.
+ Số 0 có đúng 1 căn bậc hai là 0:
√
0
= 0.
+ Số âm không co căn bậc hai.
Tính chất
Với hai số dương bất kì a, b
+ Nếu a = b thì
√
a =
√
b
+
Nếu a < b thì
√
a
<
√
b
1.9.2
Số vô tỉ
Số vô tỉ là số viết được dưới dạng số thập phân vô hạn không tuần hoàn.
Tập hợp các số vô tỉ được kí hiệu là I.
Ví dụ 1.9.3. Số π = 3, 141592653
1.9.3 Số thực
Số thực
- Số hữu tỉ và số vô tỉ được gọi chung là số thực.
- Tập hợp các số thực được kí hiệu là R
- x ∈ R: x là một số thực
-35-
Nguyễn
Cao Cường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Toán 7
Biểu diễn thập phân của số thực
Mỗi số thực đều có biểu diễn thập phân hữu hạn hoặc vô hạn. Trong so sánh,
đo đạc, tính toán người ta thường thực hiện trên các số thập phân hữu hạn
biểu diễn gần đúng số thực ấy.
Trục số thực
- Mỗi số thực được biểu diễn bởi một điểm trên trục số.
- Ngược lại, mỗi điểm trên trục số đều biểu diễn một số thực. Vì thế, trục số
còn gọi là trục số thực.
Chú ý: Các phép toán trong tập hợp số thực cũng có các tính chất như các
phép toán trong tập hợp các số hữu tỉ (giao hoán, kết hợp, phân phối).
1.9.4 Bài tập
Bài tập 1.9.1. Viết các số sau dưới dạng bình phương của một số.
a) 64
b) 0, 09
c) 13
d) x(x > 0)
e)
1
4
f)
49
81
g) x
2
h) m
4
i) 81
Bài
tập 1.9.2. Tìm giá trị của x, biết:
a) x
2
= 9
b) x
2
= 0, 04
c) x
2
= 7
d) x
2
= a(a ≥ 0)
e) x
2
=
4
9
f) x
2
−
16
25
=
0
g) x
2
−
7
36
=
0
h) x
2
+ 1 = 0
i) (x + 1)
2
− 1 = 3
Bài tập 1.9.3. Tính giá trị của x, biết:
-36-
T
oán 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nguyễn Cao Cường
a)
√
x =
2(x ≥ 0)
b)
√
x = 11(x ≥ 0)
c)
√
x
2
=
4
d)
√
x
2
− 6
= 0
e)
√
x
2
−
1
3
=
1
6
f)
√
x − 2
= 3 (x ≥ 0)
g)
√
x =
√
3
5
(x ≥ 0)
h)
√
x
2
= a (a ≥ 0)
Bài
tập 1.9.4. Trong các phát biểu sau đây; phát biểu nào là đúng? phát
biểu nào là sai? giải tích?
a)
√
1 > 1
b)
√
9 > 0
c) −
√
9 < 0
d) −
√
9 <
√
4
e)
p
(−2)
2
= −2
f) −
p
(−2)
2
= −2
g) (
√
a)
2
=
(−
√
a)
2
= a (a ≥ 0)
h)
√
0, 01 ∈ Q
i) Z ⊂ R
j) N ∈ Z, Z ∈ Q, Q ∈ R
Bài
tập 1.9.5. Không dùng máy tính, hãy so sánh các số sau:
a)
√
15 và
√
17
b) 5 và
√
24
c) −
p
√
3 và −
p
√
2
d)
√
8 − 1 và 2
e)
√
15
+ 2 và 14
f)
√
26 − 5 và 3 −
√
10
Bài
tập 1.9.6. Tính
a)
2
3
√
81 −
−3
4
.
r
9
64
+
√
2
3
!
2
b)
−
r
5
4
!
2
−
r
9
4
: (−4, 5) −
r
25
16
r
64
9
c) −2
4
− (−2)
2
:
−
r
16
121
!
−
−
r
2
3
!
2
:
−2
2
3
Bài
tập 1.9.7. Dùng máy tính để tính và làm tròn kết quả chính xác đến
chữ số thập phân thứ nhất.
a) −3
1
3
.
√
2 − (
√
3
+
√
5)(−2, 25)
b)
√
6 −
√
5 +
√
4 −
√
3 +
√
2 −
√
1
-37-
Nguyễn
Cao Cường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Toán 7
Bài tập 1.9.8. Tìm giá trị nhỏ nhất của: (giả thuyết các căn bậc hai đều có
nghĩa)
a) A =
√
x +
2 b) B =
√
x +
5 − 3 c) C =
√
x
2
− 9
+ 5
Bài tập 1.9.9. Tìm giá trị lớn nhất của: (giả thuyết các căn bậc hai đều có
nghĩa)
a) A = 4 −
√
x b) B = −5 −
√
x +
3 c) C = 1 −
√
x
−
4
-38-
Chương
2
ĐƯỜNG THẲNG
VUÔNG GÓC. ĐƯỜNG
THẲNG SONG SONG
2.1
Hai góc đối đỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2 Hai đường thẳng vuông góc . . . . . . . . . . . . 40
2.3 Các góc tạo bởi một đường thẳng cắt hai đường
thẳng khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.4 Hai đường thẳng song song . . . . . . . . . . . . 45
2.5 Luyện tập chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.1
Hai góc đối đỉnh
2.1.1 Lý thuyết
Định nghĩa 2.1. Hai góc đối đỉnh là hai góc mà mối cạnh của góc này là
tia đối của một cạnh của góc kia.
Nguyễn
Cao Cường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Toán 7
Tính
chất 2.1. Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau.
2.1.2
Bài tập
Bài tập 2.1.1. Hai đường thẳng cắt nhau tại I sao cho một góc trong các
góc đỉnh I có số đo 124
0
. Vẽ hình và tính số đo các góc đỉnh I có trong hình.
Bài tập 2.1.2. a) Vẽ góc
d
aOb = 180
0
.
b) Vẽ góc
[
a
0
Ob
0
đối đỉnh với góc
d
aOb (Oa, Oa
0
đối nhau).
c) Vẽ tia Om là phân giác của góc aOb.
d) Vẽ tia đối Om
0
của tia Om. Vì sao Om
0
là tia phân giác của góc a
0
Ob
0
?
e) Viết tên các cặp góc đối đỉnh.
f) Viết tên các cặp góc bằng nhau mà không đối đỉnh.
Bài tập 2.1.3. Vẽ góc
\
AOB = 72
0
rồi vẽ góc A
0
OB
0
đối đỉnh với góc AOB.
Hãy tính
\
A
0
OB
0
và
\
AOB
0
.
Bài tập 2.1.4. Hai đường thẳng xx
0
và yy
0
cắt nhau ở D. Tính
d
xDy và
[
yDx
0
.
Biết
[
xDy
0
= 5a,
\
x
0
Dy
0
= 4a.
Bài tập 2.1.5. Cho hai đường thẳng mm
0
và nn
0
cắt nhau ở E. Biết
\
nEm
0
=
4x,
\
mEn
0
= 6x − 50
0
-40-
T
oán 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nguyễn Cao Cường
a) Tính
[
mEn và
\
m
0
En
0
.
b) Biểu diễn số đo góc
[
mEn theo x.
Bài tập 2.1.6. Vẽ tia xOx
0
, vẽ tia Om, On sao cho góc
[
mOn vuông (
[
mOx <
\
mOx
0
). Biết
[
xOm = 4x − 10
0
,
[
x
0
On = 3x − 5
0
.
a) Tính
[
xOm và
[
nOx
0
.
b) Vẽ tia Ot sao cho
d
xOt,
[
xOn
0
là hai góc dối đỉnh. Trên nửa mặt phẳng bờ
xx
0
chứa Ot, vẽ tia Oy sao cho
d
tOy = 90
0
. Hai góc
[
mOn và
d
tOy có là hai
góc đối đỉnh không? giải thích.
Bài tập 2.1.7. Từ điểm O vẽ 4 tia Ox, Ox
0
, Oy, Oy
0
sao cho Ox và Ox
0
là hai
tia đối nhau. Cho biết
d
xOy = 2x + 24
0
,
[
xOy
0
= 6x + 12
0
và
\
x
0
Oy
0
= 5x −30
0
.
a) Hai góc
[
xOy
0
và
[
x
0
Oy có là hai góc đối đỉnh không? Chứng minh.
b) Gọi Ot và Ot
0
lần lượt là phân giác của các góc
[
xOy
0
và
[
x
0
Oy. Chứng minh
d
xOt và
[
x
0
Ot
0
là hai góc đối đỉnh.
Bài tập 2.1.8. Cho hai góc kề bù
d
xOy và
d
yOt. Gọi Om, On lần lượt là tia
phân giác của góc
d
xOy và
d
yOt.
a) Tính
[
mOn.
b) Vẽ góc
c
toz là góc đối đỉnh của góc
d
xOy. vẽ tia Op là tia đối của tia Om.
Chứng minh Op, On lần lượt là tia phân giác của góc
d
tOz và
[
mOp.
Bài tập 2.1.9. Cho tia Om là tia phân giác của góc xOy, On là tia phân
giác của góc đối đỉnh với góc xOy.
a) Cho biết
d
xOy = 50
0
, hãy tính số đo của các góc kề bù với góc xOy.
b) Các tia phân giác Ok và Oh của góc kề bù có phải là hai tia đối nhau
không? tại sao?
c) Bốn tia phân giác Om, On, Oh từng đôi một tạo thành các góc bao nhiêu
độ.
-41-
Nguyễn
Cao Cường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Toán 7
2.2 Hai đường thẳng vuông góc
2.2.1 Định nghĩa
Định
nghĩa 2.2. Hai đường thẳng xx
0
và yy
0
cắt nhau và trong các góc tạo
thành có một góc vuông được gọi là hai đường thẳng vuông góc.
Kí hiệu: xx
0
⊥ yy
0
.
Lưu ý: Các phát biểu sau đây là tương đương:
• Đường thẳng xx
0
và yy
0
vuông góc với nhau tại O.
• Đường thẳng yy
0
và xx
0
vuông góc với nhau tại O.
• Hai đường thẳng xx
0
và yy
0
vuông góc với nhau tại O.
Ta thừa nhận: Có một và chỉ một đường thẳng a
0
đi qua điểm O và vuông
góc với đường thẳng a cho trước.
2.2.2 Đường trung trực của đoạn thẳng
A
A B
C
D
F
-42-
T
oán 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nguyễn Cao Cường
Định nghĩa 2.3. Đường thẳng vuông góc với một đoạn thẳng tại trung điểm
của nó được gọi là đường trung trực của đoạn thẳng ấy.
Khi d là đường trung trực của đoạn thẳng AB thì hai điểm A, B đối xứng với
nhau qua đường thẳng d.
2.2.3 Bài tập
Bài tập 2.2.1. Vẽ hình theo cách diễn đạt bằng lời sau:
Vẽ góc xOy có số đo bằng 60
0
. Lấy điểm A trên tia Ox rồi vẽ đường thẳng
a vuông góc với tia Ox tại A. Lấy điểm B trên tia Oy rồi vẽ đường thẳng b
vuông góc với tia Oy tại B. Gọi giao điểm của A và B là C. Vẽ đường trung
trực của đoạn thẳng OC.
Bài tập 2.2.2. Cho góc tù xOy. Trong đó góc xOy, vẽ Ot ⊥ Ox và Ov ⊥ Oy.
a) Chứng minh
d
xOv =
d
tOy.
b) Chứng minh hai góc xOy và tOy bù nhau.
c) Gọi Om là tia phân giác của góc xOy. Chứng minh Om là tia phân giác
của góc tOv.
Bài tập 2.2.3. Vẽ đoạn thẳng AB=4cm, đoạn thẳng BC=6cm. Vẽ đường
trung trực của các đoạn thẳng AB, BC, CA trong các trường hợp:
a) A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác.
b) Điểm B nằm giữa A và C.
Bài tập 2.2.4. a) Cho góc xOy. Vẽ góc x
0
Oy
0
là góc đối đỉnh của góc xOy
(
[
xOy
0
< 180
0
).
b) Gọi Ot, Ot
0
, Oz lần lượt là tia phân giác của các góc xOy, x’Oy’, xOy’.
Tính
d
tOz và
d
tOt
0
.
c) Vẽ tia Oz
0
sao cho hai góc xOz và x
0
Oz
0
đối đỉnh. Oz
0
có phải là tia phân
giác của góc x
0
Oy không? Vỉ sao.
Bài tập 2.2.5. Cho Ox là tia phân giác của góc vuông aOb, Ox’ là tia đối
của tia Ox.
a) Chứng minh
[
x
0
Ob =
[
x
0
Oa = 135
0
.
b) Cho Ob
0
là tia đối của tia Ob, chứng minh
\
b
0
Ox
0
=
d
aOx
Bài tập 2.2.6. Cho hai góc xOy và yOx’ là hai góc kề bù,
d
xOy = 60
0
, Ot là
tia phân giác của góc xOy. Trên nửa mặt phẳng chứa tia Oy bờ là tia Ox, ta
kẻ tia Oh vuông góc với Ox.
a) Tính góc tOh.
b) Chứng minh Oy là tia phân giác của góc hOt.
-43-
Nguyễn
Cao Cường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Toán 7
2.3 Các góc tạo bởi một đường thẳng cắt hai
đường thẳng khác
2.3.1 Lý thuyết
3
4
2
1
5
6
7
8
d
1
d
2
c
A
B
h
Ở
hình trên d
1
, d
2
gọi là các hình bị cắt, c gọi là cát tuyến.
Xét các góc
c
A
1
,
c
A
2
,
c
A
3
,
c
A
4
,
c
B
5
,
c
B
6
,
c
B
7
,
c
B
8
.
+ Góc ngoài là góc nằm ở miền ngoài (
c
A
1
,
c
A
2
,
c
B
7
,
c
B
8
), góc còn lại
(
c
A
3
,
c
A
4
,
c
B
5
,
c
B
6
) là các góc trong.
+ Các góc
c
A
1
,
c
A
4
,
c
B
5
,
c
B
8
(hoặc
c
A
3
,
c
A
3
,
c
B
6
,
c
B
7
) nằm cùng phía với các
tuyến c.
Định nghĩa 2.4. - Hai góc trong cùng phía với cát tuyến gọi tắt là hai góc
trong cùng phía.
- Hai góc trong khác phía với cát tuyến gọi là hai góc so le trong.
- Hai góc cùng phía với cát tuyến, một trong, một ngoài gọi là hai góc đồng
vị.
-44-
T
oán 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nguyễn Cao Cường
1
2
3
4
5
6
7
8
E
F
h
Tính chất 2.2. Nếu đường thẳng c cắt hai đường thẳng a, b và trong các góc
tạo thành có một cặp góc so le trong bằng nhau thì:
a) Hai góc so le trong còn lại bằng nhau;
b) Hai góc đồng vị bằng nhau.
2.3.2 Bài tập
Bài tập 2.3.1. Cho hình vẽ sau:
1
2
3
4
1
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
I
J
K
T
V
ới hình bên, hãy liệt kê các cặp góc đồng vị, so le trong, trong cùng phía.
Bài tập 2.3.2. Cho hình vẽ.
-45-
Nguyễn
Cao Cường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Toán 7
1
2
3
4
2
3
4
1
50
0
50
0
h
Hãy
tính và so sánh số đo của 2 góc so le trong bất kì, 2 góc đồng vị bất kì.
Số đo 2 góc trong cùng phía có quan hệ gì đặc biệt?
Bài tập 2.3.3. Cho hình vẽ.
1
2
3
4
23
4
1
B
h
A
Cho
biết
c
A
2
=
c
B
2
. Chứng minh rằng:
a)
c
A
4
=
c
B
2
,
c
A
1
=
c
B
3
b)
c
A
3
=
c
B
3
,
c
A
1
=
c
B
1
,
c
A
4
=
c
B
4
c)
c
A
1
+
c
B
2
= 180
0
,
c
A
4
+
c
B
3
= 180
0
Bài tập 2.3.4. Cho góc xOy, một đường thẳng cắt 2 cạnh của góc đó tại các
điểm A, B.
-46-
T
oán 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nguyễn Cao Cường
x
y
4
1
1
3
2
2
3
4
O
A
B
h
a)
Các góc
c
A
2
và
c
B
4
có thể bằng nhau không? Tại sao?
b) Các góc
c
A
1
và
c
B
1
có thể bằng nhau không? Tại sao?
2.4 Hai đường thẳng song song
2.4.1 Nhắc lại kiến thức lớp 6
Định nghĩa 2.5. - Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng không có
điểm chung.
- Hai đường thẳng phân biệt thì cắt nhau hoặc song song.
2.4.2 Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song
Tính chất 2.3. Nếu đường thẳng c cắt hai đường thẳng a, b và trong các góc
tạo thành có một cặp góc so le trong bằng nhau (hoặc một cặp góc đồng vị
bằng nhau) thì a, b song song với nhau.
Hai đường thẳng a, b song song với nhau được kí hiệu là a k b.
-47-
Nguyễn
Cao Cường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Toán 7
2.4.3 Tiên đề Ơ-clit về hai đường thẳng song song
a
C
Tính
chất 2.4. Qua một điểm ở ngoài một đường thẳng chỉ có một đường
thẳng song song với đường thẳng đó.
Tính
chất 2.5. Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì:
a) Hai góc so le trong bằng nhau.
b) Hai góc đồng vị bằng nhau.
c) Hai góc trong cùng phía bù nhau.
Từ tính chất trên, ta chứng minh được tính chất sau:
Tính chất 2.6. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường
thẳng thứ ba thì song song với nhau.
-48-
T
oán 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nguyễn Cao Cường
c
a
b
g
(
a ⊥ c
b ⊥ c
⇒ a k b
T
a cũng có:
(
a k b
c ⊥ a
⇒ c ⊥ b
Tính chất 2.7. Nếu một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường
thẳng song song thì nó cũng vuông góc với đường thẳng kia.
Tính chất 2.8. Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường
thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.
a
b
c
(
a k c
b k c
⇒ a k b
Khi
đó 3 đường thẳng a, b, c song song với nhau đôi một, ta nói ba đường
thẳng song song với nhau.
Kí hiệu a k b k c.
-49-
Nguyễn
Cao Cường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Toán 7
2.4.4 Bài tập
Bài tập 2.4.1. Với hình vẽ sau đây.
x
y
z
t
120
0
60
0
A B
i
Hãy chứng minh rằng xy k zt.
Bài tập 2.4.2. Cho hình vẽ:
80
0
30
0
70
0
B
C
A
D
Hãy
chứng minh rằng AC k BD.
Bài tập 2.4.3. Với hình vẽ sau. Cho biết:
-50-
T
oán 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nguyễn Cao Cường
1
3
2
4
1
2
3
4
a
b
M
N
c
N
1
+
c
N
4
+
c
M
1
=
228
0
và
c
N
1
=
4
11
c
N
4
Chứng
minh: a k b.
Bài tập 2.4.4. Vẽ 4ABC vuông góc tại A. Lấy điểm D trên cạnh BA, vẽ
DE⊥AB tại D (E thuộc BC).
a) Chứng minh DE k AC.
b) Vẽ Dx là tia phân giác của góc BDE và Ay là tia phân giác của góc BAC.
Chứng minh Dx k Ay.
Bài tập 2.4.5. Cho 4DEF có
b
D = 60
0
,
b
E = 60
0
. Trên tia đối của tia DE
lấy điểm G. Vẽ góc EGH so le trong với góc E và
\
EGH = 60
0
. Vẽ Dx là tia
phân giác của góc
\
GDF . Chứng minh:
a) GH k Dx.
b) Dx k EF .
Bài tập 2.4.6. Ở hình sau:
-51-
Nguyễn
Cao Cường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Toán 7
z
z
0
x
x
0
y
y
0
70
0
C
DA
B
Tính
\
AD
C.
Bài tập 2.4.7. Dựa vào hình sau:
45
0
D C
E F
BA
I
a)
Tính
[
AIC.
b) Chứng minh AB k EF
c) Tính
[
IF E.
2.5 Luyện tập chung
Bài tập 2.5.1. Xem hình sau:
-52-
T
oán 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nguyễn Cao Cường
2x + 4
o
4x +
26
o
3x − 21
o
x
y
y
0
x
0
t
t
0
A
B
i
Biết tt
0
c
ắt xx
0
, yy
0
lần lượt tại A và B. Có thể kết luận xx
0
k yy
0
không? Giải
thích?
Bài tập 2.5.2. Với các thông tin như trong hình sau với B ∈ At, hãy chứng
minh:
x
t
z
y
4x − 29
0
2x +
8
0
2x − 7
0
3x +
7
0
A
C
B
a)
Chứng minh Ax k By.
b) Chứng minh Ax k Cz.
Bài tập 2.5.3. Trong hình vẽ sau, cho biết tt
0
cắt xx
0
, yy
0
lần lượt tại M, N
và
[
tMx
0
= 30
0
,
\
MN y = 50
0
.
-53-
Nguyễn
Cao Cường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Toán 7
x
y
x
0
y
0
t
t
0
M
N
Gọi M
z và Nz
0
lần lượt là tia phân giác của các góc N Mx và MN y
0
. Chứng
minh: Mz k Nz
0
.
Bài tập 2.5.4. Xét các hình vẽ sau:
135
0
45
0
55
0
125
0
145
0
73
0
142
0
85
0
45
0
40
0
3x − 6
0
4x +
10
0
2x − 4
0
x
y
z
a
b
t
h
m
n
a)
b)
c)
d)
B
A
C
N
M
T
D
E
F
I
H
K
a)
Chứng minh Ax k Cz dựa vào các thông tin đã có trong hình a).
b) Chứng minh Ma k T b (hình b)).
c) Chứng minh Dt k F h (hình c)).
d) Tính
[
mHI, biết Hm k Kn.
Bài tập 2.5.5. Trong hình sau, cho biết
c
A
1
+
b
B +
c
C
1
= 360
0
.
-54-
T
oán 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nguyễn Cao Cường
x
y
1
1
A
C
B
Chứng
minh: Ax k Cy.
Bài tập 2.5.6. Cho tam giác ABC. Qua A vẽ a k BC. Qua B vẽ b k AC.
Chứng minh a và b cắt nhau.
Bài tập 2.5.7. Cho tam giác ABC, D là điểm nằm giữa B và C. Đường
thẳng qua D song song với AB cắt AC ở E. Đường thẳng qua D, song song
với AC cắt AB ở F.
a) Tìm cặp góc bằng nhau trong các góc đỉnh D và các góc của tam giác ABC.
Chứng minh.
b) Tính tổng số đo các góc của tam giác ABC.
Bài tập 2.5.8. Cho góc xOy khác góc bẹt có tia phân giác Ot. Từ một điểm
A trên tia Ox, vẽ tia Am k Oy (tia Am thuộc miền trong của góc xOy). Vẽ
tia phân giác An của góc xAm.
a) Chứng minh An k Ot.
b) Vẽ tia AH ⊥ Ot tại H. Chứng minh tia AH là tia phân giác của góc OAm.
Bài tập 2.5.9. Cho hình sau:
x
x
0
y
y
0
1
2
3
70
0
140
0
B
C
A
a)
Tính các góc đỉnh A biết xx
0
k BC.
b) Tia phân giác Bn của
\
ABC cắt AC ở K. Tính
[
CKn.
-55-
Nguyễn
Cao Cường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Toán 7
Bài tập 2.5.10. Cho các thông tin như trong hình sau và cho biết xx
0
k yy
0
.
x
x
0
y
y
0
45
0
60
0
50
0
A
C
B
D
Hãy
tính
[
BCy và
\
ADC.
Bài tập 2.5.11. Trong hình sau, cho mm
0
k nn
0
. Gọi Ax, Ay, Bz lần lượt là
các tia phân giác của góc BAm, BAm
0
, ABn.
m
m
0
n
n
0
t
t
0
A
B
a)
Chứng minh Ay k Bz và Ax ⊥ Bz.
b) Gọi C là giao điểm của Ax và Bz. Tính tổng số đo các góc của 4ABC.
Bài tập 2.5.12. Với các thông tin cho trong hình sau:
\
AQM = x+16
0
,
[
P Ny =
2x + 8
0
,
[
P QT = 3x − 6
0
.
a) Tính x (đơn vị: độ)
-56-
T
oán 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nguyễn Cao Cường
b) Tính
\
QP N và biểu thị
\
QP N bằng biểu thức có chứa x.
c) Biểu thị
\
MN P bằng biểu thức có chứa x.
d) Tính tổng số đo các góc của 4AM Q VÀ 4BM N.
e) Chứng minh
\
BM N =
\
AQM.
Bài tập 2.5.13. Cho hình vẽ.
x
y
90
0
M
N
A
B
C
D
Chứng
minh
[
DAx =
\
BCN .
Bài tập 2.5.14. Tìm số đo x trong các hình vẽ sau:
x
55
0
40
0
40
0
x
x
x
55
0
122
0
m
a)
b)
c)
A
B
C
E
F
D
G
H
I
Bài
tập 2.5.15. Cho 4ABC có
b
A = 70
0
,
b
C = 50
0
. Tia phân giác của góc B
cắt AC ở E. Tia phân giác của
\
BEC cắt BC ở F . Tính
\
AEB,
\
CEF .
Bài tập 2.5.16. Tính số đo các góc của các tam giác sau:
-57-
Nguyễn
Cao Cường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Toán 7
3x
2x
3x
2x
x
y
4x + 8
0
5x + 10
0
11x − 2
0
a) b)
c)
A
B C
D
E F
G
H
I
Bài
tập 2.5.17. Cho biết
\
ACB = 70
0
,
\
ACN = 30
0
. Tìm các số đo x, y, z
trong hình sau.
y
z
x
30
0
A
B C
N
H
Bài
tập 2.5.18. Tính các góc của tam giác ABC, biết:
a)
b
A lớn hơn
b
B 20
0
,
b
B lớn hơn
b
C 35
0
.
b) 15
b
A = 10
b
B = 3
b
C
c)
b
A :
b
B = 3 : 5,
b
B :
b
C = 1 : 2
Bài tập 2.5.19. Cho tam giác ABC, phân giác của góc B cắt AC ở D, phân
giác của góc C cắt AB ở E. BD cắt CE ở I.
a) Chứng minh
[
DIC nhọn.
b) Cho
[
DIC = 60
0
, tính
b
A và chứng minh các góc
\
BEC và
\
BDC bù nhau.
Bài tập 2.5.20. Cho tam giác ABC có
b
A = 90
0
và
b
B >
b
C, vẽ AH vuông
góc với BC tại H. Tia phân giác của góc HAC cắt BC ở D.
-58-
T
oán 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nguyễn Cao Cường
a) Chứng minh
\
BDA =
\
BAD.
b) Tia phân giác của góc
\
BAC cắt BC ở E, cho biết
[
AEC lớn hơn
\
AEB =
30
0
. Tính
\
ABC và
\
CAD.
-59-
| 1/59
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

NGUYỄN CAO CƯỜNG Lý thuyết và Bài tập TOÁN 7
(Dành cho học sinh khá, giỏi)
Lưu hành nội bộ - Đang chỉnh sửa Tp. Hồ Chí Minh - 8/2016 Mục lục 1 SỐ HỮU TỈ - SỐ THỰC 4 1.1
Tập hợp Q các số hữu tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.1
Số hữu tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.2
Biểu diễn các số hữu tỉ trên trục số . . . . . . . . . . . . 4 1.1.3
So sánh hai số hữu tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.4
Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2
Cộng trừ số hữu tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.1
Cộng trừ hai số hữu tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.2
Cộng và trừ số thập phân . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.3
Tổng đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.4
Quy tắc chuyển vế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.5
Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3
Nhân, chia số hữu tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3.1
Nhân hai số hữu tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3.2
Tính chất của phép nhân trong Q . . . . . . . . . . . . 13 1.3.3
Chia hai số hữu tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3.4
Chia một tổng hoặc một hiệu cho một số . . . . . . . . 14 1.3.5
Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4
Giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.4.1
Giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ . . . . . . . . . . . . 18 1.4.2
Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.5
Lũy thừa của một số hữu tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.5.1
Lũy thừa với số mũ tự nhiên . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.5.2
Các tính chất của lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2
Toán 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nguyễn Cao Cường 1.5.3
Lũy thừa của một số mũ âm . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.5.4
Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.6
Tỉ lệ thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.6.1
Định nghĩa tỉ lệ thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.6.2
Các tính chất của tỉ lệ thức . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.6.3
Số tỉ lệ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.6.4
Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.7
Số thập phân hữu hạn. Số thập phân vô hạn tuần hoàn . . . . 30 1.7.1 Tóm tắt lý thuyết
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.7.2
Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.8
Làm tròn số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.8.1 Tóm tắt lý thuyết
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.8.2
Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.9
Căn bậc hai. Số vô tỉ. Số thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.9.1 Định nghĩa căn bậc hai
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.9.2
Số vô tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 1.9.3
Số thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 1.9.4
Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2
ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG 37 2.1
Hai góc đối đỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.1.1
Lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.1.2
Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.2
Hai đường thẳng vuông góc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.2.1
Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.2.2
Đường trung trực của đoạn thẳng . . . . . . . . . . . . 40 2.2.3
Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.3
Các góc tạo bởi một đường thẳng cắt hai đường thẳng khác . . 42 2.3.1
Lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.3.2
Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.4
Hai đường thẳng song song . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.4.1
Nhắc lại kiến thức lớp 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.4.2
Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song . . . . . 45 -3-
Nguyễn Cao Cường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Toán 7 2.4.3
Tiên đề Ơ-clit về hai đường thẳng song song . . . . . . 46 2.4.4
Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.5
Luyện tập chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 -4- Chương 1 SỐ HỮU TỈ - SỐ THỰC 1.1
Tập hợp Q các số hữu tỉ . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2
Cộng trừ số hữu tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3
Nhân, chia số hữu tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4
Giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ . . . . . . . . 18 1.5
Lũy thừa của một số hữu tỉ . . . . . . . . . . . . 20 1.6
Tỉ lệ thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.7
Số thập phân hữu hạn. Số thập phân vô hạn
tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.8
Làm tròn số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.9
Căn bậc hai. Số vô tỉ. Số thực . . . . . . . . . . . 33 1.1
Tập hợp Q các số hữu tỉ 1.1.1 Số hữu tỉ
- Các phân số bằng nhau lá các cách viết khác nhau của cùng một số, số đó
được gọi là số hữu tỉ.
- Số hữu tỉ là số được viết dưới dạng phân số a với a, b ∈ b Z và b 6= 0
- Tập hợp các số hữu tỉ được kí hiệu là Q. (x là số hữu tỉ thì ghi là x ∈ Q.)
Nguyễn Cao Cường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Toán 7 1.1.2
Biểu diễn các số hữu tỉ trên trục số a
Để biểu diễn số hữu tỉ
(a, b ∈ Z; b > 0) trên trục số ta làm như sau: b 1
- Chia đoạn đơn vị [0; 1] trên trục số thành b phần bằng nhau, mỗi phần là b gọi là đơn vị mới. a - Nếu a > 0 thì số
được biểu diễn bởi một điểm nằm bên phải điểm O và b
cách điểm O một đoạn bằng a lần đơn vị mới. a - Nếu a < 0 thì số
được biểu diễn bởi một điểm nằm bên trái điểm O và b
cách điểm O một đoạn bằng |a| lần đơn vị mới. 1.1.3 So sánh hai số hữu tỉ
Để so sánh hai số hữu tỉ x, y ta thường làm như sau:
- Viết x, y dưới dạng hai phân số có cùng mẫu dương: a b x = ; y = (a; b; m ∈ Z; m > 0) m m
- So sánh hai số nguyên a và b:
• Nếu a < b thì x < y • Nếu a = b thì x = y
• Nếu a > b thì x > y
- Trên trục số, nếu x < y thì điểm x nằm bên trái điểm y.
- Số hữu tỉ lớn hơn 0 gọi là số hữu tỉ dương
- Số hữu tỉ nhỏ hơn 0 gọi là số hữu tỉ âm
- Số 0 không là số hữu tỉ dương, cũng không là số hữu tỉ âm Nhận xét: a a - Số hữu tỉ là số hữu tỉ dương > 0 nếu a, b cùng dấu. b b a a - Số hữu tỉ là số hữu tỉ âm < 0 nếu a, b khác dấu. b b - Ta có: a c >
(b; d > 0) ⇔ ad > bc (b, d > 0). b d -6-
Toán 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nguyễn Cao Cường 1.1.4 Bài tập
Bài tập 1.1.1. Điền các kí hiệu N, Z, Q vào ... (viết đầy đủ các trường hợp) a) 20000 ∈ ... d) −671 ∈ ... 4 b) ∈ ... 5 −7 −98 c) ∈ ... e) ∈ ... 1000 1
Bài tập 1.1.2. Biểu diễn các số hữu tỉ sau trên trục số 6 −15 12 ; ; 4 6 18
Bài tập 1.1.3. Viết các số hữu tỉ sau dưới dạng phân số có cùng mẫu dương: −8 −1 27 a) ; và . −70 −28 −180 18 −151515 7777 b) ; và . −45 252525 −1111
Bài tập 1.1.4. So sánh các số sau: 19019 −1919 −19 x1 = ; x2 = ; x3 = . 76076 −7676 −76 a
Bài tập 1.1.5. Cho số hữu tỉ 6= 0. Chứng minh: b a a) Nếu a, b cùng dấu thì là số dương. b a b) Nếu a, b trái dấu thì là số âm. b
Bài tập 1.1.6. So sánh các số hữu tỉ sau: −13 12 −16 −35 a) và d) và 40 −40 30 84 −5 −91 −5 −501 b) và e) và 6 −104 91 9191 −15 −36 −11 −78 c) và f) và 21 44 37.73 37.74
Bài tập 1.1.7. Sắp xếp các số hữu tỉ sau theo thứ tự tăng dần: −6 −7 −40 27 a) ; ; 0; ; . −4 9 −50 33 18 4 −14 17 −14 b) ; ; ; ; ; 0. 19 3 37 20 33 -7-
Nguyễn Cao Cường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Toán 7 a b
Bài tập 1.1.8. Giả sử x = ; y =
(a, b, m ∈ Z, m > 0) và x < y. Hãy m m a + b
chứng minh rằng nếu chọn z = thì ta có x < z < y. 2m a c a a + c c
Bài tập 1.1.9. Chứng minh rằng nếu < (b; d > 0) thì < < . b d b b + d d
Tìm 5 số hữu tỉ x sao cho: −4 −1 i) −1 < x < 0 ii) < x < 5 10
Bài tập 1.1.10. So sánh các phân số sau (không qui đồng mẫu hoặc tử) 1234 4319 −31 31317 a) và c) và 1235 4320 −32 32327 −1234 −4321 1234.1235 − 1 1235.1236 − 1 b) và d) và 1244 4331 1234.1235 1235.1236
Bài tập 1.1.11. Dựa vào tính chất bắc cầu của thứ tự: với x, y, z ∈ Q ta có: (x < y ⇒ x < z y < z Hãy so sánh: −37 −1 −18 −23 a) và e) và 946 −8 91 114 −1987 −1984 −33 53 b) và f) và −1986 −1985 131 −217 −23 −5 22 51 c) và g) và 12 2 −67 −152 −24 −23 3246 −45984 d) và h) và 25 27 −3247 45983
Bài tập 1.1.12. Tìm x ∈ Q, biết rằng x là số âm lớn nhất được viết bằng bốn chữ số 1.
Bài tập 1.1.13. Tìm phân số có mẫu bằng 10, biết rằng giá trị của nó lớn −3 −3 hơn và nhỏ hơn . 4 5 x 5 x + 2
Bài tập 1.1.14. Tìm x ∈ Z biết rằng < < . 5 4 5 -8-
Toán 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nguyễn Cao Cường
Bài tập 1.1.15. Tìm hai phân số có mẫu bằng 9, tử là hai số tự nhiên liên 4
tiếp sao cho trên trục số điểm biểu diễn phân số bằng nằm giữa các điểm 7
biểu diễn của hai phân số phải tìm.
Bài tập 1.1.16. Tìm phân số có tử bằng 9, biết rằng giá trị của nó lớn hơn −11 11 và nhỏ hơn . 13 −15
Bài tập 1.1.17. Chứng minh rằng nếu cộng cả tử và mẫu của một phân số
nhỏ hơn 1 và mẫu đều dương, với cùng một số nguyên dương thì giá trị của phân số tăng thêm.
Bài tập 1.1.18. So sánh các phân số sau (n là số tự nhiên): n n + 2 n 2n a) và b) và 2n + 3 2n + 1 3n + 1 6n + 1
Bài tập 1.1.19. Với giá trị nào của a thì số hữu tỉ x là số dương? là số âm?
là số không âm không dương? a − 4 a2 + 9 a) x = d) x = 4 −7 a + 7 b) 5 a − 4 a − 6 c) e) x = a2 a − 11
Bài tập 1.1.20. So sánh các phân số: 35420 25343 512 + 1 511 + 1 a) và b) và 35423 25345 513 + 1 512 + 1
Bài tập 1.1.21. Tìm tất cả các số nguyên x để các phân số sau có giá trị là số nguyên: x + 1 x − 2 a) A = d) D = x − 2 2x − 3 2x − 1 3x − 4 b) B = e) E = x + 5 2x − 3 10x − 9 x2 − 4x − 4 c) C = f) F = 2x − 3 x − 7 x − 1 3
Bài tập 1.1.22. Tìm các cặp số nguyên (x; y) sao cho: = . 5 y + 4 -9-
Nguyễn Cao Cường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Toán 7
Bài tập 1.1.23. So sánh hai số sau: 2014 2015 2016 2017 1 1 A = − + − và B = − − 2015 2016 2017 2018 2014.2015 2016.2017 1.2 Cộng trừ số hữu tỉ 1.2.1
Cộng trừ hai số hữu tỉ
Để cộng trừ hai số hữu tỉ x và y, ta làm như sau:
- Viết x, y dưới dạng hai phân số có cùng mẫu dương (qui đồng mẫu số dương). a b x = ; y = (m > 0) m m
- Thực hiện phép cộng, trừ; (cộng, trừ tử và giữ nguyên mẫu chung). a b a + b x + y = + = m m m a b a − b x − y = − = m m m Chú ý:
1) Rút gọn các phân số trước khi tính.
2) Trong tập hợp Q, phép cộng cũng có tính chất giao hoán, kết hợp, cộng
với số 0 như trong tập hợp Z.
3) Mỗi số hữu tỉ x đều có một số đối; kí hiệu là −x, sao cho: x + (−x) = 0 a a Số đối của là −x = − . b b a −a a Vậy − = =
nên người ta thường viết các số hữu tỉ âm với dấu trừ b b −b trước phân số. 1.2.2
Cộng và trừ số thập phân
Trong thực hành khi cộng, trừ hai số hữu tỉ viết dưới dạng số thập phân, ta
cộng theo qui tắc công hai số nguyên.
Ví dụ 1.2.1. −3, 12 + 1.07 = −2.05 -10-
Toán 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nguyễn Cao Cường 1.2.3 Tổng đại số
Một dãy các phép cộng, trừ các số hữu tỉ được gọi là một tổng đại số. Trong
tổng đại số các số hữu tỉ, ta có thể:
1. Đổi chỗ một cách tùy ý các số hạng kèm theo dấu của chúng.
2. Đặt dấu ngoặc để nhóm các số hạng một cách tùy ý nhưng chú ý rằng nếu
trước dấu ngoặc là dấu “−” thì phải đổi dấu các số hạng trong ngoặc. 1.2.4 Quy tắc chuyển vế
Khi chuyển một số hạng từ vế này sang vế kia của một đẳng thức, ta phải đổi dấu số hạng đó.
Với mọi x, y, z, t ∈ Q, ta có:
x + y = z − t ⇒ x + t = z − y 1.2.5 Bài tập
Bài tập 1.2.1. Thực hiện phép tính: 13 1 2 −1 1 1 a) − b) − c) −3 − 2 30 5 21 28 2 4 −8
Bài tập 1.2.2. Tìm ba cách viết số hữu tỉ
dưới dạng hiệu của một số 15
hữu tỉ âm và một số hữu tỉ dương. Bài tập 1.2.3. Tính: 1 1 1 2 4 1 a) − + d) + − + − 2 3 10 5 3 2 1 1 1 b) − − + 12 6 4 1 1 1 1 1 5 1 3 c) − + + e) − − − + 12 3 23 6 3 4 4 8
Bài tập 1.2.4. Tìm x, biết 1 1 1 2 1 a) x − = c) x + = − − 5 10 3 5 3 −2 −3 3 1 1 3 b) − x = d) − x = − − − 15 10 7 4 4 5 -11-
Nguyễn Cao Cường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Toán 7
Bài tập 1.2.5. Tính giá trị của biểu thức: 1 2 1 6 7 3 a) A = 3 − + − 5 + − − 6 − + . 4 3 3 5 4 2 1 3 3 1 2 1 1 b) B = − − − + − − + 3 4 5 64 9 36 15 1 3 5 7 9 11 13 11 9 7 5 3 1 c) C = − + − + − + + − + − + − 3 5 7 9 11 13 15 13 11 9 7 5 3 1 1 1 1 1 1 d) D = − − − − ... − − 99 99.98 98.97 97.96 3.2 2.1
Bài tập 1.2.6. Tìm phần nguyên của số hữu tỉ x, biết: −3 −9 a) x = b) x = 7 5 1 c) x − < −2 < x d) x < −3 < x + 0, 5 4 Bài tập 1.2.7. Tính: 3 −10 −6 1 1 1 1 a) −3 + + f) −1 + − + − 4 25 12 3 9 27 81 2 8 7 1 5 2 1 b) 4 − 1 − g) − − − + + − 5 3 12 5 6 3 5 −5 5 1 16 27 14 5 c) + 1 − 2, 25 h) + + − − 12 18 2 21 13 13 21 −4 16 7 1 1 d) −0.6 − − i) 7 + − + 3 − + 5 9 15 12 2 12 2 3 1 1 11 5 −7 8 10 e) −1 + − + 2 j) − − − + 3 4 2 6 25 13 17 13 17 Bài tập 1.2.8. Tính: 1 1 1 1 a) + + + ... + 1.2 2.3 3.4 1999.2000 1 1 1 1 b) + + + ... + 1.4 4.7 7.10 100.103 1 1 1 1 1 c) − − − − ... − − 2000.1999 1999.1998 1998.1997 3.2 2.1 −1 −1 −1 −1 −1 d) + + + + ... + 3 15 35 63 9999 1 1 1 1 1 e) 1 − − − − ... − − 2.5 5.8 8.11 89.92 92.95
Bài tập 1.2.9. Tìm x, biết: -12-
Toán 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nguyễn Cao Cường 17 7 7 1 a) − x − = c) 2x − 3 = x + 6 6 4 2 4 1 b) + (1, 25 − x) = 2, 25 d) 4x − (2x + 1) = 3 − + x 3 3 1 1 1 1 1 e) 2x − − − − ... − = 7 − + x 2 6 12 49.50 50
Bài tập 1.2.10. Tìm tập hợp các số nguyên x, biết: 1 1 1 1 1 1 a) − + < x < − − 2 3 4 48 16 6 1 8 x 3 5 b) + ≤ < 1 − − 4 9 36 8 6 3 7
Bài tập 1.2.11. Tính tổng các phân số lớn hơn nhưng nhỏ hơn và có 5 10 mẫu 30. 1 2
Bài tập 1.2.12. Tính tổng các phân số lớn hơn nhưng nhỏ hơn và có 6 9 tử là 2.
Bài tập 1.2.13. Tìm các số nguyên x, y, biết rằng: 3 1 y x 1 1 2 y 1 a) + = b) − = c) + = x 3 3 6 6 2 3x 6 2
Bài tập 1.2.14. Chứng minh các đẳng thức sau: 1 1 1 a) = − a(a + 1) a a + 1 2 1 1 b) = − a(a + 1)(a + 2) a(a + 1) (a + 1)(a + 2)
Bài tập 1.2.15. Tìm các cặp số nguyên (a; b) sao cho: b 1 1 a 1 3 a) + = b) − = 5 10 a 4 2 b
Bài tập 1.2.16. Tìm các số hữu tỉ x, y, z thõa mãn các điều kiện: −7 1 1 x + y = ; y + z = và x + z = 6 4 12 Bài tập 1.2.17. Rút gọn: 212.35 − 46.92 510.73 − 255.492 A = − (22.3)6 + 84.35 (125.7)3 + 59.(14)3 -13-
Nguyễn Cao Cường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Toán 7 2n − 1
Bài tập 1.2.18. Cho phân số A = . n − 3
a) Tìm số nguyên n để A đạt giá trị nguyên.
b) Tìm số nguyên n để A có giá trị lớn nhất. 6n + 7
Bài tập 1.2.19. Cho phân số B = 2n + 3
a) Tìm số nguyên n để B có giá trị nguyên.
b) Tìm số nguyên n để B có giá trị nhỏ nhất 1 1 1 1 Bài tập 1.2.20. Cho C = + + + ... + . Chứng minh rằng C 11 12 13 19
không phải là số nguyên. 1 1 1 1 Bài tập 1.2.21. Cho D = 2 + + + ... + , với n ∈ ∗ N . 3 15 35 n(n + 2)
Chứng minh rằng D không phải là số nguyên. 1 1 1 2 2 2 Bài tập 1.2.22. Cho E = + + + + + . Chứng minh rằng E 3 4 5 7 9 11
không phải là số nguyên.
Bài tập 1.2.23. Cho 31 số nguyên, trong đó tổng của 3 số bất kì là 1 số
dương. Chứng minh rằng tổng của 31 là số dương.
Bài tập 1.2.24. Cho 100 số hữu tỉ bất kì, trong đó 3 số nào bất kì cũng có tổng là một số âm.
a) Chứng minh rằng tổng của 100 số đó là một số âm.
b) Có thể khẳng định rằng tất cả 100 số đó đều âm hay không? 1.3 Nhân, chia số hữu tỉ 1.3.1 Nhân hai số hữu tỉ a c
Tích của hai số hữu tỉ x = ; y =
được xác định như sau: b d a c ac x.y = . = , với b, d 6= 0 b d bd Chú ý:
1) Thu gọn kết quả trong quá trình tính nhân.
2) Khi nhân nhiều số hữu tỉ thì kết quả:
Có dấu “+” nếu thừ số âm chẵn. -14-
Toán 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nguyễn Cao Cường
Có dấu “−” nếu số thừa số âm lẻ.
3) Khi nhân hai số thập phân, trong thực hành ta áp dụng theo qui tắc nhân hai số nguyên. 1.3.2
Tính chất của phép nhân trong Q
Trong tập hơp Q, phép nhân cũng có tính chất giao hoán, kết hợp, nhân với 1 như trong tập hợp Z. Chú ý: 1) x.0 = 0.x = 0, ∀x ∈ Q.
2) Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng: ∀x, y, z ∈ Q, ta có:
x(y + z) = xy + xz = yx + zx = (y + z)x
x(y − z) = xy − xz = yx − zx = (y − z)x 3) Đặt thừa số chung:
xa − xb + xc = x(a − b + c) 1.3.3 Chia hai số hữu tỉ a c Với x = , y = (y 6= 0), ta có: b d a c a d ad x : y = : = . = b d b c bc Chú ý: 1 1
1) Mỗi số hữu tỉ y 6= 0 đều có một số nghịch đảo là , y. = 1 . Số nghịch y y a b đảo của là (với a, b 6= 0). b a
2) Thương của phép chia số hữu tỉ x cho số hữu tỉ y 6= 0 gọi là tỉ số của hai x số x và y; kí hiệu là hay x : y. y −0, 2
Ví dụ 1.3.1. Tỉ số của hai số −0.2 và 1, 25 viết là hay −0, 2 : 1, 25. 1, 25 3) Chia hai số thập phân:
x : y = |x| : |y| nếu x, y cùng dấu.
x : y = −(|x| : |y|) nếu x, y khác dấu. -15-
Nguyễn Cao Cường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Toán 7 1.3.4
Chia một tổng hoặc một hiệu cho một số x + y x y ∀x, y ∈ Q, z 6= 0; = + z z z x − y x y = − z z z 1.3.5 Bài tập
Bài tập 1.3.1. Thực hiện phép tính: 2 5 1 2 1 5 a) −6. − .0, 25 h) + 2 .1 − . 3 8 4 3 4 6 15 −7 2
i) 4, 1.3, 5 + 4, 1.7, 5 − 4, 1 b) − . . −2 . 4 15 3 1 2 1 3 5 1 1 −9 1 2 j) . + .1 − . c) −2 . . −1 . 1998 7 1998 7 1998 7 5 11 14 5 k) −2 + 3 : 4 + −1 + 4 : 4 1 1 2 2 3 7 5 3 7 5 d) −5 . − − . − 2 2 3 3 5 1 5 5 1 2 l) : − + : − 1 8 3 2 −3 9 11 22 9 15 3 e) 1 . − − + . 4 15 5 5 4 11 18 35 49 28 − − m) + . 8 30 35 54 18 48 f) (−0, 125).(−16). − .(−0, 25) 9 −23 −13 70 125 g) −0, 25.(−1, 25).(−32) n) . . : 39 56 23 75 1 1 2 2 3 o) 18 − (0, 06 : 7 + 3 .0, 38) : 19 − 2 .4 6 2 5 3 4 212.35 − 46.92 510.73 − 255.492 p) − (22.3)6 + 84.35 (125.7)3 + 59.143 2 3 193 33 7 11 2001 9 q) − . + : + . + 193 386 17 34 2001 4002 25 2 Bài tập 1.3.2. Tính: 7 2 4 3 2 8 4 a) : (−14) − −2 : −1 b) − + 5 : −25 + 24 13 9 9 7 3 21 21 -16-
Toán 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nguyễn Cao Cường 5 1 1 5 9 2 c) − − : 1 . + g) 3 + 3 4 5 8 4 3 1 + 1 1 5 5 1 9 2 − 2 d) 1 : + − − . 3 + 5 8 3 4 4 1 + 3 1 2 e) 1 − 1 : 2 + 1 : 1 − k) 1 − 2 2 1 + 2 2 1 − 2 f) 3+2 : 1 + 3 : 2 − 1 : 3 + 1 + 1 − 3 1 − 2
Bài tập 1.3.3. Tính các tổng sau: 1 1 1 1 a) + + + ... + (a ∈ ∗ N ) 3 6 12 a(a + 1) 1 1 1 1 b) + + + ... + (a ∈ ∗ N ) 1.2.3 2.3.4 3.4.5 a(a + 1)(a + 2)
Bài tập 1.3.4. Tìm x, biết: 1 2 7 1 2 2 1 1 a) − + x + = e) x − = x − 10 5 20 10 3 5 2 3 1 1 1 1 2 b) + : x = − f) x + (x + 1) = 0 3 2 5 3 5 2 5 7 2 1 3 1 c) − : x + = − g) − x − − (2x + 1) = 5 3 8 12 3 3 2 2 1 1 1 3 11 7 3 61 x d) x + 2 = 3 x − h) − + x . = + 2 2 2 4 15 9 8 90 3
Bài tập 1.3.5. Tìm x, biết: 6 9 3 4 8 a) 5 x + 8 x + 2 = 3 x − 11 11 11 11 11 15 15 15 15 1 b) 3x − − − − ... − = 2 5.8 8.11 11.14 47.50 20 3 2 11 1111 111111 c) x − 14 : + + = 12 4 3 15 3535 636363 1 1 1 1 125 d) + + + ... + = (x ∈ ∗ N ) 1.4 4.7 7.10 x(x + 3) 376 1 1 1 1 1 1 e) + + + + ... + = (x ∈ ∗ N ) 3 6 10 15 x(2x + 1) 10 1 1 1 1 2 11 f) + + + + ... + = (x ∈ ∗ N ) 15 21 28 36 x(x + 1) 40 -17-
Nguyễn Cao Cường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Toán 7 a + b 3 + d
Bài tập 1.3.6. Cho a + b + 3 + d 6= 0 và = . Tìm a. b + 3 d + a
Bài tập 1.3.7. Đặt thừa số chung (viết tổng thành tích): a) ab − 2b − 3a + 6 b) a − by − ay + bx c) ax + by − ay − bx d) a2 − (b + c)a + bc
e) (3a − 2)(4a − 3) − (2 − 3a)(3a + 1)
f) ax + ay + az − bx − by − bz − x − y − z Bài tập 1.3.8. Tính nhanh:
120 − (−0, 5).(−40).(−5).(−0, 2).20.0, 25 a) 5 + 10 + 15 + ... + 1995 5.18 − 10.27 + 15.36 b) 10.36 − 20.54 + 30.72 1 1 1 1 c) − 1 − 1 − 1 .... − 1 2 3 4 1999 1 1 1 1 d) −1 . −1 . −1 ... −1 2 3 4 1999 −6 6 6 1 1 1 + − + − e) 7 19 31 f) 6 51 39 9 9 9 1 1 1 − + − + 7 19 31 8 52 68 1 1 0, 5 + − 0, 2 − 0, 2 + 0, 125 g) 3 + 7 0, 75 + 0, 5 − 0, 3 3 − 0, 6 + 0, 375 7
Bài tập 1.3.9. Tìm các giá trị của x, biết: a) 12x + 5 > 4x + 16
b) 6(x − 2) − 3(x − 1) > 0 x − 7 c) < 0 d) (x − 1)(x − 3) < 0 2 1 x − 1 e) (x − 1)(x + ≥ 0 f) ≤ 0 2 x + 1
Bài tập 1.3.10. Cho A = x(x − 4). Với giá trị nào của x thì: A = 0; A < 0; A > 0 x − 3 Bài tập 1.3.11. Cho B =
. Với giá trị nào của x thì: x B = 0; B < 0; B > 0
Bài tập 1.3.12. Tính các tích sau với n ∈ N, n ≥ 2. -18-
Toán 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nguyễn Cao Cường 1 1 1 1 a) 1 − 1 − 1 − ... 1 − 2 3 4 n 1 1 1 1 b) 1 + 1 + ... 1 + 2 3 4 n 1 1 1 1 c) 1 − 1 − 1 − ... 1 − 22 32 42 n2
Bài tập 1.3.13. Tính giá trị của biểu thức: 1 1 1 1 1 1 1 : −1 : 1 : −1 : 1 : −1 : ... : −1 2 2 3 4 5 6 100
Bài tập 1.3.14. Tìm các số hữu tỉ x, y, z thõa mãn các điều kiện: 1 −2 −3 xy = ; yz = và xz = 3 5 10 −3 x − 2
Bài tập 1.3.15. Tìm các số nguyên x sao cho tích của và là x + 1 2 một số nguyên. a 15 a
Bài tập 1.3.16. Tìm phân số lớn nhất sao cho khi chia cho hoặc b 16 b 9 a chia cho
được mỗi thương là một số tự nhiên. 10 b
Bài tập 1.3.17. Biết C = (x − 1)(x + 2)(3 − x). Tìm x sao cho C < 0.
Bài tập 1.3.18. Biết D = (x2 − 1)(16 − x2). Tìm x sao cho D ≥ 0. 4
Bài tập 1.3.19. Cho hai số hữu tỉ có tổng bằng và tích của chúng bằng 33
−4 . Tính tổng các số nghịch đảo của hai số đó. 11
Bài tập 1.3.20. Viết 1999 số hữu tỉ trên một đường tròn, trong đó tích hai 1 số cạnh nhau luôn bằng . Tìm các số đó. 9
Bài tập 1.3.21. Tìm hai số hữu tỉ x và y sao cho: a) x + y = xy = x : y (y 6= 0)
b) x − y = xy = x : y (y 6= 0)
c) x + y = xy = x − y = x : y (y 6= 0)
Bài tập 1.3.22. Cho 100 số hữu tỉ bất kì, trong đó 3 số nào bất kì cũng có tích là một số âm.
a) Chứng minh rằng tích của 100 số đó là một số dương.
b) Có thể khẳng định rằng tất cả 100 số đó đều âm hay không? -19-
Nguyễn Cao Cường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Toán 7
Bài tập 1.3.23. Cho 4 số hữu tỉ a, b, c, d biết a < b < c < d. So sánh các số sau:
x = (a + b)(c + d); y = (a + c)(b + d); z = (a + d)(b + c) 1.4
Giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ 1.4.1
Giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ
- Giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ x, kí hiệu là |x|, là Khoảng cách từ điểm
x tới điểm O trên trục số. - Nếu x > 0 thì |x| = x. Nếu x = 0 thì |x| = 0 Nếu x < 0 thì |x| = −x
-Định nghĩa trên có thể viết như sau: (x nếu x ≥ 0 |x| = −x nếu x < 0 1.4.2 Bài tập
Bài tập 1.4.1. Tìm x, biết: 1 5 3 a) |x + | = 0 h) | − 2 : x + | = 3 6 4 3 5 b) |x| − = 5 3 5 9 i) |x : − − | = 2 6 4 3 1 c) |x + | = 4 2 5 5 5 j) − : | − : x| = − 5 7 12 6 9 d) | − x| − = 0 18 24 2 1 5 1 3 2 1 k) ||x : − − | + |. = e) − | − x| = 6 3 2 6 2 4 5 2 3 5 7 l) |x| = x + 2 f) | − x| + = 8 6 4 m) |x − 1| = x 2 3 8 −8 g) | − .x + |. − = 3 8 5 15
n) |x − 1| + |x + 1| = 2x − 3 -20-
Toán 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nguyễn Cao Cường
Bài tập 1.4.2. Tìm x để các biểu thức sau có giá trị nhỏ nhất, giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu? 2 1 a) A = |x + | b) B = |x| + 3 2 1 2 b) C = |x − | + 3 d) D = |x − | − 4 2 3 2 1 3 5 e) E = |x − | − 4 − f) F = | − x + | − 7 3 2 8 6
Bài tập 1.4.3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức. 5 2 a) A = 2 − |x + | b) B = 5 − | − x| 6 3
Bài tập 1.4.4. Tìm x, y, z ∈ Q, biết: 1 3 a) |x + | + |y − | + |z − 1| = 0 2 4 3 2 b) |x − | + | − y| + |x − y + z| = 0 4 5 2 3 5 c) |x − | + |x + y + | + |y − z − | = 0 3 4 6 1 3 d) |x − | + |xy − | + |2x − 3y − z| = 0 2 4 2 5 3 e) |x − | + |xy − | + |yz + | ≤ 0 3 8 4 2 8 3 f) |xy + | + |yz − | + |zx + | = 0 3 9 4
Bài tập 1.4.5. Tìm các số hữu tỉ x sao cho: a) |x − 2| < 3 b) |5 − x| ≤ 3 c) |x + 1| > 2 d) |x| > x 1.5
Lũy thừa của một số hữu tỉ 1.5.1
Lũy thừa với số mũ tự nhiên
Với x ∈ Q, n ∈ N và n > 1, ta có: - xn = x.x.x...x | {z } n chữ x a a n an - Nếu x = thì xn = = (b 6= 0) b b bn - x0 = 1 (với x 6= 0) - x1 = x (với x 6= 0) -21-
Nguyễn Cao Cường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Toán 7
. Chú ý: xn gọi là một lũy thừa, x gọi là cơ số, n gọi là số mũ của lũy thừa. - 1n = 1, 0n = 0 (n 6= 0)
- Lũy thừa bậc chẵn của một số âm là một số dương.
- Lũy thừa bậc lẽ của một số âm là một số âm. a a n an - Nếu x =
(a, b ∈ Z, b 6= 0) ta có: xn = = b b bn 1.5.2
Các tính chất của lũy thừa
Tích của hai lũy thừa cùng cơ số xn.xm = xm+n
Thương của hai lũy thừa cùng cơ số khác 0
xm : xn = xm−n (x 6= 0, m ≥ n) hoặc xm = xm−n xn
Lũy thừa của một lũy thừa (xm)n = xm.n Lũy thừa của một tích
Lũy thừa của một tích bằng tích các lũy thừa: (x.y)n = xn.yn
Lũy thừa của một thương
Lũy thừa của một thương bằng thương các lũy thừa: x n xn = (y 6= 0) y yn -22-
Toán 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nguyễn Cao Cường 1.5.3
Lũy thừa của một số mũ âm Với x ∈ ∗ Q, n ∈ N ⇒ −n < 0 Ta có: 1 x−n = xn 1.5.4 Bài tập Bài tập 1.5.1. Tính:
a) (−0, 4)2 − (−0, 4)3.(−3) 3 2 3 2 b) 1 − 1 + (−0, 1031)0 4 4 2 3 3 2 2 3 c) − 4. −1 + − 3 4 3 17 7 17 6 d) (−0, 5)5 : (−0, 5)3 − : 2 2
e) (−2, 7)45 − (−2, 7)210 " 1 7 1 9 1 3#5 f) − . − : − + (−2)12.(−2)3 : (−2)15 3 3 3 g) (814 : 412) : (166 : 82) h) (95.32) : (275 : 81) 1 7 903 k) .77 − 7 153
l) (7904 : 794) − (0, 125)3.512.(−1)10 32 m) + (0, 25)4.1024.(−1)11 (0, 375)2 3 21 9 6 n) : 7 49 1 −1 6 0 1 2 o) − − + : 2 3 7 2
Bài tập 1.5.2. Viết các biểu thức số sau dưới dạng lũy thừa (an), với a ∈ Q, n ∈ Z. -23-
Nguyễn Cao Cường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Toán 7 1 1 −2 3 −2 a) . .9.33 c) 25.32 81 3 2 d) (3−2)−2.3−5.27 1
e) 99 + 1; 9999 + 1; 999...9 +1 b) (25.4) : 23. | {z } 16 m chữ số 9
Bài tập 1.5.3. Tính giá trị của các biểu thức: 317.8111 210.331 + 240.36 a) c) 2710.915 211.331 + 241.36 92.211 b)
d) a.(−b)(−a)2(−b)3(−a)3(−)4 162.63
e) −(−a)3 (−a2)3. (−b)23 . −(−b)4 Bài tập 1.5.4. Tính nhanh:
a) A = (−1)2n.(−1)n.(−1)n+1, n ∈ N
b) B = (10000 − 12)(10000 − 22)(10000 − 32)...(10000 − 10002) 1 1 1 1 1 1 1 1 c) C = − − − ... − 125 13 125 23 125 33 125 253
d) D = 1999(1000−12)(1000−22)(1000−32)...(1000−103)
Bài tập 1.5.5. Chứng minh rằng:
a2 − b2 = (a − b)(a + b), a, b ∈ Q Áp dụng tính:
a) 1002 − 992 + 982 − 972 + 962 − 952 + ... + 22 − 12
b) (302 + 282 + 262 + ... + 42 + 22) − (292 + 272 + 252 + ... + 33 + 12)
Bài tập 1.5.6. Tính các số a, b, c, biết:
a) a(a − b) = 24 và b(a − b) = −40 −1 1 −3 b) a.b = , b.c = , c.a = 3 2 8
Bài tập 1.5.7. Chứng minh rằng:
a) (x2 − y2)1999 = (xy)1999(x − y)1999 (54 − 53)3 64 b) = 1254 125 93 1 c) = (34 − 33)3 4
Bài tập 1.5.8. Tìm x, biết: -24-
Toán 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nguyễn Cao Cường −5 10 −5 8 d) (x + 5)3 = −27 a) : x = 9 9 e) (2x − 3)3 = −64 −5 8 −9 8 f) (2x − 3)2 = 25 b) x : = 9 5 g) (3x − 4)2 = 36 c) x3 = −8 h) (2x + 5)4 = 4096
Bài tập 1.5.9. Tìm x ∈ Z, biết: a) 2x+1 = 64 1 e) (−0, 5)3x = 64 b) 5x+1 = 625 f) 3x+1 + 3x+3 = 810 27 c) = 3 g) 8x.16−2x = 45 3x −32
h) (nx)2 = n14, n ∈ N, n 6= 0, n 6= d) = 4 (−2)x 1
Bài tập 1.5.10. Tìm x, y, z, biết:
a) (x − 1)2 + (2x − y − 3)2 + (y + z)2 = 0
b) (2x + 3)1998 + (3y − 5)2000 ≤ 0
c) (x − y − 7)2 + (4x − 3y − 24)2 = 0 Bài tập 1.5.11. So sánh: a) 230 và 320 f) (−16)11 và (−32)9 b) 5300 và 3500 g) 9920 và 999910 c) 224 và 316 d) (0, 3)40 và (0, 1)20 h) (22)3 và 223 1 4 1 4 e) và 2 4 i) 232 và 223
j) 230 + 330 + 430 và 320 + 620 + 820 k) 230 + 330 + 430 và 3.2410
l) 20 + 21 + 22 + ... + 250 và 251
Bài tập 1.5.12. Tìm chữ số tận cùng của: -25-
Nguyễn Cao Cường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Toán 7 a) 425 e) 72000 b) 229 f) 61999.19990 c) 92001 d) 31999 g) 1411 + 1511 + 1611 + 1711
Bài tập 1.5.13. Chứng minh rằng: . . a) 76 + 75 − 74 .. 55 d) 109 + 108 + 107 ..555 . 911 − 910 − 99 b) 817 − 279 + 329 .. 33 e) ∈ N 639 . . c) 812 − 233 − 230 ..55 f) 817 − 279 − 913 .. 45
Bài tập 1.5.14. Cho biết: 12 + 22 + 32 + ... + 102 = 385. Tính tổng:
S = 22 + 42 + 62 + ... + 202 và T = (0, 2)2 + (0, 4)2 + (0, 6)2 + ... + 22
Bài tập 1.5.15. Tìm số nguyên n biết 2.22.23.24....2n = 1024
Bài tập 1.5.16. Cho A = 2 + 22 + 23 + ... + 2100. Chứng minh A chia hết cho 2, 30.
Bài tập 1.5.17. Cho A = 5 + 52 + 53 + ... + 5100. Chứng minh A chia hết cho 5, 6, 31.
Bài tập 1.5.18. Tìm x, y ∈ N để: a) 27 < 3x < 3.81
b) 32 ≤ 2x ≤ 22x−3.28−2x
c) 415.915 < 2x.3x < 1816.216 d) 2x+1.3y = 12x e) 6x : 22000 = 3y (−3)x.36 f) = −3 −27.9x -26-
Toán 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nguyễn Cao Cường 1.6 Tỉ lệ thức 1.6.1
Định nghĩa tỉ lệ thức
Tỉ lệ thức là đẳng thức giữa hai tỉ số: a c = b d a c Ta viết: = hoặc a : b = c : d. b d 1.6.2
Các tính chất của tỉ lệ thức 1) Từ tỉ lệ thức: a c = ⇒ ad = bc b d a c bc ad ad bc 2) = ⇒ a = ; c = ; b = ; d = với a, b, c, d 6= 0 b d d b c a
3) Đẳng thức: ad = bc a, b, c, d 6= 0 ta có tỉ lệ thức: a c a b d c d b ad = bc ⇒ = ; = ; = ; = b d c d b a c a a c Trong tỉ lệ thức =
ta có thể đổi chỗ các thành phần a với d và b với c b d cho nhau.
4) Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau a c a c a + c a − c = ⇒ = = = b d b d b + d b − d Mở rộng: a c e a + c + e a − c + e = = = = b d f b + d + f b − d + f a c e ma + nc + pe = = = b d f mb + nd + pf
Giả thuyết các tỉ số đều có nghĩa. 1.6.3 Số tỉ lệ
Khi nói các số x, y, z tỉ lệ với các số a, b, c nghĩa là ta có: x y z = = hoặc x : y : z = a : b : c a b c -27-
Nguyễn Cao Cường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Toán 7 1.6.4 Bài tập
Bài tập 1.6.1. Thay tỉ số giữa các số hữu tỉ bằng tỉ số giữa các số nguyên: a) 0, 7 : 1, 5 2 d) : 0, 42 7 1 3 b) 2 : 5 4 a c ∗ c) 3 : 0, 02 e) : , a, b, c, d ∈ Z b d
Bài tập 1.6.2. Các tỉ số sau đây có lập thành tỉ lệ thức không? 15 31 1 1 a) và c) 2 : 7 và 3 : 13 21 42 3 4 4 3 b) : 8 và : 6 8 5
Bài tập 1.6.3. Có thể lập được tỉ lệ thức từ các số sau hay không? a) −5; 9; 18; −10 c) 6; 9; 1, 2; 1; 8
Bài tập 1.6.4. Lập tất cả các tỉ lệ thức từ:
a) −1, 2.6, 4 = 16.(−0, 48) 7 0, 8 b) = 21 2, 4
c) Lập tất cả các tỉ lệ thức từ các số sau: −3; −7; 24; 56
Bài tập 1.6.5. Tìm x, biết: a) x : 8 = 7 : 4 3 x + 4 h) = x − 4 3 7 b) 2, 5 : 7, 5 = x : 9 x + 2 3 i) = x + 6 x + 1 2 7 c) 2 : x = 1 : 0, 02 3 9 x − 3 1 j) =
d) (x + 1) : 0, 75 = 1, 4 : 0, 25 7 − 5x x − 2 x − 1 6 x + 2 1 e) = m) = x − 5 7 2 1 − x x2 24 x x + 5 f) = n) = 6 25 x + 1 x + 7 x + 2 1 x + 7 x − 1 g) = p) = 5 x − 2 x + 4 x − 2 -28-
Toán 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nguyễn Cao Cường a c
Bài tập 1.6.6. Cho tỉ lệ thức: = , chứng minh rằng: b d a + b c + d 3a + 5b 3c + 5d a) = f) = b d 2a − 7b 2c − 7d a − b c − d b) = b d (a + b)2 ab g) = a + c b + d (c + d)2 cd c) = c d a − c b − d a2 + b2 ab d) = h) = a b c2 + d2 cd a − b 2000 22000 + b2000 i) = c − d c2000 + d2000
Bài tập 1.6.7. Tìm các số x, y, z, biết: x 7 a) = và x + y = 60 y 13 x 9 b) = và y − x = 120 y 10 x y z c) = = và x + y + z = 92 30 10 6 x y z d) = = và x + y + z = 81 2 3 4 x y z e) = = và y − x = 4 4 12 15 x y f) = và 2x + 5y = 10 3 4 x 3 g) = và −3x + 5y = 33 y 4
h) 8x = 5y và y − 2x = −10 2x 3y i) = và x + y = 29 5 7 x y z j) = = và 2x + y + z = 15, 5 9 6 7 x y z k) = = và 4x + 3y − 2z = 52 3 8 5 x z l) = y = và −x − y + 2z = 160 5 −2 2x 4y 3z m) = = và x + y + z = 39, 5 3 3 10 x2 y2 n) = và x2 + y2 = 100 9 16 -29-
Nguyễn Cao Cường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Toán 7 x y o) = và x.y = 12 3 4 x y p) = và x.y = 54 2 3 x y q) = và x2 − y2 = −4 3 5 x y y z r) = ; = và x + y − z = −39 2 3 5 4 x y y z s) = ; = và 2x − 3y + z = 6 3 4 3 5
t) 2x = 3y; 5y = 7z và 3x − 7y + 5z = 30
u) 3x = 2y; 7y = 5z và x − y + z = 32 4x 3y 4y 5z v) = ; = và 2x − 3y + 4z = 5, 34 5 2 5 3 x − 1 y − 2 z − 3 x) = = và 2x + 3y − z = 50 2 3 4
Bài tập 1.6.8. Tìm các số a1, a2, a3, ..., a9, biết a1 − 1 a2 − 2 a3 − 3 a9 − 9 = = = ... =
và a1 + a2 + a3 + ... + a9 = 90 9 8 7 1
Bài tập 1.6.9. Tìm x, biết rằng 1 + 2y 1 + 4y 1 + 6y = = 18 24 6x a b c Bài tập 1.6.10. Cho = = , chứng minh rằng: x y z a + 2b − 3c x + 2y − 3z = 4a − 5b + 6c 4x − 5y + 6z
Bài tập 1.6.11. Cho a, b, c là 3 số khác 0 và a 6= b, a 6= c, a + c 6= 0. Chứng minh rằng nếu a2 = bc thì a + b c + a = a − b c − a a + b + c a − b + c Bài tập 1.6.12. Cho =
(b 6= 0). Chứng minh rằng c = 0. a + b − c a − b − c
Bài tập 1.6.13. Cho a, b, c, d là 4 số khác 0 và b3 + c3 + d3 6= 0. Chứng minh
rằng nếu b2 = ac và c2 = bd thì a3 + b3 + c3 a = b3 + c3 + d3 d -30-
Toán 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nguyễn Cao Cường a + 2002 b + 2001
Bài tập 1.6.14. Chứng minh rằng nếu = với a 6= 2002; b 6= a − 2002 b − 2001 0; b 6= ±2001 thì a b = 2002 2001
Bài tập 1.6.15. Tìm diện tích của một hình chữ nhật, biết rằng tỉ số giữa 3 hai cạnh của nó bằng và chu vi bằng 28m. 4
Bài tập 1.6.16. Tỉ số sản phẩm làm được của hai công nhân là 0, 9. Hỏi
mỗi người làm được bao nhiêu sản phẩm, biết rằng người thứ nhất hơn người thứ hai 120 sản phẩm.
Bài tập 1.6.17. Hai đơn vị kinh doanh chia lãi theo tỉ lệ 3 : 7. Hỏi mỗi đơn
vị được chia bao nhiêu tiền? Biết rằng tổng số tiền lãi là 32050000 đồng.
Bài tập 1.6.18. Tìm hai số dương, biết 7 lần số thứ nhất bằng 3 lần số thứ
hai, và hiệu của chúng là 100. 3
Bài tập 1.6.19. Tỉ số của hai số nguyên dương là . Tổng các bình phương 7
của chúng là 522. Tìm hai số đó. 2 3
Bài tập 1.6.20. Tìm hai số tự nhiên, biết rằng số thứ nhất bằng số thứ 3 4
hai và hiệu các bình phương của chúng là 68.
Bài tập 1.6.21. Có 54 tờ giấy bạc vừa 500 đồng, vừa 2000 đồng, vừa 5000
đồng. Trị giá mỗi loại tiền trên đều bằng nhau. Hỏi mỗi loại tiền có mấy tờ?
Bài tập 1.6.22. Tổng các lũy thừa bậc ba của ba số là −1009. Biết tỉ số giữa 2 4
số thứ nhất vả số thứ hai là
; giữa số thứ nhất là số thứ ba là . Tìm hai số 3 9 đó.
Bài tập 1.6.23. Tìm tỉ lệ ba cạnh của một tam giác biết rằng nếu cộng lận
lượt độ dài từng hai đường cao của tam giác đó thì tỉ lệ các kết quả sẽ là 5 : 7 : 8. 1.7
Số thập phân hữu hạn. Số thập phân vô hạn tuần hoàn 1.7.1 Tóm tắt lý thuyết
- Để viết phân số dưới dạng số thập phân, ta thực hiện phép chia tử cho mẫu. 3, 0 37 = 3, 0 : 20 = 0, 15; = 37 : 25 = 1, 48 20 25 -31-
Nguyễn Cao Cường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Toán 7 3
Ta nói 0, 15 và 1, 48 lần lượt là biểu diễn thập phân của các phân số và 20 37 . 25
Nếu phép chia đến một lúc chấm dứt, ta nói các biểu diễn thập phân này là
các số thập phân hữu hạn. 17 5
Nhưng cũng có những phân số (ví dụ: ;
), mà phép chia tử cho mẫu 11 12 không bao giờ chấm dứt 17 5 = 1, 54545454...; = 0, 416666..... 11 12
Khi đó, ta nói 1, 545454.... và 0, 416666... là các số thập phân vô hạn.
Nếu trong phần thập phân của môt số thập phân vô hạn có một nhóm chữ
số liên tục lặp lại mãi (ví dụ 54 trong 1,545454... hay 6 trong 0,416666...), ta
nói nhóm chữ số đó là chu kì và số thập phân đó là số thập phân vô hạn tuần hoàn.
Khi đó có thể viết gọn:
1, 545454... = 1, (54); 0, 416666... = 0, 41(6)
Người ta chứng minh được rằng:
- Nếu một phân số tối giản với mẫu dương mà mẫu không chứa thừa số nguyên
tố nào khác 2 và 5 thì phân số đó viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn.
- Nếu một phân số tối giản với mẫu số dương mà mẫu có chứa thừa số nguyên
tố khc1 2 và 5 thì phân số đó được viết dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn. Ví dụ 1.7.1. 6 2 14 7 − = − = −0, 08; = = 0, 2333... = 0, 2(3) 75 25 60 30
- Mỗi số hữu tỉ được biểu diễn bởi một số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn
tuần hoàn. Ngược lại một số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn biểu diễn một số hữu tỉ. 1.7.2 Bài tập
Bài tập 1.7.1. Viết các số sau dưới dạng số thập phân: 6 9 39 a) −1 b) − c) 8 25 60 121 204 378 d) e) f) 220 −160 375 -32-
Toán 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nguyễn Cao Cường
Bài tập 1.7.2. Viết các số sau dưới dạng số thập phân 9 5 8 a) b) c) 13 6 14 10 16 34 −600 d) e) f) h) 15 30 22 132
Bài tập 1.7.3. Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng thu gọn:
a) 0, 6666...; 1, 838383...; 4, 3012012...; 6, 4135135...
b) 0, 363636...; 0, 681681681...; 0, 58333...; 1, 26666....
Bài tập 1.7.4. Dùng dấu ngoặc để chỉ rõ chu kì trong thương của các phép chia sau: a) 8, 5 : 3 b) 18, 7 : 6 c) 58 : 11 d) 3 : 7
Bài tập 1.7.5. Viết các số thập phân hữu hạn sau đây dưới dạng phân số tối giản: a) 0, 32 b) −0, 124 c) 1, 28 d) −3, 12 1 1 1
Bài tập 1.7.6. Viết các phân số ; ;
dưới dạng số thập phân. 9 99 999
Bài tập 1.7.7. Viết các số thập phân sau đây dưới dạng phân số tối giản:
a) 0, (27); 4, (5); 3, (42); 3, (321)
b) 0, 0(8); 0, 1(2); 3, 2(45); −0, 34(567)
Bài tập 1.7.8. Chứng tỏ rằng: a) 0, (123) + 0, (876) = 1 b) 0, (123).3 + 0, (630) = 1
Bài tập 1.7.9. So sánh các số sau: a) 0, 3 và 0, 3(13) b) 0, (54) và 0, 5(45) 1.8 Làm tròn số 1.8.1 Tóm tắt lý thuyết
Để dễ nhớ, dễ so sánh, dễ tính toán với các số thập phân có nhiều chữ số (kể
cả vô hạn), người ta làm tròn số đến một độ chính xác muốn có. ♦ Quy ước làm tròn số -33-
Nguyễn Cao Cường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Toán 7
1) Nếu chữ số đầu tiên bỏ đi nhỏ hơn 5 thì ta giữ nguyên bộ phận còn lại.
2) Nếu chữ số đầu tiên bỏ đi lớn hơn hoặc bằng 5 thì ta công thêm 1 vào chữ
số cuối cùng của bộ phận còn lại. 1.8.2 Bài tập
Bài tập 1.8.1. Làm tròn các số sau:
a) Tròn chục: 5734; 5782; 4748; 7435
b) Tròn trăm: 6748; 739783; 78389; 77484
c) Tròn nghìn: 84984; 82983; 86476; 67839
Bài tập 1.8.2. Cho các số sau đây:
73, 2532 − 9, 428 − 47, 2030 − 54070 − 64300 − 2730, 23
Hãy làm tròn các số đó:
a) Chính xác đến chữ số thập phân thứ hai.
b) Chính xác đến chữ số thập phân thứ nhất.
c) Chính xác đến hàng đơn vị.
d) Chính xác đến hàng chục.
e) Chính xác đến hàng trăm.
Bài tập 1.8.3. Tính giá trị các biểu thức sau (chính xác đến chữ số thập
phân thứ nhất) bằng 2 cách:
Cách 1: Làm tròn các số rồi tính.
Cách 2: Tính rồi làm tròn kết quả.
Sau đó hãy so sánh kết quả qua hai cách làm a) 35, 3 + 1, 442 + 3, 741 b) 312, 53 − 2621542 c) 5, 032 + 11, 3 d) 8, 04 + 2, 2239 e) 2710, 32 − 1518, 0394 f) 4546, 0114 − 3819, 23
Bài tập 1.8.4. Biết 1 inch (ký hiệu “in”) bằng 2, 54 cm. Hỏi 1cm gần bằng
bao nhiêu inch (làm tròn đến chữ số thập phân thứ tư)?
Bài tập 1.8.5. Biết 1 mét gần bằng 3, 28 foot (Ký hiệu: ft). Hỏi 1 ft gần
bằng bao nhiêu mét (làm tròn đến chữ số thập phân thứ tư)? -34-
Toán 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nguyễn Cao Cường 1.9
Căn bậc hai. Số vô tỉ. Số thực 1.9.1 Định nghĩa căn bậc hai
Căn bậc hai của một số a không âm là số x sao cho x2 = a.
Ví dụ 1.9.1. Số 9 có hai căn bậc hai là 3 và −3 vì (3)2 = (−3)2 = 9 Lưu ý
+ Nếu a > 0 thì a có căn bậc hai: √
- Căn bậc hai dương của a, kí hiệu a. √
- Căn bậc hai âm của a, kí hiệu là − a √ √
Ví dụ 1.9.2. Số 4 có 2 căn bậc hai: 4 = 2 và − 4 = −2. √
+ Số 0 có đúng 1 căn bậc hai là 0: 0 = 0.
+ Số âm không co căn bậc hai. Tính chất
Với hai số dương bất kì a, b √ √ + Nếu a = b thì a = b √ √ + Nếu a < b thì a < b 1.9.2 Số vô tỉ
Số vô tỉ là số viết được dưới dạng số thập phân vô hạn không tuần hoàn.
Tập hợp các số vô tỉ được kí hiệu là I.
Ví dụ 1.9.3. Số π = 3, 141592653 1.9.3 Số thực Số thực
- Số hữu tỉ và số vô tỉ được gọi chung là số thực.
- Tập hợp các số thực được kí hiệu là R
- x ∈ R: x là một số thực -35-
Nguyễn Cao Cường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Toán 7
Biểu diễn thập phân của số thực
Mỗi số thực đều có biểu diễn thập phân hữu hạn hoặc vô hạn. Trong so sánh,
đo đạc, tính toán người ta thường thực hiện trên các số thập phân hữu hạn
biểu diễn gần đúng số thực ấy. Trục số thực
- Mỗi số thực được biểu diễn bởi một điểm trên trục số.
- Ngược lại, mỗi điểm trên trục số đều biểu diễn một số thực. Vì thế, trục số
còn gọi là trục số thực.
Chú ý: Các phép toán trong tập hợp số thực cũng có các tính chất như các
phép toán trong tập hợp các số hữu tỉ (giao hoán, kết hợp, phân phối). 1.9.4 Bài tập
Bài tập 1.9.1. Viết các số sau dưới dạng bình phương của một số. a) 64 49 f) 81 b) 0, 09 g) x2 c) 13 d) x(x > 0) h) m4 1 e) i) 81 4
Bài tập 1.9.2. Tìm giá trị của x, biết: a) x2 = 9 16 f) x2 − = 0 25 b) x2 = 0, 04 7 c) x2 = 7 g) x2 − = 0 36 d) x2 = a(a ≥ 0) h) x2 + 1 = 0 4 e) x2 = i) (x + 1)2 − 1 = 3 9
Bài tập 1.9.3. Tính giá trị của x, biết: -36-
Toán 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nguyễn Cao Cường √ √ a) x = 2(x ≥ 0) 1 1 e) x2 − = 3 6 √ √ b) x = 11(x ≥ 0) f) x − 2 = 3 (x ≥ 0) √ √ √ 3 c) x2 = 4 g) x = (x ≥ 0) 5 √ √ d) x2 − 6 = 0 h) x2 = a (a ≥ 0)
Bài tập 1.9.4. Trong các phát biểu sau đây; phát biểu nào là đúng? phát
biểu nào là sai? giải tích? √ a) 1 > 1 f) −p(−2)2 = −2 √ √ √ b) 9 > 0 2 2
g) ( a) = (− a) = a (a ≥ 0) √ √ c) − 9 < 0 h) 0, 01 ∈ Q √ √ d) − 9 < 4 i) Z ⊂ R e) p(−2)2 = −2 j) N ∈ Z, Z ∈ Q, Q ∈ R
Bài tập 1.9.5. Không dùng máy tính, hãy so sánh các số sau: √ √ √ a) 15 và 17 d) 8 − 1 và 2 √ √ b) 5 và 24 e) 15 + 2 và 14 √ √ √ √ p p c) − 3 và − 2 f) 26 − 5 và 3 − 10 Bài tập 1.9.6. Tính √ !2 2 √ −3 r 9 2 a) 81 − . + 3 4 64 3 r !2 5 r 9 r 25 r 64 b) − − : (−4, 5) − 4 4 16 9 r ! !2 16 r 2 2 c) −24 − (−2)2 : − − − : −2 121 3 3
Bài tập 1.9.7. Dùng máy tính để tính và làm tròn kết quả chính xác đến
chữ số thập phân thứ nhất. 1 √ √ √ a) −3 . 2 − ( 3 + 5)(−2, 25) 3 √ √ √ √ √ √ b) 6 − 5 + 4 − 3 + 2 − 1 -37-
Nguyễn Cao Cường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Toán 7
Bài tập 1.9.8. Tìm giá trị nhỏ nhất của: (giả thuyết các căn bậc hai đều có nghĩa) √ √ √ a) A = x + 2 b) B = x + 5 − 3 c) C = x2 − 9 + 5
Bài tập 1.9.9. Tìm giá trị lớn nhất của: (giả thuyết các căn bậc hai đều có nghĩa) √ √ √ a) A = 4 − x b) B = −5 − x + 3 c) C = 1 − x−4 -38- Chương 2 ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG 2.1
Hai góc đối đỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.2
Hai đường thẳng vuông góc . . . . . . . . . . . . 40 2.3
Các góc tạo bởi một đường thẳng cắt hai đường thẳng khác
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.4
Hai đường thẳng song song . . . . . . . . . . . . 45 2.5
Luyện tập chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.1 Hai góc đối đỉnh 2.1.1 Lý thuyết
Định nghĩa 2.1. Hai góc đối đỉnh là hai góc mà mối cạnh của góc này là
tia đối của một cạnh của góc kia.
Nguyễn Cao Cường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Toán 7
Tính chất 2.1. Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau. 2.1.2 Bài tập
Bài tập 2.1.1. Hai đường thẳng cắt nhau tại I sao cho một góc trong các
góc đỉnh I có số đo 1240. Vẽ hình và tính số đo các góc đỉnh I có trong hình.
Bài tập 2.1.2. a) Vẽ góc d aOb = 1800. b) Vẽ góc [
a0Ob0 đối đỉnh với góc d aOb (Oa, Oa0 đối nhau).
c) Vẽ tia Om là phân giác của góc aOb.
d) Vẽ tia đối Om0 của tia Om. Vì sao Om0 là tia phân giác của góc a0Ob0?
e) Viết tên các cặp góc đối đỉnh.
f) Viết tên các cặp góc bằng nhau mà không đối đỉnh. Bài tập 2.1.3. Vẽ góc \
AOB = 720 rồi vẽ góc A0OB0 đối đỉnh với góc AOB. Hãy tính \ A0OB0 và \ AOB0.
Bài tập 2.1.4. Hai đường thẳng xx0 và yy0 cắt nhau ở D. Tính d xDy và [ yDx0. Biết [ xDy0 = 5a, \ x0Dy0 = 4a.
Bài tập 2.1.5. Cho hai đường thẳng mm0 và nn0 cắt nhau ở E. Biết \ nEm0 = 4x, \ mEn0 = 6x − 500 -40-
Toán 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nguyễn Cao Cường a) Tính [ mEn và \ m0En0.
b) Biểu diễn số đo góc [ mEn theo x.
Bài tập 2.1.6. Vẽ tia xOx0, vẽ tia Om, On sao cho góc [ mOn vuông ( [ mOx < \ mOx0). Biết [ xOm = 4x − 100, [ x0On = 3x − 50. a) Tính [ xOm và [ nOx0. b) Vẽ tia Ot sao cho d xOt, [
xOn0 là hai góc dối đỉnh. Trên nửa mặt phẳng bờ
xx0 chứa Ot, vẽ tia Oy sao cho d tOy = 900. Hai góc [ mOn và d tOy có là hai
góc đối đỉnh không? giải thích.
Bài tập 2.1.7. Từ điểm O vẽ 4 tia Ox, Ox0, Oy, Oy0 sao cho Ox và Ox0 là hai tia đối nhau. Cho biết d xOy = 2x + 240, [ xOy0 = 6x + 120 và \ x0Oy0 = 5x − 300. a) Hai góc [ xOy0 và [
x0Oy có là hai góc đối đỉnh không? Chứng minh.
b) Gọi Ot và Ot0 lần lượt là phân giác của các góc [ xOy0 và [ x0Oy. Chứng minh d xOt và [
x0Ot0 là hai góc đối đỉnh.
Bài tập 2.1.8. Cho hai góc kề bù d xOy và d
yOt. Gọi Om, On lần lượt là tia phân giác của góc d xOy và d yOt. a) Tính [ mOn.
b) Vẽ góc toz là góc đối đỉnh của góc c d
xOy. vẽ tia Op là tia đối của tia Om.
Chứng minh Op, On lần lượt là tia phân giác của góc d tOz và [ mOp.
Bài tập 2.1.9. Cho tia Om là tia phân giác của góc xOy, On là tia phân
giác của góc đối đỉnh với góc xOy. a) Cho biết d
xOy = 500, hãy tính số đo của các góc kề bù với góc xOy.
b) Các tia phân giác Ok và Oh của góc kề bù có phải là hai tia đối nhau không? tại sao?
c) Bốn tia phân giác Om, On, Oh từng đôi một tạo thành các góc bao nhiêu độ. -41-
Nguyễn Cao Cường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Toán 7 2.2
Hai đường thẳng vuông góc 2.2.1 Định nghĩa
Định nghĩa 2.2. Hai đường thẳng xx0 và yy0 cắt nhau và trong các góc tạo
thành có một góc vuông được gọi là hai đường thẳng vuông góc. Kí hiệu: xx0 ⊥ yy0.
. Lưu ý: Các phát biểu sau đây là tương đương:
• Đường thẳng xx0 và yy0 vuông góc với nhau tại O.
• Đường thẳng yy0 và xx0 vuông góc với nhau tại O.
• Hai đường thẳng xx0 và yy0 vuông góc với nhau tại O.
. Ta thừa nhận: Có một và chỉ một đường thẳng a0 đi qua điểm O và vuông
góc với đường thẳng a cho trước. 2.2.2
Đường trung trực của đoạn thẳng C A A B F D -42-
Toán 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nguyễn Cao Cường
Định nghĩa 2.3. Đường thẳng vuông góc với một đoạn thẳng tại trung điểm
của nó được gọi là đường trung trực của đoạn thẳng ấy.
Khi d là đường trung trực của đoạn thẳng AB thì hai điểm A, B đối xứng với nhau qua đường thẳng d. 2.2.3 Bài tập
Bài tập 2.2.1. Vẽ hình theo cách diễn đạt bằng lời sau:
Vẽ góc xOy có số đo bằng 600. Lấy điểm A trên tia Ox rồi vẽ đường thẳng
a vuông góc với tia Ox tại A. Lấy điểm B trên tia Oy rồi vẽ đường thẳng b
vuông góc với tia Oy tại B. Gọi giao điểm của A và B là C. Vẽ đường trung
trực của đoạn thẳng OC.
Bài tập 2.2.2. Cho góc tù xOy. Trong đó góc xOy, vẽ Ot ⊥ Ox và Ov ⊥ Oy. a) Chứng minh d xOv = d tOy.
b) Chứng minh hai góc xOy và tOy bù nhau.
c) Gọi Om là tia phân giác của góc xOy. Chứng minh Om là tia phân giác của góc tOv.
Bài tập 2.2.3. Vẽ đoạn thẳng AB=4cm, đoạn thẳng BC=6cm. Vẽ đường
trung trực của các đoạn thẳng AB, BC, CA trong các trường hợp:
a) A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác.
b) Điểm B nằm giữa A và C.
Bài tập 2.2.4. a) Cho góc xOy. Vẽ góc x0Oy0 là góc đối đỉnh của góc xOy ( [ xOy0 < 1800).
b) Gọi Ot, Ot0, Oz lần lượt là tia phân giác của các góc xOy, x’Oy’, xOy’. Tính d tOz và d tOt0.
c) Vẽ tia Oz0 sao cho hai góc xOz và x0Oz0 đối đỉnh. Oz0 có phải là tia phân
giác của góc x0Oy không? Vỉ sao.
Bài tập 2.2.5. Cho Ox là tia phân giác của góc vuông aOb, Ox’ là tia đối của tia Ox. a) Chứng minh [ x0Ob = [ x0Oa = 1350.
b) Cho Ob0 là tia đối của tia Ob, chứng minh \ b0Ox0 = d aOx
Bài tập 2.2.6. Cho hai góc xOy và yOx’ là hai góc kề bù, d xOy = 600, Ot là
tia phân giác của góc xOy. Trên nửa mặt phẳng chứa tia Oy bờ là tia Ox, ta
kẻ tia Oh vuông góc với Ox. a) Tính góc tOh.
b) Chứng minh Oy là tia phân giác của góc hOt. -43-
Nguyễn Cao Cường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Toán 7 h 2.3
Các góc tạo bởi một đường thẳng cắt hai đường thẳng khác 2.3.1 Lý thuyết 2 1 A d1 4 3 d 5 6 2 B 7 8 c
Ở hình trên d1, d2 gọi là các hình bị cắt, c gọi là cát tuyến. Xét các góc c A1, c A2, c A3, c A4, c B5, c B6, c B7, c B8.
+ Góc ngoài là góc nằm ở miền ngoài ( c A1, c A2, c B7, c B8), góc còn lại ( c A3, c A4, c B5, c B6) là các góc trong. + Các góc c A1, c A4, c B5, c B8 (hoặc c A3, c A3, c B6, c
B7) nằm cùng phía với các tuyến c.
Định nghĩa 2.4. - Hai góc trong cùng phía với cát tuyến gọi tắt là hai góc trong cùng phía.
- Hai góc trong khác phía với cát tuyến gọi là hai góc so le trong.
- Hai góc cùng phía với cát tuyến, một trong, một ngoài gọi là hai góc đồng vị. -44- h
Toán 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nguyễn Cao Cường 1 E 2 4 3 5 F 6 8 7
Tính chất 2.2. Nếu đường thẳng c cắt hai đường thẳng a, b và trong các góc
tạo thành có một cặp góc so le trong bằng nhau thì:
a) Hai góc so le trong còn lại bằng nhau;
b) Hai góc đồng vị bằng nhau. 2.3.2 Bài tập
Bài tập 2.3.1. Cho hình vẽ sau: 2 1 1 I J 2 4 3 4 3 1 1 2 2 T K 3 3 4 4
Với hình bên, hãy liệt kê các cặp góc đồng vị, so le trong, trong cùng phía. 1
Bài tập 2.3.2. Cho hình vẽ. -45- h
Nguyễn Cao Cường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Toán 7 1 2 4 3 500 2 500 3 1 4
Hãy tính và so sánh số đo của 2 góc so le trong bất kì, 2 góc đồng vị bất kì.
Số đo 2 góc trong cùng phía có quan hệ gì đặc biệt? h
Bài tập 2.3.3. Cho hình vẽ. 3 2 4 1 A 3 2 B 4 1 Cho biết c A2 = c B2. Chứng minh rằng: a) c A4 = c B2, c A1 = c B3 b) c A3 = c B3, c A1 = c B1, c A4 = c B4 c) c A1 + c B2 = 1800, c A4 + c B3 = 1800
Bài tập 2.3.4. Cho góc xOy, một đường thẳng cắt 2 cạnh của góc đó tại các điểm A, B. -46- h
Toán 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nguyễn Cao Cường 4 x 1 A 2 3 4 y O 1 B 2 3 a) Các góc c A2 và c
B4 có thể bằng nhau không? Tại sao? b) Các góc c A1 và c
B1 có thể bằng nhau không? Tại sao? 2.4
Hai đường thẳng song song 2.4.1
Nhắc lại kiến thức lớp 6
Định nghĩa 2.5. - Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng không có điểm chung.
- Hai đường thẳng phân biệt thì cắt nhau hoặc song song. 2.4.2
Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song
Tính chất 2.3. Nếu đường thẳng c cắt hai đường thẳng a, b và trong các góc
tạo thành có một cặp góc so le trong bằng nhau (hoặc một cặp góc đồng vị
bằng nhau) thì a, b song song với nhau.
Hai đường thẳng a, b song song với nhau được kí hiệu là a k b. -47-
Nguyễn Cao Cường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Toán 7 2.4.3
Tiên đề Ơ-clit về hai đường thẳng song song C a h
Tính chất 2.4. Qua một điểm ở ngoài một đường thẳng chỉ có một đường
thẳng song song với đường thẳng đó. b 2 A 3 1 4 1 a B
Tính chất 2.5. Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì:
a) Hai góc so le trong bằng nhau.
b) Hai góc đồng vị bằng nhau.
c) Hai góc trong cùng phía bù nhau.
Từ tính chất trên, ta chứng minh được tính chất sau:
Tính chất 2.6. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường
thẳng thứ ba thì song song với nhau. -48- g
Toán 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nguyễn Cao Cường c a b (a ⊥ c ⇒ a k b b ⊥ c Ta cũng có: (a k b ⇒ c ⊥ b c ⊥ a
Tính chất 2.7. Nếu một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường
thẳng song song thì nó cũng vuông góc với đường thẳng kia.
Tính chất 2.8. Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường
thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau. a b c (a k c ⇒ a k b b k c
Khi đó 3 đường thẳng a, b, c song song với nhau đôi một, ta nói ba đường thẳng song song với nhau. Kí hiệu a k b k c. -49-
Nguyễn Cao Cường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Toán 7 2.4.4 Bài tập
Bài tập 2.4.1. Với hình vẽ sau đây. x z 600 A B i 1200 y t
Hãy chứng minh rằng xy k zt.
Bài tập 2.4.2. Cho hình vẽ: A D 700 800 300 B C
Hãy chứng minh rằng AC k BD.
Bài tập 2.4.3. Với hình vẽ sau. Cho biết: -50-
Toán 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nguyễn Cao Cường 4M 1 a 3 2 4 N 1 b 3 2 4 c N1 + c N4 + c M1 = 2280 và c N1 = c N4 11 Chứng minh: a k b.
Bài tập 2.4.4. Vẽ 4ABC vuông góc tại A. Lấy điểm D trên cạnh BA, vẽ
DE⊥AB tại D (E thuộc BC). a) Chứng minh DE k AC.
b) Vẽ Dx là tia phân giác của góc BDE và Ay là tia phân giác của góc BAC. Chứng minh Dx k Ay.
Bài tập 2.4.5. Cho 4DEF có b D = 600, b
E = 600. Trên tia đối của tia DE
lấy điểm G. Vẽ góc EGH so le trong với góc E và \ EGH = 600. Vẽ Dx là tia phân giác của góc \ GDF . Chứng minh: a) GH k Dx. b) Dx k EF .
Bài tập 2.4.6. Ở hình sau: -51-
Nguyễn Cao Cường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Toán 7 z x A D x0 B 700 C y y0 z0 Tính \ ADC.
Bài tập 2.4.7. Dựa vào hình sau: A B 450 D C I E F a) Tính [ AIC. b) Chứng minh AB k EF c) Tính [ IF E. 2.5 Luyện tập chung
Bài tập 2.5.1. Xem hình sau: -52-
Toán 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nguyễn Cao Cường t x A x0 2x + 4o 4x + 26o i 3x − 21o y B y0 t0
Biết tt0 cắt xx0, yy0 lần lượt tại A và B. Có thể kết luận xx0 k yy0 không? Giải thích?
Bài tập 2.5.2. Với các thông tin như trong hình sau với B ∈ At, hãy chứng minh: t 2x − 70 B y 3x + 70 x 4x − 290 A 2x + 80 C z a) Chứng minh Ax k By. b) Chứng minh Ax k Cz.
Bài tập 2.5.3. Trong hình vẽ sau, cho biết tt0 cắt xx0, yy0 lần lượt tại M, N và [ tM x0 = 300, \ M N y = 500. -53-
Nguyễn Cao Cường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Toán 7 t M x x0 N y y0 t0
Gọi M z và N z0 lần lượt là tia phân giác của các góc N M x và M N y0. Chứng minh: M z k N z0.
Bài tập 2.5.4. Xét các hình vẽ sau: M a A 1450 x 1350 N 730 B 450 y 550 C 1250 1420T z b a) b) D H t m 450 2x − 40 I 4x + 100 E 850 F 400 3x − 60 K h n c) d)
a) Chứng minh Ax k Cz dựa vào các thông tin đã có trong hình a).
b) Chứng minh M a k T b (hình b)).
c) Chứng minh Dt k F h (hình c)). d) Tính [ mHI, biết Hm k Kn.
Bài tập 2.5.5. Trong hình sau, cho biết c A1 + b B + c C1 = 3600. -54-
Toán 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nguyễn Cao Cường A x 1 B 1 y C Chứng minh: Ax k Cy.
Bài tập 2.5.6. Cho tam giác ABC. Qua A vẽ a k BC. Qua B vẽ b k AC.
Chứng minh a và b cắt nhau.
Bài tập 2.5.7. Cho tam giác ABC, D là điểm nằm giữa B và C. Đường
thẳng qua D song song với AB cắt AC ở E. Đường thẳng qua D, song song với AC cắt AB ở F.
a) Tìm cặp góc bằng nhau trong các góc đỉnh D và các góc của tam giác ABC. Chứng minh.
b) Tính tổng số đo các góc của tam giác ABC.
Bài tập 2.5.8. Cho góc xOy khác góc bẹt có tia phân giác Ot. Từ một điểm
A trên tia Ox, vẽ tia Am k Oy (tia Am thuộc miền trong của góc xOy). Vẽ
tia phân giác An của góc xAm. a) Chứng minh An k Ot.
b) Vẽ tia AH ⊥ Ot tại H. Chứng minh tia AH là tia phân giác của góc OAm.
Bài tập 2.5.9. Cho hình sau: x A x0 1 3 2 700 1400 y y0 B C
a) Tính các góc đỉnh A biết xx0 k BC. b) Tia phân giác Bn của \ ABC cắt AC ở K. Tính [ CKn. -55-
Nguyễn Cao Cường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Toán 7
Bài tập 2.5.10. Cho các thông tin như trong hình sau và cho biết xx0 k yy0. A x 450 x0 600 D B 500 y C y0 Hãy tính [ BCy và \ ADC.
Bài tập 2.5.11. Trong hình sau, cho mm0 k nn0. Gọi Ax, Ay, Bz lần lượt là
các tia phân giác của góc BAm, BAm0, ABn. t m A m0 B n n0 t0
a) Chứng minh Ay k Bz và Ax ⊥ Bz.
b) Gọi C là giao điểm của Ax và Bz. Tính tổng số đo các góc của 4ABC.
Bài tập 2.5.12. Với các thông tin cho trong hình sau: \ AQM = x+160, [ P N y = 2x + 80, [ P QT = 3x − 60. a) Tính x (đơn vị: độ) -56-
Toán 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nguyễn Cao Cường b) Tính \ QP N và biểu thị \
QP N bằng biểu thức có chứa x. c) Biểu thị \
M N P bằng biểu thức có chứa x.
d) Tính tổng số đo các góc của 4AM Q VÀ 4BM N . e) Chứng minh \ BM N = \ AQM .
Bài tập 2.5.13. Cho hình vẽ. M A x B D 900 C y N Chứng minh [ DAx = \ BCN .
Bài tập 2.5.14. Tìm số đo x trong các hình vẽ sau: D A G x 400 x B 550 C 400 a) E x xF H 550 1220 m b) c) I
Bài tập 2.5.15. Cho 4ABC có b A = 700, b
C = 500. Tia phân giác của góc B
cắt AC ở E. Tia phân giác của \ BEC cắt BC ở F . Tính \ AEB, \ CEF .
Bài tập 2.5.16. Tính số đo các góc của các tam giác sau: -57-
Nguyễn Cao Cường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Toán 7 A y 2x D G 11x − 20 3x B 3x C E x 2x F H 4x + 80 5x + 100 I a) b) c)
Bài tập 2.5.17. Cho biết \ ACB = 700, \
ACN = 300. Tìm các số đo x, y, z trong hình sau. A N y H x 300 z B C
Bài tập 2.5.18. Tính các góc của tam giác ABC, biết: a) b A lớn hơn b B 200, b B lớn hơn b C 350. b) 15 b A = 10 b B = 3 b C c) b A : b B = 3 : 5, b B : b C = 1 : 2
Bài tập 2.5.19. Cho tam giác ABC, phân giác của góc B cắt AC ở D, phân
giác của góc C cắt AB ở E. BD cắt CE ở I. a) Chứng minh [ DIC nhọn. b) Cho [ DIC = 600, tính b A và chứng minh các góc \ BEC và \ BDC bù nhau.
Bài tập 2.5.20. Cho tam giác ABC có b A = 900 và b B > b C, vẽ AH vuông
góc với BC tại H. Tia phân giác của góc HAC cắt BC ở D. -58-
Toán 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nguyễn Cao Cường a) Chứng minh \ BDA = \ BAD.
b) Tia phân giác của góc \
BAC cắt BC ở E, cho biết [ AEC lớn hơn \ AEB = 300. Tính \ ABC và \ CAD. -59-