Lý thuyết về Ma trận, Hạng ma trận, Ma trận nghịch đảo - Học Viện Kỹ Thuật Mật Mã

Nếu đổi chỗ 2 hàng (cột) của ma trận thì định thức đổi dấu. Nếu ma trận A có 2 hàng (cột) bằng nhau thì định thức bằng 0. Có thể tính định thức của ma trận bằng cách khai triển theo hàng bất kỳ. Định thức của ma trận tam giác bằng tích các phần tử trên đường chéo chính. Tài liệu giúp bạn tham khảo và đạt kết quả tốt. Mời bạn đọc đón xem!

16 8 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Môn: Vật lý đại cương (VLDC)

Trường: Học viện kỹ thuật mật mã

Thông tin:

15 trang 3 tuần trước

Tác giả:

Profile Mai Hương
lOMoARcPSD|1 6072870
Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa
=
.
ji
.
.
.
Tuần 3
CLB Hỗ trợ học tập
Chương 2: Ma trận - Định thfíc - Hệ PTTT
Ma trận, Định thfíc, Hạng ma trận, Ma trận nghịch đảo
1
Định nghĩa
Một ma trận cỡ m × n là một bảng số hình chữ nhật gồm m hàng, n cột có dạng
a
11
a
12
a
13
...
a
1n
a
11
a
12
a
23
...
a
1n
A = a
ij
a
m
1
a
m
2
a
m
3
... a
mn
với các phần tử ma trận
a
ij
∈
K
(
K
là trường số thực
R
hoặc trường số phức
C
)
Khi
m
=
1
, ma trận được gọi là ma trận hàng:
a
11
a
12
a
13
... a
1
n
a
11
a
21
Khi n
=
1, ma trận được gọi là ma trận cột:
a
31
...
a
m
1
Kh
i
a
i
j
=
0
,
∀
i,
j
,
m
a
t
r
ậ
n đ
ư
ợ
c g
ọ
i
là
m
a
t
r
ậ
n kh
ô
ng
,
kí hi
ệ
u
O
Khi m
=
n, ma trận được gọi là ma trận vuông cấp n
►
Hai ma trận bằng nhau
Ch
o
h
a
i m
a
t
r
ậ
n cùng kích
t
h
ư
ớ
c
A
=
a
i
j
m
×
n
v
à
B
=
b
i
j
m
×
n
.
N
ế
u
a
i
j
=
b
i
j
,
∀
i,
j
t
hì
A
=
B
►
Ma trận chuyển vị
Cho ma trận
A
=
a
ij
m×n
h
. Ma trận chuyển vị của
A
là
A
T
=
i
J
ij
n
×
m
sao cho
a
ij
=
a
J
VD
Ma trận A có ma trận chuyển vị là A
T
ở bên dưới
1 4
1 3 7
T
A
=
, A
=
3 6
4 6 3
7 3
►
Đường chéo chính của ma trận vuông
Cho ma trận vuông cấp n. Các phần tử a
ii
(i = 1, n) được gọi là các phần tử trên đường chéo
a
lOMoARcPSD|1 6072870
Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa
chính của ma trận
Nhóm Đại số - CLB Hỗ trợ học tập
1
If you fall asleep, you will dream. If you study now, you will live your dream
lOMoARcPSD|1 6072870
Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa
a
11
0
a
22
0
0
a
33
...
...
...
0
0
0
0
0
0
.
.
. .
.
. .
.
0 0 0 ...
a
nn
CLB Hỗ trợ học tập
a
11
a
12
a
13
a
22
a
23
a
32
a
33
...
...
...
a
1
n
a
21
a
a
2
n
a
31
.
3
n
.
.
a
n
1
. .
a
n
2
a
n
3
. .
.
...
a
nn
►
Các dạng của ma trận
(1)
A gọi là ma trận tam giác trên nếu
a
ij
=
0
(i > j)
,
là ma trận tam giác dưới nếu
a
ij
=
0
(i < j)
a
11
a
12
a
13
a
22
a
23
0
a
33
...
...
...
a
1n
0
a
a
2
n
0
.
3
n
.
. .
.
. .
.
0 0 0 ...
a
nn
Ma trận tam giác trên
(2)
A được gọi là ma trận chéo nếu a
ij
= 0 (i /= j)
Ma trận tam giác dưới
(3)
A
là ma trận đơn vị nếu nó là ma trận chéo có các phần tử trên đường chéo chính bằng
1
Ký hiệu
E
(Hoặc
I)
(4)
A
là ma trận đối xứng nếu
A = A
T
, là ma trận phản đối xứng nếu
A =
−
A
T
2
Các phép toán với ma trận
2.1
Phép cộng
Ch
o
h
a
i m
a
t
r
ậ
n
c
ùn
g c
ỡ
A
=
a
i
j
m
×
n
v
à
B
=
b
i
j
m
×
n
.
Kh
i đ
ó
A
+
B
=
a
i
j
+
b
i
j
m
×
n
►
Tính chất
(1)
(Giao hoán)
A + B = B + A
Nhóm Đại số - CLB Hỗ trợ học tập
2
If you fall asleep, you will dream. If you study now, you will live your dream
a
11
0
a
22
0
0
a
33
...
...
...
0
a
21
0
a
31
a
32
0
.
.
. .
.
.
a
n
1
. .
a
n
2
a
n
3
...
a
nn
lOMoARcPSD|1 6072870
Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ trợ học tập
(2)
(Kết
hợp)
A
+
(B
+
C)
=
(A
+
B)
+
C
(3)
(Tồn tại phần tử trung hòa)
A +
O
=
O
+ A = A
. Dễ thấy phần tử đối xứng của
A
là −
A
(4)
(A + B)
T
= A
T
+ B
T
Gọi Mat
m
×
n
(R) là tập các ma trận kích thước m × n với các phần tử thực, khi đó Mat
m
×
n
(R), +
lập thành một nhóm Abel
VD Xét hai ma trận cùng cỡ
A
và
B
A
=
1 2 5
,
B =
5 4 2
Khi đó
4 9 0
3 0 7
A
+ B =
1
+
5 2
+
4 5
+
2
=
6 6 7
4
+
3 9
+
0 0
+
7 7 9 7
2.2
Nhân một số với ma trận
Cho
A =
a
ij
m
×
n
trên trường K và một số k ∈ K. Khi đó
kA =
ka
ij
m
×
n
VD
2.
1 2 3
=
2
4
6
Ta có một số tính chất sau
4 5 6
8 10 12
(1)
(Phân phối)
k(A
+ B) =
kA
+
kB , (k
1
+
k
2
)A
=
k
1
A
+
k
2
A
(2)
(Kết hợp)
(k
1
k
2
)A
=
k
1
(k
2
A)
(3)
1.A
=
A, (
−
1)A
=
−
A
(4)
(kA)
T
=
kA
T
2.3
Nhân 2 ma trận
Cho hai ma trận
A
=
a
ij
m
×
n
và
B
=
b
i
j
n
×
p
. Tích hai ma trận
A
và
B
là
Với
AB = C =
c
ij
m×p
Σ
n
c
i
j
=
a
i
1
b
1
j
+
a
i
2
b
2
j
+
...
+
a
i
n
b
n
j
=
k=1
a
i
k
b
k
j
lOMoARcPSD|1 6072870
Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ trợ học tập
VD
2 1
2 2
0 1 7 1 1
=
0 1
3 1 −1
1 4 2 −2
3
−
1 1 1 1
−
1 6 2 1
Ta có một số tính chất sau
(1)
(Kết
hợp)
(AB)C = A(BC) , k(AB) = (kA)B = A(kB)
(2)
(Tồn tại phần tử trung hòa)
EA = AE = A
(3)
(Phân phối)
A(B + C) = AB + AC
(4)
(AB)
T
= B
T
A
T
Lưu ý
Phép nhân ma trận không có tính chất giao hoán
I
Định thfíc
Cho ma trận A = a
ij
n
×
n
vuông cấp n. Gọi M
ij
là ma trận vuông cấp n − 1 tạo bởi ma trận A
nhưng bỏ đi hàng
i
và cột
j
.
Định thức của
A
(Ký hiệu là det
A
hoặc |
A
|) xác định bởi
Σ
n
|
A
|
=
a
i
1
|
M
11
|
−
a
i
2
|
M
1
2
|
+
...
+
(
−
1
)
n
+
1
a
i
n
|
M
1
n
|
=
j
=1
(
−
1
)
i
+
j
a
i
j
|
M
1
j
|
T
a
g
ọ
i
A
i
j
=
(
−
1
)
i
+
j
|
M
i
j
|
là
ph
ầ
n phụ đ
ạ
i
s
ố
củ
a a
i
j
Ta có một số tính chất sau
(1)
det
A =
det
A
T
(2)
Nếu đổi chỗ 2 hàng (cột) của ma trận thì định thức đổi dấu
(3)
Nếu ma trận A có 2 hàng (cột) bằng nhau thì định thức bằng 0
(4)
Có thể tính định thức của ma trận bằng cách khai triển theo hàng bất kỳ
Σ
n
det
A =
j
=1
a
ij
A
ij
(
Cố định
i)
Tương tự, ta cũng có thể tính định thức của ma trận bằng cách khai triển theo cột bất kỳ
Σ
n
det
A =
i
=1
a
ij
A
ij
(
Cố định
j)
(6)
Ma trận A
J
xác định bằng cách nhân một hàng (cột) bất kỳ của A với một số λ. Khi đó
det
A
J
= λ
det
A
Khi đó, ta có
với
n
là cấp của ma trận vuông
A
lOMoARcPSD|1 6072870
Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ trợ học tập
det
(kA) = k
n
det
A
(7)
Nếu ta cộng một hàng (cột) với một hàng (cột) khác của A thì định thức của A không đổi
Nhóm Đại số - CLB Hỗ trợ học tập
4
If you fall asleep, you will dream. If you study now, you will live your dream
lOMoARcPSD|1 6072870
Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ trợ học tập
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
(8)
.
.
. . . . .
. . . . .
.
a
11
a
12
... a
1
n
. .
a
11
a
12
... a
1
n
. .
a
11
a
12
... a
1
n
.
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
.
b
1
+
c
1
b
2
+
c
2
... b
n
+
c
n
.
=
.
b
1
b
2
... b
n
.
+
.
c
1
c
2
... c
n
.
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
.
a
n
1
a
n
2
... a
nn
. .
a
n
1
a
n
2
... a
nn
. .
a
n
1
a
n
2
... a
nn
.
. . . . . .
(9)
Định thức của ma trận tam giác bằng tích các phần tử trên đường chéo chính
(10)
det(AB)
=
detA.detB, với
A
và
B
là hai ma trận cùng cỡ
.
.
.
.
VD Tính
.
.
.
1 2 3
.
.
.
.
−
1 1 2
.
. .
. .
.
2 3 4
.
Giải
Biến đổi
. . . .
. . . .
.
1 2 3
. .
1 2 3
.
. . . .
. .
=
.
.
(Cộng hàng 1 vào hàng 2)
.
−1 1 2
.
.
0 3 5
.
. . . .
. . . .
.
2 3 4
.
.
2 3 4
.
.
.
.
1 2 3
.
.
.
0 3 5
.
.
.
.
.
.
.
(Nhân hàng 1 với -2 rồi cộng vào hàng 3)
.
.
.
0 −1 −2
.
.
.
.
1 2 3
.
=
−
.
.
.
.
.
.
(Đổi hàng 2 và hàng 3)
.
0
−
1
−
2
.
.
.
.
0 3 5
.
.
.
1 2 3
.
=
−
.
.
.
.
.
.
.
.
.
(Nhân hàng 2 với 3 rồi cộng vào hàng 2)
.
0
−
1
−
2
.
. .
. .
.
0 0
−
1
.
= −1.(−1)(−1) = −1
Nhóm Đại số - CLB Hỗ trợ học tập
5
If you fall asleep, you will dream. If you study now, you will live your dream
=
lOMoARcPSD|1 6072870
Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ trợ học tập
0 0 0 0 0
II
Hạng của ma trận
1
Định nghĩa
►
Định thfíc con
Cho ma trận
A = a
ij
m×n
. Bỏ đi
m
−
k
hàng và
n
−
k
cột của ma trận
A
, ta được ma trận vuông
cấp
k
, định thức của ma trận đó được gọi là định thức con cấp
k
của ma trận
A
►
Hạng của ma trận
Hạng của ma trận A là cấp cao nhất của định thức con khác 0 của A. Ký hiệu rankA
2
Ma trận bậc thang
A gọi là ma trận bậc thang nếu như nó thỏa mãn các điều kiện sau
(1)
Nếu có hàng chứa toàn số 0 thì nó phải nằm ở dưới cùng
(2)
Phần tử khác 0 đầu tiền (Từ bên trái) nằm ở cột bên phải của phần tử khác 0 đầu tiên của
hàng trên đó
VD
1 4 5 6 −2 −1
2 4 9
−
1 5 0
0 1 7 −4 0
5
0 0 3 2 1
6
0 0 0 0 2
9
1
0 0
0 0
0 0
0 0
7 4 0 5
0 0 0 6
0 1 2 9
0 0
−
2 1
Ma trận bậc thang Ma trận "không" bậc thang
Hạng của ma trận chính là số hàng khác 0 của ma trận
3
Cách tính hạng của ma trận
Ta có một số chú ý sau
(1)
rank
A
=
rank
A
T
(2)
Hạng của ma trận khong đổi nếu áp dụng các phép biến đổi sơ cấp
Nhóm Đại số - CLB Hỗ trợ học tập
6
If you fall asleep, you will dream. If you study now, you will live your dream
lOMoARcPSD|1 6072870
Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ trợ học tập
1 1 1
1
2 1 3
2
VD Tính rank
A
với
A
=
3 2 1 −1
2 2 −1 −2
Giải
Áp dụng các phép biến đổi sơ cấp, ta có
1 1 1 1
2 1 3
2
h
2
−
2
h
1
→ h
2
h
3
−
3
h
1
→
h
3
h
4
−
2
h
1
→
h
4
1 1 1 1
0 −1 1
0
h
3
−
h
2
→
h
3
h
4
−
h
3
→
h
4
1 1 1
1
0
−
1 1
0
A
=
−−−−−−−−→
−−−−−−−→
3 2 1
−1
0 −1 −2 −4
0 0 −3 −4
2 2
−
1
−
2
Do đó rank
A
=
3
0 0
−
3
−
4
0 0 0 0
III
Ma trận nghịch đảo
1
Định nghĩa
Cho ma trận
A
vuông cấp
n
. Nếu tồn tại ma trận
B
cùng cỡ thỏa mãn
AB
=
BA
= E
thì
A
gọi
là ma trận khả nghịch, và
B
là ma trận nghịch đảo của
A
Ký hiệu
B =
A
−
1
VD
Với
A =
1 2
và
B =
−2
1
3
1
3 4
−
2 2
Ta có AB =
1 2
−
2 1
=
1 0
,
BA =
−
2 1
1 2 1 0
=
3
1
3
1
3 4
2
−
2
0 1
Do đó
B =
A
−
1
2
Tính chất
(1)
E
khả nghịch và
E
−
1
= E
(2)
A khả nghịch khi và chỉ khi detA /= 0
—
3 4 0 1
2 2
A
−
1
=
1
và det
det
A
(3)
A
và
B
là hai ma trận cùng cỡ và khả nghịch thì
AB
khả nghịch
(AB)
−
1
= B
−
1
A
−
1
Nhóm Đại số - CLB Hỗ trợ học tập
7
If you fall asleep, you will dream. If you study now, you will live your dream
lOMoARcPSD|1 6072870
Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. .
3
Cách tìm ma trận nghịch đảo
3.1
Phương pháp sử dụng phần phụ đại số
CLB Hỗ trợ học tập
B
1
Tính det
A
Nếu detA 0 thì ma trận khả nghịch
Nếu detA
=
0 thì ma trận không nghịch
∼
B
2
Lập ma trận phụ đại số
A
=
B
3
Sử dụng công thức
A
ij
n
×
n
, với
A
ij
là phần phụ đại số của
a
ij
∼
T
A
−
1
=
A
d
e
t
A
1 1
1
VD
Tìm ma trận nghịch đảo của
A
=
1 2
−
1
2 3 1
Giải
Ta có det
A
=
1
nên ma trận
A
khả nghịch
Lập ma trận phụ đại số
. . . .
. . . .
. .
. .
1+1
.
2 −1
.
1+2
.
1 −1
.
1+3
.
1 2
.
(
−
1)
.
.
(−1)
.
.
(
−
1)
. .
.
3 1
.
.
2 1
.
.
2 3
.
. .
. . .
. . . .
5
−3 −1
∼
.
1 1
.
.
1 1
.
.
1 1
.
A
= (
−
1)
2+1
.
.
(
−
1)
2+2
.
.
(
−
1)
2+3
.
.
=
. .
. . .
.
2
−1 −1
.
3 1
.
.
2 1
.
.
2 3
.
. .
. .
. .
−
3 2 1
. .
.
1 1
.
.
1 1
.
.
1 1
.
(−1)
3+1
. .
(−1)
3+2
.
.
(−1)
3+3
. .
. . . . . .
Do đó
A
−
1
=
∼
T
A
.
2 −1
.
5 2
−3
=
.
1 −1
.
.
1 2
.
detA
−
3
−
1
2
−1 −1 1
3.2
Phương pháp biến đổi sơ cấp
B
1
Lập ma trận bổ sung A
=
A|E
n×
2
n
B
2
Biến đổi sơ cấp trên các
hàng
để đưa ma trận
A
trở thành ma trận đơn vị. Khi đó phần bổ
sung ở bên trái sau khi biến đổi sẽ là ma trận nghịch đảo của A
A
|
E
Biến đổi sơ cấp theo hàng
n
×
2
n
−−−−−−−−−−−−−−−
→
−1
E
|
A
n×
2
n
Nhóm Đại số - CLB Hỗ trợ học tập
8
If you fall asleep, you will dream. If you study now, you will live your dream
lOMoARcPSD|1 6072870
Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ trợ học tập
1 1 1
VD
Tìm ma trận nghịch đảo của A
=
1 2 2
2 2 3
Giải
Xét ma trận bổ sung
.
.
.
h
−
h
→
h
.
.
h
−
h
→
h
.
1 1 1
.
1 0 0
.
2 1 2
1 1 1
.
h
3
−
2
h
1
→ h
3
.
1 0 0
1 2 1
1 0 0
.
2 −1 0
h
2
−
h
3
→
h
2
.
A
=
.
−−−−−−−−→
.
−−−−−−−→
.
1 2 2
.
0 1 0
0 1 1
.
−1 1 0
0 1 0
.
1 1 −1
.
.
. .
. .
2 2 3
.
0 0 1
0 0 1
.
−2 0 1
0 0 1
.
−2 0 1
2 −1
0
Vậy
A
−
1
=
1 1 −1
−2 0 1
Nhóm Đại số - CLB Hỗ trợ học tập
9
If you fall asleep, you will dream. If you study now, you will live your dream
lOMoARcPSD|1 6072870
Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ trợ học tập
21 22 23 2
n
2
11 12 13 1
n
1
.
.
.
.
.
.
Tuần 4
Chương 2: Ma trận - Định thfíc - Hệ PTTT
Hệ phương trình tuyến tính
I
Tổng quát
Hệ m phương trình, n ẩn:
a
+
a
+
a
+
...
+
a
=
b
a
+
a
+
a
+
...
+
a
=
b
(1)
...
a
m
1
+
a
m
2
+
a
m
3
+
...
+
a
m
n
=
b
n
Hệ (1) còn có thể được viết là
a
11
a
12
a
13
...
a
1n
x
1
b
1
a
21
a
22
a
23
...
a
2
n
x
2
b
2
=
. .
.
. .
.
a
m
1
a
m
2
a
m
3
... a
mn
x
m
b
m
` ˛¸
x ` ˛¸ x
` ˛¸ x
A X B
AX = B
II
Hệ Cramer
Hệ (1) là hệ Cramer khi
m = n
và
det A /= 0
►
Định lí
Hệ Cramer có nghiệm duy nhất
X =
A
−
1
B
hay
x
i
det A
i
=
,
∀
i
=
1
,
n
det A
(Trong đó A
i
là ma trận thay cột i của A bằng vecto cột B)
III
Giải HPTTT bằng phương pháp Gauss
B
1
Viết ma trận A cạnh vecto cột B được ma trận A
B
2
Biến đổi sơ cấp trên hàng đưa A về ma trận bậc thang
Nhóm Đại số - CLB Hỗ trợ học tập 1
If you fall asleep, you will dream. If you study now, you will live your dream
lOMoARcPSD|1 6072870
Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ trợ học tập
1 2 3
B
3
Biện luận theo rank
A
►
Định lí Kronecker - Capelli
Nếu rank
A /=
rank
A
thì hệ (1) vô nghiệm
Nếu rank
A
=
rank
A
=
n
thì hệ (1) có nghiệm duy nhất
Nếu rankA
=
rankA
<
n thì hệ (1) có vô số nghiệm
IV
Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất
Hệ (1) được gọi là hệ phương trình tuyến tính thuần nhất nếu
B =
O
. Có hai trường hợp
Nếu rank
A
=
n
: hệ có nghiệm duy nhất
X =
O
Nếu rank
A
<
n
: hệ có vô số nghiệm
Hệ quả Nếu
A
là ma trận vuông cấp
n
, hệ
AX =
O
có nghiệm duy nhất
⇔ det A /= 0
V
Các ví dụ
1.
Giải các hệ phương trình sau bằng hệ Cramer
x
1
+
x
2
+
x
3
=
2
x
1
+
x
2
+
x
3
=
3
a)
2x
1
+ x − 2x
3
=
1
x
+
2
x
−
x
=
0
b)
x
1
− 2x
2
+ x
3
=
3
3x
1
+ x
2
+ 5x
3
=
13
Giải
1 −1
1
a)
Xét ma trận
A
=
, ta có
det A = 3
/
= 0
⇒
Hệ đã cho là hệ Cramer
2 1
−
1
1 2 −1
. . . . . .
. . . . . .
.
2 −1 1
.
.
1 2 1
.
.
1 −1 2
.
.
Ta có
det A =
.
. .
.
=
3
,
det A
=
.
. .
.
=
0
,
det A
=
.
.
.
=
3
1
.
1 1
−1
.
2
.
2 1 −1
.
3
.
2 1 1
.
. . . . . .
. . . . . .
.
0 2
−1
.
.
1 0
−
1
.
.
1 2 0
.
Vậy
(x , x , x )
=
det A
1
,
det A
2
,
det A
3
=
(1, 0, 1)
là nghiệm duy nhất của hệ
1 2 3
det A
det A
det A
1 1 1
b)
Xét ma trận
B
=
, ta có
det B =
−
6
/
= 0
⇒
Hệ đã cho là hệ Cramer
1
−
2 1
3 1 5
Nhóm Đại số - CLB Hỗ trợ học tập 2
If you fall asleep, you will dream. If you study now, you will live your dream
lOMoARcPSD|1 6072870
Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa
.
.
.
.
.
.
.
. . . .
. . . .
.
CLB H
.
ỗ trợ học tập
. .
.
3 1 1
.
.
1 3 1
.
.
1 1 3
.
.
Ta có
det
B =
.
. .
.
=
−
6, det
B =
.
. .
.
=
0, det B =
.
.
.
=
−
12
1
.
3
−
2 1
.
2
.
1 3 1
.
3
.
1
−
2 3
.
. . . . . .
. . . . . .
.
13 1 5
.
.
3 13 5
.
.
3 1 13
.
Vậy (x , x , x )
=
det B
1
,
det B
2
,
det B
3
= (1, 0, 2)
là nghiệm duy nhất của hệ
1 2 3
det B det B det B
2.
Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss
x
1
− x
2
+ x
3
=
2
a)
2x
1
+ x
2
−
x
3
=
1
x
1
− x
2
+ x
3
− 3x
4
=
5
b)
2x
1
+ x
2
−
x
3
−
x
4
=
−
2
x
1
+ 2x
2
− x
3
=
0
2
x
1
+
x
3
+
x
4
=
8
Giải
.
.
1
−
1 1
.
2
a)
Xét ma trận bổ sung
A
=
.
.
. Thực hiện biển đổi sơ cấp, ta có
2
1
−
1
.
1
.
1 2
−
1
.
0
h
2
−
2
h
1
→
h
2
1 −1
1
.
.
.
2
1 −1
1
.
.
.
2
h
3
− h
1
→ h
3
.
h
3
− h
2
→ h
3
.
A −−−−−−−−→
.
−−−−−−−→
.
0
3
−
3
.
−
3 0
3
−
3
.
−
3
.
0 3
−2
.
−2
.
0 0 1
.
N
hận
t
hấ
y
r
an
k
A
=
r
an
k
A
=
3
n
ê
n h
ệ
ph
ư
ơ
n
g
t
r
ì
nh
có
du
y
nhấ
t
n
g
h
iệ
m
x
1
− x
2
+ x
3
=
2
Từ ma trận sau khi biến đổi sơ cấp, ta được hệ
x
2
− 3x
3
=
−3
x
3
=
1
Giải hệ, ta được nghiệm
(x
1
, x
2
, x
3
) = (1, 0, 1)
.
.
1
−
1
1
−
3
.
5
b)
Xét ma trận bổ sung
B
=
.
.
. Thực hiện biến đổi sơ cấp, ta có
2
1
−
1
−
1
.
−
2
h − 2h → h
2 0 1 1
.
8
. .
. .
2 1
2
1
−
1
1
−
3
.
5
1
−
1
1
−
3
.
5
h
3
− 2h
1
→ h
3
.
3h
3
− 2h
2
→ h
3
.
B −−−−−−−−→
.
−−−−−−−−−
→
.
0
3 −3 5
0 2 −1 7
.
12
.
.
−
2
0
3 −3
5
.
12
.
0 0 3
11
.
18
Do đó hệ có vô số nghiệm thỏa mãn. Đặt
x
4
=
t
, khi đó từ ma
t
rận bổ sung sau khi biến đổi sơ
cấp, ta được nghiệm
(x
1
, x
2
, x
3
, x
4
) =
4t 16t 11t
1
+
, 2 − , 6 −
, t
3 3 3
Nhóm Đại số - CLB Hỗ trợ học tập 3
If you fall asleep, you will dream. If you study now, you will live your dream
1
lOMoARcPSD|1 6072870
Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa
3.
Cho hệ phương trình
x
1
+ x
2
− 2x
3
=
a
2x
1
+
x
2
− x
3
=
b
mx
1
+ x
2
+ x
3
= c
CLB Hỗ trợ học tập
trong đó
a, b, c, m
∈
R.
a)
a) Tìm
m
để hệ có nghiệm duy nhất.
b)
Cho
(a, b, c) = (0, 0, 0)
. Biện luận theo
m
số nghiệm của phương trình.
Giải
1
1
−
2
a)
Xét ma trận tạo bởi các hệ số của các ẩn
A
=
2
−
1
−
1
m 1 1
. .
. .
.
1
1 −2
.
.
Hệ có nghiệm duy nhất ⇔ det A /= 0 ⇔
.
..
/= 0 ⇔ −3m − 6 /= 0 ⇔ m /= −2
.
2
−
1
−
1
.
. .
. .
b)
Với
m /= −2
thì
det A
(x
1
, x
2
, x
3
) = (0, 0, 0)
.
m 1 1
.
0
nên hệ phương trình là hệ Cramer, do đó hệ có nghiệm duy nhất
V
ớ
i
m
=
−
2
t
h
ì
h
ệ
ph
ư
ơ
n
g
t
r
ì
nh
t
r
ở
t
hành
x
1
+ x
2
− 2x
3
=
0
2x
1
− x
2
− x
3
=
0
−2x
1
+ x
2
+ x
3
=
0
Giải hệ trên, ta thấy hệ này có vô số nghiệm
Nhóm Đại số - CLB Hỗ trợ học tập 4
If you fall asleep, you will dream. If you study now, you will live your dream
| 1/15
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

lOMoARcPSD|16072870
Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ trợ học tập Tuần 3
Chương 2: Ma trận - Định thfíc - Hệ PTTT
Ma trận, Định thfíc, Hạng ma trận, Ma trận nghịch đảo 1 Định nghĩa
Một ma trận cỡ m × n là một bảng số hình chữ nhật gồm m hàng, n cột có dạng
a11 a12 a13 . . a1n
a11 a12 a23 . . a1n
A = aij m×n = . . . . . . . .
am1 am2 am3 . . amn
với các phần tử ma trận aij ∈ K (K là trường số thực R hoặc trường số phức C)
Khi m = 1, ma trận được gọi là ma trận hàng: a11 a12 a13 ... a1n a11 a21
Khi n = 1, ma trận được gọi là ma trận cột: a31 . . am1
Khi aij = 0, ∀i, j, ma trận được gọi là ma trận không, kí hiệu O
Khi m = n, ma trận được gọi là ma trận vuông cấp n ► Hai ma trận bằng nhau
Cho hai ma trận cùng kích thước A = aij m×n và B = bij m×n. Nếu aij = bij, ∀i, j thì A = B
► Ma trận chuyển vị h i
Cho ma trận A = a J ij a m
. Ma trận chuyển vị của A là AT = ij
sao cho aij = aJji ×n n×m
VD Ma trận A có ma trận chuyển vị là AT ở bên dưới 1 4 1 3 7 T A = , A = 3 6 4 6 3 7 3
► Đường chéo chính của ma trận vuông
Cho ma trận vuông cấp n. Các phần tử ai (i = 1, n) được gọi là các phần tử trên đường chéo lOMoARcPSD|16072870 chính của ma trận
Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa
Nhóm Đại số - CLB Hỗ trợ học tập 1
If you fal asleep, you wil dream. If you study now, you wil live your dream lOMoARcPSD|16072870
Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ trợ học tập a a 11 12
a13 . . a1n
a21 a22 a23 . . a2n
a31 a32 a33 . . a3n . . . . . . . .
an1 an2 an3 . . ann
► Các dạng của ma trận
(1) A gọi là ma trận tam giác trên nếu aij = 0 (i > j), là ma trận tam giác dưới nếu aij = 0 (i < j) a a 0 11 12
a13 . . a1n a11 0 0 . .
0 a22 a23 . . a a21 a 2n 22 0 . . 0 0 0 a33 . . a a31 a32 a 3n 33 . . 0 . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 . . ann
an1 an2 an3 . . ann Ma trận tam giác trên Ma trận tam giác dưới
(2) A được gọi là ma trận chéo nếu aij = 0 (i /= j) a 0 11 0 0 . . 0 a22 0 . . 0 0 0 a33 . . 0 . . . . . . . . 0 0 0 . . ann
(3) A là ma trận đơn vị nếu nó là ma trận chéo có các phần tử trên đường chéo chính bằng 1
Ký hiệu E (Hoặc I)
(4) A là ma trận đối xứng nếu A = AT , là ma trận phản đối xứng nếu A = −AT
2 Các phép toán với ma trận 2.1 Phép cộng
Cho hai ma trận cùng cỡ A = aij m×n và B = bij m×n. Khi đó
A + B = aij + bij m×n ► Tính chất
(1) (Giao hoán) A + B = B + A
Nhóm Đại số - CLB Hỗ trợ học tập 2
If you fal asleep, you wil dream. If you study now, you wil live your dream lOMoARcPSD|16072870
Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ trợ học tập
(2) (Kết hợp) A + (B + C) = (A + B) + C
(3) (Tồn tại phần tử trung hòa) A + O = O + A = A. Dễ thấy phần tử đối xứng của A là −A
(4) (A + B)T = AT + BT
Gọi Matm×n(R) là tập các ma trận kích thước m×n với các phần tử thực, khi đó Matm×n(R), + lập thành một nhóm Abel
VD Xét hai ma trận cùng cỡ A và B 1 2 5 5 4 2 A = , B = 4 9 0 3 0 7 Khi đó 1 + 5 2 + 4 5 + 2 6 6 7 A + B = = 4 + 3 9 + 0 0 + 7 7 9 7
2.2 Nhân một số với ma trận
Cho A = aij m×n trên trường K và một số k ∈ K. Khi đó
kA = kaij m×n VD 1 2 3 2 4 6 2. = 4 5 6 8 10 12
Ta có một số tính chất sau
(1) (Phân phối) k(A + B) = kA + kB , (k1 + k2)A = k1A + k2A
(2) (Kết hợp) (k1k2)A = k1(k2A)
(3) 1.A = A, (−1)A = −A
(4) (kA)T = kAT 2.3 Nhân 2 ma trận
Cho hai ma trận A = aij m×n và B = bij n×p. Tích hai ma trận A và B là
AB = C = cij m×p Với Σ n
cij = ai1b1j + ai2b2j + ... + ainbnj = aikbkj k=1 lOMoARcPSD|16072870
Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ trợ học tập VD 2 1 2 2 0 1 7 1 1 0 1 3 1 −1 1 = 4 2 −2 3 −1 1 1 1 −1 6 2 1
Ta có một số tính chất sau
(1) (Kết hợp) (AB)C = A(BC) , k(AB) = (kA)B = A(kB)
(2) (Tồn tại phần tử trung hòa) EA = AE = A
(3) (Phân phối) A(B + C) = AB + AC
(4) (AB)T = BT AT
Lưu ý Phép nhân ma trận không có tính chất giao hoán I Định thfíc
Cho ma trận A = aij n×n vuông cấp n. Gọi Mij là ma trận vuông cấp n − 1 tạo bởi ma trận A
nhưng bỏ đi hàng i và cột j. Định thức của A (Ký hiệu là detA hoặc |A|) xác định bởi Σ n
|A| = ai1 |M11| − ai2|M12| + ... + (−1)n+1ain|M1n| =
(−1)i+jaij|M1j| j=1
Ta gọi Aij = (−1)i+j|Mij| là phần phụ đại số của aij
Ta có một số tính chất sau
(1) detA = detAT
(2) Nếu đổi chỗ 2 hàng (cột) của ma trận thì định thức đổi dấu
(3) Nếu ma trận A có 2 hàng (cột) bằng nhau thì định thức bằng 0
(4) Có thể tính định thức của ma trận bằng cách khai triển theo hàng bất kỳ Σ n detA =
aijAij (Cố định i) j=1
Tương tự, ta cũng có thể tính định thức của ma trận bằng cách khai triển theo cột bất kỳ Σ n detA =
aijAij (Cố định j) i=1
(6) Ma trận AJ xác định bằng cách nhân một hàng (cột) bất kỳ của A với một số λ. Khi đó
detAJ = λdetA Khi đó, ta có
với n là cấp của ma trận vuông A lOMoARcPSD|16072870
det(kA) = kndetA
Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ trợ học tập
(7) Nếu ta cộng một hàng (cột) với một hàng (cột) khác của A thì định thức của A không đổi
Nhóm Đại số - CLB Hỗ trợ học tập 4
If you fal asleep, you wil dream. If you study now, you wil live your dream lOMoARcPSD|16072870
Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ trợ học tập (8) .. . . . . . . . . . . . a11 a12 ... a1n
a11 a12 ... a1n
a11 a12 ... a1n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b1 + c1 b2 + c2 . . bn + cn = . b1
b2 . . bn + . c1 c2 . . cn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . an1 an2 ... ann
an1 an2 ... ann
an1 an2 ... ann . . . . . .
(9) Định thức của ma trận tam giác bằng tích các phần tử trên đường chéo chính
(10) det(AB) = detA.detB, với A và B là hai ma trận cùng cỡ .. . . . . 1 2 3 . VD Tính . .. . −1 1 2 . . . . . . 2 3 4 . Giải Biến đổi . . . . . . . . . 1 2 3 . . 1 2 3 . . . . . . . = . (Cộng hàng 1 vào hàng 2) . −1 1 2 . . 0 3 5 . . . . . . . . . . 2 3 4 . . 2 3 4 . .. . . 1 2 3 . . . . .. = . 0 3 5 . .
(Nhân hàng 1 với -2 rồi cộng vào hàng 3) . .. . 0 −1 −2 . .. . . 1 2 3 . . . = − . . (Đổi hàng 2 và hàng 3) . 0 −1 −2 . .. .. . 0 3 5 . .. . . 1 2 3 . . . = − .
. (Nhân hàng 2 với 3 rồi cộng vào hàng 2) . 0 −1 −2 . . . . . . 0 0 −1 .
= −1.(−1)(−1) = −1
Nhóm Đại số - CLB Hỗ trợ học tập 5
If you fal asleep, you wil dream. If you study now, you wil live your dream lOMoARcPSD|16072870
Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ trợ học tập II Hạng của ma trận 1 Định nghĩa ► Định thfíc con
Cho ma trận A = aij m×n. Bỏ đi m − k hàng và n − k cột của ma trận A, ta được ma trận vuông
cấp k, định thức của ma trận đó được gọi là định thức con cấp k của ma trận A ► Hạng của ma trận
Hạng của ma trận A là cấp cao nhất của định thức con khác 0 của A. Ký hiệu rankA 2 Ma trận bậc thang
A gọi là ma trận bậc thang nếu như nó thỏa mãn các điều kiện sau
(1) Nếu có hàng chứa toàn số 0 thì nó phải nằm ở dưới cùng
(2) Phần tử khác 0 đầu tiền (Từ bên trái) nằm ở cột bên phải của phần tử khác 0 đầu tiên của hàng trên đó VD 1 4 5 6 −2 −1 2 4 9 −1 5 0 0 1 7 −4 0 5 0 0 7 4 0 5 0 0 3 2 1 6 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 2 9 0 0 0 1 2 9 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 −2 1 Ma trận bậc thang Ma trận "không" bậc thang
Hạng của ma trận chính là số hàng khác 0 của ma trận
3 Cách tính hạng của ma trận Ta có một số chú ý sau
(1) rankA = rank AT
(2) Hạng của ma trận khong đổi nếu áp dụng các phép biến đổi sơ cấp
Nhóm Đại số - CLB Hỗ trợ học tập 6
If you fal asleep, you wil dream. If you study now, you wil live your dream lOMoARcPSD|16072870
Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ trợ học tập 1 1 1 1 2 1 3 2
VD Tính rankA với A = 3 2 1 −1 2 2 −1 −2 Giải
Áp dụng các phép biến đổi sơ cấp, ta có 1 1 1 1
h2 − 2h1 → h2 1 1 1 1 1 1 1 1 h h 2 1 3 2 3 − 3h1 → h3 3 − h2 → h3 h 0 −1 1 0 0 −1 1 0 4 − 2h1 → h4
h4 − h3 → h4 A = −−−−−−−−→ −−−−−−−→ 3 2 1 −1 0 −1 −2 −4 0 0 −3 −4 2 2 −1 −2 0 0 −3 −4 0 0 0 0 Do đó rankA = 3 III Ma trận nghịch đảo 1 Định nghĩa
Cho ma trận A vuông cấp n. Nếu tồn tại ma trận B cùng cỡ thỏa mãn AB = BA = E thì A gọi
là ma trận khả nghịch, và B là ma trận nghịch đảo của A
Ký hiệu B = A−1 1 2 −2 1 VD Với A = và B = 3 1 3 4 2 −2 1 2 −2 1 1 0 −2 1 Ta có AB = = , BA = 1 2 1 0 = 3 1 3 1 3 4 — 3 4 0 1 2 −2 0 1 2 2
Do đó B = A−1 2 Tính chất
(1) E khả nghịch và E−1 = E
(2) A khả nghịch khi và chỉ khi detA /= 0 A−1 = 1 và det detA
(3) A và B là hai ma trận cùng cỡ và khả nghịch thì AB khả nghịch
(AB)−1 = B−1A−1
Nhóm Đại số - CLB Hỗ trợ học tập 7
If you fal asleep, you wil dream. If you study now, you wil live your dream lOMoARcPSD|16072870
Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ trợ học tập
3 Cách tìm ma trận nghịch đảo
3.1 Phương pháp sử dụng phần phụ đại số
Nếu detA 0 thì ma trận khả nghịch
B1 Tính detA NếudetA=0thìmatrậnkhôngnghịch ∼
B2 Lập ma trận phụ đại số A = Aij n×n, với Aij là phần phụ đại số của aij
B3 Sử dụng công thức ∼ T A A−1 = detA 1 1 1
VD Tìm ma trận nghịch đảo của A = 1 2 −1 2 3 1 Giải
Ta có detA = 1 nên ma trận A khả nghịch
Lập ma trận phụ đại số . . . . . . . . . . . . . 2 −1. . 1 −1. . 1 2 . 1+1 1+2 1+3 (−1) . . . . (−1) . . . . (−1) . . . . . 3 1 . . 2 1 . . 2 3 . . . . . . . . . . 5 −3 −1 ∼ . 1 1 . . 1 1 . . 1 1 . A = (−1)2+1 . . (−1)2+2 . . (−1)2+3 . . . . . . . = . 2 −1 −1 . 3 1 . . 2 1 . . 2 3 . . . . . . . . . . . −3 2 1 . . . 1 1 . . 1 1 . . 1 1 . (−1)3+1 . . (−1)3+2 . . (−1)3+3 . . . . . . . . . 2 −1. . 1 −1. . 1 2 . ∼ T 5 2 −3
Do đó A−1 = A = detA −3 −1 2 −1 −1 1
3.2 Phương pháp biến đổi sơ cấp
B1 Lập ma trận bổ sung A = A|E n×2n
B2 Biến đổi sơ cấp trên các hàng để đưa ma trận A trở thành ma trận đơn vị. Khi đó phần bổ
sung ở bên trái sau khi biến đổi sẽ là ma trận nghịch đảo của A
Biến đổi sơ cấp theo hàng
A|E n×2n −−−−−−−−−−−−−−→ −1 E|A n×2n
Nhóm Đại số - CLB Hỗ trợ học tập 8
If you fal asleep, you wil dream. If you study now, you wil live your dream lOMoARcPSD|16072870
Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ trợ học tập 1 1 1
VD Tìm ma trận nghịch đảo của A = 1 2 2 2 2 3 Giải Xét ma trận bổ sung .. . .
h − h → h
h − h → h 1 1 1 . 1 0 0 . 2 1 2 1 1 1 . h . 1 0 0 1 2 1 1 0 0 . 2 −1 0 3 − 2h1 → h3
h2 − h3 → h2 A = . −−−−−−−−→ . −−−−−−−→ . 1 2 2 . 0 1 0 0 1 1 . −1 1 0 0 1 0 . 1 1 −1 .. . . . . 2 2 3 . 0 0 1 0 0 1 . −2 0 1 0 0 1 . −2 0 1 2 −1 0 Vậy A−1 = 1 1 −1 −2 0 1
Nhóm Đại số - CLB Hỗ trợ học tập 9
If you fal asleep, you wil dream. If you study now, you wil live your dream lOMoARcPSD|16072870
Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ trợ học tập Tuần 4
Chương 2: Ma trận - Định thfíc - Hệ PTTT
Hệ phương trình tuyến tính I Tổng quát
Hệ m phương trình, n ẩn:
a + a + a + ... + a = b 11 12 13 1n 1
a21 + a22 + a23 + ... + a2n = b2 (1) . .
am1 + am2 + am3 + ... + amn = bn
Hệ (1) còn có thể được viết là
a11 a12 a13 . . a1n x1 b1
a21 a22 a23 . . a2n x2 b2 . . = . . . . . . . . . .
am1 am2 am3 . . amn xm bm ` ˛¸ x ` ˛¸ x ` ˛¸ x A X B AX = B II Hệ Cramer
Hệ (1) là hệ Cramer khi m = n và det A /= 0 ► Định lí det A
Hệ Cramer có nghiệm duy nhất X = A−1B hay x i i =
, ∀i = 1, n det A
(Trong đó Ai là ma trận thay cột i của A bằng vecto cột B)
III Giải HPTTT bằng phương pháp Gauss
B1 Viết ma trận A cạnh vecto cột B được ma trận A
B2 Biến đổi sơ cấp trên hàng đưa A về ma trận bậc thang
Nhóm Đại số - CLB Hỗ trợ học tập 1
If you fal asleep, you wil dream. If you study now, you wil live your dream lOMoARcPSD|16072870
Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ trợ học tập B3 Biện luận theo rankA
► Định lí Kronecker - Capelli
Nếu rankA /= rankA thì hệ (1) vô nghiệm
Nếu rankA = rankA = n thì hệ (1) có nghiệm duy nhất
Nếu rankA = rankA < n thì hệ (1) có vô số nghiệm
IV Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất
Hệ (1) được gọi là hệ phương trình tuyến tính thuần nhất nếu B = O. Có hai trường hợp
Nếu rankA = n: hệ có nghiệm duy nhất X = O
Nếu rankA < n: hệ có vô số nghiệm
Hệ quả Nếu A là ma trận vuông cấp n, hệ AX = O có nghiệm duy nhất ⇔ det A /= 0 V Các ví dụ
1. Giải các hệ phương trình sau bằng hệ Cramer
x1 + x2 + x3 = 2
x1 + x2 + x3 = 3
a) 2x1 + x − 2x3 = 1
b) x1 − 2x2 + x3 = 3
x1 + 2x2 − x3 = 0
3x1 + x2 + 5x3 = 13 Giải 1 −1 1
a) Xét ma trận A =
, ta có det A = 3 /= 0 ⇒ Hệ đã cho là hệ Cramer 2 1 −1 1 2 −1 . . . . . . . . . . . . .2 −1 1 . .1 2 1 . .1 −1 2. . Ta có det A = . . = 3, det A = . . = 0, det A = . = 3 1 .1 1 −1. 2 .2 1 −1. 3 .2 1 1. . . . . . . . . . . . . .0 2 −1. .1 0 −1. .1 2 0.
Vậy (x , x , x ) = det A1 , det A2 , det A3 = (1, 0, 1) là nghiệm duy nhất của hệ 1 2 3
det A det A det A 1 1 1
b) Xét ma trận B =
, ta có det B = −6 /= 0 ⇒ Hệ đã cho là hệ Cramer 1 −2 1 3 1 5
Nhóm Đại số - CLB Hỗ trợ học tập 2
If you fal asleep, you wil dream. If you study now, you wil live your dream lOMoARcPSD|16072870
Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa . . . . . . . . . CLB H.ỗ trợ học tập . . . 3 1 1. .1 3 1. .1 1 3 . . Ta có det B = . . = −6, det B = . . = 0, det B = . = −12 1 . 3 −2 1. 2 .1 3 1. 3 .1 −2 3 . . . . . . . . . . . . . .13 1 5. .3 13 5. .3 1 13.
Vậy (x , x , x ) = det B1 , det B2 , det B3 = (1, 0, 2) là nghiệm duy nhất của hệ 1 2 3
det B det B det B
2. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss
x1 − x2 + x3 = 2
x1 − x2 + x3 − 3x4 = 5
a) 2x1 + x2 − x3 = 1
b) 2x1 + x2 − x3 − x4 = −2
x1 + 2x2 − x3 = 0
2x1 + x3 + x4 = 8 Giải .. 1 −1 1 . 2
a) Xét ma trận bổ sung A = .
. Thực hiện biển đổi sơ cấp, ta có 2 1 −1 . 1 .. 1 2 −1 . 0 .. .. h 1 −1 1 .. 2 1 −1 1 .. 2 2 − 2h1 → h2
h3 − h1 → h3
h3 − h2 → h3
A −−−−−−−−→ . −−−−−−−→ . 0 3 −3 . −3 0 3 −3 . −3 . . . . 0 0 1 . 0 3 −2 . −2 1
Nhận thấy rankA = rankA = 3 nên hệ phương trình có duy nhất nghiệm
x1 − x2 + x3 = 2
Từ ma trận sau khi biến đổi sơ cấp, ta được hệ x2 − 3x3 = −3 x3 = 1
Giải hệ, ta được nghiệm (x1, x2, x3) = (1, 0, 1) .. 1 −1 1 −3 . 5
b) Xét ma trận bổ sung B = .
. Thực hiện biến đổi sơ cấp, ta có 2 1 −1 −1 . −2 .. 2 0 1 1 . 8 . .
h − 2h → h . . 2 1 2 1 −1 1 −3 . 5 1 . −1 1 −3 . 5 .
h3 − 2h1 → h3
3h3 − 2h2 → h3
B −−−−−−−−→ . −−−−−−−−→ . 0 3 −3 5 .. 12 0 3 −3 5 .. 12 . . 0 2 −1 7 . −2 0 0 3 11 . 18
Do đó hệ có vô số nghiệm thỏa mãn. Đặt x4 = t, khi đó từ ma trận bổ sung sau khi biến đổi sơ
cấp, ta được nghiệm (x1, x2, x3, x4) = 4t 16t 11t 1 + , 2 − , 6 − , t 3 3 3
Nhóm Đại số - CLB Hỗ trợ học tập 3
If you fal asleep, you wil dream. If you study now, you wil live your dream lOMoARcPSD|16072870
Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ trợ học tập 3. Cho hệ phương trình
x1 + x2 − 2x3 = a
2x1 + x2 − x3 = b
mx1 + x2 + x3 = c
trong đó a, b, c, m ∈ R.
a) a) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất.
b) Cho (a, b, c) = (0, 0, 0). Biện luận theo m số nghiệm của phương trình. Giải 1 1 −2
a) Xét ma trận tạo bởi các hệ số của các ẩn A = 2 −1 −1 m 1 1 . . . . . 1 1 −2. .
Hệ có nghiệm duy nhất ⇔ det A /= 0 ⇔ .
. /= 0 ⇔ −3m − 6 /= 0 ⇔ m /= −2 . 2 −1 −1. . . . . .m 1 1 .
b) Với m /= −2 thì det A 0 nên hệ phương trình là hệ Cramer, do đó hệ có nghiệm duy nhất
(x1, x2, x3) = (0, 0, 0)
Với m = −2 thì hệ phương trình trở thành
x1 + x2 − 2x3 = 0
2x1 − x2 − x3 = 0
−2x1 + x2 + x3 = 0
Giải hệ trên, ta thấy hệ này có vô số nghiệm
Nhóm Đại số - CLB Hỗ trợ học tập 4
If you fal asleep, you wil dream. If you study now, you wil live your dream
Document Outline

  • Tuần 3
  • Chương 2: Ma trận - Định thfíc - Hệ PTTT
    • 1Định nghĩa
    • 2Các phép toán với ma trận
  • IĐịnh thfíc
  • IIHạng của ma trận
    • 1Định nghĩa
    • 2Ma trận bậc thang
    • 3Cách tính hạng của ma trận
  • IIIMa trận nghịch đảo
    • 1Định nghĩa
    • 2Tính chất
    • 3Cách tìm ma trận nghịch đảo
  • Tuần 4
  • ITổng quát
  • IIHệ Cramer
  • IIIGiải HPTTT bằng phương pháp Gauss
  • IVHệ phương trình tuyến tính thuần nhất
  • VCác ví dụ