20 trang 1 lượt tải

Ôn tập giữa học kì 2 Toán 12 năm 2025 – 2026 trường THPT Trần Phú – Hà Nội

1

Xin giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh đề cương hướng dẫn nội dung ôn tập giữa học kì 2 môn Toán 12 năm học 2025 – 2026 trường THPT Trần Phú – Hoàn Kiếm, thành phố Hà Nội.

Chủ đề: Đề giữa HK2 Toán 12 222 tài liệu

Môn: Toán 12 4.7 K tài liệu

Tác giả:

Profile

jang linh

3 giờ trước
Tải xuống
Báo cáo
Danh sách Quiz
Tải xuống
/20
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI
TRƯỜNG THPT TRẦN PHÚ-HOÀN KIẾM
NỘI DUNG ÔN TẬP
GIỮA HỌC KÌ II, NĂM HỌC 2025-2026
Môn: TOÁN - Khối 12
PHẦN I. NỘI DUNG ÔN TẬP
1. Nguyên hàm. Tích phân.
2. Phương trình mặt phẳng trong không gian.
PHẦN II. HÌNH THỨC, CẤU TRÚC ĐỀ KIỂM TRA: Đề bao gồm 3 phần:
Phần I. Câu hỏi trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn( mỗi câu có 4 đáp án A, B, C,
D và chỉ có 1 đáp án đúng). Phần này có 12 câu( từ câu 1 đến câu 12), mỗi
câu trả lời đúng được 0,25 điểm.
Phần II. Câu hỏi trắc nghiệm lựa chọn đúng/sai( mỗi câu có 4 ý hỏi a), b), c), d) và
trong các ý đó hoặc đúng, hoặc sai). Phần này có 4 câu( từ câu 1 đến câu 4),
mỗi câu trả lời đúng cả 4 ý được 1,0 điểm.
Phần III. Câu hỏi trắc nghiệm trả lời ngắn. Phần này có 6 câu( từ câu 1 đến câu 6),
mỗi câu trả lời đúng được 0,5 điểm.
Lưu ý: Bài làm của học sinh sẽ trả lời vào phiếu trả lời trắc nghiệm do nhà trường
phát.
PHẦN III. THỜI GIAN LÀM BÀI: 90 phút.
PHẦN IV. CÁC BÀI TẬP LUYỆN TẬP
NGUYÊN HÀM. TÍCH PHÂN
Phần A: Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn.
Câu 1: Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số
( )
24f x x=+
là
A.
2
24x x C++
. B.
2
4x x C++
. C.
2
xC+
. D.
.
Câu 2: Nguyên hàm
( )
Fx
của hàm số
( ) ( )
2
23f x x=−
thỏa mãn
( )
1 17F − = −
là
A.
( )
3
23
4
33
x −
+
. B.
32
42
69
33
x x x− + −
.
C.
32
48
69
33
x x x− + +
. D.
32
42
69
33
x x x− + +
.
Câu 3: Tìm nguyên hàm của hàm số
( )
1
52
fx
x
=
−
.
A.
d1
ln 5 2
5 2 5
x
xC
x
= − +
−
. B.
d
ln 5 2
52
x
xC
x
= − +
−
.
C.
d1
ln 5 2
5 2 2
x
xC
x
= − − +
−
. D.
d
5ln 5 2
52
x
xC
x
= − +
−
.
Câu 4: Biết
56
1
d ln
2
x x a x bx C
x

+ = + +


với
( )
,,a b C
. Tính
2
ab+
?
A.
5
12
. B. 9. C.
7
13
. D.
7
6
.
Câu 5: Cho
( )
Fx
là một nguyên hàm của hàm số
( )
1
23
fx
x
=
−
; biết
( )
21F =
. Giá trị
( )
3F
bằng
A.
( )
3 2ln3 1F =+
. B.
( )
1
3 ln3 1
2
F =+
. C.
( )
3 ln3 1F =+
. D.
( )
1
3 ln3 1
2
F =−
.
Câu 6: Một nguyên hàm của hàm số
( )
3
2f x x x=+
có dạng
( )
42
F x ax bx=+
. Tính
4T a b=+
.
A.
0T =
. B.
1T =
. C.
2T =
. D.
3T =
.
Câu 7: Một nguyên hàm
( )
Fx
của hàm số
( )
2
1
sin
cos
f x x
x
=+
thỏa mãn
2
42
F

=


là
A.
cos tan 2 1xx− + − +
. B.
cos tan 2 1xx− + + −
.
C.
cos tan 2 1xx+ + −
. D.
cos tanx x C− + +
.
Câu 8: Biết
( )
Fx
là một nguyên hàm của hàm số
( )
2x
f x e=
và
( )
00F =
. Giá trị của
( )
ln3F
bằng
A.
2
B.
6
. C.
8
. D.
4
.
Câu 9: Một viên đạn được bắn thẳng đứng lên trên từ mặt đất. Giả sử tại thời điểm
t
giây (coi
0=t
là thời điểm viên đạn được bắn lên), vận tốc của nó được cho bởi
( ) ( )
25 9 8=−,/v t t m s
. Độ cao của viên đạn (tính từ mặt đất) đạt giá trị lớn nhất là
A.
125
49
. B.
3125
98
. C.
2375
392
. D.
1125
98
.
Câu 10: Cho
( ) ( )
22
11
d 3, d 1f x x g x x
−−
= = −

. Khi đó
( ) ( )
2
1
2 3 dI x f x g x x
−
= + −


bằng
A.
10
. B.
21
2
. C.
19
2
. D.
17
2
.
Câu 11: Biết
( )
3
F x x=
là một nguyên hàm của hàm số
( )
fx
trên . Giá trị của
( )
( )
2
1
2df x x+
bằng
A.
7
. B.
9
. C.
15
4
. D.
23
4
.
Câu 12: Cho hàm số
( )
y f x=
liên tục trên đoạn
6;11−
và thỏa mãn
( )
11
6
d8f x x
−
=
,
( )
6
2
d3f x x =
. Giá trị của biểu thức
( ) ( )
2 11
66
ddP f x x f x x
−
=+

bằng
A.
4P =
. B.
11P =
. C.
5P =
. D.
2P =
.
Câu 13:
3
1
2
ln
x
dx a b c
x
+
=+
với
, , , 9a b c c
. Tính tổng
S a b c= + +
.
A.
6S =
. B.
7S =
. C.
5S =
. D.
8S =
.
Câu 14: Tích phân
3
2
| 1|x dx
−
−
bằng
A.
2
. B.
13
2
. C.
13
4
. D.
1
.
Câu 15: Cho hàm số
( )
2
1 khi 0
khi 0
x
xx
fx
ex
+
=
. Tích phân
( )
2
1
dI f x x
−
=
có giá trị bằng bao
nhiêu?
A.
2
2
31e
I
e
−
=
. B.
2
2
91
2
e
I
e
−
=
. C.
2
2
11 11
2
e
I
e
−
=
. D.
2
2
71
2
e
I
e
+
=
Câu 16: Vận tốc của một vật chuyển động là
( ) ( )
2
3 5 m/sv t t=+
. Quãng đường vật đó đi được
từ giây thứ
4
đến giây thứ
10
là
A.
669
m. B.
696
m. C.
699
m. D.
966
m.
Câu 17: Giả sử lợi nhuận biên (tính bằng triệu đồng) của một sản phẩm được mô hình hóa bằng
công thức
( )
0,0004 9,3P x x
= − +
. Ở đây
( )
Px
là lợi nhuận (tính bằng triệu đồng) khi
bán được
x
đơn vị sản phẩm. Khi đó sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ
100
lên
125
đơn vị sản phẩm là
A.
232,325
triệu đồng. B.
230,315
triệu đồng.
C.
321,385
triệu đồng D.
231,375
triệu đồng.
Câu 18: Một chất điểm
A
xuất phát từ
O
, chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời
gian bởi quy luật
( ) ( )
2
1 58
/
120 45
v t t t m s=+
, trong đó
t
(giây) là khoảng thời gian tính
từ lúc
A
bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm
B
cũng xuất phát từ
O
, chuyển động thẳng cùng hướng với
A
nhưng chậm hơn
3
giây so với
A
và có gia
tốc bằng
( )
2
/a m s
(
a
là hằng số). Sau khi
B
xuất phát được
15
giây thì đuổi kịp
A
.
Vận tốc của
B
tại thời điểm đuổi kịp
A
bằng
A.
( )
21 /ms
B.
( )
25 /ms
C.
( )
36 /ms
D.
( )
30 /ms
Câu 19: Một vật chuyển động trong
3
giờ với vận tốc
( )
km/hv
phụ thuộc thời gian
( )
ht
có đồ
thị là một phần của đường parabol có đỉnh
( )
2;9I
và trục đối xứng song song với trục
tung như hình bên. Tính quãng đường
s
mà vật di chuyển được trong
3
giờ đó.
A.
( )
25,25 kms =
B.
( )
24,25 kms =
C.
( )
24,75 kms =
D.
( )
26,75 kms =
Câu 20: Tính diện tích
S
hình phẳng
( )
H
giới hạn bởi đường cong
3
12y x x= − +
và
2
yx=−
A.
937
12
S =
B.
343
12
S =
C.
397
4
S =
D.
793
4
S =
Câu 21: Cho hàm số
( )
fx
liên tục trên . Gọi
S
là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các
đường
( )
, 0, 1, 2y f x y x x= = = − =
(như hình vẽ). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
( ) ( )
12
11
d dS f x x f x x
−
=−

. B.
( ) ( )
12
11
d dS f x x f x x
−
= − +

.
C.
( ) ( )
12
11
d dS f x x f x x
−
= − −

. D.
( ) ( )
12
11
d dS f x x f x x
−
=+

.
Câu 22: Diện tích hình phẳng phần gạch chéo trong hình vẽ bên được tính theo công thức nào
sau đây?
A.
( )
2
32
1
2 5 6 dS x x x x
−
= + − −
. B.
( )
2
32
1
2 10 dS x x x x
−
= + − −
.
C.
( )
2
32
1
2 10 dS x x x x
−
= − − +
. D.
( )
2
32
1
2 5 6 dS x x x x
−
= − − + +
.
Câu 23: Cho hàm số
( )
y f x=
có tập xác định là
3;3−
và có đồ thị như hình vẽ. Giá trị của
( )
3
3
df x x
−
bằng
A.
6.
B.
5.
C.
12.
D.
10.
Câu 24: Cho hình
( )
H
là hình phẳng giới hạn bởi đường cong
3
yx=
, đường thẳng
23yx= − +
và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích hình phẳng
( )
H
là
A.
1
4
S =
. B.
1
2
S =
. C.
5
4
S =
. D.
2S =
.
Câu 25: Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
sinyx=
, trục
Ox
và các đường thẳng
0,xx
==
quay quanh trục
Ox
. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành bằng
A.
0
sin x dx
. B.
2
0
sin xdx
. C.
2
0
sin xdx
. D.
2
0
cos xdx
.
Câu 26: Tính thể tích
V
của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng
0x =
và
3x =
, biết rằng
khi cắt vật thể bởi mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục
Ox
tại điểm có hoành độ
x
(
03x
) thì được thiết diện là một hình vuông có độ dài cạnh bằng
2
29 x−
A.
90
B.
72
C.
78
D.
72
Câu 27: Thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi các đường
2
2 , 0y x x y= − =
khi quay quanh trục
Ox
là:
A.
4
3
. B.
13
15
. C.
14
15
. D.
16
15
.
Câu 28: Thể tích khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đường
2
1, 0, 1, 0y x x x y= + = = =
quay quanh trục
Ox
là:
A.
4
3
. B.
28
15
. C.
28
15
. D.
4
3
.
Câu 29: Tính thể tích chứa được (dung tích) của một cái chén (bát), biết phần trong của nó có
dạng khối tròn xoay được tạo thành khi quay quanh trục
Ox
hình phẳng giới hạn bởi
đường
22yx=+
và trục
Ox
(như hình vẽ), bát có độ sâu 5 cm, đơn vị trên trục là
centimet (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
A. 78 cm
3
. B. 274 cm
3
. C. 87 cm
3
. D. 247 cm
3
.
Câu 30: Một bác thợ gốm làm một cái chậu trồng cây, phần trong chậu cây có dạng khối tròn
xoay được tạo thành khi quay hình phẳng được tô đậm như hình sau quanh trục
Ox
(đơn vị trên trục là decimet), biết đường cong trong hình là đồ thị của hàm số
1yx=+
, đáy chậu và miệng chậu có đường kính lần lượt là 2 dm và 4 dm. Dung tích của chậu
là bao nhiêu (làm tròn kết quả nếu cần thiết)?
A. 25,13 lít. B. 23,56 lít. C. 14,66 lít. D. 7,5 lít.
Phần B. Câu trắc nghiệm đúng/sai.
Câu 1: Hàm số
( )
fx
xác định trên
\0
thỏa mãn
( )
5 3 2
3
3 2 5 4x x x x
fx
x
− + + +
=
.
a)
( )
2
23
1 1 4
32f x x
x x x
= − + + +
.
b)
( )
3
2
11
d 2 ln
2
f x x x x x C
xx
= − + − − +
.
c) Gọi
( )
Fx
là một nguyên hàm của hàm số
( )
fx
và thỏa mãn
( )
10F −=
. Khi đó
tìm được
( )
3
2
1 1 3
2 ln
22
F x x x x
xx
= − + − − −
.
d) Gọi
( )
Gx
là một nguyên hàm của hàm số
( )
fx
. Biết
( )
10G =
và
( ) ( )
3 3 2GG− − =
. Khi đó tìm được
( )
1
2
log
c
a
G
be
− = +
, với
,,abc
là các số nguyên
dương và
a
b
là phân số tối giản. Vậy
1093abc+ + =
.
Câu 2: Cây cà chua khi trồng có chiều cao 5cm. Tốc độ tăng chiều cao của cây cà chua sau khi
trồng được cho bởi hàm số
( )
32
0,1v t t t= − +
, trong đó
t
tính theo tuần,
( )
vt
tính bằng
cm/tuần. Gọi
( )
ht
(tính bằng cm) là độ cao của cây cà chua ở tuần thứ
t
.
a)
( )
43
40 3
tt
ht
−
=+
, với
0t
.
b) Chiều cao tối đa của cây cà chua đó là
88,4 cm
(làm tròn kết quả đến hàng phần
mười).
c) Giai đoạn tăng trưởng của cây cà chua đó kéo dài trong 9 tuần.
d) Vào thời điểm cây cà chua đó phát triển nhanh nhất thì chiều cao cây cà chua đạt
54,4 cm
(kết quả được làm tròn đến hàng phần mười).
Câu 3: Cho hàm số
( ) | 1|f x x=−
.
a) Trên khoảng
(1; )+
, một nguyên hàm của hàm số
()fx
là
2
( ) 2
2
x
F x x= − +
.
b) Trên khoảng
( ;1)−
, một nguyên hàm của hàm số
()fx
là
2
( ) 1
2
x
G x x= − −
.
c) Nếu
()Fx
là một nguyên hàm của
()fx
và
(2) 3F =
thì
(4) 7F =
.
d) Nếu
()Fx
là một nguyên hàm của
()fx
và
(0) 1F =
thì
( 2) (4) 4FF− + =
.
Câu 4: Cho hàm số
( ) ( )
,f x g x
liên tục trên .
a) Nếu
( )
2
1
5f x dx =
và
( )
2
1
1
2
g x dx =−
thì
( ) ( )
2
1
11
2
f x g x dx−=


b) Nếu
( )
3
1
2 3 10g x x dx+ + =


thì
( )
3
1
3g x dx =
.
c) Nếu
( )
3x
f x e=
,
( )
1
0
3
F =
thì
1
3
Fe

=


.
d) Nếu
( ) ( )
2 1; 2f x x g x x= + = −
thì
( )
( )
5
3
ln
fx
dx a b c
gx
=+
. Khi đó
11abc+ + =
.
Câu 5: Giả sử lợi nhuận biên (tính bằng triệu đồng) của một sản phẩm được mô hình hóa bằng
công thức
( )
0,0008 10,4P x x
= − +
. Ở đây
( )
Px
là lợi nhuận (tính bằng triệu đồng) khi
bán được
x
đơn vị sản phẩm.
a) Lợi nhuận khi bán được
x
đơn vị sản phẩm được tính bằng công thức
( )
2
0,0008 10,4P x x x= − +
.
b) Lợi nhuận khi bán được
50
sản phẩm đầu tiên là
519
triệu đồng.
c) Sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ
50
lên
55
đơn vị sản phẩm là
49,79
triệu đồng.
d) Biết sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ
50
lên
a
đơn vị sản phẩm lớn
hơn
517
triệu đồng, khi đó giá trị nhỏ nhất của
a
là
100
.
Câu 6: Sau khi xuất phát, ô tô di chuyển với tốc độ
( ) ( )
2
2,01 0,025 0 10v t t t t= −
. Trong
đó
( )
vt
tính theo m/s, thời gian
t
tính theo giây với
0t =
là thời điểm xe xuất phát.
a) Quãng đường xe di chuyển được tính theo công thức là
( ) ( )
2,01 0,05 0 10s t t t= −
b) Quãng đường xe di chuyển được trong 3s là 8,82m.
c) Quãng đường xe di chuyển được trong giây thứ 9 xấp xỉ 15,277m
d) Trong khoảng thời gian không quá 10s đầu, khi vận tốc đạt giá trị lớn nhất thì gia tốc
của xe là 1,51m/s
2
Câu 7: Cho các đồ thị hàm số
3,
x
y y x==
và hình phẳng được tô màu như Hình.
a) Hình phẳng đã cho được giới hạn bởi các đồ thị hàm số
3,
x
y y x==
và hai đường
thẳng
0, 1xx==
.
b) Diện tích hình phẳng đó được tính theo công thức
1
0
3
x
S xdx=−
c) Diện tích hình phẳng đó bằng
( )
1
0
3 (vì 3 , [0;1] ).
xx
x dx x x−
d) Diện tích hình phẳng đó bằng
21
ln3 2
−
.
Câu 8: Cho hàm số
()y f x=
thoả mãn hàm
()y f x
=
liên tục trên và cắt
Ox
tại đúng 3
điểm phân biệt có hoành độ
,,abc
(hình bên). Gọi
1
S
là diện tích của hình phẳng giới
hạn bởi đồ thị hàm số
()y f x
=
và
Ox
tương ứng với
2
[ ; ],x a b S
là diện tích của hình
phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
()y f x
=
và
Ox
tương ứng với
[ ; ]x b c
.
a)
( ) 0, [ ; ], ( ) 0, [ ; ]f x x a b f x x b c

.
b) Hàm số
()y f x=
nghịch biến trên
[ ; ]ab
và đồng biến trên
[ ; ]bc
.
c)
12
( ) ( ), ( ) ( )S f a f b S f a f c= − = −
d)
( ) ( ) ( )f b f c f a
Câu 9: Cho khối chóp đều có đáy là hình vuông cạnh
L
và chiều cao là
h
. Chọn trục
Ox
sao
cho gốc
O
trùng với đỉnh của khối chóp và trục đi qua tâm của đáy. (như hình dưới).
a) Đáy của khối chóp nằm trên mặt phẳng song song với
Ox
.
b) Mỗi mặt phẳng vuông góc với trục
Ox
tại điểm có hoành độ bằng
( )
0x x h
, cắt
khối chóp theo mặt cắt là hình vuông cạnh
a
.
c) Diện tích mặt cắt là
( )
2
L
S x x
h
=
.
d) Thể tích của khối chóp là
2
1
3
V L h=
.
Câu 10: Người ta chế tác một giọt nước bằng thủy tinh. Biết giọt nước thủy tinh này là vật thể
tròn xoay khi xoay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số
( )
( )
( )
2
4 2 0,6
91 23 91
0,6 4,6
20 100
xx
fx
xx
− −
=
− +
và trục
Ox
quanh trục
Ox
(đơn vị trên trục
là centimet).
a) Hàm số
( )
y f x=
liên tục tại
0,6x =
.
b) Diện tích mặt cắt của giọt nước thủy tinh khi cắt bởi mặt phẳng qua trục được tính
bởi công thức
( )
4,6
2
2S f x dx
−
=
cm
2
.
c) Thể tích của giọt nước thủy tinh này lớn hơn 40 cm
3
.
d) Biết khối lượng riêng của thủy tinh là
2,6
=
g/cm
3
, khối lượng của giọt nước thủy
tinh này là 102,22 g (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Phần C. Tự luận
Câu 1: Nếu
( )
1
2
=Fx
x
và
( )
11=F
thì giá trị của
( )
4F
bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả
đến chữ số thập phân thứ 2).
Câu 2: Cho các hàm số
( )
y f x=
và
( )
y g x=
liên tục trên . Giả sử
( ) ( )
7
2
2 3 1df x g x x

+=

và
( ) ( )
7
2
24df x g x x

−=

. Khi đó,
( ) ( )
72
27
3ddf x x g x x−

bằng bao nhiêu?
Câu 3: Cho hàm số
( )
2
2
12
2 3 2
−
=
− +
khi
khi
xx
fx
x x x
. Tích phân
( )
3
1
1
2
=
dI f x x
bằng bao
nhiêu?(làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ 2).
Câu 4: Cho hàm số
( )
fx
xác định trên
\0
thỏa mãn
( )
2
1x
fx
x
+
=
,
( )
3
2
2
f −=
và
( )
3
2 2ln2
2
f =−
. Giá trị của biểu thức
( ) ( )
14ff−+
bằng (viết kết quả dưới dạng số
thập phân và làm tròn đến hàng phần mười).
Câu 5: Cho
Fx
là một nguyên hàm của hàm số
2
3
e4
x
f x x x
. Hàm số
Fx
có
bao nhiêu điểm cực trị?
Câu 6: Biết hàm số
()Fx
là một nguyên hàm của hàm số
2
( ) 2 3
x
f x x=+
và
2
(1)
ln2
F =
. Giá
trị của
(2)F
(làm tròn đến hàng phần mười) bằng?
Câu 7: Một viên gạch hoa hình vuông cạnh
40
cm được thiết kế như hình bên dưới. Hãy tính
diện tích phần viên gạch hoa được tô đậm.
Câu 8: Một chiếc xe chuyển động với đồ thị vận tốc được biểu diễn theo đường gấp khúc được
minh họa trên hệ trục
Otv
như hình vẽ (mỗi đơn vị trên
Ot
ứng với 1 phút và mỗi đơn
vị trên
Ov
ứng với
0,4 km /
phút).
Quãng đường mà xe đã di chuyển trong 7 phút là bao nhiêu km?
Câu 9: Cho
( ) ( )
,f x g x
lần lượt là các hàm đa thức bậc ba và bậc nhất có đồ thị như hình vẽ.
Biết diện tích hình
S
(được tô màu) bằng
250
81
. Tính
( )
2
0
f x dx
(làm tròn kết quả đến
số thập phân thứ nhất).
y
x
20
20
20
20
y =
20
x
y =
1
20
x
2
Câu 10: Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc
( / )v km h
phụ thuộc vào thời gian
()th
có đồ thị vận tốc như hình bên. Trong thời gian 1 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động,
đồ thị đó là một phần của đường parabol có đỉnh
(2; 9)I
và trục đối xứng song song
với trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song song với trục
hoành. Tính quãng đường
s
mà vật chuyển động được trong 3 giờ đó (kết quả làm
tròn đến hàng phần trăm).
Câu 11: Một cái cổng hình Parabol như hình vẽ sau. Chiều cao
4GH m
, chiều rộng
4AB m
,
0,9AC BD m
. Chủ nhà làm hai cánh cổng khi đóng lại là hình chữ
nhật
CDEF
tô đậm có giá là
1300000
đồng
2
/m
, còn các phần để trắng thì trang trí hoa
có giá là
800000
đồng
2
/m
. Hỏi tổng số tiền để làm hai phần nói trên bằng bao nhiêu?
Câu 12: Anh Nam xây dựng một sân bóng đá mini hình chữ nhật có chiều rộng
30m
và chiều
dài
50m
. Để giảm bớt kinh phí cho việc trồng cỏ nhân tạo, anh Nam chia sân bóng ra
làm hai phần (tô màu và không tô màu) như hình vẽ.
Phần tô màu gồm hai miền có diện tích bằng nhau và đường cong
AIB
là một
parabol có đỉnh là
I
.
Phần tô màu được trồng cỏ nhân tạo với giá
160
nghìn đồng/
2
m
và phần còn lại được
trồng cỏ nhân tạo với giá
120
nghìn đồng/
2
m
. Hỏi anh Son phải trả bao nhiêu tiền để
trồng cỏ nhân tạo cho sân bóng? (số tiền được tính theo đơn vị là triệu đồng)
Câu 13: Cho một mô hình
3D
mô phỏng một đường hầm như hình vẽ bên.
Chiều dài của đường hầm mô hình là
5cm
, mặt phẳng vuông góc với mặt đáy của đường
hầm tạo được thiết diện là một hình parabol, thiết diện có độ dài cạnh đáy gấp đôi chiều
cao. Tính thể tích không gian bên trong đường hầm mô hình, biết chiều cao của mỗi
thiết diện parabol cho bởi công thức
2
3
5
yx
(đơn vị là
cm
), với
x
là khoảng cách
tính từ lối vào lớn hơn của đường hầm mô hình. Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị.
Câu 14: Để xây dựng một cây cầu, người ta đúc thành nhiều dầm có kích thước (đơn vị m) và
hình dạng như hình sau:
Mỗi mét khối bê tông nặng trung bình 2500 kg. Khối lượng (T) của dầm trên là bao
nhiêu? (Kết quả được làm tròn đến hàng phần chục)
PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN
Phần A: Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn.
Câu 1: Trong không gian
Oxyz
, mặt phẳng
( )
:2 3 4 1 0P x y z− + − =
có một vectơ pháp tuyến là:
A.
( )
4
1;2; 3n = − −
. B.
( )
3
3;4; 1n = − −
. C.
( )
2
2; 3;4n =−
. D.
( )
1
2;3;4n =
.
Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, vectơ nào dưới đây là một véctơ pháp tuyến
của mặt phẳng
( )
Oxy
?
A.
( )
= 1; 0;0i
B.
( )
= 1;1;1m
C.
( )
= 0;1;0j
D.
( )
= 0; 0;1k
Câu 3: Trong không gian
Oxyz
, mặt phẳng
( )
: 1 0+ + + =P x y z
có một vectơ pháp tuyến là
A.
( )
1
1;1;1=−n
. B.
( )
4
1;1; 1=−n
. C.
( )
3
1;1;1=n
. D.
( )
2
1; 1;1=−n
Câu 4: Trong không gian
Oxyz
, cho mặt phẳng
( )
:2 3 2 0P x y z+ + + =
. Véctơ nào dưới đây
là một véctơ pháp tuyến của
( )
P
?
A.
( )
3
2;3;2n
. B.
( )
1
2;3;0n
. C.
( )
2
2;3;1n
. D.
( )
4
2;0;3n
.
Câu 5: Trong không gian
Oxyz
, một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
1
2 1 3
x y z
+ + =
−−
là
A.
(3;6; 2)n =−
B.
(2; 1;3)n =−
C.
( 3; 6; 2)n = − − −
D.
( 2; 1;3)n = − −
Câu 6: Trong không gian
Oxyz
, cho mặt phẳng
( )
: 1 0P x y z+ − + =
. Điểm nào sau đây thuộc
mặt phẳng
( )
?P
A.
( )
1;1;3 .A
B.
( )
1;1; 3 .B −
C.
( )
3;1;1 .C
D.
( )
1; 1;3 .D −−
Câu 7: Trong không gian
Oxyz
, điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng
( )
?Oxy
A.
( )
1;1;0 .A
B.
( )
1;0; 3 .B −
C.
( )
0;1;1 .C
D.
( )
0;0;3 .D
Câu 8: Trong không gian
Oxyz
, phương trình của mặt phẳng
( )
Oxy
là:
A.
0=z
. B.
0=x
. C.
0=y
. D.
0+=xy
.
Câu 9: Trong không gian với hệ trục tọa độ
,Oxyz
phương trình mặt phẳng đi qua điểm
( )
1;2; 3A −
có véc tơ pháp tuyến
( )
2; 1;3n
→
=−
là
A.
2 3 9 0x y z− + + =
. B.
2 3 4 0x y z− + − =
. C.
2 4 0xy− − =
. D.
2 3 4 0x y z− + + =
Câu 10: Trong không gian
Oxyz
phương trình mặt phẳng đi qua điểm
(1; 2;3)A −
và vuông góc
với giá của véctơ
( 1;2;3)v =−
là
A.
2 3 4 0.x y z− − − =
B.
2 3 4 0.x y z− + − =
C.
2 3 4 0.x y z− − + =
D.
2 3 4 0.x y z− + − + =
Câu 11: Trong không gian
Oxyz
, cho điểm
( )
0; 3;2A −
và mặt phẳng
( )
:2 3 5 0P x y z− + + =
.
Mặt phẳng đi qua
A
và song song với
( )
P
có phương trình là
A.
2 3 9 0x y x− + + =
. B.
2 3 3 0x y x+ + − =
. C.
2 3 3 0x y x+ + + =
. D.
2 3 9 0x y x− + − =
.
Câu 12: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho hai điểm
( )
0;1;1A
) và
( )
1;2;3B
. Viết
phương trình của mặt phẳng
( )
P
đi qua
A
và vuông góc với đường thẳng
AB
.
A.
2 3 0x y z+ + − =
B.
2 6 0x y z+ + − =
C.
3 4 7 0x y z+ + − =
D.
3 4 26 0x y z+ + − =
Câu 13: Trong không gian
Oxyz
, cho ba điểm
( )
1;1;1A −
,
( )
2;1;0B
( )
1; 1;2C −
. Mặt phẳng đi
qua
A
và vuông góc với đường thẳng
BC
có phương trình là
A.
3 2 1 0xz+ + =
B.
2 2 1 0x y z+ − + =
C.
2 2 1 0x y z+ − − =
D.
3 2 1 0xz+ − =
Câu 14: Trong không gian
Oxyz
, cho hai điểm
( )
1;2;0A −
và
( )
3;0;2B
. Mặt phẳng trung trực
của đoạn thẳng
AB
có phương trình là
A.
30x y z+ + − =
. B.
2 2 0x y z− + + =
. C.
2 4 0x y z+ + − =
. D.
2 2 0x y z− + − =
.
Câu 15: Trong không gian
Oxyz
, cho điểm
( )
2; 1;4M −
và mặt phẳng
( )
:3 2 1 0P x y z− + + =
. Phương trình của mặt phẳng đi qua
M
và song song với mặt phẳng
( )
P
là
A.
2 2 4 21 0x y z− + − =
. B.
2 2 4 21 0x y z− + + =
C.
3 2 12 0x y z− + − =
. D.
3 2 12 0x y z− + + =
.
Câu 16: Trong không gian
Oxyz
, cho ba điểm
( )
3;0;0A
,
( )
0;1;0B
và
( )
0;0; 2C −
. Mặt phẳng
( )
ABC
có phương trình là:
A.
1
3 1 2
x y z
+ + =
−
. B.
1
3 1 2
x y z
+ + =
−
. C.
1
3 1 2
x y z
+ + =
. D.
1
3 1 2
x y z
+ + =
−
.
Câu 17: Trong không gian với hệ tọa độ
( )
Oxyz
,cho ba điểm
( )
0;2;1A
,
( )
3;0;1B
,
( )
1;0;0C
.
Phương trình mặt phẳng
( )
ABC
là
A.
2 3 4 2 0x y z− − + =
. B.
4 6 8 2 0x y z+ − + =
.
C.
2 3 4 2 0x y z+ − − =
. D.
2 3 4 2 0x y z− − − =
.
Câu 18: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho bốn điểm
( )
1;0;1A
,
( )
3;1;1C
,
( )
4;1;1D
( )
1;2;2B −
. Viết phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm
,AB
và song song với
CD
.
A.
2 2 0yz− + =
. B.
2 2 0xz− + =
. C.
2 2 0x y z− + + =
. D.
2 2 0xy− + =
.
Câu 19: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho
( )
1;2; 1A −
;
( )
1;0;1B −
và mặt phẳng
( )
: 2 1 0P x y z+ − + =
. Viết phương trình mặt phẳng
( )
Q
qua
,AB
và vuông góc với
( )
P
.
A.
( )
:2 3 0Q x y− + =
. B.
( )
:0Q x z+=
. C.
( )
:0Q x y z− + + =
. D.
( )
:3 0Q x y z− + =
Câu 20: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho hai mặt phẳng
( )
:3 2 2 7 0x y z
− + + =
và
( )
:5 4 3 1 0x y z
− + + =
. Phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ
O
đồng thời vuông
góc với cả
( )
và
( )
là
A.
2 2 0.x y z− − =
B.
30x y z+ + + =
. C.
2 6 0xz− + + =
. D.
2 6 0xz− + − =
.
Câu 21: Trong không gian
Oxyz
, mặt phẳng
( )
Q
song song với mặt phẳng
( )
: 2 2 1 0P x y z+ − + =
và
( )
Q
cách điểm
( )
1; 2;1M −
một khoảng bằng 3 có phương
trình là
A.
2 2 10 0; 2 2 1 0x y z x y z+ − + = + − − =
. B.
2 2 0; 2 2 14 0x y z x y z+ − = + − − =
.
C.
2 2 14 0; 2 2 4 0x y z x y z+ − − = + − − =
. D.
2 2 4 0; 2 2 14 0x y z x y z+ − + = + − − =
.
Câu 22: Trong không gian
Oxyz
, cho điểm
( )
1; 1;0B −
,
( )
2; 1; 1C −−
,
( )
2;1;3M −
. Mặt phẳng
( )
P
vuông góc với
BC
và cách M một khoảng bằng
2
có phương trình là
A.
70xz− − =
;
30xz− − =
. B.
70xz− + =
;
30xz− − =
.
C.
70xz− + =
;
30xz− + =
. D.
70xz− − =
;
30xz− + =
.
Câu 23: Trong không gian
Oxyz
, cho điểm
( )
2;3;5A
. Viết phương trình mặt phẳng
( )
đi qua
A
và chứa trục
Ox
A.
( )
:5 3 0yz
+=
. B.
3 5 0yz+=
. C.
3 5 0yz−=
. D.
( )
:5 3 0yz
−=
.
Câu 24: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho mặt phẳng cho mặt phẳng
( )
P
có phương
trình
3 4 2 4 0x y z+ + + =
và điểm
( )
1; 2;3A −
. Tính khoảng cách
d
từ
A
đến
( )
P
A.
5
29
d =
B.
5
29
d =
C.
5
3
d =
D.
5
9
d =
Câu 25: Trong không gian
Oxyz
, góc giữa hai mặt phẳng
( )
: 11 0P x y z+ − − =
và
( )
: 2 2 2 7 0Q x y z+ − + =
bằng
A.
0
. B.
45
. C.
180
. D.
90
Câu 26: Trong không gian
,Oxyz
mặt phẳng
( ):2 2 0P x y z+ + − =
song song với mặt phẳng
nào dưới đây?
A.
11
10
22
x y z+ − − =
. B.
20x y z− − − =
. C.
4 2 2 4 0x y z+ + + =
. D.
2 2 0x y z+ + − =
.
Câu 27: Trong không gian với hệ tọa độ
,Oxyz
cho mặt phẳng
( )
P
có phương trình:
( 1) 10 0mx m y z+ − + − =
và mặt phẳng
( ):2 2 3 0Q x y z+ − + =
. Với giá trị nào của
dưới đây của
m
thì
( )
P
và
( )
Q
vuông góc với nhau
A.
2m =−
. B.
2m =
. C.
1m =
. D.
1m =−
.
Phần B. Câu trắc nghiệm đúng/sai.
Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho ba điểm
(0;3;1), (1;0; 1), ( 2;1;1)A B C−−
.Gọi
()P
là mặt phẳng đi qua ba điểm
,,A B C
.
a) Toạ độ trọng tâm tam giác
ABC
là
1 4 1
;;
333
G

−


.
b) Phương trình mặt phẳng qua
A
và vuông góc với
BC
là
( ):3 2 5 0Q x y z− − − =
.
c) Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
()P
là
()
(1; 2;2)
P
n =−
.
d) Mặt phẳng
()P
đi qua điểm
( 2;5;3)M −
.
Câu 2: Trong không gian
Oxyz
, gọi là mặt phẳng đi qua hai điểm
(1;3;4), (2; 1;5)AB−
và vuông
góc với mặt phẳng
( ):2 3 1 0Q x y z− + + =
.
a) Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
()Q
là
( 4;6; 2)n = − −
.
b) Trung điểm của đoạn thẳng
AB
là
39
;1;
22
I



.
c) Mặt phẳng qua
A
và song song với
()Q
có phương trình là
2 3 3 0x y z− + − + =
.
d) Phương trình mặt phẳng
()P
là
5 22 0x y z− + + − =
.
Câu 3: Trong không gian
Oxyz
, cho điểm
( )
1;2;5A
và mặt phẳng
( )
: 2 2 6 0x y z
+ + − =
.
a) Véc tơ
( )
1;2;2n =
là một vectơ pháp tuyến của
( )
.
b) Phương trình mặt phẳng
( )
đi qua điểm
A
và song song với mặt phẳng
( )
có
phương trình
2 2 15 0x y z+ + + =
.
c) Phương trình mặt phẳng
( )
đi qua hai điểm
O
và
A
đồng thời vuông góc với mặt
phẳng
( )
có phương trình
20xy−=
.
d) Điểm
( )
M
sao cho
,,A O M
thẳng hàng thì tọa độ
24
; ;2
55
M



.
Câu 4: Trong không gian với hệ trục toạ độ
Oxyz
, cho ba điểm
( ) ( ) ( )
1;2; 2 ; 2;1;2 ; 3; 2;1A B C−−
.
a) Phương trình mặt phẳng
( )
P
đi qua ba điểm
,,A B C
có một vectơ pháp tuyến là
,n AB AC

=

b) Phương trình mặt phẳng
( )
P
là
13 5 2 27 0xyz+ − + =
.
c) Phương trình mặt phẳng đi qua điểm
( )
1;2; 2A −
và nhận
BC
làm véc tơ pháp tuyến
có dạng:
( ) ( ) ( )
1 1 3 2 1 2 0x x y z+ − + − − =
.
d) Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm
;;E F K
lần lượt là hình chiếu vuông góc của
A
lên trục
;;Ox Oy Oz
có phương trình
1
1 2 2
x y z
+ − =
.
Câu 5: Trong không gian
Oxyz
, cho bốn điểm
( )
1;2;1A
,
( )
2;1;3B −
,
( )
2; 1;1C −
và
( )
0;3;1D
.
a) Phương trình mặt phẳng
( )
ABC
là
3 5 10 0x y z+ + − =
.
b) Bốn điểm
, , ,A B C D
tạo thành tứ diện.
c) Mặt phẳng
( )
P
chứa
AB
và song song với
CD
có một vectơ pháp tuyến là
( )
4; 2;7a =−
.
d) Có 2 mặt phẳng đi qua 2 điểm
,AB
sao cho khoảng cách từ
C
và
D
đến mặt phẳng
đó bằng nhau và 2 mặt phẳng này đều đi qua điểm
( )
1;2;1M
.
Câu 6: Hình vẽ minh hoạ hình ảnh một toà nhà trong không gian với hệ toạ độ
Oxyz
(đơn vị
trên mỗi trục toạ độ là mét).
Biết
(50;0;0), (0;20;0), (4 ;3 ;2 )A D B k k k
với
0k
và mặt phẳng
()CBEF
có
phương trình là
30z −=
.
a) Toạ độ của điểm
B
là
(6;4,5;3)
.
b) Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
()CBEF
là
(0;1; 3)n −
.
c) Phương trình mặt phẳng
()AOBC
là
2 3 0yz−=
.
d) Mặt phẳng
()DOBE
có một vectơ pháp tuyến là
(2;0; 1)p =−
.
Câu 7: Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy là hình vuông cạnh 2, điểm
O
là trung điểm của cạnh
,2AB SO =
và
()SO ABCD⊥
. Bằng cách gắn hệ trục toạ độ
Oxyz
như hình vẽ.
a) Toạ độ điểm
C
là
(1;2;0)C
.
b) Trọng tâm tam giác
SCD
là điểm
22
0; ;
33
G



.
c) Phương trình mặt phẳng
()SBD
là
2 2 2 0x y z+ + − =
.
d) Khoảng cách từ điểm
C
đến mặt phẳng
()SBD
là
2
3
.
Câu 8: Trong không gian toạ độ
Oxyz
, cho hai mặt phẳng
( ): 2 2 3 0P x y z+ − − =
và
( ): 2 2 9 0Q x y z+ − + =
.
a) Mặt phẳng
()P
đi qua điểm
(1;2;1)M
.
b) Khoảng cách từ gốc toạ độ
O
đến mặt phẳng
()Q
bằng 3.
c) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng
()P
và
()Q
bằng 12.
d) Mặt phẳng
()
song song và cách đều hai mặt phẳng
()P
và
()Q
có phương trình
là
( ): 2 2 3 0x y z
+ − + =
.
Câu 9: Cho hình lập phương
ABCD A B C D
có
(0;0;0); (2;0;0); (2;0;2); (0;2;2)A B B D

.
Gọi
M
lần lượt là trung điểm của
BB
.
a) Phương trình mặt phẳng
( )
:2A BD x y z
+ + =
.
b)
AC
là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
( )
A BD
.
c) Khoảng cách
( )
( )
4
;
3
d C A MD
=
.
d) Điểm
(4;4; 2)K −
thuộc mặt phẳng
( )
A MC
.
Phần C. Tự luận
Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho hai điểm
( )
2;0;1A
và 2 vectơ
( )
1; 3;2 ,a =−
( )
1; 1;2b = − −
. Một mặt phẳng
( )
Q
chứa điểm
A
và nhận
,a
b
làm cặp vecto chỉ
phương có phương trình là
30ax by cz+ + − =
. Tính
abc++
.
Câu 2: Trong không gian tọa độ
Oxyz
, phương trình mặt phẳng
( )
P
đi qua ba điểm
( ) ( ) ( )
1;0 ; 2 , 3;1;1 , 5;5; 5A B C− − −
có dạng
50ax by cz+ + + =
, khi đó giá trị của biểu
thức
abc++
bằng bao nhiêu?
Câu 3: Trong không gian
Oxyz
, biết mặt phẳng
( )
P
song song với mặt phẳng
7−
và cách
điểm
( )
2 3 4,,A −
một khoảng bằng
3
. Tính tích hai hệ số tự do của phương trình tổng
quát mặt phẳng
( )
P
(biết hoành độ của vectơ pháp tuyến của
( )
P
bằng
1
).
Câu 4: Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
cho hai điểm
( ) ( )
1; 2; 0 , 1;1; 3AB−
và mặt
phẳng
( )
: 2 3 5 0.P x y z− + − =
Phương trình của mặt phẳng đi qua hai điểm
,AB
, đồng
thời vuông góc
( )
P
là
2 0.x ay bz c− − + =
Giá trị của biểu thức
23a b c++
bằng bao
nhiêu?
Câu 5: Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
, cho
(1; 2;3)A
,
( )
3;4;4B
. Tìm giá trị của
tham số
m
sao cho khoảng cách từ điểm
A
đến mặt phẳng
2 1 0+ + − =x y mz
bằng
độ dài đoạn thẳng
AB
.
Câu 6: Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
, cho hai điểm
( )
1;2;3A
,
( )
5; 4; 1B −−
và
mặt phẳng
( )
P
qua
Ox
sao cho
( )
( )
( )
( )
; 2 ;d B P d A P=
,
( )
P
cắt
AB
tại
( )
;;I a b c
nằm giữa
AB
. Tính
a b c++
.
Câu 7: Trong không gian
Oxyz
, cho mặt phẳng
( )
:3 4 12 5 0P x y z+ − + =
và điểm
( )
2;4; 1A −
.
Trên mặt phẳng
( )
P
lấy điểm
M
. Gọi
B
là điểm sao cho
3.AB AM=
. Tính khoảng
cách
d
từ
B
đến mặt phẳng
( )
P
.
Câu 8: Cho hai điểm
( )
3; 1;2A −
,
( )
2;3; 3B −
,
( )
2;1; 2C −−
và mặt phẳng
( )
Oyz
. Gọi
( )
;;M a b c
là điểm thuộc mặt phẳng
( )
Oyz
sao
. . .MA MB MB MC MC MA++
có giá trị nhỏ nhất.
Tính tổng
2a b c−+
.
Câu 9: Trên bản thiết kế đồ hoạ 3D của một cánh đồng điện mặt trời trong không gian
Oxyz
,
một tấm pin nằm trên mặt phẳng
( ):6 5 2 0P x y z+ + + =
; một tấm pin khác nằm trên
mặt phẳng
()Q
đi qua điểm
(1;1;1)M
và song song với
()P
. Phương trình mặt phẳng
()Q
có dạng
12 0ax by cz+ + − =
. Tính
abc++
Câu 10: Hai học sinh đang chuyền bóng. Bạn nữ ném bóng cho bạn nam. Quả bóng bay trên
không, lệch sang phải và rơi xuống tại vị trí cách bạn nam
3 m
, cách bạn nữ
5 m
(Hình). Cho biết quỹ đạo của quả bóng nằm trong mặt phẳng
()P
vuông góc với mặt
đất. Phương trình của
()P
trong không gian
Oxyz
được mô tả như trong hình vẽ có
dạng
30ax y+=
. Tìm
a
Câu 11: Để làm thí nghiệm về chuyển động trong mặt phẳng nghiêng, người làm thí nghiệm đã
thiết lập sẵn một hệ toạ độ
Oxyz
. Tính góc giữa mặt phẳng nghiêng
( ):4 11 5 0P x z+ + =
và mặt sàn
( ): 1 0Qz−=
(làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của
độ).
Câu 12: Một kĩ sư xây dựng thiết kế khung một ngôi nhà trong không gian
Oxyz
như Hình nhờ
một phần mềm đồ hoạ máy tính.
Khoảng cách từ điểm
B
đến mái nhà
( )
DEMN
bằng
2a
. Tìm
a
….. Hết …..
CHÚC CÁC EM ÔN TẬP HIỆU QUẢ VÀ ĐẠT KẾT QUẢ CAO!

Tài liệu khác của Toán 12

Preview text:

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI NỘI DUNG ÔN TẬP
TRƯỜNG THPT TRẦN PHÚ-HOÀN KIẾM
GIỮA HỌC KÌ II, NĂM HỌC 2025-2026
Môn: TOÁN - Khối 12
PHẦN I. NỘI DUNG ÔN TẬP
1. Nguyên hàm. Tích phân.
2. Phương trình mặt phẳng trong không gian.
PHẦN II. HÌNH THỨC, CẤU TRÚC ĐỀ KIỂM TRA: Đề bao gồm 3 phần:
Phần I. Câu hỏi trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn( mỗi câu có 4 đáp án A, B, C,
D và chỉ có 1 đáp án đúng). Phần này có 12 câu( từ câu 1 đến câu 12), mỗi
câu trả lời đúng được 0,25 điểm.
Phần II. Câu hỏi trắc nghiệm lựa chọn đúng/sai( mỗi câu có 4 ý hỏi a), b), c), d) và
trong các ý đó hoặc đúng, hoặc sai). Phần này có 4 câu( từ câu 1 đến câu 4),
mỗi câu trả lời đúng cả 4 ý được 1,0 điểm.
Phần III. Câu hỏi trắc nghiệm trả lời ngắn. Phần này có 6 câu( từ câu 1 đến câu 6),
mỗi câu trả lời đúng được 0,5 điểm.
Lưu ý: Bài làm của học sinh sẽ trả lời vào phiếu trả lời trắc nghiệm do nhà trường phát.
PHẦN III. THỜI GIAN LÀM BÀI: 90 phút.
PHẦN IV. CÁC BÀI TẬP LUYỆN TẬP
NGUYÊN HÀM. TÍCH PHÂN
Phần A: Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn.
Câu 1: Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f ( x) = 2x + 4 là A. 2
2x + 4x + C . B. 2
x + 4x + C . C. 2 x + C . D. 2 2x + C .
Câu 2: Nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = ( x − )2 2 3 thỏa mãn F (− ) 1 = 1 − 7 là ( x − )3 2 3 4 2 A. 4 + . B. 3 2
x − 6x + 9x − . 3 3 3 3 4 8 4 2 C. 3 2
x − 6x + 9x + . D. 3 2
x − 6x + 9x + . 3 3 3 3 Câu 3:
Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) 1 = 5x − . 2 dx 1 dx A.
= ln 5x − 2 + C  . B.
= ln 5x − 2 + C  . 5x − 2 5 5x − 2 dx 1 dx C.
= − ln 5x − 2 + C  . D.
= 5ln 5x − 2 + C  . 5x − 2 2 5x − 2  1  Câu 4: Biết 5 6 + x dx = l
a n x + bx + C  
với (a,b  ,C  ) . Tính 2 a + b ?  2xA. 5 . B. 9. C. 7 . D. 7 . 12 13 6
Câu 5: Cho F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) 1 =
; biết F (2) = 1. Giá trị F (3) 2x − 3 bằng
A. F (3) = 2ln3 +1. B. F ( ) 1 3 =
ln3 + 1 . C. F (3) = ln3 +1. D. F ( ) 1 3 = ln3 −1 . 2 2
Câu 6: Một nguyên hàm của hàm số f ( x) 3
= x + 2x có dạng ( ) 4 2
F x = ax + bx . Tính
T = 4a + b . A. T = 0. B. T =1. C. T = 2. D. T = 3 . 1    2 Câu 7:
Một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = sinx + thỏa mãn F =   là 2 cos x  4  2
A. −cosx + tanx − 2 + 1.
B. −cosx + tanx + 2 −1.
C. cosx + tanx + 2 − 1. D. c
− osx + tanx + C .
Câu 8: Biết F ( x) là một nguyên hàm của hàm số ( ) 2 x
f x = e và F (0) = 0 . Giá trị của F (ln3) bằng A. 2 B. 6 . C. 8 . D. 4 .
Câu 9: Một viên đạn được bắn thẳng đứng lên trên từ mặt đất. Giả sử tại thời điểm t giây (coi
t = 0 là thời điểm viên đạn được bắn lên), vận tốc của nó được cho bởi
v (t) = 25 − 9,8t (m/s) . Độ cao của viên đạn (tính từ mặt đất) đạt giá trị lớn nhất là A. 125 . B. 3125 . C. 2375 . D. 1125 . 49 98 392 98 2 2 2
Câu 10: Cho f ( x)dx = 3, g ( x)dx = 1 −  
. Khi đó I = x + 2 f  
(x) − 3g(x)dx  bằng 1 − 1 − 1 − 21 19 17 A. 10. B. . C. . D. . 2 2 2 Câu 11: Biết ( ) 3
F x = x là một nguyên hàm của hàm số f ( x) trên . Giá trị của 2
(2 + f (x))dx bằng 1 15 23 A. 7 . B. 9 . C. . D. . 4 4 11
Câu 12: Cho hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn  6 − ;1  1 và thỏa mãn f  (x)dx = 8, 6 − 6 2 11 f
 (x)dx = 3. Giá trị của biểu thức P = f
 (x)dx + f
 (x)dx bằng 2 6 − 6 A. P = 4 . B. P =11. C. P = 5. D. P = 2 . 3 + Câu 13: x 2
dx = a + b ln c  với a, ,
b c  , c  9 . Tính tổng S = a + b + c . x 1
A. S = 6 .
B. S = 7 .
C. S = 5. D. S = 8. 3
Câu 14: Tích phân |x −1| dx  bằng −2 A. 2 . B. 13 . C. 13 . D. 1. 2 4
x +1 khi x  0 2
Câu 15: Cho hàm số f ( x) =  . Tích phân I = f
 (x)dx có giá trị bằng bao 2 xe khi x  0 1 − nhiêu? 2 3e −1 2 9e −1 2 11e −11 2 7e + 1 A. I = . B. I = . C. I = . D. I = 2 e 2 2e 2 2e 2 2e
Câu 16: Vận tốc của một vật chuyển động là v(t) 2
= 3t + 5 (m/s). Quãng đường vật đó đi được
từ giây thứ 4 đến giây thứ 10 là A. 669 m. B. 696 m. C. 699 m. D. 966 m.
Câu 17: Giả sử lợi nhuận biên (tính bằng triệu đồng) của một sản phẩm được mô hình hóa bằng
công thức P(x) = 0
− ,0004x + 9,3. Ở đây P(x) là lợi nhuận (tính bằng triệu đồng) khi
bán được x đơn vị sản phẩm. Khi đó sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ
100 lên 125 đơn vị sản phẩm là
A. 232,325 triệu đồng.
B. 230,315 triệu đồng.
C. 321,385 triệu đồng
D. 231,375 triệu đồng.
Câu 18: Một chất điểm A xuất phát từ O , chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời 1 58
gian bởi quy luật v (t ) 2 = t +
t (m / s) , trong đó t (giây) là khoảng thời gian tính 120 45
từ lúc A bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm B cũng xuất phát từ
O , chuyển động thẳng cùng hướng với A nhưng chậm hơn 3 giây so với A và có gia tốc bằng a ( 2
m / s ) ( a là hằng số). Sau khi B xuất phát được 15 giây thì đuổi kịp A .
Vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A bằng A. 2 (
1 m / s)
B. 25(m / s)
C. 36(m / s)
D. 30(m / s)
Câu 19: Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc v (km/h) phụ thuộc thời gian t (h) có đồ
thị là một phần của đường parabol có đỉnh I (2;9) và trục đối xứng song song với trục
tung như hình bên. Tính quãng đường s mà vật di chuyển được trong 3 giờ đó.
A. s = 25, 25(km) B. s = 24,25(km) C. s = 24,75(km) D. s = 26,75(km)
Câu 20: Tính diện tích S hình phẳng ( H ) giới hạn bởi đường cong 3
y = −x +12x và 2 y = −x 937 343 397 793 A. S = B. S = C. S = D. S = 12 12 4 4
Câu 21: Cho hàm số f ( x) liên tục trên . Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các
đường y = f (x), y = 0, x = 1
− , x = 2 (như hình vẽ). Mệnh đề nào dưới đây đúng? 1 2 1 2 A. S = f
 (x) dx − f
 (x) dx .
B. S = − f
 (x) dx + f
 (x) dx . 1 − 1 1 − 1 1 2 1 2
C. S = − f
 (x) dx − f
 (x) dx . D. S = f
 (x) dx + f  (x) dx . 1 − 1 1 − 1
Câu 22: Diện tích hình phẳng phần gạch chéo trong hình vẽ bên được tính theo công thức nào sau đây? 2 2 A. S =  ( 3 2
x + 2x − 5x − 6)dx . B. S =  ( 3 2
x + 2x − x −10)dx . 1 − 1 − 2 2 C. S =  ( 3 2
x − 2x − x + 10)dx . D. S =  ( 3 2
−x − 2x + 5x + 6)dx . 1 − 1 −
Câu 23: Cho hàm số y = f ( x) có tập xác định là  3 − ; 
3 và có đồ thị như hình vẽ. Giá trị của 3 f
 (x)dx bằng −3 A. 6. B. 5. C. 12. D. 10.
Câu 24: Cho hình ( H ) là hình phẳng giới hạn bởi đường cong 3
y = x , đường thẳng y = 2 − x + 3
và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích hình phẳng (H ) là A. 1 S = . B. 1 S = . C. 5 S = . D. S = 2 . 4 2 4
Câu 25: Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = sin x , trục Ox và các đường thẳng
x = 0, x =  quay quanh trục Ox . Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành bằng     A. sin x dx  . B. 2 sin x dx  . C. 2  sin x dx  . D. 2  cos x dx  . 0 0 0 0
Câu 26: Tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x = 0 và x = 3, biết rằng
khi cắt vật thể bởi mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (
0  x  3) thì được thiết diện là một hình vuông có độ dài cạnh bằng 2 2 9 − x A. 90 B. 72 C. 78 D. 72
Câu 27: Thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi các đường 2
y = 2x − x , y = 0 khi quay quanh trục Ox là:     A. 4 . B. 13 . C. 14 . D. 16 . 3 15 15 15
Câu 28: Thể tích khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đường 2
y = x +1, x = 0, x = 1, y = 0 quay quanh trục Ox là:   A. 4 . B. 28 . C. 28 . D. 4 . 3 15 15 3
Câu 29: Tính thể tích chứa được (dung tích) của một cái chén (bát), biết phần trong của nó có
dạng khối tròn xoay được tạo thành khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi
đường y = 2x + 2 và trục Ox (như hình vẽ), bát có độ sâu 5 cm, đơn vị trên trục là
centimet (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị). A. 78 cm3. B. 274 cm3. C. 87 cm3. D. 247 cm3.
Câu 30: Một bác thợ gốm làm một cái chậu trồng cây, phần trong chậu cây có dạng khối tròn
xoay được tạo thành khi quay hình phẳng được tô đậm như hình sau quanh trục Ox
(đơn vị trên trục là decimet), biết đường cong trong hình là đồ thị của hàm số y = x +1
, đáy chậu và miệng chậu có đường kính lần lượt là 2 dm và 4 dm. Dung tích của chậu
là bao nhiêu (làm tròn kết quả nếu cần thiết)? A. 25,13 lít. B. 23,56 lít. C. 14,66 lít. D. 7,5 lít.
Phần B. Câu trắc nghiệm đúng/sai.
3x − 2x + x + 5x + 4 Câu 1:
Hàm số f ( x) xác định trên \  
0 thỏa mãn f ( x) 5 3 2 = . 3 x 1 1 4 a) f ( x) 2 = 3x − 2 + + + . 2 3 x x x 1 1 b) f  (x) 3
dx = x − 2x + ln x − − + C . 2 x 2x
c) Gọi F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) và thỏa mãn F (− ) 1 = 0 . Khi đó tìm đượ 1 1 3 c F ( x) 3
= x − 2x + ln x − − − . 2 x 2x 2
d) Gọi G ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) . Biết G ( ) 1 = 0 và a G ( 3
− ) − G(3) = 2 . Khi đó tìm được G(− ) 1 2 = + , với a, ,
b c là các số nguyên b log e c
dương và a là phân số tối giản. Vậy a + b + c = 1093 . b Câu 2:
Cây cà chua khi trồng có chiều cao 5cm. Tốc độ tăng chiều cao của cây cà chua sau khi
trồng được cho bởi hàm số v(t ) 3 2 = 0
− ,1t + t , trong đó t tính theo tuần, v(t) tính bằng
cm/tuần. Gọi h (t ) (tính bằng cm) là độ cao của cây cà chua ở tuần thứ t . t − t a) h(t ) 4 3 = + , với t  0. 40 3
b) Chiều cao tối đa của cây cà chua đó là 88, 4 cm (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
c) Giai đoạn tăng trưởng của cây cà chua đó kéo dài trong 9 tuần.
d) Vào thời điểm cây cà chua đó phát triển nhanh nhất thì chiều cao cây cà chua đạt
54, 4 cm (kết quả được làm tròn đến hàng phần mười).
Câu 3: Cho hàm số f (x) | = x −1| . 2 a) Trên khoảng x
(1; +) , một nguyên hàm của hàm số f (x) là F(x) = − x + 2 . 2 2 b) Trên khoảng x ( ;
− 1) , một nguyên hàm của hàm số f (x) là G(x) = − x −1. 2
c) Nếu F(x) là một nguyên hàm của f (x) và F(2) = 3 thì F(4) = 7 .
d) Nếu F(x) là một nguyên hàm của f (x) và F(0) = 1 thì F( 2 − ) + F(4) = 4 .
Câu 4: Cho hàm số f ( x), g (x) liên tục trên . 2 2 2 a) Nếu 1 11 f
 (x)dx = 5 và g(x)dx = −  thì  f
 (x) − g(x)dx =  2 2 1 1 1 3 3 b) Nếu g
 (x) + 2x +3dx =10  thì g  (x)dx = 3. 1 1  1  c) Nếu ( ) 3x
f x = e , F ( ) 1 0 = thì F = e   . 3  3  5 f ( x)
d) Nếu f (x) = 2x +1; g (x) = x − 2 thì
dx = a + b ln c
. Khi đó a + b + c = 11. g x 3 ( )
Câu 5: Giả sử lợi nhuận biên (tính bằng triệu đồng) của một sản phẩm được mô hình hóa bằng
công thức P(x) = 0
− ,0008x +10,4 . Ở đây P(x) là lợi nhuận (tính bằng triệu đồng) khi
bán được x đơn vị sản phẩm.
a) Lợi nhuận khi bán được x đơn vị sản phẩm được tính bằng công thức P( x) 2 = 0
− ,0008x +10,4x .
b) Lợi nhuận khi bán được 50 sản phẩm đầu tiên là 519 triệu đồng.
c) Sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ 50 lên 55 đơn vị sản phẩm là 49,79 triệu đồng.
d) Biết sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ 50 lên a đơn vị sản phẩm lớn
hơn 517 triệu đồng, khi đó giá trị nhỏ nhất của a là 100.
Câu 6: Sau khi xuất phát, ô tô di chuyển với tốc độ v(t) 2
= 2,01t − 0,025t (0  t 10) . Trong
đó v(t) tính theo m/s, thời gian t tính theo giây với t = 0 là thời điểm xe xuất phát.
a) Quãng đường xe di chuyển được tính theo công thức là
s (t ) = 2,01− 0,05t (0  t  10)
b) Quãng đường xe di chuyển được trong 3s là 8,82m.
c) Quãng đường xe di chuyển được trong giây thứ 9 xấp xỉ 15,277m
d) Trong khoảng thời gian không quá 10s đầu, khi vận tốc đạt giá trị lớn nhất thì gia tốc của xe là 1,51m/s2
Câu 7: Cho các đồ thị hàm số = 3x y
, y = x và hình phẳng được tô màu như Hình.
a) Hình phẳng đã cho được giới hạn bởi các đồ thị hàm số = 3x y
, y = x và hai đường
thẳng x = 0, x = 1. 1
b) Diện tích hình phẳng đó được tính theo công thức = 3x S − xdx 0 1
c) Diện tích hình phẳng đó bằng ( −3x ) (vì 3x x dx  , x x  [0;1] ). 0
d) Diện tích hình phẳng đó bằng 2 1 − . ln 3 2
Câu 8: Cho hàm số y = f (x) thoả mãn hàm y f
= (x) liên tục trên và cắt Ox tại đúng 3
điểm phân biệt có hoành độ a,b, c (hình bên). Gọi S là diện tích của hình phẳng giới 1
hạn bởi đồ thị hàm số y f
= (x) và Ox tương ứng với x[ ; a ]
b , S là diện tích của hình 2
phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f
= (x) và Ox tương ứng với x [ ; b c] .
a) f (x) 0, x [ ; a ] b , f     (x)  0, x  [ ; b c] .
b) Hàm số y = f (x) nghịch biến trên [ ;
a b] và đồng biến trên [ ; b c] .
c) S = f (a) − f ( )
b , S = f (a) − f (c) 1 2
d) f (b)  f (c)  f (a)
Câu 9: Cho khối chóp đều có đáy là hình vuông cạnh L và chiều cao là h . Chọn trục Ox sao
cho gốc O trùng với đỉnh của khối chóp và trục đi qua tâm của đáy. (như hình dưới).
a) Đáy của khối chóp nằm trên mặt phẳng song song với Ox .
b) Mỗi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ bằng x (0  x h) , cắt
khối chóp theo mặt cắt là hình vuông cạnh a .
c) Diện tích mặt cắt là S ( x) L 2 = x . h
d) Thể tích của khối chóp là 1 2 V = L h . 3
Câu 10: Người ta chế tác một giọt nước bằng thủy tinh. Biết giọt nước thủy tinh này là vật thể
tròn xoay khi xoay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số 2  4 − x ( 2 −  x  0,6)  f ( x) = 
và trục Ox quanh trục Ox (đơn vị trên trục 91 23 91 − x + (0,6  x  4,6)  20 100 là centimet).
a) Hàm số y = f ( x) liên tục tại x = 0, 6 .
b) Diện tích mặt cắt của giọt nước thủy tinh khi cắt bởi mặt phẳng qua trục được tính 4,6
bởi công thức S = 2 f  (x)dx cm2. 2 −
c) Thể tích của giọt nước thủy tinh này lớn hơn 40 cm3.
d) Biết khối lượng riêng của thủy tinh là  = 2, 6 g/cm3, khối lượng của giọt nước thủy
tinh này là 102,22 g (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm). Phần C. Tự luận
Câu 1: Nếu F(x) 1 = và F ( )
1 = 1 thì giá trị của F (4) bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả 2x
đến chữ số thập phân thứ 2).
Câu 2: Cho các hàm số y = f (x) và y = g (x) liên tục trên . Giả sử 7 7 7 2 2 f
 (x)+3g(x)dx =1  và  f
 (x)−2g(x)dx = 4  . Khi đó, f
 (x)dx−3 g  (x)dx 2 2 2 7 bằng bao nhiêu? x −1 khi x  2 3 Câu 3: 1
Cho hàm số f (x) 2 = 
. Tích phân I =  f (x)dx bằng bao 2
x − 2x + 3 khi x  2  2 1
nhiêu?(làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ 2). + Câu 4: x 1
Cho hàm số f (x) xác định trên \ 
0 thỏa mãn f ( x) = , f (− ) 3 2 = và 2 x 2 f ( ) 3 2 = 2 ln 2 −
. Giá trị của biểu thức f (− )
1 + f (4) bằng (viết kết quả dưới dạng số 2
thập phân và làm tròn đến hàng phần mười).
Câu 5: Cho F x là một nguyên hàm của hàm số 2 x 3 f x e x
4x . Hàm số F x có
bao nhiêu điểm cực trị?
Câu 6: Biết hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số x 2
f (x) = 2 + 3x và 2 F (1) = . Giá ln 2
trị của F(2) (làm tròn đến hàng phần mười) bằng?
Câu 7: Một viên gạch hoa hình vuông cạnh 40 cm được thiết kế như hình bên dưới. Hãy tính
diện tích phần viên gạch hoa được tô đậm. y 1 y = x2 20 y = 20x 20 x 20 20 20 Câu 8:
Một chiếc xe chuyển động với đồ thị vận tốc được biểu diễn theo đường gấp khúc được
minh họa trên hệ trục Otv như hình vẽ (mỗi đơn vị trên Ot ứng với 1 phút và mỗi đơn
vị trên Ov ứng với 0, 4 km / phút).
Quãng đường mà xe đã di chuyển trong 7 phút là bao nhiêu km?
Câu 9: Cho f (x), g (x) lần lượt là các hàm đa thức bậc ba và bậc nhất có đồ thị như hình vẽ. 2 250
Biết diện tích hình S (được tô màu) bằng . Tính f ( x) dx
(làm tròn kết quả đến 81 0
số thập phân thứ nhất).
Câu 10: Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc (
v km / h) phụ thuộc vào thời gian t(h)
có đồ thị vận tốc như hình bên. Trong thời gian 1 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động,
đồ thị đó là một phần của đường parabol có đỉnh I(2; 9) và trục đối xứng song song
với trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song song với trục
hoành. Tính quãng đường s mà vật chuyển động được trong 3 giờ đó (kết quả làm
tròn đến hàng phần trăm).
Câu 11: Một cái cổng hình Parabol như hình vẽ sau. Chiều cao GH 4m , chiều rộng AB 4m , AC BD
0,9m . Chủ nhà làm hai cánh cổng khi đóng lại là hình chữ
nhật CDEF tô đậm có giá là 1300000 đồng 2
/m , còn các phần để trắng thì trang trí hoa có giá là 800000 đồng 2
/m . Hỏi tổng số tiền để làm hai phần nói trên bằng bao nhiêu?
Câu 12: Anh Nam xây dựng một sân bóng đá mini hình chữ nhật có chiều rộng 30 m và chiều
dài 50 m . Để giảm bớt kinh phí cho việc trồng cỏ nhân tạo, anh Nam chia sân bóng ra
làm hai phần (tô màu và không tô màu) như hình vẽ.
 Phần tô màu gồm hai miền có diện tích bằng nhau và đường cong AIB là một
parabol có đỉnh là I .
 Phần tô màu được trồng cỏ nhân tạo với giá 160 nghìn đồng/ 2
m và phần còn lại được
trồng cỏ nhân tạo với giá 120 nghìn đồng/ 2
m . Hỏi anh Son phải trả bao nhiêu tiền để
trồng cỏ nhân tạo cho sân bóng? (số tiền được tính theo đơn vị là triệu đồng)
Câu 13: Cho một mô hình 3D mô phỏng một đường hầm như hình vẽ bên.
Chiều dài của đường hầm mô hình là 5cm , mặt phẳng vuông góc với mặt đáy của đường
hầm tạo được thiết diện là một hình parabol, thiết diện có độ dài cạnh đáy gấp đôi chiều
cao. Tính thể tích không gian bên trong đường hầm mô hình, biết chiều cao của mỗi 2
thiết diện parabol cho bởi công thứcy 3
x (đơn vị là cm ), với x là khoảng cách 5
tính từ lối vào lớn hơn của đường hầm mô hình. Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị.
Câu 14: Để xây dựng một cây cầu, người ta đúc thành nhiều dầm có kích thước (đơn vị m) và
hình dạng như hình sau:
Mỗi mét khối bê tông nặng trung bình 2500 kg. Khối lượng (T) của dầm trên là bao
nhiêu? (Kết quả được làm tròn đến hàng phần chục)
PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN
Phần A: Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn.
Câu 1: Trong không gian Oxyz , mặt phẳng (P): 2x −3y + 4z −1= 0 có một vectơ pháp tuyến là: A. n = 1 − ;2;− 3 . B. n = 3
− ;4;−1 . C. n = 2;− 3;4 . D. n = 2;3;4 . 1 ( ) 2 ( ) 3 ( ) 4 ( )
Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , vectơ nào dưới đây là một véctơ pháp tuyến
của mặt phẳng (Oxy) ?
A. i = (1;0;0) B. m = (1;1; ) 1
C. j = (0;1;0) D. k = (0;0;1)
Câu 3: Trong không gian Oxyz , mặt phẳng (P) : x + y + z +1 = 0 có một vectơ pháp tuyến là A. n = 1 − ;1;1 . B. n = 1;1; 1 − .
C. n = 1;1;1 . D. n = 1; 1 − ;1 2 ( ) 3 ( ) 4 ( ) 1 ( )
Câu 4: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng (P) : 2x + 3y + z + 2 = 0. Véctơ nào dưới đây
là một véctơ pháp tuyến của (P) ?
A. n 2;3;2 .
B. n 2;3;0 .
C. n 2;3;1 .
D. n 2;0;3 . 4 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 3 ( ) Câu 5: x y z
Trong không gian Oxyz , một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng + + = 1 là 2 − 1 − 3 A. n = (3;6; 2 − ) B. n = (2; 1 − ;3) C. n = ( 3 − ; 6 − ; 2
− ) D. n = ( 2 − ; 1 − ;3) Câu 6:
Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( P) : x + y − z +1 = 0 . Điểm nào sau đây thuộc
mặt phẳng ( P)?
A. A(1;1;3). B. B (1;1; 3 − ). C. C (3;1; ) 1 . D. D( 1 − ; 1 − ;3). Câu 7:
Trong không gian Oxyz , điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng (Oxy)?
A. A(1;1;0). B. B(1;0; 3 − ). C. C (0;1; ) 1 . D. D (0;0;3).
Câu 8: Trong không gian Oxyz , phương trình của mặt phẳng (Oxy) là:
A. z = 0 .
B. x = 0 .
C. y = 0 .
D. x + y = 0 .
Câu 9: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, phương trình mặt phẳng đi qua điểm →
A(1;2; − 3) có véc tơ pháp tuyến n = (2; −1;3) là
A. 2x − y + 3z + 9 = 0 .
B. 2x − y + 3z − 4 = 0 . C. x − 2y − 4 = 0 . D. 2x − y + 3z + 4 = 0
Câu 10: Trong không gian Oxyz phương trình mặt phẳng đi qua điểm A(1;− 2;3) và vuông góc
với giá của véctơ v = ( 1 − ;2;3) là
A. x − 2y − 3z − 4 = 0.
B. x − 2y + 3z − 4 = 0. C. x − 2y −3z + 4 = 0.
D. −x + 2y − 3z + 4 = 0.
Câu 11: Trong không gian Oxyz , cho điểm A(0; 3
− ;2) và mặt phẳng (P) : 2x − y + 3z + 5 = 0 .
Mặt phẳng đi qua A và song song với (P) có phương trình là
A. 2x − y + 3x + 9 = 0 . B. 2x + y + 3x − 3 = 0 . C. 2x + y + 3x + 3 = 0 . D. 2x − y + 3x − 9 = 0 .
Câu 12: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A(0;1; )
1 ) và B (1; 2;3) . Viết
phương trình của mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với đường thẳng AB .
A. x + y + 2z − 3 = 0 B. x + y + 2z − 6 = 0 C. x + 3y + 4z − 7 = 0 D. x + 3y + 4z − 26 = 0
Câu 13: Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A( 1 − ;1 )
;1 , B (2;1;0) C (1; 1 − ;2) . Mặt phẳng đi
qua A và vuông góc với đường thẳng BC có phương trình là
A. 3x + 2z +1 = 0 B. x + 2y − 2z +1 = 0 C. x + 2y − 2z −1 = 0 D. 3x + 2z −1 = 0
Câu 14: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A( 1
− ;2;0) và B(3;0;2) . Mặt phẳng trung trực
của đoạn thẳng AB có phương trình là
A. x + y + z − 3 = 0 . B. 2x − y + z + 2 = 0 . C. 2x + y + z − 4 = 0 . D. 2x − y + z − 2 = 0 .
Câu 15: Trong không gian Oxyz , cho điểm M (2;−1;4) và mặt phẳng (P) :3x − 2y + z +1 = 0
. Phương trình của mặt phẳng đi qua M và song song với mặt phẳng ( P) là
A. 2x − 2y + 4z − 21 = 0 . B. 2x − 2y + 4z + 21 = 0
C. 3x − 2y + z −12 = 0 . D. 3x − 2y + z +12 = 0 .
Câu 16: Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A(3;0;0) , B(0;1;0) và C (0;0; 2 − ) . Mặt phẳng
( ABC) có phương trình là: A. x y z + + = x y z x y z x y z 1. B. + +
= 1. C. + + = 1. D. + + = 1. 3 1 − 2 3 1 2 − 3 1 2 3 − 1 2
Câu 17: Trong không gian với hệ tọa độ (Oxyz) ,cho ba điểm A(0;2; ) 1 , B (3;0; ) 1 , C (1;0;0) .
Phương trình mặt phẳng ( ABC) là
A. 2x − 3y − 4z + 2 = 0 .
B. 4x + 6 y − 8z + 2 = 0 .
C. 2x + 3y − 4z − 2 = 0 .
D. 2x − 3y − 4z − 2 = 0 .
Câu 18: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A(1;0; ) 1 , C (3;1; ) 1 , D (4;1; ) 1 B ( 1
− ;2;2) . Viết phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm ,
A B và song song với CD .
A. y − 2z + 2 = 0 . B. x − 2z + 2 = 0 . C. x − y + 2z + 2 = 0 . D. x − 2 y + 2 = 0 .
Câu 19: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho A(1;2;− ) 1 ; B ( 1 − ;0; ) 1 và mặt phẳng
(P):x + 2y − z +1= 0. Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua ,
A B và vuông góc với ( P) .
A. (Q) :2x − y + 3 = 0 . B. (Q) :x + z = 0 . C. (Q) :− x + y + z = 0 . D. (Q) :3x − y + z = 0
Câu 20: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng ( ) : 3x − 2y + 2z + 7 = 0 và
( ):5x − 4y + 3z +1= 0 . Phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ O đồng thời vuông
góc với cả ( ) và ( ) là
A. 2x − y − 2z = 0. B. x + y + z + 3 = 0 . C. 2
− x + z + 6 = 0 . D. 2
− x + z − 6 = 0 .
Câu 21: Trong không gian Oxyz , mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng
(P):x + 2y − 2z +1= 0 và (Q) cách điểm M (1; 2 − ; )
1 một khoảng bằng 3 có phương trình là
A. x + 2 y − 2z + 10 = 0; x + 2 y − 2z −1 = 0 .
B. x + 2 y − 2z = 0; x + 2 y − 2z −14 = 0 .
C. x + 2 y − 2z −14 = 0; x + 2 y − 2z − 4 = 0 .
D. x + 2y − 2z + 4 = 0; x + 2y − 2z −14 = 0 .
Câu 22: Trong không gian Oxyz , cho điểm B(1;−1;0) , C (2;−1;− ) 1 , M ( 2 − ;1;3) . Mặt phẳng
(P) vuông góc với BC và cách M một khoảng bằng 2 có phương trình là
A. x − z − 7 = 0 ; x − z − 3 = 0 .
B. x − z + 7 = 0 ; x − z − 3 = 0 .
C. x − z + 7 = 0 ; x − z + 3 = 0 .
D. x − z − 7 = 0 ; x − z + 3 = 0 .
Câu 23: Trong không gian Oxyz , cho điểm A(2;3;5) . Viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua
A và chứa trục Ox
A. ( ) : 5y + 3z = 0 .
B. 3y + 5z = 0 . C. 3y − 5z = 0 . D. ( ) : 5y − 3z = 0 .
Câu 24: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng cho mặt phẳng (P) có phương
trình 3x + 4y + 2z + 4 = 0 và điểm A(1; 2
− ;3) . Tính khoảng cách d từ A đến (P) 5 5 A. d = B. 5 d = C. 5 d = D. d = 29 29 3 9
Câu 25: Trong không gian Oxyz , góc giữa hai mặt phẳng (P) :x + y − z −11= 0 và
(Q): 2x + 2y −2z +7 = 0 bằng A. 0 . B. 45. C. 180 . D. 90
Câu 26: Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (P) : 2x + y + z − 2 = 0 song song với mặt phẳng nào dưới đây? A. 1 1 x +
y − z −1 = 0 .
B. x − y − z − 2 = 0 . C. 4x + 2y + 2z + 4 = 0 . D. 2x + y + z − 2 = 0 . 2 2
Câu 27: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình:
mx + (m −1) y + z −10 = 0 và mặt phẳng (Q) : 2x + y − 2z + 3 = 0 . Với giá trị nào của
dưới đây của m thì (P) và (Q) vuông góc với nhau A. m = 2 − . B. m = 2 . C. m =1. D. m = 1 − .
Phần B. Câu trắc nghiệm đúng/sai.
Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm (
A 0;3;1), B(1;0; 1 − ),C( 2 − ;1;1) .Gọi
(P) là mặt phẳng đi qua ba điểm , A B,C .  
a) Toạ độ trọng tâm tam giác ABC là 1 4 1 G − ; ;   .  3 3 3 
b) Phương trình mặt phẳng qua A và vuông góc với BC là (Q) : 3x − y − 2z − 5 = 0 .
c) Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là n = (1; 2 − ;2) . ( P)
d) Mặt phẳng (P) đi qua điểm M ( 2 − ;5;3) .
Câu 2: Trong không gian Oxyz , gọi là mặt phẳng đi qua hai điểm (
A 1;3; 4), B(2; 1 − ;5) và vuông
góc với mặt phẳng (Q) : 2x − 3y + z +1 = 0 .
a) Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q) là n = ( 4 − ;6; 2 − ) .  
b) Trung điểm của đoạn thẳng AB là 3 9 I ;1;  .  2 2 
c) Mặt phẳng qua A và song song với (Q) có phương trình là 2
− x + 3y − z + 3 = 0 .
d) Phương trình mặt phẳng (P) là −x + y + 5z − 22 = 0 .
Câu 3: Trong không gian Oxyz , cho điểm A(1;2;5) và mặt phẳng ( ) : x + 2y + 2z − 6 = 0 .
a) Véc tơ n = (1;2;2) là một vectơ pháp tuyến của ( ) .
b) Phương trình mặt phẳng ( ) đi qua điểm A và song song với mặt phẳng ( ) có
phương trình x + 2y + 2z +15 = 0 .
c) Phương trình mặt phẳng ( ) đi qua hai điểm O và A đồng thời vuông góc với mặt
phẳng ( ) có phương trình 2x − y = 0. d) Điểm   M  ( ) sao cho ,
A O, M thẳng hàng thì tọa độ 2 4 M ; ; 2   .  5 5  Câu 4: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho ba điểm
A(1;2;− 2); B(2;1;2);C (3; 2 − ; ) 1 .
a) Phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm ,
A B,C có một vectơ pháp tuyến là n =  A , B AC  
b) Phương trình mặt phẳng (P) là 13x + 5y − 2z + 27 = 0.
c) Phương trình mặt phẳng đi qua điểm A(1;2;− 2) và nhận BC làm véc tơ pháp tuyến có dạng: ( 1 x + )
1 x − 3( y + 2) − ( 1 z − 2) = 0 .
d) Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm E; F; K lần lượt là hình chiếu vuông góc của x y z
A lên trục O ;
x Oy;Oz có phương trình + − = 1. 1 2 2
Câu 5: Trong không gian Oxyz , cho bốn điểm A(1;2; ) 1 , B ( 2 − ;1;3) ,C(2; 1 − ; ) 1 và D (0;3; ) 1 .
a) Phương trình mặt phẳng ( ABC) là 3x + y + 5z −10 = 0 . b) Bốn điểm ,
A B,C, D tạo thành tứ diện.
c) Mặt phẳng (P) chứa AB và song song với CD có một vectơ pháp tuyến là a = (4; 2 − ;7) .
d) Có 2 mặt phẳng đi qua 2 điểm ,
A B sao cho khoảng cách từ C và D đến mặt phẳng
đó bằng nhau và 2 mặt phẳng này đều đi qua điểm M (1;2; ) 1 .
Câu 6: Hình vẽ minh hoạ hình ảnh một toà nhà trong không gian với hệ toạ độ Oxyz (đơn vị
trên mỗi trục toạ độ là mét). Biết (
A 50; 0; 0), D(0; 20; 0), B(4k;3k; 2k) với k  0 và mặt phẳng (CBEF ) có
phương trình là z − 3 = 0 .
a) Toạ độ của điểm B là (6;4,5;3) .
b) Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (CBEF) là n(0;1; 3 − ) .
c) Phương trình mặt phẳng (AOBC) là 2y − 3z = 0.
d) Mặt phẳng (DOBE) có một vectơ pháp tuyến là p = (2;0; 1 − ) .
Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2, điểm O là trung điểm của cạnh
AB, SO = 2 và SO ⊥ ( ABCD) . Bằng cách gắn hệ trục toạ độ Oxyz như hình vẽ.
a) Toạ độ điểm C là C(1; 2;0) .  
b) Trọng tâm tam giác SCD là điểm 2 2 G 0; ;   .  3 3 
c) Phương trình mặt phẳng (SBD) là 2x + 2y + z − 2 = 0 .
d) Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SBD) là 2 . 3
Câu 8: Trong không gian toạ độ Oxyz , cho hai mặt phẳng (P) : x + 2y − 2z − 3 = 0 và
(Q) : x + 2 y − 2z + 9 = 0 .
a) Mặt phẳng (P) đi qua điểm M (1;2;1) .
b) Khoảng cách từ gốc toạ độ O đến mặt phẳng (Q) bằng 3.
c) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng 12.
d) Mặt phẳng ( ) song song và cách đều hai mặt phẳng (P) và (Q) có phương trình
là () : x + 2y − 2z + 3 = 0 . Câu 9:    
Cho hình lập phương ABCD A B C D có (0 A ;0;0); (
B 2;0;0); B (2;0; 2); D(0; 2; 2) .
Gọi M lần lượt là trung điểm của BB .
a) Phương trình mặt phẳng ( ABD) : x + y + z = 2 . b)
AC là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( A BD) .
c) Khoảng cách d (C ( AMD) 4 ; = . 3
d) Điểm K(4;4; 2
− ) thuộc mặt phẳng ( AMC) . Phần C. Tự luận
Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A(2;0; )
1 và 2 vectơ a = (1;− 3;2), b = ( 1
− ;−1;2) . Một mặt phẳng (Q) chứa điểm A và nhận ,
a b làm cặp vecto chỉ
phương có phương trình là ax + by + cz − 3 = 0 . Tính a + b + c .
Câu 2: Trong không gian tọa độ Oxyz , phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm
A(1;0 ;− 2), B( 3 − ;1; )
1 ,C (5;5;− 5) có dạng ax + by + cz + 5 = 0 , khi đó giá trị của biểu
thức a + b + c bằng bao nhiêu?
Câu 3: Trong không gian Oxyz , biết mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng 7 − và cách điểm A(2, 3
− ,4) một khoảng bằng 3 . Tính tích hai hệ số tự do của phương trình tổng
quát mặt phẳng (P) (biết hoành độ của vectơ pháp tuyến của (P) bằng 1).
Câu 4: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hai điểm A( 1
− ; 2; 0), B(1;1; 3) và mặt
phẳng (P) : x − 2y + 3z − 5 = 0. Phương trình của mặt phẳng đi qua hai điểm , A B , đồng
thời vuông góc (P) là 2x − ay − bz + c = 0. Giá trị của biểu thức a + 2b + 3c bằng bao nhiêu?
Câu 5: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho (
A 1; 2;3) , B (3; 4; 4) . Tìm giá trị của
tham số m sao cho khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng 2x + y + mz −1 = 0 bằng
độ dài đoạn thẳng AB .
Câu 6: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm A(1;2; ) 3 , B (5;− 4; − ) 1 và
mặt phẳng (P) qua Ox sao cho d (B;(P)) = 2d ( ;
A (P)) , (P) cắt AB tại I (a; ; b c)
nằm giữa AB . Tính a + b + c .
Câu 7: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng (P):3x + 4y −12z + 5 = 0 và điểm A(2;4;− ) 1 .
Trên mặt phẳng (P) lấy điểm M . Gọi B là điểm sao cho AB = 3.AM . Tính khoảng
cách d từ B đến mặt phẳng (P) .
Câu 8: Cho hai điểm A(3; 1 − ;2), B(2;3; 3 − ) , C( 2 − ;1; 2
− ) và mặt phẳng(Oyz) . Gọi M ( ; a ; b c)
là điểm thuộc mặt phẳng (Oyz) sao M . A MB + M .
B MC + MC.MA có giá trị nhỏ nhất.
Tính tổng a − 2b + c .
Câu 9: Trên bản thiết kế đồ hoạ 3D của một cánh đồng điện mặt trời trong không gian Oxyz ,
một tấm pin nằm trên mặt phẳng (P) : 6x + 5y + z + 2 = 0 ; một tấm pin khác nằm trên
mặt phẳng (Q) đi qua điểm M (1;1;1) và song song với (P) . Phương trình mặt phẳng
(Q) có dạng ax + by + cz −12 = 0 . Tính a + b + c
Câu 10: Hai học sinh đang chuyền bóng. Bạn nữ ném bóng cho bạn nam. Quả bóng bay trên
không, lệch sang phải và rơi xuống tại vị trí cách bạn nam 3 m , cách bạn nữ 5 m
(Hình). Cho biết quỹ đạo của quả bóng nằm trong mặt phẳng (P) vuông góc với mặt
đất. Phương trình của (P) trong không gian Oxyz được mô tả như trong hình vẽ có
dạng ax + 3y = 0 . Tìm a
Câu 11: Để làm thí nghiệm về chuyển động trong mặt phẳng nghiêng, người làm thí nghiệm đã
thiết lập sẵn một hệ toạ độ Oxyz . Tính góc giữa mặt phẳng nghiêng
(P) : 4x +11z + 5 = 0 và mặt sàn (Q) : z −1 = 0 (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ).
Câu 12: Một kĩ sư xây dựng thiết kế khung một ngôi nhà trong không gian Oxyz như Hình nhờ
một phần mềm đồ hoạ máy tính.
Khoảng cách từ điểm B đến mái nhà (DEMN ) bằng a 2 . Tìm a ….. Hết …..
CHÚC CÁC EM ÔN TẬP HIỆU QUẢ VÀ ĐẠT KẾT QUẢ CAO!

Tài liệu liên quan: