Lý thuyết và một số bài tập giới hạn – Trần Sĩ Tùng
Tài liệu gồm 11 trang với nội dung gồm lý thuyết và một số bài tập giới hạn của dãy số, giới hạn của hàm số và hàm số liên tục.
I. Giới hạn của dãy số
Chủ đề: Chương 5: Giới hạn. Hàm số liên tục (KNTT)
Môn: Toán 11
Thông tin:
Tác giả:
Tài liệu liên quan:
Preview text:
Đại số 11 Trần Sĩ Tùng CHƯƠNG IV GIỚI HẠN
I. Giới hạn của dãy số
Giới hạn hữu hạn Giới hạn vô cực
1. Giới hạn đặc biệt:
1. Giới hạn đặc biệt: 1 1 k lim = 0 ; lim = 0 (k + Î ¢ )
lim n = +¥ lim n (k + = +¥ Î ¢ ) n®+¥ n k n®+¥ n lim n
q = +¥ (q > 1) lim n
q = 0 ( q < 1) ;
lim C = C 2. Định lí: n®+¥ n®+¥
2. Định lí : 1 a) Nếu lim n
u = +¥ thì lim = 0
a) Nếu lim un = a, lim vn = b thì n u
· lim (un + vn) = a + b u · lim (u b) Nếu lim u = 0 n – vn) = a – b
n = a, lim vn = ±¥ thì lim n v · lim (u n n.vn) = a.b u a
c) Nếu lim un = a ¹ 0, lim vn = 0
· lim n = (nếu b ¹ 0) u ì+¥ neáu . a v > 0 n n v b thì lim n = v í-¥ neáu . a v < 0 b) Nếu u n î n
n ³ 0, "n và lim un= a d) Nếu lim u thì a ³ 0 và lim n = +¥, lim vn = a n u = a ì+¥ neáu a > 0 thì lim(u c) Nếu n.vn) = í n u £ n v ,"n và lim vn = 0 î-¥ neáu a < 0 thì lim un = 0 d) Nếu lim u
* Khi tính giới hạn có một trong các dạng vô n = a thì lim n u = a 0 ¥
3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn định: ,
, ¥ – ¥, 0.¥ thì phải tìm cách khử u 0 ¥
S = u1 + u1q + u1q2 + … = 1 ( q < ) 1 dạng vô định. 1- q
Một số phương pháp tìm giới hạn của dãy số:
· Chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của n. 1 1 1 n 1 + 1+ - 3 + n 1 2
n + n - 3n VD: a) lim = lim = b) lim = lim n = 1 2n + 3 3 2 2 1- 2n 1 + - 2 n n æ 4 1 ö c) 2 2
lim(n - 4n +1) = lim n ç1- + ÷ = +¥ 2 è n n ø
· Nhân lượng liên hợp: Dùng các hằng đẳng thức
( a - b)( a + b) = a- ;b (3 3 a - b )(3 2 3 3 2
a + ab + b ) = a - b
( 2n -3n-n)( 2n -3n+n) 3 - n 3 VD: ( 2
lim n - 3n - n)= lim ( = lim = - 2
n -3n + n) 2
n - 3n + n 2 Trang 60 Trần Sĩ Tùng Đại số 11
· Dùng định lí kẹp: Nếu nu £ nv,"n và lim vn = 0 thì lim un = 0 sin n sin n 1 1 sin n VD: a) Tính lim . Vì 0 £
£ và lim = 0 nên lim = 0 n n n n n 3sin n - 4 cosn b) Tính lim . Vì 2 2 2 2
3sin n - 4 cosn £ (3 + 4 )(sin n + cos ) n = 5 2 2n +1 3sin n - 4 cos n 5 nên 0 £ £ . 2 2 2n +1 2n +1 5 3sin n - 4 cos n Mà lim = 0 nên lim = 0 2 2n +1 2 2n +1
Khi tính các giới hạn dạng phân thức, ta chú ý một số trường hợp sau đây:
· Nếu bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng 0.
· Nếu bậc của từ bằng bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng tỉ số các hệ số của luỹ
thừa cao nhất của tử và của mẫu.
· Nếu bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó là +¥ nếu hệ số cao nhất
của tử và mẫu cùng dấu và kết quả là –¥ nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu trái dấu.
Baøi 1: Tính các giới hạn sau: 2 2n - n + 3 2n +1 3 2
3n + 2n + n a) lim b) lim c) lim 2 3n + 2n +1 3 2 n + 4n + 3 3 n + 4 4 n 2 n +1 4 2 2n + n - 3 d) lim e) lim f) lim 2
(n +1)(2 + n)(n +1) 4 2n + n +1 3 2 3n - 2n +1
Baøi 2: Tính các giới hạn sau: 1+ 3n n n 1 4.3 7 + + n 1 + n+2 4 + 6 a) lim b) lim c) lim 4 + 3n 2.5n + 7n 5n + 8n n n 1 2 5 + + 1+ 2.3n - 7n 1- 2.3n + 6n d) lim e) lim f) lim 1+ 5n 5n + 2.7n n n 1 2 (3 + - 5)
Baøi 3: Tính các giới hạn sau: 2 4n +1 + 2n -1 2 n + 3 - n - 4 2 3 6 n + 1- n a) lim b) lim c) lim 2
n + 4n +1 + n 2 n + 2 + n 4 2 n +1 + n 2 4n +1 + 2n
(2n n +1)( n + 3) 2 2
n - 4n - 4n +1 d) lim e) lim f) lim 2
n + 4n +1 + n (n +1)(n + 2) 2 3n +1 + n
Baøi 4: Tính các giới hạn sau: æ 1 1 1 ö æ 1 1 1 ö a) lim ç + + ... + b) lim ç + + ... + ÷ è1.3 3.5 (2n 1)(2n 1) ÷ - + ø è1.3 2.4 ( n n + 2) ø æ 1 öæ 1 ö æ 1 ö æ 1 1 1 ö c) lim ç1- ÷ç1- ÷ .. ç1- d) lim ç + + ... + 2 2 2 ÷ ÷ è 2 øè 3 ø è n ø è1.2 2.3 ( n n +1) ø 1+ 2 + ... + n 2 1+ 2 + 2 + . .+ 2n e) lim f) lim 2 n + 3n 2 1+ 3 + 3 + .. + 3n Trang 61 Đại số 11 Trần Sĩ Tùng
Baøi 5: Tính các giới hạn sau: a) ( n2 lim + 2n - n - ) 1 b)
( n2 +n - n2 lim + 2 ) c) (3 n-n3 lim 2 + n - ) 1 1 d) ( +n2 - n4 lim 1 + 3n +1) e) ( 2
lim n - n - n) f) lim 2 2 n + 2 - n + 4 2 4n +1 - 2n -1 2 3 6 n + 1- n 2 2
n - 4n - 4n +1 g) lim h) lim i) lim 2
n + 4n +1 - n 4 2 n +1 - n 2 3n +1 - n
Baøi 6: Tính các giới hạn sau: 2 2 cos n n 2 ( 1 - ) sin(3n + n ) 2 - 2n cos n a) lim b) lim c) lim 2 n +1 3n -1 3n +1 6 2
3sin n + 5cos (n +1) 2 3 2 3sin (n + 2) + n 2 3n - 2n + 2 d) lim e) lim f) lim 2 n +1 2 2 - 3n ( n 3cosn + 2) æ öæ ö æ ö Baøi 7: 1 1 1
Cho dãy số (un) với un = ç1- ÷ç1- ÷. .ç1- , với " n ³ 2. 2 2 2 ÷ è 2 øè 3 ø è n ø a) Rút gọn un. b) Tìm lim un. Baøi 8: 1 1 1 a) Chứng minh: = - ("n Î N*).
n n +1 + (n +1) n n n +1 1 1 1 b) Rút gọn: un = + + ...+ . 1 2 + 2 1 2 3 + 3 2
n n +1 + (n +1) n c) Tìm lim un. ì 1 u = 1 Baøi 9: ï
Cho dãy số (un) được xác định bởi: í 1 . ï n u 1 = u + (n ³ 1) + n î 2n
a) Đặt vn = un+1 – un. Tính v1 + v2 + … + vn theo n. b) Tính un theo n. c) Tìm lim un. ìu = 0; u = 1
Baøi 10: Cho dãy số (un) được xác định bởi: 1 2 í2u î
+2 = u 1 + u , (n ³ 1) n n+ n 1
a) Chứng minh rằng: un+1 = - +1, "n ³ 1. 2 n u 2
b) Đặt vn = un – . Tính v 3
n theo n. Từ đó tìm lim un. Trang 62 Trần Sĩ Tùng Đại số 11
II. Giới hạn của hàm số
Giới hạn hữu hạn
Giới hạn vô cực, giới hạn ở vô cực
1. Giới hạn đặc biệt:
1. Giới hạn đặc biệt:
lim x = x0 ; lim c = c (c: hằng số) ì+¥ neáu k chaün x®x x®x lim k
x = +¥ ; lim k x = í 0 0 x®+¥ x®-¥ î-¥ neáu k leû 2. Định lí: c
a) Nếu lim f (x) = L và lim ( g x) = M lim c = c ; lim = 0 x®x x®x k 0 0 x®±¥ x®±¥ x
thì: lim [ f (x) + (
g x)] = L + M 1 1 x®x lim = -¥ ; lim = +¥ 0 x 0- ® x x 0+ ® x lim [ f (x) - (
g x)] = L - M x®x 1 1 0 lim = lim = +¥ lim [ f (x). (
g x)] = L.M x 0- x x 0+ ® ® x x®x0 2. Định lí: f (x) L
Nếu lim f (x) = L ¹ 0 và lim (
g x) = ±¥ thì: lim = (nếu M ¹ 0) x®x x®x x®x ( g x) M 0 0 0
ì+¥ neáu L vaø lim (
g x) cuøng daáu
b) Nếu f(x) ³ 0 và lim f (x) = L ï x®x x®x 0 lim f (x) ( g x) = 0 í x®x -¥ neáu L vaø lim (
g x) traùi daáu 0 ï thì L ³ 0 và lim
f (x) = L x®x î 0 x®x0 ì0 neáu lim ( g x) = ±¥
c) Nếu lim f (x) = L thì lim f (x) = L ï x®x0 x®x x®x f (x) ï 0 0 lim = +¥ neáu lim (
g x) = 0 vaø L. ( g x) > 0 í
3. Giới hạn một bên: x®x ( g x) x®x 0 0 ï
lim f (x) = L Û -¥ neáu lim (
g x) = 0 vaø L. ( g x) < 0 ï x®x x®x î 0 0
Û lim f (x) = lim f (x) = L * Khi tính giới hạn có một trong các dạng vô định: x x - x x + ® ® 0 ¥ 0 0 ,
, ¥ – ¥, 0.¥ thì phải tìm cách khử dạng vô 0 ¥ định.
Một số phương pháp khử dạng vô định: 0 1. Dạng 0 P(x) a) L = lim
với P(x), Q(x) là các đa thức và P(x0) = Q(x0) = 0 x®x Q(x) 0
Phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử và rút gọn. 3 2 2 x - 8
(x - 2)(x + 2x + 4) x + 2x + 4 12 VD: lim = lim = lim = = 3 2 x®2 x®2 x - 4 (x - 2)(x + 2) x®2 x + 2 4 P(x) b) L = lim
với P(x0) = Q(x0) = 0 và P(x), Q(x) là các biểu thức chứa căn cùng bậc x®x Q(x) 0
Sử dụng các hằng đẳng thức để nhân lượng liên hợp ở tử và mẫu. 2 - 4 - x
(2- 4- x)(2+ 4- x ) 1 1 VD: lim = lim = lim = x®0 x x®0 x (2 + 4 - x ) x®0 2 + 4 - x 4 P(x) c) L = lim
với P(x0) = Q(x0) = 0 và P(x) là biêåu thức chứa căn không đồng bậc x®x Q(x) 0
Giả sử: P(x) = m ( ) n - ( ) m ( n u x
v x vôùi u x0) = v(x0) = a.
Ta phân tích P(x) = (m ( ) - ) + ( n u x a
a - v(x)). Trang 63 Đại số 11 Trần Sĩ Tùng 3 + - - æ 3 x 1 1 x
x +1 -1 1- 1- x ö VD: lim = lim ç + ÷ x®0 x x®0 è x x ø æ 1 1 ö 1 1 5 = lim ç + ÷ = + = x®0 ç 3 2 3
(x +1) + x +1 +1 1+ 1- x ÷ 3 2 6 è ø ¥ P(x) 2. Dạng : L = lim
với P(x), Q(x) là các đa thức hoặc các biểu thức chứa căn. ¥
x®±¥ Q(x)
– Nếu P(x), Q(x) là các đa thức thì chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x.
– Nếu P(x), Q(x) có chứa căn thì có thể chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x hoặc
nhân lượng liên hợp. 5 3 2 2 + - 2 2x + 5x - 3 x VD: a) lim = lim x = 2 2
x®+¥ x + 6x + 3 x®+¥ 6 3 1+ + 2 x x 3 2 2x 3 - - b) lim = lim x = -1 x®-¥ 2 x +1 x - x ®-¥ 1 - 1+ -1 2 x
3. Dạng ¥ – ¥: Giới hạn này thường có chứa căn
Ta thường sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp của tử và mẫu. 1+ x - x 1+ x + x 1
VD: lim ( 1+ x - x ) ( )( ) = lim = lim = 0 x®+¥ x®+¥ 1 x + x + x ®+¥ 1+ x + x 4. Dạng 0.¥:
Ta cũng thường sử dụng các phương pháp như các dạng ở trên. x x - 2. x 0. 2 VD: lim (x - 2) = lim = = 0 + 2 x 2 x - 4 x 2+ ® ® x + 2 2
Baøi 1: Tìm các giới hạn sau: æ p ö 2 3
1+ x + x + x 2 3x sinç x +1 - x - ÷ a) lim b) lim c) è 4 lim ø x®0 1+ x x®-1 x -1 p x x® 2 x -1 2 x - x +1 2 x - 2x + 3 d) lim e) lim f) lim 4
x®-1 x + x - 3 x®2 x -1 x 1 ® x +1 x + 8 - 3 3 2 3x - 4 - 3x - 2 1 g) lim h) lim i) 2 lim x sin x 1 ® x - 2 x®2 x +1 x®0 2
Baøi 2: Tìm các giới hạn sau: 3 2
x - x - x +1 x4 -1 5 x +1 a) lim b) lim c) lim 2 x 1 ® x - 3x + 2
x® x3 - 2x2 1 +1 3 x®-1 x +1 3 2
x - 5x + 3x + 9 5 6
x - 5x + 4x m x -1 d) lim e) lim f) lim 4 2 x®3 x - 8x - 9 2 x 1 ® (1- x) 1 n x® x -1
(1+ x)(1+ 2x)(1+ 3x) -1 2 x + x + ... n + x - n 4 x -16 g) lim h) lim i) lim x®0 x x 1 ® x -1 3 2
x®-2 x + 2x Trang 64 Trần Sĩ Tùng Đại số 11
Baøi 3: Tìm các giới hạn sau: 4x +1 - 3 3 x -1 2 1+ x -1 a) lim b) lim . c) lim 2 x®2 x - 4 3 x 1 ® 4x + 4 - 2 x®0 x x + 2 - 2 2x + 2 - 3x +1 2 x +1 -1 d) lim e) lim f) lim x®2 x + 7 - 3 x 1 ® x -1 x®0 2 x +16 - 4 1+ x -1 x + 3 - 2x
x + 9 + x +16 - 7 g) lim h) lim i) lim 3 x®0 1+ x -1 2 x®-3 x + 3x x®0 x
Baøi 4: Tìm các giới hạn sau: 3 1+ x - 1+ x 3 8x +11 - x + 7 3 2 1+ x - 8 - x a) lim b) lim c) lim x®0 x 2 x®2 x - 3x + 2 x®0 x 3 1+ 4x - 1+ 6x 3 8x +11 - x + 7 3 3 2 5 - x - x + 7 d) lim e) lim f) lim 2 x®0 x 2 x®2 2x - 5x + 2 2 x 1 ® x -1 1+ 4x. 1+ 6x -1 3 1+ 2x. 1+ 4x -1 3 x +1 - 1- x g) lim h) lim i) lim x®0 x x®0 x x®0 x
Baøi 5: Tìm các giới hạn sau: 2 x +1 2 2x - x +1 2 2x +1 a) lim b) lim c) lim 2
x®+¥ 2x - x +1 x®±¥ x - 2 3 2
x®+¥ x - 3x + 2 2
x + 2x + 3 + 4x +1 2
4x - 2x +1 + 2 - x x x +1 d) lim e) lim f) lim x®±¥ 2 4x +1 + 2 - x x®±¥ 2
9x - 3x + 2x 2
x®+¥ x + x +1 2 (2x -1) x - 3 2
x + 2x + 3x 2 x - 5x + 2 g) lim h) lim i) lim 2 x®-¥ x - 5x x®+¥ 2 4x +1 - x + 2 x®-¥ 2 x +1
Baøi 6: Tìm các giới hạn sau: a) æ 2 lim æ ö ç x x x ö + - ÷ b) 2
lim ç2x -1- 4x - 4x -3 ÷ x®+¥ è ø x®+¥ è ø æ ö c) æ 2 3 3 lim ç x 1 x 1ö + - - ÷
d) lim ç x + x + x - x ÷ x®+¥ è ø x®+¥ è ø e) (3 3 lim 2x -1 - 2x +1) f) (3 3 2 lim 3x -1 + x + 2 ) x®+¥ x®-¥ æ 1 3 ö æ 1 1 ö g) lim ç - h) lim ç + 3 ÷ ÷ x 1
® è1- x 1- x ø 2 2
x®2 è x - 3x + 2 x - 5x + 6 ø
Baøi 7: Tìm các giới hạn sau: x -15 x -15 2 1+ 3x - 2x a) lim b) lim c) lim x 2+ ® x - 2 x 2- ® x - 2 x 3+ ® x - 3 2 x - 4 2 - x 2 - x d) lim e) lim f) lim x 2+ ® x - 2 + 2
x®2 2x - 5x + 2 - 2
x®2 2x - 5x + 2
Baøi 8: Tìm các giới hạn một bên của hàm số tại điểm được chỉ ra: ì 1+ x -1 ï khi x > 0 ì 2 ï 9 - x ï a) 3 f (x) = 1+ x -1 í taïi x = 0 b) khi x < 3 f (x) = í taïi x = 3 x - 3 ï3 khi x £ 0 1 ïî - x khi x ³ 3 ïî2 Trang 65 Đại số 11 Trần Sĩ Tùng ì 2 x - 2x 2 ì ï khi x > 2 x - 3x + 2 ï ï khi x > 1 3 ï c) f (x) = 8 - x 2 í taïi x = 2 d) f (x) = x -1 í taïi x = 1 4 ï x -16 ï x khi x < 2 ï - khi x £ 1 î x - 2 ïî 2
Baøi 9: Tìm giá trị của m để các hàm số sau có giới hạn tại điểm được chỉ ra:: ì 3 x -1 ì 1 3 ï ï - khi x >1 a) khi x < 1 f (x) = í taïi x = 1 x -1 b) f (x) = 3 íx -1 taïi x =1 x -1
ïîmx + 2 khi x ³1 ï 2 2 m
î x -3mx +3 khi x £1 ìx + m khi x < 0 ï ìx +3m khi x < 1 - c) 2
f (x) = í x +100x + 3
taïi x = 0 d) f (x) = í taïi x = 1 - khi x ³ 0 2 ï
îx + x + m+3 khi x ³ 1 - î x + 3 Trang 66 Trần Sĩ Tùng Đại số 11
III. Hàm số liên tục
1. Hàm số liên tục tại một điểm:
y = f(x) liên tục tại x0 Û lim f (x) = f (x0) x®x0
· Để xét tính liên tục của hàm số y = f(x) tại điểm x0 ta thực hiện các bước: B1: Tính f(x0).
B2: Tính lim f (x) (trong nhiều trường hợp ta cần tính lim f (x) , lim f (x) ) x®x + - 0 x®x x®x 0 0
B3: So sánh lim f (x) với f(x0) và rút ra kết luận. x®x0
2. Hàm số liên tục trên một khoảng: y = f(x) liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.
3. Hàm số liên tục trên một đoạn [a; b]: y = f(x) liên tục trên (a; b) và
lim f (x) = f (a), lim f (x) = f ( ) b x a+ x b- ® ®
4. · Hàm số đa thức liên tục trên R.
· Hàm số phân thức, các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.
5. Giả sử y = f(x), y = g(x) liên tục tại điểm x0. Khi đó:
· Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x), y = f(x).g(x) liên tục tại x0. f (x) · Hàm số y = liên tục tại x ( g x) 0 nếu g(x0) ¹ 0.
6. Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b] và f(a). f(b)< 0 thì tồn tại ít nhất một số c Î (a; b): f(c) = 0.
Nói cách khác: Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b] và f(a). f(b)< 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít
nhất một nghiệm cÎ (a; b).
Mở rộng: Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b]. Đặt m = min f (x) , M = max f (x) . Khi đó với mọi T [ ;ab] [ ;ab]
Î (m; M) luôn tồn tại ít nhất một số c Î (a; b): f(c) = T.
Baøi 1: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm được chỉ ra: ì ì x + 3 x + 3 - 2 ï khi x ¹ 1 ï khi x ¹ 1 ï a) f (x) = í taïi x = 1 x -1 - b) f (x) = x -1 í taïi x = 1 ï 1 î 1 - khi x = 1 ï khi x = 1 ïî4 2 3
ì2-7x+5x -x ì x - 5 ï khi x ¹ 2 ï khi x > 5 c) f ( ) x = í 2 taïi x =2 x -3x+2
d) f (x) = í 2x -1 -3 taïi x = 5 1 ïî khi x =2 ï 2
î(x - 5) + 3 khi x £ 5 ì x -1 1 ì - cos x khi x £ 0 ï khi x < 1 e) f (x) = í taïi x = 0 f) f (x) = í taïi x = 1 2 - x -1 î x +1 khi x > 0 ïî 2 - x khi x ³ 1
Baøi 2: Tìm m, n để hàm số liên tục tại điểm được chỉ ra: ì 2 a) x khi x f x < 1 ( ) = í taïi x = 1 î2mx - 3 khi x ³ 1
ìx3 -x2 +2x-2 ï b) khi x f x ¹1 ( ) = í taïi x x =1 1 - ïî x 3 +m khi x =1 Trang 67 Đại số 11 Trần Sĩ Tùng ìm khi x = 0 ïïx2 - x -6 c) f (x) = í
khi x ¹ 0, x ¹ 3
taïi x = 0 vaø x = 3 ï x(x - 3) ïîn khi x = 3 ì x2 - x - 2 ï d) khi x f x ¹ 2 ( ) = í taïi x x = 2 - 2 ïîm khi x = 2
Baøi 3: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng: 3 ì x + x + 2 ï khi x ¹ 1 - ì 2 x - 3x + 4 khi x < 2 ï ï a) 3 f (x) = x +1 í b) f (x) = í5 khi x = 2 ï4 khi x = 1 - ïî2x +1 khi x > 2 ïî3 ì 2 x - 4 ì 2 x - 2 ï ï khi x ¹ 2 c) khi x ¹ 2 f (x) - = í x + 2
d) f (x) = í x - 2 ïî 4 - khi x = 2 - ï î2 2 khi x = 2
Baøi 4: Tìm các giá trị của m để các hàm số sau liên tục trên tập xác định của chúng: ì 2 x - x - 2 ì 2 x + x khi x < 1 ï ï a) khi x ¹ 2
f (x) = í x -2 b) f (x) = í2 khi x = 1 ï ï îm khi x = 2 îmx +1 khi x > 1 ì 3 2
x - x + 2x - 2 ï ì 2 c) khi x ¹ 1 f (x) = í x khi x < 1 x -1 d) f (x) = í 3 ï î2mx - 3 khi x ³ 1 î x + m khi x = 1
Baøi 5: Chứng minh rằng các phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt: a) 3 x - 3x +1 = 0 b) 3 2
x + 6x + 9x +1 = 0 c) 3 2x + 6 1- x = 3
Baøi 6: Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm: a) 5 x - 3x + 3 = 0 b) 5 x + x -1 = 0 c) 4 3 2
x + x - 3x + x +1 = 0
Baøi 7: Chứng minh rằng phương trình: 5 3
x - 5x + 4x -1 = 0 có 5 nghiệm trên (–2; 2).
Baøi 8: Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số: a) 3 (
m x -1) (x - 2) + 2x - 3 = 0 b) 4 2
x + mx - 2mx - 2 = 0 c) ( a x - )
b (x - c) + (
b x - c)(x - )
a + c(x - a)(x - b) = 0 d) 2 3 2
(1- m )(x +1) + x - x - 3 = 0
e) cos x + m cos2x = 0 f) (
m 2 cos x - 2) = 2sin 5x +1
Baøi 9: Chứng minh các phương trình sau luôn có nghiệm: a) 2
ax + bx + c = 0 với 2a + 3b + 6c = 0 b) 2
ax + bx + c = 0 với a + 2b + 5c = 0 c) 3 2
x + ax + bx + c = 0 é 1ù
Baøi 10: Chứng minh rằng phương trình: 2
ax + bx + c = 0 luôn có nghiệm x Î 0; ê với a ¹ 0 3ú ë û và 2a + 6b + 19c = 0. Trang 68 Trần Sĩ Tùng Đại số 11
BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG IV
Bài 1. Tìm các giới hạn sau: 1+ 2 + 3 + ... + n
æ n + 2 sin n ö 2 n + 2n a) lim b) lim ç + ÷ c) lim n3 3 n è n +1 2 ø 3 2 n + n +1 n2 + 2n 5n 1 2 + + 3 n n ( 1 - ) + 4.3 d) lim e) lim f) lim 2n2 + n 3 -1 5n+2 3 +1 n 1 + n ( 1 - ) - 2.3 g)
( n2 - n - n2 lim 3 +1) g) (3 n3 + n2 lim 3 - n) h) ( n2 n4 lim 1+ - + n ) 2 cos n2 n i) lim k) lim l) ( n2 3 - - n3 lim 2 + 2n ) n2 +1 n2 3 +1 - n2 -1
Bài 2. Tìm các giới hạn sau: x2 - 5x + 6 8x2 -1
x3 - 4x2 + 4x - 3 a) lim b) lim c) lim x® x2 3 - 8x +15 1 2 2
x® 6x - 5x +1 x®3 x - 3x 2
2x4 - 5x3 + 3x2 +1 x3 - 3x + 2
x3 - 2x2 - 4x + 8 d) lim e) lim f) lim
x® 3x4 - 8x3 + 6x2 1 -1 x® x4 1 - 4x + 3 x® x4 - 8x2 2 +16 x3 - 2x -1 x + 2 (x 2 + 2) -1 g) lim h) lim i) lim x® x5 1 - 2x -1 x®- 2x2 2 + 5x + 2 x®- x2 1 -1
Bài 3. Tìm các giới hạn sau: x - 2 1+ x2 -1 x + 8 - 3 a) lim b) lim c) lim x®2 3 - x + 7 x®0 x x® x2 1 + 2x - 3 1+ 2x - 3 2x + 7 - 3 x2 +1 -1 d) lim e) lim f) lim x®4 x - 2 x 1 ® x + 3 - 2 x®0 4 - x2 +16 3 2 x + 7 - 5 - x 3 1+ x 3 - 1- x 3 4x - 2 g) lim h) lim i) lim x 1 ® x -1 x®0 x x®2 x - 2 3 x -1 3 1+ x2 -1
x + 2 + x + 7 - 5 k) lim l) lim m) lim x®0 x -1 x® x2 0 x®2 x - 2
Bài 4. Tìm các giới hạn sau: 2x2 - 3x + 2 x -1 3x3 - 4x +1 a) lim b) lim c) lim x 2+ ®- x + 2 x - ® x2 1 + 3x - 4 x 1+ ®- x +1 2x2 - 5x + 2 3x + 4 x + x d) lim e) lim f) lim x - ® (x 2 2 - 2) x 3+ ® 3 - x x 0+ ® x - x 8 + 2x - 2 2x2 + 5x - 3 x g) lim h) lim i) lim (x - 2) x 2+ ®- x + 2 x - ®- (x 2 3 - 3) x + ® x2 2 - 4
Bài 5. Tìm các giới hạn sau:
2x3 - 3x2 + 4x -1 x2 + x -1 (2x 2 - 3) (4x 3 + 7) a) lim b) lim c) lim
x®-¥ x4 - 5x3 + 2x2 - x + 3
x®+¥ 2x2 + x +1
x®+¥ (3x3 +1)(10x2 + 9)
2x4 - x3 + x d) lim e) ( x2 lim +1 + x) f) x + x2 lim ( - x +1)
x®+¥ 3x4 + 2x2 - 7 x®-¥ x®-¥ Trang 69 Đại số 11 Trần Sĩ Tùng x2 +1 - x 5x + 3 1- x g) lim h) ( x2 lim - x + 3 + x) i) lim x® -¥ 5 + 2x x®-¥ x®-¥ 1- x
x2 + 2x + 3x k) lim l)
( x2 + x - x2 lim 2 -1) m) ( x2 lim + 2x + x)
x®-¥ 4x2 +1 - x + 2 x®-¥ x®-¥
Bài 6. Xét tính liên tục của hàm số: ì 1 ì - x khi x £3 1- cos x ï ï khi x ¹ 0 ï a) f (x) = 2 í x2 - 2x - 3 trên R b) f (x) = sin x tại x = 0 khi x í >3 ï ï1 î 2x - 6 khi x = 0 ïî4 ì 12 - 6x ï khi x ¹ 2 ìïx2 khi x < 0
c) f (x) = í x2 - 7x +10 trên R d) f (x) = í tại x = 0 ï 1 ïî - x khi x ³ 0 î2 khi x = 2
Bài 7. Tìm a để hàm số liên tục trên R: 2 2a 1 khi x 1 ì x2 -1 ï a) khi x ¹ 1 3 2
f (x) x x 2x2 f (x) = b) í x -1 khi x 1 ï x 1 îx + a khi x = 1 ì x2 + x - 2 ì 2 ï x - 4x + 3 ï c) khi x f x ¹ 2 ( ) - = í khi x < 1 x + 2 d) f (x) = í x -1 ïîa khi x = -2 ïîax + 2 khi x ³ 1
Bài 8. Chứng minh rằng phương trình: a) x3 + x2
6 + 9x +1 = 0 có 3 nghiệm phân biệt. b) m x 3 - x2 - + x4 ( 1) ( 4)
- 3 = 0 luôn có ít nhất 2 nghiệm với mọi giá trị của m.
c) m2 + x4 x3 ( 1) –
–1 = 0 luôn có ít nhất 2 nghiệm nằm trong khoảng ( 1 - ; 2 ) với mọi m.
d) x3 + mx2 -1 = 0 luôn có 1 nghiệm dương. e) x4 - x2
3 + 5x – 6 = 0 có nghiệm trong khoảng (1; 2). a b c
Bài 9. Cho m > 0 và a, b, c là 3 số thực thoả mãn: + + = 0 . Chứng minh rằng
m + 2 m +1 m
phương trình: f x = ax2 ( )
+ bx + c = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; 1). æ m + ö c2 1
HD: Xét 2 trường hợp c = 0; c ¹ 0. Với c ¹ 0 thì f (0). f ç ÷ = - < 0 è m + 2 ø m(m + 2) Bài 10. a) Trang 70