Lý thuyết về Ma trận, Hạng ma trận, Ma trận nghịch đảo - Học Viện Kỹ Thuật Mật Mã

lOMoARcPSD|16072870
Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ trợ học tập Tuần 3
Chương 2: Ma trận - Định thfíc - Hệ PTTT
Ma trận, Định thfíc, Hạng ma trận, Ma trận nghịch đảo 1 Định nghĩa
Một ma trận cỡ m × n là một bảng số hình chữ nhật gồm m hàng, n cột có dạng
a11 a12 a13 . . a1n
a11 a12 a23 . . a1n
A = aij m×n = . . . . . . . .
am1 am2 am3 . . amn
với các phần tử ma trận aij ∈ K (K là trường số thực R hoặc trường số phức C)
Khi m = 1, ma trận được gọi là ma trận hàng: a11 a12 a13 ... a1n a11 a21
Khi n = 1, ma trận được gọi là ma trận cột: a31 . . am1
Khi aij = 0, ∀i, j, ma trận được gọi là ma trận không, kí hiệu O
Khi m = n, ma trận được gọi là ma trận vuông cấp n ► Hai ma trận bằng nhau
Cho hai ma trận cùng kích thước A = aij m×n và B = bij m×n. Nếu aij = bij, ∀i, j thì A = B
► Ma trận chuyển vị h i
Cho ma trận A = a J ij a m
. Ma trận chuyển vị của A là AT = ij
sao cho aij = aJji ×n n×m
VD Ma trận A có ma trận chuyển vị là AT ở bên dưới 1 4 1 3 7 T A = , A = 3 6 4 6 3 7 3
► Đường chéo chính của ma trận vuông
Cho ma trận vuông cấp n. Các phần tử ai (i = 1, n) được gọi là các phần tử trên đường chéo lOMoARcPSD|16072870 chính của ma trận
Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa
Nhóm Đại số - CLB Hỗ trợ học tập 1
If you fal asleep, you wil dream. If you study now, you wil live your dream lOMoARcPSD|16072870
Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ trợ học tập a a 11 12
a13 . . a1n
a21 a22 a23 . . a2n
a31 a32 a33 . . a3n . . . . . . . .
an1 an2 an3 . . ann
► Các dạng của ma trận
(1) A gọi là ma trận tam giác trên nếu aij = 0 (i > j), là ma trận tam giác dưới nếu aij = 0 (i < j) a a 0 11 12
a13 . . a1n a11 0 0 . .
0 a22 a23 . . a a21 a 2n 22 0 . . 0 0 0 a33 . . a a31 a32 a 3n 33 . . 0 . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 . . ann
an1 an2 an3 . . ann Ma trận tam giác trên Ma trận tam giác dưới
(2) A được gọi là ma trận chéo nếu aij = 0 (i /= j) a 0 11 0 0 . . 0 a22 0 . . 0 0 0 a33 . . 0 . . . . . . . . 0 0 0 . . ann
(3) A là ma trận đơn vị nếu nó là ma trận chéo có các phần tử trên đường chéo chính bằng 1
Ký hiệu E (Hoặc I)
(4) A là ma trận đối xứng nếu A = AT , là ma trận phản đối xứng nếu A = −AT
2 Các phép toán với ma trận 2.1 Phép cộng
Cho hai ma trận cùng cỡ A = aij m×n và B = bij m×n. Khi đó
A + B = aij + bij m×n ► Tính chất
(1) (Giao hoán) A + B = B + A
Nhóm Đại số - CLB Hỗ trợ học tập 2
If you fal asleep, you wil dream. If you study now, you wil live your dream lOMoARcPSD|16072870
Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ trợ học tập
(2) (Kết hợp) A + (B + C) = (A + B) + C
(3) (Tồn tại phần tử trung hòa) A + O = O + A = A. Dễ thấy phần tử đối xứng của A là −A
(4) (A + B)T = AT + BT
Gọi Matm×n(R) là tập các ma trận kích thước m×n với các phần tử thực, khi đó Matm×n(R), + lập thành một nhóm Abel
VD Xét hai ma trận cùng cỡ A và B 1 2 5 5 4 2 A = , B = 4 9 0 3 0 7 Khi đó 1 + 5 2 + 4 5 + 2 6 6 7 A + B = = 4 + 3 9 + 0 0 + 7 7 9 7
2.2 Nhân một số với ma trận
Cho A = aij m×n trên trường K và một số k ∈ K. Khi đó
kA = kaij m×n VD 1 2 3 2 4 6 2. = 4 5 6 8 10 12
Ta có một số tính chất sau
(1) (Phân phối) k(A + B) = kA + kB , (k1 + k2)A = k1A + k2A
(2) (Kết hợp) (k1k2)A = k1(k2A)
(3) 1.A = A, (−1)A = −A
(4) (kA)T = kAT 2.3 Nhân 2 ma trận
Cho hai ma trận A = aij m×n và B = bij n×p. Tích hai ma trận A và B là
AB = C = cij m×p Với Σ n
cij = ai1b1j + ai2b2j + ... + ainbnj = aikbkj k=1 lOMoARcPSD|16072870
Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ trợ học tập VD 2 1 2 2 0 1 7 1 1 0 1 3 1 −1 1 = 4 2 −2 3 −1 1 1 1 −1 6 2 1
Ta có một số tính chất sau
(1) (Kết hợp) (AB)C = A(BC) , k(AB) = (kA)B = A(kB)
(2) (Tồn tại phần tử trung hòa) EA = AE = A
(3) (Phân phối) A(B + C) = AB + AC
(4) (AB)T = BT AT
Lưu ý Phép nhân ma trận không có tính chất giao hoán I Định thfíc
Cho ma trận A = aij n×n vuông cấp n. Gọi Mij là ma trận vuông cấp n − 1 tạo bởi ma trận A
nhưng bỏ đi hàng i và cột j. Định thức của A (Ký hiệu là detA hoặc |A|) xác định bởi Σ n
|A| = ai1 |M11| − ai2|M12| + ... + (−1)n+1ain|M1n| =
(−1)i+jaij|M1j| j=1
Ta gọi Aij = (−1)i+j|Mij| là phần phụ đại số của aij
Ta có một số tính chất sau
(1) detA = detAT
(2) Nếu đổi chỗ 2 hàng (cột) của ma trận thì định thức đổi dấu
(3) Nếu ma trận A có 2 hàng (cột) bằng nhau thì định thức bằng 0
(4) Có thể tính định thức của ma trận bằng cách khai triển theo hàng bất kỳ Σ n detA =
aijAij (Cố định i) j=1
Tương tự, ta cũng có thể tính định thức của ma trận bằng cách khai triển theo cột bất kỳ Σ n detA =
aijAij (Cố định j) i=1
(6) Ma trận AJ xác định bằng cách nhân một hàng (cột) bất kỳ của A với một số λ. Khi đó
detAJ = λdetA Khi đó, ta có
với n là cấp của ma trận vuông A lOMoARcPSD|16072870
det(kA) = kndetA
Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ trợ học tập
(7) Nếu ta cộng một hàng (cột) với một hàng (cột) khác của A thì định thức của A không đổi
Nhóm Đại số - CLB Hỗ trợ học tập 4
If you fal asleep, you wil dream. If you study now, you wil live your dream lOMoARcPSD|16072870
Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ trợ học tập (8) .. . . . . . . . . . . . a11 a12 ... a1n
a11 a12 ... a1n
a11 a12 ... a1n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b1 + c1 b2 + c2 . . bn + cn = . b1
b2 . . bn + . c1 c2 . . cn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . an1 an2 ... ann
an1 an2 ... ann
an1 an2 ... ann . . . . . .
(9) Định thức của ma trận tam giác bằng tích các phần tử trên đường chéo chính
(10) det(AB) = detA.detB, với A và B là hai ma trận cùng cỡ .. . . . . 1 2 3 . VD Tính . .. . −1 1 2 . . . . . . 2 3 4 . Giải Biến đổi . . . . . . . . . 1 2 3 . . 1 2 3 . . . . . . . = . (Cộng hàng 1 vào hàng 2) . −1 1 2 . . 0 3 5 . . . . . . . . . . 2 3 4 . . 2 3 4 . .. . . 1 2 3 . . . . .. = . 0 3 5 . .
(Nhân hàng 1 với -2 rồi cộng vào hàng 3) . .. . 0 −1 −2 . .. . . 1 2 3 . . . = − . . (Đổi hàng 2 và hàng 3) . 0 −1 −2 . .. .. . 0 3 5 . .. . . 1 2 3 . . . = − .
. (Nhân hàng 2 với 3 rồi cộng vào hàng 2) . 0 −1 −2 . . . . . . 0 0 −1 .
= −1.(−1)(−1) = −1
Nhóm Đại số - CLB Hỗ trợ học tập 5
If you fal asleep, you wil dream. If you study now, you wil live your dream lOMoARcPSD|16072870
Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ trợ học tập II Hạng của ma trận 1 Định nghĩa ► Định thfíc con
Cho ma trận A = aij m×n. Bỏ đi m − k hàng và n − k cột của ma trận A, ta được ma trận vuông
cấp k, định thức của ma trận đó được gọi là định thức con cấp k của ma trận A ► Hạng của ma trận
Hạng của ma trận A là cấp cao nhất của định thức con khác 0 của A. Ký hiệu rankA 2 Ma trận bậc thang
A gọi là ma trận bậc thang nếu như nó thỏa mãn các điều kiện sau
(1) Nếu có hàng chứa toàn số 0 thì nó phải nằm ở dưới cùng
(2) Phần tử khác 0 đầu tiền (Từ bên trái) nằm ở cột bên phải của phần tử khác 0 đầu tiên của hàng trên đó VD 1 4 5 6 −2 −1 2 4 9 −1 5 0 0 1 7 −4 0 5 0 0 7 4 0 5 0 0 3 2 1 6 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 2 9 0 0 0 1 2 9 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 −2 1 Ma trận bậc thang Ma trận "không" bậc thang
Hạng của ma trận chính là số hàng khác 0 của ma trận
3 Cách tính hạng của ma trận Ta có một số chú ý sau
(1) rankA = rank AT
(2) Hạng của ma trận khong đổi nếu áp dụng các phép biến đổi sơ cấp
Nhóm Đại số - CLB Hỗ trợ học tập 6
If you fal asleep, you wil dream. If you study now, you wil live your dream lOMoARcPSD|16072870
Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ trợ học tập 1 1 1 1 2 1 3 2
VD Tính rankA với A = 3 2 1 −1 2 2 −1 −2 Giải
Áp dụng các phép biến đổi sơ cấp, ta có 1 1 1 1
h2 − 2h1 → h2 1 1 1 1 1 1 1 1 h h 2 1 3 2 3 − 3h1 → h3 3 − h2 → h3 h 0 −1 1 0 0 −1 1 0 4 − 2h1 → h4
h4 − h3 → h4 A = −−−−−−−−→ −−−−−−−→ 3 2 1 −1 0 −1 −2 −4 0 0 −3 −4 2 2 −1 −2 0 0 −3 −4 0 0 0 0 Do đó rankA = 3 III Ma trận nghịch đảo 1 Định nghĩa
Cho ma trận A vuông cấp n. Nếu tồn tại ma trận B cùng cỡ thỏa mãn AB = BA = E thì A gọi
là ma trận khả nghịch, và B là ma trận nghịch đảo của A
Ký hiệu B = A−1 1 2 −2 1 VD Với A = và B = 3 1 3 4 2 −2 1 2 −2 1 1 0 −2 1 Ta có AB = = , BA = 1 2 1 0 = 3 1 3 1 3 4 — 3 4 0 1 2 −2 0 1 2 2
Do đó B = A−1 2 Tính chất
(1) E khả nghịch và E−1 = E
(2) A khả nghịch khi và chỉ khi detA /= 0 A−1 = 1 và det detA
(3) A và B là hai ma trận cùng cỡ và khả nghịch thì AB khả nghịch
(AB)−1 = B−1A−1
Nhóm Đại số - CLB Hỗ trợ học tập 7
If you fal asleep, you wil dream. If you study now, you wil live your dream lOMoARcPSD|16072870
Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ trợ học tập
3 Cách tìm ma trận nghịch đảo
3.1 Phương pháp sử dụng phần phụ đại số
Nếu detA 0 thì ma trận khả nghịch
B1 Tính detA NếudetA=0thìmatrậnkhôngnghịch ∼
B2 Lập ma trận phụ đại số A = Aij n×n, với Aij là phần phụ đại số của aij
B3 Sử dụng công thức ∼ T A A−1 = detA 1 1 1
VD Tìm ma trận nghịch đảo của A = 1 2 −1 2 3 1 Giải
Ta có detA = 1 nên ma trận A khả nghịch
Lập ma trận phụ đại số . . . . . . . . . . . . . 2 −1. . 1 −1. . 1 2 . 1+1 1+2 1+3 (−1) . . . . (−1) . . . . (−1) . . . . . 3 1 . . 2 1 . . 2 3 . . . . . . . . . . 5 −3 −1 ∼ . 1 1 . . 1 1 . . 1 1 . A = (−1)2+1 . . (−1)2+2 . . (−1)2+3 . . . . . . . = . 2 −1 −1 . 3 1 . . 2 1 . . 2 3 . . . . . . . . . . . −3 2 1 . . . 1 1 . . 1 1 . . 1 1 . (−1)3+1 . . (−1)3+2 . . (−1)3+3 . . . . . . . . . 2 −1. . 1 −1. . 1 2 . ∼ T 5 2 −3
Do đó A−1 = A = detA −3 −1 2 −1 −1 1
3.2 Phương pháp biến đổi sơ cấp
B1 Lập ma trận bổ sung A = A|E n×2n
B2 Biến đổi sơ cấp trên các hàng để đưa ma trận A trở thành ma trận đơn vị. Khi đó phần bổ
sung ở bên trái sau khi biến đổi sẽ là ma trận nghịch đảo của A
Biến đổi sơ cấp theo hàng
A|E n×2n −−−−−−−−−−−−−−→ −1 E|A n×2n
Nhóm Đại số - CLB Hỗ trợ học tập 8
If you fal asleep, you wil dream. If you study now, you wil live your dream lOMoARcPSD|16072870
Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ trợ học tập 1 1 1
VD Tìm ma trận nghịch đảo của A = 1 2 2 2 2 3 Giải Xét ma trận bổ sung .. . .
h − h → h
h − h → h 1 1 1 . 1 0 0 . 2 1 2 1 1 1 . h . 1 0 0 1 2 1 1 0 0 . 2 −1 0 3 − 2h1 → h3
h2 − h3 → h2 A = . −−−−−−−−→ . −−−−−−−→ . 1 2 2 . 0 1 0 0 1 1 . −1 1 0 0 1 0 . 1 1 −1 .. . . . . 2 2 3 . 0 0 1 0 0 1 . −2 0 1 0 0 1 . −2 0 1 2 −1 0 Vậy A−1 = 1 1 −1 −2 0 1
Nhóm Đại số - CLB Hỗ trợ học tập 9
If you fal asleep, you wil dream. If you study now, you wil live your dream lOMoARcPSD|16072870
Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ trợ học tập Tuần 4
Chương 2: Ma trận - Định thfíc - Hệ PTTT
Hệ phương trình tuyến tính I Tổng quát
Hệ m phương trình, n ẩn:
a + a + a + ... + a = b 11 12 13 1n 1
a21 + a22 + a23 + ... + a2n = b2 (1) . .
am1 + am2 + am3 + ... + amn = bn
Hệ (1) còn có thể được viết là
a11 a12 a13 . . a1n x1 b1
a21 a22 a23 . . a2n x2 b2 . . = . . . . . . . . . .
am1 am2 am3 . . amn xm bm ` ˛¸ x ` ˛¸ x ` ˛¸ x A X B AX = B II Hệ Cramer
Hệ (1) là hệ Cramer khi m = n và det A /= 0 ► Định lí det A
Hệ Cramer có nghiệm duy nhất X = A−1B hay x i i =
, ∀i = 1, n det A
(Trong đó Ai là ma trận thay cột i của A bằng vecto cột B)
III Giải HPTTT bằng phương pháp Gauss
B1 Viết ma trận A cạnh vecto cột B được ma trận A
B2 Biến đổi sơ cấp trên hàng đưa A về ma trận bậc thang
Nhóm Đại số - CLB Hỗ trợ học tập 1
If you fal asleep, you wil dream. If you study now, you wil live your dream lOMoARcPSD|16072870
Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ trợ học tập B3 Biện luận theo rankA
► Định lí Kronecker - Capelli
Nếu rankA /= rankA thì hệ (1) vô nghiệm
Nếu rankA = rankA = n thì hệ (1) có nghiệm duy nhất
Nếu rankA = rankA < n thì hệ (1) có vô số nghiệm
IV Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất
Hệ (1) được gọi là hệ phương trình tuyến tính thuần nhất nếu B = O. Có hai trường hợp
Nếu rankA = n: hệ có nghiệm duy nhất X = O
Nếu rankA < n: hệ có vô số nghiệm
Hệ quả Nếu A là ma trận vuông cấp n, hệ AX = O có nghiệm duy nhất ⇔ det A /= 0 V Các ví dụ
1. Giải các hệ phương trình sau bằng hệ Cramer
x1 + x2 + x3 = 2
x1 + x2 + x3 = 3
a) 2x1 + x − 2x3 = 1
b) x1 − 2x2 + x3 = 3
x1 + 2x2 − x3 = 0
3x1 + x2 + 5x3 = 13 Giải 1 −1 1
a) Xét ma trận A =
, ta có det A = 3 /= 0 ⇒ Hệ đã cho là hệ Cramer 2 1 −1 1 2 −1 . . . . . . . . . . . . .2 −1 1 . .1 2 1 . .1 −1 2. . Ta có det A = . . = 3, det A = . . = 0, det A = . = 3 1 .1 1 −1. 2 .2 1 −1. 3 .2 1 1. . . . . . . . . . . . . .0 2 −1. .1 0 −1. .1 2 0.
Vậy (x , x , x ) = det A1 , det A2 , det A3 = (1, 0, 1) là nghiệm duy nhất của hệ 1 2 3
det A det A det A 1 1 1
b) Xét ma trận B =
, ta có det B = −6 /= 0 ⇒ Hệ đã cho là hệ Cramer 1 −2 1 3 1 5
Nhóm Đại số - CLB Hỗ trợ học tập 2
If you fal asleep, you wil dream. If you study now, you wil live your dream lOMoARcPSD|16072870
Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa . . . . . . . . . CLB H.ỗ trợ học tập . . . 3 1 1. .1 3 1. .1 1 3 . . Ta có det B = . . = −6, det B = . . = 0, det B = . = −12 1 . 3 −2 1. 2 .1 3 1. 3 .1 −2 3 . . . . . . . . . . . . . .13 1 5. .3 13 5. .3 1 13.
Vậy (x , x , x ) = det B1 , det B2 , det B3 = (1, 0, 2) là nghiệm duy nhất của hệ 1 2 3
det B det B det B
2. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss
x1 − x2 + x3 = 2
x1 − x2 + x3 − 3x4 = 5
a) 2x1 + x2 − x3 = 1
b) 2x1 + x2 − x3 − x4 = −2
x1 + 2x2 − x3 = 0
2x1 + x3 + x4 = 8 Giải .. 1 −1 1 . 2
a) Xét ma trận bổ sung A = .
. Thực hiện biển đổi sơ cấp, ta có 2 1 −1 . 1 .. 1 2 −1 . 0 .. .. h 1 −1 1 .. 2 1 −1 1 .. 2 2 − 2h1 → h2
h3 − h1 → h3
h3 − h2 → h3
A −−−−−−−−→ . −−−−−−−→ . 0 3 −3 . −3 0 3 −3 . −3 . . . . 0 0 1 . 0 3 −2 . −2 1
Nhận thấy rankA = rankA = 3 nên hệ phương trình có duy nhất nghiệm
x1 − x2 + x3 = 2
Từ ma trận sau khi biến đổi sơ cấp, ta được hệ x2 − 3x3 = −3 x3 = 1
Giải hệ, ta được nghiệm (x1, x2, x3) = (1, 0, 1) .. 1 −1 1 −3 . 5
b) Xét ma trận bổ sung B = .
. Thực hiện biến đổi sơ cấp, ta có 2 1 −1 −1 . −2 .. 2 0 1 1 . 8 . .
h − 2h → h . . 2 1 2 1 −1 1 −3 . 5 1 . −1 1 −3 . 5 .
h3 − 2h1 → h3
3h3 − 2h2 → h3
B −−−−−−−−→ . −−−−−−−−→ . 0 3 −3 5 .. 12 0 3 −3 5 .. 12 . . 0 2 −1 7 . −2 0 0 3 11 . 18
Do đó hệ có vô số nghiệm thỏa mãn. Đặt x4 = t, khi đó từ ma trận bổ sung sau khi biến đổi sơ
cấp, ta được nghiệm (x1, x2, x3, x4) = 4t 16t 11t 1 + , 2 − , 6 − , t 3 3 3
Nhóm Đại số - CLB Hỗ trợ học tập 3
If you fal asleep, you wil dream. If you study now, you wil live your dream lOMoARcPSD|16072870
Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ trợ học tập 3. Cho hệ phương trình
x1 + x2 − 2x3 = a
2x1 + x2 − x3 = b
mx1 + x2 + x3 = c
trong đó a, b, c, m ∈ R.
a) a) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất.
b) Cho (a, b, c) = (0, 0, 0). Biện luận theo m số nghiệm của phương trình. Giải 1 1 −2
a) Xét ma trận tạo bởi các hệ số của các ẩn A = 2 −1 −1 m 1 1 . . . . . 1 1 −2. .
Hệ có nghiệm duy nhất ⇔ det A /= 0 ⇔ .
. /= 0 ⇔ −3m − 6 /= 0 ⇔ m /= −2 . 2 −1 −1. . . . . .m 1 1 .
b) Với m /= −2 thì det A 0 nên hệ phương trình là hệ Cramer, do đó hệ có nghiệm duy nhất
(x1, x2, x3) = (0, 0, 0)
Với m = −2 thì hệ phương trình trở thành
x1 + x2 − 2x3 = 0
2x1 − x2 − x3 = 0
−2x1 + x2 + x3 = 0
Giải hệ trên, ta thấy hệ này có vô số nghiệm
Nhóm Đại số - CLB Hỗ trợ học tập 4
If you fal asleep, you wil dream. If you study now, you wil live your dream
Document Outline