Ma trận định thức - Toán cao cấp | Trường đại học Bách Khoa, Đại học Đà Nẵng
Ma trận định thức - Toán cao cấp | Trường đại học Bách Khoa, Đại học Đà Nẵng được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn sinh viên cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!
Môn: Toán cao cấp(TCC10) 3 tài liệu
Trường: Trường Đại học Bách khoa, Đại học Đà Nẵng 410 tài liệu
Tác giả:
Preview text:
Bài giảngchương I: MA TRẬN_ĐỊNH THỨC
CHƯƠNG I: MA TRẬN _ ĐỊNH THỨC . MA TRẬN : 1. Định nghĩa :
Cho m , n là hai số nguyên dương . Ta gọi một ma trận cỡ m x n (hay (m, n) ) là một bảng
chữ nhật gồm m x n số thực ( hoặc phức) được viết thành m hàng , n cột có dạng như sau : 1 a 1 1 a 2 1 a 3 1 a a a a a n 11 12 13 1n 2 a 1 2 a 2 2 a 3 2 a a a a a n 21 22 23 2n hay 3 a 1 3 a 2 3 a 3 3 a a a a a n 31 32 33 3n a 1 a a a a a a a m m2 3 m mn m1 m 2 m 3 mn
trong đó các số thực ( phức ) a ; i 1,m , j
1,n gọi là các phần tử của ma trận, chỉ số ij
i là chỉ số hàng và chỉ số j là chỉ số cột của phần tử trong ma trận .
Các ma trận cỡ mx n thường kí hiệu : Amxn , Bmxn , Cmxn , ... , Xmxn ; nếu không cần phân
biệt cỡ của ma trận ta viết tắt : A, B , C, ..., X.
Ma trận cỡ m x n ở trên còn được viết gọn là : a a . i j hay i j mx n m.n
2. Các loại ma trận đặc biệt :
a. Ma trận hàng: Ma trận cỡ 1 x n ( chỉ có một hàng ) gọi là ma trận hàng .
b. Ma trận cột: Ma trận cỡ m x 1 ( chỉ có một cột) gọi là ma trận cột .
c. Ma trận vuông: Ma trận cỡ n x n ( có số hàng bằng số cột ) gọi là ma trận vuông cấp
n. Các phần tử a11, a22, ..., ann nằm trên một đường chéo của bảng vuông ma trận ,
đường chéo đó gọi là đường chéo chính của ma trận vuông . Đường chéo ngược lại gọi
là đường chéo không chính của ma trận vuông .
d. Ma trận chéo : Ma trận vuông cấp n có các phần tử nằm ngoài đường chéo chính đều
bằng 0 (ai j = 0 , i j) gọi là ma trận chéo .
e. Ma trận đơn vị : Ma trân chéo có a ; i 1, n được gọi là ma trận đơn vị cấp n Kí ii
hiệu là In hay En ( có khi viết tắt I hay E) .
f. Ma trận bậc thang : Ma trận cỡ m x n có aij = 0 , i > j gọi là ma trận bậc thang
g. Ma trận không : Ma trận có tất cả các phần tử đều bằng 0 gọi là ma trận không . Ma
trận không cỡ m x n thường được kí hiệu Omn hay O. Các ma trận không đều giống
nhau , chúng chỉ khác nhau về kích thước .
3. Ma trận chuyển vị : Cho ma trận A = a
ma trận chuyển vị của A là ma trận có i j m.n
được từ A bằng cách chuyển hàng thành cột , chuyển cột thành hàng . Kí hiệu AT (AC ) 1 a 1 1 a 2 1 a 3 1 a a a a a n 11 21 31 1 m 2 a 1 2 a 2 2 a 3 2 a a a a a n 12 22 32 2 m Vậy A = thì AT = là ma trận 3 a 1 3 a 2 3 a 3 3 a a a a a n 13 23 33 3 m a a a a a a a a m 1 m 2 m 3 mn 1n 2n 3n mn
chuyển vị của ma trận A 4. Ma trận bằng nhau :
Hai ma trận cùng cỡ A = a và B = b
được gọi là bằng nhau nếu : i j i j m.n m.n a
b ; i 1, m , j 1, n i j i j GVC.Phan Thị Quản Trang1
Bài giảngchương I: MA TRẬN_ĐỊNH THỨC
. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN CÁC MA TRẬN : 1. Phép cộng :
Cho hai ma trận cùng cỡ m x n A = a và B = b A i j i j
. Tổng của hai ma trận và m .n m .n
B là một ma trận C = (cij)m.n cùng cỡ m x n sao cho :
ci j = ai j + bi j , i 1,m , j 1, n .
Tổng của hai ma trận A và B kí hiệu A + B .
* Tính chất : Giả sử A, B , C, O là các ma trận cùng cỡ , khi đó ta có :
i) A + B = B + A ( Tính giao hoán ) .
ii) A + O = O + A = A . ( Phần tử đơn vị )
iii) A + ( B + C) = (A + B) + C . ( Tính kết hợp ) iiii) A = a , A' = a
. Ta có : A + A' = A' + A = O . i j i j m.n m.n
A' được gọi là ma trận đối của ma trận A , kí hiệu : − A . Do đó : A + (− A) = (− A) + A.
Từ đẳng thức này ta suy ra A cũng là ma trận đối của ma trận (− A) . Vậy A và (− A) là hai ma trận đối nhau . 2. Phép trừ :
Cho hai ma trận cùng cỡ m x n A = a và B = b
.Hiệu của hai ma trận A và B, i j i j m .n . m n
kí hiệu A − B được xác định: A B A ( B
) , (− B) là ma trận đối của ma trận B.
3. Phép nhân vô hướng một ma trận với một số thực ( phức ) : Cho A = a
và R (C) ; phép nhân số với ma trận A là một ma trận cùng cỡ với i j . m n
ma trận A , kí hiệu : A , được xác định : A = a . i j m .n
* Tính chất : R ( C) ; A , B là hai ma trận cùng cỡ thì :
i) (A + B ) = A + B .
ii) ( + ) A = A + A . iii) .(A) = ( )A iiii) 1.A = A ;
1 .A A , − A là ma trận đối của ma trận A .
4. Phép nhân hai ma trận : Cho A = a
là ma trận cỡ m x n và ma trận B = b
là ma trận cỡ n x p. Gọi tích i j i j . m n n .p
của ma trận A với ma trận B là ma trận C = c
cỡ m x p, kí hiệu: C = A.B được xác i j m. p n
định : c a b ( i 1,m ; j 1, p ) i j i k k j k 1
Chú ý : Phép nhân ma trận A với ma trận B chỉ thực hiện được nếu số cột của ma trận A
bằng số hàng của ma trận B . * Tính chất :
i) Cho ma trận A cỡ m x n ; ma trận B cỡ n x p ; ma trận C cỡ p x q , ta có :
A.(B.C) = (A.B).C ( Tính kết hợp )
ii) Cho ma trận A cỡ m x n và hai ma trận B , C cỡ n x p , ta có :
A( B + C ) = A.B + A.C ( Tính phân phối ) .
iii) Cho hai ma trận A , B cỡ m x n và ma trận C cỡ n x p , ta có :
( A + B ).C = A.C + B.C ( Tính phân phối ) .
iiii) Cho E là ma trận đơn vị cấp n và A là ma trận cỡ m x n , ta có : n A.En = A GVC.Phan Thị Quản Trang2
Bài giảngchương I: MA TRẬN_ĐỊNH THỨC
iiiii) Cho Em là ma trận đơn vị cấp m và A là ma trận cỡ m x n , ta có : E m.A = A
Đặc biệt : A là ma trận vuông cấp n , và E là ma trận đơn vị cấp n , ta có : A.E = E.A = A.
Chú ý : Tích của hai ma trận không có tính giao hoán . Nhưng nếu có A.B = B.A thì ta nói
B là ma trận khả hoán của ma trận A và ngược lại , lúc đó A , B là hai ma trận vuông cùng cấp . . ĐỊNH THỨC : 1. Hoán vị :
Cho tập hợp X = {1, 2, 3, ..., n } . Ta gọi một hoán vị của tập hợp X là một song ánh p từ
X vaò X , xác định bởi : i p (i) = i ; i X , i X .
p được gọi là một hoán vị của tập hợp X . Ta còn viết : 1 2 3 n p : hay 1 2 3 n 1 2 3 n
Theo tính chất của song ánh ta có : nếu p1 , p2 là hai hoán vị thì p1.p2 là một hoán vị . Số
các hoán vị của tập hợp X có n phần tử bằng n! . 2. Nghịch thế : 1 2 3 n * Cho hoán vị p : , ta nói rằng cặp ( i j
i , j) với < tạo ra một 1 2 3 n
nghịch thế nếu i > j . 1 2 3 4 5 Ví dụ : p =
. Hoán vị p có các nghịch thế sau : (5, 3) , (5, 2) , (5, 1) , 5 3 2 1 4
(5,4) , (3, 2) , (3,1) , (2,1) .
* Một hoán vị được gọi là chẵn (lẻ) nếu số tất cả các nghịch thế của nó là chẵn (lẻ) hoặc bằng không .
Trong ví dụ trên số tất cả các nghịch thế của hoán vị p là 7 . Vậy p là hoán vị lẻ .
Hoán vị đồng nhất IdX : X X , sao cho i X : IdX (i) = i là hoán vị chẵn .
* ta gọi kí số của hoán vị p là (p) được xác định (p) = (− 1) N (p) , trong đó N(p) là
tổng các nghịch thế của hoán vị p . 3. Định thức : 3.1. Định nghĩa :
Cho ma trận vuông cấp n , A = a
. Ta gọi định thức D của ma trận A, kí hiệu A i j 1 i, j n
hay det A là một số dược xác định : D 1 N p , 1 a a a a p a a a a p(1) 2 p(2) 3 p(3) np (n ) 1 1 22 33 nn p p
trong đó tổng được lấy theo mọi hoán vị p của tập hợp X , N(p) là tổng các nghịch thế của
hoán vị p và (p) là kí số của hoán vị p . a a
* Nếu D là định thức cấp hai : 11 12 2 D 1 a 1a22 1 a 2a21 a21 a22
* Nếu D là định thức cấp ba : 1 a 1 1 a 2 1 a 3 3 D a21 a22 a23
1a1a22a33 1a3a21a32 1a2a23 3a1 1a3a22a31 a12a21a33 1a1a23 3a2 3 a 1 3 a 2 3 a 3 GVC.Phan Thị Quản Trang3
Bài giảngchương I: MA TRẬN_ĐỊNH THỨC
Qui tắc Sarrus sau đây được dùng để tính định thức cấp 3 : 1 a 1 1 a 2 1 a 3 1 a 1 1 a 2 a 21 a22 a23 a21 a22 1 a 1a22a33 1 a 3a21a32 1 a 2a23a31 1 a 3a22a31 1 a 2a21a33 1 a 1 2 a 3 3 a 2 a31 a32 a33 a31 a32
3.2. Tính chất của định thức :
a. Tính chất 1: Nếu AT là ma trận chuyển vị của ma trận vuông A thì : det (A) = det (AT) .
Như vậy trong một định thức thì vai trò của cột và dòng là như nhau , những điều gì
đúng cho dòng thì cũng đúng cho cột và ngược lại .
b. Tính chất 2: Nếu nhân tất cả các phần tử của một dòng thử i (cột thứ j) nào đó của định
thức với một số thực (phức) thì định thức cũng được nhân với số đó .
Hệ quả: Một định thức nếu có một dòng (cột ) các phần đều bằng 0 thì định thức ấy bằng 0 .
c. Tính chất 3: Nếu đối với một dòng thứ i (cột thứ j) nào đó , 1 i n , ta có :
a a ' a " thì D = D' + D" , với D' , D" lần lượt được suy từ D bằng cách thay i j i j i j
dòng thứ i (cột thứ j) của D bởi dòng a'ij ; aij" .
d. Tính chất 4: Nếu đổi chỗ hai dòng (cột) cho nhau thì định thức đổi dấu .
e. Tính chất 5: Trong một định thức,nếu có hai dòng (cột) giống nhau thì định thức bằng0 Hệ quả :
1) Một định thức nếu có hai dòng (cột ) tỉ lệ với nhau thì định thức ấy bằng 0 .
2) Nếu 1 dòng (cột) của định thức là tổ hợp tuyến tính của các dòng (cột) khác thì định thức bằng 0 .
f. Tính chất 6: Nếu ta cộng vào một dòng (cột) của một định thức một dòng (cột) khác
sau khi đã nhân với một số thì định thức không thay đổi .
Hệ quả : Nếu ta cộng vào một dòng (cột) của một định thức một tổ hợp tuyến tính của
các dòng (cột) khác thì định thức không thay đổi .
3.3. Khai triển định thức :
a. Định thức con , phần phụ ,phần phụ đại số :
Định nghĩa 1 : Cho ma trận A cỡ m x n : A = a
, từ ma trận A ta chọn theo i j . m n
thứ tự từ nhỏ đến lớn k hàng và k cột bất kì , các phần tử nằm ở phần giao của k hàng
và k cột đó tạo thành một ma trận vuông cấp k ( k min(m, n) ). Định thức của ma
trận vuông cấp k này gọi là định thức con cấp k của ma trận A. Định nghĩa 2:
Cho định thức D . Ta gọi định thức con phụ của một phần tử ai j của định thức D là
định thức con Di j cấp (n −1) thu được từ D bằng cách xóa dòng thứ i và cột thứ j .
Giả sử định thức con M cấp k trong định thức D lập được từ các phần tử nằm ở giao
điểm của k dòng i1 ,i2 ,...., ik và k cột j1 , j2 ,...., jk của định thức D , và M ’ là định
thức con cấp (n − k ) của định thức D được thành lập bằng cách xóa bỏ k dòng và k
cột nói trên trong định thức D, khi đó M ’ được gọi là định thức con phụ của định
thức con M trong định thức D. Định nghĩa 3:
Cho định thức D . Phần phụ đại số của phần tử ai j của định thức D là Aij= ( 1)i+j
Dij , trong đó Di j là định thức con phụ của phần tử ai j . GVC.Phan Thị Quản Trang4
Bài giảngchương I: MA TRẬN_ĐỊNH THỨC
Giả sử định thức con M cấp k trong định thức D lập được từ các phần tử nằm ở
giao điểm của k dòng i1 ,i2 ,...., ik và k cột j1 , j2 ,...., jk của định thức D , và giả sử
M ’ là định thức con phụ của định thức con M trong định thức D . Ta định nghĩa
phần phụ đại số của i i i j j j M trong D là 1 2 k 1 2 1 k M '
b. Khai triển định thức _ Định lí Laplace :
Khai triển định thức theo k hàng (k cột ) : Giả sử trong định thức D cấp n ta đã
chọn k dòng ( hoặc k cột ) tùy ý ( 1 k n-1) . Thế thì định thức D bằng tổng các
của tất cả các định thức con cấp k lập được trên k dòng (cột) đó với phần phụ đại số của chúng .
Khai triển định thức theo 1 hàng (1 cột ) : Cho định thức D cấp n , thế thì D bằng
tổng các tích của các phần tử nằm trên một dòng (cột) nào đó với phần phụ đại số của phần tử đó . n
+ Khai triển định thức theo dòng thứ i : detA A a a A i j 1 , ij i j i j n j 1 n
+ Khai triển định thức theo cột thứ j : det A A a a A i j 1 , ij i j i j n i 1 1 3 2 4 2 0 3 0
Ví dụ: Tính định thức : D 4 0 5 0 5 1 7 1
3.4. Cách tính định thức :
Bước 1: Thức hiện các phép biến đổi ( sử dụng tính chất ) đưa định thức đã cho về định
thức có 1 dòng (cột) nào đó có nhiều phàn tử trên dòng (cột) đó bằng 0 .
Bước 2 : Khai triển định thức theo dòng (cột) . Hạ dần cấp của định thức để dễ tính toán Ví dụ 1: Định thức : a a a a a 0 0 0 11 12 13 1n 11 0 a a a a a 0 0 22 23 2n 21 22 D 0 0 a a a a a 0 33 3 a a a a n 31 32 33 11 22 33 nn 0 0 0 a a a a a nn 1 n 2 n 3 n nn 1 2 3 5 2 3 5 1
Ví dụ 2: Tính định thức: D 3 5 1 2 5 1 2 3
3.5. Định lí nhân định thức :
Từ định lí Laplace và các tính chất của định thức ta có định lí sau đây và gọi là định lí nhân định thức :
Định lí: Giả sử A a , B b
là hai ma trận vuông cùng cấp n , khi đó ta có : i j ij n .n n .n det(A.B) = det(A).det(B) GVC.Phan Thị Quản Trang5
Bài giảngchương I: MA TRẬN_ĐỊNH THỨC . MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO: 1. Định nghĩa:
Ma trận vuông A cấp n được gọi là khả đảo nếu tồn tại ma trận vuông B cấp n sao cho :
A.B = B.A = E (ma trận đơn vị cấp n)
Sự tồn tại của ma trận B là duy nhất . B được gọi là ma trận nghịch đảo của ma trận A . Kí hiệu : 1 A , B = 1 A . Ta có : A. 1 A = 1 A .A = E . 2. Ma trận phụ hợp :
Cho ma trận vuông cấp n : A = (ai j )nn , PA gọi là ma trận phụ hợp của ma trận A nếu PA được xác định : 1 A 1 2 A 1 An1 1 A 2 2 A 2 An 2 P , A 1 A A A n 2n nn
trong đó Ai j là phần phụ đại số của phần tử ai j ( với i, j 1,n) của ma trận A
Định lí 1: Nếu A là ma trận vuông cấp n thì : A.PA = PA.A = det(A).En , trong đó
PA là ma trận phụ hợp của A và En là ma trận đơn vị cấp n .
Định lí 2: ( Điều kiện tồn tại ma trận khả đảo) Điều kiện cần và đủ để ma trận vuông
A khả đảo là det (A) 0 ( hay là ma trận A không suy biến ) , và khi đó: 1 1 A .P . det(A) A
3. phương pháp tìm ma trận nghịch đảo :
3.1. Dùng ma trận phụ hợp : Bước 1: Tính det(A) .
_ Nếu det(A) = 0 thì A không có ma trận nghịch đảo .
_ Nếu det(A) 0 chuyển sang bước 2
Bước 2: Tìm ma trận phụ hợp 1 P 1 A của A . Suy ra A .P det(A) A
3.2. Dùng phép biến đổi sơ cấp :
a. Các phép biến đổi sơ cấp : Giả sử A là ma trận cỡ (m , n) . Ta thực hiện trên các
dòng hoặc trên các cột của ma trận A các phép toán sau đây gọi là các phép toán sơ cấp :
(+) Nhân một dòng (cột ) nào đó của ma trận A với một số thực khác 0 .
(+) Cộng vào một dòng (cột) của ma trận A một dòng (cột) khác sau khi đã nhân với một số thực .
(+) Đổi chỗ hai dòng (cột) của ma trận A cho nhau .
b. Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo : Bước 1: Tính det(A) .
_ Nếu det(A) = 0 thì A không có ma trận nghịch đảo .
_ Nếu det(A) 0 chuyển sang bước 2 Bước 2:
_ Lập ma trận B = (A | E) .
_ Dùng các phép biến đổi sơ cấp chỉ thực hiện trên các dòng của ma trận B và
đưa ma trận đó về dạng (E | C) thì C là ma trận nghịch đảo của ma trận A .
Chú ý : Nếu muốn thực hiện phép biến đổi trên các cột thì : GVC.Phan Thị Quản Trang6
Bài giảngchương I: MA TRẬN_ĐỊNH THỨC _ Lập ma trận A B = . E
_ Dùng các phép biến đổi sơ cấp chỉ thực hiện trên các cột của ma trận B và đưa
ma trận đó về dạng E
thì C là ma trận nghịch đảo của ma trận A C 1 1 1
Ví dụ: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận : A 2 1 1 1 1 2 3.Tính chất : 1
a. Giả sử A khả đảo và k 0 . Lúc đó ma trận kA cũng khả đảo và có:kA 1 1 .A k b. Giả sử
A , B là hai ma trận vuông cùng cấp và khả đảo . Lúc đó : 1 1 1 . A B B A c. Nếu A khả đảo thì 1
A cũng khả đảo và 1 1 A A .HẠNG CỦA MA TRẬN :
1. Định nghĩa: Hạng của ma trận A là cấp cao nhất của định thức con khác 0 có trong A, kí hiệu : r(A)
Ta có : 0 r(A) min(m, n) , với A là ma trận cấp (m, n)
Ma trận 0 có hạng bằng 0 .
2. Phương pháp tìm hạng của ma trận :
a. Phương pháp 1: Dựa vào định nghĩa
B1: Tính các định con từ cấp hai trở lên . Giả sử ma trận A có một định thức con cấp r khác 0.
B2: Tính tiếp các định thức con cấp (r+1) . Nếu tất cả các định thức cấp (r +1) đều
bằng 0 thì r(A) = r.Nếu có một định thức con cấp (r + 1) khác 0.
B3: Tính tiếp định thức cấp (r + 2). Nếu tất cả các định thức cấp (r +2) đều bằng 0 thì
r(A) = r + 1.Nếu có một định thức cấp ( r + 2) khác 0.
B4: Tính tiếp định thức cấp (r + 3). Cứ tiếp tục như thế và vì m , n hữu hạn nên sau
một số bước hữu hạn ta tính được r(A) .
b. Phương pháp dùng phép biến đổi sơ cấp : Phương pháp tìm hạng của ma trận A
bằng cách dùng các phép biến đổi sơ cấp dựa trên hai mệnh đề sau :
Mệnh đề 1: Các phép biến đổi sơ cấp không làm thay đổi hạng của ma trận .
Mệnh đề 2: Bằng các phép biến đổi sơ cấp trên các dòng và các cột , ta có thể đưa
một ma trận A bất kì cấp m x n có hạng r về dạng : 1 a 1 1 a 2 1 a a r 1n 0 a 22 a 2 a r 2n
A , với a a ...a 0 0 0 11 22 a a rr rr rn
0 0 0 amn GVC.Phan Thị Quản Trang7
Bài giảngchương I: MA TRẬN_ĐỊNH THỨC
Ví dụ1: Tìm hạng của ma trận A cho dưới đây : 1 3 2 0 5 1 2 6 9 7 12 1 A = 2 5 2 4 5 3 1 4 5 11 2 1 m 1 1 1 1 m 1 1 Ví dụ2: Cho A
Tìm các giá trị của m để r(A) = 3 1 1 m 1 1 1 1 m 1 1 a 1 Ví dụ3: Biện luận theo
a hạng của ma trận: A 1 a 1 a 2 a 1 1 a
____________________________________Hết_________________________________ GVC.Phan Thị Quản Trang8
Bài giảngchương I: MA TRẬN_ĐỊNH THỨC BÀI TẬP: 1 1 2 1 0 0 2 1.
Cho các ma trận: A 3 4 6 , B 2 3 và C 2 3
. Tìm ma trận X biết rằng : 2 2 5 0 4 0 4 AX B 3C 1 1 1 1 1 3 2 5 1 2. Cho các ma trận: A 2 1 2 , B và C . Tìm ma trận X 3 5 0 2 1 3 3 0 1
biết rằng : XA 3B 2C 3. Tìm ma trận X sao cho: 1 2 3 1 2 1 4 4 7 1 1 2 a. X 3 2 4 3 2 1 b. 3 2 4 X 2 1 4 2 1 0 1 1 0 2 1 0 0 1 5 4. Tính ma trận n A * , n N , với: 2 1 a 1 cos x sin a. x A b. A c. A 3 2 0 a sinx cosx 5. Tính các ma trận n1 1 1 0 0 3 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 a.
, b. 0 0 1 0 ((a) , (b) là các ma trận cấp n ) 0 0 1 0 0 0 1 2 1 1
6. Cho ma trận A : A = 3 1
2 Tìm f A biết f x 3 x 3x 2 1 1 0
7. Tìm tất cả các ma trận giao hoán được với ma trận A : 0 1 0 0 1 0 0 1 2 1 1 0 0 1 0 a. A b. A c. A 0 1 0 d. A 1 1 0 1 0 0 0 1 3 1 2 0 0 0 0
8. Tìm tất cả các ma trận cấp 2 mà bình phương của chúng bằng ma trận không .
9. Tìm tất cả các ma trận cấp 2 mà lập phương của chúng bằng ma trận không .
10. Tìm tất cả các ma trận cấp 2 mà bình phương của chúng bằng ma trận đơn vị .
11. Giải và biện luận phương trình : X.A = 0 , trong đó A là ma trận cho trước và X cần
tìm là ma trận cấp hai . GVC.Phan Thị Quản Trang9
Bài giảngchương I: MA TRẬN_ĐỊNH THỨC
12. Không tính định thức . Chứng minh các định thức sau chia hết cho 19 2 0 3 3 1 1 4 0 9 1 2 2 0 2 2 8 a. b. 4 1 5 0 1 4 2 5 7 1 2 6 2 1 0 9
13. Không tính định thức . Chứng minh rằng: 1 x yz 3 1 x x
a. 1 y zx x y y z z x b. 3
1 y y x y zx y y z z x 1 z xy 3 1 z z
14. Chứng minh rằng: D 0 1 x y 1 x y 1 x y 1 1 1 1 2 1 3 x1y4 1 x y 1 x y 1 x y 1 x y a. 2 1 2 2 2 3 2 4 D 1 x y 1 x y 1 x y 1 3 1 3 2 3 3 x3y4 1 x y 1 x y 1 x y 1 4 1 4 2 4 3 4 x 4 y cos a b cos a b cos a b cos 1 1 2 1 3 1 a b n 1 cosa b cos a b cos a b cos 1 2 2 2 3 2 a b n 2 b. D cosa b cos a b cos a b cos 1 3 2 3 3 3 a b n 3 cosa b cos a b cos a b cos 1 a b n 2 n 3 n n n
15. Tính các định thức: 2 3 1 2 1 3 5 2 x y z 0 3 4 1 4 3 1 1 4 y z 0 a. b. c. x 0 0 5 4 1 1 2 2 z 0 x y 0 0 2 1 5 1 2 1 0 x y z
16. Tính các định thức: x a a a a 1 2 3 4 5 2 3 4 1 x x x x a x a a a 1 1 m 3 4 5 4 3 2 x x x x 1 a. a a x a a b. 1 2 1 2m 4 5 c. 2 3 4 1 2 x 3 x 4 x 5 x a a a x a 1 2 3 1 3m 5 4 3 2 5x 4x 3x 2x 1 a a a a x 1 2 3 4 1 4m 4 3 2 6x 5x 4x 3x 1
17. Chứng minh rằng: ( không tính định thức bằng định nghĩa) 0 x y z 0 1 1 1 x 0 2 2 1 0 z y z y , với x.y.z 0 y z 0 x 2 2 1 z 0 x z y x 0 2 2 1 y x 0 GVC.Phan Thị Quản Trang10
Bài giảngchương I: MA TRẬN_ĐỊNH THỨC
18. Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận : 0 0 9 4 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 2 1 2 2 0 0 1 1 1 1 a. b. c. 2 3 1 2 4 3 1 0 1 1 1 1 1 2 1 3 3 1 3 2 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 d. 0 0 1 0 e. 0 0 1 0 f. 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0
19. Tìm hạng của các ma trận sau: 1 1 1 1 1 1 1 3 1 2 5 3 1 10 1 1 2 1 1 1 3 1 2 2 3 10 5 1 2 1 A = 1 1 3 1 1 B = 2 2 6 1 C = 5 2 10 1 3 1 1 1 1 4 1 3 3 1 1 10 3 2 1 5 1 1 1 1 1 5 1 5 5 0
20. Biện luận theo a hạng của ma trận sau : 1 1 a a 3 1 2 1 a 1 1 1 a 2 a 1 a 1 6 A = 2 a a 2 B = 1 a 1 1 a C = 1 2 2a a 2 3 2 3 a a 2a 27 1 1 a 1 a 3 a 1 a 2 9 1 2 8 3 1 1 3 2 1 a 2 6 3 4 2 2 3 4 2 1 D = E = 1 2 8 3 a 4 0 2 1 3 2 4 16 6 2 3 1 1 a 0 3 4 5 7 1 1 2 3 1 1 2 6 3 4 2 3 2 1 1 1
21. Cho hai ma trận : A = và B = . 4 2 13 10 0 2 3 1 1 1 5 0 21 13 m 5 5 2 0 2m 1
Tìm các giá trị của m để r A 2; r B 3 .
________________________________Hết_______________________________________ GVC.Phan Thị Quản Trang11