Ôn tập môn học Xác suất thống kê năm 2022 | Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Hà Nội

ĐỀ CƯƠNG MÔN HỌC XÁC SUẤT THỐNG KÊ
NĂM HỌC: 2022 – 2023
Chủ đề 1: Công thưc xác suất toàn phần và công thức Bayes.
Bài 1: Có 3 hộp giống nhau. Hộp thứ nhất đựng 10 sản phẩm, trong đó có 6 chính
phẩm, hộp thứ 2 đựng 15 sản phẩm trong đó có 10 chính phẩm, hộp thứ 3 đựng 25
sản phẩm trong đó có 15 chính phẩm. Lấy ngẫu nhiên ra một hộp và từ hộp đó lấy
ngẫu nhiên ra 1 sản phẩm.
a) Tìm xác suất để lấy được chính phẩm.
b) Giả sử sản phẩm lấy ra là chính phẩm. Tìm xác suất để phẩm này lấy ra từ hộp thứ hai.
Bài 2: Một ca trực có ba bác sĩ ở khoa Tai – Mũi – Họng, ngoại, huyết học. Trong
ca trực đó xác suất để bác sĩ thứ nhất, thức hai và thứ 3 có bệnh nhân cấp cứu lần
lượt là 0,3; 0,5; và 0,4.
a) Tính xác suất để trong ca trực đó có ít nhất 1 bác sĩ có bệnh nhân cần cấp cứu.
b) Tính xác suất để trong ca trực đó có đúng 2 bác sĩ có bệnh nhân cần cấp cứu.
c) Giả sử trong ca trực đã có 2 bác sĩ có bệnh nhân cần cấp cứu, tính xác suất
để hai bác sĩ đó là bác sĩ thứ nhất và thứ ba.
Bài 3: có 3 hộp phiếu bốc thăm trúng thưởng: Hộp 1 (17 phiếu trúng thưởng và 35
phiếu không trúng thưởng); Hộp 2 (20 phiếu trúng thưởng và 45 phiếu không trúng
thưởng). Hộp 3 (13 phiếu trúng thưởng và 27 phiếu không trúng thưởng). Từ 3 hộp
lấy ngẫu nhiên 2 hộp đổ chung lại với nhau rồi từ đó rút ngẫu nhiên 4 phiếu. Tính
xác suất để trong 4 phiếu rút được có ít nhất 1 phiếu trúng thưởng?
Bài 4: Trong một bài thi có hai câu hỏi. Khả năng trả lời đúng câu 1 là 0,6. Nếu trả
lời đúng câu 1 thì khả năng trả lời đúng câu 2 là 0,8. Nếu trả lời sai câu 1 thì khả
năng trả lời đúng câu 2 là 0,2. Biết rằng sinh viên trả lời đúng ít nhất 1 câu, tính
xác suất để trả lời đúng câu 2.
Bài 5: Một người tham gia quay dự thưởng với 2 giải. Khả năng trúng giải thứ nhất
là 0,6. Nếu trúng giải thứ nhất thì khả năng trúng giải thứ hai là 0,8. Nếu không
trúng giải thứ nhất thì khả năng trúng giải thứ hai là 0,2.
a) Tính xác suất để trúng giải thứ 2.
b) Tính xác suất để trúng ít nhất 1 giải.
c) Biết người đó trúng giải. Tính xác suất người đó trúng giải thứ nhất.
Bài 6: Tỉ lệ người có kí sinh trùng sốt rét trong máu của mỗi người dân vùng cao là 0,2.
a) Chọn ngẫu nhiên 4 người. Tính xác suất để trong 4 người được chọn có 3
người trong máu có kí sinh trung sốt rét.
b) Lấy máu của 100 người đem thử. Tính xác suất để có ít nhất một người có kí
sinh trùng sốt rét trong máu.
Chủ đề 2: Tính xác suất của biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn và xấp xỉ
phân phối nhị thức bởi phân phối chuẩn.
Câu 1: Trong một đợt thi tuyển công chức ở một thành phố có 1000 người dự thi,
với tỉ lệ đạt 80%. Tính xác suất để :
a) Có ít nhất 172 người không đạt.
b) Có khoảng 170 người đến 180 người không đạt.
Bài 2: Xác suất một sản phẩm không được kiểm tra chất lượng là 8%.
a) Tính xác suất để trong 900 sản phẩm có 70 sản phẩm không được kiểm tra
chất lượng từ nhà máy.
b) Tính xác suất để trong 9000 sản phẩm có từ 700 đến 800 sản phẩm không được kiểm tra.
Bài 3: Nghiên cứu chiều cao của người trưởng thành trong một thành phố, người ta
nhận thấy rằng chiều cao đó tuân theo quy luật phân phối chuẩn với trung bình là
175cm và độ lệch chuẩn là 4cm.
a) Tìm tỉ lệ người trưởng thành có chiều cao trong khoảng 168 – 178cm.
b) Tìm giá trị h, biết rằng nếu 33% người trưởng thành có tầm vóc trên mức h.
Bài 4: Trọng lượng của một con bò là đại lượng tuân theo quy luật phân phối
chuẩn. Cân thử 500 con thì có 53 con bò nặng hơn 300 kg và 16 con bò nhẹ hơn 175kg.
a) Tìm kỳ vọng và độ lệch chuẩn của trọng lượng bò.
b) Tính tỉ lệ bò có khối lượng trong khoảng 260 kg đến 270 kg.
Bài 5: Lãi suất đầu tư vào một công ty là biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn. Biết
xác suất để đạt được lãi suất là trên 20% một năm là 0,2 và dưới 10% một năm là
0,1. Tìm xác suất để khi đầu tư vào công ty đó sẽ có lãi ít nhất 14% một năm.
Bài 6: Thời gian bảo hành sản phẩm được quy định là 6 năm. Nếu bán được 1 sản
phẩm thì cửa hàng lãi 500 ngàn, song nếu sản phẩm bị hỏng trong thời gian bảo
hành thì cửa hàng phải chi trả 700 ngàn cho việc bảo hành. Biết rằng tuổi thọ của
sản phẩm là biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn với tuổi thọ trung bình là 8,09 năm
và độ lệch chuẩn là 2,2 năm. Â
A) Tính số tiền lãi mà cửa hàng hi vọng thu được khi bán mỗi sản phẩm.
B) Nếu muốn tiền lãi trung bình cho mỗi sản phẩm bán ra là 450nganf thì phải
quy định thời gian bảo hành là bao nhiêu?
Chủ đề 3: Biến ngẫu nhiên hai chiều (Tính kì vọng, phương sai)
Câu 1: Cho bảng phân phối đồng thời của X và Y Y 1 6 8 X 2 0,05 0,1 a 5 0,1 0,05 0,02 10 0,2 0,2 0,1 a) Tìm a. b) Tính E(3X – 4Y) c) Tính V(-3X+5)
Câu 2: Cho biến ngẫu nhiên 2 chiều có bảng phân phối xác suất đồng thời sau: X Y -1 1 -1 1/6 ¼ 0 1/6 1/8 1 1/6 1/8
a) Tính EX, DX, cov(X,Y), 𝝆(X,Y)
b) X và Y có độc lập không?
c) Tìm phân phối xác suất của Z = 3X+2Y.
Chủ đề 4: Tìm khoảng ước lượng đối xứng của xác suất p trong phân phối nhị
thức ( n 100 ) và kỳ vọng trong phân phối chuẩn (phương sai chưa biết)
Câu 1: Để khảo sát chỉ tiêu X của một loại sản phẩm, người ta quan sát một mẫu và có kết quả như sau: X (cm) 11 - 15 15 - 19 19 - 23 23 - 27 27 - 31 31 - 35 35 - 39 Số sản 8 9 20 16 16 13 18 phẩm
a) Hãy ước lượng giá trị trung bình của chỉ tiêu X với độ tin cậy 95%.
b) Những sản phẩm có chỉ tiêu từ 19cm trở xuống gọi là sản phẩm loại B. Hãy
ước lượng giá trị trung bình của chỉ tiêu X những sản phẩm loại B với độ tin
cậy 99% nếu X có phân phối chuẩn.
Bài 2: Đo chiều cao của 200 sinh viên được chọn ngẫu nhiên của trường DHCN
Đông Á thu được bảng số liệu sau: Chiều cao X(cm) 155 160 165 170 175 Số sinh viên 30 50 60 50 10
a) Với độ tin cậy 98%, hãy ước lượng chiều cao trung bình của sinh viên có chiều cao trên 165 cm.
b) Nếu muốn ước lượng chiều cao trung bình của sinh viên trường DHCN
Đông Á với độ chính xác 0,8cm và độ tin cậy 97% thì phải điều tra thêm bao nhiêu sinh viên nữa?
Bài 3: Kiểm tra độ dài của một loại sản phẩm, lấy ra 100 sản phẩm kiểm tra thì
được kết quả sau (biết độ dài sản phẩm là đại lượng ngẫu nhiên phân phối chuẩn): Độ dài X (cm)
150 – 154 154 – 158 158 – 162 162 – 166 166 – 170 Số sản phẩm 25 30 20 10 15
a) Hãy xác định khoảng tin cậy khi ước lượng độ dài trung bình của sinh viên với độ tin cậy 98%.
b) Dựa vào mẫu hãy ước lượng số sản phẩm có chiều cao dài hơn 162cm trong
kho với độ tin cậy 95% biết rằng kho hàng có 50.000 sản phẩm.
Bài 4: Thu nhập trong một năm của công nhân ở một khu công nghiệp có phân
phối chuẩn. Điều tra thu nhập năm 2015 của 121 công nhân ở KCN đó thu được kết quả sau:
Thu nhập X (triệu đồng ) 37,4 38,3 40,8 42,6 44,2 46,7 47,5 Số công nhân 5 15 18 32 24 15 12
A) Với độ tin cậy 95%, hãy ước lượng thu nhập trung bình trong một năm của công nhân trong KCN đó.
B) Dựa vào mẫu hãy ước lượng số công nhân trong KCN với độ tin cậy 97%
biết rằng KCN này có 5000 công nhân có thu nhập trên 44 triệu đồng 1 năm.
Câu 5: Để đánh giá trữ lượng cá trong hồ, người ta đánh bắt 2000 con cá, đánh dấu
rồi thả xuống hồ. Sau đó bắt lại 400 con thì thấy có 80 con có dấu. Với độ tin cậy
95%, hãy ước lượng trữ lượng cá hiện có trong hồ.
Bài 6: Để khảo sát lợi nhuận của một công ty khai thác khoáng sản trong một
tháng. Ta quan sát 100 công ty cho kết quả sau: Lợi nhuận (nghìn USD) 36 42 48 54 60 66 72 Số công ty 15 12 25 18 10 10 10
Những công ty có lợi nhuận từ 60 nghìn USD trở lên được gọi là đạt chuẩn. Nếu
muốn ước lượng tỉ lệ công ty đạt chuẩn với độ tin cậy 99% và độ chính xác 10%
thì cần điều tra thêm bao nhiêu công ty nữa.
Chủ đề 5: Kiểm định hai phía về xác suất p trong phân phối nhị thức và kì vọng
trong phân phối chuẩn.
Câu 1: Định mức thời gian hoàn thành một sản phẩm là 14 phút. Có cần thay đổi
định mức không, nếu theo dõi thời gian hoàn thành sản phẩm ở 25 công nhân, ta
thu được bảng số liệu sau:
Thời gian sản xuất một sản phẩm ( phút) Số công nhân 10 – 12 2 12 – 14 6 14 – 16 10 16 – 18 4 18 – 20 3
Yêu cầu kết luận với mức ý nghĩa = 0,05 biết rằng thời gian hoàn thành một sản
phẩm là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn.
Bài 2: Đo hàm lượng Cholesterol trong máu cho một nhóm người ở một khu dân
cư, người ta thu được số liệu sau:
Hàm lượng Cholesterol (mg/dl) Số người 150 – 160 3 160 – 170 9 170 – 180 11 180 – 190 3 190 – 200 2 200 – 210 1
Kiểm định ý kiến cho rằng : “hàm lượng Cholesterol trung bình của người dân
trong khu vực này là 175mg/dl” với mức ý nghĩa 0,01
Câu 3: Lấy ý kiến 199 giảng viên về việc dạy học theo tín chỉ thì có 104 giảng viên
đồng ý. Kiểm định mức ý nghĩa 5% với giả thuyết cho rằng có một nửa số giảng
viên trường A không đồng ý dạy theo tín chỉ.
Bài 4: Một háng điện thoại cho biết tỉ lệ điện thoại lỗi trong lô hàng là 2%. Nhiều
người nghi ngờ rằng tỉ lệ này phải cao hơn. Họ kiểm tra ngẫu nhiên 484 điện thoại
thì thấy có 13 điện thoại bị lỗi. Biết rằng tiêu chuẩn kiểm định được kí hiệu là Z và
tuân theo quy luận phân phối chuẩn. Với mức ý nghĩa 5%, hãy kiểm tra công bố của hãng đưa ra.