Một số bài tập gợi ý ôn tập - Đại số tuyến tính | Đại học Sư Phạm Hà Nội
Một số bài tập gợi ý ôn tập - Đại số tuyến tính | Đại học Sư Phạm Hà Nội với những kiến thức và thông tin bổ ích giúp sinh viên tham khảo, ôn luyện và phục vụ nhu cầu học tập của mình cụ thể là có định hướng, ôn tập, nắm vững kiến thức môn học và làm bài tốt trong những bài kiểm tra, bài tiểu luận, bài tập kết thúc học phần, từ đó học tập tốt và có kết quả cao cũng như có thể vận dụng tốt những kiến thức mình đã học vào thực tiễn cuộc sống
Môn: Đại số tuyến tính( MATH 231A)
Trường: Đại học Sư Phạm Hà Nội
Thông tin:
Tác giả:
Preview text:
MỘT SỐ BÀI TẬP GỢI Ý ÔN TẬP 1. Tính giới hạn n2 + n + sin n + cos n 12 + 22 + · · · + n2 A = lim ; B = lim n→∞ 2n2 − n − sin n2 n→∞ (n + 1)(2n + 3)2 u 1 = 2 2. Cho dãy số (u Tìm n) xác định bởi 1 lim un. u u n→∞ n+1 = 5 n + 3, n ≥ 1. 3. Tính các giới hạn ln(e2x + x + 1) √ cot x 1 A = lim , B = lim x ln x, C = lim( − ). x→+∞ ln(e3x + x2 + x + 1) x→0+ x→0 x x2
4. Cho hàm f : R → R xác định bởi công thức 1 x3 sin khi x 6= 0 f (x) = x2 0 khi x = 0.
Chứng minh hàm f khả vi trên R và tìm f′(x).
5. Chứng minh hàm số f (x) = |x|+|x−1| chỉ không khả vi tại x = 0, x = 1.
6. Tìm các số thực a, b để hàm số sau khả vi trên R (ex khi x ≥ 0 f (x) = ax + b khi x < 0.
7. Tìm đạo hàm cấp 20 của hàm số f (x) = (x2 + x + 1) cos2 x.
8. Cho hàm f : [0, ∞) → [0, ∞) liên tục trên [0, ∞), khả vi trên (0, ∞) và
thỏa mãn f (0) = 0, limx→+∞ f(x) = 0. Chứng minh tồn tại c > 0 sao cho f ′(c) = 0. 1
9. Chứng minh phương trình ex = ax2 + bx + c có không quá 3 nghiệm thực
với mọi tham số a, b, c ∈ R.
10. Tìm khai triển Taylor của hàm f (x) = sin2 x + e−x đến số hạng x3.
11. Tìm các số thực a, b, c sao cho ex2−x − a − bx − cx2 lim = 0. x→0 x2 12. Tính các tích phân sau Z e (a) I = x| ln x|dx. 1 e ( Z 2 x3 nếu 0 ≤ x ≤ 1 (b) J = f (x)dx với f (x) = 0 2 − x nếu 1 < x ≤ 2.
13. Cho f là hàm liên tục trên [−1, 1]. Chứng minh rằng Z π Z π f (cos x)dx = 2 f (cos x)dx. −π 0
14. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong sau
(a) y = 4x − x2 và y = 0 trong hệ toạ độ Descartes.
(b) r2 = 2 cos 2ϕ trong hệ toạ độ cực.
15. Tính độ dài đường cong (x2 0 ≤ x ≤ 1
(a) Đồ thị hàm số y = f (x) = x 1 < x ≤ 2.
(b) Đường hình tim trong hệ tọa độ cực r = 3(1 − cos ϕ), 0 ≤ ϕ ≤ 2π.
16. Tính các tích phân suy rộng Z ∞ xdx Z 0 e1/xdx I = , J = . √ (x2 + 1)2 x3 2 −1
17. Xét sự hội tụ của các tích phân suy rộng sau √ Z ∞ arctan xdx Z 1 sin xdx √ , . ex + 1 ex − 1 0 0 2
18. Xét sự hội tụ của các chuỗi số sau đây ∞ n + 1 (a) X 2n − 1 n=1 ∞ √ (b) X n 0.5 n=1 ∞ 1 (c) X n2 sin n2 + 1 n=1 ∞ n (d) X √ ( 2)n n=1
19. Tìm p > 0 để chuỗi hội tụ π p (a) X sin 2n n≥1 1 (b) X 1 − cos np n≥1
20. Khảo sát tính hội tụ tuyệt đối ( (a) X −1)n+1 √ n 3 n n≥1 π (b) X(−1)n+1 1 − cos √n n≥1 3