Ngân hàng bài tập Toán cao cấp hay, hấp dẫn nhất
Ngân hàng bài tập Toán cao cấp hay, hấp dẫn nhất của trường Đại học Ngoại thương giúp bạn ôn tập và đạt kết quả cao cuối học phần. Mời bạn đọc đón xem!
Preview text:
TRƯỜNG ĐẠI HỌC NGOẠI THƯƠNG TS PHÙNG DUY QUANG
BÀI TẬP TOÁN CAO CẤP
ỨNG DỤNG TRONG PHÂN TÍCH KINH TẾ
Nhà xuất bản Đại học Sư phạm, 2016 1
Chương 1. MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
Bài 1.1. Tính các định thức sau 4 2 3 5 7 9 6 a) 2010 b) c) d) 1 3 5 8 12 1 3 2 8 13 1 0 5 2 0 3 4 2 3 5 3 2 e) 3 2 4 f) 2 3 1 g) 1 1 3 h) 2 1 1 2 4 1 3 9 5 2 3 1 3 2 1
Bài 1.2. Tính các định thức sau 1 0 3 2 1 0 3 2 2 1 4 3 2 2 3 1 a) b) 3 2 3 1 3 4 5 1 4 3 4 6 2 6 5 4 2 1 3 4 0 1 0 2 3 1 1 2 3 5 4 2 1 3 0 1 c) 3 1 2 0 2 d) 3 2 1 1 2 4 3 0 1 3 2 4 3 1 1 4 1 8 0 5 4 3 5 5 2 2 8 9
Bài 1.3. Chứng minh rằng định thức : D = 1 8 7 chia hết cho 17. 1 7 0 2 9 0
Bài 1.4. Chứng minh rằng định thức D = 1 2 5 chia hết cho 19. 4 6 5
Bài 1.5. Chứng minh các đồng nhất thức sau: 2 a b
ax by c a b c 1 a bc a) a b
a x b y c = a b c b) 1 b
ca (b a)(c a)(c b) 1 1 1 1 1 1 1 1 a b
a x b y c a b c 1 c ab 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 a bc 1 a a c) a b
c (a b c)(b a)(c a)(c b) d) 2 1 b ca 1 b b 3 3 3 a b c 2 1 c ab 1 c c
Bài 1.6. Trong các định thức cấp n, xác định dấu của
a) Tích các phần tử nằm trên đường chéo chính
b) Tích của các phần tử nằm trên đường chéo phụ
Bài 1.7. Định thức cấp n sẽ thay đổi thế nào nếu:
a) Đổi dấu tất cả các phần tử của nó
b) Viết các cột theo thứ tự ngược lại
Bài 1.8. Tìm giá trị lớn nhất của định thức cấp 3 chỉ nhận các phần tử là a) 0 và 1 b) 1 và -1
Bài 1.9. Giải phương trình sau 3x 2 x 2 2 x 1 2 3 4 = 0 3 2 2 2 9 2 3 18
Bài 1.10. 1) Tính AB và BA (nếu tồn tại), biết rằng: 0 1 1 2 3 a) A = ; B = 2 3 0 4 2 4 1 1 0 2 1 0 2 2 b) A = 1 2 1 ; B = 2 1 2 1 0 1 1 3 2 1 0 3 2) Tính 100 n n a 1 0 cos x sin x 4 1 a) b) c) 0 a 1 sin x cos x 0 3 0 0 a
Bài 1.11. Tìm tất cả các ma trận B giao hoán với ma trận A, nghĩa là AB = BA, biết: 1 2 1 1 a) A = b) A = 3 4 1 1
Bài 1.12. Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận sau: 1 0 2 1 2 a b a) b) c) 3 1 3 3 4 c d 2 3 1 2 1 3 0 1 0 1 3 2 1 3 4 2 2 3 0 2 4 6 d) 3 2 1 e) f) 1 3 1 2 0 0 2 3 1 0 5 1 4 2 1 0 0 0 1
Bài 1.13. Giải các phương trình A X = B, biết: 2 3 5 6 5 4 1 2 a) A = ; B = b) A = ; B = 3 4 7 8 4 3 2 3 1 3 4 3 c) A = ; B = 3 9 1 2 1 1 ... 1 1 1 2 ... n 1 n 0 1 ... 1 1 0 1 ... n 2 n 1 d) A . . ... . .; B . . ... . . 0 0 ... 1 1 0 0 ... 1 2 0 0 ... 0 1 0 0 ... 0 1
Bài 1.14. a) Cho A là ma trận vuông thỏa mãn điều kiện: 2
A 2010A E 0 . Tìm ma trận
nghịch đảo A-1 của A (nếu tồn tại) (E là ma trận đơn vị). 4
b) Cho A là ma trận vuông cấp n có r(A) n . 1 Tìm r( A )
Bài 1.15. Tìm hạng của các ma trận sau: 2 1 3 1 2 3 1 1 2 3 0 0 3 1 2 0 1 4 2 1 2 1 A = ; B = ; C = ; 2 4 2 1 2 2 3 3 3 5 1 2 5 7 2 1 4 0 4 2 4 2 2 1 3 1 1 2 3 4 1 2 2 3 1 2 3 0 4 2 0 1 3 D = 3 1 1 2 ; E = 3 1 2 3 2 ; F = 1 6 10 8 2 4 4 4 1 3 4 3 1 2 4 6 7 8 6 2 10
Bài 1.16. Tìm m để ma trận sau có hạng bé nhất: 1 m 1 2 2 1 m 5 1 10 6 1 a b
Bài 1.17. a) Chứng minh rằng, ma trận A
thoả mãn: X 2 (a d)X ad bc 0 c d
b) Giả sử A là ma trận vuông cấp 2 và k là số nguyên lớn hơn 2. Chứng minh rằng Ak = 0 khi và chỉ khi A2 = 0.
Bài 1.18. a) Giả sử Ak = 0 (k là số nguyên lớn hơn 2). Chứng minh rằng
(E – A)-1 = E + A + A2 + … + Ak -1
b) Cho A là ma trận vuông cấp n có các phần tử trên đường chéo chính bằng 0, các
phần tử còn lại bằng 1 hoặc 2000. Chứng minh rằng r(A) n 1
Bài 1.19. a) Cho A là ma trận vuông cấp n có A-1 = 3A. Tính det(A2009 – A)
b) Chứng minh rằng không tồn tại các ma trận A, B vuông cấp n sao cho AB – BA = E.
Bài 1.20. Tính các định thức cấp n sau 5 1 2 3 ... n 1 a 0 ... 0 1 0 3 ... n 1 1 a a ... 0 a) 1 2 0 ... n b) 0 1 1 a ... 0 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 1 2 3 ... 0 0 0 0 ... 1 a x y 0 ... 0 0 1 0 0 ... 0 1 0 x y ... 0 0 1 a 0 ... 0 0 1 1 1 a ... 0 0 c) 0 0 x ... 0 0 d) 2 ... ... ... ... .... ... ... ... ... ... ... ... 0 0 0 ... x y 1 0 0 ... a 0 n 2 1 1 1 ... 1 1 1 0 0 ... 1 a n 1 6
CHƯƠNG 2. KHÔNG GIAN VÉC TƠ
Bài 2.1. Tìm véc tơ x = 2x1 – x2 + x3 biết:
a) x1 = (2; 1; -1; 3); x2 = (- 2; 1; 3; 4); x3 = (-3; 1; 4; 5)
b) x1 = (a; 1; 2; -1); x2 = (- 2; - a; 1; -1);x3 = (- 2; 4; a; 3)
Bài 2.2. Xét sự độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính của các hệ véc tơ sau
a) U = {x1 = (2; 1; -1); x2 = (- 2; 3; -4); x3 = (3; - 1; 2)}
b) U = {x1 = (3; -2; 4); x2 = (- 2; 2; 0); x3 =(- 1; 2; 4)}
c) U = {x1 =(1;1;0); x2 =(0;1;1); x3 = (1;0;1); x4 =(2;-2; 2)}
d) U = {x1 = (1; -1; 2); x2 = (2; 0; 1)}
e) U = {x1 =(1;-1;2;3); x2 = (2;3;- 2;- 4); x3 = (3;2; 0; -1)}
Bài 2.3. Biểu diễn véc tơ a qua các véc tơ u1, u2, u3
a) a = (4; 9; -3; -1); u1 = (1; 2; -1; 1); u2 = (0; - 1; 2; 2); u3 = (2; 4; 1; -1)
b) a = (3; 0; 4) ; u1 = (1; -1; 2); u2 = (2; -1; 4); u3 = (0; 1; -1)
Bài 2.4. Trong R3, hệ véc tơ nào sau đây là cơ sở của R3 a) U = {u = (1 ; -2 ; 3)}
b) U = {u1 = (1 ; -1 ; -2) ; u2 = (3 ; 0 ; 1)}
c) U = {u1 =(1 ; -2 ; 1) ;u2 = (1 ;-3 ; - 4) ; u3 = (2 ; -5 ; - 3) }
d) U = {u1 = (1 ; -1 ; -3) ;u2 = (0 ; 0 ; 0); u3 = (5 ; -4 ; 0)}
e) U = {u1 = (1 ; 1 ; 0) ; u2 = (-1 ; 1 ; 2); u2 = (2 ; 0 ; 1) ; u3 = (1 ; 2 ; 3)}
f) U = {u1 = (1 ; 1 ; -2) ; u2 = (0 ; -1 ; 1) ; u3 = (0 ; 0 ; 2)}
Bài 2.5. Tìm hạng của hệ véc tơ sau
a) U = {u1 = (3 ; 1 ; -2) ; u2 = (-2 ; 1 ; 3) ; u3 = (-1 ; 3 ; 4)}
b) U = {u1 = (-1 ; 1 ; 2) ; u2 = (2 ; - 3 ; -1) ; u3 = (-3 ; 2 ; 6)}
c) U = {u1 = (2 ; 3 ; 1 ; 2) ; u2 = (3 ; 1 ; 2 ; 7) ; u3= (2 ; 4 ; 3 ; 3) ; u4= (1 ; 1 ; 2 ; 3)}
d) U = {u1 = (1;2 ;3 ; -3) ; u2 = (2 ; 1 ; -2 ; 3) ; u3 = (-3 ; 1 ; 2 ; 1) ; u4 = (-3 ; 6 ; 3 ; 2)} 7
e) U = {u1 = (1 ; 0 ; 1 ; -2) ; u2 = (1 ; 1 ; 3 ; -2) ; u3 = (2 ; 1 ; 5 ; -1) ; u4=(1 ; -1 ; 1 ; 4)}
Bài 2.6. Tuỳ theo giá trị của m, tìm hạng của hệ véc tơ sau
a) U = {u1= (1 ; - 2 ; 3) ; u2 = (2 ; 1 ; 0) ; u3 = (m ; 0 ; 0)}
b) U = {u1 = (1 ; 2 ; -1) ; u2 = (2 ; 4 ; m)}
c) U = {u1 = (1;1;1; 2) ; u2 = (1; -1; 2; 0) ; u3 = (1; 2; 0; 0) ; u4 = (m -1; -1; -1; -2)}
Bài 2.7. Tập hợp nào sau đây là không gian con của không gian R3
a) F = {(x1; 0; x2); x1, x2 R} b) F = {(x1; 0; 1); x1 R}
c) F = {(a; b; a - 2b); a, b R }
d) F = {(x1, x2, x3): x1 - 2x2 + x3 = 1; x1, x2, x3 R}
Nếu F là không gian con của R3 thì tìm cơ sở và số chiều của F.
Bài 2.8. Tìm cơ sở và số chiều của không gian con F của R3 sinh bởi hệ véc tơ sau a) U = {u1 = (- 1 ; 2 ; -3)}
b) U = {u1 = (1 ; - 1 ; 2) ; u2 = (-3 ; 0 ; 1)}
c) U = {u1 = (1 ; 2 ; 1) ;u2 = (- 1 ;- 3 ; 4) ; u3 = (0 ; - 1 ; 5) }
d) U = {u1 = (-1 ; 1 ; - 3) ; u2 = (0 ; 0 ; 0) ; u3 = (-1 ; 0 ; - 4)}
e) U = {u1 = (1 ; 0 ; 0) ; u2 = (1 ; -1 ; 0) ; u3 = (1 ; 1 ; -1) ;u4 = (1 ; - 2 ; - 3)}
f) U = {u1 = (1 ; 0 ; 0) ; u2 = (1 ; - 1 ; 0) ; u3 = (-1 ; 1 ; 1)}
Bài 2.9. Tìm m để hệ véc tơ sau là cơ sở của không gian R3
a) U = {u1 = (3; 1; m); u2 = (1; 1; 0) ; u3 = ( 2; 1; m)}
b) U = {u1 = (1; - 2; 2); u2 = (0; 1; -1) ; u3 = (1; -1; m)}
Bài 2.10. Cho tập F (x; ;
y z) R 3 :ax by z ; 0 a, b R
a) Chứng minh rằng F là không gian con của R3 b) Tìm dim F x 2y mz 0
Bài 2.11. Cho tập F 3 (x; ; y z) R : (m là tham số) x y 0
a) Chứng minh rằng F là không gian con của R3 8 b) Tìm dimF
Bài 2.12. Cho hệ {u1, u2, u3} là phụ thuộc tuyến tính trên Rn và u3 không biễu diễn tuyến
tính qua {u1, u2}. Chứng minh rằng u1 và u2 tỷ lệ nhau.
Bài 2.13. Chứng minh rằng hạng của hệ véc tơ không đổi nếu:
a) Đổi chỗ hai véc tơ trong hệ
b) Nhân một véc tơ của hệ với một số khác không
c) Nhân một véc tơ của hệ với một số thực khác không rồi cộng vào một véc tơ khác trong hệ
Bài 2.14. Cho U = {u1, u2, …, um} Rn. Gọi L(U) là tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính
của các phần tử trên U:
L(U) = {u = t1u1 + t2u2 + … + tmum| t1, t2, …, tm R}
Chứng minh rằng L(U) là không gian véctơ con của Rn và dimL(U) = r(U)
Bài 2.15. Cho hệ véc tơ U = {u1, u2, …, um} là độc lập tuyến tính trên Rn và hệ
{X, u1, u2, …, um } phụ thuộc tuyến tính. Chứng minh rằng véc tơ X biểu diễn duy nhất
dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các véc tơ trong hệ U. x y z 3
Bài 2.16. Cho tập F (x; ; y z) R : 1 0 1 0 1 2 2
a) Chứng minh rằng F là không gian con của R3
b) Tìm cơ sở và số chiều của F.
Bài 2.17. Cho hệ véc tơ a1 = (2; 1; 0); a2 = (-1; 1; 1); a3 = (1; 2; -1) và các véc tơ b1 = a1 –
a2; b2 = 2a2 – a3; b2 = 2a2 – a3; b3 = a1 – 2a3.
a) Xét sự độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính của hệ véc tơ {b1, b2, b3}
b) Biểu diễn véc tơ x = (3; 1; -1) qua hệ véc tơ {b1, b2, b3} a b
Bài 2.18. Cho tập E A ; a, , b , c d R c d
a) Chứng minh rằng E với phép toán cộng hai ma trận, nhân ma trận với một số lập
thành một không gian véc tơ trên R.
b) Tìm cơ sở và số chiều của E. 9
Bài 2.19. Cho E, F là các không gian véc tơ con của E. Hỏi E F có là không gian con của Rn hay không?
Bài 2.20. Trong R4, cho hệ véc tơ
U = {u1=(-1; 2;1;2); u2 =(1; m; 1; 3); u3 =(1; -1; -1; -1); u4 =(-1; 2; m; 2); u5 =(1; 1; -1; 1)}
Tìm một cơ sở không gian con L(U).
Bài 2.21. Trong không gian R4, cho hệ véc tơ U = {u1, u2, u3, u4}với u1 = (2; 3; 3; -1); u2 = (1; -1; 3; 3);
u3 = (2; 3; 1; a); u4 = (1; -1; b; 1)
a) Tìm điều kiện của a, b để u là một cơ sở của R4.
b) Khi a = -1, b = 2; hãy biểu diễn X = (2; 3; 0; 1) qua hệ véc tơ U
Bài 2.22. Cho các tập con của R3: E (x; ;
y z) R 3 :x 2y z 0 x y 2z 0 F 3 (x; y; z) R : 2x 3y mz 0
Tìm m để E F là không gian con của R3 có số chiều bằng 1.
Bài 2.23. Trong R3, hãy chứng minh rằng L({u1, u2}) = L({v1, v2})
a) u1 = (3; -4; 2); u2 = (2; 3; -1); v1 = (0; -17; 7); v2 = (11; -9; 5)
b) u1 = (2; -1; 5); u2 = (-1; 4; 3); v1 = (1; 2; 8); v2 = (4; 5; 21)
Bài 2.24. Trong R4, cho hệ véc tơ U = {u1 = (1; 2; a; 1); u2 = (a; 1; 2; 3); u3 = (0; 1; b; 0)}
a) Xác định a, b để hệ U là phụ thuộc tuyến tính.
b) Với a, b tìm được, hãy tìm một cơ sở và số chiều của L(U).
Bài 2.25. Giả sử u, v n
R và A là ma trận vuông cấp n. Chứng minh rằng
a) Nếu {Au, Av} là độc lập tuyến tính thì {u, v} là độc lập tuyến tính.
b) Nếu {u, v} là độc lập tuyến tính và A khả nghịch thì {Au, Av} độc lập tuyến tính
Bài 2.26. Trong không gian R4, cho F (x ; z ; y y ; z x 2y) :x, , y z R và 10
V = {(1; 0; 0; 1); (0; 1; 1; 2); (1; 0; 1; 0); (-1; 1; 1; 1)}
a) Chứng minh rằng F là không gian con của R4 và V là hệ sinh của F.
b) Tìm một cơ sở của F và hạng của V.
c) Véc tơ a = (1; 1; 1; 3) có phải là một tổ hợp tuyến tính của V hay không? Bổ sung
các véc tơ vào hệ V để trở thành một cơ sở của R4. 11
CHƯƠNG 3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH VÀ ỨNG DỤNG
Bài 3.1. Giải các hệ phương trình tuyến tính sau: x - x + 2x = 1 x 2x 3 1 2 3 1 3 1. 3x - 2x + 5x = 2 2 . 2 x x 6x 11 1 2 3 1 2 3 -x + x - x = 2 x + 5x 4x = -4 1 2 3 1 2 3 x 4 + x + 2x = 1 x 2x x 2x 1 1 2 3 1 2 3 4 3 . x + x = 2 4 . x
3x x 3x 2 1 3 1 2 3 4 6x + x + 4x = 3 x x 3x x 4 1 2 3 1 2 3 4 x 2x 3x x 1 5 1 2 3 4 x x 2x x 7 1 2 3 4
2x x x 3x 0 5. 1 2 3 4
2x x 4x 2x 1 6. 1 2 3 4 x 3 - x + x = -1 x - 3x 6x 5x = 0 2 3 4 1 2 3 4 5x + x - 4x + 6x = 1 1 2 3 4
x 2x x 3x 1 3x 2x 5x x 3 1 2 3 4 1 2 3 4 2x x 2x 5x 2 2x 3x x 5x 3 7. 1 2 3 4 1 2 3 4 8 . 5x 4x 3x 7x 5 x 2x - 4x = 3 1 2 3 4 1 2 4 3x - 3x + x + 2x = 3 x x x - 4 + 9x = 22 1 2 3 4 1 2 3 4 x 4x 2x 4 1 2 3 3x 5x 2x 2 3x - x 9 1 2 3 1 3
9. 2x 7x 2x 12 10. 3x 5x 3x 15 1 2 3 1 2 3 x 5x 3x 9 2x 7x 3x 13 1 2 3 1 2 3 2 x 4x 5x 11 1 2 3 2x - 4x 7x 2 2x 5x 3x = 3 1 3 4 1 2 3 11. x
x - 2x 7 12. - 3x 2x 2x 3 1 2 4 2 3 4 5 x 6x 3x =-6 3x - 5x + x = -12 1 2 3 1 3 4 2x 3x 2x 14 x 5x 3x 4x 2 1 2 4 1 3 4 5 13. 3x x 5x 3x 1
14. 2x 3x 6x 6 1 2 3 4 2 3 5
4x 2x 5x 3x 2 2x 3x 5x 7 1 2 3 4 1 2 5
Bài 3.2. Tìm các giá trị của tham số a trong mỗi hệ phương trình sau để hệ có nghiệm: 12 4x x 3x x 3 x x x 1 x x x 1 1 2 3 4 1 2 3 1 2 3
1. x x 2x x a 2. x ax 3x 2 3. x ax x 1 1 2 3 4 1 2 3 1 2 3 3x x x 7 2x 3x ax 3 x x ax a 2 3 4 1 2 3 1 2 3
Bài 3.3. Giải và biện luận các hệ phương trình sau: ax + y + z + t = 1 ax y z a 1. x + ay + z + t = 1 2. ax y 2z 1 x + y + az + t = 1 x ay 2z 1 ax + 2z = 2 ax+by + z =1 3. 5x + 2y = 1 4. x+aby + z =b x - 2y + bz = 3 x +by az 1 x ay 2 a z 3 a kx y z k 5. 2 3 x by b z b 6. 2x (k ) 1 y 2z 2 2 3 x y (k ) 2 z 1 x cy c z c ax y z t 1 a x by 2z 1 x ay z t a 7. a
x (2b 1)y 3z 1 8. 2 x y az t a ax by (b 3)z b 3 x y z at a
Bài 3.4. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss: x x + 2x = 5 1 2 4 3x x x 2x 1 2x + x 4 - x + 5x = -1 1 2 3 4 1 2 3 4 x x 2x 4x 5 1. 1 2 3 4 x + 3x + 5x = -3 2. 1 2 4 x x 3x 6x 9 3x + x 7 - 3x + 9x = -14 1 2 3 4 1 2 3 4 12 x 2x x 2x 10 x + 4x - 2x + x = -11 1 2 3 4 1 2 3 4
4x 2x x 3x 7 x 3x 5x 21 1 2 3 4 1 2 3 x - x + x + 2x = 5 3x 5x 6x 5 3. 1 2 3 4 1 2 3 4. 2x 3x 3x x = 3 4x 3x 7x 6 1 2 3 4 1 2 3 4x x x 5x = 1 2x 4x 3x 0 1 2 3 4 1 2 3 x 3x 5x 2x 1 x 5x 4x 2x 3 1 2 3 4 1 2 3 4 3x 5x 7x 3x 1 x 11x 6x x 5 5. 1 2 3 4 1 2 3 4 6. 5x 7x 4x 2x 5
3x x 2x 5x 1 1 2 3 4 1 2 3 4
3x 5x 2x x 5
4x 12x 4x 6x 4 1 2 3 4 1 2 3 4 13 x 5x 2x 3x 15 x
3x 5x 2x 4x 1 1 2 3 4 1 2 3 4 5 3x 2x 5x 4x 8 4
x 5x 3x 3x 5x 3 7. 1 2 3 4 1 2 3 4 5 8. 4x 12x 10x x 11 3x
8x 8x x x 4 1 2 3 4 1 2 3 4 5 5
x 3x 7x x 11
6x x 7x 7x 3x 1 1 2 3 4 1 2 3 4 5
Bài 3.5. Tìm điều kiện để các hệ thuần nhất sau: có nghiệm duy nhất, vô số nghiệm ax + y + z + t = 0 ax + by - cz + dt = 0 ax - y + z = 0 2x + (a+1)y + 2z + 2t = 0 -bx + ay - dz - ct = 0 1. bx + y - z = 0 2. 3. -x - y + (a+2)z + 2t = 0 cx + dy + az - bt = 0 x + 2y - az = 0 -x - y + 2z + (a+2)t = 0 -dx + cy + bz + at = 0
Bài 3.6. Tìm một hệ nghiệm cơ bản và công thức nghiệm tổng quát của các hệ thuần nhất sau: 2x x 4x 0
2x x 5x 7x 0 1 2 3 1 2 3 4 1. 3x 5x 7x 0
2. 4x 2x 7x 5x 0 1 2 3 1 2 3 4 4x 5x 6x 0 2x x x 5x 0 1 2 3 1 2 3 4
x 2x 3x x 0 x 3x 4x 3x 0 1 2 3 4 1 2 3 4 2x 3x x 2x 0 2x 5x 5x 8x 0 3. 1 2 3 4 1 2 3 4 4. 3x x 4x x 0 4x + x 6 2x x 24 0 1 2 3 4 1 2 3 4 x x 2 - x 3 - x = 0 x -3 x 4 + x 3 x 19 = 0 1 2 3 4 1 2 3 4 3x
x 8x 2x x 0 1 2 3 4 5
3x 2x x 4x 0
2x 2x 3x 7x 2x 0 1 2 3 4 5. 1 2 3 4 5 6. 2
x 7x 6x x 0
x 11x 12x 34x 5x 0 1 2 3 4 1 2 3 4 5 x 5x 5x 3x 0
x 5x 2x 16x 3x 0 1 2 3 4 1 2 3 4 5 x 2x 4x 3x 0 x
4x 6x 4x x 0 1 2 3 4 1 2 3 4 5
7. 4x 3x 5x 7x 0 8. x 2x 2x 8x 6x 0 1 2 3 4 1 2 3 4 5 2x x 3x x 0 x
x 4x 6x 4x 0 1 2 3 4 1 2 3 4 5
Bài 3.7. Cho véctơ X = (2k, 1, 1); X1 = (k, 1, 1); X2 = (-1, 2k, -2); X3 = (-1, -1, -1). Với
những giá trị nào của k thì véctơ X:
a) Biểu diễn một cách duy nhất qua X1, X2, X3
b) Có vô số cách biểu diễn qua X1, X2, X3
c) Không biểu diễn được qua X1, X2, X3
Bài 3.8. Hãy xác định m sao cho x là tổ hợp tuyến tính của các véctơ u, v, w: 14
a) x = (7, -2, m); u = (2, 3, 5), v = (3, 7, 8), w = (1, -6, 1)
b) x = (5, 9, m); u = (4, 4, 3), v = (7, 2, 1), w = (4, 1, 6)
c) x = (1, 3, 5); u = (3, 2, 5), v = (2, 4, 7), w = (5, 6, m)
Bài 3.9. 1) Cho ma trận A = [aij]n x n thoả mãn n |akk| > | a | , k 1, n ks s 1 sk
Chứng minh rằng hệ phương trình tuyến tính Ax = B có nghiệm duy nhất (B). 2) Cho aij Z ( i , j n 1, ); p Z (p 0; )
1 . Chứng minh rằng, hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất: x1
a x a x a x ........ a x 11 1 12 2 13 3 n 1 n p x 2
a x a x a x ........ a x 21 1 22 2 23 3 2n n p x 3
a x a x a x ........ a x 31 1 32 2 33 3 3n n p ......... ......... . .......... ......... . ......... . ......... . ....... x
a x a x a x ........ a x n 1 n 1 n 2 2 n3 3 nn n p
3) Cho n là một số nguyên dương lẻ và các số aịj (i, j = 1, 2, ..., n) thoả mãn các điều kiện a a 0 ij ji ( i , j n) ..., 2, 1, a 0 ii n
Chứng minh rằng hệ phương trình a x i ( 0 n , 1 )
có nghiệm không tầm thường. ij j j 1
4) Chứng minh rằng: nếu a 0 thì hệ ax 1 ( b)y cz 1 ( d)t a (b ) 1 x ay (d ) 1 z ct b cx 1 ( d)y az (b ) 1 t c (d ) 1 x cy 1 ( b)z at d
luôn có nghiệm duy nhất với mọi b, c, d R.
Bài 3.10. Cho hệ phương trình 15
ax bx bx ... bx bx 1 1 2 3 2007 2008
bx ax bx ... bx bx 2 1 2 3 2007 2008 ....... .........
bx bx bx ... ax bx 2007 1 2 3 2007 2008
bx bx bx ... bx ax 2008 1 2 3 2007 2008
Tìm điều kiện đối với a và b để hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.
Bài 3.11. Cho hệ phương trình tuyến tính có 10 phương trình và 11 ẩn số. Biết rằng
a) Bộ số (1992, 1993, …, 2002) là một nghiệm của hệ phương trình đã cho.
b) Khi xoá cột thứ j trong ma trận hệ số của hệ đã cho thì được một ma trận vuông có
định thức đúng bằng j (j = 1, 2, …, 11). Hãy tìm tất cả các nghiệm của phương trình đã cho.
Bài 3.12. Cho ma trận vuông A = [aij]nn (n > 1) có hạng là R. Ma trận A = [Aij]nn, trong
đó Aij là phần phụ đại số của aij của ma trận A. Tìm hạng của ma trận A .
Bài 3.13. Trong một nền kinh tế có 3 ngành sản xuất: ngành 1, ngành 2 và ngành 3. Cho 0, 3 0, 2 0, 3
biết ma trận hệ số kỹ thuật là A 0,1 0,3
0, 2 và mức cầu cuối cùng đối với hàng hóa 0, 3 0,3 0, 2
của các ngành 1, 2, 3 lần lượt là 6, 9, 8 triệu USD. Hãy xác định mức tổng cầu đối với hàng
hóa và tổng chi phí cho các hàng hóa được sử dụng làm đầu vào của sản xuất của mỗi ngành.
Bài 3.14. Giả sử thị trường gồm 2 mặt hàng: hàng hóa 1 và hàng hóa 2, với hàm cung và hàm cầu như sau:
hàng hóa 1: Qs1 = -3 + 5p1; Qd1 = 12 – 4p1 + 2p2;
hàng hóa 2: Qs2 = -1 + 4p2; Qd1 = 15 + 2p1 - p2 .
Hãy xác định giá và lượng cân bằng của hai mặt hàng.
Bài 3.15. Xét mô hình cân bằng thu nhập quốc dân:
Y = C + I0 + G0 ; C = 0,85Yd + 150 ; Yd = (1- t)Y ( t là thuế suất thu nhập) 16
Tính mức thu nhập quốc dân cân bằng và mức tiêu dùng cân bằng với Io = 200; Go = 450
(đơn vị: tỷ VNĐ) và thuế suất thu nhập t = 0,2.
Bài 3.16. Xét mô hình IS – LM với
C = 0,7Y + 25; I = 80 – 2r; G = Go; L = 4Y – 30r; M = Mo
Tính mức thu nhập quốc dân cân bằng và lãi suất cân bằng với Go = 60; Mo = 1350 (nghìn tỷ VNĐ). 3 , 0 , 0 2
Bài 3.17. Cho ma trận hệ số kỹ thuật của 2 ngành sản xuất A và ma trận cầu , 0 2 , 0 4 30 cuối cùng B . 100
a)Tìm ma trận tổng cầu theo phương pháp Cramer.
b)Tính (E –A)-1 và nêu ý nghĩa của phần tử ở dòng 2 cột 1 của ma trận đó.
Bài 3.18. Trong một nền kinh tế có 3 ngành sản xuất: ngành 1, ngành 2 và ngành 3. Cho 0, 3 0, 2 0, 3
biết ma trận hệ số kỹ thuật là A 0,1 0,3
0, 2 và mức cầu cuối cùng đối với hàng hóa 0, 3 0,3 0, 2
của các ngành 1, 2, 3 lần lượt là 6, 9, 8 triệu USD. Hãy xác định mức tổng cầu đối với hàng
hóa và tổng chi phí cho các hàng hóa được sử dụng làm đầu vào của sản xuất của mỗi ngành.
Bài 3.19. Cho hàm cầu và hàm cung của thị trường 2 hàng hóa: Q 40 2p 0,5p Q 90 0, 5p p d 1 2 d 1 2 1 2 , Q 12 2p Q 20 2p S 1 s 2 1 2
1) Xác định hai mặt hàng trên là hai mặt hàng thay thế hay bổ sung?
2) Để các nhà sản xuất cung ứng hàng hóa cho thị trường thì p1, p2 phải thoả mãn điều kiện gì? 17
3) Xác đinh giá và lượng cân bằng? Q a bp
Bài 3.20. Cho mô hình cân bằng thị trường 1 hàng hoá: d , (a, , b c, d 0)
Q c dp s
1) Nêu ý nghĩa kinh tế của b, d; chỉ ra mức giá cuối cùng mà người tiêu dùng có thể
chấp nhận được (mức tối đa) và mức giá tối thiểu để người sản xuất có thể khởi nghiệp
được (mức tối thiểu); từ đó chỉ ra điều kiện tồn tại trạng thái cân bằng.
2) Xác định trạng thái cân bằng.
3) Phân tích sự biến động của trạng thái cân bằng khi các tham số a, b, c, d thay đổi.
4) Giả sử nhà nước đánh thuế 1 đơn vị hàng trao đổi là t (đơn vị tiền tệ), hãy cho
biết số phần trăm chịu thuế của người tiêu dùng và người sản xuất.
Bài 3.21. Xét mô hình kinh tế:
Y = C + Io + Go (Io >0, Go>0)
C = bYd + Co (Co>0, 0 < b < 1)
Yd = (1- t)Y (t là thuế suất thu nhập, 0 < t <1)
Trong đó: Y – thu nhập quốc dân, C – tiêu dùng, Io – đầu tư, Go – chi tiêu chính phủ, Yd – thu nhập sau thuế.
1) Xác định thu nhập quốc dân và tiêu dùng cân bằng.
2) Cho biết : Io = 200; Go = 450 (đơn vị: tỷ VNĐ), Co = 150, b = 0,85 và thuế suất thu nhập t = 0,2.
+) Xác định thu nhập quốc dân và tiêu dùng cân bằng.
+) Tăng Io lên 1% thì thu nhập quốc dân cân bằng thay đổi như thế nào ?
Bài 3.22. Cho mô hình kinh tế Y = C + Io + Go
C = a + bY (Io> 0, Go> 0, a >0, 0Trong đó: Y-thu nhập quốc dân, C-tiêu dùng, Io-đầu tư, Go-chi tiêu chính phủ
1) Giải thích ý nghĩa kinh tế của a, b.
2) Xác định trạng thái cân bằng ( Y, C ) bằng quy tắc Cramer. 18
3) Có ý kiến cho rằng khi Io và Go cùng tăng 1 đơn vị thì thu nhập Y tăng 2 đơn vị, ý kiến này đúng hay sai?
4) Phân tích sự biến động của trạng thái cân bằng khi a, b thay đổi.
Bài 3.23. Cho mô hình kinh tế
Y = C + Io + Go (Io > 0, Go > 0)
C = a + b(Y-T) (a > 0, 0 T = c + dY (c>0, 0Trong đó: Y-thu nhập, C-tiêu dùng, T-thuế, Io-đầu tư, Go-chi tiêu chính phủ
1) Giải thích ý nghĩa kinh tế của a, b, c, d.
2) Xác định trạng thái cân bằng ( Y, C, T ) bằng quy tắc Cramer.
3) Phân tích sự biến động của trạng thái cân bằng khi a, b, c, d thay đổi.
Bài 3.24. Cho mô hình kinh tế Y = C + I + Go (Go > 0)
C = 15 + b(Y-T) (0 T = 25 + 0,25Y, I = 65 – r L = M L = 5Y – 50r M=Mo =1500, Go = 94
Trong đó : Y-thu nhập, C-tiêu dùng, I-đầu tư, r-lãi suất, Go-chi tiêu chính phủ, Mo-cung tiền,T- thuế
1) Xác định trạng thái cân bằng.
2) Thu nhập cân bằng thay đổi như thế nào khi tiêu dùng cận biên đối với thu nhập sau thuế thay đổi.
3) Mức thâm hụt ngân sách là bao nhiêu nếu nguồn duy nhất của chính phủ là thuế. 19
Chương 4. PHÉP TÍNH VI PHÂN, TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN SỐ VÀ ỨNG DỤNG
Bài 4.1. Tính các giới hạn sau 1 1 1 1 ... 1 2 n 1 n a) li 2 4 2 m .... b) lim n 2 2 2 n n n n 1 1 1 1 ... n 3 9 3 1 1 1
1 2 3 4 ... ( 2 n) c) lim ... d) lim n 2 . 1 3 . 2 (n ) 1 n n n 2 1 1 2 n 1 2 ... n 1 1 1 e) lim f) lim ... n n n n 2 . 1 3 . 2 4 . 3 . n(n )( 1 n ) 2
Bài 4.2. Tính các giới hạn sau bằng phương pháp khử dạng vô định 7 2x 5 m 1 ax 1 a x a x a) lim b) lim (a 0) c) lim (a ) 0 x 9 x 3 x 0 x x 0 x m 1 ax m 1 bx 1 2x x 2 1 ( x) d) lim (a, b 0) e) lim x0 x x0 x x x n x 1 f) lim g) lim h) lim x0 3 1 x 1 x x 1 m x x x x 1 n 1 i) li m x 1 x n 0 1 x
Bài 4.3. Tính các giới hạn sau 1 cos x sin ax tan bx a) lim b) lim x tan x c) lim (a b ) 0 x 0 1 cos x x0 x 2 (a b)x 2 sin x 3 x 1 1 1 d) lim x tan x e) li m 1 xtan f) lim x 1 x0 x 1 2 cos x 2 x sin x tan x 3 cos ax cos . bx cos cx
g) limsin x 1 sin x h) lim x 2 x0 x 20 1 cos . x cos 2x....cos nx 1 x sin x 1 ln 1 ( mx) i) lim k) lim l) lim 2 x0 x 2 x0 x x0 x x 1 x a x x m) lim n) limsin .tan o) lim x arctan x 1 x ln x xa 2 a 2 x 4 x 1 ex ex ln(cos x) 2 1 p) lim x 1 cos q) lim r) lim x x x0 sin x x ln 1 ( x 2 0 )
Bài 4.4. Tính các giới hạn sau (dạng vô định 1 ) x2 1 2 2 mx 1/ x x 1 k cos x a) lim b) lim1 c) lim 2 x x x x x0 cos 2x 1/ sin3 x x 1 tan x 1 1 1/ d) lim e) limsin cos
f) limcos x a sin bx x x0 1 sin x x x x x0
Bài 4.5. Tìm miền liên tục của hàm số sau x sin x a) y b) y c) y log (sin x) d) 4 2 y 4 3x x sin x x 5
Bài 4.6. Tìm a để hàm số sau liên tục trên toàn bộ R 2 x a khi x 1 2 x a khi x 0 a) f (x) b) f (x) log x khi x 1 x 2 4 khi x 0 1 2 3 x 3x 2 x sin khi x 0 khi x 2 c) f (x) x d) f (x) x 2 a khi x 0 a khi x 2 ln(1 x) ln(1 x) n (1 x) 1 khi x 0 khi x 0 e) f (x) x f) f (x) x a khi x 0 a khi x 0 bx cx e e khi x 0 g) f (x) x a khi x 0
Bài 4.7. Tìm các điểm gián đoạn của các hàm số sau: s inx 1 a) y b) y c) y sin x 1 x 1 e x 21 1 x2 2 1 1 d) y x sin e) y f) y x 1 1 x2 2 1 x 3 x e
Bài 4.8. Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số sau tại điểm x bất kỳ thuộc tập xác định. a) 3 y x b) y = -x – cotx c) y x x d) y = xn.
Bài 4.9. Tính đạo hàm của các hàm số sau : 2 2 (2 x )(3 x ) x a) y b) 2 y x arccos 4 x 2 (1 x) 2 1 c) 2 y
tan (sin x) ln(cos(s inx)) d) y = ln(ln(lnx)-1) 2 s inx 1 1 e) y arcsin f) y ln 1 2 2 1 sin x x x
g) y = cos(sin2x). sin (cos2x) h) y = sinnx – cosnx i) y = sin(sin(sinx)))
Bài 4.10. Tính đạo hàm của các hàm số sau : x a b a b x a) y . .
b) y = x [sin(lnx) – cos(lnx)] b x a 2 c) x y x d) x y x 1 e) ln x y x f) x y x g) y log (s inx) cos x
Bài 4.11. Tính các giới hạn sau : x tan ln(x a) x /2 xe a) lim b) 2 lim c) lim x a xa ln(e e ) x x 1 ln(1 x) x x e ln(sin(ax)) 1 sin(ax) 2arctan x d) lim (a 0) e) lim f) lim 2 3 x 0 ln(sinx) x x (2ax ) 2a x e 1 x x e e g) x lim h) lim x0 xa ln(1 x) cot x 2
Bài 4.12. Tính các giới hạn sau : 3 x 3 e 1 x 1 1 a) lim b) 2 lim (x ln x) c) lim 6 x0 sin 2x 2 x 0 x sin x x x0 22 k m x d) lim ln x.ln(x 1) e) lim f) lim k m x 1 x 1 1 x 1 x x cot x 2 cos x 2 1 g) 2 cos x lim (t anx) h) lim 2xcosx i) x x lim (x 2 ) x/2 x x 2 1 x tan 2 anx x t 2 x k) lim l) lim tan x0 x x 1 4
Bài 4.13. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau :
a) f(x) = sin (nx + a) (a là hằng số) b) f(x) = cos(nx + a) 1 c) f(x) = e2x d) f (x) (a, b là hằng số) 2 2 2 a x b 1 e) f (x)
(a, b là hằng số và 0< b< a). 2 a b (a b)x
Bài 4.14. Dùng tính chất và quy tắc tính tích phân bất định, tính : x e a) x 2x 3x 2 3 5 dx b) 3 4 x . 1 x dx c) x e (1 )dx 2 x dx sin x cos x d) x(x a)(x b)dx e) f) dx x e 2 2 cos x sin x cos2x g) dx h) 3 sin x e cos xdx 2 2 i) 100 x(1 x) dx sin x.cos x 2 2 2 x 2 x 4 2 x k) dx l) dx 2 2 4 x 1 x
Bài 4.15. Dùng phương pháp đổi biến số, tính các tích phân sau : 3 sin x sin 2x a) 3 4 3 x (5 2x ) dx b) dx c) dx 3 2 x 4 5 cos x dx 2 2 x a dx d) e) f) 1 x 1 x 2 x x 1 dx xdx xdx g) h) i) x 1 x 1 3 1 3x 2 2 3 1 x (x 1)
Bài 4.16. Dùng phương pháp đổi biến số, tính các tích phân sau: dx dx 5x 3 a) b) c) 2 2 x x a x e 1 2 3 x 2x e dx d) 2 2 a x dx e) dx f) 2x 1 3e 2 5 7x 3x 23 dx dx g) 3 3 2 x . 1 x dx h) i) (x a)(x b) 2 3 (x 1)
Bài 4.17. Dùng phương pháp đổi biến số, tính các tích phân sau: sin x cos x dx dx a) dx b) c) a 2 sin2 x b2 cos2 x 1 sin x 1 x a x arctan x dx x d) dx e) . f) x. dx 2 x x 1 x 2a x
Bài 4.18. Dùng phương pháp tích phân từng phần, tính các tích phân sau: 2 a) e x dx b) x 2e x / 2dx
c) x2 arcsin xdx d) x5ex dx 1 x e) sin x dx f) sin(ln x)dx g) dx h) ln(x 1 x2 )dx 1 x x cos x i) x 2 a 2 dx k) ln2 xdx l) dx m) a 2 x 2 dx sin2 x n) x2 ln 1 ( x)dx
Bài 4.19. Tích phân các hàm hữu tỷ sau: x 3 1 2x2 3x 3x3 2x2 4 a) dx b) dx c) dx x2 4x 8 x4 x2 1 x3 (x ) 2 2 x5 1 x2 6x 9 dx dx d) dx e) dx f) g) x4 8x2 16 x3 x2 x 3 5 10 x(x 2 ) 1 x(x7 ) 1
Bài 4.20. Tích phân các hàm vô tỷ sau: dx dx 3 x dx xdx a) b) c) d) x 2 x x 2x 9 1 3 1 4 x x 3 2 4x 1 dx xdx 3 x dx dx e) f) g) h) 4 x ( x 10 ) 1 3 ax b 2 (a 2 3/ 2 x ) 4 (x 3 ) 1 (x 5 2)
Bài 4.21. Tích phân của hàm lượng giác sau: 1 sin x cos x 1 cos x sin 2x a) dx b) dx c) dx 1 sin x cos x sin3 x cos3 x sin2 x 1 cos x cos3 x d) dx e) dx f) cos x cos 2x cos4 dx x 1 ( cos x)2 sin x dx dx dx 1 tan x g) h) i) k) dx 4 3 5 sin x cos x 1 sin x tan8 x 1 tan x
Bài 4.22. Tính các tích phân sau 24 a n 3 1 16 dx e dx n 2 1 x dx a) dx b) c) d) 5 2 2 2 n 2 3 x 0 x 9 x 1 . x 1 ln x 0 a x / 2 dx 4 dx 1 dx ln 2 e) f) g) h) ex d 1 x 1 cos x 2 x x 3 2 x x e e 0 3 / 2 0 2 dx 2 x2 1 3 dx a / 2 x i) k) dx l) m) dx 2 2 1 a sin x 2 5 / 2 (x ) 3 0 a x 0 1 x 0 1 ex 3 1 x2 2 1 5 (25 x2 )3 n) dx o) dx p) q) dx x x 2 5 2 4 5 / 2 x 1 x 0 e e 2 x . x 1 a x sin xdx r) x 2 a 2 x2 dx s) 2 1 2 cos x 0 0
Bài 4.23. Dùng phương pháp tích phân từng phần tính các tích phân sau: / 2 e 1 a 7 3 x dx 2 a) cos(ln x)dx b) x3e2xdx c) d) x e cos xdx 3 2 2 1 0 0 a x 0 e e 3 x sin x e) 3 ln xdx f) ln x xdx g) dx h) 2 (x cos x) dx 2 cos x 0 1/ e 0 0
Bài 4.24. Tính các tích phân sau 3 4 x sin x 2 dx 2 dx a) x5. 1 x2 dx b) dx c) d) 3 cos x 2 cos x 3 3 0 0 0 0 1 x (x ) 1
Bài 4.25. Xét sự hội tụ hoặc phân kỳ của tích phân suy rộng sau dx xdx dx a) b) c) d) xex2 dx 5 10 1 2 x 2 x 1 ( x) 1 1 x 1 x x 0 1/ e dx 1 1/ x e dx e) eax cos(bx)dx f) e x dx g) h) 2 x ln x 3 x 0 0 0 0 b dx 1 3 dx 2 5 x dx i) (a b) k) 2 x ln xdx l) m) 2 2 a (x a)(x b) 0 1 4x x 3 0 4 x
Bài 4.26. Cho hàm cung, hàm cầu của thị trường 1 hàng hóa: QS = 4P – 1 Qd = 4- P2
1) Tìm điều kiện của P để hàm cung, hàm cầu cùng dương.
2) Tìm giới hạn cao nhất (thấp nhất) của giá mua (giá bán) của người mua (bán)
3) Tìm giá cân bằng và lượng cân bằng. 25
Bài 4.27. Một doanh nghiệp sản xuất có hàm doanh thu TR = 4000Q – 33Q2 và hàm chi
phí TC = 3Q3 – 3Q2 + 400Q + 500. Xác định mức sản lượng cho lợi nhuận tối đa.
Bài 4.28. Một doanh nghiệp độc quyền có hàm cầu P = 40 – 0,03Q và hàm chi phí TC =
10Q + 120. Hãy xác định sản lượng và mức giá để doanh nghiệp tối đa hóa lợi nhuận.
Bài 4.29. Cho hàm chi phí trung bình 12 AC Q 5 , 0 , 0 Q 25 2 10 Q
1) Tìm hàm chi phí cận biên.
2) Với P = 106, tìm Q* thỏa mãn điều kiện cực đại lợi nhuận.
Bài 4.30. Cho hàm doanh thu TR = 1400Q – Q2 (Q>0)
1) Tìm hàm doanh thu cận biên MR(Q).
2) Tại điểm Qo = 500, khi Q tăng lên một đơn vị thì doanh thu sẽ thay đổi bao nhiêu đơn vị.
3) Tính giá trị doanh thu cận biên tại Qo = 710 và giải thích ý nghĩa kết quả nhận được.
Bài 4.31. Cho hàm tổng chi phí TC = 2Q2 +3Q + 100 (Q>0)
1) Tìm hàm chi phí cận biên MC(Q).
2) Tính chi phí cận biên tại mức sản lượng Qo = 2 và giải thích ý nghĩa kết quả nhận được.
Bài 4.32. Cho hàm cầu QD = 8p – p2 (p>0), po = 5
Tại mức giá po, khi tăng giá lên 3% thì lượng cầu thay đổi một lượng xấp xỉ bằng bao nhiêu %.
Bài 4.33. Cho biết hàm sản xuất ngắn hạn Q = 100 L (L>0) và giá của sản phẩm p =
4USD, giá thuê lao động bằng pL = 20USD. Hãy tìm mức sử dụng lao động để cho lợi nhuận tối đa.
Bài 4.34. Cho hàm tổng chi phí TC = Q3 – 120Q2 + 14Q (Q>0). Tìm mức sản lượng Q để
chi phí bình quân đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 4.35. Cho biết hàm chi phí TC = Q3 -7Q2 + 49Q - 4 (Q>1) và hàm cầu đảo p = 40 –Q.
Hãy xác định mức sản lượng Q cho lợi nhuận đạt cực đại.
Bài 4.36. Tìm hàm tổng chi phí, hàm chi phí bình quân trong các trường hợp sau: 26
1) MC = 15Q2 + 8Q + 3; FC = 100 2) MC = 3Qe0,5Q; FC = 30 3) MC = 2e0,2Q; FC = 90
Bài 4.37. Tìm hàm tổng doanh thu TR(Q) trong các trường hợp sau: 1) MR = 28Q – e0,3Q 2) MR = 10(1 + Q)-2 1
Bài 4.38. Cho hàm đầu tư 3
I(t) 12t (trong đó t là biến thời gian)
1) Xác định hàm vốn K(t) khi K(0) = 25.
2) Xác định tổng lượng vốn tích lũy được trong khoảng thời gian t [ ] 1 ; 0 .
Bài 4.39. Cho biết hàm cung và hàm cầu đối với một loại sản phẩm: Q 113 p ; Q p 1 d s
Hãy tính thặng dự của nhà sản xuất và thặng dư của người tiêu dùng. 27
CHƯƠNG 5. PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN SỐ VÀ ỨNG DỤNG
Bài 5.1. Tìm tập xác định của hàm số sau: a) y 1 x 2 y2 1 b) 2 2
y 1 x y c) (x2 y2 a 2 )(b2 x2 y2 ) 2 2 2 2 1 d) y ln(y2 4x ) 8 e) y R x y z (0 r R) x2 y2 z2 r2
Bài 5.2. Tính các giới hạn: lim lim f (x, y) , lim lim f (x, y) , lim f (x, y) x0 y0 y0 x0 x0 y0 x y 1 1 a) f (x, y) b) f (x, y) (x y) sin sin x y x y 2 2 x y 2 2 1 x y 1 c) f (x, y) d) f (x, y) 2 2 2 x y (x y) 2 2 x y 4 2 sin(x y ) 2 2 e) f (x, y) f) 2 2 x y f (x, y) (x y ) 2 2 2 (x y )
Bài 5.3. Tính các giới hạn sau: 2 x 2 2 x y xy 2 2 x y a) lim b) lim c) lim 4 4 x x y 2 2 x x y 2 2 x x y y y y x2 x y xy 1 d) lim e) 2 2 ( xy) lim(x y e ). f) lim1 2 2 x x xy y x x x y y ya
Bài 5.4. Xét tính liên tục của hàm số f(x,y) tại điểm (0, 0) x3 y3 2 2 khi x y 0 a) f(x,y) = 2 2 x y . 2 2 0 khi x y 0 sin x2y 2 2 khi x y 0 b) f (x, y) 2 2 x y . 2 2 0 khi x y 0 28
Bài 5.5. Tìm các đạo hàm riêng cấp 1 của hàm số sau y x y a) f (x, y) x y b) f (x, y) sin cos 3 x y x x y 2 c) f (x, y) cos d) y f (x, y) x y x x x cos y y cos x y e) f (x, y) f) f (x, y) 1 sin x sin y x
Bài 5.6. Tìm các đạo hàm riêng cấp 2 của các hàm số sau a) f (x, y) y ln(xy)
b) f (x, y) x 2 cos y y2 cos x x y c) f (x, y) d) 2 2 xy f (x, y) (x y )e x y e) f(x, y) = ln(x + y)
Bài 5.7. Tìm cực trị của các hàm số sau
a) f(x,y) = x2 + xy + y2 – 2x – 2y b) f(x,y) = (y-x)2 + (y + 2)3 2 a3 2 b3 c) f(x, y) = 2 2 1 x y
d) f (x, y) x xy y x y
e) f(x, y) = 6 – 4x – 3y với điều kiện x2 + y2 = 1
f) f(x, y) = x2 + y2 + xy – 5x- 4y + 10 với x + y = 4 2 1 2
Bài 5.8. Cho hàm sản xuất: 0,5 0,6 Q K L
. Trong đó Q là sản lượng, K là vốn, L là 3 3 lao động (Q, K, L >0).
1) Tìm hàm sản lượng cận biên của vốn và lao động?
2) Với hàm sản xuất trên thì hiệu quả có tăng khi quy mô sản xuất tăng hay không?
Bài 5.9. Hàm lợi ích của hộ gia đình có dạng
U(x, y) = 10xy – 3x2 – 2y2
Trong đó x là số đơn vị hàng hóa 1, y là số đơn vị hàng hóa 2 (x >0 , y >0).
1) Hàm lợi ích trên có thỏa mãn quy luật lợi ích cận biên giảm dần hay không? 29
2) Viết đường bàng quan tại x = 2 và y =2; tìm độ dốc của đường này và giải thích ý
nghĩa của giá trị tìm được.
Bài 5.10. Một công ty sản xuất 2 loại sản phẩm (cạnh tranh hoàn hảo). Cho biết giá của 2
loại sản phẩm lần lượt là P1, P2 và hàm tổng chi phí có dạng: 2 2 TC Q 2 Q 2 Q Q 1 2 1 2
1) Tìm mức sản lượng cho mỗi loại sản phẩm để đạt lợi nhuận tối đa.
2) Khi P1, P2 biến động sẽ tác động như thế nào đến các mức sản lượng tối ưu.
Bài 5.11. Một công ty độc quyền sản xuất một loại sản phẩm ở hai cơ sở với hàm chi phí tương ứng: 2 2
TC 128 0, 2Q ; TC 156 0,1Q (Q 1 1 2 2
1, Q2 lần lượt là lượng sản xuất của cơ sở
1, 2). Hàm cầu ngược về sản phẩm của công ty có dạng: P = 600 – 0,1Q; trong đó Q = Q1 + Q2 và Q<6000.
1) Xác định lượng sản phẩm cần sản xuất ở mỗi cơ sở để tối đa hóa lợi nhuận.
2) Tại mức sản lượng tối đa hóa lợi nhuận, hãy tính độ co giãn của cầu theo giá.
Bài 5.12. Một hãng độc quyền sản xuất ra một mặt hàng nhưng tiêu thụ ở hai thị trường với
các hàm cầu: Q1 = 24 – 0,2P1; Q2 = 10 – 0,05P2 và hàm chi phí kết hợp là TC =35 + 40Q
(Q = Q1+ Q2). Hãy xác định lượng hàng hóa và giá bán để thu được lợi nhuận tối đa.
Bài 5.13. Hãng kinh doanh độc quyền có các hàm cầu trên hai thị trường
Q1 = 40 – 2P1 – P2; Q2 = 35 – P1 – P2
Cho biết hàm tổng chi phí: TC Q2 Q 2 2 10 1 2
1) Tìm mức sản lượng cho mỗi thị trường để lợi nhuận tối đa.
2) Hãy tính mức giá cho mỗi thị trường khi lợi nhuận tối đa.
Bài 5.14. Nhu cầu 2 mặt hàng phụ thuộc vào giá có dạng
Q1 = 40 – 2P1 – P2; Q2 = 35 – P1 – P2
và hàm tổng chi phí: TC = Q2 Q 2 2 10 1 2
1) Xác định sản lượng để lợi nhuận đạt giá trị lớn nhất.
2) Tính chi phí cận biên cho từng mặt hàng tại mức tối ưu. 30
Bài 5.15. Một trung tâm thương mại có doanh thu phụ thuộc vào thời lượng quảng cáo trên
đài phát thanh (x: phút, x >0) và trên đài truyền hình (y: phút, y > 0). Hàm doanh thu: TR =
320x – 2x2 – 3xy – 5y2 + 540y + 2000
Chi phí cho mỗi phút quảng cáo trên đài phát thanh là 1 triệu đồng, trên đài truyền hình là 4
triệu đồng. Ngân sách chi cho quảng cáo là 180 triệu đồng.
1) Tìm x, y để cực đại doanh thu.
2) Nếu ngân sách chi cho quảng cáo tăng 1 triệu đồng thì doanh thu cực đại sẽ tăng lên bao nhiêu?
Bài 5.16. Cho hàm sản xuất Q = 0,3K0,5L0,5
Trong đó Q là sản lượng; K là vốn và L là lao động (Q, K, L >0).
1) Tính sản lượng cận biên của vốn và lao động tại Ko = 4; Lo = 9.
2) Chứng minh rằng các hàm sản lượng cận biên theo vốn, lao động là hàm thuần nhất bậc 0.
3) Cho biết quá trình sản xuất trên có hiệu quả như thế nào với việc tăng quy mô sản suất?
Bài 5.17. Một hộ gia đình có hàm lợi ích tiêu dùng với 2 loại hàng hóa như sau: U(x 0,4 0, 1, x2 ) = 5 4 x x 1 2
Trong đó x1 là số đơn vi hàng hóa 1, x2 là số đơn vị hàng hóa 2 (x1, x2 >0).
Ngân sách tiêu dùng là 300USD; giá một đơn vị hàng hóa 1, 2 lần lượt là 3USD, 5USD.
1) Tìm gói hàng hóa mà tại đó hộ gia đình có lợi ích tiêu dùng đạt giá trị lớn nhất.
2) Nếu ngân sách tiêu dùng giảm 1USD thì mức lợi ích tối đa giảm bao nhiêu?
3) Nếu ngân sách tiêu dùng giảm 2% thì mức lợi ích tối đa giảm bao nhiêu?
Bài 5.18. Một doanh nghiệp có hàm sản xuất Q =K0,3L0,5
Trong đó Q, K, L lần lượt là sản lượng, vốn, lao động (Q, K, L > 0).
1) Quá trình sản xuất có hàm sản lượng trên có hiệu quả như thế nào đối với việc tăng quy mô sản xuất.
2) Tìm sản lượng cận biên theo vốn, theo lao động. 31
3) Nếu doanh nghiệp thuê một đơn vị vốn là 6USD; một đơn vị lao động là 2USD; ngân
sách chi cho các yếu tố đầu vào là 384USD. Tìm mức sử dụng vốn và lao động để sản lượng tối đa.
4) Nếu tăng ngân sách chi cho yếu tố đầu vào 10USD thì sản lượng tối đa tăng bao nhiêu? 2 1
Bài 5.19. Cho hàm sản xuất Cobb – Douglas: Q 30K 3 L3 (K ; 0 L ) 0
Trong đó Q là sản lượng; K là vốn; L là lao động (Q, K, L >0). Q Q
1) Tìm và giải thích ý nghĩa kinh tế của ' ' Q Q ; Q Q tại điểm K K 1 L 2 o = 27 K L và Lo = 64.
1) Tính các hệ số co giãn riêng của Q theo K và L.
Cho biết ý nghĩa tại điểm Ko =27; Lo = 64.
2) Nếu K và L cùng tăng 1% thì Q tăng bao nhiêu phần trăm.
3) Với hàm sản xuất trên khi tăng quy mô thì hiệu quả có tăng không?
4) Hàm số đã cho có thỏa mãn quy luật lợi ích cận biên giảm dần hay không?
5) Tại mức đầu vào Ko = 27, Lo = 64; giả sử dK = 0,1; dL = 0,3 là các mức biến động
của vốn và lao động. Tìm các mức biến động dQK, dQL và giải thích ý nghĩa kinh tế
các đại lượng đó. Tìm và giải thích ý nghĩa vi phân toàn phần dQ. 32