Một số định lý hội tụ môn xác xuất thống kê | Học viện phụ nữ Việt Namất thống kê

Chương5.Mộtsốđịnhlýhội t  ụ Ch−¬ng 5 Mét sè ®Þnh lý héi tô
Gi¶ sö trªn kh«ng gian x¸c suÊt (Ω, A, P) ta cã d·y c¸c biÕn ngÉu nhiªn {X = 1 2 n } (n
, .....) vµ biÕn ngÉu nhiªn Y.
A. Sù héi tô theo x¸c suÊt
I. ®Þnh nghÜa vμ mét sè ®Æc ®iÓm 1. §Þnh nghÜa DÉy {X = 1 2 ) n } (n
, ...... ®−îc gäi lµ héi tô theo x¸c suÊt vÒ X nÕu víi mäi
ε > 0 nhá tuú ý ta ®Òu cã: lim P(X − X < ε) = 1 →∞ n n Lóc ®ã ta ký hiÖu X ( P ) ⎯ ⎯ →X (n → ∞) n
ý nghÜa: Nh− vËy nÕu X ( P ) ⎯ ⎯ →X (n → ) ∞ th× n P{ω : X (ω) − X(ω) < 1 n } ε → (n → ∞)
hoÆc còng cã nghÜa lµ P{ω : X (ω) − X(ω) ≥ 0 n }ε→ (n → ∞)
2. Mét sè ®Æc ®iÓm §Þnh lý 1: NÕu X ⎯ ⎯(P)→X (n → ∞) vµ Y ( P ) ⎯ ⎯ →Y (n → ) ∞ th× n n X + Y ( P ) ⎯ ⎯ →X + Y (n → ) ∞ . n n Chøng minh. Víi mäi ε > 0 ta cã Lê ă
V nPhong‐TrầnTrọngNguyên,ĐHKTQD 213
Chương5.Mộtsốđịnhlýhội t  ụ ⎡ ε ⎤ ⎡ ε ⎤ [(X + Y n n ) − (X + Y) ≥ ]ε ⊂ X − X ≥ ∪ ⎢ n ⎥ ⎢ Y − Y ≥ n ⎥ ⎣ 2 ⎦ ⎣ 2⎦ VËy ⎡ ε ⎤ ⎡ ε⎤ 0 ≤ [ P (X + Y ) − (X + Y) ≥ n n ]ε≤ P X − X ≥ + ⎢ n ⎥ P⎢ Y − Y ≥ n ⎥ ⎣ 2⎦ ⎣ 2⎦
Do gi¶ thiÕt vÒ sù héi tô theo x¸c suÊt cña X vÒ X vµ cña Y vÒ Y nªn giíi n n
h¹n ë vÕ bªn ph¶i b»ng 0. Tõ ®ã ta suy ra lim P[(X + Y ) − (X + Y) ≥ n n ]ε= 0 n →∞ Do ®ã X + Y ( P ) ⎯ ⎯ →X + Y (n → ) ∞ n n
§Þnh lý 2: NÕu g lµ hµm liªn tôc trªn R vµ X ( P ) ⎯ ⎯ → → ∞ th×: n X (n ) g(X ⎯ ⎯ → → ∞ n ) ( P ) g(X) (n ) Chøng minh
V× g lµ hµm liªn tôc nªn t¹i x víi mäi ε > 0 sÏ cã ∃δ > 0 sao cho víi mäi 0
x th× khi x − x < δ ta sÏ cã g(x) − g(x ) < ε ¸p dông cho biÕn ngÉu nhiªn ta 0 0 cã thÓ viÕt: ε ∀ > 0, δ ∃ > 0 sao cho: ( X − X < n )δ ⊂[ g(X )− g(X) < n ]ε
LÊy x¸c suÊt hai vÕ ta ®−îc P(X − X < δ n )≤ P[g(X )− g(X) < n ]ε Suy ra lim P (X − X < δ n ) ≤limP[g(X ) −g(X) < n ]ε → n ∞ n→∞ Do X ( P ) ⎯ ⎯ → X (n → )
∞ nªn giíi h¹n ë vÕ tr¸i b»ng 1. n VËy
lim P [g ( X ) − g ( X ) < ε] n ] ≥ 1 n → ∞
Do x¸c suÊt kh«ng thÓ v−ît qu¸ mét nªn ta suy ra Lê ă
V nPhong‐TrầnTrọngNguyên,ĐHKTQD 214
Chương5.Mộtsốđịnhlýhội t  ụ lim P[g(X ) − g(X) < ε n ]= 1 → n ∞ §iÒu nµy chøng tá g(X ) ( P ) ⎯ ⎯ → g(X) (n → ∞) . n
II. Mét sè quy luËt sè lín
Ta ®· biÕt r»ng mét biÕn cè cã x¸c suÊt b»ng 0 cã thÓ coi lµ hÇu nh− kh«ng
thÓ cã. T−¬ng tù mét biÕn cè cã x¸c suÊt b»ng 1 cã thÓ coi lµ hÇu nh− ch¾c ch¾n xÈy ra.
MÆt kh¸c mét biÕn cè ngÉu nhiªn th−êng do rÊt nhiÒu nguyªn nh©n ngÉu
nhiªn g©y ra. C¸c nguyªn nh©n ngÉu nhiªn nµy cã thÓ biÓu thÞ b»ng c¸c biÕn
ngÉu nhiªn. V× vËy ta ph¶i xem xÐt c¸c biÕn ngÉu nhiªn nµy ph¶i tho¶ m·n
nh÷ng ®iÒu kiÖn g× ®Ó t¸c ®éng tæng céng cña chóng cã thÓ dÉn ®Õn c¸c biÕn
cè cã x¸c suÊt b»ng 0 (hoÆc b»ng 1). ViÖc t×m ra c¸c ®iÒu kiÖn nµy chÝnh lµ néi
dung cña c¸c quy luËt sè lín.
1. BÊt ®¼ng thøc Trª-b−-sÐp
BÊt ®¼ng thøc nµy lµ c¬ së ®Ó chøng minh mét sè ®Þnh lý vÒ luËt sè lín vµ
®−îc ph¸t biÓu nh− sau:
Víi mäi biÕn ngÉu nhiªn X mµ cã E( r
X )< +∞ trong ®ã r > 0 th× víi
mäi sè ε > 0 ta ®Òu cã: 1 ( P X ≥ ε ) ≤ E ( r X ) r ε Chøng minh
Ta chøng minh cho tr−êng hîp X lµ biÕn ngÉu nhiªn liªn tôc víi hµm mËt ®é
x¸c suÊt f(x) x¸c ®Þnh trªn R. Ta cã 1 r P( X ≥ ) ε = ∫f (x)dx ≤ x f (x)dx r ∫ x ε ≥ε x ≥ε Lê ă
V nPhong‐TrầnTrọngNguyên,ĐHKTQD 215
Chương5.Mộtsốđịnhlýhội t  ụ +∞ 1 1 r ≤ ∫ x f (x)dx = E X r ( r r ) ε −∞ ε
Ghi chó: NÕu thay X bëi X- E(X) vµ r = 2 Ta cã 1 ( P X − E(X) ≥ ε )≤ [ E X − E(X ]2 ) 2 ε Tøc lµ V(X) P(X − E(X) ≥ ε )≤ (1) 2 ε
HoÆc viªt d−íi d¹ng t−¬ng ®−¬ng V(X)
P(X − E(X) < ε ) ≥ 1− (2) 2 ε
C¸c d¹ng (1) vµ (2) lµ c¸c d¹ng th−êng dïng cña bÊt ®¼ng thøc Trª_b−_sÐp.
2. §Þnh lý Trª-b−-sÐp (luËt sè lín cña Trª-b−-sÐp) Ph¸t biÓu: NÕu {X = 1 2 n } (n
, .....) lµ dÉy c¸c biÕn ngÉu nhiªn: a. §éc lËp tõng ®«i.
b. Cã ph−¬ng sai bÞ chÆn ®Òu, tøc lµ tån t¹i h»ng sè C sao cho
V(X ) ≤ C víi mäi i ≥ 1 , th× víi mäi sè ε > 0 nhá tuú ý ta ®Òu cã: i ⎛ 1 n 1 n ⎞ lim ⎜ P ∑X − E X i ∑ ( i ) < ε⎟ =1 n →∞ n i 1 = n i 1 ⎝ = ⎠ Chøng minh n 1 Ta ký hiÖu X = X n ∑ i n i=1
¸p dông bÊt ®¼ng thøc (2) cho biÕn ngÉu nhiªn Xn ta ®−îc V X P(X − E < ε ≥ 1 − α n (Xn ) ) ( n ) ( ) ε2
Theo tÝnh chÊt cña kú väng to¸n ta cã Lê ă
V nPhong‐TrầnTrọngNguyên,ĐHKTQD 216
Chương5.Mộtsốđịnhlýhội t  ụ n n ⎛ 1 ⎞ 1 ( E X = ⎜ ∑ ⎟ = ∑ β n ) E X E(X ) ( ) ⎝ n i i =1 ⎠ n i i =1 Do gi¶ thiªt (a) nªn: ⎛ n 1 ⎞ n 1 ( V X V X V X n ) = ⎜ ∑ i ⎟ = 2 ∑ ( i) ⎝ n i=1 ⎠ n i=1
Do gi¶ thiÕt (b) nªn ta suy tiÕp: 1 V(X n ) ≤ = C nC (γ) n 2 n
Thay c¸c kªt qu¶ ë (β ) vµ (γ ) vµo bÊt ®¼ng thøc ë (α) ta ®−îc: ⎛ 1 n 1 n ⎞ P⎜ ∑ X − i ∑ ( E i ) < ε ⎟ ≥ 1 − C X 2 n i 1 = n i 1 ⎝ = ⎠ nε LÊy giíi h¹n hai vÕ: ⎛ 1 n 1 n ⎞ ⎛ C ⎞ lim P⎜ ∑ X − i ∑ E(X ) < ε⎟ ≥ lim i ⎜1 − ⎟ n →∞ ⎝ 2 n i=1 n i=1 ⎠ n→∞⎝ n ε ⎠ ⎛ 1 n 1 n ⎞ lim ⎜ P ∑X − E X i ∑ ( ) < ε⎟ ≥1 n →∞ i n i 1 = n i 1 ⎝ = ⎠
Do x¸c suÊt bÞ chÆn trªn bëi 1 nªn ta suy ra hÖ thøc ph¶i chøng minh. n 1
ý nghÜa: Qua ®Þnh lý ta thÊy biÕn ngÉu nhiªn X = X héi tô theo x¸c n ∑ i n i=1
suÊt vÒ gi¸ trÞ trung b×nh cña c¸c kú väng to¸n cña c¸c biÕn ngÉu nhiªn thµnh n 1
phÇn t¹o nªn nã. Nãi c¸ch kh¸c nÕu ta ký hiÖu a = X th× ®Þnh lý n ∑ i n i=1
Trª_b−_sÐp cho thÊy tÝnh æn ®Þnh cña biÕn ngÉu nhiªn X a n quanh gi¸ trÞ n nµy.
Tr−êng hîp ®Æc biÖt. NÕu c¸c E(X ) ®Òu b»ng μ th× hÖ thøc ®· nªu trong ®Þnh i lý trë thµnh: lim P( X − μ < ε n )= 1 → n ∞ Lê ă
V nPhong‐TrầnTrọngNguyên,ĐHKTQD 217
Chương5.Mộtsốđịnhlýhội t  ụ
Mét trong c¸c tr−êng hîp ®Æc biÖt nµy sau nµy ta sÏ gÆp lµ c¸c X (n = ,
1 2,....) lµ nh÷ng biÕn ngÉu nhiªn ®éc lËp, cã cïng quy luËt ph©n phèi n
x¸c suÊt, do ®ã cã cïng kú väng lµ μ vµ cïng ph−¬ng sai lµ 2 σ . Khi Êy, mÆc
dï tõng biÕn ngÉu nhiªn X cã thÓ nhËn gi¸ trÞ sai kh¸c rÊt nhiÒu so víi μ, i
nh−ng biÕn ngÉu nhiªn trung b×nh céng X cña mét sè rÊt lín c¸c biÕn ngÉu n
nhiªn thµnh phÇn X nµy l¹i nhËn gi¸ trÞ rÊt gÇn víi μ víi x¸c suÊt rÊt gÇn 1. i
3. §Þnh lý Bernoulli (luËt sè lín cña Bernoulli)
Ph¸t biÓu: NÕu S lµ sè lÇn xuÊt hiÖn cña biÕn cè A trong n phÐp thö ®éc lËp n
víi mçi phÐp thö chØ cã hai kªt qu¶ lµ A vµ Ā vµ víi x¸c suÊt ®Ó A xuÊt hiÖn
trong mçi phÐp thö ®Òu lµ P(A) = p( 0 < p < 1) th× víi mäi sè ε > 0 nhá tuú ý ta ®Òu cã: ⎛ S ⎞ lim P n − p < ε = 1 → n ∞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ n ⎠ ý S
nghÜa: Ta thÊy n chÝnh lµ tÇn suÊt f cña A trong l−îc ®å Bernoulli víi hai n n
tham sè n vµ p. v× vËy theo ®Þnh lý nµy ta thÊy f ( P ) ⎯ ⎯ → → ∞ . Do ®ã n p (n )
nÕu n kh¸ lín ta cã thÓ lÊy gi¸ trÞ cña f lµm gi¸ trÞ xÊp xØ cho p. §©y chÝnh lµ n
c¸ch x¸c ®Þnh x¸c suÊt cña mét biÕn cè A nµo ®ã theo quan ®iÓm thèng kª. Chøng minh
¸p dông bÊt ®¼ng thøc Trª_b−_sÐp cho biÕn ngÉu nhiªn f ta ®−îc: n V f ( P f − E f ( ) < ε n n ) ( n ) ≥ 1− 2 ε
NÕu gäi X lµ “sè lÇn xuÊt hiÖn cña biÕn cè A trong phÐp thö thø i” i ( = , 1 n) i
th× c¸c X lµ c¸c biÕn ngÉu nhiªn ®éc lËp, cïng tu©n theo quy luËt A(p) víi i E(X = ( V X = 1 − i ) p( p) i ) p vµ . Lê ă
V nPhong‐TrầnTrọngNguyên,ĐHKTQD 218
Chương5.Mộtsốđịnhlýhội t  ụ Do ®ã ⎛ S ⎞ ⎛ X + X + .... + X n 1 1 2 ⎞ ( E f ) = E n ⎜ ⎟ = E n ⎜ ⎟ = ∑E(X = n i ) p ⎝ n ⎠ ⎝ n ⎠ n i=1 ⎛S n ⎞ 1 1 p(1 − p) V(f = ⎜ ⎟ = 2 ∑ = 1 − = n ) V n V(Xi ) np( p) ⎝ n ⎠ n 2 i=1 n n
Thay c¸c kÕt qu¶ nµy vµo bÊt ®¼ng thøc trªn ta ®−îc: p 1 ( − p) (Pf − p < ε n )≥1− 2 ε n
LÊy giíi h¹n hai vÕ ta ®−îc: ⎛ 1 ( p − p)⎞ lim P(f − p < ε n )≥ lim⎜1− ⎟ n →∞ n→∞ ⎝ nε2 ⎠ 1 Do 1 ( p − p) ≤
vµ ε h÷u h¹n nªn giíi h¹n bªn ph¶i b»ng 1. Do x¸c suÊt bÞ 4
chÆn trªn bëi 1 nªn cuèi cïng ta suy ra: lim P(f − p < ε)= 1 →∞ n n
4. §Þnh lý Markov ( luËt sè lín cña Markov)
Ph¸t biÓu: NÕu dÉy c¸c biÕn ngÉu nhiªn {X } (n = ,
1 2,....) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn: n ⎡ 1 ⎛ n ⎞⎤ lim ⎜ V ∑ X i ⎟ = 0 → n ∞ ⎢ 2 ⎥ ⎣n ⎝ i =1 ⎠⎦
Th× khi ®ã víi mäi sè ε > 0 nhá tuú ý ta ®Òu cã: ⎛ 1 n 1 n ⎞ lim P⎜ ∑X − E X i ∑ ( ) < ε⎟ =1 → n ∞ i n i=1 n i =1 ⎝ ⎠
ý nghÜa: Nh− vËy ®iÒu kiÖn trong ®Þnh lý Markov réng h¬n c¸c ®iÒu kiÖn trong
®Þnh lý Trª_b−_sÐp ë chç kh«ng ®ßi hái tÝnh ®éc lËp cña c¸c biÕn ngÉu nhiªn
thµnh phÇn vµ tÝnh bÞ chÆn ®Òu cña c¸c ph−¬ng sai cña chóng. Lê ă
V nPhong‐TrầnTrọngNguyên,ĐHKTQD 219
Chương5.Mộtsốđịnhlýhội t  ụ Chøng minh n ¸ 1
p dông bÊt ®¼ng thøc Trª_b−_sÐp cho biÕn ngÉu nhiªn X = X ta ®−îc n ∑ i n i=1 ⎛ 1 n ⎞ V⎜ ∑ Xi ⎟ ⎛ 1 n ⎛ 1 n ⎞ ⎞ n ⎝ i=1 P ∑X E X i − ⎜ ∑ i ⎟ < ε ≥ 1 ⎠ − ⎜⎜ ⎟⎟ 2 n i=1 ⎝ n i=1 ⎠ ε ⎝ ⎠ Nh− ®· biÕt ⎛ n 1 ⎞ n 1 E⎜ ∑ X E X i ⎟ = ∑ ( i) ⎝ n i=1 ⎠ n i=1 ⎛ n 1 ⎞ n 1 ⎛ ⎞ ⎜ V ∑X V X i ⎟ = ⎜ 2 ∑ i ⎟ ⎝ n =i1 ⎠ n ⎝ =i1 ⎠
Thay c¸c kÕt qu¶ nµy vµo bÊt ®¼ng thøc trªn vµ lÊy giíi h¹n hai vÕ ta ®−îc: ⎛ n n 1 1 ⎞ 1 ⎡ 1 ⎛ n ⎞ ⎤ lim P⎜ ∑X − E X 1 lim V X i ∑ ( i) < ε⎟ ≥ − n →∞ 2 n →∞ ⎢ ⎜ 2 ∑ i ⎟ ⎥ ⎝ n =i1 n i=1 ⎠ ε ⎣n ⎝ i=1 ⎠ ⎦
Do gi¶ thiÕt cña ®Þnh lý ta suy ra vÕ ph¶i b»ng 1, vµ do x¸c xuÊt bÞ chÆn trªn
bëi 1 nªn ta suy ra hÖ thøc ph¶i chøng minh.
Ghi chó. §Æc biÖt nÕu nh− c¸c biÕn ngÉu nhiªn X (n = 1,2….) ®«i mét kh«ng n
t−¬ng quan (vµ m¹nh h¬n n÷a ®«i mét ®éc lËp) th× ®iÒu kiÖn trong ®Þnh lý Markov trë thµnh: n 1 ) 2 ∑ V (X )→ 0 (n → ∞ n i i=1
ThÝ dô 1. H·y x¸c ®Þnh sè l−îng tèi thiÓu c¸c phÐp thö cÇn thùc hiÖn trong
l−îc ®å Bernoulli ®Ó dùa vµo f ta cã xÊp xØ ®−îc p víi ®é chÝnh x¸c 0,1 vµ ®é n tin cËy tèi thiÓu lµ 95%. Bµi gi¶i
Ta ph¶i x¸c ®Þnh gi¸ trÞ tèi thiÓu cña n sao cho: P(f − p < 0 1 , ≥ n ) 0,95 Lê ă
V nPhong‐TrầnTrọngNguyên,ĐHKTQD 220
Chương5.Mộtsốđịnhlýhội t  ụ
Theo ®Þnh lý Bernoulli ta chØ biÕt ®−îc f héi tô theo x¸c suÊt vÒ p. Tuy nhiªn n
dùa vµo bÊt ®¼ng thøc Trª_b−_sÐp ¸p dông cho f ®· nªu trong phÇn chøng n minh ®Þnh lý nµy ta cã: p 1 − p P(f − p < 0 1 , ≥ − n ) ( ) 1 2 n 0 ( 1 , ) ( p 1 − ) p 1 VËy ta ph¶i cã: 1 − = 0 9
, 5 do ch−a biÕt, nh−ng v× p(1- p) ≤ nªn ta n(0 1 2 , ) 4 cã thÓ ®¸nh gi¸ tiÕp: 1 1 − ≥ 0,95 4n 0 ( 1 2 , ) Suy ra n ≥ 500
ThÝ dô 2. Cho d·y { X } (n = 1,2,….) lµ c¸c biÕn ngÉu nhiªn ®éc lËp víi quy n
luËt ph©n phèi x¸c suÊt nh− sau: Xi − i 0 i 1 1 1 p(x ) 1 − i 2 i i 2 i
Chøng tá r»ng dÉy biÕn ngÉu nhiªn nµy tu©n theo quy luËt sè lín. Bµi gi¶i
Ta ®Ô dµng tÝnh ®−îc E(X ) = 0, V(X ) = i i i Tõ ®ã n n n 1 1 1 1 ∑ V(X ) = ∑ i < ∑ n = n2 i 2 2 i =1 n i= 1 n i=1 n 1 n VËy lim
∑V(X ) = 0 vµ {X }(n = ,1 .2...) tu©n theo luËt sè lín. 2 →∞ i n n n i 1 =
B. Sù héi tô theo quy luËt Lê ă
V nPhong‐TrầnTrọngNguyên,ĐHKTQD 221
Chương5.Mộtsốđịnhlýhội t  ụ I. C¸c ®Þnh nghÜa §Þnh nghÜa 1
D·y c¸c biÕn ngÉu nhiªn {X } (n = 1, 2,…) ®−îc gäi lµ héi tô theo quy n
luËt vÒ X nÕu: limF (x) = F (x) víi mäi x thuéc thuéc tËp hîp c¸c ®iÓm liªn X X n n →∞ tôc cña F (X). X Khi ®ã ta ký hiÖu X L ⎯ ⎯ →X (n → ∞). n
Ghi chó 1. Do cã sù t−¬ng øng ( 1-1 ) gi÷a hµm ®Æc tr−ng vµ hµm ph©n phèi
nªn ®iÒu kiÖn trªn cã thÓ thay b»ng: limg (t) =g (t) X X n n →∞
Ghi chó 2. Ta biÕt quy luËt chuÈn lµ quy luËt th−êng gÆp vµ cã nhiÒu øng dông.
V× thÕ ta sÏ t×m c¸c ®iÒu kiÖn mét d·y biÕn ngÉu nhiªn {X }(n = , 1 . 2 ..) sÏ héi n
tô theo quy luËt vÒ quy luËt N( 0; 1). ChÝnh x¸c h¬n ta cã kh¸i niÖm tiÖm cËn chuÈn nh− sau:
NÕu quy luËt ph©n phèi cña biÕn ngÉu nhiªn X phô thuéc vµo tham sè n vµ nÕu
ta cã thÓ chän ®−îc hai ®¹i l−îng m vµ σ (phô thuéc hoÆc kh«ng phô thuéc 0 0
vµo n) sao cho khi n → ∞ th× hµm ph©n phèi cña biÕn ngÉu nhiªn ~ X − 0 X = m σ0
SÏ tiÕn tíi hµm ph©n phèi cña quy luËt chuÈn N( 0;1), tøc lµ 2 x u − ~ 1 lim 2 ~
F (x) = lim P(X < x)= F (x) = e du n→∞ X →∞ U n ∫ 2π −∞
Th× ta nãi r»ng X tiÖm cËn chuÈn (m , σ . 0 0 )
ThÝ dô. NÕu X tu©n theo quy luËt 2
χ (n) th× nã tiÖm cËn chuÈn (n, 2n). Lê ă
V nPhong‐TrầnTrọngNguyên,ĐHKTQD 222
Chương5.Mộtsốđịnhlýhội t  ụ Chøng minh n
ThËt vËy, v× X tu©n theo quy luËt 2 χ (n) nªn − g (t) = (1 − it) 2 2 X E (X) = n V (X) = 2n suy ra ( σ ) X = 2n ~ X − n
Ta xÐt biÕn ngÉu nhiªn chuÈn ho¸ tõ X: X = n 2 ~
Khi ®ã hµm ®Æc tr−ng cña X sÏ lµ ~ ⎡ X−n it ⎤ g 2 ~ (t) = E e E e X [ itX]= ⎢ n ⎥ ⎣ ⎦ − n it ⎛ 1 2 ⎞ = e g X ⎜ t⎟ ⎝ 2n ⎠ n n − n − n 2 −it 2 ⎛ 1 −it ⎞ ⎛ 2 ⎞ 2 2 = e 1 ⎜ − 2i t ⎟ = e 1 − it ⎝ 2 ⎜⎜ ⎟⎟ n ⎠ n ⎝ ⎠ Do ®ã 2 n ⎛ 2 ⎞ ln g . ~ (t) = − it − l 1 X ⎜⎜ n − it ⎟⎟ n 2 ⎝ n ⎠
Khai triÓn Mac_laurin ta cã: ⎛ 2 ⎞ 2 1 ⎛ 2 ⎞2 1 ⎛ 2 ⎞3 ln 1 − it = −it − it − it +.... ⎜⎜ n ⎟⎟ n ⎜⎜ 2 n ⎟⎟ ⎜⎜ 3 n ⎟⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Suy ra t2 ⎛ 1 ⎞ ln g~ (t) = − + 0 X ⎜ ⎟ 2 ⎝ n ⎠ 2 t − VËy 2 lim g = ~ (t) e X n→∞ Lê ă
V nPhong‐TrầnTrọngNguyên,ĐHKTQD 223
Chương5.Mộtsốđịnhlýhội t  ụ
§©y lµ hµm ®Æc tr−ng cña quy luËt N( 0;1) tõ ®ã ta kÕt luËn hµm ph©n phèi cña ~ X − n X =
tiÕn tíi hµm ph©n phèi cña quy luËt N( 0;1) khi n → ∞ , tøc lµ X 2n tiÖm cËn chuÈn (n, 2n).
II. §Þnh lý giíi h¹n trung t©m cña liapounov
Ph¸t biÓu. Cho c¸c biÕn ngÉu nhiªn ®éc lËp X (k = 1,2…) cã kú väng h÷u h¹n k
E(X ) = a vµ ph−¬ng sai h÷u h¹n ( V X = σ . k ) 2 k k k 1 n NÕu lim ∑E X −a )= (*) 3 ( 3 0 n →∞ k k B k 1 = n Trong ®ã: n n n 2 ⎛ B V S ( ) V X V X 2 n = n = ∑ ⎞ ⎜ k ⎟ = ∑ ( )= k ∑σ ⎝ k k= 1 ⎠ k=1 k =1 n Th× S = X lµ E(S ) vµ σ lµ ( V S ) , tøc lµ n ∑ sÏ tiÖm cËn chuÈn víi m k 0 n 0 n k= 1 tæng chuÈn ho¸: ~ S − E S ( ) S − E S ( ) n n n n S = = n ( V S ) σ(S ) n n SÏ tho¶ m·n ~ lim F = < = ~ (x ) lim P S (S x n ) F (x) U n→∞ n n→∞ Trong ®ã F (x) U
lµ hµm ph©n phèi cña biÕn ngÉu nhiªn U tu©n theo quy luËt N( 0;1). Nãi c¸ch kh¸c: 2 t − 2 lim g = = ~ (t ) g (t) e . S U n→∞ n Lê ă
V nPhong‐TrầnTrọngNguyên,ĐHKTQD 224
Chương5.Mộtsốđịnhlýhội t  ụ
ý nghÜa. §iÒu kiÖn (*) ®−îc gäi lµ ®iÒu kiÖn Liapounov. NÕu ®iÒu kiÖn nµy n
®−îc tho¶ m·n th× víi n kh¸ lín quy luËt ph©n phèi cña tæng S = X n ∑ cã thÓ k k= 1 n n
coi xÊp xØ lµ quy luËt chuÈn víi kú väng lµ ( E S ) E X a n = ∑ ( ) k = ∑ vµ víi k k=1 k=1 n n ph−¬ng sai lµ ( V S ) = V X 2 n ∑ ( ) = k ∑ σ . k = k 1 k=1 Chøng minh
§Ó chøng minh ®Þnh lý nµy ta sÏ chøng minh r»ng hµm ®Æc tr−ng cña tæng chuÈn ho¸: ∑n n X − a k ∑ k n ~ X − a k =1 k= S = 1 = n ∑ k k B k=1 B n n
sÏ tiÕn tíi hµm ®Æc tr−ng cña quy luËt N( 0;1) khi n →∞ , tøc lµ 2 t − 2 lim g = ~ (t) e S n→∞ n
Theo tÝnh chÊt cña hµm ®Æc tr−ng th×: n g ~ (t ) = g (t) Sn ∏ X −akk k=1 Bn
i) V× vËy tr−íc hÕt ta x¸c ®Þnh g
(t theo c«ng thøc khai triÓn ®· (X − ) ) k ak biÕt: r 1 − iz (iz) k k e = ∑ + θ z ví i θ <1 = k 0 r! k! Ta suy ra (it )0 X (itX)1 (itX)2 (tX)3 eitX = + + + θ ví i θ <1 0! 1! 2! 3! 2 3 t t =1 2 3 +itX − X + θ X víi θ <1 2 6 Lê ă
V nPhong‐TrầnTrọngNguyên,ĐHKTQD 225
Chương5.Mộtsốđịnhlýhội t  ụ
Do ®ã ta cã thÓ viÕt khai triÓn cña g (t) X nh− sau: 2 itX t g (t) = E = 1 + − 2 + X (e ) itE(X) E(X ) R(t) 2
trong ®ã phÇn d− R(t) tho¶ m·n bÊt ®¼ng thøc R(t) ≤ C E( 3 X ) 3 t Tõ ®ã ta suy ra: it (X −a ) g (t) = E e X − a [ k k ] ( ) k k t 2 = 1+ itE(X − a )− ( E X − a )2 + R (t) k k k k k 2 Víi R (t) ≤ E . C −
trong ®ã C lµ h»ng sè nµo ®ã. k ( 3 X a k k ) 3t V× E(X − a E(X ) a a a k k ) = − = − =0 k k k k ( E X − a )2 = E X − E X = V X = σ k k [ ( ) k k ]2 ( ) 2 k k Nªn ta cã: σ2 g k = 1− 2 ( + X − a ) (t ) t R (t) k k k 2 ii)
Theo tÝnh chÊt ®· biÕt cña hµm ®Æc tr−ng lµ g (t) = g (at ) nªn aX X ta suy ra: ⎛ t ⎞ g (t) = ( g X − k a k ) (X − k ak )⎜ ⎜ ⎟⎟ B Bn ⎝ n ⎠ σ ⎛ 2 2 t ⎞ ⎛ 1 ⎞ = 1 − k + ⎜⎜ ⎟⎟ R k ⎜ ⎜ ⎟⎟ 2 ⎝ B B n ⎠ ⎝ n ⎠ σ2 ⎛ 2 1 ⎞ = 1 − k t + R k 2 ⎜⎜ ⎟⎟ 2B B n ⎝ n ⎠ ⎛ 1 ⎞ t trong ®ã R ≤ E . C X − a k ( ⎜⎜ ⎟⎟ k k ) 3 3 B ⎝ ⎠ B n n Tøc lµ Lê ă
V nPhong‐TrầnTrọngNguyên,ĐHKTQD 226
Chương5.Mộtsốđịnhlýhội t  ụ ⎛ ⎞ E( 3 1 X − a k k ) 3 R ≤ . C t k ⎜ ⎜ ⎟⎟ 3 B B ⎝ ⎠ n n iii) Nh− ®· nªu n g = ∏ ~ (t ) g (t) S X a − n k k k =1 B n n nªn ln g ~ (t) = ln g (t) S ∑ X −a k k n k=1 B n n ⎡ σ2 ⎛ 2 t ⎞⎤ = ∑ln⎢1 − k t + R k 2 ⎜⎜ ⎟⎥ ⎟ = k 1 ⎣ 2B B n ⎝ n ⎠⎦ V× ln(1 + α ≈ α nÕu α → 0 nªn: n ) n n ⎡ σ2 ⎛ t ⎞ ⎤ ⎡ σ2 ⎛ t ⎤ ⎞ ln⎢1 − k t2 + R t2 R k 2 ⎜⎜ ⎟⎟⎥ ≈ ⎢− k + k 2 ⎜⎜ ⎟⎥ ⎟ ⎣ 2B B 2 B B n ⎝ n ⎠ ⎦ ⎣ n ⎝ n ⎦ ⎠ Do ®ã n ⎡ σ2 ⎛ t ⎞⎤ ln g 2 ~ (t ) ≈ t R S ∑⎢− k + k n 2 ⎜⎜ ⎟⎟⎥ k =1 ⎣ 2B B n ⎝ n ⎠⎦ n ∑σ2k n ⎛ 1 2 t ⎞ k = = − t + 2 ∑ Rk⎜⎜ ⎟⎟ 2B k=1 B n ⎝ n ⎠ 2 n B ⎛ 1 ⎞ = − n t2 + 2 ∑R k ⎜⎜ ⎟⎟ 2 B = k 1 B n ⎝ n ⎠ 2 n t ⎛ 1 ⎞ = − + ∑ R k⎜ ⎜ ⎟⎟ 2 = k 1 ⎝ Bn ⎠ ⎛ ⎞ ( 3 1 E X − a k k ) iv) V× 3 R ≤ . C t k ⎜ ⎜ ⎟⎟ 3 B B ⎝ n ⎠ n n ⎛ 1 ⎞ n 1 Nªn ∑ 3 3 R ≤ . C t E X a k⎜ ⎜ ⎟⎟ 3 ∑ ( − k k ) k=1 ⎝ B 1 n ⎠ Β =k n Lê ă
V nPhong‐TrầnTrọngNguyên,ĐHKTQD 227
Chương5.Mộtsốđịnhlýhội t  ụ
NÕu ®iÒu kiÖn Liapounov ®−îc tho¶ m·n, tøc lµ nÕu n 1 3 ∑ 3 E(X − a 0 k k )→ (n→∞) Β k=1 n n ⎛ 1 ⎞ th× ∑ R 0 k → khi n → ∞ ⎜⎜ ⎟⎟ k =1 ⎝ Bn ⎠ Do ®ã t2 ln g ~ (t ) → − (n → ∞) n S 2 t2 V× thÕ g 2 ~ (t ) → − e (n → ∞) Sn
VËy ®Þnh lý ®−îc chøng minh.
HÖ qu¶ 1 (§Þnh lý Lindeberg_levy). NÕu {X } (n = , 1 ,
2 ...) lµ d·y c¸c biÕn ngÉu nhiªn ®éc lËp, cã cïng quy luËt n
ph©n phèi x¸c suÊt víi E(X = vµ V(X =
vµ cã c¸c m«_men cÊp 3 h÷u k ) 2 b k ) a n n h¹n th× S X m 0 = E S ( ) E(X ) na n = ∑ k = n = ∑ sÏ tiÖm cËn chuÈn víi vµ k = k 1 k =1 σ = σ . 0 ( n S = = ∑ 2 = 2 = n ) V (Sn ) b nb b n k k=1 Chøng minh
Ta xÐt ®iÒu kiÖn Liapounov ®èi víi d·y c¸c biÕn ngÉu nhiªn nµy. Ta cã 1 n ∑E( 3 1 X − a = ∑ E X − a 3 k k ) 3 B = n ( k 2 nb )3 ( ) k 1 1 n 1 μ 3 = ∑ μ = n μ = 3 3 3 3 1 k 1 = 2 3 2 3 2 3 n b n b n b
Do gi¶ thiÕt m«_men trung t©m tuyÖt ®èi cÊp 3 lµ μ h÷u h¹n nªn ta suy ra 3 Lê ă
V nPhong‐TrầnTrọngNguyên,ĐHKTQD 228
Chương5.Mộtsốđịnhlýhội t  ụ 1 μ lim ∑ ( 3 E X − a = lim = 3 k k ) 3 0 1 → n ∞ n→∞ B 3 n 2 n b
VËy ®èi víi d·y c¸c biÕn ngÉu nhiªn ®ang xÐt ta thÊy ®iÒu kiÖn Liapounov
®−îc tho¶ m·n nªn ta cã kÕt qu¶ ph¶i chøng minh.
ý nghÜa. Nh− vËy khi n kh¸ lín ta cã thÓ coi quy luËt ph©n phèi cña biÕn ngÉu n nhiªn S = X N( 2
na; nb ). Tõ ®ã cã thÓ coi quy n ∑
lµ xÊp xØ quy luËt chuÈn k k =1 n S 1
luËt ph©n phèi cña biÕn ngÉu nhiªn n = ∑ X = X lµ xÊp xØ quy luËt chuÈn k n n n k=1 ⎛ S ⎞ 1 1 víi ( E X = ⎜ ⎟ = = = n ) E n ( E S ) a . n a ⎝ n ⎠ n n n ⎛ S 1 1 2 b 2 n ⎞ vµ V(X = V(S ) = n b . = n ) = V ⎜ ⎟ ⎝ n ⎠ n n 2 n 2 n ⎛ b2 ⎞
tøc lµ ta cã thÓ coi xÊp xØ quy luËt ph©n phèi cña X lµ ⎜ N a; ⎟ kÕt qu¶ n ⎝ n ⎠
nµy sÏ ®−îc øng dông ë phÇn thèng kª to¸n sau nµy.
HÖ qu¶ 2. (§Þnh lý Moivre_laplace hoÆc cßn gäi lµ ®Þnh lý giíi h¹n tÝch ph©n). NÕu {X = 1 2 n } (n
, ,...) lµ d·y c¸c biÕn ngÉu nhiªn ®éc lËp, cïng tu©n theo n
quy luËt A(p) th× biÕn ngÉu nhiªn S = X m = np n ∑ sÏ tiªm cËn chuÈn víi k 0 = k 1 vµ σ = n ( p 1 − p) = npq . 0 Chøng minh.
Ta cã thÓ coi ®©y lµ mét tr−êng hîp riªng cña ®Þnh lý Lindeberg_levy víi E(X ) = p vµ ( V X = 1 − = . k ) p( p) pq k Ghi chó. Lê ă
V nPhong‐TrầnTrọngNguyên,ĐHKTQD 229
Chương5.Mộtsốđịnhlýhội t  ụ
V× c¸c biÕn ngÉu nhiªn X ®éc lËp cïng tu©n theo quy luËt A(p) nªn biÕn k n ngÉu nhiªn X = S = X n ∑
, nh− ta ®· biÕt sÏ tu©n theo quy luËt B(n;p). V× vËy k = k 1
®Þnh lý Moivre_Laplace còng cã thÓ ph¸t biÓu lµ
Quy luËt nhÞ thøc B(n;p) tiªm cËn chuÈn víi m = np vµ σ = npq . Tõ 0 0
®ã nÕu X tu©n theo quy luËt B(n;p) vµ n kh¸ lín, ®ång thêi p kh«ng qu¸ gÇn 0 vµ 1 th× tæng x 2 x2 ∑P(X = x) = ∑ x x −nx C p q n x =x x = 1 1 x
Cã thÓ tÝnh xÊp xØ th«ng qua hµm Φ (u) ®· dïng cho quy luËt chuÈn nh− sau: 0 x 2
∑P(X = x) = P(x ≤ X ≤ x ) 1 2 x =x1
⎛ x − np X − np x − np ⎞ = P⎜ 1 ≤ ≤ 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ npq npq npq ⎠ ⎛ x − np ⎞ ⎛ x − np⎞ ≈ Φ ⎜ 2 ⎟ − Φ ⎜ 1 0⎜ ⎟ 0⎜ ⎟⎟ ⎝ npq ⎠ ⎝ npq ⎠
ThÝ dô: X¸c suÊt ®Ó trong mét qu¸ tr×nh s¶n xuÊt mét s¶n phÈm trë thµnh phÕ
phÈm lµ 0,005 tÝnh x¸c suÊt ®Ó trong sè 10000 s¶n phÈm ®−îc lÊy ra mét c¸ch
ngÉu nhiªn ®Ó kiÓm tra th× sÏ kh«ng cã qu¸ 70 phÕ phÈm. Bµi gi¶i
NÕu ký hiÖu X lµ “sè phÕ phÈm cã thÓ gÆp ph¶i khi ta lÊy ngÉu nhiªn ra
10000 s¶n phÈm” th× ta ph¶i tÝnh P( X≤ 70).
ë ®©y ta cã mét l−îc ®å Bernoulli víi n = 10000 vµ p = 0,005 v× vËy: 70 70 x 10000− P(X ≤ 7 ) 0 = ∑P (x) = ∑C , 0 005 , 0 995 n 10000 ( )x ( ) x x=0 x= 0
NÕu tÝnh trùc tiÕp tõng x¸c suÊt trªn råi céng l¹i th× rÊt khã kh¨n. V× vËy ta
sÏ ¸p dông ®Þnh lý giíi h¹n tÝch ph©n ®Ó tÝnh xÊp xØ. Lê ă
V nPhong‐TrầnTrọngNguyên,ĐHKTQD 230