Một số vấn đề cơ bản về giới hạn của dãy số – Nguyễn Hữu Hiếu
Tài liệu gồm 20 trang được biên soạn bởi thầy Nguyễn Hữu Hiếu trình bày một số vấn đề cơ bản về giới hạn của dãy số, bao gồm các định nghĩa, định lý, các dạng toán và bài tập có hướng dẫn giải.
Chủ đề: Chương 5: Giới hạn. Hàm số liên tục (KNTT) 78 tài liệu
Môn: Toán 11 3.3 K tài liệu
Tác giả:
Preview text:
Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước
GV. Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn
MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Định nghĩa 1
Dãy số u được gọi là dãy số tăng nếu với mọi n ta có u u n n n 1
Dãy số u được gọi là dãy số giảm nếu với mọi n ta có u u n n n 1 2. Định nghĩa 2
Dãy số u được gọi là dãy số bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho n
u M , n * n
Dãy số u được gọi là dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho n u , m n * n
Dãy số u được gọi là dãy số bị chặn nếu tồn tại một số M và một số m sao cho n
m u M , n * n 3. Định lý 1
a. Mọi dãy tăng và bị chặn trên thì hội tụ.
b. Mọi dãy giảm và bị chặn dưới thì hội tụ. 4. Định lí 2
a. Mọi dãy tăng và không bị chặn trên thì tiến tới .
b. Mọi dãy giảm và không bị chặn dưới thì tiến tới . 5. Định lý 3
a. Nếu một dãy u hội tụ đến a thì mọi dãy con trích từ u cũng hội tụ đến a . n n
b. u hội tụ đến a u và u hội tụ đến a . 2n 1 2n n 6. Định lý 4 1
a. Nếu lim u 0 và u 0, n thì lim n n n n un 1
b. Nếu lim u và u 0, n thì lim 0 n n n n un
7. Định lý 5.(Định lý kẹp giữa về giới hạn). Nếu với mọi n n ta luôn có u x v và 0 n n n
limu lim v a thì lim x a n n n
8. Sử dụng tiêu chuẩn Weierstrass để chứng minh dãy số có giới hạn u a
Bài toán. Chứng minh dãy số 1 u xác định bởi
có giới hạn hữu hạn và n u f u ;n 2 n n 1
tìm giới hạn đó ( f x là hàm số liên tục). Phương pháp giải
a) Dãy x bị chặn. Nếu f x là hàm số tăng trên ;
a b thì dãy x đơn điệu và hội n n
tụ đến L là nghiệm của phương trình f x x .
Một số vấn đề cơ bản về dãy số và giới hạn của dãy 1
Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước
GV. Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn
b) Nếu f x là hàm số nghịch biến thì các dãy con x ; x
của dãy x ngược n 2n 2n 1 chiều biến thiên. Nhận xét: Nếu dãy x
hội tụ đến L , dãy x hội tụ đến K : 2n 1 2n
Với L K thì dãy x không có giới hạn; n
Với L K thì dãy x có giới hạn là L . n II. BÀI TẬP
1. CHỨNG MINH DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN u 3 1
Bài 1. Cho dãy số (u ) xác định bởi công thức 1 3 . Chứng minh n * u 2u ; (n ). n 1 n 2 3 un
dãy số có giới hạn. Tính lim u ? n Lời giải
Theo công thức xác định dãy (u ), ta có * u 0; n . n n
Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có: 1 3 1 3 3 2 3 * u 2u u u 3 u . 3 ; n . n 1 n 2 n n 2 n 2 3 u 3 u u n n n Do đó: 3 * u 3 ; n . n 3 2 1 1 3 1 3 u Mặt khác: n u u u u u 0 . n 1 n n 2 n 2 n 2 3 u 3 u 3 u n n n
Vậy (u ) là dãy số giảm và bị chặn dưới nên nó có giới hạn. n 2 1 3 Giả sử, limu a .Ta có: 3 a a a a 3 . n 2 2 3 a a Kết luận. 3 limu 3 . n
Bài 2. Chứng minh dãy số có giới hạn và tìm giới hạn đó u 1 0
Bài 3. Chứng minh dãy số 1
có giới hạn và tìm giới hạn đó. u ; n 1, 2, 3... n 3 u n 1 1 3x a) x : x , n x n 1 n 1 6 2x 1 n b) x : x 2;x 2 x n 1 n 1 n n ! c) x : x ;n N n n 2n 1 !! d) x : x 13;x 12 x n 1 n 1 n 1 4 e) x : 2 x ;x x x n 1 n 1 2 3 n n
Một số vấn đề cơ bản về dãy số và giới hạn của dãy 2
Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước
GV. Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn 1 u1 2 f) u n 3u 4 n u , n 1 n 1 2u 1 n x 0;x 1 1 2 g) x 3x 2 n n 1 x ,n 2 n 1 10x 2x 2 n n 1 x 1 1 h) x : 13 n x 20 ,n 1, 2... n 1 xn x 1 1 i) x : 1 2014 n x x ,n 1 n 1 2 n xn x 1 1 j) x : u n n 1 x ,n 2 n 2 u 1 n 1 3 k) x : x ;x 3x 2;n 1 n 1 1 2 n n l) x : x 0;x 6 x ;n 1 n 1 n 1 n 2 2x 1 m) x : x 1; n x ;n 1 n 1 n 1 x 3 n n) x : x 1;x 2;x x x ;n 2 n 1 2 n 1 n n 1 4 4 8 o) x : x ;x 3x ;n 1 n 1 n 1 9 9 9 n 1 3 1 p) x : 2 3 x ;x x x ;n
1 . Hướng dẫn: Xét hàm số. n 1 n 1 2 2 n 2 n 3 1 3 3 f x x x , x 0;1 , f ' x 0; x
0;1 từ đó suy ra f x tăng trên 0;1 . Chứng 2 2 minh u
0;1 bằng quy nạp. Do f x tăng nên f u f u & u u cùng dấu, và do n n n 1 n n 1 3
đó cùng dấu với u u
0 . Từ đó suy ra u là dãy giảm và bị chặn dưới. 2 1 16 n q) x : x 2;x 2 x ;n
1 HD: Xét hàm số f x 2 x ;x 0;2 n 1 n 1 n un x r) x : 2 x 2;x 2 ;n 1 HD: Xét hàm số 2 f x 2 ;x 1;2 n 1 n 1 1 1 s) x : x 1982;x ;n
1 HD: Xét hàm số f x ;x 0;1 . n 1 n 1 4 3x 4 3x n
Một số vấn đề cơ bản về dãy số và giới hạn của dãy 3
Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước
GV. Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn 1 t) x : x 1;x 1 ;n 1 n 1 n 1 xn
MỘT SỐ BÀI TOÁN TÍNH GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 1 u
Bài 1. Cho dãy số thực u xác định bởi: 1 2 . Tìm giới hạn sau: n 2 u
u u , n 1 (1) n 1 n n 1 1 1 lim ... . n u 1 u 1 u 1 1 2 n 1 Lời giải
Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: u 1, n 3 n
Xét tính đơn điệu của u : Từ hệ thức (1) ta suy ra được n 2 u
u u 0 u tăng. n n 1 n n Tính tổng: 1 1 1 1 2 u u u n 1 n n u u u 1 u u 1 n 1 n n n n 1 1 1 (n 1, 2,...) (*) u 1 u u n n n 1
Thay n bởi 1,2,3,...,n vào (*) và cộng vế với vế các đẳng thức ta suy ra được: 1 1 1 1 ... 2 u 1 u 1 u 1 u 1 2 n 1 n 1
Do u là dãy tăng nên có hai khả năng sau xảy ra: n
1) Dãy u bị chặn trên. Theo tiêu chuẩn Weierstrass, do u tăng và bị chặn trên n n nên nó có giới hạn.
Giả sử lim u a thì a 0 .Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) khi n ta có: n n 2
a a a a 0 (vô lý)
2) Dãy u không bị chặn trên, do u tăng và không bị chặn trên nên: n n 1
lim u lim u lim 0 n n 1 n n n un 1 1 1 1 1
Vì thế từ (2) ta suy ra: lim ... lim 2 2 n u 1 u 1 u 1 n u 1 2 n 1 n 1 1 1 1 Vậy lim ... 2 . n u 1 u 1 u 1 1 2 n 1 u 2
Bài 2. Cho dãy số thực u xác định bởi: 1 n 2 u
u u 1, n 1 (1) n 1 n n
Một số vấn đề cơ bản về dãy số và giới hạn của dãy 4
Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước
GV. Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn 1 1 1
Tìm giới hạn sau: lim ... . n u u u 1 1 n Lời giải
Bằng phép quy nạp đơn giản ta chứng minh được rằng: u 2, n 1 n
Xét tính đơn điệu của u Từ hệ thức (1) ta suy ra được n n , u u u , vậy u tăng. n n n 2 1 0 n 1
Tính tổng: Xuất phát từ hệ thức truy hồi (1) ta suy ra được 1 1 1 1 u 1 u u 1 n 1 n n
u 1 u u 1 u 1 u n 1 n n n n 1 1 1 (
n 1, 2,...) u u 1 u 1 n n n 1
Thay n bởi 1,2,3,...,n vào (*) và cộng vế với vế các đẳng thức ta suy ra được: 1 1 1 1 ... 1 u u u u 1 1 1 n n 1
Do u là dãy tăng nên có hai khả năng sau xảy ra: n
1) Dãy u bị chặn trên. Theo tiêu chuẩn Weierstrass, do u tăng và bị chặn trên n n nên nó có giới hạn.
Giả sử lim u a thì a 2 .Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) khi n ta có: n n 2 2
a a a 1 a 2a 1 0 a 1 (vô lý)
2) Dãy u không bị chặn trên, do u tăng và không bị chặn trên nên: n n 1
lim u lim u n 1 lim 0 n 1 n n n u 1 n 1 1 1 1 1
Vì thế từ (2) ta suy ra: lim ... lim 1 1 n n u u u u 1 1 1 n n 1 1 1 1 Vậy lim ... 1 . n u u u 1 1 n u 3 1
Bài 3. Cho dãy số u xác định bởi n 1 u u u n n 2 4 , 1; 2;3.... 1 n n 5
a) Chứng minh dãy số u tăng nhưng không bị chặn trên ; n n 1 b) Đặt S
, n 1, 2,3... Tính lim S . n n u k 3 1 k
Bài 4. (Đề kiểm tra đội dự tuyển Nam Định) Cho dãy số x xác định bởi n 2 x 2012; x
x 5x 9 với mọi n nguyên dương. 1 n1 n n
a) Chứng minh x là dãy số tăng; n
b) Chứng minh x không có giới hạn hữu hạn; n n 1
c) Xét dãy y xác định bởi y . Tìm lim y . n n n k 1 x 2 k
Một số vấn đề cơ bản về dãy số và giới hạn của dãy 5
Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước
GV. Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn Lời giải a) Xét hiệu: 2 2 x
x x 5x 9 x (x 3) 0 n 1 n n n n n
Do x 2012 3 nên x x 0 suy ra dãy đã cho là dãy tăng. 1 n1 n
b) Giả sử dãy (x ) có giới hạn hữu hạn, đặt limx ( a a 2012) . n n Từ công thức truy hồi 2 x
x 5x 9. n1 n n
Lấy giới hạn 2 vế, ta được: 2
a a 5a 9 a 3 (không thỏa mãn).
Do đó dãy đã cho không có giới hạn hữu hạn. 1 1 1 c) Ta có: x 2 x 3 x 3 n n n1 n 1 1 1 1 1
Do đó, ta có: y ... n k 1 x 2 x 3 x 3 2009 x 3 n 1 n1 n1 1
Mà limx nên limy . n n 2009 u 1 n 1
Bài 5. Cho dãy số u 1 ;n 1, 2,... Đặt S . Tìm lim S . n u 1 u u u ...u n u n n n 1 1 2 3 n k 1 k Lời giải Ta có u 1
u u ...u (n 1);u 1
u u ...u ; n 2 , suy ra n 1 1 2 n n 1 2 n 1 u 1 n 1 u , n 2 u 1 u 1 u n n 1 u 1 n n n 1 1 1 1 1 1 1 u 1 u 1 u u 1 u u u 1 u 1 n 1 n n n n n n n 1 1 n 1 1 n 1 1 1 1 1 Sn u u u u u u u u k k 1 1 1 1 2 2 1 k 1 k k 1 1 2 n 1 1
Kết hợp với giả thiết suy ra S 2 n u 1 n 1 Ta có
u 1 u ;u 1 u u 1 u 1 u 1 u 2 1 3 1 2 1 1 1 n
u 1 u u u ....u u n n 1 1 1 1 2 1 Mặt khác u u 1 u u u ...u 1 0 hay u tăng nên n 1 n n 1 2 n 1 n n 1 n 1 u 1 u u ...u u 1 u 2 lim u 1 lim S 2 n 1 1 2 n 1 1 n 1 n n n n 1
Bài 6. Cho dãy số x : x 1,x x x 1 x 2 x 3 1 . Tính lim . n 1 n 1 n n n n n x i 2 1 i
Một số vấn đề cơ bản về dãy số và giới hạn của dãy 6
Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước
GV. Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn Lời giải Ta có x 5 và x
0 với mọi n 1,2, 2 n 2 2 2 x x (x 1)(x 2)(x 3) 1 x 3x x 3x 2 1 x 3x 1 (1) n 1 n n n n n n n n n n Từ đó suy ra 2 x 1 x 3x 2 x 1 x 2 n 1 n n n n 1 1 1 1 1 1 1 x 1 x 1 x 2 x 1 x 2 x 2 x 1 x 1 n 1 n n n n n n n 1 n 1 n 1 1 1 1 1 1 Do đó y = n x x x x x x i 1 1 1 1 2 1 i 2 1 i 1 i i 1 1 n 1 n 1 Từ (1) 2 k 1 x x 3x 1 3x 3.3 3k k 1 k k k
Ta dễ dàng chứng minh bằng quy nạp 1 x 3n (2) n 1 Nên lim y (vì do (2) x 3n ) n n 2 n 1
Ta có thể chứng minh lim x với cách khác: n
Dễ thấy x là dãy tăng, giả sử lim x a (a 1) n n Nên ta có a ( a a 1)(a 2)(a 3) 1 Suy ra 2 4 3 2 a a a 1 a 2 a 3 1 hay a 6a 10a 6a 1 0
Rõ ràng phương trình này không có nghiệm thỏa mãn a 1. Vậy lim x n 1
Bài 7. Xét dãy số x ; n 1, 2, 3, xác định bởi x 2 và 2 x (x 1)với mọi n 1 n 1 2 n 1 1 1 n 1, 2, 3, . . Đặt S ... . Tìm lim S . n 1 x 1 x 1 x n n 1 2 n Lời giải
Ta có thể tổng quát hóa bài toán như sau: u a 1 Cho dãy u thỏa mãn 2 2 n u (b c)u c n n un 1 b c n 1 1 1 Ta chứng minh S n u b u c u c i 1 i 1 n 1 Thật vậy. 2 2 u (b c)u c 2 u (b c)u bc (u b)(u c) Ta có n n u suy ra n n n n u c n 1 b c n 1 b c b c 1 1 1 1 1 1 Từ đó u c u c u b u b u c u c n 1 n n n n n 1
Một số vấn đề cơ bản về dãy số và giới hạn của dãy 7
Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước
GV. Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn
Khai triển và ước lượng được 1 1 1 u b u c u c 1 1 2 1 1 1 u b u c u c 2 2 3 ……………………. 1 1 1 u b u c u c n n n 1 1 1 Do đó S n u c u c 1 n 1
Từ đó vận dụng vào bài toán trên với b =1, c = - 1 ta có 1 1 1 S 1 n x 1 x 1 x 1 1 n 1 n 1 1 2 Mà x – x x
1 > 0 n N * nên dãy x là dãy tăng. Giả sử lim x a (a n 1 n 2 n n n n > 2). Thì 2 2a a 1 suy ra a = 1. Vô lý. Vậy lim x . Do đó lim S 1 n n n n
Nhận xét. Trong các bài toán tổng quát ta có thể thay các giá trị của a, b, c khác nhau để được các bài
toán mới. Chẳng hạn: 2012 (2x 1)
Bài 8. Cho dãy số x
được xác định bởi: x n x
x . Với n là số nguyên n 1 = 1; n 1 2012 n 2011 2011 2011 2011 (2x 1) (2x 1) (2x 1) (2x 1) dương. Đặt 1 2 3 u ... n . Tìm lim u . n 2x 1 2x 1 2x 1 2x 1 n 2 3 3 n 1 Lời giải 20 2 1 (2x 1) Ta có x – n x , n 1 n 1 n 2012 2011 1 1 2(x x ) (2x 1) Suy ra n 1 n n 2x 1 2x 1 (2x 1)(2x 1) 1006(2x 1) n n 1 n n 1 n 1 n 2011 (2x 1) n 1 1 1 1 i 1006 1006 x x x x x i 2 1 i 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 i 1 i i 1 1 n 1 Mặt khác: x – x 0 nên dãy (x n . Nếu (x n 1 n n) là dãy số tăng 1
n) bị chặn thì limxn tồn tại.
Một số vấn đề cơ bản về dãy số và giới hạn của dãy 8
Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước
GV. Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn 2012 (a 1) Đặt lim x a a 1 và a
a (vô lý). Suy ra x không bị chặn trên n 2012 n 1 1006 hay lim x suy ra lim =0. Suy ra lim u n 2x 1 n n 3 n 1 u 1 1
Bài 9. Cho dãy số thực u xác định bởi: 2 Tìm giới hạn sau: n un u u , n 1 n 1 2012 n u u u 1 2 lim ... n . n u u u 2 3 n 1 Lời giải
Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: u 1, n 1 n
Xét tính đơn điệu của u : Từ hệ thức (1) ta suy ra được n 2 u n , n u u
0, vậy u tăng. n n 1 n 2012
Tính tổng: Xuất phát từ hệ thức truy hồi (1) ta suy ra được 2 un 2 u
u u 2012 u u n 1 n n n 1 n 2012 u u u n n 1 n 2012 u u .u n 1 n n 1 u 1 1 n 2012 n 1,2,... (*) u u u n 1 n n 1
Thay n bởi 1,2,3,...,n vào (*) và cộng vế với vế các đẳng thức ta suy ra được: u u u 1 1 1 1 2 ... n 2012 20121 (2) u u u u u u 2 3 n 1 1 n 1 n 1
Do u là dãy tăng nên có hai khả năng sau xảy ra: n
1) Dãy u bị chặn trên. Theo tiêu chuẩn Weierstrass, do u tăng và bị chặn trên n n nên nó có giới hạn.
Giả sử lim u a thì a 1.Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) khi n ta có: n n 2 a a
a a 0 (vô lý) 2012
2) Dãy u không bị chặn trên, do u tăng và không bị chặn trên nên: n n 1
lim u lim u lim 0 n n 1 n n n un 1 u u u 1
Vì thế từ (2) ta suy ra: 1 2 lim ... n lim 20121 2012 n n u u u u 2 3 n 1 n 1
Một số vấn đề cơ bản về dãy số và giới hạn của dãy 9
Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước
GV. Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn u u u Vậy 1 2 lim ... n 2012 . n u u u 2 3 n 1 u 2 1
Bài 10. Cho dãy số thực u xác định bởi: 2 Tìm giới hạn n u 2011u n n u , n 1 (1) n 1 2012 u u u sau: 1 2 lim ... n n u 1 u 1 u 1 2 3 n 1 Lời giải
Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: u 2, n 1 n
Xét tính đơn điệu của u : Từ hệ thức (1) ta suy ra được n u u n n 1 n , u u
0 , vậy u tăng. n n 1 n 2012
Tính tổng: Từ hệ thức truy hồi (1) ta suy ra được 2 u 2011u n n 2 u
u 2012u 2012u u u 1 2012 u u n 1 n n n 1 n n n 1 n 2012 u
u 1 u 1 u n n 1 n 1 1 2012 n 2012 n 1,2,... (*) u 1 u 1 u 1 u 1 u 1 u 1 n 1
n 1 n n 1 n n 1
Thay n bởi 1,2,3,...,n vào (*) và cộng vế với vế các đẳng thức ta suy ra được: u u u 1 1 2 ... n 20121 (2) u 1 u 1 u 1 u 1 2 3 n 1 n 1
Do u là dãy tăng nên có hai khả năng sau xảy ra: n
1) Dãy u bị chặn trên. Theo tiêu chuẩn Weierstrass, do u tăng và bị chặn trên n n nên nó có giới hạn.
Giả sử lim u a thì a 2 .Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) khi n ta có: n n a(a 1) a
a a(a 1) 0 a 0 a 1 (vô lý) 2012
2) Dãy u không bị chặn trên, do u tăng và không bị chặn trên nên: n n 1
lim u lim u n 1 lim 0 n 1 n n n u 1 n 1 u u u 1
Vì thế từ (2) ta suy ra: 1 2 lim ... n lim 20121 2012 . n u 1 u 1 u 1 n u 1 2 3 n 1 n 1 u u u Vậy 1 2 lim ... n 2012 . n u 1 u 1 u 1 2 3 n 1
Một số vấn đề cơ bản về dãy số và giới hạn của dãy 10
Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước
GV. Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn 1 u 1 2
Bài 11. Cho dãy số thực u xác định bởi: Tìm giới n 2 u 4u u n 1 n 1 n 1 u , n 2 (1) n 2 1 1 1 hạn sau: lim ... . 2 2 2 n u u u 1 2 n Lời giải
Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: u 0, n 1 n
Xét tính đơn điệu của u : Từ hệ thức (1) ta suy ra được n 2 2 u 4x u u 4x u u n n n n n n 2 1 1 1 1 1 1 n 1 u u u 0 n n 1 n 1 2 2 2 u 4x u n 1 n 1 n 1 Suy ra: u tăng. n Tính tổng: 2u 1 1 1 n 1 2 u u
u u 1 u (n 1,2,...) (*) n n 1 n n n 1 2 2 4 u u u u x u n n 1 1 1 1 n n n n
Thay n bởi 1,2,3,...,n vào (*) và cộng vế với vế các đẳng thức ta suy ra được: 1 1 1 1 1 1 1 ... 6 ( 2) 2 2 2 2 u u u u u u u 1 2 n 1 1 n n
Do u là dãy tăng nên có hai khả năng sau xảy ra: n
1) Dãy u bị chặn trên. Theo tiêu chuẩn Weierstrass, do u tăng và bị chặn trên n n nên nó có giới hạn.
Giả sử lim u a thì a 0 .Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) khi n ta có: n n 2
a 4a a a a 0 (vô lý) 2
2) Dãy u không bị chặn trên, do u tăng và không bị chặn trên nên: n n 1
lim u lim 0 n n n un 1 1 1 1
Vì thế từ (2) ta suy ra: lim ... lim 6 6 2 2 2 n n u u u u 1 2 n n 1 1 1 Vậy lim ... 6 . 2 2 2 n u u u 1 2 n u 2012
Bài 12. Cho dãy số thực u xác định bởi: 1 Tìm n 2 u
2011u 2013u 1 0, n 1 (1) n n n 1 1 1 1 giới hạn sau: lim ... . n u 2012 u 2012 u 2012 1 2 n Lời giải
Một số vấn đề cơ bản về dãy số và giới hạn của dãy 11
Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước
GV. Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn
Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: u 2012, n 1 n
Xét tính đơn điệu của u : Từ hệ thức (1) ta suy ra được n u n 2 1 u u 0 u tăng. n n 1 n 2010
Tính tổng: Xuất phát từ hệ thức truy hồi (1) ta suy ra được 2 u 2011u 1 2
u 2011u 2013u 1 0 n n u n n n 1 n 1 2013 2 u 2011u 1 u 1 n n 1 n 1 2013 u u n 1 2012 n u 1 n 1 2013 1 1 1 (n=1,2,...) (*) u 2012 u 1 u 1 n n n 1
Thay n bởi 1,2,3,...,n vào (*) và cộng vế với vế các đẳng thức ta suy ra được: 1 1 1 1 1 1 1 ... u 2012 u 2012 u 2012 u 1 u 1 2011 u 1 1 2 n 1 n 1 n 1
Do u là dãy tăng nên có hai khả năng sau xảy ra: n
1) Dãy u bị chặn trên. Theo tiêu chuẩn Weierstrass, do u tăng và bị chặn trên n n nên nó có giới hạn.
Giả sử lim u a thì a 2012 . Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) khi n ta có: n n 2
a 2011a 2012a 1 0 a 1 (vô lý)
2) Dãy u không bị chặn trên, do u tăng và không bị chặn trên nên: n n 1
lim u lim u n 1 lim 0 n 1 n n n u 1 n 1 Vì thế từ (2) ta suy ra: 1 1 1 1 1 1 lim ... lim n u 2012 u 2012 u 2012 n 2011 u 1 2011 1 2 n n 1 1 1 1 1 Vậy lim ... . n u 2012 u 2012 u 2012 2011 1 2 n 1 u
Bài 13. Cho dãy số thực u xác định bởi: 1 2012 . Tìm giới hạn n 2 u
2012u u , n 1 (1) n 1 n n u u u sau: 1 2 lim ... n . n u u u 2 3 n 1 Lời giải
Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: u 0, n 1 n
Một số vấn đề cơ bản về dãy số và giới hạn của dãy 12
Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước
GV. Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn
Xét tính đơn điệu của u : Từ hệ thức (1) ta suy ra được n 2 u
u 2012u 0 u tăng. n n 1 n n
Tính tổng: Xuất phát từ hệ thức truy hồi (1) ta suy ra được 2 2012u u u u 1 1 1 2 n n 1 2012 n n u u u ( n=1,2,...) (*) n n 1 n u u u u u 2012 u u n n 1 n n 1 n 1 n n 1
Thay n bởi 1,2,3,...,n vào (*) và cộng vế với vế các đẳng thức ta suy ra được: u u u 1 1 1 1 1 1 1 1 2 ... n ... u u u 2012 u u u u u u 2 3 n 1 1 2 2 3 n n 1 1 1 2012 2012 u n 1
Do u là dãy tăng nên có hai khả năng sau xảy ra: n
1) Dãy u bị chặn trên. Theo tiêu chuẩn Weierstrass, do u tăng và bị chặn trên n n nên nó có giới hạn.
Giả sử lim u a thì a 0 .Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) khi n ta có: n n 2
a 2012a a a 0 (vô lý)
2) Dãy u không bị chặn trên, do u tăng và không bị chặn trên nên: n n 1
lim u lim u lim 0 n n 1 n n n un 1 u u u 1 1
Vì thế từ (2) ta suy ra: 1 2 lim ... n lim 2012 1 n n u u u 2012 u 2 3 n 1 n 1 u u u Vậy 1 2 lim ... n 1 . n u u u 2 3 n 1 u 3 1
Bài 14. Cho dãy số thực u xác định bởi: 2 . Tìm giới hạn sau: n u 2009u 2 n n u , n 1 n 1 2012
u 1 u 1 u 1 1 2 lim ... n n u 2 u 2 u 2 2 3 n 1 Lời giải 2
u 2009u 2
(u 1)(u 2) Biến đổi n n u n n u u ( 1) n 1 2012 n 1 n 2012 Vì u = 3 nên 3 = u < u 1 1 2 3 n n
Giả sử dãy {u }bị chặn trên L : limu = L ( L > 3) n n 2
u 2009u 2 2
L 2009L 2 Suy ra limu n n hay L = n 1 = lim 2012 2012
L 2 -3L+2 = 0 L = 1 hoặc L = 2 (vô lý vì L > 3) 1
Do đó {u } không bị chặn trên hay lim u = + hay lim 0 n n n un
Một số vấn đề cơ bản về dãy số và giới hạn của dãy 13
Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước
GV. Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn
Biến đổi (1) (u -1)(u -2) = 2012(u n n n 1 -un) u 1 1 1 n = 2012 ( - ) (*) u 2 u 2 u 2 n 1 n n 1
Cho n lần lượt nhận các giá trị 1, 2, 3, ….n, sau đó cộng vế theo vế ta được: n u 1 1 S = i = 2012 ( 1- ) n u u 2 i 2 1 i 1 n 1
Vậy lim S = 2012 . n 3 x 2x 4
Bài 15. Cho dãy số (x ) xác định như sau x 3 và n n x n Với n 1 n 1 2 x x với 1, 2,... 6 n n n 1
mỗi số nguyên dương n, đặt y . Tìm lim y . n 2 n x i 4 1 i 2
(x 4)(x 2)
Lời giải. x 2 n n n 1 2 x x (1) 6 n n
Do x 3 nên bằng qui nạp chứng minh được x 2 với mọi * n 1 n 2 (x 2) n x x 0 x là dãy tăng (2). n 1 n 2 x x ( ) 6 n n n Giả sử dãy (x ) bị chặn trên a
3 để lim x a . Khi đó n n 3 a 2a 4 2 a
a 4a 4 0 a (loại) 2 a a 2 6
Do đó: lim x (3) n 1 1 1 1 1 1 Từ (1) suy ra : 2 x
2 x 2 x 4 2 x 4 x 2 x 2 n 1 n n n n n 1 n 1 1 y 1 (4) n 2 x x i 4 2 1 i n 1
Từ (3) và (4) suy ra : lim y 1 n 2017 x 1 2 Bài 16.
Cho dãy số (x ) xác định như sau . Với mỗi số n 9 2 *
x 2x 5x ; n n 1 n n 2 n 1
nguyên dương n, đặt u . Tính limu . n n x k 1 1 k Lời giải 9 9 Xét hàm số 2
f (x) 2x 5x
. Khi đó f (x) x 2 2x 5x x 3 x . 2 2 2 3
Vậy hàm số có một điểm bất động là x . 2 9 3 3 Ta có 2 x
2x 5x x 2 x x 1 n 1 n n n 1 n n 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 Từ đó suy ra . 3 2 3 3 x 1 x 1 3 3 x n x x 1 n x x x n 1 n n 2 n n n 1 2 2 2 2
Một số vấn đề cơ bản về dãy số và giới hạn của dãy 14
Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước
GV. Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn n 1 1 1 1 1 u . n x k 1 3 3 1007 3 1 k x x x 1 n 1 n 1 2 2 2 2017 3
Chứng minh dãy tăng. Do x
nên bằng qui nạp chứng minh được x với mọi 1 2 n 2 * n 1 Xét hiệu x x x * n
(x ) là dãy tăng. n n 2 3 n 2 0 1 2 n
Chứng minh dãy x không bị chặn trên. n 3
Giả sử dãy số (x ) bị chặn trên. Vì dãy tăng và bị chặn nên a
để lim x a . Khi đó n 2 n 9 2 2a 5a a 3 a
(không thỏa mãn). Do đó : lim x 2 2 n 1 Vậy limu . n 1007
Bài 17. (Olympic 30-4-2012) Cho dãy số (x ) xác định bởi: n x 4 1 4 x 9 . n x ; n 1 n 1 3 x x 6 n n n 1
Với mỗi số nguyên dương n, đặt y . Tính lim y . n 3 n x k 3 1 k Lời giải. 4 x 9 4 x 9
+ Xét hàm số f (x) f x x
x x 3. 3
x x . Khi đó ( ) 6 3 x x 6
Vậy hàm số có một điểm bất động là x 3. 4
3x 3 x n x 9 3 n + Ta có n x x 3 n 1 3 x x 6 n 1 3 x x . 6 n n n n
3x 3 x n 3 1 n 1 1 . x 3 x x x x n 3 3 n 3 n 3 n 3 3 1 n 1 1 1 3 x 3 x 3 x . 3 n n n 1 n 1 1 1 1 y 1 . n 3 x x x x k 3 3 3 3 1 k 1 n 1 n 1
+ Chứng minh dãy tăng. Do x 4 nên bằng qui nạp chứng minh được x 3 với mọi * n 1 n x 3 n 2 Xét hiệu x x
0 (x ) là dãy tăng. n 1 n n x 2 x x n 2 2 3 n n
+ Chứng minh dãy (x ) không bị chặn trên. n
Giả sử dãy số (x ) bị chặn trên. Vì dãy tăng và bị chặn nên a
3 để lim x a . Khi đó n n
Một số vấn đề cơ bản về dãy số và giới hạn của dãy 15
Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước
GV. Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn 4 a 9
a a 3 (không thỏa mãn). 3 a a 6
Do đó : lim x n Vậy lim y 1. n
Bài 18. (HSG BP 12-13). Cho dãy số (u ) được xác định: n 2 u u u u 1 2013 . Xét dãy số 1 2 n v . Tìm n 2 u (2 9u ) 2u (2 5u ), n 1 1 u 1 u 1 u 1 2 n n n 1 n 1 n lim v . n Lời giải Ta có u 0; n 1. n 2 9u 2 2 4 10 Khi đó 2 n 1 u 2 9u 2u 2 5u 2 5u 9 n n 1 n 1 n 2 n u u 2 u u u n 1 n n 1 n n 2 Đặt x n
1. Khi đó ta có dãy mới x được xác định bởi: n u n n x 2013 1 2 x x 5x 9 n 1 n 1 n n
Chứng minh x là dãy tăng: n 2 Xét hiệu: 2 x x x 5x 9 x x 3 0 n 1 n n n n n Do x 2013 3 nên x x
0 suy ra dãy x là dãy tăng 1 n 1 n n
Chứng minh x không bị chặn hay lim x : n n
Giả sử x bị chặn, do dãy tăng và bị chặn nên tồn tại giới hạn hữu hạn. n
Giả sử dãy x có giới hạn hữu hạn, đặt lim x , a a 2013 . n n Từ công thức truy hồi 2 x x 5x 9 n 1 n n
Lấy giới hạn hai vế, ta được: 2 a a 5a 9 a 3 (không thỏa mãn)
Do đó dãy đã cho không có giới hạn hữu hạn. Ta có: u u 1 1 1 1 1 v ... n 2 ... 2 ... n 1 n 1 u 1 u 2 2 x 2 x 2 1 n 1 2 2 n u u 1 n 1 1 1 Mà x 2 x 3 x 3 n n n 1 1 1 1 1 Do đó, ta có: v 2 2 n x 3 x 3 2013 3 x 3 1 n 1 n 1 1 Mà lim x nên lim v . n n 1005
Bài 19. (Quảng Ngãi) Cho dãy số a thỏa mãn điều kiện: a 2, 4 a 6 a 24 1 n n 1 n
Một số vấn đề cơ bản về dãy số và giới hạn của dãy 16
Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước
GV. Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn 1 1 1 Tính S ... . 2012 a a a 1 2 2012 4a 1 1 2 1
HD giải: Từ công thức truy hồi ta suy ra n 1 a . n 6 a 2 1 a 3a 4 n1 n n 1 3a 4 n1 1 1 3 1 1 3 1 Đặt t
(t ) t t
t (t ) n 1 a 2 n n 1 2 4 n n 1 2 2 2 n 1 3
Đặt u t (u 1) u 3 u
S 2[( )n 1] n n 1 2 n n1 2 n 2 3
Cho n 2012 , ta có 2012 S 2[( ) 1]1006. 2012 2 5 u 1 2 1
Bài 20. Cho dãy số (u ) thỏa mãn: * n
. Tìm limn . n 1 u 2 k k u
u u 2 1 1 n 2 n n u 2 1
Bài 21. Cho dãy số: 2015 u u 1 * (n N ) n n u n 1 2014 u u 3 n n a) Chứng minh * u 1, n
N và (u ) là dãy số tăng. n n n 1 b) Tìm lim . 2014 u i 2 1 i n 1
Bài 22. Cho dãy số u thỏa mãn u 2017;u u
u 1 ; n 1, 2,3... Tính lim 1 n 1 n n 2 n i 1 u 1 i x 2014 2014 2014 x x x
Bài 23. Cho dãy số x : n 1 2014 x 1, 1 x n 1 . Tìm 1 2 lim ... n . n 1 n x n x x x n 2 3 n 1 1 n 1
Bài 24. Cho dãy số x : 2 x 3, x x x 4 n 1 . Tìm lim . n 1 n 1 5 n n n x k 1 k 3
Bài 25. Cho dãy số x
được xác định bởi x 12, x x 1 . Chứng minh rằng n n 1 1 n 1 n n 1 n 1
x là dãy số tăng nhưng không bị chặn trên. Tìm lim . n n x k 3 1 k 1 x
Bài 26. Cho dãy số x
được xác định bởi x , n x . Đặt n 1 n 1 24 1 3 n 2 n 3 xn S x x ...
x . Tính lim S . n 1 2 n n n 1 x
Bài 27. Cho dãy số x
được xác định bởi x : 2 x ;x 2x 1,n 1 . Tìm lim n . n n 1 1 2 n n n n 2 x 1 1
Bài 28. Cho dãy số x : x 1; n x ,n 1 . Tìm lim x . n 1 n 1 x n n n
Một số vấn đề cơ bản về dãy số và giới hạn của dãy 17
Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước
GV. Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn 1 1 1
Bài 29. Cho dãy số x : x : 2 x ;x x x ,n 1 . Tìm lim x . n n 1 n 1 2 2 n n 4n n n x 3 1
Bài 30. (HSG QG 2012). Cho dãy số x : . Tìm lim x . n n 2 x x 2 n n n n 1 3n x 2012 1
Bài 31. Cho dãy số x : 3 x
3x . Tìm lim x . n n n x n n n 1 2 3x 1 n x 2012 1
Bài 32. Cho dãy số x : 1 2012 . Tìm lim x n x x n n n 1 2 n xn u 2014 1
Bài 33. Cho dãy số u xác định bởi 2 u 6 . Tính lim u n n u n n n 1 2u 1 n
HD: Chứng minh dãy u giảm và bị chặn dưới bởi 2. n u 3 1 1 1 1
Bài 34. Cho u : 2 . Đặt S ...
. Tìm lim S . n u u 9 n n u n 2 u 2 u 2 u n n 1 5 1 2 n 1 u1 2 n 1
Bài 35. Cho dãy số u thỏa mãn . Tìm lim n 2 u 4u u 2 n u n n n u k 1 k n 1 2 u 3 1 n 1
Bài 36. Cho dãy số u thỏa mãn . Tìm lim n 1 2 u u u 2 n u n 1 k 1 2 n n k u 2 1
Bài 37. Cho dãy số x được xác định 2 n u 2013 n u ;n 1, 2... n 1 2014 2014
a) Chứng minh u là dãy số tăng. n u b) Với mỗi n 1,n N , đặt n v . Chứng minh rằng n u 1 n 1 v v ... v 2014 , n 1, 2... 1 2 n 1 u1 2
Bài 38. Cho dãy số u được xác định n 2 n u u ;n 1, 2... n 1 n 2013 a)
Chứng minh rằng dãy số u tăng nhưng không bị chặn trên. n n 1 b) Đặt S . Tính lim S n u n n i 2013 1 i
Một số vấn đề cơ bản về dãy số và giới hạn của dãy 18
Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước
GV. Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn u 5 1 n 1
Bài 39. Cho dãy số u : 2 . Tính lim n u 2u 16 n n u ;n 1 n u i 2 1 n 1 6 i u 20 1 n 1
Bài 40. Cho dãy số u : 2 . Đặt lim . n u 7u 9 n n u ;n 1, 2... n u i 10 1 n 1 13 i 2014 u1 2013 n 1
Bài 41. Cho dãy số u . Đặt lim . n 2 u 2u n u i 2 n n u ;n 1, 2... 1 i n 1 2 2n x
Bài 42. Cho dãy số x : x 1;x x x ... x ,n 2 . Tính 1 lim n . n 1 n 2 1 2 n 1 n 1 n xn n 1
Bài 43. Cho dãy số u được xác định bởi u 2,u u 1. Tìm lim n 1 n 1 n n u i 1 i HD
Bước 1. Chứng minh lim u n n n 1 n 1 Bước 2. Tính , tính lim . u n u i 1 i i 1 i
Lời giải chi tiết trang 64- Tài liệu 0 x 1 x x x
Bài 44. Cho dãy số x : 1 . Tính 1 2 lim ... n . n 2 x 2014x x n x x x n 1 n n 2 3 n 1
Bài 45. Cho dãy số x : 2 x 3,x x 3x 4 . Tìm n 1 n 1 n n 1 1 1 lim ... . n x 1 x 1 x 1 1 2 n 1 x x x
Bài 46. Cho dãy số x : 2 x a 1,x x . Tìm 1 2 lim ... n . n 1 n 1 n n x 1 x 1 x 1 2 3 n 1 1 x
Bài 47. Cho dãy số x được xác định bởi n 1 1 x 1;x . Đặt n 0 n 2 v 4n 1 u ;w u u ..
. u . Hãy tính limv ; m li w . n n n 1 2 n n n 1 n 1
Bài 48. Cho dãy số x : 2 x 8, x x 7x 25 . Tính lim . n 1 n 1 3 n n n x i 2 1 i 2 2009x 1 x 2 n n n 1 x
Bài 49. Cho dãy số x : x 2009, x . Tính lim i . n 1 n 1 2 2009x x 2009 2 n n i 1 x n n 1 i 1 a
Bài 50. Cho dãy số thực a :a 1;a a ;n 1 . Chứng minh rằng lim n 2 . n 1 n 1 n a n n n 1 n 1
Bài 51. Cho dãy số x : 2 x 2, x x 1 . Đặt S
. Tính S ; lim S . n 1 n 1 2 n n x n n n k 1 1 k
Một số vấn đề cơ bản về dãy số và giới hạn của dãy 19
Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước
GV. Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn 2 x n
Bài 52. Cho dãy số x : x , n x . Đặt S
x . Tính lim S . n 1 n 1 3 2 2n 1 x 1 n k n n n k 1 1 1 1
Bài 53. Cho dãy số x : 2 x a 1,x x x 1 n 1 . Tìm lim ... . n 1 n 1 n n n x x x 1 2 n
Bài 54. Cho dãy số x : 2 x a 0,x x x n 1 . Tìm n 1 n 1 n n 1 1 1 lim ... . n 1 x 1 x 1 x 1 2 n 2 x x x x
Bài 55. Cho dãy số x : x 1, n x x n 1 . Tìm 1 2 lim ... n . n 1 n 1 n 2014 n x x x 2 3 n 1 2 21 u 2 u 8u 4 n 1
Bài 56. Cho dãy số (u ) n n n * u ,u , n lim . n 1 n 1 10 2 2 n i 1 u 4 i 1
Bài 57. Cho dãy số u được xác định bởi 2 2 u 2008,u u 4013u 2007 ; n 1 n 1 n 1 n n
a) Chứng minh u n 2007 . n n 1 b) Đặt x ; tính lim x . n u n n k 2006 1 k
Bài 58. (HSG BP 11-12). Cho dãy số u được xác định bởi n u 2013 1 1 1 1 . Tìm lim ... . 2 u 2011u 2013u 0 n 1 n u 2012 u 2012 u 2012 n n n 1 1 2 n Bài 59.
. . . to be continued . . .
Một số vấn đề cơ bản về dãy số và giới hạn của dãy 20