Ngân hàng bài tập môn Đại số tuyến tính | Đại học Sư Phạm Hà Nội

Math231: Bài tập Đại số tuyến tính
(Bản nháp, đang hoàn thiện)
Trần Đức Anh, mail: ducanh@hnue.edu.vn 2021-2022 Mục lục 1 Không gian vector 2
1.1 Khái niệm không gian vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Tổ hợp tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 Khái niệm không gian vector con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.5 Cơ sở và bổ sung thành cơ sở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.6 Tổng và giao của hai không gian vector con; Không gian vetor con sinh bởi một
tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.7 Tập con độc lập tuyến tính tối đại và hạng của hệ vector . . . . . . . . . . . . 5
1.8 Hạng của ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2 Ánh xạ tuyến tính 7
2.1 Định nghĩa ánh xạ tuyến tính và ma trận biểu diễn . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Ảnh và hạt nhân của ánh xạ tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 Hạng của ánh xạ tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.4 Tự đồng cấu và tổng trực tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.5 Không gian vector đối ngẫu - Ánh xạ tuyến tính đối ngẫu . . . . . . . . . . . 9
2.6 Hệ phương trình tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.7 Định thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3 Cấu trúc của tự đồng cấu 14
3.1 Giá trị riêng và vector riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.2 Tự đồng cấu chéo hóa được; Bội đại số, bội hình học . . . . . . . . . . . . . . 14
3.3 Không gian con bất biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.4 Tự đồng cấu, ma trận lũy linh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.5 Dạng chuẩn Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.6 Định lý Cayley-Hamilton; Đa thức tối tiểu của ma trận . . . . . . . . . . . . . 17
3.7 Phương trình đa thức ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 4 Không gian vector Euclid 19
4.1 Dạng song tuyến tính. Tính chất cơ bản của không gian vector Euclid . . . . . 19
4.2 Ánh xạ tuyến tính trực giao & Ma trận trực giao . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.3 Dạng toàn phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.4 Ma trận đối xứng thực & Toán tử đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.5 Tính toán vector; Khoảng cách; Định thức Gram; Trực giao hóa Gram-Schmidt 22
4.6 Một số định lý phân tích ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Tài liệu tham khảo 25 1 Chương 1 Không gian vector
1.1 Khái niệm không gian vector
1. Xét tập R3 cùng với hai phép toán + và . được định nghĩa như sau:
(x, y, z) + (x0, y0, z0) = (x + x0, y + y0, z + z0), λ(x, y, z) = (λx, y, z).
Hỏi rằng R3 cùng với hai phép toán + và . trên có lập thành một R−không gian vector không?
2. Xét tập R2 cùng với hai phép toán + và . được định nghĩa như sau:
(x, y) + (x0, y0) = (x + x0, y + y0), λ(x, y) = (2λx, 2λy).
Hỏi rằng R2 cùng với hai phép toán + và . trên có lập thành một R−không gian vector không?
3. Tập các số thực x ≥ 0 cùng với phép + và . thông thường có lập thành một R−không gian vector không? 1.2 Tổ hợp tuyến tính
4. Hãy biểu diễn vector ~x sau thành tổ hợp tuyến tính của các vector ~u, ~v, ~ w :
a) ~x = (7, −2, 15), ~u = (2, 3, 5),~v = (3, 7, 8), ~w = (1, −6, 1).
b) ~x = (0, 0, 0), ~u = (2, 3, 5), ~v = (3, 7, 8), ~ w = (1, −6, 1).
c) ~x = (1, 4, −7, 7), ~u = (4, 1, 3, −2),~v = (1, 2, −3, 2), ~w = (16, 9, 1, −3).
5 (Lấy từ [4]). Viết vector X thành tổ hợp tuyến tính của hai vector A và B. Viết tọa độ
tương ứng của X đối với A và B.
(a) X = (1, 0), A = (1, 1), B = (0, 1).
(b) X = (2, 1), A = (1, −1), B = (1, 1).
(c) X = (1, 1), A = (2, 1), B = (−1, 0). 2
1.3 Độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính
6. Các tập vector dưới đây trong R3 là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính? a) (1, 2, 3), (3, 6, 7). b) (4, −2, 6), (6, −3, 9).
c) (2, −3, 1), (3, −1, 5), (1, −4, 3).
d) (5, 4, 3), (3, 3, 2), (8, 1, 3).
7 (lấy trong [4]). Chứng minh các vector sau là độc lập tuyến tính cả trên R và C. a) (1,1,1) và (0,1,-1) b) (-1,1,0) và (0,1,2) c) (π, 0) và (0,1)
d) (1,1,0), (1,1,1) và (0,1,-1)
e) (0,1,1), (0,2,1) và (1,5,3).
8 (Lấy từ [4]). Cho (a, b) và (c, d) là hai vector trong mặt phẳng. Chứng minh rằng nếu
ad − bc = 0 thì hai vector phụ thuộc tuyến tính. Nếu ad − bc 6= 0 thì hai vector này độc lập tuyến tính.
9 (Lấy từ [3] và [4]). Xét trong không gian vector C[a, b] các hàm số thực liên tục trên đoạn
[a, b], hệ vector nào sau đây độc lập tuyến tính?
(a) (t − 1)2, (t − 2)2, (t − 3)2. (b) 1, et, e−t
(c) sin x, sin 2x, . . . , sin kx với k là số nguyên dương.
(d) (giả thiết thêm [a, b] ⊂ R+) t, 1/t. (e) et, log t.
10 (Lấy từ [13]). Trong không gian vector thực R4, tìm hạng của các hệ vector sau.
(a) (1, 2, 0, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 0, 1, 0), (1, 3, 0, 1).
(b) (1, 1, 1, 1), (1, 3, 1, 3), (1, 2, 0, 2), (1, 2, 1, 2), (3, 1, 3, 1).
11 (Lấy từ [3]). Trong C[a, b], với a < b là các số thực nào đó, tìm hạng của các hệ vector sau đây.
(a) t2 − 2t, t2 − 3t, t2 − 4t, t2 − 5t.
(b) sin x, cos x, sin 2x, cos 2x, sin 3x, cos 3x. 3
1.4 Khái niệm không gian vector con
12. Tập nào dưới đây là không gian vector con của R3?
a) Các vector có dạng (a, 0, 0) với a ∈ R?
b) Các vector có dạng (a, 1, 1)?
c) Các vector có dạng (a, b, c) với b = a + c?
d) Các vector có dạng (a, b, c) với b = a + c + 1?
13. Ký hiệu P3 là tập tất cả các đa thức một biến hệ số thực có bậc 3. Đây là một R−không
gian vector. Hỏi rằng tập con nào sau đây là không gian vector con của P3?
a) Các đa thức a0 + a1x + a2x2 + a3x3 với a0 = 0 ?
b) Các đa thức a0 + a1x + a2x2 + a3x3 với a0 + a1 + a2 + a3 = 0 ? c) Các đa thức a là các số nguyên?
0 + a1x + a2x2 + a3x3 với a0, a1, a3
1.5 Cơ sở và bổ sung thành cơ sở
14. Chứng minh hệ 2 vector {(1, 2, 3, 4), (2, 3, 0, 1)} là độc lập tuyến tính trong R4. Hãy bổ
sung thêm 2 vector để hệ này trở thành một cơ sở của R4.
15. Hệ vector nào sau đây là cơ sở của kgvt R4? Khi đó, hãy tìm tọa độ của vector ~v = (1, 9, 8, 1).
(a) (1,1,0,0), (0,1,1,0), (0,0,1,1), (1,0,0,1).
(b) (0,1,1,1), (1,1,1,0), (1,1,0,1), (1,0,1,1).
(c) (0,1,2,3), (1,2,3,4), (2,3,4,5), (3,4,5,6).
(bài tập II.17, giáo trình)
16. Xét tập V = {(x, y, z, t) ∈ R4 : x + y + z + t = x + 2y + 3z + 4t = 0}. Biết V là một
không gian vector con của R4. Xác định một cơ sở của V và dim V.
17. Xét tập V = {(x1, x2, x3, x4) ∈ R4 : x1 + 2x2 = 3x3 + 4x4}.
(a) Chứng minh rằng V là một không gian vector con của R4.
(b) Cho các vector α = (3, 0, 1, 0) và β = (0, 4, 0, 2) là các vector độc lập tuyến tính trong
V. Bổ sung thêm các vector để thu được một cơ sở của V.
(bài tập II.26, giáo trình) 18. Giả sử ~α là một cơ sở của 1, ~ α2, . . . , ~αn
R−kgvt V. Chứng minh rằng hệ vector ~α1, ~α1 − 2~ α cũng là một cơ sở của 2, ~
α2 − 3~α3, . . . , ~αn−1 − n~αn V.
(bài tập II.19, giáo trình) 4
1.6 Tổng và giao của hai không gian vector con; Không
gian vetor con sinh bởi một tập
19. Cho U là không gian vector con sinh bởi
(1, 1, 0, −1), (1, 2, 3, 0), (2, 3, 3, −1)
và V là không gian con sinh bởi
(1, 2, 2, −2), (2, 3, 2, −3), (1, 3, 4, −3). Tìm dim(U ∩ V ).
(Bài tập 3.23, trang 35, sách Đại số tuyến tính qua các ví dụ và bài tập của GS Lê Tuấn Hoa)
20. Cho U là không gian con sinh bởi
(1, 3, −2, 2, 3), (1, 4, −3, 4, 2), (2, 3, −1, −2, 9) và V là sinh bởi
(1, 3, 0, 2, 1), (1, 5, −6, 6, 3), (2, 5, 3, 2, 1).
Tìm một cơ sở của U ∩ V và U + V.
(bài 3.24, sách Đại số tuyến tính qua các ví dụ và bài tập của GS Lê Tuấn Hoa)
1.7 Tập con độc lập tuyến tính tối đại và hạng của hệ vector
21. Tìm một tập con tập độc lập tuyến tính tối đại và tính hạng của các hệ vector trong Bài tập 6.
22. Tính hạng của hệ vector sau đây trong R3. Xác định một hệ con độc lập tuyến tính tối đại của hệ.
a) (1, 0, 0), (2, 2, 0), (3, 3, 3).
b) (3, 1, −4), (2, 5, 6), (1, 4, 8).
c) (2, −3, 1), (4, 1, 1), (0, −7, 1).
d) (1, 6, 4), (2, 4, −1), (−1, 2, 5). 1.8 Hạng của ma trận
23. Xác định hạng của các ma trận sau theo số thực λ : 3 λ 1 2 1 4 7 2 . 1 10 17 4 a) A = 4 1 3 3 5 −1 2 1 −1 1 λ −1 1 −1 −1 . 1 λ 0 1 1 b) B = 1 2 2 −1 1
(bài 3.44 sách Toán cao cấp tập 1 của GS Nguyễn Đình Trí chủ biên, tái bản lần 6)
24. Chứng minh rằng 3 điểm (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) ∈ R2 là thẳng hàng khi và chỉ khi x1 x2 x3 y1 y2 y3 = 0. 1 1 1
25. Cho A, B là hai ma trận vuông cùng cấp. Chứng minh rằng rank(AB) ≤ min{rank(A), rank(B)}
26. Chứng minh rằng nếu A là ma trận vuông cấp n thỏa mãn A2 = I với I là ma trận đơn vị, thì
rank(A + I) + rank(A − I) = n.
27. Cho A, B là hai ma trận vuông cấp n. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) rank(A + B) ≤ rank(A) + rank(B).
b) rank(AB) ≤ min{rank(A), rank(B)}
c) rank(AB) ≥ rank(A) + rank(B) − n.
(lưu ý: hai bất đẳng thức sau là bất đẳng thức Sylvester; ý c) chưa giảng vì hơi phức tạp,
sinh viên cần phải đọc phần Phụ lục Chương III trong sách Toán cao cấp tập 1 )
28. Chứng minh rằng nếu hạng của một ma trận bằng r thì mỗi định thức con nằm trên giao
của r hàng bất kỳ độc lập tuyến tính với r cột bất kỳ độc lập tuyến tính đều khác 0. 6 Chương 2 Ánh xạ tuyến tính
2.1 Định nghĩa ánh xạ tuyến tính và ma trận biểu diễn 29. Các ánh xạ sau từ R4 R
→ 4 có phải là ánh xạ tuyến tính không? Khi đó tìm ma trận
của ánh xạ tuyến tính đó trong cặp cơ sở chính tắc. Cơ sở chính tắc là cơ sở gồm các vector
(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1).
a) (x1, x2, x3, x4) 7→ (x1x2, x2 − x1, x3, x4).
b) (x1, x2, x3, x4) 7→ (ax2, x2 − x1, x3, x4) với a là số thực cố định nào đó.
c) (x1, x2, x3, x4) 7→ (0, x3, x2, x1 + x2 + x3 + x4).
(Bài tập III.10, giáo trình)
30. Ánh xạ f : R3 → R2 nào dưới đây là tuyến tính? Giải thích. a) f(x, y, z) = (x, y + z).
b) f(x, y, z) = (x3 − 1, y + z). c) √ √ f (x, y, z) = ( 3 x, 3 z)
(đề ĐSTT-Math121 kỳ 1, 2020-2021)
31. Cho h: R3 → R2 là ánh xạ tuyến tính. Cho (e1, e2, e3) là một cơ sở của R3 và (f1, f2) là
một cơ sở của R2. Giả sử ma trận của h trong cặp cơ sở (e1, e2, e3) và (f1, f2) là 2 −1 1 A = . 3 2 R3 −3
a) Ta xét một cơ sở mới trong như sau:
e01 = e2 + e3; e02 = e3 + e1; e03 = e1 + e2.
Xác định ma trận của h trong cặp cơ sở (e0 , e0 , e0 f . 1 2 3) và ( 1, f2)
b) Ta xét một cơ sở mới cho R2 là: 1 1 f 0 = (f1 + f = (f1 − f2). 1 2 2); f 02 2
Xác định ma trận của h trong cặp cơ sở (e0 , e0 , e0 , f0 1 2 3) và (f 01 2). 7 1 2 3 4 và
32. Tồn tại hay không ánh xạ tuyến tính f : R2 → R3 nhận các ma trận A = 2 1 5 6 4 3
là các ma trận biểu diễn trong các cặp cơ sở nào đó? B = (Đ 6 ề gi 5
ữa kỳ Math231T lớp LT1 kỳ 1/2021/2022)
2.2 Ảnh và hạt nhân của ánh xạ tuyến tính
33. Cho không gian vector con V = {(x, y, z) ∈ R3 : x + y + z = 0}. Tìm một ánh xạ tuyến
tính f : R4 → R3 thỏa mãn Im(f) = V.
(Đề giữa kỳ Math231T lớp LT1 kỳ 1/2021/2022)
34. Tìm một cơ sở của ảnh và hạt nhân của các ánh xạ tuyến tính từ R4 vào R5 sau.
(a) (x, y, z, t) 7→ (5x − y, x + y, z, t, x)
(b) (x, y, z, t) 7→ (x + y + 7z + t, 2z + t, x, y, y − x).
(c) (x, y, z, t) 7→ (−x + y + z + t, z − y, 17x + 13y, 16x + 5t, y − t)
35. Cho f : E → F và g : E → G là các ánh xạ tuyến tính. Chứng minh rằng điều kiện cần
để tồn tại ánh xạ tuyến tính h: F → G sao cho g = h ◦ f là ker f ⊂ ker g. Hỏi rằng đây có
phải là điều kiện đủ không?
2.3 Hạng của ánh xạ tuyến tính
Nhận xét: Ma trận cũng có thể coi là ánh xạ tuyến tính. Do đó, hạng của ma trận và ánh xạ
tuyến tính là một, nhưng điều đó cũng có nghĩa là ta có thể chứng minh các bất đẳng thức
hoặc đẳng thức về hạng theo cách ma trận hoặc ánh xạ tuyến tính. Ưu điểm của cách ma
trận là dễ tiếp cận với nhiều người học không chuyên ngành Toán. Ưu điểm của cách sử dụng
ánh xạ tuyến tính là tính trừu tượng, do đó đôi khi thu được lời giải rất ngắn gọn, ví dụ bất
đẳng thức Sylvester có thể giải quyết khá ngắn gọn nhờ vào định lý về đồng cấu tuyến tính.
36. Cho f, g : V → W là hai ánh xạ giữa hai không gian vector hữu hạn chiều. Chứng minh rằng :
|rank f − rank g| ≤ rank(f + g) ≤ rank f + rank g.
37 (Bất đẳng thức Sylvester). Cho f : E → F và g : F → G là các ánh xạ tuyến tính giữa các
không gian vector hữu hạn chiều. Chứng minh rằng:
(a) rank(gf ) ≤ min(rank f, rank g) và
(b) rank f + rank g ≤ rank(gf) + dimF.
Ghi chú 38. Bất đẳng thức Sylvester thường được viết dưới dạng ma trận như sau. Giả sử
A, B ∈ Rn,n. Khi đó ta có bất đẳng thức sau
rank A + rank B ≤ rank(AB) + n.
39 (Bất đẳng thức Frobenius). Cho A, B, C ∈ Rn,n. Chứng minh rằng
rank(AB) + rank(BC) ≤ rank B + rank(ABC). 8
2.4 Tự đồng cấu và tổng trực tiếp
40. Cho f : V → V là một tự đồng cấu tuyến tính thỏa mãn f ◦ f = f. Chứng minh rằng V = Im(f ) ⊕ Ker(f).
41. Cho f : V → V là một tự đồng cấu tuyến tính thỏa mãn f ◦ f ◦ f = f. Chứng minh rằng
V = Ker(f ) ⊕ Ker(f − Id) ⊕ Ker(f + Id).
42. Cho f : V → V là một tự đồng cấu tuyến tính thỏa mãn f ◦ f = Id. Chứng minh rằng
V = Ker(f − Id) ⊕ Ker(f + Id).
43. Cho f : V → V là một tự đồng cấu tuyến tính thỏa mãn f ◦ f = 3f − 2Id. Chứng minh rằng
V = Ker(f − Id) ⊕ Ker(f − 2Id).
2.5 Không gian vector đối ngẫu - Ánh xạ tuyến tính đối ngẫu
44. Cho f : V → V là một tự đồng cấu của không gian vector hữu hạn chiều V. Ký hiệu M
là ma trận của f trong một cơ sở nào đó. Khi đó ta định nghĩa vết của f là vết của M. Ký
hiệu vết của f là Tr(f).
(a) Chứng minh rằng vết của f không phụ thuộc vào ma trận biểu diễn.
(b) Chứng minh rằng Tr(f) = Tr(f∗) với f∗ là ánh xạ đối ngẫu của f.
45. Cho f : V → W là ánh xạ tuyến tính giữa hai không gian vector hữu hạn chiều. Chứng minh rằng:
(a) f là đơn cấu khi và chỉ khi f∗ là toàn cấu.
(b) f là toàn cấu khi và chỉ khi f∗ là đơn cấu.
(c) f là đẳng cấu khi và chỉ khi f∗ là đẳng cấu.
Bình luận Tôi nghĩ là kết quả vẫn đúng khi V và W có chiều vô hạn, nhưng tôi chưa nghĩ
cẩn thận chuyện ý. Một hệ quả của bài tập này là bài tập sau.
46. Cho f : V → W là ánh xạ tuyến tính giữa hai không gian vector hữu hạn chiều. Chứng minh rằng rank f = rank(f ∗). 9
Bình luận Bài tập trên cho ta một chứng minh của đẳng thức rank(A) = rank(AT )
với A ∈ Rm,n bất kỳ. Vì sao?
47. Cho V là một không gian vector hữu hạn chiều và f1, . . . , fn là một cơ sở của V ∗. Chứng
minh rằng tồn tại một cơ sở (e1, . . . , en) của V sao cho (f1, . . . , fn) là cơ sở đối ngẫu của (e1, . . . , en).
Gợi ý: Sử dụng ánh xạ tự nhiên ΦV : V → V ∗∗.
48. Chứng minh rằng ánh xạ sau
Φ: Hom(V, W ) → Hom(W ∗, V ∗) f 7→ f∗ là ánh xạ tuyến tính.
49. Cho V là không gian vector n chiều và f1, . . . , fm ∈ V ∗ độc lập tuyến tính. Chứng minh rằng
dim Ker(f1) ∩ . . . ∩ Ker(fm) = n − m.
50. Cho V là không gian vector và f, f1, . . . , fn ∈ V ∗. Giả sử Ker(f) ⊃ Ker(f1)∩. . .∩Ker(fn).
Chứng minh rằng f là một tổ hợp tuyến tính của f1, f2, . . . , fn.
Gợi ý : Dùng bài tập 35.
2.6 Hệ phương trình tuyến tính
51. Xác định xem các hệ sau có nghiệm không, nếu có thì giải nghiệm và tìm một hệ nghiệm cơ bản của chúng. a) 3x − 2y + 5z + 4t = 2 6x − 4y + 4z + 3t = 3 9x − 6y + 3z + 2t = 4 b) 8x + 6y + 5z + 2t = 21 3x + 3y + 2z + t = 10 4x + 2y + 3z + t = 8 3x + 5y + z + t = 15 7x + 4y + 5z + 2t = 18.
52. Với giá trị nào của a thì hệ sau không có nghiệm duy nhất ( ? x − 3x 2y + ay = 5 = 3
(đề cuối kỳ Math231T, kỳ 3/2020/2021) 10
53. Với giá trị nào của a, b thì hệ sau không có nghiệm duy nhất ( ? x − 3x by + ay = 5 = 3
54. Giải và biện luận theo các tham số. λx + y + z = 1 x + λy + z = 1 . a) x + y + λz = 1 x + ay + a2z = a3 x + by + b2z = b3 . b) x + cy + c2z = c3 x + y + z = 1 ax + by + cz = d . c) a2x + b2y + c2z = d2
55. Xác định tất cả các số thực a, b sao cho hệ phương trình tuyến tính sau có nghiệm: ax + y + z = 1 x + 2y + z = b . 2x − y + 2z = 5
56. Xác định tất cả các số thực a, b sao cho hệ phương trình tuyến tính sau có nghiệm: x + y + z = 1 ax + 2y + z = 1 . 2x − y + 2z = b
57. Xác định tất cả các số thực a, b sao cho hệ phương trình tuyến tính sau có nghiệm: ax + y + z + t = 1 x + 2y + z − t = b . 2x − y + 2z + 2t = 5
58. Xác định tất cả các số thực a, b sao cho hệ phương trình tuyến tính sau có nghiệm: ax + y + z + t = 1 x + 2y + z − bt = 1 . 2x − y + 2z + 2t = 5
59. Cho A là ma trận vuông cấp m ×n. Tìm điều kiện cần và đủ về hạng của A để hệ phương
trình tuyến tính AX = B có nghiệm với mọi vector cột B ∈ Rm.
60. Cho hệ phương trình tuyến tính AX = B thỏa mãn: A, B là các ma trận có hệ số hữu tỷ
và hệ có nghiệm. Chứng minh rằng hệ này có một nghiệm gồm toàn bộ là các số hữu tỷ. 11